Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
СТРУКТУРА ВСЕЛЕННОЙ
В БОЛЬШИХ МАСШТАБАХ
Перевод с английского канд. физ.-мат. наук А. А. КЛЫПИНА
под редакцией д-ра физ.мат. наук А. Г. ДОРОШКЕВИЧА
Москва ^Мир» 1983
УДК 52
Пиблс Ф. Дж. Э.
Структура Вселенной в больших масштабах: Пер. с англ.——М.: Мир, 1983: 408 с.
Монография известного американского астрофизика посвящена изложению современных представлений о крупномасштабной структуре Вселенной. Основное внимание уделено описанию иерархического скучнвання галактик. Подробно изложен метод исследования скучивания с помощью л-точечных корреляционных функций: оценки этих функций и их эволюция, ограничения, которые накладывают корреляционные функции на возможные сценарии эволюции Вселенной. Приводится теория эволюции малых возмущений в распределении вещества в ньютоновском и релятивистском приближении.
Для астрономов, физиков, математиков и механиков — как специалистов, так н студентов старших курсов, интересующихся проблемами космологии.
Редакция литературы по космическим исследованиям,астрономии 〃 геофизике
ПП1705040000—398041(01)—831705040000—398041(01)—8373—83, ч. 173—83, ч. 1©1980 by Princeton University Press© Перевод на русский язык, «Мир», 1983©1980 by Princeton University Press© Перевод на русский язык, «Мир», 1983
П
П
1705040000—398
041(01)—83
1705040000—398
041(01)—83
73—83, ч. 1
73—83, ч. 1
©1980 by Princeton University Press
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983
©1980 by Princeton University Press
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В последние годы на одно из первых мест в космологии выдвинулись проблемы образования и эволюции крупномасштабной структуры Вселенной. Этому способствовало несколько обстоятельств. Прежде всего к концу 60-х годов была завершена большая подготовительная работа — были созданы достаточно полные каталогн галактик: Ликский, Ягеллонский, каталог Цвикки и др. Это обеспечило исследователей прекрасным исходным материалом для изучения реальной структуры Вселенной. Далее в конце 60-х годов появились первые достаточно общие теоретические модели образования структуры Вселенной, в большей или меньшей степени допускающие сопоставление с наблюдениями. И наконец, не последнюю роль сыграли энтузиазм и целеустремленность автора данной книги, профессора Принстонского университета (США) Ф. Дж. Э. Пиблса, который последовательно провел в жизнь обширную программу статистического анализа каталогов галактик.
Работы 70-х годов по анализу структуры Вселенной, выполненные проф. Пиблсом с рядом соавторов, и легли в основу этой книги. Очень важно, что проф. Пиблс не только является одним из крупнейших специалистов в области космологии, но и активно участвовал в создании современной космологии, а также в открытии реликтового излучения, в разработке теории гравитационной неустойчивости и ряда эволюционных моделей образования структуры Вселенной. Ему принадлежат важные результаты, полученные при статистическом анализе каталогов галактик. Этим определяется н особая ценность книги, которая не только весьма полно освещает широкий комплекс проблем, но и предоставляет читателю редкую возможность познакомиться с системой взглядов одного из ведущих зарубежных специалистов в области космологии, с его оценками и методами работы.
В манере изложения и особенно в отборе материала отчетливо проявляются личные склонности автора. Центральное место в книге занимает гл. III, посвященная проблемам корреляционного анализа, и примыкающая к ней по содержанию гл. IV, в которой речь идет об описании динамики скучивания вещества методами корреляционного анализа. Развитые методы позволяют получить ценную объективную информацию о строении Вселенной. Поэтому теперь одной из первых задач каждой новой модели образования структуры Вселенной является проверка корреляционных соотношений «по Пиблсу».
Столь же ярко взгляды автора проявились в выборе материала других глав. Везде основное внимание уделено тем вопросам, которыми автор занимался сам, которые он не только глубоко понимает, но и любит. Следует особо отметить обсуждение в гл. VI проблемы «массопия» — введенного автором гипотетического гравитирующего вещества в трудно наблюдаемой форме, которое могло бы решить некоторые парадоксы современной космологии.
В 1980 г.— год выхода в свет английского издания книги — в работах группы В. А. Любимова (ИТЭФ АН СССР) были найдены экспериментальные свидетельства того, что масса покоя нейтрино отлична от нуля. Это немедленно привело к созданию моделей «нейтринной» Вселенной, в которой средняя плотность определяется морем нейтрино с отличной от нуля массой покоя и превосходит плотность содержащегося в галактиках вещества в 10—— 50 раз. Оказалось, что в рамках моделей нейтринной Вселенной естественно решаются многие 《проклятые》 задачи прежних теорий, в том числе парадоксы, вызвавшие необходимость введения 《массоння». Таким образом, обсуждение 《массоння» завершает примерно десятилетний период, в течение которого идеи существования частиц с отличной от нуля массой покоя в труднонаблюдаемой форме постепенно внедрялись в космологию при обсуждении отдельных задач и парадоксов.
Переход к моделям нейтринной Вселенной усилил зависимость космологии от идей и результатов физики элементарных частиц, особенно теории «великого объединения». Эволюционные схемы образования структуры Вселенной оказались тесно связанными с параметрами элементарных частиц. В ряде вариантов реализуются схемы, близкие к рассматриваемой в книге теории иерархического скучивания, но сегодня имеются интересные варианты, связанные с A-теорией образования галактик (теорией 《блинов》)， коротко изложенной в разд. 21. (Эта теория разрабатывается акад. Я. Б. Зельдовичем и его сотрудниками. Обзор современного состояния теории опубликован в журнале «Успехи физических наук», 139, 83, 1983.) Тем не менее модель иерархического скучи- вания, вероятно, применима к описанию структуры сверхскоплений. Эта модель была очень популярна в недавнем прошлом и, видимо, окажется полезной в будущем.
Корреляционные методы глубоко внедрились в космологию, поэтому изложенные в книге вопросы еще долго будут актуальны, а книга не устареет. К сожалению, мы еще недостаточно полно понимаем возможности этого метода и не всегда способны правильно истолковать полученные с его помощью результаты. Корреляционный анализ каталогов показал, что 1) в распределении галактик есть выделенный масштаб г=^4九т Мпс, где h ——безразмерная постоянная Хаббла, нормированная на значение 100 км/(с-Мпс), и 2) корреляционные функции хорошо аппроксимируются степенным законом. Автор довольно убедительно объясняет эти результаты в рамках модели иерархического скучивания. Однако более поздние работы, выполненные после выхода книги в свет, показали, что реальная ситуация сложнее.
В 1978 г. были обнаружены первые громадные области размером 50―100 Мпс, не содержащие (достаточно ярких) галактик. Оказалось, что галактики собраны в окаймляющие черные области цепочки ——сверхскоплепия. Обзор современного состояния наблю-
дений сделан Оортом и будет опубликован в очередном томе Annual Review of Astronomy and Astrophysics за 1983 г. В данных наблюдений есть еще много неясного, но задачу образования такой структуры, вероятно, будет трудно решать в рамках теории иерархического скучивания. Структура, подобная наблюдаемой, естественным образом возникает в рамках другой теоретической схемы — упомянутой выше A-теории, или теории 《блинов》.В этой теории на нелинейной стадии развития неоднородностей возникают вытянутые образования плотного вещества, которые ассоциируются с цепочками галактик. Эта теория естественно объясняет и обширные черные области, окаймляемые цепочками галактик. Однако когда был выполнен корреляционный анализ численной двумерной. модели, рассчитанной по Л-теории, то оказалось, что трудно установить однозначное соответствие корреляционных параметров и вычисленного распределения вещества (в частности, развитая нелинейная структура наблюдалась в масштабах, где двухточечная корреляционная функция 自(г) VI). Эта задача еще ждет решения.
В последние годы наряду с методами корреляционного анализа в космологии активно развиваются и другие мощные методы изучения структуры Вселенной. В частности, многообещающими выглядят методы кластер-анализа, и в особенности тесно связанные с ними методы теории протекания. Эти методы оказались очень эффективными в теории полупроводников, и первые их приложения к космологическим задачам уже дали интересные результаты. Вероятно, сочетание методов корреляционного анализа, кластер- анализа и теории протекания приведет к сравнительно полному количественному описанию крупномасштабной структуры Вселенной. К сожалению, методы кластер-анализа и теории протекания разработаны гораздо менее подробно, чем изложенные в книге методы корреляционного анализа. Но именно поэтому можно ожидать, что развитие этих методов позволит получить в ближайшие годы интереснейшие результаты о структуре нашей Вселенной.
Эта книга представляет интерес для разных категорий читателей. Прежде всего очень подробное изложение вопросов корреляционного анализа с различных точек зрения и с акцентом на практическое использование делает книгу полезной не только астрономам, но и всем специалистам, использующим корреляционный анализ в обработке статистических материалов. Вопросы теории гравитационной неустойчивости (как в ньютоновском, так и в релятивистском приближении) изложены очень своеобразно и хорошо дополняют ранее изданные книги по космологии. Эти разделы полезны не только астрофизикам, но и широкому кругу физиков. Автор пользуется простым математическим аппаратом, и для чтения книги достаточно знания математики в объеме программы вузов (курс математического анализа и основы теории вероятно* сти), поэтому она доступна студентам старших курсов.
20 декабря 1982 г.. 4 厂 ДорОШКввиЧ
ПРЕДИСЛОВИЕ
С первых шагов современной космологии стало ясно, что анализ крупномасштабного скучивания вещества в галактики и скопления галактик является очень важной ее частью. Полемика относительно однородных моделей мира отодвинула эту проблему на второй план, но в последние годы возродился интерес к крупномасштабному распределению вещества и тем данным о природе и эволюции Вселенной, которые можно извлечь при анализе этого распределения. Цель книги ——дать обзор современного состояния этих вопросов.
В гл. I описана история развития идей о крупномасштабной структуре Вселенной. Как принято в науке, мое изложение представляет собой смесь интуитивных догадок, рациональных суждений, а также направлений исследований, которые в настоящее время малоинтересны. Из-за медленного развития космологии в ней успели закостенеть традиционные представления, что более опасно, чем обычные заблуждения, поэтому я позволил себе описать эволюцию идей более подробно. В своем обзоре я не пользовался традиционными методами исторического исследования, а просто изложил то, что мне удалось извлечь из книг и журналов. Мои немногочисленные беседы с людьми, внесшими вклад в развитие этих идей, позволили мне осознать, как ограничен имеющийся материал и как много можно еще сделать. С другой стороны, именно опубликованные материалы легко доступны большинству людей, желающих предварительно ознакомиться с тем, что уже достигнуто, прежде чем приступить к работе в данной области. Правда, обращение к публикациям в 1930-х годах было таким же бессистемным, как и теперь. Я попытался сделать полный обзор наиболее важных результатов, полученных с 1927 г., и добавил большое число ссылок на современные работы, что позволит читателю свободно ориентироваться в литературе.
В гл. II эволюция распределения вещества исследуется в ньютоновском приближении. Это приближение ——всего лишь предельный случай полной релятивистской теории, однако оно довольно подробно рассматривается в начале книги, поскольку оно существенно проще полной релятивистской теории, но обеспечивает точность, достаточную для большинства практических задач. Для
анализа ньютоновского приближения разработано много методов, и в этом приближении получены разнообразные результаты, которые мне кажутся полезными и интересными.
Статистическая картина распределения галактик рассмотрена в гл. III. В этой главе исследуются n-точечные корреляционные функции — описательные статистики, которые оказались весьма полезными д^я анализа распределения галактик (эти функции являются аналогами автокорреляционной функции и корреляционных функций более высоких порядков, определяемых для непрерывного распределения). Общий метод анализа, основанный на этих функциях, известен уже давно, однако только в последние годы благодаря быстродействующим ЭВМ, способным обрабатывать большой объем данных, этот метод стал широко применяться и интенсивно развиваться. В этой главе дан обзор основных теоретических результатов и методов анализа наблюдений.
n-точечные корреляционные функции оказались полезными не только как описательные статистики, но и как динамические характеристики в ньютоновской теории эволюции скучивания. Этому вопросу посвящена гл. IV. В качестве обобщения корреляционных функций введены корреляционные функции плотности, зависящие от положения и импульса. Получена иерархия уравнения ББГКИ, которая описывает эволюцию этих функций. Таким образом, создан новый метод, позволяющий изучать эволюцию скучивания вещества в расширяющейся Вселенной. Конечно, этот метод интересен постольку, поскольку мы предполагаем, что наблюдаемые корреляционные функции галактик могут служить хорошим приближением для корреляционных функций плотности. Другими словами, наблюдения могут дать граничные значения для динамической теории, описывающей эволюцию корреляционных функций плотности. Наши предположения можно было бы проверить, если бы удалось разработать непротиворечивую теорию» описывающую совместное распределение галактик по скоростям и положениям. Однако эти вопросы еще не исследованы, поскольку до сих пор не получены необходимые данные о красных смещениях. Я привел некоторые предварительные соображения о том, как можно было бы приступить к анализу таких данных.
В гл. V эволюция скучивания вещества исследуется в рамках общей теории относительности. Развитые методы позволяют изучить важную задачу о ранних стадиях эволюции Вселенной, когда вследствие высокой средней плотности даже сравнительно небольшие флуктуации являются существенно релятивистскими.
В гл. VI описываются некоторые попытки связать теорию с наблюдениями. Для этого нужно получить наблюдаемые особенности распределения вещества в расчетах эволюции Вселенной, задавшись приемлемыми условиями на ранних стадиях эволюции. Это основная тема гл. VI, но она рассмотрена не очень подробно, поскольку я считаю, что есть слишком много подходящих реше-
ний, ни одному из которых нельзя отдать явного предпочтения. Вероятно, будет придумано еще много сценариев, прежде чем будет создана убедительная картина. По-видимому, в лучшем случае можно надеяться, что в окончательном ответе будут использованы важнейшие результаты современных теорий и наблюдений.
Я не рассматриваю расстояний меньше характерного размера галактики и касаюсь лишь столь ранних стадий эволюции Вселенной, на которых неоднородности вещества еще не похожи на наблюдаемые галактики. Таким образом, я не рассматриваю строение и эволюцию галактик. Я не обсуждаю также некоторые проблемы, относящиеся к другим областям космологии, например влияние скучивапия на результаты общепринятых космологических тестов. Я нс касаюсь некоторых, несомненно, важных проблем, относительно которых не могу сообщить ничего достаточно полезного, например вопроса о межгалактических газовых облаках. Кроме того, я совершенно не затрагиваю альтернативные космологические теории. Причина не столько в уверенности в том, что картина расширяющейся Вселенной наиболее реалистична, сколько в том, что, как я полагаю, вряд ли можно ожидать широкого интереса к этим альтернативным теориям до тех пор, пока общепринятая модель дает гораздо более ясную картину.
Разумеется, акценты в книге расставлены в соответствии с моими личными взглядами на перспективность той или иной задачи. Вероятно, наименее полно изложена картина первичной турбулентности. Я описал ее основы и некоторые общие и надежно установленные результаты, но не рассмотрел конкретные сценарии. На мой взгляд, это разумно, поскольку я сомневаюсь в достоинствах этой картины и поскольку другие астрономы могут лучше и с большим энтузиазмом отстаивать эту теорию.
В приложении приведен краткий список обозначений и определений. Прежде чем приступать к чтению книги, рекомендую просмотреть это приложение. В нем кратко изложены также основные понятия космологии в тех аспектах, в которых они фигурируют в тексте, но я опустил детали, которые можно найти в других книгах. Ссылки на мою книгу «Физическая космология》 сокращенно обозначены ①К・
Выражение приз на тел ьности
Я глубоко признателен всем, кто непосредственно способствовал созданию этой книги: Ч. Алкоку, М. Девису, Р. Дикке, Дж. Фраю, М. Геллер, Э. Гроту, М. Хаузеру, Б. Джонсу, Дж. Ост- райксру, У. Прессу, М. Сслднсру, Дж. Силку, Р. Сонейре, Дж. Юсону, С. Уайту, Д. Уилкинсону и Дж. Ю. Без квалифицированной помощи М. Фуджилл мне потребовалось бы на эту работу гораздо больше времени, а результаты ее были бы хуже.
Первые конкретные шаги к написанию книги были предприняты в 1973/74 учебном году, когда я работал на гостеприимном физическом факультете Калифорнийского университета в Беркли. Предварительный ее вариант был изложен в виде курса лекций, прочитанного в Принстонском университете. Я благодарен Дж. Ба- колу за предоставленную мне возможность работать в Институте высших исследований, где был написан окончательный вариант книги. Работа над книгой частично финансировалась Национальным научным фондом.
Фронтиспис. Крупномасштабная картина распределения галактик, построенная на основе Ликского каталога. На небесной сфере каждому квадрату соответствует ячейка размерами приблизительно градус на градус. Площадь белого квадрата пропорциональна числу обнаруженных в этой ячейке галактик ярче видимой звездной величины 19m. Ячейки выстроены вдоль линии постоянного прямого восхождения и склонения. Северный полюс Галактики находится в центре карты, а галактическая плоскость проходит вдоль края. (Карта построена Дж. А. Пиблсом и Ф. Дж. Э. Пиблсом.)
Глава /
ОДНОРОДНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
И СКУЧИВАНИЕ
/. Однородное распределение и окучивание
Современные представления о природе крупномасштабного распределения вещества восходят к трем основным идеям. В 1917 г. Эйнштейн привел доводы в пользу того, что замкнутая однородная модель мира хорошо описывается общей теорией относительности и удовлетворяет требованиям принципа Маха. В 1926 г. Хаббл обнаружил, что в больших масштабах галактики распределены почти однородно, причем нет никаких признаков края или границы распределения. В 1927 г. Леметр показал, что однородное распределение очень хорошо соответствует наблюдениям красных смещений галактик. Если однородную модель обобщить, введя в нее эволюцию, то она дает линейную зависимость между красным смещением и расстоянием. Эта зависимость согласуется с законом, установленным Хабблом на основе сделанных им оценок расстояний до галактик (результаты работы были опубликованы Хабблом в 1929 г. [180]).
Эволюционирующая динамическая модель мира быстро привлекла внимание, и в течение следующих десятилетий она, прежде чем стать общепринятой, вызвала оживленные дискуссии. В последующих разделах рассматривается ряд вопросов. Прежде всего, действительно ли Вселенная однородна (после усреднения по достаточно большому масштабу скучивания)? Принимая, что она однородна, нужно ли ограничиться утверждением, что это является разумным приближением только в нашей окрестности и в современную эпоху? Можно ли вывести из общих принципов, что Вселенная однородна? Или однородность Вселенной указывает на новые принципы? В любом случае в масштабах звезд, галактик и скоплений галактик вещество распределено очень неоднородно. Это скучивание вещества частично связано с процессами, протекавшими в далеком прошлом, но, кроме того, оно тесно связано и с процессами, действующими в настоящее время. Как эволюционирует скучивание в расширяющейся Вселенной? Каково его происхождение? Какую информацию о природе Вселенной оно содержит?
Однородна ли Вселенная? .
В 1917 г. под фразой «крупномасштабное распределение вещества» обычно подразумевалось распределение звезд в нашей Га-
лактике. Так, например, в 1914 г. Эддингтон опубликовал книгу [77], посвященную распределению звезд, которая называлась «Движения звезд и строение Вселенной». Считалось хорошо установленным из подсчетов звезд, что звезды сосредоточены в сплюснутом приблизительно сфероидальном образовании — системе Кап- тейна (по имени астронома, явившегося главным инициатором трудоемкого накопления и анализа данных о подсчетах звезд). Если бы распределение звезд было однородным, то число звезд, поток от которых больше 力 изменялось бы по закону
N(V?n)8 厂3/2 00 1036m, (2.1)
где т ——видимая звездная величина. Но подсчеты звезд различны в разных направлениях на небесной сфере, и при уменьшении f их число возрастает пе так быстро, как можно было бы ожидать из соотношения (2.1). Это означает, что мы видим границу системы.
Не известно, насколько Эйнштейн был знаком с этими идеями в 1917 г. и в какой степени они на него повлияли. Он писал, что распределение звезд, возможно, однородно, если его усреднить по достаточно большому масштабу. Он не упоминал об аргументах (которые к тому времени привел и систематизировал Сэнфорд [356]) в пользу того, что спиральные туманности могут быть другими «островными вселенными», т. е. другими галактиками, состоящими из звезд. Но весьма вероятно, что в общих чертах Эйнштейн был знаком с этой идеей, так как вместе с де Ситтером он обсуждал проблему распределения вещества во Вселенной [59]. Эйнштейн отвергал идею, согласно которой Вселенная, состоящая из звезд, может быть изолированным островом в асимптотически плоском пространстве, поскольку частица, покинувшая такую систему, будет двигаться, сохраняя свои инерциальные свойства на сколь угодно большом расстоянии от остального вещества, что противоречит принципу Маха. Первоначально Эйнштейн предположил, что вне вещества метрика может становиться сингулярной, но позже он нашел более изящное решение — однородный замкнутый мир.
Дс Ситтер был астрономом (и учеником Каптейна), так что он хорошо знал, что звезды распределены неоднородно. Поэтому он
был склонен принять гипотезу островной Вселенной и предполо* жить, что островные системы могут распределяться в пространстве однородно [60]. Однако он не упоминал ни о каких тестах для проверки идеи об однородности.
В то время было известно, что слабых спиральных туманностей, т. е. туманностей с малым угловым размером, во много раз больше, чем ярких туманностей, и что существуют сотни тысяч очень слабых объектов, которые могут быть похожи на яркие объекты, но они настолько далеки, что невозможно различить их спиральную структуру [49, 108, 356]. Хаббл [179] первым заинтересовался тем, согласуются ли подсчеты этих туманностей с предположением об однородности их распределения в пространстве. Он использовал оценки Сирса [367], сделанные до предельной звездной величины т^ 16,7, которые основывались па подсчетах слабых туманностей [108]. Хаббл обнаружил, что число слабых галактик хорошо согласуется со значением, которое можно ожидать из подсчетов, выполненных для т< 12 и затем экстраполированных в соответствии с уравнением (2.1).
Успех теста Хаббла весьма впечатляющ, так как более глубокий обзор содержит приблизительно в 600 раз больше галактик, чем обзор, включающий галактики только с т< 12. Результат, полученный Хабблом, резко отличается от обычного поведения подсчетов звезд： при наблюдениях звезд мы достигаем границы местной звездной системы, тогда как наблюдения галактик не дают указаний, что существует граница того, что Сэнфорд назвал «миром туманностей». Позже в своей статье Хаббл выразил эту мысль так [182, р. 8]:《До сих пор нет признаков того, что существует сверхсистема туманностей, аналогичная системе звезд. Поэтому на первое время область, которая теперь наблюдается с помощью телескопов, может служить достаточно хорошим представителем всей Вселенной》.
Теперь мы знаем, что блестящее совпадение, найденное Хабблом при анализе данных наблюдений, является до некоторой степени случайным, так как галактики с т<12 нс образуют представительной выборки: существует значительный избыток ярких галактик, который обусловлен локальной концентрацией галактик внутри и вокруг скопления в Деве. Хаббл ясно понимал, что его результат был лишь предварительным свидетельством однородного распределения. В течение последующего десятилетия Хаббл осуществил обширную программу, связанную с глубокими подсчетами галактик в избранных областях (эту программу можно сравнить с работой по подсчетам звезд, но в подсчетах галактик непосредственно участвовали значительно меньше астрономов). Пред- варнтельнос сообщение было опубликовано в 1931 г., а в 1934 г. Хаббл довольно подробно проанализировал подсчеты до предельных величин ^19,1 и 19,6т, Соотношение подсчетов хорошо согласуется с законом 10°，бтп Кроме того, с этим законом согласуется
соотношение подсчетов Хаббла и числа галактик с m ^ 13 из каталога Шепли——Эймс [383] (хотя и этот результат отчасти случаен, так как существует Локальное сверхскопление). В 1936 г. Хаббл изучил подсчеты до пяти предельных звездных величин в диапазоне т^ 18,5——21. При увеличении т число галактик возрастает медленнее, чем ио закону 10°-6гп, причем расхождение (т. е. отношение теоретических значений к наблюдаемым) достигает 1,8, тогда как число объектов возрастает в 19 раз в этом диапазоне звездных величин. В качестве рабочей гипотезы Хаббл сделал вывод, что различие больше, чем можно было бы ожидать в любой приемлемой релятивистской модели мира, и это может указывать на то, что релятивистская теория неверна. В настоящее время считают, что систематические ошибки в оценке звездных величин и /(-поправки (из-за красного смещения спектр галактики сдвигается в красную область и часть спектра даже выходит за диапазон чувствительности фотографической пластинки) могут объяснить это относительно небольшое расхождение. Непреходящий интерес представляет первый вывод Хаббла: до глубины его обзора нет заметной границы мира туманностей.
Вызывает удивление, что тест число галактик — звездная величина (и эквивалентное соотношение ^(>9) ос О-3) был применен к подсчетам спиральных и слабых туманностей так поздно — в 1926 г. Разумно предположить, что Хаббл попытался применить тест потому, что незадолго до этого, обнаружив в ближайших туманностях цефеиды, абсолютные звездные величины которых известны, он показал, что ярчайшие спиральные туманности — это состоящие из звезд галактики, подобные нашей Галактике. Не исключено также, что на решение Хаббла повлиял спор Эйнштейна с де Ситтером об однородных моделях мира. По крайней мере Хаббл знал, как де Ситтер пытался оценить среднюю плотность вещества во Вселенной (и поскольку калибровка расстояний у Хаббла была гораздо более точной, он сделал существенно более точную оценку р).
Полученные Хабблом с 1926 по 1934 г. результаты, свидетельствующие об однородности Вселенной, безусловно, были только предварительными, хотя и обнадеживающими. Однако большинство теоретиков быстро признали этот факт. Так, в 1933 г. Эйнштейн писал: «Кроме того, исследование, проведенное Хабблом, показало, что в пространстве эти объекты [галактики] распределены статистически однородным образом. В результате сделанное для простоты предположение о том, что плотность в среднем однородна, получило экспериментальное подтверждение» [94, р. 107]. Робертсон в имеющем важное значение обзоре, посвящспном космологическим моделям Фридмана—Лсметра, писал: 《•♦.в основном благодаря Хабблу и Шепли мы признали факты, свидетельствующие об однородности крупномасштабного распределения вещества в наблюдаемой Вселенной, после чего мы экстраполиро-
вали эти факты па всю Вселенную в целом» [344, р. 82]. В 1931 г. Эддингтон сделал предостерегающее замечание: 《Мнр Леметра —— это также модель, в которой Вселенная представлена в виде однородного сферического распределения вещества, но нет причин, препятствующих тому, чтобы действительное распределение было сильно неоднородным» [80, р. 415]. Однако позднее в том же году он утверждал:《Мн больше не ищем пространственную границу Вселенной. Что же касается пространственной структуры Вселенной, то у нас есть основания полагать, что мир является сферическими [81, р. 447]. Быть может, не удивительно, что де Ситтер был более осмотрителен. В 1931 г. он писал: «Не следует забывать, что все эти дебаты о Вселенной предполагают громадную экстраполяцию, а такая экстраполяция весьма ненадежна» [61, р. 708]. И в 1932 г. он отмечал: «Эти прекрасные наблюдения [галактик на обсерватории Маунт-Вилсон] позволили нам сделать достаточно надежные оценки расстояний до этих объектов и кое-что узнать об их распределении в пространстве. Оказывается, они распределены приблизительно равномерно в нашей окрестности» [62, р. 114],
В 1930-е годы велась полемика между Хабблом и Шепли о значении отклонений от однородности. Оба подчеркивали, что на относительно малых масштабах распределение галактик является сильно неоднородным. Например, Хаббл [182] заметил, что сделанные в различных областях неба подсчеты туманностей распределены не по закону Пуассона, как это следовало бы ожидать, если бы галактики располагались случайно; повсеместное скучивание галактик привело к тому, что распределение подсчетов стало более широким. (Он также обнаружил интересный факт — распределение lg N удивительно близко к закону Гаусса.) Однако для Хаббла, безусловно, основным результатом была однородность распределения вещества на больших масштабах, что было обнаружено с помощью очень глубоких подсчетов, усредненных по многим избранным областям неба. Шепли же придавал особое значение огромным неоднородностям в распределении галактик： «Эти неоднородности явно слишком резко выражены, чтобы их можно было считать случайными. Скорее, они представляют собой проявление эволюционных тенденций в метагалактической системе» [378, р. 3]. В своем распоряжении Шепли имел телескопы меньшего размера. Поэтому он с сотрудниками изучал распределение галактик до меньшей глубины, но распределение по небесной сфере он исследовал более подробно. Он заметил, что существует значительное различие в подсчетах галактик Шепли——Эймс (т^,13), сделанных в северном галактическом полушарии, по сравнению с подсчетами в южном полушарии. Шепли предположил, что и при т= 17 это различие между северным и южным полушариями может достигать 50 % [379]. Данные также наводили на мысль, что при т^18 (в системе звездных величин, приблизительно соответствующей системе Хаббла) поверхностная плотность галактик может изме-
2 Заказ № 82
няться примерно в два раза при смещениях на небе примерно на 30°. (Но этот результат был сопряжен с рядом проблем, так как на практике существовали трудности, связанные с распространением стандартов звездных величин на южное небо [382].) Поэтому Шепли [381] усомнился в том, что действительное распределение галактик близко к однородному даже после усреднения по большим масштабам. Кроме того, этот вывод позволял предположить, что в данных Хаббла отклонения от закона 10°，恤 могут появляться вследствие крупномасштабных флуктуации плотности, а не из-за несостоятельности теории относительности. (В 1936 г. Хаббл [183] упомянул, но отверг идею крупномасштабных неоднородностей.)
Замечания, сделанные Шепли, нс привлекли особого внимания. Но все-таки Мак-Кри [236] подчеркивал, что крупномасштабные неоднородности будут служить источником затруднений для наблюдательных программ, направленных на измерение параметров общепринятых космологических моделей. Кроме того, эта проблема обсуждалась в связи с возможным использованием 5-метрового телескопа для ее решения. Эддипгтон [82] и Толмен [414] независимо друг от друга предположили, что крупномасштабная неоднородность может объяснить результат Хаббла, и по предложению Толмена Омер [274] построил неоднородную релятивистскую модель (сферически симметричную относительно нашего местоположения； разд. 87), параметры которой ему удалось подобрать так, что модель приближенно соответствовала подсчетам галактик. Однако к 1950-м годам идея о возможной крупномасштабной неоднородности была вытеснена из умов космологов, а ее место заняли споры об однородных моделях мира (эволюционирующие, или стационарные, или справедлива кинематическая космология Милна?) и дебаты о релятивистских моделях (открытые или замкнутые модели, каково значение таких параметров, как космологическая постоянная, постоянная Хаббла, характерное время, параметр замедления). Примером может служить книга Бонди [21] по космологии, в которой предположение Эддингтона и Толмена упоминалось, но было отвергнуто как бесполезное. Другой пример — книга Мак-Витти «Факт и теория в космологии» [242], в которой мы находим более осторожное суждение. В книге рассмотрены только однородные космологические модели, но Мак- Витти все же подчеркивает наблюдательные затруднения, связанные с обоснованием однородности.
Хотя эта тема была не очень популярна, в последнее время изредка можно встретить работы, в которых обсуждается вопрос о крупномасштабной неоднородности. Де Вокулер [64--66] и ван ден Берг [425] разделяют точку зрения Шепли и полагают, что традиционное доказательство однородности, основанное на подсчетах галактик как функции звездной величины или положения на небе, можно считать в лучшем случае уязвимым. В 1965 г. Омер
еще раз рассмотрел свою сферическую модель, объясняющую крупномасштабную неоднородность. В 1968 г. Рис и Шама [342] применили эту сферическую модель, когда рассматривали выдвинутое Штритматтером, Фолкнером и Уомесли [404] предположение, согласно которому масштаб скучивания квазаров может быть сравним с расстоянием до горизонта Вселенной. Боннор [25] и Силк [393] также обсуждали эту модель, и Силк обратил внимание на то, что существуют признаки крупномасштабных неоднородностей. Рубин, Тонпард, Форд и Робертс [349] обнаружили эти неоднородности движений, когда исследовали систематический обзор галактик с измеренными красными смещениями. Кристиан и Сакс [207] исследовали другой подход к этой проблеме. В основе их анализа лежит предположение о том, что вплоть до красных смещений, скажем 2^0,3, все параметры Вселенной можно разложить в степенные ряды. Под влиянием идей де Вокулера Вертц [436], Хаггерти [151] и Вессон [437] рассмотрели еще одну модель, в которой иерархия скучивания простирается до сколь угодно больших масштабов (разд. 62).
Де Вокулер обратил внимание на следующий интересный факт. Если Вселенная действительно почти однородна на масштабе горизонта сНЗ* то существует поразительное несоответствие между однородностью в масштабе горизонта и тем, что происходит па меньших масштабах — от характерных размеров элементарных ча- 、стиц до размеров тех объектов, с которыми мы имеем дело в этой книге, т. е. на масштабах ограниченных структур. Де Вокулер отметил также, что тенденция к скучиванию прослеживается по крайней мере до масштабов Локального сверхскопления (сгущения галактик размером 〜10九一，Мпс, расположенного вокруг скопления в Деве; мы находимся во внешней части этого сверхскопления). Де Вокулер считает, что возможны неоднородности еще больших масштабов, на что указывают крупномасштабные градиенты подсчетов галактик на небе, выявленные Шепли по Гарвардскому обзору [381, 382], и крупномасштабная корреляция богатых скоплений, найденная Киангом и Саслоу [203]. Оба этих эффекта свидетельствуют в пользу сильного скучивания в масштабах 〜100 h~{ Мпс. Таким образом, если скучивание прекращается на каком-то масштабе, то оно, вероятно, заканчивается подозрительно близко к наибольшей глубине надежных наблюдений и близко к наибольшему из возможных масштабов, согласующихся с предположением о строгой однородности Вселенной на масштабе горизонта (с〃丁i = 3000 /г4 Мпс).
Прямые наблюдения крупномасштабного распределения галактик все еще затруднены, так как сложно контролировать систематические ошибки, которые возникают, когда сравниваются поверхностные плотности галактик, определенные в областях неба, далеко отстоящих друг от друга, или когда сопоставляются под- 2*
счеты, полученные для сильно различающихся видимых звездных величин. Установлено, что современные глубокие подсчеты галактик [31, 96, 208, 422] изменяются со звездной величиной примерно по закону 10°，45 7n до глубин, сравнимых с сН鼠L Если учесть К-по- правку, то приблизительно такое отклонение от закона 10。，6团 и следует ожидать. Распределение галактик на небесной сфере наилучшим образом представлено в Ликском каталоге [375, 376]. В этом каталоге приведены подсчеты до предельной звездной величины т=19, выполненные в площадках размером 10X10', причем эти площадки покрывают две трети небесной сферы. Эффективная глубина каталога равна #200 用一】Мпс. Обнаружены крупномасштабные градиенты поверхностной плотности галактик, причем после усреднения поверхностной плотности по площадке 10Х Ю квадратных градусов среднеквадратичные флуктуации этих градиентов достигают 6 Л9/Л9^? 0,10. Частично эти флуктуации связаны с тем, что поглощение меняется от одной области к другой. Истинное же значение крупномасштабных флуктуаций пространственной плотности галактик определить трудно.
Безразмерная автокорреляционная функция служит одной из удобных мер неоднородностей пространственного распределения
1(^=^^)9^ + ^/^-1, (2.2)
где угловые скобки означают усреднение по 门 по всей выборке. По данным Ликского каталога [326] верхний предел на крупномасштабное скучивание равен
£(50Л-[ Мпс)《0,025. (2.3)
Если меняющееся от места к месту поглощение важно, то &(50%т Мпс) гораздо меньше, чем значение, даваемое формулой (2.3). В качестве масштаба, на котором скучивание является сильным, можно выбрать длину го, на которой корреляционная функция g= 1. Для Ликского каталога ([143], а также разд. 57)
г0^4Н~х Мпс, ^ (r0) s 1. (2.4)
Поскольку это расстояние мало по сравнению с глубиной обзора («200h~x Мпс), есть основания полагать, что по данным Ликского каталога скучивание, обнаруженное на малых масштабах, постепенно переходит в почти однородный фон.
Величина (2.4) — это среднее значение для всего распределения, н в Ликском каталоге, безусловно, можно найти области, в которых пространственная плотность остается выше средней на масштабах, превосходящих Го- Примеры таких областей приведены в каталоге компактных скоплений, составленном Эйбеллом [2]. Конечно, галактики имеют тенденцию концентрироваться к тем местам, где расположены скопления Эйбелла. Эту концентрацию можно оценить, если сначала для каждого скопления Эйбелла найти пространственную плотность галактик в слое радиусом г
и толщиной 6г (центр слоя совпадает со скоплением), а затем усреднить эти значения по всем скоплениям. Было найдено, что на расстоянии
ra у 14Л'1 Мпс (2.5)
эта средняя плотность галактик п(г) в два раза выше средней плотности в Ликском каталоге [369]. Исследовав корреляцию в положениях центров скоплений Эйбелла, Хаузер и Пиблс [161] оценили длину скучивания
%с (仆)三 1，% ^ ЗОА-1 Мпс. (2.6)
Кианг и Саслоу [203] по сделанным Эйбеллом оценкам видимых звездных величин ярчайших членов скоплений построили трехмерное распределение скоплений и получили, что г3 близко к 100方т Мпс. Этот метод имеет то преимущество, что он усиливает наблюдаемое скучивание (угловая корреляционная функция, которую необходимо еще преобразовать, чтобы получить 自(г), по величине меньше, чем 自,вследствие того что находящиеся на различных расстояниях объекты перекрываются в проекции). Недостаток же метода состоит в том, что если ошибки в шкале звездных величин, использованной Эйбеллом, систематически меняются с расстоянием (а это вполне возможно), то метод будет приводить к несуществующему радиальному скучиванию.
Из соотношений (2.4) — (2.6), видимо, можно сделать вывод, что скучивание действительно переходит в малые флуктуации (6р/р< 1) задолго до достижения границ имеющихся выборок. Конечно, эти выборки охватывают ограниченный объем, и необходимы обзоры с большей глубиной.
Новые методы наблюдений позволили заглянуть очень далеко в пространство и дали возможность точно оценить отклонения от однородности косвенными методами. Внегалактические радиоисточники, все или большинство которых — галактики, распределены удивительно равномерно по небесной сфере. Так, распределение 5000 радиоисточников из каталога 4С (уровни потока S》2 Ян) почти не отличимо от случайного [371, 433]. Поскольку в каталоге 4С объектов во много раз меньше, чем галактик в Ликском каталоге, данные о радиоисточниках не улучшают наш верхний предел на флуктуации поверхностной плотности объектов в площадках с угловым размером 9^10°. Например, среднее число источников каталога 4С в площадках размером 3x3° равно〈％〉弋2, а среднеквадратичная флуктуация этого числа близка к значению, соответствующему закону Пуассона, и равна 5N/N = 0,7. Среднеквадратичные флуктуации числа галактик из Ликского каталога примерно в три раза меньше, 6N/N = 0,25 (если бы галактики распределялись равномерно, то ожидаемое значение было бы равно 62/2 = 0,045). Но среди радиоисточпиков многие расположены на расстояниях ^ сН~1 = ЗООО/i-1 Мпс, так что мы получили убеди-
тельное подтверждение изотропности Вселенной на больших масштабах. Стоит подчеркнуть, насколько это распределение отличается от распределения ярких галактик. Если разделить северное небо на две равные части, то число источников в этих областях по каталогу 4С совпадает с точностью |М — ^2|/(^l+^2) ^0,015 (среднеквадратичное значение), тогда как число галактик в подсчетах Шепли—Эймс различается почти в два раза. Другой важной мерой неоднородности служит диффузное фоновое, рентгеновское излучение [99, 444, 445]. Значительная часть диффузного рентгеновского потока приходит от объектов с умеренными красными смещениями, т. е. от активных галактик и скоплений галактик. Поэтому рентгеновское излучение показывает, как меняется по небу плотность вещества, проинтегрированная до горизонта. Современный предел на флуктуации поверхностной плотности равен 5///* ^0,04 при 0~5° [362, 363]. В заключение отметим, что на угловых масштабах от 10’ до 180° микроволновое фоновое излучение изотропно с точностью 6Т/Т^0,001. Это излучение не может непосредственно характеризовать распределение вещества, так как считается, что в современную эпоху излучение связано с веществом очень слабо. Но температура излучения изменяется обратно пропорционально масштабному фактору или в более общем случае пропорционально разности красного смещения источника и наблюдателя. Поэтому фоновое излучение свидетельствует о том, что крупномасштабное движение изотропно относительно нашего положения в пространстве с точностью выше чем 10-3.
Эти три вида измерений показывают, что движение и распределение вещества с высокой точностью изотропны на масштабах 〜сНЗ‘・ Они являются очень строгим тестом стандартной однородной и изотропной модели мира, по, конечно, не могут окончательно подтвердить ее, так как не исключена возможность, что Вселенная неоднородна, но изотропна по отношению к некоторой точке, находящейся вблизи нас. Однако галактики с большими красными смещениями очень похожи на галактики, расположенные вблизи нас, и в неоднородной, но изотропной модели наблюдатель, находящийся в любой из огромного числа удаленных галактик, обнаружил бы, что Вселенная гораздо менее изотропна, чем это видим мы. Более естественно предположить, что и из далекой галактики Вселенная выглядит изотропной и что, следовательно, наблюдаемая Вселенная совершенно однородна.
Разумеется, у нас нет решающего доказательства однородности, так что мы будем следить с большим интересом за развитием упомянутых тестов. С другой стороны, по сравнению с 1920-ми годами ситуация существенно улучшилась с наблюдательной точки зреЕЕия, и полученные результаты принесли поразительный успех предвидениям Эйнштейна и Хаббла.
Физические принципы
Л. Предсказание однородности? Можно ли было исходя из общих соображений и физических принципов предсказать, что Вселенная однородна? В сущности —да. Ведь Эйнштейн пришел именно к однородной модели мира, стремясь удовлетворить некоторым общим требованиям. Он отверг бесконечную ньютоновскую Вселенную, заполненную веществом, на том основании, что в такой модели потенциал и, следовательно, кинетические энергии звезд были бы сколь угодно большими. В опубликованной в 1917 г. статье Эйнштейн привел два возражения против гипотезы, в соответствии с которой все вещество образует что-то вроде острова, окруженного пустым асимптотически плоским пространством. Первое возражение состояло в том, что, если подождать достаточно долго, система будет релаксировать, т. е. часть ее сожмется до высокой плотности (как мы сказали бы теперь, коллапсирует с образованием черной дыры), а часть разлетится с положительной энергией. Это было неприемлемо, так как Эйнштейн считал, что общие свойства Вселенной не должны меняться. Не ясно, насколько серьезно Эйнштейн относился к этому предположению, потому что в любом случае Вселенная не может быть неизменной. Например, Солнечная система через достаточное время (если только Солнце не взорвется) должна пройти стадию релаксации, и с ней случится то же самое, что, по предположению Эйнштейна, произойдет со всей островной Вселенной, и если энергия сохраняется, то звезды в конце концов перестанут светить. Как уже отмечалось в предыдущем разделе, Эйнштейн придавал особое значение принципу Маха, в соответствии с которым частица, покинувшая островную Вселенную, на сколь угодно большом расстоянии от остального вещества будет двигаться в плоском пространстве, сохраняя, согласно теории относительности, свои инерциальные свойства. Это противоречит гипотезе о том, что инерция порождается веществом во Вселенной. Интересное представление о некоторых идеях Эйнштейна дает дискуссия, о которой рассказано в работе дс Ситтера [59]. Поскольку плоское на бесконечности пространство противоречит принципу Маха, Эйнштейн предположил, что компоненты g订 становятся вырожденными на границе Вселенной. Но исследования наблюдаемых объектов нс дают никаких свидетельств большой кривизны пространства, поэтому необходимо было предположить, как поступил дс Ситтер, что g订 становятся вырожденными вне «гипотетических» масс, которые окружают мир обычного вещества. Л спустя год Эйнштейн нашел более изящное решение: условие вырождения gu на границе он заменил требованием, чтобы Вселенная была замкнута, т. е. была бы трехмерным аналогом замкнутой двумерной поверхности шара. Такая Вселенная конечна, в ней нет плоского внешнего пространства, нет гипотетических масс
И нет границы. Блестящее предположение Эйнштейна, основанное на общих принципах, привело, таким образом, к модели мира, которая выдержала испытание временем и наблюдениями.
Но нельзя упускать из виду, несмотря на этот успех, что подобные предположения часто бывают С1ЕОрными. Так, многих привлекала другая ггЕпотеза — гипотеза неограниченного иерархического окучивания (разд. 62). Обзор иерархических моделей и историю развития идеи можно найти в работе Мандельброта [244]. В модели скучивания, не зависящего от масштаба, которую, согласно Мандельброту, приписывают в основном Фурнье д'Альбе [114], законы скучивания таковы, что характерная масса внутри радиуса R (расстояние относительно наблюдателя) изменяется как MocR. Размер и масса Вселенной могут быть сколь угодно велики, но средняя плотность M[R стремится к нулю, и средняя масса, приходящаяся на единицу площади небесной сферы наблюдателя, конечна. Поэтому, если даже звезды будут светить всегда, поверхностная яркость неба невелика и не возникает парадокс Ольберса. Иерархия такова, что вириальная скорость в скоплениях радиуса R равна v20cMiR, независимо от R. Таким образом, хотя масса Вселенной бесконечна, пекулярные скорости не обязательно велики. Это снимало одно из возражений Эйнштейна против бесконечной квазистатической Вселенной. Кроме того, было установлено, что модель Фурнье д'Альбе хорошо описывает наблюдаемое скучивание галактик на малых масштабах. Этот факт обсуждается в гл. III. Эйнштейн [93] понимал, что картина иерархического скучивания (в том виде, как ее вновь обсуждал Шарлье [39, 40]) совместима с общей теорией относительности, но не согласуется с его интерпретацией принципа Маха. Как уже упоминалось в предыдущем разделе, иерархическая модель противоречит последним наблюдениям, а модель Эйнштейна является приемлемым первым приближением для масштабов, больших чем 10 Л-1 Мпс.
Б. Космологический принцип. Милн [250] первым обратил внимание на то, что хотя закон Хаббла (скорость космологического разбегания галактик пропорциональна расстоянию до них) и был выведен из релятивистской модели мира, его нельзя считать доказательством этой модели, поскольку однородность и изотропность Вселенной допускают только такую зависимость скорости разбегания от расстояния. (Исключительно четкое объяснение этого факта дано Милном в 1934 г. [252].) Милн предположил, что этот результат можно обобщить и что космологию можно более или менее полно построить, исходя из общих принципов и подобных соображений.
Говоря об однородности, Милн употреблял выражения: «расширенный принцип относительности», «космологический принцип Эйнштейна» и скоро остановился на термине «космологический принцип». Он, безусловно, полагал, что этот принцип обладает значи-
тельной априорной философской ценностью, возможно даже, он логически необходим для определения понятия Вселенной3. Программа Милна не встретила поддержки, хотя она была важной предшественницей модели стационарной Вселенной. Термин Милна «космологический принцип» был быстро принят как простой способ сформулировать и узаконить центральное предположение космологии. Например, он появляется во введении в работах Робертсона [345], Уокера [430] и не так явно в работе де Ситтера [63]. В наше время космологический принцип прочно входит в науку.
Наиболее интересными из первых откликов па идеи Милна были замечания Дингля [67, 68]. Он (и другие) возражал против уподобления космологического принципа закону природы: «принцип, приравниваемый по своему значению принципу относительности, должен быть универсальным», по крайней мере, как заметил Дингль, для значительного круга явлений [67, р. 173]. Принцип же однородности можно применять только после усреднения по большому числу галактик. Дингль обратил внимание на то, что уравнения поля Эйнштейна допускают очень неоднородные решения, и он считал вполне возможным, что 《в результате увеличения мощности телескопов будет обнаружено изменение плотности вещества с расстоянием». Кроме того, он отметил, что свидетельства в пользу изотропности красных смещений галактик еще далеко не полны, так как отсутствуют наблюдения в южном полушарии. Странно, что он нс упомянул подсчеты галактик, хотя должен был знать о состоянии работы Хаббла, так как в то время был в Пасадене.
В. Неустойчивость Вселенной, Если симметрия Вселенной не связана с каким-либо принципом, то законно спросить, всегда ли существовала симметрия и будет ли Вселенная всегда так же близка к однородной, как теперь? Развитие соответствующих идей можно проследить в прошлом вплоть до работы Эйнштейна, написанной в 1917 г.
Эйнштейн принял как нечто само собой разумеющееся, что Вселенная является статической. Но тогда уравнения общей теории относительности в том виде, в каком они были сформулированы первоначально, требуют, чтобы давление было отрицательным: р = ——рс2/3 (так что эффективная плотность гравитирующей массы, связанная с давлением, нейтрализует действие р). Чтобы избежать этого, Эйнштейн изменил уравнения гравитационного поля, введя универсальное космологическое отталкивание, которое пропорционально расстоянию и определяется космологической постоянной Л. При |р|「《рс2 статическая модель требует (разд. 97) 4лбр = Л.(3.1)
3 Милн [251, р. 185]. В своей книге [253] Милн, отчасти отвечая на замечания Дингля, осмотрительно сформулировал космологический принцип как предположение или аксиому, хотя он все-таки считал, что этот принцип необходим для интеллигибельной Вселенной.
Прошло почти 20 лет, прежде чем Толмен ясно показал, что есть серьезная проблема: модель неустойчива. В общих чертах суть дела раньше почувствовали Вейль [438] и Эддингтон [78], которые обнаружили, что физическая переменная -- плотность р — приравнивается постоянной природы. Что произойдет, если вещество перераспределится или если часть его превратится в излучение в звездах, приведя к изменению <р>?
В 1930 г. Эддингтон узнал о работе Лемстра [218], в которой изучались модели эволюционирующего мира, и понял, что она отчасти дает ответ на этот вопрос. Если в модель Эйнштейна ввести небольшое возмущение, такое, чтобы средняя плотность стала немного меньше A/4jiG, то Вселенная расширится, плотность упадет и расширение еще более ускорится. Если же в модель Эйнштейна ввести возмущение, такое, чтобы р превышало A/4jiG, то она сожмется.
Вначале Леметр и Эддингтон считали, что Вселенная расширяется, все дальше отходя от модели Эйнштейна, и в 1930 г. Эддингтон предположил, что в исходном мире Эйнштейна равенство (3.1) было нарушено и началось расширение вследствие возмущений, вызванных образованием галактик в результате «обычной гравитационной неустойчивости». В течение нескольких последующих лет эти предположения довольно широко обсуждались, причем в основном Мак-Кри и Мак-Витти ([239], здесь же ссылки на более ранние работы), которые пытались решить, действительно ли конденсация вещества в галактики неизбежно приводит к общему расширению, а не к сжатию. Однако задача скоро утратила популярность, так как все внимание привлекли модели, не связанные с идеями Эйнштейна,
Сгусток вещества, из которого образуется галактика, Мак-Кри и Мак-Витти аппроксимировали с помощью сферически симметричного распределения. Этот прием очень удобен, потому что, сохраняя математическую простоту, он позволяет описывать по крайней мере в общих чертах такую конденсацию вещества, как галактика. Леметр [219——221] нашел самое главное упрощение: если давлением можно пренебречь, то каждый слой вещества движется так же, как и в некоторой однородной модели мира. (Конечно, когда слои пересекаются, движение каждого соответствует движению в измененной космологической модели.) В результате исследование законов эволюции возмущений плотности упрощается: поведение каждого слоя нс зависит от поведения остальных .
Леметр подчеркивал, что этот результат, который на первый взгляд мог бы показаться удивительным, на самом деле очевиден, по крайней мере для мелкомасштабных образований, потому что
релятивистское описание небольшой области эквивалентно пределу слабого поля, т. е. эквивалентно ньютоновскому описанию. Более глубоко, чем у «Деметра, это соображение можно раскрыть следующим образом [34]. Пусть масса Al(Vr) в шаре с физическим радиусом г удовлетворяет условию GM (<Zr)/гс2^ 1, и пусть эта масса временно удалена. Тогда, согласно более ранней работе Леметра [219], пространство,внутри полости описывается так: по теореме Биркгоффа [16, р. 253], которая обобщает теорему Ньютона о притяжении сферического слоя, пространство должно быть плоским и на него не должно влиять вещество, находящееся вне полости. Теперь массу М(<г) можно поместить в это плоское пространство и описывать ее в ньютоновском приближении, поэтому из теоремы о притяжении сферического слоя, если ее применить снова, следует, что ускорение поверхности сферы такое же, как в случае, когда масса М(<г) равномерно распределена по г. Таким образом, движение поверхности шара должно согласовываться с движением некоторой однородной модели мира, давление в которой равно нулю. (Более общее обсуждение физики ньютоновской гравитации в релятивистской космологии дано в разд. 6 и 84.)
Толмен [412] рассмотрел некоторые интересные следствия решения Леметра . Например, статическая модель мира Эйнштейна подвержена неустойчивости более общего типа, чем отмечали Ле- метр и Эддингтон. Так, если бы в начальной статической модели мы перенесли часть вещества из одной области в другую, то более плотная область стала бы сжиматься, а менее плотная ——расширяться и Вселенная постепенно стала бы очень неоднородной. Тол- мен обнаружил также, что и в расширяющейся в целом Вселенной, вследствие того что различные слои вещества могут эволюционировать независимо, безусловно, нет «общих гравитационных механизмов, которые с необходимостью вели бы к исчезновению неоднородностей в космологических моделях» [412, р. 175]. Как заметил Дингль, эйнштейновские уравнения гравитационного поля не гарантируют того, что скорость расширения разных областей будет одинаковой, и даже того, что все части Вселенной будут расширяться (что наблюдается), а не сжиматься. Толмен обратил внимание на то, что этот вывод может быть изменен из-за влияния «неоднородностей более радикального вида», чем сферически симметричные, и что, возможно, негравитационные силы поддерживают однородность. Поскольку не исключено, что такие эффекты
будут обнаружены, Толмен сделал вывод, что необходима осторожность при экстраполяции наблюдаемого строения «нашей окрестности» на большие расстояния или на далекое прошлое и будущее . Подобные же опасения были высказаны в его книге и противопоставлены взглядам Милна, «который считал однородность Вселенной фундаментальным принципом» [413, р. 364].
Стоит подчеркнуть смысл замечания Толмена. Например, возможно, что часть Вселенной, которую мы видим в северном полушарии, с самого начала расширения была немного плотнее, чем в среднем, так что она расширяется в течение 1010 лет, а затем будет сжиматься, тогда как часть Вселенной, которую мы видим в южном полушарии, была чуть менее плотной, чем в среднем, и поэтому будет расширяться неограниченно. В соответствии с современным пониманием физических принципов, такая модель Вселенной возможна, но она выглядела бы заметно иначе, чем реальная Вселенная.
Как эволюционирует сильная начальная неоднородность? Легко разобраться в следующей модели. Пусть в некоторый очень ранний момент времени 育 Вселенная всюду однородна и изотропна, и пусть плотность и скорость расширения везде одинаковы, за исключением сферической области радиуса r>ct「Если двигаться к центру области, то плотность становится большой, а пространство-сильно искривленным, так что, если только условия не подобраны специально, пространство скоро коллапсирует вплоть до появления сингулярности. Как эволюционирует пространство вне этой области? Согласно теореме Биркгоффа, не поступает гравитационных сигналов о том, что происходит внутри, и если，t>cft, то и давление не дает таких сигналов, поэтому внешняя область не подвержена влиянию внутренней и эволюционирует как однородная модель (разд. 87). Если бы в современную эпоху область радиуса % вошла под горизонт, мы увидели бы, что вещество в ней сжато в центральной области, которая, возможно, окружена пустотой (хотя, может быть, эта пустая зона на самом деле заполнена в результате взаимодействий с соседними неоднородностями). Наблюдения маломассивных черных дыр не представляют трудности, но отсутствие черных дыр экстремально больших масс можно объяснить только таким же способом, каким мы объясняли отсутствие больших флуктуаций плотности на огромных масштабах, предположив, что они нс появились потому, что таковы были начальные условия.
Важная сторона проблемы состоит в том, что если в модели провести световой конус назад в прошлое до сингулярности, то он будет охватывать лишь ограниченную часть вещества во Вселенной. Видимая часть вещества возрастает со временем, а при О она стремится к нулю. Далекая галактика с большим красным смещением находится вблизи нашего горизонта, а в прошлом она была бы не видна из того места, где мы находимся (если только нет способов, позволяющих световым лучам проходить через сингулярность). Если причинная связь начала устанавливаться с момента, когда Вселенная стала расширяться, то раньше галактики с большими красными смещениями не были связаны ни с нами, ни с галактиками, лежащими в других областях неба. Как же объяснить, что галактики с большими красными смещениями выглядят как обьЕЧные галактики? И как объяснить удивительную однородность распределения микроволнового реликтового излучения, приходящего из тех областей, которые никак не сообщались друг с другом с самого начала расширения Вселенной?
Де Ситтер [60] отметил, что горизонт проявляется в его решении. Толмен [413] получил эффект горизонта для моделей Фридмана—Леметра, но он указал, что в связи с этим возникают проблемы концептуального характера. Милн [253, § 463—474] обсуждал этот эффект подробно, в основном как довод против релятивистской космологии. Интерес к этой проблеме возрождался в связи с теорией стационарной Вселенной и новым анализом, выполненным Риндлером [343]. Мизнер [254, 255] и Мак-Кри [238] подчеркивали значение проблемы причинности, и Мизнер предложил оригинальное решение: горизонт был бы разрушен, если бы ранняя Вселенная совсем не была похожа на обычную модель, а была хаотичной. Как заметил Толмен, может быть, неоднородности 《более радикального типа» способствовали появлению однородности. Эта идея и модель однородного анизотропного мира, с помощью которой Мизнер пояснял эту идею, были важными стимулами исследований, но их следует применять осторожно, так как сферическая модель, безусловно, учит тому, что гравитация содействует развитию неоднородностей, а не ведет к однородности. Если ранняя Вселенная была хаотичной, то как ей удалось избежать хаоса черных дыр?
В настоящее время аргументы, которые Толмен привел в 1934 г., кажутся обоснованными, а его идеи стимулировали изучение некоторых интересных проблем. Должна ли Вселенная быть однородной? Всегда ли она будет такой? Так случилось, что эти вопросы
привлекали мало внимания, а основное внимание уделялось однородным моделям, их относительным достоинствам и недостаткам, возможным тестам для них. Космологический принцип (и полный космологический принцип) выполнял полезную функцию, ограничивая дискуссию в рамках нескольких четко сформулированных проблем, которые нужно изучать. С другой стороны, возводя однородность в принцип, исследователи, как правило, упускают из виду те важные эмпирические и теоретические проблемы, которые стоят за этим принципом.
В настоящее время сложилась любопытная ситуация. Эйнштейн предсказал крупномасштабную однородность Вселенной, и достижения наблюдательной астрономии в основном согласуются с этим предсказанием. Идея Эйнштейна была заложена в основу космологического принципа и сыграла центральную роль в космологии. Но с помощью современной динамической теории, по-види- мому, нельзя объяснить эту однородность. Мы не можем сказать, была ли идея Эйнштейна счастливой догадкой или глубоким пониманием того, какой должна быть Вселенная. В настоящее время, видимо, следует принять однородность как начальное условие или, следуя Милну, предположить, что однородность нужно отнести к принципам физики.
Как образовались галактики и скопления галактик?
А. Роль гравитации. Леметр [220—222] указал, что если эволюционирующая однородная и изотропная модель мира является допустимым первым приближением, то следующий шаг состоит в том, чтобы объяснить отклонения от однородности, проявляющиеся в виде галактик или скоплений галактик. Как и Джинс [196], он предположил, что в отдаленном прошлом вещество распределялось в пространстве однородно и что в результате гравитационной неустойчивости распределение распалось иа отдельные туманности. Джинс предполагал, что размер каждого фрагмента сравним с критической длиной Джинса (т. е. минимальной длиной, на которой собственная гравитация развивающейся неоднородности превышает градиент давления, противодействующий силе тяготения). Он считал само собой разумеющимся, что плотность Вселенной не зависит от времени. По этому поводу Джинс цитировал Ньютона:
《Мне кажется, что если бы вещество нашего Солнца и планет и все вещество Вселенной было равномерно рассеяно по всему небу и каждая частица обладала бы врожденным тяготением ко всему остальному и если бы все пространство, внутри которого это вещество рассеяно, было конечным, то все вещество с наружной стороны от этого пространства под действием гравитации устре-
мил ось бы к веществу, находящемуся внутри, и в результате упало бы на центр всего пространства, где и образовало бы одну гигантскую сферическую массу. Но если бы это вещество было равномерно распределено в бесконечном пространстве, то оно никогда не собралось бы в одну массу, часть его объединилась бы в одну массу, другая часть — в другую, так что образовалось бы бесконечное число больших масс, отстоящих друг от друга на большом расстоянии и рассеянных по всему этому бесконечному пространству. Быть может, именно таким образом сформировались Солнце и неподвижные звезды, если допустить, что нам ясна природа вещества, существовавшего в то время.》
В 1917 г. Эйнштейн [92] и многие другие сознавали, что модель Джинса со статическим однородным ньютоновским фоном непоследовательна. В релятивистских моделях мира Леметр нашел более точную теоретическую основу. Сначала он предположил, что можно проследить, как в далеком прошлом расширение Вселенной началось со статической модели Эйнштейна, но вскоре обратился к своей модели (теперь называемой моделью Леметра) [220], в которой предполагается, что сначала Вселенная расширяется из плотного состояния, затем расширение замедляется до тех пор, лока гравитация и космическое отталкивание почти не уравновесят друг друга. В этом квазистатическом состоянии Вселенная пребывает некоторое довольно длительное время, а затем снова начинается расширение, потому что А превосходит член, включающий р. Одна из причин, вследствие которой Леметр отдавал предпочтение этой модели, очевидно, состоит в том, что в модели есть выделенная эпоха, в течение которой образуются структуры. Леметр предполагал, что на плотной ранней стадии в распределении вещества существовали небольшие возмущения. В той области, где плотность (определенная в момент времени, когда локальная скорость расширения равна некоторому заданному значению) немного выше чем в среднем, вещество может дольше задержаться в квазистатической фазе, а там, где начальная плотность достаточно велика, область даже станет сжиматься, вместо того чтобы возобновить общее расширение. Такая сжимающаяся область в конце концов станет галактикой. В больших объемах, содержащих много протогалактик, начальная флуктуация плотности должна быть меньше, и существуют районы, где флуктуация как раз такова, что в течение длительного времени область остается на квазиравновесной стадии. Леметр отождествлял эти области со скоплениями галактик. Для таких областей условие равенства гравитационного притяжения и космологического отталкивания дает р〜(4jiG)t А [уравнение (3.1)]. Это — предсказываемая
плотность внутри скопления галактик, т. е. наименьшая плотность в устойчивых системах. Леметр [222] утверждал, что существовавшие в то время оценки // и А дают такую предсказываемую плотность, которая вполне допустима для характерной плотности в скоплении.
Подход Леметра был феноменологическим. Его интересовало, могут ли небольшие начальные флуктуации в ходе эволюции превратиться в возмущения, соответствующие в некоторых отношениях наблюдаемой картине. Вопрос же о происхождении начальных флуктуаций Леметр оставлял для более серьезной теории. Проблема объяснения того, как произошли галактики и скопления галактик, безусловно, заслуживает внимания, и общий подход к проблеме, сформулированной Леметром, представляется весьма полезным в настоящее время: именно он является темой этой книги. Как ни странно, в 1930-е годы эти идеи Леметра почти не обсуждались и не оказали заметного влияния на развитие космологии в последующие несколько десятилетий. Одна из причин состояла в том, что Леметр стремился соединить эти идеи со своей моделью, тогда как многие космологи изучали другие модели и приводили доводы в пользу того, что постоянную А нужно исключить. Другая причина заключалась, конечно, в том, что опасались, как бы не собрались тучи над однородными моделями.
Следующим важным достижением было общее исследование линейных возмущений в модели Фридмана——Леметра, выполненное в 1946 г. Е. М. Лифшицем [227]. К сожалению, Лифшиц не изучил в деталях объединение предельного закона роста возмущений при больших красных смещениях (в качестве которого он принял релятивистское уравнение состояния р = рс2/3) с решением для "《рс? при малых красных смещениях. Поэтому он пришел к следующему выводу: «можно, по-видимому, считать, что гравитационная неустойчивость не может служить источником распадения материи на отдельные туманности» [227, стр. 587]. И. Д. Новиков [269] первый указал, что это не совсем правильно.
Следующее эвристическое рассуждение поясняет, как возникла и решается эта проблема. Рассмотрим расширяющуюся плоскую или почти плоскую космологическую модель с А = 0. В таком случае характерное время сжатия или расширения равно
/〜(Ср)». (4.1)
Если скорость звука в веществе равна cs (мы будем полагать, что вещество ведет себя подобно идеальной жидкости), то критическая длина Джинса (разд. 16) равна
九」〜с』 (4.2)
Если флуктуация плотности охватывает область, размер которой меньше 九」，то время распространения звука r/cs короче времени сжатия, так что флуктуация колеблется так же, как звуковая
волна. Если r>Xj, то сила гравитации преобладает и флуктуация может расти. Отметим в частности, что если во Вселенной доминирует излучение (р = рс2/3), то скорость звука равна с/З% и длина Джинса сравнима с расстоянием до горизонта:
大J~從Р ~р卢(4.3)
Теперь рассмотрим область размером г«), в которой флуктуация плотности равна бр/р = б (/). Если р = рс2/3 и r》cf, то, применяя линейную теорию возмущений, находим, что амплитуда флуктуации плотности растет по закону Oocf (разд. 86), а г растет почти в соответствии с общим расширением:尸(/) oca(f) ос%%. Если же р = 0, то бос尸/з и roca(f)ocf2/3 (разд. 11). В любом случае потенциальная энергия, приходящаяся на единицу массы флуктуации, равна
中巒〜GbM[r 〜Gp6r2 〜6 (r/ct)2 f2.(4.4)
Используя приведенные выше результаты, находим, что 屮 не зависит от времени. Возмущение геометрии пространства, обусловленное флуктуацией плотности, по порядку величины равно безразмерному потенциалу ф. Поэтому 中 должно быть много меньше единицы, чтобы линейная теория возмущений была применима. Но тогда из уравнения (4.4) следует, что б《1 при г = ct, т. е. когда размер флуктуации оказывается равным расстоянию до горизонта, амплитуда флуктуации 6 должна быть малой. После этого момента rVAj 〜с/ (если p = pt?2/3), так что 6 должно колебаться подобно звуковой волне: флуктуация не может сильно вырасти. Тем не менее И, Д. Новиков отметил, что если р-> 0 и г все еще больше с/, то б может продолжать расти после того, как размер флуктуации окажется равным расстоянию до горизонта, н в конце концов возмущение может превратиться в устойчивую систему (6^1). Когда это произойдет, энергия объекта будет равна Е 〜——(рс2. Поскольку мы требуем, чтобы #《1, объект будет нерелятивистским, что нам и надо.
Сферическое решение Леметра дает другой полезный метод, позволяющий описывать эволюцию возмущения. Предположим, что градиентами давления можно пренебречь. Для этого случая Ле・ метр показал [220, 221], что возмущенная область ведет себя подобно части однородной модели мира. Если А = 0, то космологическое уравнение записывается в виде
Q/Q2 = 8/зпОр 一(〃м)2,(4.5)
где кривизна сопутствующего пространства равна
Rp = Ra (f),(4.6)
причем R = const. Предположим, что R~2 положительно, и, следовательно, энергия области отрицательна. Масштабный фактор можно согласовать с собственным радиусом возмущенной области: г(/) = q ⑺.(4.7)
3 Заказ № 82
Тогда отношение размера области к пространственной кривизне этой области равно
尸⑴/&(/) = ” (4.8)
Если это число ма;ю, то искривленное пространство внутри области можно сравнить с «морщинкой» на геометрии фона. Если же RT 〜1, то это возмущение можно уподобить складке (рис. 87,1). Заметим, что R~{ не зависит от времени, и, следовательно, возмущение геометрии нс меняется: «морщинка» остается «морщинкой^ (до тех нор, пока применима простая сферическая модель). Такая неизменность кривизны соответствует результату 屮=const [уравнение (4.4) ] в линейной теории возмущений.
Когда область перестает расширяться (т. е. da/d/ = 0), из уравнений (4.5) и (4.7) находим, что радиус области в этот момент равен
. rm~ c(G^)-{l2ir^ ctmR-\ (4.9)
Это соотношение определяет связь между временем tm [формула (4.1)], когда объект начал сжиматься, радиусом объекта гт в этот момент времени и параметром R-* который определяет возмущение геометрии. Для галактик и скоплений галактик rm^.ctm, поэтому /?-1<С 1. Таким образом, эти объекты формируются из «морщинок» на общей геометрии фона (4.8). Это соответствует условию (р <С 1-
Эти рассуждения показывают, что мы можем полагать, как отметил Леметр, что в ранней Вселенной небольшие возмущения плотности росли и в результате превратились в такие четко выраженные неоднородности, как галактики. Однако лишь позже стало окончательно ясно, что в этой картине необходимо ввести гипотезу о том, что во Вселенной существовали первичные «морщинки》 | 269, 293].
На другой важный результат, полученный в линейной теории возм^^щенпй, было указано в работах Лифшица [227] и Боннора [22——24]. В модели Эйнштейна ——де Ситтера флуктуация плотности растет по закону f, т. е. гораздо медленнее, чем при экспоненциальном росте, который обычно ассоциируется с неустойчивостью. В качестве примера Боннор отметил, что если начать с 九=1 с, то бр/р увеличивается в (h/ti)2p^ Ю12 раз. Если же при ti вещество существовало в виде атомов водорода, распределенных равномерно случайным образом, то флуктуации плотности в масштабе большой галактики (10й М, ^ 10е8 атомов) были бы равны 6p/pz 〜N-%〜10-34. Таким образом, коэффициент усиления возмущений на много порядков меньше необходимого.
Хотя па всех этапах расчеты Боннора верны, его вывод можно пересмотреть. Выбранный момент 厶=1 с — впечатляюще малое значение, но тем не менее мы должны предположить, что Вселенная родилась не в этот момент и что у нее, а также у неоднород-
костей плотности была еще более ранняя история. Если оказалось, ЧТо на выбранной гиперповерхности Л = 1с бр/р согласуется со значением 加~」产 для термодинамических флуктуаций, то флуктуации плотности в более ранние моменты 力《ic были либо значительно больше, либо существенно меньше (в зависимости от начальных скоростей). Оба случая были бы загадочными. С другой стороны, если задана величина (6р/р)з то всегда можно выбрать достаточно малое /：, гарантирующее желаемое усиление, такое, чтобы флуктуации стали похожи на флуктуации, которые существуют в настоящее время [261, 295, 450]. Но в конце концов вообще нет причины полагать, что в какой-то момент времени (6p/p)i было равно 〜“-'. Хотя время релаксации могло быть очень коротким, максимальное расстояние, на котором частицы или энергия могли перераспределяться, ограничено горизонтом, который при 力=1с охватывал примерно столько барионов, сколько содержит лишь Солнце. Итак, мы не знаем, как на ранних стадиях расширения устанавливались начальные условия за пределами горизонта, и поэтому не можем определить коэффициент усиления в картине гравитационной неустойчивости. Мы не знаем, могли ли галактики сформироваться в этой картине.
В 1950-е годы и в начале 1960-х годов космологи, как правило, соглашались с выводами Лифшица и Боннора. Возможно, наибольшее влияние эти выводы оказали на идеи Гамова. Еще раньше он стал придерживаться картины гравитационной неустойчивости и вместе с Теллером [125] дал эвристический анализ гравитационной неустойчивости. Как вспоминает Дж. А. Уилер, работа Лифшица произвела сильное впечатление на Гамова, и он быстро согласился с ней. Очевидно, этому способствовали результаты вычислений, проделанных Гамовым вместе с Уламом и Мет- рополисом (результаты были приведены в докладе Гамова в 1952 г., но не были опубликованы). Затем Гамов обратился к гипотезе первичной турбулентности (см. п. 4Д).
Конечно, картина неустойчивости не была отброшена в 1950-е годы. Например, Хойл [173] использовал ее как аргумент против модели расширяющейся Вселенной: можно было бы предположить, что мы должны видеть плотные области, оставшиеся от очень ранних эпох, поскольку, как убеждал Хойл, расширяющаяся Вселенная неустойчива. Райчаудури [337], используя сферическую модель, утверждал, что можно найти золотую середину между результатами Хойла и Лифшица.
Хорошей иллюстрацией весьма запутанного состояния дел служит дискуссия, состоявшаяся в 1958 г. на Сольвейевской конференции, посвященной строению и эволюции Вселенной. В докладе о состоянии теоретических вопросов космологии Адамс, Мьелснесс и Уилер [3] приняли точку зрения Лифшица и предположили, что конденсации вещества, подобные галактикам, образовывались «на стадии сжатия по мере приближения к концу предыдущей фазы
3* .
осцилляций» Вселенной. Лсметр [223] изложил свои идеи о том, как образуются скопления (в том числе и предположение, что галактики в скоплении постоянно замещают друг друга: одни входят в него, другие его покидают; долгое время эта концепция казалась неперспективной). Леметр отметил, что Бошюр работал над этой темой, но никак не прокомментировал те возражения, которые выдвигали Бошюр и Лифшиц. Хойл [175, р. 61] говорил, что картина неустойчивости не слишком перспективна:
«Образование галактик приводит к „чюбопытной проблеме, так как Вселенная соединяет в себе и расширение, и конденсацию. Это очевидное противоречие преодолевается в космологии Леметра благодаря тому, что формирование галактик протекает в эпоху, когда Вселенная была квазистационарной. Никакие подобные условия не введены в другие варианты релятивистской космологии, а проблема происхождения галактик обходится стороной с помощью довольно туманной идеи, согласно которой внутри расширяющегося космологического вещества существовали острова более высокой плотности. Предполагается, что на определенной стадии эти острова оторвались от общего расширения и сконденсировались в звезды. Как и почему произошла эта конденсация, предоставлено решать столь же туманному условию».
Хойл предположил, что в стационарной модели Вселенной га- /актнки могли образоваться вследствие тепловой неустойчивости： там, где плотность оказалась выше средней, время остывания меньше, поэтому здесь давление падает и градиент давления собирает больше вещества, усиливая неоднородность. Оорт [277] плохо знал обо всех этих спорах вокруг гравитационной неустойчивости. В своем докладе он рассмотрел приемлемые механизмы образования в расширяющейся Вселенной системы, подобной спиральной или эллиптической галактике, или скопления галактик. Оорт не пользовался общепринятой терминологией, но если сформулировать его результаты на языке этой терминологии, то он пришел к выводу, что системы, подобные скоплению в Деве, могли образоваться вследствие гравитационной неустойчивости, тогда как для спиральных галактик необходим какой-то добавочный процесс типа первичной турбулентности, чтобы объяснить их вращение.
Идеи Оорта об образовании скоплений были подхвачены ван Албадой [423], который рассмотрел эволюцию одночастичной функции распределения F (г, v, £) в самосогласованном сферически симметричном потенциале (р (г, /). Ему удалось найти численное решение, которое в начале было почти однородным и расширялось так же, как вся Вселенная, но в конце эволюции ход плотности в решении воспроизводил распределение вещества в скоплении, и, кроме того, воспроизводилась наблюдаемая тенденция, состоящая в том, что дисперсия скорости вдоль луча зрения уменьшается при увеличении расстояния от скопления в про-
екции. Интересно читать в трудах конференции «Проблемы внегалактических исследований», состоявшейся в 1961 г., энергичные возражения против подхода ван Албады. Эти возражения основывались на том, что в расширяющейся Вселенной скорость роста неоднородностей низка [424, р. 427]. Ван Ллбада отвечал, что в решениях распределение галактик тем не менее изменяется от почти однородного в начальный момент времени до сильно скученного в конце и что конечное состояние обладает некоторым сходством с реальным скоплением. Эта позиция вызывает в памяти первоначальное намерение Леметра выяснить, существует ли непротиворечивый сценарий эволюции, который соответствовал бы наблюдаемой картине. Как уже отмечалось, в сущности, возражения выдвигались потому, что если бы была справедлива картина гравитационной неустойчивости, то она должна была бы дать теорию происхождения галактик, а в существующей фундаментальной теории это не так ——мы все еще имеем дело с феноменологическим подходом.
Б. Скучивание без выделенных величин. Физика гравитации при А=0 не содержит какие-либо фундаментальные величины, обладающие размерностями длины, времени или массы, а постоянная G позволяет построить лишь разновидности одного безразмерного соотношения типа GM/rc2 или Gp®. Модель Эйнштейна—де Ситтера (А = .р = R^2 = 0) также нс содержит каких-либо фиксированных значений. Поэтому не удивительно, что в этой модели безразмерная флуктуация плотности бр/р растет со временем по степенному закону и в то же время сохраняет первоначальную форму, какой бы она ни была (это относится к чистой моде; разд. 11). Дело в том, что этот закон является единственной возможной функциональной зависимостью. Так, соотношение 6р/рос ос ехр [Z/т], на которое часто указывали как на желаемое, не применимо, поскольку в него входит величина т, не существующая в теории. Следовательно, нельзя надеяться на то, что в такой модели нам удастся предсказать массы систем, начинающих сжиматься, или моменты времени, когда это происходит. Хотя непосредственно сама эта проблема о'бсуждалась нечасто, ее сущность, должно быть, ясна многим (если судить по большому числу схем, предлагавшихся, чтобы ввести некоторые характерные величины). Эту проблему можно рассматривать как одну из причин того, что картина неустойчивости считалась неудовлетворительной. Это видно, например, из приведенного выше высказывания Хойла или из подробных обсуждений в работах Харрисона [153, 154].
Наше обсуждение можно продолжить в двух направлениях. Во- первых, можно рассмотреть, как действие гравитации сопровождается другими эффектами, например давлением жидкости, которое вместе с тяготением даст характерные величины, подобные длине Джинса. Это направление рассматривается ниже, в следующем пункте. Во-вторых, можно было бы привести доводы (в силу необходимости) в пользу того, что поиск характерных значений является лишь частью проблемы, причем, вероятно, даже пе главной. Если фундаментальная теория дает длину ~10 кпс, отвечающую номинальным размерам больших галактик, то нужно еще объяснить тесные группы галактик диаметром, вероятно, 100 /г、кпе, плотные области богатых скоплений, размер которых 〜1 九一 Мпс, и наблюдаемую картину скучивания, которая продолжается на масштабах, больших этого значения, по крайней мере до 40 hr* Мпс. Если бы теория предсказывала экспоненциальный рост бр/р со временем, то у нас было бы характерное время, но проблема, вероятно, опять оказывается более глубокой, чем просто определение характерного времени. Большие галактики обычно старые, поэтому хотя среди них, быть может, есть молодые объекты, эпоха образования галактик, вероятно, в значительной степени уже позади. С другой стороны, возмущение плотности в каком-либо сверхскоплении, состоящем из скоплений Эйбелла, не очень велико. Поэтому если Вселенная действительно расширяется и эволюционирует, то только совсем недавно эти системы могли всего лишь начать сжатие.
Конечно, характерные величины важны: галактики выглядят как вполне конкретные объекты с определенными свойствами, которые и необходимо объяснить. Однако непрерывность явлений служит, возможно, более существенным фактором. Хотя галактика очень отличается от сверхскопления галактик, оба этих образования можно рассматривать как экстремальные в непрерывном ряду объектов. Подобно тому как можно проследить непрерывный переход от газообразной фазы к жидкой, можно найти и примеры галактик с двойными и кратными ядрами, компактные пары галактик, компактные группы, более рыхлые и более населенные ассоциации галактик и так далее — более или менее непрерывный спектр.
Карпентер [36] отметил, что на имеющем сильный разброс графике зависимости радиуса скопления от средней пространственной плотности объектов в нем имеется довольно четкая верхняя граница, которая соответствует наиболее плотным скоплениям данного радиуса. Пространственная плотность этих скоплений связана с радиусом соотношением
п (г) ос r-Y. (4.10)
На основе этого соотношения Карпентер предположил, «что нет существенного различия между большими богатыми скоплениями
и маленькими рассеянными группами. Более того, объекты, которые обычно считались физическими сгущениями, являются всего лишь предельными случаями неоднородного, хотя и не случайного распределения, которое ограничено по пространственной плотности и по населенности. С этой точки зрения термин «сверхгалактика» представляется сомнительным, поскольку он предполагает особую логически последовательную единую структуру, в своей основе более высокого порядка, чем сами отдельные галактики» [36, р. 355]. Де Вокулер [64—66] пересмотрел соотношение Карпентера и установил, что показатель степени равен
Y=l,7・ (4.11)
Де Вокулер отметил, что типичные радиусы и пространственные •плотности галактик удовлетворяют этому соотношению, но он оставил открытым вопрос о том, существует ли естественное разделение или разрыв в спектре скучивания между галактикой и компактной группой, между компактной группой и богатым скоплением и т. д. Если такие разрывы существуют, то мы имеем дело с набором физически значимых длин, а в противном случае — с явлением непрерывного скучивания.
Кианг [202] пришел к концепции непрерывного скучивания в результате попыток смоделировать распределение галактик и богатых компактных скоплений Эйбелла. Кианг оценил автокорреляцию подсчетов скоплений Эйбелла, причем подсчеты производились по сетке ячеек на небесной сфере. Он сравнил полученные результаты с моделью Неймана и Скотт, согласно которой скопления образуют сверхскопления, в которых их распределение подчиняется закону Гаусса, а сами сверхскопления распределены в пространстве равномерно случайно. Кианг нашел, что наилучшее значение радиуса свсрхскопления (ширина распределения Гаусса) меняется вместе с углом 9 корреляционной функции, при котором модель была подогнана к данным наблюдений: модель гауссова сверхскопления не воспроизводит форму автокорреляционной функции скоплений. Раньше Нейман, Скотт и Шайн [266] столкнулись с этой же проблемой, пытаясь привести гауссову модель скучивания галактик в соответствие с автокорреляционной функцией галактик Ликского каталога. Они предположили, что, возможно, существует объяснение скучивания скоплений галактик, и заметили также, что если в модели скопления заметно перекрываются, то понятие об отдельном скоплении может быть всего лишь удобным, но слишком упрощенным построением. Кианг был более последователен: если нет подходящего значения для стандартного уклонения о в модели гауссова скучивания, то, вероятно, необходимо рассмотреть «гипотезу о том, что скучивание галактик происходит на всех масштабах» без «выделенных размеров» [202» Р- 17].
Такой же точки зрения придерживались Тоцуи и Кихара [419], которые обратили внимание на то, что корреляционная функция галактик 貝尸)[уравнение (2.2)], полученная Нейманом, Скотт и. Шайном по данным Ликского каталога, аппроксимируется степенным законом при 1О'《8《3°. Они проверили эти результаты с помощью собственных оценок корреляционной функции при 0— 1 и 3°. Тоцуи и Кихара отметили, что если угловая корреляционная функция близка к степенному закону, то для моделирования формы скоплений или для аппроксимации пространственной корреляционной функции не очень удобно пользоваться функцией Гаусса и экспонентой, как это делали раньше [230, 267, 346], поскольку в этих функциях фигурируют характерные длины. Тоцуи и Кихара получили приближенный степенной закон
Н ос r-\ Y «1,8. (4.12)
Независимо было обнаружено [309, 310], что это выражение справедливо и для галактик из каталога Цвикки [460]. Подобно закону Карпентера (4.10), это соотношение, несомненно, согласуется с представлением о том, что в широком диапазоне скучивания отсутствует выделенный масштаб.
Автокорреляционная функция является полезной мерой, характеризующей природу распределения галактик, но она, конечно, несет лишь очень ограниченную информацию, поэтому интерпретация данной корреляционной функции 己(尸)не может быть однозначной. Один из последовательных способов получения более детальной информации состоит в том, чтобы исследовать корреляционные функции постепенно возрастающего порядка. Как будет описано в гл. III и IV, этот метод оказывается вполне подходящим как для обработки данных, так и для теоретического анализа динамики скучивания. Трехточечная корреляционная функция галактик изучена довольно подробно, кроме того, имеются общие оценки четырехточечной функции. Эти результаты (разд. 61) хорошо согласуются с представлениями Фурнье дтАльбе [114] о масштабноинвариантной иерархии скучивания (п. ЗА): если распределение рассматривается с разрешением г, то кажется, что вещество сосредоточено в областях размером 〜г с характерной пространственной плотностью
и (г) ос r~Y, у = 1,8. (4.13)
Это описание применимо как на больших расстояниях 〜10 九々 Мпс, так и на меньших масштабах, возможно, вплоть до размера отдельной галактики. Есть признаки того, что при г ^10 А-1 Мпс скучивание начинает исчезать и переходит в однородный фон (разд. 2).
Степенной закон Карпентера (4.10) согласуется с уравнением (4.13), но следует учесть, что это согласие, по крайней мере отчасти, случайное, поскольку Карпентер рассмотрел отдельные скопления, а не иерархическое скучивание. Вокулер применил
соотношение Карпентера для описания иерархического скучивания, поэтому примечательно, что значение у =1,7, найденное Вокул， ром, и значение, полученное по корреляционной функции, очень хорошо согласуются между собой.
Если картина непрерывной иерархии скучивания справедлива как первое приближение, то, возможно, мы неправильно ставили вопрос, пытаясь построить теории происхождения определенных объектов. Отчасти непрерывность скучивания галактик и, что еще более важно, масштабная инвариантность теории послужили причиной ряда дискуссий о теоретических перспективах иерархий непрерывного скучивания. Леметр, несомненно, понимал, что в расширяющейся Вселенной рост неоднородностей должен приводить к образованию скопления внутри скоплений (точнее, галактик внутри скоплений галактик), но он не стал развивать далее это общее направление. По всей видимости, Лейзер [213] был первым, кто привел доводы в пользу того, что развитие неоднородностей приводит к иерархическому скучиванию. Условие преобразования масштабов, связывающее форму степенного спектра у принятых начальных флуктуаций, существовавших в ранней Вселенной, с показателем степени у, который характеризует иерархию скучивания, было получено Пиблсом ((292], см. разд, 26). Пресс и Шехтер [333] рассмотрели, как можно обобщить этот метод масштабов, чтобы у скоплений фиксированного размера 〜г оценить частоту появления. неоднородностей пространственной плотности внутри Оскопления. Саслоу [360] обнаружил, что флуктуации плотности, ^связанные с гравитацией, зависят от г, возможно, степенным о6・ jразом, и Кианг и Саслоу [203] отметили, что эта зависимость, по- видимому, проявляется в распределении скоплений Эйбелла. Тоцуи и Кихара [419] сравнивали гравитационное скучивание в расширяющейся Вселенной с флуктуациями вблизи критической точки жидкости. В обоих случаях ищется степенная зависимость, так как нет выделенных характерных величин, и эту зависимость Тоцуи и Кихара нашли у корреляционной функции, которую получили Нейман, Скотт и Шейн [266]. Пиблс [309] пришел к такому же выводу, исходя из автокорреляционной функции галактик Цвикки. В гл. IV предприняты попытки подробно рассмотреть эти идеи.
Заманчиво сравнить обсуждавшуюся здесь непрерывность с идеей цепи всего сущего: было обнаружено, что существует более или менее линейная и непрерывная последовательность, начинающаяся с неодушевленных объектов, проходящая через наиболее примитивные формы жизни к высшим животным и дальше к наделенному разумом человеку. Эта идея утратила привлекательность приблизительно во времена Дарвина, когда стало ясно, что более подходящей аналогией было бы «дерево». Но она все же сыграла полезную роль, показав внутреннее единство явлений, которые кажутся не имеющими ничего общего, и продемонстрировав необходимость теории, объединяющей эти явления. Конечно, еще не изве-
стно, насколько плодотворной окажется идея непрерывности для космологии, и в то же время нет недостатка в идеях, как ввести характерные длины, чтобы дополнить эту непрерывность или заменить ее. Некоторые из этих идей мы сейчас рассмотрим.
В. Космологические параметры, динамика жидкости и горяча凡 Вселенная. Джинс [195, 196] показал, что давление вносит критическую (минимальную) длину в гравитационную неустойчивость. Гамов н Теллер [125] приводили доводы в пользу того, что, по крайней мерс приближенно, этот критерий применим в однородно расширяющейся модели мира. В данном Лифшицем [227] общем описании линейных возмущений в модели Фридмана——Л смотра учитывается давление вещества, и результаты Лифшица показывают, что критерий Джинса действительно применим, хотя сам Лифшиц и не сформулировал этот вывод явно. Боннор [23] показал, как результаты Лифшица для случая р《рс? и r《cf можно получить на основе ньютоновского приближения. Кроме того, Бон- нор показал, что классическая критическая длина Джинса применима в расширяющейся Вселенной.
Странно, что в 1930-е годы Леметр не исследовал вопрос о том, как изменится аргументация Джинса, если ее применить к расширяющемуся миру. Как отмечалось выше, основное внимание Леметр уделял характерному значению, определяемому его моделью: предполагалось, что скопления образуются на квазистатической фазе при критической плотности A/4nG.
Гамов и Теллер [125] указали на возможную роль другого космологического параметра. Если А = 0, то зависимость масштабного фактора а(2) от времени определяется уравнением (4.5). Для открытой Вселенной постоянная R-? отрицательна, и поэтому da/dt не может обратиться в нуль: Вселенная не может прекратить расширение. В ранней Вселенной при достаточно малом a(f) в правой части уравнения (4.5) преобладает член, связанный с гравитацией (поскольку плотность меняется по закону а- 3, т. е. быстрее, чем член, связанный с кривизной пространства оса-2). Поэтому модель эволюционирует так же, как и модель Эйнштейна——де Ситтера, в которой R-2 = o На поздних стадиях расширения открытой модели преобладает член с R、а торможение, обусловленное гравитацией, несущественно, в результате малые неоднородности плотности перестают расти. Таким образом, красное смещение Zc, соответствующее эпохе перехода от ранней стадии, когда доминирует гравитация, к последующей стадии свободного расширения, примерно отмечает конец эпохи образования связанных скоплений (разд. 11).
Гамов и Теллер [125] к тому же пытались найти аргументы, позволяющие объяснить, почему объекты не должны были образовываться задолго до Zc, т. е. почему эпоха формирования объектов должна быть фиксирована, но им не удалось найти что-либо
убедительное. В 1948 г. Гамов предположил, что горячее космологическое равновесное излучение может подавлять образование объектов при больших красных смещениях. Вместе с Альфером [5, 119, 120] он обнаружил, что при температуре 〜1 МэВ в расширяющейся смеси вещества и излучения в результате захвата нейтронов может постепенно создаваться приемлемое распределение элементов (ФК, гл. V, разд. 1). Плотность, определяемая излучением, изменяется со временем по закону а 4, т. е. быстрее, чем плотность нерелятивистского вещества. Это объясняется тем, что энергия каждого фотона пропорциональна voca-1 и, следовательно, существует критический момент Zeq, когда плотности излучения и нерелятивистского вещества равны. Гамов предположил, что связанные системы не могли образоваться при Z》Zeq, так как этому противодействовало излучение. Гамов полагал, что размер галактик определяется длиной Джинса в веществе при Z^Z^.
В настоящее время признано, что излучение играло несколько более сложную роль. Есть еще одно важное значение — красное смещение рекомбинации Zdec—1300, при котором температура излучения равна 7々4000 К и свободные электроны и протоны соединяются, образуя атомарный водород. До Zdec средняя длина свободного пробега фотона по отношению к томсоновскому рассеянию мала, и поэтому вещество и излучение ведут себя подобно единой жидкости. Интересно и в конечном счете, возможно, очень существенно, что Zdec и Zeq случайно примерно совпадают [формула (92.42)], о чем свидетельствуют имеющиеся в настоящее время измерения. Если Zdec>Zeq, то в промежутке между этими двумя эпохами вещество движется независимо от излучения, но гравитационная неустойчивость подавлена, так как плотность излучения ускоряет расширение (разд. 12). Если же Zeq>Zdec, то в интервале между этими эпохами вещество не может распадаться на отдельные сгустки, поскольку этому мешает лучистая вязкость (разд. 92). В любом случае, как это осознал уже Гамов, излучение горячей Вселенной играет важную роль, ограничивая максимальное красное смещение, при котором могут образовываться нерелятивистские связанные системы [292].
Можно понять, как процесс разъединения вещества и излучения при Zdec влияет на спектр неоднородностей, если непосредственно до этого момента представить флуктуации в распределении вещества и излучения в виде линейной комбинации двух мод：
изотермической дрг = 0, (4.14) адиабатической дрг/рг = 4/з^Рт/Рт»
где индексы относятся к излучению (г) и (нерелятивистскому) веществу (т). Названия этих мод были введены Я. Б. Зельдовичем в 1967 г. [452]. В изотермическом возмущении излучение распределено однородно, а вещество более или менее неравномерно. В адиабатической моде энтропия, отнесенная к одному бариону,
везде одинакова, как в звуковой волне. Если можно пренебречь диффузией фотонов через вещество л если длина волны возмущения X много меньше с/, т. е. гравитацией можно также пренебречь, то оба типа возмущений эволюционируют независимо друг от друга. '
Адиабатическое возмущение испытывает колебания подобно звуковой волне, и диффузия фотонов стремится погасить эти колебания. В результате появляется новая характерная масса, определяемая наименьшими адиабатическими возмущениями, которые избежали сильного затухания в ходе рекомбинации. (Этот факт был независимо обнаружен Силком [387, 388], Миши [249] и Пиблсом (294].) В зависимости от параметров космологической модели характерная масса, определяемая диссипацией» лежит в диапазоне от массы гигантской галактики до массы небольшого скопления галактик (разд. 92), причем последнее значение применимо для Вселенной с низкой плотностью вещества. В этом случае можно полагать, что первыми образовавшимися объектами были протоскопления, масса каждого из которых сравнима с массой, определяемой диссипацией, и что галактики сформировались в результате фрагментации протоскоплений. Эта схема обсуждается довольно подробно в работах Зельдовича и его коллег ([457], здесь же ссылки на более ранние работы; см. разд. 95, 96).
Изотермическое возмущение с X ^ ct благодаря томсоновскому рассеянию неразрывно связано с излучением вплоть до Zdec, когда вещество становится нейтральным и может двигаться через излучение. При Zdec температура вещества известна, так как вещество и излучение очень близки к термодинамическому равновесию. Поэтому мы знаем критическую массу Джинса для вещества ([292, 297]; разд. 94):
ЛЬаЗ • 105一 Юб%. (4.15)
В меньших масштабах изотермические флуктуации диссипируют, поскольку их эволюция сопровождается колебаниями, а в ходе рекомбинации диффузия фотонов сильно подавляет колебания. Таким образом, если бы начальный спектр изотермических неоднородностей был весьма гладким вплоть до масс меньших, чем Mj, то вследствие затухания образовался бы сильный излом при Mjt и масса наименьших объектов, начинавших сжатие, также была бы равна Mj. Пиблс и Дикке [323] предположили, что этими объектами могли быть первичные шаровые звездные скопления. До- рошкевич, Зельдович и Новиков [74] полагали, что эти ранние объекты могли стать сверхмассивными звездами, которые повысили температуру оставшегося вещества, и, возможно, в результате этого масса Джинса возросла до значения, более подходящего для галактики.
Хойл и Голд [131, 175], которые в то время изучали стационарную модель, обсуждали идею о том, что формирование галак-
тик могло бы поддерживаться тепловой неустойчивостью. Можно представить себе случай, когда рождается вещество с высокой температурой. (Например, Хойл и Голд отмечали, что если бы рождались нейтроны, то температура плазмы была бы равна kT^Энергии распада 〜1 МэВ.) Кроме того, необходимо, чтобы соблюдались два условия, определенные с точностью до порядка величины. Время остывания должно быть сравнимо с временем Хаббла "", так что более плотные области могут стать холоднее, чем в среднем, создавая тем самым области пониженного давления, поэтому вещество будет стекать к более плотным областям. Скорость звука в газе должна быть достаточно высокой, чтобы за время Хаббла звук успел пересечь область пониженного давления, т. е. длина Джинса должна быть больше размера такой области. Этот процесс довольно подробно анализировался Филдом [НО]. В модели расширяющейся Вселенной тепловая неустойчивость использовалась в сценарии Дорошкевича, Зельдовича и Новикова, где она служила механизмом образования протогалактик из газа, нагретого первым поколением сверхзвезд.
До некоторой степени родственным процессом является термодинамическая неустойчивость. Если в ранней Вселенной смесь вещества и излучения прошла через что-либо типа критической точки, то термодинамические флуктуации плотности могли быть значительными и, поддерживаемые гравитацией, могли ускорить развитие структур： В модели горячей Вселенной наиболее перспективным в этом отношении периодом, по-видимому, является эпоха рекомбинации. Там, где плотность вещества выше средней плотности, плазма превращается в водород быстрее, уменьшая тем самым молекулярную массу и, следовательно, давление вещества, которое затем стремится увеличить плотность неоднородности. Однако установлено, что этот эффект слаб, и им можно пренебречь [297, 359]. Можно было бы предположить, что при очень большом красном смещении существовала более сильная термодинамическая неустойчивость, но при большом Z число барионов в прсде* лах горизонта относительно невелико, так что влияние неустойчивости на флуктуации в масштабе галактики было бы пренебрежимо мало.
Интересную проблему представляют магнитные поля галактик. Первый вопрос ——существовало ли магнитное поле до образования галактик [175] или оно генерировалось в галактике посредством динамо-эффекта [287]? Если справедливо первое предположение, то давление магнитного поля могло играть важную роль в процессе формирования галактик. Некоторые аспекты этой проблемы обсуждаются в разд. 17 и 95.
Шама [364, 365] изучал разновидность процесса с обратной связью, который действует в стационарной модели: в результате гравитационных возмущений галактика, движущаяся через межгалактическую среду, оставляет след, который мог бы затем
сжаться и породить новые галактики. Такой же процесс должен как-то проявляться и в эволюционирующей Вселенной. И в самом деле выдвигались предположения о том, что маленькие гравитационно связанные сгустки вещества могут инициировать образование постепенно увеличивающихся сгустков во всем интервале масс вплоть до скоплений галактик [35, 333]. Такая гипотеза очень привлекательна, так как в этом случае можно начать с очень ранних стадий расширения, когда Вселенная была настолько гладкой, насколько это допускается дискретным строением вещества (что, вероятно, является естественным начальным условием), а затем представить себе, что в результате нелинейных взаимодействий частицы инициируют образование сгустков все больших размеров. Однако трудно понять, как этот процесс мог бы действовать в общепринятой космологии (разд. 28).
Среди упомянутых здесь процессов наибольшее внимание уделялось процессам, включающим первичное излучение горячей Вселенной. В самом деле открытие этого излучения значительно усилило интерес к картине гравитационной неустойчивости, поскольку, как было описано, в горячей Вселенной выделена эпоха Z^ 1000, в которую могли начать формироваться нерелятивистскис объекты; в момент рекомбинации появляются два излома в спектре линейных возмущений при низкой массе. Кроме того, можно определить свойства вещества в эпоху рекомбинации. Конечно, многое еще будет необходимо добавить к этому, прежде .чем будет построена теория галактик, но ситуация кажется весьма интересной.
Г. Первичная турбулентность. Основным доводом в пользу этой картины было вращение галактик (и тот факт, что спиральная галактика очень похожа на реликтовый турбулентный вихрь). Кроме того, турбулентность может способствовать образованию флуктуаций плотности. Главная трудность состоит в том, что этот процесс слишком эффективен: он стремится создать большие флуктуации плотности и слишком быстро разрушает турбулентность.
В современной космологии картина первичной турбулентности сначала рассматривалась фон Вейцзекером [427, 428). (Обзор более ранних предположений дан в работе Джонса и Пиблса [199].) Фон Вейцзекер обсуждал возможную роль турбулентности в широком диапазоне астрономических условий. Он предполагал, что вращение галактик является остатком первичной турбулентности и что 《в расширяющейся Вселенной гравитационная неустойчивость неспособна образовать подсистемы, тогда как турбулентности это по плечу, если ее скорость 勿 достаточно велика по сравнению со скоростью расширения dex» [428, р. 176]. Неясно, насколько фон Вейцзекер был знаком с работой и полемикой о гравитационной неустойчивости в моделях расширяющегося мира. В любом случае он дал всего л ишь схематическое описание космологии.
Как было уже сказано в п. 4А, к концу 1940-х годов Гамов пришел к выводу, что гравитационной неустойчивости недостаточно для образования галактик, поэтому он обратился к картине турбулентности, предложенной фон Вейцзскером [122]. Гамов отметил, что сильно неоднородное распределение галактик в пространстве в том виде, как оно представлено в обзорах Шепли и в предварительных результатах Ликского каталога (разд. 2), по-види- мому, напоминает неоднородные первичные течения, такие же, как и в турбулентности [123, 124]. Это наблюдение побудило Гамова и Рубин исследовать автокорреляционную функцию галактик как меру флуктуаций плотности [346]. Интересно отметить предостерегающее замечание Гамова о другой стороне проблемы: «Хотя для Вселенной число Рейнольдса всегда достаточно велико, чтобы ожидать, что движение является турбулентным, однако трудно понять, как такое движение могло возникнуть в равномерно расширяющемся однородном веществе. Поэтому, может быть, следует ввести первичную турбулентность в качестве постулата так же, как начальную плотность вещества и скорость расширения» [122, р. 251].
В картине первичной турбулентности основная проблема состоит в том, что трудно избежать диссипации турбулентности при Z〜Zdec, которая преждевременно приводит к образованию объектов с плотностью большей, чем в галактиках [301]. Чтобы понять, почему так происходит, предположим прежде всего, что давлением излучения можно пренебречь. Интересующая нас скорость турбулентности по порядку величины равна скорости вращения большой спиральной галактики, т. е.勿〜300 км/с. Течение близко к несжимаемому в том случае, если скорость звука превосходит и±, а это означает, что для плазмы, состоящей из электронов и протонов, температура выше 3-106 К. Если температура во много раз меньше этого значения, то ничто не сдерживает вихри： они превращаются в ударные волны. Это желательно на стадии формирования галактики, но подобный процесс, конечно, не должен протекать при больших красных смещениях. Однако при ZR10 в результате взаимодействия с микроволновым фоновым излучением время остывания меньше, чем время расширения (ФК, рис. VIL1), следовательно, трудно понять, почему плазма должна оставаться горячей. Кроме того, когда диссипация отсутствует, vt меняется по закону L(/)oc(l + Z) (разд. 90): чем больше красное смещение, тем больше vt и тем труднее понять, почему вещество не собралось в сгустки задолго до того, как могли появиться галактики. Озерной и Черпин [284, 285] отметили, что излучение горячей Все・ ленной отчасти решает эту проблему. При красных смещениях Z> >Zdec вещество и излучение ведут себя подобно единой жидкости, скорость звука в которой сравнима со скоростью света. Поэтому нерелятивистская турбулентность является дозвуковой, и, следовательно, устраняется катастрофическое образование ударных
волн. Все же остается затруднение, связанное с тем, что в общепринятых моделях рекомбинация происходит при красном смещении 〜1000, т. е. слишком рано для образования галактик. Таким образом, необходим точный баланс параметров, чтобы первичная турбулентность способствовала образованию галактик, но чтобы этот процесс не был слишком бурным.
Другая, менее очевидная трудность состоит в том, что несжимаемая турбулентность, которая, как предполагается, существовала при Z〜1000, восходит в прошлом к флуктуациям, пространственная кривизна которых расходится при больших красных смещениях, т. е. при >0 (разд. 90). Такая ситуация является неудовлетворительной: на очень ранней стадии расширения предполагаемые первичные течения приводят к беспорядочным флуктуациям в геометрии, но они устроена так, что распределение плотности оказывается чрезвычайно однородным в тот момент, когда область входит под горизонт.
Д. Альтернативные сценарии. Во всех приведенных выше рассуждениях общее расширение Вселенной рассматривалось как ре- и!ающий фактор в формировании структур. Но так ли это на самом деле ——станет ясно только после того, как будет достигнут существенный прогресс в теории н наблюдениях, а до тех пор не следует упускать из виду, что возможны совсем другие подходы. Среди альтернативных сценариев наиболее активно обсуждающийся можно условно назвать сценарием белых дыр. Например, Мак-Кри [237] и Хойл [176] рассматривали вопрос, могут ли старые raviaKTMKH порождать новые, выбрасывая «зародыши» или «отделяя массу вещества, подобно тому как отрываются айсберги от пакового льда». Хойл и Нарликар [178] изучали возможность появления вещества в теории стационарной Вселенной не с постоянной скоростью, а циклическими вспышками, которые, возможно, происходят в тех областях, где уже есть вещество. Вследствие этого образуются гигантские эллиптические галактики. Новиков [270] н Неемаи [262] обсуждали идею о белых дырах, т. е. об областях, где общее расширение ранее было существенно заторможено.
Говоря о наблюдательной стороне проблемы, отметим, что Амбарцумян [7, 8] и Арп [11] рассмотрели свидетельства выброса объектов из ядер галактик. Несомненно, что выбросы происходят, но гораздо труднее установить, состоят ли они из нового вещества или выбрасывается часть того вещества, которое собралось в ядре н затем взорвалось.
Выполнено относительно мало детальных исследований возможностей, которые выдвигались подобными альтернативными сценариями, и, видимо, разумно предположить, что такие исследования не появятся до тех пор, пока болышгнству не станет достаточно ясно, что общепринятые направления неплодотворны.
£ Выводы
Неоднородность Вселенной сыграла любопытную роль в истории современной космологии. В самых ранних исследованиях скучивание вещества привлекало огромное внимание: сначала — как возможная причина, приводящая к расширению Вселенной из состояния, которое соответствует модели Эйпштейпа, а затем в связи с исследованием Леметром эволюции неоднородностей в расширяющейся Вселенной. Приблизительно с 1935 по 1965 г. ряд космологов более или менее независимо заново открыли концепцию Джинса и Леметра, согласно которой Вселенная стремится стать более неоднородной, но глубокой дискуссии в то время ire было: центральное место на «сцене» занимали однородные модели. Появление наблюдений более высокого качества способствовало усилению интереса к космологии вообще и к измерениям скучивания вещества в частности. Возможности выбора у теоретиков несколько уменьшились, и проблема стала значительно интереснее.
В начале 1930-х годов космологи, несмотря на предупреждения астрономов, как теперь кажется, с чрезмерной поспешностью приняли крупномасштабную однородность наблюдаемой Вселенной* Однако были разработаны точные тесты, н, как оказалось, их результаты в самом деле согласуются с предположением об однородности: есть свидетельства в пользу того, что крупномасштабная структура Вселенной очень проста. В соответствии с доводами Эйнштейна, полученными из принципа Маха, и в соответствии с принципом Милна можно думать, что эта замечательная идея об однородности является физическим принципом, хотя принципом необычным, поскольку он применим после усреднения по пространству и относится только к одному этому явлению. Космологический принцип Милна быстро стал и до сих пор еще остается популярным лозунгом. В то время когда он только был введен, этот принцип выполнял другую функцию: часто спрашивали, действительно ли общая теория относительности определяет однородность Вселенной? Тогда предварительным ответом было 《нет», и, несмотря на то что позже появились различные подходы к этой проблеме, в настоящее время все же есть свидетельства того, что крупномасштабная однородность Вселенной не могла быть предсказана признанной фундаментальной теорией. В результате нам остается полагать, что однородность необходимо рассматривать как явление, которое должна объяснить пока еще не созданная более глубокая теория.
Это также означает, что у нас нет надежды с помощью известных физических принципов обосновать существование галактик, поскольку мы не знаем, как определить начальные условия. Поэтому остается только следовать программе Леметра: попытаться установить характер тех флуктуаций плотности в ранней Вселен-
4 Заказ № 82
ной, которые превратились со временем в наблюдаемые теперь неоднородности. Это-—очень многообещающая проблема, и она становится вес интереснее по мере того, как мы узнаем все больше подробностей о тех явлениях, которые следует воспроизвести. Программа Леметра встретила некоторое сопротивление отчасти из-за непонимания, отчасти из-за того, что фундаментальная теория, казалось, по могла помочь, так как она не предлагала никаких характерных величин (если взять случай R-2 = A = 0). В последние годы теория развивалась по двум весьма различным направлениям. Излучение в горячей Вселенной все-таки определяет некоторые характерные величины, и первый метод состоит в том, чтобы придумать такой сценарий, в котором эти величины использовались бы существенным образом. Другое направление основано на том, что, согласно некоторым данным, скучивание не приводит к появлению каких-либо характерных величин. Возможно, следует использовать масштабную инвариантность теории, а величины типа радиуса галактики нужно ввести дополнительно.
Можно представить себе несколько вероятных результатов реализации программы Леметра. Быть может, наша Вселенная является настолько гладкой, насколько это допускают дискретное строение вещества и сопутствующие ему минимальные возмущения, которые существовали в ранней Вселенной. Возможно, что сильно нелинейная эволюция наблюдающегося в наше время ску- чивапия уничтожила большинство особенностей начальных возмущений: Вселенная в конце концов выглядит почти одинаково для весьма широкого диапазона исходных величин. Более традиционная точка зрения состоит в том, что мы обнаружим, что в ранней Вселенной флуктуаций носили довольно определенный характер, и это послужит важной информацией для некоторой будущей фундаментальной теории ранней Вселенной. Или же детальный анализ теории и наблюдений покажет, что в рамках общих представлений, которые мьг приняли, нельзя объяснить наблюдаемые явления и что история неоднородностей должна совершенно отличаться от того, что мы предполагали. Этот последний результат, конечно, необходимо будет считать прогрессивным и рассматривать как неизбежную предпосылку для того, чтобы заставить лас вести исследования в других направлениях.
Глава II
ПОВЕДЕНИЕ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЩЕСТВА: НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Ньютоновское приближение 、
Изучение эволюции неоднородностей в распределении вещества в расширяющейся Вселенной значительно упрощается благодаря тому, что предельный случай общей теории относительности ——ньютоновская механика — применим в области, размер которой мал по сравнению с масштабом Хаббла сН— (но велик по сравнению с радиусом Шварцшильда любого сколлапсировавшего объекта). Остальная часть Вселенной может воздействовать на эту область только посредством поля приливных сил. Хотя этот факт был установлен еще Леметром [219], тем не менее не всегда четко понимали, что ньютоновское приближение не связано какой-либо моделью, а применимо независимо от событий, происходящих в отдаленных областях Вселенной. Поскольку этот вывод важен, мы обсудим его подробнее. Другой подход к проблеме, который основан на малых возмущениях модели Робертсона——Уокера, будет описан в гл. V (разд. 84).
В обиден теории относительности события, происходящие в пространственно-временном континууме, характеризуются четырьмя координатами х\ Интервал собственного времени или собственного расстояния между событиями с разностью координат d%t определяется не численными значениями координат, а десятью компонентами метрического тензора gtj(x) с помощью соотношения
ds2 = gjj d%‘ d*‘ ・ (6.1)
Преобразование координат # =屮3) изменяет и компоненты метрического тензора, и разности координат между двумя данными событиями в соответствии с формулами
g》(y) = &*7沙)(dx?d〃) gkt(X), dyl = &'/dx‘)dx1. (6.2) Видно, что ds при этом не меняется, т. е. ds ——это инвариантный интервал, измеряемый обычной линейкой или часами (разд. 81).
Если пространственно-временной континуум является плоским, то систему координат можно выбрать так, чтобы тензор g订 всюду записывался в форме Минковского, т. е. для диагональных элементов
g/j = n"-1，—1，-1， (6。3) а недиагональные элементы равны нулю. В искривленном пространстве такой выбор невозможен, но можно упростить описание
небольшой области пространствеина-времепиого континуума, если выбрать систему координат так, чтобы 且订 н его первые произвол-, ные были согласованы с формой Минковского в одной точке:
Sij Лг/» g",/e = °・(6.4)
Для этого необходимо, чтобы 10+ (4-10) =50 уравнений были удовлетворены в результате выбора коэффициентов преобразования дх^ду1, д^х^ду1 дук,(6.5)
общее число которых (4・4) + (4・ 10) =56, т. е. на 6 больше, чем требуется. Чтобы gij, ki обратилось в пуль, следует добавить еще 10-10 уравнений, т. е. необходимо удовлетворить в целом 150 уравнениям с помощью выбора 56+80= 136 коэффициентов преобразования (с учетом первых и вторых производных). Но, поскольку коэффициентов меньше, чем уравнений, в общем случае это сделать невозможно.
Чтобы компоненты gij удовлетворяли уравнениям (6.4) вдоль траектории некоторого наблюдателя, мы должны удовлетворить 10 условиям gij^^ij вдоль этой траектории и 10*3 условиям, при которых производные по нормали к траектории равны нулю, т. е. всего 40 условиям. Можно выбрать 16 коэффициентов ду“дк$ и 4X6 вторых производных у вдоль нормали к траектории. Этого как раз достаточно, чтобы рассчитывать на то, что удастся удовлетворить сформулированным выше условиям. Пусть траектория наблюдателя задана, скажем, xz (X). Тогда в новой системе координат траектория определяется соотношениями
dy^dk = ду{/дх} dW/d九，(6.6)
Если наблюдатель движется свободно, как это будет предполагаться в дальнейшем, то его траектория определяется уравнениями движения по геодезической
出黑(6•7)
Систему координат в начальной точке траектории можно выбрать так, чтобы при 父=0 наблюдатель был неподвижен, т. е.
dy'/ds = bj.(6.8)
Тогда уравнения (6.4) и (6.7) дают
出к〃52 = 0,(6.9)
так что наблюдатель всегда остается в точке уа = 0.
В этой системе координат, локально совпадающей с системой Минковского, интервал в окрестности траектории равен
ds2 = c2 dt2 — (d%? + dy? + dz?).(6.10)
Эта система координат локально ортогональна, в ней пространство и время совпадают с собственными пространством и временем наблюдателя и, конечно, ускорение свободной частицы в начале траектории равно нулю, а гравитационное ускорение исключено выбором системы отсчета. Ускорение частицы, находящейся на малом расстоянии г от этой мировой линии, определяется уравнениями поля следующим образом.
Метрический тензор можно записать в виде
g/ == П" + %小 (6.11) где 九订 мало (九订〜产)в некоторой области, расположенной вдоль траектории. В этой области уравнения Эйнштейна записываются в простой форме, поскольку здесь можно использовать общепринятое линейное приближение слабого поля. (Это приближение применимо, как бы нн были велики вторые производные g,——ведь вторые производные входят в уравнения поля только в первой степени, а нелинейные члены типа g,tg,j пренебрежимо малы по сравнению с g^j при достаточно малых х.) Используя тот факт, что в системе координат, локально совпадающей с системой Минковского, все производные по времени от gij и g^,。равны нулю вдоль траектории 产=0; найдем с помощью общепринятого приближения слабого поля (например, [211, уравнение (105.9)]):
Roo = 一％П“ 3订,oo 一 九о, /о — A/о, /о + 力00, ") = Vr®»
(6.12) goo三c2 + 2①•
Тогда уравнение поля с двумя нулевыми индексами в случае идеальной жидкости с плотностью р, давлением р и скоростью и《 с имеет вид
?2ф = 4лС (р + Зр/产)-Л. (6.13)
Космологическая постоянная Л добавлена для полноты и будет полагаться равно访 нулю везде в этой книге, за исключением нескольких специальных разделов.
В предельном случае и《& 九《1 уравнения геодезической (6.7) записываются в виде
d?严以俨=—①,s (6.14) Уравнения (6.13) и (6.14)——это обычные уравнения ньютоновой механики, если не считать того, что в случае, когда присутствует значительный фон излучения, необходимо учесть вклад его давле* ния; и конечно, если Л；#= 0, существует «космологическая» сила Лг/3 между частицами, разделенными расстоянием г.
Любой наблюдатель, находящийся вне сингулярности, может использовать уравнения (6.13) и (6.14), однако область, внутри которой применяются эти уравнения, не должна содержать много вещества. Эту область можно расширить, если сначала сообщить
наблюдателю ускорение ga, чтобы он покоился относительно удаленного вещества (это достигается введением члена gai в Ф), а затем объединить результаты соседних наблюдателей. Эта про* цедура (введение ускорения и потенциала) оправдана до тех пор, пока относительные скорости наблюдателей и их скорости относительно наблюдаемого вещества значительно меньше % а ①《 (6.12). Для области размером R и массой М〜р/?з, внутри которой плотность р распределена приблизительно равномерно, второе условие записывается так:
GpR2《卢(6,15)
Вмоделях Фридмана——Леметра постоянная Хаббла равна
(разд. 97)'
〃~((7р『'2(6.16)
(если предположить, что А пренебрежимо мало и параметр плотности Q〜1), поэтому из уравнения (6.15) следует
R《c〃t 〜3000 Мпс 〜1028 см.(6.17)
Таким образом, размер области должен быть значительно меньше масштаба Хаббла. Но поскольку скорость расширения равна и = = Нг, то это условие означает также, что и / с
Ньютоновское приближение мокет оказаться неприменимым на расстояниях, гораздо меньших R, если область содержит компактный объект типа нейтронной звезды или черной дыры. Но эту трудность можно обойти, если заметить, что на расстояниях, больших по сравнению с радиусом Шварцшильда, объект проявляет себя как обычная ньютоновская точечная масса. Предполагают, что в ядрах галактик могут находиться черные дыры массой 109M@ и радиусом Шварцшильда ^ 1014 см. Если это ——верхний предел, то ньютоновская механика является хорошим приближением для значительного диапазона расстояний:
1014 см<г< 1028 см..(6.18)
Динамика частицы
в расширяющейся системе отсчета-
Часто удобно описывать распределение и движение вещества через отклонение от средней однородной и изотропной модели мира. В этой модели, описывающей фон, собственное расстояние между двумя частицами изменяется по закону
г = а (i) х,(7.1)
где х — постоянная величина для пары частиц, а масштабный фактор а(/) вследствие однородности и изотропности является универсальной функцией собственного мирового времени. Чтобы уп-
ростить исследование, будем пока предполагать, что р <С рс2 и А=0・ Тогда уравнение (6.13) означает, что в модели фона потенциал, измеряемый наблюдателем, находящимся в точке г=0, равен
Фб = 2МСр(> (0 г2,
где рь(') — средняя плотность вещества фона. Используя уравнение (7.1) и уравнения движения (6.14), запишем космологическое уравнение
^ald^ = -‘/зЕЗрь (/) а.(7.2)
Уравнение (7.1) определяет переход от собственной системы координат г, локально совпадающей с системой Минковского, к расширяющейся системе координат х, сопутствующей модели фона. В этой последней системе координат собственная скорость частицы относительно начала координат равна
и = ах + ха.(7.3)
Поэтому движение частицы описывается с помощью лагранжиана
= х]^ («х + ах)2 — тФ (х, /).(7.4).
Каноническое преобразование
23 f 2 — d ^jdt,巾=^/itnaax1(7.5)
приводит лагранжиан к виду
2 — Н2m 出攵? — /пф,(7.6)
где
^ = Ф-\-х12аа^.(7.7)
Уравнение поля (6.13) для нового потенциала <р записывается в форме
厂2屮=4nGp^2 + За@,(7.8)
где градиент берется по х [в уравнении (6.14) градиент брался по г = ах]. С помощью уравнения (7.2) представим (7.8) в виде
Р屮= 4М?а2[р(х, /)-рь(切.(7.9)
Из соотношения (7.6) получим уравнения движения
р = тс^х, dp/dt = —mV(p.(7.10)
Собственная пекулярная скорость частицы равна
V = ах.(7.11)
Это скорость относительно наблюдателя, у которого х не меняется н который находится в том же месте, что и частица, т. е. v — это скорость относительно фона. В соответствии с уравнением (7.10)
dv/df + va/a= — v(p/a.(7.12)
Если 屮=0, то р не меняется, a v уменьшается пропорционально а~1. Не следует приписывать это действие какой-то неведомой космической силе, это просто результат эволюции системы координат со временем. Пекулярная скорость v измеряется относительно наблюдателей, которые перемещаются вместе с частицами фона, и частица, движущаяся свободно, догоняет таких наблюдателей. Поскольку наблюдатели вследствие общего расширения движутся в ту же сторону, что и частица, скорость v уменьшается.
Источником 屮 является разность р ——рь [уравнение (7.9)]. Так и должно быть — ведь если нет неоднородностей, то р — р& = 0, и каждая частица остается в невозмущенном положении, т. е. при фиксированном х.
Кроме нерелятивистского вещества, распределенного неоднородно, существует почти однородный фон излучения или, возможно, фон нейтрино с массой покоя, равной нулю. Если 屮 <С с2, то возмущение, которое создает ф в этом релятивистском фоне, пренебрежимо мало, поэтому можно считать, что плотность фона строго однородна. Тогда, используя уравнения (6.13) и (6.14) и учитывая А, найдем, что уравнение (7.2) принимает вид
a-{d2alde = ^I^G[9b (/) + 3几⑺/阳 + А/3,(7.13)
а уравнение (7.8) заменяется уравнением
F屮—=4Л(7 (р + Зрь/с2) а~ — Аа? + Зай = 4nG[р — р^ (/)]а2. (7.14)
И в этом случае источником ф служат флуктуации плотности не- рслятивистского вещества, а однородный релятивистский фон и Л не входят в последнее уравнение.
Пекулярное ускорение
Решением уравнения для потенциала (7.9) является
Ф (х) = —Cd，0『[р (х‘)— рь]/|х‘ — х |.(8.1)
Поскольку предполагается, что р(х)——рь флуктуирует в пространстве относительно нуля в статистическом смысле равномерно с длиной корреляции 《сН~{ (пространственно однородный и изотропный случайный процесс), интеграл сходится к определенной величине» прежде чем | х‘ ——х | достигнет горизонта. Конечно, к уравнению (8.1) можно добавить член, не содержащий источников гравитационного поля. Член(ра(/)ха описывал бы однородное
ускорение, но оно исключается выбором движущейся системы отсчета. Член(ра₽ (^)хахР при(раа = 0 может описывать поле приливных сил в однородной анизотропной космологической модели. Однако по данным наблюдений Вселенная изотропна с высокой точностью, поэтому этот член мы рассматривать не будем. Кроме того, этот член может быть связан с длинной гравитационной волной. (Если применить более точное релятивистское приближение, то с его помощью можно описывать гравитационные волны и меньшей длины; разд. 83.)
Если предположить, что гравитационные волны можно не принимать во внимание, то пекулярное ускорение (7.12) запишется в виде
g (х) = — ^^/а = Ga^ d^xf [р (х，)一 р@ (х，— х) | х，— х |-3. (8.2) Интегрируя сначала по угловым переменным при фиксированном 国一х|, а потом по 国一х|, можно представить уравнение (8.2) в виде
g = Са j d% р(X，)(X，一 х) IX，一 х |-3.(8.3)
Представив среду в виде ансамбля точечных частиц, для которого
.р= £ 俏必飞仪一х/),(8.4)
получим
g (х) = (0/。2) Е Ш/(X/ — х) IX/ — х「3.(8.5)
В общем случае эта сумма не является вполне определенной, и ответ зависит от того, в каком порядке производится суммирование членов. Формула (8.3) указывает на то, что суммирование нужно производить в порядке возрастания |xj — х|. Если предположить, что распределение частиц обусловлено пространственно однородным и изотропным случайным процессом с длиной корреляции 《с〃т, то сумма сходится к определенному значению задолго до достижения релятивистского горизонта.
Поскольку при вычислении суммы важно граничное условие, обычный закон сохранения импульса центра масс модифицируется [46]. Рассмотрим модель Вселенной, которая однородна везде, за исключением области, находящейся внутри поверхности 2. Ускорение i-й частицы, находящейся в 2, определяется уравнениями (7.12) и (8.5). Просуммировав последнее уравнение по всем входящим в S частицам, получим
М d (aN)ldt = d (Е 人。匕)/必=
=(О/a) Z g Z rrij(X； — X0/| X, — Xi I3. (8.6)
Условия, налагаемые на суммы, таковы, что мы не можем изменить порядок суммирования и сделать вывод, что это выражение
равно нулю. Но можно преобразовать суммы в интегралы, если ввести плотность р (х) = р^+ 6р (х). Это даст
Md (〃V)/df = Ga%% j "% J d3x, dp (x，)(x，— x)/| xz — x |3.(8.7)
Эти интегралы берутся по объему, заключенному внутри S. Здесь можно изменить порядок интегрирования. Видно, что интеграл равен нулю только в пределе при £ f оо.
В заключение обобщим уравнение (7.6) для лагранжиана на все частицы во Вселенной. Уравнения (8.1) и (8.4) дают
где
U = —%(?靈 j d3X[ d% (pi ■— Рь) (p2 — P&)/| X[ — x21，(8.8)
причем точки x【= X2 исключаются из интегрирования. Коэффициент 1/2 в U появился потому, что каждая частица учитывается дважды: один раз при интегрировании по хь а другой — при интегрировании ПО Х2・
Две модели среды.
Уравнение Власова и идеальная жидкость
Существуют две общепринятые и удобные модели среды. Прежде всего можно предположить, что средняя длина свободного пробега частиц мала и что среду можно рассматривать как идеальную жидкость. Противоположный подход предполагает, что частицы взаимодействуют только гравитационно, так что средняя длина свободного пробега велика. «Частицами» могут служить звезды или галактики. Эту вторую модель мы будем рассматривать, считая дополнительно, что частицы движутся в поле потенциала ф, который является гладкой функцией, зависящей от концентрации частиц. В гл. IV обсуждается более общий случай, учитывающий взаимодействие всех частиц друг с другом.
Л. Уравнение Власова. Представим себе море одинаковых частиц, которые движутся без столкновений в поле потенциала 屮, являющегося гладкой функцией пространственной плотности. Тогда распределение частиц по координатам и импульсам [уравнения (7.10)] определяется выражением
dN = f (х, р, /) d3x d3p.(9.1)
Собственная плотность равна
р(х, t) = ma^ J d3pf (х, р, 0 spb(/)[l +6(х, /)],(9.2)
рдоса"3(0-
Здесь т — масса частицы, р，一 средняя плотность, 6—безразмерный избыток плотности, а коэффициент необходим для перехода к собственной пространственной плотности.
Согласно теореме Лиувилля, функция f не меняется вдоль траектории частицы в фазовом пространстве [уравнения (7.10)]:
—df/dt + (р/та^) • vf — /п?ф • df/dp = 0.(9.3)
Уравнения (9,3), (9.2) и (7.9) вместе составляют полную систем〉 уравнений.
Один из методов использования уравнения (9.3) состоит в переходе к уравнениям для моментов скорости. Так, в результате интегрирования по р с учетом уравнения (9.2) получим
△рь @"力 +。一2厂•，pf dp = 0.(9.4)
Последний член уравнения (9.3) обращается в нуль при интегрировании по частям. Локальная средняя скорость, или скорость течения, равна
v = j (p/ma)fd3pj “ &3р.(9.5)
После подстановки этого выражения в (9.4) получим
Рь Ob]dt + а"1 V • pv = 0.(9.6)
Первый момент уравнения (9.3) получается путем умножения (9.3) на р и последующего интегрирования по импульсу:
糸]Paf d3p + (1 /ma2)纬 jpappf d3p + a3p (x, /) (p, a = 0.(9.7)
Подставляя это выражение в (9.4), найдем
д2"。产 _|_ 2 Q/a) dbjdt =
= a—v . [(1+6) V叫+ (1历加。7)九纬 §pa/Wd3p. (9.8)
Среднее значение произведения vau₽ для частиц, находящихся в малой окрестности х, равно
8气” =\ /"。"口 d3p/(m2a2, fd^p).(9.9)
Подставляя это выражение в (9.8), получим
d2b)dt + 2 (a/a) db/dt =
=a-2V • w +а v(p] + a-2%dB[(i +»8%明 (9.10)
Б. Идеальная жидкость. Общепринятые уравнения идеальной жидкости записываются в виде
伍р/力)「+ Vr • pu = 0,(9.11)
p[(du/d"r + (u • Vr) u] = — vrp — pVrO.
Индекс г указывает на то, что пространственной переменной является собственное расстояние г, отсчитываемое от некоторого выбранного начала координат. Величина и — собственная скорость относительно этого начала координат; опа связана с пекулярной скоростью V выражением [уравнения (7.3) и (7.11)]：
и == а х + V (х, f) = (d/a)r + V (r/а, f).(9.12)
Произведя замену переменных х = г/а, найдем, что первый член в уравнении неразрывности (9.11) записывается в виде
(d/dt)Tp(r/at t)=dp/dt-(a/a)x- vp,(9.13)
а второй член при подстановке в него (9.12) принимает форму
Vr • pu = a-1v • pv + 3 (a/а)р + (а/а)х • ?р.(9.14)
Сложение соотношений (9.13) и (9.14) дает
dp/dt + 3 (a/a) р + a"1 v - pv = 0.(9.15)
Уравнение (9.15) —это уравнение неразрывности, записанное в расширяющейся системе координат. Такая же замена переменных во втором уравнении (9.11) дает
ax + ON]Ot + «т (V • V) V + (a/а) v =
= -(ра)t vp — Lv (中 - %〃之%2)(9.16)
Потенциал Ф мы заменили его выражением через 屮(7.7). Видно, что в результате сокращается первый член в левой части уравнения (9.16). В итоге получаем уравнения гидродинамики в расширяющейся системе координат:
dv/dt + a"1 (v • v) v + (d/a) v = —(ра)т уp — L v(p, (9.17) db]dt + a— ▽ • (1 + 6) v = 0.
Второе уравнение следует из уравнения (9.15) и определения безразмерного избытка плотности 6 в уравнении (9.2)
Сравним уравнения (9.17) с уравнениями (9.6) н (9.7). В них, как и в уравнении (7.12), есть член (d/a)v, который появляется вследствие расширения системы координат, и, кроме того, источником пекулярного ускорения служат флуктуации плотности р&6. Как было отмечено в разд. 7, эти уравнения можно использовать и в случае, если А*0 и присутствует однородный фон релятивист-
ского вещества. Тогда рь(/) обозначает среднюю плотность нерелятивистских частиц или „ерелятпвистской жидкости.
Уравнения (9.17) можно объединить в одно уравнение, которое соответствует уравнению (9.10). Умножая первое уравнение (9.17) на р, а второе на v и складывая, получим
0(№)@ + а—。8^气口)/@%0 + 4ри%/а = —V% — pv(p/a. (9.18)
Дивергенция этого уравнения равна
@20/@产 + 2 (a/а) db/dt =
=^^pl^ + a~^ • (1 +6) v(p + a-2@2[(] +6)0。或]/@尤。3/. (9.19)
Чтобы использовать уравнения (9.10) или (9.19), необходимо найти какой-нибудь способ, как оперировать с последним членом в этих выражениях. В линейном приближении,' которое рассматривается в следующем разделе, этот член просто опускается. Приближенно его можно учесть, если предположить, что в распределении по импульсам р параметр асимметрии относительно среднего значения равен нулю [57, 423]. Другие случаи применения этих уравнений обсуждаются в разд. 18 и 27.
/0. Линейное приближение для 6
Будем предполагать, что возмущения, налагаемые на космологическую модель фона, малы. Возможно, так и было в некоторый момент времени в начале эволюции Вселенной. Кроме того, как мы увидим в разд. 28, даже тогда, когда на малых масштабах скучивание вещества уже достигло сильно нелинейной стадии, результаты линейного приближения могут хорошо описывать поведение вещества на больших масштабах.
Пусть
6《1,(初/d)2《6,(Ю.1)
где d ——длина корреляции пространственных вариаций 6, и ——характерная скорость среды и / — время расширения 〜(Gp^)-%. Тогда уравнения (9.17) н (9.19) можно записать в виде уравнений для линейных возмущений
。2“@产 _|_ 2 (а/а) d^/dt = V?p/(p/2) + 4nGpdd,(10.2)
дд/dt + a~xv • v = 0.
j В этом приближении уравнения (9.6) и (9.10), которые описывают f систему частиц с большой средней длиной свободного пробега, j примут вид
^b/dfi + 2 (а/л) дб/dt = 4nOpftd, dbfdt + a'1 v ・ v = 0. (10.3)
Здесь к скорости течения v необходимо добавить среднеквадратичную скорость частиц и。， которая ограничена условием, полученным из (9.10):
vot/d《1.(10.4)
В идеальной жидкости существует микроскопическая среднеквадратичная скорость частиц 加 и если она становится столь большой, что условие (10.4) не выполняется, то 6 испытывает колебания, подобные звуковой волне. Конечно, колебания не возникнут, если средняя длина свободного пробега частиц больше d, так как частицы будут пролетать через возмущение плотности, в результате чего оно может исчезнуть.
В случае когда плотность релятивистского фона пренебрежимо мала, решения уравнения (10.3) легко найти, если воспользоваться фактом, который установил Леметр: в сферически симметричном возмущении с давлением, равным нулю, каждый слой вещества движется по тому ж勺 закону, что и некоторая однородная модель мира (п. ЗВ). Поэтому реальное 6(f) равно той незначительной разности плотностей p(f), которая возникает у однородных моделей с немного различающимися параметрами. С помощью этого метода найдены два решения, которые образуют полную систему решений [149, 450].
Легко заметить, что этот метод приводит к уравнению (10.3). Пусть %«), Рь«) и a(Z), р(£) —две близкие модели мира, причем
а = аь\\ — е (/)], pa3 ^ р^а?, 6 = р/р& — 1 = Зе. (10.5) Космологическое уравнение для a(t) записывается [см. уравнение (7.13)] в виде
&2。/川 -%М7ра + %А/а.(10.6)
Подставляя соотношения (10.5) в (10.6) и сохраняя только члены» линейные по е, найдем, что и в этом случае
d%/d# + 2 (£〃％) 血/dt = 4лОр6е.(10.7)
Из этого следует, что если а(力 а) — семейство решений уравнения (10.6), зависящее от параметра а, то решением уравнения (10.3) служит
6 ос^т да)да.(10.8)
Поскольку рь0cа-з, первый интеграл уравнения (10.6) записывается в виде
Q/аУ = 8/3лОрь + А/3 - К-/*(10.9)
где постоянная интегрирования R~2 описывает кривизну пространства. Из (10.9) получим
а
/ = j X~X/2da-C,(10.10)
где
X = 8/злОр&а3/л + %А” 一 R/
а С — вторая постоянная интегрирования. Продифференцируем это уравнение по постоянным интегрирования в фиксированный момент времени. В результате найдем
0 = Х~,/2<?а/^2+ '/2J X-3/2Ja, Q = X~ll2da/dC-l. (10.11)
Поэтому в соответствии с формулой (10.8) два решения записываются в виде [166]
61 = (%,/2/^) J%-3/2 da, 62 = X'12/а.(10.12)
Если подставить 62 в уравнение (10.3) и провести необходимые и довольно утомительные вычисления, то можно убедиться в том, что 62 является его решением. (При этом нужно учесть, что а удовлетворяет уравнению (10.9) и р^оса-3.) После этого легко проверить пригодность 61, если записать его в виде 也刁⑷加⑷ н /подставить в уравнение (10.3).
「 Отметим, что эволюция д в этом линейном приближении описывается локально: в окрестности данной точки х она зависит только от начальных значений д и db/dt в точке х. В самом деле, хотя гравитационное поле g зависит от интеграла по всему распределению вещества, в уравнения входит только дивергенция g, которая, конечно, зависит от локальной плотности. Поэтому ясно, что в полностью релятивистской теории мы обнаружим (гл. V), что происходит такая же локальная эволюция возмущений. Во втором приближении эволюция 6 уже не является локальной .(разд. 18).
.//. Решения для д(/) при р =л = о
Если давлением можно пренебречь, то уравнения (10.2) для возмущения плотности совпадают с уравнениями (10.3):
@2己/由2 + 2 R/a) @6/dt = 4nGp66.(11.1)
-Решения, обсуждаемые в этом разделе, применимы для моделей, в которых отсутствует релятивистский фон и Л = р — 0. В этом случае космологическое уравнение (10.9) имеет вид
сс!(Г = %nGp6 - R~2/a2 = 8/3"Gp« [ 1 +(Q『一 1) а ⑴侬].(11.2)
Здесь а。——современное значение масштабного фактора, а параметр плотности Qo, определяемый величиной R~2, равен отноше-
нию современной средней плотности вещества к плотности вещества в модели Эйнштейна — де Ситтера, у которой постоянная Хаббла такая же, как и в модели (11.2), т. е. Hq = do/ao [приложение, уравнения (97.3) и (97Д2)].
力.Модель Эйнштейна——де Ситтера. При достаточно малом а, т. е. при *
1 + Z м а°/а》I Qo 1 — 1 I，(11.3)
уравнение (11.2) записывается в том же виде, что и в модели Эйнштейна——де Ситтера:
^2 = 8/злОр6а2.(11.4)
Поскольку рь ос а-з, решением этого уравнения служит
а ос У", 6nGp£=l,(11.5)
а уравнение (11.1) преобразуется к виду
@2“由 2 + %厂1 @“df = 2/зГ26>(Ц.6)
Это ——однородное по / уравнение, и поэтому его решения — степенные функции времени. Подставляя в уравнение (11.6) д ос /% найдем
6 = 4(х)/2/з + в(х)/Т.(11.7)
Открытая модель. Если разностью Q——1 нельзя пренебречь, то воспользуемся уравнением (11.2), чтобы в (11.1) перейти от независимой переменной f к переменной а [142, 247]. Вводя новую переменную [уравнения (11.2) и (97.20)]
x = |q-1(/)-1| = |q(71- 1|а «)/% = 3|rt|/8“Gp〃f) а2, (11.8) найдем
解6 (3 Ч- 4х 曲j3dс/1 1 小
石Г十 2x(!工幻右一■2х2(1±х)，(>
где верхний знак относится к открытой модели Q < 1, а нижний——к замкнутой Q > 1. В замкнутой модели 尤=1 в момент максимального расширения, т. е. при & = 0 (11.2). В открытой модели х = 1 отмечает момент перехода от ранней стадии, на которой расширение происходит почти так же, как в модели Эйнштейна—де Ситтера, к поздней стадии, для которой характерно почти свободное расширение.
Решения уравнения (11.9) можно выразить через гипергеометрические функции, по, чтобы найти растущее решение, легче применить уравнение (10.8) и параметрическое решение для а (/)•
Соотношение (11.3) определяет красное смещение Z.— Прим. ред.
Для открытой модели параметрическое решение записывается в виде
a = A(chn—1), f = 5 (sh п —叫，(11.10)
где Л н В — постоянные. Подставляя эти выражения в уравнение (11.2), найдем
% = % 冗 Gp 必 3|R『， b = 4|R|oc|rF.(11.11)
Поэтому формула (11.8) [см. формулы (97.23)] принимает вид % = a/24=%(chT]_ 1)三 QT(* — 1,(11.12)
где Q — параметр плотности в момент п・ После некоторых преобразований это уравнение можно представить в форме
ch т] = 2х + 1,shn = 2j?/2(l +%)"；
ch (т)/2)= (1 +х)1/2, sh (п/2) = х1/2,(11.13)
т] = 21п[(1 +х)1/2 + х1/2] = -21п[(1 +х1/2)-х|/2].
Если продифференцировать второе уравнение (11.10) по 向 при фиксированном f и использовать соотношения (11.11), то получим
d^/d\R\ =-(3/1 R I) (sh n - r])/(ch n - 1).(11.14)
Следовательно, первое из выражений (11.10) дает
д ос а— да/д | R | ос 5 = 3 sh n[(sh n — 口)/ (ch “一 I)2] — 2. (11.15)
D\ — это растущее решение, которое записано через параметр п, определяемый уравнением (11.10). Это решение было получено Вайнбергом [435],и Эдвардсом и Хитом [84]. С помощью уравнений (11.13) можно перейти от переменной п к переменной х <х a(t) и представить (11.15) в форме, выведенной Гротом и Пиблсом [142]:
3«) = 1 4-3/х + 3(1 +x)'-2x_3/2ln[(l +х)1/2-х1/2].(11.16)
Затухающее решение получается непосредственно из уравнения (10.12). С помощью уравнений (11.2) и (11.8), найдем
X = а2 ос (1 + 尤)/%, а ос х,
；• поэтому
гдосО2=(1 +х)|/2/х3/2.(11」7)
|Это уравнение было, выведено Гийо и Зельдовичем [149].
F При 尤《1, когда расширение происходит почти так же, как &р модели Эйнштейна—де Ситтера, уравнения (11.16)壮(11.17) ^записываются в форме
IО, = 2/5х = 2/5 (Зт/2)2/3, 5 = %72 = 2/зт",(11.18)
歹 5 Заказ № 82
где т — безразмерное время:
т = 3/s//(nGpa31R F)= % (sh п — т])・(11.19)
Как и следовало ожидать, решения (11.18) согласуются с реше・ ннем (11.7), выведенным для модели Эйнштейна——де Ситтера. В случае х》1, т. е. когда модель расширяется свободно, решения стремятся к
4 = 1, 02 = %-' = lL(И.20)
В этом предельном случае возмущения плотности перестают расти. Таким образом, если начать с очень ранней Вселенной, когда параметр плотности Й(« 1 и 修=曾丁一1 [уравнение (11.8)], то оказывается, что полный коэффициент увеличения растущей моды равен
6(8)/" = 5// = 5/2(q”_ °(11.21)
Вселенная расширится в 〜(Q,】一I)"1 раз, прежде чем Q начнет заметно отличаться от единицы, и 6 возрастет приблизительно во столько же раз.
Интересно сравнить решения (11.16) и (11.17) со степенными решениями (11.18) в том случае, когда %f 1 и модель начинает отгоняться от модели Эйнштейна——де Ситтера. При % = 1 сред* няя плотпость равна й = 0,5 (11.12), т. е. половине плотности в модели Эйнштейна—де Ситтера, а т] = 1,763 [формула (11.12)] и т = 0.533 (11.19). Приближение малого х в этот момент дает
£>1^0,344, О2« 1,25,(11.22)
что очень близко к значениям, вычисленным при том же т с помощью точных решений (11.16) и (11.17):
5 = 0,261, 4= 1,41.(11.23)
В ходе расширения от х = 1, Q = 0,5 к 尤f оо, QfO растущее решение Di увеличивается еще в (0,261)-1 = 3,8 раза. При 尤=9 параметр плотности равен Q = 0,l, время т = 7,7 и D\ = 0,69, т. е. на 30 %) отличается от конечного значения. Таким образом, рост малых возмущений плотности сильно подавляется, как только Q становится меньше 0,1.
В. Замкнутая модель. Уравнения, описывающие замкнутую модель, можно получить, если положить
П =削―4=—Az, 5 = Z夕，R = iR—x = 一хл. (11.24)
Первые две строки соотношений (11.13) дают
sinn=±2[x(l- х)]! £ tg п/2 = ±[х/(1 一 х)][/2,
Т)= 2 arctg [х/( 1 — х)]1/2, 2л — 2 arctg[x/(l — х)]1/2. (11.25)
В каждом этом соотношении верхний знак относится к фазе расширения, т. е. к 0 < Т)< л, а нижний — к фазе сжатия: л < п < <2 2л. Если подставить (11.24) и (11.25) в уравнение (11.15) и изменить знак, чтобы решение было положительным, то полу- чим растущее решение [142]
—1 + 3/х — 3 (1 —尤У ?力—з 2 arctg[x/(l — x)]1 2
при 0 < i] < л,
60c 5—1 + 3/х — 3 (1 — х)1 2 x-3/2{arctg[x/(l — х)Т 2 — д}
при л < п < 2n.
(11.26)
Затухающее решение следует непосредственно из уравнений (11.17) и (11.24):'
68。2=±(1(11.27)
где по-прежнему верхний знак относится к фазе расширения, а иижний — к фазе сжатия. Решение, которое обращается в нуль в момент сжатия в сингулярность, есть
。3 = 口 十 3・т5.(11.28)
Это решение совпадает с первым решением О】，если в нем изменить ход времени на противоположный*
При малых х для значений D\ также справедливо приближенное решение (11.18). В момент максимального расширения, т. е. При 尤=1, т = л/2, это приближенное решение дает
01^%(%т产 3 = 0,71,(11.29)
тогда как в точном решении (11,26)
:5(л:=1) = 2.(11.30)
3 В фазе сжатия, когда х-> 0 и Вселенная приближается к сингулярности, £>i расходится по закону
О】Зг/х'"2 比 2л/(л — т).(11.31)
/2. Решения для 6(/) : влияние однородного фона излучения
Вселенная заполнена весьма однородным фоном микроволнового излучения. (Вероятно, это реликтовое излучение, оставшееся от ранней горячей Вселенной; ФК, гл. V). Кроме того, возможно, существует однородный фон вырожденных нейтрино с массой покоя, равной нулю, или фон гравитационного излучения. Этот 5*
фон очень слабо взаимодействует с веществом. Неоднородности в распределении вещества, характерные размеры которых значительно меньше ctt создают посредством сил гравитации пренебрежимо малые возмущения фона, так как потенциал неоднородностей |(р|《с2. Однако фон влияет на развитие неоднородностей в распределении вещества, поскольку он ускоряет расширение Вселенной.
Этот эффект будет рассчитан при упрощающем предположении, что Вселенная плоская или почти плоская, т. е. что в уравнении (11.2) можно пренебречь членом с &一2 Предполагается также, что характерный размер неоднородностей 九&с/, и, следовательно, фон можно считать строго однородным. Случай 九》cf рассматривается в гл. V (разд. 86).
Скорость расширения равна
(а/@У = 8/3乙о(卩 + &), р, ос @-3, & ос 口-4(12.1)
Здесь 从 ——средняя плотность вещества, давление которого равно нулю, а 鋁一плотность релятивистского фона. Вследствие космологического красного смещения энергия каждого фотона (или нейтрино с массой покоя, равной нулю, или гравитона) изменяется пропорционально а-1(^), а число квантов в единице собственного объема пропорционально L ⑴.Это дает 疗 ос L [см. соотношения (97.15) и (97.16)].
Если давлением вещества можно пренебречь и вещество и излучение не взаимодействуют, то уравнение для малых возмущений записывается, как и выше, в виде
^jdfi + 2 (厶/о) дб/dt = 4门0卩6,(12.2)
где 6 = 6ц/ц ——возмущение плотности в нерелятивистском веществе. Удобно произвести следующую замену переменных:
у =卩倡=a/^eq,(12.3)
где @eq ——значение масштабного фактора в эпоху, когда 从=鋁・ При у《1 скорость расширения определяется 齒，а при у》1 преобладает 从.Переходя в уравнении (12.2) от независимой переменной ^ к а, а потом кун используя (12.1) и (12.3), найдем [142, 247]
rfW2 + [(2 + 3^)/2y(l +y)]d6/dy-36/2y(l +у) = 0. (12.4)
Это уравнение нельзя решить методом, примененным в разд. И, так как возмущено только вещество, но не излучение. (В пределе %》ct этот метод позволяет найти решения; разд. 86.) Можно найти решение, если попробовать подставить в уравнение d26/dy2 = 0. В результате получим решение Мессароша [247]
6 ос Qi = 1 + %У・(12.5)
Так выглядит решение для растущего возмущения. Теперь можно найти второе решение, если записать
КУ) 5 (办(12.6)
Подставим это соотношение (12.6) в (12.4) и получим
f7f = -2D71 dDJdy - (2 + Зу)/2 (1 + у),(12.7)
или
f = -\dy/[y(l+3/2yf(l+y)'12].(12.8)
Проинтегрировав, найдем/
d«p2=(14- з/叫)in [㈠常｝；]-3(1+ 力々(12.9)
Это затухающее решение было выведено Гротом и Пиблсом [142]. Справедливы следующие разложения £>2：
fin (4/у) - 3 = % In (8/т) - 3 прну《1,
(4/15у3/2 = 8/45тпри у》1,
где
T=(8工0咼38”勺.
Предельное значение 5 в случае у》1 проще всего получить из уравнения (12.8).
При больших у решение (12.5) для растущего возмущения представляется в форме'
Q = 3/叫=(3//3 声3,(12.11)
т. е. в этом случае £Ь совпадает с результатом для модели Эйнштейна——де Снттера (11.7). При у < 1 растущая мода почти постоянна, поскольку 卩 V醫，и, следовательно, характерное время расширения 〜(G醫尸借 меньше характерного времени роста возмущений в веществе 〜(Gn)-^2. Таким образом, даже если бы вещество и излучение не были связаны, однородный фон излучения стабилизировал бы распределение вещества при больших красных смещениях, т. е. при 醫 >卩(до тех пор, пока характерный размер неоднородностей 九《с/; разд. 86).
Рассмотрим открытую космологическую модель, в которой переход от радиационио-доминированпой стадии к стадии, когда преобладает вещество, происходит задолго до того, как Q начинает заметно отличаться от единицы. В такой модели можно объединить решение (12.5) с решением из п. 11В. В интервале, где справедливы оба решения, соотношения (12.3) и (12.5) дают
6=(1 + 3/29)& & % (a/aeq)",(12.12)
тогда как из уравнений (11.8) и (11.18) следует
д ОС О, = 2/5х = 75 (Q^1 - 1) а/ао •(12.13)
Поэтому на стадии, когда преобладает вещество, решение записывается в виде
6=%[(1 +Zeq)/(Q^— 1)] 口⑴"，(12.14)
где [см. формулу (97.17)]
1 + Zeq == a0/«eq = 4,2 • 1O4QoA2,(12.15)
a Zeq — красное смещение, при котором плотности вещества и излучения равны. Функция £>i зависит от Qo и определяется уравнениями (11.8) и (11.16). Очень приближенно можно считать, что нижний предел Qo = 0,03, тогда 4 = 0,86 и из уравнений (12.14) и (12.15) следует
6 〜130A2df.(12.16)
Если h равно наименьшему из обсуждаемых значений (т. е.力比 。0,5), то возмущения возрастают только в 6/6^30 раз. Это значение следует даже уменьшить, если заметный вклад в плотность фона вносят различные типы нейтрино с нулевой массой покоя, которые остались с той эпохи, когда при больших красных смещениях существовало термодинамическое равновесие. Следовательно, в те эпохи, когда доминирует вещество, линейная стадия роста возмущений, возможно, вносит лишь сравнительно небольшой вклад (все зависит от параметров космологической модели) в увеличение возмущений, которое необходимо для образования галактик и скоплений галактик [142, 149].
/3. Решения дляь© : модели с А#0
Изучение законов гравитационной неустойчивости в моделях Леметра с Л =# 0 было стимулировано в 1967 г. [30, 33, 259, 336] работами Петросяна, Солпитера и Секереша [330] и Шкловского [386]. В этих работах предполагалось, что обсуждавшийся пик при 2^2 в распределении квазаров появляется в квазистатиче- ской фазе модели Леметра с А =/= 0 (п. 4В). В историческом плане эти задачи интересны в связи со статической моделью Эйнштейна и расширяющейся моделью Эддингтона, которая асимптотически приближается к модели Эйнштейна при —оо.
Будем предполагать, что давлением вещества и любым фоном излучения можно пренебречь. Это предположение допустимо, так как в моделях Эддингтона и Леметра наиболее интересна эволюция бр/р в квазистатической фазе. Считается, что красное смещение в этой фазе не может быть много больше единицы, и, следо-
(13.2)(13.3)(13.4) эти обо-(13.5)(13.6)Й 8 = 0.(13.7)(13.2)(13.3)(13.4) эти обо-(13.5)(13.6)Й 8 = 0.(13.7)рательно, можно не учитывать плотность энергии микроволнового субмиллиметрового излучения..
(13.2)
(13.3)
(13.4) эти обо-
(13.5)
(13.6)
Й 8 = 0.
(13.7)
(13.2)
(13.3)
(13.4) эти обо-
(13.5)
(13.6)
Й 8 = 0.
(13.7)
Модель Эйнштейна является особым случаем, так как фон в этой модели не расширяется. Поэтому уравнение (10.3) записывается в виде
而/由2=4m而而，(13.1)
6 = exp [± (4nGpb)"2 /] = exp [ 土tA”'].
Модель Эйнштейна, как отметил Толмен [412], сильно неустойчива, причем характерное время роста флуктуаций равно (4лбр6)",/з.
Для моделей Эддингтона и Леметра удобно ввести некоторые обозначения. В модели Леметра масштабный фактор имеет точку перегиба а = ае при а = 0, d > 0. Поскольку
а/а = —4/злОр + %А,
получаем, что плотность в этот момент равна
Ре = А/4лО.
Удобными безразмерными величинами являются
х — а/%, 1 一 е = R-2/а£.
Если модель расширяется всегда, то е》0. Используя значения, найдем для X [формула (10.10)]
а=Х'12, Х = '/3АаЦ2/х + х2-3(1-е)].
Следовательно, решения (10.12) записываются в форме ■дос р2=[х3-3(1 -е)х + 2]|/2/х3/2,
:дос D^D^X) j х3/2[х3-3(1 -e)x + 2]-3/2dx.
* Модели Эддингтона соответствует предельный случг В этой модели растущая мода решения
5=(—1)(% + 2)々卢 2
й асимптотически
" п _ ( 31/2(Х— 1) = 31/2(а — ав)/ав при а — ае^ае, 必一<(10.0)
Uпри а》％・
В выражении для 0! нижний предел интегрирования равен 尤о, причем 光0>1, так как при 尤=1 интеграл расходится. Новое
затухающее решение можно получить, взяв суперпозицию Di и D? в виде
4 (х) = 5 (Х) J (Х- 1)~3 (Х + 2厂3/2 *3/2 dx =
-402 --402 -—1 (・“2 —3% + 2
-402 -
-402 -
—18 f х (х — 1)
一各一各3“？+ (1 +2/х)1" 3“2- (1 +2/x)i/23“？+ (1 +2/х)1" 3“2- (1 +2/x)i/2]}• (13.9)]}• (13.9)
一各
一各
3“？+ (1 +2/х)1" 3“2- (1 +2/x)i/2
3“？+ (1 +2/х)1" 3“2- (1 +2/x)i/2
]}• (13.9)
]}• (13.9)
Это решение имеет следующие асимптотики:
А= 1/6 (х— 1) при %~ 1, D3= 1/2№ при %》L (13.10)
Другая форма записи этих решений приведена в работе [84].
В модели Леметра е > 0 и Di является растущим решением, а 02 — затухающим при 力《1. (S достигает минимума при х^ 1, а при больших 尤 растет, стремясь к значению。2=1 при %》1.) Полагая нижний предел интегрирования в (13.6) равным х = О, найдем, что справедливы следующие асимптотики:
01 = */5,02 = 2"2/x3/2, х《[；
D1= j [х3-3(1 -e)x + 2]~3/2x3/2dx, D2= 1, х» 1;(13.11)
О
^2 — (3e)I/2, х= 1.
Если £《1, что соответствует длительной квазистатической фазе, то основная часть интеграла набирается при %^1. Поэтому, записывая %=1+у и разлагая выражение в квадратных скобках в ряд до членов порядка у2, найдем
D)= 2/33/2е при х》1, е< 1.(13.12)
Если в некоторый момент %t«l задолго до квазистатической фазы относительная флуктуация плотности в растущей моде была равна 6〃 то флуктуация плотности при 芍》1, т. е. значительно позже окончания этой фазы, равна [33]
д? = (Ю/33/2ех;)дг. (13.13)
Эта формула указывает, что до наступления квазистатической фазы возмущение возрастает в ^ху1 = ае/а； раз, т. е. приблизи- телтзно так же, как в модели Эйнштейна——де Ситтера. После этого возмущение усиливается в е-1 раз в течение квазистатического периода и перестает расти, когда 4лСрь становится существенно меньше А.
Удобно выразить е через te — время задержки модели в ква- зистатической фазе. Это время отсчитывается от 尤=0, т. е. от начала расширения, и до % = %『》1 [формула (13.5)]. Оно равно
f = (3/A)"2] xl/2dx/[?-3(l -£)х + 2]|/2.(13.14)
о
Если продифференцировать это выражение по е и затем вычислить интеграл способом, примененным при выводе формулы (13.12), то можно найти
dtldE=-^lz^~\(13.15)
Следовательно, время задержки равно
/е = -(1п е)/А1/2.(13.16)
В соответствии с формулой (13.13) коэффициент усиления возмущений в квазистатической фазе равен 〜е~1 а уравнение (13.16) означает, что
е-1 = ехр(Л1/2/в).(13.17)
Этот результат, полученный Бречером и Силком [30], согласуется с уравнением (13.1).
Как отметил Леметр, в течение квазистатической фазы возможен заметный рост возмущений, а как только 4лСрь становится значительно меньше А, рост возмущений подавляется. Существуют различные мнения о том, разумно ли предполагать, что коэффициент усиления возмущений действительно велик. Если считать, что время задержки значительно превосходило А~%, то коэффициент усиления в самом деле велик и равен £一1 [см. формулу (13.17)]. С другой стороны, если е-1 велико, то кривизна пространства Rae в момент перегиба а (/) должна отличаться от А」％ на чрезвычайно малую относительную величину е/2 [см. формулу (13.4)].
В моделях Эддингтона, Эйнштейна и Леметра галактики могут образовываться в результате эволюции термодинамических флуктуаций. Например, можно было бы представить себе, что модель Эйнштейна первоначально была однородна с точностью до дискретного строения вещества. Тогда образовались бы гравитационно связанные объекты, каждый из которых состоял бы из нескольких частиц. Эти объекты двигались бы и стимулировали появление объектов большей массы. Этот процесс продолжался бы, и образовались бы объекты с массой, равной массе галактик, причем для этого потребовалось бы время порядка Из линейного анализа возмущений не следует, что процесс роста флуктуаций ответствен за общее однородное расширение Вселенной. Чтобы объяснить расширение, необходимо предположить, что сна-
чала величина 尤[формула (13.4)] была немного больше единицы (п. ЗВ).
Интересная проблема возникает вследствие того, что в рассматриваемых моделях существует характерная плотность р$ [формула (13.3)]. Плотность любого объекта, образующегося в квазистатической фазе, по порядку величины должна быть равна ре независимо от размера объекта, так как необходимо относительно слабое сжатие, чтобы была удовлетворена теорема ви- риала. Несмотря на то что плотность в ограниченной системе могла бы увеличиться вследствие релаксации, в модели, где все объекты образуются с одинаковой плотностью, по-видимому, очень трудно объяснить наблюдаемый широкий диапазон плотностей в системах галактик: от компактных групп до скоплений и свсрх- скоплений (п. 4Б).
Поле пекулярных скоростей
Если давление равно нулю, то поле пекулярных скоростей v(x, /) в линейном приближении описывается уравнениями
dv/dt + (а/а)v = g, а~{^ • v + дб/dt = 0,(14.1)
где пекулярное гравитационное ускорение g равно
g (х) = Срь@ j &3д/6 (х- /) (хл — х)/| xz — х |3.(14.2)
Это выражение получено из соотношений (8.2) и (9.2), а два предыдущих уравнения для скорости течения выведены в случае свободных частиц из уравнений (9.5)——(9.7), в случае же идеальной жидкости ——из уравнений (9.17). Решением уравнений (14.1) является
v = ad (g/4n.Gpba)/dt + F (x)/q (f), V • F = 0,(14.3)
где второй член представляет однородную часть. С помощью непосредственной подстановки можно убедиться в том, что найденное решение удовлетворяет второму уравнению (14.1). Если же подставить это выражение для v в первое уравнение (14.1), то получим
早а皆鳥早а皆鳥4nCag.4nCag.(14.4)(14.4)
早а皆鳥
早а皆鳥
4nCag.
4nCag.
(14.4)
(14.4)
Возмущение 6 является суммой двух членов, каждый из которых эволюционирует со временем так же, как и。仪⑺一решение уравнения (10.3). Поэтому уравнение (14.2) означает, что g представляется в виде суммы двух членов, изменяющихся по закону gaocPbaDa.(14.5)
С помощью этого выражения уравнение (14.4) приводится к виду (10.3).
В соответствии с уравнениями (14.3) и (14.5) скорость, связанная с каждой модой возмущений, определяется уравнением
Va = (ga/4nGp6) D%\ dDfJdt.Va = (ga/4nGp6) D%\ dDfJdt.Рис. 14.L Зависимость параметра возмущения f от параметра плотности Й 1315] (опубликовано издательством Чикагского университета, авторское право Американского астрономического общества, 1976),
Va = (ga/4nGp6) D%\ dDfJdt.
Va = (ga/4nGp6) D%\ dDfJdt.
(14.6)(14.6)Для модели Эйнштейна——де Ситтера поле скорости в растущей и затухающей модах есть
(14.6)
(14.6)
Зв』"，v = g/a"/3,(147)
D2 a Г1, V = -3/2gf ос 厂4/3.
В растущей моде пекулярная скорость увеличивается по закону /%. В затухающей же моде скорость v и пекулярное ускорение направлены в противоположные стороны, т. е. вещество движется так, чтобы неоднородности плотности уменьшались.
Удобно записать (14.6) в форме
V = Hfg/4nG^ = 2fg/3〃氮 f = (a/Q) dD/dat (14.8) где H — постоянная Хаббла, a R ——параметр плотности [см. формулы (97.3) и (97.12)]. Если преобл ада ет растущая мода и можно пренебречь релятивистским фоном, то функция f, зависящая от S2, определяется уравнениями (11.8), (11.16) и (11.26). Эта функция изображена на рис. 14.1 [315]. Полезным аналитическим приближением для нее служит закон f (Q) = Q0*6. Окончательно уравнения (14.2) и (14.8) дают
va = (7Ya“4n)九，d3xzd (x)/| x，— x |.(14.9)
Эти уравнения показывают, как крупномасштабные неоднородности в распределении вещества связаны с крупномасштабным полем пекулярных скоростей v. Проверить соотношение (14.9) и получить полезную оценку Q, вероятно, можно будет тогда, когда возрастет точность наблюдений. Предварительно этот метод обсуждается в работах [200, 315, 390, 423] и в разд. 76—78.
Возведя уравнение (14.9) в квадрат и усреднив по х, найдем после интегрирования по частям
〈吟=("咽2 jgd英(9),(14.10)
где безразмерная автокорреляционная функция определяется выражением
Еу) =〈6(х)6(х + у)〉・(Н.П)
Обобщение (14.10) на случай нелинейных флуктуаций рассматривается в разд. 24.
Тензор сдвига поля пекулярных скоростей равен
и：в+ *а6邱 V • V
u邙=-й3—=
=* (言* - %6邙経)J 心心(X')/1 X' 一 х 1. (14.12)
Возведя это выражение в квадрат, затем усреднив по х и проинтегрировав результат по частям, найдем
SamaB〉= %(〃f)2〈62(X, £)〉•(14.13)
Уравнение (14.13) было выведено Силком [392] для модели Эйнштейна——де Ситтера. Общее уравнение для тензора сдвига обсуждается в разд. 22.
/5. Условия, связывающие 6 〃 v
Если в некоторый момент времени 力(например, в момент рекомбинации) заданы возмущение плотности 6(- и поле пекулярных скоростей V,, то в последующие моменты времени возмущение плотности эволюционирует в линейном приближении по закону
д = Л(х)Р1(/) + В(х)Р2(0，(15.1)
а V развивается в соответствии с уравнением (14.3). Значения 6, и V, определяют функции Д и В:
6i = AD{ (Z)+BD2(/),
—V • Vi/a^AdD^ (i)/df + BQ (i)/df.(15.2)
Аргумент i означает, что О и его производная вычислены в начальный момент времени 乙.Уравнения (15.1) и (15.2) дают
6= Q/E) [5 ⑴ dD? (0Ж- D2 ⑴ dD. (1)/(1^ +
+ V »[Q (f)02u) 一02 ⑺5 0)]/"£, (15.3) E = D{ (/) dD2(i)/dti — A (/) dQ] (i)/dff.
Подставим это выражение в (14.9) и найдем поля скоростей, связанные с растущей и затухающей модами. Для этого нужно учесть, что
j &з/(Xх — х) IX，一 х「3 V j V»(X，)= — 4лvf (х).(15.4)
Поскольку вихрь левой части (15.4) равен нулю, соотношение (15.4) справедливо в том случае, если V XV/ = 0. Поэтому удобно записать скорость в виде суммы двух членов, причем ротор первого члена и дивергенция второго члена равны нулю：
vz = vf+ v[. (15.5)
В таком случае соотношение (15.4) применимо к члену 叫，а член у； равен однородной составляющей F/а» в уравнении (14.3). В итоге имеем
v =v =陪网（X，f陪网（X，f1 「d0i(E) dD2 (Z)1 「d0i(E) dD2 (Z)£ I df£ I dfdfjdfj
v =
v =
陪网（X，f
陪网（X，f
1 「d0i(E) dD2 (Z)
1 「d0i(E) dD2 (Z)
£ I df
£ I df
dfj
dfj
d/)2 ⑴ dQ[ (2) 1 I “ a ⑴ 1「dD? (f)八 /П _
吗,5U)] + v&/a(/)・ (15.6)
Для модели Эйнштейна——де Ситтера эти уравнения принимают вид
七=-5/зА«)2(0/力，
6 = 3/5(〃厶)2/3 也一⑵他)V . Vi] +
+ % (力〃)也 + 3/2 (Л/aJ V • v,], (15.7)
V =% (〃幻"3[v? + (s/4M) ]¥%'“•(x') (x'— x) I x'— x「3] +
+ % (%/f)"3 [vf — 2/3 (ail^tt) ] "%，& (x‘) (x' — x) I x' — x I-3] + + (/J/)"' V?.
Если в момент 力 скорость v： = 0, то из первого уравнения (15.7) следует, что 3/s от 6； приходится на долю растущей моды. До рекомбинации жидкость, состоящая из вещества и излучения, возможно, была турбулентной. Тогда, принимая, что движение
было дозвуковым, можно ожидать, что 6/^0 и v -V/^O, но что V/ велико. В этом случае амплитуда растущей моды определяется уравнениями (21.30) и (21.31).
Критическая длина Джинса
Будем предполагать, что вещество можно рассматривать как идеальную жидкость, давление которой является функцией только плотности. В этом случае с точностью до членов первого порядка имеем
Р = Р (рь) +(G)2PA c； = dp/d().(16.1)
Следовательно, уравнение (10.2) принимает вид
”6/3/2 + 2 (a/a) dNdt^(cs/af v2d + 4лОрй&. (16.2)
Поскольку коэффициенты этого уравнения не зависят от х, его решение можно записать в виде суммы плоских волн
6 = 6(f)exp[Zk ■ х], Х = 2ла (/)/^,(16.3)
где Z ——собственная длина волны. В результате дифференциальное уравнение для амтчитуды волны 6(/) выглядит следующим образом:•
d2b/dt2 + 2 伝汝)d6/df = [4лОрй -⑸左価产]。.(16.4)
Как следует из правой части уравнения (16.4), действие гравитации противоположно действию градиента давления. Для очень длинных волн, т. с. для 走 f 0, уравнение (16.4) сводится к случаю, когда давление равно нулю. Этот вариант обсуждался выше в разд. 11 ——15. Когда же дл ин а волны очень мала, т. е. k велико, преобладает член, описывающий давление, а 6 колеблется так же, как в звуковой волне. Давление и гравитация уравновешивают друг друга, если длина волны равна длине волны Джинса
Z7 = cs(n/GP(,)l/2.(16.5)
Общая задача для переменного во времени фона была включена в опубликованную в 1902 г. работу Джинса о гравитационной неустойчивости. Уравнение (16.4) представляет частный случаи этой задачи, хотя он н не обсуждался в работе Джинса. Джинс вывел соотношение (16.5), предположив, что фон является однородным и не зависит от времени. Он понимал, что такое предположение приводит к затруднению： неограниченное однородное распределение вещества нс имеет определенного гравитационного потенциала, а ограниченное в пространстве распределение должно коллапсировать. Выход из этого затруднения удалось найти только гораздо позже. Он состоит в том, что в случае одно-
родного расширения мы имеем дело с космологической моделью Фридмана——Леметра и для этой модели последовательным образом можно определить потенциал ср (разд. 8).
Некоторый интерес представляют два частных случая соотношения (16.5). Для идеального одноатомного газа скорость звука при постоянной энтропии равна
cs=(5/3kT/m)'/2,(16.6)
следовательно, длина Джинса для такого газа записывается в виде 九」=(5〃 走 ТуЗОрь/п)''.(16.7)
Может оказаться (см. гл. V), что благодаря фоновому излучению температура газа поддерживается почти однородной. Тогда 彳=kTftn и
3 = {^kTjG^b^ •(16.8)
В пределе 九《九j член, описывающий давление, во много раз больше члена, обусловленного тяготением. Если к тому же можно пренебречь расширением, то (16.4) сводится к
d2"df2+ (g々/a)2 6 = 0.(16.9)
Решением же последнего уравнения служит бос ехр[—&А〃а工.(16.10)
Влияние расширения на амплитуду колебаний можно оценить в адиабатическом приближении. После подстановки выражения д = Л (0 ехр [—к( (01(16.11)
в уравнение (16.4) найдем
d2A/dt2 — 2t dA/dt d^/dt — iA d?屮/d产—A (d(p/d/)? +
+ 2 (々/a) dA/dt — 2〃(a/a) d^/dt + W^a。？ 一 4лСрьА = 0.(16.12)
В соответствии с уравнением (16.10) можно ожидать, что dq；/df 〜q^/a 〜1/Г, Л*1 dA/dt 1/f,(16.13)
где Т ——период колебания волны и f ——продолжительность расширения Вселенной. Когда 7《f, два преобладающих члена в (16.12) пропорциональны Г—, и их можно исключить, положив
dy/df = csk/a.(16.14)
Следующие по величине члены в (16.12) . пропорциональны «Т)т. Если опустить члены порядка /~2, то остается
4d2q)/df2 + 2dA/dt d^jdt + 24 (a/a) d(p/df = 0,( 16 ] Г
d^jdt ос (Ла)-2.
Это уравнение определяет зависимость амплитуды от времени, а уравнение (16.14) дает фазу. Итак, в адиабатическом приближении решение записывается в форме
дос & (/)а «)『/2ехр [т [ (csk/a) d/]. (16.16)
Последнее соотношение показывает, как расширение Вселенной и изменение скорости звука влияют на амплитуду звуковых колебаний плотности при р《рс2. Случай р 〜pd обсуждается в разд. 88.
/7. Первичное магнитное поле как источник */р
Предполагают, что магнитные поля, наблюдаемые в Галактике и во внегалактических объектах, вполне могли существовать до того, как образовались галактики. Возможно, их источником была первичная турбулентность при больших красных смещениях, а, возможно, они уже существовали в момент начала расширения Вселенной (разд. 4В и 95). (Были приведены также доводы в пользу того, что магнитное поле нашей Галактики не могло бы существовать в течение 1010 лет, так как из-за динамической неустойчивости оно должно было покинуть Галактику за более короткое время. Тогда необходим какой-то механизм динамо, способный поддерживать поле в Галактике и, возможно, вновь генерировать его из очень маленькой затравки [287].) В [431] отмечено, что слабое первичное магнитное поле с запутанными силовыми линиями приводит к интересному эффекту: оно служит источником флуктуаций плотности, которые усиливаются обыкновенной гравитационной неустойчивостью. Таким образом, минимальное значение 6р/р получается в том случае, если постулировать существование слабого запутанного первичного магнитного поля.
Будем предполагать, что поле вморожено в газ, так как даже очень малой остаточной ионизации достаточно для того, чтобы можно было пренебречь омической диссипацией. Магнитная сила, действующая на вещество, заключенное в единице объема, равна
F = (1/с) j X В = (4яа)-Ч7ХВ)ХВ =
= (4ла)-*[(В • V)B-VB72]. (17.1)
Если давлением можно пренебречь, то движение вещества описывается уравнением
dv/df + (£/а) V = F/р。+ g.(17.2)
Взяв дивергенцию этого уравнения и применив соотношение для 6 (14.1), найдем
严"。产 + 2 Q/a) дб/dt =
=4nop6d + (4冗废加t дад^ (%严6邺一8。80).(17.3)
Мы приведем решение уравнения (17.3) только для модели Эйнштейна——де Ситтера, так как в этом случае уравнение упрощается, и, кроме того, эта модель является хорошим приближением для более сложных моделей при умеренно больших красных смещениях (Z>Q；i). Поскольку поток сохраняется (В ос а~2) и рь ос Q-з, член)описывающий поле, эволюционирует по закону а*3 ос /~2, и уравнение (17.3) можно переписать в виде
d^ldt2 + (4/3/) dbg 一 2/зМ产=S, (f")2,
S, = [4m仙(i)尸 дад6 С/2вЬа₽ -明вр).(l7,4)
Здесь член, описывающий поле, отнесен на начальный момент времени 力，т. е., возможно, на момент рекомбинации.
Предположим, что в момент времени ti б( = 0 и d6i/dt — 0. Поскольку два решения однородного уравнения известны, можно записать функцию Грина
「“，、[(仏)2/3 一(％")] при f > 办，
0(/，/。)= "，/,(17-5)
(Опри t <tQ.
Тогда искомое решение выглядит следующим образом [431]: 6(X, /) = j О (/, /о) Sj (fi/t^ dt0 = 3/5SM?匣(〃⑴2/3 _|_ 乙〃 _ 5/J。
^ *0 (〃切2/3 [^/4ла?рй(/)]九兆(％硫邱-醇硏).(17.6)
При выводе окончательного выражения предполагалось, что 厶《 《厶 Из этого выражения следует, что первичное иоле порождает начальное возмущение плотности
6 = %oSd 〜虚〃р忌(17.7)
где Ki — собственная длина корреляции поля и, конечно, предполагается, что Sj #= 0.
Можно также вычислить вихрь скорости
ю = V X v/a.(17.8)
Беря ротор уравнения (17.2), находим [431]
d^ldt = [^b{t\\~x V Х(В • v)B,(17.9)
细(х, t) = 3g [4лрь (i)废尸 V X (Bi . v) Bi.
6 Заказ № 82
Второе уравнение получено для модели Эйнштейна——де Ситтера и />//. Из уравнений (17.7) и (17.9) следует, что
施⑴〜也.(17.10)
Величина ts служит мерой возмущения, связанного с циркуляцией скорости, так как 心 характеризует вращение за время расширения. Если правая часть в (17.9) равна нулю, то в модели Эйнштейна——де Ситтера о)затухает как а— или (о/ ос 力一力 Присутствие магнитного поля приводит к тому, что величина со/ поддерживается постоянной на уровне начального значения 6, тогда как 6 под действием гравитации растет по закону /2/3. Таким образом, при /》力 скорость, связанная с о), меньше, чем безвихревой компонент скорости (14.9), связанный с 6 (f).
Альвеновская скорость пропорциональна Вр-%, и поэтому магнитная длина Джинса (16.5) равна
%В 〜B/pG"% а«).(17.11)
Поскольку Gp 〜尸2, эффективное значение начального возмущения, определяемого соотношением (17.7), приблизительно равно
&~几")/左F(17.⑵
Из (17.12) следует, что возмущение, вызываемое магнитным полем, является существенным, если длина корреляции 九 достаточно близка к магнитной длине Джинса.
Если предположить, что расширение однородно, и использовать соотношение Ав ос а (2), то удобную меру длины корреляции В для интересующих нас возмущений можно определить через величины, отнесенные к современной эпохе. В плоской или почти плоской Вселенной коэффициент нарастания возмущений с момента рекомбинации в линейном приближении равен по порядку величины 103. Следовательно, мы хотели бы, чтобы 6；〜10一3, или 现(%)~0,03入0.(17.13)
Полагая 厶。〜1 Мпс (это приблизительно равно расстоянию между небольшими галактиками), получаем, что необходимая для создания возмущений напряженность магнитного поля в настоящее время равна 〜10一9 Гс. Для сравнения укажем, что напряженность межзвездного магнитного поля в настоящее время равна — 10-6 「с при концентрации частиц 〜1 протон/см3. Если такую среду подвергнуть изотропному расширению до концентрации 10-6 см-3, то напряженность магнитного поля уменьшилась бы до 〜10-1° Гс. А такое поле уже сравнимо по величине с тем, которое мы хотели бы иметь. Таким образом, если магнитное поле Галактики является первичным и оно не было существенно усилено (например, дифференциальным вращением), то влияние такого поля на формирование начальных возмущений плотности в масштабе галактик могло быть существенным. Перенос момента
количества движения из магнитного поля, измеряемый произведением вихря на время, в некоторых отношениях менее интересен, поскольку он не усиливается гравитацией. В заключение подчеркнем еще раз, что вычисленное в этом разделе возмущение 6；— это минимальное возмущение, получающееся в предположении, что в эпоху рекомбинации возмущения отсутствовали вообще. Вполне возможно, что магнитное поле В, каково бы ни было его происхождение, порождает некоторую остаточную неоднородность в распределении вещества (разд. 95),
Второе приближение для ьр/р
Довольно просто вычислить бр/р = 6 (х, t) во втором приближении, а с точки зрения применения этого приближения интересно рассмотреть рост во времени коэффициента асимметрии в распределении величин 6. Поле скоростей во втором приближении исследовано в разд. 89. В работах Томиты [415, 417] и Хантера [186] дано общее описание проблемы, а в работе Пиблса [298] рассмотрено приложение второго приближения к задаче о моменте количества движения протогалактики.
Будем предполагать, что вещество можно приближенно рассматривать как идеальную жидкость, давление которой равно нулю. Уравнение (9.19) с точностью до членов второго порядка включительно по 6 и v выглядит следующим образом:
加6/0产 + 2 (а/a) Ob/Of =
=4冗ср侨(1+а + vd •厂屮/出+九也(i8.i) где потенциал <р [см, соотношение (8.1)] равен
屮=—Срь。2A (х),
Д (х) = j |х — xz|-1 6(X，) d3x\(18.2)
Чтобы вычислить 6 во втором приближении, необходимо в последний член (18.1) подставить скорость, найденную в линейном приближении. Если предположить, что существует только растущая мода, то эта скорость равна [см. формулу (14.6)]
” =®/4nQ) Д, a dD/dt.(18.3)
В первом приближении возмущение плотности записывается в виде
^^6q = A(x)D (£),(18.4)
где D (/)——растущая мода. Чтобы оценить, насколько по мере приближения к единице 6 отклоняется от этого закона, подставим 6, записанное в виде
b = do(x, f)[l+е(х, /)], do《l, е< 1,(18.5)
в уравнение (18.1) и отбросим члены порядка б^е и более высоких порядков. Члены, пропорциональные 6о, в сумме дают нуль, так как 6о ——решение уравнения для линейных возмущений. В результате подстановки в уравнение (18,1) получаем
d%/d 俨 + 2(D-1 dD/dt + a/a) d^/dt =
=4пСрД)-Срь(до, M\ a + (16冗202^-1 (dD/df)2 九@B (A, 0, p). (18.6) В модели Эйнштейна——де Ситтера
D s 仪з, блОрь/2= 1,(18.7)
поэтому (18.6) можно проинтегрировать, что дает
6 =加 + 欧=加 + 5/7^-(1/4л) 6о, аД, а+( 1/56“2) Д, а₽Д, а(5 • (18.8)
Обе постоянные интегрирования опущены и оставлена только наиболее быстро растущая часть е.
Уравнения (18.4 ) и (18.8) определяют во втором приближении решение бр/р как функцию х и 2 Видно, что в этом приближении эволюция возмущений не является локальной: возмущение плотности в данной области через А (18.2) связано с начальными возмущениями в других областях.
Эти результаты интересно применить к задаче о росте со временем коэффициента асимметрии в распределении при некотором / величин 6 (х, /). Будем предполагать, что начальное возмущение 6i《l обусловлено случайным гауссовым процессом, так что оно полностью характеризуется автокорреляционной функцией (х). Тогда первые моменты 6( равны
〈6(х)〉=0,
〈6(Х1)6(Х2)〉= а(|Х1 — X2I),
<d(Xi)d(x2)d(x3)} = 0,(18.9)
〈6(X,) 6 (х2)6 (х3) 6 (xj〉= £(|Х1 — Х2|)а (I х3 — Х41) +
+ Е (I Xi — Хз|) S (I х2 — Х4 I) + Е (] Х1 — х4 I) S(I х2 — Хз I).
Величины 6/ (х) распределены по нормальному закону, причем дисперсия этого распределения равна ^(0), а среднее значение 〈6,〉= 0. В линейном приближении 6 растет как D (/), и, следовательно, дисперсия пропорциональна g(0, t)oc D (/)2.
Поскольку справедлив закон сохранения массы, вторая поправка к 6о и поправки более высокого порядка не должны изменять равенство <6> = 0. Чтобы проверить справедливость этого утверждения для уравнения (18.8), используем соотношения
(18.10)(18.10)〈闻 a\ а)=-<еа. аа) н 4h〈险=4或(0),(А, арД, аВ〉=〈А, ааА,晔〉=16л2£(0).
(18.10)
(18.10)
С их помощью найдем, что <е60> = 0, и поэтому〈6〉= 0, как и следовало ожидать. Интересно рассмотреть коэффициент асимметрии, который в самом низком порядке равен
〈03〉= 3〈舔〉.(18.11)
(Коэффициент асимметрии распределения 60 равен нулю.) Чтобы оценить коэффициент асимметрии (18.11), необходимо предварительно вычислить средние значения некоторых величин. Из последнего уравнения (18.9) найдем
<磅=3(磅：=3片(0).-(18.12)
Для третьего члена (18.8) имеем
〈晟0, аД. а〉= %〈必 оД а〉= -7з：Ш, аа〉= 4^(0).(18.13)
Из последнего уравнения (18.9) найдем, что четвертый член в (18.8) дает
<^Д, а₽Д. а₽) = ё (0) <д, а₽Д, а₽> + 2 <Д, а^ <Д. аР6>.(18.14)
Таким образом, находим
〈А 3, ав〉= (А, <х<Д рр) = 16л2£(0),
<боД, ав〉= |/зМВ〈боА, YY〉= -%〃№咤(0),(18.15)
〈电,аоА aP> = 8W(0).
Собирая все члены вместе, получаем, что коэффициент асимметрии флуктуаций плотности равен
03〉= 34/走 2(0),'(18.16)
причем дисперсия в низшем порядке равна
«2〉= Н0)・(18.17)
Коэффициент асимметрии становится положительным, потому что для нелинейных флуктуаций 6 в плотных областях растет до больших значений, тогда как в почти пустых областях 6 стремится к минимальному значению 6 = — 1. Когда среднеквадратичное значение флуктуаций равно 50 %, т. е. когда 6р/р = 0,5 или g(0) = (0,5)2, коэффициент асимметрии равен
〈®)/р 广严=о,67.(18.18)
Таким образом, отклонение от нормального закона распределения является значительным.
/9. Сферическая модель
Сферическая модель ——это наиболее простая нетривиальная модель, описывающая, как эволюционирует объект типа галактики или скопления галактик до начала сжатия. В этой модели предполагается, что Вселенная сферически симметрична относительно некоторой точки, а вещество является идеальной жидкостью, давление которой равно нулю. Такая модель может служить неплохим приближением на ранних стадиях фрагментации. Однако, за исключением некоторых особых случаев (разд. 25), этой модели не следует доверять с того момента, когда начинается сжатие. Дело в том, что с этого момента модель становится очень неустойчивой по отношению к нерадиальным движениям (разд. 20 и 21),
А. Энергия 〃 максимальный радиус. Предположим, что в некоторый начальный момент времени 厶 пекулярная скорость сферического возмущения относительно общего расширения равна нулю. Рассмотрим слой вещества, находящийся вначале на собственном расстоянии п. Тогда кинетическая энергия (относительно центра), приходящаяся на единицу массы, равна
Ki = %〃M.(19.1)
В однородной модели, служащей фоном, потенциальная энергия единицы массы равна [приложение, формула (97.12)]
I 肥| = QK,(19.2)
где Q； — параметр плотности в момент /(. Если же масса, заключенная в пределах сферы радиуса 叫，равна
M = p/i(l + Q, % = %♦；,(19.3)
то из уравнения (19.2) следует, что на расстоянии /\・ потенциальная энергия единицы массы составляет
|Г;| = <2Л,(1 + 6*),(19.4)
а полная энергия имеет вид.
f = K,—— |%| = -|l%|[& —(Q「一 1)]/(1 + 6*)-(19.5)
Если 6* меньше критического значения Q'1——1, то в модели открытой Вселенной полная энергия (19.5) положительна и слой будет расширяться всегда. (Мы предполагаем, что внутри этого слоя нет других движущихся слоев.) Если же 6：>C;i—1, то
на расстоянии гт расширение слоя прекратится, причем в это время потенциальная энергия единицы массы будет равна
(19.6)
(поскольку W ос г~* и Кт = 0), Тогда, используя соотношение (19.5), найдем радиус слоя в момент максимального расширения
=(1 + 由,5 - «尸-1)].(19.7)
Формула (19.7) выражает связь между начальным возмущением плотности и отношением максимального радиуса к начальному.
Движение слоя вещества. Чтобы упростить выражения для общего решения г (/), будем предполагать, что в момент 貪 Qz^ 1 и 6：《1 и что существует только растущая мода возмущений плотности. Поскольку 6 * [соотношение (19.3)] определено для случая V/ = 0, из уравнения (15.7) следует； что амплитуда растущей моды равна
&=%б；.(19.8)
Затухающую моду можно ввести в уравнения, которые будут выведены ниже, если в уравнения (19.11) добавить постоянную величину к времени Л
Пусть г (/)——собственный радиус слоя, внутри которого заключена масса М. Тогда ускорение слоя равно
d2rldt?=-GM[产.(19.9)
Предположим, что этот слой не пересекается с другими слоями, т. с. что масса М постоянна. В таком случае первый интеграл уравнения (19.9) принимает вид закона сохранения энергии
(dr/dt)2 = 2GM/r + СГ(19.10)
где постоянная интегрирования С > 0 для слоя с положительной энергией и С <： 0 для слоя с отрицательной энергией. Решение уравнений (19.9) и (19.10) записывается в параметрической форме:
при С > 0 г = 4 (ch 8 — 1),/ = В (sh 0 — 8),
при С < 0 r = 4(l—cosU), / = В (0 — sin0), (19.11) 43 = GMB2.
Подобные же уравнения описывают и эволюцию однородной модели фона. Выбирая для этой модели масштабный фактор 〃(/)=№«) так, чтобы внутри сферы радиуса г (/) содержалась такая же масса М, имеем для открытой модели
Гь = Дь (ch Л—1), £ = & (sh п —叫，Аь = GMBl. (19.12}
Уравнения для замкнутой модели записываются аналогичным образом.
Решения (19.11) и (19.12) для ранней Вселенной можно исследовать, разложив их в ряд по малому параметру Т) и 8《1.
Для первой строки (19.11) получим 2/бВа(1 + %硝.(19.13)
Поэтому
'/6fi03«41 -'/2о(6//В)2/3].(19.14)
Радиус равен г^1МО2 (1 + 1/1202).(19.15)
С помощью решений (19.11) и (19.14) представим г в виде у ^GMty^ll + %о(6"В产К(19.16)
Тогда средняя плотность внутри сферы радиуса г составляет рл = 3/4М/лг3 = (блО/2)-1 [ 1 -3/20(6//В)2/3].(19.⑺
В уравнении (19.17) плотность представлена в виде отклонения от плотности в плоской космологической модели. Плотность модели фона можно записать подобным же образом. В момент времени h плотность космологического фона отличается от плотности плоской модели, расширяющейся с такой же скоростью, на относительную величину
(6р/р)(, = &—1 Q-(Qj- 1).' (19.18)
В (19.18) первое соотношение определяет Qi, а второе следует из предположения, что £2/^1. Растущая часть возмущения равна [формула (19.8)]
(6р/р)бЕ _%= -3/5 (Qj - 1).(19.19)
Тогда из (19.17) следует, что в момент 力 отношение средней плотности внутри возмущенной области к плотности модели фона равно
р'他=[1 + % — з/2c(6/JB)2/3]三 1 + 6；.(19.20)
Это уравнение определяет В как функцию 6；, т. е. функцию относительного избытка массы внутри г(:
В = 6%/[2%(“—б；)『/2.(19.21)
Подставляя это выражение в последнее из уравнений (19.11) и используя (19.17), находим .
4 = 3-/[10也一由](19.22)
Величины А и В для модели фона можно получить, если подставить б^ = 0 в формулы (19.21) и (19.22). Заметим, в частности, что уравнения (19.12), (19.19) и (19.22) дают [см. формулы (97.23)]
2Q” 一 1 = ch i]p(19.23)
Полученные уравнения определяют движение слоя вещества относительно модели фона. Величина Q связана с параметром п выражением
ch 口 = 2QT — 1.(19.24)
Параметр 0 определяется тем, что время f (19.11) совпадет с временем модели фона:
В (sh 8 — 8) = 8匕(sh “ —叫・(19.25)
.Подставляя выражение (19.21), находим
sh0-6 = (l - б；/%)''? (sh п- П)・(19.26)
^Следовательно, радиус слоя равен [уравнение (19.22)]
г = 3/1Огг(Л0- 1)/(дс - 6；),(19.27)
а средняя плотность записывается в виде
y=3/4m/"3.(19.28)
Отношение этой плотности к плотности модели фона определяется выражением
' р7р6 = [гй (0/г (О]3 = [(1 - б//бс) (Ch ri - 1 )/(ch 0 - 1 )]3. (19.29)
Скорость же слоя относительно начала координат есть
и = dr/dt = (r/f)[sh 0(shO- 0)/(±0 - I)2].(19.30)
В открытой Вселенной эти уравнения описывают эволюцию слоя вещества с положительной энергией. Уравнения для случая отрицательной энергии или закрытой Вселенной получаются с помощью подстановки (см. п. 19Д)
о-> /е, л-> —д, в-»в(19.31)
В. Распределение плотности. В уравнении (19.29) р‘一средняя плотность внутри возмущенной области. Чтобы получить массу, приходящуюся на единицу объема на расстоянии г, необходимо продифференцировать р‘. Предполагается, что начальная амплитуда растущей моды 8’ является заданной функцией начального радиуса: 6[=6：(々).При фиксированном f и, следо-
вательно, при фиксированном 刀 в соответствии с уравнением (19.26) имеем
调Et = -[3/2(6С -6；)][(shO-0)/(±0-1)]d&ldn.(19.32)
Тогда производная г [формула (19.27)] равна {rtlr)drldri = 1 +
+ [「i!(^c — &)] [ 1 — 3/2 sh 0 (sh 0 — 0)/(di 0 — I)2] dbjdrt ==
=1 + [rtKbc 一 6；)] (1 — 3/2叫Г) d^i/dri, (19.33)
где v — скорость расширения слоя [формула (19.30)]. Поскольку в момент ti между & и 々 + d& заключена такая же масса, как и в момент / между сферами радиусов г и r+ {drldr^dri. плотность записывается в форме
р(г, /) = р,・(г，)2/(力/力i).(19.34)
Отношение этой плотности к плотности модели фона составляет
Р (г，о/рь (/) = (〃/『)3 (力/r)(力/")-*(19.35)
причем первый из сомножителей в правой части определяется уравнением (19.29), а остальные — уравнением (19.33).
Напомним, что 6；——начальный относительный избыток массы в пределах радиуса 后：
d； = ЗгГ3 j г2 dr 6i(r),(19.36)
о
где 6/ (ri)——начальная относительная флуктуация плотности на расстоянии п，Таким образом,
ri dbjdri = 3 (也一6-).. (19.37)
Подставляя это выражение в (19.33), находим искомое выражение для плотности
(l-*/%)3(chr)—l)3/(ch8—1)3
T+T[(d^d^7^^)J[i^^' * 丿
Г. Поведение в пределе Q-> 0. При больших f в открытой космологической модели параметр плотности Q стремится к нулю и влияние гравитационного ускорения становится несущественным, поэтому небольшие флуктуации плотности перестают расти. В линейной теории возмущений полный коэффициент роста возмущения равен [формулы (11.18) и (11.20)]
*/也=5/2@/一1)=3/2%,》《1.(19.39)
Используя сферическую модель, можно вычистить коэффициент роста для несколько больших флуктуаций. При ff оо 0 н *q велики, поэтому формулы (19.26) и (19.38) дают
Pf/Pb = (1-6；/%)Е2/[1 - 3/2 6 — 6；)/® - К)].(19.40)
Напомним, что 6/ ——начальная относительная флуктуация плотности на расстоянии п, а 6；—— средняя флуктуация плотности в пределах 门[формула (19.36)]. В предельном случае 6： и 6；《 <^С 6С уравнение (19.40) записывается в виде
Р“Рь=1+%"/",(19.41)
что согласуется с формулой (19.39). Если градиент плотности в возмущении мал, то 6；^田 и соотношение (19.40) можно упростить
Pf/Pb—1=*= (1—6 他厂 3/2—1.(19.42)
Из (19.42) следует, что при 6^ = 0,376с плотность становится в два раза выше плотности фона, т. е. 6/ = 1. Если же 6 / > 6С, то энергия слоя отрицательна и 8 увеличивается беспредельно. Таким образом, существует довольно ограниченный диапазон начальных флуктуаций плотности
0,37%《&《&,(19.43)
в котором возмущения хотя и достигают значительной величины (6/》1) на поздних стадиях расширения (Q『《l), но все же продолжают свободно расширяться. Был приведен ряд доводов в пользу того, что некоторые группы галактик представляют собой ограниченные области повышенной плотности, участвующие в общем расширении (например, [138]). Это вполне возможно, если, скажем, 0о^О,ОЗ и относительный избыток плотности в группе много меньше 30. Однако уравнение (19.43) свидетельствует о том, что такая ситуация реализуется не так-то просто» поскольку опа требует весьма своеобразного выбора 6〃 Поэтому в теории гравитационной неустойчивости свободно расширяющиеся группы галактик были бы распространенным явлением только в том случае, если бы 6( часто было немного меньше 6С. Но такое предположение, видимо, слишком искусственно. Неясно, является ли эта проблема теоретической или наблюдательной.
Д. Замкнутая 〃 плоская космологические модели. Подставив (19.31) в уравнения (19.24)——(19.29), получим cosr)= 2Q-1 — 1, 0 - sin 0 = (1 + & &严2 (n — sin 外)，
г = з/т(1 —c()s6)「(6；+ %),(19.44)
P /рь = [(〔 +，/бс) (1 — COS 叫(1 — COS О)]3, &》一％,
где 6С необходимо переопределить следующим образом:
“ = з/5(1—QL).(19.45)
Решение для плоской космологической модели получается из уравнений (19.44), если в них перейти к пределу Q->1 и “f 0. В этом случае уравнение (19.45) вместе с первым из уравнений (19.44) дает
^ = 2(1-^7У'2 = 2Шс)112.(19.46)
Поскольку масштабный фактор изменяется по закону
а ос 1 — cos n 0c 谓(19.47)
уравнения (19.44) можно преобразовать к виду
0-sin8 = 4/3『/36；a(f)/a 产，
г = 3/ю(г,/бЭ(1 -COS0),(19.48)
р'/рб = [% (а/。?)就/( 1 一 cos 0)]3 = 9/2 (0 — sin0)2/(1 — cos 0)3.
Как и следовало ожидать, в соответствии с линейной теорией возмущений при 8《1 эти уравнения дают
р'/рб= 1 + (。他)6：.(19.49)
Слой вещества достигает предельного расширения при 0 = л. В этот момент, как следует из уравнений (19.48), отношение плотности в слое к плотности фона равно
рт/рь = 9л2/16 = 5,6.(19.50)
Если бы все вещество входило в такие сгустки, то коэффициент заполнения пространства был бы равен рь/р；=0,2・ Таким образом, очень приближенно, с точностью до порядка величины, можно считать, что в тот момент, когда сгустки начинают сжиматься, они заполняют все пространство. Другой вывод соотношения (19.50) приведен в работе Кихары [204].
В плоской космологической модели момент времени, когда достигается максимальное расширение, записывается в виде
fm = [6nOP6(fm)]-1/2.(19.51)
Значит, в этот момент в соответствии с (19.50) средняя плотность внутри слоя равна
рМ = з/з 亦/о 為.(19.52)
Если слой выбран так, что он представляет собой внешнюю границу протогалактики, и если по наблюдаемой в настоящее время структуре галактики мы оценили рт, то уравнение (19.52) дает оценку эпохи 〃，в которую объект достиг максимального
расширения [291]. Полагая в первом из уравнений (19.48) 0 = л, найдем [296]
* = 3/5 (Зн/4)2/з aja^ = %(з/g/〃产з. (19.53)
Это выражение определяет искомую амплитуду растущего возмущения плотности в некоторый начальный момент времени 力. Полученные результаты были использованы в тех случаях, когда делались попытки построить количественные модели, эволюции галактик и скоплений галактик [133, 147, 291].
Уравнения (19.50), (19.52) и (19.53) с точностью до численного коэффициента можно получить из анализа размерности [нужно использовать 6 ос 步/з； уравнения (4.1) — (4.9)]. Можно надеяться, что численные коэффициенты, которые дает сферическая модель, приблизительно верны, но сомнительно, чтобы точность этих коэффициентов была лучше 2. Дело в том, что вряд ли существует определенный момент максимального расширения протогалактики или протоскопления и вряд ли радиальные скорости вещества, находившегося первоначально на одинаковом расстоянии от центра, хотя бы примерно одновременно обращались в нуль. В следующих разделах рассматриваются некоторые особенности развития нерадиальных движений.
Модель однородного эллипсоида
В сферической модели, исследованной в предыдущем разделе, принимается, что внутри эволюционирующего протообъекта существуют лишь радиальные течения. Но это предположение, несомненно, перестает соответствовать действительности, как только модель прекращает расширяться. Простейший способ описания нерадиальных течений состоит в том, чтобы приближенно представить протообъект в виде изолированного однородного сфероида, состоящего из идеальной жидкости, давление которой равно нулю. Почти во всех работах, в которых исследуется эта модель, рассматриваются сплюснутые эллипсоиды. У таких фигур две оси равны, а это значительно упрощает уравнения и служит хорошим приближением на стадии конечного коллапса эллипсоида. (Сжатие в веретенообразный объект является исключительным случаем.) Коллапс сфероида из состояния покоя обсуждался в работах Линден-Белла [234] и Лина, Местела и Шу [232]. Рассматривалась также эволюция эллипсоида, который сначала расширяется [189], и анализировался случай трехосного вращающегося эллипсоида [260]. В работе Зельдовича [449] обсуждалась аналогия между эволюцией однородного сфероида и эволюцией части однородной анизотропной космологической модели: локальные уравнения движения можно записать в одинако-
вой форме, причем приливные силы в первом случае определяются формой поверхности эллипсоида, а во втором--топологией модели.
Поверхность эллипсоида задается уравнением
(x/a)2 + (y/b)2 + (z/cy=lt(20.1)
где х, у и z — собственные декартовы координаты и а, b и с — полуоси. Гравитационный потенциал внутри эллипсоида равен [201]
Ф = лОр (Лх2 + 8犷 + с%, V①=4Wp (力
л = aЬe1 (a + f-b2 dk,з = абе f (状+ 大尸尸"欧，(20.2>
00
C = abc^ (с2 + к)~х Г112 dk, f = (a+ Z)(b2 + k) (tf2 + X). 0
Коэффициенты At В и С удовлетворяют соотношению A + B + C — =2, откуда следует, что Ф подчиняется уравнению Пуассона. Если две оси равны, то интегралы берутся в элементарных функциях. Интересно рассмотреть сплюснутый сфероид, для которого а = b > с. В этом случае имеем
А — В —「(1 —arcsin е — (1 二V)"?],2。3>
e= 2「(i -/产(一成尸/2 一 arcsine],*
где эксцентриситет е определяется формулой
e = (1-阅川)"2.(20.4)
Гравитационная энергия такого сфероида равна
Г = 3/5 (ОМ2/а) arcsin е/е,(20.5)
где масса М записывается в виде
м = %ара2c = 4/злра3 0 - е2)1/2.(20.6)
Каждый элемент вещества удобно характеризовать постоянными сопутствующими координатами х. Если движение сохраняет однородность (а следовательно, и потенциал), то можно считать, что х" связано линейным законом с собственным расстоянием элемента г^, измеренным в инерциальной декартовой системе координат:
d = 4耶⑺叫(20.7)
где /ав зависит только от времени. Потенциал внутри эллипсоида можно представить в форме
①=%① aB(/)d禺-(20.8)
Квадратичная форма (20.8) получается из формы (20.2), если систему координат повернуть так, чтобы оси координат перестали совпадать с осями эллипсоида. Ускорение элемента жидкости равно.
d^raldt2 = %Bd2 AxВ/d 产=—ФаРгР,(20.9)
откуда .'
£4 邱/d 产=-①。Y4响(20.10)
Если начальное поле скоростей однородно, то его можно представить в виде
〃а=以弘叫木.(20.11)
Это соотношение определяет начальные значения dA^/dt,
Для начальных значений 力“廿 можно выбрать эллипсоид так, чтобы его оси совпадали с осями координат. Тогда недиагональные компоненты тензора Л будут равны нулю, а диагональные компоненты положим равными
川 1 = а,力22 = ь, лзз = с(20.12)
Таким образом, в сопутствующей системе координат поверхность эллипсоида (20.1) записывается в виде
(х1)2 + (х2)2 + 出)2= 1.(20.13)
Поскольку жидкость движется, уравнение поверхности эллипсоида в собственной декартовой системе координат принимает вид
^(Л-'«₽г₽)2= 1.(20.14)
, а
Уравнение (20.14) соответствует эллипсоиду, который повернут относительно осей координат. Это уравнение вместе с уравнением (20.2), записанным в повернутой системе координат, позволяет вычислить тензор Фар. Теперь, зная начальное значение dA^/dt, с помощью уравнения (20.10) определим параметры однородного течения жидкости.
Скорость течения равна
〃а = dra/dt = Н^г^, ”邛=А^ dA^dt. (20.15)
Это уравнение является обобщением закона u = (@/a)r на случай однородного изотропного движения. В соответствии с уравнением (20.13) в сопутствующей системе координат объем эллипсоида равен 4/зЛ, Поэтому в собственной системе координат объем равен
V = %汽 4 4 = det| 力 а。|.(20.16)
Используя справедливое для матриц тождество
dA/dt = A (dA^/dt) 4一【叫(20.17)
найдем
VTdV/dt = H&a；(20.18)
этого можно было ожидать, так как след тензора Н равен дивергенции скорости и. Кинетическая энергия записывается в виде
к = */2р J 炉dr = %р4 d^ldt d^/dt J %。炉 d3x =
=RM d^ldt dA^dt. (20.19)
Второе равенство получено в результате перехода от переменных г к переменным х, а третье выведено на основании предположения, что поверхность эллипсоида определяется уравнением (20.13).
Продифференцировав "明 найдем
dA-^/dt = 一4一山 m力Y6/加)4T%20
dH^/dt + Ha^H^ = -ФаЭ.')
Первое уравнение (20.20)——это выражение для производной обратной матрицы, а второе уравнение следует из (20.10), Тензор 〃а0 удобно представить в виде
77«₽ = 0д«Р/3 + 0ар — o)ttp , 5理=仃昵，Оаа = 0，^ар = —(0ра , (20.21)
Антисимметричная часть "ав представляет собой вихрь(оар, симметричная часть, след которой равен нулю,— это тензор сдвига 0аз, а след "邱 назовем расходимостью или расширением 0 (© = V -и). Подставляя (20.21) в уравнение (20.20) и разделяя симметричную и антисимметричную части, получим
de/dt + l/з©2 + <?2 一 w2 = 一①^ = -4лОр(0，
02 = Пармар，w2 = wap(oap, d^ldt = —p0,. (20.22)
de^ldt + 2/3eaaP + 0иуаУр 一履耶炉+孤心书+%内公2=
=一①邱+1/36邺①YY，
dSas/df + 2/зОо)с(р + CagyB + %YavP =。・
Источником oap, связанным с гравитацией, служит та часть Фар, след которой равен нулю и которая является гармонической составляющей в решении уравнения Пуассона. Эта составляющая потенциала Ф есть поле приливных сил, которое определяется формой поверхности эллипсоида.
Сфероид обладает осью симметрии, которую можно выбрать в качестве координатной оси х? Тогда симметрия относительно оси %з означает, что тензор оаз диагональный, причем аи = а22, а единственными отличными от нуля компонентами тензора ⑴仪自 являются
(012 = —<i)2i = Q,(20.23)
где Q ——угловая скорость вращения. Радиальные компоненты скорости точек, расположенных в полюсе и на экваторе поверхности эллипсоида, определяют скорости изменения полуосей:
da/dt == (7з© + 5i)。，(20.24)
dc/dt = H^c = (7з© + озз) с.
Продифференцировав эти выражения по / и использовав (20,22), найдем уравнения движения
af/aldt? = Q? — 2лбрЛ, L&ldt? = — 2nGpC. (20.25)
Последнее из уравнений (20.22) и уравнение (20.23) дают
dQ/dt + 2 (Q/q) da/dt = 0, Q ос a~2.(20.26)
Как и ожидалось, ускорение вдоль полуоси а содержит центробежный член qQ2, и Q изменяется обратно пропорционально квадрату этой полуоси.
В соответствии с уравнением (20.19), кинетическая энергия сфероида равна
К =九М [2 (da/df)2 + (dc/dt)2 + 2a2卧],(20.27)
а его потенциальная энергия определена уравнением (20.5).
На рис. 20.1 и 20.2 показаны два примера эволюции сплюснутого невращающегося сфероида. В обоих случаях начальная скорость расширения изотропна:
а~{ da/dt = с-1 dc/dt, £ = 3(20.28)
и начальное отношение осей с)а равно 0,8, а единицей измерения вертикальной оси служит начальное значение полуоси эллипсоида а. Энергия сфероида, представленного на рис. 20.1, отрицательна: начальная кинетическая энергия составляет 0,9 от начальной потенциальной энергии. Штриховой кривой показана эволюция радиуса однородной сферы, у которой начальный объем, масса и отношение кинетической энергии к потенциальной такие же, как и у сфероида. На рис. 20.2 представлен сфероид с положительной энергией: у него начальная кинетическая энергия превосходит начальную потенциальную энергию в 1,01 раза. Интересно, что, несмотря на это, система сжимается вдоль малой оси.
По мерс того как сфероид приближается к сингулярности типа «блин», т. е. когда с->0, уравнения (20.3) и (20.25) дают
d^aldR =國¥ — з/gGMM，(Pc/d^ = —3GM/a2.(20.29)
Первое уравнение свидетельствует о том, что гравитационное ускорение радиуса 《блина》 близко к ускорению радиуса сферы с такими же массой и радиусом. Из второго уравнения следует, что ускорение с сравнимо с ускорением а: вблизи оси на единицу
7 Заказ № 82
ВремяВремяРис. 20.1. Эволюция сплюснутого сфероида. Начальное отношение осей с/а=0,8, а начальное отношение кинетической энергии к потенциальной К/ W=0,9. Пунктирная кривая показывает изменение радиуса сферы с такими же начальными объемом, массой и отношением к/既
Время
Время
Рис. 20.2. Эволюция сплюснутого сфероида. Начальное отношение осей с/а=0,8, К/1Г=1,(М.
площади 《блина» приходится масса а = з/^м/^а?, и, поскольку «блин》 можно считать плоским, чуть выше плоскости 《блнна» поле ускорения почти однородно и равно
g = 2nGo = ЗСМ/бЛ (20.30)
Поэтому кривизна линий а (£) и с (/) на рис. 20.1 и 20.2 почти одинакова. Поскольку с приближается к нулю с примерно постоянной скоростью, можно сказать, что сингулярность типа 《блнн》 является кинематической. Вращение, увеличивая а, стремится замедлить сжатие, но как только производная dc/dt становится отрицательной, уже трудно повлиять на закон приближения к сингулярности.
Если все три оси различны, например а> b > с, то в уравнении (20.2) Л < В < С. Поэтому первой к нулю стремится c(f), т. е. образуется эллиптический 《блин》. Конечно, этого не случится, если скорость расширения вдоль оси с будет большой, но тогда роль с будет играть одна из других осей. Только при специальном выборе начальных условий две оси могут одновременно обращаться в нуль, что даст сингулярность, напоминающую веретено.
Модель эллипсоида нс обеспечивает хорошего приближения в случае эволюции малых флуктуаций плотности (6р/р《1), так как в этой модели предполагается, что вне эллипсоида вещества нет. Рассмотрим, например, эллипсоид с однородной плотностью р, окруженный средой, плотность которой однородна и равна рь, причем |р/рь—1|《1. Гравитационные силы вещества, находящегося внутри эллипсоида, стремятся как можно быстрее сжать эллипсоид в《6ghh》. Приливные же силы вещества за пределами эллипсоида почти полностью уравновешивают внутренние силы» и в результате этого, как и следует из линейной теории возмущений, бр/р растет медленно, а сфероид сохраняет свою форму. Пренебречь веществом, находящимся вне эллипсоида, и применить модель сфероида можно только тогда, когда избыток плотности становится существенным (вероятно, при р/р&——1 — 1). До этого момента сферическая модель служит лучшим приближением, так как в этой модели нет приливных сил, обусловленных внешним веществом.
Из рис. 20.1 11 20.2 следует, что, как только избыток плотности достигает величины р/р® — 1 〜1, в системе начинают развиваться сильные нерадиальные течения, которые «испортили» бы сферическую модель. Изредка приводились доводы в пользу того, что в начале сжатия протогалактика (нли протоскопление) обладает небольшой кинетической энергией и поэтому должна сжаться по радиусу примерно в два раза, чтобы определенная часть потенциальной энергии перешла в кинетическую. Последнее необходимо Для того, чтобы удовлетворить теореме вириала (см., например, [133, 332, 358]). Этот результат был бы очень важным, так как
он означал бы, что плотность устойчивого скопления, находящегося в вириальном равновесии, должна заметно превосходить плотность фона. Однако модель сфероида демонстрирует, что приведенные аргументы сомнительны. Пример, изображенный на рис. 20.1, показывает, что в момент, когда сфера достигла максимума расширения, сфероид уже превратился в 《блнн》и, следовательно, в нем должны быть развиты сильно нерадиальпые движения. В этот момент для сферы отношение кинетической энергии к потенциальной равно, конечно, K/W = 0, тогда как для сфероида в результате его сжатия K/W — 0,19. Однако ясно, что модель все же сильно упрощена, и можно ожидать, что после ее усложнения увеличится кинетическая энергия в условной точке максимального расширения и даже, возможно, исчезнет фаза любого сжатия. В разд. 71 обсуждается связь модели эллипсоида с двухточечной корреляционной функцией распределения галактик.
2/. Кадетики и《бмшы》
В некоторых случаях процесс формирования первого поколения объектов в расширяющейся Вселенной можно уподобить процессу построения каустических поверхностей в геометрической оптике, так как вещество накапливается в тонких слоях, или «блинах». В основе описания процесса формирования «блннов» лежит предположение о том, что начальные плотность и скорость являются плавно меняющимися функциями пространственных координат. Поэтому небольшой элемент вещества эволюционирует как однородная система, на которую воздействуют приливные силы, создаваемые окружающим веществом. В соответствии с идеями, обсуждавшимися в предыдущем разделе, элемент жидкости, первоначально имевший сферическую форму, со временем приобретает форму эллипсоида и в конце концов может превратиться в плоский «блин». Эта концепция обсуждалась при исследовании природы сингулярности в момент начала расширения в неоднородных космологических моделях [221, § 12; 228]. Зельдович [454] отметил, что концепция важна для описания образования объектов первого поколения в расширяющейся Вселенной. В работах Зельдовича [457] и Дорошкевича, Шандарина и Саара [72] сделан обзор влияния концепции 《блинов» на сценарии образования галактик и скоплений галактик.
Предполагается, что вещество можно приближенно рассматривать как идеальную жидкость, у которой начальные р и v являются гладкими функциями координат, и что траектории частиц могут пересекаться. Если вещество является газом, то последнее предположение нереалистично: результаты необходимо изменить начиная с того момента, когда образуется первый 《блин》. Сна-
чала дадим общее описание процесса образования《блина》，а затем рассмотрим удобное кинематическое приближение.
А. Общее описание. Пусть наблюдатель движется вместе с одним из элементов жидкости, и пусть положение соседних элементов вещества, измеренное в инерциальной системе координат, начало которой совпадает с наблюдателем, описывается функцией s(f), где / ——собственное время наблюдателя. Гравитационный потенциал, измеренный наблюдателем, обозначим через ф (s, /). Поскольку предполагается, что вещество распределено гладко, можно разложить Ф в ряд по s и оставить в этом разложении только самые младшие неисчезающие члены. Первая производная Ф равна нулю, так как жидкость и наблюдатель движутся инерциально, следовательно:
①=ШхВ«)53.(21.1)
Уравнение Пуассона дает
① aa = 4nCp,(2L2)
где р ——плотность в точке, в которой находится наблюдатель. Таким образом, уравнение движения соседнего элемента массы записывается в форме
d2sa/dt2=^a^.(21.3)
Поскольку это уравнение и первый неисчезающий член в разложении скорости линейны по s, движение вещества в окрестности наблюдателя можно записать в виде
s。«)=4邱｛t)s^(21.4)
(2L5)(21.6)(21.7)(2L5)(21.6)(21.7)где s? — координаты элемента вещества в начальный момент времени 力.Подставляя это выражение в уравнение (21.3), получим 42肥8/出2=—① ау/8.
(2L5)
(21.6)
(21.7)
(2L5)
(21.6)
(21.7)
Локальное поле скоростей записывается в виде
〃。=dsa/dt = (dAa^/dt) s? = ЯаЧ0 s°,Ha^ = (dAa^/dt) ATyB.
Дифференцируя H^ и подставляя (21.5), найдем dH^ldt + Н^н、§ =—①аВ .
Уравнения (21.3)——(21.7) можно сравнить с уравнениями (20.7)—— (20.20) для однородного эллипсоида. Существенное различие состоит в том, что в уравнении (21.3) гармоническую часть Фар, которая описывает поле приливных сил, обусловленных окружающим веществом, можно определить, только зная полное трехмер-
ное распределение вещества. Однако некоторые полезные результаты удается получить, даже если приливные силы не известны.
Для заданного элемента жидкости величины s? не меняются, поэтому объем элемента определяется соотношением
d3s = р (/) /*,尸=det I 4用(/)1，(21.8)
где /)— якобиан перехода от s, к s. Поскольку масса элемента сохраняется, его плотность равна
р (/) =《)"(/)•(21.9)
Используя уравнение (20.17), можно убедиться в том, что это соотношение согласуется с обычным уравнением неразрывности р-1 d^dt = —\= —〃f(21.10)
Из уравнения (21.9) следует, что в том месте, где якобиан Р обращается в нуль, плотность становится бесконечной, так как соседние траектории пересекаются. При фиксированном / двумерная поверхность Р = 0 определяет частицы, в которых р +оо и аналогична каустическим поверхностям в геометрической оптике [211, §54].'
Если в момент / =九 наблюдатель, движущийся вместе с частицей %, (1), находится на одной из таких поверхностей, то уравнение
4aB(1)押=0(21.11)
имеет нетривиальное решение QB, так как определитель Лар, совпадающий с Р, равен нулю. В соответствии с (21.4) вес частицы, которые вначале располагались вдоль (бесконечно малого) отрезка s( ос d, в момент 九 соберутся в точке s = 0, т. е. траектории этих частиц пересекутся в общей точке xj = x[xz(l), f]
В момент /] плотность вблизи точки Xi оценивается следующим образом. Если сначала семейство частиц располагалось на линии
Xj = Xf(l) + sd(21.12)
(параметр s служит мерой смещения вдоль d), то в момент времени / =力 оно будет лежать на линии
声=%： + % ①在呻：д^ 疗厘¥ +.(21.13)
В этом соотношении в соответствии с (21.11) отсутствует линейный по s член. Используя уравнение (20.17), якобиан Р можно разложить в ряд вдоль линии (21.12):
Р = Р(1)+(沖/d/)sdU = Р4-"В(Л4ftodx^sd". (21.14)
Первый член равен нулю, так как на каустике Р = 0. Во втором члене произведение РА~[^ в общем случае отлично от нуля, поскольку это произведение - - матрица алгебраических дополнений
элементов {ав Итак, вдоль линии (21.12) плотность меняется с расстоянием от каустики | х — xj (21.13) по закону
р ос I х — X] |-1,2.(21.15)
Ускорение силы тяжести, измеренное наблюдателем： в точке х【， пропорционально массе, приходящейся на единицу площади：
g 8 I X — X, |1/2.(21.16)
Другими словами, хотя плотность расходится, ускорение силы тяжести остается конечной и непрерывно меняющейся функцией при пересечении каустики.
Теперь исследуем относительные скорости частиц, лежащих на пересекаюгцихся траекториях, при /—>九. Для наблюдателя 爲⑴имеем
Л°Р (/) ^ Л«Р (九)+ « —九)dA^fdt.(21.17)
Подобные же соотношения справедливы и для семейства частиц, лежащего вдоль линии (21.12). Поэтому при /, близком к /ь относительные координаты частиц равны
s。⑺=(f — /J {dA^ldt) sdB = (t — /】)g&s, (21.18)
где 夕仪 определяет направление линии, на которой расположены частицы, траектории которых пересекаются приВдоль
этой линии относительная скорость частиц, отделенных друг от друга собственным расстоянием г, равна
и = —r/(/i — /), г ос q.(21.19)
Поскольку в точке [хг(1), %] производная по времени от Р в общем случае не равна нулю, плотность, определяемая наблюдателем xz (1) при 九,изменяется по закону
р ос I / — /j |-1.(21.20)
Этот результат согласуется с уравнениями (21.10) и (21.19). Если первоначально частицы располагались па поверхности Небольшой сферы
У (б?)? = const,(21.21)
причем центр сферы совпадал с х«), то впоследствии сфера превратится в эллипсоид (21.4)
X(47叭8)2 = const,(21.22)
а при /—>/] эллипсоид примет вид《блнна》，совпадающего с каустикой. Если вектор s； не параллелен вектору d (21.11), то
в конце концов Ла₽5? будет лежать в плоскости «блина». Поэтому нормаль к каустике па удовлетворяет условию
гЛ4aB (/i)sp = o.(21.23)
Поскольку это условие справедливо для любых s?, нормаль определяется уравнением
падар (^) = 0.(21.24)
Если тензор "㈱[соотношение (21.6)] симметричен, то вектор п параллелен q [соотношение (21.18)]. Чтобы убедиться в этом, заметим, что из симметрии 〃耶 следует
{d^ldt) А^ = {d^ldt) Ат、。，
肥6 {d^ldt) А~^ = dAM/必.(21.25)
Когда f-> fi, А-ЬФ расходится как Р1. Поэтому в общем случае (если определитель РА~^，0) имеем
Аа6 (\) (dA^/dt)\(}) = 0, qS*(i)= o, (21.26)
причем второе уравнение следует из (21.18). Сравнивая это соотношение с (21.24), видим, что в общем случае
4а = &，(21.27)
т. е. относительные скорости частиц, движущихся к точке пересечения траекторий при /1, направлены перпендикулярно 《блину». Это легко понять, если заметить, что при симметричном 〃邱 систему координат можно повернуть так, чтобы тензор ""В стал диагональным, Я22 и 〃зз остались конечными, а 〃” стало равным //" =—(九一/)т [соотношение (21.19)]. В такой системе координат движение происходит по направлению к《блину》вдоль оси (1), а сам «блин» расположен в плоскости (2, 3).
Уравнение (21.27) предполагает, что тензор 応В симметричен. Это означает, что движение является безвихревым, т. е. v Хи = =0 [соотношение (21.6)]. Из уравнения (21.7) следует, что если тензор 〃ав вначале был симметричным, то он сохраняет симметрию, так как Фа^ симметрично. Вихревые скорости рассматриваются в разд. 22.
Кинематическое приближение. Исследование значительно упрощается, если заметить, что к моменту, когда возмущения плотности становятся большими, скорости также сильно возрастают, и на конечных стадиях сжатия ускорением силы тяжести можно пренебречь [454]. В соответствии с этим исследуем движение жидкости начиная с момента времени 力，когда флуктуация плотности приблизительно равна |6小〜L Скорость элемента вещества, находящегося в момент 乙 в точке г：, обозначим через
我。(门)，причем г и и будем записывать в собственной инерциальной системе координат.
Поскольку в последующие моменты времени ускорением силы тяжести можно пренебречь, частица, которая находилась в точке 门，в момент 力+ 工 переместится в точку
尸=产 + ^(г?)匸(21.28)
Продифференцировав это выражение, найдем зависимость от времени относительного расстояния между двумя элементами вещества, располагавшимися вначале в точках гг и n + s/：
S«(T)=AaP(T) sf, 4aB ⑴=6邱 + 必吗 Аав = @аа/”?.(21.29)
Уравнение (21.28) показывает, как связаны г/ и г. Из этого уравнения следует, что плотность в элементе Г/ равна
р(т)_р,./р(гь т), P = det|4a"・(21.30)
Это соотношение представляет собой частный случай уравнений (21.4) и (21.8).
Раскрывая определитель Р и собирая вместе члены с одинаковой степенью т, найдем [301]
p = det I 門 + Tа"О7'力胃=
=1 4-т v .ua + i/zqE • u)2+ (vXu)2— E (AaP)2j + T3det|AaP|-
(21.31)
При малых т соотношение (21.31) дает р ос 1—т V >u, что согласуется с линейной теорией возмущений. Если дивергенция начального поля скоростей равна нулю (это можно было бы предположить, если 力 совпадало с моментом рекомбинации и если до рекомбинации течение жидкости, состоящей из вещества и излучения, было турбулентным и несжимаемым), то флуктуап,ия плотности сначала растет по закону т2. Для каждого из трех членов, отличающихся показателем степени т в (21.31), характерное время, в течение которого Р изменяется в два раза, равно 〜九/и, где 九——длина корреляции и, т. е. это время равно характерному времени пересечения области частицей.
Как отметил Зельдович, уравнение (21.28) открывает путь, позволяющий выйти за рамки теории возмущений и исследовать развитие первых плотных образований вещества. Исследование ведется почти так же, как и в п. 21А. Для заданного элемента вещества гг якобиан Р представляет собой полином третьей степени от т. Предположим, что у этого полинома есть положительный корень; пусть 口 一 наименьший из положительных корней. Тогда при 工-> 工1 плотность вблизи элемента г； стремится к бес-
конечности. Поскольку определитель 4aB равен нулю, существует нетривиальное решение системы уравнений
Д«3(Т1)^ = 0.(21.32)
Кроме того, А = I+тА [соотношение (21.29)], и, следовательно, d является собственным вектором А:*
(21.33)
Поэтому d также является собственным вектором 4aB (т):
4ab ⑴ dB = (1 — т/т,) da.(21.34)
Если §i — начальный вектор относительных смещений соседних элементов жидкости — выбран так, что он направлен вдоль d^, то из (21.29) и (21.34) следует, что относительное смещение меняется со временем по закону
s (т) = (1—t/tJ sz, s ос d.(21.35)
Следовательно, траектории этих соседних частиц пересекутся в момент т = т(.
В соответствии с (21.28) и (21.29) относительные скорости элементов вещества внутри небольшой области, расположенной около 门，равны
= ("/力?) S? _ А%"-бу = т-1 (产一/Г~ J. (21.36)
Если s и d параллельны, то уравнение (21.34) дает
4一可小=(1 -"T1)-%a.(21.37)
В результате из (21.36) находим
би = —§/(【[—т), s ос d.(21.38)
Это уравнение показывает, как происходит движение частиц в окрестности точки пересечения траекторий. Если вихрь скорости u(i\) равен нулю, что разумно предположить, то тензор А^Р является симметричным и у него есть три ортогональных собственных вектора 咛，которым соответствуют собственные значения —т~*, причем Т]——наименьшее положительное время. В системе координат, оси которой расположены вдоль 空，тензоры 力оф Н 〃аВ диагональны
24aB =6。6 (1 一 т/т J 〃ав = _уВ/(% - т).(21.39)
В. Замечания. Приведенные вычисления основываются на двух предположениях: во-первых, р и v сначала являются гладкими
функциями, и, во-вторых, давлением можно пренебречь. Сомнительно, чтобы в современной Вселенной существовал такой масштаб, для которого было бы справедливо первое предположе-
ние. Суть в том, что у плотности нет длины корреляции: на всех расстояниях вплоть до атомных размеров автокорреляционная функция плотности возрастает при уменьшении г довольно плавно. Можно лишь строить предположения о том, существовала ли длина корреляции в прошлом. Как следует из гл. VI, длина корреляции действительно существовала и была гораздо больше длины Джинса, если до рекомбинации энтропия, приходящаяся на один барион, бькча постоянной и неоднородности плотности имели вид адиабатических звуковых волн. Тогда в ходе рекомбинации коротковолновая часть возмущений чрезвычайно сильно разрушилась из-за диффузии фотонов, а появившаяся в результате этого длина корреляции охватывала массу, лежащую в диапазоне от массы гигантской галактики до массы скопления галактик (точное значение зависит от принятого значения параметра п«ютности). Эволюция возникающих в этой картине объектов подробно обсуждалась в работах Зельдовича и его сотрудников ([457], здесь же ссылки). Первыми плотными образованиями должны быть «блины》， причем вещество поступает в «блины» перпендикулярно их поверхности (так как V X v должно быть мало) и вначале с небольшой относительной скоростью. Если траектории пересекаются, то каустические поверхности будут перемещаться по мере пересечения все новых н новых траекторий. Но облака газа не могут проникать в среду на расстояние, сравнимое с размером галактики, и поэтому, как только образуются первые слои, вещество будет накапливаться в них с все возрастающей скоростью до тех пор, пока не появится ударная волна, фронт которой расположен параллельно 《блину》. На поздних стадиях накопления вещества в «блине» фронт ударной волны, возможно, будет располагаться под углом. С самого момента появления «блин》 неустойчив: он стремится распасться на отдельные фрагменты — протогалактики. Радиус кривизны поверхности «блина» сравним с длиной корреляции и (г(). Поэтому распределение объектов, напоминающее плоский слой, размывается за характерное время 〜九/е. Не ясно, может ли это время быть сопоставимым с возрастом Вселенной, так что могут остаться некоторые следы образований, напоминающие слои. Интересно отметить, что, обрабатывая наблюдения, Эйнасто [90] обнаружил свидетельство того, что крупномасштабное распределение галактик имеет характер «блинов».
Коэффициент расширения, вихрь и тензор сдвига
В предыдущем разделе уравнения, описывающие поведение малого элемента вещества, были выведены, исходя из предположения, что давлением можно пренебречь. Если вещество рас-
сматривается как идеальная жидкость с давлением р《р<?2, то можно учесть влияние градиента силы давления, заметив, что в системе отсчета, локально совпадающей с системой Минковского, ускорение элемента жидкости, находящегося в точке га, равно
d2r^ldt2=—(d^ldra) [г (/), "-рт@р/〃а.(22.1)
Из этого уравнения следует, что относительное ускорение элементов, отделенных друг от друга расстоянием sa, записывается в виде
&2$а/а/2 = —(д2Ф/дга 力В) §6 — № d (р-1 др/дга)/дг^. (22.2)
Проделав те же преобразования, что при выводе уравнения (21.7), найдем относительную скорость двух элементов жидкости
Ua = Ha^S^,①,aa = 4пСр,
dH^ldt + "r〃Y6 = -Ф,邱一d (рТ др/дга)/дг^. (22.3)
Если при движении жидкости энтропия сохраняется (или в более общем случае, если р можно представить в виде функции плотности р), то последнее уравнение (22.3) переписывается в форме
dH^/dt + НЗН心=-Ф, аР 一 九，ав,(22.4)
где й — удельная энтальпия: dh = dp/p.
Как и в разд. 20, 〃如 удобно представить в виде
”ав = >/зе&°₽ +。邱-%0 ,(22.5)
④аВ ='/2caBgy，Sa = £аВу"'В，® = V X U*
где £呐一полностью антисимметричный тензор (е^з = 1); 0 — коэффициент расширения; симметричная часть Оав， след которой равен нулю, представляет собой тензор сдвига, а антисимметричная часть(о ——вихрь.
Уравнение неразрывности (21.10) дает
pTdp/df = —"aa = -&.(22.6)
С помощью соотношений (22.5) можно представить след (22.4) в виде
dQ/dt + 02/3 + о2 — „У = ~4лОр — U 瓦(22.7)
где квадраты тензора сдвига и вихря равны соответственно
J = X <5а₽, (О? = X(Оа₽ = % (V X и)2.(22.8)
а, Ва, В
Д；1H й = 0 уравнение (22.7), в котором 0 определяется соотношением (22.6), было выведено Райчаудури [338] в рамках общей теории относительности. Мы же получили это уравнение в ньютоновском приближении, но наш вывод является общим, так как
ньютоновское приближение точно описывает инерциальное движение с и《с в области, которая содержит достаточно мало вещества (разд. 6). Как и в разд. 10, уравнение (22.7) включает только локальные величины, поскольку гравитационное поле вещества, находящегося вне области, вызывает только приливные силы, но дивергенция таких сил равна нулю.
Преобразовав антисимметричную часть уравнения (22.4) с помощью (22.5), получим уравнение вихря [ср. с. (22.2)]
^■3吓1出 + ^/з©^ар + ^av^Yp + ⑴ау。、，© ^。・(22 §)
d^Jdt + 2/з0О)а —仃”仰=0.
Из этого уравнения следует, что если сначала вихрь <о равен нулю, то он и дальше остается равным нулю： вихрь не создается. Но если тензор напряжений, представленный последним членом в уравнении (22.3), не является симметричным, то вихрь, конечно, появляется. Так происходит, папример, в косой ударной волне или в сильно вязкой жидкости. В случае несжимаемой жидкости при расширении Вселенной плотность изменяется по закону р ос а~3. Поэтому @ = 3d/a, и уравнение (22.9) принимает вид
d 壮e/dt = a2oap(op.(22.10)
Симметричная бесследовая часть уравнения (22.4) приводит к уравнению для тензора сдвига (20.22).
Эти уравнения описывают поведение заданного элемента вещества. Полезно также записать производные по времени в фиксированных точках пространства, причем удобными переменными для этого служат расширяющиеся космологические координаты л^, космическое время t и собственная пекулярная скорость В этих переменных уравнения, описывающие движение идеальной нерелятивистской жидкости, выглядят следующим образом [уравнения (9.15) и (9.17)]:
dp/dt + 3(ala)p + a-^ • pV = 0,(22 11)
dv/dt + a-1 (v • V) v + (d/a) v = —(pa)"-1 vp — L v(p.
Источником ф является p ——рь ——отклонение плотности от однородной.
Уравнение, аналогичное (22.6), записывается в виде
(22.12)(22.12)4~(4+4-v. v)p=—a
(22.12)
(22.12)
0 = 04~ 3a/a, 0 = a~l V ■ v.
Чтобы получить уравнение, которое соответствует (22.7), возьмем дивергенцию от второго уравнения (22.11) и используем
определения тензора сдвига и вихря, записав их в новых пере- менных:
и“в а = 7з06а^ + 0aB — 'Mupy^v■、(22.13)
Ь результате найдем
(d/初 + 2а/а + а~Р • V)0 + /Kd — %® • w =
=—4nG (p — pb) = ^Ца1.(22.14)
Чтобы получить уравнение для вихря, надо взять ротор от второго из уравнений (22.11). Второй член является единственным сложным членом
(22.15)(для a =(22.16)(22.17)о. то со-(22.15)(для a =(22.16)(22.17)о. то со-[V X(v • V) v]a = a(v • V)wu + Xa,人=£心吸理=%上心(恋+吟)(/一^6 У)-
(22.15)
(для a =
(22.16)
(22.17)
о. то со-
(22.15)
(для a =
(22.16)
(22.17)
о. то со-
Использ у я определения (22.13) и применяя равенства =1, 2, 3)
eapYePY6 = 2亂6 ‘ ^иру^-убц = %疝眦一даЦдрб , найдем, что
4a = a2 r738⑴a -(%咿仙
Если р можно представить в виде функции плотности
держащий давление член в правой части уравнения (22.11) является градиентом, и поэтому ротор от этого члена равен нулю. Таким образом, уравнение для вихря принимает вид
d^Jdt + a~*v • Vsa +(2£/a + 2/3O)Sa =(%BS0，(22.18)
что согласуется с уравнением (22.9) и (22.12). Используя соотношение
о)р (隐—吓)=a⑴吃心叭=0,(22.19)
можно переписать (22.18) в форме
дш/dt + а^1(V • V)a> +(2a/a 十 0)a> = а~{ (to • V) v. (22.20)
Умножая уравнение (22.18) скалярно на (о, находим скорость изменения величины вихря
d(^/dt + a-1v • Vo? +(4a/a + %8)з? = 20邱(电0)8 .(22.21)
После усреднения этого выражения по пространству и интегрирования по частям второго члена получаем
d〈o)2〉/df + 4 (i/a)〈a』〉+ 7з (Ow2) = 2〈(^肌几⑴в〉・(22.22)
Видно, что однородное расширение стремится уменьшить вихрь но закону(о ос а/ тогда как член, содержащий тензор сдвига, .может усиливать вихрь.
Уравнения (22.17)——(22.21)——это обыкновенные гидродинамические уравнения для вихря (см., например, [407]), в которых учтен член d/а, связанный с расширением [273, 392].
Согласно теореме Кельвина о циркуляции, интеграл
F = а，V • dx, (22.23) вычисленный вдоль замкнутого контура, движущегося вместе с элементами жидкости, не зависит от времени, если жидкость идеальная и ее давление является однозначной функцией плотности р. Общее расширение космологической модели, конечно, не меняет этого утверждения (см., например, [205]).
Происхождение вращения галактик
В стандартной картине гравитационной неустойчивости момент количества движения галактики не является первичным, а возникает в результате обмена моментами количества движения между протогалактиками. Представим себе, что протогалактика очень асимметрична, т. с. вещество, предназначенное для образования одной галактики, располагается внутри поверхности, которая имеет неправильную ф°РмУ- Тогда вследствие взаимодействия соседних образований возникает значительный момент сил. Поэтому момент количества движения галактики слагается из момента, связанного с вращением вокруг оси, и момента, связанного с орбитальном движением се первоначальных соседей. Первыми этот процесс исследовали Хойл [172], который изучил протогалактику в процессе сжатия, и Пиблс [298], который проанализировал процесс накопления момента количества движения в расширяющейся космологической мо/1ели.
Не ясно, может ли этот эффект объяснить вращение галактик. Дело в том, что необходимая величина переносимого момента количества движения известна очень неточно, так как
плохо определено типичное распределение вещества в галактике, а также увеличение ее угловой скорости вследствие сжатия в процессе ее образования. Более того, сделать приемлемое теоретическое описание очень трудно, что и будет проиллюстрировано в настоящем разделе на примере теории возмущений.
Предположим, что плотность и скорость мало отличаются от плотности и скорости в однородно расширяющейся космологической модели и что р н v — гладкие функции с длиной корреляции 九.Будем изучать момент количества движения вещества, находящегося внутри сферы радиуса г, причем вращение будет рассматриваться относительно центра этой сферы. Чтобы вычислить момент количества движения, разложим импульс pv в ряд в окрестности центра сферы. Такое разложение применимо для всей
сферы, если ее радиус мал по сравнению с длиной корреляции. Поскольку мы хотим вычислить момент количества z движения протообъекта, поместим центр сферы в точку локального максимума р.
Плотность импульса равна
руа (г) = (руа) + (pw»), р Г₽ + '/2 (pwa), pY rhy + . . . .(23.1)
В этом выражении первым членом, отличным от нуля, является линейный по г член. Этот член даст
L(Z = Kapv (PyV), б !「3 d%(23 2)
L = %5”5V X pv = %5”5p' X v
Последнее равенство в (23.2) выполняется вследствие того, что центр сферы совпадает с точкой максимума р. Поскольку вихрь сохраняется, вклад члена V Xv в L будет мал, если с самого на、 чала этот член был небольшим. Следующим отличным от нуля членом в уравнении (23.1) является четвертый член, вклад которого в L равен
厶a = 1/卢呐S叫，anv J Г^Г0^^
j 冲严№严 dV = ’/к)/"(№°yv 十 б。％" + б。％。》).(23.3)
Учитывая, что vXv — 0, находим
L = 2/i03nr7PbV2(V6X v),(23.4)
где 6 = бр/р. Величину этого момента количества движения можно оценить, если сравнить се с моментом однородной сферы, вращающейся с угловой скоростью
L = 8/^br^(23.5)
Таким образом, эффективная угловая скорость, соответствующая формуле (23.4), равна
Q 〜产 I М( vb * у) J ~ о"2/%з,(23.6)
где 欠——длина корреляции. Из формулы (14.9) следует, что
V 〜入 Mt,(23.7)
ПОЭТОМ}Т
短〜&(〃九产(23.8)
Протообъект начинает сжиматься при 6 〜1, а его время сжатия по порядку величины равно времени расширения Вселенной t в эту эпоху. Если размер объекта приблизительно равен 厂~ 入，то из уравнения (23.8) следует, что период вращения по порядку вс-
личины равен времени сжатия объекта, т. е. период именно такой, какой необходим, чтобы вращение объекта препятствовало его сжатию. Конечно, этот результат нс удивителен — ведь анализ размерности требует, чтобы Cf~L Из соотношения (23.8) также следует, что характерное значение произведения Qt трудно оценить точнее, так как оно критически зависит от вклада в L того вещества, которое расположено на краю протообъекта (г〜入), где разложение (23.1) ненадежно.
Упомянем еще об одной очевидной трудности. В теории гравитационной неустойчивости циркуляция скорости [соотношение (22.23)] мала и сохраняется, тогда как газ в диске спиральной галактики, несомненно, движется почти по круговым траекториям, для которых циркуляция скорости значительна. Однако сомнительно, чтобы это представляло серьезную трудность, ведь можно ожидать, что коллапс протогалактики или протоскопления был бурным и сопровождался сильной диссипацией, но последнее нарушает условия применимости теоремы о циркуляции [41]. В качестве примера рассмотрим газ, состоящий из звезд. В таком газе сечение столкновений мало, и, следовательно, он может перемешиваться практически без рассеяний. Пусть сначала движение газа было безвихревым. Если бы мы проследили теперь за движением тех звезд, которые первоначально располагались в небольшой области, то обнаружили бы, что вихрь остается равным нулю даже в таком хорото перемешанном объекте, как вращающаяся эллиптическая галактика. Но это, конечно, не относится к делу: звезды, находящиеся в некоторой небольшой области внутри галактики, представляют собой смесь различных компонентов, которые попали в эту область разными путями. Самое лучшее, что можно сделать в такой ситуации,— это измерить локальную среднюю скорость (или скорость течения)
V(r) = Zpa(r)Va(r)/Zpa(r), (23.9)
где ра и va — средние плотность и скорость звезд, располагавшихся сначала в области а. Если в исходный момент вихрь был равен нулю, то
V X va = 0. (23.10)
Когда делитель в уравнении (23.9) нс зависит от координат, вихрь скорости течения равен
VXV = SVpaXVa/Xpa. (23.11) Как и следовало ожидать, перемешивание траекторий может привести к образованию галактики с плавным распределением плотности, циркуляция скорости в которой будет отлична от нуля. Подобным же образом формирование твердотельно вращающегося газового диска в спиральной галактике должно сопровождаться сильной диссипацией не только для того, чтобы возник
8 Заказ № 82
вихрь, но и для того, чтобы исчезли начальные значительные некруговые движения газа. В работе Пиблса [305] приведен пример безвихревого течения газа в протогалактикс. Движение быстро становится очень запутанным. Трудно представить себе, что такое движение может существовать достаточно долго без заметной диссипации, которая ведет к круговому течению, т. е. к движению с циркуляцией скорости.
В работе Джонса [197] обсуждается возможный тест гипотезы о переносе момента количества движения. Для этого необходимо научиться выделять в тесных парах галактик часть, сохранившуюся после обмена моментами количества движения. Конечно, любой подобный эффект не может быть очень сильным, ведь для тесных пар галактик распределение по углам между направлением большой оси и линией, соединяющей центры галактик, почти изотропно [165].
Мы вообще недостаточно хорошо понимаем значение вращения галактик для теории гравитационной неустойчивости. Из анализа размерности следует, что в этой теории перепое момента количества движения по порядку величины достигает правильного значения, по оказывается, что это трудно проверить с точностью до множителя меньше десяти. Вероятно, наиболее надежные оценки получены в численных расчетах задачи многих тел [87, 152, 302]. В этих расчетах предполагалось, что газ в спиральных галактиках сжался по радиусу в 〜10 раз, прежде чем вращение уравновесило тяготение. Но нс следует забывать, что перенос момента количества движения решающим образом зависит от того, как распределено вещество на границе объекта, и нс ясно, правильно ли учитывается влияние этих областей даже в численных моделях. Поскольку эффект вычислен теоретически очень неточно и так же плохо определена величина, необходимая для объяснения наблюдений, не удивительно, что высказывались самые разнообразные мнения о том, служит ли момент количества движения источником серьезных затруднений для картины гравитационной неустойчивости. Представление о том, насколько расходятся взгляды на эти вопросы, можно получить, сравнив между собой работы Пиблса [298, 302, 305], Хантера [187], Черника [41], Оорта [278], Харрисона [159], Дорошксвича [71], Томиты [418], Бинни 115], Филда [112], Дорошкевича, Сюняева и Зельдовича [73, § 5] и Туана и Готта [409].
Уравнение энергии в расширяющейся Вселенной
Обычное ньютоновское уравнение сохранения энергии в расширяющейся системе координат приобретает интересную и по- лезную форму. Это уравнение было выведено Ирвином [191, 192] и Лейзсром [215, 216] и независимо — Дмитриевым и Зельдови-
чем [70] н Хаггерти 1150]. Мы выведем уравнение для двух случаев: для системы точечных частиц, взаимодействующих только гравитационно, и для идеальной жидкости, энтропия которой сохраняется.
Л. Модель свободных частиц. Будем рассматривать только частицы, находящиеся в некоторой конечной области Вселенной. Будем также предполагать, что эта область достаточно велика, чтобы можно было пренебречь влиянием вещества, находящегося за ее пределами, на движение типичной частицы внутри области. Масса такой системы равна
M = ^mh(24.1)
Лагранжиан системы записывается в виде [соотношение (8.6)]
①若一MW,(24.2)
MW = — х1^а ] [p (xi) — pd][p (x2) — pb]%i^ d3Xi d3x2•
Здесь p — сумма дельта-функций (они зависят от г). Кроме того, предполагается, что точки xi = х2 нс включены в интегрирование. Гамильтониан системы равен
^ = S ViX, - ^ = L ^т,а + MW, (24.3)
Р/ = т/а2х/,
а уравнение энергии записывается в виде
dH/dt = dHldt.(24.4)
В этом уравнении кинетическая энергия равна
МК 三 £ 讨 2/?1簿2 = % £ ⑺吮 dK/dt = —2 (а/а) К. (24.5)
Второе уравнение справедливо, поскольку при фиксированном р .кинетическая энергия К изменяется пропорционально а-2. При фиксированных х^ потенциальная энергия изменяется по закону MW ос а~\ так как р ос 6 (г — г() = а~36 (х — х/ Поэтому
“dW/dt = —(а/а) W.(24.6)
:В результате уравнение энергии принимает вид
丁dK/df + dW/dt + Q/q) (2K + Г) = 0.(24.7)
■'Используя автокорреляционную функцию плотности, записанную 'в форме
([р (xi) — pH [р (х2) — р〃〉= р依(I Xi — x21),(24.8)
можно представить второй член в (24.2) следующим образом: 呼=—(Ga2pl/2M) j [£(Xi2)/xi2] d3Xi d3x2 = —%仇^ j [& (%)/%] d3x.
(24.9)
Здесь мы использовали предположение о том, что размер области велик по сравнению с максимальной длиной корреляции &
Уравнение (24.9) определяет потенциальную энергию возмущений, отнесенную к единице массы, уравнение (24.5) определяет кинетическую энергию возмущений, также отнесенную к единице массы, а уравнение (24.7) устанавливает связь между К и W. Если W7 s 0, то из уравнения (24.7) следует, что К ос а~2. Это согласуется с обычным законом затухания пекулярных скоростей в случае частиц, движущихся свободно: v ос а-1. Если процесс скучивания почти перестал развиваться во времени, то dK/dt и dW/dt пренебрежимо малы, а уравнение энергии принимает вид 2K+W = 0, что согласуется с теоремой вириала.
Уравнение энергии можно переписать в виде
da (К + W)/dt = —/<a < 0.(24.10)
Неравенство имеет место в расширяющейся Вселенной (а > 0). Из этого неравенства следует, что a(K-\-W) уменьшается со временем. Если первоначально /С = 0 и WV0 (или в более общем случае, если начальные значения К н 呼 пренебрежимо малы), то a (K + W) отрицательно, и, следовательно,
К V-取.(24.11)
Это неравенство было выведено Зельдовичем [450].
В отличие от обычного ньютоновского формализма потенциал W не обязательно должен быть отрицательным, так как области с ^ < 0 (они соответствуют антикоррсляции в расположении частиц) дают положительный вклад в W [уравнение (24.9)]. Неравенство Зельдовича показывает, что в случае, когда распределение галактик обусловлено лишь гравитационным взаимодействием, W должно быть отрицательным, т. е. возможный положительный вклад в W от антикоррсляции на довольно больших расстояниях должен быть меньше отрицательного вклада, обусловленного скучиванием на малых масштабах.
Второе неравенство можно получить из уравнения (24.7), если записать его в виде
d/ (к + ^^/dt^-^/^dW/dt.(24.12)
Функция р虑 показывает, насколько число соседей в единице собственного объема отличается от случайного числа соседей. Вероятно, значение р店 оцененное при фиксированном расстоянии г, возрастает по мерс того, как растут скопления; тогда —dW/dt >
>0. Поэтому если первоначально К + ^1^ было небольшим, то a2 (K + W/2)Z>Q. Принимая во внимание (24.11), получаем
%М| VK VI 叫(24.13)
В линейной теории возмущений связь между К и W была выведена в разд. 14. Из уравнения (14.10) следует, что
k=2/3(产/0)1取1.(24.14)
В качестве упражнения можно проделать необходимые вычисления и убедиться в том, что это уравнение согласуется с уравнением (24.7). Другое соотношение между К н U7 будет получено в разд. 74 [уравнение (74.6)].
Б. Модель идеальной жидкости. В ранней Вселенной вещество можно приближенно рассматривать как идеальную жидкость, энтропия которой сохраняется. В расширяющейся системе координат уравнение изменения внутренней энергии жидкости записывается в виде
d^ufdt + a-1v • vpu = —(pu + p) (a-1 V ■ V + 3a/a).(24.15)
Здесь 〃一внутренняя энергия, приходящаяся па единицу массы, ри ——внутренняя энергия, отнесенная к единице собственного объема. Правая часть этого уравнения определяет скорость, с которой изменяется ри фиксированного элемента жидкости вследствие расширения и работы р dV. Обычное уравнение энергии для жидкости получится, если вычислить производную по времени от pv2/2, затем с помощью уравнения неразрывности и уравнения движения определить производную по времени от р и v и добавить к результату производную по времени от р〃. Повторяя эти вычисления в расширяющейся системе координат [уравнения (22.11)], получим уравнение энергии
6р (〃 + %标)/0£ + a"1 V * р (и + %巒)V =
=a_|v • pv — 3 (a/а) (pu + p) — 5/г («/«) P^2 — (p/«) v • V(p, (24.16) где
<p = —Gp"，6 (xz) J x — xr I-1 d3x.
Уравнение энергии в расширяющейся Вселенной выводится из этого уравнения усреднением по координатам. В результате члены, связанные только с общим расширением, исчезают, а член, определяемый тяготением, преобразуется к виду
—(apb)-i〈pv・ V(p) = —((p^d/d/) =
= (7р心2，〈6 (xz) d6(x)/df〉| X，一 х|т dx』
=W^ ( f x-'£ (x) d3x)^ = - (^-+A) w, (24.⑺
где W дается уравнением (24.9). Кинетическая энергия возмущений, отнесенная к единице массы, и средняя внутренняя энергия единицы массы равны соответственно
К = Q碌吟/?ь, О =〈Р〃〉/Рь, Рь =〈Р〉・(24.18)
Поскольку рб ос а-3, из уравнений (24.16) — (24.18) находим
d (К + и + W)ldt + (d/а) [2^ + (3/加⑺ + Г] = о. (24,19)
Другой вид ^'равнения энергии можно получить, усреднив уравнение внутренней энергии (24.15) по пространству:
dU/dt+ 3{a/apb)(p')+(i)ba)^'(pv • v) = 0.(24.20)
Последний член равен
(V • \p〉=〈pv・ \/г〉=—〈％、• pv〉= арь〈6 @6/。/〉，(24.21)
где h = u + p/p — энтальпия, отнесенная к единице массы. Используя эти выражения, можно представить (24.19) в форме
d (К + W)/dt + @а) (2К + 呼)=@Q)t ⑺、• v〉=
=—〈/гОЗ/О» (24.22)
Если р = 0, то первое из уравнений (24.22) переходит в уравнение (24.7). Интересно отметить, что ансамбль свободных частиц, описываемый уравнением (24.7), можно рассматривать как однородный идеальный газ с ^ = 0 и р = 2р〃/3, для которого уравнения (24.19) и (24.18) дают
d(U + W)/dt + (а/а) (2(7 Ц- Г) = 0.(24.23)
Для несжимаемого течения, например для дозвуковой турбулентности, 6=^0, поэтому 呼а0. В результате из уравнения (24.22) следует
К ОС L(24.24)
Этот закон совпадает с законом затухания для частиц, движущихся свободно: у ос Q-i. Обобщение уравнения (24.24) на случай р-^рс2 рассматривается в разд. 90.
Модель сферической аккреции
Эта модель описывает особый случай развития скучивания вокруг плотного образования. Основное предположение состоит в том, что в некоторую начальную эпоху 乙 вещество везде было распределено почти однородно, за исключением некоторой области с необычайно большим избытком массы, вокруг которой стремится собираться все больше вещества. Первыми этот процесс
исследовали Хойл и Нарлнкар [178], которые предположили, что он может объяснить распределение звезд вокруг ядра эллиптической галактики. Хойл и Нарликар проделали все вычисления, ведущие к уравнению (25.8), но поскольку они использовали некоторые нетрадиционные космологические условия, то получили другой степенной закон: par』, 「анн и Готт [147] изучали сферическую аккрецию газа, находящегося вне скопления галактик, на это скопление. Исследовалась также аккреция на черные дыры как возможный способ образования галактик [140, 351]. Степенной закон (25.8) с показателем степени 9/4 был выведен Готтом [132] и Ганном [146].
В этом разделе мы будем считать, что вещество представляет собой идеальную жидкость, давление которой равно нулю, В зависимости от условий жидкость может состоять из атомов, звезд или галактик.
Предположим, что в некоторый начальный момент времени /( существует плотное образование, масса которого равна /л。, а окружающее его вещество распределено в высокой степени однородно, причем пекулярные скорости системы равны нулю. Для такой системы применима сферическая модель (разд. 19). В слое с первоначальным радиусом г(- кинетическая энергия, отнесенная к единице массы, равна
8=%"結=%ad志丁启， (25.1)
где Q/ ——космологический параметр плотности в момент /з Потенциальная энергия единицы массы равна
|^| = %пОр* + GmM. (25.2)
Если никакие другие слои нс пересекают рассматриваемый слой, то его максимально достижимый радиус определяется выражением [уравнение (19.6)]
(Mil —《)/№/ = Г〃т・ (25.3) После того как слой начал сжиматься, среднее по времени значение его радиуса равно
г = f г；??, (25.4)
где коэффициент ^0,5 зависит от того, как пересекаются слои. Коэффициент, возможно, немного зависит от Q, но эта зависимость, вероятно, очень слаба, и мы не будем се учитывать. После релаксации можно оценить распределение плотности вокруг /л。, если предположить, что вещество, находившееся вначале на расстоянии с, к концу релаксации попадает на расстояние г. Тогда
р (г) г2 dr = рМ dri. (25.5)
Предположим, что Q' 1, т. е. что с самого начала расширение происходит почти так же, как в модели Эйнштейна- -де Ситтера.
Кроме того, будем предполагать, что рН》/По, т. е. заданное образование сначала является лишь малым возмущением плотности.
Тогда уравнения (25.1) и (25.4) дают.
「〃 = [(◎”一 1)/〃 [(г"-)'— 1]，(25 6)
Го = %恤/即£(Q?1 — 1).
Используя (25.5), получим
р(г) = р11(ЙГ1- 1)〃『[(Го/"- l]4/[4(ro/rz)3- 1].(25.7)
Эти уравнения описывают распределение плотности р (г) в гало, образующемся вокруг т^.
В открытой модели Q/ меньше единицы н г。> 0. Поэтому полная энергия слоя с исходным радиусом п = г0 равна нулю, так что в конечном счете на то падает только то вещество, для которого г/ < го- В предельном случае гг-<Сг0 уравнения (25.6) и (25.7) принимают вид
Р = %р/@「一 I)/** (г")"*(25.8)
Эта часть распределения плотности образуется при ◎(£)〜1. Если г。〜 门 (соответствующая часть формируется при Й<С 1), то
P=73[Pi7W- l)](ro/r)4.(25.9)
Переход от одного предельного случая к другому происходит при
f"o/(Q”—l), р(“ ％pJ(Q”_ 1)〃『.(25.10)
Необходимо отметить, что не учитывался никакой вид релаксации (т. с. ни релаксация вследствие парных взаимодействий, ни в результате колебаний потенциала). Если бы релаксация была важна, то она изменила бы быстро убывающую (г-4) часть распределения плотности, которая формируется в период, когда Q становится заметно меньше единицы.
При выводе уравнений (25.8) и (25.9) предполагалось также, что вещество перемешивалось в течение нескольких характерных времен пролета. Уравнения (19.21) — (19.26), (19.29) и (19.38) описывают рост плотности в период, когда вещество начинает двигаться к массе 恤.Поскольку единственным начальным возмущением является масса то, находящаяся в точке г = 0, начальный относительный избыток массы внутри сферы радиуса 力 записывается в виде [уравнение (19.8)]
6； = 9/20m0/叩г?，6 = 0.(25.11)
На рис. 25.1 изображен пример того, как, согласно этим уравнениям, распределяется плотность в гало. Параметр плотности ра-
вен Q = 0,03. Обе оси координат линейные. Нижняя кривая соответствует отношению плотности на радиусе г к плотности в космологической модели фона
Р(г)/Рь= 1 +б(г). ■ (25.12)
дишниюии HOQOrowq旨гиюуидишниюии HOQOrowq旨гиюуиРис. 25.1. Распределение плотности во внешних областях концентрации вещества для модели сферической аккреции при Q=0,03. Нижняя кривая ——распределение плотности, выраженной в единицах плотности фона. Приведены лишь области с положительной энергией. Верхняя кривая ——полная масса внутри сферы радиуса г, деленная на массу фона в том же объеме.Рис. 25.1. Распределение плотности во внешних областях концентрации вещества для модели сферической аккреции при Q=0,03. Нижняя кривая ——распределение плотности, выраженной в единицах плотности фона. Приведены лишь области с положительной энергией. Верхняя кривая ——полная масса внутри сферы радиуса г, деленная на массу фона в том же объеме.
дишниюии HOQOrowq旨гиюуи
дишниюии HOQOrowq旨гиюуи
Рис. 25.1. Распределение плотности во внешних областях концентрации вещества для модели сферической аккреции при Q=0,03. Нижняя кривая ——распределение плотности, выраженной в единицах плотности фона. Приведены лишь области с положительной энергией. Верхняя кривая ——полная масса внутри сферы радиуса г, деленная на массу фона в том же объеме.
Рис. 25.1. Распределение плотности во внешних областях концентрации вещества для модели сферической аккреции при Q=0,03. Нижняя кривая ——распределение плотности, выраженной в единицах плотности фона. Приведены лишь области с положительной энергией. Верхняя кривая ——полная масса внутри сферы радиуса г, деленная на массу фона в том же объеме.
Эта кривая проведена только до слоя 6^ = 6С, т. е. до слоя, энергия которого равна нулю. Далее эта модель не применима, так как здесь падающие слои начинают пересекаться со слоями, которые упали раньше и теперь расширяются. Верхняя кривая — это отношение массы внутри г к соответствующей массе при однородном распределении (19.29)
M(Vr)/p/ = p，/pb=l + "(г). (25.13)
В части гало, изображенной на рис. 25.1, аккреция привела к существенному эффекту: масса внутри радиуса г заметно превосходит массу при однородном распределении. Однако вещество двигалось так, что плотность р осталась почти постоянной. То же происходит и на меньших радиусах. Например, радиус слоя, который в рассматриваемый момент прекратил расширение, чуть больше половины радиуса слоя, энергия которого равна нулю. Средняя плотность внутри этого остановившегося слоя равна 90рь, тогда как плотность в самом слое всего 3,5рь. Таким обра-
зом, сферическая аккреция может эффективно увеличивать массу, но она не в состоянии образовать плавное распределение, плотность которого заметно превосходила бы среднюю плотность.
Подобное же, но меньшее по величине несоответствие обнаружено и в более плотных космологических моделях. Например, уравнения (19.48) и (19.38) вместе с уравнением (25.11) описывают аккрецию в модели Эйнштейна——де Ситтера. Разлагая это решение в ряд по 0 и оставляя только первый нетривиальный член, находим
⑺也=1+з/2府，p(r)/pb=l+77oo0\(25J4)
g2_ 3a ⑴1
н P b (f)//-3
Следовательно, плотность уменьшается очень быстро: возмущение плотности изменяется по закону г-6. Возмущение же средней плотности внутри г снижается пропорционально г-3, т. е. пропорционально объему. Это свидетельствует о том, что внутри существует плотное образование, радиус которого значительно меньше г, а масса достигает значения
Мс = 3/Зтоа (t)/ai.(25.15)
Для слоя, который в рассматриваемый момент перестал расширяться, параметр 0 равен л, а плотности равны [уравнение (19.50)]
Р7Pb = 9/16乙2 = 5,6, p/pb = %户2 = 1,4.(25.16)
Если бы объект образовался в результате сферической аккреции, то плотность р (г) на его периферии была бы существенно меньше отношения массы, заключенной внутри г, к объему сферы радиуса г. Но это нс наблюдается в распределении галактик вокруг скопления Эйбелла (разд. 77), хотя, возможно, эффект остался незамеченным из-за усреднения по скоплениям. Это можно было бы проверить, если бы у нас были подробные карты расположения галактик вокруг отдельных больших скоплений.
Не следует забывать, что все эти результаты зависят от основного предположения о том, что преобладающий вклад в возмущение вносит масса 恤.Вероятно, вокруг т0 вещество распределено неравномерно, поэтому модель не соответствует действительности, если п слишком велико. Предположим, например, что начальное распределение плотности р (х, Л) вокруг т0 отвечает случайному гауссову процессу, причем среднеквадратичная флуктуация плотности после усреднения по сфере радиуса г равна
g = af(25.17)
где а и р - - положительные постоянные. Для 《белого》шума р — —3/2. Тогда модель сферической аккреции является разумным приближением, если г, удовлетворяет условию
处=(1r ”4恤/热.-(25.18)
Если же условие (25.18) нс выполняется, то преобладают возмущения плотности вокруг /и。. Модель скучивания вещества для этого случая рассматривается в следующем разделе.
Модель иерархического скучивания
Предположим, что в некоторую эпоху 力 распределение флуктуаций вещества аппроксимируется случайным гауссовым распределением. Это означает, что масса, попадающая внутрь произвольно выбранной сферы определенного радиуса, распределена по Гауссу, причем дисперсия определяется принимаемым степенным спектром плотности (или автокорреляционной функцией). В тех областях внутри сферы, где масса оказалась большой, вещество в конечном счете начнет сжиматься и образует стационарную систему. Если в момент ti внутри такой области на малых масштабах существовали начальные флуктуации плотности и их амплитуда была больше, чем возмущение для всей области, то такие флуктуации начнут сжиматься раньше и образуют плотные подсистемы. Это ——одна из реализаций процесса иерархического скучивания. Еще в работах Леметра неявно присутствовала идея о возможности иерархического скучивания. Прежде всего это относится к процессу образования галактик. Ыо первым ясно высказал эту идею, по-видимому, Лейзер [213]. Ниже изложены результаты, полученные в работах автора [292, 309].
Начальные условия, которые мн примем, можно сформулировать с помощью преобразования Фурье для распределения плотности. По-видимому, самый простой путь ——принять, что Вселенная периодична в некотором большом прямоугольном параллелепипеде объема Vu. (Разумеется, это предположение не имеет физического смысла и не влияет на конечные результаты, если сторона Vu значительно превосходит длину корреляции в распределении плотности.) В таком случае плотность веиюства можно представить в виде суммы
Р (х) нр" 1 + X dk exp (—zk ♦ x)]・ (26.1)
Предположим, что 6k имеют случайные фазы и что спектр мощности подчиняется некоторому закону, например степенному:
—3<п<4. (26.2)
Это предположение, так же как и предположение разд. 25, является лишь догадкой, которая подтвердится, если окажется, что в некоторых деталях результаты близки к наблюдаемым (и, возможно, если и конце концов будет установлено, что это предположение согласуется с некоторой фундаментальной теорией, описывающей раннюю Вселенную и начало расширения). Условие
случайности фаз означает, что отсутствуют доминирующие плотные образования, которые рассматривались в предыдущем разделе, или что они появляются крайне редко. Степенной закон в форме (26.2) принят потому, что он удобен для расчетов и, вероятно, не является надуманным. Если бы показатель степени п был меньше или равен ——3, то из условия сходимости [уравнение (26.4) ] сладовало бы, что спектр должен обрываться на некоторой длине BOviHbi 九с и основную роль играли бы флуктуации размера 〜入с, на которые накладывается относительно невысокая 《рябь》 сА V%c, связанная со степенным спектром при k >kc. Но это разрушило бы всю картину иерархического скучивания, в основе которой лежит предположение, что флуктуации плотности на малых масштабах значительно больше крупномасштабных флуктуаций. Расчеты, которые будут сделаны в этом разделе, не применимы при /г > 1, но в разд. 28 мы покажем, что аналогичные расчеты могут быть выполнены и при п 4.
Масса внутри сферы радиуса х с центром в точке х0 равна М (х0) = pfta3V + 卩匕。3 £ м ехр [―汰• х] \ ехр [―汰• х[ d%。(26.3)
кх
В результате усреднения флуктуаций (М — рьаЗр)2 по положениям %о исчезают перекрестные члены и остается
(6М/М)2= £ MW (kx) = (У d^)\MW {kx) d3k,
U7 = [^ exp (―£k • X，)d3xfj j 0/『=(26.4)
=(9/уб) (siny — yccsy)2, ^ =々尤.
При у ^ 1 функция пропускания 呼~1, а при у》1 W^у-4.
Если спектр плотности не растет быстрее 々 к не уменьшается быстрее 々т, т0 для степенного закона уравнение (26.4) дает
(WM)2| х 厂 J"](26.5)
Этот результат не зависит от фаз 6к. Если фазы случайные, то распределение величины М (х0)——р^Р^з является гауссовым, так что плотность, измеренная в масштабе х, отклоняется от среднего значения на величину, пропорциональную ос% ①+吸
Теперь рассмотрим эволюцию этих флуктуаций в модели, близкой к модели Эйнштейна——де Ситтера. Линейная теория возмущении утверждает, что при фиксированном 尤 возмущение 8М/М растет по закону 然 до тех пор, пока в момент f〜％ не достигнет уровня 6М/М ^ 1. В это время распределение распадается на более или менее стабильные фрагменты размером г~ 〜ха (%) и плотностью ~(@：)一 (п. 19D). Конечно, каждый
фрагмент содержит иерархию более мелких фрагментов, образовавшихся ранее. Время f黑 определяется условием
(6М/М)2 a x~{3 + n}t^3 〜1.(26.6)
Поэтому радиус и пространственная плотность равны соответственно
г ха (tx) ос xt^3 ос х(5+пу\ noc/72ocx_(9 + 3n)/2.(26.7)
В результате получаем зависимость радиус——пространственная плотность
п ос L* 丫 = (9 + 3〃)/(5 + я).(26.8)
Уравнение (26.8) описывает непрерывную иерархию скучива' ния: нельзя естественным образом провести границу, разделяющую ступени скучивания, если рассматривать масштабы, меньшие размера тех скоплений, которые в настоящее время находятся в процессе образования. Скопления, сформировавшиеся в эпоху 厶 имеют характерный размер г0 (^) и характерную пространственную плотность п (го), которая по порядку величины равна средней плотности фона пь (0. В соответствии с соотношениями (26.7) этот характерный радиус изменяется со временем по закону
Ло (0 ОС Z2/v.(26.9)
Изучаемую модель можно интерпретировать, например, следующим образом. Выясним, как выглядит распределение плотности, если его рассматривать с линейным разрешением г. При л < Го вещество, по-видимому, сосредоточено в областях размером 〜г с характерной пространственной плотностью 〜门 ocr-丫. Если рассматривать распределение с большим разрешением, т. е. взять г' V г, то эти области распадаются на объекты меньшего размера 〜г' с плотностью 〜门(/-'). Если разрешение г больше г。, то распределение плотности очень напоминает однородное, причем заметны возмущения размером г и амплитудой 6р ос ос г-(з+п)/2^ которые представляют будущее поколение иерархии скучивания. На рис. 26.1 приведен пример такого распределения. Распределение яркости соответствует 《белому》 шуму [п = О в уравнении (26.2)], рассматриваемому с разрешением, сравнимым с размером областей когерентности. Хотя у всех возмущений с длинами волн, превосходящими длину волны обрезания, амплитуды равны, вследствие коэффициента 々з ос 入一з в уравнении (26.5) лучше всего заметны самые короткие волны. Если бы распределение яркости на этом рисунке рассматривалось с меньшим разрешением (т. е. с большим г), то картина оказалась бы снова Пятнистой, но амплитуда флуктуаций 6i/i была бы меньше (пропорционально г-4 в двухмерной и г~з/2 в трехмерной картине).
В картине иерархического скучивания каждая частица принад- л^жит целому набору скоплений все увеличивающихся размеров.
Рис. 26.1. Пример белого шума. Спектр шума обрывается на длине волны, приблизительно равной длипе когерентности этой пестрой картины. Представлена фотография пятна, создаваемого узким лучом лазера. Фотографирование выполнялось на крупнозернистой пленке, и размер изображения определяется размером зерна эмульсии [323] (авторское право Чикагского университета, 1968).
Поэтому уравнение (26.8) можно интерпретировать иначе： средняя по ансамблю плотность на расстоянии г от случайно выбранной частицы изменяется по закону г~^. Этот вывод очень напоминает результат анализа модели сферической аккреции, обсуждавшейся в разд. 25, но в данном случае ситуация совершенно иная. Предположим, например, что в момент времени 力 вещество сосредоточено в частицах одинаковой массы то, которые распределены случайным образом, т. е. п = 0. Каждая частица символизирует собой плотное образование. Рассмотрим сферу радиуса х, центр которой совпадает со случайно выбранной частицей. Поскольку положения частиц не коррелируют, средняя масса в рассматриваемой сфере на 团。больше массы, попадающей в сферу того же радиуса, но помещенную случайным образом. В таком случае, используя модель сферической аккреции, мы могли бы попытаться определить, как в среднем происходит ску-
чивание вещества вокруг случайно выбранной частицы. Однако если х больше расстояния между частицами, то модель сферической аккреции не применима. При принятых начальных условиях возмущения в масштабе х связаны не с По, а со случайными флуктуациями плотности в этом масштабе. Выбранная частица в конце концов попадает в скопление размером 〜％, но это скопление формируется не вокруг частицы, а, скорее всего, там, где плотность, усредненная по масштабу 尤，случайно достигает локального максимума.
Иерархическая модель применялась для вычисления распределения по массам объектов, начавших сжиматься в эпоху t [86, 333]. Если начальная плотность р(х)——рь распределена по закону Гаусса, то распределение массы М (х0) [т. е. массы внутри сферы радиуса х, центр которой находится в точке х0; уравнение (26.3)] также является гауссовым. Поэтому было сделано предположение, что положительная часть гауссова распределения (отвечающая избытку плотности) описывает начальное превышение плотности в протоскоплениях размером 〜无.Но вряд ли это — хорошее приближение, поскольку, как уже отмечалось выше, протообъекты размером 〜％ преимущественно образуются не около случайно расположенных центров х°, а там, где функция М (хо) достигает локального максимума. Очевидно, предпочтение следует отдать не распределению М(хо) для случайно выбранных хо, а распределению Л4(хо), где х0 расположены в точках локального максимума функции М(хо) [197]. Однако даже такой выбор дает лишь грубое приближение для этой трудной задачи, поскольку масса протообъекта сильно зависит от радиуса. Так, область с аномально высокой средней плотностью будет стремиться собрать вещество из большей, чем в среднем, окрестности.
В гл. Ш обсуждаются свидетельства того, что общее распределение галактик соответствует иерархическому скучиванию. В гл. IV представлены некоторые формальные результаты по теории образования иерархического скучивания, а в гл. VI рассматриваются детали возможных сценариев.
Преобразование Фурье для уравнения движения
Для некоторых задач полезно изучить, как изменяется со временем фурье-образ плотности. В этом разделе приведен ряд общих соотношений для двух моделей: идеальной жидкости, давление которой равно нулю, и частиц, взаимодействующих только гравитационно.
Как и в предыдущем разделе, видимо, удобнее рассматривать Дискретное преобразование Фурье. Вселенная представляется периодичной в объеме VUy причем этот объем фиксирован в сопут-
ствующих координатах и значительно превосходит (предполагаемую) максимальную длину корреляции. Периодичные граничные условия означают, что потенциал ср можно разложить на суммуствующих координатах и значительно превосходит (предполагаемую) максимальную длину корреляции. Периодичные граничные условия означают, что потенциал ср можно разложить на суммуплоских волн, периодических в объеме 几： 屮=2 屮k exp [ — ik • х].(27.1)
ствующих координатах и значительно превосходит (предполагаемую) максимальную длину корреляции. Периодичные граничные условия означают, что потенциал ср можно разложить на сумму
ствующих координатах и значительно превосходит (предполагаемую) максимальную длину корреляции. Периодичные граничные условия означают, что потенциал ср можно разложить на сумму
Подставляя это выражение в уравнение поля
V2cp = 4nGa2[p (х) — рь](27.2)
и используя соотношение
[exp U (к — К) • х] d3x =乙％ у(27.3)
находим
—左2乙(Рк = 4№?號[[р(х) — pft] exp[fk • х]&з*.(27.4)
Фурье-образ для относительной флуктуации плотности определяется соотношением
Ьк = [ (р/рь乙)exp [ik • х] &з*.(27.5)
Подставляя это выражение в (27.4), с помощью (27.1) получаем 屮(х) = —4лСа2Pb £ exp [—汰• х] ^k^.(27.6)
k户0
Поскольку <р (х)〉= рь, член, к = 0 исчезает из обеих частей уравнения (27.4), и мы можем просто опустить его в уравнении (27.6).
Сначала предположим, что вещество представлено в виде ансамбля точечных частиц, причем /-я частица находится в точке х/ (/) и имеет массу /п,・ Частицы взаимодействуют только посредством гравитации. Как обычно, используем ньютоновское приближение, но не будем ограничиваться приближением Власова (разд. 9).
Плотность записывается в виде суммы дельта-функций:
р(х, 0 = Lт^[х — X/ (t)]/^ (f). (27.7)
Следовательно, формула (27.5) приобретает вид
6k = L exp [ik • х/] mj/Mu, Mu = X ?«/ = Рь^и(^, (27.8) где Mu — полная масса внутри Vu- Первые две производные 6к по времени равны
(279(279dbk/df = £ (汰♦ xj exp [fk • X/] т；1Ми、
(279
(279
映k/dQ= £ [ik • X/ — (k • X/)2] exp[ik • x/]?n//Mu.
Используя уравнения движения (7.10), т. е.
(27.10)(27.10)х + 2 (а/а) х = — V ф/а2,
(27.10)
(27.10)
преобразуем второе уравнение (27.9) к виду
d^yjdt? + 2 (а/a) d“/df = — X (俏泌• V(p；/Mua2) exp [zk • x『]——C,
(27.11)
C = £ (k • Х/У exp [ik • X/]/n"Mu・
Потенциал /-й частицы определяется уравнениями (27.6) и (27.8)
<Р/ = —(4nG/aVu) £ mlexp[ik, • (х, — х/)]/(^)2.(27.⑵
"卢0
Подставим это выражение в первый член в правой части уравнения (27.11) и добавим член / = / (в следующей сумме он все равно исчезнет). В результате находим
(4nG/Mu/ua3) £ ГП% (k • k/У) exp i [xz • kz + x； • (k — kz)]= ь芒0
= 4nGpftftEQ(k •k/川)必限一V (27.⑶
Поскольку 6o = 1, член c k‘ = k равен
4лОрД.(27.14)
Его следует записывать отдельно, так как он больше любого другого члена. Оставшаяся сумма не изменится, если вместо к' подставить к" = к ——к'. Поэтому ее можно переписать в виде
4 = 2】(7рь 2 灰卜以
к …(27.15)
D = (k • Х/^З + к • (к-к^к-к712.
В разд. 28 эта форма записи нам пригодится, так как она показывает, что члены взаимно сокращаются: при 々《々' D~(々/论，产.
Итак, получаем [311]
d2dk/dZ2 + 2 (а/а) d^ldt = 4лОрьдк + 4 — С. (27.16)
Это уравнение совпадает с уравнением (10.3) для линейной теории возмущений, если к (10.3) добавить нелинейные члены А (27.15) и С (27.11).
Уравнение, очень напоминающее (27.16), выведено и для идеальной жидкости [426, 443]. Если давление равно нулю, то уравнение (9.19) принимает вид
。笥/0产 + 2 (а/а) дб/dt = а~" • (1 + 6)厂屮 + 仪一汨支日[(1 + 6) и。叫.
(27.17)
9 Заказ № 82
Умножим это уравнение на ехр^кх/Р力 проинтегрируем по х, а затем используем уравнения (27.5) для 6к и (27.6) для ф. В результате получим
dM/d 产 + 2(а/а) d^dt = 4лОРб6к + Л-С,(27.18)
где А определено уравнением (27.15), а член, связанный со скоростью, равен
С = (а/Ма) kak^ j puauP exp [ik • x]d%.(27.19)
Этот член можно сопоставить с аналогичным членом в (27.11). Фурье-образ для скорости равен
朮=[(优/乙)exp [ik • x] d%.(27.20)
Подставляя это выражение в (9.17), получаем
dvi/dt + (a/a)vk = —4nfOapftdkfea/^2 + 旦， (27.21) 旦=(〃a) Z左拭一h您.
В линейном приближении член fa опущен. В качестве упражнения можете убедиться, что если 6fcoc D (f), где D — решение уравнения (10.3), то неоднородное решение уравнения (27.21) при £* = 0 записывается в форме
说=-i (a/Q) dDldt&J仔)№.(27.22)
Можно убедиться, что (27.22) согласуется с уравнением (14.9) ДЛЯ Va (х)'
Уравнения (27.18) — (27.21) открывают путь, который, вероятно, позволит рассчитать эволюцию флуктуаций плотности в расширяющейся Вселенной на нелинейной стадии [433]. Для этого нужно вместо функций четырех переменных р (х, t) и v(x, t) подставить разложение в бесконечный ряд соответствующих функций одной переменной 6卜(方)，и^(0，а затем оборвать эти ряды на коротких длинах волн. В следующем разделе будут приведены аргументы в пользу того, что сильно нелинейные образования не влияют на рост новых ступеней иерархии скучивания, т. е. что, обрывая спектр, мы можем получить разумное приближение и что можно численно проинтегрировать усеченны询 ряд уравнений. Однако до сих пор таким методом было получено не очень много результатов.
Взаимодействие флуктуаций плотности
Излагая в разд. 10 основы линейной теории возмущений, мы предположили, что существуют только небольшие отклонения от однородности. Но тем не менее мы можем использовать это пред-
положение, чтобы описать поведение крупномасштабных неоднородностей плотности в современной Вселенной, если будем рассматривать каждое связанное скопление галактик как размытую частицу. Так можно поступать, поскольку из закона сохранения импульса следует, что сильно нелинейные движения так складываются внутри скопления, что центр масс испытывает только притяжение соседних скоплений. Другими словами, даже на нелинейной стадии скучивания отсутствует значительное взаимодействие между волнами, существенно различающимися по длине. Как будет описано в настоящем разделе, эту идею можно сформулировать более строго, если использовать преобразование Фурье для плотности в виде уравнения (27.16). Наше изложение будет следовать работе [311].
Выдвигались предположения, что взаимодействие мод могло бы играть важную роль в динамике возмущений: нелинейное поведение флуктуаций на малых масштабах могло бы усилить развитие скучивания на больших масштабах, что в свою очередь ускорило бы рост еще больших скоплений и т. д. [35, 333]. Таким образом, можно было бы предполагать, что в начале расширения Вселенная была настолько близка к однородной, насколько это допускает дискретность вещества и излучения. Минимальные возмущения, связанные с тем, что энергия существует в виде квантов, росли бы под действием гравитации и, возможно, создали бы галактики и скопления галактик. Такая схема выглядит привлекательной, поскольку она предлагает очень простой и естественный рецепт выбора начальных условий (если, конечно, согласиться с тем, что в начале расширения Вселенная стремилась стать как можно более однородной). Однако из последующего анализа видно, что эффект слишком слаб и потому неинтересен.
Сначала рассмотрим, как определяются флуктуации плотности в данном масштабе. После этого мы сможем найти величину минимальных флуктуаций плотности, образующихся из-за дискретности вещества (п. А и Б). Роль скоплений, прошедших стадию релаксации, рассматривается в п. В, а в п. Г анализируется модель, описывающая процесс образования скоплений.
Л. Минимальные флуктуации. Мерой флуктуаций плотности, характерных для масштаба х, служит величина (26.5)
(6р/р)х = (^3Vu/8n3) 16k |2,左=2л/х.(28.1)
Как и выше, фурье-компонент, соответствующий волновому вектору к, равен (27.5)
дк = ] [р (х)/р/н] exp [zk • х] Y尤.(28.2)
Здесь мы предположили, что распределение периодично в объеме 几，фиксированном в сопутствующих координатах. Дисперсия 9**
пространственной плотности определяется выражением [уравнение (26.4)]
<[р (х) — рь『〉6 = £ I &『=(九/&?) ] 16kl2 d3々(28.3)
Из этого уравнения следует, что (28.1) определяет ту часть дисперсии р, которая обеспечивается фурье-компонентами с длинами волн 入〜％ в диапазоне 6入〜工
Предположим, что вещество представлено точечными частицами, масса каждой из которых 〜恤.Наша цель состоит в том, чтобы вычислить минимальные флуктуации плотности, обусловленные дискретностью вещества. Если бы частицы были распределены случайно, то уравнение (28.2) описывало бы случайное блуждание на Nu шагов, причем Nu ——число частиц в объеме Vu. Поскольку длина каждого шага равна
то/рь^и^ = 1/^и.(28.4)
то уравнение (28,1) дает
(6р/р* = Va/Na^ = а。/%)* 冷=(乙/2 J*.(28.5)
Мы получили обычный результат: дисперсия равна обратному значению среднего числа частиц в х3. Флуктуации плотности превосходят значение (28.5), если существует скучивание частиц. Но если положения частиц антикоррелируют, то флуктуации меньше, чем дает соотношение (28.5) (разд. 36). Чтобы оценить, сколь малыми могут быть флуктуации, начнем со случая, когда плотность распределена строго однородно: р (х) = рь. Тогда 6к= 0 при к ^ 0. Теперь элементы вещества нужно сместить так, чтобы образовались частицы, причем минимальный характерный сдвиг приблизительно равен расстоянию между частицами %о [уравнение (28.5)]. При 々%о《О в результате сдвигов экспонента в уравнении (28.2) смещается на величину 〜左％о, и, следовательно, спектр отличается от нуля на величину
16k『〜(々№)2/%, (др/р)х (х0/х)°, х>х0.(28.6)
Мы предположили, что вклады в спектр, получающиеся при образовании каждой частицы, суммируются так же, как и при случайном блуждании. Можно уменьшить полученные оценки, заметив, что при образовании частиц импульс должен локально сохраняться: каждому сдвигу элемента вещества должен соответствовать равный и противоположно направленный сдвиг элемента, расположенного на расстоянии 〜此 от первого. В результате первая производная от экспоненты в уравнении (28.2) обращается в нуль, а вторая производная дает
(28.7)(28.7)&广~(归№)4/n“，(др/р)х (Xо/X)7, х>х0.
(28.7)
(28.7)
Можно пойти еще дальше и потребовать, чтобы каждая пара сдвигов элементов вещества устранялась влиянием ближайшей пары сдвигов противоположного знака (в результате этого квадрупольные моменты становятся равными нулю). Однако в обычной динамике возмущений этого не происходит, а сама подобная структура нс сохраняется, если соседние частицы взаимодействуют. Взаимодействие не изменяет только дипольный момент, так как импульс сохраняется. Следовательно, уравнение (28.7) определяет минимальные флуктуации, обусловленные дискретностью вещества. Спектр мощности 胪 был получен Зельдовичем [450].
Эти результаты можно вывести другим способом. Снова предположим, что первоначально вещество было распределено строго однородно. Разделим все пространство на ячейки размером 〜％о, а вещество, находящееся внутри ячейки, соберем в частицу, расположенную в центре масс ячейки. Можно, конечно, разместить ячейки в виде правильной решетки, но это противоестественно. Поэтому будем считать, что положения центров ячеек не коррелируют на расстояниях, больших нескольких размеров ячейки. В начальном распределении плотности коэффициенты преобразования Фурье равны нулю. Эти коэффициенты можно записать в виде суммы по ячейкам с；
0 = 2, exp [/к • х] d3x =
=2 V„l exp[гк • x〃，exp[ik • y]d%, (28.8) 1CJ
Где у отсчитывается от х；——центра той частицы, которая будет образована в ячейке Q. Для 九》％° последний интеграл можно разложить в быстро сходящийся ряд
о = ^ exp [ik • хдГntj/Mu + ika j (ya/Vu) d3y —
；/Lci
-%亂麻 J {yay^Vu)典 + ...1. (28.9)
В этом соотношении первый член ——преобразование Фурье 6к для распределения частиц (27.8). Если бы частицы располагались случайно внутри ячеек, то следующий член, как и в уравнении (28.6), соответствовал бы 6fc ос к. Но, чтобы локально сохранить импульс, мы поместили х； в центр масс, а в результате интеграл обратился в нуль. Таким образом, остается третий член. Поскольку положения ячеек, за исключением ближайших соседей^ не коррелируют, третья сумма равна результату выполнения Ntt
шагов в задаче о случайном блуждании, причем длина шага равна 〜(xak)2/Nu. Поэтому, как и выше,
15kl2~ (х^Г/Mz, (6р/р)х - (Хо/х)7.(28.10)
Существует другая мера флуктуаций плотности, которая, вероятно, дает другой ответ. Поместим сферу заданного радиуса х случайным образом и найдем массу, оказавшуюся внутри сферы. Мерой флуктуаций плотности служит дисперсия этой массы
(6р/р)^ =俭М/М)2 =〈(М - pW)2〉/(pW产.(28.11)
Поверхность сферы пересекает ~ (х/х0)2 ячеек, которые были образованы при построении минимальных флуктуаций. Частицы, расположенные внутри каждой ячейки, независимо друг от друга (если не учитывать небольшую антикорреляцию в положениях соседних ячеек) попадают в сферу или за ее пределы. Поэтому имеем
■ дм)? ~ 濡(%/%&)： М 〜咻(%/№)*(28.12)
или.
(0М/М)2 〜(х0/х)4,尤》％о.(28.13)
В выражении (28.13) показатель степени при х()/х всего на единицу меньше, чем при случайном распределении (28.5). Значит, в соответствии с этой мерой минимальные флуктуации ненамного меньше флуктуаций частиц при случайном распределении Пуассона [35, 333]. Но в уравнении (28.13) показатель степени члена хо/х на три единицы больше, чем в уравнении (28.10).
Причина такого расхождения очевидна из соотношения (26.4). Если спектр плотности 16к |2 меняется не слишком быстро при изменении 归，то обе меры, определенные уравнениями (28.1) и (28.11), эквивалентны [уравнение (26.5)]. Но если спектр возрастает быстрее, чем k (как в рассматриваемом случае), то основную долю (6〃)2 обеспечивают флуктуации с большими 財 которые входят в интеграл благодаря боковым 《крыльям》 функции пропускания: при больших k функция пропускания изменяется по закону
k^W.(28.14)
В самом деле, если при 々％°V1 | 6fc |2 определяется уравнением (28.10), а при kxQ > 1 амплитуда фурье-гармоник постоянна, то уравнение (26.4) сводится к (28.13). Ясно, что в этом случае (6М/М)2 не может служить подходящей мерой для флуктуаций в масштабе х. Эта величина сильно реагирует на высокочастотный (коротковолновый) шум, появляющийся на поверхности сферы, т. е. она зависит от того, находятся ли частицы случайно точно
внутри сферы или они расположены прямо над поверхностью сферы. Для рассматриваемого случая больше подходит мера (28.10).
Б. Образование спектра 归厶 при развитии возмущений под действием гравитации. Зависимость 0& для минимального спектра можно получить также из уравнения движения, записанного в форме (27.16) для преобразования Фурье распределения плотности. Как указывалось выше, начальное распределение частиц можно задать так, чтобы при 九 >%о (х0 ——среднее расстояние между частицами) амплитуда 16к |2 падала быстрее, чем L. Тогда на длинных волнах преобладающими членами в правой части (27Д6) являются два нелинейных члена Л и С. Член Л, связанный с гравитацией, задан уравнением (27.15). Если спектр обрывается при k <^ (Л > х0) > то на длинных волнах закон из* менения члена Л определяется коэффициентом
D = k • k/* + k - (k_k)/|k — k|2~^2/*~(Axo)2, (28.15)
Таким образом, член Л приводит к тому, что у | 6к |2 появляется шлейф ^4 ос X-4. Второй нелинейный член равен [уравнение (27.11)]
С = kak& X 行患 exp [tk • X,]恤/M”. (28.16)
Если скорости частиц не коррелируют, то сумма не зависит от 財 и С ос fe2, т. е. С так же зависит от 財 как и А.
Эти оценки показывают, что у спектра должен появиться шлейф 必，но они не могут дать амплитуду этого шлейфа. Некоторые стороны этого вопроса обсуждаются в следующей части.
В. Взаимная компенсация нелинейных эффектов, производимых стационарными скоплениями. Когда частицы попадают в компактные скопления, их скорости увеличиваются, так что член С становится большим. Может показаться, что в результате этого усиливается рост тех флуктуаций, длина волны которых во много раз превосходит размер скопления (т. с. происходит рост спектра по закону 胪).Кроме того, может создаться впечатление, что чем компактнее скопление, тем выше скорости и, следовательно, тем сильнее источник длинноволновых флуктуаций. Таким образом, мы как будто получаем взаимодействие мод, подобное рассмотренному в начале раздела. Однако, мы знаем, что такое усиление спектра невозможно, так как быстрые движения внутри скопления не влияют на скорость движения его центра масс： вклады в Л и С, создаваемые стационарными компактными скоплениями вещества, должны компенсировать друг друга.
Можно понять, как это происходит, воспользовавшись теоремой вириала.
Если скопление стационарно, то для частиц, принадлежащих к v-му скоплению, величина
Z mirfrf• (28.17)
в среднем по времени равна нулю, сумма берется по всем частицам, входящим в скопление, а г® — собственные декартовы координаты этих частиц относительно центра масс. Вычисляя производные в (28.17) и используя равенство
d2rf/dt2= S Gm^rf- rf)/|П - r; I3,(28.18)
получаем тензорную теорему вириала
ftij(drf/dt) (drf/dt)^1//} £ mtmi | Г/ — rz |-3 (rf — r?) (rf — r?).
(28.19)
Член А в том виде, в котором он представлен в уравнении (27,11), равен
4 = (ika/Mua2) £ 的(％). & exp [ik • х；],
-®), а = (G/研 £ 恤(就一曲)I X/ - X/ I—'
Часть величины Л, определяемая взаимодействиями внутри v-ro скопления, находится из этого уравнения, если индексы / и / относятся только к частицам v-ro скопления. Используя разложение
exp[ik • х/] = ехр [zk - xv][l + ik • (х； — xj + ...], (28.21) где xv — положение центра масс группы, т. е.
У /П/ (х/ — xv) = 0,(28.22)
находим, что с точностью до членов более высокого порядка вклад в член А равен
4, = —(fikak^MucC)^mjfn^Xj — xzГ3(х? — х：)(或一х?) X
X exp [ik • xv] ==(Gkak^/2Mua) £ т^ | x； — xz |~3 (疗—行)X “
X (或—xf) exp [ik • xv] = (feafep/a2Mu) £加,drf/dt X
X drf/dt exp [ik • xv]. (28.23>
Первый член в разложении (28.21) равен нулю, так как выражение под знаком суммы антисимметрично по / и /. Второй член в (28.21) приводит к первому равенству (28.23). С помощью теоремы вириала (28.19) это выражение можно представить в виде
.уравнения, записанного в третьей строке (28.23). Но третье уравнение (28.23) совпадает с вкладом в С (28.16), который вносят скорости внутри скопления. Таким образом, как и ожидалось, в скоплении сильно нелинейные течения не вносят вклада в А — С.
Д. Модель скоплений, находящихся в процессе формирования. Приближенная модель процесса образования скоплений получается следующим образом. Новое поколение скоплений создается из скоплений, которые можно рассматривать как частицы, причем масса каждой частицы равна, скажем, mQ. Если бы эти частицы были распределены случайно, то компоненты разложения Фурье 6 k имели бы случайные фазы, а спектр был бы степенным [уравнение (28.5)]
I бк |2 = т^Ми.(28.24)
Нас интересует псевдослучайное распределение, в котором максимально подавлены крупномасштабные флуктуации. Поэтому возьмем спектр в форме
Jmo/Мц, k > Хо\ t(mo/MB)(fexor，k^xo1,
n > 0, рь(ахо)з 〜mo.
Будем предполагать, что 6k обладают случайными фазами, а характерное расстояние между частицами равно Хо. При 尤《/ спектр похож на случайный, и это естественно, так как в любом случае мала вероятность найти более одной частицы внутри объема 炉< 耳.(Поскольку в нашей задаче частица — это область повышенной плотности с типичным размером %о, спектр должен уменьшаться с увеличением k при k > х~Ч Но эту особенность мы не будем учитывать.) Спад в длинноволновой части спектра плотности соответствует антикорреляции положений частиц при х^ х0. Амплитуда флуктуаций плотности (28.1) на масштабе х равна
(6р/р)х 〜(№/x)3 + ", х>%.(28.26)
Следовательно, флуктуации на масштабе 〜％о как раз вступают на нелинейную стадию, что свидетельствует о начале формирования нового поколения скоплений, имеющих такой масштаб. Поскольку новое поколение еще не образовалось, будем полагать, что членом С, связанным со скоростями частиц, можно пренебречь. Оценим член Л, определяемый гравитацией.
Используя предположение о случайности фаз, запишем среднее значение квадрата Л (27.15) в виде
<| Af)^(2^Gp^ £ D (kQ D (kff) <дк^к_к^_Л^к> = к' *0, к
=2(2rGp6)2 (乙/8"3) J Q2 16k, |216k_к，I2 d3〃. (28.27)
к" = к ——к' от-к" = к ——к' от-(28.28)(28.28)Здесь мы учли, что только члены с к" = к' или личны от нуля. Коэффициент D2 равен
к" = к ——к' от-
к" = к ——к' от-
(28.28)
(28.28)
炉〜(他/"f npи々’V耘~ (他信‘)4 при kf > k.
При случайном распределении частиц, для которого спектр по~ стоянен, интеграл в уравнении (28.27) при малых и больших 左' сходится благодаря коэффициенту Q2 Из уравнения (28.24) следует, что в этом случае среднеквадратичное значение величины Л равно
Л ~ Ср& (恤/м“)亿必)"2 ~ Срб (mo/M J/2 但*3".(28.29)
Линейный член, связанный с гравитацией, в уравнении (27.16) записывается в форме
4nGpft 16kl = 4,Орб (恤/M J".(28.30)
Следовательно, линейный член превосходит соответствующий нелинейный член, если 々％о《1. Этого следовало ожидать, так как при случайном распределении частиц линейное приближение применимо для волн, длина которых больше расстояния между частицами.
Если спектр задан уравнением (28.25), то при 々Хо《1 и /г > >1/2 основная часть интеграла набирается при 々'〜巧丄，где спектр выравнивается. Поэтому среднеквадратичное значение А определяется выражением
Ал ~ О^ь(.т01М^12(6初2,々Хо《1.(28.31)
Сравним это значение со значением линейного члена
4лОр(, 15kl = 4nGPb (mo/MJ1 /2 (kx0f2.(28.32)
Если 九 V4, то линейный член больше Л. Следовательно, длинноволновая часть спектра (А,》％。) растет в соответствии с обычной линейной теорией возмущений, что и ожидалось. Если же п > 4, то преобладает нелинейный член. Характерное время роста Л по порядку величины равно времени расширения 厶 так как
мы исключили вклад в Л от скучивания на масштабах, меньших хо- Итак, за время расширения у спектра образуется шлейф
16kl ~ 产4 ~ (g/Mj/2 (fex0)2, (28.33) где хо н /«о 〜рь «)&з ⑺珞一характерный размер и характерная масса скоплений, находящихся в момент времени t в процессе образования. Этот результат согласуется с уравнением (28.10).
Д. Выводы. Результаты этого раздела показывают, что в случае, когда первичное распределение вещества приближенно описывается гауссовым процессом, для которого спектр пропорционален kn (——3V/1V4), рост амплитуды гармоники спектра, длина волны которой k~l фиксирована в сопутствующей системе отсчета, соответствует линейной теории возмущений до тех пор, .пока флуктуации плотности бр/р на этом масштабе L не до- .стигнут единицы. После этого возмущение распадается на связанные скопления. Именно этот процесс обсуждался в разд. 26. В модели Эйнштейна——де Ситтера характерный размер скоплений, образующихся в эпоху t [формула (26.9)], равен
Го(/)ос /(т + 2”)/(9 + з“). (28.34)
：Соответствующие координатный размер и масса равны
标~必8 卢(9 + з“)， (28.35) m0(t)xxooc t4/^+n\ (28.36)
Эти оценки справедливы при п < 4. Если с самого начала /г >4, то мелкомасштабные нелинейные движения приводят к образованию спектра 々& и линейный гравитационный член, служащий источником для 6k(f), приводит к тому, что /По (0 ・растет с минимальной скоростью: /и。ос 抬/7 [311, 456].
Непротиворечивость этой картины основана на том, что при х >х0 (0 в уравнении для 6к(^) нелинейный член Л меньше линейного члена 4nGp&6k [уравнения (28.31), (28.32)] и становится сравнимым с ним, только когда (6p/p)k-i приближается к единице. Можно было бы возразить, что, хотя картина кажется согласованной, не было показано, что она неизбежна: можно представить себе случай, когда нелинейный процесс скучивания на масштабе х^х0 (0 вызывает более быстрое развитие скучивания, чем в соответствии с уравнением (28.36) (например, [333]). До сих пор нс было выполнено четкой проверки этого эффекта. Можно привести также такой аргумент. Пусть х ——фиксированный в сопутствующих координатах размер, причем в некоторую выбранную эпоху f x^Xq (/). Если сфера радиуса х охватывает развивающийся протообъект, то избыток массы равен 6М/М^ 1.
Численные расчеты подтверждают, что в модели Эйнштейна— де Ситтера при фиксированном % избыток массы растет по закону £"з даже тогда, когда 6М/М близко к единице ([325], разд. 70). Это означает, что | 6к |2 ос t^3 [соотношение (28.1)] согласуется с рассматриваемой картиной.
Можно предположить, что при большом красном смещении нсгравитационные процессы привели к тому, что вещество собралось в нелинейные образования, которые в свою очередь сформировали спектр fe4. В результате этого последующее развитие скучивания под действием гравитации происходило по закону 加。＜х ос 产％. Однако в соответствии с принципом причинности можно было бы ожидать, что размер этих образований меньше горизонта. (Кроме того, это требование необходимо, если флуктуации плотности нс создают значительных флуктуаций кривизны; ср. с разд. 95.) Величина ro(f)/cf, равная отношению наибольшего масштаба скучивания, поддающегося оценке, к расстоянию до горизонта, уменьшается со временем, если п = 4 и если ыеграви- тационньгми силами можно пренебречь. Поскольку в настоящее время это отношение не намного меньше 0,01, трудно представить себе, как нс нарушающие принцип причинности квантовые процессы, протекавшие при очень больших красных смещениях, могли играть какую-либо роль. Но не следует упускать из виду, что вопросы приложения классической теории поля к этой проблеме не были проанализированы во всех подробностях, а вопросы квантовой теории все еще остаются объектом исследований.
Глава III
n-ТОЧЕЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ: ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ
Статистические меры распределения галактик
Можно выделить два общих подхода к эмпирическому изучению крупномасштабного распределения вещества ——«ботанический» и статистический. Выделение специфических классов объектов наподобие галактик и скоплений галактик Эйбелла является очевидным и, безусловно, оказалось полезным. С другой стороны, с 1930-х годов существует мнение, что общее распределение столь сложно, а данные, которые мы надеемся получить, настолько схематичны, что классификация скучивания по 《родам и видам» вряд ли может быть полезной (и даже возможной). Выход состоит в том, чтобы обратиться к статистическим мерам. Например, в 1934 г. Хаббл [182] изучал распределение подсчетов галактик N、обнаруживаемых в поле зрения телескопа. Распределение N сильно асимметрично, но Хаббл нашел, что распределение lgN очень близко к закону Гаусса. Хаббл предположил, что такое простое и интересное свойство должно отражать важные закономерности общего неоднородного распределения галактик на малых масштабах. Бок [19] и Моубрей [258] сравнили разброс ^ с разбросом, ожидаемым для статистически однородного случайного распределения с учетом изменения предельной звездной величины от пластинки к пластинке и колебаний межзвездного поглощения света в Галактике (которое можно оценить по флуктуациям подсчетов звезд). Бок и Моубрей нашли, что разброс ^ значительно больше, чем при случайном распределении. Тем самым снова было показано, что галактики, как правило, скучиваются. Шепли с сотрудниками нанесли на карту положения галактик (наблюдаемых до некоторой предельной видимой звездной величины) для избранных площадок неба. Пример такой карты представлен на рис. 29.1 [380]. Крупномасштабная неоднородность, видимая на этой карте, отчасти связана с тем, что у некоторых фотопластинок, покрывающих выбранную область, чувствительность к краям падает (и, разумеется, ни одной галактики нет в больших пустых участках по углам карты, потому что эти участки не входят в выбранную область). При простом рассмотрении карты создается впечатление сложности распределения. Не известно, складывается ли распределение из отдельных
скоплений разнообразных видов. Если бы мы знали истинное пространственное распределение, то оно, безусловно, помогло бы разобраться в картине. (Есть еще одна практическая трудность: о пространственном распределении можно судить, если исполь-
Рис. 29.1. Одна из карт, построенных Шепли, лактик ярче 18m (380].Рис. 29.1. Одна из карт, построенных Шепли, лактик ярче 18m (380].Отмечены угловые положения гаОтмечены угловые положения га
Рис. 29.1. Одна из карт, построенных Шепли, лактик ярче 18m (380].
Рис. 29.1. Одна из карт, построенных Шепли, лактик ярче 18m (380].
Отмечены угловые положения га
Отмечены угловые положения га
зовать красное Смещение в качестве меры расстояния, но пекулярные движения внутри скоплений, как ожидается, приводят к ошибкам в определении расстояния, сравнимым с длиной скучивания. 3工а проблема обсуждается в разд. 76.)
Что касается выбора того или иного статистического подхода для измерения скучивания галактик, то предпочтение отдавалось различном модификациям автокорреляционной функции. Использованный Боком параметр ——дисперсия, или разброс подсчетов N в ячейках,——является интегралом от двухточечной корреляционной функции (разд. 36). Индекс клочковатости, употреблявшийся Цвикки [459], равен отношению разброса ^ к разбросу, ожидаемому для однородного случайного распределения. В 1954 г. Рубин [346] использовала оценки разброса ^ по Гарвардским под- счс工ам, тгобм найти пространственную корреляционную функцию. Лимбер [229, 230] оценил автокорреляционную функцию подсче-
тов галактик по предварительным результатам Ликского каталога, который тогда еще не был закончен. Лимбер показал, что поверхностная корреляционная функция (на небесной сфере) связана линейным интегральным уравнением с соответствующей пространственной корреляционной функцией g(г). Это уравнение он использовал для некоторых оценок g(г).
Лимбер следовал работе Чандрасекара и Мюнча [38], которые рассмотрели связь между флуктуациями яркости Млечного Пути и клочковатым распределением поглощающей межзвездной материи. В этой задаче в 工ом виде, как она была первоначально сформулирована Амбарцумяном [6], предполагается, что звезды в Галактике распределены равномерно, а пыль заключена в случайным образом расположенных облаках. Проанализировав эту проблему довольно подробно, Чандрасекар и Мюнч обратились затем к другому методу, согласно которому распределение пыли характеризуется пространственной автокорреляционной функцией. Их уравнение, связывающее эту функцию с автокорреляционной функцией яркости Млечного Пути [38, cq. 77], непосредственно предшествовало уравнению Лимбера, связывающему поверхностную и пространственную корреляционные функции [уравнение (51.7)]. Рубин [346] независимо вывела частный случай уравнения Лимбера, устанавливающий связь между разбросом подсчетов галактик в ячейках на небесной сфере и пространственной корреляционной функцией галактик L
В 1950-е годы наиболее обширной статистической программой была программа Неймана и Скотт [263, 366, здесь же ссылки]. Важным побуждением к работе был для них Ликский каталог. Шейн подчеркивал, что большой объем данных в этом каталоге бросал вызов и позволял выполнять статистические исследования. Нейман и Скотт разработали априорные статистические модели скучивания и затем подбирали параметры так, чтобы характеристики модели сосггветс工вовали оценкам, полученным по наблюдениям, Их математические методы были замечательны, и, возможно, они до сих пор не оценены по достоинству и недостаточно применяются. Нейман и Скогг использовали в основном данные о поверхностной автокорреляционной функции подсчетов галак-
Нейман и Скотт [265] критиковали подход Лимбера и Рубин, поскольку в их работах распределение галактик описывалось непрерывной функцией плотности р(г). Как показали Нейман и Скотт, при таком подходе и при малом 〈А/〉 итоговое выражение для разброса подсчетов галактик в ячейках может противоречить условию, что ^——неотрицательное число [поскольку член 〈％〉отсутствует в правой части уравнения (36.7)]. Лейзср [214] и Лимбер [231] показали, что эту трудность можно преодолеть, если считать, что р(г)—плотность вероятности: вероятность найти галактику в элементе объема 3V в точке с координатами г равна p(r)3V (разд. 33 и 38). Другой метод заключается в том, чтобы заменить автокорреляционную функцию распределения р(г) на двухточечную корреляционную функцию распределения точечных объектов (разд. 31).
тик (например, [267]) и индекс клочковатости, введенный Цвикки [266].
Преобразованием Фурье ил и разложением по сферическим гармоникам корреляционной функции является спектр мощности (разд. 41 и 46). Эта характеристика использовалась в работе Ю и Пиблса [447], чтобы проверить, существует ли скучивание положений скоплений Эйбелла, в работе Пиблса и Хаузера [326]—— чтобы измерить скучивание галактик в Ликском каталоге, в работе UIcx工мана [385] — чтобы оценить флуктуации в суммарном фоновом нзлучснин галак工ик (разд. 58), и в работе Вебе工ера [433]—чтобы проверить, существует ли скучивание радиоисточников в каталоге 4С.
Можно указать несколько причин популярности автокорреляционной функции и ее разновидностей. Самая очевидная причина состоит в 工ом, q工。з工от метод оказался плодотворным во многих других областях и поэтому естественно применить его и к нашей задаче. Немаловажно и то, что непосредственно наблюдаемая поверхностная корреляционная функция связана простым линейным уравнением с интересующей нас пространственно访 функцией. 3工о означает,叮工о довольно легко перейти от одной функции к другой и, что нс менее важно, определить, как должны изменяться ста工нстииеские оценки в зависимое工н от глубины каталога, а значит, проверить, подвержены ли оценки систематическим ошибкам [161, 326]. И наконец, динамику распределения галактик можно онисьтатъ с помощью корреляционных функций плотности： статистический метоп, который оказался полезным для обработки данных наблюдений, может сослужить добрую службу и при анализе теории (см. гл. IV).
Конечно, использование автокорреляционной функции ——не единственный метод. Он не применим для анализа таких редких чрезвычайно больших (рлук工уа【щй, как скопления Эйбелла, поскольку корреляционная функция нс очень нувс工ви工сльна к ним： необходимо най工к более мощную меру. Кроме 工ого, как бы 工04Ho ни была известна функция Е, содержащаяся в ней информация ограниченна. Например, q工обн проверить, существует ли скучивание богатых скоплений, Эйбелл [2] изучал распределение подсчетов ^ скоплений, обнаруженных в площадках определенных угловых размеров. Если бы скопления располагались случайно, то N подчинялось бы распределению Пуассона. Отклонение наблюдаемого распределения от распределения Пуассона Эйбелл использовал как меру скучивания объектов. Как упоминалось выше, дв\;хточсчная корреляционная функция Е (г) определяет второй момент этого распределения ^. Чтобы предсказать третий момент, необходима 工рехтоиеиная корреляционная функция, а для предсказания полной ожидаемой формы распределения ^ надо знать корреляционные функции всех порядков (разд. 39). Таким образом, использованный Эйбеллом метод в общем случае может
6biib чувствителен к параметрам скучивания, не проявляющимся в Е(г)・
Другим популярным методом является анализ расстояний до ближайшего соседа^ Этот метод был использован Богартом и Вагонером [18], чтобы продемонстрировать скучивание скоплений Эйбелла, а также Тернером и Готтом [421], когда они пытались выделить совокупность однородно распределенных галактик поля. В качестве аналога функции светимости Готт и Тернер [135] ввели функцию кратности для анализа распределения групп и скоплений галак工ик по богатству, а Бхавсар [14] применил этот метод на практике. Трудность этого метода состоит в 工。м, что нелегко понять, как данные об угловых координатах преобразуются б данные о пространственном распределении. Некоторое аспекты этой проблемы обсуждаются в работе [441] и в разд. 36—39 и 59—62.
Возможности методов анализа должны соответствовать ситуации с наблюдениями. Если объем данных невелик, то g не нужно определять слишком точно. Такой была ситуация в дискуссиях 1950-х годов, поэтому статистические модели Неймана и Скотт были гораздо подробнее, чем это обеспечивали наблюдения. Положение изменилось, когда было завершено составление каталога Цвикки и Ликского каталога и были созданы быстродействующие ЭВМ, позволяющие быстро обрабатывать данные. Стало ясно, что 专 можно оценить с “остаточной точностью и воспроизводимостью и что из данных наблюдений можно извлечь гораздо больше статистической информации [309]. Один из способов, позволяющих добиться этого, состоит в использовании корреляционных функций высоких иорядков. Этот метод был разработан Пиблсом и Гротом [324], он дает хорошие результаты в третьем порядке и на пределе точности в четвертом порядке (116]. В результате заметно увеличился объем информации и ограничения на модели •скучивания стали более жесткими, тем не менее нельзя утвер- ；:жда!ъ, что существует полное статистическое описание.
3工а глава полностью посвящена п-точечным корреляционным функциям и связанным с ними статистическим методам； не стоит забывать, что, хотя доказана ценность этих методов, вполне могут появиться другие столь же полезные меры.
Гипотеза о представительной выборке
Основной принцип общепринятой космологической теории в формулировке Хаббла состоит в том, что доступная наблюдениям часть Вселенной является представительной выборкой Вселенной в целом. Поскольку рассматривались однородные, но анизотропные космологические модели, нужно уточнить, что гипотеза о представительной выборке означает, что Вселенная с工атистине・ 10 Заказ № 82
ски однородна и изотропна. Как уже указывалось в разд. 2, эта гипотеза удовлетворяет существующим тестам,. причем некоторым—совершенно точно. Ниже мы всюду будем полагать, что эта гипотеза справедлива.
Конечно, вещество распределено чрезвычайно неоднородно: существуют звезды, галактики и скопления галактик. Поэтому необходимо считать, что предположение об однородности и изотропности применимо в статистическом смысле, т. е. в среднем по достаточно большим областям: считается, что Вселенная может рассматриваться как однородный и изотропный случайный процесс [263]. Представим себе, что распределение вещества определяется нексггорь1м физическим процессом, включающим длинную и сложную последовательность собм工и访.Тогда распределение в любом конкретном месте является результатом большего числа малых вариаций парами工ров в этой последовательности событий. Выборки, полученные на основе далеко отстоящих друг от друга областей, не коррелируют, и набор таких выборок является ста- 工нстическим ансамблем, возникшим в результате большого числа независимых реализаций такого процесса, п-точечные корреляционные функции можно рассматривать как средние по ансамблю. Гипотеза о представительной выборке утверждает, во-первых, что вполне разумно рассматривать достаточно удаленные друг от друга части Вселенной как независимые реализации одного и того же физического процесса, а во-вторых, что в пределах наблюдаемой Вселенной существует много независимых выборок, которые можно объединить в приближенный статистический ансамбль. В-третьих, гипотеза утверждает, что повороты не изменяют средние по ансамблю величины.
Особенно важен для анализа данных тест на воспроизводимость характеристик, полученных по наблюдениям различных областей пространства: различных частей неба или обзоров различной глубины. Этот тест необходим, чтобы проверить степень искажения данных в результате систематических ошибок, и он служит для надежной проверки гипотезы о представительной выборке. В настоящее время результаты теста довольно хорошо согласуются с этой гипотезой (разд. 46 и 57).
В этой главе мы большей частью пренебрегаем кривизной пространства и расширением Вселенной и используем обычную евклидову геометрию. Мы пренебрегаем также тем, что галактики наблюдаются в световом конусе, обращенном в прошлое, а не в фиксированный момент космологического времени. Это — хорошее приближение, поскольку большая часть имеющихся данных относится только к малой части расстояния Хаббла сН~1. Для более глубоких обзоров нужно, конечно, учитывать, что процесс является функцией времени (разд. 56).
3/. Двухточечная пространственная корреляционная функция е(г)
Поскольку во многих каталогах приведены координаты га- лак工ик или скоплений галактик, или источников космического радиоизлучения, час工。полезно описывать распределение вещества в виде распределения точечных объектов, которыми могут быть нуклоны или галактики, или скопления галактик. Если различиями между объектами пренебречь, то остается лишь вопрос о характере распределения в пространстве точек г/, а это распределение может быть описано n-точсчными корреляционными функциями. Эти методы в том виде, как они определены в этом и последующих разделах, почти совпадают с методами, принятыми в теории неидеального газа, но, как указано в разд. 32, имеется небольшое формальное различие.
Вероятность того, что объект находится в бесконечно малом элементе объема 6 V, равна
6P = n6V,(31.1)
где средняя кончен工рация 孔 не зависит от положения. Это соотношение можно понять в смысле среднего по ансамблю: если ис- следуе工ся М реализаций, то в % случаях внутри 6 V будет найден объект, причем
N = M而忆(31.2)
Вероятность пропорциональна объему элемента, поскольку при удвоении 6 V удваивается вероятность на访工и объект, тогда как вероятность найти больше одного объекта является бесконечно малой более высокого порядка (если предположить, что объекты не входя工，в сколь угодно тесные группы,——именно этот случай представляет реальный интерес).
Среднее число объектов, находящихся внутри конечного объема Й, равно интегралу от уравнения (31.1):
(N〉= nV.(31.3)
Проще всего понять это, если представить себе, как суммируются подсчеты (31.2) по всем элементам объема 8v\ содержащимся в V.
Двух工очечная корреляционная функция g определяется совместной вероятностью найти одновременно объекты как в элементе объема 6%, так и в элементе объема 6%, расстояние между которыми равно 门2：
bP = n4V^V2[l+l(r^(31.4)
Чтобы функция 自 согласовывалась с предположением об однородности и изотропности, она записана как функция только расстоя- 10*
ния. Коэффициент п2 вводится для того, чтобы корреляционная функция была безразмерной. Как и в уравнении (31,1), вероятность пропорциональна 6U16U2, так как при удвоении любого бесконечно малого элемента объема вероятность найти объект возрастает вдвое. При однородном случайном дискретном пуассо* новом процессе вероятности найти объекты в 6 0】и 6% независимы, поэтому совместная вероятность равна произведению вероятностей для каждой точки и в соответствии с формулой (31.1)
ЬР =层6匕 6% (однородный процесс Пуассона). (31.5)
В этом случае 自 三 0. Если положения объектов коррелируют, то g >0, а если положения а нтикор р ел ир у ют, то ——IW^Wo.
Поскольку вероятность на访工и объект в 6V1 равна пбVi, условная вероятность найти объект также в 6Р2, если в 6 Vi есть объект, равна
|dP(2|l) = ndV2[l+Un2)J.(31.6)
Можно сформулировать это утверждение иначе： если из ансамбля случайным образом выбран объект, то вероятность того, что у него есть сосед на расстоянии г в объеме 61/ (в той же самой реализации), равна
dP = ndV[l+Ur)].(31.7)
У случайно выбранного объекта среднее число соседей, расстояние до которых меньше г, равно интегралу от выражения (31.7):
〈N% = Vn + “ 自(г)川.(31.8)
О
Здесь индекс р позволяв工 отличить это среднее от среднего в уравнении (31.3) для произвольного Р. Для распределения Пуассона ^ = 0 и эти средние совпадают, поскольку то обстоятельство, что центр V совпадает с объектом, не изменяет вероятность найти объекты где-то еще внутри У. Но совпадение центра V с объектом искажает среднее значение, если положения объектов коррелируют: интеграл от 九自 равен избытку среднего числа соседей по отношению к тому, что ожидается для однородного случайного распределения.
Интеграл в уравнении (31.8), взятый по всем г, дает избыток полного числа соседей по отношению к случайному распределению:
пс — 1 = м ]三 dV.(31.9)
Если интеграл сходится, то пс является одной из мер среднего числа объектов в скоплении. В качестве примера предположим,
что все объекты входят в скопления, диаметр каждого из которых равен D и каждое из которых состоит из zic объектов. Предположим также, что распределение центров скоплений соответствует однородному случайному процессу Пуассона. Произвольно выбрав объект, мы выбираем тем самым и скопление, к которому он принадлежит. Но это не сказывается на распределении других скоплений, так как предполагается, что скопления распределены случайным образом. Поэтому они добавляют к 〈N〉& член nV, такой же, как и для случайно расположенного объема. У выбранного скопления есть, кроме того, пс——1 сосед, поэтому интеграл от 孔自 равен пс——1. Если число объектов в скоплении ——случайная величина, то вероятность выбрать объект из скопления, содержащего Па членов, пропорциональна па, так что
n\ldV ^{Па{Па-\^п^,(31.10)
где усреднение производится по относительной распространенности скоплений в пространстве. Некоторые дополнительные аспекты таких моделей скоплений рассматриваются в разд. 40 и 61.
32、Двухточечная корреляционная функция: другое определение
Существует другой способ определения п-точечной корреляционной функции (например, [257]), который приводит к уравнению, отличающемуся от уравнения (31.9). Предположим, что в фиксированной области R объемом Vu содержится m объектов. У каждого объекта есть метка, так что Xi означает положение объекта (1) и т. д. Вероятность того, что объект (1) находится в эле- менте объема 6 Vb объект (2) — в 6% н 工,д., равна
6P = f (Xi, Х2, Xm)Wi 6丿2 We(32.1)
где условие нормировки записывается в виде
[fdV^.. dVm= 1.(32.2)
Будем полагать, что объекты идентичны (если не считать меток), поэтому f является симметричной функцией своих аргументов. Тогда вероятность найти любой объект в 6V1 и любой объект в 6У2 равна
ЗР = m (т — 1)6叭О% ] f (口，г2, r3, . . .) d% , . . dVm =
Интеграл дает вероятность того, что объект (1) находится в 6 Vh объект (2)——в б|?2, а благодаря коэффициенту т(т——1) это выражение есть вероятность того, что любой из т объектов находится в 6Vi и любой из оставшихся т——1 объектов ——в 6V2・ Второе равенство определяет двухточечную корреляционную функцию, причем
п = т1Vti.(32.4)
Условие нормировки (32.2) означает, 口工。справедливо ограничение
孔2 ] W (门2)dV I dV2 = —m(32.5)
или, поскольку будет предполагаться, что длина корреляции много меньше размера R,
/г ]式Г)0г = -1.(32.6)
Здесь zic = 0 независимо от характера скучивания объектов, поскольку у каждого объекта есть т — 1 сосед в области R, т. е. как раз на единицу меньше, чем число, ожидаемое для однородного случайного распределения. Уравнение (32.6) отличается от уравнения (31.9), так как во втором случае число объектов в каждой реализации является случайной величиной, и, произвольно выбрав объект из ансамбля, мы изменяем число объектов в этой реализации на величину пс. Если объекты расположены в случайно распределенных скоплениях размером D, причем каждое состоит из Мс членов, то в соответствии с последним определением на больших расстояниях корреляционная функция равна
Е (г) а —叫m, г > D.(32.7)
Она отрицательна, поскольку фон вне выбранного скопления содержит т ——пс членов, т. с. поскольку средняя плотность
(п) ^{т~ %)/乙=九(1 — Пс/т)(32.8)
меньше, чем общая плотность, на относительную величину п^т.
Оценки корреляционных функций, полученные по каталогам объектов, приблизительно согласуются с уравнениями (32.6) и (32.7) (если не принимать во внимание граничные эффекты), так как плотность 孔 также необходимо оценить из подсчетов объектов (разд. 47). При обсуждении теории удобнее использовать определения, даваемые уравнениями (31.4) и (31.7), к которым эти ограничения не относятся. Разумеется, на практике различие пренебрежимо мало, так как необходимо предположить, что любая полезная выборка содержит много больше объектов, чем отдельное скопление, т. е. т^п^
Двухточечная корреляционная функция: модель Пуассона
Распределение объектов можно приближенно описать непрерывной функцией плотности р (г). Среднее значение этой функции равно
(р(г)>=п,■(33.1)
а безразмерная автокорреляционная функция записывается в виде а (г) =〈[р (х + г) — <р)][р：(х)- р])/<р)2.(33.2)
Это выражение можно представить в форме
〈р(х + г)р(х)〉= 〃2[1.+ а(г)]・(33.3)
Уравнения (33.3) и (31.4) очень похожи, и сходство можно усилить [214, 231). Чтобы построить распределение объектов, сначала выберем р (г) из ансамбля и затем в каждый элемент объема 6 U, принадлежащий области выборки, поместим объект в соответствии с вероятностью
6P = p(r)6V.(33.4)
Такая процедура реализует процесс Пуассона, в котором плотность вероятности является функцией положения р (г). Для заданного р совместная вероятность того, что объекты попадают одновременно в элементы объема 6Vi и 6v'2, равна произведению
ЬР = р (门)ЬУ ip (г2) 6V 2-(33.5)
Усредняя это выражение по ансамблю функций и применяя уравнение (33.3), как и выше, находим
дР = п2[1 + 貢 r)]6V 16V2,(33.6)
где теперь 自 служит автокорреляционной функцией р (г).
Следует иметь в виду, что g в том виде, как оно здесь определено, является моделью: легко представить себе ситуации, которые оно не может описать, например жесткие сферы ^ = —1 при 0W『Vd, где d — диаметр сферы. Определение, данное в разд. 31, делает g описательной статистикой, поскольку это определение в то же время служит инструкцией для оценки 占. Модель Пуассона, обладает некоторыми полезными свойствами (разд. 38) и, насколько известно, не противоречит наблюдаемому распределению галактик.
Трехточечная корреляционная функция
По аналогии с соотношением (31.4) можно определить трехточечную корреляционную функцию через вероятность найти объекты одновременно в каждом из трех элементов объема бVi,dV2 и 6丿3：
6p = m6,心，26嚥[1+乳乙)+ 自(h)+ 貝分)+ 义乙，h,分)], (34.1)
где г。，гъ и 「с ——стороны треугольника, вершинами которого являются три рассматриваемые точки. Предположение об однородности и изотропности означает, что С является симметричной функцией длины этих трех сторон. Величина, стоящая в квадратных скобках,——это полная трехточечная корреляционная функция, a W ——приведенная часть.
Использование приведенной функции 甘 дает несколько преимуществ. Если 6% и 6% расположены близко друг к другу, а 6 /з находится так далеко от них, что происходящее в 6% и bV2 не влияет на вероятность найти объект в 6%, то из соотношений (31.1) и (31.4) следует
dP = n2dV1d/2[l +乳3)]就％• (34.2)
Сравнивая это выражение с уравнением (34.1), находим, что С исчезает. В разреженном неидеальном газе обычно С《Е《1, поэтому приведенную функцию можно рассматривать как возмущение. Для распределения галактик при малых г преобладающим членом является g и 1《自《备 но у приведенной функции здесь есть другое важное практическое преимущество. Наиболее обширные имеющиеся данные о распределении галактик ——это каталоги координат на небесной сфере. Двухточечная и приведенная трехточечная поверхностные корреляционные функции определяются соотношениями типа (31.4) и (34.1), и эти функции являются интегралами от 三 н g соответственно (разд. 54). В соотношении для поверхностного распределения, аналогичном соотношению (34.1), преобладающим членом в квадратных скобках может быть первый член, представляющий триплеты галактик, расположенных на очень различных расстояниях от Солнца, но случайно видимых на небе очень близко друг к другу. Следующими наибольшими членами являются три двухточечные функции, представляющие близко расположенную в пространстве пару галактик и случайно видимую в том же направлении третью галактику, отстоящую далеко в пространстве от первых двух. Таким образом, соотношение (34.1) записано в таком виде, чтобы по сферическим координатам было удобно различать случайные и реальные триплеты.
Условная вероятность найти рядом со случайно выбранным объектом два других объекта, таких, чтобы составился треугольник со сторонами %, г& и равна [ср. с (31.6)]
6Р =禽，2д^з(1+ёа + с(, + Ь+ Zabc),(34.3>
где & = Е(Га) и т. д. Условная вероятность найти объект, образующий треугольник с двумя другими объектами, отстоящими друг от друга на расстояние г。, равна [в соответствии с (31.4)]
6Р = Пд/з(1 +% + & + & + 〃阮)/(1 + 〃)・(34.4)
Если распределение объектов приближенно представляется непрерывной функцией р(г) (разд. 33), то третий центральный момент этого распределения равен
С (г, & I г — § I) =〈[р (х + г) —〈р〉] [р (х + §) —〈р〉] [р (х) —〈р〉]〉/〈р〉з.
(34.5)
Раскрывая правую часть и используя соотношение (33.3) и равенство <р> = п, находим
<p(x + r)p(x + s)p(x)> = n3[l +乳「) + 式5)+式 |г —§|) + 0・ (34.6)
Это соотношение согласуется с выражением (34.1). Как и выше, соответствие можно усилить, если использовать модель Пуассона. Для данной функции плотности р (г) вероятность того, что объекты располагаются в точках х, х+г и x + s, равна [уравнения (33.4) и (33.5)]
6Р = р (х) р (х + Г) р (х + §) д/^Из.(34.7)
Усредняя это выражение и используя соотношение (34.6), получаем уравнение (34.1). При этом дополнительные члены в квадратных скобках (34.1) появляются потому, что g ——это центральный момент.
Для некоторых целей оказывается удобно использовать новые независимые переменные. Поскольку g ——симметричная функция трех сторон треугольника, можно считать, что
га<гь< Гс,”(34.8)
и затем положить [324]
г = га, 〃 = гь/га, и = (гс — Гь)/Га,(34.9)
1 V 〃，о < и < 1.
Таким образом, г характеризует размер треугольника, а безразмерные параметры и и и характеризуют его форму. Если фиксированы точки, лежащие на обоих концах стороны % = г, то диапазон параметров формы би и би определяет кольцо, объем которого равен
дУз = 2лг3и (и + и) dudu.(34.10)
Следовательно, если фиксирована вершина, в которой пересекаются га и г&, то шестимерный элемент объема, определяемый треугольниками, размер и параметры формы которых равны г, 〃 и и и лежат в диапазоне б г, 6〃 и би, записывается в виде
{dV^ = 8л2г5и (и + и) drdudv. (34.11)
Четырехточечная корреляционная функция
Эта функция определяется через совместную вероятность найти объекты одновременно в каждом из четырех элементов объема 6/1 — 6匕：
4P = Moiz心^暂%8!^口 + 自(门2)+ . . . (6 членов) +
+ 占(门2,「23, Гз1)+ • • • (4 члена) + 式门2) s (為力 + • • • (3 члена) + 电.
(35.1)
Приведенная функция 刀 является функцией шести переменных, необходимых для того, чтобы фиксировать относительные положения четырех точек (4X3 координаты минус трн переноса и минус три поворота).
Как и для трехточечной функции, можно несколькими способами объяснить, почему в уравнении (35.1) все члены добавлены к Т). В соответствующем уравнении для распределения галактик •по небесной сфере оказывается, что преобладающим членом в квадратных скобках является первый член, который обусловлен тем, что четыре галактики, расположенные на совершенно различных расстояниях от наблюдателя, случайно видны примерно в одном направлении. Второе слагаемое соответствует двум близко расположенным в пространстве галактикам, вблизи которых в проекции случайно видны еще две галактики, третье слагаемое —тесные триплеты, вблизи которых случайно проецируется четвертая галактика, четвертое слагаемое —две тесные пары, сл)г- чайно видимые примерно в одном направлении. Если исключить эффекты проекции, то приведенная поверхностная корреляционная функция и будет равна интегралу от Т) (разд. 55).
Если 6 Vi располагается близко к 6V2, а 6 V3 — близко к 6Р4, но пары отстоят далеко друг от друга, то в выражении (35.1) вероятность сводится к произведению двухточечных вероятностей (31.4):
^ = /6%6%(1 +W12)出6九6 乙(1 +自34)=
=公(1 + ?12 + ^34 + S12&34)bV^V^V3bV4. (35⑵
Сравнивая это выражение с (35.1), видим, что t]f 0, когда пары сильно разделены в пространстве, что и требовалось. Если три точки расположены близко друг к другу, а четвертая ——на боль-
шом расстоянии от них, то выражение (35.1) сводится к произведению трехточечного и одноточечного распределений, и снова
Если использовать непрерывную функцию плотности, то четвертый центральный момент определяется уравнением
〈РУ Л = ((pi —〈Р〉)(Р2 —〈Р〉) Зз —〈Р〉) (р4 —〈Р〉)〉一
—((Pl —〈Р〉)(Р2 —〈Р〉)〉〈(РЗ —〈Р〉)(Р4 —〈Р〉)〉一
~〈(Р1 — (р)) (Рз —〈Р〉)〉〈(р2 —〈Р〉)(Р4 ~〈Р〉)〉一
—〈(Pl —〈Р〉)(Р4 ~〈Р〉)〉〈(Р2 —〈Р〉) (Рз —〈Р〉)〉・(35.3)
Последние три члена приводят к тому, что t]f 0, когда две пары точек сильно удалены друг от друга. Этот момент служит анало- :гом коэффициента эксцесса для распределения f (х)
¥U = <(x-(x))4>-3<(x-{x))2)2.(35.4)
^Последний член приводит к тому, что и равно нулю, если f —— распределение Гаусса.
В модели Пуассона вероятность найти объекты во всех четырех элементах объема записывается в виде
6Р =(Р1Р2Р3Р4) 6V fiV^V 36Р4.(35.5)
Раскрывая скобки в первом члене выражения (35.3) и используя определения 自 и ^, даваемые соотношениями (33.3) и (34.5), находим, что уравнения (35.3) и (35.5) можно свести к уравнению (35,1).
Моменты подсчетов объектов
Полезной иллюстрацией применения n-точечных корреляционных функций служит их связь с моментами подсчетов объектов. Интересны два случая： когда объекты подсчитываются в произвольно выбранной ячейке и когда центр ячейки совмещен со случайно выбранным объектом. В этом разделе выводятся общие соотношения. Некоторые численные результаты для наблюдаемого распределения галактик приведены в разд. 59.
Л. Произвольно выбранные ячейки. Чтобы вычислить моменты подсчетов объектов в ячейке, мысленно разобьем се на бесконечно малые элементы так, чтобы в элементе объема 6 Vl находилось п\ объектов. Вероятность того, что ni = 1, равна пбVi [уравнение (31.2)], а вероятность того, что 九1 > 1, является бесконечно малой более высокого порядка. Таким образом, с точностью до порядка б V
пб/1 == (/if) = (п?) = . . .,(36.1)
(36.2)(36.3)(36.2)(36.3)поскольку 九：=九1, если ni = 0 или 1. Произведение ni«2 подсчетов в различных элементах объема 61Л и 6 Из равно .единице, если в обоих элементах объема есть объекты, и вероятность такого события определяется уравнением (31.4). Поэтому 〈勿办2〉=m6%6%(1+自12),
(36.2)
(36.3)
(36.2)
(36.3)
〈(办1 - (n1)) (m2 —〈也2〉)〉=也26%6V2ъ12-
Число объектов в ячейке объемом V равно
N = Z /г】.
В соответствии с формулой (36.1) среднее значение этой величины равно
〈N〉— £〈口〉= j n dV = nV(36.4)
[ср. с уравнением (31.3)]. Второй момент записывается в виде 〈炉〉=2〈着〉+ ё〈"僧2〉.(36.5)
Квадратичные члены определяются уравнением (36.1), а перекрестные—уравнением (36.2):
〈解〉=/^ + (nQ2 + /2, /2 = *]翫 d% d%,
f(36.6)
ц2 = (^-лУ)2) = л/ + /2.
При 自=0 это соотношение сводится к ц2 = «К как для распределения Пуассона. Если объекты коррелируют (&>0), то дисперсия ^ возрастает. Когда размер объема V во много раз больше длины скучивания, уравнение (36.6) приобретает вид
H2 = nV + n2V J UH d3r = ncnV,(36.7)
где "c — число объектов, приходящихся на скопление [формула (31.9)], или
〈(N/n『〉=〈2色〉2 +〈乂/吟.(36.8)
Фактически в случайно выбранном единичном объеме находится п/пс скоплений.
Среднее значение ^3 зависит от трехточечпой корреляционной функции. Как и в соотношении (36.2), вероятность того, что для различных ячеек /11^2^3 = 1, определяется выражением (34.1), и, следовательно:
(п! п2п3^ = n3dV id/ ^ з (1 + 312 + G23 + аз】+ а (36.9) 〈("1 一〈"1〉)(九2 -〈出〉)(办3 -<饱))="崛/ fiV力03
Во втором соотношении использованы уравнения (36.1) и (36.2). Теперь удобно оценить центральный момент
1Хз = <^-пЮ3> = <(£пг-<п.-))3) =
=2〈(办1 -〈九 1》(改一〈办2〉)(办3 -〈也3〉)〉+
+ 3 Z〈(% 一〈口〉)2 (改一〈m2〉)〉+ E〈(口一<小〉)3〉.(36.1 0)
Первый член, для которого все три ячейки различны, определяется уравнением (36.9). Второй член равен
X ((«I - <П1))2 («2 - <п2))) - га2 S ^12 dv. d/2 = ц2 - nV. (36.11)
Третий член приводится к виду
£〈的一〈〃》〉£〈〃；〉= W.(36.12)
Таким образом, третий момент записывается в форме [314]
卩з = 3卩2 — 2itV + /3, /3 =标[W dV\dV^dV^t
к(36.13)
〈№〉=九，+ 3 (n/2) + (ггР)З + 3 (nU + 1) /2 + /з・
Если 己= g = 0, то 卩3 =卩2 =也旷 ——результат, справедливый для распределения Пуассона.
Вероятность того, что для четырех различных ячеек Л1"2"з"4 = =1, определяется соотношением (35.1). Применяя уравнения (36.2) и (36.9), находим
((^1 一〈办 1〉)(办2 -〈办2〉)("3 -〈办3〉)(办4 -〈办4〉)〉=
="%u 1Mz 力 V36 丿 4(n + 自成 34 + 自13m24 + 自1店 23). (36.14)
Четвертый центральный момент записывается в виде
14 =《2 %一〈口〉у〉=
-e〈(口 一〈口〉) ("2 -〈"2〉)(办3 -〈办3〉) ("4 -〈也4〉)〉+
+ 6 X〈(口 一〈口〉)2(^2 -〈"2〉)(办3 -〈办3〉)〉+ 3((口 一<修〉)2 ("2 -〈%2〉产〉+
+ 4 e〈(修一〈"1〉)3(也2 -〈也2〉)〉+ e〈("1 -〈力〉)4〉. (36.15)
В соответствии с уравнением (36.1) последний член равен nV. Предпоследний член может быть записан в виде
4 £ (〈"出〉一〈荔〉〈М2〉) = 4/2.(36.16)
Третий член равен
3 工〈届務〉=3也 + (业У].(36.17)
Второй член преобразуется к виду
6/3 + QnV 厶，(36.18)
первый член равен
厶 + 3以 где 厶=用 nd%d%dU3d乙.(36.19}
В результате уравнение (36.15) приобретает вид [116]
山=厶 + 6/з + з£ + (7 + 6W“2 + 3(nV)2 + nV =
=/4 + 6ц3 + Зцг - Пр.2 + 6nV. (36.20>
Так четвертый центральный момент выражается через интегралы от корреляционных функций.
Моменты подсчетов соседей, В этом случае ячейка выбирается так, что в ее центре находится объект, и N равно числу объектов в объеме V, минус объект, расположенный в центре V. Индекс р у средних значений поможет отличить их от средних значений для случайно выбранных ячеек.
Как и выше, число соседей записывается в виде
М=2м,(36.21}
где ячейка была разделена на бесконечно малые элементы, и П1= 0 или 1 есть число объектов в элементе объема 6Vl. Среднее значение 九1 равно условной вероятности (31.6)
〈修〉=泌匕口+КП)1(36.22)
где Г| ——расстояние от выбранного объекта до бУь Следовательно, среднее значение подсчетов равно
(N)p = nV + n J dV,(36.23)
что согласуется с выражением (31.8).
Для различных элементов объема бVi, 6V2 среднее значение 也1九2 равно условной вероятности, определяемой соотношением (34.3)
〈孔1孔2〉= /6U16V2 口 + 2 (г 1) + W (「2)+
+ 自(1门一г21) + 自(口，「2)],(36.24)
причем два элемента располагаются в точках и, г2 относительно выбранного объекта. В результате находим второй момент N 〈№% = £〈侖 + £ <n1m2)=
=(П(1 + 2W) - (nV)2 + * \ 隽 + 自(Г#] d% dV2 (36.25) и центральный момент
〈(2 -〈n%)% =〈2〉。+ 必，《_自& + Z^dV^V^ (36.26)
■Выполняя подобные вычисления, находим третий центральный момент подсчетов соседей
《N -〈2〉.)％ = 3<(^-<^>p)2)p - 2 6〉. +
+ n3 j [т| — 3g^(r2, Гз,「23)+
+ 甘(门2,「23,「31) + 2詆D^JdPidV^d%(36.27)
и среднее значение куба числа соседей
<N3)P = (nVf - (N)p [2 + 3nV + 3(nV)2] + 3 {N^)p (1 + «V) +'
+ 九* j *23 dV 1 dV2 dV3 + 3n3，自 dV j H12 dV)dV2 +
+ Г?] 11dlz 1d|/2dV3.(36.28)
Ограничения на и
Не все функции & и g соответствуют реальным распределениям объектов. Два ограничения на эти функции вытекают из условия, что нторые центральные моменты не могут быть отрицательными. Уравнение (36.6) дает
(37.1)(37.1)Р-2 =孔丿 + 也2 J 自 12 dV 1 dV2 > 0・
(37.1)
(37.1)
Если объекты распределены подобно жестким сферам, причем нет корреляции на расстояниях, превышающих диаметр сферы, т. е. если
(37.2)(37.2)占=—1 при г《加 2 = 0 при г > Го,
(37.2)
(37.2)
то в случае, когда размер ячейки много больше г。, из уравнения (37.1) следует
(37.3)(37.3)л < 3/(4лго).
(37.3)
(37.3)
Если бы п было больше этого значения, то положения сфер коррелировали бы при г 〜г。. А если бы сферы были тесно упакованы в кубическую решетку, то плотность равнялась бы
« = 21/2г^3, (37.4)
т. е. была бы в 5,9 раза больше плотности, допускаемой уравнениями (37.2) и (37.3).
Второй центральный момент подсчетов соседей [уравнение (36.26)] равен
м j (1 + Е) W + “2 ](и _ а& + &2)dVi d% > 0.(37.5)
Это выражение упрощается, если л велико. Тогда первым членом можно пренебречь, и при 三》1
jR-c(ri)s(r2)]d/1d/2>0.(37.6)
Установлено, что двухточечные и трехточечные корреляционные функции галактик с хорошей точностью описываются степенным законом
^ = Вг-^, где у ^ 1,77,(37.7)
W (门, f2) = Q^ (门)自(大)+ h门)自(门2)+ 自(Г2)自(3)],
где Q^ 1,3. Подставляя эту модель в уравнение (37.6), получаем
(1 -Q)(f^V)2<2Qjd/1dIZ25(r1)6(ri2).(37.8)
Если объем / ——сфера радиуса г, в центре которой находится случайно выбранный объект, то
Ud/ = 4nBr3-v/(3-Y),
г(37.9)
}W^{r^dVxdV2 = ^B^~2\ где у=1,8.
Численный коэффициент во втором уравнении найден методом, изложенным в разд. 59. Уравнения (37.8) и (37.9) приводят к неравенству
Q > 0,372.(37.10)
Это предельное значение примерно в три раза меньше наблюдаемого. Любопытно, что при больших п функция 甘 для галактик является фиксированной величиной, в несколько раз превосходящей допустимый минимум.
Производящая функция вероятности
Применение производящей функции позволяет сократить объем работы при вычислении моментов подсчетов объектов через интегралы от «-точечных корреляционных функций. Уайт [441] рассмотрел общий случай. Здесь же обсуждается модель Пуассона, представленная в разд. 33.
Для ячейки объема V производящая функция вероятности равна
屮⑴=ЕВ、е 丝(38.1)
где Pn ——вероятность того, что объем V содержит ^ объектов. Функция 屮 обладает полезным свойством. Если подсчеты в раз-
личных областях статистически нс связаны, то производящие функции просто перемножаются: вероятность найти ^ объектов в ячейках V\ и 卜2 одновременно равна
Р% = X Pn_ V ⑴ Pw ⑵，(38.2)
и, следовательно,
屮 12 =屮1屮2,(38.3)
где функция 屮 1 относится к Vi,屮2 ——к /2, а 屮貶 связана с объединенной областью.
В модели Пуассона, рассмотренной в разд. 33, вероятность найти объект в элементе объема 6 У в точке г равна
Pi = p(r)M(38.4)
а вероятность не найти ни одного объекта равна
Ро = 1—рбИ.(38.5)
Вероятность же обнаружить больше одного объекта является бесконечно малой более высокого порядка по 6V. Поэтому функция ip, связанная с 6 V, равна
i|)= 1 — р (г)6И + р (г)dVef = exp [(J — 1)优丿]・(38.6)
В результате 屮，относящееся к ячейке конечного объема 匕 записывается в форме [214]
州⑴=〈exp (е‘ 一 1) J Р dU〉，(38.7)
где интеграл берется по объему V и скобки означают усреднение по ансамблю функций плотности р.
В момент / = 0 m-я производная от 屮 равна моменту
115m (/ = 0) = £ NmPN =〈Д0.(38.8)
Моменты относительно среднего значения nV получаются с помощью следующей производящей функции:
% (£) = 3 (0 ехр [—戍f] =〈 /〉，
f^^e-t-^nV^-^e- 1) jdpdl/,幽‘)
где функция плотности записана в виде суммы среднего значения и флуктуирующей части
р(г) = п + др (г).(38.10)
В момент / = 0 /и-я производная х равна центральному моменту
公叫0)=((n一紋)吟=^,(38.11)
11 Заказ № 82
четыре первые производные равны
^{0)=<г(0)>,沙(0) =〈门+ (力2〉，
х (0)=〈厂 + 3产片 + (f)3>,(38 Л 2)
х"" (0)=〈产〃 + 4『广 + 3 (f")2 + 6 (f)2 片 + (『)〉
где
f(0)=( dp dV,
「(38.13)
广(0)=紋 + 卜pdU, m> 1.
Используя определения n-точечных корреляционных функций, записанных через 6р [уравнения (33.2), (34.5) и (35.3)], можно убедиться в том, что соотношения (38.12) дают центральные моменты, выведенные в п. 36Л.
Моменты числа соседей ячейки V, центр которой совпадает с произвольно выбранным объектом, определяются производящей функцией
屮⑴= £Pjve" =〈p(O)exp(J- 1)\ pdV)/n,
2g(』0)=(2吟..
Величина р{0), входящая в (38.14), учитывает, что центр ячейки совпадает с объектом, расположенным в точке г = 0; ^—число объектов в объеме V без учета объекта, совпадающего с его центром. Выполняя вычисления, аналогичные проделанным выше, можно убедиться, что уравнения (38.14) воспроизводят моменты, полученные в п. 36Б.
Оценки Pn
Если известны все n-точечные корреляционные функции, то можно вычислить, например, распределение подсчетов в ячейке Pn или распределение расстояний до ближайшего соседа. Существуют два интересных предельных случая, когда Рх можно оценить с помощью корреляционных функций низкого порядка. Если размер V больше максимальной длины скучивания, то P^ стремится к распределению Гаусса, дисперсия которого определяется интегралом от 邑 Если же объем V мал, то при больших N величина Pv быстро уменьшается, и можно использовать следующий приближенный метод.
Рассмотрим сначала P^ для случайно выбранного объема V. Пусть объем V настолько мал, что можно ггренебречь вероятностью того, что в нем содержится четыре или более объектов. Тогда интеграл по объему от вероятности (34.1) одновременно
найти объекты в 61Л, 6V2, б Уз равен 6Рз, поскольку Рз ——вероятность того, что где-то в V есть триплет, и интеграл учитывает этот триплет 6 раз. Поэтому
Р3= 4(〃丿户+ %九丿厶 + %/3,(39.1)
где интегралы /2 и /з от функций 三 н g определяются уравнениями (36.6) и (36.13). Интеграл по V от вероятности (31.4) одновременно найти объекты в 6% и 614 равен
(п1/)2 + /2 = 2Р2 + 6Р3,(39.2)
поскольку когда в ячейке V есть два объекта, интеграл учитывает эту пару дважды, а когда есть три объекта, интеграл подсчитывает пары 6 раз. Вместе с уравнением (39.1) это дает
2 = % (〃丿)2 (1 一 nV) + (% - 3/2亚)/2 - %厶.(39.3)
Среднее “hcjo объектов в ячейке V равно nV =Р. + 2Р2 + ЗР3,(39.4)
и вместе с уравнениями (39.1) и (39.3) это даст
В =如［1 — nV + %(〃丿丹 +(з/洞丿 一 1)厶 + %/з・(39.5)
Наконец, находим Р()из условия, что сумма всех P^ равна единице:
Ро=1-пУ + % (nV)2 - % (nV)3 + % (1 — nV)厶-%/з・(39.6)
Мы получили искомыс приближения для вероятностей от Р()до Рз, выраженные через интегралы от g и ?. Конечно, точность была бы выше, сс；!И бы мы начали вычисления с большим ^ и с корреляционной функции более высокого порядка.
Если применимы соотношения (37.7), то преобладающим ч;ю- ном в Рз при малых г является последний член
р3 « 7С/3 = 76rt3 ^dV} dV2dV3 ~QBW-2\(39.7)
где г ——радиус ячейки. В Р? преобладает член
Р2。72/2 = 72П2 J №廿 I 川2 〜5n2r6-v,(39.8)
а преобладающим членом в Pi в пределе малмх г является nV. Приближенный метод, почти эквивалентный описанному, основан на производящей функции вероятности. Теперь в уравнении (38.1) удобно перейти от переменной 级 к % в результате (38.7) принимает вид
<р (0 = £ P^；V = (exp а - 1) f Р dv}.(39.9)
Подставляя
преобразуем выражение (39.9) к виду
(p(f) = ei"〈exp [— j dpdl/] exp [^ (nV + \bp d『)]〉=
= e~nV (exp[- j &p dV] [1 + Z (nV + J &p di/) + .. .]). (39.11)
Приравнивая одинаковые степени / в уравнениях (39.9) и (39.11), получаем
Po = e~nV(exp[— , bpdl/]〉，
Pm = (1/ш!) e~nV〈(孔丿 +，bp di/)" exp [—，6p dV^.''
Разлагая экспоненту в ряд по 6р, можно теперь представить каждое Рт в виде суммы интегралов от всех n-точечных корреляционных функций. Например:
А = е-"(1+%/2—％/з + ・• .)(39.13)
и т. д. Это выражение согласуется с уравнением (39.6) до членов третьего порядка по V. То же самое справедливо и для выражений & и Рз.
Распределение Pn подсчетов соседей у объекта можно вычислить с помощью итерационной схемы или производящей функции вероятности (38.14). Например, вероятность того, что внутри сферы радиуса г нет соседей, равна
Ро = (р (0) ехр ^ — j р dV ^п = g exp [—nV],(39.14)
где
g =九-i《几 + &p (0)] exp [— [ 6p dV]〉=
= a-'(ln + 6p(0)][l 一 |бр”+ %(『др〃У+...]〉=
==1 — м j c(fi) dV[ + 力出[仁(门，「2)+ 312〕dPI dV2 + • • • • оо
Этот результат был получен в работе [105].
Другим интересным примером служит распределение расстояний до ближайшего соседа. Выбранный объект находится в точке г = 0. Если дана функция пространственной плотности р, то вероятность того, что нет объектов в пределах расстояния г =|г| и что есть объект на расстоянии г в элементе объема 6U, равна
6P = p(r)6U exp [—] pdP .(39.15)
Поэтому вероятность того, что ближайший сосед расположен на расстоянии г в диапазоне 6г, записывается в виде•
6Р = 4"2» (p(O)p(r) ехр[ —\ pdV j^n,(39.16)
где величина р(0)/п учитывает, что в точке г = 0 находится объект. Разлагая это выражение в ряд по 6р, получаем с точностью до порядка nV
дР^4№дгп/е~лУ,(39.17)
где
f =〈[几 + bp(°)][孔 + bp (r)] exp [- \ bp dV])他2 =
=1 + 式厂)一几，匕(li, г) + 3(i*i)+式I 门一г I)] d^r j + . . . •
Когда 3 н g определяются выражениями (37.7), распределение расстояний до ближайшего соседа при малых г принимает вид dPoc rOf26r.(39.18)
Эта степенная зависимость перестает действовать, когда nV[\ + + 2(г)] достигает единицы.
Среднее расстояние до ближайшего соседа найдем, умножив уравнение (39.16) на г и проинтегрировав по г. Выражение упрощается, если проинтегрировать по частям
"〉= ,(р(0) ехр [ — [ pdU ^drln(39.19)
и снова разложить на сумму интегралов от корреляционных функций.
Конечно, эти результаты в равной мере применимы и к двумерному распределению, даваемому каталогом координат галактик на небесной сфере. В случае двумерного распределения преимущество состоит в том, что приведенные корреляционные функции малы, так как многие тесные группы появляются случайно в результате эффектов проекции. Поэтому разложения типа уравнения (39.14) могут быстро сходиться. Это свойство было использовано в работе [105] при исследовании распределения расстояний до ближайшего соседа в каталоге Цвикки. Более полное описание дано в работе Уайта [441].
Модель скоплений
Рассмотрим модель скучнвання, впервые введенную в работе Неймана и Скотт [264], согласно которой галактики находятся в группах—・структурах, которые могут содержать одну галактику
или скопление галактик, нлн разветвленную иерархию объектов, а группы распределены как точки в однородном случайном процессе Пуассона. Такая модель, если ее рассматривать буквально, не может служить истинным представлением физического процесса, приведшего к наблюдаемому распределению галактик, так как каждая группа галактик должна испытывать возмущения со стороны соседних групп. Это ——всего лишь удобная схема для вычислений, и ее огромное преимущество состоит в том, что мы можем, выявить моделируемое скучивание. В этом разделе мы выведем общие соотношения, связывающие строение групп и п-то- чечные корреляционные функции. Несколько иное и более общее описание дано в работе [235]. В разд. 61 и 62 результаты настоящего раздела применяются к некоторым особым моделям групп.
Вероятность найти объект на расстоянии от г до г+ 6г от случайно выбранного объекта равна (31.7)
ЬР = п[1 + t(r)]dV, где ЬМ = 4"2».(40.1)
Вероятность найти соседа в другой группе равна
6P = n5V,(40.2)
т. е. совпадает с вероятностью для случайно выбранного 6Vt так как присутствие группы, к которой принадлежит объект, не сказывается на средней распространенности групп. Таким образом, вероятность найти соседа в той же группе равна
6PiW("6忆(40.3)
Предположим, что в некоторой большой области Vu есть 7V% групп типа а, причем каждая такая группа состоит из 几仪 членов и содержит в среднем 6^p (а) пар с расстоянием между объектами от г до г+ 6г. .Тогда уравнение (40.3) можно записать в виде
ns(r)&v = Z (^aQ [26NР (a)mj/ 夕 N0ao.(40.4)
Первый множитель в правой части дает вероятность того, что случайно выбранный объект находится в группе типа а. Второй множитель есть вероятность того, что объект является членом одной из пар с расстоянием между объектами от г до г + 6г. Поэтому корреляционная функция равна
碇⑺=2 <б^p (a)〉/(6U〈％〉)，(40.5)
где при усреднении веса были взяты пропорционально частоте встречаемости различных типов групп. Правая часть этого уравнения определяется структурой групп и их относительной встречаемостью. Если эти характеристики фиксированны, то 己 изменяется обратно пропорционально и ——средней пространственной плотности объектов.
Поскольку полное число пар в группе, содержащей па объектов, равно
曾心(a)=%的一 1)/2,(40.6)
мз уравнения (40.5) следует, что интеграл от двухточечной корреляционной функции записывается в виде
n^dV ={па (n„— 1 )〉/〈〃“〉，(40.7)
совпадающем с уравнением (31.10).
Вероятность найти соседние объекты в элементах объема 6^2 и 6 Уз равна
dP = rt2 dV 2 61^3 (1 + li2 + ci3 + W23 + ?•(40.8)
Для определенности будем полагать, что Г12 — наименьшая сторона треугольника,门з ——наибольшая сторона, а выбранный объект располагается в точке пересечения этих двух сторон. Вероятность найти соседей, принадлежащих к разным группам, равна [соотношение (40.2)]
ЬР = /12 0172 6v/3.(40：9)
Вероятность того, что один сосед принадлежит к той же группе, что и выбранный объект, а другой ——к какой-либо другой группе, равна [уравнение (40.3)]
6p=彦w2^3&2 + ^3).(40.10)
Вероятность же найти обоих соседей в двух других группах равна
6Р = п2 д^2д^зс,23-(40.1 1)
Таким образом, вероятность обнаружить вес объекты в одной группе записывается в виде
bP = /^W2 bg.(40.12)
Если 6^^(a)——среднее число триплетов в сгущении вида а, причем эти триплеты определяют треугольники, размер и параметры формы которых равны г, 〃，и, и лежат в диапазоне 6г, 6w, би, то вероятность (40.12) можно представить в виде
出出乙^匕二 £ ^aHa^Nt^lnal/'Z 心件.(40.13)
Поэтому трехточечиая корреляционная функция равна
总=GM (а)〉/[(羽)2 а〉]，(40.14)
где (6V)2 дается уравнением (34.11). Как и в уравнении (40.5), правая часть определяется строением и относительной встречаемостью групп, и, когда эти характеристики фиксированны, С из-
меняется обратно пропорционально п2. Поскольку полное число триплетов в каждом сгущении известно, из (40.14) следует, что
^\ldv2 dV3 = <na (na - 1) (na - 2))/(na).(40.15)
Для четырехточечной корреляционной функции уравнение (35.1) определяет вероятность найти три соседа. Как и выше, в этом выражении вес члены, добавленные к приведенной функции г], соответствуют всем различным способам, которыми можно образовать квартет из объектов, расположенных в двух или более группах. Поэтому вероятность найти квартет, все объекты которого входят в одну группу, равна
ЬР = М” 6% ь% 6乙=〈6% (a)〉/〈g〉・(40.16)
Таким образом, п\ определяется средним числом квартетов 6Ng(a), приходящихся на группу.
4/. Спектр мощности
Спектром мощности непрерывной функции называется преобразование Фурье автокорреляционной функции. Аналог спектра мощности для случайного дискретного процесса получается следующим образом. Как и в разд. 27, будем предполагать, что Вселенная периодична в некотором большом прямоугольном параллелепипеде объема Vu. Для распределения объектов преобразование Фурье записывается в виде [уравнение (27.8)]
“ =X exp [ik •切/几九，(41.1)
где г；——точка, в которой расположен /-й объект, и exp [Zk • г]—— периодическая в Vu функция. Как и в разд. 36, разделим Vu на бесконечно малые ячейки так, чтобы в элементе объема 6 Vi 几1 = =0 или 1. В результате уравнение (41.1) приобретает вид
bk = Z м【exp [Zk-r[]/nVu.(4L2)
Поскольку <П1> = п6Vi [уравнение (36.1)], среднее значение ди равно
0k〉= \ dV exp [汰• г]/九=0,々 * 0,
⑺.0丿 (до> = 1.
Среднее значение произведения двух компонентов равно
仇九)2〈МЬ-х〉= £〈而 exp [i (k — k')•川 +
+ 2〈几俏2〉exp[i (k г[ — kJ『2)] = /i j dV exp[Z(k — kz) • r] +
+ 紋，dV i d% (1 + ^12) exp {t [k •门2 + (k — k) • Гг]}. (41.4)
При выводе последнего члена было использовано уравнение (36.2). Если к* к', то оба интеграла равны нулю： компоненты Фурье, относящиеся к различным к, статистически независимы.
При к = к' уравнение (41.4) сводится к спектру мощности
(I &k |2) = J V7'^ (г) exp [zk • г] d3r + (nV„)-', к，О,
<|6о|2) = 1^'иг)^г + 1 + (rtVa)-'.•
Последнее выражение соответствует уравнению (36.6).
Подставляя■
2 exp[-zk-r] = V„& (г)(41.6)
к
в уравнение (41.5), находим обратное соотношение
£ «| 6к |2) - 1/лИи) ехр [-/к • г] = >(r) - V7' $; ^г- С?) к喉0
В пределе большого Vu суммирование нужно заменить интегрированием, и выражение принимает вид
(九/8"3) \ ((I м |2) - l/“九)exp [-ik- г] #左=三(г).(41.8)
В работе Пиблса [306] дан другой вывод этого уравнения.
При том же условии нормировки, что и в (41.1), преобразование Фурье для непрерывной функции р(г) представляется в виде
&к = $ р (г) {ехр[«к • г]/(р> VB} d3r.(41.9)
Возводя это выражение в квадрат, усредняя и применяя уравнение (33.3) к автокорреляционной функции плотности р, приходим к обычному выражению'
<|&k|2) = V7'JuHexp[ik-r]d3r, k：#0,(41.10)
3(r) = (1/в/8л3) j <|M 产〉exp[Tk • r]d3k.
Соотношения для частиц (41.5) и (41.8) получаются, если в уравнении (41.10) к 自 добавить функцию Дирака м-16 (г). Этот член отражает тот факт, что в точке, где расположен объект, действительно есть концентрация вещества.
С помощью соотношения
(41.11)(41.11)J d cos 0 d^ exp[ik * г] = 4л sin (kr)/kr
(41.11)
(41.11)
выражение (41.5) можно записать в виде
孔乙〈IМ『〉一1 =п j ^ (г)[sin(kr)jkr\^r.(41.12)
Следовательно, спектр мощности определяет, насколько среднее число соседей на расстоянии, меньшем 〜k~~' от случайно выбранного объекта [формула (31.8)], превосходит аналогичную величину для случайного распределения. Если 々-〔больше максимальной длины корреляции, то уравнение (41.12) приобретает вид
ШМ|2〉= &,(41.13)
где пс-—среднее чиси1О объектов в скоплении, определяемое уравнением (31.9).
Уравнения (41.12) и (41.13) можно трактовать следующим образом [447]. Еслн бы объекты были распределены как точки в однородном случайном процессе Пуассона, то компонент преобразования 6ь [формула (41.1)] был бы равен случайному перемещению на nVu шагов длиной (п^)'1. Поэтому спектр мощности был бы равен
〈毋『〉= *)",(41.14)
что согласуется с уравнением (41.13), когда в каждом скоплении содержится пс = 1 объект. Предположим теперь, что объекты располагаются в скоплениях, содержащих по Мс>1 объекта. Если внутри скопления объекты распределены более или менее случайно и длина волны 2n/k значительно меньше размера скопления, то фазы к • х； фактически являются случайными величинами, взятыми по модулю 2л. Поэтому в согласии с уравнением (41.12) при 々т, во много раз меньшем длины когерентности 自(г), применимо уравнение (41.14). В другом пределе, когда длина волны во много раз больше максимальной длины скучивания, каждое скопление ведет себя как отдельный объект массой пс. Тогда 6k равно результату случайного перемещения на nVu/nc шагов длиной nclnVu каждый: .
(16k |2) — ndnVu,(41.15)
что совпадает с уравнением (41.13).
Степенная модель спектра
Для значительного диапазона расстояний г двухточечная корреляционная функция галактик весьма точно аппроксимируется степенным законом
3 ос где у а 1,8.(42.1)
Довольно часто предполагают, что при больших красных смещениях спектр мощности флуктуаций плотности подчиняется степенному закону
При обсуждении таких моделей полезно знать, как связаны 己 и спектр мощности, В этом разделе мы выведем соотношение между ними для случая непрерывной функции плотности р(г), т. е. для уравнения (41.10).
Будем полагать, что спектр мощности записывается в виде
〈|6к『〉= ^"ехр[-2^], л> -3,(42.3)
где Л, и и Ло一一 постоянные, а последний сомножитель (обрыв спектра на коротких волнах) необходим, если и ^ 0. Ограничение снизу на п обеспечивает сходимость интеграла по спектру на длинных волнах, т. е. при 々f Ь. Автокорреляционная функция равна
自⑺=(1/аД/8л3) j kn exp [—2.欣一汰 *r]壮3々=
=(VuA/2^r)]旣 + "sin kr exp入Rdh,(42.4)
о
где второе выражение получено в результате интегрирования по углам [соотношение (41.11)]. Удобно проинтегрировать один раз по частям:
|(г) = [УиД/2л2(2 + n) г] J ^2 + rt(Xosin 左г — г cos kr) exp[—左X#dW = о
=—[ИиЛ/2л2 (2 + п) г] (Ao Im + г Re) X
X [々2+"ехр[—々(九о + fr)] dk. (42.5) о
После того как введена переменная z = k (%о+^) и контур интегрирования снова смещен на действительную ось, выражение приобретает вид
三(г)=[九AF (3 + п)/2л2 (2 + 〃)/•](凯 Im + г Re)仇 + ⑺f - з =
=[VUAV (3 + п);2л (2 + n) г] sin (2 + п)^-(^ + r^+nf2t (42.6) где
(р = arctg(r//vo), Г (3 + n) = J ^+пе~г dz.о
了"W (3 +九)2л ^ + пPuXF (3 + 力了"W (3 +九)2л ^ + пPuXF (3 + 力Предельные значения равны
了"W (3 +九)2л ^ + п
PuXF (3 + 力
了"W (3 +九)2л ^ + п
PuXF (3 + 力
при Г《九о,
при г》入0.при г》入0.sin (2 + 厶)乳/2]
при г》入0.
при г》入0.
2 + /1 戸 + 口
Если 几=0, то при 厂》九0 второе из уравнений (42.7) даст Е = 0, что и следовало ожидать, так как для белого шума корреляционная функция равна нулю. Если ——3 vmvO, to^vOh изменяется пропорционально г-(з+«) при г, превосходящем длину обрезания 九 о. Если 0vmv2, TOgvO при больших г и стремится к нулю по закону 厂口+叫 а при 尸«猫 g > 0 и почти постоянно. Из выражения (42.6) следует, что корень g находится при
Го = Хо tg 值/(2 十 и)]. (42.8)
Очевидно, что функция 三(尸) должна проходить через нуль, поскольку преобразованием Фурье функции д является спектр мощности, и в пределе 々 + 0 справедливо соотношение
f 三(г) d3r = 0, /г > 0, (42.9) о
так как спектр, определяемый уравнением (42.3), обращается в нуль при 々 = 0. Вследствие того что |(0) должно быть положительно (g —это автокорреляционная функция непрерывной функции), Е(г) должно проходить через нуль: при некоторых г объекты должны антикоррелировать. Если 2 v 〃 V 4, то из второго уравнения (42.7) следует, что при больших г корреляционная функция 己(г) больше нуля и стремится к нулю по закону 厂(з丄» В этом случае из уравнения (42.7) следует, что, когда г возрастает от 0 до 尸》九о и ф возрастает от 0 до 冗/2,三(尸)дважды проходит через нуль, причем оба раза при г, по порядку величины равном *. Если 4 < и < 6, то сначала 己 три раза проходит через нуль, а затем стремится к нулю со стороны отрицательных значений.
Особенности этих осцилляций функции |(г), конечно, зависят от конкретной формы принятого коротковолнового обрезания спектра. Пиблс и Грот [325] приводят другой вывод закона, в соответствии с которым Е стремится к нулю при больших г. Этот вопрос рассмотрен также в работе [27]. ,
Биспектр
Подобно тому как преобразование Фурье корреляционной функции I дает спектр мощности 16kl2, в результате преобразования Фурье трехточечной корреляционной функции 匕 получаете/ произведение трех 6% называемое биспектром.
Анализ упрощается, если из распределения вычесть среднее значение. В результате выражение (41.2) для преобразования Фурье приводится к виду
6k = Z 仇1 — <fti>) exp pk-^l/zz^. (43.1)
Это выражение отличается от исходного 6к только для 6о, для которого среднее значение равно нулю. Среднее значение произведения трех компонентов равно
(nV а)3 & 6餘3)=
=2《% -〈"‘〉)5， -〈勺〉)(几々一〈几左〉)〉exp(7 (k]•「+ к2 • г了 + к3 • Г0]=
=/ ] з(г】一「3, 1*2 —「3)exp[i (k[ -Г] + ко • г2 + кз•「з)]dVi dV2dV 3 +
+ n2 j U| П — г21) {exp [i (ki ■ Г1 + (k2 + k3) • r2)] +
+ exp [i ((k, + k2) ri + k3 ■ r2) +
+ exp [г ((к] + кз) •门 + к? •「2)」} db】d，2 +
+ 枕 j exp [i (ki + k2 + k3) • r] dV.(43.2)
Как и в уравнении (36.10), первый интеграл получается из тех членов суммы, для которых различны все три ячейки, второй интеграл——из тех членов, для которых две ячейки совпадают, и третий интеграл ——когда совпадают все три ячейки. Переходя в первом интеграле к новым переменным
Г = Г! — Гз, s = г2 — г3, г3,(43.3)
во втором интеграле — к переменным
г =「] —「2, R,(43.4)
получим, что все три интеграла равны нулю, если только не выполнено условие
ki + к? + кз = 0.(43.5)
В этом случае, преобразуя интеграл от в соответствии с уравнением (41.5), получаем
做加6一网—к)=丿丁 ]з(г, s) exp [i (kj - r + k2-s)] d^r d3s +
+ 仍九尸(〈I 6% F〉+〈I 6k」2〉+ (I dkl 十 к』〉)-2 仇乙尸 (43.6)
Взаимная корреляционная функция
Взаимная корреляционная функция для двух непрерывных функций Ра(『)и рь(г) записывается в виде
lab (И =〈[Ра(X + Г) —〈р。〉]俗匕(X)—〈р^]〉/〈ра〉〈卩匕〉，(44.1)
〈Ра(X + Г)卩匕(X)〉=〈ра〉〈р» 口 + 入匕(Г)].
Аналог этой функции для случая корреляции положений точеч- Ннх объектов типов а п b определяется через совместную вероят-
ность найти объект типа а в элементе объема 6 Va и объект типа b в элементе объема 3卜小 удаленном от первого элемента на расстояние г：
ЗР = Hartal + Wab ⑺〕Wa °九，(44.2)
где па и пъ — средние пространственные плотности объектов обоих типов. Тогда вероятность обнаружить объект типа 6 в 61/ на расстоянии г от случайно выбранного объекта типа а равна
"=生口 +5 ⑺]6%.(44.3)
Поэтому на расстоянии г от объекта типа а средняя пространственная плотность объектов типа b фактически равна
厶 G = % 口 + lab (г)].(44.4)
Теперь можно повторить вычисления разд. 41, с помощью которых была установлена связь между автокорреляционной функцией н спектром мощности. Преобразование Фурье для распределения объектов типа а равно [уравнение (41.2)]
6k ⑷=(乙乙l Z 厶i (a)exp 口k -川，(44.5)
где hi (a) = 0 или 1—число объектов типа а, обнаруженных в элементе объема 6 Vi, расположенном в точке с координатами 口. Среднее значение произведения 6k (а) и преобразования распределения объектов типа b называется взаимным спектром： <6k(a) 6_k (b)〉= (,nanbV„)_ 1 £〈％ (a) n2 (b)〉exp [Zk ■ (n — r2)]——
=V72 [ [1 + 厶&(3)]exp[Zk-r血d% dV.=
=^й1 f cQb(r)exp[ik -rldV, k 0. (44.6)
Это выражение аналогично (41.5) и отличается от него только членом (nVu)-1.
Взаимная корреляционная функция была использована для изучения среднего распределения галактик вокруг скоплений Эйбелла: из уравнения (44.4) следует, что функция 几g[1+Ecg(r)], в сущности, равна средней пространственной плотности галактик в гало вокруг скоплений. Эта корреляционная функция применялась также для того, чтобы выяснить, как распределены галактики вокруг радиоисточников и квазаров [313, 369, 371, 372].
Взаимную корреляционную функцию можно обобщить для более высоких порядков. Например, совместную вероятность найти галактики в SVi и 6V2, а центр скоплений ——в д Из можно записать в виде
6Р = f^flcU + geg(F13)+ 2cg (г23)+ 3gg (门2)+
+ 白 С¥¥(r12,f23,f31)]6%6Р2屮3，(44.7)
где индекс eg обозначает взаимную корреляционную функцию галактик и скоплений, а индекс gg — двухточечную корреляционную функцию галактик. Роль этих добавочных членов состоит в том, чтобы g стремилось к пулю, когда какая-либо точка далеко отстоит от двух других.
Следуя методу, изложенному в разд. 36, находим, что первые два момента подсчетов галактик в области V вокруг произвольно выбранного скопления равны [117]
(N) = nV +/г j Icg^d^r,
〈№〉=〈N〉+ (^)2 + 九2 J 匾g (з) + Ucgg -睛(Г1)競 &2)] dh d3r2.
(44.8)
Здесь интегралы берутся по объему К Из сравнения второго выражения с уравнением (36.6) следует, что комбинация £cgg — ^cglcg определяет дополнительный разброс, когда центр области V находится в скоплении, а нс в случайно выбранной точке пространства.
Поверхностная двухточечная корреляционная функция
Каталоги координат объектов на небесной сфере — галактик, скоплений галактик, источников космического радиоизлучения и т. д.— являются основыыми источниками данных о природе крупномасштабного скучивания вещества. Поскольку измерение расстояний до отдельных объектов в таких обзорах очень ненадежно, если оно вообще осуществимо, можно продолжить исследование в два этапа： сначала получить корреляционные функции для поверхностных распределений, а затем, предполагая, что мы изучаем пространственно однородный и изотропный случайный процесс, проанализировать связь между поверхностными и пространственными корреляционными функциями. На этом втором этапе удобно представить себе, что мы располагаем статистическим ансамблем каталогов, составленных по случайно выбранным областям пространства. Гипотеза о представительной выборке в данном случае сводится к тому, что имеющиеся каталоги достаточно глубоки, чтобы статистические оценки, полученные из них, были хорошими приближениями для средних по этому ансамблю величин.
Вероятность найти объект в элементе телесного угла 6Q равна [уравнение (31.1)]
(45.1)(45.1)6Р = 〃6Й,
(45.1)
(45.1)
где ^ — средняя поверхностная плотность объектов па небесной сфере. Среднее число объектов в ячейке конечного размера равно
〈N〉=#Q.(45.2)
Двухточечная корреляционная функция определяется совместной вероятностью найти объекты одновременно в элементах телесного угла 6Qi и 6Q2, расположенных друг от друга на расстоянии 012 [формула (31.4)]:
"=“2[[ +3(0回]6儲6@.(45.3)
Вес рассуждения о пространственной корреляционной функции (разд. 31—33) применимы также и здесь. Условная вероятность обнаружить объект в 6Q на расстоянии 0 от объекта, c/iy- чапно выбранного из ансамбля, равна
6Р = % [1 + 5 (叨 6Q,(45.4)
поэтому ожидаемое число соседей па расстоянии 0 от объекта записывается в виде [уравнение (36.23)]
<^>P = Л^ J [1 + w(0)]dQ.(45.5)
О
В соответствии с (36.6) получаем, что дисперсия подсчетов объектов в произвольно выбранной ячейке Q равна
《N -片Q『〉="Q + "2, з(012)dQ| dQ2・(45.6)
Эта ячейка может охватывать всю небесную сферу: в этом случае выражение (45.6) даст ожидаемую дисперсию числа объектов в каталоге, охватывающем всю небесную сферу.
Двумерный спектр мощности
Выражению, связывающему корреляционную функцию |(г) и спектр мощности, соответствует аналогичное выражение, устанавливающее связь между ш(0) и квадратом разложения на сферические гармоники.для распределения но небесной сфере
аГ - L У? (/)•(46.1)
Здесь сумма берется по сферическим гармоникам У?, вычисленным в точках, соответствующих координатам объектов в выборке.
Мы будем испоУтьзовать следующие свойства функций У}. Если Ф，0 ——азимутальный и полярный углы, то
у『(0, ф) = сТР[ 7 1 (COS 9) exp |7呷],(46.2)
где 尸切(％)—присоединенный полином Лежандра степени / и порядка т, причем \т\^ lt а коэффициент с} вводится, чтобы сферические гармоники удовлетворяли условию нормировки
[&¥『¥”'= м也加(46.3)
При m #= 0 полином Р；}〔 приблизительно равен нулю вблизи полюсов:
尸产 I 0 при О《О。и 8 二冗一氏，Оо = arcsin (m//).(46.4)
При 0о < 0 < л ——0о полином 尸丁 подобен синусоиде, причем расстояние между корнями равно Д0 = л//. Когда фиксирован полярный угол 0, угловое расстояние между корнями и действительной и мнимой частями функции схр，团屮 равно
АХ = (:т/m) sin 0.(46.5)
Если 9 = 0о, то это расстояние достигает значения
△% 個)=л/Z.(46.6)
Корни действительной и мнимой частей Уу делят небесную сферу на почти прямоугольные ячейки. На низких широтах (备《？《 岂л ——Оо) минимальный размер каждой ячейки приблизительно равен 冗/厶 Вблизи полюсов корни sin т^ и cos т^ практически сливаются друг с другом, но здесь 尸丁 близко к нулю. Таким образом, каждая сферическая гармоника обладает хорошо определенным разрешением л//.
Теорема сложения для сферических гармоник записывается в виде (см., например, [83])
£ ГГ (/) У尸"(6) = [(2/ + 1 )/4.т] В (cos 阻)，(46.7)
где суммирование ведется в интервале ——ZW^W / и 8汴——угловое расстояние между направлениями / и й. Полином Лежандра нормирован обычным образом:
в ⑴=1, [ Р/3)Р"(伐)如= 2М，/(2/+1).(46.8)
Функцию w(6) можно разложить по В：
5(»= £ с,匕(cos 8),(46.9)
где
q = (/ + %) J w (0) 2 (cos 0) d cos 0 ・
12 Заказ № 82
Второе соотношение следует из уравнения (46.8), которое можно представить в форме условия полноты:
e(%+ %)В (伐 1)闩32)= 6(血一阻).(46.Ю)
Условие полноты для У, записывается в виде [уравнение (46.3)]
Z"⑴ уу ⑵= 6(], 2),(46.11)
где в данном случае 6——зависящая от углов двумерная функция Дирака.
Соотношение между корреляционной функцией ш(0) и спектром мощности можно установить методом, использованным в разд. 41. На некоторое время предположим, что каталог охва- 7ываст всю небесную сферу. Разделив ес на мелкие участки так, чтобы в элементе объема 6 ^ Hi = 0 или 1, представим преобразование распределения по небесной сфере [уравнение (46.1)] в виде a『=2 九*门儲).(46.12)
Среднее по ансамблю значение этой величины равно
〈。厂〉=斤[У『dQ = 0 при / т^ 0,
〈就〉=(4 力 / 斤.(46.13)
При / #= 0 среднеквадратичное значение записывается в виде
<1 域 F〉= 2〈就〉I 巾2 + 2〈/2〉У 汽1) L ⑵=
=%[1方12源+片2 J(1 + * У『⑴УТ"⑵*阳2 = =斤+片2] 5 (仇2)y『⑴УГ"⑵尚1或%.(46.14)
Выражение в последней строке можно упростить, если представить w в виде суммы полиномов Р/. Тогда с помощью теоремы сложения находим
J dQi dQj” (cos е12) У『⑴ УТ"⑵=
=[4%⑵‘+ 1)]e，汴紋⑴犷⑵yr⑴y；■"⑵х
XdQ. d22 = 4nd//7(2Z+ 1). (46.15)
Подставляя (46.9), преобразуем уравнение (46.14) к виду
<| аГ『〉=片 + ^^c^l + 1) = # + +1.
+ 2М，р, (cos 8) s (8) d cos 0(46.16)
при / #= 0 независимо от т. Это соотношение между корреляционной функцией на небесной сфере и спектром мощности можно сравнить с уравнением (41.12).
Выполняя аналогичные вычисления, находим
{a^a^m，}~G при /%/', или т^т .(46.17)
Таким образом, коэффициенты а； статистически независимы.
Компонент а： записан в уравнении (45.6). Поскольку
Уо =(4;п)т/2, имеем
〈I 明2〉=斤 + 4л#2 + 2〕川 \ s d cos 0.(46.18)
Это выражение согласуется с уравнением (46.16) и (46.13).
Умножая уравнения (46.16) и (46.18) на Pz(cos8), суммируя по всем /, m и подставляя соотношение (46.10), получаем обратное уравнение
1 + 5 (8) = £ (〈I а? |2> - #) Р/ (cos 0)/4〕斤2.(46.19)
tn
К этому соотношению можно также прийти другим путем с помощью выражения [306]
g = в £ £ У『(/) Y7m(k) $ В (cos 0) dcos 9.(46.20)
2>0仇8a
Здесь суммирование ведется по всем 厶 за исмючснисм / = 0, по всем m в интервале ——IWm W I и в некоторой реализации по всем N объектам j и fe по всей небесной сфере. Интеграл берется по тонкому кольцу, причем 06 лишь немного больше 0а. Применяя теорему сложения (46.7), можно записать уравнение (46.20) в виде.
6пр = '/2 X X « + %) \ Р/ (cos 0/ft) Pt (cos 0) d cos 0.(46.21)
Условие полноты Pi (46.10) даст
6np = % 2，[6 (cos QJk — cos 0) — %] COS0 =
= np— "W (cos 0& — cos 0a). (46.22)
Первый член nP——это число отде«чьных пар в данной реализации с расстоянием от 0а до 0^, а второй член равен аналогичному Числу, ожидаемому для случайного распределения при поверхно- 12*
стной плотности А//4л. Поэтому 6пр показывает, насколько число пар в данной реализации превосходит случайное значение. В результате оценка ю при равна
侬2 = 46npIN2 (cos Ой — cos 0a)=
=(4口/館)2 I 源『\ [Pz (cos 9)/(cos % — cos 0Q)] d cos 0. (46.23) %
Учитывая, что ao = ^(4л)1/2, и применяя условие [уравнение (46.10)].
^ (2/+ l)Pz(cos0) =0 при 0^0,(46.24)
представим выражение (46.23) в виде
+ 叫(0) =(4n W2) £ Pl (cos 9) (I a『I2 - N/4，)，(46.25)
что аналогично выражению (46.19).
По аналогии с уравнением (41.12) из (46.16) следует, что |а^|2 является мерой избытка среднего числа соседей по отношению к случайному распределению. Полипом Лежандра сначала равен Р/(1) = 1, затем обращается в нуль [см. уравнение (46.39)] при
01 ^ 2,4/(/ + %) рад,(46.26)
а далее колеблется относительно нуля с амплитудой 〜Г-% [уравнение (46.8)], причем расстояние между корнями равно А8^л〃. Таким образом, при больших / выражение (46.16) приб«чижснио можно записать в виде
2,4?т
〃/=〈|ah|2〉/片一1片 J 2л0а)(0)^0.(46.27)
Правая часть этого соотношения равна избытку среднего числа соседей вокруг случайно выбранного объекта по отношению к случайному распределению. Выражение (46.27) можно разъяснить с помощью аргументов, использованных при выводе уравнения (41.15).
В случае представительной выборки а} является суммой по координатам объектов, принадлежащих многим независимым сгущениям. Поэтому при m =# 0 распределения вероятности действительной и мнимой частей а： должны быть близки к распределению Гаусса, а распределение | а^|2 должно быть близко к экспоненциальному, для которого среднее значение определяется интегралом по 侬(0).
В представляющем практический интерес случае, когда каталог охватывает только часть неба, удобно ввести функцию про-
пускания 呼(£2), которая равна единице в области каталога и нулю вне каталога. Функцию 取(§2)丫7(^) можно разложить в ряд по сферическим гармоникам
W (Q) У『(Q) = х 坦疗7歹(Q),(46.28)
где
Wn"1' = \ dQ取(Q) У} (Q)斤紋(Q)(46.29)
(интеграл бсрстся по области каталога). Таким образом, если соотношение (46,28) просуммировать по сферическим координатам всех объектов на всей небесной сфере, то сумма в правой части будет равна преобразованию а^ для всего неба, а левая часть будет равна сумме по объектам из области каталога Q, т. е,
行=£ У『⑺，(46.30)
что в свою очередь равно свертке'
6?=2取疗%夕.(46.31)
Это означает, что поручаемое по данным наблюдений преобразование Ь： является скользящим средним от 口丁 ——преобразования, соответствующего всей небесной сфере.
В уравнении (46.31) член /' = 0 необходимо рассмотреть отдельно, так как обычно а： во много раз больше любого другого компонента. Поэтому в соответствии с (46.13) среднее по ансам блю значение (46.31) равно
〈行〉=〈曲呼*° =#£2/?，где /^= J W^\y?(Q)/Q]dQ. (46.32)
Среднее значение можно исключить, если записать преобразование в виде
СГ=Е [УГ(/)-/Н = &Г- N1T =
=£ 吃严а#' — /『(2 —а魁/2#), (46.33)
где N — число объектов, найденных в Q В общем случае вторым членом можно пренебречь. Опуская его и применяя условие (46.17), находим
〈1或12〉=2 I 取炉’|2〈1a"〉.(46.34)
Коэффициенты W^ достигают максимума при / = У и т = т' В соответствии с уравнением (46.11), эти коэффициенты удовлетворяют условию
Z I w^' I2 = J г (Q) I У『(Q) Г dQ 三 /广.(46.35)
Если истинный спектр мощности меняется с /' не слишком быстро, то его можно вынести из-под знака суммы в уравнении (46.34), что дает
〈1建12〉="〈1源12〉.(46.36)
Следовательно, оценкой истинного спектра является
I 岁卜丁 (г) - IT] |2/；Г =必(е) + 1] N/Q. (46.37)
И наконец, особый интерес представляет предел малых углов (0《1 рад), когда длина скучивания занимает малую часть небесной сферы. Интегральное представление полиномов Лежандра имеет вид [194]
Р/ (cos 0) = (2/л)，[cos х(/ + %)/2‘ 々cos % — cos 0)，/г] dx.(46.38)
о
Когда 8《1 рад, знаменатель равен (02 — х2)1/2, и, следовательно, интеграл можно представить следующим образом:
Р/ Q (2/л) $ cos [(/ + %) О cos 叨 dw = /о [(/ + %) 0],(46.39)
О
где J。— функция Бесселя нулевого порядка. Поэтому если основная часть интеграла от ну(0) в уравнении (46.16) набирается при 8《1, то связь со спектром мощности приобретает вид
щ = (I а；" |2〉/力 一 1 =力 \ 2л0йУ (0) /о [(/ + %) 0J de. (46.40)
Такой же результат получается, если малую часть небесной сферы аппроксимировать плоским квадратом площадью Q и представить распределение объектов в Q с помощью двумерного преобразования Фурье:
М= 2 ехр卩к •%]/、"，(46.41)
где б； — координаты /-го объекта. Выполняя обычные вычисления, видим, что если длина скучивания много меньше размера Q, то д/гя к =# 0 спектр мощности равен
<| 6k 削力—1 =^ Ja>(0)exp[ik-0]出0.(46.42)
Рис, 46.1. Двумерные спектры мощности для трех зон Ликского каталога 1326] (опубликовано издательством Чикагского университета, авторское право Американского астрономического общества, 1974).
Интегрирование по углу дает функцию Бесселя [см. уравнение (46.39)]：
<| 6к 产〉/力-1 =力 \ 2л0а> (0) /о (砌 d9(46.43)
[ср. с уравнением (46.40)].
Основное преимущество спектра мощности по сравнению с его преобразованием 侬(0) состоит в том, что спектр мощности позволяет выделить флуктуации плотности, относящиеся к различным угловым масштабам. Это свойство поясняется рис. 46.1, на котором приведены оценки величины
",=2/心之2/+1)・(46.44)
Оценки проведены для трех зон Ликского каталога:
А — галактическая широта b > 55°,
В - 40 V b V 55°,(46.45)
С-Ь<_40。，й > -23°.
Из-за влияния функции пропускания статистические флуктуации 修 коррелируют для соседних /. Учитывая это, следует сделать вывод, что при //40 (8《4°) скучиванис, наблюдаемое в различных областях неба, хорошо воспроизводится; при 10之/式40 (4°《8《15°) разброс оценок сравнительно невелик, и при 8《10 существуют значительные различия между зонами. Обычно предполагают, что разброс на больших угловых масштабах обусловлен переменным поглощением в нашей Галактике, хотя какая-то (неизвестная) доля может быть обусловлена истинным крупномасштабным скучиванием. При малых 0 разброс величин w(0) значительно превосходит разброс величин 〃厶 рассчитанных при том же угловом разрешении, поскольку при малых 0 на значение с влияют флуктуации плотности как в малых, так и в больших масштабах.
Дальнейшее обсуждение спектра мощности можно найти в работах [306, 432, 447]. Примеры функции пропускания 取才团’приведены в [161]. В этой работе, а также в работе Пиблса и Хаузера [326] даны примеры экспоненциального распределения для 〃/. В последней работе, кроме того, более детально рассмотрены величины и( при малых / для Ликского каталога.
Оценка 砌8)
Поверхностная корреляционная функция ш(0) оценивается по сферическим координатам объектов, расположенных в некоторой области неба. Если в области обзора с телесным углом Q обнаружено N объектов, то средняя поверхностная плотность равна
斤= N/Q.(47.1)
Из уравнения (45.4) следует, что ожидаемое число нар с расстояниями между их членами от 8 до 0+ 60 равно
4 = %“2Q@Q〉[1 + 侬(仇)],(47.2丿
где 0[ зависит от формы w(0) и заключено между 0 и 0+ 60, <6 Q> — среднее значение телесного угла, полученного пересечением области обзора Q и кольца 0, 0+58, причем при усреднении центры колец распределяются внутри Q случайным образом. Коэффициент 1/2 введен, чтобы учесть, что каждая пара состоит из двух членов. В результате оценка корреляционной функции записывается в виде
1 + w (00 = 2勺Q/(W〈3Q》，(47.3)
где пр и ^ — число пар с расстоянием 0 и число объектов в выборке соответственно. (Возможно, кто-то предпочтет поставить здесь и в следующих уравнениях коэффициент ^(^—1), а не М,
однако N обычно велико, так что различие небольшое, и им можно пренебречь.)
Чтобы вывести уравнение (47.3) другим способом, начнем с п — числа соседей, расположенных на расстояниях 0, 0+60 от одного из объектов выборки. Математическое ожидание этой величины равно
〈〃〉= #口 +йу(8М60,(47.4)
где 5Q ——телесный угол той части кольца, которая пересекает Q. В результате получаем оценку корреляционной функции
1 ~Yw^ = nSllN^.(47.5)
Если 6Q мало, вследствие чего 匕 обычно равно нулю и редко превосходит единицу, то дисперсия 〃 пропорциональна 6Q, а дисперсия 〃/6Q пропорциональна (6Q)~i. Усредняя выражение (47.5) по всем объектам каталога (усреднение производится с весами 5Q), получаем
1 + w (0,) = 2/2据/"2侬2〉，(47.6)
где теперь〈6Q〉——телесный угол, полученный пересечением кольца с областью обзора Q и усредненный по всем объектам выборки^
Если объекты каким-то образом помечены, например с помощью морфологических типов [54] или видимых звездных величин [397], или если объекты взяты из различных каталогов [369], то оценкой двухточечной взаимной корреляционной функции (разд. 44) для объектов с различными метками служит величина i+w^^^n^/NaNbi^.(47.7)
Здесь пр ——подсчет пар ab и Na, "ь — подсчеты объектов. В это выражение не входит множитель 2, так как случай, когда а находится в элементе объема 5Q[, а Ь —— в элементе объема 5^2, отличается от случая, когда b находится в 6Q[ и 〃 ——в bQ?.
Для одинаковых объектов полное число пар в каталоге, состоящем из ^ объектов, равно N (N—1)/2. Поэтому из уравнения (47.6) получаем
J [1 +&у(012)]^й| б/Й2«й£(1 +&y)(dQ) =й2(1 - 1/2). (47.8)
Ситуация подобна обсуждавшейся в разд. 32: поскольку оценка Л3 основана на числе объектов в выборке, существует интегральное ограничение на w. Разумеется, это ограничение не распространяется на w для ансамбля, рассмотренного в разд. 45. Если функция w положительна при малых 0 и очень близка к нулю при больших 0, то формула (47.6) может дать точные оценки w при малих 0, но при больших 0 оценки будут занижены. Этот результат отражает только тот факт, что нет надежды получить опенку
истинной величины ⑪，если каталог охватывает область, размер которой сравним с 0.
Применялось несколько методов вычисления 〈6Q〉. Хаузер и Пиблс [161] выбрали ^1 объектов, расположенных на расстоянии больше 0 от границы внутри области, и для каждого из них подсчитали число соседей из полной выборки на расстоянии от 0 до 0+ 60. Этот подсчет /г； равен удвоенному числу различных пар среди внутренних объектов плюс число пар, в которых один объект —внутренний, а другой лежит вблизи границы. Уравнение (47.6) преобразуется к виду
1 + w (仇)=n^NNx 6Q, М2 = 2nd (cos 0).(47.9)
Такой метол упрощает вычисления, но в результате теряется часть информации. Второй метод состоит в том, чтобы непосредственно вычиоить телесный угол для той части кольца 0, 0+ 60, построенного вокруг каждого объекта, которая попадает в область обзора. Если 8《1, 6®«8 и в масштабе 0 граница близка к прямой линии, то телесный угол, который соответствует объекту, расположенному на расстоянии 屮 от границы [368], равен
6Q = 2 [冗一arccos (г|)/0)]060,(47.10)
где «V8. В приближении, отвечающем этому уравнению, ожидаемая доля объектов, у которых расстояние до границы лежит в диапазоне от 屮 до 屮 + d屮，равна
df = 0d”位,(47.11)
где 0 — длина границы. Поэтому среднее значение величины (47.10) равно
〈6Q〉^[1 — Ое/л£2]2л0дО.(47.12)
Если границами каталога являются два малых круга, проходящих через точки постоянных склонений 61 и 62 (как в каталоге 4С), то [368]
0 = 2л (cos di 4-cos 62), 0Q〉= (1 — СО) 2л0дО,
С = (1/力 ctg@—*)/2.'
И наконец, легко получить〈6Q〉с помощью интегрирования методом Монте-Карло: поместим случайным образом М точек в области обзора. Пусть nP(t)—число пар среди этих пробных точек с расстоянием от 0 до 8+68, и пусть пр — соответствующее число пар в реальном каталоге, состоящем из N объектов. Поскольку для пробных точек 9 = 0, оценка w для данных наблюдений равна [уравнение (47.3)]
l+w^^n^it^NJ^.(47.14)
Этот метод был использован при анализе каталога Цвикки [326].
В некоторых случаях, как, например, в выборке Ликского каталога, имеются подсчеты объектов для совокупности ячеек, а не координаты отдельных объектов. Дисперсия подсчетов в ячейках выражается через интеграл w [уравнение (45.6)]. Эта величина использовалась в работе Рубин [346]. Если известна дисперсия для подсчетов в ячейках различных размеров, то можно решить интегральное уравнение и получить 侬(8). В другом методе используется корреляция подсчетов в различных ячейках. Если площади 点 всех ячеек одинаковы, то
⑺=HQc,
〈仍1 一 ⑺)(也2 -⑺)〉=⑺斗 Q^S (012) dQi dQ2 =〈九〉2 W(0；2).(47.15)
Среднее число объектов в ячёйке равно〈九〉.Во втором уравнении усреднение производится по всем парам ячеек с выбранным и фиксированным относительным положением; nt и М2—подсчеты в двух (различных) ячейках; интеграл берется по dS2i в ячейке 1 и по dC?2 в ячейке 2. Как указано во второй строке, интеграл можно представить в виде 叫％)，「耻 аргумент приблизительно равен расстоянию между центрами ячеек. Впервые выражение (47.15) было использовано Лимбером [230] и Нейманом, Скотт и Шейном [267] при анализе Ликского каталога. Грот и Пиблс [143] рассмотрели влияние ошибок подсчетов на величины〈忆〉 и 〈Апл?〉, а также поправку, обусловленную тем, что обзоры не имеют резкой границы по расстоянию.
Статистическая неопределенность оценки тс (9)
Обычно статистическая неопределенность оценки w пренебре- жима по сравнению с систематическими ошибками. При анализе каталогов галактик основная трудность заключается в том, что в разных областях неба эффективная глубина обзора может быть различной, поскольку поглощение в Галактике различно в разных направлениях. В немногочисленных случаях подобные систематические ошибки оказываются пренебрежимо малыми (например, Для каталога 4С). Если к тому же распределение объектов близко к случайному, как в каталоге 4С, то стандартное уклонение w можно вычислить годующим образом.
Оценка w, основанная на подсчете пр числа пар с расстоянием от 0 до 0+68, удовлетворяет уравнению [см. соотношение (47.3)]
(НК= 2勺一У2dQ/Q,(48.1)
гДе ^一一число объектов в области обзора с телесным углом Q. Телесный угол кольца 0, 8+66 равен 6Q; поправкой на границы мы будем пренебрегать. Основная часть статистической неопре-
делейности w возникает вследствие того, что в правой части этого уравнения стоит разность двух больших и почти равных членов. Поверхностную плотность Л3, стоящую в левой части, можно заменить на среднее по ансамблю значение.
Как и в разд. 36, удобно разделить Q на бесконечно малые ячейки, такие, чтобы в элементе объема 6Qi п^ — 0 или 1. Поэтому
^ = S %，2/?р = Z «,«/0(0,7),(48.2)
где функция пропускания равна
9 ((У) =1, 0 < 0Л < 0 + 60,(48.3)
в противоположном случае 6 = 0. В результате уравнение (48.1) записывается в виде
(Л92» 6Q) да = £ П1П, [0 (0〃) — 6Q/Q].(48.4)
Поскольку предполагается, что положения объектов не коррелируют, имеем
〈山〉=Н 6Qi,〈力©〉= № 60 也2(48.5)
и т. ?ь Следовательно, ожидаемое значение для выражения (48.4) равно
(#2Q6Q)〈oy〉= 2〈切物〉(&2 - 6Q/Q) - £〈居〉6Q/Q =
=Л72 J (0,2- &Q/Q) dQi 源2 —力 § (6Q/Q) dQ = - N0. (48.6)
В первом уравнении члены с f У= / и z — / записаны отдельно, так как функция пропускания полагается равной нулю при i =/, чтобы исключить пары, в которых расстояние между объектами равно нулю. Сумма, соответствующая i，j, обращается в нуль и не влияет на w, что согласуется с (47.8) и (32.7). Дисперсия з определяется средним значением квадрата соотношения (48.4):
(ЛбЙ) @〉2 = £ {thtiitikn^ (0；/ - 6Q/Q) (&/ - 6Q/Q).(48.7)
Как и в уравнении (48.6), необходимо рассматривать отдельно все случаи, когда два (или более) индекса совпадают. Большая часть таких сумм равна нулю. Например, члены, у которых три индекса различны, а г == /, дают
-(〈6Q〉/Q) Л=з J(©23 一〈6Q〉/Q) dQ| &% &з = 0.(48.8)
Поскольку 6Q/Q《1, наибольший вклад дают члены с i = A, j = / и，= 2, j =々：
В результате уравнение (48.7) преобразуется к виду
〈侬2)= 2/(4图聆(48.10)
Членом〈侬〉2 можно пренебречь, так как 3» [уравнение (48.6)] меньше, чем величина (48.10) в 6Q/Q раз. Поэтому выражение (48.10) дает ожидаемую среднеквадратичную неопределенность 吼 Поскольку среднее число пар составляет [уравнение (48.1)]
пр = х!^О.^(48.11)
стандартное уклонение оценки w равно как раз [306]
бто = Пр'!\(48.12)
где пр ——число (различных) пар, использованных при оценке w.
Этот результат получен в предположении, что корреляцией объектов можно пренебречь. Из уравнения (48.7) следует, что в общем случае 5w зависит от четырехточечной корреляционной функции. Имеются некоторые оценки и модели этой функции, но мы не будем рассматривать, как четырехточечная функция влияет на величину 6叫 поскольку кажется сомнительным, чтобы этот эффект был сколько-нибудь полезен. Интереснее проверить реальность скучивания в малых угловых масштабах, если в больших угловых масштабах поверхностная плотность меняется вследствие того, что поглощение в Галактике различно в разных направлениях. В этом случае оценки ожидаемой дисперсии спектра мощности производятся более надежно, так как в спектре мощности изменения поверхностной плотности в больших и малых угловых масштабах разделены.
Соотношение между поверхностной
и пространственной корреляционными функциями
Общая модель, в рамках которой устанавливается соотношение, связывающее поверхностную и пространственную корреляционные функции, характеризующие распределение галактик, строится следующим образом. Вероятность того, что галактика с абсолютной звездной величиной в диапазоне от М до М+ 6Л1 обнаружена в произвольно выбранном элементе объема 6 У, равна [ср. с соотношением (31.1)]
dP = O{M)dMdV.(49.1)
Это выражение определяет функцию светимости Ф. Вероятность того, что галактика с абсолютной звездной величиной в интервале от М[ до М1 + 6М1 обнаружена в элементе объема 6V1, а вторая галактика с абсолютной звездной величиной в интервале от ЛЬ до М2+6М2 обнаружена в элементе 6IZ2, расположенном на рас-
стоянии з от первого элемента, записывается в виде [уравнение (31.4)]
^ = [(1)(関)0)042)+ 门陷，№, Г^ЬV^V^m16М2.(49.2)
Если бы положения и абсоьтютньге звездные величины галактик нс коррелировали, то Г было бы равно нулю. Интегралы по абсолютной звездной величине от функций Ф и Г сеть соответственно средняя пространственная плотность и двухточечная пространственная корреляционная функция, определенные формулами (31.1) и (31.4):
п = \фйМ, п% (г) = J Г (Мь М2, г)dMr dM2. (49.3)
Функции, соответствующие Ф и Г, для корреляции положений па небесной сфере и абсолютных звездных величин получаются путем интегрирования уравнений (49.1) и (49,2) вдоль луча зрения. Предположим на некоторое время, что можно пренебречь влиянием красного смещения, кривизны пространства и межзвездного поглощения света (первые два фактора обсуждаются в разд. 56). Следоватеичыю, если галактика абсолютной звездной величины М находится на расстоянии г (Мпс), то ее видимая звездная величина равна
/и = М + 5 1g г * 25.(49.4)
Поэтому вероятность того, что на небесной сфере в элементе телесного угла 6Q наблюдается галактика, видимая звездная величина которой лежит в диапазоне /и, m+ 6m и расстояние которой от наблюдателя заключено в пределах от 厂 до 厂+5厂，записывается в виде
6Р =产 м 6Q 6/и ①(m —51gr — 25).(49.5)
Проинтегрировав это выражение по расстоянию, получаем вероятность найти галактику видимой звездной величины т в элементе 6Q:
ЬР = 05гп\ 户①(/и — 51g г — 25) dr.(49.6)
о
Переходя к переменной
r = s・ 10° 叫(49.7)
преобразуем (49.6) к виду
6Р == (dJ^/dmy^m 6Q,(49.8)
МЛ7dm = 10°'6m j s2①(一5 1g s - 25) ds.
Это обычное соотношение, связывающее число галактик со звездной величиной.
Вероятность найти галактику видимой звездной величины в ип- гервале от т\ до /И1+ Ьт\ в элементе 6Qb а другую галактику видимой звездной величины в интервале от т^ до 砌+台侬 в элементе 6Q2, расположенном на расстоянии 012 от первого элемента, получается интегрированием вероятности (49.2) вдоль двух лучей зрения:
6Р = 6QidQ2 6gb^2[dH/d/ni dH/dzn? + ggi,恤，0|2)],(49.9)
где
g(g, m2, 0) = 5 r抬P(Mi, М2, 3)dri dr?,0
r；2 = d + * — 2门『2 COS 0,.
M =他1 — 51g 门一25, M2 = zn2 —51gr2 — 25.
Первое уравнение служит определением двухточечной корреляционной функции, характеризующей корреляцию видимых звсздпых величин и угловых расстояний между объектами. Величина g является интегралом от соответствующей пространственной функции Г. Корреляционные функции чрезвычайно удобно применять на практике именно благодаря простоте соотношения между поверхностными и пространственными корреляционными функциями.
Приближение малых расстояний и масштабное соотношение
В наиболее интересном случае предполагается, что максимальный масштаб заметного скучивания галактик мал по сравнению с типичным расстоянием до галактик рассматриваемой выборки, т. е. выборка действительно является представительной выборкой Вселенной. В этом случае заметный вклад в интеграл g (49.9) вносят только те объекты, которые расположены примерно на одинаковом удалении (|门一厂2丨《门)и угловое расстояние между которыми во много раз меньше одного радиана.
Когда 012<С 1, расстояние между двумя галактиками равно
Г；2 = Г； + Г； — 2「1「2 (1 — V^2) = (「1 — А)? + 厂1「202*(50.1)
Производя замену переменных
〃=『2 —门，Г = g + 0)/2,(50.2)
запишем это расстояние в виде
г?2 = и+ (г0)2.(50.3)
g(mb m2, 0) = jg(mb m2, 0) = jВ этом приближении угловая двухточечная фупкция равна
g(mb m2, 0) = j
g(mb m2, 0) = j
г4 dr j Г (Mi, М2,门2)d〃，(50.4)
0—ОО
где•
Ма = /Ла — 5 1g г — 25.
Это выражение упрощается, если ввести некоторые дополнительные обозначения. Средняя звездная величина и разность звездных величин для пары галактик равны
т = (/л】+ т2)/2, Аги = /л2 — /nb(50.5)
Оказывается, что галактики, отобранные по видимой звездной величине, имеют вполне определенные абсолютные звездные величины с характерным значением, скажем М*, причем среднеквадратичное уклонение от этого значения равно примерно 1 吗 Величины М* и т определяют характерное расстояние [уравнение (49.4)]
D= ]0<),2(m-M*)- 5 Mlic.(50.6)
Вводя обозначение
r = Dy,(50.7)
придадим выражению (50.4) вид масштабного соотношения
g = D5^ (\т, 0D),(50.8)
где
g(Am, х) = J 1/4 dy j Г (Mi, М2, r^du,.0—оо
Ah = М* — А/л/2 — 5 1g у, М2 = М* + Ат/2 — 5 1g у, (50.9) Г12= [«2 + (% 捫
Если в одночастичном распределении вероятности (49.6) заменить г на yD, то получим
dP = &Й bmD3 j г/2Ф (М* - 5 1 g z/) dy.(50.10)
Уравнения (50.8) и (50.10) показывают, как изменяются одноточечные и двухточечные функции, когда меняется эффективная глубина каталога D (или т). Эти масштабные соотношения связаны с нашими предположениями о геометрии и однородности распределения. Зависимость g от Аги определяется уравнением (50.9) и связана с формой функции светимости галактик.
В ряде каталогов приводятся координаты галактик ярче некоторой предельной звездной величины то, но не даются звездные величины отдельных галактик. Следуя Нейману, Скотт и Шейпу, можно смоделировать случайные ошибки, возникавшие при отборе галактик, если предположить, что галактика, видимая звездная величина которой равна т, включается в каталог с вероятностью f(m ——mo). В таком случае двухточечная корреляционная функция для галактик каталога получается в результате умножения g [уравнение (50.4)] на f для каждой галактики и интегрирования по звездным величинам:
”2g(» = q5 [ у4[(М], 7V/2, r\^f\f^dydudM\dM2> (50.11) fa = f(Ma-M^ + 5 1g у),凡="2 + (yDQf.
В этом выражении характерная глубина обзора равна
£)= 10。，2 (mi*)-5 Mlic.■(50.12)
Поскольку “ocQ3 [уравнение (49.8)], w меняется с глубиной каталога в соответствии с соотношением
例8)=0一1呼(80).(50.13)
Масштабное соотношение (50.13) можно объяснить следующим образом. Корреляционная функция w равна разности между числом соседей в каталоге и числом соседей при случайном распределении, деленной на эту последнюю величину, т. с. на ожидаемое число соседей при случайном распределении. Если подсчитать число соседей в элементе телесного угла 6Qoc£)"2, расположенном на угловом расстоянии 0Q от галактики, которая находится на расстоянии D от наблюдателя, то около галактики будет обследована область постоянной в проекции площади, удаленная от галактики на постоянное в проекции расстояние. Поэтому число наблюдаемых коррелированных соседей не зависит от Q, тогда как число случайных соседей, расположенных ближе или дальше галактики, пропорционально D. Таким образом, wocD~l, когда 8Q фиксировано.
Однако функция W зависит от формы функции f, характеризующей индивидуального наблюдателя и различной для различных каталогов. По установлено, что если ширина функции f сравнительно невелика, то функция W не иувствнтсльна к ее форме, так как f фактически расширяет функцию светимости, которая и так широка (см., например, [326]). Поэтому можно пренебречь различиями f у разных каталогов.
Масштабное соотношение для углового спектра мощности получается из уравнения (46.40). Подставляя в это выражение (50.13), находим, что прн0《1 н /》1
Щ =(力7。3)( 2;тх取(х) /о (xl/D) dx.(50.14)
Поскольку 4ocQ3, уравнение (50,14) можно записать в форме
〃/=U(〃D)・(50.15)
Но этого и следовало ожидать, так как 辽？ соответствует разности числа соседей, расстояние до которых меньше 0ос/-1, и аналогичной величины при случайном распределении (разд. 46). Если угол 0 изменяется по закону Нос。-】，то эта разность не должна зависеть от D.
Масштабные соотношения (50.13) и (50.15) сыграл и важную роль, когда проверялось, действительно ли корреляция галактик в имеющихся каталогах отражает пространственное скучивание, а нс систематические ошибки, связанные с клочковатостью распро деления поглощающей материи в Галактике. Впервые масштабное соотношение было использовано при изучении скучивания скоплений Эйбелла [161]. Результаты, полученные в последнее время, приведены в разд. 57.
5L Разделение зависимостей от звездной величины и от положения.
Выражение (50.11) для w все еще является слишком сложным для практических приложений, так как в него входит функция трех переменных. К счастью, его можно значительно упростить, если использоват1> приближение, которое кажется достаточно хорошим. Предположение состоит в том, что абсолютная звездная величина галактики статистически не зависит от того, как эта галактика расположена относительно остальных галактик. Поэтому распределение Г, зависящее одновременно от М, М2 и з [уравнение (49.2)], можно представить в виде произведения распределений, зависящих от звездной величины и относительного расстояния:
Г(МЬ М2, Г12)= Ф(Mi)Ф(М2)Е(S),(51.1)
где Ф — функция светимости галактик (49.1), а 占 ——двухточечная корреляционная функция (31.4). В этом приближении уравнснпс- (50.11) записывается в форме
j^2w (0) = D^r^ j у4^ (у) dy j W(r) du,(51.2)
0—ОО
где
产=标+(卢吃
n — средняя пространственная плотность галактик, равная 〃=[(D(M)dM,(51.3)
и ^(у)——вероятность внести в каталог галактику, расположенную на расстоянии yD：
<p(y)= [ [ф (M)/tQ f(M — M* + 5\gy) dM. (51.4)
Таким образом, селективная функция 屮 является мерой совместного действия функции светимости и функции f (т — /по). Средняя пространственная плотность галактик каталога представляется с помощью селективной функции в виде [уравнение (49.6)}
Л9 = пЕ&,七=[y^dycp (办(51.5)
о
В соответствии с уравнениями (51.2) и (51.5)
g(0) = Q-Wg),(51.6)
где характерная глубина каталога определяется уравнением (50.12) и
ОООО1П ОО"12
取(%)=[词％)dy j dul{[u +(xy)2]'l2}l\ j y2dy(p(y) . (51.7)o-oo/Lo_
Начиная с работ Рубин [346] и Лимбсра [230] для оценки пространственной корреляционной функции галактик в большинстве случаев использовалось именно это интегральное уравнение.
Подставляя выражение для Г (51.1) в уравнение (50.9), получаем двухточечное распределение по видимым звездным величинам и угловому расстоянию
g(0, /л,厶团二加倉。％ 0D),(51.8)
где
R(A/n, х) = J у4ауф{ф2 i dul{[u +(xyf]l/2},О—ОО
① 1,2 = 土 А/л/2 — 51g g).
Мы знаем, что соотношение (51.1) является всего лишь удобным, но неточным приближением, так как морфологический тип галактики коррелирует с ее положением (галактики ранних типов имеют тенденцию располагаться в скоплениях). Но это приближение удовлетворяет имеющимся статистическим тестам. В неопубликованной работе Сонейры [397] было установлено, что выражение (51.8), в которое подставлены общепринятые модели (D(M) и g(r), в случае каталога Цвикки дает достаточно хорошее при： ближение для совместного распределения по 0 и Аш. Лейк и Тримейн [209] установили, что уравнение (51.1) согласуется с выполненными Холмбергом [169] подсчетами слабых спутников спиральных галактик..
Соотношение между ^ и w: несколько примеров
Соотношение между пространственной и поверхностной корреляционными функциями 三 н а можно продемонстрировать на примере двух подходящих аналитических моделей: когда 自 имеет форму закона Гаусса и когда 己 изменяется по степенному закону. В первом случае
*4ехр[-(〃го沟，’(52.1)
и интеграл по и в уравнении (51.7) можно вычислить. В результате находим
ау(е)= (；//24го/0Е2)j у%%)% exp [—(()%/пр].(52.2)
О
Выражение yd имеет довольно узкий максимум при g^L Это выражение мало при малых у из-за геометрического множителя 疗，а при больших у оно мало потому, что интегральная функция светимости галактик быстро уменьшается при переходе к большим светимостям. Это позволяет выделить в поведении функции 迎，(8) два предельных случая. Если 8式 7D, то экспонента меняется в зависимости от у не так быстро, как y'qA Поэтому уравнение (52.2) приобретает вид
(52.3)(52.3)g (9)。(л/2Аго/ОЕ2)Q j/V dy) exp [― (0。/"].
(52.3)
(52.3)
Поверхностная функция подобна закону Гаусса вблизи максимума: она обладает плоской вершиной, ширина которой равна ro/D. Если G》7D, то экспонента меняется быстрее, чем у4чЛ и интеграл почти перестает изменяться начиная с у 〜rd®D. Поэтому 侬(0) с J/V(У)，У =飞/OD(52.4)
При 8》го/£) корреляционная функция спадает очень быстро ——по закону 0~5 (поскольку при низких светимостях интегральная функция светимости ср очень слабо зависит от у). Шлейф f дают скопления, размер которых 〜г(), по которые расположены гораздо ближе к наблюдателю, чем типичные галактики в выборке. Наблюдаемая для галактик функция м‘(0) действительно аппроксимируется степенным законом, по спад функции происходит значительно медленнее ——но закону зосН-0》 Поэтому нет опасности,что данные наблюдений искажены влиянием близких сконленнй.
Второй удобной моделью является степенной закон
自⑺= Ат, у> L(52.5)
Подставляя это выражение в уравнение (51.7), получаем
y^dy [ [i^ + ^DyfV^du. (52.6)
Вводя обозначение
u = dDyx,(52.7)
находим
w^A^^t(52.8)
где
л = (8/少)(％仔)f 疗“ (у) з，О
а число 〃？， появившееся при интегрировании но “, выражается через произведение гамма-функций:
〃Y = [ (1 + #)T/2 dx =门％) г [(Y - l)/2]/r(v/2).(52.9)
Из уравнения (52.8) следует, что поверхностная корреляционная функция подчиняется степенному закону, показатель степени которого па единицу меньше показателя степени у у функции 扇 Этот результат был получен Тоцуи и Кихара [419]. Если yWL то интеграл % расходится. В этом случае нс применимо приближение' малых углов, рассмотренное в разд. 50, так как большинство коррелированных пар галактик с малым угловым расстоянием между компонентами находится на очень различных расстояниях от наблюдателя. Если у》6, то интеграл в уравнении (52.8) расходится при д-> 0. В этом случае при возрастании относительного расстояния корреляционная функция уменьшается так быстро, что основной вклад в д(8) вносят скопления, расположенные ближе всего к наблюдателю. Наблюдаемая корреляционная функция галактик аппроксимируется степенным законом с показателем степени у^ 1,8, т. е. весьма отличается от обоих предельных случаев.
Угловой спектр мощности для обеих рассмотренных моделей можно вычислить с помощью уравнения (46.40). В случае степенного закона
侬= 4^7(52.10)
результат записывается в виде [326]
〃/ = 2门斤4 J x^dxJ^ (х)//3-7.(52.11)
О
Если у > 3, то интеграл расходится на нижнем пределе. Поскольку интеграл характеризует число соседей внутри радиуса 〜 尸，при Y > 3 почти все соседи расположены ближе к ней, чем произвольный радиус обрезания на малых масштабах, введенный в степенной закон С. Таким образом, щ остается почти постоянным, если у > 3 н если 尸 превосходит размер обрезания в модели степенного закона. Если у < 3, то 也 зависит степенным образом от /. Безразмерный интеграл, фигурирующий в уравнении (52.11), вычислен в [104].
В модели Гаусса поверхностную корреляционную функцию можно приближенно представить в виде
® (Q) = С ехр [- (HQ/ro)2].(52.12)
Можно не учитывать ту часть 叫 где функция быстро уменьшается (丫 = 5), поскольку она очень слабо влияет на форму спектра мощности. Проще всего оценить 〃厶 если с помощью (46.39) записать уравнение (46.40) в виде
Ul=jrc\ exp [-(就 + oi) 02/ro + i/01] dE d(fe =
=^C (r0/D)2 exp[- (/r0/2D)2]. (52.13)
Вследствие того что наблюдаемая корреляционная функция 宫 галактик близка к степенному закону, интересно проанализировать, насколько точным является приближение малых углов для этого закона при допустимых значениях угла 0. На рис. 52.1 верхняя пунктирная прямая соответствует уравнениям (52.8) и (52.9), причем использован закон, близкий к наблюдаемому у галактик:
Ur) = (W，(52.14)
а селективная функция взята по Эйбеллу (Proc. IAU Symp. No. 15, McVittie G. C., ed., 1962, p. 213) в виде, который считается довольно реалистичным:
「В, р = 0,25, при у < 1,
屮(у)= у-5а, а = 0,75, при Ку <yQt (52.15) 0 при у > у。，
уГ" = 0,01.
Верхняя сплошная кривая получена в результате численного интегрирования уравнения
з (8) = Е-2 j(yg)2 dyi dy^ (у。q> (焚)占(г), о
==0(诉 + 彼一 2协92 2S01(52.16)
где g определяется уравнением (52,14), а <р — соотношениями (52.15). Уравнение (52.16) эквивалентно точному уравнению (49.9)
в случае, когда зависимости звездных величин и положений разделяются [уравнение (51.1)], Видно, что степенное приближение для w является очень хорошим даже при 0 = 30°.
Две нижние кривые на рис. 52.1 показывают, как 侬(8) реагирует на особенность в g(r). Пространственная корреляционная
Рис. 52.1. Соотношение между поверхностной и пространственной корреляционными функциями. Два верхних графика соответствуют степенному закону для J [выражение (52.14)]. Пунктирная прямая получена в приближении малых относительных расстояний, сплошная кривая 一 результат численного интегрирования уравнения Лимбера. Два нижних графика соответствуют модели двух степенных законов для g [выраже- ния (52」7)]. Сплошная кривая — результат численного интегрирования, а пунктирная прямая получена в приближении малых относительных расстояний, причем полага- лось, что g описывается одним степенным законом.
функция представленафункция представленав виде степенного закона с изломом
функция представлена
функция представлена
(52」7)(52」7)({D/r^, г <rb = 0,00520,3 (О/r)3, г > гь.
(52」7)
(52」7)
Нижняя сплошная кривая показывает результат интегрирования уравнения (52.16), в котором селективная функция определяется соотношениями (52.15) и 自 дается уравнением (52.17). Нижняя пунктирная линия получена с помощью уравнений (52.8) и (52.9), т. е. в предположении, что 自=гь(°/「)з для всех г, и используется приближение малых углов. Резкое изменение наклона происходит при эффективном радиусе
(52.18)(52.18)гй/О = 0,30°.
(52.18)
(52.18)
На рис. 52.1 место излома указано стрелкой.
Несомненно, излом слабее выражен в ш(0), чем в g(r). Излом сглаживается в основном при проекции: галактики, расстояние между которыми в проекции равно г, располагаются на истинных расстояниях, превышающих г, причем распределение по истинным расстояниям дается корреляционной функцией 占[интеграл по и в уравнении (51.7)]. Сглаживание происходит также потому, что расстояние от галактик выборки до наблюдателя обладает значительной дисперсией относительно величины ZX И тем нс менее наклон ⑵(9) довольно сильно меняется при значении угла, получаемом из выражения (52.8). Это связано с тем, что мы взяли такую селективную функцию <р, что распределение расстояний от наблюдателя до галактик, более ярких, чем mo, [ocz/2(p(y)], весьма компактно, а распределение расстояний у коррелированных пар [ос у4(р2(у)] еще компактнее. Конечно, если бы особенность g занимала узкий диапазон расстояний, например представляла бы собой быстрое уменьшение функции в интервале от г до г + Аг, где Ar V г, то вследствие эффекта проекции (интеграл по и) такая ступенька сгладилась бы и ширина ее Аг' стала бы сравнима с г. Вследствие этого эффекта проекции переменность w(9) на угловых масштабах меньше АО〜8 не может быть значительной [Ю7].
В заключение можно отметить, что если бы селективная функция была такой, что величина у'屮2(g) оставалась бы значительной при изменении у больше чем в два раза, то сильное сглаживание корреляционной функции происходило бы в основном из-за разброса расстояний до галактик. Это существенно уменьшило бы информацию, которую можно надеяться получить из 侬(9).
Обращение уравнения, связывающего ^ и W
Переходя в уравнении (51.7) от переменной интегрирования 以 к г н затем изменяя порядок интегрирования, получаем
ООг/х
取(x)j2/E2)j\(r)dr〕[1-(х"产尸/2 為2 ⑼ dg. (53.1) оо
Таким образом, это уравнение имеет структуру
8.
W (х)—七一2 ] 2 (г)尸(x/r) dr,(53.2)
где функция пропускания равна•
尸(2) = 2 j [l-W]-I/2/<p2(»)^.(53.3)
о
Уравнение (53.2) показывает, что W является просто сверткой (в логарифмических переменных) функции 自.Показано, что уравнение этого типа можно обратить удивительно простым и изящным методом [107, 288].
Поскольку функция пропускания зависит от отношения аргументов, а не от их разности, нужно применять преобразование Меллина вместо преобразования Фурье. Используются следующие свойства этого преобразования. Определение преобразования записывается в виде
f(s)= [f(x)xs-,dx'(53.4)
Другое свойство — формула обращения: если интеграл f сходится абсолютно при а < s < ₽, то
О 4- ooz
^(x) = (l/2ni)、无-"f(s)ds,(53.5)
где а V о V В [47, р. 103]. Следующее свойство ——аналог теоремы о свертке: для функции
(53.6)(53.6)G (x) = f xpy4f (xy) g (y) dy
(53.6)
(53.6)
преобразование Меллина равно
G(s) = j ^+5~1 yqf (ху) g (у) dx dy = J(р + s)g(q — р — s + I),
(53.7)
где второе выражение получается, если перейти к переменной ху = г. Аналогичным образом находим, что для функции
(53.8)(53.8)(53.9)(53.3) фигу-(53.9)(53.3) фигу-(53.10)(53.10)к(X)= j ddf (x/y) g (y) dy
(53.8)
(53.8)
(53.9)
(53.3) фигу-
(53.9)
(53.3) фигу-
(53.10)
(53.10)
0
преобразование Меллина записывается в виде
К (s)=沁 + s) 3 (g + 〃 + s + 1).
И наконец, в выражении для функции пропускания рирует функция
(0 при 无 > 1.
Для нее преобразование Меллина равно
1ОО
5 (s) = 2 j d7(1-炉)-"2公=2 ](1+夕严+1)/2吻(53.11)
Оо
где второе выражение получается, если подставить х = (1 +у2)~'К Функция 8(s) определена в уравнении (52.9):
万(s)=门％) Г(5/2)/Г [(s + 1)/2].(53.12)
Теперь решение можно продолжить следующим образом. Заметим, что уравнение (53.2) имеет такую же форму, как и уравнение (53.8). Поэтому свертка (53.2) равна
炉必($)= 了(s)2(s+ 1).(53.13)
Дav^ee, уравнения (53.3) и (53.10) дают
尸(Z)= f * ф2 (у) 6 (yz) dy.(53.14)
Но структура этого уравнения такая же, как и уравнения (53.6), поэтому
尸(s) = 5 ⑻ @2(5 — S)
(53.15)
Итак, преобразование функции 三 равно
£(S)= £2必(s - 1)/[0(6 — s) 3(S — 1)].
(53.16)
Используя соотношения
Г(%) = "'2, Г(п+ 1)=пГ(п),
(53.17)
запишем & в виде
1工 s- 1n'-2r(s/2)_ S — 1 й
方(s-l)2л r[(s - 1)/2] (s - 1)/22л' 人
(53.18)
Вводя обозначение
£2/【2叫2 (6 — s)] = A (s),
(53.19)
получаем
i(s) = (s-l)6(s)lF(s-l)P(s).
(53.20)
Обозначив
呼(s — l)b(s) = H (s),
(53.21)
из уравнений (53.8) и (53.9) найдем
〃(х) = 2лг] W(x/y)(\-y2)-^2dy.(53.22)
о
Положив
了(s- 1)三后(s)A(s),(53.23)
из уравнений (53.8) и (53.9) получим
ОО1
J(r)^2^P(x)dx\w (〃同/) (1 -力尸/2 dy.(53.24)
Уравнение (53.20) теперь записывается в виде
E(s) =(s— I)7(s— 1).(53.25)
Окончательно из определения преобразования находим, что из уравнения (53.25) следует
^(r) = -dJ/dr.(53.26)
Это выражение вместе с уравнением (53.24) дает решение интегрального уравнения: пространственная корреляционная функция 自 выражается через двойной интеграл от производной наблюдаемой поверхностной корреляционной функции. Фолл и Тримейн использовали это решение, чтобы по w вычислить 自 для Ликского каталога, результаты их расчета хорошо согласуются с результатами, полученными методом проб и ошибок (разд. 52).
Поверхностная трехточечная корреляционная функция
Описание трехточечной корреляционной функции аналогично описанию двухточечной функции, данному в разд. 49——51.
А. Общее соотношение между пространственной и поверхностной функциями. Вероятность найти три галактики, абсолютные звездные величины которых равны М，，М2 и Мз, в элементах объема соответственно 6V1, 6У2, 6Рз записывается в виде
6p=[0)(m)(1)(此)①(检)+①(m)]?(北，此，Г2з) +
+ ①(М2) F (М], М3,门з) + ①(Мз) Г (М], М2,门2)十
+ Гз(М1, М2, Мз, г⑵ г2з, ^31)] X
X 6% b/bR ЬМ] 6М2дЛ1з, (54.1)
где Г и Ф определены в уравнении (49.2). Структура уравнения (54.1) подобна уравнению (34.1), и, как и в уравнении (49.3), видно, что интеграл от I、по звездным величинам равен
居貝г⑵「23,「31) = ] dMi dM2 dM3「3・ (54.2)
Вероятность найти галактики с видимыми звездными величинами /и】，^2 и тз в элементах телесного угла соответственно 6Q1, 6%, 6Q3 определяется интегрированием выражения (54.1) вдоль трех лучей зрения:
"=6Q[ 6Q2 6Q3 6s дш2 дш3 [dJC/dtn〔 &Л7d俏2 dJ^/dms +
+ ^(ш2, ш3,()23)d/7山Hi + g (色，ш3,仇з)&Л7d俏2 +
+ g(g, /П2, 0i2)dJT/dm3 + g3(mb 色，ш3, 6⑵ 02з,_ 03i)], (54.3) где dJ^jdm — результат интегрирования одноточечного распределения (D вдоль луча зрения [уравнение (49.8)] и g ——результат интегрирования приведенной двухточечной функции Г [уравнение (49.9)]. Если максимальная длина заметного скучивания мала по сравнению с глубиной каталога, то члены, включающие dJCIdni и g, описывают триплеты, в которых галактики видны на небе близко друг к другу, но в основном находятся на совершенно разных расстояниях от наблюдателя. Интеграл от Г3 соответствует случаю, когда все три галактики располагаются почти на одинаковом расстоянии. Как и в разд. 50, это свойство можно использовать, чтобы упростить интеграл §з.
Приближение малых расстояний. В этом разделе мы будем пренебрегать расширением Вселенной и кривизной пространства. С помощью равенства
Л1« = та — 51g га — 25(54.4)
запишем трехточечную функцию в виде
g3 (加1 . . . 031) = J (r,r2r3)2 dr{ 〃2小3?3 (Ml . . . Г31),(54.5)
где
Гар = Га + Гр — 2ГМВ cos。旧
Используя приближение малых расстояний между объектами (разд. 50), производя замену переменных
г = Г1, и = г2 — гь и = гз —门，(54.6)
т = Ш\, \ma = m^ — шь \mb = m3 ~ Ш[
и вводя безразмерное расстояние [уравнения (50.6) и (50.7)]
у = г ID, D= 10°'2(т_Л1*,_5Мпс,(54.7)
преобразуем уравнение (54.5) к виду
g3(g • • • 031) = О7^3 (\та, \ть,。仇2； ^023, ■DO31),(54.8)
где
§з {^ma, Ад, х⑵ ％23, %з1)= j ^dy j ^(Mi • ■ ■ r3l)dudv, 0— 00
M] = M* — 51g y, М2 = M] + Am a、М3 = M] + Am6, (54.9) r：2 = U + (gx 由 2, r?3 = V + (У/3)2, Г23 = (и — и)? + (Z/%23)2-
Уравнение (54.8) характеризует зависимость g3 от m или от эффективного расстояния D. Зависимость же от разностей звездных величин Дта, Дт^, конечно, более сложна; она связапа с функцией светимости.
Для каталога, в котором приводятся угловые координаты галактик ярче некоторой условной предельной звездной величины /по, трехточечная поверхностная корреляционная функция z определяется с помощью выражения типа (34.1):
6Р =斤3(]十 5T2 + ш23 + 叫I + Z)6Q1 6^2依3.(54.10)
Из уравнения (54.1) следует, что приведенная функция равна
川2=，dMx dM2 dM3(Г1Г2Г3)2 drI 〃2〃3用2f3F3,(54.11)
где функция, описывающая возможности наблюдателя, как и в уравнении (50.11), равна
九=f (Л!。+ 5 1g г + 25 — /и)(54.12)
В приближении малых расстояний эти выражения приобретают вид
D^nE^z = \y6dy j dudv j dMx dM2 dM3 ^^/зГз,(54.13)
0-8—8
где
% = f (此 一 м* + 5 lgy), Q = Ю0'2 <^-^-5Mnc,
3 = "2 + (y£)&2尸，И т. д.,
а постоянная Е определена в уравнении (51.5).
Уравнение (54.13) приводит к масштабному соотношению
2(0⑵。23, 0з1) = О~2г(Z)012, Z»23,。的)・(54.14)
Это выражение можно интерпретировать так же, как и соотношение (50.13). Функция iaocQGz определяет вероятность того, что число соседей в элементах 6Йо и 6Сз, расположенных на угловых расстояниях 仇2 и 0гз от случайно выбранного объекта каталога, будет больше аналогичной величины при случайном распре-
делении. Если при изменении глубины выборки угловые расстояния изменяются по закону 6аросД-1, а телесные углы 6% и 6Q3 — пропорционально DR то эта вероятность остается постоянной, так как вблизи объекта площадь проекции и относительное расстояние не меняются. Поэтому при фиксированном О0а^ имеем
Если принять, что положения и абсолютные звездные величины галактик не коррелируют (разд. 51), то Гз можно записать в виде произведения
Гз =①(Mi)①(М2)①(Мз)С(з,「23, П1),(54.15)
где G определяется выражением (54.2), В этом случае интеграл по каждому М в уравнении (54.13) дает м(р(у), где ф ——селективная функция (уравнение (51.4)]. В результате уравнение (54.13) приобретает вид [324]
оо8/ОО\ 3
2(912, 023, 031) = (I/O2) j 2/6Ф3(г/) ^ j Zdudvll j y\(y)dy , (54.16) 0-оо/、6/
где
吊=И2 + (у£>012)2, Пз = v + (у£Ю13Л Г23 = (« — V)2 + (yDQ2^.
Это уравнение использовалось для всех оценок пространственной трехточечной корреляционной функции.
В. Модель для g. Оказывается, простая модель корреляционной функции С, существенно упрощающая уравнение (54.16), удивительно хорошо соответствует данным наблюдений. Предположим, что функция трех переменных g может быть записана с помощью функции одной переменной
G(Q, %,%)=<2[式%)式〃)+ 乳г)式底)+ 乳乙)"%)]，(54.17)
где Q — постоянная. Новая функция выражена через двухточечную корреляционную функцию §(г), потому что она согласуется с результатами наблюдений, но такая форма записи не обязательна. Отметим, что уравнение (54.17) удовлетворяет двум необходимым условиям: 3 — симметричная фупкция трех аргументов и 白 стремится к нулю, когда одна из точек значительно удалена от двух других. Выражения такой же структуры, как и (54.17), встречаются в теориях жидкости и теориях турбулентности. В этих теориях полная трехточечная корреляционная функция (34.1) иногда записывается в суперпозиционном приближении Кирквуда (см., например, [188])
6p=出(1 +")(1 + 也 * +/)6 %6乙屮3,(54.18)
где W ——приведенная двухточечная функция. Это приближение приводит к уравнению (54.17), в котором Q = 1, что очень близко
к наблюдаемому значению, но при этом к g добавляется член
/忐.(54.19)
В традиционных областях применения этих соотношений очень часто предполагается, что 自《1, и, следовательно, членом (54.19) можно пренебречь. Однако в нашем приложении реализуется противоположный случай: для диапазона расстояний, рассматриваемого в большинстве эмпирических исследований распределения галактик, справедливо неравенство Е冷L Поэтому если бы существовал член (54.19), то он был бы больше, чем (54.17), и зависимость 之 от 0 сильно отличалась бы от наблюдаемой. Следовательно, в данном случае суперпозиционное приближение Кирквуда не применимо.
Подставляя выражение для С (54.17) в уравнение (54.16), получаем,
z = (Q/£3)[ i уб联①)т (yDQa)X (yDQb) dy + о
+ члены с циклической перестановкой индексов, (54；20) где
Г (yDQ)= [ [^((u2 + (冲沙2)/川 du.
Здесь суммируются три члена, в аргументы которых входят комбинации 0а0ь, 6ь6с и 0с6а. Как и в разд. 52, есть две удобные модели Е： степенной закон, который согласуется с наблюдениями, и закон Гаусса, который дает по крайней мере некоторое представление о том, насколько z может зависеть от формы *.
В модели Гаусса
3 = / ехр [— (г/го)2], i' = л^Мго/)-1 ехр [— (z/0D/ro)2].(54.21)
Как показано в разд. 52, у функции yQ^ (у) есть острый пик вблизи у — I. Поэтому если GD/r0 не намного превосходит единицу, то //6屮3 ведет себя подобно дельта-функции. Вследствие этого уравнение (54.20) приобретает вид
2 ос ехр [ —(0д + б|) (О"о)2] +
+ члены с циклической перестановкой индексов. (54.22)
Когда QD/ro^ 1, вследствие множителей 丫 интеграл по у набирается при у《1 и из уравнения (54.20) следует, что функция z зависит от 0 следующим образом:
ас б-%(54.23)
В результате, как и в разд. 52, поверхностная функция вблизи пика воспроизводит гауссову зависимость *, но, кроме того, у нее
есть степенной шлейф, обусловленный скоплениями радиусом 〜го, удаленными от наблюдателя на расстояние, которое во много раз меньше характерного расстояния D, Наблюдаемая корреляционная функция зависит степенным образом от угла 0: z ос 0"1-6. Поскольку эта зависимость является значительно более пологой, чем 0~7, можно не опасаться того, что данные наблюдений были значительно искажены вследствие эффекта близких скоплений.
Для модели степенного закона имеем
自=历-匕 у > 1, Г — (yQy-^BD^Hy. (54.24) Безразмерный интеграл 〃丫 определяется уравнением (52.9). Таким образом, уравнение (54.20) приобретает вид
n = Р О (0fl) 5 (仇)+ w (%) w (0C) + w (0C) w (0a)],(54.25)
где w (0)——угловая корреляционная функция, соответствующая НН (52.28), и88&
P/Q = (j 矿-"屮3匂)^Q уЧ (у) d^/Q yS - V (у) dyj (54.26) [324]. Другими словами, для этой модели мы получили удобный результат: если § меняется по степенному закону в зависимости от г, то степенная модель применима и к z, причем а выражается через w (0). Величина P/Q определяется только интегралами по ①：в ньютоновском приближении она не зависит от D и не очень сильно зависит от формы 屮 или от релятивистских поправок (см. рис. 56.1). Важно отметить также, что эта модель z в основных чертах согласуется с наблюдениями.
Г. Методы оценки z. Использовались два метода. С помощью метода Монте-Карло устанавливаем, что ожидаемое число триплетов, для которых размеры и параметры формы соответствующих треугольников находятся в выбранном диапазоне, определяется выражением
(DDD) = У3 (Q2/Q2) (l+wa + wb + wc + z).(54.27)
Пусть в области обзора, площадь которой равна Q, располагается N объектов (N》l) и §2? является пересечением области обзора Q и двух телесных углов, определяемых выбранным диапазоном размеров и параметров формы треугольников. Если в области обзора расположено случайным образом М точек, то ожидаемое число триплетов, образуемых этими точками, равно
〈RRR〉= N?% 羹(54.28)
н ожидаемое число триплетов, у которых реальные объекты определяют две сторопы треугольника, а третья точка — случайная, записывается в виде
(DDR) = MW(о2/о2){3 + Wa±Wb + 叫).(54.29)
В результате опенка z равна
г = \DDD 一 DDR NN*RRR (M/M炉 + 2.(54.30)
В работе Пиблса и Грота [324] приведены примеры численных значений величин, входящих в это выражение.
Во втором методе используются подсчеты Ni объектов в ячейках: из уравнений (54.10) и (47.15) следует, что оценки г равны [314]
_ 〈NtNjNQ 〈ММ/〉 <NjNk) {NkNi),。
z =〈M〉〈％〉何〉 〈М〉〈"/〉 們〉〈MQ 〈NQ〈M〉= ((M _〈必〉)(m/ -〈M/〉)(^ 一〈MQ)〉 g。，、
=诃丽• Mb)
Здесь усреднение производится по набору различных ячеек 詳 /,也 центры которых определяют треугольники, принадлежащие некоторому выбранному диапазону размеров и параметров формы. Согласно разд. 47, в качестве аргументов функции г обычно можно выбрать расстояние между центрами ячеек.
Оценка совместного трехточечного распределения угловых расстояний и видимых звездных величин в принципе получается в результате простого обобщения этих методов. Такая оценка была бы интересна для проверки возможности разделить зависимость от звездной величины и положения.
Поверхностная четырехточечная корреляционная функция
Эта функция исследуется почти так же, как и трехточечная функция в предыдущем разделе. В соответствии с уравнениями (35.1) и (54.1) вероятность найти галактики с абсолютными звездными величинами М], М2, Л43 и ТИ4 в элементах объема 61Л, 6%, 6 Из и 6V4 запишем в виде
6Р = [ф (М) ф (乂2)ф (Мз) Ф(М4) +
+ ①(Mi)①(М2)f(此，此，r34)+ - - • + 6 членов +
+ Г (М[, М2, г 12)Г (М3, М4, Г34) + .…十 3 члена +
+ Ф(М1)Гз(М2, М3, М4, Г23,「34,「42)+ • • • + 4 члена +
+ Г4 (М • . .QiHbM …dK4. (55.1)
Вероятность обнаружить четыре галактики с видимыми звездными величинами от т\ до g в элементах телесного угла 6Q], .,., 6Q4 найдсм, проинтегрировав выражение (55.1) вдоль четырех лучей зрения. Как показано в п. 54А, в результате этого форма выражения нс меняется, но Ф заменяется на dJfldm, Га —— На gg a g4 равно интегралу от Г4. Поэтому если максимальный
14 Заказ № 82
масштаб заметного скучивания меньше глубины обзора, то можно предположить, что в интеграле от Г4 все четыре расстояния до наблюдателя примерно одинаковы. В этом приближении приведенная четырехточечная корреляционная функция, характеризующая корреляцию видимых звездных величин и угловых расстояний, представляется в форме.
^4(^1 • • • Q4i) = DQg4(\ma, \mbJ \тс, D仇2, • • •),(55.2)
где
^4 (\та, Дтй, \тС1 尤⑵...)=，y8dy j ftdadu,0—ОО
=—51gy, М2 = Mt -|- ^а, и т. д.,(55.3)
222222
门2=f + {УХ^ ,「23 = (〃一 ％) + (//Х23) , И Т. Д.
Уравнение (55.2) показывает, как изменяется g《в зависимости от эффективной глубины [уравнение (54.7)].
Если в каталоге приведены положения всех объектов ярче видимой звездной величины /по, то угловая корреляционная функция 〃 определяется уравнением, аналогичным (35.1):
6p =我A (1 + 侬 12 + 513 + 5)4 + 523 + 524 + 534 +
+ 512叫4 + 513з24 +514劭23 +之123 +2124 +2134 +
+ 之234 + 〃) M»i М& М?з ^Qg (55.4)
Приведенную функцию 〃 получим, умножив уравнение (55.2) на функцию f(m) каждой галактики [как это было сделано в уравнении (54.13)] и проинтегрировав результат по звездным величинам
D3(nE)4u= j уь dy \ dt du dv , dM[ dM2 dM^ dM^fif^fzf^^ 0—oo—oo
fa = HMu-M* + 51gy), d=ioO,2 3-m*)-5,(555)
Г12 = t2 +(Z/O012)2, И T. Д-
Это выражение приводит к масштабному соотношению
口(6⑵• • •)=。一3。(0012, 0^23, • • .)•(55.6)
Предполагая, что зависимости от абсолютной звездной величины и положения разделяются, получаем, что Г4 равно произведению функций Ф (Ma) на четырехточечную корреляционную функцию % определенную в уравнении (35.1). С помощью метода, примененного при выводе уравнения (54.16), уравнение (55.5)
можно представить в виде
ОО8' ОО\ 4
и = D-3 { у\А (у) dy ( -n dt dudv![ f y2<f(y)dy \ ,(55.7)
О-ОО* \ 0/
Г?2 = /2 +(Z/O012)2 И т. д.
Удобна следующая модель г| [116]:
巾234 = R。&2^23^31 + 12 симметричных членов] +
+ &[氢2^1зЗн + 4 симметричных члена],(55.8)
где Ra и Rb ——постоянные. Первое слагаемое содержит 12 членов, которые соответствуют всем различным способам, позволяющим соединить четыре точки непрерывной линией, а второе слагаемое включает четыре члена, которые соответствуют четырем способам, позволяющим соединить три точки с общей для них четвертой точкой. Это выражение симметрично по всем аргументам и стремится к нулю, если одна или две точки значительно удалены от других. Такая модель является естественным предположением, так как аналогичная модель для g успешно объясняет данные наблюдений, а в разд. 61 и 62 приведены другие теоретические подтверждения подобного же рода. Однако основное значение этой модели состоит в том, что она существенно упрощает исследование соотношения между поверхностной и пространственной функциями и не противоречит имеющимся весьма приближенным данным о четырехточечной функции.
Как и в случае уравнения (54.20), видно, что при условии (55.8) все интегралы по /, и и и в уравнении (55.7) записываются В форме T{yDQa^), и, следовательно, уравнение (55.7) приобретает вид суммы, состоящей из членов типа
ооzoo\ 4
J г/8ф4 (У) 1' (У 00,2)Г (у О023) Г (у。仇J dyj\ \ У2cp(У)dy) • (55.9) Если g ос r~vT то 丫 ос (Нт [уравнение (54.24)], и и обладает такой же структурой, как и 中
и —а (ш 12^23^34 + симметричные члены) +
+ & (^12^13^14 + симметричные члены), (55.10)
где 侬 н Е определяются соотношениями (52.5), (52.8) и
Г оо*-1 Г оо-12 Г оо-13
a/Ra= 6/凡=[! у11-^ (у) dy\ И z/2q)(y)dy\ 川 ^~у((>2(у)dy .
(55.11)
До сих пор во всех оценках и использовались произведения подсчетов в ячейках: если ^l, “2, N3 и У4 ——подсчеты галактик 14*
в четырех различных ячейках, то ожидаемое значение произведения этих подсчетов равно
〈MN2MM〉= \仍 (55.12)
где dP определяется уравнением (55.4) и интеграл берется по области dQi в ячейке 1, по tZQ2 в ячейке 2, и т. д. Используем выражение (55.4), чтобы оценить этот интеграл. В результате найдем 〈(М — {N!)) (^2 —〈N2〉) (М — (^з))(^4 一〈M〉)〉一
一〈(M -〈m〉) (n2 - (^2»)((^3 一 з3〉) (M -〈猫〉) - 一〈(М —〈М〉) (М -〈М〉)〉〈(М -〈М〉) (М —〈乂〉)〉一 —〈(М — (N l))(^4 —〈№〉)〉〈(№ —〈№〉)(№ —〈м〉)〉=
=”4 ] “ dQ| d% dQ3 dQ4 比〈M〉〈№〉〈M〉〈M〉"叫.(55.13)
Как следует из этого выражения, интеграл можно приближенно представить в виде произведения средних значений подсчетов в каждой ячейке на значение функции и, вычисленное в точке, где аргументы функции равны расстояниям между центрами ячеек. Левую часть уравнения (55.13) можно оценить, если усреднить произведения подсчетов по таким конфигурациям четырех ячеек, которые совмещаются в результате переноса, вращения и отражения [116].
Поправка на кривизну пространства
〃 расширение Вселенной
Обзоры галактик достигают довольно больших красных смещений—для галактик Ликского каталога характерное значение равно Z^0,08, а глубокие обзоры проникают до значительно больших красных смещений, поэтому следует изучить, как космологическая модель влияет на уравнения, связывающие поверхностную и пространственную корреляционные функции |52$ 101, 143, 331]. “
Будем использовать обычную модель Фридмана—Леметра и примем, что А — р = 0. Обобщение на случай ненулевого давления или отличной от нуля космологической постоянной делается просто, но этот случай не представляет интереса, так как при тех глубинах обзоров, которые достигнуты на практике, результаты гораздо сильнее зависят от неопределенностей в функции светимости и ^поправки, чем от параметра ускорения. Запишем интервал в форме Робертсона—Уокера:
ds2 = 02 〃2 一 口— (*/Rc)2J-%2 dx2 _ 出%2 m# _)_ ^炉9 &力.(56.1) В этом выражении не учтены локальные флуктуации кривизны пространства, т. с. не рассматриваются искривления светового
луча под влиянием отдельных концентраций вещества. Скорость расширения дастся выражением
"2 =向/* = 8/злОр 一(oR产(56.2)
а параметр плотности равен
Qo = 8^0»"*(56.3)
Поэтому можно записать
R~2 = a^(Q0- 1).'(56.4)
Если объект излучил свет в момент 力 а мы принимаем его в настоящее время (момент %), то космологическое красное смещение равно
1 + Z = а()/а (0-(56.5)
В системе отсчета, заданной уравнением (56.1), координатное расстояние объекта, расположенного при красном смещении Z(f)> определяется выражением
с J d〃a(/)=J(l -广欠2c2尸2此(56.6)
tо
Уравнение (56.6) с помощью (56.2) можно преобразовать к виду [245]
〃oaox/c = 2[(Qo-2)(l + Q0Z)1/2 + 2 - Qo + QoZ]/[Qo(l + Z)]. (56.7)
Другой удобной формой записи является обратное уравнение, определяющее красное смещение как функцию координатного расстояния:
1 + Z = 2 {2乡(1 一 Оо) + Оо + (2 — Оо) [1 + d (1 — Qo)]"2}/(2 -孤瓦尸，
(56.8}
где у = HqUox/c, Поток энергии, который приходит от объекта светимости 纟 расположенного при красном смещении Z, равен f = 2(4лаох2)-1 (1 + Z)-2.(56.9)
Величина 4乳。^炉——это площадь, по которой в настоящее время распределяется излучение, и множитель с красным смещением учитывает потерю энергии каждым фотоном и уменьшение скорости приема фотонов. Это уравнение дает модуль расстояния
tn~ М — 51g[a0x(l + Z)] + 25 + xZ,(56.10)
где а()х измеряется в мегапарсеках, ^-пoпpaвкa равна [271, 329]
Благодаря этой поправке, учитывается тот факт, что звездная величина ш, определенная в фиксированной полосе длин волн, служит мерой длины волны и полосы частот вблизи объекта, причем две последние величины являются функциями красного смещения. Согласно (56.11), /(-поправка приближенно представлена в форме xZ. Считается, что при Z^0,5 наилучшес значение константы пропорциональности заключено в диапазоне от 3 до 5.
Теперь можно привести выражения для корреляционных функций. На координатном расстоянии х элемент телесного угла стягивает собственную площадь
бД = а2(/) х2Ш.(56.12)
Приращение расстояния бх соответствует собственному интервалу расстояния вдоль радиуса [уравнения (56.1) и (56.4)]
Ьг = а (/) M/F (х),
尸=[1 -(H0a0x/cf(Qo- 1)]1/2.(56.13)
В результате вероятность найти галактику видимой звездной величины ш в элементе 6Q записывается в виде
СР = 6Q 6/и d^]dm,(56.14)
d#/d/n = ] %叩"(%)标(1)(m，f)d%.о
Здесь Ф ——функция светимости, равная среднему числу галактик, приходящихся в момент / на единицу собственного объема и на одну звездную величину. Абсолютная звездная величина М выражается через m и х с помощью уравнений (56.8) и (56.10). Вероятность одновременно найти галактики видимых звездных величин mi и т2 в элементах 6Q] и 5% равна [уравнение (49.9)]
6Р = 6/П[ 6m2dQi 6Й2 {djfldmx dJ^dm? + g),(56.15)
где
g= ] xf X2 dX\ dx2 (^l^F 1 («1«2)3 Ф1Ф-2^-0.
Как и в разд. 51, мы предположили здесь, что двухточечную корреляционную функцию можно записать в виде произведения распределений по расстояниям и по звездным величинам [уравнение (51.1)]. Как и в уравнении (56.14), функции светимости ①〕и ①2 зависят от хь ni\ и х2, т2- В общем случае g является функцией пространственного координатного расстояния между двумя точками и моментов космологического времени в этих точках. Однако оказывается, что в любой реалистичной ситуации основной вклад в интеграл вносят точки, которые отличаются по пространствен-
ным координатам, но не по времени. Поэтому можно считать, что Е является функцией одного момента времени и собственного расстояния между точками в этот момент времени. В этом приближении малых расстоянйй уравнение (56.15) можно представить в форме
g(/ni, m2, 8)=)炉f-2(%)a6①[①2d%]3(r, /)du, (56.16) 0— ОО
Г = а (〃2/严-j- Х202)1/2, 以三％2 — Х1，
Фа = Ф (/, Al = ша — 5 1 g и^х (1 + Z) — 25 — xZ).
Собственное расстояние г было вычислено в соответствии с выражениями (56.12) и (56.13).
Если в каталоге приводятся координаты галактик, яркость которых больше предельной звездной величины zn(), то селективная функция равна вероятности того, что галактика на расстоянии г выглядит ярче, чем галактика выбранной предельной звездной величины:
Ф(%) = п"1 j ФйМ = Т (М (х), /)/〃，(56.17)
М (х) = т0 — 5 lg aQx( \ + Z) — 25 — xZ.
Здесь мы пренебрегли функцией f (tn — mo) [уравнение (51.4)]. Функция 4r равна среднему числу галактик в момент f, приходящихся на единицу собственного объема, с абсолютной звездной величиной меньше М. Будем полагать, что собственная пространственная плотность галактик изменяется по закону
п (/) = По [%/а (О]3-(56.18)
Это означает, что галактики не возникали и не разрушались. Поэтому пространственная плотность и двухточечная корреляционная функция галактик равны соответственно -
” =%廟 j х2ф (х) F"1 (х) dx,(56.19)
о
Jf^w (в) = Ло^о j x4q)2F~2 dx j 之亿 t)du.0—оо
Степенной закон является удобной моделью для g и к тому же очень хорошо удовлетворяет данным наблюдений [уравнение (52.5)]:
где В ——постоянная. Последний множитель моделирует возможную эволюцию скучивания: если е = 0, то при фиксированном собственном расстоянии г произведение п (£)&", /) не меняется [уравнение (31.7) при Е》1]. Как и в случае уравнений (52.6)— (52.9), для принятого закона ^ (г) интеграл по и можно вычислить. В результате находим
5 = 4P-y,(56.21)
где
A = BHyaov°\xs~yci>2(x)(a/a^ + e-yF-1 (x)dxl^\^(f>(x)F~l(x)dxj .
Когда красное смещение мало, это выражение сводится к (52.8). Космологическая модель проявляется через объемный множитель 戶 (56.13), множитель а©а, связанный с красным смещением, и зависимость селективной функции ф от расстояния 尤(56.17).
Соотношение между поверхностной и пространственной трехточечными функциями записывается аналогичным образом. В приближении малых расстояний приведенная трехточечная функция [уравнение (54.3)] равна
g3(61，m2,①3, 0 ⑵023,(*31) =
—j x^F-3 (x) а9Ф!Ф2Фз dx [ Us,「23, %i，0 du dv. (56.22) 0— oo
Величины Фа и гар определяются так же, как и в уравнении (56.16). Для выборки, в которой приводятся координаты объектов ярче предельной звездной величины 恤，последнее выражение приобретает вид
”％(8⑵()2з,。31)=近涼]^^(x)F~3(x) dx j ^du du. (56.23) 0—oo
Как и в разд. 54, это соотношение существенно упрощается, если
V = Q (%П + 沾С + 詆а).(56.24)
Когда Е дается выражением (56.20) и Q является постоянной, яаходим [143J, что
г = Р (wawb + wbwc 十 gteij(56.25)
где w (0) определено соотношением (56.21) и
Описание четырехточечной корреляционной функции проводится таким же образом, но уравнения становятся еще длиннее. Для каталога объектов ярче то приведенная четырехточечная Поверхностная корреляционная функция в приближении малых расстояний записывается в форме
“％ —届 а『,х8 t^lF^ dx j i] dt d以 du, (56.27) 0 —oo
где аргументы функции 式 вычисляются так же, как и в уравнении (56.16). Благодаря своей простоте особый интерес представляет модель, рассмотренная в разд. 55:
Q = R。(&2g2зЕз4 + симметричные члены) +
+ ^ь (ъ12ъ1з^14 + симметричные члены), (56.28)
где функция Е определена в уравнении (56.20), а 7?а и Rb — постоянные. Подставляя это выражение в (56.27), получаем
и = а (酬12叨23叨34 + симметричные члены) +
+ b (切12切13切14 + симметричные члены). (56.29)
Здесь w берется из (56.21) и [116]
%Н一3У①%9 + 38 _ 3Y尸一1%Н一3У①%9 + 38 _ 3Y尸一1(56.30)(56.30)
%Н一3У①%9 + 38 _ 3Y尸一1
%Н一3У①%9 + 38 _ 3Y尸一1
(56.30)
(56.30)
На рис. 56.1 приведены некоторые примеры, иллюстрирующие результаты численного интегрирования этих уравнений. Модель функции светимости согласуется с уравнением (52.15):
С dex [р {М — М*)] при М > М*,
^(М)= -{Сdex[a(М-М*)] при М0<М< М*,(56.31)
、0 при М < Мо,
(ро = dex [а (Мо — М*)].
Выше мы предположили, что при заданном М 4roe a~3, т. е. мы Пренебрегли эволюцией галактик. Общеприняты следующие значения параметров:,
a = 0,75, р = 0,25, фо = 0,01,
M；g = -18,6 + 51g/i.(56.32)
На рис. 56.1 кривые, помеченные цифрой 1, получены для этих значений параметров и для параметра плотности Qo = 1, константы пропорциональности в /(-поправке х = 3 [уравнение (56.11)] и для е = 0 в модели 自(56.20). В остальных наборах кривых только один параметр отличается от этих стандартных значений. В модели 2 р = 0 и, следовательно, отсутствуют га-
Рис. 56.1. Примеры того, как проявляются расширение и кривизна пространства. На верхнем графике изображено отношение двух эффективных глубин каталога 4ff и Ds [соотношений! (56.33)]. Величина » характеризует отклонение от масштабного соотношения для 侬(6) в евклидовой геометрии [формула (56.38)]. Отношения P/Q н a]Ra ——множители для перехода от угловых функций к пространственным в моделях трехточечных и четырехточечнух корреляционных функций. По оси абсцисс отложена эффективная глубина каталога (выражения (56.33), (56.34)]. Цифры на кривых соответствую! различным наборам параметров: кривая 1 построена д：1 я параметров (56.32) и для Qo = =1, х=3, е=0 и y= 1,75. Для других кривых только один параметр отличается от этого стандартного набора: для (2) Р=0, для (3) (р0=0.0001» для (4) х=5.
лактики слабее М*. В модели 3 (р0 == 0,0001, и в результате функция светимости простирается до галактик более высокой светимости (очень редких). В модели 4 была взята /С-поправка, равная 5Z. Для этой модели показана лишь двухточечная функция, другие величины очень близки к соответствующим результатам модели 1. Когда параметр плотности уменьшается до Qo = 0,1, результаты изменяются меньше чем на ^5 %. Если подставить е = —1,25, так что g становится постоянным при фиксированном сопутствующем расстоянии 尤，то в правой части рисунка корреляционная двухточечная функция увеличивается на 20 % и почти настолько же изменяются отношения P/Q и a/Ra. Для всех представленных на рис. 56.1 моделей у= 1,75, что близко к наблюдаемому значению.
На этом рисунке независимой переменной служит эффективная глубина 力eff, определяемая уравнениями
确 I %’尸—％ (М = m° — 5 1g аох (1 + Z) — 25 — kZ) dx
(贫y=」¥：，(56.33)
J 产屮(M =团0 — 5 Ig r) dr о
Ds = dex [0,2 (/и。一 M*) — 5] Мпс,
где то — предельная звездная величина каталога. Таким образом,
%f = [” {т^п^'3.(56.34)
Здесь ”(恤)一ожидаемая плотность объектов в каталоге [уравнение (56.19)], a n^D3Е [уравнения (50.12) и (51.5)] есть плотность, которая ожидалась бы для предельной звездной величины /Ио, если бы не требовалось вводить поправки на кривизну пространства и расширение Вселенной. Оказалось, что параметр Dett служит хорошей мерой глубины каталога. Предельная звездная величина является более важным параметром, чем £>eff, но в некоторых случаях она известна не очень точно, поэтому удобнее проводить нормировку по плотности. Так, при тех стандартных параметрах, которые были приведены выше, оценка эффективной глубины каталога Цвикки [460] равна [143]
/и0= 14,9, ^z = 2050 ср—, Aff = 47,2无"Мне. (56.35)
Точно так же для Ягеллонского каталога галактик [350], для которого пространственная плотность равна
^7= 1J0-106 ср"1,. (56.36)
эффективная глубина должна составлять
Deff (/) = Ан (Z)(斤〃”z)i/3 = 380九7 Мпс.(56.37)
С помощью графика в верхней части рис. 56.1 находим DQtt/Ds = =0,62. Вместе с уравнением (56.33) это означает, что предельная звездная величина равна 恤(pg) ^20,3.
Второй график на рис. 56.1 показывает, как двухточечная корреляционная функция меняется с глубиной при аппроксимации g степенным законом. Уравнение (56.21) для w (0) запишем в форме
5 (0) = "у (в/。辅取可 7.(56.38)
Видно, что W является мерой отклонения от масштабного закона з ос D-y [уравнение (52.8)], справедливого для евклидовой геометрии. Третий и четвертый графики изображают величины P/Q [уравнение (56.26)] и a/Ra [уравнение (56.30)], необходимые для
перехода от пространственных моделей к поверхностным в случае двухточечных и трсхточечпых корреляционных функций.
Из рис. 56,1 следует, что в настоящее время основные трудности связаны с функцией светимости и К-ноправкой. Для глубокого обзора (Deft^500й~1 Мпс) ожидаемое значением (0),вычисленное на основе менее глубоких каталогов с помощью масштабного соотношения, может изменяться в ^2 раза при сравнительно небольших изменениях функции светимости и /(-поправки. До тех пор цока эти характеристики не будут установлены точнее, космологические параметры, например % н е, не будут, вероятно, играть существенной роли в анализе. Эволюция светимости галактик отдельно не рассматривалась, поскольку она изменяет наилучшее значение ^-пoпpaвки, которое и так неточно установлено.
Отмечалось [331], что в полном описании эффекта красного смещения нужно учитывать, что различным морфологическим типам галактик соответствуют различные ^-пoпpaвки. Кроме того, следует ожидать, что эффективность обнаружения [функция / в уравнении (50.11)] зависит от углового размера, а также от видимой звездной величины, и эта зависимость может существенно отличаться для различных методов обнаружения галактик. Конечно, эти особенности приводят к еще одной проблеме, поскольку морфологические типы галактик в компактных скоплениях и в поле, как известно, систематически различаются. В работе Девиса и Геллера [54] этот эффект описан с помощью корреляционных функций. Он означает, что при большом красном смещении на внешнее проявление скучивания могут повлиять, как правило, большие /(-поправки галактик в компактных скоплениях, чем у галактик в среднем. (В результате этого наблюдаемое распределение становится слишком гладким, так как уменьшается число галактик, видимых в более тесных скоплениях.) Пройдет, вероятно, некоторое время, прежде чем мы получим надежное описание всех этих эффектов. А пока для очень глубокого обзора (Doff ^500—1000/г-1 Мпс) ожидаемое значение 侬，рассчитанное с помощью масштабного соотношения на основе менее глубоких обзоров, определяется с точностью до множителя 2. Эти неопределенности, по-видимому, значительно слабее сказываются на значениях P/Q н a/Ra^
57, Сводка численных результатов
На малых расстояниях поверхностная двухточечная корреляционная функция хорошо аппроксимируется степенным законом: 切(8) = 48-"(57.1)
Самые надежные оценки показателя степени б получены на основе Ликского каталога галактик и каталога галактик Цвикки.
В каталоге Цвикки [460] приведены звездные величины и координаты галактик с видимой звездной величиной ш《15,5 и склонением 6 >0°. Согласно формуле (56.34), эффективная глубина этого каталога при ш=15 равна ^50无一】 Мпс. Пиблс и Хаузер [326] рассчитали w (0) для этого каталога, а Сонейра [397] изучил совместное распределение координат и видимых звездных величин. В Ликском каталоге приведены подсчеты галактик в ячейках размером 10X10', причем отобраны только галактики со .склонением б больше —23° и mV 18,9. Эффективная глубина этого каталога равна ^ 220А-1 Мпс. Лимбер [230] и Нейман, Скотт и Шейн [267] первыми оценили автокорреляционную функцию галактик этого каталога. На основе этих же данных, заново обработанных Сслднсром и др. [373], в 1977 г. Грот и Пиблс [143] рассчитали w (0). Использовав оба каталога галактик, они нашли, что показатель степени 6 равен
6 = 0,77 + 0,04.(57.2)
Зависимость w (0) от глубинн каталога важна для выявления возможных систематических ошибок данных, связанных с переменным локальным поглощением и с ограниченным объемом выборки. Грот и Пиблс [143] обсуждали масштабные соотношения для Ликского н Ягеллонского каталогов и для каталога Цвикки. Ягеллонский каталог галактик [350] достигает эффективной глубины 〜400无-1 Мпс, а на небе охватывает область 6x6°. Это соответствует участку 40х40А_| Мпс. Таким образом, выборка Ягел- лонского каталога сравнима с выборкой каталога Цвикки, но глубина Ягеллоиского каталога в 8 раз больше. Благодаря работам группы из Дарема [96, 377] граница применимости масштабного соотношения достигла Deff 〜бОО/^т Мпс. Для Ликского каталога и каталога Цвикки релятивистские эффекты малы, и поэтому функция светимости и /(-поправка слабо влияют на ожидаемую зависимость ку (0) от Deff. При фиксированном 0 значения w для двух этих каталогов различаются в 10 раз, что согласуется с точностью 10 % с вычисленным значением, основанным на отношении плотностей галактик в каталогах. Амплитуда w для Ягеллонского каталога на 20 % ниже значения, определенного с помощью менее глубоких каталогов, а для самых глубоких Даремских каталогов амплитуда w примерно на 50 % выше рассчитанной. Оба значения лежат в пределах ошибок, связанных с функцией светимости и с флуктуациями параметров выборки. Справедливость масштабного соотношения означает, что у нас есть надежная мера скучивания галактик, причем эта мера не очень сильно искажена переменным поглощением в нашей Галактике или конечной глубиной каталогов.
Степенной характер w (0) приводит к степенному закону для пространственной двухточечной корреляционной функции
2 = (「“「)、，у = 6 + 1 = 1,77 士 0,04.(57.3)
Характерную длину г。можно оценить с помощью амплитуды w (0) и принятой селективной функции ф (г). Если 三 подчиняется степенному закону, то связь между функциями определяется уравнениями (52.8) и (52.9). Такой метод впервые использовали Рубин [346] и Лимбср [230], а Тоцуи и Кихара [419]* применили его к описанию степенного закона. Грот и Пиблс [143] нашли, что г。= 4,7/г4 Мпс. Основная ошибка определения этой величины связана с селективной функцией 屮(『). Эта трудность исчезает, если для полной выборки галактик измерены красные смещения, и, следовательно, известно реальное распределение по расстояниям. Была определена [55] отбирающая функция для ярких галактик с ?п《13; красные смещения почти всех этих галактик известны. Получено [55], что г0 = 2,4/г-1 Мпс для ярких галактик в северной галактической полусфере и 匕0 = 3,6无一1 Мпс для ярких галактик из южной полусферы. Однако эта выборка неглубока, и весьма сомнительно, что она представительна. Самое точное значение 『о получено по выборке [206], для которой измерены красные смещения 166 галактик с видимой звездной величиной / & 15 в восьми далеко отстоящих друг от друга площадках 4°Х4°. Число галактик мало, но, к счастью, эти восемь площадок удачно расположены на небе, поэтому скучивание галактик представлено достаточно полно. Методом, описанным в разд. 76, было найдено [320]
г0 = 4,23 土 0,26无7 Мпс. (57.4)
Среднеквадратичное уклонение получено из разброса результатов восьми площадок. В каталоге мало богатых скоплений, поэтому можно ожидать, что г0 меньше, чем оценка (57,4). И это вдобавок к весьма неопределенной ошибке, связанной с малой глубиной обзора. Но все же значение г0 установлено с достаточной точностью. Поэтому в дальнейших расчетах будет использоваться округленное значение
Го = 4ft-1 Мпс. (57.5)
Можно было бы ожидать, что для 三(『)степенной закон г— нарушается при малых г, поскольку сильное взаимодействие заставляет тесные пары галактик двигаться вместе. Острайкср и Тернер [281] нашли свидетельство того, что число пар с относительным расстоянием 厂《40无一1 кпе меньше, чем ожидалось бы, если бы мы приняли для 三(г) степенной закон. Однако Гоп и Тернер [136] показали, что для каталога Цвикки ⑫(8) хорошо описывается степенной функцией с показателем 6=0,79 в интервале 10"&0《3° [формула (57.2)]. Нижний предел соответствует расстоянию между объектами в проекции
rmn = 6Deff 〜3ft-1 кпс.rmn = 6Deff 〜3ft-1 кпс.(57.6)(57.6)
rmn = 6Deff 〜3ft-1 кпс.
rmn = 6Deff 〜3ft-1 кпс.
(57.6)
(57.6)
Лейк и Тримейн [209] использовали подсчеты карликовых спутников спиральных галактик, чтобы проверить значения 己⑺ при малых г, и вновь сделали вывод, что степенной закон справедлив ВПЛОТЬ ДО Г ~ Гтп.
У функции w (0), определенной по Ликскому каталогу, есть особенность при расстоянии между галактиками в картинной плоскости
гтх 弋 10ft'1 Мпс. (57.7)
Оказывается,占(г) на расстоянии г^гтх немного больше, чем значение, следующее из степенного закона, а при г > гтх логарифмическая производная от 己(т. е. д In g/d In г) больше 1,8 [56, 107]. Аналогичный эффект обнаружен у глубоких Даремских каталогов [96, 377], но на меньшем (в проекции) расстоянии ^ЗЛ-1 Мпс. Реальность излома 自 на расстоянии г^гтх подтверждается при попытках численно смоделировать на ЭВМ наблюдаемую структуру распределения галактик Ликского каталога [399]. Если бы степенная зависимость 己 простиралась значительно дальше rmXl то в каждой группе было бы слишком много галактик, и вся картина распределения галактик выглядела бы слишком клочковатой. Но во всех изученных случаях эффект близок к шуму и его нужно рассматривать осторожно. Значение гтх сравнимо с г。， что, возможно, является интересным случайным совпадением и означает, что изменение наклона 己 происходит при g^l. Возможное теоретическое объяснение этой особенности приводится в гл. IV.
Достаточно надежно установлено, что для Ликского каталога двухточечная корреляционная функция положительна при r^ 15ft"1 Мпс и теряется в шуме на больших расстояниях. Хотя наблюдаемые структуры и охватывают большие масштабы (как в случае избытка плотности галактик вокруг богатых скоплений, установленного до r^40h~l Мпс), мы все же не знаем достоверно, положительна или отрицательна корреляционная функция 自(г) при r^l5h~l Мпс.
Трехточечная корреляционная функция Ликского и Ягеллон- ского каталогов и каталога Цвикки обсуждалась в работах [143, 314, 324]. Для каждого каталога степенной закон после подстановки в уравнение (56.25) хорошо описывает зависимость г от размера и параметров формы треугольника. Этот закон проверен в широком диапазоне расстояний: от 门 〜50无-i кпе для малой стороны треугольника до 厂3~5无一'Мпс для длинной стороны. Параметр Р в модели z не должен заметно зависеть от глубины каталога (рис. 56.1). И в самом деле, значения Р, определенные по разным частям Ликского каталога, одинаковы с точностью до 25 %, а значения, полученные для трех каталогов, согласуются между собой с точностью 弋50 %. Грот и Пиблс [143] установили,
что параметр Q в модели пространственной функции 二[уравнение (54.17)] равен
Q= l,29±0,2L(57.8)
Для выборки ярких галактик с галактической широтой Ь > 30°, видимой звездной величиной В V 13,27n и красным смещением больше 1500 км/с [184] (для всех галактик выборки известны красные смещения) параметр Q равен [321]
Q = 0,80 ±0,07.(57.9)
Приведенная здесь ошибка является внутренней, и Q, вероятно, меньше значения (57.9), поскольку выборка была построена так, чтобы в нее не вошли четко выраженные скопления.
Четырехточечная корреляционная функция 〃 была оценена для Ликского каталога и каталога Цвикки [116]. Оценки для Ликского каталога не очень точны, так как значение и мало и очень близко к систематическим ошибкам; оценки же для каталога Цвикки еще грубее в силу того, что хотя и здесь много больше, но шум оказывается еще значительнее. Подстановка степенного закона в уравнение (56.29) дает хорошее согласие с оценками, полученными для обоих каталогов, но это не может служить достаточно серьезной проверкой модели. Наилучшие параметры модели таковн:
а + 6/3 = 6,4 士 0,6, а — b[3 = 1,8 土 1,1,
。=4」±0,7, 6 = 6,8士 1,7.(57.10)
Комбинация а + Ь/3 служит мерой величины 〃, если расстояния между всеми четырьмя точками сравнимы (так как есть 12 членов типа а и 4 члена типа 6), и поэтому значение о+ 6/3 определено лучше, чем значение а — 6/3. Оказывается, что предположения а = 0 или 6 = 0 исключаются, но, по-внднмому, допускаются два других интересных случая： а = 6 и а = Ь/3. Переход к модели с пространственной функцией “ дает
Ra + 凡/3 = 4,0 士 0,6, Ra 一 凡/3 = 1,1 ± 0,7,
凡=2,5±0,6, & = 4,3± 12(57.11)
58、Спектр мощности внегалактического компонента свечения ночного неба
Если корреляционные функции галактик служат мерой распределения всего светящегося вещества, то их можно использовать для предсказания той части флуктуаций свечения ночного неба, которая обусловлена внегалактическими объектами, причем сделать это можно методом, который применяли к изучению
флуктуаций яркости Млечного Пути Амбарцумян [6] и Чандрасекар и Мюнч [38]. Очень интересное замечание сделали Ганн [145] и Шехтман [384]: если распределение галактик определяет безразмерную автокорреляционную функцию 占 плотности светимости, то из автокорреляционной функции внегалактического компонента свечения ночного неба можно найти среднюю пространственную плотность светимости. Эта величина измерена неточно, хотя она и важна при обсуждении средней плотности вещества во Вселенной (ФК, гл. IV, разд. 2; [76]). Шехтман [385] сделал оценки спектра мощности внегалактического компонента свечения ночного неба, а связь этих данных с пространственной корреляционной функцией обсуждалась в работе [126].
Как и в разд. 56, запишем интервал в форме Робертсона— Уокера [уравнение (56.1)]. Поток энергии от источника, расположенного при красном смещении Z, дается уравнением (56.9). Поток, рассчитанный на единичный интервал частот, равен
f (vo)=[纟(¥)/4лх2] а!ас, v = VQa(Ja = vo(l + Z).(58.1)
Наблюдаемая частота v0 соответствует частоте испускания v. Для учета сдвига вследствие красного смещения полосы частот при переходе от уравнения (56.9) к уравнению (58.1) вводится множитель 的/a.
Удобно продолжить исследование, записав поток, приходящий с направления Q в телесном угле 6Q в виде
i(Q, vo)3Q= £ 〃由 “°),(58.2)
где П\ = 1, если в 6Q есть галактика на координатном расстоянии 尤 1 в диапазоне собственного расстояния сЫ, причем светимость галактики £\ (v) заключена в диапазоне 62； в противном случае П\ = 0 (разд. 36). Множитель fi равен потоку, приходящему из dQ, если там есть галактика. Значение 九卜 усредненное по ансамблю, равно
{n^=^V д^Ф(^, V, В), W =-^сЫ^(58.3)
где Ф — функция светимости в момент t на частоте v; она такая же, как в уравнениях (49.1) и (56.14), если в них перейти от абсолютной звездной величины М к светимости Z. Среднее значение выражения (58.2) равно'
<»(Vo)) = (с/4л) \п^(V, 0> («Мо)3 dt,(58.4)
о
〃〈Z〉=[①纟 dR.
Второе уравнение определяет среднюю светимость, приходящуюся на объект, причем п ——средняя собственная пространственная
15 Заказ № 82
плотность объектов в момент £. Первое уравнение — это обычное выражение для яркости свечения ночного неба, которое представлено в виде интеграла от плотности светимости 卜=汽《％〉(см., например, ФК, гл. IV, разд. 2).
Среднее значение произведения двух различных и, фигурирующих в уравнении (58.2), равно
(/2lrt2) = dI/1dl/2d^Id^2[l +貝门2,切①便i)①(2)(58.5)
Примем, что распределение по В статистически не зависит от положения (разд. 51) и что можно пренебречь различием в космологическом времени двух точек, входящих в g (разд. 56). В таком случае в приближении малых расстояний (разд. 50) при 0^0 автокорреляционная функция яркости внегалактического компонента свечения ночного неба равна
C(8)=〈&(Q,、о)&а，、о)〉=
= (с/16冗2)『力 j &(r, f)〈B(、，t* 出(aJaN du, (58.6) 0—oo
产=〃2 +(0X0)2.
Здесь 6i(Q% vo) — отклонение яркости в направлении Qo от среднего значения (58.4). Для степенного закона, записываемого в виде
l = B(t)[u +(axef]~yl\(58.7)
интеграл по и можно вычислить, что дает
С(0) = Ке"*(58.8)
где
^ = (c//v/16л2) j^'-Yt/^, v(t))-f(a/a0)6 B(t)dt.
Безразмерный интеграл Ну вычислен в (52.9), а средняя плотность светимости в эпоху / равна
j(f, *,)= 〃〈％〉.(58.9)
Для уравнения (58.8) полезное приближение пдлучается, если наблюдаемая частота v0 приходится на видимую область спектра. Тогда подынтегральное выражение быстро уменьшается при увеличении /0一―九 т. е. при увеличении расстояния от наблюдателя, так как спектр галактики /v быстро спадает в голубой области. Это означает, что, не понижая точности, можно пренебречь зависимостью от времени в а (0 и В и что расстояние от наблюдателя можно выразить через красное смещение следующим образом:
где Но — современное значение постоянной Хаббла. В этом приближении уравнение (58.8) приобретает вид
С(е)= К9Т(58.11)
где
К = (ВНу/1&^)(с/Н0)2-у\ Z」Y[j倚，Vo(l +Z)H2dz.0
Спектр мощности при том условии нормировки, которое принято в работе Шехтмана [385], записывается в форме
s(n) = (2;r)-2 ] С(0)exp[zij• 6]d20 = (2я)-1J ОС(0)70(riO)dG,(58.12)
где /0 ——функция Бесселя нулевого порядка [уравнение (46.39)]. Для степенного закона (58.11) спектр мощности равен
s(л) = (К/2л)nv-3 [ x2-v/0 (х) dx= 0,12KnY-3.(58.13)
Это и есть выражение для спектра мощности внегалактического компонента свечения ночного неба в модели степенного закона для自
Можно отметить, что уравнение для С (0) (58.6) не применимо при 0 = 0, поскольку, как и в разд. 36, имеется дополнительный вклад от членов п：. В результате этого к С (6) добавляется дельта-функция (или, точнее, добавляется пик, угловой размер которого равен характерному размеру галактик, вносящих вклад в свечение ночного неба), а к s (л) добавляется постоянный член. Следуя описанному выше методу и применяя равенство 〈孔：〉=〈孔1〉，находим, что этот постоянный член равен
5o = (C'Z26n4)，(口4/〃肛2)九(58.14)
о
Здесь последний множитель ——среднеквадратичная светимость галактик. Интеграл расходится по закону 尤一〔： основной вклад дают ближайшие галактики в выборке. Эта составляющая внегалактического свечения ночного неба, по-видимому, не представляет интереса, поскольку ее трудно отделить от 《белого» шума, вносимого звездами.
Чтобы в уравнении (58.11) оценить К, необходимо вычислить безразмерный интеграл
/ = f Z」Y и “о (1 + Z))//(v0)]2 dZ.(58.15)
Если ближайшие яркие галактики исключены из каталога, то нижний предел интегрирования больше нуля: в измерениях, проведенных Шехтманом, были исключены галактики ярче mR^ 18, что приблизительно соответствует обрезанию при Zc^0,15. Можно ожидать, что форма спектра / (v)/j (v0) такая же, как и у гигантской галактики. Вычисления на длине волны 入。= =6500 А дают [271]
/ = 0,73.(58.16)
Половина этого интеграла набирается при 0,15 W Z 虱 0,25, а вклад от областей с 2 A 0,6 пренебрежимо мал. Таким образом, приближение Z《l, при котором из (58.8) было получено соотношение (58.11), является отчасти неточным, но все же точность результатов, вероятно, лучше множителя 2.
Уравнения (58.11), (58.13) и (58.16) вместе с выражением (57.5), определяющим В (/0), дают
s (叫=1,5 ♦ 1。4%12丁1,23 [j w，力)]2[эр「2/(см4 • с2 • Гц2 • ср2)] рад2, (58•⑺ где единицы измерения волнового числа “一радианы фазы, деленные на радианы угла. Шектман нашел, что в единицах (58.17)
s 〜4,7 • 10-49, ,]= 1000.(58.18)
Это означает, что на длине волны 6500 А
/(v0) = 4 • Ют?无 Эрг/(см3 • с • Гц) = 2 • 10%幺)Мпс-3.(58.19)
Обычные оценки, основанные на подсчетах галактик, лежат в диапазоне (ФК, гл. IV)
/ « 1 .108- 3 - 108/г^Сг Мпс-з.(58.20)
Согласие оценок (58.19) и (58.20) лучше, чем можно было надеяться.
На характерной глубине Z^0,25 угловая длина волны 2冗// при т] = 1000 [уравнение (58.18)] соответствует длине волны
九=(2冗/叫 Q = 4.7Л-1 Мпс.(58.21)
Если при /•〜IO%-】 Мпс функция g становится меньше, чем при степенном законе L，, что, по-видимому, имеет место для Лик- ского каталога, то нужно искать излом в спектре при / 〜500. Однако признаки такого излома не выявляются в результатах Шектмана (они могут затеряться в больших флуктуациях при малых т]). При п ^1000 спектр мощности должен изменяться по закону T]f23, а оценки Шектмана уменьшаются при увеличении / явно гораздо быстрее. Не ясно, представляет ли это проблему:
при т] ^ 1000 поправка на белый шум, создаваемый звездами, велика и, возможно, завышена.
Согласие в оценках /, сделанных Шехтманом и выполненных с помощью обычных подсчетов галактик, служит важной проверкой непротиворечивости трех положений: предположения о том, что ковариационная функция плотности светимости j совпадает с корреляционной функцией галактик 三；нормировки 三 при г 〜4L Мпс и общепринятой оценки средней пространственной плотности светимости. Еслн значительное количество светящегося вещества не наблюдается, то это вещество должно распределяться в пространстве существенно более однородно, чем галактики. Более точные измерения, позволяющие проверить зависимость s от ”，были бы чрезвычайно интересны, хотя и трудны.
Моменты числа соседей
С помощью численных результатов разд. 57 можно непосредственно вычислить число соседей галактики. Среднее число галактик, расстояние которых до случайно выбранной галактики меньше г, дается уравнением (36.23):v
г
+n^dV,以=%«3,-(5 9.1
где п ——средняя пространственная плотность. В случае степенного закона интеграл равен
j W и (ro/r)v о
К = 3/(3 —Y), UH = (/-o/r)Y.(59,2).
Среднеквадратичное число соседей, расстояние от которых до галактики меньше г, определяется уравнением (36.25). Здесь нужно вычислить еще два интеграла. Первый из них равен
5u|ri-r2|)^1CfV2= V2 (ro/r)v /2>(59.3)
о
где
厶=(3/4л)2 [标Y修 d% = 72/[(3 一 丫) (4 - у) (6 - у) 2‘].
о
Безразмерный интеграл вычислен в [325]. Интеграл от трехточечной функции для модели (54.17) равен
г.
[翼Х1, Х2, |X| — X2|)d叫 ”2 = Q (储+ 2К2)(Го/Г产 1/2, (59.4) о
1
k2 = (3/4Л)2}力1#1, 2厂丫d3修d3元2.
Грот [141J привел К2 к виду (у V 2)
[2(2 — y)2(3 — y)/9]K2=F(y — 3, 2-y； З-у; 一1)一
—F(y —3, 2 —% 3 —Y； 1) —(4 —y)」F(y —4, 2 —y; 3 —丫； 一1)十
+ (4 —у)」尸(у —4; 2 —у; 3 —y; 1), (59.5)
где F — гипергеометрическая функция. Некоторые численные значения приведены в табл. 59.1. Для показателя степени, отвечающего наблюдаемому степенному закону, находим
К2 = 5,02, у = 1,77.(59.6)
Таблица 59.1
Значения величины К2 [соотношение (59.4)]
У
«2
У
к?
0,0
1,0
1,5
3,31
0,5
1,28
2,0
7,82
1,0
1,88
2,5
34,0
Следовательно, для у= 1,77 второй момент равен
〈川〉。=(^>p + (W)2 [1 +(厶 + 2/Q (r°/r)v + Q (2% + X)仇/r 产]=
=〈N%+ (W)2[l + 6,70 (г0/г)1>77 + 20,6 (r0/r)3,54]. (59.7)
Среднее значение куба числа соседей определяется уравнением (36.28). Для степенных моделей 占，J н “ результат равен
<№)₽ = («V)3 (Г。//■产[6儿(Кза + К1К2) + R, (К； + ЗКз)] +
+ (nV)3 亿"户[3Q/3 + ЗК 厶]+ с, (59.8)
где С ——сумма моментов более низких порядков:
C = 3{N2)p(\+nV)-(N)p{2 + 3nV + 3(nVf] + (nV)3.(59.9)
Безразмерные интегралы в (59.8) равны
Кза = (3/4л)3 j (#1 修2尤23)一丫 d3%[ d3x2 d3x3 = 9,5, 0
Кзь = (3/4гт)з ] (XiX12Xi3)-Yd3Xi d%d%= 10,3,(59 10)
о
/3 = (3/4n)3 ](尤]2尤23)~y 严修 d3x2 d% = 3,38.
Эти значения получены в результате численного интегрирования при 7 = 1,77. Подставляя их в (59.8), получаем
(№>р = (nV/[520 (го/r)5'31 + 26 (ro/r)35t + 1] + С. (59.11)
Некоторые результаты приведены в табл. 59.2. При вычислениях предполагалось, что звездные величины и положения не коррелируют. Если это действительно так, то можно выбрать предельную звездную величину 例加 оценить среднюю пространственную плотность галактик ярче М。н с этим значением п с помощью приведенных выше уравнений вычислить моменты подсчетов соседей ярче Мо вокруг галактики. Эти оценки наиболее надежны, когда основное внимание уделено галактикам с М〜М* [см. соотношение (50,6)]. Дело в том, что эти галактики чаще всего встречаются в каталоге, в который галактики отбираются по видимой звездной величине (кроме того полагают, что эти галактики содержат основную часть массы). Для первых трех строк габл. 59.2 и = 0,03九3 Мпс-3, что примерно соответствует М Л4 Приведены также некоторые значения для более ярких и более слабых предельных звездных величин.
Таблица 59.2
Моменты числа соседей
Л-зп, Мпс-з
Лг,
nV
《解）1/2
С，з〉1/з
（（N-《N》）2>
〈（/V-《M}3〉
0,03
5,0
16
42
61-
94
1990
0,03
1,0
0,13
3,7
7,0
12
35
1300
0,03
0J
1,3 • 10-4
0,21
0,60
1,0
0,32
0,79
0,01
5,0
5,2
14
20
32
230
—
0,01
1,0
0,04
1,2
2,5
4,3
4,8
58
0,01
0,1
4 • 10-5
0,07
0,30
0,51
0,082
0,12
0,10
0,1
4 • КН
0,70
1,6
2,6
1,91
14
При п = 0,03й3 Мпс-3 у галактики обычно больше одного яркого соседа на расстоянии г W l/i^1 Мпс, тогда как случайно выбранная сфера такого же радиуса с вероятностью 0,13 содер~ жит одну галактику. Разброс числа соседей значительно превосходит разброс при распределении Пуассона： для 〈N〉= 3,7 при распределении Пуассона ожидаемые значения второго и третьего центральных моментов N равны 3,7, а реальные значения гораздо больше, как видно из следующих двух столбцов таблицы. Если г уменьшить до ЮОА-1 кпс, то среднее число ярких соседей (М《М*) будет равно примерно 0,2, тогда как для случайно выбранной сферы оно составляет 1,3-10-4. Среднеквадратичное число соседей равно 0,6, а среднее значение, определенное по третьему моменту (〈林〉％), примерно равно единице. Хорошее приближение для этих чисел дается следующим распределением числа соседей при г V ЮОА-1 кпс：
Ро= 0,86, Р\ = 0,09, А =。,03, Рз = 0,02,
Pn = 0, ^ > 3; г < 100ft-1 кпс, М V М*.(59.12)
Модель Pn
Предположим, что сфера радиусом г помещена случайным образом. Чему равна вероятность того, что она содержит некоторое выбранное число галактик или некоторое выбранное количество вещества? В разд. 39 был описан способ вычисления этой вероятности, но в данном случае он непригоден, так как для интересующих нас значений лиг ряды сильно осциллируют. Другой подход связан с изучением моментов подсчетов галактик в случайно выбранной сфере.
Будем рассматривать сферу радиусом
г V го,(60.1)
поэтому 自⑺>1. Будем также предполагать, что ранее найденные корреляционные функции описывают распределение достаточно слабых галактик (или даже нуклонов; разд. 63); тогда для некоторого значительного диапазона г (г <С г。) средняя пространственная плотность удовлетворяет условию
九p(飞/"¥ > 1, V = %以广(60.2)
Благодаря этому предположению исключается дробовой шум в моментах.
Второй момент подсчетов объектов внутри случайно выбранной сферы равен [уравнение (36.6)] г
〈№〉= nV + (nV)2 + л2，&2 d% dV2 = nV + (nV)2 + (nV)2 (r0/r)Y 厶， 0
(60.3
где второе равенство получено для степенной модели 占，а величина 丿2 вычислена в (59.3). Когда справедливы условия (60.1) и (60.2), последний член преобладает, а значит,
〈％2〉=/2«Р)2(г"『(60.4)
Точно таким же образом из уравнений (36.13) и (36.20) находим(N^ = 3J3Q(nVf(rQ/r)2\
@4〉= 12(ЛЛа + %人典)(九少&。"户，(60.5)
где безразмерные интегралы равны
1
/з = (3/4л)3 [(犬 12犬23)-y dVidV^ dV3 = 3,38, о
i
J4a = (3/4 寸 j (x12x23x34)-v dV.dV^V.dV^ 6,3,(60.6)
几=(3/4л)4 j (xI2x13x14)-v dVx dV2dV3 dV^ = 6,3.
0
Эти интегралы вычислены с помощью численного интегрирования при у = 1,77. Для параметров, приведенных в соотношениях (57.5), (57.8) и (57.11), моменты равны
(N) = nVt <^)=l,82(nV)2(r0/r)Y,〈№)=13」(九|7)3 亿"汽(60.7)
<^4> = (300 士 45) (nV)4 (飞")3匕
Эти выражения демонстрируют йнтересную закономерность: если не учитывать численный множитель, то каждый момент равен предыдущему, младшему моменту, умноженному на одну и ту же величину. Легко найти модель распределения N, которая воспроизводит эту закономерность. Предположим, что с вероятностью 1——£ сфера оказывается пустой и с вероятностью е содержит фиксированное число объектов No. Тогда n-й момент равен
〈Д/“〉= eA/W-(60. 8)
Это приближенно соответствует уравнениям (60.7), когда
^0 - nV (г0/г)\(60.9)
но при этом не учитывается быстрый рост численных множителей. Этот недостаток можно исправить и сделать модель более реалистичной, если ввести разброс относительно величины ^o. Поскольку мы предполагаем, что № велико [уравнение (60.2)], можно считать, что PN — функция непрерывной переменной N.
Поэтому модель
P(N) = (1 —e)6(N) + ®2M)exp[—(N/M)i/2](60.10)
дает моменты
〈N"〉= (2n+1)!еМ£.(60.11)
Если
〈2〉= б£《= niz, No= %典1/ (Го/г)\(60.12)
то находим, что
〈心〉=2(〃1/)2(分")Y，
〈№〉= 8,4 (nVf (г0/г)2\(60.13)
〈n4)= 60(/11/)«办)叫
Численный коэффициент у четвертого момента все еще слишком мал, и его можно улучшить, увеличив разброс вокруг 7V0. Однако такое улучшение модели, по-видимому, не представляет интереса.
Таким образом, корреляционные функции наводят на мысль, что если сфера радиуса г ^4й~* Мпс помещена случайно, то велика вероятность того, что заключенная в ней масса мала или вообще отсутствует,
Р = I — Е ~ 1 _ %(г〃о户 ^ 1 — o,14(ftr)1,77.(60.14)
Другими словами, обычно такая сфера не выделяет группу или скопление. Если все же сфера попадет в область скученного вещества, то характерное значение массы, которое она будет содержать, по порядку величины равно No (г), хотя дисперсия относительно этой характерной величины довольно велика. Для средней плотности вещества
p= 1,9 ， 10一效2/ г/см3,p= 1,9 ， 10一效2/ г/см3,(60.15)(60.15)
p= 1,9 ， 10一效2/ г/см3,
p= 1,9 ， 10一效2/ г/см3,
(60.15)
(60.15)
где Q ——параметр плотности для галактик, характерное значение массы [уравнение (60.12)] равно
мо = '/юр!7 (r0/r)v ~ 1,4 • 10I2Qft_ ' (hr)''^ Mz. (60.16)
Здесь г измеряется в мегапарсеках. Для г = ЮОй-1 кпс масса равна
Мо а 8 • 10叫2/1-1乂貝 г = 100/г-1 кпс. •(60.17)
При г = 10ft-1 кпс (общепринятый размер галактики) находим, Mq q 5 • 109Q/i_iM^, г = 10ft-1 кпс.(60.18)
Таким образом, корреляционные функции свидетельствуют .в пользу следующей картины [308]. Распределение вещества фак-
тически рассматривается с разрешением г, которое задается размером случайно помещенной сферы. Поэтому вещество находится в сгустках характерного размера г и массы Мо (г). При разрешении, равном г' (r‘Vr) эти сгустки должны распадаться на сгустки меньшего размера, так что вещество снова кажется распределенным в сгустках характерного размера г' и массы Mo(r') VMo(r). Интересно, что если все время изменять таким способом разрешение и достичь размера галактики (г— Юй-1 кпс), то масса сгустка будет примерно равна массе галактики. Заманчиво предположить, что этот факт означает, что галактики являются всего лишь частью относительно непрерывной иерархии скучивания (разд. 4Б). Некоторые другие аспекты этого предположения упоминаются в следующих разделах.
£/. Модели скучивания
Следуя программе Неймана и Скотт [264], описанной в разд. 40, можно попытаться найти такой способ размещения галактик в группах, чтобы воспроизводились наблюдаемые статистические свойства распределения галактик. В этом разделе мы рассмотрим две картины скучивания. Одна из них, призванная подчеркнуть достоинства другой, может воспроизвести £, но дает такие трехточечные и четырехточечные корреляционные функции С н % которые не согласуются с наблюдениями. Вторая картина — иерархическое скучивание ——воспроизводит 占，白 н “ н поэтому должна быть ближе к реальности. Эта картина особенно интересна, так как в соответствии с изложенным в разд. 26, в расширяющейся модели мира при довольно естественных начальных условиях в распределении вещества будет возникать иерархия скучивания.
А. Модель скоплений со степенным законом распределения пространственной плотности. Рассмотрим сферически симметричные группы, при этом будем считать, что пространственная плотность галактик меняется по степенному закону в зависимости от расстояния до центра группы
(Ы.1)(Ы.1)(пАг~е при г &R,厶⑺—(0 при г > R, 1,5 < е < 3,
(Ы.1)
(Ы.1)
где п — средняя пространственная плотность в больших масштабах и постоянные £, /I и R одинаковы для всех групп. Ограничения, налагаемые на показатель степени е, обеспечивают сходимость интегралов при малых и больших г. Группы расположены случайным образом равномерно, поэтому g(r) определяется сред-
ним числом пар галактик в группе, расстояние между которыми лежит в диапазоне от г до г+ 8г:
2д^p = 8л г2 6г j п(г\}п(г^ г? d 门 d cos 0,(61.2)
川=并 + 产一2〃i cos 0.
При 3/zV£V3 основная часть интеграла набирается при /*[〜 〜厂2 〜几 При r《R границей группы можно пренебречь и интеграл приобретает вид
2д^p = 8л2 г5-2е Ьгг^^Ц
оо4-1
/= J ff dx [(Х2+ 1 -2*т/2 加 (61.3) О- 1
где х = ri/г. Корреляционная функция определяется выражением (40.5) [235, 310]:
UH = '/2(3 -e)Mr3-V3, Г《R.(61.4)
Это соответствует наблюдаемому степенному закону (57.3), когда
2е — 3 — у = 1,77, £ = 2,38.(61.5)
Если у разных групп масса различна (она пропорциональна 4), то из уравнения (40.5) следует, что Л в формуле (61.4) нужно заменить на <Л2>/<Л>.
Трехточечная корреляционная функция определяется средним числом триплетов, приходящихся на группу. Мы можем узнать, как эта функция зависит от размера треугольника, даже не записывая интеграл, если заметим, что, когда интеграл сходится (для этого необходимо, чтобы выполнялось условие 1 < е <3), основной вклад в интеграл дают те расстояния от центра сгустка, которые по порядку величины равны размеру треугольника г. Поэтому число триплетов, диапазон размеров и параметров формы которых определяет шестимерный элемент объема (бV)2, записывается в виде
62,~(九431)(九4』厅.(61.6)
Первый множитель равен числу галактик, расстояние которых до центра меньше 〜г. Второй множитель соответствует вероятности каждой такой галактики попасть в треугольник, в котором две другие галактики находятся на расстоянии г от центра. Вместе с уравнением (40.14) это дает [324]
?~#/?1г3-3: yR.(61.7)
Отношение этой функции к квадрату двухточечной корреляционной функции, вычисленной при г, примерно равном размеру треугольника, записывается в виде
疗〜(R/r『T<x г".(61.8)
Для четырехточечной корреляционной функции таким же способом находим
!]/『~(R/r)"2earT2, г《R.(61.9)
Поскольку в приближении малых расстояний справедливы соотношения
W (0)〜0^ (0D), 2 〜带(80), 〃 〜03n(0D),(61.10)
из приведенных выше результатов следует
2 ос 0°~3е, z ^2 ос 0е - 3,
ucx06~4£, tt/Vcx02e"6-(61.11)
Эти выражения применимы в том случае, когда относительное расположение трех или четырех точек остается неизменным.
Полученные соотношения не согласуются с наблюдениями. Для Ликского каталога величина z/w2 с точностью 〜25 % постоянна, когда 0 изменяется в диапазоне от 0,15 до 2°, в то время как модель предсказывает, что z/w2 должно изменяться в ^5 раз [143]. Для каталога Цвикки обнаружено, что зависимость z от размера треугольника хорошо аппроксимируется следующей степенной моделью [319]:
2 ос В-”， V - 26= —0,028 士 0,079,(61.12)
где 6=у—1, тогда как рассмотренная выше модель предсказывает
V — 26 = 3 — е = 0,6,(61.13)
что на восемь стандартных уклонений больше значения (61.12). Для Ликского каталога аппроксимация четырехточечной корреляционной функции степенным законом дает
и ос 8—出，卩=2,40 ±0,18, d== 0,741 士 0,035,(61.14)
следовательно,
卩—3d = 0」8±0,21.(61.15)
Модель же предсказывает
ц — 36 = 6 — 2е = 1,2,(61.16)
что значительно превосходит наблюдаемое значение.
Б. Непрерывная иерархия скучивания. При иерархическом скучивании вещество сконцентрировано в сгустках, эти сгустки собраны в группы, группы — в сверхгруппы и так далее до некоторого диапазона масс скоплений. Возможно, что на каждой ступени иерархического скучивания скопления полностью отличаются по размеру от скоплений другой ступени, в результате группа явно отличается от сверхгруппы и т. д. Но иерархию можно построить и так, как в рассматриваемых ниже примерах, где спектр скучивания является непрерывным. Распределение галактик демонстрирует особенности обоих случаев: скопления Эйбелла—— это редкие чрезвычайно большие концентрации, которые, безусловно, представляют собой отдельные объекты; в то же время корреляционные функции, служащие мерой общей картины скучивания, хорошо аппроксимируются непрерывной масштабно-инвариантной иерархией скучивания.
Одни из способов построения этой иерархии состоит в следующем [398]. Внутрь сферы радиусом R случайным образом помещаются центры 刀 сфер, радиус каждой из которых равен R/A. В каждой из этих сфер случайным образом выбираются центры новых Т)сфер, каждая радиусом R/7*. Эта процедура повторяется 丄 раз и образуется “^т сфер, радиус каждой из которых равеп R“J и которые можно назвать галактиками. Если
为=d(3-R (61.17) то средняя плотность в сфере, принадлежащей к такой последовательности, изменяется с радиусом г по закону
九⑺“尸*, R^r ^rmXn = R'^-\ (61-.18)
Эта мотель согласуется с поведением Pn, рассмотренным в разд. 60. Когда сфера радиуса rVR выбирается случайно, есть вероятность, что она попадет в промежуток между сферами радиусом меньше 〜г, входящими в иерархию скучивания (если предположить, что сгущения не перекрываются существенным образом), и, следовательно, в такой сфере заключено мало вещества. Если все же оказалось, что сфера частично перекрывается со сферой радиуса 〜г, то масса, содержащаяся в ней, примерно равна м (г)「3 ос「з~у, что согласуется с уравнением (60.12).
Для такой системы корреляционные функции можно оценить следующим образом. Предположим, что объект выбран случайно. Этот объект принадлежит к одной из вложенных друг в друга последовательностей сфер, и, следовательно, если на расстоянии г от объекта помещен элемент объема б К то он находится вне всех сфер малого радиуса из выбранной последовательности, но все еще лежит внутри сферы радиуса 〜г н плотности 〜〃(г). Поэтому вероятность найти соседа в 6V равна
ЬР ~ ft (r)dl7 ос г—бЬ, rmjn《г《R, (61.19)
и, следовательно [уравнение (40.5)],
л^ (г) ^ /г (г) ос г Y,(61.20)
что и требовалось доказать. Точно таким же способом находим, что вероятность обнаружить соседей в б Vi и 6『2 на расстояниях 门 и「2, где 门《厂2, записывается в виде
6Р〜九(门)也(力)6匕w2,(61.21)
и, следовательно, трехточечная корреляционная функция равна 唸~ а(г"(Г2)，^〜乳С) 3S).(61.22)
Это выражение довольно точно соответствует модели степенного закона для 白[уравнения (40.12) и (54.17)] и хорошо аппроксимирует данные наблюдений. Численные исследования подтверждают вывод о том, что трехточечная корреляционная функция рассматриваемой системы служит хорошим приближением для наблюдаемой зависимости g как от параметров формы, так и от размера. Однако если параметры R, y\ и L одинаковы для разных групп, то установлено (ср. с разд. 62), что параметр Q [формула (54.17)] равен
Q^0,5,(61.23)
т. е. много меньше значения, найденного из наблюдений [формула (57.8)].
Можно предложить два простых способа, позволяющих увеличить Q. Один из них состоит в том, чтобы сделать 刀——число подгрупп в группах — переменной величиной с сильно асимметричным распределением. Это может увеличить число триплетов, определяющих примерно равносторонние треугольники (ос<т)3>), по сравнению с числом пар (ос<т]2>) с таким же расстоянием, и, следовательно, увеличить 白/守 (Подробное описание дано в приложении А в работе [399].) Однако когда треугольник вытянутый (门《「2), значение С/Е (厂 1)己(厂2) в результате такой процедуры не возрастает, так как в зтом случае каждый сосед берется с различных ступеней иерархии, для которых т] является независимой величиной. В соответствии с зтмм способом, функция
Q 三"&立 + / 3 + Ы0(61.24)
тем меньше, чем сильнее вытянут треугольник, а это противоречит наблюдениям. Второй способ, в котором такая трудность отсутствует, заключается в том, чтобы сделать число ступеней L различным в разных группах (величины R и 刀 остаются постоянными). Тогда средние значения числа объектов и пар, приходящихся на группу, изменяются по закону
〈生〉6<"'〉，〈6%)伙〈"〉(61.25}
и, следовательно [уравнение (40.5)],
п& ОС〈/гЖ〉・(61.26)
Среднее число триплетов пропорционально <п® 〉, поэтому трехточечная корреляционная функция g определяется выражением
/1之 оС〈届〉•<冷)(61.27)
Таким образом, вид g остается неизменным, а амплитуда по отношению к Е пропорциональна величине
Q 6〈冠〉53〈就〉2，(61.28)
которая нс зависит от средней пространственной плотности п. Таким же методом находим, что амплитуда четырехточечной корреляционной функции изменяется по закону
/?сх〈/4〉〈〃£〈^〉з.(61.29)
Дополнительное обсуждение этой проблемы и дальнейшие примеры распределений по п^, которые соответствуют наблюдав' мым значениям Q н R, можно найти в [399], В этой работе описывается также, как применить изложенный метод, чтобы с помощью ЭВМ рассчитать модели распределения галактик, которые можно сопоставить с реальным миром. Эти модели могут довольно хорошо воспроизводить структуру, видимую на карте, построенной по данным Ликского каталога, хотя создается впечатление, что модель является нерезкой копией реальной картины.
В. Отсутствие единственности. Даже если бы корреляционные функции м, Е, g и п были точно известны, по ним нельзя было бы установить единственный путь образования групп. Это иллюстрируется уравнениями (61.28) и (61.29): оставаясь в рамках общего метода, мы можем подобрать моменты распределения F (па) числа галактик в группе так, чтобы аппроксимировать наблюдаемые значения Q н R; это, конечно, ограничивает распределение F(па), но не определяет его полностью. Чтобы фиксировать F (па) > нужно знать корреляционные функции всех порядков. Другой пример приведен в работе Мак——Клеланда и Силка [235], в которой рассматривается предположение, что каждая группа сферически симметрична (как в п. 61А), плотность в ней может быть распределена по закону Гаусса, причем совместная частота распределения групп по массе и раднусу равна некоторой функции F (na)R(x). Можно представить себе, что все группы обладают одинаковым распределением пространственной плотности na/R3aN (r/Ra), зависящим от па и R” как от масштабных множителей. В таком случае двухточечная и трехточечная корре-
яяционные функции [уравнения (40.5) и (40.14)] выражаются через интегралы от 尸 следующим образом：
«S (Г)=，尸(％, Ra)欣R优％ (〃Ra) Sa” 1 dna dRa， (61.30) n\=\ F (na, Ra)nlRa° f3(ra/Ra, rb/Ra, rjR^Qi^' dnadRa,
где, как и в уравнении (6L2), f2 и f3 ——интегралы от профиля N(r). Если функцию 尸(％, R“) можно произвольно изменять, то существует значительная свобода более или менее обособленного подбора g и ?.
В этом разделе мы подробно рассмотрели только два способа, которыми можно моделировать группы. Первая модель, безусловно, реалистична, так как богатые скопления галактик действительно напоминают монолитные образования, рассматриваемые в этой модели, причем показатель степени е для них все-таки близок к значению, которое дает наблюдаемый у g показатель степени у [уравнение (61.5)]. Однако этот способ не приводит к наблюдаемым корреляционным функциям g н 刀. Модель же иерархического скучивания воспроизводит Е, g н " и, более того, она в основных чертах соответствует описанию, которое астрономы дали общему распределению галактик [65]. Поэтому можно предположить, что эта модель лежит ближе к истине. Конечно, эта модель ——не «абсолютная истина》， потому что в ней отсутствуют образования правильной формы, которые, возможно, прошли стадию релаксации (например центральные области скопления галактик в Волосах Вероники). Кроме того, из этой модели не следует существование крупномасштабных волокон, которые выявляются по Ликскому каталогу. Несмотря на эти трудности, все же весьма примечательно, что эта простая картина дает столь хорошее приближение к распределению галактик.
Непрерывная иерархия скучивания: метод Мандельброта
Мандельброт [243, 244] предложил очень изящный метод построения непрерывной иерархии скучивания. На каждой ступени галактики располагаются в соответствии с процессом случайного блуждания Рэлея—Леви: начинаем с какой-либо из галактик; поместим следующую галактику последовательности на расстоянии / в случайно заданном направлении от первой, причем / выбирается из распределения
Эта процедура повторяется большое (возможно, неограниченное) число раз, причем всякий раз величина и направление / выби* раются независимо.
А. Распределение смещений в процессе случайного блуждания. Чтобы вычислить корреляционные функции, нужно знать вероятность того, что после некоторого числа шагов случайное блуждание приведет к смещению от галактики на расстояние от г до г+ 6г, в результате чего на этом расстоянии появляется сосед. Эта вероятность задается степенным законом, как и следовало ожидать, поскольку в задаче отсутствует характерная длина (при г》/。). Если а > 2, то показатель степени в этом законе согласуется с обычным результатом для случайного блуждания с постоянным шагом; сел и а V 2, то получаемый показатель степени больше [уравнение (62.15)] и его можно привести в соответствие с наблюдениями.
Вероятность того, что после п шагов смещение равно г и сосед лежит в диапазоне d3r, записывается в виде
" = 〃(「)讀 г,(62.2)
и производящая функция, связанная с этой вероятностью, равна
^{п, ^) = j /«(г) ^хр[Zk • г]d^r.(62.3)
Распределение для одного шага, получаемое из уравнения (62.1), представляется в форме
九 6 =(62.4)
Производящая функция для этого случая равна
ip(l, А;)=(а/о >)j r~{a + 2)sin kr dr. '(62.5)
Предположим, что необходимо сделать большое число шагов, чтобы достигнуть интересующего нас смещения г. Тогда выражение (62.5) понадобится нам при /?/о《1. Интегрируя два раза по частям, находим, что при 々/°《i
屮(1,盼冗 1 —(а/6+%)侬o)2'(a + l)-[/^/(a+ 1)] Jr-asin^rdr. /а
(62.6) Если a > 2, то в этом последнем уравнении основная часть интеграла набирается вблизи /о, и, следовательно, можно положить sin kr =力г, тогда
■ “ = 1 — a Wo尸/6 (a — 2), a > 2.(62.7)
Если 0 < а < 2, то интеграл сходится при /()f 0. Тогда, подставляя 尤=力「，находим, что в самом низком ненулевом порядкеЯ?^ 1 一优/o 尸/а，(62.8)/а = (а + I)-1 \ ^~а sinxdx, 0 < а < 2.Поскольку каждый шаг является статистически независимым,Если 0 < а < 2, то интеграл сходится при /()f 0. Тогда, подставляя 尤=力「，находим, что в самом низком ненулевом порядкеЯ?^ 1 一优/o 尸/а，(62.8)/а = (а + I)-1 \ ^~а sinxdx, 0 < а < 2.Поскольку каждый шаг является статистически независимым,
Если 0 < а < 2, то интеграл сходится при /()f 0. Тогда, подставляя 尤=力「，находим, что в самом низком ненулевом порядке
Я?^ 1 一优/o 尸/а，(62.8)
/а = (а + I)-1 \ ^~а sinxdx, 0 < а < 2.
Поскольку каждый шаг является статистически независимым,
Если 0 < а < 2, то интеграл сходится при /()f 0. Тогда, подставляя 尤=力「，находим, что в самом низком ненулевом порядке
Я?^ 1 一优/o 尸/а，(62.8)
/а = (а + I)-1 \ ^~а sinxdx, 0 < а < 2.
Поскольку каждый шаг является статистически независимым,
производящие функции перемножаются [соотношение (38.3)]: 屮仇，》=[屮(1,盼Г・(62.9)
При 2 V а имеем
^(п, В)ехр [—/ш (々％产/6 (а — 2)].(62.10)
Преобразованием Фурье для этого выражения служит закон Гаусса, зависящий от радиуса г:
九(г) ос ехр [—З/2(а — 2) г2 ап/о], 2 < а. (62.11)
Этот результат совпадает с результатом для обычного случайного блуждания при постоянной длине шага, равной
/ = /0[а/(а -2)]'/2.(62.12)
Нас интересует другой случай, когда 2 > а. Используя выражение /„(П = (2л)~35 exp[-Zk-r][x|;(l, А)『Нг, (62.13) находим, что плотность вероятности для смещения на расстояние г после произвольного числа шагов равна
f (r}=^ f„= (2л)-3 J ехр[ — zk -r][l —1()(1, k)]-ld3k =
=(2〕厂3/]6父 々-aexp[_jk・r]d%.(62.14)
Подставляя k = y/r, получаем из (62.14) искомый результат [243] f (г) = Сг~у, 丫 = 3 — а, а < 2,(62.15)
где
С = (2л)-3/а 2『а \ у~а exp [-iy cos 9] d3y.
Этот последний интеграл вычислен в разд. 42.
£. Неограниченная непрерывная иерархия скучивания. Мандельброт отмечает, что наиболее простой из всех способов, и поэтому первый способ, подлежащий исследованию, заключается в том, чтобы разместить все галактики во Вселенной в соответст- 16*
вии с единым неограниченным процессом случайного блуждания Рэлея—Леви. В приведенном ниже рассмотрении этого случая мы пренебрегаем кривизной пространства и общим расширением Вселенной, а также предполагаем, что светимость каждой галактики случайно выбрана из распределения Ф.
Пусть наблюдатель находится в какой-то галактике. Ожидаемое число галактик с видимой звездной величиной меньше предельной звездной величины т^ отнесенное к одному стерадиану и усредненное по наблюдателям, расположенным на случайно выбранных галактиках, представляется в форме
л9 = 2 j r2f (г)屮(r/D) dr = 2c£)3-Y [炉_v屮(x)〃. (62.16) ■ о 0
В первом уравнении 屮一селективная функция для функции светимости Ф [формула (51.4)]: она равна вероятности того, что галактика, расположенная на расстоянии г, достаточно ярка, чтобы ее включили в каталог. Характерная глубина равна
D= 10°'2(恤-м*)-5 Mlic. (62.17)
Множитель f определен выражением (62.15), а благодаря множи- тслю 2 учитывается тот факт, что галактика наблюдателя могла быть помещена раньше или после галактики, видимой на расстоянии г.
Уравнение (62.16) означает, что при увеличении видимой звездной величины подсчеты галактик возрастают медленнее, чем по обычному закону 10&бт [уравнение (49.8) ]: когда глубина обзора D увеличивается, наблюдатель обнаруживает, что он попадает в скопления вес более высокого порядка, размер которых равен 〜Q н пространственная плотность 几 спадает по закону 几ocQ—工 Достоинства этой картины обсуждались в работах Фурнье д'Альби [114] и Шарлье [40] (п. ЗА). Средняя поверхностная яркость небесной сферы равна
i = 2^r2f(r)(^/4nr2) dr, (62.18)
Iде 子一средняя светимость галактики. Интеграл сходится при больших г, если 丫 > L Это разрешает парадокс Ольберса, состоящий в том, что если бы пространственное распределение вещества было однородным и если бы звезды светили всегда (теперь последнее предположение считается сомнительным, поскольку звезды обладают ограниченным запасом энергии [160]), то интеграл расходился бы. Следующее достоинство непрерывной иерархии ску- чивания заключается в том, что суммарное гравитационное ускорение одной галактики, обусловленное всем другим веществом наблюдаемой Вселенной, в этом случае, вероятно, определяется с более высокой точностью, чем в однородной Вселенной. Напри-
мер, если на каждой ступени иерархической последовательности скопления находятся в гравитационном равновесии, то типичная скорость скоплений меньшего размера внутри скопления размером D равна
у ~ [GM(D)/D]1/2o< О1-?/2. (62」9)
Как отметил Мандельброт, Фурнье а'Альбе установил интересный факт： если у = 2, то » не зависит от D, поэтому и не расходится ни при больших, ни при малых D, что мы и хотели бы получить для масштабно-инвариантного мира. Это значение у очепь близко к наблюдаемому показателю степени у^ 1,8. Значительно позже де Вокулер [65] рассмотрел свидетельства в пользу того, что видимая средняя пространственная плотность Вселенной может уменьшаться с увеличением глубины, и предположил, что приемлемое значение показателя степени для иерархии скучивания равно у^ 1,7; это значение хорошо согласуется с результатами, полученными для корреляционных функций.
Простая неограниченная масштабно-инвариантная картина встречает ряд наблюдательных трудностей (см., например, [355]). Теперь нас интересует угловая корреляционная функция. Из соотношения (62.15) находим, что вероятность обнаружить галактики в элементах объема 6V1 и 8^2, расположенных на расстояниях ri и го относительно случайно выбранной галактики, равна .
6Р = 2 и (门)/ (门2)+ f(r^ f(r^ + f 6) f (々)]时；必2, (62.20) где
/*12 — I Г1 —「2 |・
Первый член в квадратных скобках ——это вероятность того, что галактика наблюдателя появилась первой при случайном блуждании, а затем после нескольких дополнительных шагов появилась галактика в элементе объема 6V1 и еще *после нескольких шагов ——галактика в элементе объема 6Уг. Множитель 2 позволяет учесть эту же последовательность в обратном порядке. С помощью двух других слагаемых, полученных путем циклических перестановок, учитываются другие возможные последовательности событий. Умножив уравнение (62.20) на селективные функции 屮(ri/Q)<P(「2/Q) и проинтегрировав вдоль луча зрения, как в уравнении (62.16) найдсм вероятность того, что наблюдатель обнаруживает в двух элементах телесного угла 6Qi и 6Q2 две галактики с видимой звездной величиной меньше /и。
6Р = 6Qi 6Q 2 [^2;2 + 4c2 \ г?Лр(Г1/О)屮(力/。) (г丿12尸 dridrj- (62.21)
Если угол 612 между двумя элементами много меньше 1 рад и если Y > 1, то основная часть интеграла набирается при Г]~Г2・ Как и в уравнении (52.8), можно записать эту вероятность в приближе-
нии малых расстояний [243]
6Р =6Q^2JT2A0l~\.
ОО/ ОО\ 2
А = Ну j х^~^^ (х) dx^l j х2~ ?ф(х) dx\ ,(62.22)
где 〃丫 определяется выражением (52.9).
Как и ожидалось, амплитуда А не зависит от глубины обзора. В самом деле, это безразмерное число не может быть функцией D, так как в модели отсутствует характерная длина. Это означает, что, по мере того как наблюдения проникают все глубже, обнаруживаются все новые ступени иерархического скучивания. Поэтому относительные флуктуации числа галактик на фиксированном угловом масштабе не меняются.
С (62.22) связаны две наблюдательные проблемы. Мы показали, что А велико и не зависит от Q, тогда как для Ликского каталога при малых 0 двухточечная корреьтяционная функция дает Л = 0,07 для угла 0, выраженного в градусах, или 4 = 3・ 10~3 для 0 в радианах, что примерно на два с половиной порядка меньше предсказываемого значения. Проверяя зависимость А от Q, следует проявлять осторожность, поскольку дл я глубокого обзора, охватывающего область размером 仇义％, оценка А не может превзойти величину 〜8二* если величина ©(8) нормирована по подсчетам галактик в этой области. Модель предсказывает, что в далеко отстоящих друг от друга областях подсчеты слабых галактик флуктуируют так же сильно, как подсчеты ярких галактик, что, по-видимому, нс наблюдается (хотя эмпирические пределы все же далеки от тех значений, которые они действительно могли бы принимать). Каталог Цвикки и Ликский каталог охватывают примерно одинаковые телесные углы, и, следовательно, эмпирические значения Л для пих можно сравнить. Отношение амплитуд равно 10:1. Это превосходно согласуется с тем, что ожидалось в случае пространственной однородности, и отличается в 10 раз от выражения (62.22),
В, Усеченная иерархия скучивания. Чтобы избежать трудностей, связанных с уравнением (62.22), следует уменьшить пространственные градиенты в масштабах от 30九一1 и но крайней мерс до 300九一 Мпс. Это достигается простым способом. Предположим, что в пространстве случайным образом однородно реализуется много различных процессов случайного блуждания Рэлея—Леви, как в модели 11еймапа——Скотт. Отдельные цепи не могут быть бесконечно длинными, поскольку при этом расходилась бы средняя пространственная плотность п. Предположим также, что каждая цепь определяется конечным числом шагов 几仇 которое может быть случайной величиной, но что разные цепи соответствуют одним и тем же фиксированным параметрам /о и а.
Теперь распределение является пространственно однородным случайным процессом и можно вычислить корреляционные функции, применяя метод разд. 40. В соответствии с уравнением (62.15), в группе среднее число пар галактик с относительным расстоянием г равно
ЗМр = 4н〈脸 Cr 2Tg(62.23)
и, следовательно, двухточечная корреляционная функция (40.5) записывается в виде
^^2Сг-^.(62.24)
Этот степенной закон применим для расстояния г》2о и для г, значительно меньшего, чем типичный размер группы. В соответствии с уравнением (62.20), в группе среднее число триплетов, которые определяют треугольники со сторонами г。, гь и гс, находящиеся в элементе 62V, равно
6М - 2〈砧 С2 [(гагь)-У + (“с尸 +(За)7]卯•(62.25)
Поэтому трехточечная корреляционная функция (40.14) представляется в форме
п2 $ = 2c2 [(rarb)~^ + {rbr^ +(3。尸]・(62.26)
Это выражение согласуется с эмпирической моделью 白[формула (54.17)] при
Q=%・(62.27)
Таким же способом находим, что приведенная четырехточечная корреляционная функция равна
г^^ = 2С3 [(rarbrc)~y + 12 симметричных членов], (62.28) что согласуется с моделью л (55.8) при
儿=0,25, & = 0.(62.29)
Итак, модель требует дальнейшего усовершенствования. В самом деле, параметр..Q в а2,6 раза меньше, чем требуется [формула (57,8)]. В выражении для л полностью отсутствуют члены типа Ь, хотя они улучшают согласие с данными наблюдений, и, что более важно, комбинация Аа + ^/зК仇 которая служит хорошей мерой величины четырехточечной корреляционной функции, поданным наблюдений, равна 4,0 ± 0,6 [соотношения (57.11)], что в ^ 16 раз больше, чем в этой модели. Как Q, так и Ra можно задать, полагая, что /о — п』нна шага—различна в разных группах. Это дает [уравнения (40.5) и (40.14)]:
几m =也QK唸、
彦二=2(〈〃60〉/〈件))[(Га〃)т + члены с циклической (62.30) перестановкой индексов
откуда ■
Q = % (rtpC2) (n^ (rtpC)2 = %〈几(而2°〉〈件〉/〈件灯a〉2. (62.31) Аналогично, параметр в четырехточечиой корреляционной функции равен
R。= %〈件◎〈件 у/бвс〉з. (62.32)
Таким образом, выбирая распределение по /о достаточно широким и асимметричным, мы увеличиваем Qa и Ra до требуемых значений.
Примечательно, что модель, которую Мандельброт предложил независимо от корреляционного анализа наблюдений, приводит к закону для & который хорошо соответствует данным наблюдений, а для ” приводит к зависимости, которая по крайней мере является неплохим первым приближением. Однако при этом усложняется исходное построение Мандельброта: необходимо специально подбирать параметры, чтобы задать Q и R и уменьшить Е(г). Возможно, что другая из его фракталей [244} даст более изящный метод.
Корреляционные функции плотности вещества
До сих пор мы рассматривали только распределение галактик, поскольку наблюдается именно оно. А для динамического рассмотрения необходимо знать корреляционные функции плотности вещества 自р, J и т. д. В следующих уравнениях, описывающих эти функции, мы будем принимать, что масса галактики статистически независима от ее положения относительно других галактик. Если это предположение справедливо, то на больших по сравнению с размером галактики расстояниях функция 自 служит хорошей оценкой gp, g——хорошей оценкой ^р и т. д. Это предположение кажется приемлемым на расстояниях г ^ 1 Мпс, но оно может быть сомнительным при малых характерных расстояниях, поскольку по крайней мере морфологический тип галактик коррелирует с присутствием близких соседей [54]. Задача осложняется также тем, что на расстоянии 10 кис автокорреляционные функции плотности вещества зависят от его распределения внутри галактик. И наконец, пе следует забывать, что Вселенная может содержать значительное количество вещества, например, в форме межгалактической плазмы, которая распределена в пространстве иначе, чем галактики. Конечно, в этом случае 坛 и J относятся только к той части вещества, которая содержится в галактиках.
Автокорреляционная функция плотности вещества р(г) равна
Зр (г) = Qp(X + г) — р°] [р(X)— р由俄 р〃 =〈р(х)〉.(63.1)
Плотность вещества записывается в виде
р(г) = L П1Ра(Г —п),(63.2)
где пь равное 0 или 1,——число галактик в элементе объема d3rl и ра — распределение вещества внутри галактики. В этих обозначениях средняя плотность представляется в форме
Рй =九〈％〉，ma = ] Ра〈X〉tPx.(63.3)
Если структура галактики, выраженная через Pa(r), не зависит от положения галактики относительно соседних галактик, то
3(X + г) Р (Х)〉= Z〈〃i〉〈Pa(X + г — Г1)Ра(X — Г» +
+ Z <«l«2)<Pa(X + Г — Г1))(р„(X —出〉，(63.4) где
(П?) = п/Гь {П\П^=П[\ + 自(门2)]后]d%,
九—средняя пространственная плотность галактик и ^ — двухточечная корреляционная функция галактик (разд. 31). Если в масштабе галактики 己 меняется слабо, то ^(ri2)можно заменить на Ю и, следовательно, уравнение (63.4) можно преобразовать к виду
Р(Х + г) р (х))« n J<Pa (г + у)Ра (у))^у + га2[1 +三(小加必 (63.5)
В Таком случае автокорреляционная функция плотности вещества равна
b(r)«Ur) + f(r).
f (г) = \ Кра (Г + у) Ра (у))/рй〈％〉] ~3у,(63.6)
где
]f (г) d3r = {n^lpb (та).(63.7)
Интересно применить эти результаты для расчета второго момента количества вещества, содержащегося в случайно выбранной ячейке V пространства. Будем полагать, что ячейка много больше галактики, и, следовательно, в соответствии с разд. 36, количество вещества в ячейке V можно записать в виде
М = Z 加1〃卜(63.8)
где 孔1, равное 0 или 1,——число галактик массой от mi до /И14- 6mi в элементе объема 6 И1 и
〈化 I〉=〈〃彳〉=Ф (g) 6加16%,(63.9)
〈几図2〉=屮1 6丿2 дт1д/п2Ф(/п1) Ф(/п2) [1 +^ (门2)], где Ф — дифференциальная функция масс галактик. Среднее значение массы внутри ячейки V равно
〈М〉= \ тФ(т) dV dm = (m)nV = р/,(63.10)
几〈/п〉= \ тФйт.
Второй центральный момент равен
〈(m —〈m行〉= X 京〈(%1 -〈冷I〉『〉+ X /Hg2〈(〃1 一〈吟)(改一〈〃2〉)〉，
(63.11)
Это выражение с помощью соотношений (63.9) преобразуется к виду
<(М - <Л4))2) = (tn2) nV 4- П2 {rrif J £ (г 12) dV ( dV2. (63.12) V
Конечно, это выражение имеет смысл, только если размер ячейки V заметно больше размера галактики, поэтому можно считать, что галактика находится или полностью внутри, или полностью вне ячейки. При этом предположении уравнения (63.6) и (63.7) дают
J / (3) d% d% =[三 d% d%+ 17〈济〉/()八加〉.(63.13)
В результате уравнение (63.12) преобразуется к виду
〈(M —〈M》2〉=()N mp(s)d厶 d%..(63.14)
Это — обычное соотношение для дисперсии, выраженной через автокорреляционную функцию плотности вещества.
Уравнения (63.12) и (63.14) можно сопоставить с выражением для второго момента числа галактик в ячейке [уравнение (36.6)]:
U2 =《N-〈N〉)2〉= ^ +〃2 [a(s)d，|dl/2.(63.15)
Если пространственная плотность галактик 几 велика, то 卩2 определяется функцией Е, но при малом 几,независимо от g, go^nV :卩2 определяется дробовым шумом или шумом, обусловленным дискретностью [103]. Если учесть многочисленные карликовые галактики, масса которых пренебрежимо мала, то это может изменить характер 卩2, по, безусловно, это не повлияет на величины n<m> и 几〈/и?〉, определяющие момент массы. В этом случае вместо дробового шума галактик появляется функция f, которая характеризует строение галактики, В разд. 64 будет показано, что можно лишь гадать, приводит ли это к тому, что во всем диапазоне изменения г (где г — размер ячейки V) вплоть до номинального ра-
диуса галактики момент массы подчиняется простому степенному закону
〈(М -〈М〉)2〉ос г6"7.(63.16)
Трехточечная автокорреляционная функция плотности вещества равна
Ср (г, S, I г — § I) =〈[р (х +「) 一 pj [р(х + §) — Рь] [р(X)—卩/〉編・
(63.17)
Приближенное соотношение, связывающее эту функцию с трехточечной корреляционной функцией галактик, записывается так же, как и уравнения (63.4) и (63.5):
+ члены с циклической перестановкой индексов + + f2(「a，%，「с)， (63.18)
% (Г, S, |г — s|) = (j ра (х) ра (х + г)ра (х + s)d3x}/(/na)pt
Здесь первый член ——это вклад, вносимый скучиванием галактик; сюда входят также три члена, соответствующие циклическим перестановкам сторон треугольника. Если % по порядку величины равно ； размеру галактики и 「ь》Га, то эти три члена сводятся к f(ra)|(r&), что имеет место в том случае, если обе точки короткой стороны треугольника находятся в одной и той же галактике, а третья точка ——в соседней галактике. Последний член в выражении (63.18) равен вкладу в том случае, когда все три точки лежат в одной галактике. Из уравнения (63.3) следует:
]f2dr d3s = (m3)/(m)pl.(63.19)
Как и выше, интересным тестом является третий момент количества вещества в случайно выбранной ячейке V. Повторяя процедуру вывода уравнения (63.12), находим
〈(М -〈М〉)3〉=〈川〉nV+ 3〈病〉〈/n〉n2 j ё d2H +〈⑺3 «3 ] z dW, (63.20) где ячейка И по-прежнему должна быть велика по сравнению с размером галактики. Когда это условие выполнено, уравнения (63.18) и (63.19) дают
\t^V = \^V + 3 J S (<m2)/» pft) /V + (m3) v!(^ pt (63.21)
в результате чего уравнение (63.20) приобретает вид
<(M-<M))3} = pi j?Pd3V;(63.22)
зто обычное выражение, получаемое из уравнения (63.17).
Уравнения (63.6) и (63.18) показывают, как в принципе автокорреляционные функции, оцененыые по распределению галактик в масштабах, превышающих 〜IO/i’t кис, можно сопоставить с автокорреляционными функциями плотности вещества, полученными из данных о структурах галактик. Предположение, что 2Р и J можно приближенно аппроксимировать степенным законом во всем диапазоне расстояний вплоть до размера галактики, обсуждается в следующем разделе.
Иерархия скучивания: предположение о непрерывности
В разд. 61 показано, что корреляционные функции низких порядков согласуются с иерархическим скучиванием того типа, который мог установиться в расширяющейся Вселенной при весьма правдоподобных начальных условиях (доводы в пользу этого приводятся в разд. 26). Все же не исключено, что масштабная инвариантность нарушается при 〜lO/i— Мне, и, поскольку на этом расстоянии 陰 по порядку величины равно единице, такое нарушение масштабной инвариантности может просто отмечать переход от линейных флуктуаций в больших масштабах к нелинейным в малых масштабах. Кроме того, должна существовать какая-то особенность в корреляционных функциях плотности вещества в масштабе галактики, поскольку галактики ——это, безусловно, отдельные объекты. Согласно одной из гипотез, обсуждавшихся в п. 4Б, вещество вовлечено в иерархию скучивания вплоть до характерных размеров значительно меньших размеров галактики, а процессы рачаксации (такие, как диссипация в динамике жидкости) перестроили эту картину при г V rg, образовав галактики. Если это так и если при больших масштабах нс было существенной перестройки, то 坛，СР,刀卩 должны изменяться в соответствии с исходными степенными законами вплоть до r~「g и на этом расстоянии плавно переходить в функции, определяемые структурой галактик [уравнения (63.6) и (63.18)]. С другой стороны, ecviH галактики образовались в результате одного процесса и подверглись скучивапию в результате другого процесса, то можно ожидать, что существуют довольно резкие изменения в корреляционных функциях плотности вещества при г〜％
Свидетельства непрерывности упоминались в разд. 60 при обсуждении Более прямой метод состоит в том, чтобы с помощью результатов разд. 63 оценить gp(r^),扌p(「g) и т. д. Но эта проверка снова в лучшем случае несколько схематична, поскольку не известно, как вещество распределяется внутри и вокруг галактик. Однако по крайней мере мы можем сформулировать условия, необходимые для подтверждения гипотезы о непрерывности скучивания.
Автокорреляционная функция плотности вещества определяется уравнением (63.6). Напомним, что
г ^rg = Юй^1 кпс, ^Р (г) ^ f(r).(64.1)
Поэтому из (63.7) следует, что
f(%)~〈m2〉/〈m〉pM 1/ = 4/з”3(64.2)
Гипотеза о непрерывности утверждает, что это значение согласуется с получаемым путем экстраполяции двухточечной корреляционной функции галактик.
"%)〜а".(64.3)
Подставляя параметры ^(г), приведенные в разд. 57, и значение р», даваемое формулой (97.13), получим из соотношений (64.2) и (64.3)
〈团2〉/〈加〉~ 5 .(64.4)
Основная часть излучения приходит от больших галактик. У типичной большой спиральной галактики внутри радиуса !0й-1 кпс, отсчитываемого от центра, заключена масса [98, 347]
М (< 10 九一【кпс) а 1 • 10"/г」М®.(64.5)
Во внутренней области радиусом 10/г-1 кпс большой э;итиптиче- ской галактики содержится примерно такая же масса. Если параметр плотности Q^ 1, то значения (64.4) и (64.5) удивительно близки, что согласуется с гипотезой о непрерывности. Проблема состоит в том, что если масса, даваемая формулой (64.5), вносит основной вклад в массу Вселенной так же как излучение из области в пределах г^ вносит основной вклад в общую светимость, то, зная пространственную плотность больших галактик (п^0,02й3 Мпс-3), находим, что ◎〜0,01, т. е. мы обнаруживаем существенное различие в значениях (64.4) н (64.5). Однако известно, что в некоторых группах и скоплениях на каждую галактику приходится масса, значительно превосходящая значение (64.5) (разд. 76 и 77), и по кривым вращения спиральных галактик известно, что M(vr) изменяется примерно пропорционально г при г〜/>, так что на периферии некоторых спиральных галактик содержится значительное количество вещества [347]. Следовательно, не исключено, что Q〜I и основная часть вещества располагается за пределами ярких центральных областей галактик. Даже если это Действительно так, разумно задать вопрос, служит ли скучивание галактик хорошей мерой д^я автокорреляционной функции плот- Ностн вещества при г > 尸且，как принималось здесь. Такое предположение можно проверить, если использовать картину движений Галактик в качестве индикатора гравитационного поля. Этот во- прос обсуждается в гл. IV.
При учете распределения вещества внутри галактик, в сущности, добавляется еще одна ступень иерархии скучивания. В предположении, что распределение вещества в разных галактиках одинаково, находим Qq0,5 при г 〜rg [уравнение (61.23)], причем из-за дисперсии масс галактик это значение возрастает. При г > *50力一| кпс трехточечная корреляционная функция галактик дает Q〜1,2 [формула (57.8)]. Чтобы проверка непрерывности Ср была более надежной, необходимо лучше знать распределение вещества внутри галактик и уточнить данные о корреляции масс в тесных парах галактик.
Замечания о наблюдениях .
Характерная длина г。 [формула (57.3)] отмечает границу в последовательности иерархического скучивания галактик. Для пространственно访 плотности галактик среднеквадратичное значение флуктуации, усредненное по сфере радиусом г, велико по сравнению со средним значением, если г《е а при г》т среднеквадратичное значение флуктуаций лишь слабо отклоняется от среднего значения. Таким образом, естественно поискать возможные раз«тичия корреляционных функций при г《「о и при Г》Гп. Считается, что корреляционная функция отклоняется от степенного закона при г〜10尸 Мне (т. е. при значении, близком к т), и установлено, что функция 占 положительна вплоть до 匚〜 ~ 15/iT Мне. Структуры, наблюдаемые в распределении галактик, безусловно, простираются гораздо дальше этого предела, например, в случае сверхскоплений (разд. 77 и 78), но можно пред- поьтожить, что положения галактик, нс входящих в свсрхскоп/ю- пия, слабо антикоррелируют в масштабах от 20 до 46h~l Мпс, в результате чего 己 мало или отрицательно, более точные меры скучивания или более точные оценки величин 邑 g н 刀 в масштабах 10——40力一| Мпс вполне достижимы и весьма интересны.
При статистическом анализе скучивания для характерных размеров меньше 〜го существенная неопределенность кроется в природе совместного распределения абсолютных звездных величин и положений. Предположение о том, что звездная величина и положение не зависят друг от друга [уравнение (51.1)], служит хорошим приближением, но известно, что положение и морфологический тип коррелируют. Этот эффект и возможная в малых масштабах корреляция между положением и абсолютной звездной величиной важны как признаки, несущие информацию о форме трехточечной корреляционной функции плотности СР в малых масштабах (разд. 64) и о роли процессов релаксации в тесных группах.
Следующий значительный шаг в статистическом изучении скучивания будет заключаться в исследовании совместного распределения положений и красных смещений. Даже очень приближен-
ные измерения красных смещений дают полезные оценки расстояний, позволяющие уменьшить шум в оценках корреляционной функции, который появляется вследствие того, что скопления, видимые в проекции близко друг к другу, перекрываются. Достаточно глубокие каталоги даже не очень точно измсренных красных смещений позволят сильно повысить точность оценок корреляционных функций при 尸倉10九一 Мне. Для анализа скучивания в масштабах, меньших го, наиболее интересно изучение статистической картины пекулярных скоростей и ее интерпретация в терминах распределения вещества. Следующая глава посвящена анализу этих задач, формулируемых на языке п-точечных корреляционных функций, которые характеризуют положения и скорости.
Глава IV
ДИНАМИКА И СТАТИСТИКА
Цели
В этой главе мы попытаемся понять, как возникла наблюдаемая картина скучивания и как она ведет себя в настоящее время. Как при исследованиях характера распределения вещества можно оперировать с отдельными объектами или со статистическими выборками, так и при анализе динамики скучивания можно иметь дело с объектами или с эволюцией статистических мер. Конечно, можно изучать устойчивость галактики или центральных областей богатого компактного скопления, и полученные результаты (такие, как масса, необходимая, чтобы скопление не распадалось) обычно принимаются без лишних споров. Иначе обстоит дело с группами галактик, где необходимо выделить физическую систему, исключив объекты переднего плана и заднего фона и те галактики, которые случайно пересекают группу, и не выбросив при этом высокоскоростные члены группы. Один из методов рассматривается в настоящей главе и состоит в том, чтобы обратиться к статистическим методам.
Другая цель — понять, как сформировалось современное распределение галактик, т. е. найти сценарий, который исходит из разумных начальных условий и с помощью хорошо исследованной и приемлемой динамики скучивания приводит к конечному состоянию, хорошо описывающему важнейшие свойства наблюдаемо!) картины. Разумеется, не существует единого мнения относительно того, какие свойства следует считать важнейшими. Мысль о том, что корреляционные функции галактик могут быть достаточно важными характеристиками и их нужно попытаться воспроизвести теоретически, была стимулирована тем, что оценки этих функций хорошо воспроизводятся и что картина скучивания в том виде, к которому приводит анализ этих функций, удивительно проста, а мы давно привыкли к тому, что если явление оказывается простым, то гораздо больше шансов найти ему объяснение.
В этой главе пла изучения динамики скучивания применяется иерархия уравнений Боголюбова——Борна—Грина—Кирквуда- Ивона (ББГКИ)—метод, в модифицированном виде заимствованный из физики плазмы. В этом методе используются те же 门-то- чечные корреляционные функции, которые применялись в преды-
дущей главе, но они обобщены на случай совместного распределения положений и пекулярных скоростей. Первое уравнение иерархии описывает влияние возмущений, вносимых соседями, на распределение вероятности пекулярной скорости для случайно выбранной частицы. Это уравнение связывает одноточечные и двухточечные корреляционные функции. Второе уравнение показывает, как возмущения, вносимые соседями, влияют на концентрацию и движение пар частиц. Это уравнение связывает двухточечные и трехточечные корреляционные функции. Последовательность уравнений продолжается дальше и охватывает бесконечное число уравнений, включающих все «-точечные корреляционные функции. Как будет показано, эти уравнения дают некоторые полезные ограничения на эволюцию скучивания вещества в расширяющейся Вселенной.
Корреляционные функции, используемые в этой главе, описывают скучивание вещества, а не галактик, и, следовательно, мы будем считать, что частицы ——это элементы вещества, подобные нуклонам. Некоторые результаты, например уравнения сохранения частиц, непосредственно применимы к распределению галактик, но динамические соотношения применимы к этому распределению только в том случае, если распределение галактик является хорошей мерой общего скучивания вещества. Как указывалось в разд. ,63 и 64, пока не ясно, так ли это. Если это так, то этот факт послужит существенному продвижению вперед, поскольку мы получим граничные значения для теории ББГКИ. Тесты для проверки этого предположения обсуждаются в разд. 76 ——78.
Определение переменных и функций распределения
Всюду в этой главе динамика вещества описывается в ньютоновском приближении (разд. 7, 8), а само вещество приближенно, рассматривается как набор идентичных частиц массой т, взаимодействующих только гравитационно. В зависимости от ситуации частицами могут быть атомы, звезды или галактики.
Как и в разд. 7, удобными переменными являются сопутствующие (по отношению к общему расширению) координаты ха и канонический импульс
p = ma(t) V, (67.1) где V ——собственная пекулярная скорость. Корреляционные функции для х и р определяются аналогично корреляционным функциям для положения п звездной величины. Вероятность обнаружить в элементе объема d?尤 частицу с импульсом р в диапазоне 眸，равна
dP = b(p, t) J3x d3p. (67.2)
Предположим, что распределение галактик соответствует пространственно однородному и изотропному случайному процессу, и, следовательно, b не зависит от х и от направления вектора р. Условие нормировки записывается в виде
[р = па? = const,(67.3)
где п — собственная средняя концентрация частиц, а па3 — постоянная средняя плотность в сопутствующих координатах.
Двухточечная корреляционная функция определяется через ве、 роятность найти одну частицу в элементе 2§尤】с импульсом р【 в диапазоне d3Ph и одновременно найти другую частицу в элементе d3%2 с импульсом р2 в диапазоне d3p2：
dP = p2(I, 2)d%d%2d3pid3p2 = [b ⑴ 6⑵+с(1, 2)]d6x d6p. (67.4)
Здесь 1 обозначает комбинацию х,, рз Второе уравнение опреде^ ляет приведенную двухточечную функцию с. Интеграл от этой функции по импульсам определяет пространственную корреляционную функцию (31.4)
Jc(l, 2)dep = n2^(xl2, 0-(67.5)
Трехточечная корреляционная функция определяется через вероятность одновременно найти частицы в d3Xid3pi, d3x^p2 и НЗхз^Зрз：
&Р = рз(1, 2, 3)Л^р =
=[b⑴方⑵m3) +方⑴仪2, 3) + b(2)c(3, 1) +
+ b(3)c(l, 2) + d(l, 2, 3)]d%d9P. (67.6)
Интеграл по импульсам от приведенной функции d равен [уравнение (34.1)]
\ddsp = n?a%(l, 2, 3), :二(67.7)
где 之一пространственная трехточечная корреляционная функция для частиц.
Четырехточечная корреляционная функция определяется уравнением
dP = d(l, 2, 3, 4)d时 #2P.(67.8)
Приведенная функция е записывается аналогично (35.1), а интеграл от е по импульсам равен
]ed】2P =九4。％(1, 2, 3, 4).(67.9)
Как отмечалось в разд. 56, каждая точка, фигурирующая в корреляционной функции, в общем случае имеет собственное космоло-
гическое время, но в ньютоновском приближении нам достаточно одного общего момента времени / для всех точек. Так, с (1,2) является функцией f и шести переменных, необходимых, чтобы определить относительное расстояние между точками и найти импульсы вдоль линий, соединяющих эти точки.
Иерархия уравнений ББГКИ
Рассмотрим в шестимерном фазовом пространстве малую область Г вокруг х, р. Если Г достаточно мало, то пренебрежимо мала вероятность того, что эта область содержит более одной частицы из одной и той же реализации ансамбля. Поэтому вещество в Г можно описать с помощью одноточечной функции распределения fa(x, р, /), отвечающей а-й реализации, причем если Г содержит частицу, то
fa = 6[X —Ха(/)]6[р — Ра(/)],(68.1)
* в противном случае f„ = 0. Уравнение Лиувилля записывается в виде
Здесь производные по времени определяются уравнениями (7.10) и (8.5):
dxa/dt = pa/m*
d^i dt = (pmf a) g (x? — %")/| x( — x |3.(68.3)
Усредняя выражения (68.1) по ансамблю, получаем одноточечную корреляционную функцию, фигурирующую в (67.2):
(fa (х, р^=Ь(р, /).(68.4)
Среднее значение второго члена в уравнении (68.2) равно
〈Р。dfa/dxa) = р。db/dxa = 0.(68.5)
Для третьего члена имеем
〈％ м，Pi, 0 dpt/dt) = (Gm2/a) (fa (xt> p(, /) X (x, — x【)/| x,・一x【卩〉= =(0力2/。)[ 0Х2 0р2P2(X1, Pl, X2> p2)(X2 —X1)/|X2 —Xi |3 =
=(O俏2/a) j d3x2 d3p2c(l, 2)(x2 —xi)/|x2 — xi『. (68.6)
В последнее уравнение вместо р? была подставлена приведенная функция (67.4), а интеграл по b (2) опущен (в соответствии с ме-
17*
тодом разд. 8 интеграл по х2 сначала берется по углам при фиксированном IХ2 — Xi I). Таким образом, усреднение уравнения (68.2) по ансамблю дает
дЬ (рь t)fdt + (Gm2/a) ^― \ с (I, 2)(%糸/尤整 d%2 d>2= 0, (68.7)
где X21 = X2 — xi. Это уравнение представляет собой первое из уравнений ББГКИ.
Чтобы вывести следующее уравнение, рассмотрим две малые отдельные области в шестимерпом фазовом пространстве. Если области достаточно малы, то распределение вещества в них мы можем описать, используя двухточечную функцию распределения fa(l, 2), отвечающую a-й реализации, причем xb pi принадлежат к одной области, а х2, Р2——к другой. Уравнение Лиувилля для этого случая получается с помощью обобщения уравнения (68.2):
dfa/dt + dxf/dt dfa/dxf + dp：/必 dfjdpf + (1 — 2) = 0.(68.8)
Последний член указывает, что здесь нужно добавить второй и третий члены, в которых индекс 1 заменен на индекс 2. Средние по ансамблю значения первых двух членов равны
{dfa/dt)=加/处
〈d%；/df dfjdxf) = {pf/mc^) dc/dxf.(68.9)
Для третьего члена находим
仇(1, 2)dpl/dt) = (Gm2/a){fa(l, 2)}х21/х1! +
+(0凉/。)〈％(1, 2)g Xii/x：i〉= (Om2/a)p2(l, 2) х2\/х^ +
+(G俏’/a) \ Рз (1, 2, 3) (хз1/；%) d%3 d%, (68.10)
где Xii = Xi ——Xi. Гравитационное ускорение, которое создается частицей, находящейся в точке Х2, ри, было записано отдельно. Таким образом, усредненное по ансамблю уравнение (68.8) приобретает вид
氏)2(1, 2)/dZ + (p®/ma2)dp2(l, 2)/dxf + (Gm^/a)(就 1/屛)X
X0P2(1, 2)^ +(0^/0)^-[93(1, 2, 3)(局 /总)*
X 0玲 0рз + (1 — 2) = 0. (68.11)
Это — второе из уравнений ББГКИ. Его можно записать через приведенные функции end уравнения [(67.4) и (67.6)]: использовав выражение (68.7), чтобы исключить производные по времени
от Ь, и исключив пространственные интегралы no b с помощью метода, описанного в разд. 8, находим
"(1, 2)/dt + (рТ/тс^) 5г (1, 2)/0х； +
+ ^1^{^1^ д[Ь(\)Ь(2) + с(\, 2)]Ж +
+(Gtnz/a)[_db(Pi)/5p?] 5 с (2, 3)(%з1/х11) d3x3d3p3 +
+ (OW/a)亠[d(l, 2, 3)(х?!/х^) d3x3 dsp. 4- (1 — 2) = 0. (68.12)
Это уравнение также следует записать симметричным образом; для этого нужно еще раз добавить все члены (за исключением первого) и заменить в них индекс 1 на индекс 2.
Третье и четвертое уравнения иерархии получаются аналогичным способом. Единственное, что нам нужно для дальнейшего исследования,—■ это обратить внимание на то, что усредненные но ансамблю уравнения Лиувилля записываются в форме
@РЗ (1, 2, 3)仗 + X [(р?/лпа2) др3/дхТ + dFa/dpf] = 0,t = 1,3
@Р4(1, 2, 3, 4)/火 + X \{РУта^д^1д^ + dGa/dpf] = 0, (68.⑶ 4
где № и G — суммы вкладов в скорость изменения импульсов.
Иерархия уравнений Боголюбова—Борна—Грина—Кирквуда— Ивона подробно обсуждается в физике плазмы и в физике неидеальных газов (см. например, [188, 257]). Единственное отличие в нашем случае состоит в том, что мы подставили соответствующий потенциал и перешли к космологическим переменным х и р. Применение метода ББГКИ к эволюции распределения галактик впервые рассматривалось в работах [17, 128, 129, 361, 423]. Иерархия уравнений ББГКИ в том виде, как она здесь представлена, получена в работах [57, 106].
Гидродинамическое приближение
В гидродинамическом приближении предполагается, что существенный вклад в гравитационное ускорение частицы обычно вносит большое число соседей. Когда это условие выполняется, в правой части (68.10) можно пренебречь первым членом, представляющим прямое гравитационное взаимодействие в паре частиц, поскольку этот член мал по сравнению со вторым членом, кото-
рый описывает действие всех соседей этой пары. В результате уравнение (68.12) сводится к
0с(1, 2)/dt + (pf/ma2)dc(l, 2)/dxf +
+(G*/a)—[S(p)c(2, 3) + d(l, 2, 3)]Х
X (хз./xii) d3/?3 Лз + (12) = 0. (69.1>
Отмечалось [190], что в гидродинамическом приближении иерархию ББГКИ можно получить простым способом из уравнения Власова. Вещество описывается непрерывной одночастичной функцией распределения f(x, р, /), а гравитационное ускорение находится из уравнений
戏屮=4rtGpa2, р = ma-3 j f d3p.(69.2}
В масштабах, меньших, чем когерентная длина функции 厶 распределение частиц оказывается случайным: корреляции выражаются через флуктуации функции f. Корреляционные функции, определенные в разд. 67, выражаются в виде
b(p，f) =〈f(x, Р，/)〉，
p2(1, 2)=〈"1)八2)〉，(69.3>
рзЗ 2, 3) =〈f ⑴ f ⑵〃3)〉，
P4(l, 2, 3, 4) =〈f(l)f(2)f(3)f(4)〉
и т. д. Уравнение Власова записывается в форме
df/dt + (pa/ma2) df/dxa — m д^/дха df/dpa = 0.(69.4)
Среднее значение последнего члена равно
(Gmla)(^df (хь pi, f)/dp：] ] f М，Р2, /)(處/袭1) d% &2〉=
={Gm I a) \ p2(l, 2)(尤痂/尤幻 d%2 d3卩2・(69.5) dpi J
Таким образом, усреднив (69.4), получим
db (1)/5/ +(Gm2/a) & ( р2(1, 2)(**/战)d%d3p2o, (69.6)
что согласуется с уравнением (68.7). Продифференцировав второе из уравнений (69.3) по времени и использовав уравнение (69.4), найдем
0Р2 例=〈f ⑵ dfjdt} +〈f ⑴行⑵例〉=一 (pT/ma2){f ⑵ df ⑴/调〉- -(G>n2/a)(f (2)歹(1)Ж J f (3)(廟/廟)&з 办3〉+ (1 — 2)=
=—(р?/та2)ф2(1, 2)/dxf — (Gm /a) —^- ( p3 (1, 2, 3) X
X (x?i/xli) Q3的 ^Рз + (1—2). (69.7)
В гидродинамическом приближении это согласуется с уравнением (68.11). Аналогичным образом, добавляя производные по времени к третьему и четвертому уравнениям (69.3), с помощью уравнения (69.4) получаем уравнения (68.13) для третьего и четвертого членов из иерархии ББГКИ.
Эволюция интеграла от в
Когда слабы корреляции и малы взаимодействия между отдельными частицами, можно решить уравнения ББГКИ и получить Е(а,方)в приближении линейной теории возмущений. Предложен следующий удобный метод [190]. В гидродинамическом приближении задача состоит в том, чтобы решить уравнение Власова (69.4) относительно f, и мы знаем, что в приближении линейных Возмущений (разд. 10) плотность изменяется по закону
，/^х, р, 0 d3p = na3[l + A(n)Dl(t) + В (х) D2 (f)],(70.1)
где Di и 02 — линейно независимые решения уравнения (10.3). Таким образом, используя равенства <Л> = <В> = 0, из уравнений (67.5) и (69.3) получаем решение [190]
自(г, /)=£>：(/) 0 (х +г) 4(Х)〉+
+ 22 (/) 2 (00 (х + г) 3 (х)〉+ Dl (0〈В (х + г) 3 (х)>. (70.2)
Если преобладает растущая мода, то
式г, f) = Q：(f)包(г).(70.3)
Это решение можно получить другим методом, если использовать уравнение (41.8), связывающее 自 и спектр мощности [325]. Если■
<|6k|2» l/nVu,(70.4)
то шумом, связанным с дискретностью частиц, можно пренебречь, и тогда
(х, /) ос j〈|6k|2〉(sin 左尤/々尤)0々.(70.5)
В приближении линейных возмущений 6k (f) изменяется со временем как линейная комбинация Di(f) и °2(f), и, следовательно, уравнение (70.5) сводится к (70.2).
Очень полезное свойство спектра мощности заключается в том, что его длинноволновая часть эволюционирует в соответствии с линейной теорией возмущений даже в том случае, когда распределение вещества в малых масштабах сильно нелинейно (разд. 28). Из уравнения (41.8) получаем соотношение
]自(X, /) exp [-炉/2圖 d3x =
=w潟/(2n产2] j (〈®『〉一 1/W乙)exp[_*圖2]也.(70.6)
Если а。больше расстояния между частицами и больше длины скучивания, то та часть спектра, которая входит в этот интеграл (也冢％胃)，находится в линейном режиме, и для моды 0(f) получаем
па3 J ^ (х, t) exp [—x2/2xq] d3x ос if (t).(70.7)
Это интегральное ограничение справедливо даже несмотря на то, что скучивание может быть сильно нелинейным в масштабах, меньших Хо.
Можно упомянуть интересный особый случай. Предположим, что в момент времени ti частицы распределены однородно случайным образом, причем их пекулярные скорости равны нулю. Тогда длинноволновая часть спектра равна
〈®|2〉= 02(/)/(зЗ 九)，(70.8)
где D — решение уравнения (10.3) при начальных условиях D = 1 и dD/dt = 0. Подставляя это выражение в (70.6), получаем
па? j 自(х, 0 d3x = £)2 (0 - 1 •(70.9)
Когда а。велико по сравнению с расстоянием между частицами, интеграл не зависит от Хо. Это согласуется с тем, что спектр мощности является плоским на длинных волнах, где 己 пренебрежимо мало. Это уравнение показывает, как растет со временем избыток числа соседей по отношению к случайному распределению, если первоначально в однородном случайном процессе Пуассона этот избыток был равен нулю.
Уравнение (70.7) служит полезным ограничением, когда рассматриваются предположения о возможной скорости роста скупи-
вания. В работе Пиблса и Грота [325] приведен другой вывод этого уравнения, а также тесты для сферической модели, основанные на численном решении задачи многих тел.
7/. Уравнения сохранения частиц
Л. Сохранение пар. Проинтегрировав уравнение (68.12) по pi и р2, исключим вес производные по импульсам и получим ^。'"^■式匕 0 + ~^сГ j ^(^ 2) (p^/ma2) d6p +
Корреляционная симметрии: однородностью симметрией по отношению к перестановкам частиц четностьюКорреляционная симметрии: однородностью симметрией по отношению к перестановкам частиц четностью+詣2)(成//)"=。・c」) функция с обладает некоторыми свойствами
Корреляционная симметрии: однородностью симметрией по отношению к перестановкам частиц четностью
Корреляционная симметрии: однородностью симметрией по отношению к перестановкам частиц четностью
с(1, 2) = С(Х2 —Х1, Р1, р2);
(71.2)(71.2)с(1, 2) = г(2, 1);
(71.2)
(71.2)
С(х, Рь р2)= с(—X, р2, Р1)；
с(х, Р1, Р2)=с(—х, —Р1, —р2)= с(х, —р2, —Р1).
Используя эти свойства, преобразуем (71.1) к видуг^а^д^ (х, 0/^ = 2-^— f с(1, 2)(p?/ma2) d6p,дх J
n2a6^(x，t)/dt+ -^~\c(\, 2) [(P2-p?)M2] d6p =0, (71.3)
где x = X2 — Xi. Среднее (по ансамблю) значение разности пекулярных скоростей в паре частиц с относительным расстоянием х равно [уравнения (67.1) и (67.4)]
V=]p2(l, 2)[(р2 —pi)/ma]d6p/[ г?", 2)淤「=
=，с (1, 2) [(р2 — pD/ma] 0р/{/аб [1 + 自(х, f)]}.(71.4)
Поскольку
什=?*a/#，(71.5)
Уравнения (7L3) и (71.4) дают [57,3161
^ + (l/x2a)d[x2(l +自)叨0力=0・(71.6)
Это уравнение отражает условие сохранения пар частиц, в чем можно убедиться, если записать уравнение в виде
足 ^na3 j 4лх2[1 + Е (%, £)]&，+ 4ла2х2п (1 + &)и = О. (71.7)
Первый член ——это скорость изменения среднего числа соседей внутри радиуса х, отсчитываемого от частицы, а второй член представляет собой средний поток соседей через поверхность постоянного X.
На малых расстояниях х, где g》l, предполагается, что частицы довольно хорошо перемешаны, и поэтому распределение релаксирует не очень быстро. Это значит, что средняя относительная скорость частиц в парах близка к нулю, и, поскольку скорость V = V2 ——Vj вычисляется в однородно расширяющейся системе координат, получаем
и — —ах.(71.8)
В этом приближении уравнение (71.6) записывается в форме
0(1+ а/。/ = (2/а X2) @%з( 1 + а/。％.(71.9)
Решением уравнения служит
1+Е = а3g汝(/)司・(71.10)
Другими словами, при фиксированном собственном расстоянии a(t)x произведение 九自 не зависит от времени, что и должно быть, если среднее скучивание не изменяется.
При больших х, когда Е《1, приближение слабой корреляции (70.7) дает
『点(%, f)dxo<£)"f),(71.11)
если преобладает растущая мода D^(t). Тогда уравнение (71.7) приобретает вид
” =—2 [а/х2 (1 +fe)](D1/A)J 瓚(%, 0 dx. (71.12) о
Если, например, g = (xo/x)v при х < хтх и g = 0 при х > xmXt то при 尤 > а。
v = -[2/(3 — 丫)] (Mr%17 r2)(力/R).(71.13)
В качестве упражнения можно проверить, что уравнение (71.12) согласуется с уравнением (14.9). В разд. 76 обсуждается возможность обнаружить в наблюдениях усредненную тенденцию к сближению у четко разделенных галактик..
Уравнение сохранения нар полезно учитывать при изучении поведения корреляционной функции: если задано 自(尤，f), то существует функция у (х, /), которая определяется выражением (71.7). В пределах больших и малых х эта функция должна согласовываться с уравнениями (71.8) и (71.12) и разумным образом переходить от одного предельного случая к другому. Полезное приближение для Е получается, если положить, что v(x, t) равно предельным значениям, которые стыкуются с разрывом при некотором %о(О- Когда и задано, уравнение (71.6) можно проинтегрировать и получить 自.Если Вселенная близка к плоской космологической модели, для которой qocQioc/%, и если на больших расстояниях ^ = 0, то это приближение для относительной скорости записывается в виде .
(2/зХ//, X < Хо ос /4/9(2/зХ//, X < Хо ос /4/9(71.14)(71.14)
(2/зХ//, X < Хо ос /4/9
(2/зХ//, X < Хо ос /4/9
(71.14)
(71.14)
Тогда решение уравнения (71.6) сводится к
]+ 自=(1 + ?『。⑴/炉* * V *。⑴，(71.15)
где постоянная 自】равна
3 = %оС/4/з/%3 — 3/5.(71.16)
Это значение равно амплитуде скачка в g(x) в той точке, где функция V имеет разрыв. Для рассматриваемой модели удобной величиной является отношение значений у по разные стороны 0t 元0：
k=。+/。_ = 3/2以4/3/就.(71.17)
Величина скачка 自 выражается через это отношение следующим образом:
Е1 = з/зе+/о--[).(71.18)
Если К = 1, т。и и 己 непрерывны. Иногда утверждают, что вновь образовавшиеся скопления должны сжиматься, затем пройти стадию релаксации и достичь вириального равновесия [133]. В таком случае |о| было бы больше ах, вследствие чего v + ax было бы отрицательным. В нашей модели это означает, что К > 1, и, следовательно, скачок 己 появляется при 自〜1, а это противоречит наблюдаемой корреляционной функции галактик. Таким образом, трудно понять, как может происходить хорошо выраженное сжатие, хотя, конечно, некоторые скопления могут сжиматься, в то время как другие скопления такого же размера расширяются, так Что средняя скорость течения и обеспечивает приемлемую форму Е(х).
Уравнение (71.9) можно применить также для изучения роста 自 в космологической модели с очень низкой плотностью. Для упрощения модели предположим, что при г V г§ скучивание является в статистическом смысле стационарным, а при г > г$ справедлива степенная асимптотика
w=吸(叫,aх < rst
自="g (%) (гs/Q%产，G < ax < a%m*, axmx = rs [a3g (rs^m, (71.19)自=0,尤加力V尤，
где g ——функция одной переменной г, a rs ——постоянная. Последние два уравнения отражают предположение, что у корреляционной функции при 自=1 существует разрыв. Для такой модели уравнение (71.11) означает, что при Q《i, когда Qi(f) перестает расти, то перестает расти и интеграл от 自.Это значит, что m > 3, поскольку в противном случае асимптотика 己 при ах > г§ дает все более возрастающий вклад в интеграл. Свидетельство в пользу того, что m = 3, было приведено в работе Готта и Риса [133]. На рис. 52.1 видно, что резкий излом (переход от gocr~2 к goer-3) был бы хорошо заметен в угловой функции 1^(6), но ничего подобного не обнаружено. Именно в этом лежит суть проблемы объяснения наблюдаемого 侬(6) в космологической модели с низкой плотностью [56].
Сохранение триплетов и квартетов. Проинтегрировав первое из уравнений (68.13) по импульсам, получим уравнение сохранения триплетов"
dh3/dt + a— £ д {h^/д^ = 0,(71.20)
z= 1, 3
Лз(1, 2, 3)=1 +乳1, 2) +式2, 3) +貝3, 1) + 之(1, 2, 3)=
= Jp3(L 2, 3)/n3a9d&p,
где йз — полная пространственная корреляционная функция, a Vi — среднее по ансамблю значение пекулярной скорости частицы, которая находится в £-й вершине треугольника, образованного частицами с относительными расстояниями Х2 — xi, Хз — Xl：
涼=U Рз (pf/ma) d9p\l(n3c^h^.(7L21)
С помощью приведенных корреляционных функций (67.6) уравнения (71.20) и (71.21) приобретают вид [57]
風9 贡Jdt _|_ £ 备 j (p?/ma2) dd9P = 0,(71.22)
где производные по времени от g исключены с помощью уравнения (7L1).
Уравнение (71.20) упрощается, если представить йз и Vf в виде функций, зависящих от относительного положения и средней скорости:
что дает
a dh^dt + d處月з/d齒+加箫з/d蜀=0.
(71.24)
X2I = Х2 — Xi, Х31 = Хз — Xj,
V21 = v2 — Vb V31 = v3 — V|,
(71.23)
Когда расстояния малы, средние относительные скорости частиц близки к нулю, и, значит, как и в уравнении (71.8),
v21 = —ах2Ь V31= —&Х31・(71.25)
Вследствие этого уравнение (71.24) приобретает вил
а дЫ1да = 6Й3 + 就 1 dh3jd^ + %* d力з/d廟■(71.26)
Решением уравнения служит
йз = Q6gз(0X21, ЛХ31).(71.27)
Как и в случае уравнения (71.10), отсюда следует, что вероятность обнаружить соседей на фиксированных собственных расстояниях (2x21 и QX31 не зависит от времени.
Уравнение сохранения квартетов найдем, проинтегрировав второе из уравнений (68.13) по импульсам
dhjdt + а-1 £ д Ы)/д^ = 0,『1, 4
汽3頂12力4 =，р4 d〔2P.(71.28)
Здесь и» равно средней по ансамблю пекулярной скорости i-й частицы в квартете. В относительных координатах, определяемых так же, как и в (71.23), уравнение (71.28) принимает вид
a dhjdt + dh^vfi/dxfi + 8h 戒｛G 就、+。也4 齿/。尤翁=0.(71.29)
Как и выше, видно, что при малых расстояниях, т. е. там, где
V21 = —ax2i и т. д., уравнение записывается в форме
a OhJOa = 9й4 + х® dhjdx^i + 啮 dhjdx^i + х® dhjd^. (71.30)
Решением этого уравнения является
А4 = а9^4 (ах2ь QX31, QX41),(71.31)
НТО можно сопоставить с уравнениями (71.10) и (71.27).
Дисперсия относительной пекулярной скорости
Рассмотрим случайную выборку пар частиц с относительным расстоянием х = х2 ——х^, причем х достаточно велико, так что значения корреляционных функций малы. В разд. 71 исследовалась средняя пекулярная скорость частицы в такой выборке. Теперь мы найдем степень анизотропии дисперсии относительной пекулярной скорости.
Дисперсия скорости появляется в первом моменте по импульсу второго уравнения ББГКИ (68.12). Умножая это уравнение на Р^ — Р?， интегрируя по импульсам и упрощая полученное выражение методом, описанным в разд. 71, получаем
。口 + 2 (%)]。制出 + (а/а)[1 + 自(х)] d + а-。(1 + g)〈°凱A〉/d%B +
+ (2Gm/a2) (ха/х3) (1 -|-^) + 2Gpiд (炉优)]己⑴《з* + 0
+ 2Gp&ajc(l, 2, 3)(廟/述i)d% = 0. (72.1)
Здесь и®, равное〈吟〉,一среднее значение относительной пекулярной скорости (71.4). Поскольку и。задает скорость роста двухточечной корреляционной функции 己，уравнение (72.1) показывает, в какой степени эволюция 自 определяется дисперсией скорости и в какой степени ——гравитацией. Первый из гравитационных членов описывает взаимное притяжение частиц пары. При сильном скучивании этот член мал по сравнению со следующими двумя, которые характеризуют гравитационное притяжение всех соседних частиц. Когда х велико, преобладающим гравитационным членом является член, в который входит интеграл от 自 Поэтому если 自(％) пренебрежимо мало, то уравнение (72.1) можно приближенно представить в виде
dx^ldt-^^ala) va^-a~{d (y2i^)/<5xP+ 2G^(ха/х3) j Wd% = 0・(72.2) о
Дисперсию относительной скорости можно записать следующим образом:
〈啮飓〉=(2/з (и2) + £)6ав + (П — S) х"х§/х\(72.3)
где〈и?〉——средний квадрат пекулярной скорости случайно выбранных частиц, а П и S характеризуют действие коррелированных движений на компоненты дисперсии, перпендикулярные и пара」-
лельные относительному расстоянию х^・ Подставляя это выражение в (72.2), получаем
dva/dt + (а/а)уа + а~1 [2 (П — £)/* + dH/dx] ха/х +
+ 2Gpba (ха/х3) J U3x = 0. (72.4) о
Величины П и 2 можно оценить, если заметить, что, когда х велико, наиболее существенный вклад в эти члены вносит корреляция пекулярных движений двух частиц пары. Для пекулярных ускорений этих частиц имеем
〈g『g#〉- (Gma)' ] (%з&2厂3 咸 1 %%Р 川3 d%,(72.5)
津e Pd3x3d3X4 — вероятность найти частицы в точках х3 и х&, при условии что есть частицы в точках xt и х2. Это есть не что иное, Еак четырехточечпое распределение (35.1). Когда Р велико, наи- ольшая часть Р определяется членом п2[1+ ?(хз4)], который пред- гавляет скучивание вблизи частиц 1 и 2. Чтобы упростить вычис- ение интеграла в выражении (72.5), предположим, что интеграл
/ = j^ (х)讀工(72.6)
о
сходится к некоторому значению при 尤о《尤.Тогда в интеграле Хз^Х4, и, следовательно,
〈g：gD^31a)2/严，(72.7)
где
产:=J 啮處(X31X32)-3 川3 = 2Л (产/% - %屮/*3).
Теперь, поскольку при больших х корреляция gi и g2 мала, можно вычислить получающуюся корреляцию пекулярных скоростей в линейной теории возмущений [ уравнение (14.6)]:
〈崂磅〉« 2/з〈/)严 一 2〈源曲(72.8)
〈Т?。£〉»〈gfgg〉D2/(4nGpbD)2.
Отсюда получаем, что
2 = 一 (必"击⑴(力/f乎，п = 0.(72.9)
Интересное упражнение заключается в том, чтобы понять, как этот результат получается из уравнений (27.20) и (27.22). Из Уравнений (72.4) и (72.9) имеем
dva/dt + 仿/a) оа = - [2GpbaI 十(o//2n)(Z>/£))2] %。/炉.(72.10)
Предоставляем читателю в качестве упражнения проверить, что это уравнение согласуется с уравнением для и(尤，t) (71.12), в котором использовано уравнение для D (11.1) и учитывается, что /ос》«оз).
В этом приближении анизотропия дисперсии относительной скорости равна'
n-S=(出//4n盼(力/力)2.(72.11)
Для модели степенного закона 三(разд. 57), записываемого в виде
,[(го/г户 при г < гтх = ЮЛ"1 Мпс,
2 ⑺—f 0 при гтх < г,,
где го = 4无一1 Мпс, у = 1,77, получаем
n-S = (1300 км/с)2尸(Q)//ir,(72.13)
где г измеряется в мегапарсеках, а функция f(Q) изображена на рис. 14.1. Величина £ отрицательна, поскольку пекулярные скорости vi и v2 коррелируют, вследствие чего дисперсия относительной скорости меньше, чем предельное (при оо) значение 2/з〈и®〉. Ожидаемая анизотропия (П ——£)% велика и достигает 〜400f км/с при hr = 10 Мпс, что сравнимо с ожидаемым значением 2/3<и2> [уравнение (74,9)]. Из уравнения (72.10) следует, что дисперсия скорости играет важную роль для ограничения скорости роста скучиванця. Болес точные оценки S и П могут оказаться полезными для вычисления формы и (尤,t) и, следовательно, через уравнение (71.6)——для определения ожидаемой формы &(尤，t) вблизи 自〜L
Автомодельное решение
А. Масштаб но-инвариантное решение. Если Вселенная описывается моделью Эйнштейна ——де Ситтера и если вещество можно описывать в гидродинамическом приближении, то иерархия ББГКИ допускает решения, инвариантные по отношению к преобразованию подобия. При этих предположениях пи космологическая модель, ни вещество не дают характерных длин или времен.
Автомодельное решение удобно получить с помощью гидродинамических уравнений Инагаки [190] (разд. 69)
df (х, р, t)/dt + (ра//па2) дЦдха — /п д^)дха df/dpa = 0.
V2cp = 4nGtna~l J f cPp, а ос /2/3.. (73.1)
Эти уравнения допускают решения в форме
f(x, p, f)=L3叶仪件 p/伊)，(73.2)
где постоянные удовлетворяют условию
6 = а + 】/з,(73.3)
в чем можно убедиться, подставив выражение (73.2) в (73.1). Такое решение применимо только в том случае, если аосУа Усреднив уравнение (73.2), получим автомодельное выражение для корреляционных функций (69.3).
& = t~3^b (p/於)，
С=1М(х//а, р"伊，Р2/伊)，(73.4)
d =广9唸(ХМ”，Х1з/£ Pi/#, Р2/伊，Рз/伊)
и т. д. Интегралы но импульсам дают
自 =貝%/П，3 = e (修2/",尤23埠，尤3修)(73.5)
и т. д. Эти уравнения описывают ситуацию, когда распределения вещества, относящиеся к различным моментам времени, оказываются подобными, причем характерные длины изменяются пропорционально /®, а характерные импульсы — пропорционально /§. В работе Девиса и Пиблса [57] приведен другой вывод, который не опирается на уравнения (73.1).
Автомодельное решение, конечно, требует, чтобы начальные значения корреляционных функций, восходящие в прошлое к малым возмущениям ранней Вселенной, были бы степенными функциями расстояния, поскольку не могут существовать никакие фиксированные характерные относительные расстояния. Спектр мощности для флуктуаций плотности в автомодельном решении равен (разд. 41)
〈IМ『〉伙[盲(尢/£°) exp [Zk • x] d3x = ^3a，盲(g) exp 口尸k • y] d3y. (73.6)
Для длинных волн применимо линейное приближение (разд. 70). В этом приближении имеем бк «：£% Или
<| бк |2> =户吁("吩=£4/3(7 优).(73.7)
Решение этого функционального уравнения можно найти, если заменить t на t = tkV& и перенести все степени t в левую часть уравнения, а все степени 尼一в правую часть [57]:
〈|嬴『〉伙严％", а = 4/(9 +За).(73.8)
Часто предполагают, что при больших красных смещениях распределение вещества приближенно представляется случайным Гауссовым процессом с компонентами Фурье би, обладающими случайными фазами, так что статистические свойства этого распределения полностью описываются спектром мощности | бк |2. Естест-
4avai Я9
венным начальным значением спектра мощности мог бы служить степенной закон
(版『〉伙廿，t = t"(73.9)
В таком случае если расширение Вселенной адекватно описывается моделью Эйнштейна ——де Ситтера и если негравитационными силами можно пренебречь, то справедливо автомодельное решение, причем посредством (73.8) по показателю степени 几 определяется а и с помощью (73.3) 0.
5. Предел нелинейных возмущений. При малых расстояниях х, на которых корреляционные функции велики, скучивание находится в статистическом равновесии или близко к нему. Поэтому среднее значение относительных скоростей соседних частиц равно нулю. Это условие вместе с автомодельным решением определяет зависимость корреляционных функций от расстояния. Для двухточечной корреляционной функции уравнения (71.10) и (73.5) дают l(x/ta) = a^g (ах), Q<xf2/3, e》l(73.10)
Как и в уравнении (73.7), решением функционального уравнения (73.10) должен быть степенной закон
&伙 x-Y.(73.11)
Подбирая в уравнении (73.10) степени величин х и Z, получим
у = 6/(2 + За) = (9 + Зп)/(5 + п),(73.12)
где п — показатель степени исходного спектра мощности (73.8) и (73.9). Этот вывод решения взят из работы Девиса и Пиблса [57]. Уравнение (71.15) представляет собой частный случай уравнения (73.12) при п= 0. Заметим также, что уравнение (73.12) совпадает с уравнением (26.8).
Для трехточечной корреляционной функции условие стационарности и автомодельное решение дают [уравнения (71.27) и (73.5)] @6g3(QX2i，аХ31) = Й3 (Х21/^а, Хз]〃а),(73.13)
где
也3 = 1 + *12 + 自 23 + Ез1 + С-
Удобными переменными являются х, и и и, где 尤 определяет размер треугольника, а и и и ——его форму [уравнения (34.9)]. В этом случае решением должна быть степенная функция от х
Аз ос х-а, а = 12/(2 + За) = 2у.(73.14)
Поскольку JocLq при достаточно малых % приведенная трехточечная корреляционная функция изменяется в зависимости от размера треугольника по закону
己伙尢一气 о = 2у.(73.15)
В разд. 37 было показано, что К// не может быть много меньше единицы, так что соотношение (73.15) должно быть справедливым вплоть до К 〜1.
Д;гя четырехточечной корреляционной функции уравнение (71.31) дает
a9g4(ax2i, ахз], ах41) = й4 (х21//а, хз，"，х“/Н).(73.16)
Отсюда, как и выше, получаем, что если отношения расстояний между частицами в квартете фиксированны, то
Я(X x-3v.(73.17)
Выводы о том, что gocf и 刀8守，согласуются с картиной масштабно-инвариантной иерархии скучивания, обсуждавшейся в разд. 26, 61 и 62. Весьма примечательно, что эти зависимости :орошо воспроизводятся в наблюдаемом поведении корреляцион- [ых функций галактик (61.12) и (61.15). Основная трудность при- генения изложенной теории состоит в том, что модель Эйнштей- а——де Ситтера может и не быть достаточно хорошим приближе- :ием для. Вселенной, чтобы установилось автомодельное решение. >та проблема обсуждается в разд. 79.
Уравнения (57.3) и (73.12) дают
п = -0,12±0,16.(73.18)
'аким образом, требуемый начальный спектр мощности очень бли- ок к спектру белого шума. Но до тех пор пока отсутствует тео- ия, описывающая начальные стадии расширения Вселенной, мо- ено только гадать, является ли приемлемым полученный резуль- ат. Некоторые аспекты этой проблемы рассматриваются разд. 96.
Условие стационарности, заложенное в уравнения (73.10) и 73.13), не учитывает релаксацию скоплений в малых масштабах. 1исленные исследования задачи многих тел демонстрируют те слу- аи, когда релаксация оказывается важной, например при сжатии протоскопления, когда полностью сглаживаются мелкие конденсации [1, 300, 440]. Однако было также обнаружено, что если в соответствии с методом, изложенным в п. 61Б, распределить N частиц в соответствии с иерархией скучивания и движение подгрупп па каждой ступени подобрать так, чтобы выполнялись условия стационарности, то полностью стационарными оказываются и л-точечные корреляционные функции [318]. Из этого следует, что условие стационарности является внутренне непротиворечивым. Остается только узнать, служит ли условие стационарности хорошим приближением для распределения галактик, возникающего в процессе развития гравитационной неустойчивости.
Уравнение энергии в расширяющейся Вселенной
Уравнение энергии (24.7) можно получить из иерархии ББГКИ. Умножив (68.7) на р\ и проинтегрировав по импульсу> найдем
da {щ)/(И =(20/па4)^ с(1, 2) р：(%^/Х21) d3x2d6p, (74.1)
где среднеквадратичная пекулярная скорость частиц равна
na3(ui) = ^b (pf t)(plma$ Gp.(74.2)
Интеграл в уравнении (74.1) можно упростить, если проинтегрировать его по частям
等丨赍啜"сЗ 2)曲Yp. (74.3)
ПО4 J %21 dX2 J
Подставляя первое из уравнений (71.3), приведем (74.3) к виду 看凯=Ор6а4 К" ! К(% Ml 加， (74-4)
где рь = пт ос а-3. Уравнение (74.4) совпадает с уравнением (24.7) при К =〈и：〉/2. Уравнение энергии с помощью иерархии ББГКИ было независимо выведено в работах [57, 106, 128].
Ограничения на 〈齊〉при заданном g(x) были получены в разд. 24. Для автомодельного решения (73.4) и (73.5) имеем
а2〈而=](р/俏У f_3p5 (рЛ₽) п-га-3 d3p 伙产р,
、(74.5)
)g (Х〃а)X-1 d3X ОС 产叱
Подставляя эти выражения в уравнение (74.4) и используя соотношения (73.3) и (73.8), получаем
〈и》=(а/p) Орг, J 隹(г)/匚I dr,(74.6)
где а/3 = а/(а+'/з) = 4/(7十九).Если n ^ 1, то у>2 [выражение (73.12)], и интеграл от gocL расходится при rf 0; если же nW—1, то интеграл расходится при больших г, где gocr~"(3+n) (разд. 42). В промежутке между этими двумя предельными случаями имеем
% Va/В и?%,-1 <«< 1,(74.7)
что удовлетворяет неравенствам (24.13).
Для модели J, даваемой уравнениями (72.12), уравнение (74.6). приобретает вид
=(7 + “)(2 —у) = (7+ 〃)(2К •ЕВ)
При л = 0 выражение (74.8) равно
〈и：〉"？ a 85OQo/2 км/с.(74.9)
Это и есть трехмерная среднеквадратичная пекулярная скорость.
Уравнение (74.9) [или более общие выражения (24.9) и (24.13)] можно применить для оценки параметра плотности Q [100]. Однако на практике существуют две трудности. Даже небольшая положительная корреляция в масштабах, намного превышающих может существенно увеличить интеграл от g и, следовательно, завысить предсказываемое значение〈и；〉； точно так же может существовать некоторая антикорреляция (g<0) при г > гтх, что уменьшит предсказываемое значение〈吟〉.С этим же связана и другая проблема: как оценить вклад в〈и：〉от крупномасштабных течений, таких, как движения групп галактик вокруг скоплений и движения скоплений в процессе формирования .сверхскоплений. Подобные течения исследованы недостаточно хорошо. Некоторые предположения, касающиеся этих проблем, обсуждаются в разд. 77 и 78, а в разд. 76 приведена оценка £2, основанная на данных об относительных пекулярных движениях галактик.
Космическая теорема вириала
Зная двухточечные и трехточечные корреляционные функции, можно записать вероятность найти частицу в элементе объема 6匕 расположенном на определенном расстоянии z от пары частиц с расстоянием г между компонентами [уравнение (34.4)]. Если расстояние мало, так что 匕》自》1, то вероятность равна
ЬР = пЬ吸(г, 2j |r-z|)/2(r).(75.1)
Частица, находящаяся в элементе объема 6 V, притягивает частицу в точке z = 0, создавая ускорение
g = Gmz/*・(75.2)
Поэтому наблюдатель, который находится на одной из частиц пары, обнаружит, что среднее гравитационное ускорение другой частицы пары равно
g =「2Gp〃Xr)]^(z/z3)融.(75.3)
Ускорение (75.3) представляет собой среднее значение, полученное по выборке пар с расстоянием между частицами г. Множитель 2 появляется потому, что средние ускорения двух рассматриваемых частиц относительно фона равны по величине и противоположны по направлению. Если скучивание в масштабе 尸 находится в статистическом равновесии, то характерная относительная скорость частиц в паре должна быть достаточно велика, чтобы уравновесить g. Условие равновесия получим из уравнения (72.1). При малых г преобладающими гравитационными членами являются первый и последний члены, и они должны уравновешиваться третьим членом, который, в сущности, действует как градиент сил давления. Отсюда находим, что-
о ［式成碣〉］/力'+ 2Gmlra/r3 + 2Gpft ］ Jr, z, | r — 21) X
X(2%3) d3z = 0, (75.4) где r = ax, z = a(x3 — Xi). В этом выражении второй член равен относительному гравитационному ускорению пары частиц, обусловленному прямым гравитационным взаимодействием частиц пары, а третий член равен среднему ускорению, вызванному притяжением всех соседних частиц.
Частицы, рассматриваемые в (75.4), могут быть галактиками или звездами в галактиках, В этих двух случаях члены, включающие скорости, различаются из-за движения звезд внутри галактик, а гравитационные члены различаются потому, что в этих случаях различна роль m и ?. Но мы знаем, что, когда расстояние между частицами значительно больше размера галактики rg, оба случая должны описываться в точности одинаковым образом. Мы можем понять, как это происходит, если воспользуемся соотношением, связывающим корреляционную функцию галактик 匕 и корреляционную функцию плотности вещества J (разд. 63).
Когда частицами служат элементы вещества, располагающиеся внутри галактик, в уравнении (75.4) можно пренебречь членом, соответствующим прямому взаимодействию. В результате уравнение приобретает вид
d 怎〈處礙)/d* + 2GpJ “ (za/z3) d3z = 0. (75.5) Если 尸 больше, чем размер галактики ;>, то в качестве *@ можно взять двухточечную корреляционную функцию галактик £, и, кроме того, применяя выражение (63.18), можно заменить ^р на трехточечную корреляционную функцию галактик 匕.Вследствие этого в уравнение (75.5) вводятся два члена. При |z — r| < гё, подставляя соотношение (63.7), запишем второй член (75.4) в следующей форме:
Ср/ ［己⑶ + Hr)］ f (I г — z I) (za/z3) d3z «»2Gs (г) (ra/r3) {^/(ni).
Множитель <m2>/<m>2 появляется потому, что при усреднении скорости галактика учитывается с весом, равным ее массе. Расстояния |z| V rg вносят вклад в интеграл, равный
施 J f(2)s(I г — z I) (za/z3) dz =
=—i/збрг, [dl (r)/d〃 (ra/r) j [f (z)/z] dz =
=—% (G/〈zn〉)侬(r)/dr] (ra/r) ] [〈pa (У + z) pa (y)〉/z] dz d?y =
=—2/3 (di/dr) (ra/r) (mv^/^m). (75.7)
Третье выражение получено из уравнения (63.7), а четвертое — с помощью теоремы вириала для движений внутри галактики. Таким образом, этот член вычитает из первого члена (75.5) вклад, обусловленный движениями частиц внутри галактик. После этого остается средняя дисперсия систематических скоростей галактик, причем усреднение здесь производится по числу частиц, т. е. с учетом масс галактик.
Уравнение (75.5) упростится, если предположить, что распределение величин V21 близко к изотропному (такое предположение кажется разумным):
〈唠同〉*〈病〉那/3,(75.8)
тогда
。& (Г)储〉]/Or + бОрьГ-1 k [г • Z/23] d32 = 0.(75.9)
Интегрируя это уравнение, получаем
(oil (r)> = 6\GQbHf (г)]『r~ldr Jг-3г • z* (r, z, |r — z|) dz. (75.10) Г
Удобной моделью автокорреляционной функции плотности вещества служит
Ь = ко/(г + гс)Е(75.11)
Sp = Q [|Р (а) ЕР (&) + члены с циклической перестановкойиндексов].
где радиус сглаживания гс приводит к тому, что плотность внутри областей размером 〜小 становится очень плавной функцией, а это может приближенно описывать галактики. Для этой модели уравнение (75.10) приобретает вид
〈嬉(r)〉=6GpQ"2-v/(r〃)，(75.12)
где
/(9) = (1+外可 *Js「号^ + m■目售.
J ' Y (|S — t| + y)Y L(s + y)丫(f + y)Y」S
Когда 尸》几，безразмерный интеграл упрощается
(у — 1) (2 —у) (4 —у) /(0)="
7 = f//-2(1 +y-^Ndy,(75.13)
о
2=(1+ 办 Г-\\-У |"Y — (4 - Y)川(1 + 疗 Г + I 1 — 9 |2一4
В результате уравнение (75.12) записывается следующим образом:
<di (r)> = 6nGp6Qr?r2-v7/(Y 一 4(2 一 Y)(4 — 丫)，(75.⑷
/(Y = 1,8) = 3,70.
Уравнение (75.14) можно рассматривать как обычную теорему вириала для иерархии скучивания (разд. 61). В масштабе 尸 вещество находится в сгустках характерного размера г и массы
m 〜р忘 6j=p*标一L(75.15)
Поэтому скорость течений в масштабе 尸 равна
V ~GMIr ~Of>brlr1-'1.(75.16)
Дисперсия〈％(г)〉равна сумме вкладов от движений внутри подгрупп на всех ступенях иерархии, меньших ~г. Поскольку у V 2, основной вклад в эту сумму вносят течения в масштабе г, так что выражение (75.16) согласуется с уравнением (75.14).
На рис. 75.1 изображена дисперсия относительной скорости, определяемая уравнениями (75.12), в которых использованы следующие значения параметров： у =1,8; Q = 1,29; m = 4/iT Мне (разд. 57) и радиус сглаживания гс равен
Гс = 20/г1 кпс.(75.17)
Изменение дисперсии в зависимости от параметров гс и % (97.12) происходит по закону
^(r)> = Qor°-2F (г/гс).(75.18)
Поэтому дисперсия крайне слабо зависит от выбора гс- Предельное значение дисперсии при 广《几 равно
〈協(0)) = 2,O7QoQ ("rj (ro/rj，8.(75.19)
Поскольку эта величина в основном определяется относительной скоростью частиц, принадлежащих к одной и той же области, среднеквадратичная скорость частиц в области равна
и « «oil (0))/2)1/2 а 270®/2 км/с.(75.20)
Интересно, что это значение близко к типичной скорости звезд в большой галактике. Конечно, этот факт отражает наблюдаемую непрерывность скучивания, которая обсуждалась в разд. 64.
Уравнение (75.12) дает возможность оценить среднюю плотность вещества. По сравнению с уравнением энергии (74.8) практическое преимущество этого уравнения состоит в том, что в (75.12) используются относительные скорости соседних галактик. Как отмечалось в разд. 76, эти скорости найти гораздо легче, чем абсолютную пекулярную скорость. Неточно известное поведение 匕 в больших масштабах слабо влияет на входящий в (75.12)
Рис* 75.L Среднеквадратичная разность скоростей в произвольно выбранных парах галактик как функция относительного расстояния. Эта функция определяется из уравнения (75.12) в предположении статистипеского равновесия 1317].
интеграл от 匕,так как вещество на расстояниях, много больших г, слабо влияет на движение вещества внутри скопления радиуса г. Соотношение между〈％〉и средней плотностью вещества сильно зависит от формы 匕卩 в малых масштабах. Модель этой функции (75.11) рассмотрена в разд. 64.
Дисперсия《％〉была введена в работе Геллер и Пиблса [127], которые сопоставили ее с оценкой полной потенциальной энергии групп галактик. Уравнение (75.4), связывающее〈№〉с трехточеч- иой корреляционной функцией, было выведено в [57, 316, 317].
Совместное распределение по красным смещениям и положениям
Для представительной выборки галактик можно надеяться по* лучить точные измерения координат и красных смещений. Эти Данные удобно представить в виде трехмерной карты, на которой
красное смещение галактики пропорционально расстоянию до нее. Если можно пренебречь пекулярными скоростями и ошибками измерений красных смещений, то карта точно воспроизводит положения галактик в пространстве, и такие карты уже оказались полезными при изучении крупномасштабного распределения галактик [44, 410]. В картине движений галактик должны выявляться две особенности. Компактные группы галактик должны казаться вытянутыми вдоль луча зрения, так как к видимому разбросу расстояний добавляется составляющая, вносимая случайными движениями внутри групп [193]. Кроме того, если в процессе формирования новых ступеней иерархии скучивания галактики, находящиеся далеко друг от друга, стремятся двигаться совместно, то видимое расстояние между ними уменьшается, и вследствие этого эффекта наблюдаемое крупномасштабное скучивание выглядит сглаженным вдоль луча зрения [358]. Некоторые статистические меры этих двух эффектов обсуждаются в настоящем разделе. Эти статистические методы были описаны в [55, 127, 316, 317, 320]. Применяя аналогичный метод, Сонейра [396] исследовал совместное распределение по красным смещениям и видимым звездным величинам в модели распределения галактик, построенной так, чтобы удовлетворялись известные критерии положения галактик и выполнялось условие, согласно которому скучивание должно быть стационарным в статистическом смысле.
Двухточечная корреляционная функция в пространстве красных смещений. Наблюдаемое искажение картины скучивания, обусловленное пекулярными движениями, можно оценить, если для представительной выборки галактик найти среднее распределение соседей. На рис. 76.1 представлен один из методов изображения такого распределения. Каждая галактика выборки помещается в начало декартовой системы координат, ось z которой направлена вдоль луча зрения, и регистрируются координаты |х|, |z| всех соседей, у которых \у\ меньше 0,5/г-1 Мпс. Последнее ограничение введено для того, чтобы уменьшить искажения карты, появляющиеся при проецировании вдоль оси у. На рис. 76.1 нанесены координаты I", |z| соседей для всех галактик выборки. Вследствие обрезания по \у\ приведены не все ближайшие со- •седи, но представительный характер выборки координат |х|, \z\ обеспечивается тем, что система координат, в центре которой располагается каждая галактика, выбирается так, чтобы направление юси 尤 было случайным и различным у разных систем. Если 6bl пекулярные скорости и ошибки определения красных смещен и ii были пренебрежимо малы, то распределение точек на рисунке обладало бы круговой симметрией, а плотность их была бы пропорциональна 1 + Е(г) при rA0,5"-i Мпс. Случайные движения галактик и ошибки определения красных смещений приводят к тому, что распределение точек становится вытянутым вдоль оси 2. Тен-
денция к уменьшению видимого расстояния между сильно разнесенными галактиками проявляется в сглаживании распределения точек в больших масштабах.
Только в последнее время стали доступны достаточно богатые н точные выборки галактик, которые можно использовать для статистического анализа. Данные, представленные на рис. 76.1 и 76.2, служат лишь для иллюстрации того, как можно было бы выполнить статистический анализ, поскольку ошибки измерения этих данных плохо известны. Рис. 76.1 построен на основе выборки галактик, у которых видимая звездная величина меньше 8=13,2^, галактическая широта й > 30° и красное смещение лежит в диапазоне 1500 V <cz < 4000 км/с. Красные смещения этих галактик при-
Рис. 76.丄 Пример совместного распределения относительных погюжений и скоростей. Ось% перпендикулярна лучу зрения, а ось г направлена вдоль луча зрения. Нанесены положения | 尤 |, 12 I всех соседей, у которых
I|<0,5/t-1 Мпс, для всех02、4
галактик выборки.,奴,Мпс
ведены в работе [184]. Ограничение на и со стороны малых зна- ченн济 исключает влияние концентрации галактик вокруг скоп- ления в Деве. Хорошо заметно, что распределение вытягивается вао/ь луча зрения. Но пока еще не известен вклад в этот эффект, вносимый ошибками измерений красных смещений.
Форма построенного распределения характеризуется двухточечной корреляционной функцией 己匕，определяемой так же, как и Е(г) (разд. 31), с тем исключением, что 氧 является функцией 〃вух переменных, поскольку скучивание в пространстве красных смещений анизотропно. Двумя переменными служат я и о ——расстояния, отсчитываемые соответственно вдоль луча зрения и пер-
пендикулярно ему. Вероятность найти галактику в элементе объема 6л 64, расположенном на расстоянии (л, о) от случайно выбранной галактики, записывается в виде [320]
6Р = п[1 + ^ (о, л)]длдЛ. ,(76.1)
Примем, что лип малы по сравнению с расстоянием от наблюдателя до области выборки. Вследствие такого предположения ^ не зависит от расстояния, что соответствует масштабному соотношению для поверхностной корреляционной функции 5(8) (разд.50). Примем также, что вероятность 屮 того, что галактика будет включена в каталог, яв/яется функцией только г — расстояния до галактики (разд. 51). В таком случае ожидаемое число соседей, принадлежащих к рассматриваемой выборке и расположенных в диапазоне 6л, би на расстоянии (л, о) от i-й галактики, равно
〈6%・(5 л)}= nq)f [1 + >^ (а, л)]длдЛь(76.2)
где б#» ——площадь пересечения области выборки на небесной сфере и кольца б о, проведенного вокруг галактики 工 Таким образом, ожидаемое число пар в каталоге, расстояние между которыми равно (л, о), записывается в виде
DD (а, л) = [1 +(о, л)] 2 (н&ддЛ(ф1).(76.3)
-i
Удобный способ вычисления второго сомножителя в правой части уравнения состоит в том, чтобы каждую /-ю галактику, за исключением i-й, заменить на т точек, расположенных при одном и том же красном смещении и> и случайным образом распределенных в области обзора на небесной сфере, а затем подсчитать число пар, образованных i-й галактикой и этими случайными точками. Ожидаемое число пар, просуммированное по всем галактикам i, равно
QR(5 冗)=g тпдлдА^,(76.4)
Поэтому оценка корреляционной функции записывается в форме [320],
1 + 虱(5 л) = mDD/DR.(76.5)
На рис. 76.2 показаны оценки £, основанные на двух выборках: на выборке, использованной при построении рис. 76.1, и на выборке Киршнера, Эмлера и Шехтера [206], упоминавшейся в разд. 57. На гистограммах, изображенных в левой части рисунка, фиксирован компонент л, а на гистограммах в правой части——компонент о. Хорошо видна асимметрия 自^, проявляющаяся в вытянутости вдоль л. Согласие результатов, полученных на основе этих двух выборок, обнадеживает, но все же 底 нужно рас-
Рис. 76.2. Оценки gB. Пунктирные линии получены для выборки, представленной в работе Киршнера, Эмлера и Шехтера [206]. Сплошные линии построены для ярких северных галактик, у которых 月 V 13,2 и и > 1500 км/с.
сматривать лишь как иллюстрацию описанного метода до тех пор, пока не будут получены более обширные выборки, в которых ошибки красных смещений будут хорошо известны.
Б. Модели Е^. Пусть w = V2 ——vi — относительная пекулярная скорость пары галактик, в которой расстояние между объектами равно г, и пусть g(r, w) —распределение величин w. Тогда соотношение между истинной пространственной корреляционной функцией Е(г) и корреляционной функцией в пространстве красных смещений записывается в виде
1 +%(5 i) = \g(「，w) [1 +l(r)]d3wt
(76.6) 门=5 厂3 =冗一g/", 产=炉 + (口 一 Шз///)2.
Рассмотрим два предельных случая этого уравнения. _
Когда 〃尸 больше, чем дисперсия 5, а Е(г)《1, уравнение (76.6) преобразуется к виду
1 + % (。，口) « ] gd3w + 三[(о2 + f у/2].(76.7)
Первый член в правой части уравнения не равен единице, поскольку существует средняя скорость течения (разд. 71). Чтобы
смоделировать это течение, будем считать, что распределение величин w представимо в виде
g = g(W — ru (r)/r),(76.8)
где и (г)——средняя относительная пекулярная скорость тех пар галактик, расстояние между которыми равно г. Производя замену переменных y = w ——「u(r)/r, разлагая интеграл в ряд по v)Hr и оставляя только самые младшие по vIHr члены, получаем
%(5 力 ^ а (г) — ®(Г)/Нг][\ + (л2/г) d (In IV\/Hr)/dr]t
г2 = а2 + л2.(76.9)
С помощью уравнения для и(г) (71.12) преобразуем (76.9) к виду &(6 п) ^ * (" - К (л2 一 的2),(76.10)
где-
K = if (Q)$s2[s (s)，]ds.
Таким образом, ^V3 при л2> о2/2 н 短>三 при 冗2Vo2/2. Это и есть эффект сглаживания, упоминавшийся выше.
При малых г ожидается, что среднеквадратичный разброс величин w изменяется по закону 〜/^-у*〜匕&1 [уравнение (75.14)], т. е. почти не зависит от г. В этом случае можно приближенно записать“
j gd叫 d52= f (如з),(76.11)
где f является функцией только составляющей w, направленной вдоль луча зрения. В этом приближении уравнение (76.6) приобретает вид
% (о, л) = $ & ([а2 + (л - wlH^12} f (®) dw. (76.12)
Дисперсия относительной пекулярной скорости (75.10) равна
<^,> =3{w2)=3^w2f(w) dw.(76.13)
Можно упомянуть три метода оценки 〈的2〉， опирающиеся на /• Первый метод состоит в том, чтобы угадать приемлемую функциональную форму /, а затем подобрать параметры так, чтобы интеграл в уравнении (76.12) соответствовал ^. Для имеющихся данных экспоненциальная модель [316, 320], представляемая б форме
f ос ехр {—[2“1 5 |/〈⑪2〉"，},(76.14)
дает хорошее приближение для 占办 если [321]
(^2)1/2 = 450± 100 км/с, 仃《1厶7 Мпе. (76.15)
Поправка на ошибки измерения чрезвычайно неопределенна. Второй метод оценки <tiy2> исходит из уравнений, которые следуют из (76.12):
〈吟=№ j л2 腺(о, л) — В Т)] dn/5 £(5 2 dnr (76.16)
\ &(5 冗)dr =，Е (r) dir,产=о2 + л2.
В данном случае можно выбрать модель g (г), подобрать параметры так, чтобы удовлетворялось второе из этих уравнений, и затем полученные результаты подставить в первое уравнение. Этот метод в том виде, как он использовался в работе Пиблса [320}, дал значение г。, приведенное в (57.4). В третьем методе применяется следующее соотношение, получаемое из уравнения (76.12): 侬2〉= ”2、(冗2 一 м &р а я)rfn do^ ^ (о, л) dn da. (76.17)
Для этого метода нужны оценки только ^, но при этом усреднение go происходит по дисперсии л2 ——о2, слабо зависящей, как ожидается,. от о. Когда интегралы берутся только до (л, о)= = 10力一1 Мпс, выборка, нанесенная на рис. 76.1, дает 〈切？〉力〜 〜400 км/с [321].
Пекулярные скорости и средняя плотность вещества. Если корреляционные функции галактик служат хорошим приближением для аналогичных функций плотности вещества, то в малых масштабах средний квадрат относительной пекулярной скорости галактик изменяется в зависимости от расстояния по закону {уравнение (75.14)]
〈病〉8 产2, г<4й-1 Мпс.(76.18)
Это означает, что дисперсия проекции скорости, полученная из уравнения (76.16), должна зависеть от расстояния в проекции на небесную сферу следующим образом: <ш2>осо°>2. Однако для проверки этого соотношения нужна выборка, содержащая большее число галактик с измеренными красными смещениями.
При очень больших расстояниях между объектами пекулярные скорости статистически независимы, и〈吟〉равно удвоенному среднему квадрату пекулярной скорости галактики. Поправка на корреляцию скоростей в первом порядке была выведена в разд. 72. Учитывая, что f(Q)~a°，6 (разд. 14), из уравнений (72.3), (72.9) « (74.9) находим
<V21> « 2 <и2>(1 - 2,2й°'7йг),(76.19)
где г измеряется в мегапарсеках. Если, желая получить грубую оценку, мы экстраполируем два предельных случая (76.18) и (76.19) и сшиваем их при hr = 10 Мпс, то найдем
〈巒)〜3(苏〉(行 = 1力7 Мпе).(76.20)
Вместе с выражениями (74.9) и (76.15) это дает £2о^О,8. Аналогичное значение Qo получается из соотношений (76.12) и (76.15), но в этом случае нет никаких поправок на корреляцию движений в больших масштабах. Следует еще раз подчеркнуть, что полученные здесь численные результаты не очень интересны и служат лишь для иллюстрации метода, так как они основаны на выборках, которые пока еще слишком бедны, но которые в ближайшие несколько лет станут достаточно полными.
Поведение гало вокруг скоплений галактик
Измерения красных смещений галактик, расположенных вблизи богатых скоплений, показывают, что общее повышение плотности охватывает область поперечником в несколько десятков мегапарсек вокруг скопления [44, 139, 411]. Распределение галактик в этих внешних гало скоплений сильно отличается от сферически симметричного распределения, что и можно было бы ожидать, так как здесь характерное время пролета больше времени Хаббла. Поэтому анализ динамики любого отдельного гало неперспективен. Однако не исключено, что проще исследовать распределение и движения галактик, усредненные по представительной выборке скоплений. Как отмечалось в предыдущем разделе, интересно рассмотреть два случая. На достаточно малых расстояниях от центра скоплений гало, должно быть, уже пришли в статистическое равновесие, и, следовательно, можно записать соотношение между дисперсией скорости галактик и массой гало. При больших же г можно искать среднее течение, направленное к скоплению, которое подобно относительному движению сильно разделенных галактик, по выражено более ярко, поскольку само скопление выделено гораздо четче.
А. Среднее гало скопления Эйбелла. Средняя плотность галактик вокруг богатых компактных скоплений, выделенных Эйбеллом [2], была установлена при исследовании взаимных корреляций между координатами центров скоплений и Ликскими подсчетами галактик: подсчеты галактик вокруг всех скоплений в пределах некоторого класса расстояний были просуммированы и бы/ia определена средняя поверхностная плотность как функция углового расстояния от центра скопления [313, 369]. Безусловно, при усреднении могли потеряться особенности, свойственные отдельному скоплению, которые можно было бы выявить после более детального изучения подсчетов вокруг этого скопления, но предлагаемый метод позволяет проследить увеличение плотности 工。 существенно больших расстояний от центра скопления, поскольку в данном случае гораздо точнее оценивается поправка на фон.
Для перехода от суммарных подсчетов к /й(г) -- средней пространственной плотности вокруг скопления — необходимо зпать функцию светимости галактик, но произвол в выборе параметров не очень велик, поскольку преобразование должно быть согласовано с наблюдаемой зависимостью взаимной корреляционной функции от класса расстояния скопи1ений, т. е. с зависимостью корреляционной функции от предельной абсолютной звездной величины, до которой подсчитываются галактики в Ликском каталоге. Приемлемое согласие с результатами наблюдений дает выражение
修(г) = n [1 + 支貝叩=n (1 + 8L + Of), (77.1) е = 2,5,卩=1,7, 8=130力乜5, c=70h~1'7.
Здесь geg — взаимная корреляционная функция галактик и скоплений [уравнение (44.4)]; п ——общая средняя пространственная плотность, г измеряется в мегапарсеках. При г《0,5"-' Мне наилучшее значение показателя степени, вероятно, лежит ближе к е^2, чем к е = 2,5. Эта модель оказывается достаточно хорошей вплоть до г〜40力一1 Мне, где взаимную корреляционную функцию уже нельзя отличить от шума. Коэффициенты В и С оценены для скоплений, у которых класс богатства по Эйбеллу равен R = =1, но при R2 1 наблюдаемые взаимные корреляционные соотношения не очень сильно меняются при изменении R, и, следовательно, для скоплений с R3 1 коэффициенты не слишком сильно отличаются от приведенных значений.
Нужно отметить, что в соотношениях (77.1) учтены все галактики, расположенные вокруг скопления, включая галактики, принадлежащие и к другим скоплениям Эйбелла, которые скучиваются вокруг выбранного скопления. Обсуждалась также модель, в которой гало вокруг каждого скопления описывается отдельно от корреляций положений самих гало [369].
Флуктуации в распределениях галактик вокруг скоплений характеризуются трехточечной корреляционной функцией скопление——галактика——галактика, определенной уравнением (44.7). Исследуя взаимные корреляции Ликского каталога и скоплений Эйбелла класса богатства R=l, Фрай и Пиблс [117} нашли, что Данные хорошо аппроксимируются моделью
々gg = Qi〃g S) Wcg (尸2)+ Q2^ (r^ [^ G) + 録(尸2% (77.2)
Первый член в .этой модели получим, предположив, что пространственная плотность галактик вокруг скопления записывается в виде nf(r)M, где /--функция, одинаковая для всех скоплений, аМ— масса скопления. Отсюда находим
£g = f〈M〉，Qi=〈M2〉/〈M〉2. (77.3)
Второй член в уравнении (77.2) описывает скучивание галактик вокруг скопления. Для Ликского каталога и каталога Эйбелгш Фрай и Пиблс [117] получили Q2〜0,7.
Б. Статистическая динамика. Динамику гало удобно анализировать с помощью первого уравнения иерархии ББГКИ. Как и в разд. 68, вещество в малой области Г шестимерного фазового пространства будем описывать с помощью одночастичпой функции распределения fa(x, р, f) [уравнение (68.1)]. Среднее значение f« равно [уравнение (68.4)]
{fa^b^^p, t).(77.4)
Поскольку область Г размещается пе произвольным образом, а вокруг точки х, положение которой определяется относительно центра скопления, величина b является функцией положения и направления импульса р, отсчитываемого от х. Проинтегрировав уравнение (77.4) по импульсам, получим
、匕壮汨=孔1(尤，/) л3 = пс^\\ + lcg (х, /)].(77.5)
Уравнение Лиувилля для fa дается формулой (68.2). Усреднив его по ансамблю, придем к уравнению
db(X!, pi, t)/dt + (рГ^о2) дЬ/дхТ +
+(Gm2/a) -~ 卜2 (1, 2)(啮/屛)d3x2 d3p2 = 0. (77.6)
Это уравнение отличается от (68.7) только членом, содержащим производную по X. Двухточечное распределение р? (1, 2) определяется так же, как и в выражении (67.4). Интеграл от р? по нм- пульсам равен
，р2dбр = а%2(X], х2, 0，(77.7)
где Л2 дастся уравнением (44.7).
Упростим уравнение (77.6), перейдя к моментам по нмпульсу. Интеграл по импульсу равен
да3П[ (х, t)/dt + a2v ・力旷=0.(77.8)
Это не что иное, как обычное уравнение неразрывности, в котором V ——пекулярная скорость течения:
V = , [bp/пгща4] d3p.(77.9)
Умножив уравнение (77.6) на ра и проинтегрировав по импульсу, получим
5%а%а/0/ + 炉。々 8%B〉/d 炉—
=Gma^ J n2 (x, Xj) (x? — xa)/| X! — x |3d3xP (77.10)
Это уравнение соответствует уравнению импульса, в котором член, описывающий давление, задается моментом скорости
^y«v^ = [bpap^/m2n{ (х) a5] d3p.(77.11)
Вместе с уравнением (44.7), определяющим 孔2, модель (77.2) дает
dnxa^vujdt + 炉。孔]е%В〉/О%в = —GM (<х) лл2(ха/х3)[1 + Q^cg (^)] + + Q<fimr^а5，&(X|) ^ (| x — xi |) (x?—尤®) | X[ — x |~*3 d/,(77.12)
где M( <x) — разность масс: массы внутри сферы радиуса х, проведенной вокруг скопления, и массы, заключенной в такой же сфере при однородном распреде^юнии
М (<х) = mna3^ lcg (х) d3x.(77.13)
о
Поскольку Q?〜Q[〜1 и W《£g, последний член в уравнении (77.12) мал, и им можно пренебречь. Ниже обсуждаются два предельных случая уравнения (77.12)..■
В. Условие стационарности. При малых х скопления находятся в статистическом равновесии и £g》L Поэтому уравнение (77.12) нож но приближенно записать в форме
дп\ (г) е%В〉/0М = —СМ (<г) П] (r)Qir°/r3,(77.14)
1де ri\(r) = Hecg(r). Это ——обычное уравнение гидростатического равновесия, в котором давление (в общем случае анизотропное) представлено в виде 团几1〈^«^口〉. Средняя плотность вещества на расстоянии г от скопления равна тп\ (г), а избыток массы М(<г) равен интегралу от тп\ ——рь с верхним пределом интегрирования г. Среднее значение 〈и&и°〉 определяется по частицам, т. е. усреднение производится с учетом массы скопления М. Поскольку и2 пропорционально /", 〈и“иВ〉 изменяется пропорционально <Af2〉ocQi [уравнение (77.3)]. При усреднении дисперсий скоростей разннм скоплениям приписывается одинаковый вес, поэтому Qi принимается равным единице.
Если распределение по скоростям явьтяется изотропным, т. е. если
е%”^〈吟》В/3,(77.15)
То уравнение гидростатического равновесия приобретает вид
dn^ldr = —ОМ (<г) «1 (г)/г2,(77.16)
где о2, равное <р2>/3,——дисперсия скоростей вдоль луча зрения. Для степенной модели *g =力厂一* решением этого уравнения служит
O2 = 3/q"28产-%з 一 Е)(Е 一 1), (77.⑺
где Q — параметр плотности [соотношение (97.12)]. Для этой модели с одним степенным законом Селднер и Пиблс [370] нашли е = 2,4; В = 165Л-е. Эти значения дают
о= !200Q1/2(/ir)-°'2 км/с,(77.18)
где г измеряется в мегапарсеках. Подставляя gcg(r) из соотношения (77.1) в уравнение (77.16), получаем следующие значения:
о, км/с 1390QI/2 1300й"2 1260Q1/2
hr, Мпс 124.(77.19)
Различие между оценкой (77.18) и значением (77.19), полученным при г〜1力一'Мпс, характеризует неопределенность в а, связанную С Ecg・
В табл. 77.1 приведены результаты измерений дисперсии скоростей вдоль луча зрения для богатых скоплений. Приводимые значения взяты из работ [75, 97, 162, 168, 420]. В тех случаях, когда бьма известна даже неточная поправка к а, с помощью которой учитывалось влияние соседних скоплений, в табл. 77.1 вносилась меньшая по величине оценка а. Эти данные показывают, что нет существенной корреляции между и и классом богатства скоплений. Это согласуется с тем, что нс обнаружена зависимость *с# от класса богатства. Среднее значение о2 для класса богатства R 扌 1 равно
〈炉〉=(970 土 50 км/с)2.(77.20)
Подставляя это значение в первое из выражений (77.19), получаем Qo 〜0,5.'/
Основная неопределенность зтого значения Q связана с переходом от распределения больших галактик, расположенных вокруг скоплений, к распределению вещества. Проводя вычисления, мы предполагали, что внутри и вокруг яркой галактики сосредоточена в среднем одинаковая масса независимо от того, лежит ли галактика на расстоянии 1 или 2h~» Мпс от скопления или находится далеко от любого скопления. Если, как иногда предполагают, скрытая масса гораздо сильнее концентрируется к центру скопления, чем галактики, то соотношения (77.19) чрезвычайно завышают Q, и вместо слабой зависимости, даваемой соотнопгс- ниями (77.18) и (77.19), дисперсия скоростей вблизи скопления должна изменяться по закону а2ос 1/г. Наблюдательная проверка этого эффекта возможна, но необходимо осуществить большую про-
Таблица 77./
Дисперсии скоростей в богатых скоплениях галактик
Скопление
Класс богатства
Скопление
Класс богатства
а
Л 262
0
404
А 1656
2
888
А 1314
0
678
А 1795
2
783
А 2589
0
568
А 2029
2
778
А 2666
0
261
А 2065
2
1070
Дева Е + S0
—
550
А 2142
2
1241
А 154
1
829
А 2151
2
628
А 576
1
1081
А 2199
2
843
А 1060
1
771
А 2255
2
1222
А 2147
1
1079
А 2256
2
1274
А 2319
1
873
Л 98
3
786
Л 168
2
576
А 1940
3
715
А 401
2
1294
А 2670
3
890
А 426
2
1396
Центавр
—
860
А 754
2
915
0340-538
—
1011
А 1367
2
847
грамму по определению красных смещений галактик, располагающихся вокруг скоплений, чтобы получить представительную выборку. Соотношения (77.18) и (77.19) предполагают также стационарность, но следует отметить, что она необходима только в смысле среднего по представительной выборке скоплений, а не для отдельных скоплений. Поскольку дисперсия скоростей равна 。〜1000 км/с, характерное время пролета составляет 0,2 времени Хаббла при г = 2Ы Мпс. Поэтому, если бы £g при г W 2Л~1 Мпс ие было почти независимым от времени, оказалось бы, что мы наблюдаем скопления в очень специфический момент времени, что кажется неразумным.
Г. Течение при больших г. Средняя пространственная плотность вблизи скопления Эйбелла [соотношение (77.1)] в два раза превышает плотность фона (П[ = 2л) при расстоянии от центра скопления
〃=14九Мпс. (77.21)
Эта точка отмечает переход от внутренней нелинейной области, где, быть может, реализуется стационарное в статистическом
смысле состояние, к внешним частям, где возможно возмущение среднего движения галактик. Это движение можно описать в принципе таким же способом, как и относительное движение галактик (разд. 76).
Для расстояний г》〃， когда &g《l, из уравнений (77.8) и (77.12) находим.
dM/df + 4лрьа2х2у = 0, dav/dt + GM]a 炉=0.(77.22)
Здесь, как и выше, М — флуктуация массы [уравнение (77.13)]. Исключая из уравнений (77.22) скорость, поручаем
。2乂例产 + 2 (а/а) (дМ/dt) = 4fGp&M,(77.23)
что совпадает с уравнением для линейных возмущений (10.3). Растущим решением этого уравнения является Qi(£), и если оно существенно превосходит затухающее решение, то первое из уравнений (77.22) дает
О = -(/И/4лр6а2х2) (DID) = -2/3 (GM/r2) f (Q)/Q〃，(77.24)
f = (a/Di) dDJda,
что согласуется с уравнением (14.8).
В модели rti (г) (77.1) средняя флуктуация массы равна
■ М (<г) = 4лр&[Вг3-7(3 - е) + Сг3-^/(3 - И)],(77.25)
и, следовательно, средняя пекулярная скорость движения записывается в виде
о = —Hf (Q)[Br'-e/(3 — е) + Сг—»7(3 -卩)]=
=-f (Q) [2,6 • \^!{hr)1^ + 5,6 • 1О7(/гг)о,7]км/с.(77.26)
На расстоянии 厂=20/гт Мпс от центра скопления пекулярная скорость (77.26) достигает 980/ км/с, а по«чная скорость относительно скопления равна 2000——980/ км/с.
Такое движение уменьшает видимую среднюю пространственную плотность галактик переднего плана и фона, измеренную по распределению красных смещений. Рассмотрим, например, распределение галактик, видимых в проекции близко к центру скопления, по красным смещениям. Интересно проанализировать разность скоростей.
A = c|Z-ZcJ(77.27)
где Z*—красное смещение галактики, a Ze — среднее красное смещение скопления (Zci《l). Число галактик вдоль луча зрения как функция расстояния и от центра скопления записывается в виде [соотношения (77.1)]
dJCfdu о< 1 + B/U2'5 + C/u1'7.(77.28)
Средняя разность скоростей галактик, расположенных на расстоянии “，равна
А = Ни + и,(77.29)
где V дается выражением (77.26). Поэтому распределение по А записывается в виде
dJf/d\ = (d^/du)/(d\/du)f(77.30)
откуда находим
дЛ1д\ 1 +В ("/А)£ 口 一 〃Q) (е — 1)/(3 一 叨 +
+ C ("小户口 T (Q)也 一 1 )/(3 - n)].(77.31)
Например, нри А = 2000 км/с имеем
дЛ!д^ » 1 + 0,52 [1 - 0,88/ (Q)].(77.32)
Что касается уравнения (76.10), то можно лишь мечтать о программе наблюдений, которая должна обнаружить этот эффект, если / близко к единице. Осуществление этой программы было бы научным подвигом.
Сверхскопления
В табл. 78.1 приведены оценки [161] величины Nn — среднего числа центров скоплений Эйбелла, расстояние которых до случайно выбранного скопления меньше г, причем из этих оценок вычтены значения, получающиеся при случайном распределении:
N " =忆、ЗссdV.(78.1)
о
В подсчеты включены все скопления с R》1. Корреляция скоплений довольно хорошо выявляется и положительна вплоть до r^^h~{ Мпс. Ошибки, указанные в таблице,——это весьма приближенные оценки одного стандартного уклонения. Они основаны на наблюдаемом разбросе оценок Nn и на результатах различных моделей, приближенно аппроксимирующих данные наблюдений.
В третьем столбце табл. 78.1 приведено среднее число скоплений, попадающих в произвольно выбранную сферу:
Nr = ^ncr\(78.2)
где средняя пространственная плотность скоплений Эйбелла равна
/г© = 4,8 • 10-6九一з мпс-?.(78.3)
Другой интересной статистической характеристикой hBvIhctcsi разность среднего числа галактик вокруг скопления (77.1) и аналогичной величины, получаемой при случайном распределении:
Nn(g)^a \ icedV.(78.4)
О
В это число включены галактики выбранного скопления, галактики в близлежащих скоплениях и любой общий избыток пространственной плотности галактик в окружающем поле, не входящем в скопления. В последнем столбце табл. 78.1 приведено отношение Nn (g) к величине Nr(g)~nV, т. е. к среднему числу галактик, обнаруживаемых в случайно выбранной сфере соответствующего радиуса.
Таблица 78」'
Сверхскопления
hr, Мпс
办
Nr
N〃*r
办(£)/》(&)
10
0,18 ±0,02
0,02
9工1
6 二 1
20
0,85-0,07
0,16
5,3 工 0,04
1,5 二 0,3
30
1,7±0,3
0,54
3,2-0,06
0,7±0,5
40
2,4±0,5
1,3
1,9±0,4
0,4-1 0,2
Можно было бы предположить, что в далеком прошлом протоскопления распределялись в пространстве случайным образом равномерно и что в настоящее время их положения коррелируют потому, что под действием сил гравитации эти массивные объекты приблизились друг к другу. Но так просто этот процесс произойти не мог, поскольку вследствие сил гравитации притягиваются не только галактики, но и скопления (если только галактики поля нс обладают очень большими случайными скоростями, так как тогда длина Джинса была бы большой). Поэтому контраст плотности галактик должен соответствовать контрасту плотности скоплении (с учетом скопления в центре сферы)
N〃(g)/N「(g)~(l +%〃)/%「• (78.5)
Однако это не наблюдается. Например, по подсчетам галактик масса внутри сферы радиуса 40/г^1 Мпс, проведенной вокруг скопления, па 40 % больше массы, ожидаемой при однородном распределении; из подсчетов же скоплений следует, что масса вокруг произвольно выбранного скопления в (l+Nn) /Nr^ 。2,6 раза больше, чем при однородном распределении. Таким
образом, галактики и скопления нс могут одновременно служить хорошими индикаторами крупномасштабного распределения вещества. Это расхождение согласуется с предположением, что вероятность превращения протоскоплсиия в ходе эволюции в богатое компактное скопление увеличивается, если протоскопление находится в области общего повышения плотности.
Чтобы исследовать динамику сверхскоплений, необходимо знать степень концентрации вещества и учитывать, что галактики и скопления, как мы только что отметили, но могут одновременно служить индикаторами распределения вещества. Галактики, по- видимому, являются более падежными индикаторами. Тогда ожидаемое возмущение среднего движения галактик, создаваемое средней концентрацией вещества вокруг скопления, равно [уравнение (77.24)]
v = -'kHrf^)Nn(g)/Nr(g). (78.6)
Это означает, что наблюдатели, которые находятся в случайно выбранных скоплениях Эйбелла, обнаружат, что скорость убегания скоплений, расположенных на расстоянии г = 40Л-1 Мпс, в среднем равна
cZ ^ [400Э - 500/ (Й)] км/с. (78.7)
Как отмечалось в разд. 76 и 77, этот эффект можно проверить, если составить выборку разностей красных смещений для пар скоплении, расположенных на небесной сфере близко друг к другу. Для точной оценки распределения вещества важно исследовать относительные скорости скоплений, находящихся в пространстве на малых расстояниях друг от друга [268].
Проблемы и перспективы
В этой главе мы, как правило, принимали, что галактики служат хорошими индикаторами распределения вещества. Но это предположение совершенно неочевидно: на расстояниях г W W l/i-1 Мпс корреляция морфологического типа галактики и числа соседей у псе свидетельствует о противоположном, и, кроме того, и на этих, и на больших масштабах достаточно места для вещества, находящегося в других формах (например, в виде горячего газа), причем можно ожидать, что это вещество распределено иначе, чем галактики. В пользу этого предположения есть некоторые свидетельства. В автомодельном решении (разд. 73) предсказываемые соотношения между автокорреляционными функциями плотности вещества 自「, gp и т]р весьма точно удовлетворяются корреляционными функциями галактик g, g и 刀,н такое совпадение вызывало бы удивление, если бы оба распределения (галактик и вещества) не были тесно связаны. Если предполо-
жить, что 己口 =自 и т. д., то при малых г дисперсия относительной скорости 〈и^](г)〉должна изменяться по закону г0^ [уравнение (75.14), рис. 75.1]. Имеющиеся весьма приближенные наблюдения по меньшей мере не противоречат такому закону: по всей видимости, наблюдаемая дисперсия очень слабо меняется при изменении г. Если предположить, что галактики и скопления образовались в результате одного и того же физического процесса, то можно ожидать, что ^р (г), полученное при изучении скучивапия галактик, плавно переходит в ^р, определяемое по распределению вещества внутри галактик. Из разд. 64 следует, что это действительно так, если Q〜1.
Первое свойство — соотношение между 自，工 н 4 — зависит от двух дополнительных предположений. Считается, что начальное распределение вещества примерно аппроксимируется случайным процессом Гаусса, спектр мощности которого пропорционален kn, где 几——показатель степени, подбираемый так, чтобы удовлетворить 自 при малых г. Как показано в следующей главе, возможно, что в ходе рекомбинации, протекавшей при красных смещениях Z〜1000, на малых длинах волн пронзошло затухание возмущений. При некоторых начальных условиях можно избежать этого (гл. VI), но если затухание все же происходит, то необходимо искать другие пути для объяснения степенной зависимости ^(г), например искать какие-то процессы релаксации [332, 340]. Безусловно, при таких альтернативных процессах выполнение условия gp = ^ и т. д. необязательно.
Автомодельное peuieHiic основано на предположении, что параметр плотности Q близок к единице и что космологическая постоянная А пренебрежимо мала. Когда С《1, малые флуктуации плотности ле растут (разд. 11 и 13), и, следовательно, плотность в наибольших связанных скоплениях иерархии значительно больше средней плотности фона. В результате можно ожидат!), что функция g(r) имеет излом, так что ^ (г) уменьшается быстрее, чем 厂-з (разд. 71), т. с. гораздо быстрее, чем наблюдается. Более детальные вычисления 己 в космологических моделях с низкой плотностью приведены в [56]. В этой работе показано, что излом в g не согласуется с наблюдаемой корреляционной функцией, если не выполнено \-словие Qo>O,3. Если бы параметр плотности был много меньше этого значения, то маловероятно, что расширение Вселенной приближенно описывалось бы моделью Эйнштейна--де Ситтера в таком интервале красных смещений, чтобы для любого диапазона г в соответствии с соображениями о масштабной инвариантности (разд. 73) успела установиться стспеп- на$1 зависимость для функции $р (г). Например, если О。= 0.03 м 〃 = 50 км/(с-Мпс), то модель Эйнштейна - де Ситтера служит хорошим приближением только в диапазоне красных смещений 纟万 _ 1 ~ 30Gz《300,(79.1)
где верхний предел определяется плотностью излучения (разд. 12). В этом случае решение, полученное в разд. 73, видимо, не применимо, несмотря на то что оно дает хорошее согласие с данными наблюдений.
Характерная масса, заключенная в ярких, легко наблюдаемых областях большой галактики, определяется соотношением (64.5). Это значение, умноженное на частоту встречаемости больших галактик, дает &〜0,01. Несовпадение этого значения со значением, которое следует из приведенных выше аргументов, стимулирует исследования, но и чрезвычайно осложняет их. Пологие кривые вращения больших галактик показывают, что плотность вещества изменяется по закону г-2. Это значит, что в обычную оценку массы нс включается скрытая масса, заключенная в слабосветящемся гало [347]. В гигантских скоплениях масса, приходящаяся на галактику, во много раз превосходит значение, даваемое соотношением (64.5), и если принять, что все галактики обладают такой массой, то оценки приводят к Qa0,5 (разд. 77). Таким образом, существуют некоторые свидетельства в пользу того, что вне ярких областей галактик находится значительная масса, и есть огромное пространство, где можно поместить эту массу. Однако если здесь заключена основная часть массы, то закономерно спросить: является ли распределение галактик хорошей мерой крупномасштабного распределения вещества?
Другой подход к решению проблемы массы состоит в том, чтобы усовершенствовать теорию эволюции ^ (г) и принять во внимание, что в космологических моделях с низкой плотностью допустимо появление степенной зависимости у g (г). Для существующей теории интересная проблема связана с результатами кисленного решения задачи многих тел, с помощью которой моделируется движение вещества в расширяющейся Вселенной. Ме・ 卜од, основанный на задаче многих тел, привлекателен тем, что он pO3BOviHCT учитывать такие тонкие эффекты, как разрушение Иерархии скучивания в результате релаксации и образование ©ксшлеинй вследствие сжатия вещества (разд. 71). Модели многих ，ел, несомненно, могут привести к распределениям частиц, которые хорошо воспроизводят видимые положения галактик (см., шпример, [144, 308]). Численные результаты, полученные с помощью этих моделей, согласуются с уравнением (70.3) [85, 325] н даже при Со〜0,1 совпадают со степенными зависимостями, обнаруженными у корреляционных функций галактик [137, 256], хотя высказывались сомнения в том, что действительно удалось Удовлетворить данным наблюдений при Q0^0J [85, 103, 104, 118]. В моделях многих тел основная трудность связана с ограниченным динамическим диапазоном расстояний. В этих моделях существуют две характерные длины: начальный радиус R распределения ^ частиц н начальное расстояние между частицами Rt = RN& Начальные флуктуации плотности в масштабах
г《禽 велики, и мы не знаем, как《заставить» эти флуктуации моделировать нелинейное скучивание вещества и те движения, которые должны были развиться в реальной Вселенной к моменту начала расчетов в модели. Это осуществимо только в масштабах r》R『，где применимо приближение линейных возмущений. Проблема состоит в том, что трудно рассчитать движения в системе, насчитывающей более 〜1000 частиц, а для такого числа частиц Ri〜GJR. Таким образом, условие 厂》凡 противоречит условию, согласно которому г должно быть значительно меньше, чем размер системы R. Поэтому весьма сомнительно, чтобы с помощью обычных моделей многих тел можно было получить убедительные результаты, касающиеся ожидаемой формы Ер (г).
Основную тему этой главы можно выразить так: и-точечные корреляционные функции, которые в качестве описательных статистических характеристик оказались полезными при изучении скучивания галактик, применимы также в теории динамики ску- чивания. Как отмечалось, остается невыясненным, можно ли сочетать этот подход с предположением, что 坛=己 и т. д., так что возможности для наблюдательных и теоретических исследований в этом направлении чрезвычайно велнкн.
Глава V
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
ЭВОЛЮЦИИ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
В МОДЕЛИ РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
Роль релятивистской теории
Нельзя исследовать эволюцию неоднородностей плотности, существовавших в ранней Вселенной, только в рамках ньютоновского приближения, рассмотренного в гл. II. Применение общей теории относительности необходимо для анализа трех важных эффектов. Во-первых, когда давление высоко, на динамику вещества влияют обычная гравитационная масса и инертная масса, связанная с давлением. Во-вторых, при высокой средней плотности даже флуктуации, относительная величина бр/р которых невелика и которые содержат сравнительно небольшую массу, могут сильно влиять на кривизну пространства. Таким образом, нужно рассмотреть связь предположений о характере распределения вещества и о геометрии в ранней Вселенной. В-третьих, по мере приближения к моменту начала расширения Вселенной (т. е. при /-> 0) расстояние до горизонта ct стремится к нулю: размер начальных флуктуаций, из которых со временем могли образоваться галактики, был больше расстояния до горизонта, и поэтому в самом начале расширения флуктуации не были причинно связанными. Конечно, этот интересный вывод применим также н к однородному фону: почему-то все части наблюдаемой сегодня Вселенной стали расширяться совершенно однородно, хотя наблюдателю не удалось бы установить это задолго до современной эпохи.
Ситуация еще более осложняется тем, что, как предсказывается, при Z > 1000 вещество находилось в ионизованном состоянии, поэтому для важнейшей части спектра вследствие рассеяния на свободных электронах средняя длина свободного пробега электромагнитного излучения и время тепловой релаксации были малы. Поэтому возможности получения информации с помощью наблюдений сильно ограничены. Из-за трудностей с наблюдениями, а также в связи с очень глубокими проблемами теории дискуссия об истинной природе ранней Вселенной, вероятно, закончится нескоро. Именно поэтому я и нс пытался рассмотреть все обсуждающиеся в настоящее время проблемы, а отобрал те результаты, которые кажутся мне. простыми и достаточно попятными.
Обсуждение удобно начать с обзора некоторых основных аспектов проблемы. Космологические уравнения для однородной модели мира, играющей роль фона, записываются следующим образом (разд. 97):
(a/а)? = 8/33Gp — (a/?)-2, dp/df = —3 Q/а) (р + р/с?), (80.1)
где постоянная R-2 (оиа может быть отрицательной) связана с параметром плотности Q(f) соотношением
8/зебр ⑺三Q«)R/a)2, a|R|= 1「(Н| 1 -Qp-2),
Я (/) = &/〃•(80.2)
Из второго уравнения (80.1) следует, что если давление р положительно (что кажется правдоподобным), то плотность вещества р изменяется быстрее, чем а-3. Следовательно, при достаточно малых а первое из уравнений (80.1) приближенно записывается в виде.
0/а)2 = 8/зс(7р.(80.3)
Считается, что в настоящее время параметр плотности заключен в диапазоне
0,03《％《1.(80.4)
Отсюда следует, что уравнение (80.3) является хорошим приближением, когда красное смещение удовлетворяет условию
1+Z = ao/a(/)》| 1-ОО"」式30.(80.5)
Неоднородность плотности, обладающая малой амплитудой, расширяется в соответствии с теми же законами, что н вся Вселенная, и, следовательно, се собственный размер 九 изменяется так же, как н масштабный фактор а (/). В таком случае отношение размера неоднородности к расстоянию до горизонта пропорционально
Mctaa(tMt.(80.6)
Если р ос 仪-з, т0 уравнение (80.3) даст а ос 步/з, так что отношение (80.6) при f->0 стремится к бесконечности по закону £ “з Если р > 0, то при f->0 это отношение расходится еще быстрее. Поэтому ясно, что при достаточно малых t градиент давления не может предотвратить рост неоднородностей, поскольку за характерное время расширения градиент давления нс может проявиться заметным образом.
Геометрия однородной модели фона описывается метрикой (97.11), Современный радиус кривизны пространства, онредсляс-
^ый в фиксированный момент времени, равен [уравнения (80.2) И (30.4)]
caojRI=ЗООО/г- Мпс~"о. (80.7)
Другими словами, в настоящее время радиус cao\R\ ненамного меньше расстояния до горизонта cfo, а в соответствии с выражением (80.6) в ранней Вселенной он был гораздо больше, чем расстояние до горизонта.
Надежно установлено, что скучивание вещества достигает размеров 儿 равных примерно 4Qh~{ Мпс (ср. с табл. 78.1), т. е. размер скучивания не превосходит 0,01 радиуса кривизны с。。R|. Поскольку в прошлом размер этих крупномасштабных флуктуаций изменялся пропорционально а (/), такое же отношение должно было существовать и в ранней Вселенной. В результате в случаях, представляющих практический интерес, можно считать, что x《c|R|, и, следовательно, метрика (97.11) приближенно записывается в виде
ds2 = с2 力2 — a2 (dx2 + х2 rfO2 + x2sin20 rf(p2) = c2 dt?— 〃纵出 d%。dx^.
(80.8)
Благодаря этому обстоятельству наша задача чрезвычайно упрощается: мы должны изучить возмущения геометрии пространства, которое, в сущности, является космологически плоским.
В последующих разделах теоретические выражения будут иметь более простой вид благодаря тому, что единицы измерения выбраны так, что скорость света равна единице.
Синхронная система отсчета
Чтобы упростить анализ, воспользуемся особым, очень удобным методом задания координат. Начнем с пространственно-подобной гиперповерхности, которой присвоим временную координату //. На эту гиперповерхность поместим основных наблюдателей: каждый из них имеет набор физических часов, чтобы определять /；, и каждому присвоен набор пространственных координат (х1, х2,工3)=炉 Эти наблюдатели движутся свободно, т. е. на них нс действуют никакие силы, за исключением силы тяготения. Начальные скорости наблюдателей направлены перпендикулярно выбранной гиперповерхности
gnu1 d^ = 0, (81.1)
где uz -- 4-скорость наблюдателя, а смещение dxl лежит на выбранной гиперповерхности. Теперь событию, которое произошло в пространстве-времени, присвоим четыре координаты: три из них — это координаты ха, принадлежащие основному наблюда-
телю, мировая линия которого прошла через событие, а четвертая координата равна отсчету времени этого наблюдателя в точке, где произошло ^обытие.
Чтобы понять, как такой выбор системы отсчета сказывается на метрическом тензоре, сначала вспомним следующую интер
претацию интервала:
(81.2)(81.2)= g订(х) d£ d".
(81.2)
(81.2)
Если две точки xz и x〃bd尢'разделены времениподобным интервалом, то ds — это интервал собственного времени, определяемый по часам, которые движутся из одной точки в другую. Если же точки разделены пространственно-подобным интервалом, то |ds|——собственное расстояние, измеряемое по линейке, которая касается двух точек одновременно, что устанавливает наблюдатель, расположенный на этой линейке. Если в выбранной системе отсчета dx06 = о, то ds = df, поскольку в этом случае интервал dt определяется с помощью физических часов. Поэтому имеем
goo=l.(81.3)
В выбранной системе отсчета 4-скорость 〃‘ каждого из основных .наблюдателей равна
以 а = dxa/ds — 0,(81.4)
поскольку каждому наблюдателю присвоены постоянные х%. В уравнении (81.1) компонент dxQ вектора dN равен нулю, так как этот вектор лежит на гиперповерхности х°=力，поэтому уравнение (81.1) дает
gOa (Л) = °・(81.5)
Вне этой гиперповерхности компоненты goa находятся из условия, что наблюдатель движется вдоль геодезической, описываемой уравнением
dg订凉/曲=%gj財屈必，uz = dxl/ds.(81.6)
Подставляя 卫仪=0 и goo — 1. при i = а, преобразуем уравнение (81.6) к виду
dgoa/ds = O・(81.7)
Таким образом, goa всюду равно нулю.
В соответствии с приведенным выше описанием синхронная система отсчета, которая определяется условиями goo = 1 и goa = =0, существует всегда (для приемлемого g〃)，но в общем случае одна система отсчета не может охватить все пространство- время, поскольку траектории наблюдателей стремятся пересечься так же, как траектории частиц, рассмотренные в разд. 21.
Когда траектории пересекутся, нужно снова повторить описанную процедуру, вводя новую гиперповерхность У = const.
В построенной системе отсчета существует удобный метод определения флуктуаций плотности в ранней Вселенной. Милн [253] отметил любопытное свойство, заключающееся в том, что гиперповерхность /； можно задать так, чтобы опа проходила через области, в которых плотность вещества равна некоторому выбранному значению (если распределение вещества достаточно гладкое), в результате неоднородности исключаются. В связи с этим иногда говорят, что бессмысленно рассматривать неоднородности плотности с характерными размерами, превышающими расстояние до горизонта. Однако представим себе, что наблюдатели распределены по всей Вселенной и движутся вместе с веществом, регистрируя р (ха, /)——локальную плотность как функцию собственного времени. Когда расстояние между наблюдателями оказывается меньше расстояния до горизонта, данные о плотности становятся доступными, и их можно сравнить. Если с помощью подбора начальных моментов времени согласовать эти данные нельзя, то это означает, что Вселенная была неоднородной в масштабах, превышающих расстояние до горизонта. Именно это определение неоднородностей используется во всех дальнейших рассуждениях.
Нс следует забывать, что если время / является общей координатой, то бессмысленно регистрировать функцию р (ха, f), поскольку различные функции можно привести в соответствие друг с другом путем преобразования координат. В этом кроется причина тех странных результатов, которые можно найти в литературе. Некоторые примеры того, как выбор системы координат влияет на 6р/р, приведены в [354]. Смысл неоднородностей в масштабах, превышающих расстояние до горизонта, обсуждается в работах [12, 334].
Крупномасштабная структура Вселенной, по-видимому, хорошо аппроксимируется однородной плоской космологической моделью мира [уравнение (80.8)]. Чаще всего мы будем полагать, что неоднородности в распределении вещества вызывают неоднородности в геометрии пространства, которые можно описывать линейной теорией возмущений. Тогда в синхронной системе отсчета элементы метрического тензора для «возмущенного» состояния, как мы видим, можно записать в форме
goo=l, gOa = °，ga© ==—废 ВаЗ —九 аб(X, £)], (81.8) где все шесть полей h^, описывающик возмущение, считаются малыми (I Лар I ＜； 1), поэтому членами порядка А2 можно пренебречь. Обратный тензор равен
g°°=L g°a = 0, gap=-fl-2 (dap + Zlap), (81.9)
причем с точностью до членов порядка h выполняется соотношение
W = st(81.10)
С помощью преобразования координат можно менять поля 九仪仇 не затрагивая при этом физического состояния системы. Общее преобразование координат записывается в виде
ga (х) = д^/дх1 д^11дх^к1 (х),屮=启(W).(81.11)
Бесконечно малое преобразование координат, оставляющее систему отсчета синхронной, представляется в форме
t = t + ^ X« = xa + da.(81.12)
Это преобразование дает
goo = 1 + 2而=1, gOct =屮,а —絞&° = 0,
gctB = 一"2 ®В —厶ав) = —"2 (°аВ 一 万аВ + &：В + dot + 21^1?。/〃)，
(81.13)
где оставлены только линейные по /г, р и da члены. Первые два уравнения нужны для того, чтобы не менялась форма записи метрики (81.8). Первое уравнение означает, что，не зависит от /, а второе ——что da записывается следующим образом：
t
d" = w,a(x) ]a-2d/ + %a(x).(81.14)
Тогда из последнего уравнения получаем соотношение для бесконечно малого преобразования координат
底竹=鵰曰 + 2屮，ад ] а 2 df + %：в + Х?а + Z^afja/a. (81.15)
Функция ，(х) описывает бесконечно малое смещение начальной гиперповерхности, и первый член в правой части уравнения (81.14) показывает, как это смещение влияет на координаты ха вне гиперповерхности. Член %а(хр) описывает изменение координат на начально宓 гиперповерхности.
Удобной формой является
(—^^^а3^ 一九/2),(81.16)
где g — определитель g小 a h ——след тензора h^. Условие преобразования (81.15) для h приобретает вид
h =九 + 2 v^^ ] a 2 df + 2Z?a + 6i|)a/a.(81.17)
Уравнения поля для йаР
Уравнения Эйнштейна для гравитационного поля удобно записать в форме
R" = 8№7(7\j-%g“).(82.1)
В случае идеальной жидкости тензор энергии-импульса записывается в виде
W = (р + р)办办—pg", М = dx'/ds,(82.2)
где р — собственная плотность вещества, р — давление, а тензор Риччи равен
R" = Г%, , - г% + 彌 1% — г"%,(82.3)
Где Г определяется через метрический тензор
「％ = %g" (g〃, / + g〃, / — g〃, /)•(82.4)
Подставляя в (82.4) выражение для g^ (81.8) и сохраняя только члены первого порядка по йар, получаем
p8f = 0, гцо = 0, rЯp = аа (，中一九加一%絞底8,
「叩=6邱a/a一%方ctR，］ аР =^ % (%а?, Р + %В* 口 一厶ав, Y)»(82.5)
го/ = за/a -力/2, г4/ = -%九,0，力=2 力аа.
Теперь, подставляя эти выражения в (82.3), находим тензор Риччи с точностью до членов первого порядка по йар：
Roo = —За/а + %方 + (а/а)瓦 Ra = —%方a©, p + '/2力,a, (82.6) Rafi =必［(^ + 2£?/出)(6ap -九耶)-
—%(a/a)力就—% (a/a) A6ap — *Мар ］ + R 鬼
^a|3 = % (〃af5, w + 么 aB —也ay, vP —力6* Ya)・
В невозмущенной космологической модели фона жидкость покоится в системе отсчета, соответствующей метрике (80.8). Поэтому 屈=6j, и тензор энергии-импульса (82.2) является диагональным
Т00 (&) = рь, ТаЦЬ) = %6网/出，Т (&)=例 一 3%.(82.7)
Если в уравнения поля (82.1) подставить эти выражения, а также выражения для невозмущенной части R订(82.6), то получим
а/а = —%пС (р6 + Зрь),
а/а + 2 (a/a)2 == 4nG (р6 — р6).(82.8)
Эти уравнения эквивалентны уравнениям (80.1) при /?-2 = 0.
20*
Подставляя соотношения (82.8) в невозмущенные члены уравнений (82.6), собирая эти члены вместе и перенося их в уравнениях поля в правую часть, находим
% 方 + (а/。)应=4лО (2Тоо — Т —例一3pj
%力，a — %底в, в = 8лОТ0а,
R^ — а? [% (а/а)方耶 + %(〃/〃)方九日 + %而邱]=
=4лО [27\|3 + a2dap (T — р& + pb)].(82.9)
Таким образом, мы получили общие уравнения для линейных возмущений /гар. Если вещество приближенно описывается моделью идеальной жидкости (82.2), то уравнения поля приобретают вид
%分 + (a/a) й = 4лО [2 (р + р) [(и0)2 — 1] + р — р6 + 3 (р —脸],%应,a — %几в, в = —8nGa2(p + °)и°ма,
^ap •— a? [% (a/a)方aB + % (a/。)在aB + 力方邱】=
=4nG [2 (p + p) a%。"!5 + a26aB(P — P& — P + Pb)]-(82.10)
В следующих разделах рассмотрены различные решения и предельные случаи.
Гравитационные волны
К любому частному решению уравнений (82.9) можно добавить составляющую %& которая является решением однородных уравнений (82.9) и которая представляет свободную гравитационную волну. Первое из этих однородных уравнений записывается в виде
% 百 + (£/а)应=0.(83.1)
Решением этого уравнения является
万= 〃％)//.(83.2)
Это решение можно исключить с помощью преобразования координат; уравнение (81.17) дает
dh/dt = dh/dt + 2F“ (xa)/a2.(83.3)
Следовательно, p можно выбрать так, чтобы,
应=0.(83.4)
Поскольку элемент собственного пространственного объема, который измеряется наблюдателем, находящимся при фиксированных х”，связан с элементом координатного объема соотношением dv = (-g)l;2 rf3x = а3 (1 - h/2) Л,(83.5)
где g — определитель ga^ уравнение (83.4) означает, что такая волна не изменяет объем, занимаемый облаком свободно движущихся частиц. Этого можно было ожидать, так как волна соответствует приливным силам. Второе из уравнений (82.9) дает 底3 6 = 0, Лар, р = 0-(83.6)
В самом деле,尸[уравнение (81.15)] можно выбрать так, чтобы на начальной гиперповерхности ha^t р = 0. Этот вывод означает, что волна является поперечной. В результате последнее из уравнений (82.9) приводит к двум уравнениям: V 2h (х^) = 0, единственным решением которого является 力=const, и
С? V 2йаР = йа₽ + 3 (а/а) йаР.(83.7)
Это и. есть уравнение гравитационных волн.
Переходя к фурье-компонентам с пространственным волновым вектором к и собственной длиной волны
九=2仃0(/)/財(83.8)
получим уравнение для амплитуды возмущения
cPAIdt2 + 3 (а/а) dA/dt + (k/a)2 А = 0.(83.9)
Если длина волны мала по сравнению с временем расширения t^aja, то, опуская члены порядка /~2, запишем решение уравнения (83.9) в адиабатическом приближении (разд. 16):
А — В (t) exp ^―ffe j .(83.10)
■Таким образом, получаем [163]
力аВ ex L «) exp [% (k • x —旺 cTx df) .(83.11)
Относительное возмущение собственного расстояния между соседними свободно движущимися частицами изменяется пропорционально 力仪小 и при расширении это возмущение уменьшается по закону а~1 (/).
Ньютоновское приближение
Ньютоновское приближение, использованное в гл. 11, получается из уравнений общей теории относительности в пределе, когда все пекулярные скорости малы. Чтобы в этом приближении
выделить в уравнениях (82.9) преобладающие члены, предположим, что размер изучаемых структур по порядку величины равен £, характерное время изменения этих структур т меньше или сравнимо с временем расишрения f, а характерная скорость и〜 〜/./% много меньше единицы. В таком случае из первого уравнения (82.9) следует, что компоненты 九仪廿 по порядку величины равн ы
Ср〜应〜vh "а〜絞么ав/а，(84.1)
Члены же, стоящие в правой части уравнений (82.9), также по порядку величины равны
(84.2)(82.9)(84.3)(84.4)(84.5),если(84.2)(82.9)(84.3)(84.4)(84.5),еслиToo 〜Р，То& 〜poa. Tap 〜pe%2, P《pw2.
(84.2)
(82.9)
(84.3)
(84.4)
(84.5)
,если
(84.2)
(82.9)
(84.3)
(84.4)
(84.5)
,если
В пределе при &《1 преобладающие члены в уравнениях дают
百 + 2 (a/a) Л = 8лО (р — р/ 应,a =万好,日,九a3 YY + 九,aB 一力a、，Y日 一力0Y, Ya = °，
Решение второго из этих уравнений записывается в виде
Следовательно, “ можно представить в форме
dha^/dt = Ф(邱.
Это уравнение согласуется с последним из уравнений (84.3 его продифференцировать по времени.
Обычные уравнения Ньютона получатся, если с помощью преобразования координат исключить 方仪。(в первом порядке). Преобразование координат, которое записывается в виде
?=/-屮，* = %а — М(х, f),(84.6)
с точностью до членов первого порядка по 寸，d" и йар дает [ср. с уравнениями (81.13)]
g00 == 1 + 21|；, gw = W,(2 — а”*。，
(84.7)
力аВ ~ 力а® — ^, |3 — d?仪一2i|'daptl/a.
Чтобы ИСКЛЮЧИТЬ goa, ПОЛОЖИМ
da = ф> a/^2*(84.8)
В результате, дифференцируя по времени последнее уравнение (84.7), получаем
dha^ldt =啞—2屯 a"Q2 — 20 (力。)ЯДМ"
Это уравнение удовлетворяется, если
屮,邱=2屮,ар/a2 + 2d (а/а) ^ali/dt.(84.9)
Ньютоновское приближение применимо в том случае, если характерный размер возмущений, появляющийся в первом члене правой части уравнения, во много раз меньше характерного времени т, появляющегося во втором члене. Тогда вторым членом в правой части можно пренебречь. В результате находим
2=w出/2.(84.10)
Это соотношение определяет преобразование времени -ф через функцию W [уравнение (84.5)]. Запшием первое из уравнений (84.3)
3 "2 鲁"=^^^(Р — Pb).(84.1 1)
Поскольку
А= р2 屮，(84.12)
уравнение (84.11) приобретает вид
F市=4лСа2 (р — рь)=寸2屮，(84.13)
где ньютоновский потенциал равен
4> = ^=^2da2^/dt.(84.14)
(84.15)(84.15)Компонент метрического тензора goo [уравнение (84.7)] записы вастся теперь в форме
(84.15)
(84.15)
goo = 1 + 2([-
Это ——обычная форма записи для ньютоновского приближения [уравнение (6,12)].
В новой системе координат уравнения движения вдоль геодезической (81.6) для медленно движущейся частицы имеют вид
d 八2 d%“dipd 八2 d%“dip(84.16)(84.16)
d 八2 d%“dip
d 八2 d%“dip
(84.16)
(84.16)
Поскольку в ньютоновской системе координат собственная скорость с точностью до членов более высокого порядка равна
vn = adxa/dtf(84.17)
уравнения движения (84.16) приобретают вид
dv'4dt + ("а) и" = -a"1 d(f/dxa.(84.18)
Эти уравнения можно получить другим способом, если заметить, что в новой системе координат (84.6) собственная скорость частицы при фиксированных ха в первом порядке равна
и& = adxa/dt = — a dda/dt =—中,Ja. (84.19)
Подставив теперь уравнение (84.14), представим ускорение частицы в виде (84.18).
Уравнение (84.18) соответствует уравнению (7.12), а уравнение поля (84.13) совпадает с уравнением (7.9). Можно также отметить, что из уравнений (84.4) и (84.5) следует
Ф' = -(1/4л) J й I х - xz |~' dW (84.20)
С помощью уравнения (84.14) и первого из уравнений (84.3) представим (84.20) в виде решения уравнения Пуассона, записанного с помощью функции Грина [уравнение (8.1)].
В разд. 81 отмечалось, что в общем случае синхронную систему отсчета можно построить только для ограниченного интервала времени, поскольку при пересечении траекторий наблюдателей величины /?сф расходятся. Однако соотношения, выведенные выше, основаны на предположении, что |%|《1・ Этому условию можно удовлетворить, если использовать последовательность синхронных систем отсчета, в каждой из которых в течение некоторого времени выполняется условие |%«廿|《1.
В разд. 12 исследовались модели, в которых помимо переля- тивистского вещества существует также однородно распределенное вещество, обладающее высоким давлением. До тех пор пока этот фон остается однородным, он нс входит в правую часть уравнении (82,9), определяющих h. Поэтому полученные результаты —— уравнения (84.13) и (84.18) — можно применять и в этом случае (конечно, при этом плотность и давление фона изменяют зависимость а от времени /).
Уравнения для малых возмущений е веществе
Обычно предполагается, что в ранней Вселенной вещество распределялось почти однородно, т. е. что вещество можно было весьма точно описывать как идеальную жидкость, давление и плотность которой лишь немного отклоняются от средних значений. Введем следующие удобные обозначения:
р Рь (1 + 6), Р =: рь + cZp疝，(85.1)
с工—dp/dp, р/р = v.
Здесь p〃f) и рь (/) —средние плотность и давление, 6—относительное возмущен не плотности (6 <С 1); a cs — скорость звука.
Если V постоянно, то v = c；. Уравнения давления проще всего выводятся из закона сохранения энергии и нмпульса, записываемого в форме
%；/ = о = [(—gp/2 叫 / _ % (-g)l!2gik, aik, (85.2) где в случае синхронной системы отсчета (разд. 81) имеем
gap = —а? (Мв —也邱)，(一g)'2 = а' (1 — A/2)(85.3)
и в модели идеальной жидкости
W = (р + р)靈凉一g"p, Г = р — Зр.(85.4)
Подставляя выражения (85.3) и (85.4) в уравнение (85.2) и сохраняя члены только первого порядка по йар, 6 и 〃气 для компонента ,=а получаем
д [q4Pb (1 + V)иа]/Л + а%%〉疝 а = 0, иа = а以°\(85.5)
где 。“一собственная скорость в синхронной системе отсчета. Для компонента i = 0 имеем
D [аЗрь( 1 + 6 _ h/2)]/dt + a2Pb (1 + V)и% =
=xhahpb — За2а (рь + tspb6 — /гр，2).(85.6)
В отсутствие возмущений последнее уравнение дает
д叭jot + Зажарь = 0,(85.7)
йто согласуется со. вторым из уравнений (80.1). Собирая в уравнении (85.6) члены первого порядка и используя соотношение (85.7), получаем
8 + (1 + V)(0 —力/2)= 3 Q/a) (v — с^) d, 0 = и%%,(85.8)
Тде 0 — коэффициент расширения. Вычисляя дивергенцию выражения (85.5) и подставляя (85,7), находим
d[(l+v)9]/d/ +(2-3v) (1 +v) 0由а + с太26汝2 = 0.(85.9)
Уравнения (85.5), (85.8) и (85.9)——это и есть уравнения, описывающие эволюцию линейных возмущений. Отметим, что в использованном приближении идеальной жидкости поле сил гравитации проявляется только в величине й, входящей в уравнение (85.8). В уравнении для скорости (85.5) сила гравитации не фи- гурируст, потому что скорость определяется относительно свободно движущихся наблюдателей. В уравнении (85.8) член 万/2 вычитается из коэффициента расширения в силу того, что собственный объем, соответствующий фиксированному координатному объему б/з%, изменяется пропорционально (1——й/2) [уравнение (85.3)].
Уравнения линейных возмущений замыкаются первым уравнением (82.10), которое записывается в виде
Uji + {ala) А = 4лО()ь (1 + Зс? 6.(85.10)
Два других уравнения поля можно представить в форме
之 а — ЛаР, в = — 16лОр& (1 + V)аи°,
^ар — а' [% (а/а)底в + % (а/。)论Мв + %底в ]=
=4：тОа26aBp 匕(1 —电 6.(85.11)
Отметим следующее обстоятельство. Поскольку уравнения (85.10) и (85.11) согласуются с уравнением Т^ . = 0, из которого выведены уравнения (85.5) и (85.8), эти последние уравнения можно также получить из (85.10) и (85.11). Этот метод использован в книге Вайнберга [435].
Эволюция возмущений плотности с длиной волны много больше ct
При достаточно малом /, т. е. достаточно близко к моменту начала расширения Вселенной, собственный размер неоднородности, для которой фиксирован сопутствующий размер 尤，был значительно больше, чем расстояние до горизонта 卜=a(t)x》ct. В этом предельном случае в уравнении (85.9) можно пренебречь членом, включающим градиент давления. В результате решения 6 (х, /) можно записать в виде произведения произвольной функции, зависящей от х“， на Qn(f)——решение уравнений для возмущений, зависящих от одной переменной /. Проще всего такие решения находятся тогда, когда отношение v = р/р, как мы будем предполагать здесь, является постоянным. Интересны следующие случаи: V = 0 (нерелятивистское вещество, в котором длина волны 九 много больше длины Джинса), v = 7з (модель, в которой преобладают электромагнитное излучение или свободные релятивистские частицы) и V = 1 (такой случай возможен при экстремально больших красных смещениях [448]).
Когда 九》с点 и V = const, уравнения возмущений, выведенные в предыдущем разделе, приобретают вид
6 4-( 1 4- V)(о _ 勿2)= 0, о + (2 - 3v)曲/а = 0,应 + 2 (£/а) Л = 8лОрь (1 + 3v) 6,
л, u — Аар, р = — 16лСрь (1 + V)ЯУа,(86.1)
ZJ-2 [ ?2九аВ + 么 аВ —九 а* уВ —力By, та] —
—3 (а/а)底卩—(а/а)屁^ — haft = 8nO6aPpk (1 — v) d.
Средняя плотность изменяется по закону [уравнение (80.1)]
pb=-3(a/a)(l +v) pfc, pfc<xfl-3(1 + v),(86.2}
а скорость расширения равна [уравнение (80.3)]
小=(8/3nGpa3+3v) а- в.(86.3)
Из последних уравнений находим
г2 = 6 (1 + v)2.nGp&, а о< 产(3「3v)(86.4)
Предположим сначала, что 0, равное V・v/a, отлично от нуля. Тогда из второго уравнения (86.1) получаем
0=?严，/„=(6v-4)/(3 + 3v),(86.5)
где Т ——функция координат х®. Подставив это выражение в первое и третье уравнения (86.1), найдем частное решение
6 = Q”+* h = (m^ 1)Я^,
D/H = 72v (9v — 1)/(1 +3v),(86.6)
Q/T = 3”(l + v)2/(6v + 1)(1 -v).
Четвертое уравнение (86.1) определяет компоненты ha^. Предположим, что возмущение разложено по плоским волнам. Для волны, распространяющейся вдоль оси х3, имеем
方—龙зз = 16лОр& (1 + V)О。，/々2 ос ар(86.7)
Частное решение этого уравнения записывается в виде
hu = -bz\Q^t (a/fe)2(l +v产/(1 -v) а 厂а-'""? (86.8)
Из уравнений (86.5) и (86.6) видно, что по порядку величины это решение равно
也I 〜6 仅/f)2, x = 2^a/k.(86.9)
Поскольку 入》cf, /in》/!〜6/f [уравнения (86.6)], и, следовательно,
A33= —2АИ.(86.10)
Если V = 0, то уравнение (86.6) дает 0 = 0,—в модели нет возмущений плотности. Конечно, такое решение не упоминалось в гл. II. Когда во Вселенной преобладает излучение, имеем ?= l/з, /И = —% н б ос f/2.
Если 0 = 0, то из уравнений (86.1) следует
8 + 4 (6/力/(3 + 3v) = % (6//2)(1 + 3v)/(l+v).(86.11)
Двумя решениями этого уравнения являются степенные функции времени
6 ос Z)! = Г, n = (2 + 6v)/(3 + 3v); 6“02 =厂〈(86.12)
Из первого уравнения (86.1) получаем
А = 26/( 1 -|- V).(86.13)
Компоненты 力口日 определяются последним из уравнений (86.1). Снова выбирая плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси 尤з, из компонентов последнего уравнения (86.1) получаем
(々/。产 йц + 3 (а/а) Аи + (а/а)厶 + 力“ =—8лОрь (1 — v) 6, (86.14)
2 (々/а)? йи + 3 (£汝)方зз + Q/a)应 + 方зз = —8门(7Pb (1 — v)6.
Применяя третье уравнение (86.1), преобразуем (86.14) к виду 方н + 3 (а/а)应и = 8口(7例吨(86.15)
(ktaY hn + Q/。)h + 8nGpft6 = 0.
Для растущего решения (86.12) из первого уравнения (86,15) находим
Ац = 4v (6/f)/(3v + 5) (v + 1), d ex D],(86.16)
а для затухающего решения имеем
Ац = —2 (6〃)/(3 + 3v), 6 ос D2 •(86.17)
Подставляя (86.13) во второе уравнение (86.15), получаем
(А/а)?加 1 = 0, 6 ос £)2.(86.18)
Это выражение означает, что в затухающем решении величина hw остается ограниченной при 九=2兀а/小+ 8. Для растущего решения имеем'
Аи = -% {alktf 6(5 + 9v)/(l + v)3, 6 ос Di. (86.19)
Из уравнений (86.4) и (86.12) следует, что величина йн (86.19) не зависит от времени. Этот результат не противоречит уравнению (86.16), поскольку, согласно (86.16), 偽i 〜6, что в (九"产 раз меньше величины (86.19).
Для растущего решения Zh, изменяющегося по закону f" [уравнение (86.12)], показатель степени п = 2/з, если v = 0, что согласуется с уравнением (11.7). Если во Вселенной преобладает излучение, то v = 7з и три моды (86.5), (86.6) н (86.12) равны
Z)i = f, £)2 =厂[A =/"2.(86.20)
Эти решения были получены в работах [4, 163, 227, 272, 446].
Для двух растущих решений выполняется соотношение |力“|~ ~|6|(九")2 [уравнения (86.9) и (86.19)]. Этот результат объясняется просто: размер возмущения равен 九〜а/々,а амплитуда
флуктуации плотности равна р^б, поэтому избыток массы записывается в форме
6М 〜仅дз。 (86.21)
Поскольку Gpb 〜Т уравнение (86.19) дает
I Ei I 〜Gp从2161 〜G16М I爪， (86.22) что совпадает с обычным ньютоновским потенциалом. Пусть момент времени t и амплитуда возмущения 6 фиксированны. Тогда размер области, в которой существует возмущение тензора g〃・， пропорционален л2, где 九——размер области, в которой локализовано возмущение плотности. Если 九 так велико, что G6A1/九〜1, то пространство в области возмущения становится настолько искривленным, что может произойти коллапс и образоваться релятивистская сингулярность.
Мы уже отмечали, что при 九》cf в наиболее быстро растущей моде Qj величина 力口 остается почти неизменной. Поэтому если ■дри одень больших красных смещениях выполнено условие ■|йц| <С 1, то из уравнений (86.19) следует, что, когда расстояние до горизонта становится сравнимым с размером возмущения, т. е. когда 九〜с/, амплитуда возмущения плотности 6《1: малы флуктуации, размер которых сравним с расстоянием до горизонта. Этот вывод, безусловно, согласуется с тем, что наблюдается в настоящее время, и он означает, что в тот момент, когда флуктуация плотности достигает значения 6 〜1 и начинает сжиматься, она Находится внутри горизонта и поэтому является нерелятивистской, что также согласуется с данными наблюдений. И. Д. Новиков {269] первым указал на это ограничение на 6.
Мы определили производную по времени йз3 ' [уравнения /86.10), (86.13), (86.16) и (86.17)], но не саму величину й33. Это связано с тем, что величину й33 всегда можно произвольно нз・ вменить, если на начальной гиперповерхности выбрать другой способ задания координат вдоль оси %з, совпадающей с направлением распространения плоской волны.
Затухающее решение D? (86.12) можно исключить, если соответствующим образом выбрать начальную гиперповерхность постоянного космологического времени. Выполняя преобразование ■координат (81.12) и (81.15) и используя соотношения (86.4), получаем
6 = 6 + 2屮(x)/f,
d方ав/力=底в + 2电邱炉 一 4MB (屮修)/(3 + 3v), (86.23)
Где 6 ——возмущение плотности в новой синхронной системе от- &дета. Из первого уравнения следует, что, полагая 屮=——^62/2, |<о*но исключить из 6 ту составляющую 62, которая изменяется
по закону LL Вторым членом в правой части второго уравнения можно пренебречь по сравнению с последним членом, так как предполагается, что пространственный размер возмущения много больше, чем £ Считая, что = --/62/2, из уравнений (86.13) и (86.17) находим, что последний член во втором уравнении (86,23) сокращается с той частью %“心 которая связана с D2. По скольку затухающее решение можно исключить, оно не имеет физического смысла: такое решение появляется потому, что начать、 ную гиперповерхность постоянного космологического времени можно выбирать произвольно [334].
Решения Dy и 5 (86.12) мы получили из уравнений (10.12), использовав при этом соотношения (86.2) и (86.4) и положив А = /?т = 0 в уравнениях (10.10). В соответствии с этими решениями различные области Вселенной эволюционируют подобно моделям Фридмана—Леметра, у которых различаются начальные моменты времени и постоянные кривизны /?~2. Это означает, что неоднородности, определяемые по величине R~2 или по 九口 [уравнение (86.19)], заложены в саму космологическую модель. Поскольку из уравнений поля Эйнштейна следует, что флуктуации кривизны нс меняются со временем, происхождение неоднородностей, описываемых этими решениями, нельзя объяснить каким- либо процессом, протекавшим в ту эпоху, когда была применима общая теория относительности.
Пресс и Вишняк [334] и Бардин [12] указали, что этого вывода можно избежать, если расширить класс решений. Предположим, что в пределе ff 0 (т. е. в момент начала расширения) Вселенная была строго однородной и изотропной и что в некоторый момент времени 厶 спонтанно появились флуктуации давления. Будем считать, что в модели фона отношение рь№ь =、= =const. Флуктуирующая часть давления записывается в форме
Ьр = р 战, (86.24)
где ръ — среднее значение давления, а относительное возмущение давления £《1. В новых переменных уравнение (85.9) приобретает вид
(1 + V)0 + 2/з (2 - 3v) 0// + V vW = о. (86.25)
В решениях, полученных выше, можно пренебречь последним членом, так как £^6 н @九》1 ——масштаб изменения е. Оставаясь в рамках общей теории относительности, можно считать, что в некоторый момент времени 於 спонтанно образовались флуктуации давления, размер когерентности которых удовлетворял условию а (力)入》力.(Если приписать флуктуации р действию некоторого квантового процесса, то не требуется объяснять, почему длина когерентности могла быть много больше расстояния до горизонта.) Допустим, что такая флуктуация существовала в течение приблизительно одного характерного времени расширения 厶，
тогда с учетом соотношения V 28 ^е/л2 из уравнений (85.8), (85.10) и (86.25) находим, что в растущем решении флуктуацнн давления порождают следующие возмущения:
仇〜的/(九生产，，〜々(тa)*力~&~，，(九。〃产.(86.26)
При t>ti спонтанные флуктуации давления исчезают, и, поскольку ” = 1/з, применимы соотношения (86.20). Поэтому в момент времени, когда плотности вещества и излучения равны [уравнение (92.42)], имеем
%q ~ е( (4qA«eq)2-(86.27)
Поскольку характерные размеры наблюдаемого скучивания вещества меньше, чем /eq [уравнение (92.47)], в ранней Вселенной флуктуации давления, для которых выполнено условие £《1, вообще говоря, могли создать неоднородности плотности наблюдаемого размера.
Сферическая модель
Рассмотрим очень простую и полезную модель. Предположим, что флуктуацию плотности можно приближенно считать сферически симметричной, и, следовательно, все величины можно представить в виде функций только двух независимых переменных х и f. Предположим также, что давлением можно пренебречь (「《ре?). При этих предположениях просто разобраться в том, как эволюционирует флуктуация плотности, и легко понять некоторые результаты предыдущего раздела.
В силу сферической симметрии метрику можно записать в виде
曲2 = dd — е2а d%?—必6 (d02 + sin28dq)2),(87.1)
где а и В一функции хи/. Уравнения гравитационного поля для диагонального тензора gi представлены в работе Дингля [69]. Для интервала (87.1) уравнения Дингля приобретают вид
8лОТо = ₽2 + 2а₽ + е"—产(2『+ Зр，2 - 2aН),
ЗлОТ； = 2₽ + ЗР2 + е-2₽ - р，2е~2а,(87.2)
8nQTl = а + а2 + р + р2 + ар - е-2а (『+ р，2 - а'『)，
^QeaTo = 28' + 2时-2郎'.
Здесь штрих означает, что берется частная производная по ра- днальной координате х, а точка означает частную производимою по времени.
Поскольку мы приняли, что давлением можно пренебречь, траектории элементов вещества соответствуют геодезическим. Та-
ким образом, в сферически симметричном случае всегда можно выбрать координаты так, чтобы с самого начала выполнялось усювие 〃“ = 0. Тогда в левой части уравнений (87.2) единственным отличным от нуля членом является
* = р(х, /)•(87.3)
Подставляя в последнее уравнение (87.2) Т^ = 0, получаем 8"g = d(lgp)/df = & —В，росеа-в, e^ = de^/dx = g(x) еа, (87.4) где g ——некоторая функция, зависящая только от х. Теперь удобно ввести масштабный фактор а (х, /), определяемый соотношением е^ = ха (х, f).(87.5)
Выразим произвольную функцию g, которая появилась в уравнении (87.4), через новую функцию R(x)：
6。=(砌7[1 — %2伏2(*1/2.(87.6)
Подставляя выражения (87.5) и (87.6) в первое и второе уравнения (87.2), получаем
%〕Ор д (ax)3/dx = d (各％炉 + ax3/R2)fdxt
(87.7)
0 = 2a/a + a2/a2 + \/a2R2.
Эти уравнения описывают эволюцию модели.
Умножив второе из уравнений (87.7) на с^а, найдем
0 = 0 (02a+ Q低2)/出，公2a + Q/R2 =尸⑴.(87.8)
Выбирая координаты 尤 на начальной гиперповерхности, можно представить функцию 尸 в желаемой форме. В частности, если пространство возмущено не слишком сильно, то можно сделать так, чтобы F не зависело от х. В этом случае уравнения (87.7) и (87.8) приобретают вид
а2а + а/* (х) = 4 = const, 8/3лО()а2 (。尤厂=А. (87.9)
Леметр [220, 221] первым указал на то, что сферическая модель является удивительно простым обобщением обычной однородной модели мира. Первое уравнение (80.1), если в него подставить р ос 0-3, согласуется с уравнениями (87.9), в которых R уже зависит от х. Использованная метрика --это обобщенная метрика Робертсона—Уокера [уравнение (97.11)]:
ds2 = dt2 — [(axYdxYl[\ - x^R2 (х)] - (ах)2 (dO2 + sin20 d^). (87.10)
На рис. 87.1 представлена геометрическая интерпретация случая R-2 а о Гиперповерхность / = const изображена в виде двумерной аксиально симметричной искривленной поверхности. Предпо-
лагается, что собственные расстояния, определяемые в момент времени £, вычисляются на этой поверхности. Два кружка на поверхности обозначают точки, которые находятся при одинаковом /, имеют один и тот же полярный угол, но радиальные координаты которых различны и равны х и 工+6х. Расстояние до оси симметрии равно ха (х, f), и, следовательно, как и в метрике
Рис. 87./. Геометрия пространства вокруг растущей концентрации вещества.
длина окружности х = const = 2兀〃尤. Радиальное расстояние межпу этими двумя точками, измеряемое вдоль поверхности, равно
” =(ах)' 6х/(1 -公/戸)|/2,(87.11)
т. е. также согласуется с собственным расстоянием, которое определяется в метрике (87.10). Угол наклона поверхности к радиальному направлению записывается следующим образом:
m = (x/R)/( 1 - x/R^y ".(87.12)
Отсюда следует, что нормаль к поверхности пересекает ось на расстоянии aR от поверхности. Если кривизна поверхности постоянна, то aR есть радиус кривизны. В той точке, где х = /?(%), поверхность располагается вертикально ——можно сказать, что здесь образуется складка. Если же условие x《R выполняется везде, то пространство лишь слегка возмущено.
Для слоя вещества х удобной мерой эффективного расстояния от центра служит величина равная
ге = ах.(87.13)
Собственная длина большого круга, проходящего на радиальном расстоянии х, равна 2лге, следовательно, если /?(%)》х, то ге соответствует тому, что мы обычно называем собственным рас-
21 Заказ № 82
стоянием, даже если все вещество внутри сферы радиуса х участвует в релятивистском коллапсе. Для свободно движущегося наблюдателя (х = const) гравитационное ускорение на расстоянии z> записывается в виде [уравнения (87,7) и (87.9)]
Ге = ха= —A^'2rl，(87.14)
В таком случае мерой эффективной гравитационной массы, расположенной внутри сферы радиуса />, служит величина
Ме = Ax3/2G.(87.15)
При фиксированном / скорость изменения эффективной массы в зависимости от ге равна [уравнение (87.9)]
дМе/дге = ЗДх2/2О (а%)' = 4/rpd,(87.16)
что согласуется с обычным выражением для ньютоновского приближения. Другой интересной величиной является число частиц, внутри ге. Если масса, приходящаяся на частицу, равна т, то собственная концентрация частиц равна р/m, и из соотношений (87.9) и (87.10) получаем
mN (VrQ = J 4я (a/)2 P (а%)' (1 —亡我)"'dx = о
=3/2 (A/О) J[1 - d/N (x)尸/2 x2dx. (87.⑺
Откуда находим
■ mN/Me — (З/х3) J (1 - x2//?2)~1/2 x2 dx. (87.18) 0
Если 汇《R, то геометрия пространства лишь немного возмущена и отношение (87.17) близко к единице. Когда же R~2 > 0 и пространство сильно искривлено, Ме может быть существенно уменьшено, поскольку проявляется отрицательная гравитационная энергия связи.
Исследуем теперь эволюцию такой положительной флуктуации плотности, которая достаточно велика, чтобы RT стало больше нуля. Координатный размер области равен 尤〜厶 Собственный радиус ге = /а (/, /) зависит от времени так же, как и в однородной космологической модели: параметрическое решение первого из уравнений (87.9) записывается в виде (R— > 0)
а= %火％(1 — cos”)，£ = 1/2欠％箇一 sin?])，(87.10)
поэтому максимальный радиус области равен
rmx ~ lamx ~ LAR2 (Z),(87.20)
причем этот радиус достигается в момент времени •
t^-AP? (/)..-(87.21)
Отношение этих величин равно,.
「e〃e~〃R・(87.22)
Как отмечалось в предыдущем разделе, если /《R (в этом случае флуктуации плотности вызывают лишь «морщинки» на геометрии пространства), то сжатие области не начинается до тех пор, пока ее размер не станет гораздо меньше расстояния до горизонта (rmx^ctmx). В соответствии с этим из уравнения (87.15) следует
G此(勿小 ~ ("RM(87.23)
Эта величина мала, если геометрия пространства лишь слегка возмущена.
Условие /《R(/) налагает также ограничение на амплитуду растущего решения [уравнение (86.22)]. Чтобы найти это ограничение в сферической модели, запишем
a — ab (f) [1 — £ (х, /)].(87.24)
Уравнения (87.9) для аъ выглядят следующим образом:
с^а^ = А = 8/злОрьа|.(87.25)
Если отбросить члены порядка е2, то из уравнений (87.9) для а (х, /) получим
£ = —%&/%) е + ab/2AI^t р/р& = 1 + Зе + 尤二 (87.26) Решение этих уравнений записывается в виде .
е = В (х)/аУ + ab/5AR2.(87.27)
Поскольку аь ос 伊/3, затухающее решение изменяется пропорционально f-i, а растущее решение — пропорционально /2/3, что совпадает с обычным результатом. Растущее возмущение плотности приблизите^пьно равно
6~8〜аб⑺/A储(87.28)
поэтому если размер области возмущения 尤〜/, то уравнение (87.25) дает для случая, когда пространство лишь слегка возмущено,
〜(〃R)2 M(87.29)
Этот результат совпадает с соотношениями (86.22).
Если же неравенство (87.29) нс выполняется и существует слой, в котором х〜R(x), то возмущение оказывается релятивистским и есть вероятность того, что оно будет коллапсировать 21*
н образует черную дыру. Это произойдет при t^ rmx^AR^ (х) [уравнения (87,21) и (87.22)]. Поэтому из уравнения (87.15) ело дуст, что остаточная масса объекта равна
臨〜〃G, (87.30)
что сравнимо с массой, которая располагается в невозмущенной модели внутри горизонта f. Конечно, суммарная масса барионов, находящихся в черной дыре, может во много раз превосходить Ме [уравнение (87.18)]. Отметим, что никто не знает способа, позволяющего вернуть в обычное состояние вещество, попавшее в уже образовавшуюся черную дыру: Ме может только увеличиваться в результате аккреции [см., например, уравнение (87.16)]. Такие первичные черные дыры, образовавшиеся в ранней Вселсшюн из чрезвычайно больших флуктуаций плотности, могут существовать (как показано в работах Хокинга [164], Карра [37] и др.), но вряд ли черных дыр массами больше массы галактики существует очень много, так как их можно было бы обнаружить, поскольку они разрушали бы галактики. Отсутствие чрезвычайно массивных черных дыр указывает на то, что на самых ранних стадиях расширения крупномасштабная структура Вселенной была строго упорядоченной ——иначе трудно понять, почему во Вселенной нс образовались массивные черные дыры [304].
Эволюция звуковых волн
Решения, полученные в разд. 86, основаны на предположении, что %》с/, и, следовательно, градиентами давления можно пренебречь. В более поздние моменты времени, когда 九 становится меньше сst, неоднородности осциллируют подобно звуковой волне. Сначала исследуем влияние общего расширения на амплитуду такой волны. В следующих разделах изучается процесс затухания волны, обусловленный нелинейными эффектами (разд. 89) п диффузией фотонов (разд. 92).
Когда длина волны 7. во много раз меньше 以玄 возмущение 6 колеблется с периодом 七〜九/с$. Поэтому, учитывая, что Gp〜£也， из уравнения (85.10) находим
应〜6 (т/£)2 ~ 6 伍/с,)2.(88.1)
Следовательно, в этом приближении членом 力 в уравнении (85.8) можно пренебречь. Разложим возмущение по плоским волнам. Тогда для компонента с волновым вектором к уравнения (85.8) и (85.9) дают
3 + (1 + V)0 = 3(V — с；) (а/а) 6,
5[(l+v)0W + (2-3v) (1 + v) 0 (а/а) = (ch7a2) d. (88.2)
Дифференцируя по времени первое уравнение и исключая член ^(* +v)0 с помощью второго уравнения, получаем волновое уравнение для б. Преобладающие члены по порядку величины равны б/т2, порядок величины остальных членов равен 6/т/ или б/f2, где f — время расширения. Опуская наименьшие члены порядка 6 "2, имеем
8 +(2 — 6v + 3(?5)(а/а) 3 + (с沐?/ Y) 6 = 0. (88.3)
В адиабатическом приближении решение находим так же, как и в разд. 16. Представим б в виде
д —А (/) схр [—/ф (£)],(88.4)
где.
t
(р= (kcs(a) dt.(88.5)
В результате из уравнения (88.3) исключаются члены порядка V2, а члены порядка (丘尸 дают уравнение
ip/(p + 2А/Д + Q/a)(2 - 6v + Зе,) = 0.(88.6)
Из соотношения
Р = —3 (а/а) р (1 + V)(88.7)
Получаем
3 Q/a) V = —3 (以/q) — 6/р,(88.8)
а из соотношения
^ = "6(88.9)
находим
3 (а/а)с； = —3 (а/а) — d In (р 十 p)/dt.(88.10)
Благодаря этим выражениям последний член в уравнении (88.6) записывается в виде полной производной по времени, в результате чего это уравнение можно проинтегрировать и получить решение
дос [(р + p)/cspa4]42 exp [—i，伊 q/a) dt\. (88.11)
Так выглядит решение в адиабатическом приближении. Оно совпадает с выражениями (16.16) при р<Ср ос а-3. При v = =const = с2 амплитуда волны изменяется по закону [уравнения (86.2) и (86：4)]
(88.12)(88.12)Д ~ “(3v — 1) /2,(3v — I) / (3v + 3)
(88.12)
(88.12)
Когда во Вселенной преобладает излучение (у=】/з), расширение не влияет на амплитуду колебаний. Если бы v было больше '/3 (предполагают, что это могло быть в очень ранней Вселенной), то росли бы амплитуды тех возмущений, длины волн которых очень малы (меньше расстояния до горизонта). При Z 〜10& плотность определяется примерно равными долями плотности излучения и плотности вещества, давление которого равно нулю. Пусть 卩 и 否——плотности вещества и излучения соответственно. Тогда суммарная плотность и давление равны
р = |л + &, р = &/3.(88.13)
Предполагая, что вещество и излучение жестко связаны, так что & ос 卩4/3, можно вывести соотношение между относительными возмущениями плотности каждой из составляющих
6m=6快/快=3/心司屈(88.14)
С помощью выражений (88.13) и (88,14) преобразуем уравнение (88.11) к виду [328]
dm ос (1 +М-"ехр[—"р],(88.15)
R = 3〃卩倡= з,2 . 10W/(l +2).
Значение R(f) оценено по современному значению температуры реликтового излучения 2,7 К. Видно, что в момент рекомбинации (Z〜1000) амплитуда лишь немного меньше максимального значения.
Нелинейные звуковые волны '
В некоторых сценариях эволюции Вселенной амплитуда волн давления, рассмотренных в предыдущем разделе, может достигать значений, близких к единице. В этом случае нелинейные гидродинамические процессы приводят к тому, что энергия переносится в коротковолновую часть спектра, где она рассеивается под действием вязкости или в ударных волнах. Это может привести к двум интересным следствиям： диссипация будет ограничивать амплитуду оставшихся волн давления и, кроме того, неоднородности в распределении исходной жидкости, состоявшей из вещества и излучения, отчасти будут преобразовываться в неоднородности, состоящие только из вещества. В этом разделе мы рассмотрим две модели, описывающие нелинейную диссипацию воли давления.
А. Релятивистские простые волны. Лианг [224, 225] указал, что решение, полученное Таубом [406] для релятивистских простых волн, позволяет понять закономерности нелинейной эволю-
ции звуковых волн, которые существовали в ранней Вселенной. Это решение применимо в модели идеальной жидкости. Оно описывает бегущую плоскую волну, в которой скорость жидкости направлена, скажем, вдоль оси х и все поля являются однозначными функциями плотности р, причем р зависит от двух переменных: х и Л В этом решении предполагается также, что длина волны во много раз меньше длины Джинса, и, следовательно, силами гравитации и общим расширением можно пренебречь. Уравнения гидродинамики для такой одномерной задачи выводятся из двух компонентов уравнения 7,, = 0:
0 = 71 o + 加 о, О = Т\о + Т；,1，
力=(р + р) 〃“' 一 dip, gn = 1, —1, —1, —1,(89.1)
储=。/(1-。2)叱寸=1/(1 —冲/2.
Здесь v .= dr/dt — обычная скорость жидкости, записанная в собственной декартовой системе координат. Уравнения динамики жидкости представляются в виде
d Р + *2 [ о (р + р)0 _ Л
0Е [ 一 m 十" ]_ ?2 一 ，
" 1一。21ZT^~ = °・(89，2)
Приступая к решению уравнений (89.2), полученному Таубом для бегущей волны, запишем функцию
р
Ф(Р)= J cs (p + p)-'dp.(89.3)
Вычисляя частную производную этой функции по времени, находим, что при фиксированном г
оp/0£ = [(p十。)//] d9/出.
(89.4)
Поскольку
с§= dp/dp,
(89.5)
имеем
dp/dt = % (р + р) dcpIGt.
(89.6)
Таким же методом находим, что
др/дг = [(р + p)/cs] д<р/дг, др/дг = cs (р + р) d<p/dr. (89.7)
С помощью уравнений (89.4), (89.6) и (89.7) исключим из уравнений (89.2) производные р и р. В результате получим
и (1 — №) (1/с§ + с$) д^/дг + (1 + 統)dv/dr +
+ (1 —吟 ®2cs + 1/с$) d^fdt + 2и dv/dt = 0, (89.8)
(1 ——М) (М/с§ + с$) d(p/Or + 2и dv/dr +
+ и (1 — и?) (1 /с§ + q) d^/dt + (1 + v2) dv/dt = О.
Эти уравнения упрощаются, если перейти к их линейным комбинациям: умножим первое уравнение на (с$ — и), а второе — на (1 — с$и) и результаты сложим, кроме того, умножим первое уравнение на (с$ + и), а второе на，1 + с§и) и результаты вычтем. Тогда получаем следующие уравнения:
(1 — М) D-^ф + £)+и = 0, (1 — V2) £)_ф — D_v = 0,(89.9)
где D± — дифференциальные операторы, которые записываются в форме
D± = (1±CsU)4±(Cs±»£.(89.10)
В заключение, следуя Таубу, заметим, что
O±lg[(l +v)/(l -v)]1/2=-
='/2[(1 +u厂1 + (1 一。广]D±v = D±v/(i-^, (89.11)
поэтому уравнения (89.9) приобретают вид
D+ {<₽ + lg[(H-y)/(l-v)]1/2} = 0,
D_ g — 1 g [(1 +。)/( 1 一。) ]'"} = 0，(89.12)
ИЛИ.
D.\.q = 0, D_s = О,
где
g = w + ig[(i +。)/(1 一。)产，
s =(p-lg[(l +v)/(l -v)]1/2-(89.⑶
Плоская волна, которая распространяется в направлении увеличения г, соответствует условию s = const. Это условие удовлетворяет второму уравнению (89.12), а из первого уравнения поручаем
£)+р = (1 + csv) d^dt + (Cs + v) др/дг = 0,(89.14)
поскольку принимается, что q — однозначная функция, зависящая только от р. Решение уравнения (89.14) записывается в форме
Р = / (г — ut)t и = (cs + v)/(l +csv).(89.15)
Скорость жидкости и определяется из условия s =(р0 = const
<P = yo + lg[(l +。)/(1 一叫'"=j Cs(p + p)-"p.(89.16)
Этот поразительно простой результат является обобщением решения для нерелятивистских простых воли [210]. Из формулы (89.15) следует, что точка г, в которой плотность принимает некоторое выбранное значение р, движется со скоростью и в направлении увеличения г. Эта скорость равна сумме (вычисляемой по релятивистским законам) двух скоростей: скорости звука, определяемой в системе отсчета, в которой жидкость покоится, и скорости жидкости V. Поскольку при увеличении р скорость и растет, гребни волн стремятся догнать впадины. В том месте, где это происходит, волна становится настолько крутой, что образуется' ударная волна, и в результате энергия волны рассеивается. Скорость, с которой затухает возмущение после образования ударной волны, вычислена в работе [226].
Если давление прямо пропорционально плотности, т. с. если V = с2 = const, то уравнение (89.16) дает
У = [(рЫа- 1]/[(p/рЬ)a+ 1]，a = 2//(1+成)；(89.⑺ постоянная 屮。выбрана так, чтобы скорость жидкости была равна нулю в той точке, где р = р^. В случае когда высота гребня и глубина впадины малы (бр/р = ±б, 6《1), уравнение (89.17) приобретает вид
и=±а"2,(89.18)
а скорость распространения волны (89.15) записывается следующим образом:
〃 = с§±”§(1 — с：)/(1 + d).(89.19)
Если в модели преобладает излучение (《=Уз), то
а = 0,58±0,29Ь・(89.20)
Если вначале впадина находится на расстоянии 2. впереди гребня, причем плотность на гребне и во впадине равна р&(1 ± б), то гребень догонит впадину за время.
f ~ 31/2Z/d,(89.21)
После чего волна начнет затухать, поскольку образуется ударная Волна.
Решение, полученное для простых волн, не может служить точной реалистичной моделью—распределение давления, по-види- Мому, лучше сравнить с зыбью на поверхности пруда. Так, если Длина когерентности (характерное расстояние от гребня до бли-
жайшей впадины) равна 入，то решение для бегущей волны является приемлемым приближением в течение времени когерентности 〜尢/с$, а затем волна начинает распространяться в другом направлении. Если 盛《1, то за время когерентности расстояние между гребнем и впадиной в среднем уменьшается на величину
|АА|~/В|(〃с§).(89.22)
Эта величина в дальнейшем растет по законам процесса случайного блуждания, причем длительность каждого шага этого процесса равна времени когерентности. В результате длина когерснТ' ности существенно уменьшается за время /*, определяемое из условия
II (/%爪)"2 ~ 儿(89.23)
откуда получаем
产〜九/(cQ2)・(89.24)
При /*, равном времени расширения 力 это условие ограничивает максимальную амплитуду флуктуаций, способных существовать без заметной нелинейной диссипации.
Второе приближение теории возмущений. Распределение, которое мы сравнили с зыбью на воде, можно изучать с помощью более простого, хотя и более трудоемкого метода. Будем считать, что возмущения плотности приближенно описываются случайным процессом Гаусса, спектр мощности которого оборван на некоторой минимальной длине волны 2n/kmx. Поэтому длина когерентности примерно равна 左^；. В таком случае скорость роста коротковолновой части спектра мощности (左>力從尤) можно вычислить во втором приближении теории возмущений [299, 416].
Исследуем наиболее интересный случай: смесь жидкости, давление которой равно нулю, и излучения, жестко связанного с веществом. Нусть 卩 и 咅一плотности вещества и излучения соответственно. Тогда суммарная плотность и давление равны
р =卩 + &, р =公/З.(89.25)
Если вещество и излучение жестко связаны, то энтропия, отнесенная к одному бариону, нс меняется, н> следовательно,
& (г, /) сх ц4/3 (г, /).(89.26)
Для возмущенного состояния суммарная плотность записывается в виде
р = р4[1 +6 (г, 0].(89.27)
Дифференцируя выражение (89.25), находим с точностью до членов второго порядка возмущенное давление
р = Рь + 9ь (^ + 86?),(89.28)
Cs= 1/(3+ 3R), B = R(1 +%r)/24(1 +R『，
где рь — среднее значение давления и
R = з尿I瓦 ос а (0-(89.29)
Другим полезным выражением служит соотношение между б и относительным возмущением плотности вещества
Ц = Ць (1 +%), Ьт = S3,(89.30)
где
S = (R + 也)/低 + 1)= р〃(Рь + 班).
Теперь запишем выражения для плотности и скорости жидкости в линейной теории возмущений. Возмущение б [уравнение (89.27)] представим в виде ряда Фурье (что соответствует распределению, периодичному в некотором большом объеме Vu)：
6 = £fk(r + TQexpUk •门，(89.31)
где
77 = exp[№%f+ 峭，
TiT = exp[/Cs/ — i(p_k].
Здесь фазы 9k задаются случайным образом, поэтому б является случайным процессом Гаусса; величины ，卜—действительные, причем 乙=储 комбинация 2及一спектр мощности б. Выражение для б (89.31) записано в виде суммы бегущих волн типа cos (к-г — Acs/+(pk), где фазы определяются случайным образом. Заметим, что для такого поля скоростей плотность вещества удовлетворяет уравнению
dva/dra = —dbm/dt = -S dbfdt.(89.32)
Искомое решение и” дастся выражением [ср. с уравнением (27.22)]
= £ 心 exp[/k • х],v^^!k)Scs(T^-T^fk.(89.33)
Теперь выведем уравнение для эво«тюции спектра мощности возмущений. Как и выше, пренебрежем общим расширением и си-
лами гравитации и будем считать, что жидкость является идеальной. Однако теперь будем полагать, что жидкость движется в трехмерном пространстве, так что вместо уравнения (89.1) имеем
(89.34)(89.35)(89.36)(89.34)(89.35)(89.36)Г乙=0.
(89.34)
(89.35)
(89.36)
(89.34)
(89.35)
(89.36)
Для компонентов t = 0 и i = а получаем
d р + 川2 д (р + р)『_ °
Of 1 -02"尸 a 1 - *,
d (f> + p) d I d (p + p)dp _ °
布-1 一 02 ^狐 二/ 广"a一,
Эти уравнения можно привести к следующему виду： 严 @+ 川2 = 2О I °2(р+р) и%0
dt2 1 - u2勿"0"1 - u2 *
Уравнение (89.36) — это общее нелинейное уравнение (силы гравитации в нем не учитываются). Если в этом уравнении опустить все члены, которые по порядку величины меньше 62, то получим 3- ^『Bd^ + s-ga兆—儿岡о%(89 37)
Здесь давление определяется выражением (89.28), a S — уравнением (89.30).
Правая часть уравнения (89.37), в которой 6 и и® даются выражениями (89.31) и (89.33), описывает источник роста коротковолновой части спектра. Исследование удобно продолжить, записав величину 6 в левой части уравнения в форме (89.31), где fk —медленно меняющаяся функция времени. Тогда, собирая в обеих частях уравнения компоненты Фурье с волновым вектором к, получим
2/с；% {-exp[i(pk] + exp [i (2kcst -(p_k)]}=
=一 exp [ikcst] £ 仔3%%，+ ST (V₽ + 脸步)哈。閔，(89.38)
где
к, = к 一 к',(% =九(7: + 仄).(89.39)
В левой части уравнения можно опустить член, частота которою равна 2左叁，поскольку при 左 > kmx этот член не может находиться в резонансе с членами, расположенными в правой части (их максимальная частота равна 2kmxCs). Поэтому, проинтегрировав уравнение (89.38), получим 九⑴一коротковолновую часть спектра, образующуюся в результате нелинейного взаимодействия.
Вторую производную по времени в правой части уравнения можно исключить, если проинтегрировать его по частям и пренебречь осциллирующей составляющей. После этих преобразований получаем следующее выражение:
2此九⑴exp (师Q = 2fexp 口 (宏二1 一,(89 40)
尸=Gfk，k exp卩%+侏小
G= k2B + SW 0兩-川曲邱)kak'^'(kk"\
где
k > kmx, kf<kmx, k'f = \k-kf\<kmx. (89.41)
Спектр мощности найдем, возводя в квадрат первое из уравнений (89.40) и усредняя по случайным фазам. В результате в выражении для суммы исчезают перекрестные члены и сохраняются лишь те члены, в которых фазы сокращаются ((pk，= cpq， и q；k" = <Pq" или i(pk/ =(pq« и ffk// =(pq/). Оставшуюся сумму можно преобразовать в интеграл
у = (У/8л3) Jd3^.(89.42)
Основной вклад в интеграл дают члены, знаменатель которых обращается в нуль:
廿=J k — k I =尼一々'.(89.43)
Из этого условия резонанса следует, что к' и к" параллельны к, и, следовательно, G [формула (89.40)] равно
G = k-H, " = B + S^(1-E.(89.44)
Тогда первое из уравнений (89.40) преобразуется к виду
2K =(乙的(々”/02 J々幫，原/ dk',(89.45)
l = \s\^[{k-k'-k"} с stl2][{k-k'-kf,) с ^2 dw.
И наконец, при 々с/》1 можно оценить интеграл по ц = cos0, записав
У =(川 + 々'2 — 2^'w)'/2q 々一丫 + (1 — w) kk !(k —々')， (89.46) откуда
/ = %门[(左—kf)!kkf] (t/cs).(89.47)
Итак, спектр мощности представляется в виде
2修= %(lZ/n)O"2〃W)，k (k-k')fl^dk'.(89.48)
k~kmx
Соотношение (89.48) — это общее выражение, определяющее рост коротковолновой части спектра мощности. Чтобы оценить его, предположим, что при 々 V kmx начальный спектр мощности был плоским. Тогда начальный разброс плотности равен
u=〈(6p/p)2〉= Z 2位=y 户忠/3才.(89.49)
k<kmx
Коротковолновая часть спектра вносит в этот разброс вклад, равный интегралу от выражения (89.48):
6и =(у/吟 j кН2 dh(89.50)
Отсюда получим, что
s^2 =加/ {[b + Sc^ (1 - 金]%汰么} X
X \ 兴如 J ^(k-k^ dkf. (89.51) kmxh — hmx
Используя соотношения (89.28) и (89.30), окончательно находим [299]
6次2 _ 213/п2оЛ (1 + %砲2 (1 + 7厶砲2( I + R)T%qf.(89.52)
Таким образом, после длительных вычислений мы получили простое условие: если в акустических возмущениях разброс плотности превышает 入/О где 九〜々工、一длина когерентности, то за время расширения / существенная часть энергии переносится в более короткие волны. В соответствии с этим акустический шум диссипирует до тех пор, пока разброс плотности в масштабе 入〜 〜左」I пс станет удовлетворять условию
(巾/p)2*(左//尸.(89.53)
Это ограничение, согласующееся с уравнением (89.24), слабо зависит от параметра R — 3/4н/<?. Конечно, применимость полученных результатов зависит от предположения о степени неоднородности Вселенной при больших красных смещениях, когда вещество и излучение были связаны. Некоторые сценарии кратко изложены в гл. VI..
Несжимаемая жидкость
Как было указано в п. 4Г, в исследованиях происхождения галактик существенное внимание уделялось возникновению первичной турбулентности. Здесь мы рассмотрим два вопроса： влияние общего расширения па среднеквадратичную скорость турбулентности и закон, в соответствии с которым развитие предполагаемого турбулентного течения можно проследить в прошлое, вплоть до очень ранних эпох, когда размер вихря был много больше расстояния до горизонта.
При изучении первой проблемы ——эволюции вихревых течений, размер которых гораздо меньше расстояния до горизонта,— мы будем использовать модель идеальной жидкости и предполагать, что течение является дозвуковым (и《с§) и что, следовательно, р почти постоянно, и силами гравитации можно пренебречь. Уравнения движения выводятся из уравнения Р'. = О (85.2), в котором Т| определяется соотношением (85.4) и ha^ = =0. При и《с из компонента уравнения ，= 0 получаем обычное уравнение энергии
dp/dt + 3 (G/a) (р + р) + &Т& [(р + р) va]/dxa = 0.(90.1)
Если。《& то компонент i = а дает
—[а4 (о + р) уа] + б? _[(р + р) уааР + р^ав] = 0.(90.2)
dt
Производя в этом уравнении дифференцирование и подставляя уравнение (90.1), находим
(р + р) [dvaldt + ®В/&)dva/dx^] +
+ (а/〃)(р + p) и。+ а— др/дха + и。dp/dt = 0.(90.3)
Это уравнение можно сопоставить с обычными уравнениями движения Эйлера——Лагранжа. Инертная плотность вещества равна (р + р). Второй член в уравнении (90.3) означает, что и。 имеет тенденцию уменьшаться по закону а"1. Как отмечалось в разд. 7, это — чисто кинематический эффект. Благодаря последнему члену, градиент 工авления приводится к системе отсчета, в которой жидкость покоится.
Чтобы вывести уравнение кинетической энергии, умножим уравнение (90.3) на и。
S+ Р)(足+ £"^г)千+(р + Р)а2 ^1^ +
+ V • г р/а + # dpldt = 0. (90.4)
Усреднив это уравнение по х% найдем зависимость среднего квадрата пекулярной скорости от времени. Член, содержащий градиент давления, можно исключить, если использовать предположение о том, что течение является дозвуковым. Среднее значение давления равно рь, а отклонение от этого среднего значения удовлетворяет условию
V • V (Р — %)/а == V - [V (р — рь)/а] — (р — pj \ • v/a. (90.5)
Поскольку (р — рь) и V • у/а по порядку величины равны у2, последним членом в (90.5) можно пренебречь. Оставшийся член, содержащий полную дивергенцию, обращается в нуль, когда уравнение усредняется по пространству. Применяя уравнение (90.1), можно представить второй член уравнения (90.4) в виде
~^ [(Р + Р)。闻2/2矶 + (巒⑵历 + 3 (р + р) а/а].(90.6)
И снова первая часть обращается в нуль при усреднении по ха. После этих преобразований уравнение (90.4), усредненное по пространству, приобретает следующую форму:
(Р6 + Рь)。〈吟/欠 + 2 (р& + Рь)〈。2〉ala + 2〈接〉dp/dt = 0. (90.7)
С помощью уравнения энергии (90.1) из (90.7) получим окончательный результат
(t)2)cxa-8(pfr + pfr)-2.(90.8)
Eon р《р, то роса-з и <v2> уменьшается пропорционально а-2. Если же р = р/3, то р ос 仪一"и <у2> = const.
Наглядная интерпретация соотношения (90.8) связана с сохранением момента количества движения (см., например, [285]). Вихрь, координатный размер которого равен х, охватывает инертную массу М〜(р + р) (ах)з [уравнение (90.3)], и, следовательно, его момент количества движения примерно равен М(ах)и. Из условия сохранения момента количества движения при фиксированном х получаем соотношение (90.8).
Этот результат был получен для случая идеальной жидкости и поэтому не описывает вязкую диссипацию и каскадный перенос кинетической энергии к достаточно малым масштабам. В момент времени / в результате такого перераспределения энергии вихри размером х затухают, если время оборота вихря меньше, чем время расширения, т. е. если
标〜0%/u(居方)《九' (90.9)
При р = р/3 время оборота вихря изменяется по закону tto «= f/\ и, следовательно, при достаточно больших красных смещениях оно должно превышать /. Поэтому можно предполагать, что в масштабе 工 первичные течения становятся полностью турбулентными,
когда /；0 (х)// стремится к единице, и что благодаря этим вихрям турбулентность появляется на меньших масштабах ([282] и здесь ссылки на другие работы). Как указывает Барроу [13], можно даже считать, что при экстремально больших красных смещениях отношение р/р>'/з, а значит, р изменяется быстрее, чем а~4, и, следовательно, <у2> [соотношение (90.8)] стремится к нулю при Z+оо [уравнение (86.2)].
Однако в этом сценарии есть трудность, связанная с кривизной пространства (что отмечалось в работах [227, 285, 458]. Будем считать, что при очень больших красных смещениях первичные течения вещества описываются линейной теорией возмущений (разд. 85). В разд. 86 изучались решения, соответствующие условию 6 #= 0. Здесь же мы рассмотрим случай, когда поле пекулярных скоростей уа не равно нулю, причем 6 и коэффициент расширения 0 в первом порядке равны нулю.
При 2.》с/ в уравнении (85.5) можно пренебречь членом, содержащим градиент давления. В результате это уравнение приобретает вид
@4 (р + р) °а =尸а (х). (90.10)
Уравнение (90.10) приводит к такой же зависимости от времени, как и уравнение (90.8). Теперь первое из уравнений (85.11) Можно записать следующнм образом:
02(必邱 一 h^ldtdx^^-X^F^ (х)/а3. (90.11) В общем случае F® может содержать как составляющую, вихрь которой равен нулю, так и составляющую с равной нулю дивергенцией. В случае если существует только первая составляющая, получаем уравнения (86.3)—— (86.8). Сейчас же нас интересует случай
№/(Эха = 0, (90.12)
для которого решение уравнения (90.11) записывается в виде
儿(3 = -40,g3d4 (尸ae + NJIx-x'lTd/,『Q. (90.13) Поскольку 吗=0 и Л = 0, возмущение плотности 6 равно нулю, так что преобладающие члены во втором уравнении (85.11) дают
ЛиР + 3 (；/а)儿в =。， (90.14) что согласуется с зависимостью от времени величин 〃工廿 в уравнении (90.13).
В связи с этим решением возникает проблема: при 0 % расходится по закону 力一叭 при р = р/3, а в общем случае [уравнение (86.4)] — при р/р = V = const
厶аВб 厂"i)/" + v). (90.15)
22 ЗакА1 № 外>
Обычно предполагают, что при Z〜10& существовали случайные течения, размер которых сравним с расстоянием до горизонта ct и скорости которых по порядку величины были равны скорости света с, поэтому величина. /гар была приблизительно равна единице. При Z — 10е размер таких течений становится больше расстояния до горизонта, a h^ возрастает примерно в 100 раз. Таким образом, мы сталкиваемся с ситуацией, которая, ио-видимому, является неестественной: при больших красных смещениях пространство сильно и беспорядочно искривлено случайными первичными течениями, но при этом распределение вещества таково, что в масштабе горизонта оно всегда оказывается однородным.
Эволюция бесстолкновительных частиц
Частицы, обладающие большой средней длиной свободного пробега (например, фотоны при Z .^ 1000 или нейтрино), описываются нс моделью жидкости, а одночастичной функцией распределения. В этом разделе мы будем предполагать, что рассеянием можно пренебречь. Рассеяние электромагнитного излучения на свободных электронах изучается в следующем разделе. Пусть все частицы обладают одинаковой массой т, Результаты справедливы и для случая m — 0, но сначала удобнее считать, что частицы обладают массой.
Если /п > 0, то движение частиц удовлетворяет принципу наименьшего действия
Q = b^mds = b^m {ёц^1^У12 df,(91.1)
где ха (/)—-траектория частицы, а 衣一一координатная скорость
讶=(1, d%a/df)・(91.2)
В соответствии с этим лагранжиан записывается в форме m(g..xixi)'1-,(91.3)
откуда находим выражение для канонических импульсов
Ра = д^/дха = mgaiX^Xga^x1)42.(91.4)
В этом выражении знаменатель равен ds/df, и, следовательно,
Ра — mg^i dxl/ds — mg^ = mua,(913)
где 川一4-скорость частицы. Если % = 0 и ds/dt^ 1, то
Ри = —та2 dxaldtt(91.6)
что с точностью до знака совпадает с выражением (7.10).
Гамильтониан записывается в виде
Н = £ раха — 2 = тиа dxa/dt — m ds/dt =—加〃°= —%,(91.7)
где ро — четвертая составляющая 4-вектора 卩八
Уравнения движения Эйлера——Лагранжа выглядят следующим образом [уравнение (81.6)]:
dpa/dt = д^/дха = xhgjk, ар",(91.8)
где скорость в сопутствующей системе отсчета [уравнение (91.2)] равна
^ = р7/..⑼.9)
Уравнение энергии записывается в форме
dH/dt = dH/dt.(91.10)
Вычисляя частную производную по времени от выражения
т2 == g^pipj,(91.11)
с помощью уравнений (91.7) и (91.10) получаем четвертое уравнение для геодезической
dpddt =、l喳俶“返(91.12)
Уравнения (91.8) и (91.12) описывают движение свободных частиц. Эти уравнения остаются справедливыми в предельном случае /и = 0. Поэтому, применяя их, мы можем описывать газ, состоящий из нейтрино, или электромагнитное излучение, которое приближенно можно считать газом, состоящим из фотонов.
Одночастичная функция распределения f (х^, ра, /) равна числу частиц, приходящихся на единиц\т объема х, р-пространства: 6M = f(x, р, 0 ^х1 dx2dx36pi др26р3,(91.13)
Г (х, р-产) = f(x, р, £).
Согласно теореме Лиувилля, функция f не меняется вдоль траектории частицы (когда отсутствуют столкновения, которые не описываются выбранным лагранжианом Z). Поскольку это утверждение справедливо независимо от выбора системы координат, / должно быть скаляром, нс меняющимся при преобразовании координат. Это свойство записано во втором уравнении (91.13).
Тензор энергии-импульса для газа, состоящего из частиц, вы- гляд1гт следующим образом:
ТЧ = J {—gr4i 26 (i'pipj —硝 pi pi dp. (91.14)
Эта величина является тензором, так как функция распределения и аргумент 6-функции ——скаляры, а благодаря множителю (——g)% комбинация (——ё)^1^р также оказывается скаляром. В системе отсчета, локально совпадающей с системой Минковского, аргу-
мент 6-функции равен 卩^―р2—m2. Поэтому интеграл можно представить в форме
Г" = §»о%3р.(91.15)
Это ——обычное выражение для плотности энергии и импульса. В синхронной системе отсчета в качестве независимых переменных удобно использовать энергию частицы ро, полярные углы О и ср вектора ра и вспомогательную переменную е:
pa = —pa(t)eya, р = (ро —m2)1/2, ^ (уа)2= 1，(91.16)
где уа — направляющие косинусы. Таким образом, аргумент 6-фупкции принимает вид
g^p/Pi — m2 = /?2 [ 1 — е2 (1 + 端 Yd。"(91.17)
Поэтому, вычислив интеграл по с, находим, что в приближении слабого поля (|/1ар|《1) уравнение (91.14) записывается следующим образом:
r"=(l +〃2)，p2(p'p//p°)f (1 ~3/2hfM,) dpdQ, (91.18) Ра = —РЯУа (I — %力wYpY)
Плотность вещества, которую определяет наблюдатель, находящийся в точке с фиксированными координатами х% равна
Too = (1 + h!^ $ p0p2f(l - 3/2/!PaYPYo) dp dQ. (91.19)
В линейной теории возмущений предполагается, что функция распределения f мало отличается от функции fb (р, f), соответствующей модели фона. С точностью до членов первого порядка по 〃仪® и f ——fb уравнение (91.19) записывается в виде
Too = § РоР2 [f + % (%九—3/2九?oY?Y。)] dp dQ, (91.20)
откуда с помощью равенства
\ YuYb dQ = %加0(91.21)
получаем
Too = $ PoP2f dpdQ=pb(t)[\+f>(x, 0].(91.22)
Аналогичным образом, применяя равенство (91.21) и учитывая соотношение
，YaYpYyYfi (1/4力 dQ = 715 (肅犯七 + МСв。+ 醞枷丫)， (91 ・23)
находим
Toa^—a^p^afdpdQ,
ГаВ = %〕а2 (бар —力сф) J (pVpO)fb 如 +
+。2 \ YaYB dQ J (炉仇)(f — %) dp. (91.24)
Если масса покоя т частицы равна нулю или пренебрежимо мала, то выражения для 7订 упрощаются, так как в этом случае ро — р [уравнение (91.16)]. Тогда удобной величиной является относительное возмущение яркости, проинтегрированной по энергии частиц, т. е. величина, определяемая уравнением
，р3fdp = p/i + I(0,屮)]/4工 ^ p3fbdp = pb/4a. (91.25)
Именно этот интеграл фигурирует в каждом из выражений nЛЯ 7订:.
^оо = Рь (1 +^),。= }• (l/4n) dQ,
ТОи = —apbfa, fu = \Yai(l/4e) dQ, '(91.26)
ТаВ = Pftfl2 F/з (6аВ —九ав) + Псф]，%В = \ YaYQ C/户)dQ.
В переменных ха, ро, 丫廿 уравнение Лиувилля приобретает вид
df/dt + df/dxa dx^fdt + df/dpQdpofdt + df/dya dyjdt = 0. (91.27}
Оба множителя в последнем слагаемом ■—члены первого порядка относительно возмущения, так что в линейном приближении этим слагаемым можно пренебречь. Во втором слагаемом множитель dx^/dt можно заменить на выражение руа/ (ро^), не содержащее возмущений [уравнения (91.9) и (91.18)], так как дЦдх^ является величиной первого порядка относительно возмущения. После этих преобразований уравнение записывается следующим образом:
df/dt + (руа/роа) дЦдха + df/dpQ dpQ/dt = 0.(91.28)
В новых переменных уравнение энергии (91.12) принимает вид dpo/dt = — (а/а — VzYaYp^ap) Р2/Ро-(91.29)
Эти два уравнения описывают в линейной теории возмущений эволюцию газа, состоящего из бесстолкновительных частиц.
Если /п《ро и, следовательно, р = ро, то уравнения (91.28) и (91.29) оказываются однородными относительно . энергии частицы р. Чтобы вывести уравнение, определяющее эволюцию ин-
тегральной яркости (91.25), умножим уравнение (91.28) на р? и проинтегрируем по р:
@Рь (1 + l)/。/ + Рь(Yct/仪)拉/己№ + 4P匕(1 + i) (a/a — %归a(VYaYB)=。・
(91.30)
Члены, не содержащие возмущений, дают
0例/历 + 4(£例)例=0.(91.31)
Это — обычное выражение ,тля излучения или для свободных релятивистских частиц [уравнение (80.1) при р = р/3]. Члены первого порядка приводят к уравнению
dtfdt + (yja) д>/дха = 2уау^ dh^ldt.(91.32)
Это и есть уравнение для яркости, записанное в приближении линейных возмущений.
Проинтегрировав уравнение (91.32) по углам, получим
比/0/ + a」】 dfa/dx。= 2/3 3电6匕(91.33)
где 6— -относительное возмущение плотности вещества, a fa пропорционально полному потоку энергии, который измеряет наблюдатель, находящийся в точке с фиксированными 户[уравнения (91.26)]. Вводя обозначение
%0三070九/0%%(91.34)
преобразуем уравнение (91.33) к следующему виду:
d^/dt + %(о — % dh/dt) = 0.(91.35)
Это уравнение совпадает с уравнением (85.8) при v = с2 = ^^. Умножив уравнение (91.32) на 丫仪 и проинтегрировав по углам, получим [уравнение (91.26)]
dfjdt + а— дх\а^дх^ = 0.(91.36)
Взяв дивергенцию от этого уравнения и подставив соотношение (91.34), найдем
等雾+$^。+ $^%也"(1/句四=0.(91.37)
Это уравнение можно сравнить с уравнением (85.9) при v = !/з- Предположим теперь, что основной вклад в тензор энергии-им- п;;льса вносят частицы с 加=0. Тогда Г： = 0 [уравнение (91.14)]. и уравнения (91.26) и (82.9) дают
% а?/?/。/ + (a/a) dh/dt = 8nGpbft, . Q
@2 (例сф — &|3)/dxB dt = —\^Ga^bfa,
что согласуется с уравнением (85.10), Если, кроме того, характерный масштаб возмущений плотности л много больше с厶 то в уравнении (91.37) можно пренебречь последним членом, и мы получаем первые три уравнения (86.1), в которых 1V = 〃з・ Как установлено в разд. 86, решением этих уравнений является 6 ос ос У, где м= 1, 1/2, ——1. В данном случае газ, состоящий из бесстолкновительных частиц, ведет себя подобно идеальной жидкости, так как расстояние, которое проходит частица, много меньше длины волнн.
Другой простой и интересный предельный случай соответствует условию 2.《с/. При m = 0 величиной 力仪^ можно пренебречь, и, следовательно, уравнение (91.32) преобразуется к внау
dqdt + (у"。)dt/dxa = 0. (91.39)
Решение этого уравнения
1(/, 丫，х) = !卜，丫，х —丫 5 а~х dt^.(91.40)
Когда интеграл в последнем аргументе оказывается большим, i становится быстропсременной функцией направления, вследствие чего флуктуации 6 суммарной плотности сильно уменьшаются. В качестве примера рассмотрим случай, когда в начальный момент времени 於 яркость i не зависит от направления, но является флуктуирующей функцией положения. Тогда начальное значение i можно записать следующим образом:
М3 x) = £tkexp[ik • х].(91.41)
В момент времени t возмущение плотности равно•
6 = 2% ехР [* • х]『/2 exp —决乩 \ 仪7 dt d^ (91.42)
Где k-у = /гр. В соответствии с этим средний квадрат флуктуации плотности записывается в виде [403]
〈廿〉=2 J %f(sinx/x)2, x =々 \a7"(91.43)
Для этого предельного случая среднеквадратичное значение флук・ туаций плотности уменьшается по закону а (/)〃.
В работе Пиблса [307] изложены некоторые результаты численного интегрирования уравнений (91.32) и (91.38).
Приведенные выше результаты основаны на предположении, Что частицы являются релятивистскими. В качестве упражнения Можно убедиться в том, что в нерелятивистском приближении
(р《т) распределение частиц эволюционирует в соответствии с законами, выведенными в гл. II.
Диссипация адиабатических возмущений
При больших красных смещениях вещество и излучение жестко связаны и поэтом}7 ведут себя подобно единой идеальной жидкости. Любые возмущения в распределении вещества растут до тех пор, пока длина волны не станет сравнимой с расстоянием до горизонта, а затем начинают осциллировать как звуковые волны (разд. 86, 88), образуя спектр акустического шума. Коротковолновая часть спектра затухает вследствие диффузии фотонов, в результате чего в распределении вещества образуются остаточные флуктуации. Интересно, что этот процесс дает, как будет показано ниже, три характерные длины.
Описание вещества и излучения. Важными величинами являются: плотность вещества, которая записывается в виде
卩= М(1 +М)；(92.1)
скорость вещества относительно синхронной системы отсчета уа; яркость излучения, пропорциональная i [уравнение (91.25)]; плотность излучения [уравнение (91.26)], определяемая соотношением
8 =瓦(1+6),> =，L d9/4n(92.2)
и гравитационные поля 力仪伊 Давлением вещества можно пренебречь.
Уравнение яркости (91.32) нужно преобразовать так, чтобы учитывалось рассеяние излучения веществом. Преобладающим процессом является обычное нерелятивистское томсоновское рассеяние на свободных электронах, причем приемлемое приближение получается в том случае, если задачу упростить, положив, что дифференциальное сечение рассеяния изотропно в системе отсчета, в которой вещество покоится.
В этой системе отсчета при перемещении вдоль траектории луча из точки 1 в точку 2 функция распределения фотонов f изменяется вследствие рассеяния на величину
f'⑵—广⑴=о小f' Н (р〔)-门.(92.3)
Здесь штрих означает, что величина определяется в системе отсчета, в которой вещество покоится. В приближении изотропного рассеяния для распределения фотонов, рассеянных в заданном направлении, получим
. 厶(而="(血，Y2)或2‘/4工(92.4)
В этих выражениях и ——сечение томсоновского рассеяния, пе —— концентрация свободных электронов в покоящейся системе отсчета, а 5，一 интервал времени между точками (1) и (2). Это же время, измеряемое в синхронной системе отсчета, равно
W = dtf/dxi dx"dt 3/ = dtf/dxi (р7р0) df = (%例)W.(92.5)
С учетом инвариантности величины 〃〃', где и'——4-скорость вещества, применяя уравнение (91.18), с точностью до членов первого порядка находим
Ро = «° (Ро + % dx"/df) = р (1 — Ya@")・(92.6)
Поскольку f — скаляр, кинетическое уравнение, учитывающее столкновения, теперь можно записать непосредственно в синхронной системе отсчета
df/dt + df/dxa dxa/dt + df/др dp/dt 十 df/dya d、Mdt =
=叽(po/po) (k — f)• (92.7)
В линейном приближении это уравнение приобретает вид [уравнения (91.28) и (91.29)]
df/dt + (у"。) df/dxa — р df/др (а/а — 72уауэ <9%做)=
= G~(f+ —f). (92.8)
Умножив последнее уравнение на рЗ и проинтегрировав по р, получим [уравнение (91.32)]
di/df + (у/。)dt/dxa — 2^аур dh^jdt = ◎/ (」一【)，(92.9)
где I определяется выражением (91.25). И наконец, найдем излучение, рассеянное в заданном направлении, заметив, что [уравнение (92.4)]
f+ (р, 丫)= \ у (У, /) dQ!l^,(92.10)
где с помощью соотношения (92.6) р‘ записано через р н 丫仪・ В результате найдем
1 + ч (Т)= \рМр5[Г(р/. Y')/陶dQ，=(l+4YaUa)&%, (92.11)
где с точностью до первого порядка [уравнения (91.26)]
S = Too — Тци^и!^ Too = &ь (1 +心).(92.12)
Таким образом, кинетическое уравнение, учитывающее столкновения, можно преобразовать к виду
乱/df + (у。/。)机/。工° — 2утв 泌ав/°£ =。明(6 + 4yaua — i). (92.13)
Уравнение (92.13)——это дифференциальное уравнение для яркости излучения, построенное в линейном приближении. Оно было
выведено в работе Пиблса и 10 [328]. Докур [50, 51] получил уравнение для близких случаев.
Зависимость возмущения плотности вещества от времени определяется уравнением (85.8), в котором р = v — 0:
d6m/dt = 72 dh/dt — a~[dva/dxa.(92.14)
Яркость, измеряемая наблюдателем, координаты ха которого фиксированны, с точностью до членов первого порядка равна
/ = &М1 + с)/4л.(92.15)
Соответствующая яркость излучения, рассеянного веществом, записывается в форме [уравнения (92.11) и (92.12)]
/+ =⑤匕(1 十 > + 4уаиа)/4л.(92.16)
В соответствии с этим суммарная объемная сила, действующая на вещество, равна
尸a =，(翫/4冗)(L - 4Y*8一6) у^пе dQ = 0%%(fa - %t?a), (92.17) fa =卜Ya dC/4rt・
Следовательно, уравнения движения вещества выглядят следующим образом [уравнение (7.12)]:
dva/dt + (а/а) ua = о” 他加)(八一%。“)・(92.18)
Эти уравнения замыкаются уравнениями гравитационного поля (82.9), в которых соотношения (91.26) определяют Т[ Ниже обсуждаются некоторые свойства решений.
Б, Предельный случай ^->0. Среднее время свободного пробега равно
tc = \fme.(92.19)
Когда средняя длина свободного пробега много меньше размера флуктуаций, вещество и излучение можно описывать как вязкую жидкость. В этом приближении столкновительное кинетическое уравнение (92.13) удобно представить в виде
< => + 4yaua — tc [dildt +(Ya/a) dt/dxa — 2уаур dha^dt}. (92.20)
Теперь решение этого уравнения можно найти методом итерации- В нервом порядке имеем
1 =许 + 4Y陋气(92.21)
Затем с точностью до членов порядка tc находим
I = » + 4丫产—tc [dbrldt + 4ya dva/dt + 仇/a) д6г/дха +
+ 4(YaYe/а) d。17dх° — 2уау₽ dha(i/dt] (92.22)
и т. д. Используя определение величины В「, из последнего уравнения получим
许=\ I dQ/4a = дг — /с [d6r/dt + (4/За) dva/dxa —，也电叫.(92.23)
Поэтому в пулевом порядке по Zc имеем
於Jdt = % (% dhfdt — Q~【@&。/@%。)= 4/3 dbm/dt(92.24)
Первое уравнение (92.24) соответствует уравнению (85.8) при ” = 1/з, а второе уравнение, выведенное с помощью (92.14), согласуется с условием сохранения энтропии, приходящейся на барион (齒 оср>/з). Применяя уравнение (92.22), получим, что в первом порядке по tc поток, определенный в (92.17), записывается в следующем виде:
fa =，iYa dQ/4n = %。11 - tc (4/3 dva/dt + %&т д6г/дха). (92.25)
Подставляя это выражение в уравнение (92.18), найдем в нулевом порядке
(ц + 4/з&) dva/dt + циаа/а = — % (&/а) д6г/дха. (92.26)
Уравнение (92.26) согласуется с уравнением (90.3): как и ожидалось, в пределе при ^f 6 смесь вещества и излучения ведет себя как идеальная жидкость, для которой р = н+^, р = ^/3.
Эволюция звуковой волны в приближении идеальной жидкости обсуждалось в разд. 88. Для смеси вещества и излучения зависимость от времени записывается следующим образом [соотношения (88.15)]:
br<xe-iv/(\+R)lli,
<р = J [keja) dt, q = [3(l+R)]T2,(92.27)
R = %瓦解оС a⑴.
Вследствие диффузии фотонов появляется дополнительный член, рписывающий экспоненциальное затухание. Этот член рассматривается ниже.
Затухание вследствие диффузии фотонов. Филд [111] и Чибисов [42] нашли наиболее простой метод решения этой задачи. Поскольку нас интересует предельный случай A《c&t《ct, силами гравитации можно пренебречь. Пренебрежем также зависимостью от времени коэффициентов а и /с. В результате уравнения (92.13) и (92.18) приобретают вид
di/df + “а/。)di/d%° = (，+ 4уаиа — 1)伍，(92.28)
dva/dt= (&/例)(h一%吗.
Поскольку коэффициенты не зависят от времени и от положения, решение можно искать в форме
t?" ex I ос exp [zk • х — w/].(92.29)
Тогда уравнения (92.28) дают
I = (6 + 4圈?)/[ 1-itc ((о -左n/q)],
и = %"(1 —血也)，(92.30)
где
6r =，％id|i, f = У/24Лd快，卩=cos0 = 丫 • k/论. (92.31)
Здесь все векторы k, v и f параллельны, а 0 — угол между волновым вектором к и вектором у, определяющим направление. Общепринятое обозначение ц = cos0 не следует путать с плотностью вещества. Интегрируя первое из уравнений (92.28) по направлению у, находим
o)dr = fk/a,(92.32)
Применяя это соотношение, объединим уравнения (92.30)
(92.33)(92.33)—к 1 + (Зацсо/й) (1 —必tcR)~i
(92.33)
(92.33)
1 =》1—〃с(з— 左財a)
Эго выражение справедливо для всех порядков по /с [но, безусловно, при этом предполагается, что характерные времена изменения /с н R в。много раз превосходят времена, соответствующие действительной и мнимой частям со (й)]. Дисперсионное уравнение (о (左)можно получить, если выражение (92.33) подставить в первое из уравнений (92.31) и исключить 6Г. Однако окончательное выражение оказывается очень громоздким и почти ничего пе разъясняет. Поэтому уравнение (92.33) лучше разложить в ряд по /с, а затем проинтегрировать по 快.В первом порядке по % результат записывается следующим образом:
(0 = (0。—电 зо=左c/a[3 (1 + R)]‘"，(92.34)
Y =(段乜/6喲[R2 + % (R + 1 )]/(R + 1)2.
Действительная часть co согласуется с результатом, полученным в приближении идеальной жидкости (92.27), а мнимая часть (у) представляет собой скорость экспоненциального затухания. И в заключение можно учесть относительно слабую зависимость 丫 от времени, видоизменив уравнение (92.27):
>сх (1 + R)T/4exp [-йр(/)- \ Yd/]. (92.35)
Этот же результат можно получить другим способом, если, продолжая разложение в ряд, вслед за выражением (92.22) записать решение с точностью до членов порядка ,, затем в первом
порядке но /с вывести уравнения движения, соответствующие уравнениям (92.24) и (92.26), и решить эти уравнения в адиабатическом приближении. Такой метод вывода соотношений (92.34) и (92.35) разработали Пиблс и Ю [328]. Филд [111] и Чибисов [42] получили у, применив метод, изложенный выше. Величину у можно также найти с помощью коэффициентов переноса в смеси вещества и излучения, если эта смесь описывается как жидкость, обладающая вязкостью н теплопроводностью. Работа Силка [388] была первой, в которой использовался этот подход, а подробно он исследован в работе Вайнберга [434].
Г. Функция линейного преобразования для адиабатических возмущений: характерные массы. Предположим, что при некотором очень большом красном смещении самая быстрорастущая мода возмущений плотности разложена по плоским волнам вида (92.29). Пусть в этот начальный момент времени волна, которой соответствует волновой вектор к, обладает амплитудой 6к (Z), и пусть амплитуда волны с тем же самым сопутствующим к увеличилась и стала равна 5k(f) в момент Z/ = Zdec^ 1300, т. е. сразу же после рекомбинации. В линейной теории возмущений можно записать
М⑴= Т(А)6к«), (92.36)
где Т (й) — функция линейного преобразования для космологической модели. Как будет показано ниже, функция Т(左)характеризуется тремя интересными и, вероятно, важными характеристическими величинами: массой ЛЬ, соответствующей коротковолновом}^ обрыву спектра (возможно, эта величина определяет масштаб связанных объектов первого поколения), более или менее равномерно расположенными корнями функции 7\ и массой Джинса Мх (если k превосходит значение, соответствующее Мх, то Т не зависит от 力).
Волновому числу 白 соответствует собственная длина волны X, равная
А = 2па«)/历 (92.37)
Удобно и общепринято выражать 九 через массу барионов, расположенных внутри сферы, диаметр которой равен этой длине волны:
М = щл从Мб, |匕=1,88 • ЮТ%?。部 г/см3. (92.38) Отсюда получаем, что при красном смещении Z
% = 5,87 • IO?。(M/Mj/々I +Z)Q*y/3 см. (92.39) Чтобы получить представление о порядках величин, обратим внимание на то, что корреляционные функции ged (г) и Edd (г) полоЖительны до расстояния г по крайней мере 40А-1 Мпс (табл. 78.1),
При 7. = 40/г-1 Мпс характерная масса равна
М(40/?т Мпс) - 1 • Ю16/?-^^®.(92.40)
Отношение средних значений плотности вещества и излучения записывается в виде
翳/4=a7%1“2 = 2,38 • 10T(1 +Z)/Qo/?2.(92.41)
Здесь мы предположили, что современная температура излучения равна Г = 2,7 К. Плотности вещества и излучения равны при красном смещении
1 4-Zeq = 4.2 • ЮШ2.(92.42)
Проинтегрировав космологические уравнения (80.1), определим время /, соответствующее красному смещению 2. В этом разделе мы используем два интересных предельных случая. При Z ^ 2Щ преобладает энергия излучения, и в уравнении (80.1) можно пренебречь членом, содержащим RT Поэтому получаем
/ Q (32/знО歸-/2= 3,17 • @9(1+Z)-? С, Z>Zeq. (92.43)
Если красное смещение меньше Zeq, но все же достаточно велико, чтобы можно было пренебречь членом, содержащим R『 т0 имеем
/ « (6нС乩广/2 = 2,06 • \o'7^l,2h~l (1 4- Z)-*2 с> (92.44)
|sV- 1|<1 + Z<1 + zeq.
Теперь можно оценить интеграл, определяющий фазу в соотношениях (92.27) и (92.35). При Z>Zeq, когда а ос/%, этот интеграл равен
(р = j [kcs/a (/)] dt q (左c/3”2) j a— dt a о
a 1,18 • 1O1o(Qo/i2)!/3(M/M0)-!/3(1 +Z)T рад. (92.45)
Такое приближение является приемлемым вплоть до Zeq. При Z^ имеем
(feq « 2,8 • 105(M/Me.)-!/3(Qo/i2)_2/3.(92.46)
Фаза(pCq = 1 рад, если длина волны равна
/= 53(Qo力2)T(1+z)t Мпе, 也=2 • 1016便％2厂2m@ (92/7) Это значение определяет размер неоднородностей, которые при Z = Z(：q только начинают осциллировать. При ZVZeq интегр；ы приводит к выражению
屮。伙q+3,2 ， U (m/m0)t3g曲)一2/3]m(1 +zq/(]+ Z)].
(92.48)
Поскольку множитель, включающий логарифм, не может сильно превысить единицу, при М > Мх, т. е. когда (pCq < 1 рад, фаза никогда не может стать большой: давление несущественно и функция преобразования Т почти не зависит от длины волны. При М = Мх период звуковых колебаний, примерно равный 九/с$, соответствует времени расширения: Мх ——масса Джинса для жидкости, состоящей из смеси вещества и излучения. Поскольку р oc(l+Z)4 и р ос(i+z)3, масса Джинса не зависит от красного смещения при ZvZeq (разд. 16). При М<^МХ каждый раз, когда радиус Вселенной удваивается, фаза возрастает на много радиан, и, следовательно, в этом случае мы имеем дело с акустическими флуктуациями.
Вследствие диффузии фотонов акустическая часть спектра затухает. Если М близко к MXt то величина yt [уравнение (92.34)] остается относительно малой вплоть до Zdec 〜i§00, когда температура падает примерно до 4000 К и плазма рекомбинирует, образуя нейтральные атомы водорода, в результате чего вещество и -излучение разъединяются. В ходе рекомбинации в течение промежутка времени А/, который хотя и меньше времени расширения /, по по порядку величины сравним с ним, средняя длина свободного пробега фотонов возрастает от значения, составляющего малую долю длины волны, до значения, равного длине волны. Если в течение этого интервала времени А/ волна испытывает много колебаний, то она затухает постепенно и остаточные неоднородности в распределении вещества оказываются очень малыми. Если же за время At не успевает произойти ни одного полного колебания, то можно считать, что рекомбинация протекает быстро и в веществе сохраняются возмущения, близкие к существовавшим до рекомбинации. Результаты численного интегрирования показывают, что граница между этими предельными случаями пpибv^изитeльнo приходится на волну, которая успевает совершить пять колебаний за время, когда 1 +/ изменяется в е раз, что записывается следующим образом [328]:
[(1 + Z) d(p/dZ】Zdec 〜30 рад 〜底с [3 (1 + 砲厂^ dt/da. (92.49)
Из этого условия можно вывести характерную массу Силка, определяющую коротковолновый обрыв функции преобразования:
Ms=l,2 • 10i2M@(Oo胪厂2口 +o,o36/(q/2)「3 (92.50)
Величину К можно также оценить другим способом; для этого коэффициент экспоненциального затухания у [формула (92.34)] нужно проинтегрировать по времени вплоть до момента, когда вещество и излучение уже нельзя рассматривать как единую жидкость (например, [42, 391]). В работах Бонометто и Лючина [26] и Пресса и Вишняка [335] вещество и излучение описывались как
взаимодействующие жидкости, в каждой из которых происходит диссипация. Оказалось, что уравнение, определяющее функцию преобразования, довольно легко численно проинтегрировать, поскольку возмущение, которое записано в виде плоской волны, характеризуется двумя независимыми переменными / и 0. Численный параметр в уравнении (92.49) мы подобрали так, чтобы величина (92.50) приблизительно совпадала с результатами численного интегрирования [328]. Можно отметить, что при Z = 1300 для плоской волны с характеристической массой M§ скорость затухания при Qo九2=1 равна 丫/ = 2,3/尤& (хе ——степень ионизации водорода) и yt = 1,1/хе, если Q0/i2 = 0,03. Следовательно, возмущения массой Ms испытывают существенное затухание до рекомбинации. Однако это затухание частично компенсируется остаточной скоростью вещества, которая увеличивает окончательную амплитуду. Итак, благодаря рекомбинации функция преобразования становится почти плоской при М8^М^Мх,
От спектра первичных неоднородностей зависит, будет ли обрыв при Ms в функции линейного преобразования определять размер объектов первого поколения, образующихся после рекомбинации. Если Q0A2 — 1, то Ms достигает значения примерно 1012М е, а если Q0/i2= 0,03, то М§〜10伍磔.Любопытно, что для каждого из этих значений находится приемлемое объяснение: масса видимой области гигантской галактики приблизительно равна 1012М?;, а поминальная масса среднего по богатству скопления равна 〜10伍加◎.
Из граничного условия 6 ->0 при f->0 следует, что 6 (х, Е) должно быть суммой стоячих волн. Кроме того, это условие фиксирует фазу временной части каждого компонента Фурье. Это означает, что $卜(，)Д°лжно обращаться в нуль при тех дискретных значениях 々，для которых в момент рекомбинации фаза стоячей волны такова, что остаточные неоднородности, обусловленные смещением и скоростью, как раз гасят друг друга. Если остаточная скорость пренебрежимо мала, то корни функции преобразования лежат в тех точках, где фаза в момент рекомбинации кратна л [405]:
'dec
((kscs/a) dt ^ n^. ： (92.51)
Из этого условия и уравнения для ср (92.48) находим, что корни соответствуют длинам волн
时〜入o/几，Хо=(2О Mnc/QoA2)ln(8OQoA2). (92.52)
Сн/н гравитации и остаточные скорости слабо изменяют эти значения корней. Численные результаты [249, 328] демонстрируют этот эффект. Поскольку в масштабе /，о галактики слабо скучен^
[в том смысле, что двухточечная корреляционная функция Е (入о) много меньше единицы], линейное приближение все еще остается справедливым и корни спектра мощности должны ощущаться, если они существовали в эпоху рекомбинации. Этот факт можно будет проверить, когда появятся обширные выборки красных смещений; обнаружение и измерение длины А。，конечно, было бы хорошим тестом для этой модели.
И в заключение исследуем форму огибающей функции Г (k) при M>Ms. При М <МХ амплитуда 6к(/) растет по закону (1+Z)T (если принять, что Z^Zeq), до тех пор пока длина волны не станет сравнимой с расстоянием до горизонта, а затем возмущение колеблется подобно звуковой волне, причем амплитуда возмущения остается почти постоянной [уравнение (92.27)]. Это продолжается до тех пор, пока влияние величины yf не станет заметным. При первом колебании собственная длина волны равна
入=2ла (0/Л 〜d ос а2,(92.53)
следовательно, это колебание происходит при красном смещении
1 + Z左 ос а"1 ос 々,(92.54)
поэтому коэффициент усиления равен
Т (龙)(x(l+ZQ-2 cx 龙-2(92.55)
Таким образом, если спектр мощности первичных неоднородностей плотности записывается в форме
16k ⑴f6护，(92.56)
то наклон спектра возмущений, длина волны которых меньше расстояния до горизонта, определяется соотношением
16kl2cx 々v_4, 2M/k < t.(92.57)
Поскольку волновое число h х М-%, Где М — масса барионов, соответствующая этому компоненту Фурье [формула (92.39)], соотношение (92.54) означает, что волна начинает колебаться при
1+Z々〜(l+Zeq)(Mx/M)l*.(92.58)
Нормировка в этом соотношении определена из условия, что при красном смещении Zeq волна массой Мх только начинает колебаться. Таким образом, при MVMh огибающая функции преобразования записывается следующим образом:
6 〜心[(1 + Zf)/(1 + Zeq)f (М/Мх)2/3[(1 十 Zdec)/(1 十 Zeq)*.
(92.59)
Последний множитель, который нужно учитывать при Zeq>Zdec, описывает адиабатическое изменение амплитуды волны [соотно-
2.4 Заказ № 82
шения (92.27)]. Для возмущений, длина волны которых превосходит длину Джинса, давление не играет существенной роли, и, следовательно, при М > Мх коэффициент усиления к моменту Zdec Записывается В ВИДе (Zdec ^eq)
bf 〜也[(1 +Zj)/(1 +Zeq)F(l +Zeq)/(l +Zdec)・；'(92.60)
Ес«ти Q[)/i2〜“оз, T0 Zeq〜Zd“，и эти два выражения для 6/ согласуются при М 〜Мх. Если Zeq много больше Zdec, то при М^МХ огибаюгцая коротковолновой части спектра становится меньше значения, полученного по длинноволновой части, причем при М〜
Мх отношение амплитуд равно
д(М^)/д(М7)~[(1 + Z”)/(l + Zdec)『4.(92.61)
Таким образом, в спектре мощности, быть может, существует пик при М ^Мх. Этот эффект обнаружили Филд и Шепли [113]. П и к добавляет к преобразованию Фурье для функции S (г) член, который почти не меняется при г < /^ и стремится к нулю при г> 入где 入& определяется выражением (92.47). Эта длина находится вне диапазона расстояний, который можно исследовать с помощью имеющихся данных, но было бы интересно поискать этот эффект в более полных выборках.
Остаточные флуктуации микроволнового_
фонового излучения
Эти флуктуации важны как инструмент для изучения условий, которые существуют во Вселенной в настоящее время и существовали в эпоху рекомбинации. Однако не следует забывать, что неоднородности в распределении реликтового излучения, т. е. излучения, которое сохранилось с очень ранних стадий эволюции Вселенной, могли уменьшиться или увеличиться в результате рассеяния и переизлучения, происходивших при распространении излучения вдоль луча зрения. Поэтому, чтобы полностью использовать информацию, которую можно извлечь из данных о реликтовом излучении, нужно лучше знать процессы образования галактик.
Л. Малые угловые размеры. Излучение, которое мы регистрируем в настоящее время в двух направлениях, образующих угол G, в эпоху f занимало область собственного размера [уравнение (97.11)]
d = a (f) х0.(93.1)
Такую собственную длину задает угол наблюдений 0 в момент времени f. Координатное расстояние х определяется выражением
56.7). В открытой Вселенной (QoVl) параметр плотности был бы равен Qz = 0,5 при красном смещении [уравнение (97.20)]
1 4-Zc = Q6'1- 1.(93.2)
При таком красном смещении величина х равна (Qo《l)
хс = (2/Н0а0%) [3 - 21/2 (2 - /)/(1 -纟方勺 ^ О,34/(Ноа^). (93.3)
В пределе Z》Z© величина х стремится к
хm = 2 ("0a傷尸.(93.4)
Современные наблюдения, направленные на то, чтобы обнаружить мелкомасштабные неоднородности в микроволновом фоне, дают следующее ограничение сверху: 577Т《 10-3 в угловых масштабах от 3 до 10’ [28, 286]. При Z》Z, углу 8 = 3’ соответствует собственное расстояние
^ = 5,2[йОо(1 +Z)p' Мпс, М = 2 • 10“О^)-Ме. (93.5)
Вторая величина — это средняя масса барионов, находящихся внутри сферы диаметра d [выражение (92.38) ]. Таким образом, измерения дают информацию о структуре Вселенной в масштабах, которые превосходят размер галактики и которые при Qo = 0,1 сопоставимы с наибольшим и надежно установленным масштабом скучивания галактик do〜40/i~i Мпс.
Для смеси вещества и излучения длина волны Джинса определяется соотношением (92.47). Этой длине волны соответствует угол
必〜3(У/Г*(93.6)
который при ZeVZgZeq НС ЗЗВИСИТ ОТ Qo И Z. Если ZcqAZdec, то угол (93.6) определяет предел между крупномасштабными неоднородностями, рост которых не замедлялся давлением, и мелкомасштабными неоднородностями, которые, согласно линейной теории, до рекомбинации колебались подобно звуковым волнам. Эти колебания затухают, когда средняя длина свободного пробега фотонов становится сравнимой с длиной волны в распределении вещества. После этого даже если распределение вещества оказывается не вполне однородным, распределение излучения сглаживается, поскольку средняя длина свободного пробега фотонов становится меньше расстояния до 「орнзонта. Самые большие флуктуации излучения образуются благодаря первым (если отсчитывать со стороны больших длин волн) одному или двум пикам функции преобразования и тем первичным флуктуациям, которые обладают еще большими длинами волн. Следовательно, обрыв в спектре угловых флуктуаций следует искать при 0, немного меныпем %, и сслн плазма рекомбинирует так, как описано выше, то можно ожидать, что в точке излома амплитуда 6 77T сравнима
с величиной 6р/р, вычисленной для первого пика в эпоху рекомбинации. При Zcq》Z"c растущая мода линейного возмущения в конечном счете увеличивается следующим образом [уравнение (Н.21)]: '
bg/Mec ~ % (1 + Zdec)/ @J — 0* (93.7)
Поэтому если возмущения, соответствующие первому пику, в рс・ зультате эволюции образуют нелинейные сгущения, то должно выполняться условие .
"/Т 〜％bp/p A 10R犷， (93.8)
что близко к ограничениям, установленным из наблюдений. Чтобы получить более точиые оценки, необходимо численно проинтегрировать уравнение яркости для всего процесса рекомбинации [328, 395]. Оценки по порядку величины этого и конкурирующих эффектов приводятся в работах [29, 4 3, 233, 290, 392, 405].
Б. Большие угловые масштабы. Сакс и Вольф [353] показали, как при 8》0* можно оценить остаточные флуктуации микроволнового фона, используя приемлемое приближение, основанное на следующих соображениях. При красном смещении Z собственная длина d (Z), которая соответствует углу 0 [выражение (93.1)], равна расстоянию до горизонта cf, если
O«'/3[Qo/(J +^)]l/2，Zc^Z《Zeq. (93.9)
Это соотношение определяет эпоху Z, когда размер флуктуаций, наблюдаемых в настоящее время в угловом масштабе 0, ста” равным расстоянию до горизонта. Этот угол равен
Hdec 〜30 £*) Z = Zdec, 0eq ^6 h~\ Z = Z^ (93.10)
Рассеяние никогда не играло существенной роли в возмущениях, которые соответствуют масштабам 8》0dec (при условии, что плазма рекомбинирует именно так, как мы предположили). Причина в том, что ко времени, когда фотоны получили возможность реагировать на неоднородность, их средняя длина свободного пробега уже превышала с£ Следовательно, в уравнении для яркости можно опустить член, связанный с рассеянием, что значительно упрощает вычисления.
Пренебрегая рассеянием, получаем, что в приближении линейных возмущений уравнение для яркости (92.8) приобретает вид
df/dt + (уи/а) df/dxa = р (df/dp) (а/а — '/гТаУв dh^di). (93.11)
В отсутствие возмущений это уравнение имеет вид
dfb/dt = р (а/а)dfb/dpt f& = F(ар) ос {exp[ap/kTa] — I}-1. (93.12)
Решением последнего уравнения является функция, зависящая только от ар, и если спектр излучения совпадает со спектром абсолютно черного тела, то температура изменяется, как обычно, по закону Т ос L Для случая, когда возмущения существуют, запишем
(93.13)(93.13)f = f&(l +е)> е = е(ар, Ya，х, f),dzjdt + (Ya/。) де/дха = —% (р/%) dfb/dp dha&/diyay^.
(93.13)
(93.13)
Здесь производная по времени вычисляется при фиксированном ар. Чтобы упростить последующие выражения, предположим, что энергия фотона р приходится на длинноволновую область спектра, т. е. на область Рэлея—Джинса, так что fb ос рт (именно этот случай представляет практический интерес). Тогда последнее из уравнений (93.13) принимает следующий вид:
de/dt + (Ya/a) de/dxa = '/гУаУр dha&/dt.(93.14)
Чтобы еще сильнее упростить задачу, изменим знак у направления Ya, тогда этот вектор будет направлен назад — вдоль луча зрения. Поместим наблюдателя в точке ха. Излучение, которое регистрируется в современную эпоху, т. о. в момент времени 综 в момент t находилось на координатном расстоянии
尤“ =«), %(/)=，a」】(片)dt、(93.15)
Используя эти независимые переменные, проинтегрируем уравнение (93.14) и представим результат в форме
f о
е = 72?аТ₽ j ^ар [/, уах (t)]/dt dt.(93.16)
о.
Это выражение показывает, как гравитационные поля, пронизываемые лучом зрения, оказывают влияние на яркость излучения. Полученный результат можно объяснить просто, если ввести наблюдателей, которые определяют синхронную систему отсчета и расположены в точках с фиксированными координатами х0t. Пусть пакет излучения проходит мимо первого наблюдателя в момент времени /, а мимо второго — в момент /+ 6/. Координатное расстояние между этими наблюдателями записывается в виде [уравнения (91.9) и (91.18)]
%a = Ya*/a・(93.17)
Собственное же расстояние между наблюдателями равно г = Ы, и это расстояние увеличивается в результате общего расширения и вследствие возмущения Аа₽. Чтобы определить скорость увели-
чения расстояния между двумя наблюдателями, воспользуемся уравнением (93.17) и соотношениями (81.8) и получим
Г = (—gap 6xa д№)'/2 СХ a ( 1 — 'MapYaYfj). (93.18) откуда найдем
dr/dt = Q/q — %YaYB @九ав/°') r-(93.19)
Поэтому наблюдатели замечают, что вследствие эффекта Доплера, вычисленного в первом порядке, частота излучения в пакете изменяется на относительную величину
dv/v = —dr/dt,b (av)/«v = 6 (aT)/aT = %YaYB & dha^/dt.
Это обычное преобразование Лоренца, которое в данном случае справедливо потому, что наблюдатели находятся близко друг к другу. В соответствии с (93.20) изменение частоты 6v/v, происходящее вследствие эффекта Доплера, создает такое же возмущение 6Т/Т в измеряемой яркостной температуре (см., например, [327]). Выражение (93.16) является интегралом уравнений (93.20) для последовательности наблюдателей, расположенных вдоль траектории излучения.
Отметим, что если е = 5Т/Т, где Т ——эквивалентная яркостная температура излучения абсолютно черного тела, то уравнение (93.20), а следовательно, и уравнение (93.16) применимы при любой энергии фотонов р, а не только в области Рэлея——Джинса. Предоставляем читателю в качестве упражнения выяснить, почему так должно быть, если применять первый метод.
И наконец, для последнего упрощения заметим, что если 9》®dec， то 8》8eq [формулы (93.10)] и, следовательно, градиентом сил давления можно пренебречь. Тогда систему отсчета можно выбрать так, чтобы выполнялось условие 7^ = 0, а в результате, как показано в разд. 84, поле 无仪自 можно выводить из потенциала 4f [уравнения (84.5) и (84.20)]. Считая, что преобладает наиболее быстрорастущее решение, пропорциональное 5(%), представим Лар следующим образом:
d力邱/沐=dD{ (t)/dtd2k (x)/d%a d/.(93.21)
Поскольку в синхронной системе отсчета скоростью вещества можно пренебречь [уравнение (92.14)], из (93.21) находим
2 况m/df = dh/dt = dDJdt ▽?瓦(93.22)
Для случая, когда Di ос 步/з, из уравнения (84.20) получаем
Dx (/)々(xa) =(p/(2nGpfta2),(93.23)
ср = —Gpba?6(x〈 f) |x — xzI"1 d3x\
где (р(х)——ньютоновский потенциал (вычисленный на гиперповерхности постоянного времени £ в синхронной системе отсчета). Фу нкгщя 々,которая определяется вдоль траектории излучения, записывается в виде й [х (/) Ya], поэтому
产后/d%2 = YaY6 0决/d%a d%%(93.24)
и, слсловатсльно, выражение (93.16) выглядит так:
£ = % j dD{[dt d2^/d%2 df, где di = —a dx. (93.25) о
Проинте! рировав дважды по частям, найдем
ao dDi dk「a d /с dD\、厶卩
(93.26)(93.26).1 f / 厶 d d dD\
(93.26)
(93.26)
+ dtk4ra4Fa~dT-
Это уравнение вывели Сакс и Вольф [353], но исходили они не из уравнения для яркости, а из красного смещения волнового пакета.
Первый член в уравнении (93.26) и выражения (93.23) дают
£ = —^оУаф, a/^0 = fogaYa •(93.27)
Здесь .ga ——пекулярное гравитационное ускорение. В модели Эйнштейна——де Ситтера пекулярная скорость в растущей моде равна ua = gaf [уравнение (14.7)]. Таким образом, первый член описывает 24-часовую анизотропию микроволнового фона, обус- лoBv^eннyIo пекулярной скоростью свободно движущегося наблюдателя, который находится в точке 尤口 = 0 (в синхронной системе отсчета). Поскольку в этой модели D\ ос 步/з, третий член в уравнении (93.26) равен нулю, а второй член можно представить в форме
е=-7з[ф(0)-(р(хуа)].(93.28)
Это и есть окончательный результат Сакса и Вольфа. Локальное гравитационное красное смещение, регистрируемое наблюдателем, равно ——(р(0). Эта формула описывает лишь одну треть суммарного эффекта. Остальную же часть эффекта получим, если учтем, что е определено как возмущение средней яркости на гиперповерхности постоянного времени f, т. с. на гиперповерхности, задаваемой наблюдателями, координаты х" которых не меняются. Переход к ньютоновскому времени определяется преобразова
нием / = /(1——ср) [соотношение (84.15), в котором ср нс зависит
от /]. Выполняя это преобразование, приводим возмущение к постоянному / и получаем суммарный эффект
677T = —ф (0)/3 一 6а/а = -ф (0).(93.29)
Выражение (93.28) означает, что все, что находится вдоль траектории луча от точки х^ = хуа> расположенной при большом красном смещении, до наблюдателя в точке 尤仪=0, не может повлиять на е. Чтобы понять, почему это так, перейдем к однородно расширяющейся ньютоновской системе отсчета, введенной в гл. II, и запишем интеграл, выражающий изменение энергии фотона (или яркостной температуры) т обусловленное гравитационным ускорением вдоль траектории луча
6 (av)/av = —，dtp (х, t)/dxa dxa.(93.30)
В модели Эйнштейна——до Ситтера в линейном растущем возмущении величина ср зависит только от х® [поскольку 5 ос а в уравнении (93.23)]. Поэтому, как и в (93.28), интеграл зависит только от пределов интегрирования. Рис и Шама [342] указали, что в других космологических моделях или в случае нелинейной концентрации вещества при фиксированном х потенциал ср может зависеть от /, и, следовательно, интеграл зависит от того, что происходит вдоль траектории： может случиться так, что в области с растущим гравитационным потенциалом энергия, которая теряется фотонами, покидающими эту область, превосходит энергию, которую фотоны приобрели, двигаясь внутрь области. Однако в случае когда длина скучивания много меньше с сН~* изменение потенциала ср за время, необходимое, чтобы излучение пересекло неоднородность, обычно составляет малую долю ср, так что этот эффект вносит лишь малую поправку в выражение (93.28).
Выражение (93.28) было выведено в модели Эйнштейна-- де Ситтера, по с такой же точностью его можно применять к открытой или замкнутой модели, если рассматривать достаточно малые угловые масштабы, для которых угол 0 при больших красных смещениях соответствует малой части расстояния |R|a(f). В открытой модели это условие записывается в форме [метрика (80.8)]
d = 2ае/7Уоа()Оо《a IR I，ao|R|~A/o： 8《Qo.(93.31)
работе [9] использованный нами метод обобщается на случай открытых и замкнутых моделей.
Переменную часть выражения (93.28) можно записать в следующем виде:
677T = £= %(р(%а)= —/Gpd，％ (х- f)|x‘一 X I-1 d?x\
“(93.32)
xa = ya j a~[ (Г) d匕
0
Заметим, что <p можно оценить в любой подходящий для нас момент времени /, так как в модели Эйнштейна—де Ситтера ср не зависит от /. Чтобы найти порядок величин, рассмотрим область, которая в момент времени t характеризуется собственным размером / и контрастом плотности 6. В этом случае уравнение (93.32) дает
677TG“Fb~—6 (//О2.(93.33)
Если момент времени выбран так, что /=% то | 6Г/Г| ^ | 6 |. Другими словами, остаточное возмущение реликтового излучения приблизительно равно контрасту плотности вещества, вычисленному в момент, когда размер области стал равен расстоянию до горизонта (такой вывод, по-видимому, вполне разумен). Любопытно, однако, отметить, что знаки 6 и е противоположны. Этот факт можно объяснить в лучшем случае лишь эвристически, поскольку нужно рассмотреть стадию, когда I》ct. Отметим, что можно исследовать два эффекта. При большом красном смещении, когда /(f)》cf, в каждой области вещество и излучение эволюционируют так, как они эволюционировали бы в однородной модели мира. Поэтому там, где плотность вещества велика, плотность излучения также оказывается высокой: е = 6/3. Когда же t становится сравнимым с / (/), в области повышенной плотности избыток излучения исчезает, поскольку излучение выходит из области, где потенциал равен 屮 〜6 [формула (93.33)], вследствие чего яркостная температура уменьшается примерно на такую же величину 5. Это ——два эффекта одного порядка, но противоположного знака, причем, как оказывается, второй эффект определяет знак остаточной величины в.
Чтобы получить более точное соотношение между е и 6陋,рассмотрим спектр мощности е. Подставляя разложение
6 = X 6k exp [zk • х](93.34)
в уравнение (93.32), находим [ср. с формулой (27.6)]
£ = —2/9 (砒)2 £ (bk/炉)exp [tk • х].(93.35)
к
Предположим, что на небесной сфере е измеряется внутри квадратной площадки размером 0X0, где 9《1. Тогда в уравнении (93.35) последний множитель можно представить в виде
exp [/к • х] Qexp[i% (仇自 + 团屬)+ 以々з]，(93.36)
где х определяется выражением (93.32), а 61 и 62 — декартовы координаты, описывающие угловое положение внутри малой области небесной сферы. Для этой области преобразование Фурье е записывается в форме
加=,& exp [—£q • 0] d2O/02 =
=—% ®/®f)2 2 M/炉仍(xfe, 一 仆)F (%々2 — 仇)exp [ik3x],(93.37)
где
尸(х) = {exp [fxO — l]}/fx.
Спектром мощности е является средний квадрат этого выражения, Средние же значения перекрестных членов равны нулю, поскольку разность фаз членов, содержащих 6女 и 6V, описывается выражением exp [i(k — kz) -х0], где %。— положение наблюдателя. Множители I戶|2 стремятся к б-функции, когда q®》L Поэтому
<1 еч |2> = (2/8Е) (a/f)4 [V„/(0>:)2] J (| М *т)dk^(93.38) где
々2 =(〃%)2 + 忌
Это и есть общее выражение, связывающее спектр мощности пространственных флуктуаций плотности и угловые флуктуации температуры фонового излучения. Если 16к|2 меняется медленнее, чем 々з, то основной вклад в интеграл дают возмущения, для которых 也〜g/х. Если 13kl2 описывается степенным законом, то интеграл можно упростить
|dk ^ = Akn, n< 3.(93.39)
J (16k 产/公)dk3 = A (xlqY~nH (4 - 〃)，
где H (у) определяется выражением (52.9).
Средний квадрат величины е равен
(е2> = (В/2л)2( 2ng 磴 dq.(93.40)
о
Если интеграл вычисляется в пределах от 0 до q^ то получаемое значение приблизительно совпадает со значением, которое мы измерили бы с помощью антенны с угловым разрешением ^~1. Поэтому удобной мерой флуктуаций температуры фонового излучения, наблюдаемых в масштабе 夕一* служит вклад в интеграл от логарифмического интервала q
〈(6777)2〉。= (g»/2.T产2才出12. .(93.41)
Это соотношение является разновидностью выражения (28.1). Соответствующая мера пространственных флуктуаций плотности в масштабе k~l записывается в форме
〈(3M/M)2% = (У„/8л3) 4afe31М |2. (93.42)
Поскольку основной вклад в |&q|2 вносят те члены | бк |2, для которых k = q/x, из уравнений (93.38), (93.39) и (93.41), (93.42) находим
〈(W7T)2% = 2/81 [ха (t}!qct^H (4 一 п){(ЬМ/М)\/х. (93.43)
Это уравнение выражает связь между растущими флуктуациями массы вещества и угловыми флуктуациями в распределении температуры излучения. Снова если правая часть уравнения определяется в момент времени, выбранный так, что углу 〜q-' соответствует расстояние & то 677T 〜8М/М.
Довольно часто полагают, что в соотношениях (93.39) м=1 (разд. 95). Отсюда следует, что (8М/М)2 ос й4, и поэтому 6Т/Т не зависит от q: флуктуации температуры в фоновом излучении почти не зависят от углового разрешения антенны. Если справедливо соотношение
九=2门0/也=2ла%/g =九", (93.44)
где ах ——длина Джинса для смеси вещества и излучения [формула (92.47)], и если Z = Z^ = 1300, то при и = 1 из уравнения (93.43) следует, что
<(дТ/Г)2>у2 〜5 • IO"3 (Qo户尸(6М/М)х, dec・ (93.45)
Поскольку возмущения, длины волн которых были меньше 入к, колебались подобно звуковым волнам и нс росли [выражения (92.58) и (92.59)], последний множитель в соотношении (93.45) приблизительно равен суммарному (т. е. проинтегрированному по всем\- спектру) среднеквадратичному значению флуктуаций плотности. Если бы в угловых масштабах, превосходящих несколько градусов, флуктуации в температуре фонового излучения 6Т/Т были больше 〜10一* то, вероятно, они были бы обнаружены, поэтому можно сделать вывод, что
' (ЬМ/М)Х> dec < 0,2Й0А2. (93.46)
Что касается значений, полученных из (93.7) и (93.8), то они близки к существующему ограничению на допустимую амплитуду крупномасштабных первичных неоднородностей. Однако до сих пор нет экспериментов, специально посвященных измерению 677T в этих промежуточных угловых масштабах, хотя для этих масштабов можно было бы получить более точную и интересную информацию.
Изотермические возмущения
Происхождение. Как было описано в п. 4В, неоднородности в распределении вещества до рекомбинации можно представить в виде линейной комбинации адиабатических и изотермических флуктуаций, причем в возмущениях первого типа сохраняется энтропия, приходящаяся на барион, а йри возмущениях второго типа распределение излучения остается однородным. Если размер возмущений 入 много меньше с厶 то сгущения вещества порождают в излучении возмущения, которые примерно в 伍/或产 раз слабее, чем сами флуктуации вещества. Поэтому можно пренебречь флуктуациями в распределении излучения, и, следовательно, изотермические возмущения остаются изотермическими. Если можно пренебречь диффузией излучения, то энтропия сохраняется, и адиабатические возмущения также остаются адиабатическими. Так что в рамках этих приближений оба типа флуктуаций можно рассматривать как линейно независимые моды возмущений.
Поскольку возмущение появляется также и в давлении, при 入》с/ анализ эволюции изотермических возмущений должен немного отличаться от анализа, описанного в разд. 86. Чтобы упростить уравнения, предположим, что иа = 6 = 0 и что Z^>ZCq. В соответствии с последним предположением, закон расширения Вселенной определяется излучением. При 0 = 0 из первого уравнения (86.1) следует, что относительные возмущения плотности вещества и излучения записываются в форме
М«)=М«) + % 汝(0 - й(I)],
6")=6")+2/3仅(f)一也(f)].(94.1)
Эволюция h определяется первым из уравнений (82.9). Подставив в это уравнение коэффициенты, соответствующие модели Вселенной, в которой преобладает излучение, получим
cPh/dt2 + Г1 dh/dt =(3/2尸)Ь + i/如(〃&)|/2],(94.2)
причем отношение средних плотностей вещества и излучения равно
н/& = (^ч)1/2-(94.3)
При /СZeq решение этих уравнений выглядит следующим образом：
dm Q % (4 + В") +% ⑴[1 一(〃feq)"2/2] —3/4M力
dr。％ (4 + В//) - 2/з% ⑴(侬q)l",
Ati + B/力=з/乱⑴ + % ⑴(他 J/2.(94.4)
Самые быстрорастущие члены этих выражений 8 8t связан^ соотношением 8r = *з37n. Поэтому в общем случае любая начать-
ная малая флуктуация превращается в ходе эволюции в адиабатическое возмущение. Однако этого можно избежать, если в силу каких-то причин Л — 0. Тогда выражение (94.4) преобразуется к виду
М = 6m (l) [1-*/2 (侬q)"2 + %於2/£依 + 7Д (0 (乙〃 一 D,
6г = 2/здт(г)[^7ф- (^eq)'/2]+dr(0 tilt. (94.5>
В этих соотношениях можно опустить все члены кроме следующих:
М 力％ ⑴[1 — % (〃*)%, 6г ^ —2/з (仪q)"2% (力
6p/p 少/з(攸q)l/2%(，)・ (94.6)
Здесь последняя формула выражает закон изменения относительного возмущения в суммарной плотности. В решении (94.6) возмущение вещества остается более или менее неизменным до момента Zeq, а распределение излучения является более гладким, чем распределение вещества (6r<； 6т при Z》Zcq). Таким образом, при больших красных смещениях возмущения, размер которых становится меньше расстояния до горизонта, оказываются почти полностью изотермическими, тогда как при Z = Zeq эти возмущения представляют собой смесь, состоящую из сравнимых по величине частей адиабатических и изотермических флуктуаций [248].
Полученный результат можно объяснить, если применить метод, изложенный в разд. 10. Сравним эволюцию двух однородных космологических моделей: первая модель служит для описания эволюции фона, а вторая ——для описания возмущенной области. Возмущение кривизны пространства R— связано с той частью решения, для которой й ос /； часть решения, для которой А ос L* соответствует возмущению начального момента времени, а часть, для которой h ос 尸々 связана с возмущениями энтропии, приходящейся на одну частицу.
Отметим, что изотермические флуктуации могут, кроме того, генерироваться в результате нелинейной диссипации. До рекомбинации амплитуда коротковолнового акустического шума растет по мере того, как появляются новые возмущения, размер которых становится меньше расстояния до горизонта. В областях, где флуктуация плотности достигает значения 3 — 1, вследствие нелинейных эффектов энергия быстро переносится в коротковолновую часть спектра, где энергия, а также энтропия рассеиваются. Образовавшиеся после этого области повышенной температуры содержат смесь адиабатических и изотермических флуктуаций.
. Эволюция. Предположим, что к моменту Z〜IO" тем' или иным путем образовались изотермические флуктуации, длины волн которых X много меньше ci. Если X больше длины Джинса для
вещества, то в этих флуктуациях силы гравитации уравновешиваются давлением излучения, а это означает, что там, где плотность вещества повышена, существует небольшой избыток плотности излучения. Вследствие 夂нффузнн излучение постепенно выходит из области повышенной плотности, а в результате этого растут изотермические возмущения.
Скорость диффузии можно вычислить, нспо/ьзуя разложение яркости I в ряд по среднему времени свободного пробега /с [уравнения (92.20)——(92.22)]. Производную по времени di/d/ можно опустить, поскольку распределение является квазистационарным. Выполняя разложение в ряд до членов второго порядка по /с и затем интегрируя i по углам, получаем уравнение диффузии 04/况=—%Лб/а2.(94.7)
Здесь, как обычно, производные по пространственным координатам от бг вычисляются в синхронной системе отсчета при постоянном времени /. Правую часть этого уравнения можно получить из условия, что градиент давления излучения уравновешивается пекулярным гравитационным полем, связанным с 6® Чтобы упростить уравнения, предположим, что 卩ьА 齒ь. Тогда, полагая, что в уравнениях для идеальной жидкости (92.24) и (92.26) дбг/drwQ, и применяя уравнение (85.10), описывающее гравитационное поле, получаем условие равенства сил
4M7Mbz„ = —%(&〃№)«飞」а?・(94.8)
Отсюда находнм скорость роста возмущений
况m/灭=4Y?卩匕勿氟，(94.9)
где динамическое время затухания равно
td = 3gi 捣.(94.10)
Поскольку Gw，〜尸2, диффузия важна только тогда, когда td не меньше времени расширения f.
Отношение динамического времени к времени расширения равно
td/t^7 ■ 1O5Qo/2/i(1 + Z)'572 ^1,(94.11)
где хе — степень ионизации. При Zdec = 1300 имеем
/d//~0,01Qi/2Axr'.(94.12)
В традиционной космологии считается, что в момент рекомбинации степень ионизации %е довольно быстро уменьшается от 〜1 до ~10-& Поэтому происходит быстрый переход от предельного случая td《t, когда бт фактически не меняется, к противоположному случаю 〃》/, когда можно пренебречь сопротивлением излучения и 6m растет в соответствии с обычным решением, полученным в случае, когда давление равно нулю (разд. 11). Допустим, что некоторый процесс приводит к тому, что вещество ос-
тается в ионизованном состоянии при Z > Zdec. Тогда, полагая, что &= 1, находим, что 力"становится равным единице при красном смещении
1 + Z ~ 200Qj/%2/5(94.13)
Это самая нижняя граница, когда сопротивление фонового излучения могло ощутимо влиять на динамику возмущений.
Есть некоторые основания предполагать, что в малых масштабах флуктуации плотности вещества могли быть сильно нелинейными (разд. 96). Весьма приближенное описание того, как эволюционируют такие флуктуации, можно получить следующим образом. В системе покоя электрона, движущегося через излучение со скоростью иа, распределение излучения анизотропно [уравнение (92.11)]:
/ = (^Т4/4д) (1 -4丫。№).(94.14)
Поэтому на электрон действует сила сопротивления, равная
Fa = J ofya dQ = -«/за^г^а(94.15)
Предположим, что вещество распределено сферически симметричным образом относительно некоторой точки, причем внутри сферы радиуса г заключена масса
М (г) = %「гЗ瓦氟 ⑺，GM/r《l(94.16)
Распределение излучения благодаря давлению остается очень однородным, поэтому для наблюдателя, который находится в точке г и удаляется от начала координат со скоростью Н (/) г, распределение яркости излучения является изотропным. Благодаря гравитации радиус слоя вещества будет оставаться постоянным, если сила тяготения, действующая на протон, точно равна силе радиационного сопротивления (94.15), действующего на электрон, когда он движется со скоростью v = Нг. Из этого условия находим критическое значение избытка плотности вещества (для ZVZeq) [292]:
6 = 4 • 10一6(]+Z产2q^/2%t, dc(Zdec) ~ 300Q71/2A-1. (94.17)
Это значение можно сопоставить с выражением (94.11). Полученный результат основан на предположении, что, как и при Z> >Zdec, вещество полностью ионизовано и что сгущение не содержит мелких конденсаций, благодаря которым излучение быстрее покидало бы область.
Можно упомянуть другой источник роста 6т. По мере расширения Вселенной энтропия передается от излучения к веществу, так как температура излучения падает по закону L(f), а температура плазмы — по закону аУ В тех областях, где 6т > 0, перенос энтропии происходит быстрее, чем в среднем, вследствие чего 齒 уменьшается. Вещество и излучение движутся так, чтобы
выровнять давление, в результате 6т возрастает. Это и есть ложный гравитационный эффект, обсуждавшийся Гамовым [121]. Исследуем этот эффект, рассмотрев энтропию, приходящуюся на одну частицу:
S = 4/3asT3/n + fe In (Г3/2/п), (94.18) где as ——постоянная Стефана——Больцмана. Если диффузией можно пренебречь, то s сохраняется, и, следовательно,
т3/п = т沛 J1 + 3/4 (九戍侬方)in (T〃)3/2 n/n^ (94.19) Второй член в скобках мал, поэтому из соотношения (94.19) с хорошей точностью можно получить обычное выражение
73cxno<(l+Z)3. (94.20)
Поскольку распределение излучения должно быть почти однородным (чтобы не нарушалось гидродинамическое равновесие), из предыдущих соотношений находим зависимость возмущения плотности вещества от времени
М = % ⑴{1 +9/8(яй/^3) 1П[(1 +ZJ/(1 +Z)]}. (94.21) Это выражение было выведено Филдом [111]. Оно описывает очень слабое усиление возмущений, так как коэффициент практически не зависит от красного смещения и равен
%^/生丁3 〜1 . 10-8Q0/i2. (94.22)
Уравнение диффузии (94.9) основано на предположении, что давлением вещества можно пренебречь. Если размер области возмущения меньше, чем длина Джинса для вещества, то область, в которой плотность вещества оказалась повышенной, стремится расшириться, в результате немного уменьшается плотность излучения. При диффузии излучения в эту область возмущение разрушается. Если Z не очень мало по сравнению с 储，то вплоть до Ziec диффузия протекает чрезвычайно медленно, а затем возмущения, длина волны которых не превышает Aj, сильно затухают, поскольку излучение начинает свободно проходить через них. В силу того что температура вещества распределяется почти однородно и равна температуре излучения Г, нужно использовать длину Джинса, рассчитанную для изотермического распределения [выражение (16.8)]:
kj^(akT/Giibm：p)'12 = 8000Q~1/2 h~l (I + Z)~x пс. (94.23) Внутри сферы радиусом Zj заключена масса
Mj = y3^b^5 • 105Q-1/2A-1Ms, (94.24) которая не зависит от красного смещения [ 120]. Этот обрыв в спектре изотермических возмущений, появляющийся после рекомбинации, приходится на массу, которая гораздо меньше массы галактики, по, что весьма интересно, близка к массе шарового звездного скопления [323].
Глава VI
СЦЕНАРИИ
Природа Вселенной
при больших красных смещениях
Гипотезы о том, какой могла быть Вселенная при больших красных смещениях, охватывают диапазон от первичного хаоса (например, [255]) и распределения, упорядоченного в больших масштабах, а в малых масштабах более или менее хаотичного или турбулентного (например, [122, 285, 339]) до почти однородной и изотропной Вселенной (например, [45, 221, 293, 304]). Не удивительно, что доводы, выдвигаемые в пользу каждого сценария, свидетельствуют о преимуществах именно выбранного сценария и кому-то кажутся весьма убедительными. Принцип, которого мы придерживались в этой книге и который показывает несостоятельность любых вариантов сценария первичного хаоса, состоит в том, что силы гравитации стремятся увеличить неоднородности плотности, а не рассеять их: пока гравитация остается преобладающей силой, трудно представить себе, что Вселенная могла бы эволюционировать как-либо иначе. Отметим, что эта проблема была темой оживленных дебатов. Например, Лейзер [213] показал, что по крайней мере в сжимающемся облаке газа приливные силы могут подавлять рост неоднородностей. Однако, как указал Хантер [185], этого не должно происходить в случае возмущений, описываемых линейной теорией, или во Вселенной, сферически симметричной относительно одной точки. Эти модели показывают также, что чем больше красное смещение и средняя плотность, тем меньше относительное возмущение в масштабе, заданном числом барионов, при котором сила гравитации становится определяющей и ведет к релятивистскому коллапсу (разд. 87). Вес эти соображения свидетельствуют о том, что с течением времени Вселенная должна становиться все более неупорядоченной: чем больше красное смещение, тем более однородной опа должна быть.
В гл. V в соответствии с этой точкой зрения была выбрана такая система отсчета, в которой выполнялось граничное условие, требующее, чтобы все возмущения модели Фридмана—Ле- мстра оставались конечными при /->0. Этот способ задания граничных условий обладает тем преимуществом, что граничные
условия являются простыми и определенными, так что всем по крайней мере понятны результаты и основные предположения теории. Заданные таким образом граничные условия определяют ожидаемую крупнодгасштабную картину движений галактик, свя- запн\'Ю со скучиванием (разд. 76—78), корни спектра мощности в линейной теории возмущений (п. 92Г) и крупномасштабные флуктуации микроволнового реликтового излучения (разд. 93). Мы можем получить другие результаты в рамках современной физики, однако для этого нужен другой сценарий, в котором ранние стадии Вселенной выглядят неестественными в свете приведенной выше точки зрения.
Для выбранных нами граничных условий существует верхний предел на флуктуации плотности, усредненные в эпоху / по размеру 入(разд. 86, 87):
16р |/рь《(ct/K)2y 九 А с九(95.1)
Если 入 изменяется в соответствии с общим расширением 九 ос ос а (/), то предельное относительное возмущение стремится к нулю при /->0. Обычно принимают, что амплитуда первичных флуктуаций плотности равна определенной доле этого предельного значения [158,328,455]
|6р \l^b^^{ctlX)\(95.2)
где е V 1 и не зависит от / и к. В таком случае спектр мощности изменяется по закону [уравнения (70.8) и(93.42)]
|М『с< &D：(/), ct^afk,(95.3)
причем Di ——самое быстрорастущее решение уравнений, описывающих возмущения при 九》cf (разд. 86). Привлекательная черта этого предположения заключается в том, что флуктуации не содержат характерных длин: при любом другом степенном законе вида kn возмущения геометрии расходятся либо при больших, либо при малых длинах волн, тогда как при выбранном законе па обоих концах спектра расходимость только логарифмическая . Однако в разд. 96 будет показано, что на больших масштабах соотношение (95.3) не может быть справедливым, поскольку оно приводит к неправильному спектру скучивания галактик.
Ограничение (95.1), если его применять при больших красных смещениях, является очень жестким, и нс удивительно, что пред-
принимались попытки разработать более «жизнестойкие» сценарии. Так, широко обсуждались однородные, ио анизотропные космологические модели [130, 167, 255, 352 и здесь же ссылки]. Введение анизотропии дает много новых возможностей, причем расчеты остаются довольно простыми, а это — большое достижение. Поэтому анизотропные модели сыграли важную роль, продемонстрировав возможности расширения сценариев. Тем не менее, если математическое решение найдено, естественно попытаться исследовать его как приближение, описывающее реальный мир. Так, Гедель [130], впервые исследовав анизотропные модели, построил модель, которая вращается относительно локально-инерциальной системы отсчета. Исходя из этой модели, Гедель предположил, что источником вращения галактик является общее вращение, а следовательно, оси вращения галактик должны быть ориентированы параллельно друг другу. Такой подход кажется сомнительным. Для моделей Фридмана——Леметра действительно необходимо очень тщательно подобрать начальные условия, но анизотропные модели приводят к гораздо большим осложнениям, поскольку помимо этого они требуют, чтобы в каждой области наг правления начального сдвига и начального вращения соответствовали общему вращению. Эти модели к тому же вряд ли могут служить моделями первичного хаоса, так как в них сделан лишь первый шаг в этом направлении,— не известно еще, что произойдет, если ввести возмущения плотности.
Можно было бы привести веские доводы в пользу предположения, что поскольку Вселенная при Z〜1000 не доступна наблюдениям, не следует возлагать надежды на попытки предугадать ее природу. Высокая степень изотропии реликтового излучения служит важным эмпирическим свидетельством того, что современная Вселенная однородна и изотропна в больших масштабах. Кроме того, изотропия излучения налагает довольно жесткие ограничения на флуктуации, существовавшие в эпоху рекомбинации (эти ограничения зависят от того, насколько сильным было рассеяние излучения, поскольку при рассеянии распределение излучения сглаживается). Можно утверждать, что разумно исследовать любой сценарий, удовлетворяющий этим ограничениям, независимо от того, какую картину он предсказывает для больших красных смещений. Именно такой точки зрения придерживаются Озерной и Чернин [284, 285]. Согласно их сценарию, при Z 〜10 000 движение вещества и излучения является турбулентным, причем размер вихрей меньше с/, а турбулентные скорости, хотя и меньше скорости света, но сравнимы с ней. Озерной и Чернин указывают, что, согласно результатам Лифшица [227], такая ситуация в прошлом при Z-> оо приводит к расходящимся флуктуациям, геометрии пространства (разд. 90), однако они считают, что это —трудности будущей теории, и они окупятся с лихвой теми преимуществами, которые могла бы дать турбулентность.
для решения проблемы образования структур типа галактик и скоплений галактик. Такой подход будет оправдан, если в будущем исследования покажут, что в этом сценарии предполагаемое при Z〜10 000 состояние может непротиворечивым образом переходить в другое состояние, которое даже в частностях соответствует скучиванию, наблюдаемому в настоящее время.
Необходимо рассмотреть еще один принципиальный вопрос, связанный с ограничением (95.1). На очень ранней стадии расширения Вселенной возмущения геометрии пространства имеют вид неразглаживающихся《морщинок》(разд. 86, 87). Эти возмущения служат затравками, введенными ad hoc в надежде на то, чтобы получить феноменологическое объяснение картины, наблюдаемой в настоящее время [157, 293]. Конечно, такие затравки можно вводить в других формах. Например, Харрисон [155] указал, что при больших красных смещениях распределение суммарной плотности барионов и антибарионов (В + В) может быть строго однородным, тогда как разность плотностей барионов 5 ——В в разных областях может быть неодинаковой. После аннигиляции локальные остаточные флуктуации вещества и антивещества могут эволюционировать под действием гравитации и привести к образованию галактик и скоплений галактик. Такая картина полностью исключает первичные《морщинки》на геометрии пространства, но вместо 《морщинок》 появляется другая затравка —флуктуации величины В — В, которые должны превышать 5% и присутствовать с самого начала расширения Вселенной.
В подобной же схеме, предложенной Мессарошем [248], предполагается, что в ранней Вселенной в результате некоторого процесса образовались довольно мелкие черные дыры. Вследствие этого некоторая часть вещества, существовавшая первоначально в виде излучения, превратилась в «газ», состоящий из черных дыр, давление которого равно нулю. Поскольку энергия сохраняется, плотность вещества при этом не изменяется, но давление уменьшается, так что последующая эволюция будет иной. В разд. 94 этот случай описан в рамках релятивистской теории. В силу того что масса сохраняется, начальные величины удовлетворяют условию
卩(0 йт (z) + & (Z) дг (/) = 0. (95.4) Применяя условие h = dh/dt = 0, из (95.4) находим, что в выражениях (94.4) 4 = В = 0. Поэтому справедливы решения (94.6), а следовательно, неоднородности в распределении черных дыр, характеризуемые величиной 6т, остаются почти неизменными вплоть до ZCq- Мессарош указывает, что если описанная ситуация имеет место при больших красных смещениях, когда 齒》卩，то нужно преобразовать очень малую долю энергии излучения, чтобы лолучить существенное 6m. С другой стороны, желательно полу-
чнть большое 6т, возможно равное 0,01, в масштабе ~10i°M©» а это гораздо больше значения, которое дает дробовый шум черных дыр массой, равной массе Солнца. Следует либо предположить, что протогалактики образуются вокруг черных дыр значительной массы (этот процесс изучался в работах [140, 351]), либо считать, что большое 6т получается вследствие детерминированных сгущений, которые существовали в момент образования черных дыр, причем характерный размер этих сгущений превосходил расстояние до горизонта. Конечно, в любом случае для образования самих черных дыр нужны затравки.
Многие авторы изучали предположение, согласно которому образование галактик вызвано первичным магнитным нолем ([175, 341, 431, 451, 453] и разд. 17). В этом случае исходной затравкой является магнитное поле, которое должно было существовать с самого начала расширения. В этом сценарии возникают дополнительные .осложнения. Как указал Торн [408], при /->0 даже запутанное магнитное поле каждому наблюдателю должно казаться однородным, поскольку расстояние до горизонта стремится к нулю. Поэтому каждую малую область можно описывать как однородную анизотропную модель. Энергия магнитного поля вносит вполне определенное относительное возмущение в тензор Р., и в результате возмущения геометрии пространства расходятся при ff 0: каждая область становится сильно анизотропной, причем ориентация у разных областей неодинакова [408, 451]. Как и в случае сценария первичной турбулентности, Вселенная, в которой существует запутанное магнитное поле, приводит к хаотической структуре пространства в момент начала расширения.
Чтобы построить теорию происхождения галактик с начала, мы должны установить, что Вселенная неоднородна не больше и не меньше, чем того требует некоторый новый физический принцип. Как мы видели, общая теория относительности не ограничивает степень хаотичности Вселенной. Общепринято, что распределение вещества настолько близко к однородному, насколько это допустимо квантовой механикой и дискретной природой вещества и излучения. Это предположение является простым и естественным, хотя и остается открытым вопрос, почему Вселенная не столь хаотична, как могла бы быть. В ранних исследованиях считалось, что отклонения от однородности появляются в результате термодинамических флуктуаций или статистических флуктуаций 6加/乂~№/2 [23, 227]. Представим себе, что в некоторую эпоху 力 каждый элемент Вселенной мог находиться в термодинамическом равновесии с другим элементом и с термостатом, обладающим некоторыми термодинамическими параметрами. Тогда в областях, содержащих 网 фотонов, наблюдались бы термодинамические флуктуации бр/р〜TV?/% Как указывалось в п. 4А, если 力 достаточно мало, то к настоящему времени бр/р должно было очень
сильно возрасти. Однако важно отметить, что, согласно известным законам физики, нет оснований считать, что во Вселенной должны были осуществиться условия, описанные выше. Вполне допустимо, что Вселенная была гораздо более однородной в те эпохи, когда обычная статистическая механика являлась хорошим приближением, поскольку обмен энергией и массой мог осуществляться только на расстоянии, сопоставимом с расстоянием до горизонта независимо от процесса термодинамической релаксации. Конечно, могло случиться и так, что флуктуации плотности, возникшие на ранпих стадиях расширения Вселенной, были сравнимы по величине с простыми оценками, получаемыми в рамках статистической механики.
В рамках квантовой механики влияние расширения Вселенной, открытого Хабблом, обычно проще исследовать, если использовать адиабатическое приближение, так как интересующий нас период колебаний волн де Бройля много меньше времени расширения. Адиабатическое приближение становится неприменимым, когда типичная длина волны де Бройля 九 сравнима с расстоянием до горизонта с/ [156, 295]. Если в эти ранние эпохи число различных типов частиц ограничено, то концентрация частиц пропорциональна 孔〜九-з, а характерная энергия частицы равна 〜力c/九 Поэтому плотность вещества записывается в виде
р 〜九т%т 〜(Cd)-】， (95.5)
где /——время расширения [формула (11.5)]. Когда 入〜с/, время расширения по порядку величины равно времени Планка：
tp^(Gh/c5)112 10 '43 с. (95.6)
В эту эпоху обычное разделение областей применимости квантовой механики и общей теории относительности должно нарушаться, поэтому у нас нет прочного теоретического фундамента, чтобы исследовать Вселенную дальше. Однако можно предположить, что Вселенная, которая развивается из этого квантового состояния, была строго однородной (собственное состояние операторов сдвига). В этом случае образование галактик должно быть связан。 со спонтанными флуктуациями полей, характеризующих состояние вещества и излучения. Если Т： не расходится (что согласуется с общей теорией относительности), то спонтанные флуктуации должны затрагивать ту часть тензора 窜，которая связана с давлением. Е разд. 86 мы показали, что в ранней Вселенной флуктуации давления могут привести к флуктуациям кривизны пространства, обладающим необходимой амплитудой, хотя все это должно происходить так, чтобы флуктуации были когерентными в масштабах, значительно превосходящих расстояние до горизонта [12, 334]. Другая возможность состоит в том, что локальные взаимодействия приводят к скучиванию частиц, и по
мере расширения Вселенной это скучивание растет так, что его характерная длина всегда равна определенной части расстояния до горизонта [333]. Маловероятно, что силы гравитации могут действовать подобным образом (разд. 27). В сценарии, предложенном Омнесом [276] и подробно разработанном Стеккером и Паджетом [401], неоднородности развиваются в результате слияния и аннигиляции областей вещества и антивещества. Эта идея весьма привлекательна, поскольку, согласно ей, все начинается с простого состояния ——с однородной Вселенной, в которой существует локальное равновесие вещества и антивещества. Однако трудно понять, как слияние скоплений вещества и антивещества могло бы протекать достаточно быстро, чтобы увеличение характерного размера скучивания не отставало от темпа роста расстояния до горизонта, а это необходимо, чтобы в настоящее время была достигнута значительная степень однородности.
Из этого обзора сценариев следует, что из основных законов физики вывод о существовании галактик, вероятно, не будет получен до тех пор, пока мы не поймем гораздо лучше физику самых ранних стадий расширения Вселенной. А до тех пор более плодотворный метод, по-видимому, должен состоять в том, чтобы начать с оценки состояния Вселенной в современную эпоху и при сравнительно скромных красных смещениях, а затем сделать заключение о том, какой могла быть Вселенная при больших красных смещеняих. Это было бы важно для изучения физики ранних стадий расширения Вселенной. Результаты работ, выполненных в соответствии с таким методом, кратко изложены в следующем разделе.
Природа протогалактик и протоскоплений
Л. Состояние вблизи рекомбинации. Гипотезы о происхождении наблюдаемой крупномасштабной структуры Вселенной, т. е. галактик и скоплений галактик, в значительной степени определяются предположениями о состоянии Вселенной в эпоху рекомбинации (Zdec 〜1300).
Отклонения от однородности, существовавшие до рекомбинации, можно описывать в рамках линейной теории возмущений. Если нет каких-либо особых ограничений, то флуктуации плотности являются адиабатическими (разд. 86), и, следовательно, после рекомбинации в спектре флуктуаций существует обрыв при массе, Ьавпой массе Силка М5 (92.50). Поскольку 血》Mj для вещества [выражение (94.24)], после рекомбинации начальные стадии нелинейной эволюции надежно описываются теорией каустик (разд. 21, [4»4, 457]).
Г Такая картина сопряжена с некоторыми трудностями. Предположение о линейности возмущений означает, что размер первич-
пых неоднородностей удовлетворяет ограничению (9э.1). Разумный путь, позволяющий удовлетворить этим условиям, состоит в том, чтобы представить спектр возмущений в виде степенного закона (95.2) и (95.3). Возмущения, длина волны которых меньше длины волны Джинса для смеси вещества и излучения 入汽[выражение (92.47)] и меньше расстояния до горизонта, определяют
2『
Рис. 96.1. Пример случайного процесса Гаусса, спектр мощности которого пропорционален ArL
ту часть спектра, наклон которой описывается формулой [соотношение (92.57)]
|6к|2скй~3.(96.1)
Поэтому получающийся после рекомбинации спектр флуктуаций массы записывается в форме [выражение (93.42)]
(&И/М)2 〜兴® У 〜const, MS^M^MX. (96.2)
Это означает, что при изменении расстояния г более чем в 10 раз дисперсия массы почти постоянна на всех масштабах от массы Силка до массы Джинса, рассчитанной для смеси вещества и излучения. Для функции одной переменной аналогичный спектр представляется в форме | 6к|2ос^-1- На рис. 96.1 приведен приме]) случайного процесса Гаусса, спектр которого в длииноволпово!! части записывается в такой форме и резко обрывается на некоторой длине волны. Изображенная функция является периодическ()11' причем ее период равен полной длине рисунка. Как и в случас белого шума (рис. 26.1), результат коротковолнового обрыва
з спектре хорошо заметен: в обоих случаях обрыв в спектре определяет ширину самого узкого ника. Однако эти два случая существенно различаются поведением функций. В случае спектра k~l значительное увеличение плотности может проявиться и в виде отдельного пика, масса которого сравнима с массой, соответствующей обрыву спектра Ms, или в виде целого набора пиков, или з виде большого сгущения, размер которого сопоставим с длинно- 3Oviновым обрывом спектра. В настоящее время длинноволновый )6рь】в спектра соответствует значению [формула (92.47)]
娥〜50(%出厂1 Мпе. (96.3)
Если к тому же параметр йоЛ2 больше примерно 0,1, то в спектре существует пик при 入久[формула (92.61)]. Независимо от того, есть пик или нет, ситуация оказывается неприемлемой, поскольку ес/и в момент рекомбинации амплитуда достаточно велика, чтобы образовались связанные объекты массой MSi то мы должны обнаружить также флуктуации плотности большой амплитуды в масштабе 九：V. А это явно противоречит следующему из наблюдений 力акту, что двухточечная корреляционная функция много меньше единицы при 厂小厂0~4九一’ Мне (разд. 57). Таким образом, хотя :пектр 16k |2ос/г и обладает некоторыми привлекательными 二 точки зрения теории особенностями (разд. 95), он не может быть правильным.
Если при увеличении во：!нового числа 々 первичный спектр возрастает значительно быстрее, чем первая степень 々,то нсжсла- гельиыс флуктуации характерного размера 〜九心 которые сущест- зовалн на стадии рекомбинации, устраняются, и первое поколение эбразующихся облаков газа характеризуется массой Силка М.ч. Эднако М$ также слишком bcjhko. Из уравнения (92.50) находим, 4то величина 厶，соответствующая обрыву спектра и приведенная к современной эпохе, записывается в виде
rs 〜2/(0,036 + О0Л2) Мпс. (96.4)
Цля Вселенной, в которой плотность низка (Йо ^0,1), % значив1 гсльно превосходит характерную длину скучивания г& В резуль- гате эволюции каустик может образоваться второе поколение ггустков вещества, размер которых существенно меньше rs. Но грудно попять, как ограничение, налагаемое двухточечной корре- пяционной функцией галактик 自(г), не было нарушено при образовании первого поколения облаков массой М§, Для Вселенной, обладающей достаточно большой плотностью, rs немного меньше у. Однако мы хотим, чтобы первое поколение облаков образова- аось при красном смещении, превышающем приблизительно 3, поскольку при таких красных смешениях наблюдаются квазары. В силу того что после эпохи образования первых объектов скучи- заиис продолжает нарастать в больших масштабах (ведь параметр плотности близок к единице), потребуется тщательно иодо-
брать начальные условия, чтобы не нарушалось ограничение на Е(х) при г ^Го.
Один из способов, позволяющих избежать трудностей, связанных с г§, состоит в допущении, что основная часть массы Вселенной представлена веществом, которое характеризуется низким давлением и слабо взаимодействует с обычным веществом и излучением. Это вещество можно назвать «массонием». Один из возможных вариантов массония ——газ, состоящий из нейтрино с массой покоя, отличной от нуля [48, 148, 217, 322, 402, 420]. В масштабах, превышающих с£, рост флуктуаций массония происходит так же, как и рост флуктуаций в распределении излучения (разд. 86), но в малых масштабах возмущения в распределении массония не описывают колебаний и затухания, характерного для обычных мелкомасштабных неоднородностей (разд. 92). Таким образом, массоний может распределяться некоторым неоднородным образом, причем вначале мелкомасштабные неоднородности массония не растут. Затем, когда средняя плотность массония становится больше плотности излучения, неоднородности в распределении массония начинают расти под действием сил гравитации (разд. 12). После рекомбинации водород будет собираться в уже существующие области повышенной плотности. Поскольку на стадии рекомбинации распределение массония может не обладать длиной когерентности, образование первых сгущений водорода может не описываться теорией каустик, рассмотренной в разд. 21.
Другой путь, позволяющий избежать упомянутых выше трудностей, состоит в том, чтобы принять гипотезу, corviасно которой в эпоху рекомбинации излучение распределялось довольно однородно, тогда как в распределении вещества имелись сгущения (разд. 94). Такая ситуация могла бы возникнуть в результате рассмотренной в разд. 89 нелинейной диссипации первичных адиабатических возмущений плотности. При этом рассеяние энергии акустических колебаний приводит к тому, что в отдельных областях генерируется энтропия. Эшлер [89] исследовал один из вариантов этой гипотезы. Он пpeдIIOv^oжилJ что в ранней Вселенной излучение было турбулентным в малых масштабах и что к моменту рекомбинации эта турбулентность исчезла в результате диссипации, вследствие чего энтропия в отдельных областях повысилась, т. е. образовались изотермические возмущения. Но, как отмечалось в разд. 94, таким же образом можно считать, что изотермические флуктуации являются первичными, т. е. что они связаны с физикой ранних стадий расширения Вселенной.
Ограничение (95.1) не распространяется на амплитуду первичных изотермических флуктуаций, потому что в этом случае гео меч - рия пространства ранней Вселенной не испытывает возмутенш'!- В разд. 73 было показано, что если в момент рекомбинации распределение вещества приближенно описывается случайным процессом Гаусса, спектр мощности которого близок к плоскому, то
автомодельное решение иерархии ББГКИ приводит к таким корреляционным функциям, которые прекрасно согласуются с наблюдаемыми корреляционными функциями галактик. Как отмечалось в разд. 73, в данном случае основной вопрос заключается в том, является ли параметр плотности достаточно большим, чтобы автомодельное решение могло служить хорошим приближением.
Требуемую амплитуду флуктуаций плотности вещества на стадии рекомбинации можно рассчитать, исходя из данных о наблюдаемом крупномасштабном скучивании галактик [296, 299, 325, 333]. Среднеквадратичное значение флуктуаций массы, заключенной внутри сферы радиуса R и объема V, записывается следующим образом 2：
(96,5)(96,5)Д2 =〈（М —〈М〉）2〉/〈М〉2 = J 也（门2）/片 d3门 d3小
(96,5)
(96,5)
В этом выражении интеграл вычисляется по объему К Здесь мы предположили также, что двухточечная корреляционная функция галактик дает приемлемое приближение для автокорреляционной функции плотности вещества (разд. 36 и 63). Мы будем считать, что сфера расширяется в соответствии с общим расширением Вселенной Roca(f), поэтому 〈М〉 постоянно. В разд. 70 было показано, что если А久 1, то Д (/) является решением уравнения (10.3). Из соотношений (57.3), (57.5) и (60.3) получаем значение А?, соответствующее современной эпохе;
(96.6)(96.6)空亿=0, R==\0h~l Мпс) «0,4.
(96.6)
(96.6)
Применяя уравнения (10.3) и (70.7), экстраполируем это значение б прошлое на момент рекомбинации [325]:
(96.7)(96.7)(1 • 10~6 при Qo = 1, h = 0,5,(6 • 10~5 при Qo = O,l 力= 0,5.
(96.7)
(96.7)
Эти значения относятся к сфере, расширяющейся в соответствии с общим расширением, современный радиус которой равен 10/z-1 Мпс. Среднее значение массы, заключенной внутри такой сферы, равно
(96.8)(96.8)〈財〉=1,2 -
(96.8)
(96.8)
В автомодельном решении предполагается, что спектр мощности распределения вещества плоский. Тогда A20c〈М〉-* и из соотно-
"Если бы при увеличении k спектр мощности возрастал быстрее, чем первая степень 女，то основную часть величины А? определяли бы коротковолновые возмущения. В интеграле эти возмущения проявляются благодаря выбору функции пропускания с резкими границам и (разд. 28). Чтобы избежать этого, мы должны были бы умножить подынтегральное выражение па функцию пропускания, которая записывается в виде закона Гаусса. Однако в рассматриваемом случае это не требуется, поскольку, как оказывается, g^O. '
шений (96.7) и (96.8) находим, что в момент рекомбинации А2 = 1, если радиус сферы выбран так, что внутри ее заключена средняя масса
(2 • 109Мэ при Qo = 1,
t АТОЛЛ 八 Al (96.9) (1 • 1О1ОА10 при Йо 〜0,1. ' '
При выводе соотношений (96.7) предполагалось, что распределение галактик служит хорошей мерой флуктуаций распределения вещества в масштабе 10/z"1 Мне (это значение относится к современной эпохе) и что со стадии рекомбинации эти флуктуации вещества росли под действием только сил гравитации. Граничное условие на стадии рекомбинации записывается в виде dA/df = =0. Значения (96.9) зависят от доноьчнительного предположения, что спектр флуктуаций плотности вещества является почти плоским. Таким образом, мы приходим к выводу, что при Z〜1000 Вселенная уже была сильно неоднородна в масштабе, соответствующем массе карликовой галактики. Если на нелинейной стадии спектр долго остается плоским, то при <М> л;3« 105М^ среднеквадратичное значение флуктуаций равно А 〜100, т. е. достаточно велико, чтобы плотные области могли противостоять силам, связанным со взаимодействием с излучением, и перестали расширяться до рекомбинации [соотношения (94.17)]. В меньших масштабах давление вещества стремится сгладить флуктуации, [Длина Джинса (94.23) изменяется пропорционально (1 +Д)-1/2.] Сгущение, которое прекращает расширяться до рекомбинации, подходит к этому состоянию постепенно ——по мере того как критическая плотность (94.17) становится меньше, чем плотность в сгущении, и излучение медленно ослабляет свои тиски. Поэтому м(а жно ожидать, что сгущение будет сжиматься постепенно и сожмется во много раз, прежде чем начнет распадаться. В соответствии с этим сгущение могло бы превратиться в очень плотное звездное скопление или даже в единую сверхзвезду, подобную сверхзвездам, впервые исследованным Хойлом и Фаулером [177]. Такие сгущения могли бы превратиться в объекты (;юкальныс сингулярности), которые Вагонер, Фаулер и Хойл [429] ввели, изучая один из способов образования тяжелых элементов, а также, возможно, гелия, который наблюдается в наиболее старых звсзда.\ населения II, принадлежащих к сферической составляющей. Как бьио отмечено в работе Дорошксвича, Зельдовича н Новикова [74], такие сгущения могли бы привести к повторному разогреву вещества после рекомбинации. И кроме того, их остатки могли бы содержать значительную массу в такой форме, которую иначе трудно было бы обнаружить.
Существуют доводы в пользу того, что при больших красных смещениях Вселенная должна быть похожа на современную Вселенную, т. е. должна быть однородна в больших масштабах.
а в малых масштабах должны наблюдаться сгущения. Тогда мы приходим к выводу, что до появления галактик существовали звездные скопления или объекты, которые можно было бы назвать предшественниками галактик. Эта гипотеза обсуждалась в работах [170, 171, 323, 442].
Согласно другим предположениям, галактики и скопления галактикэто остатки первичной турбулентности. В сценарии Эш- лера [89] турбулентность исчезла до рекомбинации, образовав изотермические возмущения плотности. В соответствии со сценарием Озерного [283] некоторое остаточное турбулентное течение (очень слабое:戒«厶 где и ——скорость течения в масштабе /) продолжает существовать посхе рекомбинации. Поэтому такое течение складывается с растущей модой линейного возмущения плотности (разд. 15). Любая из этих схем, опираясь на физические законы хорошо развитой турбулентности, существовавшей при больших красных смещениях, способна дать определенный спектр остаточных флуктуаций плотностн вещества, и такой результат был бы значительным достижением, хотя до сих пор не было показано в деталях, как этого можпо достичь [197, 198]. В более ранних вариантах сценария первичной турбулентности предполагалось, что в соответствии с пионерской работой Вейцзекера [428] само турбулентное течение приводит к тому, что вещество собирается в галактику. Однако в этом случае галактики образовались бы слишком рано — в эпоху рекомбинации [301]. Ограничения на эпоху образования галактик обсуждаются ниже.
Протогалактики и протоскопления. Галактика могла бы образоваться из единого и изолированного облака газа, сжимающегося иод действием собственной силы тяжести [10, 88, 125, 174, 221], или же в результате течений вещества [122, 277, 278, 454]. Тот же процесс, который породил галактику, мог бы действовать и в большем масштабе, и первым поколением облаков газа были бы протоскоплеиия, внутри которых в результате фрагментации образовались бы галактики, причем некоторые скопления могли бы распадаться, породив галактики поля. Многие авторы обращались к последовательности такого рода [183, 189, 389, 454, 457]. Согласно другому направлению, структура развивается в виде иерархии скучивания, так что до появления галактик существовали предшественники галактик, состоявшие из газа, звезд и пыли [213, 292]. Этот сценарий иерархии гравитационного скучивания подтверждается корреляционными функциями галактик (разд. 73) и тем, что переход от галактик к скоплениям происходит непрерывным образом (п. 4Б, разд. 64).
Ограничение на эпоху, в которую могли образоваться галактики, получается из того факта, что при больших красных смещениях галактики должны были бы пересекаться. В качестве характерного размера большой галактики можно выбрать радиус
Холмберга (расстояние, на котором поверхностная яркость галактики составляет приблизительно 0,03 яркости свечения ночного неба):
R” 〜10仁1 кпс.(96.10)
На кубический мегапарсек приходится 九〜0,03九2 больших галактик, и, следовательно, доля объема, находящегося внутри одного радиуса Холмберга, составляет ~ 10~7. Эта доля должна достигать единицы при красном смещении
1 +Z[弋200・(96.11)
Но при больших Z яркие центральные области галактик должны были пересекаться.
В больших спиральных галактиках скорость вращения при t~Rh практически постоянна и равна
ф2)=(210 км/с)2.(96.12)
Это значение получено в результате усреднения скоростей, приведенных в работе [98]. В соответствии с этими данными среднеквадратичное уклонение величины у2 составляет 50%. Тот факт, что скорость вращения внешней области спиральной галактики почти не зависит от радиуса, означает, что средняя плотность вещества изменяется с расстоянием от центра галактики по закону г~2. Тогда, используя соотношение (96.12), получаем
<р(г)>~6 • 10-23г^ г/см3.(96.13)
Значение этой плотности, оцененное при г = R^, совпадает со средней плотностью Вселенной [выражение (97.13)] при красном смещении
1 + Z2 ~ З0/0(5/3.(96.14)
Если галактики образуются под действием сил гравитации, то часть спиральной галактики, расположенная вне радиуса Холмберга, не могла быть захвачена галактикой при красных cxieuie- ниях, превышающих Z2. Аналогичное значение Z2 для а/ииптние- ских галактик, ио-видимому, сравнимо с Z2 для спиральных галактик, поскольку дисперсия скоростей в центральной части большой эллиптической галактики близка к значению (96.12), но, к сожалению, не известно, как распределяется плотность во внешней области эллиптической галактики.
Если протогалактика образуется и сжимается под действием сил гравитации, то, исходя из значения минимальной плотности облака, можно оценить эпоху, в которую это произошло, а отсюда, определяя из космологической модели соотношение между красным смещением и временем, можно найти красное смещение, которое соответствует стадии максимального расширения облака
[291, 295, 389]. В сферической модели связь между минимальной плотностью и временем максимального расширения дается формулой (19.52). Маловероятно, что численный множитель в этом выражении играет важную роль, так как сомнительно, чтобы протогалактика была хотя бы близка к сферически симметричному распределению в формально определенный момент максимального расширения (разд. 20 и 21). Весьма приближенную оценку можно получить, если заметить, что из значений (96.10) и (96.12) следует, что период вращения галактики равен 3・108/ги лет. Если в картине гравитационной неустойчивости вещество ирл образовании галактик было очень сильно сжато, то галактики должны были формироваться тогда, когда возраст Вселенной был не меньше периода вращения галактики. Приравнивая период вращения и время в модели Эйнштейна——де Ситтера [формула (11.5)], находим .
1 + Z3 〜10, Qo= 1.(96.15)
Для космологической модели с очень низкой плотностью, т. е. при /ос (1 +Z)「получаем
1 + Z3 « 30, Qo ^ 0-(96.16)
Эти значения относятся к эпохе образования диска большой спиральной галактики. В сценарии гравитационного иерархического скучивания при больших красных смещениях, возможно, существовали звездные скопления. Если галактики возникли из отпель- пых облаков газа, то звездообразование началось гораздо позже, при красных смещениях меньше Z3, причем эпоха начала звездообразования зависит от степени сжатия облака. Пологие кривые вращения больших спиральных галактик, по-видимому, означают, что у этих галактик существуют протяженные короны, причем в этих коронах масса, заключенная внутри радиуса г, нарастает приблизительно пропорционально г вплоть до г〜ЗОА кпс ⑼， 280, 348]. Если радиус увеличить и в качестве радиуса галактики вместо Rh выбрать 50ft-1 кпс, то динамическое характерное время возрастает в 5 раз, а в результате красное смещение Z3 уменьшится до значений Z3 〜3 и 6. Любопытно, что эти значения близки к красным смещениям, соответствующим максимальной пространственной плотности квазаров. Стоит также отметить, что можно еще уменьшить Z§, если дополнительно увеличить масштаб. Местная группа галактик, по-видимому, сравнительно недавно миновала стадию максимального расширения, так как туманность Андромеды движется по направлению к нашей Галактике со скоростью 〜100 км/с, и, следовательно, характерное время пересечения группы отдельной галактикой сопоставимо с временем Хаббла. Конечно, в этом случае мы достоверно знаем, что мощные конденсации в меньших масштабах образовались задолго до начала сжатия иротогрупны. Можно предположить, что центральные
области нашей 「алактнкн образовались из единого сжимающегося облака газа, тогда как спутники, существующие в группе, и корона были присоединены к Галактике позже в результате аккреции. Модели сферической аккреции были рассмотрены в разд. 25. Сферическая аккреция приводит к образованию короны приемлемой формы, но для этого нужно задать особые начальные условия, чтобы модель давала реалистичные результаты. В другой модели аккреция является частью процесса, связанного с развитием иерархического скучивания (разд. 26). В этом случае в окрестности галактики средняя плотность вещества оказывается повышенной, и при переходе от одной га«тактики к другой наблюдаются значительные флуктуации этой плотности. Это лредположение согласуется с большими флуктуациями числа соседей у галактик. Однако не ясно, можно jh значительные флуктуации массы короны согласовать с тем, что у больших спиральных галактик наблюдается незначительный разброс скоростей вращения [соотношение (96.12)], и с тем, что у больших эллиптических галактик обнаружен такой же незначительный разброс дисперсий скорости.
Хойл [174] первым подробно исследовал температуру сжимающегося облака газа, масса и размер которого равны массе и размеру галактики. Он показал, что температура газа не может быть настолько высокой, чтобы предотвратить сжатие, и поэтому облако должно почти свободно падать, причем это сжатие временами должно прекращаться, когда разные части (иесферического) облака сталкиваются друг с другом и образуются ударные волнн и сильные уплотнения. В общих чертах все происходит следующим образом. Когда температура Т превосходит 〜10&К, в газе, состоящем из водорода и гелия, основные потери энергии на излучение определяются тормозным излучением электронов, которые ускоряются в поле ионов, и, кроме того, существенный вклад вносят рекомбинационные потери при Т〜104 K. Приемлемое приближение для времени остывания при температуре Т (кельвины) и концентрации (протон/см3) дается выражением
tc^ Ю4г' 2п-1 лет. (96.17)
В качестве примера рассмотрим облако газа массой 10”М@ (характерная масса нашей Галактики), причем этот газ распределяется однородно внутри сферы радиуса 10 кис. Концентрация в таком облаке равна 孔~1 протон/см3, время свободного падения составляет /；^ 108 лет, а температура плазмы, необходимая, чтобы предотвратить сжатие и поддерживать облако в равновесии, составляет Т〜106 к. Если достигается такая температура, то врем я остывания составляет /с 〜10’ лет, что существенно меньше времени сжатия. Поэтому Хойл пришел к выводу, что облако не может оставаться в нагретом состоянии ——оно должно остыть до температуры Т〜IO' К, т. с. до значения, при котором прекра-
щается ионизация атомарного водорода вследствие столкновений со свободными электронами. В дальнейшем остаточная ионизация должна автоматически поддерживаться на таком уровне, чтобы темп потерь энергии на излучение уравновешивал теми поступления энергии при сжатии. Это означает, что звездообразование должно происходить быстро： в течение нескольких характерных времен сжатия газ должен либо превратиться в звезды, либо в противном случае упасть на диск, а так как среди звезд дисковой составляющей нам нс известны объекты с низким содержанием тяжелых элементов, то, вероятно, нуклеосинтез этих элементов в основном завершился во время сжатия.
Острайкер [279] выявил новый аспект этой проблемы. Он указал, что если радиус газового облака, начинающего эволюционировать, лишь относительно немного превосходит выбранное выше зпачепие, то время остывания может стать гораздо больше приведенного значения. Если в рассмотренном выше примере радиус увеличить до 100 кпс, то для облака, обладающего достаточно высокой температурой, чтобы находиться в равновесии, время остывания возрастает до 〜3・ 109 лет, т. е. станет много больше времени сжатия н почти достигнет возраста Вселенной. Поэтому Острайкер подчеркивает, что немного сильнее разреженное облако уже будет находиться в «подвешенном» состоянии, т. е. не сможет породить галактику. Если же облако может сжиматься, то сначала сжатие происходит медленнее, чем при свободном падении, так что в облаке силы тяготения почти уравновешиваются давлением и внутренние конденсации не могут образоваться. Когда плотность достигает такого значения, что время остывания становится меньше времени свободного падения, характер сжатия меняется: давление падает и растут флуктуации иесферической формы, в ходе эволюции которых появляются ударные волны и образуются первые поколения звезд. Поскольку торможение фактически нс влияет на орбиты звезд, эти первые поколения звезд определяют радиус, при котором время остывания стало меньше времени сжатия.
Схема Острайксра была подробно исследована в работах [134, 340, 394]. Она приводит к пскоторьгм интересным и, как может оказаться, важным ограничениям на сценарии. Однако она исходит из предположения, что в нужном диапазоне масс и радиусов существуют единые облака газа. Такие первичные облака не должны обладать внутренней мелкомасштабной структурой, так как это уве/шчило бы средний квадрат плотности, а следовательно, уменьшило бы время остывания. Необходимо провести подробные исследования этого сценария, чтобы объяснить, почему заметная доля массы Вселенной должна бьиа находиться в этой особой форме.
Два направления исследований, которые мы. еще не обсуждали, должны в конечном счете повлиять на наши представления о при- 25 Заказ № 82
роде протогалактик. Первое направление — это попытки обнаружить галактики, которые находятся в процессе образования в современную эпоху [32, 357] или при больших красных смешениях [53, 59, 289]. Результаты поисков будут зависеть от того, что, по нашим представлениям, нужно искать, причем но этому поводу высказывались самые разнообразные идеи. Так, М. Бербидж, Дж. Бербидж и Хойл [32] исследовали особенности, по которым можно было бы отличить галактики, образующиеся в настоящее время. Опираясь на результаты Ларсона [212], который изучал модели сферического сжатия, Мейер [246] сделал вывод, что молодая галактика может выглядеть как квазар. Еще раньше Филд [109] и Веймаи [439] рассмотрели модели компактных молодых галактик. Если протогалактика не является сферической, то вместо компактного объекта можно искать объект весьма неправильной формы с отдельными ярко светящимися областями, в которые вещество случайно поступает в настоящее время [291]. Поэтому если объекты имеют весьма неправильную форму, то будет трудно провести границу между протогалактикой и ее соседями: в частности, такая ситуация могла бы иметь место, если бы звезды образовались раньше галактик. В таком случае при Z〜10 небесная сфера казалась бы сплошь усеянной звездами.
Второе важное направление сводится к тому, чтобы, опираясь на данные о современной структуре галактик, сделать выводы об их происхождении. Поскольку явления, которые можно для этого привлечь, чрезвычайно многочисленны, этот метод представ- л.яется более многогранным по сравнению с методом, который основан на космологии и который был темой этой книги. Но конечно, такая многогранность лишь мутит воду.
Столь большое число гипотез о происхождении галактик и скоплений галактик связано с тем, что, как оказывается, очень легко создавать подобные сценарии, но весьма трудно проверить их. В этой книге рассмотрены некоторые элементы теории и некоторые результаты наблюдений, которые, по-видимому, покоятся на прочном фундаменте. Можно надеяться, что список таких элементов теории и результатов будет по-прежнему расти и что мы станем свидетелями того, как постепенно будет уменьшаться число сценариев. С другой стороны, не следует забывать о предостережении Бонди： «В теоретической космологии, вероятно, мало таких утверждений, которые нельзя было бы полностью опровергнуть и признать несостоятельными в результате новых открытий в наблюдательной астрономии» [21, р. 169]. В нашем случае можно было бы добавить: «или с помощью хорошей новой идеи».
ПРИЛОЖЕНИЕ
Модели и обозначения
В этой книге исследуются отклонения от идеальной однородной и изотропной космологической модели Фридмана——Леметра. Однородность и изотропия модели, служащей фоном, означают, что все физические величины можно представить в виде функций, зависящих от собственного космологического времени /, которое определяется наблюдателем, покоящимся относительно элемента жидкости, причем, как обычно, принимают, что сингулярность в начале расширения Вселенной соответствует моменту £ = 0. В этой модели собственное расстояние между двумя выбранными частицами, определяемое вдоль гиперповерхности постоянного 九 с течением времени должно изменяться по закону
г (t) = a (f) %,(97.1)
где х ——постоянная величина для данной пары, a a(t) единый для всей Вселенной масштабный фактор. Длина волны свободного фотона также увеличивается пропорционально a(t). Поэтому излучение с длиной волны л, испущенное в момент времени t объектом, двигавшимся вместе с жидкостью, в современную эпоху, т. е. в момент 力，характеризуется длиной волны 九о, которая дается выражением
大о =入а «о)/а (/)=&( 1 + Z),(97.2)
где Z — космологическое красное смещение. Это красное смещение часто используется как величина, определяющая время.
В этой модели скорость увеличения собственного расстояния между двумя частицами равна
drfdt = (а/а)「=:" (f) г.(97.3)
Здесь точка означает дифференцирование по времени, а "(£)— постоянная Хаббла в эпоху t: современное значение этой величины записывается в форме
〃о= 100九 км/(с • Мпс),
"/^3 • 10%-「々1 . io%-】леъ(97.4)
Безразмерный параметр h входит в эти формулы, потому что постоянная Хаббла известна неточно. Обычно считается, что h лежит в диапазоне
0,5《用《L(97.5)
Из уравнения (97.3) можно найти красное смещение объекта, собственное расстояние г до которого меньше с"]:
Z 笈 Ног/с.(97.6)
Это выражение служит хорошим приближением при Z《L Удобной мерой расстояния до горизонта является расстояние Хаббла, равное
rH = еНo' = 300Qh~l Мпс.(97.7)
Это расстояние приближенно равно расстоянию, которое излучение прошло с начала расширения Вселенной.
Эволюция модели определяется уравнением движения [уравнение (7.13)]
а/а = -4/3^G (р匕 + Зр〃2)+ А/3(97.8)
и уравнением сохранения энергии
dp〃df = —3 (р匕 + p〃d) а/а.(97.9)
Здесь р ——плотность вещества, р ——давление, а индекс b означает, что величина относится к модели, служащей фоном.
Уравнения (97.8) и (97.9) можно один раз проинтегрировать:
a^lc^^l^b + А/3 - К-/出.(97.10)
Постоянная интегрирования R~2 входит также в выражение для метрики
ds2 =且订 dxl dxi = c2 d件—[a2/(l — x2//?2c2)] dx2 —
—a?%? (d02 + sin20 dtp?). (97.11)
Координаты x, 0 н (p являются сопутствующими, т. е. они связаны с элементами жидкости. Чтобы упростить уравнения, величина R записана в единицах времени, а не в единицах длины. Собственный радиус кривизны гиперповерхности / = const равен a\R\c. В замкнутой модели R~2 = Л > 0, а в открытой Rr2 <Z 0. В модели Эйнштейна ——де Ситтера R-2 = А = 0ир = 0.
Параметром плотности называется отношение средней плотности вещества рь«) к средней плотности в модели Эйнштейна—— де Ситтера (при этом в обеих моделях постоянные Хаббла должны совпадать)
Q(f)=8/3Wp〃〃2.(97.12)
Тогда современная средняя плотность записывается в виде
р0= 1,88 - lO'^Qo/i2 г/см3.(97.13)
Считается, что современное значение параметра плотности лежит в диапазоне
O,O3<Qo<l.(97.14)
Есть довольно веские свидетельства в пользу того, что Вселенная равномерно заполнена излучением, спектр которого соответствует спектру абсолютно черного тела с температурой
Т ⑴=То (1 + Z), То ^ 2,7К・(97.15)
Такая зависимость температуры от красного смещения основана на предположении, согласно которому можно пренебречь изменением энтропии излучения, что является хорошим приближением при Z i(P [соотношения (94.19) и (94.22)]. (При Z^3 -109 около половины энтропии приходится на долю э^зсктрон-позитрои- пых пар.) Средняя плотность излучения равна
瓦(/)=瓦(1 + Z)4,氏=%片// = 4,5 • 10-34 г/смз_ (97.16)
Поскольку эта величина гораздо меньше плотности вещества, определяемой галактиками [соотношения (97.13) и (97.14) ], отношение [кчотностей иерелятивистского вещества и излучения можно записать следующим образом：
и/ё = 4,21 • 10Ш2/(1 +Z).(97 •⑺
Можно полагать, что помимо этого электромагнитного излучения во Вселенной существует однородный фон нейтрино, плотность которого сравнима с 醫(или больше 醫,если число лептонов примерно па восемь порядков величины превосходит число барионов во Вселенной;①К, гл. VHI). Поскольку суммарная плотность, создаваемая релятивистской массой таких нейтрино, и, возможно, также плотность гравитационного излучения оценивается косвенным и столь ненадежным методом, в численных оценках, приведенных в разд. 92 ——96, полная плотность относится только к электромагнитному излучению. Это простое соглашение, вероятно, приводит к приблизительно правильному или сильно заниженному * значению плотности. Следуя этому же принципу, я считал, что первичное вещество состояло только из водорода. Если присутствовал также гелий, то слегка уменьшается среднее число электронов, приходящихся на барион, но это изменение пренебрежимо мало по сравнению с основными неопределенностями. Полную плотность и полное давление представим в виде
p=模 +瓦"=&片/3,(97.18)
где ц определяется соотношением (97.13).
Пекулярная скорость v, обсуждавшаяся в гл. II,——это собственная скорость (км/с) относительно наблюдателя, для которого красные смещения объектов, расположенных вблизи горизонта, распределяются изотропно. Конечно, это определение не имеет смысла для неоднородностей, характерный размер которых больше, чем расстояние до горизонта: в гл. V v определяется как собственная скорость относительно синхронной системы отсчета. Безразмерным возмущением плотности называется величина
6(х, f) = p(x, f)/p〃f)- L (97.19)
Величина 6 зависит от того, как определена гиперповерхность постоянного t В гл. II, где рассматриваются области, размер которых много меньше с//-1, можно использовать обычную ньютоновскую синхронизацию времени. В гл. V релятивистское описание проводится в синхронной системе отсчета х, / (разд. 81).
Можно отметить некоторые черты эволюции моделей. В наиболее простом случае предполагается, что давлением и космологической постоянной можно пренебречь. Тогда из уравнения (97.9) находим, что р^ ос а-3, и из уравнения (97.10) получаем следующие соотношения:
Q-'(0- 1=^'- 1)/(1+Z), .
Я2(0 = Я§(1 +Z)2(1 +QoZ), (97.20) a(/)|R| = "T|l_Q«)「У
Последнее соотношение означает, что в космологической модели с низкой плотностью (С《1) радиус кривизны пространства сравним с расстоянием Хаббла (97.7). Решение уравнения (97.10) можно записать в параметрической форме:
а = А(\ — cost]), t = B ⑺一sinn) при Q > 1,(97.21)
a = A (ch n — 1), f = В (sh n — П)при Q < 1,
где постоянные X и В удовлетворяют соотношению
Л =IR |2, в = * R |.(97.22)
Из уравнения (97.10) выводим соотношения
1 + cosn = 2QT при Q > 1,(97.23)
ch n + 1 = 2QT при Q V 1,
(B//)2 = Q-,/(4|Q'i-1|3).(97.24)
В предельном случае Q= 1 получаем модель Эйнштейна——де Ситтера, для которой
Для этих моделей формулы (56.7) и (56.8) дают аналитические выражения координатного расстояния в зависимости от красного смещения.
Бои А=0, ио давлением нельзя пренебречь, то общий характер эволюции не изменяется. Каким бы ни было уравнение состояния, если R-2 V 0, т. е. если геометрия Вселенной является открытой, то 0 < Q(f) V 1 [соотношения (97.10) и (97.12)] и 废 > 0: расширение модели начинается с а = 0 н никогда не прекращается. Если R-2 > о, то геометрия Вселенной является замкнутой [0(f) > 1] и существует максимальное значение а(£), кото
рое достигается в тот момент начинает расширяться при арое достигается в тот момент начинает расширяться при а,когда а = 0. В этом случае модель =0, достигает точки максимального
рое достигается в тот момент начинает расширяться при а
рое достигается в тот момент начинает расширяться при а
расширения, а затем сжимается и превращается в сингулярность при а = 0.
При А #= 0 существует несколько моделей, представляющих исторический интерес. В модели Леметра А > О, R~2 > 0 и у функции a(f) есть точка перегиба, скажем, при а = ае. В соответствии с уравнением (97.8) плотность и давление в точке перегиба
удовлетворяют соотношению
(97.26)(97.26)А = 4r7 耽(е) + 3丸(е)/с2].
(97.26)
(97.26)
Скорость расширения в точке перегиба равна [уравнение (97.10)]
^ = R)2 — r-2, r-^ = ^q [pb(e) + pb(e)/c2] ae. (97.27)
В модели Леметра R> R^ а, следовательно, d2 > 0： расширение модели начинается при а = 0 и никогда не прекращается. Время задержки модели на стадии 。〜а© увеличивается, если R очень близко к Re. Так, при R = R© мы получаем неустойчивое решение а = а% которое соответствует первоначальной статической модели Эйнштейна. В модели Эддингтона предполагается, что R = Re, так что a(f) стремится к ае при 8.
АЛ： Astronomy and Astrophysics.AJ: The Astronomical Journal.АЛ： Astronomy and Astrophysics.AJ: The Astronomical Journal.СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
АЛ： Astronomy and Astrophysics.
AJ: The Astronomical Journal.
АЛ： Astronomy and Astrophysics.
AJ: The Astronomical Journal.
AN: Astronomtsche Nachricliten.
Ap. J: The Astrophysical Journal.
Ap. Space Sci: Astrophysics and Space Science.
Астрон. ж.: Астрономический журнал.
BAN: Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands.
CR： Comptcs Rendus de rAcademte des Sciences, Parts.
IAU Symposium No. 9: Paris Symposium on Radio Astronomy, ed. R. N. Bracewell, Stanford, Caltf.: Stanford University Press, 1959.
1AU Symposium No. 63: Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data, cd. M. S. Longatr, Dordrecht, Holland: D. Retdel, 1974.
1AU Symposium No. 79: The Large-Scale Structure of the Universe, eds.
M. S. Longair, J. Etnasto, Dordrecht, Holland: D. Reidel, 1978.
1AU Symposium No. 92: Objects of High Redshift, cds. G. O. Abell, P. J. E. Peebles, Dordrecht, Holland: D. Reidel, 1980.
IAU and International Union of Theoretical and Applied Mechanics Symposium: Problems of Cosmtcal Aerodynamics, Dayton, Ohio: Central Air Documents Office, 1949.'
MN: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.
PASP: Publications of the Astronomical Society of the Pacific.
Proc. NAS: Proceedings of the National Academy of Sciences, Washington, D. C.
QJRAS: Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society.
RMP: Reviews of Modern Physics.
Solvay Conference No. 11: La Structure et PEvolution de FUntvers, ed. R. Stoops, Brussels, 1958.
Solvay Conference No. 13: The Structure and Evolution of Galaxies, London: Interscience, 1965.
Z. Ap: Zettschrift fiir Astrophystk.
ЖЭТФ： Журнал экспериментальной и теоретической физики.
ЛИТЕРАТУРА
В скобках после ссылки указаны номера разделов, в которых цитируется данная работа.
Aarseth S.几"i〃s 丄 G., AA, 21, 255, 1972 (73).
Abell G. 0., Ap. J. Suppl,, 3, 211, 1958 (2, 29, 77).
Adams J. B., Mjolsness A, Wheeler J. A. In the Proceedings of the 11 th Solvay Conference, 1958, p. 113 (4).
Adams P.几 Canuto V. Phys. Rev. D., 12, 3793, 1975 (86).
Alpher R. A., Bethe H. 4, Gamow G. Phys. Rev., 73, 803, 1948 (4).
Амбарцумян В. А. ДАН, 44, 223, 1944 (29, 58).
Ambartsumian V. A. In the Proceedings of the 11th Solvay Conference, 1958, p. 241 (4).
Ambartsumian V. A. In the Proceedings of the 13th Solvay Conference, 1965, P- I (4).
Anile A. M., Molta S. Ap. J., 207, 685, 1976 (93).
Arp H. Science, 134, 816, 1961 (96).
Arp H. Nature, 225, 1033, 1970 (4).
Bardeen 丄 препринт, 1980 (81, 86, 95).
Barrow J. D MN, 179, 47p, 1977 (90).
Bhavsar S. P. Ap. J., 222, 412, 1978 (29).
Binney 丄 MN, 168, 73, 1974 (23).
Birkhoff G D. Relativity and Modern Physics, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1923 (3).
Бисноватый-Коган Г. С., Зельдович Я. Б. Астроп. ж., 47, 942, 1970 (68).
Bogart R. S., Wagoner R. У. Ар.工，181, 609, 1973 (29).
Bok В. J. Bull. Harvard Obs., 895, 1, 1934 (29).
Bondi H. MN, 107, 410, 1947 (3).
Bondi H. Cosmology, Cambridge University Press, 1952 (2, 96).
Bonnor 步.В. Z. Ap., 39, 143, 1956 (4).
Bonnor 步.В. MN, 117, 111, 1957 (4, 95).
Bonnor 呪 В. /л Relativity Theory and Astrophysics, ed. J. Ehlers, Lectures in Applied Math. No. 8, Providence: Am. Math. Soc., 1967 (4).
Bonnor Г. B. MN, 167, 55, 1974 (2).
Bonometto S. 4, Lucchin 户.Ap. J., 206, 391, J976 (92).
Bonometto S. A., Lucchin F. AA, 67, L7, 1978 (42).
Boynton P in 1AU Symposium No. 79, 1978 (93)* (Имеется перевод: Крупномасштабная структура Вселенной.― М., Мир, 1981, с. 350).
Boynton Р. In 1AU Symposium No. 29, 1980 (93).
Brecher K・，Silk J. Ap. J., 158, 91, 1969 (13).
Brown G, S. Докторская диссертация, University of Texas, Austin, 1974 (2).
Burbidge £. M., Burbidge G. R., Hoyle E Ap. J„ 138, 873, 1963 (96).
Бялко .4. В., ЖЭТФ, 55, 317, 1969 (13).
Callan C, Dicke R. 〃.，Peebles P. /. E Am. J. Phys., 33, 105, 1965 (3).
Carlitz R., Frautschi S.t Nahrn 步.AA, 26, 171, 1973 (4, 28).
Carpenter E F., Ap. J., 88, 344, 1938 (4).
Carr B. J. Comments on Astrophys., 7, 161, 1978 (87).
Chandrasekhar S., Munch G. Ap. J., 115, 103, 1952 (29, 58).
Charlier C.，L Arktv f6r Mat. Astron, och Fys., 4, 1, 1908 (3).
Charlier С. V. L. Arkiv for Mat. Astron, och Fys., 16, 1; Medd. Lund Obs., No. 98, 1922 (3, 62).
Чернин А. Д, Письма ЖЭТФ, 11, 317, 1970 (23).
Чибисов Г. В. Астрон. ж., 49, 74, 1972 (92).
Chibisov G. V., Ozernoy L. М. Astrophys. Letters., 3, 189, 1969 (93).
4. Chincarini G., Rood H. /. Nature, 257, 294, 1975 (76, 77).
Clutton-Brock M. Ap. Space Set., 30, 395, 1974 (95).
Clution-Brock M., Peebles P. /. E, He опубликовано, 1980 (8).
Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, New York: Interscience, 1953 (53).
Cowsik R.t McClelland 丄 Ap. J., 180, 7, 1973 (96).
Curtis H. D. Publ. Lick Obs. 13, 11, 1918 (2).
Dautcourt G. MN, 144, 255, 1969 (92).
5J. Dautcourt G. AN, 292, 113, J970 (92).
Dautcourt G. AN, 298, 253, 1977 (56).
Davis M In IAU Symposium No. 92, 1980 (96).
Davis M, Geller M. /. Ap. J„ 208, 13, 1976 (47, 56, 63).
Dauls M.,Geller M.丄，Huchra/.Ap. J., 221, 1, 1978 (57, 76).
Davis M„Groth E /., PeeblesP./. E. Ap. J„ 212, L107, 1977 (57,71, 79).
Davis M,Peebles P. L E Ap.J.Suppl., 34, 425, 1977 (9, 68, 71—75).
Davis M.,Wilkinson D Г. Ap.J.,192, 251, 1974 (96).
de Sitter W. MN, 77, 155, 1916 (2, 3).
de Sitter W. MN, 78, 3, 1917 (2, 3).
de Sitter 胱 Nature, 128, 706, 1931 (2).
de Siiter 吃 Kosmos, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1932 (2).
de Sitter 步.Proc. Acad. Wetensch Amsterdam, 37, 597, 1934 (3).
de Vaucouleurs G. Ap. J., 131, 585, 1960 (2, 4).
de Vaucouleurs G. Science, 167, 1203, 1970 (2, 4, 61, 62).
de Vaucoupleurs G. PASP, 83, 113, 1971 (2, 4).
Dingle //. Z. Ap., 7, 167, 1933 (3).
Dingle H. MN, 94, 134. 1933 (3).
Dingle 〃. Proc. NAS, 19, 559, 1933 (87).
Дмитриев H. А., Зельдович Я. £ ЖЭТФ, 45, 1150, 1963 (24).
Doroshkevich A. G Astrophysical Letters, 14, 11, 1973 (23).-
Doroshkevich A. G., Shandarin S. F., Saar E. MN, 184, 643, 1978 (21).
Doroshkevich 4 G., Sunyaev R. A., ZeVdovich Уа. B. In 1AU Symposium No. 63, 1974, p. 213 (23). (Имеется перевод: Космология. Теории и иаблюде- ния./Под. ред. Я. Б. Зельдовича, И. Д. Новикова,— М.: Мир, 1978, с. 277.)
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. 6“ Новиков И. Д. Астрон. ж., 44, 295, 1967 (4, 96).
Dressier А. /. Ар. J., 226, 55, 1978 (77).
Dube R. R., Wickes 步.С, Wilkinson D T. Ap. J., 215, L51, 1977 (58).
Eddington A. S. Stellar Movements and the Structure of the Universe, London： Macmillan, 1914 (2).
Eddington A. S. Mathematical Theory of Relativity, 2nd ed., Cambridge： Cambridge University Press, 1924 (3).
Eddington A. S. MN, 90, 668, 1930 (3).
Eddington A. S. MN, 91, 413, 1931 ⑵.
Eddington A. S. Nature, 127, 447, 1931 (2).
Eddington A. S. Science Progress, 34, 225, 1939 (2).
Edmonds A. R. Angular Morrentum tn Quantum Mechanics, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1957 (46).
Edwards D, Heath D. Ap. Space Set., 41, 183, 1976 (11, 13).
Efstathiou G MN, 187, 117, 1979 (79).
Efstathiou G., Fall S. M, Hogan C. MN, 189, 203, 1979 (26).
Efstathiou G, Jones A L「MN, 186, 133, 1979 (23).
Eggen О.几 Lynden-Bell D” Sandage A. R., Ap. J., 136, 748, 1962 (96).
Eichler D. Ap. J., 218, 579, 1977 (96).
Einasto /., Joeveer M. /n 1AU Symposium No. 79, 1978 (21). (Имеется перевод: Крупномасштабная структура Вселепной./Под. ред. М. Лонгейра, Я. Эйнасто.——М.： Мир, 1981, с. 270.)
Einasto /., Kaasik A., Saar Е. Nature, 250, 309, 1974 (96).
Einstein A S.-B. Preuss Akad. Wtss., 1917, p. 142 (1, 3, 4). (Имеется перевод: Эйнштейн А. Вопросы космологии и общая теория относительности. Собрание научных трудов.— М.: Наука, 1966, т. 1, с. 601.)
Einstein A. Ann. Phys., 9, 436, 1922 (3). (Имеется перевод: Эйнштейн А. Замечание к работе Франца Селети《К космологической системе». Собрание научных трудов.— М.: Наука, 1966, т. 2, с. 112.)
Einstein Л. Structure Cosmologique de i'Espace, Paris: Hermann et Cle, 1933
. (Имеется перевод: Эйнштейн А. О космологической структуре пространства. Собрание научных трудов,— М.: Наука, 1966, т. 2, с. 407.)
Einstein 4, Straus Е G. RMP, 17, 120; 18, 148, 1945 (3).
9G. Eliss R. S. In IAU Symposium No. 92, 1980 (2, 57).
Faber S. M, Dressier A. J. AJ, 82, 187, 1977 (77).
Faber S. M, Gallagher 丄 S. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 17, 135, 1979 (64, 96).
Fabian A. C. Nature Phys. Sci.t 237, 19, 1972 (2).
Fall S. M. MN, 172, 23, 1975 (74).
Fall S. M. Докторская диссертация, Oxford University, 1976 (56).
Fall S. M. MN, 176, 181, 1976 (74).
Fall S.財.MN. 185, 165, 1978 (63, 79).
Fall S. M. RMP, 51, 21, 1979 (52, 79).
Fall S. M, Geller M 丄，Jones B.丄「，White S. D M., Ap. J., 205, L121, 1976 (39).
Fall S. M, Severne G MN, 174, 241, 1976 (68, 74).
Fall S. M., Tremaine S. Ap. J., 216, 682, 1977 (52, 53, 57).
FathE.A. AJ,28,75, 1914 (2).
FieldG.B. Ap.J.,140, 1434, 1964 (96).
FieldG.B. Ap.J.,142, 531, 1965 (4).
FieldG.B. Ap.J.(165, 29, 1971 (92, 94).
Field G. В. /n Galaxies and the Universe, ed. A. Sandage, M. Sandage, J. Kristian, Chicago: University of Chicago Press, p. 359, 1975 (23).
Field G. B, Shepley L. C. Ap. Space Sci.. 1, 309, 1968 (92).
Fournier d'Albe E £. Two New Worlds, London: Longmans Green, 1907 (3, 62).
FryJ.N.Докторская диссертация, Prtnceton University,1979(77).
Fry/.A〔，PeeblesP.丄EAp.J., 221, 19, 1978 (29, 36「55—57).
Fry丄M,PeeblesR 丄E.Ap.J., 238, 1980 (44, 77)..
Fry丄M,PeeblesP.丄EAp.J., 236, 343, 1980 (79).
Gamow 0. Phys. Rev., 74, 505, 1948 (4),*
Gatnow G. Nature, 162, 680, 1948 (4, 94).
Gatnow&RMP,21, 367,1949 (94).
GamowG.Phys.Rev., 86,251, 1952 (4, 95,96).
GamowG.KongDan VtdSelsk., 27,No.10,1953 (4).
GamowG.Proc.NAS, 40,480, 1954(4).
Gamow G, Teller E Nature, 143, 116; Phys. Rev., 55, 654, 1939 (4, 96).
Geller M. /. Не опубликовано, 1975 (58).
Geller M /., Peebles A J. E Ap. J., 184, 329, 1973 (75, 76).
Gilbert /. H. Докторская диссертация, Harvard Universttv, 1965 (68, 74).
Gilbert /. H. Ap. J., 144, 233, 1966 (68).”
Godel К RMP, 21, 447, 1949 (95).
Gold T., Hoyle F. In 1AU Symposium No. 9. 1959, p. 583 (4). (Имеется перевод: Радиоастрономия: Парижский симпозиум 1958,/Под. ред. Р. Брей- суэлла.— М.: ИЛ, 1961, с. 567.)
132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.144.145.116.147.148.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.161.162.163.164.165.166.167.168.169.170.171.172.173.174.175.176.132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.144.145.116.147.148.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.161.162.163.164.165.166.167.168.169.170.171.172.173.174.175.176.177.178.179.180.181.177.178.179.180.181.Gott 丄 R. Ap. J., 201, 296, 1975 (25).
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
116.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
116.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
177.
178.
179.
180.
181.
Gott 丄 R., Rees M.丄 AA, 45, 365, 1975 (19, 20, 71).
Gott LR.,ThuanT.X.Ap. J., 204, 649, 1976 (96).
Go〃 丄R.,TurnerE.L.Ap. J., 216, 357, 1977 (29).
Gott 丄R,Turner£.L.Ap. J., 232, L79, 1979 (57).
Gott /.R.,TurnerE.£.,Aarseth S.丄 Ap, J., 234, 13, 1979 (79, 96).
Gott /. R., ^rixon G. T., Cannier R Ap. J., 186, 777, 1973 (19).•
Gregory S. 4, Thompson L A. Ap. J„ 222, 784, 1978 (77).
Gribbin 丄 Nature, 252, 445, 1974 (25, 95).
Groth E 丄 He опубликовано, 1977 (59).
Groth E 几 Peebles R 丄 £ AA, 41, 143, 1975 (11, 12).
Groth E.丄，Peebles P. J. E Ap. J., 217, 385, 1977 (2, 47, 56, 57, 61).
Groth E. /., Peebles P.丄 E, Seldner M., Soneira A. M. Scientific American, 237, Nov. p. 76, 1977 (79).
Gunn /. E. Докторская диссертация, California Institute of Technologv, 1965 (58).
Gunn 丄 E. Ap. J., 218, 592, 1977 (25).
Gunn 丄 E., Gott Л R. Ap. J., 176, 1, 1972 (19, 25).
Gunn. J. E., Lee B.呼.，Lerche Schramm D. A； Steteman G. Ap. J., 233, 105, 1978 (96).
Guyot M., Zerdovich Ya. В. AA, 9, 227, 1970 (10—12).
Haggerty M. /. Physica, 50, 391, 1970 (24).
Haggerty M 丄 Ap. J„ 166, 257, 1971 (2).
Haggerty M /., Janin G. AA, 36, 415, 1974 (23).
Harrison E. R. RMP, 39, 862, 1967 (4).
Harrison E. R., Mem. Soc. R. Set, Ltegc, 14, 15, 1967 (4).
Harrison E. R. Phys. Rev. Letters, 18, 1011, 1967 (95).
Harrison E. R. Nature, 215, 151, 1967 (95),
Harrison £. R. MN, 141, 397, 1968 (95).
Harrison E. R. Phvs. Rev. D., I, 2726, 1970 (95).
Harrison E R. MK, 154, 167, 1971 (23).
Harrison E, R. Plivstcs Today, 27, 30, 1974 (62).
Hauser M. G., Peebles P.丄 E Ap. J., 185, 757, 1973 (2, 29, 46, 47, 50, 78).
Havlen R. Quintana //. Ap. J., 220, 14, 1978 (77).
Hawking S.呼.Ap. J., 145, 544, 1966 (83, 86).^
Hawking S. Г. MM, 152, 75, 1971 (87).
Hawley D. L., Peebles P. /. E. AJ, 80, 477, 1975 (23).
Heath D. MN, 179, 351, 1977 (10).
Hecktnann O., Schiicking E. In Gravitation, ed. L. Witten. New York: Wiley, 1962, p. 438 (95).
Hintzen R, Scott 丄 S. Ap. J., 232, LI45, 1979 (77).
Holmberg E. Ark. fiir Astron., 5, 305, 1969 (51).
Hogan C. MN, 185, 889, 1978 (96).
Hogan C. MN, 188, 781, 1979, (96).
Hoyle E /冷 1AU and International Union of Theoretical and Applied Mechanics Symposium, 1949, p. 195 (23).
Hoyle F. Nature, 163, 196, 1949 (4).
Hoyle F. Ap. J„ 118, 513, 1953 (96).
Hoyle F. /n the Proceedings of the 11th Solvay Conference, 1958, p. 53 (4, 95).”
Hoyle Л. Galaxies, Nuclei and Quasars, New York: Harper and Row, 1965
. (Имеется перевод: Ф. Хойл, Галактики, ядра и квазары.— М.: Мир, 1968.)
Hoyle Е, Fowler 胱 A. MN, 125, 169, 1963 (96).
Hoyle 尸.，Narlikar 丄 V. Proc. Roy. Soc., A290, 177, 1966 (4, 25).
Hubble E. Ap. J., 64, 321, 1926; PASP, 38, 258, 1926 (1, 2).
Hubble E. Proc. NAS, 15, 168, 1929 (1).
Hubble £ PASP, 43, 282, 1931 (2).
Hubble £ Ар. J., 79, 8, 1934 (2, 29).
Hubble E Ap. J„ 84, 517, 1936 (2, 96).
Huchra丄P.,Davis M, GellerM.丄 Privately circulated, 1979 (57, 76).
HunterC.Ap.J.,136,594,1962(95).
HunterC.Ap.J.,139,570,1964(18).
HunterC.Ap.J.,162,445,1970(23).
Ichimaru S. Basic Principles of Plasma Phvsics, Reading, Mass.: Beniamin, 1973 (54,68).“
Icke 匕 AA, 27, 1, 1973 (20, 96).
Inagaki S. Publ. Astron. Soc. Japan., 28, 77, 1976 (69, 70, 73).
Irvine W. M. Докторская диссертация. Harvard University, 1961 (24).
Irvine 呪 M. Ann. Phvs. (N. Y.), 32, 322, 1965 (24).
Jackson 丄 C. MN, 156, IP, 1972 (76).
Jahnke E, Emde E Tables of Functions, New York: Dover, 1945 (46). (Имеется перевод: Янке E., Эмде Ф.( Таблицы функций с формулами и кривыми.--М.-Л.： Гостехиздат, 1949.)
Jeans 丄 Phil. Trans., 199A, 49, 1902 (4, 16).
Jeans 丄 Astronomy and Cosmogony, Cambridge: Cambridge Universitv Press, 1928 (4).'•
Jones В. /. T. RMP, 48, 107, 1976 (23, 26, 96).
Jones 8.丄厂 MN, 180, 151, 1977 (96).
Jones В, /. T., Peebles P. J. £ Comments on Astrophys. and Space Phys., 4, 121, 1972 (4).
Kantowski R. Ap. J., 155, 1023, 1969 (14).
Kellog O. Foundations of Potential Theorv, New York: Dover, 1953 (20).
Kiang T. MN, 135, 1, 1967 (4).“
Kiang T., Saslaw U7. C. MN, 143. 129, 1969 (2, 4).
Kihara T. Publ. Astron. Soc. Japan, 20, 220, 1968 (19).
Kihara T., Saki K. Publ. Astron. Soc. Japan, 22, 1, 1970 (22).
Kirshner R. P., Oemler A., Schechter P. L. AJ, 83, 1549, 1978 (57, 76).
Kristian Sachs R. K. Ap. J., 143, 379, 1966 (2).
Kron R. Докторская диссертация. University of California, Berkeley, 1978 (2).
Lake G., Tremaine S. Препринт, 1980 (51, 57).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.: Гостехиздат, 1953 (89).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— М.: Наука, 1973 (6, 21).
Larson R. В, MN, 166, 585, 1974 (96).
Layzer D. AJ, 59, 170, 1954 (4, 26, 95, 96).
Layzer D AJ, 61, 383, 1956 (29, 33, 38).
Layzer D. Ap. J., 138, 174, 1963 (24).
Layzer D. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 2, 341, 1964 (24).
Lee B.吃，Weinberg S. Phys. Rev. Letters, 39, 165, 1977 (96).
Lemaitre G. Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 47A, 49, 1927; MN, 91, 483, 1931 (1, 3).
Lemaitre 6 MN, 91, 490, 1931 (3, 6).
Lemaitre G CR, 196, 903, 1085, 1933 (3, 4, 87).
Lemaitre G. Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 53A, 51, 1933 (3, 4, 21, 26, 87, 95, 96).
Lemaitre G. Proc. NAS., 20, 12, 1934 (4, 26).
Lemaitre G. In the Proceedings of the 11th Solvay Conference, 1958, p. 1 (4).
Liang E. P. T. Ap. J„ 211, 361, 1977 (89).
Liang E. P. T. Ap. J., 216, 206, 1977 (89).
Liang E P. T., Baker K・ Phvs. Rev. Letters, 39, 191, 1977 (89).
Лифшиц £ M. ЖЭТФ, 16, 587, 1946 (4, 86, 90, 95).
Лифшиц E. M., Халатников И. M. УФН, 80, 391, 1963 (21).
LimberDMAp.J„117, 134, 1953(29).
UmberD：V.Ap.J.,119, 655, 1954(4, 29,47, 51,57).
LimberD.；V.Ap.J.,125, 9, 1957 (29, 33).
Lin С.C,Mestel乙，Shu E 〃. Ap.J・，142,1431,1965 (20).
233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244,245.246.247.248.249.250.251.252.253.254.255.256.257.258.259.260.261.262.263.264.265.266.267.268.269.270.271.272.273.274.275.276.277.278.279.280.281.233.234.235.236.237.238.239.240.241.242.243.244,245.246.247.248.249.250.251.252.253.254.255.256.257.258.259.260.261.262.263.264.265.266.267.268.269.270.271.272.273.274.275.276.277.278.279.280.281.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244,
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244,
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
Longair М. S., Sunyaev R. A. Nature, 223, 719, 1969 (93).
Lynden-Bell D Ap. J„ 139, 1195, 1964 (20).
McClelland 丄，Silk 丄 Ap, J., 217, 331, 1977 (40, 61).
McCrea W. ". Z. Ap., 18, 98, 1939 (2).
McCrea 吃 H. MN, 128, 335, 1964 (4).
McCrea Г. //. Science, 160, 1295, 1968 (3).
McCrea 步.〃.，MeV it tie G C MN, 92, 7, 1931 (3).
McCrea 呪 〃.，Milne E. A. Q. J. Math. (Oxford), 5, 73, 1934 (3).
McVlttie G C. MN, 92, 500, 1932 (3).
McVittie G. C. Fact and Theory in Cosmology, London： Eyre and Spottts- woode, 1961 (2).
Mandelbrot А В CR, 280A, 1551, 1975 (62).
Mandelbrot В В. Fractals: Form, Chance and Dimension, San Francisco:
W. U. Freeman, 1977 (3, 62),
Matfig 吃 AN, 284, 109, 1958 (56).
Meier D L. Ap. J., 203, L103, 1976 (96).
Meszdros P. AA, 37, 225, 1974 (11, 12).
Meszuros P. AA, 38, 5, 1975 (94—96).
Michie R. W. Kitt Peak National Observatory Contr. No. 440, 1967 (4, 92).
Milne E. A. Z. Ap., 6, 1, 1933 (3).
Milne E A. Z. Ap., 7, 180, 1933 (3).
Milne E. A. Q. J. Math. (Oxford), 5, 64, 1934 (3).
Milne E. Л. Relativity, Gravitation and World Structure, Oxford: Claredon Press, 1935 (3, 81).
Mistier C. W. Nature, 214, 40, 1967 (3).
Misner C.步.Ap. J., 151, 431, 1968 (3, 95).
Miyoshi K，, Kihara T. Publ. Astron. Soc. Japan, 27, 333, 1975 (79).
Montgomery D. C., Tidman D. A. Plasma Kinetic Theory, New York: Mc
Graw-Hill, 1964 (32, 68).
Mowbray A. G. PASP, 50, 275, 1938 (29).
Kariai H. Progr. Theor. Phys., 41, 1379, 1969 (13).•
Nariai 〃.，Fujimoto M. Progr. Theor. Phys., 47, 105, 1972 (20).
Nariai H., Tomita ^. Suppl. Progr. Theor. Phys., 49, 83, 1971 (4).
Xe^man Y. Ap. J., 141, 1303, 1965 (4).
Neyman 丄 In Problems of Extragalactic Research, ed .G. C. McVittie, New
York； Macmillan, 1962, p. 294 (29, 30).
Heyman 几 Scott E. L. Ap. J., 116, 144, 1952 (40, 61).
HeymanSco" E L AJ, 60, 33, 1955 (29).
Neyman /., Scott E. L., Shane C. D. Ap. J. Suppl., 1, 269, 1954 (29).
Heyman 丄，Scott E L„ Shane C. D, Proc. Third Berkeley Symposium Maili.
Stat, and Probability-, 3, 75, 1956 (4, 29, 47, 57).
Noonan T.步.AA, 54, 57, 1977 (78).
Новиков И. Д. ЖЭТФ, 46, 686, 1964 (4, 86).
Новиков И. Д. Астрой, ж,, 41, 1075, 1964 (4).
Oke /. В., Sandage А. Ар, J., 154, 21, 1968 (56, 58).
Olson D.呪 Phvs. Rev. D, 14, 327, 1976 (86).
Olson D. Г., Sachs R. К Ap. J., 185, 91, 1973 (22).
Omer G C. Ap. J., 109, 164, 1949 (2).
Omer G. C. Proc. NAS, 53, 1, 1965 (2).
Omnes R. Phys. Rev. Letters, 2 3, 38, 1969 (95).
Oort 丄 H. In the Proceedings of the 11 th Solvay Conference, 1958, p. 163 (4, 96).
Oort J. H. AA, 7, 381, 1970 (23, 96).
Ostriker 丄 P. Доклад, представленный на the seventh Texas conference, 1974 (96).
Ostriker 丄 P., Peebles P. J. E, Yahil A. Ap. J„ 193, LI, 1974 (96).
Ostriker 丄 R, Turner E. L. Ap. J., 234, 785, 1979 (57).
Оге г по у L М. Ai 1AU Symposium No. 63, 1974, р. 227 (90). (Имеется перевод: Космология. Теории и наблюдения,— М.: Мир, 1978, с. 294.)
Ozernoy L. М. In 1AU Symposium No. 79, 1978, р. 427 (96). (Имеется перевод: Крупномасштабная структура Вселенной.— М.: Мир, 1981, с. 469.)
Озерной Л. М., Чернин Д. Д. Астрой, ж., 44, 1131, 1967 (4, 95).
Озерной Л. М, Чернин Д. Д. Лстроп. ж., 45, 1137, 1968 (4, 90, 95).
Parijski Ум. ^. In IAU Symposium No. 79, 1978» p. 315 (93). (Имеется перевод: Крупномасштабная структура Вселенной.——М.: Мир, 1981, с. 348.)
Parker Е. М Ар. J., 202, 523, 1975 (4, 17).
Раггу 吃 Е. Phvsics Letters, 60А, 265, 1977 (53).
Partidge R. В Ap. J., 192, 241, 1974 (96).
Partridge R. 8. Physica Scripla, 21, 624, 1980 (93).
Partridge R. 8, Peebles R 丄 E Ap. J., 147, 868, 148, 377, 1967 (19, 96).
Peebles 2 丄 £. Ap. J., 142, 1317, 1965 (4, 26, 94, 96).
Peebles P.丄 E Ap. J., 147, 839, 1967 (3, 4, 95).
Peebles P. /. E. Доклад, представленный па the fourth Texas conference, 1967 (4).
Peebles P.丄 E Nature, 220, 237, 1968 (4, 95).
Peebles P. /. £ J. Rov. Astron. Soc. Canada, 63, 4, 1969 (19, 96).
Peebles P. /. E Лр. J., 157, 1075, 1969 (4).
PeeblesP.丄E.Ap.J„ 155,393,1969 (18, 23).
PeeblesP.丄EPhys. Rev.D, 1,397, 1970 (89,96).
Peebles2/.EAJ,75, 13,1970(73).
PeeblesP.丄EAp.Space.Sci..11, 443, 1971 (4,21, 96).
Peebles P.丄 E. AA, 11, 377, 1971 (23).
Peebles P. /. E. Physical Cosmology, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1971 (4, 58, 79, 90). (Имеется перевод: Пиблс П. Дж. Э. Физическая космология,— М.: Мир. 1975,)
Peebles Р.丄 Е. Comments on Astrophvs. and Space Phys., 4, 53, 1972 (3, 87, 95).
Peebles P. /. E- Publ. Astron. Soc. Japan., 25, 291, 1973 (23).
Peebles P.丄 E Ap. J., 185, 413, 1973 (41, 46, 48).
Peebles P.丄 E Ap. J„ 180, I, 1973 (91).
Peebles P.丄 E In Fundamental Interactions tn Physics and Astrophysics, cd. G. Iverson, Л. Perlmutter, S. Mintz, New York： Plenum, 1973, p. 318 (79).
PeeblesP./.EAp. J., 189, L51, 1974(4, 26, 29).
PeeblesP.丄£AA, 32, 197, 1974 (4,61).
PeeblesP.丄EAA, 32, 391, 1974 (27, 28).
Peebles P.丄 E. Ap. Space Sci., 31, 403, 1974 (60).
PeeblesЛJ.E.Ap. J. Suppl., 28, 37,1974 (44, 77).
PeeblesP.J.E.Ap. J„ 196, 64 7, 1975(36, 54, 57).
Peebles P.丄 E Ap. J., 205, 318, 1976 (14).
Peebles P. /. E. Ap. Space Sci., 45, 3, 1976 (71, 75, 76).
Peebles P. J. E Ap. J., 205, LI09, 1976 (75, 76).
Peebles Л /. E AA, 68, 345, 1978 (73).
Peebles P.丄 E MN, 189, 89, 1979 (61, 73).
Peebles P.丄 E. AJ, 84, 730, 1979 (57, 76).
Peebles P. J. E. To be published, 1980 (57, 76).
Peebles P.丄 £ Physical Cosmology, ed. J. Audotize, Amsterdam: North- Holland, 1980 (96). ”
Peebles Л /. E, Dicke R. H. Ap. J, 154, 891, 1968 (4, 26, 94, 96).
Peebles P.丄 E, Groth E 丄 Ap. J., 196, 1, 1975 (29, 34, 54, 57, 61).
Peebles P.丄 E, Groth E.丄 AA, 53, 131, 1976 (28, 42, 59, 70, 79, 96).
Peebles P.丄 E., Hauser M. G. Ap. J. Suppl., 28, 19, 1974 (2, 29, 46, 47, 50, 52, 57).
Peebles P. J. E., Wilkinson D. T. Phys. Rev., 174, 2168, 1968 (93).
Peebles R /. E, Yu 丄 T. Ap. J., 162, 815, 1970 (88, 92, 93, 95).
Репсе 吃 Ар. J., 203, 39, 19 76 (56).
Petrosian V., Salpeter Е. Е., Szekeres Р. Ар. J., 147, 1222, 1967 (13).
Phillipps S., hmg R, Ellis R. S., Fall S. M, MacGillivray IL T. MN, 182,
673, 1978 (56).
Press Г. 〃.，Lightman Л. Л. Ap. J., 219. L73. 1978 (20, 79).
Press 步.〃.，Schechter P. Ap. J„ 187, 425, 1974 (4, 26, 28, 95, 96).
Press W. H., Vishniac E. T. Ap. J., 239, 1, 1980 (81, 86, 95).
Press 呪 H.* Vishniac E. T. Ap. J., 236, 323, 1980 (92).
Rawson-Harris I). MN, 143, 49, 1969 (13).
Raychaudhuri A. Phys. Rev., 86, 90, 1952 (4).
Raychaudhuri A. Phys. Rev., 98, 1123, 1955 (22).'
Rees M.丄 Phvs. Rev. Letters, 28, 1669, 1972 (95).
Rees M.丄，Ostriker L R MN, 179, 541, 1977 (79, 96).
Rees M. /., Reinhardt 財.AA, 19, 189, 1972 (95).
2. Rees M. Л, Sciama D 呪 Nature. 217, 511, 1968 (2, 93).
Rindler W. MN, 116, 662, 1956 (3).
Robertson //. P. RMP, 5, 62, 1933 (2).
Robertson 〃. P. Ap. J., 82, 284, 1935 (3).
Rubin V. C. Proc NAS., 40, 541, 1954 (4, 29, 47, 51, 57).
Rubin V. C. Comments on Astrophysics, 8, 79, 1979 (64, 79).“
Rubin 匕 C., Ford 呪 K・，Thonnard M Ap. J., 238, 471, 1980 (96).
Rubin V. C., Thonnard M, Ford W. K, Roberts M. S. AJ, 81, 719, 1976 (2).
Rudnicki K., Dworak T. Z., Flin P., Baranowski 8, Sendrakowski A. Acta Cosmologica, 1, 7, 1973 (56, 57).
Ryan M. P. Ap. J„ 177, L79, 1972 (25, 95).
Ryan 財.P., Shepley L. C. Homogeneous Relativistic Cosmologies, Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1975 (95).
Sachs R. ^., Wolfe A. M. Ap. J., 147, 73, 1967 (93).
Sakai K. Progr. Theor. Phys., 4" 1461, 1969 (81).
Sandage A., Tatnmann G. 4, Hardy E. Ap. J,, 172, 253, 1972 (62).
Sanford R E Bull. Lick Obs., 9, 80, 1917 (2).
Sargent 旣 L. IV., Searle L. Comments on Astrophys. and Space Phys., 3,
1971 (96).
Sargent 步，厶.W； Turner £. L. Ap. J., 212, L3, 1977 (20, 76).
Saslaw ^. C MN, 136, 39, 1967 (4).
Saslaw Г. C. MN, 141, 77, 1968 (4),
Saslaw 步.C. Ap. J., 177, 17, 1972 (68).
Schwartz D. Л. Ap. J„ 162, 439, 1970 (2).
Schwartz D A., Murray S. S., Gur sky H. Ap. J., 204, 315, 1976 (2).
Sciama D W. MN, 115, 3, 1955 (4).
Sciama D. Г. QJRAS, 5, 196, 1964 (4).*
Scott £ Л. In Problems of Extragalactic Research, ed, G. C. McVtttie, New York: Macmillan, 1962, p. 269 (29).
Scares F. //. Ap. J., 62, 168, 1925 (2).
Seldner M. Докторская диссертация, Princeton University, 1977 (47).
SeldnerM.}PeeblesP./.E.Ap.J..215,703, 1977 (2, 44, 4 7, 77).
SeldnerM,PeeblesR丄E.Ap.J.,214,LI, 1977 (77).
SeldnerM”PeeblesP.丄EAp.J.,225,7, 1978 (2, 44).
SeldnerM,PeeblesP.J.EAp.J.,227,30, 1979 (44).
Seldner AL, Siebers B., Groth E.丄，Peebles P.丄 E. AJ, 82, 249, 1977 (57).
Sen A', R. Z. Ap., 9, 215, 1934 (3).
Shane C. D, Wirtanen C. A. Proc. Amer. Phil. Soc., 94, 13, 1950 (2).
Shane C. D, Wirtanen C. 4 Publ. Lick. Obs., 22, part 1, 1967 (2, 57).
Shanks T., Fong R., Ellis R. S., MacGillivray H. T. MN, 1980 (57).
Shapley H. Harvard Bull., 890, 1, 1933 (2).
Shapley H. MN, 94, 791, 1934 (2).
Shapley 〃. Proc. NAS, 21, 587, 1935 (29).
Shapley H. Proc. NAS, 24, 282, 1938 (2).
382.383.384.385.386.387.388.389.390.391.382.383.384.385.386.387.388.389.390.391.9^o^4^K^_^7^O^Q^n^I9^99999999000333333334449^o^4^K^_^7^O^Q^n^I9^9999999900033333333444403.404.405.406.407.408.409.410.411.403.404.405.406.407.408.409.410.411.412.413.412.413.414.415.416.417.418.419.420.421.422.423.424.425.426.427.428.429.430.26414.415.416.417.418.419.420.421.422.423.424.425.426.427.428.429.430.26
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
391.
9^o^4^K^_^7^O^Q^n^I9^99999999000
33333333444
9^o^4^K^_^7^O^Q^n^I9^99999999000
33333333444
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411.
412.
413.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
421.
422.
423.
424.
425.
426.
427.
428.
429.
430.
26
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
421.
422.
423.
424.
425.
426.
427.
428.
429.
430.
26
Shapiey 〃. Proc. NAS, 24, 527, 1938 (2).
Shapley "., Ames A. Harvard Annals, 88, Part II, 1932 (2).
Shectman S. A. Ap. J., 179, 681, 1973 (58).
Shedman S. A. Ap. J., 188, 233, 1974 (29, 58).
Shklovsky /. Ap. J„ 150, LI, 1967 (13).-
Silk 丄 Nature, 215, 1155, 1967 (4).
Silk /. Ap. J„ (5(, 459, 1968 (4, 92)./
S祿 J. Nature, 218, 453, 1968 (96).
Silk J. Ap. J„ 193, 525, 1974 (14).
Silk /. In 1AU Symposium No. 63, 1974, p. 175 (92). (Имеется перевод:
Космология. Теории п наблюдения.— М.: Мир, 1978, с. 231.)
Silk /. Ар. J., 194, 215, 1974 (14, 22, 93).
Silk 丄 АА, 59, 53, 1977 (2).
Silk 丄 Ар. J„ 211, 638, 1977 (96).
Silk 几 Wilson M. L Physica Scripts, 21, 708, 1980 (93).
Soneira R. M. Докторская диссертация, Princeton University, 1978 (76).
Soneira R. M. lie опубликовано, 1978 (4 7, 51, 57, 65)..
Soneira R. M., Peebles P. /. E. Ap. J., 211, 1, 1977 (61).
Soneira- R. M, Peebles P. J. E AJ, 83, 845, 1978 (57, 61).
Stauffer /., Spinrad "., Sargent W. L. Г. Ap. J., 228, 379, 1979 (77).
Sleeker F.步・，Puget 丄 L. Ap. J., 178, 57, 1972 (95).
Steigman G., Sarazin C L., Quintana H., Faulkner /, AJ, 83, 1050, 1978 (96).
Stewart 丄 M. Ap. J., 176, 323, 1972 (91).
Strittmatter P. 4, Faulkner J., Walmesley M Nature, 212, 1441, 1966 (2).
Sunyaev R. 4, ZeVdovich Уа. В. Лр. Space Sci., 7, 3, 1970 (92, 93).
Taub Л. H. Phys. Rev., 74, 328, 1948 (89).
Tennekes 〃.，Lumley J. L. A First Course in Turbulence, Cambridge, Mass.: M. I. T. Press, 1972' (22).
Thorne К S Ap. J., 148, 51, 1967 (95).
Thuan 工 X., Go〃 丄 R. Ap. J„ 216, 194, 1977 (23).
Tifft Ж &, Gregory S. A. Ap. J., 205, 696, 1976 (76).
Tifft 吃 G., Gregory S. A. In 1AU Symposium No. 79, 1977, p. 267 (77). (Имеется перевод: Крупномасштабная структура Вселенной.——М.: Мир, 1980, с. 296.)
Tolman R С Proc, NAS, 20, 169, 1934 (3, 13).
Tolman R. С. Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Oxford: Clarendon Press, 1934 (3). (Имеется перевод: Толмеп P. Относительность, термодинамика и космология.— М.: Наука, 1974.)
Tolman R С. RMP, 21, 374, 1949 (2).
Tomita К. Progr. Tlieor. Phys., 37, 831, 1967 (18).
Tomita К. Progr. Tlieor. Phys., 45, 1747, 1971 (89).
Tomita K. Progr. Theor, Pliys., 47, 416, 1972 (18).
Tomita K. Publ. Astron. Soc. Japan, 25, 287, 1973 (23).
Totsuji H., Kihara T. Publ. Astron. Soc. Japan, 21, 221, 1969 (4, 52, 57).
Tremaine S., Gunn 丄 E. Phys, Rev. Letters, 42, 407, 1979 (96).
Turner R /_., Gott 丄 R. Лр. J„ 197, L89, 1975 (29).
Tyson 丄 Л., Jarvis J. F. Ap. J., 230, L153, 1979 (2).
van Albada G. B. BAN, 15, 165, I960 (4, 9, 14, 68).
van Albada 6. B. In Problems of Extragalactic Research, ed. G. C. McVittie, New York: Macmillan, 1962, p. 411 (4).
van den Berg S. PASP, 73, 46, 1961 (2).
Vishniac E.厂，Press 步.". He опубликовано, 1978 (27).
uon Weizscicker C. F. In IAU and International Union of Theoretical and Applied Mechanics Symposium, 1949, pp. 158, 200 (4).
von Welzsacker С. E, Ap. J., 114, 165, 1951 (4, 96).
Wagoner R K, Fowler 呪 4, Hoyle E Ap. J„ 148, 3, 1967 (96).
Walker A. G. Proc. London Math. Soc., 42, 90, 1936 (3).
Заказ № 82
Wasserman /. Ар. J., 224, 337, 1978 (17, 95).
Webster 4 MN, 175, 61, 1976 (46).
Webster Л. MN, 175, 71, 1976 (2, 29).
Feinberg S. Ap. J., 168, 175, 1971 (92).
Feinberg S. Gravitation and Cosmology, New York: Wiley, 1972 (85). (Имеется перевод: Вейнберг С. Гравитация и Космология.— М.: Мир. 1976.)
Wertz 丄 R. Ар.丄，164, 227, 1971 (2, 85).
Wesson P. S. Ap. Space Sci., 42, 477, 1976 (2).
Weyl //. Space Time Matter, tr. H. L. Brose, 4th e(i. Reprint, New York; Dover Publications, 1922 (3).
Heyman R. Privately circulated paper, University of Arizona, 1966 (96).
呼M/e S. D, M MN, 177, 717, 1976 (73).
White S. D. M. MN, 186, 145, 1979 (29, 38, 39).
42. White S. D. M., Rees M.丄 MN, 183, 341, 1978 (96).
Wickes 呼.C., Peebles P.丄 E Bull. Amer. Astron. Soc., 8, 543, 1976 (27).
Wolfe A. M. Ap. J., 159, L61, 1970 (2).
V^olfe A. M., Burbidge G. R. Nature, 228, 1170, 1970 (2).
Yu j. T. Докторская диссертация, Princeton University, 1968 (86).
Yu /. T., Peebles P.丄 E. Ap. J., 158, 103, 1969 (29, 41, 46).
Зельдович Я- 6 ЖЭТФ, 41, 1609, 1961 (86).
49. Зельдович Я Б. Лстрон. ж., 41, 873, 1964 (20).
50. ZeUdovich Уа, В. Adv. Astron. Astrophys., 3, 241, 1965 (4, 10, 24, 28).
Зельдович Я- Б. ЖЭТФ, 48, 986, 1965 (95).
Зельдович Я- 6 УФН, 89, 647, 1967 (4).
Зельдович Я. Б. Астрон. ж., 46, 775, 1969 (95).
Зельдович Я- Б. Астрофизика, 6, 319, 1970 (21, 96).
Zel'dovich Уа. В. MN, 160, 1р, 1972 (95).
ZeVdovich Ya. В. /м IAU Symposium No. 63, 1974, р. 250 (28). (Имеется перевод: Космология. Теория и наблюдения./Под. ред. Я. Б. Зельдовича, И. Д. Новикова.— М.: Мнр, 1978, с. 316.)
Zel'dovich Уо. В. /п IAU Symposium No. 79, 1978, р. 409 (4, 21, 96). (Имеется перевод: Крупномасштабная структура Вселенной./Под ред. М. Лопгейра, Я- Эйнасто — М.: Мир, 1981, с. 452.)
Зельдович Я- 5・，Новиков И. 〃. Астрофизика, 6, 379, 1970 (90).
Zwick у Е Hevl. Phys. Acta., 26, 241, 1953 (29).
Zwick у F； Herzog E.( Wild P., Karpowicz M, Kowal С. T. Catalogue of Galaxies and Clusters of Galaxies, 6 vol., Pasadena, Calif.: California Institute of Technology, 1961 —1968 (4, 57).
предметный указатель
Автокорреляционная функция 20—21, 39, 76, 84, 115, 151, 249, 253
——свечения ночного неба 141, 227 Автомодельное решение 37, 272—274, 297—298, 379
Адиабатическое приближение 80, 309, 325
Аккреция па протогалактики 384
—сферическая модель 118—123, 126
ББГКИ иерархия 256, 259—261, 290
автомодельное решение 272—
274
——гидродинамическое приближение 261—263, 272
Бпспсктр 172—173
Взаимная корреляционная функция 173—175, 185
скопление—галактика 289
скопление——галактика—галактика 289
трехточечная 174
Взаимный спектр 174
Возмущения плотности адиабатические 43, 331, 353
затухание 329, 334, 351
решения 79, 314—319, 325
изотермические 43—44, 364—
368, 378—380
Вращение галактик 35—36, 46, 81 — 83, 111 — 114, 370, 383, 384
Джинса длина для смеси вещество- излучение 351, 377
магнитная 82
Длина скучивания 20, 222—223, 377
Затухание возмущений вследствие днффузин фотонов 44，347—352, 366
сопротивления излучения 366- 367”
нелинейное 324, 326, 330—332
Иерархия скучивания 40—41, 123—
235, 241—248, 275, 280
неограниченная 24, 243, 245
Индекс клочковатости 142—143
Карпентера соотношение 38—40
Квазары 70, 377, 383, 386
Кинетическое уравнение Власова 58, 262
учитывающее столкновения 345
Кривизна пространства, флуктуации
33—34, 48, 317—319, 337, 372—373
начальные условия 318, 323— 324
не зависящие от масштаба
370, 375-377
Гравитационный потенциал пекулярный 33, 56, 359—360
Джинса длина 30, 42—43, 78—80 в эпоху рекомбинации 44, 368 для вещества 44, 351
Ликский каталог 9, 20, 221, 223, 241, 289
корреляционные функции 47, 142—143, 221—224, 237, 246
спектр мощности 183
Лимбера уравнение 143, 195 релятивистское 212—220
Лиувилля теорема 59, 260, 339
Магнитное ноле первичное 45, 80—
83, 373
Массоний 378
Масштабное соотношение 191—193, 205, 210, 221, 284
Масштабный фактор 54, 387
модели «блинов» 101
эллипсоида 94
——-сферической модели 320
Межгалактическое вещество 248, 297—298
Мнкрово.1“овос фоновое излучение
43 —45, 56, 67- 70, 324, 366, 368
флуктуация 22, 354—363, 370
Модеаь «блинов» 97, 100 -107
—эллипсоида 93— 100
—степенного закона 196, 220—222, 228, 235, 237, 268, 274
Нейтрино 67, 338, 389
— массивные 378
Нуклеосинтез 385
О；1ьбсрса парадокс 24, 244
Подсчеты галактик 17. 162—165, 232—235
корреляции 143, 187, 209, 212
моменты 148, 155—162, 176, 229 -235
Преобразование Фурье гравитационного потенциала 128
гравитационных волн 309
микроволнового фонового излучения 361- -363
распределения вещества 123, 128, 331
уравнения движения 127—130
уравнений гидродинамики 129
Производящая функция вероятности 160—163, 242- -243
Рекомбинация 43—44, 48, 349, 351— 356, 365—368, 375—381
Сверхскопления 19, 39, 295—297
Селективная функция 195, 198, 206, 222 244'
в расширяющейся Вселенной 215
Силка масса 44, 351, 377
Скопления галактик, гало 288—295 дисперсия скорости 292—293 средняя пекулярная скорость 294—295
Скорости вихрь 81, 96, 104, 107—111
—циркуляция 111, 113
Скорость пекулярная 55, 74—76, 257, 390'
корреляции 271—272, 277, 280— 281, 287
преобразование Фурье 130 средняя 59, 293—298
Спектр мощности 144, 168—172, 180, 196—200
----взаихшый 174
двумерный 176—184, 197—198
——эволюция 130—140, 263, 353
Сферическая модель 18, 26, 86—-93 аккреции 118—123, 126 релятивистская 319--324
Теорема вириала I16, 280
космическая 277
тензорная 136
Теория возмущений второго порядка 83- 87, 330—334
ньютоновская 61—74, 76—80, 294
—релятивистская 32, 53, 305—309, 312- -319, 340—356
Тепловая неустойчивость 36, 45
Турбулентность первичная 35—36, 46二48> 80, 335—338, 369, 371, 381
Уравнение сохранения пар 265—268
—--триплетов 268—269
—частиц 59
энергии для модели фона 388
и расширяющейся Вселенной 75- 76, 114—118, 276—277
несжимаемой жидкости 118. 335-336
--—частиц 115, 339
Уравнения движения жидкости 60. 335
частиц 56, 339, 346
Ускорение пекулярное 56——67, 60, 277
Функция кратности 145
—пропускания 124, 134, 180, 184, 18*
—светимости 189, 195, 214, 217, 22°
Цвикки каталог галактик 145, 195, 219—224, 237, 246
Черные дыры 28, 119, 324, 372
Четырехточечная корреляционная
функция 154—155, 258
автомодельное решение 275
модель 211—212, 217, 237
поверхностная 209—212
релятивистские поправки
217—218
Эддингтона модель 26, 71, 391
Эйбелла скопления 238, 288 дисперсии скорости 292—293 распределение плотности 20, 122,
174, 288—290, 296
скучнваине 21, 39, 144, 194, 295—297
Эйнштейна модель 24, 26, 70, 390
Эйнштейна——де Ситтера модель 34, 3 7, 64—66, 75, 122, 360, 388
Ягеллонский каталог галактик 219, 221, 372
Яркости уравнение 341—342, 345, 357—358
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ 8
ГЛАВА /. ОДНОРОДНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕИ СКУЧИВАНИЕ ・・•13
Однородное распределениеискучивание 13
Однородна ли Вселенная? 13
Физические принципы 23
Как образовались галактикиископления галактик? 30
Выводы 49
ГЛАВА //. ПОВЕДЕНИЕ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЩЕСТВА: НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 51
Ньютоновское приближение 51
Динамика частицы в расижряющейся системе отсчета54
Пекулярное ускорение 56
Две модели среды. Уравнение Власова и идеальная жидкость 58
Линейные приближения для 6 61
Решения для 6(f) при 〃=А=0 63
Решения для 6(f): влияние однородного фона излучения . . . ,67
Решения для 6(f): модели с А*0 70
Поле пекулярных скоростей 74
Условия, связывающие 6 и v 76
Критическая длина Джинса 78
Первичное магнитное иоле как источник бр/р 80
Второе приближение для 6р/р 83
Сферическая модель 86
Модель однородного эллипсоида''"93
Каустики и 《блины» 100
Коэффициент расширения, вихрь и тензор сдвига 107
Происхождение вращения галактик 111
Уравнение энергии в расширяющейся Вселенной 114
Модель сферической аккреции 118
Модель иерархического скучивания 123
Преобразование Фурье для уравнения движения 127
Взаимодействие флуктуаций плотности 130
ГЛАВА 1П. ^ТОЧЕЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ: ОПИСАТЕЛЬНЫЕ СТАТИСТИКИ 141
Статистические меры распределения галактик I ll
Гипотеза о представительной выборке 145
Двухточечная пространственная корреляционнаяфункция自(г)147
Двухточечная корреляционная функция: другоеопределение ..119
Двухточечная корреляционная функция: модельПуассона. ..151
Трехточечная корреляционная функция 152
Четырехточечная корреляционная функция 15,
Моменты подсчетов объектов 155
Ограничения на и С 159
Производящая функция вероятности 160
Оценки P^ 162
Модель скоплений 165
Спектр мощности 168
Степенная модель спектра 170
Биспектр 172
Взаимная корреляционная функция 173
Поверхностная двухточечная корреляционная функция 175
46・ Двумерный спектр мощности 176
Оценка з(8) 184
Статистическая неопределенность оценки 酬(8) 187
Соотношение между поверхностной и пространственной корреляционными функциями 189
Приближение малых расстояний н масштабное соотношение..[91
Разделение зависимостей от звездной величины и от по.гюжения194
Соотношение между Е н 5： несколько примеров 196
Обращение уравнения, связывающего § и ^ 200
Поверхностная трехточечная корреляционная функция 203
Поверхностная четырехточечная корреляционная функция ...209
Поправка на кривизну пространства и расширение Вселенной212
Сводка численных результатов 220
Спектр мощности внегалактического компонента свечения ночного неба 224
Моменты числа соседей 229
Модель P^ 232
Модели скучивания 235
11спрерывная иерархия скучивания: метод Мандельброта . . . .241
Корреляционные функции плотности вещества 248
Иерархия скучивания: предположение о непрерывности ....252
Замечания о наблюдениях 254
ГЛАВА IV. ДИНАМИКА И СТАТИСТИКА 256
Цели 256
Определение переменных и функций распределения 257
Иерархия уравнений ББГКИ 259
Гидродинамическое приближение 261
Эволюция интеграла от § 263
Уравнения сохранения частиц 265
Дисперсия относительной пекулярной скорости . . .' 270
Автомодельное решение 272
Уравнение энергии в расширяющейся Вселенной 276
Космическая теорема вириала 277
Совместное распределение по красным смещениям и положениям 281
Поведение гало вокруг скоплений галактик 288
Сверхскопления 295
Проблемы и перспективы 297
ГЛАВА К РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ЭВОЛЮЦИИ НЕОДНОРОД
НОСТЕЙ В МОДЕЛИ РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 301
Роль релятивистской теории 301
Синхронная система отсчета 303
Уравнения поля для 九工？ 307
Гравитационные волны 308
Ньютоновское приближение 309
Уравнения для малых возмущений в веществе 312
Эволюция возмущений плотности с длиной волны много больше 314
Сферическая модель
Эволюция звуковых волн
Нелинейные звуковые волпы
Несжимаемая жидкость
Эволюция бесстолкновительных частиц
Диссипация адиабатических возмущений
Остаточные флуктуации микроволнового фонового излучения
Изотермические возмущения
ГЛАВА V/. СЦЕНАРИИ
Природа Вселенной при больших красных смещениях
Природа нротогалактик и протоскоплсний
ПРИЛОЖЕНИЕ
Модели и обозначения
список СОКРАЩЕНИИ
ЛИТЕРАТУРА
предметный указатель
946 5 8444 9 9 5 7 7122334 5 6 6 6 7 8 833333333 333 33946 5 8444 9 9 5 7 7122334 5 6 6 6 7 8 833333333 333 332,3в ^ ^ ^2,3в ^ ^ ^Филлип Джеймс Эдвин Пиблс
946 5 8444 9 9 5 7 7
122334 5 6 6 6 7 8 8
33333333 333 33
946 5 8444 9 9 5 7 7
122334 5 6 6 6 7 8 8
33333333 333 33
2,3в ^ ^ ^
2,3в ^ ^ ^
СТРУКТУРА ВСЕЛЕННОЙ в больших масштабах
Ст. научный редактор М. Я. Рутковская. Художник Н. 11. Дронов Художественный редактор AV Л. Кузьмина. Технический редактор Е. С. Потапеикова. Корректор II. В. Андреева
ИБ № 3291
Сдано ti набор 2 7.01.83. Подписано к печати 30.06.83. Формат tiOXDO'/ie. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 12,75 бум. л. Усл. печ. л. 25,50. Усл. кр.-отт. 25.30. Уч.-нзд. л. 24,73. Изд. № 27 2卜87. Тираж 45(Ю экз. Зак. 82. Цена 4 руб.
Издательство «МИР»
129820, Москва, И-Н0, ГСП, I-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 8 ордена Трудового КрасногоЗнамени Ленинградского объединения «Техническая книга»нм. Евгении Соколовой Союзиолиграфпрома при Госудэрствеяномкомитете СССР но делам издательств, полиграфии и книжнойторговли.
190000, г. Ленинград,, Прачечный переулок, 6.
же в направлениях, проходящих вдали от Млечного Пути, слабо искажены поглощением, так что оценки толщины диска были вполне хорошими.
Ф, Дж. Э. Пиблс
СТРУКТУРА , I ВСЕЛЕННОЙ ! В БОЛЬШИХ
МАСШТАБАХ
THE LARGE-SCALE STRUCTURE OF THE UNIVERSE
by P. /. E. PEEBLES
Princeton Series in Physics
Princeton University Press
Princeton, New Jersey
Ф,Дж. Э. Пиблс