ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В 1979 г. итальянское издательство Джунти Барбера (Флоренция) выпустило сборник статей, посвященный столетию со дня рождения А. Эйнштейна. В него включены статьи ряда крупнейших ученых, в которых излагается современная трактовка различных вопросов физики, связанных с идеями и работами Эйнштейна.

Настоящая книга содержит переводы ряда статей из упомянутого юбилейного сборника. Для перевода отобраны статьи, посвященные наиболее фундаментальным вопросам теории или представляющие собой обзоры, дающие исчерпывающее представление о предмете.

Во введении, написанном президентом римской Национальной академии Линчеи А. Каррелли, дается оценка роли Эйнштейна в современной физике и характеризуется его вклад в различные ее разделы.

Большинство статей настоящего сборника посвящено теоретическому анализу различных аспектов специальной и общей теории относительности. Вопросы экспериментальных исследований в области общей теории относительности освещаются в двух статьях. Хорошо известно, что в настоящее время в различных странах уделяется значительное внимание проблеме обнаружения гравитационных волн, утверждение о существовании которых является одним из принципиальных выводов общей теории относительности. Начиная с пионерских работ Вебера, экспериментальные исследования в этом направлении широким фронтом ведутся уже свыше 10 лет в Соединенных Штатах, Советском Союзе, Европе и Японии. Чрезвычайная малость предсказываемых теорией эффектов проявления гравитационных волн приводит к необходимости применять предельно изощренную технику эксперимента. Фундаментальная статья Амальди и Пиццелла содержит почти исчерпывающее рассмотрение современного состояния этой актуальной и сложной проблемы и по полноте охвата материала не имеет аналога на русском языке. Этот обзор (занимающий по объему около трети всего сборника) представляет значительный интерес для всех экспериментаторов, работающих в данном направлении.

Вторая статья, посвященная проблемам экспериментальной проверки выводов общей теории относительности, принадлежит перу И. Шапиро. Имя этого автора широко известно по его исследованиям эффекта запаздывания светового сигнала, траектория которого проходит в непосредственной близости от массивного небесного тела (эффект Шапиро). В статье

анализируются новейшие экспериментальные данные по проверке лежащего в основе ОТО принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс, а также важнейших эффектов, предсказываемых ОТО: замедления хода часов в гравитационном поле, отклонения светового луча, эффекта Шапиро, прецессии перигелия орбит планет. Автор не ограничивается обзором и констатацией современного состояния гравитационных экспериментов, но уделяет внимание также обсуждению дальнейших перспектив в этом направлении, связанных, в частности, с использованием космических аппаратов. Приводятся также соображения и оценки, относящиеся к возможности экспериментальной проверки гипотезы Дирака о вариации постоянной тяготения и эффекта Лензе — Тирринга.

В обстоятельной статье А. Лихнеровича излагаются новейшие методы математической физики, получившие применение в проблемах ОТО. Читатель найдет здесь освещение таких вопросов как тензорные обобщенные функции, гравитационные и электромагнитные ударные волны, релятивистская гидродинамика, магнитогидродинамика и термодинамика, в развитии которых определенная роль принадлежит самому автору.

Астрофизическая проблематика представлена статьей Р. Руффини о гравитационно коллапсирующих объектах, представляющей собой подробный обзор результатов, полученных для черных дыр с метрикой Керра — Ньюмена. Обширная статья Э. Реками посвящена обобщению специального принципа относительности на сверхсветовые скорости. Значительное внимание в ней уделено вопросам причинности и теории таких экзотических объектов как тахионы. Интересная попытка синтеза идей Ньютона, Маха и Эйнштейна содержится в статье Дж. Нарликара. Задача распространения на теорию гравитации Эйнштейна методов современной квантовой теории давно занимает умы ученых. Трактовка этого вопроса содержится в статье Г. Тредера, посвященной проблеме физического смысла квантования гравитационного поля.

Несколько особое место в данном сборнике занимают три небольшие статьи выдающихся ученых Дж. Уилера, Г. Бонди и К. Мёллера. В этих статьях, практически не содержащих формул и отличающихся своей методологической направленностью, дается глубокий анализ основных принципов теорий относительности и гравитации, обсуждаются вопросы о границах применимости этих теорий и возможных путях их изменения и обобщения.

Перевод выполнен Н. Н. Костюковичем (ст. 1, 3, 6—8, 11) и А. Ф. Федоровым (ст. 2, 4, 5, 9, 10). В библиографиях работы, добавленные в русском издании, отмечены звездочкой.

Ф. Федоров

Введение

А. Каррелла *)

Национальная академия Линчеи будет отмечать столетие СО дня рождения Эйнштейна (родился в Ульме, Германия, 14 марта 1879 г.; умер в Принстоне, Нью-Джерси, 18 апреля 1955 г.) специальной конференцией, организуемой в честь этого знаменитого ученого. В конференции примут участие выдающиеся ученые, в частности те, кто в последние годы участвовал в исследованиях, возникших в результате деятельности Эйнштейна; статьи этих ученых публикуются в данном томе.

Было бы трудно в этих вводных замечаниях переоценить важность данной встречи. Мы знаем, как много ученых своей деятельностью и своим гением способствовали созданию современной физики. Достаточно упомянуть плодотворную деятельность Галилея, давшего начало экспериментальному методу исследования, который позволил сделать первые фундаментальные открытия; Ньютона, который создал механику и сформулировал один из основных законов природы — закон всемирного тяготения; Карно, чьи исследования тепловых явлений привели к совершенно новым результатам; Максвелла, который создал теорию электромагнитных явлений; Больцмана и Гиббса, которые развили общие методы исследования больших совокупностей малых частиц; Планка и Бора, сформулировавших революционную квантовую теорию; Ферми, который наряду с другими достижениями сделал возможным практическое получение источника энергии, выделяющейся в реакции слияния легких .атомов. Что касается великой личности, которую мы собираемся чествовать, то здесь задача более сложная: результаты исследований Эйнштейна столь плодотворны и значительны, что для периода, включающего конец девятнадцатого и начало двадцатого столетия, трудно найти соизмеримую фигуру в области научной мысли, которая могла бы соперничать с ним по числу и разнообразию открытий. Нововведения, внесенные его открытиями в современную концепцию физического мира, были так оригинальны и всеобъемлющи, что очень трудно дать их исчерпывающий обзор.

') A. Carrelli, Президент Национальной академии Линчеи, Рим.

Взгляды Эйнштейна сформировались в особый момент в истории физики. Действительно, с одной стороны, в девятнадцатом столетии господствовало представление о непрерывности вещества, но в то же время приобретала все большее значение теория дискретности вещества (особенно после значительных достижений химии). В частности, исследования поведения газов позволили Авогадро сформулировать следующий принцип: при одинаковых давлении и температуре равные объемы газа содержат равное число молекул. Ясно, что этот принцип, полученный из эмпирических законов, подтвержденный весьма удовлетворительным образом и в то же время полностью согласующийся с атомной теорией дискретности вещества, добавляет также несколько новых элементов; действительно, он вводит в атомную физику новую характеристическую постоянную. Этот принцип утверждает, что грамм-молекулы различных газов должны содержать одно и то же число молекул, равное числу Авогадро N. Таким образом, теория дискретности вещества ввела новую фундаментальную физическую постоянную N, очень большое численное значение которой оставалось необъ- ясненным в то время, когда на основе исследования поведения газов были созданы эти теоретические построения. Эта постоянная должна иметь одно и то же численное значение для грамм-молекул различных веществ, и необходимо было найти экспериментальные способы ее измерения. Если бы проблема экспериментального определения числа N могла быть решена, это означало бы возможность установления дискретности вещества как достоверного факта, а также возможность определения масс и размеров молекул.

В начале своей блестящей карьеры Эйнштейн обратился к проблеме отыскания экспериментального метода, который позволил бы измерить число N. Естественно, теория Эйнштейна основывалась на представлении о дискретности вещества, т. е. на "предположении, что вещество является по существу совокупностью частиц. При этом предполагается наличие другого фундаментального свойства (кинетическая теория материи), а именно что эти частицы беспорядочно движутся по всем направлениям. Это была первая работа, принесшая Эйнштейну известность, и это был выход на эксперимент, состоявший в наблюдении беспорядочного движения частиц в коллоидной жидкости, который позволил из этого беспорядочного движения вычислить число N. Результат оказался очень важным: прежде всего из эксперимента следовало, что число N очень велико; зная N, легко было прийти к определению значений масс различных молекул, а также к их размерам. Весьма малые размеры молекул заставляют нас говорить на языке микрофизики. Лишь когда рассматриваются объемы вещества, со-

держащие огромное число частиц, оправданно рассмотрение его как непрерывной среды. Это уже область макрофизики, которая может отличаться от более близкой к реальности микрофизики. Следует отметить, что различие между этими двумя концепциями не разрешено до сих пор, а переход от микрофизики к макрофизике все еще является предметом широкого обсуждения. Мы начали это краткое введение напоминанием, что Эйнштейн был первым, кто сделал возможным измерение числа N и тем самым подтверждение реальности и определение размеров объектов микромира.

Даже при кратком обозрении научных достижений Эйнштейна выявляется существенная черта его деятельности: его стремление получить точное теоретическое объяснение сущности явления, исходя из результатов хорошо поставленных, но не четко интерпретированных экспериментов. Другими словами, он стремился найти полное физическое объяснение результатов таких экспериментов. Его глубокая вера в то, что позади определенного физического факта может лежать «нечто», недостаточно понятое, отличает его от таких великих физиков, как Ньютон, Максвелл, Бор, Карно (если ограничиться только немногими из его предшественников). Именно эта его потребность понять путем проникновения в глубь явления экспериментальные факты, которые достоверны, но смысл которых не полностью выяснен, объясняет столь большое число его открытий во многих различных областях физики.

Один из многих результатов, притом такой, который можно считать одним из наиболее значительных, полученный путем глубокого анализа экспериментальных данных, связан с экспериментами Майкельсона — Морли. Достигнутый в конце прошлого столетия технический прогресс в области электромагнитных явлений привел к непредвиденному результату: скорость света должна рассматриваться как максимально возможная и независимая от скорости источника света. Этот факт, подтвержденный весьма совершенными экспериментами, привел к детальному анализу понятий времени, пространства и одновременности. Новые и фундаментальные представления теории относительности получили теперь всеобщее признание, но их важность и значение столь велики, что нельзя не остановиться на некоторых из наиболее существенных положений. Следует напомнить, что одним из основных пунктов в рассуждениях Галилея было предположение о независимости друг от друга и абсолютности пространства и времени. Но эксперименты Майкельсона и Морли, которые также должны были доказать движение Земли в пустом пространстве, привели к неожиданным результатам, главным из которых было то, что свет всегда имеет одну и ту же скорость независимо от

состояния движения источника. Детальный анализ этого факта благодаря соответствующим рассмотрениям Эйнштейна j ведет к результатам очень большого значения: время не является больше абсолютной сущностью, т. е. не одинаково для всех наблюдателей; пространство не может рассматриваться независимо от времени. Другими словами, при переходе от одного наблюдателя к другому, движущемуся с постоянной скоростью, пространство преобразуется по законам, совершенно отличным от законов галилеевой физики; то же самое с некоторыми видоизменениями справедливо для времени. Таким образом, мы приходим к новому представлению, согласно которому пространство-время рассматривается как единая сущность. Ясно, что это ведет к новой механике, основанной на теории относительности, и эта механика была полностью подтверждена опытом, поскольку благодаря современной технике оказалось возможным использовать мельчайшие движущиеся частицы вещества. Практически были использованы электроны, которые вследствие своей очень малой массы при движении в очень сильных электрических полях могут достигать очень большой скорости, почти сравнимой со скоростью света. В результате этих экспериментов классическая механика стала механикой медленного движения. Механикой, которая применима к движению со скоростью, близкой к скорости света, является, таким образом, механика теории относительности.

Одним из характерных свойств гения Эйнштейна было то, что его теории, исходящие из фундаментальных принципов, вели к совершенно неожиданным экспериментальным результатам. Действительно, в механике теории относительности масса не является заданной характеристикой тела, поскольку она возрастает с увеличением его скорости и стремится к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света. Параметром, характеризующим тело, следует считать массу, которой оно обладает в состоянии покоя. Но в механике теории относительности существует еще другой более важный результат: как следствие эйнштейновских релятивистских уравнений мы получаем эквивалентность массы и энергии. Другими словами, согласно теории относительности, в некоторых процессах тела теряют часть своей массы и за счет этого порождают энергию, что было в точности подтверждено на опыте. Этот

9 При создании теории относительности Эйнштейн не опирался на детальный анализ экспериментов Майкельсона — Морли. В письме Давенпорту (перевод приведен, например, в работе [1]) он писал: «Когда я развивал свою теорию, результат Майкельсона не оказал на меня заметного влияния. Я даже нс могу припомнить, знал ли я о нем вообще, когда я писал свою первую работу по специальной теории относительности (1905 г.)». — Прим, ред.

процесс полностью обратим и был многократно реализован экспериментально.

Чтобы полностью оценить значение этого вывода относительно возможности превращения массы в энергию, следует вспомнить, что развитие техники сталкивается с проблемой контролируемого превращения водорода в гелий путем использования уменьшения массы, которое происходит, когда четыре атома водорода в результате соответствующего цикла превращений объединяются, образуя один атом гелия. Когда этот цикл будет практически реализован, человечество будет иметь в своем распоряжении источник энергии, получаемой из водорода, и не будет более беспокоиться по поводу расходования обычных источников энергии, таких, как уголь, природный газ и нефть, которые, к сожалению, близки к исчерпанию.

Интересно вспомнить эпизод из эйнштейновских исследований, который демонстрирует его способность так интерпретировать экспериментальные данные, что это ведет к выяснению фундаментального результата эксперимента. Как известно, в начале нашего столетия на основе результатов экспериментов, проведенных опытными исследователями, Планк высказал гипотезу, которая полностью противоречила фундаментальным представлениям, господствовавшим в физике того периода. Интерпретируя упомянутые эксперименты, а именно способ, которым тепловая энергия черного тела, нагретого до высокой температуры, излучается или поглощается веществом, которое рассматривается как совокупность гармонических электромагнитных осцилляторов с различными частотами, Планк, чтобы достичь согласия с результатами опыта, высказал абсолютно революционную гипотезу. Он предположил, что обмен энергией между излучением и веществом (точнее, между излучением, испускаемым черным телом, и осцилляторами поглощающего тела) не происходит, как обычно думали, непрерывно, а протекает дискретным образом — посредством обмена отдельными порциями энергии. Планковская теория была выведена эмпирически из опытных данных и предполагала, что излучение и поглощение происходят конечными порциями, т. е. определенными квантами энергии Е. Полное соответствие этого представления с данными экспериментов было достигнуто в предположении, что величина Е пропорциональна частоте осциллятора v согласно фундаментальному соотношению Е = = /iv. Исходя из этого предположения, Планк ввел в физику новую фундаментальную константу /г, которую можно было получить эмпирически из опытных данных по тепловому излучению.

Хорошо известно, что освещаемые ультрафиолетовыми лучами металлы испускают электроны и что увеличение интенсивности

освещающего металл света увеличивает число испущенных фотоэлектронов, но не влияет на их кинетическую энергию. В то же время очень точные измерения показали, что энергия испускаемых электронов пропорциональна частоте света. Этот результат был объяснен на основе теории Планка Эйнштейном, который подтвердил вопреки всему известному ранее, что свет обладает корпускулярной структурой и действительно состоит из конечных квантов энергии Е = Ziv.

Фундаментальным следствием этого представления, которое подтверждает важность идей Эйнштейна, является то, что в фотоэлектрической эмиссии коэффициент пропорциональности между энергией Е и частотой v света, вызывающего фотоэмиссию, в точности равен величине Л, введенной Планком. Эксперимент подтвердил это: в физику была введена новая сущность — фотон. Тем самым Эйнштейн не только поддержал революционную теорию Планка, но также еще более углубил представления о свете, которые полностью противоречили традиционным, согласно которым свет рассматривался лишь как волновой процесс. Это приводит к следующей проблеме: как интерпретировать теперь электромагнитное поле, которое, несомненно, демонстрирует волновую природу излучения?

Введение факторов дискретности в концепцию излучения делает вывод Планка дискуссионным, поскольку в своем исследовании он исходит из традиционных представлений и лишь в конце приходит к дискретной квантовой точке зрения. Чтобы устранить этот недостаток, Эйнштейн предложил новый вывод закона излучения черного тела, существенно основанный на квантовых соображениях. Таким образом, ему удалось вывести закон Планка без использования каких-либо традиционных представлений. Идеи, предложенные Эйнштейном при выводе им формулы Планка, оказались весьма плодотворными и впоследствии нашли широкое применение во многих других областях науки 1).

Даже при кратком рассмотрении различных сторон деятельности Эйнштейна нельзя не упомянуть о его вкладе в статистическую теорию частиц, которая приобрела фундаментальное значение в связи с подтверждением дискретной теории материи. Основным результатом квантовой теории, который постепенно подтверждался, была идея тождественной природы частиц. После обнаружения ряда частиц с различными свойствами возникло представление, что их можно рассматривать как нечто подобное маленьким шарикам. При таком прёдполо-

9 Подробнее о вкладе Эйнштейна в развитие квантовых представлений см. в работе [2], где более детально обсуждаются затронутые здесь вопросы. — Прим. ред.

женин, очевидно, возникает вопрос о размерах частиц, но по крайней мере в первом приближении их можно было сравнивать с шариками очень малого радиуса. Поведение совокупности таких очень малых частиц, образующих вещество, приводит нас к неожиданному заключению, что частицы одного сорта должны рассматриваться как неразличимые. Понятно, что такое поведение, вытекающее из экспериментально доказанных результатов, приводит к существенным модификациям, если строить статистику на основе этого фундаментального принципа, который трудно принять в рамках нашей привычной концепции абсолютно неразличимых частиц1). Эйнштей^ и индийский физик Бозе построили статистику, которая кроме демонстрации принципа неразличимости частиц показала также, что существует другое ограничение, проистекающее непосредственно из опыта. Полученные при расчетах результаты привели к заключению, что в природе существуют частицы, которые, как и ожидалось, ведут себя согласно принятым фундаментальным положениям. Таким образом, было доказано, что в физике существует некий вид неразличимых частиц. Это исследование пробудило огромный интерес. Два других ученых, Ферми и Дирак, радикально модифицировали условие, предложенное Бозе и Эйнштейном, и сформулировали другой вид статистики. Тем самым было установлено, что существуют частицы, подчиняющиеся принципу Эйнштейна и Бозе и называемые бозонами, и другие (также неразличимые) частицы, которые были названы фермионами. Значение этих результатов огромно: множество экспериментальных данных, имеющих значительный интерес, было окончательно объяснено на основании либо статистики Бозе и Эйнштейна, либо статистики Ферми и Дирака, основанных на тождественности природы частиц.

Однако величайшее открытие, относящееся к тайнам материи, было сделано Эйнштейном, когда он объяснил давно известное фундаментальное физическое явление, природа которого не была ранее разгадана, — тяготение. Среди всех теорий, созданных Эйнштейном, величайшее значение несомненно имеет теория гравитации, которая известна как общая теория относительности. Эйнштейновское объяснение происхождения силы гравитации отражает его потребность объяснить с точки

9 Последняя фраза неточно отражает взаимосвязь классического и квантового принципов тождественности частиц. В классической механике, несмотря на тождественность частиц, которые обладают одинаковыми физическими свойствами, предполагается возможным, хотя бы в принципе, различить эти частицы, проследив за траекториями каждой из них в отдельности. В квантовой механике такая возможность отсутствует и тождественные частицы рассматриваются как неразличимые. — Прим. ред.

зрения физики хорошо известные и надежно установленные факты. Очень точные измерения, повторенные недавно с точностью, увеличенной в сто раз), доказали эквивалентность инертной массы тела и его гравитационной массы. Другими словами, если тело имеет определенную массу т и подвергается действию некоторой силы любой природы, то его поведение останется полностью неизменным при замене этой силы гравитационной силой. Исходя из эмпирических фактов, Эйнштейн получил объяснение наблюдаемых явлений и построил теорию, обобщающую специальную теорию относительности, которая утверждает, что законы физики инвариантны относительно произвольно движущихся наблюдателей. Затем Эйнштейн переходит к такому обобщению теории — и в этом состоит основной результат, — которое позволяет дать объяснение гравитационных явлений). Действительно, согласно представлениям Эйнштейна, вещество обладает неизвестным ранее свойством изменять структуру окружающего его пространства-времени. Следовательно, движения материальных тел, которые мы наблюдаем, когда они находятся в поле тяготения, должны быть такими же, как в присутствии вещества, так как именно присутствие вещества изменяет структуру пространства-времени. Таким образом, присутствие гравитационной массы заставляет каждое тело описывать вполне определенную кривую в новой геометрии пространства, искривленного веществом; эта кривая обладает тем свойством, что она соединяет точки пространства кратчайшей линией, т. е. она является так называемой геодезической.

Конечно, релятивистская теория гравитации в соответствии с тем, что было известно в течение столетий, должна логически возникать как обобщение классической теории Ньютона, а это означает, что, когда действие гравитации не является слишком сильным, результаты новой теории должны совпадать с результатами классической теории, что действительно следует из эйнштейновских уравнений. Но чтобы полностью оценить огромное значение новой концепции, необходимо выяснить еще один вопрос. А именно, вопрос о том, как на основе эквивалентности гравитационной и инертной масс получить геометрическую формулировку гравитационных явлений. В данном случае особенно ярко проявилась способность Эйнштейна использовать уже известные математические результаты. Действительно, после работ Римана и работ итальянских математиков Риччи

$ Леви-Чивиты было выполнено много исследований, относящихся к геометрии искривленных пространств. Эйнштейн с его изобретательной математической интуицией, используя все открытое ранее в этой области, получил формулу, согласно которой пространственно-временная кривая может быть получена как следствие присутствия материи. Отметим два свойства уравнений тяготения Эйнштейна: первое уже упоминалось выше и состоит в том, что для слабого гравитационного поля эти уравнения совпадают с уравнениями Ньютона, а второе состоит в том, что из них неявным образом следует (если считать новую теорию справедливой) возможность существования трех явлений, которые обычно не присутствуют в классических теориях). Поэтому стало возможным прямое экспериментальное подтверждение этой новой оригинальной теории.

Общая теория относительности благодаря ее оригинальности и математическим трудностям, связанным с ее формулировкой, вызвала много дискуссий. Несмотря на то что она была обоснована с логико-математической точки зрения, при- анание теории в научном мире шло довольно медленно. Однако, когда во время солнечного затмения 1919 г. было установлено, что в согласии с теорией относительности вблизи солнечного диска звезды изменяют свое положение, эта теория получила триумфальное подтверждение. Уравнения Эйнштейна допускают также два других специфических эффекта — смещение перигелия Меркурия и сдвиг в красную сторону частоты электромагнитной волны, излучаемой атомом, находящимся в сильном гравитационном поле. Недавно благодаря весьма совершенной новой экспериментальной технике было показано, что нет никаких сомнений в реальности этих эффектов).

Как легко усмотреть из перечня представленных здесь работ, в настоящее время исследования по общей теории относительности и, что еще важнее, ее взаимосвязи с другими областями физики (такими, например, как квантовая теория) непрерывно расширяются. Большое значение имеют исследования с целью обнаружить особые волны — гравитационные волны,

предсказанные Эйнштейном еще тогда, когда он впервые представил свою теорию, поиск которых пока не дал положительных результатов.

Однако исследование уравнений Эйнштейна далеко не закончено. Существуют возможности применения их в астрофизике, что может иметь огромное влияние на наши представления о Вселенной, поэтому теория гравитации является в настоящее время областью физики, привлекающей к себе внимание большого числа весьма квалифицированных исследователей.

Из изложенного выше на нескольких страницах ясно, сколь значительно и плодотворно было влияние этого физика такого исключительного масштаба: он достиг успеха в самых разнообразных областях нашей науки. В частности, Эйнштейн серьезно интересовался вопросами общей формулировки квантовой теории, и следует помнить, что во всех своих исследованиях он выражал неудовлетворенность вероятностным подходом, доминирующим в современном физическом мышлении; он не уставал повторять знаменитую фразу: «Бог не играет в кости».

Быть может, новое поколение в конце концов окажется способным создать универсальную всеобъемлющую теорию.

ЛИТЕРАТУРА

1*. Угаров В. А. Специальная теория относительности. — М.: Наука, 1977, с. 336.

2*. Ельяшевич М. Л. — УФН, 1979, т. 128, вып. 3, с. 503—536.

3*. Roll Р. G., Krotkov R., Dicke R. Н., Ann. Phys. (N. Y.), 26, 442 (1964).

4*. Брагинский В. Б., Панов В. Я. — ЖЭТФ, 1971, т. 61, вып. 3, с. 873—879. 5*. Визгин В. П., Смородинский Я. Л.— УФН, 1979, т. 128, вып. 3, с. 393—434. 6*. Арзелье А. В кн.: Эйнштейновский сборник, 1973. — М.: Наука, 1974, с 293328.

7*. Soldner Lt Berliner Astron. Jahrb., 161 (1801).

2

Успехи и ограниченность эйнштейновскойтеории относительности и гравитации

К. Мёллер !)

Введение

Со времен Галилея, основоположника современной физики, никакая другая теория не меняла так радикально нашу картину макроскопического мира, как теория относительности Эйнштейна. Она была разработана и практически завершена в течение короткого промежутка времени, начиная с первой статьи Эйнштейна по специальной теории относительности (1905 г.) и кончая общей теорией относительности и гравитации (1915 г.). Необычные следствия этой теории вызвали беспрецедентный интерес не только у физиков и философов, но также у широких кругов общественности, и в значительной степени помимо своего желания основатель этой теории сделался героем на страницах газет и еженедельников на несколько десятилетий.

В то же время необычные принципы, на которых основывалась теория, в частности релятивистские понятия пространства и времени, которые резко контрастировали с менее сложными понятиями, полученными из повседневного опыта, встретили также сильную оппозицию, и в течение многих лет по поводу теории относительности высказывались весьма противоречивые мнения. Во время мрачного периода нацистского режима эта теория была даже официально запрещена на родине Эйнштейна. Этот факт напоминает судьбу Галилея, основные открытия которого были сурово осуждены католической церковью. Его главный труд — «Диалоги» — даже находился в списке запрещенных книг в течение почти 200 лет. Но ни в одном из этих двух случаев истину не смогли замолчать на долгое время.

Все следствия теории относительности, которые до настоящего времени удалось подвергнуть экспериментальной проверке, оказались в полном согласии с опытом. Некоторые из экспериментов, в частности по проверке эффектов общей теории относительности, оказались столь трудными, что лишь развитие техники в последние десятилетия позволило их

’) С. Mdller, Институт «Нордита», Институт Нильса Бора, Копенгаген- <Жий университет,

осуществить. Однако, хотя только эксперимент является высшим судьей истинности физического утверждения, большинство физиков были убеждены в справедливости теории уже в то время, когда возможны были лишь немногие точные ее проверки. Общность и простота основных идей придали этой теории особую силу убеждения, чем и объясняется этот замечательный факт.

В настоящей статье мы попытаемся рассмотреть главные особенности теории Эйнштейна почти без применения математики. Мы будем следовать цепи рассуждений Эйнштейна в их историческом развитии и обсудим основные достижения, а также наиболее важные экспериментальные проверки теории. Наконец, мы затронем лишь недавно обнаруженные трудности, которые, по-видимому, свидетельствуют о том, что теория Эйнштейна для макроскопического мира, несмотря на свой исключительно широкий масштаб, обладает ограниченной областью применимости.

Характер физических законов

В первых разделах будет рассмотрена структура классической физики, которая в течение нескольких веков до начала этого столетия являлась основой нашего описания природы. В течение столетий, последовавших за введением Галилеем в физику экспериментов, общепринятым стало мнение, что физика должна иметь дело исключительно с такими величинами, которые могут быть измерены и выражены с помощью чисел. Физическая величина определяется просто посредством некоторого предписания, которому необходимо следовать, чтобы измерить ее, т. е. путем предписанных операций с надлежащими инструментами, которые приводят к измеренному значению величины. Тогда каждая физическая величина представляется с помощью математической переменной, а соотношения между физическими величинами выражаются как функциональные зависимости между соответствующими переменными. В физике все законы природы представляют собой фундаментальные соотношения между измеримыми физическими величинами, а математика является адекватным языком, на котором записываются эти законы. В настоящей статье мы будем избегать использования математики и ограничимся качественным описанием предмета.

Механика Ньютона

Краеугольными камнями прекрасного здания, называемого классической физикой, являются механика Ньютона и электромагнитная теория Максвелла. Механика Ньютона вместе с erg

Же законом тяготения позволяла с превосходной точностью получать описание не только всех обычных механических явлений здесь, на Земле, но также движений планет и их спутников В Солнечной системе. (Единственным исключением было движение Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, которое слегка отклонялось от предсказываемого теорией Ньютона. Тщательные наблюдения показали, что перигелий эллиптической орбиты Меркурия испытывает очень малую прецессию, порядка 40 угловых секунд за столетие, которую нельзя объяснить влиянием других планет.)

Если известно механическое состояние системы в определенный момент времени, т. е. если начальные положения и скорости или импульсы всех частиц в системе установлены с помощью экспериментов, то уравнения движения Ньютона позволяют предсказывать состояние системы в любой последующий (или предыдущий) момент времени. Наглядными примерами этого служат точные предсказания будущих (или прошлых) солнечных и лунных затмений.

Ньютоновское описание движения основано на его представлениях об абсолютном универсальном времени и абсолютном пространстве, обладающем геометрическими свойствами, установленными Эвклидом еще примерно за 300 лет до нашей эры. То, что физическое пространство является пространством Эвклида, считалось само собой разумеющимся. Очевидно, это даже не рассматривалось Ньютоном как гипотеза, поскольку он прямо заявлял, что не хочет делать никаких гипотез. Спустя сто лет философ Иммануил Кант также прямо утверждал, что представления Ньютона о пространстве и времени являются априорной истиной, которая не требует никакого подтверждения на опыте.

Инерциальные системы отсчета

Для точного определения положения и скорости частицы Требуется введение системы отсчета. В ньютоновой физике соответствующими системами отсчета являются инерциальные системы. Согласно классическому определению, инерциальная система представляет собой жесткую систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью относительно удаленных «постоянных звезд», или, точнее, относительно^среднего распределения космического вещества. Жесткая система отсчета есть идеализация или обобщение представления о твердом теле, состоящем из «опорных точек» с постоянными расстояниями между ними. Земля, например, определяет жесткую систему отсчета в пространстве, состоящую из опорных точек, покоящихся относительно нее. В течение времени, за которое

скорость Земли не изменяется заметно, эта система приближенно является инерциальной, хотя, разумеется, в течение года она соответствует различным инерциальным системам.

Вследствие эвклидова характера пространства в любой инерциальной системе / можно ввести декартовы координаты х, у, z. Это может быть сделано многими способами путем произвольного выбора трех взаимно ортогональных плоскостей и измерения расстояний (х,у, г) от любой точки до этих плоскостей. Тогда физическое событие, например появление частицы в определенном месте в определенный момент времени, можно охарактеризовать четырьмя «пространственно-временными координатами» в /, а именно тремя декартовыми координатами (х,у, z) точки, где имеет место событие, и параметром /, который измеряет время события.

Преобразование Галилея

Пространственно-временные координаты фиксированного события в двух различных инерциальных системах / и /' связаны простым линейным преобразованием, которое Эйнштейн назвал преобразованием Галилея. При учете универсальности ньютонова времени «временная координата» / при этих преобразованиях не изменяется, в то время как разности между пространственными координатами в / и /' являются линейными функциями времени с коэффициентами, равными компонентам относительной скорости систем / и Г.

Скорость частицы, которая определяется как изменение ее положения за единицу времени, преобразуется в соответствии с классической теоремой сложения скоростей. Согласно этой теореме, которая есть прямое следствие преобразования Галилея, скорость частицы относительно системы / равна ее скорости относительно другой системы Г плюс скорость V относительно 1. Поскольку последняя скорость для инерциальных систем постоянна, отсюда следует, что ускорение частицы, определяемое как изменение скорости в единицу времени, не изменяется при преобразованиях Галилея. Эта инвариантность ускорения играет в ньютоновой механике особую роль.

Принцип относительности в механике

Законы механики Ньютона были сформулированы в абсолютной инерциальной системе, в которой Солнце и постоянные звезды предполагались покоящимися. Для отдельной частицы второй закон Ньютона утверждает, что сила, действующая на частицу, равна сообщенному ей ускорению, умноженному на некоторую постоянную, называемую массой, которая есть мера

инерции этой частицы. Тогда вследствие уже упоминавшегося свойства ускорения ньютоновы законы механики справедливы во всех инерциальных системах, или, точнее, ньютоновы уравнения движения инвариантны по форме относительно преобразований Галилея. Это соответствует следующему утверждению: при равных условиях все механические явления протекают одинаково в любой инерциальной системе.

Справедливость этого принципа относительности для всех механических явлений означает, что с помощью чисто механических экспериментов невозможно установить объективно, какая из инерциальных систем является абсолютной. Например, теннисисту, играющему на палубе корабля, который движется с постоянной скоростью по спокойному озеру, нет небходимо- сти менять свою технику. Поведение мяча в этом случае точно ’такое же, как если бы корабль не двигался. Следовательно, понятие абсолютного пространства или абсолютной системы отсчета можно считать лишенным физического смысла, если только не существуют другие физические явления, для которых этот принцип относительности не выполняется. В течение продолжительного времени считалось, что электромагнитные явления относятся к этому типу.

Максвелловская теория электромагнетизма.Эфир

Около 1870 г. Максвелл создал теорию, в которой все известные электромагнитные явления описывались с поразительной точностью. Уравнения М-аксвелла содержат постоянную с, имеющую размерность скорости, которая была определена с помощью чисто электромагнитных измерений. На основании своих уравнений Максвелл предсказал существование электромагнитных волн, которые в вакууме распространяются в точности с этой скоростью с независимо от скорости движения источника волн. В 1888 г. Герцу удалось получить такие радиоволны в лаборатории.

Постоянная с оказалась очень близкой к средней скорости светового сигнала вдоль замкнутого пути, определенной Физо (1849 г), Фуко (1865 г.), а также многими другими исследователями. Этот факт привел Максвелла к предположению, что световые волны являются особыми электромагнитными волНами с очень малой длиной волны, так что все оптические явления можно описывать с помощью уравнений Максвелла. Это предположение в последующие годы было широко подтверждено многочисленными оптическими экспериментами. Объединение двух до того времени совершенно различных областей физики — оптики и электромагнетизма — есть одно из

наиболее замечательных и убедительных достижений теории Максвелла. Много лет спустя теория относительности Эйнштейна осуществила еще более решительное объединение различных областей физики, внеся тем самым существенный вклад в ее единство.

Успех максвелловской теории света привел к возрождению старой идеи о «светоносном эфире» как носителе всех электромагнитных явлений; при этом связанная с эфиром система покоя, в которой предполагалась строгая справедливость уравнений Максвелла, рассматривалась как тождественная абсолютной системе отсчета Ньютона.

Попытки обнаружить систему покоя эфира

Посредством измерения различных характеристик световой волны, таких, как скорость и направление распространения или частота света, в принципе возможно определить систему покоя эфира. В этой системе скорость света в вакууме равна с для всех направлений; но в связанной с Землей системе отсчета, которая движется с абсолютной скоростью v, теорема сложения скоростей, упомянутая в разд. 5, дает различные значения для скорости света в зависимости от v и направления распространения светового сигнала. Поэтому точные наземные измерения скорости света должны были дать возможность определить абсолютную скорость v Земли, а также скорость движения эфира, или «эфирного ветра», —v на Земле.

Подлежащие измерению эффекты очень малы [порядка (v/c)2], но уже в 80-х годах прошлого столетия Майкельсон разработал и осуществил эксперимент требуемого типа, в результате которого показал отсутствие движения эфира. По крайней мере было найдено, что скорость движения эфира много меньше скорости движения Земли по ее орбите вокруг Солнца. Это было подтверждено позднейшими более точными экспериментами, проведенными в частности Йоссом (1930 г.), которые дали верхний предел возможной скорости движения эфира 1,5 км/с (скорость Земли «30 км/с). В аналогичном эксперименте, где вместо видимого света использовались микроволны, Эссен (1965 г.) получил тот же результат с еще более высокой точностью, чем в любом из оптических экспериментов.

Как отмечалось выше, другой метод обнаружения системы покоя эфира заключается в измерении частоты света, испущенного движущимся источником. Согласно теории абсолютного эфира, наблюдаемая частота зависит от абсолютной скорости Земли у, а также от относительной скорости источника и наблюдателя. Вследствие этого два одинаковых мазера

с противоположными направлениями падающих лучей должны обладать слегка отличающимися друг от друга характеристическими частотами, зависящими от v. Разность частот измеряется посредством подсчета биений, обусловленных интерференцией колебаний мазеров. Эксперименты такого типа, проведенные Таунсом и др. в 1958 г., не обнаружили признаков эфирного ветра, и на основании точности своих приборов исследователи сделали вывод, что скорость движения эфира должна быть меньше 30 м/с, т. е. примерно в 1000 раз меньше скорости Земли относительно Солнца.

Открытие эффекта Мёссбауэра в 1958 г. обеспечило новые возможности точного измерения очень малых разностей частот, что позволило сдвинуть верхний предел скорости возможного эфирного ветра еще ниже. Эксперимент, поставленный Чэм- пени и др. в 1965 г., дал для скорости эфирного ветра значение и = 1,6 ±2,8 м/с, что приближается к нулевому значению. Разумеется, никаким экспериментом никогда не удастся показать, что какая-либо величина в точности равна нулю. Однако ввиду того факта, что верхний предел скорости эфирного ветра постоянно уменьшается с увеличением точности эксперимента, представляется несомненным, что понятие эфира, столь плодотворное во времена Фарадея и Максвелла, теперь должно быть окончательно оставлено. Следует отметить, что большинство наиболее точных экспериментов, приведших к этому результату, было выполнено в середине нашего столетия.

Специальный принцип относительности

Результаты всех экспериментов, упомянутых в предыдущем разделе, находятся в соответствии с предположением, что общепринятый в механике принцип относительности справедлив также для электромагнитных явлений. Тем не менее уже в 1905 г. Альберт Эйнштейн, никому не известный молодой сотрудник патентного бюро в Берне, выдвинул в качестве основы для описания природы еще более далеко идущий принцип. Специальный принцип относительности Эйнштейна (СПО) можно сформулировать следующим образом: при равных условиях все физические явления протекают одинаково в любой инерциальной системе отсчета. Вследствие этого законы природы, которым подчиняются эти явления, должны иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах. В то время это смелое утверждение имело весьма слабое экспериментальное подтверждение; но для обоснования точной справедливости СПО можно было выдвинуть другие аргументы, скорее философского характера.

Во-первых, из СПО следует огромное упрощение нашего описания природы. Если все инерциальные системы эквивалентны.

то нет необходимости осуществлять громоздкое преобразование от наших лабораторных систем, связанных с Землей, к «абсолютной» системе отсчета, где предполагались справедливыми «истинные» законы природы. Во-вторых, СПО вносит значительный вклад в единство физики.

Разделение физики на различные дисциплины — механику, электродинамику и т. д. — является педагогическим приемом, не имеющим строгого аналога в природе. Действительно, никакой электромагнитный эксперимент не может быть осуществлен без механических деталей, и невозможно существование механических экспериментов, не зависящих от электромагнитного характера упругих свойств вещества. Поэтому из общепринятой строгой справедливости СПО в механике следует, что электромагнитные и другие силы также должны быть релятивистскими. Трудно представить, каким образом можно удовлетворить этому требованию без допущения строгой справедливости СПО для всех физических явлений.

Необходимость пересмотра понятий пространстваи времени

В эпохальной статье Эйнштейна, опубликованной в 1905 г., были рассмотрены непосредственные следствия специального принципа относительности; в частности, было показано, что СПО делает необходимым глубокий пересмотр наших обычных представлений о пространстве и времени. Представим себе две группы физиков-экспериментаторов, лаборатории которых находятся в двух различных инерциальных системах / и /' и которые независимо друг от друга проводят эксперименты по определению фундаментальных законов электродинамики в вакууме. Если эти физики достаточно подготовлены, то обе группы в конце концов получат уравнения Максвелла с тем же значением константы с, поскольку из СПО следует, что результаты измерений с помощью тождественных экспериментальных установок в системах / и /' будут одинаковыми. Таким образом, скорость распространения электромагнитных волн должна иметь одно и то же значение с во всех инерциальных системах. Это находится в разительном противоречии с кинематическими представлениями, почерпнутыми из повседневного опыта и из понятий абсолютного пространства и времени. Как отмечалось в разд. 5, эти понятия приводят к теореме сложения скоростей, которая предсказывает различные значения скорости света в различных инерциальных системах. Однако Эйнштейну удалось показать, что тщательный анализ понятия скорости, т. е. обсуждение методов, с помощью которых может быть в дей-

ствительности осуществлено измерение скоростей, открывает возможность последовательного описания физических явлений в соответствии с СПО.

Понятие одновременности

Если световой сигнал посылается из точки А по замкнутому пути в инерциальной системе /, то средняя скорость света определяется как отношёние длины пути / к времени А/, прошедшему между отправлением сигнала и его возвращением в А. Длину пути / можно измерить с помощью стандартных измерительных стержней, а А/ может быть определено по стандартным часам, покоящимся в А. Таким образом, среднюю скорость света можно определить экспериментально в любой инерциальной системе, и СПО утверждает, что значение с, найденное в опытах Физо и Фуко, будет получаться во всех инерциальных системах. С другой стороны, если световой сигнал движется по прямой линии из точки А в другую точку В в системе /, то не так легко определить разность М = <2— Л с помощью объективных методов. Чтобы измерить времена отправления и прибытия сигнала 6 и /2, необходимы часы в А и другие (идентичные) часы в В, и следует убедиться, что они правильно синхронизированы, т. е. стрелки обоих часов одновременно находятся в одном и том же положении.

В повседневной жизни синхронизация часов, находящихся в различных местах, осуществляется обычно посредством сигналов точного времени, передаваемых по радио. Если этот сигнал посылается в тот момент, когда часы на радиостанции показывают время /0, то все часы в городе устанавливаются на /о по прибытии временнбго сигнала. Для описания явлений, происходящих в ограниченной части пространства, это правомерно, так как скорости, встречающиеся в повседневной жизни, даже скорости сверхзвуковых самолетов, пренебрежимо малы по сравнению со скоростью распространения временнбго сигнала, которую поэтому можно считать бесконечной. Однако для точной синхронизации часов на больших расстояниях необходимо знать скорость распространения временнбго сигнала, и при измерении скорости заранее предполагается, как отмечалось выше, что двое часов, находящихся в разных местах, синхронизированы и что именно эту проблему должен помочь разрешить световой сигнал.

Результат проницательного эйнштейновского анализа привел к убеждению, что понятие одновременности двух событий в различных местах не имеет объективного смысла вне области Повседневного опыта. В данной ситуации мы должны определить точно, что следует понимать под одновременностью

событий в различных инерциальных системах, чтобы понятие скорости также получило точный смысл. Как показал Эйнштейн, в настоящее время можно согласованно определить одновременность внутри каждой инерциальной системы таким образом, что скорость света в вакууме будет постоянной и равной с во всех таких системах.

Преобразования Лоренца

Если часы синхронизированы таким способом внутри произвольной инерциальной системы / и если в / введена декартова система координат (х, у, г), то любое физическое событие можно охарактеризовать четырьмя пространственно-временными координатами — координатами Лоренца

Xv = x, Х2 = у, X3 = z, X, = ct. (I)

Здесь х, у, г — декартовы координаты точки, в которой происходит событие, измеряемые с помощью стандартных измерительных стержней, а 1 — момент времени, в который происходит это событие и который определяется в этой точке с помощью (синхронизированных) часов. Возможность использования декартовых координат в каждой инерциальной системе основана на том общеизвестном факте, что при измерениях с помощью стандартных измерительных стержней геометрия является эвклидовой в каждой такой системе.

Связь между лоренцевыми координатами события в двух различных инерциальных системах дается преобразованиями Лоренца. Они были получены Эйнштейном на основании СПО и процедуры синхронизации, которая предполагает скорость света равной с в любой инерциальной системе. В отличие от преобразований Галилея, в которых временная координата неизменна, преобразование Лоренца представляет собой линейное преобразование, включающее все четыре пространственновременные координаты. Тем не менее в ограниченной области пространства и времени оба преобразования тождественны, если относительная скорость обеих инерциальных систем мала по сравнению с с. Этим объясняется применимость кинематики и динамики Ньютона в обширных областях физики.

Рассмотрим два произвольных соседних события с разностями координат (dX\, dX2, dX3, dX^ и определим величину ds соотношением

ds^ — dXX-VdXt-VdXX-dXv (2)

Тогда преобразование Лоренца можно охарактеризовать как линейное преобразование, которое оставляет величину ds неизменной.

Непосредственные следствия преобразования Лоренца

В специальной теории относительности время относительно. Каждая инерциальная система обладает своей собственной Временной переменной, измеряемой стандартными часами, покоящимися в системе. Два события, которые одновременны, т. е. относятся к одному и тому же значению / в одной системе, вообще говоря, не одновременны в другой инерциальной системе. Стандартные часы, движущиеся с определенной скоростью относительно инерциальной системы /, идут медленнее, чем часы, покоящиеся в /. Это замедление движущихся часов может быть в принципе измерено следующим образом. Если одни из двух стандартных часов перемещать по кругу, то после возвращения в исходную точку они покажут меньшее время, чем вторые часы, которые постоянно находились в покое в /. Этот очень часто обсуждавшийся эффект можно теперь рассматривать как экспериментально установленный факт (см., например, работу Крэншоу и др., 1962 г.). На основании того же эффекта радиоактивное соединение, которое движется относительно /, обладает большим средним временем жизни, чем соединение, находящееся в покое. Это было надежно подтверждено многочисленными экспериментами с быстро движущимися мезонами или другими нестабильными частицами.

Аналогичным эффектом является лоренцево сокращение движущихся тел, которое до сих пор не удалось непосредственно подтвердить экспериментально. Рассмотрим стержень, движущийся с постоянной скоростью относительно системы /. Если определить его длину относительно / как расстояние между одновременными положениями его концов, то эта длина окажется в общем случае меньшей, чем его длина в состоянии покоя. В значительной степени это является следствием относительности понятия одновременности, и явление сокращения тесно связано с экспериментально доказанным эффектом замедления.

Формула сложения скоростей, следующая из преобразования Лоренца, отличается, конечно, от простой формулы сложения, упомянутой в разд. 5. Релятивистская формула находится в соответствии со старым экспериментом Физо (1851 г.), где исследовалась скорость света в движущейся воде.

Из самой структуры преобразования Лоренца следует, что относительная скорость двух инерциальных систем не может быть больше с. Более того, можно показать, что СПО не разрешает существования какого-либо реального сигнала, распространяющегося со сверхсветовой скоростью. Под реальным сигналом понимается физическое явление, посредством которого

можно передавать информацию на расстояние, т. е. должна иметь место причинная связь между событиями испускания и приема сигнала. Таким образом, из вышеприведенного утверждения не следует, что ничто в природе не может двигаться со скоростями, большими чем с. Если пакет плоских световых волн наклонно падает на фиксированную плоскую поверхность, то освещенная часть поверхности будет увеличиваться со скоростью, которая может стать сколь угодно большой при достаточно малом угле падения. Но это явление нельзя использовать в качестве сигнала, поскольку появление света в одном месте на поверхности не обусловлено появлением его в другом месте в более ранний момент времени.

Релятивистская механика

В соответствии с СПО все инерциальные системы эквивалентны в отношении описания природы. Таким образом, любое соотношение между физическими величинами и все истинные физические законы во всех таких системах должны иметь один и тот же вид, т. е. форма их должна быть инвариантна относительно преобразований Лоренца. Это требование лоренцевой инвариантности дает нам мощное средство решения задач по формулировке новых физических законов. Кроме того, старые законы следует проверить в отношении выполнения этого требования. Оказалось, что законы электромагнетизма, сформулированные Максвеллом, уже были лоренц-инвариантны. Зато ньютоновы уравнения механики, которые инвариантны относительно преобразований Галилея, не удовлетворяют в точности этому требованию. Поэтому они могут быть справедливы только в той области, где оба этих типа преобразований совпадают, т. е. там, где скорости всех рассматриваемых частиц малы по сравнению с с. Для больших скоростей уравнения Ньютона должны быть изменены так, чтобы для них выполнялось требование лоренцевой инвариантности.

Для системы, состоящей из одной частицы, наиболее существенным изменением является то, что инертная масса в релятивистской механике зависит от скорости. Она возрастает с увеличением скорости и стремится к бесконечности при приближении скорости к с. Поэтому частица, которая ускоряется постоянной силой, никогда не может приобрести скорость, превышающую с, что соответствует вышеприведенному утверждению, что с является верхним пределом скорости любого реального сигнала.

Но наиболее важным выводом релятивистской механики является эквивалентность энергии и массы. Согласно этому предположению, любая физическая система с инертной массой М

обладает энергией Е, определяемой знаменитым соотношением Эйнштейна

(3)(3)Е = Мс2,

(3)

(3)

и наоборот. Это открытие привело к далеко идущим последствиям, не только теоретическим — в результате объединения двух до того времени полностью независимых законов сохранения массы и сохранения энергии, — но также экспериментальным и даже техническим.

Если энергия тела увеличивается в результате нагревания, то его инертная масса возрастает на величину, определяемую соотношением (3). Система частиц в связанном состоянии с отрицательной потенциальной энергией, как в случае атомного ядра, обладает массой покоя, которая меньше суммы собственных масс составляющих ее частиц. Этот «дефект массы», соответствующий энергии, излучаемой в процессе образования ядра, может быть измерен непосредственно на масс-спектрографе, и соотношение Эйнштейна (3) теперь подтверждено в огромном числе ядерных реакций. Энергия, высвобождаемая в результате аннигиляции покоящейся пары частица — античастица, согласно соотношению (3), равна 2mc2t где m— масса покоя частицы. Измерения этой энергии явились дальнейшей проверкой соотношения Эйнштейна (3), которое теперь можно считать одним из наиболее надежно установленных законов природы.

В то время как масса, соответствующая теплоте, выделяемой в течение обычного химического процесса, неизмеримо мала, количество теплоты, выделяемое в ядерном реакторе, настолько велико, что соответствующая масса вполне заметна. При делении ядра урана энерговыделение соответствует массе примерно в одну тысячную массы ядра. В результате полного деления всех ядер в 1 т урана масса выделяемого тепла должна быть вполне измеримой — порядка 1 кг. В космическом масштабе этот эффект оказывается еще гораздо более наглядным. Например, энергия, которая излучается Солнцем в пространстве, вызывает уменьшение солнечной массы более чем на четыре миллиона тонн в секунду.

Геометрическое представление законов специальнойтеории относительности

Проблема формулировки законов природы в соответствии со СПО была существенно облегчена в результате введения Минковским в 1908 г. следующей формальной процедуры. В трехмерном эвклидовом пространстве, аналогичном пространству внутри инерциальной системы, точки могут характеризоваться

декартовыми координатами (х, y,zY Расстояние do между двумя соседними точками с разностями координат (dx, dy, dz) определяется тогда по теореме Пифагора

do2 = dx2 + dy2 + dz2. (4) Расстояние do между рассматриваемыми точками может быть измерено с помощью стандартного измерительного стержня и поэтому не зависит от выбора декартовых координат. В соответствии с этим выражение (4) инвариантно по форме относительно произвольных неоднородных ортогональных преобразований координат. Инвариантность вида законов природы относительно этих преобразований — так называемая пространственная относительность — наиболее удобно выражается при записи этих законов в виде трехмерных векторных и тензорных уравнений. (Пространственная относительность не всегда была столь очевидной, как это представляется сейчас. Еще в древней Греции Аристотель в соответствии со своей идеей абсолютного верха и низа отстаивал мнение, что физическое пространство действует, на механические явления как анизотропное пространство.)

В то время как понятие точки в трехмерном пространстве теряет свой абсолютный смысл в специальной теории относительности, события в физическом пространстве сохраняют свой абсолютный характер при преобразованиях Лоренца. Поэтому Минковский изображал каждое событие как точку («точку события») в четырехмерном математическом пространстве —пространственно-временном континууме. Это пространство называется четырехмерным просто потому, что каждое событие в нем характеризуется четырьмя числами, в качестве которых удобно выбрать координаты Лоренца (1). Как отмечалось в разд. 12, величина ds, определяемая выражением (2), инвариантна относительно преобразований Лоренца по аналогии с инвариантностью выражения (4) относительно трехмерных ортогональных преобразований. Поэтому величину ds естественно назвать расстоянием между двумя событиями с разностями координат (dxi, dx2, dx3, dx4). Так же как do измеряется с помощью измерительных стержней, инвариант ds можно измерить с помощью стандартных измерительных стержней и часов.

Выражение (2) для ds совершенно аналогично выражению (4) для do, за исключением числа измерений и физически важного знака минус перед последним членом в выражении (2). Координаты Лоренца являются аналогами трехмерных декартовых координат, а преобразования Лоренца имеют характер неоднородных ортогональных преобразований в 4-пространстве. Так же как в случае пространственной относительности инва-

риантность вида законов природы относительно преобразований Лоренца может быть теперь явно выражена посредством записи их в виде соотношений между 4-векторами и 4-тензорами. Последние являются четырехмерными аналогами 3-векторов и 3-тензоров, т. е. они преобразуются при преобразованиях Лоренца так же, как трехмерные величины при ортогональных преобразованиях.

Общий принцип относительности

В годы, последовавшие за публикацией в 1905 г. статьи Эйнштейна, специальная теория относительности была развита в последовательную теорию, охватывающую все физические явления, за исключением гравитационных. Последние представлялись не укладывающимися в эту схему вследствие определенных свойств, которые отличают гравитационные поля от всех остальных типов физических полей. Тем не менее уже в 1907 г. Эйнштейн сделал первую попытку использовать особенности явления гравитации с целью создания более полной теории. После нескольких лет напряженной работы, в течение которых ему случалось уклоняться от верного пути, он, наконец, в 1915 г. предложил свою знаменитую общую теорию относительности и гравитации.

В специальной теории относительности инерциальные системы играют роль, которая отличается от роли систем отсчета, обладающих произвольным ускорением. Ввиду кинематической эквивалентности всех систем отсчета такое выделение особого класса систем не может считаться вполне удовлетворительным, пока не дано причинное обоснование такого выделения. Вследствие этого Эйнштейн попытался обобщить СПО до общего принципа относительности (ОПО), гласящего, что все законы природы имеют одинаковый вид в любой системе отсчета. В то время как СПО можно сформулировать как требование инвариантности формы или ковариантности фундаментальных уравнений относительно специальной группы преобразований Лоренца, ОПО требует этого свойства относительно полной эйнштейновской группы произвольных преобразований пространственно-временных координат.

Наиболее общая система отсчета состоит из совокупности опорных точек, которые движутся совершенно произвольно, подобно материальным точкам в потоке жидкости. В заданной системе отсчета можно ввести систему координат S многими способами. Во-первых, каждая опбрная точка может быть однозначно охарактеризована тремя числами (хьх2,*з) таким образом, что разности координат соседних точек будут малыми (dxi, dx^ dx^. Кроме того, различные события в определенной

опорной точке р могут описываться с помощью произвольного параметра /, выбираемого таким образом, что более поздние события соответствуют большим значениям. В такой общей системе координат S каждое физическое событие, происходящее в произвольной опорной точке р, описывается пространственно-временными координатами

(х) = (хь х2, х3, х4 = ct\ (5)

В геометрическом представлении (разд. 15) числа (5) соответствовали бы криволинейным координатам события в четырехмерном пространственно-временном континууме в отличие от «прямолинейных» координат Лоренца (1). Связь между координатами в двух таких общих системах S и S' задается общим преобразованием группы Эйнштейна.

Неистинные гравитационные поля

Элементарные наблюдения как будто бы показывают, что для ОПО нет места в природе. Рассмотрим равномерно вращающуюся систему S, в которой каждая опорная точка совершает круговое движение с постоянной угловой скоростью относительно инерциальной системы /, подобно точкам на жестком вращающемся диске или на карусели. Тогда движение частицы относительно S не может описываться уравнениями такого же вида, как уравнения движения в системе /. Свободная частица, например, не будет оставлять на диске прямую линию (сравните с царапинами на вращающейся грампластинке). Частица, посланная с некоторой скоростью в радиальном направлении, будет двигаться по траектории, отличающейся от этого направления, а частица, вначале находившаяся на диске в покое, начнет двигаться в радиальном направлении, что находится в кажущемся противоречии с ОПО. Теннисист, играющий на карусели или на палубе корабля в бурном море, обязательно должен будет изменить свою технику, поскольку законы, управляющие движением мяча, окажутся совершенно отличными от тех, к которым он привык.

Может показаться, что эти тривиальные наблюдения приводят к невозможности ОПО. Однако, как заметил Эйнштейн, может случиться также, что в системах / и S имеет место не одна и та же физическая ситуация. В этой связи важно отметить следующий хорошо известный факт. Для малых скоростей, т. е. в ньютоновой области, мы получим правильное описание движения частицы относительно вращающейся системы S, если в уравнениях Ньютона к реальным силам добавим так называемые фиктивные силы — силу Кориолиса и центробежную силу. Эти силы называются фиктивными потому, что их

нельзя приписать воздействию ни одной из соседних систем. Они зависят исключительно от ускорения системы отсчета относительно среднего распределения космического вещества.

Ясно, что ОПО может быть справедлив только в том случае, если «фиктивные» силы можно рассматривать как реальные физические силы, причем их источник следует искать в наличии удаленных космических масс, т. е. они должны быть типа гравитационных сил. В отличие от обычных гравитационных полей, подобных полям Земли или Солнца, этот новый тип поля может быть исключен путем перехода от ускоренной системы S к инерциальной системе /. Поэтому они называются неистинными гравитационными полями. С этой новой точки зрения различное поведение частиц в системах / и S можно приписать не различиям в фундаментальных уравнениях, а просто тому обстоятельству, что в / гравитационное поле отсутствует, тогда как в S оно имеется вследствие ускоренного движения космических масс относительно S.

Эйнштейновская интерпретация «фиктивных» сил как гравитационных решительно подтверждается тем фактом, что они обладают важным свойством, общим с обычными гравитационными силами Земли или Солнца, а именно способностью сообщать всем свободным частицам одинаковое ускорение независимо от масс этих частиц. Очевидно, что неистинные поля обладают этим свойством, и Галилей первый обратил на это внимание в случае гравитационного поля Земли. На основании своих экспериментов он утверждал, что все тела «падают в пустоте с одинаковой скоростью». Это фундаментальное свойство всех гравитационных полей было позднее проверено экспериментально с исключительно высокой степенью точности (Дикке, 1964 г.; Брагинский, 1971 г.).

Принцип эквивалентности Эйнштейна

С учетом рассмотренного выше свойства гравитационное поле можно охарактеризовать заданием «гравитационного ускорения» в каждой точке и в каждый момент времени. Это справедливо как для неистинных полей, так и для обычных полей, создаваемых локальными массами, которые называются истинными, поскольку они не могут быть полностью исключены путем введения подходящих систем координат. Таким образом, вполне естественно предположить, что оба типа полей подчи- нются одним и тем же фундаментальным законам.

Несмотря на то, что истинное гравитационное поле не может быть полностью исключено, это может быть осуществлено, по крайней мере локально, при использовании системы отсчета h, которая в ограниченной области пространства и времени Q

состоит из свободно падающих опорных точек. Внутри Q систему можно представить в виде свободно падающего, невра- щающегося «лифта Эйнштейна», в котором гравитационное поле равно нулю. В наш космический век уже стало вполне привычным, что все тела теряют вес в кабине космического корабля, который вращается вокруг Земли. Свободная частица движется по прямой линии с постоянной скоростью относительно стен этой кабины, и вообще все законы механики Ньютона справедливы в лифте Эйнштейна, если скорости малы по сравнению с с. В дополнение к этому Эйнштейн сделал следующее предположение, известное как принцип эквивалентности: все физические законы специальной теории относительности справедливы внутри такого лифта. Поэтому система h называется локальной инерциальной системой. Область Q, в которой система инерциальна и где можно использовать координаты Лоренца, ограничена в пространстве и времени в отличие от классических инерциальных систем, которые считались бесконечно протяженными.

Формулировка законов природы в соответствиис ОПО

С помощью принципа эквивалентности, который определяет законы природы во всех возможных локальных инерциальных системах, Эйнштейну удалось сформулировать эти законы в наиболее общей системе координат S (5) в соответствии с ОПО. При решении этой задачи важнейшую роль сыграло геометрическое представление, введенное Минковским. Связь между координатами (х) в S и координатами в любой локальной инерциальной системе h задается общим преобразованием группы Эйнштейна, но их дифференциалы связаны линейным соотношением. Следовательно, выражение для инвариантного расстояния ds, которое в инерциальной области системы" h имеет вид (2), в системе S определяется общей квадратичной формой

44

</s2 = У £ giM dxt dxk,(6)

№ ы

где десять независимых коэффициентов gik(x^ являются функциями координат (х).

Поскольку ds есть инвариант, коэффициенты gtkM в (6) определяют результат пространственно-временных измерений в S посредством стандартных измерительных стержней и часов в окрестности события (х). Наоборот, функции gik^ могут быть в принципе определены с помощью таких измерений. Таким образом, «метрические компоненты» gik^ представляют

собой новый тип физического поля, которое, как оказалось, также описывает гравитационное поле, присутствующее в S. Из их определения как метрических величин следует, что детерминант g* = det (g^) матрицы g^ должен быть везде отрицательным, т. е.

S < 0, (7)

что связано с существенным знаком минус в (2). Условие g^O находилось бы в противоречии с принципом эквивалентности и лишило бы понятия пространства и времени физического смысла.

В разд. 15 отмечалось, что законы термодинамики и механики в специальной теории относительности можно записать в виде четырехмерных векторных и тензорных уравнений, справедливых в любой лоренцевой системе прямолинейных координат. С помощью хорошо известных методов дифференциальной геометрии такие уравнения можно формально обобщить, чтобы сделать их справедливыми в произвольных системах криволинейных координат. Помимо механических и электромагнитных величин эти обобщенные уравнения содержат физические величины gik^, входящие таким образом, что соотношения между всеми физическими величинами в рассматриваемом законе имеют одинаковый вид во всех системах координат. Таким образом, уравнения механики, электродинамики и т. д., полученные Эйнштейном этим путем, оказались в соответствии с ОПО, и вполне можно было ожидать, что они будут охватывать более значительную область действительности, чем предшествующие им законы с более ограниченными свойствами инвариантности.

Как уже отмечалось, метрические компоненты gutM, которые в теории Эйнштейна играют также роль гравитационных потенциалов, входят естественным образом во все общековариантные уравнения. Это означает, что гравитационное поле в этой теории оказывает влияние на все физические явления — не только на движение частиц, как в теории Ньютона, но также, например, на распространение света.

После того как Эйнштейн вывел общековариантные уравнения механики и электродинамики, он обратился к значительно более трудной задаче получения уравнений поля, определяющих гравитационные величины gi^U^ которые, как следует ожидать, зависят от распределения материи. Без таких уравнений теория была бы неполной, поскольку только в случае неистинных полей метрика задается заранее. В этой работе принцип эквивалентности уже не мог помочь. Единственными руководящими принципами были требования общей ковариантности, простоты и соответствия теории Ньютона, которая

была столь плодотворна в прошлом. После неудачной попытки в 1914 г. Эйнштейн пришел в 1915 г. к окончательному варианту своих уравнений гравитационного поля, и общая теория относительности и гравитации была завершена.

Ньютоновское приближение

В теории Ньютона гравитационное поле описывалось единственной функцией — гравитационным потенциалом %, который определяется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка (уравнением Пуассона). Более общие гравитационные поля в теории Эйнштейна, которые включают в себя также поля, ранее не относившиеся к гравитационным, описываются десятью функциями gikM- Поэтому уравнения Эйнштейна для гравитационного поля состоят из десяти дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, что, несомненно, делает эту теорию значительно более сложной, чем теория Ньютона.

Тем не менее в случае систем, аналогичных Солнечной системе, оказывается, что только одна из функций gikM играет заметную роль в уравнениях Эйнштейна, а именно коэффициент gu при dx^ в (6). В этом случае можно ввести систему координат, которая приближенно является лоренцевой, т. е. gikW отклоняются лишь незначительно от постоянных значений 1, 0, —1, входящих в выражение (2), справедливое в специальной теории относительности для ds2. Далее, скорости масс в Солнечной системе малы по сравнению с с, и поле является почти статическим. При этих условиях десять уравнений поля сводятся в первом приближении к единственному уравнению для g^x^ и если положить

544=—1 — х(х)/с2, (8)

то получающееся для % уравнение совпадает с уравнением Пуассона в теории Ньютона. Более того, общерелятивистские уравнения движения для свободной частицы в этом приближении совпадают с уравнениями Ньютона для планетарного движения.

Таким образом, теория Эйнштейна включает в себя уравнения Ньютона как первое приближение для случая «слабых» и «квазистатических» полей, а также «малых»» скоростей, и значительный успех теории Ньютона в небесной механике свидетельствует также в пользу теории Эйнштейна. Но решающие проверки общей теории относительности должны, разумеется, относиться к эффектам, которые различны в этих двух теориях.

Решающие проверки теории Эйнштейна

Можно было ожидать, что такой эффект будет обнаружен в движении планет, ближайших к Солнцу, где указанные выше условия справедливости ньютонова приближения выполняются менее удовлетворительно. Действительно, уже в следующем приближении теория Эйнштейна предсказывает прецессию перигелиев планет, которая для Меркурия должна составлять около 42,9" в столетие. Это предсказание оказалось в хорошем согласии с наблюдениями, упомянутыми в разд. 3. В последние годы оказалось также возможным измерить прецессии перигелиев Венеры, Земли и астероида Икар, причем измеренные значения находятся в прекрасном согласии с предсказанными.

Прецессия перигелия, представляющая собой один из трех знаменитых эффектов Эйнштейна, является следствием того факта, что теория Ньютона справедлива только как первое приближение. Остальные эффекты имеют другой характер, так как вовсе не имеют аналогов в теории Ньютона. Наиболее простым, а в настоящее время также наиболее подтвержденным экспериментально эффектом является гравитационное смещение спектральных линий. Это следует из того обстоятельства, что gu есть не только гравитационный потенциал, как определено в (8), но главным образом метрическая величина, как в (6), которая определяет скорость хода стандартных покоящихся часов в различных точках гравитационного поля. Поскольку атомы, испускающие свет определенной частоты, можно рассматривать как хорошие стандартные часы, теория предсказывает смещение спектральных линий, испускаемых в одном месте гравитационного поля и наблюдаемых в другом, причем относительное смещение пропорционально разности гравитационных потенциалов в обоих этих местах.

Этот эффект наблюдался много лет назад в спектре света, испускаемого поверхностью Солнца, но поскольку при этом имели место также другие трудно контролируемые эффекты, такие, как эффект Доплера, который также приводит к смещению линий, эти ранние наблюдения не привели к количественному подтверждению эффекта Эйнштейна. Поэтому, когда Паунду и др. (1960, 1964 гг.) удалось измерить данный эффект в гравитационном поле Земли, это явилось большим шагом вперед. В наземных опытах легче получить надлежащим образом определенные экспериментальные условия, и хотя эффект здесь проявляется существенно слабее, формулу Эйнштейна удалось подтвердить с точностью порядка 1%.

Если стандартные часы движутся в гравитационном поле, то скорость их хода зависит как от гравитационного потенциала, так и от скорости, т. е. только что упомянутый гравитационный эффект накладывается на скоростной эффект специальной

теории относительности, рассмотренный в разд. 13. Теория предсказывает, что атомные часы, летящие в самолете на большой высоте, будут идти быстрее, чем часы, находящиеся на меньшей высоте. Эксперимент такого рода был выполнен Алли и др. (1975, 1976 гг.), причем был получен следующий результат: отношение измеренной разности значений времени к предсказанной на основе общей теории относительности составило 0,987 ±0,016.

Как упоминалось в разд. 19, величины giuW входят во все общековариантные законы природы, из чего следует, что гравитационное поле влияет на все физические явления. Обычно это влияние неизмеримо мало. Исключение представляет влияние на электромагнитные и оптические явления, что до настоящего времени привело к двум измеримым эффектам. Первый из них — известный третий эффект Эйнштейна: отклонение световых лучей гравитационным полем Солнца. Теория предсказывает в этом случае отклонение, равное 1,75", что хорошо согласуется с недавними наблюдениями. Прежде для наблюдения этого эффекта приходилось ждать редко происходящих полных солнечных затмений. Однако с развитием радиоастрономии этот эффект стало возможно измерять для соответствующих взаимных расположений Земли, Солнца и источника радиоизлучения, которые осуществляются ежегодно. Этот эффект теперь подтвержден с точностью до нескольких процентов.

Второй из двух упомянутых эффектов связан с гравитационным запаздыванием радиосигнала, который посылается с Земли к какой-либо планете и отражается назад, когда его путь проходит вблизи Солнца. Этот эффект также очень мал, порядка 10-6 с. Тем не менее Шапиро и др. (1964, 1968 и 1971 гг.) удалось его измерить, причем результат оказался в хорошем согласии с рассчитанным значением.

Имеется еще несколько общерелятивистских эффектов, которые, по-видимому, можно будет измерить в недалеком будущем, но по сравнению с огромным количеством экспериментальных данных, подтверждающих квантовую теорию или даже специальную теорию относительности, экспериментальное подтверждение общей теории относительности не является слишком впечатляющим. С другой стороны, современные проверки уже позволяют с уверенностью сказать, что теория Эйнштейна дает наиболее точное описание гравитационных явлений, по крайней мере в пределах Солнечной системы, где поля сравни тельно слабы.

Убедительность теории Эйнштейна

Несмотря на ограниченность экспериментальных подтверждений, большинство физиков были убеждены в справедливости

общей теории относительности еще задолго до осуществления более поздних точных проверок. В настоящем разделе мы перечислим те фундаментальные свойства этой теории, которые придают ей замечательную убедительность.

Все физические законы выражаются посредством уравнений, инвариантных по форме относительно произвольных преобразований пространственно-временных координат.

Инвариантность формы уравнений есть математическое выражение общего принципа относительности, согласно которому фундаментальные законы природы, полученные путем эксперимента, имеют одинаковый вид независимо от состояния движения наблюдателей. Таким образом, впервые в истории физики заданное множество явлений описывается посредством однозначно определенной совокупности уравнений. Это неотъемлемое свойство можно рассматривать как вершину долгого развития физики от Аристотеля через Галилея и Ньютона до Эйнштейна, развития, которое характеризуется постоянно возрастающей симметрией или инвариантностью формы законов природы относительно все более широких групп преобразований.

Б. Другим драгоценным достижением теории Эйнштейна является объединение гравитации и механики.

Эйнштейновские уравнения гравитационного поля не только определяют гравитационное поле для заданного распределения материи, но также и движение источника материи: механические уравнения движения являются следствиями уравнений поля. Тяготение и механика в этой теории неразрывно связаны в отличие от теории Ньютона, где эти два раздела физики полностью независимы друг от друга.

Основным допущением в теории Эйнштейна является принцип эквивалентности, согласно которому эффекты гравитационного поля могут быть «исключены» в малой области вокруг любого заданного точечного события Р. В локально ло- ренцевой системе координат все физические законы в Р имеют ту же форму, что и в специальной теории относительности.

Таким образом, все общерелятивистские законы представляют собой естественные обобщения хорошо обоснованных экспериментально законов специальной теории относительности. Непосредственным следствием п. В является то, что тяготение влияет на траекторию всех свободно движущихся частиц строго одинаковым образом независимо от масс частиц. Это фундаментальное свойство, которое ранее считалось «случайным» эмпирическим фактом, здесь оказывается частью обоснования теории.

Г. Уравнения гравитационного поля могут быть выведены из принципа Лагранжа, если лагранжиан инвариантен относи-

тельно группы Эйнштейна. При этом обеспечиваются общая ковариантность и совместность уравнений поля.

Д. Уравнения поля представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных не выше второго порядка.

Е. В теории Эйнштейна предполагается, что гравитационное поле исчерпывающим образом описывается метрическим тензором gtk.

Можно показать, что свойства А — Е полностью определяют теорию, т. е. общая теория относительности и гравитации Эйнштейна есть единственная возможная теория, которая обладает всеми свойствами А — Е. Именно эта замечательная убедительность и целостность теории влекут за собой такую высокую степень уверенности в отношении физических следствий данного формализма.

Ограниченность теории

Наиболее значительные приложения теории Эйнштейна относятся к космологии, но этот увлекательный предмет рассматривается в других статьях настоящего издания. Я упомяну лишь, что она допускает простую интерпретацию наблюдаемого расширения Вселенной (Фридман, 1922 г.).

Следует, однако, упомянуть об одном лишь недавно открытом следствии этой теории, которое показывает, что теория Эйнштейна, как и все остальные теории, обладает ограниченной областью применимости. При рассмотрении достаточно больших и массивных космических систем функции gik^, получаемые из уравнений поля Эйнштейна, обнаруживают свойства, которые несовместимы с их определением как метрических величин (Пенроуз, 1965 г.; Хокинг, 1966 г.). Действительно, детерминант g в (7), который сначала везде имеет отрицательное значение, может через некоторое время стать равным нулю или положительным.

Таким образом, согласно теории гравитации Эйнштейна, система вещество — гравитационное поле, которая вначале находится в строго определенном физическом состоянии, может спустя конечный отрезок времени перейти в совершенно нефизическое состояние, где понятия пространства и времени теряют свой физический смысл. Поскольку эти понятия существенным образом входят в формулировку всех физических законов, это означало бы крах физики.

Эта катастрофа происходит, когда гравитационное поле становится «очень сильным», т. е. имеет место ситуация, которая очень далека от случая «слабых» полей, определенного в разд. 20. Мы заключаем, что теория Эйнштейна неверна для очень сильных полей — мысль, которая приходила в голову уже

самому Эйнштейну. При этих обстоятельствах представляется необходимым исследовать возможность построения такой теории гравитации для макроскопического вещества, в которой сохранялись бы все удовлетворяющие нас свойства теории Эйнштейна, но которая отличалась бы от нее в случае очень сильных полей. Ввиду замкнутой структуры теории, изложенной в разд. 22, такое обобщение возможно только при исключении по крайней мере одного из свойств А — Е.

Заключение

В настоящей статье, разумеется, дан лишь краткий обзор прекрасной теории Эйнштейна, которая оказала самое большое влияние на развитие физики в нашем столетии. Буквально ни один из дорелятивистских физических законов не остался неизменным, но, как обычно бывает в точных науках, это развитие представляло собой скорее эволюцию, чем революцию. Дорелятивистские законы остаются справедливыми в тех областях, для которых они были получены. Уравнения Максвелла справедливы для всех макроскопических электромагнитных явлений, если отсутствуют гравитационные поля. Ньютоновские законы механики и тяготения сохраняются для макроскопических тел, если скорости малы и если гравитационные поля являются слабыми и квазистатическими и т. д.

Следует также отметить, что область применимости старых теорий все еще включает в себя большую часть нашего опыта. Теория относительности показала нам ограниченность этой области, однако вполне естественно, что эта теория также должна иметь ограниченную область применимости. Можно ожидать, что в макроскопическом мире отклонения от теории Эйнштейна будут иметь место в случае «сильных* гравитационных полей, а в физике микромира все еще подлежит выяснению вопрос, как примирить идеи квантовой теории с принципами теории относительности.

Подлинная революция, вызванная трудами Эйнштейна, про^ изошла в сознании физиков и философов. Она изменила весь наш образ мышления и показала или напомнила нам, что все понятия, какими бы очевидными они ни казались, представляют собой мысленные конструкции, которые приспособлены к описанию заданной совокупности явлений, и что может оказаться необходимым отказаться от них или обобщить их в свете новых открытий.

3Необходима ли «общая относительность»для эйнштейновской теории гравитации?

Г. Бонди!)

Различные взгляды на основы теории

Основания физической теории редко являются популярным объектом исследования. Если теория выглядит не столь уж неприемлемой и ее приложения весьма успешны, то интерес к ее логическому базису мал. Так, критика Беркли динамики Ньютона в свое время практически не оказала какого-либо воздействия, и даже ее воскрешение и усиление Махом двумя столетиями позднее оказало лишь незначительное влияние. Логика теории Максвелла не исследовалась и стала вызывать восхищение своей самосогласованностью лишь через очень большой промежуток времени. С другой стороны, квантовая механика показалась настолько странной, а ее успех настолько необъяснимым, что она привлекла внимание философов (возможно, чрезмерное) сразу же после ее возникновения.

Общая теория относительности имеет в этом и в ряде других отношений особую историю. Философские интересы Эйнштейна наложили глубокий отпечаток на его изложение теории. Его потрясающая личность и огромный престиж сделали для большинства первых его последователей нежелательным вступление с ним в дебаты относительно не совсем ясных для них философских оснований теории, когда предстояло еще так много сделать по изучению следствий теории, возможных ее обобщений и математической структуры. Как ни странно, те немногие ученые, которые считали ее основы достойными изучения и пытались сочетать свой анализ с дальнейшим развитием теории (это делали почти все последователи Эйнштейна), потерпели в этом неудачу. (Здесь я имею в виду таких ученых, как Эддингтон, Милн и Фок.) Таким образом, этому вопросу по сей день уделяется недостаточно внимания).

Гравитационные наблюдаемые

С современных позиций увлечение Эйнштейна понятием «общая относительность» кажется удивительным. В начале

9 Н. Bondi, министерство обороны, Лондон.

своей работы, особенно при создании специальной теории относительности, Эйнштейн был прежде всего критиком того, что выходило за рамки точной интерпретации известных физических данных. Его утверждение, что время не является идеальным понятием, но есть нечто входящее в физические измерения посредством уравнений Максвелла и преобразований Лоренца; его уверенность, что дискретная природа фотоэлектрического эффекта требует дискретности теории: его требование полной физической эквивалентности инерциальных наблюдателей — все это свидетельствует о его сосредоточенности на физике явления при ограничении математического аппарата лишь до необходимых рамок. (Или, быть может, необходимого зла?)

Однако вскоре он увлекся чисто математической химерой общей относительности — концепцией, которой он усиленно старался приписать какой-нибудь физический смысл. (Чтобы успокоить читателей, которые рассматривают мою позицию как кощунственную, я должен заметить, что спустя 70 лет, разумеется, можно восхищаться эйнштейновской теорией гравитации и принимать ее, отвергая в то же время его путь к ней, каким бы полезным эвристически не считал его сам Эйнштейн.) Что ускоренные наблюдатели физически неэквивалентны, совершенно очевидно; так почему же должен кто бы то ни было, а тем более величайший из физиков-теоретиков видеть какую-то ценность в требовании их математической эквивалентности?

Над каждым физическим воззрением доминирует современная ему техника. Так, нам трудно мысленно вернуться в первые годы нашего столетия, задолго до того, как полеты на самолетах стали обычным делом, когда само представление о наблюдении за астронавтом в состоянии невесомости было невероятным. Эйнштейновские длинные поезда и его лифты совсем не являются образами, которые всякий может представить или должен использовать при рассмотрении (хотя интересно отметить, как много популяризаторов до сих пор рабски следуют за воображением Эйнштейна). Наши критические позиции усилились под влиянием квантовой механики, которая заставляет современного физика инстинктивно искать наблюдаемые— термин, который не только не был еще введен 70 лет назад, но необходимость в котором и позже не для всех казалась очевидной (исключая, возможно, Эйнштейна — его релятивистский анализ времени предвещал появление таких взглядов).

Если бы гравитация была открыта только теперь, нельзя себе представить, чтобы первые исследования не сосредоточивались на обсуждении того, что понимать под ее наблюдаемыми.

Затем немедленно было бы проведено разграничение между универсальными наблюдаемыми тяготения, относительным ускорением соседних частиц (т. е. на ньютоновском языке его неоднородностью) и следствием этой наблюдаемой, проявляющимся, когда твердое тело, такое, как Земля, обладает объемом, в пределах которого эта наблюдаемая заметно изменяется. Только при этих весьма специальных условиях ньютоновское гравитационное поле, т. е. градиент потенциала V, становится измеримым. Весьма полезна аналогия с электростатическим полем. Единственной всегда измеряемой наблюдаемой является поле — градиент потенциала. Относительное ускорение двух свободных частиц с известным и различным отношением заряда к массе в одном и том же месте немедленно обнаруживает наличие поля. С другой стороны, электростатический потенциал обычно ненаблюдаем. Природа гравитационной наблюдаемой более сложна, поскольку не может быть частиц, обладающих гравитационными «зарядами» разных знаков или различными отношениями «заряда» к массе. Таким образом, чтобы получить что-то локально наблюдаемое — относительное ускорение, — частицы должны быть пространственно удалены одна от другой, но на небольшое расстояние, и тогда неоднородность поля становится действительно наблюдаемой. (В ньютоновской терминологии: вторая производная потенциала является наблюдаемой.) Подобно тому как проводник может создавать электростатическое поле, так и протяженное твердое тело, подобное Земле, может создавать неоднородность и обусловливать различие первых производных ньютоновского потенциала.

Инерция и гравитация

Этот анализ того, что представляет собой наблюдаемая, показывает, что истинное гравитационное поле является тензором, связывающим вектор относительного ускорения соседних частиц с вектором расстояния между ними. Таким образом, в объеме, в котором градиент ньютоновского потенциала постоянен, истинное гравитационное поле равно нулю. С этой точки зрения эйнштейновские лифты не имеют никакого отношения к гравитации; они просто анализируют инерцию с чисто ньютоновской точки зрения. Итак, понятие общей относительности в действительности не вводит какой-либо постньютоновской физики — оно просто имеет дело с координатными преобразованиями. Такой формализм имеет некоторые удобства, но физически он совершенно не подходит. Сейчас, по-видимому, слишком поздно изменять название эйнштейновской теории гравитации, но общая относительность есть физически бессмысленная фраза, которая может рассматриваться только как

историческое напоминание о любопытном философском рассуждении.

Однако что же в действительности имел в виду Эйнштейн? Он прекрасно знал, что в ускоренной системе наблюдаются силы инерции. Он более чем кто-либо отдавал себе отчет в том, что принцип Галилея, утверждающий, что все тела падают с одинаковым ускорением, столь превосходно й с большой точностью подтвержденный Этвешем и совсем недавно с удивительной точностью Дикке1), напрашивается на включение в физическую теорию. Мне кажется, говоря, что ускоренный наблюдатель может описывать силы инерции как тяготение и действительно не может отличить силы инерции от сил гравитации, он просто хотел обратить внимание на то, что в его время не было инвариантного разделения гравитационных сил и сил инерции. С изложенной здесь точки зрения не может быть гравитационного поля, не обладающего таким инвариантным свойством, а именно неоднородностью, наблюдаемой как относительное ускорение соседних частиц. (Вспомним О. Гек- мана, который в своей книге «Космология», завершая описание теории Милна, требует такой инвариантной характеристики.)

Вопрос о применимости специальной теории относительности к ускоренным наблюдателям часто неправильно понимается. Как ясно показали Фок и другие, не существует какой-либо проблемы в записи специальной теории относительности в произвольных координатах в тензорной форме. Конечно, это просто другое описание плоского пространства Минковского. Проблема возникает только тогда, когда таких ускоренных наблюдателей снабжают измерительной аппаратурой и ставят вопрос о том, как эта аппаратура реагирует на ее ускорения. Весьма существенной здесь является конструкция этой аппаратуры, в то же время она совершенно не существенна для физической эквивалентности приборов, используемых двумя инерциальными наблюдателями. Рассмотрим с этой точки зрения часы (например, одни, основанные на скорости распада некоторого радиоактивного ядра, вторые — на использовании атомной частоты, третьи — на колебаниях нагруженной пружины и четвертые— на биениях сердца морской свинки) и снабдим каждого из двух инерциальных наблюдателей набором часов одинаковой конструкции; тогда отношение скоростей хода собственных часов, наблюдаемых одним инерциальным наблюдателем, по принципу относительности необходимо совпадает с отношением скоростей хода, которые наблюдает на своих часах другой

!) Группой В. Б. Брагинского [5] точность проверки принципа эквивалентности, о котором здесь идет речь, была повышена на порядок по сравнению с экспериментом Дикке. — Прим нерев.

наблюдатель. Поэтому в экспериментах, проводимых инерциальными наблюдателями, не существенно, какой тип прибора выбран для измерения времени. Если, однако, мы снабдим прибором ускоренного наблюдателя, то этот выбор существенно важен. Если его ускорение превысит некоторый довольно умеренный предел, то часы морской свинки остановятся, поскольку она погибнет. При несколько большем ускорении будут повреждены пружинные часы, а при еще большем ускорении они сломаются. При достижении действительно большого ускорения будет иметь место атомная бомбардировка, которая будет ионизировать атомы и тем самым испортит атомные часы. При чрезвычайно больших ускорениях 9 будут разрушаться даже радиоактивные ядра).

Все это не более чем иллюстрация того, насколько физически бессмысленно любое понятие эквивалентности между инерциальными и ускоренными наблюдателями и насколько должен быть лишен смысла любой принцип общей относительности. На все это ясно указал Фок в начале своих лекций в Копенгагене.

Ньютоновская теория на языке наблюдаемых

Если понятие «общая относительность» является физически бессмысленным, то как построить постньютоновскую теорию гравитации? Подход, который будет здесь развиваться, основывается, во-первых, на переформулировке ньютоновской теории; во-вторых, на рассмотрении требований к теории гравитации, налагаемых специальной теорией относительности, и, наконец, в-третьих, на их синтезе, который показывает, что теория Эйнштейна является простейшей теорией, которая может удовлетворить этим требованиям.

На необходимость переформулировки ньютоновской теории уже указывалось, а именно отмечалось, что с принятием принципа Галилея единственной действительной наблюдаемой гравитационного поля является относительное ускорение соседних частиц. В первую очередь это ведет к линейной связи между вектором относительного ускорения 6^ и вектором относительного смещения 6х7, а именно

(1)

9 Для некоторых из приведенных здесь примеров численные значения предельных ускорений можно найти, например, в книге [6]. — Прим, перев.

так что гравитационное поле полностью характеризуется тензором второго ранга S/- В таком случае содержание ньютоновской теории, по существу, состоит из двух утверждений относительно S: а) этот тензор является второй производной от скаляра (—V):

8ц = -бР¥1дх1дх!, (2) что определяет консервативный характер поля, и б) справедливо уравнение Пуассона, которое связывает поле с его источником— плотностью массы р:

S, = —4л(?р, (3)

где G— гравитационная постоянная.

Естественно, уравнения (1) — (3) приводят к обычной ньютоновской теории с одним, но существенным различием, состоящим в том, что в качестве поля рассматривается S/у, а не дУ/дх1, как обычно. Однако, как уже отмечалось, дУ/дх1 обычно не является наблюдаемой, в то время как Si/ всегда является таковой1). Таким образом, то, что обычно называют однородным гравитационным полем (линейная зависимость У от координат), мы теперь называем нулевым полем.

Релятивистская теория гравитации

Какие требования предъявляет специальная теория относительности и какие изменения заставляет она внести в уравнения (1) — (3)? Ясно, что уравнение (1) не является релятивистским, поэтому его применимость ограничена частицами, медленно движущимися в принятой системе отсчета. Как можно обобщить это уравнение, чтобы оно распространялось на быстрые частицы и свет? Непосредственно очевидно, что S* не может быть независимым от скорости, поскольку тогда fz может ускорять частицы до скоростей, больших скорости света. Действительно, если рассматривать (1) как четырехмерное уравнение в пространстве Минковского, интерпретируя fl как dV'/ds, то тензор S/ должен так зависеть от скорости V1, чтобы Vip = 0. Следовательно, ViS1/ = 0. Проще всего было бы предположить, что

8ц = РцкУк» Рцк = — Рк/ь

Однако это алгебраически несовместимо с симметрией Si/, которую мы должны сохранить для того, чтобы можно было

9 Разумеется, S// является приливной силой для протяженной планеты или спутника. Заметим, что с поверхности Земли, постоянно закрытой облаками, на основании наблюдения приливов можно было бы определить, хотя и с мрлрй точностью, конфигурацию и движение системы Солнце—Земля—Луна,

считать уравнение (2) приближением для случая медленного движения,

Следующей простейшей возможностью будет

S4-VRwVkVl = ^ (4)

где тензор R симметричен по /, / и к, I, но антисимметричен по ik, чтобы обеспечить выполнение условия Vif* = 0. Эти требования почти полностью обеспечивают симметрию, характерную для тензора кривизны; действительно, путем комбинирования (1) и (4) это уравнение приводится к виду уравнения геодезической девиации. С другой стороны, на этой стадии рассмотрения нет намека на какую-либо геометрическую интерпретацию R; это просто наблюдаемая гравитационного поля. Безусловно, мыслимы более сложные структуры S,/, но ясно, что (4) есть простейшая приемлемая релятивистская форма уравнения (1).

Хорошо известно, что достаточно элементарных рассуждений, чтобы вывести формулу для гравитационного красного смещения, используя принцип Галилея, наличие инертной массы у энергии и невозможность вечнопо двигателя. Рассмотрим далее статическое сферически-симметричное гравитационное поле:

ds2 = f (г) dt2 — g (г) dr2 — г2 (d02 + sin2 0^ф?). (5) Наличие гравитационного красного смещения требует, чтобы f(r) не была постоянной. Тогда пространство (5) не может быть плоским, или, иначе говоря, геометрия Минковского (псев- доэвклидова) не может согласоваться с наличием гравитационного красного смещения. Таким образом, мы вынуждены принять неэвклидову геометрию. Простейшей такой геометрией является .геометрия Римана. В такой геометрии естественным образом появляется тензор R (а именно тензор кривизны), обладающий симметрией, требуемой согласно (4). Более того, простые пути частиц могут быть определены только посредством геодезических, и тогда (1) и (4) вместе дают уравнение геодезической девиации при условии, что R интерпретируется как тензор кривизны рассматриваемой геометрии. Хотя эти последние отождествления, возможно, не являются логически абсолютно необходимыми, но они, по-видимому, также единственные простые возможные отождествления.

Источники ПОЛЯ

Следующий вопрос касается связи между полем и его источником. Что является релятивистским аналогом уравнения Пуассона (3)? К этой проблеме можно подойти различными путями.

а. Математический путь. Ищем такие линейные комбинации компонент наблюдаемой Rqku полагая их равными подходящей характеристике источника, которые переходят в ньютоновском пределе в (3). Непосредственно не очевидно, какое число условий требуется наложить, чтобы полученные ограничения были достаточными, но не чрезмерными.

б. Тип источников. Зная, что в ньютоновском пределе в качестве источника выступает плотность массы р, можем ли мы сделать какие-либо заключения или правдоподобные предположения относительно того, что с релятивистской точки зрения могло бы действовать как источник (энергия, импульс, натяжение)? Следующим шагом будет лишь отыскание надлежащей связи источника с полем Нцкь

в. Законы сохранения. В ньютоновской картине сохранение источника гравитационного поля играет основную роль для достоверности теории. Если бы источники могли появляться и исчезать (и действительно, появляются и исчезают), то теория, не рассматривающая эффекты распространения гравитационного поля, не могла бы оставаться приемлемой в течение долгого времени. Аналогично если бы движение источников не было ограничено сохранением импульса, то от теории следовало бы потребовать описания эффектов распространения (дипольного характера), по крайней мере в отсутствие отрицательной массы. Отметим, что эти ограничения, учитывающие свойства инерции, только усложняют рассмотрение гравитационного поля, поскольку как для активной (порождающей поле), так и для пассивной (реагирующей на поле) масс в соответствии с третьим законом Ньютона (действие равно противодействию) важную роль играет принцип Галилея. Важность этих соображений приводит нас к пониманию того, что соображения, основанные на законах сохранения, в релятивистской теории' тагбке должны иметь исключительную важность для взаимодействия между источником и полем. Чем более явно будет проявляться это взаимодействие, тем легче будет понять следствия теории.

При любом из указанных путей уравнения теории Эйнштейна оказываются удовлетворительным и достаточно простым ответом на эти требования. Тензор Эйнштейна

Сц-к.-чецК №,-«?„• №)

является линейной комбинацией наблюдаемых с надлежащим числом компонент, причем его компонента Goo (существенная в ньютоновском пределе) фактически преобразуется в лапласиан уравнения (3). Более того, он удовлетворяет уравнению типа закона сохранения. Поэтому он является подходящим

кандидатом на роль «релятивистского лапласиана» в левой части искомого уравнения, связывающего поле и источник.

Способ получения правой части этого уравнения не столь однозначен. Каким образом должен входить источник в искомое уравнение? Ясно, что источником гравитационного поля должна быть масса. Но термин «масса», имеющий однозначный и простой смысл в ньютоновской теории, в релятивистской теории имеет несколько возможных значений. Простейшей является масса покоя, но она, несомненно, должна быть отвергнута. Эксперименты Дикке подтвердили принцип Галилея с очень большой точностью. Вклад кинетической энергии в инертную массу хорошо установлен. Если кинетическая энергия не дает вклада в пассивную (реагирующую на поле) гравитационную массу, то нагретое и холодное тела должны падать с заметно различающимися скоростями. Конечно, в уравнениях поля мы интересуемся лишь активной (порождающей поле) гравитационной Массой, но с точки зрения взаимности, присущей физике и проявляющейся в третьем законе Ньютона, трудно было бы представить себе, что кинетическая энергия не дает такого же вклада в активную массу.

Однако лоренц-инвариантных уравнений, в которых появляется какая-либо масса, отличная от массы покоя, не существует. Она может появиться лишь как 0-компонента вектора (как в обычной релятивистской физике частиц) или как 0,0-компонента тензора второго ранга (тензора энергии-импульса релятивистской гидродинамики). Р1з наблюдаемых Нцм трудно образовать векторы (хотя времениподобный собственный вектор тензора Кц показывает, что это может быть сделано, но он имеет неопределенную длину), тогда как в (6) присутствует легко находимый тензор второго ранга со свойствами сохранения, соответствующими тензору энергии-импульса Тц.

Таким образом, идя любым путем, мы приходим к эйнштейновским уравнениям поля (со знаком, определяемым в соответствии с уравнением (3), и в надлежащих единицах)

G//= ~ ЗлТ1//. (7)

Сам Эйнштейн не был в восторге от правой части, хотя он считал левую часть с ее свойствами сохранения полностью удовлетворительной. Мне трудно разделить прохладное отношение Эйнштейна к тензору Тц. В самом деле, этот тензор представляет материю как непрерывную, но в таком случае мы и не имеем дело с атомной или квантовой теорией. С другой стороны, хорошо известно, что законы сохранения в отсутствие гравитации непосредственно приводят к эйлеровым уравнениям гидродинамики. Модификация законов сохранения в присут-

ствии гравитационного поля заманчива, поскольку она показывает, что гравитация не обязательно должна быть строго консервативной, хотя значение этого не было ясно до проведения современного анализа гравитационных волн и их способности переносить энергию.

Смысл уравнений поля

Природа ограничений, налагаемых уравнениями поля (7) на наблюдаемые (и, следовательно, на геометрию), не всегда ясна. Во всяком случае, мы можем наложить любое условие на левую часть этих уравнений и затем интерпретировать их просто как уравнения, определяющие, какую плотность массы, натяжения и т. д. мы получим. Если на правую часть наложены надлежащие (не слишком жесткие и не слишком слабые) ограничения в виде уравнений состояния, то дополнительные ограничения могут быть наложены только на левую часть. Например, отсутствие отрицательной массы возникает как дополнительное, но, по-видимому, существенное условие для удовлетворительной интерпретации уравнений (7). Как хорошо известно, левая часть уравнений (7) обусловливает их гиперболическую структуру. В таком случае математически и физически корректный путь нахождения решения состоит в решении проблемы Коши, т. е. в задании подходящих начальных данных в координатном 3-пространстве1) для обеих частей (7) без наложения каких-либо других ограничений на эту систему.

Простейший случай имеет место, если правая часть вначале отсутствует: Тц = 0. Это не гарантирует, однако, что она все время будет равна нулю. Действительно, если мы не запрещаем категорически существование отрицательных масс, то нам придется запретить такие процессы, в которых первоначально взаимно сокращавшиеся положительная и отрицательная плотности массы позднее могут разойтись.

С другой стороны, при наличии этого запрета и при подходящих уравнениях состояния «настоящее» определяет «будущее». До сих пор исследовались лишь простейшие уравнения состояния, а именно пылевидная материя в отсутствие давления (Р1* = pl^'V') и идеальная жидкость (в подходящей локальной лоренцевой системе тензор Р1 диагоналей, все его чисто пространственные компоненты равны давлению и функционально связаны с чисто временной компонентой — плотностью массы). Физически наиболее интересны те уравнения состояния, которые в какой-то мере допускают диссипацию

9 То есть на гиперповерхности х° = const (см., например, [7]). — Прим, перев.

энергии, как в случае уравнений вязкоупругости, но они фактически не изучались. Таким образом, эйнштейновская теория гравитации еще не применялась для обсуждения связи между приливной диссипацией Земли и вековым ускорением Луны. Возможно, именно вследствие неспособности сделать это было потрачено так много усилий (в том числе и самим Эйнштейном) на обсуждение точечных частиц и их движения с чрезмерной уверенностью в том, что замена регулярных уравнений состояния сингулярными, описывающими точечные частицы, приведет к упрощению. Наоборот, появляется обескураживающая сложность, поскольку в достаточно общем пространстве-времени для точечной частицы нельзя естественно и однозначно исключить дипольные члены. Но диполь приводит к самопроизвольному движению. Не могут быть исключены и квадрупольные члены, так как тогда не могут быть рассмотрены корректным образом крайне важные реакции на приливные силы и, следовательно, на наблюдаемые. Таким образом, невозможно избежать необходимости рассмотрения уравнений (7) с тензором Тц, ограниченным физически приемлемыми регулярными уравнениями состояния.

Заключение

Все вышесказанное в достаточной степени показывает, что существует надлежащее физическое обоснование эйнштейновской теории гравитации, не включающее физически бесплодной концепции общей относительности и ведущее к усилению ее фундаментальных связей с экспериментом.

ЛИТЕРАТУРА

1*. Albert Einstein: Philosopher-Scientist, ed. Schilpp P., N. Y., Tudor Publ. Co., 1951.

2*. Reichenbach H., The Philosophy of Space and Time, N. Y., 1958.

3*. Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. — М.: Прогресс, 1969.

4*. Эйнштейн и философские проблемы физики XX века: Сб. статей. — М.: Наука, 1979.

5*. Брагинский В. Б., Панов В. #. —ЖЭТФ, 1971, т. 61, вып. 3, с. 873—879. 6*. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х томах. Т. 2. — М.: Мир, 1977, с. 25—26.

7*. Синг Дж. Л. Общая теория относительности. — М.: ИЛ, 1963.

4

Теория относительности и ее обобщения

Э. Реками ’)

А. Новый подход к специальной теории относительности:частицы, античастицы, тахионы

/. Введение

В части А рассматриваются следующие вопросы:

Переформулировка специальной теории относительности {СТО) в основном посредством добавления к имеющимся двум постулатам постулата (запаздывающей) причинности с тем, чтобы явно запретить передачу информации в прошлое. Такая трактовка причинности в рамках СТО приведет нас к предсказанию существования антивещества в чисто релятивистском смысле.

Исследование возможности распространения СТО на движущиеся быстрее света инерциальные системы отсчета, а также на сверхсветовые объекты и введение тем самым расширенной теории относительности. Такое расширение рамок теории относительности приведет нас к лучшему пониманию обычной релятивистской физики (например, СРТ-теоремы, так называемых кроссинг-соотношений в физике элементарных частиц, связи между веществом и антивеществом, смысла опережающих решений и т. д.).

Краткое изложение других возможных обобщений релятивистских теорий (таких, как проективная теория относительности и конформная теория относительности) в основном с интуитивной точки зрения.

Прежде чем продолжать, напомним следующее. В своей первой основополагающей статье по специальной теории относительности Эйнштейн ([74], см. также [176]) после введения преобразований Лоренца рассмотрел сферу, движущуюся со скоростью и вдоль оси х, и показал, что (вследствие относительного движения) в покоящейся системе отсчета эта сфера кажется эллипсоидом с полуосями

ах = Я(1 — 02)v\ au = az = R, ^^ufc. (1) В этом месте Эйнштейн добавил: «При и = с все движущиеся объекты, наблюдаемые из «покоящейся» системы, сплющиваются и превращаются в плоские фигуры. Для скоростей,

’) Е. Recami, Институт теоретической физики, Университет г. Катанья, Италия.

превышающих скорость света, наши рассуждения теряют смысл; впрочем, из дальнейших рассуждений будет видно, что скорость света в нашей теории играет роль бесконечно большой скорости». (См. также [215].)

Эйнштейн обратил внимание на тот очевидный факт, что при и > с величина ах становится чисто мнимой: если ах = = ах(и), то1)

ах (^) = ± iaxt U г С2)и. (2)

Эйнштейн отметил также, что в его теории относительности скорость света с играет роль, аналогичную той, какую играет бесконечная скорость и = оо в галилеевой теории относительности [87].

При обсуждении второго из перечисленных выше вопросов мы увидим, в каком смысле вышеприведенные утверждения справедливы, а также рассмотрим, могут ли они (по крайней мере частично) быть пересмотрены и каким образом.

Часть А в значительной степени основывается на работах, выполненных автором в сотрудничестве с Кальдиролой (Милан), Миньяни (Рим), Павшичем (Любляна), Циино (Палермо) и другими.

Обратимся теперь к первому вопросу.

Пересмотр постулатов специальной теорииотносительности

Специальная теория относительности может Служить типичным примером при обсуждении проблемы причинности в физике. В качестве «основы» в ней рассматривается четырехмерное псевдоэвклидово пространство-время.

Напомним, что надлежащий выбор постулатов СТО производится следующим образом [22, 94, 95, 132, 196]:

Первый постулат (принцип относительности): «Физические законы механики и электромагнитной теории ковариантны (т. е. инвариантны по форме) при переходе от наблюдателя в одной инерциальной системе отсчета к наблюдателю в другой инерциальной системе отсчета». Отметим, что этот постулат не налагает никаких ограничений на относительную скорость и обоих наблюдателей в инерциальных системах отсчета. Этот постулат следует из того условия, что все инерциальные

9 Априори (Р2 —1)’/г = ±f(l —Р2)7’ поскольку (±Z)2 = —1; см. ниже. В дальнейшем всегда будет подразумеваться, что (1—р2)^2 представляет собой решение для верхней полуплоскости при р2 > 1.

системы отсчета должны быть эквивалентны между собой (строгое определение эквивалентности см. в разд. 4.6) 9.

Второй постулат: «Пространство-время является однородным, а пространство является изотропным». Этот постулат подтверждается тем фактом, что из него следуют законы сохранения энергии, импульса и момента количества движения, которые хорошо согласуются с опытом, по крайней мере в нашей «локальной» области пространства-времени.

В 1910 г. и позднее было показано [85, 98, 107] (из более поздних работ см. [69, 216], а также неопубликованную работу Агоди), что постулат инвариантности скорости света в вакууме не является строго необходимым, поскольку он может быть выведен из первого и второго постулатов. Мы еще вернемся к этому вопросу; здесь отметим лишь, что особая роль скорости света в СТО является следствием ее инвариантности, а не того факта, что она является (или не является) максимальной возможной скоростью.

Теперь, если мы хотим — а мы действительно хотим — избежать возможности передачи информации в прошлое, то необходимо ввести третий постулат [ 196]).

Третий постулат: «Не существует объектов или частиц с отрицательной энергией, движущихся в положительном направлении во времени (и физические сигналы переносятся только объектами с положительной энергией)». Такая форма третьего постулата ясна также с точки зрения теории информации. Этот постулат, как будет показано, эквивалентен принципу (запаздывающей) причинности: «Для любого наблюдателя «причины» хронологически предшествуют вызываемым ими «следствиям» (определения причин и следствий см. ниже).

Кроме того, из третьего постулата будет сделан вывод о существовании антивещества.

Вернемся теперь к первому и второму постулатам, из которых следует, что должна существовать одна (и только одна) величина ^2 (обладающая физической размерностью квадрата скорости), которая имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета:

w2 = инвариант. (3) Если предположить, что w = оо, как принимается в галилеевой теории относительности, то мы придем к классической (гали-

Даже если бы мы допустили в качестве «привилегированных» такие инерциальные системы отсчета, в которых космическое излучение или космологический источник (как, например, «фоновое излучение» при 2,7 К) оказывается изотропно распределенным, то и тогда в СТО, по-видимОму, ре было бы внесено существенных изменений. См., например, [15, 93].

леево-ньютоновской) физике. В таком случае инвариантная скорость будет бесконечной, при этом можно записать оо ф ц = = оо (где посредством ф обозначена операция векторного сложения скоростей).

Однако эксперимент показал, что эта инвариантная скорость является конечной (и вещественной), а именно скоростью света в вакууме с. В этом случае инвариантная скорость действительно является скоростью с:

сфц = с, (4)

штейна. Подчеркнем, чтоштейна. Подчеркнем, чтои мы сразу получаем теорию относительности и физику Эйн

штейна. Подчеркнем, что

штейна. Подчеркнем, что

в этом втором случае бесконечная скорость не является более инвариантом: оо ф у = У' ^ оо. Это просто означает, что операция ф не является операцией арифметического сложения. Напомним, кроме того, что первый и второй постулаты требуют существования инвариантной, но не максимальной скорости; скорость света в СТО оказывается предельной скоростью, но, как хорошо известно, каждый предел априори достигается с двух направлений.

Если добавить условие |u|<c для любой скорости v, то из

вышеприведенных постулатов следует, что наблюдения с точки зрения инерциального наблюдателя О преобразуются в наблюдения с точки зрения наблюдателя О', который движется

относительно первого прямолинейно и равномерно, с помощью обычных преобразований Лоренца, геометрический смысл которых иллюстрируется (для удобства в будущем) на рис. 1.

Причинность в СТО

Принцип реинтерпретации, запаздывающая причинность(и антивещество)

Приступим к обсуждению нашего третьего постулата. С этой целью рассмотрим рис. 2, где для простоты изображено двумерное пространство-время. Когда мы находимся в положении х = 0 в момент времени t = 0, мы обычно считаем имеющими место все события на оси х. Тем не менее если другой инерциальный наблюдатель О', движущийся в положительном направлении оси х, догоняет нас в начале координат, то в тот же момент времени t = t' = 0 он будет считать имеющими

место все события на оси х'. Поэтому если мы хотим иметь возможность начать с ним дискуссию и обмен информацией, то мы должны считать все пространственно-временные события «существующими» (по крайней мере те из них, которые находятся вне зоны «прошлое — будущее» светового конуса). В этом случае ничто априори не препятствует событию А оказывать влияние на событие В (рис. 2).

Именно для того чтобы исключить такую возможность, мы и ввели «третий постулат» (или принцип реинтерпретации RIP). Наша точка зрения заключается в том, что, поскольку мы используем пространство-время Минковского, движущееся вперед во времени1) (вдоль направления, определяемого термодинамикой и космологической эволюцией [35, 36]), любой наблюдатель будет видеть на рис. 2 вначале событие В, а затем событие А. Кроме того, можно показать [190, 191, 196], что объект, движущийся назад во времени (рис. 2), соответствует в пространстве, дуальном 4-пространству, т. е. в пространстве 4-импульсов (рис. 3,а), объекту, обладающему отрицательной энергией. И наоборот, изменение знака энергии в одном пространстве соответствует изменению знака времени в другом (дуальном) пространстве. Это легко понять, если исходить из того, что нам достоверно известно из повседневного опыта, а именно объект с положительной энергией движется вперед во времени. Если мы теперь хотим применить к этому объекту операцию обращения его движения во времени, то первый и второй постулаты обязывают нас использовать

*) Очевидно, автор имеет в виду систему отсчета. — Прим. ред.

неортохронное преобразование Лоренца. Но любое преобразование Лоренца, изменяющее знак четвертой компоненты мирового вектора (т. е. времени), будет также изменять знак четвертой компоненты вектора 4-импульса (т. е. энергии), а также любых других 4-векторов, связанных с тем же наблюдаемым объектом.

Все вышеизложенное справедливо также в квантовой теории поля, т. е. в релятивистской квантовой механике; например, если

f (р, £) = -^ $ f (х, /) exp [zp • х — iEt\ d4x,

ТО

f (Р> — Я) = -^r J 1 (х. — О exp [zp • х — iEf) d4x. (5)

Применим теперь наш третий постулат. В этом случае легко убедиться, что оба упомянутых парадоксальных факта (движение назад во времени и отрицательная энергия) любой наблюдатель сможет реинтерпретировать совершенно ортодоксальным образом, если они одновременны (как это имеет место на самом деле). А именно, предположим (рис. 4), что частица Р с отрицательной энергией и, например, зарядом —е, движущаяся назад во времени, испущена объектом А в момент времени /1 и поглощена объектом В в момент времени /2<Л1)- Поэтому в момент времени Л объект А «теряет» отрицательную энергию и заряд —в, т. е. приобретает положительную энергию и заряд +е. Аналогично в момент времени /2 < t\

9 Здесь и ниже под термином «заряд» понимается любой аддитивный заряд, аналогичный электрическому, магнитному, барионному, лептонному и т. п. зарядам. Поэтому наши определения «зарядового сопряжения» и т. д. будут отличаться от обычных, но они будут в согласии с приведенными в работах [190, 196].

[i<t]

□ (+д^Е>№р>Ог--|

(t,x)(V,x)

СТ&«Щ

H^)

(-дУЕ>0;Т;р<0(+Л); и<0

В

(~t/®*)

„В1Р"^= А

^(P);-q;E<0;T;p<0

(^, ^)®"<" W ta xzi

^^;+q;E>0iT-,p>0

t,x)

(-gY,E<0;T;p<0

* 1+ху,и>о

лла г=-лН);Е>0;Т;р>0 СРТ(явл)= В *——

(-к);и?об

В

А

Рис. 4

объект В «приобретает» отрицательную энергию и заряд —е, т. е. теряет положительную энергию и заряд +е. Действительно, испускание отрицательной величины эквивалентно поглощению положительной и наоборот. Проиллюстрированное здесь физическое явление будет, разумеется, представлять собой не что иное, как передачу от В к А (стандартной) частицы Q, обладающей положительной энергией, зарядом +е и движущейся вперед во времени.

Однако уже было показано, что Q обладает зарядом, противоположным Р; это означает, что наша процедура реинтерпретации осуществляет помимо всего прочего зарядовое сопряжение С. Более детальное исследование принципа реинтерпретации [35, 36, 144—148, 186, 187, 196, 199, 204] показывает, что Q действительно представляет собой античастицу по отношению к Р *):

Q = P.(6)

Подразумевается, что понятие антивещества является строго релятивистским и что на основании двойного знака (рис. 3, а)

E=±(p2 + m2)'/s с^1,(7)

существование античастиц могло быть предсказано сразу после 1905 г. (причем в точности с теми же свойствами, которые

9 Действительно, сам по себе принцип реинтерпретации приводит к античастице, за исключением знака спиральности. Но исчерпывающий результат получается немедленно, если рассматривать действие полного преобразования Лоренца (совместно с принципом реинтерпретации),

они действительно обнаружили после открытия), если бы была использована вышеуказанная реинтерпретация. Следовательно, мы подразумеваем, что точки нижней полости гиперболоида на рис. 3, а (поскольку они соответствуют не только отрицательной энергии, но и движению назад во времени^ представляют собой кинематические состояния античастицы Р (соответствующие частице Р, представленной верхней полостью гиперболоида).

Отметим особо, что нашему третьему постулату вместе с вышеуказанной процедурой реинтерпретации можно придать следующую форму, которую вслед за Штюкельбергом [225] (см. [122]) и Фейнманом [82] (см. [24, 64]) мы будем называть принципом реинтерпретации (RIP): объектов с отрицательной скоростью, движущихся вперед во времени, не существует; любой объект Р с отрицательной энергией, движущийся назад во времени, может и должен быть реинтерпретирован как его антиобъект Р, движущийся в противоположном направлении в пространстве (но наделенный положительной энергией и движущийся вперед во времени).

Заметим, что из наших трех постулатов следует, что 1) объектов с положительной энергией, движущихся назад во времени, не существует и 2) мы не только можем, но и должны применять принцип реинтерпретации. Действительно, поскольку мы принадлежим к макрофизическому миру и поэтому должны «исследовать» пространство-время в положительном направлении /, то мы не можем даже «видеть» частицу, движущуюся назад во времени; мы всегда будем видеть ее «реинтерпрети- рованную» античастицу, движущуюся вперед во времени. Как уже упоминалось, третий постулат требует, чтобы физические сигналы переносились только объектами, движущимися вперед во времени, или, что эквивалентно, только объектами с положительной энергией.

Теперь ясно, что наш принцип реинтерпретации обеспечивает (путем исключения передачи информации в прошлое) справедливость закона запаздывающей причинности («причины имеют место ранее своих следствий»)1). Здесь следует подчеркнуть, что обычно в физической литературе встречаются два совершенно различных утверждения, известные как «принцип причинности». Первое утверждение носит такое название совершенно неправомерно, поскольку оно просто предполагает невозможность существования сигналов со скоростью, превышающей скорость света; мы должны отказаться от такого предположения. Второе утверждение гласит, что причины должны хронологически предшествовать своим следствиям. Это

’) Определения причин, следствий и причинной связи см. в разд. 4.9.

утверждение принимается нами [186, 187] в качестве определения причинности (или, скорее, запаздывающей причинности [62]).

Следует также особо отметить, что процедура реинтерпретации меняет ролями источник и детектор, а также, что (рис. 2) любой наблюдатель будет считать В источником, а А — детектором (реинтерпретированного) антиобъекта Р.

Здесь нам хотелось бы указать, что третий постулат позволяет разрешать даже парадоксы, связанные с тем фактом, что многие физические проблемы допускают помимо стандартных запаздывающих решений также опережающие решения; такие опережающие решения просто соответствуют античастицам, движущимся в противоположном направлении [35, 36, 144— 148, 186, 187, 196, 199, 204]. Например, если уравнения Максвелла допускают решения в терминах исходящих (поляризованных) фотонов со спиральностью X =4-1, то они будут также допускать решения и в терминах входящих (поляризованных) фотонов со спиральностью X = —1 *).

В заключение настоящего раздела упомянем о том, что принцип реинтерпретации получает более изящную и очень естественную формулировку в пятимерном пространстве, где пятая ось соответствует собственному времени и, следовательно, связана с массой покоя (см. [204]).

3.2. Некоторые следствия

Детальное исследование рис. 4, б, показывает, что принцип реинтерпретации действительно изменяет помимо всего прочего знак 3-импульса, но не влияет на знак 3-скорости, т. е. изменяет знак массы покоя. Этот принцип, как видно из рис. 4, б, формально эквивалентен изменению знака всех аддитивных зарядов и массы покоя то (помимо замены испускания на поглощение и наоборот). Мы будем называть сильным сопряжением дискретную операцию2)

С = ССто> (8)

где С является операцией сопряжения всех аддитивных зарядов, а Сто — инверсия знака массы покоя. Пренебрегая операцией X, осуществляющей замену испускания на поглощение

!) В действительности антифотоны по существу совпадают с фотонами;

^) В квантовой механике наш оператор С будет унитарным при действии на пространство состояний; см. [204]„

и наоборот, можно записать

RIP = C(9)

(RIP — принцип реинтерпретации).

Если вспомнить, каким образом античастицы получаются из соответствующих им частиц, то можно сделать вывод, что античастицам формально следует приписать отрицательные массы покоя (но, разумеется, положительные полные релятивистские массы и энергии). Напомним для ясности, что в ковариантной форме для любой свободной частицы

Е = Ро = тйиос\(10)

где ио — временная компонента 4-скорости. Рассмотрим теперь неортохронное преобразование Лоренца —L, которое осуществляет только замену знаков всех временных компонент:

Е' = — Е = т0(— и0) с2 = — т0и0с2.

В результате, применяя принцип реинтерпретации так, чтобы получить соответствующую античастицу, окончательно имеем (для античастицы)

Е" = — Е'=т^(—и^с2,

так что античастица (все еще, конечно, обладающая компонентой 4-скорости —ио) остается с отрицательной массой покоя.

Следовательно, можно написать

{

+ т0с2 для свободных частиц,т0 > о,

— mQcz для свободных античастиц, т0 < 0, х так что всегда £ = +|^ок2- Заметим, что уравнения (11) не нарушают ковариантности, поскольку оба они получаются из ковариантного уравнения (10) (ср. [169,204]).

Очевидно, ничто не препятствует нам ввести, например, новую собственную массу (отличающуюся от обычной массы покоя), которая инвариантна при переходе от частиц к их античастицам [169, 171, 173]; мы хотим здесь отметить, что в общепринятом формализме вышеупомянутым свойством обладает обычная масса покоя. Это соображение помогает прояснить многие вопросы: например (при переходе к квантовой механике), если корректно приписать положительные энергии как электронам е-, так и позитронам е+, то свободное уравнение Дирака приводит к противоположным внутренним четностям для е~ и е+, как и требуется, только при условии mQ (фермион) = —т0 (антифермион).

Оставаясь в рамках квантовой механики, легко заметить (когда мы имеем дело, как обычно, с состояниями определен-

ной четности), что [204]ной четности), что [204]с=р5.с=р5.(8')(8')где Ps представляет ^ у5^ — C""1^), такгде Ps представляет ^ у5^ — C""1^), таксобой оператор киральности (Рб^^з^ чтособой оператор киральности (Рб^^з^ чтоrip = p5.rip = p5.О')О')

ной четности), что [204]

ной четности), что [204]

с=р5.

с=р5.

(8')

(8')

где Ps представляет ^ у5^ — C""1^), так

где Ps представляет ^ у5^ — C""1^), так

собой оператор киральности (Рб^^з^ что

собой оператор киральности (Рб^^з^ что

rip = p5.

rip = p5.

О')

О')

(См. также разд. 6.)

«Расширенная теория относительности»

Все рассуждения разд. 3 становятся более компактными,

если допустить возможность существования также сверхсвето- ных систем отсчета и тахионов [196], чтобы рассматривать

все пространственно-временные вращения (для 0 < а < 2л; см. рис. 1 и 5) как обобщенные преобразования Лоренца. В этой связи следует особо подчеркнуть, что представляется возможность расширить СТО так ([31, 34, 35, 55, 57, 68ч 141 — 143, 146—149, 172, 188, 190, 196, 199, 217, 249], другие подходы см. в работах [3, 4, 77, 89—92]), чтобы можно было рассматривать сверхсветовые системы отсчета и объекты без на

рушения принципа запаздывающей при-Рис- 5-

чинности. Мы начнем с рассмотрения

трех вышеприведенных постулатов (разд. 2), не предполагая заранее, что | и| < с.

Напомним, что мы были вынуждены принять принцип реинтерпретации (или эквивалентные принципы) в качестве третьего постулата СТО, чтобы исключить передачу информации в прошлое. Этот принцип даст также возможность предсказы

вать существование античастиц и позволит лучше понять связь вещества с антивеществом. Третий постулат (или, скорее, вся ранее введенная совокупность трех постулатов) является достаточным для развития каузальной теории даже при наличии объектов, движущихся быстрее света.

4Л. Исторические замечания

Объекты, движущиеся быстрее света, получили название тахионов (Т) [81] от греческого слова xa%vo (быстрый). «Частица, которая имеет название, обретает уже начало существования» — будет сказано позднее [10]. Мы будем называть брадионами (В) обычные объекты, движущиеся медленнее

света [12, 14, 48, 185] (от греческого слова ₽pa6va—медленный). И наконец, мы будем называть люксонами (1) объекты, которые, подобно фотонам, движутся точно со скоростью света 9-

Что касается тахионов, то, насколько нам известно, первым автором, упомянувшим о сверхсветовых частицах, был Лукреций, как отмечено Корбеном [56]). Здесь мы позволим себе процитировать другой отрывок из книги «О природе вещей» (Лукреций Кар, приблизительно 50-й год до н. э.): «Неужели вы не видите, что они должны двигаться быстрее и дальше и проходить больший путь в пространстве за то же самое время, чем солнечный свет, когда он распространяется по небу?». После Лукреция никакого дальнейшего прогресса не наблюдалось до работ Томсона [232], Хевисайда, де Кудра и особенно Зоммерфельда [220, 221]. В 1905 г., однако, вместе с теорией отнЪсительности [74] распространилось убеждение, что скорость света в вакууме представляет собой верхний предел для любой скорости, и физики того времени были введены в заблуждение очевидностью того факта, что обычные частицы не могут превысить эту скорость. Они вели себя подобно воображаемому демографу Сударшана, исследующему распределение населения на полуострове Индостан: «Предположим, что демограф самоуверенно полагает, что к северу от Гималаев нет людей, поскольку никто не может перебраться через горные хребты! Но это будет абсурдным заключением. Жители Центральной Азии родились и живут там; они не обязаны рождаться в Индии и пересекать горные цепи. То же самое можно сказать и о сверхсветовых частицах» (рис. 6).

Кроме того, Толмен [234] был уверен), что он показал в своем старом парадоксе, что существование сверхсветовых частиц допускает передачу информации в прошлое (антителефон).

Вследствие этого необходимо было дождаться 50-х годов), когда появились пионерские работы Арзелье (Франция) [7—9] и Шмидта (Германия) [214], а практически — даже 60-х годов, когда проблема тахионов была подвергнута повторному исследованию Танакой (Япония), Терлецким (СССР) и Сударшаном (Индия) с сотрудниками. Лосле появления статьи Била-

!) Биланюк и др. [24] первыми применили принцип реинтерпретации к тахионам. См. также [97].

шока и др. [24] ряд ученых начал исследовать этот вопрос, например Фейнберг [81] в США и Реками с коллегами в Европе [458, 159, 181, 182].

Наш современный интерес к расширенной теории относительности является следствием того факта, что она обеспечивает лучшее понимание обычной СТО, даже если тахионы окажутся не существующими в нашем космосе как асимптотические объекты. Тем не менее никаких существенных возражений против их существования, по-видимому, не возникнет, и мы

могли бы тогда черпать вдохновение — вслед за Демокритом и Мюрреем Гелл-Манном, — в принципе1), утверждающем, что «все, что не запрещено, обязательно имеет место». Сильным возражением против принятия такой точки зрения может служить тот факт, что тахионы до сих пор не обнаружены; однако подобный аргумент «имеет значение не более обычного предположения о том, что если мы чего-то не наблюдаем, то этого не существует; это соответствует утверждению, что мы знаем все», как сказал Фред Хойл по другому поводу. Кроме того, большинство экспериментальных поисков тахионов не имело до настоящего времени надежного теоретического обоснования; действительно, еще Галилей учил, что не может быть хороших идей до выполнения осмысленных экспериментов; однако общеизвестно также, что осмысленные эксперименты не могут быть поставлены без наличия хорошей теории.

Кроме того, мы увидим, что тахионы (даже будучи макрообъектами) являются типичными переносчиками взаимного и симметричного взаимодействия между телами, скажем А и В,

9 Ср. с выражением «все, что не запрещено, обязательно имеет место» [247]. Та же концепция была уже совершенно ясно высказана Демокритом из Абдеры, согласно которому все, что мыслимо и не встречает опровержений, существует где-нибудь в бесконечной Вселенной (см., например, [242]). Мы благодарим Хонига и Шиффрера, обративших наше внимание на эти высказывания.

3 Зак. 203

и они даже не могут быть испущены телом A (5), если тело В (Д) еще не готово их поглотить; это аналогично тому, что имеет место для фотонов в теории Уилера и Фейнмана.

В расширенной теории относительности рассматриваются как субсветовые, так и сверхсветовые системы отсчета. Проблема определения сверхсветовых преобразований Лоренца (SLT), которые связывали бы систему отсчета s первого типа с системой отсчета S последнего типа, была впервые рассмотрена в пионерской работе Паркера [165] (см. также [118]), который исследовал двумерный случай, и независимо в работах Ольховского и Реками [160—162], а затем Реками и Миньяни [193] (см. также [1, 135, 168]). Попытка распространения на четырехмерную область была впервые предпринята Ольховским и Реками [160—162] для вещественных преобразований.

Предварительные замечания (и предостережения)относительно тахионов

Когда физики встретились в термодинамике с отрицательными температурами, они предложили переопределить температуру таким образом, чтобы абсолютный нуль оказался перемещенным [65] из ОК в —оо. Фактически и в двумерном пространстве-времени или в случае чисто коллинеарных движений можно определить быстроту как величину /? = c-Arthp, так что В = 0± при р = 0± и ^~>±оо при р->±с (таким образом, получается закон сложения для быстрот). Нельзя, однако, сделать так, чтобы это имело смысл при большем числе измерений, так что пространственноподобные объекты не могут быть «вытеснены прочь» из пространства-времени таким путем (разд. 1).

Расширенная теория относительности может быть, по существу, основана на постулатах 1—3 разд. 2. Тем не менее для упрощения заменим постулат 2 более удобным постулатом инвариантности скорости света. При этом расширенная теория относительности будет основываться на следующих предположениях: 1) принцип относительности; 2) инвариантность скорости света в вакууме; 3) третий постулат — принцип запаздывающей причинности (или эквивалентные ему принципы, см. разд. 3 и далее). Напомним, что особая роль скорости света в СТО следовала из ее инвариантного характера в вакууме, а не из того факта, что она является (или не является) максимальной скоростью [200]. Здесь мы обходимся без дополнительного постулата, утверждающего, что для всех скоростей | и | < с.

Распространение СТО на сверхсветовые объекты и системы отсчета могло бы быть осуществлено непосредственно, если бы

имела место симметрия между числом измерений пространства и времени аналогично двумерному (Л42) случаю [165, 193] или случаю, когда три временных измерения вводятся посредством пространства М(3,3) = Л46 или пространства С3. Если придерживаться (как и в дальнейшем) обычного пространства- времени Минковского, то мы увидим, что необходимо иметь дело с необычными мнимыми величинами [35, 36, 55, 57, 68, 141 — 143, 146—149, 172, 188, 190, 199, 217, 249]. Этот факт можно объяснить. Вначале, однако, учтем, что некоторые авторы (Корбен [55—57], Кальни, а также Шах [217]) вполне удовлетворены сложившейся ситуацией и современными возможностями интерпретации. В отличие от них другие авторы ([52, 53, 67, 70, 119, 126, 136, 149—151, 163, 179, 193, 195, 250], см. также [68, 108, 145—148, 190, 241, 244]) ищут более широкие возможности интерпретации на основе комплексных пространств-времен или вещественных многомерных пространств- времен. Если принять консервативную точку зрения, то можно удовлетворить требованиям, выраженным в ряде упоминавшихся выше статей, посредством рассмотрения применения сверхсветовых преобразований Лоренца в качестве аналитикоэкстраполяционной процедуры, которая предполагает (на промежуточных этапах) использование также комплексных (или по крайней мере чисто мнимых) пространственных и временных координат. Это не слишком далеко отстоит от уже сделанного, например в физике высоких энергий с помощью хорошо известной теории Редже, где амплитуды были экстраполированы на комплексные значения угловых моментов, или же с помощью обычной «теории рассеяния» (для комплексных значений энергии или импульса). Существенно то, что в расширенной теории относительности всегда можно по крайней мере записать уравнения только с помощью вещественных величин.

Повсюду в этой главе мы будем выбирать сигнатуру (Н) и> когда это удобно, применять естественные единицы (с=1). Но мы всегда будем избегать явного использования метрического тензора [124, 125] посредством обращения к системе обозначений Эйнштейна и к gp,v = 6uV (эвклидова метрика), а также посредством записи мирового вектора в виде х = (хо, Xi, Хг, х3) = (ct, ix, iy, iz). Поэтому у нас не будет необходимости различать ковариантные и контравариант- ные компоненты. Световой конус будет представлять собой «сферу» £ х^ s 0.

Формально мы получаем

3*3*время = / X пространство [с = 1 ].время = / X пространство [с = 1 ].(12)(12)

3*

3*

время = / X пространство [с = 1 ].

время = / X пространство [с = 1 ].

(12)

(12)

Как было отмечено самим Минковским [153], в естественных единицах мы можем формально записать

1 с~/(3- 108) м. (12')

В пространстве-времени (рис. 1 и 5) наша собственная мировая линия совпадает с нашей временной осью; с другой стороны, мировая линия трансцендентного (обладающего бесконечной скоростью) тахиона, движущегося вдоль оси х, будет совпадать с нашей осью х (с нашей точки зрения). Тогда для этого трансцендентного тахиона временной осью (f) будет та, которую мы называем осью х, и аналогично наши оси /, у, z будут для него тремя пространственными осями х\ у', z'. С другой стороны, структура расширенной теории относительности такова, что нам он будет казаться обладающим одной пространственной и тремя временными осями. То же самое будет иметь место в отношении часов и стержней!

Напомним, что свободные брадионы всегда допускают особый класс субсветовых систем отсчета (систем покоя), в которых они предсказываются — в пространстве Минковского — в виде точек в пространстве, растянутых во времени вдоль линии. С другой стороны, свободные тахионы [2, 138, 139, 152, 162, 194] всегда допускают определенный класс субсветовых (относительно нас) систем отсчета (критических систем отсчета), откуда они появляются с бесконечной скоростью (V = = оо), т. е. в виде точек во времени, растянутых в пространстве вдоль линии (рис. 1 и 5). Соображения такого типа важны для понимания вопроса о локализации тахионов относительно нас и соответствуют тому факту, что малыми группами времениподобных и пространственноподобных представлений группы Пуанкаре являются соответственно 50(3) и 50(2,1) (см. также [17]). Кроме того (разд. 7.4), тахион, наблюдаемый посредством своих световых сигналов, будет, как правило, казаться занимающим два положения в один и тот же момент времени.

Теперь нам надлежит осуществить формальное развитие расширенной теории относительности на основе трех исходных постулатов 1, 2 и 3, установленных в на.чале настоящего раздела.

Принцип дуальности

Из наших трех постулатов (разд. 4.2) следует, что при заданной определенной инерциальной системе отсчета класс {/} инерциальных систем отсчета априори состоит из всех систем отсчета f, движущихся с постоянной относительной скоростью ц, где —оо < |и | < -f-oo.

Экстраполируя обычные преобразования Лоренца (LT) на углы |а|>45° (см. рис. 5, где для простоты рассматривается двумерный случай), т. е. рассматривая также тахионные системы отсчета, мы получим [196] новую группу G обобщенных преобразований Лоренца, которая состоит из всех вращений в пространстве-времени Минковского для углов 0 ^ а ^ 360°, Для вывода этого результата важно учесть следующее.

Выберем некоторую инерциальную систему отсчета s0. Скорость света с вследствие ее инвариантного характера позволяет осуществить полное разделение систем отсчета fe {/} на два подкласса {s} и {S} систем отсчета, имеющих скорости соответственно и < с и U > с относительно s0. Для простоты мы в дальнейшем будем рассматривать себя как «наблюдателя s0». Системы отсчета s е {s} являются субсветовыми, а системы Ss{S}— сверхсветовыми системами отсчета. Относительная скорость двух систем si и $2 (или Si и S2) всегда будет меньше с, а относительная скорость между двумя системами s и S всегда будет больше с. Важной особенностью является то, что вышеприведенное полное разделение инвариантно, когда s0 изменяется в пределах {s} (или {S}); с другой стороны, когда мы переходим от soe{s} к системе отсчета Soe{S}, подклассы {s} и {S} взаимозаменяются. В этом случае мы пренебрегаем системами отсчета, движущимися со скоростью света (и = = U = с^ как нефизическими, несмотря на то что математическое использование систем отсчета с бесконечным импульсом недавно распространилось и на физику.

Отсюда сразу можно вывести принцип дуальности [2, 138, 139, 152, 162, 193, 194], который может быть кратко сформулирован в следующем виде: «Понятия В, Т, s, S имеют не абсолютный, а только относительный смысл». Отметим, что обратное предположение, т. е. что брадионный/тахионный характер является абсолютным, немедленно привело бы к невозможности определения сверхсветовых систем отсчета.

Брадионы и тахионы. Субсветовые и сверхсветовыесистемы отсчета

Мы будем пренебрегать пространственно-временными трансляциями, т. е. рассматривать только так называемые однородные преобразования Лоренца. Будем считать, что все системы отсчета имеют одно и то же событие в качестве своего начала. Разумеется, в пространстве Минковского брадионы характеризуются времениподобными мировыми линиями, люксоны — светоподобными, а тахионы — пространственноподобными мировыми линиями.

В этом случае преобразования L, осуществляющие переход между двумя инерциальными системами отсчета fi, /2 ^ {/}

и удовлетворяющие постулатам 1 и 2 (разд. 4.2), должны быть линейными и сохранять величины 4-векторов, кроме знака [2, 138, 139, 152, 162, 165, 193, 194]. Это положение доказывается, например, Риндлером [206] как следствие инвариантности скорости света. Поэтому преобразования L между двумя инерциальными системами отсчета fi и /2 должны быть такими, чтобы

Х^-Х,2 = ±(^-Х2) (13) для каждого 4-вектора №(%о, х), под которым можно понимать мировой вектор, 4-импульс, 4-скорость, 4-ток и т. д. В частном случае мировых векторов (в наших обозначениях) уравнение (13) принимает вид

сЧ'2 + W = ± [<^2 + О’х)2]. (14)

Легко убедиться, что знак плюс в уравнениях (13) и (14) соответствует обычному случаю субсветовых относительных скоростей, тогда как знак минус следует выбирать в случае сверхсветовых относительных скоростей (см., например, [124, 125]).

Постулаты 1 и 2 требуют, чтобы системы отсчета s и S рассматривались на равных основаниях (см. ниже); поэтому даже сверхсветовые наблюдатели S по предположению должны быть способным^ заполнить свое пространство (наблюдаемое ими) измерительными стержнями и синхронизованными часами, причем все они покоятся относительно S; т. е. должны быть способными построить (относительно самих себя) «решетку» из часов и измерительных стержней [231].

Из требования, чтобы сверхсветовые системы отсчета имели физический смысл [193], следует, разумеется, что должны существовать такие объекты и тахионы, которые находятся в покое относительно S и относительно s соответственно. Из того факта (см. ниже), что люксоны I обладают одинаковой скоростью для любого наблюдателя s или S, можно заключить, что брадион B(S) относительно S будет представлять собой тахион T(s) относительно любой из систем s и наоборот:

В (S) = Т (s), Т (S) = В (s), / (S) = Z (s). (15)

Это согласуется с принципом дуальности, который мы теперь дополним утверждением: «предполагается, что в системах отсчета S существуют точно такие же физические объекты, как и в системах s, и наоборот».

В заключение отметим, что, когда в системах s и S наблюдается одно и то же событие, времениподобные векторы преобразуются в пространственноподобные и наоборот при переходе от s к S и от S к s. С другой стороны, хорошо известно, что обычные преобразования Лоренца от sj к $2 или от Si к S2

сохраняют тип 4-вектора. Поэтому можно сказать, что (субсветовые) преобразования Лоренца должны быть такими, что (р = и/с)

Л,2 + (/х,)2= + [Л2 + (/х)2], р2<1,(16а)

тогда как сверхсветовые преобразования Лоренца (SLT) от s к S или от S к s должны быть такими, что

сЧ^ + (Zx')2 = - [с2/2 + (Zx)2], р2 > 1.(166)

Разумеется, тахионы будут также обладать вещественными массами покоя [130, 165, 193] (поскольку они являются обычными частицами относительно своих собственных систем покоя f, где / — сверхсветовые системы отсчета). Из уравнения (166), примененного к вектору 4-импульса, для тахионов сразу можно получить соотношение

£2 _ р2 _ _ т2 < о (/ио вещественна).(17)

Поэтому имеем

р2 =

{

гп^ > 0 для брадионов (случай I, или времениподобные), (18а) 0 для люксонов (случай II, или светоподобные), (186) — Шд < 0 для тахионов (случай III, или пространст

венноподобные). (18в)

В пространстве 4-импульсов (см. рис. 3) уравнения (18) представляют собой соответственно: а) для брадионов — двух- полостный гиперболоид вращения вокруг оси Е, б) для люксонов — двойной бесконечный конус с осью Е, в) для тахионов — однополостный гиперболоид вращения. Во всех случаях гп0 вещественна, и мы имеем |v| = |p/£’|. По очевидным причинам на рис. 3 изображено только трехмерное пространство р2 = 0; в действительности эти гиперболоиды являются гипергиперболоидами. Напомним, что любое сверхсветовое преобразование Лоренца отображает внутреннюю область светового конуса р2 = 0 на его внешнюю область и наоборот (как можно видеть, например, в математической теории катастроф, см. [217, 218]), даже если такое отображение является взаимно-однозначным только почти всюду).

Можно отметить, что а) скорость с, разумеется, сохраняет свой характер предельного кинематического параметра нашего четырехмерного космоса [35—37, 196] (даже если известно, что у этого предела имеются две «стороны»), а также свою роль в сравнении единиц длины и времени у различных наблюдателей; б) тахионы будут замедляться с увеличением их энергии и ускоряться при ее уменьшении.

В частности, для уменьшения скорости тахионов до (нижнего) предела с необходима бесконечная энергия. С другой стороны, когда скорость тахиона стремится к бесконечности, его энергия стремится к нулю; это препятствует нарушению общего постулата, гласящего, что «энергия может передаваться только при конечной скорости», поскольку тахион обладает нулевой энергией именно для тех наблюдателей, которым он представляется обладающим бесконечной скоростью. Отметим, что бра- дион может иметь нулевой импульс (и минимальную энергию тос2), а тахион может иметь нулевую энергию (и минимальный импульс тос); однако брадионы В (рис. 3, а) не могут существовать при нулевой энергии, так же как тахионы Т (рис. 3, в) не могут существовать при нулевом импульсе относительно тех наблюдателей, которым они кажутся тахионами! Отсюда сразу ясно, что бесконечная скорость может быть приписана только тахионам, соответствующим пересечению гиперболоида на рис. 3, в с плоскостью Е = 0.

Между прочим, поскольку трансцендентные тахионы действительно переносят импульс, они могут вести себя как твердое тело даже в СТО. Вследствие этого в физике элементарных частиц тахионы априори могут быть полезны для интерпретации дифракционного рассеяния или так называемых реакций с обменом померонами, а также упругого рассеяния [149, 150, 171, 181, 182, 184, 197].

Обобщенные преобразования Лоренца (GLT)

Обобщенные преобразования Лоренца, которые являются линейными и удовлетворяют уравнениям (16а) или (166), образуют новую группу G [141 —144, 149, 150, 181, 182, 184], которая записывается (если представить обобщенные преобразования Лоренца посредством 4Х4-матриц) в виде

о = {+ Л<} U {- Л<) U {- /л>) U {+ <Л>), Л<=Л(Р2<1), Л> = Аф2>|), рави/с,'

так что если LeG, то также —LeG, VLeG. В уравнении (19) множество {+Л<} представляет собой одно из обычных собственных ортохронных преобразований Лоренца, множество {—Л<} — одно из соответствующих неортохронных преобразо-

ваний Лоренца, а множества {±iA>}—некоторые из сверхсветовых преобразований Лоренца, где Л> являются матрицами, формально тождественными Л<, но со значениями р в области р>1*). Заметим, что в четырех измерениях символ i представляет собой (в отличие от обычной мнимой единицы) некоторую алгебраическую величину, квадрат которой равен —1; например, i можно априори представить в виде некоторой 4 X 4-матрицы X, такой, что X2 = —1.

Отметим также, что

detL = +l, VLeG.

Действительно, все обобщенные преобразования Лоренца являются пространственно-временными вращениями (см. рис. 1 н 5). Кратко можно сказать, что сверхсветовые преобразования Лоренца получаются из обычных преобразований Лоренца посредством умножения последних на «мнимую единицу» I и одновременной замены р на 1/р [196]:

SLT(l/P) = ±^[LT(p)], р2<1, 1/Р2>1, (20)

где оператор 9s есть произведение 9s = st® операторов ® = Е^р-1 и ^s^-t-l-a112). Другими словами, группа G представляет собой расширение [17, 172] обычной (собственной, ортохронной) группы Лоренца Lt посредством включения двух операций СРТ и 9Р-.

G = z{Lt, OPT, У).G = z{Lt, OPT, У).(21)(21)

G = z{Lt, OPT, У).

G = z{Lt, OPT, У).

(21)

(21)

Здесь мы выберем (см. примечание на стр. 54) (Р2—1),/« = = +i(l—Р2)1/1 в отличие от [196]. Тогда для сверхсветового буста со скоростью U вдоль положительного направления х уравнения (20) дают [138, 139, 160, 161, 193]

X = ± _ct_—uxjc_ _ [1 - («/с)2]7’Г = ±с [1 — Wcyt'1X = ± _ct_—uxjc_ _ [1 - («/с)2]7’Г = ±с [1 — Wcyt'1Т™-^’ / = ±Ж u = c^U<\,(02-1Г(22)

X = ± _ct_—uxjc_ _ [1 - («/с)2]7’

Г = ±

с [1 — Wcyt'1

X = ± _ct_—uxjc_ _ [1 - («/с)2]7’

Г = ±

с [1 — Wcyt'1

где и = c2/U, причем следует уделить особое внимание выбору знаков, который зависит от вышеприведенных условий. Отметим, что р=[7/с>1. Уравнения (22) впервые были приведены в работах Ольховского и Реками [160, 161], Реками и Миньяни [193] и Миньяни и Реками [138, 139].

*) Следует особо подчеркнуть, что матрицы Л> комплексны.

В двумерном случае уравнения (22) принимают вид

х-Ш(02 _ ц'А ’х-Ш(02 _ ц'А ’/ — Цх/с* (02 _ ^‘А ’/ — Цх/с* (02 _ ^‘А ’Р2> 1.Р2> 1.(23)(23)

х-Ш

(02 _ ц'А ’

х-Ш

(02 _ ц'А ’

/ — Цх/с* (02 _ ^‘А ’

/ — Цх/с* (02 _ ^‘А ’

Р2> 1.

Р2> 1.

(23)

(23)

В таком виде уравнения (23) впервые появились в работах [160, 161, 193], а затем в ряде последующих статей (например, [2]). В статьях [193] и [138, 139] было показано, что они, по существу, эквивалентны уравнениям Паркера (впервые полученным в работе [165], но в довольно сложной форме и без учета двойного знака, который необходим для получения обратных преобразований).

В качестве примера применения уравнений (22) рассмотрим тахион, имеющий массу покоя то (в своей системе покоя) и движущийся относительно нас со скоростью U; тогда мы будем наблюдать релятивистскую массу

_ т0 _ — imp _ т0 „2 > । (|1-02|)‘/а (1-02)'/» (02-1)‘А’ р ’ (24)

т0 вещественна.

Очевидно, что тахионам следует приписывать вещественные [130, 165, 193] (а не чисто мнимые) массы покоя при условии, что мы принимаем во внимание соответствующие сверхсветовые преобразования Лоренца.

Описания и законы. Эквивалентность брадионныхи тахионных инерциальных систем отсчета

Прежде чем идти дальше, покажем с достаточной степенью строгости, что обычное определение эквивалентности может фактически быть распространено на сверхсветовые инерциальные системы отсчета. Выберем [78] множество d? некоторых, надлежащим образом определенных систем отсчета г, множество ^ механических и электромагнитных явлений р, а также множество 3) описаний d (явлений ре^ в системах red?). Предполагается, что все наблюдатели г пользуются одинаковыми инструментами, как экспериментальными физическими, так и теоретико-математическими (т. е. одной и той же теорией). Строго говоря, мы имеем дело с триадами dpr, элементами множества 3)3*31 = 3D X ^ X S?, декартова произведения трех рассмотренных множеств. Как показано на рис. 7 (который приводится для наглядности), одному и тому же р соответствуют два описания d\ и d2 в двух различных системах отсчета гь г2 и т. д. Согласно нашим предположениям, при заданных любых двух элементах из d, р, г третий должен быть

178]178]фиксирован однозначно. Тогда можно написать

178]

178]

dxprxT^* d^pr^.dxprxT^* d^pr^.dpxrxdpxrxdp^r^.dp^r^.т. e.т. e.\г\-*гъ d^d=^px-*p2V\г\-*гъ d^d=^px-*p2Vт. е. Vi-*r2, p-*p=*dv-*d,Y

dxprxT^* d^pr^.

dxprxT^* d^pr^.

dpxrx

dpxrx

dp^r^.

dp^r^.

т. e.

т. e.

\г\-*гъ d^d=^px-*p2V

\г\-*гъ d^d=^px-*p2V

Определим подмножества Ar<=2>:

d e Ar<^> dpr e 9Ь9>91 = Ф x g> x 91.(25)

Тогда, следуя Агоди (не опубликовано) и [78], можно сказать, что две системы отсчета гх и г2 эквивалентны (=), если Аг отображается на самое себя при переходе от л к г2:

г = /- о A = А ^ Vd е А d е A Vd' е A =^d' е А . ' 12Г1 Г2Г\ГтГх

(26)

Подобное условие осуществляет полное разделение множества 91 на подмножества эквивалентных систем отсчета. Наоборот,

ОписанияОписанияЯвленияЯвленияНаблюдателиНаблюдатели

Описания

Описания

Явления

Явления

Наблюдатели

Наблюдатели

при заданных системе отсчета г и множестве ^ явлений можно построить множество 91 систем отсчета, эквивалентных г. Хорошо известно, что если заданы инерциальная система отсчета г = So и множество ^< обычных механических и электромагнитных явлений, то классом эквивалентных систем отсчета является класс 9ts, состоящий из обычных (субсветовых) инерциальных систем отсчета s, где 9ls= {s}. Это означает, что (нестрого говоря) для этого множества 9>< можно написать

Ar = A = A<, \/r^9ls.

Тогда вследствие принципов относительности и дуальности множество А = А< описаний будет соответствовать (для любой сверхсветовой инерциальной системы отсчета So е 91s, где 91 s= {S}) другому, новому множеству ^> механических и электромагнитных явлений, а при любой заданной системе отсчета So е 91s все другие системы S из множества 91s будут эквивалентны ей (по отношению к явлениям 9>>У

Теперь, согласно СТО, можно предположить, что обычные инерциальные системы отсчета s^gU также эквивалентны при рассмотрении всех механических и электромагнитных явлений peg1, связанных как с субсветовыми, так и со сверхсветовыми объектами. В частности, д1 будет содержать ^<U^>,a также другие явления (т. е. явления, относящиеся как к брадионным, так и к тахионным источникам и детекторам, или, в более общем случае, явления, в которых помимо фотонов участвуют брадионы и тахионы). Другими словами, предположим, что при заданном множестве д1

^Г = Ф» МгедЦ. (27)

Здесь можно также сказать, что системы отсчета SeAs эквивалентны системе отсчета So (и другим системам sg&), если множество Ф всегда отображается на себя при всех преобразованиях S ^ s, Si ^ S2, si^s2 по отношению ко всему множеству д1 (обобщенных) механических и электромагнитных явлений, т. е. (нестрого говоря) если при заданном множестве д1*

ФТ = Ф, Vregi, (28) где

3? = gisUS?s при ^S = n^s= 0-

Иными словами, обычное определение эквивалентости также вполне подходит для определения эквивалентности сверхсветовых инерциальных систем отсчета и обычных субсветовых систем. Поэтому наш постулат 1 из разд. 2 имеет ясный физический смысл даже в том случае, когда он относится — как это имеет место в нашей теории — и к сверхсветовым инерциальным системам отсчета.

В расширенной теории относительности, базирующейся на постулатах 1—3, действительно справедливо условие (28). Например, ограничимся ради простоты описаниями Ф<, Ф> (из системы отсчета r = s0) явлений р, принадлежащих к множеству д1 движений одиночных свободных (соответственно бра- дионных или тахионных) частиц. Тогда для данных явлений ре?

Ф = Ф<\]Ф>, VreM (29)

и при переходе от s к S Ф< переходит в Ф> и наоборот, но все множество Ф отображается на себя, как и должно быть. (Отметим, между прочим, что граница Ф<^\Ф>, соответствующая свободным фотонам, переходит сама в себя.)

Попытаемся теперь определить физические законы [78]. Для заданного явления р, если di и d2— его описания в систе-

мах отсчета г\ и г^ соответственно, а также если преобразование L таково, что

Lrv = ra,(30)

мы можем последовательно использовать такую форму записи:

Ldx = d2.(30')

Предположим теперь, что мы имеем критерий С принадлежности заданного описания d к множеству 2) описаний явлений ре 2 из системы отсчета ге2; тогда

С (с?) подтверждает ode®.(31)

Мы назовем С хорошим критерием, если он справедлив для любого d;

^d g 2) =>С(d) подтверждает ode®. (32)

Отсюда следует, что хорошие критерии С ковариантны (по форме) по отношению к любым L:

С (Ld) подтверждает -фф- Ld е 2).(32')

По определению будем понимать под С (или, скорее, под объединением различных возможных хороших критериев Сх, С2, ...) ансамбль физических законов для явлений р е 2, наблюдаемых в системах отсчета геЯ. И наоборот, предположение будет считаться физическим законом, если оно является частью С. Другими словами, при заданных 91 и 2 мы определяем как физический закон любое предложение, относящееся к ре 2, которое ковариантно в 2.

Предположим, кроме того, что мы знаем помимо класса А обычных физических законов (механики и электромагнетизма) для брадионов и антибрадионов также класс В физических законов для тахионов и антитахионов. Когда мы переходим от субсветовой системы отсчета s к сверхсветовой системе 3, класс А должен будет, разумеется, преобразовываться в класс В и наоборот. В этом смысле полная совокупность физических законов (Д U В) будет ковариантна по отношению ко всей группе G, т. е. G-ковариантна. И в этом же смысле все инерциальные системы отсчета (с относительными скоростями | и | ^ с) эквивалентны.

Разумеется, как показано в работе [196], физические законы (в СТО) могут быть записаны в (универсальной) форме, справедливой как для брадионов, так и для тахионов, т. е. в форме, заведомо совпадающей с обычной формой в случае брадионов. Например, уравнение (24), представленное

в G-ковариантной форме:

т0т~ (11 — Р2|)1А ’ т0т~ (11 — Р2|)1А ’Р2 ^ 1, т0 вещественна,Р2 ^ 1, т0 вещественна,

т0

т~ (11 — Р2|)1А ’

т0

т~ (11 — Р2|)1А ’

Р2 ^ 1, т0 вещественна,

Р2 ^ 1, т0 вещественна,

имеет универсальную применимость.

Из предыдущего рассмотрения немедленно следует правило расширенной теории относительности, обобщающее принцип Паркера [165] на четырехмерное пространство-время: «Релятивистские законы (по крайней мере в механике и электромагнитной теории) для тахионов получаются посредством применения сверхсветовых преобразований Лоренца, например «трансцендентного преобразования» [196], к соответствующим законам для брадионов».

Наконец, отметим, между прочим, что рассмотрение расширенной теории относительности [190, 196] побуждает нас выбрать пятимерное (по меньшей мере) пространство-время в качестве лучшей основы для механических теорий (см. ниже, а также разд. 3.2) [5, 76, 120, 121, 128, 202, 203]; относительно интерпретации пятой оси см. также [28, 29, 71, 109—111, 133, 204].

Причинность и тахионы

В случае тахионов еще более ясно, что наш третий постулат (утверждающий, например, что частицы с отрицательной энергией, движущиеся вперед во времени, не существуют) действи

тельно исключает любое движение назад во времени. В самом деле, (см. рис. 3,в), чтобы получить переход от (стандартного) тахиона А (с положительной энергией, движущегося вперед во времени) к тахиону Аг с отрицательной энергией, достаточно обычного преобразования Лоренца (преобразование Лоренца осуществляет движение на той же самой полости гиперболоида). Тот факт, что такое преобразование Лоренца будет изме

нять знак не только у энергии, но и у времени, легко виден из сравнения рис. 3, в и 8.

Обратимся сначала к рис. 3, в и рассмотрим систему отсчета So, а затем непрерывную последовательность систем от

счета, движущихся с возрастающими положительными скоростями и < с в направлении х, в которых наблюдается один

и тот же свободный тахион Т. При замене наблюдателей внутри этой последовательности точка К, представляющая кинематическое состояние наблюдаемого тахиона, движется от своего начального положения Л = К($о) (соответствующего, например, тахиону Т, движущемуся в положительном направлении х со скоростью V > с) к конечному положению А'. Для того чтобы перейти от верхней области (5 > 0) к нижней (£<0), представляющая состояние точка К должна пересечь плоскость Е = 0. В таком положении, поскольку V = р/Е (с = 1), точка /( (£* = 0) соответствует трансцендентному тахиону, т. е. тахиону Т с бесконечной скоростью и минимальным моментом т^с. Легко вычислить, что по отношению к so критическая система отсчета Soo, из которой Т представляется трансцендентным, движется с относительной скоростью и = c2/V < с. Между прочим, если ограничиться ради простоты, как и ранее, движениями вдоль х, то может быть установлено взаимно-однозначное соответствие

и <-> с2/о (33)

между субсветовыми системами отсчета (или объектами) со скоростью и < с и сверхсветовыми системами отсчета (или объектами) со скоростью с21*0 = V > с.

Любой наблюдатель, входящий вслед за Soo в вышеупомянутую последовательность систем отсчета, должен поэтому видеть Т обладающим отрицательной энергией Е (рис. 3,в). Перейдем теперь к рис. 8. Легко понять, что система отсчета Soo будет представлена осями (хоо,/оо), повернутыми относительно (х, /) на угол «оо, такой, что Хоо налагается на мировую линию ОТ рассматриваемого свободного тахиона Т. Рассмотренная выше последовательность систем отсчета в пространстве-времени получается посредством непрерывного увеличения а (от нуля): системы отсчета, в которых Т приписывается значение Е > 0, соответствуют а < а<х>, а те системы, в которых Т приписывается значение Е < 0, повернуты на угол а > а«>. Однако обращение к рис. 8 сразу подтверждает, что во втором случае тахион Т также должен наблюдаться движущимся назад во времени (и обладающим отрицательной энергией)!

Вследствие этого легко понять (см. рис. 3,в), что поскольку точка А' должна представлять тахион Т с отрицательной энергией, движущийся назад во времени, то (согласно принципу реинтерпретации) она фактически соответствует антитахиону Т (движущемуся в противоположном направлении с положительной энергией и вперед во времени).

Этим исчерпываются все случаи движения назад во времени.

Классическая физика для тахионов

Следуя правилу расширенной теории относительности (разд. 4.6), легко вывести классические законы, которым подчиняются тахионы, посредством применения сверхсветового преобразования Лоренца к обычным классическим законам, которым подчиняются брадионы. Как мы и предполагали, эти законы для тахионов могут быть выражены через одни лишь вещественные величины. Например:

Основной закон динамики для брадионов имеет вид [30]

а для тахионов [196]

так что в G-ковариантной форме мы будем иметь

p2^i,uTq X иТо / г

где dx/ds есть 4-вектор только относительно группы Lt обычных преобразований Лоренца, тогда как dx/dxo есть 4-вектор относительно полной группы G. (Следует упомянуть, между прочим, что можно надлежащим образом выбрать форму принципа действия и лагранжиана так, чтобы 3-импульс тахиона мог быть противоположен скорости: р =—mov/(P2—I)’/*; в этом случае пространственная часть уравнения (34) будет иметь вид F = -Vdp/dt даже для тахионов.)

В любом гравитационном поле на брадион действует гравитационная (притягивающая) 4-сила

=р2<1,

а тахион испытывает воздействие отталкивающей 4-силы

^=+^Г&,-^-^-. р2>1,(35)

где то [как и в уравнении (34)] представляет собой вещественную массу покоя тахиона. Тем не менее вследствие (34) уравнения движения как для тахионов, так и для брадионов в гравитационном поле будут иметь вид [196] (в G-ковариантной форме)

аЧ^я^О, р2^1,

где и = dx/dxo и а = du/dxo представляют собой соответственно 4-скорость и 4-ускорение. Отметим в заключение, что а) с энер-

гетической и динамической точек зрения тахионы представляются гравитационно отталкиваемыми обычным веществом, т. е. являются антигравитирующими частицами; б) но с кинематической точки зрения тахионы представляются отклоняющимися (или «падающими») к источникам гравитационного поля (см. работу [196] и ссылки в ней, [190], а также [86, 104, 105, 180, 236]).

Подобно тому как брадион, движущийся в вакууме с постоянной скоростью, не излучает, так и движущийся в вакууме

с постоянной скоростью тахион не будет испускать излучения, в частности черенковского [140, 196].

Что касается эффекта Доплера для сверхсветовых источников, то в случае относительного движения параллельно оси х как в субсветовом, так и в сверхсветовом случаях получаем

_ (36) где и = и* s ре — относительная скорость, а = ul, причем вектор 1 направлен от наблюдателя к источнику. То же самое смещение будет наблюдаться как для и = и < с, так и для U = с1! и > с [см. также (33)]. При приближении со сверхсветовой скоростью радиоизлучение будет приниматься в обратном хронологическом порядке [196] (рис. 9); этот факт соответствует отрицательному знаку, входящему в этом случае в уравнение (36).

В отношении уравнений Максвелла, если предположить, что обычный тензор электромагнитного поля Р^ будет также тензором относительно новой группы G обобщенных преобразований Лоренца, то уравнения Максвелла будут 6-ковариантны

[55—57, 59, 60]. Тем не менее если более последовательно обобщить законы преобразования для электрического Е и магнитного Н полей, то мы получим новые обобщенные уравнения Максвелла. А именно при наличии как субсветовых /ц($), так и сверхсветовых /ц(5) 4-токов будем иметь [141 —148, 197, 198] в лоренц-ковариантной форме

V-D = p(s),V-B = —p(S),

VXE = j(S)-^-, VXH = j(s) + ^,(37)

где у2 ^ с2. Другими словами, если определить обычный дуальный тензор (р, v, р, а = 0, 1,2, 3)

^HV= У 8nvpa^pa’ (^piv) = ^nv’^®)

и ввести комплексные величины

F = Z(E + ZH), Т гР IF J sj ^ — Ц <S\ то уравнения (37) принимают вид

д Т = 7 , Г =1Т , о2 ^ с2(37')

и тем самым устанавливается связь между электромагнитным дуализмом в (38) и дуальным соответствием брадионы «-> тахионы. Кроме того, если ввести также комплексный 4-потенциал

Су, = Ац 1В^

где, согласно [26],

F = А А Я F = R R А ц v ^p/vpa^a, р» |iv ц, v ^p/vpa^a, р’

то обобщенные уравнения Максвелла (37') будут иметь вид

ОС^ = 7ц, д^ = 0, и2 ^ с2.(37")

Разумеется, уравнения (37') и (37") могут также распадаться на чисто вещественные уравнения. Отметим, что в нашей теории Ац является только лоренцевым вектором, а не С-векто- ром, поскольку при обобщенных преобразованиях Лоренца он ведет себя как dx/ds\ например, при SLT = L 9

Лц Лц = ~ ^црЛр’ ^v ^p,v = z^up^va^pa

и аналогично для Fuv и Ац,v- Наконец, из структуры нашей теории следует, что В^ = ~ЦХ А. По поводу дальнейших подробностей или комментариев см. [195—198].

‘) SLT — сверхсветовое преобразование 71оренца. — Прим, перее.

Разрешение парадоксов причинности для тахионов(и дополнение)

Мы видели, что пример тахионов еще более наглядно иллюстрирует тот факт, что третий постулат действительно исключает любое нарушение причинности. Но этот успех достигнут ценой отказа от нашего старого убеждения, что суждение о том, что есть причина, а что — следствие, не зависит от наблюдателя. Действительно, в рассмотренном выше случае (рис. 3,5 и 4) начальный наблюдатель (s0) будет считать событие в Д причиной события в В. И наоборот, любой наблюдатель s', который интерпретирует это же явление как переход антитахиона Т от В к Л, будет считать событие в В причиной события в Л [23, 166, 209, 227]. (По поводу определения понятий «причина», «следствие» и т. д. см. дополнение.)

Тем не менее все наблюдатели всегда будут видеть, что причина хронологически предшествует своему следствию [196].

Отметим снова, что закон запаздывающей причинности релятивистски ковариантен и выполняется для всех инерциальных наблюдателей, как субсветовых, так и сверхсветовых. С другой стороны, вовсе не следует ожидать ковариантности описания явлений и деталей описания, в данном случае ковариантности присвоения названий «причина» и «следствие» [39]. Кроме того, будет показано [62, 166, 186, 187, 190, 191, 193, 194, 196, 209], что два события, связанные причинной связью, согласно наблюдателю $i (например, посредством тахионного обмена), могут показаться даже полностью несвязанными другим наблюдателям s2; так что само существование причинной корреляции не является релятивистски ковариантным в расширенной теории относительности.

Относительность суждений о причине и следствии и о самом существовании причинной корреляции привела к ряду кажущихся парадоксов причинности [21, 83, 84, 175, 207, 223, 224, 226, 227, 233], что даже при несложности их разрешения создает некоторые затруднения.

Здесь будет сформулирован и разрешен причинный парадокс, который представляется одним из наиболее изощренных. Он был предложен Пирани в 1970 г. [175] и в основном разрешен Парментолой и Ии в 1971 г. [166] на основе аргументов, содержащихся в цитированной выше литературе.

Рассмотрим четырех наблюдателей Д, 5, С, D, имеющих заданные скорости в плоскости (х, у) относительно пятого наблюдателя so. Предположим, что этим четырем наблюдателям заранее дана команда испустить тахион, как только они получат тахион от другого наблюдателя, так, чтобы имела место следующая цепь событий (рис. 10). Наблюдатель Д начинает эксперимент, посылая тахион 1 к В; наблюдатель В сразу же

который испустил этот тахион.который испустил этот тахион.испускает гахион 2 в направлении С; наблюдатель С посылает тахион 3 к D, а наблюдатель D посылает тахион 4 назад, к Л, в результате чего представляется, что А получает тахион 4 (событие Л1) до того, как эксперимент был начат путем испускания тахиона / (событие Л2). Схема этого мысленного эксперимента приведена на рис. 10, где наклонные векторы представляют собой скорости наблюдателей относительно s0, а линии, параллельные осям декартовых координат, являются траекториями тахионов.

который испустил этот тахион.

который испустил этот тахион.

Важно отметить, что на рис. 10 не представлено реальное описание процесса с точки зрения любого из наблюдателей! Действительно, стрелка на каждой из траекторий тахионов просто обозначает направление его движения относительно наблюдателя, (Между прочим, скорости тахионов и наблюдателей могут быть выбраны таким образом, чтобы все тахионы эффективно представлялись наблюдателю So движущимися в направлениях, противоположных указанным на рис. 10.)

Поскольку нельзя смешивать вместе наблюдения (четырех) различных наблюдателей [166, 186, 187, 191], то необходимо исследовать, каким образом каждый из них описывает цепь событий.

Согласно [166], с этой целью следует перейти к пространству Минковского и рассмотреть пространственно-временное описание, данное, например, наблюдателем А. С динамической точки зрения остальные наблюдатели могут быть заменены полями внешних сил, которые рассеивают тахионы (или атомами, способными поглощать и испускать тахионы).

На рис. 11 отчетливо видно, что поглощение тахиона 4 происходит раньше, чем испускание тахиона /. Может показаться, что имеется возможность посылки сигналов в прошлое наблюдателя А. Но наблюдатель А будет эффективно видеть ортодоксальную последовательность событий следующим образом: событие D заключается в образовании пары 3 и 4 внешним полем; тахион 4 затем поглощается в событии Лд, в то время как 3 рассеивается в С (преобразуясь в тахион 2); событие Л2 представляет собой испускание самим наблюдателем А тахиона /, который аннигилирует в 5 с тахионом 2. Поэтому с точки зрения А имеют место по существу начальное образо-

вание пары в D и конечная аннигиляция пары в В, а тахионы 1 и 4 оказываются вовсе не связанными причинной связью. Другими словами, с точки зрения А испускание тахиона 1 не приводит к образованию какой-либо цепи событий, которая привела бы к поглощению тахиона 4, и мы не присутствуем при каком-либо следствии, предшествующем вызывающей его причине.

Аналогично ортодоксальные описания (т. е. описания, данные остальными наблюдателями) могут быть получены посредством применения преобразования Лоренца к вышеприведенному описанию наблюдателя А.

Рис. 11.

Сформулируем теперь тот же самый парадокс в его более сильном варианте. Предположим, что тахион 4, будучи поглощенным в Ai наблюдателем А, взрывает всю лабораторию А, уничтожая физическую возможность последующего испускания (в А2) тахиона / (который по условию должен стартовать следующим) и тем самым создавая предположительно противоречивую ситуацию в соответствии с условиями парадокса. Согласно [209], напротив, можно видеть, как, например, наблюдатели s0 и А будут в действительности описывать это явление.

В частности, So будет наблюдать взрыв лаборатории наблюдателя А сразу после испускания (в Ai) тахиона 4 в направлении D. Поэтому, согласно s0, тахион /, испущенный В, проследует за А (поскольку он не поглощается в Аг) и будет в конце концов поглощен в некоторой удаленной точке стока U Вселенной [186, 187, 191, 209]. С помощью преобразования Лоренца, исходя из описания, данного So, можно получить описание, данное А,

Наблюдатель А после поглощения в Ai гахиона 4 (испущенного в D совместно с 5) зарегистрирует взрыв своей собственной лаборатории. Однако в А2 наблюдатель А будет представлять себе, что мимо него прошел тахионный космический луч / (идущий из удаленного источника Щ, который будет аннигилировать в В с тахионом 3, рассеянным в С (т. е. с тахионом 2).

* * *

Если даже считать, что для тахионов не осталось проблем относительно G-ковариантности закона запаздывающей причинности, то можно тем не менее добавить следующее «дополнение», не связанное с предшествующим изложением.

Отметим, что третий постулат является нашей фундаментальной гипотезой (в согласии со статистической термодинамикой и с теорией информации), но априори он не является логически необходимым [62, 156, 186, 187, 196]. Действительно, 1) предположим, что существует статистическая корреляция между двумя последовательностями событий в том смысле, что, например, каждое событие из второй последовательности происходит примерно за 1 секунду до события из первой последовательности (рис. 12). Такая статистическая корреляция будет называться причинной связью; 2) предположим теперь, что события из первой последовательности являются независимыми в том смысле, что мы вынуждаем их происходить в моменты времени, выбранные с помощью таблицы случайных значений (скажем, например, выбираемых посредством удаленной вычислительной машины, не имеющей никакой связи с рассматриваемыми событиями), — такие события будут называться причинами; 3) события из второй последовательности будут тогда называться зависимыми в рамках причинной корреляции, определенной в п. 1, — о них нужно говорить как о следствиях; 4) поэтому можно заключить, что в данном случае следствия действительно хронологически предшествуют своим причинам (рис. 12). В заключение настоящего отступления поясним возможную природу наших затруднений в понимании следствий, хронологически предшествующих своим причинам, рассказав следующий анекдот, который не содержит современных предрассудков. У древних египтян, которые знали только Нил и его притоки, причем все они протекали с юга на север, слово «юг» означало то же самое, что и выражение «вверх по течению», а слово «север» — «вниз по течению». Когда египтяне обнаружили существование Евфрата, который, к сожалению, течет с севера на юг, им пришлось преодолеть такой серьезный кризис, что о нем было упомянуто на надгробном обелиске Тут-

моса 1, где говорится: «Та перевернутая вода, которая движется вниз по течению (т. е. на север), двигаясь вверх по течению» [62].

В заключение добавим, что настоящее дополнение не имеет также ничего общего с последующим изложением.

Вещество и антивещество

Антивещество

Выше было показано, что принцип реинтерпретации исключает любую передачу информации в прошлое (даже с помощью тахионов); одновременно он дает возможность предсказывать — просто из соображений относительности — существование антивещества. _

Действительно, в нашей теории античастицы Р представляют собой не что иное, как частицы Р, находящиеся в состоянии с «отрицательной энергией и движущиеся назад во времени». Частицы Р в этом_состоянии действительно будут казаться нам античастицами Р (обладающими положительной энергией и движущимися вперед во времени), поскольку мы должны исследовать пространство-время в некотором направлении времени (которое мы называем положительным по определению). Наш третий постулат предполагает, что частицы с отрицательной энергией, движущиеся вперед во времени (равно как и частицы с положительной энергией, движущиеся назад во времени), не существуют.

В частности, в нашей теории было показано, что если задан тахион Т, то обычное преобразование Лоренца может преобразовать его в некоторый объект Т, имеющий в точности все свойства, которыми, как было показано в экспериментах, действительно обладают античастицы.

Однако в случае брадионов В (рис. 3, а) с помощью обычного преобразования Лоренца нельзя уйти с исходной полости гиперболоида. То есть обычное преобразование Лоренца не может перевести точку с верхней полости гиперболоида (представляющую частицу В) в точку на нижней полости гиперболоида (представляющую античастицу В).

Отсюда следует, что когда мы ограничиваемся обычными преобразованиями Лоренца, принадлежность брадионов к веществу или антивеществу является инвариантом для брадионов, но зависит от наблюдателя для тахионов.

Тем не менее если устранить предыдущее ограничение, то с помощью обобщенных преобразований Лоренца, например посредством двух сверхсветовых преобразований Лоренца, действительно можно перейти от частиц к античастицам даже в случае брадионов. Таким Образом, в расширенной теории относительности вещественный/антивещественный характер объекта зависит от наблюдателя даже для обычных частиц и объектов.

А именно напомним, что, как было показано, частица Р в кинематическом состоянии, соответствующем точке на нижнем гиперболоиде (рис. 3,а), кажется античастицей Р, соответствующей Р в обычном смысле. Интересно, что, как только введено понятие частицы (как это обычно делается в СТО), непосредственно из самой СТО следует понятие античастицы [см. уравнение (7)].

Наконец, ограничимся ради простоты бустами в направлении х, т. е. коллинеарными преобразованиями Лоренца вдоль направления х. Тогда четыре подмножества обобщенных преобразований Лоренца в (19) описывают переходы от начальной системы отсчета s0 (например, с пространственными осями, образующими правую систему) не только ко всем системам отсчета fR, движущимся вдоль х со всеми возможными скоростями и, где —оо < и < +°°> но и ко всем левым системам отсчета f, также движущимся со всеми возможными скоростями и вдоль х (ср. рис. 2—6 и 11 в работе [196]).

Действительно, при обгоне трансцендентной системы отсчета (относительно s0) f(oo) = f(U = оо)мы переходим1) от систем отсчета fR (например, с правой пространственной системой отсчета) к полностью инвертированным системам fL — (PT)fR с левой пространственной системой отсчета, реверсированной

временной осью и т. д.1). Этого следовало ожидать, поскольку полная инверсия или сильное отражение РТ (где Р— оператор пространственной четности, а Т— оператор обращения времени) является не чем иным, как некоторым поворотом в четырехмерном пространстве-времени, и мы видим, что обобщенные преобразования Лоренца совпадают со всеми пространственно-временными вращениями, если не ограничиваться обычными собственными ортохронными преобразованиями Лоренца, так что PT е G (см. ниже).

Нестрого говоря, можно заключить на основании принципа реинтерпретации, что если бы идеальная система отсчета f могла подвергнуться смещению вдоль оси (окружности) скоростей, то она бы вернулась (после обхода f(oo)) с инвертированными пространственными осями (пространственная четность) и с частицами, трансформированными в античастицы.

Источники и детекторы. Взаимодействияи объекты

Ограничимся двумерными обобщенными преобразованиями Лоренца и рассмотрим: а) брадионный объект С в нашей системе покоя s0; б) непрерывную последовательность сверхсветовых систем отсчета S, движущихся коллинеарно вдоль х и представляемых геометрически (рис. 1 и 5) посредством поворотов на углы а в диапазоне от 90° — А до 906 + А. Будем называть Soo трансцендентной системой отсчета S (а = 90°), в которой С становится тахионом с бесконечной скоростью. Вследствие принципа реинтерпретации, по мере того как мы обгоняем трансцендентную систему отсчета Soo (рис. 13), в новых системах отсчета наблюдаемый объект С будет восприниматься как антитахион С, движущийся в противоположном направлении в пространстве.

Наоборот, мы можем считать себя покоящимися (относительно So) и наблюдать системы отсчета S, рассматриваемые как объекты или скорее как некоторый тахионный объект С, который движется со скоростью, изменяющейся непрерывно. Эта ситуация уже анализировалась на рис. 4.

Однако внимательное рассмотрение рис. 4 показывает, что третий постулат не может быть применен, если (для каждого брадиона В или тахиона Т) не принимать во внимание

*) Эти соображения справедливы до применения принципа реинтерпретации! Мы увидим (в разд. 6), что после применения принципа реинтерпретации наша операция РТ является по существу обычной операцией СРТ. В нашем формализме оператор СРТ является линейным (классическим) оператором в псевдоэвклидовом пространстве (поскольку он является элементом G) и унитарным (квантовомеханическим) оператором при действии на пространство квантовомеханических состояний.

соответствующие источники и детекторы. С более общей точки зрения, поскольку нам приходится иметь дело с обменом ролями испускания и поглощения, процедура реинтерпретации теряет свой смысл, если мы не можем отнести наши брадионы и тахионы к некоторым (пространственно-временным) областям взаимодействия. Например, когда тахион Т приобретает бесконечную скорость, он переходит от существования в виде входящего в определенную область взаимодействия тахиона Т

к существованию в виде выходящего из этой области взаимодействия антитахиона Т. В заключение отметим, что принцип реинтерпретации можно дополнить следующим утверждением [196]: «При транскритическом обобщенном преобразовании Лоренца, когда, например, излучатель и поглотитель меняются ролями, любой объект с отрицательной энергией в начальном состоянии физически соответствует своему антиобъекту с положительной энергией в конечном состоянии и наоборот».

Разумеется, третий постулат — при использовании для реинтерпретации эффектов обобщенных преобразований Лоренца— требует рассмотрения процессов как с начальными, так и с конечными состояниями.

Следовательно, в расширенной (специальной) теории относительности требуется, чтобы физика имела дело с взаимодействиями, а не с объектами (или на языке квантовой механики с амплитудами, а не с состояниями).

Вернемся теперь к рис. 4. Если оба макрообъекта А и В связаны посредством обмена частицей Р, то с точки зрения специального класса наблюдателей {foo} объект Р считается обладающим бесконечной скоростью: Р в Роо. Но для трансцендентных частиц направление движения вдоль АВ (рис. 4) не определено. В этом предельном случае можно, например, рассматривать Роо либо как частицу Р (и = 4-оо), движущуюся от А к В, либо, что эквивалентно, как античастицу Р (v = = —оо), движущуюся от В к А. В формализме квантовой механики можно, например, написать

РооМР(И = оо)) = а|Р(У = + <*)) + /ИР(^

аЧЬ2=1. '

Другими словами, если А и В обмениваются объектом (бра- дионным или тахионным), то для определенного класса наблюдателей они связаны посредством симметричного мгновенного взаимодействия. (Быть может, это объясняет расширяющееся применение описания с помощью дальнодействия, как эквивалентного обычному [106, 129, 226, 243].)

Этим объясняется также тот факт, что никакой источник не может ничего испускать, если соответствующий детектор, расположенный где-либо во Вселенной, не готов к поглощению. По крайней мере в случае тахионного обмена это условие является строго обязательным в теории относительности (если ограничиться только субсветовыми преобразованиями Лоренца). Здесь следует упомянуть, что даже при использовании обычной СТО Уилер и Фейнман [245, 246] смогли построить для предельного случая — фотонов — теорию (эквивалентную обычной электромагнитной теории), в которой источники испускают фотоны только в том случае, если соответствующие детекторы (уже) готовы к поглощению. Мы увидим, что черные дыры (как гравитационные, так и сильные, см. ниже) являются, по-видимому, подходящими источниками и детекторами тахионов.

СРТ-теорема, кроссинг-соотношения и опережающиерешения

СРТ-теорема

Начнем со следующего дополнения. Обобщенное преобразование Лоренца, соответствующее а =180° (рис. 1 и 5), представляет собой сильное отражение или операцию полной инверсии РТ = —1, как уже отмечалось в разд. 5.1. Действительно, произведение двух сверхсветовых преобразований Лоренца (LT) (которое всегда дает субсветовое преобразование

Лоренца) может дать как ортохронные, т. е. типа LT = +А<, так и неортохронные, т. е. типа —LT = (РТ) Л <, преобразования; рассмотрим, в частности, (неортохронное) преобразование Лоренца, которое обычно называется преобразованием РТ. Поскольку, чтобы достичь значения а= 180° (начиная с а = 0°), необходимо пройти значение а = 90° (рис. 1 и 13), то следует применить принцип реинтерпретации (рис. 4); так что в содержащей заряды Вселенной обобщенное преобразование Лоренца (GLT), которое мы назвали РТ, фактически осуществляет обмен частица ^ античастица и должно эффективно рассматриваться как СРТ-операция:

GLT (а = 180°) = СРТ,(40)

где под С здесь понимается инверсия всех (аддитивных) зарядов. Поскольку уравнение (40) справедливо как для брадио- нов, так и для тахионов, то при сильном отражении GLT = —1 частицы (брадионы или тахионы) в начальном или конечном состоянии процесса взаимодействия будут преобразованы в античастицы (В или Т) в том же самом состоянии того же процесса взаимодействия и наоборот. Например, обе реакции о 4“ 6 —> с 4- d, а 4- b->c 4- 5

являются двумя различными описаниями одного и того же явления, наблюдаемого из двух различных инерциальных систем отсчета So и —So = (CPT)So соответственно.

Заслуживает особого внимания тот факт, что если обобщенное преобразование Лоренца действует на 4-вектор, связанный с объектом, то оно аналогичным образом действует и на другие 4-векторы (4-импульс, 4-ток и т д.), связанные с этим объектом. В частности, операция сильного отражения, которая изменяет знак 3-вектора х и времени t, будет также изменять знак 3-импульса р и энергии Е. Таким образом, возникает необходимость в рамках расширенной теории относительности ввести новые символы Р (сильная четность) и Т (сильное обращение времени) для обозначения инверсий знаков первых трех компонент и четвертой компоненты всех 4-векторов соответственно. Тогда уравнение (40) приобретает следующий смысл:

РТ = СРТ,(41)

где Р а Рр, ..., ТгТЕ, ... и где С, Р, Т —обычные дискретные симметрии [за исключением того, что в нашем формализме С означает сопряжение всех положительных зарядов (см. разд. 3.2)]. В этом новом формализме Р по существу

эквивалентно Р, но Т ^ Т (кроме того, наше Т не содержит операцию X, осуществляющую обмен поглощение ^= испускание).

Отсюда следует, что СРТ-теорема, требующая ковариантности всех физических законов относительно СРТ, есть прямое следствие специальной теории относительности (если не ограничиваться субсветовыми ортохронными преобразованиями Лоренца).

Уравнения (40) и (41) предполагают также, что в рамках теории относительности «правильный путь осуществления РТ заключается в осуществлении СРТ», и это один из самых существенных выводов Ли и Янга [127]. Действительно, расширенная теория относительности гласит, что можно безопасно, т. е. ковариантно, отражать пространство-время (или, если предполагается ковариантность относительно Т, отражать пространство), только если мы одновременно применяем С с тем, чтобы получить далее частицы, преобразованные в античастицы. Другими словами, можно ковариантно применять Р только при одновременном применении Т (т. е. Г и £).

Напомним, что принципу реинтерпретации можно придать более изящную форму в пятимерном пространстве (см. разд. 3.2), где пятая ось связана с массой покоя.

Мы видели, что для СРТ-ковариантности достаточно требований только СТО, однако она необходима только для физических законов механики и электромагнитной теории (строго говоря). Распространение принципа относительности также на ядерные и субъядерные явления (т. е. на сильные и слабые взаимодействия) может, по-видимому, привести к новой, более общей теории (например, к конформной теории относительности) аналогично тому, как переход от механики к теории, включающей также электромагнетизм, ведет от теории Галилея— Ньютона к теории Эйнштейна. Поэтому, если бы, например, в субъядерных взаимодействиях было обнаружено нарушение СРТ-ковариантности, то это означало бы, что преобразования Лоренца более не являются достаточно точными для того, чтобы их можно было использовать при построении теории сильных и слабых полей.

Только законы, но не описания должны быть ковариантны

Напомним, что в принципе относительности (т. е. в нашем первом постулате) вовсе не требуется, чтобы два различных наблюдателя давали одинаковые описания одного и того же явления (например, вследствие эффекта Доплера они могут наблюдать один и тот же объект как имеющий разные цвета). В нем требуется только, чтобы для этих двух наблюдателей

явления подчинялись одним и тем же физическим законам (вообще говоря, законам сохранения).

Отметим, например, что не требуется, чтобы электрический заряд изолированной системы был релятивистски инвариантным, необходимо только, чтобы он был постоянным (с точки зрения любого наблюдателя) при всех преобразованиях системы.

ный пример. Рассмотрим (рис.ный пример. Рассмотрим (рис.Рис. 14.Рис. 14.Весьма поучительно проанализировать какой-либо нагляд- 14) положительно заряженную частицу а, которая, с точки зрения первого наблюдателя 01, распадается на нейтральную частицу с и другую положительную заряженную частицу 6, обладающую в общем случае другой скоростью (см. рис. 14, а, где изображена также стрелка, указывающая время). Можно найти другого наблюдателя О21), с точки зре

ный пример. Рассмотрим (рис.

ный пример. Рассмотрим (рис.

Рис. 14.

Рис. 14.

ния которого, например, выходящая частица b ведет себя как входящая античастица 5, несущая отрицательный заряд. Наблюдатель 02 будет интерпретировать этот процесс как образование резонанса или процесс аннигиляции (рис. 14,6). В системе отсчета 01 наблюдается полный электрический заряд + 1, тогда как 02 наблюдает полный электрический заряд, равный нулю. Оба наблюдателя тем не менее будут согласны в том, что в наблюдаемом процессе выполняется закон сохранения электрического заряда.

Кроме того, до взаимодействия 01 видит одну частицу, тогда как 02 видит две. Следовательно, само количество частиц (например, тахионов, если мы рассматриваем только субсветовые преобразования Лоренца) в определенный момент не является лоренц-инвариантным.

Однако полное число частиц (например, тахионов), участвующих в реакции (либо в начальном, либо в конечном состояниях), является лоренц-инвариантным вследствие самих свойств принципа реинтерпретации и обобщенных преобразований Лоренца. Это также дает нам основание строить физические теории на основе реакций, а не объектов.

Прежде чем закончить настоящий раздел, отметим, что обычные доказательства инвариантности электрического заряда справедливы только для субсветовых ортохронных преобразо-

*) Если мы хотим, чтобы наблюдатель 02 был субсветовым относительно 01, то частица b (по крайней мере) должна быть тахионом; ср. рис. 8.

ваний Лоренца, применяемых к брадионам. В отличие от этого уже было показано, что заряд частицы может изменять знак при обобщенных преобразованиях Лоренца (рис. 4).

Кроссинг-соотношения

Помимо СРТ-теоремы из СТО можно также получить так называемые кроссинг-соотношения (даже для обычных элементарных частиц). А именно можно показать [35, 141, 144, 148, 196, 204], что в рамках расширенной теории относительности одна и та же функция должна давать амплитуды рассеяния различных процессов типа

(42)(42')(42)(42')a-Vb->c-V d,а + с ~^ b -J- d,

(42)

(42')

(42)

(42')

отвечающих, разумеется, соответствующим (различным) областям переменных процесса. Аналогичные рассуждения могут быть проведены на классическом (чисто релятивистском) уровне, поскольку поперечные сечения и инвариантные амплитуды (рассеяния) также могут быть определены классически (см. [196]). Например, пусть a, b, с, d— брадионные объекты. Оба процесса (42) и (42') между брадионами, как мы видим, являются двумя различными реакциями рх и р2, но два соответствующих различных сверхсветовых наблюдателя Si и S2 могут рассматривать их как одно и то же взаимодействие ds = dx=d2 между тахионами (см. разд. 6.2). Согласно расширенной теории относительности, можно получить амплитуду рассеяния для процесса рХ) т. е. А^р^, применяя SLT(Si-> ->s0) = Lx к амплитуде Ai(di), определяемой наблюдателем Si при рассмотрении рассеяния рх;

А(рх) = Lx[Ax(dx)].

Наоборот, можно получить амплитуду рассеяния для процесса р2, т. е. Л(р2), применяя SLT(S2^s0) = L2 к амплитуде Л2(^2), определяемой наблюдателем S2 при рассмотрении рассеяния р2:

a^ = uva2№

Но из предположения

Л1№) = Л2№) = Л№) следует, что

Л(р,) = Л(р2)(43)

для всех реакций типа (42) и (42') между брадионами.

Действительно, в обычной квантовой механике (или, скорее, квантовой теории поля) требование (43) удовлетворяется при предположении, что амплитуда Л есть аналитическая функция, которая может быть (аналитически) продолжена из области инвариантных переменных, относящихся к (42), в область переменных, относящихся к (42'), и т. д. Тем не менее требование (43), налагаемое теорией относительности, или, скорее, расширенной теорией относительности, на процессы (42) и (42'), имеет более общую природу (и является чисто релятивистским по своему характеру).

Интерпретация опережающих решений

Давно известно, что в общем случае релятивистские уравнения допускают опережающие решения (помимо запаздывающих). Например, уравнения Максвелла предсказывают как запаздывающее, так и опережающее электрбмагнитное излучение. С наивной точки зрения опережающие решения иногда рассматривали как действительно связанные с движениями назад во времени, забывая при этом принцип реинтерпретации Штюкельберга — Фейнмана и даже саму структуру СТО.

В рамках расширенной теории относительности легко объяснить, почему считают, что релятивистские (как классические, так и квантовые) уравнения допускают и запаздывающие, и опережающие решения, т. е. решения, относящиеся к объектам, движущимся соответственно вперед и назад во времени.

Действительно, когда уравнение допускает решение, соответствующее (выходящим) частицам или фотонам, гогда с помощью процедуры, аналогичной описанной в разд. 6.3, можно связать это решение с другим соответствующим (входящим) античастицам или (анти)фотонам.

Поэтому если такое уравнение является релятивистски ковариантным (или, что еще лучше, G-ковариантным, т. е. оно справедливо для всех инерциальных наблюдателей, как субсве- говых, так и сверхсветовых), то оно должно также допускать решения, соответствующие входящим античастицам или фотонам* всякий раз, когда оно допускает решения, соответствующие выходящим частицам или фотонам.

Таким образом, мы показали, что все релятивистские уравнения, ковариантные относительно группы G обобщенных преобразований Лоренца, должны допускать наличие как запаздывающих, так и опережающих решений (даже если последние фактически связываются вследствие принципа реинтерпретации с противоположно направленными античастицами или фотонами, а не с объектами, движущимися назад во времени).

Тот факт, что, вообще говоря, релятивистские уравнения действительно удовлетворяют этому требованию, выведенному из расширенной теории относительности, говорит в ее пользу [151]. Но это не означает, что все релятивистские уравнения уже записаны (в их современной форме) в G-ковариантном виде.

Очевидно, можно заключить, что никакая частица (в частности, никакое излучение), действительно движущаяся назад во времени, не может быть ни предсказана на основании релятивистских уравнений, ни экспериментально обнаружена в рамках специальной теории относительности. Однако остается открытым вопрос: почему в действительности наблюдается, например, только выходящее излучение, а не входящее (анти)- излучение? Ключом к ответу является учет начальных условий (Торальдо ди Франсиа, неопубликованное сообщение). В обычной макрофизике некоторые начальные условия значительно более вероятны, чем другие. Например, механические уравнения динамики жидкости допускают существование на поверхности моря как расходящихся круговых концентрических волн, так и сходящихся круговых волн, стремящихся к центру. Но начальные условия, приводящие к первому случаю, встречаются со значительно большей вероятностью, чем начальные условия, приводящие ко второму случаю.

Некоторые соображения относительно тахионов

Черные дыры и тахионы

Обратимся к общей теории относительности. Но вместо того чтобы использовать полностью произвольные координаты, ограничим допустимые координаты следующим образом. Будем 'считать, что задана система общих координат (а, 6, с, d) и пространственная точка Р, и свяжем с ними (локального) наблюдателя О, который находится в покое в точке Р относительно этой системы координат. Предположим далее, что мы можем перейти от (a,b, с, d) к другим общим координатам (а', &', с', d') только в том случае, если локальный наблюдатель О', связанный с этими координатами (а', &', с', d') в той же точке Р, локально перемещается относительно О со скоростью, меньшей скорости света.

Напомним, что обычно в общей теории относительности предполагаются непрерывность и дифференцируемость пространственно-временного многообразия, а брадионы (тахионы) всегда остаются брадионами (тахионами).

Но наше исходное ограничение может привести к освобождению от налагаемого на многообразие условия по крайней

мере на некоторых особых (не обязательно сингулярных) поверхностях таким образом, что на них геодезические смогут изменять свой тип.

Рассмотрим, например, координаты Шекереса — Крускала (ШК)), заведомо образующие две системы общих координат для описания (шварцшильдовского) решения уравнений Эйнштейна в случае сферически-симметричного распределения масс. А именно рассмотрим систему координат ШК) (м>, v>), определенную вне горизонта события (т. е. для г > 2Л4; с = = G=1), и систему координат ШК (h<,v<), определенную для г < 2Л1. Мы предполагаем определение каждой из этих систем координат настолько широким, чтобы они охватывали все пространственно-временное многообразие (как вне, так и внутри горизонта события). Тогда можно заключить, что (теперь в единицах с = 20Л1 = 1)

-«ti-i'kw а<(4)=^|»>«]. ^i. 7<н (44)

здесь 9— оператор замены г-*\/г и умножения всей функции на мнимую единицу. Этот оператор 9 формально тождествен оператору, входящему в (20) и осуществляющему переход от субсветовых систем отсчета к сверхсветовым. Между прочим, оператор 9 уравнения (20) представляет собой преобразование К = +limp-H-ooSLT(p), а точнее трансцендентный буст, который можно получить из уравнений (22) с целью осуществления двумерного перехода (,[196], с. 221)

x->x' = t, t—*t' = x. (45)

Заметим, кроме того, что если ввести определения [46, 47, 68, 181]■

ar. | X1/.(гX .( tX

2М11 )6Хр k 4М) ctl( Ш) ’

ar. I( гX ./ tX

Ш1 I )СХР k 4М) shk 4М) '

так что для г > 2Af:

u>=uv У>гУ||,

то для г <L 2М получим

M< = V||, V<=Ur

Следовательно, переход (при фиксированном /) от г > 2М к г' = 1/г < 2М означает обмен ролями и и у:

Ug^U^Vg, Vg-»v' = Ug. (46)

Сравнение (45) и (46) снова иллюстрирует ([196], с. 221) формальную аналогию между переходом от системы s к системе S и переходом из внешней во внутреннюю область горизонта черной дыры. В работе де Саббаты и др. [68] сделан вывод, что внутренние координаты ШК (и<, и<) связаны с наблюдателями, которые движутся быстрее света относительно наблюдателей, связанных (в той же точке) с внешними координатами ШК (и>, о>). В таком случае мы сталкиваемся с нарушением нашего первоначального предположения и поэтому должны ограничиться, например, выбором повсеместно либо внешних, либо внутренних координат ШК, надлежащим образом обобщенных, или же выбрать просто шварцшильдовские координаты. То же самое можно сказать и относительно других координат, например координат Финкельштейна. Подобные соображения получили более формальное обоснование, например, в работе Реками и Шаха [201] в предположении многосвязного многообразия и возможных изменений топологии в пространстве-времени.

При нашем выборе предположений и, следовательно, при наших ограничениях на допустимые общие координаты легко видеть, что свободно падающий (вне горизонта события) бра- дион В станет тахионом Т внутри горизонта и наоборот. Черные дыры будут поэтому классическими источниками (и детекторами) тахионов.

Таким образом, расширенная теория относительности, по- видимому, позволяет предположить, что черные дыры могут классическим образом обмениваться тахионными объектами.

В любом случае нам хотелось бы здесь подчеркнуть, что те же математические проблемы, которые встречаются в специальной теории относительности при распространении преобразований Лоренца на сверхсветовые системы отсчета, присутствуют также и в общей теории относительности, когда требуется осуществить переход извне внутрь горизонта черной дыры. В частности, для несферически-симметричного распределения масс те же затруднения с мнимыми единицами будут встречаться и при рассмотрении сверхсветовых преобразований Лоренца. И снова, по-видимому, здесь могут оказаться полезными методы теории катастроф.

Действительно, при анализе (несферически) возмущенных шварцшильдовских проблем многие авторы [112, 113, 154] вынуждены были предположить существование не зависящих от координат аномальных (или даже сингулярных) поверхностей.

Различные замечания

А. Начнем с некоторых кинематических соображений. Прежде всего из закона сохранения 4-импульса легко вывести, что тело, находящееся в покое, не может испускать тахионов (в своей системе покоя), если только у него не уменьшается (дискретными порциями) его собственная масса покоя. Это очевидно, например, в случае тахионов с бесконечными скоростями. Действительно, трансцендентный тахион, как известно, обладает импульсом, но не энергией (£ = 0; |р| = тос), так что вследствие закона сохранения энергии он не может быть испущен (или поглощен)1) каким-либо покоящимся телом (если масса покоя этого тела не испытывает «классического» скачка к более низким значениям).

Б. Кроме того, наблюдатель может видеть, что вакуум становится нестабильным только благодаря испусканию двух или более тахионов с бесконечной скоростью таким образом, что полный испущенный трехмерный импульс равен нулю (полная испущенная энергия в этом случае автоматически равняется нулю). Рассмотрим теперь, что означает высказывание, что наблюдатель s видит в начале координат, например, рождение из вакуума пары трансцендентных тахионов Т и Т, движущихся соответственно в положительном и отрицательном направлениях вдоль х до тех пор, пока они не поглотятся двумя (движущимися) телами А и В. Предположим, что А и В движутся перпендикулярно оси х. Сразу очевидно, что s имеет возможность интерпретировать свои наблюдения как образование пары тахион — антитахион (с бесконечными скоростями) в любой точке между А и В на оси х или даже в самих точках А и В. Другими словами, можно интерпретировать предыдущее явление как происходящее вследствие обмена между телами А и В одним трансцендентным тахионом, а именно либо трансцендентным тахионом Г, испущенным В и поглощенным А, либо трансцендентным антитахионом Т, испущенным А и поглощенным В. В заключение отметим, что s будет наблюдать упругое взаимодействие А и В, вызванное передачей импульса бесконечной скорости между А и В, и любой подобный наблюдатель может принять описание, не предполагающее нестабильности вакуума.

Напомним еще раз, что бесконечная скорость не является ло- ренц-инвариантной; в расширенной теории относительности инвариантной является только скорость света в вакууме. Поэтому с точки зрения других наблюдателей s', s", ..., движущихся

9 Напомним, что трансцендентные тахионы не обладают определенным направлением движения по своей траектории (в том смысле, что испускание тахиона с бесконечной скоростью полностью эквивалентно поглощению антитахиона с бесконечной скоростью и наоборот).

вдоль х, вышеупомянутый процесс будет представляться как обусловленный обменом тахионом (или антитахионом) с бесконечной скоростью1).

В. Что касается так называемых виртуальных частиц, то теперь можно предположить следующее (см. [183, 184]; [159], с. 822; [И], с. 646; [145], разд. 4, с. 538—539; [150], сноска на с. 149; [197], с. 43; [205]; [171], особенно примечания 17, 21, 32; [35, 36]). Трансцендентные тахионы, имеющие Е = 0; |р| = = ш^с^ 0, могут быть (классическими) посредниками при дифракционном рассеянии, при так называемых реакциях обмена померонами и при некоторых случаях упругого рассеяния. Рассмотрим, например, случай двух тел Л и В, не изменяющих своих масс покоя в процессе тахионного обмена, так что Л и В претерпевают упругое рассеяние (на языке физики элементарных частиц). Тогда в системе центра масс оба тела Л и В представляются обменивающимися только импульсом (но не энергией), так что их естественным образом можно считать связанными посредством обмена трансцендентными тахионами; однако если применить преобразования Лоренца, то это означает, что упругие рассеяния могут, вообще говоря, рассматриваться как происходящие вследствие обмена соответствующими тахионами с конечной скоростью. В еще более общем случае при снятии условия неизменяемости масс покоя обнаруживается, что обмены тахионами могут быть полезными даже в целях интерпретации (на классическом уровне, т. е., возможно, без квантовой механики) неупругих взаимодействий между элементарными частицами (или между другими соответствующими телами). Мы еще вернемся к этому вопросу в разд. 7.3.

Г. В заключение настоящего раздела приведем еще одно соображение, которое часто оказывается полезным. Мы хотим наглядно проиллюстрировать некоторые выводы специальной теории относительности (тахионы, следовательно, никакой роли в дальнейшем не играют). Предположим [72, 189], что мы узнали о космическом сражении между двумя различными видами внеземных цивилизованных существ, каждое из которых находится на своей собственной межпланетной ракете, причем цвет ракет у существ первого вида фиолетовый, а у второго — зеленый. Предположим, кроме того, что мы знаем, что зеленые люди обладают неизменным природным инстинктом, который делает их миролюбивыми, так что они не имеют права стрелять из своих орудий; в противоположность им фиолетовые люди

П Разумеется, то же описание может быть использовано наблюдателями s', s", ..., даже когда s описывает свои собственные наблюдения на основе «распада вакуума» вышеприведенного типа.

обладают агрессивным, воинственным характером. Когда мы наблюдаем за этим космическим сражением, вполне может случиться— вследствие эффекта Доплера, — что, когда фиолетовый человек стреляет из своего орудия и попадает в зеленую ракету, фиолетовые люди и ракеты будут казаться нам зелеными и наоборот (благодаря тому, что фиолетовая ракета удаляется, а зеленая приближается). Необходимо быть внимательным, чтобы не сделать вывода о том, что (неизменный) природный закон (в нашем случае инстинкт этих внеземных существ) резко изменился. На первый взгляд мы действительно наблюдали кажущееся нарушение законов природы; однако, если нам известны физические теории (т. е. теория относительности), а также скорости ракет, то мы можем определить истинные цвета ракет в их собственных системах отсчета и тем самым разрешить дилемму. Иными словами, любой наблюдатель способен понять все физические события, которые он (и только он) наблюдал, при условии, что он правильно использует свое знание теории относительности. Это означает, что мы можем осуществлять научный подход к природе только в том случае, если используем теоретические (помимо экспериментальных) методы исследования.

«Виртуальные частицы» и тахионы

Вернемся к разд. 7.2, п. В.

Закон сохранения 4-импульса гласит, что тело (или частица) Л не может испускать в своей системе покоя никаких тахионов Т (при любой их массе покоя т) до тех пор, пока масса покоя Мд тела А не принимает скачком более низкое значение Мд, такое, что [171]

А= 2МАЕТ < - р2< - т\

где р — трехмерный импульс тахиона, а ЕТ в (р2— т?уК В действительности должно быть

M^^-m^-V^A-My*.(47)

В частном случае испускания тахиона с бесконечной скоростью, т. е. когда £т =ж 0 (в системе покоя Л), имеем

A (Л42) = — /и2.(48)

Поскольку испускание трансцендентных тахионов (антитахионов) эквивалентно поглощению трансцендентных антитахионов (тахионов), мы снова получим уравнение (48) также как предельный случай поглощения тахионов. Заметим, что движущееся относительно Л тело В может в противоположность этому

испускать тахионы также при увеличении (или неизменности) его массы покоя.

Рассмотрим теперь второе тело (или частицу) В, перемещающееся с субсветовой скоростью w вдоль оси х; пусть Мв и Р — соответственно его масса покоя и трехмерный импульс. Вследствие сохранения 4-импульса тело В может поглощать тахион Т (имеющий массу покоя пг и 3-импульс р || Р) только в том случае, если [191]

2МВ | р | = (mH Л) | Р | + (Р2 + М2В^ [(т2 + А2) + 4т2М2 р, (49)

где теперь А = Мв — Мв = 2^^?^ — tn ^ 0. В системе покоя В, в частности, т. е. когда Р = 0, имеем

2Мв | р | = пг \5М^В + (т2 + А2)/т2р;

иначе говоря, тело В в состоянии покоя может поглощать только тахионы Т, обладающие скоростью V в любом направлении, так что (с = 1)

| у | = [ 1 + ^пгМ^т2 + А2)]7».(50)

Из уравнения (49) следует, например, что В может поглощать тахионы с бесконечной скоростью (вне зависимости от направления) только при условии

А = — т2,(48')

что согласуется с (48). Уравнение (48') может быть также сразу получено из следующих соображений: если два тела обладают бесконечной относительной скоростью, то скалярное произведение р^Р^ их 4-импульсов равно нулю. Соображения такого типа для элементарных частиц, использованные в области квантовой теории поля, привели Корбена [58—61] (см. также [99, 177, 228]) к истолкованию многих адронных резонансов как композиций брадионов и тахионов и, таким образом, к дальнейшему развитию лоренц-ковариантной «бутстрапной» теории 9-

Если мы вторгнемся в область, обычно относящуюся к квантовой механике, т. е. в область (сильных) взаимодействий между элементарными частицами, то обнаружим, что так называемые виртуальные частицы обладают в общем случае отрицательным квадратом 4-импульса:

/ = р2 = £2~р2<0,(17')

что имеет место для тахионов [см. (17)]. Этот факт также позволяет предположить, что виртуальные частицы (т. е. объекты,

9 Отметим, что если два тела обладают бесконечной относительной скоростью, то их 4-импульсы ортогональны. См. также [17, 45, 60, 61].

которыми обмениваются субъядерные частицы) могут рассматриваться классически как тахионы (см. литературу, цитированную в разд. 7.2, п. В). Действительно, в рамках некоторых моделей, основанных на одночастичном обмене (периферические модели с поглощением), более десяти лет назад считалось доказанным, что виртуальные облака адронов должны ассоциироваться со сверхсветовыми скоростями [159, 183, 184]. Напомним, что в процессах рассеяния с участием двух начальных и двух конечных частиц величина /, входящая в уравнение (17'), изменяет свой знак и свой смысл (от квадрата переносимого импульса к квадрату полной энергии в системе центра масс), когда мы переходим из канала s в канал t; это согласуется с тем фактом, что сверхсветовые преобразования Лоренца могут трансформировать реакцию (между брадионами) в кроссинг-реакцию (разд. 6.3) между тахионами. Предыдущие соображения позволяют лучше понять вывод соотношения кроссинга, приведенный в разд. 6.3 (даже если никакое обобщенное преобразование Лоренца не осуществляет эффективно перехода взаимодействия между брадионами в кроссинг-взаимодействие снова между брадионами).

Если пользоваться общепринятой терминологией, когда все соотносится только с субсветовыми системами отсчета (и, следовательно, уравнение (24) наивно интерпретируется посредством приписывания тахионам мнимых масс покоя), то тогда резонансы с их комплексными массами могут интуитивно рассматриваться как сочетания брадионов и тахионов [11, 145, 150, 159, 171, 183, 184, 197, 205].

Роль тахионов в структуре адронов уже, по-видимому, подтверждается (но мы еще вернемся к этому вопросу) также фактом наличия в физике элементарных частиц дуальных теорий (с их струнными моделями), механизмов типа механизмов Хиггса, билокальных функций для кварков, инстантонов и т. п. В отношении последних поучительно исследовать, как сверхсветовой наблюдатель видит несвободный брадион, в частности гармонически осциллирующий брадион (или, наоборот, каким ему кажется тахион, который гармонически осциллирует с точки зрения сверхсветовой системы отсчета). Кроме того, не следует забывать, что существование пространственноподобных компонент всегда представляется естественным и, возможно, даже неизбежным свойством взаимодействующих полей; например, было доказано [17, 18, 66, 96, 222, 237, 238], что если фурье-образ локального поля исчезает для пространственноподобных векторов в пространстве импульсов, то это поле является обобщенным сводобным полем. Далее, на основании уравнений (37) и (38) можно показать, что дуальность брадион— тахион по существу эквивалентна дуальности электри-

ческого и магнитного зарядов (см. разд. 4.8); однако в ряде недавних работ обнаружены связи между электромагнетизмом и дуальными теориями (например, между струнами Дирака, соответствующим образом модифицированными и интерпретированными, и дуальными струнами [17]). Хорошо известны также идентификации магнитных монополей с кварками, предложенные в научной литературе; интересные результаты были получены, например, посредством рассмотрения кварков просто как квантованных (и замкнутых) потоков магнитного поля [114—117]. Легко видеть, кроме того, что тахион, находящийся под действием центральной силы, вполне может двигаться гармонически (благодаря обращению направления своего движения в точках, где |V| = oo) или вдоль замкнутых траекторий. Подобные соображения высказаны также в недавних работах, где адроны рассматриваются как возможные специфические «сильные черные дыры» [34, 37, 38, 46, 137, 192, 211, 219] (см. также ч. Б, разд. 9 настоящей статьи).

Продолжим обсуждение интересных цитированных выше статей Корбена. Предположим, что если тахион связан центральной силой отталкивания (как в гравитационном поле в пределах нашего космоса либо в сильном поле внутри адрона, см. разд. 9), то он достигает состояния с минимальной потенциальной энергией, когда его скорость становится бесконечной; иначе говоря, «основное состояние» системы соответствует трансцендентному периодическому движению тахиона. Кроме того, если брадион, обладающий массой покоя т\, поглощает тахион, имеющий массу покоя пг^ причем m\>*m^ то составная частица всегда является брадионом. В рамках расширенной теории относительности Корбен [58—61] получил квантовые числа и массы покоя для множества барионных и мезонных разонансов, рассматривая их как состоящие из одного адронного брадиона и от 1 до 3 адронных тахионов. Если можно, кроме того, рассматривать адроны в качестве специфических «сильных черных дыр», то тахионная составляющая (составляющие) будет испускаться — при пересечении горизонта события благодаря квантовым эффектам — в соответствующей брадионной форме.

Кроме того, Корбен определил разности масс членов различных изоспиновых мультиплетов, связав сверхсветовые лептоны с соответствующими (субсветовыми) адронами. При обобщении подобного подхода на кварковый уровень сами кварки опять-таки могут рассматриваться как струны или петли, составленные из сверхсветовых лептонов. (При таком подходе, естественно, кварки будут представлять собой структуры, составленные из партонов, которые будут не чем иным, как тахионными лептонами.)

Вернемся к уравнениям (47) — (50). Если величине А (Л1л) можно приписать только дискретные значения, то уравнение (47) налагает ограничение на т (как функцию от МА и р2), и наоборот, как в случае, например, возможного процесса Азз(1232)->р + / в системе покоя резонанса Азз- Между прочим, если сравнить этот процесс с электромагнитным распадом возбужденного атома А* -> А + у, то мы снова встретимся с гипотезой, что квантами сильного поля могут быть (мезонные) тахионы.

В отношении уравнения (49) отметим, что если А = 0 или А — дискретная величина, то тело В может поглощать (при любом /и) только тахионы с определенным дискретным значением | р | и наоборот.

Астрофизика и сверхсветовые объекты

Мы уже рассмотрели (разд. 4.8) эффект Доплера для сверхсветовых космологических объектов [см. (36)]. Здесь мы хотим добавить только следующее. Рассмотрим макрообъект С, испускающий сферические электромагнитные волны. Когда мы видим его движущимся со сверхсветовой постоянной скоростью V, то вследствие дисторсии, возникающей из-за большой относительной скорости |V|>c, мы будем наблюдать, что электромагнитные волны окажутся касательными изнутри к огибающему (двойному) конусу Г, имеющему в качестве оси траекторию тела С (этот конус не имеет ничего общего с черепковским, см. разд. 4.8, п. 3). Это аналогично тому, что происходит с самолетом, движущимся в воздухе с постоянной сверхзвуковой скоростью [25].

Прежде всего мы приходим к следующему заключению. Так же, как мы слышим звуковой удар, когда вступаем в первый звуковой контакт со сверхзвуковым самолетом, так по аналогии мы будем видеть оптический удар, когда впервые вступим в радиоконтакт с телом С, т. е. когда мы встретимся с поверхностью конуса Г. Действительно, когда мы видим тело С под углом а, так что (рис. 15, а)

V cos а = с, (51) все излучение, испускаемое С в определенном интервале вокруг его положения Со, достигает нас одновременно. Если точка Со находится на космологических расстояниях, то мы можем ожидать, что условия оптического удара будут сохраняться (если они выполняются) в течение очень длительного времени.

Вскоре после первоначального оптического (или радио) контакта с излучающим телом С мы будем одновременно воспринимать свет, испущенный из соответствующих пар точек, одной

слева и другой справа от Со. Мы должны, таким образом, видеть исходное тело расщепленным на два светящихся объекта, удаляющихся друг от друга со сверхсветовой (относительной) скоростью U. В простом случае, когда тело С движется с почти бесконечной скоростью вдоль г (рис. 15,6), кажущаяся относительная скорость тел Ci и С2 изменяется на начальном этапе по закону U « (2dc/tyk, где d— расстояние "ОН = ОС0, а / = 0— момент времени, когда наблюдатель видит Ci а а Сг = Со.

C’l Ct Со СгС1 (У=«)C’l Ct Со СгС1 (У=«)

C’l Ct Со СгС1 (У=«)

C’l Ct Со СгС1 (У=«)

Рис. 15.

Соображения такого рода могут оказаться интересными в связи с тем экспериментальным фактом, что примерно 50% определенных сильных источников радиоизлучения [51] обнаруживают структуру, которую, по-видимому, можно интерпретировать на основе перехода в область сверхсветовых скоростей. Обычно они как раз представляются состоящими из двух источников, коллинеарно удаляющихся друг от друга с (кажущейся) сверхсветовой относительной скоростью; в то же время сходящиеся сверхсветовые движения не наблюдались.

Ясно, что явления такого типа могут привлечь внимание наблюдателя только в том случае, когда угловое расстояние

9вСхОС2 между Ci и С» мало, т. е. когда Ci и С2 все еще находятся вблизи положения Со. Из рис. 15, а ясно, что (в соответствии с предложенной здесь интерпретацией) для обоих этих тел Ci и С2 должно тогда иметь место доплеровское голубое смещение, поскольку они являются изображениями одного приближающегося тела С. Тем не менее если сверхсветовые тела С расположены только на космологических расстояниях (как в случае рассмотренных выше воображаемых наблюдений), то мы должны принимать во внимание космологическое красное смещение, которое может скрыть начальное, кинематическое голубое смещение.

Б. Другие обобщения теории относительности

«Проективная теория относительности»

Введение в проективную теорию относительности

Специальная теория относительности (как в своей обычной, так и в расширенной формах) строится на основе псевдоэвкли- дового пространства-времени, которое предполагается плоским и бесконечным. Нетрудно понять, что подобный ограниченный пространственно-временной фон представляет собой слишком сильную экстраполяцию свойств наших локальных пространства и времени и не может быть приспособлен, например, для того, чтобы служить хорошей основой для описания космоса. Трудно поверить, в частности, что физические законы будут ковариантны также при временных трансляциях в миллиарды лет (по крайней мере в своей обычной форме).

Интересным предложением относительно пространства-времени, которое априори могло бы быть применимо к космологическим исследованиям, является следующее (здесь мы будем обращаться в основном к работам Фантаппье [80], Арчидиа- коно [5, 6], Корбена [54], Песса [174] и других авторов). Отметим, что группа Галилея Ci% может быть получена (посредством сужения) из группы Пуанкаре Li% как предельный случай при с-^оо. Можно поставить вопрос: не может ли группа Пуанкаре в свою очередь представлять собой предельный случай какой-то другой, новой группы? Оставаясь в четырехмерном пространстве (только рассматривая 10-параметри- ческие группы), Фантаппье в 1954 г. показал, что существует единственная новая группа, непрерывно зависящая от параметра R, которая сводится к группе Пуанкаре при R-^oo и которая уже не может быть пределом какой-либо другой, отличной от нее группы. Такая новая группа F\% оказывается группой внутренних движений пространства-времени де Ситтера, обладающего постоянной кривизной и космологической постоянной Л = 3/R2. Пространство-время де Ситтера с помощью уравнения

Zs + Zi + Z^ + Zi + Z^tf2 (52) можно представить в виде гиперповерхности, погруженной в плоское пятимерное пространство (здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что некоторые координаты могут быть мнимыми) [5, 76, 120, 121, 128, 202, 203]. С этой точки зрения группа Гм де Ситтера — Фантаппье становится группой вращений в плоском пятимерном пространстве, а это ясно пока- зывает^ что Г}03 обобщает группу Пуанкаре (однородная — ло-

ренцовская,— часть которой, как хорошо известно, изоморфна с комплексной точки зрения группе вращений в плоском четырехмерном (1,3)-пространстве).

Полезная и важная физическая интерпретация группы де Ситтера — Фантаппье F\% была выдвинута в 1959 г. Арчидиа- коно [5, 6], который отделил пространство-время де Ситтера от «относительного» пространства-времени каждого наблюдателя пространством учета того факта, что каждый наблюдатель воспринимает события так, как если бы они происходили в плоском пространстве-времени, причем любые нулевые геодезические кажутся ему прямыми линиями. Другими словами, каждое относительное пространство-время является геодезическим представлением пространства-времени де Ситтера на касательной гиперплоскости. Таким образом, преобразования группы де Ситтера — Фантаппье становятся проекциями из центра квадрики (52) и сечениями касательной гиперплоскости. Или, скорее, группа Fi\\ становится группой проективных отображений, которые преобразуют в самое себя квадрику

^ + X22 + ^i + ^ + /?2-0, (53)

Т’*‘ R2 = x2 + y2 + z2- сЧ2. (53') Вводя однородные координаты и полагая Xi = Rxi/x^ запишем уравнение (53) в видех| + х2 + Хз + х^ + х5 = 0. В заключение отметим, что с проективной точки зрения обычное физическое пространство-время представляет собой область, внешнюю по отношению к абсолюту Кэли — Клейна [см. (53)]. Но проективное пространство, определенное как область, внешняя к квадрике (53), есть не что иное, как пространство-время Кас- тельнуово [43, 44, 174], и только в этом пространстве математические выражения получают физическую интерпретацию. Отсюда следует специальная проективная теория относительности, которая сводится к обычной теории относительности только при R-^oo. По поводу ее многочисленных интересных свойств следует обращаться к [5, 6].

Здесь можно добавить лишь следующее. Для того чтобы построить свою общую теорию относительности, Эйнштейн перешел от теории, основанной на группе (модель Минковского), к теории, основанной на гравитационных уравнениях (и, следовательно, на ds2). Впоследствии, чтобы построить единую теорию, многие пытались обобщить риманову геометрию, т. е. не пытались довести до совершенства специальную теорию относительности, прежде чем обобщать общую теорию относительности (ОТО). Согласно Арчидиаконо, обычные единые теории неудовлетворительны именно потому, что любые теории,

построенные посредством обобщения римановой геометрии (или посредством перехода к 5- или 6-мерным многообразиям), все еще основываются на СТО (определенной в пространстве-времени Минковского) и на группе Пуанкаре. Эта группа не является простой и поэтому расщепляется на пространственновременные (6-параметрические) вращения и (4-параметриче- ские) трансляции. Это приводит к разделению обычной СТО на две независимые части (механику сплошных сред и электромагнетизм), в которых существует резкое различие между свойствами вещества и электричества. Напротив, в проективной теории относительности вращения и трансляции объединяются во вращения (5-мерной гиперсферы) S5 посредством новой фундаментальной длины R; вследствие этого сразу обнаруживается связь между веществом и электричеством, не выходящая за рамки классических теорий, основанных на группах (эрлангенская программа для физических теорий).

Если же в свете вышеизложенного попытаться получить «общую теорию относительности», исходя из проективной теории относительности (которая основана на группе де Ситтера — Фан- таппье), то можно ожидать, что новая «общая проективная» теория относительности распространит эйнштейновскую гравитационную теорию на космологические масштабы и поэтому будет особенно пригодной для астрофизических проблем.

Чтобы объединить концепции тех, кто хочет иметь дело только с ds2, и тех, которые в отличие от них обращаются к групповым соображениям, можно использовать унифицирующую точку зрения Картана [40—42], который, обобщая идею пространства, представил саму риманову геометрию в геире- тико-групповой форме. Действительно, следуя Картану, риманово многообразие V4 можно рассматривать как состоящее из бесконечного числа пространств (например, эвклидовых), касательных к нему в каждой его точке, причем каждое из этих пространств обладает геометрией (в смысле Клейна), основанной на группе вращений и трансляций; Картан такую геометрию называл голономной. Данное бесконечное множество эвклидовых пространственных элементов соединяется затем друг с другом с помощью определенного закона связности (в этом смысле названного Картаном эвклидовым), который позволяет получить как кривизну, так и кручение (локальные свойства) У4 посредством использования на многообразии инфинитезимальных замкнутых циклов, а также группу голономии (глобальные свойства) V4 посредством использования конечных замкнутых циклов на V41). Наоборот, если известна группа

голономии, то закон связности может быть однозначно определен [5, 6, 174]» Разумеется, все вышесказанное можно сразу распространить на случаи, когда касательные пространства обладают неэвклидовой геометрией, основанной на группе Gr с г параметрами (по-прежнему в смысле эрлангенской программы). Аналогично если задана любая голономная (т. е. основанная на группе) геометрия, то можно построить соответствующие ей неголономные (анголономные) геометрии. Например, в пространстве-времени Минковского группа голономии с очевидностью является тождеством, и это пространство-время голономно; с другой стороны, риманово пространство-время в общей теории относительности уже не является голономным. Тем не менее оно допускает (в отсутствие кручения) в качестве группы голономии группу Лоренца, т. е. группу вращений в пространстве S4.

Резюмируем:

Для выхода за пределы СТО Эйнштейн перешел от теории, основанной на группе вращений Rt (группа Лоренца), к теориям, в которых используются римановы многообразия V\ V5, V6, ..., и, таким образом, отказался от применения групп.

С другой стороны, в «теории вселенных» Фантаппье — Арчидиаконо модели космосов (или вселенных) строятся на основе групп вращений R^ Rs, R6, ..., в результате чего устанавливается фундаментальная связь между физическими законами [79, 80], группой и геометрической моделью космоса (или Вселенной). Действительно, выбранная группа принимает на себя, таким образом, геометрическую задачу представления внутренних движений в соответствующей модели Вселенной, а с физической точки зрения — задачу выражения в математической форме принципа относительности. Физика может быть построена, например, с использованием топологической группы, т. е. п^п—1)/2-мерных многообразий, обладающих как физической, так и групповой структурами (это аналогично тому, что сделал Лагранж в своей аналитической механике, когда описал механическую систему с помощью лагранжевых параметров).

Чтобы примирить точки зрения Эйнштейна и Фан- гаппье — Арчидиаконо, можно использовать установленную Картаном связь между теорией групп и дифференциальной геометрией. С этой, третьей, точки зрения можно задать последовательность «специальных теорий относительности», основанных на группах вращений Rn, и затем связать с каждой из них «общую теорию относительности», обратившись к голономной геометрии (которая допускает Rn в качестве своей группы голономии и, следовательно, является римановой геометрией).

Обратимся теперь для примера к построению «общей теории относительности» на основании проективной теории относительности1). В этом случае необходимо ввести голономное пространство X4 (в общем случае риманово многообразие переменной кривизны), которое допускает группу де Ситтера — Фантаппье в качестве группы голономии. Поскольку эта группа изоморфна одному из вращений S5 (напомним, что под Sn понимается n-мерное гиперсферическое пространство), то можно обратиться к геометрии риманова многообразия V6 (которое как раз допускает группу вращений пространства S5 как группу голономии). Такую геометрию V6 следует интерпретировать на основе проективной дифференциальной геометрии четырехмерного многообразия X4. Известно, что проективная дифференциальная геометрия многообразия X" допускает в действительности (п + 1)-мерную интерпретацию на основе римановой геометрии многообразия iw1.

Согласно Картану, пространство X4 с проективной связностью представляет собой пространство, обладающее характером проективного пространства в бесконечно малой окрестности каждой его точки Р, а также проективным (гомографиче- ским) законом связности между окрестностями двух его бесконечно близких точек. Для этой цели необходимо ввести соответствующее поле квадрик Q, помещенных в пространства, касательные к отдельным точкам Р из X4 [5, 6]. Если точка Р фиксирована, то соответствующая квадрика Q(P) образует абсолют локальной неэвклидовой метрики. Параллельный перенос в римановом многообразии V4 сохраняет изотропные конусы; аналогично проективная связность должна давать проективный закон переноса, который сохранял бы вышеупомянутое поле квадрик Q. После получения определенной таким образом проективной связности можно обычным образом построить проективный тензор кривизны PapY6 (a, 0, у, 6=1, 2, ..., 5), обращение которого в нуль является необходимым и достаточным условием того, что данное пространство будет проективно плоским (т. е. будет обладать постоянной кривизной). Действительно, многообразия постоянной кривизны локально отображаются на эвклидово пространство с сохранением геодезических.

Обращение в нуль риманова тензора кривизны приводит в ОТО снова к пространству-времени Минковского; с другой стороны, обращение в нуль проективного тензора кривизны PapY6 приводит (в проективной общей теории относительности) к пространству-времени де Ситтера с постоянной кривизной.

’) Вопросы построения ОТО с помощью проективной теории относительности активно рассматриваются Шмутцером [252, 253]. — Прим. ред.

Наконец, тензор PapY6 обладает важным свойством: он включает в себя тензор кручения (вследствие чего Картан назвал его тензором кривизны и кручения). Действительно, в отличие от того, что имеет место в обычных пространствах, обладающих аффинной связностью, пространство с проективной кривизной обладает кручением; это следует из того факта, что группа де Ситтера — Фантаппье (группа голономии X4) распадается (в релятивистском пределе) на вращения и трансляции в S4, к которым относятся соответственно «кривизна вращения» и «кривизна трансляции» (кручение).

Альтернативный подход

Если мы хотим строго следовать эрлангенской программе в ее физической части, то может иметь место и другой подход [54]. Исследование вселенной де Ситтера (проективная теория относительности) и соответствующих обобщенных уравнений Максвелла подтверждает полезность (помимо теоретикогруппового обоснования физики) обращения к группам вращения Rn n-мерных пространств. Мы видим, что на этом пути достигается последовательность моделей Вселенной, представляемых в виде гиперсфер S”-1, погруженных в n-мерные пространства Еп ^п = 4, 5, ...); возникает проблема разработки такой теории относительности, которая базировалась бы на группе Rn внутренних движений гиперсферы Sn-X. Между прочим, в группах Rn (м > 3) с их проективными координатами Xi (/= 1, ... ..., п) появляются п— 3 универсальных постоянных, необходимых для сложения (в соответствии с требованием однородности физической размерности) квадратов длин с квадратами новых координат (дополняющих первые три) [167, 202, 203].

Если задать как и в проективной теории относительности, п— 4 условия нормировки, то можно вернуть n-мерную теорию относительности к ее четырехмерной формулировке (в терминах пространственно-временных координат). Кроме того, в пределе R-^oo каждая гиперсфера S"-1 сводится к плоскому пространству Еп"х, а ее п проективных координат переходят в п— 1 декартовых координат; следовательно, группа Rn [с п^п—1)/2 параметрами] распадается на произведение группы вращений Rn-\ и группы трансляций Тп-\ (имеющих соответственно (n—1) (и —2)/2 и п — 1 параметров), тогда как условиями нормировки становятся п— 5 независимых уравнений с п—1 неизвестными. Например, при п = 5 получаются проективные преобразования (проективная геометрия), при л = 6 — конформные преобразования (конформная геометрия), при п > >6 — преобразования типа Кремоны. Таким образом, мы приходим к применению алгебраической геометрии в физике,

Именно здесь возникает новый альтернативный подход. Действительно, следует отметить, что в рассмотренной выше теоретико-групповой концепции физики особую роль играют обобщенные уравнения Максвелла, описывающие различные гиперсферические вселенные S"”1, которые ковариантны относительно группы Rn. Если обозначить через Hik = —Hki (г, к= = 1, 2, ..., /г) обобщенное электромагнитное поле, обладающее. п(п—1)/2 независимыми компонентами, то обобщенные уравнения Максвелла будут иметь вид

Rot Htk = Jlkb D\NHlk = Ikl i, k, /=1, 2, ..., n, где hki и Ik являются источниками поля, а ротор и дивергенция предполагаются действующими в п измерениях. Была установлена связь [5, 54] между расширением основной группы физики и возможностью объединения различных полей физических взаимодействий, причем подобный синтез осуществляется посредством самой алгебраической структуры различных групп вращений.

Особенно интересным представляется расширение группы Rs (проективная теория относительности) до группы 7?6 (конформная теория относительности), причем последняя включает в себя также постоянные ускорения. В работах Арчидиаконо [5, 6] в этой связи было показано, что соответствующие обобщенные уравнения Максвелла приводят к единой теории материи (гравитация плюс гидродинамика сплошных сред) и электромагнетизма. В частности, при R->oo происходит обратный переход к плоскому пространству Е5, и рассматриваемые выше обобщенные уравнения Максвелла распадаются, с одной стороны, на уравнения Корбена (единого гравитационно-электромагнитного поля) и, с другой стороны, на механические уравнения обобщенного гидродинамического поля. Следовательно, при использовании такой конформной теории относительности (п = 6) нет необходимости в переходе (как это делалось в общей теории относительности) к голономному многообразию, и описание даже гравитации может быть осуществлено без отклонения от строгой теоретико-групповой формулировки физики.

О конформной теории относительности

Введение

Исторически сложилось так, что при рассмотрении помимо механических также электромагнитных явлений оказалось необходимым отказаться от галилеевой относительности в пользу эйнштейновской. Можно задаться вопросом: необходимо ли при

исследовании ядерных и субъядерных сил дальнейшее обобщение теории относительности? Действительно, в начале разд. 8.1 мы рассматривали (грубо говоря) следующую цепочку групп:

6м(с->оо; ^? —> оо)-*= L*®3(c; R — oo^F^c; R), (54)

в которой последняя группа де Ситтера — Фантаппье содержит две универсальные постоянные (фундаментальную длину R и скорость света в вакууме с). Но для того чтобы построить корректным (с точки зрения размерности) путем хотя бы только механическую (динамическую) теорию, представляются необходимыми три универсальные постоянные. Для того чтобы удлинить цепь (54), необходимо, однако, оставить 10-парамет- рические группы (т. е. четырехмерное пространство Минковского). Тогда легко получить конформную группу С$% с 15 параметрами (которая, как можно показать, будет локально изоморфна вращениям шестимерного пространства). Эта группа будет допускать введение новой конформной (специальной) теории относительности [ 109—111], обобщение проективной теории относительности, а также теории, в которой в качестве модели Вселенной используется пятимерная гиперсфера (погруженная в плоское шестимерное пространство). В такую конформную теорию относительности будут априори входить три независимые универсальные постоянные с, R и й, причем третья постоянная h должна зависеть от массы (а также, возможно, от длины и от времени). Здесь следует вернуться к разд. 8.2.

Прежде чем идти дальше, предложим для нового рассмотрения отрывок из последней научной работы Эйнштейна, его предисловия к книге «Пятьдесят лет теории относительности» [216]:

«Из уравнений поля сразу следует: если ^^(х) есть решение уравнений поля, то gifeU/a) тоже является решением, где х— положительная постоянная («подобные решения»). Предположим, например, что система gtk представляет кристалл конечных размеров, погруженный в плоское пространство. Мы могли бы тогда иметь вторую «вселенную» с другим кристаллом, в точности тождественным первому, но растянутым так, что его линейные размеры в а раз больше. Так как мы ограничиваемся вселенной, в которой содержится только один кристалл, то мы не встречаем никаких трудностей. Мы сознаем лишь, что размер такого кристалла («эталон длины») не фиксируется уравнениями поля».

Этот отрывок был написан Эйнштейном в Принстоне 4 апреля 1955 г.

Иерархия вселенных и единая теориягравитационных и сильных взаимодействий

В духе разд. 9.1 для обобщения специальной теории относительности можно избрать в качестве исходной также другую точку зрения (хотя в некотором смысле это сужает рамки). В дальнейшем мы будем ссылаться главным образом на работы, выполненные автором совместно с Кальдиролой, Пав- шичем и Касториной в 1976—1979 гг. [34—38, 45, 171, 172, 192]. Действительно, отметим, что симметрии уравнений Максвелла не были полностью использованы в СТО. Известно, в частности, что уравнения Максвелла ковариантны не только относительно преобразований Пуанкаре, но и относительно конформных преобразований [20, 63]. Рассмотрим вначале пространственно-временные растяжения (р = 0, 1, 2, 3)

^ = P^ (55)

и постулируем, что физические законы также ковариантны по отношению к растяжениям (55). Мы будем предполагать, однако, что в природе физический смысл могут иметь только дискретные значения р (которые могут быть, например, получены путем наложения соответствующих граничных условий в пятимерных пространствах [27, 31—33, 170]). Мы можем альтернативно сопоставлять общую теорию относительности (или специальную теорию относительности, или классическую физику) и ковариантность относительно растяжения. Однако некоторые из требуемых результатов могут быть получены просто из соображений размерности.

Напомним здесь, что силы гравитационных и сильных взаимодействий измеряются безразмерными квадратами соответствующих постоянных связи [34, 37, 38, 137, 192]

Gm^hc ~ 1,3- КГ40, (56а)

NgW « 15, (566)

где G и N представляют собой соответственно универсальные константы гравитационного и сильного взаимодействий в вакууме, а величины т и g— гравитационный заряд (массу) и сильный заряд (см. ниже) одного и того же адрона, например нуклона. Число в правой части уравнения (56а) получено для массы пиона т = тл; в уравнении (566) мы для примера использовали величну квадрата константы взаимодействия ррл. Между прочим, что касается приведенного выше выражения

«сильный заряд адрона», предположим, что кварки1) являются реальными источниками сильного поля, т. е. реальными носителями сильного заряда, и будем называть цветом знак s сильных зарядов кварка; точнее, адроны можно считать обладающими нулевым полным сильным зарядом, причем каждый кварк обладает сильным зарядом g^sjg' I, где S^ = 0-

Обычные сильные взимодействия между адронами должны, таким образом, возникать из сил вандерваальсовского типа. Соответствующая величине m из (оба) величина g = ng0 будет входить в уравнение (566), причем g0 представляет собой среднюю величину составляющих кварк зарядов, а п — число кварков [34, 37, 38].

Положим

р = Gm/Ng2 ~ 0,9 • 10"41 ~ 10“41(57)

и отметим, что если выбрать m = g, то универсальная константа сильного взаимодействия принимает вид

^ = p-iG« 1Д . 1041G^4n^/zn2 « 7 - 1030 м3кг1с2. (58)

Наоборот, если выбрать такие единицы, что [АГ] = [G] и, кроме того, N = G = 1, то (например, при п = 2 или п = 3) мы получим

g т 5 1А-зз 81А-5 fttc\h

£о=~ =СМ~--Ю Г« —=

nnn\ G J

^плaнкoвcкaя масса, (59)

причем из уравнения (59) следует, между прочим, что план- ковская масса VhclGyb ^ m(p-l),/2 есть не что иное, как сильный заряд кварка (в соответствующих единицах). Мы не предполагаем, следовательно, существования других (новых) малых черных дыр, предсказываемого другими авторами, с массой покоя порядка планковской массы, поскольку мы уже встречались с адронами (или, скорее, с кварками) с сильными зарядами порядка планковской массы (в соответствующих единицах).

Наиболее важным выводом является следующий. Будем рассматривать как адроны (обычно пионы или нуклоны), так и наш космос как конечные объекты. Тогда соотношение (57)

!) Англосаксонское слово «кварк», обозначающее составляющие адронов (два для мезонов и три для барионов), было взято Гелл-Манном, как хорошо известно, из романа Джеймса Джойса «Поминки по Финнегану» (1939). Мы благодарны Шифферу за то, что он привлек наше внимание к стиху 292 из «Фауста» Гёте, где Мефистофель, обращаясь к человечеству, восклицает: «In jeden Quark begrabt er seine Nase».

и тог факт, что если определить через R(U) as R радиус нашего космоса и через г(А)=г радиус адрона (пиона) в сильных взаимодействиях, то

R (Щ 1026 м

позволяют предположить, что наш космос и адроны можно рассматривать как подобные системы, т. е. системы, которые управляются (внутри) подобными законами, отличающимися лишь масштабным фактором р (который переводит R в г и гравитационное поле в сильное). Грубо говоря, можно представить себе, что посредством сокращения космоса с коэффициентом р « 10~41 можно получить адроны (см. ниже) или посредством растяжения адрона с коэффициентом р-1 « 1041 можно получить космос. Действительно, согласно [34, 37, 38], после определения в качестве «вселенной» любой квазиизолиррван- ной системы, управляемой в основном одной из фундаментальных сил, мы аналогичным образом ввели иерархию вселенных, которая может быть получена в результате ряда соответствующих дискретных растяжений (или сокращений) (см. [254]).

Опираясь на приведенную выше гипотезу, что физические законы ковариантны относительно (дискретных) растяжений, мы приходим к следующим предположениям):

А. Внутри космоса (гравитационный случай) справедливы уравнения Эйнштейна с космологической постоянной Л (G=l): 18л/ тпс \2,

—2Л-(т)(61>

Б. Внутри адронов (случай сильных взаимодействий) справедливы уравнения Эйнштейна в измененном масштабе (N = = 0=1):

—2Н-(т)' <62>

Оценки размерности сразу показывают, что (в рамках нашей конформной теории относительности)

// = р“Л, mQ = pms,(63)

где то и ms являются соответственно средней (малой, но конечной) массой «внешних» гравитонов и средней массой «внеш-

него» сильного кванта. Кроме того тензор сильного заряда S^v по существу имеет вид S^, = P"1?^ где Т^ априори является обычным тензором материи (возможно, содержащим спинорные функции Дирака). Например, если потребовать также, чтобы внешние гравитационные взаимодействия имели радиус действия порядка /?((/)« 1026 м, то сразу получаем

mG ~ 10-68 кг, Л « 10”°6 см""2, ms m^ (63х) а также

Я-1 = р2Л-1 ~ 10"25 см2 ~ 0,1 барн.(64)

Современная элементарная теория (развитая Кальдиролой, Павшичем, Реками и др., ср. также [208, 211, 219]) позволяет вывести (доказать) последовательным образом все эмпирические соотношения (которые связывают микро- и макрокосмосы), эвристически открытые Вейлем, Эддингтоном, Дираком и др.; несмотря на это, наша собственная нумерология связывает гравитационные взаимодействия с сильными (которые, как и гравитационные, всегда являются притягивательными нелинейными и ассоциируются с неабелевыми калибровочными теориями; действительно, в настоящем разделе по существу предлагается геометрическая интерпретация этих теорий), а не с электромагнитными (как предполагал Дирак). Например, на основании ковариантной относительно растяжений теории относительности можно доказать, что масса М космоса и масса m пиона связаны следующим образом:

М = p~2m 1054 кг, m = р2М « КГ28 кг. (65)

Кроме того, следует отметить, что в нашей теории не требуется, чтобы G изменялось с течением времени.

В соответствии с уравнениями (61) и космологическими моделями Фридмана для пространственной части нашего космоса можно выбрать простую модель трехмерной гиперповерхности гиперсферы. Аналогично можно поступить и с адронами (сильные вселенные), чтобы иметь возможность расширить, например, принцип Маха в том смысле, что инерция каждой адронной составляющей (партона) будет совпадать с его сильным (но не гравитационным!) зарядом. Таким образом, имеется возможность считать принцип эквивалентности лишь локально справедливым даже внутри адронов так, чтобы подтвердить современную геометризацию сильного поля (внутри адронов) также с точки зрения обычной общей теории относительности. То же самое может быть сделано в окрестностях адронов (см. ниже).

Найдем теперь точное решение уравнений (62) для сфери- чески-симметричной дисторсии сильного заряда g'. Уравнение

геодезической для (малого) пробного партона с сильным зарядом g" в вакууме дает в радиальном случае (/, / = 1, 2, 3; N= 1)

dt^ — 2\ c2r + <66)

Поскольку кварки не являются малыми адронными составляющими, то уравнение (66) для кварков будет справедливо только приближенно. Тем не менее оно дает так называемую асимптотическую свободу для кварков (или, скорее, партонов) на малых расстояниях г, а также запирание кварков (партонов), так называемую инфракрасную расходимость, для больших значений г.

Рассмотрим вначале случай малых значений г, когда доминирует член ~ —1/г2, соответствующий притяжению (как в гравитационном случае). Отметим, что для очень малой составляющей («партино», см. [36]) член ~ + 1/г3, соответствующий отталкиванию, эффективно действует' только на крайне малых расстояниях г, и в соответствующем гравитационном случае радиальное ускорение будет обращаться в нуль только при г « ^От/сЧ Тем не менее если приписать кинетическую энергию (и угловой момент I относительно нуля) рассматриваемому партино, т. е. если добавить член, соответствующий кинетической энергии, к радиальному потенциалу из (66), то при выборе единиц измерения, как в (58), для малых r\r<rW\ можно написать

Т/ .... (//Г)2 Г Ng' с^Н , \ Ng' , ^g"?

~ /-2 r С2Г1 Г • • • J r \ *

(66')

В случае кварков (|g/z|~|g'|) следует рассматривать другие члены и другие вопросы. Тем не менее, если попытаться экстраполировать уравнение (66') на этот случай, хотя бы для грубой оценки, то получается V«0 при г« 10-Z2/(A/g3); если позаимствовать из квантовой механики положение, что J « nti, то получается, что V « 0 при г ^ пМО-1 ферми. Между прочим, это положение соответствует тому, что рассматриваемому движущемуся кварку (партону) приписывается скорость v «с. Наоборот, если предположить, что радиус стабильности, например в случае бариона, где N « 10+40G, имеет порядок г0 = = O^Nm/c2 = 10-14 см (т. е. порядка одной десятой «сильного шварцшильдовского радиуса» нашего адрона), то получается соотношение типа Редже / ^ [^/(10c) ] т2, где т— масса адрона в килограммах; это соотношение может быть также записано в виде I/К ^ 10m2, где т теперь измеряется в ГэВ/с2.

Для больших расстояний, когда г » г (А), можно получить радиальную запирающую силу (N = 1; [VV] = [G])

F ~ -Х^Нгg" с* Нг 13 ~ г,

(67)

Другими словами, из нашей классической теории весьма естественно получается также запирающий потенциал V ~ г2 для больших г. Наконец, для очень больших значений г (которые получаются, например, когда рассматриваемый адрон начинает деформироваться в процессе высокоэнергетического столкновения) можно получить еще более высокую запирающую силу, пропорциональную г3 при г > r^h):

— g-"c2(-y-r3 + yr + ...), г > r(A).

Мы можем рассматривать пространственные составляющие нашего космоса и адронов (без учета времени) как погруженные1) в четырехмерное плоское пространство. Проблема сильных взаимодействий между двумя адронами требует рассмотрения пересечения адронов с космосом; такие пересечения представляют собой двумерные сферические поверхности, которые мы называем просто адронами. Поскольку (в нашем космосе) два адрона сильно взаимодействуют, например посредством сил вандерваальсовского типа [16, 19, 212, 213, 240], то необходимо описывать (сильные) взаимодействия между упомянутыми пересечениями. Для этой цели при рассмотрении движения адронной пробной частицы, обладающей как сильным, так и гравитационным зарядами, необходима «двухмасштабная» теория для нашего космоса в окрестностях адронов и при наличии субъядерных взаимодействий. Другими словами, необходимо модифицировать гравитационные уравнения Эйнштейна посредством введения в микроокрестности вышеупомянутых пересечений (адронов) сильной деформации метрики, влияющей только на объекты с сильным зарядом (т. е. с масштабным фактором % = р ~ 10“41) и не влияющей на объекты, обладающие только гравитационным зарядом (т. е. с масштабным фактором х=1). Можно допустить, что вокруг адрона гравитационный метрический тензор будет равен « « T)p,v (в соответствующих координатах), и положить

S^V г f|J,V 4” ^HV w 'Пц,V 4” ^|J,V>

^ Относительно принципа Маха в связи с моделями Фридмана см. [178]; о возможности введения моделей Фридмана в 5-мерное пространство см. [210] и [230].

где компоненты сильного метрического тензора h^ должны исчезать при г ^> 1 Фм. В работе [37] мы предложили следующие уравнения поля (для пробных объектов, имеющих как гравитационный, так и сильный заряды в окрестностях адрона в нашем космосе):

^ + ^ = -"5"(5^--5-^5р)- ^^^“V’ <68)

^де N = Ор*"1, Suv = NTy,x, и космологический (сильный) член с адронной постоянной Н определяет геометрические свойства сильного поля вокруг адрона-источника. Здесь хотелось бы кратко отметить следующее: 1) в статическом пределе получается точно потенциал Юкавы АОо « —(2g/c2r)exp \—rmsc/K^ \ 2) если в нашем пространстве связать сферически симметричные распределения сильных зарядов с вышеупомянутыми пересечениями, то в соответствии с разд. 7.3 можно рассматривать адроны как нечто аналогичное сильным черным дырам и рассчитать сильные шварцшильдовские радиусы г^. Результаты, по-видимому, дают эффективные радиусы адронов в сильных взаимодействиях; например, ^ = 0,8 Фм для нуклонов. В этом случае сильный горизонт события играет для адронов (на классическом уровне) ту же роль, что и «массачусетский мешок» (MIT bag). Напомним, наконец, что черные дыры могут обладать (кроме массы, заряда и спина) другими квантовыми числами; это в особенности справедливо для «сильных» черных дыр, поскольку обычные короткодействующие силы оказываются тут по своему масштабу дальнодействующими.

Здесь следует добавить, что классическое запирание, полученное нами для составляющих адрона, может быть нарушено посредством квантовых эффектов типа Хоукинга [101 —103]. Температура Хоукинга для сильной черной дыры, например, имеет порядок Г«2-10нК и априори соответствует времени испарения порядка А/ « 10"23с, если только не накладывать некоторых условий стабильности типа боровских. Но в любой квантовой теории кварки снова могут быть полностью заперты, если связать с их классическим (сильным, шварцшильдовским) горизонтом надлежащий барьер из правил суперотбора и суперзаконов сохранения.

В заключение добавим три последних замечания. Во-первых, если наш космос аналогичен адрону, то его можно, например, рассматривать (согласно вычислениям настоящего раздела) как суперпион и, следовательно, как состоящий из полукосмоса (или метагалактики) материи и из полукосмоса антиматерии (подобно тому, как каждый пион состоит из кварка и антикварка). Во-вторых, если нейтроны можно рассматривать как своеобразные сильные черные дыры, то можно пред-

ставить себе, что Второй закон термодинамики [13, 49, 50, 100] справедлив для черных дыр даже в том случае, когда они сливаются вместе в течение конечного периода сжатия космоса; следовательно, должен существовать процесс, который создает новый космос с радиусом /? > 1025 м, и это соображение может служить стимулом к исследованию «больших взрывов». В-третьих, если адроны аналогичны нашему космосу, то они также могут совершать последовательные циклы расширения и сжатия, но с периодом, примерно равным Ат « 1018/1041 « « 10“23 с. Таким образом, можно заключить, что элементарные частицы можно рассматривать как точечные только в определенных последовательных, дискретных положениях вдоль их траектории (ассоциируемой с фундаментальным хрононом), и мы снова приходим к соображениям, аналогичным тем, которые развивал Кальдирола [255].

Появлению настоящей работы в значительной мере способствовало сотрудничество с П. Кальдиролой.

ЛИТЕРАТУРА

Antippa A. F., Preprint UQTR-TH-1, Univ, de Quebec, unpublished (1970).

Antippa A., Nuovo Cimento, A10, 389 (1972).

Antippa A. F., Phys. Rev., Dll, 724 (1975).

Antippa A. F., Everett A. E. Phys. Rev., 8, 2352 (1973).

Arcidiacono G., Relativita e Cosmologia, Veschi, Rome, 1973, p. 233.

Arcidiacono G., A New Projective Relativity. Based on the De Sitter Universe, Rep. Univ, of Perugia, 1977.

Arzelies H., Cinematlque Relativiste, 1955, p. 217.

Arzelies H., C. R. Acad. Sci. Paris, 245, 2698 (1957).

Arzelies FL, Dynamique Relativiste, Vol. 2, 1958, p. 101.

Arzelies H., C. R. Acad. Sci. Paris, A279, 534 (1974).

Baldo NL, Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 2, 643 (1969).

Baldo NL, Fonte G., Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 4, 241 (1970).

Bardeen L NL, Carter B., Hawking S. W., Commun. Math. Phys., 31, 161 (1973).

Barnard A. C. L., Sallln E. A., Phys. Today, 22(10), 9 (1969).

Barrowes S. C., Found. Phys., 7, 6A (1977).

Barut A. O., Phys. Rev., D3, 1747 (1971).

Barut A. O., Tachyons, Monopoles, and Related Topics, ed. Recami E., North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1978, pp. 143, 277.

Barut A. O., Duru I. H„ Preprint IC/72/116, ICTP Trieste, 1972.

Barut A. 0., Nagel L, Phys. Lett., B55, 147 (1975).

Bateman H., Proc. London Math. Soc., 8, 223 (1910).

Benford G. A. et at, Phys. Rev., D2, 263 (1970).

Berzi V., Gorlnl V., J. Math. Phys., 10, 1518 (1969).

Bilaniuk О. NL, Sudarshan E. C. G., Nature, 223, 386 (1969).

Bilaniuk О. NL, Deshpande V. K., Sudarshan E. C. G., Am. J. Phvs 30 718 (1962).”

Bondi H., Relativity and Common Sense, Doubleday, New York, 1964. [Имеется перевод: Бонди Г. Относительность и здравый смысл — Mi Мир, 1967.]’

Cabibbo N., Ferrari Е., Nuovo Cimento, 23, 1147 (1962),

Caldirola P., Rend. Accad. d’Italia, 1, 19 (1939).

Caldirola Р., Nuovo Cimento, 19, 25 (1942).

Caldirola P., Suppl. Nuovo Cimento, 3, 297 (1956).

Caldirola P., Istituzioni di Fisica Teorica, Milano, 1966.

Caldirola P., Lett. Nuovo Cimento, 18, 465 (1977).

Caldirola P., Nuovo Cimento, A45, 549 (1978).

Caldirola P., Lett. Nuovo Cimento, 23, 83 (1978).

Caldirola P., Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 24, 565 (1979).

Caldirola P., Recami E., In «Studies in the Philosophy of Science», ed. Dalia Chiara M., Reidel, Dordrecht, 1979.

Caldirola P., Recami E., Epistemologia, 1, 2 (1978).

Caldirola P., PavSit M., Recami E., Nuovo Cimento, B48, 205 (1978).

Caldirola P., PavSiZ M., Recami E., Phys. Lett, A66, 9 (1978).

Camenzind Af, Gen. Rei. Grav., 1, 41 (1970).

Cartan E., C. R. Acad. Sci. Paris, 174, 593 (1922).

Cartan E., Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective, Gautier-Villars, Paris, 1937.

Cartan E., Ouvres Completes, partie, Vol. 1, Gautier-Villars, Paris, 1955.

Castelnuovo G., Rend. Acad. Naz. Lincei, 12, 263 (1930).

CastelnuovoG., MonthlyNotices, 91,829 (1931).

Castorina P.,Recami E.,Lett.NuovoCimento,22,195(1978).

Cavalieri G.,Spinelli G.,Lett.NuovoCimetno,6, 5(1973).

Cavalieri G.,Spinelli G.,Lett.NuovoCimento,22,113(1978).

Cawley R. G., Ann. Phys., 54, 132 (1969).

9. Christodoulou D., Phys. Rev. Lett, 25, 152 (1970).

Christodoulou D., Ruffini R., Phys. Rev., D4, 3552 (1971).

Cohen M. H. et al., Nature, 268, 405 (1977).

Cole E. A. B., Nuovo Cimento, A40, 171 (1977).

Cole E. A. B., Nuovo Cimento, B44, 148 (1978).

Corben H. C., Phys. Rev., 69, 225 (1946).

Corben H. C., Lett. Nuovo Cimento, 11, 533 (1974).

Corben H. C., Nuovo Cimento, A29, 415 (1975).

Corben H. C., Int. J. Theor. Phys. 15, 703 (1976).

Corben H. C., Preprints, Scarborough College, West Hill, Ontario, Aug., Sept, Nov., to be published.

Corben H. C., Lett. Nuovo Cimento, 20, 645 (1977).

Corben H. C., Tachyons, Monopoles, and Related Topics, ed. Recami E., North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1978, p. 31.

Corben H. C.; Lett. Nuovo Cimento, 22, 116 (1978).

Csonka P. L., Nucl. Phys., B21, 436 (1970).

Cunningham E., Proc. London Math. Soc., 8, 77 (1910).

Damour T., Ruffini R., Phys. Rev., D14, 332 (1976).

Danielian A., Phys. Lett., A51, 61 (1975).

DelVAntonio G. F., J. Math. Phys., 2, 517 (1962).

Demers P., Canad. J. Phys., 53, 1687 (1975).

De Sabbata V., Pavilt M., Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 19, 441 (1977).

Di Jorlo M., Nuovo Cimento, B22, 70 (1974).

Edmonds J. D., Jr., Int. J. Theor. Phys., 7, 475 (1973).

Edmonds J. D., Jr., Found. Phys., 5, 239 (1975).

Edmonds J. D., Jr., Lett. Nuovo Cimento, 18, 497 (1977).

Ehlers J., private communication to Sudarshan.

Einstein A., Ann. Phys., 17, 891 (1905). [Имеется перевод: Эйнштейн A. К электродинамике движущихся тел. — в кн.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов в 4 тт.—М.: Наука, 1965, т. 1, с. 7.]

Einstein A., In «Cinquant’anni di Relativita», ed. Pantaleo M., Editrice Universitaria, Florence, 1955.

6 Einstein A., Bergmann P., Ann. Math., 39, 683 (1938). [Имеется перевод: Эйнштейн А., Бергман П, Обобщение теории электричества Калуцы. —

в кн.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов в 4 тт. — М.: Наука, 1966, т. 2, с. 492.]

Everett А. Е., Phys. Rev., 13, 785 (1976).

Fabri Е., Nuovo Cimento, 14, ИЗО (1959).

Fantappie L., Rend. Accad. Naz. Lincei, 12, 12 (1952).

80 FantappU L, Rend. Accad. Naz. Lincei, 17, 158 (1954).

Feinberg G., Phys. Rev., 159, 1089 (1967). [Имеется перевод: Фейнберг Дж. О возможности существования частиц, движущихся быстрее света. — в кн.: Эйнштейновский сборник— 1973. — М.: Наука, 1974, с. 134.]

Feinman R., Phys. Rev., 76, 749, 769 (1949).

Fox R. et al., Nature, 223, 597 (1969).

Fox R. et al., Proc Roy. Soc., A316, 515 (1970).

Frank P., Rothe H., Ann. Phys., 34, 825 (1911).

Fuller R. W., Wheeler J. A., Phys. Rev., 128, 919 (1962).

Galilei G., Dialogo ... sopra i due massimi sistemi del mondo: Tolemaico e Copernicano, ed. Landini G. B., Florence, 1632. [Имеется перевод: Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой.— в кн.: Галилей Г. Избранные труды в 2 тт. — М.: Наука, 1964, т. 1, с. 97.]

Godel К., In A. Einstein: Philosopher — Scientist, ed. Schilpp P. A., Open Court, LaSalle, Illinois, 1973, p. 558.

Goldoni R., Nuovo Cimento, A14, 501 (1974).

Goldoni R., Gen. Rei. Grav. 6, 103 (1975).

Goldoni R., Acta Phys. Austriaca, 41, 75, 133 (1975).

Goldoni R., Lett. Nuovo Cimento, 21, 333 (1978).

Gordon C. N., Found. Phys., 5, 173 (1975).

Gorini V., Commun. Math. Phys., 21, 160 (1971).

Gorini V., Zecca A., J. Math. Phys., 11, 2226 (1970).

Greenberg O. W., J. Math. Phys., 3, 859 (1962).

Gregory G., Phys. Rev., 125, 2136 (1962).

Hahn E., Arch. Math. Phys., 21, 1 (1913).

Hamamoto S., Progr. Theor. Phys., 51, 1977 (1974).

Hawking S. W., Phys. Rev. Lett., 26, 1344 (1971).

Hawking S. W., Commun. Math. Phys., 25, 152 (1972).

Hawking S. W., Nature, 248, 30 (1974).

Hawking S. W., Commun. Math. Phys., 43, 199 (1975).

Hettel R. O., Helliwell T. M., Nuovo Cimento, B13, 82 (1973).

Honig F., Lake K., Roeder R. C., Phys. Rev., D10, 3155 (1974).

Hoyle F., Narlikar J. V., Action-at-a-Distance, Freeman, San-Francisco, 1974.

Ignatowski W. V., Phys. Z, 21, 972 (1910).

Imaeda K., Preprint, Dublin Inst. Adv. Stud., Dublin, 1978.

Ingraham R. L., Nuovo Cimento, 12, 825 (1954).

Ц0. Ingraham R. L., Nuovo Cimento, 1, 82 (1955).

Ingraham R. L., Nuovo Cimento, B46, 217, 261 (1978).

Israel W., Phys. Rev., 164, 1176 (1967).

Janis A. /., Newman E. T., Winicdur J., Phys. Rev. Lett., 20, 878 (1968).

JehleM.,Phys.Rev.,D8, 306 (1971).

JehleM.,Phys.Rev.,D6, 441 (1972).

JehleAL,Phys.Rev.,Dll, 2147 (1975).

JehleM.,Phys.Rev.,D15, 3727 (1977).

Jones R. T., J. Franklin Inst., 275, 1 (1963).

Kalitzin N., Multitemporal Theory of Relativity, Bulgarian Acad. ScL, Sofia, 1975.

Kaluza Th., Sitzunsber. Preuss. Akad. Wise. Berlin. Math. Phys. 1921 p. 966.’

Klein О., Z. Phys., 37, 895 (1926).

Klein О., Z. Phys., 53, 157 (1929).

Kruskal M. D., Phys. Rev., 119, 1743 (1960).

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Механика. —M.:Наука,1965.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теорияполя.— М.:Наука,1967.

Lee A. R., Kalotas Т. М., Nuovo Cimento, В41, 365 (1977).

7. Lee Т. D., Yang C. N., Phys. Rev., 105, 1671 (1957).

Leibowitz E., Rosen N., Gen. Rei. Grav., 6, 449 (1973).

Leiter D., Nuovo Cimento, A2, 679 (1971).

Leiter D., Lett. Nuovo Cimento, 1, 395 (1971).

Lucretius Carus T. (ca. 50 В. C.), De Rerum Natura, Book 4, ed. Cicero M. T., lines 201—203. [Имеется перевод: Лукреций. О природе вещей. — М.- Л.: изд. АН СССР, 1958.]

Lugiato L. A., Gorini V., J. Math. Phys., 13, 665 (1972).

Maduemezia A., Rep. IC/68/78, ICTP, Trieste, 1968.

Majorana E., Nuovo Cimento, 9, 335 (1932).

Mariwalla К. H., Am. J. Phys., 37, 1281 (1969).

Mignani R., Lett. Nuovo Cimento, 13, 134 (1975).

Mignani R., Lett. Nuovo Cimento, 16, 6 (1976).

Mignani R.,Recami E., NuovoCimento,A14, 169(1973).

Mignani R.,Recami E., NuovoCimento,A16, 208(1973).

Mignani R., Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 7, 388 (1973).

Mignani R.,Recami E., NuovoCimento,A24, 438(1974).

Mignani R.,Recami E., NuovoCimento,B21, 210(1974).

Mignani R.» Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 9, 357, 367 (1974).

Mignani R., Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 11, 421 (1974).

Mignani R., Recami E.t Nuovo Cimento, A30, 533 (1975).

Mignani R.,Recami E.,Lett. NuovoCimento, 12, 263(1975).

Mignani R.,Recami E.tLett. NuovoCimento, 13, 589(1975).

Mignani R., Recami Еъ Int. J. Theor. Phys., 12, 299 (1975).

Mignani R.,Recami E.,Lett. NuovoCimento, 16, 449(1976).

Mignani R.,Recami E.,Phys. Lett.,B65, 148 (1976).

Mignani R.,Recami E.,Lett. NuovoCimento, 18, 5 (1977).

Mignani R., Recami E., Lombardo U.t Lett. Nuovo Cimento, 4, 624 (1972).

Minkowski H., Space and Time, address delivered at the 80th Assembly of German Scientists and Physicians, Koln, 1908. [Имеется перевод: Минковский Г. Пространство и время.— в сб.: Принцип относительности.— М.: Атомиздат, 1973, с. 163.1

Musak L., Szekeres G., Canad. J. Phys., 44, 617 (1966).

Nambu Y. Phys. Rev., D10, 4262 (1974).

Newton R., Phys. Rev., 162, 1274 (1967).

Nielsen H. B., Olesen P., Nucl. Phys., B61, 45 (1973).

Ольховский В. С., Реками Э. Препринт ИТФ-68-82.—Киев: изд. АН УССР, 1968.

Olkhovsky У. S., Recami Е., Nuovo Cimento, А63, 814 (1969).

Ольховский В. С., Реками Э. Препринт ИТФ-70.— Киев: изд. АН УССР, 1970.

Ольховский В. С., Реками Э. В1стник Кшвського Держ. Ушверситету, сер. физ., 11, 58 (1970).

Olkhovsky V. S., Recami Е., Lett. Nuovo Cimento (1st Ser.), 1, 165 (1971).

Pappas P. T., Lett. Nuovo Cimento, 22, 601 (1978).

Parisi G., Phys. Rev., Dll, 970 (1974).

Parker L, Phys. Rev., 188, 2287 (1969).

Parmentola J. A., Yee D. D. H., Phys. Rev., D4, 1912 (1971).

Pavlopoulos T. G., Nuovo Cimento. B60, 93 (1979).

Pavsic M., The Extended Special Theory of Relativity, Univ, of Ljubljana, 1971, unpublished.

Pavsic М., Obz. Mat. Fiz., 19, 20 (1972).

Pavsic M., Lett. Nuovo Cimento, 17, 44 (1976).

Pavsit M., Recami E., Nuovo Cimento, A36, 171; A46, 298 (1976).

Pavsic M., Recami E., Lett Nuovo Cimento, 19, 273 (1977).

Pavsic M., Recami E., Ziino G., Lett, Nuovo Cimento, 17, 257 (1976

Pessa E., Coll. Math. 24, 151 (1973).

Pirani F. A. E., Phys. Rev., DI, 3224 (1970).

Poincare H., Rend. Circ. Matera, Palermo, 21, 129 (1906).

Rafanelli K., Phys. Rev., 17, 460 (1978).

Raine D. L, Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 171, 507 (1975).

Ramachandran G., Tagare S. G., Kolaskar A. S., Lett. Nuovo Ciment

140 (1972).

Rauchaudhri A. K., J. Math. Phys., 15, 856 (1974).

Recami E., G. Fiz., 10, 195 (1968).

Recami E., Report IFUM-088/SM, Phys. Inst. Milan Univ., 1968.

Recami E., Rep. IFUM-088/S. M., Univ, of Milan, 1968, pp. 4—8.

Recami E., G. Fiz., 10, 203—205 (1969).

Recami E., Acad. Naz. Lincei Rend., Sci., 49, 77 (1970).

Recami E., Enciclopedia EST-Mondadori, Annuario 73, 1973, p. 85.

Recami E., Scientia, 109, 721 (1974).

Recami E., Recent Developments in Relativistic Q. F. T. and Its Application, Wroclaw Univ. Pub., Wroclaw, 1976, Vol. 2, p. 269.

Recami E., Lett. Nuovo Cimento, 18, 501 (1977).

Recami E. — in: Tachyons, Monopoles, and Related Topics, ed. Recami E., North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1978, p. 3, 30.

Recami E.t Lett. Nuovo Cimento, 21, 208; 22, 591 (1978); Found P’ vs 8.

36 (1978); Int. J. Theor. Phys., 17, 77 (1978).

Recami E., Castorina P., Lett. Nuovo Cimento, 15, 347 (1976).

RecamiE.,Mignani R.,Lett.Nuovo Cimento, 4, 144 (1972).

RecamiE.,Mignani R.,Lett.Nuovo Cimento, 8, 110 (1973).

RecamiE.,Mignani R.,Lett.Nuovo Cimento, 9, 357 (1974).

RecamiE.,Mignani R.,Riv.Nuovo Cimento, 4, 209—290, 398 (1974).

RecamiE.,Mignani R.,Phys.Lett., B62, 41 (1976).

Recami E., Mignani R., The Uncertainty Principle and Foundations of Q. M., eds. Price W. C., Chissick S. S., Wiley, London, 1977, p. 321.

Recami E., Mignani R., Tachyons, Monopoles, and Related Topics, ed. Recami E., North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1978.

Recami E., Modica E., Lett. Nuovo Cimento, 12, 263 (1975).

Recami E., Shah К. T., Lett. Nuovo Cimento, 24, 115 (1979).

Recami E., Spitaleri C., Scientia, 110, 204 (1975).

Recami E., Spitaleri C., G. Fiz., 17, 190 (1976).

Recami E., Ziino G., Nuovo Cimento, A33, 205 (1976).

Recami E., Mignani R., Ziino G., Recent Developments in Relativist tic Q. F. T. and Its Application, Vol. 2, Wroclaw, 1977, p. 269.

Rindler W., Special Relativity, Edinburgh 1976, p. 16.

Rolnick W. B., Phys. Rev., 183, 1105 (1969)

Roman P., Haavisto L, J. Theor. Phys., 16, 915 (1978).

Root R. G., Trefil J. S., Lett. Nuovo Cimento, 3, 412 (1970).

Rosen J., Rev. Mod. Phys., 37, 204 (1965).

Salam A. — in: Developments in High-Energy Physics, Academic Press, New York, 1972.

Sawada T., Nucl. Phys., B71, 82 (1974).

Sawada T„ Progr. Theor. Phys., 59, 149 (1978)

Schmidt H„ Z. Phys., 151, 365, 408 (1958).

Schwartz H. M., Am. J. Phys., 45, 22 (1977).

Severi F., In Cinquant’anni di Relativita, ed. Pantaleo M., Editrice UnIversitaria, Florence, 1955.

Shah К. Т., Lett Nuovo Cimento, 18, 156 (1977).

Shah К. Г. — in: Tachyons, Monopoles, and Related Topics, ed. Recami E., North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1978, p 49.

Sivaram C., Sinha К. P., Lett. Nuovo Cimento, 8, 324 (1973).

Sommerfeld A., K. Akad. Wet. Amsterdam, 8, 346 (1904).

Sommerfeld A., Nachr. Ges. Wiss. Goettingen, 1905, Feb. 25, p. 201.

Stoyanov D. Tz., Todorov I. T., J. Math. Phys., 9, 2146 (1968).

Strnad L, Forstch. Phys., 18, 237 (1970).

Strnad A., Kodre A., Lett. Nuovo Cimento, 12, 261 (1975).

Stuckelberg E. C. G., Helv. Phys. Acta, 14, 321, 388 (1941).

Sudarshan E. C. G., Rep. CPT-55/AEC-14, Austin, Texas, 1970.

Sudarshan E. C. G. in: Symposia on Theoretical Physics and Mathematics, New York, 1970, Vol. 10, p. 129.

Szamosi G., Trevisan D., Report, Univ, of Windsor, Ontario, 1978.

Szekeres G., Publ. Math. (Debrecen), 7, 285 (1960).

Szekeres G., Nuovo Cimento, A63, 1062 (1966).

Taylor E. F., Wheeler J. A., Space-Time Physics, Freeman, San Francisco, 1966. [Имеется перевод: Тейлор Э. Ф., Уилер Дж. А., Физика пространства-времени.— М.: Мир, 1971.]

Thomson I. Л, Phil. Mag., 28, 13 (1889).

Thoules D. J., Nature, 224, 506 (1969).

Tolman R. C., The Theory of Relativity of Motion, Univ, of California Press, Berkeley, 1917, p. 54.

Toraldo di Francia G., private communication.

Vaidya P. C., Curr. Sci. (India), 40, 651 (1971).

Van Dam H., Wigner E. P., Phys. Rev., 138, В1576 (1965).

Van Dam H., Wigner E. P., Phys. Rev., 142, 838 (1966).

von Goethe J. W., Faust, 292. [Гете. Фауст, пер. В. Пастернака. — М.: ИХЛ, 1969.]

Van Hove L, Invited paper at the Annual Meeting of the Societa Italiana di Fisica, Como, 1977.

Vilela-Mendes R., Preprint, INIC, Lisbon, 1977.

Virieux-Reymond A., In Scienziati e Technologi, Mondadori, Milan, 1975.

Volkov A. B., Canad. J. Phys., 49, 1697 (1971).

Weingarten D., Ann. Phys., 76, 510 (1973).

Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945).

Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 21, 425 (1949).

White T. H., The Once and Future King, Putnam, New York, 1939.

Wigner E., Ann. Math., 40, 149 (1939).

Yaccarini A., Lett. Nuovo Cimento, 9, 354 (1974).

Ziino G., Lett. Nuovo Cimento, 24, 171 (1979).

251*. Левашев A. E. Движение и двойственность в релятивистской электродинамике.— Минск: изд. БРУ им. В. И. Ленина, 1979

252*. Schmutzer Е., Relativlstische Physik, В. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1968.

253*. Schmutzer E.t Exper. Technik Physik, 28, 395, 499 (1980).

254*. Ivanenko D., In Relativity, Quanta, and Cosmologv in the Development of the Scientific Thought of Albert Einstein, ed. de Finis F., Johnson Rep. Corp., New York, 1979, Vol. I, pp. 295—354.

255*. Caldirola P., In Relativity, Quanta, and Cosmology in the Development of the Scientific Thought of Albert Einstein, ed. de Finis F., Johnson Rep. Corp., New York, 1979, Vol. 1, pp. 187-224.

5Теория относительностии математическая физика

А. Лихнерович ^

Введение

Существует много возможностей использования математики для познания того, что мы называем действительностью. Что касается постулатов физической теории, то исследователь естественно желает как можно скорее получить численное сравнение с экспериментом; тем самым он приходит к мысли, что физическая цель оправдывает математические средства, что не всегда справедливо. Тем не менее посредством различных аппроксимаций и операций, которые законно могли бы шокировать математика (но которые с физической точки зрения, часто с трудом поддающейся анализу, предохраняют от произвола), он применяет эту теорию к конкретному случаю; при этом численное соответствие между рассчитанными и измеренными результатами успокаивает его совесть. Он доказал справедливость этой теории, которая не является пустым местом или теорией из какого-то воображаемого мира, и тем самым подтвердил свое могущество..

Однако математика, далекая от ограничения себя ролью лишь инструмента, обычно играет значительно более амбициозную роль: она хочет быть методом мышления для познания действительности. И она вполне достигает этого, причем многие ученые нашей эпохи считают, что истинное понимание действительности может иметь место лишь тогда, когда для всей совокупности рассматриваемых явлений построена строгая и последовательная математическая модель. Великие современные физические теории развиваются и достигают своей кульминации путем создания и использования таких моделей, а для обеспечения этого они либо обращаются за помощью к уже достаточно разработанным областям математики, либо энергично стимулируют развитие новых математических структур. В это взаимодействие между математикой и физической мыслью общая теория относительности внесла весьма существенный вклад; она в значительной степени сформировала характер современной математической физики.

В релятивистской теории тяготения первичным элементом является то, что математики называют дифференцируемым

^ A. Lichnerowicz, Коллеж де Франс, Париж.

5 Зак. 203

многообразием, а именно пространственно-временное многообразие, которое описывает совокупность физических явлений. Однако в момент появления теории Эйнштейна это понятие дифференцируемого многообразия еще не было до конца разработано математиками удовлетворительным образом. С другой стороны, поставленные общей теорией относительности проблемы, т. е. проблемы физики искривленного пространства- времени, должны были быть трансформированы математически в проблемы, связанные с системами нелинейных уравнений в частных производных или же линейных уравнений с переменными коэффициентами. Для этих еще недостаточно определенных многообразий следовало разработать весь функциональный анализ. Общая теория относительности, таким образом, явилась одной из побудительных причин развития (после первой мировой войны), с одной стороны, дифференциальной геометрии в широком смысле (включая группы Ли) и, с другой стороны, функционального анализа на многообразиях, т. е. современной теории систем уравнений в частных производных.

Каково было состояние дифференциальной геометрии в 1915 г.? Исторически понятие дифференцируемого многообразия пришло из механики. Первый пример естественных дифференцируемых многообразий произвольной размерности был приведен в аналитической механике Лагранжа. В этих исследованиях пространств или конфигурационного пространства- времени было более или менее явно представлено не только понятие дифференцируемого многообразия (которое не было формализовано до 1930 г.), но и многие другие геометрические концепции, рассматривавшиеся в понятиях локальных координат.

Необходимо, однако, обратиться к Риману и его знаменитой диссертации «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», чтобы увидеть частично сформулированным то, что ранее в значительной степени не было явным. Родилась геометрия римановых пространств. Введение кристаллографом Фохтом понятия тензора дало этой геометрии первый и один из наиболее важных ее основных инструментов. Тензорный анализ, развитый Кристоффелем на чисто математической основе, открыл огромную область применений, хотя, надо признать, несколько формально; однако в 1900 г. благодаря Риччи и Леви-Чивите появились подлинно геометрическая точка зрения и основные применения к классической динамике, теории упругости и к исследованиям сплошных сред, как изотропных, так и неизотропных. Именно эта статья Риччи и Леви-Чивиты [28], замечательная по своей современности, привела Эйнштейна к открытию основ общей теории относительности.

С появлением этой теории все изменилось. После окончания первой мировой войны теория относительности стала областью, привлекающей всеобщий интерес как математиков, так и физиков-теоретиков. Вокруг нее стимулированные ею и тем огромным интересом, который она вызывала, появились замечательные геометрические структуры; можно сказать, что теория относительности является одним из подлинных источников всей современной дифференциальной геометрии. Прежде всего произошло почти одновременное открытие Леви-Чивитой и Схоуте- ном понятия параллельности в римановом пространстве. Несмотря на все, что может показаться слишком аналитическим в этой своеобразной геометрии, в ней обнаружились истинно геометрические инструмент, язык и интуиция.

С другой стороны, сама физика в силу очевидных причин стремилась прорвать слишком узкие рамки римановой геометрии. Для теоретиков этого времени представляли интерес только два физических поля: электромагнитное и гравитационное. Именно фундаментальное изучение электромагнитного поля привело физиков к построению специальной теории относительности и вызвало интерес к странному плоскому пространству- времени Минковского и его индефинитной метрике. В рамки общей теории относительности, которая по существу представляет собой релятивистскую теорию тяготения, электромагнитное поле не входит вполне естественным образом, но, по крайней мере частично, искусственно привносится извне. Вследствие этого возникло неудобство, связанное с увеличением числа физических полей, которые необходимо было принимать в расчет.

Таким образом, теоретическая физика оказалась перед необходимостью разработки «единой теории поля». Было предложено искать объединение гравитационного и электромагнитного полей в рамках единого гиперполя, по идее эквивалентного геометрической структуре Вселенной. После 1919 г., когда Герман Вейль сделал первую попытку развить теорию такого рода, многократно предпринимались усилия в этом направлении, но все они оказались физически неудовлетворительными по тем или иным причинам. Помимо пространств Вейля, в которых фундаментальную роль играет конформная группа, появились пространства Эддингтона — первый пример пространств с линейной связностью. Эти первые наброски, еще неуклюжие и изолированные друг от друга, оказались тем не менее очень важными для развития дифференциальной геометрии. Они нуждались в объединении, и этот синтез был осуществлен Эли Картавом в 1922 г. Работы Картана и его переписка с Эйнштейном показывают, каким образом великий теоретик в области теории групп и геометрии черпал вдохновение в развитии фундаментальных физических идей.

Эта грандиозная программа была выражена впоследствии на языке расслоенных пространств, тех пространств, о которых Картан имел, по-видимому, почти интуитивное представление и структура которых была разработана под его влиянием Эрес- маном и Уитни в период с 1936 по 1939 г. Сам этот язык, однако, никогда Картаном не использовался.

Наиболее естественными расслоенными пространствами являются такие, которые определяются посредством тангенциальных векторов в различных точках дифференцируемого многообразия или же пространством линейных систем отсчета в точках такого многообразия. В этом последнем случае слой в точке, т. е. совокупность систем отсчета в данной точке многообразия, является диффеоморфной к структурной группе, которая здесь представляет собой линейную группу. Такой слой называется главным расслоенным пространством, и современная дифференциальная геометрия в значительной степени основана именно на концепции связности на главном расслоенном пространстве данных групп. В случае расслоенного пространства линейных систем обсчета можно получить линейные связности, которые часто неправильно называют аффинными, поскольку каждая из них канонически ассоциируется с аффинной связностью. Если многообразие допускает риманову или псевдориманову метрику, то главным расслоенным пространствам ортонормирован- ных систем отсчета соответствуют метрические связности, из которых одна и только одна не обладает кручением (риманова связность). В соответствии с сигнатурой метрики структурная группа есть ортогональная группа или группа Лоренца.

Что касается общей теории относительности, то следует отметить, что в отличие от того, что слишком часто утверждается, физическая интерпретация всегда должна осуществляться на основе «переменных» ортонормированных систем отсчета, причем локальные координаты служат только для определения положений событий, чтобы задать, если можно так выразиться, картографию пространственно-временного многообразия. Многие из существующих трудностей совершенно очевидны в физической интерпретации, если допустить только ортонормиро- ванные системы отсчета, временнбе направление которых характеризует пространственно-временную скорость наблюдателя. Эта точка зрения последовательно и успешно развивалась Каттанео.

Отличный от тензоров геометрический объект появился в 1913 г. в результате исследований Картаном неприводимых представлений ортогональных групп. Но этот объект оставался в тени, скрытый за прозрачностью чистой математики. И только тогда, когда гений Дирака в поисках релятивистской теории электрона вновь открыл его почти пятнадцатью годами позд-

нее, он получил свое название и свой статус в науке. Таким образом, спинор родился на свет дважды: первый раз в руках математика, второй — в руках физика. Став фундаментальным инструментом в релятивистской квантовой механике, он также проявил себя в последние годы как мощное орудие глобальной дифференциальной геометрии, главным образом благодаря известной работе Атья и Сингера. Именно к работе самого Кар- тана 1936 г. следует обратиться, чтобы найти первый правильный подход к изучению спиноров на римановом или псевдори- мановом многообразии, допускающем спинорную структуру.

В искривленном пространстве-времени общей теории относительности оказалось возможным описывать основные физические поля в терминах тензоров и спиноров, причем спиновый вклад должен вносить каждый член, которому соответствует представление группы Лоренца. Кроме того, после появления общей теории относительности гравитационное поле представлялось значительно отличающимся от других, а именно полем, которое должно описываться непосредственно в терминах связности. Эта ситуация изменилась с появлением поля Янга — Миллса; детальное исследование его привело в последние годы к признанию того факта, что описание в терминах связности является для физического поля (включая электромагнитные поля) наиболее важным и наиболее общим.

Таким образом (и это почти парадоксально) в настоящее время создается полностью новый единый подход, основанный на теориях, называемых калибровочными или суперсимметричными, в контексте, совершенно отличном от старого гипотетического единого поля.

С этих пор дифференциальная геометрия предлагает математической физике удобные и плодотворные концепции, непосредственно необходимые для описания полей. Однако основные проблемы математической физики искривленного пространства-времени сформулированы, как будет видно ниже, на языке функционального анализа на многообразии; именно первой из этих проблем, наиболее первоочередной и наиболее элементарной, и посвящена эта обширная статья. В ней содержится то, что можно назвать математическими основаниями общей теории относительности.

Теория дифференциальных уравнений в частных производных привела благодаря Соболеву [29] и Шварцу [22] к появлению обобщенных функций. Чтобы приспособить этот фундаментальный инструмент к функциональному анализу на дифференцируемом многообразии, было необходимо еще одно усилие, которое проявилось в потоках де Рама (т. е. обобщенных функциях формы) и в более общем виде в понятии тензорных обобщенных функций, которое было введено автором около

1955 г. Это понятие представлено здесь для упрощения в предположении, что дифференцируемое многообразие обладает псевдоримановой метрикой (хотя это и не обязательно). Оно полезно для исследования волновых проблем, а также для введения концепций элементарного решения и распространения, являющихся основными при разработке квантовой теории полей в искривленном пространстве-времени.

Система уравнений Эйнштейна есть система нелинейных уравнений в частных производных; она квазилинейна, т. е. линейна в главных членах относительно производных максимального порядка. Существенно, что по своему характеру она является гиперболической; из этого факта следует, что релятивистская теория гравитации — аналогично обычной (линейной) теории электромагнитных полей — является теорией распространения волн; это предполагает физическое существование гравитационных волн. Волновые фронты, т. е. характеристические гиперповерхности, тангенциальные к полю элементарных конусов, играют, таким образом, ведущую математическую и физическую роль. Однако при аналитическом объяснении гравитационных явлений возникает дополнительная трудность: система уравнений Эйнштейна является системой, которую можно описывать как «геометрическую», и это проявляется в том факте, что все десять составляющих ее уравнений связаны друг с другом с помощью законов сохранения, которые тесно связаны с инвариантностью относительно отображений. Аналогичным образом это находит свое выражение при выборе и придании физического смысла аксиомам, определяющим дифференцируемую структуру пространства-времени.

Предполагается, что при локальном аналитическом изучении структуры уравнений Эйнштейна для исследования выбрана соответствующая локальная система координат; наиболее удобный выбор — это гармонические координаты, которые осуществляют диагонализацию главных членов в компонентах тензора Риччи благодаря тому, что гармонические условия допускают те же характеристики, что и сами уравнения Эйнштейна.

Работы де Дондера [5, 6], Дармуа [4], Фока [8} и автора этих строк [12—19] в значительной степени прояснили эту структуру уравнений Эйнштейна и ее математическую важность; однако лишь Шоке-Брюа [1] установила впервые локальное существование и теорему единственности для задачи Коши, относящейся к пространствам Эйнштейна. Из самих этих теорем следует, что они по необходимости являются теми же самыми для глобальных исследований. Оригинальный метод Шоке-Брюа основан на использовании идей, предложенных в другой связи Соболевым, и привлечении так называемых обобщенных формул Кирхгофа. Несколько позднее Лере [И],

который хорошо знал и высоко ценил работы Шоке-Брюа, развил замечательную общую теорию гиперболических систем квазилинейных уравнений в частных производных. Уравнения Эйнштейна, Эйнштейна — Максвелла, а также уравнения гидродинамики образуют, таким образом, системы, которые могут быть сведены к гиперболическим системам Лере. Отсюда можно усмотреть, каким образом важная тёория Лере применяется к основным физическим системам и какие точные результаты можно из нее извлечь.

Известна важность для недиссипативных систем понятия ударной волны, слабого решения (в соответствующем смысле) фундаментальных уравнений. С этим понятием связан метод, который позволяет коррелировать состояния соседних систем в пространстве-времени при незнании тонкой структуры промежуточных состояний. Ясное и строгое понимание гравитационных и электромагнитных волн было получено с помощью ударных волн; в этих рамках легко проиллюстрировать взаимодействие гравитационных и электромагнитных волн и показать, в каком смысле можно считать, что электромагнитная ударная волна с необходимостью индуцирует гравитационную ударную волну. По этому вопросу мы разработали оригинальную теорию, которая в общих чертах представлена в настоящей статье.

В теории относительности материальные источники не могут описываться с помощью понятия твердого тела, и как следствие для их описания используется теория сплошных сред. С другой стороны, новые экспериментальные данные об астрономической вселенной свидетельствуют о наличии некоторых небесных объектов, обладающих мощными магнитными полями, которые формируют свойства этих объектов. В результате этого в теории относительности гидродинамика и магнитогидродинамика играют еще более важную роль, чем в классической механике. То же относится и к теории упругости, которую мы ради простоты намеренно оставили в стороне. Таким образом, по-видимому, естественная гармония, которая существует между уравнениями Максвелла и релятивистской динамикой вследствие их общего происхождения, делает релятивистскую магнитогидродинамику в целом ряде фундаментальных аспектов более простой и изящной, чем классическая магнитогидродинамика. Мы посвящаем большой раздел гидродинамике и релятивистской магнитогидродинамике, в частности проблемам волн и ударных волн, для которых может быть получена законченная теория.

В заключение дается введение в квантовую теорию полей в искривленном пространстве-времени в рамках теории систем линейных гиперболических уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Коммутаторы, соответствующие

векторному мезону и электромагнитному полю (спин 1), с одной стороны, и микроскопическому гравитационному полю (спин 2, масса 0), с другой стороны, определяются с помощью пропагаторов. Некоторые аналогичные результаты относительно антикоммутаторов справедливы и для полей Дирака (спин 1/2), соответствующих электронам и протонам, а также нейтрино.

Единственная цель настоящей статьи — показать, каким образом (в рамках теории относительности) математическая строгость и физический смысл оказывают друг другу эффективную поддержку.

Тензорные обобщенные функции

В первой части мы собираемся показать, каким образом математический формализм тензорных обобщенных функций может обеспечить точный инструмент для исследования волн в математической физике, в частности в теории относительности. Автор ввел этот формализм в 1959 г. [14] для исследования квантовой теории полей в искривленном пространстве- времени, и мы также будем использовать его в этих целях. Кроме того, мы применим этот инструмент к задачам о волнах применительно к уравнениям Максвелла и уравнениям Эйнштейна таким же образом, как к волнам, которые появляются в релятивистской гидродинамике и магнитогидродинамике.

Тензорные обобщенные функции на псевдоримановоммногообразии

Пусть VnA-\ — выпуклое, паракомпактное, ориентированное, дифференцируемое многообразие размерности п + 1 и класса С^1 (А^О). Мы определяем на Vn+i псевдориманов «метрический» тензор g класса С^О^А^А) и произвольной сигнатуры. В локальном отображении {ха} (а, £,... = 0, 1, ..., п) многообразия Vn+i с областью Q можно записать

Если Т и U — два р-тензора, то можно обозначить посредством (Т, U) (х) скалярное произведение Т и U в точке х из Уп+ь Для отображения й получаем

(Г, ^(х)^^, ...аХ''"“PW (хей). (1.1)

Пусть 5>р(1/п+1)—пространство р-тензоров U на Уп-н классов Ch с компактными носителями S(t/). Если Т— локально сум-

мируемый р-тензор на Vn+i, то для всех U е S>p(Wn) можно положить

О\1Г)= \ {T,U){x)^{x),(1.2)

где т] — естественный элемент объема многообразия. Локально имеем

ч Iq = Vl S l^° A dxl л ... A dx^;(1.3)

р-тензорная обобщенная функция T на V^+j есть непрерывная линейная форма со скалярными значениями на пространстве 2>4Vn^Y

Если U ^Фр^Упа-х^ то 7[(7] или <Т, U^ представляет собой значение Т для рассматриваемого тензора U.

В предыдущих определениях непрерывность следует понимать в обычном смысле теории обобщенных функций. При заданном компакте К можно рассматривать последовательность [/V(v = 1, 2, ...) элементов S)p(Vn+i) с носителями *S(t/v) ^ К, такую, что U^ и все их производные порядка ^.h равномерно сходятся к 0 при V—►сю; Т непрерывно, если 7[[7V] стремится к 0 для всех этих последовательностей, причем носители могут принадлежать произвольному компакту К. р-тензорная обобщенная функция Т на Vn+i определяет на любой области Q из Уп+х р-тензорную обобщенную функцию, обозначаемую Т\&» причем

Th есть сужение Т на й. Носитель S(T) тензора Т есть дополнение наибольшего открытого множества, на котором сужение Т равно нулю.

Локально суммируемый р-тензор Т на Vn+i может быть отождествлен с тензорной обобщенной функцией, обозначаемой TD (или иногда по-прежнему через Т, когда это не может привести к недоразумениям) с учетом формулы (1.2); имеем Т°\Щ=<Т,и> для Ue2)p(Vn+i). Для антисимметричных тензоров (т. е. форм) имеет место идентификация с потоками в смысле де Рама.

Если и есть скалярная обобщенная функция, а V — р-тензор класса С\ то обозначим посредством u-V р-тензор- ную обобщенную функцию, определяемую соотношением

(« • V) [(/] = и [(У, I/)] (U е 0" (У„+1)).

Пусть теперь й— область локального отображения {*“}. При заданных (на й) пр скалярных обобщенных функциях

Тах...ар можно определить р-тензорную обобщенную функцию на Q

T==Tai...apdxai® ... ®dxaP(1.4)

следующим образом: если {еа} является системой координат с сопутствующей дуальной системой {</%“}, то мы рассматриваем элемент U из 5ЬР^Щ, определяемый выражением

“pea, ® ... ® еОр.

T[t/] задается суммой

ГМ=7а1...ар[С/а‘-“р].

где имеет место суммирование по («ь • ••, ар).

Наоборот, любая р-тензорная обобщенная функция Т на Й может быть описана с помощью следующего выражения: пусть Тах...ар есть скалярная обобщенная функция, определяемая посредством равенства

Та, ... ар [Л - Т [Ч, ® • . . ® еа„] (f G ^ (Q)).

Тогда для U в 0°(Q) имеем

Т [17] = Т [t/“* Ча, ® . . . ® еОр] = Та, ар [С/"1 “р],

и Т может быть описано посредством (1.4).

Таким образом, если Т является р-тензорной обобщенной функцией на Vn+ъ то сужение Т на локальное отображение области й допускает (относительно этого отображения) компоненты, представляющие собой скалярные обобщенные функции на Й.

Ковариантная производная тензорной обобщенной функции

Предположим временно, что h, k ^ 1.

Пусть V — оператор ковариантного дифференцирования, определяемый с помощью псевдоримановой связности, определенной посредством д. Обозначим через 6 оператор кодифференцирования по тензорам: если U есть (р + 1)-тензор, то 6U является р-тензором, задаваемым в любом локальном отображении посредством

(/ = {^,...= {- Vp^, ... Ор}.

Пусть Г есть р-тензор на Vn+i, допускающий локально суммируемую ковариантную производную VT. Если й является

областью отображения {ха} и если U eS>P+1(Q), то имеем

<VT, U>=...apt70a‘'"a4

или после интегрирования по частям

(vr, U) = J Vp (Го, ... ^iT1 - “₽) Т] - $ Tat ... aVpU^ - Н Vn+t^+t

Первый член справа является интегралом от дивергенции вектора с компактным носителем и равен нулю согласно формуле Стокса. Отсюда следует, что

(VT, LT) = (Т, bU) (и г S#*^ (Q)).

Пусть U е ^+1(Vn+1). Введем конечное покрытие {Qv} открытой окрестности носителя S(t/) областями локальных отображений; пусть также {фу} — соответствующее разложение единицы. Положим, что UN = q)v^, так что U = 2^v> bU = ^U^. Имеем

(vr, t/v> = <r, 6t7v>

и после суммирования по v

(vr. U) = <T, bU) (jJeS^VV^Y (2.1)

Таким образом, мы пришли к определению ковариантной производной р-тензорной обобщенной функции Т как (р-|-1)- тензорной обобщенной функции ^Т, определяемой соотношением (2.1).

Если и — скалярная обобщенная функция, то предыдущее определение дает ^u = du, где du — обычный дифференциал скалярной обобщенной функции. Пусть Т — векторная (1-тензорная) обобщенная функция. На области Q отображения выражение (2.1) можно записать в виде

<VaTp, и0*) = - <Ту VaUa6) (и е 02 (Q)).

Пусть {Гр7} — коэффициенты связности в нашем отображении. Тогда (да = д!дхл)

vju'* = даи^ + rs₽t/pp + r^t/ap

и как следствие

(vaTp, Ua^ = -(j^, da[/aP + r“pi7pP>-<Tp, rgpt/ap).

Если фиксировать индекс ₽, то из определения даТ^ следует - (Гр, daUa^ + Г^"> = 0аГэ> (/а3),(2.2)

и мы получаем

(Va^p, 1/0Р) = (даГр-Па7’р, С/“₽>.

Мы установили, что

VaT^ = daT^-rU^(2.3)

Вообще, можно утверждать, что классические свойства ковариантной производной в псевдоримановой связности, а также все соответствующие формулы справедливы для тензорных обобщенных функций. В частности, если Т есть (р + 1)-тензорная обобщенная функция, а U — обычный р-тензор, такой, что S(T) Q S (£7) является компактом, то

(6Г, ^=<1, W).(2.4)

Обобщенные функции У+, У” и 6, соответствующиегиперповерхности

Пусть 2 — регулярная гиперповерхность в VnA-v Она может быть определена локально с помощью уравнения <р = 0 (где предполагается, что ср относится к классу С2); будем считать, что 2 является регулярной, т. е. что d^^ ф 0 для каждого хе 2. Положим для краткости I = dtp.

а. Ограничимся связной областью Й в Vn+i, которая гиперповерхностью 2 разделяется на две области Й+ и Й“ относящиеся соответственно к <р .>0 и <р < 0. Пусть Уф, или, короче, У+ (соответственно Уф, или У“)— такая функция на Й, которая равна 1 (соответственно 0) на й+ и 0 (соответственно 1) на й”. Эти функции определяют на Й скалярные обобщенные функции, обозначаемые по-прежнему У+, У" в соответствии с формулами

<У+, f) = $У+Ь = pn(3.1)

<y-,f>=Jy-h= pn (fe^°(Q)).(3.2)

£2ti-

Рассмотрим класс n-форм Лере, ассоциированных с ф, т. е /г-формы о, удовлетворяющие соотношению

T] = d(p Д (o = Z А со.

(3.3)

Если со, о' — две формы этого класса, то существует (п—1)- форма у, такая, что

со'= со + ^фЛу-(3.4)

Обозначим посредством dQ+ и dQ~ ориентированные границы на 5 областей Q+ и Q~ (причем dQ+=— dQ“). В соответст^ вии с (3.4) интеграл

f со = — $ fo (f g 0° (Q))

dQ”0Q+

имеет строго определенное значение независимо от выбора ю, удовлетворяющего (3.3). Таким образом, можно определить скалярную обобщенную функцию бф (или б— обобщенную функцию Дирака) на Q с помощью соотношения

<6, f) = р® = - $ f® (fe^”(Q));(3.5)

»Q~d£l+

б имеет своего носителя на 5.

б. Часто удобно вводить на й локальное отображение {у®}, которое адаптировано к S, т. е. такое, что у° = ф. В таком отображении I может иметь ковариантные компоненты Zo = 1, h: = 0 (как и любой латинский индекс, 1 = 1, 2, ..., п).

Найдем векторные обобщенные функции, которые являются производными скалярных обобщенных функций У+ и У". В адаптированном отображении

n 1В =■ VTFW Л dy' Л ... Л dyn•(3.6)

Отсюда следует, что n-форма в й

® = VTgJrfy° Л ... Л dyn(3.7)

удовлетворяет (3.3). Если UgS1(Q), то, согласно определению ковариантного дифференцирования, получаем

(vy+, 0 = <У+, 60.

Для адаптированного отображения {у®} с областью й отсюда следует

(¥У+, 0 = -(Y+, -^-да(Ua Vfgl)) =

= — J ^а (Ua VTgl) dy Ady1 Д ... Д dyn.

q+

Согласно формуле Стокса, последний интеграл равен

- $ tf4\g\dy' Л ... Adyn = - $ /„(/“«>.

dQ+dQ+

Из (3.5) получаем

(vy+, 0 = (/б, U) (.Ue®' (й)).

Тогда в соответствии со смыслом обобщенных функций имеем

7У+ = /.б(3.8)

и аналогично

— —(3.9)

в. Исследуем векторную обобщенную функцию, которая является дифференциалом от 6. Если V есть вектор в й, то

(Z (У) V6, Ь = <V6, fV) = (б, 6 (f У)>, (f е 0° (й)).

Предположим, что У касателен к гиперповерхностям ф = = const (t(u)l=0). В адаптированных координатах имеем У° = 0 и

G (У) V6, /) = J аа (fy“ Vfgi) dyi Д ... Ady" =

= $ й ^^Z VfFi) dy' A ... A dy". da*

Согласно формуле Стокса, последний интеграл равен

5 дД (fV* VTF1) dy° Ady1 А ... A dy", й+

где f обладает компактным носителем, причем путем интегрирования соответствующего члена по у1 можно убедиться, что каждый член этого интеграла равен нулю. Таким образом, для 1’(У)1=0 имеем t(y)V6 = 0, т. е._в адаптированных координатах V/б = 0. Если положить Vo6 = 6', то легко видеть, что на й имеет место такая скалярная обобщенная функция б', что

V6 = /-6'.(3.10)

Тензорные разрывы на гиперповерхности

Пусть Т есть р-тензор на й, т. е. тензор класса С° на й+ и й-. Говорят, что Р регулярно разрывен при пересечении S, если при ф, стремящемся к нулю через положительные (соот-

ветственно отрицательные) значения, Т равномерно сходится к функции с тензорными значениями, определенными на S и обозначаемыми Т^ или Т-.

Разрыв Г есть тензор, определенный на S, [Т] = Т+— Т~. Тензорные обобщенные функции ¥~Т и ¥""! определяются на Q естественным образом.

Тензор Т — локально суммируемый тензор; если TD есть тензорная обобщенная функция, определяемая посредством Т, то в смысле обобщенных функций имеем

TD = Y+T + Y "Т.(4.1)

Аналогично тензорные обобщенные функции 6Т+, 6Т~ могут быть определены с носителями на 5, и

б[Г] = д?+-дГ-.

Пусть теперь тензор Г в Q есть р-тензор класса С1 на й+и П-, так что Т и V7 регулярно разрывны при пересечении 2; V7 определяет следующую тензорную обобщенную функцию:

(V7)° = У+7Г + y~V7.(4.2)

Определим тензор XTD— ковариантную производную от тензорной обобщенной функции TD, заданной посредством (4.1). Из наших определений и соотношения (3.8) можно сразу установить, что

7(У+Т) = /б®7+ + У+77.(4.3)

Аналогично

V (У~Г) =/д ® Г~ + У~7Г.(4.4)

Складывая, получаем, согласно (4.2),

VTD = l6®YTWVTy\(4.5)

В этой формуле ^TD— тензорная обобщенная функция, которая является ковариантной производной — в смысле обобщенных функций — от тензорной обобщенной функции TD. Тензор ^T)D есть тензорная обобщенная функция, определяемая с помощью обычной ковариантной производной VT от тензора Т. Член /60 [Т] часто называют тензорной строкой, соответствующей тензорному разрыву [Т].

Рассмотрим ковариантную производную от тензорной обобщенной функции 6 [Г]. Сразу можно убедиться, что в адаптированных координатах

Vi (6 [71) = (V;d) ® [Г] + d . V, [7] = d . Vz [Г].

Однако из равномерной сходимости следует, что V. [Т] = [ViTj. Таким образом, существует р-тензорная обобщенная функция 67 с носителем на 2, такая, что

6[V7] = V(6[7]) + /®67. (4.6)

В частности, для скаляра, удовлетворяющего вышеуказанным предположениям относительно тензора Т, получаем

W] = d(6 [Л ) + /&/• (4.7)

Обобщение VTD

Определение V7D и формула (4.5) могут быть распространены на более общий случай, и это выражение оказывается полезным в теории гравитационных ударных волн.

Рассмотрим пример, когда А = 1 на й+ и й-, но не на й; точнее, мы полагаем, что первые производные от компонент метрического тензора g регулярно разрывны при пересечении 2, т. е. что g является кусочно С1 относительно 2.

Пусть

будет 1-формой связности, где Г — коэффициенты связности в отображении {х“} на й. Совершенно ясно, что ® непрерывна на й + и й~ и регулярно разрывна при пересечении 2.

Пусть Т — такой вектор класса С1 на й+ и й-, что 7 и V7 регулярно разрывны при пересечении 2. Положим по определению

VTD= й7°4-У+(®7) + У“(®7). (5.1)

Легко видеть, что таким образом определяются тензорные обобщенные функции на Q и что если со непрерывна при пересечении S, то такое определение ^TD совпадает с предыдущим определением (разд. 2). Соотношение (6.1) естественным образом может быть распространено на тензоры произвольного порядка, и определенный таким образом оператор V обладает обычными свойствами оператора ковариантного дифференцирования.

Предложение. Предположим, что g является кусочно С1 относительно S. Если Т есть тензор класса С1 на Q+ и Q“, такой, что Т и ^Т регулярно разрывны, то соотношение (4.5) остается справедливым.

С целью упрощения изложим доказательство для случая, когда Т есть вектор. Выберем некоторое отображение с об* ластью Q. Можно применить (4.6) к локальным скалярам,

определенным на 52 посредством различных компонент Т. От* сюда получаем

dTD = fi>^\T\-V№D, и из (5.1) следует

VTD = 1Ь® [Г] + ад° + У+ ад + У" (©Т).

Однако на каждой из областей Q+ или £2“

VT = dT-\-©T,

и VT определяет на £2 тензорную обобщенную функцию

^vif = ад°+адв=ад°+у+ ад+у ~ ад.

Таким образом, получаем

VTS = /6®[T] + (VT)D,

е. снова соотношение (4.5).

Случай непрерывных тензоров

Вернемся к предположению, что тензор g повсюду относится к классу Ск (6^1).

Рассмотрим тензоры Т, которые непрерывны на £2 и относятся к классу С1 на £2+ и £2“, такие, что VT регулярно разрывны при пересечении S. Эти тензоры естественным образом определяют тензорную алгебру ^. Соотношение (4.6) можно написать в виде

д[7Г] = /®8Г.(6.1)

Рассмотрим отображение д: Те^-*-6Т, где ST— тензорная обобщенная функция с носителем на 5. Согласно (6.1), 6 есть производная тензорной алгебры ^: 6 линейна, и если Т, U г si-, то из (6.1) следует

6(Т ® (/) = 8Г ®(/+ Г®8[/.(6.2)

Обобщенная функция 6Т называется инфинитезимальным разрывом Т; согласно определению, 6Г зависит только от Т, но не от связности.

В оставшейся части настоящего раздела мы будем предполагать h,k ^2. Следовательно, связность будет относиться к классу С1, а ее тензор кривизны будет непрерывным. Для таких тензоров Т рассмотрим гипотезу.

Гипотеза (Н). Тензор Т непрерывен на Й и относится к классу С1 на £2+ и fir. Тензоры М и NNT регулярно разрывны при пересечении 5.

Сам тензор ^Т удовлетворяет предположениям, соответствующим формуле (4.6). Поэтому

6 [VaVpT] = V0 №?!) + /„ 67/

и, согласно (6.1),

6[V0Vl=Va(^5n + /a5Vpr.(6.3)

Отсюда следует

6 [VaV/] = vo/p sr + /a 87/ + 1^ ST. (6.4) Из тождества Риччи, примененного к VaVyT, следует

к ^^ + 1^а ^Т = /р 8Var + /Лр 8Г и

la (8V/ - Vp ST) = /р (67aT - 7a ВТ).(6.5)

Таким образом, существует такая р-тензорная обобщенная функция Т с носителем на 2, что

67/ = 7ft8T + /ftT.рр 1 р

Подставляя в (6.4), получаем интересное соотношение

6 [VaVpr] = Va/p 8Г + /aVp ВТ + /pVa 8Т + Ц^Т. (6.6)

На основании (6.6) можно сделать полезное замечание. Выберем фиксированное отображение с областью Q и примем на Q однородную метрику, определяемую этим отображением; тогда коэффициенты связности равны нулю. Пусть / — скаляр, удовлетворяющий гипотезе (Н) на Q; тогда в этом отображении

61^₽Л = даЦ if + кд» tf 4- /д 8/ + 1М(6.7)

Уравнения Максвелла и электромагнитныеволны в искривленном пространстве-времени

77ространство-время

Пусть (V4, д) —пространство-время, которое здесь является ориентированным дифференцируемым многообразием размерности 4 класса (С2, кусочно С4) с метрическим тензором g строго гиперболического типа (сигнатура -|) класса

(С1, кусочно С3); т] есть элемент объема в (V4, д). Мы полагаем, что так же, как при пересечении областей двух допустимых отображений, координаты точки х в первом отображении есть функции класса С2 с ненулевым якобианом, зависящие от координат той же точки х во втором отображении. Третья и

четвертая производные от этих функций существуют, но являются только кусочно-непрерывными. Мы видим, что эти предположения о дифференцируемости находятся в строгом соответствии с полевыми уравнениями общей теории относительности и как следствие с физикой.

Известно, что такая дифференцируемая структура всегда может быть определена в С^-структуре. Представляется вероятным, однако, что любая деталь (С2, кусочно С4)-структуры Va лишена какого бы то ни было физического смысла.

Для такого отображения {%“} с областью Й имеем glr^^ap^®^ (°, 0 и любые греческие индексы = О, 1, 2, 3). Аналогично можно предположить, что гравитационные потенциалы ga$ есть функции класса (С1, кусочно С3).

В любой точке х из Va векторы X касательного пространства TxVa, удовлетворяющие соотношению gx^X, X) = О, называются изотропами и порождают конус Сх в TxVa— элементарный конус в точке х. Метрический тензор g определяет, таким образом, поле конусов. Векторы (или направления), лежащие внутри или на конусе Сх^х^Х, X) ^ 0), называются временными-, векторы, находящиеся строго внутри конуса Сх,— строго временными, а векторы, внешние по отношению к конусу С* (gx(X,X) < 0), называются пространственными.

Сингулярные 2-формы

Рассмотрим в точке х из Va 2-форму F ф 0, для которой существует такой вектор I ф 0, что

IKF = Q(8.1)

и

i (l)F = 0 или I А * F = 0,(8.2)

где * обозначает сопряженный оператор на форме. В компонентах система уравнений (8.1), (8.2) имеет вид

= еРа6 = 0,(8.3)

где S означает суммирование по циклическим перестановкам. Если это имеет место, то говорят, что F сингулярна в х с фундаментальным вектором I.

Вектор I с необходимостью изотропен*, если бы это было не так, то можно было бы ввести в х ортонормированную систему отсчета, допускающую I или пропорциональный ему вектор в качестве элемента (l = Vw Р?9)=±1). В этой системе из (8.3) следует, что Fi( = 0, F0i = 0 (i,j=l, 2, 3) и F равно нулю в х. При выбранном векторе I из (8.1) следует, что

существует такой вектор Ь, определяемый посредством b—*b-\- + а/ (где а — скаляр), что

F^lKb.(8.4)

Поскольку вектор I изотропен, то на основании (8.2) можно заключить, что i^b = Ot и b есть пространственный вектор в 3-плоскости Ш, касательной к элементарному конусу С вдоль I. Скаляр

е=-6°6а = 116112(8.5)

строго положителен.

При заданной F направление / вполне определено: вектор I определен с точностью до множителя 1-^X1 (где X— скаляр). Действительно, если Г есть другой изотропный вектор, удовлетворяющий (8.1), то из (8.4) следует I' = XI -V pb, и V изотропен тогда и только тогда, когда р. = 0. Отсюда видно, что скаляр е зависит только от F и от нормировки I.

Пусть 0(1), 0(2) — два вектора, ортогональные к П*, причем о^= о(22)=—1. Эти два вектора определяют пространственную 2-плоскость в П*. В этой 2-плоскости можно выбрать b таким образом, что

b = л^щ + а2«(2) = S auvw (u = 1, 2),

и уравнение (8.4) можно записать в виде

f=2X('AvM),(8.6)

или в компонентах

^аР = °а Оа°(«) рЧУ№ а)(“ = 1 > 2).(8.7)

Отсюда имеем

e = -baba=L(atty.(8.8)

и

Эти сингулярные 2-формы играют фундаментальную роль в представлении электромагнитных волн.

Уравнения Максвелла и формальная задача Kotuu

Электромагнитное поле в отсутствие индукции описывается антисимметричным 2-тензором (или 2-формой) F, который в общем случае предполагается относящимся к классу (С°, кусочно С2) на V4. Специальная теория относительности приводит к предположению, что электромагнитное поле удовлетворяет в У4 тензорной системе дифференциальных уравнений в частных производных, которая является не чем иным, как

переносом на искривленное пространство-время уравнений Максвелла. Эту систему можно записать в виде

dF = 0,(9.1)

6F = J,(9.2)

где / — вектор электрического тока, который описывает источники электромагнитного поля. В общем случае предполагается, что J кусочно-непрерывен. В областях, где 7 = 0, имеем то, что называется внешним случаем. В дальнейшем будем полагать

D = 6F, Е = Ц*Р\(9.3)

Тогда уравнения Максвелла можно записать в виде

D = J, Е = 0.(9.4)

Поскольку б2 = 0 на этих формах, D и Е удовлетворяют законам сохранения

60 = 0, 65=0.(9.5)

Отсюда следует, что если 7 относится к классу С1, то из уравнений Максвелла можно получить соотношение

67 = 0,(9.6)

которое называется уравнением сохранения электрического заряда.

Согласно специальной теории относительности, электромагнитному полю без индукции можно сопоставить тензор энергии- импульса, называемый тензором Максвелла и определяемый (в компонентах) соотношением

(9.7)

След этого тензора равен нулю:

Т = 5артор = О,

и из уравнений Максвелла следует

V^-Z^pp.(9.8)

Напомним вначале элементарный анализ задачи Коши для уравнений Максвелла во внешнем случае. Эти уравнения имеют вид

Ва = -^/?а = 0, ^вЦ^^Л^О.(9.9)

Пусть S — локальная регулярная гиперповерхность в V4, не касательная к элементарным конусам, В координатах {</“}, адаптированных к 2, получаем g№ ф 0. В таком отображении

система уравнений Максвелла Эквивалентна совокупности двух систем

D^- g°°doFot -+ Gz = 0,

Ei = 1 ^kdaFik + Hi = Q,(9110)

и

D° = 0, £°=0,(9.11)

где D°, E°, Gi, H‘ — известные значения на 5, если известны на 2 значения Fa& (условия Коши).

Кроме того, если электромагнитное поле F удовлетворяет системе уравнений (9.10) и— только на 2— уравнениям (9.11), то оно также удовлетворяет (9.11) и вне 2. Это следует непосредственно из уравнений сохранения (9.5).

Мы видим, что для условий Коши (ЛеЦ, удовлетворяющих (9.11) на 2, система (9.10) дает на 2 значения всех трех производных doFjk и всех трех производных d0F0i. Отсюда следует, что для решения уравнений Максвелла первые производные от Fa» могут не быть разрывными при пересечении 2.

Ясно также, что характеристическими многообразиями рассматриваемой системы уравнений Максвелла являются гиперповерхности, касательные к элементарным конусам. В дальнейшем мы вернемся к этому результату, используя другой подход.

Уравнения Максвелла и вектор-потенциал

Введем понятие вектора-потенциала. Из уравнения dF = 0 следует, что F есть локально внешний дифференциал линейной формы; на связной области Q имеем

F|Q = da,

или в отображении с областью Q

Лц = Л0!* — ^“v

Говорят, что а есть вектор-потенциал для F. Этот вектор-потенциал определяется с точностью до локального аддитивного дифференциала. Преобразование a-^a-VdS (где S — скаляр) называется преобразованием электромагнитной калибровки. Важно подчеркнуть тот факт, что в общем случае невозможно определить вектор-потенциал во всем пространстве-времени. Если бы мы могли определить глобальный вектор-потенциал для любого электромагнитного поля, то второе число Бетти М^) пространства-времени было бы равно нулю.

С каждым вектором-потенциалом а ассоциируется скаляр 6a. Говорят, что вектор-потенциал удовлетворяет условию Лоренца, если 6a = 0. Всегда можно добиться, чтобы это условие

локально выполнялось, с помощью соответствующего преобразования калибровки.

Систему уравнений Максвелла легко записать через вектор-потенциал. Имеем соотношение

6da = J.(10.1)

Введем на формах лапласиан де Рама А = d6 + 6d. Для 1-формы а в координатной записи получаем

(Аа)р = - VxVxap + Rpaa)

где /?р— тензор Риччи метрики. Уравнение (10.1) можно записать в виде

Аа-б/ба = 7.(10.2)

Если а удовлетворяет условию Лоренца, то

Аа = 7,(10.3)

или

- g^^A, + RX = Jp.(10.4)

Рассмотрим роль уравнения (10.3) и уравнения сохранения электрического заряда

б/ = 0(10.5)

в системе уравнений Максвелла. Аналогичный результат может быть получен и для гравитационного случая.

Пусть S — пространственная гиперповерхность, а {уа} — отображение, адаптированное к 2; тогда g00 > 0. Выраженные через вектор-потенциал условия Коши определяются посредством компонент а, т. е. ах, и их первых производных доах. Мы видели выше, что D0 = (6F)0 зависит только от условий Коши на S.

Рассмотрим решение уравнений (10.3), (10.5), соответствующее условиям Коши:

da = 0 при у°=0(10.6)

и

^Р^ = 1° при у° = 0.(10.7)

Покажем вначале, что имеет место следующее соотношение: doda = O при у° = 0.(10.8)

В самом деле,

(dda)° = (Aa)o-(dda)o = /o-(d^)° = O при у° = 0.

Однако локально на S имеем

(d da)0 = g°°d0 6a + g°idt da = g°°d0 da,

причем g00 ф 0, и очевидно, что наше решение удовлетворяет (10.8) на 2. Для этого решения можно посредством действия 6 на (10.3) получить из (10.9) следующее соотношение:

Дба —0,(10.9)

причем 2 является пространственной гиперповерхностью, а единственным решением уравнения (10.9), удовлетворяющим условиям ба = 0 и доба = 0 на 2, является нулевое решение. Таким образом, ба = 0 вне 2, и а удовлетворяет условию Лоренца. Отсюда следует, что а есть решение уравнения Максвелла (10.1).

Предложение. Любое решение уравнений (10.3), (10.5), удовлетворяющее на пространственной гиперповерхности Z(y° = 0) условию Лоренца ба = 0 и соотношению (677)0 = Г, является решением соответствующей задачи Коши для уравнения Максвелла (10.1), и вектор-потенциал а тождественно удовлетворяет условию Лоренца.

Обычные электромагнитные волны

Мы предположили, что электромагнитное поле F относится к классу (С°, кусочно С2). Допустим здесь, что электрический ток I непрерывен.

Обычная электромагнитная волна определяется решением F уравнений Максвелла (9.1), (9.2) (где J непрерывен), таким, что производные от F регулярно разрывны при пересечении гиперповерхности 2, которая называется «волновым фронтом».

Согласно (6.1), существуют 2-тензорные обобщенные функции bF с носителем на 2, причем

6[VF] = /®5F (l = d^Y,

bF есть инфинитезимальный разрыв F. Иначе говоря, на 2 существует такая 2-форма Н ф 0, что

фН = 1®Н,(11.1)

где bF = 6-Н. Из (9.1) следует, что на 2

1ДН = 0,(11.2)

а из (9.2) и из условий непрерывности J следует

ЦГ)Н = 0.(11.3

Эта 2-форма Н сингулярна и имеет I в качестве фундаментального вектора в каждой точке х гиперповерхности 2, причем I обязательно изотропен. Кроме того, мы имеем также

Предложение. Фронты электромагнитных волн (или характеристические многообразия системы уравнений Максвелла) есть гиперповерхности, называемые изотропными касательными в каждой своей точке к элементарному конусу в той же точке.

Если 2 определяется локальным уравнением <р = О, а характеристические многообразия есть решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые можно записать в произвольном отображении в виде

Л1Ф = £арда<рдрф=-0,(11.4)

причем I есть дифференциал ф, то имеем

Va/p-VpZa = O,(11.5)

где I изотропен

Z°Za = O(П-6)

и определяет собой образующую элементарного конуса, вдоль которой 2 касательна к конусу. Из (11.6) следует

ZaVpZo=0.(11.7)

Из (11.5) и (11.7) можно получить

ZaVa/6 = 0 или ZaVaZp = O,(11.8)

и траектории / есть изотропные геодезические метрического тензора g пространства-времени относительно их аффинного параметра. Эти кривые есть характеристики уравнения (11.4) и называются бихарактеристиками (или лучами) системы уравнений Максвелла.

в. Рассмотрим распространение bF и Н вдоль лучей. Ради простоты будем предполагать, что на рассматриваемой области / относится к классу С1, а g—к классу С2, так что тензор кривизны непрерывен. При изотропном векторе / из (6.6) посредством свертки можно получить

б [vX^l = -?(№,(11.9)

где P(Z) —дифференциальный оператор

P(Z) = 2ZpVp+VpZp.(11.10)

Для каждой области Q+ или й~ (в обозначениях разд. 6) получаем уравнение Максвелла

^а^ру 4” ^рРуа 4" ^у^ар = 9

и после дифференцирования имеем

VX-Fpy + VaVpPva + VaVvPap = 0.

После вычитания получаем

[ VaVaFpv] + [ Va Vval + [VaVvFap] = 0.(11.11)

На основании тождества Риччи и непрерывности тензора кри.- визны отсюда следует

[?“ Vy«1 = [VeVaFva] = [V^J = 0,

и уравнение (11.11) дает [V^^ya] = 0. Тогда из (11.9) находим

Р (/) ЬР = 2Z3Vp 8F + V/ 8F = 0.(11.12)

Поскольку 6 обладает свойством (3.10), уравнение (11.12) эквивалентно уравнению

Р (/) Яа₽ = 2/pVp//ap 4- VH»& = 0.(11.13)

Если Н равно нулю в точке х на 2, где 2 касательна к элементарному конусу вдоль I, то из (11.13) следует, что Н равно нулю по всей длине изотропной геодезической, определяемой /. Можно сформулировать

Предложение. Если электрический ток относится к классу С\ а тензор кривизны непрерывен в окрестности фронта 2 электромагнитной волны, то инфинитезимальный разрыв электромагнитного поля распространяется вдоль лучей, которые порождают 2 в соответствии с дифференциальным уравнением

Р (/) 8F = 2/pV0 8EaR + VJP 8F = 0.

Это предложение выражает основное свойство лучей.

Уравнения Эйнштейна и теорема Лере

Система уравнений Эйнштейна

а. Пусть (1^4, д) есть пространство-время,, удовлетворяющее предположениям разд. 7. Первым этапом в построении релятивистской теории гравитации является выбор тензорной системы дифференциальных уравнений в частных производных, связывающих метрический тензор g с распределением энергии-импульса в пространстве-времени. Это распределение энергии-импульса является источником гравитационного поля. Эйнштейн пришел к этим уравнениям на основе рассуждений двоякого рода: с одной стороны, эти уравнения должны представлять собой обобщение уравнения Лапласа — Пуассона, которое локально связывает ньютоновский потенциал и плотность вещества; с другой стороны, они должны удовлетворять системе из четырех тождеств, называемых законами сохранения.

Запишем эти уравнения в форме

S = xL(12.1)

где S и Т — два симметричных 2-тензора, ах — физическая постоянная. Тензор Т имеет чисто динамический смысл и феноменологически описывает распределение энергии-импульса в различных точках V4. Этот тензор энергии-импулъса Т есть обобщение второго члена в уравнении Пуассона. Он часто предполагается кусочно-непрерывным. В области, где Т = 0, имеем то, что называется внешним случаем.

Тензор S зависит только от структуры метрики g пространства-времени и удовлетворяет двум условиям:

Компоненты Sap тензора 8 зависят только от потенциалов и их производных первых двух порядков; они линейны относительно производных второго порядка.

Тензор 8 консервативен, т. е. удовлетворяет тождеству

68 = 0, или VaSg = O.(12.2)

С каждым симметричным 2-тензором h на V4 ассоциируется симметричный 2-тензор p(h), определяемый соотношением

n(h) = h-|(Trh)g.

Отображение ц инволютивно (р2 = Id); тензоры h и p(h) называются ассоциированными друг с другом.

Тензор Эйнштейна есть по определению тензор p(Ri), ассоциированный с тензором Риччи Ri из (V4, g). Картан показал, что с точностью до некоторого аддитивного члена Хд тензор Эйнштейна может быть определен с помощью двух вышеупомянутых предположений. Определения на основе более общих предположений были даны позднее. Системой уравнений Эйнштейна является тогда система (12.1), где

S=Ri-^g(12.3)

(R— скалярная риманова кривизна).

Компоненты тензора кривизны в произвольном отображении имеют вид

R^ х^ = W - <Vpx + Г0Ш - Г^Гррх,(12.4)

где Г — коэффициенты псевдоримановой связности. Вводя символы Кристоффеля, получаем

^ар, Хц, ~ ^Х [РИ, а] ^ц [Р^> а] + ^ар, Хц>

где ^a|злц зависят только от потенциалов и их первых производных, причем они квадратичны относительно этих производных. Раскрывая первые два члена, получаем

Ra^, Хц =2 ^аХбрц 4" Арцбах “~ ^ац^рХ ^рХ^ац) 4" ^Сар, Хц* (12.5)

Тензор Риччи определяется соотношением

Ra^ е= Ra, ар = g^ Rpa, ар»

С помощью (12.5) находим

^аР = 7 ^^ Барбра 4" ^pogap ^арбра Грабар) 4" ^Сар> (12.6)

где Кар квадратичны относительно первых производных от потенциалов.

Определение характеристических многообразий системы уравнений Эйнштейна может быть осуществлено на основе известных фактов, относящихся к формальной задаче Коши. Пусть 2 — регулярная гиперповерхность, а {уа} — отображение, адаптированное к 2. Условия Коши тогда есть значения (на 2) потенциалов ^ц и их перекрестных частных производных добхц. Получаем следующие результаты:

Четыре компоненты тензора Эйнштейна 8^ на 2 зависят явно только от условий Коши и их тангенциальных производных.

Введем преобразование адаптированного отображения согласно формуле

^' = уа + -^ {ф(“)(у9 + е*")^)},(12.7)

где е(а) равномерно сходится к 0 вместе со своими производными при </°—►О. Легко проверить, что значения координат в каждой точке х на 2, их значения в этой точке для условий Коши, а также значения вторых производных dooga (ij = \, 2, 3) инвариантны при этом преобразовании.

Можно, однако, путем выбора ф(а) придать произвольные значения четырем производным doogxo- Потенциалы gy называются существенными потенциалами для 2, а потенциалы ^о — несущественными. Выражение для тензора кривизны не может быть записано через производные d00gx0 от несущественных потенциалов.

В соответствии с нашим общим предположением о дифференцируемой структуре V4 мы можем посредством выбора ф(а\ с одной стороны, и 2 — с другой, ввести или устранить разрывы в производных от несущественных потенциалов, лишенные физического смысла.

Если g00 ф 0, то система уравнений Эйнштейна во внешнем случае эквивалентна совокупности двух систем

Rtj = — ^^doogi, + F0 = 0 (12.8)

И

5^ = 0, (12.9)

где Рц зависят только от условий Коши и их тангенциальных производных. Если метрика удовлетворяет уравнению (12.8) и — только на 5—уравнению (12.9), то она необходимо удовлетворяет (12.9) также вне 2. Это непосредственное следствие законов сохранения (12.2).

Предположим, что Т непрерывен на 5. Для того чтобы вторые производные от существенных потенциалов (или тензора кривизны) были разрывны при пересечении 5, необходимо, чтобы g00 = 0, т. е. чтобы 5 была касательной к элементарным конусам.

Обычная гравитационная волна определяется решением g уравнений Эйнштейна (где Т непрерывен), для которого тензор кривизны регулярно разрывен при пересечении гиперповерхности 5, которая называется волновым фронтом.

Иначе говоря, вторые производные от существенных потенциалов на 5 регулярно разрывны при пересечении 2. Для этих волн можно провести исследование, аналогичное приведенному в разд. 11, а. Мы, однако, не будем этого делать, а сосредоточим наше внимание на ударных волнах, которые представляют собой более интересный и сложный объект исследования. Во всяком случае, справедливо

Предложение. Фронты гравитационных волн (или характеристические многообразия системы уравнений Эйнштейна) есть изотропные гиперповерхности, касательные в каждой своей точке к элементарному конусу в этой же точке.

Отсюда следует, что бихарактеристики систем уравнений Эйнштейна (или гравитационные лучи) по-прежнему будут изотропными геодезическими метрического тензора g пространства-времени. Если Т относится к классу С1, то вдоль этих лучей, которые порождают волновой фронт 2, имеет место уравнение распространения

р (0 [/?ар. xj = 2/pVp [/?ар, ^] + VP/P [Яар, ^] = 0. (12.10)

Гармонические величины

В многочисленных математических исследованиях уравнений Эйнштейна оказывается удобным ввести определенную систему локальных координат — гармонические координаты. Мы вводим

также четыре величины (гармонические величины), которые яв- ляются первыми членами условий гармоничности. Отметим, что гармонические координаты есть точный инструмент для математического анализа системы уравнений Эйнштейна, однако они не дают каких-либо особенных преимуществ с точки зрения физической интерпретации.

а. Рассмотрим скалярное уравнение второго порядка с теми же характеристиками, что и уравнения Эйнштейна. Простейшее уравнение, которое обладает такими свойствами, может быть записано в виде

Аф = б rfcp = 0(13.1)

и является «уравнением Лапласа» для многообразия (V4, g). Локально имеем

Аф = - £“Ч?рФ = - £а₽ (дарФ - Г^рдрф).(13.2)

Система {№} локальных координат называется гармонической, если хр— локальные решения уравнения (13.1). Введем для произвольного отображения четыре гармонические величины

^р = Дхр = ^Г?р.(13.3)

Положим

^ = ^" = ^[«0. Pl-

Величины Fp и Fp зависят от потенциалов и линейно зависят от их первых производных.

б. Введем величины La^ определяемые соотношением

2^-ар = ^а^р 4" ^р^а'(13.4)

Имеем

2£ар 8х* {да [Яц, 0] + др [Яц> а]},

где символ ~ определяет по модулю члены, зависящие от потенциалов и ^квадратично^ от их первых производных. Несложное вычисление дает

2^ар — 8^ (^ац^рХ + ^рх^ац ^ар^Хц,)*(13.5)

С другой стороны, из (12.6) следует

^«Р ~2" ^^М^ар 4" "5 ^^ (^ац^рХ 4* ^рхб^ац,^ар^Хц,)*

Из сравнения с (13.5) получается интересная формула

^«Р ~2~ ^^Хц^ар 4* ^аре

Теорема, В произвольном отображении каждая компонента тензора Риччи может быть записана в виде

R^ = R^ + La^(13.6)

где La^ определяются посредством (13.4) и где

+(13.7)

причем Фар зависят от потенциалов и (квадратично) от их первых производных.

Если координаты являются гармоническими, то /?ар = = Rape<— ^ g^d^g^ и имеет место разделение потенциалов на уровне их вторых производных.

Уравнения Эйнштейна и гармоническиекоординаты

Рассмотрим общую систему уравнений Эйнштейна, где предполагается, что Т относится к классу С1, т. е.

5ар = хГар.(14.1)

Если Т = ga^Ta^, то (14.1) можно записать в виде

Ra» = x(rtt6-lTga6y(14.2)

Из законов сохранения (12.2) и системы (14.1) следует, что Т удовлетворяет соотношению

ТаГр-О.(14.3)

Если решение уравнений Эйнштейна записано в гармонических координатах, то La^ = 0, и это решение удовлетворяет уравнению

5^ = хГар,(14.4)

где

Уравнения (14.1) можно также записать в виде

Разумеется, наше решение удовлетворяет (14.3).

Наоборот, пусть 2 — пространственная гиперповерхность, а {уа} — отображение, адаптированное к S. Рассмотрим

решение системы уравнений (14.3), (14.4), соответствующее условиям Коши, таким же, как для отображения {у“}:

Fp = 0 при у° = 0,(14.5)

5»=%Г» при у° = 0.(14.6)

Мы доказали также, что doFp = O при у° = 0.(14.7)

Действительно, имеем

= Sf1 + Ц - 7 №. L- g^L^ - g^.

Из (14.6) следует, что на гиперповерхности 2 имеет место уравнение

- хП = 0.(14.8)

С другой стороны, согласно (13.4) и (14.5),

^а = 8^а^^д^р, 2L = g»»d0Fp.

Уравнение (14.8) дает g^doFa = 0 на S; при g°° ф 0 имеем (14.7).

в. Для нашего решения уравнений (14.3), (14.4) имеют место равенства

v, (4 - ^У-)-VI - WW

и из (14.3) следует

<|49>

2L* - g4 = g*" (S.F, + V») - W.' и как следствие

W - gy.) - g^/, + (g^F, - g-y.) + и,.

где Uu обозначает члены, линейные относительно d^F^. Отсюда следует, что (14,9) можно записать в виде

g^pF^ + Д^Ч^ = 0,(14.10)

где А — регулярные функции потенциалов и их первых производных.

Очевидно, что Fe удовлетворяет гиперболической системе линейных уравнений (14.10), для которой справедлива теорема единственности: если S—пространственная гиперповерхность, то единственным решением (14.10), соответствующим условиям

Fp = 0, д0Рр = О на 5, является нулевое решение. Таким образом, Fp = 0 вне S, и для нашего решения координаты являются гармоническими. Отсюда следует, что это решение есть решение системы уравнений Эйнштейна (14.1).

Теорема, Любое решение уравнений (14.3), (14.4), которое удовлетворяет условиям Fo = 0 и S’ = х^ на любой пространственной гиперповерхности 5 (</° = 0), есть решение соответствующей задачи Коши для системы уравнений Эйнштейна.

Рассматриваемое отображение для этого решения является гармоническим.

Строго гиперболические метрики

Основным инструментом для доказательства теорем существования и единственности в математической физике на искривленном пространстве-времени является важная теорема Лере, относящаяся к локальной задаче Коши для одного класса систем дифференциальных уравнений. Начнем с необходимых определений и терминов.

Пусть Ул+i — дифференцируемое многообразие класса Ch, где h достаточно велико. Если Q есть область Ул+i, то а^х, д)—дифференциальный оператор, действующий на функции, определенные на Q, где хе Q и где д = {да} (а = 1, 2п) для отображения {х“} с областью Q. Обозначим посредством Тх пространство, котангенциальное в х к Ул+ь

Если пг — порядок а, то введем полином а (х, £) степени m относительно £ (где $ е TV), причем его главная часть h (х, 5) определяется совокупностью однородных членов степени пг. Обозначим посредством Ух (Л) конус пространства Т*х уравнения h^x,^ =0. Этот конус рассматривается как проективная гиперповерхность. Оператор называется строго гиперболическим в х, если он удовлетворяет следующему предположению:

В пространстве Тх существуют такие элементы £, что любые три линии, выходящие из £ и не проходящие через вершину, пересекают поверхность конуса Vx(h) в пг вещественных и различных точках. При этом условии набор таких точек ^ есть внутренняя область двух противоположных друг другу полуконусов Г* (а) и Г, (а), границы которых принадлежат У, (А).

Рассмотрим теперь диагональную матрицу Д(х, д), дифференцируемую достаточное число раз в точке хе й:

Д(х, д) =Д(х, д) =*01 (х, д)*01 (х, д)О -ар(х, д)..О -ар(х, д)..(15.1)(15.1)

Д(х, д) =

Д(х, д) =

*01 (х, д)

*01 (х, д)

О -

ар(х, д)..

О -

ар(х, д)..

(15.1)

(15.1)

6 Зак. 203

Элемент ах(х, д) (т=1, 2, ...*р) есть дифференциальный оператор порядка т(т). Матрица А(х, д) называется строго гиперболической в точке х, если а являются строго гиперболическими в х и если выполняется следующее условие совместимости:

Два противоположных друг другу выпуклых полуконусаг+ (Л) = п Гх (а.), г; (Л) = П Гх" (а,)тт

обладают не пустой внутренней областью.

Введем в пространстве Тх, касательном в точке х к Vn+ь полуконус Сх (Л), дуальный Г? (Л). Это есть совокупность векторов у из ТХ) таких, что ^(v) ^ 0 для всех £ е Гх (Л). Аналогичным образом введем полуконус Сх (Л), дуальный Г7 (Л), и положим Сх(Л) = Сх (Л) UCx (Л). Траектория в Vn+i называется временной для Л, если полукасательная в каждой точке х траектории принадлежит к Сх (Л). Гиперповерхность S называется пространственной для Л, если подпространство, касательное в х к 5, является внешним по отношению к Сх(Л).

Матрица А (х, д) называется строго гиперболической на Q, если она является строго гиперболической в каждой точке Q и если удовлетворяется следующее условие:

Совокупность временных траекторий для А, соединяющих в Q две точки х и х\ компактна или пуста в пространстве траекторий с компактно-открытой топологией.

Отсюда следует, что на Q совокупность соответствующих точек компактна или открыта.

Если А (х, д) строго гиперболична в х, то можно показать, что существует связная область Q, содержащая такие х, что А(х, д) строго гиперболична на Q. Впоследствии мы будем выбирать именно такую область.

Системы Лере

Рассмотрим на дифференцируемом многообразии Vn+i квазилинейную систему дифференциальных уравнений с неизвестными U = (ua) (а = 1,2, ..., р) вида

Л(х, U, d)U = B(x, Щ,(16.1)

где А—диагональная матрица Л(х, U, д) = (ат(х, С, д)) (т = = 1, 2, ..., р), ах— дифференциальные операторы соответствующих порядков т(т) и 5(х, Щ = (Мх, (/)).

Для того чтобы уточнить предположения, которые мы сделаем относительно ах и Ьх, свяжем с каждой неизвестной иа целочисленный индекс s(o) ^ 1, а с каждым уравнением т

системы целочисленный индекс /(т) ^ 1 таким образом, что ш (т) = s (а) — / (т) + 1.

Мы полагаем, что Ьх и коэффициенты при ах есть достаточно регулярные функции х, иа и производных от иа порядка ^s(cr)—/(т). Если s(a)—/(т)<0, то Ьх и коэффициенты при ах не зависят от и0.

Структура системы (16.1) определяет индексы s(o) и /(т) с точностью до аддитивной постоянной. Если выполняются пре' дыдущие предположения, то мы говорим, что (16.1) есть система Лере.

Определим теперь задачу Коши для системы (16.1). Пусть 2 — локальная регулярная гиперповерхность. В окрестности 5 введем К=(и0), где функции и0 — производные порядка ^ s(a) + 1, локально квадратично интегрируемые.

Мы полагаем:

что гиперповерхность 2 является пространственной для Д (х, К, д), где х е 2;

что матрица Д (х, V, д) является строго гиперболической на Q;

что разности {ax(x,V,d)Vx — bx(x,V)} и их производные порядка </(т) равны нулю на 2.

Рассмотрим при этих предположениях задачу Коши для системы (16.1) с помощью условий Коши, определенных посредством V. Решением этой задачи Коши является решение U = (и0) системы (16.1), допускающее производные порядка ^s(a), локально квадратично интегрируемые и такие, что иа— уа и их производные порядка <s(o) равны нулю на 2. Для этой задачи Лере доказал следующую теорему существования и единственности (случай строго гиперболических систем Лере):

Теорема (Лере). Если х е 2, то задача Коши для системы (16.1) допускает при наших предположениях решение по крайней мере в окрестности х. Если U — (и„) uU = (и'о') — два решения задачи Коши в окрестности х и если иа и и'а — локально квадратично интегрируемые производные порядка ^s(o) Д- + 1, то эти два решения совпадают.

Рассмотрим, например, строго гиперболическую систему Лере. В обычном смысле условиями Коши являются здесь значения иа на 2 и значения их производных порядка ^s(a) — 1, подчиняющиеся надлежащим условиям совместимости. Теорема Лере гласит, что для такой системы существование и единственность имеют место для локальной задачи Коши.

Уравнения Эйнштейна во внешнем случае

Применим сначала теорему Лере к системе уравнений Эйнштейна во внешнем случае:

/?аР = 0.(17.1)

В гармонических координатах (17.1) можно записать в виде

«а - -w - “• <|7'2>

т. e.

g^9* = 2fap (^ ^).(17.3)

Рассмотрим систему (17.3). Легко видеть, что это система Лере. Матрица Л является здесь диагональной матрицей 10 X Ю, все диагональные элементы которой равны

Лц.(17.4)

Соотношения (17.2) или (17.3) удовлетворяют нашим условиям дифференцируемости со следующими индексами:

Действительно, величины (17.4) имеют порядок 2— 1 + 1 = 2а Коэффициенты при этих величинах и второй член зависят только от ^хц и от их производных порядка не больше 2— 1 = 1.

Пусть теперь S — локально регулярная гиперповерхность, а {//“}—отображение, адаптированное к 2. Рассмотрим следующие условия Коши:

Квадратичная форма £хцУхуц строго гиперболична и является пространственной в каждой точке для соответствующего элементарного конуса.

На S имеют место соотношения F =0, Sa = 0 для у0 = 0.

Если Сх есть полуконус будущего, то дуальным ему будет полуконус Гх > определяемый соотношением

£^>0,(17.5)

причем ^(у) ^ 0, если veCt. Ясно, что здесь имеет место строгая гиперболичность. Таким образом, если условия Коши достаточно регулярны, то из теоремы Лере следует, что задача Коши, соответствующая (17.2), допускает единственное решение. В 1950 г. Шоке-Брюа установила этот результат пря- кым путем.

Совокупность временных траекторий в Q, выходящих из точки у (или оканчивающихся в этой точке) в будущее, определяет будущее ^+(у) (соответственно прошлое S-^y^ для точки у. Из теории Лере следует, что решения в точке у из окрестности 2 со стороны будущего зависят только от условий Коши на S-^ А 2 (область зависимости).

в. При Т, равном нулю, из разд. 14 следует, что предыдущее решение системы (17.2) везде удовлетворяет условиям гармоничности Fp = 0 и является, таким образом, решением системы уравнений Эйнштейна (17.1). Для условий Коши, удовлетворяющих Fp = 0 на 2, вытекает также существование решения задачи Коши для уравнений Эйнштейна во внешнем случае.

Единственность задачи Коши для системы уравнений Эйнштейна можно расширить и рассматривать как физическую или геометрическую единственность, т. е. единственность модуля преобразования отображения, оставляющего инвариантными численные значения координат в каждой точке гиперповерхности 2 и условия Коши в этой точке.

Рассмотрим решение задачи Коши для системы уравнений Эйнштейна /?ар = 0, соответствующей условиям Fp = 0 на 2. Для этого решения можно построить хТакое гармоническое отображение, что координаты каждой точки на 2 и условия Коши сохраняют те же значения. С этой целью рассмотрим систему уравнений

А/р = 0, (17.6)

причем решение уравнений (17.6) соответствует условиям Коши на 5: ■

fp = a% d„fp = 6g.

Теорема существования для (17.6) предполагает существование таких функций, которые дают возможность локально определять гармонические координаты. Очевидно, что, поскольку Fp = 0 на S, условия Коши для исходной задачи сохраняют свои значения в гармоническом отображении {/р}. Таким образом, если Fo = 0 на S, то любое решение задачи Коши, относящейся к Rap = 0, может быть получено из единственного решения той же задачи для 7?ар = 0 при преобразовании координат, оставляющем инвариантными значения координат в точках 2 и условия Коши.

Таким образом, мы получили теоремы существования и единственности для локальной задачи Коши, относящейся к уравнениям-Эйнштейна во внешнем случае.

Случай чистого вещества

Рассмотрим систему уравнений Эйнштейна, соответствующую случаю, когда имеются только источники из чистого вещества. Тогда тензор энергии-импульса можно написать в виде

7’ap = ru0«p (г > 0),

где г — плотность вещества, иа — единичный вектор скорости; при этом динамические уравнения ?аГр=О эквивалентны системе, вытекающей из уравнения сохранения вещества

Va(r^) = 0

и уравнений движения

uaVttu& = О,

определяющих линии тока — траектории и^ которые будут временными геодезическими.

Пусть S — пространственная гиперповерхность, {у06} — отображение, адаптированное к 2; условия Коши определяются значениями потенциалов ga& и их первых производных dogaR. Как следствие получаем значения Sq. Поскольку

S» = xru°ua.

то из единичности иа следует

(^2 = ^5050^

Необходимо, чтобы правая часть была строго положительной. Если обозначить ее (Q0)2, то

^ru° = Q0, и как следствие

Ua = 50/Q0, цО = $Х xr = (Q0)2/S00>

где S00 предполагается положительной.

Рассмотрим систему уравнений Эйнштейна для случая чистого вещества:

^ap = 7J (^a^p2"^ap)(18.1)

при условии

g^uau^=\.(18.2)

Согласно рассмотрению, проведенному в разд. 14, введем систему уравнений

причем

Va (rua) = иадаг + rVatza = 0(18.4)

и

u«VauP = O.(18.5)

Система уравнений (18.3) — (18.5) не является системой Лере. Чтобы перейти к такой системе, подействуем оператором и?^ на (18 3). Получаем

“YVV { r (“а“р * 4 Sap)} = U^ (иаЧ ~ ^ 8^ + ^^ (^ -Ц gop),

где последний член равен нулю в соответствии с (18.5). Из

имеем

“VVY IГ (««“& ~ 4 ^аР) }'V («а«р - 4 5ар)-

Можно заменить десять уравнений (18.3) следующими десятью уравнениями:

“vV Л^ = - XrV^uv (иоир - 4 go₽), т. е.

- 4 “^^Аз = - XrVY«v („аЫр _ 1 g^ + UYf a₽v, (1 8.6) где fapY зависит от потенциалов и их первых и вторых производных.

в. Рассмотрим систему уравнений (18.4) — (18.6) с 15 неизвестными gap, иа, г, где иа—произвольный вектор. Это система Лере. Матрица А есть диагональная матрица 15 X 15, элементы которой равны

a (6) = -1 и^д^ а (4) = а (5) = и»да. (18.7)

Эта система удовлетворяет нашим предположениям относительно производных при следующих индексах для неизвестных:

S(gap) = 3, S(r)=l, s(ua) = 2 и для уравнений

/(6)=1, /(4)=1, /(5) = 2.

Действительно, a (6) имеет порядок 3— 1 + 1=3, a (4) = = a(5)—порядок 1. Для коэффициентов при операторах в правых частях мы даем таблицу, в которой для каждого неизвестного и уравнения приводится максимальный порядок производных, соответствующих выбранным индексам. Отрицательный порядок указывает на отсутствие неизвестного в соот-

ветствующем уравнении. Имеем

^а0(6) Г.и0--.^а0(6) Г.и0--..: 2, О, 1,.: 2, О, 1,(4)(4)^ар*< г:^ар*< г:,иа:,иа:2,2,О,О,1,1,Sap" 1». г: —1, ■Sap" 1». г: —1, ■(иа: О.(иа: О.

^а0

(6) Г.

и0--.

^а0

(6) Г.

и0--.

.: 2, О, 1,

.: 2, О, 1,

(4)

(4)

^ар*

< г:

^ар*

< г:

,иа:

,иа:

2,

2,

О,

О,

1,

1,

Sap" 1»

. г: —1, ■

Sap" 1»

. г: —1, ■

(иа: О.

(иа: О.

Эти максимумы согласуются с системой уравнений (18.4) — (18.6).

г. Предположим, что условия Коши определены следующим образом:"

Квадратичная форма gk^v^ строго гиперболична, и S является пространственной в каждой точке для соответствующего элементарного конуса.

При у0 = О на S имеет место равенство Fp = 0.

Соотношения Sa = %ru°Ua. определяют положительный скаляр г и единичный вектор иа naS.

Если С, есть элементарный полуконус будущего, то дуальным ему является полуконус Г,, определяемый соотношением

Л^>0,

где £(о)>0, если veCt. Оператору а(4) =а(5) соответствует в Т*х такой «полуконус» Г,, что их£х^0. Если ик является временным для Ct, то пересечение Г* П Г* обладает не пустой внутренней частью, которая совпадает с внутренней частью Г* Очевидно, что матрица А строго гиперболична и что Гх (Л) = Гх. Временные или пространственные направления для Л есть временные или пространственные направления для пространства-времени.

Из заданных g^, doga& можно получить значения на S вторых производных от потенциалов с учетом (18.3). Уравнения (18.5) дают значения на 2 первых производных от иа, а уравнения (18.4)—значения даг. Таким образом, для системы уравнений (18.4) — (18.6) мы знаем значения на S неизвестных и их производных порядка ^s(o) — 1. Если наша система является строго гиперболической системой Лере, то из теоремы Лере следует, что задача Коши для этой системы допускает единственное решение (gap, г, иау

Это решение, удовлетворяющее (18.6) и (на 5) соотношению (18.3), удовлетворяет последнему соотношению везде. Кроме того, из (18.5) следует

и^и^и^ = -5- и°да (и^ = 0.

Если вектор иа единичен на S, то он единичен везде.

Из разд. 14 следует, что наше решение (gag, г, «“) удовлетворяет (18.3), a VaT@ = 0 есть решение системы уравнений Эйнштейна (18.1), (18.2). Мы установили теорему локального существования и единственности для задачи Коши в случае чистого вещества.

IV. Гравитационные и электромагнитныеударные волны

Гравитационные ударные волны

Гравитационные ударные волны исследовались Таубом [25, 26], Шоке-Брюа [1—3], а также автором этих строк [13, 14] и сравнительно недавно (в 1971 г.) Пенроузом с учетом различных методов и при различных предположениях. Мы будем использовать здесь метод тензорных обобщенных функций (см. ч. I), который дает наиболее общие результаты.

а. Пусть (V4, д)—пространство-время, которое только здесь по предположению является дифференцируемым многообразием класса (С1, кусочно С3), обладающим строго гиперболическим метрическим тензором д класса (С°, кусочно С2). Рассмотрим область Q, а в й — гиперповерхность 2 с уравнением ф = О, такую, что

ф относится к классу С1 на Q и к классу С3 на каждой из областей Q+ и й~ (в обозначениях разд. 3). Вторая и третья производные от ф регулярно разрывны при пересечении 2.

Метрический тензор д относится к классу С° на Q и к классу С2 на йн и Q~. Первая и вторая производные от gaQ регулярно разрывны при пересечении 2.

На £2 можно также ввести отображение {//“}, адаптированное к 2. Согласно нашим предположениям, [d,gap] = д( [gap] = = 0, и остается рассмотреть только dcgap. Способом, аналогичным рассмотренному в разд. 12, можно ввести преобразование адаптированного отображения, определяемое формулой

Уа' = уа + ^- ^W + e(a) (^м)}, (19.1)

где е(а) равномерно сходится к нулю вместе со своими производными при z/° -> 0. Значения координат в каждой точке х гиперповерхности 2, значения в х потенциалов gap, а также первых производных от существенных потенциалов инвариантны по отношению к этому преобразованию. Но посредством соответствующего выбора ф(<х> можно создать или устранить разрывы, лишенные физического смысла. В результате приходим к следующему определению:

Определение. Гравитационная ударная волна определяется метрическим тензором д, который удовлетворяет предыдущим предположениям, является решением уравнений Эйнштейна в соответствующем слабом смысле и обладает тем свойством, что первые производные от существенных потенциалов регулярно (и эффективно) разрывны при пересечении гиперповерхности, которая называется волновым фронтом.

б. Выберем отображение с областью Q, совместимое с дифференцируемой структурой V4. Для каждой пары индексов (а, р) мы будем рассматривать потенциал gap как локальный скаляр на Q; в соответствии с (4.7) на Q существуют такие скалярные обобщенные функции 6gap, что

^ [^Y^apl = Ц^Йа^*

Это эквивалентно утверждению (условия Адамара), что на S существуют величины 6ар, причем

[^Y^apl = Ц * ^ар»

где 6gap = 6*bap. Эти величины Ьар зависят от разрывов первых производных от потенциалов и от выбора /; если I умножается на X, то 6ар умножаются на X-1.

Рассмотрим, каким образом система &ар модифицируется при преобразовании отображения класса (С1, кусочно С3). Если это преобразование относится к типу (19.1), т. е. оно касательно к единичному преобразованию вдоль S и допускает разрывные вторые производные, то bap преобразуются следующим образом:

^ap ”> ^ар 4" Vp 4* ^а>(19.2)

где /а произвольны: соотношение (19.2) определяет преобразование гравитационной калибровки для bap. Предположим временно, что производные от несущественных потенциалов непрерывны, тогда /а равны нулю, и соответствующие допустимые отображения определяются с точностью до преобразования отображения класса С2.

Если преобразование отображений есть произвольное преобразование класса С3, то bap преобразуются по тензорному закону. Величины б^ар являются компонентами тензорной обобщенной функции 6g относительно преобразований отображений класса С2.

Сингулярные двойные 2-формы

Двойная 2-форма есть по определению 4-тензор Н, обладающий следующими свойствами симметрии:

^ар, Хц = ^ра, Хц = ^ар, рЛ> ^ар, Хц = H^p,, ар* (20.1)

Рассмотрим в точке х из V4 двойную 2-форму Н ^0, для которой существует такой вектор / =/= 0, что

S 1аНру, Хц = ^а^ру Х|* + ^р^уа, № + ^У^ар, № = ^(20.2)

И

/аЯар.Хи = 0.(20.3)

В этом случае говорят, что Н сингулярна в х с фундаментальным вектором I. Для каждой пары индексов (%, р) рассмотрим 2-форму в х:

Цх^) = "2 ^ар, хц, dxtt Л dx\

Согласно (20.2), (20.3), эти 2-формы сингулярны с фундаментальным вектором /, по крайней мере один из которых не равен нулю. Отсюда следует, что I изотропен и определяется с точностью I ->- XL

Рассмотрим симметричный тензор

^ар = g&° Нар, ра*

Путем свертки из (20.2) получаем

РН^-ЦН^-ЦН^.(20.4)

Из (20.3) и свойств симметрии Н следует l^H^ l^H^ = о,

т. е. Нар = Ар/а. Из свойств симметрии Нар следует, что существует такой скаляр р, что

Яар = р/а/р.(20.5)

Наоборот, если двойная 2-форма Н Ф 0 удовлетворяет соотношениям (20.2) и (20.5) для соответствующего вектора I ф 0, то из (20.4) следует, что (20.3) выполняется и Н сингулярна в точке х; в частности, I изотропен.

Введем такие же нормированные векторы V(d, V(2> (ортогональные к /), как в разд. 8. Поскольку 2-формы П(хЦ) сингулярны, существуют координаты а^х^ причем

Я«р, Хц, = S ^(м) Хц, Ua V (и) р/pV(«)a)(^ = 1 > 2).

и

В соответствии со свойствами симметрии Н при любом и величины {а(и)хц} определяют сингулярную 2-форму, и для сингулярной двойной 2-формы получается выражение

^ар, Хц, = 2^ аи, у (^а V (М) р /р V (tt) а) (^ V (v) ц

~^V(v)x) (a, v=l,2), (20.6)

где аи0 = аии. Из (20.6) посредством свертки получаем

Нар== (^п + ®2г) Vp> Р==(^п ”Ь ^22)’(20.7)

Введем симметричный тензор с:

СаХ == 2 ЯиоО(и) аО(о) X-(20.8)

и, о

Из (20.6) имеем

^ар,Хц. == ^аХ^р^ц 4" ^piiVx ^ац^р^Х ^pxWu. == 2 ^аХ^/ц» (20.9)

где 2—соответствующая сумма четырех членов.

Легко доказывается следующая лемма:

Лемма. Если при заданном векторе I двойная 2-форма Н выражается через I и симметричный тензор с согласно (20.9), то 2-тензор с определяется посредством Н и I с точностью до преобразования

саХ-*Сах + /a/x + Va,(20.10)

где (to) — произвольный вектор.

Тензор с, определенный посредством (20.8) и ассоциированный с сингулярной двойной 2-формой Н, удовлетворяет соотношению

с„/ = 0.(20.11)

Согласно лемме, такой тензор определяется преобразованием (20.10) при (Za), удовлетворяющих условию lata = 0. Отсюда следует, что скаляр е = с“Рсар зависит только от сингулярной двойной 2-формы Я и от выбора I. Из (20.8) получаем

е-Е^)2,(20.12)

причем е >• 0 при Я ^ 0.

Условия удара

Рассмотрим гравитационную ударную волну. Фиксируем на й допустимое отображение {%“}. Если (р, ц)—заданная пара индексов, то будем считать соответствующие коэффициенты связности определяющими на й локальный вектор {Г^;}, Компоненты тензора кривизны можно записать на й+ или Й~ в виде

R», Хц = ^хГфц) — V^F^x).

Вектор {Г^} определяет на й локальную векторную обобщенную функцию (Г^)0- Введем тензорную обобщенную функ-

цию кривизны Q посредством следующего определения:

Qp, хц = Vx (iV - V„ (Г^рх))0,(21.1)

где ковариантная производная определена согласно разд. 5. Из (4.5) имеем

Vx (Г(^)° = б/х [Г^] + (VxT^)0.

Отсюда

Qp, Хц — 6 ЬхГрц — /цГрх] + (/?р, хц)°>

и как следствие

Qap, Хц = ® 1'х [РМч °] ^у [Р^> аП 4“ (^ар. Хц)^.

Предложение. Тензорная обобщенная функция кривизны Q задается формулой

Qap.X^^ap.^ + ^ap.X,*)0.(21.2)

где Н — двойная 2-форма, определяемая на S посредством соотношения

На6Ау = -^Ь^-<2КЗ)

Из определения Q ясно, что Н инвариантна относительно преобразования гравитационной калибровки (19.2). Кривизна Q зависит только от гиперповерхности S и от разрывов первых производных от потенциала; то же имеет' место для тензорной обобщенной функции 6Я: если / преобразуется в XI, то ЬН инвариантна.

Обобщенная функция тензора Риччи, соответствующая Q, имеет вид

Qaft = bHae-V(,RttBY>» up • \ Лир/ у где

н^ = у (Ьар1% + 6р А - ЫаЦ - 6а А) (б = Г^У (21.4)

Введем временно отображение {у™}, адаптированное к 2. Имеем h = 0, и из (21.3) следует

^ар, ц — 0. HQ!. 0/ = — у Ьц.

Очевидно, что это эквивалентно предположению Н =#= 0, или что производные от существенных потенциалов на 5 эффективно разрывны.

В дальнейшем будем полагать, что тензор энергии-импульса Т непрерывен на каждой области Й+ или Q- и регу-

лярно разрывен при пересечении S. Пусть Т' = ц(Т). На й+ или Q" уравнения Эйнштейна можно записать в виде

R» = ^.(21.5)

Если Т/£) есть тензорная обобщенная функция, определяемая с помощью Tz, то мы принимаем в качестве уравнений Эйнштейна на Q — в слабом смысле — следующую систему уравнений:

(21.6)

Если ввести 2-тензор с компактным носителем на £2+ (соответственно О~), то очевидно, что уравнения (21.6) совместны на £2+ (соответственно на £2~) с (21.5). Система уравнений (21.5) предполагает, что в смысле обобщенных функций на £2 имеет место соотношение

(21.7)

Вычитая (21.7) из (21.6), получаем

7/аэ = 0,(21.8)

т. е. условия удара.

Согласно (21.3), двойная 2-форма Н удовлетворяет условию (20.2). Уравнение (21.8) является частным случаем (20.5). Таким образом, Н сингулярна с фундаментальным вектором I в каждой точке на S и I изотропен. Гиперповерхность S с необходимостью является характеристической для системы уравнений Эйнштейна. Очевидно, что эта ситуация полностью отличается от соответствующей ситуации для гидродинамических ударных волн (см. ч. V). В этом последнем случае обычные волны распространяются со скоростью звука (что соответствует характеристикам), а ударные волны являются сверхзвуковыми до удара и субзвуковыми после него. Здесь же сама скорость с играет роль скорости звука; с эвристической точки зрения можно сказать, что скорость гравитационных ударных волн не может быть «сверхзвуковой» относительно с, т. е. фронт ударной волны сам является в точности характеристическим, как в случае обычных волн.

Обозначим посредством Ь' тензор ц(Ь), ассоциированный с Ь; при изотропном I из (21.4) следует, что условия удара могут быть записаны в виде

(О^+С^Ж^О.(21-9)

Из этого уравнения следует, что существует такой скаляр 0, что 6ор/р = б/a, однако оно удовлетворяется лишь при 0 = 0. Имеют место четыре условия удара, инвариантные относительно

преобразований калибровки:

6а/= О(21.10)

ИЛИ

Ьа/ = №На-(2М1)

Согласно (19.2), b -> b + 2/р/р, и можно выбрать (/р) так, что b = 0. Если это сделать при новом преобразовании калибровки, сохраняющем условие b = 0, то получаем lptp = 0. Полагая в этом случае

саХ= Уг^аАл

приводим формулу (21.3) к виду (20.9), где сах удовлетворяют (20.11) в соответствии с условиями удара.

Можно интерпретировать соотношение (21.11) с помощью гармонических величин Fp, ассоциированных с произвольным отображением. Имеем

1^р] = НА, + iubk9 -1 Рькд т. е.

[^р] = 6XpZx — (6/2) Zp.

Уравнение (21.11) выражает непрерывность на 2 всех четырех гармонических величин Fp. В результате имеем теорему.

Теорема,. Фронт эффективной гравитационной ударной волны с необходимостью является характеристическим, и в этом случае имеют место четыре условия удара, определяемые соотношением (21.11) или непрерывностью на S четырех гармонических величин Fp. соответствующих произвольному допустимому отображению.

Введем скаляр, инвариантный относительно преобразования калибровки:

е(2) = 1 //б^ = 1 (6«е6ар _ 4 ь^.(21.12)

Интерпретацию его дадим позднее. Для калибровки b = 0 в приведенных выше (разд. 20) обозначениях имеем

е^ = { 6“% = Ла₽ = Z (ацо)2.

и, V

Но поскольку Яар = 0, из (20.7) получаем

011 + 022 = 0.(21.13)

Очевидно, что наша гравитационная волна, переносимая посредством Н, записанной согласно (20.6), допускает две неза-

висимые моды, соответствующие Яц = — а^ и а^. Получаем

6(2) = 2 {(йп)2 + (а12)2} = 2 {(ai2)2 — апа22} > 0.(21.14)

Скаляр в(2) > 0 можно рассматривать как задающий силу гравитационного удара в рассматриваемой точке 2.

Геометрическое следствие

Из условий удара вытекает следующее предложение.

Предложение. Оператор ковариантного дифференцирования /pVP вдоль I вполне определен на 2. Скаляр V&ZX непрерывен при пересечении 2.

Действительно, ZpVP вполне определен на 2, если величины ^рГр непрерывны на 2. Это эквивалентно исследованию непрерывности величин Zp [рр, а]. Разрывы этих величин равны

V/ ^ + l6bap - lab^ = у2 (btt/. Zp - V . /„) и равны нулю в соответствии с условиями удара.

С другой стороны, согласно нашему предположению, ф относится к классу (С1, кусочно С2). Существует такой скаляр т, что

[д^У = [^хцф]= ^Wvi*

Отсюда следует

[V^l = пйхЦ -Iе [ [Яц, р] ] = (Щ - у26) Z^.(22.1)

Сворачивая, видим, что скаляр ^Х1Х непрерывен.

Из этого предложения, как и в разд. 11, можно вывести соотношение

1Ч/ = 0,(22.2)

в котором левая часть вполне определена на гиперповерхности 2, порождаемой гравитационными лучами.

Распространение разрывов

До сих пор мы всюду предполагали, что Т регулярно разрывен при пересечении 2. Рассмотрим распространение Н вдоль лучей.

Фиксируем на Q допустимое отображение {*“}. Согласно разд. 13, уравнения Эйнштейна можно записать на Q+ или Q" в виде

- S-M»+вЛ+V.+%»=^Iм-1)

где -фар квадратична относительно первых производных:

(23.2)

причем А зависит только от потенциалов и симметрична относительно наборов индексов (Xgv) и (рот). Из (23.1) путем вычитания получаем

- В4”» l^s.»] + 6IV, + V.) + 6 [*.,] = 2x6 [Г.,]. (23.3) Выражая гр «р через А, находим

Ч*.е1 = ЛУ"Ч(^)+Я^)(23.4)

С другой стороны, если рассматривать gap как локальные ска* ляры на Q, то из (6.7) следует, что существуют такие скалярные обобщенные функции ga,& на Q, что

6 [^Xp-Sfapl = ^X^pi^^ap 4" ^Х^ц^^ар 4" 4A®£a0 4" VuSap» причем вектор I изотропен; после свертки получаем

8^5 [5Л] = 2/xdx5gap + g^Mp-(23.5)

Наконец, при Гр, непрерывных на S, имеем

SpVpl^a^p.(23.6)

Согласно (23.4) —(23.6), уравнения (23.3) можно записать в виде

2/ d^ga£ + g ^dx/^Sg^ VFp l^Fa —

- 4Г {(аА1.)+ + (Д^у-} i.tg., = - 2х» |г;,]. (23.7)

Выберем точку х на 2. В окрестности х путем непрерывного расширения можно определить связности (Гру) , (Гр?) и как следствие коэффициенты связности Гр? = */2 {(Гру)+ 4- + (Гр?) }> непрерывные на 5. Можно предположить, что при преобразовании отображений класса С2 в точке х имеем Гру(х) = 0, что приводит к исчезновению в х последнего члена в левой части (23.7). Таким образом, в этом отображении в точке х имеем

2ZXVx8^p + V/Sgatl - ^Fр - 1^Ра = - 2Xd [^р], (23.8)

где V соответствует Г. Известно, однако, что 1х^х и Vxlx вполне определены на S; тогда в точке х уравнение (23.8) можно за- цисать в виде

^ Sg., + V/Sg., - l^F, -1,5^ = - 2x6 [г;,], (23.9)

или, выражая через Ьа^

+ Vb« - 'А - 'А = - 2х [ПЛ <23.10)

где Ф — подходящие величины. Отсюда следует, что (23.9), (23.10) справедливы в любом допустимом отображении и в любой точке 5.

Из (23.10), используя %р, можно получить эквивалентную систему

^Х» + Vb'» - А - ZA + tiA = - 2х[Г'в]. (23.11)

Система (23.10) эквивалентна также системе, содержащей тензор И:

2/\Яа(, + Ve/P//ap ^ = Х £ [Гае11^-(23.12)

Умножая (23.11) на /а, приходим к условиям удара, которым должны удовлетворять [Т^]:

/аГар] = 0.(23.13)

Это соотношение с помощью (4.5) можно представить в виде

Va(rg)D = O,(23.14)

что представляет собой закон сохранения энергии-импульса.

Предположим, что (23.13) тождественно удовлетворяется. Этого достаточно, чтобы убедиться в справедливости условий удара (21.10) на начальной 2-поверхности, ортогональной к лучам; тогда эти условия удовлетворяются на S как следствие (23.11). Мы доказали теорему:

Теорема,. Если тензор энергии-импульса регулярно разрывен при пересечении волнового фронта S гравитационной ударной волны, то 4-тензор Н распространяется вдоль лучей, порождающих 5, в соответствии с системой дифференциальных уравнений (23.12). Этот тензор энергии-импульса удовлетворяет соотношениям (23.13).

Следствия

а. Путем умножения на Ьа^ из (23.11) получаем

Vp(w°) = -h^M.(24.1)

Интерпретируем это соотношение. Заметим, что

Необходимо ввести тензор энергии-импульса удара т(2), определяемый на S соотношением

(24.2) где тензор

ХТ$ = - ’ Ьх Нах,^(24.3)

обладает нулевым следом, инвариантен относительно преобразования калибровки и зависит только от 2 и от разрывов первых производных от потенциалов. Из условий удара следует

Из (24.1) имеем

(24.5)

Если тензор энергии-импульса непрерывен на 5, то тензор т(2) консервативен.

О. Проанализируем следующую ситуацию:

Тензор энергии-импулъса предполагается эффективно и регулярно разрывным при пересечении характеристической гиперповерхности 5, a g есть решение уравнений Эйнштейна (возможно, в слабом смысле) в окрестности 5.

При этих условиях первая и вторая производные от существенных потенциалов не могут быть непрерывны на S. Можно рассматривать S как волновой фронт гравитационной ударной волны, эффективной либо неэффективной. В общем случае ударная волна является эффективной, иначе из (23.11) можно было бы заключить, что с необходимостью существуют такие величины фа, что

[^ар] = ^аФр Н" ^Фа ёа^ Фр*(24.6)

Таким образом, если [Т] не имеет форму (24.6), то наверняка имеется эффективная гравитационная ударная волна. Если же [Т] имеет форму (24.6) и если нет эффективной ударной волны, то мы с необходимостью имеем обыкновенную гравитационную ударную волну (разрыв тензора кривизны) согласно самой системе уравнений Эйнштейна. Если это так, то можно убедиться, что уравнение (24.6) удовлетворяется и что имеет место соотношение (23.13).

Электромагнитные ударные волны

Изложенные выше методы и рассуждения могут быть применены к электромагнитной ударной волне, фронт которой может быть также волновым фронтом гравитационной ударной волны.

Для (V4, Q) имеют место предположения разд. 19. Рассматривается область Q, а в ней регулярная гиперповерхность S с уравнением <р = 0. Введем 1-форму а класса (С°, кусочно С2), выраженную через вектор-потенциал, определенную с точностью до преобразования калибровки a-*-a + dS, где S— скаляр класса (С1, кусочно С3), и удовлетворяющую следующему предположению: а относится к классу С2 на Q+ и й~. Первая и вторая производные от а регулярно разрывны при пересечении 2.

Выберем фиксированное отображение {x^} области Й. Из (4.7) следует, что на S существует такой локальный вектор Ь, что

[5^] = /^.(25.1)

При переходе от I к XI b переходит в Vb. Из (6.7) следует, что при преобразовании электромагнитной калибровки имеет место соотношение [d^S] = оМу,. Для b получаем преобразование

b->b + at.(25.2)

Из (25.1) для F = da получаем

[F] = [da] = / А Ь.(25.3)

При наших предположениях F = da определяет на Й тензорную обобщенную функцию FD = (da) °. В качестве уравнения Максвелла в слабом смысле примем (на й)

6(da)D = 6FD = JD.(25.4)

Рассуждая, как в разд. 21, получаем условия удара

/(/)[F] = 0.(25.5)

Соотношения (25.3) и (25.5) означают, что 2-форма [F] сингулярна с фундаментальным вектором I, с необходимостью изотропным. Гиперповерхность S является касательной к элементарным конусам, т. е. характеристической для системы уравнений Максвелла. Мы получаем ту же ситуацию, что и в гравитационном случае.

С учетом (25.3) и изотропии / уравнение (25.5) можно свести к одному условию удара

Z(/)b = O.(25.6)

Интерпретация этого условия проста: из (25.1), (25.6) следует, что величина f = g^d^a^ непрерывна на 2. В результате имеем

Предложение. Фронт электромагнитной ударной волны с необходимостью является характеристическим, причем существует

выраженное через вектор-потенциал условие удара, которое определяется соотношением (25.6) или непрерывностью на 2 величины f.

Рассмотрим распространение [F] вдоль лучей, порождающих 5, которая может также быть фронтом гравитационной ударной волны. Рассуждая, как в разд. 23, получаем

2/pVp6x + VbX - 1ХФ = f р0/р6Ха - [JJ,(25.7)

где Ф — соответствующая величина. Эта формула справедлива для произвольных калибровок. Первый член справа соответствует взаимодействию между электромагнитным полем и возможным гравитационным ударом, которое мы будем рассматривать далее.

Если условия удара (25.6) и (21.11) выполняются, то из (25.7) следует

/• [/р] = 0,(25.8)

откуда с учетом (4.5) находим 6/° = 0. Система уравнений (25.7) эквивалентна следующей системе дифференциальных уравнений, справедливой для [FJ:

2/PVp [FXJ + V [FXp] = - FpoHXll. р„ - [/xJp - /pJJ. (25.9)

Теорема.. Если электрический ток регулярно разрывен при пересечении волнового фронта 2 электромагнитной ударной волны (и, возможно, гравитационной ударной волны), то разрыв [F] распространяется вдоль лучей, порождающих 2, в соответствии с (25.9). Этот электрический ток удовлетворяет соотношению (25.8).

Введем положительный скаляр em = -baba, инвариантный относительно преобразований калибровки. Он зависит только от [F] и от выбора I и может рассматриваться как задающий силу электромагнитного удара в рассматриваемой точке 2. Умножая на Ь\ из (25.7) получаем

Vp (е(1)/р) = - F0ClpbX + bK [JJ. (25.10)

Необходимо ввести тензор энергии-импульса электромагнитного удара

$ = -[М4(25.11)

Тензор т(1> обладает нулевым следом, инвариантен относительно преобразования калибровки и зависит только от [F], Вводя в (25.11) выражение для [FJ, получаем

та0 = ^l/a^1(25.12)

Из (25.10) имеем

М” а = - FrolpbXoU + ьк [А] /р.(25.13)

В соотношении (25.13) учитывается интерференция между гравитационными и электромагнитными явлениями.

Гравитационные и электромагнитные ударные волны

Рассмотрим эффективную гравитационную ударную волну в электромагнитном поле F, причем электрический ток непрерывен. Если 2— волновой фронт, то эта гиперповерхность может быть также фронтом электромагнитной волны. На S имеем, согласно (25.7),

2/°Vp^ + Vbk - /ХФ = Fpalpbk0.

Вектор bx может быть коллинеарен с к только в том случае, если вектор кх = F^°lpbx0 коллинеарен с к- Вводя отображение, адаптированное к 2, можно показать, что в этом случае

i^F М = 0.(26.1)

Таким образом, если (26.1) не удовлетворяется на 2, то эффективная гравитационная ударная волна с фронтом 2 в электромагнитном поле F с необходимостью порождает эффективную электромагнитную ударную волну с тем же фронтом.

Докажем лемму.

Лемма. Тензор Максвелла т электромагнитного поля F, соответствующий электромагнитной ударной волне с фронтом 2 и лучами, определяемыми вектором I, тождественно удовлетворяет на 2 соотношению

Лтор] = 0.(26.2)

При этом условии рассмотрим следующую ситуацию:

Предположим что g и F есть метрика и электромагнитное поле, удовлетворяющие — возможно, в слабом смысле — следующим уравнениям Эйнштейна-Максвелла:

Sap = Тар, ^ = -1»,(26.3)

где т — тензор Максвелла электромагнитного поля F (мы используем единицы, в которых % = 1). Пусть 2 — фронт гравитационной и электромагнитной ударных волн, удовлетворяющих (26.3). Из (25.13) имеем

V„4n ° = - F^lpbX -k + b1 [/х]. Zp. (26.4)

С другой стороны, из (24.5) получаем

^аТр21" = - 16pa [тро]. /р.(26.5)

Определяя [тра] в отображении, адаптированном к S, и выбирая такую гравитационную калибровку, что b = b^°goa = 0, получаем

V^^F^l^bxo-l».(26.6)

Из (26.5), (26.6) можно вывести соотношение

V« {тр1 ° + т(р2) “} = bk [А] ' Ц.(26.7)

В частности, если / непрерывен, то полный тензор удара (т(1) 4+ т(2)) консервативен. Используя скаляры e<D, е^ъ можно записать (26.7) в виде

Vafen + M/“} = &“ [Л].(26.8)

Предположим, что электромагнитная ударная волна, удовлетворяющая (26.3), является эффективной. Из разд. 24,6 известно, что если тензор с нулевым следом [тар] не имеет вида

[тар1 = ^а'Фр Н" /р'Фа»(26.9)

то S также является фронтом эффективной гравитационной ударной волны, которую можно рассматривать как индуцированную электромагнитной ударной волной.

Используя отображение, адаптированное к 5, можно установить, что если (26.9) выполняется, го с необходимостью справедливо соотношение (26.1). Таким образом, имеем

Предложение. Рассмотрим эффективную электромагнитную ударную волну с фронтом 2 и лучами, заданными посредством I. которая является решением уравнения (26.3). Если условие (26.1) не выполняется на S, то эта волна индуцирует гравитационную ударную волну с тем же фронтом.

\. Гидродинамика, магнитогидродинамикаи ударные волны

Уравнения релятивистской гидродинамики

Пусть (У4, д)—пространство-время, удовлетворяющее предположениям разд. 7. В этом пространстве-времени идеальная жидкость описывается тензором энергии-импульса

Т^ = (р + р) «аИр — pgap,(27.1)

где р — плотность собственной энергии жидкости, р — ее давление, а иа — единичный вектор скорости, направленный в будущее. Собственную энергию можно разложить на плотность вещества в жидкости и ее внутреннюю энергию. Положим

р = с2г (1 + е/с2) (г>0),

где г — плотность вещества, а е — удельная внутренняя энергия. Обозначим посредством V = 1 /г удельный объем жидкости, а посредством i ее удельную энтальпию

/ = е + pV

и введем индекс жидкости f = 1 + ijc2 (/ > 1). В этих обозначениях уравнение (27.1) можно записать в виде

^ = C2r/tiaUfi — pga».^ = C2r/tiaUfi — pga».(27.2)(27.2)

^ = C2r/tiaUfi — pga».

^ = C2r/tiaUfi — pga».

(27.2)

(27.2)

Собственную температуру жидкости 0 и ее удельную энтропию S можно определить, как и в классической гидродинамике, с помощью дифференциального соотношения

edS = dB4-pdV = di-Vdp = c2df-Vdp (0>О). (27.3)

В результате получаем

c2df = Vdp-\-@dS.c2df = Vdp-\-@dS.(27.4)(27.4)

c2df = Vdp-\-@dS.

c2df = Vdp-\-@dS.

(27.4)

(27.4)

В теории относительности термодинамическая переменная т = = fV (называемая динамическим объемом^ играет важную роль и весьма часто используется вместо удельного объема V. Удобно выбрать р и S в качестве основных термодинамических переменных. Ниже мы будем рассматривать либо r = r(p, S), либо чаще т = т(р,S) в качестве заданных функций от р и S, определяющих уравнение состояния рассматриваемой жидкости.

Пусть S — регулярная гиперповерхность пространства У4 с локальным уравнением ф = 0; будем всегда полагать I = d^. Скорость у2 гиперповерхности S относительно жидкости, т. е^ относительно временного направления и, определяется соотношением

Скорость у2 меньше с в том и только том случае, если 1а1а < 0, т. е. если S ориентирована во времени.

Для того чтобы сделать систему дифференциальных уравнений релятивистской гидродинамики полной, используем следующие соображения: во-первых, полагаем, что плотность вещества г (которая соответствует удельному числу частиц) со-

храняется; если V есть оператор ковариантного дифференцирования, то

Va(ro«) = 0.(27.6)

Во-вторых, уравнения Эйнштейна можно записать в виде

S^ = A,(27.7)

откуда следуют уравнения релятивистской динамики

Vj^^o.(27.8)

Для того чтобы отвлечься от уравнений Эйнштейна и сохранить только систему (27.6), (27.8), предположим, что пространство-время задано. Умножая (27.8) на и^ и учитывая (27.4), получаем

U6VJ^ ° = C2fVa (ru°) + r6uadaS = 0.

Таким образом, соотношение (27.6) приводит к уравнению u“daS = 0,(27.9)

которое определяет эволюцию энтропии вдоль линий тока — траекторий и. Учитывая этот результат в (27.8), получаем систему дифференциальных уравнений для линий тока

c2rfuaV — (g^ - и°и^дар = 0.(27.10)

Фундаментальная система уравнений (27.6), (27.8) эквивалентна системе (27.6), (27.9), (27.10).

Звуковые волны

Характеристики (27.6), (27.8) можно определить либо посредством анализа задачи Коши, либо на основе непосредственного определения того, что называется звуковыми волнами. Предположим здесь, что р, S и иа относятся к классу (С°, кусочно С1). При пересечении гиперповерхности, порождаемой линиями тока (и“5аф = ы“/а = 0), первые производные от р, S, иа могут быть разрывными. Мы приходим к следующему определению: звуковая волна задается таким решением (р, S, иа) системы уравнений гидродинамики (27.6), (27.8), что производные от р, S, иа регулярно разрывны (причем по крайней мере одна эффективно разрывна) при пересечении гиперповерхности 2, порождаемой линиями тока, которая называется волновым фронтом.

Согласно (6.1), существуют такие обобщенные функции 6р, 6S, бир (относительно S), что

6[М = №, 6[V0S] = Z08S,6[VaMS] = Zo8uS. (28.1)

При наших предположениях uala N= 0. Соотношение (27.6) можно записать, учитывая (27.9), в виде

rVau° + г'риадар = 0.

В результате дифференцирования на обеих сторонах S полу

чаем

r/a 8«“ + г'ри'Ча $р = 0.(28.2)

Из (27.9) аналогичным образом следует, что (zza/a)6S = 0, т. е.

35 = 0.(28.3)

Наконец, система (27.10) дает

c^rt {иЧа) 8и@ — (gaB — иаи^ 1а Ър — о.(28.4)

Если 6р = 0, то 6нв = 0. Умножая (28.4) на /р, из (28.2) получаем

{у киЧ^ — (мам8 — gaB) /а/р) 8р = 0.

Если 6р ф 0, то S с необходимостью удовлетворяет уравнению звуковых волн

Р (/) = У (u«Za)2 - (м“«в - £“В) /а/р = (у - 1) W + g»4j6 = О,

(28.5) где мы положили у = c2fr'p. Согласно (27.5), из соотношения Р(/) =0 следует, что если и есть скорость звука, т. е. скорость S относительно жидкости, то

у.(28.6)

Мы говорим, что 2 ориентирована во времени, или что у < с, т. е. у > 1; мы будем предполагать это в дальнейшем. Звуковые волны вместе с волнами, обладающими энтропией иа1а = 0, образуют характеристические поверхности фундаментальной системы, которые являются гиперповерхностями, касательными к конусам, определяемым тензором

Условие у > 1 легко можно выразить с помощью функции т(р, S). Имеем

откуда получаем

c4p-c2Vrp-c2V4r'p1

где, согласно (27.4), с2}'р = V. В результате находим

с2т; = -У2(у-1).(28.7)

Таким образом, условие Тр < О необходимо и достаточно, ЧТО' бы было у > 1.

в. Из системы (27.6), (27.8) можно получить систему вида (16.1) с дифференциальными операторами, соответствующими конусам ha^a^ = 0 и иа^а = 0. Согласно системе уравнений Эйнштейна (27.7), имеем конус 5аР^а^ = 0. Нетрудно показать, что если у > 1, то внутренняя область пересечения этих конусов сводится к внутренней области элементарного конуса. С помощью соответствующих преобразований можно прийти к строго гиперболической системе Лере и как следствие доказать [16] локальную теорему существования и единственности для задачи Коши в случае либо уравнений (27.6), (27.7), либо уравнений (27.6), (27.8).

Уравнения релятивистской магнитогидродинамики

Предположим, что наша жидкость есть электромагнитное поле с индукцией, описываемое двумя антисимметричными 2-тензорами Н и G, связанными посредством уравнений связи. Здесь Н — тензор электрического поля индукции, удовлетворяющий первому уравнению Максвелла

dH = 0 или д(*Я) = 0,(29.1)

где знак * означает сопряжение. Тензор G удовлетворяет второму уравнению Максвелла

60 = 1,(29.2)

где I— электрический ток. Пространственные векторы, ортогональные и:

ер = “а^ар, 6р = «а(*^)ар.

являются соответственно векторами электрического поля и магнитной индукции, отнесенными к и, т. е. к жидкости. Предположим, что эта жидкость обладает постоянной магнитной проницаемостью р, причем

где h^— магнитное поле. Электрический ток есть сумма двух членов:

J^ = ае^ + чи\

где о — проводимость жидкости, a v — собственная плотность электрического заряда.

Магнитогидродинамика (МГД) занимается исследованием свойств идеальной жидкости с бесконечной проводимостью о = оо; поскольку ток / есть произведение ое и поскольку он

существенно конечен, должно быть е = 0. Относительно жидкости электромагнитное поле сводится к своей магнитной части. Известно, что тензор энергии-импульса такого поля дается выражением

"^ар = И { 1^ Р (waUg 41g apt^а^р},

где |Л|2 =— h»hp строго положительно при Ар =^ 0, Полный тензор энергии-импульса есть сумма Гар и тар; таким образом, Тар = ^rf + р IА Р) uaup — qgap — vhahp, (29.3) где д = р-\-^\Н.■

Система дифференциальных уравнений релятивистской МГД определяется следующим образом: во-первых, уравнением сохранения вещества

Va(rua) = 0,(29.4)

затем уравнением Максвелла, которое сводится здесь к (29.1), т. е.

Va(uV-ueAa) = 0,(29.5)

и, наконец, уравнениями релятивистской динамики

7ОÓР= 0.(29.6)

В общей теории относительности уравнения (29.6) являются следствиями уравнений Эйнштейна. При этом мы предполагаем, что пространство-время задано.

Из уравнений Максвелла путем скалярного умножения на и^ либо на 1г & можно получить два интересных следствия:

uau6Vtthp — Vttha = 0,(29.7)

’A^Xl h Р4-1 h p Чаиа - hau^ahp = 0.(29.8)

Систему уравнений (29.6) можно записать в явном виде: vo (c2rfua) Up + ^rt + |Л I A P) uaVaUp — д^р — ’Ардр | A p +

+1* ku да IA p +1 A p Vau“) Up - pVaAaAp - phaVahp = 0. (29.9) Умножая на u^ и принимая во внимание (29.8), получаем

Va (c2rfua) - и»дар = 0,(29.10)

что приводит к уравнению

Подставляя (29.10) в (29.9) и деля uada|A|2 на 2, получаем систему дифференциальных уравнений для линий тока

^?rf + р | Л f) uaVouP — (g“P — ua«P) dQq +

+ ц (у иада | h р +1 h р Vaua) u3 - ^aha^ - ^ah^ = 0. (29.12)

Умножая (29.12) на h^ и учитывая (29.7), получаем простое соотношение

^Ath^-c-Wd0.S = Q.(29.13)

Фундаментальная система (29.4), (29.5), (29.6) эквивалентна системе, образованной уравнениями (29.4), (29.11), (29.12) и уравнениями Максвелла в явном виде:

uNaha + A°V„u3 — hNau — uaVaAB = 0.(29.14)

Магнитозвуковые волны и волны Альвена

а. Предположим, что (р, S, и", /г“) относится к классу (С°, кусочно С1). Рассмотрим такую гиперповерхность S, что производные от р, S, иа, ha могут быть регулярно разрывны (и по крайней мере одна эффективно разрывна) при пересечении S. Существуют такие обобщенные функции 6р, 6S, 6uP, бАР с носителем на S, что

6[Vapl = /a8p, d[VaS] = /a8S,6[vai?] = Za8iA llvah6l = lath\

Как и в гидродинамическом случае, соотношения (24.9), (24.11) дают

cWZa) + v№ = 0(30.1)

и

faaZa)8S = 0.(30.2)

Из уравнений Максвелла получаем

ы9В (hX) + UX) 8a3 - А36 («X) - («X) ^ = 0, (30.3)

а из системы дифференциальных уравнений для линий тока имеем

W + и | h р) Ш^ W - (gap - iW Za Ьр + W SI А Р +

+ И ^uQ 81 А I2 +1 А I2 § («Х)1 «Р - ИАР6 (Aa/a) - р (hX) 8Ае = 0.

(30.4)

При uala = 0 функция 6S может быть не равна нулю, и снова получаются волны энтропии. В дальнейшем мы предполагаем, что иа1а =# 0 и как следствие 6S = 0.

б. Согласно (29.13), из этих соотношений следует

(30.5)(30.5)c2rf8 (AaZa) + №„) 8р = 0.

(30.5)

(30.5)

Используя (29.7), (29.8), из уравнений Максвелла получаем

(и%)ир 8Ле - В (А%) = 0,7г («%) 81 А Р +1 А Р 8 («%) - (/,%) 8 (hala) = 0,

что после исключения и^ЬН^ дает

72 (и%)2 81 /г I2 +1 А ^ («%) 8 (u%) - (Aaza) 8 (А%) = 0. (30.6)

Наконец, умножая (30.4) на 1^ и учитывая предыдущие соотношения, находим

c2rf ТО 8 ТО - (g^ - иМ) Ц^ 8р - Vs^Z^Z^S | А |2 - 0. (30.7)

Исключение 6|А|2 из (30.6) и (30.7) приводит к соотношению

<c2rf W2 + НI a I2 Z%} («%) 8 (MaZa) - ц/% (AaZa) 6 ( AaZa) +

+ (ua/a)2 ((«X)2 -l4^ bp = 0. (30.8)

в. Теперь предположим, что 6p, 6(u“Za), 6(A“Za) и 6|A|2 не равны одновременно нулю. Если 6р = 0, то из (30.1), (30.5) следует, что 6(u“Za) = 0, 6(AaZa) = 0 и что, согласно (30.6), 6|А|2 = 0. Если 6р N= 0, то детерминант трех линейных уравнений (30.1), (30.5), (30.8) должен быть равен нулю. Таким образом, 5 удовлетворяет уравнению

Р (Z) ^ с2г/ (у - 1) («“/„)< + (c2rf + ц | А Р у) (u“Za)2 Z»Zp - -ц(йХ)2/% = 0, (30.9)

которое определяет магнитозвуковые волны жидкости. Можно показать, что при предположении Тр < 0 (или у > 1) уравнение (30.9) определяет две скорости vMS, vMR, удовлетворяющие неравенствам

vMS < и < uMR < с. (30.10)

Здесь vM s — медленная магнитозвуковая скорость, а vMR — быстрая магнитозвуковая скорость.

(30.11)(30.12)(30.11)(30.12)Рассмотрим теперь тангенциальные компоненты о& скорости и компоненты № магнитного поля относительно S. Из уравнений (30.3), (30.4) следует

(30.11)

(30.12)

(30.11)

(30.12)

№„) 8и9 - («X) 6Ае ~ 0,(Л/ + ц | А |2) W 8иР - И (AaZa) 8АР ^ 0,

где знак означает члены по модулю в Ьр. В случае Р(Г) =/= О эффективная волна получается, только если 6ур, &№ отличны от нуля. Приравнивая детерминант уравнений (30.11), (30.12) нулю, видим, что 5 удовлетворяет уравнению

D (/) = (сМ + п I Л Г) («%? - н UV = 0,(30.13)

которое определяет волны Альвена в жидкости; уравнение (30.13) определяет скорость у4 (скорость Альвена), которая, как можно легко показать, удовлетворяет неравенствам

уЛ/3 < уЛ < yMRe(30.14)

Волны Альвена порождаются полевыми траекториями векторов Aa = ^ + h^ Ba = ^ua~ha, где

р= ^V?rt + [Л |А

Магнитогидродинамические ударные волны

а. Состояние Y системы (жидкость + поле) в точке х пространства V4 определяется значениями величин р, S, u, h (восемь параметров). Магнитогидродинамическая ударная волна есть такое решение фундаментальной системы уравнений в слабом смысле, что существует гиперповерхность 5 (волновой фронт), удовлетворяющая следующим условиям:

На обеих сторонах 5 состояния являются Сх-функциями от х, и фундаментальная система удовлетворяется в обычном смысле.

Переменные, определяющие состояния, регулярно разрывны при пересечении 5, и в окрестности 5 фундаментальная система удовлетворяется в смысле обобщенных функций.

Обозначим посредством Уо состояние в точке х е S до удара, а посредством У1— состояние после удара. Как и в разд. 21, из фундаментальной системы можно вывести общие уравнения удара

[rua]/a = 0, \hai? -и1Ж = 0, [Г^К-О.(31.1)

Добавим к (31.1) предположение

[5]>0,(31.2)

которое является одной из формулировок неравенства Клаузиуса— Дюгема. Системе (31.1) соответствует инвариантность скаляра

а (У) = тиЧа1

инвариантность вектора, касательного к 5, И9(У) = (АХ)и9-(а/г)А9

и инвариантность вектора

W6 (У) = {А + ц IА |2 г-2} аги9 - ?/9 - ц (йХ) А9.

Случай а = О (касательный удар) тривиален, и ниже мы предполагаем а #= 0.

б. Положим, что в предположении Тр < 0 гиперповерхность S с необходимостью ориентирована во времени. Если разложить №р на тангенциальную и нормальную составляющие относительно S, то получаются скаляр и тангенциальный вектор, инвариантные при ударе. Из этих инвариантов посредством возведения в квадрат и взятия скалярного произведения можно получить пять скалярных инвариантов удара относительно двух термодинамических переменных и трех скаляров иа1а>

h»la, |Л|2:

гиа1а = а,(31.3)

fhala = b,(31.4)

<hal^la - | h flr2 = H,(31.5)

№2U(31.6)

q-W/lXh-e,(31.7)

где мы положили

a = A — pH, X = I A |2 + (a2//X) H,

a q = p + ’/арх; равенство a = 0 выражает тот факт, что S есть фронт волны Альвена для состояния У. Можно доказать следующую лемму:

Лемма. 1 Имеем Ца1а)1 ^ 0.

Если 1а1а Ф 0, то х = 0 тогда и только тогда, когда I лежит в 2-плоскости (u,h).

Если 1а1а ^ 0, то Н ^ 0 и, следовательно, a > 0.

в. Рассмотрим теперь тангенциальные компоненты цР скорости и № магнитного поля. Имеем

(АХ) У? - («X) А? = (лХ) 4 - (М А9,(31.8)

(Aif 1 + Ц | Al f) (uX) о? — ц (АХ) А? =

= (Aofo + Ц I Аэ Г) (uX) Vo9 - Ц (АХ) & (31.9)

Детерминант левых частей уравнений (31.8), (31.9) относительно о^, А^ равен D1(/) = a2a1. Если а, Ф 0, то уравнения (31.8),

позволяют выразить v?, к^ через начальное состояние и величины, удовлетворяющие пяти скалярным соотношениям инвариантности (31.3) — (31.7).

Положим «1 = 0, тогда 2 есть фронт волны Альвена, ориентированной во времени после удара. Из (31.6) следует, что либо «о = 0, либо %о = 0.

г. Удар Альвена есть такой удар, что он = а0 = 0. Можно показать, что в предположении Гр < 0 из равенства «1 = а0 следует, что термодинамические переменные и три скаляра uala, hala, | h |2 инвариантны при ударе. Если ai = «о ¥= 0, то удар равен нулю. Если «1 = ао = 0 (удар Альвена), то тангенциальное направление магнитного поля после удара является неопределенным, но оно определено в направлении тангенциальной скорости.

Кроме того, можно установить следующий результат: ударная волна, для которой ai«0 = 0, совместима с обычными волнами Альвена только в том случае, если она есть ударная волна Альвена (ai=«o = O). Случаи «1=0, %о = 0, ао У3 0 и симметрично а0 = 0, %i = 0, а\ 5^0 (сингулярные удары) физически запрещены как неустойчивые [17].

В дальнейшем мы будем рассматривать только удары, которые не являются ударами Альвена.

Функции Гюгоньо и основные формулы

а. На основании пяти инвариантов (31.3) — (31.7) можно вывести [17] следующее соотношение для состояний Уо и Уь соответствующих удару:

СЧН ” $ - (то + т1) (Р1 - Ро) + (Т1 - то) |н (%о + Х1 -

-2хо«о/«1) = О.(32.1)

Это соотношение называется соотношением Гюгоньо; оно может заменить (31.4) при условии (й?^а) (йо/а) ^ 0.

При заданном начальном состоянии Уо в точке х е 2 рассмотрим совокупность ^ всех возможных состояний У, удовлетворяющих условиям

Н (У) = Н (Уо) = Н, L(Y) = L (Уо) = L, (32.2)

откуда для т ^ Щс* имеем

х = L/(c2t — р,ну = Хо<^/( с2т — Р^)2-

Переменные т, S и q связаны функциональным соотношением

q = р (т, S) + р£/2 (с2т - рЯ)2,(32.3)

7 Зак. 203

где р(т, S) ^0 находится из уравнения состояния т = т(р, S). Пусть П есть полуплоскость (т, р), определяемая условием т ^ 0. При выполнении условий (32.2) термодинамическое состояние жидкости, заданное, например, посредством (т, р), определяет на П точку Z = (т, ^), для которой

р>цЛ/2(с2т-рЯ)2.(32.4)

Это соотношение определяет на П одну или две связные выпуклые области 5? соответственно Н ^6 или Н >• 0. Наоборот, точка Z в 91 определяет термодинамическое состояние жидкости (или т, р) и значения а и %. Обозначим посредством а естественное отображение § в П. Таким образом, мы вводим функцию Гюгоньо 9S(Z0,Z) релятивистской МГД, рассматриваемую как функция от Z е 91, для данной начальной точки Z^ ^ 9V.

Z) = c2(/2 — /^) — (t + t0)(p — p0) +

+ (т —^‘Apfx + xo —2хоОо/а)- (32.5)

Ясно, что ^(Zo, Zo) = 0 и что (32.1) можно записать в виде 3^(Zo, Zi) = 0 для o(yi) = Zi. Детальное исследование поведения функций Гюгоньо позволит нам получить значительную часть требуемых результатов.

Дифференцируя (32.5) и учитывая (32.2), (27.4), получаем

d96 = 2/0 dS + (т — т0) dq — (q — q0) dx = 2/0 dS + Ц — /0)2 dm,

(32.6)

где m — тангенс угла наклона линии (Zo, Z) в J?.

Рассмотрим дифференциал S вдоль части линии А на П, лежащей в 91 с наклоном т. С учетом (32.2) получаем

т' dS = т' (г'-1 — с?цха-1 — т) dx.

Зададим точку Z в %; пусть 9 — изоэнтропическая кривая, проходящая через Z, соответствующая значению S удельной энтропии и определяемая соотношением (32.4). Тангенс угла наклона 9 в точке Z равен

kdqjdx^ = г'-1 — с^ха"1.

Для 9 и для линии А с наклоном т, проходящей через Z, полагаем

Q (т, Z) = {dq/dx)^ (Z) — т(32.7)

и получаем

T'rfS = TpQ(m)dx.(32.8)

г. Для Z“Za ^ О P(Z) можно записать в виде

P(Z) = Л/ (у - 1)(ыа/а)4+ W + и (а2//°/а)Н(у - 1)} х

X («ХУ 1% - V?a2Hl\, (32.9) а для /а/а = 0 — в виде

Р(/) = с2г/(у-1)(«а/а)4.(32.10)

Положим, что Z определяет значение (u“Za) с помощью условия гиа1а = гои^1а = а. При этом правые части уравнений (32.9), (32.10) определяют для ZeS? число P(Z) (Z).

Рассмотрим, согласно (31.7), точки Z линии Аа с наклонами та = c2a2/Z“Za, исходящей из Zo. С учетом (32.8) можно показать, что вдоль Аа имеем

с2а4т'а dS = P^dq. (32.11)

Эта формула справедлива также для случая Z“/a = 0.

Ориентация волновых фронтов

Рассмотрим в точке х на 2 ненулевой удар Уо —* У1, который не является ударом Альвена, и положим 2о=о(Уо), 21=а(У1). Пусть пг— тангенс угла наклона сегмента (Z0,Zi). Предположим, что ZaZa ^ 0; тогда имеем Н ^ 0 и a > 0; сегмент (Zo, Zi) принадлежит к вполне определенной области 5?.

Если ZaZa > 0, то % ^ 0, и можно показать, что вдоль (Zo, Z^ имеем х = (fl2/ZaZa)^ ^ 0. Из (32.9) следует, что Р(Ц > 0. Если 1а1а = 0, то из (32.10) сразу получаем РЦ) > 0. Очевидно, что если Za/a ^ 0, то из (32.11) следует, что (dS/dq) =/= 0 вдоль (Zo, Z^y Из (32.6) вдоль этого сегмента имеем

d3M = 2f®dS. (33.1)

Но S^(Z0, Zo) = <9^(Z0, Z,) = 0, и функция S^(Z0, Z) стационарна по крайней мере в одной точке сегмента (Zo, Z^; то же самое справедливо для S согласно (33.1). Мы пришли к противоречию. Следовательно, ZaZa < 0.

Теорема, При условии Тр < 0 любой фронт S магнитогидродинамической ударной волны ориентирован во времени. Если v^ и of есть скорости S относительно жидкости до и после удара, то и^ < с и vf < с.

Согласно лемме разд. 31, величина х = ф2 положительна; скаляр (31.6) можно записать в виде ф1«1 = фоао и вместо условия (32.2) написать

фо = фа0. (33.2)

Условие Гюгоньо можно, следовательно, записать в виде

36 (Zo, Z) = с2 (f2 - f2) - (т + т0) (р - р0) +

+ (t-t0)|h(*-V. (33.3)

Термодинамические неравенства

а. Относительно уравнения состояния т = т(р, S) будем

считать справедливыми следующие предположения: (Я1) Тр < 0 и т£ > 0;

(Яг) т$ =/= 0, и существует функция S = S(p,x), единственной обратной функцией которой является г = т(р, S).

Известно, что Тр < 0 эквивалентно v < с; неравенство Тр» > 0 есть условие выпуклости, связанное с устойчивостью гидродинамических ударных волн относительно обычных волн; предположение Н^ выражает тот факт, что жидкость допускает две фундаментальные термодинамические переменные.

Израэль и Люквио [10] показали, что для больцмановского газа с необходимостью имеют место неравенства Тр < 0, Тр-> > 0, т$ > 0. Нас будет интересовать также случай т$ < 0, который может иметь место для конденсированного вещества. Из (27.4) в переменных р, S имеем

c4'p = V>^ c2f's = Q>Q. (34.1)

(34.2)(34.2)Отсюда можно получить соотношение ^(/2);=2т.

(34.2)

(34.2)

Рассмотрим удар У0-*У1; точки Zo = cr(yo) и Zi=a(yi) связаны соотношением Гюгоньо, симметричным относительно перестановки 0, 1. В силу (31.2) полагаем Si ^ So.

Положим Si =Sq. Если рх ф ро, то можно предположить, например, что рь> Ро- Тогда п < то, поскольку Тр < 0. Из (34.2) получаем

Рх

сЧРкРх. So)-f4p„ So)}-2 $ т(р, So)dp.-ро

Из условия выпуклости Тр' > 0 находим

c(f 1 - Ф - (т (ро- So) + т (Рр So)} (Pi - Ро) = (Ti + то) (Pi - Ро)-

Тогда условие Гюгоньо дает ti > то, т. е. приводит к противоречию. Таким образом, pi=po, и наш удар либо равен нулю, либо является ударом Альвена.

Рассмотрим удар с Si > So и положим pi ^ р0. В результате имеем

pi

^{^(Рь Si) —/2(ро, S1)} = 2 ^ т(р, S1)dp>2r1(p1 — р0), Pl

и как следствие

Из соотношения Гюгоньо получаем ti < то. Следовательно, из pi ^ Ро вытекает Ti < то.

Положим Ts < 0. Рассуждая, как в п. б, можно показать, что в этом случае из рх < ро также следует ti < то.

Положим т£ > 0. Те же рассуждения показывают, что Рх > ро- Имеем теорему.

Теорема,. 1. Для неалъвеновского удара, согласно предположениям (Нх), (//2), имеем

Sv > So, Т! < т0.(34.3)

Кроме того, если ts > 0, то

Pi > Ро, fi > fo, V\ < Vo-(34.4)

Из этой теоремы следует, что «1 < «о. Можно показать, что ударная волна, которая не является ударом Альвена, совместима с обычными волнами Альвена, только если ai«o > 0. Таким образом, есть два типа ударов: медленные удары, для которых «1 < «о < 0, и быстрые удары, для которых 0 < ах < а0 [17].

Кривая Гюгоньо и скорости ударных волн

Прямые вычисления дают следующие результаты: 1. Для любой изоэнтропической кривой ^ в 3? имеем

где мы положили

Af = т" — Зс4р,Хга-Х3 > 0.

Таким образом, каждая изоэнтропическая кривая строго вогнута.

2. Пусть А — линия в 5?. Имеем лемму.

Лемма. При предположениях (Ht), (//2) в каждой точке Zs кривой X, где S стационарна, имеем

К WW^ (Zs) = - «"W)(Zs) < 0.

При заданном начальном состоянии Уо рассмотрим (как в разд. 33) совокупность ^ состояний У, удовлетворяющих соотношениям

Н (У) = Н (Уо) = Н, фа = ф0Оо (аод > 0).

Если Я > 0, то линия т = pH/с2 запрещена. Мы рассматриваем на П только участок, определенный в SI условием т ^ то. Кривая Гюгоньо 36 есть совокупность точек Z этой области, удовлетворяющих условию S#(Z0, Z)=0. Пусть Zx N= Zo — произвольная точка кривой 36, а А — линия (Zo, Zi) с наклоном т; кривая 5^(Zo, Z) стационарна по крайней мере в одной точке Zs сегмента (Zo,Zi); согласно (33.1), S стационарна в Zs, и из рассмотренной леммы следует, что Zs единственна и соответствует (в зависимости от знака з) либо строгому максимуму, либо строгому минимуму S на А. Таким образом, в Zx имеем

{r'(dS/dT)A)(Zs)>0,(35.1)

и из (32.8)

Q(m, Zx) < 0.

В частности, Q^n, Zx) не равно нулю на 36. С другой стороны, {r'(dS/dT)J(Z0)<0,(35.2)

т. е.

Q(m, Z0)>0.

Если /По — тангенс угла наклона в точке Zo изоэнтропической кривой ^о, проходящей через эту точку, то имеем

m < т^.(35.3)

Предположим, что существует такая точка Zx е 36, что (dS/dt) (Zi) = 0. Изоэнтропическая кривая Уу касательна в Zx к 36. Из (32.7) следует, что луч А = (Zo, Zx) с наклоном т также касателен в Zx к этим кривым, и Q(m,Zx) = 0, что невозможно. Таким образом, S есть строго монотонная функция т на каждой связной компоненте 36, и легко видеть, что она такая же, как функция от р.

Пусть Уо —► У] определяет удар, а Ао — линию (Zo, ZJ с наклоном пг. Тогда получаем (35.1) и (35.2), и из (32.8),

(32.4) следует

ОоР(/)>0, ахР^<0.(35.4)

Геометрически неравенства (35.4) означают, что

mo = (d^/dt)^ (Zo) > ma, mx = Wqldt^^ < ma. (35.5)

Соотношения (35.4) могут быть интерпретированы в понятиях скоростей ударных волн, а также магнитозвуковых скоростей и скоростей Альвена до и после удара.

Теорема,. При предположениях (Н^, (//2) скорости vf и vf волнового фронта 5 удовлетворяют неравенствам:

для быстрого удара

11^$ *еД / T)MR /**А weZ jjMR*

для медленного удара

i*MS / 71ZrtMR *«Z/ »tMR

•

Изоэнтропические кривые и слабые удары

Рассмотрим при условии т ^ то в области 3?(аа0 > 0) изоэнтропическую кривую ^0, соответствующую S = So. Вдоль ^о имеем

(dS^dx)^ = (т — т0) (dqldx)^ — (q — q0),

и как следствие

(d^/dx^ = (т - т0) ^dx^ — — (т — т0) т;-з, М < 0.

Очевидно, что на рассматриваемой дуге кривой ^о

W]dx^g > 0, 3g (Zo, Z)<0 для Ze^o, (36.1)

причем ^о не пересекает 3g в точке =/= Zo.

В дальнейшем мы будем считать, что 3g является связной. Рассмотрим временно 3g в окрестности Zo. Прямое вычисление дает

kdS[dx^Z^ = Q, (d^Sjdx^^Zo^O.

Таким образом, 5^ и ^0 имеют касание второго порядка в Zo, и №№% (z0)=Wd^ (z0) = - (Т;-зм) (z0).

Легко видеть, что в окрестности Zo вдоль 3g имеем

S - So = {(12/0)-* т'р-3М} (Zo) (т - то)3 =

= {(12f0)-1M}(Zo)(p-po)3. (36.2)

Очевидно, что при слабом ударе возрастание энтропии Si — So имеет третий порядок по отношению к силе удара рх — р0.

Случай т$ > 0

Предположим, что уравнение состояния таково, что р = = р (т, So)оо, когда т-*0. Пусть т0 — наклон ^о в Zo, а А— линия с наклоном пг, выходящая из Zo, причем

пг < mQ.(37.1)

Поскольку ^о строго вогнута, А пересекает ^о в единственной точке Zд Zo, и из (36.1) следует

^(Zo, Z^XO.(37.2)

Но S(Z0) = S(Z^) = So, и S стационарна в единственной точке Zs сегмента (Zo, Za), точке строгого максимума S вдоль А. Тогда имеем (dS/dt)A(Z0) < 0, и, следовательно, (d36/dT)b(Z0) < •< 0. При изменении Z от Zo до ZA кривая 36 (Zo, Z) вначале положительна, и из (37.2) следует, что тогда между Zo и Zд существует единственная точка Zx на А, для которой 36 (Z§, Z^ = = 0. Таким образом, кривая 36 является связной. Из (36.2) для Z е 36 в окрестности Zo имеем

(dS/dt)^ < 0, (dSjdp)^ > 0.

Согласно разд. 35, б, эти неравенства справедливы вдоль кривой Гюгоньо.

Предложение. При ts > 0 и при сделанных выше предположениях относительно уравнения состояния кривая 36 является связной. Точнее, условию m <_ тй соответствует единственная точка Z\^=Z0 кривой 36 (с аао>О), для которой пг = = («71 — 9o)/(ti — то). На 36 имеем

(dS/dr^O, (dS/dp^X).

Рассмотрим начальное состояние Уо и для а = а(Уо) линию Аа с наклоном пга, выходящую из Zo, Положим

ша < /Ио,ша < /Ио,(37.3)

ша < /Ио,

ша < /Ио,

т. е. аоР(/)о>О [см. (35.4)]. Любому удару Уо —*YX соответствует точка Zx пересечения 36 и Ао. Наоборот, пусть Zx — точка #= Zo, где Ао пересекает 36. Зная Zx, легко получить единственные значения термодинамических переменных и величин u“/a, ^а' I ^* Р’ удовлетворяющие пяти скалярным соотношениям инвариантности при ai«0 > 0.

Теоремд. Положим Тз > 0 и сделаем обычные предположения относительно уравнения состояния. Пусть У о — состояние, удовлетворяющее неравенству аоР(/)о>О (или v^R < oj, или

vMs < у s <- Улу Существует единственное нетривиальное решение уравнений удара, такое, что либо vf < vf, либо of < of. Это решение удовлетворяет термодинамическим неравенствам (34.3) и (34.4), а также неравенствам теоремы разд. 35.

Заметим, что для Я > 0 существуют состояния Уо с то > 0, которые могут дать медленные, но не слабые удары.

Случай т$ < 0

Рассмотрим изоэнтропические кривые q = q(x, S), определяемые (32.3). При фиксированном т величина q убывает с увеличением S, и мы знаем относительное положение вогнутых изоэнтропических кривых.

Пусть Zx #= Zq — произвольная точка на X а А — линия (Zo, Zi) с наклоном т; кривая X стационарна на А в точке Zs между точками Zo и Zb которая является строгим минимумом для S и 9® (Zq, Z). Предположим, что Zx находится в верхней области, определяемой ^о; линия А пересекает ^0 в точке ZA, a Zx находится между Zo и ZA. При переходе Z от Zo к ZA кривая <9^(Z0, Z) убывает от Zo до Zs, достигая минимума при Zs, и возрастает до ^(Zo, ZA), что приводит к противоречию. Таким образом, Zi находится в нижней области, определяемой У о, и изоэнтропическая кривая Ух в Zx соответствует Si >■ So.

Когда Z переходит от Zo к Zb величина S убывает от Zo до Zs и увеличивается до значения Si > So. Таким образом, А пересекает ^о в точке ZA, расположенной между Zo и Zx. Известно, что т < т0. Следовательно, все точки =# Zo на 36 принадлежат открытой области, определяемой изоэнтропической кривой ^0 “ касательной к Зо в точке Zo.

Если 36(Z0, Z) выражается через переменные т, q, то дЗб/dq = - 2/0т;т'-‘ + (т - т0) < 0, и q есть регулярная функция т без сингулярных точек вдоль компоненты связности Эбо кривой 36.

В дальнейшем мы ограничимся случаем т0 ^ 0 (существование слабых ударов).

Пусть Zi N= Zo — точка на 36. Из условий m < mo ^ 0 и Q(m, Zx) < 0 получаем

(dq/dx)^(Zx)<0.

Если (dq/dr^^ZO^O, то из (32.6) следует

2f6(dS/dx)% (Z,) = — (т, — т0) (dq/dT)^o(Zx) + qx — q0 > 0,поскольку qx — qo = m (n — to) > 0. Но очевидно, что ^сло-зт (dSfdx)Xi)(Zx)>^ находится в противоречии с положением

изоэнтропических кривых. Поэтому (dqjdx^ всегда строго отрицательна, откуда следует, что при возрастании т кривая 5^0 с необходимостью заканчивается в точке Zo. Таким образом, 36 является связной; рассуждая, как в разд. 37, на 36 получаем неравенства

№т)ж<0, (dS/dp^X).(38.1)

Термодинамические неравенства (34.3), (34.4) всегда справедливы при условии Тз < 0.

Вдоль 9# соотношение (32.6) можно написать в виде

2f0 (dS/dx)* + (т — т0)2 (dmldx)x = 0.

Из неравенств (38.1) следует

(dmldx)x > 0.(38.2)

Пусть Z2 = (тг, qi) ф 0 — точка на 36, а пг2 — тангенс угла наклона (Zo, Z2); поскольку 36 описывается убывающей функцией q = q\x), если т удовлетворяет условию т2 ^ т < то, то существует соответствующая точка Z = (т, р) на 9^; согласно (38.2), линия (Zo, Z) обладает таким наклоном tn, что

гщ < m < m0.(38.3)

Наоборот, из (38.2) следует, что любая линия, выходящая из Zo с наклоном пг, удовлетворяющим условию (38.3), пересекает 36 в единственной точке Z.

Теорема, При сделанных предположениях относительно уравнения состояния и при Тз < 0, пго^О кривая Гюгоньо является связной, и на 36 имеют место неравенства

(dS/dx)x < 0, (dS/dp)x > 0, (dm/dx)x > 0.

Те же соображения, что и в разд. 37, приводят к теореме:

Теорема. Предположим, что тз < 0, /по ^ 0 (существование слабых ударов) для состояния Уо, удовлетворяющего условию а0Р(/)0 > 0 (или o“R < Уд, или у^5 < Уд < уо) и общим предположениям относительно уравнения состояния. Если Z2 — точка на 36 и если (q2— qo)/(x2— то) ^ с2а2//а/а, то существует единственное нетривиальное решение уравнений удара, для которого либо v^ < of, либо у;6 < у,1. Это решение удовлетворяет термодинамическим неравенствам (34.3), (34.4), а также неравенствам теоремы разд. 35.

Случай /По > 0 остается открытым.

При общих предположениях (HY), (Н2) мы решили следующие задачи, т. е. определили

величины скоростей волнового фронта относительно с;

величины этих скоростей относительно магнитозвуковой скорости и скорости Альвена;

свойства существования и единственности для нетривиального решения уравнений удара;

термодинамические неравенства, соответствующие удару,

VI. Введение в квантовую теорию полейв искривленном пространстве-времени

Топологические предположения о пространстве-времени

Пусть (V4, g)—пространство-время класса С°°. Результаты не зависят от этой детали, однако она облегчает математические формулировки.

Ортонормированные системы отсчета и = ^е^ е^ в (У4, д) являются элементами главного расслоения E(V^ с базой V4, допускающей полную группу Лоренца £(4) в качестве структурной группы.

Если А = ^А^ — матричный элемент L(4), то его полная сигнатура ед равна ±1 в зависимости от знака det А, а его временная сигнатура рд равна ±1 в зависимости от знака А^. Эти две сигнатуры определяют компоненту L (4), к которой принадлежит А. Полная ориентация е пространства V4 есть геометрический объект, определенный на V4 [относительно элементов f(V4)] посредством такой компоненты гу = ±1, что если у = у'А в матричной форме, то 8^ = 8^8Л. Временнйя ориентация р определена на (74, д) посредством такой компоненты ру = ± 1, что если у = у'А, то Р^ = р/Рд. Существование полной ориентации V4 зависит только от структуры многообразия («ориентируемое» многообразие); существование временной ориентации зависит от поля элементарных конусов. Если имеет место полная ориентация 8 пространства V4, то многообразие допускает только две ориентации: е и —8; аналогично для временной ориентации.

В дальнейшем мы всегда будем полагать, что (У4, д) обладает полной ориентацией г и временной ориентацией р. Временная ориентация определяет на всем многообразии непрерывное поле полуконусов будущего CJ и непрерывное поле полуконусов прошлого СТ.

Временная траектория (V4, g) является кусочно ^-траекторией, для которой полукасательные в каждой точке х находятся внутри или на Сх. Пусть К — множество из V4; тогда будущее S-ЦК) (соответственно прошлое S^^K^ множества К есть набор точек из V4> заданных временными траекториями,

выходящими из точек х из К в будущее точек х (соответственно заканчивающихся в точках х из К в прошлом точек х).

Эти определения справедливы, в частности, для К=^\. Положим S (х') = ^+ (х') (J ^ (V); тогда граница д<$ (х') ка- сательна в каждой точке х =/= х' к конусу Сх; характеристический коноид Гх' = ^(х') образуется изотропными геодезическими, выходящими из х'. В окрестности своей вершины х' коноид Гх'диффеоморфен к окрестности обычного конуса второго порядка. Однако глобальные явления весьма различны: в частности, изотропные геодезические, выходящие из хг, могут пересекаться друг с другом.

Теория систем гиперболических линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами приводит к следующему предположению, которое обеспечивает существование элементарных решений:

Строго глобальная гиперболичность пространства-времени Ш4, О): рассмотрим пространство траекторий в V4 с компактнооткрытой топологией. Совокупность временных траекторий, соединяющих две точки в V4> предполагается либо пустой, либо компактной в вышеупомянутом топологическом пространстве.

Из этого предположения следует, в частности, что совокупность точек V4, заданных временными траекториями, соединяющими две произвольные точки, либо пуста, либо компактна в V4. Легко видеть, что везде в (У4, д) существуют открытые подмногообразия V4, содержащие произвольную точку, которые глобально строго гиперболичны.

Множество К из У4 называется компактным по направлению к прошлому, если пересечение (S’+t/t) Л ^"(А) является либо пустым, либо компактным для всех точек х из У4; само ^(/С) и любое замкнутое подмножество ^(К) тогда также компактны по направлению к прошлому. Понятие компактности по направлению к будущему определяется аналогичным образом. Таким образом, компактность в одно и то же время является компактностью по направлению к прошлому и по направлению к будущему. Лере доказал следующую лемму: если К компактно по направлению к прошлому, а К' компактно, то ^(К) Л Л^СК') всегда компактно.

Битензоры и дираковские битензоры

В теории дифференциальных операторов на У4 с необходимостью появляются понятия битензоров и битензорных обобщенных функций. Если Тх — векторное пространство, касательное в точке х, то (р, q^ -битензор в (х, х') есть элемент тензорного произведения (®р Тх)® (®q TX*Y \р, qy битензор на У4 является полем (р, q^ -битензоров на V4 X Уа-

(р, д^битензорная обобщенная функция является непрерывной линейной формой со скалярными значениями на (р,д)-битензорах с компактным носителем в V4 X V^ причем «непрерывность» подразумевается в смысле обобщенных функций. В частности, непрерывная линейная форма с р-тензорными значениями на ^-тензорах с компактным носителем на V4 определяет (р, р)-битензорную обобщенную функцию, называемую специальной.

Рассмотрим, например, бискаляр Дирака 6(х, V) на V4, определяемый как специальная бискалярная обобщенная функция согласно формуле

(б(х, х'), Kx^ = fUY(40.1)

Носитель для б есть диагональ Уд X V4.

В более общем случае пусть т(х, х') —произвольный (1,1)- битензор, подчиняющийся единственному условию, что т(х, х) является тензором, представляющим единичный оператор в точке х. Взяв тензорное произведение т на самого себя, получаем (р,р)-битензоры 0рт. Битензоры Дирака на (V4, g) есть специальные битензорные обобщенные функции, определяемые уравнением

D^(х, х') = (®рт)б(х, х'),(40.2)

которое не зависит от выбора т; D^ всегда можно определить посредством соотношения

(/» (х, х'), U (х')> = U (х),(40.3)

где U есть р-тензор.

Путем антисимметризации получаем би-р-форменную обобщенную функцию DW, а посредством симметризации DW — симметричную битензорную обобщенную функцию Dw. Если dx есть оператор внешнего дифференцирования в х, а 6, — оператор кодифференцирования в х, то сразу получаем

6x,Dlp+V) = dxDw.(40.4)

Если А — вектор, то мы будем называть 2) А симметричным тензором ^(AJg. Аналогично (40.4) имеем

6X'D(2) = 0XDW.(40.5)

Линейные дифференциальные операторы, ассоциированные с д на тензорах

Введем на Уд оператор на р-тензорах

№ax...«p=-^pTttl...ttp.

Имеется, кроме того, поле F линейных операторов Fx на р-тен- зорах, а также поле В линейных отображений Вх (р + ^-тензоров в точке х на р-тензорах; отображения Вх можно определить посредством множества В? операторов на р-тензорах. Обозначим через Вх* и Fx операторы, транспонированные относительно д. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор на р-тензорах

LT = Xl ^B^J^r FT,(41.1)

Формальное сопряжение L-* L* определяется соотношением

L*U — № - Vp (B^U) + F*U.(41.2)

Для того чтобы L был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы Во* =— Во, F* = F—V^Bp. Если Т есть р-тен- зорная обобщенная функция, a U — такой р-тензор, что S(T) f) S (£7) компактно, то

(LT, U> = <T, L'U).(41.3)

Автор ввел на тензорах лапласиан, отличный от А и более удобный для геометрических и физических приложений. Для антисимметричных тензоров (или форм) де Рам ввел лапласиан

5kT = ^-irW-(41.4)

В этом случае А коммутирует с d и 6. В явном виде получаем

2 Ra^ а^а , р 0 а »(41.5)

Определим теперь лапласиан М произвольного р-тензора по формуле (41.5); соответствующий оператор Клейна — Гордона будет равен А + ц, где р = const.

Оператор А обладает следующими свойствами: он является самосопряженным, коммутирует с операцией свертки и с операторами перестановки индексов; вследствие этого он сохраняет возможные свойства симметрии или антисимметрии Т. Если Т таков, что VT = 0, АТ = 0, и если U произволен, то

А(Т®[/) = Т ® А[/.

Если тензор Риччи обладает нулевой ковариантной производной, то для любого 2-тензора Т и вектора А имеем

6AT = AdT, VAX = AVA(41.6)

Элементарные ядра и пропагаторы

В дальнейшем предполагается, что (У4, д) глобально строго гиперболично; рассмотрим оператор L, определяемый соотношением

LT = ^T-\-BpVpT + FT.

Имеем следующую теорему:

Теорема,. На глобально строго гиперболическом многообразии (V4, g) существуют два элементарных ядра Е^* (х, х') оператора L, т. е. две специальные (р, р)-битензорные обобщенные функции, удовлетворяющие соотношению

L*XE^ ± (х» х^ = № (х, V),(42.1)

которые для каждого хг обладают своим носителем соответственно в &+(х') и &-(х'). Эти ядра единственны, а также удовлетворяют соотношению

L/E^^ (х, х') = D^ (х, /).(42.2)

Единственность этих элементарных ядер есть частный случай общей теоремы единственности: любая тензорная обобщенная функция Т, являющаяся решением уравнения LT = 0 и обладающая компактным носителем по направлению к прошлому или к будущему, равна нулю.

Рассмотрим битензорную обобщенную функцию Е^;

Е^ = Е^" — Е^.(42.3)

Для каждого х' функция Е^ обладает своим носителем в ^(х') и удовлетворяет уравнению

UE^x, х') = 0,(42.4)

а также

Е^Чх» х') = 0.(42.5)

Обобщенная функция Е^ по определению является тензорным пропагатором оператора L. Если Е^ — пропагатор относительно L*, то

Ew (х', х) = - ^ (х, х').(42.6)

Если L является самосопряженным, то

£(р>± (х', х) = £<р>± (х, х'), Е^ (х', х) = — Е^ (х, х') (42.7) и Е^ антисимметрично относительно пары (х, х').

Пропагаторы относительно оператора А + Ц

Самосопряженный оператор Клейна — Гордона А + ц действует на антисимметричные р-тензоры. Посредством антисимметризации из EW ± получаются две би-р-форменные обобщенные функции G'p) ±, удовлетворяющие уравнению

(А, + и) G’p) ± (х, х') = D*^ (х, х')(43.1)

и обладающие теми же свойствами носителей, что и Е^-. Разность G<p) = Gw- — QW+ есть антисимметричный пропагатор относительно А + ц, он удовлетворяет уравнению

(Ax + h)G<p)(x, х') = 0.(43.2)

Если Ах и dx коммутируют, то

(Ах + н)dxGW±(х, х') = dxDW(x, x'Y

Но Ах и б,- коммутируют, поэтому имеем

(Ах + и) 6x'G<p+*>± (х, х') = б^+*\(х, х^.

Из (40.4) в результате вычитания получаем

(Ах + и)(6x-G<p+»± (х, V) - d,^* (х, х')) = 0.

Тогда из теоремы единственности следует

6vG(P+i)± = dxG<P)±>(43.3)

и после вычитания имеем

6x-G^ = dxGW.(43.4)

Рассмотрим оператор А на 2-тензорах:

(АГ)ар = - VpVcrap + ^ар^р + R^Tpa - 2Ra,. poo^00.

Оператор А + Н действует на симметричные 2-тензоры. Посредством симметризации из Ew~ получаются две симметричные битензорные обобщенные функции К~, удовлетворяющие уравнению

(Ах + и) К* (х, х') = Ь® (х, V).(43.5)

Соответствующим симметричным пропагатором будет К = Кт— — КЛ. С помощью рассуждений, аналогичных вышеприведенным, получаем

Тгх К (х, х') = 2g (х') № (х, V).(43.6)

Если, кроме того, тензор Риччи имеет нулевую ковариантную производную, то из (40.5) и (41.6) имеем

дх/((х, х') = Dx№(х, V).(43.7)

Соотношения (43.4), (43.6) и (43.7) играют важную роль при построении коммутаторов тензорных полей.

Для пространства-времени Минковского из теоремы единственности следует, что в случае скаляра наш пропагатор совпадает с пропагатором Йордана — Паули D, определяемым в этом случае непосредственно с помощью преобразования Фурье. Если /(х, V) есть (1,1)-битензор, определяющий в этом плоском случае абсолютный параллелизм, то тензорные пропагаторы равны (®р)£). Эти результаты не распространяются на случай искривленного пространства-времени.

Коммутаторы для векторного мезона и свободногоэлектромагнитного поля

Пусть (V4, g) — заданное глобально строго гиперболическое пространство-время. Рассмотрим некоторые примеры коммутаторов.

Рассмотрим векторное поле, описываемое 1-формой а, подчиняющейся уравнению поля (уравнению Юкавы для поля со спином 1 и массой е2)

б da = e2a (в2 = const > 0),(44.1)

причем в2 =/= 0. В уравнении (44.1) подразумевается, что 6a = = 0, и оно эквивалентно системе

(А - е2) a = 0 (А = dd + d6)(44.2)

и

6a =0.(44.3)

Предположим теперь, что а есть 1 -форменная обобщенная функция со значениями в векторном пространстве операторов на комплексном гильбертовом пространстве. Построим коммутатор [a(x), а(х')] (х, х'еУ4), т. е. би-1-форменную обобщенную функцию X со скалярными значениями, которая для каждого х' имеет свой носитель в S^x'^ антисимметрична относительно (х, х') и удовлетворяет в точке х системе уравнений поля <44.2), (44.3).

В специальной теории относительности в наших обозначениях имеем (классически)

[а (х), а (х')] = у | ID (х, х') — -^- dxdx D (х, х') | Id,

где Id — единичный оператор в гильбертовом пространстве, t— (1,1)-битензор, определяющий абсолютный параллелизм в плоском пространстве-времени, а D — скалярный пропагатор Иордана — Паули относительно А = е2.

Рассмотрим в нашем искривленном пространстве-времени би-1-форменную обобщенную функцию

X = GW-^-dxdx-G№

где G^ и G^ — пропагаторы порядков 1 и 0 относительно А — е2.

Условия для носителя и условия антисимметрии выполняются. Кроме того, (Ах — е2)Х = 0, и из (43.4) имеем

ЬхХ = 6XG(‘> - Дг dxAxG^ = 6XG(‘) - dx-^ = 0.

Таким образом,

[а (х), а (х'Я = у- { GW (х, х') - Д- dxdx-G^ (х, х')} Id (44.4)

дает коммутатор, совместный с (44.1) и совпадающий в специальной теории относительности с обычным коммутатором. Если положить F = da, то для F получается коммутатор

[F (х), F (х')1 = у dxdx-GW (х, х') Id.(44.5)

Для свободного магнитного поля получаем уравнение (44.1) без массового члена (е2 = 0) для вектор-потенциала. Уравнение (44.1) инвариантно в этом случае относительно преобразования электромагнитной калибровки, и можно потребовать, чтобы а удовлетворяло условию Лоренца 6а = 0. Рассмотрим в качестве уравнения для потенциала уравнение

Аа = 0,(44.6)

откуда следует

Аба = 0,(44.7)

и примем для коммутатора потенциала выражение

[а (х), а (х'Я = A QW (х, х') Id,(44.8)

где G(1> соответствует оператору А. В результате получаем

(а(х), 6x-a(x,)] = ydX'G<1»(x, х') Id = у dxG№ (х, x')Id, а также

[б,а(х), бх-а(х')] = у джО«»(х, х') = 0.(44.9)

Коммутатор (44.8) совместен с (44.6), но не с условием Лоренца. Эта ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в специальной теории относительности. Достаточно подчинить состояния дополнительному условию 6а|ф> = 0, кото-

рое, согласно (44.7), есть условие, накладываемое на начальные данные задачи Коши.

Уравнение (44.8) дает для электромагнитного поля коммутатор, который формально совпадает с (44.5), причем видно, что этот коммутатор строго совместен с уравнениями Максвелла для свободного поля:

^ = 0, 6F = 0.

Действительно, из дифференциального соотношения (43.4) имеем

dxdx^ = dx6x№ = Ах^2> - MxG^ = - Мх№\

где G^ — антисимметричный пропагатор порядка 2 относительно А. Из d2 = 0, б2 = 0 можно получить, что этот коммутатор действительно совместен с уравнениями Максвелла.

Коммутатор переменного гравитационного поля

Рассмотрим в данном пространстве-времени (74, д) произвольную вариацию дд метрического тензора, описываемую сим* метричным 2-тензором h (h = dg); мы ассоциируем с h 2-тензор h' = ц (h), причем

Аа0 = А^ - 1 А5оР (А = 8»°^.

Тензор Риччи Ra^ претерпевает вариацию, которая, как можно показать непосредственно, дается выражением

^Rafr = ААар {D6h }ар.

При этом условии предположим, что данный метрический тензор д, удовлетворяет уравнениям Эйнштейна

Ra.fr = Ь§а^ (Х = Const).

Рассмотрим в (V4, g) поле, описываемое симметричным 2-тензором h, подчиняющимся уравнениям поля

dRafr = V-hafr (и = const).(45.1)

Метрический тензор g описывает здесь макроскопическое пространство-время. Мы рассматриваем h как тензор, определяющий микроскопическое гравитационное поле.

Теорию поля h можно построить полностью аналогично теории векторных полей. При этом будут последовательно получаться аналогичные уравнения. Путем вариации свернутого тождества Бианки получаем

~ Va(d/?af$ - 1 ^gpoo адроо) _ Л (6h')₽.

Из этого тождества следует, что уравнения поля (45.1) дают(ц-Х) Sh' = O.

Предположим, что е2 = 2(ц— X) =/= О (наличие массового члена); уравнения (45.1) эквивалентны системе уравнений

(А — 2^)h = 0(45.2)

и

6h' = 0.(45.3)

Положим теперь, что h есть симметричная 2-тензорная обобщенная функция с операторными значениями. Построим коммутатор [h (х), h(V)], совместный с (45.2), (45.3). Результаты Паули и Фирца в плоской теории гравитации, а также аналогия с электромагнитным полем приводят нас к рассмотрению соотношения

[h (х), h (x')J = ^VK (X, x') - g (X) g (V) №(x, x')},(45.4)

где пропагаторы К, G°, GW определены относительно оператора А — 2ц. Условия для носителя и условия антисимметрии в (х, х') выполняются. Согласно свойствам А, соответствующим пространству Эйнштейна [формула (41.6)], наш коммутатор совместен с (45.2). Из (43.6), (43.7) и тождества Риччи получаем

[h (х), 6,4) (х')] = у { g (х) d^ - -1- 2)xdxdx-GW } Id

и как следствие

[h(x), 6x4/(х7)] = 0.

Наш коммутатор совместен с (45.3). Мы получили коммутатор, совместный с уравнениями поля, который в плоском случае сводится к коммутатору Паули — Фирца.

Предположим, что е2 = 0, ц = X (массовый член отсутствует). Легко показать, что в этом случае уравнения (45.1) инвариантны относительно преобразования гравитационной калибровки Н-»-Ь + 3)Л, где А—произвольный вектор. С помощью такого преобразования на h можно наложить условие

6^ = 0,(45.5)

которое можно рассматривать как обобщение условия Лоренца. В качестве уравнения поля мы принимаем уравнение

(д-2Х)К = 0,(45.6)

которое эквивалентно уравнению

(д-2Х)К' = 0

и из которого следует

(45.7)(45.7)(д-2Х)бЬ' = 0.

(45.7)

(45.7)

Аналогия со случаем электромагнитного поля и со случаем, рассмотренным выше в п. „б“, приводит к коммутатору

[h (х), h (х'П = А ^К (X, xz) - g (х) g (V) G^ (х, V)} Id, (45.8)

где пропагаторы соответствуют А — 2Х. Из (43.6), (43.7) получаем

[h(x),

где правая часть отлична от нуля. С другой стороны, имеем [dxh' (х), 6,41' (х')] = у (А - 2Х) G^Id = 0.(45.9)

Коммутатор (45.8) совместен с коммутатором (45.6), но не с «условием Лоренца». Эта ситуация аналогична случаю электромагнитного поля. И здесь достаточно наложить на состояния Ф дополнительное условие 6h' | ф) = 0, которое получается из (45.7) как условие, налагаемое на начальные данные в задаче Коши.

ЛИТЕРАТУРА

Choquet-Bruhat У. Acta Math., 88, 141 (1952).

Choquet-Bruhat У. Bull. Soc., Math. France, 86, 155 (1958).

Choquet-Bruhat У. The Cauchy Problem, in «Gravitation: An Introduction to Current Research», ed. Witten L, Wiley, New York, 1962, p. 130.

Darmois G. Les Equations de la gravitation einsteinienne, Mem. Sci. Math. 25, 1927.

de Bonder Th. Introduction d la gravifique einsteinienne, Mem. Sci. Math., 8, 1925.

de Bonder Th. Theorie des champs gravifiques, Mem. Sci. Math., 14, 1925.

Einstein A. Quatre Conf6rences Faites a FUniversite de Princeton, Gauthier- Villars, Paris, 1925.

Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: ГИФМЛ, 1961.

Hoffman F., Teller Е. Phys. Rev., 80, 692 (1950).

Israel IF., Lucquiaud A. Proc. Roy. Soc., A259, 129 (1960).

Leray J. Hyperbolic Differential Equations. Lecture notes, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, 1953.

Lichnerowicz A. Problemes Globaux en M^canique Relativiste, Hermann, Paris, 1939.

Lichnerowicz A. Theories Relativistes de la Gravitation et de FElectromag- netisme, Masson, Paris, 1954.

Lichnerowicz A. Ann. Math. Рига AppL, 150, 1 (1960).

Lichnerowicz A. Propagateurs et Commutateurs en Relativity G6ner£le, Publ. Scientifique de 1’Institute des Hautes Etudes, Press Univ. France, 1961.

Lichnerowicz A. Relativistic Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics, Benjamin, New York, 1967.

Lichnerowicz A. Relativistic fluid dynamics, in С. I. M. E., Ch. 2, Cremo- nese, Rome, 1970.

Lichnerowicz A. C. R. Acad. Sci. Paris, 273, 528 (1971).

Lihnerowicz A. J. Math. Phys., 17, 2135 (1976).

Pirani F. Phys. Rev., 105, 1089 (1957).

Quan P. M. Ann. Inst. Poincare, 2, 151 (1965).

Schwartz L. Theorie des Distributions, Hermann, Paris, 1950.

Stellmacher K. Math. Ann. 115, 136 (1937).

Synge J. L. Relativity—The General Theory, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Общая теория относительности.— М.: ИЛ, 1963.]

Taub А. Н. Phys. Rev., 74, 328 (1948).

Taub Н. Arch. Rational Meeh. Anal., 3, 312 (1959).

Trautman A. Bull. Acad. Polon. Sci., 6, 135 (1958).

28*. Ricci G., Levi-Civitd T. Math. Ann., 54, 125 (1901).

29*. Соболев С. Л. — Матем. сб. 1936, № 1, с. 39.

6Экспериментальная проверкаобщей теории относительности

И. Шапиро )

Введение

В течение первого полувека своего существования общая теория относительности почти полностью была сферой деятельности теоретиков. В последнее десятилетие немногочисленная группа экспериментаторов попыталась восстановить равновесие. Однако теоретики не испугались этого вызова и даже сделали рывок вперед; подобно черным дырам, современные теоретические разработки находятся вне поля зрения экспериментаторов. Экспериментаторы равны с теоретиками лишь в одном — в размере их бюджета.

В данной работе мы в основном обсуждаем усовершенствования, достигнутые в течение последнего десятилетия в некоторых экспериментах в солнечной системе, предназначенных для проверки общей теории относительности, и комментируем планы дальнейшего продвижения в каждом из этих экспериментов в ближайшее десятилетие. Последовательно рассматриваются эксперименты, касающиеся следующих аспектов гравитации: принципа эквивалентности для массивных тел, сравнения хода часов, отклонения лучей света, запаздывания сигнала, прецессии перигелия, изменения гравитационной «постоянной» со временем и эффекта «Пензе — Тирринга. Общее рассмотрение экспериментальных оснований теории гравитации дано также в статье Бертотти [2а].

Принцип эквивалентности для массивных тел

Лабораторные эксперименты с малыми телами по проверке (слабого) принципа эквивалентности проводились даже нефи- зиками по крайней мере с пятого века н. э. [6]. В это время Иоанн Грамматик отметил тот факт, что гравитационная и инертная массы эквивалентны, хотя он, конечно, не использовал этих терминов. Перечень более формальных проверок начинается с работы Галилея и продолжается работами Ньютона, Бесселя, Этвеша, Дикке и совсем недавно Брагинского.

Результаты последней работы [З]) показывают, что отношение инертной массы к (пассивной) гравитационной массе для тел лабораторных размеров с точностью до 2*10-12 не зависит от состава:

mz/mg= 1 ± 2 • 10-12.

Этот результат показывает, что с большой точностью ядерное, электромагнитное и даже слабое взаимодействия дают равные вклады в гравитационную и инертную массы (см., например, [14, 29]). Для гравитационного взаимодействия картина совершенно другая. Отношение гравитационной энергии связи к полной энергии варьирует в зависимости от значения квадрата характеристических размеров тела. Для тела лабораторных размеров, т. е. радиуса ~ 1 м, вклад гравитационной энергии составляет примерно 10*23— на одиннадцать порядков меньше, чем мог зарегистрировать впечатляющий эксперимент Брагинского— Панова. Таким образом, для однородного сферического тела имеем

гравитационная энергия связи д 4л GpR jq”23~ 1 м (2)

полная энергия5 с2’

где G— гравитационная постоянная, р — плотность, а с — скорость света.

Для массивных тел любые возможные отклонения т^тё от единицы можно записать в виде т)А, где А определено выше, а величина т), впервые рассчитанная Нордтведтом и Биллом в рамках параметризованного постньютоновского (ППН) формализма (см. [40] )2), для «полностью консервативных» теорий равна

т| = 4р-у-3.(3)

Здесь р и у — обычные параметры Эддингтона — Робертсона. Вилл [40] дал также более общее выражение, включающее эффекты предпочтительной системы отсчета. Общая теория относительности, разумеется, предсказывает

т) = 0.(4)

Как можно определить т) экспериментально? Очевидно, желательно увеличить размеры пробных тел до планетных масштабов. Но тогда нужны три или более таких тела. Имея в рас

поряжении только две планеты, нельзя обнаружить нарушения принципа эквивалентности из изменения массы одного тела относительно массы другого. Первый эксперимент со столь массивными телами, предполагавший использование системы Луна — Земля — Солнце, был предложен для этой цели Нордт- ведтом [21]. Оптические отражатели, оставленные на Луне астронавтами с «Аполлона», сделали этот эксперимент возможным.

Если бы т) было положительным, должно было бы наблюдаться смещение лунной орбиты по направлению к Солнцу. Тогда измерение расстояния Земля — Луна должно было бы обнаружить дополнительные периодические месячные вариации с амплитудой около 8т) м. Хотя значение 8 м (при т) = 1) может показаться достаточно большим по сравнению с (современной) неопределенностью в 10 см лазерных измерений расстояния между телескопом на Земле и отражателем на Луне, следует помнить об одном конкурирующем классическом эффекте. Этот эффект имеет тот же период, но амплитуду ПО км. К счастью, неточность при определении этого классического эффекта составляет всего около 1 см. Поэтому возможна точная проверка. Эти лазерные эксперименты анализировались двумя группами; результаты показали, что т) отличается от нуля на величину, несущественную по сравнению с ожидаемыми неточностями. Шапиро и др. [34] дают значение 0,015, а Уильямс и др. [42] — 0,03. Как могли получиться разные неточности из анализа одних и тех же данных? Ответ прост. Систематические ошибки преобладают над неточностями, и поправки на эти ошибки в полной неточности частично зависят от точки зрения.

Разумеется, в будущем возможны уточнения этого предела отклонения т) от нулевого значения, предсказываемого общей теорией относительности. Можно ожидать повышения точности измерения расстояний до лунных отражателей, но скорее всего она будет повышаться медленно. В ближайшем будущем большее уточнение оценок т) можно получить путем усовершенствования теории, используемой в настоящее время для описания движения центра масс Луны и движения вокруг него. Неадекватность этой теории иллюстрируется расхождениями, возникающими при сравнении параметризованной теории с измерениями расстояний. Эти расхождения имеют среднеквадратичную погрешность, равную приблизительно 28 см [17], значительно большую, чем неточность измерений. В теорию, адекватно описывающую движение Луны, среди других эффектов соответствующим образом должны быть включены приливные деформации Луны и высшие гармоники гравитационных полей Земли и Луны.

Другой системой, заслуживающей внимания, является система Марс — Солнце — Юпитер, где эффект отклонения от принципа эквивалентности должен быть приблизительно в 1000 раз больше, чем для системы Луна — Земля — Солнце. Однако точность соответствующих измерений [34] приблизительно в 100 раз ниже, а период эффекта больше приблизительно в 20 раз, что совпадает в основном с отношением орбитальных периодов Марса и Луны. Поэтому любые ненулевые эффекты для этих двух систем должны быть сравнимы по возможности их обнаружения.

Мы ожидаем, что неточность в оценке т) должна уменьшиться приблизительно до 0,5% в ближайшее десятилетие благодаря анализу измерений для этих двух систем.

Сравнение хода часов

Более широко известные предсказания общей теории относительности касаются эффектов изменения хода часов и частоты электромагнитного сигнала («красное смещение»), обусловленных гравитационным потенциалом. Наиболее точная лабораторная проверка последнего предсказания была получена в изящной серии экспериментов Паунда, Ребки и Снайдера [22]. Они использовали эффект Мессбауэра, в котором импульс отдачи после испускания или поглощения излучения ядром распределяется во всем кристалле, что позволяет использовать чрезвычайно узкие спектральные линии. В частности, Паунд и Снайдер использовали испускание гамма-лучей с энергией 14,4 кэВ ядрами Fe57. Наверху башни высотой 25 м они поместили кристаллический йзлучатель, который мог синусоидально перемещаться, а внизу — закрепленный кристалл-поглотитель. Поглощение измерялось в функции вертикальной скорости излучателя, которая может компенсировать действие гравитационного поля на частоту излучения, испускаемого наверху башни. Разумеется, излучатель и поглотитель потом менялись местами, чтобы уменьшить систематические ошибки. Путем внимательного учета деталей в своем эксперименте они уменьшили неточность до уровня, соответствующего 5-Ю"5 естественной ширины резонансной линии. Отношение измеренной величины эффекта к предсказанной величине оказалось равным единице с точностью до 1%.

Были также проведены эксперименты по проверке непосредственного влияния гравитационного потенциала на разность показаний атомных часов. Первый такой эксперимент был проведен Хэйфеле и Китингом [13], которые осуществили облет вокруг Земли в противоположных направлениях нескольких часов на парах рубидия и сравнили их показания до и после по-

летов с показаниями часов, оставленных на Земле. Результаты подтвердили эйнштейновские предсказания, но, как и ожидалось, не удовлетворили сомневавшихся в существовании парадокса близнецов. В частности, Хэйфеле и Китинг определили относительные разности между измерениями и предсказаниями для комбинированных гравитационных и кинематических эффектов, равные приблизительно —0,01 ± 0,09 для полетов на запад и около —0,04 ± 0,4 для полетов на восток.

Аллей (частное сообщение, 1977 г.) и его сотрудники) также использовали самолет, на котором совершали полет атомные часы, для сравнения их показаний с аналогичными часами на Земле. В этих экспериментах лазерные сигналы посылались с Земли и отражались от кубических уголковых отражателей на самолете, реализуя тем самым на практике эйнштейновский мысленный эксперимент по синхронизации разделенных часов с помощью обмена световыми сигналами. Путь самолета, летевшего на высоте около 10 км, также контролировался. Трое цезиевых часов, использовавшихся в эксперименте, имели неточность хода на уровне 2-10“14 за среднее время 30 ч. Полная разница во времени между показаниями часов на самолете и на Земле для типичного полета составляла около 50 нс. На основании показаний трех часов в пяти полетах по 15 ч каждый Аллей установил, что отношение измеренной величины к предсказанной равно 0,987 ± 0,016, причем около одной трети этой неточности составляют возможные систематические ошибки. Таким образом, эти эксперименты не столь точны, как опыты Паунда и Снайдера, но эти две группы осуществили принципиально различные эксперименты.

Значительно более впечатляющий эксперимент с часами был проведен Вессо и Левиным [39], которые в 1976 г. поместили водородный мазерный стандарт частоты на ракету, которая пролетела по орбите с максимальной высотой подъема 10 000 км над поверхностью Земли). Высота подъема ракеты, с помощью которой запустили этот водородный мазер, соответствует высоте башни в эксперименте Паунда. Линия связи, с помощью которой проводилось сравнение показаний водородного мазерного стандарта на орбите с соответствующими мазерами на Земле, использовала радиосигналы; для устранения влияния побочных эффектов со стороны ионосферы использовалась хорошо разработанная трехчастотная схема. Это осуществлялось посредством двухсторонней двухчастотной связи, контролируемой с Земли, с двумя частотами, соответственно

смещенными от частоты, использовавшейся при односторонней связи орбиты с Землей. Окончательные результаты еще не получены вследствие трудностей в определении траектории, которая, очевидно, в сильной степени подвержена действию негравитационных ускорений. Предварительные результаты показывают, что отношение измеренного красного смещения к предсказанному значению отличается от единицы на 50*10"6 с неточностью около 100-10“6. Ожидается, что в конечном результате неточность будет в два раза ниже (частное сообщение Р. Вессо, 1978 г.)1).

Ни один из этих экспериментов с часами не является достаточно чувствительным, чтобы дать полезную информацию о параметрах у или 0 ППН-формализма.

Каковы перспективы? Наиболее значительное продвижение, которое вскоре может быть достигнуто, связано с помещением водородного мазерного стандарта частоты на ракете, пролетающей около Солнца. Эффективная методика предполагает использование гравитационного поля Юпитера, чтобы помочь перевести ракету на сильно эксцентричную орбиту, почти касающуюся Солнца. Гравитационное красное смещение для часов, пролетающих так близко от Солнца, составит величину порядка 10“6—10“7 в зависимости от величины перигелия орбиты ракеты. Стабильность хода часов порядка 1-10~15 за среднее время порядка 100 с и более уже достигнута в лабораторных условиях и может дать неточность в отношении величин измеренного и предсказываемого красных смещений в пределах от 10~8 до 10“ в такого рода эксперименте с солнечным зондом. Этот эксперимент может оказаться чувствительным к эффектам второго порядка (зависящим от 0) в метрике Шварцшильда2). Однако требования к такому эксперименту ни в коей мере не являются тривиальными. Необходим спутник, «свободный от сноса», чтобы преодолеть довольно значительные негравитационные ускорения, обусловленные в первую очередь световым давлением. Разработка свободных от сноса систем с соответствующими характеристиками для работы в сложных условиях вблизи Солнца представляет трудную задачу (см., например, [11]). Разработка водородного мазерного стандарта частоты с требуемым временем жизни также представляет собой нетривиальную задачу.

Программа «Солнечный зонд» (Solar probe) в настоящее время рассматривается Национальным управлением по аэро-

навтике и космическим исследованиям США. Неясно, когда эта программа может быть запущена; еще менее ясно, будет ли она иметь соответствующую систему, свободную от сноса; и совсем неясно, будет ли получен водородный мазер или эквивалентный стандарт частоты.

Могут проводиться и другие лабораторные эксперименты, в частности предложенные Нордтведтом и Биллом, по сравнению хода различных типов часов, например часов на основе водородного мазера и на основе резонатора, которые имеют различные фундаментальные масштабы длины. Такие сравнения могут установить необходимые ограничения на возможные неметрические эффекты или результаты их измерения [41].

Отклонение светового луча

Измерения отклонения лучей света, идущих от звезд, гравитационным полем Солнца предпринимались с разной степенью интенсивности начиная с 1919 г. Согласно ППН-форма- лизму, отклонение может быть представлено в виде

1.75"(2±1)^, (5)

где Rq — радиус Солнца, d — прицельный параметр для световых лучей, а у — ППН-параметр, который в общей теории относительности тождественно равен единице. Экспедиции по наблюдению солнечных затмений с 1919 по 1952 г. дали различные результаты; данные одного и того же затмения, обработанные различными исследователями, также иногда давали несогласующиеся результаты. В целом эти результаты давали для у значения, отличающиеся от единицы в пределах 50%. Самая последняя попытка наблюдения затмения была предпринята в 1974 г. группой из Техасского и Принстонского университетов; их результат также согласовался со значением у = 1 в пределах расчетного среднеквадратичного отклонения, составлявшего около 10% [36]1).

Реальный успех в таких экспериментах был достигнут благодаря использованию радиоинтерферометрии, впервые предложенному десять лет назад [32]. С помощью радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой (РИСДБ) можно получить угловые разрешения, значительно большие, чем те, которые могут достигаться на поверхности Земли с помощью оптической техники. Характерной чертой этого метода является отсутствие непосредственной электрической связи между различными

9 Перспективы обнаружения эффекта отклонения луча света во время солнечного затмения 1981 г. обсуждаются Михайловым [51]. — Прим, перев.

элементами радиоинтерферометрического устройства. В каждой антенне интерферометра радиосигналы смешиваются с сигналами локального осциллятора, полученными от водородного мазерного стандарта частоты, и фильтруются. Результирующие видеосигналы, соответствующим образом обсчитанные, записываются на магнитных лентах. Ленты от обеих антенн интерферометра сравниваются и коррелируются.

Первый точный эксперимент по отклонению сигналов, использовавший РИСДБ, был проведен в 1972 г. Каунсельманом и др. [7]. Они использовали четыре антенны, по две в Национальной радиоастрономической обсерватории в Грин-Бэнк (Западная Виргиния) и в Хейстакской обсерватории в Массачусетсе, отстоящих друг от друга на расстояние 845 км. Наблюдались два компактных внегалактических радиоисточника, обозначаемые 3C273 и ЗС279, каждый одной антенной в каждой из обсерваторий. Последний источник покрывается Солнцем 8 октября. Разрешение, полученное с помощью этого интерферометра, который работал на радиочастоте 8 Ггц, составляло около 0,01". Оба источника наблюдались одновременно, чтобы уменьшить влияние атмосферы и относительного дрейфа часов в обеих обсерваториях. Благодаря использованию двух антенн на каждом конце интерферометра оказалось возможным непрерывно следить за «флуктуирующей» фазой для каждого источника. Фаза меняется так быстро и беспорядочно для сигналов, проходящих вблизи Солнца, что любой перерыв в слежении за фазой может иметь значение. В общем случае «флуктуирующую» фазу нельзя согласовать в интервале с перерывами без введения неоднозначностей в 2л. Таким образом, для каждого перерыва при анализе необходимо рассчитывать новую постоянную интегрирования, что часто обусловливает существенное уменьшение точности при оценке у.

Количество записанной магнитной ленты в этом эксперименте было довольно значительным; вытянутая в одну линию, эта лента протянулась бы из США до Европы и частично вернулась бы обратно. Число записанных битов было равно почти 1012. К счастью почти вся информация оказалась шумом и после пятимесячной обработки дала несколько битов полезного сигнала, а именно следующий результат:

у = 0,98 ±0,06. (6)

Точность в этом эксперименте определялась не столько отношением сигнала к шуму, сколько отсутствием надлежащей калибровки; тогда еще не имелось соответствующего оборудования.

Впоследствии был проведен лучший эксперимент с более короткой базой и прямой электрической связью между антен-

нами; такая техника называется интерферометрией со связанными элементами. Этот эксперимент был проведен в 1974 г. и повторен в 1975 г. Фомалонтом и Срамеком [12]. Они использовали почти прямолинейное расположение четырех антенн Национальной радиоастрономической обсерватории; три из них располагались на отрезке длиной 2,7 км, а четвертая доводила базу до 35 км. (Использование трех близко расположенных антенн вместо одной было определенным излишеством и вводило небольшие дополнительные усложнения, поскольку четырехэлементное расположение было полностью предназначено для других, астрономических целей.) Чтобы уменьшить влияние земной атмосферы, они наблюдали три источника, также расположенных почти прямолинейно. Эти источники были расположены на одинаковом расстоянии друг от друга в пределах дуги ~10° на небесной сфере, причем центральный источник покрывался Солнцем 11 апреля. Все наблюдения велись одновременно на частотах 2,7 и 8,1 ГГц, чтобы уменьшить влияние солнечной короны. Эти три источника не могли наблюдаться одновременно, а наблюдались последовательно. Перерывы в измерениях флуктуирующих фаз для каждого источника в этом случае были не так значительны, как в эксперименте с РИСДБ, главным образом потому, что наличие значительно более короткой базы влечет за собой соответственное уменьшение степени флуктуации, что позволяет однозначно осуществить фазовую связь.

Основная неточность в результатах этих экспериментов, использовавших интерферометрию со связанными элементами, обусловливалась атмосферой. Использование трех источников и линейной интерполяции обеспечило лишь частичный успех в уменьшении атмосферных эффектов. Сопоставляя данные двух лет, Фомалонт и Срамек получили

у= 1,01 ±0,02, (7)

что почти в три раза точнее, чем результат, полученный в прежних экспериментах с РИСДБ.

Какие дальнейшие улучшения возможны в использовании интерферометрии для измерения гравитационного отклонения радиоволн? Вероятно, будут проводиться эксперименты по интерферометрии со связанными элементами на сверхдлинной антенной системе, которая сейчас создается в Сокорро в Нью- Мексико. Эта антенная система будет содержать 27 телескопов, каждый диаметром 25 м, и будет образовывать букву Y с максимальным размером примерно 25 км. Достижимая точность, вероятно, будет лимитирована нейтральной атмосферой до уровня стандартной ошибки а (у) порядка 0,006. Улучшение должно достигаться благодаря ожидаемым более устойчивым

атмосферным условиям в Нью-Мексико и использованию большого числа антенн, что может способствовать усреднению ошибок, вносимых атмосферой. Достижимая методом РИСДБ точность должна быть существенно выше. Поскольку влияние атмосферы в значительной степени некоррелировано на расстояниях больше чем несколько десятков километров, такие эффекты будут пропорционально меньше для длинных баз. Анализ, проведенный Ратнером (частное сообщение, 1976 г.), показывает также, что влияние на точность турбулентности в короне будет уменьшаться с увеличением длины базы, но более медленно, чем в обратной пропорции. (Однако для баз длиннее 5000 км отсутствие взаимной видимости источников становится серьезным ограничением достижимой точности.)

Первые эксперименты на основе РИСДБ были ограничены возможностями оборудования — отсутствием устройства надлежащей калибровки и средств для двухчастотных наблюдений. Эти ограничения, конечно, не являются существенными. Поэтому разумно ожидать, что неточность в оценке у уменьшится до 0,001 в экспериментах с РИСДБ.

Далеко не исчерпаны возможности экспериментов в оптической части спектра. Для выполнения эксперимента по измерению отклонения лучей света Хилл и его сотрудники разработали очень сложный оптический астрометрический телескоп, в котором среди прочего используется также лазерная интерферометрическая техника. Эта группа собирается использовать диаметр Солнца как единицу длины и использовать планеты, а не звезды в качестве мишени1). Основание для этого выбора заключается в том, что разность между небесной, или эклиптической, широтой данной звезды и соответствующей широтой Солнца остается примерно постоянной при близком прохождении луча и оценка этой разности хорошо коррелирует с оценкой отклонения. Для планеты в качестве мишени наименьшее угловое удаление от Солнца варьирует от соединения до соединения, и, имея данные для нескольких соединений, можно найти одновременно как соответствующие орбитальные элементы, так и значение параметра у, который описывает отклонение луча в ППН-формализме. Хилл предполагает, что точность оценки у будет порядка 0,002. Однако планеты не являются точечными мишенями; на этом уровне точности топография планеты, так же как вариации альбедо вблизи лимба планеты, становятся важными возможными источниками систематических ошибок. Хилл надеется преодолеть эти трудности путем использования метода конечных преобразований Фурье для определения по-

9 Сообщение об экспериментах, проведенных группой Хилла с помощью данного телескопа в 1979 г., опубликовано в работе [52]. — Прим, перев.

ложения лимба. Он также собирается уменьшить проблемы, связанные с рассеянным светом, путем использования интерферометра радиального смещения с телескопом. Разумеется, как и во всех таких экспериментах, нельзя предсказать, когда будут получены полезные результаты.

Будущее представляется более оптимистическим, если рассматривать оптическую интерферометрию с земной орбиты. Здесь существует потенциальная возможность (если не учитывать расходы) получить для а(у) значение 10~6 или, возможно, еще ниже. Предварительное исследование характеристик такого инструмента находится на стадии рассмотрения [26], и уже выполнены расчеты предсказываемых релятивистских эффектов второго порядка по отклонению лучей света [53]. Хотя существует много более слабых эффектов, ранее игнорировавшихся, которые следует рассмотреть, представляется, однако, что нет серьезной причины, которая могла бы помешать обнаружению релятивистских эффектов второго порядка.

Запаздывание сигнала

А/А/re + rp —Rjre + rp —RjОбщая теория относительности предсказывает, что время распространения сигнала между двумя «фиксированными» точками должно возрастать, если вблизи пути сигнала находится массивное тело [31]. Как это предсказание может быть проверено? Естественным методом является использование двух планет в качестве фиксированных точек и Солнца как массивного тела. Световой сигнал может быть послан с Земли по направлению к планете-мишени, и после детектирования отраженного сигнала может быть измерено время распространения. Согласно общей теории относительности, «добавочное» время запаздывания эха Ат, обусловленное прямым действием гравитационного потенциала Солнца, дается выражением

А/

А/

re + rp —Rj

re + rp —Rj

(8)

в которое введен множитель (1 + у)/2, следующий из ППН- формализма. Здесь в дополнение к уже определенным величинам г0 ен GMq/c2 « 1,5 км, М0 — масса Солнца, ге и гр— гелиоцентрические координаты Земли и планеты-мишени соответственно, a R — расстояние между планетами. В Ат' имеет место логарифмическая сингулярность, такая, что максимальное запаздывание порядка 250 мкс для лучей, которые почти касаются лимба Солнца.

8 Зак. 203

Эксперименты по измерению Ат проводились несколько раз, сначала путем радиолокационных наблюдений планет1), а совсем недавно путем радиослежения за космическими аппаратами «Маринер 6» и «Маринер 7» [1] на гелиоцентрической орбите и «Маринер 9» на орбите вокруг Марса.

Радиослежение за космическим кораблем дает гораздо большую точности чем пассивные радиолокационные измерения, которые помимо низкого отношения сигнала к шуму затрудняются также чрезвычайно сложной топографией поверхностей планет (в пределах от миллиметров и ниже до километров и выше). В 1976 г. космический корабль «Викинг» обеспечил возможность получить огромное повышение точности такого эксперимента. Это повышение было обусловлено рядом факторов. Например, оборудование при удовлетворительной его работе позволяло измерить полную задержку радиосигналов с точностью на уровне 10 нс, что в несколько раз лучше, чем для использовавшихся ранее аппаратов. Этот предел налагается не отношением сигнала к шуму, а обусловлен трудностью калибровки временных задержек в аппаратуре корабля и в системе «антенна — отражатель — приемник» на Земле. Предел отношения сигнала к шуму для большинства таких измерений составляет лишь несколько наносекунд. Таким образом, при некоторых условиях можно измерить расстояние от точки на Земле до точки на Марсе с точностью до 2 м (возможно, это рекорд, достойный включения в какую-то подходящую книгу рекордов) .

Недостаточно лишь проделать точные измерения. Нетривиальной задачей является надлежащая их интерпретация. Напомним, что полное время распространения радиосигналов вблизи верхнего соединения составляет около 2500 с и что нам необходимо оценить все поправки величиной в несколько наносекунд или более. Космический корабль «Викинг» сделал возможным огромное увеличение точности интерпретации, и именно это является его реальным преимуществом. Как было достигнуто это улучшение? Во-первых, необходимо знать орбиты рассматриваемых тел. Спускаемые аппараты «Викинга» позволяют рассматривать Землю и Марс как соответствующие орбитальные объекты; каждый из них имеет отношение площади к массе в несколько миллионов раз меньше, чем для космического корабля, поэтому они соответственно менее подвержены негравитационным ускорениям, которые усложняют модель. Орбиты этих планет могут быть, таким образом, точно

!) Результаты недавних экспериментов, проведенных советскими учеными, по измерению эффекта Шапиро при радиолокации Венеры приведены в статье [54]. — Прим, перев.

определены из достаточно точных данных, если не учитывать эффектов со стороны почти пренебрежимых гравитационных ускорений, обусловленных малыми астероидами и кометами, которые в данной модели мы игнорируем. Во-вторых, необходимо знать нерелятивистские эффекты, влияющие на распространение сигна'ла. Главный такой эффект обусловлен плазмой солнечной короны. Если измерения времени запаздывания эха мо1.ут проводиться одновременно на двух сильно разделенных полосах частот, то дисперсионные свойства слабой плазмы (п2 — 1 ~ f-2, где п — коэффициент преломления, а / — радиочастота) могут быть использованы для устранения ее влияния йа время распространения сигнала. (Общая теория относительности и все другие теории гравитации, до сих пор предложенные, не зависят от частоты со значительно большей точностью, чем та, о которой здесь идет речь.) К сожалению, два спускаемых аппарата «Викинга» были оборудованы только одночастотными импульсными повторителями, которые работали только на частоте 2,2 ГГц в S-полосе. На этой частоте вклад короны в запаздывание возрастает по крайней мере до 100 мкс для лучей, проходящих в нескольких солнечных радиусах от центра Солнца. К счастью, два орбитальных аппарата «Викинга» были оборудованы импульсными повторителями, которые работали на двух частотах: на частоте около 2 ГГц в S- полосе, а также на частоте приблизительно 8 ГГц в Х-полосе. Но эта возможность, связанная с наличием двухполосного оборудования, была доступна только для линии связи „аппарат — Земля", но не для линии связи „Земля — аппарат". Таким образом, пространственно-временной путь, на котором могла быть достигнута надежная калибровка эффектов плазмы, отличался от пространственно-временного пути, на котором такая калибровка была необходима. Тем не менее даже эта частичная возможность калибровки дала огромное уточнение по сравнению с условиями первых экспериментов с космическими аппаратами, где использовалась лишь одна частота S-полосы.

Чтобы определить плазменные эффекты как можно надежнее, необходимо наблюдать спускаемый аппарат и орбитальный комплекс одновременно. Для этого необходимо использовать две различные наземные установки, поскольку каждая из них может принимать сигналы только от одного космического корабля в данный момент времени. Геометрия задачи накладывала большие ограничения; например, только несколько часов ежедневно станция слежения в Австралии могла наблюдать за орбитальным отсеком «Викинга» в то время, когда станция в Калифорнии наблюдала за спускаемым аппаратом. Большое число этих одновременных наблюдений было проведено вблизи верхнего соединения Марса, которое имело место 25 ноября

в*

1976 г. Для большинства дней наблюдения данные после калибровки плазменных эффектов согласовались друг с другом в пределах 200 нс. Однако примерно для 25% дней, во время которых получались данные, измерения запаздывания, хотя внутренне и согласованные в течение каждого дня, отличались от данных для других дней необъяснимым и несистематическим образом на величину до 15 мкс. Эти отклоняющиеся данные не были объяснены.

Если, как и подобает хорошему экспериментатору, тщательно «замести под ковер» эти отклоняющиеся данные и произвести анализ остальных данных, то результаты окажутся в замечательном согласии с предсказаниями общей теории относительности. Поскольку были получены некоторые полезные данные для лучей, проходивших на расстоянии до четырех солнечных радиусов от центра Солнца, то характерное логарифмическое поведение Ат было выявлено достаточно отчетливо, чтобы дать оценку значения у, которое лишь незначительно коррелировало с оценками для орбитальных параметров Земли и Марса.

Был проведен предварительный анализ, в котором измерения задержки, полученной вблизи верхнего соединения, сравнивались с предсказаниями общей теории относительности для орбитального движения и результатами определения положения спускаемого аппарата относительно станции слежения, полученными вдали от верхнего соединения. Этот анализ [35] дал результаты, замечательно согласующиеся с общей теорией относительности; любые отклонения от у = 1 были значительно ниже ожидаемой неточности о (у) =0,01. Недавний улучшенный анализ дал значение [5, 27]

у = 1,002 ± 0,004, (9) причем приведенная здесь неточность увеличена приблизительно в два раза (до уровня двух формальных стандартных ошибок), чтобы учесть возможный вклад неизвестных систематических ошибок.

Ясно, что эксперимент с «Викингом» дал наиболее точное из полученных до сих пор подтверждение предсказаний общей теории относительности о влиянии массивных тел на распространение световых сигналов.

Каковы перспективы дальнейших улучшений в измерении гравитационного запаздывания световых сигналов? Безусловно, в пределах возможностей современной техники находится доставка спускаемого аппарата на поверхность внутренней планеты. «Викинг» уже подтвердил эту возможность для Марса1).

’) Для Венеры эта возможность была реализована еще в 1970 г. автоматической межпланетной станцией «Венера 7». Все последующие станции этой серии неоднократно совершали мягкую посадку на Венеру и передавали с ее поверхности научную информацию. — Прим, перво.

Спускаемые аппараты, оборудованные импульсными повторителями, работающими одновременно в четырех далеко отстоящих друг от друга полосах частот, например от 8 до 35 ГГц, должны обеспечить увеличение точности оценки у на несколько порядков величины. При этом не только будут устранены эффекты основной короны с помощью подходящей двухчастотной техники калибровки, но с использованием третьей частоты может быть также уменьшен вклад рассеяния, который пропорционален f~4. (Угловые отклонения изменяются пропорционально /-2, и для малых углов таким же образом будут изменяться соответствующие вариации длины пути.) Четвертая полоса предназначена для получения дополнительных данных, увеличивающих надежность результатов. Были разработаны передатчики, удовлетворяющие требованиям этого эксперимента на всех предполагаемых частотах. Такой эксперимент может дать точность, почти достаточную для обнаружения эффектов второго порядка, т. е. постпостньютоновских. Наши расчеты показывают [53], что эти вклады второго порядка в задержку находятся на уровне 10 нс. Таким образом, должно быть достигнуто некоторое увеличение точности измерения запаздывания. Такое повышение уровня точности вполне достижимо в экспериментах, в которых сигналы проходят вблизи Солнца. Но получение достаточно высокой точности измерений и интерпретации для надежного выделения вклада членов второго порядка представляется лежащим за пределами современного уровня радиоэкспериментов. В любом случае такой межпланетный эксперимент должен быть чрезвычайно дорогим. Напомним, что проект «Викинг» обошелся в миллиард долларов. Такой релятивистский эксперимент, по-видимому, может быть проведен только вместе с проектом, предназначенным для достижения многих других целей.

Альтернативным техническим подходом было бы использование лазерного слежения вместо радиослежения, чтобы устранить все эффекты, связанные с короной. Необходимо, конечно, поместить на поверхности планеты лазерный приемник, передатчик и точные часы. Как с технической, так и с экономической точки зрения лазерный метод относится к совершенно иному классу по сравнению с методом радиослежения. Для этого метода нет никаких серьезных препятствий; это является только вопросом времени и денег.

теорией в пределах точности наблюдений и теоретических расчетов. Последние были ограничены главным образом неточным знанием масс возмущающих тел. Леверрье [19] впервые заметил серьезное расхождение между наблюдениями и расчетами, относящимися к изменениям элементов орбиты Меркурия. Он не смог приписать это расхождение только одному элементу и на основании вспомогательных аргументов заключил, что оно обусловлено тем, что положение перигелия смещается за столетие приблизительно на 36 угловых секунд больше, чем ожидалось ранее. В конце девятнадцатого века Ньюкомб окончательно приписал это расхождение смещению перигелия и уточнил его значение, которое оказалось равным около 43" за столетие1). Это расхождение было удивительно точно и естественно объяснено эйнштейновской общей теорией относительности. В ППН-формализме релятивистский вклад в вековое смещение дается выражением

^= мт^г (-Ч^) рад/°> <10)

где в дополнение к введенным ранее величинам а — большая полуось, а е — эксцентриситет орбиты.

В настоящее время оптические наблюдения, которые ведутся уже более 200 лет, дают неточность определения скорости прецессии приблизительно 0,4" за столетие. С другой стороны, радиолокационные наблюдения, которые проводятся всего 10 лет, дают неточность, равную половине оптической — около 0,2" за столетие. Реальной проблемой является интерпретация этих измерений. Солнечная система является плохой лабораторией, хотя, по общему мнению, достаточно чистой по обычным астрофизическим стандартам. Если мы примем, что Солнце вращается равномерно, то из радиолокационных наблюдений можно заключить, что комбинация параметров (2 + 2у— Р)/3 отклоняется от единицы не более чем на 0,005 [34]. Вопрос о характере вращения Солнца все еще является до некоторой степени спорным. Эксперимент Дикке и Гольденберга [8] предположительно обнаружил неожиданно большую видимую сплюснутость Солнца, для объяснения которой требуется быстрое вращение его внутренней части, как первоначально предсказывали Дикке и Пиблс [9]. Но интерпретация «измеренной» сплюснутости была на самом деле ошибочной, поскольку различие между истинной визуальной сплюснутостью Солнца и изменением яркости в непосредственной близости от лимба не может быть надежно установлено. Последующие наблюдения визуальной сплюснутости Солнца, проведенные Хиллом и др. [15], исполь-

!) Это было сделано в работе [55]. — Прим, перев.

зовали другую оптическую технику и не подтвердили результаты Дикке и Гольденберга. Однако такие наблюдения очень трудно выполнять на требуемом уровне точности, и, возможно, они должны быть повторены, прежде чем можно будет делать какие-либо определенные заключения.

Имеются ли какие-либо другие подходящие объекты, для которых релятивистский вклад в смещение перигелия может быть определен точно без заметной погрешности, связанной с вкладом гравитационной сплюснутости Солнца? Такие результаты действительно были получены для некоторых других объектов, например для Марса и астероида Икар (см. например, [33]). Но неточности в этом случае имеют порядок 10— 20% и слишком велики, чтобы дать полезные результаты. Для спутников внешних планет перспективы еще хуже. Орбита Меркурия остается наилучшей основой для проверки предсказаний общей теории относительности, касающихся прецессии перигелия. Табл. 1 содержит перечень нерелятивистских вкладов

Таблица 1

Основные неточности определения нерелятивистских вкладов в смещение перигелия орбиты Меркурия

Источник

Величина эффекта, угл. сек.

Неточность, угл. сек.

Способ уменьшения неточности

столетие

столетие

Сплюснутость Солнца

Спин-орбитальная связь

Масса Юпитера

Масса Венеры

~ 0,015 -0,003 - 132 -240

(+0,015)—(—0,008) (+0,006)-(-0,003) 0,002 0,0005

Солнечный зонд

Спутник Меркурия

Спускаемый на Марс аппарат

Не нужен

в прецессию, величины этих вкладов и неточности их определения, а также возможные способы уменьшения этих неточностей. Даже если мы примем, что вращение Солнца равномерно, как это сделано при составлении данной таблицы, получим, что наибольшая неточность все же обусловлена сплюснутостью Солнца. Ее величина, предсказываемая стандартной моделью Солнца, должна составлять около 0,015" за столетие. Наша оценка неточности, однако, сравнима с величиной самого эффекта. Прямым, но дорогим методом уменьшения этой неточности является помещение свободного от сноса спутника на орбите, которая проходит на расстоянии менее четырех радиусов от поверхности Солнца, о чем говорилось в разд. 3. Этим способом неточность нашего знания сплюснутости Солнца,

по-видимому, может быть уменьшена на порядок величины [2, 25]. Неожиданно для многих следующим по величине эффектом является влияние спин-орбитальной связи между вращательным и орбитальным движениями Меркурия. Спин Меркурия связан с его орбитальным движением как спин-орбитальный резонанс типа 3 : 2. Неопределенность нашего знания относительной разности экваториальных главных моментов инерции Меркурия вносит соответствующую неточность во вклад спин- орбитальной связи в смещение перигелия его орбиты. Оценка величины эффекта дает значение порядка 0,003" за столетие (Шапиро, 1969 г., не опубликовано), а неточность по крайней мере в два раза больше этого значения, но может быть уменьшена посредством радиослежения за спутником Меркурия. Следующей в перечне стоит неточность определения массы Юпитера. Точность измерения полного времени распространения радиосигналов, посланных с Земли на спускаемый на Марс аппарат, является, однако, достаточной, чтобы вскоре было получено уточненное значение массы Юпитера. Последняя строка в таблице — неточность нашего знания массы Венеры — уже так мала, что в течение многих лет не будет создавать каких- либо помех при интерпретации наблюдений Меркурия.

Не делают ли измерения сигналов от двойного пульсара [16] 9 ненужными дальнейшие исследования смещения перигелия орбцты Меркурия? Смещение периастра орбиты двойного пульсара составляет около 4,2° за год, т. е. почти в 35 000 раз больше, чем смещение для орбиты Меркурия. К сожалению, измерение смещения периастра служит в основном только для определения функции масс отдельных компонент. В настоящее время эти величины не могут быть определены независимо с любой требуемой точностью. Поэтому даже независимо от вопросов относительно «чистоты» этой двойной системы в настоящее время она не представляет интереса как лаборатория для проверки предсказаний общей теории относительности о смещении периастра.

Изменение гравитационной «постоянной»со временем

Дирак [10] сформулировал «гипотезу больших чисел», корни которой можно найти в работах Милна и Эддингтона (см. также статью Бертотти [2а]). Эта гипотеза основывается на том факте, что отношение электростатической и гравитационной сил между двумя элементарными частицами (~ 1039) при-

Имеется в виду двойной пульсар PSR 1913 + 16. Подробнее см. [56].— Прим, перев.

близительно равно возрасту Вселенной, выраженному в атомных единицах. Дирак предположил, что это приближенное равенство имеет фундаментальное значение и не зависит от времени. Поскольку возраст Вселенной, разумеется, меняется со временем, то должна существовать некоторая другая величина, также зависящая от времени. Поэтому Дирак предположил, что гравитационная постоянная должна меняться с (атомным) временем). Для дальнейшего обсуждения рассмотрим соотношение

G (/) = Go + Go (/—/0),(11)

где Go — гравитационная «постоянная» в некий начальный момент /о, a Go — соответствующая скорость изменения ее со временем. Чтобы определить, равна ли нулю Go, можно измерить время, показываемое гравитационными часами) в шкале атомного времени. Поскольку относительная скорость изменения G мала по сравнению с орбитальными угловыми скоростями объектов солнечной системы, легко показать, что 2^7~-27"-4~^<12)

где а, Р и п — соответственно большая полуось, орбитальный период и среднее движение объекта, движущегося по орбите под влиянием гравитационного взаимодействия.

Любое изменение орбитального среднего движения тела наиболее сильно проявляется в значении его долготы L(/). Любое линейное изменение п с атомным временем вызывает квадратичное по времени изменение AL отклонения величины L от ее нормального (при Go=O) значения: XL = (2л/Р) (Go/Go) (/ — —/о)2. Для определения XL были использованы два подхода: один основан на радиолокационных наблюдениях планет, а второй — на оптических наблюдениях Луны. Оба этих метода довольно сложны (см., например, [24]) и связаны с серьезной трудностью, так как квадратичная зависимость XL от t маскируется другими членами. Рассмотрим, например, член а + + 6(/ — /о), который неизбежно возникает вследствие недостаточно точного знания начальных условий, которые описывают орбиты Луны и планет. Один такой член уменьшает чувствительность к любому квадратичному члену примерно в шесть раз (эта цифра соответствует точности, с которой прямую линию можно сравнить с параболой). Существует еще одна труд-

ность, которая сильно влияет только на лунный метод,— приливы, также вызывающие квадратичное изменение долготы. Однако этот эффект в принципе не является неустранимым, поскольку точные оценки вклада приливов в AL можно получить другими способами, например путем слежения за орбитами некоторых искусственных спутников Земли. Результаты, полученные до сих пор из радиолокационных наблюдений внутренних планет, подвержены систематическим ошибкам, в первую очередь связанным с топографией поверхностей планет. Действительно, хотя формальная стандартная ошибка a((?o/Go), полученная после обработки данных, имеет порядок нескольких единиц на 10“12 за год, разумная оценка вклада систематических ошибок позволяет заключить только следующее [23]:

- 0,5 • 10"’° год'1 < Go/Gq < 1,5 • 10' год'1. О3)

Ван Фландерн [37] проанализировал лунные наблюдения и сделал вывод, что существует заметное ослабление гравитационного взаимодействия со временем. Полученное им значение равно CjqIGq = — (3,6 ± 1,8)-ICH1 год-1, хотя это значение и его неточность флуктуировали в течение прошедших нескольких лет в результате применения различных методов обработки данных. С учетом этих флуктуаций и важности систематических ошибок, влияющих на анализ (см. обсуждение в работе [24]), этот результат не следует рассматривать как нарушение общей теории относительности.

Ограничение на 0^ получаемое на основе использования лишь вышеупомянутых методов, нуждается в улучшении. Для радиолокационных наблюдений планет или для радиослежения спутников планет или спускаемых аппаратов чувствительность будет расти как f^ где t — интервал, в течение которого проводятся наблюдения. В конечном итоге предел будет установлен неточностью нашего знания уменьшения массы Солнца, которое в настоящее время составляет около 10~14 в год; ясно, что в течение достаточно большого времени этот предел не будет играть серьезной роли. Лунные наблюдения в настоящее время ограничены отсутствием точного знания вкладов приливов, и совсем не ясно, сколько времени понадобится для улучшения ситуации. Вполне возможно, что приливные эффекты сами значительно изменяются со временем.

скорость изменения долготы Q восходящего узла орбиты равна

LT ~ с2а3 (1 - е2)7’ ’

где в дополнение к определенным выше величинам / и со — момент инерции и угловая скорость центрального тела соответственно. Пока не существует экспериментального подтверждения этого предсказания. Однако имеются методы, которые могут быть использованы для его проверки.

В 1970 г. Миллер и Шапиро [20] изучили несколько возможностей обнаружения эффекта Лензе— Тирринга для Солнца, включая радиослежение с Земли за двумя свободными от сноса спутниками, находящимися на полярных орбитах с противоположным направлением движения вокруг Солнца. К сожалению, эти возможности совершенно нереальны по экономической и другим причинам. Значительно более практичную и независимо разработанную схему предложили Ван Паттен и Эверитт [38], которые предполагают поместить такие спутники на орбите вокруг Земли. Кроме того, они рассмотрели радиолокационную связь между двумя спутниками, устанавливаемую для достижения большей точности во время близких прохождений, которые будут иметь место над полюсами.

Вследствие наличия члена а-3 в выражении для Qlt, который хотя и мал, но не является пренебрежимым, прецессия узла, согласно предсказаниям, составляет около 0,2" за год для спутника с высотой орбиты 800 км над поверхностью Земли. Для того чтобы обнаружить Ult, необходима крайняя тщательность, особенно ввиду наличия значительно большего влияния на прецессию узла, обусловленного, например, второй зональной гармоникой гравитационного поля Земли. Однако, выдерживая наклонения орбиты вблизи полюса и точно определяя их значения, можно оценить ожидаемый вклад второй зональной гармоники в полную прецессию узла с достаточной точностью. (Напомним, что этот вклад для точно полярной орбиты обращается в нуль; поэтому, обеспечив малость эффекта, можно уменьшить чувствительность результата по отношению к неточности величины этой гармоники.) Радиослежение на линии Земля — спутник позволяет определить полную скорость прецессии узла; тогда разность приближенно будет равна сумме Йы и малого вклада от так называемой геодезической прецессии. Эта последняя прецессия, составляющая около 0,02" за год, обусловлена релятивистским влиянием Солнца на орбиты Земли и спутника. Конечно, существует много других факторов, которые следует рассмотреть, включая другие гармоники гравитационного поля, приливные ускорения и ограничения,

обусловленные системой слежения. Ван Паттен и Эверитт [38] рассмотрели все эти факторы и пришли к выводу, что такой подход может быть использован для обнаружения увлечения инерциальных систем, предсказываемого общей теорией относительности.

Другой связанный с предыдущим эксперимент был предложен ранее Шиффом [30] и независимо Пью [59]. Каждый из них предложил поместить на земную орбиту гироскоп для измерения действия вращения Земли на направление его спина. Вычисления показывают, что для гироскопа на эллиптической орбите около массивного сферически-симметричного центрального тела средняя скорость изменения направления оси гироскопа ns дается выражением

п$ = 9 2 3 !rz' nV, t"= X П5 + 3 (n0 • nJ (n0 x nJ], (15)

где новые величины nc и n0 — единичные векторы в направлениях вектора спина центрального тела и нормали к плоскости орбиты гироскопа соответственно. Усредненный вклад от геодезической прецессии равен

s ~ (1 - е^1 0 Х " (16>

где М — масса центрального тела.

Для искусственного спутника на полярной орбите около Земли с высотой 800 км общая теория относительности предсказывает для величины п$ значение 0,05" за год; соответствующее значение ns составляет около 7" за год, а ее направление ортогонально направлению пд для полярной орбиты. Некоторые другие теории гравитации предсказывают числовые значения, лишь незначительно отличающиеся от приведенных. Например, теория Бранса — Дикке [4] предсказывает результаты, отличающиеся менее чем на 1°/о для значений параметра со больше 100 (см. разд. 9).

Экспериментальное определение п5 и даже ns представляет огромные технические трудности. Нужны гироскопы со скоростями дрейфа значительно ниже 0,05" за год и средства для слежения за объектом со сравнительно малой неточностью. Исследователи из Стэнфорда, возглавляемые Фэйрбэнком и Эвериттом, активно разрабатывают необходимую аппаратуру уже около 15 лет. Они весьма искусно использовали криогенную технику в своих разработках и решили много технических задач. Их гироскопическое устройство состоит из однородного шарика очень высокой степени сферичности диаметра 4 см, изготовленного из плавленого кварца и покрытого тонкой плен-

кой ниобия, являющегося сверхпроводником. Шарик помещается в сферический кварцевый контейнер и электростатически подвешивается в нем путем приложения соответствующих напряжений по трем взаимно перпендикулярным осям. Первоначально раскрученный струями газа шарик помещается в область чрезвычайно слабого магнитного поля (менее 2-Ю-7 Гс), и за направлением его спиновой оси следят по его магнитному моменту Лондона с помощью трехосной магнитной считывающей системы, основанной на использовании сверхпроводящих квантовых интерферометрических датчиков (СКВИДов). Такой метод необходим вследствие высокой степени сферичности и однородности шарика, что в свою очередь необходимо для уменьшения до требуемого уровня нежелательных гравитационных моментов.

Значительный прогресс уже достигнут в разработке лабораторных моделей как гироскопа, так и новой телескопической системы, предназначенной для слежения за реперными звездами. Тем не менее осталось еще решить несколько технических задач, и в данный момент трудно предсказать, когда может быть проведен этот эксперимент в космосе1).

Заключение

Какие выводы можно сделать из всей совокупности экспериментов в солнечной системе? Комбинируя различные оценки для параметров ППН-формализма, получаем следующие значения Y и р:

Y = 1,002 ± 0,004, 0= 1,000 ±0,004 (17)

с корреляцией в этих оценках меньше 0,5. Эти результаты дают замечательное подтверждение предсказаний общей теории относительности. Возникает вопрос: какую из альтернативных теорий гравитации в результате этого следует считать несостоятельной? К сожалению, никакую. Все другие широко обсуждавшиеся и анализировавшиеся теории гравитации, такие, как теория Бранса и Дикке [4] или теория Розена [28], обладают особым свойством: их предсказания либо согласуются, либо могут быть согласованы с предсказаниями общей теории относительности в постныотоновском приближении. Во многих из этих теорий согласие обеспечивается выбором соответствующего значения надлежащего свободного параметра, такого, как у (таких параметров в общей теории относительности нет). Например, скалярно-тензорная теория Бранса и Дикке содержит

!) Относительно современного состояния эксперимента см. работу [60].— Прим, перев.

лишь один дополнительный параметр — безразмерную константу со (>0), связанную с у соотношением

V = (<d+1)/(<d + 2). (18)

Поскольку отклонение у от единицы ограничено значением 0,4%, о) должно быть больше, чем 200, так как со ^ (I —у)-, когда 0 < 1 —у <С 1. Но независимо от точности эксперимента нельзя доказать, что данная теория несостоятельна при условии, что общая теория относительности дает правильное описание гравитации на этом уровне точности. Только доказательство ошибочности общей теории относительности при проведении экспериментов, чувствительных к постпостньютоновским эффектам, позволит сделать обоснованный выбор между конкурирующими теориями.

Каковы перспективы экспериментов в солнечной системе в ближайшем десятилетии? Вероятно, смогут быть обнаружены постпостньютоновские эффекты, но такие эксперименты, как и менее тонкие, будут весьма дорогими. Возможно, главные экспериментальные достижения следующего десятилетия будут получены в «чистой» лаборатории, открытой вдали от солнечной системы. Обнаружение и исследование компоненты двойного пульсара позволило бы, по-видимому, рассматривать такую систему как искомую лабораторию для проверки общей теории относительности. Возможно также, что обнаружение гравитационных волн не только предоставит нам новое средство для проверки этой теории, но и откроет новое окно для дальнейшего исследования Вселенной.

В более отдаленном будущем с уверенностью можно ожидать появления экспериментально подтвержденных отклонений от предсказаний общей теории относительности. Окончательный синтез гравитационных и квантовых явлений несомненно приведет к экспериментальным следствиям, не предусматриваемым или не предсказываемым теорией Эйнштейна. Сам Эйнштейн, без сомнения, приветствовал бы такой прогресс.

ЛИТЕРАТУРА

Cohen М. R., Drabkin L Е., A Source Book in Greek Science, McGraw-Hill, New York, 1948, p. 217.

Counselman С. C. et al., Phys. Rev. Lett., 33, 1621 (1974).

Dicke R. H., Goldenberg H. M., Astrophys. J. SuppL, 27, 131 (1974).

p. Dicke R. H., Peebles P. J. E., Nature, 202, 432 (1964).

Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. London, A165, 199 (1938).

Everitt C. W. F., DeBra D., JPL Publ. 78-70, 60 (1978).

Fomalont E. B., Sramek R. A., Phys. Rev. Lett, 36, 1475 (1976).

Hafele J. C., Keating R. E„ Science, 177, 166, 168 (1972).

Haugan Л1., Will C., Phys. Rev. Lett, 37, 1 (1976).

Hill H. A., Stebbins R. T., Astrophys. J., 290, 471 (1975).

Hulse R. A., Taylor J. H., Astrophys. J. Lett., 191, L59 (1974).

King R. W. et al., J. Geophys. Res., 83, 3377 (1978).

Lense J., Thirring H., Phys. Zs., 19, 156 (1918).

Leverrier U. J. J., Ann. Observ. Imper. (Paris), 5, 19 (1859).

Miller L., Ph. D. Thesis, MIT, Cambridge, Massachusetts, 1971.

Nordtvedt K., Phys. Rev., 169, 1017 (1968).

Pound R. V., Snider J. L, Phys. Rev., B140, 788 (1965).

Reasenberg R. D., Shapiro I. I., Atomic Masses and Fundamental Constants, vol. 5, eds. Saunders J. H. and Wapstra A. H., Plenum Press, New York, 1976, p. 643.

Reasenberg R. D., Shapiro I. I., Gravitazione Sperimentale, ed. Bertotti B., Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, 1977, p. 143.

Reasenberg R. D., Shapiro I. L, JPL Publ. 78-70, 19 (1978).

Reasenberg R. D., Shapiro I. I., An Optical Interferometer in Earth Orbit for Testing General Relativity, в печати.

Reasenberg R. D. et al, Astrophys. J., 234, 219 (1979).

Rosen N., Ann. Phys. (USA), 84, 455 (1974).

Schiff L. L, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 45, 69 (1959).

Schiff L. I., Phys. Rev. Lett, 4, 215 (1960).

Shapiro I. L, Phys. Rev. Lett., 13, 789 (1964).

Shapiro I. I., Science, 157, 806 (1967).

Shapiro I. I. et al., Astron. J., 76, 588 (1971).

Shapiro I. I. et al., Phys. Rev. Lett, 36, 555 (1976).

Shapiro I. I. et al, J. Geophys. Res., 82, 4329 (1977).

Texas Mauritanian Eclipse Team, Astron. J., 81, 452 (1976).

Van Flandern T. C., Sci. Amer., 234, 44 (1976).

Van Patten R. A., Everitt C. W. F., Celest. Meeh., 13, 429 (1976).

Vessot R. F. C., Levine M. W., in: Gravitazione Sperimentale, ed. Bertotti B., Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, 1977, p. 371.

Will С. M. — in: Experimental Gravitation, ed. Bertotti B., Academic Press, New York, 1974, p. 1.

Will С. M., Proc. Roy. Soc. London, A368, 5 (1979).

Williams J. G. et al, Phys. Rev. Lett, 36, 551 (1976).

. Брагинский В. Б., Манукин А. Б. Измерение малых сил в физических экспериментах. — М.: Наука, 1974.

. Дикке Р. В кн.: Гравитация и относительность/Под ред. X. Цзю, В. Гоффмана. — М.: Мир, 1965, с. 49—72.

. Мизнер Ч., Торн К.» Уилер Дж. Гравитация. В 3-х томах. — М.: Мир, 1977.

46*. Аллей Ч. и др. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979, с. 575.

47*. Vessot R. F. С., Levine М. W., Gen. Rei. Gravit, 10, 181 (1979).

48*. Vessot R. F. C. et al., Phys. Rev. Lett., 45, 2081 (1980).

49*. Jaffe J., Gen Rei. Gravit., 6, 55 (1975).

50*. Jaffe J., Vessot R. F. C., Phys. Rev., D14, 3294 (1976).

51*. Михайлов A. A. — Письма в Астрон. ж., 1960, т. 6, № 1, с. 58—60,

52*. Forbes F. F. et al., Abstracts of Contributed Papers for the Discussion Groups, GR-9 conference, FSU, Jena, 1980, vol. 2, p. 353.

53*. Epstein R., Shapiro I. I., Phys. Rev., D22, 2947 (1980).

54*. Котельников В. А. и dp.— Астрой. ж., 1979, т. 56, вып. 2, с. 405—411.

55*. Newcomb S., Astronomical Papers of the American Ephemeris, 1, 363 (1882).

56*. Манчестер P., Тейлор Дж. Пульсары. — M.: Мир, 1980.

57*. Руденко В. Н.— Вести. МГУ. Сер. физ., астрой., 1979, т. 20, № 5, с. 83— 86.

58*. Панов В. И., Фронтов В. Н. — ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 5, с. 1701—1707.

59*. Pugh G. Е., WSEG Research Memorandum № 11, The Pentagon, Washington, 25 D. C., 12 Nov. 1959.

60*. Lipa J. A., Gravitational Radiation, Collapsed Objects, and Exact Solutions, ed. Edwards C., Springer, Berlin, 1980, p. 427.

7Поиск гравитационных волн

Э. Амальди, Г. Пиццелла *)

Введение

Возможное существование гравитационных волн было впервые предсказано Альбертом Эйнштейном в работе [59], представленной в Королевскую Прусскую академию наук на заседании ее физико-математической секции, состоявшемся в Берлине 22 июня 1916 г. В работе, озаглавленной «Приближенное интегрирование уравнений гравитационного поля», показывалось, что уравнения гравитационного поля, которые он предложил несколько ранее [58], могут быть решены в первом приближении, т. е. когда метрический тензор g^ может быть представлен в виде

g|lV = ^|1V ”Ь ^|1V»(1*1^)

где t^v— гелилеев метрический тензор, т. е.

1

0

0

0

0

-1

0

0

Лцу —

0

0

-1

0

•(1.16)

0

0

0

-1

а неизвестные величины h^ столь малы по сравнению с единицей:

1 A^v I С L(1.1в)

что их квадратами и произведениями можно пренебречь. Эйнштейн утверждает в начале своей работы, что в этом приближении величины h^ «могут быть рассчитаны методом, похожим на используемый для запаздывающих потенциалов в электродинамике. Тогда отсюда следует, что гравитационное поле распространяется со скоростью света». После этого замечания Эйнштейн посвящает первый раздел своей работы [59] получению решения уравнений гравитационного поля в первом приближении и применяет его для расчета гравитационного поля покоящейся точечной массы. Второй раздел работы

Е. Amaldi, G. Pizzella, институт физики им. Г. Маркони, Римский университет,

посвящен обсуждению «плоских гравитационных волн», а третий и последний — уменьшению энергии системы движущихся масс вследствие излучения гравитационных волн.

В этом последнем разделе он получает среди прочих результатов выражение для энергии, излучаемой в полном телесном угле 4л. Это выражение с небольшими несущественными изменениями в обозначениях может быть представлено в современной удобной форме

(1-2) где

G = 6,670- 10~8см3/г • с2 (1.3)

— гравитационная постоянная и

Dlk=^p^XiXk-l?>jkx^dV, (/,£=1,2,3) (1.4) — тензор квадрупольного момента источника (р — плотность массы). В этом месте Эйнштейн отмечает, что излучаемая энергия «во всех мыслимых случаях должна иметь практически исчезающе малое значение».

Во второй работе, представленной на заседании, состоявшемся в Берлине 31 января 1918 г., и озаглавленной «О гравитационных волнах» [60], Эйнштейн снова анализирует ту же проблему более тщательным образом. Он исправляет расчетную ошибку в выражении для излучаемой энергии и добавляет раздел, посвященный действию гравитационных волн на механические системы, получая выражение для поглощаемой энергии падающей волны. Она чрезвычайно мала. Однако это дает последнюю деталь, необходимую для полного описания гравитационных волн — их поглощение механической системой (детектором) после испускания источником и распространения в пространстве. Установлены и подчеркнуты также их поперечный характер и существование двух состояний поляризации.

Весьма малая величина излучаемой энергии и ее чрезвычайно слабое поглощение веществом объясняют, почему через 60 лет наблюдение гравитационных волн все еще является предметом дискуссий.

В последнем разделе той же работы Эйнштейн отвечает на критическое замечание Леви-Чивиты [100], касающееся выражения, использованного им при формулировке закона сохранения энергии-импульса в присутствии гравитационного поля. Оно содержит объекты с двумя индексами (обозначим их /uv), которые не преобразуются как тензоры второго ранга. Эйнштейн признает математическую корректность замечания и добавляет: «Я не вижу, однако, почему мы должны приписывать физиче-

ский смысл только величинам, преобразующимся как тензоры». Действительно, эйнштейновские величины t^ были первым примером псевдотензоров), появляющихся в теории, а обмен взглядами между Эйнштейном и Леви-Чивитой был прологом длинных дискуссий относительно более подходящего распространения на общую теорию относительности законов сохранения, справедливых в механике и электродинамике плоского пространства ).

Только в 1922 г. проблема излучения гравитационных волн была пересмотрена Эддингтоном [57], который в основном интересовался скоростью их распространения. Он установил, что она всегда равна скорости света для плоских волн, так же как и для волн, расходящихся от малого источника. Он также рассчитал энергию, излучаемую стержнем, вращающимся с максимальной угловой скоростью, сравнимой с пределом прочности на растяжение твердого тела, и нашел, что по порядку величины она та же, что и для атома водорода, рассматриваемого классически. Эта величина так мала, что исключает возможность наблюдения даже в далеком будущем излучения гравитационных волн любой искусственно созданной на Земле механической системой. Эддингтон также рассчитал энергию, излучаемую двойной звездой, и нашел, что, хотя она значительно больше, чем в предыдущих случаях, все же значительно ниже любого разумного предела наблюдаемости, особенно для техники, имевшейся в двадцатые годы.

Гравитационные волны оставались в течение более чем 30 лет в основном предметом математического рассмотрения, особенно в связи с проблемой правильной формулировки законов сохранения в присутствии гравитационных полей [152].

Определение относительного ускорения свободных пробных частиц в качестве возможного метода измерения тензора Римана было предложено Пирани [130]. Несколькими годами позднее Бонди [26] и Вебер [158] рассмотрели гармонический осциллятор, образованный двумя массами, связанными пружиной, в качестве возможного детектора гравитационных волн. После этого Вебер приложил большие усилия, чтобы перенести проблему гравитационных волн в область наблюдаемых физических явлений [160—162].

После девяти лет весьма трудной и квалифицированной работы Вебер [163—167] сообщил о наблюдении совпадений между показаниями двух детекторов, один из которых находился

в Мерилендском университете, а другой — в Арагонской национальной лаборатории на расстоянии 1000 км от первого [61, 142].

Сообщение об этом результате, полученном через 53 года после первой работы Эйнштейна, всюду произвело большое впечатление, и новые эксперименты, весьма похожие на веберовские, были начаты в СССР, Европе, США и Японии.

Все эти эксперименты, однако, не подтвердили результат Вебера. Они резюмированы в разд. 9.1 (табл. 9.1), где также приведены некоторые данные об экспериментальных установках.

Несмотря на все эти отрицательные результаты, поиск гравитационных волн не был полностью прекращен. Уже в 1970 г. несколько групп в разных частях света начали разрабатывать новые детекторы, более чувствительные, чем все использовавшиеся ранее, которые мы будем называть детекторами «второго поколения». Основанием для возобновления этих попыток является привлекательность проблемы и изобретательность методов, предложенных и развитых Вебером и др.; методов, которые могут быть далее усовершенствованы и подняты на более высокий уровень. Основанием для подобных попыток служат также результаты некоторых теоретических предсказаний, сделанных разными астрофизиками.

Последним очень трудно интерпретировать энергию и статистику появления совпадений, наблюдавшихся Вебером, с точки зрения событий, которые, согласно нашим современным представлениям, имеют место в галактиках. Астрофизики, однако, полагают, что среди различных классов событий должно присутствовать и излучение гравитационных волн очень малой интенсивности и с очень малой статистической частотой повторений, которые тем не менее могут быть сделаны доступными наблюдению с помощью различной техники, усовершенствованной до экстремальных пределов.

Обзор современного состояния вопроса о поиске гравитационных волн является центральной частью данной работы. При этом основное внимание уделяется резонансным детекторам, которые в настоящее время достигли более высокого уровня развития, и работам, выполненным в Риме авторами и их сотрудниками, как практическим примерам уровня, достигнутого соответствующей техникой и методами к 1977 г.1)

Чтобы представить материал в форме, удобной для возможных читателей-неспециалистов, в разд. 2 резюмируются главные особенности гравитационных волн, как они представляются в рамках теории Эйнштейна. В разд. 3 обсуждаются источ-

ники гравитационных волн, а в разд. 4— детекторы. После некоторого общего рассмотрения мы концентрируем наше внимание на резонансных детекторах и даем описание всех детекторов, действующих, разрабатываемых и даже предлагавшихся до 1977 г.1). Разумеется, это является весьма сложной проблемой, решение которой имеет особую важность для успешного детектирования гравитационных волн средних частот.

Апериодические детекторы лишь кратко рассматриваются в разд. 4.2 для средних частот и в разд. 4.3 для сверхнизких частот гравитационных волн.

В разд. 4.5 обсуждается проблема многомодового детектирования, которая может приобрести важность в будущем.

Три заключительных раздела посвящены изложению трех фундаментальных аспектов резонансных детекторов, которые детально рассматриваются для случая антенн веберовского типа, снабженных пьезоэлектрическими или аналогичными датчиками. К ним относятся проблема эквивалентной цепи (разд. 5), проблема шума (разд. 6) и проблема анализа данных (разд. 7). Оправданием такой специализации предмета является то, что общее рассмотрение неизбежно должно уменьшать конкретность, тогда как при детальном рассмотрении частного случая дается схема, которая позволяет выяснить все аспекты общей проблемы, даже если представленные математические выражения справедливы только для рассматриваемого случая.

Раздел 8 посвящен анализу чувствительности антенн и работе на совпадениях двух или более гравитационно-волновых лабораторий. В разд. 9 рассмотрены эксперименты. Он делится на три подраздела, посвященных экспериментам первого поколения (9.1), подготавливаемым экспериментам (9.2) и максимальным пределам чувствительности резонансных детекторов (9.3).

Основные свойства гравитационных волн

Как показано в любом учебнике по общей теории относительности [96, 108, 136, 140, 145, 159}, эйнштейновские уравнения поля

^nv "^ g^vR= с4 ^v (2.1а)

выражают тензор Риччи R^ (сверткой которого является R = g^R^) через тензор энергии-импульса материи Т^,

который удовлетворяет условию *) ^;v=°- (2.16)

Уравнения (2.1а) являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных относительно 10 неизвестных компонент (симметричного) метрического тензора g№ определяемого соотношением

ds = g^v dx^ dxN.

Такая структура становится понятной, если вспомнить, что тензор Риччи является нелинейной комбинацией из коэффициентов связности F^v и их производных2):

/?ЦУ = Г"у. а - Г^. v + Г“уГ?р - Г^Г^р (2.1 в) и что коэффициенты связности в свою очередь являются нелинейными комбинациями из g^ и их первых производных:

г:. - 7 Й" (^ , + ?„ „ - 8.., ,)• (2.1г)

Напомним также, что тензор Риччи является сверткой (/?nv = /?gav) тензора кривизны, или тензора Римана

пХ рХ рХ। рХ рТ)рХ рЧ

Auav — 1 цу, a 1 ца, v г 1 ла1 цу A ца»

В приближении слабого поля (1.1) получается линеаризованная теория, которая игнорирует крупномасштабную фоновую кривизну) и описывает гравитацию полем симметричного тензора второго ранга h^, настолько малого, что без значительного ограничения точности можно сохранять только линейные члены. Линеаризованные выражения для коэффициентов связности и тензора Риччи имеют вид

Гар = у (Аа, Р + Ар, а — Аар’Ц),

^^ = "2 (.^ц . va 4~ Av , ga AgV1 a A, gV),А = h\ =

так что уравнения Эйнштейна (2.1а) принимают форму

h q i A a A a А(А • °^ А 16лС

"ца. v г ^уа» ц 'цу»а цу Чцу V*Xp ri* ^)— сх 1 цу

0 Индекс v после точки с запятой обозначает, как обычно, ковариантную производную относительно xv.

После преобразования

(2.2a)(2.26)(2.2a)(2.26)ИЛИИЛИAgV — h^ 2 ^gv^AgV — h^ 2 ^gv^Agv “ ^iv 2* ^HV^

(2.2a)

(2.26)

(2.2a)

(2.26)

ИЛИ

ИЛИ

AgV — h^ 2 ^gv^

AgV — h^ 2 ^gv^

они принимают более простой вид

г а„ 71 иР । С о I l ci 16л(?

1 ”gv, аHgv^ap. Т^а, v г ^va. цс4 2 gv> \^‘W

где первый член совпадает с обычным даламбертианом в плоском пространстве, а другие члены обеспечивают калибровочную инвариантность уравнений. Без ограничения общности можно наложить калибровочные условия

A““.a = 0. (2.4)

Они аналогичны лоренцевой калибровке для электромагнитного поля Аа, a = 0. При этом уравнения (2.3) принимают вид

Г. а _ „ с _ ( д11 дг^Е . 16лС m/печ

— Agv. a= □«gv”^^! ^Г ^F J «gv — ~7«~ 7 gv(2.0)

Уравнения (2.4), (2.5) и

(2.6)(2.6)5gv = ^gv “Ь Agy ~ ^gv + Agy ^ 4gV^

(2.6)

(2.6)

являются фундаментальными уравнениями линеаризованной теории в лоренцевой калибровке.

Четыре условия (2.4) сводят десять компонент AwV к шести независимым. Они зависят от выбора системы координат. Но она не фиксируется однозначно условиями Лоренца (2.4), поскольку последние остаются неизменными при преобразовании

Agv -* Ацу + Og, у -(- Оу, g или

Ацу->Ац» + ои.у + иу. g ^gv^ .g,(2.7а)

где Vg — четыре произвольные функции, достаточно малые, чтобы оставить в силе соотношение |^uv| ^ 1, для которых выполняются условия

fg.aa = 0.(2.76)

Надлежащим выбором Vg (ц = 0, 1, 2, 3) компоненты AgV могут всегда быть сведены к двум независимым, соответствующим двум степеням свободы, т. е. двум состояниям поляризации. Мы вернемся к этому вопросу при обсуждении монохроматических плоских волн и их поляризации.

Распространение гравитационных волн в вакууме

Уравнения, описывающие гравитацию в пустом пространстве-времени, получаются из уравнений (2.5), если положить = 0. Мы получаем

£^ = 0,(2.8)

е. обычные уравнения распространения с дополнительными условиями (2.4). Простейшими решениями являются монохроматические плоские волны

й^ = Ке[Л^ехр(1‘А!ахо)],(2.9)

которые удовлетворяют уравнениям (2.5), если волновой вектор удовлетворяет условию

Ма = о,

е. ка должен быть светоподобным вектором, так что, как и в случае электромагнитного поля !),

(D = feo = ^х + к^у + к^ \

и волны распространяются со скоростью с в направлении (кх, ку, kz) (к^.

Условия Лоренца (2.4) после подстановки (2.9) в (2.4) для случая монохроматических плоских волн принимают вид

А^ка = 0,(2.10)

е. они дают четыре условия ортогональности между ка и Лца, которые, как мы видели в предыдущем разделе, сводят число независимых компонент h^ к шести.

Для случая монохроматических плоских волн, если рассматривать Цц как компоненты плоской волны амплитуды Уц, постоянной во всем пространстве-времени, условия (2.7) принимают вид

4v 4v + ^g^v + ^g - WX- (2.11)

При надлежащем выборе Vu для любой фурье-компоненты, а поэтому и для всех h^) можно получить

Ацо = О, й^ = 0.(2.12а)

(2.126)(2.12в)(2.13а)(2.136)(2.126)(2.12в)(2.13а)(2.136)Это дает

(2.126)

(2.12в)

(2.13а)

(2.136)

(2.126)

(2.12в)

(2.13а)

(2.136)

А = 0, и, согласно (2.26),

Уравнения (2.12а) сводятся к

Ацо= О»

^kk = 0.

Уравнение (2.13а) подразумевает, что только пространственные компоненты hUN отличны от нуля, а уравнение (2.136)—что пространственные компоненты обладают нулевым следом. Путем такого выбора мы определили поперечную калибровку со следом, равным нулю (ТТ-калибровку) [108], которая является наиболее удобной калибровкой для исследования распространения волн в вакууме.

В этой калибровке тензор А^ имеет только две независимые компоненты, а пространственно-временнйе компоненты тензора кривизны, или тензора Римана,

RjOkO = Ro iok = — R/ook — — Rojko

имеют особенно простой вид

р — х hTT —1 d2/t^ —1 hTT /о 141

Rj0k0 = — У nik,oo = — 2^-—gif = — 2^2 "/»•(2.14)

Поскольку тензор кривизны калибровочно инвариантен, из (2.14) следует, что число компонент h^ не может быть уменьшено до меньшего числа, чем их имеется при ТТ-калибровке.

При дополнительном предположении, что волна распространяется вдоль направления х, тензор h^ сводится к

f о о о оf о о о о«тт"gv«тт"gvООО0 0 НууООО0 0 Нуу0 0 hy2 hyy0 0 hy2 hyyо ^yzо ^yzhyy hyzhyy hyz

f о о о о

f о о о о

«тт

"gv

«тт

"gv

ООО

0 0 Нуу

ООО

0 0 Нуу

0 0 hy2 hyy

0 0 hy2 hyy

о ^yz

о ^yz

hyy hyz

hyy hyz

(2.15a)(2.156)(2.15a)(2.156)

(2.15a)

(2.156)

(2.15a)

(2.156)

и плоская волна (2.9) расщепляется на две компоненты

h+ = Re { А+ exp [- to (/ - 7)]}.hx = Re { Ax exp[— to (/ — 7)] }.

соответствующие двум поперечным независимым состояниям поляризации с амплитудами

А+ = е+А+, Ах = ехЛх,(2.16а)

где А+, Лх—скаляры а е+, ех — тензоры второго ранга:где А+, Лх—скаляры а е+, ех — тензоры второго ранга:(2.166)(2.166)

где А+, Лх—скаляры а е+, ех — тензоры второго ранга:

где А+, Лх—скаляры а е+, ех — тензоры второго ранга:

(2.166)

(2.166)

определяющие поляризацию согласно изложенному в разд. 2.3. Наиболее общая плоская гравитационная волна, распространяющаяся в направлении х, всегда может быть выражена как линейная комбинация этих двух состояний с ортогональной поляризацией (или двух других состояний, эквивалентных им).

Геодезическое отклонение свободно падающихпробных частиц и колебания механических пробныхосцилляторов, вызванные гравитационными волнами

Перейдем теперь к обсуждению эффектов, вызываемых действием гравитационных волн на пробные частицы, находящиеся в области их распространения. Два случая заслуживают специального рассмотрения, поскольку они соответствуют двум возможным классам детекторов: случай двух свободно падающих пробных частиц и случай двух пробных частиц, взаимодействующих посредством негравитационных (например, упругих) сил, так что они образуют механический осциллятор.

Как мы выясним ниже, в общем случае волновая часть Auv метрического тензора гравитационной волны вызывает колебания расстояния между двумя пробными частицами.

Случай двух свободно падающих частиц [159]

Обозначим через А и В две частицы (рис. 2.1) и предположим, что до прихода гравитационной волны расстояние между ними очень мало.

Для рассмотрения периодического изменения расстояния между частицами с точки зрения, например, частицы А введем ее собственную систему отсчета следующим образом. Свяжем с А: 1) начало пространственных координат х'= 0, где поместим воображаемые часы для измерения собственного времени ст = х°; 2) три воображаемых гироскопа, определяющих направления ортогональных пространственных осей системы отсчета. Такая координатная система является локальной лорен- цевой вдоль всей мировой линии частицы А. Когда гравита-

Рис. 2.1. Мировые линии двух свободно падающих частиц, находящихся под действием гравитационной волны [108].Рис. 2.1. Мировые линии двух свободно падающих частиц, находящихся под действием гравитационной волны [108].

Рис. 2.1. Мировые линии двух свободно падающих частиц, находящихся под действием гравитационной волны [108].

Рис. 2.1. Мировые линии двух свободно падающих частиц, находящихся под действием гравитационной волны [108].

ционная волна пересекает траектории обеих свободно падаю

щих частиц, волновая часть ее метрического тензора вызывает периодические изменения вектора п* = х'^ — х^Д) разделяющего

частицы, который предполагается очень малым. Изменение п<*

в зависимости от собственного времени описывается уравнением [159}

D2^ , „и dxA в dx\ . ._ .

Dr2 + R ар? n ~^Г = 0» (2-17а) где D/Dx — абсолютная производная. Уравнения (2.17а), известные как уравнения геодезического отклонения, должны быть справедливы в точкех^ = 0, где Г^ исчезают для всех х°, так что dY^/dx также равны нулю. Таким образом, абсолютные производные совпадают с обыкновенными производными, и уравнения (2.17а) -приводятся к виду

-^=-RLxkB, (2.176) где все величины измерены в собственной системе отсчета частицы А (рис. 2.1). Существует тем не менее ТТ- координатная система, которая с точностью до первого порядка относительно возмущений йГ метрики движется вместе с частицей Л и ее собственной си-

стемой отсчета.

С точностью до первого порядка по й/Т ТТ-координатное время / совпадает с собственным временем т. В результате уравнения (2.17) принимают вид

^Х^k 1 ^ik k

др —RotoX в"2^2" др Хв(2.18)

и являются уравнениями движения частицы В в собственной системе отсчета частицы А, когда на них падает- гравитационная волна hjk. Если частица В покоится и находится на малом расстоянии х*(0) от частицы А до того момента / = т = 0, когда они подвергаются действию волны, то

(2.19)(2.19)*в(т) ~ хкв (0) (бм + j й/Г)в ^_о.

(2.19)

(2.19)

Из (2.10) и (2.12а) следует, что если вектор Хд, разделяющий частицы, лежит в направлении распространения волны, то

колебания отсутствуют:

к"хв (0) - /$У = 0.(2.20)

Таким образом, единственными компонентами х^(т), осциллирующими с течением собственного времени, являются компоненты, поперечные по отношению к вектору распространения волны hL Изменения этих компонент отражают изменения hTjk ^ hjk в начале пространственных координат х^ = 0.

Случай двух частиц, взаимодействующихпосредством негравитационных сил

Рис. 2.2. Две точечные массы А и В, соединенные невесомой пружиной, образуют осциллятор, чувствительный к гравитационным волнам.Рис. 2.2. Две точечные массы А и В, соединенные невесомой пружиной, образуют осциллятор, чувствительный к гравитационным волнам.Этот случай иллюстрируется на рис. 2.2 идеализированной системой, в которой соединяющая две точечные массы А и В невесомая пружина представляет негравитационное взаимодействие.

Рис. 2.2. Две точечные массы А и В, соединенные невесомой пружиной, образуют осциллятор, чувствительный к гравитационным волнам.

Рис. 2.2. Две точечные массы А и В, соединенные невесомой пружиной, образуют осциллятор, чувствительный к гравитационным волнам.

В данном случае осцилляции расстояния между двумя массами рассматриваются с точки зрения их центра масс О, для которого, как в разд. 2.2.1, определяем собственную систему отсчета с тем отличием, что вместо точки А начало поместим в точку О. Если осциллятор ускоряется (т. е. не находится в свободном падении), то гироскопы, введенные для выделения направлений пространственных осей, также должны ускоряться соответствующей силой, приложенной к

центру масс каждого из них, так что к системе в целом и любой ее части не будут приложены моменты сил [108].

В рассматриваемом случае уравнения (2.17а) заменяются уравнениями, впервые полученными Вебером [159]:

D^n^ । пц, dxa в dx^ 1 рц 6/о О1\

+— — — F -^1 .(2.21)

где F^ есть 4-сила, которая представляет негравитационное взаимодействие частиц А и В. В общем случае F^ имеет электромагнитное происхождение, поскольку разные части пружины связаны между собой электромагнитными силами. В ojcyTCT- вие гравитации (R^a^ = 0) электромагнитные силы, действующие на каждую часть осциллятора, уравновешиваются, и F^ исчезает, так что ускорение отсутствует. В статическом поле

тяготения (Л^ару постоянны во времени) осциллятор меняет свою длину до тех пор, пока неуравновешенные электромагнитные силы не компенсируют точно это статическое гравитационное поле.

Например, упругое тело в гравитационном поле Земли будет слегка сжиматься в горизонтальном направлении вследствие неоднородности поля, что отражается в наличии ненулевых компонент тензора Римана.

Представляет интерес случай, когда /?цару меняется со временем, поскольку это вызовет изменения со временем двух других членов в уравнении (2.21). Это означает, что в данном случае будут наблюдаться ускорения обеих масс А и В осциллятора, по которым с помощью уравнений (2.21) можно вычислить Л^аЗу.

Более сложный вопрос, относящийся к уравнениям (2.21), который осталось выяснить, состоит в следующем. Созданная пружиной сила F^, действующая между частицами А и В> имеет электромагнитную природу. Поскольку, как известно, гравитационные волны взаимодействуют также с электромагнитным полем, то можем ли мы исключить на атомном уровне существование эффектов, даже более значительных, чем уже рассмотренный, т. е. ускорение точечных масс из-за изменения тензора кривизны со временем? Другими словами, можем ли мы исключить возможность того, что приходящая гравитационная волна, взаимодействующая с электромагнитным полем, осуществляющим (благодаря зарядам и спинам) взаимодействие между электронами и ядрами в болванке, вызывает заметное скачкообразное изменение ^F^ жесткости пружины, т. е. эффект, не учтенный в уравнениях (2.21)? Эта сложная задача, включающая как квантовую механику, так и общую теорию относительности, является частным случаем более общей проблемы о взаимосвязи уравнений Максвелла и Эйнштейна. Пионерские работы по данному вопросу принадлежат Герценштей- ну [71, 137], а с учетом других аспектов — Сушкову и Хрипло- вичу [147, 174]. В физико-математическом плане общее исследование данной проблемы было дано Дзерилли [98, НО—112, 169, 175], который впервые проанализировал с полной общностью всю совокупность возмущений уравнений Эйнштейна — Максвелла.

Конкретные эффекты были проанализированы Руффини с сотрудниками). Из этого общего рассмотрения следует

совершенно общий вывод, что отношение AF^/f^ сил электромагнитной природы к приливным силам, описываемым вторым членом в левой части уравнений (2.21), имеет величину порядка отношения плотности электромагнитной энергии к плотности гравитационной энергии (включая энергию покоя). Этот результат согласуется с выводами Бохна [27], полученными из полукачественного анализа интересующей нас модели, состоящей из двух частиц с противоположными электрическими зарядами, движущимися одна вокруг другой (атом водорода). Бохн показал, что отношение AF^/fr имеет порядок отношения электромагнитной энергии связи к энергии покоя системы (т. е. ~10-10) и поэтому пренебрежимо мало.

На основе всех этих результатов можно заключить, что и в значительно более сложном случае упругих тел отношение kF^lf^ также приблизительно равно отношению электромагнитной энергии связи к энергии покоя, которым в общем случае можно пренебречь.

Только с учетом справедливости данного утверждения можно использовать уравнения (2.21) для описания движения осцилляторов типа изображенного на рис. 2.2, который, как мы покажем в разд. 4.1, моделирует резонансную антенну.

Уравнения (2.18) и (2.21) получены для очень малых (инфинитезимальных) расстояний п^ между точечными массами А и В. Они могут применяться с пренебрежимой ошибкой также для конечных значений п^, если п^ < Xg, где Xg — длина волны приходящего гравитационного излучения (Xg « сТ « 3-107см).

Если теперь представить п^ в виде

^ = ^ + ^ (2.22)

где г*1 — равновесное значение, а ^ — меняющаяся со временем часть п^, и учесть, что \dx^ldx\ = с, \dx^dx\ = и* <С с, то единственный заметный вклад дает компонента ^^оро тензора кривизны, и уравнения (2.21) могут быть переписаны в виде

тСК ороГ —- — г . (Z.Zd)

В идеализированном случае двух точечных масс А и В, помещенных на концах невесомой пружины (рис. 2.2) и расположенных вдоль z-направления (r^ = L6UZ) с центром масс в начале координат ^ = 0, негравитационная сила F^ состоит из двух частей — возвращающей и тормозящей сил:

^(/^[-ш^-^ф^, (2.24)

и уравнения (2.23) сводятся к следующему уравнению:

|z + ~ |г + ®o£z = — c^R%z^L(2.25)

или с учетом (2.14) к уравнению

I + ^-i + ^=yAzz,(2.2Q)

где для упрощения обозначений опушены верхние индексы у£гиу h™.

Поляризация гравитационных волн

Возвратимся теперь к проблеме, которую мы оставили открытой в конце разд. 2.1, т. е. к проблеме поляризации гравитационных волн (2.15), распространяющихся в направлении х.

Пусть еу и ег — единичные векторы поляризации электромагнитной теории, параллельные направлениям у и г соответственно и ортогональные направлению распространения волны:

е»е»

е»

е»

Тогда единичные тензоры линейной поляризации гравитационной волны (2.166) выражаются через еу и ez следующим об

разом:разом:6+ — Су ® Су ег ® е26+ — Су ® Су ег ® е201 00 -101 00 -1ех = Су ® ez + ez ® еу =ех = Су ® ez + ez ® еу =(2.27)(2.27)

разом:

разом:

6+ — Су ® Су ег ® е2

6+ — Су ® Су ег ® е2

0

1 0

0 -1

0

1 0

0 -1

ех = Су ® ez + ez ® еу =

ех = Су ® ez + ez ® еу =

(2.27)

(2.27)

где символ ® обозначает тензорное произведение1).

Смысл этих тензоров очевиден. Когда электромагнитная волна с единичным вектором линейной поляризации еу (ez), распространяющаяся вдоль оси х, падает на заряженную точечную частицу, последняя начинает колебаться в направлении § (2). Когда гравитационная волна с единичным тензором линейной поляризации е+ падает на небольшое круговое мате- риальное кольцо, лежащее в плоскости, перпендикулярной

*) Компоненты T = u®v равны Га^ = uav^, Га^»иао^, Та^ = иау^.

направлению ее распространения (ось х), то это кольцо с точки зрения собственной системы отсчета, связанной с его центром масс, деформируется следующим образом. Сначала оно вытягивается в направлении у и сжимается в направлении г, превращаясь в эллипс с большой осью вдоль направления у. Затем оно сжимается вдоль у и вытягивается вдоль г, превращаясь в эллипс с большой осью вдоль г, и т. д. (рис. 2.3). Легко по-

Рис. 2.3. Деформация кольца из пробных масс, вызываемая волнами с линейной и круговой поляризацией [108].

казать, что единичный тензор линейной поляризации ех для волны (2.156) аналогичен е+ (с учетом поворота на 45° вокруг направления х).

Иногда вместо тензоров е+ и ех используют единичные тензоры круговой поляризации

е« = ^(е+ + <ех), в£ = -^(е+ —/ех).(2.28)

Гравитационная волна поляризации e# (eL) вращает картину деформации пробного кольца 9 вокруг направления распространения вправо, или против часовой стрелки (влево, или по часовой стрелке) (рис. 2.3),

Описание действия гравитационной волныс помои^ъю поперечных приливных сил

Чтобы лучше понять действие гравитационной волны на механическую систему, начнем с рассмотрения плоской волны с поляризацией (2.15а), распространяющейся из бесконечно-

9 Характер описываемой деформации более подробно рассмотрен в работе [108] (с. 174-175). -Прим, перед.

сти вдоль оси х, которая встречает в плоскости х = 0 систему, состоящую из двух покоящихся масс. Из уравнения (2.20) мы уже знаем, что возможны лишь поперечные эффекты. Это очевидно также из выражения для метрического тензора

/1000

(2.29)(2.29)О -1о0

(2.29)

(2.29)

Suv I 0 о -1+ А 0

\0 О О — \—h

полученного с учетом (2.16), (2.15а) и (1.1). Лишь уу- и zz- компоненты отличаются от соответствующих компонент галилеева метрического тензора.

Если предположить, что функция h(x— с/) имеет (вообще говоря, не реализуемую) форму ступенчатой функции

{

1 при х — ct > 0, 0 при х — ct < 0

с амплитудой И, т. е. принять

h (х — ct) = hV (х — ct),

то расстояние I между двумя точечными массами в момент времени / = 0 подвергнется скачкообразному изменению на величину А/ = V — /. Новое значение V получается путем подстановки Ах° = 0 в выражение для интервала As2 между двумя точечными массами. Вычисление As2 с помощью (2.29) тривиально, если I параллельно одной из осей у или г.

Для I, параллельного оси у,

^ — ^ — Г2— — Г2 = (—1 + h)l2,

а для I, параллельного оси г,

As2 = А*02 — /,2= — V2 = (-\-Н)Р,

откуда следует, что для А С 1 в этих двух случаях имеем

r = (i-l»)i, /'-.(1+1»)/, т. е.

.(— у А ДЛЯ Щу,

— = 11(2.30)

+ у А для 11| z.

Экспериментатор, расположенный в центре масс двух частиц, наблюдает внезапное уменьшение всех расстояний в направлении у и одновременное увеличение всех расстояний в направ-

9 Зак. 203

Рис. 2.4. Силовые линии линейно-поляризованного состояния е+.Рис. 2.4. Силовые линии линейно-поляризованного состояния е+.

Рис. 2.4. Силовые линии линейно-поляризованного состояния е+.

Рис. 2.4. Силовые линии линейно-поляризованного состояния е+.

лении г. Знак этих изменении совпадает со знаком к. Читатель может убедиться, что результат (2.30) справедлив не только для ступенчатой функции, но и вообще для h^x — ct^ любого вида.

Экспериментатор будет объяснять эти изменения силами, приложенными к каждой из точечных масс. После некоторого

размышления он придет к заключению, что сила, отнесенная к единице массы, имеет компоненты

8у=^^У.gz=-^

(2.31а)

и величину

1е1=И+й)''’=

(2.316)

в согласии с более общими выводами, полученными в разд. 2.2.1. Из (2.31а) следует, что силовые линии являются

гиперболами с осями у и г в качестве асимптот (рис. 2.4). Если падающая волна периодическая или является фурье-компонен- той апериодической волны, то эти гиперболы могут рассматриваться как направленные в одну сторону в течение одного полупериода и в другую — в течение второго полупериода. Экспериментатор попытается объяснить ситуацию, сказав, что гравитационная волна вызывает поперечные приливные силы.

Волны с поляризацией (2.156) вызовут те же эффекты с тем лишь отличием, что асимптоты на рис. 2.4 необходимо повернуть на 46° вокруг направления распространения.

Источники

Источники гравитационных волн можно разделить на два класса: периодические источники и апериодические источники, обусловленные катастрофическими событиями. Примерами периодических источников являются вращающиеся стержни, двойные звезды и вращающиеся звезды. Примерами катастрофических событий, порождающих гравитационные волны, являются взрывы сверхновых и вообще всякий гравитационный коллапс систем, не обладающих точной сферической симметрией, заканчивающийся нерадиальными колебаниями.

Энергия, излучаемая периодическими источниками, вообще говоря, значительно меньше, чем излучаемая в некоторых подклассах событий, принадлежащих второму классу. Поэтому в дальнейшем мы в основном будем иметь дело с источниками, возникающими при катастрофических событиях. Однако тог факт, что излучение от периодических источников является непрерывным в течение длительных периодов времени, делает возможным использование детекторов, настроенных на источник с чрезвычайно узким резонансом, так что широкополосный шум детектирующей системы соответственно уменьшается (разд. 6).

Несколько примеров, приведенных ниже, позволяют уяснить характер проблемы [140].

Напомним вначале, что плотность мощности w [эрг/(см2с)] гравитационной волны, достигающей детектора, расположенного на Земле, рассчитывается в предположении, что излучаемая энергия испускается изотропно, т. е.

где d^ldt дается уравнением (1.2), а г — расстояние от источника до Земли.

Как показывает уравнение (1.2), выведенное из теории Эйнштейна, гравитационные волны излучаются тогда, когда тензор квадрупольного момента массивного тела изменяется со временем. Генерирование гравитационных волн в лаборатории представляется чрезвычайно трудным, как можно усмотреть из классического примера вращающегося стержня [57]. Рассмотрим стержень, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему оси с угловой скоростью со. Используя (1.2), получаем

^^(3.2а)

где / — момент инерции относительно оси вращения. Как экстремальный случай можно рассмотреть стержень из стали радиуса 1 м и длины 20 м, вращающийся без разрыва с максимальной скоростью 4,4 об/с. Мы получим

^- = - 2,2 • 10"22 эрг/с,(3.26)

т. е. значение, которое нельзя будет обнаружить даже через много лет. Этот пример показывает, что мы должны обратить свое внимание на космические объекты очень больших масс, чтобы выяснить, могут ли некоторые из них являться источниками, достаточно сильными для их обнаружения современной

техникой. В дальнейшем мы очень кратко охарактеризуем несколько возможных источников гравитационных волн космического происхождения.

Вращающаяся звезда

Вращающаяся звезда может генерировать гравитационные волны, если она отклоняется от аксиальной симметрии. В этом случае получаем

de 288О12е’а>» . .

dt ~ 45с» 1 <d‘d>

где е характеризует отклонение от аксиальной симметрии (е = = (а — b^Kabyi», где а и b— две главные оси в экваториальной плоскости), а / — момент инерции.

Примером является пульсар PSR 0532 в Крабовидной туманности, обычно рассматриваемый как вращающаяся нейтронная звезда (наклонный ротатор), непрерывно излучающая гравитационные волны. Соответствующая интенсивность, рассчитанная Острикером и Ганном [119] на простой модели, была проверена Феррари и Руффини [66]. Эти авторы, принимая во внимание некоторые возможные варианты эволюции системы, заключили, что интенсивность может быть значительно большей, чем следовало из первоначального расчета.

Эксперимент, имевший своей целью детектировать это излучение, был проведен Хиракавой и др. [86], которые использовали квадратную антенну массы М = 5000 кг с добротностью Q = 4500 при комнатной температуре, настроенную на пульсар на частоте vo = 60,2 Гц. В результате сопоставления 420-часовых записей показаний антенны с хронометрированием оптических импульсов они получили верхний предел для плотности мощности гравитационного излучения

w < 14 Вт/м2 = 14 • 103 эрг/(см2 • с), (3.4) который значительно выше, чем теоретические оценки, приведенные ранее, но в 105 раз ниже, чем предыдущие экспериментальные результаты. В настоящее время готовится улучшенный вариант эксперимента1), который позволит уменьшить этот верхний предел в 102—103 раз. Однако даже в этом случае он останется на много порядков выше, чем любые теоретические предсказания.

Двойная звезда

Пятьдесят процентов звезд принадлежат кратным системам. Около 50 двойных систем, образованных обычной звездой и

*) Подробнее см. статью X. Хиракавы в сб. [180] (с. 331). — Прим, перев.

сколлапсировавшим объектом, в настоящее время находятся под наблюдением. Принимая, что их среднее время жизни должно быть порядка 104 лет, можно сделать оценку, что в нашей Галактике должно быть более чем 106 двойных звезд, имеющих в качестве одной из компонент сколлапсировавшие объекты. Кроме того, возможно существование двойных систем, образованных двумя сколлапсировавшими объектами.

Система такого типа была открыта в 1974 г. Халсом и Тейлором [88] благодаря тому, что одна компонента двойной звезды является пульсаром (PSR 1913+16). Используя (1.2), в случае круговых орбит с радиусом г и с угловой скоростью со получаем для потока гравитационных волн, излучаемых такой системой,

^е _ 32G (/О КХ di 5с5 \ Ш\ + /712 /**

Например, двойная рРег (расчет ван де Кампа) дает

--^■ = 1,4-Ю28 эрг/с,(3.6)

что уменьшается до 1,3-10~13 эрг/(см2с) на поверхности Земли. Эта величина слишком мала для современной техники. Однако если предположить, что существует двойная система, образованная двумя сколлапсировавшими объектами в одну солнечную массу каждый с расстоянием в 1000 км между ними, то получим.

--§■=3,25-1046 эрг/с,(3.7)

что для расстояния в 1000 пс уменьшается до 2,7*102 эрг/(см2с) на Земле.

Систематическое наблюдение двойной, содержащей упоминавшийся выше пульсар PSR 1913+ 16 [88], в настоящее время ведется уже более четырех лет и позволило показать [148], что а) обе компоненты звезды имеют массу, равную 1,4 солнечной массы (±10%); б) они движутся по сильно эксцентричной орбите с большой полуосью, равной приблизительно одному солнечному радиусу; в) прецессия периастра (ш = = 4,226 ± 0,002 град/год) находится в замечательном согласии со значением, рассчитанным из общей теории относительности; г) измерены четыре других релятивистских эффекта, среди которых изменение со временем орбитального периода ^Рь = = (—3,2 ± 0,6)-10“12 с/с). Это значение находится в очень хорошем согласии с рассчитанным из общей теории относительности, если допустить, что оно обусловлено полностью и исключительно излучением гравитационных волн, т. е. описывается

уравнением (1.2) с учетом вкладов мультиполей высших порядков.

Критическое обсуждение всех других возможных причин, вызывающих уменьшение энергии двойной, было проведено авторами данной статьи, которые пришли к заключению, что все они значительно слабее, чем гравитационное излучение1).

Падение на шварцшилъдову черную дыру

Если тело массы т падает на сколлапсировавшее тело массы М, то должно излучаться следующее количество энергии гравитационного излучения Ае:

Ае ~ 0,0025 тЧ^М(3.8)

со спектром частот, имеющим пик на характеристической частоте

v « 4,9 • 108Мо/М Гц.(3.9)

Как пример рассмотрим нейтронную звезду с массой т = = 0,68Л4о, падающую на черную дыру с массой Л4=10Л1о. Полное количество энергии гравитационного излучения, испускаемого приблизительно за 0,5 мс, составляет 2-Ю50 эрг с характеристической частотой 6000 Гц. Если явление происходит на расстоянии 1000 пс от Земли, мы должны наблюдать миллисекундный всплеск с интенсивностью потока порядка 2 X X Ю6 эрг/см2, что находится в пределах возможностей современной техники.

Излучение от гравитационного коллапса

Если коллапс звезды протекает симметрично, гравитационные волны не должны излучаться. Однако, если происходит коллапс вращающейся звезды, могут испускаться различные всплески гравитационного излучения, причем протекание этого процесса зависит от деталей данного явления.

Предполагается, что спектр испускаемого излучения должен быть непрерывным от нуля до критической частоты

vKp~l/2nr(3.10)

при характеристическом времени

t-(jiGp)~'\(3.11)

ар — плотность на конечной стадии коллапса. Полная излучаемая энергия равна

9 См. также обсуждение данного вопроса в работе [182]. — Прим, перев.

где Qмакскомпонента тензора квадрупольного момента вдоль

оси вращения.

Пример сколлапсировавшей звезды, рассмотренный Рисом, Руффини и Уилером, дает vKp ~ Ю3 Гц и Ае ~ 5*1051 эрг. Поэтому если в нашей Галактике имеет место коллапс, то поток энергии на Земле будет порядка 106 эрг/см2, что вполне соответствует современным экспериментальным возможностям. Но такие события могут происходить самое большее несколько раз в столетие.

Рассматривая галактики в скоплении Девы, мы предполагаем иметь несколько событий этого типа в месяц с потоком энергии на Земле порядка 1 эрг/см2. Детектирование такого события представляет собой насущную задачу для экспериментаторов.

Испускание нейтрино как процесс,конкурирующий с испусканием гравитационныхволн

Данные, резюмированные в предыдущих разделах, не учитывают, что при гравитационном коллапсе имеют место также всплески испускания нейтрино, которые, как полагают, должны быть сильными источниками гравитационных волн. Казанас и Шрамм [94] указали, что эти два процесса будут конкурировать между собой в случае образования нейтронной звезды. Такие объекты, по-видимому, возникают при коллапсе достаточно массивных (Л1 ^ 7 Мо) звезд после прекращения термоядерного горения. Хотя в настоящее время нет детальной общей теории, существуют несколько вероятных моделей конечных стадий звездной эволюции и взрывов сверхновых.

Согласно некоторым из этих моделей, электроны достаточно массивного звездного ядра вследствие большой центральной плотности (р > 1011 г/см3) и высокой температуры поглощаются протонами:

p + e”->n +v.

Нейтрино, получаемые из этого, а также из других источников, таких как аннигиляция пар (е~ + е+-> v + v), распад плазмы и тормозное излучение, уносят часть гравитационной энергии коллапса. Если эта часть велика, то такие нейтрино могут в значительной мере способствовать эжекции верхней мантии, тогда как богатое нейтронами ядро коллапсирует далее к конденсированному остатку.

С современной точки зрения наиболее существенной чертой является то, что испускание нейтрино может давать вклад в распад нерадиальных колебаний коллапсирующего ядра и

образованной новой нейтронной звезды, что, возможно, гасит эти колебания значительно быстрее, чем гравитационное излучение.

Тревога, вызванная этими обстоятельствами среди ученых, занимающихся поиском гравитационных волн, в настоящее время уменьшается, но еще не полностью рассеялась, поскольку еще нет удовлетворительной трактовки этой весьма запутанной проблемы. Главные черты такой трактовки- можно понять из следующих замечаний.

Отметим прежде всего, что сечения рассеяния для упомянутых выше процессов рождения нейтрино весьма малы, особенно по сравнению с сечениями упругого рассеяния нейтрино:

е- + v -* е- + v',n + v -► n' + V.

Во время коллапса радиус взрывающейся массы уменьшается, достигая приблизительно за 1 с так называемой первой точки отскока, в которой радиус снова начинает расти до небольшого максимума, и приблизительно за 0,1 с достигает второй точки отскока при большей плотности. Испускание нейтрино, как и гравитационных волн, имеет место в основном в точках отскока, продолжительность пребывания в которых порядка 10-3 с. Если образовавшиеся нейтрино уходят от коллапсирующей звезды, они уносят большую часть энергии, и излучение гравитационных волн, согласно Казанасу и Шрамму, сильно уменьшается. Наоборот, если нейтрино имеют длину свободного пробега, меньшую, чем радиус коллапсирующей звезды, то большинство из них вновь поглощается звездой и их образование не может уменьшить энергию, излучаемую в виде гравитационных волн.

Ответ на вопрос, какой из этих двух экстремальных случаев дает лучшее приближение к процессам, происходящим при гравитационном коллапсе, имеющем место в природе, очень сильно зависит от значения центральной плотности р» в точке отскока. Значение р» до недавнего времени было известно с большой неопределенностью в основном вследствие неопределенности в уравнении состояния вещества и в меньшей степени вследствие неточного знания сечения захвата е~ тяжелыми ядрами.

Если р6 близка к 1012 г/см3, то большая часть энергии, выделяющейся при коллапсе, должна уноситься нейтрино, тогда как для р» ~ 1015 г/см3 они должны вновь полностью поглощаться, и оценки интенсивности гравитационных волн, данные в предыдущих разделах, будут верны.

Решение вопроса может быть получено только с помощью новых вычислений, основанных на лучшем знании уравнения состояния и сечения захвата электронов. Интенсивные расчеты

такого типа ведутся Вильсоном [172] в Ливерморской лаборатории Лоуренса 9-

Согласно некоторым предварительным результатам, первый отскок имеет место при центральной плотности 2-Ю13 г/см3 и температуре 3 МэВ. За время между первым и вторым отскоками испускается большое число нейтрино, что позволяет осуществиться второму отскоку при плотности 3*1014 г/см3 и температуре 7 МэВ.

Эти значения показывают, что по крайней мере при втором отскоке излучение гравитационных волн не должно быть значительно заторможено испусканием нейтрино.

Более того, испускание нейтрино может значительно тормозить радиальные колебания коллапсирующего ядра при первом отскоке, но не может тормозить нерадиальные колебания, ответственные за излучение гравитационных волн. Это обстоятельство, еще недостаточно исследованное, по-видимому, имеет большое значение согласно рассмотрению, проведенному Рисом и др. [140], которые показали, что во время коллапса любое отклонение от сферической симметрии значительно увеличивается.

Если детальные расчеты этих различных эффектов покажут, что большая часть образовавшихся нейтрино может уйти без слишком большого уменьшения энергии, уносимой гравитационными волнами, мы можем ожидать в будущем наблюдения совпадений (с малой задержкой) между нейтринными детекторами и гравитационно-волновыми антеннами, которые должны дать очень важную информацию о точках отскока коллапсирующих звезд.

Здесь уместно сделать несколько дополнительных замечаний об источниках гравитационных волн).

Первое относится к взрывам сверхновых, наблюдавшимся до сих пор. Поскольку все они были обнаружены в пределах спирального рукава нашей Галактики, мы склонны приписать этот результат оптическому покрытию и соответственно считать полное число взрывов сверхновых, действительно имевших место в Галактике, приблизительно в десять раз большим, чем число наблюдавшихся взрывов. Для гравитационных волн покрытие невозможно.

Второе замечание касается двойных звезд, испускающих рентгеновские лучи. Двойные образуются обычной звездой и сколлапсировавшим объектом, обычно нейтронной звездой, который испускает рентгеновские лучи в процессе аккреции, в

9 Мы выражаем нашу горячую благодарность проф. Дж. Р. Вильсону, который предоставил нам некоторую информацию о его еще не завершенной работе. (См. также недавние работы [183, 184]. — Прим, перев.)

котором гравитационная потенциальная энергия вещества, падающего на сколлапсировавшую звезду, превращается в тепло при температурах много миллионов градусов и излучается в виде рентгеновских лучей.

В этой картине масса нейтронной звезды возрастает вследствие аналогичного процесса, и когда ее величина становится достаточно большой (М ~ Мкр < 3,2/ИО), она должна сколлап- сировать, становясь источником гравитационных волн, не рассмотренным в предыдущих разделах.

Наконец, данные о существовании интенсивных источников рентгеновских лучей в центральных ядрах шаровых скоплений (например, NGC 6624), явно указывающие на присутствие скол- лапсировавших объектов [72], и недавнее обнаружение таких высоких плотностей расположения звезд, что их полная масса в кубе со стороной в один световой год равна примерно 3000 солнечных масс, позволяют предположить существование других источников гравитационных волн, также еще не рассматривавшихся.

Интегральная интенсивность и спектральнаяплотность энергии

Как будет показано в разд. 8, чувствительность детектора гравитационных волн может быть выражена через так называемую интегральную интенсивность, которая в случае стандартного импульса гравитационной волны (рис. 3.1) сводится к

/gTg, (3.13)

где Ig — плотность энергии, т. е. энергия, приходящая к детектору, на единицу площади, а т8— длительность стандартного импульса. Произведение /gTg, однако, может быть представлено в другом виде, более созвучном практике передачи сигналов. Поскольку

Av = l/rg

представляет собой ширину полосы, которой принадлежат частоты фурье-компонент стандартного импульса, изображенного на рис. 3.1, или вообще любого импульса длительности т^, то уравнение (3.13) можно интерпретировать как спектральную плотность энергии, т. е. плотность гравитационной энергии волны на единицу ширины полосы:

На рис. 3.2 резюмируется ситуация, описанная в предыдущих разделах. Он был представлен в сентябре 1976 г. Уолкви-

стом и др. на симпозиуме «Экспериментальная гравитация» в Павии [156].

Спектральная плотность энергии выражается в гравитационно-волновых импульсных единицах GPU, определяемых соотношением [107]

1GPU = 105 —102—^-.(3.15)

см2-Гц м2-Гцх 7

Поводом для использования этой единицы является то, что событие, происходящее в центре нашей Галактики (г = 10 кпс),

uh(t)

Zutjuog

Н(и»

imfc3

Рис. 3.1. Форма стандартного импульса гравитационной волны с амплитудой Ло, угловой частотой <оо и длительностью тг и его фурье-образ.

в котором энергия, равная солнечной массе, превращается в гравитационные волны, распределенные равномерно в полном телесном угле 4л и в полосе частот шириной 1 кГц, имеет спектральную плотность энергии

F(v)= 1,5 GPU.

Все современные детекторы действуют в диапазоне средних частот (СЧ). Приведенные выше рассуждения относятся в основном к этому случаю. Проблема детектирования гравитационных волн сверхнизких частот (СНЧ) будет кратко рассмотрена в разд. 4.4.

Рис. 3.2. Спектральная плотность энергии F(v) и амплитуда A(v) как функции частоты v и длительности импульса т6 для гравитационных волн от различных классов событий, достигающих Земли. Числа возле точек обозначают массу, конвертированную в гравитационную волну (в Л1О) [156].

Чувствительность СЧ-детекторов, применявшихся до сих пор, порядка 100 GPU, т. е. лежит вне области значений, где мы предполагаем получить Положительные результаты.

Значения, приведенные на рис. 3.2, весьма поучительны, но, разумеется, определены с большими неточностями. Более того, график не определяет статистики различных классов событий.

Следующие несколько примеров интересны с точки зрения поиска гравитационных волн.

Наиболее благоприятным случаем является рождение скол- лапсировавшего тела в результате взрыва сверхновой. Если такое событие происходит в центре нашей Галактики, то амплитуда и спектральная плотность волны предположительно попадут в интервал

10"19<A<10"17

и для (о = 104 рад/с и т = 10-2 с в интервал

0.004GPU < F (v) < 40GPU

со статистической частотой, которая год назад оценивалась значением между 1 и 0,01 год-1, или в среднем 1/30 год-1. Согласно недавним расчетам, это значение должно быть заменено более оптимистическим значением 0,1 год-1.

Если рассматривать такой же класс событий, происходящих во всех галактиках скопления Девы, то спектральная плотность падает до 4-Ю-9 — 4-Ю-5 GPU, а статистическая частота возрастает до 50 год-1.

Чтобы оценить значение ожидаемой интенсивности гравитационно-волновых всплесков, достигающих Земли, можно вспомнить, что солнечная энергия соответствует 1,33-106 эрг/(см2-с) при непрерывном освещении верхней атмосферы. Эта энергия легко поглощается веществом, в то время как гравитационная волна, пронизывая Землю, теряет только 4-Ю-18 своей энергии. Соответствующее значение для Солнца составляет 7-Ю-14, а нейтронная звезда в одну солнечную массу с радиусом 10 км должна поглощать ее полностью.

В заключение напомним, что в случае плоской гравитационной волны, распространяющейся вдоль оси х, единственной ненулевой компонентой псевдотензора ^v будет /°1, которая имеет вид [96]

/°1 - w = -^\f^ + j khVti - М"\(3.16)

и характеризует плотность мощности волны [в эрг/(см2-с)].

Для волны с состоянием поляризации е+, определяемым уравнением (2.166), получаем

С3 /2w~

Для стандартного импульса (рис. 3.1) и |/|^тг/2 находим

С3 2,2 . 2,

W = 16лС Qo^0 Sm ^

что после усреднения по периоду дает

Плотность энергии стандартного импульса Ig) т. е. энергия, переносимая им через единицу площади, дается произведением (3.17) на длительность импульса:

/g= tyTg = з^у (o^Tg.(3.18)

Детекторы

Большинство детекторов, используемых сегодня или находящихся в стадии разработки, принадлежит к двум классам, уже упоминавшимся в разд. 2.

Первый класс — апериодические детекторы, состоящие из двух свободных масс, расстояние между которыми непрерывно измеряется с помощью световых или радиосигналов. Основной принцип их конструкции был предложен Пирани.

Во второй класс входят упругие тела, которые резонируют на своих собственных частотах, если падающая гравитационная волна содержит фурье-компоненты этих частот с достаточной амплитудой. Основной принцип их действия был впервые предложен Бонди и Вебером.

В последнее время разработаны также механические системы с почти равномерной чувствительностью во всем диапазоне частот, которые представляют интересный промежуточный случай между упомянутыми выше двумя классами.

Грубое сравнение двух крайних классов, определенных выше, может быть осуществлено путем изучения их поведения под действием стандартного импульса гравитационных волн (рис. 3.1).

Для детектора с двумя свободными частицами из уравнения (2.30) следует

6t = ~hl.

Поэтому единственная имеющаяся в нашем распоряжении возможность увеличения 6/ состоит в выборе длины /, как можно более близкой к полуволне:

ХЙ 1 с

I “ /опт = “2” = У V *

Для /, большего или меньшего чем ^/2, ситуация менее выгодна, поскольку обе частицы не находятся в противофазе, когда к ним приходит электромагнитный сигнал, используемый для измерения расстояния между ними. Для типичной волны средней частоты (СЧ), т. е. при v ~ 1Q3 Гц, получаем

Ag = 3- 107 см = 300 км, /опт 150 км

и для А ~ 10-19

б/-0,75- 10"12 см.

Для резонансной болванки длиной L находим [уравнение (4.25)]

Для А ~ 10~19, т8 ~ 10-3 с, то ~ Ю4 рад/с и L = 1,5-102 см получаем

б/~0,4- 10"16 см.

В этом разделе основное внимание уделяется резонансным детекторам по следующим двум соображениям.

До сих пор во всем мире усилия в основном концентрировались на установках этого типа, первое поколение которых позволило сделать первые экспериментальные шаги в области гравитационных волн. Кроме того, второе поколение резонансных детекторов достигает в настоящее время такого уровня развития, что представляется оправданным надеяться на быстрое продвижение к прояснению ситуации, создавшейся после экспериментов первого поколения.

Апериодические детекторы для СЧ-гравитационных волн, хотя и подают далеко идущие надежды, находятся еще в детском возрасте. (Они кратко описаны в разд. 4.2.) Методы детектирования волн в области сверхнизких частот, также весьма интересные, очень кратко описаны в разд. 4.4.

Наконец, механические устройства с низкой добротностью Q лишь упоминаются в разд. 4.3, главным образом вследствие почти полного отсутствия публикаций.

4.L Резонансные детекторы для гравитационных волнсредних частот

Резонансная гравитационная антенна состоит из а) (вязко)- упругого тела подходящей формы, называемого далее болванкой, которое откликается на колебания поля приходящей гравитационной волны, и б) датчика, который воспринимает колебания болванки.

Основными характеристиками болванки являются ее размеры, масса, скорость звука в материале болванки и коэффициент диссипации энергии.

Линейные размеры / болванки всегда значительно меньше длины волны Xg приходящего гравитационного излучения:

/ «Xg.

Спектр собственных частот, в частности частота основной моды, определяется линейными размерами, формой и механо- упругими константами болванки (плотностью массы р, постоянными Ламэ ц, X, временем диссипации энергии то). Ее добротность Qb и масса М существенным образом входят вместе с температурой в выражение для чувствительности антенны.

Алюминиевые цилиндры и диски были использованы в качестве болванок в пионерских работах Вебера [165]. Цилиндры из различных материалов применялись ранее и продолжают использоваться в настоящее время большинством экспериментальных групп. Основная продольная мода цилиндра из вязкоупругого материала ведет себя в точности как идеальный

линейный осциллятор (с диссипацией), расположенный вдоль оси цилиндра.

В дальнейшем будут рассматриваться в основном болванки этого типа. Варианты цилиндров веберовского типа упоминаются в разд. 4.1.2, а разд. 4.1.3 посвящен краткому изложению общей теории болванок различных форм и их классификации по свойствам симметрии.

Колебания отдельной моды резонансной болванки обычно измеряются датчиком, входной сигнал которого является механическим, а выходной — электрическим. Выход датчика в свою очередь детектируется с помощью усилителя.

Описание поведения любого датчика включает рассмотрение а) активности на его электрических вводах, образуемой выходным напряжением V2W в открытом контуре и выходным током I2W в замкнутом контуре, и б) двух соответствующих входных переменных, определяемых механической моделью, описывающей резонансную болванку, управляющую датчиком. Эта проблема была впервые рассмотрена Вебером [165], а позже Джиф- фардом [74, 75] и Паллоттино и Пиццеллой [124]!). Джиффард по аналогии с электрическим четырехполюсником описывает связь между входными и выходными переменными с помощью двух уравнений импеданса (разд. 4.1.5). Паллоттино и Пиццелла рассмотрели в деталях случай датчиков из пьезоэлектрической керамики.

Более тонкой технической проблемой, о которой должен помнить экспериментатор при разработке и монтаже резонансной антенны, является уменьшение любого электрического и механического внешнего воздействия, а также любого процесса, способного увеличить диссипацию механической энергии болванки, после того как возбуждена мода ее колебаний, необходимая для детектирования гравитационных волн.

Экспериментатор должен внимательно учитывать следующие обстоятельства:

вещество болванки должно иметь очень высокую механическую добротность Qb (табл. 4.1);

система подвески болванки должна быть разработана и смонтирована так, чтобы уменьшить до минимума передачу от лаборатории любых механических колебаний, особенно колебаний выбранных частот;

болванка должна быть подвешена в вакууме, чтобы устранить торможение ее колебаний газом;

болванка, датчик и система его связи с предусилителем должны быть электрически и магнитно экранированы;

’) См. также [185] и статью Блэйра в сборнике [180] (с. 299). — Прим, перев.

Таблица 4.1

Свойства материалов для болванок

р, г/см8

°3- м/с

Алюминий

2,7

5100 (Г = 290 К)

5 400 (Г = 4,2 К)

Кварц

2,2

5 600

Плавленый кварц

2,3

5760

Кристаллический кремний

2,4

8 300

Сапфир (А12О3)

4,2

10000

Тантал

16.6

3 350

Ниобий

8,5

3 620

датчик не должен обладать существенной внутренней диссипацией.

Резонансное взаимодействие с одномернойболванкой.

Колебания в одномерном упругом теле удовлетворяют уравнению [951

+(4.1)

где р — плотность массы; ^(г, /)— смещение из положения равновесия элемента массы, находящегося в точке z в момент времени t; a(z,t)— комй^ента напряжения вдоль оси г, a F— внешняя сила на единицу объема вдоль оси, г, действующая на элемент массы.

Напряжение может быть выражено через смещение по закону Гука

О=у^ + о4гт,(4.2)

dz 1 dt ozx '

где Y—модуль Юнга, a D— коэффициент, характеризующий диссипативные силы.

Теперь необходимо выразить F через характеристики падающей гравитационной волны, которую для простоты будем считать плоской, распространяющейся вдоль оси х перпендикулярно оси г и поляризованной следующим образом: hvz = hzg = О, hgg = — hzz = h(t). Примем z = 0 за центр масс антенны, положение которого остается неизменным при действии волны. Рассмотрим два элемента м,ассы dm = р dV, расположенных симметрично в точках +z и —z. Они движутся один относительно другого так, как если бы они были подвержены действию силы

dF+z, dm22h.(4.3)

Поэтому в силу симметрии задачи отдельный элемент массы движется относительно начала так, как если бы на единицу его объема действовала сила

f(/) = lpzft.(4.4)

Подставляя (4.2) и (4.4) в (4.1), получаем уравнение [131]

р dt2 dz2 at dz2 2 at2 •' "°^

Обозначая через X(z,co) и Я (co) фурье-образы g(z,/) и h^, получаем решение в виде

X (г, <») = Хх (®) e"toz + Х2 (о) ei»z + ^-z,(4.6)

где

а = [<о2р/(У + «®Я)]'\(4.7)

a Xi(o) и Хг(®) могут быть определены из граничных условий:

центр масс должен пркоиться, что дает

Хх^ = -Х2(«>У,(4.8)

на концах болванки, т. е. в точках z = ±L/2, где L — ее длина, напряжение должно обращаться в нуль, откуда следует

Х2 (®) = — Я (со)/4/а cos (-|а^-)-(4.9)

Таким образом, мы получаем решение

2л J T{z, ^H^e^d®(4.10)

с передаточной функцией

T(z, w) = jz7Т~7x1*(4.11)

\^ acoslyaLjy

Для оценки величины (4.10) рассмотрим поведение Т^г,^. Сразу же заметим, что могут существовать значения а, при которых cos (у aL^ ~ 0. Определим величину Q соотношением

q = Y^D\(4.12)

она велика при малых потерях. Тогда из (4.7) получаем

a = -^(l--^-) + O(Q-2).(4.13)

ug \/

где vs — скорость звука в материале болванки

ys = (y/p)v\(4.14)

Тогда для значений о, равных

<»K = n(2tf+l)t^,(4.15)

при К, равном нулю или целому числу, значение cos ^yaL^ будет иметь порядок Q-1, если Q » 1. В этом случае наибольший вклад в интеграл (4.10) дают угловые частоты, близкие к №к- Рассмотрим теперь угловую частоту

(4.16)(4.16)®0 = nvJL.

(4.16)

(4.16)

Оценка квадрата модуля передаточной функции вблизи этой частоты при г = ±L/2 дает

(4.17)(4.17)42?®о

(4.17)

(4.17)

л4 4®2 (® — ®0)2 + (®2®o/Q2) ‘

Важно отметить, что эта передаточная функция идентична получаемой из уравнения

! ++=(4.18)

которое описывает движение осциллятора, состоящего из двух точечных масс на среднем расстоянии

1 = 4Ця?(4.19)

с резонансной угловой частотой (оо и временем затухания

т0 = Q/ti)0,(4.20)

на который действует гравитационная волна, распространяющаяся перпендикулярно его оси [в уравнении (4.18) £ = £(/) означает смещение из равновесного, положения одной или другой массы].

Конкретнее, передаточная функция для осциллятора имеет вид

Iсо2

Го (®) = -2< — — •(4.21)

2 (©2 - ©g) - (z©/t0)

Численное сравнение (4.21) с (4.11) (рис. 4.1) показывает, что эти две передаточные функции равны друг другу с точностью до нескольких процентов даже для частот, далеких от о)О, при условии, что они не находятся вблизи других резонансных частот №к болванки.

Наконец, в решении (4.10) можно использовать отдельно для каждой резонансной частоты выражение (4.21) для передаточной функции на концах болванки, если справедливо уравнение (4.19). Однако эквивалентность болванки с осциллятором определяется уравнением (4.19) не единственным образом,

поскольку в дифференциальных уравнениях (4.5) и (4.18) нс по- является масса вследствие того, что как гравитационная сила, так и восстанавливающая и диссипативная силы не зависят от массы. Если вводятся дополнительные массовые силы (типа броуновских сил), то уравнение (4.19) будет дополняться другим уравнением, связывающим массу Д4 болванки с точечными массами т осциллятора [уравнение (5.5)].

Рис. 4.1. Сравнение передаточных функций для осциллятора (То) и для болванки (Т); ©о = 10 000 рад/с.Рис. 4.1. Сравнение передаточных функций для осциллятора (То) и для болванки (Т); ©о = 10 000 рад/с.

Рис. 4.1. Сравнение передаточных функций для осциллятора (То) и для болванки (Т); ©о = 10 000 рад/с.

Рис. 4.1. Сравнение передаточных функций для осциллятора (То) и для болванки (Т); ©о = 10 000 рад/с.

Теперь можно вычислить интеграл (4.10), полагая функцию Я(©) известной. Рассмотрим три частных случая, которые тем не менее представляют большое разнообразие возможных ти

пов гравитационных волн.

Синусоидальный резонансный волновой пакет. Рассмотрим функцию

hkt> = 'hkt> = 'ho cos ®0<Оho cos ®0<Оприприприпри(4.22)(4.22)

hkt> = '

hkt> = '

ho cos ®0<

О

ho cos ®0<

О

при

при

при

при

(4.22)

(4.22)

фурье-образ которой имеет вид

Ат Г

Ж®)^[

sin (top — го) Tg/2(«>о — <o) тй/2

, sin (<oo + <o) Tg/2 1

* (too + to) Tg/2 J ‘

(4.23)

Интеграл (4.10) может быть легко вычислен для случая, когда волновой пакет имеет ширину не менее нескольких длин волн. Мы получаем [133]

1(0 = ХЬМУ [exp (тг/4т0) — exp (— Tg/4r0)] exp (— //2т0) sin (<оо/ + л),

(4.24) что справедливо для t ^ тг/2. Отсюда вытекают несколько интересных более частных случаев.

Для tg < 4то, т. е. очень короткого всплеска, имеем

I (0 = ’AMoV ехР (— ^2т0)sin (®(/ + л).(4.25)

Поскольку эти уравнения справедливы для / ^ tg/2, удобно отсчитывать время t' от момента t = тв/2. После замены t' = t— — т8/2 из (4.24) получаем

ип = ^ ЛоР/ [1 - ехр(- ^)]ехр(-У

sin (®оО + у ®отг + л) •(4-26)

Это выражение показывает, насколько возрастает амплитуда смещения в зависимости от длительности волнового пакета т8. Для т8 >> то это выражение достигает максимального значения I (О = у wexp (— ^-) sin (со/ + у <00т8 + л) , (4.27) которое для f < т0 совпадает со случаем монохроматической волны.

Синусоидальный нерезонансный волновой пакет. В этом случае результаты описываются приведенными выше формулами, умноженными на величину

sin (о0 — og) тб12(®о - ®g) т5/2 ’

где tog — угловая частота волнового пакета в пределах его длительности Tg.

в. Прямоугольный волновой импульс. Рассмотрим функцию

А(0 = {А(0 = {й0 при | / к Tg/2,й0 при | / к Tg/2,0 при | /1 > тв/2.0 при | /1 > тв/2.(4.29)(4.29)

А(0 = {

А(0 = {

й0 при | / к Tg/2,

й0 при | / к Tg/2,

0 при | /1 > тв/2.

0 при | /1 > тв/2.

(4.29)

(4.29)

6 (0 — у М$

sin topTg/2<OoTg/2

[exp(^)-exp(-^)]x

/ t X ,

(4.30)(4.30)X (- y^J sin (©о/ + л).

(4.30)

(4.30)

Этот результат показывает, что для получения максимально возможного смещения значение функции

sin <ooTg/2

<ooTg/2

должно быть близким к ее главному максимуму, т. е.

тг<2/(й0,(4.31)

что дает всплеск продолжительностью менее 1 мс для антенн веберовского типа.

Однако представляет интерес также отклик прибора при других максимумах вышеприведенной функции, которые имеют место при

тв = (2Я+1)л/®0.(4.32)

Из уравнений (4.2) и (4.32) получаем

6 (О = м + я — [ехр(-^) —

- еХР (~ 1У ] ехР (- 2У sin ^ + Л) (4-33)

и, следовательно, для т§ <С 4т0 имеем

^ = ^ (2К + 1)« 6ХР (~ 2^) Sin ^ + Л)>(4'34)

Уравнение (4.30) показывает, что для коротких нерезонансных импульсов, удовлетворяющих условию (4.31), резонансная антенна ведет себя подобно системе двух свободных масс в той мере, в какой это относится к амплитуде колебаний йо//2. В данном случае, однако, антенна продолжает колебаться в течение времени порядка то после прохождения импульса гравитационной волны, допуская тем самым лучшее определение сигнала. Напротив, в случае двух свободных масс после прохождений импульса обе массы возвращаются в первоначальное положение.

Рассмотрим теперь колебания антенны также при г ф AlL^ в частном случае монохроматической резонансной волны. Ее фурье-образ есть

Н (со) = лА0 [6 (®о — ®) + 6 (<д0 + ®)].(4.35)

Уравнение (4.10) можно легко решить для соответствующей передаточной функции (4.11); при этом получим

I (z, /) = L sin ^J- sin (<00/ + Л),(4.36)

что следует сравнить с (4.27) при f = 0 и, следовательно, при / = Tg/2.

Выражение (4.36) представляет стационарную волну с длиной волны L/2, давая нулевое смещение в центре масс, как и должно быть, и максимальное смешение на концах болванки. Это существенно при вычислении напряжений, для чего необходимо находить частную производную от £(z, 0 по г.

Наконец, чтобы завершить этот раздел, вычислим поперечное сечение антенны [145] для коротких резонансных всплесков гравитационных волн. Поперечное сечение определяется уравнением

^л = f агв (v) F (v) dv,(4.37)

о

где SA — поглощаемая антенной энергия, Рк^\— энергия гравитационной волны на единицу площади и единицу ширины полосы частот, а агв (v) — поперечное сечение.

Для короткого резонансного всплеска можно ограничиться интегрированием вблизи резонансной частоты и рассматривать Р^ как постоянную в пределах ширины резонанса:

8а « F (v0) ^ агв (v) dv — F (v0) (Ггв,(4.38)

о

где, согласно (3.14), спектральная плотность энергии (энергия на единицу площади и ширины полосы) дается выражением (3.18), деленным на Av = t~1:

Из (4.25), (4.19) и (4.16) получаем

8А = 1м<й^ = м4хДад^.(4.40)

Таким образом, мы имеем

агв==(4.41а)

что для болванки веберовского типа составляет величину порядка 10-2' см2 Гц. Напомним, что это выражение относится к случаю распространения линейно-поляризованной волны перпендикулярно оси болванки, когда одна из асимптот на рис. 2.4 совпадает с осью цилиндра. Поперечное сечение, усредненное по телесному углу 4л, получается путем деления (4.41а) на

15/8; усреднение по двум состояниям поляризации получается последующим делением на 2. Таким образом,

(4.416)

4.1.2. Резонансные детекторы других форм

Варианты первоначальной веберовской антенны были использованы Левином и Гарвином [101] в Нью-йоркском исследовательском центре IBM и Древером и др. [56] в Университете Глазго.

Антенна Левина и Гарвина представляет собой цилиндр из алюминиевого сплава типа 2024-Т4 длиной 150 см и диаметром

Рис. 4.2. Схема одного из детекторов, используемых группой из Глазго. Показана также система, используемая для приложения калибровочных сил заданной амплитуды и формы [56].

19 см, наинизшая продольная мода сжатия которого имеет частоту vo = 1695 Гц.

Пьезоэлектрический кубик со стороной в несколько миллиметров (цирконат-титанат свинца PZT-4) обеспечивает сигнал, пропорциональный смещению £(/) между концом алюминиевой болванки и «сейсмической» массой (5 кг), которая подвешена на стальной проволоке на штырях алюминиевой болванки.

Резонансная частота сейсмической массы с жесткостью керамики составляет 640 Гц, так что эта масса почти неподвижна, и по отношению к ней измеряются колебания болванки.

Антенны группы из Глазго [56] состоят главным образом из двух одинаковых коаксиальных алюминиевых цилиндров, торцы которых связаны пьезоэлектрическими датчиками (рис. 4.2). Они следят за изменением расстояния между тор-

цами двух цилиндров, каждый из которых по форме и типу подвески подобен цилиндру веберовского типа.

Это устройство, предложенное П. Аплином из Бристоля, как полагают, дает лучшую связь между механической и электрической системами, чем получаемая для цилиндра веберовского типа с наклеенной на него пьезоэлектрической керамикой.

Описанные выше два резонансных детектора были указаны в качестве вариантов антенн веберовского типа, поскольку они дают ту же зависимость резонансной частоты основной моды vo от линейных размеров V.

<оо = 2лvo = wo JI. (4.42)

На важность характера связи между vo и I обратили внимание Дуглас и Тайсон [51], которые отметили, что в силу уравнения (4.42), справедливого для цилиндрической болванки, антенны веберовского типа для низких частот становятся очень большими (и дорогими). Например, из уравнения (4.42) следует, что цилиндрическая болванка из того же алюминиевого сплава, который использовали Дуглас и др. [54] при vo = = 710 Гц (L = 357 см), должна иметь длину 17,5 и 42 м для резонансов на частотах vo = 145 и 60,2 Гц соответственно.

Существуют, однако, другие резонансные механические устройства (например, камертоны, кольца и «полые» квадраты), для которых соотношение между vo и I имеет другой вид, а именно

®о~/"2. (4.43)

Дуглас и Тайсон назвали детекторами первого класса детекторы, подчиняющиеся уравнению (4.42), а детекторами второго класса — детекторы, подчиняющиеся уравнению (4.43); они сравнили их поведение, исходя из уравнения движения (2.25) с компонентами тензора Римана Rzozo, описывающими синусоидальную гравитационную волну.

В качестве прототипа детекторов первого класса эти авторы рассматривали болванку длины А с квадратным поперечным сечением размером d X d. В качестве прототипа детекторов второго класса был взят квадрат со стороной /г, толщиной а и сквозными прорезями длины Ь, характерная мода колебаний которого является квадрупольной, при которой две противоположные стороны колеблются синфазно между собой, но в противофазе по отношению к двум другим сторонам. Соответствующая частота колебаний приближенно такая же, как у колеблющегося бруска с закрепленными концами.

В случае алюминия и для разумных значений геометрических параметров Дуглас и Тайсон нашли, что максимальная энергия, передаваемая гравитационным детектором второго

класса регистрирующему устройству, зависит от /2 так же, как в случае детектора первого класса от /1, но в первом случае частота будет на два порядка меньшей.

Исходя из довольно произвольного (но разумного) критерия, что детекторы размерами более 300 см непрактичны, эти авторы нашли, что применение детекторов первого класса огра

Рис. 4.3. Квадратная болванка токийской группы [113, 114].Рис. 4.3. Квадратная болванка токийской группы [113, 114].ничено частотами выше 1000 Гц, а второго класса — выше 30 Гн.

Рис. 4.3. Квадратная болванка токийской группы [113, 114].

Рис. 4.3. Квадратная болванка токийской группы [113, 114].

Другим интересным свойством детекторов второго класса является то, что ближайшей высшей модой расмотрен- ного полого квадрата является «скалярная» мода, когда все четыре стороны колеблются в фазе. Таким образом, детекторы второго класса могут также детектировать скалярное гравитационное излучение, если оно существует. Квадрупольная (или основная) мода не будет возбуждаться скалярным излучением. Наоборот, следующая высшая мода будет возбуждаться скалярным, но не квадрупольным излучением. Таким образом, в одной и той же установке сущест

вуют «чисто квадрупольный» и «чисто скалярный» каналы. В детекторах первого класса, наоборот, эти моды могут возбуждаться как квадрупольным, так и скалярным излучением. Более того, полая квадратная антенна чувствительна только к одному состоянию поляризации, так что посредством ее вращения можно изучать поляризационные свойства источников (разд. 4.5). Детекторы второго класса были сконструированы и введены в действие токийской группой [ИЗ, 114]. Они состоят из относительно тонких квадратных пластин с разрезами с каждой стороны (рис. 4.3). Рабочая мода колебаний (Big, см. приложение А) реализуется в плоскости (х, у), перпендикулярной оси симметрии, и имеет четыре узловые линии, пересекающие пластину. Она может быть аппроксимирована вращениями четырех квадрантов вокруг каждой из узловых точек

а, = (± а, ± а) (/=1,2, 3, 4),

так что вектор смещения w в точке г в /-м квадранте дается выражением

w = 0(— 1/(г — az) X ^, (4.44)

где 0 — постоянная.

Болванка удерживается в горизонтальном положении в четырех точках поверхности, в которых заканчиваются узловые линии. Такой метод крепления ведет к минимальному взаимодействию между этой модой и внешними колебаниями.

В качестве датчиков смещения квадрантов авторы использовали пластины конденсаторов с постоянным смещающим напряжением (показанные на рис. 4.3), а также высокочастотные проходные резонаторы (см. разд. 4.1.5).

Первоначально квадратная антенна из алюминиевого сплава 5052 с размерами 1,65 X 1,65X 0,19 м и массой М = 1400 кг поддерживалась четырьмя дисками из люсита диаметра 7 мм. Позднее они были заменены без всякого увеличения диссипации энергии четырьмя резиновыми дисками диаметром 8 см и толщиной 5 см, чтобы избежать концентрации напряжений в антенне.

Такая геометрия болванки не только позволяет достичь низких частот, но последние могут быть даже уменьшены с vo = = 145 Гц до по крайней мере 60,2 Гц путем простого увеличения длины четырех разрезов.

Трудностью, сопровождающей эксперименты с антеннами этого типа, является требование изоляции их от низкочастотных мод (кроме рабочей моды) [82, ИЗ, 114]. Существуют низкочастотные моды как вне, так и в плоскости антенны, которые возбуждаются вертикальными и горизонтальными внешними колебаниями опор, если они не были достаточно хорошо изолированы. Эти нежелательные низкочастотные колебания могут перегружать датчики и усилители и усиливать моду BXg вследствие нелинейных эффектов.

Общая теория резонансных антенн

Теория приема и диаграммы направленности резонансных детекторов были рассмотрены несколько лет назад многими авторами [108, 140, 145], которые выяснили все основные понятия. Совсем недавно группа из Токийского университета [84] пересмотрела эту проблему в тех же направлениях, что и предыдущие исследователи, но в более общем виде.

Детектор моделируется механической системой, заданной набором ее собственных мод и собственных частот колебаний, причем полностью используются соответствующие свойства симметрии. Эта программа проводилась по основным направлениям,

использовавшимся в начале тридцатых годов для рассмотрения колебательных состояний многоатомных молекул. Разумеется, в случае излучателей или приемников гравитационных волн рассматриваются только собственные состояния с неисчезающим механическим квадрупольным моментом.

Вначале, исходя из уравнения (1.2), вычисляют энергию, излучаемую в виде гравитационных волн п-й колебательной модой в телесном угле йй. Затем с помощью принципа взаимности находят диаграмму направленности резонансного детектора.

Принцип взаимности для гравитационного излучения может быть сформулирован следующим образом1). Пусть Нц и Нц — два независимых поля гравитационного излучения одной и той же частоты v = o)/2n, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна (2.1а) с Тц и Тц в правой части. Применяя формулу Грина, получаем отсюда

VYa1.^- VYwv' <4-45> А ijА И

где область А содержит систему, излучающую поле Иц, а область А*— систему, излучающую поле Иц.

Предположим теперь, что системой в А является массивный квадруполь, удовлетворяющий условию взаимности. Тогда уравнение (4.45) утверждает, что система в А' независимо от ее структуры также удовлетворяет принципу взаимности.

Излучение гравитационных волн. При обсуждении адиабатической деформации упругой болванки натяжение определяется вектором смещения и(х, у, г, /), который удовлетворяет уравнению движения [95]

р -^- — р Au — (X + р) grad div u = О,(4.46)

где р — плотность массы, а X и р — постоянные Ламэ для материала болванки, который предполагается изотропным.

При соответствующих граничных условиях уравнение (4.46) имеет систему собственных мод w^x, у, 2,/) с частотами vn = = Шп/2л, которые удовлетворяют уравнению

p®nWn + Н Awn + (X + ц) grad div w„ = 0.(4.47)

Заданное поле внутренних смещений разлагается в ряд по собственным модам:

и(х, у, z, /)= £ O)w„(x, у, z\

п

(4.51)(4.51), (4.53), (4.53)(4.54)(4.54)(4.55)(4.55)

(4.51)

(4.51)

, (4.53)

, (4.53)

(4.54)

(4.54)

(4.55)

(4.55)

Приведенная масса антенны в n-й моде, отнесенная к обобщенной координате хП1 определяется кинетической энергией антенны

Г = 4 S Р (4гУ dV = 4 2 Ь» (0 $ РI w„ Р dV. (4.48)

Координатой хп может быть любая величина, которая характеризует состояние колебания антенны. Если компонента (и, А) вектора смещения и вдоль заданного направления п в точке РХхэуэг) выбрана в качестве координаты хП1 то для приведенной массы в n-й моде колебания получаем

Р I wn |2 dV

= (w„ (X, у, Z) . й)2 '(4,49>

Исходя из уравнения (1.2) и приведенных выше соображений токийская группа показала, что энергия, излучаемая в форме гравитационных волн в телесном угле dQ n-й колебательной модой механической системы, дается выражением

Рп (°> ф) = ^ AOnT„M<fn (0. Ф) d^ (4.50)

где АОп — эффективная площадь болванки относительно п-й моды:

X ^njk2 ^njk

д —

ТПМ®Пf2 X

dV, (4.52)dV, (4.52)м J p^L^/)^

dV, (4.52)

dV, (4.52)

Ящь = \ Р I WnjXk + WnkXj — yfi/fe 2j

fn(^x> ^y, ^z) fn$, ф)—

т(Е q"ikninh\ +"2 X ^Z^ X ^ni^nll^l

4 X ^

i. k

J tn (0> ф) dQ = 4л, 4 = ^nx, ny, nz\

P.-\p,iS>-

причем уравнение (4.52) справедливо с точностью до первого порядка относительно wni.

Поглощение гравитационных волн. Отклик n-й моды на гравитационные волны определяется уравнением

X ^ik^njk

M'l + ^ + oA-TT^—;.(4.56)

p|wnPd7

Когда короткий импульс неполяризованного гравитационного излучения, распространяющегося в направлении (пх, пу, п^, падает на неподвижную болванку, последняя поглощает на единичный интервал частот энергию

—S-«v^0V„(»„ n,. n.)F(v„), (4.57) где—S-«v^0V„(»„ n,. n.)F(v„), (4.57) где(4.58)(4.58)

—S-«v^0V„(»„ n,. n.)F(v„), (4.57) где

—S-«v^0V„(»„ n,. n.)F(v„), (4.57) где

(4.58)

(4.58)

есть спектральная плотность энергии-импульса гравитационных волн.

в. Свойства симметрии болванок. Гравитационная болванка характеризуется свойствами симметрии, которые, как отметила токийская группа [84], могут быть легко классифицированы путем использования результатов применения теории групп к изучению колебательных состояний многоатомных молекул [46, 144, 171]. Если группа симметрии болванки установлена, то классификация ее собственных мод определяется по таблицам характеров групп симметрии, приведенных в любой из книг или статей, упомянутых выше. Соответствующая собственная мода болванки будет реагировать на гравитационное излучение только в том случае, если тензор qntb определяемый уравнением (4.52), отличен от нуля. Это непосредственно следует из свойств симметрии собственного состояния. Результаты, полученные Хи- ракавой и др. [84] с помощью этой процедуры, представлены в табл. А2, где также резюмированы те определения теории точечных групп, которые могут оказаться необходимыми при чтении таблицы.

г. Тензор квадрупольного момента и диаграмма направленности. Посредством подходящего вращения осей тензор квадрупольного момента Dj^ определяемый уравнением (1.4), всегда может быть диагонализирован, так что единственными ненуле-

выми компонентами являются компоненты с одинаковыми индексами:

Du = $ Р (х2 - у г2) dV U = 1,2, 3).(4.59)

Из этого выражения сразу следует, что квадрупольный тензор (1.4) имеет след, равный нулю:

Оц + D22 + D33 = 0.(4.60)

Из этого тождества следует, что для болванки веберовского типа (с симметрией D^ и колебательной модой 2g) имеют место равенства

Z)22 = ^33 = — *2 ^Иэ

а для квадратной болванки токийской группы (с симметрией Ом и колебательной модой Big)

D22 = — Вц, D33 = 0.

В общем случае тензор qjk может быть выражен через параметр асимметрии т], определяемый соотношениями

Da=-Du(\-^2, D^ = — £)и (1 + т])/2,(4.61)

так что можно написать

< 1

0

° \

qlk= const

0

_ 1 "Л 2

° 1

(4.62)

<0

0

_ 1+л /

27

Веберовский цилиндр, работающий в моде А, соответствует ц = 0; поэтому

1 00

о о -4-

Его эффективная площадь и диаграмма направленности (рис. 4.4, а) имеют вид

(4.63)(4.63)(4.64)(4.64)Ао = -^ = 0.44Z2 = 0,44 (1 .б)2 = 0,66 м2,f (9», ф) =-у sin2 0.

(4.63)

(4.63)

(4.64)

(4.64)

а

Рис. 4.4. Диаграммы направленности: а — цилиндрической болванки; б — квадратной болванки [82, 113, 114].

(4.65)(4.65)

(4.65)

(4.65)

~ МЦ1 — 4а)

= ©8

1

0

0

0 0

-1 0

0 0

при эффективной площади

Квадратная болванка токийской группы, работающая в моде Bxgl соответствует т) = 1. В приближении (4.44) получаем

_ 3 Z2 (Z — 2а)23 -2

°8 /2 — 6/а + 12а2 ~ 8 1 ’

откуда для М = 1400 кг, Z = 1,65 м, а « 0,14 м следует

Ло = 0,77 м2.

Ее диаграмма направленности определяется функцией

f (0, ф) = 4 "~ 4 sin2 6 4 sin2 6 cos2 ^Ф»(4.66)

которая в полярных координатах имеет два пика в 4 дБ прц 6 = 0° и 6 = 180° (рис. 4.4,6).

Материал болванки и подвеска

Чувствительность 1бт8 резонансной антенны (разд. 8) определенным образом зависит от устройства болванки и структуры датчика, но эта зависимость всегда включает три фундамен-

тальных параметра: ее абсолютную температуру Т, массу М и добротность Q, которые обычно появляются в комбинации

T]M^Q,(4.67)

где Q-1 включает как механическое, так и электрическое затухание. При уменьшении температуры уменьшаются броуновское движение в болванке и внутренние потери в датчике. При заданном значении кТ среднеквадратичная амплитуда £0 смещения концов болванки уменьшается с увеличением ее массы М. При увеличении Q резонанс болванки становится уже, и широкополосный шум уменьшается без ослабления сигнала (разд. 7). При оптимальном условии (широкополосный шум равен узкополосному шуму) полный шум детектирующей системы также уменьшается. Большое значение Q может быть получено надлежащим выбором материала, структуры датчика и соответствующей конструкцией системы подвески болванки. В данном разделе мы главным образом обсуждаем выбор материала и типа подвески, предполагая, что болванка работает в вакууме, давление р которого достаточно мало, чтобы можно было пренебречь затуханием Q^aL вызванным остаточными газами, по сравнению с внутренним затуханием антенны Q*1:

Огаз ©о^газ Q ©оТо

Согласно Брагинскому [32], в случае осциллятора, состоящего из сферической массы пг радиуса а, движущегося в газе с п молекулами в единице объема (каждая массы р), имеем

-- = 4ау,41 (kT)'11 п.(4.69)

"газ

Для водорода при р = 10-8 мм рт. ст., Т = 1 К, а = 1 см имеем2т/тгаз = 3 • 10-11 г/с.

Механическая добротность Qm в общем случае дается выражением вида

•^-Ynfc'(4-7°)

где различные Qi соответствуют различным механизмам, которые вызывают затухание звуковых волн, а а, — некоторые коэффициенты. Величина Qm в значительной мере определяется тем из механизмов, который имеет наименьшее значение Q,. Появляющиеся в правой части равенства (4.70) члены в общем случае могут быть подразделены на два класса: один обусловлен

10 Зак. 203

различными механизмами затухания звука вследствие внутренних объемных потерь, а другой учитывает поверхностные эффекты, которые могут быть описаны как рассеяние звуковых волн поверхностью болванки.

Как отмечено Брагинским [13, 32], разумно ожидать, что наименьшие объемные потери имеют место в монокристаллах диэлектриков с высокой температурой Дебая. В этом случае предел произведения Qmto может быть вычислен с помощью выражения, приведенного Ландау и Лифшицем [95] для коэффициента поглощения звуковых волн, обусловленного термоупругими потерями. Значение Qw, полученное применением этого выражения к случаю сапфира, настолько больше измеренного значения, что совершенно очевидно наличие других механизмов затухания.

Поверхностные эффекты обсуждались Дугласом [50] в рамках модели, предложенной Саведовым (частное сообщение Д. Дугласу, 1975 г.). Вытекающее из этой модели выражение для Qm должно быть справедливо, когда длина звуковой волны Х$ значительно меньше, чем линейные размеры L болванки, но, согласно Дугласу, оно должно быть качественно справедливым также в случае Xs ~ L. Значение Qm, вычисленное для кристалла размером L ~ 1/2 м с поверхностными неровностями порядка IO-7 см, составляет 1018, что приблизительно на восемь порядков больше, чем наибольшее измеренное значение Qm. Как мы увидим ниже, для этих материалов доминирующим механизмом, вероятно, является взаимодействие упругих волн с тепловыми фононами.

Для металлов в настоящее время интерпретация экспериментальных значений Qm приводит к еще худшим результатам.

В табл. 4.1 приведены соответствующие характеристики при комнатной температуре для материалов, уже применявшихся либо серьезно рассматриваемых как материал для гравитационно-волновых резонансных антенн. Собственная добротность сапфира достаточно высока, чтобы оправдать надежду групп в Москве, Рочестере, Регине и др. скомпенсировать, особенно при низких температурах (см. ниже), довольно скромное значение массы.

Измерения, проведенные в Токио и Милане, показывают, однако, что Qm значительно изменяется от одного алюминиевого сплава к другому (табл. 4.2). Металлургическое изучение этой проблемы может принести приятные сюрпризы.

Идея охлаждения болванки до возможно более низких температур проистекает из очевидной необходимости уменьшения броуновского движения. Однако это дает и дополнительное преимущество, заключающееся в том, что механическая добротность значительно возрастает при переходе к низкой

Материал

Болванка

зоок

77 К

|4,2 К

1

Замечания

А1 сплав 17S

сплав 56S

ДИСК

М = 1,1 кг

v0 = 19,2 кГц диск

М = 1,1 кг

v0 = 19,2 Гц

2^- 10s

2,3-10*

1,6-10*

2,2 -10*

5,0 • 10*

4,0-107

Токийская группа, частное сообщение. Согласно дополнительным измерениям, на частоте 20 кГц алюминиевый сплав 5056 в десять раз лучше, чем спла

Nb

диск (рис. 4.11) М = 3,4 кг

9,0-10*

—

вы 2017, 5052, 6061

Сапфир

Кремний

диск

2/? =15,08 см

d = 6,06 см

М = 5,6 кг, v0 = 32,8 кГц

цилиндр

2R = 10,6 см, L = 22,9 см

М = 4,9 кг, v0 = 19,9 кГц

1,4 • 10е

0,38 • 10s

2,08 • 10®

2,4 • 10*

4,0-10*

1,7 • ГО9

Рочестерская группа [50]

Сапфир

цилиндр, шелковая подвеска

2R = 4,5 см. L = 15 см

М = 1 кг, v0 = 34 кГц цилиндр, вольфрамовая подвеска (такая же, как и выше) расчет по формуле Ахиезера

1,8-10*

1,4 • 10*

4-109

5,7 • 10*

4,2 • 10*

5-10*

5 • 109

5 • 109

10‘°

Московская группа [14]

Значения Qm для различных материалов в зависимости от температуры

7. Поиск гравитационных волн

температуре, как было установлено в Риме [41], Регине [127] и Москве [32, 33]. На рис. 4.5 показаны результаты, полученные римской группой с алюминием А1 6061. При низкой температуре значения Qm проявляют тенденцию к увеличению от одного охлаждения к следующему. Такое поведение было подтверждено недавними измерениями, проведенными с помощью лучшей техники и для большего диапазона температур [8].

На рис. 4.6 изображена зависимость Qm от 1/Т в полулогарифмическом масштабе для интервала 4,2—1 К. Экспериментальные точки могут быть описаны одним из следующих выражений:

Q = Qoexp(Ae/AT), (4.71а)

Q = a+ 6(1/7’). (4.716)

Мы не знаем механизма, ответственного за диссипацию, наблюдавшуюся в этой алюминиевой болванке при таких температурах. Его выяснение потребует по крайней мере экспериментального определения зависимости Qm от частоты. Если фактически действующий механизм правильно представляется выражением (4.71а), то соответствующая энергия активации Ае должна быть порядка 0,7-10-4 эВ.

Аналогичные измерения, проведенные в Университете Регина [93] также с алюминиевой болванкой (М = 4,4 кг, vo = = 6,629 Гц), дают при наинизшей из достигнутых температуре 4,2 К значение Qm = 4,1 • 106. Но они отличаются от римских измерений в двух отношениях. Вторая серия по существу воспроизводит значения Qm ниже 60 К, но дает заметно отличающиеся значения при температуре выше 60 К. Более того, создается впечатление, что Qm имеет постоянное значение между 10 и 4,2 К. Наиболее вероятно, что эти отличия вызваны использованием различных алюминиевых сплавов. Это очень важное обстоятельство, поскольку если закон типа (4.71а) перестает быть правильным, например при 0,1 К, то Qm должно возрасти в 1300 раз при переходе от 1 до 0,1 К. Значение Qm ~2-109 должно быть весьма интересным также с точки зрения возможности использования больших масс из алюминиевых сплавов.

Группа из Университета Регина [18, 93] изучала также поведение кристаллов кварца при температурах до 1 К (рис. 4.7) и пыталась интерпретировать некоторые пики поглощения как обусловленные механизмами потерь вследствие деформации решетки, вызванной ионами металлической примеси замещения, и при низких температурах — потерями из-за фонон-фононного взаимодействия. Аналогичное исследование было проведено в Рочестере [50] для сапфира и кремния (табл. 4.2).

Следуя первоначальному предложению Брагинского, советская группа изучала также сапфир в форме цилиндра длиной

ID6ID6о Iя серия ♦ 2я серия ■ Феерия п Феерия Д 5я серия

ID6

ID6

1010100 т, к

10

10

Рис. 4.6. Полулогарифмический график зависимости Qm от 1/Т в интервале 4,2 — 1 К при vo = 7545,2 Гц. Прямые линии получены методом наименьших квадратов. Первая серия соответствует Q = 5,31-105 ехр(0,87/Т), вторая серия Q = 8,49-105 ехр(0,80/Т) [8],Рис. 4.6. Полулогарифмический график зависимости Qm от 1/Т в интервале 4,2 — 1 К при vo = 7545,2 Гц. Прямые линии получены методом наименьших квадратов. Первая серия соответствует Q = 5,31-105 ехр(0,87/Т), вторая серия Q = 8,49-105 ехр(0,80/Т) [8],Рис. 4.5. Добротность Qm алюминиевой болванки в функции температуры.Низкотемпературные значения Qm возрастают при последовательных охлажде-ниях [42].

Рис. 4.6. Полулогарифмический график зависимости Qm от 1/Т в интервале 4,2 — 1 К при vo = 7545,2 Гц. Прямые линии получены методом наименьших квадратов. Первая серия соответствует Q = 5,31-105 ехр(0,87/Т), вторая серия Q = 8,49-105 ехр(0,80/Т) [8],

Рис. 4.6. Полулогарифмический график зависимости Qm от 1/Т в интервале 4,2 — 1 К при vo = 7545,2 Гц. Прямые линии получены методом наименьших квадратов. Первая серия соответствует Q = 5,31-105 ехр(0,87/Т), вторая серия Q = 8,49-105 ехр(0,80/Т) [8],

15 см и диаметром 4,5 см (М « 1 кг, vo = 34 кГц), подвешенного на тонкой нити (шелковой или вольфрамовой) в вакууме (р = Ю"7 бар). Чтобы уменьшить потери в поверхностном слое, поверхность кристалла полировалась алмазной пастой [14], после чего кристалл отжигался при низкой температуре в течение часа. Из результатов, представленных в табл. 4.2, видно, что могут быть получены значения Qm порядка 109.

Как отмечено советскими авторами, в поглощении доминирует эффект Ахиезера [2], т. е. взаимодействие упругих волн с тепловыми фононами [104], который дает вклад Q”1, приблизительно на два порядка больший, чем термоупругие потери:

1 ТСу2 сотQaP^s 1 + ^ ’

где С — удельная теплоемкость, т — время релаксации фононных мод, а у связано с константой Грюнайзена, которая характеризует нелинейность модуля упругости. К сожалению, величины т и v не известны точно при низких температурах [14]. Расчетные значения, приведенные в табл. 4.2, получены при разумных предположениях: у = 1 и т = ттерм, которые получаются с учетом коэффициента теплопроводности сапфира. С учетом различных неточностей, вносимых при расчетах, а также при исключении (или уменьшении) различных внешних потерь согласие между теоретическими и экспериментальными значениями может рассматриваться как удовлетворительное.

Брагинский и др. [15] изучали также высокочастотные (2,6—2,9 ГГц) диэлектрические потери сапфира при температуре 4,2—2,0 К и установили для них следующий верхний предел:

-у—= tgd = (2,4 ± 0,6) • 10-8 ,(4.73)

^el

который представляет большой интерес с точки зрения конструирования ВЧ-резонаторов, получаемых путем покрытия кристалла сапфира сверхпроводящим металлом.

Выбор подвески болванки является другим сложным вопросом, особенно когда достигаются очень высокие значения Qm. Во всех экспериментах первого поколения цилиндрическая болванка подвешивалась с помощью троса (обычно из стали), проходящего в пазу в срединной плоскости болванки. Эта свободная механическая подвеска сильно усложняла (или даже делала невозможным) использование детекторов, которые измеряют смещение концов болванки относительно фиксированной пластины конденсатора или электрического контура. Более того, если болванка охлаждается до температур порядка миллигра-

Рис. 4.7. Значения Qm* для кристалла кварца (12 X 1 X 0,75 дюймов) в зависимости от температуры по данным группы из Университета Регина [93].

дусов, подвеска образует нежелательный теплопровод к болванке.

Эти трудности, по-видимому, устраняются в других типах подвески, рассматриваемых ниже.

На рис. 4.8—4.11 показаны подвески, изучавшиеся в Мэриленде [141], Регине [93] и Токио [113, 114, 82].

Кольцевая подвеска, разработанная Ричардом (рис. 4.8), состоит из 240-градусной части короткого алюминиевого цилиндра, жестко прикрепленного к инертной массе L на изолирующей прокладке /. Подвеска на опорных призмах (рис. 4.9), также предложенная Ричардом, состоит из двух подставок, помещенных на расстоянии L/4 от центра болванки (длины L), каждая из которых имеет ослабляющий вырез W для облегчения движения болванки. Эти подставки жестко прикреплены к тяжелой инертной массе L, отделяющей болванку от звукоизолирующей прокладки /.

Группа Университета Регина [93] разработала крепление, изготовляемое вместе с болванкой из одного куска алюминия и состоящее из тонкой прокладки толщиной 10/1000 дюйма

Рис. 4.8. Болванка с центральной подвеской [141].

Рис. 4.9. Подвеска болванки с помощью опорной призмы [141].

Рис. 4.10. Жесткое крепление, разраббтанное канадской группой [93]

Рис. 4.11. Диск с жесткой узловой подвеской длины Х0/4 токийской группы (размеры в миллиметрах).

вокруг центральной части болванки, заканчивающейся тонким сплошным кольцом (рис. 4.10). Три секции прокладки вырезаны и оставляют свободными три участка сплошного кольца, которое является гибким в направлении, поперечном по отношению к болванке, и жестким в направлении, параллельном ей. Жесткость крепления достигается путем сильного прижатия середины гибких секций кольца держателем. Это устройство, удобное для болванок ограниченной массы, позволяет придавать им любую ориентацию.

Токийская группа [82, 113, 114] разработала для своей квадратной болванки (разд. 4.1.2, рис. 4.3) «подвеску в узловых точках», которая обладает преимуществами в тех случаях, когда узловые точки доступны. Обычно это имеет место для плоских болванок, колеблющихся в своей плоскости. Горизонтальный диск, узловые точки которого совпадают с его центром, удобно

поддерживать вертикальным жестким стержнем, соединенным с его центром и имеющим длину Х0/4, где Хо = vs/vo — длина волны избранной моды колебаний болванки (рис. 4.11).

На поддерживаемую болванку действует распределенная нагрузка, вызванная гравитационным притяжением Земли, которое обусловливает значительные напряжения и изгибающие моменты, вызывающие растяжение в верхней части плоскости опоры и сжатие — в нижней. Все эти напряжения могут вызвать испускание кратковременных акустических импульсов [67] со скоростью нескольких импульсов в секунду на некоторых дискретных частотах, которые могут совпадать или не совпадать с собственными частотами болванки, в частности с ее основной модой. В дополнение к этому вызванному напряжениями испусканию акустических импульсов присутствуют неупругие низкочастотные моды колебаний, которые сильно зависят от точной микроструктуры, или «текстуры» данного образца, но не зависят от скоростей упругих волн и его макроскопических размеров. Испускание акустических импульсов, обусловленное напряжениями, по-видимому, может быть уменьшено в случае антенн, действующих при очень низких температурах, путем замены сосредоточенной механической подвески распределенной магнитной подвеской. Этот метод, развитый параллельно в Станфорде [28], в Университете шт. Луизиана [19, 23, 77, 78, 116, 139] и Римском университете [6, 42], состоит в том, что болванку обертывают фольгой из жесткого сверхпроводника (Nb — Ti толщиной 0,4—0,2 мм) и помещают под ней группы сверхпроводящих катушек, генерирующих поддерживающее поле. Но этому методу присущи два неудобства: а) антенна может работать только при низких температурах, б) контакт с ниобиево-титано- вой фольгой может привести к уменьшению Qm. Эти неудобства устраняются путем подвески болванки на тросе внутри последнего контейнера криостата, который в свою очередь поддерживается магнитным полем1), но при этом вновь появляется вызванное напряжениями акустическое излучение.

Недавно стэнфордская группа нашла для своей болванки с М = 4800 кг более простое решение [29], основанное на хорошо изученной конструкции акустических фильтров, более совершенных, но подобных фильтрам, обычно используемым во всех экспериментах для изоляции криостата, содержащего болванку. В стэнфордском устройстве (рис. 4.12) болванка непосредственно подвешивается за четыре угла к четырем таким фильтрам (рис. 4.13). Каждый фильтр состоит из десяти стальных дисков весом 16 кг, разделенных мягкими прокладками из

’) Эта идея была применена при разработке криостата промежуточной антенны в римской группе [6].

Рис. 4.12. Подвеска болванки с М = 4800 кг стэнфордской группы.Рис. 4.12. Подвеска болванки с М = 4800 кг стэнфордской группы.300 к300 кСолирующий элементГруз 20 КЗСолирующий элементГруз 20 КЗ

Рис. 4.12. Подвеска болванки с М = 4800 кг стэнфордской группы.

Рис. 4.12. Подвеска болванки с М = 4800 кг стэнфордской группы.

300 к

300 к

Солирующий элемент

Груз 20 КЗ

Солирующий элемент

Груз 20 КЗ

990мм990ммТитановый/ стержень 05 мм

990мм

990мм

--W Ь'ТГР№П

1Титановый,

/стержень ф5мм

520мм

□

Антенна ^4800кг

Рис. 4.13. Некоторые детали акустического фильтра, изображенного нарис. 4.12.

неопрена толщиной 25 мм и площадью 0,021 м2. Эта подвеска устроена так, что неопрен сжат. Электрическим аналогом этой системы является 10-полюсный фильтр низких частот с частотой обрезания 2о)с, где о)с— резонансная частота одного стального диска на одной неопреновой прокладке. На основе испытаний прототипа фильтра стэнфордская группа оценивает, что ослабление, даваемое 10-полюсным акустическим фильтром, может достигать 5-Ю-11 вблизи частоты 830 Гц. Ожидается, что уменьшенная сила, передаваемая болванке через систему четырех фильтров, должна иметь среднеквадратичное значение 10~15 Н, которое можно сравнить с силой Найквиста при Г = 2 К 3,6 X ХЮ-11 Н/Гц^.

Датчики

Датчик является наиболее чувствительной частью резонансной антенны. Он всегда требует наибольшего внимания и допускает существенные принципиальные усовершенствования в деталях конструкции и технических решениях.

Вслед за Вебером во всех экспериментах первого поколения в качестве датчиков использовалась пьезоэлектрическая керамика. Но этот тип датчика не использовался на пределе своих возможностей, которые не слишком заметно отличаются от возможностей используемых в настоящее время установок. В табл.4.3 перечислены датчики, которые уже сконструированы, изготовлены или только предложены различными авторами. Они могут быть подразделены на два класса: пассивные и активные датчики. Класс активных датчиков имеет то преимущество, что в нем используется сверхпроводящая техника, основанная на эффекте Джозефсона, и (или) применяются те или иные способы механического или магнитного усиления крайне малых смещений или натяжений, подлежащих измерению. Эти устройства, однако, обычно имеют время отклика, значительно большее (0,1 — 1 с), чем возможная длительность гравитационных всплесков т5 (10~3 — 10™2 с).

Время отклика является нижним пределом для времени выделения сигнала, в течение которого возрастает броуновский шум (или любой другой узкополосный шум), обусловливающий соответствующее уменьшение чувствительности антенны (разд. 7).

Эта трудность, вероятнее всего, может быть устранена также путем использования СКВИДа (сверхпроводящего квантового интерферометрического датчика) при условии, что типичные современные приборы, работающие на весьма низких частотах (обычно 20 МГц), заменяются СКВИДом с постоянным смещением, который имеет то преимущество, что, являясь столь же чувствительным, действует при значительно более высокой час-

Таблица 4.3

Типы датчиков

Измеряемая величина

Литература

Пассивные датчики

а. Пьезоэлектрическая керамика + + полевой усилитель (при Т=4,2 К)

и

Рим [6, 7, 4, 5]

Пьезоэлектрическая керамика+ +СКВИД

и

Рим [16, 17]

б. Сверхпроводящий датчик натяжений

и

Рим [43, 40, 1, 6]

в. Емкостный датчик с постоянным смещением

6

Токио [113, 114, 82]

г. Магнитный датчик Резонансные датчики

i

Рочестер [50], Регина [93]

д. Сверхпроводящий акселерометр с настраиваемой мембраной

6

Станфорд [122, 63,64,

28, 65, 76]

е. Сверхпроводящий акселерометр со свободной массой

6

Батон-Руж [22, 139, 23]

ж. Сверхпроводящий акселерометр со связанной массой

1

Батон-Руж [22, 139, 23]

з. Резонансный емкостный акс ле- рометр с постоянным смещением

Быстродействующие датчики

i

Мэриленд [141, 142]

и. Модуляция емкости ВЧ-кон-

Москва [31]

тура

к. Модуляция емкости ВЧ-резо- натора

6

Токио [153], Перт [138]

тоте (джозефсоновской частоте), которая может составлять ~1012 Гц (см. разд. 9.3).

Этот раздел посвящен описанию датчиков, предназначенных для детектирования основной моды колебаний болванки. Некоторые из них могут быть приспособлены для многомодового детектирования; эта проблема весьма кратко рассмотрена в разд. 4.5.

Изучается также проблема «идеального детектора» (разд. 9.3), который допускает измерение n-го квантового уровня осциллятора, моделирующего болванку, без его возмущения.

Датчики основной моды, описанные ниже, могут быть подразделены на два класса: основанные на детектировании смещения (4.36), вызванного гравитационной волной, которое максимально на концах болванки, и основанные на детектировании натяжения и, которое максимально в центре болванки:

и (г, о = —55— = —5^- L у cos у z sin( to6t + л). (4.74а)

Рис. 4.14. Механический эквивалент ОТРис. 4.14. Механический эквивалент ОТ4^=4 Jpt2(r)dv.4^=4 Jpt2(r)dv.(4.75)(4.75)

Рис. 4.14. Механический эквивалент ОТ

Рис. 4.14. Механический эквивалент ОТ

4^=4 Jpt2(r)dv.

4^=4 Jpt2(r)dv.

(4.75)

(4.75)

Для z = 0 это дает

иМ-r^.iy<4J46>

откуда следует, что измерение натяжения в срединной плоскости болванки эквивалентно измерению смещения одного из ее

концов.

Все датчики, используемые в настоящее время или предложенные для детекторов гравитационных волн, по-видимому, под-

ХОДЯТ под определение линейных устройств (табл. 4.3), возможно, за исключением определенных типов «кван- тово-неразрушающих» детекторов, кратко описанных в разд. 9.3. Поэтому их свойства прекрасно описываются линейными уравнениями, которые связывают механические входные пере- менные pt^ и z(/) с электрическими выходными переменными — напряжением V2(0 и током hW- Эти уравнения обсуждались Джиффардом [74, 75], который представил одиночную моду резонансной болванки, управляющей датчиком, с помощью показанной

дельной моды резонансного детектора, на рис. 4.14 механической соединенного с датчиком.модели. Нормировка такова,

что смещение z^ в модели отождествляется с изменением £(/) длины, вызванным соответствующей модой колебаний. Масса Мт модели выбрана так, чтобы ее кинетическая энергия была равна полной кинетической

энергии моды, т. е.

Податливость Кт и затухание цт определяются требованием, что резонансная частота (Кт/Мт)41 и время затухания то = = 2Мт/р.т в модели и в реальной антенне совпадают.

Используя в качестве входных переменных «скорость» хЦ^ и силу р<(0, прилагаемую со стороны модели к датчику, Джиф- фард [74, 75] по аналогии с электрическим четырехполюсником

в предположении, что датчик не содержит источников шумов, записал уравнение импеданса в виде

/ Pt(h \/ ^11 ^12 ^/^(О \

liMO/ U21 zjkw

Коэффициенты Z,/ матрицы импеданса являются дифференциальными операторами, связывающими механические и электрические переменные. Величины Zu и Z22 представляют собой ме-

^lksV^nk5A М5)^lksV^nk5A М5)v^Wh^v^Wh^Рис. 4.15. Электрическая эквивалентная схема отддельной моды резонансного детектора, соединенного через датчик с шумящим усилителем [74, 75].Рис. 4.15. Электрическая эквивалентная схема отддельной моды резонансного детектора, соединенного через датчик с шумящим усилителем [74, 75].

^lksV^nk5A М5)

^lksV^nk5A М5)

v^Wh^

v^Wh^

Рис. 4.15. Электрическая эквивалентная схема отддельной моды резонансного детектора, соединенного через датчик с шумящим усилителем [74, 75].

Рис. 4.15. Электрическая эквивалентная схема отддельной моды резонансного детектора, соединенного через датчик с шумящим усилителем [74, 75].

ханический входной импеданс и электрический выходной импеданс соответственно. Смешанный импеданс Z2i определяет прямую передачу от входного сигнала к выходному, а величина ZX2 определяет обратную связь выхода со входом. Для любого пассивного устройства теорема взаимности утверждает [105]

z12 = z21. (4.77)

Наличие этой фундаментальной взаимности подразумевает, что энергия шума, связанного с усилителем, проходя датчик, преобразуется в силу шума и прилагается к антенне.

Отклик модели, изображенной на рис. 4.14, на управляющую силу р*(0 может быть записан в виде

К m2 10 + MmZ (/) + М (I) + pt (!) + Рп (0 + Рх (0 = О, (4.78)

где р<(/) может быть выражено с помощью первого уравнения (4.76), а сила pn(t) является шумом Найквиста, связанным с диссипативным элементом цт. Он имеет спектральную интенсивность kT т, где Тт — температура источника диссипации.

Уравнения (4.76) и (4.78) могут быть легко проанализированы с помощью эквивалентной электрической цепи (рис. 4.15), в которой сила отождествляется с напряжением, а скорость — с током. Анализ этой эквивалентной цепи проводится аналогично

выполненному в разд. 5. Следуя этой процедуре, Джиффард получил квантовомеханический предел для линейного усилителя, который кратко обсуждается в разд. 9.3.

Пассивные датчики

а. Пьезоэлектрические датчики. Все кристаллы в сегнетоэлектрическом состоянии являются пьезоэлектриками: напряжение а, приложенное к кристаллу, изменяет его электрическую поляризацию. Но кристалл может быть пьезоэлектриком и не будучи сегнетоэлектриком. Кварц является пьезоэлектриком, но не сегнетоэлектриком; титанат бария является и тем и другим.

Пьезоэлектрическая среда описывается двумя системами линейных уравнений, которые содержат несколько постоянных. Они могут быть измерены статически при постоянной температуре. В этом случае упругие постоянные являются изотермическими. Однако для быстро колеблющейся среды эффективные упругие постоянные являются адиабатическими, поскольку не существует обмена теплом между смежными элементарными объемами. Для адиабатических условий пьезоэлектрические уравнения могут быть записаны в виде [106]

о, = с^и — е.Е^, Dn = entu, + е“ Е. (4.79) / I] I ml m1 n nt t 1 mn nv 4 /

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам и

(<Т 1 <Т6 O’s \/ Щ Uq U5

(4.80)(4.80)Об О2 О4 I, U i = I Ue U2 U4^5 ^4 ^3 ^' ы5 ы4 «3

(4.80)

(4.80)

есть тензоры напряжений и натяжений, е“ п — тензор диэлектрической проницаемости при постоянном натяжении (m, zz = 1, 2, 3), cf, = (dajldu^E = 1/sfy — модуль Юнга при постоянном Е, s= — упругие постоянные при постоянном Е,

a dmi — пьезоэлектрические постоянные. Последнее соотношение является одним из соотношений между пьезоэлектрическими и упругими постоянными, вывод которых можно найти в приложении к работе [106].

Уравнения (4.79) в дальнейшем будут применяться только для очень простого случая величин, зависящих от одной пространственной координаты 2, так что векторы Е и D, как и тец- зоры а/, □/ и гтп, сводятся к одной компоненте.

Таким образом, уравнения (4.79) принимают вид

о =--—£, D = — и + е.Е,(4.82)

где использовано соотношение (4.81).

Эти два уравнения связывают выходную электрическую активность пьезоэлектрика, выраженную через Е и D, с входными механическими величинами о и и. Проблема определения входных данных через наблюдаемые выходные оказывается очень простой в двух хорошо известных экстремальных противоположных случаях бесконечного и нулевого входного импеданса [124]. Эти результаты согласуются с полученными путем применения общего уравнения импеданса (4.76) к данному частному случаю. Для пьезоэлектрических датчиков находим

7ц = Z22 = Z12 = Z21 ~ *7^7»(4.83)

где С2 — емкость пьезоэлектрического датчика.

Измерение в незамкнутой цепи. Две покрытые металлом противоположные поверхности пластины толщиной 2, изготовленной из пьезоэлектрика, связаны с предусилителем с бесконечным входным импедансом. Когда к поверхности пластин прилагается изменяющееся со временем механическое напряжение, плотность заряда D остается нулевой, и мы получаем из второго уравнения (4.82)

==(4.84)

где V(/)—выходное напряжение на пьезоэлектрике.

Таблица 4.4

Примеры значений упругих и пьезоэлектрических постоянных

S 10*1 М2/Н

d, Кл/Н

8г

sld, м2/Кл

serld, м2/Кл

Кварц

Керамика Гультона

G-1408

1,28

1,22

2,25 • 10~12

2- 10—10

4,8

1,1 • 103

5,7

6,1 • 10—2

27,3

67,1

При значениях постоянных, приведенных в табл. 4.4 (и 2 = = 1,5 см) получаем (в единицах натяжения на вольт)

S8( 1,6- 10'8 для кварца,

dz( 4 • КГ8 для керамики G-1408,

получитьполучитьТаким образом, при натяжении yt « 4-10~15 см/102 см можно

получить

получить

J 2,5- 10 9 В для кварца,^^1 10~9В для керамики G-1408.

Измерение в замкнутой цепи. Если входной импеданс усилителя настолько мал по сравнению с. импедансом керамики, что металлизированные поверхности могут рассматриваться как находящиеся в контакте, то Е = 0, и мы получаем

u(0 = 4d(/) = -^-Q(0,(4.85)

где 5 — площадь металлизированных поверхностей. Для S = = 25 см2 получаем

( 22,8 • 102Q для кварца,“^ t 24,4Qдля керамики G-1408.

При том же натяжении, что и в предыдущем случае, получаем (в кулонах)

( 1,8- 10"29 для кварца, Q(/) = 4г

( 1,6- 10 1 для керамики G-1408.

В силу равенств (4.83) уравнение импеданса (4.76) может быть заменено простым соотношением между и(() и У(/). Используя (4.746), получаем хорошо известное соотношение, введенное Вебером:

V(/) = ^(Z),(4.86)

где a — постоянная связи, выражение для которой получается из рассмотрения случая усилителя с бесконечным входным импедансом путем сравнения (4.86) с (4.84) и (4.746). В результате получаем

a = л dzIseL,(4.87)

откуда находим в случае уже упоминавшейся керамики Гальтона G-1408, работающей при комнатной температуре:

(4.88)(4.88)J 5,3 • 107 В/м для £=1,5 м,“ = ( 2,6 • 10® В/м для L = 0,30 м.

(4.88)

(4.88)

Непосредственное измерение а для болванки длиной 0,30 м дало значение a = 2,4-10® В/м, не зависящее от температуры в области ниже 4,2 К [6]. Поскольку диэлектрическая проницаемость 8Г уменьшается в 3,3 раза при переходе от 300 к 4,2 К, этот результат означает, что отношение d/s также должно уменьшаться в той же пропорции.

Первоначально Вебер, как и другие авторы, приклеивал пьезоэлектрическую керамику на алюминиевый цилиндр. Исследовался также клей с целью нахождения состава, наилучшего с точки зрения уменьшения влияния на значение добротности Q болванки. Мюнхенская группа, в частности, изучала также различные конфигурации кусков алюминия, наклеиваемых на цилиндр и предназначенных для улучшения связи болванки с пьезоэлектрической керамикой [21, 39].

Рис. 4.16. Крепление пьезоэлектрической керамики без клея [6, 7].

Позднее римская группа избежала использования какого- либо клея путем изготовления прорези шириной 30,31 мм по срединной плоскости цилиндра, которая при комнатной температуре была на 0,06 мм шире, чем полная толщина двух кусков керамики, укрепляемых, как показано на рис. 4.16 [6]. Вследствие большего сжатия алюминия керамика начинает зажиматься при температуре около 120 К и хорошо связана с болванкой уже при температуре жидкого азота (78 К). Это показано на рис. 4.17, где представлены измеренные значения постоянной связи датчика в зависимости от температуры. Этот метод позволяет установить идеальную связь без клея и может использоваться в случае низкотемпературных антенн.

В заключение выясним влияние пьезоэлектрической керамики, прикрепленной к болванке, на измеряемую добротность Q антенны. Можно показать [124], что (разд. 5)

11 V 10"=0;+2-^-0- + Р^д- (4-89)

где Q, Qb и QpZ — добротность всей системы, алюминиевой болванки и керамики, Vb и Vpz — объемы болванки и керамики, Р — коэффициент энергии связи (5.28) и tg б —электрические потери в керамике. Разумное приближение в уравнении (4.89) получается, если отношение Vpz[Nb во втором члене в правой

части приравнять единице. С нашей керамикой мы получили при низкой температуре tg6<10-2, Р^10“4 и Qpz = 600—- 1700. Для объема керамики Vpz ~ 25 см2 мы получили следующие значения второго члена в уравнении (4.89): 3,5-10-7 для алюминиевой болванки массы М = 390 кг и 2,5-10-8 для болванки с М = 5000 кг.

Можно заключить, что пьезоэлектрические датчики начинают влиять на добротность антенны, как только Q болванки достигает значения 105— 106 в зависимости от массы болванки.

Рис. 4.17. Постоянная связи датчика из пьезоэлектрической керамики, укрепленной, как показано на рис. 4.16, в зависимости от температуры [6, 7].

Для более низких значений Qb не существует веской причины для отказа от этого типа датчика, простота которого остается непревзойденной в любом другом приборе.

Использование при низких температурах пьезоэлектрической керамики в качестве датчиков натяжений, связанных с полевым усилителем, ограничивается внутренним шумом последнего. С целью получения более совершенной конструкции Барбанера и др. [16] начали изучение альтернативного метода усиления, суть которого заключается в связи пьезоэлектрической керамики со СКВИДом через сверхпроводящий преобразователь для измерения сверхслабых токов. Хотя оптимальное согласование высокоимпедансного выхода пьезоэлектрической керамики с низкоимпедансным входом СКВИДа в настоящее время не может быть реализовано, тем не менее получаемая при таком ме* тоде чувствительность, по-видимому, по крайней мере на порядок лучше, чем при использовании современных полевых усилителей. Более того, благодаря уменьшению резонансного шума

Рис. 4.18. Принцип устройства датчика натяжений, исследовавшегося в Риме [1, 40, 43]; а — ферромагнитный тор помещается в открытую полость в центре болванки; б — схема датчика: SCM — сверхпроводящий балластный магнит, SCT — сверхпроводящий преобразователь постоянного потока, TS — сверхпроводящие термореле для ввода непрерывного постоянного тока в сверхпроводящую цепь,СТ — тороиды из криоперма, СС — сердечники из криоперма.

рабочая температура антенны может быть понижена, что приводит к дальнейшему повышению полной чувствительности.

Наконец, можно переписать (4.89) в виде

i = i + ₽tg> или -^= 1 + QmPtgd, (4.90)

где Qm — механическая добротность антенны (болванка + пьезоэлектрический датчик). Иногда бывает удобно рассматривать (p/g6)-1 как эффективную электрическую добротность антенны Qe. Соотношение (4.90) будет часто использоваться в дальнейшем.

няется вследствие малой деформации тора, магнитный поток претерпевает изменение, которое посредством сверхпроводящего преобразователя подается на СКВИД.

Прототипы такого датчика уже изучались и дали экспериментальные результаты, которые количественно согласуются с простыми расчетами, основанными на магнитном контуре, изображенном на рис. 4.18. Таким образом, авторы смогли сделать предсказания о полной чувствительности гравитационно-волновой антенны, снабженной таким датчиком, на достаточно надежной основе. В частности, они изучили вопрос о минимальном детектируемом натяжении (А///)МИн и оптимальной ширине полосы детектирования AvOnT для нескольких существенных случаев.

В зависимости от размеров болванки и датчика авторы ожидают получить значения в пределах от (А///)МИн = Ю“17 и Avqht = 20 Гц для малой 20-килограммовой болванки при температуре 4,2 К до (А///) мин = Ю-20 и Avoni = 1 Гц для 5-тонной трехметровой болванки, охлажденной до 10 мК.

В каждом из этих случаев они предполагали, что механическая добротность Q порядка 106, а магнитный поток шума равен 10-4 Гц_,/2— этими параметрами обладают коммерческие СКВИДы.

Когда датчик монтировался на алюминиевой болванке с М « 30 кг, возникали некоторые трудности из-за неудовлетворительных механических свойств используемого ферромагнитного материала. Это устройство представляет интерес, хотя ему присущ тот же недостаток, что и пьезоэлектрическим датчикам, а именно оно влияет на полную добротность болванки, когда ее значение приближается к 106.

Емкостные датчики с постоянным смещением. Емкостный датчик был впервые применен Брагинским и др. [36] в случае болванки с консольными стержнями (см. разд. 4.1.5.3). Простейшее устройство, принадлежащее этому типу, было разработано и использовано токийской группой для их квадратной антенны (рис. 4.3). Конденсатор состоит из пары электродов площадью 24 X 7,5 см2 из алюминиевого сплава, весящих 0,7 кг и помещенных на расстоянии 40 мкм друг от друга. Два электрода вместе с двумя кусками люсита толщиной 0,5 см в качестве изоляторов прикрепляются к поверхности антенны на противоположных сторонах разреза.

Значительного внимания требует выбор крепления. Используя алюминиевые гайки и болты и прокладки из поликарбоната в качестве изоляторов, токийская группа наблюдала частые нетепловые возбуждения моды, главным образом обусловленные акустическим излучением смолы (разд. 4.1.4) [67].

ЦилиндрЦилиндрввРис. 4.19. Схемы акселерометров, основанных на измерении градиента потока [50].Рис. 4.19. Схемы акселерометров, основанных на измерении градиента потока [50].

Цилиндр

Цилиндр

в

в

Рис. 4.19. Схемы акселерометров, основанных на измерении градиента потока [50].

Рис. 4.19. Схемы акселерометров, основанных на измерении градиента потока [50].

Этот недостаток устраняется при применении быстро затвердевающего (~30 с) клея (цианобонд RS 100, «Цумитомо ке- микл»). Он наносится на люситовые изоляторы, которые прикрепляются к внутренним поверхностям смежных квадрантов болванки и прижимаются к ним через бумажную прокладку толщиной 40 мкм, вставленную между электродами конденсатора. После затвердевания клея бумажная прокладка удаляется. Два конденсатора укрепляются на противоположных разрезах болванки и соединяются параллельно, чтобы уменьшить чувствительность датчика к нежелательным модам антенны. Чтобы избежать нежелательных

потерь в антенне, соединение электродов осуществляется посредством золотой проволоки диаметром 20 мкм. Конденсаторы заряжаются через сопротивление 200 МОм от источника постоянного напряжения 300 В с целью избежать разрядов. Низкочастотное напряжение, появляющееся на сопротивлении, усиливается предусилителем с низким шумом и высоким импедансом, который состоит из четырех входных параллельных полевых транзисторов и обладает коэффициентом усиления по напряжению, равным 70.

Акселерометр, основанный на измерении градиента потока. Основная идея рочестерской группы [50]

состоит в использовании способности СКВИДа измерять изменение магнитного потока. Поэтому главное заключается в выборе таких конфигураций потока, которым соответствует большой градиент потока относительно болванки. Таким образом, если поверхность болванки смещается на расстояние А£ = Az относительно катушки СКВИДа, то минимальное смещение, которое можно измерить, равно

х 6фсквид

дФ/дг '

Были рассмотрены различные схемы (рис. 4.19). Схема а состоит из двух противоположно ориентированных магнитов; которые жестко прикреплены к болванке, Рочестерская группа

получила значение дФ/дг = 1,6-10-12 Гссм [87], которое в сочетании с шумовым потоком СКВИДа бФсквид ~ 1,4-10-12 ГсХ Хем2 Гц~,/2 [70] дает следующую возможную чувствительность к смещениям:

A£ = Az~9- 10"18(Av)V1 cm,

Катушки съема сигналаКатушки съема сигнала

Катушки съема сигнала

Катушки съема сигнала

Болванка

Рис. 4.20. Магнитный датчик группы из Университета Регина [93].

Схема б проще, чем схема а, и имеет вдвое меньшую чувствительность. Схема в включает сверхпроводящую пленку в форме кольца, по которому течет незатухающий ток. Ток в сверхпроводящем кольце порождает неоднородное магнитное поле. Эта схема весьма привлекательна, поскольку сводит до минимума уменьшение значения Q болванки.

Тот же принцип используется в магнитном датчике, разработанном канадской группой [93]. Он состоит из двух независимых детекторных систем, расположенных на каждом конце антенны.

Каждый детектор состоит из двух идентичных катушек съема сигнала, намотанных на цилиндрическую болванку (/? = 3,56см) вблизи ее конца, и трех окружающих их полевых катушек в фиксированных положениях, которые создают два противоположно ориентированных статических градиента поля перед катушками съема сигнала (рис. 4.20). Последние наматывают в противоположных направлениях и соединяют последовательно, чтобы обеспечить максимальный выходной сигнал с минимальной индуктивной нагрузкой. Главным преимуществом этой схе-

мы является ее нечувствительность к сильным магнитным полям.

Смещение конца болванки относительно катушек статического поля приводит к изменению магнитного потока в катушках съема сигнала, величина которого равна

АФ = 2лгВг Ag,

где г — радиус катушки, а Вг— радиальная компонента статического магнитного поля. Индуцируемое а катушках съема сигнала напряжение

V = -<2n^ = -^rnBr-^-)(4.91)

где п— число витков в каждой катушке съема сигнала.

Выход этих катушек может быть связан с входом СКВИДа. Для максимальной чувствительности индуктивность катушек съема сигнала должна быть сделана равной входному импедансу СКВИДа либо посредством выбора подходящего числа витков п, либо путем использования сверхпроводящего преобразователя на входе СКВИДа.

Сила реакции, действующая на болванку и обусловленная действием поля на ток в катушках съема сигнала, может быть легко рассчитана. Величина эффективного отраженного сопротивления в цепи детектора, обусловленного внутренним трением антенны, дается выражением

Метраж === (4лГМВг)2/6,

где b— параметр механического затухания.

В случае металлической болванки ее колебания в статическом магнитном поле ведут к дополнительному затуханию вследствие вихревых токов, которое обусловливает очень малые значения Вг (несколько сотен гаусс) и поэтому является серьезным фактором, ограничивающим достижимую чувствительность. Этот недостаток устраняется при использовании болванок из изоляционных материалов.

Оценка чувствительности устройства такого типа, действующего при очень низких температурах, может быть сделана следующим образом. Из уравнения (4.91) после замены d^/dt на (оо^ получаем ток в цепи СКВИДа

. V 4nRnBfto0 f.

где Lp и Ls — индуктивности двух катушек съема сигнала и СКВИДа. Из этого выражения получаем

бмин 4пгпВг <мин*

где /мин определяется выражением

*2* (Lp -|- Ls) /мин = Емин — 2 • 10 Дж/Гц;

Емин— энергетическая чувствительность СКВИДа, измеренная на входной катушке.

Если допустить обусловленное вихревыми токами уменьшение от 4-Ю6 до 2-Ю6, то максимальное приемлемое поле равно В, = 0,063 Вб/м2, а выражения

/мин/?отраж ”^~ » "q” ’ ^° ^0 ^ 6628 Гц)

для Т = 3-10“3 К соответственно равны 3,5* 10“, 2,1-Ю*32 и 4,4 -Ю-^ Дж. Рассчитанная при этих условиях чувствительность составляет £МИн = 2,0-10-18 м, что можно сравнить со среднеквадратичной амплитудой, обусловленной чисто броуновским движением, <£в> = 4,64-10-18 м.

Использование двух разделенных СКВИДов и детекторов (каждый на одном из концов болванки), действующих на совпадениях, улучшает ситуацию с шумом СКВИДа.

Увеличение чувствительности может быть достигнуто при использовании сапфировой болванки, для которой канадская группа вычислила следующие значения: £МИн ~ 5,8-КН1 м при Q 109, Вг = 1,0 Вб/м2, Т = З-10-з к.

Резонансные датчики

Интересная идея, предложенная Лаврентьевым [97] и независимо Пэйком [120—122], используется в четырех акселерометрах, описанных в данном разделе1). Пробная масса ш, значительно меньшая, чем масса болванки М, укрепляется на одном из торцов алюминиевой болванки таким образом, что она резонирует на частоте Vo = оо/2л основной моды болванки. Механическую задачу можно моделировать двумя связанными гармоническими осцилляторами, каждый с угловой частотой <оо, но

с различными массами (рис. 4.21). Однако собственные частоты системы не вырождаются вследствие наличия взаимной связи. В первом порядке по m/М. они имеют вид

<0± = ЙО [ 1 ± (т/М^А. (4.92)

В действительности наблюдаются биения с угловой частотой сов/2, причем

а) в = о+ — о_ = о0 (tnlM^2.(4.93)

Энергия передается от одного осциллятора к другому. Если ^(/) и у^— координаты болванки и пробной массы в лабораторной

—^WSW^—^WSW^Рис. 4.21. Два связанных гармонических осциллятора, моделирующие болванку, соединенную с резонирующей пробной массой [122].Рис. 4.21. Два связанных гармонических осциллятора, моделирующие болванку, соединенную с резонирующей пробной массой [122].

—^WSW^

—^WSW^

Рис. 4.21. Два связанных гармонических осциллятора, моделирующие болванку, соединенную с резонирующей пробной массой [122].

Рис. 4.21. Два связанных гармонических осциллятора, моделирующие болванку, соединенную с резонирующей пробной массой [122].

системе, а начальное смещение придается только большей массе [6(0) = |о, у(0) = 0], то отклик системы с течением времени дается выражениями [120]

=СО8уйв/,

(4.94)

У (0 = 60 (M/m)l/1 e~w sin у йв/.

(4.95)(4.95)В момент времени

(4.95)

(4.95)

‘отклика — Юд — 22v0 \ m /

£(/) обращается в нуль, а у(<) достигает максимального значения ^(М/тУ1*. Вся энергия передается от болванки к пробной массе, которая колеблется с амплитудой, умноженной на (М/тУ11. Поэтому можно получить произвольно большую амплитуду за счет выбора т/М произвольно малым. Однако при уменьшении т/М время отклика второго осциллятора увеличивается согласно уравнению (4.95).

Это основной недостаток резонансных датчиков. Время выделения сигнала А/ не может быть выбрано заметно короче, чем время отклика (4.95), которое для больших значений (М/т)7»

значительно больше, чем длительность импульса гравитационной волны (tg ~ 10-3 с). В то время как энергия приходящей волны поглощается болванкой только в течение времени т^, броуновское движение болванки, или, лучше сказать, узкополосный шум антенны, возрастает в течение всего времени выделения сигнала А/. Другими словами, выбор ширины полосы (~1/А/) для оптимизации отношения сигнала к шуму в общем случае невозможен из-за ограничения А/ = /отклика-

При использовании этого метода возникает сложный вопрос, касающийся настройки двух осцилляторов. Если их угловые частоты о)1 и 0)2 не равны, а отличаются на малую величину 6, так что можно написать

о»,.2 = <0о(1±уб),(4.96)

то уравнения (4.92), (4.93) и (4.94) заменяются следующими соотношениями, справедливыми в первом порядке по б2 и т]М‘.

ч^о^^+й’Т-(4-97)

йв = ^-к_ = <^^^\(4.98)

6 (0 = W1^ ( cos 1 б)в/ -I ---1- sin -J- &Bt),

(2[б + km/M)!'*2 J

у (/) = —-—— л- ie-1®»1 sin — ®Bt.(4.99)

9X1 [d2 + (m/Af)]2 sx ’

В этом случае требование к настройке для энергии связи между двумя осцилляторами, равной единице, имеет вид

Год = ®об < и0 (m/Af )V1.

Для отношения масс т/М « 10-3 кг/103 кг = 10-6 и юо = 2л X ХЮ3 Гц требуемая точность настройки порядка 1 Гц, что может быть достигнуто без слишком больших затруднений. Когда / = = л/юв, 1(0 не исчезает полностью, а имеет минимальную амплитуду, в то время как у(0 возрастает до амплитуды 1о[62 + + (т/М)]_,/s. Поэтому энергия связи меньше единицы и дается выражением

/п/М

8М ~ б2 + (т/М) •

Для б2 = т/М половина энергии болванки передается резонансной диафрагме в течение полупериода биений.

В присутствии малого трения выражение (4.97) заменяется на

®± = ®2 { 1 ± [б2 + (zn/Af)]7’ - -А-1,(4.100)

б ) 1[д2 + ImlMW'*1 J Чб ) 1[д2 + ImlMW'*1 J Чгде 2т±— времена затухания амплитуды нормальных мод механической системы, связанные с модами затухания энергии первого (ti) и второго (тг) осцилляторов соотношениями

б ) 1

[д2 + ImlMW'*1 J Ч

б ) 1

[д2 + ImlMW'*1 J Ч

2 I _ _1_ I 1 ZE [62 + (jnlMYl'11 J Ti I

которые при п = Т2 = то, как и следовало ожидать, дают т± =

= То.Когда времена релаксации различны, т. е. Т1^Т2, или оба осциллятора имеют разные добротности, меньшее из этих времен определяет добротность нормальных мод.= То.Когда времена релаксации различны, т. е. Т1^Т2, или оба осциллятора имеют разные добротности, меньшее из этих времен определяет добротность нормальных мод.Рис. 4.22. Сверхпроводящий датчик стэнфордской группы с настраиваемой диафрагмой [122].Рис. 4.22. Сверхпроводящий датчик стэнфордской группы с настраиваемой диафрагмой [122].

= То.

Когда времена релаксации различны, т. е. Т1^Т2, или оба осциллятора имеют разные добротности, меньшее из этих времен определяет добротность нормальных мод.

= То.

Когда времена релаксации различны, т. е. Т1^Т2, или оба осциллятора имеют разные добротности, меньшее из этих времен определяет добротность нормальных мод.

Рис. 4.22. Сверхпроводящий датчик стэнфордской группы с настраиваемой диафрагмой [122].

Рис. 4.22. Сверхпроводящий датчик стэнфордской группы с настраиваемой диафрагмой [122].

Уравнение (4.101) должно правильно описывать затухание связанных колебаний в течение времени порядка периода биений или большего. В течение времени, малого по сравнению с периодом биений, эффективные значения Q для осцилляторов в случае тепловых флуктуаций отличаются от предсказанных на основе (4.101) [121].

В заключение отметим, что в случае резонансных датчиков броуновское движение пробной массы пг должно квадратично складываться с броуновским движением болванки (Л4 ^> щ), так же как со всеми другими источниками шумов, подобно тому как это делается в разд. 6 для другого типа датчиков.

д. Сверхпроводящий акселерометр с настраиваемой мембраной [121, 122]. Этот акселерометр, укрепляемый на одном конце болванки (рис. 4.22), состоит из плоской сверхпроводящей ниобиевой мембраны (толщиной 10~2—10-1 см), которая служит высокодобротным механическим резонатором. Ее движение модулирует индуктивность двух катушек съема сигнала Ц и L2, плоско намотанных в форме дисков и помещенных с двух

сторон от ниобиевой мембраны. Если в сверхпроводящую цепь, образованную Li и В2, подвести постоянный ток /о, то магнитный поток, создаваемый током /о, должен находиться вне сверхпроводящих поверхностей мембраны в силу эффекта Мейсснера. Любое ускорение поверхности болванки заставляет мембрану двигаться относительно плоских катушек и тем самым модулировать индуктивности L\ и L2. Поскольку Li и £2 соединены параллельно с £з и полный магнитный поток в цепи, образуемой L\ и L^ квантуется, движение мембраны вызывает изменение магнитного поля в L^ пропорциональное амплитуде ее движения. Это изменение магнитного поля в L^ детектируется тороидальным СКВИДом (смещенным на 30 МГц), который является чрезвычайно чувствительным магнитометром с очень низким шумом. Мембрана называется «настраиваемой», поскольку ее механический резонанс может быть настроен на резонанс болванки магнитным полем, которое создается постоянным током /0.

Отношение входного сигнала магнитометра к смещению мембраны также пропорционально величине незатухающего тока. Способность изменять коэффициент преобразования особенно важна, поскольку проблема согласования для магнитометра СКВИДа еще не полностью решена [75].

В первоначальных вариантах акселерометра предполагалось использовать мебрану массы т = 5 г. В эксперименте на болванке с М = 680 кг т была равна 23 г, а резонансная частота мембраны была выбрана близкой к частоте болванки (в пределах 20 Гц). Для болванки с М = 4800 кг масса т мембраны была выбрана равной 1 кг.

Для акселерометра с настраиваемой мембраной импедансы, входящие в (4.76), имеют вид [29]

Zn — соZn — соMt^Md-iMt^Md-iсо-со-/I2/I2®d®dZ12 — Z21 — —1Z12 — Z21 — —1BoZ-V4BoZ-V4to2 .£_4 Qdto2 .£_4 Qd(4.102)(4.102)

Zn — со

Zn — со

Mt^Md-

i

Mt^Md-

i

со-

со-

/

I2

/

I2

®d

®d

Z12 — Z21 — —

1

Z12 — Z21 — —

1

BoZ-V

4

BoZ-V

4

to2 .£_

4 Qd

to2 .£_

4 Qd

(4.102)

(4.102)

^22 — toLw ~Н Ге,

где Mt — полная масса датчика; Md, ^d, Qd относятся к мембране; / — длина провода в каждой плоской катушке; Во— тангенциальное магнитное поле, обусловленное незатухающим током /о; В22— самоиндукция двух соединенных параллельно ка-

тушек, а ге — сопротивление, характеризующее электрические потери, обусловленные изменением потока.

е. Сверхпроводящий акселерометр со свободной массой [22, 23, 139]. Этот акселерометр прикрепляется к концу болванки, где ускорение |(/, z = yL) максимально. По принципу своего действия он похож на московский емкостный датчик, описанный в разд. 4.1.5.3. Его основной частью опять-таки является высокодобротный задающий ВЧ-генератор, связанный

Рис. 4.23. Сверхпроводящий акселерометр со свободной массой группы из Батон-Ружа [22].

с LC-контуром (параллельный резонатор), индуктор которого (вместо конденсатора) модулируется смещением пробной массы относительно конца болванки.

Движение пробной массы ограничено двумя степенями свободы в направлениях, перпендикулярных оси болванки, но практически не ограничено в направлении г. Она изготовлена в форме цилиндрической катушки из высокосортного ниобия (рис. 4.23). Сверхпроводящая проволока, натянутая вдоль оси симметрии и проходящая через полую сердцевину пробной массы, создаст магнитное поле, которое поддерживает пробную массу. Эта сверхпроводящая проволока образует замкнутую цепь, что делает возможным циркуляцию незатухающего сверхтока такой силы, которая достаточна для создания необходимого поля. Один конец подвешенной катушки подводится на как можно меньшее расстояние d к индуктивному элементу резонансного контура, чтобы изменять его индуктивность и резонансную частоту контура. Индуктивный элемент намотан в форме диска, так

что конец цилиндрической катушки может приближаться на малое расстояние к плоской катушке (d=10“3 см). Индуктивность плоской катушки будет при этом линейно изменяться в зависимости от расстояния х между пробной массой и плоской катушкой.

Результирующее изменение резонансной частоты /, обусловленное малым смещением g, дается выражением

<4-103)

Резонансный контур, содержащий плоскую катушку, должен иметь возможно более высокое значение Q, чтобы обеспечить максимальную чувствительность к малым вариациям А/. Это было достигнуто группой из Луизианы путем образования контура из ниобиевой пленки, напыленной на сапфировый диск. Емкостный элемент состоял из кольца вблизи внешнего края, а индуктор представлял собой спираль от этого кольца к центру.

Для работы с подвешенной пробной массой и для приближения ее переднего края как можно ближе к плоской катушке около заднего края помещались две малые катушки (рис. 4.23).

Задающий генератор имеет частоту f = 5 МГц, а параллельный резонатор настраивается точно на эту частоту. Изменения резонансной частоты акселерометра, индуцированные смещением, вызывают фазовые изменения выходного сигнала прибора, которые могут быть зарегистрированы двойным сбалансированным смесителем. Таким образом, акселерометр работает как параметрический усилитель со следующим значением усиления по мощности при преобразовании механической энергии в электрическую:

G = lf№ (4.104)

Предельная чувствительность этого акселерометра определяется наименьшим регистрируемым значением А///. Фазовый шум наиболее стабильного из имеющихся в продаже в настоящее время генератора с частотой 5 МГц ограничивает А/// значением 10-14, или d « 10~3 см, а предельную чувствительность акселерометра — значением £ « 10~17 см.

ж. Сверхпроводящий акселерометр со связанной массой [22, 23, 139]. Этот акселерометр состоит из пробной массы, укрепленной внутри корпуса на мембране; он устроен так, что при колебаниях малой амплитуды ведет себя подобно незатухающему гармоническому осциллятору. Пробная масса представляет собой сверхпроводящий цилиндр, каждый конец которого образует поверхность конденсатора цилиндрического проходного резонатора (рис. 4.24). Укрепленный на конце цилинд-

рической болванки (М = 5000 кг) и настроенный в резонанс вблизи ее основной моды, этот акселерометр образует с антенной связанный гармонический осциллятор. Поскольку частота биений должна быть больше, чем ширина полосы сигнала (vo = = 700±1 Гц), максимальный коэффициент усиления по механической амплитуде равен приблизительно 100.

При этом болванка передает лишь 1/100 часть энергии сигнала в акселерометр и не является сильно связанной с ним.

Рис. 4.24. Сверхпроводящий акселерометр со связанной массой группы из Батон-Ружа [22].

Кроме того, связь между механической и электромагнитной системами этого акселерометра может быть порядка 10-12, т. е. порядка обратного значения параметрического усиления по мощности для этой системы, так что электронный шум в системе акселерометра, по-видимому, не генерирует колебания в болванке (резонансный шум, разд. 6) даже на этом уровне чувствительности.

Два сверхпроводящих проходных резонатора акселерометра имеют электрический резонанс на частоте / = 600 МГц. Каждый из них синхронизован с общим генератором, так что настройка резонатора стабильна по отношению к долговременным смещениям (рис. 4.25). Когда эти резонаторы работают в качестве пропускающих фильтров для сигнала генератора со стабильной фазой, изменения в настройке резонаторов могут проявляться как амплитудная или как фазовая модуляция на

Н Зак 203

выходе фильтра (рис. 4.26). При работе в режиме фазовой (амплитудной) модуляции, когда генератор запирается на точке резонансного пика (максимального наклона) резонатора, параметрический коэффициент усиления по мощности равен G = = (f/v0)2» Ю12 [(f/v0) « Ю6]. Ясно, что режим амплитудной модуляции хуже режима фазовой модуляции, который факти-

УмножшпелъУмножшпелъКомнатная температураКомнатная температураНизкаяНизкаятемпературатемператураФильтр НЧФильтр НЧРис. 4.25. Электрическая схема сверхпроводящего акселерометра со связанной массой, показанного на рис. 4.24 [22].Рис. 4.25. Электрическая схема сверхпроводящего акселерометра со связанной массой, показанного на рис. 4.24 [22].ДатчикДатчикДатчикДатчикФилыпоТОФилыпоТО

Умножшпелъ

Умножшпелъ

Комнатная температура

Комнатная температура

Низкая

Низкая

температура

температура

Фильтр НЧ

Фильтр НЧ

Рис. 4.25. Электрическая схема сверхпроводящего акселерометра со связанной массой, показанного на рис. 4.24 [22].

Рис. 4.25. Электрическая схема сверхпроводящего акселерометра со связанной массой, показанного на рис. 4.24 [22].

Датчик

Датчик

Датчик

Датчик

ФилыпоТО

ФилыпоТО

чески использовался группой из Батон-Руж. Фазовая модуляция вследствие смещения у в зазоре конденсатора d одного резонатора определяется выражением

. ^ = QeiylM, (4.105)

где Qei — добротность ВЧ-резонатора. Она может достигать 108 для этого сверхпроводящего резонатора, но предельное ограничение чувствительности определяется стабильностью фазы осциллятора, составляющей —140 дБ для ширины полосы 1 Гц на расстоянии 1 кГц от несущей частоты. Поэтому

^lQei>iO'U, или y>d-10~14.

Для d = 10-3 см величина у ограничена значениями, большими чем 10-17 см, или смещением j конца болванки, большим чем Ю-19 см.

Когда два проходных резонатора акселерометра работают вместе, как показано на рис. 4.25, фазовые сигналы, обусловленные движением акселерометра, суммируются в дифференциальном усилителе, в то время как сигналы, обусловленные шумом генератора, вычитаются. Работая в этом дифференциальном режиме, акселерометр имеет низший предел чувствительности, оп-

Рис. 4.26. Параметрическое усиление; со = 2л/ — угловая частота ВЧ-резона- тора, top = 2nfp — угловая частота задающего генератора с высоким Q; а —фазовая модуляция моды: генератор настроен на пик резонансной кривой резонатора; б — амплитудная модуляция моды: генератор настроен на точку максимального наклона резонансной кривой резонатора. Когда параметр (С или L) резонатора модулируется волной, частота и вся резонансная кривая резонатора смещаются относительно top.

ределяемый температурой устройства, который при комнатной температуре порядка АГ/2 ^ 4,1 • 10-21 Дж. Это должно привести к следующему значению механического щума в антенне:

• 10"21 Дж - 10-2- Ю”12 = 4,1 - 10’35 Дж, (4.106) где множители 10-2 и 10-12 являются величинами, обратными коэффициенту механического усиления и параметрическому коэффициенту усиления по мощности (4.104).

з. Резонансный емкостный датчик е постоянным смещением. В Мэрилендском университете Ричард [141] разработал емкостный датчик с постоянным смещением, который использует

Рис. 4.27. Емкостный резонансный датчик с постоянным смещением группы из Мэрилендского университета [141].Рис. 4.27. Емкостный резонансный датчик с постоянным смещением группы из Мэрилендского университета [141].

Рис. 4.27. Емкостный резонансный датчик с постоянным смещением группы из Мэрилендского университета [141].

Рис. 4.27. Емкостный резонансный датчик с постоянным смещением группы из Мэрилендского университета [141].

принцип механического усиления, развитый Пэйком, но имеет по сравнению с резонансным датчиком то преимущество, что может использоваться как при комнатной, так и при низкой температуре.

Одна из пластин конденсатора (Pi) жестко прикреплена к концу цилиндрической болванки (рис. 4.27), а другая (Р2) удерживается подвеской с высокой добротностью вблизи первой. Эти

две пластины образуют емкость С3. Механическая резонансная частота пластины Р2 близка к основной моде болванки. Постоянный заряд подается на конденсатор через большое сопротивление.

С целью анализа чувствительности систему болванка — датчик — предусилитель удобно описывать ее электрическим аналогом, весьма похожим на рассмотренный в разд. 5.

Из анализа источников шума и процедуры оптимизации полосы частот электронной системы, вполне аналогичных изложенным в разд. 6, Ричард оценивает чувствительность резонансной емкостной системы, предполагая, что шум напряжения в первичном полевом усилителе равен 10~9 В/Гц-v» и его ток утечки составит 10~13 А. Ожидается, что

ток утечки емкости С3 должен быть меньше, чем 10“13 А. Предполагаемые значения других параметров следующие: масса антенны 2-Ю3 кг, Q антенны 500 000, С3 = 2-10“10 Ф, электрическое поле в С3 Е = 5-107 В/м, масса пластины Р2 т = 33 г.

При 4 К оптимальная ширина полосы Асо составляет 20рад/с, что соответствует разрешению по времени А/ « 0,07 с и разрешению по энергии АТ/1300. Подвеска конденсатора должна резонировать на частоте, превышающей на 9 Гц частоту антенны, и иметь Q выше 150 000.

При 0,010 К оптимальная ширина полосы будет соответствовать разрешению по времени М порядка 30 с и разрешению по энергии кТ/3. Подвеска конденсатора будет резонировать на частоте, превышающей на 220 Гц частоту антенны, и иметь Q выше 250.

Быстродействующие датчики

и. Модуляция емкости ВЧ-контура. В емкостном датчике Брагинского и др. [31, 37] в алюминиевой болванке вытачиваются два консольных стержня (рожка), которые снабжены

наконечниками, образующими электроды конденсатора С2, как показано на рис. 4.28. Катушка индуктивности включается параллельно конденсатору С2, образуя резонансный LC-контур (параллельный резонатор) с частотой f в пределах 5—10 МГц. Параллельный резонатор через емкость подключается к высококачественному генератору (задающему генератору), частота fp которого соответствует наклонному участку резонансной кривой параллельного резонатора (рис. 4.26,6). Когда болванка ко-

Рис. 4.28. Цилиндрическая болванка с консольными стержнями Брагинского [31].

леблется в основной моде (с частотой ~103— 104 Гц), рожки повторяют смещения торцов болванки с коэффициентом передачи km = 0,8 и модулируют частоту параллельного резонатора согласно уравнению (4.103). Соответствующий сдвиг частот относительно /р вызывает изменение амплитуды тока в параллельном резонаторе.

Для правильной работы масса рожков должна быть пренебрежимо малой по сравнению с массой болванки, а их геометрия должна выбираться так, чтобы их продольные моды колебаний были выше низшей продольной моды колебаний болванки.

Рабочие поверхности наконечников полируются с точностью до ±0,5 мкм. Простая механическая система регулировки обеспечивает необходимый параллелизм торцов наконечников с помощью следящих устройств. Ширина зазора d конденсатора С2 устанавливается и выдерживается равной требуемому значению (d « 10-4 см = 1 мкм) с помощью сервомеханизма.

Она контролируется постоянной составляющей выходного тока детектора, которая вызывает ток в обмотке электрического нагревателя, управляющий тепловым расширением алюминиевых стержней, поддерживающих электроды конденсатора С2. Временная постоянная следящей системы определяется инерцией и равна нескольким секундам.

Измерительное устройство индуктивно соединено с катушкой L параллельного резонатора. Степень связи выбирается такой, чтобы сохранить достаточно высокое значение добротности

(Q ~ 200) параллельного резонатора и получить максимальную амплитуду ВЧ-напряжения во вторичном контуре.

Вторичный контур состоит из детектора и фильтра для выделения модулирующего сигнала, а также прибора для контроля положения рабочих точек на склоне резонансной кривой.

После детектора модулирующий сигнал частоты fo («1000— 4000 Гц) подается через катодный повторитель (с коэффициентом передачи К ~ 0,7) на вход усилителя, имеющего полосу пропускания Af ~ 800 Гц и максимальное усиление 2-Ю6. За-

Рис. 4.29. Разделенный проходной ВЧ-резонатор, разработанный группой из Токийского университета [153].

тем, после прохождения камертонного фильтра, сигнал детектируется второй раз, и его амплитуда регистрируется на ленте автоматического самописца.

Как электрический, так и броуновский шум болванки (для Av = 3 Гц) были на уровне 5-10~14 см. Увеличение чувствительности может быть достигнуто путем дальнейшего уменьшения ширины зазора или увеличения амплитуды ВЧ-напряжения. По мнению Брагинского и др., чувствительность может быть повышена до уровня Ю-15 см.

к. Модуляция емкости ВЧ-резонатора. Активный датчик, включающий разделенный проходной ВЧ-резонатор, был разработан токийской группой [153] для регистрации колебаний «квадратных» болванок в их низшей моде Big.

Деформация резонатора преобразуется в частотную модуляцию ВЧ-колебаний и детектируется частотным дискриминатором.

На рис. 4.29 показан симметричный разделенный проходной резонатор диаметра 26 и длины 2/, изучавшийся японской группой. Линейные размеры и основные параметры резонатора еле-

дующие:

/ = 45 мм, а = 8 мм, 6 = 40 мм, г = 60 мм,

с= 1,3 мм, g = 16 мм, Л = 4 мм, d = 2,5 м,Сх = 20 пФ, С2 = 3500 пФ, fel = 210,7 МГц;

измеренное Qei= 1700, т. е. составляет 60% расчетного значения, а характеристический импеданс коаксиальной части равен 96,5 Ом.

Сосредоточенная емкость Ci между двумя центральными выступами и емкость Сг между боковыми стенками резонатора удовлетворяют следующим неравенствам:

Р Р 1 dC\ 1 dCi

где х — координата одной половины резонатора относительно другой, измеренная вдоль их общей оси. Когда одна половина резонатора смещается относительно другой на Ах, соответствующее изменение Аф фазы колебания, обусловленное изменением (ое, определяется выражением

Аф = а-^-ГГ5-7о-Т£'(4Л07)

®0 X + QblQel Xel

где ®о и Qb относятся к болванке, ®в — к резонатору, а

причем численные значения а могут быть рассчитаны из приведенных выше параметров (а = 2,8-105).

СВЧ-усилитель с усилением 40 дБ, шириной полосы 20 МГц и максимальной выходной мощностью 20 мВт соединяется с резонатором через магнитный контур. Чтобы свести к минимуму механические потери антенны, обусловленные прикреплением датчика, соединительный контур, как и нагреватель (используемый для регулировки ширины зазора d), подключается без механического контакта со стенкой резонатора.

Схема демодуляции состоит из кристаллического локального генератора и смесителя, за которым следуют усилитель промежуточной частоты (10,7 МГц) и частотный дискриминатор. Выход подключается к самописцу через фазовый детектор на частоте болванки ®0-

Чувствительность резонансной системы датчика, рассчитанная по формуле (4.107), равна

(Аф/Ах)расчет = 2,9 • 10рад/м

при ®о/2л = 145 Гц.

Независимая калибровка дала значение на 13% больше. Измерялся уровень шума всей детектирующей системы, и было установлено, что он соответствует колебательной энергии антенны кТ/36 в пределах ширины полосы 1 Гц (Т « 300 К).

Чувствительность этого датчика сравнима с чувствительностью емкостного датчика с постоянным смещением, описанного в п. «в».

Чувствительность модулируемого резонатора ограничена значением минимальной детектируемой разности фаз АфМИн кон-

ВЧ-сигнал

Рис. 4.30. Схема одной из резонансных антенн австралийской группы со сверхпроводящим датчиком [138].

тура. Измеренный фазовый шум колебаний S = —74 дБ (1 радХ XPu-V2 = o дБ) при 145 Гц согласуется с оценками, приведенными в литературе.

Использование микроволнового сверхпроводящего резонатора представляется весьма перспективным. Японская группа считает, что резонатор на частоте 8,6 ГГц с d = 2,5 мкм в сочетании с контуром, для которого 5Ф = —125 дБ, должен дать

Ахмин = 3,2 • 10-20 м • Гц~'А

в области 100 Гц.

Сверхпроводящий акселерометр с проходным резонатором входит в гравитационно-волновой детектор, разрабатываемый в Университете Западной Австралии [138], состоящий из двух ниобиевых болванок длиной 1 м (возможно, действующий в режиме совпадений).

Болванки и акселерометры крепятся с помощью магнитной подвески (рис. 4.30). Акселерометр является бесконтактным устройством, поддерживаемым низкочастотной сервосистемой на требуемом расстоянии (~10-3 см) от конца болванки, кото-

рое, однако, позволяет резонатору реагировать на колебания в килогерцевой области частот. Сверхпроводящий резонатор (Q ~ 106) действует на частоте 10 ГГц, так что параметрическое усиление порядка 107 [24]. Максимальная чувствительность до: стирается путем регистрации сдвига фаз в резонаторе, когда колебания болванки заставляют изменяться интервал между болванкой и резонатором.

Это требует чрезвычайно устойчивого эталонного генератора, в качестве которого удобно взять другой микроволновой резонатор, установленный вблизи первого и возбуждаемый посредством внешнего диодного источника Ганна. Тогда сравнение фаз проводится с помощью двойного сбалансированного смесителя.

Апериодическое детектирование гравитационныхволн средних частот

Первые эксперименты такого типа были проведены группой, возглавляемой Форвардом, в Исследовательской лаборатории Хьюза [109]; они использовали интерферометр Майкельсона для наблюдения изменений расстояния между массами, удаленными приблизительно на 3 м. Различные способы усовершенствования детекторов этого типа были предложены Вейссом [170] в Массачусетском технологическом институте и Древером [55] в Глазго.

Иногда возникает, возможно, наивный вопрос, не вызывает ли приходящая гравитационная волна относительного изменения 6Х/Х длины световой волны, равного относительному смещению 6Z/Z плеч интерферометра, т. е.

ЬХ]Х ~ ЬЩ.

Ответ является отрицательным по следующим причинам:

В метрике, где

£/о = О (Z = 1, 2, 3),

скорость света равна и = cg^. В нашем случае [см. уравнение (2.29) ] g*oo = 1, поэтому и = с.

Частота электромагнитной волны, распространяющейся из точки 1 в точку 2, в которых goo имеет значения gOo(l) и g00(2), изменяется согласно хорошо известной формуле

у (2) ГЯоо(1)ру(1)—Uoo(2)J •

Схема экспериментальной установки, разрабатываемой мюн- хенской группой [173], показана на рис. 4.31.

Свет, входящий в интерферометр слева, поступает из лазера. Интенсивности, получаемые в направлениях наблюдения / и 2, как функции разности опти-

Рис. 4.31. Схема интерферометра Май- кельсона и интенсивность наблюдаемых лучей в зависимости от разности длин оптических путей [173].Рис. 4.31. Схема интерферометра Май- кельсона и интенсивность наблюдаемых лучей в зависимости от разности длин оптических путей [173].ческих длин путей

Рис. 4.31. Схема интерферометра Май- кельсона и интенсивность наблюдаемых лучей в зависимости от разности длин оптических путей [173].

Рис. 4.31. Схема интерферометра Май- кельсона и интенсивность наблюдаемых лучей в зависимости от разности длин оптических путей [173].

А/ = ^ах + а2) — (61 + 62) даются выражениями

Ix = k sin2 (л AZ/X),

Is = /о cos2 (л AZ/X), где /о — интенсивность излучения лазера. Они показаны в нижней части того же рисунка.

В начале разд. 4 мы показали, что длины плеч интерферометра должны быть порядка 100—150 км. Такие значения достигаются путем использования оптических линий задержки [80], принцип получения которых иллюстрируется на рис. 4.32. Расстояние между двумя зеркалами приблизительно определяется радиусом кри

визны, который равен удвоенному фокусному расстоянию зеркала. Луч проходит через отверстие в покрытии первого зеркала. Надлежащим выбором

положения и угла входа луча точки отражения на каждом зеркале могут быть расположены по окружности. При специальных условиях (так называемых условиях возврата) луч выходит из линии задержки через то же отверстие, через которое он вошел.

При отражательной способности зеркала R = 99,9% (достижимой в настоящее время) интенсивность должна уменьшиться наполовину приблизительно после 1000 отражений: 0,999100Э « 0,5.

С помощью такого устройства указанная в начале разд. 4 длина Z« 150 км плеча интерферометра уменьшается до вполне разумного значения

Г = Ю’3/ = 150 м,

Рис. 4.32. Фотография прототипа оптической линии задержки в интерферометре Майкельсона. Световой луч лазера сделан видидмым с помощью дыма (с любезного разрешения М. Бэссана и Л. Наричи).

Устойчивость установки существенно возрастает при введении разделителя лучей вместе с двумя близкими зеркалами, смонтированными в одном блоке (рис. 4.33). Длина пути в первом порядке, как и требуется, чувствительна только к продольным смещениям зеркала. Однако механический шум налагает предел уменьшению длины плеча с помощью отражений. Смещение зеркал, обусловленное действием гравитационных волн, пропорционально базе, в то время как механический шум в первом порядке не зависит от нее.

Поэтому при уменьшении базы отношение сигнала к шуму становится хуже. Число отражений определяется способностью подавлять механический шум, т. е. качеством установки зеркал.

Весь путь луча и зеркала должны находиться в вакууме, а минимальный диаметр зеркала зависит исключительно от длины светового пути. Винклер оценивает, что для V — 150 м зеркала диаметром 30 см могут вместить число световых пятен, необходимое для 1000 отражений.

Пределы чувствительности этого метода обусловлены четырьмя основными причинами, если считать, что дополнительный

шум, возникающий от низкочастотных флуктуаций на выходе лазера, устранен.

Этот шум в современных лазерах приблизительно на три порядка больше, чем предел дробового шума (см. ниже) в области частот от нескольких герц до приблизительно 106 Гц, а затем вблизи 107 Гц спадает до пренебрежимой величины. Он может быть устранен [170] перенесением измерений в этот диапазон частот путем введения в обоих плечах противоположно

Рис. 4.33. Интерферометр Майкельсона с базой, укороченной с помощью оптической линии задержки. Для простоты показаны только четыре отражения [173].

поляризованных ячеек Покельса), которые модулируют соответствующий световой луч на частоте ут ^ 2* 107 Гц.

Фазовая модуляция синхронно демодулируется, давая сигнал ошибки, который пропорционален разности оптических путей в двух плечах и, таким образом, представляет собой выход антенны.

Приведем четыре главные причины, которые ограничивают чувствительность:

статистические флуктуации числа регистрируемых фотонов (дробовой эффект),

броуновское движение масс, к которым прикрепляются зеркала,

давление остаточного газа, который меняет коэффициент преломления,

статистические флуктуации импульса отдачи, сообщаемого массам фотонами.

Разрабатываемые в настоящее время установки [55, 69, 170, 173] предусматривают длину базы порядка 100—150 м, 500— 1000 отражений, массу зеркал 150 кг и сверхвысокий вакуум (10-10 мм рт. ст.).

При этих условиях чувствительность апериодических детекторов такого типа, по-видимому, должна быть на несколько порядков лучще, чем достигнутая с помощью резонансных детекторов.

Однако для получения удовлетворительного результата необходимо решить ряд весьма тонких технических задач. В частности, одной из них будет проблема подвески масс.

Широкополосные детекторы гравитационныхволн средних частот

Аплин [11] из Бристольского университета разрабатывает «гантельную» антенну, состоящую из двух экспоненциально сужающихся «рогов», соединенных в центре по наименьшему сечению и простирающихся на 50 м. На концах прикрепляются массы по 270 кг. Центральный пьезоэлектрический датчик обеспечивает наличие демпфирующего элемента, который устраняет резонансные моды антенны. В анализе используется теория электрических цепей передачи. Антенна будет работать в диапазоне частот 1—10 кГц.

Апериодическое детектирование гравитационныхволн сверхнизких частот

Методы, используемые для волн сверхнизких частот, полностью отличаются от используемых для волн средних частот. Волны сверхнизких частот (рис. 3.2), согласно Торну и Брагинскому [150], излучаются при коллапсе, в результате которого в ядрах многих квазаров и галактик, по-видимому, образуются сверхмассивные черные дыры (Л1 ~ 106 — 1010 MG). Всплески гравитационных волн, возникающие в результате этих событий, могут достигать Земли не чаще, чем 50 раз в год, и не реже, чем раз в 300 лет.

Обнаружение таких всплесков возможно в течение ближайших нескольких лет при использовании доплеровского слежения за межпланетными кораблями. Следящая станция на Земле посылает монохроматические электромагнитные волны с частотой, синхронизованной с высокостабильными часами

(эталонным генератором). Космический корабль принимает волны, усиливает их и передает обратно на Землю. Следящая антенна на Земле принимает возвращенные волны, сравнивает их с передаваемыми волнами, подсчитывая число периодов (и их частей) за время интегрирования /Инт, и из этого сравнения получает сдвиг частоты [10]. Измеренный сдвиг частоты в основном обусловлен скоростью корабля относительно Земли, но он также содержит шумы различной природы: флуктуации частот, сдвиг эталонного генератора, изменяющуюся со временем

Всплеск гравитационных

Рис. 4.34. Отклик на гравитационное излучение при доплеровском слежении

[156].

дисперсию электромагнитных волн в ионосфере Земли и в межпланетной среде и проходящие гравитационные волны.

Согласно Истабруку и Уолквисту [62], вклад гравитационной волны может быть следующим образом описан относительно эвклидовой координатной системы, ось х которой указывает направление распространения гравитационного импульса и образует угол 6 с направлением Земля — космический корабль (рис. 4.34).ТТ

Отклик на компоненту гравитационной волны hug (t — х/с), которая действует на доплеровский сигнал, дается выражением [62]

Av 1 — cos 6 zz , 1 + cos 6 ,

— =2h* ~ <C0S °) hT ^2hE’

где Av/v — сдвиг частот короткого цуга электромагнитных волн, принимаемого на Земле в момент времени t^ а

-h"(<«-4). ы-h"р,-ди^и]

есть значения А^> относящиеся к одному и тому же отрезку цуга волн в моменты его излучения (£), обращения назад (Г) и приема (/?).

Изучение возможностей этого метода было проведено Андерсоном [9], который воспользовался установкой для высокопрецизионного доплеровского слежения программы «Deep Space Network» (DSN).

Недавно были выдвинуты два проекта: один принадлежит Бертотти [20] из Университета в Павии, возглавляющему европейскую группу, и предполагает использование космического корабля Европейского космического агентства из проекта «Out- of-the-Ecliptic (OOE) Mission»; другой принадлежит Уолкви- сту из Лаборатории реактивного движения, возглавляющему американскую группу, и предполагает использование космического аппарата НАСА. Эти проекты, которые предполагают реализовать в 1983—1988 гг., предоставляют уникальную возможность осуществить эксперимент на совпадениях с целью обеспечить наилучший способ выделения гравитационно-волнового импульса из шума 9-

Многомодовое детектирование

Резонансная болванка обладает спектром характеристических мод, поэтому она может принимать приходящее гравитационное излучение на различных частотах. Эта проблема была рассмотрена Рисом и др. [140] для продольных колебаний цилиндрической болванки длиной L, длины волн и угловые частоты которых равны

Xn = ^L!n» ^n~nnvsIL,(4.108)

где vs — скорость звука в материале болванки, а целое число п может принимать только нечетные значения: п= 1, 3, 5, ..., поскольку четные моды не ведут к изменению квадрупольного момента. Смещение точки г из ее нормального положения равно

|(z, /) = g0 sin (77 2) sinco„/,(4.109)

а сечение антенны, проинтегрированное по телесному углу, в первом порядке по go имеет вид

$(4.110)

резонанснаямода

т. е. уменьшается пропорционально и2 вследствие пропорциональности А*. Это уменьшение сечения может быть частично или полностью компенсировано выбором датчика.

Таким образом, проблема практического использования многомодовых детекторов существенно зависит от выбора датчика и соответствующей электрической схемы. В частности, это касается использования дополнительно электрической цепи, включающей два фазовых детектора с их задающими генераторами и записывающую систему (см. разд. 6), для каждой рассматриваемой дополнительной моды.

Детальный анализ собственных мод был проведен различными авторами как для цилиндрических [48, 49, 81], так и для сферических болванок [12, 155].

Хир и Расбэнд нашли сечения поглощения для всех мод, используя точные собственные функции цилиндра. Они полу

чили также детальные численные результаты для осесимметричных продольных мод в приближении Похэммера — Чри.

Дегапери с помощью обычных цилиндрических координат

Ур (Р. 9, z) Уе(Р- е> z) и' (р, 6, z)Ур (Р. 9, z) Уе(Р- е> z) и' (р, 6, z)(4.Ш)(4.Ш)представил вектор смещения в виде

Ур (Р. 9, z) Уе(Р- е> z) и' (р, 6, z)

Ур (Р. 9, z) Уе(Р- е> z) и' (р, 6, z)

(4.Ш)

(4.Ш)

(Vp(p, о, z, 0\+=о

«е(Р> 9, z, /) 1= ^ е’№ vz(p, 6, z, /)/1=~”

где индекс I используется для указания колебательной симметрии нормальных мод. Для / = 0 крутильные моды (и° = и® = 0) не связаны с продольными модами (Уе=0). Только мода с наименьшей частотой из этого последнего класса использовалась до сих пор во всех экспериментах с цилиндрическими болванками. Во всех других модах при |/| > 0 радиальное, крутильное и продольное смещения связаны между собой.

С другой стороны, единственным непосредственно измеряемым полем является зависящий от времени тензор Римана Riooj (0 в центре алюминиевого цилиндра. Действительно, декартовы компоненты приливных ускорений, порождаемых в упругом цилиндре импульсом гравитационного излучения, связаны с ним следующим простым выражением:

gi(p, 0, z, /) = с2 [/?«»!(/) р cos О+^адДОр 81пО+/?,ооз(О2]. (4.112)

Это выражение подразумевает, что только продольные моды с / = 0, отклоняющие моды (/= ± 1) и симметричные квадрупольные моды (/ = ± 2) связаны с полем гравитационного излучения, в то время как крутильные моды с / = 0 и все моды с |/| > 2 не возбуждаются им. Эти результаты дают основу для представляющей значительный интерес проверки современ-

ных жизнеспособных конкурирующих теорий гравитации, состоящей в измерении поляризационной матрицы ец гравитационной волны, определяемой уравнением

RiooiW-e^W V» / = 1, 2, 3). (4.113)

Действительно, путем детектирования колебаний мод I = О, \l\ = 1 и |Z| = 2 и построения графика интенсивности сигнала в зависимости от сидерического времени на 24-часовой диаграмме можно полностью восстановить поляризационную матрицу ец и локализовать источник гравитационного импульса.

Путем анализа поляризации излучения можно также идентифицировать источник. Действительно, современная теория предсказывает различные поляризационные свойства для излучения, испускаемого частицами, падающими радиально в поле Шварцшильда или движущимися по круговым орбитам вокруг его сингулярности (разумеется, это является способом наблюдения черных дыр); различия в форме и поляризации импульса предсказываются также для излучения, испускаемого сверхновыми.

Использование большого числа станций, работающих на совпадениях, в сочетании с процедурами анализа, основанными на выведенном из этого рассмотрения выражении для смещения конца болванки в зависимости от ее ориентации, географических координат ее местонахождения и часового угла, дает важную информацию даже в реалистическом случае источников, испускающих лишь один или несколько всплесков гравитационного излучения.

Детектирование нормальных мод, которые не связаны с полем гравитационной волны, может быть успешно использовано для проверки алгоритма, применяемого для статистического анализа выходных данных усилителя, и может даже улучшить его эффективность путем применения техники антисовпадений. Как пример рассмотрения спектра частот вблизи первой продольной моды Дегапери выбрал цилиндр радиуса /? = 30 см и длины £ = 150 см и получил оп = 0,61 о)О, о)ц = соо = 1,1 X X 104 рад/с, 0)г2 = 1,22 too, о)гз = 1,83 оо, о)£2 = 1,96 соо, ©тц = = 2,44 о)о, о)£з = 2,85 о)о, где ^ы и ton — угловые частоты, соответствующие Z-й продольной и крутильной модам. Из этих семи резонансов лишь о)ц и о)дз могут возбуждаться гравитационной волной, в то время как остальные резонансы остаются в их обычном возбужденном состоянии вследствие теплового шума.

Случай сферических болванок рассмотрели Эшби и Дрейт- лейн, которые дали точное решение проблемы, проанализировали нелинейные эффекты в массивной самогравитирующей системе и применили эти результаты к случаю Земли,

Следуя Форварду [68], который отметил многомодовые свойства сферы, Вагонер и Пэйк показали, что пятикратное вырождение квадрупольных мод любой сферически-симметрич- ной массы допускает определение амплитуд спина 0 и спина 2 и направления на источник каждого детектируемого всплеска гравитационного излучения. Их рассмотрение касалось класса гравитационных теорий, которые могут быть проквантованы (по крайней мере в приближении слабого поля). С учетом требования, что амплитуды волн образуют унитарное представление неоднородной группы Лоренца, число независимых состояний поляризации уменьшается с шести до трех, соответствующих безмассовым частицам спина 0 и 2. Они завершили свою статью представлением в графической форме поперечного сечения для сферы, тонкого диска и тонкого цилиндра из однородного изотропного упругого материала как функции коэффициента Пуассона.

Сферические болванки действительно очень интересны вследствие их однородной в полном телесном угле чувствительности, которая допускает наблюдение совпадений между любыми двумя станциями независимо от ориентации болванок и их географических координат (разд. 8.2).

Эквивалентная электрическая схема

Рассмотрим теперь детально эквивалентную электрическую схему для антенны веберовского типа, образованной цилиндрической болванкой с пьезоэлектрическим датчиком.

Электрический сигнал от датчика подается в электронный усилитель, за которым следует электрическая цепь анализа сигнала. Поэтому вся система состоит из механической части (колеблющаяся болванка) и электронной аппаратуры. Очень удобно рассматривать систему как более однородную, т. е. использовать так называемую эквивалентную электрическую схему, предназначенную вызывать эффекты, идентичные возникающим в реальной системе как целом.

Чтобы получить эквивалентную схему, рассмотрим наиболее общее уравнение для колеблющейся болванки, которая связана с датчиком [131, 132]:

/дне “Ь/упр “Ь/внеш ”/ин == 6, (6.1) где /ин — силы инерции, /дис — диссипативные силы, /упР — упругие силы, а /внеш — внешние силы (гравитационные волны или шум). Для получения этих сил удобно использовать энергетические соображения, поскольку датчик связан с болванкой в ограниченной области и легко рассчитать энергию болванки и датчика по отдельности.

В общем Лагранжа

случае сила инерции определяется уравнением

f _ у Г ^ ^ gg 1z49x

,инa4iv 1

где S — кинетическая энергия. Для кинетической энергии 8ь болванки массы Л1, колеблющейся со смещением ^(/) на концах, имеем

8ъ^ = \мт(5.3)

что дает

(5.4)

Это показывает, что болванка массы М эквивалентна осциллятору с массой

т = хЬМ.(5.5)

В качестве датчика возьмем пьезоэлектрическую керамику с массой Mpz и длиной Lpz> расположенную симметрично относительно центра масс. Рассмотрим выражение

^Lpzp

£РЛ0= \ -^z.Odm- 5t)dz =

vpz-LpZP PZ

откуда следует

Ю = %Ж(5.7)

где приведенная масса

(5.8)(5.8)

(5.8)

(5.8)

(5.9)(5.9)Относительно диссипативных сил мы рассуждаем следующим образом. Пусть тр2—время, необходимое керамике для диссипации ее собственной механической энергии &рг в е раз. Полное время, необходимое керамике для диссипации ее собственной энергии и энергии болванки 8ъ, равно

(5.9)

(5.9)

Tpz Tpz gpz

Максимальная потенциальная энергия болванки

$ь = ^^(5.10)

где go — амплитуда колебаний ее концов, а оь — резонансная угловая частота болванки. Потенциальная энергия керамики должна рассчитываться с учетом также механического напряжения, обусловленного электрическим полем Е, т. е. путем использования пьезоэлектрического уравнения (4.82), из которого получаем

<511>

Тогда, пренебрегая размерами керамики по сравнению с размерами болванки и предполагая, что натяжение в керамике равно натяжению в болванке, мы получаем в хорошем приближении

Vpz что дает

$pz = $bL(5ЛЗ)

где

Y И

Х = 2^^,(5.14)

У — модуль Юнга для болванки, a Vb — ее объем.

Окончательно (5.9) принимает вид

(5.15)

Отметим, что обычно % <С 1.

Те же рассуждения применимы к расчету энергии, поглощаемой болванкой, которая имеет время релаксации

< = Ч ^~* = Ъ 0 + X).(5.16)

Полная диссипативная сила на единицу массы пропорциональна величине

J_ = J_4-4_ =!|-Jх_,(5,17)

То т6 трг т6 (1 + X) Tpz 1 + X

а полная добротность Q для % <С 1 определяется выражением

(5.18)(5.18)11 । 1

(5.18)

(5.18)

— г —— X,

QQb QPz

где Qb — добротность болванки, Qpz— добротность керамики, учитывающая потери энергии вследствие механической и электрической диссипации.

Уравнения (5.17) и (5.18) могут быть обобщены путем разделения механических и электрических потерь в керамике. Вспоминая уравнение (5.11), определяющее Ypz, мы видим, что параметр % может быть представлен как сумма двух членов

1 V

<5-19)

Тогда (5.18) принимает вид уравнения

уже приводившегося в разд. 4.1.5.1 [уравнение (4.89)]. Напомним, что QPz — механическая добротность керамики, (/g6)“!— добротность керамики для электрических потерь, a Qm — механическая добротность системы болванка — керамика. Как будет показано, р является отношением электрической энергии, запасенной в датчике, к полной энергии антенны [уравнение (5.28)].

Переходим теперь к упругим силам, которые возникают в болванке и керамике. Мы можем непосредственно вычислить их сумму, обращая внимание на то, что для осциллятора с полной потенциальной энергией <8 упругая сила на единицу смещения равна

К0 = 2^.(5.22)

Используя (5.13) и (5.10), находим

^о=4®2 +^'(5-23)

Результат этого рассмотрения состоит в том, что движение болванки с пьезоэлектрической керамикой эквивалентно движению осциллятора, который подчиняется уравнению

+(5.24)

где то, Ко, m и tnpz даются соответственно выражениями (5.17), (5.23), (5.5) и (5.8). Из уравнения (5.24), используя соотношение (4.86), получаем уравнение для потенциала V^ty

У + — У Ч—— V = --^внеш .(5 24а)

vm + mpzv m + mpz

Хорошо известно, что это уравнение справедливо также для напряжения У(0 в электрической схеме, изображенной на

рис. 5.1, параметры которой связаны с параметрами антенны следующими уравнениями:

l/To=/?f/Lb(5.25)

+(5.26)

V.-L^^;<5-27>

есть напряжение генератора,есть напряжение генератора,CiCiR’tR’t

есть напряжение генератора,

есть напряжение генератора,

Ci

Ci

R’t

R’t

-о

Рис. 5.1. Эквивалентная электрическая схема системы из болванки и пьезоэлектрического датчика без электрических потерь.

последовательно соединенного с /?]. Однако эти три уравнения не определяют однозначно четыре неизвестные Яь Lb Ci и Vg. Необходимо четвертое уравнение, которое может быть получено из энергетических соображений.

Вычислим отношение р электрической энергии, запасенной в датчике, к полной энергии антенны. Анализируя рис. 5.1, получаем

Р=с£с7- <5-28>

Рассматривая реальную электромеханическую систему, имеем

ЧАУ2 2С,а?

$ь (1 + %) ^О + х)

(5.29)

Приравнивая оба этих уравнения, получаем

_2а2с|

1Мб>| (1 + Xi)

(5.30)

Таким образом, Ci может быть непосредственно рассчитано по известным параметрам антенны. Тогда, используя уравнение (5.26), получаем

m + mpz

Ll = а2С2

(5.31)

и находим, что С2 как раз является емкостью керамики. Окончательно из уравнения (5.25) получаем

Удобно определить

^-«-КНх,)^^-<5-33>

что дает

ЦСх=\Кй.(5.34)

Мы видим, что параметры эквивалентной схемы могут быть рассчитаны с помощью характеристик болванки и датчика. Однако важно также измерить их. Чтобы определить экспериментально /?(, Li и Ci, необходимо выполнить три измерения. Один из возможных методов состоит в следующем.

Определение R\

Генератор напряжения У(ш) подключается к вводам датчика (рис. 5.1). Этот генератор работает на импеданс

(5 36)

/(DC2 Ry + itoLy + (l/ZcoCj) + (I/ZC0C2)

Вещественная часть соответствующей полной проводимости имеет максимум при со = ©о, и мы получаем

2(<оо)= , , * / -(5.36)

Тем самым измерена вещественная часть тока, протекающего через генератор. Мы получаем

/?( = 7(®o)/Re[/(®o)].(5.37)

Определение L\

Из (5.32) видно, что должно быть измерено то. Это можно сделать, возбуждая болванку, позволяя затухать ее колебаниям и измеряя время затухания то. Другой метод, удобный в случаях, когда то слишком мало, чтобы провести надежное измерение, состоит в том, что мы измеряем резонансную ширину полосы 6(о [см. уравнение (6.5) для tg6 = 0] и полагаем

т0 =1/6а>.(5.38)

Определение Сх

Чтобы определить Ct, мы можем использовать уравнение (5.34) и измерять соо. Это измерение фактически осуществляется в процессе измерения /?( и состоит в изменении угловой частоты (о генератора напряжения У(®) до тех пор, пока Re[/(w)] не достигнет максимума.

Чтобы завершить этот раздел, следует рассмотреть более детально действие электрических потерь в пьезоэлектрической керамике. В нашем рассмотрении эквивалентной цепи все эти потери с помощью то включены в R\ вместе с механическими потерями [см. уравнения (5.17) и (5.25)]. Однако удобно отделить механические потери от электрических по следующей причине: электрические потери могут быть представлены сопротивлением R^ включенным параллельно С2. Это сопротив-

Рис. 5.2. Эквивалентная электрическая схема системы из болванки и пьезоэлектрического датчика с электрическими потерями в пьезокерамике, представленными посредством сопротивления R^.

ление, дополняющее диссипацию энергии, играет в электрической цепи такую роль, которая не отражается надлежащим образом путем включения /?2 в Rx. Поэтому рассмотрим сопротивление

R2 = l/<oC2tg6, (5.39)

включенное параллельно емкости С2, как показано на рис. 5.2. Влияние этих потерь на добротность Q антенны уже было рассмотрено, и было получено соответствующее выражение [последний член в уравнении (5.21)]. Такие уравнения могут быть также получены при рассмотрении цепи, изображенной на рис. 5.2, где /?1 не включает электрические потери в керамике. С экспериментальной точки зрения определение сопротивления Rx, которое не включает этих потерь, может быть осуществлено путем замыкания выводов керамики, чтобы получить нулевое электрическое поле.

Присутствие R2 изменяет результат измерения Rx. Поскольку R2 соединено с Rx параллельно, уравнение (5.37) принимает рид

1 Re [/ (too)]1/5 л

Rx™ V (too) R<x * '

Импеданс (5.35) также модифицируется благодаря присутствию /?2. Новое выражение легко получается заменой повсюду импеданса конденсатора С2 на импеданс сопротивления R^

Рис. 5.3. Численный пример для модуля импеданса, даваемого выражением(5.41).Рис. 5.3. Численный пример для модуля импеданса, даваемого выражением(5.41).

Рис. 5.3. Численный пример для модуля импеданса, даваемого выражением

(5.41).

Рис. 5.3. Численный пример для модуля импеданса, даваемого выражением

(5.41).

включенного параллельно С2 [т. е. С2->С2(1—ftg6)]. В результате получаем (рис. 5.3)

(°) ztoc2 0 „ z- fg 5)(°) ztoc2 0 „ z- fg 5)(5-41)(5-41)+itoL1 + T^c?

(°) ztoc2 0 „ z- fg 5)

(°) ztoc2 0 „ z- fg 5)

(5-41)

(5-41)

Я' + '^+^+йк»1-^6’’1

Тепловой и электрический шум1)

Пионерская работа по этому вопросу также была выполнена Вебером [160]. В дальнейшем мы опираемся на общее рассмотрение стохастических процессов [126].

Сопротивления эквивалентной электрической схемы, изображенной на рис. 5.2, вводят шум, называемый шумом Джонсона,

*) Нам приятно выразить нашу благодарность Г. В. Паллотино за полезные обсуждения.

спектральная функция напряжения которого равна *)

V2 = 2hTRt (В2/Гц),V2 = 2hTRt (В2/Гц),(6.1)(6.1)

V2 = 2hTRt (В2/Гц),

V2 = 2hTRt (В2/Гц),

(6.1)

(6.1)

где к — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура. Выходное напряжение керамики подается на полевой усилитель, который также дает вклад в полный шум со спектральной

Рис. 6.1. Эквивалентная электрическая схема рис. 5.2 со всеми источниками шума.Рис. 6.1. Эквивалентная электрическая схема рис. 5.2 со всеми источниками шума.

Рис. 6.1. Эквивалентная электрическая схема рис. 5.2 со всеми источниками шума.

Рис. 6.1. Эквивалентная электрическая схема рис. 5.2 со всеми источниками шума.

функцией напряжения Vn и спектральной функцией тока Гы* Вводя эти генераторы шума, мы получаем новую эквивалентную схему, изображенную на рис. 6.1, где показаны также генераторы шума, обусловленные полевым усилителем.

Как отмечалось ранее, сопротивление /?1 выражает здесь только механические потери болванки и пьезоэлектрической керамики. Эта величина не включает электрические потери в керамике, которые представлены сопротивлением /?2. Рассчитаем теперь отклик этой цепи на различные генераторы шума.

Рассматривая генератор Vb имеем спектральную функцию на выходе

St (о) = V^ | Tj (со) |2,(6.2)

где передаточная функция равна

[<о^ —<o2 + <OT^4gd]4-Z[toT^ + (<o2 —<о^^^’

причем

= ТГ ["С?С?] = “о 1 - р •(6-4)

Из (6.3) видно, что при «> 581 <йк (в пренебрежении членами порядка Q-2) имеет место резонанс, полуширина которого равна 6<o~^+<Oo0tg6 = -l-(l+pQmtg6),(6.5)

что приводит к уменьшению Q вследствие электрических потерь, как уже было установлено в уравнении (5.21).

4-00Ув- J Si(©)4-00Ув- J Si(©)Интегрирование Si (со) по всем частотам дает среднеквадратичное напряжение, обусловленное броуновским шумом болванки:

4-00

Ув- J Si(©)

4-00

Ув- J Si(©)

(6.6)(6.6)(6.7)(6.7)d© _ 6Гр l+Q~2(l+tg26) + tg2d 2л — Сг l + POmlgd-p^/Cotg8»*

(6.6)

(6.6)

(6.7)

(6.7)

которое можно аппроксимировать выражением

у2 = HiL JL

В Сг Qm*

где мы пренебрегли членами Q^2 и tg2d.

лучаемлучаемИспользуя (6.4), (5.29) и (5.33), при условии mpz <^ m по

лучаем

лучаем

2а2£Т Q

(6.8)(6.8)у g L - -*' L ^^,

(6.8)

(6.8)

Me>R Qm

где а дается выражением (4.86); Vb называется полным броуновским шумом болванки, поскольку реальным физическим механизмом, который вызывает его, является броуновское движение свободных электронов и фононов в антенне, ответственное за потери, характеризуемые сопротивлением /?ь

Теперь важно оценить автокорреляционную функцию Яц(т) для сигнала, спектральная функция которого равна Si(m). Автокорреляционная функция определяется как обратный фурье- образ Si(m). Таким образом,

4-00

= Уве-^’ [cos ©д 4- ^ sin ©д],(6.9)

где

=(6.Ю)

Пренебрегая членами порядка Q-1, получаем

/?11 (т) = Увв"х/2те cos ©дт,(6.11)

2

Очевидно, 7?и(0)=Ув.

Рассмотрим теперь шум, обусловленный пьезоэлектрической керамикой. Чтобы сделать это простым способом, удобно, используя теорему Нортона, представить шум напряжения посредством генератора тока

/2 = (6.12)

соединенного параллельно с сопротивлением R^. Этот генератор работает на импеданс, определяемый выражением (5.41), поэтому он дает следующий вклад в функцию шума напряжения:

| Z((o)|2/2 = | Z^J^^?/^. (6.13)

Очевидно, что этот спектр имеет резонанс при о ^ w^ с шириной полосы, определяемой (6.5), совершенно аналогично шуму, обусловленному ^ь поэтому вблизи резонанса он не может быть отделен от броуновского шума болванки.Можно показать [123],

чточто^(®)12^2^(®)12^2dco2лdco2лQCi Г /j d»2ф^С2 2®2С2 2л *QCi Г /j d»2ф^С2 2®2С2 2л *(6.14)(6.14)

что

что

^(®)12^2

^(®)12^2

dco

2л

dco

2л

QCi Г /j d»2ф^С2 2®2С2 2л *

QCi Г /j d»2ф^С2 2®2С2 2л *

(6.14)

(6.14)

где Q— полная добротность, определяемая уравнением (5.21).

Этот результат может быть интерпретирован следующим образом. Второй член есть широкополосный вклад, спектральная функция напряжения которого равна

(6.15)(6.15)е , х'г26Hgd

(6.15)

(6.15)

i$2 (®)о о

’<ь2С2<оС2

Первый член есть узкополосный вклад

VXVX*1®^ 2*1®^ 2_ QC? tg 6 г3 С2_ QC? tg 6 г3 С2(6.16)(6.16)

VX

VX

*1®^ 2

*1®^ 2

_ QC? tg 6 г3 С2

_ QC? tg 6 г3 С2

(6.16)

(6.16)

который обладает автокорреляцией типа (6.11).

Аналогичные результаты получаются для шума тока, обусловленного полевым усилителем. Имеет место широкополосный вклад, вызванный наличием генератора шума IN, спектральная функция напряжения которого равна

5^(®) = /^/®2С2,(6.17)

и узкополосный вклад

(6.18)

Два вклада в узкополосный шум (6.16) и (6.18) могут быть

объединены:

^-И+^«.№■ 19)

причем Vm мы будем называть резонансным шумом, поскольку оба члена соответствуют резонансному возбуждению болванки шумами токов h и IN, и оба имеют одинаковое спектральное поведение, подобное броуновскому шуму болванки. Полный узкополосный шум

72=721 |/2v nb v В' V гп72=721 |/2v nb v В' V гп2а26Г Q ^4 Qm2а26Г Q ^4 Qm(l+PQmtgd(l+PQmtgd2toRC2kT2toRC2kT

72=721 |/2v nb v В' V гп

72=721 |/2v nb v В' V гп

2а26Г Q ^4 Qm

2а26Г Q ^4 Qm

(l+PQmtgd

(l+PQmtgd

2toRC2kT

2toRC2kT

■ Q^N 1^(a^C2kT J■ Q^N 1^(a^C2kT J(6.20)(6.20)2a2kT (MoR 12a2kT (MoR 11 +1 +Q»1n2(0 ^С2ЬТQ»1n2(0 ^С2ЬТg-tUx» cos(0r/.g-tUx» cos(0r/.(6.23)(6.23)

■ Q^N 1

^(a^C2kT J

■ Q^N 1

^(a^C2kT J

(6.20)

(6.20)

2a2kT (

MoR 1

2a2kT (

MoR 1

1 +

1 +

Q»1n2(0 ^С2ЬТ

Q»1n2(0 ^С2ЬТ

g-tUx» cos(0r/.

g-tUx» cos(0r/.

(6.23)

(6.23)

2a2kT (

—r-1 1M<o^ (.

может быть интерпретирован как чистый броуновский шум при эквивалентной температуре Те, большей, чем физическая температура Т, т. е. мы можем написать

^ = V2BTeQmITQ = 2аЧТе/пш2к,(6.21)

где

7'-=7'^{1+₽Q"tg6+5^} = ’'{1+^w}' №'22)

что явно показывает возрастание температуры ХТе = Те — Т вследствие резонансного шума.

Из (6.11) и (6.21) мы сразу же получаем автокорреляционную функцию RnnW для полного узкополосного шума

n2a2kTe4

Rnn (0 = -—2-e-tl2^ cos ®Rt =

Перейдем теперь к широкополосным вкладам в спектральную функцию напряжения. В дополнение к вкладам S2(m) и Sw(®), даваемым выражениями (6.15) и (6.17), мы должны рассмотреть вклад, обусловленный шумом напряжения V# полевого усилителя. Таким образом, полная широкополосная спектральная функция имеет вид

2hT tg бюс22hT tg бюс2(6.24)(6.24)

2hT tg бюс2

2hT tg бюс2

(6.24)

(6.24)

где мы пренебрегли малым членом, описывающим корреляцию между Vn и In-

Автокорреляционная функция для этого спектра имеет вид

(6.25)(6.25)^(0 = W/).

(6.25)

(6.25)

Поскольку эти различные процессы независимы, автокорреляционные функции складываются, давая полную автокорреляцию выходного напряжения V (0:

Rvv (0 = Rnn (0 4" Rtw W (6.26)

Анализ сигнала

В разд. 6 мы показали, что выходное напряжение датчика имеет среднеквадратичный шум, определяемый #^(0) и поэтому больший, чем Vb (чисто броуновский шум болванки). Если сигнал далее не обрабатывается и мы принимаем отношение сигнала к шуму равным единице, путем использования уравнений (4.25) и (4.19) для сигнала и уравнения (6.8) для шума, в качестве нижнего предела для наблюдаемой амплитуды гравитационных волн получаем выражение

. L XV» . х

При Т = 1 К, М = 400 кг, и$ = 5-103 м/с и L = 1,5 м находим

AoTg> 1,6- 10" с,

что (для Tg ~ 10"3 с) дает слишком большое значение для К. Однако, как показали Гибсон и Хокинг в своей первой работе [73], чувствительность антенны можно существенно улучшить путем соответствующего анализа данных.

В дальнейшем мы используем более современные методы, основанные на применении автокорреляционных функций. Проблема может быть рассмотрена на различных уровнях сложности. Эти методы основаны на сравнении измеренного значения V^ напряжения в момент времени t со значением Vp^, предсказываемым с большей или меньшей степенью точности на основании измерений, произведенных в другие моменты времени.

Более сложные методы используют теорию Винера [126]. Представляется, однако, что простейший подход будет адекватным при оптимальных условиях записи данных (см. ниже)1). Он состоит в предсказании значения VP^ на основании только измеренного значения V^ в момент времени (/ — А/).

Чтобы «угадать» У(/), минимизируем величину [126]

а2 = £{[7(0~ Vp(/)]2}(7.2)

(£{х)—ожидаемое значение переменной х), т. е. мы ищем такое ожидаемое значение Ур(0 в момент /, которое минимизирует отклонения от измеренного V(0- В простейшем подходе мы полагаем

Vp^ = a^VU-M\(7.3)

где А/— параметр, оптимальное значение которого следует определить. Беря частную производную от о2 по а, приравнивая ее нулю и замечая, что в общем случае Е{х(/+ А/) ^(О)” = RXM^, получаем

a^-RwWMRvv^Y(7.4)

Используя для /?w(A/) выражение (6.26), находим предсказываемое значение Ур^ в момент t.

Однако при использовании этого подхода возникают практические трудности, обусловленные необходимостью проводить измерения в моменты времени, которые должны быть известны с очень большой точностью. Например, положим ©о = Ю4 рад/с. Вследствие наличия множителя cos toot в выражении для RvvU) мы должны определять t с точностью, лучшей чем, скажем, 1 мкс, что налагает жесткие ограничения на систему автоматической регистрации данных и значительно увеличивает широкополосный шум. Для решения этой задачи устраняют синусоидальный множитель путем подачи сигнала V(Z) на фазовый де-, тектор, который дает переменную

t

х (/) = А ^ V (t') exp [— (/ — П/1оА sign {cos cd ^ dt', (7.5)

где A — коэффициент усиления, a t0 — заданная постоянная времени. При фактическом вычислении выражения (7.5) операции выполняются в следующем порядке.

Сначала сигнал V(f) умножают на sign {cos ®/?f} и интегрируют /?С-фильтром с постоянной времени t0.

Чтобы установить свойства этой новой стохастической переменной, мы должны рассчитать ее автокорреляционную функцию. Сделаем это в два шага. Первый шаг состоит в получении спектральной функции для V(/) sign {cos сооО- Поскольку

sign {cos ®л0 = 4 [cos to^ + у cos 3<o^+ ...],(7.6)

то спектральная функция 5в(ю) для V(/) cos о>д^ выражается через спектральную функцию Sa(®) для К(/) в виде ряда

5д (®) = ^ у 15Л (<о + ®«) + Sa (® — ®Л) +

+ ^^(«> + 3(0^ +5Л (<о - 3<»R)] + ...},(7.7)

где

5л(<о) = 51(<о) + ^,(7.8)

причем Si(to) дается выражением (6.2), а Vo — выражением (6.24), в котором Т заменено на Те.

Второй шаг состоит в получении спектральной функции Sc (со) на выходе /?С-фильтра с постоянной времени /0:

Sc (®) = Ss (со) —(7.9) 1 + <в ty

Комбинируя все эти уравнения, получаем автокорреляционную функцию для переменной хЦУ + оо

Rxx^ = -^ $ S^e^d®.(7.10а)

Интегрирование проводим в пренебрежении членами второго порядка относительно (/оДо) и (/ой>о)-1 и считая Ко независящим от частоты. Получаем выражение (приложение Б)

+(4 - 4А+(4 - 4А(7.106)(7.106)которое не содержит осциллирующего множителя cos toOt.Теперь мы можем применить к переменной x(f) алгоритм предсказания, полученный для К(0- Из (7.3), (7.4) и (7.106)которое не содержит осциллирующего множителя cos toOt.Теперь мы можем применить к переменной x(f) алгоритм предсказания, полученный для К(0- Из (7.3), (7.4) и (7.106)получаемполучаемХр(М)Хр(М)у2ье~д^2т° + V^e”^^у2ье~д^2т° + V^e”^^хЦ — М\хЦ — М\(7.11)(7.11)

+(4 - 4А

+(4 - 4А

(7.106)

(7.106)

которое не содержит осциллирующего множителя cos toOt.

Теперь мы можем применить к переменной x(f) алгоритм предсказания, полученный для К(0- Из (7.3), (7.4) и (7.106)

которое не содержит осциллирующего множителя cos toOt.

Теперь мы можем применить к переменной x(f) алгоритм предсказания, полученный для К(0- Из (7.3), (7.4) и (7.106)

получаем

получаем

Хр(М)

Хр(М)

у2ье~д^2т° + V^e”^^

у2ье~д^2т° + V^e”^^

хЦ — М\

хЦ — М\

(7.11)

(7.11)

где

V2/

И—<7J2>

Ясно, что величинаЯсно, что величинаХ^ = х^-хрЦ\Х^ = х^-хрЦ\(7.13)(7.13)

Ясно, что величина

Ясно, что величина

Х^ = х^-хрЦ\

Х^ = х^-хрЦ\

(7.13)

(7.13)

впервые примененная к гравитационным волнам Левином и Гарвином [101], имеет нулевое среднее значение и в силу (7.2)

среднеквадратичное отклонение, равное

<г2(А/) = /?хх(0)[1<г2(А/) = /?хх(0)[1^хх(О) Г^хх(О) Г(7.14)(7.14)

<г2(А/) = /?хх(0)[1

<г2(А/) = /?хх(0)[1

^хх(О) Г

^хх(О) Г

(7.14)

(7.14)

Можно показать, что Х^ обладает нормальным распределением [126]

F [X (О, А/] - [2ло2 (А/)]-*/з exp [- -^j-].(7.15)

Подставляя (7.106) в (7.14), получаем

^(д0=Г26 + ^]{1-^(д0=Г26 + ^]{1-[И^-Д^ + у^-Д^[И^-Д^ + у^-Д^Кь + ^]2Кь + ^]2(7.16)(7.16)

^(д0=Г26 + ^]{1-

^(д0=Г26 + ^]{1-

[И^-Д^ + у^-Д^

[И^-Д^ + у^-Д^

Кь + ^]2

Кь + ^]2

(7.16)

(7.16)

Однако один фазовый детектор использует лишь часть информации, содержащейся в сигнале V^t). Чтобы получить полную информацию, можно использовать второй фазовый детектор со сдвигом на 90° относительно первого, что дает стохастическую переменную t

gW = $ У И exp [—(/ — /'УМ sign (sin «>,/}<#'.(7.17)

Чтобы проверить, что y(/) дает информацию, отличную от той, которая содержится в х(/), рассчитаем корреляционную функцию ^*д(т) для V(/)cos®R/ и V(/)sintost. Получаем

4-00

Rxy СО= Hm -sU ( V (f) V (t + /') cos ®Rf sin <oRtz dt' ■ Г->оо 41

= Rw CO sin <ort.(7.18)

В таком случае перекрестная спектральная функция равна

Sxy (®) = [$л (со + <oR) — 5л (о — <0r)M2L(7.19)

Поскольку 5д(ю) симметрична относительно ®, то S^(e) = 0; это доказывает, что две стохастические переменные х(/) и у(/) не коррелируют.

Переменная y(f) имеет статистические свойства, аналогичные свойствам х(/). Ее автокорреляционная функция равна

Rsv^0 = RxxWY(7.20)

а ожидаемое значение

у2 e~&№v ■ ylg-Atii»

Ур№ = ——i^+i^^ ~ до- (7,2[)

Стандартное отклонение также дается выражением (7.16):

о^(А/) = ахж(А0.(7.22)

Наконец, распределение переменной

Y^ = y^-yp^(7.23)

является нормальным:

F [У (/), А/] = [2яо2 (АО]-'7’ехр [- У2 (/)/2а2 (А/)].(7.24)

Тогда анализ данных состоит в основном в экспериментальном определении распределений Х(/) и У(/) и проверке того, что они согласуются с (7.15) и (7.24). Чтобы провести эту проверку простым путем, удобно ввести переменную

Р2(/) = Х2(О + У2(/).(7.25)

Чтобы получить ее распределение, вычислим сначала вероятность получения Х(/) и У(/) при данном t:

FIX, У, /] = "^r^yехР[~ЧаЧДГ)]^*^’(7.26)

Распределение р2 следует из р dp dф = dX dY после интегрирования по аномалии ф в плоскости (X, У):

F (Р2, А0 = 25575Г ехр [“ 2аЧА0 ]-^7’27^

Это распределение легко проверяется на полулогарифмической бумаге. Отметим, что среднее значение

^(0 = 202 (А/),(7.28)

что дает простой способ измерения параметра <т2(А0.

Теперь важно исследовать поведение а2(А/) в функции вре- меннбго интервала А/ между событием, выбираемым в качестве начального, и моментом времени, для которого предсказывается р2.

Из (7.16) получаем

(7.26'

Предел при А/ ->• оо означает, что мы не делаем никакого предсказания (хр = ур = 0). Это эквивалентно рассмотрению вместо р2 переменной

г2(0 = х2(/) + у2(/)((7.30)

которая имеет распределение вида

F^,(7.31)

В этом случае могут наблюдаться лишь гравитационные волны, которые порождают сигнал, сравнимый с Сто. Однако, как мы уже отмечали, существование волн такой амплитуды крайне маловероятно.

Чувствительность можно улучшить, рассматривая в (7.16) значения А/ С 2то. При А/ -* О имеем о2 -*■ 0, но А/ не может быть меньше to, поскольку to есть время интегрирования фазового детектора.

Действительно, в (7.16) удобно положить

t0 = M, (7.32)

чтобы определить оптимальное А/, т. е. такое его значение, которое делает о2 (А/) наименьшим. Из (7.16) и (7.32) получаем

а2(А/) = (У26 + У2)] 1а2(А/) = (У26 + У2)] 1^-A,/2t‘+I^-,)2O^D2^-A,/2t‘+I^-,)2O^D2(7.33)(7.33)

а2(А/) = (У26 + У2)] 1

а2(А/) = (У26 + У2)] 1

^-A,/2t‘+I^-,)2

O^D2

^-A,/2t‘+I^-,)2

O^D2

(7.33)

(7.33)

Если выполняются условия

уг^-д^т. » | у^ & То>(7.34)

то выражение (7.33) можно заменить приближенным выражением

а2(А/)-У26-^ + 2У2(1 -1) = 25l^L +

х '”» То * \ е / в т0

(7.35)

минимальное значение которого, как легко видеть, имеет место при

А/ = А/опт - тг2- 12то (е - 1 )]’/г — 1,864 4^ Т0/2,(7.36)

Vnb* nb

о2 (А/Опт) - VnbVo2 Г^^Ll7’ ■ 1,365 -^.(7.87)

L ето Jто

Сравнение (7.37) с (7.29) показывает, что о2^^ \^УпЬУо^ _ 1,37У0 1 а0+v nb т0

откуда следует своего рода критерий улучшения чувствительности, получаемого при анализе сигнала посредством надлежащего выбора алгоритма.

В заключение в табл. 7.1 мы резюмируем вклады различных шумов в фон резонансной болванки, снабженной пьезоэлектрической керамикой, выход которой подключен к полевому предусилителю. "

Таблица 7.1

Сводка выражений для шумов системы болванка — пьезоэлектрическийдатчик — полевой предусилитель

Узкополосные шумы (В2)

(6.7) или (6.8)(6.16)(6.18)(6.20), (6.19)[выражение (6.22)(6.7) или (6.8)(6.16)(6.18)(6.20), (6.19)[выражение (6.22)Броуновское движение болванки, Уд

(6.7) или (6.8)

(6.16)

(6.18)

(6.20), (6.19)

[выражение (6.22)

(6.7) или (6.8)

(6.16)

(6.18)

(6.20), (6.19)

[выражение (6.22)

Джонсоновский шум керамики (датчика), V^

Резонансный шум, обусловленный шумом тока IN в полевом предусилителе, VNN;

V„b = V2B + ^ + Р^.

Путем в ведения эквивалентной температуры Те получаем

V^b”V^BTeQmITQ.(6.21)

Широкополосная спектральная функция напряжения (В2/Гц)

Спектральная функция напряжения полевого предусилителя, У^

Спектральная функция напряжения пьезокерамики, (2tgd/toC2) кТ

Спектральная функция напряжения, обусловленная шумом входного тока полевого предусилителя Цы), ^nI^C^

и 2

Полный естественный шум Qq = V^b + у|(7.29)

Полный отфильтрованный шум ^

а2 (Д/) - аф - Rx^ ^ 1(7.14). (7.29)

Полный отфильтрованный минимизированный шум2)

®2 (Д/опт) = 1,365,(7.37)

то

Д<опТ- 1,854-^1#.(7.36)

О f0-*время интегрирования фазового детектора, ширина полосы которого Av равна Av— 1//о. М—время выделения сигнала: M=*t».

Рис. 7.1. Выборочные распределения стохастических переменных г1 и р2, полученные Римской группой на малой болванке при температуре 4,2 К; верхняя кривая соответствует Е = г2, нижняя — Е = р2.

Проблемы, рассмотренные в этом и предыдущем разделах, могут быть проиллюстрированы несколькими экспериментальными результатами. На рис. 7.1 показано распределение обеих переменных г2 и р2, наблюдавшихся римской группой в течение приблизительно 4 ч работы антенны с М = 20,2 кг при температуре 4,2 К [5]. Переменные г2 и р2 выражаются в В2, а также в единицах GPU и в кельвинах, как показано в разд. 8.1. Из распределения г2 заключаем

агй=Аг- 103,8 (нВ)2,

где А — усиление электрической схемы. С помощью этого значения, полученного в результате измерений, используя (7.29) и (6.20), находим

Ге = 6,35 К,

что на 0,6 К больше, чем значение, вычисленное с помощью (6.22) из измеренных значений параметров болванки.

Из распределения р2 заключаем

а2(0,1с) = Л2- 14,6 (нВ)2,

что согласуется со значением, рассчитанным согласно (7.37). Отметим, что это распределение является экспоненциальным в рамках пригодности приближения наименьших квадратов (1%), за исключением только одной точки при р2 = 4В2. Более детальное рассмотрение поведения х^ и у(/) вблизи этой точки показывает, что оно обусловлено колебаниями болванки, которые, однако, вероятнее всего, вызваны возмущениями, такими, как высвобождение энергии из пьезоэлектрической керамики или из алюминия болванки.

На рис. 7.2 и 7.3 показаны аналогичные результаты, полученные в Станфорде и Мэриленде. В Станфорде [30] болванка массы М = 680 кг работала при температуре 4,4 К. Величина, отложенная по абсциссе на рис. 7.2, равна

АВ = [х (0 - х (/ - А/)]2 + Ху (/) - у (/ - А/)]2, (7.39) что почти идентично р2. Болванка в Мэриленде [47] массы М = 130 кг работала при 4,2 К, а отложенная по абсциссе стохастическая переменная

АВ'= г2 (/) — г2 (/— А/) (7.40) не содержит фазовой информации. Оптимизированное время выделения сигнала А/опт равно 0,1, 0,3 и 0,1 с для измерений в Риме, Станфорде и Мэриленде соответственно. С точки зрения рассмотрения, проведенного в разд. 8, следует подчеркнуть тот важный факт, что значение эквивалентной температуры Тв (6.22) всегда может быть определено из наклона экспериментального распределения значений г2, а эффективная температура ТЭфф (8.22) — из наклона распределения р2. Стохастические переменные (7.39) и (7.40) дают аналогичную информацию.

Прежде чем завершить этот раздел по анализу данных, упомянем очень кратко о процедуре, развитой токийской группой, которая может представить практический интерес в будущем.

Основная идея состоит в гашении броуновского движения избранной моды болванки при комнатной температуре посредством нагружения антенны «охлажденной» нагрузкой, которая, имея более низкую температуру, генерирует меньший шум. Хи- ракава и др. [85] провели эксперимент, который показал, что броуновский шум антенной моды гасится холодным резистором, связанным с модой через пассивный датчик.

Уменьшение температуры моды не ведет к непосредственному улучшению отношения сигнал/шум вследствие конкурирующего уменьшения добротности антенны. Тем не менее этот метод полезен, поскольку он снимает жесткие ограничения на динамический диапазон усилителя и аналого-цифрового преобразователя и устраняет неудобства, связанные с большим временем задержки антенн с высоким Q/T (~ 1 день для Q = 109).

Рис. 7.2. Выборочное распреде- -^ ление стохастической перемен- § ной (7.39), полученное стан- о фордской группой на антенне § массы 680 кг при 4,4 К. S

Рис. 7.3. Предварительные результаты распределения стохастической переменной (7.40), полученные мэрилендской группой на антенне массы 130 кг при 4,2 К.

Токийская группа с успехом заменила криогенный холодный резистор эффективным холодным импедансом, полученным с помощью цепи обратной связи [117, 118].

Чувствительность антенны

Чувствительность гравитационно-волнового детектора является параметром первостепенной важности. К сожалению, многие авторы дают чувствительность своих детекторов без четкого указания способа, который они избрали для ее расчета. Различия возникают вследствие выбора разных состояний поляризации, разных форм падающего гравитационного импульса либо вследствие того, что чувствительность рассчитывается для определенного направления падающего волнового пакета или усредняется по всем возможным ориентациям антенны.

Мы принимаем, что импульс гравитационной волны является обычным волновым пакетом (рис. 3.1) амплитуды й0, угловой частоты о)О и длительности т^, который линейно-поляризован, имеет асимптоты силовых линий, параллельные оси цилиндрической болванки, и падает перпендикулярно этой оси. Числовые множители, которые должны появиться при усреднении по направлению приходящей волны и (или) состоянию поляризации, уже были приведены в конце разд. 4.1.1.

Более того, для любого детектора следует делать различие между минимальной наблюдаемой интенсивностью приходящей гравитационной волны (разд. 8.1) и приведенной чувствитель* ностью (разд. 8.2). Определение первой из этих двух величин включает кроме интенсивности (в единицах эрг/(см2 Гц) или GPU) приходящего импульса также статистическую частоту их появления по отношению к появлению флуктуаций полного фонового шума. Вторая величина, которую мы называем приведенной чувствительностью, включает только отношение сигнал/шум независимо от частоты появления импульсов гравитационных волн.

Минимальная детектируемая интенсивностьгравитационных волн

Начнем с распределения (7.27) стохастической переменной р2 (7.25), получаемого за полное время измерения Тт при времени выделения сигнала А/, оставляя пока в стороне проблему оптимизации А/. Величина, определяющая, во сколько раз сигнал, обусловленный тепловым и электрическим шумами, больше, чем заданное значение р2, дается выражением [7, 133]

гдегдеNk>^ = N^Q\ (8.1)

где

где

(8.2)(8.2)No = 1^1

(8.2)

(8.2)

есть полное число наблюдений, зарегистрированных в течение Тщ.

Предположим, что в течение времени Тт в детектор попадают ^G(^p2) импульсов гравитационных волн амплитуды ^ р2, Для того чтобы можно было наблюдать эти сигналы, необходимо, чтобы ^(^р2) было равно флуктуациям величины N(^p2), определяемой выражением (8.1), или было больше их. Таким образом, мы должны иметь

NQk>^>W>^H,(8.3)

где 6 — число, которое будет выбрано в соответствии с требуемой доверительной оценкой. Например, для доверительного предела, равного 99%, 0 = 3. Из (8.3) и (8.1) получаем

р2>2а2(А/)ф,(8.4)

где

t) = ln-5^^ = 21n6+lnAro-21nAr0(^(8.5)

Nq ( > Р )

есть статистический множитель, зависимость которого от времени измерения Тт и времени выделения сигнала А/ непосредственно определяется путем выражения No и Ng через соответствующие частоты появления

«о = NolTm = 1/А/, п0 = Na/Tm.(8.6)

Мы получаем

ф = 2.1п 0 — 2 In п0 — In Тт + In А/ = 2 In 0 — 2 In п0 — In No, (8.7) что для 0 = 3 (доверительный предел 99%) дает

= 2,1972 -2 Inп0(>р2)- InNo.(8.8)

Ясно, что минимальное наблюдаемое значение р2 получается при использовании минимального значения ст2 (А/) и соответствующего A/опт [см. уравнения (7.37) и (7.36)]:

Рмин. набл = 2(т2 (^опт) *опт,(8-9з)

где

фОПт = 2,1972 — 2 In nQ — In Тт + In А/опт. (8.96)

Теперь удобно выразить р2 через характеристики гравитационной волны. Рассмотрим резонансный всплеск, вызывающий сигнал, определяемый уравнением (4.25), которое с учетом (4.19) удобно переписать в форме'

6 ^ = "^- е-</2t0 sin (^ + «}.(8. Ю)

Если этот гравитационный всплеск с длительностью

т8«А/«т0(8.11)

достигает детектора в начале времени выделения сигнала, то он дает только один сигнал, квадрат амплитуды которого равен [см. (4.87)]

/1 \2 а2у2

(8.12)

где численный множитель 0,4 появляется вследствие того, что А/ = /о есть постоянная времени фазового детектора.

Если т5 сравнимо с А/, мы можем получить более чем один сигнал в последовательные интервалы времени выделения сигнала, каждый из которых меньше р^. Мы ожидаем, однако, что в большинстве случаев условие (8.11) должно выполняться по крайней мере до тех пор, пока А/ порядка 0,1 с или больше. Поэтому, комбинируя (8.12) и (8.4), получаем

(^^ттту^АОФ,(8ЛЗ>

60,4а Уд

что с учетом (4.39) дает

F (v) = Ig4 >^0^^ (АО Ф-(8.14)

Эти формулы дают минимальные значения ho%g или ^(v), детектируемые с достоверностью 99% соответствующим прибором, характеризуемым определенными значениями а2(А/) и А/, для установленных значений частоты появления этих событий и полного времени измерения.

Используя о2 (А/) и А/, определяемые из (7.37) и (7.36), и полагая по = 1 день-1, Тт = 1 день = 86 400 с и 0 = 3, удобно переписать (8.14) в виде

FtW MU = 5,35- 1036-1^ (б,782-1-In А/ОПЛ (8Л5) a L т0/2 \2у

в единицах системы СИ. Используя (6.21) и (6.8) при сод « о)О, получаем

W|fWU-7.57.|»»A(^

X (б,782 -1 In А/опт) Дж/м2 • Гц. (8.16)

Наконец, сделаем несколько полезных изменений в единицах. Комбинируя (8.12) с (4.39), получаем

2( 12,80

р = { xL3 AVI? > • <. Ь(8.17)

Г I «3С3J (.ИЛИ Igtg)'

что допускает преобразование величины р2, выраженной в В2, в величину /gTg = B(v), выраженную в Дж/м2 Гц или в GPU [см. уравнение (3.15)], и наоборот. Преобразование г2(р2), выраженного в В2, в температуру ТДТэфф) в кельвинах получается путем приравнивания среднего значения одной из стохастических переменных г2 (или р2), функция распределения которой имеет вид (7.31) (или (7.27)), чисто броуновскому шуму (6.8) при температуре ТДТэфф):

^ = 2a^«2V2nb = ^^_,(8Л8)

где мы ввели усиление А и аппроксимируем а)/? значением о)О. Мы получаем

Гв = {| (г2).(8Л9)

Это соотношение имеет общую применимость в том смысле, что оно дает коэффициент преобразования для перехода от переменной (г2, р2 и т. д.) в В2 к соответствующей температуре: Те-> Тэфф~^<р2> и т. д.

Совпадения между двумяили более детекторами

Возрастание чувствительности может быть получено путем использования двух или более гравитационно-волновых детекторов, работающих на совпадениях. Для любой формы корреляции между выходом гД/) = {хД/), у^Г)^ i-и антенны и выходом Г/(/) /-й антенны достаточно использовать одинаковый масштаб времени для всех станций, например использовать всюду Всемирное время (UT).

Более тонкая из мыслимых процедур включает построение корреляционных функций между выходами любых двух антенн, задающие генераторы фазовых датчиков которых настраиваются синфазно, например, при нуле UT каждый день. Если точность регистрации 6tui Всемирного времени на каждой станции будет дробной частью периода Т t = ^ антенны, то система станций будет образовывать интерферометр в том смысле, что она будет допускать определение относительных фаз приходящих гравитационных сигналов с разных станций. Для этого достаточно иметь 6tUi ^ IO-4 — 10"5 с, что в настоящее время легко достижимо.

Сильное ограничение, однако, вводится временем выделения сигнала М, которое в настоящее время не ниже 0,1 с для любого из существующих детекторов. Значение А/ не только больше, чем Tg; оно даже больше, чем время распространения между

д&умя станциями, так что в настоящее время не имеет смысла пытаться строить корреляционные функции. Мы будем довольствоваться рассмотрением совпадений со временем разрешения между любой парой станций, равным А^ + А//1).

Обсудим сначала сильно упрощенную задачу, а именно совпадения между двумя или более идентичными изотропными детекторами гравитационных волн. Под изотропностью мы понимаем, что чувствительность каждой антенны одинакова для любого направления распространения и любого состояния поляризации приходящей гравитационной волны (сферическая болванка; разд. 4.5). При этих условиях всплеск гравитационного излучения вызывает одинаковое изменение р2 во всех детекторах независимо от их географических координат. Более того, число случайных совпадений вследствие флуктуаций полного шума в каждой антенне дается произведением п распределений вида (7.27), т. е. мы имеем

п

^п (^ Р2)= Со exp £ 2а2 (д/) ^ j * Cg = Д N^b

где n— число антенн. Это выражение имеет ту же форму, что и (7.27), поэтому все формулы, полученные в разд. 8.1 для одной антенны, остаются в силе при условии, что о2 (А/) уменьшается в п раз.

Это уменьшение стандартного отклонения, хотя и не является пренебрежимо малым, не дает существенного улучшения по сравнению со случаем использования одной станции. Тем не менее использование более чем одной станции на совпадениях существенно для исключения локальных возмущений, обусловленных причинами, отличными от теплового и электрического шумов.

Но проблема совпадений между двумя или более антеннами значительно сложнее, чем может показаться на основе этого весьма упрощенного рассуждения. Усложнение является следствием того, что все современные антенны имеют диаграмму направленности, определяемую формой болванки. Она определяется выражением (4.64) для цилиндрических болванок и выражением (4.66) для квадратных болванок.

Например, из (4.64) следует, что чувствительность цилиндрической болванки максимальна для любого направления в ее экваториальной плоскости, но вне этой плоскости она уменьшается до 1/2 при 33°, 1/4 при 45° и 1/10 при 56°.

!) Рассмотрение совпадений, наблюдаемых между цилиндрическими гравитационно-волновыми антеннами, было проведено Дугласом и Тайсоном [52, 53] при анализе положения источников импульсов, наблюдавшихся на совпадениях Вебером.

Полное наложение п диаграмм направленности получается путем расположения осей п цилиндров параллельно одна другой. В общем случае это условие параллелизма при п ^ 3 вступает в конфликт с очевидным из практических соображений условием, связанным с тем, что оси болванок должны быть горизонтальными. Для п = 2 решение очевидно, по крайней мере если заменить геоид сферой. В этом приближении оси двух горизонтальных болванок параллельны только тогда, когда они установлены перпендикулярно большому кругу, проходящему через две станции. Третья антенна также может быть установлена параллельно двум другим, если соответствующая станция расположена в непосредственной близости к тому же большому кругу.

Практическое приближенное решение состоит в расположении всех цилиндрических болванок параллельно (или почти параллельно) меридиану станции. Эти условия оказываются приемлемыми только для гравитационно-волновых станций в северном полушарии, поскольку (табл. 8.1) значения их широты лежат между 31° и 43° северной широты. Таблицы дают отношение значений р2, наблюдаемых на любой станции, для каждого направления распространения (и состояния поляризации) приходящего гравитационного излучения [115].

Диаграмма направленности станции Университета Западной Австралии частично перекрывается только с диаграммой направленности Университета в Батон-Руж, географические координаты которого отличаются на 22' по широте и 27°20' по долготе от координат ее антипода в Перте.

Эти усложнения, обусловленные главным образом формой Земли и ее гравитационным полем, являются довольно нежелательными при начале поиска гравитационных волн с помощью детекторов второго поколения. В дальнейшем, однако, если импульсы гравитационных волн будут обнаружены, они могут создать возможности для другого подхода к проблеме определения направления и поляризации приходящего излучения [115, 193].

Приведенная чувствительность

Для сравнения различных детекторов представляется удобным ввести определение чувствительности, отличное от (8.14) в том смысле, что оно дает параметрическую характеристику антенны, но не зависит от статистических аспектов проблемы [135].

Исходим из выражения (8.14):

*3 лЗ 1

^ <V)^^-^775°2(A/) Ф, (8.20)

Географические координаты и расстояния между

Фраскати

Москва

Токио

Перт

Широта

41° 49'N

55°45'N

35° 43'N

31°59'S

Долгота

12° 40'Е

37° 37' Е

139°54'Е

115° 49'Е

Фраскати И,2)

2 348

8 903

11023

t

—

7,9

29,7

36,7

Москва Г12

2 348

—

7 055

10 429

t

7,9

—

23,5

34,8

Токио г 12

8 903

7 055

7 433

t

29,7

23,5

—

24,8

Перт Г 12

11023

10429

7 433

t

36,7

34,8

24,8

—

Станфорд Г 12

9 048

2 621

7 698

11673

t

30,2

28,6

25,7

38,9

Регина Из

7 543

7 226

7 923

12140

t

25,2

24,1

26,4

40,5

Батон-Руж

Ня

8 108

8 471

9622

12 491

t

27,0

28,3

32,1

41,7

Рочестер

П2

6 652

7 021

9 321

12 620

t

22,2

23,4

31,1

42,1

Мэриленд Пя

6 851

7 338

9618

12 666

t

22,9

24,5

32,1

42,3

О Диаметр Земли равен 12 756 км, ^=42,6 мс. Расстояния рассчитывались с помощью Ь=6356,775 км с максимальной неточностью в несколько десятков метров.

’) Единицы измерения: rt, —км, t — мс.

Таблица 8.1

некоторыми гравитационно-волновыми лабораториями 1)

Станфорд

Регина

Батон-Руж

Рочестер

Мэриленд

37° 42'N

50°31'N

30° 50'N

43° 15'N

38° 50'N

122° 18'W

104°31'W

91° 18'W

77° 35'W

77° 0'W

9 048

7 543

8108

6 652

6 851

30,2

25,2

27,0

22,2

22,9

8 621

7 226

8 471

7 021

7 338

28,6

24,1

28,3

23,4

24,5

7 689

7929

9 622

9 321

9618

25,7

26,4

32,1

31,1

32,1

11673

12 140

12 491

12 620

12 666

38,9

40,6

41,7

42,1

42,3

—

2 007

2931

3 729

3 854

—

6,7

9,8

12,4

12,9

2 007

2 473

2 172

2 494

6,7

—

8,2

7,2

8,3

2 931

2 473

—

1854

1553

9,8

8,2

—

6,2

5,2

3 729

2 172

1854

—

493

12,4

7,2

6,2

—

1,6

3 849

3 494

1553

493

12,8

8,3

5,2

1,6

—

эллипсоида, принятого международным соглашением в Люцерне в 1967 г.: а=6378,160 км,

которое с помощью выражения (4.41а) может быть переписано в виде

л2 trMtb

(8.21)

Если теперь ввести эффективную температуру Лфф, такую, что при этой температуре о2 (А/) соответствует чисто броуновскому шуму, а именно положить [см. (8.18)]

аЧ^^кТ^М^,(8.22)

то неравенство (8.21) примет вид

что представляет собой просто переформулировку (8.20). Оно выполняется независимо от любой процедуры оптимизации.

Будем называть приведенной чувствительностью величину

(8.23)

которая с учетом (4.41а) принимает при Т = 4,2 К форму f (v) = 782 Т^М GPU,(8.24)

где ТЭфф измеряется в кельвинах, а М— в килограммах.

Температура Лфф измеряется в каждом эксперименте по наклону полулогарифмической кривой распределения используемой стохастической переменной [см. (8.18)]. В этом выражении мы использовали распределение г2, но с равным основанием могли быть использованы другие стохастические переменные, такие, как р2, А£ и АЕ' (см. конец разд. 7 и рис. 7.1—7.3). Численное значение Лфф вычисляется из (8.19) с заменой <г2> в правой части на среднее значение используемой стохастической переменной. Заметим, что в правой части появляется также квадрат полного усиления электрической схемы А, функция которого заключается в том, чтобы перевести квадратные вольты, записываемые на магнитной ленте, в квадратные нановольты на входе электрической измерительной цепи.

Эмпирический параметр Гафф может быть проанализирован различными способами. С точки зрения рассмотрения, проведенного в конце разд. 7, мы можем разделить Лфф на две части:

^-Т.^ + ДТ,,(8-26)

соответствующие узкополосному и широкополосному шумам. Другое, также интересное разделение имеет вид [50]

Т^ = Т-^^Т1е = Т^М^Т1в1(8.26)

где первый член обусловлен чисто броуновским движением болванки, а второй — системой датчик + электрическая схема. Поскольку физическая температура болванки Т измеряется, а Л/ и то известны, мы всегда можем получить величину Ttei которая дает удобную параметризацию качества системы датчик + электрическая схема.

Этот подход может быть лучше понят в рамках следующих рассуждений. Исходим из (7.35) и заменяем Упь вторым выражением из (6.20), в котором отсутствуют параметры датчика. При or (оо получаем

/▼2 /да 2а2/?Т Д/ 1 2g2QP ,2 А/ , 2 (11/е)

12W0C2 1nД/

Второй член может быть переписан в удобной форме путем замены величины р ее выражением (5.28), взятым при Сг » Сь и замены а2 выражением, полученным из (5.30). Используя выражение (6.24) для Уо, находим

о2(А/) =о2(А/) =2а2 £Т2а2 £ТД/Д/Л1®о тоеЛ1®о тое_5£L/22<d0C2 n_5£L/22<d0C2 nД/Д/тоетое

о2(А/) =

о2(А/) =

2а2 £Т

2а2 £Т

Д/

Д/

Л1®о тое

Л1®о тое

_5£L/2

2<d0C2 n

_5£L/2

2<d0C2 n

Д/

Д/

тое

тое

(8.27)(8.27)2 (1 Vе) Г i/2 । 2 tg d .™ ।1 ,2 1

(8.27)

(8.27)

L ®0G2®o^2 J

где явно видны вклады, обусловленные а) броуновским движением болванки (первый член), б) диссипацией в датчике (второй член в квадратных скобках) и в) шумом электрической схемы (три остальных члена).

Предположим теперь, что мы имеем идеальный датчик, т. е. датчик без диссипации. Тогда вклад «б» исчезает (tg 6 = 0 в наших формулах) и о2 (А/) преобразуется в сумму члена, характеризующего броуновское движение, и трех «электрических» членов. Вместо выбора значения А/, которое уменьшает до минимума о2(А/), как это делалось в разд. 7, мы, следуя Джиффарду [74], определяем А/ так, что электрический шум Vei становится минимальным. В результате получаем

(402 = (A/oU2=4(e- 1)^ ^| = [2(e- l)7’-^ -^f, (8.28)

'n ci L iN с,]

V'2 _ 1/2У 0' NV'2 _ 1/2У 0' NL_ /2<0^ ^’L_ /2<0^ ^’где

V'2 _ 1/2

У 0' N

V'2 _ 1/2

У 0' N

L_ /2

<0^ ^’

L_ /2

<0^ ^’

Обычно второй член в этом выражении составляет самое большое несколько процентов от первого и им можно пренебречь, так что мы получаем

V С2

А/^т ~ -f уД 2 (е - 1 )'/2,(8.29а)

V2el = ^e-\)lhVNIN^-=l(e-\^VNIN^, (8.296)

а2 ( Mel^

а2 (А/:Ц = —у J 267 —221 + 0,964^ 1.(8.30)

Л1(ОотоеI

Подставляя эти выражения в (8.14) и используя еще раз (4.41а), имеем

f(v)>—<267 ^+ 0,964^/3f. (8.31)

Если определить температуру шума электрической схемы 7# посредством равенства

kTN = VNfNl(8.32)

то выражение (8.31) принимает вид

F ^ > ” VT+ 2кТ« ( т •(8.33)

агв I тоеJ 2

Это выражение аналогично выражениям (32) и (36) Джиффар* да [75] при условии, что статистический множитель (8.5) конкретизируется выбором 6=1 и Тт = 1 с1). Множитель ^/е в первом члене обусловлен различием между использовавшимися алгоритмами.

!) Статистический множитель, появляющийся в выражении (32) из работы Джиффарда, равен In(R А/)-1, где [74]

Я-^ехр (Я-^ехр (ДЕ2а2ДЕ2а2(а)(а)

Я-^ехр (

Я-^ехр (

ДЕ

2а2

ДЕ

2а2

(а)

(а)

есть частота повторения наблюдений, т. е. число тех наблюдений в секунду, при которых получается значение стохастической переменной (7.39), большее, чем ожидаемое значение АЕ. Для отношения сигнал/шум равного 1, из (а)

следует соотношение

(б)(б)ДЕ>2а2 In (ЯДО-1,

(б)

(б)

очевидно аналогичное (8.4). Определение (а) совпадает с (8.1), если мы примем в первом из уравнений (8.6) Тт = 1 с, так что No = (А//1 с)-1. После подстановки этого значения Wo и 0 = 1 в (8.5) статистический множитель ф становится равным ф = In (Л^Д//1с) , где в соответствии с подходом Джиффарда N2G может быть заменено на R вследствие соотношения (8.3), в котором положено 0=1,

Эксперименты

Краткий обзор экспериментов первогопоколения

Сделаем теперь краткий обзор экспериментов первого поколения, приводя для каждого из них значения эффективной температуры Тэфф (8.22) и соответствующей приведенной чувствительности (8.24).

В табл. 9.1 приведены основные данные экспериментов и результаты такого их анализа, который обладает преимуществом большей однородности, но который не всегда согласуется с данными, приводимыми различными авторами.

Начиная с экспериментов Вебера [162—168], мы приводим здесь лишь наиболее новые результаты [99], хотя Вебер начал свои наблюдения несколькими годами раньше, вначале на одной, а затем на двух антеннах, действующих на совпадениях. Большинство его экспериментов было выполнено с цилиндрическими болванками, хотя в некоторых случаях, как уже отмечалось в разд. 4.1.2, он использовал также диски [165].

Во всех случаях, используя пьезоэлектрическую керамику, Вебер наблюдал ряд совпадений, значительно выходивших за пределы статистических флуктуаций. Слабым местом в экспериментах Вебера, обусловленным, однако, пионерским характером его работы, является анализ данных, который в основном проводился с помощью аналоговой аппаратуры, которая с трудом допускала систематическую проверку всех шагов обработки данных. Поэтому значение ТЭфф не приводится. Чтобы вычислить значение f, приведенное в табл. 9.1, мы использовали параметры эквивалентной схемы в предположении, что анализ данных проводился оптимальным образом, что, возможно, несколько завышает чувствительность эксперимента Вебера.

Следующим рассматривается эксперимент Брагинского и др. [37], которые использовали экспериментальную установку, весьма похожую на предыдущую, за исключением датчика, которым в московском эксперименте служил конденсатор ВЧ-цепи, модулированный колебаниями болванки (разд. 4.1.5).

Московские авторы предполагали наблюдать вариации квадрата выходного напряжения, в четыре* раза меньшие, чем броуновский шум. С нашей точки зрения это утверждение означает, что ГЭфф = 75 К. Приведенная чувствительность, рассчитанная с помощью (8.24), по-видимому, меньше, чем рассчитанная для эксперимента Вебера. Значительный шаг вперед в анализе данных (разд. 7) сделали Левин и Гарвин [102], которые начали записывать информацию (амплитуду и фазу), полученную от электромеханического датчика (пьезоэлектрической керамики), прежде чем анализировать данные. Этим путем можно получить

Исследовательская группа

Число антенн из А1

Частота, Гц

М, кг

Г, к

г,фф- к

Минимальный наблюдаемый поток f (v), GPU

Замечания относительно чувствительности

Замечания относительно наличия дополнительных импульсов

Мэриленд

2

1660

1500

293

не измер.

6,7 (оценка)

Рассчитана по эквивалентной схеме

В некоторые периоды 1973 и 1974 гг. наблюдались совпадения, превышающие четыре стандартных отклонения

Москва

2

1640

1300

293

75

50

Измерена

20-дневные измерения в 1972 г. и 10-дневные измерения в 1973 г. не дали совпадений

IBM

1

1637

480

293

18,5

34

>

Один дополнительный импульс за 27 дней

Белл — Рочестер

2

710

3700

293

18,3

4,4

>

Очень малое число дополнительных совпадений за 87 дней

Фраскати — Мюнхен

2

1654

1560

293

7,3

4,0

>

350-дневные измерения на совпадениях не дали импульсов, превышающих 100 GPU; менее чем 1,7-104 импульсов превышали 10 GPU

Медон

1

1635

1600

293

15

8,4

Рассчитана

Нет данных

Глазго

2 (двойная)

1100

300

293

20

59

Измерена

Одно дополнительное совпадение за 7 месяцев

Ридинг

2 (двойная)

1181

625

293

100

140

>

Нет дополнительных совпадений

Токио

2

145

1400

293

10

1900

>

Нет значительных дополнительных совпадений

Рим

1

8600

20

4,2

0,94

41

>

Очень малое число дополнительных импульсов за несколько дней

Станфорд

1

1315

680

4,4

0,39

0,5

Много дополнительных импульсов (шумовых) за 10 ч

Мэриленд

1

1755

130

8,1

0,5

3,4

>

Предварительные данные

Таблица 9.1

Завершенные эксперименты

Э. Амалъди, Г. Пиццелла

экспериментальное значение ТЭфф и сделать все соответствующие проверки. Однако вследствие малой массы антенны значение приведенной чувствительности, рассчитанное с помощью (8.24), оказывается меньше, чем ожидаемое значение, которое мы получили для эксперимента Вебера.

Тайсону в Лабораториях «Белл телефон» удалось создать очень чувствительную антенну, которая позже в течение длительного периода времени работала на совпадениях с аналогичным устройством, разработанным Дугласом и др. [54] в Ро- честерском университете. Проверка статистического распределения совпадающих сигналов показывает, что только очень небольшое число совпадений не подчиняется распределению с ТЭфф = 18,3 К-

Группа Фраскати —Мюнхен [21, 39, 91, 92] предложила лучший способ крепления пьезоэлектрического датчика к болванке (разд. 4.1.5) и получила довольно низкое значение для ТЭфф. Две антенны, одна во Фраскати (Италия), а другая в Мюнхене (Западная Германия), работали в режиме совпадений 350 дней в период с июля 1973 г. по январь 1975 г. Не было получено явного подтверждения какого-либо преобладания совпадений с нулевым временем задержки, поэтому были даны верхние пределы для гравитационного излучения. Эти верхние пределы показывают, что за период измерения не было обнаружено сильных импульсов гравитационных волн, но они не исключают возможности существования многих малых импульсов, обусловленных гравитационным излучением.

Другой эксперимент, весьма похожий на веберовский, был проведен в Медоне [25], но, к сожалению, данные не были опубликованы.

В Глазго Древер и др. [56] работали с антенной, обсуждавшейся в разд. 4.1.2 (рис. 4.2), также с отрицательными результатами, но приведенная чувствительность, рассчитанная с помощью (8.24), была невелика. Аналогичные результаты были также получены с подобной антенной Алленом и Христодулиде- сом [3] в Ридинге.

Хиракава и Нарихара [83] в Токио для квадратной антенны, рассмотренной в разд. 4.1.2 (рис. 4.3), использовали другую область частот (v0 = 145 Гц). Колебания детектировались с помощью емкостного датчика с постоянным смещением, обсуждавшегося в разд. 4.1.5. В то время как ТЭфф хорошо согласовалась с результатами других экспериментаторов, чувствительность (данная авторами, а не рассчитанная нами) была весьма малой вследствие ее пропорциональности квадрату частоты; она была в 100 раз хуже, чем для антенн в диапазоне килогерц (разд. 4.1.2).

Наконец, мы подошли к низкотемпературным экспериментам. Использование низких температур для уменьшения ТЭфф было впервые предложено Фэйрбэнком (Станфорд) и Гамильтоном (Луизиана). Позже в сотрудничестве с Римским университетом началась реализация проекта по изготовлению 5-тонных антенн, действовавших при температуре 3 мК. Этот проект находится пока в стадии разработки. Однако, для того чтобы достичь конечной цели, были созданы и введены в действие меньшие криогенные антенны. Первая криогенная антенна римской группы, способная давать достаточно хорошие данные, была малой (20 кг) и вначале работала при ТЭфф = 2,1 К [6, 132], а позднее при ТЭфф = 0,94 К (рис. 7.1). Станфордская группа [30] ввела в действие 680-килограммовую антенну, снабженную сверхпроводящим датчиком с настраиваемой мембраной (разд. 4.1.5), которая давала (рис. 7.2) ТЭфф = 0,39 К и приведенную чувствительность 0,5 GPU. Результаты показывают наличие большого числа импульсов за пределами ожидаемого статистического распределения. Однако авторы приписали эти импульсы механическому шуму, который не мог быть устранен, обусловленному главным образом устройством криостата. Поэтому они решили прекратить работу на 680-килограммовой антенне и перешли к разработке антенны с М = 4800 кг.

Группа из Мэриленда также создала криогенную антенну [47], но пока имеются лишь предварительные данные (рис. 7.3).

Взгляд на табл. 9.1 показывает, что единственными экспериментами, действительно более чувствительными, чем веберовский, которые проводились длительное время и все данные которых соответствующим образом анализировались, являются эксперименты групп «Белл телефон»— Рочестер и Фраскати — Мюнхен.

Оба этих эксперимента не исключают возможности, что многие малые импульсы обусловлены гравитационными волнами с интенсивностью порядка 10—20 GPU. Вебер заявил, что он использовал для анализа данных очень чувствительный алгоритм.

Ясно, что для решения этой проблемы должны быть проведены эксперименты с f < 1 GPU. Такие эксперименты позволят впервые исследовать верхнюю часть диаграммы, представленной на рис. 3.2, т. е. область, где, согласно современным астрофизическим представлениям, ожидается существование некоторых источников всплесков гравитационных волн.

Подготавливаемые эксперименты

Перейдем теперь к экспериментам, которые подготавливаются, и начнем с рассмотрения тех, которые могут привести к появлению данных через два-три года (табл. 9.2).

Подготавливаемые эксперименты

Таблица 9.2

Исследовательская группа

Тип антенны

Частота, Гц

Датчик

к

5 i

«SU

и § ”э

Луизиана

Цилиндр из А1

800

Сверхпроводящие аксе

4,2

(10~14 см)

4800

< 1

Мэриленд

Цилиндр из А1

1755

лерометры Резонансная емкость

4,2

3 • 10~3

130

0,02

Москва

Монокристалл сапфира

30 000

Параметрический усилитель

1,4

(1,5 • 10—15)

1

< 1

Рочестер

Кристалл кремния

19 000

сквид

1,4

2 • 10—3

4,9

0,13

Рим

Цилиндр из А1

1795

Пьезоэлектрик

1,5

0,1

390

0,23

Станфорд

Цилиндр из А1

800

сквид

4,2

ю-3

4800

2-Ю-4

Группа из Луизианы вплотную подошла к охлаждению 5-тонной антенны; позднее эта антенна будет соединена со сверхпроводящим акселерометром со связанной массой (разд. 4.1.5), который в принципе может достичь g ~ 10-20 см. При 4,2 К они должны достичь чувствительности, лучшей чем 1 GPU.

Группа из Станфорда также почти готова приступить к охлаждению 4800-килограммовой болванки, использующей сверхпроводящий акселерометр с настраиваемой мембраной (разд. 4.1.5). В качестве первого шага они могут охладить антенну до 4,2 К и получить ТЭфф ~ 10“3, что даст очень хорошую чувствительность.

В Риме велась работа по созданию промежуточной 390-килограммовой криогенной антенны, снабженной датчиками из пьезоэлектрической керамики. Предыдущий эксперимент с 20-килограммовой антенной показал, что эта керамика хорошо ведет себя при низких температурах. Однако полевой усилитель, следующий за датчиком, ограничит ТЭфф в лучшем случае значением 0,1 К- Эта антенна была охлаждена до 4,2 К в июле 1977 г. и начала давать данные весной 1978 г. 9-

Аналогичная антенна группы из Мэриленда, уже включенная в табл. 9.1, использует резонансный электростатический конденсатор в качестве датчика и также должна в ближайшее время начать выдавать данные.

9 Предварительные результаты этого эксперимента обсуждаются в работе [194]. — Прим. пере^.

Наконец, московская и рочестерская группы могут получить хорошую чувствительность путем использования антенн, основанных на другом принципе, который был впервые предложен Брагинским. Из уравнения (8.26) видно, что ТЭфф может быть сделана меньше за счет увеличения Q, если Tte не доминирует. Таким образом, в этом случае можно использовать меньшее значение М, т. е. меньшее поперечное сечение огв. Московская группа планирует использовать монокристалл сапфира и параметрический датчик, основанный на применении высокочастотного сверхпроводящего электромагнитного резонатора. В данный момент они могут детектировать колебания болванки порядка 1,5-10-15 см, но эта чувствительность может быть повышена путем улучшения характеристик генератора накачки, используемого в параметрическом датчике. Рочестерская группа в настоящее время планирует использовать кристалл кремния и СКВИД в качестве датчика, измеряющего изменение магнитного потока, обусловленное вариациями конфигурации с очень большим градиентом потока (разд. 4.1.5).

Все эксперименты, перечисленные в табл. 9.2, при их надлежащей реализации должны разрешить раз и навсегда проблему, возникшую в результате наблюдений Вебера.

Перейдем теперь к проектам, имеющим целью выйти за пределы первоначальной задачи, заключающейся в выяснении вопроса, существуют ли гравитационные волны.

Таблица 9.3

Обзор продолжения в будущем современных экспериментов

Тип антенны

Исследовательская группа

Минимальный наблюдаемый поток, ограниченный квантовыми эффектами, GPU

Большая масса (5 т)

Луизиана — Рим — Станфорд

ю-8

М - 1 т, Q ~ 108

Большая Q (около 109)

Перт

10~7

Мэриленд Москва Регина Рочестер

ю-8

Лазерный интерферо

Глазго

~ ю—8

метр (100 Вт, ~ кГц)

МТИ Мюнхен

Эти эксперименты перечислены в табл. 9.3. Мы опять находим здесь объединение групп Луизиана — Рим — Станфорд с 5-тонными болванками, охлажденными до 3 мК. Предполагая, что может быть достигнута чувствительность, ограниченная

лишь квантовыми эффектами (разд. 9.3), мы получаем чувствительность IO-8 GPU, что даст мощное средство для исследования Вселенной. Затем мы имеем группу в Перте [138], которая планирует использовать две идентичные болванки в 1 т каждая, изготовленные из ниобия, чтобы получить высокое Q ( —108) и высокую массу М и избежать тем самым необходимости перехода в область температур порядка милликельвинов. В числе групп, использующих антенны с высоким Q, находятся также группы из Мэриленда [142] и Регины [18]. Группа из Регины также использует антенны с высоким Q, но в отличие от других групп планирует достичь температур порядка милликельвинов. Предельная чувствительность антенн с высоким Q, по-видимому, будет несколько хуже, чем для антенн с большим М, но в настоящее время трудно установить все проблемы, которые определенно возникнут для различных типов датчиков.

Максимальные пределы чувствительностирезонансных детекторов

В заключение мы кратко обсудим проблему максимальных пределов чувствительности резонансных детекторов гравитационных волн. Начнем с минимального наблюдаемого значения спектральной плотности энергии F^, которое в случае идеального датчика (т. е. датчика без диссипации) дается неравенством (8.33). Из двух членов в скобках первый обусловлен броуновским движением. Его можно уменьшить путем понижения температуры, путем увеличения значения Q для болванки или обоими этими способами. Время выделения сигнала А/ определяется условием оптимизации, которое следует наложить и которое всегда зависит от электрической схемы. В общем случае малое значение А/ предпочтительнее вследствие лучшей статистики для ожидаемого времени измерения, совпадений и т. д. Второй член в скобках в (8.33) обусловлен электрической схемой, и проблемы, связанные с его уменьшением, отличны от возникающих при уменьшении броуновского шума.

Значительное уменьшение одного члена относительно другого нецелесообразно, поскольку окончательный результат определяется большим из них. Поэтому экспериментатор всегда должен улучшать свою технику так, чтобы оба члена были примерно равны или по крайней мере были того же порядка величины. С учетом этого очевидного правила полезно иметь в виду с точки зрения возможных практических ситуаций экстремальные случаи, при которых одним из двух членов можно пренебречь по сравнению с другим.

Проблемы, связанные с электрическим членом [вторым членом в (8.33)], были исследованы Джиффардом [74, 75]^

который предполагал наличие безшумового параметрического усилителя, либо входящего в датчик, либо помещаемого между датчиком и усилителем. Примеры этого типа уже обсуждались при рассмотрении некоторых датчиков, а именно случаев «е» [уравнение (4.104)], «ж» [уравнение (4.106)], «и» и «к».

Во всех этих случаях второй член в (8.83) должен быть заменен на SMTn/G, где G — параметрическое усиление. Тогда неравенство (8.33) принимает вид к (,

/?М = -—7’^- + 2-^ф,(9.1)

агв Iu )

где мы опустили множитель е в знаменателе первого члена вследствие принятого нами сцецифического алгоритма.

Если мы хотим, чтобы второй член в (9.1) был меньше, чем первый, мы должны использовать параметрическое усиление G, удовлетворяющее условию

^oG^^^-Q,(9.2)

рассмотренному Брагинским [32] и Дугласом [50] и представляющему особый интерес для болванок с очень высокой Q.

Вернемся теперь к (9.1) и рассмотрим второй член. Можно показать, что максимальный предел температуры шума Тц дается условием [79, 103, 143, 157]

hTN>h<»J\n2,(9.3)

где <в+ = ®р4-(Оо — сумма угловых частот сигнала и накачки (top = 2nf,f). Поэтому максимальный предел шума усилителя равен

2£7\/G = 2/iVo/ln2,(9.4)

что соответствует приведенной температуре шума TnG~x « « 0,1 мкК на частоте 103 Гц. Для типичной антенны с М = = 1500 кг, резонирующей на частоте 1,6 кГц, этот предел соответствует возрастанию векторной амплитуды колебаний торцов цилиндра до 9-10—21 м. Наилучший имеющийся в настоящее время усилитель, работающий при комнатной температуре на частоте 1 кГц, использует входные полевые транзисторы, которые могут обладать температурой шума до 0,1 К. При температурах ниже 4,2 К для уменьшения шума могут использоваться сверхпроводники, а эффект Джозефсона может порождать сверхпроводящую параметрическую индуктивность. Согласно Джиф- фарду [75], одним из возможных путей достижения температуры шума 0,1 мкК должно быть использование джозефсонов- ского повышающего параметрического преобразователя [129] с выходной частотой 10 ГГц, в котором применяются мазерный

усилитель, ограниченный лишь квантовыми эффектами, или джозефсоновские устройства постоянного тока [45].

Другой трудностью при создании датчика является проблема согласования усилителя. Джиффард показал, что для любого заданного значения времени выделения сигнала М датчик точно согласует резонатор с усилителем при условии

/ М X / V \2

/12/12/21/21 = ( “V/ • (9*5)

где Zq— матрица импеданса, определенная (4.76), Zq — матрица, комплексно-сопряженная с Zq, a L — индукция эквивалентной схемы (рис. 4.14), соответствующая массе Мт механической модели, изображенной на рис. 4.15. Уравнение (9.5) показывает, что согласование может быть осуществлено несколькими способами. Однако для достижения оптимального согласования нежелательно использовать большое время выделения сигнала А/. В наиболее интересном случае усилителя, ограниченного лишь квантовыми эффектами, должно выполняться неравенство

j Ы 4/1

Q 6 In 2 ’

чтобы обеспечить требуемое соотношение между двумя членами в уравнении (9.1). Если может быть создан широкополосный датчик, который дает А/ « т^ « 1 мс, то мы должны получить T/Q^ 0,04 мкК. Это условие не согласуется с весьма жесткими требованиями к криогенному оборудованию, поскольку значения Q, превышающие 10е, могут быть получены с обычными материалами.

Если нельзя достичь оптимального согласования при времени выделения сигнала, для которого можно пренебречь броуновским шумом болванки, то в общем случае будет существовать некоторое значение времени выделения сигнала, для которого полный шум сводится к минимуму. Этой точки зрения мы придерживались в разд. 7 и 8.1.

Перейдем теперь к обсуждению нижнего предела для первого члена в (9.1). Начнем с замечания Брагинского [31], что энергия, сообщаемая или извлекаемая в результате действия импульса гравитационных волн из макроскопического механического осциллятора, представляющего избранную колебательную моду болванки, дается выражением

ХЕ = ф' (2 А//т0) АГ,

где ф'— статистический множитель, зависящий от принятого доверительного предела, который мы налагаем на изменение амплитуды относительно ее среднеквадратичных вариаций,

обусловленных чисто броуновским движением. Любая попытка уменьшить первый член в (9.1) приводит к уменьшению А£, поэтому достигаются условия, при которых проявляется квантовая структура уровней осциллятора:

, En = h^n + ^\(9.6)

Переход от классического к квантовому поведению имеет место, когда наиболее вероятное значение <п> квантового числа п равно не слишком большому целому числу. Это значение получается путем приравнивания выражения (9.6) средней энергии гармонического осциллятора при температуре Т;

^п)=" ^IhT _ । *(^’^)

т. е.

W= ehvikT _ । Т *(9.8а)

Например, для Г = 1 К и vo = 1600 Гц мы получаем

<п> « ^ = 2,08 • 1010 — = 1,3-Ю7,(9.86)

откуда следует, что наиболее совершенные антенны, введение которых в действие предполагается в ближайшем будущем, имеют классическое поведение. Квантовая структура их уровней (9.6) начнет проявляться при достижении температуры порядка 10-3— 10-4 К и ниже. Однако уже вблизи 1 К поведение осциллятора удобно описывать в квантовых понятиях и говорить, что осциллятор совершает «случайные блуждания» вблизи его средней энергии (9.7) со средним интервалом 6/ между двумя последовательными однофононными переходами (Ап = = ±1), определяемым выражением 9

6/ = -д То Т^г = s’(9-9)

Полагая Q = 2-106, vo = 1600 Гц (т0 = 200 с) при температуре 1 К, мы получаем 6Z = 10~13 с, так что значение энергии осциллятора будет непрерывно «блуждать» около его средней энергии кТ. Однако, если мы перейдем в область температур порядка милликельвинов (или ниже) со значительно большими значениями Q (~1013), интервал 6/ возрастает до ~1 с, т. е<

9 Выражение (9.9) было выведено Г. Иакуччи исходя из формулы (433) статьи Чандрасекхара [441. Однако это выражение справедливо для времен /, много больших, чем 6/. Численная проверка, произведенная Иакуччи, показывает, что для t ~ 56/ (206/) скорость достижения равноЬесия все еще отличается на 10% (1%) от получаемой из (9.9).

до значения, сравнимого или даже большего, чем время выделения сигнала М.

Если осциллятор характеризуется координатой £(/) и канонически сопряженным импульсом рЦ^= m^ty то принцип неопределенности утверждает, что эти две переменные могут быть измерены одновременно только с точностью

Ы^р>П-(9.10)

Обычный подход состоит в попытке измерения обеих переменных с приблизительно равной относительной точностью путем контролирования хЦ^ в течение одного или более периодов. Эти условия соответствуют неопределенности в квантовом числе Дп (п + 74)1/2. Такой предел впервые получен Брагинским [31] на оптическом уровне для координатного датчика Фабри — Перо и позднее Джиффардом [74] для любой измерительной системы, выходное напряжение Й(/) которой является линейной функцией от ^tY Обобщение на произвольную систему, имеющее целью измерить обе сопряженные переменные, было дано Торном, Древером, Кэйвсом, Циммерманом и Сандбергом [151].

Брагинский [31] отметил, что эти квантовые ограничения на Ag, Ар и Ап создают серьезные препятствия для детектирования гравитационных волн, которые хорошо иллюстрируются следующим замечанием [149]. Чтобы наблюдать по крайней мере три взрыва сверхновых за год, мы должны достичь скопления галактик в Деве. Но гравитационные волны, приходящие с такого расстояния, будут давать смещение

для механического осциллятора на Земле, которое соответствует

что для разумных значений М лежит ниже квантового предела.

Впоследствии Брагинский [31] предложил попытаться измерить вместо | и р непосредственно квантовое число п, отказываясь от всей информации о соответствующей сопряженной переменной — фазе. С этой целью несколько лет назад он предложил специальное устройство, которое позволит измерять квантовое число п и его изменения, обусловленные возможными всплесками гравитационного излучения, не вызывая (в течение последовательных интервалов времени А/) изменения п, и назвал эту процедуру квантовой неразрушающей схемой.

Однако позднее Унру [154] отметил, что такая схема не работает вследствие линейной связи между осциллятором и

датчиком, тогда как связь второго порядка будет работать, но, вероятнее всего, будет давать слишком слабый эффект, чтобы его можно было экспериментально обнаружить. Аналогичные соображения были высказаны также Брагинским и др. [38].

Проблема была пересмотрена Торном и др. [151], которые пришли к выводу, что идеальное неразрушающее измерение на» блюдаемой А(/) можно провести, если удовлетворить одному из следующих условий:

Для непрерывных измерений А (/) должно иметь такую явную зависимость от /, которая компенсировала бы зависимость, обусловленную движением системы:

-^=^ + т[А-Н- + Н11—<912)

где Hi — гамильтониан, описывающий взаимодействие между осциллятором и датчиком, а Но — гамильтониан взаимодействия системы осциллятор + датчик.

Для дискретных измерений, проводимых в определенные моменты /о, Л, •.., tn, наблюдаемая А(/) должна иметь значения, удовлетворяющие равенству

А (/о) = А (/!)-...= А (/„).(9.13)

Приближенные неразрушающие измерения можно осуществить, связывая осциллятор с наблюдаемой В (Н! ~ В), равной сумме наблюдаемой А, удовлетворяющей перечисленным выше условиям, и некоторой осциллирующей величины. Эта связь осуществляется путем усреднения по многим периодам и использования измерительной системы, для которой спектральная плотность сил обратной связи пренебрежимо мала вблизи частоты осциллятора.

Примером случая «а» является прибор, который измеряет вместо §(/) и р(^ сопряженные им переменные

Xi = § (0 cos tot — -^^ sin tot, Х2 = I (/) sin tot + -^- cos tot,

(9-14)

и гамильтониан взаимодействия которых равен

Н^^ф,

где К— постоянная, а ф— наблюдаемая, связанная с измерительной системой.

При проведении измерения датчик возмущает Х2, но не действует на Хр

4г-“О,(9.15)

аг ’ dt тюх '

Если первое измерение в момент / = О дает точное значение Хо для Хь соответствующее собственному значению |Ло> переменной Xi(Z=0) = Xi(0), то в отсутствие возмущающих сил Xi остается постоянной и последующие измерения дадут то же самое точное значение Ло.

Предположим, что начиная с момента /0 осциллятор слабо связывается классической возмущающей силой

=(9.16)

вызванной гравитационной волной, с гамильтонианом взаимодействия

Н™ (О = -^F^ = - [X, cos ®/ + Х2 sin to/] F VY (9.17)

Для t ^ t0 первое уравнение (9.15) заменяется уравнением ^L = - 1 [х„ НГВ] = - -Йхь х2] sin <0/ = - 4^ sin со/, из которого следует, что для t ^ to t

X, (0 = Xj (/0) - $ ^ sin tot' dt'.(9.18)

Собственное состояние X] (/) определяется выражением t

X» (0 = Хо - 5 45? sin tot'dt'’ (9-19)

и любое точное измерение X] (/) для t ^ to не влияет на осциллятор и дает результат Ло(/). Авторы полагают, что путем надлежащего выбора измерительной системы можно в принципе точно и непрерывно контролировать ХД/) и получить из этих результатов временную зависимость F^t"), поскольку

Торн и др. заключают, что, используя два осциллятора (антенны), связанные одинаковым образом с падающей гравитационной волной, но сдвинутые по фазе на четверть периода, можно измерить X] для одного осциллятора и Х2 для другого, получая тем самым F(/)sin со/ и F(/)cos tot.

Чтобы измерить X], следует, разумеется, связать осциллятор синусоидально как с координатным датчиком, так и с датчиком импульса и суммировать их выходы, прежде чем подключать их к какому-либо усилителю или любому другому шумящему или диссипативному элементу цепи.

В работе Торна и др. обсуждаются также некоторые другие схемы, аналогичные предложенным Унру [154] и Брагинским и др. [38]1).

Приложение А. Обозначения, используемыев теории точечных групп симметрии

Здесь мы резюмируем некоторые определения, используемые в теории симметрии колебательных состояний молекул, которые удобно перенести на гравитационные резонансные детекторы.

А.1. Некоторые основные определения из теорииточечных групп [46]

Напомним, что элемент симметрии является геометрическим объектом, таким, как линия, плоскость или точка, к которому может быть применена одна или более операций симметрии, переводящих систему точек в конфигурацию, идентичную первоначальной. Только четыре типа элементов и операций симметрии необходимы при рассмотрении симметрии молекулы (или болванки). Они указаны в табл. АЛ, где приведены символы

Таблица А1

Четыре типа элементов и операций симметрии,требуемых для конкретизации симметрии молекул

Элементы симметрийОперации симметрии

Плоскость (а)

Центр симметрии (/)

Отражение в плоскости

Инверсия всех атомов относительно

3. Собственная ось (Сп)

центра

Один или более поворотов вокруг

4. Несобственная ось (Sn)

оси с порядка п

Одно или более повторений последовательностипреобразований:

поворот с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси с порядка п

с;хс„=-спс;х-в,

Ci=-E,

^п” Е,С^ = Cnip>

а2 = Е, а-х=а,

^t>^h = ^2*

1-Г\

S2n = Е» 52?Ж ” °п» Р-Е, la h = С2,ICn = CnL

9 Детальный анализ проблемы квантовых неразрушающих измерений содержится в работах [195—198] (см. также статью Унру в сборнике [180], с. 385). — Прим, перед.

,Шенфлиса а, /, Сп и Sn и система основных соотношений, которые представляют собой аналитические утверждения относительно различных геометрических свойств, связанных с определениями этих операций.

Напомним, что Сп обозначает как элемент симметрии «вращение вокруг оси порядка п», так и соответствующую операцию симметрии, т. е. вращение на угол 2п!п вокруг оси с. Путем n-кратного повторения операции Сп получается тождественная операция Е: С« = Е. Вообще Е представляет любую комбинацию операций, которая переводит молекулу в первоначальную конфигурацию.

А.2. Классификация точечных групп [И4]

А. Группы поворотов

Простейший возможный тип симметрии состоит из единственной n-кратной оси с, которая является односторонней. Соответствующая группа операций называется циклической группой и обозначается СП = {СП}.

Группу поворотов более высокого порядка симметрии получаем, добавляя к n-кратной оси с перпендикулярную к ней двукратную (и = 2) ось и^. Можно доказать, что отсюда следует наличие п двукратных осей ии\ и^, ..., и^п\ перпендикулярных с; угол между двумя смежными осями, разумеется, равен л/л. Соответствующие группы операций называются диэдри- ческими группами и обозначаются Dn = {Cn, t72}- Важным частным случаем является группа О2, обычно называемая группой Вивера и обозначаемая V. Соответствующая ей система трех взаимно перпендикулярных двукратных осей тождественна с декартовой системой координат.

Тетраэдрическая группа Т есть группа операций совмещения правильного тетраэдра. Она может быть получена из группы Вивера путем добавления системы эквивалентных трехкратных осей, которые делают три двукратные оси эквивалентными: Т = {V, С3}.

Другими группами чистых поворотов являются октаэдральная группа О (IV) и икосаэдрическая группа Р (V).

Б. Группы второго типа

Они получаются добавлением надлежащего отражения к группам поворотов, кратко описанным выше. В предположении, что главная n-кратная ось вертикальна, h будет обозначать горизонтальную, а у — вертикальную плоскость. Добавление любого из этих элементов к группе поворотов будет обозначаться

13 Зак. 203

добавлением индексов h или у к символу группы. Группы второго типа следующие:

Циклическая группа Cnh по определению есть

^nh = (Сп, Од}.

Группа С)А иногда обозначается как С$.

Циклическая группа Сло содержит /т вертикальных плоскостей симметрии. Соответствующие операции включают п поворотов и п отражений.

Группы Sn являются группами операций, единственным элементом симметрии которых является несобственная n-кратная ось Sn = {S„}. Путем записи Sn= CnOh можно показать, что для определенных значений п группы Sn совпадают с более простыми группами симметрии. Это, однако, не имеет места для S4P-

Диэдрические группы ОпА получаются добавлением горизонтальной плоскости к диэдрической группе поворотов: D„A=(D„, оА}. Наличие этой плоскости влечет за собой наличие п вертикальных плоскостей, проходящих через двукратные оси.

Диэдрические группы Dnd получаются добавлением к Dn вертикальной плоскости, которая делит пополам угол между двумя двукратными осями. Эта плоскость обозначается d (diagonal). Одна плоскость такого типа влечет за собой еще (и—1) плоскостей.

Вторичными типами групп являются тетраэдрическая группа Td = {Vd, Сз} (XI), где Vd = O2d; группа TA = {VA, С3} (XII); октаэдрическая группа ОА = (О, А} (XIII); икосаэдрическая группа РА = {Р, А} (XIV).

В дополнение к конечным группам, перечисленным выше, следует рассмотреть три бесконечные (или непрерывные) группы: Сооо, Ооо и D^, аналогичные Cno, D„ и DnA. В частности, Соо является группой поворотов вокруг оси с на произвольный угол <р.

Отметим несколько частных случаев групп: Ci — отсутствие симметрии, С$ = С1А— плоскость симметрии, S2 = /— центр симметрии.

А.З. Обозначения собственных люд [/7/]

Невырожденные собственные моды обозначаются буквами А и В, двукратно вырожденные собственные состояния — буквой Е, трехкратно вырожденные — буквой F, ... (см. нижнюю часть табл. А.2). А и В различают собственные моды, которые являются соответственно симметричной или антисимметричной относительно генерирующей операции Сп в группах и„ или от-

Таблица А2

Группы симметрии

антенн и их собственные моды колебаний 1)

Группа симметрии

Порядок группы

Собственные моды колебаний

С1

*

1

А

с2

*

2

АВ

С3

*

3

АЕ

с4

*

4

АВЕ

с»

5

ае,е2

Св

*

6

АВЕ1Я2

Ci (= Si)

*

2

^gAu

Cs(=CIA = S,)

*

2

k'К"

Cah. (= C^

*

4

k gA^B gB ц

Cly

*

4

А( А2В1В2

Ceh

*

6

АД"Е'Е"

Gey

*

6

КхА2Е

Cth (= C4<)

*

8

^gAuBgBuEgEu

C*o

*

8

Ai Д2В1В2Е

Cen

*

10

а'д^е^е^е^

Cgy

10

А| Д2Е1Е2

Cel

*

10

А^ДМЕ1 gE\uE2gE2u

Ceh (" Cei)

*

12

^gAuBgBuEx gE\ uE^gE^u

*

12

Ai A2Bi B2E1E2

D2(= 7) Do

*

*

4

6

AB1B2B3 a^2e

tv

*

8

Ai Д2В1B2E

De

10

a^2E!E2

De

*

12

А1Л2В1В2Е1Е2

D2h (= D^y = Dst = Vh)

*

8

А^ДМВ) gB\uB2gB2uBegBeU

D2d(-Vd)

*

8

Ai Л2В1B2E

^1 gAiuA2gA2u^gEu

Deh С™ D3o)

*

12

D^d (^ Dei)

*

12

D*h (= D4y = D^

*

16

AigAiuA2gA2uBlgBtuB2gB2uEgEu

D»d

Deh (— Dey)

16

Ai Л2В1В2В1E2E3

20

^1^1 ^2^2 ^1^1 ^2^2

Ped (^ Dei)

20

^1 gAi uA2gA2uEi gEmE2gE2u

Deh (= Dey = Dei)

*

24

^igAiuA2gA2uEigBluB2g В2иЕ18Е1иЕ28Е2и

Ded

24

Ai A2BiB2Ei E2E3E4E5

•$4

*

4

ABE

О Группы, помеченные звездочкой (*), образуют 32 кристаллические точечные rovn- пы. Антенны, принадлежащие группам С^, С^, D^ и D^ имеют ось симметрии. Антенны из группы R^ обладают сферической симметрией относительно центра. ГВ-актив- ные моды даны жирным шрифтом. Вырождение мод: А, В, 2, s—невырожденные- В П А, Ф, Г— двукратные; F, р-трехкратные; G —четырехкратные; Я, d-пятикратные; Г—семикратные (таблица из работы [84]).

П рододжение

Группа симметрии

Порядок группы

Собственные моды колебаний

Se (= Сз/)

*

6

^gAuE.gEu

$8

8

кВЕ\ Е2Е3

т

*

12

ЛЕР

Th (= т^

*

24

AgAuE.gEjF gF и

Td

*

24

Л^Е^Ег

О

*

24

Л1Л2ЕР iF2

0h<<”0^

*

48

А \ 8А\иА2&АгиЕ.&ЕиЕ\gF щЕ sgF 2м

I

60

afxf2gh

lh

120

AgAuF\gF\UF2gF2uGgGu^g^ и

Coo

ОО

2ПД0Г ...

Coot,

ОО

2+2“ПДФГ ...

D„

ОО

2+2”ПДФГ ...

Booh (" ^ooO ^ Dooi)

ОО

ЗДО^П^Д»

Rt

ОО

spgPudgdttfgitt

носительно соответствующих операций в группах, изоморфных Dn 1). Индексы 1 или 2 у А или В используются для обозначения собственых мод, которые симметричны или антисимметричны при одном из двукратных поворотов вокруг оси, перпендикулярной главной оси симметрии в Dn, или ее аналогу, такому, как вертикальная плоскость аУ в группе, подобной Спхп которая изоморфна Dn.

Если такая группа, как D^, получается путем взятия прямого произведения2), то все собственные моды двукратно вырождены. Собственные моды, являющиеся симметричными относительно /, обозначаются индексом g (gerade— четный), в то время как антисимметричные моды обозначаются индексом и (ungerade— нечетный). Если прямое произведение содержит горизонтальную плоскость он в качестве генерирующего элемента, то собственные моды, симметричные относительно он» обозначаются штрихом, и антисимметричные моды — двумя штрихами.

Читатель, которого интересуют обозначения для вырожденных состояний, может найти соответствующую информацию в приложении X к работе [171].

9 Две группы называются изоморфными, если между элементами одной и другой групп можно установить взаимно однозначное соответствие, и законы умножения в обеих группах одинаковы.

^ Если А есть р-рядная квадратная матрица и В есть р-рядная квадратная матрица, то А X В является квадратной матрицей с pq строками и столбцами, а ее элементы образуются из всевозможных произведений пар элементов: (А X В Jt*. ц = АцВи.

Обозначения, используемые для собственных мод групп с цилиндрической симметрией (Соо, Соои> D™, Doov), совпадают с применяемыми в спектроскопии двухатомных молекул (S+, S", П, ...), тогда как в случае сферической симметрии (/?i) используемые символы совпадают с применяемыми в спектроскопии одноатомных молекул (s, pgl ри. dgi dU1 ...).

Приложение Б. Вывод выражения (7. 106)

Вычислим интеграл

/ = i7Т^?№ + $.(»+».) + $,(<»-«.„)}<№. (Б.1)

Первый член в интеграле равен

,1 +г°+f e^d®

Т. == \ Л (ft = \ ■ -.■■,. ■■■.., ..... == Р”1'1»

(В.2)

Во втором члене [полагая для простоты tg6 = 0 в уравнении (6.3)]

+°°J *

(Б.З)(Б.4)(Б.5)(Б.З)(Б.4)(Б.5)Sp Г eitot dto

(Б.З)

(Б.4)

(Б.5)

(Б.З)

(Б.4)

(Б.5)

— 2я _2 С1 + ®2<о) [(®2 - <4У + ®^2] ’SQ = ^kTeRxIL\cX,имеем полюсы

tox="h’ ®з = 2к’

<й4 — — 2<о0 +-^ >™5 = -2^’Юб=-2<Оо--2^ .

где мы полагаем о/? « ©о* Интеграл берется в комплексной плоскости вдоль линии, которая включает вычеты в coi, 0)3 и ©4 для t > 0.

Вычисления упрощаются в предположении /о < 2т0(Б.6)

44(0э.(Б.7)

Последнее условие означает, что время интегрирования фазовых датчиков должно быть значительно большим, чем период 2л/соо звуковых волн в антенне. Мы получаем

т ^0

Г0

*0

Заметим теперь, что выражение

ettotSx (о — Фр)1 + CD2^ettotSx (о — Фр)1 + CD2^rfCOrfCO(B.9)(B.9)

ettotSx (о — Фр)1 + CD2^

ettotSx (о — Фр)1 + CD2^

rfCO

rfCO

(B.9)

(B.9)

сразу же следует из /2 после замены соо на —оо. Поэтому

^2 + Л = ^о^2 + Л = ^оcos 2topf8$ogcos 2topf8$ogЧТО СВОДИТСЯ кЧТО СВОДИТСЯ к-^e-^-V о -1 Г1 4«>52<ф0 1 [-^e-^-V о -1 Г1 4«>52<ф0 1 [(БЛ1)(БЛ1)

^2 + Л = ^о

^2 + Л = ^о

cos 2topf

8$og

cos 2topf

8$og

ЧТО СВОДИТСЯ к

ЧТО СВОДИТСЯ к

-^e-^-V о -1 Г1 4«>52<ф0 1 [

-^e-^-V о -1 Г1 4«>52<ф0 1 [

(БЛ1)

(БЛ1)

Что касается вклада гармоник высших порядков, то он оказывается пренебрежимо малым, поскольку сигнал фильтруется вблизи частоты (Оо, прежде чем обрабатывается фазовым детектором. Поэтому мы получаем

Rx, (0 = ^ {^-^ + VV -^.}.(Б. 12)

Отметим, что энергия, переносимая х(0, составляет приблизительно половину энергии, переносимой V^ty В дальнейшем мы будем опускать множитель 4/л2, поскольку будем считать его включенным в полный коэффициент усиления электрической измерительной цепи.

ЛИТЕРАТУРА

Adami L. el al., Appl. Phys. Lett, 30, 240 (1977).

Ахиезер А. Я. — ЖЭТФ, 1938, t. 8, вып. 12, c. 1318—1329.

Allen W. D., Christodoulides C., J. Phys. A: Math, and Gen., 8, 1726 (1975).

Amaldi E., Proc. Int. School Relativistic Effects in Physics and Astrophys.: Experiments and Theory, ed. Ehlers J., MPI-PAE/Astro-138, Munich, 1977, p. 174-235.

Amaldi Е., Pizzella G., The Gravitational Experiment in Rome: Progress report, Internal Report No. 645, Istituto di Fisica, Universita di Rome, 1975.

Amaldi E. et al., Atti Conv. Lincei, 34, 287 (1977).

Amaldi E. et al., Abstr. of Contr. Papers, Sth Int. Conf. General Relativity and Gravitation, Univ. Waterloo, Waterloo, 1977, p. 49.

Amaldi E. et al., Nuovo Cimcnto, 41B, 327 (1977).

Anderson A. J., Atti Conv. Lincei, 34, 235 (1977).

Anderson J. D., Experimental Gravitation, ed. Bertotti B., Academic Press, New York, 1974, p. 163.

Aplin P. S., Abstr. of Contr. Papers, Sth Int. Conf. General Relativity and Gravitation, Univ. Waterloo, Waterloo, 1977, p. 360.

Ashby N., Breitlein J., Phys. Rev., D12, 336 (1976).

Багдасаров X. С., Брагинский В. Б., Митрофанов В. 77.— Препринт ИТФ-73-93 Е, Киев, 1973.

Багдасаров X. С. и др. — Вести. МГУ. Сер. физ., астрой., 1977, т. 18, № 1, с. 98—100.

Багдасаров X. С., Брагинский В. Б., Зубиетов П. И. — Письма в ЖТФ, 1977, т. 3, вып. 2, с. 57—60.

Barbanera S. et al., Lett. Nuovo Cimcnto, 20, 635 (1977).

Barbanera S. et al., J. Appl. Phys., 49, 905 (1978).

Barton R. J. et al., Atti Conv. Lincei, 34, 315 (1977); Cryogenics, 17, 563 (1977).

Bernat T. P., Blair D. G., Hamilton W. O., Rev. Sci. Instrum., 46, 582 (1975).

Bertotti B., Detection of Gravitational Wave Bursts from the Nuclei of Distant Galaxies and Quasars, A Proposal for the Radio Science of the ESA Spacecraft on the Out-of-the-Ecliptic-Mission, 1977.

Billing H., Winkler W., Nuovo Cimcnto, 33B, 665 (1976).

Blair D. G., Bernat R. P., Hamilton W. O., L. T. 14, 4, 254 (1975).

Blair D. G., Paik H. J., Taber R. C., Rev. Sci. Instrum., 46, 1130 (1975).

Blair D. G., Mills J., Rand R. E., IEEE Trans. Magn., Mag-13, 350 (1976).

Bonazzola S. et al., Ondes et radiations Gravitationnelles, CNRS, Paris, 1974, p. 101.

Bondi H., Les Theories Relativistes de la Gravitation, CNRS, Paris, 1962, p. 131.

Boughn S. P., Ph. D. Thesis, Dept, of Physics, Stanford Univ., Stanford, California, HERL Report No. 764, 1975.

Boughn S. P. et al., Proc. 14th Int. Conf. Low Temperature Phys., ed. Kru- sius-Vuorio, North-Holland, Amsterdam, 1975, vol. 4, p. 246.

Boughn S. P. et al., Abstr. of Contr. Papers, 8th Int. Conf. General Relativity Gravitation, Univ. Waterloo, Waterloo, 1977, p. 395.

Boughn S. P. et al., Phys. Rev. Lett., 38, 454 (1977).

Брагинский В. Б., Experimental Gravitation, ed. Bertotti B., Academic Press, New York, 1974, p. 235.

Брагинский В. Б., Topics in Theoretical and Experimental Gravitation Physics, eds. De Sabbata V. and Weber J., Plenum Press, New York —London, 1978, p. 105.

Брагинский В. Б. — Mti Conv. Lincei, 34, 219 (1977).

Брагинский В. Б., Манукин А. Б. Измерение малых сил в физических экспериментах. — М.: Наука, 1974.

Брагинский В. Б. и др. — Приборы и техн, эксперимента, 1971, № 4, с 241—243.

Брагинский В. Б. и др. — Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 16, вып. 3, с. 157— 161.

Брагинский В. Б. и др. — ЖЭТФ, 1974, т. 66, вып. 3, с. 801—812.

Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Я.—ЖЭТФ, 1977, т. 73, вып. 4, с. 1340—1343; — Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 27, вып. 5, с. 296— 301.

Bramanti D., Maischberger К., Lett. Nuovo Cimento, 4, 1007 (1972).

Carelli P. et al, Ondes et radiations Gravitationnelles, CNRS, Paris, 1974, p. 257.

Carelli P. et al., Cryogenics, 15, 406 (1975).

Carelli P. et al, Cryogenics, 15, 77 (1975).

Cerdonio M., Lucano G., Superconducting Strain Transducer for Gravitational Wave Experiment, Istituto di Fisica Dell’Universita di Roma, Nota Interna 373, 1972.

Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 (1943).

Clarke L, Gonlan W. M., Ketchen M. B., Appl. Phys. Lett., 27, 155 (1975).

Cotton F. A., Chemical Applications fo Group Theory, Wiley-Interscience, New York, 1971

Davis IF. et al., Development of Cryogenic Gravitational Antennas at the University of Maryland, 1977.

Degasperis A., Lett. Nuovo Cimento, 17, 361 (1976).

Degasperis A., Atti Conv. Lincei, 34, 267 (1977).

DouglassD.H.,Atti Conv. Lincei, 34, 323 (1977).

DouglassD.H.,Tyson J. A., Nature, 229, 34 (1971).

DouglassD.H.,Tyson J. A., Phys. Rev. Lett, 28, 991(1972).

DouglassD.H.,Tyson J. A., Astrophys J., 178, 346 (1972).

Douglass D. H. et al., Phys. Rev. Lett, 35, 480 (1975).

Drever R. IF. P., Quart. J. Astron. Soc., 18, 9 (1977).

Drever R. W. P. et al., Nature, 246, 340 (1973).

Eddington A. S., Proc. Roy. Soc., A192, 268 (1923).

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4-х томах. Т. 1. — М.: Наука, 1965, с. 439—451.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4-х томах. Т. 1. — М.: Наука, 1965, с. 514—523.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4-х томах. Т. 1. — М.: Наука, 1965, с. 631—646.

Errow D. et al., Phys. Rev. Lett., 24, 945 (1970).

Estabrook F. B., wahlquist H. D., Gen. Rei Grav., 6, 439 (1975)

Everitt C. IF. F., Fairbank IF. M., Hamilton IF. O., Relativity, eds Car- meli M., Ficler S. I. and Wittlen L., Plenum Press, New York — London, 1970, p. 145.

Fairbank IF. M., Experimental Gravitation, ed. Bertotti B., Academic Press, New York, 1974, p. 280.

Fairbank IF. M., Atti Conv. Lincei, 34, 271 (1977).

Ferrari A., Ruffini R., Astrophys. J. Lett., 158, L71 (1969).

Fitzgerald E. R., Nature, 252, 638 (1974).

Forward R. L., Gen. Rei. Grav., 2, 149 (1971).

Forward R. L., Abstr. of Contr. Papers, 8th Int. Conf. General Relativity and Gravitation, Univ. Waterloo, Waterloo, 1977, p. 146; Phys. Rev., D17, 379 (1978).

Gaerttner M. R., Int. Mag. Conf. Toronto No. 74 CHO-852-4-MAG (IEEE), 1974.

Герценштейн M. E. — ЖЭТФ, 1961, т. 41, вып. 1, с. 113—114.

Physics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes, eds Giac- coni R. and Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977.

Gibbson G. IF., Hawking S. IF, Phys. Rev., D4, 2191 (1971).

Giffard R. P„ Phys. Rev., D14, 2478 (1976).

Giffard R. P., Sensitivity of Resonant .Gravitational Wave Detectors Using Conventional Amplifiers, Reprint of the Dept, of Physics, Stanford University, Stanford, California, 1977.

Giffard R. Р. et al., Gravitational Wave Detectors of Increased Sensitivity, Dept, of Physics and W. W. Hansen Laboratories of Physics, Stanford University, Stanford, California, 1977.

Hamilton W. 0., Bull. Amer. Phys. Soc., 16, 609 (1970).

Hamilton IF. O. et al.. Topics in Theoretical and Experimental Gravitation Physics, eds. De Sabbata V. and Weber J., Plenum Press, Neu York — London, 1977, p. 149.

Hefner H., Proc. IRE, 50, 1604 (1962).

Herriot D. R., Schulte H. J., Appl. Optics, 4, 883 (1965).

Hier R. G., Rasband S. N., Astrophys. J., 195, 507 (1975).

Hirakawa H., Atti Conv. Lincei, 34, 227 (1977).

Hirakawa H., Narihara K., Phys. Rev. Lett, 35, 330 (1975).

Hirakawa H., Narihara K., Fujimoto M.-K., J. Phys. Soc. Japan, 41, 1093 (1976).

Hirakawa H., .Hiramatsu S., Ogawa Y., Phys. Lett., 63A, 199 (1977).

Hirakawa H., Tsubono K., Fujimoto M. K., Phys. Rev., D17, 1919 (1978);

J. Phys. Soc. Japan, 45, 1767 (1978).

Hoffman A. IF. et al., Rev. Sci. Instrum., 47, 1441 (1976).

Hulse R. A., Taylor J. H., Astrophys. J. Lett., 190, 451 (1975).

Johnston M., Ruffini R., Zerilli F., Phys. Rev. Lett, 37, 1317 (1973).

Johnston M., Ruffini R., Zerilli F., Phys. Lett., B49, 185 (1974).

Kafka P., Proc. Int. School General Relativistic Effects in Physics and Astrophys.: Experiments and Theory, ed. Ehlers J., MPI-PAE/Astro-138, Munich, 1977, p. 252.

Kafka P., Schnupp L„ MPI-PAE/Astro-132, 1978.

Kas J. F., Barton R. J., Ramadan B., J. Appl. Phys., 48, 3193 (1977).

Kazanas D., Schramm D. N., Nature, 262, 671 (1976).

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теория упругости. — M.: Наука, 1965.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.

Лаврентьев Г. Я. — ЖТФ, 1969, т. 39, № 7, с. 1316—1320.

Lee С. Н., J. Math. Phys., 17, 1226 (1976).

Lee М. et al, Phys. Rev., D19, 893 (1976).

Levi-Civita T., Rend. Acc. Lincei, 26, 381 (1917).

Levin J. L., Garwin R. L., Phys. Rev. Lett., 31, 173 (1973).

Levin J. L., Garwin B. L., Phys. Rev. Lett, 33, 794 (1974).

Louisell IF., Radiation and Noise in Quantum Electroncis, McGraw-Hill, New York, 1964. [Имеется перевод: Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. — М.:. Наука, 1972.]

Mason IF. Р., Physical Acoustics, vol. 3, Academic Press, New York, 1966. Й1меется перевод: Мэзон У. Физическая акустика. — М.: Мир, 1968]

ason IF. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, Van Nostrand, New York, 1941.

Mason IF. P., Piezoelectric Crystals and Their Application to Ultrasonic, Van Nostrand, New York, 1950, p. 39, Eq. (3.61). [Имеется перевод: Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. — М.: ИЛ, 1952.]

Misner С. IF., Gravitational Radiation and Gravitational Collapse, ed De- Witt-Morette C., Raidel, Dordrecht, 1976, p. 4.

Misner C. IF., Thorne K. S., Wheeler J. A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973. [Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К.» Уилер Дж. Гравитация. В 3-х томах. — М.: Мир, 1977.1

Moss G. Е., Miller L. R., Forward R. L., Appl. Optics, 10, 2495 (1971).

Moncrief V., Phys. Rev., D9, 2707 (1974).

Moncrief V., Phys. Rev., D10, 1057 (1974).

Moncrief V., Phys. Rev., D12, 1526 (1975).

Narihara K., Hirakawa H., Phys. Rev. Lett, 35, 330 (1975).

Narihara K., Hirakawa H., Japan. J. Appl. Phys., 15, 833 (1976).

Nitti G., Riposta di una о piu antenne gravitazionali in coincidenze, in funzione della direzione di incidenza e stato di polarizzazione dell’onda incidente. Tesi di laurea dellTstituto di Fisica G. Marconi, Univ. Roma, 1978.

Oelfke IF. C., Hamilton W. 0., Acta Astronautica, 6, 87 (1978).

Oide K., Ogawa У., Hirakawa H., J. Appl. Phys., 17, 429 (1978).

Oide K., Ogawa У., Hirakawa H., J. Phys. Soc. Japan, 44, 337 (1978).

Ostriker J. P., Gunn J. E., Astrophys. J., 157, 1395 (1969).

Paik H. J., Experimental Gravitation, ed. Bertotti B., Academic Press, New York, 1974, p. 515.

Paik H. J., Ph. D. dissertation, Stanford Univ., Low Temperature Physics Group, Dept, of Physics, HEPL Report No. 743, 1974.

Paik H. /., J. Appl. Phys., 47, 1168 (1976).

Pallottino G. V., Internal Report LPS-77-3, 1977.

Pallottino G. V., Pizzella G., Internal Report LPS-77-9, 1977.

Pallottino G. V., Pizzella G., Internal Report LPS-77-25, 1977.

Papoulis A., Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw-Hill, New-York, 1965.

Papini G., Proc. 5th Cambridge Conf. Exp. Relativity, Cambridge, Massachusetts, 1974.

Partridge R. B., Ruffini R., Gravitational Waves and a Search for the Associated Microwave Radiation, Gravity Research Foundation, Third Award, 1970.

Pierce J. M., Opfer J. E., Rorden L. H., IEEE I nt. Conf. Magn., Toronto, 1974.

Pirani F. A. E., Acta Phys. Polon., 15, 389 (1956).

Pizzella G., Riv. Nuovo Cimento, 5, 369 (1975).

Pizzella G., Доклад на 4-й Советской гравитационной конференции, Минск, 1976.

Pizzella G., Teoria della Rivelazione delle Onde Gravitazionali, Corso della Scuola di Perfezionamento dell’Universita di Roma, 1976—1977.

Pizzella G., Topics in Theoretical and Experimental Gravitation Physics, eds. De Sabhata V. and Weber J., Plenum Press, New York, 1977, p. 149.

Pizzella G., Eur. Phys. News, 9, 4 (1978).

Press IF. H., Thorne K. S., Annu. Rev. Astron. Astrophys., 10, 335 (1972).

Пустовойт В. И., Герценштейн М. Е. — ЖЭТФ, 1962, т. 42, вып. 1, с. 163—170.

Blair D. G. et at, Abstr. of Contr. Papers, Sth Int. Conf. General Relativity Gravitation, Univ. Waterloo, Waterloo, 1977, p. 44; Rand R. E., Blair D. G., Austr. J. Phys., 14, 132 (1977).

Rasband S. N. et al., Phys. Rev. Lett:, 28, 253 (1972).

Rees AL, Ruffini R., Wheeler J. A., Black Holes, Gravitational Waves and Cosmology, Gordon and Breach, New York, 1974. [Имеется перевод: Рис M., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология. — М.: Мир, 1977.]

Richard J. Р., Rev. Sci. Instrum., 47, 423 (1975); Acta Astronaut., 5, 6 3 (1978).

Richard J. P., Weber J., Research and Development of Gravitational Radiation Antennas, Proposal to the National Sci. Found. Physics Program, Dept, of Phys, and Astron., Univ, of Maryland, College Park, 1977.

Robinson F. N., Noise and Fluctuations, Oxford Univ. Press, Clarendon, 1974. [Имеется перевоц: Робинсон Ф. Н. X. Шумы и флуктуации в электронных схемах и цепях. — М.: Атомиздат, 1980.]

Rosenthal I. Е., Murphy G. М., Rev. Mod. Phys., 8, 317 (1936).

Ruffini R., Wheeler J. A., The Significance of Space Research for Fundamental Physics, eds. Moore A. F. Hardy V., ESRO, Paris, 1971, p. 45.

Смагин А. Г., Ярославский М. И. Пьезоэлектричество кварца и кварцевые резонаторы. — М.: Энергия, 1970.

Сушков О. П., Хриплович И. Б. — ЖЭТФ, 1974, т. 66, вып. 1, с. 3—8.

Taylor J. Н., Fowler L. A., McCulloch Р М., Nature, 277, 437 (1979); Ann. N. Y. Acad. Sci., 336, 442 (1980).

Thorne K. S., Theoretical Principles in Astrophysics and Relativity, eds. Lebovitz N., Reid W. H. and Vandervoort P. O., Univ. Chicago Press, Chicago, 1978, p. 149.

Thorne K. S., Braginsky V. B., Astrophys. J., 204, LI—L6 (1976).

Thorne K. S. et al., Phys. Rev. Lett, 40, 100 (1978).

Trautman A., Gravitation: an Introduction to Current Research, ed. Witten L., Wiley, New York, 1962, p. 169.

Tsubono K., Hiramatsu S., Hirakawa H., Japan. J. Appl. Phys., 16, 1641 (1977).

Unruh W. G., Phys. Rev., D18, 1764 (1978).

Wagoner R. V., Paik J. K., Atti Conv. Lincei, 34, 257 (1977).

Wahlquist H. D. et al., Atti Conv. Lincei, 34, 335 (1977).

Weber L, Rev. Mod. Phys., 31, 681 (1959).

Weber L, Phys. Rev., 117, 306 (1960). [Имеется перевод: Вебер Дж.— В сб. статей: Новейшие проблемы гравитации./Под ред. Д. Иваненко. — М.: ИЛ, 1961, с. 446—468.]

Weber L, General Relativity and Gravitational Waves, Wiley, New York, 1961. [Имеется перевод: Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. — М.: ИЛ, 1962.]

Weber J., Evidence for Gravitational Theories, ed. Moller C., Academic Press, New York, 1962, p. 116.

WeberJ.,Phys.Rev.Lett., 18,498(1967).

WeberJ.,Phys.Rev.Lett., 20,1307(1968).

WeberJ.,Phys.Rev.Lett., 22,1320(1969).

WeberJ.,Phys.Rev.Lett., 24,276(1970).

Weber J., Sci. Amer., 224, 22 (1971).

Weber J., Experimental Gravitation, ed. Bertotti B., Academic Press, New York, 1974, p. 263.

Weber J., Topics in Theoretical and Experimental Gravitation Physics, eds. De Sabbata V. and Weber J., Plenum Press, New York —London, 1977, p. 135.

Weber J., Atti Conv. Lincei, 34, 213 (1977).

Weinstein J., Proc. First M. Grossmann Mtg. on General Relativity, ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977, p. 331.

Weiss R., Prog. Rep., Res. Lab. Electron. MIT, 105, 54 (1972).

Wilson E. B., Jr., Decius J. C., Cross P. C., Molecular Vibrations, McGraw- Hill, New York, 1955. [Имеется перевод: Вильсон E., Дешиус Дж., Кросс П. Теория колебательных спектров молекул. — М.: ИЛ, I960.]

Wilson J. R., Preprint UCRL 80167, 1977.

Winkler W., Atti Conv. Lincei, 34, 351 (1977).

Зельдович Я. Б. — ЖЭТФ, 1973, т. 65/вып. 4, с. 1311—1315.

Zerilli F., Phys. Rev., D9, 860 (1974).

176*. Брагинский В. Б., Руденко В. Н., Phys. Lett., С46, 165 (1978).

177*. Douglass D. H., Braginsky V. В., General Relativity: An Einstein Centenary Survey, eds. Hawking S. W. and Israel W., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979, p. 90.

178*. Weber J., General Relativity and Gravitation, ed. Held A., Plenum Press, New York — London, 1980, vol. 2, p. 435.

179*. Thorne K. S., Rev. Mod. Phys., 52, 285 (1980).

180*. Gravitational Radiation, Collapsed Objects and Exact Solutions, ed. Edwards C., Springer, Berlin, 1980, p. 246—443.

181*. Грищук Л. П., Полнарев А. Г., General Relativity and Gravitation, ed.

Held A.,— New York —London: Plenum Press, 1980, vol 2, p. 393. \^*.Kundt W„ Nature, 284, 246 (1980).

183*. Wilson J. R., Physics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes, eds. Giacconi R. and Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1978.

184*. Wilson J. R.,Ann. N. Y. Acad. Set., 336, 358 (1980).

185*. Pallottino G. V., Pizzella G., Nuovo Cimento, 45B, 275 (1978).

186*. Hellings R. W., Phys. Rev., D17, 3158 (1978); D23, 832 (1981); Phys.

Rev. Lett.,, 43, 470 (1979).

187*. Armstrong L W., Woo R., Estabrook F. B, Astrophys. J., 230, 570 (1979).

188*. Bertotti B., Carr B. L, Astrophys. J., 236, 1000 (1980).

189*. MashhoonB., Grishchuk L. P., Astrophys. J., 236, 990 (1980).

190*. Mellings R. W. et al., Phys. Rev., D23, 844 (1981)

191*. Bonifazi P. et al., Nuovo Cimento, Cl, 465 (1978).

192*. Pizzella G., Nuovo Cimento, C2, 209 (1979).

193*. Nitti G., Nuovo Cimento, C3, 420 (1980).

194*. Amaldi E. et al., Lett. Nuovo Cimento, 28, 362 (1980).

195*. Unruch W. G., Phys. Rev., D19, 2888 (1979)

196*. Braginsky V. B., Vorontsov Y. L, Thorne K. S., Science, 209, 547 (1980).

197*. Caves С. M. et al., Rev. Mod. Phys., 52, 341 (1980).

198*. Додонов В. В., Манько В. И., Руденко В. Н. — ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 3, с. 881—896.

8

О гравитационно сколлапсировавшихобъектах

Р. Руффини)

Введение

Предположение о возможности существования в природе гравитационно сколлапсировавших звездных объектов было впервые высказано Ландау [1], Чандрасекхаром [2], Оппенгеймером и Волковым [3], Оппенгеймером и Снайдером [4] ) при теоретическом анализе звезд на конечной стадии термоядерной эволюции. Бааде и Цвикки [7] впервые поняли всю важность этих идей для астрофизики: они постулировали, что энергия сверхновых берет начало в процессе гравитационного коллапса, происходящего при превращении обычной звезды в нейтронную. Тем временем существование критической массы, предсказанное теоретически для белых карликов Чандрасекхаром [2] и для нейтронных звезд Оппенгеймером и Волковым [3], все в большей степени представлялось центральным вопросом, определяющим, может ли существовать в-природе полный гравитационный коллапс, ведущий к черной дыре.

Интерес к этим идеям возрос благодаря достижению нового понимания астрофизических процессов в звездах на конечной стадии термоядерной эволюции и в то же время, обнаружению новых примеров физических процессов, протекающих в полностью релятивистских режимах в экстремальных гравитационных полях. Открытие в 1968 г. пульсаров, и особенно открытие пульсара NP 0532, до сих пор пульсирующего в центре остаточного облака от взрыва сверхновой в 1054 г., дало первое эффектное подтверждение этих теоретических работ. Идентификация пульсаров с вращающимися нейтронными звездами была обусловлена многими экспериментальными данными [5, 6].

Позднее стало совершенно ясно, что, поскольку существование критической массы для нейтронных звезд является достоверным, черные дыры должны с необходимостью существовать в природе. Много исследований было выполнено в двух различных направлениях: по предсказанию той астрофизиче-

ской обстановки, в которой черная дыра может стать наблюдаемой, и по установлению независимости существования критической массы от любых предположений относительно поведения вещества при сверхъядерных плотностях (в значительной мере неизвестного).

Было установлено, что в рамках общей теории относительности нейтронная звезда не может иметь массу больше 3,2 MQ [8] 9- Предположение, теоретически наиболее важное для открытия черных дыр в несколько солнечных масс, следовало из анализа тесных двойных систем, начатого Шкловским [9], Зельдовичем и Новиковым [10] и Хаякавой и Матсуокой [11]. Эти авторы привели доводы, согласно которым в тесной двойной системе, образованной обычной звездой и нейтронной звездой или черной дырой, вещество, перетекающее с обычной звезды на гравитационно сколлапсировавшую компоненту, будет так сильно сжиматься и нагреваться, что должен будет наблюдаться сильный поток рентгеновского излучения.

Еще один значительный шаг был сделан в результате непосредственных экспериментальных наблюдений — открытия в 1971 г. со спутника «Ухуру» двойных рентгеновских источников [5, 6, 12].

Наблюдения Джаккони с сотр. явно подтвердили, что был открыт действительно этот тип двойных систем [5, 6, 12].

В это время нами была предложена возможная классификация этих рентгеновских источников [13]. К одному классу мы отнесли двойные рентгеновские источники а) излучающие рентгеновские лучи острыми и регулярными импульсами через промежутки времени порядка секунд или минут, б) с потоками рентгеновского излучения порядка 1036 эрг/с^: dE/dt ^ 1038 эрг/с = 105 £о. Эти источники были отождествлены с аккрецирующими нейтронными звездами.

При этом баланс энергии для наблюдаемых рентгеновских лучей может быть объяснен с помощью гравитационной энергии связи вещества, аккрецирующего на нейтронную звезду. Поскольку ожидается, что на поверхности нейтронной звезды гравитационная энергия связи частицы массы т равна 0,1 тс2, скорость аккреции 10м rlz^dMIdt ^ 1017 г/с должна быть достаточной для объяснения наблюдаемого потока рентгеновских лучей. Тогда наблюдаемый период пульсаций может быть отождествлен с периодом вращения нейтронной звезды, сообщаемого аккрецирующей магнитосфере неаксиально-симметричным магнитным полем.

*) Относительно гипотез, используемых в этом доказательстве, см., например, [6] (с. 583).

В настоящее время известно большое число источников, принадлежащих данному классу !):

Сеп ХЗ с собственным периодом пульсаций Ро ~ 4,84 с, периодом двойной 2,09 дня и массой нейтронной звезды 0,6 << MVAIq ^< 1,8 (см., например, [14]).

Геркулес XI с собственным периодом пульсаций Ро ~ 1,24 с, периодом двойной 1,7 дня и массой нейтронной звезды Мх ~ - 1,3 Мо [15].

SMCX-1 с собственным периодом пульсаций Ро ~ 0,716 с, периодом двойной 3,893 дня [16] и массой нейтронной звезды (пока весьма неопределенной) Мх ~ 2МО (см., например, [13]).

3U0900-40, или XI Паруса, с собственным периодом пульсаций Ро ^ 283 с, периодом двойной 8,95 дня и массой нейтронной звезды 1,3 << MX/MQ << 2,2 [14].

Очень вероятно, что три других источника — 3U1223-62 с собственным периодом пульсаций Ро « 11,64 мин, 3U1728-24 с Ро « 4,31 мин и 3U1813-14 с Ро « 31,9 мин [17] —также являются членами того же класса.

Тот факт, что все массы пульсирующих источников, которые были измерены, действительно меньше 3,2 Мо представляется весьма удовлетворительным в свете теоремы о максимальной массе нейтронной звезды [8].

К другому классу мы отнесли источники с а) светимостью 1036 эрг/с ^ dE/dt ^ 1038 эрг/с в рентгеновском диапазоне, б) потоками рентгеновских лучей без регулярных пульсаций, возможно, со всплесками не дольше нескольких миллисекунд каждый и в) массой больше 3,2 Мо. Эти источники были отождествлены с черными дырами.

Баланс энергии для наблюдаемого потока рентгеновского излучения от этих источников может быть объяснен как следствие аккреции вещества на нейтронную звезду или черную дыру. Гравитационная энергия связи для пробной частицы массы пг на поверхности черной дыры может достигать тс2 или 0,42 тс2; эта величина изменяется с изменением электромагнитной структуры или состояния вращения черной дыры (разд. 4). В этом случае скорость аккреции dM(dt ^ 1014— —1017 г/с также достаточно велика для объяснения наблюдаемых потоков рентгеновского излучения. Отсутствие регулярной пульсации опять-таки может быть объяснено наличием нейтронной звезды или черной дыры: нейтронная звезда с очень слабым магнитным полем (В <С Ю12 Гс) или с магнитным полем, параллельным ее оси вращения, не должна модулировать аккрецирующую магнитосферу со своим периодом вращения.

9 В монографиях [192, 193] характеристики этих и других известных в настоящее время пульсаров описаны более подробно. — Прим, перев,

В случае черной дыры отсутствие регулярной пульсации еще более естественно, поскольку все известные решения для черных дыр обладают аксиальной симметрией относительно оси вращения (разд. 3).

Наличие всплесков продолжительностью менее нескольких миллисекунд также может быть объяснено с помощью нейтронной звезды или черной дыры. Всплески такой структуры (короче нескольких миллисекунд) хорошо известны для пульсаров1), и нет причин исключать априори возможность существования этих явлений для рентгеновских лучей в магнитосфере аккрецирующей нейтронной звезды. В модели черной дыры всплеск может возникать в аккрецирующем веществе, падающем по спирали на черную дыру массы М с характерной постоянной времени т ~ GM[c^ [13, 18].

Однако то, что масса источника рентгеновского излучения превышает абсолютный верхний предел для массы нейтронной звезды (3,2 Мо), говорит в пользу черной дыры. Наилучшим примером такого двойного рентгеновского источника является уже упоминавшийся Лебедь XI [5, 6].

Все это касается нейтронных звезд и черных дыр в несколько солнечных масс. В настоящее время проявляется большой интерес к обнаружению черных дыр значительно больших размеров (в пределах 102—1010Afo).

В течение долгого времени рассматривалась возможность обнаружения черных дыр в ядрах шаровых скоплений [19] или в ядрах галактик [20]. После появления каталога «Ухуру» Рурский [5] (с. 182) неоднократно подчеркивал, что аномально большое число рентгеновских источников совпадает с шаровыми скоплениями. Это общее обстоятельство вновь было отмечено Силком и Аронсом [21] и Бахколом и Острикером [22].; Важные наблюдения Хейсе, Бринкмана, ден Боггенде, Парсиг- но, Гриндлея и Рурского [23, 24] привели к действительно новым результатам. Совершенно очевидной является «активность» ядра одного из таких шаровых скоплений: острые всплески от источника 3U1820-30, находящегося в шаровом скоплении NGC6624, были обнаружены нидерландским астрономическим спутником. Интенсивность рентгеновского источника (обычно порядка 2-Ю38 эрг/с) возрастает в 30 раз менее чем за секунду и затем экспоненциально спадает в течение последующих 10 с. Наблюдения того же источника со спутника «САС-3» показали, что всплески повторяются с приблизительно постоянным интервалом 0,182 дня. Из наблюдений спутников «Ухуру», «САС-3», «Вела» и нидерландского спутника [25]

^ См., например, статью Грота в сборнике [5].

следует, что существует большое число таких объектов (барстеров) .

Вовсе не ясно, действительно ли все эти объекты связаны с шаровыми скоплениями и какова, если она существует, связь этих рентгеновских всплесков со всплесками гамма-излучения ([6], с. 250). Некоторые возможные пути построения с помощью черных дыр моделей этих источников приведены в разд. 4, 6 и 7.

Отметим некоторые главные трудности, возникающие при попытке доказательства наличия черной дыры в ядре шарового скопления:

Непосредственное измерение массы сколлапсировавшего объекта в двойной системе типа Лебедь XI может быть осуществлено с помощью применения закона Кеплера к движению двух близких компонент системы.

Неясно, может ли этот метод быть использован в данном случае: объект с массой 102 или 103 Л1© в ядре скопления не обязательно является членом двойной системы.

Поскольку, как полагают, масса рентгеновского источника порядка 103 Л1о, с энергетической точки зрения она достаточна для объяснения наблюдаемого потока рентгеновских лучей 1036 эрг/с ^ dE[dt ^ 1038 эрг/с. В двойных же системах, для которых типичны рентгеновские источники в несколько солнечных масс, компактность аккрецирующего объекта была существенным фактором, гарантирующим большое значение гравитационной энергии связи и поэтому большое выделение энергии в процессе аккреции.

Для Лебедя XI необходимо было предположить компактность излучающей области, чтобы объяснить изменение потока рентгеновского излучения с периодом т ~ GM[c\ Во «всплескивающих объектах» такое изменение еще не наблюдалось.

Конечно, модель наблюдаемого рентгеновского ‘излучения из шаровых скоплений можно построить на базе черной дыры, однако при доказательстве единственности этой модели возникают трудности.

Обратимся теперь к очень большим черным дырам с массами ~1010Л1о. Поиск этих объектов был сконцентрирован на ядрах галактик [26], квазарах [27] и на ядре излучающей области радиолепестков внегалактических радиоисточников.

Любая модель этих радиоисточников должна удовлетворять трем основным требованиям:

заключенная в радиоизлучающих лепестках энергия составляет по оценкам величину порядка 1061 эрг и порождается в центральном ядре;

направленность процесса излучения пары релятивистских плазмоидов, выбрасываемых из ядра;

повторяемость явлений выброса, которые могут происходить с интервалом в несколько миллионов лет и обладают аналогичной направленностью [28].

Баланс энергии квазаров и внегалактических радиоисточников, безусловно, может быть рассчитан с помощью модели, основанной на вращающейся намагниченной черной дыре (см., например, массовую формулу, приведенную в разд. 6). Механизмы извлечения энергии из черной дыры и накопления ее в магнитосфере обсуждаются в разд. 7 и 8. Однако главной трудностью опять является построение единственной модели с такими характерными свойствами.

Множество экспериментальных результатов, получаемых ежедневно от рентгеновских спутников, и коррелирующие с ними наблюдения в радио- и оптическом диапазоне вносят значительные улучшения в детали теоретических моделей. От анализа орбит пробных частиц и геодезических возникла необходимость перейти к релятивистской магнитогидродинамике и к анализу квантовых явлений, протекающих в экстремальных релятивистских режимах (см., например, процессы поляризации вакуума и рождения пар в разд. 9). В следующих разделах дан краткий обзор основных результатов, полученных в этих направлениях.

Керр-ньюменовская черная дыра

Ньюмен и др. [29] смогли получить наиболее общее из известных стационарное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла, которое обладает регулярным горизонтом и является асимптотически плоским на бесконечности (см. также [30]). Они получили этот результат, применяя комплексное преобразование к хорошо известному решению Райсснера — Нордстрема [6] (с. *554). Согласно так называемой теореме о единственности1), это решение Керра — Ньюмена, как обычно полагают, описывает поле наиболее общего объекта, который можно обнаружить после того, как произошел полный гравитационный коллапс (т. е. образовалась черная дыра). Метрика данного решения имеет вид

ds2 = SA'1 dr2 + S de2 + S'1 sin20 [a dt - (r2 + a2) dtp]2 -

— S'1 b(dt — a sin20dv)2, (1)

!) Обзор современного состояния вопроса относительно теоремы о единственности вакуумной черной дыры дан Картером в работе [31]. В этой работе приведена обширная библиография от первой работы [32], где была высказана идея единственности, до последних достижений, касающихся математического доказательства единственности керровской черной дыры, выполненного в работе [33].

или в контравариантной форме

/ д V— А ( д V I 1 f 5 А2 I д-a Sin26 ( д V , k ds )^\dr)"t'^\d9)‘t" ХА sin2 9 I дф J +

, 2a^Q4-2Mr) д дА Г д \2

2Ддф dt^Vdi ) ’ v>

где

Д = г2 - 2Л1г 4-Q? + a2, S = r2 + a2cos20,

Л = (г2 + а2)2 — а2 A sin2 9.

Тензор электромагнитного поля имеет вид

F = 2QS~2 (г2 — а2 cos2 0) dr Л (d/ — а sin2 6 dtp) —

— 4QS~2ar cos 0 sin 0 dO Л [a d/ — (r2 + a2) dtp]. (3)

Здесь и далее полагаем G = c=l, греческие индексы изменяются от 0 до 3. Метрика (1) записана в шварцшильдоподоб- ных координатах [34]; М — полная масса, измеренная на бесконечности; а = LJM — угловой момент на единицу массы, а Q— заряд сколлапсировавшего объекта (см. также [30]). Как частные случаи метрики и электромагнитного поля, заданных уравнениями (1) и (3), можно получить решение Райссне- ра — Нордстрема, характеризуемое только зарядом Q и массой М [35], решение Керра, характеризуемое только угловым моментом а = ЦМ и массой М [36], и, наконец, решение Шварцшильда, характеризуемое только массой М [37].

В дальнейшем мы будем рассматривать только точки вне горизонта черной дыры, а именно точки с г > r+ = М 4- (М2 — — Q2 — а2)‘А, где, как обычно, Q2 4- a2 ^ М2. При описании некоторых основных особенностей этих точек мы будем последовательно придерживаться подхода, изложенного в работе [38].

Метрика, определяемая выражением (1), имеет два вектора Киллинга, которые в специальной системе координат имеют компоненты вида £(о = (1, 0, 0, 0) и ^<ф> = (0, 0, 0, 1). В каждой точке вне горизонта можно определить 4-скорость локально невращающегося наблюдателя

(4-D

где

° ~ —’ ^(фД(<₽) " ^(ф)(4.2)

и N — нормировочный множитель. После этого можно определить компоненты электрического и магнитного полей, связанных с формой F (3). Можно выбрать тетраду [38] с времениподобными компонентами, задаваемыми уравнениями (4). То-

to''* = (SA/A)'71 d/,

(5.1)

®w = (S/A)'/2dr,(5.2)

ю0) = sv2 dQ)(5,3)

®(ф> =d/ + (уУ Sin e dtp;(5.4)

контравариантные компоненты «д, <й^, й,^, ®(~ь как обычно [39], сразу же получаются путем поднимания индексов с помощью метрики (2)1); в результате находим

/ Л ХУ» д .а (2Mr — Q2) д

^-(м)<2ДЛ)».»ф’(6J)

(^ V Л) sin 6 dqpх • /

Теперь электрическое поле получается как физические компоненты формы F относительно тетрады (5), которые равны

Е, = FH = Q (г2 - a2 cos2 б) (г2 + оW.(7.1)

Е^ = F^£ = - 2aQrX'k cos 6 sin б/Л'^2,(7.2)

Е, = Р^ = 0.(7.3)

Компоненты магнитного поля даются выражениями

Bf = F^ = 2Qar cos 0 (г2 + a2)/Av,S2,(8.1)

В^ = F^, = QaAV1 (г2 - a2 cos2 б) sin G/A^S2,(8.2)

6ф = ^е=0-M

Ясно, что компоненты электромагнитного поля для

геомет

рии Райсснера — Нордстрема получаются отсюда, если поло-

гда для ковариантных компонент базисных векторов тетрады получаем

9 Напомним, что в данном случае термины «ковариантный» и «контра- вариантный» относятся к индексам ц и v компонент тетрады е^ и е^, а не к индексам (X) у базисных 1-форм cd^ = е^ dx^ и со^> = e^dv которые указывают номер 1-формы (см., например, [194]). Осуществляемое метрикой (2) поднятие индексов также относится к компонентам тетрады.— Прим, перев.

жить а = 0. Из уравнений (7) и (8) следует асимптотическая форма поля на больших расстояниях (г >> г^. Сохраняя члены до квадрупольного включительно, получаем

^ = Q/r2+O(l/r4),

^ = 0(1/^),

Еф = 0,

Bf = 2Qa cos 9/г3 + О (1/г5),

B-§ = Qa sin6/r3 + О (1/г5),

Bq, = 0,

что соответствует объекту с полным зарядом Q, магнитным моментом р, = Qa и гиромагнитным отношением Q/M [40]. Те-

МагнитныеЭлектрические

Рис. 1. Магнитные и электрические силовые линии магнитной черной дыры.

перь можно определить электрические и магнитные силовые линии, вводя в каждой точке касательную к направлению электрического и магнитного полей.

Можно показать, что эти линии совпадают с линиями постоянного потока (см., например, [41, 42]), которые определяются уравнениями

F^ dx^ Л dx^ = 4nQ, s

*F^ dx^ A dx^ = 4лР. s

Здесь Q и Р— электрический и магнитный заряды, a *F— форма, дуальная к форме (3).

Окончательно получаем уравнения [38]

(г2 — a2 cos2 9) (г2 + a2) d9 + 2a2r cos 6 sin 6 dr = 0

(для электрических силовых линий) и

2r cos 6 (г2 + а2) d9 — (г2 — a2 cos2 6) sin 6 dr = 0 (для магнитных силовых линий).

Схематическое представление этих линий дано на рис. 1.

Устойчивость черных дыр относительномалых возмущений

Одним из наиболее важных достижений в развитии физики черных дыр было введение полного набора собственных функций для описания малых возмущений заданной фоновой метрики. Пионерской работой по анализу малых возмущений в общей теории относительности является классическая работа Лифшица 1946 г. [43]. В ней Лифшиц проанализировал следующие типы возмущений однородной и изотропной расширяющейся Вселенной (модели Фридмана): скалярные возмущения плотности (образование галактик), векторные вращательные возмущения (вихри), тензорные возмущения (гравитационные волны). Расчетный метод этой работы был позднее применен к физике черных дыр; его можно кратко изложить следующим образом.

Пусть ^“ Решение уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса Г^. Тогда можно определить новую метрику g^ = ^ + л^» где ^hv удовлетворяет уравнению

М„ W. ад = ад (ад - о„ (ад = 8л (Т„ - ад, ед в котором 7цу — тензор энергии-импульса возмущенной метрики ^цу. Уравнение (9) можно преобразовать к следующему виду:

где dG|lv (^) — линейный оператор, действующий на h0O [44]. Если предположить, что А7цу мало, то можно пренебречь нелинейными членами, и уравнение (10) принимает вид

- [»„,:" - A; . + L. .) + 2R\\h„+h\; „, ,- ^„-«"A,] -

где fi^h^a, a /?apY6, ^uv и R, как обычно, означают тензор Римана, тензор Риччи и скаляр кривизны.

Лифшиц показал, как разложить наиболее общее возмущение метрики ^ фридмановской вселенной на скалярную, векторную и тензорную гармоники на 3-сфере1). Полный анализ возмущений в уравнении (11) сводится к интегрированию дифференциального уравнения, содержащего лишь производные по времени.

Данный метод возмущений был применен к физике черных дыр Редже и Уилером [45] в 1957 г. (см. также [46]). Используя в качестве фона g^ метрику Шварцшильда и ее свойства симметрии, они разложили угловую часть общего возмущения по скалярной, векторной и тензорной сферическим гармоникам на 2-сфере. Затем Редже и Уилер [45] и Дзерилли [47] свели определение наиболее общего возмущения шварцшильдова фона к интегрированию двух уравнений типа шредингеровских, каждое для сферических гармоник определенной четности. Эти два уравнения дают временную и радиальную зависимость возмущений.

Фурье-образы радиальной и временной частей возмущения удовлетворяют для каждой из двух четностей уравнению вида

blm (to; г) 4- [ю2 - V1 (г)] blm (to, г) = Slm (to, г), dr

" = (12)

Здесь I и m — индексы рассматриваемых сферических гармоник, V1 и Slm — эффективный потенциал и источник, вызывающий возмущения. Решение этих уравнений получается с помощью функций Грина для однородных уравнений с использованием двух семейств независимых решений: сходящегося к горизонту черной дыры и уходящего на бесконечность ([30], с. 453).

Этот формализм делает возможным исследование двух важных типов задач: устойчивости геометрии Шварцшильда относительно малых возмущений [45, 46] и большого класса процессов излучения, имеющих место в поле шварцшильдовой черной дыры (разд. 5). Анализ малых возмущений геометрии Шварцшильда на основе спинорного формализма Ньюмена — Пенроуза был проведен Бардином и Прессом [48]. Их подход ведет к одному управляющему уравнению, определяющему временную и пространственную зависимости возмущений; однако потенциал этого уравнения является комплексным и

9 Полная форма возмущения была получена лишь недавно Янтценом.

дальнодействующим, и при решении этого уравнения возникают некоторые технические трудности. Чандрасекхар ^ дал явную форму преобразования, позволяющего перейти от метода возмущений Ньюмена — Пенроуза к формализму Редже — Уилера — Дзерилли.

Тот же метод разложения, который применялся для гравитационных возмущений, допускает исследование электромагнитных возмущений фоновой геометрии Шварцшильда. Угловая часть возмущения может быть снова разложена по хорошо известным векторным сферическим гармоникам на двумерной сфере, а определение фурье-образов радиальной и зависящей от времени частей возмущения сводится тогда к интегрированию двух уравнений типа шредингеровских (каждое для определенной четности) в форме уравнения (12). Пионерская работа в этой области была выполнена Уилером в рамках теории «геонов» [49]. Полный набор собственных функций и радиальные уравнения были даны в работе [50]. Соответствующие результаты в спинорном формализме Ньюмена — Пенроуза были получены Джонстоном [51, 52] и независимо Читре [53]. С помощью этого анализа электромагнитных возмущений оказалось возможным исследовать электромагнитное излучение заряда, свободно падающего в гравитационном поле [54] (разд. 5). Этот формализм дал также точные решения электростатических задач в поле черных дыр [55] (см. также [41, 42, 56]) (разд. 6). Было также исследовано пробное поле спина 7г (нейтрино) на шварцшильдовом фоне [57—59].

Полное возмущение райсснер-нордстремовской черной дыры было впервые получено Дзерилли в 1974 г. [60]. Если через ^ и ^^ обозначить метрику и электромагнитное поле, соответствующие решений Райсснера — Нордстрема, то возмущенные гравитационное и электромагнитное поля могут быть за- писаны в виде ^ = ^ + ^ и ^^ = ^ + fpv Система урав- нений Эйнштейна — Максвелла, описывающая полные гравитационное и электромагнитное поля, дается тогда уравнениями

^nv (Sap) = 8л (Ty,v + Еу.^, (13)

[(-^^.^^(-^Д (14) где

4v = -^ (r^p^av - Т 8^^°) . (15) а Гцу и /ц обозначают соответственно тензор энергии-импульса и электромагнитный ток, вызывающие возмущения.

Недавние результаты этого автора отражены в статьях [195]. — Прим, перев.

Пренебрегая членами, квадратичными и высшего порядка по гравитационным и электромагнитным возмущениям Лцу и f^, Дзерилли смог свести весь анализ возмущений к интегрированию двух связанных систем дифференциальных уравнений второго порядка вида

V..№■ 4)1-"'№ та 1

"» (х

-»чо ^+[»’- v;P №. та]

Г flm (^ rj 1 = S{m (<»,^ ), (16)

Х L /?Zm (<о, г) J = S^" ((о, ^°>, ^), (17) где flm(to, г) и /^(щ, г)—функции, определяющие фурье-образы радиальной и зависящей от времени частей соответственно электромагнитных и гравитационных возмущений. Индексы I и m относятся к векторным и тензорным сферическим гармоникам на двух сферах, использованных Дзерилли для определения угловой зависимости возмущений. Эти две системы связанных дифференциальных уравнений соответствуют двум различным четностям сферических гармоник; S\m и S2m — источники электрических и магнитных возмущений, a drldr*= grr, Численное интегрирование этих уравнений рассматривалось в работе [61]. Используя введенный Таубом [62] метод, основанный на вариационном принципе, Монкриф [63] в случае отсутствия источников и Вейнстейн [64] в общем случае смогли разделить систему уравнений (16).

Бозе [65] получил в аналитическом виде 12 спиновых коэффициентов Ньюмена — Пенроуза [66] для метрики Керра — Ньюмена. Используя этот математический результат в предельном случае а = 0, Ли с помощью спинорного формализма Ньюмена — Пенроуза дал полный анализ возмущений геометрии Райсснера — Нордстрема [67, 68] !). Ли нашел новый набор уравнений, определяющих радиальную и временную зависимости возмущений, эквивалентный уравнениям Дзерилли (16) и (17). Эти уравнения, в частности, пригодны для анализа процессов излучения, однако в отличие от уравнений Монкрифа — Вейнстейна они не разделяются, и существуют трудности с их интегрированием.

Этот метод теории возмущений сделал возможным установление устойчивости райсснер-нордстремовской черной дыры относительно малых возмущений [63], а также исследование процесса поляризации вакуума сильными электромагнитными

В работе [68] дан явный вид источника, вызывающего возмущения.

полями в черных дырах (разд. 9) и введение двух новых физических явлений: гравитационно индуцированного электромагнитного излучения [69] и электромагнитно индуцированного гравитационного излучения [70, 71] (разд. 5).

В случае керровской черной дыры отсутствие сферической симметрии фоновой геометрии не позволило обобщить формализм Редже — Уилера — Дзерилли разложения возмущений по сферическим гармоникам. Разделение переменных для наиболее общих возмущений керровской черной дыры осуществил Тьюкольски [72, 73] с помощью спинорного формализма Ньюмена — Пенроуза. В работе [74] уже было показано, как можно осуществить разделение переменных для скалярного поля, подчиняющегося ковариантному уравнению Клейна — Гордона на фоне метрики Керра, используя функции сплюснутого сфероида [75]. Тьюкольски смог обобщить этот результат на векторные и тензорные возмущения и дал управляющие уравнения, которым удовлетворяют независимые ньюмен-пенроузов- ские компоненты полей1). Общие ньюмен-пенроузовские компоненты могут быть представлены в виде

^ = R(r, o)S (9) exp (imp) exp (— toty (18)

Согласно [76], в метрике Керра, определяемой уравнением (1) при Q = 0, в каждой точке можно ввести изотропную тетраду с компонентами

^ = [(г2 + а2)/Д, 1, о, а/Д], п^ = [г2 + а2, — Д, 0, а]/22, т1* — ^1а sin 0, 0, 1, Z/sin 6]/V2 V + Za cos 6).

Тогда ньюмен-пенроузовские компоненты электромагнитного поля даются выражениями

<p0 = Fvx/rn,) y^^F^tjW + m^mv\ (fo-F^m*.

Компоненты фо и фг характеризуют приходящую и уходящую волновые части электромагнитного поля. Аналогично для гравитационного поля приходящая и уходящая волновые части тензора Вейля Саруб даются в виде фо = = ~ Са^61ат?1^т?и ф4 =— Cagv6na^*^nY^*6. Тьюкольски [72] и Факерел и Ипсер [77] показали, как полное электромагнитное возмущение может быть получено с точностью до преобразований, соответствующих увеличению заряда черной дыры, если известна любая из трех функций ф0, фь фг. Две другие тогда могут быть получены с помощью простых алгебраических соотношений. Аналогично Уолд [78] показал, что одной из функций Фо или ф4 достаточно для полного определения гравитационных возмущений метрики Керра с точностью до возмущений, соответствующих изменению массы или углового момента черной дыры.

где функция R(r, о) удовлетворяет управляющему уравнению Тьюкольски

A~s "37 [^$+"^"] + ^ ^г2 + °2^ °2 — ^Мгюм + °2,и2 4"

+ 2ia (г — М) ms — 2iM (г2 — a2) cos] А-1 + 2iros — Л — а2о2} R = = 4л7, (19) а 5(9) —уравнению

^о"^ (sin °-^) 4- (а2<°2 cos26 -Sq- 2a(0Scose -

-^S^-52с1^0+ $+л)5 = 0. (20)

Здесь Т — источник возмущения, А — постоянная, a s = 0 для скалярных, s = ± 1 для векторных и s = ± 2 для тензорных возмущений1). Для s = 0 собственными функциями уравнения (20) являются хорошо известные функции сплюснутого сфероида [75].

Путем разделения входящих в уравнения (18), (19) и (20) переменных можно изучить целый ряд проблем: устойчивость керровской черной дыры относительно скалярных, векторных и тензорных возмущений [79, 80, 97], усиление волн и извлечение энергии из вращающейся черной дыры [81], а также процессы поляризации вакуума и рождения пар, вызванные вращающейся черной дырой [82] (разд. 9). В дополнение к возмущениям целого спина на керровском фоне могут быть также решены уравнения для пробных нейтринных полей [83].

Анализу возмущений решения Керра — Ньюмена все еще свойственны некоторые очевидные трудности, и, хотя общие уравнения для электромагнитных и гравитационных возмущений были, написаны независимо Читре [84] и Ли [67], попытки разделения переменных в этих уравнениях до сих пор не увенчались успехом. Единственным типом возмущений решения Керра — Ньюмена, для которых эти уравнения были успешно проинтегрированы, являются возмущения, соответствующие заряженному скалярному полю, удовлетворяющему ковариантному уравнению Клейна — Гордона [85] и полю спина V2, которое подчиняется ковариантному уравнению Дирака [65], в фоновых полях, задаваемых уравнениями (1) и (3). Даже эти частные результаты сделали возможным решение важной проблемы — рассмотрения поляризации вакуума керр-ньюменовских черных дыр и ограничений на их электромагнитные поля вследствие квантовомеханических неустойчивостей [85, 86] (разд. 9).

!) Относительно точной формы источника Т см. [72, 73].

Полностью альтернативный подход к возмущениям заданной стационарной фоновой геометрии был предложен также на основе метода «элементарных решений» Адамара для построения функций Грина. Этот метод был успешно применен Бреме и Де Виттом [87] к расчету гравитационных возмущений в пределе слабого поля и Чангом [88] в шварцшильдовой геометрии, и есть веские причины считать этот метод многообещающим также в случае решений Керра и Керра — Ньюмена или вообще в случае стационарных геометрий [89].

Наконец, этот полный анализ дал весьма важные технические средства для изучения физических процессов в поле черной дыры: полный набор собственных функций для разложения возмущений. Он также дал доказательство того, что черные дыры с метриками Шварцшильда, Райсснера— Нордстрема и Керра при а2 + Q2 ^ М2 устойчивы относительно малых возмущений. Распространению данного доказательства на керр-нью- меновские черные дыры все еще препятствуют технические трудности 1).

Важно отметить, что доказательство устойчивости черных дыр относительно малых возмущений есть необходимое условие, выполнение которого надо обеспечить, прежде чем начинать любой анализ их физических свойств; оно также является необходимым условием для превращения черных дыр в мыслимые с астрофизической точки зрения устойчивые конечные стадии гравитационного коллапса.

В последующих трех разделах мы суммируем некоторые результаты, которые ведут к выводу, что черные дыры могут быть астрофизически важными источниками энергии.

Орбиты пробных частиц в полечерных дыр

Движение пробной частицы массы ц и заряда е в фоновых гравитационном и электромагнитном полях с метрикой gUN и электромагнитным потенциалом Аа описывается лагранжианом 190]

= "2" ц ^а^0 > (21) где точка означает обыкновенную производную по аффинному параметру X, который связан с собственным временем т частицы соотношением т = Хц. Тогда для м“ = х“ имеем нормировочное условие

£ор»аие = — Н2

‘) Относительно новых результатов по возмущениям решений уравнений Эйнштейна — Максвелла, описывающих черные дыры, см., например, работы [195—19bJ и имеющиеся там ссылки. — Прим, перев.

и уравнение движения частицы

^ГДЛ?^/(22)

где Fp и Гру — соответственно тензор электромагнитного поля и символы Кристоффеля для фоновой геометрии. Картер [40] показал, что переменные в соответствующих уравнениях Гамильтона — Якоби для движения пробных частиц разделяются, и задача сводится к интегрированию системы обыкновенных

дифференциальных уравнений

9 = р-2 V®,(23а)

г = р-2 7^,(236)

i = — ар-2(а£ sin2 6 — Ф) + р“2 (г2 + а2) А~'Р,(23в)

ф = — р~2(а£ — Ф sin~20) + ар-2А-|Р,(23г)

где

0 = S- cos20 [а2 (ц2 - Р2) + Ф2 sin"2 9],(24a)

Р = £ (г2 + а2) — Фа — eQr,(246)

£ = Р2-А(р2г2 + /<),(24в)

S = К - (Ф - аЕУ,(24г)

а К, Е и Ф — постоянные движения для траектории частицы; Е и Ф обозначают соответственно энергию и угловой момент частицы в направлении ср, измеренные наблюдателем, покоящимся на бесконечности. По поводу интерпретации постоянной К см., например, работы Кристодулу и Руффини [91] и Хьюстона и др. [92] ).

Для получения точных траекторий частиц использовались два различных метода: метод эффективного потенциала [93, 94] и непосредственное численное интегрирование уравнений (23). Следуя развитому в [93] подходу, определим эффективные потенциалы для радиального направления и направления 6 уравнениями

p?r=^/R = 0, (25а)

р29 = V® = 0 (256)

S - cos2е [а2(ц2 - Е2) + Ф2 sin“29] = 0.S - cos2е [а2(ц2 - Е2) + Ф2 sin“29] = 0.(26)(26)или просто условиями R = 0 и 0 = 0. Используя данные Картером уравнения, для эффективного потенциала в направлении 9 имеем

S - cos2е [а2(ц2 - Е2) + Ф2 sin“29] = 0.

S - cos2е [а2(ц2 - Е2) + Ф2 sin“29] = 0.

(26)

(26)

Можно заключить, что если S = 0 и частица при движении пересекает экваториальную плоскость, то движение остается

Рис. 2. Эффективный 0-потенциал для S = 0,01 и а = М (экстремальная керровская черная дыра). Угол 6, измеряемый в градусах от оси симметрии, указывает точки поворота траектории пробной частицы в направлении 0 (0 = 0). По вертикальной оси отложена энергия частицы в единицах массы покоя частицы ц, измеренная наблюдателем на бесконечности По третьей оси отложены значения ф-компоненты углового момента частицы в единицах произведения ее массы покоя и массы черной дыры. За единственным исключением траекторий с Ф = 0 и с достаточно большими энергиями, пробные частицы с S > 0 не могут достичь полюса и ограничены максимальным Углом 0. Детали см. в [95].Рис. 2. Эффективный 0-потенциал для S = 0,01 и а = М (экстремальная керровская черная дыра). Угол 6, измеряемый в градусах от оси симметрии, указывает точки поворота траектории пробной частицы в направлении 0 (0 = 0). По вертикальной оси отложена энергия частицы в единицах массы покоя частицы ц, измеренная наблюдателем на бесконечности По третьей оси отложены значения ф-компоненты углового момента частицы в единицах произведения ее массы покоя и массы черной дыры. За единственным исключением траекторий с Ф = 0 и с достаточно большими энергиями, пробные частицы с S > 0 не могут достичь полюса и ограничены максимальным Углом 0. Детали см. в [95].

Рис. 2. Эффективный 0-потенциал для S = 0,01 и а = М (экстремальная керровская черная дыра). Угол 6, измеряемый в градусах от оси симметрии, указывает точки поворота траектории пробной частицы в направлении 0 (0 = 0). По вертикальной оси отложена энергия частицы в единицах массы покоя частицы ц, измеренная наблюдателем на бесконечности По третьей оси отложены значения ф-компоненты углового момента частицы в единицах произведения ее массы покоя и массы черной дыры. За единственным исключением траекторий с Ф = 0 и с достаточно большими энергиями, пробные частицы с S > 0 не могут достичь полюса и ограничены максимальным Углом 0. Детали см. в [95].

Рис. 2. Эффективный 0-потенциал для S = 0,01 и а = М (экстремальная керровская черная дыра). Угол 6, измеряемый в градусах от оси симметрии, указывает точки поворота траектории пробной частицы в направлении 0 (0 = 0). По вертикальной оси отложена энергия частицы в единицах массы покоя частицы ц, измеренная наблюдателем на бесконечности По третьей оси отложены значения ф-компоненты углового момента частицы в единицах произведения ее массы покоя и массы черной дыры. За единственным исключением траекторий с Ф = 0 и с достаточно большими энергиями, пробные частицы с S > 0 не могут достичь полюса и ограничены максимальным Углом 0. Детали см. в [95].

экваториальным; если S > 0, то движение ограничено максимальным углом наклона к экваториальной плоскости, зависящим от углового момента и энергии пробной частицы. Частица может достичь оси симметрии, перпендикулярной экваториальной плоскости, только если Ф = 0 или S — а2(ц2 — Е^. График эффективного потенциала для некоторых значений S и значения а(М = 1 дан на рис. 2. Эффективный 0-потенциал является функцией только а и S и не зависит от заряда частицы

бба

б

б

Рис. 3. Эффективные радиальные потенциалы для решений Е^г'), соответствующих положительному и отрицательному корням, для пробных частиц: а — с угловым моментом Ф/рЛ1 = 2 V5 вблизи шварцшильдовой черной дыры, б — с Ф/цМ = —5 вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = М. В шварцшильдовом случае имеем

£±(г) = ±[(1-^-)(ц2 + Ф2/г2)р;

решения с положительным и отрицательным корнями связаны простым соотношением Е* = —Е~. В керровском случае ограничимся экваториальной плоскостью 6 = л/2, тогда решения с положительным и отрицательным корнями получаются из уравнения

£2 [г3 + а2 (г + 2М)] - ШЕар, + (2М - г) (р2 + [А2) - а2|А - 0.

Для любого фиксированного значения углового момента Ф имеем Е+(Ф) = =—Е~(—Ф). Решения с положительным корнем являются релятивистским обобщением классических ньютоновских состояний. Круговые орбиты существуют для максимумов и минимумов потенциалов. Точки на графиках представляют устойчивые круговые орбиты (см. также рис. 4). Запрещенные состояния не имеют физического смысла, поскольку они должны соответствовать частицам с мнимыми импульсами. Решения с отрицательным корнем не имеют классического смысла и соответствуют частицам с отрицательной массой. Они интерпретируются в рамках релятивистской квантовой теории поля (см. разд. 9). Важно отметить, что в случае геометрии Керра для подходящих значений постоянных движения решения с положительным корнем могут иметь отрицательную полную энергию. Это непосредственно связано с возможностью существования процессов извлечения энергии из черных дыр на классическом (разд. 6) и квантовом уровне (разд. 9). Детали см. в [93, 94] (см. также рис. 16).

и заряда черной дыры. Эффективный радиальный потенциал

дается выражением

£(г) = [-В±(В2-4ЛС)1/2]/2Д(27)

где

Д = (г2 + а2)2__а2Д>(28.1)

в = 2аФА - (г2 + а2) (Фа + eQr\(28.2)

С = (Фа + eQr)2 - А (г2 + S + Ф2).(28.3)

0,9720,97220201010999.1,173999.1,1730,872 1/30,872 1/3Последняя круговая ; ^орбита (Керр, ру>0)Последняя круговая ; ^орбита (Керр, ру>0)Шварцшильдовские минимумыШварцшильдовские минимумы0,9700,970Керровские минимумы 0,936Керровские минимумы 0,936/круговая орбита (Шварцшильд)/круговая орбита (Шварцшильд)0,9800,9800,9690,9690,9450,945Ньютоновские минимумыНьютоновские минимумыШварцшильдовские максимумыШварцшильдовские максимумыКерровские минимумы 0,976Керровские минимумы 0,976ммПоследняя круговая орбита (Керр, ру< 0^Керровские максимумыПоследняя круговая орбита (Керр, ру< 0^Керровские максимумыПоследняяПоследняя0,9980,998Существует много качественных и количественных различий между орбитами частиц, описываемыми согласно ньютоновской

0,972

0,972

20

20

10

10

999.1,173

999.1,173

0,872 1/3

0,872 1/3

Последняя круговая ; ^орбита (Керр, ру>0)

Последняя круговая ; ^орбита (Керр, ру>0)

Шварцшильдовские минимумы

Шварцшильдовские минимумы

0,970

0,970

Керровские минимумы 0,936

Керровские минимумы 0,936

/круговая орбита (Шварцшильд)

/круговая орбита (Шварцшильд)

0,980

0,980

0,969

0,969

0,945

0,945

Ньютоновские минимумы

Ньютоновские минимумы

Шварцшильдовские максимумы

Шварцшильдовские максимумы

Керровские минимумы 0,976

Керровские минимумы 0,976

м

м

Последняя круговая орбита (Керр, ру< 0^

Керровские максимумы

Последняя круговая орбита (Керр, ру< 0^

Керровские максимумы

Последняя

Последняя

0,998

0,998

-6-5 -4-3 -Z -I 0/'23 U56

py/j&M 2(/32(/3

Рис. 4. Здесь сравниваются и противопоставляются ньютоновским результатам минимумы (устойчивые круговые орбиты) и максимумы (неустойчивые круговые орбиты) эффективного радиального потенциала для пробной частицы в поле шварцшильдовой (а = Q = 0) и экстремальной керровской (а = М, Q = 0) черных дыр. Расстояние г дано в единицах массы черной дыры, а угловой момент частицы — в единицах произведения ее массы и массы черной дыры. Численные значения эффективного потенциала в единицах массы пробной частицы отложены на соответствующих кривых максимумов и минимумов для некоторых значений радиуса и углового момента. Детали см. в [93, 94].

нерелятивистской теории, и орбитами, полученными из релятивистских уравнений (23) — (27). Одно из главных различий состоит в том, что для любого набора постоянных движения в релятивистском случае существуют два независимых энергетических состояния. Эти два энергетических состояния соответствуют положительному и отрицательному знакам в уравнении (27) п были названы Кристодулу и Руффини [91] решениями с положительным и отрицательным корнями. Только решения с поло-

жительным корнем имеют классический нерелятивистский предел; решения с отрицательным корнем приобретают смысл в рамках релятивистских квантовых теорий поля (разд. 9). На рис. 3 вместе с указанием решений с положительным и отрицательным корнями показаны некоторые качественные особен-

Рис. 5. Движение пяти нейтральных пробных частиц с нулевым угловым моментом вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = Л1. Постоянные движения для частицы равны Ely, = 1, Ф/цМ = 0 и S = 1,0. На вертикальных линиях отложены изохронные точки (если смотреть из бесконечности). На левой стороне рисунка предполагается, что частицы обладают 6<0, на правой 0 > 0. При приближении частиц к горизонту г-*г+ = = М + [АГ2 — (а2 + Q2)],/2 все они приобретают одинаковую угловую скорость в направлении ф. Из уравнения (23г) следует, что независимо от значений постоянных движения любая частица, падающая на керр-ньюменовскую черную дыру, с точки зрения наблюдателя на бесконечности асимптотически во времени приближается к состоянию равномерного кругового движения на горизонте с постоянной широтой. Действительно, мы имеемРис. 5. Движение пяти нейтральных пробных частиц с нулевым угловым моментом вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = Л1. Постоянные движения для частицы равны Ely, = 1, Ф/цМ = 0 и S = 1,0. На вертикальных линиях отложены изохронные точки (если смотреть из бесконечности). На левой стороне рисунка предполагается, что частицы обладают 6<0, на правой 0 > 0. При приближении частиц к горизонту г-*г+ = = М + [АГ2 — (а2 + Q2)],/2 все они приобретают одинаковую угловую скорость в направлении ф. Из уравнения (23г) следует, что независимо от значений постоянных движения любая частица, падающая на керр-ньюменовскую черную дыру, с точки зрения наблюдателя на бесконечности асимптотически во времени приближается к состоянию равномерного кругового движения на горизонте с постоянной широтой. Действительно, мы имеемlimг-*г+limг-*г+drd^drd^= 0,= 0,limr->r^_limr->r^_f-=o,dtpf-=o,dtplimГ->Г_|_limГ->Г_|_d^HId^HI= Q.= Q.

Рис. 5. Движение пяти нейтральных пробных частиц с нулевым угловым моментом вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = Л1. Постоянные движения для частицы равны Ely, = 1, Ф/цМ = 0 и S = 1,0. На вертикальных линиях отложены изохронные точки (если смотреть из бесконечности). На левой стороне рисунка предполагается, что частицы обладают 6<0, на правой 0 > 0. При приближении частиц к горизонту г-*г+ = = М + [АГ2 — (а2 + Q2)],/2 все они приобретают одинаковую угловую скорость в направлении ф. Из уравнения (23г) следует, что независимо от значений постоянных движения любая частица, падающая на керр-ньюменовскую черную дыру, с точки зрения наблюдателя на бесконечности асимптотически во времени приближается к состоянию равномерного кругового движения на горизонте с постоянной широтой. Действительно, мы имеем

Рис. 5. Движение пяти нейтральных пробных частиц с нулевым угловым моментом вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = Л1. Постоянные движения для частицы равны Ely, = 1, Ф/цМ = 0 и S = 1,0. На вертикальных линиях отложены изохронные точки (если смотреть из бесконечности). На левой стороне рисунка предполагается, что частицы обладают 6<0, на правой 0 > 0. При приближении частиц к горизонту г-*г+ = = М + [АГ2 — (а2 + Q2)],/2 все они приобретают одинаковую угловую скорость в направлении ф. Из уравнения (23г) следует, что независимо от значений постоянных движения любая частица, падающая на керр-ньюменовскую черную дыру, с точки зрения наблюдателя на бесконечности асимптотически во времени приближается к состоянию равномерного кругового движения на горизонте с постоянной широтой. Действительно, мы имеем

limг-*г+

limг-*г+

drd^

drd^

= 0,

= 0,

limr->r^_

limr->r^_

f-=o,

dtp

f-=o,

dtp

limГ->Г_|_

limГ->Г_|_

d^HI

d^HI

= Q.

= Q.

Этот факт был впервые отмечен Кристодулу и Руффини, а Q = a/fr^ + о2) была названа угловой скоростью черной дыры (см., например, [38]). По поводу альтернативного введения угловой скорости О см. разд. 6. Детали см. в [95].

ности радиального эффективного потенциала. На рис. 4 в сравнении и противопоставлении с ньютоновскими результатами представлены значения энергий связи и радиусов устойчивых круговых орбит вблизи шварцшильдовской и керровской черных дыр. Как для райсснер-нордстремовской, так и для керр-ньюменов- ской черных дыр могут существовать устойчивые круговые орбиты, которые для определенных значений постоянных движения приближаются к орбитам с энергией связи 100% [91]. Круговые орбиты представляют известный интерес, поскольку

14 Зак. 203

аккрецирующее вещество, как полагают, обладает большим угловым моментом и при соответствующей величине диссипативных процессов приближается к горизонту через последовательность почти круговых орбит [96]. При этом энергия связи последней устойчивой круговой орбиты представляет собой величину энергии, которая может быть излучена в процессе аккреции. В свою очередь тот факт, что энергия связи имеет величину порядка

Рис. 6. Движение облака незаряженных частиц, движущихся вокруг экстремальной вращающейся заряженной черной дыры при а2 = Q2 = 0,5 №. Орбиты устойчивы, а постоянные движения выбраны равными Е1\х = 0,968, ф/цМ = 2, S = 10, е = 0. Вертикальные линии определяют изохронные точки, как они видны из бесконечности. В кеплеровском ньютоновском случае и в релятивистских шварцшильдовом или райсснер-нордстремовском случаях движение пробных частиц все время происходит в одной плоскости В керровском и керр-ньюменовском случаях из-за эффекта Уилкинса [98] частицы дополнительно осциллируют в направлении 0 в пределах 6- < 6 < 0+, где 0- и 6+ означают точки поворота траектории в направлении 6, определяемые уравнением (25) или 0 = 0 (см. также рис. 2). Детали относительно эффекта Уилкинса приведены в [98], а относительно обобщенного эффекта Уилкинса — в [95]. Возможность обнаружения эффекта Уилкинса в аккреционных дисках черных дыр рассмотрена в [13, 99].

массы покоя аккрецирующего вещества, ведет к выводу, что процессы аккреции при соответствующем значении углового момента могут эффективно высвобождать из черной дыры большие количества электромагнитного излучения [5, 6].

Дополнением к этому анализу, основанному на методе эффективного потенциала, было непосредственное численное интегрирование уравнений (23). Были получены некоторые примеры новых релятивистских эффектов при движении пробных частиц вблизи черных дыр: на рис. 5 результаты численного интегрирования весьма ясно иллюстрируют введенное в работе [38] понятие угловой скорости черной дыры; на рис. 6 подобные вы-

числения иллюстрируют понятие «эффекта Уилкинса», введенного в работе [98].

Основные выводы, вытекающие из этих работ, состоят в следующем: 1) аккрецирующие черные дыры, далекие от того, чтобы быть действительными стоками вещества, могут быть сильными источниками энергии: скорость аккреции dM/dt ~ ~1017 г/с может дать начало потоку электромагнитного излучения ~104Lo; 2) по крайней мере в принципе существует возможность по эффективности процессов излучения черной дыры сделать вывод относительно ее вращения и электромагнитной структуры; 3) геометрические эффекты, обусловленные вращением черной дыры, могут быть обнаружены на дископодобном образовании из аккрецирующего вещества, если оно обладает достаточным угловым моментом [13, 18].

Процессы излучения в поле черных дыр

Введенные при анализе малых возмущений вблизи черной дыры методы расчета (разд. 3) делают возможным исследование трех новых физических процессов, представляющих большой интерес: а) гравитационного и электромагнитного излучения, испускаемого веществом, падающим на черную дыру; б) испускания или фокусировки гравитационного излучения от ультрарелятивистских частиц вблизи черной дыры; в) взаимодействия между электромагнитным и гравитационным излучением в ультрарелятивистских режимах. Все эти вопросы были исследованы на примерах весьма "идеализированных мысленных экспериментов с пробными частицами, которые сами по себе не следует рассматривать как обладающие каким-либо реальным астрофизическим смыслом**. Однако некоторые заключения, полученные для волновых полей, генерируемых при этих идеализированных процессах, по-видимому, являются достоверными.

Впервые исследование гравитационного излучения от пробной частицы, падающей по радиусу на шварцшильдову черную дыру, в общей теории относительности было проведено в пределе слабого поля с использованием хорошо известных результатов, полученных из линеаризованных уравнений Эйнштейна в плоском пространстве [93, 94]. Целью его было качественное описание спектрального распределения излучения, а также оценка порядка величины полной энергии гравитационного излучения. Было установлено, что этот спектр очень широкий и имеет пик на частоте ^М ~ 0,15, а полная излученная энергия равна А£ ^ ат (т/М), где т— масса падающей частицы, М— масса черной дыры, а а— безразмерная величина ~ 2,5-10-3.

-30 -20 -1001020 30 ад 50360 370 380

r^/m

Рис. 7. Определение гравитационного излучения, испускаемого пробной частицей массы т, падающей радиально на черную дыру массы М, сводится к интегрированию замечательно простого волнового уравнения Дзерилли [Ю4]

d^R.

-d. + ^-V^DjR^St,

где ге = г + 2Af ln[r/2Af — 1] • V /(г) — эффективный потенциал:

V, (г) — (1 — ~-) [2Х2 (X + 1) rs + 6Х2Л(г2 + 18ЛРг + 18М8]/г2 (Хг + ЗМ) еХ= У$(/-1)(/+2) и

StH-

Ш /, , 1\W,2М\Г/ г \% 2ZX 1,. „...

"Xr + 3AfV+2) V г ) Ц 2Af J <о (Хг + ЗЛГ) J <ю7^ г где для радиального падения, начинающегося из состояния покоя на бесконечности,

Граничными условиями на функцию Ri(/) на горизонте (г* =—оо) являются приходящие волны, а на бесконечности (г* = +°°) — уходящие волны:

( Л?Х0А (со) exp [ког J при г* -> + °°,

RAr^A

( дприх°д (©) ехр [— icor J при г„ -> — оо.

Поток излучения на бесконечности для каждого мультиполя дается выражением

( —1 1= — (/ + 2)1 со21 ЛУХОД (<о) I2

К dm Мполь 32л (/ - 2)1 I А1 1 ' ।'

Решение уравнения Дзерилли получено с помощью построения функций Гринадля однородного уравнения посредством численных методов. Детали см.в [100, 105, 106].

Подобный анализ был повторен в рамках формализма Редже—Уилера— Дзерилли, и все качественные результаты предыдущего исследования были подтверждены наряду с новым и лучшим определением спектра и мультипольного распределения излучения [100] (рис. 7 и 8). Действительно важным в этом новом рассмотрении была реконструкция в деталях вида всплеска испущенного гравитационного излучения как функции относительного положения пробной частицы и черной дыры [101]

Рис. 8. Спектр гравитационного излучения, испускаемого пробной частицей массы т» падающей радиально на черную дыру массы М. Приблизительно -90% полной энергии излучается в квадрупольной моде (/ = 2), 9% — в ок- тупольной моде. Полная излучаемая энергия равна Еполн « 0,0104 пг(т/М), а вклад каждого мультиполя определяется формулой Ед « 0,44 (m2/^)X 2 поль

X exp (—2/). Детали см. в [100].

(рис. 9). Структура всплеска была также установлена Чангом £88] в рамках формализма Адамара.

Проблема гравитационного излучения пробной частицы, падающей на шварцшильдову черную дыру и обладающей на бесконечности конечной кинетической энергией, рассматривалась также в линеаризованном приближении слабого поля в плоском пространстве и в рамках формализма Редже — Уилера —Дзерилли [102]. Новым в этом случае было очень сильное возрастание количества излученной энергии как функции кинетической энергии падающей частицы (рис. 10).

Некоторый прогресс был также достигнут в исследовании гравитационного излучения пробной частицы, падающей на керровскую черную дыру. Дымникова [103] с помощью приближенного метода слабого поля (см. [93, 94]) дала полный

анализ для некоторых орбит частиц, падающих на экстремальном керровском фоне (а = М^ а релятивистское исследование в сильных полях, ограниченное лишь скалярным излучением, было проведено Яковлевым [108].

Рис. 9. Асимптотическая форма уходящего всплеска гравитационного излучения, испущенного частицей массы т, падающей радиально на шварцшильдову черную дыру массы М. Графики даны в функции запаздывающего времени (/ — г^[М. В случае а изображен эффективный потенциал для 1 = 2 с указанием значений обычной шварцшильдовой координаты. В случае б радиальная функция для I = 2 дана как функция запаздывающего времени. В случае в для некоторых мультиполей изображены компоненты /?q20 ответственные за приливные явления и важные для детектирования гравитационного излучения. Наконец, в случае г для / — 2, 3 изображены полные потоки энергий, проинтегрированные по всем углам. Из этих графиков ясно, что в структуре всплеска можнс выделить три различные области: предвестник для 5(г* —

— ОЛИ^ЗО, острый всплеск для —10^ (г* — t)]M^5 и вибрирующий хвост для (г* — t^JM^—10 (см. случай а для соответствующих значений обычной шварцшильдовой координаты при некоторых значениях г*). Детали,см. в [100, 101, 106, 107].

Путем анализа электромагнитных возмущений, предложенного в работе [50], оказалось возможным решить «вечную» проблему излучения электрически заряженной частицы, падающей в гравитационном поле [109]1). Вычисления были проделаны опять-таки для идеализированного примера радиального падения заряженной частицы на шварцшильдову черную дыру (рис. 11). И в этом случае падение частицы или наличие элек-

^ Относительно спектра испускаемого излучения см. [54].

тромагнитного поля у черной дыры могут усиливать высшие мультиполи и значительно увеличивают полную излученную электромагнитную энергию *).

Наконец, можно обобщить на случай гравитационного излучения классическое рассмотрение всплесков излучения [НО], данное Бором в рамках электродинамики. В этом анализе опять использовалось приближение линеаризованного слабого поля в плоском пространстве [111] ).

Рис. 10. Данный график демонстрирует весьма сильную зависимость полной гравитационной энергии, излученной пробной частицей массы т, падающей на черную дыру массы М, от значений у = Elm для пробной частицы. Излучение при у ~ 1 дано в укрупненном масштабе для удобства прямого сравнения с результатами, представленными на рис. 8 и 9. Это возрастание энергии было предсказано в [93, 94] в рамках линеаризованной теории в приближении слабого поля. Соответствующее релятивистское рассмотрение в рамках формализма Дзерилли дано в [102] (см. также рис. 11 для аналогичного электромагнитного процесса).

На рис. 12 сравнивается с электромагнитным аналогом и противопоставляется ему спектр гравитационного излучения, испущенного частицей массы ш, летящей под действием черной дыры массы М с прицельным параметром b и асимптотической скоростью р = v/c.

Рассмотрим теперь второй вопрос: излучение или фокусировку гравитационного излучения ультрарелятивистских частиц вблизи черной дыры. В предыдущем разделе мы видели, что пробная частица в гравитационном поле черной дыры может иметь устойчивые круговые орбиты с гравитационной энергией связи, сравнимой с ее массой покоя. При этом подразумевается, что частица должна иметь скорости, сравнимые со скоростью

!) Общее рассмотрение электромагнитного излучения, испускаемого частицей, падающей в сильном гравитационном поле в присутствии электромагнитного поля, дано в работах [70, 71].

света1). Тогда возникает общий вопрос: возможны ли для гравитационного излучения процессы, подобные синхротронному излучению [112, 113]? Для изучения этого вопроса опять-таки

0,18*0,18*Рис. 11. Анализ электромагнитного излучения, испускаемого пробной частицей заряда q и массы ц, падающей в гравитационном поле шварцшильдовой черной дыры, был дан в [54]. Выполненный в [50] анализ возмущений ведет к интегрированию уравнения типа Шредингера аналогично случаю, рассмотренному на рис. 7 для гравитационных возмущений. Для определения функции Грина был использован тот же численный метод. Если частица первоначальна покоится на бесконечности (у = 1), большая часть излучения (~90%) испускается в виде дипольного излучения. Полное значение излучаемой энергии АЕ ~ 2- lQ~2q(q/M). Пик спектра соответствует частоте ®М ~ 0,2. Как показано на рис. 10 для гравитационного случая, имеет место сильное возрастание излучаемой энергии, если частица прилетает из бесконечности с конечной кинетической энергией (у > 1). Если черная дыра обладает электромагнитным полем, то имеет место усиление высших мультиполей (см. [54] и особенно [70, 71]).Рис. 11. Анализ электромагнитного излучения, испускаемого пробной частицей заряда q и массы ц, падающей в гравитационном поле шварцшильдовой черной дыры, был дан в [54]. Выполненный в [50] анализ возмущений ведет к интегрированию уравнения типа Шредингера аналогично случаю, рассмотренному на рис. 7 для гравитационных возмущений. Для определения функции Грина был использован тот же численный метод. Если частица первоначальна покоится на бесконечности (у = 1), большая часть излучения (~90%) испускается в виде дипольного излучения. Полное значение излучаемой энергии АЕ ~ 2- lQ~2q(q/M). Пик спектра соответствует частоте ®М ~ 0,2. Как показано на рис. 10 для гравитационного случая, имеет место сильное возрастание излучаемой энергии, если частица прилетает из бесконечности с конечной кинетической энергией (у > 1). Если черная дыра обладает электромагнитным полем, то имеет место усиление высших мультиполей (см. [54] и особенно [70, 71]).

0,18*

0,18*

Рис. 11. Анализ электромагнитного излучения, испускаемого пробной частицей заряда q и массы ц, падающей в гравитационном поле шварцшильдовой черной дыры, был дан в [54]. Выполненный в [50] анализ возмущений ведет к интегрированию уравнения типа Шредингера аналогично случаю, рассмотренному на рис. 7 для гравитационных возмущений. Для определения функции Грина был использован тот же численный метод. Если частица первоначальна покоится на бесконечности (у = 1), большая часть излучения (~90%) испускается в виде дипольного излучения. Полное значение излучаемой энергии АЕ ~ 2- lQ~2q(q/M). Пик спектра соответствует частоте ®М ~ 0,2. Как показано на рис. 10 для гравитационного случая, имеет место сильное возрастание излучаемой энергии, если частица прилетает из бесконечности с конечной кинетической энергией (у > 1). Если черная дыра обладает электромагнитным полем, то имеет место усиление высших мультиполей (см. [54] и особенно [70, 71]).

Рис. 11. Анализ электромагнитного излучения, испускаемого пробной частицей заряда q и массы ц, падающей в гравитационном поле шварцшильдовой черной дыры, был дан в [54]. Выполненный в [50] анализ возмущений ведет к интегрированию уравнения типа Шредингера аналогично случаю, рассмотренному на рис. 7 для гравитационных возмущений. Для определения функции Грина был использован тот же численный метод. Если частица первоначальна покоится на бесконечности (у = 1), большая часть излучения (~90%) испускается в виде дипольного излучения. Полное значение излучаемой энергии АЕ ~ 2- lQ~2q(q/M). Пик спектра соответствует частоте ®М ~ 0,2. Как показано на рис. 10 для гравитационного случая, имеет место сильное возрастание излучаемой энергии, если частица прилетает из бесконечности с конечной кинетической энергией (у > 1). Если черная дыра обладает электромагнитным полем, то имеет место усиление высших мультиполей (см. [54] и особенно [70, 71]).

принималась специальная идеализированная модель—движение пробной частицы по релятивистской круговой орбите вокруг шварцшильдовой черной дыры. Анализ такого излучения был проведен в рамках формализма Редже — Уилера — Дзе- рилли [114].

пробных частип на круговых (с. 453).пробных частип на круговых (с. 453).9 Точные формулы для угловой скорости орбитах в поле черных дыр см. в сборнике [30]

пробных частип на круговых (с. 453).

пробных частип на круговых (с. 453).

Из электродинамики хорошо известно [115], что если заряд движется по круговой орбите с угловой скоростью <оо и обладает релятивистской энергией, такой, что у = E/mc > 1, то в основном будет испускаться электромагнитное излучение с частотой (ос ~ ЗсооУ3> т. е. с гармонической частотой пс = Зу3 вместо обычной для дипольного излучения п = 2. Излучение будет также фокусироваться в орбитальной плоскости в критическом угле 9с ^ (сос/(о)1/2/у; излучение и увеличение частоты (синхротронное излучение) будут тем значительнее, чем выше значение у.

Электродинамическая аналогия неприменима в случае гравитационного коллапса по двум совершенно разным причинам [114, 116]. Первая заключается в том, что частицы на устойчивых круговых орбитах в поле как шварцшильдовой, так и керровской черной дыры не обладают достаточно большими угловыми скоростями для того, чтобы у » 1. Вторая причина связана с более фундаментальным вопросом: будет ли иметь место излучение гравитационных волн частицей, которая может находиться на ультрарелятивистской круговой орбите с у » 1 вблизи черной дыры? Ответ опять отрицательный: эффекты испускания гравитационных волн значительно слабее, чем можно было ожидать на основе простой экстраполяции электродинамики (рис. 13) [115—Н6]1). Часть причин, обусловливающих этот второй отрицательный результат, может быть интуитивно понята: если существует круговая орбита, на которой гравитационным взаимодействием удерживается массивная частица с ультрарелятивистской скоростью (у 5> 1), то такая орбита должна быть круговой и для частиц с нулевой массой (в пределе v -> с релятивистские результаты не зависят от значения массы). Тогда излученные фотоны и гравитоны инжектируются в «эффективное накопительное кольцо» вблизи орбиты частицы, откуда они просачиваются сильно дефокусированными [114].

Эти результаты были недавно распространены Терновым и др. [118] также на случай орбит в метрике Керра.

Главный повод для рассмотрения третьего вопроса, а именно взаимодействия электромагнитного и гравитационного излу* чений, следует из огромной разности поперечных сечений детекторов электромагнитного и гравитационного излучений [119]. Более того, если процесс гравитационного коллапса генерирует, как это обычно предполагается2), всплеск гравитационной энергии, эквивалентной нескольким процентам полной массы-энергии коллапсирующей звезды, и если в сколлапсировавшем ядре

!) Интуитивное объяснение результатов указанных работ дано в статье

Рис. 12. Сравнение всплесков электромагнитного и гравитационного излучения. Частица массы т и заряда г, летящая с нерелятивистской скоростью и = Рс, пролетает мимо значительно большей массы М с зарядом Q, первоначально покоившейся, с таким большим прицельным параметром Ь, что движение является почти прямолинейным. Распределение частот излучаемой электромагнитной энергии дается формулойРис. 12. Сравнение всплесков электромагнитного и гравитационного излучения. Частица массы т и заряда г, летящая с нерелятивистской скоростью и = Рс, пролетает мимо значительно большей массы М с зарядом Q, первоначально покоившейся, с таким большим прицельным параметром Ь, что движение является почти прямолинейным. Распределение частот излучаемой электромагнитной энергии дается формулойdAE _ 4e2dv Зе3dAE _ 4e2dv Зе3х (0 exp [t©/] dt +х (0 exp [t©/] dt +у (О, exp [z®/] dtу (О, exp [z®/] dt22

Рис. 12. Сравнение всплесков электромагнитного и гравитационного излучения. Частица массы т и заряда г, летящая с нерелятивистской скоростью и = Рс, пролетает мимо значительно большей массы М с зарядом Q, первоначально покоившейся, с таким большим прицельным параметром Ь, что движение является почти прямолинейным. Распределение частот излучаемой электромагнитной энергии дается формулой

Рис. 12. Сравнение всплесков электромагнитного и гравитационного излучения. Частица массы т и заряда г, летящая с нерелятивистской скоростью и = Рс, пролетает мимо значительно большей массы М с зарядом Q, первоначально покоившейся, с таким большим прицельным параметром Ь, что движение является почти прямолинейным. Распределение частот излучаемой электромагнитной энергии дается формулой

dAE _ 4e2

dv Зе3

dAE _ 4e2

dv Зе3

х (0 exp [t©/] dt +

х (0 exp [t©/] dt +

у (О, exp [z®/] dt

у (О, exp [z®/] dt

2

2

с (х, у^ = (eQ//n) (и/, b^l^vty + &2]в/\ или

- d ЬЕ/dv = (iGt^eVS/nW) [“2Ко («) + i?K\ (к)]

с и = tobfv (в обычных единицах) или и = tob)$ (в геометрических единицах) (формула дана Бором [110]). Функция от и в квадратных скобках превращается в 1 при низких частотах и в зш ехр (—2и) при высоких частотах и после интегрирования по и дает л2/8 = 1,234 («точка обрезания эквивалентного плоского спектра», как показано на верхнем графике). Аналогично распределение частот всплеска гравитационного излучения дается формулой

Q™ (0 exp [zW] dt ,Q™ (0 exp [zW] dt ,-dbEjdx = ^^ Р» q где в правую часть

Q™ (0 exp [zW] dt ,

Q™ (0 exp [zW] dt ,

QP4 = ^tnMIr^ (^г/г + 18 (г/г) гМ — Х^г4 — 12гМ)

мы подставили выражения для невозмущенного прямолинейного движения массы т (теперь нейтральной!) относительно массы М (также незаряженной)»

Первый множитель в Qpq равен тМ (62 + Р2^2) 8/1> а второй равен выражениям

хх: — 4Р2/ - 1862Р2//(62 + р2/2),

ху: 6&Р - 1862Р/(62 + Р2^2),

уу: 2р2/ + 1862Р2^/(62 + Р2^2),

Qpq (t) ехр (/ф/) dt, входящие в вы-Qpq (t) ехр (/ф/) dt, входящие в вы-zz: 2р2/, + оо умноженным на p2t Интегралы Фурье

Qpq (t) ехр (/ф/) dt, входящие в вы-

Qpq (t) ехр (/ф/) dt, входящие в вы-

ражения для углового и частотного распределений, даются выражениями хх: — Ц2иК0 + Зи2К\\ ху: —Зu^l — Зи2Ко, УУ' iuKo, zz: ЦиКо + Зи2Кх),

умноженными на ^тМ]Ь (без ограничения на величину отношения т к М). Таким образом,

- d ЬЕ^ч = (б4т2Л42/5&2) [(«2/3 + и^ К^ + Зи3КйКх + (и2 + и4) К2]

[в гравитационных единицах; для перехода к обычным нужно умножить на Q^lc^ = 1,23-10~74 (эрг/Гц) (см2/г4)]. Множитель в квадратных скобках сводится к единице для малых и = со^/р и стремится к ли3 ехр (—2и) для высоких частот, а проинтегрированный по и дает 37л2/96 (точка обрезания для <д&/р эквивалентного плоского спектра, как показано на нижнем графике). Рисунок и подпись к нему взяты из [111].

Рис. 13. Результаты анализа излучения, испущенного пробной частицей на ультрарелятивистской неустойчивой круговой орбите в поле шварцшильдовой черной дыры массы М резюмируются в данном разделе (детали см. в [106, 114, 116]). Вычисления были проведены в рамках формализма Редже — Уилера — Дзерилли [47]. На рисунке сравниваются и противопоставляются спектральные распределения для скалярного, векторного и тензорного излучения, испускаемого пробной частицей на ультрарелятивистской круговой орбите с г0 = 3,05 М, в функции мультипольной моды /. Вклад высших мультиполей, слабый уже в случае векторного излучения, еще более уменьшается для тензорного излучения. Здесь у2 = (1—ЗМ/го)”1 = 61, т— масса, q— электрический заряд, s —- скалярный заряд частицы. ’Рис. 13. Результаты анализа излучения, испущенного пробной частицей на ультрарелятивистской неустойчивой круговой орбите в поле шварцшильдовой черной дыры массы М резюмируются в данном разделе (детали см. в [106, 114, 116]). Вычисления были проведены в рамках формализма Редже — Уилера — Дзерилли [47]. На рисунке сравниваются и противопоставляются спектральные распределения для скалярного, векторного и тензорного излучения, испускаемого пробной частицей на ультрарелятивистской круговой орбите с г0 = 3,05 М, в функции мультипольной моды /. Вклад высших мультиполей, слабый уже в случае векторного излучения, еще более уменьшается для тензорного излучения. Здесь у2 = (1—ЗМ/го)”1 = 61, т— масса, q— электрический заряд, s —- скалярный заряд частицы. ’

Рис. 13. Результаты анализа излучения, испущенного пробной частицей на ультрарелятивистской неустойчивой круговой орбите в поле шварцшильдовой черной дыры массы М резюмируются в данном разделе (детали см. в [106, 114, 116]). Вычисления были проведены в рамках формализма Редже — Уилера — Дзерилли [47]. На рисунке сравниваются и противопоставляются спектральные распределения для скалярного, векторного и тензорного излучения, испускаемого пробной частицей на ультрарелятивистской круговой орбите с г0 = 3,05 М, в функции мультипольной моды /. Вклад высших мультиполей, слабый уже в случае векторного излучения, еще более уменьшается для тензорного излучения. Здесь у2 = (1—ЗМ/го)”1 = 61, т— масса, q— электрический заряд, s —- скалярный заряд частицы. ’

Рис. 13. Результаты анализа излучения, испущенного пробной частицей на ультрарелятивистской неустойчивой круговой орбите в поле шварцшильдовой черной дыры массы М резюмируются в данном разделе (детали см. в [106, 114, 116]). Вычисления были проведены в рамках формализма Редже — Уилера — Дзерилли [47]. На рисунке сравниваются и противопоставляются спектральные распределения для скалярного, векторного и тензорного излучения, испускаемого пробной частицей на ультрарелятивистской круговой орбите с г0 = 3,05 М, в функции мультипольной моды /. Вклад высших мультиполей, слабый уже в случае векторного излучения, еще более уменьшается для тензорного излучения. Здесь у2 = (1—ЗМ/го)”1 = 61, т— масса, q— электрический заряд, s —- скалярный заряд частицы. ’

Рис. 14. Ниже излагаются результаты рассмотрения гравитационно индуцированного электромагнитного излучения, испускаемого незаряженной пробной частицей массы т, первоначально покоившейся на бесконечности и падающей* радиально на райсснер-нордстремовскую черную дыру (Q = 0,08 Af). Для- этой проблемы формализм возмущений Дзерилли приводит к следующей системе связанных дифференциальных уравнений (в безразмерной форме, г » Q измеряются в единицах Af):

_ ехР <2v>f V + 1j.__2V + 3_\ 8Q2 .i

" Ar2 + 3r - 2Q2 k r2 - 2r + Q2 Ar2 + 3r - 2Q2 ) I® 'l0w«-

-^J,.j^^ + n^ 4expMQ2 lb

dr*1 +1 “ MP V L r1 + r2 (Ar2 + 3r - 2Q2) J P И =

_ z<o exp (v) Г/Z (Z + 1) exp (v) (3r — 4Q2) \ Mzo1 _2

г1 [k 2r г(Аг2 + Зг-2$2)/^о + dr* J+5<0-

Здесь Rm описывает гравитационное возмущение для заданного мультиполя*" /, a f/o — соответствующее электромагнитное возмущение. Источник для уравнения гравитационного возмущения имеет вид

cl _8Yo(z+l)V,rexp(y)exp(Zto7-)r ,ш + 3

w =Аг2 + Зг - 2Q2L /ю kr Аг2 + Зг - 2Q2 )

_ 1 / ехр(—2v) dT\1

2 к dTjdr dr ) Г а его эффективный потенциал равен

4 [(Зг - 4Q2)2 (г - Q2) - ехр (у) (Зг - 5Q2) г2] , 2 exp (у) (Зг - 4Q2)2 +(Аг2 4- Зг - 2Q2) г4+ г2 (Аг2 + Зг - 2Q2)2

Аналогично для источника электромагнитных возмущений имеем

S20 - 4 exp (v) уо (/ + 4)% «Р V®T Wk (Хг2 + Зг - 2Q2).

Как обычно, полагаем

exp(v)=l-y+-^-, W-exp(v), X = (Z - 1) (Z + 2)/2,

7(г) означает временную координату траектории пробной частицы. Граничные условия, налагаемые на решения уравнений, на поверхности черной дыры соответствуют приходящим волнам, а на бесконечности — уходящим волнам [106]. Выражение для излучаемой гравитационной энергии, усредненной по всем углам, дается тогда для каждого мультиполя I выражением

(dEjdto) = m42R*lQRtol (Z + 1) (Z - 1) (Z + 2)/32л;

для электромагнитной энергии соответственно имеем

(dE/d®} = (M^l Ц + 1)/2л.

График слева дает интенсивность электромагнитного излучения для некоторых значений мультиполей в функции частоты, измеренной в единицах массы черной дыры. График справа представляет соответствующее гравитационное излучение. Детали численного определения функций Грина для связанной системы уравнений даны в [137]. Для рассматриваемого здесь специального примера гравитационно индуцированное электромагнитное излучение характеризуется величиной АЕ ~ 0,03 m(Q/Af)2(m/M), в то время как для гравитационного излучения имеем ДЕ ~ 0,01 m^mtMY Вследствие обратной связи дипольный член (/ = 1) и дипольное электромагнитное излучение существенно слабее, чем электрические квадрупольные члены (Z = 2). Детали см. в [61].

присутствуют сильные электромагнитные поля (В~(1012— — 1013) Гс), то взаимодействие между электромагнитным и гравитационным излучениями может привести к детектируемым сигналам в виде электромагнитных волн). В свою очередь всплески электромагнитных волн в принципе могут быть использованы для поиска совпадающих с ними гравитационно-волновых сигналов [119].

Чтобы проанализировать качественно и количественно взаимодействие между электромагнитным и гравитационным излучениями на основе полностью релятивистского рассмотрения в сильных гравитационных полях, опять-таки полезно изучить некоторые специфические и идеализированные модели. С этой целью было изучено движение и излучение массивных, заряженных

9 Общее рассмотрение конверсии между электромагнитным и гравитационным излучением см., например, в работе [120]. Взаимодействие между электромагнитными и гравитационными волнами в пределе слабого поля в плоском пространстве было темой многих работ. См., например, [121] и имеющиеся там ссылки, а также [122]. Весьма интересная формулировка в рамках «эффективного диэлектрического» подхода дана в работе [123]. См. также [124]. Относительно возможного образования гравитационных и электромагнитных ударных волн см., например, [125] и имеющиеся там ссылки.

Рис. 15. Результаты расчета электромагнитно индуцированного гравитационного излучения, испущенного пробной частицей с отношением заряда к массе ql\x = —50, первоначально покоившейся на бесконечности и падающей радиально на райсснер-нордстремовскую черную дыру (Q = 0,8 М). Уравнения, управляющие этим процессом, получены с помощью преобразованных уравнений Дзерилли [60]. Уравнения, управляющие гравитационным возмущением, имеют вид (в безразмерной форме, г и Q измеряются в единицах Af) [70,71]

_,9 х */ Хг + 1, 2Хг + 3

exp (zv) Xr2 + 3r _ 2Q2 V гг _ 2г + Q2 Хг2 + Зг — 2Q2 ) А

+ (О

где

s^* = 8moVo (z + 1)'/2ехр (v) exp (1ЮТ) {-1- [1 -

где

S$’ = 4Q “Р (v) moYo (* - 7^) 0 + у)* X

X exp [ioT (r)]/[r (Ar2 + 3r - 2Q2)], S^ = — 2? exp (v) (/ + ^ /a exp \itoT V6\tr2,

T(r), г*, X имеют тот же смысл, что и на рис. 14, a уо = (1 — 2 M/r) dtldx является мерой кинетической энергии частицы на бесконечном расстоянии от черной дыры. Граничные условия и формулы для расчета потоков энергии те же, что и на рис. 14. Первый член в правой части (1) является членом обратной связи, обусловленной электромагнитным полем. Член S^1 является источником гравитационного излучения, вызываемого движением пробной частицы, и включает тензор энергии-импульса, обусловленный массой пробной частицы, а также содержит вклад тензора электромагнитного поля пробной частицы и фонового поля (см. график слева). Аналогично в (2) первый член в правой части является членом обратной связи гравитационного поля, член S^^ описывает гравитационно индуцированное электромагнитное излучение, рассмотренное на рис. 14, а член S^ является источником для пробной частицы заряда q. Результаты расчетов испускаемого гравитационного излучения даны в правой части рисунка. Сплошными линиями показаны результаты одновременного интегрирования уравнений (1) и (2). Штриховые линии в левой части рисунка не учитывают обратного влияния гравитационного поля на электромагнитный спектр, а учитывают только члены S^1 и 5$. Этот результат не согласуется с утверждениями Торна (Калифорнийский технологический институт), сделанными без доказательства (см. также сноску в [70]). Торн некорректно предполагал большое обратное влияние гравитационного излучения на электромагнитные спектры, рассмотренные в [54]. В правой части рисунка штриховые линии относятся к расчету гравитационного излучения в пренебрежении обратным действием электромагнитного поля. Интересно отметить, что в гравитационном случае в отличие от электромагнитного членами обратной связи пренебречь нельзя. Чтобы подчеркнуть это свойство, излучение, генерируемое членами обратной связи, было названо электромагнитно индуцированным, гравитационным излучением.

и нейтральных пробных частиц в геометрии Райсснера — Нордстрема. Вся эта программа была реализована на основе применения метода возмущений Дзерилли к связанным электромагнитным и гравитационным возмущениям [60] !).

Изучение радиального падения пробной массивной незаряженной частицы на райсснер-нордстремовскую черную дыру привело к первому полностью релятивистскому расчету гравитационно индуцированного электромагнитного излучения в сильных полях [61]. Спектры гравитационного и электромагнитного излучений представлены на рис. 14. Качественное объяснение этих процессов дано в [127]. Гравитационно индуцированное

9 Некоторые общие свойства взаимодействия между электромагнитным и гравитационным изучениями, полученные из уравнения Дзерилли, были проанализированы в ВКБ-приближении в работе [126].

электромагнитное излучение в слабых полях в плоском про* странстве или в слабом электромагнитном поле черной дыры (Q С 7И) было рассмотрено Читре, Прайсом и Сандбергом [128, 129] в пренебрежении членами обратной связи.

Изучение гравитационного излучения, генерированного взаимодействием электромагнитных полей, было начато в пионерских работах Герценштейна [130, 131]. Следуя работе Петерса [132], Сушков и Хриплович [133] оценили этот эффект в предельном случае слабых гравитационных полей в плоском пространстве. Основная идея этих работ может быть кратко резюмирована следующим образом: если заряженная частица движется на фоне плоского пространства, заполненного электромагнитным полем F, то линеаризованные уравнения Эйнштейна могут быть записаны в виде □ф^= 16я (Т^ + Г^), где Т^ — тензор энергии-импульса частицы, TyV — тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Здесь, как обычно, ^ = h^ — — -уб^Л и dn^v = 0, где hy,^ описывает отклонение метрики от плоского пространства [90]. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет общий вид Тп ~ FF -\-2Ff + ff; первый член не дает вклада в излучение, последний является в точности членом второго порядка относительно возмущений. Лишь смешанный член дает необходимый вклад в гравитационное излучение. Оценки излучения гравитационных волн зарядами на круговой орбите в кулоновском поле даны в работах [132, 133].

Обобщение этого рассмотрения на полностью релятивистский случай, когда присутствуют сильные гравитационные поля, усложняется наличием членов обратной связи между электромагнитным и гравитационным полями и ведет к новому понятию— электромагнитно индуцированному гравитационному излучению. Формализм Дзерилли [60], давая полный анализ электромагнитных и гравитационных возмущений геометрии Райсс- нера — Нордстрема, сделал возможным первый детальный расчет конкретного примера электромагнитно индуцированного гравитационного излучения, включая члены обратной связи. Снова был рассмотрен идеализированный пример радиального падения заряженной массивной частицы на райсснер-нордстремов- скую черную дыру. Некоторые результаты этого исследования вместе со спектральным распределением соответствующего гравитационного и электромагнитного излучения приведены на рис. 15.

Здесь хотелось бы отметить, что, хотя многие результаты, приведенные в данном разделе, были получены для очень специфических и идеализированных процессов, мы полагаем, что полученные на их основе выводы справедливы и в общем случае. Более конкретно, мы думаем, что спектр и структура гра*

витационно-волнового всплеска (предвесник, основной всплеск, вибрирующий хвост [101]) типичны для излучения гравитационных волн в любых процессах гравитационного коллапса в черную дыру. Мы также ожидаем, что сильные ограничения на процессы излучения гравитационных волн, установленные на специальных примерах, опять-таки справедливы в общем случае. Все оценки взаимодействия между гравитационным и электромагнитным излучением, как и величина членов обратной связи между ними, полученные при расчетах в наших конкретных примерах, также могут рассматриваться как справедливые в рамках более реалистических астрофизических процессов1).

Массовая формула для черных дыр

В предыдущих разделах мы видели, что аккрецирующее вещество может превращать черные дыры в весьма сильные источники энергии благодаря испусканию гравитационного или электромагнитного тормозного излучения или в силу излучения электромагнитной энергии, обусловленного диссипативными процессами, уменьшающими угловой момент аккрецирующего вещества. Одной из главных задач было понять, как черные дыры реагируют на захват аккрецирующего вещества и как вследствие этого изменяются их полная энергия-импульс, электромагнитные поля и угловой момент. В данном разделе мы покажем, насколько тесно эти вопросы связаны с возможностью извлечения (по крайней мере в принципе) как вращательной, так и электромагнитной энергии из черной дыры.

Вместо подхода к проблеме с максимальной общностью, полезно вначале проанализировать идеализированный случай аккреции пробных частиц на черную дыру. Первый важный шаг в этом направлении был сделан в работах Флойда и Пенроуза [135, 136]. В рамках мысленного эксперимента, который заключается в процессе распада, происходящего вне горизонта керровской черной дыры, они показали, как в принципе может реализоваться процесс извлечения энергии из черной дыры. Убедительное объяснение этого процесса было получено путем использования метода эффективного потенциала, развитого в [93, 94]. Некоторые результаты этого исследования резюмируются на рис. 16 и 17. Вскоре стало ясно, что подобные процессы могут вести также к извлечению электромагнитной энергии из черной дыры [137, 138].

Область, в которой может иметь место извлечение враща-

’) Относительно новых результатов, полученных при изучении процессов излучения пробных частиц в полях черных дыр, см., например, работы [200— 203]. — Прим, перев.

г^зм/гг^зм/г-2,5-1,5-0,5 00,51,52,5Ру1р.М-2,5-1,5-0,5 00,51,52,5Ру1р.М

г^зм/г

г^зм/г

-2,5-1,5-0,5 00,51,52,5

Ру1р.М

-2,5-1,5-0,5 00,51,52,5

Ру1р.М

1,25

1,00

0,75

0,50

0,25

О

*0,25

-0,50

- 0,75

-1,00

- 1,25

Рис. 16. Допустимые состояния с энергией Е для частицы с угловым моментом р^ и массой покоя ц в гравитационном поле экстремальной керровской черной дыры (а = М) на орбите радиуса г = ЗЛ1/2 в функции углового момента рф. Показаны множества состояний с положительным и отрицательным корнями [91]. Границы множеств (частицы с Рг = Ре=0) даются уравнением

£2 [г3 + а2 (г + 2М)] - ШЕар^ + (2М - г) Рф - Ц2г2 (г - 2М) - а2ц2г = 0.

Запрещенные области относятся к частицам с мнимым импульсом. В классическом случае частицы могут находиться только в состояниях, соответствующих решениям с положительным корнем; состояния с отрицательным корнем приобретают смысл лишь в квантовом режиме (разд. 9). Существование состояний с отрицательной энергией среди решений с положительным корнем допускает возможность извлечения энергии из черной дыры. Интервал между решениями с положительным и отрицательным корнями стремится к нулю при г-*г+. См. также рис. 17. Детали см. в [30, 91, 93, 94].

тельной энергии для керровской черной дыры, распространяется от горизонта до поверхности бесконечного красного смещения:

М-V(M2 — a-jl* = r+^r^l2M;(29)

она была названа эргосферой черной дыры [93, 94]. Если извлекается как электромагнитная, так и вращательная энергия, то эта область значительно расширяется и является функцией не только параметров черной дыры, но также и отношения

Рис. 17. Частица массы р0> приходящая из бесконечности с полной энергией £0 и положительным значением углового момента pw? может проникнуть в эргосферу экстремальной керровской дыры и распасться там на две частицы. Одна частица массы ць отрицательным значением углового момента р^х и отрицательной полной энергией Ех падает дальше и проникает под горизонт г+. Вторая частица массы pi2 с положительным значением углового момента р^г и положительной полной энергией Е2 уходит на бесконечность. Новой замечательной особенностью этого процесса является то, что энергия Е2 частицы, возникающей после распада и уходящей на бесконечность, больше энергии первичной приходящей частицы Цо (см. [136]). Рассмотренный здесь численный пример рассчитан в предположении сохранения 4-импульса в процессе распада. Качественная диаграмма (а) показывает главные особенности процесса распада в экваториальной плоскости эргосферы керровской черной дыры. Приведены эффективный потенциал приходящей частицы (б) и эффективные потенциалы, соответствующие частице, падающей на горизонт (в) и уходящей на бесконечность (а). Процесс увеличения энергии критическим образом зависит от существования эргосферы и ее размеров, что в свою очередь зависит от значения alm для дыры. Падающая на горизонт частица в общем случае будет изменять и уменьшать отношение alm для черной дыры. Соответствующий процесс для извлечения кулоновской энергии из черной дыры рассмотрен в [91, 138, 139]. а — распад в эргосфере; б — частица, приходящая из бесконечности, ц0 = 3,476, р^ — 12,0, Ео = 5,031; в — частица, падающая на «одностороннюю мембрану», pii = 0,001, р^ =—1,0, Ех = = —0,1718; г —частица, уходящая на бесконечность, р2 = 0,04, рф2=13,0, Е2 = 5,203. Детали см. в [93, 94].’

заряда к массе q/y для пробных частиц, посредством которых осуществляется извлечение кулоновской энергии. Эта расширенная область была названа «эффективной эргосферой» [91] черной дыры, а ее расширение дается соотношением [139]

М + (М2 - а2 - О2)*'* = r+ < г < М + [М2 + Q2 (q2/y2 - 1 )]V1. (30)

Поэтому захват пробной частицы может либо увеличивать, либо уменьшать полную энергию-массу, угловой момент и электромагнитное поле черной дыры.

Анализируя обратное влияние на черную дыру, обусловленное захватом пробных частиц, можно установить весьма специальный набор значений постоянных движения для пробных частиц, приводящий к обратимым превращениям [91] (рис. 18). Весьма схожие с термодинамическими, эти обратимые превращения черных дыр должны рассматриваться как предельные случаи обычных (необратимых) превращений и должны протекать бесконечно медленно и с нулевым вкладом кинетической энергии [91].

Совершенно независимо от этой важной термодинамической аналогии существование таких превращений ведет к следующему дифференциальному уравнению:

dM = [(L/M) dL + r+Q dQ]/[r’; + LW\, (31) определяющему изменение полной массы-энергии черной дыры в результате обратимого захвата пробной частицы с угловым моментом р^ = dL и зарядом q = dQ черной дырой с массой М, угловым моментом L и зарядом Q.

Интегрирование этих уравнений ведет к массовой формуле Кристодулу — Руффини для черных дыр [91]

= (32)

Это выражение дает полную массу-энергию черной дыры в зависимости от ее массы покоя (/Инеприв— неприводимой массы), кулоновской и вращательной энергии. Площадь горизонта черной дыры тогда определяется весьма простым выражением

Л-4я(г’+ + о=)-16т’.пр„. (33)

В то время как вращательный и электромагнитный вклады в полную массу-энергию черной дыры могут увеличиваться или уменьшаться произвольно, будучи ограниченными лишь условием Q2-\-a2^.M2 [30], масса покоя черной дыры, наоборот, никогда не может уменьшаться. Это легко видеть из формулы ,(32): изменение неприводимой массы черной дыры в результате

M,QtL

Рис. 18. Обратимые превращения черных дыр. Если мы имеем вначале черную дыру с зарядом Q, угловым моментом L и массой М, то всегда можно добиться изменения ее заряда и углового момента путем захвата пробной частицы данного углового момента р<р и заряда q. Ясно, что захват частицы изменяет также массу черной дыры и придает ей новое значение М'. Действие захвата на угловой момент и заряд черной дыры может быть компенсировано захватом противоположно заряженной частицы с противоположным значением углового момента. В общем случае после захвата двух частиц черная дыра, хотя и будет обладать теми же начальными зарядом и угловым моментом, увеличит свою массу до М" > М. В [91] было, однако, показано, что существует подкласс превращений (обратимых), для которых черная дыра может восстановить прежнее значение начальной массы М" = М. Чтобы достигнуть обратимости, процесс захвата должен происходить бесконечно медленно, а частицы должны обладать нулевой кинетической энергией на горизонте г+. В этом случае возрастание массы определяется формулами Q' = Q + q, L' = = LA-PV M' = M + (qP(p + r+Qq)Kr2+-Va2\ Q" = Q'-q, L" = L'-Pt>, M" = M'- ^qp^ + r+Qqf/(?+ + a2), a = LfM, r+ = M + (M2 - a^'11. Детали см. в [91].

захвата пробной частицы с энергией Е, угловым моментом р^ и зарядом q определяется следующим образом:

4^Неприв ^^неприв = [£ (г+ + °2) “ аРФ ~ rVtW№ — й2 — ^к.

(34)

Тогда легко показать [140], что для всех решений с положительным корнем всегда имеем

^^неприв ^ О'

Равенство имеет место лишь для обратимых превращений (захват частицы, приближающейся к горизонту бесконечно медленно с равным нулю радиальным импульсом). Это неравенство означает, что площадь горизонта для любого классического превращения должна монотонно возрастать. Тот же результат с помощью иного подхода был совершенно независимо получен Хокингом [141].

Как следствие массовой формулы (32) можно получить выражение для угловой скорости черной дыры Q (см., например, подпись под рис. 5). Действительно, мы получаем весьма простое выражение

О = dM/dL = «/(г2. + а2). (35)

Аналогия между понятиями обратимых и необратимых превращений и обычными термодинамическими превращениями, а также аналогия между площадью горизонта (монотонно растущей) и обычным термодинамическим понятием энтропии были указаны Бекенштейном [142].

Прямым дифференцированием (32), используя выражение (33) для площади поверхности горизонта, уравнение (31) можно преобразовать следующим образом [143]:

dM=-^dA-\-QdL-VVIdQ, (36)

где К = (/и2 — a2 — Q2)1^/^2. + а2) — поверхностная гравитация на горизонте [143], й — угловая скорость черной дыры, определяемая уравнением (35), а V = Qr+/(r+ + а2) — электромагнитный потенциал на горизонте [144]. Уравнение (36) формально совпадает с хорошо известным термодинамическим соотношением

dM = TdS-V^dL-VV dQ (37)

для изменения массы-энергии при термодинамическом превращении. Здесь Т — температура, a S —энтропия термодинамической системы, вращающейся с угловой скоростью й. Разумеется, следует перейти от обычных к геометрическим единицам. Для постоянной Планка h и для температуры Т имеем

■^з" Аобычн == ^геом» ^А7'обычн/с = Тгеом (см),

где, как обычно, к — постоянная Больцмана, и для энтропии

*^обычн/^ с== ^безразм*

Бекенштейн [142] предположил, что сходство между уравнениями (36) и (37) представляет собой нечто большее, чем простую аналогию, и что величина /(-Агеом действительно должна быть

отождествлена с точностью до численного множителя порядка единицы с температурой черной дыры. Аналогично Бекенштейн [142] предположил, что площадь поверхности А, деленная на йгеом, должна быть отождествлена опять-таки с точностью до численного множителя порядка единицы с энтропией черной дыры.

Хокинг [145] пошел еще дальше в развитии подхода Бекен- штейна. Он показал, что если принимать во внимание квантовые процессы рождения пар, то действительно черная дыра спонтанно излучает фотоны с температурным спектром черного тела

^геом = ^геом^/^Л,(38}

и энтропия черной дыры должна иметь вид

•^безразм == ^/4Агеом.(39)

Еще предстоит многое сделать, чтобы получить более глубокое и полное понимание этих важных аналогий и отождествлений. Прогресс в этом направлении был достигнут в работах Булвара [147, 148], Карра [149], Дамура [146] (с. 459), Да- мура и Руффини [150], Дэвиса [146] (с. 507), Форда [151], Фуллинга [152], Герлаха [146] (с. 515), Гиббонса [146] (с. 449), Паркера [153], Старобинского [146] (с. 499), Тейлора и Дэвиса [154], Унру [146] (с. 527). Но теперь стало ясно, что все эти явления, как бы важны они ни были на первый взгляд, не ведут непосредственно к каким-либо астрофизическим наблюдениям, если только малые черные дыры не генерируются на начальных стадиях космологической эволюции. Причину этого легко установить — невозможно образовать малые черные дыры и преодолеть барьер, препятствующий гравитационному коллапсу, на основе электромагнитного взаимодействия и квантовых принципов. Мы полагаем, что единственный путь к формированию черных дыр заключается в превышении критической массы нейтронной звезды, т. е. величины Мкр ~ 2МО. Из уравнения (38) находим эффективную температуру черной дыры

Гобычн ~ 0,62 . 10"7(Мо/М)К,(40>

если допустить, что время жизни черной дыры до испарения составляет

т ~ EKdE/dt) ~ 2 • 1063 (М/Л10)3 лет(И .1 >

при потоке энергии

dEldt ~ 10-22 IMQ/Mf эрг/с.(41,2>

Эти эффекты поляризации вакуума будут весьма существенными только в случае черных дыр с массой М ^ 1015 г.

Поэтому перейдем к другому аспекту формулы (32), а именно к возможности использования черных дыр как реальных источников энергии для астрофизических процессов. Отметим, что единственное ограничение на количество вращательной и электромагнитной энергии, которое может накопиться в черной дыре в процессе гравитационного коллапса, дается обычно условием

a-\-Q2<M2.

С энергетической точки зрения это неравенство не является очень строгим. Большие количества массы-энергии могут в принципе быть извлечены и служить источниками астрофизических процессов больших энергий. Некоторые численные примеры даны в табл. 1.

Таблица 1

МассаМассаТипичные значения параметров экстремальной керр-ньюменовскойчерной дыры (M2 = Q2 + «2 и Q = a) для некоторыхзначений массы 1)

Масса

Масса

h «« a S 5 я «5 3 s *>* а а

25

1ОМ0 lO’Afg Ю,2.И01ОМ0 lO’Afg Ю,2.И01,47-Ю6 1,47-10'3 1,47-Ю171,47-Ю6 1,47-10'3 1,47-Ю170,653-10—3 0,653-104 0,653-10е0,653-10—3 0,653-104 0,653-10е1,05-Ю181,05-10й1,05-Ю71,05-Ю181,05-10й1,05-Ю77,59-Ю397,59-Ю467,59-Ю5’7,59-Ю397,59-Ю467,59-Ю5’0,689-10550,689-Ю620,689- Ю660,689-10550,689-Ю620,689- Ю662,19-Ю3»2,19-Ю462,19-Ю602,19-Ю3»2,19-Ю462,19-Ю60

1ОМ0 lO’Afg Ю,2.И0

1ОМ0 lO’Afg Ю,2.И0

1,47-Ю6 1,47-10'3 1,47-Ю17

1,47-Ю6 1,47-10'3 1,47-Ю17

0,653-10—3 0,653-104 0,653-10е

0,653-10—3 0,653-104 0,653-10е

1,05-Ю18

1,05-10й

1,05-Ю7

1,05-Ю18

1,05-10й

1,05-Ю7

7,59-Ю39

7,59-Ю46

7,59-Ю5’

7,59-Ю39

7,59-Ю46

7,59-Ю5’

0,689-1055

0,689-Ю62

0,689- Ю66

0,689-1055

0,689-Ю62

0,689- Ю66

2,19-Ю3»

2,19-Ю46

2,19-Ю60

2,19-Ю3»

2,19-Ю46

2,19-Ю60

Электромагнитная структура аккрецирующихчерных дыр

Для того чтобы черные дыры в любых реальных астрофизических условиях были наблюдаемы, они должны обладать аккрецирующей плазмой (см. введение). Поэтому важно определить, какое из четырех аналитических решений, приведенных в уравнении (1) [Шварцшильда (a = Q = 0), Райсснера — Нордстрема (а =0), Керра (Q = 0) и Керра — Ньюмена], дает лучшее приближение для описания аккрецирующих черных дыр.

Известно, что электромагнитные поля важны при описании как аккрецирующих нейтронных звезд в двойных системах, так и изолированных нейтронных звезд, подобных пульсарам. Их характеристические периоды излучения в радио-, оптическом или рентгеновском диапазонах объясняются плазменными явлениями в магнитосфере вращающейся нейтронной звезды [5,6]. Главный вопрос, который предстоит выяснить, сводится к той роли, которую играет магнитосфера при описании черной дыры в реальном астрофизическом окружении. Ясно, что обсуждавшееся в разд. 4 приближение пробных частиц не может рассматриваться как реальное первое приближение, когда скорости аккреции достигают величины порядка dM/dt ~ 1017 г/с. В этом случае необходим более сложный магнитогидродинамический анализ.

В классической работе [155] Дойч дал точное аналитическое решение уравнений электромагнитного поля вращающейся звезды с вмороженным магнитным полем, составляющим произвольный угол наклона к оси вращения. Позже Тревес и я отметили [156] возможность существования разделения зарядов, играющего важную роль в магнитосфере вращающегося коллапсирующего объекта. В то время это было обусловлено стремлением достигнуть физического понимания весьма специального значения отношения заряда к массе в решении Керра — Ньюмена. Однако стало ясно, что электромагнитная структура на поверхности коллапсирующего объекта может быть весьма существенной для реальных астрофизических процессов. Я охарактеризовал эту проблему следующим образом [157]:

Долгое время было известно, что представляющие астрофизический интерес объекты (Л1 ~ lAfo) не могут обладать большим зарядом. Причина этого проста: наличие заряда на звезде будет вызывать селективную аккрецию противоположно заряженного вещества. Такая система будет очень быстро нейтрализоваться при любых разумных предположениях относительно плотности межзвездного вещества. Эти весьма простые рассуждения могут быть значительно модщ фицированы, если исследуемый объект не только обладает

зарядом, но также вращается и обладает сильным магнитным полем. Тогда аккрецирующее вещество может удерживаться в магнитосфере вращающегося объекта (для простоты можно предположить наличие дипольного магнитного поля, направленного по оси вращения), полностью экранируя заряд и тем самым останавливая всякий процесс селективной аккреции. Строго говоря, система в целом теперь нейтральна, хотя «голый» объект и магнитосфера в действительности обладают большими зарядами противоположных знаков. Возможность существования таких объектов сильно зависит от двух основных предположений:

что время жизни заряженных частиц в магнитосфере достаточно велико,

что аккрецией через «полярную шапку» можно пренебречь. Действительно, в этой области частицы не будут захватываться силовыми линиями магнитного поля; они свободно падают на объект и нейтрализуют его.

Совершенно независимо от этих соображений возникает вопрос: существует ли физическая причина, в силу которог! «голый» объект сам по себе должен обладать зарядом? Этот вопрос послужил поводом для анализа, которому посвящена работа Руффини и Тревеса.

Эта программа развивалась по двум основным направлениям: а) анализ черных дыр во внешних электромагнитных полях и б) ковариантные критерии устойчивости плазмы в магнитосфере сколлапсировавшего объекта.

Проблема шварцшильдовой и райсснер-нордстремовской черных дыр, погруженных во внешнее магнитное поле, была рассмотрена в первом приближении Ханни и др, [1461 (с. 429) и [158], а ее точное решение было дано Эрнстом [159]. Проблема вращающейся черной дыры, погруженной во внешнее магнитное поле, рассматривалась Уолдом [160], Петерсоном [161], Читре и Вишвешварой [162], Кингом и др. [163] и [146] (с. 437)1).

Используя хорошо известный результат Папапетру [164], что вектор Киллинга вакуумного пространства-времени может использоваться в качестве вектор-потенциала максвелловского пробного поля в этой фоновой геометрии, Уолд получил аналитическое решение для электромагнитного поля, которое появ-

^ Точное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла для вращающейся электрически заряженной черной дыры, погруженной в однородное внешнее магнитное поле, получено в работе [204]. Оно обладает некоторым специфическим электрическим зарядом, а угловой момент ориентирован вдоль магнитных силовых линий. Точное решение, описывающее медленно вращающуюся незаряженную черную дыру в сильном магнитном поле, получено в работе [205].— Прим, перев.

ляется, когда стационарная аксиально-симметричная черная дыра помещается в первоначально однородное магнитное поле, направленное вдоль ее оси симметрии [160]. Рассматривая «энергию инжекции» пробных частиц [142], он показал, что черная дыра с угловым моментом аМ, погруженная в однородное магнитное поле Во, будет стремиться к аккреции полного заряда Q = 2В0аМ. Подобные выводы были получены в работе Кинга и др. [163] и [146] (с. 437). Совершенно отлична от них

Рис. 19. Электрические (штриховые) и магнитные силовые линии кольца, обладающего как электрическим зарядом, так и током на фоне противоположно заряженной черной дыры. Детали см. в [168].

работа Петерсона: используя уравнение Тьюкольского для электромагнитных возмущений, он рассмотрел кольцо с зарядом q в поле вращающейся черной дыры и проанализировал конфигурации с минимальной энергией. Читре и Вишвешвара [162] также посвятили свою работу аналогичной проблеме. Данная задача была решена Дамуром [165] в рамках приближения, использовавшегося в [156]. Дамур нашел, что для заряда черной дыры, равного и противоположного заряду магнитосферы и имеющего значение

Q = 2MaQ/(b — 2М), (42) действительно получается конфигурация минимальной энергии (42). Здесь а —угловой момент черной дыры массы М, а 4-вектор кольцевого тока в экваториальной плоскости черной дыры равен (рис. 19)

f = 0, j6 = 0, /ф = £26 (г — 6) 6 (cos 0)/2л62,

/ = <?д (г — 6) 6 (cos 0)/2л62.

Здесь b— радиус кольца, q— его заряд, равный по величине и противоположный по знаку заряду черной дыры (для нейтральности системы). Величина й является свободным параметром, описывающим дополнительные токи в кольце.

Всем этим работам, интересным в плане возможного объяснения некоторых выводов относительно структуры магнитосферы вращающейся черной дыры, в некоторых отношениях не достает реалистичности. Действительно, необходимо ответить на следующие вопросы. Что произойдет с данными идеализированными моделями черных дыр, погруженных в электромагнитные поля в вакууме, если допустить наличие аккрецирующей плазмы? Смогут ли эти образования по-прежнему иметь место, или аккреция плазмы будет запрещать образование таких конфигураций с минимальной энергией?

Чтобы ответить на эти вопросы, введем некоторые общие ковариантные критерии, определяющие области электромагнитной устойчивости на фоне искривленного пространства. Эти критерии были предложены Дамуром, Ханни, Руффини и Вильсоном [166—170]. Движение заряженной пробной частицы массы р и заряда q в электромагнитном поле F^ на фиксированном фоне определяется хорошо известным релятивистским обобщением уравнения для силы Лоренца

txDuu/Ds = qF,KX.(43)

где uv — 4-скорость частицы, a D/Ds— абсолютная производная вдоль траектории пробной частицы. В разд. 2 мы видели, как путем введения в каждой точке локальной лоренцевой системы можно получить из тензора электромагнитного поля Fw компоненты электрического и магнитного полей. В такой локальной лоренцевой системе уравнение (43) принимает вид

p^^-^-^E + vAB).(44)

Если теперь рассматривать возможность существования в магнитном поле ловушек для пробных зарядов, то минимальное локальное условие имеет вид

В2 — Е2>0,

что с помощью уравнений (7) и (8) можно представить в ковариантной форме:

F=4V*v>0.(45)

Назовем области, в которых F > 0, областями магнитной доминантности. В областях, где F отрицательно, ловушки невозможны.

Применяя данный локальный критерий к ловушкам, мы пренебрегаем всеми эффектами гравитационного поля. Предполагается, что это приближение будет всегда пригодно, за исключением областей вблизи горизонта черной дыры, вследствие большого отношения заряда к массе для частиц и больших напряженностей электромагнитных полей, которые следует ожидать вблизи гравитационно сколлапсировавших объектов.

Но определяемое уравнением (45) условие не учитывает относительного направления электрического и магнитного полей. Более сильное условие для ловушек может быть получено, если потребовать компенсации действия электрического поля магнитным не только по величине, но и по направлению. При локальном описании на основе уравнения (44) это означает, что сила Е + v А В ортогональна Е, или

E-(E + vAB) = E2-v(EAB) = 0. (46)

Поскольку |v| должно быть меньше единицы, уравнение (46) дает

|ЕАВ|>Е2.(47)

Компоненты электрического и магнитного полей можно также выразить через 4-скорость т)а наблюдателя, покоящегося в локальной инерциальной системе. В результате имеем [38]

Ea = Fa^,(48.1)

Ba=-*Fa^,(48.2)

где, как обычно, *Fap = —^'^eapYs^6- Тогда уравнение (46) можно переписать в ковариантной форме:

EaF% = V6u6 = 0,(49)

где

(50)

Условие (49) эквивалентно требованию, чтобы 4-скорость up пробного заряда была ортогональна вектору У₽. Поскольку вектор up по необходимости времениподобен, для удовлетворения уравнению (49) нужно, чтобы V₽ был пространственноподобным или нулевым. Наоборот, для любого заданного пространственноподобного УР всегда можно найти времениподобный 4-вектор иа, такой, что удовлетворяется уравнение (49). Области, где магнитное поле может доминировать над электрическим как по направлению, так и по величине, в общековариантном виде определяются условием

^ = ^“>0.(51)

Определим плазменный горизонт как границу области, в которой выполняется условие (51). На этой поверхности вектор Vs является светоподобным и отличен от нуля:

У% = 0, ^^=0.(52)

Понятие плазменного горизонта не следует смешивать с другими светоподобными гиперповерхностями, также называемыми горизонтами [30]. С физической точки зрения плазменный горизонт является границей области, в которой магнитное поле может удерживать бесконечно тонкий слой плазмы от кулоновского притяжения1). Примеры поверхностей магнитной доминантности и плазменных горизонтов даны на рис. 20.

Наконец, в области магнитной доминантности введем приближение «ведущего центра», которое представляет интерес для изучения линий тока плазмы в областях магнитной доминантности. Представим это приближение в общековариантной форме. Сделаем это сначала в специальной лоренцевой системе, в которой электрическое и магнитное поля параллельны и имеют значения £0 и 5о [90]. Последние величины можно выразить через инварианты поля F^. Мы имеем

^ - ^2 = (В2 - Е2)/2 = F = 4(53)

£050=E.B = 1f|1v*^v = G.(54)

В этой системе решение уравнения (43) легко получается и представляет собой винтовое движение вокруг общего для Ео и Во направления с ускорением вдоль Ео. Для характеристики глобального поведения частиц в этом поле мы перейдем к приближению «ведущего центра», усреднив по вращению и сохранив только постоянное ускорение вдоль Ео. Для перехода от общей лоренцевой системы к системе, в которой Е и В параллельны, воспользуемся бустом со скоростью Vp, ортогональной к Е и В [90]. В результате получаем

E = (E„-v„AB0)/(l-vy''.,(55)

В —(Bo+v^AE,)^!—оу»,(56)

где Ео и Во параллельны, a Vd параллельна Е А В. Скорость дрейфа дается выражением

vfl=(EAB)/(W(57)

]) Анализ физического содержания понятия плазменного горизонта приведен также в работе 1206]. — Прим, перев.

Рис. 20. Область магнитной доминантности и плазменный горизонт для райс- снер-нордстремовской черной дыры, погруженной в асимптотически однородное магнитное поле. Окружность представляет горизонт событий черной дыры, заряд которой равен одной десятой ее массы. Асимптотически однородное магнитное поле имеет напряженность В = Q/4 М2. Эллипс фиксирует границу области магнитной доминантности, определяемой (45); на этой поверхности асимптотически однородное магнитное поле имеет ту же величину, что и поле электрического монополя черной дыры. Другие сплошные линии определяют поверхность плазменного горизонта, заданную (52). Штриховые линии являются линиями тока, определяемыми уравнением (58). Жирные штриховые линии, пересекающие плазменный горизонт под острым углом, являются последними линиями тока, около которых плазма может устойчиво удерживаться в ловушке магнитным полем. Линии тока внутри (вне) этих жирных штриховых линий дают неустойчивые (устойчивые) ловушки для плазмы (рисунок и подпись взяты из [170]).Рис. 20. Область магнитной доминантности и плазменный горизонт для райс- снер-нордстремовской черной дыры, погруженной в асимптотически однородное магнитное поле. Окружность представляет горизонт событий черной дыры, заряд которой равен одной десятой ее массы. Асимптотически однородное магнитное поле имеет напряженность В = Q/4 М2. Эллипс фиксирует границу области магнитной доминантности, определяемой (45); на этой поверхности асимптотически однородное магнитное поле имеет ту же величину, что и поле электрического монополя черной дыры. Другие сплошные линии определяют поверхность плазменного горизонта, заданную (52). Штриховые линии являются линиями тока, определяемыми уравнением (58). Жирные штриховые линии, пересекающие плазменный горизонт под острым углом, являются последними линиями тока, около которых плазма может устойчиво удерживаться в ловушке магнитным полем. Линии тока внутри (вне) этих жирных штриховых линий дают неустойчивые (устойчивые) ловушки для плазмы (рисунок и подпись взяты из [170]).

Рис. 20. Область магнитной доминантности и плазменный горизонт для райс- снер-нордстремовской черной дыры, погруженной в асимптотически однородное магнитное поле. Окружность представляет горизонт событий черной дыры, заряд которой равен одной десятой ее массы. Асимптотически однородное магнитное поле имеет напряженность В = Q/4 М2. Эллипс фиксирует границу области магнитной доминантности, определяемой (45); на этой поверхности асимптотически однородное магнитное поле имеет ту же величину, что и поле электрического монополя черной дыры. Другие сплошные линии определяют поверхность плазменного горизонта, заданную (52). Штриховые линии являются линиями тока, определяемыми уравнением (58). Жирные штриховые линии, пересекающие плазменный горизонт под острым углом, являются последними линиями тока, около которых плазма может устойчиво удерживаться в ловушке магнитным полем. Линии тока внутри (вне) этих жирных штриховых линий дают неустойчивые (устойчивые) ловушки для плазмы (рисунок и подпись взяты из [170]).

Рис. 20. Область магнитной доминантности и плазменный горизонт для райс- снер-нордстремовской черной дыры, погруженной в асимптотически однородное магнитное поле. Окружность представляет горизонт событий черной дыры, заряд которой равен одной десятой ее массы. Асимптотически однородное магнитное поле имеет напряженность В = Q/4 М2. Эллипс фиксирует границу области магнитной доминантности, определяемой (45); на этой поверхности асимптотически однородное магнитное поле имеет ту же величину, что и поле электрического монополя черной дыры. Другие сплошные линии определяют поверхность плазменного горизонта, заданную (52). Штриховые линии являются линиями тока, определяемыми уравнением (58). Жирные штриховые линии, пересекающие плазменный горизонт под острым углом, являются последними линиями тока, около которых плазма может устойчиво удерживаться в ловушке магнитным полем. Линии тока внутри (вне) этих жирных штриховых линий дают неустойчивые (устойчивые) ловушки для плазмы (рисунок и подпись взяты из [170]).

Траектории частиц вдоль общего направления полей Ео и Во, если смотреть из новой лоренцевой системы, определяются уравнением

dx^/dk = £0£а + В0Ва.dx^/dk = £0£а + В0Ва.(58)(58)

dx^/dk = £0£а + В0Ва.

dx^/dk = £0£а + В0Ва.

(58)

(58)

Здесь X — соответствующим образом нормированный параметр, пропорциональный длине дуги траектории частицы, Ео и Во задаются уравнениями (53) и (54) через инварианты электромагнитного поля, а Еа и Ва определяются уравнениями (48). В области, где |В|»Е, линии, описываемые уравнением (58),

совпадают с магнитными силовыми линиями, приведенными в [38]. В общем случае, однако, они учитывают действие электрического поля. Заряженные пробные частицы будут двигаться по этим линиям, если их кинетическая энергия не слишком велика и если пренебречь круговой составляющей винтового движения. Некоторые примеры применения этих критериев даны на рис. 20 и 21.

Рис. 21. Линии тока для системы, рассмотренной на рис. 19. Данный рисунок демонстрирует, каким образом в тороидальной области вокруг черной дыры могут существовать устойчивые ловушки. Плазменный горизонт для этой системы рассмотрен в [168]. Детали см. в [170].

Как анализ черных дыр, погруженных во внешние электромагнитные поля, так и введенные здесь определения, позволяющие установить области электромагнитной устойчивости плазмы на фоне искривленного пространства, являются весьма важными средствами для выполнения программы, сформулированной в [157] и изложенной выше.

Осталось лишь выяснить, как наличие плазмы влияет на заданную электромагнитную структуру.

Рассмотрим релятивистские уравнения магнитогидродинамики для плазмы, движущейся в данной фоновой геометрии. Будем пренебрегать всяким обратным воздействием плазмы на метрику в рамках хорошо оправдывающегося предположения, что массой аккрецирующей плазмы можно пренебречь по сравнению с массой-энергией сколлапсировавшего объекта.

Классические результаты в этой области были получены Лих- неровичем [171] и [146] (с. 335), и в последующем мы резюмируем только основные выводы.

Чтобы описать плазму, аккрецирующую на искривленном фоне, в самом общем случае мы имеем два тензора F^ и Оцу, которые удовлетворяют следующим уравнениям:

^(nv. л) = 0,(59)

Сар:Э = 4лЛ(60)

здесь точка с запятой означает, как обычно, ковариантное дифференцирование, а /а есть 4-ток:

Ja = Rua-\-oFa^,(61)

где е — плотность заряда, о — проводимость, а и^ — 4-скорость плазмы. Согласно Лихнеровичу [171] и [146] (с. 335), можно ввести следующие четыре вектора:

Ea = F^,(62.1)

Ba = -*Fa^,(62.2)

Da = Ga^,(62.3)

Ha = -*G0^,(62.4)

где

Da='kEa,(63.1)

Ba = ^Ha,(63.2)

a К и ц— соответственно диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость среды, рассматриваемой здесь как изотропная. В дальнейшем ограничимся случаем бесконечной проводимости (а = оо) и р = & = 1. При этих ограничениях имеем

^ар = Fa^,(64)

^Лр=о.(65)

Тогда полный тензор энергии-импульса плазмы дается выражением

Л1У = (Р + Р) ^n^v + PS41V Н" (^ца^у 4* Siiv^a^ ^)/^> (66) где

р = г(1 + удельная внутренняя энергия), (67)

а г — плотность массы покоя частиц. При этом должны выполз няться следующие законы сохранения.

7^ = 0,(68.1)

сохранения числа частиц

(г«а);а = 0,(68.2)

сохранения энергии

ull(^V;v) = 0>(68.3)

откуда следует

[(p + p)uv].v = p.v«'\

или для р = 0

(ри’). v = 0,(68.4)

и наконец, уравнение для линий тока жидкости

(Р + Р) и^ Vxu» = - (g»x + uV') р. х + FaXJK. (68.5)

Эти уравнения были численно решены для аксиально-симметричных конфигураций Вильсоном в работах [169, 207] и [146] (с. 393), где приведены также некоторые результаты и детали, касающиеся техники интегрирования.

Аналитическое решение для намагниченной плазмы,аккрецирующей на черную дыру

Ниже мы рассмотрим некоторые специальные модели аккреции плазмы на черную дыру, погруженную в фоновое электромагнитное поле, при четырех упрощающих предположениях:

пренебрегаем давлением плазмы;

предполагаем проводимость плазмы бесконечной, а = оо;

требуем аксиальной симметрии конфигураций;

ищем стационарные во времени решения.

Снова главной задачей будет получение простой модели, разрешимой аналитически, чтобы прояснить содержание более сложных и общих конфигураций.

В дальнейшем будем предполагать, что движение плазмы описывается геодезическими фоновой геометрии Керра. Предположим кроме того, что 4-скорость плазмы на бесконечности такова, что щ = —1 и и^ = 0. Это означает также, что ие— постоянная движения. Такое поле скоростей частиц известно и задается следующими формулами [40]:

(69.1)(69.2)(69.3)(69.1)(69.2)(69.3),Д [— Ди| + 2Мг (г2 + а2)]'/2

(69.1)

(69.2)

(69.3)

(69.1)

(69.2)

(69.3)

и/и2 (г2 + а2) + 2Mra2 sin2 9 '

о9 ■ u9/u< = Aue/[S(r2 + а2) + 2Mra2 sin20],уф = u^lu^ = ^!§и.

Из условий стационарности и аксиальной симметрии находим для компонент электромагнитного поля [172]

и определяеми определяемFvt = 0,(70.1)F = А1 Гфг»(70.2)^0Ф = Лф, 0»(70.3)Frt= Atw п(70.4)F^t = Л^,д(70.5)рг^нф.(70.6)Fvt = 0,(70.1)F = А1 Гфг»(70.2)^0Ф = Лф, 0»(70.3)Frt= Atw п(70.4)F^t = Л^,д(70.5)рг^нф.(70.6)

и определяем

и определяем

Fvt = 0,

(70.1)

F = А

1 Гфг»

(70.2)

^0Ф = Лф, 0»

(70.3)

Frt= Atw п

(70.4)

F^t = Л^,д

(70.5)

рг^нф.

(70.6)

Fvt = 0,

(70.1)

F = А

1 Гфг»

(70.2)

^0Ф = Лф, 0»

(70.3)

Frt= Atw п

(70.4)

F^t = Л^,д

(70.5)

рг^нф.

(70.6)

Условие бесконечной проводимости (65) ведет к следующим соотношениям:

Р«г = х»»Н„-\-^дА^дг,(71.1)

(71.2)(71.2)Ft6 = — vrHq> + о» дЛф/<ЭО,

(71.2)

(71.2)

откуда следует, что знание Лф и Н^ полностью определяет структуру электромагнитного поля.

Решение задачи сводится теперь к определению двух функций Лф и //ф. Уравнение (59), условие ♦/■'ф^ц = О и условие стационарности дают

ддdv^ дА^ до® дЛт

^(ЯфО9 + ^(Н^) + ^--^ - — -^ = 0.(72.1)

+ »9-^ = 0.+ »9-^ = 0.Из ф-компоненты уравнения для бесконечной проводимости и условия стационарности имеем

+ »9-^ = 0.

+ »9-^ = 0.

(72.2)

Аналогично из /-компоненты уравнения (59) получаем

"'т+^тг™0-"'т+^тг™0-(73)(73)

"'т+^тг™0-

"'т+^тг™0-

(73)

(73)

(74.1)(74.1)(74.2)(74.2)

(74.1)

(74.1)

(74.2)

(74.2)

Уравнения (72.2) и (73) означают, что At и Лф постоянны вдоль траектории. Можно выбрать At = 0, что будет означать полную зарядовую нейтральность системы. Уравнение (72.2) означает просто, что Лф есть произвольная функция от 0, т. е.

Лф = Л (0J,

где

9» = 9 - “о $ [- А«б + Шг ^ + а2)] *А dr. Г

Рис. 22. Магнитные силовые линии в экваториальной плоскости вращающейся и аккрецирующей черной дыры. Представленное здесь аналитическое решение соответствует векторному потенциалу (76). Искривление силовых линий обусловлено увлечением инерциальных систем. Это искривление силовых линий является основным механизмом, посредством которого проявляется действие момента сил между черной дырой и ее магнитосферой, и как следствие из черной дыры может извлекаться вращательная энергия (см. также рис. 25). Предполагается, что керровское решение для фонового пространства имеет максимальный угловой момент (а = М). Детали см. в [172].Рис. 22. Магнитные силовые линии в экваториальной плоскости вращающейся и аккрецирующей черной дыры. Представленное здесь аналитическое решение соответствует векторному потенциалу (76). Искривление силовых линий обусловлено увлечением инерциальных систем. Это искривление силовых линий является основным механизмом, посредством которого проявляется действие момента сил между черной дырой и ее магнитосферой, и как следствие из черной дыры может извлекаться вращательная энергия (см. также рис. 25). Предполагается, что керровское решение для фонового пространства имеет максимальный угловой момент (а = М). Детали см. в [172].Рис. 23. Магнитные силовые линии в плоскости ф = const, соответствующие вектор-потенциалу (76). Комбинируя этот рисунок и рис. 22, можно получить трехмерное представление. Магнитные силовые линии являются входящими в южной полусфере черной дыры и выходящими в северной с характерным искривлением, обусловленным увлечением инерциальных систем. Детали см. в [172].

Рис. 22. Магнитные силовые линии в экваториальной плоскости вращающейся и аккрецирующей черной дыры. Представленное здесь аналитическое решение соответствует векторному потенциалу (76). Искривление силовых линий обусловлено увлечением инерциальных систем. Это искривление силовых линий является основным механизмом, посредством которого проявляется действие момента сил между черной дырой и ее магнитосферой, и как следствие из черной дыры может извлекаться вращательная энергия (см. также рис. 25). Предполагается, что керровское решение для фонового пространства имеет максимальный угловой момент (а = М). Детали см. в [172].

Рис. 22. Магнитные силовые линии в экваториальной плоскости вращающейся и аккрецирующей черной дыры. Представленное здесь аналитическое решение соответствует векторному потенциалу (76). Искривление силовых линий обусловлено увлечением инерциальных систем. Это искривление силовых линий является основным механизмом, посредством которого проявляется действие момента сил между черной дырой и ее магнитосферой, и как следствие из черной дыры может извлекаться вращательная энергия (см. также рис. 25). Предполагается, что керровское решение для фонового пространства имеет максимальный угловой момент (а = М). Детали см. в [172].

Из уравнений (72) и (73) и уравнения Максвелла *Р-^= О следует совершенно общее соотношение

Яф = (уф/уг)/70фе(75)

Поэтому для полного решения задачи не нужно решать дифференциальное уравнение: мы нашли аналитически вид всего семейства решений, которые определены с точностью до произвольной функции Лф.

Рис. 24. Линии токов, полученные из уравнения (60), для магнитосферы, изображенной на рис. 22 и 23. Бесконечный пучок тока в экваториальной плоскости обусловлен очень простой угловой зависимостью, выбранной для вектор-потенциала (76). Выбором более гладкой зависимости вектор-потенциала от 0 эту расходимость можно устранить. Детали см. в [172].Рис. 24. Линии токов, полученные из уравнения (60), для магнитосферы, изображенной на рис. 22 и 23. Бесконечный пучок тока в экваториальной плоскости обусловлен очень простой угловой зависимостью, выбранной для вектор-потенциала (76). Выбором более гладкой зависимости вектор-потенциала от 0 эту расходимость можно устранить. Детали см. в [172].

Рис. 24. Линии токов, полученные из уравнения (60), для магнитосферы, изображенной на рис. 22 и 23. Бесконечный пучок тока в экваториальной плоскости обусловлен очень простой угловой зависимостью, выбранной для вектор-потенциала (76). Выбором более гладкой зависимости вектор-потенциала от 0 эту расходимость можно устранить. Детали см. в [172].

Рис. 24. Линии токов, полученные из уравнения (60), для магнитосферы, изображенной на рис. 22 и 23. Бесконечный пучок тока в экваториальной плоскости обусловлен очень простой угловой зависимостью, выбранной для вектор-потенциала (76). Выбором более гладкой зависимости вектор-потенциала от 0 эту расходимость можно устранить. Детали см. в [172].

После того как мы определили электромагнитное поле, из уравнения (60) путем прямого дифференцирования можно вычислить 4-ток Ja и с его помощью найти момент сил, действующий со стороны магнитосферы на черную дыру, а также распределение зарядов в магнитосфере.

Выберем функцию Лф в следующем виде:

ЛФ = ЛО(1 — I cose|).(76)

Тогда для момента сил имеем

Т = 5 (/Хф + /^бф) (- gf d?x,(77.1)

«ли в нашем частном случае

(77.2)(77.2)

(77.2)

(77.2)

Распределение токов и магнитных силовых линий, соответствующих уравнению (76), приведено на рис. 22—24. Полный заряд

магнитосферы определяется простым выражением

(78.1)

где, используя теорему Гаусса, можно перейти к интегрированию по поверхности горизонта:

Qm.a=- J (-£),/2[№rv8tfv-gr4^^ гориз

ИЛИ

<Эч.д=-9Магн = ^- J (-^F(rdOd<p. (78.26) гориз

Этот результат явно предполагает, что если падающий газ 1) движется по геодезическим, 2) покоится на бесконечности с нулевым угловым моментом и 3) движется в направлении О так, что уе(6)=ие(л — 6), то полный заряд магнитосферы и па горизонте равен нулю. Любое отклонение от этих требований, предполагающих очень высокую симметрию, будет в общем случае индуцировать заряд на поверхности черной дыры и противоположный заряд в магнитосфере. Для примера, соответствующего уравнению (76), полагая

«е (6) = — «е (л — 6) = const,(79)

получаем, что полный заряд на дыре равен по величине и противоположен по знаку заряду магнитосферы и составляет

@ч.д= —9магн = лаД0ие/16М2.(80)

Интересно проиллюстрировать посредством прямой аналогии физические процессы, обусловливающие наличие момента Сил и извлечение энергии вблизи вращающейся черной дыры (рис.25). Разумеется, в рассматриваемом здесь аналитическом решении извлекаемый из черной дыры угловой момент передается плазме с помощью момента сил магнитного поля и возвращается в черную дыру аккрецирующей плазмой. Это явно следует из требования стационарности, налагаемого на наше решение. Однако в более реалистических ситуациях, когда магнитное поле и давление газа достаточно велики, чтобы сделать траектории частиц сильно отличающимися от геодезических, численными расчетами было показано, что возможен отличный от нуля поток углового момента наружу (см. [169] и [146], с. 393).

Существуют три важных следствия из рассмотренного здесь аналитического примера:

Показано явным образом, как при очень сильных ограничениях «а» и «б», указанных выше, все-таки может осуществиться разделение зарядов в магнитосфере аккрецирующей черной

дыры. Очевидно, тем более следует ожидать, что разделение зарядов произойдет, если р =/= О или а =/= оо.

Полная система, образованная черной дырой и ее магнитосферой, обладает нулевым полным зарядом.

Существование момента сил, действующего между черной дырой и магнитосферой, показывает, что вращательная энергия

Рис. 25. Идеализированная машина для извлечения вращательной энергии из черной дыры. Две оболочки разного радиуса увлекаются угловым моментом черной дыры и по-разному вращаются. Они приобретают характеристическую угловую скорость увлечения

^увлечения = 2аЛ4г/[(г2 + а2)2 — a2 A sin2 6]

(обозначения см. в разд. 2). Если между оболочками установлены связи (тросы, пружины или в случае магнитосферы магнитные силовые линии), вращательная энергия может перекачиваться из внутренней оболочки во внешнюю, и из черной дыры может извлекаться вращательная энергия.

может извлекаться из черной дыры. Из уравнения (32) следует, что 29% полной массы-энергии черной дыры может существовать в форме вращательной энергии. Поэтому существование этого момента сил может рассматриваться как источник энергии для астрофизических систем и дает первый механизм извлечения вращательной энергии из черной дыры, который может представлять астрофизический интерес.

Для того чтобы применить эти результаты к имеющим астрофизический интерес процессам аккреции, условия «а» — «в», указанные выше, должны быть ослаблены и уравнения релятивист-

ской магнитогидродинамики численно проинтегрированы. Некоторые частные примеры численного интегрирования, проведенного Вильсоном, приведены в работах [169] и [146] (с. 393).

Одна из главных проблем, которую еще предстоит решить^ относится к устойчивости магнитосфер. Существуют различные типы возможных классических неустойчивостей: ограничиваясь лишь некоторыми примерами, можно указать на магнитное давление, противодействующее силе гравитационного притяжения [173], вращательные неустойчивости и неустойчивости, связанные с удержанием плазмы. Существуют также микроскопические неустойчивости квантовой природы, которые мы обсудим в следующем разделе.

Парадокс Клейна и магнитосферы черных дыр

В 1923 г. Клейн [174] установил возможность рождения пар частиц из вакуума в присутствии статического потенциала^ электромагнитного или другой природы. Этот процесс, как от* метил Клейн, является следствием существования решений релятивистских волновых уравнений, соответствующих состояниям с положительной и отрицательной энергией.

Понимание этого процесса существенно углубилось благодаря работе Заутера [175], который ввел понятие критического поля для рождения пар. Заутер явно показал, что скорость рождения пар может быть значительной только в том случае, когда градиент потенциала будет порядка массы-энергии рождающейся частицы, деленной на ее комптоновскую длину волны:

EK^e ~ mc2l(hlmc)

(рис. 26).

В замечательном исследовании Гейзенберга и Эйлера [176J введены «эффективные» диэлектрическая и магнитная постоянные вакуума, чтобы учесть эффекты поляризации вакуума для Е < Екр. Доступный обзор этих работ был дан Паули [177].

Позже, в 1951 г. Швингер [178] обобщил подход Клейна — Заутера — Гейзенберга — Эйлера, дав точные оценки для скорости рождения пар в однородном электрическом поле.

Главный шаг в применении подхода Клейна — Заутера — Гейзенберга — Эйлера к физике черных дыр был сделан после установления прямой аналогии между решениями Е+ и Е~ квантового поля и введенными в работе [91] решениями, соответствующими положительному и отрицательному корням. Эта отождествление было сделано в работе [179] при анализе классического предела релятивистской теории поля (Й->0), в частности рассмотрении классических пределов состояний с положительной и отрицательной энергиями для квантованного поля

нулевого спина. Из этого анализа, упрощенного [180] благодаря специальному выбору координат, стало ясно, что введенные в работе [91] классические решения с положительным и отрицательным корнями были просто классическими пределами -состояний квантованных полей с положительной и отрицательной энергиями в гравитационном поле.

Согласно этому отождествлению, решения с отрицательным корнем могут интерпретироваться как описывающие частицы, ■если сделать преобразования Iе = —t, qc = —q, Ес = —Е.

Рис. 26. Диаграмма, иллюстрирующая основные стороны процесса рождения пар статическим потенциалом (воспроизведено из [176]). Области / и III -соответствуют решениям Е* и Е- релятивистского квантового поля. Если градиент потенциала достаточно велик, то будет иметь место «перекрытие уровней» между областями I и III через область II. В областях I и III решения релятивистского волнового уравнения имеют обычную волновую структуру ■свободных полей. В области II решение является экспоненциально спадающим, а амплитуда волны, проходящей из области I в область III, целиком зависит От этого экспоненциального решения. Амплитуда туннелирования непосредственно зависит от скорости рождения пар. Детали см. в [176—178].

Вблизи поверхности черной дыры, обладающей зарядом и {или) электромагнитным полем, имеет место перекрытие уровней между решениями с положительным и отрицательным корнями (£+ и £~). Тогда можно применить результаты парадокса Клейна (рис. 27) и заключить, что вблизи поверхности черной дыры должны протекать процессы рождения пар, обусловленные поляризацией вакуума.

Снова ради простоты и определенности ограничимся анализом простейшего возможного случая — поляризации вакуума вблизи черной дыры, находящейся в вакууме, не окруженной плазмой или дополнительным электромагнитным полем. Рассмотрим вначале случай керровской черной дыры.

Пионерские работы по анализу рождения пар, обусловленному «сдвигом» увлечения инерциальных систем в метрике Керра, восходят к Зельдовичу [181,182]. Важные аналитические ■свойства решений для квантованных полей на фоне метрики

Керра были найдены Старобинским [183] и Старобинским и Чуриловым [184]. Унру [185] сформулировал эту задачу в рамках вторично-квантованной теории поля. Детальные результаты для перехода между решениями £+ и Е~ для массивного скалярного поля на керровском фоне даны в работах [186] и [1461 (с. 483).

-(qM-ME^-(qM-ME^-vuWReV/?)-']-vuWReV/?)-']-/z^2^2/^/2)"!]а-/z^2^2/^/2)"!]а66

-(qM-ME^

-(qM-ME^

-vuWReV/?)-']

-vuWReV/?)-']

-/z^2^2/^/2)"!]

а

-/z^2^2/^/2)"!]

а

6

6

Рис. 27. Классический (вверху) и квантовый (внизу) эффективные потенциалы для частиц массы р и заряда q: а — в экстремальной керровской черной дыре (а = М, jE/ц = 1,5, рМ = 1) и б — в экстремальной райсснер-норд- стремовской черной дыре (Q ■= М, qlyi = 2, Е1\к = 1,5, рМ = 1). Перекрытие уровней между решениями с положительным корнем (Е+) и отрицательным корнем (Е~) обусловлено электромагнитным полем или вращением черной дыры, а также зарядом и угловым моментом пробной частицы. Заштрихованная область между Е+ и Е~ соответствует области // на рис. 26: никакие частицы с вещественным импульсом не могут находиться в этой области, которая запрещена для классических частиц (см. также рис. 3 и 16). Туннелирование из областей Е+ и Е* может иметь место на квантовом уровне в полной аналогии с рис. 26. Чтобы описать этот процесс туннелирования, было решено ковариантное уравнение Клейна — Гордона

(Va + iqA^ (Vo + iqA^ Ф = ц2ф

для заданных фоновой геометрии и вектор-потенциала. В нижней части рисунка показан эффективный потенциал для этого уравнения. Детали см. в

[179].

Основные выводы могут быть резюмированы следующим образом:

Вероятность рождения пар из-за «сдвига» керровской черной дыры незначительна, когда комптоновская, а поэтому и де- бройлевская длины волн налетающей частицы малы по сравнению с радиусом черной дыры (Й/цс ■С GM/c2 в классических единицах). Поэтому такое явление, подобно процессу Бекен-

Рис. 28. Коэффициент прохождения 72 между решениями Е^ и Е~ с положительной и отрицательной энергиями для массивного скалярного поля, удовлетворяющего ковариантному уравнению Клейна — Гордона на керровском фоне, для некоторых значений масс и энергий частиц. Все величины даны в геометрических единицах \G » с » ft =*= I); й— угловая скорость черной дыры (35). Из этого графика видно, что Г2-*-О при р.М->оо и f2 стремится к конечному значению при рЛ1 -> 6; максимум имеет место для частиц с энергией Е « й. Детали см. в тексте ив [186] и [146] (с. 483).

штейна — Хокинга (разд. 6), существенно только для черных дыр с массой М ^ 1015 г.

Когда ^GM/c^/(Й/рс) уменьшается, коэффициент прохождения растет и стремится асимптотически к конечному значению Г2 ~ 0,35-10“2, характерному для безмассовых полей1) (рис. 28).

Для малых черных дыр (GM/c2 < рс) коэффициент прохождения достигает своего максимума, когда энергия частицы Е равна р£ ~ ЙЙ, где Q — угловая скорость черной дыры, определяемая уравнением (35), или, что эквивалентно, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характеристической длиной, связанной с угловой скоростью черйбй дыры (рис. 28).

’) Численные оценки коэффициента прохождения для безмассовых полей в метрике Керра даны в работе [187].

Поляризация вакуума для решения Райсснера — Нордстрема была изучена в рамках трех различных подходов: Заумецом [188], применившим массовую формулу (32) и швингеровский подход: Гиббонсом [189] с помощью формализма вторичного- квантования и Накамурой и Сато [190] с помощью подхода Заутера — Гейзенберга — Эйлера.

Поляризация вакуума, обусловленная совместным действием вращения и электромагнитного поля, была проанализирована для решения Керра — Ньюмена в работе [191]. Все результаты для райсснер-нордстремовской черной дыры могут рассматриваться как предельные случаи (при а -> 0) этого более общего- исследования.

Мы применили к рассмотрению поляризации вакуума керр- ньюменовской черной дыры два различных метода. Вначале в рамках классического подхода Заутера были проанализированы коэффициенты прохождения через потенциальный барьер между Е+- и Е--состояниями. Для квантованного бесспинового поля, удовлетворяющего ковариантному уравнению Клейна — Гордона на керр-ньюменовском фоне, мы получили численную оценку коэффициента прохождения [166, 168].

Мы также применили мощный альтернативный метод, основанный на использовании принципа эквивалентности [191]. Этот альтернативный подход позволил нам дать оценки поляризации вакуума сразу для бозонов и фермионов.

Основные идеи могут быть просто резюмированы.

Нас в основном интересуют процессы поляризации вакуума вне макроскопических черных дыр (М ^, Мо, г+ ^ ^ 1,47 км).

Рождение пар происходит в весьма малой области размерами порядка комптоновской длины волны рождающихся частиц (X •< 10~9 см).

Тогда в каждой точке вне горизонта черной дыры мы можем ввести локальную лоренцеву систему и рассмотреть этот процесс, следуя хорошо известным результатам, полученным в плоском пространстве.

В частности, мы можем ввести в каждой точке вне горизонта черной дыры локальную лоренцеву систему, определяемую тетрадой

®<»> = (A/2)V1 (dt — a sin2 6 d<^.

(81.1)

(81.2)

«^—^dt.

(81.3)

?-№-*[(гг+^

(81.4)

В этой системе электрическое и магнитное поля параллельны и даются выражениями

E(D = QS-(r2-a2cos29),(82.1)

Вщ = Q2~22ar cos 0.(82.2)

Теперь можно локально применить результаты классических работ Гейзенберга и Эйлера и Швингера, справедливые как для бозонов, так и фермионов. Мы можем оценить величину критического электромагнитного поля и скорость рождения частиц.

Основные выводы данного рассмотрения следующие:-

Коэффициент прохождения между состояниями с положительной и отрицательной энергиями для дираковского поля спина */2 и частиц массы ц и заряда q дается выражением

Т2 = ехр(—р),(83)

где

р = лц2/<7В(1) + 2л (я + у + 0(1)^ B(i)/£(i)

и где п — квантовое число, связанное с гармоническими колебаниями электрона в ортогональной к Е и В плоскости. При этом минимальная непрозрачность получается при п = 0 и о(1) = = —’/г. т. е. пары в основном будут рождаться вдоль общего направления электрического и магнитного полей. Это означает, что с точки зрения наблюдателя, покоящегося на бесконечности, эти частицы будут иметь угловой момент в направлении ф, даваемый величиной m = аю sin2 9, где со — энергия частицы [166, 168, 191]. Уравнение (83) также определяет критические значения электромагнитных полей черной дыры, которые приведены в табл. 2.

Следуя работам Швингера [191] и [146] (с. 459 и 511), можно оценить число рождаемых частиц

М = 2 $ 1тп2ЧИ)'/2А(84)

где

(Iglf’^SsinG(85)

И

Таблица 2

Критические значения электромагнитных полей, максимальногополного заряда и энергии, извлекаемой из керр-ныоменовскойчерной дыры, как функции неприводимой массы,измеренной в солнечных массах !)

^неприв^ф

Максимальная напряженность электромагнитного поля, Гс

Максимальный подный заряд в зарядах электрона

Максимальная извлекаемая энергия, эрг

1

1,18 - 1019Г

2,14 • 1029Г

1,79 - 1054Г

8,00 • 1012П

8.63 • 1032П

5,15 - 1040П

ю2

1,18 - 10,т

2,14 • 1041

1,79 • 10й

1.88 • 1012

3,41 10”

4,65 • 10«

ю4

1,18 -10“

2,14 • 104Э

1,79-10"

1,77- 1012

3,21 • 1040

4,03 • 10"

10е

1,18 • 1012

2,14 • 1049

1,79 • 10м

1,67 • 1012

8,03 • 1044

8,59 • 10й

10*

1,18 - 10й

2,14 • 1047

1,79 • 10м

1,18- 10й

2,14 • 1047

1,79 • 1092

1) Г (голый) обозначает пределы, налагаемые геометрическим условием a2+Q 2< АР; П (поляризованный)—пределы, налагаемые поляризацией вакуума. Из этих значения следует, что для черной дыры с Мнеприв^ 7,2-KFMq ограничения на напряженность электромагнитного поля в основном определяются геометрическим условием (см. послед* нюю графу таблицы), а ограничениями, обусловленными квантовым эффектом, можно пренебречь. Ясно, что эта таблица справедлива только для черных дыр в вакууме, не окруженных плазмой. Детали см. в [191].

Поскольку для каждой рожденной пары одна из частиц выталкивается на бесконечность, а другая (с противоположным зарядом и угловым моментом) захватывается черной дырой, то отсюда следует, что в этих процессах поляризации вакуума заряд, полная масса-энергия М и полный угловой момент черной дыры уменьшаются.

Детали данного подхода во вторично-квантованной формулировке даны Дамуром [146] (с. 459), а интересное обобщение на случай фоторождения пар дано Дэвисом [146] (с. 511).

Ясно, что все эти выводы не могут быть непосредственно перенесены на астрофизические наблюдения, поскольку вначале необходимо понять, как они будут модифицироваться при наличии плазмы вблизи черной дыры. Напрашивается, однако, использовать представленные здесь аргументы вместе с описанными в разд. 8 механизмами извлечения энергии для построения модели наблюдаемых рентгеновских и гамма-всплесков [24—26j (см. введение).

Если электромагнитные поля в аккрецирующем веществе усиливаются рассмотренными в разд. 8 механизмами и появ-

ляются неустойчивости при достижении этими полями значений, превышающих данные в табл. 2, то будут иметь место вспышка и процесс поляризации вакуума, рассмотренный выше Из этой модели вытекают некоторые интересные предсказания [168] (с. ПО и далее), которые могут быть экспериментально проверены:

Всплески должны повторяться через интервал времени, определяемый лишь напряженностью магнитного поля в аккрецирующем веществе, скоростью его аккреции и угловым моментом черной дыры.

Критическое поле, определяемое уравнением (83), автоматически дает для энергии рожденной пары значение ~ 1020эВ. Предполагается поэтому проанализировать совпадения между источниками космических лучей весьма высокой энергии и всплесками гамма- и рентгеновского излучения. Очевидно, при проведении этого анализа обязательно следует учитывать запаздывание, обусловленное влиянием внутригалактических магнитных полей на распространение космических лучей.

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л., Phys. Zs. Sow., 1, 285 (1932). [Имеется перевод: Ландау Л. Д. Собрание трудов. В 2-х томах. Т. 1. — М.: Наука, 1969, с. 86—89.]

Chandrasekhar S., Phil. Mag., 7, 63 (1929); Mont. Not. Roy. Astron. Soc., 91, 456 (1931).

Oppenheimer J. R., Volkoff G. M., Phys. Rev., 55, 374 (1939). [Имеется перевод: Оппенгеймер Ю., Волков Г. — В сб. статей: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.. Мир, 1979, с. 337—352.]

Oppenheimer J. R., Snyder Н., Phys. Pev., 56, 455 (1939). [Имеется перевод: Оппенгеймер Ю., Снайдер Г. — В сб. статей: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979, с. 353—361.]

Neutron Stars, Black Holes and Binary X-Ray Sources, eds. Gursky H. and Ruffini R., Reidel, Dordrecht. 1975

Physics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes, eds. Giac- coni R. and Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1978.

Baade W., Zwicky F„ Phys. Rev, 45, 138 (1934).

Rhoades C., Ruffini R., Phys Rev. Lett, 32, 324 (1974).

Шкловский И. С., Астрон. ж., 1968, т. 45, вып. 5, с. 919—927.

Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Suppl. Nuovo Cimento, 4, 810 (1966).

Hayakawa S., Matsuoka M., Prog. Theor. Phys. Suppl., 30, 204 (1964).

X-Ray Astronomy, eds. Giacconi R. and Gursky H., Reidel, Dordrecht, 1974.

Leach R., Ruffini R., Astrophys. J. Lett, 180, L15 (1973).

Auni У., Bahcall J. N., Astrophys. J. Lett., 202, L131 (1975) См также Bahcall J. N. В сб. [6], с. 63.’

Nelson /., preprint.

Lucke R. et al., Astrophys. J. Lett., 206, L85 (1975).

White N. W. et al, I. A. U. circular No. 2870 (1975).

Сюняев P. Л. Астрон. ж., 1972, т. 49, вып. 6, с. 1153—1157.

Peebles Р. L Е., Gen. Ret Grav., 3, 63 (1972).

Wheeler J. A., Pontificia Academia Scientiarum, Scripta Varia, No. 35, 539 (1971).

Silk J., Arons J., Astrophys. J. Lett., 200, 131 (1975).

Bahcall J. AL, Ostriker J. P., Nature, 256, 23 (1975).

Grindlay J. et al., Astrophys. J. Lett., 205, L127 (1976).

Grindlay L, Gursky H., Astrophys. J. Lett., 205, L131 (1976); Heise J. et al., Nature 261, 562 (1976).

Lewin W., Astrophysics from Spacelab, eds Bernecca P. L., Ruffini R., Reidel, Dordrecht, 1980.

Strong 1., Galactic and Extragalactic Radio Astronomy, eds. Verschu- ve G. L. and Kellerman J. L., Berlin, 1974.

Tsuruta S., Second Advanced Seminar on Relativistic Astrophysics, Erice, 1976.

Riley J. M., Pooley G. C.; Mem. Roy. Astron. Soc., 80, 105 (1975).

Newman E. T..et al., J. Math. Phys., 6, 918 (1965).

Black Holes, eds. DeWitt B. and DeWitt C., Gordon and Breach, London, 1973.

Carter B., Proc. First M. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977, c. 243.

Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. — ЖЭТФ, 1965, т. 49, вып. 1, с. 170—181.

3. Robinson D. С., Phys. Rev. Lett., 34, 905 (1975).

4. Boyer R. H., Lindquist R. W„ J. Math. Phys., 8, 265 (1967).

Reissner H., Ann. Phys., 50, 106 (1916).

Kerr R. P ♦, Phys. Rev. Lett., 11, 238 (1963). [Имеется перевод: Керр P.— В сб. статей: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979, с. 208—211.]

Schwarzschild К., Berl. Вег., 189 (1916). [Имеется перевод: Шварцшильд К. — В сб. статей: Альберт Эйнштейн и теория тяготения. — М.: Мир, 1979, с. 199—207.]

Christodoulou D., Ruffini R., Black Holes, eds. DeWitt B. and DeWitt C.t Gordon and Breach, London, 1973, p. R151.

Synge L L., Relativity: the General Theory, North-Holland, Amsterdam, 1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Л. Общая теория относительности.— М.: ИЛ, 1963.]

0. Carter В., Phys. Rev., 174, 1559 (1968).

Hanni R., Ruffini R., Phys. Rev., D8, 3259 (1973).

Cohen J. M., Wald R. H_, J. Math. Phys., 12, 1845 (1971).

Лифшиц E. M.— ЖЭТФ, 1946, t. 16, вып. 7, c. 587—602.

Lanczos C., Phys. Rev., 31, 112 (1925).

Regge T., Wheeler J. A., Phys. Rev., 108, 1063 (1957).

Vishveshwara С. V., Phys. Rev., DI, 2870 (1970); Edelstein L., Vishveshwara С. V., Phys. Rev., DI, 3514 (1970).

Zerilli F., Phys. Rev., D2, 2141 (1970); Phys. Rev. Lett., 24, 737 (1970); J. Math. Phys., 11, 2203 (1970).

Bardeen L, Press W., J. Math. Phys , 14, 7 (1973).

Wheeler J. A., Phys. Rev., 97, 511 (1955).

Ruffini R., Tiomno L, Vishveshwara C., Lett. Nuovo Cimento, 3, 211 (1972).

Johnston M. D., Senior thesis, Princeton University, 1974.

Johnston M. D., Proc. First M. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North* Holland, Amsterdam, 1977, p. 311.

Chitre D. M., Phys. Rev., Dll, 760 (1975); D13, 2713 (1976),

Ruffini R., Phys. Lett., 41B, 334 (1972).

$5. Hanni R. Sv Ruffini R., Lett. Nuovo Cimento, 15, 189 (1976).

Linet B., J. Phys., A9, 1081 (1976).

Bade W. L., Jehle H., Rev. Mod. Phys., 25, 714 (1953).

Brill D. R., Wheeler J. Д., Rev. Mod. Phys., 29, 465 (1957).

Ruffini R., Bonazzola S., Phys. Rev., 187, 1767 (1969).

Zerilli F., Phys. Rev., D9, 860 (1974).

Johnston M„ Ruffini R., Zerilli F., Phys. Rev. Lett., 31, 1317 (1973).

Taub A. H., Comm. Math. Phys., 15, 235 (1969).

Moncrief K, Phys. Rev., D9, 2707 (1974); DIO, 1057 (1974); D12, 1526 (1975).

Weinstein J., Senior thesis at Princeton University, 1974; Weinstein J., Proc. First M. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977, p. 331.

Bose S. K., J. Math. Phys., 16, 722 (1975).

Newman E., Penrose R., J. Math. Phys., 3, 566 (1962).

Lee С. H., J. Math. Phys., 17, 1226 (1976); Lee C. H.t McGlinn W. D.t J. Math. Phys., 17, 2159 (1976).

Lee С. H., Nuovo Cimento, 44B, 123 (1978).

Johnston M„ Ruffini R., Zerilli F., Phys. Rev.Lett,37, 1317 (1973).

Johnston M., Ruffini R., Zerilli F., Phys. Lett.,49B,185 (1974).

Алексеев Г. А., Сибгатуллин H. P. — Прикл.мат.и мех., 1974, т.38,

вып. 6, с. 1122—1129; Сигбатуллин Н. Р. — ЖЭТФ, 1974, т. 66, вып. 4, с. 1187—1199.

Teukolsky S. A., Phys. Rev. Lett., 29, 1114 (1972); Astrophys. J., 185, 635 (1973).

Chandrasekhar S., Proc. Roy. Soc., A349, 1 (1976); Chandrasekhar S., Detweiler S., Proc. Roy. Soc., A345, 145 (1975); A350, 165 (1975).

Brill D. R. et al., Phys. Rev., D5, 1913 (1972).

Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions, Nat. Bureau of Standards, 1964. [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям/Под ред. Абрамовица М., Стиган И. — М.: Наука, 1979.1

Kinnersley W., J. Math. Phys., 10, 1195 (1969).

Fackerell E. D., Ipser J. R., Phys. Rev., D5, 2455 (1972).

Wald R., J. Math. Phys., 14, 1453 (1973).

Press W., Teukolsky S., Astrophys. J., 185, 649 (1973); Hartle J. B., Wilkins D. C., Comm. Math. Phys., 38, 47 (1974); Friedman J. C.t Schutz B. F., Phys. Rev. Lett., 32, 243 (1974).

Chandrasekhar S., Friedman J. L., Astrophys. J., 175, 379 (1972); 176, 745 S; 177, 745 (1972).

эвич Я. Б. — Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 14, вып. 4, с. 270—272; ЖЭТФ, 1972, т. 62, вып. 6, с. 2076—2081.

Старобинский А. А., Чурилов С. М. — ЖЭТФ, 1973, т. 65, вып. 1, с. 3— 11; Unruh W., Phys. Rev., D10, 3194 (1974); Deruelle N., Ruffini R., Phys. Lett, 57B, 248 (1975); Deruelle N., Proc. First M. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977, p. 483.

Chandrasekhar S., Proc. Roy. Soc., A349, 571 (1976).

Chitre D. M., Phys. Rev., D13, 2713 (1976).

Damour T., Ruffini R., Phys. Rev. Lett, 35, 463 H975).

Damour T., Proc. First M. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977, p. 459.

DeWitt B., Brehme R., Ann. Phys. (USA), 9, 220 (1960).

Chung K. Pt Nuovo Cimento, 14B, 293 (1973).

Peterson M. A., Ruffini R., Proc. First M. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977, p. 321.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теория поля. — M.: Наука, 1973.

Christodoulou D.t Ruffini R., Phys. Rev., D4, 3552 (1971).

Hughston L. et al., Comm. Math. Phys., 27, 303 (1972).

Ruffini R., Wheeler J. A., The Significance of Space Research for Fundamental Physics, eds. Moore A. F. and Hardy V., ESRO, Paris, 1971, p. 45.

Rees М, Ruffin- R., Wheeler J. Л., Black Holes, Gravitational Waves and Cosmology, Gordon and Breach, London, 1974. [Имеется перевод: Рис M., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология. — М.: Мир, 1977.]

Johnston М., Ruffini R., Phys. Rev., DIO, 2324 (1974).

Шакура H. И. — Астрон. ж., 1972, т. 49, вып. 5, с. 921—929

Stewart J. W., Proc. Roy Soc., A344, 65 (1975).

Wilkins D., Phys. Rev., D5, 814 (1972).

Bardeen J. M., Peterson J. A., Astron. J. Lett., 195, L65 (1975).

Davis M. et al., Phys. Rev. Lett, 27, 1466 (1971).

Davis M., Ruffini R., Tiomno J., Phys. Rev., D5, 2932 (1972).

Ruffini R., Phys. Rev., D7, 972 (1973).

Дымникова И. Г., Astrophys. Space Sci., 39, L29 (1976).

Zerilli F., Phys. Rev., D2, 2141 (1970).

Davis M., Ruffini R., Lett. Nuovo Cimento, 2, 1165 (1972).

Ruffini R., Black Holes, eds. DeWitt B. and DeWitt C., Gordon and Breach, London, 1973, p. 453.

Gibbons G., Hawking S., Phys. Rev., D4, 2191 (1971).

Яковлев Д. Г. — ЖЭТФ, 1975, т. 68, вып. 2, с. 369—376.

Гинзбург В. Л — УФН, 1969, т. 98, вып. 3, с. 569—585.

НО. Bohr N., Proc. Roy. Soc., A84, 395 (1910). [Имеется перевод: Бор Н. Избранные научные труды. В 2-х томах. Т. 1. — М.: Наука, 1970, с. 51 — 59.1

Ruffini R., Wheeler J. Л., Proc. Cortona Symp. on Weak Interactions, ed. Radicati L., Roma, 1971.

Misner C. W., Phys. Rev. Lett, 28, 994 (1972).

Misner C. W. et al., Phys. Rev. Lett., 28, 998 (1972).

Davis M. et al., Phys. Rev. Lett, 28, 1352 (1972); Haxton W., Ruffini R., Ann. Phys. (USA), 95, 1 (1975).

Jackson J. D., Classical Electrodynamics, N. Y., 1975. [Имеется перевод: Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.]

Breuer R. Л. et al., Phys. Rev.. D7, 1002 (1973).

Хриплович И. Б., Шуряк Э. В. — ЖЭТФ, 1973, т. 65, вып. 6, с. 2137— 2140.

Тернов И. М. и др. — ЖЭТФ, 1975, т. 68, вып. 2, с. 377—386.

Partridge R. В., Ruffini R., Gravitational Waves and a Search for the Associated Microwave Radiation, Gravity Research Foundation, Third Award, 1970.

Зельдович Я- Б. — ЖЭТФ, 1973, т. 65, вып. 4, с. 1311—1315.

Лупанов Г. Л.— ЖЭТФ, 1967, т. 52, вып. 1, с. 118—123; Boccaletti D. et al., Acta Phys. Polon., 5B, 741 (1974).

Papini G., Valluri S. R., Canad. J. Phys., 53, 2306 (1975).

Гинзбург В. Л., Цытович В. Н. — Изв. вузов. Радиофизика, 1975, т. 18, № 2, с. 173—184.

Гршиук Л. П., Сажин М. В. — ЖЭТФ, 1973, т. 65, вып. 2, с. 441—454;

Choquet-Bruhat У., Proc. First М. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North- Holland, Amsterdam, 1977, p. 415.

Gerlach U., Phys. Rev. Lett., 32, 1033 (1974).

Ruffini R., Proc, of the Sixteenth Solvay Conference on Physics, Univ, of Bruxelles, 1974, p. 393.

Chitre D. M., Price R. H., Sandberg V., Phys. Rev. Lett, 31, 1018 (1973).

Chitre D. M., Price R. H., Sandberg V., Phys. Rev., Dll, 747 (1975).

Герцениггейн M. E. — ЖЭТФ, 1961, т. 41, вып. 1, с. 113—114.

Пустовойт В. И., Герцениггейн М. Е. — ЖЭТФ, 1962. т. 42, вып. 1, с. 163—170.

Peters Р. С., Phys. Rev., D5, 2476 (1972).

Сумков О. H.t Хриплович И. 5.— ЖЭТФ, 1974, т. 66, вып. 1, с. 3—8.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.

Penrose R., Riv. Nuovo Cimento, 1, 252 (1969).

Penrose R., Floyd R., Nature, 299, 193 (1971).

Johnston M., Ruffini R., Peterson M., Lett. Nuovo Cimento, 9, 217 (1974).

Denardo G., Ruffini R., Phys. Lett, 45B, 259 (1973).

Denardo G., Hively L, Ruffini R., Phys. Lett., SOB, 270 (1974).

Christodoulou D., Ph. D. Thesis, Princeton Univ., 1971.

Hawking S. W., Phys. Rev. Lett., 26, 1344 (1971).

Bekenstein J. D., Ph. D. Thesis, Princeton Univ., 1972; Phys. Rev., D7, 2333 (1973); D9, 3292 (1974).

Bardeen J. M., Carter B., Hdwking S. W., Comm. Math. Phys., 31, 170 (1973).

Carter B., Black Holes, eds. DeWitt B. and DeWitt C., Gordon and Breach, London, 1973, p. 60.

Hawking S. IF., Nature, 238, 30 (1974); Comm. Math. Phys., 43, 199 (1975). [Имеется перевод: Хокинг С. — В сб. статей: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979, с. 479—509.]; Phys. Rev., D13, 191 (1976). [Имеется перевод: Хокинг С. В. — В сб. статей: Черные дыры.—М.: Мир, 1978, с. 204—221.]

Proc. First М. Grossmann Mtg., ed. Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1977.

Boulware D, Phys. Rev., Dll, 1406 (1975). (Критический анализ этой статьи дан в работе [150].)

Boulware D„ Ann. N. Y Acad. Sci., 262, 284 (1975).

Carr B. J., The primordial mass spectrum of black holes, Caltech preprint, 1975.

Damour T., Ruffini R., Compt. Rend. (Paris), 279A, 971 (1974).

Ford L. H., Phys. Rev., D12, 2963 (1975); D14, 658, (1976).

Fulling S., Phys. Rev., D7, 2850 (1973).

Parker L„ Phys. Rev., D12, 159 (1975).

Taylor J. G., Davies P. C. IF., Nature 250, 37 (1974).

Deutsch A. J., Ann. Astrophys., 18, 1 (1955).

Ruffini R., Treves A., Astrophys. Lett., 13, 109 (1973).

Ruffini R., Black Holes, eds. DeWitt B. and DeWitt C., Gordon and Breach, London, 1973, p. 525.

Hanni R. S., Ruffini R., Lett. Nuovo Cimento, 15, 189 (1976).

Ernst F. /., J. Math. Phys., 17, 54 (1976).

Wald R. NL, Phys. Rev. D10, 1860 (1974).

Peterson J. A., Phys. Rev., D12, 8 (1975).

Chitre D. M., Vishveshwara С. V., Phys. Rev., D12, 1538 (1975).

King A. R, Lasota J. P., Kundt IF., Phys. Rev., D12, 3037 (1975).

Papapetrou A., Ann. Inst. H. Poincare, 4, 83 (1966).

Damour T., Phys. Rev., D18, 3598 (1978).

Damour T., Ann. N. Y. Acad. Sci., 262, 120 (1975).

Hanni R. S., Ann. N. Y. Acad. Sci., 262, 113 (1975).

Ruffini R., Ann. N. Y. Acad. Sci., 262, 95 (1975).

Wilson J., Ann. N. Y. Acad. Sci., 262, 123 (1975).

Damour T. et al, Phys. Rev., DI7, 1518 (1978).

Llchnerowioz A., Relativistic Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics, N. Y. and Amsterdam, 1967.

Ruffini R., Wilson J. R„ Phys. Rev., D12, 2959 (1975).

Leblanc H. NL, Wilson I. R., Astrophys. J., 161, 541 (1970).

Klein O., Zs. Phys., 53, 157 (1929).

Sauter F„ Zs. Phys., 69, 742 (1931).

(76. Heisenberg IF., Euler H., Zs. Phys, 99, 714 (1936).

Pauli IF., The Theory of the Positron and Related Topics, Princeton Semi* nar, Princeton University, mimeographed notes, 1935—1936.

Schwinger J., Phys. Rev., 82, 664 (1951).

Deruelle N., Ruffini R., Phys. Lett, 52B, 437 (1974).

Damour T., Lett. Nuovo Cimento, 12, 315 (1975).

Зельдович Я. Б. — Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 14, вып. 4, с. 270—272.

Зельдович Я. Б. —ЖЭТФ, 1972, т. 62, вып. 6, с. 2076—2081.

Старобинский А. Л.— ЖЭТФ, 1973, т. 64, вып. 1, с. 48—57.

Старобинский А. Л., Чурилов С. М. — ЖЭТФ, 1973, т. 65, вып. 1, с. 3— 11.

Unruh W., Phys. Rev., DIO, 3194 (1974).

Deruelle N., Ruffini R., Phys. Lett., 57B, 248 (1975).

Teukolsky S., Press W., Astrophys. J., 193, 443 (1974).

Zaumen W. T., Nature, 247, 530 (1974).

Gibbons G., Comm. Math. Phys., 44, 245 (1975).

Nakamura T., Sato H., Phys. Lett, 61B, 371 (1976).

Damour T., Ruffini R., Phys. Rev. Lett., 35, 463 (1975).

192*. Смит Ф. Г. Пульсары.— M.: Мир, 1979.

193*. Манчестер Р., Тейлор Дж. Пульсары. — М.: Мир, 1980.

194*. Мизнер Ч., Торн К.» Уилер Дж. Гравитация. В 3-х томах. — М.: Мир; 1977.

195*. Chandrasekhar $., General Relativity: An Einstein centenary survey, eds. Hawking S. W. and Israel W., Cambridge University Press, Cambridge, 1979, p. 370; Proc. Roy. Soc., A372, 475 (1980).

196*. Wald R. M., Proc. Roy. Soc., A369, 67 (1979).

197*. Bicdk J., Czech. J. Phys., 29B, 945 (1979).

198*. Gunter D. L, Phil. Trans. Roy. Soc. London, A296, 497 (1980).

199*. De Felice.F„ J. Phys., A13, 1701 (1980).

200*. Соколов A. A. — Изв. ВУЗов. Физика, 1980, т. 23, № 2, с. 46—53.

201*. Гальцов Д. В., Петухов В. Я.— ЖЭТФ, 1978, т. 74, вып. 3, с. 801—818; Алиев А. Н., Гальцов Д. В., Соколов А. А. Вести. МГУ. Сер. физ., ас» трон., 1980, т. 21, № 4, с. 10—16.

202*. Fang L. Z„ Ruffini R., Phys. Lett., 86B, 193 (1979); Ruffini R., Stella L., Phys. Lett, 93B, 107 (1980); Lett. Nuovo Cimento, 27, 529 (1980).

203*. Дымников а И. Г. — Ядерная физика, 1980, т. 31, № 3, с. 679—693; Дым- никова И. Г., Попов А. К., Astrophys. and Space Set, 68, 487 (1980).

204*. Ernst F. J., Wild W. L, J. Math. Phys., 17, 182 (1976) .

205*. Алиев В. H., Гальцов Д. В., Соколов А. А. — Изв. ВУЗов. Физика, 1980, т. 23, № 3, с. 7—12.

206*. Burman R. R.t Mont. Not. Roy. Astron. Soc., 180, 227 (1977).

207*. Wilson J. R., Physics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes* eds. Giacconi R. and Ruffini R., North-Holland, Amsterdam, 1978.

9Проблема физического смысла квантованиягравитационных полей

Х.-Ю. Тредер *)

Физический смысл квантования общей релятивистской тео» рии гравитации Эйнштейна представляет собой интересную и необычную проблему. Геометрическое гравитационное поле Эйнштейна не есть обычное физическое поле, поскольку напря* женности Гы и эйнштейновские плотности энергии-импульса f? гравитационных полей могут быть только аффинными тензорами. Поэтому гравитационные поля не локализуемы. Эта нелокализуемость гравитационных полей есть следствие эйнштейновского принципа эквивалентности гравитации и инерции.

С помощью того же принципа эквивалентности и «мыслен* ных экспериментов» Бора и Розенфельда [6] по измерению полевых величин мы доказываем новое соотношение неопределенности для взаимодействия между гравитационными полями и пробными частицами

АГ (АХ)3 ^ (-^-) = Z*2. (*)

В этом неравенстве константа I* есть элементарная длина l*=(hf/c3)^, введенная Планком [27]. Соотношение неопределенности (*) описывает нелокализуемость гравитационных полей с квантовофизической точки зрения. Однако соотношение (*) следует из классической теории Эйнштейна и соотношений неопределенности Гейзенберга для канонических переменных пробных частиц, и оно справедливо в квантовой теории гравитационных полей как коммутационное соотношение [31]. Поэтому соотношение неопределенности (*) является необычным ограничением физического смысла квантования гравитационных полей. Мы полагаем, что соотношение (*) исключает экспериментальное неравноправие, существующее между классической и квантовой теориями гравитации: все квантовые эффекты гравитационных полей становятся меньше, чем неопределенно* сти измерений, следующие из нелокализуемости гравитационного поля в соответствии с соотношением (*).

!) H.-J. Treder, Академия наук Германской Демократической Республики^ Потсдам-Бабельсберг, ГДР.

В приложении мы обсуждаем физический смысл планков- еких «естественных единиц» (hf/c3)\ (hf/c3)1^, (hcIfYK Эти величины определяют ограничения физического смысла квантовых теорий поля в соответствии с геометрическими неопределенностями (*), вытекающими из общей теории относительности.

Планковская система естественных единиц основана на универсальных константах h, с и f квантовой физики, а также специальной и общей теорий относительности. В квантовой геометродинамике планковские единицы реализуются с помощью ультрарелятивистской частицы с относительной массой М*, которая так велика и так лоренц-сокращена, что гравитационная собственная энергия частицы становится эквивалентной ее относительной энергии М*с2. Планковские величины определяются из этого условия. Самогравитация такой ультрарелятивистской частицы становится сильным взаимодействием: fM*2 = he, а радиус этой лоренц-сокращенной частицы (^/*) эквивалентен ее радиусу Эйнштейна — Шварцшильда fM*c~2, Поэтому элементарные частицы с относительными энергиями больше М*с2 становятся «черными дырами» в лабораторной системе отсчета.

Нильс Бор [4]

«Несмотря на все различие физических проблем, которые дали начало развитию теории относительности и соответственно квантовой теории, сравнение чисто логических аспектов релятивистского и в духе принципа дополнительности способов описания обнаруживает далеко идущую аналогию с точки зрения отказа от абсолютных значений издавна использовавшихся физических атрибутов объектов. Пренебрежение атомной структурой измерительных устройств даже при описании действительных экспериментов также в равной степени характерно для теории относительности и квантовой теории. Малость кванта действия по сравнению со взаимодействиями, имеющими место при обычных явлениях, включающих установку и обсуждение физических приборов, в атомной физике столь же существенна, как и огромное число атомов, из которых состоит мир в общей теории относительности, которая, как известно, предполагает, что размеры приборов, применяемых для угловых измерений, должны быть малы по сравнению с радиусом кривизны Вселенной».

Альберт Эйнштейн [17]

«В настоящее время преобладает мнение, что теорию поля сначала необходимо перевести «квантованием» в статистическую теорию вероятностей, следуя более или мене^

установленным правилам. Я вижу в этом лишь попытку описывать линейными методами соотношения существенно нелинейного характера. Можно убедительно доказать, что реальность вообще не может быть представлена непрерывным полем. Из квантовых явлений, по-видимому, следует, что конечная система с конечной энергией может полностью описываться конечным набором чисел (квантовых чисел). Этот факт, очевидно, нельзя совместить с теорией континуума, он требует для описания реальности чисто алгебраической теории. Однако никто не знает, как найти основу для такой теории».

Вольфганг Паули [25]

«Если бы мы могли возложить на Эйнштейна синтез его общей теории относительности и квантовой теории, то дискуссия с ним была бы значительно легче. Однако дуализм поля и его средств измерения в современной квантовой теории поля существовал в скрытом виде, не будучи явно выражен в понятиях. Взаимосвязь применимости обычных понятий пространства-времени в малом со свойствами мельчайших физических объектов, так называемых «элементарных» частиц, не открыта».

Леон Розенфельд [53]

«Включение гравитации в общую квантовую теорию является открытой проблемой, так как для решения вопроса о квантовании гравитационного поля недостает необходимых эмпирических оснований. Здесь речь идет не столько о математической проблеме, сколько о необходимости развития некоторого квантового формализма для гравитации, однако в еще большей мере о чисто эмпирическом вопросе: образует ли гравитационное поле, а следовательно, и метрика квантуемую последовательность. При недостатке соответствующих наблюдений мы могли бы выяснить такой вопрос только с теоретико-познавательной стороны, и при этом мы не должны надеяться достигнуть каких-либо окончательных выводов, так как теоретико-познавательное рассмотрение может помочь именно тому, чтобы исследовать логическую структуру заданной теории, но не ее подход к явлениям».

Проблема квантования гравитации

Математическая форма и физический смысл квантовой теории гравитации представляют собой интересную проблему как для квантовой теории, так и для общей теории относительности.

Формально математический аспект квантования гравитационного поля gik, описываемого уравнениями Эйнштейна (или некоторыми возможными модификациями этих уравнений), приводит к техническим трудностям, которых и следует ожидать от квазилинейной теории тензорных нолей с большим числом ограничений. Эти математические проблемы были в принципе решены Дираком [9, 10], а также другими учеными [2, 8, 41]. Тем не менее физический смысл квантованной теории гравитации остается, по-видимому, таким же проблематичным, как и прежде.

Это следует из универсальности гравитационного взаимодействия, вводимого в общей теории относительности принципом эквивалентности Эйнштейна. Вследствие этого принципа ни напряженности гравитационного поля Гы» ни импульс канонического поля не являются тензорами, так что канонические коммутационные соотношения Дирака, а также соответствующие коммутационные соотношения для напряженностей поля Гы не ковафиантны. Таким образом, эти коммутационные соотношения не имеют никакого смысла. Аналогичным образом эйнштейновский комплекс энергии-импульса гравитационного поля fi не имеет тензорного характера, следовательно, энергия то гравитационного поля не локализуема, так*что концепция «гравитонов» (в смысле Паули и Дирака) вряд ли может быть понятна с физической точки зрения. Эти трудности физической интерпретации математического формализма квантовой теории тяготения, следующие с необходимостью из эйнштейновских принципов эквивалентности и общей относительности, привели также к мнению, что гравитационное поле в принципе является макроскопическим полем и потому не может быть прокванто- вано. Функции gik тогда были бы с-числами.

Но существует аргумент против такого простого решения, принадлежащий Дираку: уравнения Эйнштейна

Rik-^gikR = -^-Ttu, (1)

где f — гравитационная постоянная, можно интерпретировать классически, если как поле материи, обладающее тензором энергии-импульса Т^, так и гравитационные поля являются г-числами. Но в квантовой теории поля тензор материи есть оператор (^-число). Таким образом, уравнение (1) должно быть операторным уравнением, откуда следует операторный характер членов, стоящих в его левой части.

В таком случае классические уравнения будут соответствовать уравнениям, связывающим математические ожидания тен*

зора Эйнштейна

Gik = RikgikR

и тензора материи Г^:

<6^ = - ^ЛТ1к\(2)

Если бы гравитация была истинным полем с-чисел, то уравнения Эйнштейна нельзя было бы использовать в отличие от уравнения (2) для математических ожиданий. Эти существенно более слабые условия имеют вид

\^Glk^dx = -^-(JlkY(3)

где Gtk должно быть с-числом, которое получается при подстановке соответствующих с-чисел для gtk в уравнение (2). Однако было бы, по-видимому, физически неудовлетворительно ограничиться уравнением (3), поскольку оно не содержит достаточной физической информации.

Эти трудности интерпретации квантовой теории гравитации являются необходимым следствием принципа эквивалентности Эйнштейна и, следовательно, универсальности гравитации, из которых Эйнштейн вывел геометрический характер gib К счастью, принцип эквивалентности в настоящее время имеет и другие следствия, касающиеся связи между квантовой и гравитационной теориями. Эти следствия приводят, наконец, к физическим ограничениям на измеримость квантовых эффектов гравитации, так что можно надеяться, что решение этих проблем измерения сможет устранить упомянутые трудности интерпретации.

Согласно теориям Гейзенберга [21], Бора [3], а также Бора и Розенфельда [6], из квантовой теории поля с каноническими коммутационными соотношениями сразу следуют соотношения неопределенности гейзенберговского типа. Эти соотношения неопределенности получаются также, согласно общим аргументам, приведенным Гейзенбергом, Бором и Розенфельдом, из гейзенберговского квантовомеханического соотношения неопределенности для пробного тела и для полевых величин, причем эти величины описываются классической теорией поля. Иными словами, эти неопределенности измерения, следующие из канонических коммутационных соотношений, есть как раз те неопределенности, которые гарантируют совместность квантовой теории поля с квантовой механикой пробных тел. И наоборот, это означает, что и в классической теории поля с пробными телами, которые удовлетворяют законам квантовой

механики (для которых соответственно справедливы соотношения неопределенности Гейзенберга), полевые величины не могут быть определены с большей точностью, чем это позволяет квантовая теория поля.

Кроме того, Бор и Розенфельд доказали, что в релятивистских квантовых теориях поля не существует дополнительных ограничений на измерения, помимо тех, которые следуют уже из квантовой механики благодаря соотношениям неопределенности Гейзенберга.

Помимо канонических неопределенностей в квантовых теориях поля получаются также условия для неопределенностей АФ и AF потенциалов Ф и напряженностей поля F ~ дф(дх соответственно. Но это не противоречит вышеприведенному за* мечанию, поскольку физические свойства пробных тел, входящие в эти условия, могут быть выбраны произвольно согласно аргументам Бора и Розенфельда.

Например, пусть Q — заряд пробного тела, а М — его масса. Рассмотрим соотношения между неопределенностями AF и АФ соответственно и неопределенностями AL длины (т. е. условие одновременной измеримости поля и положения). Тогда имеем

AF(AL)3>hQ/cM, (4)

АФ (AL)2 >hQ(cM. (5)

Поскольку удельный заряд Q/M пробного тела можно выбрать произвольно, величину AF(AL)3 ~ АФ(АЛ)2 всегда можно сделать очень малой:

XF (AL)3 - АФ (AL)2 -> О, (6) так что неопределенности (4) или (5) полевых величин могут быть сделаны очень малыми одновременно с соответствующими измерениями положения. Таким образом, в релятивистских квантовых теориях поля не существует никакого ограничения на локализуемость полей.

В общерелятивистской теории гравитации Эйнштейна коммутационные соотношения между полевыми величинами, предложенные Дираком и другими авторами [2, 8—10], являются каноническими коммутационными соотношениями в смысле Гейзенберга, Паули, Бора и Розенфельда [21]. Соответствующие соотношения неопределенности для напряженностей поля, так же как в релятивистской квантовой теории поля, совместны с соотношениями неопределенности Гейзенберга для пробного тела и следуют из этих соотношений, если рассматривать общую теорию относительности как классическую полевую теорию для взаимодействия пробного тела и гравитационного поля [31].

Однако есть один решающий момент в мысленном эксперименте Бора и Розенфельда, который не может быть перенесен на гравитационные поля: отношение заряда Q к массе М классического пробного тела в теории гравитации не может быть выбрано произвольно, поскольку Q(M есть универсальная константа вследствие эйнштейн-этвешевской эквивалентности инертной и гравитационной масс, т. е. вследствие соотношения

Q = fM.

Согласно Розенфельду [31—33], эта универсальность «гравитационного заряда» QIM = f приводит также к появлению в гравитационной теории ограничений на локальную измеримость только одной полевой функции, например гравитационного потенциала gib или напряженностей поля Г^.

Сначала мы покажем, что эти неопределенности полевых функций следуют уже из соотношения неопределенности Гейзенберга и неквантованной общей теории относительности, которая описывает взаимодействие пробных тел с гравитационным полем.

Так, например, порядок величин неопределенностей поля гарантирует совместность квантования гравитационных полей с квантовой механикой тяжелых пробных тел; из них нельзя усмотреть необходимость квантования гравитационного поля. Как подчеркнул Розенфельд [31, 33], решение о необходимости квантования гравитационных полей есть чисто эмпирический вопрос.

Если неопределенности измерения гравитационного поля интерпретировать как результат канонических коммутационных соотношений для гравитационных полей (согласно Дираку), То соотношения неопределенности означают квантование мировой геометрии [41], а именно квантовогеометрическую «пенную структуру» пространства-времени в пикофизических масштабах, т. е. на расстояниях порядка планковской элементарной длины 9 [27, 29, 35, 41].

r^(hf/c3y!‘ ~ 10'33 см.

Согласно общей теории относительности, эти соотношения неопределенности для полевой функции gik являются просто ог- райичениями измерения, которые исключают возможность измерения расстояний меньше планковской элементарной длины /*. Эти ограничения измерения препятствуют эмпирическим поискам квантовой геометродинамической пикоструктуры мц* ра [39].

9 Некоторые дополнительные соображения и подробное обсуждение физического смысла планковских единиц см. в приложении.

О локализуемости гравитационного поля

Согласно мысленным экспериментам Бора и Розенфельда [6] относительно влияния гейзенберговской неопределенности динамических переменных (координаты и импульса) пробного тела на измеримость полевых функций с помощью этого проб* ного тела, для неопределенности АФ локального значения потенциала Ф получается соотношение [33]

АФ^/гДАЛ^АХГр,(1)

где AL — размер пробного тела, АХ — неопределенность его координаты (координаты его центра масс), р « Q(AL)-3 — средняя плотность (однородного) пробного заряда Q, а Т— продолжительность измерения.

Для физически разумного измерения имеем [6, 33]

AL>AX, ЬЬ>сТ,(2)

где с — скорость света. Из (1) и (2) следует соотношение

АФ>/гс/ОА£.(3)

Считая, что из классической теории поля для полной массы М пробного тела следует соотношение

Е = Мс2><¥<Мух,(4)

которое является условием самосогласованности для макроско- пических тел, получаем из (3) неравенство

аф(А£)2>-^4.<5>

В электродинамике отношение QJM может быть выбрано произвольно малым. Поэтому электромагнитная полевая вели* чина F может быть измерена с произвольной точностью с помощью подходящего пробного тела. Но в теории гравитации справедлив принцип эквивалентности Эйнштейна, а именно соотношение Эйнштейна — Этвеша

Q = fM = fE/c2,(6)

из которого следует соотношение неопределенности для одновременного измерения координат и поля

ХФ^ЬУ>Н1/с.(7)

Согласно общей теории относительности Эйнштейна, принцип эквивалентности выражает геометрическую природу гравитационного потенциала, поскольку метрика gm определяется потенциалом Ф:

(8)(8)goo-1 + (2Ф/с2).

(8)

(8)

В соответствии с этим неравенство (7) ведет к соотношению 18, 35]

А^(А£)2>2й^-3 = 2/*2,(9)

где I* — планковская элементарная длина.

Таким образом, для напряженностей поля, т. е. для символов Кристоффеля Гы, получаем

^r^q3>hfc-\(9а)

Вследствие этого соотношения неопределенности между измерением полевых функций и определением положения в данном измерении нелокализуемость гравитационного поля, следующая из отсутствия тензорного характера общерелятивистского гравитационного поля Гы (и его эйнштейновского комплекса энергии-импульса), по-видимому, менее проблематична для квантования гравитации. Действительно, из соотношений (9) и (9а) следует, что имеются ограничения на определение локального гравитационного поля, что также ограничивает — в смысле техники измерения — возможность определения локального гравитационного поля. Эти ограничения следуют из той же эквивалентности инерции и тяготения, которая, согласно общей теории относительности, имеет своим математическим следствием нелокализуемость гравитационного поля и его плотно ности энергии Го.

Согласно мысленному эксперименту Бора и Розенфельда, неопределенность АФ (среднего) гравитационного потенциала Ф больше или равна неопределенности гравитационного потенциала пробного тела. В соответствии с принципом эквивалентности Эйнштейна эта неопределенность (1) пропорциональна неопределенности АА1 = ХЕс-^ относительной массы М = Ес-2 этого тела, а неопределенность (2) тем больше, чем меньше линейные размеры тела: АФ ~ fAl(AL)-1.

Теперь ясно, что для возможности определения (среднего) гравитационного потенциала Ф в элементе объема V должно выполняться условие (AL)3 ^ V. Квантовомеханическое соотношение неопределенности Гейзенберга для координаты X и импульса р пробного тела ведет к соотношению

Ар XL ^ Ар XX ^ Л,(Юа)

или для ультрарелятивистских частиц

ХЕ XL > Нс.(Юб)

В результате для неопределенности массы пробного тела получаем

«1)«1)XEIc^hlcXL.

«1)

«1)

(Этот ультрарелятивистский расчет соответствует оптимальному измерению; в нерелятивистском случае член в правой части предыдущего соотношения следует умножить на с,и (v<c)l Действительно, пробное тело должно сокращаться на множитель Лоренца EjE0 5> 1, чтобы длина соответствующей волны де Бройля была достаточно малой).

В результате неопределенность гравитационного потенциала удовлетворяет в объеме измерения ~(AL)3 соотношению

Дф > -L АН. > М—(1 о\

так что неравенства (7) и (9) действительно справедливы. Кроме того, при проведении физически разумного измерения подлежащая измерению величина G должна быть больше, чем ошибка измерения AG:

G>AG.

Неопределенность AL измерения длины L содержит часть, возникающую из-за неопределенности kg метрики g. Таким образом, согласно общей теории относительности Эйнштейна, неопределенность гравитационного потенциала непосредственно приводит к неопределенности {kgL2)^ измерения положения. Разумеется, полная неопределенность (АД)2 измерения длины больше или равна неопределенности, обусловленной неопределенностью kg одной лишь метрики. Поэтому мы в конце концов получаем соотношение

L2 > (AL)2 > kgL2 > kg ^kEf.(13)

где kgL2 — неопределенность, обусловленная только Agi

kgL2 ~ g~2 kgL2.(14)

Из (13) сразу следует

Ag<l.(IS)

Соотношения (15) и (9) совместно дают

(AL)2>2Af/c3~2Z*2.(16)

Это означает, что наименьшая длина, об измерении которой имеет смысл говорить, равна планковской элементарной длине

Эта длина стремится к нулю при f^-О или при А->-0, а также При с-*-оо соответственно. Соотношение (16) также является общим результатом квантовой теории, специальной и общей теорий относительности.

В предположении, чю квантовые флуктуации гравитационного поля Ag не нарушают лоренцовскую сигнатуру пространства-времени, соотношение (17) может быть обосновано геометрически в смысле квантовой геометродинамики. При этом постулируется [41, 42]

Заметим также, что для гравитационных полей реализация условия самосогласованности (4), следующего из требования «макроскопической стабильности» пробного тела в его собственном гравитационном поле, влечет за собой некоторые проблемы. Действительно, для гравитационных полей из условия (4) получаем

<18>

Однако это условие не может быть выполнено, если размеры пробного тела меньше планковской длины I*. В этом случае из соотношения Е = Мс2 и соотношения неопределенности Гейзенберга для ультрарелятивистских частиц следует

M>^M>h/c^L> ЦсГ = (JicItS1'»(19)

где (hc/f)^ « 10“5 г есть планковская единица массы [27, 29]!). Отсюда вместо (18) получаем соотношение

[Мf ДМс2 ALс2 AL[Мf ДМс2 ALс2 AL> 1.> 1.(20)(20)

[Мf ДМ

с2 ALс2 AL

[Мf ДМ

с2 ALс2 AL

> 1.

> 1.

(20)

(20)

Здесь в отличие от неравенства (15) Ag удовлетворяет неравенству

Дг>2ДФс-=>71ад_> ™L=2.(21)

и неопределенность Ag метрики, следующая из неопределенности АФ гравитации пробного тела, препятствует всем физически разумным измерениям [35, 39].

Эйнштейновский сдвиг и лэмбовский сдвиг

Согласно эйнштейновским принципам общей относительности и эквивалентности, общерелятивистское значение наблюдаемой G получается из ее релятивистского значения G^ путем умножения на соответствующие конкомитанты метрического тензора gik. Если Н^— релятивистский оператор энергии, то

9 Более подробное обсуждение физического смысла планковской «естественной единицы массы» (hc/f) 4$ дано в приложении.

ции, имеет видции, имеет видh=№vh=№vобщерелятивистский оператор, учитывающий влияние гравита

ции, имеет вид

ции, имеет вид

h=№v

h=№v

(0

Поскольку собственные значения энергии смещены по Эйнштейну, неопределенность Xg метрики g ведет к неопределенности

ЬН«Ч^8Н(2)

значения энергии, вызываемой тяготением; согласно (2), спектральные линии — вначале резкие — «размазываются». Это уширение линий определяется выражением

АЯ/Я^’АА^АФ/с2.(3)

С другой стороны, вклады 6Я квантовых эффектов гравитационного поля в энергетический спектр (согласно квантовой теории поля) определяются, например в случае двух частиц с одинаковыми релятивистскими массами пг = 5/2, натуральными степенями n ^ 1 «чисел Зоммерфельда»

° ~ he5 ~ ( Ео ) he 1

Следовательно, лэмбовский сдвиг равен

SG~ а^ ~апН.(5)

Разумеется, наибольшие эффекты имеют место для ультра- релятивистских частиц, поскольку для этих частиц массы покоя т0 умножаются на большой множитель Лоренца Е)Е^ Считая комптоновскую длину волны равной Lo « hc!E^ получаем следующее значение длины волны де Бройля:

, he f Ео \ h Eq т

Отсюда находим гравитационный лэмбовский сдвиг

ьн”^Т№У~(т?)н'(6)

Относительная энергия частиц Е может быть определена путем измерения дебройлевской длины волны L. Тогда для разумного определения Е ошибка в измерении длины XL не должна превышать самой величины L, т. е. положение пробного тела должно быть определено с неточностью XL ^ XX, удовлетворяющей неравенству

XL^ XX^L^hcjE.(7)

Это приводит к следующей оценке возмущения метрики пробным телом:

Ш№ < fh^ (AL)2 < V2 Ag,(8)

где, согласно (11.15), kg удовлетворяет соотношению (Agf^Ag^L

В результате из неравенства (8) следует, что неопределенность kg, вызываемая флуктуациями АФ гравитационного потенциала пробного тела (т. е. флуктуациями гравитационного потенциала в абсолютном смысле), больше, чем квантовые эффекты гравитационного поля типа лэмбовского сдвига:

6//<АЯ « 72А^. (9)

Если требуется определить массы частиц m непосредственно из гравитационных ускорений, вызываемых гравитационным потенциалом Ф пробного тела, то необходимо знать его положение с точностью, большей чем hclE-.

kX^L^hc/E. (10)

Но если эти массы частиц не определены разумно (в смысле техники измерений), то утверждение относительно лэмбовского сдвига невозможно проверить.

Уширение kH]H, вызываемое неопределенными потенциалами возмущения АФ пробных тел, которые необходимы для измерения энергии частиц, всегда больше уширения дН/Н, подобного лэмбовскому сдвигу, являющегося результатом возможного квантования гравитационного поля.

Предположим, что аналогичное преобладание квантовых эффектов, связанных с пробным телом, имеет место всегда, а не только в случае вакуумных флуктуаций и лэмбовского сдвига. Но тогда не существует эмпирически подтверждаемого различия между классической и квантовой полевыми теориями гравитации (по крайней мере до тех пор, пока мы не рассматриваем свободные гравитоны). В таком случае в противоположность условию Розенфельда [33] невозможно установить эмпирически, имеют место квантовые эффекты гравитационного поля или нет.

Таким образом, содержание классической и квантованной теорий гравитации, насколько оно может быть проверено физически, не отличается в отношении применения к квантованным полям материи. Поэтому нет необходимости в большем объеме информации о гравитационном поле gik> чем можно получить из усредненных уравнений Эйнштейна (I. 3) и уравнений (I. 2) для математического ожидания тензора Эйнштейна.

Последовательное применение эйнштейновских принципов эквивалентности и общей относительности совместно с квантовомеханическим соотношением неопределенности Гейзенберга приводит к следующему результату: нет никакой разницы, как рассматривать метрику gik — как с-число или как (/-число.

Это согласуется с общими ожиданиями, относящимися к «нелокальным теориям поля» (согласно Гейзенбергу). Чтобы доказать наше предположение, необходимо исследовать в дополнение к гравитодинамическим эффектам типа лэмбовского сдвига также эффекты, связанные с гравитационным излучением и существованием свободных гравитонов (в смысле Дирака и др.) (разд. IV).

Согласно Гейзенбергу [22, 23], нелокальные теории поля, т. е. квантовые теории поля с «наименьшей длиной» (элементарной длиной Z), должны быть эквивалентны локальным теориям поля, к которым в квантовомеханическом смысле относится пространство векторов состояния (пространство Дирака— Гильберта — Фока) с индефинитной метрикой. Но отрицательные математические ожидания не имеют физического смысла. Поэтому такая нелокальная теория поля обладает, согласно Гейзенбергу, математической избыточностью относительно своего физического содержания. В общей теории относительности планковская элементарная длина I* теперь имеет вид гейзенберговского предела измерений длины. Таким образом, общая теория относительности в этом смысле есть нелокальная теория, причем эта нелокальность квантовомеханически соответствует существованию вакуумных флуктуаций Xgi& метрики gi^ Поэтому в квантовой теории гравитации с необходимостью содержится меньше физики, чем в классической общей теории относительности, и это означает, что между классическим и квантовым гравитационными полями нет различий.

Свободные гравитационные кванты и спонтанноегравитационное излучение

Алгебраические свойства свободных гравитонов, соответствующих дираковскому квантованию точных уравнений гравитации Эйнштейна, являются в принципе такими же, как свойства, которые были ранее получены Паули и де Бройлем для линеаризованных уравнений Эйнштейна (ср. [34]); их свойства очевидны из эйнштейновской теории [13] линеаризованных гравитационных волн. Гравитационные кванты — «гравитоны» Паули и Дирака — являются частицами с нулевой массой покоя и спином 2, которые полностью поперечно поляризованы, т. е. реализуются только максимальные спиновые значения +2 и —2 [25, 35].

В квантовой теории поля спонтанное испускание излучения управляется иными законами, чем в классической теории излучения. Для квантов поля с нулевой массой покоя имеет место равновесие излучения в замкнутой полости, что вследствие большого числа возбужденных мод определяется планковским

законом излучения как в квантовой электродинамике, так и в линеаризованной квантовой гравитодинамике. Из классической теории излучения следует, что энергия излучения расходится вследствие ее зависимости от числа осцилляторов ~ v2 ~ 1Д2. Как для электродинамики, так и для гравитационного излучения в этом случае справедлив закон Рэлея — Джинса (с его ультрафиолетовой катастрофой) [29].

Джинс в 1911 г. предложил рассматривать распределение по частотам и^ энергии излучения черного тела, описываемого эмпирически законом Планка, как квазистационарное состояние в смысле классической теории излучения (с осцилляторами Герца вместо осцилляторов Планка), «в котором испускание высокочастотного излучения еще не заметно, поскольку при данных условиях опыта нельзя говорить о действительном равновесии» [5].

Поэтому, согласно Джинсу, нельзя эмпирически провести различие между классическим и квантовым излучением черного тела, поскольку при этом не устанавливается равновесие излучения, но квазистационарно сохраняется изолированный энергетический спектр излучения «o(v).

Установление равновесия происходит с помощью «пылевой частицы» как катализатора [29]. Планк, Пуанкаре, Эйнштейн и Бор показали, что аргумент Джинса (который был поддержан Рэлеем) неверен: законы классической теории не могут сохраняться в электродинамике, поскольку с помощью этой «пылевой частицы» в полости очень быстро образуется равновесное излучение.

В гравитодинамике поперечное сечение о гравитационного излучения частиц значительно меньше, чем электродинамическое поперечное сечение по ~ (^2/^ЭлектронО2)2 ^ Z2 света, рассеянного электронами с массой тЭЛек1рон и «классическим радиусом» I (порядка гейзенберговской элементарной длины Z « « hc!E^ т. е. комптоновской длины волны барионов). Гравитационное поперечное сечение частицы с массой m определяется выражением

о ~ №^ (Е/Е0У tfmo№ (1)

т. е. оно пропорционально квадрату ее гравитационного радиуса

a = /£/c4=/m/c2 = №o)/mo/c2i (1а)

Расстояния г всегда должны быть больше а, чтобы предотвратить нарушения измеримой пространственно-временной структуры рассеивающей частицы ее собственным гравитационным потенциалом Ф ^ ис2/у (т, ел должно быть гарантировано, что £оо>О).

Кроме того, гравитационный радиус а должен быть меньше длины волны де Бройля L рассеивающей частицы (L определяет радиус ультрарелятивистской частицы):

a=-^^L~-^-, a^aL^L2.(2)

Отсюда получаем (см. [31], а также приложение)

а^М^-Г2.(3)

Таким образом, для поперечного сечения о рассеяния гравитационного излучения частицей всегда справедливо выражение

о~а2< hfjc3 ~ КГ36 (/lE^ = 10"4°ff0,(4)

где

« 4- • I О2 « Z(4а)

■Со Со

есть комптоновская длина волны адрона, а

(46)

•—его электродинамическое поперечное сечение Поэтому гравитационное поперечное сечение о по крайней мере в 1040 раз меньше, чем электродинамическое поперечное сечение, а временной интервал до установления равновесного распределения гравитационного излучения посредством рассеяния на пылевых частицах по крайней мере в 1040 раз больше, чем в электродинамическом случае.

Это означает, что «гравитационное излучение в полости» в действительности никогда не находится в равновесии и аргументы Джинса в этом случае справедливы: гравитационное излучение в полости находится в квазистационарном состоянии; согласно как классической, так и квантовой теориям гравитационного излучения, оно сохраняет спектральное распределение Wo(v), будучи вначале изолированным и не переходящим в «черное». Поэтому не существует измеримых различий между классическим и квантовым поведением. Если полость имеет микро- физический размер

V(he/Eq)3 ~ 106 Wq)3,(5a)

то временной интервал

T~ ХО^Н/Е^ЮЧ/с(56)

будет продолжаться до образования равновесного излучения1), т. е. до «почернения» гравитационного излучения вследствие рассеяния на пылевых частицах. Это означает, что должно

*) В электродинамике этот интервал равен (//с) (Л с/р2).

пройти время по меньшей мере порядка возраста Вселенной; по* этому расширение Вселенной препятствует образованию равно* весного излучения также в микроскопических масштабах.

Эта квазистационарность изолированного спектра гравитационного излучения соответствует нелокализуемости гранита* ционной энергии to, следующей из трансформационных свойств эйнштейновского комплекса энергии-импульса. В законах Кирхгофа и Планка для теплового излучения используется понятие локальной плотности излучения и энергии, которое для гравитационного излучения не существует. Вышеприведенные оценки являются мерой этой нелокализуемости гравитационного излучения.

Невозможность эмпирически различить на основе законов излучения квантованное и классическое гравитационное излучение становится понятной, если вспомнить следующие аргументы. Нелокализуемый эйнштейновский комплекс энергии-импульса тождествен плотности энергии-импульса

(6>

которая соответствует эйнштейновскому лагранжиану

s=(- gf glb (тм - гичд(7)

где уравнение Rik = 0 описывает свободное гравитационное поле [12, 20].

Единственными тензорами второго ранга, которые могут быть отождествлены с (локальным) тензором гравитационной энергии в общей теории относительности, являются тензор Рич- чи Rik и тензор Эйнштейна Glk = Rik — у gihR • Действительно, Gik можно интерпретировать как «метрический тензор энергии- импульса» гравитационного поля, как было предложено Лоренцем в 1916 г. и Леви-Чивитой в 1917 г. [25]. В этом случае (согласно Гильберту и Лоренцу)

-^gik = (-g)4,Gtk,(8)

что и является определением метрического тензора энергии-импульса Tik. Но для свободных гравитационных полей Gik обращается в нуль вследствие гравитационных уравнений Эйнштейна:

GiilraRik = 0)

так что, согласно предположению Лоренца, плотность энергии (—gY^Goo свободного гравитационного поля тождественно равна нулю. По этой причине Эйнштейн [13] ответил Лоренцу и Леви-Чивите, что, используя тензор (8) в качестве метрического

тензора энергии-импульса гравитационного поля, невозможно приписать энергию свободным гравитационным волнам.

С квантовомеханической точки зрения, согласно лоренцев- скому определению энергии, свободные гравитоны не существуют.

Если бы вопрос квантования свободных гравитационных полей (т. е. существования свободных гравитонов) можно было решить эмпирически и если бы ответ на этот вопрос был утвердительным, то возникла бы парадоксальная ситуация, когда можно было бы выбирать эмпирически между эйнштейновским «каноническим» определением (6) и лоренцевским «метрическим» определением (8) энергии-импульса свободных гравита- ционых полей, причем выбор был бы в пользу канонического определения. Но это исключается вследствие принципиальной невозможности различить классическую и квантовую теорию относительности и обнаружить свободные гравитоны.

Согласно нашим аргументам, вопрос о квантовании гравитационных полей может не иметь физического смысла. Это утверждение может быть согласовано с точкой зрения Эйнштейна, выраженной в его дискуссии с Бором и Борном и в его «Автобиографических заметках». Общая теория относительности есть значительно более фундаментальная концепция, чем противоречие между классической и квантовой физикой.

Приложение. О физическом смысле планковских«естественных единиц»

Макс Планк [27]

«Небезынтересно заметить, что существует возможность с помощью двух констант, входящих в выражение для энтропии излучения, установить единицы для длины, массы, времени и температуры, которые независимо от конкретных тел или субстанций необходимо сохраняли бы свое значение для всех времен и для всех, в том числе внеземных, культур и которые поэтому могут быть названы „естественными едини- цами“.

Эти величины сохраняют свое естественное значение столь долго, сколько будут справедливы законы гравитации, распространения света в вакууме и оба основных закона термодинамики; они должны также оставаться пригодными при измерениях, проводимых самыми различными методами на самом различном уровне научной компетентности».

Еще до окончательной формулировки квантовой теории Планк [27] вывел из закона Вина существование новой универсальной константы, а именно кванта действия h. Планк заметил, что, используя h и две другие универсальные константы,

гравитационную постоянную f и скорость света в вакууме с, можно определить естественные единицы для массы, длины и времени; он утверждал, что эти единицы имеют смысл всегда и везде во Вселенной 9-

Говоря на языке современной физики, планковская система естественных единиц основана на фундаментальной константе квантовой теории (планковский квант действия ft), фундаментальной константе специальной теории относительности (скорость света с) и фундаментальной константе общей теории относительности (гравитационная постоянная f). Поэтому из представлений Планка относительно физического смысла его эле-, ментарных единиц следует, что вся физика может быть сведена к квантовой теории и к специальной и общей теориям относительности. Это означает, что, согласно представлениям Планка, гравитация есть не только универсальное, но и фундаментальное взаимодействие и что гравитационное поле играет также основную роль в структуре и свойствах элементарных частиц.

В этом смысле планковские единицы связаны с программой Эйнштейна для частиц [14, 15, 19], а именно с представлением элементарных частиц как самосогласованных решений релятивистских уравнений гравитации. Согласно Планку и Эйнштейну, в этом случае массы элементарных частиц задавались бы их гравитационным взаимодействием, т. е. энергией их собственных гравитационных полей. Таким образом, планковские единицы ведут от концепции Абрагама — Лоренца, согласно которой массы частиц приписываются энергии их электромагнитного поля, к эйнштейновской общерелятивистской проблеме частиц. Идея Планка о введении кванта действия как одной из фундаментальных констант предполагает также, что эйнштейновская проблема частиц не может быть решена на уровне классической теории, но только в рамках квантовой теории гравитационного поля, т. е. в рамках квантовой геометродинамики).

') Планк перенес раздел о естественных единицах из своей статьи 1899 г. [27] в свою обзорную статью «О необратимых процессах излучения» [28]. Глава о естественных единицах присутствует также в трех первых изданиях знаменитой книги Планка «Теория теплового излучения» [29]. В четвертом издании Планк исключил эту главу как стоящую особняком от основного содержания.

Если физика сводится к планковским константам h, с и f, то это означает, что элементарный заряд, отнесенный к этим фундаментальным константам, должен быть порядка «единицы». Таким образом, планковский элементарный заряд равен

[р]2 = р*2 — Ас « 10“16 г • см3 • с-2,

[р] — р* = (Ас)'/: « 10'8 ед. СГС.’

Согласно предположению Планка, гравитация есть фундаментальное взаимодействие; поэтому из гравитационного закона следует

р'2 = ^лГ2, р* = ^ЛГ,(2)

откуда мы получаем планковскую элементарную массу

[М] = М* = (Ac/f)V1 ~ 10-5 г.(3)

Энергия поля массы М*, определяемая согласно Эйнштейну, в общей теории относительности имеет положительный знак; это дает возможность сформулировать эйнштейновскую проблему частиц [14]. В соответствии с эйнштейновскими принципами эквивалентности инерции и тяготения, а также эквивалентности массы и энергии собственная гравитационная энергия частицы, обладающей массой (3), должна быть равна ее относительной энергии М*с\ если энергия частицы имеет в основном гравитационное происхождение. Это приводит к условию (с точностью до множителя порядка единицы, который характеризует выбранную «модель частицы»)

—(4)

из которого при использовании (3) следует эффективный радиус частицы

[/] = /* = fM*^ — (hf/c*)'« Ю"33 см.(5)

Элементарное время

[Т] = Г = Пс — (hflc5')'1* ~ КГ43 с(6)

соответствует элементарной длине (5).

Для последующего существенно, что инертная (и, следовательно, гравитационная) масса частицы не инвариантна, но пропорциональна четвертой, временной компоненте Ро релятивистского вектора энергии-импульса Р. Соотношения (2) и (3) справедливы в релятивистской системе отсчета, которая не является системой покоя частицы.

дует, что в планковской системе отсчета гравитация есть сильное взаимодействие; для частицы, которая покоится в лабораторной системе (например, нуклона), тяготение является сверхслабой силой. Концепция квантовой теории поля относительно природы элементарных частиц приводит к единым теориям поля типа теорий Гейзенберга, Паули и Иваненко.

Подобно Планку, Гейзенберг также начинает с трех фундаментальных констант. Но этими константами являются h, с и масса покоя нуклона. Константа связи единой теории поля типа Гейзенберга — Иваненко также определяется через планковский элементарный заряд

[р] = g = (Нс)'11 ~ 10“8 ед. СГС.(7)

Здесь g есть константа связи сильного взаимодействия; она играет роль, которая оправдывает понятие «сильный заряд нуклона» [24]. Как и элементарный заряд е (константа связи электромагнитного взаимодействия), g также является лоренц- инвариантным скаляром [22].

Если предположить (в смысле абрагамовской программы частиц), что энергия покоя Мс2 нуклона определяется собственной энергией его сильного взаимодействия, то отсюда следует, что гейзенберговская элементарная длина / ■ в системе покоя есть эффективный радиус нуклона [в предположении, что численный множитель для «модели частицы» и специального типа связи взят из соотношений (1)]:

g2/l = Me2 ~ 10“3 г • см2 • с"2.(8)

Если использовать (7), то радиус нуклона становится равным его комптоновской длине волны:

[/] = / = g2[Mc = hc/Mc = h[Mc « 10“13 см. (9)

Соотношение (9) определяет элементарную длину Маха, Гейзенберга и Иваненко.

Пусть нуклон движется ультрарелятивистски (т. е. со скоростью и « с) относительно лабораторной системы. Обозначая соответствующий лоренц-фактор посредством

(Ю>

получаем дебройлевскую длину волны в виде лоренц-сокращен- ной компотоновской длины волны

Т ^ — ^^ ^ 7 /1 1 \

причем инертная масса ультрарелятивистского нуклона равна

M' = NM=E'/c2.(12)

Одновременно эффективный радиус нуклона сокращается:

r = lh = L'_(13)

Предположим, что скорость ультрарелятивистского нуклона относительно лабораторной системы так высока, что сокращенный радиус нуклона (13) соответствует гравитационному радиусу

fM'Ic^fhlL'c^(14)

инертной массы (12). В результате имеем

W = fM'/c2 = h/M 'с = hhMc.(15)

Уравнение (15) определяет лоренц-фактор

Y = У* = М$к (1/М) ~ 1020.(16)

Используя это соотношение для преобразования гейзенберговских величин и М из системы покоя частицы в лабораторную систему, можно получить планковские величины I* и Л1*. Одновременно гравитационное взаимодействие становится сильным [40]:

^fM2 = fM*2 = h4[L*2c2 = he.

Таким образом, элементарные планковские величины полу-» чаются из гейзенберговских величин посредством преобразовав ния Лоренца с лоренц-фактором (16). Вследствие этого гейзенберговская элементарная длина, т. е. комптоновская длина волны h/Mc нуклонов, сокращается до дебройлевской длины волны V = hc(E* ультрарелятивистских частиц с инертной массой М* = ^М.

Для скалярных зарядов [е] лоренцевское сокращение радиусов частиц [Z] и результирующее увеличение их собственных энергий ~ [^^[Z]-1 дают релятивистское увеличение массы, например

g2ii' = yg2ii = M'c = ^Мс2. (17)

Как известно, согласно Лоренцу, это как раз является содержанием релятивистской теории полевых масс.

[p'J-f'/’Af = у/,АМ.[p'J-f'/’Af = у/,АМ.(18)(18)Однако в общей теории относительности существует совершенно другое соотношение между массой гравитационного поля ~fM'2/l'c2 и инертной массой М' движущейся частицы, поскольку сам «гравитационный заряд» должен быть подвергнут преобразованию Лоренца

[p'J-f'/’Af = у/,АМ.

[p'J-f'/’Af = у/,АМ.

(18)

(18)

Отсюда следует, что собственная гравитационная энергия возрастает быстрее, чем инертная масса (относительная энергия) частиц, которая определяется по формуле Лоренца — Эйнштейна

^М^]Г = hW]L(19)

Поэтому энергия и импульс стационарного поля массы не могут образовать стабильную частицу; для стабильных частиц энергия-импульс должна образовывать релятивистский 4-вектор pt [24]. Из уравнения (19) следует, что внутри частиц имеют место быстро возрастающие давления и напряжения. В соответствии с идеей Эйнштейна эти давления и напряжения имеют электромагнитную природу.

Соотношение Лоренца (17), связывающее полевую и инертную массы, удовлетворяется для гравитационных полей в такой системе отсчета, где лоренц-фактор имеет значение у = у*, а инертная масса М' = уЕ/с2 = Е'/с2 и радиус частицы V = = у1/ в точности равны соответственно планковским величинам М* и /*:

Y2=Y*2—=(20)

Гравитационный потенциал Ф(г) = fM/r преобразуется как компонента goo метрического тензора gik. Согласно общей теории относительности, гравитационное поле точечной частицы дается метрикой Шварцшильда1). В системе покоя частицы это решение в линейном приближении имеет вид

goo 1 = h-oo ~ 2Ф/с^ guv = 6ио ~Ь huu = бму (1 ^ ^7”) »

и, и=1, 2, 3, хх = Х, х2 = У, x3 = Z. (21)

Если частица движется со скоростью у в направлении X, то соответствующее преобразование Лоренца дает компоненту

^00 = Woo + W11 = V2 (^00 + "У ^11) =

(1+^2) 2ф _ 2ФХ (у2) (l-v2/c2/ с2 с2 *

!) Одночастичное вакуумное решение (гравитационный потенциал точечной массы) уравнений гравитации Эйнштейна, т. е. метрика Шварцшильда [18], способно описывать самосогласованную частицу не в большей степени, чем кулоновское поле описывает самосогласованный электрон в теории Максвелла. Поэтому эйнштейновский комплекс энергии-импульса ^(—gV11 V^i "V ^ d3X точечной массы не образует вектора энергии-импульса pi, а гравитационное поле должно быть перенормировано (например, с помощью формализма «обрезания» с элементарной длиной и с помощью «компенсирующих полей»).

Отсюда для гравитационного потенциала ультрарелятивистски движущейся частицы следует приближенное выражение (при и « с)

ф'=Ж^2Щ

г' [(1 - V2/C2) X2 + У2 + z2]'/2 (1 - O2/C2)V1

«^^У(23)

[(Х2/у2) + У2 + Z2Yh "

Действительно, при переходе к движущейся системе отсчета гравитационная масса М становится равной М' = уМ, в то время как расстояния будут лоренц-сокращены в направлении движения X' = у~*Х.

Частица с эффективным радиусом /, создающая максимальный гравитационный потенциал Ф(/) = fM/l в системе покоя, обладает соответственно максимальным гравитационным по« тенциалом

Ф' (Л = 2fM'(l' = ^ЧМП(24)

В движущейся системе отсчета (в направлении движения). Если лоренц-фактор стремится к значению (20), то максимальный потенциал имеет в точности порядок 2с2:

ФЧП = ФЧПФЧП = ФЧПны£1wi^7ны£1wi^7— 2с2,— 2с2,(25)(25)

ФЧП = ФЧП

ФЧП = ФЧП

ны£1wi^7

ны£1wi^7

— 2с2,

— 2с2,

(25)

(25)

и для лоренц-фактора у = $ > у*, т. е. когда эффективный радиус частицы сокращается до величины, которая меньше план- ковской длины /*, максимальный гравитационный потенциал Ф(7) становится больше 2с2, так что мы получаем

gootH ~ 1 - ^- ~ 1 -4^-у2 < о. (26)

Тогда существует область в окрестности частицы, где fOo < 0, т. е. где времениподобные мировые величины меняют свою сигнатуру [39,40]. Поэтому вблизи такой частицы появляются часто дискутируемые аномалии причинности, которые связаны с шварцшильдовской поверхностью gOo = 0 !).

В результате частица находится в черной дыре, линейные размеры которой порядка гравитационного радиуса Эйнштейна

с М- fM . 7 hh

f = у -— > / = -зг~ c2 c2Me^Mc

9 Поверхность Шварцшильда g00 = 0 подразумевает как следствие изменения сигнатуры в области, окруженной этой поверхностью, нарушение причинной связи между внутренней (g00 < 0) и внешней (goo > 0) областями пространства. В 1935 г. Эйнштейн уже упоминал о значении этих аномалий сигнатуры для решения проблемы частиц [19].

ультрарелятивистской частицы. Полагая М' = М\ получаем fM*/c2 = h/M*c = r,

и эйнштейновский гравитационный радиус (т. е. шварцшильдовский радиус черной дыры), классический радиус частиц и длина волны де Бройля имеют один порядок величины [40].

На границе черной дыры имеет место полный эйнштейновский сдвиг частот; все процессы бесконечно замедляются относительно лабораторного времени:

* = ^/М> если £00“* °-(27)

Из черной дыры, т. е. из областей, где

&о<О, Ф>|с2,(28)

невозможно получить информацию.

Измерения разностей длин AL должны производиться с частицами, используемыми как стандарты, эффективный радиус и дебройлевская длина волны Lr = hc/E' которых меньше АЛ. Планковская длина /* (для которой длина волны де Бройля равна эйнштейновскому гравитационному радиусу) есть фактически наименьшая измеримая длина согласно объединенным квантовой теории и теории относительности. Действительно, для Е*> Е* длина волны де Бройля L меньше, чем /*: L = hc/E < /*. Но гравитационный радиус (Ес~4 и, следовательно, эффективный радиус частиц больше, чем /*. Планковская масса М* тоже определяет максимальную энергию элементарной частицы, поскольку она эквивалентна массе элементарной частицы, обладающей ультрарелятивистской энергией Е* = ^*Мс2. Тогда для Е > Е* частица не связана причинно со своей окрестностью (с лабораторией). Сильная гравитация частицы устраняет ее из физического пространства. Это и есть физический смысл нового соотношения неопределенности, обсуждавшегося выше.

Очевидно, что это свойство относительно: если смотреть на лабораторию (и на весь космос) из системы покоя нуклона, то они представляются черными дырами. Важнейшим моментом является то, что при лоренц-факторе у = у > у* = (.hc/fy^^X/M^ лаборатория и нуклоны не связаны причинно. Действительно, лаборатория (или космос) образована из таких же нуклонов с массой покоя М, что и частица внутри нее. Мы можем смоделировать нашу проблему посредством двух нуклонов, относительная скорость которых определяется лоренц-фактором у>у* = = М*/М. Очевидно, что здесь существует полная симметрия между утверждениями- «нуклон I движется с фактором у в системе покоя нуклона II» и «нуклон II движется с фактором у

в системе покоя нуклона I». В обоих случаях причинная связь между обеими частицами нарушена.

В общем случае появление шварцшильдовского горизонта, которое является здесь лишь результатом применения преобразования Лоренца к метрике (согласно [27]), зависит от скорости и нуклона относительно системы отсчета.

Пусть две ультрарелятивистские частицы I и II имеют скорости V! и ип относительно лаборатории и, следовательно, их лоренц-факторы равны соответственно

Тогда их относительная скорость uz п определяется по теореме сложения скоростей Эйнштейна как суперпозиция двух бустов в одном направлении:

„ _ VI +,п i + (Vn/c2)‘

Их относительный лоренц-фактор Yj ц = [1 — (у8 п/у2)]”^ ПРИ нимает вид

Yiii = (1+^JL)yiYii.(29)

При Vt « «н « ±с этот фактор билинеен относительно yi и уп: Yi п == 2YiYii,(29а)

в то время как при uz ^ —ип относительная скорость частиц приближенно равна нулю, и yin->l. Выражение (29а) определяет формулу преобразования для временной компоненты р0 вектора энергии-импульса pi ультрарелятивистской частицы с plpt « 0:

Ех п “ Yi ххМсг«^хЕхх.~ 2yhEj ~ гу^цМс8 (30)

(причем Ui « Un ^ tcW Если Vin^Y*, то причинной связи между частицами I и II не существует; эти частицы ведут себя друг относительно друга, как если бы они были черными дырами.

Таким образом, планковский лоренц-фактор у* приводит к эффективной максимальной скорости для системы частиц с массой покоя М, которая меньше скорости света с. Относительные

скорости двух частиц ^ и, для которых лоренц-фактор больше, чем квадрат величины V2y*:

Yin>2Y*2 = 2-^-l-,

невозможны1). Действительно, это может иметь место только если по крайней мере одна из частиц обладает скоростью с относительно лабораторной системы, соответствующей у > у*. Но в лаборатории такие частицы не могут быть образованы или обнаружены, поскольку они находятся вне всех причинных и информационных связей между частицами и лабораторией.

Роль у* как лоренц-фактора максимальной скорости частицы с массой покоя М относительно лабораторной системы означает зависимость реально достижимых скоростей относительно лаборатории от типа частиц. Разумеется, фотоны, которые обладают нулевыми массами покоя (Л1->0), всегда имеют лоренц- фактор у оо относительно всех частиц и, следовательно, во всех лабораториях. Но физические лаборатории состоят из частиц с ненулевыми массами покоя М, а достижимая максимальная скорость дается выражением у* = (hc/f)'h(]JM) как величина, обратная М. С другой стороны, достижимая относительная максимальная масса М* и соответствующий эффективный радиус частицы, т. е. гравитационный радиус fM*c-2, равны план- ковским универсальным величинам (hc/fY^ и (hf/c3)^ соответственно независимо от типа частиц.

ЛИТЕРАТУРА

Abraham М., Theorie der Elektrizitat, Leipzig, 1904.

Bergmann P. G., Komar A., Recent Developments in General Relativity, Pergamon, New York, 1962.

Bohr N., Atomtheorie und Naturbeschreibung, Berlin, 1931.

Bohr N., Atomphysik und menschlische Erkenntnis, Vol. I, Braunschweig, 1958. [Имеется перевод: Бор H., Атомная физика и человеческое познание. — М.: ИЛ, 1961.]

Bohr N., Atomphysik und menschlische Erkenntnis, Vol. II, Braunschweig, 1966.

9 Это означает, что невозможны относительные скорости двух частиц, при которых эффективные радиусы частиц 1 сокращаются до эйнштейновского гравитационного радиуса fMc~2 частиц в системе покоя, поскольку тогда лоренц-фактор yi п должен быть настолько большим, что

JAI 1 z _ 1 h

~ с2 ~ у ~ у Мс

Это приводит к соотношению

_ he 1

f м1

w у*2»

Bohr N., Rosenfeld L., Zur Frage der Messbarkeit der elektromagnetischen Feldgrossen, Copenhagen, 1933. [Имеется перевод: Бор H., Розенфельд Л. К вопросу об измеримости электромагнитного поля. — В сб.: Бор Н., Избранные научные труды, т. II, — М.: Наука, 1971, с. 120.]

Bridgman Р. W., Dimensional Analysis, Yale Univ. Press, New Haven, Connecticut, 1922. [Имеется перевод: Бриджмен П. В. Анализ размерностей. — Л — Мл ОНТИ, 1934.]

De Witt В., Gravitation, ed. Witten L, New York, London, 1962.

Dirac P. Д. M., Phys. Rev., 114, 924 (1959).

Dirac P. A. M. — in: Contemporary Physics, ed. Salam A., Vol. I, Vienna, 1969.

Eddington A. S., Report on Gravitation, Physical Society, London, 1918.

Einstein A., Die Grundlagen der allgemeinen Relativitatstheorie, Barth J. A., Leipzig, 1916. [Имеется перевод: Эйнштейн Д. Основы общей теории относительности.— В сб.: Эйнштейн А. Собр. научн. трудов, т. I.— Мл Наука, 1965, с. 452.]

Einstein Д., Berliner Berichte, 154 (1918).

Einstein Д., Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss., 349 (1919). [Имеется перевод: Эйнштейн А. Играют ли гравитационные поля существенную роль в построении элементарных частиц материи? — В сб.: Эйнштейн А. Собр. научн. трудов, т. I. — Мл Наука, 1965, с. 664.]

Einstein Д., J. Franklin Inst, 221, 349 (1936). [Имеется перевод: Эйнштейн А. Физика и реальность. — В сб.: Эйнштейн А. Собр. научн. трудов, т. IV. — Мл Наука, 1967, с. 200.]

Einstein А. — in: Albert Einstein: Philosopher-Scientist, ed. Schlipp P. A., Evanston, Illinois, 1949. [Имеется перевод: Эйнштейн А. Автобиографические заметки. — В сб.: Эйнштейн А., Собр. науч, трудов, т. IV. — Мл Наука, 1967, с. 259.]

Einstein A. The Meaning of Relativity, 5th ed., Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1955. [Имеется перевод: Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — В сб.: Эйнштейн А. Собр. научн. трудов, т. II,— Мл Наука, 1966, с. 5, 849.]

Einstein A., Grundzuge der Relativitatstheorie, Akademie-Verlag and Vie- weg, Berlin, Braunschweig, 1969.

Einstein A., Rosen N., Phys. Rev., 48, 73 (1955).

Einstein A. et al., Das Relativitatsprinzip, 4th ed., Leipzig, 1922.

Heisenberg W., Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, 1st ed., Leipzig, 1930. [Имеется перевод: Гейзеноерг В. Физические принципы квантовой теории. — М.—Л.: Теортехиздат, 1932.]

Heisenberg W., Einfuhrung in die einheitliche Feldtheorie der Elementarteil- chen, Hirzel, Stuttgart, 1967. [Имеется перевод: Гейзенберг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. — Мл Мир, 1968.]

Heisenberg W., Naturwissenschaften, 61, 1 (1974).

Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. — Мл ГИТТЛ, 1951.

Pauli W., Theory of Relativity, Pergamon, New York, 1958. [Имеется перевод: Паули В. Теория относительности. — М.—Л.: Гостехиздат, 1947 (перевод первого издания).]

Pauli W., Physik und Erkenntnistheorie, Braunschweig, 1961.

Planck M., Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss., 440, 1899.

Planck M., Ann. Phys., 1, 69 (1900). [Имеется перевод: Планк M. О необратимых процессах излучения.— В сб.: Планк М. Избранные труды.— Мл Наука, 1975, с. 191.]

Planck М., Theorie der Warmestrahlung, J. A. Barth, Leipzig, 1906. [Имеется перевод: Планк M, Теория теплового излучения, — М, — Лл ОНТИ8 1935.]

Planck М., Physikalische Abhandlungen und Vortruge, Vol. I, Vieweg, Braunschweig, 1958.

Rosenfeld L. — in: Conference on the Role of Gravitation in Physics, North Carolina Univ. Press, Chapel Hill, North Carolina, 1957.

Rosenfeld L, Nucl. Phys., 40, 353 (1963).

Rosenfeld L. — in: Entstehung, Entwicklung und Perspektiven der Einstein- schen Gravitationstheorie, ed. Treder H.-J., Berlin, 1966.

Tonnelat M. A., Les Theories Relativistes de 1’Electromagnetisme et de la Gravitation, Paris, 1965.

Treder H.-J., Fortsch. Phys., 11, 81 (1963).

Treder H.-J. — in: Physikertagung 1965, B. G. Teubner, Stuttgart, 1965, p. 541.

Entstehung, Entwicklung und Einsteinschen Gravitationstheorie, ed. Treader H.-J., Akademie-Verlag, Berlin, 1966.

Treder H.J. — in: Perspectives in Quantum Theory, eds. Yourgrau W., von der Merwe A., MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1971.

Treder H.-J., Der physikalisce Raum, Akademie-Verlag, Berlin, 1974.

Treder H.-J., Ann. Phys., 32, 238 (1975).

Wheeler J. A., Geometrodynamics, Academic Press, New York, 1962.

Wheeler J. A., Einstein’s Vision, Springer, Berlin, Heidelberg, 1968. [Имеется перевод: Уилер Дж. А. Предвидение Эйнштейна.— М.: Мир, 1970.]

10

Инерция и космология в теорииотносительности Эйнштейна

Дэю. В. Нарликар ')

Природа не начинается с элементов, тогда как мы обязаны начинать с них. Несомненной удачей для нас является то, что время от времени мы можем отвести наши глаза от великого единства сущего и дать им отдохнуть на отдельных деталях. Но в конечном счете мы не должны пренебрегать возможностью пополнять и корректировать наши взгляды посредством тщательного рассмотрения тех обстоятельств, которые на время оставались вне нашего внимания

Эрнст Мах, «Механика»

Ньютон, Мах и Эйнштейн

Понятие инерции, впервые введенное Галилеем, нашло математическое выражение в законах движения Ньютона. Согласно второму закону движения, сила, действующая на частицу, пропорциональна ускорению этой частицы. Постоянная пропорциональности служит мерой инерции частицы и называется ее инертной массой. Так, если Р — сила, f— ускорение, а т — инертная масса, то мы имеем

P = mf.(1.1)

Однако, формулируя этот закон, Ньютон встретился с фундаментальной трудностью: каким образом следует фиксировать систему отсчета, относительно которой измеряется f? Ясно, что уравнение (1.1) не может быть справедливо во всех системах отсчета. Если оно справедливо в системе ^, то в другой системе ^х, движущейся с ускорением а относительно ^, закон движения принимает вид

Р' = Р — ma = mV,(1.2)

где f'— ускорение частицы относительно ^', а Р' — сила, измеряемая в ST'. Таким образом, сила меняется от Р до Р — ma. Дополнительный член —ma, который должен быть добавлен к Р, зависит от массы частицы и поэтому называется силой инерции. Системы отсчета, в которых уравнение (1.1) справедливо без такой модификации, называются инерциальными. Все эти си*

’) J. V. Narlikar, Тата-институт фундаментальных исследовланий, Бомбей, Индия,

стемы отсчета (включая Зг) движутся относительно друг друга без ускорения.

Чем же отличаются инерциальные системы отсчета от неинерциальных? Ньютон априори не мог иметь физических оснований для проведения такого различия. То, что такое различие существует в природе, можно увидеть или продемонстрировать многими путями. Ньютон обсуждал так называемый эксперимент с ведром. Вращение ведра имеет относительный характер. Если один наблюдатель видит ведро вращающимся, то другой (например, сидящий на ведре) может утверждать, что оно не вращается. В экспериментах Ньютона это различие может быть сделано абсолютным. Если ведро подвешено на струне и струна закручена, то после того, как мы отпустим ведро, оно начнет вращаться, поскольку закрученная струна будет раскручиваться. Если ведро содержит немного воды, то ее поверхность будет искривляться и понижаться в центре. Этот абсолютный эффект доказывает наличие сил инерции и позволяет различать инерциальные и неинерциальные системы отсчета.

Но почему должно существовать такое различие, Ньютон понять не мог. Однако он использовал его для постулирования так называемого абсолютного пространства. Фактически мы здесь имеем дело с особой инерциальной системой отсчета, в которой справедливо уравнение (1.1). Все ускорения относительно этой системы могут быть обнаружены благодаря наличию сил инерции.

Создание специальной теории относительности не изменило логического статуса второго закона движения. В самом деле, Эйнштейн устранил понятие абсолютного пространства, но особая роль инерциальных систем отсчета сохранилась. Сам Эйнштейн хорошо осознавал эту особую роль. Действительно, он привел аналогию [8] с кажущейся особой ролью вертикального направления в любой точке Земли. Человек с весьма ограниченным опытом познания окружающего мира может подумать, что Земля плоская и что вертикальное направление абсолютным образом отличается от горизонтальных. Более полное знание окружающего мира могло бы изменить это впечатление и прояснить истинный смысл вертикали. Нельзя ли аналогично, посредством лучшего понимания структуры Вселенной, выяснить тайну особой роли инерциальных систем отсчета?

Мах в прошлом веке отметил, что Вселенная действительно предоставляет ключ к разгадке — ключ, которого не было в распоряжении Ньютона. Астрономические наблюдения показали, что система отсчета локального наблюдателя, в которой удаленные участки Вселенной представляются невращающимися, есть инерциальная система отсчета. Это замечательный результат! Наблюдатель может измерить вращение Земли относительно

ньютоновского абсолютного пространства, наблюдая за маятником Фуко, который приводится в движение силами инерции. Или же он может измерить вращение относительно удаленных галактик1). В любом случае он получает один и тот же ответ! Другими словами, космология, по-видимому, дает ответ на вопрос, почему определенные системы отсчета играют особую роль.

Это обстоятельство подчеркнул Мах в своей критике ньютоновской механики. Как ученый, считающий надежными все научные выводы, основанные на непосредственно наблюдаемых величинах (а не на абстрактных теориях), Мах активно выступил против понятия абсолютного пространства и попытался заменить его фоновым пространством удаленных областей Вселенной. Он пошел даже дальше. Ньютоновское понятие инерции и ее измерение с помощью массы не удовлетворяли его. Если масса есть количество вещества в теле, то как ее следует измерять? Для Маха масса и инерция были не присущими телу свойствами, а следствием существования тела во Вселенной, содержащей и другую материю. Чтобы измерить массу, необходимо использовать уравнение (1.1): измерить силу и разделить ее на вызванное ею ускорение. Но уравнение (1.1) само зависит от использования абсолютного пространства, которое идентифицировалось с фоновым пространством удаленной материи. Поэтому, согласно рассуждениям Маха, масса каким-то образом определяется удаленной материей.

Каким же образом? Ответа на этот вопрос Мах не дал. Его рассуждение, приведенное выше, известно как принцип Маха. Даже не будучи строго сформулированным, он тем не менее представляет определенную интеллектуальную привлекательность. Как реагировал на него Эйнштейн? Появившийся в годы создания теории относительности, принцип Маха был призван сыграть важную роль в подходе Эйнштейна к пространству-времени и тяготению.

Эйнштейн выразил свое несогласие с абсолютным пространством таким образом [8]:

«В качестве такого определяющего обстоятельства Ньютон ввел «абсолютное пространство» как некоего вездесущего активного участника всех механических процессов. Под «абсолютным» Ньютон, очевидно, разумеет не подверженное влиянию масс и их движений. Положение усугубляется тем, что предполагается существование бесконечного

!) Во времена Маха не было установлено существование других галактик. Вращение измерялось относительно фона удаленных звезд в нашей Галактике. Известно, что фон, состоящий из галактик, обеспечивает лучшую инерциальную систему отсчета, чем фон, состоящий из звезд, которые находятся значительно ближе к нам.

множества инерциальных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и без вращения, причем эти системы отсчета предполагаются выделенными среди всех остальных жестких систем отсчета».

Без сомнения, Эйнштейн находился под влиянием Маха и неоднократно воздавал ему должное. Однажды он выразил на* дежду, что общая теория относительности сможет включить в себя принцип Маха в той или иной форме. Эта надежда не осуществилась, как мы увидим в следующем разделе. Позднее Эйнштейн отошел от концепций Маха. Приведем его собствен* ные слова [8].

«По мнению Маха, в действительно рациональной теории инерция, подобно другим ньютоновским силам, должна происходить от взаимодействия масс. Это мнение я долго считал в принципе правильным. Но оно неявным образом предполагает, что теория, на которой все основано, должна принадлежать к тому же общему типу, что и ньютонова механика: основными понятиями в ней должны служить массы и взаимодействия между ними. Между тем нетрудно видеть, что такая попытка решения не вяжется с духом теории поля».

Эйнштейн возражал здесь против понятия дальнодействия, характерного для принципа Маха. Ньютоновская теория тяготения есть теория дальнодействия. Электромагнетизм начинался как теория дальнодействия и оказался неприспособленным для описания всех наблюдаемых явлений, включая излучение. На Эйнштейна произвела сильное впечатление максвелловская теория поля не только потому, что она успешно описывала электромагнитные явления, но и потому, что ей была присуща внутренняя красота. В этой теории уже содержалась лоренц- инвариантность, требуемая специальной теорией относительности. С другой стороны, дальнодействие было мгновенным и поэтому не согласовывалось со специальной теорией относительности. Хотя — в отличие от электромагнетизма — экспериментальных данных, противоречащих ньютоновской теории тяготения, не было (за непонятым исключением прецессии перигелия! Меркурия!), ее логическая непоследовательность уже была очевидна. И принцип Маха, казалос:, предполагал аналогичную идею дальнодействия.

Тем не менее сейчас, в сотую годовщину со дня рождения Эйнштейна, следует задаться вопросом, действительно ли идеи Маха несовместимы с теорией гравитации. Нельзя ли переформулировать ньютоновское дальнодействие так, чтобы выразить идеи Маха без нарушения теории относительности? В настоя* щей статье мы попытаемся ответить на этот вопрос. Мы начнем с обсуждения областей, где общая теория относительности и

принцип Маха вступают в противоречие. Затем мы обратимся к подходу, основанному на дальнодействии. Вначале мы рассмотрим, каким образом можно заставить работать этот подход в электромагнитной теории. Затем сформулируем на аналогичных основаниях теорию тяготения, которая включала бы также идеи Маха, и продемонстрируем, каким образом эта теория приближается к общей теории относительности в случае систем многих частиц. Наконец, мы обсудим две области, где обе теории отличаются друг от друга.

Общая теория относительности и принцип Маха

Мы рассмотрим здесь, в какой степени принцип Маха согласуется с общей теорией относительности. Обсуждение проводится по двум направлениям: наблюдательному и концептуальному.

Наблюдательные аспекты

Одного из первых своих успехов общая теория относительности добилась в космологии. Одновременно с открытием Хабблом небулярного красного смещения [27] появились модели релятивистской космологии [12], которые могли объяснить эти наблюдения на основе расширяющейся Вселенной. Эти модели могут быть описаны посредством линейного элемента Робертсона — Уолкера

ds2 = df - S^Ij^t + г2(d02 + sin20dV2)].(2.1)

Здесь (г, 9, ф)—постоянные содвижущиеся координаты произвольной галактики (рассматриваемой как точка!); / — космическое время, которое служит также б качестве собственного времени каждой галактики; S^— зависящий от времени масштабный фактор. Так, увеличение S(t) со временем предполагает расширение. Параметр /г принимает значения 0, 1 или —I и определяет знак кривизны подпространств t = const. Модели с к = + 1 описывают «замкнутые» вселенные, тогда как модели с 6=0, —1 являются моделями открытых вселенных. Уравнения поля Эйнштейна определяют форму S^ty

Преобразование

R = rS^ T = F(x\

v Г х dx ।dx/ i(2.2)

X — J 1 - kx* + 3 S (x) dS (x)/dx ^a’ b — const) ab

трансформирует линейный элемент (2.1) в следующий элемент:

ds2 = е^ dT2 - ек dR2 - R2 (d92 + sin2 9 d^(2.3)

где

е~Л = 1 - kr1 - rS\ ev = (1 - &r2) S^^FiV. (2.4)

Здесь £ (/) = dS/dt, Fi(x) = dF/dx. Выбирая произвольную функцию F так, чтобы при R = 0 имело место равенство ev = 1, и разлагая в степенной ряд вблизи ^ = 0, получаем й«2^(1-7?24)^2-(1 +-^- + ^-)d/?2-

-^2(d02 + sin20d»2). (2.5)

Знак ^ означает, что степенями R выше второй пренебрегается.

В любом «локальном» эксперименте /?->0, и линейный элемент стремится к линейному элементу в специальной теории относительности. Другими словами, наблюдатель при R = 0 может использовать этот линейный элемент для задания локальной инерциальной системы отсчета. Тем не менее если он рассматривает Вселенную на основе (2.3), то обнаружит, что удаленные галактики не вращаются (т. е. имеют постоянные 9 и ф). Иначе говоря, эти космологические модели, полученные на основании уравнений Эйнштейна, согласуются со следующими из наблюдений требованиями, которые привели Маха к его идеям.

Тем не менее это соответствие не означает, что общая теория относительности с необходимостью содержит принцип Маха. В сборнике статей, опубликованных в журнале «Reviews of Modern Physics» в ознаменование 70-летия со дня рождения Эйнштейна, такое утверждение отрицается [13]. С помощью контрпримера Гёдель предложил следующую модель однородной вращающейся Вселенной:

ds3 = dP 4- 2^' dt dx1 - (dx1)2 + ^ e^ \dx^ - (dx3)3.(2.6)

Она обладает плотностью p^ (8л)-1 и X = V2 в геометрических единицах. Смысл модели Гёделя заключается в том, что она предполагает удаленные галактики (с постоянными х1, х2, х3) вращающимися относительно любой инерциальной системы отсчета, используемой произвольным наблюдателем (с постоянными х1, х2, х3). В этом смысле решение является антимахов- ским.

В течение некоторого времени считалось, что антимаховское решение, подобное этому, возможно вследствие не равного нулю Х-члена в уравнениях Эйнштейна. Действительно, Х-член не является общепринятым. Его введение было подсказано

причинами, которые более не являются убедительными. Предполагая, что это не так, могли бы мы избавиться от решений типа Гёделя? Увы, нет! Можно найти решения уравнений Эйнштейна без Я-члена, которые являются антимаховскими в вышеупомянутом смысле [35]. До тех пор, пока такие решения не могут быть исключены, аргумент, что общая теория относительности однозначно дает наблюдательное обоснование принципа Маха, является некорректным. В ретроспективе именно симметрия линейного элемента (2.1) прежде всего ответственна за результат Маха. Предположение, что эта симметрия может быть достигнута при непрерывном образовании вещества, было выдвинуто Хойлом и Нарликаром [20, 21]. Мы не будем здесь обсуждать этот подход.

Концептуальные аспекты

Возвращаясь ко второму закону движения (1.1), рассмотрим, что происходит, когда мы имеем одну частицу, движущуюся без воздействия сил в пустой Вселенной. В этом случае мы имеем

mf = 0.(2.7)

Если следовать предписаниям Ньютона относительно инерции, то отсюда можно получить

f = 0,(2.8)

т. е. частица движется с постоянной скоростью. Если предположить, что абсолютное пространство Ньютона в действительности есть не умозрительное понятие, но имеет некоторые физические обоснования, то в данном случае становится трудно понять уравнение (2.8). Каким образом определяется эта система отсчета в пустом пространстве, через которое движется частица? Скорее нам следовало бы ожидать, что в отсутствие любого физического фона движение частицы должно быть неопределенным.

Именно такой вывод можно фактически сделать из (2.7), если взять альтернативное решение

/и = 0.(2.9)

Тогда f будет неопределенным, как и требуется. Но из уравнения (2.9) следуют и более серьезные выводы. Оно означает отказ от ньютоновской концепции, что инерция есть свойство материи, а масса — ее мера. Так или иначе, m теперь должна зависеть от фона таким образом, чтобы она обращалась в нуль» цри отсутствии фона. Это точка зрения Маха.

В общей теории относительности пустая Вселенная описывается уравнениями поля Эйнштейна

^ = 0.(2.10)

Можно найти такие решения этих уравнений, которые будут регулярны повсюду. Времениподобные геодезические в таких решениях соответствуют уравнению (2.8). В отсутствие фона такие решения также теряют смысл. Здесь снова возникает искушение обратиться к альтернативе, представленной уравнением (2.9). Но рамки общей теории относительности не допускают этого.

Второй концептуальный конфликт относится к измерению. Если массы действительно зависят от фона, т. е. от широкомасштабной структуры Вселенной, то возможность их изменения от одной пространственно-временной точки к другой не может быть отвергнута. Но массы играют фундаментальную роль в определении единиц. Например, если положить с (скорость света) и й (постоянная Планка, деленная на 2л) равными 1 с учетом теории относительности и квантовой теории, то все единицы могут быть выражены как степени массы. Так, в частности, длина ^т™\ постоянная тяготения G ~ т-\ электрическое поле ~т? и т. д. Мы можем, например, выбрать в качестве основной единицы массу стабильной элементарной частицы, скажем протона. Но мы не можем гарантировать, что эта единица будет одной и той же везде, так как допускаем изменение массы от точки к точке. Чтобы учесть это изменение, мы должны действовать следующим образом.

Предположим, что в одной из пространственно-временных точек Р^ мы построили линейный элемент

ds^g^dx1 dxfc.(2.11)

Мы не можем придать |ds| абсолютный смысл в точке Р, поскольку не можем быть уверены в абсолютном значении нашей основной единицы. Однако мы без труда можем сравнивать длины по различным направлениям в точке Р. Таким путем мы определяем отношения величин gik^* а не их абсолютные значения. Следовательно, вместо (2.11) мы получим

dst — Wlgik^Wd^(2.12)

без изменения этих отношений, причем Q(P)^0, Вследствие этого более рациональной представляется такая формулировка физической теории, которая зависит только от отношений, а не от абсолютных значений метрического тензора. Такая теория называется конформно-инвариантной.

Другими словами, конформно-инвариантная теория не меняет своей структуры, если метрика пространства-времени

претерпевает конформное преобразование:

gtk-*^gu = gib 0 < Q < оо, (2.13)

где Q — произвольная (с надлежащей регулярностью) функция пространственно-временных координат.

Максвелловские уравнения поля конформно-инвариантны, а общая теория относительности не является таковой. Постоянство массы и абсолютный характер линейного элемента (2.11) в этой теории находятся, следовательно, в противоречии с принципом Маха.

На первый взгляд данный конфликт представляется непреодолимым, откуда следует, что сближение между общей теорией относительности и принципом Маха невозможно. В последующих разделах мы обсудим, каким образом на основании идей Маха (с соответствующими модификациями) можно построить теорию гравитации, которая приводила бы к общей теории относительности, применимой для наиболее практически важных целей. Подход к такой теории осуществляется через дальнодействие, которое мы вначале опишем на примере электромагнитной теории.

Теория излучения с поглотителем

В письме к Веберу 19 марта 1845 г. Гаусс писал:

«Я бы, без сомнения, давно опубликовал результаты моих исследований, если бы в то время не забросил их, поскольку мне не удалось найти то, что я считал краеугольным камнем: Nil actum reputans si quid superesset agen* dum1), а именно вывод добавочных сил — дополняющих взаимодействие покоящихся электрических зарядов, когда они оба находятся в движении,— из действия, которое распространяется не мгновенно, но с течением времени, как в случае света».

Попытки Гаусса были предприняты примерно за тридцать лет до создания максвелловской теории поля и за шесть десятилетий до появления специальной теории относительности. Успех этих двух теорий переместил центр тяжести с дальнодействия на поля, и только в нашем столетии проблема, поставленная Гауссом, была решена.

Начало было положено Шварцшильдом [36], Тетроде [38] и Фоккером [9—11], которые независимо сформулировали понятие запаздывающего дальнодействия. Сформулированный

9 Пока не все сделано, считай, что ничего не сделано (лат.).

Фоккером принцип действия можно записать в следующем виде:

^=-£$moda-££$ V»eb^>^A^Чlkdaldbk• (31) аа<Ь

Рис. 1. Точка А на мировой линии частицы а получает запаздывающее воздействие от В- и опережающее воздействие от В+.Рис. 1. Точка А на мировой линии частицы а получает запаздывающее воздействие от В- и опережающее воздействие от В+.В вышеприведенном выражении заряженные частицы обо* значены индексами а, Ь, ..., а еа и та — заряд и масса частицы а. Мировая линия частицы а задается координатными функциями а1^ от собственного времени а. Поскольку речь идет о пространстве-времени Минковского, то da? = т]^ da1 da\ (3.2)

Рис. 1. Точка А на мировой линии частицы а получает запаздывающее воздействие от В- и опережающее воздействие от В+.

Рис. 1. Точка А на мировой линии частицы а получает запаздывающее воздействие от В- и опережающее воздействие от В+.

где тр^ = diag(—1, —1, —1, 1). Первый член в j/ представляет собой, следовательно, инерциальный член. Второй член описывает электромагнитное взаимодействие между мировыми линиями любой пары частиц (a, by Дельта-функция показывает, что это взаимодействие эффективно, только когда s\B (инвариантный квадрат расстояния между произвольными мировыми точками А, В на мировых линиях частиц а и Ь) обращается в нуль. Это предполагает запаздывающее действие: условие sAB = 0 означает, что А и В связаны лучом света.

Хотя эта формулировка и удовлетворяет требованию релятиви

стской инвариантности, она приводит к другим затруднениям. Основная трудность заключается в следующем (рис. 1). Произвольной точке А на мировой линии частицы а соответствуют две точки В+ и В_ на мировой линии частицы Ь, для которых $лВ = 0. Влияние А воспринимается в В+ (в более поздний момент времени) и в В_ (в более ранний момент времени). Аналогично поскольку принцип действия гарантирует равенство действия и противодействия, то и воздействие от В^ и В_ воспринимается в А. Таким образом, существуют влияния, распространяющиеся со скоростью света не только в будущее, но и в прошлое. Это противоречит принципу причинности, который представляется справедливым в повседневной жизни. Другие трудности были менее серьезны, хотя и ими нельзя было пренебрегать. Например, поскольку отсутствовало «самодействие»

(случай а = Ь исключен из двойной суммы), то казалось, что нет никакого очевидного пути для учета затухания излучения.

Эти трудности были устранены Уилером и Фейнманом [40] посредством привлечения к рассмотрению поглотителя и учета его важной роли ’). Из рис. 1 видно, что воздействия от В± приходят в Л мгновенно независимо от пространственного расстояния между а и Ь. Поэтому необходимо учитывать в Л воздействие всей Вселенной. Хотя предполагается, что удаленные частицы вносят меньший вклад, их число достаточно велико, чтобы сделать расчет нетривиальным. Сущность аргумента, приведенного Уилером и Фейнманом, изложена ниже.

Для начала определим 4-потенциал в точке X, создаваемый частицей Ь, посредством соотношения

^(Х) = еъ 6 (s^B) т)<6 Д66,(3.3)

а также соответствующее поле прямого взаимодействия частиц

Г$ = А$<-А<&.(3.4)

Поле прямого взаимодействия частиц отличается от обычного поля, так как оно не имеет ни одной независимой степени свободы^ 4-потенциал тождественно удовлетворяет соотношениям

А» >\ 6 = 0, □ Л<ь>ft — Tf-MW\ тп = 4л/(Ь)\(3.5)

где

i^-еД^Х, BW(3.6)

есть вектор плотности тока. Таким образом, хотя соотношения (3.5) напоминают волновое уравнение Максвелла (и условие калибровки), они представляют собой тождества.

Уравнение движения произвольного заряда а получается путем вариации его мировой линии и наложения требования 6^ = 0. Мы получаем

т ^2- — е У ДМ i(з ух

т« da4 е»da

ba

Таким образом, на заряд а действуют все остальные заряды Вселенной.

Обратимся теперь к трудности, которая возникает вследствие временной симметрии этой формулировки. Решение (3.3) в отличие от запаздывающего решения уравнения (3.5) есть симметричное во времени полуопережающее и полузапаздывающее

Рис. 2. / — полное запаздывающее поле, наблюдаемое фактически. В световом конусе прошлого для В имеем нулевое поле; II- симметричное во времени поле прямого взаимодействия частиц.

решение. То же относится и к полям прямого взаимодействия частиц. Опуская индексы ц к, можно написать

F»'-^ № + ^}.(3.8)

Как показано на рис. 2, это поле существует в световых конусах прошлого и будущего для В.

Уилер и Фейнман рассуждали следующим образом. Если мы двигаем заряд Ь, то он создает возмущение, которое влияет на все остальные заряды во Вселенной. Их реакция возвращается назад мгновенно. Уилер и Фейнман показали, как следует вычислять такую реакцию во вселенной типа статической вселенной Минковского с равномерным распределением электрических зарядов. Они показали также, что реакция на движения заряда b может быть вычислена последовательным образом и равна

»м=4-га-ч.,}.(з.9)

Таким образом, пробная частица в окрестности заряда Ъ испытывает воздействие чистого «поля»

F^-FW-V^'-F*..(3.10)

Это строго запаздывающее ности! СамосогласованностьЭто строго запаздывающее ности! СамосогласованностьРис. 3. В теории Уилера — Фейнмана реакция из будущего R^ порождается поглотителем в ответ на полное запаздывающее поле F(3aV Это поле есть сумма поля ‘/2^ происходящего от частицы Ь, и поля Va^an» происходящего от R^b\ Опережающая часть от R^ сокращается с полем Уг^^ от частицы Ь.Рис. 3. В теории Уилера — Фейнмана реакция из будущего R^ порождается поглотителем в ответ на полное запаздывающее поле F(3aV Это поле есть сумма поля ‘/2^ происходящего от частицы Ь, и поля Va^an» происходящего от R^b\ Опережающая часть от R^ сокращается с полем Уг^^ от частицы Ь.поле, наблюдаемое в действитель- аргументации следует из того факта, что реакция Rw была вычислена посредством добавления ПОЛеЙ '(А ВС6Х ЧаСТИЦ а^Ь’ которые были возбуждены этим полным полем Flan. Таким образом, играет роль лишь световой конус будущего для В (рис. 3). Реакция из будущего устраняет опережающую составляющую F^ и удваивает ее запаздывающую составляющую.

Это строго запаздывающее ности! Самосогласованность

Это строго запаздывающее ности! Самосогласованность

Рис. 3. В теории Уилера — Фейнмана реакция из будущего R^ порождается поглотителем в ответ на полное запаздывающее поле F(3aV Это поле есть сумма поля ‘/2^ происходящего от частицы Ь, и поля Va^an» происходящего от R^b\ Опережающая часть от R^ сокращается с полем Уг^^ от частицы Ь.

Рис. 3. В теории Уилера — Фейнмана реакция из будущего R^ порождается поглотителем в ответ на полное запаздывающее поле F(3aV Это поле есть сумма поля ‘/2^ происходящего от частицы Ь, и поля Va^an» происходящего от R^b\ Опережающая часть от R^ сокращается с полем Уг^^ от частицы Ь.

Кроме того, согласно (3.7), Rw есть сила, действующая на частицу Ь. Это не что иное, как реакция излучения на движение частицы Ь, как было получено ранее Дираком [6] на эмпирической основе. Таким образом, эта теория не только снимает проблему причинности, но и объясняет формулу для затухания

излучения.

С физической точки зрения имеет место следующее. Относительно движения частицы b соответствующая будущему половина Вселенной действует как поглотитель. Она «поглощает» всю «энергию», излучаемую &, и в процессе этого посылает реакцию R^b\ в чем и заключается вся

хитрость! По этой причине Уилер и Фейнман назвали эту теорию теорией излучения с поглотителем (absorber theory of radiation). Наличие поглотителя су* щественно для проведения вычислений.

Отклик Вселенной

Вышеприведенный самосогласованный вывод имеет тот недостаток, что он не является единственным. Возможна другая самосогласованная картина, в которой другое поле вблизи каждой частицы является строго опережающим полем, и реакция излучения имеет противоположный знак по сравнению со знаком в (3.9).

На рис. 4 сравниваются оба решения. На рис. 4, а мы имеем запаздывающее решение, а на рис. 4, б — опережающее. В первом случае ответственность несет поглощение в световом конусе будущего, а во втором решающую роль играет поглощение в прошлом. Важная роль поглотителей заключается в том, что они преобразуют симметричную во времени ситуацию на рис. 2 в асимметричные во времени ситуации на рис. 4. Тем не менее невозможно провести различие между рис. 4, а и 4, б, если не

Рис. 4. В теории Уилера — Фейнмана нельзя провести различие между случаями а и б в статической Вселенной иначе, как с помощью термодинамики. Чтобы провести это различие, необходимо знать космологическое направление времени.

ввести какую-либо другую временную асимметрию. Уилер и Фейнман понимали это и связали выбор ситуации, показанной на рис. 4, а, с термодинамикой. Они доказали, что при задан- •ной обычной термодинамической временной асимметрии ситуация б будет в высшей степени невероятной (согласно вероятностным соображениям статистической механики) и что обычная асимметрия начальных условий позволяет предпочесть случай а случаю б.

Хогарт [17] отметил, что нет никакой необходимости привлекать термодинамику. Если учесть тот факт, что Вселенная расширяется, то ясно, что ее прошлое и будущее различаются между собой. Реакция поглощающих частиц в световом конусе будущего (названных Хогартом собирательно «будущим поглотителем»^ не получается автоматически равной и противоположной реакции прошлого поглотителя. Таким образом, обе картины а и б не всегда имеют место в расширяющейся Вселенной. Хогарт нашел, что для справедливости а, но не б, будущий поглотитель должен быть совершенным, а прошлый

поглотитель — несовершенным, а для справедливости б, но не а,— наоборот.

Поглотитель является совершенным, если он полностью поглощает излучение, испускаемое произвольным зарядом. В статической вселенной, рассматривавшейся Уилером и Фейнманом, совершенны как прошлый, так и будущий поглотители, и это приводит к упомянутой ранее двузначности. Но Хогарт нашел, что эта двузначность разрешается, если учесть космологическую временную асимметрию. Он обнаружил, например, что в большинстве моделей «большого взрыва» [17], которые постоянно расширяются, справедлив случай б, а не случай а. В модели же устойчивого состояния [3, 18] справедлив случай а, а не б. В моделях большого взрыва, которые расширяются и сокращаются, а поглотители совершенны, результат является двузначным.

Позднее Хойл и Нарликар [20, 21] завершили эту работу, впервые переписав принцип действия Фоккера (3.1) в искривленном пространстве, что необходимо для космологического рассмотрения. Они также сделали выводы, аналогичные выводам Хогарта, но при более общих предположениях. Наконец, они распространили всю картину на квантовую теорию. Таким образом, теперь можно обсуждать всю совокупность явлений квантовой электродинамики без обращения к теории поля [23, 24]. В результате этого устраняется любое возможное возражение против принципа дальнодействия, поскольку он применим к электродинамике.

Решающую роль во всем процессе вычислений играет отклик Вселенной. При классических расчетах Вселенная, находящаяся в устойчивом состоянии, порождает «правильный» отклик, так что локальные электрические заряды взаимодействуют посредством запаздывающих сигналов. Отклик моделей большого взрыва относится к неправильному типу. Таким образом, мы можем проводить различия между разными космологическими моделями и устанавливать их справедливость или несправедливость на основе теории Уилера — Фейнмана. Мы видим также, почему заряды взаимодействуют посредством запаздывающих сигналов: это происходит вследствие отклика Вселенной. В максвелловской теории поля выбор запаздывающих решений уравнений Максвелла осуществляется произвольно.

В квантовых расчетах также можно показать, что явление, асимметричное во времени, например спонтанный переход электрона в атоме на более низкий уровень, вызывается откликом Вселенной. В противоположность этому квантование максвелловского электромагнитного поля приписывает эти асимметрии так называемому вакууму и правилам квантования.

Поэтому подход, основанный на прямом взаимодействии частиц, позволяет получить для электродинамики тот результат, который Мах пытался получить для инерции. Введя отклик Вселенной в локальный электродинамический эксперимент, мы, по существу, включили принцип Маха в электромагнитную теорию. Высказывание Маха, приведенное в начале настоящей статьи, относится к этому случаю: при заданном правильном отклике Вселенной мы можем почти отделить от нее нашу локальную систему, хотя, строго говоря, теория без Вселенной невозможна.

Можно ли применить то же предписание к инерции и гравитации? Мы обсудим эту проблему в следующем разделе.

Инерция как поле прямого взаимодействия частиц

Вернемся к проблеме достижения «примирения» между общей теорией, относительности и принципом Маха. С этой целью попытаемся построить теорию со следующими свойствами:

принцип Маха входит в один из ее постулатов;

она конформно-инвариантна;

в ней не имеется концептуальных трудностей, связанных со случаем изолированной частицы в пустой Вселенной;

в случае Вселенной, содержащей много частиц, теория должна сводиться к общей теории относительности для большинства физических ситуаций.

Мы начнем с повторного обращения к принципу действия Фоккера для электродинамики, записанному на этот раз в искривленном римановом пространстве-времени:

^ = —^^mada — £ £ 4леае» $ J GlAiB daA dl)B. (4.1)

aa<b

Здесь при переходе от (3.1) к (4.1) первый член в st- требует тривиальной модификации: da вычисляется теперь с римановой метрикой. Модификация второго члена в «я£ требует значительных усилий. Член S (^дв) Л^ теперь заменяется на GtAiB — би- векторный пропагатор между Д и В. Он является симметричной функцией Грина для волнового уравнения

□ GnlB^RlnGilB = V-№ B^g^tX, BY (4.2)

Здесь GniB ведет себя как вектор в X и В с индексами п и 1В соответственно (индекс X при п опускается для удобства записи). Величина g„zB есть параллельный пропагатор между X и В (подробности см. в [37]), a g(X,B)—его детерминант.

В пределе gik-^*x\tk имеем Gz^e->6 (s^B) п^. Детальную структуру этого пропагатора иссследовали де Витт и Бреме [5].

Электромагнитная часть ^ конформно-инвариантна, но для механической части (первый член) это не имеет места. Сравним теперь (4.1) с действием для теории поля Максвелла и для общей теории относительности. Это действие, обозначаемое через ^F\ определяется выражением

•^<F)= Тб^о" $ ^<— S^^x — £ $ mo da — а

- i $ F^Flm <- g^ d'x - S e4 л da‘- (4-3) a

Третий и четвертый члены в ^F^ представляют соответственно свободное поле и взаимодействие поле — частица.

В теории прямого взаимодействия частиц второй член в st заменяет эти два члена в полевой теории. Эти поля, по существу, теряют свой независимый характер и заменяются пропагаторами, соединяющими мировые линии частиц. Как можно поступить с первыми двумя членами в (4.3)? Второй член уже присутствует в (4.1), и кажется естественным просто ввести первый член в (4.1) как представляющий тяготение.

Эта процедура, однако, противоречит картине прямого взаимодействия частиц. Первый член в (4.3), хотя и содержит геометрическую информацию, имеет также полевой характер. Следовательно, он непригоден. Мы уже говорили о немаховском характере второго члена в (4.3). По этим причинам предложенный выше подход неприемлем.

Ключ к правильной процедуре, которую следует принять, обеспечивается сравнением последнего члена в (4.3) со вторым членом в (4.1). Если в первом из них заменить потенциал Ai суммой по потенциалам прямого взаимодействия частиц, определяемым соотношением, аналогичным (3.3) для искривленного пространства, то мы получим нечто аналогичное последнему. Таким же путем мы теперь заменяем массы та на поля прямого взаимодействия частиц, определяемые следующим образом:

(4.4)(4.4)r«M = k £ т^\А\Ь=£ аr«M = k £ т^\А\Ь=£ аХа — константа связи.Ха — константа связи.(4.5)(4.5)т^ (X) = \ XbG (X, В) db, Къ — константа связи,

(4.4)

(4.4)

r«M = k £ т^\А\

Ь=£ а

r«M = k £ т^\А\

Ь=£ а

Ха — константа связи.

Ха — константа связи.

(4.5)

(4.5)

Пропагатор G(X, В) должен быть бискалярным, поскольку массы являются скалярами, и мы хотим сохранить симметрию

между X и В. Действие (4.1) заменяется теперь выражением EZHXg^bG^A, B)dadb — a<b

~ Z Z 4л И ®°®^*А*В• <46)

a<b

Какой вид должна иметь функция G (Л, В) ? Исходя из соотношений для электромагнитного поля, следует ожидать, что это будет симметричная функция Грина скалярного волнового уравнения. Но мы хотим также, чтобы ^ было конформно-инвариантным. Эти два требования фиксируют вид скалярного пропагатора единственным образом с точностью до множителя. Выберем б(Х, В) так, чтобы удовлетворить скалярному волновому уравнению

□ G(X, B) + 1r(X)G(X, B) = [—g(X, В)Г'/,д4(^„В). (4.7)

Волновой оператор однозначно определяется требованием конформной инвариантности.

Переходя от этих чисто формальных аспектов к вопросам интерпретации, заметим, что (4.4) и (4.5) являются, по существу, математическим выражением идей Маха относительно инерции. Масса пга частицы а в ее мировой точке А есть сумма вкладов всех других частиц во Вселенной. Таким образом, требование «а» выполнено. Требование «в» также выполнено, поскольку для одиночной частицы в пустой Вселенной нет действия! Минимальное число частиц, необходимых для определения st, равно двум. Таким образом, для каждой из этих двух частиц другая играет роль «фона» в смысле Маха. Требование конформной инвариантности также удовлетворяется в результате нашего выбора пропагатора. Поэтому остается исследовать только требование «г».

До сих пор мы рассматривали инерцию и игнорировали тяготение. Действие (4.6) не содержит явно гравитационного члена

Тем не менее, как мы увидим в следующем разделе, эта теория вполне способна описывать гравитационные явления.

5. Конформное тяготение

Возвращаясь к действию (4.3), мы замечаем, что при попытке вывести уравнения поля Эйнштейна с помощью принципа действия Гильберта из первого члена мы получаем тензор

Эйнштейна. При прямом взаимодействии частиц (4.6) такой член полностью отсутствует. Можно ли получить какой-либо гравитационный член из (4.6), если попытаться осуществить вариацию метрики gu gtk + ^gikf Взгляд на электромагнитную часть соотношения (4.3) не внушает уверенности, что ответ на этот вопрос будет утвердительным. В тензор энергии-импульса элек

Рис. 5. Пропагатор О (индексы опущены) заменяется на 6+6G, поскольку пространство- время в У обладает измененной геометрией: gi* -* gin-V^Kik.Рис. 5. Пропагатор О (индексы опущены) заменяется на 6+6G, поскольку пространство- время в У обладает измененной геометрией: gi* -* gin-V^Kik.тродинамики вклад вносит скорее третий, чем четвертый член, и именно четвертый член использовался при переходе к (4.6). Тем не менее более тщательное исследование показывает, что члены в (4.3) действительно дают нетривиальные ответы, если осуществляется вариация метрики.

Рис. 5. Пропагатор О (индексы опущены) заменяется на 6+6G, поскольку пространство- время в У обладает измененной геометрией: gi* -* gin-V^Kik.

Рис. 5. Пропагатор О (индексы опущены) заменяется на 6+6G, поскольку пространство- время в У обладает измененной геометрией: gi* -* gin-V^Kik.

Причину этого иллюстрирует рис. 5. Здесь мы имеем электромагнитный пропагатор GtAiB, связывающий точки Л и В, расположенные соответственно на мировых линиях частиц а и Ь. Предположим, что мы осуществляем вариацию пространственно-временной метрики компактной области Т. Поскольку пропагатор есть глобальное свойство пространственно-временной струк

туры, то он будет изменяться вследствие этого изменения в структуре V. Поэтому изменение О1д1в можно выразить в расчетах первого порядка в виде объемного интеграла по У.

В электромагнитном случае ответ может быть представлен в следующем виде:

-«zs 4л И ®°®^*AlB da‘A db‘B = а<Ь

--^V^g^-g^x, (5Л>

где

Tlk = _L V* ( 1 ntkp(a) тпр№ _ f (а) < р№ М _

8л I 2 6 зап тп оперI запопер

а<Ь

-FW^an^^uep). (5-2)

Подробности этого вывода приведены в работе [31].

Между прочим, интересно отметить, что этот вывод разрешает двузначность в отношении тензоров энергии-импульса в электродинамике прямого взаимодействия частиц. Уилер и Фейн-

ман [41] рассмотрели два тензора для этой теории. Одним из них был канонический тензор, заданный согласно (5.2), а другим — тензор Френкеля

jik — . 1 - WL gikp(a)mnp(b^ _ pta) ilp(b)k^ _ ^(6) Пр(а)^ } . (53) а =£ b

Под Р^пи т. д. мы понимаем здесь симметричное во времени (полуопережающее + полузапаздывающее) поле прямого взаимодействия частиц, определяемое формулой (3.4). Очевидно, что оба тензора (5.2) и (5.3) симметричны во времени и оба приводят к одним и тем же электродинамическим силам, если взять их дивергенцию. Уилер и Фейнман заключили:

«С точки зрения чистой электродинамики невозможно сделать выбор между обоими тензорами. Различие, разумеется, имеет значение для общей теории относительности, где энергия обладает ассоциированной с ней гравитационной массой. До сих пор мы не пытались сделать выбор между этими возможностями на основе такого более глубокого подхода».

Как упоминалось выше, обычная процедура вариации метрики однозначно представляет канонический тензор. То обстоятельство, что мы можем получить нетривиальное решение вариационной задачи и что это разрешает давнюю двузначность, укрепляет нашу уверенность в том, что мы движемся к теории гравитации по правильному пути.

Рассмотрим теперь вариацию первого члена в (4.6): gik-* gik + ^gik- Мы будем пренебрегать вторым членом и сосредоточим внимание только на гравитации. Кроме того, для простоты положим вначале Ха = 1 для всех а. Позднее мы вернемся к различным константам связи.

Этот метод аналогичен принятому для электромагнетизма. Мы рассчитываем изменение пропагатора 6(Д,В) как геометрические изменения в любой компактной области V. Подробности этого несколько длинного вычисления даны в работе [26]. Мы просто приведем результат. Оказывается, что уравнения поля имеют вид

"^^^ik2^^) Ла? + 6 {^м? □ Ф iA?} "Ь

+ 4 [^аП)^ПеР) + W^W™^ — gtkmX (за^^Сопер)], (5 4)

где □ — ковариантный волновой оператор,

(5.5)(5.6)(5.5)(5.6)m {X) = ^ ^ G(X, Д) da, mt = дт/дх1, а

(5.5)

(5.6)

(5.5)

(5.6)

а /и(зап> и т<опеР) обозначают удвоенные запаздывающие и опережающие части т^Х) соответственно. Тензор энергии-импульса Tik есть известный тензор энергии-импульса для системы частиц а, Ь, ... с массами та, т^ ... согласно предписаниям Маха (4.4) и (4.5). Отметим, что эти массы симметричны во времени. Функция т(Х) удовлетворяет конформно-инвариантному волновому уравнению

□ m + ^Rm = N,(5.7)

где

М(Х) = ^6ЛХ, Л)[-№ AW'hda (5.8) а

есть инвариантная плотность числа частиц.

Для определения 11 неизвестных gik и т имеется 10 уравнений (5.4) и одно уравнение (5.7). Однако дивергенция и след от уравнения (5.4) тождественно равны нулю, вследствие чего число независимых уравнений фактически уменьшается на пять. Это едва ли может вызвать удивление, поскольку четыре из этих пяти уравнений являются следствиями общей координатной инвариантности (как в общей теории относительности), тогда как пятое тождество (обращение в нуль следа) является следствием конформной инвариантности. Легко доказать, что если ^gik, m} есть решение этих уравнений, то решением для произвольной достаточно регулярной (т. е. типа С2) неисчезающей конечной функции Q будет {Q2^, Q^m}. Эта произвольная функция есть не что иное, как выражение произвольности зависящих от массы единиц, обсуждавшихся в разд. 2.

Предположим теперь, что можно выбрать Q так, что т^311^"1 = m^ т0 = const.(5.9)

Положим также, что отклик Вселенной таков, что все опережающие компоненты уничтожаются, а запаздывающие — удваиваются, так что функция эффективной к *ссы имеет вид

m + у т<зап> — ^ т(°пеР> = т<зап>.(5.10)

Ниже мы обсудим это условие и его следствия. Теперь уравнения поля упрощаются:

Rik—^g«^=-*Ttfc, н-^.(5.11)

Это известные уравнения общей теории относительности! Конформную систему отсчета, для которой справедливы соотношения (5.9) и (5.10), будем называть системой отсчета Эйнштей-

на. Таким образом, мы завершили оставшуюся часть программы, описанной в начале разд. 4.

В вышеприведенном выводе уравнений Эйнштейна, который столь радикально отличается от стандартного, заслуживают внимания следующие моменты:

Подход к уравнениям Эйнштейна через более широкие рамки конформно-инвариантной гравитационной теории. Мы можем прийти к уравнениям Эйнштейна только в пределе многих частиц в соответствующим образом откликающейся Вселенной. В другом пределе (нуля, или отсутствия частиц) теории не существует! Таким образом, это устраняет причину, по которой маховский парадокс одной частицы в пустой Вселенной не справедлив в контексте уравнений Эйнштейна. Эта причина не возникает при стандартном выводе уравнений Эйнштейна.

Существенно, что константа связи х = 8лб/с4 = 6/^ в этом подходе положительна. На этот вывод не оказывают влияния ни изменение знака констант связи Ла, Хь, ... (принятых здесь за единицы), ни выбор сигнатуры (т. е.1- вме

сто + + + —) метрики пространства-времени. Выбор конформно-инвариантного скалярного пропагатора приводит к положительной константе связи, т. е. к «притягивательному» тяготению. В стандартном выводе константа связи фиксируется (как по .знаку, так и по величине) путем сравнения с ньютоновским тяготением.

Серьезная дискуссия была проведена по вопросу допустимости так называемого Х-члена в уравнениях Эйнштейна, поскольку этот член может быть использован в эвристическом выводе Эйнштейна или в принципе действия Гильберта. Вообще говоря, этот член, по-видимому, не имеет значения нигде, кроме космологии. Современная космологическая картина, основанная на наблюдениях, не вынуждает нас принять этот член. Следует подчеркнуть, что приведенный здесь подход к тяготению, основанный на прямом взаимодействии частиц, не допускает Х-члена. Будущие космологические наблюдения должны ответить на вопрос, справедлив ли этот вывод.

Условие (5.9), которое приводит к уравнениям Эйнштейна, нуждается в тщательном дополнительном исследовании в двух особых случаях. Вблизи любой частицы а мы ожидаем, что функция массы т^^ «взрывается», так что /п(Х)->оо при Х-^А на мировой линии частицы а. Чтобы величина Q-^m^) была конечной в А, мы требуем, чтобы Q->oo при Х->А. Однако мы уже исключили такие конформные функции посредством ограничения Q конечными значениями. Таким

образом, переход к уравнениям Эйнштейна неправомерен, если мы приближаемся к произвольной частице-источнику. Природа этих уравнений и их решений вблизи частицы в настоящей теории обсуждалась Хойлом и Нарликаром [22], а также Айсла- мом [28].

Вторая, более интересная ситуация может возникнуть, если существуют гиперповерхности, на которых т = 0. Для перехода к уравнениям Эйнштейна посредством (5.9) нам необходимо тогда, чтобы Q = 0 на этих поверхностях. Но мы исключили случай Q = 0 из конформных преобразований. Таким образом, уравнения Эйнштейна несправедливы на поверхностях т = 0.

Каков физический смысл поверхностей нулевой массы? Каким образом они появляются во Вселенной? Мы обсудим эти вопросы в разд. 7.

Вселенные Фридмана

Рассмотрим простейшую космологическую модель Фридмана, так называемую модель Эйнштейна — де Ситтера. Она задается линейным элементом

ds2 = dt2 - (-^У'3 <dx2 + dy2 + dz2), (6.1)

где H — современное измеренное значение постоянной Хаббла, a t = 2/3// — современное космическое время. Координата / измеряет космическое время и служит в качестве синхронной координаты для всех «фундаментальных» наблюдателей с постоянными координатами (х, у, 2). Согласно постулату Вейля, мы можем отождествить этих наблюдателей с галактиками в расширяющейся Вселенной. Плотность вещества в момент времени t дается выражением

р = (18лО^2)-1. (6.2)

Эта модель есть решение уравнений поля Эйнштейна. Она обладает пространственно-временной сингулярностью при /=0, когда р = оо. Эта сингулярность не зависит от координат в отличие от сингулярности, которая, по-видимому, имеет место в шварцшильдовском решении на горизонте. Пространственновременная структура разрушается при t = 0. На космологическом жаргоне это время идентифицируется с созданием Все ленной путем «большого взрыва».

Рассмотрим это решение, используя другую конформную систему отсчета в конформной теории. Полагая, что соответствую^ щий отклик формируется Вселенной, мы видим, что можно за<

менять <р на т2, а /п(зап) и т(опер> на т в уравнении (5.4), в результате чего (5.4) сводится к уравнению

^m2^Rtk —=

= -Tik + l Uи ° ^ - m • ik } + { mtmk ~ 4 WX} •(6-3)

Несложное вычисление показывает, что (6.3) и (5.7) совместно удовлетворяются простым решением

gik^^ik, tn —Ах2, А = const,(6.4)

где метрика Минковского тр» относится к координатам х1 г в (х, у, z, т). Легко видеть, что линейный элемент

ds2 = dx2 — dx2 — dy2 — dz2(6.5)

связан с (6.1) конформным преобразованием

ds:—• Q ds» 8а22 J t — ^ \ 2 /^ *w*6)

Едва ли это может вызвать удивление, поскольку при переходе от (6.4) к (6.1) масса будет преобразовываться к значению

~-1 л 2 / ЗЯ/X ~*,/з 4Д., „х

т = тй =Лт 1-^—1=-^ =/и0 = const, (6.7)

как требуется в эйнштейновской конформной системе отсчета. В качестве дальнейшей проверки отметим, что если подставить (6.7) в (5.7) в эйнштейновской системе отсчета, то из (5.11) получим

N= □ fnA-^Rm = ^Rint = ^u^

Следовательно, в пространстве-времени Минковского мы из (6.2) и (6.6) имеем

^ = М£23 = 1/п0Я2 = 2Д.

Другими словами,

m = ^Nx2.(6.8)

Но это в точности совпадает с полным запаздывающим вкладом всех частиц во Вселенной, как показано на рис. 6. Таким образом, это решение образует самосогласованную схему, если мы будем считать, что отклик Вселенной действительно дает полное запаздывающее решение.

В плоском пространстве-времени Минковского О (Л, В) дается выражением°М. В) = ^б(4в).Следовательно, если мы вычислим функцию mU^y^^GU, A^da, аВ плоском пространстве-времени Минковского О (Л, В) дается выражением°М. В) = ^б(4в).Следовательно, если мы вычислим функцию mU^y^^GU, A^da, апропагаторпропагатор(6.9)(6.9)(6.10)(6.10)то найдем, что запаздывающий вклад равен Nx^f^ т. е. половине значения (6.8), в то время как опережающий вклад беско-

В плоском пространстве-времени Минковского О (Л, В) дается выражением

°М. В) = ^б(4в).

Следовательно, если мы вычислим функцию mU^y^^GU, A^da, а

В плоском пространстве-времени Минковского О (Л, В) дается выражением

°М. В) = ^б(4в).

Следовательно, если мы вычислим функцию mU^y^^GU, A^da, а

пропагатор

пропагатор

(6.9)

(6.9)

(6.10)

(6.10)

Рис. 6. Световой конус прошлого стицы а, находящейся в точке А чале пространственных координатРис. 6. Световой конус прошлого стицы а, находящейся в точке А чале пространственных координатиз ча- (в на- и вре-из ча- (в на- и вре-печен. Это было отмечено Хокингом [14], который предположил, что конечная величина может быть получена при наличии положи-

Рис. 6. Световой конус прошлого стицы а, находящейся в точке А чале пространственных координат

Рис. 6. Световой конус прошлого стицы а, находящейся в точке А чале пространственных координат

из ча- (в на- и вре-

из ча- (в на- и вре-

тельныхвкладовтельныхвкладови отрицательных в гп^Х), как в

тельныхвкладов

тельныхвкладов

меннбй точке т), пересекает гиперплоскость т = 0 по сфере радиуса т. Только лежащие на этой сфере частицы (подобна 6) вносят запаздывающий вклад. Частицы, расположенные вне сферы (подобно с), вклада не дают.меннбй точке т), пересекает гиперплоскость т = 0 по сфере радиуса т. Только лежащие на этой сфере частицы (подобна 6) вносят запаздывающий вклад. Частицы, расположенные вне сферы (подобно с), вклада не дают.электродинамике. Несмотря на то что в точности одинаковое количество положительных и отрицательных вкладов приведет к пг(Х') = = 0, как в случае полного электростатического вклада всех зарядов во Вселенной, такой прием не ведет к удовлетворительному разрешению трудности. Хойл и Нарликар [25] рассмотрели, каким образом бесконечные вклады из будущего могут привести к интересной интерпретации уравне-

меннбй точке т), пересекает гиперплоскость т = 0 по сфере радиуса т. Только лежащие на этой сфере частицы (подобна 6) вносят запаздывающий вклад. Частицы, расположенные вне сферы (подобно с), вклада не дают.

меннбй точке т), пересекает гиперплоскость т = 0 по сфере радиуса т. Только лежащие на этой сфере частицы (подобна 6) вносят запаздывающий вклад. Частицы, расположенные вне сферы (подобно с), вклада не дают.

ния Дирака для свободной частицы. Здесь мы опишем тонкую модификацию, которая может разрешить трудность на классическом уровне.

Отрицательные X

Вернемся к действию (4.6) и примем во внимание возможность того, что Ха и X» меняют знаки при пересечении поверхности т « 0. Таким образом, мы определяем

( + 1, если Л лежит в будущем относительно т = 0.

Хд == I 1 ЛА (^*^0

1—1, если Л лежит в прошлом относительно т = и.

Это предписание предполагает два важных отклонения от картины, излагавшейся до сих пор. В космологии Фридмана t ^ 0, и соответственно мы принимаем т ^ 0 для пространства- времени Минковского. Однако если бы мы не были предубеждены картиной Фридмана (в эйнштейновской системе отсчета)

и работали вместо этого с пространством-временем Минковского, то нам не пришлось бы производить искусственное обрезание при т = 0. Другими словами, пространственно - временное многообразие и мировые линии частиц могли бы быть продолжены назад к т = — оо.

Второе отличие появляется при вычислении т(Х) по новому предписанию. Это иллюстрируется на рис. 7. Точка Л+ лежит в будущем относительно т = = 0, в то время как А_ — аналогичная точка в прошлом относительно т = 0. Точки В± и С± аналогичным образом являются произ

Рис. 7. Опережающий и запаздывающий вклады для частицы b равны, в то время как для частицы с они равны и противоположны.Рис. 7. Опережающий и запаздывающий вклады для частицы b равны, в то время как для частицы с они равны и противоположны.вольными точками на мировых линиях частиц Ь н с, такими, что Л+В+, Л+В-, Л+С+, Л+С_ являются нулевыми лучами. Вычисляя

Рис. 7. Опережающий и запаздывающий вклады для частицы b равны, в то время как для частицы с они равны и противоположны.

Рис. 7. Опережающий и запаздывающий вклады для частицы b равны, в то время как для частицы с они равны и противоположны.

вклад частицы b в т(Л+), замечаем, что поскольку обе точки В± лежат в будущем относительно т = 0, то их опережающий и запаздывающий вклады равны, и, следовательно,

П^ЦА^ = у щ№ (зап) (4+) _]_ ^ mW (опер) (Д+) = ^Ь) (зап) (ДД (6 Д2)

Однако что касается частицы с, то точка С+ лежит в будущем относительно т = 0, в то время как С_ — в прошлом. Здесь опережающий и запаздывающий вклады равны и противоположны, так что

т<с>(Л+) = у т^ (аап) (Д+) 4- ^ ^ (опер)(Д+) = 0-(6Д 3)

Каково же различие между частицами b и с в их отношении к а? Как видно из рис. 7, мировая линия частицы b пересекает

поверхность т = 0 в точке Во, которая лежит внутри светового конуса прошлого А+. Аналогичная точка Со на мировой линии частицы с лежит вне светового конуса прошлого А+. Таким образом, только мировые линии первого типа дают вклад в Л+, и этот вклад согласуется с (6.8).

Можно провести аналогичное рассмотрение для А_. В этом случае мы приходим к такому же ответу для массы частицы в точке А_. (Хотя вклады частиц типа b отрицательны, они теперь умножаются на отрицательную величину Ха.) Поэтому мы имеем полностью симметричную «вторую половину», добавленную ко вселенной Фридмана таким образом, который был невозможен в эйнштейновской системе отсчета.

Наблюдательная космология

Хотя мы обсудили лишь некоторые подробности космологии Эйнштейна — де Ситтера, это обсуждение и то, что последует далее, легко можно распространить на другие модели Фридмана (детали см. в [26]). Мы продолжим рассмотрение модели Эйнштейна — де Ситтера.

Рассматривая эту модель с точки зрения пространства-времени Минковского, интересно реинтерпретировать небулярное красное смещение, наблюдавшееся Хабблом. В этом нерасши- ряющемся пространстве-времени красное смещение не может возникнуть из неэвклидовой геометрии в эйнштейновской системе отсчета. Вместо этого оно появляется благодаря изменению массовой функции.

Предположим, что световой сигнал был послан удаленной галактикой в момент т = Ti и был принят нами в момент т = то, где то > ть Поскольку все спектроскопические частоты прямо пропорционально зависят от масс атомных частиц, то частота испускания vi связана с принимаемой частотой Vo (для любого данного атомного или молекулярного процесса) соотношением

21 = 22111=21 (6.14)

Vo m(To) то Vo/

Наблюдатель в нашей лаборатории мог бы ожидать, что спектральная частота будет равна Vo (длина волны Яо); вместо этого он принимает из удаленной галактики частоту vi (длина волны Xi). Поэтому он связывает с красным смещением света величину г, причем

'+=-Н£)'- (в15)

Это известная формула для красного смещения в космологии Эйнштейна — де Ситтера. Действительно, все стандартные фор*

мулы космологии получают новую интерпретацию в значительно более простой форме на этом новом пути рассмотрения Вселенной! Наблюдаемые результаты не отличаются от получающихся при использовании стандартной эйнштейновской системы отсчета. Этого следовало ожидать ввиду сделанного нами ранее замечания, что этот новый путь рассмотрения гравитации не отличается от рассмотрения в общей теории относительности (за исключением нескольких особых ситуаций, упомянутых в разд. 5).

При распространении пространства-времени на область т < 0 имеются некоторые преимущества. Хойл [19] отметил, что микроволновой фон вблизи т = 0 может быть создан посредством термализации звездного света при т < 0. Поскольку т->0 при т->0, то фотоны термализуются электронами малой массы вблизи т = 0. Таким путем можно понять происхождение микроволнового фона и видеть, почему его плотность энергии сравнима с плотностью энергии звездного света в настоящее время. В стандартной картине большого взрыва Вселенная возникает при t = 0 (т = 0), и существование и интенсивность наблюдаемого в настоящее время микроволнового фона следует приписать начальным условиям.

В обычной космологии сингулярность пространства-времени исключает любое физическое обсуждение при t = 0. Мы теперь видим, что, когда речь идет о модели Фридмана, это есть результат использования «неправильной» конформной системы отсчета. Поскольку при т = 0 имеем ш = 0, мы не можем применить эйнштейновскую систему отсчета для описания Вселенной во временном интервале, включающем т = 0 (поскольку это влечет за собой Q = 0). Вместо этого мы должны использовать конформную систему отсчета, аналогичную системе отсчета Минковского, которая допускает несингулярное пространственно-временное многообразие. Ценой, которую необходимо заплатить за это, является допущение переменной массы, которая обращается в нуль в некоторый момент времени. Но это «меньшее зло», чем ломка пространственно-временной структуры в эйнштейновской системе отсчета.

Поверхности нулевой массы

Существование положительных и отрицательных констант связи X подразумевает в общем случае существование гиперповерхностей ш = 0. Примером этого является космология Фридмана (и ее реинтерпретация в предыдущем разделе). В произвольной ситуации, т. е. без постулатов однородности и изотропности, поверхности нулевой массы могут не обладать такой симметрией или регулярностью, как в случае Фридмана.

Однако мы можем попытаться найти одно общее свойство для случая Фридмана и общего случая: действительно ли эти гиперповерхности т = 0 всегда соответствуют пространственновременным сингулярностям в эйнштейновской системе отсчета?

Для решения этой проблемы в последнее время была проделана значительная работа. Результаты, кратко описанные ниже, показывают, что ответ на заданный вопрос является утвердительным. Эти исследования основаны на вычислениях следующего характера [33]. Для специфического сингулярного многообразия Жо в эйнштейновской системе отсчета показано, что 1) существует несингулярное многообразие .< как решение уравнения (6.3), которое содержит поверхность нулевой массы S; 2) существует конформное преобразование Ж-^Ж^ такое, что конформная функция обращается в нуль на S; 3) поверхность 5 при этом преобразовании переходит в сингулярность многообразия Ж^.

Рассмотрим вселенную Бианки типа I со сдвигом [15], задаваемую линейным элементом

^ = Л2 - (-^) '^/2 (/ + 2)“’/зdx2 - (^-)*/3 (t + ^ (dy2 + dz2),

(7.1)

где М и 5 — положительные константы. Это выражение получается как решение уравнений Эйнштейна для однородной пыли и обладает плоскопараллельной сингулярностью при / = 0. Можно показать, что для этого многообразия Жо соответствующее многообразие Ж задается конформной функцией Q, причем

ds0 = Q ds, Q = 72 4-г. (7.2)

Здесь ds есть линейный элемент Ж. Многообразие Ж несингулярно: оно геодезически полно и обладает конечными инвариантами кривизны при / = 0. Таким образом, сингулярность многообразия Ж^ при / = 0 есть следствие существования поверхности нулевой массы при t = 0 в Ж.

Несколько лет назад Белинский и др. [2] получили то, что они назвали наиболее обидим типом космологической сингулярности в общей теории относительности. Посредством определенного выбора синхронной временной координаты t они показали, что сингулярность развивается осциллирующим образом при /->0. В этом случае, соответствующем Ж^ (наиболее общему сингулярному космологическому многообразию), описанным выше образом можно найти несингулярное Ж. Сингу- л-ярность многообразия Ж^ снова отождествляется с поверхностью нулевой массы многообразия Ж. Это подробно обсуждалось Кембхави [29].

Сингулярности, описанные в I и II, относятся к такому типу, для которого инварианты кривизны расходятся в Ж^ Кембхави [29] рассмотрел также другой тип сингулярности, где вместо расходимости инвариантов кривизны геодезические мировые линии (нулевые или времениподобные) не могут быть неопределенно продолжены по своим аффинным параметрам. В этом случае сингулярность появляется из неполноты геодезической, и примером этого служит пространство-время Тау- ба — НУТ (1969). Здесь также можно показать, что геодезически неполное многообразие Тауба Ж^ будет конформным преобразованием несингулярного геодезически полного многообразия Ж. полученного как решение уравнения (6.3), такого, что переменная функция массы обращается в нуль на двух гиперповерхностях. И снова это именно те гиперповерхности, которые после конформного преобразования переходят в две сингулярные гиперповерхности пространства-времени Тауба Ж^.

Помимо этих примеров космологических сингулярностей можно также аналогичным образом рассматривать компактные сингулярности типа Шварцшильда. Эти примеры порождают уверенность, что все пространственно-временные сингулярности, которые встречаются в общей теории относительности в физическом контексте (в отличие от математического или патологического случая), в действительности являются результатом попыток описать Вселенную в эйнштейновской конформной системе отсчета в окрестности гиперповерхности m = 0.

Интересно выяснить, является ли это предположение верным. Если это так, то это прольет некоторый свет на проблему сингулярности в общей теории относительности, поскольку в конформной гравитации появление гиперповерхностей m = 0 представляется неизбежным. Следовательно, если настаивать на использовании эйнштейновской системы отсчета, то появление пространственно-временных сингулярностей в общей теории относительности также, по-видимому, будет неизбежно. Мы рассмотрим некоторые физические аспекты поверхностей нулевой массы в следующих разделах.

В заключение отметим определенную аналогию со случаем преобразований координат. В ковариантной теории мы часто отбрасываем систему координат, если физическое описание на основе этих координат представляется приводящим к расходимостям, хотя пространство-время несингулярно. Известным примером может служить неприменимость шварцшильдовской координаты вблизи шварцшильдовского горизонта события. В этом случае используются другие, более подходящие координаты, типа координат Крускала — Шекереса. Таким же образом в конформно-инвариантной теории определенная конформная система отсчета может оказаться непригодной для описания

ЬЬРис. 8 Замкнутая поверхность нулевой массы соответствует двум системам черная дыра — белая дыра. Внешний наблюдатель на линии Ь, использующий эйнштейновскую систему отсчета, будет видеть черную дыру, образующуюся в Дь и белую дыру, возникающую в Д2. Он не будет видеть белой дыры в Д] и черной дыры в Д2.Рис. 8 Замкнутая поверхность нулевой массы соответствует двум системам черная дыра — белая дыра. Внешний наблюдатель на линии Ь, использующий эйнштейновскую систему отсчета, будет видеть черную дыру, образующуюся в Дь и белую дыру, возникающую в Д2. Он не будет видеть белой дыры в Д] и черной дыры в Д2.

Ь

Ь

Рис. 8 Замкнутая поверхность нулевой массы соответствует двум системам черная дыра — белая дыра. Внешний наблюдатель на линии Ь, использующий эйнштейновскую систему отсчета, будет видеть черную дыру, образующуюся в Дь и белую дыру, возникающую в Д2. Он не будет видеть белой дыры в Д] и черной дыры в Д2.

Рис. 8 Замкнутая поверхность нулевой массы соответствует двум системам черная дыра — белая дыра. Внешний наблюдатель на линии Ь, использующий эйнштейновскую систему отсчета, будет видеть черную дыру, образующуюся в Дь и белую дыру, возникающую в Д2. Он не будет видеть белой дыры в Д] и черной дыры в Д2.

физических явлений в некоторых случаях. Тогда могут быть использованы другие, более подходящие конформные системы отсчета. В приведенном выше обсуждении показано, что вблизи гиперповерхностей т = 0 эйнштейновская конформная система отсчета неприменима и что более подходящими являются другие конформные системы отсчета, поскольку они образуют несингулярные многообразия.

Черные дыры и белые дыры

Космологический случай Фридмана, рассмотренный в разд. 6, является весьма специфическим вследствие присущих ему многочисленных симметрий. В общем случае поверхности нулевой массы, по-видимому, не будут плоскими однородными изотропными гиперповерхностями. Кроме того, они не обязательно будут открытыми. На рис. 8 показана замкнутая гиперповерхность нулевой массы S.

Рассмотрим мировую линию частицы а, пересекающую S в двух точках Л1 и Л2< Пусть Р+(Р-) и Q-(Q+) — две точки на этой мировой линии вблизи Л1 и Л2 соответственно, лежащие внутри (вне) S. Если Р+ находится достаточно близко к Ль т. е. если длина дуги Д1Р+ мала по сравнению с pi — линейной характеристикой размера радиуса кривизны гиперповерхности S в Ль то гиперповерхность S кажется наблюдателю в Р+ поверхностью, простирающейся в бесконечность. Информация о S, доступная для Р^ огра

ничена простиранием S в световом конусе прошлого в P+j Опыт наблюдателя в Р^ будет поэтому в значительной степени аналогичен опыту наблюдателя в модели Фридмана. Наоборот, наш собственный космологический опыт обладает характерным размером ~Н-Х (// — постоянная Хаббла), так что при условии

(8.1)(8.1)р»#"1

(8.1)

(8.1)

модель Фридмана представляет собой аппроксимацию к замкнутой гиперповерхности нулевой массы «радиуса» р.

Наблюдатель, свободно падающий в шварцшильдовскую черную дыру по радиусу, имеет траекторию, подобную траектории фундаментального наблюдателя в сокращающейся модели Фридмана. В общей теории относительности этот наблюдатель падает в сингулярность, и его мировая линия резко обрывается при конечном аффинном параметре (т. е. его собственном времени). При этом предполагается, что наблюдатель возникает в другой Вселенной в форме выброса из белой дыры. Однако в рамках ортодоксальной общей теории относительности невозможно осуществить такое продолжение через шварцшильдовскую пространственно-временную сингулярность.

В конформной теории, предложенной в предыдущих разделах, эта трудность возникает вследствие выбора эйнштейновской системы отсчета. Если используется другая конформная система отсчета, то в Л! (рис. 8) пространственно-временная сингулярность отсутствует. В этой системе отсчета мы можем продолжать мировую линию частицы а через 2 от Р- до Р-^. Таким образом, имеем логический результат в виде белой дыры. Продолженная дальше мировая линия снова пересекает 2 в Л2, так что мы имеем другую комбинацию черная дыра — белая дыра. Внешний наблюдатель, аналогичный b (рис. 8), может видеть только первую черную дыру и вторую белую дыру, и поскольку они могут быть пространственно разделены, он может оказаться не в состоянии связать их друг с другом. Таким образом, здесь появляется возможность того, что черная дыра в одной части Вселенной будет связана с белой дырой в другой части, значительно удаленной от нее!

Аномальные красные смешения

В последние годы была накоплена значительная информация о так называемых аномальных красных смещениях квази- звездных объектов (КЗО). Слово «аномальные» подразумевает отклонение от обычного космологического объяснения этих красных смещений. В космологическом объяснении два соседних объекта А и В, видимые удаленным наблюдателем, должны обнаруживать одинаковое красное смещение, поскольку они видны в одно и то же время. Аномалия возникает, если А и В обладают существенно различными красными смещениями.

В настоящее время наилучшим примером аномальных красных смещений является пара КЗО, отождествляемых с радиоисточниками 4С-1150 (а) и (б), которые разделены только ~4,5 дуговыми секундами Один из этих КЗО обладает красным смещением 1,9, в то время как красное смещение другого

равно 0,44. Случайное расположение рядом двух КЗО на различных расстояниях по лучу зрения очень маловероятно — вероятность этого менее 10 . Этот случай обсуждался Уамплером и др. [39]. Имеется множество других примеров таких аномальных красных смещений, главным образом между галактикой и КЗО (см. превосходный обзор Арпа [1]). Эти аномалии слишком велики, чтобы их можно было объяснить доплеровским

Рис. 9. Перегиб на поверхности нулевой массы может приводить к образованию аномальных красных смещений, обсуждаемых в тексте.Рис. 9. Перегиб на поверхности нулевой массы может приводить к образованию аномальных красных смещений, обсуждаемых в тексте.тификации. При все возрастающемтификации. При все возрастающемсмещением между двумя объектами. Часть такого избыточного красного смещения может быть следствием гравитации, если объекты обладают высокой плотностью [4]. Однако во многих случаях объекты с избыточным красным смещением не обнаруживают высокой плотности. Возможно, разумеется (как многим хотелось бы доказать [34]), что все случаи аномальных красных смещений, о которых сообщалось до настоящего времени, являются эффектами оптической селекции или результатом ошибочной иден- числе таких случаев отстаи

Рис. 9. Перегиб на поверхности нулевой массы может приводить к образованию аномальных красных смещений, обсуждаемых в тексте.

Рис. 9. Перегиб на поверхности нулевой массы может приводить к образованию аномальных красных смещений, обсуждаемых в тексте.

тификации. При все возрастающем

тификации. При все возрастающем

вать эту точку зрения становится все труднее.

Новое объяснение аномальных красных смещений дается в рамках конформной гравитации. Подробности приведены в работе [32]. Идея кратко описана ниже.

В выражениях (6.14), (6.15) формулу для красного смещения мы получили посредством сравнения масс в моменты времени то и ть Это было сделано в предположении, что поверхность нулевой массы задается равенством т = 0. Предположим вместо этого, что данная поверхность имеет выступ, как показано на рис. 9. Пусть а и b — две соседние частицы с мировыми линиями, пересекающими поверхность нулевой массы 5 в точках Ао и Во соответственно. Одна из этих точек Ао лежит на поверхности т = 0, в то время как Во лежит на поверхности т = т& > 0, т. е. на выступе. Действие можно переписать таким образом, чтобы учесть такие выступы [32] и вычисленные массы. Если выступов мало и они расположены далеко друг от друга и не влияют существенно на космологическую картину Фридмана, то можно получить следующий результат.

Пусть то — время в точке наблюдения О. Нулевой конус, направленный из О в прошлое, пересекает мировые линии частиц а и b в точках А и В соответственно, как показано на рис. 9. Пусть время в точках А и В будет ti (одно и то же, поскольку А и В близки друг к другу). При этом массы в точках О, А и В даются выражениями

/и(О) = Ат2, т^А) = Ат2, пг^В) = Д^ — тд)2, (9.1) где А — постоянная. Красные смещения частиц а и Ь, наблюдаемые в О, даются тогда выражениями

2а =4-1, = (9.2) Ч 1Ч~ЧУ

Заметим, что гъ > za и разность гь — 2а возрастает при приближении ть к Ть

В эйнштейновской системе отсчета время на поверхности нулевой массы отождествляется с моментом творения. Таким образом, мы может сказать, что в этой системе отсчета частица b будет создана позже частицы а (ть>0). Вышрприведен* ный результат показывает, что более молодой объект будет иметь большее (и, следовательно, аномальное) красное смещение. Интересно, что эмпирические находки Арпа действительно обнаруживают этот эффект. Требуется определить, можно ли рассмотреть этот эффект количественно. Для такого определения необходимо уметь оценивать возраст КЗО и галактик более точно, чем это было возможно до сих пор.

Заключительные замечания

Мы начали наше обсуждение инерции и космологии с Ньютона, Маха и Эйнштейна. Нашим конечным результатом явилась теория, которая объединяет важные концепции всех трех ученых! Мы использовали принцип дальнодействия, впервые введенный в математической форме Ньютоном, хотя были вынуждены пересмотреть его, чтобы сделать действие распространяющимся вдоль нулевых линий. Этот принцип был использован для описания инерции частицы с учетом вкладов других частиц во Вселенной. Это математическое выражение принципа Маха. Наконец, пространственно-временная структура, в которой распространяется это взаимодействие масс, рассматривается как риманово 3 + 1-многообразие, в котором гравитационные эффекты проявляются посредством геометрии, отличной от геометрии Минковского. Эта идея лежит в основе общей теории относительности, и получающиеся «полевые» уравнения

действительно становятся уравнениями поля Эйнштейна при некоторых общих условиях.

Хотя полученные таким путем уравнения поля Эйнштейна являются простейшей системой уравнений гравитации, их, по- видимому, нельзя использовать вблизи произвольной частицы или вблизи поверхности нулевой массы. Использование эйнштейновской конформной системы отсчета неизбежно ведет к пространственно-временным сингулярностям на таких поверх-

Пустая или содержащая одну частицу вселенная- отсутствие теории

Ныотон

МахМахОбщие уравнения ст=ооОбщие уравнения ст=оо* Унивепоплкипч/ для частиц и с т^^Ф^уия^ Конформная _/. _ на некоторых простран- прироЗа инерции ^гравитация ' "* ственноподобных/ ' L ■ ■\ гиперповерхностях* Унивепоплкипч/ для частиц и с т^^Ф^уия^ Конформная _/. _ на некоторых простран- прироЗа инерции ^гравитация ' "* ственноподобных/ ' L ■ ■\ гиперповерхностяхгиперповерхностяхгиперповерхностяхЭйнштейнЭйнштейн''«и''«и\\^ Многочастичная вселен-\ ная- общая теорияотносительностив эйнштейновскойсистеме отсчета^ Многочастичная вселен-\ ная- общая теорияотносительностив эйнштейновскойсистеме отсчета

Мах

Мах

Общие уравнения ст=оо

Общие уравнения ст=оо

* Унивепоплкипч/ для частиц и с т^^

Ф^уия^ Конформная _/. _ на некоторых простран- прироЗа инерции ^гравитация ' "* ственноподобных

/ ' L ■ ■\ гиперповерхностях

* Унивепоплкипч/ для частиц и с т^^

Ф^уия^ Конформная _/. _ на некоторых простран- прироЗа инерции ^гравитация ' "* ственноподобных

/ ' L ■ ■\ гиперповерхностях

гиперповерхностях

гиперповерхностях

Эйнштейн

Эйнштейн

''«и

''«и

\

\

^ Многочастичная вселен-\ ная- общая теорияотносительностив эйнштейновскойсистеме отсчета

^ Многочастичная вселен-\ ная- общая теорияотносительностив эйнштейновскойсистеме отсчета

Рис. 10. Схема развития теории конформной гравитации.

ностях. Неоднородности такой космологической поверхности нулевой массы могут привести к появлению аномальных крас* ных смещений, как выяснено в предыдущем разделе.

После проделанной Эйнштейном большой работы по гравитации общая теория относительности многократно подвергалась тщательному рассмотрению на концептуальном уровне. Описанный здесь подход следует рассматривать как еще один такой анализ. Он подчеркивает изящество уравнений Эйнштейна, их уникальный характер и замечательную простоту, восполняет пробелы в их отношении к принципу Маха и позволяет взглянуть на пространственно-временную сингулярность с более широкой точки зрения конформной инвариантности.

Рассмотрение прямого взаимодействия частиц (4.6) открывает заманчивую возможность того, что пропагаторы GlAlB и G^A^B) являются частями некоторого «главного пропагатора». Если бы такой пропагатор существовал, то он объединил бы гравитацию и электромагнетизм. Но ответ может не быть таким прямым, как следует из (4.6), поскольку ожидается, что

«сверхтеория» объединит все основные известные в науке взаимодействия, а не только эти два. Любой подход к такому объединению будет поэтому неполным, так как ни на каком этапе ученый не может утверждать, что он собрал вместе все куски картинки-загадки законов природы. Следовательно, ученый не может позволить себе ждать, пока он соберет все куски, чтобы начать их соединять.

Тем не менее, как мы попытались показать в настоящей статье, любая попытка понять физику с чисто локальной точки зрения игнорирует важный аспект широкомасштабной структуры Вселенной. Схема развития, приведенная на рис. 10, подводит итог синтезу этих идей. В значительной степени благодаря теории гравитации Эйнштейна физики могли строить модели Вселенной с некоторой степенью уверенности. В значительной степени благодаря идеям Маха впервые возникла концепция связи объектов «здесь и теперь» с объектами, которые исходят «оттуда». И в значительной степени благодаря принятию ньютоновского подхода к дальнодействию мы можем получить такую связь.

ЛИТЕРАТУРА

Apr И. С., Proc. IAU/CNRS Coll., Paris, р. 377 (1977)

Belinsky V. A., Khalatnikov I. NL, Lifshitz E. M., Adv. Phys., 19, 525 (1970)

Bondi H., Gold T., Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 108, 252 (1948).

Das P. K., Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 177, 391 (1976).

DeWitt B. S., Brehme R. W., Ann. Phys. (New York), 9, 220 (1960).

Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc., A 167, 148 (1938).

Einstein A., Preuss. Akad. Wiss. Berlin Sitzber, 778, 799, 831, 834 (1915). [Имеются переводы: Эйнштейн А. К общей теории относительности; Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности; Уравнения гравитационного поля, — В собр. науч, трудов, т. I. — М.: Наука, 1965, с. 425.]

Einstein A., Autobiographical notes, Albert Einstein, Philosopher-Scientist, ed. Schlipp P. A., Evanston, Illinois, 1949. [Имеется перевод: Эйнштейн A. Автобиографические заметки. — В сб. Эйнштейн А. Собр. научи, трудов, т. IV, —М.: Наука, 1967, с. 259.]

Fokker A. D., Zs. Phys., 58, 386 (1929).

Fokker A. D„ Physica, 9, 33 (1929).

Fokker A. D., Physica, 12, 145 (1932).

Friedmann A., Zs. Phys.. 10, 377 (1922). [Имеется пеервод: Фридман A. О кривизне пространства, ~ В сб. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979, с. 320.]

Godel К.» Rev. Mod. Phys., 21, 447 (1949).

Hawking S. W., Proc. Roy. Soc., A 186, 313 (1965).

Hawking S. W., Ellis G. F. R., The Large-Scale Structure of Space-Time, Cambridge, 1973. [Имеется перевод: Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. — М.: Мир, 1977.]

Hilbert D., Ges. Wiss. Gottingen, Nachr. Math.-Phys., KI* 395 (1915). [Имеется перевод: Гильберт Д. Основания физики, —в сб.: А. Эйнштейн и теория гравитации. — М.: Мир, 1979, с. 133.)

Hogarth L E.t Proc. Roy. Soc., A 267, 365 (1962).

Hoyle F., Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 108, 372 (1948).

Hoyle F., Astrophys. J., 196, 662 (1975).

HoyleF.,NarllkarI.V.,Proc.Roy.Soc.,A273,1 (1963).

HoyleF.,NarllkarJ.V.,Proc.Roy.Soc.,A277,1 (1963).

HoyleF.,NarllkarJ.V.,Proc.Roy.Soc.,A294,138 (1966).

HoyleF.,NarllkarI.V.»Ann. Phys.(New York),64, 207 (1969).

HoyleF.,Narllkar J.V., Ann. Phys. (New York),62, 44 (1971).

HoyleF„Narllkar J.V., Nuovo Cimento, 7A, 242(1972).

HoyleF.,Narllkar J.V., Action at a Distance inPhysics and Cosmology,

Freeman, San Francisco, 1974.

Hubble E. P., Proc. Nat. Acad. Sci., 15, 169 (1929).

Islam J. N., Proc. Roy. Soc., A 306, 487 (1968).

Kembhavi A. K., Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 185, 807 (1978).

Мизнер Ч. В., Тауб A. X. — ЖЭТФ, 1968, т. 55, № 1 с. 233.

Narllkar J. V., J. Phys., A 7, 1274 (1974).

Narllkar J. V., Ann. Phys. (New York), 107, 325 (1977).

Narllkar J. V., Kembhavi A. K., Lett. Nuovo Cimento, 19, 517 (1977).

Rees M. J., Proc. IAU/CNRS Coll., Paris, 1977, p. 503.

Рузмайкина T. В., Рузмайкин A. A. — ЖЭТФ, 1969, t. 56, № 6, c. 1742.

Schwarzshild K., Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 128, 132 (1903).*

Synge J.-L, Relativity: The General Theory, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Общая теория относительности.— М.: ИЛ, 1963.]

Tetrode Н., Zs. Phys., 10, 317 (1922).

Wampler Е. J. et al., Nature, 246, 203 (1973).

Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 156 (1945).

Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 21, 424 (1949).

Квант и Вселенная

Дж. Уилер')

Резюме

Уроки квантовой теории можно резюмировать утверждением: «никакое элементарное явление нельзя считать явлением, пока оно не будет наблюдаемым явлением». Как следствие этого свойства природы наблюдатель-участник здесь и сейчас неизбежно вовлекается в определение поляризации фотона, который был порожден в самые ранние дни существования Вселенной. Возникает вопрос: требуется ли еще что-либо, чтобы подобные акты наблюдения-участия обеспечили возможность построения всего механизма образования того, что называется «осязаемой реальностью»?

Поиски всеобъемлющего подхода продолжаются

Альберт Эйнштейн снова и снова задавал вопрос: «Имел ли бог какой-либо выбор при сотворении мира?» — и всю свою жизнь пытался найти «полностью гармоническое описание действительности». Как далеко мы продвинулись в этих поисках сегодня?

Кто-то из живших в Принстонском университете в начале двадцатых годов рассказал мне о споре за обеденным столом в студенческой столовой между несколькими студентами-выпускниками, химиками и физиками: «Почему вы, химики, продолжаете все эти разговоры о валентных связях и валентных углах? Почему вы не признаете, что в химии нет ничего, кроме электрона и боровских круговых и эллиптических орбит?» Ответ последовал сразу же: «Почему вы думаете, что эти круговые и эллиптические орбиты имеют какое-либо отношение к форме молекулы воды или к тетраэдрической валентности атома углерода? Нет, физика это физика, а химия это химия. Электрические силы являются электрическими, а химические силы — химическими».

Несколько позднее в том же десятилетии взгляды как физиков, так и химиков изменились благодаря работам великих пионеров квантовой физики. Оказалось, что движение электронов

9 J. A. Wheeler, Физический факультет, Университет штата Техас, Остин Техас.

в электрическом поле заряженных ядер, описываемое волновым уравнением Шредингера, полностью объясняет все происходящее. Сотня закономерностей химии не требует для своего объяснения сотни законов физики. Все объясняет одна простая картина. Во многих случаях детально, а в других — в принципе мы объясняем с единых позиций столь различные свойства природы как устойчивость воды и спиральную конформацию фермента, существование валентности и природу кислотности, энтропию плавления и поглощение кислорода гемоглобином.

Несколько простых элементов — и все, что происходит или может произойти, выводится из этих простых элементов. Это пример всеобъемлющего описания Вселенной, которого так часто ждут от физики. Такое описание, если оно может быть дано, должно выяснить, какие типы сил и частиц могут существовать в природе. Принимая без доказательства наши современные представления о химии и твердых телах, жидкостях и газах, оно должно дать столь же детальное объяснение структуры и реакций ядер и элементарных частиц. Однако оно должно дать значительно больше. Оно должно выяснить, в каком отношении пространство и время являются изначальными концепциями, а в каком они являются вторичными, производными и приближенными понятиями. Является ли размерность 3 + 1 пространства-времени точным или только приближенным описанием действительности? И является ли Вселенная вечной, или время ее существования конечно?

Если успешное применение квантовой теории к химии и физике и впечатляющие достижения астрофизики заставляют нас задать эти далеко идущие вопросы, то необходимо со всей прямотой сказать, что физика в своем современном виде еще далека от возможности ответить на них. В настоящее время в нашем распоряжении нет окончательного представления о силах или частицах или о том, как возникла Вселенная. Еще менее ясно, какая простая, убедительная и кратко сформулированная идея лежит в основе кванта, исходя из которой можно предвидеть необходимость квантового принципа при построении мира и вывести структуру самого квантового принципа. Таким образом, фраза «квант и Вселенная» резюмирует главные неизвестные, которые предстают перед каждым, кто стремится ответить на старый вопрос об исчерпывающем описании действительности.

При рассмотрении вселенной частиц и полей естественно обратиться на мгновение ко вселенной растительных и животных форм. В этих двух царствах жизни можно увидеть изумительный порядок и симметрию. Тем не менее все эти закономерности после Дарвина были объяснены как результат случайных

мутаций и слепого выбора эволюции. (См., в частности, [9, 10].) Сегодня в физике мы также вынуждены задавать себе вопрос: «Быть может закономерности сил и полей не указывают на изначальный порядок, а возникают из субстрата, не обладающегр такими закономерностями?» В особенности следующие два свойства физических законов заставляют задавать такой вопрос: 1) не вполне однозначный вывод этих законов из весьма скудных симметрийных соображений и 2) имеющиеся указания, что каждый закон, как бы широка ни была область его применимости, тем не менее может терять силу при наложении достаточно экстремальных условий. Эти «соображения о симметрии» и «изменчивости» требуют более внимательного рассмотрения.

Симметрия

Достижения математической физики в последние десятилетия привели ко многим заключениям, но нет более общего утверждения, чем следующее: каждый закон физики допускает наиболее компактную и наиболее простую формулировку в понятиях симметрии. Однако чрезвычайная простота такого описания скрывает внутренние механизмы, которые лежат в основе этого закона. Например, простые рассуждения на основе теории групп говорят, что упругие свойства однородного изотропного вещества описываются двумя и только двумя упругими постоянными. В этом результате нельзя усмотреть никаких следов того хорошо известного обстоятельства, что эти упругие постоянные определяются вторыми производными потенциальной энергии взаимодействия множества различных атомов и молекул твердого тела. Все механизмы, обусловливающие упругость, оказываются скрытыми при ее теоретико-групповом описании. При переходе от упругости к некоторым из наиболее фундаментальных сил, которые нам известны,— гравитации, электромагнетизму и силам Янга — Миллса [41], которые, как полагают, связывают кварки в мезонах и элементарных частицах,— мы обнаруживаем столь же экономный вывод основного закона и такое же умалчивание относительно механизмов, которые обусловливают его наличие. На пространственно-временной диаграмме, изображенной на рис. 1, ai есть «начальная пространственноподобная гиперповерхность», на которой мы полагаем заданными поле, а также сопряженный с ним импульс. Эти «начальные данные» плюс знание гамильтониана поля позволяют предсказать значения, которые поле и сопряженный с ним импульс будут иметь на последующей пространственноподобной гиперповерхности oi. Хойман и др. [22, 23] отметили, что переход от начальной гиперповерхности к конечной, как можно ожидать, будет осуществляться либо через последовательность

промежуточных сечений, показанных на диаграмме пунктиром, либо через последовательность сечений, показанных штриховыми линиями. При произвольном гамильтониане нет гарантии, что новые значения поля и импульса на а2, рассчитанные для одной последовательности сечений, будут согласовываться со значениями, рассчитанными на той же гиперповерхности при использовании другой последовательности сечений. В этом смысле «общая теория Гамильтона» не может быть «вложена»

Пространство

Рис. 1. Гиперповерхность начальных значений а( и гиперповерхность конечных значений а2, разрезающие пространство-время, и две последовательности гиперповерхностей (одна показана штриховыми линиями, другая—пунктиром), которые ведут от ст, к а*. Требование, чтобы эти два пути расчета будущего (на О:) из прошлого (на с^ давали одинаковый результат («условие вложения»), примененное соответственно к векторному полю, тензорному полю и векторному полю с изоспином, ведет однозначно [22, 23] к электродинамике Максвелла, теории гравитации Эйнштейна п теории Янга — Миллса для поля, связывающего кварки.

надлежащим образом в единственное пространство-время. Но физика реального мира допускает такое вложение. Таким образом, это требование вложения налагает жесткое условие на гамильтониан поля. Если рассматриваемое поле является векторным, описываемым на пространственноподобной гиперповерхности тремя компонентами вектора Ах, Аи, Аг, то это требование вложения оказывается вполне достаточным для определения гамильтониана. Удивительно, что он оказывается гамильтонианом для стандартной электродинамики Максвелла. Если же это тензорное поле gn, gi2 = g2i, gis = £зь g^ gm = = 6з2, gas и если его отождествить с метрикой рассматриваемой гиперповерхности, то аналогичное требование вложения Хой- мана — Кухаржа—Тейтельбойма приводит столь же удивительным и однозначным образом к эйнштейновской геометрия

ческой теории гравитации (с подходящей космологической постоянной). Наконец, когда те же рассуждения применяются к векторному полю, которое обладает локальной «спиновой структурой» («неабелево калибровочное поле») [34], они ведут столь же неотвратимо к теории Янга — Миллса [41] для без- массового псТля, к той самой теории, к которой в настоящее время обращаются для описания связи кварков в мезонах и элементарных частицах.

Следует отдать должное усилиям многих исследователей, работавших на протяжении многих лет, благодаря которым сейчас так хорошо изучены основные идеи этих трех величайших полевых теорий современной физики и весь механизм построения теории может быть сведен к чему-то столь простому, как требование вложения. Естественно, для перехода от этого требования к конкретному результату требуется немного математики, но концептуальное основание, из которого возникает эта математика, едва ли можно представить себе более простым и более компактным.

Как бы намекая на более глубокое проникновение в суще-- ство вопроса, все три теории — гравитации, электромагнетизма и связывающих кварки полей Янга — Миллса — используют в своей внутренней структуре теорему алгебраической'геометрии, известную как «граница границы равна нулю» (см., например, [30], гл. 15). Замечательным свойством этой теоремы является то, что она справедлива для любой конкретной раз* мерности и тем самым как бы побуждает нас к размышлениям о возможности формулировки самых основных законов физики в безразмерной форме.

Если величайшие достижения теоретической физики сводятся к столь малому, то какой урок можно извлечь из этого относительно природы физических законов? В былые времена эти изумительные достижения симметрийных рассмотрений считали бы полной гарантией того, что достигнута окончательная истина. Однако сегодня мало оснований для столь окончательной оценки этих трех законов физики. Действительно, концепция кварков, базирующаяся на тюле Янга — Миллса, через несколько лет может дать физике элементарных частиц возможность предсказывать сечения и энергйи с точностью примерно 20%, что в настоящее время уже типично для ядерной физики. Однако этот результат, если он будет достигнут, будет относиться к расстояниям порядка 10~15—10-16 см и энергиям порядка 10—100 ГэВ. Никто не может предсказать, какая новая физика и какие новые поля появятся в будущем, когда с помощью более высоких энергий можно будет проникнуть еще глубже. Напротив, многие из работающих в этой области рассматривают современный уровень развития, хотя он является

впечатляющим и глубоко идущим, только как царапину на по- верхности одного из многих слоев структуры, скрытой в области все более малых расстояний.

Было время, когда упругость рассматривали как одно из основных понятий. Сегодня наш кругозор стал так широк, что мы считаем упругость вторичной и производной силой. Более того, мы не исключаем возможность того, что такие «основные» поля, как гравитация, электромагнетизм и поля, связывающие кварки, также являются вторичными и производными.

Изменчивость

Являются ли «основные» законы физики действительно основными? Являются ли они вечными? Или существуют важные выводы относительно законов физики, которые можно и следует извлечь из того обстоятельства, что сама Вселенная не существует вечно?

Немногие разделы науки в последние два десятилетия получили более революционное развитие, чем астрофизика. Два ее достижения в особенности привлекают наше внимание. Первое состоит в открытии реликтового космического излучения. Еще до открытия этого излучения было установлено, что Вселенная образовалась в результате большого взрыва; это представление основывалось на 1) распространенности элементов, 2) внутренней астрофизической эволюции отдельных звезд и 3) динамической эволюции звездных скоплений. Однако с открытием излучения с температурой 3 К любые мысли об альтернативных космологических моделях в значительной степени были оставлены. Широко признана картина, согласно которой Вселенная образовалась в экстремальных условиях приблизительно 10-109 лет назад, достигнув за 1 с плотности порядка 105 г/см3 и температуры порядка 1010 К, и с того момента вплоть до сегодняшнего дня медленно расширяется и охлаждается (рис. 2).

Скорость расширения Вселенной, выведенная из скорости разбегания галактик относительно нашей, замедлялась, как легко понять, под действием гравитационного притяжения между галактиками в течение всего времени существования. В настоящее время она настолько уменьшилась, что этим галактикам потребовалось бы приблизительно 20-109 лет, чтобы пройти расстояние от нас до их современного местоположения, двигаясь с современной скоростью. Никакое другое численное значение не говорит столь непосредственно в пользу замедления расширения Вселенной, как разница между ~20-109 годами, составляющими «время от начала, экстраполированное из современных скоростей разбегания», и действительным временем

от начала Вселенной, равным ~ 10-109 годам, которое следует из астрофизической эволюции отдельных звезд. Оба значения известны с точностью порядка 30—40 % < Однако если эти два значения считать верными и подставить в стандартную модель

Время ХабблаВремя Хаббла

Время Хаббла

Время Хаббла

м 0-^*1= .* мегапарсек 0,66 св. лет/год 13,19 ЧО9 св. лепт 18,9440® св. лет 59,52 *10®лет , 1^*Ю’”г/сма 5,68- 10хв 3,39-ГО80м 0-^*1= .* мегапарсек 0,66 св. лет/год 13,19 ЧО9 св. лепт 18,9440® св. лет 59,52 *10®лет , 1^*Ю’”г/сма 5,68- 10хв 3,39-ГО80Время от начала до настоящего момента ЮЧО^летСовременное значение времени Хаббла20'109лет

м 0-^*1= .

* мегапарсек 0,66 св. лет/год 13,19 ЧО9 св. лепт 18,9440® св. лет 59,52 *10®лет , 1^*Ю’”г/сма 5,68- 10хв 3,39-ГО80

м 0-^*1= .

* мегапарсек 0,66 св. лет/год 13,19 ЧО9 св. лепт 18,9440® св. лет 59,52 *10®лет , 1^*Ю’”г/сма 5,68- 10хв 3,39-ГО80

Современная скорость расширения Хаббла

Современная скорость увеличения радиуса

Современное значение радиуса Максимальный радиус Время от начала до конца Современная плотность Масса вещества Эквивалентное число барионов

Рис. 2. Некоторые данные для фридмановской модели изотропной Вселенной, «заполненной звездной пылью> [30].

Эйнштейна для замкнутой Вселенной, то они позволяют предсказать ряд других интересных значений и среди них расчетное время порядка 60-Ю9 лет для интервала от большого взрыва до большой остановки (big stop). (Готт и др. [18] сомневаются, что Вселенная содержит достаточно вещества, чтобы искривить ее до замыкания.) Иногда говорят, что наиболее замечательным предсказанием теоретической физики является то, которое позволило предсказать (и предсказать в основном правильно), что должно было произойти, когда впервые в иста- рии человечества кусок звезды был спущен на Землю во время взрыва в пустыне Аламагордо в Нью-Мексико в 5 ч 30 мия

утра 16 июля 1945 г.1). Однако как еще более впечатляющее свидетельство способности человека проникать в неизвестное можно рассматривать тот факт, что стандартная (1915 г.) гео- метрическая теория гравитации Эйнштейна предсказала, пред* сказала правильно и вопреки всем ожиданиям столь фантастическое явление, как расширение Вселенной2).

Та же самая геометрическая теория гравитации предсказы* вает коллапс в черную дыру достаточно массивного образовав ния из холодной материи. Сегодня имеются впечатляющие кос* венные указания, что один из членов двойной звездной системы с периодом в 5,6 дня в созвездии Лебедя (рентгеновский источник Cyg XI) является черной дырой с массой порядка десяти солнечных масс [17].

Эти достижения космологии и физики черных дыр придают новую силу некоторым наиболее замечательным следствиям стандартной теории Эйнштейна:

Вселенная не может быть статической.

Объем замкнутой Вселенной не является постоянным.

Полная энергия и полный угловой момент для замкнутой Вселенной не могут быть определены — они являются бессмысленными понятиями. Для такой системы никакой глобальный закон сохранения энергии и углового момента не имеет смысла или значения.

Барионное число и лептонное число являются хорошо определенными величинами для обычной звезды; но когда эта звезда коллапсирует в черную дыру, хорошо установленные за* коны сохранения этих чисел теряют всякую применимость.

Трудно объединить все эти выводы в более кратком утверж* дении, чем следующее: природа ничего не сохраняет, в физике нет константы, которая не теряла бы своего смысла, или, одним словом, изменчивость есть закон природы.

На рис. 3 символически представлена изменчивость в виде лестницы существующих и утрачивающих силу законов. Тот день, когда Архимед выскочил из ванны с криком «Эврика!», может символизировать первые точные измерения одной из характеристик вещества — плотности. Позднее мы научились подвергать вещество столь высокому давлению, что можно было вызвать заметное изменение плотности. В результате этого плотность перестала быть тем, что можно было бы рассматривать как «сохраняющуюся величину». На более поздней стадии большое значение приобрело понятие валентности, используе*

!) Имеется в виду испытание первой атомной бомбы, осуществленное в США. — Прим, перев.

^ Эти слова, разумеется, следует отнести к результату советского ученого А. А. Фридмана, который в 1922 г. предсказал расширение Вселенной На основе теории Эйнштейна. — Прим, перев.

Остановлено понятие плотности (^ЭврикаОстановлено понятие плотности (^ЭврикаПорядковый номер и массовое число для ядраПорядковый номер и массовое число для ядраХимическая валентностьХимическая валентностьВсе законы физики, выраженные в терминах пространства и времениЗаконы сохранения энергии, заряда и углового моментаВсе законы физики, выраженные в терминах пространства и времениЗаконы сохранения энергии, заряда и углового моментаЗаконы сохранения барионногу и лептонного чиселЗаконы сохранения барионногу и лептонного чиселЯдерные превращенияЯдерные превращенияПонятие валентности теряет смысл при высокой температуреПонятие валентности теряет смысл при высокой температуреРис. 3. Изменчивость: лестницаРис. 3. Изменчивость: лестница

Остановлено понятие плотности (^Эврика

Остановлено понятие плотности (^Эврика

Порядковый номер и массовое число для ядра

Порядковый номер и массовое число для ядра

Химическая валентность

Химическая валентность

Все законы физики, выраженные в терминах пространства и времени

Законы сохранения энергии, заряда и углового момента