ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Предлагаемая вниманию читателя книга Клиффорда М. Уилла «Теория и эксперимент в гравитационной физике» является оригинальной монографией, не имеющей себе подобных в отечественной литературе. Автор, физик-теоретик, специалист в области релятивистской теории гравитации, длительное время работал над исследованием различных ее вариантов, возникших в связи с дискуссионностью ряда проблем общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна и скудостью экспериментального фундамента, на который она опиралась долгие годы. Прогресс измерительной техники начиная с 60-х годов нашего столетия радикально изменил ситуацию ——стал поступать поток новых экспериментальных данных, что создало возможности для продуктивного сравнения многочисленных теоретических схем с опытом и отбора наиболее конкурентоспособных из них.

Монография Уилла в известной мере является итогом этой деятельности. Она содержит наиболее полный анализ как принципиальных аксиом, лежащих в основе теории гравитации, так и разнообразных физических следствий, существующих в рамках выбранной модели, по крайней мере, в слабом гравитационном поле.

Для физиков-теоретиков книга Уилла представляет интерес, в частности, потому, что дает в компактном виде формулировки многих соперничающих с ОТО теорий и, таким образом, позволяет быстро ознакомиться с их основными чертами и особенностями. Поскольку отечественной физической школе свойственна приверженность к ОТО, такого рода материал нельзя найти в учебной литературе или монографиях, а журнальные публикации не всегда легко доступны. Хотя некоторые из приведенных в книге вариантов теории гравитации уже сейчас могут быть отвергнуты как противоречащие экспериментальным фактам, ценными могут оказаться какие-либо принципиальные идеи или математические построения, развитые при их создании.

Для экспериментаторов книга Уилла также будет весьма полезна, поскольку она содержит подробное обсуждение физической стороны

прогнозируемых и наблюдаемых релятивистских эффектов; сложные математические построения и общие рецепты доводятся автором до простых окончательных формул, до численных оценок конкретного эффекта, причем всегда наглядно видна взаимная динамика параметров, образующих конечный результат.

Как известно, Уилл и Нордтведт являются авторами универсальной теоретической схемы — так называемого параметризованного постньютоновского (ППН) формализма, в рамках которого произвольная теория гравитации представляется в виде разложения по параметрам слабости гравитационного поля и медленности движений, так что нулевой порядок соответствует нерелятивистской теории тяготения Ньютона (см. например [206, 209, 214, 353, 355, 368]). Постньютоновские поправки определяют неньютоновские («заньютоновские») эффекты, присущие исследуемой теории; сравнение этих поправок и сопоставление их с экспериментом составляют существо методики, используемой автором книги для критического разбора применения теоретических схем к солнечной системе. Такой подход к описанию релятивистской гравитации берет начало еще в работах Эддингтона и Робертсона [91, 252], которые вводили элемент длины в околосолнечном пространстве в форме метрики Минковского с поправками, пропорциональными степеням(р/с2 ~ fg/r (屮 и rg — гравитационный потенциал и радиус Солнца). Задача определения коэффициентов пропорциональности возлагалась на эксперимент. Эта методика использовалась затем рядом авторов, но Уиллу и Нордтведту принадлежит наиболее полное ее развитие с обобщением на полиметрические и квазиметрические теории, содержащее в общей сложности десять числовых параметров, подлежащих экспериментальной проверке. .

Сейчас уже очевидна та положительная роль, которую сыграла ППН схема в планированйи и анализе результатов релятивистских экспериментов, выполненных за последние 15 лет, в установлении весьма жестких ограничений на допустимые отличия альтернативных моделей гравитации от ОТО. Несмотря на слабость постньютоновских эффектов в солнечной системе, современные технические средства, главным образом сверхчувствительные радиофизические методы, позволили выполнить измерения с поразительной точностью и определить численные значения ряда ППН параметров в пользу ОТО с погрешностью, составляющей доли процента. Фактически лишь теория Бранса—Дике не может быть экспериментально проверена из-за перенормировки константы связи скалярного поля, увеличение которой непрерывно делает следствия этой теории совпадающими со следствиями ОТО.

Среди разнообразных вопросов, рассмотренных в книге, хотелось бы выделить следующие, по нашему мнению, наиболее оригинально изложенные проблемы.

Автор всесторонне обсуждает принцип эквивалентности (ПЭ) как основу метрических теорий тяготения (гл. 2 и 8), прослеживает эволюцию его физического содержания от Ньютона и Галилея до эйнштейновской формулировки. Детально исследует разделение ПЭ на сильный и слабый, с включением энергии гравитационного взаимо- 4

действия и без нее. Изложена гипотеза Шиффа, обычно не содержащаяся в учебной литературе и предпол а гающа я, что слабый ПЭ влечет за собой справедливость сильного ПЭ. Косвенное доказательство этого утверждения проведено с помощью схемы Лайтмана и Ли (так называемый ТЯерь-формализм), которая уже сама по себе интересна и вместе с определениями тензоров аномальных инертной и пассивной гравитационных масс позволяет планировать новые опыты по проверке различных аспектов ПЭ. Специальное внимание обращено на то обстоятельство, что такие важные теоретические принципы, как локальная лоренцева инвариантность и локальная пространственная инвариантность физических законов суть составные части ПЭ; описаны эмпирические факты, доказывающие их справедливость. Анализируются все выполненные к 1981 г. эксперименты, лабораторные и космические, подтверждающие ПЭ, в том числе локационные измерения эффекта Нордтведта, являющиеся проверкой ПЭ на уровне энергии гравитационного взаимодействия.

Уилл подробно обсуждает метрические теории гравитации, построенные на ПЭ. В компактной форме дан вывод уравнений поля, сформулированы основные уравнения классической физики в криволинейных координатах. Этот раздел, в частности, может служить справочником для студентов, аспирантов и научных работников в области ОТО.

Принципы и общая схема построения ППН формализма (гл. 4) даны более подробно и глубоко, чем, например, в [185]. Основные уравнения, в том числе уравнения движения системы гравитирующих тел в гравитационном поле (гл. 5,6), конкретизированы для различных альтернативных вариантов теории тяготения.

В рамках ППН схемы автор выполняет весьма наглядный расчет классических релятивистских эффектов —— смещения перигелия планет, отклонения и задержки электромагнитного излучения в поле Солнца (гл. 7). (Гравитационное смещение частоты рассматривается как один из аспектов проявления ПЭ). Из последних экспериментальных данных найдены ограничения на ППН параметры, стЕеютЕенные за кривизну и нелинейность околосолнечного пространства.

Заметное внимание в книге уделено вопросу о релятивистских поправках к закону тяготения Ньютона, которые могут выразиться в вариациях локально измеренного значения гравитационной постоянной G (гл. 6 и 8). Эти разделы монографии весьма актуальны в связи с активным обсуждением в текущей литературе работ по измерению пространственных вариаций G. Хотя релятивистские эффекты второго порядка не имеют отношения к мотивам, стимулировавшим повторения опыта Кавендиша с большим пространственным разделением масс (138, 167, 221], такого рода эксперименты попадают в систематику Дике, подробно обсуждаемую Уиллом, т.е. осуществляют проверку главных положений, составляющих основу этой теории. В книге также дан интересный обзор многочисленных геодезических явлений, приводящих к периодическим изменениям ускорения силы тяжести. Отсюда автор получает ограничения на допустимые вариации локальной гравитационной постоянноц G. Это в свою очередь позволяет ука-

зать довольно жесткие границы для некоторых ППН параметров, ответственных, в частности, за гипотезы о существовании привилегированной системы отсчета и локального нарушения законов сохранения,—черт, наиболее противоречащих как ньютоновской физике, так и ОТО. Интересно, что измерение тех же параметров в орбитальных экспериментах не улучшает результатов геофизических исследований.

Примечательна гл. 10 о гравитационном излучении. Принципиальным отличием альтернативных теорий в сравнении с ОТО служат два момента — наличие дипольного гравитационного излучения (нарушение ПЭ) и существование большого числа возможных поляризаций плоской тензорной гравитационной волны (ГВ). Уиллом совместно с коллегами разработана таблица классификации поляризаций, которая позволит в случае регистрации ГВ в совер шенствова н и я техники приема выполнить решающие тесты гравитационных теорий уже в слабом поле, так как речь идет наблюдении качественных отличий (в сравнении с прямым измерением ППН параметров).

В книге заметное внимание уделено анализу вращательных (спиновых) эффектов в гравитационном поле (гл. 9). Приводятся постньютоновские расчеты эффекта, изместного как «релятивистский гироскоп Шиффа на околоземной орбите», а также эффектов Лензе — Тирринга (отклонение плоскости орбиты вследствие вращения Земли) и Леви- Чивиты (ускорение центра масс двойной звезды в направлении периастра; существует лишь в неконсервативных теориях). С точки зрения измерения ППН параметров такие эксперименты не обладали бы каким-либо особым преимуществом перед другими, с уже освоенной методикой, но, как неоднократно подчеркивалось, их выполнение имеет самостоятельный мотив вне рамок ППН формализма ——это были бы первые наблюдения релятивистского поведения вектора углового момента в гравитационном поле. Именно по этой причине здесь в последние годы (уже после выхода в свет английского издания данной книги) появился ряд новых предложений, по-видимому, более реалистичных, чем дорогая программа осуществления «релятивистского гироскопа». Это орбитальный вариант с крутильным маятником типа «осциллирующей гантели» для наблюдения так называемого спин-квад- друпольного эффекта [Д2] и вариант с маятником Фуко на Южном полюсе [ДЗ].

Особые надежды физиков-теоретиков были связаны с пульсаром в составе двойной системы, обнаруженным в 1974 г. Действительно, эта система представляет собой естественную лабораторию с относительно сильным гравитационным полем(р2/с2 ~ 0,1 и высокостабильным радиоисточником, которая может служить инструментом для исследования релятивистских эффектов. Частично эти надежды оправдались: многолетние наблюдения за уменьшением орбитального периода двойного пульсара к настоящему времени с большей степенью достоверности позволяют утверждать, что причиной этого уменьшения является потеря энергии в результате излучения гравитационных волн в согласии с формулами ОТО; таким образом, это первое косвенное

доказательство их существования. Классические релятивистские эффекты в такой системе относитёльно велики, например смещение периастра в 104раз больше смещения перигелия Меркурия. Пульсар как вращающаяся нейтронная звезда представляет собой естественный гироскоп, и прецессия Шиффа должна также быть на много порядков больше, чем в планируемом земном эксперименте.

Казалось, что ППН схема получит с помощью такой лаборатории еще более точные оценки своих коэффициентов. Это произошло, однако, лишь с параметрами, присущими неконсервативным вариантам теорий тяготения, в частности, наблюдения отвергают механизм дипольного гравитационного излучения и накладывают весьма существенные ограничения на допустимое отличие от нуля соответствующих постньютоновских коэффициентов. Приоритет в исследовании этого вопроса принадлежит автору данной монографии. Причина, по которой основная группа постньютоновских коэффициентов не получила заметного уточнения, связана с плохим знанием физики разнообразных процессов в окрестности таких сложных астрофизических объектов; эта неопределенность маскирует тонкие гравитационные эффекты. В книге Уилла двойной пульсар рассматривается весьма детально (гл. 12). Основная цель автора — анализ релятивистских отклонений в этой системе, однако он попутно использует ее и как пример для конкретной иллюстрации ППН уравнений движения многих тел.

Возвращаясь к тематике книги в целом, отметим следующий аспект. На сегодняшний день создается впечатление, и оно, несомненно, усиливается после знакомства с монографией Уилла, что проверка ОТО в слабом поле себя в значительной степени исчерпала. Решающие аргументы для дальнейших проверок гравитационной теории следует искать в наблюдениях за объектами с сильным гравитационным полем. Одним из ключевых моментов, по мнению ведущего советского астрофизика В. Л. Гинзбурга, явился бы сам факт достоверного обнаружения черных дыр [Д4]. В этих условиях естественным выглядит вопрос, исчерпал ли себя ППН формализм как теоретическая схема, эффективно работающая лишь в условиях слабого поля. Категорический ответ на этот вопрос вряд ли уместен. Во-первых, ППН схема всегда останется полезной для экспериментов, проверяющих основные принципы и постулаты теории, такие как ПЭ, гравитационное смещение частоты, постоянство константы взаимодействия и т.п. Ввиду фундаментального значения этих положений и величин их проверка с все возрастающей точностью будет всегда актуальна. Во-вторых, в околосолнечном пространстве ППН схема будет продолжать работать при измерении эффектов второго порядка по параметру слабого поля. Такая возможность, в частности, появляется уже сейчас, если принять во внимание разработку вторичных эталонов частоты с относительной стабильностью около 10~16 [322] (ср. с параметром слабости поля тяготения Земли (р©/с2 〜10-8). В-третьих, ППН формализм можно использовать, как показано в данной монографии, при вычислении движений в системе гравитирующих компактных объектов В сочетании с точной теорией для их внутренних областей.

Таким образом, содержание книги Уилла не является узкоконъюнктурным н не обращено только в прошлое. Как в специальных, так и в общеобразовательных целях читатели найдут в ней большое число интересных, нетривиальных задач, глубоко исследованных автором, который в настоящее время представляется единственным в мире специалистом, проделавшим огромную вычислительную и аналитическую работу по сравнению конкурирующих теорий гравитации.

Следует отметить, что Уилл не рассматривает в книге теории, предложенные в последнее время советскими учеными, в частности теорию гравитации, разрабатываемую А. А. Логуновым с сотр. Заинтересованный читатель может восполнить этот пробел, обратившись к оригинальным публикациям [Д5, Д6].

В. Н. Руденко

ПРЕДИСЛОВИЕ

Более полстолетия назад гением Альберта Эйнштейна была создана общая теория относительности (ОТО). Она навсегда изменила наши представления о природе пространства и времени и поставила на повестку дня вопрос о возникновении и эволюции Вселенной. Однако, несмотря на все возрастающее влияние на научное мировоззрение, ОТО поначалу весьма скудно подкреплялась наблюдениями. Только в последние два десятилетия благодаря технической революции связь ОТО с экспериментом достигла беспрецедентной степени точности. При экспериментальной проверке рядовых предсказаний ОТО для солнечной системы обычной стала точность, равная долям процента (или даже лучше): За последнее время теоретики на базе технического прогресса разработали множество математических методов для анализа новых прецизионных измерений и планирования будущих экспериментов. Эти методы используются для сравнения ОТО с другими, конкурирующими теориями гравитации, различения их, классификации и осмысления физических и наблюдательных следствий этих теорий.

Таким первым тщательно разработанным методом стало обобщение метрических теорий гравитации, известное как параметризованный постньютоновский (ППН) формализм, который идеально подходит для проверки теорий гравитации в солнечной системе. ППН &рмализм подробно был изложен в цикле лекций, прочитанных автором на Международной школе Энрико Ферми в 1972 г. [359]. Однако с тех пор был достигнут заметный прогресс как в теории, так и в эксперименте. ППН формализм был усовершенствован, были разработаны новые схемы для других аспектов теории тяготения, таких как неметричес- ские теории гравитации, гравитационное излучение, движение плотных объектов. В обзорах [366, Д11] просуммированы принципиальные результаты новых формализмов без учета физических и математических деталей. Настоящая книга призвана удовлетворить потребность в более полном (со времен 1972 г.) изложении и анализе методов исследования гравитационных теорий и эксперимента.

В ней подробно рассмотрены известные гравитационные теории, развитые для их анализа методы, а также связь этих теорий с экспериментом. Разумеется, исследуются не все теории гравитации и рассчитываются не все возможные эффекты. Вместо этого сделана попытка систематизировать рецепты выполнения таких расчетов, подкрепленные соответствующими примерами. Автор надеется, что книга окажется полезной как теоретикам, так и экспериментаторам. Она написана на уровне учебного пособия по общему курсу теории гравитации или, возможно, как основной учебник для более специализированного курса. Стимулирующую роль в написании этой книги сыграло столетие со Дня рождения А. Эйнштейна в 1979 г. Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность Р. Вагонеру, М. Уокеру, М. Хогэну и Ф. Эверитту за полезные обсуждения и критические замечания по рукописи, не возлагая на них, ответственности за ошибки и недостатки книги. За постоянную поддержку и ободрение автор благодарен К. Тормну, за подготовку рукописи — В. Лабри и Р. Эйлман.

ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ

14 сентября 1959 г., через 12 дней после прохождения ближайшей к Земле точки, планета Венера была облучена серией радиоимпульсов с Земли, из Линкольновской лаборатории в штате Массачусетс (США) для исследования отражения радиоволн от планеты. Поначалу ученые были весьма разочарованы, ибо ни в этот, ни в другие дни продолжавшегося месяц в период нижнего соединения двух планет эксперимента не было обнаружено заметных эхо-сигналов. Однако впоследствии повторный, тщательный анализ данных уверенно показал наличие эхо- сигналов для одного дня —14 сентября. Это была первая регистрация отражения радиосигнала от планет.

9 марта 1960 г. в редакцию журнала Phys. Rev. Let. поступила статья Паунда и Ребки мл. под названием «Эффективный вес фотонов» [231]. В статье сообщалось о первом успешном лабораторном измерении гравитационного красного смещения света.

В июне 1960 г. в т. 10 Ann. Phys, появилась статья Пенроуза «Спинорный подход к общей теории относительности» [227]. В ней ОТО последовательно описывалась на основе скорее спинорного, нежели тензорного исчисления.

В конце лета 1960 г. Бранс, выпускник Принстонского университета, под руководством Дике заканчивал диссертацию, названную «Принцип Маха и переменная гравитационная константа». Часть диссертации была посвящена скалярно-тензорной альтернативе ОТО, ставшей известной как теория Бранса — Дике.

26 сентября 1960 г. чуть больше чем через год после радиолокации Венеры, астрономы Мэтьюз и Сэндиж с сотр. в обсерватории Маунт- Паломар с помощью пятиметрового телескопа фотографировали звездное небо в окрестности радиоисточника ЗС48. Они ожидали обнаружить скопление галактик, однако объект, который они увидели в точном месте расположения радиоисточника, по всем признакам напоминая звезду, имел необычный спектр и светимость, которая менялась примерно за 15 мин. Впоследствии такие объекты стали именоваться квазизвездными радиоисточниками или квазарами.

Эти четыре столь различных и, казалось бы, не связанных между собой события 1959/60 академического года, простиравшиеся от экспериментальной физики и астрономии до математической теории, возве- 10

стили начало новой эры для ОТО. Началась эпоха, в которой ОТО предстояло не только стать важным теоретическим инструментом астрофизиков, но и выдержать скрупулезную проверку своей достоверности. В этой эпохе предстояло появиться приборам, позволяющим проверять ОТО ранее неизвестными методами с беспрецедентной точностью.

Оптическая идентификация радиоисточника ЗС48 [177] и последовавшее обнаружение большого красного смещения его спектральных линий, а также спектральных линий радиоисточника 3C273 [117, 274] поставили теоретиков перед задачей объяснить гигантскую мощность излучения (1040 Вт) из области пространства, достаточно малой для того, чтобы иметь возможность систематически менять светимость примерно за несколько дней или даже часов. В поисках механизма, способного обеспечить столь бурные явления, многие теоретики обратились к ОТО и предсказываемым ею сильным релятивистским гравитационным полям. Это был первый случай использования сильных полей ОТО (кроме космологии) для интерпретации наблюдаемых явлений. Последующее открытие пульсаров и возможная идентификация черных дыр свидетельствуют о том, что оно оказалось не последним. Однако применение ОТО для построения астрофизических моделей вынудило исследователей задаться вопросом: является ли ОТО корректной релятивистской теорией гравитации? Трудно было бы полагаться на модели таких явлений, как квазары и пульсары, если бы имелись серьезные сомнения в справедливости одной из физических теорий, на которых они базируются. Так развитие релятивистской астрофизики потребовало веских экспериментальных фактов за или против ОТО.

Пенроузовский спинорный подход к ОТО [227] явился продуктом деятельности новой школы релятивистов-теоретиков, выдвинувшихся в конце 50-х годов. Они применили элегантный абстрактный математический аппарат к физическим проблемам ОТО и показали, что этот аппарат может оказаться полезным для их коллег-астрофизиков. Уничтожив пропасть между математикой, с одной стороны, и физикой и астрофизикой ——с другой, Бонди, Дике, Шама, Пирани, Пенроуз, Сакс, Элерс, Мизнер и др. изменили само направление изучения (и преподавания) теории относительности, сделав ее активной и популярной областью физики. Однако вопрос ——является ли ОТО корректной основой исследования——оставался. Остальные три события 1959 — 1960 гг. стимулировали возрождение исследований, призванных ответить на этот вопрос.

Помимо демонстрации принципа эквивалентности и гравитационного красного смещения эксперименты Паунда ——Ребки [231] показали эффективность квантовой экспериментальной техники в прецизионных гравитационных экспериментах. В последующие два десятилетия широко использовались такие прецизионные квантовые при-

боры, как атомные часы, лазерные дальномеры, сверхпроводящие гравиметры, детекторы гравитационных волн и многие другие.

Регистрация радиолокационного эха от Венеры [297] сделала солнечную систему лабораторией по проверке релятивистской теории гравитации. Бурное развитие межпланетной космической программы в начале 60-х годов способствовало разработке радиолокационного зондирования планет и космических аппаратов в качестве нового эффективного способа проверки релятивистских гравитационных эффектов. Вместе с теоретическим открытием в 1964 г. релятивистского запаздывания эхо-сигнала [280] радиолокация дала новый точный метод проверки ОТО. Следующие 15 лет (до лета 1974 г.) солнечная система должна была оставаться единственной ареной прецизионных проверок ОТО.

Наконец, создание теории Бранса ——Дике [44] дало вполне приемлемую альтернативу ОТО. Само ее существование и согласие с экспериментом показало, что ОТО не является единственной возможной теорией гравитации. Многие даже предпочитают теорию Бранса — Дике ОТО по эстетическим и математическим причинам. Как минимум, теория Бранса — Дике показала, что обсуждение релятивистских гравитационных контрольных экспериментов следует проводить на более широкой теоретической основе, нежели предоставляемая только ОТО. Ее появление также усилило надобность в прецизионных экспериментах, ибо она показала, что простой регистрации слабых релятивистских эффектов недостаточно. Для различения конкурирующих теорий тяготения понадобилась точность измерения этих эффектов, равная десяткам, единицам и даже долям процента. Для более четкого осознания степени влияния этих событий на теорию тяготения и ее контрольные эксперименты полезно кратко рассмотреть историю гравитационного эксперимента в течение 45 лет, последовавших за публикацией ОТО.

Создавая ОТО, Эйнштейн вовсе не ставил себе единственной целью обоснование необъясненных результатов наблюдений или экспериментов. Он руководствовался в основном теоретическими критериями элегантности и простоты. Его главной задачей было создание теории тяготения, которая естественным образом включала бы принцип эквивалентности и специальную теорию относительности (СТО). Лишь на последнем этапе он был вынужден сравнить теорию с экспериментом. Это сравнение в основном содержало то, что теперь называется три классических теста ОТО.

Одна из проверок — способность теории описать аномальное смещение перигелия Меркурия — завершилась немедленным успехом. Нерешенной проблемой небесной механики в течение более пол столетия, со времен открытия Леверрье в 1845 г., являлся тот факт, что после учета возмущающего влияния планет и вычитания смещения точек равноденствия относительно астрономической системы координат остается необъясненная составляющая движения (смещения) перигелия Меркурия. В настоящее время это расхождение составляет около 43" дуги в столетие (табл. 1.1). Множество специальных предположений было сделано в попытках объяснить это расхождение, в

Таблица 1.1. Движение перигелия Меркурия

Причина движения

Скорость, "/столетне

Общая прецессия (эпоха 1900 г.)

5025,6

Влияние Венеры

277,8

Влияние Земли

90,0

Влияние Марса

2,5

Влияние Юпитера

153,6

Влияние Сатурна

7,3

Влияние остальных планет

0,2

Сумма

5557,0

Наблюдаемое значение

5599,7

Разница

42,7

том числе существование вблизи Солнца неизвестной планеты Вулкан или кольца планетоидов, наличие квадрупольного момента Солнца, отклонение закона тяготения от обратной пропорциональности квадрату расстояния и т. п. [58]. Хотя все эти предположения объясняют аномалию, они либо требуют наличия объектов, которые должны были бы быть доступны прямому наблюдению, либо вносят возмущения в движение других планет (например, регрессию узловых точек, изме・ •ненне наклона орбит), противоречащие наблюдениям. По этой причине все они были обречены на провал. ОТО объяснила это смещение совершенно естественно, не внося никаких противоречий с наблюдениями других планет. Этот результат оставался непревзойденным до 1967 г.

Второй классический тест — отклонение света солнечной массой — не только был успешным, но и произвел настоящую сенсацию. Вскоре -после окончания первой мировой войны из Великобритании отправи- .лись две экспедиции — одна в Собрал (Бразилия), другая на остров -Принсипи недалеко от западных берегов Африки. Их задачей было измерение предсказанного ОТО отклонения световых лучей на 1,75" при прохождении в непосредственной близости к Солнцу. Наблюдения следовало проводить при полном солнечном затмении, позволявшем видеть близкие к Солнцу звезды. Фотографии звездного неба в окрестности Солнца сравнивали с фотографиями того же участка в его отсутствие и определяли угловое смещение звезд. Оно составило 1,13± 士 0,07 предсказанного Эйнштейном для экспедиции в Собрале и •0,92 士 0,17 для экспедиции на Принсипи [87]. Сообщение об этом привлекло внимание уставшей от войн широкой публики и прославило Эйнштейна [28].

Однако в эксперименте имелись весьма значительные систематические погрешности, и последующий независимый анализ результатов дал значение 1,0—1,3 значения, предсказанного ОТО. В результате последующих экспедиций результаты были уточнены (табл. 1.2). Ос・ .новным источником погрешности в таких экспериментах по отклонению света является неизвестное отношение масштабов сравниваемых 13

Таблица 1.2. Отклонение света Солнцем [29]

Год затмения

Число обмеренных звезд

Минимальное расстояние от центра Солнца в солнечных радиусах

Отклонение в единицах предсказания ОТО

Отклонение при последующем анализе

1919

7

1,13±0,07

1,0-1,3

1919

5

0,92±0,17

—

1922

92

2,1

0,98±0,06

1,3—0,9

1922

145

2,1

1,04±0,09

1,2

1922

14

0,7—1,3

1922

18

0,8—1,2

—

1929

17

1,5

1,28±0,06

0,9-1,2

1936

25

2

1,55±0,15

1,55±0,2

1936

8

4

0,7-1,2

—

1947

51

3,3

1,15 土 0,15

1.0-1.4

1952

10

2,1

0,97±0,06

0,82±0,09

1973*

39

2

0,95±0,11

—

См. [144, 312].

снимков и неконтролируемые изменения условий, в основном связанные с плохой погодой и экзотическими местами наблюдений. К 1960 г. максимум, что можно было сказать об отклонении света Солнцем, это что оно определенно больше 0,83", или половины предсказанного ОТО значения. Такое (половинное) значение отклонения было предсказано еще Зольднером в 1801 г. на основе простой ньютоновской теории тяготения [158], оно вытекает также из расширенной версии принципа эквивалентности, разработанной Эйнштейном в 1911 г. [96]. Таким образом, вопрос все еще оставался открытым [29].

Третья классическая проверка ОТО была по существу первой, предложенной Эйнштейном [95], — гравитационное красное смещение частоты света. В отличие от двух других проверок здесь не было надежного подтверждения ОТО до экспериментов Паунда — Ребки в 1960 г. Возможным тестом являлось измерение красного смещения спектральных линий Солнца. Однако тридцатилетние попытки обнаружить это смещение показали лишь, что оно маскируется сильными доплеровскими сдвигами, обусловленными радиальными движениями материи в солнечной фотосфере. Например, было обнаружено, что наблюдаемый сдвиг меняется от центра Солнца к периферии и зависит от интенсивности линии. Надежно зафиксировать солнечное гравитационное красное смещение до 1962 г. не удавалось. Столь же неубедительными были результаты попыток измерения красного смещения линий белых карликов, в основном Сириуса В и 40 Эридана В, являющихся членами двойных звездных систем. Точному надежному измерению красного смещения в этом случае препятствуют неопределенности масс и радиусов звезд и возможное усложнение спектра вследствие рассеяния света от второй звезды [29].

Более того, в конце 50-х годов было предположено, что гравитационное красное смещение вовсе не является истинным тестом ОТО. Согласно Шиффу и Дике гравитационное красное смещение является 14

следствием принципа эквивалентности и его измерение не проверяет уравнения поля теории гравитации. Шифф пошел даже дальше, предположив, что измерение гравитационного красного смещения уступает по значительности более точному эксперименту Этвеша, подтверждающему, что различные тела падают с одинаковым ускорением [74, 269].

Были предложены и другие тесты ОТО, такие как эффект Лензе — Тирринга — возмущение орбиты пробных тел вследствие вращения центрального тела, а также эффект де Ситтера — вековые движения перигея и узла лунной орбиты [73, 159], однако перспективы их наблюдения весьма проблематичны.

Другой областью сопоставления ОТО с наблюдаемыми эффектами является космология. Поначалу теория успешно объяснила наблюдаемое расширение Вселенной, однако к 40-м годам возникли серьезные сомнения в приложимости ОТО к этому явлению. Согласно чистой ОТО расширение Вселенной есть следствие первичного, называемого Большим, взрыва сверхплотного сгустка. Возраст Вселенной со времени Большого взрыва можно рассчитать экстраполяцией расширения вспять во времени с использованием уравнений поля ОТО. Однако наблюдавшиеся скорости расширения были очень высоки——возраст Вселенной при этих скоростях получался меньше возраста Земли, определенного по геологическим исследованиям. Одним из результатов этих сомнений стал рост популярности в 50-е годы стационарной космологии Голда, Бонди и Хойла. Эта модель совершенно не содержала Большого взрыва и объясняла расширение Вселенной непрерывным созданием материи. С этой точки зрения Вселенная во все времена для всех наблюдателей представляется в одном и том же виде.

Но к концу 50-х годов пересмотр шкалы космических расстояний снизил скорость расширения Вселенной в 5 раз, соответственно увеличив ее возраст в модели Большого взрыва до приемлемых значений. Однако космологические наблюдения по-прежнему не позволяли сде- ласть выбор между различными теориями гравитации и космологии [346].

Началось широкое конструирование альтернативных теорий гравитации, некоторые из которых разрабатывались такими выдающимися учеными как Пуанкаре, Уайтхед, Милн, Биркхофф и Белинфанте. Многим из них «не нравились» понятия общей ковариантности и искривленного пространства-времени, содержащиеся в ОТО, и они пытались построить так называемые спецрелятивистские теории гравитации. Эти теории считают пространство-время спецрелятивистским (т.е. плоским, как в СТО), по крайней мере, на некотором фоновом уровне, и рассматривают гравитацию как лоренц-инвариантное поле на этом фоне. К 1960 г. можно было насчитать не менее 25 таких альтернативных теорий (частичный их список можно найти в [351]).

Итак, к 1960 г. можно было утверждать, что ОТО базируется на следующих эмпирических фактах: один тест средней точности (смещение перигелия Меркурия, точность около 1%), один тест низкой точности (отклонение света Солнцем, точность около 50%), один неубедительный тест, по существу тестом не являющийся (гравита-

ционное красное смещение), и космологические наблюдения, которые не позволяли сделать выбор между ОТО и стационарной теорией тяготения. Да еще различные альтернативные теории претендовали 閹 достоверность.

В дополнение во всему многие считали, что хотя ОТО, без сомнения, чрезвычайно важна как фундаментальная теория природы, возможности наблюдения ее следствий ограничены классическими тестами и космологией. Эта точка зрения была выражена, например, в стандартных учебниках по ОТО [152, 186, 306]. По этой причине ОТО оказалась в стороне от основного направления развития физики. Именно тогда одному студенту (это был Торн) посоветовали не заниматься ОТО, ибо 《она имеет очень слабую связь с остальной физикой и астрономией».

Однако три события 1958—1960 it., описанные выше, все переменили. Расширение исследований по релятивистской астрофизике и ОТО сопровождалось систематическими прецизионными проверками теории тяготения, открывались новые теоретические и экспериментальные возможности. Старые эксперименты (гравитационное красное смещение и отклонение света) проводились с точностью, немыслимой до 1960 г. Разрабатывались суперновые методы проверки теории тяготения, такие как прецессия гироскопа, запаздывание радиолокационных импульсов в гравитационных полях (задержка эхо-сигналов), эффект Нордтведта в движении Луны, теоретически предсказанные после 1959 г. В табл. 1.3 представлены некоторые важные теоретические и эксперил<е {тальные события 1960——1980 гг. Эти годы явились годами проверки теории относительности.

Поскольку многие эксперименты требовали широких программ межпланетных космических исследований и наблюдательной астрономии, их стоимость была высока, а зависимость от правительственного субсидирования — чрезвычайно сильной. Это поставило на повестку дня создание как можно более точной теоретической системы для сравнения достоинств различных экспериментов и планирования новых, которые до тех пор упускались из виду. Создание единой теоретической системы было необходимо еще и для того, чтобы разобраться в огромном (и постоянно растущем) числе альтернативных теорий гравитации: классифицировать их, выявить их сходство и различие и последовательно сравнить их предсказания с результатами эксперимента. Такая система должна быть достаточно мощной, чтобы планировать и оценивать контрольные эксперименты в деталях, и в то же время достаточно общей, чтобы соперничать с ОТО.

Ведущим в этом вопросе оказался Дике [76]. Он и другие выполнили ряд прецизионных нулевых экспериментов, которые значительно укрепили веру в основы теории гравитации. На основании этой точки зрения можно задавать общие вопросы о природе тяготения и разрабатывать эксперименты для ответов на них. Наиболее важным достижением систематики Дике было осознание того, что эксперименты по гравитации можно разделить на два класса. Эксперименты первого класса позволяют проверить основания теории тяготения, одним из которых является принцип эквивалентности. Согласно этим экспериментам

Дата

Экспериментальное или наблюдаемые события

Теория

1960

Эксперименты Хьюза — Дривера по определению анизотропии масс

Эксперимент Паунда — Ребки по гравитационному красному смещению

Статья Пенроуза о спинорах Прецессия гироскопов (Шифф) Теория Бранса — Дике

1962

Открытие галактических рентгеновских источников излучения

Открытие красного смещения у квазаров

Принстонский эксперимент Этвеша

Формула Бонди для массы

Открытие метрики Керра

потери

1964

Эксперимент Паунда — Снайдера по гравитационному красному смещению

Открытие реликтового излучения с температурой 3 К

Гравитационное запаздывание света (Шапиро)

Теоремы о сингулярности в ОТО

1966

Сообщение об открытии сплюснутости Солнца (не подтвердилось— ред.)

Открытие пульсаров

Синтез химических элементов при «большом взрыве»

1968

Межпланетные измерения гравита- ционнрго запаздывания радиоим-

Эффект Нордтведта и ППН систематика

ранняя

пульсов

Запуск «Маринера-6» и «Маринера-7»

Лазерная локация Луны

1970

Первые измерения гравитационного отклонения радиоволн

Лебедь XI — кандидат в черные дыры

Измерение запаздывания радиосигналов на «Маринере-6» и «Маринере-7»

Эффекты привилегированной системы отсчета

Усовершенствованная ППН си • стематика

Теорема о неубывании поверх-, ности черных дыр в ОТО

1972

Московский эксперимент Этвеша

Квантовое испарение дыр

черных

1974

1976

Открытие двойного пульсара

Ракетное измерение гравитационного красного смещения

Дипольное гравитационное излучение в альтернативных теориях теготения

Лунный тест эффекта Нордтведта

Измерение запаздывания радиосигналов на «Маринере-9» и «Викинге»

1978

Измерение уменьшения орбитального периода двойного пульсара SS433

1980

Открытие гравитационных линз

(опыт Этвеша, эксперименты Хьюза — Дривера, гравитационное красное смещение и другие, в основном выполненные Дике и его учениками) гравитация ——это свойство искривленного пространства-времени, и, следовательно, она должна описываться «метрической теорией» тяготения. ОТО и теория Бранса ——Дике являются примерами метрических теорий тяготения.

Эксперименты второго класса проверяют следствия метрических теорий гравитации. Здесь была создана другая систематика, вступающая в игру там, где кончается систематика Дике. Известная как ППН формализм, она была введена Нордтведтом мл. [203] и позднее расширена и усовершенствована им совместно с Уиллом [353, 358, 368]. ППН систематика используется в пределе медленного движения и слабых полей или в постньютоновском пределе метрических теорий гравитации и характеризует этот предел введением десяти действительных числовых параметров. Каждая метрическая теория тяготения имеет свои значения ППН параметров. ППН систематика чрезвычайно удобна для анализа гравитационных экспериментов в солнечной системе, чьей задачей теперь становится измерение этих параметров и, следовательно, определение, какая из теорий гравитации справедлива.

Вторым важным применением ППН систематики является открытие и анализ новых проверок теории тяготения, таких как эффект Норд- тведта [202] и эффекты привилегированной системы отсчета [354] и предпочтительного местонахождения [354, 358]. Эффект Нордтведта, например, заключается в нарушении равенства ускорения массивных тел, таких как Земля и Луна, во внешнем поле; этот эффект отсутствует в ОТО, но присутствует во многих альтернативных теориях, в том числе в теории Бранса — Дике.

Третье применение ППН формализма состоит в анализе и классификации альтернативных метрических теорий гравитации. После 1960 г. выдвижение новых альтернативных теорий тяготения не прекратилось, однако оно изменило характер. Грубые попытки вывести лоренц-инвариантные теории поля, описанные выше, уступили место метрическим теориям тяготения, постулаты и строение которых чаще всего были аналогичны теории Бранса ——Дике. Для систематизации этих теорий на основе ППН формализма возникла теория теорий гравитации (обобщение теорий гравитации).

Итак, ППН формализм стал стандартным теоретическим подходом к анализу экспериментов в солнечной системе, поиску новых проверок и изучению альтернативных метрических теорий гравитации. Проверка релятивистской теории гравитации показала, что ОТО успешно выдерживала каждый новый контрольный эксперимент.

К середине 70-х годов стало ясно, что солнечная система не может больше являться единственной лабораторией по проверке теорий тяготения. Одной из причин этого было то, что многие альтернативные теории гравитации совпадали с ОТО в постньютоновском пределе и, следовательно, давали те же прогнозы для экспериментов в солнечной системе, что и ОТО. Однако они не обязательно совпадали с ней в других предсказаниях, касающихся, например, космологии, гравитационного излучения, нейтронных звезд или черных дыр. Второй же 18

причиной было создание экспериментальной техники, например детекторов гравитационного излучения, позволившей проводить важные эксперименты с объектами, находящимися вне солнечной системы.

Эти подозрения подтвердились летом 1974 г., когда Тэйлор и Халс обнаружили двойной пульсар [141]. В нем удачно соединились большие постньютоновские гравитационные эффекты, сильнорелятивистские поля пульсара и возможность испускания гравитационного излучения двойной системой, за чрезвычайно стабильными «пульсарными часами» которой можно осуществлять сверхточное радиослежение. Кроме того, здесь релятивистская теория гравитации и астрофизика переплелись даже больше, чем, например, в случае квазаров. В двойном пульсаре релятивистские гравитационные эффекты обеспечивают возможность измерения астрофизических параметров, например массы нейтронной звезды. Роль двойного пульсара в качестве нового объекта проверки релятивистской теории тяготения была окончательно подтверждена зимой 1978 г., когда была измерена скорость изменения орбитального периода системы [309]. Результат оказался в согласии с предсказанием ОТО, учитывающей потерю орбитальной энергии на гравитационное излучение. Этот результат резко противоречит большинству альтернативных теорий, даже тем, которые в постньютоновском пределе совпадают с ОТО.

Семнадцатилетним студентом цюрихского Политехнического института Эйнштейн изучал труды Гельмгольца, Максвелла и Герца и впоследствии использовал свое глубокое понимание теории электромагнетизма как основу для построения СТО и ОТО. Особенное впечатление на него произвело подтверждение Герцем единой природы света и электромагнитных волн [273]. Герц исследовал электромагнитные волны в радиодиапазоне на частоте около 30 МГц. Любопытно отметить, что ныне, 60 лет спустя, двадцатилетие проверок релятивистской теории тяготения началось локацией Венеры радиоволнами с частотой 440 МГц и закончилось наблюдением радиоизлучения двойного пульсара на частоте 430 Мгц.

За эти два десятилетия (они завершились одновременно со столетним юбилеем со дня рождения Альберта Эйнштейна) эмпирические обоснования ОТО стали сильны как никогда. Но на этом история не заканчивается. Сопоставление ОТО с экспериментальными результатами будет продолжаться с помощью новых приборов и методов, в новых областях. Выживет ли ОТО в дальнейшем или нет ——этот вопрос является предметом теоретической аргументации для одних, страстной веры для Других и глубокого знания для третьих. Вне зависимости от чьих-либо теоретических предубеждений надо признать, что тяготение, старейшее известное и во многих смыслах наиболее фундаментальное взаимодействие, само по себе практически не требует эмпирического обоснования.

В этой книге мы будем следовать обозначениям и условиям книги Мизнера, Торна и Уилера [185]. Хотя мы попытаемся провести достаточно полный анализ теории тяготения и гравитационных эксперименте, задачу читателя сильно облегчит знакомство с [185], курс 1. Главы 4——9 настоящей книги следуют лекциям автора «Теоретические

19

обоснования экспериментальной гравитационной физики», прочитанным в 1972 г. на школе Энрико Ферми в Варение (Италия) ([359], курс 56) с соответствующими изменениями и дополнениями. Обзор данной книги без математических деталей сделан автором в [366]. Среди других полезных обзоров на эту тему следует отметить полупопуляр- ные [209, 357, 360], научные [46, 246, 265], а также [29, 76, 77]. Читатель может воспользоваться ими для углубленного изучения отдельных вопросов.

ГЛАВА 2

ЭЙНШТЕЙНОВСКИЙ ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Принцип эквивалентности сыграл чрезвычайно важную роль в развитии теории гравитации. Ньютон считал этот принцип настолько основополагающим в механике, что посвятил первые параграфы своих «Математических основ натуральной философии» [196] его подробному обсуждению. Там же он привел результаты экспериментов с маятником, выполненных им для проверки этого принципа. Согласно Ньютону принцип эквивалентности требует, чтобы масса любого тела, а именно то свойство тела (инерция), которое определяет его реакцию на приложенную силу, была равна его весу — свойству, определяющему его реакцию на гравитацию. Бонди [38] ввел термины «инертная масса» mi и «пассивная гравитационная масса» тР для обозначения этих свойств, так что второй закон Ньютона и закон гравитации приняли вид F = /и/a; F = mpg, где g ——гравитационное поле. Кратко принцип эквивалентности может быть с&рмулнрован так: для любого тела тр = /и/. Другая формулировка этого принципа гласит, что все тела в гравитационном поле падают с одним и тем же ускорением вне зависимости от их массы или внутреннего строения. Ньютоновский принцип эквивалентности теперь обычно называют слабым принципом эквивалентности (СПЭ).

Ключевой элемент, открывший дорогу к ОТО, был добавлен к СПЭ Эйнштейном. Если все тела в некотором внешнем гравитационном поле падают с одним и тем же ускорением, то для наблюдателя в лифте, свободно падающем в таком гравитационом поле, эти тела не будут иметь ускорения (за исключением возможных приливных эффектов, обусловленных неоднородностью гравитационного поля, которые могут быть сделаны сколь угодно малыми и при использовании достаточно малого лифта). Следовательно, в том, что касается их механического движения, эти тела ведут себя так, как будто тяготение отсутствует. Эйнштейн сделал следующий шаг. Он предположил, что не только механические законы, но и все прочие, например законы электродинамики, в свободно падающем лифте должны действовать так, словно гравитация отсутствует. Этот новый принцип позволил Эйнштейну создать ОТО. Ныне он называется эйнштейновским принципом эквивалентности (ЭПЭ).

Однако лишь сравнительно недавно удалось достичь более глубокого понимания значения этих принципов эквивалентности для гравитации и физического эксперимента. Благодаря в основном работам Дике мы рассматриваем принципы эквивалентности наряду с такими экспериментальными фактами, как опыт Этвеша, гравитационное красное смещение и т. п., как тесты основ скорее теории гравитации, нежели только ОТО. Эта точка зрения является частью представления, известного как систематика Дике, описанная в § 2.1, и позволяет обсуждать на весьма фундаментальном уровне природу пространства-времени и тяготения, задавая вопросы типа: Действительно ли все тела приобретают в гравитационном поле одно и то же ускорение? Проявляется ли закон сохранения энергии в гравитационных явлениях? Связаны ли с гравитацией поля, и если да, то какие ——скалярные, векторные, тензорные? Как следствие этой точки зрения в § 2.2 приведен набор фундаментальных критериев, которым должна удовлетворять любая разумная теория. В качестве другого следствия в § 2.3 показано, что на ЭПЭ основаны теории гравитации, описывающие ее как проявление искривления пространства-времени, так называемые метрические теории гравитации. В § 2.4 рассмотрены различные экспериментальные факты, подтверждающие ЭПЭ.

Эйнштейновское обобщение СПЭ может оказаться вовсе и не обобщением, как следует из предположения, основанного на работах Шифера. В § 2.5 мы обсудим гипотезу Шиффа, утверждающую, что любая полная и самосогласованная теория гравитации, удовлетворяющая СПЭ, с необходимостью удовлетворяет и ЭПЭ. Гипотеза Шиффа и систематика Дике породили множество конкретных теоретических методов (один из которых, известный как Т/Уерь-формализм, описан в § 2.6) для сравнения метрических теорий гравитации с неметрическими и различения их с помощью анализа экспериментов, проверяющих СПЭ и ЭПЭ, а также для подтверждения гипотезы Шиффа.

СИСТЕМАТИКА ДИКЕ

Систематика Дике для анализа экспериментальных проверок теорий гравитации была сформулирована в приложении 4 к его лекциям в Лезуше (Франция) [76]. Она заключается в двух основных предположениях относительно математического формализма, который должен быть использован при построении теории гравитации.

Пространство-время представляет собой четырехмерное дифференцируемое многообразие, причем каждая точка этого многообразия соответствует физическому событию. Это многообразие не должно априори обладать метрическими или афинными связями. Ожидается, что экперимент приведет нас к выводу, что это многообразие обладает и теми и другими.

Уравнения теории гравитации и их математическое выражение должны быть представлены в форме, не зависящей от выбора системы координат, т.е. в ковариантной форме.

Заметим, что даже если в пространстве-времени имеется некоторая физически предпочтительная система координат, теория все равно

21

может быть выражена в ковариантной форме. Например, если в теории есть предпочтительная координата космического времени, то можно ввести скалярное поле Т (个),численные значения которого равняются этому привилегированному времени f: Т (您)=t 伊)，где 个一точка в пространстве-времени. Если пространство-время является метрическим, можно потребовать, чтобы VT было временно подобным векторным полем и соответственно сориентировано в будущее (или в прошлое) по всему пространству-времени с помощью наложения ковариантных ограничений VT VT < 0; V ⑧ VT = 0, где V — ковариантная производная по метрике. Теории других типов имеют плоскую фоновую метрику Т); они также могут быть описаны ковариантно с помощью определения “ как тензорного поля второго ранга, чей римановский тензор исчезает повсюду, т.е. Riem (т))=0, и определения ковариантных производных и сверток в метрике т)・ В большинстве случаев такая ковариантность достигается ценой введения в теорию абсолютных или априорно-геометрических элементов (Т,期)，которые не определяются динамическими уравнениями теории. Некоторые исследователи рассматривают введение абсолютных элементов как нарушение общей ковариантности (таких взглядов придерживался Эйнштейн), однако мы ограничимся более слабым предположением только лишь координатной инвариантности. Дальнейшее обсуждение предпочтительной (априорной) геометрии см. в § 3.3.

Изложим эту математическую точку зрения (см. выше п. 1 и 2), Дике затем вводит два ограничения на все приемлемые теории гравитации:

Гравитация должна быть связана с одним или несколькими полями тензорного характера (скалярами, векторами или тензорами различных рангов).

Динамические уравнения, описывающие гравитацию, должны выводиться из принципа инвариантности действия.

Эти ограничения резко сокращают число приемлемых теорий. По этой причине мы должны принимать эти ограничения, только если они существенны для наших последующих построений. Для большинства приложений систематики Дике часть необходимо только первое ограничение. Не подлежит сомнению, однако, что наиболее плодотворными являются те теории гравитации, которые удовлетворяют обоим ограничениям.

Систематика Дике оказывается наиболее полезной при планировании и интерпретации экспериментов, определяющих тип полей, описывающих гравитацию. Например, физика элементарных частиц уверенно свидетельствует, что существует по крайней мере одно симметричное тензорное поле второго ранга, аппроксимируемое метрикой Минковского $ когда гравитационными эффектами можно пренебречь. Эксперименты Хьюза — Дривера исключают наличие более одного тензорного поля второго ранга, взаимодействующего непосредственно с материей, а различные эксперименты по наблюдению увлечения эфира исключают наличие аналогичного дальнодействующего векторного поля. Никакими экспериментами не удалось исключить или, наоборот, доказать наличие скалярного поля, хотя результаты не- 22

скольких экспериментов накладывают ограничения на специфические ска л яр но-тензор ные теории (см. гл. 7 и 8). Этим, однако, достоинства систематики Дике не ограничиваются.

ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ ДОСТОВЕРНОСТИ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Обобщенная непредвзятая точка зрения, нашедшая выражение в систематике Дике, позволила теоретикам сформулировать набор фундаментальных критериев, которым должна удовлетворять любая теория гравитации, чтобы быть справедливой (без двух ограничений, приведенных выше). Два из этих критериев чисто теоретические, в то время как два других основаны на экспериментальных фактах.

Теория должна быть полной, т. е. она должна давать возможность анализировать на основе первичных принципов результаты любых представляющих практический интерес экспериментов. Для теории недостаточно постулировать, что тела, сделанные из различных материалов, падают с одинаковым ускорением. Теория должна включать полный набор законов электродинамики и квантовой механики, с помощью которых можно детально рассчитать поведение тела в полях тяготения. Это требование, однако, не следует распространять слишком широко. В таких областях, как теория слабых и сильных взаимодействий, квантовая гравитация, единые теории поля, сингулярности пространства-времени или начальные условия существования Вселенной даже СТО или ОТО не рассматриваются как полные или завершенные теории. Мы, кроме того, не рассматриваем наличие абсолютных элементов или произвольных параметров в теории гравитации как свидетельство ее неполноты, хотя они обычно не выводятся из первичных принципов; скорее мы рассматриваем их как разновидность космических граничных условий. К счастью, уже такое простое требование, как требование, чтобы теория включала систему гравитационно- модифицированных уравнений Максвелла, с очевидностью показывает, что многие теории этому требованию не удовлетворяют. Примеры приведены в табл. 2.1.

Теория должна быть самосогласованной, т.е. предсказываемые ею результаты любого эксперимента должны быть однозначны. Иными словами, расчет предсказаний теории двумя различными, но эквивалентными методами должен давать один и тот же результат. Примером является искривление распространения света, рассчитанное либо через уравнения Максвелла в геометрооптическом приближении, либо в пределе нулевой массы покоя через движение пробных частиц. Более того, система математических уравнений теории должна быть строго определена и самосогласована. В табл. 2.1 приведены также примеры теорий, не удовлетворяющих этому требованию.

Теория должна быть релятивистской т.е. в пределе, соответствующем выключению гравитации при сохранении остальных физических взаимодействий, негравитационные законы физики должны сводиться к законам СТО. Свидетельства в пользу этого требования базируются в основном на физике частиц высоких энергий и различных оптических экспериментах по увлечению эфира. Поскольку эти

Таблица 2.1. Исходно неуповлетвормте/ьнне теормн гравнтаимм

Теория

Литературная ссылка

Комментарий*

Ньютоновская теория тяготения

—

Не является релятивистской

Кинематическая теория относительности Милна

[183]

Была создана для решения определенных космологических проблем. Не является полной: не предсказывает гравитационного красного смещения

Различные векторные теории Кустаанхеймо

[151, 351]

Содержат векторное поле тяготения в плоском пространстве-времени. Не являются полными: согласуются с другими, негравитационными законами физики (уравнениями Максвелла) только в плоском абсолютном пространстве-времени. По этой же причине не являются самосогласованными: дают различные результаты для распространения света в волновой и корпускулярной теориях

Теория Пуанкаре в обобщении Витроу и Мордэча

[351]

Теория действия на расстоянии в плоском пространстве-времени. Является неполной или несамосогласованной аналогично теориям Кустаанхеймо

Векторная теория

Витроу — Мордэча

[351]

Содержит векторное поле тяготения в плоском пространстве-времени. Неполна или несамосогласована аналогично теориям Кустаанхеймо

Теория Биркхоффа

[31]

Содержит тензорное поле тяготения, используемое для построения метрики. Нарушает ньютоновский предел, так как требует р=рс2, т. е. равенства скоростей света и звука

Теория Йилмаза

[374, 375]

Содержит тензорное поле тяготения, используемое для построения метрики. Является математически несамосогласованной: функциональная зависимость метрики от тензорного поля четко не определена

* В существующей форме эти теории являются неудовлетворительными. Дальнейшие модификации или уточнения могут сделать некоторые из них справедливыми. Если какие-то теории оценены здесь неправильно, автор приносит извинения их создателям и убедительно просит их четко продемонстрировать полноту, самосогласованность этих теорий и их совместимость со СТО и ньютоновской теорией тяготения.

эксперименты проводятся при очень высоких энергиях и скоростях и в очень малых областях пространства и интервалах времени, то влияние гравитации на их результаты является пренебрежимо малым. Следовательно, мы можем рассматривать эти эксперименты как проводимые на значительном удалении от гравитирующей материи.

Эти эксперименты можно разделить на два типа. Во-первых, это эксперименты, в которых пространственные и временное интервалы измеряются непосредственно, например измерение эффектов растяжения времени в различных системах — от атомных часов до нестабильных элементарных частиц; эксперименты, подтверждающие неза- 24

висимость скорости света от скорости движения источника в диапазоне последней от 99,98 % скорости света для пионов до 10_3 скорости света для двойных рентгеновских пульсаров (подробный обзор и список литературы см. в [194]); эксперименты типа опыта Майкельсона— Морли (последние прецизионные результаты см. в [47, 320]; см. также теоретические работы [172—174]). Ко второй группе относятся эксперименты, демонстрирующие фундаментальную роль группы Лоренца в физике элементарных частиц, включая подтверждение закона сохранения 4-импульса и релятивистских законов кинематики, эксперименты с электронами и мюонами g・2, а также проверки необычных предсказаний лоренц-инвариантных квантовых теорий поля [36, 61, 62, 162, 1941.

Фундаментальным теоретическим объектом действия этих законов является метрика Минковского ц с сигнатурой +2, которая имеет ортонормированные тетрады векторов, связанные преобразованиями Лоренца, и определяет скорости хода атомных часов и длины лабораторных эталонов. Из рассмотрения ц как поля (второе предположение Дике) следует, что во Вселенной должно существовать, по крайней мере, одно симметричное тензорное поле 屮 второго ранга, которое сводится к ”, когда гравитационными эффектами можно пренебречь.

Исследуем, свидетельствуют или нет эксперименты физики элементарных частиц о наличии тензорного поля 屮.Прежде всего они не гарантируют существования глобальной лоренцевой системы координат, т. е. системы координат, охватывающей все пространство-время, в которой 屮 = n = diag (—1, 1, 1, 1). Точно так же они не требуют для каждого события 砂 существования локальных систем отсчета, связанных преобразованиями Лоренца, в которых законы физики элементарных частиц принимают спецрелятивистскую форму. Они лишь требуют сведения негравитационных законов в пределе выключения гравитации к законам СТО.

Далее, эксперименты физики элементарных частиц свидетельствуют, что время, измеряемое атомными часами, в пределе выключения гравитации зависит только от скоростей, но не от ускорений. Экспериментально измеренный квадрат интервала ds = х\^(1х^йхУ не зависит от ускорения. Аналогично, но более физично можно сказать, что интервал времени, измеренный часами, движущимися со скоростью W относительно системы координат, в отсутствие гравитации ds = =(—rj^vdxMx^1/2 = dt (1 — M)i/2 от ускорения часов 心xiIdt? не зависит1. (Обзор экспериментальных проверок этого положения см. в [194].)

Итак, мы будем предполагать существование тензорного поля гр.

Теория должна быть справедливой в ньютоновском пределе, т.е. в пределе слабого поля тяготения и медленного движения она должна давать законы Ньютона. Большое число эмпирических данных свидетельствует в пользу ньютоновской теории тяготения (НТТ), по крайней мере, как приближения к истинной релятивистской теории гравитации. Наблюдения движения планет и космических аппаратов согла-

суются с НТТ с точностью до 10-8, при которой уже могут наблюдаться постньютоновские эффекты. Наблюдения строения планет, Солнца и звезд согласуются с приложением НТТ к большим объемам вещества. Лабораторные эксперименты типа опыта Кавендиша согласуются с НТТ для малых расстояний между гравитирующими телами. Одно из следствий НТТ — обратная пропорциональность силы взаимодействия квадрату расстояния ——подверглось в последнее время тщательной экспериментальной проверке. Несмотря на одно опровергающее утверждение [167], по-видимому, нет веских свидетельств в пользу отклонения от этого закона для расстояний от нескольких сантиметров до нескольких астрономических единиц [138, 182, 220, 221, 301, 376].

Итак, для того чтобы быть по крайней мере достоверной, теория гравитации должна быть полной, самосогласованной, релятивистской и сводящейся к НТТ. В табл. 2.1 приведены примеры теорий, нарушающих одно или несколько из этих требований.

ЭЙНШТЕЙНОВСКИЙ ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

ЭПЭ является основой всех метрических (базирующихся на искривлении пространства-времени) теорий гравитации, включая ОТО. С его помощью все теории гравитации можно разделить на два резко отличающихся класса: метрические теории, включающие ЭПЭ, и неметрические теории, которые ЭПЭ не содержат. По этой причине подробно рассмотрим его, а затем и свяжем с экспериментом (см. § 2.4).

Для начала сформулируем СПЭ более точно, нежели это было сделано выше. СПЭ утверждает, что траектория незаряженного пробного тела зависит только от начальной точки его расположения и его начальной скорости и не зависит от его внутренней структуры или состава. Под незаряженным пробным телом мы понимаем электрически нейтральное тело, имеющее пренебрежимо малую собственную гравитационную энергию (оцененную по НТТ)и настолько малые размеры, что его реакцией на неоднородности внешнего поля можно пренебречь. Точно так же определим локальный негравитационный контрольный эксперимент как эксперимент, который проводится в свободно падающей экранированной лаборатории достаточно малых размеров, чтобы неоднородностями внешних полей в ее объеме можно было пренебречь, и в котором собственные гравитационные эффекты пренебрежимо малы. Так, например, измерение постоянной тонкой структуры является таким экспериментом, а опыт Кавендиша ——нет.

Итак, ЭПЭ утверждает, что СПЭ справедлив и что результат любого негравитационного контрольного эксперимента не зависит ни от скорости (свободно падающего) прибора, ни от того, где и когда во Вселенной он проводится.

Этот принцип — суть теории гравитации, ибо можно с убедительностью доказать, что если ЭПЭ справедлив, то гравитация должна быть свойством искривленного пространства-времени, т. е. должна удовлетворять постулатам метрической теории гравитации: пространство-время обладает метрикой g, мировые линии пробных тел суть геодезические этой метрики и в локальных свободно падающих систе- 26

мах отсчета, называемых лоренцевыми, негравитационные законы физики являются законами СТО. Теория Бранса ——Дике, ОТО, биметрическая теория Розена являются метрическими теориями гравитации （см. гл. 5）, а теория Белинфанте — Суихарта （см. § 2.6） — нет.

Доказательство выглядит следующим образом. Из справедливости СПЭ вытекает наличие в пространстве-времени семейства предпочтительных траекторий ——мировых линий свободно падающих пробных тел. В локальной системе отсчета, двигающейся по одной из таких траекторий, пробные тела не испытывают ускорений. Более того, результаты локальных негравитационных контрольных экспериментов не зависят от скорости движения этой системы отсчета. В двух таких системах, расположенных в одной и той же точке пространства-времени 竹，но движущихся одна относительно другой, негравитационные законы физики должны предсказывать один и тот же результат для идентичных экспериментов, т.е. они должны быть лоренц-инвари* антны. Назовем этот аспект ЭПЭ локальной лоренцевой инвариантностью （ЛЛИ）. Вследствие ЛЛИ во Вселенной должны существовать одно или несколько тензорных полей второго ранга 屮⑴，④⑶...，которые в локальной свободно падающей системе отсчета сводятся к полям, пропорциональным метрике Минковского:屮。）（箏）п； （р（2）（部）п ...» где 屮（“）（个）——скалярные поля, которые могут меняться от события к событию. Различные члены этого набора полей могут взаимодействовать с различными негравитационными полями, такими как бозонные, фермионные, электромагнитные и т. п. Однако результаты локальных негравитационных контрольных экспериментов также не должны зависеть от расположения в пространстве-времени этой системы отсчета. Этот факт мы назовем локальной пространственной инвариантностью （Л ПИ）.

Имеются две возможности. I. Локальные представления ^А^ должны иметь постоянные коэффициенты, т. е. скалярные поля 屮（”）（芋） должны быть постоянными. Следовательно, с помощью простого универсального изменения масштаба （перенормировки） координат и констант взаимодействия （таких как единица электрического заряда） каждое скалярное поле можно сделать равным единице в любой локальной системе отсчета. II. Скалярные поля 屮（勺должны представлять собой произведение констант на единственное поле 屮（®）, т. е. Ф（Л> （个）=с（4）（р （您）.В этом случае физически измеряемые величины, являясь безразмерными отношениями, не будут зависеть от расположения （поскольку скалярное поле сократится）. Одним примером является измерение постоянной тонкой структуры, другим ——измерение длины жесткого стержня в сантиметрах, поскольку такое измерение представляет собой нахождение отношения между длинами нашего стержня и эталонного, длина которого определена как 1 см. Следовательно, перенормировка констант взаимодействия с целью приравнивания всех сл единице （переопределение единиц измерения） совместно с конформным переходом к новому полю 屮=屮一1屮 гарантирует, что локальным представлением 屮 будет метрика ц.

В обоих случаях можно сделать вывод, что существуют поля, которые сводятся к метрике ц в любой локальной свободно падающей сис- 27

теме отсчета. С помощью элементарной дифференциальной геометрии можно показать, что эти поля представляют собой одно поле — единственное симметричное тензорное поле второго ранга, которое мы теперь обозначим g. Оно обладает семейством предпочтительных мировых линий, называемых геодезическими, и в каждой точке-событии 妤 существуют локальные системы отсчета, называемые лоренцевыми, движущиеся по этим геодезическим, причем

ggv 停）=仙” +。（£ I %а —户（个）|2）； dg^ /дха = 0. а

Однако геодезические в локальных лоренцевых системах отсчета являются прямыми линиями, равно как и траектории пробных тел в локальных свободно падающих системах отсчета; следовательно, пробные тела движутся по геодезическим метрики g и локальные лорен- цевы системы отсчета совпадают со свободно падающими.

Подробнее применение постулатов метрических теорий гравитации обсуждается в гл. 3. Поскольку для такого обсуждения природы гравитации ЭПЭ является принципиальным, рассмотрим теперь подтверждающие его эксперименты.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОВЕРКИ ЭПЭ

Проверки СПЭ. Прямой проверкой СПЭ является опыт Этвеша, состоящий в сравнении ускорения во внешнем поле тяготения двух лабораторного размера тел разного состава. Если СПЭ несправедлив, то ускорения двух различных тел должны различаться. В виде, пригодном для сравнения с экспериментом, такое нарушение СПЭ проще всего количественно оценить, предположив, что для тела с инертной массой/и/ пассивная масса тр не равна/и/. Инертная масса типичного лабораторного тела состоит из масс-энергий нескольких типов: энергии покоя, электромагнитной энергии, энергии слабых взаимодействий и т.д. СПЭ будет нарушен, если одна из этих энергий дает иной вклад в /пр, нежели в т^ Тогда

mp = mi +2 Лл ЕА/с2, （2.1）

где Е‘ 一 внутренняя энергия тела, создаваемая взаимодействием Л; т）л — безразмерный параметр, измеряющий степень обусловленного этим взаимодействием нарушения СПЭ; с ——скорость света.

Рис. 2.1. Схема эксперимента Этвеша с крутильны

ми весами:

g — внешнее гравитационное ускорение;(о — вектор угловой скорости вращения прибора в целом; 6ab ёг— единичные векторы, параллельные нити подвеса и стержню весов соответственно. В оригинальном эксперименте Этвеша g— ускорение свободного падения в поле Земли, а ❾ параллельно %. В московском н принстонском экспериментах g — гравитационное ускорение Солнца, а(о параллельно осн вращения Земли

Ускорение двух тел в этом случае запишем в виде

01,2 =(1 +§展е«2/(加1，2。2)) g，(2⑵

где индекс I у /и1>2 опущен.

Измерение предельного значения относительной разницы ускорений приводит к величине, называемой отношением Этвеша:

Т)三 2 I Qi—的 |/| 旬 + 饱 I ^ § Y (ЕЗ(恤 с?)—宦 /(^2 峭).(2.3)

Следовательно, экспериментальные пределы Т)определяют пределы параметра нарушения СПЭ т)“.

Было поставлено множество прецизионных экспериментов, аналогичных эксперименту Этвеша, от маятниковых экспериментов Ньютона, Бесселя и Поттера до классических экспериментов на крутильных весах Этвеша, Дике и Брагинского и их сотрудников. Последние эксперименты эвристически можно описать так. Два предмета различного состава связаны стержнем длиной г и подвешены горизонтально на тонкой нити (крутильные весы). Если гравитационное ускорение тел различно, на подвешивающей нити возникает крутильный момент

N = w(gx^)&,(2.4)

Me g — гравитационное ускорение; 6”,尸—единичные векторы, направленные вдоль нити и стержня соответственно (рис. 2.1). Если весь прибор вращается вокруг направления о с угловой скоростью со, крутильный момент будет промодулирован с периодом 2л/со・ В экспериментах Этвеша g являлось ускорением земного тяготения (заметим, что непараллельность g н 6” была обеспечена действием центростремительного ускорения прибора, обусловленного вращением Земли) и прибор вращался вокруг нити подвеса. В экспериментах, проведенных в Принстоне [256] и Москве [43], в роли g выступало гравитационное ускорение под действием солнечного притяжения, а вращение Земли вызывало модуляцию N с периодом 24 ч. Модулированный крутильный момент регистрировался либо измерением амплитуды крутильных колебаний стержня (Москва), либо измерением силы, необходимой для компенсации крутильного момента и удержания стержня в равновесии (Принстон). Измеренные верхние границы N дали для Т)следующие пределы: |т)| V 10-11 в Принстоне и |т)| < 10~12 в Москве, причем в качестве предела бралось одно стандартное отклонение (дальнейшее обсуждение экспериментов см. в [401, [761. Главными источниками погрешностей являются сейсмические шумы и влияние на крутильные

Таблица 2.2. Проверка слабого принципа эквивалентности

Эксперимент

Литературная ссылка

Метод

Материалы

Предел |川

Ньютон

[196]

Маятника

Различные

10-3

Бессель

[30]

»

»

2-Ю-5

Этвеш

102

Крутильных весов

»

5J0-9

Поттер

[230]

Маятника

»

2-Ю-5

Реннер

[245

Крутильных весов

»

2-Ю-9

Принстон

[256J

»

Алюминий, золото

IO-"

Москва

[43]

»

Алюминий, платина

IO—

Мюнхен

[148]

Свободного падения

Нейтроны

3-10-*

Стенфорд

[372]

Магнитной подвески

Ниобий, Земля

10-4

Боулдер

[146]

Плавания на воде

Медь, вольфрам

4-Ю-11

Орбитальный (проект)

[372]

Свободного падения на орбите

Различные

10-15—Ю-18

весы градиентов внешнего поля тяготения (создаваемых, например, самими экспериментаторами). В попытках улучшить эти результаты в основном варьировались способы подвеса масс, например магнитная подвеска [373], плавание на поверхности жидкости [146] и свободное падение на орбите.

Экперименты по проверке СПЭ для отдельных атомов и элементарных частиц были неубедительными или неточными, за исключением экспериментов с нейтронами [106, 148].

В табл. 2.2 приведены некоторые эксперименты и установленные с их помощью пределы Т)для различных пар материалов. В дальнейшем для улучшения точности проверки СПЭ необходимо снижать шумы, обусловленные тепловыми, сейсмическими и неоднородно-гравитационными эффектами; эксперименты необходимо проводить в космосе с использованием криогенной техники. Ожидаемая точность таких экспериментов лежит в интервале от 10-16 до 10-18 [372].

Для определения пределов, накладываемых на конкретный параметр т)“，например, в лучшем из экспериментов с крутильными весами, мы должны оценить коэффициент ЕА/т для различных материалов и различных взаимодействий. Для тел лабораторного размера главный вклад в ЕА дают атомные ядра.

Рассмотрим сильные взаимодействия. Из полуэмпирической формулы для массы имеем [157]

ES = —15,7Л + 17,8/2/з + 23,6 (Л — 2Z)2M + 1326/Л, (2.5) где fs выражено в мегаэлектронвольтах; Zh А — атомное и массовое числа ядер соответственно; 6 = 1, если Z — нечетное число, а Л — четное; 6 = —1, если и Z и Л — четные числа и 6 = 0, если А — нечетное число. Тогда

ES/(侬2)= —I* . ют + i,9 • юз /т/з + 2,5 (1 — 2ZM)2 X

X 10-2 + 14,1 - 10-2 6М2. (2.6)

Для платины (Z = 78; / = 195) и алюминия (Z = 13; Л = 27) разница в Eslm? составит приблизительно 2 • 10_3, так что с учетом |т]| V V 10-12 получим |r)s| V 5 ・ 10~10.

В случае электромагнитных взаимодействий можно выделить несколько разных внутренних энергетических вкладов, каждый из которых может иметь свой собственный параметр т)4 Для электростатической энергии ядра пол уэмп ир ическа я формула массы дает следующую оценку:

EEs = Z(Z—l) /7/3 • 0,71 МэВ, (2.7) так что

£Es/(mc2) = 7,6 • 10-4 Z(Z—1) 4-4/3, (2.8) откуда разница для платины и алюминия составит 2,5 • 10~3, или h£S| < 4 - 10-10.

Другим видом электромагнитной энергии является магнитостатическая энергия, которая обусловлена магнитными полями ядер, генерируемыми токами протонов. Оценка магнитостатической энергии требует тщательного расчета в рамках оболочечной модели ядра. Например, результирующий ток протонов в любой заполненной по угловому моменту оболочке отсутствует, так что энергии, связанной с магнитостатическим возаимодействием между такой замкнутой оболочкой и какой-либо частицей вне ее, не существует. Авторы [126] показали, что для алюминия и платины

(Ems/(他2))加=4,1 . 10-7; (Ems/(溷))或=2,4 • 10-7, (2.9) так что |t)ms| v 6 • 10~6.

Третьим видом электромагнитной энергии является энергия сверхтонкого расщепления, т.е. энергия взаимодействия между магнитными моментами электронов и магнитными полями, создаваемыми магнитными моментами протонов и нейтронов. Расчеты, проведенные в [123], дают

Ehf = (2冗俄 曲[g 滔 + g^(/ _ Z)T, (2.10) где У — объем ядра;卩n — ядерный магнетон; gp = 2,79; gn = —1,91— гиромагнитные отношения для протона и нейтрона. Тогда

Е^/тс? = 2,1 • 10-5 也咨 + ^ И — Z)2L4-2 (2.11) и разница энергий сверхтонкого расщепления для алюминия и платины составляет 4 • 10二* так что 卜"尸| V 2 • 10-7.

Одно время полагали, что вклад слабых взаимодействий имеет порядок 10-12 по отношению к энергии ядер и что эксперименты Этвеша не обладают достаточной точностью для проверки СПЭ в слабых взаимодействиях (см., например, [60, 76]). Однако эти оценки учитывают только часть слабых взаимодействий, связанную с несохранением четности и не дающую вклада в энергию ядер, находящихся в основном состоянии, с точностью до первого порядка по константе слабых взаимодействия Gw. Однако часть слабых взаимодействий, связанная с сохранением четности, безусловно вносит вклад в первом по-

рядке по Gw и дает 七呼儿团^?)〜10~8 [125]. В частности, в модели слабых и электромагнитных взаимодействий Вайнберга — Салама

Ew/tnc^ = 2,2.10-2(2VZ/Л2) [1 +g(MZ)]; '

g(MZ) = 0,295[(N—Z)2/(2NZ) + 4sin2^+ (2.12) + (Z/N) sin2 Gw (2 sin2 呢一1)],

где N = A — Z — число нейтронов; 8如 Q 20° — вайнберговский угол. Для алюминия и платины разница составляет 2 • 10~10, так что К ЮТ

Гравитационные взаимодействия сознательно исключены из СПЭ и ЭПЭ. В гл. 3 мы расширим эти два принципа, включив в них локальные гравитационные эффекты, и соответственно определим их как гравитационный слабый принцип эквивалентности (ГСПЭ) и сильный принцип эквивалентности (ССПЭ). Эти два принципа окажутся нам весьма полезными при классификации различных метрических теорий гравитации. Во всяком случае, для лабораторных экспериментов 力веша гравитационные взаимодействия совершенно несущественны, поскольку для атомных ядер EG/tn(?〜GntplR" ~ 10~89, где /?яд — радиус ядра. Для проверки влияния гравитационных эффектов при ГСПЭ необходимо использовать планетарные объекты в планетарных экспериментах типа Этвеша (см. § 8.1).

Проверки ЛЛИ. Любой эксперимент, подразумевающий проверку СТО (§ 2.2), одновременно проверяет некоторые аспекты ЛЛИ, поскольку любая расположенная на Земле лаборатория находится в гравитационном поле (хотя только частично она находится в свободном падении). Однако эти эксперименты почти не использовались для количественной проверки ЛЛЙ в том смысле, в каком эксперименты Этвеша использовались для проверки СПЭ. Например, хотя ЛЛИ необходимо учитывать при интерпретации результатов экспериментов с элементарными частицами и описании явлений в физике частиц высоких энергий, такие проверки не являются «чистыми», так как во многих случаях маловероятно, чтобы «следствие нарушения ЛЛИ можно было отличить от эффектов, связанных со сложными сильными и слабыми взаимодействиями. Так было установлено, что наблюдаемое нарушение закона сохранения 4-импульса при p-распаде обусловлено не нарушением ЛЛИ, а испусканием до того не известной частицы — нейтрино.

Известен, однако, один эксперимент, выполненный со сверхвысокой точностью, который можно интерпретировать как чистую проверку ЛЛИ. Это эксперимент Хьюза — Дривера, проведенный в 1959— 1960 гг. независимо Хьюзом с сотр. в Йельском университете, США [140], и Дривером в университете в Глазго, Шотландия [83]. Во втором из них исследовалось основное состояние с J = 3/2 ядер 7Li во внешнем магнитном поле. Это состояние расщепляется в магнитном поле на четыре эквидистантных подуровня, так что линия перехода является синглетной. Любое внешнее возмущение, связанное с наличием привилегированного направления в пространстве (например, направления скорости Земли по отношению к покоящейся в среднем системе отсчета Вселенной), имеющее квадрупольную компоненту (/ = 2), 32

нарушит эквидистантность подуровней и расщепит линии переходов. Полученный при использовании метода ЯМР предел расщепления линий составил 40 мГц (1,7 ・ 10-1в эВ).

Этот результат можно интерпретировать как ограничение для ядер 7Li возможной анизотропии 6加夕 инертной массы: |6/n^ с21 < 1,7 X X 10~16 эВ. Если любой из видов внутренней энергии ядер 7Li испытывает нарушение ЛЛИ, их вклад в 6叫 следует представить в виде

6ту^^дА ЕА /с?, (2.13)

где 6Л—безразмерный параметр, характеризующий степень анизотропии, обусловленной взаимодействием А. Используя формулы §2.4, можно оценить Е" для 7Li и получить следующие пределы для 6Л:

16sl V 10-23; |6ES| v 10-22; |6"尸| V 5 ・ 10-22； |6犷I v 5 . 10-18.

(2.14)

Заметим что магнитостатическая энергия для 7Li равна нулю, так как протонная оболочка имеет структуру lsi/г 1рз/2, и магнитостатическое взаимодействие как внутри заполненной s-оболочки (Z = 0), так и между этой оболочкой и валентным протоном отсутствует. Чрезвычайно малые значения пределов, полученные в эксперименте Хьюза — Дривера, делают его самым точным из когда-либо выполненных нулевых экспериментов.

При нарушениях ЛЛИ должна существовать привилегированная покоящаяся система отсчета, например, покоящаяся в среднем система отсчета Вселенной, или эквивалентный ей космический микроволновый фон, в котором локальные законы физики принимают спецреляти- вистский вид. Отклонения от этого вида должны были бы зависеть от скорости лаборатории по отношению к привилегированной системе отсчета. Поскольку анизотропия является квадрупольным эффектом, можно ожидать, что она будет пропорциональна квадрату скорости w лаборатории. Если 6о — параметр, характеризующий степень нарушения ЛЛИ, то можно ожидать, что 6"〜w^8o. Для движения Земли по отношению к системе отсчета Вселенной з?〜 ю-6. Пределы для 6^ можно получить делением на это значение приведенных выше пределов для 6". Эксперимент Хьюза — Дривера, рассмотренный как частный случай более общей системы доказательств, можно считать проверкой возможности существования дополнительного дальнодействую- щего тензорного поля, взаимодействующего непосредственно с материей [223, 226].

Среди других экспериментов, которые можно рассматривать как проверку ЛЛИ, — различные эксперименты по увлечению эфира, например эксперимент Тэрнера — Хилла [76, 124].

Проверка ЛПИ. Двумя принципиальными проверками ЛПИ являются эксперименты по измерению гравитационного красного смещения, в которых проявляется пространственная зависимость результатов локальных экспериментов, и измерение постоянства фундаментальных негравитационных констант как тест временной зависимости. 2 Зак. 6Ь4 33

Экспериментальное исследование гравитационного красного смещения. В типичном эксперименте такого рода измеряется относительное различие частот или длин волн z 三 Av/v = ДХ/Х между двумя идентичными стандартами частоты (часами), покоящимися на различной высоте в постоянном гравитационном поле. Чтобы показать, как такой эксперимент проверяет наличие Л ПИ, предположим, что другие «составные части» ЭПЭ, а именно СПЭ и Л ЛИ, справедливы. ( В § 2.5 и 2.6 этот вопрос рассмотрен при несколько иных предположениях.) СПЭ гарантирует существование локальных свободно падающих систем отсчета, чье ускорение g в постоянном гравитационном поле идентично ускорению пробных тел. ЛЛИ гарантирует, что в этих системах собственное время, измеренное атомными часами, связано с метрикой Минковского выражением

c2dr2 〜一т)2 dx^ dx^ ~ c? dtp —dx} — dyp — dz方, (2.15) где 應一координаты в свободно падающей системе отсчета. Пусть в локальной свободно падающей системе отсчета, находящейся в мгновенном покое относительно атомных часов, скорость хода последних зависит от их положения (нарушение Л ПИ), т.е. для произвольно выбранного атомного стандарта времени, основанного на часах, структура которых отлична от исследуемых часов , собственный период хода дается выражением

т = т (Ф),(2.16)

где Ф — гравитационное поле, градиент которого определяет ускорение пробных тел g = ^7Ф.

Предположим теперь, что излучатель, приемник и гравитационное поле являются статическими, так что в статической системе координат fs, %s траектории последовательных волновых максимумов излученного сигнала отличаются только лишь на время переноса Afs от одного максимума до соседнего. Следовательно, временной интервал между прохождениями волновых максимумов для излучателя и приемника должен быть одним и тем же (иначе волновые максимумы начнут скапливаться или разрежаться между двумя часами, нарушая наше предположение о статичности ситуации) .Статические координаты не являются координатами свободно падающей системы отсчета, они испытывают ускорение g вверх (в направлении оси + Z) по отношению к свободно падающей системе отсчета. Следовательно, при |gfs/c| ~ lgzs/^l У 1 (т.е. для§, однородного на расстоянии между часами) последовательность лоренцевых преобразований дает [185]

妳=(* +(?l^sh (g/s/c)； Zf = (zs + d/g) ch@s/c)；

%F = %s； yF = ys・(2.17)

Отсюда время, измеренное атомными часами (относительно стандартных часов) определяется выражением

^ = т2 (①)(歯谓-d啰-dy^ - dz*)=炉(ф)[(1 +

+ gts!^dtl - dxl - dyl 一 d圖.(2.18)

Поскольку частоты излучения и приема при измерении в статической системе отсчета одинаковы (1/Д/8), a dxs = dys = dzs = 0 для обоих часов, то измеренные частоты (v = 1/Дт) связаны соотношением

N ”гес—”ет — ]— Г。(①rec) (l+g^rec/d) ] (2 Vrec L t (①em) (1+gZem/c2) J

Для малого расстояния между излучателем и приемником Az = гчес— —Zem можно представить т (Ф) в виде разложения

т (Фгес) = % + 吗gAz& (2.20)

ГДе То = Т (Фет)； тб 三 &工/&① 1ет・ Тогда

z = (1 + a) AU/d, (2,21) где а 三一^广％，％; NU =4 = —g ®ec—厶皿)。Если скорость хода часов не зависит от положения, то а = 0 и красное смещение выражается, как обычно:

z = A U/风 (2.22)

В другом варианте этого доказательства предполагается справедливость ЛЛИ и ЛПИ и показывается, что если красное смещение определяется выражением (2.22), то ускорение локальных систем отсчета, в которых выполняются ЛЛИ и ЛПИ, не отличается от ускорения пробных тел, т.е. локальные системы отсчета являются свободно падающими [317].

Хотя после опубликования ОТО было предпринято несколько попыток измерить гравитационное красное смещение спектральных линий белых карликов, результаты их были довольно неубедительными (см. обзор [291). Первое успешное измерение красного смещения с высокой точностью было выполнено в серии экспериментов Паунда — Ребки — Снайдера в 1960——1965 гг., где измерялся сдвиг частоты фотонов у・ излучения 67Fe при распространении их вверх или вниз в башне Джефферсоновской физической лаборатории Гарвардского университета. Высокая точность измерений (1 %) была достигнута благодаря использованию узких мессбауэровских резонансных линий, сдвиги которых можно точно измерить. В других экспериментах после 1960 г. измерялось смещение спектральных линий в поле тяготения Солнца и изменение скорости хода атомных часов, переносимых на высоте самолетами, ракетами и спутниками. В табл. 2.3 сведены наиболее важные эксперименты по изменению красного смещения начиная с 1960 г.

В последнее время созданы стандарты частоты сверхвысокой стабильности: 10-15 —Ю-16 за времена порядка 10—100 с и более. Примерами являются водородно-мазерные часы [329], часы на основе генератора, стабилизированного сверхпроводящим резонатором (ГСПР) 1304, 305], и криогенно-охлажденных диэлектрических монокристаллов, таких как сапфир и кремний [170].

Таблица 2.3. Эксперименты по гравитационному красному смещению

Эксперимент

Метод

Предел |а|

Паунда — Ребки — Снайде-

Падение фбонов мессбауров-

IO-2

ра [231, 232]

ского источника Y-излучения

Бролта [45]

Спектральные линии солнечного

5.10-2

излучения

Дженкинса [143]

Кварцевые часы на спутнике

9.10-2

«ГЕОС-1»

Снайдера [299, 300]

Спектральные линии солнечного

б」。"

Замедление хода часов [118,

получения

Цезиевые атомные часы на ре

0,1

119]

активном самолете

То же [3]

Рубидиевые часы на реактивном

2J0-2

самолете

Ракетный [330, 331]

Водородный мазер на ракете

2.10-4

Нулевой [323]

Водородный мазер и ГСПР

10-2

Солнечный зонд (проект)

Водородный мазер или ГСПР

io-6

[213]

на спутнике

Первый из таких экспериментов был выполнен Вессо и Левином в 1976 г. Часы, основу которых составлял водородный мазер, были подняты ракетой на высоту 104 км, и их частота сравнивалась с частотой аналогичных часов на земле. Высокая частотная стабильность водородного мазера (10~16 за время усреднения 100 с) позволила исследовать зависимость смещения частоты от высоты над поверхностью Земли. Изощренная система обработки данных тщательно исключала доплеровские сдвиги первого порядка, обусловленные движением ракеты, а система слежения давала данные о положении и скорости прибора (для оценки разности гравитационных потенциалов AU н доплеровского сдвига второго порядка). Обработка данных дала следующий предел [330, 331]:

|а| < 2 • 10-4. (2.23)

По случайному совпадению ракета «Скаут% поднимавшая водородный мазер, имела длину 22,6 м, что почти точно равно высоте башни в Гарвардском университете. В межпланетном варианте этого эксперимента планируется запустить стабильные часы (водородный мазер или ГСПР) на сильно эксцентрическую солнечную орбиту (минимальное расстояние от Солнца равно примерно четырем солнечным радиусам); такой эксперимент может позволить измерить а с точностью до 10-6 [213] и даже попытаться зарегистрировать эффекты красного смещения «второго порядка» [142].

Высокостабильные часы позволяют также измерять красное смещение в эксперименте нового типа, представляющем собой прямую проверку Л ПИ: «нулевом» эксперименте, в котором сравниваются два типа часов, находящихся радом друг с другом в одной лаборатории. При нарушении ЛПИ не только изменяется ход атомных часов при их перемещении, но и само это изменение должно зависеть от структу- 36

рн и состава часой; иначе всё часы с перемещением меняли бы свой ход единым образом и не было бы практической возможности зарегистрировать эффект (поскольку одни часы должны быть выбраны в качестве стандарта, по отношению к которому регистрируется ход остальных часов). Следовательно, для часов данного типа Л можно записать

т = xA(U)=増(1 — dAU/d),(2.24)

и, сравнивая два типа часов, находящихся в одном месте, получаем d%8 =俨片％ [1 — (ал _ а刁AU/闽，(2.25)

17(е (工"/工8)0 — постоянное отношение показаний двух часов в выбранном начальном месте.

Нулевые измерения красного смещения такого типа были выполнены в апреле 1978 г. в Стенфордском университете. За период, превышавший 10 дней, сравнивались скорости хода двух водородно-мазерных часов и группы из трех ГСПР [323]. В течение этого времени гравитационный потенциал Солнца менялся синусоидально с периодом 24 ч и относительной амплитудой 3 • 10-13 вследствие вращения Земли и линейно на 3 • 10~12 в день вследствие движения Земли по орбите, поскольку в апреле она находится под углом 90° к перигелию. Анализ данных дал верхние границы обоих эффектов, что в свою очередь дало пределы параметра нарушения ЛПИ в виде

|ан — а「спР| V IO".(2.26)

Точность хронометрирования с помощью атомных часов за последнее время выросла настолько, что, возможно, скоро придется вносить поправки на гравитационное красное смещение и доплеровский сдвиг второго порядка при сравнении хронометрирующих устройств на разных высотах и широтах.

Постоянство констант. Другой ключевой проверкой ЛПИ является проверка постоянства негравитационных констант в космологических масштабах времени (гравитационные «константы» обсуждаются в § 8.5). Мы не будем рассматривать различные теории и предположения, начиная с дираковского, допускающие изменение фундаментальных констант (подробный обзор их и список литературы см. [85]), а приведем последние экспериментальные результаты (табл. 2.4). Наблюдения проводились различными способами и методами, начиная от сравнения спектральных линий далеких галактик и квазаров до измерения избытка изотопов некоторых элементов в солнечной системе и лабораторных сравнений атомных часов. Недавно Шляхтеру [292, 293] удалось значительно раздвинуть пределы, накладываемые на различные константы электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий, при изучении изотопической аномалии в ядерном реакторе Окло — естественно возникшем примерно 2 млрд, лет тому назад непрерывном реакторе на расщеплении 第叩 в Габоне (Африка) [178]. Отношение распространения двух изотопов самария (14^m/147Sm) в образцах урановой руды из Окло оказалось аномально низким. Ни один из этих изотопов не является продуктом реакции расщепления

Таблица 2.4. Пределы космологических вариаций

Константа 仇)

4 S 熏 軟8西

Метод

事靓 О；

U uOz

a = e/hc

4•10-4

8.10-2

8.10-2

Скорость ^-распада 187Re за геологические времена [85]

Тонкая структура линий Mg II и линии 21 см от радиоисточника (z=0,5) [371]

ГСПР и цезиевый стандарт частоты [322]

IO"?

6=gj /Пр с/九 з

2

Скорости распада 187Re, 40K [85]

2.10-2

me/mp

1

Массовый сдвиг спектральных линий квазаров (z〜2) [218]

—

gp me/mp

0,1

'Mg II, линия 21 см [371]

—

区

ЗЛО"2

Ядерная стабильность [68]

8.10"»

Параметр Хаббла %=55 км/(с-Мпк).

翦叩，но количество 149sm может быть сильно снижено потоком нейтронов. Оценки потока нейтронов (интегральной дозы) в течение работы реактора совместно с аномалией распространения 149sm позволили рассчитать поперечное сечение захвата нейтронов ядрами 149sm

каждый из этих трех принципов, и поскольку число вариантов включения гравитации в законы физики СТО ограничено, естественно ожидать наличия теоретических связей между этими тремя субпринципами. Например, тот же самый математический формализм, который дает уравнения свободного падения атома водорода, должен давать и уравнения, описывающие уровни энергии водорода в поле тяготения, и тем самым определять скорость хода водородно-мазерных часов. Следовательно, можно ожидать, что нарушение ЭПЭ в фундаментальном аппарате теории, проявляющееся в нарушении СПЭ, приведет также к нарушению Л ПИ. Около 1960 г. Шифф предположил, что связь такого рода вообще является обязательной для самосогласованной теории тяготения. Точнее, гипотеза Шиффа состоит в утверждении, что любая полная самосогласованная теория гравитации, включающая СПЗ、обязательно включает и ЭПЭ. Другими словами, наличие только СПЭ гарантирует ЛЛИ и ЛПИ и тем самым ЭПЭ. Такая формулировка представляет собой расширенный классический вариант квантовомеханической гипотезы Шиффа 1960 г. [269]. Его интерес к этой гипотезе возобновился в ноябре 1970 г. энергичной дискуссией с Торном на конференции по экспериментальным проблемам в гравитации, состоявшейся в Калифорнийском технологическом институте (знаменитом Калтехе). К несчастью, безвременная смерть Шиффа в январе 1971 г. прервала его плодотворную деятельность в этом направлении.

Если гипотеза Шиффа справедлива, эксперименты типа опытов Этвеша можно рассматривать как прямую эмпирическую основу ЭПЭ и интерпретации тяготения как явления в искривленном пространстве-времени. Некоторые авторы, в том числе и Шифф, пошли дальше, утверждая, что если эта гипотеза верна, то эксперименты по гравитационному красному смещению являются ненадежной проверкой теории тяготения по сравнению с более точными опытами Этвеша. По этой причине значительные усилия прилагались для «доказательства» гипотезы Шиффа. Разумеется, строгое доказательство ее невозможно, однако можно сформулировать значительное число впечатляющих «правдоподобных» доказательств, использующих различные допущения.

Наиболее общее и элегантное из них основано на предположении о сохранении энергии. Это предположение позволяет провести очень простой мысленный циклический эксперимент, в котором энергия в конце цикла должна равняться энергии в его начале. Этот подход был впервые применен Дике [76] и в дальнейшем обобщен Нордтведтом [211] и Хогэном [124].

Ограничимся теориями гравитации, в которых справедлив закон сохранения энергии для негравитирующих «пробных» систем, находящихся в заданном внешнем статическом гравитационном поле. Чтобы гарантировать закон сохранения энергии достаточно (но не необходимо), чтобы теория была основана на принципе инвариантности действия (ср. со вторым ограничением Дике). Рассмотрим идеализированное составное тело, состоящее из бесструктурных пробных частиц, связанных некоторой негравитационной силой взаимодействия. Законы достаточно медленного движения такой системы в слабом статическом поле тяготения можно представить в квазиньютоновской форме 39

(предполагается, что теория имеет ньютоновский предел); в частности, функцию энергии Ес, связанную с законом сохранения, можно взять в общей форме

皐=M^-MRU (X) + L MrH + о (Mr* MJ* M&UH),

(2.27) где X и V — квазиньютоновские координаты центра масс тела; Mw?— энергия покоя тела; U — внешний гравитационный потенциал; с — фундаментальная скорость, используемая для перевода массы в энергию. Из нарушения ЭПЭ следует возможность различия скорости света и предельной скорости движения материальных частиц в присутствии тяготения. По этой причине мы не можем в (2.27) автоматически положить с = 1 (см. также подстрочное примечание на с. 28). Следует отметить, что У есть скорость в некоторой привилегированной системе отсчета. В задачах, связанных с внешними статическими гравитационными потенциалами, такой системой отсчета обычно является система покоя источника внешнего потенциала, тогда как в космологических гравитационных явлениях, когда локализованные потенциалы можно не учитывать, привилегированной является система отсчета покоя Вселенной. (В задачах, связанных с такими эффектами, простая форма уравнения (2.27) становится невозможной.) Допуская возможность нарушения ЭПЭ, представим энергию покоя в виде

М£ = 乂炉-Е В(Х, V), (2.28)

где MQ — сумма масс покоя составляющих тело бесструктурных частиц; Ев — энергия связи тела. Свидетельством нарушения ЭПЭ является зависимость Ев от положения и скорости, в общем случае являющаяся функцией строения системы. Грубо говоря, наблюдатель в свободно падающей системе отсчета может регистрировать энергию связи системы масс, тем самым определяя влияние своего положения и скорости на результаты локальных негравитационных экспериментов. Хогэн [124] уточнил это определение, показав, что в действительности к измеряемым эффектам приводит функциональная разница между значениями Е в (X, V) для исследуемой системы материи и для «стандартной» системы, произвольно выбранной в качестве базиса единиц измерения. Поскольку зависимость Е в от положения и скорости обусловлена внешним гравитационным окружением, удобно представить Е в в виде разложения по степеням U н V2 c точностью до членов в (2.27), по порядку величины согласующихся с квазиньютоновским приближением, запишем

Ев (X, V) - £в + б^ V^ (X) ~ ^ дту УУ/4- О (£& U2^^ (2.29) где U'/——тензор внешнего потенциала тяготения [ср. с (4.28)]; он имеет тот же порядок, что U, и можно положить S『=U. Величины 6加笈 и 6加夕 называются тензорами аномальных пассивной гравитационной и инертной масс соответственно. По-видимому, они имеют порядок Tjf^ Где 叮—безразмерный параметр, характеризующий сте- 40

пень нарушения ЭПЭ. По повторяющимся пространственным индексам / предполагается суммирование. Таким образом, сохраняющуюся квазиньютоновскую энергию можно представить в виде

Ес = (М。d —е*)_ [(Л1о—Е* с- 2)6" + 6mJ/] U" +

+ 十[(此一理C-2) 6" +6晒 m m +。(Мо [Д ..•)• (2.30)

Приведем сначала примеры нарушения ЛПИ и ЛЛИ, связанные с Е в (X, V). Рассмотрим две различные системы тел, покоящиеся в гравитационном поле. Пусть каждая система переходит с одного квантового уровня энергии на другой, излучая квант с частотой v = AEJ九. Отношение двух таких частот с помощью (2.30) можно записать в виде

Если Вт?〜6〃，то величина в квадратных скобках может быть идентифицирована как коэффициент % —а2 в (2.25). Таким образом, тензор аномальной пассивной гравитационной массы описывает эффекты привилегированного расположения в нулевых экспериментах по измерению гравитационного красного смещения.Теперь рассмотрим те же две системы вдали от гравитирующей материи, но движущиеся относительно системы покоя Вселенной со скоростью V. При этом отношение двух частот

%二二 9吗)1 L 1「aЗ%)* “6»% С?],叫 8窃)21 2 L(A陶1 ， 9吗 % J c2 j

Таким образом, тензор аномальной инертной массы описывает влияние привилегированной системы отсчета в экспериментах Хьюза— Дривера, где рассматриваемыми системами являются ядра 7Li с различными азимутальными квантовыми числами в двух возбужденных состояниях, находящиеся во внешнем магнитном поле. В отсутствие эффектов привилегированной системы отсчета зеемановское расщепление для всех уровней идентично и (АЕ*% = (ДЕ®)2, однако вследствие возможной анизотропии тензора 6т^ можно ожидать, что Д (6加力 будет различно для переходов между разными парами уровней (подробнее см. §2.6). Итак, 6/иу отвечает за нарушение ЛПЙ, а 8т^ — за нарушение ЛЛИ.

Для подтверждения гипотезы Шиффа остается только показать, что 6т^ и 6叫 дают также нарушение СПЭ. Для этого мы используем мысленный циклический эксперимент, впервые рассмотренный Дике [76]. Пусть п свободных частиц с массой /и。покоятся в точке X = h. Уравнение (2.27) просто определяет их сохраняющуюся энергию как ши»? [1 一 и (h)/c2]. Образуем теперь из них тело и высвободим энергию связи Е в (h, 0) в виде свободных частиц с массой покоя /и0, запасенную в безмассовом резервуаре. Сохраняющаяся энергия составного тела есть 山恤桟 _ £ в (h, 0)] [1 — [/ (h)/c2], а

Сергия резервуара есть 七月(h, 0) [1 — U (h)/c2l. Составное тело свободно падает в точку X = 0 с предполагаемым ускорением А = g + + 6А, в то время как запасенные пробные частицы падают с ускорением g = (по определению). Остановим обе системы в точке X = 0, при этом в резервуар выделяется энергия —[nmQ — Е в (0, V)/c2l Ah — 8ту gW и —Е в (h, 0) gh/d (предполагается, что g, h и V параллельны). Опуская члены порядка (gh)2, получаем, что резервуар содержит теперь сохраняющуюся энергию

Ев (h, 0) [1 - U (0)仆]-Е£ gh/c2 -

—(nmQ — E%d) Ah — 6叫斑3.

Вычтем отсюда энергию разделения составного тела на п частиц Е в (0, 0) [1 — U (0)/с2] и кинетическую энергию —пт^, достаточную для возвращения частиц в исходное состояние покоя в точке X = h. Цикл, таким образом, замкнется, и если энергия сохраняется, резервуар должен быть пуст. В квазиньютоновском приближении в этом случае получаем

.Е в (h, 0) — Е в (0, 0)—(九恤—Е^) 6Ah — Bm?g仰=0, (2.33) или

Е в (h, 0) — Е в (0, 0) = ^ VtMi; (2.34)

灰=g，+ (8т^/М r) U^ - (дт^/М r)孔 (2.35) где M R = nmQ — E^/c?. Первое слагаемое в (2.35) — универсальное гравитационное ускорение, которого следует ожидать в теории, удовлетворяющей СПЭ. Остальные слагаемые зависят от структуры тела через тензоры аномальных масс, входящие в Ев (X, V). Следовательно, нарушение ЛЛИ или ЛПЙ приводит к нарушению СПЭ. Точно так же справедливость СПЭ (6/и夕 三 6喈 m 0) означает наличие ЛЛИ и ЛПИ и соответственно ЭПЭ.

Эксперименты по гравитационному красному смещению также можно рассматривать на основе такой методики с использованием мысленного циклического эксперимента, предложенного Нордтвед- том [211]. Цикл осуществляется, как и прежде, на п свободных частицах массы /и。, покоящихся в точке X = h. Образуем составное тело и высвободим энергию связи Е в (h, 0) [1 — U (h)/c2] в виде безмассо, вого кванта, распространяющегося в точку X = 0. Энергия этого кванта, запасенная в резервуаре, предполагается равной

(1 -z)EB (0, 0) [1 - U (0)/с5 где Ев (0, 0)(1 -U (0)們

—энергия кванта, излученного из идентичной системы в точке X = 0. Теперь требуется оценить красное смещение z. Пусть тело свободно падает в точку X = 0 и останавливается там, передавая в резервуар кинетическую энергию своего движения — lnmQ — Е в (0, V)/c2j Ah — Bm?gW・ Подставляя А из (2.35), видим, что резервуар содержит энергию (в квазиньютоновском приближении) (1 — г) X X Ев (0, 0) [1 — U(0)/c2] —山/и。一 Ев(0, 0)/c2]gh —6 理 X 42

x VU"h. Снова вычтем отсюда энергию разделения тела на частицы и возвращения их в исходную точку. Сохранение энергии требует опустошения резервуара, и, следовательно, z должно удовлетворять (с точностью до членов первого порядка по gh) уравнению

—ZE& + 芻 gh/或—6哪 V S4i = 0,(2.36)

или

Z = [MJ _(6mg d/Eg) AU〃 ]/兄(2.37)

где AU = gh; AU'/ = V U" h. Аналогично можно показать, что доплеровский сдвиг второго порядка между излучателем, движущимся со скоростью V, и приемником, неподвижным в привилегированной системе отсчета Вселенной [124],

3 = —-^ Н%2 + 善(6叫7變)Vi Vi.(2.38)

Итак, простое предположение о сохранении энергии позволило «доказать» гипотезу Шиффа, а также прояснить эмпирические последствия возможных нарушений трех аспектов ЭПЭ.

Авторы [316] предложили другое, в большей степени качественное доказательство гипотезы Шиффа для класса теорий тяготения, базирующихся на принципе инвариантности действия, так называемых лагранжевых теорий тяготения. Они начали с введения концепции «универсальности связей»: ковариантная в общем случае лагранжева теория обладает универсальностью взаимодействий (связей), если она может быть представлена в математической форме (представлении), в которой действие для материи и негравитационных полей Ing содержит в точности одно гравитационное поле — симметричный 4- тензор второго ранга 屮 с сигнатурой +2, который сводится к “ при выключении гравитации; при замещении 屮 4-тензором “ действие Ing переходит в функцию действия в СТО. Ясно, что лагранжева теория обладает универсальностью взаимодействий, если и только если она является метрической (подробнее см. [316]).

Проиллюстрируем эту точку зрения простым примером. Рассмотрим лагранжеву теорию тяготения, содержащую глобальную плоскую фоновую (абсолютную) метрику ц и симметричное тензорное гравитационное поле второго ранга Л. Негравитационное действие для заряженных точечных частиц с массой покоя 恤 и зарядом е и электромагнитных полей запишем в виде Ing = 70 + Ant + Лт, где

/° = — т。J dp; dt2 = —(t)kv 十 h^ dx^ d%" ；(2.39)

/mt =e J4xd/；(2.40)

/ет= -(16л)-1 J(^a-^a) (Tp'B—公B)尸2 尸a«l + у 无卜4 %； (2.41) f2 三人,К 一4, V； II Т)叫=I Thv II 一；

加V = ya炉0坛0；九=T)2 %屮

Выберем систему координат, в которой ц = diag (—1, 1, 1, 1). Чтобы определить, обладает ли эта теория универсальностью взаимодействий, предположим, что единственное гравитационное поле 屮卩旷 описывается выражением

^nv = Пци+九nv・(2.42)

Тогда окажется, что Zo и Ztat обладают универсальностью связей. Однако в электромагнитном лагранжиане, например, мы имеем

严а -加a =屮а —加阴，+0(胪)，(2.43)

где Hip^H = ||屮叫1|-1・ Таким образом, невозможно связать 刀内 и 九nv в одно гравитационное поле с помощью Ing, и, следовательно, эта теория не обладает универсальностью связей. Чтобы показать, что она не является также метрической, перейдем в систему отсчета, в точке- событии 部 которой 屮gs I萨 =刀白6；屮白 G, 6il萨=°・ Заметим, что в этой системе отсчета в общем случае h^\^ #= 0, так что действие можно представить в виде /ng = Jsrt + А/, где

Isrt =—团。J dt + e『幻 d%G —(16л)-1 J 产& 乳》义

X F^ F^ (―方/2 d《众(2.44)

A/ = (16门)一 2产C 尊 户优+十 俯一2启© h^ t]G倉 产q X

X J 尸不^ Fqq ( W)i/2&Q + О (胪 尸)；(2.45)

^v 曰 九设”|萨 #=0. Значит, в локальной лоренцевой системе отсчета законы физики не есть законы СТО и, следовательно, эта теория не является метрической. Заметим, что в этом частном случае для слабых гравитационных полей (|九卩亂《1) теория является метрической с точностью до членов первого порядка по 九卩屮 а отклонения от метрич- ности появляются во втором порядке по 九к” В § 2.6 рассмотрена математическая система для исследования класса теорий с неуниверсаль- ностью взаимодействий, позволяющая количественно рассчитать их эмпирические следствия.

Рассмотрим теперь все лагранжевы теории тяготения и предположим, что СПЭ справедлив. Вследствие СПЭ действие Ing содержит одно и только одно гравитационное поле (которое должно быть 4-тензором второго ранга сводящимся к “ вдали от гравитирующей материи). Если бы Ing должно было содержать некоторые другие гравитационные поля ф,府中 九kv •••» их все надо было бы синхронизировать так, чтобы одно и то же ускорение придавалось телу, «сделанному» преимущественно только из электромагнитной энергии, только из ядер ной энергии и т. п. Это крайне маловероятно, если только 屮现旷 и другие поля не входят везде в Ing в одной и той же форме, например в виде / (ср)屮kv, если присутствует скалярное поле, в виде 屮现旷 + + aftgv, если присутствует тензорное поле, и т, д, В этом случае все 44

эти поля можно объединить в одно новое поле ^v, которое и будет единственным гравитационным полем в /ng・ Это значит, что теория должна обладать универсальностью взаимодействий, следовательно, должна быть метрической и должна удовлетворять ЭПЭ.

Пример несправедливости гипотезы Шиффа предложил Ни [200]: псевдоскал яр ное поле <р, которое связывает материю с электромагнитными полями с помощью лагранжиана вида(pei*va3F|lvFop, где 8^аР — полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты. Ни доказывал, что такой лагранжиан, нарушая ЭПЭ, не нарушает СПЭ, хотя и дает наблюдаемый эффект в виде аномального крутильного момента системы электромагнитно-связанных заряженных частиц. Вопрос о том, может ли этот крутильный момент дать наблюдаемое нарушение СПЭ, до сих пор остается открытым.

2.6. ТЯен-ФОРМАЛИЗМ

Изложенное выше обсуждение гипотезы Шиффа было весьма общим и, возможно, породило убеждение в его справедливости. Однако следствием общности рассуждений оказался недостаток количественной информации. Например, не было дано никаких способов вычисления тензоров аномальных масс 6/п? и 6т^ различных систем. Для конкретизации изложения необходима теоретическая модель негравитационных законов физики в присутствии тяготения, которая допускает возможность как метрического, так и неметрического (неуниверсального) взаимодействия. Теория должна быть простой, но должна давать количественные предсказания результатов экспериментов. Одной из таких моделей является ТЯерь-формализм, разработанный в [163]. Он ограничивается движением и электромагнитными взаимодействиями заряженных бесструктурных пробных частиц во внешнем статическом и сферически-симметричном (ССС) поле тяготения. Предполагается, что негравитационные законы физики можно вывести из действия Ing = /0 +『mt + 4m, где

厶=一£恤小(7一H喲1/2山；

人 nt =£%\&(吟)%必； (2.46) /еш=(8л)~1 J (еЕ2—卩一1 B^d^x.

Здесь использованы единицы, в которых и х и / имеют размерность длины: mQa, еа и %) (f) — масса покоя, заряд и мировая линия частицы а соответственно; %° 三 f;峭三 dx^/dt; E = VA0 — А,。； В = =(V X А); скалярное произведение 3-векторов берется в декартовой метрике 6〃・ Предполагается, что Г, Я, е,卩 являются функциями единственного внешнего потенциала тяготения Ф, в остальном же они произвольны. Для ССС поля Т, /Д 吐 卩 в конкретной теории будут определенными функциями Ф. Оказывается, что в этом случае выражения (2.46) достаточно общи, чтоб^1 описать все метрические теории тя-

готения, а также широкий класс неметрических теорий, таких как теория Бел инфанте—Суихарта [23—25] и неметрические теории, рассмотренные в § 2.5. Во многих случаях представление Ing в виде (2.46) допустимо только в определенной системе координат («изотропные» координаты в случае метрических теорий гравитации). Примером теории, не допускающей представления Ing в ТЯерь-форме, является неметрическая теория Найды—Капеллы [163]. Такие случаи следует анализировать отдельно, так же как и ерь-формализм Дике [75].

Эйнигтейновский принцип эквивалентности (ЭПЭ) в ТНг^-форма- лизме. Начнем с изучения свойств этого формализма, как они представлены в выражениях (2.46). Затем рассмотрим физические ограничения, содержащиеся в нем, и используем его для интерпретации экспериментальных результатов.

Для исследования ЭПЭ в 7We卩-формализме мы должны работать в локальной свободно падающей системе отсчета. Мы пока не знаем, справедлив ли СПЭ в ТЯерь-теории (и подозреваем, что в общем случае несправедлив), так что мы не знаем, к каким траекториям свободного падения локальные системы отсчета должны быть привязаны. Мы должны, следовательно, произвольно выбрать набор траекторий: наиболее удобными будут траектории нейтральных пробных частиц, т. е. частиц, движение которых определяется только действием 厶，поскольку их траектории являются универсальными и не зависящими от массы тоа. Перейдем теперь в систему координат ха = ", х), выбранную согласно следующим критериям: 1) начала отсчета обеих систем совпадают, т. е. для некоторого произвольно выбранного события 3a имеем х^ (个)=ха (争)=0; 2) в точке 部 нейтральное пробное тело имеет нулевое ускорение в новых координатах, т. е. ^x^ldf\^= 0 и в окрестности З5 отклонение от нулевого ускорения квадратично зависит от Дха = %& —依(S5); 3) движение такого тела определяется действием Zo- Требуемое преобразование, корректное в первом порядке по величинам got и gox, предполагаемым малыми, имеет следующий вид:

(2.47)(2.47)指Г"中+十屮北xg,;

(2.47)

(2.47)

Х = "У2 卜+ 十 H? У go 户 + 十〃丁 I Я； (2х(g0 х) -go 炉小

где нуль в индексе означает начало координат, а штрих — производную по Ф:

то 三 7(* =忌=°)； Т；三"川① 1/=%£ о (2.48)

(2.49)(2.49)go 三 VS

(2.49)

(2.49)

Действие /0 в новых координатах примет вид

厶=一£ mQa^(1 -^)"2^ {1 +。[(倉)2]}.(2.50)

Здесь va =d xjdt. Заметим, что, введя в (2.47) множители Т^2 и H^2t мы получили единичные коэффициенты в выражении для /0, которое теперь выглядит в точности, как в СТО. Аналогично действия /mt и /ет в новых координатах примут вид:

厶nt=E%J А^и党{1+。[(而2]}；(2.51)

/ет = (8n)Т "屮"”2 J{W+':片 Н7^ Г.g。习一一7「%吋+」"(1 一击気7尸"”2^£)亠

+ HqT 宀 rR* (EX В) (1—7L Но £「НГ1)} dG + 10 (詮)],

(2.52)

(2.53)(2.54)(2.53)(2.54)/不=8x°70而 ла; 3=6/g一公金;B = V X a;Г^(2Т./Г0)(г；^ +费7"尸一十/〃L)；ло三(27": mК卩」+十窘片一费Я； H#.

(2.53)

(2.54)

(2.53)

(2.54)

Рассмотрим теперь последствия ЭПЭ для физических процессов, определяемых /ng・ Особое внимание обратим на вид Ing в точке 呼(％? = f = 0), поскольку предполагается, что локальные контрольные эксперименты проводятся в исчезающе малой области вокруг 砂・ Поскольку такие эксперименты планируются полностью электроней- тральными, можно считать, что поля Е и В не простираются за пределы этой области. Тогда в точке 部 имеем

Ing = —£ m°a f (1 — Va)1/2dt +2%/4G増山 +

+ (8n尸 / 772 "”2 J 自一⑺l но 喉 hГ1)余]d& (2.55)

Прежде всего мы видим, что в общем случае Ing нарушает ЛЛИ. Простое лоренцево преобразование полей и координат частиц в Ino показывает, что Ing является лоренц-инвариантным только в том случае, когда

(2.56)47(2.56)47То ^Нq8q '(Л。1 — 1 ИЛИ “卩。=TQ’Hq.

(2.56)

47

(2.56)

47

Так как мы не накладывали никаких ограничений на событие *、эти условия должны выполняться во всем ССС пространстве-времени. Заметим, что величина (「尸仇才卩万屮卷 играет роль скорости света в локальной системе отсчета или, точнее, отношения скорости света ссв к предельной скорости нейтральных пробных частиц:

WH^1^1 = (Сев/。，.(2.57)

Единицы измерения выбраны нами так, что в локальной свободно падающей системе отсчета 的=1; эквивалентно в исходной системе координат ТЯ8[х-формализма [см. (2.46)]

Со = (То/"。)"" ％в = (еоНо)-1/2.(2.58)

Эти скорости будут равны, только если выполнены условия (2.56). Если же нет, тогда система отсчета покоя ССС поля является приви.пе- гированной и в ней Ing записывается согласно ТЯе(х-формализ)«у, так что можно ожидать наблюдаемых эффектов в экспериментах при движении относительно этой системы отсчета. Следовательно, величина 1 — ТоЯо ^оНо играет роль параметра привилегированной системы отсчета: если он везде равен нулю, формализм является локально лоренц-инвариантным, если он где-то не равен нулю, там существуют эффекты привилегированной системы отсчета. Как мы увидим ниже, эксперимент Хьюза—Дривера накладывает наиболее жесткие ограничения на этот параметр.

Мы видим, что Ing локально пространственно инвариантно, только если

80 Г^Н^^=А; Ио T^H-^^Bt(2.59)

где Л и В — константы, не зависящие от З5. Даже если теория локально лоренц-инвариантна (То хЯо8о 1|хо1 = 1 вне зависимости от 5°), все равно пространственные эффекты могут наблюдаться, если величины, определяемые (2.59), не являются константами. Это соответствовало бы ситуации, описанной в § 2.3, когда разные проявления локальных законов физики в свободно падающей системе отсчета связываются с разными комбинациями метрики Минковского; в этом случае свободное движение частиц определяется самой метрикой ”, а электродинамика —пространственно зависящим тензором “* = б"?”-"?” через лагранжиан поля т^иат^В/^иу^ав. Неуниверсальность этих связей и взаимодействий нарушает ЭПЭ и обусловливает пространственные эффекты, например гравитационное красное смещение (см. также § 2.4). Другой способ описания этих эффектов при сохранении ЛЛИ состоит в перенормировке единиц заряда и векторного потенциала для каждого события ⑶ таким образом:

e：sea 8-1/2 Т-^М Я1/4； А^А^г^Т^ Н^!\ (2.60) причем действие Ing (2.55) принимает вид

」ng= —，m°a I (1—喲"切 f+ E e： J/g % d f+ aa

+ (8冗)一1 § (侬2 — B*2)d<7.(2.61)

Это выражение совпадает с выражением в СТО, но теперь физически измеряемый заряд е： зависит от своего положения согласно уравнению (2.60), если только величина %7；/2〃一;/2 не является не зависящей от 5°. В противном случае единицы заряда можно выбрать так, что везде в пространстве-времени будет выполняться следующее соотношение: "图/2h”/2 = 1.(2.62)

Заметим, однако, что если выполняется только Л ПИ, то заряд и век- •торный потенциал можно перенормировать так, чтобы получить либо £о*/2〃-у2= 1, либо 阿7；/2〃-卜2=】，Но не оба равенства одновременно； так что в общем случае ЛЛИ не требуется.

Комбинируя (2.56), (2.59) и (2.62), получаем необходимые и достаточные условия как для ЛЛИ, так и для ЛПИ в виде

% =阿=(%/То)"2(2.63)

дагя всех событий 部. Рассмотрим теперь входящие в Ing (2.50)—(2.52) члены первого порядка по смещениям %, t от события 部.Такие имеются только в Ат и, по-видимому, вызывают поляризацию электромагнитного поля заряженных тел, пропорциональную внешнему ускорению g0 = УФ. Можно ожидать, что эта поляризация приведет к ускорению составного тела, состоящего из заряженных пробных частиц, относительно локальной свободно падающей системы отсчета (т. е. относительно нейтральных пробных частиц), другими словами, к нарушению СПЭ. Эти члены отсутствуют, если Го = Ло = 0 и TQHq1^^ = 1, т. е. одновременно выполняются (2.56) и (2.59). Единицы заряда снова могут быть нормированы так, что для всех ⑶ будет справедливо (2.63). Но эти условия гарантируют также ЛПИ и ЛЛИ. Итак, в рамках ТЯе|х-формализма для ССС полей уравнение (2.63) означает и СПЭ, и ЭПЭ.

Однако в приведенных выше рассуждениях предполагалось, что один СПЭ может гарантировать равенство (2.63) и, следовательно, ЭПЭ. Можно непосредственно показать это, вычислив в явном виде ускорение составного тела в рамках 7W叩-формализма. Полученное в результате ограниченное доказательство справедливости гипотезы Шиффа впервые было сформулировано Лайтманом и Ли [163].

Доказательство гипотезы Шиффа. Будем работать в глобальной 7W叩-системе координат с Ing в виде (2.46). Варьируя Ing、можно получить полный набор уравнений движения частиц и гравитационно- модифицированных уравнений Максвелла (ГММ уравнений) в виде

(d/必)("UZT V。)+ 子呼-V (7—"啕=aL (xfl); (2.64)

疽(xfl) = (ejmoj {V4o (xfl) + V [vflA (xfl)] — dA (x//d/}; (2.65)

V(eE) = 4лр;(2.66)

V X (卩一工 В) = 4冗J + d(eE)/外(2.67)

49

Где № 三(7 — //喲i/2； p 三 Se# (x — xj; J = ^e^^ (x — xj; аь (xa) — лоренцево ускорение частицы а. Эти уравнения используются для вычисления ускорения от состояния покоя пробного тела, состоящего из заряженных точечных частиц. Для того чтобы можно было провести этот расчет, необходимо значительное число упрощающих предположений.

Во-первых, функции 7\ ", % 卩 будем рассматривать как функции Ф и разлагать в ряд в окрестности мгновенного расположения центра масс X = 0 в виде

Г(Ф) = 7。+ %gox + О (gox)2,(2.68)

где П 三 Т (х = 0); Тб 三 б/Т/с(Ф|х=о. Когда тело мало по сравнению с масштабом изменения Ф, можно считать gox《1 и работать в первом порядке по gox.

Во-вторых, будем считать внутренние скорости частиц и электромагнитные поля достаточно малыми для того, чтобы можно было разлагать уравнения движения и ГММ уравнения по малым параметрам и?〜^/(团旷)《1 (г — характерное расстояние между частицами). По аналогии с постньютоновским разложением, которое будет описано в гл. 4, это разложение назовем посткулоновским; нам необходимо работать до первого порядка посткулоновского разложения. По-ви- димому, ускорение одиночной частицы содержит члены О @)—чисто гравитационное ускорение; О (标)—кулоновское межчастичное ускорение; О @。2)—посткулоновское гравитационное ускорение; О (и4)— посткулоновское межчастичное ускорение; О (go^4) — постпосткуло- новское гравитационное ускорение и т. д. С точностью до члена О (go。?)получим

dva/dt = - А т； я-1 g0 + А я； я-1 g0 v2 +

+ (Т； 7?| —"； H『)(g° va)、十ту 2 я-1 aL (xa).(2.69)

Чтобы записать лоренцево ускорение аь (ха) непосредственно через координаты частиц, надо выразить векторный потенциал Лц в таком же виде до членов соответствующего порядка. В калибровке, при которой qx%o,o — V А = 0, ГММ уравнения принимают вид

VM0 —叩4,оо = 4Л8-1 р — 8-1 Ve (V 4 — А,。)；(2.70)

V2A —叩А,о。= —4лрЛ + (叩)т V(叩)VA — ^т V(x X

X (V X А).(2.71)

Эти уравнения можно решить методом итераций, положив

Ло = 4$" + 4g)； а = А(。)+ А(%(2.72)

где А^/А^ 〜О (g0), и решая их для каждого порядка по М. В результате получаем

4о=—屮+ 十 ео Но Х,оо + 86 吁 ^go ХФ + ~ ^о V%);

A = A(o)+ 0(g°),(2.73)

где

(2.74)(2.74)屮三眩‘工ё/x-Х。1-1; %=一现工分1x 一x/ aa

(2.74)

(2.74)

A(O)=Ho2^Va|X —Xj-1.

Результирующее одночастичное ускорение включается в определение центра масс. Оказывается, в посткулоновском приближении достаточно использовать простое определение центра масс

(2.75)(2.75)X = щ-12 ^oa ха； m = ^mQa.

(2.75)

(2.75)

Затем рассчитаем cPX/d*, используя одночастичные уравнения движения нужного порядка и тот факт, что в начале координат (力=0; X = 0) dX/dt = 0. Окончательное выражение упрощается при использовании теорем вириала, которые связывают зависящие от структуры величины (описывающие внутренние свойства тела) друг с другом с Помощью полных производных по времени, и от других (не зависящих от структуры) внутренних величин. До тех пор, пока мы ограничиваем рассмотрение телами, находящимися в равновесии, эти Производные можно считать исчезающими при усреднении по времени, большом по сравнению с внутренними масштабами времени. Соответственно счезают погрешности, обусловленные нашим выбором Определения центра масс. В посткулоновском приближении требуемое уравнение вариала имеет следующий вид:

(2.76)(2.76)(2.77)(2.77)<^> + -^Т^Но1г^ V»j>- 0,где угловые скобки означают усреднение по времени и

(2.76)

(2.76)

(2.77)

(2.77)

W = ^^tnQ(lVa 必 R"三 £ Е % % 姦 x!1b Г 常；

X。产 Ха—Хь； ГаЬ=\хаЪ\,

3 двойная сумма по а и Ь исключает случай a = Ь. В результате имеемd?¥/山2 =証一g，[7V"2е尸 Г。] (Ees/加)+

+ g/[T(T"2gk (1 —ПН尸 ^](Е^/т + 6иЕ^/^(2.78)

где

g』一春後的^；(2.79)

Го определяется (2.54);

E#eVQ〃>； №三/2%,・(2.80)

51

Первое слагаемое g‘ в (2.78) есть универсальное ускорение нейтрального пробного тела (обусловленное только Zo)» остальные два слагаемых зависят от собственной энергии. Они исчезают для всех тел (соблюдается СПЭ) в случае, если

Г*。= 0 = 1 — То〃5"'% 卩 о(2.81)

для любого события 部,что эквивалентно условию (2.63). Итак, СПЭ гарантирует ЭПЭ, и гипотеза Шиффа оправдывается, по крайней мере в рамках ТЯ8[х-формализма.

Полезно определить гравитационный потенциал U, градиент которого дает ускорение пробных тел g с точностью до постоянного слагаемого

U(x)m — ^T6〃『”QX・(2.82)

Если рассматривать теперь Т, Я, 8,卩 как функции U, а не Ф, то из выражений (2.48), (2.54), (2.58) и (2.82) следует, что

Го =-國(d/dU) In [8 (77")“]|х=о；

Ло = 一面 @dU) In W(77切"2]k=0.(2.83)

Сохранение энергии и тензоры аномальных масс. Поскольку TH吁 формализм основан на принципе действия, он включает законы сохранения, в частности закон сохранения энергии, и, следовательно, к нему применим анализ, описанный в § 2.5. Главным следствием это* го анализа является определение с помощью закона сохранения энергии тензоров аномальной инертной (6加，)и аномальной пассивной гравитационной (б/ng) масс. Эти две величины входят в выражения, описывающие нарушения СПЭ, ЛЛИ и Л ПИ.

Для примера рассмотрим классическую систему двух связанных заряженных частиц [124]. Как и при «доказательстве» гипотезы Шиффа, будем удерживать члены до посткулоновского порядка и до первого порядка по gox. Сначала сформулируем уравнения движения в терминах так называемого укороченного действия

Ing =厶 + /mt,(2.84)

где /mt выражено через координаты частиц подстановкой посткулоновского решения Лц (2.73) в (2.46). Варьируя Ing по координатам частиц, получаем полные уравнения движения частиц. Для лагранжиана L используем следующее определение:

7ng = J Ldt.(2.85)

Далее сделаем замену переменных в L — от х】，х2, vx, v2 перейдем к координатам центра масс и относительным смещениям

X 口(加亦1 + m2x2)/m; № хг — x2; V = dX/由；v = dxJdt, (2.86) где m = m1 + 恤.Из лагранжиана L получим гамильтониан Н

Р』0L]0Vi;川三 OL/M; Н w PM + 时一L. (2.87)

В результате получим

"=7卜2 加(1 + 十方 7Vg° х) + Т，2 Яо1 Р212m 卜

+ 7V2"oW+^ e^/r + fT^Ho1 炉/2卩)X

X ^- 7,0 7V‘ -Hq "万‘)go X -8o 8o"2 (&e2”) go X -一屮"叫(pP)2 +十炉T/ (2卩硝一-То Но Яо2 (G &/r)[户十侖)2]/2m2 I -

- {У 7} 2 H^ (恤—恤)炉 рp/(卢叫 +

+ 十 г0 阿"6 2 (加2-恤)(g後/r) [pp 十(пр)而 p)] /(n〃户)} +

+ O(p^+O{P^t(2.88)

где 卩=1щ/п』tn; n = x/r. Посткулоновские члены О (p4) и О (Р4), которыми мы здесь пренебрегаем, не связаны с внутренним движением и движением центра масс и, следовательно, не приводят к нарушению ЭПЭ. Усредним теперь Н по интервалу, равному нескольким масштабам времени, характерным для внутреннего движения системы двух связанных тел и предполагаемым малыми по сравнению с временами движения центра масс. Это усреднение упрощается при использовании вириальных теорем, полученных из уравнений Гамильтона для внутренних переменных. Соответствующие выражения таковы:

<Ту2нс屮pi/卩 > = < —『[ед%%'，+ Апк>； (2.89)

<Ту2“—訪2尸/卩> =Се-'ед/г)[少 + 侖 Gp)l >•(2.90)

Заметим, что хотя посткулоновские поправки Дпкв (2.89) могут зависеть от координат центра масс Р или X, зависимость эта не влияет на вид Я; движение центра масс возникает только в случае явной зависимости в (2.88) от Р или X. Усредненный гамильтониан запишем в терминах V, используя соотношение W = d V">/dP/. Введенная в § 2.5 функция сохраняющейся энергии Ес =亍卡“一：V">, так что в наиниз- шем порядке Ес = тс^ 三 /и (Т。"-]). В результате получим

虱=財(П "▼) +£【Мб订 一7VI/2 g?I ° 一г。"尸“闯 х

X (EES 6订 + 琉S)] H 勿 + £ [M 一Г” 2 gL Го £ES] x

х北"丁工X，(2.91)

где

М=m + V"一步 2/2n + 7一У2m%G/r>.(2.92)

53

Определив связывающую энергию и ее тензор выражениями

£匿=—% V"】I 炉/2卩 +「г 1 / 2 % I G %"> ==一春屮”宀”^ +A亚；

Е箭=-у「У? Я-18-i Е^(2.93)

и используя (2.82), приведем (2.91) к виду

工= MRd~MRU (X) + 春 Mr Н,(2.94)

где

mr面=加國一ё皆 + -^ 6/n?mн一.6/4 "化(2.95)

6成=2 (1 -К "尸％ 卩 °) (Е 更 6〃 +Е 芻)/%

btn^^E^lc^^l.(2.96)

Подстановка этих формул в выражение (2.35) для ускорения центра масс системы даст (2.78).

Одним из преимуществ использования гамильтонова формализма является его применимость и к квантовым системам [361]. Это особенно удобно при обсуждении экспериментов по гравитационному красному смещению фотонов, поскольку измеряемые фотоны рождаются при переходах между уровнями квантованной энергии. Для описания идеализированного эксперимента (см. § 2.5) достаточно только тензора аномальной пассивной гравитационной массы 6碎. Простейшая интересующая нас квантовая система представляет собой заряженную частицу (электрон), движущуюся в заданном внешнем электромагнитном потенциале другой заряженной частицы (протона), покоящейся в ССС поле, т. е. атом водорода. Для такой системы укороченный лагранжиан (2.85) принимает вид

L = —те (То - 〃")t/2 - е/叫(2.97)

где /и0 s т^ е = +\е\ — абсолютное значение заряда электрона. Мы пренебрегаем пространственными изменениями Т,", е,卩 в масштабах атома, т. е. берем их в точке х = 0. Из L (2.97) получаем гамильтониан

Я = Т^ [ml + 〃」|р + eAEW2 + ело,(2.98)

где pj = dL/duL Вводя матрицу Дирака

5一⑵99) где / — двумерная единичная матрица; Oi — постоянные спиновые матрицы Паули, «извлечем корень» в Я и получим

” =И/2 [m,p + 〃-у2a(р + 弘)]> Мо1.(2.100)

Тогда гравитационно-модифицированное уравнение Дирака (ГМД уравнение) примет вид

Я|(р > = i以&/&/)№>•(2.101)

Для большинства приложений удобнее использовать полуреля- тивистское приближение Я, даваемое преобразованием Фолди—Воуту- зена:

Н = ТуЧте + Н~Цр + ек ^/2те-Н^ р&/8т7 +

+ Н~1 еЙ(гВ/2/Пе] + е4—"夕1 (eh/4ml) с(Е Xр ——^- iftV 义E)+

+ H-^eh2/8ml)NE + O(p^+ H-^eh2/8ml)NE + O(p^(2.102)(2.102)

+ H-^eh2/8ml)NE + O(p^

+ H-^eh2/8ml)NE + O(p^

(2.102)

(2.102)

где сделан обычный переход р -> — i力V и не принимается во внимание влияние пространственных вариаций То, HQ, “，卩。внутри атома. Для заряженной частицы с магнитным моментом Мр, покоящейся в начальный момент в начале координат, ГММ уравнения дают векторный потенциал (с необходимой точностью) в виде

(2.103)(2.104)(2.105)(2.103)(2.104)(2.105)Ло = —е/(80г); А = 1/2阿]^ X х/г3.

(2.103)

(2.104)

(2.105)

(2.103)

(2.104)

(2.105)

Тогда гамильтониан принимает вид

H^Hr + Hs + Hf + Hhf + 0(p^ где

Нт^Т^те\

Hs^T^H^pmme-^e^/r;

Hf = 一м/2 я-2外/8腐-н-^^^ 切(4増 r3)cL;

Hhi^T^[H^(eh!2m^^

L = г X p — момент импульса электрона. Четыре первых слагаемых в Н представляют собой обычные вклады массы покоя Яг, шредин- геровский Я8, тонкой структуры Hf и сверхтонкой структуры Hhf. Дарвиновский (приливный) член (пропорциональный VE) здесь опущен. Магнитное поле протона представим в виде

B = VxA = —-^阿{[Мр —3n(nMp)]/r3 一(8冗/3) Мр 63 (х)}. (2.106)

Прежде всего мы должны определить магнитный момент протона. Из выражения для 方九方 описывающего сверхтонкое расщепление, очевидно, что магнитный момент электрона

Me = Т^Н-\ (-^/2/и>.(2.107)

Разумно предположить, что магнитный момент протона точно так же зависит от TQ и %

Мр = T^H-l (gp eh/2mp)Cp,(2.108)

где gp, Щр — гидромагнитное отношение и масса протона. Тогда

Hhf= —у Но^оH~2(gpe2t^/^mem^ае X

X {[%—而訂捅/к 一(8冗/З)%33(X)}.(2.109；

55

Собственные значения Гамильтониана определяем мётодоМ теорий возмущений

尸=7,2 m + еp (儿 7> I 8?2)2 十为(儿资 1 吩2)2 + “(儿 ?-I 阿 环3)],

(2.110) где £р, ^, % — обычные выражения для основного уровня энергии и уровней тонкой и сверхтонкой структур через атомные константы % те, тр, gp,力 и квантовое числа. Для расчета тензора аномальной массы 6硯 надо определить, каким образом £ меняется при изменении положения атома. Разлагая Е в ряд до членов первого порядка по gX, подставляя потенциал (2.82) и переходя к функции сохраняющейся энергии Ес = Е {Т^21Н^, получаем выражение (2.30), в котором V = 0:

Е£еЕ^ + Е^ + Е似；(2.111)

e督=一8尸為；E^=-H.T^^Sf\ 國f=-阿^3&行(2.112) 6 咸 3)= ар。(£费/用》/；(2.113)

6冠(尸)=死(琏/聲)6%(2.114)

6加2("尸)=(3Fq_Aq)(E似 / 曲)60*(2.115)

[ср. выражения (2.113) и (2.96)].

Из решения задачи на собственные значения получаем важный параметр — боровский радиус атома

а = ^^1Н^ ^lm^).(2.116)

Эта величина важна при анализе гравитационного красного смещения в СВЧ резонаторах.

Ограничения ТНг^-формализма. ТЯе|х-формализм представляет собой сильную ——возможно, слишком сильную идеализацию взаимодействия электромагнетизма и гравитации. Естественно возникает вопрос: можно ли этот формализм использовать в реальной физической ситуации, где не бывает ССС полей и где могут присутствовать сильные и слабые взаимодействия? Рассмотрим оба эти случая отдельно.

ССС-поля. В практической экспериментальной ситуации, например, в находящейся на Земле лаборатории, строго говоря, ССС полей не существует: орбитальное движение и вращение планет вызывает изменение гравитационного потенциала со временем, а суперпозиция полей Солнца и планет делает его асферическим. Однако эти изменения гравитационных полей происходят в масштабах времени много больше внутренних (атомных) масштабов времени типичных лабораторных экспериментов, так что поля могут считаться квазистати- ческими. Более того, в большинстве представляющих интерес экспериментов, используя симметрию, модуляцию и другие методы, можно выделить одно статическое почти сферическое гравитационное поле. (Примером является выделение солнечного поля с помощью регистрации крутильного момента, имеющего период 24 ч, в варианте Дике— Брагинского для эксперимента Этвеша.)

Потенциально более серьезной критикой ССС идеализации является возможность релятивистских, неизотропных эффектов, обусловленных, например, орбитальным движением планет или движением солнечной системы по отношению к покоящейся в среднем системе отсчета Вселенной. Такие эффекты дадут в действии Ing недиагональные члены типа Fv в /0 или G (Е X В) в /еш, где F, G — векторные гравитационные функции. При движении солнечной системы как целого можно видеть, что система отсчета, в которой солнечный потенциал является сферическим, движется относительно системы отсчета, в которой космический фон реликтового излучения является сферическим (изотропным), так что в 77/叩-формализме должны существовать два ограниченных (не общих) вида действия, каждое для своей ситуации. Оба эти предельных случая можно описать единым образом в Т//8|г-формализме, если только рассматриваемая теория лоренц-инва- риантна, т. е. если в ней ТН-1^ = 1. Тем не менее, все эти «недиаго- нальные》эффекты будут слабее доминирующих ССС эффектов в V ~ 10-4 или в з 〜 10~3 раз (V — орбитальные скорости планет; w — скорость солнечной системы).

Суммируя, можно сказать, что при ограничении ССС полями из рассмотрения могут выпасть наблюдаемые эффекты, однако даже в чистом ССС варианте экспериментальные следствия являются достаточно интересными и, мы полагаем, достаточно общими для широкого класса теорий тяготения, чтобы можно было судить о природе тяготения в рамках стандартной Т/7е(1-систематики. Имея это в виду, будем полагать, что почти все эксперименты, обсуждаемые в остальной части этой главы, проводятся в ССС поле.

Слабые и сильные взаимодействия. Связь классических электромагнитных полей с гравитацией хорошо разработана в рамках метрических теорий (см. § 3.2) и сформулирована также во многих неметрических теориях. Напротив, законы слабых и сильных взаимодействий лишь недавно были облечены в адекватную математическую форму даже в отсутствие гравитации; задача их связи с гравитацией еще более усложняется тем, что теории этих взаимодействий основаны на квантовой теории поля. Таким образом, в настоящее время электромагнетизм яляется единственным взаимодействием, допускающим детальный анализ ЭПЭ в рамках систематики типа 7方叩-формализма. Однако и электродинамические нарушения ЭПЭ могут привести ко многим наблюдаемым эффектам, если только они случайно друг друга не скомпенсируют. По этим причинам в дальнейшем мы будем просто игнорировать сильные и слабые взаимодействия или, если необходимо, считать, что они подчиняются ЭПЭ.

Приложение ТН^-формализма к экспериментальным проверкам З〃3. Обратимся теперь к экспериментам, проверяющим ЭПЭ, и рассмотрим ограничения, которые они накладывают на связь электромагнетизма и гравитации в ССС полях тяготения.

Проверки СПЭ. Уравнение (2.78) дает ускорение составного тела в посткулоновском порядке по внешнему ССС полю. Это выражение, однако, недостаточно точно для сравнения предсказанного ускорения с результатами экспериментов Этвеша. Члены, связанные

с нарушением СПЭ, в (2.78) имеют порядок EES/m 〜10-3 для атомных ядер; следовательно, даже нарушающие СПЭ члены порядка (EES/加)2 〜(£ES/加)。2 〜10_6 также могут быть легко зарегистрированы в эксперименте Этвеша, имеющем точность 10-12. Для вычисления этих членов авторы [126] продолжили расчеты Лайтмана и Ли в посткулоновском порядке (можно использовать также метод гамильтониана). Для составного тела сферической в среднем формы (что довольно близко к экспериментальной ситуации) результирующее ускорение запишем в следующем виде:

d2 X/d* = g {1 + (琏‘/AM) [2又一^ (1 -То Я-1 80 闯]+

+(璃S/М叫2А。一告(1 -To "L % 同-

-{E^/Mc^ [A (1—7。HL e0间一(墙/AW X

X [2Г0-告(1-То Hr I 80 间行(1-То H-1 80 но)]}, (2.Н7) где [см. (2.77), (2.80) и (2.93)]

e供=一£ 案/2я-口%%%1 [va也 +

(2.118)(2.118)+ (VaXab)(VbXab)rJb2]V

(2.118)

(2.118)

E飮'=一十7卜2"「的w-^ x

X [Va Vd — (va xab) (vb xab) Га^，•

В дальнейшем из экспериментов Хьюза——Дривера мы получим чрезвычайно низкий верхний предел на коэффициент 1 —勿о"-]%*。, что позволяет нам в уравнении (2.117) считать его просто равным нулю. Тогда для отношений Этвеша, определенных выражением (2.3), находим

产=|2Г0|; t)ms = |2Л0|.产=|2Г0|; t)ms = |2Л0|.(2.119)(2.119)

产=|2Г0|; t)ms = |2Л0|.

产=|2Г0|; t)ms = |2Л0|.

(2.119)

(2.119)

Величины E^s и E^s (2.118) для различных веществ были оценены в § 2.4 [см. (2.8) и (2.9)] и дали экспериментальные пределы для t)es т]^, эквивалентные неравенствам

|Г0| V 2.10-10; |Л0| V 3・10Т(2.120)

Напомним, что если ЭПЭ удовлетворяется, то Го s Ло = 0. 58

Проверки ЛЛИ, Теперь эксперименты Хьюза—Дривера могут быть детально проанализированы с помощь 77/叩-формализма [123]. Выражения (2.95) и (2.96) демонстрируют возможность анизотропии инертной массы 6叫、которая дает вклад в энергию связи

6Ев=—十 6/и夕 у”(2.121)

где У” 一 скорость тела в Т/Уерь-системе координат. Этот член может дать сдвиги энергетических состояний, имеющих различные значения 6加夕，что даст наблюдаемые изменения квантово-механических переходов между соответствующими уровнями. При этом в эксперименте Хьюза——Дривера систему ядер 7Li можно аппроксимировать как состоящую из двух тел ——ядра с J = 0 н зарядом +2 (два протона и четыре нейтрона) и валентного протона в основном состоянии с моментом импульса, равным единице. Спин протона и его момент импульса дают полный момент J = 3/2. При наложении магнитного поля уровни Эквидистантно расщепляются на четыре магнитных подуровня с Mj = ± 1/2 и ±3/2 и возникает синглетная линия излучения для переходов между тремя парами уровней.

Как же изменяет энергии этих четырех состояний? Изотропная часть тензора 6加% пропорциональная Е皆 6", просто одинаково сдвйгает все четыре уровня, поскольку V JMj |^2r-x | JMj> не зависит от Mj. Другие составляющие тензора 6加夕,пропорциональные Е窮， сдвигают уровни не одинаково. Разобьем сначала V^ на компоненты Уц и V丄,параллельную и перпендикулярную приложенному магнитному полю, и получим

(л/ N"3)м у/ = г~^\Уц cos2 6 + 2y丄 ％| cos 6 sin 6sin(p +

+ И sin2 6 sin2 ф],(2.122)

где 0, ф — полярные координаты орбитальной волновой функции ^\mi = / (г) У\mt (6,屮).Объединяя орбитальную волновую функцию Н спиновые состояния в состояния с полными J и Mj, рассчитаем среднее значение (2.122) в состояниях с различными Mj. Подставляя эти результаты в 6£月(2.121) и рассчитывая энергетические сдвиги соседних Mj-состояний, найдем, что синглетная линия расщепится на Триплет с относительными энергиями

/rv (—^—a—^~) = —6'(2.123)

где

6 =当 出皆/第(1 一7。h-1 80 网)(/ -2/).(2.124)

15

В обозначениях соотношения (2.13) §2.4 имеем

/s=母(1一7；"”"闯(d_2%2|).(2.125)

Предел, полученный экспериментально, дает |6^5| < 10-2^. Ёсли считать, что лаборатория движется в ССС поле Солнца, то Уц ~ V丄〜 ~ 10~4 и оценка для Земли дает

|1 一7。"” ％ 阿 I㊉=11 —(“/"в/1㊉ V ЮУ(2.126)

Мы можем также считать, что эта лаборатория движется в квазиста- тическом сферически симметричном фоновом поле Вселенной со скоростью У у 〜丫丄 〜10-3, что для доли Т£е(х-полей в асимптотической космологической модели (обозначаемой индексом оо) имеем |1 — 78〃一±£8卩8丨 V 10-15. Хотя и могут существовать эффекты, обусловленные возможным несоединением этих двух полей в единое ТЯе(х-поле, маловероятно, что они компенсируют выведенные выше эффекты и изменят полученные пределы.

Итак, основной вывод состоит в том, что хотя бы с точностью до 10-13 ЛЛИ справедлива.

Проверка ЛПИ, Рассмотрим эксперименты по гравитационному красному смещению частоты, например, фотонов, излучаемых при различных переходах в атоме водорода, таких как обычные (главные) переходы, переходы между подуровнями тонкой структуры обычных уровней или переходы между подуровнями сверхтонкой структуры, например, основного состояния (линия 21 см, на которой работают водородно-мазерные часы). Тогда, подставляя (2.113)—(2.115) в (2.37), получаем [361]

Zp = [l_2F°)AU/*;(2.127)

丐=[1 _ 4Г0] Д(//с2;(2.128)

勾=11.- (ЗГ0 - Ло)] AU/*・(2.129)

Заметим, что эти три сдвига в общем случае не одинаковы, так что гравитационное красное смещение зависит от природы часов, сдвиг частоты которых измеряется, если только Го и Ло тождественно не равны нулю, т. е. если не имеет места ЛПИ [см. (2.59)]. Следовательно, параметры красного смещения а, о которых шла речь в § 2.4, можно получить из (2.127)—(2.129). Измерение красного смещения на ракете [330, 331] дает следующий предел: |ЗГ0 — Ло| V 2-10~4. Чтобы проанализировать стенфордский нулевой эксперимент по красному смещению, надо рассчитать энергию в СВЧ резонаторе. Эта энергия есть энергия электромагнитной моды, длина волны которой определяется длиной резонатора. Векторный потенциал моды можно записать в терминах вторичного квантования

А = N (@+е exp [i (kx — со/)] + эрмит. сопр.), (2.130)

где а+ — оператор рождения; е ——вектор поляризации; N — нормировочная константа (суммирование по к и е здесь опущено). ГММ уравнения дают дисперсионное соотношение

(2.131)(2.131)|ку—%卩心2 = 0,

(2.131)

(2.131)

а канонический гамильтониан Дает энергию эЛектромагнитного поля

Е = (а а+ +@+ а) Йео.(2.132)

Однако в стационарном случае волновое число k должно удовлетворять соотношению

kL = пл,(2.133)

где |L| — длина резонатора; п — целое число. Очевидно, что |L| должно быть пропорционально целому числу (числу атомов вдоль длины резонатора) боровских радиусов а (которые определяют межатомные расстояния). Из выражения для боровского радиуса (2.116) получаем, что с точностью до множителя, состоящего из атомных констант и целых чисел, L пропорционально 瓦图阳％ и> следовательно, k пропорционально "о/Гу?^。 Объединяя (2.131) и (2.132), окончатель

но получаем

E^^HQT^^f4^/\(2.134)

где бгсир зависит только от атомных констант и целых чисел. Разлагая в ряд по ggX и вычисляя сохраняющуюся энергетическую функцию 线，получаем (2.30), в котором

Е^ 叩=_<чшр2(г"2 £?з/2；(2.135)

6叫=у(ЗГо + Ло)(Е^пР/с8)6О\(2.136)

Таким образом, для ГСПР

入叩=卩-у-(ЗГ0 + Л0)]Д£//с8(2.137)

или относительно водородно-мазерных часов

VH/%11P=4卩+^■偽—Ao)U/c"・(2.138)

В результате получаем экспериментальный предел |Г0 — Ло| < 10~2.

Неметрическая теория Белинфанте—Суихарта. В качестве примера применения ТЯе(х-формализма к анализу гравитационных теорий и экспериментов рассмотрим теорию Белинфанте—Суихарта [23—25]. Эта теория рассматривает гравитацию как симметричное второго ранга тензорное поле В на римановски-плоской абсолютной метрике Ч (предпочтительной геометрии). Сначала определим метрику частиц g“v как

g*(l-KB)2A沁в； А£(哈一/ 综卜％ (2.139)

где К— произвольная поСтояйная； индексы у В^ и Ацу поднимаются и опускаются с помощью 刀现俨 В системе координат, в которой ц = diag (—1, 1, 1, 1), негравитационное действие можно представить в виде [155]

/ng= —£扣。/(-^v^-嘗厂2必+ £e J4乜硝dd— aa

-(16 门)T J ^^ 尸з н^-^ 卜"В (1 -£ В) +

+ 2叫"戸％）（7）"2也,+ 2叫"戸％）（7）"2也,(2.140)(2.140)

+ 2叫"戸％）（7）"2也,

+ 2叫"戸％）（7）"2也,

(2.140)

(2.140)

где Н^ связано с максвелловским полем F^ = Л VJA——Лц^ во втором порядке по В выражением'

%v=f2(1 +-- 8 + 十82)+ 2尸風|4典(1 + В)-

-2尸皿%股一 2 %舟% +。(尸加)，(2141)

Оказывается, что в порядке до первого по В электромагнитную часть действия можно представить в метрической форме (обсуждение этой формы см. в §3.2), однако это невозможно во втором порядке и выше. Части Ing, соответствующие частицам и взаимодействиям, уже выражены в метрической форме. Действие, соответствующее гравитационному полю 5gv, есть

厶=一^叫-叮д竺型爲+旭田⑶叭一叫^^/叮，(2.142)

где ан/ — произвольные постоянные.

В слабом поле, в постньютоновском пределе, пригодном для экспериментов в солнечной системе (см. гл. 5), теория Белинфанте— Суихарта может быть согласована со всеми выполненными к настоящему времени экспериментами. Таким образом, эта теория представлялась вполне конкурентоспособной ОТО. Однако вследствие отклонения от метрической формы при описании электромагнетизма она противоречит ЭПЭ. Мы, следовательно, должны ожидать и нарушения СПЭ, хотя только во втором порядке по В^. Чтобы показать, что это действительно так, вычислим сначала В^ в ССС поле, а затем переведем Ing в ТЯ8[х-форму. Решение уравнений гравитационного поля (см. § 5.5) имеет вид

(2.143)(2.139) и(2.143)(2.139) иВ。。曰瓦；Вij s==瓦Mj,

(2.143)

(2.139) и

(2.143)

(2.139) и

где Ьо,匕]—функции потенциала тяготения U. Тогда из (2.143) получим с точностью до членов О (Ь2)

goo = — (1 一瓦一2K匕 + 今 М 屮 2Kb瓦 + О2); '

现尸 6订(1+ 瓦一2Kb + ^ bf - 2Kb瓦 + к2用，

где b = —Ьо + 3bl. Для простоты предположим, что вдали от источников тяготения Ьо и Ь* исчезают (обсуждение см. в § 5.5). Подстановка (2.141) и (2.144) в (2.140) дает Ing в ТЯе(х-форме с точностью до членов порядка О (б?)

Т=1-&0—2К& + —&о + 2Kb 瓦 + 个們4

"=1 + % 一 2Kb + 丄分一2Kb 瓦 + К2b2；(2.145)

4I

В пределе слабого ССС поля решения для 瓦 и Ьх принимают вид (см. §5.5)

瓦= 2C°U; Ь，= 2clU.(2.146)

Здесь U — ньютоновский потенциал тяготения; СОд — произвольные постоянные. Тогда

7 = 1 —2U + 2U2 (春 + 用 + О (U)；

(2.147)(2.147)"=1 + 2U (С。+ G— 1) + S [(& + С。) (ЗС] + Со)--4^-2^^1]+0(^);

(2.147)

(2.147)

е = 1 + U (С。+ &) + S (Со + &)2 + О (В);

2=1+и(Со + &) + О(из),

где значения Со, & н К выбраны так, чтобы Со + 2K (3& — Со) = 1 и чтобы параметр Т можно было представить в виде Т = 1 ——2U + ... Это гарантирует нам, что лагранжиан частиц обеспечит правильный ньютоновский предел. Заметим, что в порядке до первого по U эти функции удовлетворяют условию ЭПЭ (2.63), однако во втором порядке, вообще говоря, это не так. При проверках постньютоновских эффектов в солнечной системе, когда последствиями электромагнитного нарушения ЭПЭ можно пренебречь, коэффициенты 1/2 + Со и Со + + Ci — 1 в Т н 〃 есть просто ППН параметры Р и у (см. гл. 4). Измерения отклонения света, запаздывания радиолокационных сигналов и смещения перигелия Меркурия в солнечной системе (см. гл. 7) дают такие ограничения на эти параметры: |2С0 + 4Сг — 7| < 0,1 и |С0 + Сг — 2| < 0,002. Тогда равенства (2.83) и (2.147) дают Го = =-2С0 (Со + C^U + O (U) и Ло = 2Сг (Со + С^ U + О 仍. Используя приведенные выше ограничения Сод и значения солнечного потенциала U = U® = 10~8, который существен для проведенных в Принстоне и Москве экспериментов Этвеша, получаем |Г0| > 1,7 X X 10-8, что превышает экспериментально полученный предел (2.120) в 85 раз. Отсюда следует, что теория Белинфанте—Суихарта неспра* ведлнва,

ГЛАВА 3

ГРАВИТАЦИЯ КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЯВЛЕНИЕ

Подавляющее число эмпирических свидетельств в пользу ЭПЭ, рассмотренных в предыдущей главе, убедили многих теоретиков, что только метрические теории тяготения могут быть совершенно корректны. Даже наиболее тщательно сформулированная неметрическая теория — теория Белинфанте—Суихарта — находится в противоречии с результатами московских экспериментов Этвеша. В дальнейшем мы будем иметь дело исключительно с метрическими теориями гравитации.

В § 3.1 рассмотрена концепция универсальности связей (взаимодействий), впервые введенная в § 2.5. С помощью этой концепции и ЭПЭ в § 3.2 получены математические уравнения, описывающие поведение материи и негравитационных полей в пространстве-времени. Такие уравнения существуют в каждой метрической теории гравитации.

Метрические теории гравитации отличаются друг от друга числом и типом добавочных гравитационных полей и уравнениями этих полей, определяющими их' (полей) структуру и эволюцию; тем не менее, единственное поле, которое взаимодействует непосредственно с материей, есть собственно метрика. В § 3.3 обсуждаются общие свойства метрических теорий гравитации и введен еще один принцип — сильный принцип эквивалентности (ССПЭ)——весьма полезный при классификации теорий и анализе экспериментов.

УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

ЭПЭ требует, чтобы все негравитационные поля или частицы взаимодействовали с одним и тем же симметричным тензорным полем второго ранга с сигнатурой +2. В § 2.3 это поле обозначено g и показано, что оно является центральным элементом постулатов метрических теорий тяготения (см. с. 26): существует метрика «; пробные тела движутся по геодезическим метрики g; в локальных лоренцевых системах отсчета негравитационные законы физики имеют спец- релятивистскую форму.

Тот факт, что все негравитационные поля должны быть одинаковым образом связаны с одним гравитационным полем, иногда называют универсальностью связей (см. § 2.5). По этой причине метрику g можно рассматривать как свойство скорее самого пространства-времени, нежели некоего поля в пространстве- времени. Это происходит потому, что свойства метрики g можно измерить и изучить с помощью различных экспериментальных устройств, состоящих из различных негравитационных частиц и полей, и вследствие универсальности связей результаты экспериментов не будут зависеть от самих устройств.

В качестве простого примера рассмотрим собственное время между двумя событиями, измеренное двумя различными часами. Для определенности представим себе водородно-мазерные часы и ГСПР-часы, покоящиеся в ССС гравитационном поле. Если каждые часы описываются гамильтонианом ", то собственное время (число периодов) между двумя событиями, разделенными координатным временем df, N = vdt = h^Edt, где Е — собственная энергия гамильтониана (или разность энергий ——для перехода). В § 2 6 показано, что если, например, сюда придожйм ТЯер,-формализм и выполняется ЭПЭ, то е0 = =阿=(HjTj1* повсюду, и тогда, используя выражения (2.110) и (2.134), для обоих часов имеем NH ~ 山(HqT^2^q3) = T^2dt;力rcnp ~ dt (Hq X X 7r1/2卩丁1/2&丁3/2)= 7,2山，где константы пропорциональности определяются синхронизацией обоих часов по стандартным часам, находящимся вдали от гравитирующей материи. Итак, и те и другие часы измеряют одну величину 7。 (для метрических теорий тяготения в ССС полях 7。= —^Оо) и собственное время между событиями есть характеристика пространства-времени и расположения событий в нем, но не часов, регистрирующих эти события.

Соответственно, если ЭПЭ справедлив, негравитационные законы физики можно сформулировать, взяв их в спец-релятивистской форме в терминах ме- 64

трики Минковского т] и просто переведя в новую форму .в терминах метрики искривленного пространства-времени g, используя методы дифференциальной геометрии. Детали этого перевода рассмотрим в следующем разделе.

НЕГРАВИТАЦИОННАЯ ФИЗИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

В локальных лоренцевых системах отсчета негравитационные законы физики описываются СТО. Для точечных заряженных пробных частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем, например, эти законы можно вывести из действия

ING = 一 Е 加0aING = 一 Е 加0aQGFT di 丿山+QGFT di 丿山+

ING = 一 Е 加0a

ING = 一 Е 加0a

QGFT di 丿山+

QGFT di 丿山+

+ 2%)”mА_a6几)T J d a т1” В 尸公3匕令(一G)""g

°(3.1)

гдегде尸人三4一4；不三det人II ；(3.2)

где

где

u V V , Ц Ц » Vц V

Т)人^ — метрика Минковского, в декартовых координатах имеющая видт)^^« ц Vц V

=diag (——1, 1, 1, 1). Предполагается, что в локальной лоренцевой системе отсчета п^с имеет такой вид только с точностью до поправок порядка

[ха —х° (芋)「， где %Q (芋)一координаты выбранного начального события в локальной системе отсчета; более точно

"(6) = diag(-l, 1, 1, 1)； TJ⑺=0. ц VК ”，а

В соответствии с § 3.1 в общем виде эти законы получаются простым преобразованием координат от свободно падающей к выбранной системе отсчета. Это преобразование описывается выражением

Л (产)•(3.4)

Тогда векторы и тензоры, входящие в Ing、преобразуются следующим образом：

力 ^ = (о产/0% U ) Л ;= (дх°7дх “ )(дх^/дх ” ) rj а；

с(3.5)

dJ =(0%“ / дла) dxa] d«T=J(xa ,炉)办%,

где J — якобиан преобразования. Частные производные полей, например входящие в выражение для 尸^人(3.2), преобразуются так：

ц V

3 Зак. 6643 Зак. 664咚 纟上 / + -"• 4a.(3.6)

3 Зак. 664

3 Зак. 664

0Х“ дх、dx” d%“

65

Однако в локальной

системе отсчета “^人人=0, т. е.

Ц V, ®

0产0点加V」 讲产

0d

дх» дх、汝❿汲以^❿

dxv

1讲$0产

(3.7)

0戸汝❿dx^

Используя тот факт,

что

В产/оЗ)(0余/0产) = 6§,

(3.8)

получаем

дх^

д$ *6£ £

。”频。» 11P^一 。J 。炉汝

%6・(3.9)

Если теперь определить

^ap = "оф；

(ЗЛО)

J?06^ = II®=

。产

咤产

(3.11)

u — И sap—

дх^

dF

rgv=■

d余.

(3.12)

дх9

дx» 0尸

то (3.9) можно переписать в виде

^aP.V=唸^8即+ 喘 yg<x6・(3.13)

Используя выражения (3.11)—(3.13), получаем, что символы Кристоффеля

Г&У (коэффициенты связности) примут вид

嗚=耳 ^ (^63,v + ^6v,3—gyB,6),(3.14)

a (3.6) примет вид

Введем теперь ковариантную производную, обозначаемую точкой с запятой в индексе, тождеством

Ла;р = Ах, В—% %,(3.16)

заметив, что она преобразуется, как тензор; можно показать, что

绕=/+鳴 М，(3・17)

где 力<* 三 g<*B力р. Если взять теперь определитель системы уравнений (3.5), то получим

Т) =[det(0%a/dx")] g,Т) =[det(0%a/dx")] g,(3.18)(3.18)

Т) =[det(0%a/dx")] g,

Т) =[det(0%a/dx")] g,

(3.18)

(3.18)

где g 三 det 母丫，гак что

(3.19)(3.19)J(J , xa) = (~g)1/2/(~T])1/2-

(3.19)

(3.19)

Подстановка этих результатов в ING (3.1) дает

/ng = 一£恤J(-g2若穿厂2必十三% J Лц d./- a- a

一(16 冗)т J g“a g”3 尸丛尸aR( _g)1 / 2 44 %,(3.20)

где

尸 цу = 4;ц—'u；v・(3.21)

Видно, что переход к произвольной системе отсчета выразился просто в замене 叮2 на ^|av» запятой в индексе на точку с запятой и (―"产抬 d5 на (―纟户切气. Это есть математическое проявление ЭПЭ. Следует отметить, что специфические математические выражения, приведенные выше для символов Кристоффеля, законов преобразования и т. п., справедливы только в координатном базисе (дальнейшее обсуждение см. в гл. 10 [185]). Однако здесь мы и будем работать исключительно в координатном базисе.

Итак, процедура математического введения ЭПЭ в теорию состоит в следующем: необходимо перевести локальные законы СТО в не зависящую от системы отсчета форму с помощью лоренц-инвариантных скаляров, векторов, тензоров и т. д., а затем сделать приведенные выше замены.

Легко показать, что те же самые правила приложимы к уравнениям поля и уравнениям движения, выводимым из лагранжиана. В локальной системе отсчета они имеют вид

加о a/dt = % 尸〃 J ；(3.22)

ц ац v

尸蒙 =4Лj仑，(3.23)

где7

/d 个\1/2 с 人

dn = [ —T)dx^.dx^ I ; u^ =йх^ Id%\

С = X% &(£-& d^/d2(3.24)

Эта форма, однако, неинвариантна относительно системы отсчета. Запишем du^/dx^u v и^ ^; J “ =工 ％ J (—金""О? У (产 _%： ) &球 /dr) dt,

°(3.25)

где использована инвариантность четырехмерной 6-функции (—刀尸戶帛(поскольку J 64d4% = 1 или 0 вне зависимости от системы отсчета). Тогда в общей системе отсчета (3.22) и (3.23) примут вид соответственно

/Иоа Du^a/Dx — еа £^и^ ;(3.26)

时=4冗此(3.27)

где*

dr = (—^vdx^dxv)1 /2； и世= dx^7dt;卩“解”三〃”〃阳旷；(3.28) H = X % (_g)~ "2 学(x—Xa) dx^/dt.

a

Однако если уравнения Максвелла (3.27) записать через векторный потенциал, то при введении ЭПЭ в электродинамику может возникнуть неоднозначность. В локальной лоренцевой системе отсчета уравнения Максвелла записываются согласно СТО

吋；—*'，]=—4лМ.(3.29)

Всегда можно выбрать масштаб калибровки (лоренцева калибровка), в котором 4% = 0, и, поскольку 力"％ =力\v'“，получим

□Чл»А = /»*^^ = - 4Л/»А .(3.30)

Можно применить к этому уравнению ЭПЭ и получить

OgA^ =力阳 % = ^Л^=~4я^;力；；=0・(3.31)

Существует, однако, другая альтернатива. Уравнение Максвелла в искривленном пространстве-времени (3.27) дает

”、一*；% = 一4“匕(3.32)

Но ковариантные производные векторов и тензоров в искривленном пространстве времени не коммутирую т, так что в общем случае

4!Ьа=4%в+К%В 父，(3.33)

где

R%B=rha-F%, б+%а 门日一畤0 時а(3・34)

—римановский тензор кривизны. Тогда

4吗Lг；产+嚟心,(3.35)

где тензор Риччи

稣三 gNRvB； &в 三 R%0・(3.36)

В этом случае уравнения Максвелла в лоренцевой калибровке имеют вид

□g?P—Rg4B=—4л J»*;力\=0・(3.37)

Обычно считается, что второй вариант является правильным (хотя экспериментальных свидетельств в пользу одного из вариантов нет). Для устранения этой неоднозначности применяется следующее эмпирическое правило: простая замена (т) f g, запятая f точка с запятой) должна использоваться при отсутствии в уравнениях членов, связанных кривизной и описывающих физически измеряемые величины (尸и” физически измеряемо, /“ 一 нет); связь с кривизной должна существовать только при серьезной физической необходимости (как, например, в случае приливных эффектов) (подробно см. [184], § 16.1).

Незаряженное пробное тело движется по траектории, описываемой (3.26) с е = 0, т. е. уравнением Du^/Dx = 0. С использованием (3.17) и (3.28) это уравнение можно переписать в виде

仆x»Vdd+Г^р (dM/dt) (dJ/dt) = 0・(3.38)

Это уравнение геодезических.

Математическое описание измерений, осуществл я емы х атомными часами и жесткими измерительными стержнями, подчиняется тем же правилам, поскольку структура такого измерительного устройства определяется негравитационными законами физики. В СТО собственное время между двумя событиями, разделенными бесконечно малым интервалом d%。, измеренное атомными часами, движущимися по траектории, соединяющей эти события, определяется выражением dn^^^dx^ dx”) 1 / 2,(3.39)

если интервал является временноподобным, т. е. xi^dx^dx^ V 0. Собственное расстояние между двумя событиями, измеренное жестким стержнем, соединяющим их, определяется выражением

ds = (т)цуdx1*dxv)1 /2 ,(3.40)

если интервал является пространственноподобным, т. е. x^kvd^dx^ > 0. Эти результаты не зависят от использованной системы координат. В искривленном пространстве-времени мы имеем

dt = ( —gg dx^ dx) 1 /2； ds=(gg dx^ ")】/2(3.41)

c g^dx^dx^ < 0 в случае временноподобных и g^^dx^ > 0 в случае пространственноподобных интервалов.

Имеется третий класс интервалов между событиями — таких, для которых

TjgdxUd%』.(3.42)

Эти интервалы называются нулевыми или светоподобными, и пара событий, удовлетворяющих этому условию, может быть связана световым лучом. Согласно принципам СТО свет распространяется по прямым, нулевым траекториям, т. е. удовлетворяющим соотношениям

d 紋/d(r=O;册公'r|g=0，(3.43)

где б" = d^ldc ——вектор, касательный к траектории светового луча; о — параметр точки вдоль траектории. Не следует, однако, забывать, что это, по существу, является следствием уравнений Максвелла, справедливым только в геометрооптическом пределе, когда характерные длины волн 九 # 1/加 малы по сравнению с масштабом 宓,на котором изменяются амплитуды волн (например, X может быть радиусом кривизны волнового фронта). Поскольку первое уравнение (3.43) в плоском пространстве-времени можно записать в виде

d 册/do = (d%v/do)也% =炉优旷=0,(3.44)

ЭПЭ приводит к уравнениям

A;v^ = 0;册炉 gg=0,(3.45)

т. е. траектории световых лучей в пределе геометрической оптики являются нулевыми геодезическими.

Чтобы продемонстрировать роль и границы применимости приближения геометрической оптики, полезно вывести этот результат непосредственно из уравнений Максвелла для искривленного пространства-времени. В нем геометрооптическое приближение требует, чтобы длина волны % была мала по сравнению как с %, так и с ^-масштабом изменения геометрии фонового пространства, связанного с римановским тензором кривизны, т. е. чтобы

X/min何，现｝三九/厶《1.(3.46)

В этом приближении электромагнитный вектор-потенциал можно определить через быстро меняющуюся действительную фазу и медленно меняющуюся комплек* сную амплитуду в виде (подробно см. [185]

狐=(%+叫+・・・)产/8，(3.47)

гДе 0 — действительная фаза; %, % …一комплексные амплитуды; е — формальный параметр, определяющий разложение в ряд по степеням X/L. Окончательно в физических расчетах учитывается только действительная часть А^, Определив волновой вектор равенствами

匕=8,而 ^=g2 忆，(3.48)

69

получИМ уравнения МаксвеЛЛа в Лореицевой калибровке (3.37) в виде

0 = /=[(i/e)h(不+炉)+ 匕 +。(e)] ei0/e；

0= dg肥一/川=[-a-5!电或M+e严)+ 2 (i/e)或吸+

+ (i/e) ^a»*+O(eo)]ei0/e •(3.49)

Приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени е, получаем для главных членов в каждом уравнении

紋％=0；(3.50)

册施=0.(3.51)

Другими словами, амплитуда ортогональна волновому вектору, а волновой век* тор является нулевым, т. е. светоподобным. Взяв градиент от (3.51) и учитывая, что 々阳 v = 九；1A (поскольку вектор 声卩 сам является градиентом), получим уравнение

也%卢=0,(3.b2)

которое есть уравнение геодезических для 卢.Можно показать, что траектории лучей / (а) связаны с 6“ дифференциальным уравнением

dx^ (a)/da = ^(xv),(3.53)

где о ——аффинный параметр вдоль луча. Члены высшего порядка в (3.49) рассмотрены в [185].

Другим важным и полезным способом получения уравнений движения ма> терии и негравитационных полей является вывод их из ковариантного принципа действия. Этот способ всегда будет существенным по следующей причине: в рам* ках СТО все современные корректные теории негравитационных полей и их вза・ имодействий используют в качестве отправной точки принцип действия, получая в результате действие，ng・ Использование ЭПЭ не изменяет того факта, что уравнения движения можно вывести из действия. Соответственно в искривлен* ном пространстве-времени мы имеем действие в общем виде

Ing = \ %NG”x; SSng = ^ngWa, Яа^. gg, ^v.p),(3.54)

где 口厶 и g41A — рассматриваемые негравитационные поля и их первые частные производные (например, u^t 41V 4% v ...); g^ и 且呷 ^ — метрика и ее первая производная (переход ко второй и высшим производным очевиден). Принцип действия 6/ng = 0 является ковариантным, следовательно, при преобразовании координат величина 必ng не должна менять свой функциональный вид с точностью до дивергенции (обсуждение см. в [319]).

Рассмотрим бесконечно малое преобразование координат

.№->%“+ 6尸;.6%к 三評・(3.55)

При этом метрика должна измениться [ср. с (3.5)] следующим образом:

6g|iv= —Е%、'—％,ц+2Г《Ма= —^ца^%—^va^?ц—且呷/窃•(3.56)

Предположим, что переменные, описывающие материю и негравитационные поля, меняются в соответствии с выражением

^^d^\-qA^ t(3.57)

где 卄v является функцией ха. В этом преобразовании ZNG заменяется на

V / °毋NG a0%NG а \ 丨昵NG сd^NG 火_

(3.58)

Подставляя в (3.58) равенства (3.56) и (3.57), интегрируя полученное выражение по частям, опуская расходящиеся члены и требуя, чтобы 纟#g оставалось неизменным для произвольной функции Е°, получаем тождества Бианки

уГ°例ng 丄(册 ^ng\ 1 ,

(3.59) для любой(3.60)(3,61)(3.62)(3.59) для любой(3.60)(3,61)(3.62)+ 4"gwa(_gW2TN_%a(-g)“2T 叫，产 °， где 6^ng®А — вариационная производная XNG, определяемая переменной 屮 выражением

(3.59) для любой

(3.60)

(3,61)

(3.62)

(3.59) для любой

(3.60)

(3,61)

(3.62)

6宅 NG _ ^NGд / ^NG \

^= ^Фдх^ \坤小丿，

”"三 2(_g严2 6£ng/6g炉 есть тензор энергии-импульса. Используя тот факт, что

(一配42 =(-"/2嗚， можно переписать (3.59) в виде

Л)-"?" ~^+(啖崙")J •(3 63) Однако уравнения негравитационных поЛей и уравнения движения получаются приравниванием нулю вариационной производной от £〃@ 110 каждой переменной 9/, связанной с полем, т. е.

^ng/^a^^(3.64)

что с учетом (3.63) эквивалентно

%v = 0・(3.65)

Итак, следствием негравитационных уравнений движения является исчезновение дивергенции тензора энергии-импульса ”". Этот результат можно также получить другим способом: сначала находим уравнение 7；, v = 0 из ZNq в плоском пространстве-времени описанным выше способом, а затем, используя ЭПЭ, получаем (3.65). Заметим, что (3.65) является чисто следствием универсальности взаимодействий (ЭПЭ) и инвариантности негравитационного действия и справедливо вне зависимости от уравнений негравитационных полей.

Тензор энергии-импульса 7“” для заряженных частиц и электромагнитных полей можно получить из действия ING. Для этого сначала перепишем (3.20) в виде

Ing = —Е 加оа J (—guv *^~ "^г)扱［产一甫⑼ dtd4%+

+ 2 " j "u巣"卜a一増(叨dtm%一

一(16几)-1 J g^a gVB F^ Fap (_g>/2 d4#.(3.66)

Поскольку в /д/G входят только g^y (но не их производные), получаем

i = 2 (—g)-"2 dZNG/dg^ = 2moa^wv(«0)-1(__g)-1/2 6"x—Xa(t)] + a

+ (4几)7 卜叫严a—^gN 尸ф%0 ,(3.67)

где мы использовали тот факт, что

0(—g)"2/0gg = У (-g)"2g叽(3.68)

Почти везде в этой книге мы в качестве модели материи используем идеальную жидкость. Эта модель характеризуется усреднением свойств материи по масштабам, которые велики по сравнению с атомными масштабами, но малы по сравнению с масштабами, на которых изменяются объемные свойства жидкости. Тогда можно говорить о плотности, давлении и скорости элемента жидкости в любой точке внутри жидкости. Идеальная жидкость имеет пренебрежимо малые вязкость, теплопроводность и напряжение сдвига. Можно показать, что тензор энергии>импульса выбранного элемента идеальной жидкости в локальной ло> ренцевой системе отсчета, мгновенно движущейся вместе с этим элементом, име> ет вид

= diag [р (1 + П), р,р, р],(3.69)

где р — плотность массы-энергии покоя атомов этого элемента жидкости; П — удельная плотность внутренней кинетической и тепловой энергии элемента жидкости； р — изотропное давление. Тензор энергии-импульса можно записать также в ковариантной форме

i=p(l + H)〃3+p(〃3+伊，(3.70)

где 〃“ = d^dx ——4-скорость элемента жидкости (равная 6{f в сопутствующей системе отсчета). Тогда в искривленном пространстве-времени

T»*v=(р+рП+р) ^uv + p^v.(3.71)

Это выражение можно также получить из (3.67) с использованием соответствующих методов релятивистской кинетической теории [93].

(3.72)(3.73)(3.74)(3.75)(3.72)(3.73)(3.74)(3.75)Для построения полной метрической теории тяготения теперь необходимо определить уравнения поля для метрики и для других теоретически возможных гравитационных полей. Имеются две альтернативы. Первая состоит в предположении, что эти уравнения, как и негравитационные уравнения, можно вывести из инвариантного действия /0> которое будет тогда функцией гравитационных пол eft 屮4 (которые могут включать g^J:

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

^g~^g(Фд> Фл,mJ-

Пол ное действие в этом случае примет вид

^~^G (фд» 屮4,u) +‘NG(04, 0/，U，^|4V, &IV,B)・

Варьирование по фл дает уравнения гравитационного поля

6 宅g + 0g»、6 宅 ng°

694呢46g炉一

или с использованием (3.61)

^g/^a = 一£(-g尸"m砲2/即力•

Такие основанные на невозмущенном лагранжиане теории называются лагранжевыми ковариантными метрическими теориями тяготения. Многие важные общие свойства таких теорий описаны в [156].

Другая альтернатива состоит в том, чтобы задать ураййеййй поля тйгбТё* ния, которые не выводятся из действия. Такие теории называются нелагранжевыми. Хотя таких теорий было создано немало, они не имели больших успехов при сравнении с экспериментом. Все метрические теории, которые будут описа* ны в гл. 5 и которые согласуются с результатами экспериментов в солнечной системе, являются лагранжевыми.

ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ И ССПЭ

В любой метрической теории гравитации материя и негравитационные поля взаимодействуют только с метрикой пространства-времени g. Однако могут существовать другие гравитационные поля помимо определяемых метрикой, такие как скалярные, векторные и т. д. Если материя не взаимодействует с этими полями, какова может быть их роль в теории тяготения? Очевидно, они должны служить посредниками, с помощью которых материя и негравитационные поля создают поле тяготения и метрику. Однако, однажды определенная, метрика уже сама взаимодействует с материей согласно ЭПЭ.

Следовательно, одна метрическая теория отличается от другой числом и типом гравитационных полей, содержащихся в ней кроме метрики, и уравнениями, определяющими структуру и эволюцию этих полей. С этой точки зрения все метрические теории тяготения можно разделить на два основных класса: чисто динамические и априорно-геометрические (обладающие предпочтительной геометрией). Это деление не зависит от того, является ли теория лагранжевой или нет.

Под чисто динамической метрической теорией мы понимаем любую метрическую теорию, в которой поля тяготения и их структура определяются связанными дифференциальными уравнениями в частных производных. Другими словами, на поведение каждого поля до некоторой степени влияет связь по крайней мере с одним из других полей теории. Под априорно-геометрической теорией мы понимаем любую метрическую теорию, содержащую абсолютные элементы — поля или уравнения, структура и эволюция которых задаются априори и не за* висят от структуры и эволюции других полей теории. Эти абсолютные элементы могут включать плоскую абсолютную (фоновую) метрику т), космическое время Т, алгебраические соотношения между динамическими полями, например ^v = А^ + к@» где 九ку и к» могут быть динамическими полями. Заметим, что поле может быть абсолютным, даже если оно определяется дифференциаль* ными уравнениями в частных производных, если только в эти уравнения не входят какие-либо динамические поля. Примерами являются плоская фоновая метрика, задаваемая уравнением поля

Riem (rj) = 0, (3.76) или космическое время, задаваемое уравнениями поля V^VyT = О, VTVT = —1, где градиент и скалярное произведение берутся в нединамической фоновой ме> трике, такой как Т).

ОТО является чисто динамической теорией, поскольку содержит только одно поле тяготения ——саму метрику, структура и эволюция которой описываются дифференциальными уравнениями в частных производных (уравнения Эйнштейна). Теория Бранса—Дике также является чисто динамической: в ее уравнение поля для метрики входит скалярное поле (а также материя в качестве источника), а в уравнение скалярного поля входит метрика. Биметрическая теория Розена является априорно-геометрической: она содержит плоскую фоновую метрику типа (3.76) и в уравнения поля физической метрики g входит q. В гл. 5 эти и другие теории рассмотрены более подробно.

Рассматривая метрические теории гравитации с такой широкой (принадлежащей Дике) точки зрения, можно сделать некоторые общие заключения относительно природы тяготения в различных метрических теориях, заключения, весьма похожие на ЭПЭ, которым теперь будет дано другое название — ССПЭ.

“ Рассмотрим локальную свободно падающую систему отсчета в произвольной теории гравитации, достаточно малую для того, чтобы неоднородностями внешних полей тяготения по всему ее объему можно было пренебречь. Однако

она должна быть дбст^тбчко большой, чтобы включать грайИтЯрующую Мате・ рию и связанные с ней поля тяготения. Это может быть звезда, черная дыра, солнечная система или установка для проведения опыта Кавендиша. Назовем эту систему отсчета квазилокальной лоренцевой. Для определения поведения материи необходимо рассчитать метрику, причем расчет проходит в два этапа.

Сначала определим внешнее поведение метрики и гравитационных полей, устанавливая тем самым граничные значения для полей, создаваемых материей на границе квазилокальной системы отсчета, вдали от локальной материи. Затем решим уравнения для полей, генерируемых локальной материей. Но поскольку метрика прямо и косвенно связана с другими полями теории, ее структура и эволюция будут подвержены влиянию этих полей и, в частности, граничных значений этих полей вдали от локальной материи. Это будет справедливо, даже если мы работаем в системе координат, в которой асимптотическая форма g^y в граничной области между локальной материей и внешним миром совпадает с формой метрики Минковского. Следовательно, гравитационное окружение локальной гравитирующей материи может влиять на метрику, создаваемую локальной материей, через граничные значения добавочных полей. Соответственно результаты локальных гравитационных экспериментов могут зависеть от положения и скорости системы отсчета относительно внешнего окружения. Разумеется, результаты локальных негравитационных экспериментов остаются неизменными, так как поля тяготения, создаваемые при этих экспериментах, предполагаются пренебрежимо малыми и так как эти эксперименты связаны только с метрикой, локальную форму которой всегда можно привести к форме метрики Минковского. Локальные гравитационные эксперименты могут включать опыты Кавендиша, измерения ускорения массивных тел, изучение строения звезд и планет и т. п. Теперь можно сделать несколько утверждений относительно различных типов метрических теорий [368].

Теория, содержащая только метрику g, дает локальные гравитационные законы физики, не зависящие от положения и скорости локальной материи. Это следует из того, что единственным полем, связывающим локальную материю с окружением, является g и всегда можно выбрать такую систему координат, в которой g принимает форму метрики Минковского на границе между локальной материей и внешним окружением. Следовательно, асимптотические значения g являются константами независимо от расположения, и они асимптотически лоренц-инвариантны, т. е. не зависят от скорости. Примером такой теории является ОТО.

Теория, содержащая метрику g и динамические скалярные поля ф^, дает локальные гравитационные законы физики, которые могут зависеть от расположения системы отсчета, но не зависят от ее скорости. Это следует из асимптотической лоренц-инвариантности метрики Минковского и скалярных полей, только теперь асимптотические значения скалярных полей могут зависеть от положения системы отсчета. Примером является теория Бранса——Дике, в которой асимптотическое скалярное поле определяет значение гравитационной постоянной, которая поэтому может изменяться с изменением ф.

Теория, которая содержит метрику g и добавочные векторные или тензорные поля или поля предпочтительной (априорной) геометрии, дает локальные законы гравитационной физики, которые могут включать зависимость как от положения, так и от скорости. Это будет справедливо, например, даже если добавочным полем является плоская фоновая метрика т]. Фоновые решения для ^ и Т), вообще говоря, будут различны и, следовательно, в системе отсчета, в которой ^v принимает асимптотическое выражение diag (—1, 1, 1, 1), ц^в общем будет иметь вид, зависящий от положения, и не будет лоренц-инвариант- ным (хотя кривизна по-прежнему будет исчезающе малой). Результирующая пространственная и скоростная зависимость Т)окажет обратное действие на локальную гравитационную задачу. (Хорошим примером этого является теория Розена, см. гл. 5.) Не следует забывать, что эти эффекты являются следствием связи добавочных гравитационных полей с метрикой и друг с другом, но не с материей и негравитационными полями. В метрических теориях тяготения только gw взаимодействует с последними.

Эти соображения могут быть суммированы в виде принципа, называемого ССПЭ: СПЭ справедлив как для тгл9 создающих гравитационное поле, так и для пробных тел (ГС ПЭ ; результат любого локального контрольного эксперимента не зависит от скорости (свободно падающего) прибора и от того, где и когда во Вселенной он проводится. Отличие ССПЭ от ЭПЭ состоит во введении тел с активным гравитационным взаимодействием (звезды, планеты) и экспериментов, включающих силы тяготения (опыты Кавендиша, гравиметрия). Заметим, что ССПЭ включает ЭПЭ как предельный случай в отсутствие гравитационных сил.

Возникает вопрос: может ли сходство между ССПЭ и ЭПЭ быть расширено настолько, чтобы для них было справедливо утверждение, аналогичное гипотезе Шиффа, например что любая теория, включающая ГСПЭ, включает также и ССПЭ? Как и в § 2.5, мы .можем правдоподобно доказать справедливость этого утверждения в частном случае метрических теорий гравитации с законом сохранения полной энергии [124]. Вообще говоря, это означает, что эти теории —— лагранжевы. Рассмотрим локальную гравитирующую материю, медленно движущуюся в слабом статическом внешнем поле тяготения. Мы полагаем, что законы ее движения можно представить в квазиньютоновской форме с сохраняющейся энергией

&=Mr-Mr U(X)+ -у 恤 V^+O(MR (/2, MR W, MR UV2). (3.77) где

Mr=Mq-Eb (X, V); ，

Ев (X, V) = E% + 6mgU"(X) —g6叫 U Vz+ O(E^U2...) ①俐

(более подробно об определении входящих сюда величин см. в § 2.5). Здесь использована система единиц, в которой скорость света, измеренная вдали от локальной материи, равна единице. Пространственная и скоростная зависимости Ев могут проявиться, например, как пространственная и скоростная зависимости локально измеренной постоянной тяготения. Для двух тел в локальном опыте Кавендиша постоянная тяготения

&ав 三 г2 耳/加丄饱=戸(dEB/dr)/mL m2, (3.79

так что тензоры аномальной массы внесут в нее вклад (см. § 6.4). Однако мысленный циклический эксперимент, аналогичный приведенному в § 2.5, показы, вает, что тензоры аномальных масс б/ng и 6加夕 дают также и нарушение ГСПЭ

屋=gi + 3喈/恤)U^-^m1//М^ 孔 (3.80) где g — ^U. Следовательно, ГСПЭ (6/n长=6加俨=0) не дает эффектов привилегированных положения или системы отсчета, откуда следует ССПЭ. В гл. 4— 6 рассмотрены частные примеры ГСПЭ и ССПЭ в постньютоновском пределе произвольных метрических теорий гравитации, а в гл. 8 представлены экспериментальные проверки ССПЭ.

Рассмотренная выше связь добавочных полей с локальной гравитирующей материей показывает, что если ССПЭ справедлив, то во Вселенной должно существовать одно и только одно поле тяготения ——метрика g. Однако приведенные рассуждения носят предположительный характер, поскольку строгого доказательства этого положения в настоящее время нет.

На предположении существования только одного поля тяготения основаны многочисленные способы так называемых выводов ОТО. Один класс таких выво> дов использует подход квантовой теории поЛя. Сначала предполагают в рамках теории возмущений, что гравитационное поле связано с обменом единственной безмассовой частицей со спином 2 (соответствующей одному тензорному динамическому полю второго ранга). Затем, сделав некоторые вполне разумные предположения, например что S-матрица является лоренц>инвариантной или что теорию можно вывести из действия, получают полные классически# уравнения

ноля Эйнштейна [70, 345]. При выводах другого класса пытаются построить наиболее общее уравнение поля для g мз тензоров, содержащих только g, при наложении некоторых ограничений (например, использование не выше чем вторых производных). Потребовав, чтобы уравнения поля содержали уравнения движения материи Т^ = 0, можно получить (без возможного космологического члена) уравнения Эйнштейна. Обзор этих и других попыток вывести ОТО читатель найдет в [185, § 17.2]. Однако неявное использование ССПЭ во всех этих выводах продемонстрировать нелегко. Эмпирически было найдено, что любая метрическая теория тяготения, кроме ОТО, вводит добавочные гравитационные поля, или динамические, или априорно-геометрические, и таким образом предсказывает нарушение ССПЭ на том или ином уровне. Похоже, ОТО — единственная метрическая теория, которая полностью включает ССПЭ. Таким образом, разнообразие выводов ОТО, содержащих ССПЭ, плюс свидетельства альтернативных теорий делают вполне вероятным предположение о том, что ОТО вытекает из ССПЭ. В гл. 8 и 12 рассмотрены экспериментальные свидетельства справедливости ССПЭ.

При качественном обсуждении альтернативных метрических теорий тяготения мы опустили два момента, каждый из которых заслуживает отдельного рассмотрения. Первый касается так называемого тензора кручения. Прилагая ЭПЭ к негравитационным законам физики, мы ввели замену запятой в индексе на точку с запятой, обозначающую ковариантную производную по метрике g [см. уравнения (3.14), (3.16) и (3.17)]. Однако не исключено, что правильная производная дается выражением Л?р = 4^ + ｛紹 ЛУ, где 假｝=時丫 + 5甘丫； тензор SpY антисимметричен по В н у, т. е. S鵠]=S餘.В общем случае тензор кручения SpY не исчезает в локальной лоренцевой системе отсчета. Кручение вводится в те°рию тяготения или как средство согласованного получения квантово-механического спина, или в результате попыток создать калибровочную теорию тяготения, или, наконец, как способ создания единой теории тяготения и электромагнетизма. Однако почти во всех экспериментах, рассмотренных в этой книге, наблюдаемое влияние кручения является пренебрежимо малым (см., однако, [201]). Эффекты кручения проявляются в основном в физике элементарных частиц или на ранних этапах существования Вселенной, так что в дальнейшем мы их учитывать не будем, а интересующихся отсылаем к обзору 1131].

Второй момент можно определить как ОТО с членами R2 Этот старый вопрос [91, 348] в последнее время вновь привлек к себе внимание. Стандартное гравитационное действие в классической ОТО (см. § 5.2) представимо в виде /0 = (16л)-1 f R (—g)L2d5，где скаляр Риччи

R = g2Ruv・ (3.81)

Однако попытки создать перенормируемую теорию гравитации на базе ОТО потребовали введения в действие так называемых противодействующих членов для компенсации неперенормируемых бесконечностей. Эти компенсирующие члены по римановскому тензору и скаляру Риччи имеют второй порядок и выше, что дает гравитационное действие в виде

厶=(16兀厂 1 f ^R + a^ + bR^ R^v+cR^R^) (-g)1/2 ^ x. (3.82)

Поскольку теория имеет только одно гравитационное поле, можно предпо* ложить, что она удовлетворяет ССПЭ и, таким образом, представляет собой пример, опровергающий сделанное выше предположение о том, что ОТО непременно следует из ССПЭ. Однако в большинстве теорий такого типа коэффициенты at b и ct имеющие размерность длины в квадрате, соответствуют расстояниям от планковской длины 10-33 см до ядерных размеров 10""13 см, так что наблюдаемые эффекты, связанные с ними, ограничены взаимодействиями элементарных частиц и ранними этапами существования Вселенной. Ниже члены, содержащие А* учитывать не будем (127].

ГЛАВА 4

ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЙ ПОСТНЬЮТОНОВСКИИ ФОРМАЛИЗМ

Мы уже видели, что, несмотря на возможное существование помимо метрики еще дальнодействующих полей тяготения, постулаты метрических теорий требуют, чтобы материя и негравитационные поля совершенно не зависели от них. Единственным гравитационным полем, входящим в уравнения движения, является метрика g. Остальные поля, которые могут содержаться в теории, лишь помогают создавать кривизну пространства-времени, связанную с этой метрикой. Эти поля могут создаваться материей и совместно с ней могут генерировать метрику, но непосредственно взаимодействовать с материей они не могут. Материя реагирует только на метрику.

Соответственно метрика и уравнения движения материи являются первичными теоретическими категориями, и одна метрическая теория отличается от другой только тем характерным способом, каким материя и, возможно, другие поля тяготения создают метрику.

Сравнение метрических теорий гравитации друг с другом и с экспериментом становится особенно простым в пределе медленного движения и слабых полей. Это приближение, известное как постньютоновский предел, является достаточно точным для всех экспериментов в солнечной, системе, которые могут быть выполнены в обозримом будущем. Постньютоновский предел, однако, не является адекватным для обсуждения гравитационного излучения, когда не выполняется предположение медленного движения, или систем компактных объектов вроде двойных пульсаров, где не выполняется предположение слабости полей, или же в космологии, где делаются совершенно иные предположения.

В § 4.1 обсуждается постньютоновский предел метрических теорий тяготения и в общей форме строится постньютоновская метрика для идеальной жидкости. Ее вид должен сохраняться в большинстве метрических теорий, которые будут отличаться одна от другой лишь численными коэффициентами, входящими в метрику. Приведя систему координат к соответствующему виду (стандартная калибровка) и используя произвольные параметры вместо численных коэффициентов, получим описанный в § 4.2 параметризованный постньютоновский (ППН) формализм и параметры, называемые ППН параметрами, В §4.3 рассмотрено воздействие преобразования Лоренца на ППН систему координат и показано, что некоторые теории тяготения могут предсказывать гравитационные эффекты, которые зависят от скорости гравитирующей материи относительно системы покоя Вселенной (эффекты привилегированной системы отсчета). В § 4.4 анализируется возможность существования интегральных постньютоновских законов сохранения энергии, импульса, момента импульса и движения центра масс в рамках ППН формализма и показано, что метрические теории содержат такие законы, только если их ППН параметры подчиняются определенным ограничениям.

Этот формализм, таким образом, дает основу для обсуждения отдельных альтернативных теорий гравитации (см. гл. 5) и анализа тестов релятивистских гравитационных эффектов в солнечной системе (см. гл. 7—9). В целом настоящая глава представляет собой модернизацию гл. 4 работы [359].

1. ПОСТНЬЮТОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ

Ньютоновская теория тяготения и ньютоновский предел. Тяготение в солнечной системе является достаточно слабым, и ньютоновская теория тяготения объединяет почти все (кроме наиболее тонких) эффекты. С точностью около 10~б свет распространяется по прямой с постоянной скоростью, а пробные тела движутся в соответствии с уравнением

a = VU, (4.1)

где а — ускорение тела; U — ньютоновский потенциал тяготения, создаваемый материей с плотностью массы покоя р согласно выражениям

屮 и = —4冗р; U (х, f 二二丄 ^ 炉・ (4.2) J lx -X」

Здесь мы использовали геометризованные единицы измерения, в которых скорость света и гравитационная постоянная, измеренная вдали от солнечной системы, равны единице. Идеальная невязкая жидкость подчиняется обычным эйлеровским уравнениям гидродинамики

dp/dt + V (pv) = 0; (4.3)

pdv/df = pVU — Vp, (4.4)

где v и p — скорость и плотность массы покоя элемента жидкости соответственно; р — полное давление (материи и излучения) на этот элемент; d/dt = d/dt + vV — полная производная по времени.

С точки зрения метрической теории гравитации ньютоновскую физику можно считать приближением первого порядка. Рассмотрим пробное тело, мгновенно покоящееся во внешнем статическом поле тяготения. Уравнение геодезических (3.38) дает ускорение тела ak = d?xkldf в статической системе координат /, х в виде

/ = —「3 =} g^ goo,i・ (4・5)

Известно, что вдали от ньютоновской материи в соответственно выбранной системе координат метрика, определяющая ускорение, должна сводиться к метрике Минковского (см. § 4.1): ggv -> r)gv = diag (—1, 1, 1, 1). В присутствии очень слабого поля тяготения из (4.5) можно получить уравнение ньютоновского тяготения (4.1), только если

酬 ^ 6此 g。。«-1 + 2a (4.6) Легко показать, что в этом приближении и при тензоре энергии-импульса, имеющем вид

Т^ = р; Т°/ « pv/; 7V« = pW/ + p6吃 (47)

эйлеровские уравнения движения (4.3), (4.4) эквивалентны уравнению

Т^«Т^+Г^0То° = 0,(4.8)

где мы удержали только члены наинизшего порядка по и?〜(/ 〜р/р.

Однако ньютоновский предел перестает быть адекватным при точностях, лучших 10_б. Например, он не может дать смещения перигелия Меркурия с точностью лучше 5-10-7 рад на оборот (примерно 4- 10-4/г/столетие). Следовательно, необходимо более точное приближение метрики пространства-времени, идущее как бы после ньютоновского приближения, почему и оно получило название постньютоновского.

Постньютоновский учет. Чтобы легче понять основные черты постньютоновского предела, разработаем сначала систему учета для малых величин. В солнечной системе ньютоновский потенциал тяготения нигде не превышает 10~б (напомним, что в геометризованных единицах измерения U безразмерно). Скорости планет связаны с U соотношениями вириала, из которых следует, что

标 < U.(4.9)

Материя Солнца и планет находится под давлением р, которое, как правило, меньше плотности энергии тяготения р[/, т. е.

P0WU(4.10)

(р/р ~ 10_б для Солнца и ~10一'° для Земли). Другие виды энергии в солнечной системе (энергия сжатия, энергия излучения, тепловая энергия и пр.) также малы: удельная плотность энергии (отношение плотности энергии к плотности массы покоя)

HWU(4.11)

(II ~ 10-5для Солнца и 10-9 для Земли). Эти четыре малых величины описываются знаком О (2), указывающим порядок их малости:

U ~ М 〜р/р ~ ц ~ о (2).(4.12)

При этом первая степень скорости и есть О (1), U — О (4); Uv — О (3), UH — О (4) и т. д. Кроме того, поскольку эволюция солнечной системы во времени определяется движением ее составных частей, имеем d/dt ~ vV и, следовательно,

\dldt\l\dldx\ 〜0(1).(4.13)

Теперь мы имеем все для анализа постньютоновской метрики. Действие (3.20), из которого выводится уравнение геодезических (3.38), для одиночной нейтральной частицы можно записать в виде

(4.14)79(4.14)79/"G =厶=-加。J (-g|W 若警)I"成==一加0 J(-goo—2go川一g川 5 炉)1/2 成.

(4.14)

79

(4.14)

79

Подынтегральное выражение в (4.14) можно рассматривать как лагранжиан L одиночной частицы в метрическом поле тяготения. Из (4.6) следует, что ньютоновский предел соответствует

L = (1 _2U —M)i/2,(4.15)

что может быть подтверждено с помощью уравнений Лагранжа——Эйлера. Другими словами, ньютоновская физика дается приближением L с точностью до членов порядка О (2). Постньютоновская физика, следовательно, должна учитывать члены L следующего порядка малости, т. е. О (4).

А как же члены нечетных порядков малости — О (1) и О (3)? Такие члены должны содержать нечетное число скоростей v или производных d/dt. Поскольку такие члены меняют знак при обращении хода времени, они должны описывать диссипацию или поглощение энергии материей. Однако закон сохранения массы покоя исключает появление в L членов О (1), а закон сохранения энергии в постньютоновском пределе —членов О (3). В порядке выше четвертого разные теории могут давать различные результаты. Например, в ОТО закон сохранения постньютоновской энергии запрещает наличие членов О (5), однако члены О (7) могут присутствовать — они описывают энергию, теряемую материей на гравитационное излучение.

Для того чтобы выразить L с точностью до О (4), надо знать различные компоненты метрики соответствующего порядка

L = {1 — 2U — и? — goo [О (4)] — 2g°j [О (3)] W — g% [О (2)] X

X 如野1/2(4.16)

Итак, для получения постньютоновского предела любой метрической теории надо знать g00 до членов О (4), g。, 一 до О (3) и g% — до О (2).

Постньютоновское распространение света также можно получить в указанных приближениях метрики. Поскольку свет распространяется по нулевым траекториям (dr = 0), лагранжиан L должен быть формально приравнен нулю. В ньютоновском пределе это означает, что свет должен распространяться по прямым линиям со скоростью, равной единице, т. е.

0 = L =(i_M)i/2；炉=1(4.17)

В следующем, постньютоновском порядке мы должны иметь

0 = L = {1 — 2U —統—g% [° (2)1 и妙}i/2.(4.18).

Следовательно, для получения постньютоновских поправок к распространению света надо знать g00 и g/^ с точностью до членов О (2). Аналогично можно проверить, что если тензор энергии-импульса (3.71) разложить в ряд, удерживая члены порядка до рО (2) для 7°°, рО (3) для Т°/ и рО (4) для Т^, и скомбинировать его с постньютоновской метрикой, то уравнения движения Т" = 0 дадут так называемые согласованные постэйлеровские уравнения гидродинамики.

в. Постньютоновская система координат. Для корректного обсуждения постньютоновского предела необходимо определить систему координат. Представим себе однородную изотропную Вселенную, в 80

которой находится изолированная постньютоновская система тел Выберем систему координат так, чтобы ее внешние области, удаленные от изолированной материи, находились в свободном падении по отношению к окружающей их космологической структуре и покоилась в системе отсчета, в которой Вселенная представляется изотропной (система покоя Вселенной). Можно ожидать, что в этих внешних областях метрика эволюционирует согласно выражению

ds2 =—山2 + [а ⑴/旬尸(1 —々产/4若)-2 bijdx^xi + h^dx^dx^, (4.19) где первые два члена представляют собой линейный элемент Робертсона—Уокера, соответствующий однородной изотропной космологической модели, а третий—возмущение, обусловленное локальной материей. Здесь г — расстояние от локальной материи до точки поля;

а = а (0； % = Q (幻； (4.20) а — космологический масштаб; k — параметр кривизны (々 = 0, ±1). При данном радиусе г0 в фиксированный момент времени " можно перейти к системе координат

，=/； %"=%/ (1 -舐紹4硫尸， (4.21) в которой

ds2 = (т)н + h^ d川厶匸 (4.22)

Это можно сделать при значениях г0, достаточно больших для того, чтобы т)卩V можно было рассматривать как асимптотическую форму g卩V, т. е. при

九川 ~ M/rQ《1, (4.23)

где М — масса изолированной материи. В то же самое время значения г0 должны быть достаточно малыми для того, чтобы отклонение космологической метрики от Т)卩у для г《％ было тоже малым, а именно меньше постньютоновского члена порядка (М/г)?, входящего в 力卩屮 Оптимизирующее эти ограничения г0 запишется в виде

(М偽У > 偽/旬У или M^rQ^ (Maja. (4.24)

Поскольку а。~ 1010 св. лет 4 1023 км и для солнечной системы r()W Ю3 а. е. ^ 1,5-1011 км, то максимальные отклонения от 刀现旷 имеют порядок (г0/а0)2 〜10-24. Эти отклонения гораздо меньше ожидаемых постньютоновских отклонений (М/г)2 > 10-16, которые могут сказаться на экспериментах в солнечной системе.

Итак, с точностью порядка 10-24 метрика пространства-времени в солнечной системе может считаться асимптотически эквивалентной метрике Минковского во внешних областях на расстояниях порядка Ю3 а. е. ^ 1,5-1011 км, с отклонениями порядка М/г и (М/г)? от нее во внутренних областях. В приведенном выше рассуждении не учитывалось изменение космологического масштаба a (f) со временем. Однако так как эти изменения имеют масштаб времени (1010 лет), заметно превышающий динамический масштаб времени для солнечной системы (1 год), можно считать это изменение адиабатическим.

Сконструированную таким образом систему координат назовем локальной квазидекартовой. Для нее:

пространственные векторы рассматриваются как декартовы, если нет других указаний, причем

/ =弘；(4.25)

повторяющиеся пространственные индексы или символ |xj2 означают декартово скалярное произведение или скалярный квадрат, например

xkxk = XkXk 三 xkxk = |x|2 = x2 + у2 + z?;(4.26)

элемент объема cPx = dxdyd^.

г. Постньютоновские потенциалы. На всем протяжении анализа будем считать, что материю, составляющую солнечную систему, можно рассматривать как идеальную жидкость. Это вполне адекватное предположение для большинства экспериментов в солнечной системе, которые можно ожидать в ближайшие десятилетия (см., однако, § 9.2). Как будет показано подробнее в гл. 5, постньютоновский предел для идеальной жидкости в любой метрической теории гравитации лучше всего вычисляется формальным решением уравнений поля и представлением метрики в виде последовательности постньютоновских функционалов материальных переменных с коэффициентами, которые могут зависеть от условий связи локальной материи и космологического окружения, а также от других постоянных теории. Эволюция материальных переменных и, следовательно, функционалы метрики определяются уравнениями движения Т" = 0, где тензор энергии-импульса и постньютоновская метрика имеют порядок, согласующийся с постньютоновским приближением. Эволюция космологических коэффициентов связи определяется решением соответствующей космологической модели. Таким образом, наиболее общую постньютоновскую метрику можно найти, просто записав члены метрики, состоящие из возможных постньютоновских функционалов материальных переменных, каждый из которых умножен на произвольный коэффициент (возможно, зависящий от характера связи с космологическим окружением и других констант), и добавив эти члены к метрике Минковского для получения физической метрики. К сожалению, число таких функционалов бесконечно велико, так что для развития формализма, достаточно корректного и удобного, необходимо наложить некоторые ограничения на подлежащие рассмотрению члены, руководствуясь частично субъективным представлением «разумности», частично свидетельствами известных теорий тяготения

Некоторые из этих ограничений очевидны:

Члены метрики должны быть ньютоновского и постньютоновского порядка; члены пост-постньютоновского и высших порядков не включаются.

Члены метрики должны стремиться к нулю, когда расстояние |х — х'| между точкой поля х и типичной точкой внутри материи х‘ становятся большим. Это гарантирует, что в нашей квазидекартовой 82

системе координат асимптотической метрикой будет метрика Минковского.

Координаты выбираются так, чтобы метрика была безразмерной.

В выбранной здесь квазидекартовой системе координат начало координат как в пространстве, так и во времени является совершенно произвольным, так что метрика не должна содержать его в явном виде. Это гарантируется использованием функционалов, в которые точка поля х всегда входит в комбинации х — х‘ (где х‘ 一 точка, связанная с распределением материи), и представлением всех зависимостей от времени в неявном виде через вариации материальных переменных и возможных коэффициентов космологической связи.

Поправки к метрике Аоо,九^ и hjk при пространственных вращениях должны преобразовываться как скаляры, векторы и тензоры соответственно и, следовательно, должны быть сконструированы из соответствующих величин. Среди переменных, связанных с распределением материи, примерами являются: скаляры р, |х — х'|, и”, v‘ (х — —х‘)и др., векторы 0, (х — %'), и тензоры (%— %'力(х — x')ft, VjVk и др. Для переменных, зависящих от структуры уравнений поля теории или условий связи с космологическим окружением, имеются только два типа величин в системе покоя Вселенной: скалярные космологические коэффициенты связи, т. е. численные коэффициенты, и тензор 6抓.В системе покоя изотропной Вселенной никакие векторы или анизотропные тензоры не могут быть сконструированы. (Если Вселенная предполагается слегка анизотропной, такие члены возможны [212]).

Функционалы метрики должны порождаться массой покоя, энергией, давлением и скоростью, но не их градиентами. Это ограничение является субъективным, и его можно легко снять, как только для этого появится причина. Пока таких причин не было.

Функционалы должны быть «простыми». Это ограничение является крайне субъективным.

Имея в виду эти ограничения, запишем теперь возможные члены, которые могут появиться в постньютоновской метрике.

gjh до О (2): из условия 5 следует, что при вращениях §д должно вести себя как трехмерный тензор, так что единственные члены, которые могут появиться, это и

斗三；?『_”" d3 £・(4.27)

Член и% более удобно выразить через так называемый суперпотенциал

X (х, f) е — J р (х\ 0 |х — x|-i с?£；(4.28)

%，川=—6川U + U川；V2x = —2a(4.29)

Теперь необходимо рассматривать только члены иб/目, х，А.

g()j до О (3): эти компоненты метрики при вращении должны преобразовываться как трехмерные векторы и, следовательно, содержат только члены

匕三(d/;(4.30)

步j三J P(X\叱m詐『》d3炉.(4.31)

Эти функционалы также связаны с супер потенциалом %

go。до О (4): эта компонента при вращении должна вести себя как скаляр. Единственные члены, которые следует в этом случае рассмотреть, это и? и

"可上器亍計dx'；総引占（X一X，）普阳.

Ограничение 7 было использовано, чтобы ликвидировать другие возможные громоздкие метрические функционалы, например

(4.34)(4.35)(4.34)(4.35)匕匕(/一1；①idUT u®:

(4.34)

(4.35)

(4.34)

(4.35)

V%VU;可:三斗0犬...

Если один из этих членов появится в постньютоновской метрике какой-либо теории гравитации, использованный формализм можно соответственно модифицировать.

Существует значительное число простых и полезных соотношений, которым удовлетворяют функционалы, включенные в метрику:

屮匕=—4лр Vy；匕 j = 一U,q； ?2Фг= —4лр i/2;

(4.36)(4.36)V2 Ф2=—4лр{7; V2 Ф3=—4лрП; V2 Ф4=—4лр;

(4.36)

(4.36)

V2 (①杯+2S - за) = 2% 由 U,5 у,。。= 4 十绢一① i・

专 jp(x\ f)f(x, xz)d3^= j专 jp(x\ f)f(x, xz)d3^= jБольшинство из этих соотношений выводится повторным использованием формулы, полученной из уравнения непрерывности (4.3):

专 jp(x\ f)f(x, xz)d3^= j

专 jp(x\ f)f(x, xz)d3^= j

р(х‘, f)v‘ V’ /(х, х')^х‘ [1 +0(2)1.

(4.37)

СТАНДАРТНАЯ ПОСТНЬЮТОНОВСКАЯ КАЛИБРОВКА

Можно несколько ограничить вид постньютоновской метрики, используя произвольность координат, постулируемую в утверждении 2 систематики Дике. Бесконечно малое, или калибровочное, преобразование координат [см. (3.5), (3.13), (3.17)]

眾=%卩+即(炉) (4.38)

Преобразует метрику к виду

?口 7 (П) = gSY (%а)(°//° 小)(° 炉/° 炉)=g^ (%&) —}；、,一£；屮(4.39) Если мы хотим сохранить постньютоновский характер g…квазидекартов характер системы координат и хотим остаться в системе покоя Вселенной, то функции ^ должны удовлетворять следующим условиям: суммы 自阳V + gv；n должны быть постньютоновскими функциями, стремящимися к нулю вдали от рассматриваемой материальной системы, так же как и отношение 代卩|/]%卩| f 0. Единственным простым функционалом, обладающим такими свойствами, является градиент суперпотенциала %小・ Итак, выбираем

(4.40)(4.41)(4.40)(4.41)Ео =入 15С,о； Ъ =入2%jи в постньютоновском ^порядке получаем各工=g% - 2筛 Xjfe； io 7 匸 goj—& + M X.oj；g° 6 = goo —2Al X,oo + 2X2 Г{0 Xj.

(4.40)

(4.41)

(4.40)

(4.41)

Символ Кристоффеля Цо в необходимом порядке равен —Uj [см. (3.14)]. Требуется также преобразовать функциональные интегралы по xj входящие в g^v, в интегралы по 依'• Единственное, где эта операция что-то меняет, это выражение g ^ —1 + 2U (х, 7), где U (х,就=J d/p (х\ 7)/|х — х'|. Теперь плотность массы покоя, измеренная в сопутствующей локальной лоренцевой системе отсчета, р (х\ f) — инвариант. Больше того, величина (—g)1/2 〃°d3% представляет собой инвариантный собственный элемент объема, где 〃° — 4- скорость материи. Тогда

d3£ = d3£ [(—?)i/2〃0/(_g)i/2 〃0].(4.42)

Используя (4.41) и соотношение 〃° = dt/dx, мы с требуемой точностью получаем

(4.43)(4.44)(4.43)(4.44)Р以3£ ="戒"1 + 2儿2u(匕力， а также

(4.43)

(4.44)

(4.43)

(4.44)

] = 1 х &—《)▽'%&‘，7)

U-хЧ |G—2 li-713— и, следовательно,

(4.45)(4.45)u а力=0&力+2笳a 一儿j包曰?尸 d X.

(4.45)

(4.45)

Используя (4.32), (4.36) и (4.41), окончательно находим

io广g。j 一 & +儿)(%一取力；.(4.46)

Sqq — Soo — 2%2((/2+(1)3 -①2)—2 九 J4 +的-① 0.

Соответствующим выбором % и Х2 можно исключить некоторые члены из постньютоновской метрики. Это позволит нам принять стандартную постньютоновскую калибровку — калибровку, в которой пространственная часть метрики диагональна и изотропна &、汰 исчезают), а goo не содержит члена 的. Никакого физического смысла в выборе калибровки нет, это делается лишь для удобства.

Теперь мы имеем постньютоновскую метрику идеальной жидкости в самом общем виде для любой теории гравитации: она определена в локальной квазидекартовой системе координат, покоящейся относительно системы покоя Вселенной, и в ней введена стандартная калибровка. Единственное, чем такая метрика одной теории может отличаться от метрики другой теории, так это коэффициенты при членах метрики. Заменяя каждый коэффициент произвольным параметром, получаем метрическую супертеорию тяготения, частными случаями которой (при конкретных значениях параметров) будут постньютоновские метрики конкретных теорий тяготения. Такая суперметрика называется параметризованной постньютоновской (ППН) метрикой, а параметры— ППН параметрами.

Использование параметров для описания постньютоновского предела метрических теорий гравитации называется ППН формализмом. В первичном виде этот формализм был предложен и изучен в [91, 253, 272]. Этот формализм рассматривал метрику солнечной системы как поле сферического невращающегося Солнца и идеализировал планеты как пробные тела, движущиеся по геодезическим метрики. Метрика в этом варианте ППН формализма имеет вид

goo = -1 + 2М/г - 2р (М/г)2;(4.47)

goj = 0； gjk = (1 + 2?М") 6用

где М — масса Солнца, а 卩 н у — ППН параметры, которым может быть дана ясная физическая интерпретация.

Параметр у измеряет искривление пространства, создаваемое телом массы М на расстоянии г, в том смысле, что пространственные компоненты римановского тензора кривизны в постньютоновском порядке определяются выражением [см. (3.14) и (3.34)]

a加=(3Yм"3)("j /6" +九i九*川一修九人6八一

—n； ni^ih —|■8力l8〃 + 告 &九6川

где n == х/r не зависит от выбора постньютоновской калибровки.

Принято считать, что параметр 卩 измеряет степень нелинейности (М/г)?, которую данная теория приписывает компонентам ^00 метри- 86

ки. Однако это утверждение справедливо только в стандартной постньютоновской калибровке. Коэффициент при U2 = (М/г)2 зависит от выбора калибровки, как видно из равенств (4.46). Например, в ОТО (Р = Y = 1) член с (М/г)? можно полностью исключить из g00 калибровочным преобразованием, которое является постньютоновским пределом точного преобразования изотропных координат в координаты Шварцшильда для одноименной геометрии. Таким образом, упомянутое определение 卩 следует считать всего лишь эвристическим.

Шифф [270] обобщил метрику (4.47) так, что она стала учитывать вращательные эффекты (эффект Лензе—Тирринга, см. ниже § 9.1), а Байерлейн [13] сконструировал примитивную метрику для идеальной жидкости. Однако пионером создания ППН формализма является Нордтведт [203], который исследовал постньютоновскую метрику системы точечных гравитирующих масс. Уилл [353] обобщил этот формализм на случай материи, описываемой идеальной жидкостью. Объединенная версия ППН формализма была представлена в [359, 368]. Кроме того, Уилл [358] добавил параметр Уайтхеда Ф^. Ниже мы примем вариант Уилла——Нордтведта (с добавленным параметром Уайтхеда), исправленный в соответствии с условиями знаков и индексов работы [185] и небольшими изменениями записи. Как и в раннем варианте [91, 253, 272] ППН формализма, перед каждым постньютоновским членом в метрике стоит произвольный ППН параметр.Требуется 10 таких параметров, обозначаемых у,卩，g, o^-g, ^х_4. ППН метрика выражается через них следующим образом:

goo = 一 1 + 2(7 —20L/2—2g ① w + (2丫 十2 + a3 + Si一2g)① i+

+ 2(3Y 一 20 +1 + J + 9 ①2 + 2 (1 + 0) R + 2 (37 + 3&一

-2扌)①4一 (甘1 一2&)4;

goj= ——(4? + 3 +%-a2 + Ci - 2自)Vj^-(1 +02一(4.48)

-C1 + 25)取j；

g川=(1+2汐)6加

Хотя в (4.48) мы использовали линейные комбинации ППН параметров, легко видеть, что данный ряд численных коэффициентов перед постньютоновскими членами дает единственный набор значений ППН параметров. Эти линейные комбинации были выбраны так, чтобы параметры о^-з и ^-4 имели определенный физический смысл.

Были разработаны также варианты ППН формализма для описания заряженных точечных масс (§ 9.2), жидкости с анизотропными натяжениями (гл. 39 работы [185]) и изолированных систем в анизотропной Вселенной [212].

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА И ППН МЕТРИКА

В § 4.1 ППН метрика была сформулирована в системе координат, внешние области которой покоились в системе покоя Вселенной. Для некоторых целей, например для расчета постньютоновской метрики в

87

заданной теории тяготения, такая система координат является удобной. Для других же целей, например для вычисления наблюдаемых постньютоновских эффектов в системах типа солнечной, которые движутся относительно системы покоя Вселенной, такая система координат неудобна. В последних случаях удобнее система координат, в которой центр масс исследуемой материи приблизительно покоится; это лишь вопрос удобства, на результаты эксперимента такой выбор повлиять не может. Поскольку нам часто придется проводить расчеты в такой движущейся системе, полезно представить ППН метрику в движущейся системе координат. Это позволит также глубже понять смысл ППН параметров %—з [355].

Выполним преобразование Лоренца из исходной ППН системы отсчета в новую, движущуюся по отношению к старой со скоростью w. Для сохранения постньютоновского характера метрики предположим w малым, т. е. з ~ О (1). Такое лреобразование от покоящихся координат % х к движущимся т, g можно разложить в ряд по степеням w до нужного порядка; такая приближенная форма преобразования Лоренца иногда называется постгаллиевским преобразованием [57], ее можно представить в виде

(4.49)(4.49)X=g+(1+ ■^叫 wp + 十低 W)w+自。(4);

(4.49)

(4.49)

f = p(l + 十眇+ .L^j_|_^i 十 十叫&w+t0(5),

где предполагается, что wt ~ О (0).

Используем теперь стандартный закон преобразования

(4.50)

и выразим функционалы, входящие в gaP (х, /), через новые координаты. Поскольку р, Л н р измеряются в сопутствующих локальных ло- ренцевых системах отсчета, такое преобразование их не меняет: для любого заданного элемента жидкости

Р (х, f) = р (К т)； П (х, 0 = П (^, т); р (х, 0 = Р (К т)・(4.51)

Если V (х, 0 и V (自,т) — скорости движения материи в обеих системах отсчета, то они связаны соотношением

V = v + w + О (3).(4.52)

Элементы объема d3%' и d3^ в двух системах отсчета связаны законом преобразования (4.42)

d3%'=d3g {[ — g(訐')]1/2М，/[_g(/，)]l/2〃0，} =

=d智卩一y w ——^0 + 0(4.53)

Величина х (f) — х‘ (/), входящая в постньютоновские потенциалы, преобразуется согласно выражению

(4.54)(4.54)x(/)—・x，(/)=ge)— КН) +0+ 十叫 w(t—т/) + +十(隹⑺T(Olw)w+。⑷；

(4.54)

(4.54)

0 - «一Y) (1 + 十炉)+ [自⑴一自‘ d‘)] w + 0 (3).

В координатах 自，т величина 自一自‘ должна быть вычислена в Тот же самый момент т, следовательно, необходимо использовать выражение

ГВ)=自(力 + V (Y — 工)+ О В — т)2.(4.55)

Из (4.54) и (4.55) получаем

1 /| х —X’ I = {1 + 1/2 (w?)2 + (w?)(vG) + О (4)}/| 自一 口，(4.56) где

?=低一鼠)信一鼠1.(4.57)

Далее, используя (4.51)——(4.53) и (4.56) совместно с определением метрических функций и уравнениями (4.2), (4.30), (4.31) и (4.33), находим

U (х, f) = (1 — £ 炉)U^ т)-wi 匕低,力 + 山吃倨,т) +

+ £加^ Ujk^x)+O(^

①/(X, f)=①/ ®, T) + 0 (6);

Q(x, 9=包做 t) + 2加匕需 T)+ 0U曲 * +0⑹；

①2 (3,4)(X, f)=<I)2(3,4)信，T)+ О (6)；

4 (х, f) = 4 但，力 + 2山吃低,т) + wi wkU jh (^, T)+ O (6);

匕(x, 9=匕因工)+吗u点T)十0(5);

吃(X, 0=吃低，P + "U川(К т) + О(5).(4.58)

Применяя уравнения преобразования (4.49) и (4.50) к выражению ППН метрики (4.48) и используя выражение (4.58), получаем для метрики в движущейся системе координат ^, тв постньютоновском порядке следующие выражения:

goo©P=-l+2U (自，力一2pS& T)_ 2^w^ т) + (2у +

+ 2+a3 + ^i-2g)①1低，工)+ 2(3Y一20+ 1 + J+ 自)/g，p)+

+ 2(1+备)(I)3& 工)+ 2(3Y + 3*一2日(1)4低，力一(哀一2自)4 X

X (自，т)—(% —出一a3)炉 U 低，т) — a2 加 wk Ujk & t) +

+ (2&—%)加匕R, t)—(1 —竜 + 2图皿％& t), о/；

(4.59)(4.59)

(4.59)

(4.59)

gqj & T)= —- (4Y + 3 T %-•a2 + 装-2w) Vj й, t)-

2"^ +"2一装+ 20 吃© 力^- (%-2(x0 加 U稿 T)一

—агз'и%©, т)—■^-(1 —a2 —：! + 2g)^x(^, т),м;

t) + U+2yU©,砌 6川.

В результате появления дополнительной постньютоновской переменной w мы получили добавочную свободу калибровки, которой можно воспользовался, не меняя стандартной калибровки, справедливой в системе отсчета, в которой w=0 (и, между прочим, неизменной при постгалилеевском преобразовании). Вводя калибровочное преобразование

三=T+十(1一9一建 + 2自)山%,/；戸=0, (4.60)

можно исключить член —(1 — а2 —久 + 2g)皿％川 из g^ и член ——^- (1 — а? — Ci + 2g) wk%jk из goj. Тогда это преобразование становится частью стандартной ППН калибровки в системе координат, движущейся со скоростью w относительно системы покоя Вселенной, т. е. калибровочным преобразованием, при котором gjk диагонально и изотропно, а членов 价 и 曲x&j в g。。нет. Можно показать, что дальнейшее постгалилеевское преобразование (плюс возможное калибровочное преобразование для получения стандартной калибровки) не меняет вида ППН метрики, а только изменяет входящую в преобразование скорость системы координат w.

На первый взгляд вызывает беспокойство наличие членов метрики, зависящих от скорости системы координат w относительно системы покоя Вселенной. Эти члены не нарушают принципов СТО, так как они являются чисто гравитационными, а СТО справедлива только в отсутствие гравитационных эффектов; однако они предполагают возможность влияния движения относительно Вселенной на тяготение, создаваемое внутренней материей (нарушение ССПЭ). Тем не менее, результаты физических экспериментов не должны зависеть от скорости w (вследствие общей ковариантности). Для системы вроде солнечной единственными измеряемыми скоростями являются скорости элементов материи относительно друг друга относительно центра масс и скорости w0 центра масс относительно системы покоя Вселенной (измеренная, например, по доплеровскому сдвигу реликтового излучения).

Таким образом, ППН прогнозы любых физических явлений могут зависеть только от этих относительных скоростей и от w0, но не от w. Следовательно, члены в ППН метрике, зависящие от w, свидетельствуют о наличии эффектов, зависящих от w0. Это легко продемонстрировать, работая в системе координат, в которой изучаемая материя покоится, т. е. w = w0. Тогда если хотя бы один из параметров ах_3 90

не равен нулю, могут существовать наблюдаемые эффекты, зависящие от w0; если же ах = а2 = а3 = 0, метрика ни в какой системе координат не зависит от w или w0 и соответствующих эффектов нет.

Итак, видим, что параметры о^—з измеряют, до какой степени и каким образом движение относительно системы покоя Вселенной влияет на постньютоновскую метрику, давая наблюдаемые эффекты. Эти параметры называются параметрами привилегированной системы отсчета, поскольку они измеряют постньютоновские эффекты, возникающие при движении относительно привилегированной системы покоя Вселенной. Если все они равны нулю, таких эффектов нет и нет привилегированной системы отсчета (в постньютоновском приближении).

Даже если работать в системе покоя Вселенной, где w = 0, физические эффекты останутся неизменными, ибо хотя явно члены привилегированной системы отсчета отсутствуют, скорости элементов материи 3, входящие в ППН метрику и в уравнения движения, могут быть разложены в соответствии с выражением v = w0 + v, где v — скорость каждого элемента относительно центра масс, и если %一з * 0, появятся те же эффекты, зависящие от w0.

Теперь ППН метрика приняла свой стандартный вид. Ниже представлены основные определения и формулы ППН формализма и сравниваются настоящий его вариант и предыдущие.

Параметризованный постньютоновский формализм

Система координат:

Почти глобальная лоренцева система координат (см. § 4.1)厶 ％* *2, х3. Используется трехмерная евклидова запись векторов. Произвольность координат (свобода калибровки) снимается приведением их к стандартной ППН калибровке (см. § 4.2).

Материальные переменные:

р — плотность массы покоя, измеренная в локальной свободно падающей системе отсчета, сопутствующей гравитирующей материи.

V1 = dx^dt — координатная скорость материи.

^ — координатная скорость ППН системы координат относительно покоящейся в среднем системы отсчета Вселенной.

р — давление, измеренное аналогично р.

П — внутренняя энергия на единицу массы покоя; включает все виды энергии (кроме энергии массы покоя и тяготения), например энергию сжатия и тепловую энергию.

ППН параметры -у, р, g, ах, а2, а3,电,J, Q, &•

Метрика

gw = 一1 + 2U — 26(/2 一 2g①取 + (2Y + 2 + а3 + £ — 2g) X

X 5 + 2 (3Y 一 23 + 1 + 点 + 自)①2 + 2 (1 + 3)① 3 + 2 (3Y +

+ 3e4 - 2g)①4 -(白1 - 2g) 4 - (a1 - a2 — ОЬ 3)w^U - a2 X

X w^Uij + (2аз — %)演匕;

goi = —^-(4y + 3 + %一%+ ti-2!) Vi— (1 +a2-自 1 + 2® Wi

^-(图—2aJ 3 U -0(2 加 U 订；

勁=(1+ 2yU) M.

Потенциалы метрики

F Р片‘)(法"-宁*…；

4=①产上Jw；

J |x—x"3，|x—x，|'

①2=(产4Td3 炉；3*J |x-X」J |x -X"

吃=产华含产kd3"

Тензор энергии-импульса (идеальная жидкость)

Г0。= р (1 + П + 統 + 2U)；7。，= р(1 + П + М + 2U + р/р)炉；

7" = ри侦(1 + 口 + ” + 2[/ + р/р)+ 冲/(1 — 2问・

Уравнения движения

Материи с натяжениями 7腎=0.

Пробных тел 峦讲I心? + 「我(fi^l恥(fix^l恥=0.

Уравнения Макевелла尸富=4门/匕尸内=4*и—4因山

Рааница между данным изложением и изложением, приведенным в [359]:

Приняты сигнатура (—1, 1, 1, 1) и пределы изменения индексов (греческих—Q, 1, 2, 3, латинских — 1, 2, З)1 согласно [185].

Новое обозначение параметра Уайтхеда: g вместо 飙，как и в [358].

Изменены параметры законов сохранения, на которые влияет параметр Уайтхеда [156]):

① + 2g =貝。в； ЦТ _ g = ^НОВ.肾т + (2/3) g =工产・

4.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ППН ФОРМАЛИЗМЕ

Законы сохранения в ньютоновской теории тяготения всем хорошо известны: в изолированной гравитирующей системе сохраняются масса, энергия, импульс и момент импульса, а центр масс системы движется равномерно. Однако это неприложимо ко всем метрическим теориям гравитации. В некоторых теориях эти законы сохранения нарушаются на постньютоновском уровне. Исследуем такие нарушения, используя ППН формализм.

Все законы сохранения можно разделить на два типа — локальные и глобальные. Локальными являются законы сохранения, справедливые в любой локальной лоренцевой системе отсчета и не зависящие от метрики теории тяготения. Скорее они зависят от принятой структуры материи. Глобальные законы сохранения относятся к гравитирующей материи в асимптотически плоском пространстве-времени. Поскольку они включают структуру и материи, и полей тяготения, они зависят от метрики.

Локальные законы сохранения. Закон сохранения барионного заряда является одним из наиболее фундаментальных законов физики и, безусловно, должен выполняться в присутствии гравитации. Этот закон можно представить в виде уравнения непрерывности для плотности барионного заряда: в локальной лоренцевой системе отсчета, мгновенно сопутствующей материи, уравнение сохранения барионного заряда 6Л

О = d (6/)/df = d (n6V/dt.(4.61)

@У — элемент объема) эквивалентно уравнению

dn/dt + V (з) = 0,(4.62)

где V — скорость барионов в сопутствующей системе отсчета (v = =0, но Vv = 6V-〔d (6V)/df =/= 0). Лоренц-инвариантная запись этого уравнения непрерывности, действительная в любой локальной лоренцевой системе отсчета, имеет вид

0 = 0 仇〃。)/。£ + d (пи^/dxi = (/ш»),м(4.63)

где 〃** = dx^/dx ——4-скорость барионов. Уравнение (4.63) можно обобщить на любую систему отсчета в искривленном пространстве- времени с помощью стандартной замены в индексе запятой на точку с запятой

0 =(九"%.(4.64)

Таков закон сохранения барионного заряда в ковариантной форме. Если материя, имеющая определенное химическое строение, однородна и неподвижна, плотность барионного заряда (предполагаем, что

93

число антибарионов пренебрежимо мало) прямо пропорциональна плотности масс покоя атомов в элементе жидкости, т. е.

р = цп,(4.65)

где(Л — средняя масса покоя на один барион, являющаяся постоянной. С помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, можно получить также закон сохранения массы покоя

(Р〃“)屮=0・(4.66)

Объединяя это выражение с уравнением движения материи с натяжениями 7?； = 0 в предположении, что материя является идеальной жидкостью, получаем третий локальный закон — закон локального сохранения энергии, или закон изоэнтропического потока. Выражение

〃江岁=0(4.67)

можно оценить, используя равенство (3.71). Поскольку мы работаем в локальной лоренцевой системе отсчета, сопутствующей элементу объема жидкости 6V, из (4.67) находим выражение

(d/Л) (р + рП) + V (р + рП + р) у = 0,(4.68)

которое перепишем в виде

(涧)(р + рП) + (р + рП) Vv + pVv = 0(4.69)

или

(d/dt) [(р + рП) 6V] + pd (6Q/df = 0.(4.70)

Итак, в локальной сопутствующей инерциальной системе отсчета изменение полной энергии (внутренняя энергия плюс энергия массы покоя) элемента объема жидкости уравновешивается совершенной работой pd (6V); это просто выражение локального сохранения энергии или изоэнтропического потока, поскольку из первого начала термодинамики и из (4.70) следует

dE + pdV = dW = TdS = 0,(4.71)

где Е — энергия; W — тепловая энергия; Т — температура; S — энтропия. Вообще говоря, отсутствие потока тепла было «заложено» в тензоре энергии-импульса с самого начала предположением идеальности жидкости. Чтобы допустить перенос теплоты, надо добавить в 7戸 дополнительный член Т唸^ = 2u(»q*, где д” 一 4-вектор потока теплоты. Дальнейшее обсуждение этого вопроса для неидеальных жидкостей см. в [93, 185].

Согласно закону сохранения масс рбУ постоянно и уравнение (4.70) можно переписать в виде

pdll/df — (р/р) dp/dt = 0(4.72)

или в виде, инвариантном относительно системы отсчета,

〃“ [U,u + Р (l/p),N = 0・(4.73)

Закон сохранения массы покоя (или барионного заряда) можно записать в более удобной форме, заметив, что для любого 4-веторк ного поля /»

/* = (-g)T/2 [(-g)"2/閃中/* = (-g)T/2 [(-g)"2/閃中(4.74)(4.74)

/* = (-g)T/2 [(-g)"2/閃中

/* = (-g)T/2 [(-g)"2/閃中

(4.74)

(4.74)

и, следовательно,

(р〃》)* = (_g)T/2[(_g)i/2 р〃同2 = о.(4.75)

В системе координат /, х уравнение (4.75) перепишем в следующем виде:

0 = [р (—g)"2 〃可‘° + [р (—g)i/2(4.76)

поскольку 〃/ = uM.

Введя инвариантную плотность

Р* =P(—g)"2〃。，(4.77)

Придадим уравнению (4.75) вид эйлерова уравнения непрерывности, справедливого в используемой здесь системе координат 力 х:

dp*/df + Vp*v = 0.(4.78)

Понятие инвариантной плотности удобно потому, что для любой функции / (х, /), заданной на объеме V, границы которого лежат вне материи, справедливо следующее соотношение:

(4.79)(4.79)(4.80)(4.80)-^- ^р* fd^ х = ^ р* (df/dt) d3 %.

(4.79)

(4.79)

(4.80)

(4.80)

Заметим, что согласно (4.79)

dm/df=0; т = ^ p*d3 xt

где m — полная масса покоя частиц в объеме V, определяемая согласно (4.77) выражением

m = J [pu° (—g)"2]d3% = J pd也(4.81)

где d^ — элемент собственного объема.

Глобальные законы сохранения. Рассмотренные выше законы сохранения были чисто локальными; они зависели только от свойств материи в локальной сопутствующей лоренцевой системе отсчета, где релятивистские и гравитационные эффекты пренебрежимо малы (и поэтому эти законы во всех теориях одинаковы). Уравнение (4.80) представляет первый появившийся у нас глобальный, или интегральный, закон сохранения; в действительности это не более как закон сохранения числа барионов в используемой здесь конкретной модели материи.

Однако если попытаться сконструировать более общие законы сохранения, например полной энергии (в противоположность сохранению только массы покоя), полного импульса или полного момента импульса, то возникнут трудности. Хорошо известно, что интегральные законы сохранения нельзя получить непосредственно из уравнения движения материи с натяжениями 7T = 0 из-за наличия символов

95

Кристоффеля в ковариантной производной. Скорее надо искать величину которая сводится к 7炉 в плоском пространстве-времени и обыкновенная дивергенция которой в координатном базисе исчезает, т. е.

(4.82)(4.82)贈=0.

(4.82)

(4.82)

Тогда, считая, что 0**v симметрично, находим, что величины

(4.83)(4.83)pu = J ®2 ~з sv； J2 = 2 j 力皿 6刃入 d3 Sx

(4.83)

(4.83)

сохраняются, т. е. интегралы (4.83) исчезают, если они берутся по замкнутой трехмерной гиперповерхности Е. Если выбрать систему координат /, х, в которой Е является гиперповерхностью постоянного времени, простирающейся сколь угодно далеко по всем пространственным направлениям, и если 0**v достаточно быстро спадает с пространственным расстоянием от материи, то Р** и /^ не зависят от времени и определяются выражениями

(4.84)(4.84)Q = J 0i*o~з 力；jn= 2 J%皿 ®v】od3x.

(4.84)

(4.84)

Соответствующий выбор 0**v позволяет интерпретировать компоненты Р** н J"” обычным образом: при измерении в асимптотически плоском пространстве-времени вдали от материи Р° есть полная энергия, Р/ — полный импульс, J" — полный момент импульса, a JW определяет движение центра масс материи. Если 0**v существует, но не является симметричным, то Р** сохраняется, но /^ меняется согласно уравнению

dJ^/dt = —210^]^%.dJ^/dt = —210^]^%.(4.85)(4.85)

dJ^/dt = —210^]^%.

dJ^/dt = —210^]^%.

(4.85)

(4.85)

Величина 0**v, обычно называемая комплекс-тензором энергии- импульса, вводится как сумма тензора и псевдотензора энергии-импульса [152] в точном варианте ОТО, в теории Бранса—Дике [216] и других авторов [156]. В рамках ОТО было сконструировано и обсуждалось множество различных несимметричных комплекс-тензоров энергии-импульса, но только симметричный вариант гарантирует сохранение момента импульса.

Имеется очень тесная связь между интегральными законами сохранения и лагранжевыми ковариантными формулировками метрических теорий. Показано [156], что в каждой лагранжевой, в общем случае ковариантной метрической теории тяготения, которая либо является чисто динамической (не содержит абсолютных переменных), либо содержит наперед заданную (априорную) геометрию при простом ограничении на группу симметрии ее абсолютных переменных (ограничение, которому удовлетворяют все известные на сегодняшний день конкретные метрические теории), существует закон сохранения в виде 0^v = 0, где 0**v является функцией определенных вариационных производных лагранжиана теории и сводится к в отсутствие гравитации.

Когда абсолютные переменные отсутствуют, законы сохранения вытекают из инвариантности относительно преобразования координат и комплекс-тензоры энергии-импульса не являются тензорами (или тензорными плотностями); более того, их может быть бесконечно много. При наличии абсолютных переменных именно их группа симметрии дает законы сохранения и ®叫 как правило, являются тензорами (или тензорными плотностями). Хотя 6戸 гарантированно существует в любой лагранжевой метрической теории, симметричность его не гарантирована и общего способа определения, при каких условиях оно будет симметрично, не существует.

В постньютоновском пределе существование законов сохранения в виде (4.82) может быть трансформировано в условия, накладываемые на некоторые ППН параметры. Попытаемся сконструировать 0**v в виде

®м =(1 — q(7)(7戸 + 鹏)， (4.86)

где а — константа; t^v — псевдотензор энергии-импульса [152] (который при определенных обстоятельствах можно интерпретировать как энергию гравитационных натяжений), исчезающий в плоском пространстве-времени и зависящий от полей U, I/川， Ф^, 匕，Wj ...» их производных и от w (и может также содержать материальные переменные р, П, р и V). В ®2 мы опускаем члены вида М夕叫 口7叫 Т^р/р, 0jvv, поскольку они не исчезают в областях с пренебрежимо малым полем тяготения.

Объединяя (3.65), (4.82) и (4.86), получаем, что в постньютоновском порядке /2 должно удовлетворять уравнению

弊—aUtyt^ = 14穴* +「厶7叫 + aU ,vr^.(4.87)

При интегрировании (4.87) используем сводку определений и формул ППН формализма, приведенную на с. 92, уравнения (4.36) и следующее тождество, справедливое для любой функции /:

4叫=-2 (d/dN) Го 仍 + UМ3(4.88)

где

%(/)="("•/)^ 6〃 Wvf ・(4.89)

Используем также тождество

р①步,z = (4л)-1 (5/5%/) [—2rl订(Ф» + -^ U —VXV^)—

—业,左 X, // 一％%, kij + ^ij (Х*Фа, Q, I +8лру, “и, /)—М (U, о)[ +

+ (2n)T (d/df) (U,, и, о) + a “• [(4n)T 給4 +p°2 + 2"-

-(8 冗尸 |W|2],(4.90)

Где 屯一решение уравнения

屮屯=一4冲刀.(4.91)

4 зак. 66497

Теперь уравнение (4.87) Можно привести к виду

4峭=4冗(銀 + "；) = d/dt ^ (бу + 2@- 5) I 沙 |2]-

—д/дх1 [2 (Зу+ @—3) U, /%/,订 +(3у+а —2) U, / U, °]; (4.92) 4冠；=4门(/ +〃)=0/0((47 + 4 +%) U, "口,订 +

+Y(4丫 +2 + %一2% + 20 U,『U, о-(5?+ a-1) U^Vt +

+ } % 叫屮 U + 电 U, MwW) ] + dldxi {[1 -(J + 4g—a) U +

+ 十(a2— %) w^ Ги (17)—2gro (Ф^) + 2沁丿(VXW)—

-(Si-2g) I\ j (4) + 2гfj (①)+(2& - aj n j (叫匕)一

—a2 Гм (^Л s' X,论/)—(1 + a?—G + 2g) F〃 (％, о。) + 2a2 F订(wk 兀加一-2(47+4 + % (乙,/] Vy, /]—^-6订 п儿 〃 九, 〃) + (4Y + 4+%) *X(U V —6订U,左％, о) + &(8лру U +Mj(%S,B,/ —

\ ,М /), о 2/,(，，/)

—屮左,左 ％,"—浒斩 kiij —^ (4丫 + 2 + % — 2a2 + 2G 6»j (U, о)2 +

+ a2 M j [十(wvU)2 一 U, о w^U ] + (5y + q — 1) U (p" W +p6") +

(4.93)(4.93)+т〃 1 + 4nQ^,

(4.93)

(4.93)

где

①=} (2у + 2 + % + J -2Е) Q + (3丫 一 20 + 1 + 阪 + 9 义

(4.94)(4.95)(4.94)(4.95)(4.96)(4.96)X Ф2 + (1 +2з)Фз + (3? + 3^-25) Ф4;

(4.94)

(4.95)

(4.94)

(4.95)

(4.96)

(4.96)

工"=у ^iU^2Vj + a^}UtiU,Q — a2gU,i (wVU);

Q‘ = U，z [-y(% + G pM+ (8n)r 厶 IV。F + 备 РП ++ 3Q p + (8л)т ^ivM + a8 pvw].

Ранее было установлено, что невозможно записать Qi в виде комбинации градиентов и производных по времени гравитационных полей и материальных переменных. В этом случае интегрируемость (4.92) и (4.93) требует, чтобы все слагаемые в Qi исчезали идентично, т. е.

a3 三 G1 三扌2 三工3 W Q 三 0.a3 三 G1 三扌2 三工3 W Q 三 0.(4.97)(4.97)

a3 三 G1 三扌2 三工3 W Q 三 0.

a3 三 G1 三扌2 三工3 W Q 三 0.

(4.97)

(4.97)

Это требование должно быть удовлетворено в любой метрической теории для того, чтобы законы сохранения имели вид (4.82).

При этом выражения для сохраняющихся энергии и импульса можно получить из (4.84), (4.86), (4.92) и (4.93). В результате после интегрирования по частям имеем

ро= Jp*(l + 十緑—-J-U + Il)#%；(4.98)

Р = jp* { "[1 + V2^- U +II + p/p ]^- (1 + (X2)吃一

—~ Qi — %)(匕 + 吗 U)—-^-%WjUf jd3x.(4.99)

где использована ППН запись инвариантной плотности (4.77) в виде р*=р[1+ £и2 + Зуи + О(4)]・(4.100)

В выражении для Р° первый член представляет собой полную сохраняющуюся массу покоя частиц жидкости. Остальные члены суть полная кинетическая, гравитационная и внутренняя энергии жидкости, сумма которых сохраняется согласно ньютоновской теории (которая может быть приложена к любому постньютоновскому члену). Следовательно, Р° это просто полная энергия массы жидкости с точностью до членов О (2), которая сохраняется независимо от выполнения условий (4.97). Однако если эти условия нарушены, можно ожидать нарушения сохранения Р° с точностью до О (4).

В другом выводе закона сохранения импульса используется метод Чандрасекара [56], в котором гидродинамические уравнения движения Т：； = 0 интегрируются по всему пространству и ищутся Pz, производные которых по времени обращаются в нуль. Реализация этого способа затруднена наличием члена f Q^d3%, где Q» определяется (4.96). Этот интеграл можно записать через полные производные по времени, только если Q» можно представить в виде комбинации производных по времени и пространственных дивергенций (это приводит к поверхностным интегралам на бесконечности, обращающимся в нуль). Однако согласно приведенным выше рассуждениям это возможно, если только условие (4.97) для пяти ППН параметров удовлетворено. Тогда Qf = 0 и сохраняющаяся энергия 尸厶 полученная этим методом, совпадает с (4.99).

Теперь можно говорить о физическом смысле параметров а3 и Si-4 ——они измеряют степень и форму, в каких данная метрическая теория тяготения предсказывает нарушение законов сохранения полной энергии и импульса. Если все пять параметров в данной теории равны нулю, энергия и импульс сохраняются; если часть из них не равна нулю, энергия и импульс могут не сохраняться. Согласно теореме Ли и др. [156] в любой лагранжевой метрической теории гравитации все пять параметров, связанных с законами сохранения, равны нулю.

Заметим, что параметр а3 играет двойную роль в ППН формализме: это параметр как законов сохранения, так и привилегированной системы отсчета.

Для обеспечения сохранения момента импульса тензоры J^, ^v должны быть симметричны. Из (4.92) и (4.93) видно, что в f" имеются несимметричные члены т" (4.95) и что #' =/= *°. Однако, интегрируя (4.92) и (4.93), мы имеем право добавить к номинальному решению для ，м” любую величину S^, удовлетворяющую уравнению

S* = 0.(4.101)

Надо признать, что найти S", которое уничтожало бы или симметри- зовало несимметричные члены т" в f", так и не удалось. Что касается компонент #' и //0, то лучшее, что мы можем сделать, это воспользоваться тождеством

d/dt (I7V2I7 + |VU『)+ dldxl (UV?匕—U^U^ — 2UtkV[kt /])三 0

(4.102)

для уничтожения или симметризации одного из них. Наиболее удобным представляется согласование члена в *°, содержащего U^Vt, с идентичным членом в 卅.При этом зависимость от константы а из исключается и мы имеем

2"°"=---(a1—2О2)U, о U,，一%U, j %/, /]-

三 a\8tU寸 U—a% U, ,wW；(4.103)

2 倒】=2d"】=аг Uw[i^2Vj} — 2а2и^ци,^ + 2a2t^u Uj^w^U,

(4.104)

Для симметричности t^ необходимо, чтобы все члены в (4.103), (4.104) исчезли одновременно, т. е. чтобы

ах = а2 s 0.(4.105)

Полностью консервативной теорией назовем такую теорию тяготения, которая содержит полный набор постньютоновских законов сохранения —энергии, импульса, момента импульса и движения центра масс, т. е. чьи ППН параметры тождественно равны нулю:

% 曰 а? = аз 三 J 三 J w Сз 三 * 三 0・(4.106)

Такая теория не может в постньютоновском пределе содержать привилегированную систему отсчета, так как % = a? = а§ = 0. В таких теориях только три параметра у, § н g могут изменяться от теории к теории, a 0**v и t^ записываются в виде

®2 = [1 + (5у — 1) U] (72 + 产)；

卅=一(8冗尸(47 + 3)|VUE；

(4.107)(4.107)(4.108)(4.108)(4.109)(4.109)(4.110)(4.110)

(4.107)

(4.107)

(4.108)

(4.108)

(4.109)

(4.109)

(4.110)

(4.110)

抑=#о =(4冗尸 К2y + 1) U,, U, о + 4 (у + 1) U, / V[h 巾；

07= [1一(5? + 皖一 1) и] г0 (U)—22,(OV) +22,(AyAU) ++ 2/八4)+2%((1))一(1 + 2日)г订(%,00)-8(Y+1)*

X (П九 /] Vyt /] —+6w[耳"也力+ 4(Y +1)( U J/)0一

-^"6〃U，厶，厶，。 + К8^р% и +6订(%业,祝)，/-

2/，偉，/)

一中耳论 X, "一灿,近7)"^ (2?+ 1) 6订(U, о)2；

①=}(2 7 + 2 一 2日)① 1 +(3Y一 2P + 1 + 日)①2 + ①3 +

+(3Y一2^)Ф4

и сохраняются следующие величины:

ро= ,р*(1+ ±^_-L(; + n)d8x;

p』Jp屮0+ 十紋—^u + U + p/p)—В 叫d〃；

*=2 j p* %口 {叫 1 + 春統+(2? +1)u + й + р/p ]一 _ -L(4? + 3) 口】—g ⑺]} d3 x;

jo，= jp*《l+ 十統-^u + II)炉％—P%

Определив положение центра масс как

Jp* w(1+ 十懈一十 U+H)d3*j P*(l+4"懈一£ U+U)d3*из (4.107) и постоянности J°' получим

dXHdt = РЧР\

т. е. центр масс движется равномерно со скоростью Р'/Р°.

Некоторые теории могут иметь только законы сохранения энергии и импульса, т. е. их ППН параметры могут удовлетворять требованию

«8 三 С1 三 с2mg8工 吕4 三 о, ОДИН из аг, а2 * 0.(4.111)

Такие теории назовем полуконсервативными. Сохраняющееся Р^ в таких теориях можно определить из (4.98) и (4.99), а несохраняющее- 101

Ся /и” 一 из (4.84), (4.92) и (4.93). Характерным свойством неконсервативного случая является тот факт, что в системе координат, покоящейся относительно Вселенной, w = 0 и пространственные компоненты f" автоматически являются симметричными вне зависимости от % и а? (поскольку т" = 0 при w = 0). Следовательно, пространственный момент импульса в такой системе отсчета сохраняется, в то время как в движущейся системе отсчета это не так. Связанная с центром масс компонента J°{ однако, не сохраняется ни в какой системе отсчета, поскольку т/0 =й= т0' при любом w. Это расхождение можно понять, если учесть, что различие между J" и J°/ не является лоренц- инвариантным. Поскольку ППН метрика инвариантна относительно постгалилеевского преобразования, величины К и Р^ должны при этом преобразовываться как вектор и антисимметричный тензор соответственно. Это можно показать в явном виде, применив преобразования (4.49) к интегралам, содержащим Р^ и /к”, после чего в постньютоновском порядке имеем

ро‘ = ро(1+ 貝 2)_цр；

Р，= Р—(1+ yU2juP0 4.±U(UP)；

(4.112)(4.112)J屮=J"—JH%〃 冰 + 2 (1 + 十〃2)JO [“〃； j^^ji^^Xt^^uijii — JLui 加 〃0,

(4.112)

(4.112)

где u = 〃/е/ —— скорость бу ста. Тогда буст из системы покоя Вселенной, где dJ^ldt = 0, к системе отсчета, движущейся со скоростью w, дает

•• о [Z/]

W =2J" [1+0 (tei2)],(4.113)

и, следовательно, нарушение сохранения момента импульса тесно связано с нарушением равномерности движения центра масс. Именно поэтому можно утверждать, что полуконсервативные теории тяготения содержат только законы сохранения энергии и импульса. Уравнение (4.113) может быть подтверждено в явном виде с помощью (4.103), (4.104) и того факта, что

%=2%=2[^d3x;扪'=2 J 停°】d3%・[^d3x;扪'=2 J 停°】d3%・(4.114)(4.114)

%=2

%=2

[^d3x;扪'=2 J 停°】d3%・

[^d3x;扪'=2 J 停°】d3%・

(4.114)

(4.114)

Любая лагранжева теория является по крайней мере полуконсерва- тивной.

Неконсервативные теории не содержат законов сохранения (кроме тривиального для Р°); для них один из параметров <х3,番一《не равен нулю. В табл. 4.1 сведены свойства метрических теорий гравитации, связанные с законами сохранения, а в табл. 4.2 перечислены различные ППН параметры.

Таблица 4.1. Постныотоновские интегральные законы сохранения

Значения ППН параметров

Характер теории

Сохраняющаяся величина*

С1—4» %

5,图

Все равны нулю

Все равны нулю

Полностью консервативная

pU,严

То же

Могут быть не равны нулю

Полуконсерва- тивная

Р^

Могут быть не равные нулю

Любые

Неконсервативная

р。

♦ В иеконсервативных терриях Р。сохраняется только в наинизшем ностньютоиовском порядке, т. е. до членов О (2).

Таблица 4.2. ППН параметры и их физический смысл

Параметр

Что он характеризует в ОТО*

Значение параметра в

ОТО

полукон- серватив- ных теориях

полностью консервативных теориях

Кривизну пространства, создаваемую

]

единицей массы покоя

У

0

Степень нелинейности закона суперпо

1

зиции для гравитации

Р

Р

Наличие эффектов привилегированно

0

g

го положения

Наличие эффектов привилегированной

0

0

«а

системы отсчета

0

аа

0

«8

0

0

0

0

0

0

Нарушение закона сохранения полно

0

0

0

го импульса

0

0

0

0

0

0

* Этот пункт справедлив только в стандартной ППН калибровке, и его не следует рассматривать как ковариантное утверждение. Примеры непонимания, которое может возникнуть в противоположном случае, особенно для параметра 0, приведены в [72, 84].

ГЛАВА 5

ПОСТНЬЮТОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ГРАВИТАЦИИ

Попытаемся теперь использовать ППН формализм для получения ППН предела метрических теорий тяготения. При этом мы увидим, каким важным инструментом для сравнения и классификации этих теорий ППН формализм является. В § 5.1 обсуждается общий метод вычисления постньютоновского предела трех классов метрических теорий тяготения. К первому классу относятся чисто динамические теории (см. § 3.3), в том числе ОТО (см. § 5.2), скалярно-тензорные теории, особым случаем которых является теория Бранса—Дике (см. § 5.3) и векторйо-тензорные теории (см. § 5.4). Второй класс составляют теории с первичной (априорной) геометрией, в том числе биметрические теории (см. § 5.5) и «стратифицированные» теории (см. § 5.6). Теории, описанные в § 5.2—5.6, имеют разумные шансы на согласие с выполненными к настоящему времени экспериментами в солнечной системе, которые будут описаны в гл. 7—9. В табл. 5.1 приведены ППН параметры для этих теорий. Третий класс составляют теории, которые одно время считались справедливыми, но затем обнаружили значительные расхождения с одним или несколькими контрольными экспериментами в солнечной системе (см. § 5.7).

МЕТОД РАСЧЕТА

Несмотря на большое структурное разнообразие метрических теорий гравитации, вычисление их постньютоновского предела обладает рядом общих черт, которые полезно рассмотреть совместно. Именно они делают постньютоновский предел почти универсальным, за исключением значений ППН параметров. Основным изменяющимся фактором оказывается степень сложности требуемых алгебраических вычислений. Для того чтобы упорядочить представление конкретных теорий в этой главе и для установления единой системы обозначений представим нечто вроде списка рецептов для расчета постньютоновского. предела различных метрических теорий тяготения.

Шаг 1. Введем переменные: динамические гравитационные переменные, такие как метрика ^v, скалярное поле <р, векторное поле К匕 тензорное поле Bgv и т. д.; априорно-геометрические переменные, такие как плоская абсолютная (фоновая) метрика r]gv, космическое время / и т. п.; материальные и негравитационные переменные.

Шаг 2. Установим космологические граничные условия: космологические условия будем считать однородными и изотропными и определим значения переменных вдали от постньютоновской системы материи для выбранного момента времени и асимптотической системы координат. В изотропных координатах системы покоя Вселенной с учетом симметрии удобно выбрать динамические переменные в виде g^f gj^ = diag(—%, q, q, q);(p-xp0；

Kfi f (K? 0, 0, 0); Byv f в}* = diag (叫，铀，①卜 ％),(5.1)

Таблица 5.1. Метрические теории тяготения и их ППН параметры

Теории и их гравитационные поля

Произвольные функции или постоянные

Космологические коэффициенты связи

ППН параметры

V

В

а

5

%

（%，，.0

ОТО (g)

—

—

1

1

0

0

0

0

Чисто динамические

Скалярнотензорные

Бергманна — Вагонера —Нордтведта

®(ф)

Фо

1 +(о

2 +®о

1+А

0

0

0

0

(事Ф)

Переменных масс Бе- кенштейна

Ю (ф)» Г, q

фо

1 +(о 2+со

1+А

0

0

0

0

Бранса — Дике

(0

Фо

1+(о

2+®

1

0

0

0

0

Векторнотензорные

Общая

Хеллингса — Нордт

®, Т|，8, Т (0

К К

V： У

В；

0 0

* а；

а；

*

0

0

(% К)

ведта

Уилла — Нордтведта

—

К

1

1

0

0

№/(1 +

+(%)№)

0

Априорно- геометрические

Биметрические

Розена («, п)

Рэстолла (g, ", К)

Белинфанте — Суи- харта —Лайтмана — Ли («，П В)

的戶

（Оо> ®1

1

1

у

1

1

У

0 0

0

0 0

*

叫

*

0

0

0

Стратифицированные

Лайтмана — Ли — Нордтведта (g, ”，t, Ф， К, В)

Ни (g,",力 ср, К)

/1-3（Ф）>

心（中），С

Ь, с, d

^о> q, а, Ь, % d

ос0 q

У

Ьс0

г

0

*

а；

*

а；

8

0

Примечание. Штрихом помечены ППН параметры, представляющие собой сложные функции произвольных постоянных и ко- g эффициентов космологической связи (см. текст).

& априорно-геомеФрическиб переменные (справедливые Везде, так КаК они не зависят от локальной материи) в виде 乳卩旷=diag (—1, 1, 1, 1) н f = f при V/ = (1, 0).

Связь между этими асимптотическими значениями и их эволюция устанавливаются при решении космологической задачи. Поскольку эти асимптотические значения могут влиять на ППН параметры, полное определение постньютоновского предела может потребовать полного решения космологической задачи. В некоторых теориях эта задача может оказаться непростой. Пока же мы обойдем трудности, предположив, что космологические коэффициенты связи являются произвольными константами (точнее, произвольными медленно меняющимися функциями времени). В гл. 13 мы вернемся к космологии и обсудим связь между космологическими моделями и наблюдениями, которые могут дать асимптотические значения полей и постньютоновского тяготения. Заметим, что при наличии плоской фоновой метрики "почти всегда наиболее удобно работать в такой системе координат, в которой эта метрика имеет форму метрики Минковского, так как во многих теориях получающиеся уравнения поля содержат легко решаемые волновые уравнения плоского пространства-времени. Тогда приведенная выше асимптотическая форма g определяется решением космологической задачи. При наличии " не всегда возможно (только при определенных космологиях или в определенные космологические эпохи) привести н ”，н g к асимптотической форме метрики Минковского одновременно. Разумеется, когда постньютоновская метрика ^определена, всегда можно выбрать и локальную квазидекарто- ву систему координат (см. § 4.1, 6), в которой ^имеет асимптотическую форму в виде метрики Минковского. При этом форма, которую принимает ”, несущественна, поскольку в отличие от g “ не связано с материей. В теориях, не содержащих ”，обычно удобно сразу выбрать ко ординаты, асимптотически переходящие в координаты Минковского.

Шаг 3. Разложим в постньютоновский ряд вокруг асимптотических значений интересующие нас величины

g^v = g>2 + 九kv；(5・2)

q> = % + 世(5.3)

Кк= (K +府，屈厶，4з)；(5.4)

^gv = В 削 + ь卩У・(5.5)

В общем случае порядки постньютоновских возмущений таковы: %。~。⑵ + О (4);幅 ~ О (3); hj ~ 0(2);行〜。⑵ + О (4);岛~ ~ О (2) + О (4); % ~ О (3);瓦° ~ О (2) + О (4); bQj ~ О (3);仇)~ -О (2).

Шаг 4. Подставим (5.2)—(5.5) в уравнения поля, удерживая только члены, необходимые для получения окончательного согласованного постньютоновского решения для 乳卩屮 Используем всю нашу методику расчета постньютоновского предела (см. § 4.1), в том числе соотношение (d/dt)/(d/dx)^O (1). В качестве материальных источников подста- 106

вим тензор энергии-импульса 7刚 для идеальной жидкости и связанные с ним переменные.

Шаг 5. Разрешим уравнения наинизшего постньютоновского порядка относительно Аоо до О (2). Предположив, что Аоо -> 0 вдали от материи, получим 九必 = 2aU, где U — ньютоновский потенциал тяготения (4.2), а а может быть сложной функцией космологических параметров связи и других констант взаимодействия, которые могут появиться в уравнениях поля теории (например, постоянной тяготения). В ньютоновском порядке метрика имеет вид

goo = — % + 2aU; gg = 0; g” = 6仃6・(5.6)

Чтобы представить метрику в стандартной ньютоновской и постньютоновской формах в локальных квазидекартовых координатах, надо выполнить преобразование координат:

依=w/2%0； xг^e\/2х1л(5.7)

Тогда

go6 = cr1gOo； gQj^t^c^^g^ ga = cr?ij； U = qU, (5.8) и, следовательно,

g而=—l+2(a/&q)77; g^=0; g?『=Mj・(5.9)

Поскольку мы пользуемся единицами намерения, в которых постоянная тяготения (измеренная в настоящее время вдали от гравитирующей материи) равна единице, следует положить

Онв м 叫q = 1.(5.10)

Это ограничение часто упрощает остальные расчеты, не внося никаких существенных физических ограничений; это просто вопрос выбора еди* ниц измерения.

Шаг 6. Получим решение для %)до О (3) и для Л^ до О (2). Их можно получить из линеаризованных уравнений поля. Уравнения поля в некоторых теориях имеют калибровочную свободу, и соответствующим выбором масштаба калибровки можно упростить их решение. Выбранная таким образом калибровка не обязана быть стандартной ППН калибровкой (см. § 4.2), и после получения полного решения может по・ надобиться калибровочное преобразование (координат) к стандартному масштабу калибровки [уравнения (4.40) и (4.46)].

Шаг 7. Получим решение для Аоо до О (4). Это самый трудный шаг, затрагивающий все нелинейности в уравнениях поля и многие решения для гравитационных переменных низших порядков. Тензор энергии- импульса также необходимо разложить в ряд, удерживая постньютоновские члены. Используя (3.71), (5.6) и (5.10), получаем

7。。= с尸 р [1 + И+2q U 十 с尸 q " + о ⑷】；

To/=c-ip[u/ + 0(3)];(5.11)

7〃 = Со1 ри® +cU p6« + pO (4).

Шаг 8. Перейдем к локальным квазидекартовым координатам [выражения (5.7)] и к стандартной ППН калибровке (см. § 4.2).

Шаг 9. Сравнивая результат для g^v с (4.48) или с формулами на с. 91 (при w = 0), получаем значения ППН параметров. При отыскании этих постньютоновских решений полезны следующие формулы:

U = —1/2V2%; |VU|2 = V2 (L^/2 — Ф2),(5.12)

а также выражения (4.28), (4.29), (4.32), (4.36) и (4.37),

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Основной литературный источник: стандартные учебники типа [185, 346].

Присутствующие гравитационные поля: метрика g.

Произвольные параметры и функции: никаких (пренебрегаем космологической постоянной, которая слишком мала, чтобы быть измеренной в солнечной системе).

Космологические коэффициенты связи: никаких.

Уравнения поля: выводятся из принципа инвариантности действия 6/ = 0, где

/ = (16冗О)- f R (-g)"2 dM + Ing ④,g^ J(5.13)

R — скаляр Риччи (3.81); Ing — негравитационное действие с уни версальностью связей; G — константа гравитационного взаимодействия. Варьируя действие по g^y, получаем уравнения поля

R^v ■— l/2g@、R = 8nGTgV.(5.14)

Постньютоновский предел: поскольку g— единственное присутствующее гравитационное поле, можно выбрать его асимптотически полем Минковского, не затрагивая другие поля. Следовательно, мы с самого начала имеем “ = с* = 1. Удобно переписать (5.14) в эквивалентном виде

Rz = EG (7内-(1/2)纟卩仃)，(5.15)

где T = Tgv^- Возмущения ftgv и R^y в требуемом порядке запишутся как

,0о-2%%加)+ -у-Лоо, j^jht h^■九hA

J" I V^oo l2H九川九oo,加

R(M =~"(V2^о~^ло, 川 + hf1fh g—hkit Q0;

Ri/ = I•十(V?力幫一“％ 订十九％ ij~^kit kL%, Л, /)•(5.16)

.九® до О (2). В требуемом порядке

К(Ю = —^炉瓦。；7qq = —Г=Р； g® = —L (5.17)

так что

V%oo = —8冗Gp; % = 2GU.(5.18)

Выберем теперь единицы измерения, в которых G = 1, что дает

Лоо = 2U.(5.19)

.九订 до О (2). Если ввести три условия калибровки (i = 1> 2, 3)

MU - 1/2旗 £ = 0;能е n哪卽，(5.20)

то из (5.16) для Rij находим

屮比j = —8лр6о; Ло = 2Ug.(5.21)

.九g до О (3). Если ввести дальнейшее условие калибровки

Ло.ц — 1/2Лц,о = —1/2Л00>0,(5.22)

то из (5.15) имеем

V%0> + U 川=16nps(5.23)

или, используя выражения (4.28)—(4.32), получаем

%/ = -4% + 1/2%川=一7/2匕-1/2吃. (5.24)

Полезно проверить, что решения для Аоо> Ло> и й^ удовлетворяют условиям калибровки (5.20) и (5.22) до необходимого порядка.

. Аоо до О (4). При выбранной калибровке величина /?00, корректно оцененная до О (4) с использованием известного решения низшего порядка для ftgv везде, где это возможно, примет вид

/?оо = -1/2V2 (Лоо + 2U -8Ф2).(5.25)

В необходимом порядке также получим

Too — l/2gQoT = 1/2р [1 + 2 廿一U + 1/2П + 3/2〃р)]・ (5.26)

Тогда решением (5.15) будет

Лоо = 2U — 2U2 + 4Q + 4Ф2 + 2Ф3 + 6Ф4.(5.27)

. ППН параметры и g^y： окончательно для метрики g^y получаем

goo = —1 + 2U—2U? + 4 ①1 十 4 ①2+ 2①з+6①4;

go 尸-^■匕^吃；(5.28)

g仃=(1+2U)Mj.

Поскольку эта метрика уже стандартно прокалибрована согласно ППН формализму, ППН параметры получаются непосредственно в виде

Y = 0 = 1； £1—4 = ®1—з == & = 0.(5.29)

Обсуждение: ОТО является полностью консервативной теорией и не предсказывает каких-либо эффектов, связанных с привилегированной системой отсчета f

скалярно-тензорные теории

Было развито также значительное число метрических теорий, которые в дополнение к метрике постулируют динамическое скалярное поле тяготения (р. Наиболее общая такая теория исследовалась Бергманном [27] и Вагонером [332], отдельные аспекты этих теорий изучались в [19, 44, 145, 206, 313]. Ниже подробно рассмотрена теория Бергманна—Вагонера и различные частные случаи.

Основной литературный источник: [27, 332].

Присутствующие гравитационные поля: метрика g, динамическое скалярное поле(р・

Произвольные параметры и функции: две произвольные функции —функция связи(о (ф) и космологическая функция 入(ср).

Коэффициенты космологической связи: (р0.

Уравнения поля: выводятся из действия

/ = (16冗尸 J[(pR — ф-1© (ф) g^cp.nV.v + 2祕(ф)] (—g)"2 dM +

+ Ing(04 guv)(5.30)

и имеют вид

RlAV— g|TvR一入(<P)g|4V= 8л；др1 Tjav + ф~2 co (ф) ^ф,ц(p,v~

—-Ф.х Фд) Ч-ф-^Ф;尸一 gw CJg 屮)；(5.31)

口09+十中…屮*^ln(T)+十焉 卜+ 2%(以(砌卜0.

(5.32)

Уравнение поля для 屮 можно переписать, подставив свертку уравнения (5.31) в (5.32), что даст

□-Ф+ 抑2d*/d(p —2(р%((р).=——I_(8冗7—_^. ф ф,ц\(5.33) 3 + 2о (ф)3 + 2(d (ф)〈d(p丿

В этой теории космологическая функция 入(屮)приводит к двум аффектам. Во-первых, в уравнениях поля для g функции X (ср) играет ту же роль, что и космологическая постоянная в ОТО. Во-вторых, в уравнениях поля для ф она определяет связанный с X, со и их производными характерный масштаб / в том смысле, что решение для ср в изолированной системе содержит член типа потенциала Юкавы ехр (—ш). В результате входящий в g00 [332] ньютоновский потенциал тяготения принимает вид

U (х, 0 = J Р・(*；?；,「О d3x\(5.34)

где эффективная постоянная тяготения определяется выражением

G (х — х‘)= а + 匕 ехр (—|х — х'|//)・(5.35)

Эксперименты, проверяющие зависимость сил тяготения от квадрата расстояния, могут, следовательно, накладывать предел на космологическую функцию %. Однако в дальнейшем положим 51Mo.

110

Постньютоновский предел: выбираем координаты (локальные квазидекартовы), в которых g асимптотически переходит в метрику Минковского, а 屮 стремится к асимптотическому значению(р0 (которое предположительно изменяется при эволюции Вселенной с временным масштабом порядка хаббловского). Определив

со = со (ф0); со,三 dco/dcph；

A m W (3 + 2со)-2 (4 + 2s)-i(5.36)

и следуя методу § 5.1, для постньютоновской метрики получаем

goo = — 1 + 2U-2(1 +л)t/2+ 4(翼")％ + '

+ 4 (尊 j)фг+2Ф3 + 6(尧)R;

Переходя к геометризованным единицам, для значения постоянной тяготения в настоящее время находим

Ghb 三(4 + 2со)/(ро (3 + 2со) = 1.(5.38)

Заметим, что если (р0 меняется в результате эволюции Вселенной, то со временем GHB может стать не равным единице (см. § 8.4). ППН параметры в этом случае имеют следующий вид:

у = (1 + со)/(2 + со); В = 1 + А; & = 0; а.з = Si-4 = 0. (5.39)

Подробный вывод представлен в [206, 215].

Другие теории и частные случаи.

Скалярно-тензорная теория Нордтведта [206] эквивалентна теории Бергманна—Вагонера в частном случае равенства нулю кос- люлогической функции (入三 0). Ее ППН параметры те же, что и в теории Бергманна—Вагонера.

Теория Бранса—Дике соответствует частному случаю скалярно-тензорной теории тяготения при 入=0; s = const. Ее ППН параметры можно получить из ППН параметров теории Бергманна—Вагонера—Нордтведта, положив со' = Л = 0< В пределе <о-> оо теория Бранса—Дике сводится к ОТО.

Теория переменных масс Бекенигтейна [19] представляет собой частный случай теории Бергманна—Вагонера—Нордтведта с ограниченной функцией связи со (ф). Допустив, что массы покоя элементарных частиц могут меняться в пространстве-времени соответственно скалярному полю <р, причем эти изменения определяются уравнениями поля с двумя произвольными параметрами г и q, Бекенштейн

показал, что такая теория, будучи преобразована к метрическому представлению, есть скалярно-тензорная теория Бергманна—Вагонера—Нордтведта с

s(4>)= ―^^/(Ф)1(1 —6^)qf (ф)— И [г + (1—г)qf (ф)]-а； (5.40)

Ф = [1 — ^f(q))] I/ (q))H.(5.41)

Заметим, что для выбранных значений г и q современные значения со и Л определяются асимптотическим значением(р0> которое в свою очередь находится из космологического решения уравнений теории. Подробнее об этом см. [20—221.

Предложенная Баркером [15] теория постоянного G представляет собой частный случай, в котором

со (ср) = (4 — 3(р)/(2(р — 2),(5.42)

так что GHB = const = 1, а

Л = (1 —(ро)/2(ро = —(8 + 4со)-1.(5.43)

Обсуждение: отметим, что скалярно-тензорные теории являются полностью консервативными (%-з = “_& = 0), без эффектов привилегированной системы отсчета (м一з = 0). В пределе со оо они сводятся к ОТО как в постньютоновском приближении, так и в точной теории (сильного поля) для всех, за исключением некоторых «патологических», функций связи со (ф). В частности, это справедливо для теории Бранса—Дике, теории переменных масс Бекенштейна и теории Баркера. Вообще говоря, при больших значениях со ((р0) предсказания этих теорий в текущей эпохе для всех гравитационных ситуаций ——постньютоновского предела, нейтронных звезд, черных дыр, гравитационного излучения, космологии — отличаются от предсказаний ОТО максимум на поправку О (1/со). Однако теории, в которых со является функцией <р, могут заметно отличаться от ОТО в ранние моменты существования Вселенной, даже если современное значение со ((р0) велико (см. гл. 13). В теории Бранса—Дике (с постоянным со) все предсказания отличаются от предсказаний ОТО на О (1/со) (подробный список литературы по теории Бранса—Дике представлены в [198]).

ВЕКТОРНО-ТЕНЗОРНЫЕ ТЕОРИИ

В рамках чисто динамических метрических теорий тяготения простым способом конструирования теории, отличной от скалярно-тензорных теорий, является постулирование в дополнение к метрике динамического 4-векторного гравитационного поля, что дает нам векторнотензорную теорию гравитации. Широкий класс таких теорий можно проанализировать, если ограничить внимание теориями, основанными на невозмущенном лагранжиане; при этом дифференциальные уравнения для векторного поля линейны и не выше второго порядка. В наи- 112

более общем виде гравитационное действие в таких теориях дается выражением

厶=(16 冗 GL J&R + aK^K味 + азК»К0” + %KqK»" +

+。5K用 ”Kv* + 09K『КС (—g*2 d%(5.44)

(мы опустили возможный член К»К%2, поскольку он, по предположению, играет здесь ту же роль, что и космологическая функция X в скалярно-тензорных теориях). Вообще говоря, это действие записано даже в слишком общей форме; его можно упростить интегрированием по частям и опусканием расходящихся членов, которые не дают вклада в вариацию Ig- Следовательно, шестое слагаемое в /g можно опустить. Далее, константу % можно включить в G, в результате чего получим набор четырех параметров, характеризующих векторно-тензорные теории.

Основной литературный источник: [132, 368].

Присутствующие гравитационные поля: метрика g динамическое векторное поле К (предполагается временноподобным).

Произвольные параметры и функции: четыре произвольных параметра со, т], е и т.

Космологические коэффициенты связи: К・

Уравнения поля: выводятся из действия

/ = (16nG)-i f [R +(^K^R + nQ/CRz - e%js +

+ 工 KmvK阳v] (—g)i/2 dM + ING ④，g^9(5.45)

где

尸卩v = К品一K%v,(5.46)

и имеют вид

R2-}g2R + s 眠+П瞅 + 咻3+т階=85戸；(5.47) eF^ + y tK%v—^sK出R--^叭”鹏=0, (5.48)

где

(5.49)(5.49)嘿=凡 К” R + К?R尸一春 ga，№ R—(©；尸+gg、№; 魄=2№ K(U Rv)a-十 g2 Ka KB RaB—(Ka K(J”)a + + } 口g (Ku Kv) H^ guv (K06 KB)；aB；

(5.49)

(5.49)

8將=—2 (尸"va^* gg 尸aB F06。}

®[?J = Ku；aKj + Ка;цК^ ^"guvKa/K06* +

+ (К00 K(u；v) — K；?u Kv) —К(ц K$);a；

К'三 ХцКк. Для того чтобы иметь строго определенное свободное динамическое векторное поле, будем считать, что все время либо 8, либо т не равно нулю.

Рассмотрим одно важное свойство этих уравнений. Ковариантная дивергенция левой части (5.47) обращается в нуль согласно закону = 0, что означает, что обращение в нуль дивергенции 7炉 не налагает дополнительных ограничений на поля. Это результат общей ковариантности действия /, которое не содержит априорно-геометрических переменных (обсуждение см. в [156]). В отличие от этого дивергенция левой части (5.48) приводит к ограничению

次器 一 ®К唠 + nKvR凱 к 三 0.(5.50)

Это результат того, что действие не является полностью калибровочноинвариантным, т. е. инвариантным по отношению к преобразованию

Ku f Ku + 儿》,(5.51)

где % ——скалярная функция. Калибровочно-инвариантными являются только члены, содержащие 尸以屮 Лагранжиан, допускающий такую частичную группу калибровки, называется сингулярным; можно показать, что он удовлетворяет тождеству Бианки, которое в случае частично-калибровочной группы имеет вид

(62g/6KQn = 0・(5.52)

Это выражение эквивалентно (5.50), что означает в общем случае ограниченность решения для Кц. Полезно исследовать форму, которую это ограничение принимает в линейном приближении, когда

guv =乳炉 + %* К» = К6^ + &•(5.53)

Если выбрать систему координат (координатная калибровка в противоположность векторной), в которой

优；—(1/2) »а = О,(5.54)

где индексы у h^ и &v поднимаются и опускаются с помощью “ и 力=九；，уравнение (5.50) в первом порядке по 九现旷 и 尼卩 примет вид

口n卜心—^" П—^"Т)儿()}=0.(5.55)

Поскольку это уравнение должно удовлетворяться для произвольных источников, то в первом порядке по Л^ и 々以 получим

诚：、,—(1/2) К ® + т)/2 — т/2)用，о = 0・(5.56)

В пределе слабого поля при выбранной калибровке 九卩旷 должно принять вид

%。= 2U; М = 2丫[76订・-(у - 1) %,s(5.57)

где у — ППН параметр. Тогда (5.56) примет вид

(5.58)(5.58)工尼入一2К ® + "/2 — т/2) (2у — 1) U,о = 0.

(5.58)

(5.58)

В случае т =/= 0 это представляет ограничение калибровки векторного поля 尼口, обусловленное отсутствием полной калибровочной инвариантности действия /. В случае т = 0 никаких ограничений на векторное поле не накладывается, однако для получения согласованных решений уравнений с надеждой на совпадение с экспериментом необходимо положить со + т)/2 三 0, поскольку в общем случае /С =/= О, U,о 吸 0 н эксперименты (см. гл. 7) дают у весьма близким к единице, так что 2丫 一 1 =/= 0. Эти ограничения окажутся весьма существенными при обсуждении постньютоновского предела.

Постньютоновский предел: выберем локальные квазидекарто- вы координаты в системе покоя Вселенной с Кц, асимптотически сходящимся к Кб* где К изменяется за времена порядка хаббловских. Рассчитывая постньютоновский предел согласно способу § 5.1, получаем ППН параметры

1+К'[(о—2<o(2g)+t|—т) / (2в—т)]

L[а)+8(д)2/(28—т)]；

В = +(3 + у) + £с[1+у(у—2)/G]; & = 0;

网=4 (1 —7)[1—(28—т) Д] + 4со№ Да;(5,59)

+ 20К5а—十 bK〃G；

為=工1 = 白2 = 白3 = g4 =。， где

(5.60)(5.60)Д= (2е—т)[1Д= (2е—т)[1_(1^^H2^ (1__а)№)(2е—т)~8й)2№ ~2(оК2

(5.60)

(5.60)

Д= (2е—т)[1

Д= (2е—т)[1

а = (2е —т) (Зу —1)—2 (т]—т)(2?—1);

(2со + т] —т) [(2v — 1) (y +1) + а (у—2)]—

6 三 一(2丫 — I)2 (2со 4-т))[1—т-1 (2со + Т))],т=/=0;

0,т = 0,

а связь G с другими параметрами определяется выбором геометрических единиц измерения

Ghb 三 G [£ (Y + 1) + 善(оК2(丫 一 1)一 十(п 一工)к (I + и)『I = 1 ・(5.61)

Другие теории и частные случаи.

Теория Уилла—Нордтведта [368] представляет собой частный случай векторно-тензорной теории тяготения при со = т] = е = 0; т = 1. Ее ППН параметры и постоянная тяготения имеют вид

(5.62)(5.63)115.(5.62)(5.63)115.y = p=1; 自=% = % = 0 =备=备=玄h0；а2^/<2/(1 + 1/2№);

(5.62)

(5.63)

115.

(5.62)

(5.63)

115.

GHB = G/(l + 1/2/С) = 1.

Теория Хеллингса—Нордтведта [132] представляет собой частный случай теории тяготения при т = 0; е = 1; т] = —2со. Ее ППН параметры и постоянная тяготения имеют вид

Y 1_个((0+4(0唄卩"丿卜+m沙

(5.64)(5.64)& = % =工1 =工2 =工3 =工4 =。；

(5.64)

(5.64)

二 4(oK"2(1+(o)y +(o(y-1)]

l+<o№(l+(o)'

& =2(oK"y+(o(y-1)]

2 — l+(o№(l+(o)'

Ghb = G[(o№(y+ I)]-1 = 1.(5.65)

Следует отметить, что расчет [132] содержит ошибку, так как авторы не учли ограничение (5.58).

Обсуждение: эти векторно-тензорные теории полуконсерватив- ны (а3 =扌1一4 三 0) и допускают эффекты привилегированной системы отсчета (одно из а1э а? 10). В пределе со, Т), е, т -> 0 они сводятся к ОТО как в постньютоновском приближении, так и в точной теории (сильного поля). Однако имеются и другие предельные случаи, в которых эти теории могут совпадать с ОТО (и, следовательно, с экспериментом) в постньютоновском приближении. Например, в пределе К 0 нх ППН параметры сходятся к ППН параметрам ОТО. Однако современное значение К зависит от решения космологической задачи, и на ранних этапах развития Вселенной К могло быть значительно больше, что привело бы к расхождению с ОТО.

5. БИМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ С НАПЕРЕД ЗАДАННОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Теории этого класса содержат динамические скалярные, векторные и тензорные поля тяготения и нединамическую метрику с сигнатурой +2. В типичных теориях метрика q выбирается римановски-плоской по всему пространству-времени, т. е.

Riem ⑺=0(5.66)

(в некоторых вариантах метрика “ выбирается соответствующей пространству-времени с постоянной кривизной). Вследствие этого ограничения всегда можно выбрать глобальные координаты, в которых Пну = diag (—1, 1, 1, 1); обычно это наиболее удобно для расчета постньютоновской метрики.

Биметрическая теория Розена

Основные литературные источники: [154, 258—261, 263].

Присутствующие гравитационные поля: метрика g и плоская нединамическая метрика ”.

Произвольные параметры и функции: никаких.

Космологические коэффициенты связи: &, с「

Уравнения поля: выводятся из действия

/ = (64JlG)-1 JТ)^ga₽gv6( gavmgmv —十ga0仙gY6|v)( —T])l/2d4% +

+ /NG(g.% g|4V),(5.67)

где вертикальная черта в индексе означает ковариантную производную в метрике ”. Уравнения имеют вид

口nguv —gaBrf6gliaWgvB|6= — 16冗G(gAl)l/2 x

X(T|*v—^"gi*v7)； Riem(t|) = °,(5.68)

где 口刀 一оператор Даламбера в метрике т]； Т 三 源咽严.

Постньютоновский предел: выберем систему координат, в которой всюду т) диагонализовано в виде diag (—1, 1, 1, 1). Тогда в системе покоя Вселенной g имеет асимптотическую форму diag (—с0, q, q, q) [см. (5.1)], где с。, с】 могут меняться за времена порядка хаббловских. Следуя методу § 5.1, получим ППН параметры [154] и постоянную тяготения в следующем виде:

Y = B = 1； 日 = % = a3 =e1-4 = 0; a2 = Co/q - 1；(5.69)

Ghb = G(cmJ/2= 1.(5.70)

Обсуждение: ППН параметры здесь такие же, как и в ОТО, за исключением а2, которое может быть ненулевым, если % * q. Заметим, то отношение cj“ равно квадрату скорости слабых гравитационных волн (в единицах измерения, в которых скорость света равна единице). Это можно интерпретировать следующим образом. В квази- декартовой системе координат, в которой g{^ = diag (—1, 1, 1, 1), т]^v должно иметь видт)^ = diag (—сГ\ с]"、сГ* сГ，) и линеаризованные (вакуумные) уравнения поля для ^v (волновые уравнения для слабых гравитационных волн) примут вид

(cq/c^) g^^ 00 — ?窜川=0「(5.71)

Решением (5.71) является волна, распространяющаяся со скоростью vg = (q/co)i/2. Тогда в теории Розена ППН параметр а2 измеряет относительную разницу скоростей (измеренную наблюдателем, неподвижным относительно системы покоя Вселенной) электромагнитной и гравитационной волн. Значения & и сг определяются решением космологической задачи. Они также могут быть связаны ковариантными выражениями & + 3cl =严"g將)，ca1 + Зс?=刀现咽⑼叫

Теория Рэстолла

Основные литературные источники: [234—237, 2391.

Присутствующие гравитационные поля: метрика g, динамическое временноподобное векторное поле К и нединамическая плоская метрика ц.

Произвольные параметры и функции: никаких.

Космологические коэффициенты связи: К.

Уравнения поля: физическая метрика

g =(1 + 外期兄凡尸 /2(q + к ® 附)(5.72)

И7

—алгебраическая функция полей q и Я", где ||т)аР|| = Ihapll""1- Уравнения поля выводятся из действия

I = (16nG尸 J F(N) К阳吹心(一寸/2 dM + ING Q, g^), (5.73)

где индексы у Кц поднимаются с помощью 密

(5.74)(5.74)尸(N)三 _n(2 + №尸；NmgaK口К、,а также Riem (rj) = 0. Уравнения поля получаем в виде［尸(N) К阳V］；v—F‘ (N) К» К06* Ка；в + (1 +^Ка^1/2 X

(5.74)

(5.74)

(5.75)(5.75)X(0^_± g2 ® ) Kv = 8jtG (1 + 产 Ка Кв)Г 2 Xx(i~г g2 7)Kv,

(5.75)

(5.75)

где

3V 三 F (М (к阳а К，+ К*喷一｝ g2 Ка;В 3)+

+ ｛F (N)g к(阳V)— KU К"；а) —К” К'阳а)］｝；а +

(5.76)Кц за(5.76)Кц за+ Ff (ЛО^Ка;?^^； F gmdFldN;

(5.76)

Кц за

(5.76)

Кц за

0 =0i4Vg^v； 7=于戸且卩屮 Варьируя / по Кц, мы учли, что _ висит от g^ как явно, так и неявно, так что, например, хотя действие для материи и негравитационных полей Ing содержит только g^”

мы имеем

6£ngW = ^SeNG/6ga^ ^/dK^~(-gy^ T^dg^/dK^ (5.77)

Постньютоновский предел: выбираем координаты, в которых 4nv = diag (―1, 1, 1, 1), и (5.72) для g^ дает в постньютоновском порядке

(5.78)(5.78)goo =—分(1 —KcG* 尼о—^-^о4 尼3);

(5.78)

(5.78)

goj = Кеб1 尼 j；

gu = cU 6川(1 +КсГ 鳥)，

где с。= (1 — №)1/2; |K| V 1. Разрешая уравнения поля относительно 尼к с требуемой точностью, подставляя результат в (5.78) и переходя к локальным квазидекартовым координатам в стандартной ППН калибровке, получаем ППН параметры в виде

Y = P = 1； & = а1 = аз = С1 = С2 = Сз = и = 0;

а2 = —1/2/С (1 - 2K2 + 1/2不)/(1 — № + 1/2К4).(5.79)

Выбирая геометрические единицы измерения, находим

Ghb = G= 1・(5.80)

Обсуждение: теория РзСтолла является полуконсёрвативной (а3== =工1一4 = 0) с эффектами привилегированной системы отсчета (а2=/= 0). Ее ППН параметры такие же, как и у ОТО, за исключением а2, который может быть ненулевым. Значение а2 зависит от К, значение К в свою очередь определяется решением космологической задачи.

Биметрическая теория Белинфанте—Суихарта—Лайтмана―Л〃・ Эта теория представляет собой разновидность неметрической теории Белинфанте—Суихарта, рассмотренной в § 2.6, с заменой негравитационного действия Ing (2.140) некоторым универсальным действием, так что теория становится метрической [164]. В остальном уравнения теории не отличаются от представленных в § 2.6.

Основные литературные источники: [23—25, 164].

Присутствующие гравитационные поля: метрика g, динамическое тензорное второго ранга поле Ь, нединамическая плоская метрика Т].

Произвольные параметры и функции: три произвольных параметра а, /, ^.

Космологические коэффициенты связи: (оо, (ох.

Уравнения поля: метрика строится алгебраически с помощью 4bH уравнений

gKv = (l—КВ)?缢A(xv；戲(6%—~ Вцj = 6v>(5.81)

где индексы только Agv и Bgv поднимаются и опускаются с помощью Пи* индексы других тензоров поднимаются и опускаются с помощью gyv； В ^ 5цут)^. Уравнение поля для “ имеет вид Riem (п) = 0. Уравнения поля для В выводятся из действия

/ = — (16冗)Т \ (@82|а ВWa ^fBtaB^ X

X ( —T))l/2d4% + /NG(04 ^v),(5.82)

где вертикальная черта в индексе означает ковариантную производную в метрике т|. Уравнения имеют вид

Qd B^+^v 口“ в = 一4冗(g/6/2 7aBidg^/dB^ (5.83) или их можно переписать в виде

□» BN = —(4冗/@) (g/r))i/2『оф[е^-/(а + 4f)-6^吋、'小也(5.84) где

бар = dgaB/0Bnv・(5.85)

Постньютоновский предел: работая в системе покоя Вселенной, выберем координаты, в которых т]ци= diag (——1, 1,1, 1), и положим 8川=diag ((оо, 0)!, o)i, o)i)・ Предположим далее, что |(oo|, IsJ《1・ Это предположение окажется согласующимся с экспериментом. Тогда в необходимом порядке g卩寸 имеет вид

goo= —^о + ^о ^00—F0匕一К2b2 — 2Kbb@Q^*"苗；(5 86)

goj = Hbqj； gij = D6tj+ Eb^ -f- F^ij ft,

гдегде

где

где

Dq =1 — 2Ks—5 + К* 国 + 2К(ой)о + —-(о§ 4 О (со3); 4

& = 1 —2/<(о 一 专 5 + О @2);

尸° = _2К + 2K2 со + 2K5 + О (со2);

(5.87)(5.87)〃 =1 —2Ks((Oq—(01) + 0 (屮)；4

(5.87)

(5.87)

D= 1 —2^ + cOi + K2 co2—2^(1)! + — (of + О (со3); 4

Е = 1 •—2Ks H—~(i)i + 0(S?)；

尸=—2К + 2K2 co— 2Ksi + О (со2);

s = 3g)i—с%.

Решая уравнения поля относительно 6gv, подставляя решение в (5.86), переходя к квазидекартовым координатам и применяя стандартную калибровку, получаем ППН параметры:

у = (2@)т —1+。®);

0 =丄卜+亘0-1一_L a-i(8a2 _ за) 1 /г(a + 4/)-1 /21 + о (co);

2 L 44J(5.88)

& = а^ = 0 =匕2 = Сз =以=0；

а1 = (2а)-1[，юо + Si— (8К—2) со] + О (со2);

a2 = 一(5 + 耽)+。(硝.

Используя геометризованные единицы измерения, находим

GHB = (a+ 3f — 4К@ — 16不@)/2@ (а + 峭 + О (о? = 1. (5.89)

Обсуждение: эта теория является полуконсервативной (а3 = =0-4 = 0), в ней возможны эффекты привилегированной системы отсчета, если соо или со^ не равно нулю. Однако эксперименты в солнечной системе (см. гл. 8) требуют малости |aj и |<х2|, что согласуется с исходным предположением |соо|, |coj《 1. Удовлетворяют ли в действительности (оо и g)i этому ограничению, зависит от решения космологической задачи. Заметим, что если(оо s coj = О, ППН параметры этой теории могут быть сделаны идентичными ППН параметрами ОТО, если

(5.90)(5.90)а = 1/4; / = —5/64 и К = 1/16.

(5.90)

(5.90)

СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ ТЕОРИИ

Эти теории характеризуются присутствием помимо плоской фоновой метрики q нединамического скалярного поля 厶 градиент которого является ковариантно-постоянным и временноподобным в метри- 120

□ пК/ = 4ле（—g）i/2E；□пф + [/з（（Р）+ 1] Ф,оо+~/з （ф） ф2,о^~ 局 В?“・=2几（一寸/2[7。。%（屮）一加力（砌；□刖十（局/2年）屮，〃• =（2冗色）（一.g）i/2T%□ пК/ = 4ле（—g）i/2E；□пф + [/з（（Р）+ 1] Ф,оо+~/з （ф） ф2,о^~ 局 В?“・=2几（一寸/2[7。。%（屮）一加力（砌；□刖十（局/2年）屮，〃• =（2冗色）（一.g）i/2T%（5.95）（5.95）

□ пК/ = 4ле（—g）i/2E；

□пф + [/з（（Р）+ 1] Ф,оо+~/з （ф） ф2,о^~ 局 В?“・

=2几（一寸/2[7。。%（屮）一加力（砌；

□刖十（局/2年）屮，〃• =（2冗色）（一.g）i/2T%

□ пК/ = 4ле（—g）i/2E；

□пф + [/з（（Р）+ 1] Ф,оо+~/з （ф） ф2,о^~ 局 В?“・

=2几（一寸/2[7。。%（屮）一加力（砌；

□刖十（局/2年）屮，〃• =（2冗色）（一.g）i/2T%

（5.95）

（5.95）

ке ”，т. е. Zgv = 0; t,^,^9 = —1. Это скалярное поле выбирает привилегированную пространственную область — страту — Вселенной, ортогональную V/. В системе отсчета, в которой V^f = 6中 уравнения стратифицированной теории принимают специфический вид.

Основные литературные источники: [156, 199].

Присутствующие гравитационные поля: метрика g, динамические скалярное, векторное и симметричное тензорное поляФ, ^ и Ь; нединамические плоская метрика ” и скалярное поле /•

Произвольные параметры и функции: функции 片（屮），/2 （ф）， /з （ср）, параметры е,尼Л2.

Космологические коэффициенты связи: %, q, d, a, b, с.

Уравнения поля: для априорно-геометрических переменных они имеют вид

（5.91）（5.91）Riem（n） = O; /|uv =。； /,ц/,тП“"=1；

（5.91）

（5.91）

MKvrr = O； f，u&a 吋” = 0・

Последние два ограничения вынуждают векторное и тензорное поля иметь компоненты только в страте, ортогональной V/. Метрика g конструируется алгебраически из ”，ср, /, В, К согласно выражению

g =府 3） П—1Ш-Ш]也® 也十 К®出 + df ® К + В.（5.92）

Уравнения поля для динамических переменных выводим из действия/ = （8冗尸， [е-1 K阳V Kuiv-Ф.ц屮，一[府（屮）+1 ]（屮小呼+

+ 瓦 BMa Bgv|a + k2 B^屮川（一少/2 d^x + Ing（9小 g^，），（5・93） где индексы переменныхФ, t, В к К поднимаются и опускаются с помощью к）； эти уравнения имеют вид

n^ = ^ne（gl^^T^HM + t,^^^口" 9+%（9）+ 1]屮加工2g+ }%（4＞）（屮力厶"）2 -

（5.94）（5.94）—十闻 В協=2冗（g/俨2 7aB [行（q＞） //©-

（5.94）

（5.94）

—片（Ф）（т）аб+^а^0）1；

口 n B^=[^nlk^（g/^l^ 7好一 （局/2 自）中1 叫 XX （品+% 1）（加+ £,“，）

Ограничения, наложенные на априорно-геометрические переменные, позволяют выбрать глобальную систему координат, в которой 刀口~ = =diag （―1, 1, 1, 1）; f“ = бц； К。= Вцо = О и уравнения поля упрощаются:

В этой привилегированной системе отсчета (предположительно в системе покоя Вселенной) g^ имеет вид

goo = —А (ф)； go, = К,； gtj = 6订府(屮)+ В»『・(5.96)

Постйьютоновский предел: в привилегированной системе отсчета разложим ср, Ki и Bij в ряд в окрестности космологических граничных значений

T =Фо + ^； кi =自；b" =(0力" + 加力 (5.97)

Определим теперь космологические коэффициенты связи с。, съ а, 6, cud уравнениями

&((р)=& —2c9十2历292f о(^з);,

Ш = (с1-^ + 2ас^ + 0 (%;(5.98)

fs(<P)= d + OW.

Тогда в постньютоновском порядке g^y примет вид

goo = ~^о + 2сЗ — Zbc2^; go, = kj\ g“ =。力卄 + 20c 9 &j + btj.

(5.99)

Решая уравнения поля (5.95) относительнр ср, ^ и 仇厶 переходя к ква・ зидекартовым координатам и используя стандартную ППН калибровку, получаем ППН параметры в виде

у=毋/q; р = b% 十(饱/8 网 с) (c"g);

Е =(尼2/8А]С)(%/с0; а^ = Ji =工2=备=Q = 0；(5 I。。)

ai = 2e/Q q)i/2—4@ (c0/q) —4;'

% = —1—(c"q)依2/2 瓦 c+(d + A^/4初(1 + 務/4 甸』•

Выбирая геометрические единицы, получаем

Снв = ^2 ^i/2 с^2 (1 +^/4^ = 1.(5.101)

Другие теории и частные случаи.

Стратифицированная теория Ни [199] есть частный случай стратифицированной теории тяготения при fe-} = fe2 = 0 (отсутствие тензорного поля). Ее ППН параметры можно получить из (5.100) при 论2 = О：

Y = "Cq/g; p=ьз; g =a8 =e1 =e2 =备=扌4 = °； I(5 ]02) % = 2e/(%g)〃2一救%包—4; a2== - 1-dc0/cP J

Другая стратифицированная теория Ни [198] есть частный случай стратифицированной теории тяготения при е =尼一；=%? = 0 (отсутствие векторного или тензорного полей). Однако, как мы увидим ниже, эта теория некорректна, поскольку ее ППН параметр ах = =—(4у + 4), что находится в противоречии с результатами эксперимента.

122

НЕКОРРЕКТНЫЕ ТЕОРИИ

Все рассмотренные выше метрические теории тяготения характеризуются тем, что при соответствующем выборе значений произвольных постоянных и космологических коэффициентов связи их ППН параметры не противоречат выполненным к настоящему моменту экспериментам в пределах солнечной системы (эти эксперименты описаны в гл. 7——9). В некоторых теориях определенный выбор этих значений приводит к ППН параметрам, идентичным ППН параметрам ОТО в современную эпоху. Следовательно, для проверки и возможного исключения некоторых из этих конкурирующих теорий надо искать новые области испытания релятивистских теорий тяготения вне солнечной системы. Среди этих областей можно отметить гравитационное излучение, двойные пульсары и космологию.

Однако имеется приличная группа метрических теорий, которые вначале казались справедливыми, но теперь обнаружили серьезные противоречия с результатами экспериментов в солнечной системе. Некоторые из них выдерживают три классических теста, но этого недостаточно. (Подробное обсуждение см. в гл. 7). Теперь имеется множество других тестов в солнечной системе, обнаруженных с помощью ППН формализма, которые налагают весьма жесткие ограничения на параметры привилегированной системы отсчета ах и а2, параметры законов сохранения, например а3, и на параметр &・ Многие теории этим ограничениям не удовлетворяют. Авторам будущих альтернативных теорий гравитации необходимо усвоить, что теперь недостаточно сравнивать предсказания теории с экспериментом просто выводом ССС решения (аналога решения Шварцшильда в ОТО), дающего параметры 0 и у. Им необходимо определить полную постньютоновскую метрику для динамической системы тел или жидкости, возможно движущейся относительно системы покоя Вселенной, в том числе и космологические коэффициенты связи. Только при наличии полного набора ППН параметров теорию можно сравнивать с результатами экспериментов в солнечной системе.

Многие из этих некорректных теорий, которые мы сейчас рассмотрим, подробно обсуждаются в [359]. Мы остановимся на них кратко, отсылая заинтересованного читателя к [359] и к первичным литературным источникам.

Квазилинейные теории. Постньютоновская метрика таких теорий в конкретной постныотоновской калибровке содержит только линейные потенциалы, а потенциалы типа U? или Ф^ отсутствуют. Это свойство характерно для многих теорий, описывающих гравитацию с помощью линейной теории поля в плоском фоновом пространстве-времени. Если же это имеет место не в стандартной ППН калибровке, то калибровочное преобразование типа (4.38) и (4.40) дает

而百=goo - 242 (U2 + ①/一①2)— 2%儿00. (5.103)

Поскольку go。не содержит U2 или Ф^, мы немедленно получаем £ = р. Ниже показано, что это находится в резком противоречии с измерениями земных приливов (см. гл. 8, 9).

Наиболее известной из квазилинейных теорий является теория Уайтхеда [350]. Она имеет нединамическую плоскую фоновую метрику т| и физическую метрику, алгебраически выводимую из ц и материальных переменных согласно выражениям

g3們i2一2] ^^[(-g)"2 P"ad£J ；

工一(5.104)

(护广=户一(%卩)一；(护)-(加广=0；3-=(屮)一(〃卩)-；m=d炉/加；do2 =加 V dx^ dxv,

где верхний индекс «минус» обозначает величины, которые надо вычислять вдоль светового конуса в прошлом с вершиной в точке ха в метрике 斗 В постньютоновской метрике y = P = g= l; % = % = = «з = 0;备=/= 0 (i = 1, 2, 3, 4). Хотя долгое время считалось, что эта теория справедлива, теперь известно, что g = 1 противоречит измерениям земных приливов.

Другая группа теорий этого класса известна как линейные теории с фиксированной калибровкой. Стандартный подход теории поля для построения тензорной теории гравитации в плоском фоновом пространстве-времени состоит здесь в использовании калибровочно-инвариантного действия тензорного поля h^ со спином 2, к которому добавлено негравитационное действие с универсальностью связей:

/ = (16门G)tJ[2州九妆一2唯专俱+心小"一

-h^h^ (-^/^ d4 X + ING (qA, g2，(5.105)

где guv м "цу + 九цу Однако лагранжиан этого действия является сингулярным, так как гравитационная часть действия инвариантна относительно калибровочного преобразования九川一&闻力 в то

время как Ing неинвариантно. Тождество Бианки, связанное с такой частичной калибровочной инвариантностью, имеет вид Т^ = 0, что противоречит уравнению движения (3.63), следующему из общей координатной инвариантности /, Т-7 = 0. В линейных теориях с фиксированной калибровкой делаются попытки исправить это несоответствие, нарушая калибровочную инвариантность гравитационного действия с помощью введения дополнительных гравитационных полей, связанных с Л таким образом, чтобы фиксировать его калибровку. Тем не менее эти теории [37, 71] оказались квазилинейными в смысле, определенном выше, предсказывая g =.₽, что находится в противоречии с экспериментом (см. [358]).

Стратифицированные теории с ортогональными временно-пространственными слоями. Это частный случай стратифицированных теорий, описанных в § 5.6, в котором нет векторного поля Кц, т. е. е = 0. Следовательно, в этих теориях

t^ (тГ + t^) g^ = —К06 = 0(5.106)

независимо от природы источника поля. В привилегированной системе отсчета это означает gOj = 0. Однако возможно преобразование координат, переводящее постньютоновский предел теории в стандарт* ную ППН калибровку, так что g。, превращается в

g订=%尸叱一£ 吃• (5.107)

Сравнивая это с ППН метрикой [см. (4.48)], можно легко получить вне зависимости от 8, что ах = —(4у + 4). Это существенно противоречит геофизическим экспериментам, которые требуют |а/《1, в то время как эксперименты по запаздыванию сигналов требуют у ^ 1 (см. гл. 7, 8). До получения ограничений на 04 теории этого типа были довольно популярными альтернативами ОТО, в основном из-за своей математической простоты. В табл. 5.2 приведены девять таких теорий, все некорректные.

Таблица 5.2. Некорректные метрические теории гравитации

Теория

Описание

Противоречащие наблюдениям предсказания

Квазилинейные

Уайтхеда

Дезера — Лорента Боллини — Джиамбиад- жи — Тиомно

При некоторой калибровке в goo отсутствуют U2 и ①w, следовательно, §=Р

Наличие смещения перигелия и земных приливов галактического происхождения

Стратифицированные с ортогональными времени пространственными слоями

Эйнштейна [97] Уитроу — Мордэча Розена Папапетроу Ни (2 варианта) Йилмаза

Пэйджа — Таппера Коулмана

Метрика дается выражением g ==“ df®df + + f2 ", так что % = =-4(y + 1)

Эффекты привилегированной системы отсчета в ско« рссти вращения Земли и в движении перигелиев

Конформно-плоские

Нордстрема

Эйнштейна ——Фоккера

Ни (2 варианта)

Уитроу — Мордэча

Литтлвуда — Бергманна

Примечание. Подр*

Метрика дается выражением

g=加，так что =у—1

обное обсуждение и список л>

Отсутствие отклонения света и запаздывания сигналов в поле тяготения

1тературы см. в [198, 358, 359].

Конформно-плоские теории. Для этих теорий типично наличие плоской фоновой метрики т] и скалярного поля ср. Метрика g строится из Ч и ф согласно уравнению

g = /3)% (5.108)

где / (ф)——некоторая функция ф. Для получения корректного постньютоновского предела эта функция должна иметь вид (в соответствующей системе координат) f = 1 — 2U + О (4). Тогда g" = (1 —— ——2U+O (4)) &ij； следовательно, у = —1. В гл. 7 показано, что это приводит к нулевому изгибанию лучей света и отсутствию задержки сигналов в поле тяготения, что противоречит экспериментам. Этот результат можно получить из конформной инвариантности уравнений Максвелла (инвариантности относительно преобразования

f WgnJ： распространение лучей света в метрике f (q>) “ идентично распространению в плоском пространстве-времени с метрикой т|, а именно распространению по прямым линиям с постоянной скоростью. В табл. 5.2 приведены шесть конформно-плоских теорий, все некорректные.

ГЛАВА 6

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ППН ФОРМАЛИЗМЕ

Одним из следствий фундаментальных постулатов метрических теорий гравитации является взаимодействие материи и негравитационных полей только с метрикой, причем характер этого взаимодействия определяется ЭПЭ. Пол уч аю-

щиеся в результате уравнения движения включают уравнение для ционных полей и материи с натяжениями

негравита-

不=0；

(6.1)

уравнение движения нейтральных тел по геодезическим

〃v 〃％=0;

(6・2)

уравнения Максвелла

哨=45

(6.3)

и уравнение движения световых лучей по геодезическим

肝叭=0

(6・4)

обсуждение см. в § 3.2). В гл. 4 получена метрика пространства-времени в общем виде до постньютоновского порядка включительно в форме функционала материальных переменных, определяемого десятью ППН параметрами. Подставив эту метрику в уравнения движения (6.1)—(6.4), получим систему уравнений для переменных материи и негравитационных полей. В различных частных случаях эти уравнения можно решить с помощью стандартных методов, прогнозируя поведение материи в виде различных значений ППН параметров. Далее этот прогноз можно сравнить с экспериментом.

Здесь ставится задача преобразовать уравнения движения (6.1)——(6.4) к виду, допускающему их простую интерпретацию в конкретных ситуациях и эк* спериментах, которые будут даны в гл. 7—9. В § 6.1 эта процедура проведена для лучей света. В § 6.2 рассмотрены массивные гравитирующие 】ела и представлены соответствующие уравнения движения п тел. В § 6.3 рассчитано относи тель- 126

ное ускорение двух тел с учетом влияния близлежащих гравитирующих тел и движения относительно системы покоя Вселенной и затем представлено в виде, из которого легко определяется «локально измеренная» ньютоновская постоянная тяготения. В § 6.4 рассмотрены полуконсервативные теории и действие для системы п тел, из которого можно вывести их уравнения движения. В § 6.4 развит формализм сохранения энергии типа обсужденного в § 2.5, а также обсужден ССПЭ с этой точки зрения. В § 6.5 рассмотрены уравнения движения вращаю* щихся тел.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ФОТОНОВ

Начнем с уравнений движения света по геодезическим (6.4), получаемых из уравнений Максвелла в геометрооптическом приближении. В (6.4) волновой вектор, касательный к траектории фотона, удовлетворяет соотношению (3.51)

(6.5)(6.5)絆%= 0.

(6.5)

(6.5)

Заменяя А" выражением d//dcf, где о ——аффинный параметр, измеренный вдоль траектории, получим

бР х^da2бР х^da2(6.6)(6.6)

бР х^

da2

бР х^

da2

(6.6)

(6.6)

Мы можем переписать (6.6), используя ППН временную координату f = %° в качестве аффинного параметра вместо о, заметив, что

Тогда для пространственных компонент перепишем (6.6) в виде

Уравнение (6.5) запишем в виде

С точностью до постньютоновских членов (6.8) и (6.9) примут вид

*=，/(l + Y阁)-2警營 у小+y)；(6.10)

0= 1 -2U—[d x/d"2 (1 +2yU).(6.11)

Символы Кристоффеля для ППН метрики Г厶 приведены ниже:

Г8о=—и, о； %=_%;

「｝=丫6订 U, о + —(4V + 3+«i—a2 + Ei~2g)匕九力 + 可(1 +出一0+十2日 ％, /) +y(%一2a2)% %•)+ a2 wk Uk « ,);

%=-U, f+。/凉 W + Y) ^2+5Фш-Ф+у (0-2E) " +

+ у- (%—网一％)炉 U+十 а2 苏 d Uik—-Y (2а3

一刃°‘b"("+3+网一% + Ci-2g)匕+亍(l+s-0+2g)% +

%=YM u, 0一十(4Y+4+%) к л—J- М 叫化〃；

где

<1> = 4-(2Y+2+%+第一2日 ф1+(3?-2₽+1 + С2+5) О2 +

+ (1 + Сз)а+(3Y + 3&-2e) 6.

Решения этих уравнений в ньютоновском или нулевом приближении имеют ВИД

M=G/(t—G； G= 1,(6.12)

что означает движение по прямой с постоянной скоростью | dx# /df | = I. Записав

"三二/(1。) + %(6.13)

и подставив в (6.10), (6.11), получим постньютоновские уравнения для отклонения % от равномерного движения по прямой:

d2 xp/d/2=(l + ?) [▼(/-£?(«(/)];(6.14)

Gxp/df=-(l+Y)U.(6.15)

В гл. 7 эти уравнения применяются для вывода выражений, описывающих отклонения и задержку фотонов, проходящих вблизи Солнца.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАССИВНЫХ ТЕЛ

Получить эти уравнения движения можно, например, предположив, что каждое тело движется по геодезическим пространства-времени, ППН метрика которого обусловлена остальными телами системы, а также самим движущимся телом (с соответствующим учетом расходящихся членов собственного поля). Однако полученные уравнения движения не описывают поведения массивных гравитирующих тел, таких как планеты, Солнце или звезды (за исключением, как оказалось, уравнений движения ОТО), поскольку такие тела не обязательно движутся по геодезическим ППН метрики. Их движение может зависеть от внутреннего строения (нарушение ГСПЭ), как впервые было показано в [203].

Следовательно, подходя к делу реалистически, надо рассматривать каждое тело как конечный гравитирующий «сгусток» материи и решать (6.1)для получения уравнений движения соответствующим образом выбранного центра масс каждого тела. Для экспериментов в солнечной системе вполне достаточно рассматривать материю, составляющую каждое тело, как идеальную жидкость (см. f353]), 128

В НТТ выполнение этой программы очевидно. Определяя инертную массу и центр масс тела а согласно выражениям

та— J рсР %; xe= т^1 J р xd3 %(6.16)

аа

и используя ньютоновское уравнение непрерывности (4.3), можно показать, что dma/dt = Q; va 三 dXaldt = m「j p vd3 %;] a。三 dvjdf =m£1 f p(d v/df)d3 x. j

В (6.16), (6.17) индекс a у знака интеграла означает интегрирование по всем точкам тела а. Используя ньютоновское уравнение движения идеальной жидкости (4.4), получаем

аа=^21； 〃 = Е 誉 + 3 Q? "8了 О (崛5)，(6.18)

аЬrab一

где /иь — инертная масса тела Ь;

Q?三! p(3，'R—|х|2 6刀步％;7 = х—Xb(6.19)

есть квадрупольный момент тела Ь;

xg 三 к。一хь； гаЬ = I xab I.(6.20)

Теперь надо обобщить эти уравнения на постньютоновское приближение, используя ППН формализм. Поскольку в постньютоновском пределе имеется множество различных «плотностей масс» — плотность массы покоя барионов р, плотность энергии-массы р (1 + П), инвариантная плотность р* (4.77) и т. д., инертную массу и центр масс можно определить различными способами. Выбе> рем определение, из которого можно найти уравнение движения в простейшем замкнутом виде. Оказывается, что если усреднить уравнения движения по нескольким динамическим масштабам времени, характерным для внутренних движений (и предполагаемым малыми по сравнению с масштабом времени орбитального движения), окончательные уравнения движения не будут чувствительны к конкретной форме этого определения. Пусть инертная масса тела

ma = Jp*(l+万/2—U/2 + U)d8*,(6.21)

a

где

歹三 V-Q (0); Q (0)三 j p* v 小 ％;(6.22)

a

Z7=f p(x\ f)lx-x'|-i Gx'.(6.23)

a

Заметим, что, грубо говоря, та соответствует полной энергии тела ——энергии массы покоя плюс кинетической, гравитационной и внутренней энергиям, измеренным в локальной сопутствующей почти инерциальной системе отсчета, окружающей тело. Пока мы игнорируем приливные силы, действующие на тело а, из законов сохранения в ППН формализме [см. (4.108)] следует, что та сохра- няется с точностью до членов постньютоновского порядка, т. е.

dmjdt = 0.(6.24)

Это можно также показать в явном виде, используя (6.21)—(6.23). Определим теперь центр масс как

5 Зак. 6645 Зак. 664хв 三 m71 f Р* (1 +^/2-С7/2-П)х d3 X.(6.25)

5 Зак. 664

5 Зак. 664

129

гдегдеИспользуя уравнение непрерывности для р* (4.78) и ньютоновски^ уравнения движения с постньютоновскими членами, получаемИспользуя уравнение непрерывности для р* (4.78) и ньютоновски^ уравнения движения с постньютоновскими членами, получаем% = dxaldt = m；% = dxaldt = m；(6.27)(6.27)

где

где

Используя уравнение непрерывности для р* (4.78) и ньютоновски^ уравнения движения с постньютоновскими членами, получаем

Используя уравнение непрерывности для р* (4.78) и ньютоновски^ уравнения движения с постньютоновскими членами, получаем

% = dxaldt = m；

% = dxaldt = m；

(6.27)

(6.27)

Следовательно, ускорение определяется выражением

%三5/加=加丁 0*0+十 ^—^U+nj (dv/df)" * +心 Jp,戸dJ +

+ J 瓦 О^—(p/p*) VP]” ％—f- (d/df) J p* 祈炉 ％ + "^■歹a—十歩W+芋a|，

(6.28) где 歹a,歹)и 夕а определяются только внутренним строением тела а. Формулы для этих и других «внутренних» членов приведены в табл. 6.1. Заметим, что ускорение выбранного нами центра масс не является просто взвешенным средним ускорений отдельных элементов жидкости, как в теории Ньютона.

Оценим теперь первый интеграл в (6.28), используя ППН уравнения движе* ния для идеальной жидкости. Подставим постньютоновские выражения для (см. с. 92) и Г^ (см. выше) в уравнение движения (6.1) и перепишем его в терминах инвариантной плотности р*. В результате получим

р* d"/df = p* U ^(X+ZyU^ j+p ^ ”+口+啲)_尸(d/山)X

X 卜2什2) Ud— у (4Y+4+ %) W —4"% Uw^ + “ (p* U、0— p, 0)—

一 Y(l + a2-Ci+25) P* (山一/7), 0- ^P”(4Y+4+ai)u 崑 +

+ (网一2%) wk ]乙,/+p* (0/0*/)[①一£Ф^-~ @-2e)"一

—十 ％ 侬讶 U* 4-a2 M (%—以)]+ p* U、/ 卜产一十 ％ w v+

+ -у (%+备一%)炉一(20一2) и + 3ур/p*],(6.29)

где Ф приведено выше (см. с. 128).

Подставим теперь найденное p*dv/df в (6.28) и проведем интегрирование, используя при необходимости уравнения Ньютона для упрощения постньютоновских членов. Существенное упрощение даст нам также усреднение по нескольким масштабам времени внутреннего движения каждого тела. После этого можно положить равными нулю полные производные по времени всех внутренних величин. Для солнечной системы такое приближение вполне оправданно, поскольку любые секулярные изменения строения Солнца или планет, дающие отличие таких усредненных производных по времени от нуля, происходят за времена, много большие времени орбитального движения. Это позволяет использовать несколько ньютоновских внрнальннх соотношений для упрощения пост- 130

‘，戸eP尸办（/；：（Jx）i/d j =方y产 ePQP,（,出;;j*d*dj=/；“ПРП *dj = Dj fQpd J ==%‘，戸eP尸办（/；：（Jx）i/d j =方y产 ePQP,（,出;;j*d*dj=/；“ПРП *dj = Dj fQpd J ==%

‘，戸eP尸办（/；：（Jx）i/d j =方y产 ePQP,（,出;;j*d*dj=/；“

ПРП *dj = Dj fQpd J ==%

‘，戸eP尸办（/；：（Jx）i/d j =方y产 ePQP,（,出;;j*d*dj=/；“

ПРП *dj = Dj fQpd J ==%

--"7^&J 屮

，…田小抬

"“ /（产一x）：〔：x-x【M，*d*dj U/・：W "2 J：；%/ =/> 产。*Pp4三，/*

2』収一x| *d

=DZ ^iPi^-^j^x^-x） #d

:产 sPQp

/s*P

/（户一%） z（产一x）,*d *d

D

% sP 吧*d J —j—=加⑨'"sP/2 乃*d J-^« =另⑨

以sP卢sNsP

/户一"x一产丨

/（产一幻（户一x） （"X-户）**d ,*d 久

"内户屮人卩^寻营認^ =把

энн（1о1яэдэнн（1о1яэдэпн с!кквяэ и dRHdoeHdi

энн（1о1яэд

энн（1о1яэд

1гэх хннаиээвк ьинэжиа）Г хкинэнавдЛ ццц а тпмкзлнн ・「9 впнмдв丄出

Ньютоновских выражений. Для массивного тела вириальные соотношения легко вывести, используя ньютоновские уравнения движения:

2 ⑥〃 + 或+ в^Р =(7//)=0;

2^+Q+3P = (/)=0；

"(")-J?//)小Х = &")= 0；

”а/)_зк〃н〈а/〉н0；

(6.30)(6.30)(6.31)(6.31)—〈d〉=0；

(6.30)

(6.30)

(6.31)

(6.31)

Jp, 0力% =(户〉=0;

一"一山 +炉*/+3/**/_W _孑*/=〈* J p*1T/步*)= 0

6 +歹*，+R/ +^f =〈* Jp*p/d8%〉=0・

Окончательно уравнение движения тела аа имеет вид аа =ah+ а”10 + а<л>,

("ry = 一加1I ［毋(《з+з % +51 (也一告夕：./)+口a +qf4 +

+ 30 ^j-m^1 % (切 +% 产成/；(6.32)

(唠2)/=61(传)十 !1,也；(6.33)

(а州2 年卜У+26)言+(2 У+叫+4■…喏+

+ (20 - 1一2ё一备)У 个+(2Y+26-2ё)V -一女1+2Е +

+勿一厶)2 /"^^T 2加cJ^-Y吗+十(约+ c#a, b rbc с*, b 公

+4+%) va Vb—£ (2у+2+Оа+%)唱 + 十(a】一％—%)眇十

113人

+ 彳 网 wva+-y (а】一？％—?%) wvb+— (l + aa) (vb nab)2+

+ ^ % * J+f (Rb)(г 鼠，一十(4什3-2e+% -

Mob rbc 坛。％今M

XXmbmbxg 1(4Y+4 + 网)% 一(4Y+2 + 网一2aJ vb+2a2 w]学一xg 1(4Y+4 + 网)% 一(4Y+2 + 网一2aJ vb+2a2 w]学一Xab【％ V。一(出一2aJ v& + 2a2 wj wz,Xab【％ V。一(出一2aJ v& + 2a2 wj wz,(6.34)(6.34)

X

X

mb

mb

xg 1(4Y+4 + 网)% 一(4Y+2 + 网一2aJ vb+2a2 w]学一

xg 1(4Y+4 + 网)% 一(4Y+2 + 网一2aJ vb+2a2 w]学一

Xab【％ V。一(出一2aJ v& + 2a2 wj wz,

Xab【％ V。一(出一2aJ v& + 2a2 wj wz,

(6.34)

(6.34)

+ E "^" Xg [(2Y+2) %一(2Y+1) vb] v^ - b#a 'ab

ГДв nab = ^ab/^ab •

(6.35)(6.35)Первая часть (6.32), содержащая ^, 弘 и т. д., зависит только от внутреннего строения массивного тела а и, таким образом, представляет собой «автоус- коренне» центра масс тела. Такие автоускорения связываются с нарушениями сохранения полного импульса, так как они зависят от ППН параметров законов сохранения а3, ^-4. В любой полуконсервативной теории тяготения

(6.35)

(6.35)

аз = Ci = Сг = Сз - С« = О

и эти автоускорения отсутствуют. Заметим также, что сферически-симметричные тела не испытывают ускорения вне зависимости от теории тяготения, поскольку для них члены 匕，弘，夕X W，典 и 则 тождественно равны нулю. То же самое справедливо для массивного составного тела, состоящего из двух тел, вращающихся по почти круговой орбите, при усреднении автоускорений По периоду обращения. Отсюда следует, что практически нет надежды проверить эти члены в солнечной системе. Напротив, в системе двойного пульсара, например , где эксцентриситет орбиты велик, такой тест возможен. Этот вопрос обсуждается в §9.3.

Вторая часть (6.32) — /nf1as (侬 + %)'"2 есть автоускорение, учитывающее движение массивного тела относительно системы покоя Вселенной. Оно за* висит от параметра а3, связанного с законом сохранения и эффектами привилегированной системы отсчета и равного нулю в любой полуконсервативной теории тяготения. Для любого неподвижного тела v = 0, значит, и "：' = О, однако для тела, равномерно вращающегося с угловой скоростью ш, имеем

V = © X (х—X。) (6.36)

И

М xd$ х' =&hE HR倉.М xd$ х' =&hE HR倉.(6.37)(6.37)

М xd$ х' =&hE HR倉.

М xd$ х' =&hE HR倉.

(6.37)

(6.37)

Для почти сферического тела основной вклад в (6.37) дает изотропная часть а? т. е.

口倉=у 6〃〃 ％;"聲 а -у е"/ N %,(6.38)

и вторая часть (6.32) принимает вид

—В % (^а!^ (w+va)X(0.(6.39)

В гл. 8 мы увидим, что в солнечной системе она может дать чрезвычайно большие наблюдаемые эффекты, если только а3 耍 0.

Второе слагаемое в (6.31)——квазйньютоиовское ускорение массивиого тела. Здесь

(加P)『=加e* {6*口+ (4Р - Y-3-3自一%+(I2-£)Qa/fna -

一30^二北或^mal + QE-az + Gi-Q) Uf/mj(6.40)

есть тензор пассивной гравитационной массы;

(6.41)(6.41)必(ха) ~ 2 [吗4(ПаЬ)]ь/ГаЬ

(6.41)

(6.41)

есть квазиньютоновский потенциал;

[心(3)]Ь=加巾+ (40 —Y—3-3三一春备一十盘一2备)0ь//и6 +

+ *з ^ь!ть—+ *з ^ь!ть—22а§+殺一3*，Рь/ть+4- (£—2 l^^ab U^//n，(6.42)а§+殺一3*，Рь/ть+4- (£—2 l^^ab U^//n，(6.42)

+ *з ^ь!ть—

+ *з ^ь!ть—

2

2

а§+殺一3*，Рь/ть+4- (£—2 l^^ab U^//n，(6.42)

а§+殺一3*，Рь/ть+4- (£—2 l^^ab U^//n，(6.42)

есть активная гравитационная масса тела Ь. Заметим, что тензоры активной и пассивной гравитационных масс могут зависеть от направления вектора па^ относительно других тел. Полезно выразить квазиньютоновское ускорение через тензоры инертной, пассивной и активной гравитационных масс, не зависящие от положения, и через гравитационный потенциал Я/т в виде

便线(喈)=(%炉叱；心=2 (爲)7ggЬ崛1(6.43)

где

(//)f =加。{腓[1+(吋g+盘)//加/ + 311 +备)唠/叫；(6.44) (吃)丁 = % {" U + (40-y—3—ЗЕ) Ua/叫一廐〃/叫；(6.45)

(加4)『'=/{6m0[1 + 卜6-Y—3—3三 一"^-0^-"^_ *1-2姦)^h/ть +

+ 备j//一传a—3&) Pb//] 一《-у е，歐/吋 (6.46)

В теории Ньютона все эти три массы суть одно и то же, так что ускорение массивного тела не зависит от его массы или строения (принцип эквивалентности). Однако согласно уравнениям (6.44)—(6.46) в конкретной теории гравитации пассивная гравитационная масса не обязательно должна быть равной инертной массе (обе они даже могут быть анизотропны); их разница зависит от нескольких ППН параметров и собственной гравитационной энергии (Q или а'') тела. Это— нарушение ГСПЭ, называемое также эффектом Нордтведта [202, 203]. На возможность такого эффекта указывал еще Дике [77] (см. также [78, 353]). Наблюдение эффекта Нордтведта обсуждается в гл. 8. Он не нарушает ЭПЭ и не проявляется в экспериментах Этвеша (см. гл. 2), поскольку лабораторного размера тела, участвующие в таких экспериментах, имеют пренебрежимо малое тяготение, т. е. для них (Q/m) V 10-39. В § 6.3 мы увидим, что имеется тесная связь между нарушением ГСПЭ и наличием эффектов привилегированного положения и привилегированной системы отсчета в постньютоновских гравитационных экспериментах.

Согласно (6.44) — (6.46) активная гравитационная масса также может отличаться от инертной и пассивной гравитационной массы. В ньютоновской теории тяготения равномерное движение центра масс изолированной системы является результатом второго закона Ньютона——действие равно противодействию, т. е. закона, требующего равенства активной гравитационной массы пассивной. 134

ВППН формализме такие ньютоновские формулировки можно использовать для описания квазиньютоновского ускорения а"ью. Из § 4.4 мы знаем, что равномерное движение центра масс свойственно полностью консервативным теориям, ППН параметры которых ^-з = ^-4 = 0. Подставляя эти значения в (6.44)— (6.46), видим, что для полностью консервативных теорий инертная масса равна mat а тензоры активной и пассивной гравитационных масс действительно равны друг другу

(祠У = (e滄=加。[歷[1 + (40-Y一3-3日//叫一ё唠/叫，(6.47) откуда следует, что в постньютоновском порядке

("产? = — £ 恤{[1 + (4₽ —-у—3—3?) (Qa//na + Qb/mb)l 珊/%+ b^a

+占(瞰"//+第//)(26"媪/点-3也就淘J/嗑)} •(6.48)

Член в фигурных скобках является очевидно антисимметричным относительно замены а^Ь, следовательно, действие равно противодействию и 2ma (a"1*10)7 = a

=0. Заметим, что в ОТО тензоры масс (6.44)—(6.46) изотропны и рав^ы инертной массе, т. е. в ОТО (опуская символы Кронекера) In^ = тр = тА — та. В ОТО нет эффекта Нордтведта, однако в скалярно-тензорных теориях он есть, поскольку в них

mJ = ma； тр^тА = та {1+ [(2+(o)-i+4A] Qa/ma}.(6.49)

В большинстве практических случаев тела можно считать сферически-симмет- ричными и, используя равенство Q^ 4 (1/3) 6''^。(6.38) для упрощения в&ра~ жения тензоров масс, можно записать

^У-т-^^^ Я = 2 (加疝/5，(6.5。)

b丰а

где (加六尸 и 加此 объединены в одну величину тр\

(

10221\

4Р —V—3 —— g—at+ —а2—— gi——备丿 ％/加*(тЛ)ь/тЬ=1+ 卜В —Y—3—-^" J春％—十厶―2备)Qb/mb +

+ ^ьIть-^ %+當一3蟲卜〃/.(6.51)

Последнее слагаемое в (6.31), так называемый n-массовый член, содержит постньютоновские поправки к ньютоновским уравнениям движения, возникающие при рассмотрении каждого тела как точечной массы, движущейся по геодезическим ППН метрики, созданной остальными телами, также рассматриваемыми как точечные массы, и при учете того, что некоторые постньютоновские члены определяются собственным гравитационным полем тела. Это «-массовое ускорение дает классическое смещение перигелия планет, а также множество других эффектов, которые рассмотрены в гл. 7,8. В случае ОТО n-массовый член в виде (6.34) сог ласуется с уравнениями, полученными в [73] (при учете одной существенной ошибки) [99, 109, 161].

ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРЕННАЯ ПОСТОЯННАЯ ТЯГОТЕНИЯ

Выведем уравнение, не являющееся в действительности уравнением движения, однако имеющее фундаментальное значение в ППН формализме. В § 6.2 показано, что некоторые метрические теории предсказывают нарушение ГСПЭ (эффект 135

Нордтведта). Такие эффекты должны также приводить к нарушению ССПЭ. Как показано в § 3.3, существование эффектов привилегированной системы отсчета и «особого» положения также должно нарушать ССПЭ. Одним из таких локальных гравитационных экспериментов является опыт Кавендиша. В идеализированном варианте опыта Кавендиша измеряется относительное ускорение двух тел как функция их масс и расстояния между ними. Расстояния и времена измеряются с помощью физических стержней и атомных часов, покоящихся в лаборатории. Гравитационная постоянная при этом измеряется в кубических сантиметрах на грамм в секунду в квадрате (см3/г-с2). Эта величина, которая входит в ньютоновский закон тяготения для двух тел, называется локально измеренной постоянной тяготения G^.

Анализ эксперимента проводится следующим образом. Пусть тело массы 恤 (источник) свободно падает в пространстве-времени. Пусть далее пробное тело с пренебрежимо малой массой движется в пространстве-времени, удерживаемое на постоянном собственном расстоянии гр от источника благодаря 4-ускорению А. Линия, соединяющая эти две массы, является невращающейся в асимптотически плоском инерциальном пространстве. Инвариантный радиальный единичный вектор Ег направлен от пробного тела к источнику. Тогда согласно ньютоновскому закону тяготения радиальная составляющая 4-ускорения пробной массы дается выражением

AE『一Gg 吟 (6.52)

где Гр мало по сравнению с масштабом неоднородности внешнего гравитационного поля. Поскольку величина АЕГ инвариантна； можно вычислить ее в выбранной нами из соображений удобства ППН системе координат, а затем использовать (6.52) для получения GL.

Прежде чем приступить к расчетам, полезно задаться вопросом — в каком виде следует ожидать АЕГ в постньютоновском порядке? Представим себе, что источник и пробное тело движутся по отношению ко Вселенной со скоростью w^ в присутствии некоторых внешних источников, идеализированных как точечные массы та с координатами ха. Проще всего проводить расчет в такой ППН системе координат, в которой эти источники мгновенно покоятся. Тогда мы должны ожидать, что АЕГ включает постньютоновские поправки к ньютоновскому значению AEr = tn^r^ вида

aeГ：才才'才肃'才（齊）'（6・53）

где Qa = I xi — Xa I. При этом мы пренебрегали изменением внешнего гравитационного потенциала на расстоянии %. Это изменение дает стандартную ньютоновскую приливную гравитационную силу в виде (4£，严：^^2「尸 и постньютоновские поправки к этой силе. Последними мы всегда будем пренебрегать.

Первая поправка в (6.53) представляет собой постньютоновское возмущение движения пробного тела вокруг источника в задаче двух тел, которое можно интерпретировать и проанализировать отдельно от обсуждения G^. Третья поправка представляет эффекты, обусловленные градиентами внешних полей; однако если подгонять АЕГ к кривой типа 1/г； для определения 6厶,эти члены влияния не окажут (во всяком случае, они пренебрежимо малы в большинстве практических ситуаций [356]). Оба эти члена в дальнейшем учитывать не будем, так что остаются только вторая и четвертая поправки в (6.53).

(6.54)(6.54)Вид ППН метрики, которым мы будем пользоваться, приведен на с. 91—92, где w следует заменить на w1# Пусть для пробного тела индекс a = 0, для источника a = 1, а для остальных тел a = 2, 3... В начальный момент и пробное тело, и источник покоятся, т. е.

(6.54)

(6.54)

V] (' = 0) = V。(f=0) = 0 ・

Выделим ньютоновский потенциал Тяготения Ult обусловленный источником, отделив его от потенциала других тел системы:

(6.55)

где「1 = I х — X] I; % = f х — X。I; для простоты Ut предполагается сферически симметричным.

Собственное расстояние между пробным телом и источником

1

rp=^[\ + yU (х (%)) + О (4)] I dx/认 |dX(6.56)

о

[см. (3.41)], где прямую координатную линию, соединяющую две точки, с достаточной степенью точности можно представить в виде

x(» = xq(1—%) + хМ，0 < %<1 ・(6.57)

Тогда

4=з"1 + 沙"1一笛大]]+Y 2 ma/|x(X)-xa|)a.(6.58)

О Iа#1丿

Пренебрегая изменением гравитационного внешнего потенциала на расстоянии г01, получаем

^=Го1 (1+Y 2 ma/^ai)+T『仆⑹也(6.59)

\5/6

Собственное расстояние гр должно поддерживаться постоянным с помощью 4-ускорения 4, так что

d»/df 三 d"p/df2 三 0,(6.60)

что дает при / = 0

Хю / d% dv0 \|

—77е—и°，(6.61) Go \ df dt，卜=о

где V] = V。= 0 при / = 0 и не учитывались производные по времени от внешнего потенциала. В дальнейшем можно также опустить последний член в (6.59) (он приводит к таким членам, которыми мы уже решили пренебречь) и рассматривать коэффициент при г01 как константу. Тогда

4 = a(l+Y 2 malhc^.(6.62)

Положим теперь, что источник движется по геодезическим, а пробное тело имеет 4-ускорение 4. Тогда

"%) "8)；v=。； ％) %)；v = 4“；咪)纵^%(6.63)

где индексы пробного тела 0 и источника 1 взяты в скобки, чтобы они не путались с тензорными индексами. В ППН координатах при f = 0 уравнения (6.63) перепишем в виде

^/^+Г{о(Х1) = О; d*/df+No(Xo) = (dt/df)U/; Ло=О, (6.64)

где для пробного тела

(也/由)2 = 1-2%80)—2 工тa/g。+0(4),(6.65)

причем здесь мы снова ПрейебрегЛй изменением внешнего потенциала, взяв его в точке X] вместо х0. Используем ППН символы Кристоффеля (см. выше), рассчитанные для внешних точечных масс (подставив р = р* (1 ——g v2 ——3y(Z); J p*^ = та), и ньютоновские уравнения движения для упрощения постнью- а

тоновских членов. Будем удерживать только члены, рассмотренные выше; для иллюстрации сохраним также ньютоновскую приливную силу. Подставляя (6.64) в (6.61), окончательно имеем

гдегдеAX]。гюAX]。гюX I 1—(40+2у—3—ЗЕ—备)ЕТX I 1—(40+2у—3—ЗЕ—备)ЕТ+言5甸子^兄一噴+言5甸子^兄一噴—V(/； (х0)Х гю—V(/； (х0)Х гю(%—ОС? — «3)所(%—ОС? — «3)所，*4论〜 加a几la仰a，*4论〜 加a几la仰aС = хю/^ю； nia = xia/ria；С = хю/^ю； nia = xia/ria；иУ(х°)= f 1иУ(х°)= f 1р*（х\ /）（%（＞—х）/（%—/）統з 犷р*（х\ /）（%（＞—х）/（%—/）統з 犷Легко показать, что для сферически симметричного источника V/U： (xo)=m1x{o/r?o + O(6);丐中a。)=(//*)(3m。2论？ 一2%焦6川)一一(厶/喂)(5/7吟‘一2就6川一恥歌/)+0⑷,Легко показать, что для сферически симметричного источника V/U： (xo)=m1x{o/r?o + O(6);丐中a。)=(//*)(3m。2论？ 一2%焦6川)一一(厶/喂)(5/7吟‘一2就6川一恥歌/)+0⑷,гдегде/И]=J p* d3 x； A=J P* r2 d3x/И]=J p* d3 x； A=J P* r2 d3x++(6.66)(6.66)(6.67)(6.67)(6.68)(6.68)(6.69)(6.69)——масса покоя и сферический момент инерции источника.Теперь надо определить инвариантный радиальный единичный 4-вектор Ег. Его компоненты в точке х0 есть просто компоненты вектора, касательного к кри-——масса покоя и сферический момент инерции источника.Теперь надо определить инвариантный радиальный единичный 4-вектор Ег. Его компоненты в точке х0 есть просто компоненты вектора, касательного к кри-вой X (X), соединяющей два тела:E(=ad"(A)/d%= —ax{4; £® =0.Нормировочный множитель a определим из равенства%Е：三 1 =心 Ix°iF(1+2y §//%), где мы сохранили только необходимые члены. Тогдавой X (X), соединяющей два тела:E(=ad"(A)/d%= —ax{4; £® =0.Нормировочный множитель a определим из равенства%Е：三 1 =心 Ix°iF(1+2y §//%), где мы сохранили только необходимые члены. Тогда(6.70)(6.70)(6.71)(6.71)E'「E'「MiMi（」唱管）（」唱管）(6.72)(6.72)

где

где

AX]。гю

AX]。гю

X I 1—(40+2у—3—ЗЕ—备)ЕТ

X I 1—(40+2у—3—ЗЕ—备)ЕТ

+言5甸子^兄一噴

+言5甸子^兄一噴

—V(/； (х0)Х гю

—V(/； (х0)Х гю

(%—ОС? — «3)所

(%—ОС? — «3)所

，*4论〜 加a几la仰a

，*4论〜 加a几la仰a

С = хю/^ю； nia = xia/ria；

С = хю/^ю； nia = xia/ria；

иУ(х°)= f 1

иУ(х°)= f 1

р*（х\ /）（%（＞—х）/（%—/）統з 犷

р*（х\ /）（%（＞—х）/（%—/）統з 犷

Легко показать, что для сферически симметричного источника V/U： (xo)=m1x{o/r?o + O(6);

丐中a。)=(//*)(3m。2论？ 一2%焦6川)一一(厶/喂)(5/7吟‘一2就6川一恥歌/)+0⑷,

Легко показать, что для сферически симметричного источника V/U： (xo)=m1x{o/r?o + O(6);

丐中a。)=(//*)(3m。2论？ 一2%焦6川)一一(厶/喂)(5/7吟‘一2就6川一恥歌/)+0⑷,

где

где

/И]=J p* d3 x； A=J P* r2 d3x

/И]=J p* d3 x； A=J P* r2 d3x

+

+

(6.66)

(6.66)

(6.67)

(6.67)

(6.68)

(6.68)

(6.69)

(6.69)

——масса покоя и сферический момент инерции источника.

Теперь надо определить инвариантный радиальный единичный 4-вектор Ег. Его компоненты в точке х0 есть просто компоненты вектора, касательного к кри-

——масса покоя и сферический момент инерции источника.

Теперь надо определить инвариантный радиальный единичный 4-вектор Ег. Его компоненты в точке х0 есть просто компоненты вектора, касательного к кри-

вой X (X), соединяющей два тела:

E(=ad"(A)/d%= —ax{4; £® =0.

Нормировочный множитель a определим из равенства

%Е：三 1 =心 Ix°iF(1+2y §//%), где мы сохранили только необходимые члены. Тогда

вой X (X), соединяющей два тела:

E(=ad"(A)/d%= —ax{4; £® =0.

Нормировочный множитель a определим из равенства

%Е：三 1 =心 Ix°iF(1+2y §//%), где мы сохранили только необходимые члены. Тогда

(6.70)

(6.70)

(6.71)

(6.71)

E'「

E'「

Mi

Mi

（」唱管）

（」唱管）

(6.72)

(6.72)

и инвариантная радиальная компонента 4-ускорения А принимает види инвариантная радиальная компонента 4-ускорения А принимает видАЕ「= ААЕ「= А仔 I Ga /仔 I Ga /(6.73)(6.73)

и инвариантная радиальная компонента 4-ускорения А принимает вид

и инвариантная радиальная компонента 4-ускорения А принимает вид

АЕ「= А

АЕ「= А

仔 I Ga /

仔 I Ga /

(6.73)

(6.73)

Окончательно получаем [214, 356, 358]

AEr = ^ таг10 [3(g詣2_屮盘一号卜_(40_Y_3_3Е_3 e 用гР I用

1111—W («!—а2-а3)哂一彳 а2(^!—W («!—а2-а3)哂一彳 а2(^!寄+E 2 -~ (nia e)a+寄+E 2 -~ (nia e)a+XX++（翁吟/ 一脚）X（翁吟/ 一脚）X/a2磋MT e*G储通Nа* 1 «а/a2磋MT e*G储通Nа* 1 «а(6・74)(6・74)

1

1

1

1

—W («!—а2-а3)哂一彳 а2(^!

—W («!—а2-а3)哂一彳 а2(^!

寄+E 2 -~ (nia e)a+

寄+E 2 -~ (nia e)a+

X

X

+

+

（翁吟/ 一脚）X

（翁吟/ 一脚）X

/a2磋MT e*G储通Nа* 1 «а

/a2磋MT e*G储通Nа* 1 «а

(6・74)

(6・74)

Первый член в (6.74) — ньютоновское приливное ускорение. Из второго члена можно получить локально измеренную постоянную тяготения

dt = 2 加。九％九f/ia； 〃xt =凜卜(6・76)

Отсюда видна прямая возможность нарушения ССПЭ через эффекты привилегированной системы отсчета и выделенного положения в локальных опытах Кавендиша. Эффекты привилегированной системы отсчета зависят от скорости wx источника относительно системы покоя Вселенной и отсутствуют, только если все параметры 网一貧=0. Эффекты выделенного (особого) положения зависят от гравитационных потенциалов (/ext и U爆 соседних тел и отсутствуют, если ППН параметры удовлетворяют выражению

e三祁 一 Y 一 3 一g三 0.(6.77)

В § 6.4 мы разовьем формализм с сохраняющейся энергией для частного случая полуконсервативных теорий тяготения, Который продемонстрирует прямую связь между нарушением ЛЛИ и ЛПИ в опытах Кавендиша и нарушением ГСПЭ, описанным в § 6.2.

Следует отметить, что ОТО предсказывает G^ = 1.

ЛАГРАНЖИАН п ТЕЛ, СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ССПЭ

В § 6.2 и 6.3 было показано, что некоторые метрические теории тяготения могут предсказывать нарушение ГСПЭ или ЛЛИ и ЛПИ для гравитирующих тел и гравитационных экспериментов. В частном случае теорий тяготения, включаю* щих законы сохранения энергии и импульса, а именно полуконсервативных теорий, можно показать прямую связь этих двух нарушений. При этом использует-

ся тот же метод, что и в § 2.5: выводится выражение для сохраняющейся энергии составной системы в квазиньютоновской форме, в которую в явном виде входят тензоры аномальных инертной и пассивной гравитационной масс 6加夕 и 6/ng . Применение мысленного циклического эксперимента, аналогичного описанному в § 2.5, обнаруживает, что нарушение ГСПЭ, равно как и ЛЛИ и ЛПИ, зависит от тензоров аномальных масс.

Результат этот получается следующим образом [124]: сначала рассматрива* ют только полуконсервативные теории тяготения, так что а3 = ^-4 = 0, и системы, в которых основные частицы являются точечными массами. Затем из точечных масс создают составное тело, движущееся в цх общем гравитационном поле. Все рассматривается в ППН системе координат, неподвижной обносительно системы покоя Вселенной. Уравнения движения частиц при этом будут содержать стандартное ньютоновское ускорение плюс ньютоновское n-массовое ускорение 。⑺，определяемое уравнением (6.34), с w = 0 и полуконсервативными ППН параметрами

圆=-e ^^h一(2Y+20)也一(2Y+20+1 + ^网)譽一b^a rab L%b \2/ S

一(26—1一2ё) 2 —-(2Y + 2₽-2g) 2 子 + c*a,b「bec耍％ b

+—(14-25+^2)z +E Z+y%_

113

—T(4y+4+aJ Va vb + у (2v+2+a2) ^—— (l+a2) (vbnab)2l —

一(4Y + 3-2^ + ar-a2)

/仔ac^a,b rbc

-ёе号&-或户需)E恤

b#a 'йЪc*b ,а\ Где 「be /

+ E "Г" xab K2V + 2) va —(2?+ 0 Vb] 4 —~?~xab X 厚a rab/ b^a rab

X [4丫+4+网)％—(4y + 2+ai—2a2)vb] u{・(6.78)

Легко показать, что эти уравнения движения можно вывести из уравнений Лагранжа ——Эйлера, полученных варьированием траектории %q (f), vq (f) g-力 частицы в действии для п тел:

/3)三 J Ldt,(6.79)

где

L = _I一春吗-今'+ -^~身-^^ 1 + (2卄1)磧_

—(20—1)工(^Т+З+а!—a2) va vb —

c^a/

。+ 吟&公《忘ь)—E mc —(6.80)

2嗑 c^atb \ "c %c / J

MO

Рассмотрим систему, состоящую из тела с массой /и。и составного тела, сделанного из тел с массами та. Примем, что т0》2加。и что массивное тело поко- а

ится в начале координат на расстоянии | X | от составного тела, причем | X f велико по сравнению с размерами составного тела. Более массивное тело с массой т0 можно считать покоящимся и создающим внешний гравитационный потенциал, в котором движется составное тело. (Взаимодействием составного тела с неоднородностями внешнего потенциала пренебрегаем.) Сделаем теперь замену переменных в (6.80) — перейдем от ха к координатам центра масс и относительным смещениям

X = m-i 2 та ха5 т = 2 та；云三 х。一Х・(6.81)

аа

При этом

7a=dxaldt; V = dX/df.(6.82)

Гамильтониан Н получаем из £ стандартным образом

(6.83)(6.83)p/ = OL/dW;必="庙/；"三p/"+工必%一L.

(6.83)

(6.83)

В результате находим

“，Р2 тт0 , V 庵

н=m+——+Л

т 2/n R 2/Иа

一g+勾賢Z一g+勾賢Z上卢工2 $ R京上卢工2 $ R京空强(懿奇+空强(懿奇++ 十(1+%一%)+ 十(1+%一%)та тъ гаЪта тъ гаЪ十0+出)工产命Р)一4atb m2rab十0+出)工产命Р)一4atb m2rab

一g+勾賢Z

一g+勾賢Z

上卢工2 $ R京

上卢工2 $ R京

空强(懿奇+

空强(懿奇+

+ 十(1+%一%)

+ 十(1+%一%)

та тъ гаЪ

та тъ гаЪ

十0+出)工产命Р)一

4atb m2rab

十0+出)工产命Р)一

4atb m2rab

-}(2 丫+D 賢?m一 *?* 因户+2(P©L

Pa PPa+亏(1 +%—出)丄 £4p0+

2加 ％b Гаь

+ ；(】 + %)= £専侖b P)爲b Pa) +。(6) +。Г')，(6.84)

2 m %b rab

Где R = |X|； n = X/R； na& = хаь/гаь. В Я мы пренебрегли постньютоновскими членами порядка О (р4) и О (Р《), которые не связаны с внутренними движени* ями и движением центра масс составного тела. Усредним теперь Н по нескольким временном масштабам внутренних движений составного тела и используем теоремы вириала для внутренних переменных:

加尸Pam)=(善E ma mb留吃了23 +加。⑷).(6.85)

Как и в § 2.6, утверждаем, что хотя постньютоновские члены в (6.85) могут зави> сеть от Р или X, эта зависимость не влияет на вид Я. Полученный в результате усредненный гамильтониан перепишем в терминах V = д(Н)/дР и представим функцию сохраняющейся энергии в виде

Ес=М + ~^- {Мб引+[(ai—a2) «6〃+勿 R"]} Vz W—

-{m6"+[(40一Y一3一非)R^-ER円} m。侖 3lR,(6.86)

141

где

/ р 庵 1 татъ \

с 〜(6.87)

М三/_丄%\

Сравнивая (6.86) с (3.77) и (3.78), получаем тензоры аномальных масс

6m,=(网一aj U6"+a2 U〃;

(6.88)

6m% = (40—у—3— 3g) Q6〃一&◎"・

Подставляя эти результаты в (3.80), получаем

6аЛ = М-1 [(4Р-V-3-3g) Q^i-^il (д/дХ^) (〃sQQ/R) +

+ M-i [(%—a?) Q6^+a2 U砌 m0 W/RL(6.89)

Это выражение находится в полном согласии с нарушающими ГСПЭ членами в (анью)Л [см. (6.40), (6.43) — (6.46)]. В этом можно убедиться, представив полу- консервативные значения ППН параметров и приняв во внимание, что потенциал одиночной удаленной точечной массы

Wm^m^^nmIR.(6.90)

Определяя влияние внутреннего строения составного тела на движение его центра масс, мы фиксировали его строение и использовали явные зависимости Я от Р (или V) и X. Теперь же для исследования влияния движения тела на его внутреннее строение надо задать движение центра масс (Р, X) и использовать явные зависимости Я от р и х. Используя ньютоновскую теорему вириала для упрощения постньютоновских членов Я, получаем

j=M + g { Мб^/~[(ai—a2) U6〃+% М]} Pf Р〃М2 —

—{М6〃+[(4В—у—3—3® U6〃一EU勺} m3Q//?, (6.91) где M и U〃 определяются (6.87). Заметим, что величины в квадратных скобках в (6.91), так же как и в (6.86), есть тензоры аномальных масс (6.88), только знак 6/п, в (6.91) противоположен знаку в (6.86), что является следствием того, что 6/п? в (6.91) выражено через Р, а не через V, как в (6.86).

Предположим для простоты, что составное тело представляет собой две точечные массы в локальном опыте Кавендиша. Используя £с в виде, приведенном выше, легко показать, что эффективная сила, действующая между двумя частицами,

F =—吟 (6.92) где Р и X фиксированы. Тогда эффективная локальная гравитационная постоянная

Gl = & F G/Wt 加2) = 1 --~ [Q1 - a2) 6〃 + 网7%1 户P〃M2-

(6.93)(6.93)—[(40—Y—3—3e)6"—E d 6/]加0 Л^ 九〃火,

(6.93)

(6.93)

где e = x12/r12; U“ = — /n1m2eie^/r12. Мы получили уравнение (6.75) при Р/М= =W]； m^rJ/R = U：!t； /] = 0. Итак, мы снова видим явную связь между нарушением ГСПЭ, с одной стороны, и нарушениями ЛЛИ и ЛПИ — с другой в по- лукрнсервативных теориях гравитации.

142

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Движение вращающихся тел (гироскопов, планет, элементарных частиц) в искривленном п ростр а нстве- вр емени интенсивно исследуется уже много лет. Эти исследования были направлены на выяснение того, как внутренний угловой момент (спин) тела меняет движение последнего (отклоняя тело от движения по геодезическим) и как движение тела в искривленном пространстве-времени изменяет его спин.

Первая проблема в настоящее время не имеет полностью удовлетворительного решения, есть лишь приблизительные решения и решения для некоторых типов пространства-времени, главным образом по причине трудностей строгого определения центра масс вращающегося тела в искривленном пространстве-времени. Наиболее успешные попытки найти решения были сделаны в работах [63, 81, 176, 222, 321]. Главным выводом этих работ было представление отклонения от движения по геодезическим, обусловленного внутренним спином S“" (моментом J“"，вычисленным в системе центра масс тела), в виде

mda^^SvKuxR^(6.94)

где 〃т ——4-скорость тела; ^也入—римановский тензор кривизны. Однако раз личные расчеты сильно отличаются друг от друга деталями и интерпретацией Для вращающегося тела, движущегося со скоростью и в ньютоновском потенция ле тяготения U ~ М/г, эти отклонения имеют следующий порядок величины

да 〜(I S/ Цт)\ VI (М/г»)〜(勿 X/r) (М/г)1/2 анью,(6.95)

где b — радиус тела; X — угловая скорость вращения тела. Для планеты, вра・ щающейся со скоростью, близкой к скорости разрушения (X2 〜加/6額)，имеем

6〃 < (zn/b) "2 (М〃)"2(b/г)产ю < 10-12 “нью,(6.96)

а для гироскопа радиусом 4 см, обращающегося вокруг Земли (частота враще* ния гироскопа 200 об/с),

6а < IO-2» анью.(6.97)

Следовательно, в большинстве случаев обусловленными спином возмущениями движения по геодезическим можно в солнечной системе пренебречь. Выводя в § 6.2 уравнения движения массивного тела, мы пренебрегали влиянием при* ливных гравитационных сил (римановского тензора кривизны), поэтому урав・ нения двджения (6.31) спиновых эффектов не содержат.

Даже для очень быстро вращающихся звезд, таких как двойные пульсары (6 ~ 10 км; X ~ 100 Гц; т 〜Wq； г ~ 10е км),

6а £10-1。产ю.(6.98)

и им можно пренебречь (см. гл. 12).

Лучше обстоит дело со второй проблемой — влиянием движения тела на его спин. Все расчеты, выполненные к настоящему моменту, свидетельствуют, что если прямым влиянием приливных гравитационных сил (римановского тензора кривизны) можно пренебречь, то спин S, записывающийся в виде

S»* = (1/2) а"”断％S^; ^5ц=0,(6.99)

допускает перенос Ферми — Уокера вдоль мировой линии тела согласно уравне* нию

""S?=吗/5)(6.100)

где 4-ускорение тела определяется выражением

/=”〃%.(6.101)

Дальнейшее обсуждение переноса Ферми — Уокера см. в [185, § 40.7]. Приведенный ниже вывод построен по схеме, использованной в указанной работе.

143

Уравнение (6.100) удобно исследовать в локальной лоренцевой системе отсчета, мгновенно сопутствующей телу. Векторный базис такой системы связан с базисом ППН системы координат преобразованием Лоренца и соотношениями нормировки

*=叫 吩=叮+0(3);*=(1 一沙)中+£巧%+0(4), (6.102)

где все величины берутся вдоль мировой линии тела. В этой системе отсчета спин (6.99) оказывается чисто пространственным вектором

S^ = e*S产 141As产 О.(6.103)

Рассчитаем теперь прецессию пространственных компонент спина Sj. Поскольку 哼〃ц = 0, из (6.100) получаем

(6.104)(6.104)0=е}〃vS阳 y-uvS介у - S^ 炉 e入 v，

(6.104)

(6.104)

и так как S?——скаляр (скалярное произведение двух векторов), имеем

〃vSc =炉5人 =dS^/df・(6.105)

/ ； v / , v /

Второй член в (6.104) легче всего оценить в ППН системе координат. Сначала, используя (6.102), получаем соотношение между S1A и S^:

S°= —u「S?+ 0(3) S?; S尸 S?+。⑵ S?・(6.106)

Далее после некоторых упрощений в порядке до постньютоновского имеем

dS?/dt=S金［% 旬+ 00 ［瓦〃 一(2丫+1)也 U,加. (6.107)

Это уравнение перепишем через трехмерные векторы

dS/dt = QxS；

Q=—~vxa—-^-Vxg + ^T+ g) vXAU; ,(6.108)

g=goje?・

Здесь не имеет значения, в какой системе координат вычисляются векторы, входящие в Q,——в ППН или в сояутствующей телу, поскольку их пространственные базисы отличаются только на величины О (2). Мы рассчитали прецессию спина в сопутствующей системе отсчета, которая вращательно связана с ППН системой координат и оси которой фиксированы по отношению к далеким галак* тикам. Таким образом, мы рассчитали угловую скорость прецессии спина в этой системе отсчета. Следствия этой прецессии обсуждаются в гл. 9.

ГЛАВА 7

КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ

Имея в своем распоряжении ППН формализм и его уравнения движения, можно сопоставить теории гравитации, описанные в гл. 5, с результатами экспериментов в солнечной системе. Рассмотрим три классически теста релятивистской гравитации: отклонение света 144

в поле тяготения, задержку световых сигналов и смещение перигелия Меркурия.

Наше использование здесь термина «классический» расходится с традиционным. Обычно «классическими» считаются измерение красного смещения, отклонения света и смещения перигелия Меркурия в гравитационном поле. Причины тут чисто исторические, ибо эти явления были первыми наблюдаемыми эффектами ОТО, рассчитанными Эйнштейном. Однако в гл. 2 мы видели, что измерение гравитационного красного смещения в действительности не является тестом ОТО, это скорее проверка ЭПЭ, на котором базируются ОТО и другие метрические теории тяготения. Другими словами, любая метрическая теория автоматически предсказывает одно и то же гравитационное красное смещение. По этой причине мы исключили его из классических тестов (что совсем не умаляет его значения, как это указано в гл. 2). Однако мы можем заменить его экспериментом не менее важным, чем два других, 一 измерением временной задержки световых сигналов. Этот эффект, как и следовало ожидать, весьма близок эффекту отклонения света, поскольку любой физический механизм в уравнениях Максвелла (преломление, дисперсия, гравитация), отклоняющий свет, может также вызывать его запаздывание. Чрезвычайно странно, что Эйнштейн не обнаружил этот эффект. Это сделал И. Шапиро лишь в 1964 г. [280]. Простейшим объяснением является то, что лишь в 1960 —1970 гг. появление современной техники позволило выполнить необходимые космические измерения (определить задержку 200 мкс для отражения сигнала от Марса), чего нельзя было сделать во времена Эйнштейна. Ему была известна лишь проблема смещения перигелия Меркурия на 43" в столетие и потенциальная возможность измерения отклонения света. Но отсутствие технических возможностей всего не объясняет. В конце концов Эйнштейн рассчитал гравитационное красное смещение во времена, когда шансы на его измерение были очень малы (надежные результаты не удавалось получить до 1964 г.), да и другие ученые, например Лензе и Тирринг, а также де Ситтер, рассчитывали эффекты ОТО, которые практически невозможно было измерить с помощью имеющейся в то время техники. Почему-то никто в то время не перешел от измерения отклонения света к измерению его запаздывания, хотя бы из принципиальных соображений.

Тем не менее запаздывание света является одним из классических тестов, так как позволяет наиболее точно проверить ОТО на сегодняшний день.

Эту главу мы начнем с рассмотрения отклонения света (§ 7.1), а затем рассмотрим запаздывание света (§ 7.2) и смещение перигелия Меркурия (§ 7.3).

ОТКЛОНЕНИЕ СВЕТА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Выражение для отклонения света можно получить непосредственно из ППН уравнений движения фотона (6.14) и (6.15). Рассмотрим световой сигнал, излученный в момент te в точке х« в ППН системе ко-

ординат в начальном направлении, описываемом вектором п таким, что п2 = 1. С учетом постньютоновских поправок хр траектория фотона имеет вид

х° (0 = f; х (0 = Хе +R —幻 + Хр (0，(7.1)

где введено граничное условие хр (Q = 0. Разложим хр на компоненты, параллельную и пер пенди ку л яр ную невозмущенной траектории:

%р(Он =Ахр(0； хр ⑴丄=хр (0 —п[пхр(/)].(7.2)

Тогда из (6.14) и (6.15) имеем

dxp^ldt = —(1 + у) U;(7.3)

心号丄阻代=(1 + 丫) [U,j-舒(nV U)]・(7.4)

Для простоты предположим, что ньютоновский потенциал тяготения создается ССС телом массы т, находящимся в начале координат (Солнце О)» т・ е.

U = m/r.(7.5)

Вдоль невозмущенного пути фотона потенциал тяготения имеет вид U = т/г (0 = m/区 + 命一力)1・(7.6)

Тогда в постньютоновском порядке (7.4) можно проинтегрировать вдоль невозмущенного пути фотона с использованием (7.6), что дает

备Хр(М=—(1+Y)* (哧一当)'(7・7) где

d 三G X (Xg X nj-(7.8)

Заметим, что вектор d соединяет центр тяготеющего тела и ближайшую к нему точку невозмущенной траектории (рис. 7.1). Уравнение (7.7)

Рис. 7.1. Геометрия измерения гравитационного отклонения света

описывает отклонение траектории фотона в сторону Солнца (в направлении —d). Для полного отклонения имеем

+ Хр (/) = -(1 + Y) (1 + Y号(啸7 Е") •(7・9)

Рассмотрим наблюдателя, покоящегося на Земле и регистрирующего фотоны, приходящие из исследуемого источника и из опорного, расположенного в другом месте небосвода хг. Угол 0 между двумя приходящими фотонами является физически измеряемой величиной, и ему может быть дано инвариантное математическое выражение. Четырехмерные векторы 左к 三 dx^/dt и &% = dx^dt. касательные путям %к (0 и %?)(0 двух приходящих фотонов, проектируются на гиперповерхность, ортогональную 4-скорости наблюдателя 〃к, с помощью оператора проектирования

外三部+ "山".(7.10)

Из скалярного произведения полученных векторов имеем

cos 8 三依胃經Г)Pvg/| 6Р*И 左，尸加=1 + k kr/(uk)(ukr). (7.11) Если пренебречь скоростью движения Земли (небольшие поправки), то уравнение (7.11) упрощается

cos 0 = 1 — g^gz册耳；)・(7.12)

Подставив (7.1) и (7.9) в (7.12), с постньютоновской точностью получимПодставив (7.1) и (7.9) в (7.12), с постньютоновской точностью получим

Подставив (7.1) и (7.9) в (7.12), с постньютоновской точностью получим

Подставив (7.1) и (7.9) в (7.12), с постньютоновской точностью получим

где

④算，X (xr xG)(7.14)

Следует отметить, что с достаточной постньютоновской точностью в (7.13)

d =G х (х@ X nj； dr =大 X (x㊉ X%) •(7.15)

Определим теперь 00 как угол между траекториями невозмущенного и опорного (реперного) фотонов, т. е.

85备三11不(7.16)

а угловое отклонение 60 — как разность измеренного и невозмущенного углов

60 я 0 — 0Р.(7.17)

147

Рассмотрим два представляющих интерес частных случая. Первый —идеализированная ситуация, приводящая к простой формуле. Пусть само Солнце является опорным источником. Тогда dr = ОРассмотрим два представляющих интерес частных случая. Первый —идеализированная ситуация, приводящая к простой формуле. Пусть само Солнце является опорным источником. Тогда dr = Ои второй член в скобках в (7.13) исчезает dnr/d = sin 00;(7.18)

Рассмотрим два представляющих интерес частных случая. Первый —идеализированная ситуация, приводящая к простой формуле. Пусть само Солнце является опорным источником. Тогда dr = О

Рассмотрим два представляющих интерес частных случая. Первый —идеализированная ситуация, приводящая к простой формуле. Пусть само Солнце является опорным источником. Тогда dr = О

S0 = [(1 + у)/2] (2m/d) (x@n/r@—хе n/?e).(7.19)

Для фотона от далекой звезды или галактики %》抬；xen/re« —1,(7.20)

так что с достаточной точностью

X@ n/r㊉ 4不Г£=85 00；(7.21)

68 = (岑1)号(J+片。)・(7.22)

Для ОТО (у = 1) это выражение находится в согласии с результатами, полученными в [283, 341].

Любопытно, что классический вывод отклонения света, опирающийся только на принцип эквивалентности или корпускулярную теорию света [96, 158] дает для коэффициента, стоящего перед (4m/d) X X (1 + cos 0о)/2 в (7.22), только 1/2 (вместо 1/2 + у/2)・ Однако это не обесценивает приведенных выше расчетов ——каждый результат верен в рамках своего рассмотрения. Классический вывод дает отклонение света относительно локальных прямых линий, представленных, например, жесткими стержнями; однако вследствие искривления пространства вокруг Солнца, описываемого ППН параметром у, локальные прямые линии искривляются относительно асимптотических прямых вдали от Солнца как раз настолько, чтобы обеспечить дополнительный фактор у/2. Первая часть (1/2) существует во всех метрических теориях тяготения, вторая часть (^/2) меняется от теории к теории. Следовательно, попытки вывести полное отклонение с использованием только принципа эквивалентности являются некорректными (см. [269] и критику в [248]).

Отклонение максимально для лучей, которые едва касаются Солнца, т. е. при 0О « 0; d « R@ = 696* 103 км m = m® = 1,476 км (в геометризованных единицах). При этом

60max = 1/2 (1 +у) 1,75". (7.23)

Второй случай, который мы рассмотрим более подробно, связан с конкретным методом измерения отклонения света с помощью радиоинтерферометрии. Опорный источник выбирается поблизости от измеряемого, и регистрируется изменение 60 углового расстояния между ними. Если Ф и Фг — углы между направлением Земля—Солнце и невозмущенными направлениями на два источника (измеряемый и опорный) (см. рис. 7.1), то

cos ①=х㊉ Щг^\ cos Фг=х㊉Gjr㊉. (7.24)

Вновь полагая эти два источника весьма удаленными, получаем

60 — /J_+V_\ f 4/n / cos ①厂一cos (Deos 肌、/ 1 H~cos Ф \ —

-2—( sin Osin Go 八 2/

4〃z / cos ①厂 cos 瓦一cos ①、/ 1 + cos Фг \1

_"" \sin Фг sin Go 八 2 /J '( •)

Если исследуемый луч проходит близко к Солнцу, в то время как опорный остается от него на значительном расстоянии, то можно считать, что ①《①г и, следовательно,

в0^Фг—Ф cos% + О (① 2/0)(7.26)

где % — угол между направлением Солнце—опорный источник и направлением Солнце—исследуемый источник, спроектированный на небесную плоскость (см. рис. 7.1). В результате имеем

*(号)卜子8 s什普(中)卜(73)

Отсюда ясно видно, как относительное угловое расстояние между двумя удаленными источниками изменяется, если свет одного из них проходит вблизи Солнца (% меняется, d，》d 〜R®).

Предсказание искривления лучей света Солнцем было одним из величайших триумфов эйнштейновской ОТО. Вскоре после окончания первой мировой войны Эддингтон подтвердил предсказание Эйнштейна, прославив его на весь мир. Однако эти эксперименты имели точность около 30 %, последующие результаты были не лучше: измерения дали разброс от половины до двойного предсказанного Эйнштейном значения при невысокой точности (подробнее см. в [29, 180, 246]). Последние оптические измерения, выполненные во время солнечного затмения 30 июня 1973 г., дали

1/2 (1 +у) = 0,95 ±0,11(7.28)

(погрешность — одно стандартное отклонение) [144, 312]. Точность была ограничена плохой видимостью, вызванной пылевой бурей незадолго до затмения и облачностью и дождем во время последующей экспедиции в ноябре 1973 г., что резко уменьшило число обмерянных изображений звезд, не говоря уже о различии масштабов фотографирования во время затмения и в отсутствие Солнца. Последние успехи в фотометрии и астрометрии могут сделать возможными измерения без солнечного затмения [133].

Развитие крупнобазовой радиоинтерферометрии изменило ситуацию [64]. Длиннобазовые и сверхдлиннобазовые радиоинтерферометры способны, в принципе, измерять угловые расстояния и изменения углов порядка $・10一4"(1,5 нрад). Добавим сюда несколько чрезвычайных удачных совпадений: каждый год группы мощных квазаров проходят вблизи Солнца (вблизи его видимого с Земли положения), в том числе группа квазаров 3C273, ЗС279 и ЗС48 и группа квазаров 0111 + 02, 0119 + 11 и 0116 + 08. Угловое положение каждого квазара определяет фазу радиосигнала на выходе радиоинтерферометра, которая также зависит от длины волны излучения и базы между радио-

телескопами. Угловое расстояние между двумя квазарами определяется разницей фаз сигналов. При движении Земли по орбите положение квазаров на небе относительно Солнца меняется и меняется угловое возмущение 60 (7.25), вызывая изменение разности фаз. Изменение со временем d, dn Ф и Фг, входящих в выражение (7.25), определяется с помощью точной эфемериды Земли и исходных направлений на квазары. Полученная временная зависимость разности фаз сравнивается методом наименьших квадратов с экспериментальной зависимостью с использованием (1 + у)/2 в качестве одного из подгоночных пара-

fodbf 〃％ 0,95 f.O Ш V0 (〃〔*")')

1969 [也卜一 [278] ।1969 [也卜一 [278] ।О] tО] t

1969 [也卜

一 [278] ।

1969 [也卜

一 [278] ।

О] t

О] t

1970

_ b勿]IO-

~1971 时]—

7972 口力

}^

1975

$ 10 20W°°

Рис. 7.2. Результаты радиочастотных измеренийгравитационного отклонения света в 1969—1975 гг.

метров. За последние 10 лет многочисленные эксперименты такого рода дали сравнительно точное значение параметра (1 + у)/2, в ОТО равного единице. Результаты приведены на рис. 7.2.

Одной из причин погрешности в таких экспериментах является более сильное искривление радиоизлучения солнечной короной, нежели светового излучения в опыте Эддингтона. Развитие двухлучевой методики улучшило точность, позволив разделить искривление лучей короной и тяготением, поскольку первое зависит от частоты, а второе не зависит. В [112] дан подробный обзор таких экспериментов и перспектив их улучшения.

ГРАВИТАЦИОННОЕ ЗАПАЗДЫВАНИЕ СВЕТА

В присутствии гравитационного поля массивного тела свет затрачивает большее время на прохождение данного расстояния, нежели определяемое НТТ. Выражение для времени запаздывания можно получить непосредственно из (7.3), интегрируя с использованием (7.6):

хр (Он = —(1 + у) /п In 1(г (0 + х (/)&(〃 + 翁]・ (7.29)

Согласно (7.1) врем只,необходимое для распространен"只 света от точки излучения до точки х, определяется выражением

/ — 4 = |х — х/ + (1 + у) m In [(г (/) + х (f而/& + х£)]・ (7.30) Для сигнала, излученного с Земли, отразившегося от планеты или космического аппарата в точке Хр и вернувшегося на Землю, полное время прохождения

& = 21 х㊉一Хр I + 2 (1 + у) m In [(е + х©п)(行一Xpf/d% (7.31) где n — направление фотона при возвращении. При этом не учитывалось движение Земли и отражателя в течение прохождения сигнала туда и обратно. Чтобы быть совершенно точным, надо время прохождения представить как собственное время, прошедшее при прохождении сигнала туда и обратно, измеренное атомными часами на Земле; это, однако, не даст ничего нового, так что делать этого мы не будем. Дополнительное время задержки 6/, описываемое вторым членом в (7.31), максимально, когда планета-отражатель находится по ту сторону Солнца от Земли (верхнее соединение), т. е. когда

x©r?«r©; ХрП«—Гр； d^R®,(7.32)

так что

6/ = 2 (1 + у) m In (4抬行阻2)=春(1 + у) [ 12 — In @/Rf (a/r^Y 20MKC,

(7.33) где a — астрономическая единица. Дальнейшее обсуждение можно найти в [191, 264, 280—282].

За прошедшие со времени открытия Шапиро полтора десятилетия было выполнено немало измерений в верхнем соединении с использованием радиолокационного зондирования и отражателей. Поскольку здесь нет «ньютоновского» сигнала, с которым можно было бы сравнивать наблюдаемый сигнал, необходимо проводить дифференциальные измерения вариаций времени прохода сигнала туда и обратно при прохождении отражателя через положение верхнего соединения и сравнивать полученную зависимость с логарифмической. Надо, однако, при- нимать.во внимание вариации времени прохода, обусловленные орбитальным движением отражателя относительно Земли [вариации |х㊉—Хр| в (7.31)]. Это делают, используя радиодальномерные (и, возможно, другие) данные о движении отражателя вдали от положения верхнего соединения (когда запаздывание пренебрежимо мало) для определения точной эфемериды отражателя и применяя эту эфемериду для предсказания ППН координат хр (f) траектории в окрестности верхнего соединения, затем вычисляя |х㊉——хр| с учетом траектории Земли х㊉ и определяя логарифмический член в (7.31). Сравнивая с помощью метода наименьших квадратов расчетный результат с экспериментальным, находим коэффициент (1 + у)/2. Изложенная схема, разумеется, упрощена, подробное описание см. в [4].

В экспериментах использовались отражатели трех типов. Во-первых, это планеты Меркурий или Венера, пассивно отражающие радио-

151

локационные сигналы (пассивная радиолокация). Одна яз главных трудностей в этом случае состоит в том, что неизвестная топография планеты может вносить погрешность порядка 5 мкс (в зависимости от того, на гору или долину приходится сигнал) как при определении эфемериды, так и, самое главное, при измерении времени прохождения сигнала. Было предложено несколько изощренных методов борьбы с этой погрешностью.

Отражателями второго типа являются искусственные спутники, например «Маринер-6» и «Маринер-7», используемые как переизлуча- тели радиолокационных сигналов (активная радиолокация). Здесь

⑴僚 1+Y) 。附。勿 0,95 1,0 7fCS 〃0

I 厂 1「

Пассивная радиолокация Меркурия и Венеры

[284]О1

[2既 IО1

Якгпи Зная радиолокация “Маринер-6： 〃 Маринер - 7 "[ 7 ] I~ОI

Аппараты, cSязaннble с планетами:

“Маринер-9” [8, 2旬]Ь-6-Н

〃右〃斤〃"2”\51f 289}*

⑵习飞《0,001)

$ 10 20^3

Рис. 7.3. Результаты радиолокационных измерений задержки радиосигналов в 1968—1979 гг.

топография отражателя роли не играет, а установка на борту спутника импульсного приемопередатчика позволяет точно определять расстояние до спутника. К сожалению, космические аппараты испытывают случайные возмущающие ускорения по различным причинам, в том числе вследствие случайных флуктуаций солнечного ветра и давления солнечного излучения. Имеют место также случайные колебания воздействия управляющих положением спутника приборов. Эти случайные ускорения могут вызывать отклонение траектории в области верхнего соединения от предсказанной эфемеридой совершенно неизвестным образом и с амплитудой до 50 м, что дает погрешность 0,1 мкс. Для решения этой проблемы были разработаны специальные методы анализа радиолокационных данных (последовательная фильтрация) ⑷.

Третий способ представляет собой попытку совместить отражательные свойства космического аппарата с невозмущаемым движением планеты с помощью привязки первого ко второй. Примерами является «Маринер-9», запущенный на орбиту вокруг Марса, и группа аппаратов серии «ВикиЬг-Марс» для посадки и орбитирования.

152

Во всех трех случаях вносится неопределенность солнечной короной, замедляющей радиоволны. Здесь также для повышения точности используется двухчастотная техника, однако погрешность, вносимая короной, остается фактором, ограничивающим точность большинства последних измерений запаздывания радиоизлучения.

Результаты выполненных на сегодняшний день измерений представлены на рис. 7.3. Последний анализ результатов, полученных «Викингом», дает точность измерения 0,1 % [243]. Измерения отклонения и запаздывания света позволяют считать, что коэффициент(1 + у)/2 отличается от единицы не более чем на 0,2 %. В большинстве теорий, приведенных в табл. 5.1, произвольные изменяемые параметры или космологические граничные условия можно выбрать так, чтобы удовлетворить этому ограничению. Скалярно-тензорные теории должны иметь со > 500, чтобы попасть в предел 0,1 %, и со > 250 для 0,2 %•

СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ

Объяснение аномального смещения перигелия Меркурия также было триумфом ОТО. Однако с 1967 по 1974 г. шли споры о том, подтверждением или опровержением ОТО оно является, поскольку возможное существование квадрупольного момента Солнца могло дать свой вклад в наблюдаемое смещение. Хотя противоречие как будто ликвидировано, вопрос о квадрупольном моменте Солнца остается открытым.

Предсказание смещения перигелия в ППН формализме можно получить из ППН уравнений движения (6.31). Рассмотрим систему из двух тел с инертными массами /Пх и т2 и собственной гравитационной энергией Q^ и Q2. Пусть первое тело имеет малый квадрупольный момент Q?, а вся система покоится в системе покоя Вселенной (w= 0) и поблизости нет других гравитирующих тел. В гл. 8 мы рассмотрим влияние движения и дальних тел (эффекты привилегированной системы отсчета и выбранного положения) на смещение перигелия, пока же ими пренебрежем. Будем работать в ППН системе координат, в которой центр масс системы тел покоится в начале координат.

Используя тот факт, что каждое тело является почти сферическим, т. е. что Q^ ^ ^ 6/ Qa, получаем из (6.31)—(6.34) ускорения каждого тела:

a] = (mp//n)i(V吗一幣[(2? + 26)詈 +

+(27 + 20 + 1 'F-- %一点)-^—Y 次 +

+ ；(47 + 4+a1)”V2—— (27 + 2 + a2 + a3) ^2 +

+ -y(1 +啕e2研一岩[(2?+2)打一(2y+1»]+

+ -^^-[(47+4 + T)”一(4y+2 + a1-2%) v2];

3g ― {14**2; x —>—x},

где х 三 х21; n = х/r (выражение для а2 получается из выражения для а】 заменой 1 甘 2 и х -> —х). Включив ньютоновский вклад квадрупольного момента в квазиньютоновский потенциал, создаваемый первым телом, получим

(7.35)

他》2 = —(т/)М"3—«L (而#%—2母右/) Q“/d.(7.36)

Здесь (тд)х и (mR — активные гравитационные массы, полученные из уравнения (6.51). Для тела, аксиально-симметричного относительно направления % можно показать, что

Qf =恤Rf厶⑴(6/-3g众)， (7.37)

где

厶=(С - А)/(加R2)(7.38)

есть безразмерный квадрупольный момент; А — момент инерции относительно экваториальной оси; С — момент инерции относительно оси симметрии; R — радиус тела; индекс 2 у 厶 показывает, что мы имеем дело с квадрупольным (I = 2) моментом тела.

Поскольку центр масс системы покоится, в постньютоновских членах (7.34) с достаточной точностью можно положить

V] = —(m2/m) v; v2 =(加丿加)V,(7.39)

причем

v s v2 — Vi； m =加]+ m2.(7.40)

Введем также приведенную массу

|л = m^ijm.(7.41)

Тогда относительное ускорение а = а2 — аг примет вид

а=—空三 + — -^?Ja(1) [ 15(еnj2n—6(еnj?—3n] + г3 2 г4

+ 号[(2Y + 26)十 一 ? и2 +(2 + % — 2G 十-

—~ (6 + % + % + а3) -~ и? + ~- (1 + 出)-~ (v n)2j +

(7.42)(7.42)+ m '；；)v [(2丫 + 2)^ (2—% + «2)|.

(7.42)

(7.42)

Здесь

加* = (mp/m)2 (тд)! + (mp/т)! (тд)2 = m (1 + A》)；(7.43)

厶蠶一члены, связанные с внутренней энергией тел [см. (6.51)]. Для Солнца они постоянны и не превышают 10_б. Отсюда следует, что разница между т* и m слишком мала, чтобы ее можно было измерить, поэтому мы просто опустим звездочку в (7.42).

154

Рассмотрим планетную орбиту со следующими мгновенными параметрами (подробные определения см. в [295]): i — наклонение относительно выбранной опорной плоскости; 0 — угол между выбранным опорным направлением в опорной плоскости и восходящим узлом; о — угол между перигелием и восходящим узлом, измеренный в плоскости орбиты; е — эксцентриситет; а — &)льшая полуось. Шестой параметр ——момент прохождения периастра Т — является начальным условием и для наших целей не важен. В солнечной системе за опорную плоскость выбирается плоскость земной орбиты (плоскость эклиптики), за опорное направление — направление Земля —Солнце в момент весеннего равноденствия.

Следуя стандартной процедуре расчета возмущений параметров орбиты [254, 295], разложим ускорение а (7.42) на радиальную составляющую 笈,составляющую, нормальную к плоскости орбиты, 蹤 и составляющую 9, нормальную к % н 旣 и затем рассчитаем скорости изменения параметров орбиты по следующим формулам (используя обозначения, принятые в [254]):

(7.45)(7.46)(7・47)(7.48)(7.45)(7.46)(7・47)(7.48)=——l——cos ф -|sin фctg i sin (s + (p); (7.44) dt heheh

(7.45)

(7.46)

(7・47)

(7.48)

(7.45)

(7.46)

(7・47)

(7.48)

穿(?+%esin<P)；

万=£—8S® +(p)；d® = ^Т sin®+(p)dt 九 sin f

Здесь h—угловой момент орбиты на единицу массы;屮一угловое расстояние планеты от перигелия (истинная аномалия); р = а (1—е2)— половина фокального параметра. Переменные г и ср связаны с мгновенными параметрами орбиты определениями

г = р (1 + е cos ср)-1;(7.49)

产d(p/力=h = (/np)〃2.(7.50)

Поскольку при наблюдениях планеты привязываются к геоцентрическим координатам, измеряемый перигелий есть перигелий относительно равноденствия: оГ=(о + 6 cos i. Тогда скорость изменения ш определяется выражением

Р豆.9(р+「)•

Ls(p + -7r-sin%

где учтено, что Для всех планет i мало, т. е. sin / < 1. Для возмущающего ускорения (7.42), опуская индекс 1, имеем

^ = ^jn^[3(--)2_1]+^^

+ (2Y + 2) (vn)2 + (2 + (Xi-2cJ —-(6 + % + 出 + %) - V2 —

，2m

(7.52)(7.52)(7.53)(7.53)—^"(1 一 2al —a2)g (vn)2j ；

(7.52)

(7.52)

(7.53)

(7.53)

9 = —3 (tnl^J^lr^ (e nj(e X) + -^-(vnj(vX) X

X I (2? + 2)— (2—a】+ aj],

где X — единичный вектор в плоскости орбиты в направлении орбитального движения, перпендикулярный п. Для орбиты Меркурия ось симметрии Солнца почти перпендикулярна плоскости орбиты, так что е п м 0. Подставляя (7.52), (7.53) в (7.51) и интегрируя по орбите с использованием тождеств (7.49) и (7.50), получаем

А% = (бпт/р) J-y (2 + 2у —Р) + 千(2%—出 + %+2^)卩/т +

(7.54)(7.54)+ JzR2/2fnp 卜

(7.54)

(7.54)

Это лишь вековые возмущения параметра орбиты, обусловленные постньютоновским членом в (7.42); однако можно показать, что квадрупольные члены дают вековые изменения параметров i и 0, пропорциональные sin 0 и sin 0/sin i соответственно, где 0 « 7° — наклон оси симметрии (оси вращения) Солнца к плоскости эклиптики. Параметры а н е не испытывают вековых изменений ни при одном из этих возмущений.

Первый член в (7.54) представляет собой классическое смещение перигелия, зависящее от ППН параметров и р. Второй член зависит от отношения масс двух тел [362] и равен нулю во всех полностью консервативных теориях гравитации («х-з = ^2S 0); он также пренебрежимо мал для Меркурия, поскольку (х//и ~ 加专/加。~ 2・ 10-* и его следует опустить. Третий член зависит от квадрупольного момента Солнца)2・ Судя по наблюдаемой скорости равномерного вращения поверхности Солнца, квадрупольный момент, вызываемый его центробежным сплющиванием, оценивается как 10е7. Нормируя /? на это значение и подставляя стандартные значения параметров орбиты и физические константы для Меркурия и Солнца [2], получаем скорость движения перигелия со^= Хр• 42,95/г/столетие, где Хр = (2 + 2丫 一 0)/3+ +3-10-4 (J2/10-7).

Смещение перигелия Меркурия измерено довольно точно: после учета общей прецессии точек равноденствия (около 50007столетие) и 156

влияния других планет (2807столетие от Венеры, 1507столетие от Юпитера, ЮО'Устолетие от прочих планет) оставшееся смещение известно с точностью около 1 % из оптических наблюдений Меркурия за последние 3 столетия [189] и с точностью около 0,5% из радиолокационных измерений за последние 10 лет [287]. К сожалению, измерения только орбиты Меркурия не позволяют в настоящее время отделить Хр от влияния квадрупольного момента Солнца. Итак, два самых последних анализа радиолокационных дистанционных измерений Меркурия в предположении J2, соответствующего равномерному вращению (влияние на Хр пренебрежимо мало), дали следующие значения комбинации ППН параметров: (2+2丫 一 §)/3 = 1,005±0,020 (данные 1966—1971 гг.) [288] и 1,003±0,005 (данные 1966—1976 гг.) [287], где реальные погрешности оцениваются одним стандартным отклонением (включая также возможные систематические погрешности).

Источником неуверенности, затруднившей интерпретацию измерений смещения перигелия, явилась серия экспериментов, выполненных Дике и Гольденбергом (подробно см. [80]). В этих наблюдениях измерялась видимая сплюснутость Солнца и была обнаружена разница в угловых видимых радиусах в полярном и экваториальном направлениях AR = (43,3"土 3,3) • 10-з. С учетом центробежного уплощения поверхностного слоя Солнца наблюдаемое значение AR может быть связано с /2 = (2/3) (AR/R& — 5,3-10~6 [79], что при R@ = 95y дает 」2 = (2,47±0,23)- 10е6 [80]. Такое большое значение J2 дало бы вклад в движение перигелия Меркурия около 47столетие, что означало бы заметное расхождение с предсказаниями ОТО, в то же время существенно поддерживая теорию Бранса — Дике для со « 5, дающего постньютоновский вклад в движение перигелия 397столетие.

Эти результаты вызвали бурю противоречий среди исследователей ОТО и солнечной системы, было опубликовано огромное число статей, как поддерживающих, так и опровергающих сплющенность Солнца. Широко распространенное опровержение результатов Дике — Голь- денберга состоит в том, что их метод основан на измерении разницы в яркости между солнечными полюсом и экватором на кольцеобразной части солнечного диска, выступающей за пределы заслоняющего диска, расположенного перед Солнцем, и его результаты могут быть с таким же успехом интерпретированы в рамках стандартной модели Солнца (с /2 порядка 10-7, обусловленным центробежным сплющиванием), если предположить наличие разности температур между полярными и экваториальными областями Солнца, которая может дать разницу в яркости, неотличимую от разницы, обусловленной геометрическим сплющиванием. Такая разница может быть, например, вызвана увеличенным числом солнечных факелов (областей повышенной температуры и яркости, окаймляющих солнечные пятна либо предшествующих их возникновению) в экваториальной области по сравнению с полярной. Опровержения этого возражения Дике и его сторонниками и встречные контроп ровержения буквально заполонили научную литературу.

Противоречия несколько утихли, когда в 1973 г. Хилл с сотр. [134] выполни л ан алогичные визуальные измерения сплющенности Солнца, 157

которые дали AR = (9,2 土 6,2W)- Ю-3 или 丿2 = (0,10±0,43)-10~5. Эти измерения допускают /? = 0, но даже верхний предел их в 5 раз меньше полученного Дике значения (см. также [135]). Причина расхождения между этими двумя наблюдениями так и осталась неизвестной.

Одна из главных трудностей связывания визуальной сплющенности Солнца с его квадрупольным моментом 厶 состоит в необходимости привлечения для этого сложных теорий физики Солнца. Имеется, однако, однозначный метод определения /?，а именно с помощью измерения поля тяготения Солнца на разных расстояниях от него, разделяя таким образом эффекты /? и ОТО вследствие их различной радиальной зависимости [см. (7.42)]. Один такой способ состоит в сравнении смещений перигелиев различных планет. Однако смещения перигелия Венеры, Земли и Марса известны с недостаточной точностью, хотя в [288] указывалось, что несколько лет радиолокационных наблюдений внутренних планет могут сделать упомянутое выше сравнение возможным. Другой метод предполагает воспользоваться большим эксцентриситетом (е ~ 0,2) орбиты Меркурия и искать различающиеся периодические возмущения орбиты, обусловленные J2 и ОТО. Точность, необходимая для таких измерений, требует решения сложной задачи слежения за космическими объектами, обращающимися вокруг Меркурия, однако предварительные исследования показали, что J2 можно определить с точностью до нескольких единиц на 10-7 [6, 337].

Наконец, наиболее многообещающим представляется эксперимент, планируемый НАСА и известный под названием «Солнечный зонд», — запуск космического аппарата на сильно эксцентрическую орбиту вокруг Солнца с расстоянием от него в перигелии около четырех солнечных радиусов («стрела, летящая к Солнцу»). С его помощью можно измерить 厶 с точностью порядка 10~8 [6, 213]. Этот запуск позволит также с большой точностью измерить у н 卩.Недавно также рассматривалась [139] возможность определения у н 卩 по измерениям прецессии перицентров внутренних спутников планет — газовых гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана).

ГЛАВА 8

ПРОВЕРКИ СИЛЬНОГО ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Следующий класс экспериментов, проверяющих релятивистские эффекты гравитации, можно назвать проверками ССПЭ. Этот принцип утверждает, что СПЭ справедлив как для гравитирующих тел, так и для пробных (ГСПЭ), что результат любого контрольного эксперимента, гравитационного или негравитационного, не зависит от скорости свободно падающего прибора и от того, где и когда во Вселенной этот эксперимент проводится. В § 3.3 указано, что многие метрические теории гравитации (возможно даже все, за исключением ОТО) приводят, как можно ожидать, к нарушению одного или нескольких аспектов ССПЭ. В гл. 6 в рамках ППН формализма мы видели явные свидетельства некоторых таких нарушений: нарушение ГСПЭ в уравнениях движения массивных гравитирующих тел [см. (6.33) и (6.40)], эффекты привилегированных положения и системы отсчета при локальном измерении гравитационной постоянной G^ [см.

ненулевые значения тензоров аномальных инертной и пассивной гравитационной масс в полуконсервативном случае [см. (6.88)].

Ниже изучаются некоторые наблюдательные следствия таких нарушений ССПЭ, а также эксперименты, в которых их можно обнаружить. В § 8.1 рассмотрены нарушения ГСПЭ (эффект Нордтведта) и его первая экспериментальная проверка — лунный лазерно-локационный эксперимент Этвеша. В § 8.2 описаны эффекты привилегированных положения и системы отсчета, проявляющиеся в 6厶.Наиболее точные данные для проверки этих эффектов дают геофизические измерения. В § 8.3 рассмотрены эти же эффекты в орбитальном движении планет. Измерения смещения перигелиев являются наиболее важными проверками таких эффектов. Еще одним нарушением ССПЭ явилось бы изменение гравитационной постоянной со временем в процессе эволюции Вселенной. Проверки такого изменения описаны в § 8.4. В § 8.5 сведены воедино пределы ППН параметров у, В，Е н %_з, налагаемые классическими тестами и тестами ССПЭ, и обсуждены последствия этого для метрических теорий тяготения, описанных в гл. 5.

ЭФФЕКТ НОРДТВЕДТА И ЛУННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ЭТВЕША

Нарушение СПЭ для массивных гравитирующих тел (ГСПЭ), предсказываемое многими метрическими теориями гравитации, имеет различные наблюдательные проявления. В гл. 6 показано, что это нарушение'можно выразить на квазиньютоновском языке приписыванием каждому массивному телу тензоров инертной и пассивной гравитационных масс, которые (тензоры) могут отличаться друг от друга. Квазиньютоновская часть ускорения тела (6.43) выражается через квазиньютоновский потенциал тяготения U^m и тензоры (т；)^ и (血р)? (6.44) (см. также табл. 6.1).

Большинство тел в солнечной системе весьма близки к сферически -симметричным, так что внутренняя гравитационная энергия тела Q。и ее тензор U? связаны соотношением (6.38). Любой эффект Нордтведта обусловлен анизотропией ◎* в (6.44) и, по-видимому, слишком мал для обнаружения в обозримом будущем (см. [354]). Во введенном выше приближении можно записать квазиньютоновский потенциал из (6.43) в виде

{^^^Plrn)^th(8.1)

где (тр/т)а определено в (6.51), а

a=工(加/)/常・(8・2)

Наиболее важным следствием эффекта Нордтведта является поляризация орбиты Луны вокруг Земли [204]. Поскольку собственная гравитационная энергия Луны меньше, чем Земли, эффект Нордтведта приводит к падению Земли и Луны в направлении Солнца со слегка различающимися ускорениями. Учитывая взаимное притяжение Земли и Луны и пренебрегая квадрупольными моментами, из (8.1), (8.2) и (6.51) имеем

(啕/= -®р* [(^д)0 X〃R3-(加RM/戸].(8.3)

(气)‘=r加p/加)([CM® X%/础+ (加4)㊉"〃叽(8.4)

где X и Хо — векторы, направленные от Солнца к Земле и Луне соответственно; х — вектор, направленный от Земли к Луне (рис. 8.1). Ускорение Луны относительно Земли

а三а《一а㊉(8.5)

в этом случае имеет вид

a = 一/n* X/ГЗ+n [饵/加)㊉-9/加)(]/w® X/k +

十 (m尸川)《①e(X/R3-Xq/R»(8.6)

где

加* =(吗4)㊉+ (加4)c+n [(加A)㊉(Q/加)(+ (加4)(д/⑺㊉]；(8• 7)

加® = (mл)0；(8用)

10221

n=40一Y一3——у е一网 + - a2— - Ci —-备. (8.9)

Первое слагаемое в (8.6) — ньютоновское ускорение Луны относительно Земли, второе—разница между их ускорениями относительно Солнца (эфффект Нордтведта). Третье слагаемое представляет собой классическое приливное возмущение орбиты Луны; поскольку это возмущение является чисто нереляти-

Рис. 8.1. Геометрия системы Земля—Луна — Солнце (слева) и иллюстрация эффекта Нордтведта — поляризация орбиты Луны с апогеем, всегда направленным вдоль линии Земля — Солнце (справа)

вистским, мы его пока рассматривать не будем. Следовательно, уравнение движения Луны относительно Земли с учетом возмущения, обусловленного эффектом Нордтведта, имеет вид

а= ~т* х/гЗ + т| [(Q/m)@-(Q/m)c ] m0 Х//?з.(8.10)

Предположим, что невозмущенные орбиты Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца являются круговыми с угловыми скоростями со。и со. соответственно и расположены в плоскости ХУ. Будем работать в инерциальной ППН системе координат с началом координат в центре Солнца. Тогда ускорение а и момент импульса на единицу массы для орбиты Земля — Луна будут определяться выражениями

а = ^x/d/z； h = х X (dx/df);(8.11)

при этом

^r/dt^ = xa/r + ”3； dh/df = x X a,(8.12)

где r = |x|. Тогда, используя (8.10) и обозначая

6а 三 rj[(I Q |//и)ф—(I Q |/m)c] me/^t(8.13)

получаем

冴 〃d”= — m#/r2+Л2/г8+6a cos Л/; dh/dt= —r6a sin Л/,(8.14)

где

cos Л/ =—言x〃； sinЛ/ 三一(G Xx〃)z； A = 5—co.(8.15)

и n 三 X/R. Заметим, что Af — угол между направлениями Земля — Солнце и Земля — Луна. Рассмотрим теперь реальную орбиту как линейное отклонение от круговой

г = %+6г； й =月+6厶(8.16)

и используем равенства m*/rj =储/rj =(о$. Интегрирование полученных уравнений дает

(8.17)(8.17)6力 » (r(/A) da cos А/；

(8.17)

(8.17)

6г =6г =1+2о)о/Л畸一А%1+2о)о/Л畸一А%6а cos А£.6а cos А£.(8.18)(8.18)

6г =

6г =

1+2о)о/Л畸一А%

1+2о)о/Л畸一А%

6а cos А£.

6а cos А£.

(8.18)

(8.18)

Последнее уравнение описывает поляризацию орбиты системы Земля — Луна во внешнем поле Солнца. Эта поляризация орбиты всегда направлена к Солнцу, если т| > 0 (или от Солнца, если т( V 0), при его относительном вращении вокруг Земли.

Используя (8.13) и (8.18) и значения m®/R2 н 5,9 мм/с2;(оо « 13,4 <о$ « q 2,7-10~® с-1; (О//и)@ « — 4,6-10-10 и (Q/m)^ « 2- 1Q-11 [2], цолучаем

6г « Т)cos (со。一 5)勿• 8 м. (8.19) В действительности более точный расчет должен учитывать влияние возмущения Нордтведта на член, описывающий приливное ускорение, в (8.6), а также влияние приливного возмущения на член, описывающий эффект Нордтведта. Это изменяет коэффициент в 6г примерно в 1 + 2 <о8/<оо ^ 1」5 раз, давая

6г « Т)cos (соо — о)8)f • 9,2 м. (8.20)

Впервые отражение лазерного сигнала от ретрорефлекторов «Аполло-11», находившегося на Луне, было получено в августе 1969. г. С тех пор по программе лунного лазерно-дальномерного эксперимента проводятся регулярные измерения времени прохождения светового сигнала между обсерваторией Макдональда в Техасе и лунными ретрорефлекторами с точностью 1 нс (30 см) [26, 192]. Эти результаты методом наименьших квадратов сравнивают с теоретическими расчетами движения Луны с учетом возмущений, вносимых другими планетами, приливных взаимодействий и постньютоновских гравитационных эффектов. При расчете учитываются также либрация Луны, ориентация Земли, расположение .обсерватории и воздействие атмосферы на прохождение сигнала. В результате методом наименьших квадратов рассчитывается параметр Нордтведта Т), а также некоторые другие важные параметры модели.

Очень важным является вопрос о том, могут ли какие-либо другие возмущения лунно-земной орбиты замаскировать эффект Нордтведта. Влияние большинства возмущений на 6г, будучи разложено на гармонические составляющие, дает частоты, отличающиеся от частот эффекта. Нордтведта (от угловых частот % и 2А), и, следовательно, его легко можно отделить от последнего при измерениях в течение длительного времени (нескольких лет). Однако имеется возмущение, обусловленное приливным членом, который не учтен в (8.6), имеющее компоненты на частоте Л. Чтобы показать это, разложим X н X。вокруг положения центра масс системы Земля — Луна %, используя выражения

ХО = ХС+(/п ㊉//п*) х; Х=ХС—(тс /т*) х, (8.21)

где не учитываются все постньютоновские поправки на собственную энергию масс. При этом приливное ускорение в (8.6) принимает вид

Ьа (G £) -^?] + "у W®(1 一2加《/叫Ьа (G £) -^?] + "у W®(1 一2加《/叫XX

Ьа (G £) -^?] + "у W®(1 一2加《/叫

Ьа (G £) -^?] + "у W®(1 一2加《/叫

X

X

с пс—5( пс е ) пс4-2( пс е) е ]• (8.22) Здесь пс = XjRc； е = х/r. Второе слагаемое в этом выраженииимеющее поря> док r2/^4ct приводит к возмущениям 6г с частотой Л. Интегрируя (8.12) с использованием (8.15), (8.16), можно показать, что

I号阁(

6 Зак, 6646 Зак, 664+ {cos2Af, cos 3Af ...},(8.23)

6 Зак, 664

6 Зак, 664

где через {cos 2 Л /, cos 3 A f…} обозначены слагаемые, пропорциональные cos 2 A f, cos 3 Л / и т. д. Используя выражения

w? = m*/r3；時=加©/登，(8.24)

можно переписать (8.23) в более удобном виде

65P = (15/16)入(人/凡)"2 @®/m*)"2 [(1-V 人 1 —Q“_喜矶x

X (1 —2m^ /m#) cos Л/,(8.25)

где Q s(о8/й)о » 0,075. И вновь более точные расчеты, учитывающие взаимное влияние двух слагаемых в (8.22), вносят в (8.25) поправку, зависящую от ◎ , так что в результате получаем [48]

6гпр = (15/16) г0 (г0/^с)572 (/п0/т*)1 /2 f (Q) (1 -2m^/т^) cos ЛЛ (8.26) Здесь

F (Q) = 1 + 81Q/15 + ... = 1,64.(8.27)

Подставляя численные значения [2], приведенные выше, получаем

"пр = cos A f • ПО км.(8.28)

Хотя этот член в 104 раз превышает номинальный эффект Нордтведта, оказы* вается, что величины, входящие в (8.26), можно вычислить с точностью порядка 2 см. Значения /?с, т^/т* и Q известны с достаточной точностью, а значения т《/т* и г0 можно оценить из лазерно-дальномерных экспериментов благодаря влиянию этих величин на орбиту Луны на частотах, отличных от 4.

Были выполнены два независимых анализа данных, полученных в 1969— 1975 гг. Оба в пределах точности эксперимента показали отсутствие эффекта Нордтведта: Т)= 0,00 ±0,03 [369] и Т)= 0,001 土 0,015 [287], где приведенные погрешности соответствуют одному стандартному отклонению и получены с помощью оценки чувствительности т( к возможным систематическим погрешностям в данных или теоретических расчетах. Формальная статистическая погрешность, найденная при статистическом анализе данных, как правило, была значительно меньше — порядка 土 0,004.

Полученный из этих исследований предел для возможного нарушения ГСПЭ составляет 7-10~ (ср. с табл. 2.2). Для теории Бранса—Дике это дает нижний предел константы связи(о = 29 (два стандартных отклонения [287]). Повышение точности измерений и расчета движения Луны может уменьшить этот предел на порядок [369]; кроме того, возможна проверка эффекта Нордтведта на системе Солнце — Марс — Юпитер [287[. Другие потенциально наблюдаемые следствия эффекта Нордтведта включают смещения стабильных лагранжевых точек орбиты Юпитера (их можно зарегистрировать, измеряя расстояния до астероидов группы Троянцы) и отклонения от третьего закона Кеплера [202, 205, 207, 208).

ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОВЕРКИ ЭФФЕКТОВ

ПРИВИЛЕГИРОВАННЫХ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И РАСПОЛОЖЕНИЯ

прибор, измеряющий силу, необходимую для удержания малой пробной массы в равновесии относительно центра Земли. Это точно та ситуация, которая была рассмотрена при выводе GL в§ 6.3. Незнание внутреннего состава и строения Земли не позволяет определить абсолютное значение 6L этим методом с точностью, достаточной для регистрации постньютоновских эффектов. Однако гравиметр является достаточно чувствительным прибором для регистрации изменений силы тяжести. В ньютоновской геофизике эти изменения известны как приливы земной суши； в постньютоновской геофизике регистрация этих изменений может дать проверку изменений G「с высокой точностью.

Итак, воспользуемся (6.75) в гравиметрическом опыте Кавендиша, обращая особое внимание на постньютоновские члены, изменяющиеся со временем. Детальное обоснование использования (6.75) в этой ситуации дано в [356]. Перепишем (6.75) в виде

6L=1 一[40—Y - 3一备一e (3 + "m严)]Uext-T [% 一 %一则(1 -"加Г明 x

Хз卷-£ 如(1 - 3〃/n产)(w㊉£)2 + E(l-3〃m产)и以2Q, (8.29)

где /, m и г — сферический момент инерции, масса и радиус Земли соответственно; е — единичный вектор, направленный от гравиметра к центру Земли,

^ext= 唸а 唸@"㊉@； ^ext= ^ext* (8.30)

Рассмотрим первый постньютоновский член в (8.29). Ежегодные изменения внешнего гравитационного потенциала Солнца на Земле, обусловленные эллиптичностью земной орбиты, составляют только 10-10 и слишком малы, чтобы быть уверенно зарегистрированными находящимся на Земле гравиметром или крутильными весами Кавендиша. Изменяющееся во времени влияние других тел (планет, нашей галактики) еще меньше.

Рассмотрим члены, связанные с эффектом привилегированной системы отсчета. Скорость Земли w㊉ состоит из двух частей — равномерной скорости w всей солнечной системы относительно привилегированной системы отсчета и орбитальной скорости Земли v вокруг Солнца, так что

5卷=32+2¥^ + 吗(8.31)

(w㊉q)2=(A)2 + 2(w£) (vG)+ (vW)2.(8.32)

В результате вращения Земли вокруг своей оси (изменения е) и ее орбитального движения (изменения v) возникают вариации измеренного гравиметром зна> чения 6厶,которые описываются выражением (удерживаем только члены, ампли> туда изменения которых со временем превышает 10-9 6L)

^glIgl^[^ «2 + ^3 — «1^ wv +十出[(wWy + 2(wG)(vG)+ (v"e У].

(8.33)

Здесь учтено, что для Земли

I н ”/2.(8.34)

Наконец рассмотрим члены, связанные с привилегированным положением. Согласно рассмотрению ППН формализма в § 4.1 потенциал 嚏t должен обусловливаться всей локальной гравитирующей материей, которая не является qa・ стью космологического фона, используемого для определения асимптотически- лоренцевой системы координат. Следовательно, он должен обусловливаться 6*163

(8.36)(8.36)(w2)2=炉[*+(w2)2=炉[*+sin" ) +sin" ) +

(8.36)

(8.36)

(w2)2=炉[*+

(w2)2=炉[*+

sin" ) +

sin" ) +

Солнцем, планетами, звездами, нашей галактикой и, возможно, близкими скоплениями галактик. В этом случае в U^ доминируют наша галактика (Ug~ ~ 5-Ю-7) и Солнце (% ~ Ю-8), так что

AG〃Gl =—十 Е% (G£)2 —十 EU® (£ @* (8.35)

Для сравнений этих вариаций GL с гравиметрическими данными необходимо провести гармонический анализ членов уравнений (8.33) и (8.35). Существен- ными здесь частотами будут скорость сидерического вращения Земли Q, обусловленная изменением направления е по отношению к фиксированному направлению w и eG, и орбитальная сидерическая частота со, обусловленная изменением направления v относительно направления w, а также линейные комбинации и гармоники этих частот. Мы используем геоцентрические эклиптические координаты, орбиту Земли будем считать круговой, а за момент / = 0 примем момент весеннего равноденствия. Тогда

е<э = со5(о&+sinco/e?; v= и (sin(o/ex—cosco/ey)； w 三 w [cos ₽w (cos Xw еж + sin Xw e^) + sin pw ez];

爲=cos Bg (cos 4G e箕 + sin %G e?) + sin Eg e2.

Два последних уравнения определяют эклиптические координаты Xw, 0” и Xg，В。. Для гравиметра, расположенного на широте L Земли,

q= cosLcos (Q/—е)ех+[cos L sin (Rf — e) cos 8+sin L sin 0] e” 一

—[cos L sin (Rf — 8)sin 0—sin£ cos 0] “，(8.37)

где 8 связано с долготой расположения гравиметра на Земле, а 0 = 23,5° ——наклон Земли относительно плоскости земной орбиты (плоскости эклиптики). Из (8.36) и (8.37) имеем

(8.38)(8.38)wv = wvcospw sin (<of—%s);

(8.38)

(8.38)

(8.39)(8.39)+ T sin 2九 sin 2L cos (Qf—8—aw) ++ -— cos8 6W cos2 L cos 2 (Qf—8—aw)l;

(8.39)

(8.39)

у— sin2厶卜у— sin2厶卜(w£丿(v£) = wo { -^ cos № sin (co/—Xw) +

у— sin2厶卜

у— sin2厶卜

X [£ cos pw sin (со/—Xw)+^ sin 6Ш sin 0 cos(of j +

+ — sin 6W (1—cosO) sin 2丄 sin [(Q+(o) /—e] — 4

——cos 6W sin 0 sin 2L cos [(Q+(o) /—e—aw] — 4

——sin 6W (14-cos 0) sin 2厶 sin [(Q—co) /—e]— 4

——cos 6Ш sin 0 sin 2 厶 cos [(fi—co) f—8—а“] + 4

+ •—— cos 6川(1 —cos 0) cos® L sin [(2Q+(o) f—2a—a”]— 4

—-^-cosdw(l+cos0)cos2£sin[(2Q—(o)/—2e—аш] j ;(8.40)

&7&7(vG)2 = u3 g+ 善什—si 叫(у" TSin20)-

&

7

&

7

g—sin2 Lj sin2 0 cos 2ю/ + 十 sin 20 sin 2L sin (Q/—8)—

——sin 0 (1—cos 0) sin 2L sin [(Q+2(o) /—e] +

4

十；sin 8 (1 + cos 0) sin 2L sin [(Q—2(o) f—e] +

4

+ — sin2 0 cos2 Leos 2 (Q/—e)—4

—十(1—cos 0)2 cos2 L cos [2 (Q+(o) f—2a] —

—十(! +cos0)a cos2 L cos [2 (Q—(o) f — 2e] j;(8.4!)

(务寸=T+ 善(4~-“n2 6。乂十-s" £)+

+ -y- sin 26G sin 2L cos (Qf—a— aG) + -y- cos2 6。cos2 L cos 2 (Qf—a—ag);

(8.42)

&2『=4"+ Y(T-81n8L)(i—T8in20)+

+ 告 ^-~—sin2 L j sin2 0 cos 2(of + 十 sin 20 sin 2L sin (Qf—e) +

+ — sin 0(1—cos 0) sin 2L sin [(Q+2(o)/—el —

—；sin 0(1+ cos 0) sin 2L sin [(Q —2ш) f—a] +

+ -7- sin2 0 cos2 L cos 2 (Qf—8)+

+ •—•(I-cos 0)2 cos2 L cos [2 (Q +(0) f—2e] +

+ -^- (1 +cos 0)2 cos2 L cos [2 (Q—(0) /—2e],(8.43)

165

где использовались как эклиптические (Xw, Pw и Ас, 8g)，так " экваториальные Qs, 6Ш и aG, “)координаты [296] в соответствии с направлениями w и %, дабы упростить получающиеся выражения. Эти две системы координат связаны соотношениями

sinb = sin В cos 9 + cos В sin 9 sin %;

cos 6 cos a = cos 0 cos %;

cos 6 sin a = — sin 0 sin 9 + cos 0 cos 9 sin X.(8.44)

Уравнения (8.38)—(8.43) содержат четыре различных типа вариаций 6厶.

Полусуточные вариации. Это члены, изменяющиеся с частотами, близки* ми к 2 U: 2 U, 2 U ±(о, 2 (U ±(о), т. е. имеющие период около 12 ч (<о < Q) и изменяющиеся с широтой как cos2L. Эти изменения полностью аналогичны 12-часовым приливам суши Земли, вызываемым Солнцем и Луной, и назы> ваются полусуточными секториальными волнами [179]. На истинные гравиметрические измерения этих приливов влияют не только изменения G, но и смещение поверхности Земли относительно ее центра, а также перераспределение масс внутри Земли. Эти изменения показаний гравиметра связаны с изменениями G выражением

(Ag/g)11c = 1,16(AG/G)nc,(8.45)

где фактор 1,16 представляет собой комбинацию чисел Лява, которые зависят от деталей внутреннего строения Земли [179]. Более точный расчет Ag/g должен учитывать тот факт, что возмущающие силы внутри Земли, генерируемые изме> нениями Gl, пропорциональны расстоянию до центра Земли. Если плотность Земли однородна, то pv U будет пропорционально г и числа Лява будут такими же, как и в случае ньютоновских приливов. Однако в ньютоновской теории приливов комбинация чисел Лява (1.16) для гравиметрических измерений не слишком чувствительна (士 5%) к вариации модели Земли, так что мы вправе ожидать, что она не будет слишком чувствительна и к изменению характера возмущающих сил.

Суточные вариации. Их описывают члены, изменяющиеся с частотами, близкими к U : U, U ± (о, U 土 2(о, т. е. имеющие период около 24 ч и изменяющиеся с широтой, как sin 2L. Эти вариации аналогичны суточным тессеральным волнам суши Земли и связывают показания гравиметра, обусловленные вариациями G, с помощью того же фактора:

(Ag/g)cyT = 1,16 (AG/G)cy»r・(8.46)

Долгопериодические зональные вариации. Это вариации с частотами (о и 2ю и с зависимостью от широты вида 1/3 — sidL. Они аналогичны долгопериодическим приливам, создаваемым Солнцем и Луной и называемым долгопериодическими зональными волнами. Они вызывают изменение момента инерции Земли, что в свою очередь изменяет скорость вращения Земли. Вариации скорости вращения связаны с амплитудой зональных вариаций выражением [179, 184]

(AQ/Q)30H=0,41 Л30н.(8.47)

Амплитуда Лзон связана с зональными вариациями G в уравнениях (8.40), (8.41) и (8.43) соотношением

(AG/G)3°h 三 Лон(1/3-8т2£).(8.48)

Долгопериодические сферические вариации. Это вариации [см. (8.38) и (8.40)], которые имеют частоту(о, но не зависят от широты. Они представляют годовые вариации G и не имеют аналога в ньютоновской теории приливов. Эти вариации дают чисто сферические деформации Земли, этакое ежегодное сферическое «дыхание» Земли, в противоположность секториальным, тессеральным и зональным волнам, дающим чисто квадрупольные деформации. Это дыхание Зем- 166

ли с изменением G дает изменение момента инерции Земли, что в свою очередь приводит к вариациям частоты вращения:

(ДО/О)Сф=-(Д7/7)сф.(8.49)

Однако, поскольку этот эффект не имеет аналога в ньютоновской теории приливов, здесь нет параметров Лява, связывающих А/// и AG/G. Вместо этого мы должны выполнять подробные вычисления для определения соответствующего фактора.

Будем считать Землю сферически-симметричной и мгновенно покоящейся по отношению к ППН координатной системе отсчета. Поскольку нас интересуют долгопериодические вариации G^ (примерно 1 год), мы можем считать Землю в каждый момент находящейся в гидростатическом равновесии и изменяющейся только квазистатически. Тогда из (6.52) и (6.75) или из ППН уравнений движения идеальной жидкости (6.29), удерживая лишь члены, описывающие долгопериодические сферические возмущения, найдем, что уравнение гидростатического равновесия можно записать в виде

% = p 禁［1 + 4" (a2 + «8- a0 嗯］-}a2 %嗨 Q 翼「 (8・50) Для сферически-симметричного тела легко показать, что

半=一半；暇=一牛々0 +*(3*^一腓)，(8.51) dr r2 drг2г4

где

т (г) = 4л J pr2 dr; 7 (г) = 4 л j pr4 dr.(8.52)

оо

Подставляя (8.32), (8.38), (8.40) и (8.51) в уравнение (8.50) и удерживая только сферические члены, получаем

dp/dr= —6厶(0 р/n (г)/г2；(8.53)

6厶 «) = 1 + (% +—«а—aij 耽 cos % sin (co/—lw). (8.54)

Используя m (г) вместо г (в качестве независимой переменной), проинтегрируем (8.53), получаем

P ^=(^)-1 Gl (0 ?(加俨)dm,(8.55)

m

где m^ — масса Земли. По определению р должно отсутствовать на поверхности Земли, т. е. р (/и㊉)=0. С изменением G^ (f) изменяется и распределение давления, вызывая изменения g= Е& в положении каждого элемента материи. Согласно закону сохранения масс масса внутри каждого фиксированного сферического слоя остается постоянной. Тогда при изменении 6厶 на AG^ уравнения (8.52) и (8.55) дают

А/и = 0; Др = pgGdG］ + О R).(8.56)

Однако объем каждого элемента материи меняется, и это изменение может быть связано с изменением давления через объемный модуль упругости (температурными изменениями пренебрегаем)

Ар =—也(А1//»=-67=-(论/产)(产勖宀(8.57)

Интегрируя (8.57) с учетом (8.56), находим

5= -/А 产)/"/硝*十。(善.(8.58)

Сферический момент инерции

м

I =J г2 dm,(8.59)

о

так что его изменение, вызванное смещением элементарного сферического слоя материи,

м

A/=2j г 1dm,(8.60)

Подставляя (8.58) в (8.60), получаем

А/= -8л (AG〃Gl) j prdrj (рЧк^г^аг^(8.61)

В результате численного интегрирования этого выражения для разумной модели Земли имеем [168, 214]

А〃/ = — 0,17AGl/Gl.(8.62)

Подставим теперь численные значения вместо величин, входящих в (8.35)— (8.43). Для нашей галактики UG = 5-10-7; % = 266°;阮=一 6°; ас = =265°; 6g =——29°. Для оенки скорости w солнечной системы относительно привилегированной системы отсчета используем результаты последних измере* ний анизотропии реликтового излучения. Движение сквозь это излучение при* водит к различным доплеровским сдвигам измеряемой эффективной температур ры (энергии) излучения в направлениях по движению и против него. Измере* ния, выполненные на частоте 33 ГГц с помощью установленного на самолете У-2 (чтобы выйти за пределы земной атмосферы) радиометра Дике [298] дали з = 390±60 км/с в направлении аш = 165 士 9°; 6Ш = 6 ± 10° (примерно между созвездиями Девы и Льва). Будем считать, что ® а 350 км/с; aw н 165°; 九=6。;入ц, » 164°; % н 0. Кроме того, и « 30 км/с; 0 = 23,5°.

Используя эти значения, вычислим сначала амплитуды доминирующих ком* понент земных приливов. Результаты сведены в табл. 8.1 (без учета чисел Лява). Для сравнения в табл. 8.1 приведены также амплитуды приливных потенциалов для доминирующих ньютоновских приливов на интересующих нас частотах.

Последние успехи техники сверхпроводников при конструировании и разработке гравиметров привели к созданию высокостабильных устройств, способных измерять периодические изменения локального гравитационного ускорения g с точностью 10Tl. С целью поиска аномальных ППН амплитуд приливов были проанализированы [340] данные, полученные с помощью сверхпроводящих гравиметров за 18 мес измерений в Пиньон-Флэт, Калифорния, США (33,59° северной широты, 116,46° западной долготы). В результате гармонического анализа данных были получены амплитуды и фазы приливов (см. табл. 8.1). Затем из этих измеренных приливов вектор но были вычтены предсказанные ньютоновские приливы (с поправкой иа точное значение фактора чисел Лява 1,16). Полученные в результате амплитуды и фазы, известные под названием векторов нагрузки, считаются связанными в основном со сложным влиянием океанских приливов, которые могут воздействовать на показания гравиметра, расположенного даже в центре континента. Для учета этих океанских нагрузок предполагалось, что аномальные векторы нагрузки в суточных (Р0 и полусуточных (Г2 или S2)гармониках, где ППН эффекты пренебрежимо малы или вовсе отсутствуют, целиком обусловлены океанской нагрузкой. Поскольку ее действие считается слабо зависящим от частоты в узких (несколько оборотов в год) частотных полосах, интересующих нас, векторы нагрузки Рх н Т? просто вычитаются —— первый из вектора нагрузки К^ а второй из ——из Т?2 и Вносятся также небольшие поправки на барометрические эффекты. Оставшиеся векторы нагрузки имели амплитуды меньше 0,3 нг для К「меньше 0,1 нг для К? и 10 пг для R? (сравни с ППН амплитудами в табл. 8.1). Далее, фазы полученных векторов нагрузки не согласуются с фазами, предсказываемыми (8.39) — (8.43). Все это в результате дает верхние пределы ППН параметров в виде | a21V 4»10~4; | В | < 10~3.

16a

Q + соR d*2(oQ + соR d*2(o(широтнаязависимостьSin 2L)Pi1,3&& {0,7а2 3,502 ng0,034,1电0,6а20,03<Pi—0,06(широтнаязависимостьSin 2L)Pi1,3&& {0,7а2 3,502 ng0,034,1电0,6а20,03<Pi—0,06Суточные приливыQ — 2®Q — <0Суточные приливыQ — 2®Q — <01 а б л й ц a 8.1. Амйлитуды земных приливов

Q + со

R d*2(o

Q + со

R d*2(o

(широтная

зависимость

Sin 2L)

Pi

1,3

&

& {

0,7а2 3,502 ng

0,03

4,1

电

0,6а2

0,03

<Pi

—

0,06

(широтная

зависимость

Sin 2L)

Pi

1,3

&

& {

0,7а2 3,502 ng

0,03

4,1

电

0,6а2

0,03

<Pi

—

0,06

Суточные приливы

Q — 2®

Q — <0

Суточные приливы

Q — 2®

Q — <0

Угловая частоты*

Обозначение Дудсона

Амплитуда ППН прнлнва" Ag/g, IO"

Предсказываемая амплитуда ньютоновского прилива 2底ю-*

Полусуточные

приливы (ш и

ротная зависимость cos L)

2Q — Зш

%

0

0,14

2Q — 2®

S2

—

2,40

2Q з

%

2,9а2

0,02

2Q

(17а2

0,67

2Q + со

—

0

2Q + 2(о

—

0

* Q н s — угловые частоты вращения Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца соответственно.

♦♦ В амплитудах не учтена поправка на числа Лява. Нуль означает точное отсутствие прилива на данной частоте, прочерк — номинальная амплитуда не превышает 10-® g.

Другим важным постньютоновским геофизическим эффекто м является возможность периодических (с частотами со и 2со) измерений скорости вращения Земли, обусловленных зональными и сферическими вариациями G^. Согласно (8.40), (8.41) и (8.43) зональные вариации имеют амплитуды (AGL/GL)30H = 3・10—8% на частоте со и 3 - Ю--1^ либо 3* 10-10 Е на частоте 2 со. Однако жесткие пределы, накладываемые гравиметрическими данными на а2 и Е, позволяют нам не учитывать эти вариации. Сферические вариации (8.54) имеют амплитуду (на частоте s) (А6〃б£)сФ = 1,2・1()т(аз + 2/3 а2 — %), давая годовые вариации Момента инерции Земли [(см. (8.62)] с амплитудой

Для определения этих эффектов рассмбтрим систему двух тел, центр тяжё- сти которой движется относительно системы покоя Вселенной со скоростью w, находящуюся в гравитационном потенциале Ug далеких тел (из которых наша галактика является доминирующим). В уравнениях движения п тел (6.31) не будем учитывать члены, связанные с автоускорениями, за исключением члена (6.39), который зависит от а3 и з. Опустим также ньютоновское ускорение, члены, описывающие эффект Нордтведта, и все постньютоновские члены, участвующие в вычислении классического смещения перигелия. Тогда из (6.32), (6.33) и (6.39) получим дополнительные ускорения

6ai=— -~ % (Qi/mj) (w+vj X®—-|(4В + 2у —1—备一3g) —^- + 3Z IrG

+ —(网一％J—*)炉+ }% WV1+T" («!—2a2~2a3) wv2+

+ 年 ％ (w"n)2+3a2 (wG)(也俞}-己号"^ [2 爲x)^—3x④^)2] +

+ a 号(xw) ^+―資(x [%、一(％—2aJ、+2a纟 w]) w； (8.65)

6命={1 C 2, xc-x),

где x = x21; n = x/r； rG 三 |X]g|; n0 = x1G/rG Уравнение для 6а^ получается из (8.65) заменами 1 ^t 2 и х —> —х. При получении (8.65) мы оп устили члены порядка mGr/r^t m^lrG и т. п. Первые два члена в фигурных скобках в (8.65) постоянны, следовательно, их можно про сто включить в ньютоновское ускорение, переопределив гравитационную п остоянную [они связаны с постоянной поправкой к в (6.75)]. Поскольку рассматриваемая система двух тел состоит из Солнца и планеты, можно пренебречь отношением Q/m для планеты. Если в качестве тела 1 выбрать Солнце, то относительное ускорение 6а = 6а2 — 6al будет иметь вид

6 а=卓"% (6/п//п) wv+ -у- % (w确 + Е -~- -~-[2 (否 х)金一

—3x(I^i丹—("^" [*y % 传加/加)v+g w]) w+4"备(U/加)© w X ®,

(8.66)

где Ьт= m1 — /па. При выводе (8.66) использовались выражения (7.39) и (7.40).

Следуя методу, описанному в § 7.3, рассчитаем секулярные изменения положения перигелия. Считая, что /и2 《 т^ е《1 н что ® перпендикулярно плоскости орбиты, с точностью до нулевого порядка по е получаем секулярные изменения 8 на один оборот в виде

血=-2Я [+ax管厂2子+ 4-%隱_吗)-T E W"®一%)-

-十"*)/"^)々卜(8工7)

где 侬尸,Wq, /ip,九q — соответственно компоненты w и nG в направлении пери> гелия планеты (侬尸,пр)и в перпендикулярном направлении (з@, 〃q) в плоскости орбиты. Можно показать также, что возмущение (8.66) приводит к секулярным изменениям е, i и Q.

Оценим теперь дополнительное смещение перигелиев Меркурия и Земли, используя стандартные значения параметров орбит [2], гравитационную энергию Солнца (|Q|/m)Q а 4 • 10~в и угловую скорость вращения Солнца |со@| « 3 X X 10-в с-1, направление на центр галактики и принятое в § 8.2 значение w. С учетом классического вклада (см. § 7.3) получим (в секундах дуги в столетие)

(8.68)(8.68)鸾= 43[g (2什2 —b)+3・ IO-亿〃0一7)]_ 123al+ 92a"+ 1,4-106 %+63Е;

(8.68)

(8.68)

^㊉= 3,8 代-(2什2-b)] —198al+12g+2,4・106 а3+14?.

Заметим, что влияние J^ на смещение перигелия Земли меньше погрешности экс-

перимента. Измеренные значения смещений таковы:(о^ а 43,0 土 0,27столетие

а 3,8 士 0,47столетие. Сравнивая эти значения с (8.68), отбрасывая чле

ны, содержащие у н 0, н рассматривая 厶 как экспериментальную неопределенность с максимальным значением, полученным из наблюдений Хилла [134, 135] |JJ V 5 • 10-в (см. § 7.3), получаем следующие пределы на параметры %-з и g: 149al — а2 — 6,3 • 10ба3 — 2,2日 < 0,1. Следовательно, а3 должно быть чрезвычайно мало, |а3| & 2 • 10-7, чтобы не было заметных расхождений с данными по смещению перигелия.

Ненулевые значения %_з и Е могут также привести к периодическим воз-

мущениям орбит, наиболее заметным для лунной орбиты, с номинальными ампли> тудами от 70 км для членов, зависящих от а§, до нескольких метров для членов, зависящих от 网，аа и g. Частичную подборку этих эффектов см. в [210, 214]. В § 9.3 при рассмотрении влияния автоускорительного члена (6.39) на движение пульсаров получен еще более жесткий предел на а3, чем приведенный выше.

ПОСТОЯНСТВО НЬЮТОНОВСКОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНСТАНТЫ

Большинство теорий тяготения, приводящих к нарушению ССПЭ, предсказывают также возможность изменения локально измеренной ньютоновской постоянной тяготения со временем в процессе эволюции Вселенной. Для теорий, приведенных в табл. 5.1, предсказание G/G можно записать через производные по времени от асимптотических динамических полей или космологических коэф* фициентов связи. Другие, более эвристические теории изменения постоянной тяготения, например теорию Дирака, нельзя сформулировать в таком виде. Они более подробно рассмотрены в [85]. Если G изменяется в процессе космической эволюции Вселенной, скорость этого изменения должна быть порядка скорости расширения Вселенной, т. е. G/G = о"。，где "° = 55 км/ (с • Мпк) = =(2 • 1010 лет)-1 —— хаббловский параметр расширения; о ——безразмерный параметр, зависящий от конкретной теории тяготения и деталей космологической модели.

Систематические оценки о выполнены для очень небольшого числа теорий. Разумеется, в ОТО G в точности постоянно (о = 0). В теории Бранса—Дике о простирается от —3g，(со + 2) для %《1 до —(со + 2)т для д° = 1/2 (плоская космологическая модель Фридмана) и —3,34д；/2/(① + 2) для д°》1, где q0 — космологический параметр замедления (торможения) (см. обзор проблемы в § 16.4 работы [346] и приведенные там ссылки). В теории переменных масс Бекен- штейна различные космологические модели с выбранными значениями гид (см. § 5.3) эволюционируют к настоящему времени, в котором о V 5 ♦ 10~3 [22]. Однако для большинства теорий подробные вычисления такого рода не проведены (см. гл. 13).

Тем не менее на G/G могут быть наложены некоторые следующие из наблю* Дений ограничения, полученные методами, среди которых изучение эволюции 171

Таблица 8.2. Проверки постоянства гравитационной константы

Метод

а

Литературный источник

Эволюция Солнца

—2 —+2

[59]

Лунные затмения и покры

—0,81-0,8

[188]

тия

—0,6 士 0,3

[324—326]

—0,5 土 0,3

[193

-2,5 土 0,7

[197

Радиолокация планет и

-8f-8

[285

космических аппаратов

—3—+3

[8, 240, 242]

Лазерная локация Луны

—0,6[-0,6

[369]

Планируемые эксперименты

[41, 42, 250][41, 42, 250]Радиолокация «Викинга»

[41, 42, 250]

[41, 42, 250]

Лабораторные эксперименты

Солнца, наблюдение лунных покрытий (в том числе анализ исторических сведений о затмениях) планетные р адиол ока ционно-дал ьномер ные и лунные лазерно-дальномерные исследования, а также пока еще только планируемые лабораторные эксперименты. Состояние таких экспериментов обрисовано в табл. 8.2. Обзор некоторых из этих методов см. в [120]. Некоторые исследователи, главным образом Ван Фландерн [324, 326], утверждали, что ненулевые значения о, приведенные в табл. 8.2, поддерживают гипотезу изменяющейся гравитационной константы, в то время как авторы [242] доказывали, что неизбежные погрешности в моделях, использованных для численных оценок таких параметров, как G/G, серьезно обесценивают эти данные. Считается, что лазерные и радиолокационные дальномерные исследования дают 6/G = 0. Авторы [240] отмечали, что поскольку погрешности в радиолокационных измерениях С/G уменьшаются, как 7一6燈，где Т ——время выполнения измерений, можно ожидать, что эти методы позволят достигнуть к 1985 г. следующей точности: Д |G/GI V 10-11 год-1. В [8, 337] показано, что радиолокационные наблюдения «Викинга» или искусственного спутника Меркурия в течение 2 лет могут дать Д \G/G\ V 10--12 год-1.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ППН ПАРАМЕТРОВ

Суммируем теперь результаты экспериментов в солнечной системе, описанных в гл. 7 и 8, в виде набора пределов ППН параметров. Для этого рассмотрим только полуконсервативные теории тяготения, т. е. теории, в которых а3 = =*1+4 = 0. Причины этого ограничения следующие: 1) Это сделает наше рассмотрение достаточно простым. 2) Все практически интересные метрические теории гравитации основаны на невозмущенном лагранжиане и, следовательно, автоматически являются полуконсервативными. 3) Мы уже видели, что |а3| V V 2 • 10-7. 4) Разумные экспериментальные пределы для g— очень трудно получить, за исключением предела I С3 1V 0,06 в экспериментах Крейцера [149] и, возможно, предела для |^21 из наблюдений двойного пульсара (обсуждение этих проверок см. в гл. 9). “

Итак, мы имеем следующие экспериментальные пределы с точностью, определяемой одним стандартным отклонением:

Y = 1,000 土 0,002 (задержка сигналов от «Викинга»);

+ 2 — Р)/3 = 1,00 ± 0,02 (смещение перигелия с учетом значения J2, полученного Хиллом [134, 135];

— Y — 3 — ioE/з — % ； 2а3/3 | < 0,015 (лазерная локация Луны);

闿 V 10~3 (земные приливы)；

Рис. 8.2. Пространство ППН параметров Р—1, Y—1, g. Теория Брайса—Дике занимает отрицательную ось 丫一1 (B=i). Обобщенные скалярио-теизорные теории Бергманна, Вагонера, Нордтведта и Бекенштейиа занимают полуплоскость у—КО. Число около темных точек — значения ю. ОТО расположена в начале координат. Показаны пределы, накладываемые иа ППН параметры экспериментами иа «Викингах» по запаздыванию сигналов (вертикальные линии из точек), лазерным зондированием Луиы (штриховые линии) н измерениями смещения перигелия (штрихпунктирные). Остающееся пространство ППН теорий представляет собой коробочку толщиной 0,002 вдоль оси £

Рис. 8.3. Плоскость ППН параметров а(, «2. Теории Розеиа, Рэстолла и Уилла — Нордтведта (УН) занимают указанные части оси «2. Теория Хеллиигса Нордтведта (ХН), ограниченная измерениями Y в экспериментах на «Викингах» по запаздыванию сигналов, занимает обведенную в рамку часть плоскости. ОТО И скалярио-тензорные теории (СТТ) находятся в начале координат. Показаны Пределы, накладываемые измерениями земных приливов (горизонтальные линии из точек), смещения цериг^ия (штриховые линии) и скорости вращения Земли (штрихпунктирные)

la2| V 4 • IO— (земные приливы);

|2а2/3 — %| V 0,02 (скорость вращения Земли);

j49al ——а2 — 2,2日 V 0,1 (аномальные смещения перигелия).

Эти результаты удобно представить графически в «пространстве ППН теорий» ——пятимерном пространстве, оси которого соответствуют пяти полукон- сервативным ППН параметрам. Каждая теория с определенными значениями ее перестраиваемых констант и параметров связи представляется точкой в этом пространстве. Если в качестве переменных выбрать у — 1,0 — 1, ах и а2, то ОТО окажется в начале координат, скалярно-тензорные теории с s > 0 займут левую половину плоскости (у ——1), (Р — 1), биметрическая теория Розена расположится по оси а2 и т. д. (рис. 8.2 и 8.3). Результаты экспериментов в солнечной системе можно рассматривать как сжатие занимаемого теорией пространства до все меньших и меньших размеров. На рис. 8.2 показано подпространство у, 0, 己 пространства ППН теорий с ограничениями, накладываемыми измерениями задержки сигналов во времени, смещения перигелиев, земных приливов и лазерной локацией Луны. В результате получается небольшая коробочка вокруг начала координат (ОТО). На рис. 8.3 показана плоскость аь а2 с ограничениями, накладываемыми измерениями земных приливов, скорости вращения Земли и смещения перигелиев.

Для конкретных теорий, рассмотренных в гл. 5, эти ограничения можно перевести в ограничения перестраиваемых констант или коэффициентов связи, если есть надежда на жизнеспособность теории. Из стандартных ограничений, приведенных выше, и формул гл. 5 имеем следующие пределы:

скалярно-тензорные теории: © > 500; A v 10~3;

теория Уилла—Нордтведта: № < 4 • 10~4;

теория Хеллингса—Нордтведта: |©К2| V 2 • 10~4; со2№ V 5 • 10~4; биметрическая теория Розена: |c0/q — 1| < 4 • 10-4;

теория Рэстолла: № < 3 • IO-2.

Поскольку многие теории в пределах погрешностей эксперимента могут быть согласованы с выполненными к настоящему моменту тестами в солнечной системе, мы в конце концов будем вынуждены, начиная с гл. 10, обратиться к новым областям проверки релятивистских теорий тяготения.

ГЛАВА 9

ДРУГИЕ ПРОВЕРКИ ПОСТНЬЮТОНОВСКОЙ

ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Имеется значительное число постньютоновских гравитационных эффектов, которые не входят ни в одну из описанных выше категорий ——классических тестов или тестов ССПЭ. К ним относятся гироскопические эксперименты (§ 9.1), лабораторные эксперименты (§ 9.2) и проверки постньютоновских законов сохранения (§ 9.3). Некоторые из этих экспериментов дают ограничения на ППН параметры, в частности на параметры, связанные с законами сохранения,書一明 для которых классические тесты или тесты ССПЭ не дают пределов или дают их только косвенно. Эти эксперименты проливают новый свет на природу постньютоновского тяготения. Другие же эксперименты, такие как гироскопические и некоторые лабораторные (все пока только планируемые на будущее), дают значения ППН параметров, уже ограниченных экспериментами, рассмотренными в гл. 7 и 8. В некоторых случаях уже полученные ограничения параметров жестче, чем ограничения, которых можно ожидать от новых экспериментов в самом лучшем случае. Тем не менее постановка этих экспериментов представляется важной по следующим причинам:

Они дадут независимые, хотя и потенциально более слабые проверки пределов ППН параметров и тем самым независимые проверки теории гравитации. Они независимы в том смысле, что физический механизм, ответственный за измеряемый эффект, может кардинально отличаться от механизма, давшего предыдущие ограничения ППН параметров. Примером является гироскопическая 174

проверка эффекта Лензе—Тирринга (увлечение инерЦиальИых сйстем отсчет^, обусловленное исключительно вращением Земли). Он не является эффектом привилегированной системы отсчета, однако зависит от параметра %.

Структура ППН формализма заключает в себе определенное предположение о природе гравитации, которое хотя и кажется весьма привлекательным, однако может оказаться несправедливым. Такая точка зрения была выражена Шапиро [285] и другими исследователями. Они утверждают, что при планировании, постановке и интерпретации результатов экспериментов нельзя быть предубежденным в пользу рассмотрения их в рамках одной единственной теоретической системы. Так, согласно этой точке зрения параметры, измеренные с помощью отклонения света и запаздывания сигналов во времени, могут в принципе отличат!* ся друг от друга, в то время как в рамках ППН формализма они идентичны и равны (1/2) (1 + у). Мы согласны с этой точкой зрения, поскольку теоретические системы, такие как ППН формализм, хотя и показавшие себя мощным инструментом анализа как теории, так и эксперимента, не следует использовать в ущерб экспериментам, имеющим независимое оправдание своей постановки.

Любой результат, противоречащий ОТО, представлял бы чрезвычайно большой интерес.

ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

В 1960 г. Шифф предложил [269] использовать гироскоп для новой проверки ОТО. С тех пор было приложено немало усилий для реализации этого предложения [105, 166, 270, 271]. Целью эксперимента было измерение прецессии оси вращения гироскопа S, обращающегося вокруг Земли, по отношению к далеким звездам. Согласно ППН формализму эта прецессия дается выражением (6.108) (см. § 6.5), в котором а ——пространственная часть 4-ускорения гироскопа, равная нулю для тела на орбите свободного падения. В выбранной ППН системе координат уравнение (6.108) вместе с выражением для g。》(см. с. 92—93) дает

*十(4Y + 4 + 外)VxV-十% wxVU+(Y+春)vxVU,(9.1)

где

V =匕ej；(9.2)

w ——скорость выбранной системы координат относительно системы покоя Вселенной. Для группы почти сферических тел с массами та, моментами импульса Ja и скоростями va мы имеем

^ = 2 т^1г^(9・3)

а

V = £ /л。％/%— -у £ хаХ J"吟 + О ( г『з),(9.4)

где ха — вектор, направленный от тела а к гироскопу. Тогда

、=(V + t) Е (v-va)xV(ma/ra)-

+ 】++%) E[Ja-3^&a)]觴-

EaEaB + %)XV (%/%)-} £vaXV (%/%),(9.5)

Ea

Ea

где na = x“a・

па, начальное направление вращения которого лежит в плоскости орбиты, геодезическая угловая прецессия 66 = 6S|/|S| дается выражениемпа, начальное направление вращения которого лежит в плоскости орбиты, геодезическая угловая прецессия 66 = 6S|/|S| дается выражением(9.10)(9.И)(9.10)(9.И)

па, начальное направление вращения которого лежит в плоскости орбиты, геодезическая угловая прецессия 66 = 6S|/|S| дается выражением

па, начальное направление вращения которого лежит в плоскости орбиты, геодезическая угловая прецессия 66 = 6S|/|S| дается выражением

(9.10)

(9.И)

(9.10)

(9.И)

Рис. 9.1. Прецессия гироскопа на полярной орбите вокруг Земли. Гироскоп, ось вращения которого лежит в плоскости орбиты, испытывает геодезическую прецессию 8 "/год (4), в то время как гироскоп, ось вращения которого перпендикулярна плоскости орбиты, испытывает прецессию 0,05 ^/год, обусловленную увлечением инерциальных систем отсчета (В)

Первое слагаемое в (9.5) называется геодезической прецессией и является следствием искривления пространства около гравитирующих тел. Для круговой орбиты вокруг Земли ее гравитационный потенциал вызывает секулярные изменения направления оси вращения гироссо- па, заданные на один оборот выражен】 ем (рис. 9.1)

6s = 2л ( Y +费卜加㊉R) SX涼 (9.6) где а — радиус орбиты; h — единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты. Для гироско

6嘘。* (1/3) (2丫+1) (R㊉/a)5/2・8J/ro&(9.7)

Здесь необходимо также внести поправку порядка 0,017год на сплющенность Земли. Другой секулярный вклад обусловлен потенциалом Солйца

(9.8)(9.8)6в®о»(1/3)(2?+1).0,02^/год,

(9.8)

(9.8)

где орбита Земли вокруг Солнца считается круговой.

Второе слагаемое в (9.5) известно как прецессия Лензе—Тирринга или как увлечение инерциальных систем отсчета (более подробное обсуждение этого эффекта см. в [185, § 19.2 и 33.4]). Для круговой орбиты гироскопа вокруг Земли это приводит к секулярной прецессии за один оборот

6s =十 卜 +1 + 十。J (P/叫[J㊉一3G侖㊉)хS,(9.9)

где Р — период обращения гироскопа вокруг Земли. Для гироскопа на полярной (Юф = 0) или экваториальной (hJ㊉=|J㊉|) орбите эта прецессия дается выражениями

6SpoL =十(Y +1 + 十 а, (P/炉)J㊉ х S；

6Seq=—十卜+1 + 十 а) (Pd) J㊉xS,

что дает угловую прецессию

60POL Q (1/2) [?+1 + (1/4)闻(R㊉/«)3 sin(р.0,05*/год；(9.12)

60EQ。(1 /2) [丫 +1 + (1 /4) а J (R ㊉/а)з sin Ф«0,11*/год,(9.13)

где ф ——угол между осями вращения Земли и гироскопа.

Третье слагаемое в (9.5) описывает эффект привилегированной системы от- счшта и зависит от скорости тела а относительно системы покоя Вселенной. Для спутника Земли доминирующим является влияние солнечного члена, что приво- 176

ДИТ к периодической прецессии 6s =—产(w@ X v@) X S, где v@ — орбиталь* ная скорость Земли вокруг Солнца; w@ = w + %. Это вызывает угловую прецессию с периодом 1 год и амплитудой О0псо < а】• 0,005". Поскольку конечной целью является измерение прецессии с точностью 10-37год, этот эффект, вероятно, слишком мал, чтобы представлять интерес.

Последнее слагаемое в (9.5) должно было бы показаться аномальным, поскольку оно зависит от скорости каждого тела va относительно произвольно выбранной ППН координатной системы отсчета. Однако это просто результат того факта, что рассчитываемая прецессия момента вращения dS；/dx не является истинно измеряемой величиной, так как базисные векторы е人 не привязаны а

к каким-либо физическим стержням или часам. Правильным физическим выбором системы отсчета, к тому же наиболее близким к реальной экспериментальной ситуации, является использование направления на далекие звезды в качестве базисного [352]. Из (7.1) и (7.9) находим вектор, касательный к траектории приходящего в ППН координатную систему отсчета фотона:

%。=1； " = "[1 —(1+y)U] + (1+y)勿九(9.14)

где п ——единичный пространственный вектор в направлении невозмущенной траектории фотона от выбранной звезды;⑦丿——правая часть (7.7), просуммированная соответственно по всем гравитирующим телам системы и описываю* щая гравитационное отклонение приходящих сигналов. Спроектируем теперь вектор X на инерциальный базис (6.102) и нормируем пространственные компоненты его так, чтобы 泌可=1. В результате получим

%? е? =n—nx(vxn)(l + vn)—-^-vx(nxv)4-(l +7) £>.(9.15)

Покажем, что прецессия составляющих вектора J по этому базису не зависит от скорости ППН координатной системы отсчета. В (9.5) только последнее слагае* мое имеет эту зависимость, так что перепишем его в виде

一春E(Va-VB)XV (тa/%) 一费力><*/成，(9.16)

где vB ——скорость центра тяжести солнечной системы относительно ППН координатной системы отсчета. Здесь мы использовали тот факт, что для свободно падающего гироскопа

(9.17)(9.17)dv/dt = ^^ (та/г^.

(9.17)

(9.17)

Первый член в (9.5) теперь не зависит от координатной системы отсчета, и его можно опустить. Проинтегрируем второй член, получим

6Se = -1 /2 (vBx 6v)xS0,(9.18)

где индекс В означает, что мы удерживаем только члены, зависящие от vB. Тогда изменение компонент S относительно X имеет вид

(9.19)(9.19)6 Г ? %?)в = 6Sb % + S6% = 一[£ (vBx 6v)xSojx++■7 S° 1ув(^к)—^ (3)]=0・

(9.19)

(9.19)

Как и ожидалось, физически измеряемая зависимость от скорости системы координат отсутствует. В любом случае последнее слагаемое в (9.5) дает только периодическую прецессию пренебрежимо малой амплитуды.

Различные технические трудности привели к тЬму, что на осуЩесТйлеике гироскопического эксперимента понадобилось почти четверть столетия — от его предложения в 1960 г. до планируемого запуска в середине 80-х годов. Среди технических трудностей, которые необходимо преодолеть, чтобы измерить прецессию гироскопа с точностью 10~37год, или 10~1в рад/с, следующие.

Создание гироскопа, сферического и однородного с точностью до / млн.-* (10-6). Для этой цели используется кварцевый шарик диаметром 4 см. Столь жесткие требования необходимы для снижения кручения гироскопа. Даже если это ограничение удовлетворено, гироскоп не должен подвергаться остаточным гравитационным ускорениям, превышающим IO-9 g. Отсюда следует необходимость использования спутника, свободного от сноса.

Регистрация направления оси вращения гироскопа. Обычные способы регистрации направления оси вращения приводят к нарушению сферичности и однородности гироскопа, внося, таким образом, паразитное кручение. Был использован метод регистрации с помощью магнитного момента Лондона. Гироскоп покрывается однородной сверхпроводящей пленкой. При его вращении сверхпроводник создает магнитный дипольный момент М, параллельный оси вращения. Изменение направления М можно зарегистрировать с помощью измерения тока, наведенного в сверхпроводящей петле, окружающей гироскоп. Для осуществимости этого метода, однако, необходимо создать магнитный экран, который мог бы снизить внешнее магнитное поле ниже 10~б А/м, иначе в гироскопе может возникнуть захваченный магнитный поток, достаточный для наведения паразитных сигналов. Для сравнения заметим, что внешнее магнитное поле Земли составляет 40 А/м.

Определение базисных направлений. Прецессия оси вращения гироскопа измеряется относительно направления на реперную звезду, наблюдаемую через телескоп, жестко связанный с корпусом гироскопа. Это направление необходимо регистрировать с точностью лучше 10一叫2又，так что создание соответствующей оптической системы представляет главную проблему.

Дальнейшие подробности экспериментальных задач и успехов в их решении можно найти в [50, 165].

Разновидность гироскопического эксперимента была недавно предложена Ван Паттеном и Эвериттом [328], причем гироскопом является сама орбита искусственного спутника Земли. Увлечение инерциальных систем отсчета вызы> вает вращение плоскости орбиты спутника вокруг оси, параллельной оси вра・ щения Земли. Предположим, что Земля поступательно покоится и вращается с угловым моментом J. Подстановка Vj (9.4) в уравнения движения (см. § 4.2) дает дополнительное ускорение тела вблизи Земли

6а = — 亠(4у + 4 + %) l"2vх J—3 (俞 Gx J) + 盡(V 亩X J))], (9.20)

где v — скорость тела; n = x/r. Для орбиты с наклонением i относительно плоскости, нормальной к J, углом восходящего узла 0 и параметрами р, е н со использование (7.47) и (7.48) дает на один оборот возмущения

&=0 и 68=2ji(Y+l+}a)|J|/(mp3)i/2・(9.21)

Следовательно, спиновый вектор S, ортогональный плоскости орбиты, прецессирует вокруг направления J согласно уравнению

dS/dt = Q X S,(9.22)

где

П =卜 +1 + 十 a) JqT(1 _ 吟- 3/2.(9.23)

Для тела на почти круговой орбите это дает угловую прецессию

68 =十 卜 + 1 + 十 a, (R ㊉ /q)3 • 0,22 " / год ・(9.24)

Для уничтожения влияния других источников прецессии (таких как квадрупольный момент Земли) необходимы два спутника, вращающихся в противоположных направлениях на почти идентичных орбитах. Используя спутники, свободные от сноса, за 2—3 года наблюдений можно получить результат с точностью примерно 3 %.

ЛАБОРАТОРНЫЕ ПРОВЕРКИ ПОСТНЬЮТОНОВСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Вследствие слабости гравитационных сил большинство проверок постньютоновских эффектов в солнечной системе требует использования Солнца и планет в качестве источников тяготения. Одним из недостатков такого подхода является отсутствие возможности управления ими и, следовательно, невозможность изменения условий эксперимента для улучшения или хотя бы определения чувствительности аппаратуры или, как минимум, для воспроизведения эксперимента. Несмотря на этот недостаток экспериментов в масштабе солнечной системы, слабость постньютоновской гравитации эффективно препятствовала лабораторным экспериментам, за одним лишь исключением.

Этим исключением является эксперимент Крейцера [149], в котором сравниваются активные и пассивные гравитационные массы фтора и брома. В эксперименте Крейцера крутильные весы Кавендиша используются для сравнения силы тяготения, создаваемой цилиндром из тефлона (76 % фтора по массе), с силой тяготения, создаваемой таким количеством жидкой смеси трихлорэтилена и дибромметана (74 % брома по массе), которое имело точно такую же пассивную гравитационную массу, как и цилиндр, а именно с количеством жидкости, вытесненным тефлоновым цилиндром при нейтральной плавучести. В эксперименте тефлоновый цилиндр периодически погружался в контейнер с жидкостью, возле которого находились весы Кавендиша. Если бы активные массы тефлона и жидкости при нейтральной плавучести (при равенстве пассивных масс) различались, весы испытывали бы периодическое скручивание. Отсутствие его позволило заключить, что отношения активной и пассивной масс для фтора и брома одинаковы с точностью 5 • 10~б, т. е. что

(〃以/〃p)f—еч/тр)вг(〃以/〃p)f—еч/тр)вг(农4/明Bг(农4/明Bг<5-10-5.<5-10-5.(9.25)(9.25)

(〃以/〃p)f—еч/тр)вг

(〃以/〃p)f—еч/тр)вг

(农4/明Bг

(农4/明Bг

<5-10-5.

<5-10-5.

(9.25)

(9.25)

(Дальнейшее обсуждение эксперимента Крейцера см. в [ 114, 187].)

Если активные массы для этих веществ отличаются от пассивных, основной вклад в разницу должна давать электростатическая энергия ядер (как это было, например, для эксперимента Этвеша). Поскольку EES/m 〜10~3, такой эффект можно рассматривать как постньютоновскую поправку. Однако ППН формализм идеальной жидкости (см. гл. 4) плохо подходит для рассмотрения ядер ной материи. Лучшим является приближение, в котором ППН метрика генерируется точечными заряженными массами с гравитационным потенциалом, создаваемым массами, микроскопическими скоростями, зарядами и т. п. Используя эту метрику, можно рассчитать отношение активной и пассивной масс связанной системы (ядра) точечных зарядов и для сферически-симметричного тела получить соотношение

(9.26)(9.26)тА //Пр = 1 + (1 /2) a EES/tnp ,

(9.26)

(9.26)

где E*S — электростатическая энергия системы зарядов; е — комбинация ППН параметров, выведенная из метрики точечных заряженных масс. Однако можно показать, что если ППН метрика идеальной жидкости (см. § 4.3) есть просто макроскопическое среднее метрики точечных масс (как можно ожидать в наиболее разумных теориях тяготения), то комбинация ППН параметров заряженных точечных масс, образующая 8, в точности совпадает с ППН параметром g3. Следовательно, во всех таких теориях гравитации

团乂 /тр = 1 + (1 /2)备 EES/mp

(9.27)

179

(подробнее см. [363]). Полуэмпирическая массовая формула [см. (2.8)] принимает вид

(9.28)(9.28)тл/тр= 1+ 3,8-10-<C8Z(Z—l) Л-4/3.

(9.28)

(9.28)

Для фтора Z = 9; 4 = 19; для брома Z = 35; 4 = 80. Из (9.25) и (9.28) находим

|久| V 6 • 10-2.(9.29)

Это обобщает и уточняет результат, полученный Торном и др. [318].

Развитие техники может сделать возможным проведение некоторых постньютоновских лабораторных экспериментов [41]. В основном это разработка систем датчиков с очень низким уровнем диссипации, таких как крутильные весы, использующие нити из плавленого кварца или сапфира при температурах не выше 0,1 К, массивные диэлектрические монокристаллы, охлажденные до милликельвинов, и СВЧ-резонаторы со сверхороводящими стенками. Среди возможных экспериментальных эффектов — измерение гравитационной спин-спиновой связи двух вращающихся тел, поиски изменения гравитационной постоянной во времени, а также эффектов привилегированных расположения и системы отсчета, измерение увлечения инерциальных систем отсчета вращающимся телом (подробное обсуждение и список литературы см. в [41]).

ПРОВЕРКИ ПОСТНЬЮТОНОВСКИХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ

Все альтернативные теории тяготения, подробно рассмотренные в гл. 5, основаны на невозмущенном лагранжиане, значит, все они содержат интегральные законы сохранения энергии и импульса. В постньютоновском пределе их ППН параметры удовлетворяют полуконсервативным ограничениям

^з = Ci = ?2 = Сз = С< = 0・(9.30)

Какие экспериментальные факты свидетельствуют об этих ограничениях?

В гл. 8 из данных по смещению перигелиев найден верхний предел

|а3| < 2 • ЮТ(9.31)

Он обусловлен совместным действием эффекта привилегированной системы отсчета и автоускорения массивного тела, в частности Солнца.

Однако этот предел можно сделать заметно более жестким, хотя и несколько менее строго, с помощью вычисления автоускорительного члена (6.39) для пульсаров. Для этих тел в предположении, что они являются вращающимися нейтронными звездами, |Q/m| = 0,1 и 2 с-1 V |о)| < 200 с-1, так что автоуско- рительный член имеет вид (в обратных годах)

I ~ 1,7.10-4 год 0,1300 км/с 1 Гц *)

где v — частота пульсара; 0 — угол между осью вращения пульсара и его скоростью относительно системы покоя Вселенной. Хотя, строго говоря, постньютоновский предел неприложим к пульсарам, (9.32) представляет собой разумную оценку эффекта для любой теории, в которой а3 于 0. Это ускорение вызовет изменение периода пульсара согласно выражению

Рр 1 dPpldt^ а^п4,(9.33)

где п — единичный вектор вдоль направления с Земли на пульсар. Тогда

■卜也0 cosФ(9.34)

вне зависимости от Рр. Здесь Ф — угол между аав и п. Для 90 пульсаров [171], для которых было измерено dPp/dt, значения последней величины располагались в диапазоне от 4 • 10~18 (пульсар NP0531 в Крабовидной туманности) до 10~18 (пульсар PSR 1952 十 29), причем половина из ннх попадала в интервал 10~14 — 180

10-16. Во всех случаях dPp/dt > 0, т. е. все пульсары замедляются. Крайне ма・ ^овероятно, чтобы все сорок с лишним пульсаров, для которых 10~14 > dPp/dt > > 10-叫 имели либо sin 0 = 0, либо cos Ф = 0. Таким образом, если а3 耍 0, можно ожидать примерно равного числа случаев dPp/dt > 0 и dPp/dt V 0; кроМе того, необходимо предположить, что направления вращения пульсаров распределены в пространстве случайным образом. Следовательно, консервативный предел а3 может быть установлен приравниванием sin 0 = cos Ф = 1/2 в (9.34) 單 наложением верхнего предела 10-м на аномальное dPp/df. Это дает

]a3| V 2 - 10-10. (9.35)

Возможно, единственным способом определения предела параметра ^2 является эффект, на который впервые, причем некорректно, указал Леви-Чивита [160]. Это секулярное ускорение центра масс двойной системы. Леви-Чивита отмечал, что ОТО предсказывает вековое ускорение в направлении периастра орбиты, и рассчитал, что в двойных системах такой эффект может когда-нибудь рказаться наблюдаемым. Эддингтон и Кларк [92] повторили эти расчеты, используя уравнения де Ситтера для движения п тел [73]. Сначала они получили секулярное ускорение со знаком, противоположным полученному Леви-Чиви- той, потом они обнаружили ошибку в уравнениях де Ситтера и в конце концов пришли к заключению, что секулярное ускорение равно нулю. Робертсон [252] Независимо пришел к такому же заключению, используя уравнения движения Эйнштейна ——Инфельда—Хофмана (ЭИХ), и позднее Леви-Чивита подтвердил Этот результат. В действительности секулярное ускорение существует, но в неконсервативных теориях тяготения; иначе говоря, оно зависит от ППН параметров «з н *2 [364].

Простейший способ Получения этого результата состоит в рассмотрении системы двух тел как составного тела в пустом пространстве и в исследовании автоускорения в уравнениях движения (6.32). Для двух точечных масс из (6.32) и формулы из табл. 6.1 имеем

^ аав = -^- (а3+ 电)(加1 加2 x/Z) @ —試)+ с】(加1 加2“з)х

(9.36)(9.36)X Jv2 (v2 х) — V1(V1 X)— -^-x G2G)2 + 毋 X 伝侖尸]+十备恤 S (加1一加2)X/м+爲 加1 m2 [(w+V) V] x/z,

(9.36)

(9.36)

где x = x2 — xx； r = |x|； n = x/r; v = v2 — vx; V — скорость центра масс по отношению к ППН системе координат; 屯=% — V; m s 2 ma (1 + 亍磧一 —万加“厂)伍 片。)・ Подставляя в (9.36) vx = —-(m2/m)v; v2 = g/m)v вместе с выражениями, описывающими кеплерову орбиту,

x = p (1 + e cos ф)-1 (ex cos <p + e? sin <p);

v = (m/p)1/2 [—e» sin 屮 + % (e + cos <p)];

r2dф/df = (mp)"2

и усредняя аав за один оборот, получаем

<a〉= @3十备)一“3)2p3/2сер— у a3(1 — е2)-1 (Й/^) (w + V) X %

(9.40)

Здесь ер s —е箕——единичный вектор в направлении периастра тела /; (О = =(2л/Р)ег — ректор средней угловой орбитальной скорости;

9 l С—т/д/г〉二 —тхт2/а.(9.41)

Второй член (9.40) с точностью до постоянного множителя [1/3 вместо (1 ——е2)/2], обусловленного различием при усреднении для стационарного почти сферического тела и для системы двух тел, совпадает с членом (6.39). Однако вследствие предела, который уже получен для а§, его влияние на автоускорение двойной системы будет пренебрежимо мало. Тогда можно положить а§ = 0, так что остается

〈户〉=ё %(9.42)

В солнечной системе эту величину измерить совершенно невозможно. Например, автоускорение двойной системы Земля——Луна дает смещение перигелия Земли 6(о㊉ порядка 10~57столетие. Более обещающей в смысле проверки этого эффекта является тесная двойная система, например i Волопаса с /г^ = 1,35/п@; та = = 0,68/п@; Р = 0,268 дня (6 ч 26 мин). Результирующее изменение периодов (обратных частот), например, для спектральных линий звезд системы i Волопаса должно быть следующим:

Р「(dP"dgsin (О sinf,(9.43)

1лет

где i — наклонение орбиты относительно небесной плоскости;(о — угол периастра. К сожалению, из-за доплеровского уширения частоты линий определены с точностью, недостаточной для того, чтобы это изменение можно было зарегистрировать.

Однако открытие двойного пульсара (см. гл. 12) изменило ситуацию. Характеристики его орбиты весьма близки к характеристикам орбиты i Волопаса, однако пульсар представляет собой гораздо более точный и стабильный стандарт времени, чем спектральные линии обычных звезд. Это позволяет не только измерить изменение периода пульсара с высокой точностью, но также и определить параметры орбиты и, следовательно, изменение орбитального периода Рь с очень большой точностью. В результате получаем (см. ниже табл. 12.1)

Р - * dPp/dt = (4,617 ± 0,005) -10-» год-ь ]

PLdPb/df=—(2,4±0,4)・10T год-i. J(9'4)

Так как компоненты двойного пульсара спектроскопически неразличимы, отдельные массы компонентов нельзя определить из измерений кривой скоростей (ниже увидим, что их можно определить в предположении конкретной метрической теории гравитации); некоторые же известные параметры орбиты таковы (см. также ниже табл. 12.1): е а 0,62; Рь 笈 27907 с (7 ч 45 мин 07 с);

Л = (m2 sin f)3/m2 « 0,13 m0； s = 179°十4,23。(f—f°)/l год, (9.45) где fi известна как функция масс, а момент времени /0 соответствует сентябрю 1974 г. Тогда предсказываемое изменение периодов пульсара и его орбитального движения определяется выражением

P-tdPpl^PVdPb/dt^~^Ш/3 (А) . (9.46)

р°5-10е лет (1 + Х)2 \ 加⑥ /\ 1 год /

где X = m1/m2 — отношение масс пульсара и его компаньона. Здесь мы учли, что с учетом (9.45)

sin(о а —7 • 10—2 (/ — %)/1 год,(9.47)

где f — /0 < 10 лет. Заметим также, что вторые производные периодов определяются выражениями

Р£I 心Рр向』Р8^Рь© = Х.ю^/Г 三抬? (^『'(948)

Теперь из данных, получейных за несколько лет наблюдений, можно определить P^pdPp/dt с точностью 10~и год-1. Другими словами, за год Р-^dPp/dt меняется не больше чем Ю-11 год-1, т. е.

|P,i(РРр/d於 J < Ю-и год—. (9.49)

Предполагая, что секулярное ускорение дает эффект, не превышающий это значение, иначе говоря, что нет случайной компенсации этого эффекта другими источниками изменения периода (см. § 12.1), из (9.48) и (9.49) получаем

I 备 I V 2.10-4拠@/加)2/3 I(1+ R2/4X (1 —X) I • (9.50)

Теперь, не конкретизируя метрическую теорию тяготения, мы не знаем m и X, так что предел является неопределенным (если, например, массы пульсара и его компаньона равны, то X = 1 и секулярное ускорение отсутствует вследствие симметрии).

Если, например, предположить, что справедлива теория, во всем совпадающая с ОТО, за исключением единственной возможности нарушения закона сохранения импульса, проявляющегося в неравенстве ^2 нулю, то можно использовать значения m и X, полученные из измерений смещения периастра и данных по гравитационному красному смещению и эффекту Доплера второго порядка (подробнее см. гл. 12): m ^ 2,85/n®; X = 1,007 ±6,1. Хотя эти данные не настолько точны, чтобы исключить случай X = 1, интересно подставить номинальное значение X в выражение (9.50), что даст | g2 | < 10~2. Даже если | X — 1 | > > 10-3, мы все еще имеем | g21 < 0,1.

Из оставшихся параметров, связанных с законами сохранения, только *з был проверен экспериментально, как мы видели выше, когда из эксперимента Крейцера был получен предел | 备 | V 0,06. Никаких реальных экспериментов или наблюдений не было пока предложено для непосредственного определения пределов ^ и &. Заметим, однако, что эти параметры вместе с другими входят в коэффициенты, описывающие наблюдаемые эффекты, например эффект Нордтведта (см. § 8.1).

ГЛАВА 10

ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ КАК ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ ПРОВЕРКИ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ

ТЯГОТЕНИЯ

Обсуждая экспериментальные проверки постньютоновского приближения теорий гравитации в гл. 7—9, мы пришли к заключению, что в пределах погрешностей от 1% до примерно 10-7 (а в одном случае даже меньше) постньютоновский предел любой теории гравитации должен совпадать с таким же пределом ОТО. Однако в гл. 5 мы видели, что наиболее жизнеспособные теории тяготения могут удовлетворять этим ограничениям при соответствующем выборе произвольных параметров или коэффициентов космологической связи. Разумеется, ОТО согласуется со всеми экспериментами в солнечной системе без такого подбора параметров. Тем не менее очевидно, что постньютоновские гравитационные тесты не могут сделать окончательный выэор в пользу одной теории, хотя успешно исключают из рассмотрения многие теории тяготения (см. § 5.7 и 8.5). Такие тесты проверяют лишь ограниченную область (область слабых полей и медленных движений, или постньютоновскую область) всего многообразия предсказаний теорий гравита-

Ции. Это подчеркивается еще и тем фактом, qTo Теории, пёречислбнныё в гл. 5, noci ньютоновские пределы которых могут быть близки или даже точно совпадающими с постньютоновскими пределами ОТО, разительно отличаются своими формулировками. Единственным исключением является теория Бранса — Дике, которая в пределе больших ① отличается от ОТО поправками порядка О (1/со) как в постньютоновском пределе, так и в прлной, точной теории. Необходимость проверки таких теорий вынуждает нас, таким образом, перейти от постньютоновского приближения к новым областям пространства предсказаний, к новым контрольным экспериментам, где разница между конкурирующими теориями может стать наблюдаемой в явном виде. В гл. 10——13 рассмотрены новые области исследования для проверки релятивистской гравитации.

Одной из таких областей является гравитационное излучение. Почти с самого начала в ОТО существовали волнообразные решения, аналогичные решениям электромагнитной теории [98]. Однако в противоположность электромагнетизму в теории гравитации существовали серьезные сомнения в физической реальности таких волн. Эддингтон [91] предполагал, что они представляют собой как бы рябь координат пространства-времени и в таком виде не должны быть наблюдаемы. Эти застарелые сомнения были решительно рассеяны в конце 50-х годов работами Бонди с сотр., которые в инвариантной, не зависящей от координат форме показали, что гравитационное излучение яв ляется физически наблюдаемым, что оно уносит энергию и импуль с от излучающей его системы и что масса системы, излучающей гравитационные волны, должна уменьшаться [39].

Вебер положил начало экспериментальным поискам гравитационного излучения. Хотя к настоящему моменту не имеется веских свидетельств прямой регистрации гравитационного излучения (подробности см. в [82]), гравитационно-волновая астрономия в будущем может сказать веское слово в исследовании Вселенной.

Практически любая метрическая теория, уравнения гравитационного поля которой хотя бы в самом общем виде лоренц-инвариантны, предсказывает существование гравитационного излучения. Таким образом, само существование гравитационного излучения не является особенно сильным тестом теории тяготения. Конкретные характерные черты такого излучения — вот что будет интересовать нас в дальнейшем.

В то время как постньютоновское приближение можно рассматривать как предел слабых полей и медленного движения в ближней зоне (на малых расстояниях), гравитационное излучение может считаться пределом слабых полей и медленного движения в дальней (волновой) зоне (на больших расстояниях). В этом приближении оказывается, что метрические теории тяготения могут отличаться друг от друга и от ОТО по крайней мере по трем основным пунктам. Они могут предсказывать: 1) разные скорости распространения для света и слабых гравитационных волн (§ 10.1); 2) разную поляризацию гравитационных волн различных физических типов; 3) разную мультипольность (моно- 184

польность, дипольность, квадрупольность и т. д.) гравитационного излучения одного источника (§ 10.3).

Контрольные эксперименты, базирующиеся на проверке скорости и поляризации гравитационного излучения, требуют уверенной регистрации его, что, возможно, является делом далекого будущего (см. [82]). Однако мультипольность гравитационного излучения можно изучать, исследуя обратное влияние испускаемого излучения на источник (реакция на излучение). Примером является изменение периода орбитального движения двух тел, обусловленное потерей энергии системой в результате гравитационного излучения. Такая проверка уже сейчас возможна для двойного пульсара (см. гл. 12).

СКОРОСТЬ ГРАВИТАЦИОННЫХ волн

Согласно ЭПЭ во всех локальных свободно падающих системах отчета скорость света должна быть одной и той же и должна равняться единице, если мы работаем в геометризованных единицах измерения. Скорость распространения любых негравитационных полей, имеющих нулевую массу покоя (например, нейтрино), должна быть такой же. Однако ЭПЭ не налагает никаких ограничений на скорость распространения гравитационных волн. Эта скорость определяется конкретной структурой уравнений поля соответствующей теории тяготения.

В некоторых теориях слабое коротковолновое гравитационное излучение распространяется точно со скоростью света. Термин «слабое» означает, что мы имеем дело с ситуацией, когда безразмерная амплитуда 九从у, характеризующая гравитационную волну, в некотором смысле является малой по сравнению с метрикой g(5 того фонового пространства-времени, в котором эта волна распространяется, т. е. ||Лцу||/||^||《1; термин «коротковолновое» означает, что длина волны гравитационного излучения X мала по сравнению с характерным радиусом кривизны пространства-времени Я. т. е. ^1Л\ 《1. Это приближение эквивалентно приближению геометрической оптики для электромагнитного излучения, рассмотренному в гл. 3. В случае ОТО, например, можно показать (см. [185, упражнение 35.15], что вектор гравитационной волны /и касателен нулевым геодезическим фонового пространства-времени, т. е. 1^1У g(s)= 0; 1^1^ = 0, где вертикальная черта в индексе означает ковариантную производную по фоновой метрике. В локальной свободно падающей системе отсчета, где = =T]gv, скорость гравитационного излучения, таким образом, равна скорости света. Гравитационное излучение распространяется вдоль светового конуса электромагнитного излучения.

Общая теория относительности. Простой метод получения этого результата в ОТО, который можно применить и к другим метрическим теориям, заключается в решении уравнений поля в вакууме, линеаризованных (поскольку поля слабы) по фоновой метрике, выбранной так, чтобы она локально являлась метрикой Минковского. Физически это равносильно решению уравнений распространения в локальной лоренцевой системе отсчета, До тех пор, пока длина волны мала по срав-

нению с радиусом кривизны фонового пространства времени, этот метод дает точно тот же результат, что и полное геометриическое приближение. Таким образом, можно записать

ffgv = Пцу +九卩v・

(ЮЛ)

Тогда линеаризованные уравнения поля в вакууме примут вид

口П九卩V +九，以V -脸ца —碎,va = 0,

(Ю.2)

где индексы поднимаются и опускаются с помощью т]. Выберем калибровку (лоренцеву), в которой

(10.3)

тогда

口= °，

(Ю.4)

Решение этого уравнения для плоских волн имеет вид

h»、== «^)Tv ехр i/“ Хц^ 1^ /^ Y]|iv ==。・

(10.5)

Следовательно, электромагнитный и гравитационный световые конусы совпадают, т. е. гравитационные волны распространяются по нулевым геодезическим.

Скалярно-тензорные теории. Здесь линеаризованные уравнения поля в вакууме имеют вид (обозначения см. в§ 5.1)

口 n 分=0； 口九 uv +瓦uv —能,цех-%fva = -2屮" ^，尸.(10.6)

Выбирая калибровку, в которой

九 и,а—~—屮о'",ц = О,(Ю-T)

получаем уравнения

□n*® = Onh^ = 0,(10.8)

плосковолновые решения которых пропорциональны ехр i/^Хц, где 孩片外",=0.(10.9)

Так что и в скалярно-тензорных теориях гравитационные волны распространяются по нулевым геодезическим (со скоростью света).

Векторно-тензорные теории. В этом случае линеаризованные уравнения поля гораздо сложнее, чем в предыдущем, поскольку распространение линеаризованного возбуждения метрики, Лцу подвержено сильному влиянию фонового космологического параметра К векторного поля. В общем случае имеется десять различных решений, каждое из которых дает свои характеристическую скорость и поляризацию. Для одного из таких решений (вывод см. в § 10.2) скорость гравитационных волн дается выражением

吸=(1 _ (о^/ц — (s—d — т) №].(10.10)

Биметрическая теория Розена. Мы уже рассматривали гравитационные волны в этой теории в § 5.5, где их скорость была получена в виде Vg — q/c(); q н с。一 коэффициенты космологической связи (обсуждение см. в § 5.5). Если учитывать не только космологические граничные условия, но и гравитационный потенциал Uext, обусловленный внешними гравитирующими телами (Солнце, галактика), то при малости длины волны гравитационного излучения по сравнению с характерным масштабом изменения [/ext коэффициенты & и q можно заменить на % (1 — 2Uext) н q (1 + 2Uext)，^ с0 и G — чисто космологические значения, откуда

展=值麻)(1 + 4Uext)・(10.11)

Следовательно, скорость гравитационного излучения может зависеть как от коэффициентов космологической связи, так и от локального распределения материи. Заметим, что пределы, накладываемые на а2 экспериментами в солнечной системе, ограничивают отличие и； от единицы на уровне порядка 4-10~4.

Теория Рэстолла, В этом случае чрезвычайно усложненные уравнения для векторного поля в вакууме Кц в системе покоя Вселенной, где

Ки = К6；1 +施，(10.12)

дают три независимых поляризации для 尼卩，две из которых имеют одинаковую скорость, а третья — отличную от нее. Однако в первом порядке по коэффициенту космологической связи К, который должен быть малым согласно измерениям земных приливов (см. § 5.5, 8.5), эти скорости одинаковы

vg = l+^K2 + O(K3),(10.13)

а поляризация волн, распространяющихся вдоль оси Z, определяется выражениями

论⑴ ~ Со — 4； &(2)~ %；吊 з)~ &•(10.14)

(Этот результат действителен только в системе покоя Вселенной.)

В табл. 10.1 приведены скорости гравитационных волн в этих и других теориях тяготения, рассмотренных в гл. 5. Вообще говоря, скорость гравитационных волн может отличаться от скорости света из-за следующих двух особенностей теории: во-первых, из-за коэффициентов космологической связи, т. е.

Ug^Ugc，(10.15)

где Ugc ——скорость, определяемая космологией, и, во-вторых, вследствие особенностей локального распределения материи. Если учитывать почти постоянный, но некосмологический гравитационный потенциал Uext (много меньший единицы), параметры связи можно модифицировать с помощью члена О (Uext)，в результате чего имеем

% 8 Ugc (1 + aUext)・(10.16)

187

Т а б л и ц й 10.1. Свойства гравитационного Излучений в альтернативных теориях тяготения

Теория

Скорость гравитационных волн

Е(2)-класс

ОТО

1

№

Скалярно-тензорные теории

1

№

Векторно-тензорные теории

Различная

пв

Биметрическая теория Розена

(cjc^^2

пв

Теория Рэстолла

1+ у№+0(№)

П1в

Теория Бергманна ——Суихарта ——Лайт- мана — Ли

1+ ^~®o+Sl) +。®2)

Не

Стратифицированные теории

Сложная функция

Пв

параметров

Эксперименты в солнечной системе ограничивают некоторые пара- метрн, входящие в выражение для。且门 hq только с точностью порядка 10~3. Решающей проверкой таких теорий было бы прецизионное измерение о!носительной скорости гравитационных и электромагнитных волн [90]. Сравнивая время прихода световых и гравитационных волн от дискретного источника, например от сверхновой, можно указать предельную оценку степени различия этих скоростей. Например, для источника в звездном скоплении, в созвездии Девы (расстояние от Земли 11 Мп к) имеем

|%—1| < 10-»В, (10.17)

где В — точность измерения временной задержки в неделях.

Другой возможный способ проверки утверждения vg = 1 был описан в [55] применительно к биметрической теории Розена. Если vg <1, то частицы высоких энергий не могут быть ускорены до скоростей, превышающих Ug, вследствие гравитационно-радиационных сил торможения, сопровождающих слабо расходящийся поток гравитационного излучения, испускаемого частицами при скоростях, близких к vg. Косвенные наблюдения в космических лучах с энергиями, превышающими 1019 эВ, дают очень жесткий верхний предел (если только эти рассуждения правильны) на 1 ——vg в теории Роз ена. Аналогичные рассуждения должны быть приложимы к любой теории, в которой Ug VI.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

Классификационная схема Е (2). Согласно ОТО слабое гравитационное излучение имеет два независимых состояния поляризации: моды «+» и «X» на языке работы [185] или состояния со спиральностью + 2 и — 2 на языке квантовой теории поля. Судя по всему ОТО одинока в этом своем предсказании — все др угие известные корректные метрические теории тяготения предсказыв ают более чем два состояния поляризации для гравитационных волн раз личного физического 188

происхождения. Слабая гравитационная волна в самом общем виде может иметь шесть типов поляризаций, которые можно выразить через шесть электрических компонент римановского тензора ROiQ^ управляющего эквивалентными вынуждающими силами в гравитационном детекторе [89, 90].

Пусть наблюдатель находится в локальной свободно падающей системе отсчета. В окрестности выбранной исходной мировой линии 3й (/) сконструируем локальную лоренцеву ортонормированную систему координат %/, где t — собственное время вдоль мировой линии, а 季(0 — пространственное начало координат (римановские нормальные координаты). При этом метрика имеет следующий вид (см. [185]: gQG =刀众？ + 九 Q J，(10.18)

где

(10.19)(10.19)hSo^ ~RSk0m xk ” + °(|x『)；'s ? = —"^ R© £ 汴”％£+°(I x F)；九？？ = ~T₽H7m m 而 + °(国3)；

(10.19)

(10.19)

Rj??^ — компоненты римановского тензора. Для пробной частицы с пространственными координатами %', мгновенно покоящейся в этой системе отсчета, ускорение относительно начала координат

(10.20)(10.20)

(10.20)

(10.20)

где R^p《? — электрические компоненты 4-тензора Riem, обусловленные гравитационными волнами или другими внешними гравитационными воздействиями. Заметим, что, несмотря на возможное присутствие добавочных гравитационных полей в конкретной метрической теории гравитации, ускорение обусловлено только 4-тензором Riem. (Это не обязательно так, если тело само обладает гравитационной энергией [153].)

Итак, гравитационную волну можно полностью описать в терминах создаваемого ею римановского тензора. Определим слабую, плоскую, распространяющуюся по почти нулевым геодезическим (со скоростью, бесконечно мало отличной от скорости света) гравитационную волну в произвольной метрической теории [89] как распространение слабого вакуумного гравитационного поля, характеризуемого в некоторой локальной лоренцевой системе отсчета линеаризованным 4-тензором Riem, компоненты которого зависят только от запаздывающего времени 〃,т. е.

Rafiyb 三 Ra0y6 (〃) (1 °・21)

189

(здесь и в дальнейшем «шляпки» над индексами опущены), где волновой 4-вектор

%=—〃心(10.22)

нормальный к поверхности постоянного и, является почти нулевым в локальной лоренцевой метрике, т. е.

n2/|1厶=耳 )e| С 1,(10.23)

а е связано с измеренной в локальной лоренцевой системе отсчета (покоящейся относительно системы покоя Вселенной) разницей между скоростями света и гравитационных волн выражением

8 = (с/%)2_ 1.(10.24)

Теперь нам надо проанализировать общие свойства 4-тензора Riem для слабой, плоской, почти нулевой (почти светоподобной) гравитационной волны. Для этого полезно ввести локальный нулевой базис вместо локального ортонормированного базиса f, N. Рассмотрим нулевую плоскую волну (например, световую), распространяющуюся в положительном направлении оси Z в локальной лоренцевой системе отсчета. Эта волна описывается функциями запаздавающего времени

u = t — z(10.25)

(используем единицы измерения, в которых локально измеренная скорость света равна единице). Распространение аналогичной волны в направлении —Z будем описывать функцией опережающего времени

v = t +z.(10.26)

Определим теперь 4-векторные поля I = 1^е^ н % = п^е^ где

%=—〃i； а = —^"” 心(10.27)

Эти векторы касательны к направлениям распространения двух нулевых плоских волн. В координатах 厶 ％/ они имеют вид

加=(1, о, 0,1);碎=1/2 (1,0, 0, — 1)(10.28)

и являются нулевыми в 4-метрике ”, т. е.

/屮Ими == 0.(10.29)

Введем также комплексно-сопряженные нулевые 4-векторы т и ш*, определяемые выражением т — ец, где

献=L/2(o, i,力 о);(10.30)

/n^m^^v =加叩加*用川=0.(10.31)

Эти нулевые векторы подчиняются соотношениям ортогональности

——/Wrj^v = m»Am*vT](AV = 1; 喂"=—2/(u〃v)十 2m^m *v)

(10.32)

и в декартовой системе координат постоянны. Ниже мы будем использовать латинские индексы (за исключением i, /,尼)для обозначения компонент тензоров в нулевой тетраде Z, и, т. ш*, т. е.

Zapb ... = ZaBY ...aapP&v …， (10.33)

где a, 6, с,... пробегают значения Z, и, ш и ш*, а р, д, г пробегают только значения Z, ш и ш*.

Поскольку нулевая тетрада Z, %, ш, ш* представляет собой полный набор базисных векторов, по ним можно разложить в ряд волновой вектор гравитационного излучения Z; однако поскольку гравитационная волна является не точно нулевой, это разложение в общем случае будет зависеть от скорости локальной системы отсчета наблюдателя в системе покоя Вселенной. Выберем «привилегированного» наблюдателя, система отсчета которого покоится в системе покоя Вселенной,и положим в этой системе отсчета

7K =川(1 + 吟 + Er№ + EmM + ^m^. (10.34) где 勿，en, em, &m* ~ 0 (&)• Однако этот наблюдатель может произвольно, во-первых, ориентировать свой пространственный базис так, чтобы гравитационная волна и нулевая волна наблюдателя были параллельны, т. е. чтобы

力〜〃， (10.35) и, во-вторых, выбрать частоту своей положительно распространяющейся нулевой волны равной частоте гравитационной волны, т. е.

7° = /°・ (10.36)

Следовательно, ет =玩「= 0；勿=—к еп и

万=*— en (十 l^—n^.(10.37)

Теперь вследствие того, что римановский тензор является функцией только запаздавающего времени и, имеем

RaBy6,|x= —/ц (д/дй) /?аР?6 = — % Аофуб(10.38)

и, используя соотношения ортогональности между векторами нулевой тетрады, получаем

RaBy6J = еп КаВуб； RaPy6,〃 =(】^"" %) Кофуб； RaB?6,m =0・(10.39)

Тогда линеаризованные тождества Бианки Rab [cd e] = 0 дадут

R abpqm ―。(E九R),(10.40)

откуда помимо тривиального неволнового постоянного решения находим

Rabpq = Rpqab =。(6nR)・(10.41)

Следовательно, только те компоненты 4-тензора Riem, у которых порядок больше О (еп), имеют форму Rnpnq. Их всего шесть, и все остальные компоненты Riem можно выразить через них. Они могут быть 191

связаны с определенными компонентами тетрады непроводимых частей 4-тензора Riem: тензором Вейля, тензором Риччи со следом, равным нулю, и скаляром Риччи (определения см. [185, § 13.5]). Эти компоненты называются параметрами Ньюмана — Пенроуза и обозначаются Т, Ф и Л соответственно [195]. Для почти нулевой волны в привилегированных тетраде они имеют вид:

тензор Вейля

W^0储R); %mO(/R); % = 一；以皿 +。(//?)； О

% = —十 Rnlnm. + 0 闻 R); & = ~Rnm^ 3(10 42)

бесследовый тензор Риччи

①QQ &。悶 R)；①01 Q ①10 Q ①02 ^ ①20 Q。Gn R)；

①22=一 Rnmnm*； ®11=^2 + ^ (en ^?)»

Ф^Ф^^ + O^R);(10.43)

скаляр Риччи

A=-}% + O(%R)・(10.44)

Для описания шести независимых компонент 4-тензора выберем набор величин из 匕，屮3, & и @22 (屮3 н & комплексные (рис. 10.1, с. 213). Приведенные выше результаты справедливы для гравитационной волны, регистрируемой привилегированным наблюдателем. Для того чтобы рассмотреть поляризационные свойства волны, необходимо определить поведение этих компонент, наблюдаемых в локальных лоренцевых системах отсчета, связанных с привилегированной системой отсчета с помощью бустов и вращений. Однако необходимо ограничить рассмотрение наблюдателями, которые согласны с привилегированным наблюдателем по части частоты и направления гравитационной волны; такие стандартные наблюдатели могут тогда легко анализировать внутренние поляризационные свойства гравитационных волн. Ло- ренцевы системы отсчета этих наблюдателей относятся к подгруппе группы лоренцевых преобразований, которые оставляют I неизменным. Наиболее общее из таких преобразований, оставляющее I [ср. с (10.37)] неизменным, имеет вид

V =(1 — аа* %” 一％ (а* т + ат*) + О (喲;

/f = (1 — аа* £п)仇 + аа*/ + а*ш + ат*) ++ 0(喲；

(10.45)(10.45)т，—(1 —аа* 8П)加(ш 十 а/) — 8n aeW X义(п + аш*) + 0(в®);

(10.45)

(10.45)

m*z =(1—aaHJeTeSiH а* /)—•一玩 a* e-節т + a* zn) +。(喲，

где а —— комплексное число, которое дает нулевые вращения (комбинации бустов и вращений); ф — произвольная действительная фаза (0《 & 屮 & 2 л), которая дает вращение вокруг ez. Параметр а произволен, за исключением подчинения ограничению

аа*《断\(10.46)

т. е. полученные результаты справедливы, пока скорость системы отсчета w не слишком близка к меньшей из двух скоростей — света и гравитационных волн. Заметим, что для почти нулевых гравитационных волн £尸》1 н допустимы почти все скорости, если только они не бесконечно близки к единице, так как

аа* 〜 渺/(1 -齿5).(10.47)

Для точно нулевых волн 8П = 0 и любые скорости w V 1 допустимы. При приведенном выше наборе преобразований амплитуды гравитационных волн изменяются согласно уравнениям

% =砲 + О &R); К = е-①(％ + 3a*Y2) + О &R);

叫=еТФ 閣 + 4公匕 + 6а*2 匕)+ О &R)；Ф22 = Ф22 +

+ 2аY3 + 2а*% + 6аа*Т2 + О 佃状)・(10.48)

Рассмотрим группу наблюдателей, связанных друг с другом чистыми вращениями вокруг направления распространения волны (а =0). Говорят, что величина, преобразование которой при вращениях состоит в умножении на коэффициент е* ®, с точки зрения этих наблюдателей имеет спиральность s. Тогда пренебрегая поправочными членами О (g^R), можно видеть, что амплитуды W& W3, &, Ф22 имеют следующие спиральности:

s(%) = 0； s(WJ=-l； s(W)=+l;]

s(T4) = -2; s(¥：)=H-2; з(Ф22) = 0;}{ •丿

Однако эти амплитуды не являются не зависящими от наблюдателей величинами, как это можно видеть из (10.48). Например, если в какой- то системе отсчета 匕*。；匕* 0, то существует система отсчета, в которой W； = 0. Следовательно, на личие или отсутствие компонент с различными спиральностями зависит от системы отсчета. Тем не менее могут быть сделаны определенные инвариантные относительно системы отсчета утверждения, касающиеся амплитуд в рамках поправок О (еп₽). Эти утверждения охватывают набор квазилоренц-инвариантных классов гравитационных волн. Каждый класс относится к определенному типу классификации Петрова в соответствии с его неисчезающим тензором Вейля и максимальным числом неисчезающих с точки зрения произвольного наблюдателя амплитуд. Эти типы не зависят от наблюдателя.

Перечислим эти классы для точно нулевых волн.

Класс /，б： ^2 ^ 0- Все стандартные наблюдатели регистрируют одно и то же значение Т2, но расходятся в отношении наличия или отсутствия других амплитуд.

7 Зак. 664193

Класс 〃厶：4r2 三 0; % 凄0・ Все стандартные наблюдатели отмечают наличие Y3 и отсутствие ^2, но расходятся относительно наличия или отсутствия W《и Ф22.

Класс %з： 4r2 0 4rз 三 0; 4r4 限 0; Ф22 ^ 0.

Наличие или отсутствие всех амплитуд не зависит от наблюдателей.

клаСС Ng. 4r2三w3三①22m°；匕？0 вне зависимости от наблюдателей.

Класс Of % 三 ％ 三丸三 0;①22 限 0 вне зависимости от наблюдателей.

К儿асе О。：匕 三 屮3 三 & 三 ①22 — 0 — вне зависимости от наблюдателей волны отсутствуют.

Для почти нулевых волн надо просто заменить исчезающие (тождественно равные нулю) амплитуды почти исчезающими, т. е. примерно О & R)・

Эта схема, разработанная Ирдлиидр. [90], известна под названием Е (2)-классификации гравитационных волн, поскольку в случае точно нулевых плоских волн(£几 е 0) уравнения преобразования (10.45) представляют собой бесконечно малую Е (2)-группу преобразований, подгруппу группы Лоренца. Е (2) -класс конкретной метрической теории определяется классом ее наиболее общей волны.

Хотя мы ограничили наше внимание плоскими гравитационными волнами, легко можно показать [89], что эти результаты приложимы также к сферическим волнам вдали от изолированного источника при условии рассмотрения доминантной, пропорциональной 1/R части испускаемых волн, где R — расстояние от источника.

Е (2)-классы метрических теорий тяготения. Для определения Е (2)-класса конкретной теории достаточно рассмотреть линеаризованные уравнения поля этой теории для вакуума в пределе плоских волн (наблюдатель удален от источника). Полученные классы теорий, рассмотренных в гл. 5, приведены в табл. 10.1.

Рассмотрим теперь некоторые примеры. Приведем сначала несколько полезных соотношений, которые можно получить из равенств (10.32) и (10.41)

Rnl = Rnlnl +。(％ R)； Rnn = 2/?nmnni +0(%R)； I (10 50) Кпт = ^п1пт + 0(гп^ R = -2&i+O&R)・ J •

Если тензор Riem вычислен по возмущениям линеаризованной метрики h^、(〃)，то

R|rvaB = "^-(力uB,av —力ua,0v +力va,6u——^v₽,an)=

(10.51)(10.51)(10.52)(10.52)=—(/a，v 力кВ — %3 ‘V 九цех + %6 /ц 力va — /а 厶九vfi)；

(10.51)

(10.51)

(10.52)

(10.52)

% ="^■瓦I 斗。(% ❷；^3 = ~ ^Гт* + ^ (8n R)^匕=£ 百m*m* 十。Gn R)；①22 = * 而mm* +。Gn R)・

Общая теория относительности. В ОТО уравнения поля в вакууме имеют вид

Rz = 0,(10.53)

гравитационные волны являются нулевыми (еп 三 0) и, следовательно, Rnlnl 三 ^птпт* = ^nlnm 三。，(10.54)

ИЛИ

匕三屮з ^ Ф22 ^ 0(10.55)

Единственной амплитудой, на которую не наложено никаких ограничений, является 屮4 =/= 0, так что Е (2)-класс ОТО — N2.

Скалярно-тензорные теории. В локальной свободно падающей системе отсчета линеаризованные уравнения поля в вакууме имеют вид

(10.56)(10.56)R|TV= *n|AV R —^0 1 (^,|4V 一 刀叫 口 11心)；

(10.56)

(10.56)

□n^ = 0; R = O(0)

(подробности см. в § 5.3), где ф0 —космологическое граничное значение скалярного поля ф. Плосковолновое решение второго уравнения (10.56) дает

9 =屯 exp i »%中(10.57)

где 乳内卅投=0. Тогда из (10.56) имеем

R^v =—屮訐屯厶厶 exp i lx.(10.58)

Следовательно, Rnn =# 0; Rnl = Rnm s 0 и

w2三w3三0; Ф22^0; &限 0;(10.59)

скалярно-тензорные теории имеют Е (2)-класс N 3.

Векторно-тензорные теории, В локальной системе отсчета, свободно падающей в системе покоя Вселенной, линеаризованные уравнения поля в вакууме имеют вид

}(1 —sK?) (口rj%v +力小一2/l%,v)a) +

+sR2(6 厶 69+十%г(口n力一力脸)-sK2力 。o,2-2coK^o,|4v —

— (® + 4"П2 т) К“2 口 n 岛^- ® + n —工)К2 Tllrv 口 T1 %0 —

一(Л—т) к? 口 п% (цб?) — (n—т) К (^(n，v)0 + □п&ц63))—

^(Л-T) к2 (2fto(n,v)o-力约,00)-nK2(力,0(ц-力 мой -力 &B(u)芻)一 '^-(^―т)№ т)2 (力,00—2Л о, vo)—^№ (й?ц, о 3 — А о, р( ц)晚 +

+ （什工）陶小8=0;+ （什工）陶小8=0;(10.60)195(10.60)195

+ （什工）陶小8=0;

+ （什工）陶小8=0;

(10.60)

195

(10.60)

195

(e—^t) 口"u-或标*"^»g)K6我(口Т)九一力%)+

+ ；(П—т) KD^^oi*"!ПК 伍,он——Ло.рц) ++；水(力 6邯一) = 0.(10.61)

Для плоской волны, подставляя h^ 三 ftgv (“)н 尼卩= 尼卩 Q), можно превратить эти уравнения поля в набор алгебраических уравнений для амплитуд 冗у и 吼.Спроецируем теперь эти уравнения на нулевую тетраду ", п, ш, ш*, получим десять однородных алгебраических уравнений для десяти неизвестных функций ЛаЬ, ka с коэффициентами, зависящими от параметров со, % т, е, ^ и от £几[см. (10.37)]. Эти уравнения имеют вид

[(1 -соК2) % (1—十 ％) -}("—© 寸 Е =0； (10.62)

®Л1 加т* + ®Л2 万пщ* + ®ЛЗ 局т* =。；(10.63)

Рв1 ^mm・ + 0Е2 百〃 + ?ВЗ hln + Рв4 而пп + 阮5 瓦 + §Е6 闕=0, (10.64)

где Л = 1,2,3; В = 1, ..., 6. Одна мода имеет следующий вид:

hm，m.^ B^l-J-en^^-tn-^K^l-^2)-1. (Ю.65)

Поскольку

-^2enfl— ~" en ^ = в — tig1_ 1,(10.66)

скорость этой моды определяется выражением

К г二詁莘）而К г二詁莘）而(10.67)(10.67)

К г二詁莘）而

К г二詁莘）而

(10.67)

(10.67)

В этом случае можно показать, что (за исключением специального набора значений параметров) остальные амплитуды удовлетворяют выражениям

hmm* =后=Лд — ^m* n0； 8Л hnm^ — ^ 1"~ "^~ enj^lm* 三0；(1^"£п炉nl + (l — Зп)^ппе0 м(1^ ej X

(10.68)(10.68)X % +2% Ann,

(10.68)

(10.68)

откуда следует 屮2 = 13 = 622 = °・ Следовательно, Е (2)-класс этого типа колебаний N2. В принципе существует девять других типов колебаний с hm^ = 0, каждый со своей скоростью и своей характерной поляризацией, некоторые из которых принадлежат самому общему классу П6.

196

Биметрическая теория Розена. Линеаризованные уравнения поля имеют вид □пЛцу:= 0 без каких-либо ограничений на h^, следовательно, все амплитуды отличны от нуля и Е (2)-класс теории Пв.

Теория Рэстолла. Поскольку линеаризованная физическая 4-метрика g в системе покоя Вселенной имеет вид [см. (5.78)]

goo = — % + КсГ 自；go/ = Kc-士 &; gjh =

=cf 6川 + KE 號6加 (10.69) где Ли = k^ (п), то после перехода к локальным лоренцевым координатам получаем

方"~А+а；加加*〜"々^*；方m*m*=0；方mm* ~^ 鳥. (10.70) Однако из решения линеаризованных уравнений поля, рассмотренных выше [см. (10.14)], следует, что для всех решений 后【= 0(%R), так что

屮2 = О (%R)・ (10.71)

Заметим, что для моды с вектором % только ①22 ~ 为mm・ *0, так что это мода О】； для мод к2 и к3 имеем 4r3 ~ htm* * 0, так что это моды Шб. Исчезновение 4r4 ~ hm^m* имеет место только в системе покоя Вселенной, что является результатом специального вида g^ в этой системе отсчета. Таким образом, наиболее типичной является волна типа Шб, так что теорию Рэстолла можно отнести к Е (2)-классу Ш5.

Можно показать, что другие теории, рассмотренные в гл. 5, имеют класс Пв (см. табл. 10.1).

Экспериментальное определение Е (2)~класса, Рассмотрим идеализированный гравитационно-волновой поляризационный эксперимент. Для определения с помощью (10.20) шести электрических компонент Rotoj тензора Riem наблюдатель использует набор гравитационно-волновых детекторов [89, 219, 335]. Допустим, что волны приходят от одиночного локализованного источника с пространственным волновым вектором к (который может быть, а может и не быть априори известен наблюдателю). Если представить полученные данные в виде квадратной (3x3) матрицы вынуждающих сил

S订⑴三 Rot。/, (10.72) то при волновом векторе k = ez уравнения (10.28), (10.30), (10.42) н (10.43) дадут эту матрицу в виде

--(ReK+RJ

Im %

-2/»Re 鴉-

Sij =

ImT4

Re “％

2 哼 Im%

,(10.73)

_-2]/Г Re%

2/万Im%

一6七 一

где предполагается стандартная ориентация матричных элементов по осям X, У, Z.

Если направление вектора к известно наблюдателю заранее — либо вследствие отождествления источника гравитационной волны с независимо наблюдаемым объектом, например сверхновой, либо из-за регист-

107

рации корреляции двух сигналов от далеко разнесенных антенн (гравитационно-волновая интерферометрия), то, выбрав ось Z параллельно вектору к, он может однозначно определить амплитуды, даваемые уравнением (10.73), и, таким образом, найти класс принимаемой волны. Поскольку конкретный источник вовсе не обязан излучать наиболее общую возможную для него волну, такой метод дает Е (2)-класс теории, ниже которого класс данной теории быть не может.

Если же наблюдатель заранее не знает направления вектора к, однозначное определение Е (2)-класса невозможно, так как имеются восемь неизвестных (шесть амплитуд и два направляющих угла) и только шесть наблюдаемых (S^) величин. В частности, каждому набору наблюдаемых величин S^ можно подобрать соответствующую волну класса Пв и соответствующее направление. Однако для определенных наборов Sij Е (2)-класс может быть ограничен таким образом, что станет возможной проверка теории гравитации. Например, если вынуждающие силы остаются в фиксированной плоскости и являются чисто квадрупольными, т. е. если существует фиксированная система координат, в которой

(

九卩0、

卩 Т 0，(Ю.74)

00 0/

то волна может быть либо класса П6 (направление неизвестно), либо класса N2 (направление параллельно оси Z новой системы координат). Если эти условия не выполнены, волна не может иметь класс N2. Такой результат был бы свидетельством против ОТО. Другие возможные следствия таких поляризационных экспериментов подробно перечислены в [89].

МУЛЬТИ ПОЛ ЬНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

И ГРАВИТАЦИОННО-ВОЛНОВОЕ ЗАТУХАНИЕ (ДЕМПФИРОВАНИЕ) ИСТОЧНИКА

Общеизвестно, что согласно ОТО наинизшим мультиполем гравитационного излучения является квадруполь, иначе говоря, если выполнить мультипольный анализ гравитационного излучения в волновой зоне вдали от изолированной системы масс в терминах тензорных сферических гармоник, то будут присутствовать только гармоники с (подробный разбор формализма мультипольных моментов см. в [314]). Для материального источника это утверждение можно выразить в терминах соответствующим образом определенных мультипольных моментов материи и распределения гравитационного поля в ближней зоне, в окрестности источника: паинизший мультиполь, генерирующий гравитационное излучение, это квадруполь. Для медленно движущихся источников слабого поля, таких как двойные звездные системы, квадрупольное излучение является доминирующим. (Н екоторые, правда, утверждают, что это справедливо для любого медленно движущегося источника вне зависимости от того, слабо его излучение или нет. Такого 198

(10.75)(10.75)мнения придерживается, например, автор [314].) В результате гравитационная волна в волновой зоне описывается выражением

(10.75)

(10.75)

九/Н* /П* = (2/R) //л* 〃2*,

где R — расстояние от источника; /订一момент инерции источника; точки сверху означают производные запаздывания по времени. Волновой фронт hm^ связан с измеряемыми электрическими компонентами 4-тензора Riem выражением (10.52):

(10.76)(10.76)

(10.76)

(10.76)

Волна такой формы дает поток энергии на бесконечности

dE/dt= <—V 京订齐订>,dE/dt= <—V 京订齐订>,(10.77)(10.77)

dE/dt= <—V 京订齐订>,

dE/dt= <—V 京订齐订>,

(10.77)

(10.77)

где

(10.78)(10.78)%j = jp(x, f)("修一《^6订%2了3%

(10.78)

(10.78)

есть бесследовый момент инерции системы в наинизшем порядке пост- ньютоновскэго разложения. Угловые скобки в (10.77) означают усреднение по нескольким периодам колебаний источника (обсуждение см. в [338]).

Эти соображения описывают асимптотические свойства излучаемого поля. Нас, однако, интересуют не столько свойства испускаемого излучения, как это было в § 10.1 и 10.2, сколько обратная реакция источника на испускание излучения. Различного рода расчеты привели к заключению, что поток энергии на бэсконечности, описываемый (10.77), компенсируется равными ему потерями механической или орбитальной энергии системы и что эти потери могут быть вычислены через локальную силу реакции на излучение (см. [185])

尸片=一2团猾)* (10.79)

5

где (5) в верхнем индексе означает производную пятого порядка [339]. Однако существует точка зрения, согласно которой эти заключения не являются удовлетворительным образом выведенными из полностью самосогласованных приближенных решений уравнений Эйнштейна [94]. Мы не будем вникать в суть этого противоречия, просто предположим, что в любой полуконсервативной теории метрической гравитации существует энергетическое равновесие между потоком гравитационно-волновой энергии на бесконечности и потерями механической энергии источника при условии, что выполняется усреднение по нескольким периодам колебаний и что поток энергии можно рассчитать с помощью аппроксимационной методики медленных движений и слабых полей типа предложенной Эпштейном и Вагонером [104].

Рассмотрим теперь двойную систему с общей массой т = т1 + т2, приведенной массой у = т护21nг, орбитальным расстоянием г и отно- 199

сительной скоростью v. Квадрупольное гравитационное излучение [см. (10.77)] в рамках ОТО дает скорость потери орбитальной энергии [229]

dE!dt= — J V 卩2m2(]2統一1 巾)俨>, (10.80) 15

где г = dr/df; угловые скобки означают усреднение по периоду обращения. Потеря энергии согласно третьему закону Кеплера приведет к относительному уменьшению орбитального периода Р, определяемому выражением

Р/Р=— ■^E^dEldt. (10.81)

Квадрупольное гравитационное излучение приводит также к уменьшению момента импульса системы и соответственно к уменьшению эксцентриситета орбиты (подборку формул и литературы см. в [333]). По мнению автора [107], роль квадрупольного гравитационного излучения может быть значительной в эволюции сверхкороткопериодических двойных систем (см. также [249]). Но, вероятно, наиболее многообещающим тестом существования квадрупольного гравитационного излучения является наблюдение изменений периода обращения двойного пульсара (см. гл. 12).

В отличие от ОТО почти все альтернативные метрические теории тяготения предсказывают наличие гравитационного излучения всех муль- типольностей — как монопольного и дипольного, так и квадрупольного и высших мультипольностей [88, 365, 367]. Для двойных звездных систем наличие таких мультипольных вкладов отражается на формуле скорости потери энергии (10.80) двояко: изменяется численный коэффициент и появляется дополнительное слагаемое (обусловленное дипольными моментами), зависящее от гравитационной энергии взаимодействия звезд. Получающаяся в результате формула для dE/dt может быть записана в виде, содержащем безразмерные параметры, меняющиеся от теории к теории. Два из этих параметров —届 н 瓦一 носят названием ПМ параметров, поскольку они описывают часть d£7 或，соответствующую результатам, полученным Петерсом и Мэтьюзом [229] для ОТО. Параметр 尼° относится к дипольному гравитационному вкладу, для которого, по крайней мере приблизительно, можно записать

(dE/dt)^ - —-~ kD <DD>, (10.82) где

Dm£QaXa (10.83)

——дипольный момент гравитационной энергии связи тел. (Для каждой конкретной теории тяготения детали теории будут сложнее, чем здесь изложено, разумеется.) Для двойной системы имеем

变=一/业ГХdf 、d L 15变=一/业ГХdf 、d L 15\(10.84)\(10.84)

变=一/业ГХ

df 、d L 15

变=一/业ГХ

df 、d L 15

\(10.84)

\(10.84)

где 6 — разность гравитационных энергий связи двух тел на единицу массы.

Ниже мы воспользуемся постньютоновским гравитационно-волновым формализмом, развитым Эпштейном, Вагонером и Уиллом [104, 336]. Однако вследствие сложности многих альтернативных теорий при создании обобщенного формализма, аналогичного ППН систематике, не удалось пойти дальше записи (10.84) с произвольными параметрами. Однако можно дать общее описание метода, использованного для получения (10.84), в рамках выбранной теории тяготения, обращая особое внимание на те черты, которые являются общими для многих, пока что справедливых теорий тяготения. Позднее мы рассмотрим конкретные вычисления в рамках выбранных теорий.

Метод может быть представлен в следующем виде.

Шаг 1. Выберем теорию. Ограничим варьируемые константы и космологические коэффициенты связи так, чтобы получить удовлетворительное согласие с экспериментами в солнечной системе (см. гл. 7——9).

Шаг 2. Выведем укороченные уравнения поля. Работая в системе покоя Вселенной, разложим гравитационные поля в ряд вокруг их асимптотических значений и, используя имеющуюся свободу калибровки, выр азим поля в укороченном виде

(—0-評/» + 屮)[屮]=_16 冗[矶(10.85)

где vg ——скорость гравитационных волн, зависящая от варьируемых констант и космологических коэффициентов связи;[屮]一 множитель (может быть тензором любого ранга), линейный по возмущениям поля; [т]——множитель, содержащий энергии натяжений материи и негравитационных полей и энергии гравитационных натяжений и состоящий из членов, квадратичных и высшего порядка по возмущениям гравитационного поля (так называемая функция источника). Линейный член решения уравнения (10,85), содержащий возмущения, распространяющиеся наружу, на бесконечности имеет вид

屮(х, /) = 4 J 工(/ —。一；|х — х'|, х‘)|х — х]т dV.(10.86)

Для точки поля вдали от источника (при /? = |х| ^> г, где г ——размеры источника; I屮I《1) имеем 屮(х, /) = 4RT J 工(/ — v%R + + 吸咄，M) d3£ + 0 (r/R)2.

Здесь n = x/R. Если предположить движение источника достаточно медленным (источник находится внутри волновой зоны, г V Х/2л《 《R, где 入——длина волны), то уравнение (10.87) можно разложить в ряд в виде

屮(х, f)=4RT 2 (加哨т><m=0

X (d/dt)m j 工(/ — %工 R, x‘)(G xz)md3 £・(10.88)

Полезно заметить, что

也j =—。-之九抻,0 +。(〃R2)・(10.89)

201

Шаг 3. Определим скорость потери энергии в терминах г|). Ограничимся лагранжевыми теориями тяготения (такими как справедливые на данный момент теории, описанные в гл. 5). Эти теории содержат закон сохранения энергии в виде (см. § 4.4)

时=0, (10.90)

где ®к” в плоском пространстве-времени сводится к тензору энергии- импульса материи T^v. Следовательно, можно определить величины Р^, сохраняющиеся для локализованного источника (за исключением возможного потока комплекс-тензора энергии-импульса ®к/ вдали от источника): при интегрировании по гиперповерхности постоянного времени имеем

е4dз%=— \e^d2Sj.(Ю.91)е4dз%=— \e^d2Sj.(Ю.91)dP^/dt =J

е4dз%=— \e^d2Sj.(Ю.91)

е4dз%=— \e^d2Sj.(Ю.91)

Здесь S ——замкнутая двумерная поверхность, окружающая область интегрирования. Оказывается, что для каждой теории можно записать

=f仲)72+於汽 (10.92)

где / (гр) -> 1 при *ф-> 0, а псевдотензор /к” как минимум квадратичен по возмущениям первого порядка 屮 гравитационного поля. Если в качестве S выбрать сферу радиусом R в волновой зоне вдали от источника, то для 卩=0 получим

dP。/山=—R2 0 ”/ 大 dd (10.93)

Подстановка (10.88) в выражение для /°/, определяемое уравнениями рассматриваемой теории, позволит выразить dPQ/dt через временное производные -ф, 0 гравитационных полей в дальнем поле.

Шаг 4. Выполним постньютоновское разложение функции источника т (обсуждение см. в гл. 4). Для этой цели используем материальные переменные и гравитационные поля в ближней зоне в постньютоновской форме, полученной в гл. 5 в решении для постньютоновской метрики и преобразованной соответственно калибровке, принятой в шаге 2. В зависимости от природы 屮 функция источника т в постньютоновском приближении будет иметь либо четный (электрический) порядок (О (0), О (2) ...), либо нечетный (магнитный, О (1), 0(3) ...). В первом случае т обычно содержит (с точностью до полных дивергенций) члены

0л ~ 工(Р，рП, р* р[/,叫 (10.94) моменты которых [монопольные, дипольные и т. п., см. (10.88)], как можно показать при интегрировании по частям, пренебрежимо малы (обсуждение см. в [104]). Во втором случае т обычно имеет вид (с точностью до дивергенций)

Тмагн~р(р", Р^П, р〃и, ри%2, р% pH, р//)・ (10.95) 202

Шаг 5. Упростим，, используя интегральные законы сохранения. Поскольку 屮(10.88) содержит производные по времени от т, удобно применить интегральные законы сохранения, получаемые из (10.90), для выделения членов, не зависящих от времени, линейных по времени и т. д. Некоторые из этих членов отражают «отпечаток» массы, импульса, момента импульса в дальнем поле и не вносят вклад в гравитационное излучение. Поскольку интегральные законы сохранения должны быть приложены только к интегралам в ближнем поле, поверхностными интегралами, такими как интеграл в (10.91), можно пренебречь (сохранение их дало бы лишь поправки высших порядков к формуле для скорости потери энергии). Из интегральных законов сохранения следуют такие полезные результаты (действительные в ближнем поле):

(d/df) J @0 d3 g dP^ldt = 0;

(d/dt) J 0o° W d3 % = Pj + 2 J ®[。/】d3 x;

(10.96)(10.96)02/山2) J000力・冰d3% = 2 j0Wd3x + 2(d/df) x

(10.96)

(10.96)

X J(®[0"亦+ ®o竹 N)d3%;

(d/df) j &° md3x = J 0^n^d3 x.

Заметим, что, поскольку мы имеем дело с полуконсервативными теориями тяготения, ®к” не обязательно симметрично, так что мы сохраняли, где необходимо, вклады антисимметричных частей 0^. Однако, как мы видели в § 4.4, эти члены зависят от ППН параметров ах и а2, так что они будут малы, если наложить на ах и а2 ограничения, рассмотренные в гл. 8, или даже будут равны нулю, если применять вариант с ax s а2 = 0 (полностью консервативный вариант).

V=va; x = Xa + x,V=va; x = Xa + x,(10.97)(10.97)Шаг 6. Приложим полученную теорию к двойным системам. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними (d < г), т. е. пренебрежем приливными взаимодействиями между ними. Тогда можно считать, что каждое тело имеет ССС структуру в своей собственной покоящейся системе отсчета. Следуя процедуре § 6.2, для данного элемента материи тела а, запишем

V=va; x = Xa + x,

V=va; x = Xa + x,

(10.97)

(10.97)

где первое равенство отражает статичность структуры и где

хсР%; Va = dXJdf;хсР%; Va = dXJdf;

хсР%; Va = dXJdf;

хсР%; Va = dXJdf;

(10.98)(10.98)т尸Р^ =Jp^l+n-±. Z7jd3x; a

(10.98)

(10.98)

Z7 = Jp*(x\ f)|x—x」Td3£.

Заметим, что ma сохраняется в постньютоновском порядке, если только пренебречь приливными силами. Полный ньютоновский потенциал для сферических тел определяется выражением

U(x, f) = Ua+ 工 ть|х—Хь|т (внутри тела а);

и(х/) = Х/Иь|х—Хь|т (вне тела а).

(10.99)

Тогда полная энергия системы

Р。= ^ f ma + 4~ ^а ^д —Р。= ^ f ma + 4~ ^а ^д —v2 m« тъ!ГаЛ (10.100)v2 m« тъ!ГаЛ (10.100)

Р。= ^ f ma + 4~ ^а ^д —

Р。= ^ f ma + 4~ ^а ^д —

v2 m« тъ!ГаЛ (10.100)

v2 m« тъ!ГаЛ (10.100)

[ср. с (4.1081), где гаЪ = |Ха — Хь|. Для двойной системы можно оценить орбитальный член в (10.100) до требуемого порядка, используя уравнение Кеплера и выражение

г = гаЬ = а (I —。2)/(1 + е cos ф) (10.101)

(определения параметров орбиты см. в § 7.3). В результате получим ро = т + Е; Е = —i- |xm/a,(10.102)

где * = mam6/m; т = та + 团匕；большая полуось а связана с орбитальным периодом Р выражением (Р/2 冗尸=dim (в требуемом порядке). При гравитационном излучении тел, находящихся в орбитальном движении, величины та и ть не меняются вследствие пренебрежения приливными силами и внутренними движениями. Апеллируя к балансу энергии, получаем

(dE/d%au = dP°/df •(10.103)

Используем теперь изложенную выше процедуру для разделения моментов т, определяющих гр, на орбитальные части (t/2 ~ m/r) и собственные части, связанные с каждым телом (U ~ 口 ~ р/р ~ m/d》 》m/r). В терминах величин т/г и m/d получим, что электрические •ф-поля могут быть схематически представлены так [см. (10.88), (10.94), (10.96)]:

(10.104)(10.104)5л ~ 4 (加/R) {[川 + 产]+ [(；『]+ 产-у]⑻ ++胖门+产⑶[©+•••}.

(10.104)

(10.104)

где Л — константа; В описывает монопольный и квадрупольный вклады, С — дипольный, а магнитные ip-поля имеют вид [см.(10.88), (10.95), (10.96)]

X ~ 4 (m/R) {[Л] + [(宵丁十[号(Т)，/2]【8】十閏 + +代h+产号]© +(Ю-Ю5)

где Л — константа; В описывает дипольный вклад а С — квадрупольный.

Так как поток энергии /°，[см. (10.93)1 обычно зависит от гр^о, константы в (10.104) и (10.105) не дают вклада в гравитационное излучение. В этих уравнениях ПМ-вклад обеспечивается членом m/r, поскольку i|),o, ~ (m/R)2 (т/产)2 紋.Члены же。(m/r)2 и О (m/r*? в (10.104) и (10.105) суть постньютоновские поправки типа рассмотренных Вагонером и Уиллом [336] для ОТО. Члены О [(m/r) (m/d)] эффективно перенормируют массы, входящие в ПМ-результаты, с помощью поправок О (m/d). Члены 0[(m/d) (m/r)"?] определяют дипольное излучение: 电8 ~ (m/R)2 (m/d)2 (rn^^lr3^ и? ~ (m//?)2 (加/产尸(加/守.Перекрестные члены дают эффекты, уступающие названным выше по степеням dlr либо исчезающие при интегрировании по телесному углу [см. (10.93)]. Следовательно, мы удерживаем в гр только члены порядка m/r и (m/d) (m/r) и. Оценивая собственные члены, мы используем стандартную теорему вириала для ССС тел

3^ pcPx + Qa = 09(10.106)

где в требуемом порядке

&=^jp^7d3%=^一 Jp(x)p(x')|x—x‘|-"3"3£・(10.107)

Шаг 7. Вычислим средние потери энергии за один оборот, используя ньютоновские уравнения движения для упрощения расчета ньютоновского ПМ вклада и постньютоновского дипольного вклада в излучение.

Проиллюстрируем метод на примере трех типов метрических теорий: ОТО, скалярно-тензорных теорий и биметрической теории Розена. Рассмотрение других теорий, например теорий Ни или Белинфанте —Суихарта — Лайшана — Ли, см. в [365].

Общая теория относительности. Положив

h^ = g^ — ^ 九三吋明川；Q^ = h^—\x^h(10.108)

и выбирая калибровку (лоренцеву), в которой

猾=0,(10.109)

где индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского, можно показать, что уравнения Эйнштейна эквиваленты укороченным уравнениям поля

□пе^ = — 16ш;叫(10.110)

где

i = 7W + 卅”(I0.II1)

f»*v — квадратичная и высших порядков функция 0**v и его производных. Вследствие условий калибровки (10.109) имеем

V = “(10.112)

20g

и, следовательно,

/v=4RT J (1/加)@/灭严 f 碎”(/一 R, x') (Gx‘严小/・(10.113) m=0J

Из-за условий калибровки (10.109) и запаздывающей природы C»*v надо определять только компоненты 8", поскольку

噂=*е织；聊=%*"%•(Ю.114)

Так как функция источника т**” для 6**v удовлетворяет своему собственному закону сохранения т岁=0 н является симметричной, теперь можно использовать (10.96) с W вместо 8叫 чтобы показать, что 37 = 2R7 (/例2){ f тсо « — r, x)xixid3x + [工叫 ~可} , (Ю.115)

где [т°/,工/可一квадрупольные моменты т°/ и d论.

Заметим, что монопольные и дипольные моменты т" были переопределены как вторые производные по времени квадрупольных моментов. Поскольку каждая производная по времени dx/dt ~ и ~ (/и/г)"2, то не может существовать дипольного вклада в 8丛” в виде (m/d) (zn/r)1/2. Следовательно, единственный вклад требуемого порядка в поле обусловливается частью т°° наинизшего порядка, ньютоновской частью:

т00 = р [1 + О (2)].(10.116)

Для двойной системы (10.115) принимает вид

0^ = 2R-工 ©]д伊)2 та 尤必 + О (т")з/2.(10.117)

Использование законов сохранения для 工丛” также предполагает, что центр масс системы движется неускоренно, так что, разлагая в ньютоновском порядке ха на координаты центра масс и координаты относительно центра масс в соответствии с выражениями

X = (т^ + m2x2)/m; х = х2 — хг,(10.118)

с точностью до константы получаем

8〃 = (2|i/R) В/泣2)(/%/)+ о (т/г)з/2.(10.119)

Теперь для определения скорости потери энергии наиболее удобно вместо 日1*” использовать сохраняющуюся величину

e吃=一 g (72 + 2院)；e吃,V = 0,(Ю.120)

где /旌一псевдотензор гравитационной энергии Ландау — Лифшица, определяемый, например, в [135] уравнением (20.22) или в [152] уравнениями (99.6) и (99.7). (Вообще-то говоря, с таким же успехом можно использовать для наших целей т**”， поскольку можно показать, что обе величины приводят к одинаковым уравнениям движения материи и идентичным следствиям интегральных законов сохранения [см., например, выражения (10.91)]. Вариант Ландау — Лифшица проще, так как f£Z содержит только первые производные 0**v. Оценивая /% для 206

использования в уравнении (10.93) с помощью (10.114) и определяя поперечную бесследовую (7Т) часть 8" как

明=露 р｛的—-L Р" Ра 供/; P； = 6；・一U £,(10.121)

получаем скорость потери энергии в виде

dPQ/df = —(R2/32 句 $ О^,о 8 弊,о dQ(10.122)

Подставляя сюда (10.119), выполняя интегрирование по углу и усредняя по нескольким периодам колебания источника, получаем

心。/山=—!<%%>；

务〃=卩卜1芍 ^" M炉）务〃=卩卜1芍 ^" M炉）(10.123)(10.123)

务〃=卩卜1芍 ^" M炉）

务〃=卩卜1芍 ^" M炉）

(10.123)

(10.123)

Используя ньютоновские уравнения движения dv/dt = — mx/r3 для оценки производных по времени в (10.123) с необходимой точностью, получаем ПМ формулу (10.80). Отсюда следует, что для ОТО имеем Лх= =1 立;左2 = 11; ftp =0.

Скалярно-тензорные теории. Положив

饱vwguv-Wv； Ф^vo + O； 8呻三九2一-^加12-

(10.124)(10.124)一缉/⑵川灯

(10.124)

(10.124)

(см. § 5.1) и выбрав калибровку, в которой

0^ = 0,(10.125)

можно записать уравнения поля для скалярно-тензорных теорий в виде

□”82 = — 16 лт^; □” 仆=—16 jiS,(10.126)

где

T2 =9尸72+卅V； T^ = 0;

S = — (6 + 4s)_i Т [1 —^- 8—9例—2炉(3 + 2砌т 可——(16n)T [也2 82 + 屮夕1 9加 9M—6 (3 + 2s)T 也 1A 小叫 +

+ О(98, 0\ 仇 0й2, й3);+ О(98, 0\ 仇 0й2, й3);(10.127)(10.127)

+ О(98, 0\ 仇 0й2, й3);

+ О(98, 0\ 仇 0й2, й3);

(10.127)

(10.127)

Оценим сначала постньютоновские выражения для 0^ и д в ближ* ней зоне. Из постньютоновского предела, рассчитанного в § 5.3,например, имеем

8。。= 2(1+Y)u+0(4); 8。了=2(1+Y)% + 0(5);]

8〃 = 0(4); 9 = (1_Y)90u + 0(4),j,

где ППН параметр

Y =(1 + s)/(2 + о).(10.129)

Здесь мы использовали (5.38) для перехода к геометризованным единицам. Тогда в требуемом порядке нз уравнений (10.127) и (10.128) имеем

t°°=4-(1+Y)pU + ”2)1；

S = ；(l —Y)<PqP{1 +口一Зр/р +

(10.130)(10.130)+ [3丫 一 1 — 2W (3 + 2(0)7] U}・

(10.130)

(10.130)

Для упрощения функции источника S и ее моментов используем постньютоновские выражения (4.107) для сохраняющихся величин в ближней зоне. Тогда для системы, содержащей компактные объекты, из общей процедуры, описанной выше, имеем в дальней зоне с требуемой точностью

0^ = (1 4 Y)R-，(。2欣2) ^таХаХа + 0 (m/r)3/2；

0 = (1 _?) <р0 /^-1 {ро +^р + 2 [1 + 2®1 X

(10.131)(10.131)(10.132)(10.132)X (3 + 2(0)-円e凡一士加/比一而J +

(10.131)

(10.131)

(10.132)

(10.132)

+； Е & U + 如(3 + 2®』+

/厚a S

+十 / 啰(？加2 } + 2 U + 2W (3 + 2o))F x

X 2 Qa (ПУа)j + О (加")3/2.

Для орбиты двойной системы с точностью до константы имеем

8〃・=2 (1 + у) (卩/R) (и‘ 〃 一 mxz W 巾；

^=—(1—7)Фо (財 R) {紋一(nv)2 ++ "+4叫3+2(0)-2] m" +

+ m (£)2/产 + 2 [1 + 26 (3 + 2砌-2] x

X0而注

где

6 == a]/加1Q J m2.

(10.133)

Наиболее полезная для определения потока энергии сохраняющаяся величина определяется выражением

(10.134) Ландау — см. [153]).(10.134) Ландау — см. [153]).dQ・ (10.135)dQ・ (10.135)©^ = -г(ф/ф0)(Т^ + ^), где 力£2 — скалярно-тензорный аналог псевдотензора Лифшица [216] (о других сохраняющихся величинах Вычисляя /°£ и используя (10.114) и (10.121), получаем dP"dt =-冲32 л)фо 0 [噥Q 畤,о +

(10.134) Ландау — см. [153]).

(10.134) Ландау — см. [153]).

dQ・ (10.135)

dQ・ (10.135)

Подставляя сюда (10.132) и интегрируя по телесному углу, находим (10.84) со следующими значениями параметров:

网=12-5/(2+砌；底=11—45 X

X (1 +"^а+^ »2j I (8 + 4(о);

坛= 2(1+а)2/(2 + з);

(10.136)

где

а = 26 (3 + 2з)-2 = 4 А (2 + з)・

(10.137)

(10.138)(10.138)(10.139)(10.139)

(10.138)

(10.138)

(10.139)

(10.139)

Биметрическая теория Розена. Для простоты выберем тот вариант биметрической теории, постньютоновский предел которой идентичен постньютоновскому пределу ОТО; иначе говоря, выбираем с0 = с】 (см. § 5.5). Это эквивалентно предположению о том, что вдали от локальной материи ng, ит) имеют асимптотическое выражение diag (—1, 1, 1, 1). Окончательный результат, таким образом, будет справедлив только с точностью до поправок О (1 — cjcj, которые согласно изме

рениям земных приливов (предел на а2) должны быть малы. Положив тогда

九цу = ^v —Пцу； б**、'三 h^ — —- ftf]^,

перепишем (5.68) в виде

口"82=_16几d"

卄V = (1L е) Т2 _(1 бл)т X

X рев⑴□瑯)—8□俨一

—^^阿□“e+ekevYa—e 唯 @а_

一^旷俨 +时?£3?

口 Пеоф-^* 8 口n8 +

^%g

(10.141)(10.141)(10.142)(10.142)

(10.141)

(10.141)

(10.142)

(10.142)

В постньютоновском порядке в ближней зоне для 0^ имеем (см. § 5.5) 000 = 4U + О (4); 0°/ = 4卩;8" = О (4).(10.140)

Тогда в порядке до необходимого из уравнения (10.139) имеем 工。0 = р (1 + Ц + °2 + 2(7);七疗=ри'"+р9% ] 工。/ = р [" (1 + Ц + М 十 4(/ + р/р)—2y7]. j

Сохраняющейся величиной в биметрической теории является

®2 = (—g) 1 /2 俨 g、，B Та§ + 於v；

"V =(32冗尸[(严 产一j T]2 产)gM g(n x义(g*<j,agp*B^- gM,ag(n・6)1

Сохраняющиеся в ближней зоне 000 и 0°/ можно определить из (10.140) и (10.142), так как мы использовали полностью консервативный вариант теории. Тогда для системы компактных объектов имеем

0°°-4RT[p° + nP + ^Qa + ^ma\(/j一占£ ^ la a IZ b^a %Ь

/年。

/Йb (…炉

+Е&

+0(加")3/2;

(10.143)(10.143)находимнаходим(10.144)(10.144)

(10.143)

(10.143)

находим

находим

(10.144)

(10.144)

00/= 4/^-1 U+2та Гvinva — •加弋пх也]+ a L2 b#a rab J

十年孕。心+。(哂У；

而=4RT {-} ? % W + ? % 小公一

-?4"Ra(，Va)6"}+O(m/r)3/2.

Для орбиты двойной системы (опуская постоянные члены)

000 = 4 (卩/R) {[(n V)2—т/г—加亩乂)2/产]—®nv};

0o/ = 4 (卩/R) {" nv—m^nx/r8]^- gv/j；

敢• = 4 (卩/R)卜〃+子◎£叫.

Оценивая теперь поток энергии /°/ в дальней зоне с использованием (10.89), (10.138) и (10.142), имеем

dPVdt = —(R2/32 叫 § 州 0аЭ,о — у 0,0 %) dQ・(10.145)

Подставляя сюда (10.144) и интегрируя по телесному углу, получаем (10.84) с параметрами

^=—21/2;尼 2=—23/2;狂=—20/3. (10.146)

Другие теории. С помсщью изложенного формализма были выполнены вычисления ПМ- и дипольных параметров для теории Белинфан- те — Суихарта — Лайтмана — Ли и стратифицированной теории Ни (см. гл. 5) с удалением внимания тслько тем вариантам, постньютонов^ ские пределы которых такие же, как у ОТО (подробности см. в [365])； Результаты приведены в табл. 10.2.

Следует отметить тот удивительный факт, что для всех теорий, приведенных в табл. 10.2, кроме ОТО и скалярно-тензорных, дипольное излучение переносит отрицательную энергию, т. е. при излучении энергия системы увеличивается (々°V0), и что ПМ излучение может переносить как положительную, так и отрицательную энергию — в зависимости от теории и типа орбиты. Можно утверждать, что уже одного этого предсказания достаточно, чтобы считать такие теории некорректными. Однако это лишь теоретическое ограничение, имеющее под собой в случае гравитации очень слабую экспериментальную основу, так что лучше обратить внимание на экспериментальные свидетельства за или против такого явления. Такие свидетельства можно получить, исследуя двойной пульсар (см. гл. 12).

Единственной теорией в табл. 10.2, автоматически предсказывающей отсутствие дипольного излучения, является ОТО. В скалярнотензорных теориях тоже можно избавиться от дипольного излучения при конкретном выборе функции со (ср). Например, если со (ср)= =(4—Зф)/(2(р — 2) (теория постоянного G Баркера), то 々° = =1 + 2 со' (§+2(о)-2 = о. При этом в постньютоновском порядке теория удовлетворяет ССПЭ (см. § 3.3); локально измеренная гравитационная постоянная является истинной константой, и теория предсказывает отсутствие эффекта Нордтведта (40 — у — 3= 0). Все теории, рассмотренные в табл. 10.2, кроме ОТО, приводят к нарушению ССПЭ.

Итак, можно сделать общее предположение, что теория тяготения предсказывает отсутствие дипольного гравитационного излучения тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ССПЭ. В § 11.3 показано, как нарушение ССПЭ может проявляться в виде дипольного гравитационного излучения.

Любопытной также является сильная корреляция между знаком энергии, переносимой гравитационным излучением, и Е(2)-классом теории (см. табл. 10.1). ОТО и скалярно-тензорные теории предсказывают гравитационные волны наименее общих Е (2)-классов (N2 и N6) с определенной спиральностью (士2; ±2, 0) и положительной энергией. Другие теории, представленные в табл. 10.2, предсказывают гравитационные волны более общих классов с неопределенной спиральностью и отрицательной или положительной энергией. Возможно, нет ничего удивительного в том, что эти теории предсказывают неопределенный знак излучаемой гравитационной энергии, поскольку согласно квантовой теории поля определенная спиральность, квантуемость и положи-

м Таблица 10.2. Мультипольные параметры гравитационного излучения в различных метрических теориях тяготения

9

Теория

ПМ параметры

Дипольный пара* метр 尼d

Наличие ССПЭ

Знак энергии

Определенная спиральность

&

也2

ОТО

Скалярнотензорные:

12

11

0

Да

+

Да

Бекенштейна, Бергманна —Вагонера—Нордт- ведта

L “со

11 —+告 аа?)

8+4s〈 丁 9 丁 3/

2(中户 2+s

Нет

+

>

Бранса—Дике

L - 2+(о

45

11

8+4s

_2_ 2+s

»

+

э

Векторнотензорные

Биметрические*:

Результат не получен

Результат не получен

Результат не получен

»

Результат не получен

Нет

Розена

-21/2

—23/2

—20/3

»

+/—

»

Рэстолла

Результат не получен

Результат не получен

Результат не получен

»

Результат не получен

»

Белинфанте—Суихарта— Лайтмана—Ли

Стратифицированные*:

—21/2

73/8

—125/3

»

+/—

»

Ли—Лайтмана—Ни

—18

—19

—400/3

»

+/—

»

• Имеются в виду те варианты теорий, прочие ППН параметры которых идентичны ППН параметрам ОТО.

тельность энергии обычно сопутствуют друг другу. Вопрос о том, доказуемы ли эти предположения, остается на сегоднящий день открытым.

Одним из узких мест постньютоновского метода вывода формул для потери энергии на гравитационное излучение является предположение, что гравитационные поля всюду слабые. Это предположение несправедливо в системах, содержащих компактные объекты (нейтронные звезды или черные дыры), например в двойном пульсаре. Ниже рассмотрен формализм, который, имея по-прежнему дело с существенно постньютоновскими чертами орбитального движения таких систем, позволяет в то же время учитывать сильно релятивистскую природу компактных объектов в системе. Тем не менее, основные выводы, суммированные в табл. 10.2, останутся неизменными.

Рис. 10.1. Шесть поляризационных мод слабой плоской гравитационной волны, существующих в любой теории тяготения. Показана деформация каждой модой сферы из пробных частиц. Волна имеет зависимость от времени вида cos(о/ и распространяется в положительном направлении оси Z, т. е. за плоскость рисунка вверху и вправо в плоскости рисунка внизу. Слошные линии — конфигурация в момент(о/=0, штриховые ——в момент(of=Ji. Смещений, перпендикулярных плоскости рисунка, нет

ГЛАВА 11

СТРОЕНИЕ И ДВИЖЕНИЕ КОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ

В АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

Строение и движение релятивистских объектов высокой плотности —нейтронных звезд и черных дыр — в рамках ОТО в последние два десятилетия являются предметом интенсивного изучения. Открытие пульсаров в 1967 г. и рентгеновского источника Лебедь Х-1 в 1971 г. превратило эти теоретические фантазии в потенциально реальных обитателей астрофизического зоопарка. Гораздо меньшее внимание было уделено изучению этих объектов в альтернативных метрических теориях тяготения.

Причин тому две. Во-первых, принято было считать, что в качестве потенциальных объектов для проверки теорий тяготения нейтронные 213

звезды и черные дыры не очень подходят, так как нам плохо известна их негравитационная физика, которая неизбежно «вмешивается» в гравитационные эффекты при изучении строения и взаимодействия таких тел. Примерами являются неопределенности в уравнении состояния материи для нейтронно-звездных плотностей и неизвестность конкретных деталей механизма испускания рентгеновского излучения из окрестности черной дыры. Во-вторых, по сравнению с простотой постньютоновского приближения в альтернативных теориях и соответственной практичностью ППН формализма уравнения, описывающие строение нейтронных звезд и черных дыр, во многих теориях настолько сложны и так сильно меняются от теории к теории, что их систематическое изучение было просто невозможным.

Теоретическая возможность существования нейтронных звезд впервые возникла в рамках ОТО в 30-е годы [10]. Они представляют собой сверхплотные звезды, в которых гравитационные силы достаточно велики для того, чтобы вдавить электроны атомных оболочек в ядро. При этом электроны объединяются с протонами, образуя нейтроны, плотность материи превышает ядер ную (3* 1014 г/см3) и нейтроны становятся вырожденными квантово-механически. Для типичной модели нейтронной звезды характерны масса порядка солнечной и радиус около 10 км.

Однако до открытия пульсаров и последующей их интерпретации как нейтронных звезд последние оставались всего лишь теоретической возможностью. Открытие пульсаров в 1967 г. стимулировало более тщательные и подробные расчеты модели нейтронных звезд в рамках ОТО, причем особое внимание обращалось на массу, момент инерции и внутреннюю структуру этих объектов. Эти характеристики весьма важны для понимания как стационарных изменений, так и разрывных скачков (сбоев) наблюдаемых периодов следования импульсов от пульсаров. Принципиально неизвестным в таких расчетах является уравнение состояния материи при плотностях выше ядерной (см. обзор [17].

Теория черных дыр в некотором смысле имеет более древнюю историю, начинающуюся в 1798 г., когда Лаплас предположил, что такие объекты могут существовать в ньютоновской теории тяготения (см. [129, приложение А]). Ключевыми событиями в истории черных дыр в рамках ОТО являются открытие метрики Шварцшильда [276] и анализ гравитационного коллапса через шварцшильдовский горизонт [217]. Однако плоть и кровь теоретическая физика черных дыр обрела лишь с открытием в 1963 г. метрики Керра [147], которая, как теперь стало известно, является единственным решением для стационарной вакуумной вращающейся черной дыры (шварцшильдовская метрика соответствует частному случаю отсутствия вращения). Открытие в 1971 г. с помощью телескопов спутника «Ухуру» быстрых изменений рентгеновского излучения источника Лебедь Х-1 вывело черные дыры из числа чисто теоретических объектов. Согласно наблюдениям этот рентгеновский источник принадлежит к двойной системе, одним из компонентов которой является звезда HDE 226868. Анализ природы этой звезды и ее орбиты вокруг рентгеновского источника совместно с подробным исследованием самого рентгеновского излучения позволили заключить, 214

что невидимое тело представляет собой компактный объект (белый карлик, нейтронную звезду или черную дыру) с массой, превосходящей 9 солнечных [12]. Поскольку считается, что максимальные массы белых карликов и нейтронных звезд составляют примерно 1,4 и 4 солнечные массы соответственно, простейшим заключением является признание этого объекта черной дырой. Источником рентгеновского излучения является внутренняя горячая область аккреционного диска, образованного вокруг черной дыры материей, истекающей из ее компаньона. С тех пор были обнаружены и другие кандидаты в черные дыры в рентгеновских двойных системах. Исследования центральных областей некоторых галактик и звездных скоплений обнаружили возможное присутствие там сверхмассивных черных дыр (обзор см. в [35]). Однако критическим звеном в цепи аргументов, приводящих к идентификации рентгеновского источника Лебедь Х-1 в качестве черной дыры, является тот факт, что максимальная масса нейтронной звезды не может превышать 4 солнечные массы.

При установлении этого предела имеется три возможные неопределенности (максимальная масса белых карликов установлена гораздо более определенно). Первая связана с уравнением состояния материи. Оказалось возможным, однако, получить предельную массу в 3—5 солнечных, используя рассуждения, не зависящие от деталей уравнения состояния для сверхвысоких плотностей [122]. Вторая связана с вращением. Однако большинство анализов показывает, что вращение может увеличить предельную массу не более чем на 20%. Третья неопределенность связана с теорией тяготения. Несмотря на то, что постньютоновские пределы альтернативных теорий тяготения могут быть близки к постньютоновским пределам ОТО, предсказания ОТО и альтернативных теорий в сильно нелинейных режимах больших полей для структур типа нейтронных звезд могут заметно отличаться. В самом деле, некоторые теории вообще предсказывают отсутствие максимальной массы для нейтронной звезды. Этот результат в рамках альтернативных теорий используется многими исследователями скорее как призыв к осторожности при интерпретации черных дыр, нежели как основа для сравнения конкурирующих теорий, поскольку критическая зависимость от максимальной массы возникла лишь в последнее время. Как мы увидим в дальнейшем, некоторые альтернативные теории вообще не предсказывают существования черных дыр.

Открытие двойного пульсара (см. гл. 12) сделало исследование строения и движения нейтронных звезд мощным инструментом проверки теорий тяготения. Точные измерения орбиты такой системы впервые позволили непосредственно измерить массу нейтронной звезды и исследовать релятивистские орбитальные эффекты (например, смещение периастра) в системах, содержащих объекты высокой плотности. В альтернативных теориях тяготения нелинейные гравитационные поправки, связанные с нейтронной звездой, могут существенно изменить многие релятивистские эффекты, даже если в постньютоновском пределе эти эффекты не отличаются от эффектов ОТО. Таким образом, становятся возможными критические тесты конкурирующих теорий. Такие тесты обсуждаются в гл. 12. В § 11.1 рассмотрены уравнения строения нейт-

ронной звезды, в § 11.2 — уравнения строения черных дыр в альтер* нативных теориях тяготения. В § 11.3 изложена систематика для рассмотрения движения сверхплотных объектов, например нейтронных звезд, в конкурирующих теориях. Как уже упоминалось, эти вопросы довольно мало изучены, так что мы просто рассмотрим несколько подходящих примеров.

ИЛ. СТРОЕНИЕ НЕЙТРОННЫХ ЗВЕЗД

В уравнения, определяющие строение ССС звезды, состоящей из материи при нулевой температуре (приближение 7 = 0 вполне адекватно для материи нейтронной звезды), входят уравнения гидростатического равновесия

dp/dr = pdU/dr,(11.1)

уравнения состояния

Р = Р(Р)，(1L2)

и уравнения поля

(dldf)(^dUldf) = — 4冗吗，(11.3)

где р (г) — давление; р (г) — плотность; U (г) — ньютоновский потенциал тяготения.

В любой метрической теории тяготения не составляет труда записать уравнения (11.1) и (11.2), так как они следуют из ЭПЭ (см. гл.2), который утверждает, что в локальной свободно падающей системе отсчета законы негравитационной физики суть законы СТО: 7广；=0; р = р(р). Итак, в любом базисе мы имеем Т^ = 0; р = р (р), причем для идеальной жидкости Т^ = (р + р) 〃к иУ + pgK”，где в р включена внутренняя энергия рП [ср. с (3.71)].

Полезно переписать эти уравнения в виде, аналогичном виду (11.1) и (11.2). Для ССС пространства-времени существует система координат, в которой метрика принимает вид

ds2 = —е2б⑺ df2—2W (г) drdt + е2A⑺ dr2 +

+ e2KS 产(d02 + sin2 ed(p2)・(11.4)

Для теорий тяготения с привилегированной системой отсчета эта система координат должна покоиться относительно привилегированной системы отсчета. Однако все еще существует свобода выбора координаты t с помощью преобразования

t^f-f(r\(11.5)

где / (г) выбирается так, чтобы уничтожить недиагональные члены метрики, а именно

f(f) = ^ 屮 «)е-2Ф“)”・(11.6)

Имеется также свобода изменения координаты г согласно выражению

Fg(C・(П.7)

Если радиальная координата выбрана так, что 卩(г) = 0, такие координаты называются координатами кривизны [185], в них 2л/ — собственная длина окружности постоянного радиуса г. В ОТО эти координаты известны как координаты Шварцшильда. Если радиальная координата выбирается так, что 卩(г) = А (г), координаты называются изотропными.

Однако в двухтензорных теориях тяготения, таких как теории с плоской фоновой метрикой ц, эти преобразования обычно лучше выполнять после получения решения уравнений поля. Причина этого в том, что приведенные выше преобразования делают второй тензор весьма сложной недиагональной функцией г, что может привести к большим усложнениям уравнений поля, чем усложнения, которые возникнут, если начать прямо с использования общей недиагональной физической метрики (11.4). Например, если второе тензорное поле есть т|, уравнения поля имеют наипростейший вид в тех координатах, в которых

П = diag (—1, 1, г2,产 sin2 0).(11.8)

В такой системе координат априори нет свободы изменения Ф, Л, Т и 卩.

Теперь в случае гидростатического равновесия уравнения движения Т；； = 0 можно переписать в виде

Рч = 一(Р + Р)〃"””，(Н.9)

где / пробегает значения г, 0, (р・ В сферически-симметричном случае только компонента / = г является нетривиальной, и, используя тот факт, что 4-вектор а = (ef(? О, 0, 0), получаем

dp/dr = — (р + р) dO /dr; р = р (р).(11.10)

Заметим, что в ньютоновском пределе р《 р；①^ — (/, и мы получаем уравнения (11.1) и (11.2). Уравнение (11.10) справедливо вне зависимости от теории гравитации, уравнения поля для Ф, Л, 1 и 卩 зависят от теории.

При построении звездной модели необходимо ввести граничные условия в виде

dp/dr lr^o=O; p(R) = 0;

(Н.П)(Н.П)е2Ф(г)-> с0_ 2с0 q m/r; W(r)-> 0;

(Н.П)

(Н.П)

Г->ООГ-ХХ>

e2A(r)f q； e2Ks f q,f-*OOГТ 8

где R — радиус звезды. Первое из этих условий есть условие непрерывности для материи, второе — условие на границе (поверхности) звезды, определяющее ее радиус. Остальные четыре условия — асимптотические граничные условия для метрических функций [см. (5.6)].

217

Они гарантируют, что в асимптотически лоренцевых координатах и геометризованных единицах (GHB = 1)

goo f — 1 + 2m/r; gijf 刀订，(11.12)

и, следовательно, измеренная с помощью законов Кеплера масса звезды равна т.

К сожалению, на этом кончаются общие черты релятивистских уравнений, описывающих строение звезд, так что мы вынуждены обратиться к конкретным теориям.

Общая теория относительности. В координатах кривизны (W(r)三 =[х (г) = 0) уравнение поля (5.14) принимает вид

d [г (1 — е-2Л)]/ dr = 8 冗产р(11.13)

и имеет решение

е2Л = (1 — 2m (r)/r)-* где

m (г)三 4冗 J 产pd厶 или dm/dr = 4n产p.

Тогда

d①/dr =(加 + 4nr3p)/r (r — 2m),

(11.14)

(11.15)

(11.16)

и, используя уравнения (11.10), (11.14), (11.15) с граничными условиями (11.11) (при % 曰彳三 1), можно рассчитать модель нейтронной звезды, если дано уравнение состояния. Эти уравнения носят название уравнений Толмана — Оппенгеймера — Волкоффа для гидростатического равновесия. На них основывается изучение релятивистской звездной структуры в рамках ОТО (см. обзор в [9,17, 122]).

Скалярно-тензорные теории. Используя координаты кривизны при 4r (г)曰卩(г) = 0) и положив

е2Л = (1 — 2m (r)/r)-* (11・17) можно представить уравнения поля для скалярно-тензорных теорий (5.31) и (5.33) в виде

(11.18)(11.18)

(11.18)

(11.18)

屮,"+ 屮，6一а,r + ①，尸 -i^7 XГ8лг (р—Зр)

х I Г—2加十

(11.20)(11.20)(11.21)(11.21)(11.22)(11.22)

(11.20)

(11.20)

(11.21)

(11.21)

(11.22)

(11.22)

(Заметим, что эти уравнения приведены в [244] с ошибкой.) Значение G в настоящее время связано с асимптотическим значением ср [см. (5.38)] выражением

Ghb =〔4 + 2(о (фо)1/фо【3 + 2со (ср。)曰 1.(11.19)

Для конкретных случаев теорий Бранса — Дике (постоянное со) и переменных масс [со (ср) удовлетворяет (5.40)] показано, что для значений со, согласующихся с результатами экспериментов в солнечной системе (для со > 500), все свойства структуры нейтронных звезд отличаются от соответствующих свойств, предсказываемых ОТО, только лишь относительными поправками О (1/со) [21, 137, 268].

Биметрическая теория Розена. В координатах, в которых плоская фоновая метрика имеет вид

Ч = diag (—е-J, сТ, с~1 г2, сТ 产 sin20),

уравнения поля принимают вид

Vs ① + В а е-2Ф- гл J VY—г^Ф |2 ++ е- 26-21* 屮2 г-2 = 4冗G (% q)"2 еФ+л+2ц хх£Н/2(р + Зр)；

2 А + } р-1е-2Ф-2Л IVW—2WVAI2 ++ Г"2(е2|А — 2А_е2А-2|4)=—4jlG (^0^1)1/2 XX еб+А+2и£)1/2 [р_р + 2(р + р)х

X 4r2е—2е—2А]；

2 мН — [-2 е2 A — 2|*L f—2 0-1 g2|i —2Л =

22

=—4nG (% q)i/2 e®+A+2K »/2 ⑺一卩)；

2 4r—24r屮 ① _ 屮一“ V¥ I2 + IM Y-1 XX (VW—2WVA)(VW—2WV①)一

D-1 цге-2Ф-2л [w — 24rV(D]2_24rL2 x

X De2A-2』°,

где

D^\+^^^-^\ Vme，(d/dr);\72 = r-2 (d/“)r2(d/〃)・

Здесь мы имеем пример потери свободы априорного изменения метрических функций 4fHiх. Следовательно, например, подстановка W = 0, * = 0 (шварцшильдовская форма метрики) не приводит к решению уравнений для общего распределения материи. Однако метрическая функция 中 в одиночку может быть свободно конкретизирована по

219

следующей причине. Если вместо т) (11.20) выберем эквивалентную плоскую метрику с линейным элементом

曲蒜=—с^1 [dt + f(r) 〃]2 + с^1 [dr2 + 产(曲 2 + sin2 0d(p2)],

где f (r) — произвольная функция г, а затем изменим координаты так, чтобы представить эту метрику в виде (11.20), результатом будет изменение функций W в 纟卩旷 на произвольную величину. Тогда, например, можно выбрать Y = 0. Это согласуется с тем, что Т = 0 является решением четвертого уравнения поля (11.21). Свободный выбор Y является следствием абсолютного априорно-геометрического характера “ и представляет собой возможность совместить вершины световых конусов для " и для^. Выбор различных 4r приводит к физически различным пространствам-временам (этот факт обычно упускается из виду большинством исследователей).

Простой выбор 中曰 0 приводит к уравнениям поля

V2 Ф = 4л G (с0 сО1/2 еф+ЗА (р + Зр);1⑴ 23)

V2 A = —4jiG (& q)"2 е®+зА(р_р)；卩=a. j *

Примем 屮三 0・ Граничные условия определяются выражениями

Ф (г -> оо) -> 0; Л (г -> оо) -> 0.(11.24)

Заметим, что согласование 4-тензоров " и gc внешним миром влияет на строение нейтронной звезды (нарушение ССПЭ) черех эффективную постоянную тяготения G (CqCi)】/2. Переведем теперь уравнения поля в форму

(11.25)(11.26)(11.27)(11.25)(11.26)(11.27)d①/dr = С0^Ф (г)/产；dA/dr = —Сотд (r)/r2, где в геометризованных единицах Go 三(Vi)1/2G = 1 и

(11.25)

(11.26)

(11.27)

(11.25)

(11.26)

(11.27)

/Иф (г)三 4л [ еф+зА (р + 3р)产此

г

/Па (г)三 4л J еф+ЗЛ (р—р) г2 dr.о

Вне звезды, при г > R, имеем Ф = —Мф/г; Л = M/Jr、где Мф = =Шф (/?); Мл = (^)- В квазидекартовых координатах линейный элемент метрики внешней области имеет вид

由2 = —exp (—2Ме〃)力2 + exp (2Ma〃)@炉 + dy2 + dz?). (11.28)

Для численного интегрирования (11.25) и уравнений гидростатического равновесия (11.10) использовались различные уравнения состояния [53, 263, 367]. Вообще говоря, возможны нейтронные звезды, массы которых, измеренные с помощью законов Кеплера, значительно превышают массы, допускаемые ОТО, причем максимальные массы варьируются от примерно 8 солнечных масс для мягких уравнений состояния до примерно 80 солнечных масс для уравнений состояния вида р = р — р0 для р > Ро ~ 1014 г/см3.

Стратифицированная теория Ни. В координатах, в которых

П = diag (—1, 1, г2,产 sin2 0),(11.29)

имеем (см. § 5.6)

е2ф = А (ф)； е2A = е?к = % (叫/П 30)

Уравнение поля для Кг имеет вид

屮兄-r^Kr = -4пе 伉//Q)i/2驳歩，(11.31)

где £)三 1 + К； GJJ-*. Первым очевидным решением этого уравнения является Кг м 6 (отсутствие совмещения вершин световых конусов). Тогда уравнение поля для ф имеет вид

V2(p = 2л 仇另У" [р 俨俏)一 Зр (/泌)】，(П.32)

где штрих означает производную по ф. Граничные условия для ф имеют вид:(р-> 0 при г-> оо. Вне звезды ф дается выражением

<р(г)= —М〃(11.33)

где

Л^ф^2яj (/"犷/2 [р 伉 /&—з〃 伉偽)1 产 dr. (11.34) о

Предполагается, что асимптотика функций /工 и /2 имеет вид fi (Ф) = & — 2с(р + О (ср2); /2 (ср) = q + О (ср).(11.35)

В координатах, в которых g^ асимптотически стремится к метрике Минковского, имеем

Яоо = -1 + 2СоМф/г,(11.36)

где Go =卅]/2%3/2 = 1 (геометризованные единицы измерения) и 市1"(三附怨广户0给)修.(11.37) Миккельсон [181] численно проинтегрировал эти уравнения, использовав разумные уравнения состояния и предварительно задав выражения для /工(ср) и /2 (ф), чтобы получить согласие с ОТО в постньютоновском пределе, в виде

/т (ср) = (1 + 2(р + 2(р2尸；

(11.38) f2 (Ф) = (1 + 2(р)/ (Г-(р2/а2),

где а — варьируемый параметр (заметим, что 备 三 q 三 с n 1). Для а = 1 максимальная кеплеровская масса составляет примерно 1,4/и®, для а = 64 она равна примерно 840 /и®, в пределе при а-> оо макси* мальная масса неограниченно растет. Чем более жесткое уравнение состояния используется, тем больше получается максимальная масса.

221

Итак, модель нейтронной звезды в альтернативных теориях гравитации может существенно отличаться от модели в ОТО с единственным исключением в виде скалярно-тензорных теорий. В частности, максимальная масса нейтронной звезды может на несколько порядков превосходить максимальную массу в ОТО.

СТРОЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ЧЕРНЫХ ДЫР

Существование черных, дыр предсказывается ОТО. Они являются конечным результатом катастрофического гравитационного коллапса, при котором коллапсирующая материя переходит через горизонт событий — поверхность, радиус которой зависит от массы материи, упавшей через нее, и которая является однонаправленной мембраной для временноподобных и нулевых мировых линий. Такие мировые линии могут пересекать горизонт событий при движении по ним внутрь сферы, но не наружу. Внутренняя часть черной дыры причинно не связана с внешним пространством-временем. Имеются достаточно убедительные свидетельства того, что любой гравитационный коллапс, сферически симметричный или нет, с нулевым общим зарядом и нулевым общим моментом импульса заканчивается черной дырой, метрика ко・ торой (через значительный промежуток времени, когда черная дыра становится стационарной) является шварцшильдовской, описываемой в шварцшильдовских координатах выражением для линейного элемента в виде

ds2 = —(1 — 2М/г)山2 + (1 — 2M/r)-i”2 + 产(加2 + sin2 0加2)・

(11.39

(Если коллапсирующее тело имеет суммарное вращение, черная дыра описывается керровской метрикой.) К настоящему времени теоретически свойства черных дыр в рамках ОТО довольно подробно разработаны и имеются весьма вероятные кандидаты в черные дыры — рентгеновский источник Лебедь Х-1 и др. (см. обзор в [113, 130]).

Однако черные дыры не являются автоматическим побочным продуктом искривления пространства-времени. Точнее говоря, искривленное пространство-время необходимо для существования горизонта событий, осуществляющего одностороннее пропускание физических взаимодействий, однако вопрос о том, возникнет он или нет, существенно зависит от уравнений поля, определяющих кривизну пространства-времени. Ограничим наше рассмотрение невращающимися сферически симметричными системами.

Скалярно-тензорные теории. Как можно было ожидать, скалярнотензорные теории, представляющие собой наименьшее отклонение от ОТО, предсказывают существование черных дыр. Неожиданным, однако, является то, что они предсказывают черные дыры, геометрия которых идентична шварцшильдовской геометрии. Причина этого в том, что скалярное поле 屮 является везде вне горизонта событий постоянным и равным асимптотическому космологическому значению ф0. Следовательно, уравнение поля в вакууме (5.31) для такой метрики есть эйнштейновское уравнение поля для вакуума, а решение его яв-

ляется шварцшильдовским. Скалярное поле влияет только на постоянную тяготения. (Этот результат остается справедливым также для заряженных и вращающихся черных дыр.)

В теории Бранса—Дике, например, наиболее прямой способ демонстрации этого состоит в использовании вакуумных уравнений поля □ gC = 0 для •& = ф —(р0 и в интегрировании величины ^Ug^ вне горизонта событий между двумя пространственноподобными гиперповерхностями, соответствующими различным значениям координатного времени. После интегрирования по частям получаем

J о, а 小 а ( —g)l/2 小 ％ — -LJ(^2). а d Ха = 0.(11.40)

Поверхностные интегралы по пространственноподобным гиперповерхностям сокращаются, так как ситуация является стационарной; интеграл по гиперповерхности на бесконечности исчезает, поскольку асимптотически 令 ~ 1/г; поверхностный интеграл по горизонту событий также исчезает, потому что dWa параллельно генераторам горизонта и, следовательно, расположено в направлении, генерируемрм симметричным преобразованием черной дыры (киллинговском направлении), в то время как (哨，06 ортогонально этому направлению, так как производные С вдоль направлений симметрии должны исчезать. Следовательно,

J ^^а (-gY/2d^x = 0.(11.41)

Однако 3,а является пространственноподобным, поскольку С стационарно, так что повсюду ^0, и из уравнения (11.41), следует, что 也а = 0. Дальнейшие подробности и обсуждение см. в [18, 21, 128, 315]. Биметрическая теория Розена. Для случая Y = 0 ССС уравнения поля в вакууме [см. (11.23)] определяются выражениями

卩曰 A; V2O = V2A = 0(11.42)

с решениями вида

Ф = —Мф";卩=А = Мд/г;(11.43)

d$ = —exp (—2M<i>/r)df2 + exp (2Л4д/г) (d^ + ^У2 + dz?)・ (11.44) В таком пространстве-времени нет горизонта событий, есть лишь одна голая сингулярность при г = 0. Таким образом, по крайней мере в рамках подмножества вакуумных пространств-времен, характеризуемых условием Y = 0, в теории Розена черных дыр нет.

ДВИЖЕНИЕ КОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ: МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФОРМАЛИЗМ ЭЙНШТЕЙНА — ИНФЕЛЬДА — ХОФМАНА

В гл. 6 выведены уравнения движения п массивных гравитирующих тел в рамках ППН формализма [см. (6.31)—(6.34)]. Ключевым в проведенном анализе было предположение, что приближение теории, справедливое для слабых полей и медленных движений, приложимо везде — как внутри тел, так и в пространстве между ними. Это предположение ограничивает использование полученных уравнений системами типа солнечной.

Однако, исследуя системы типа двойных пульсаров, в которых имеются нейтронные звезды с ультрарелятивистским внутренним строением, можно применять это ППН приближение не повсюду, а лишь только, вероятно, в пространстве между релятивистскими объектами. Вместо этого надо использовать метод вывода уравнений движения для компактных объектов, который в рамках конкретной теории тяготения состоит в решении полных релятивистских уравнений для областей внутри и вблизи каждого тела, постньютоновских уравнений для пространства между телами и согласовании этих двух решений в промежуточной области, окружающей каждое тело. Это согласование предположительно должно привести к ограничению движения тел (характеризуемых подходящим образом определенными центрами масс); эти ограничения станут ясны после решения уравнений движения. Такая процедура представляет собой обобщение подхода Эйнштейна—— Инфельда—Хофмана (ЭИХ) [99].

Зададим сначала вопрос: что можно ожидать от такого подхода в ОТО? В полном постньютоновском пределе, как мы определили, движение постньютоновских тел не зависит от их внутреннего строения, т. е. эффект Нордтведта отсутствует. Каждое тело в пространстве между телами движется по геодезическим постньютоновской метрики, генерируемой другими телами, с соответствующим учетом постньютоновских членов, обусловленных собственным гравитационным полем тела в пространстве между телами. Подход ЭИХ дает именно такой результат. Оказывается, однако, что этот результат справедлив даже и тогда, когда тела являются чрезвычайно компактными (нейтронные звезды или черные дыры). Единственным ограничением является требование, чтобы они были квазистатическими, почти сферическими и достаточно малыми по сравнению с расстояниями между ними, с тем чтобы можно было пренебречь приливными взаимодействиями. Влиянием вращения (эффект Лензе—Тирринга) также пренебрегаем. Это будет плохим приближением для нейтронной звезды, «скручивающейся» в черную дыру, но достаточно хорошим для двойного пульсара, у которого отношение радиусов объектов и орбиты порядка 10-6.

Хотя этот вывод не был строго доказан, веские аргументы в пользу его правдоподобности можно получить, рассматривая в подробностях упомянутую выше процедуру согласования. Для начала заметим, что решение, описывающее релятивистскую структуру и гравитационное поле каждого тела, не зависит от гравитационного поля между телами, так как мы всегда можем выбрать для каждого тела систему координат, которая свободно падает, в области согласования приблизительно переходит в систему координат Минковского и в которой данное тело покоится. Следовательно, внешние поля не могут повлиять на тело или его поле, если только мы можем пренебречь приливными эффектами, обусловленными неоднородностями поля в пространстве между телами внутри области согласования. Влиянию внешних полей подвергается только скорость и ускорение тела.

Итак, если тело является ССС с достаточной степенью точности, его внешнее гравитационное поле характеризуется только кеплеровской массой m и не зависит от его внутренней структуры. Тогда про- 224

цедура согласования, описанная выше, должна давать один и тот же результат вне зависимости от того, является ли тело черной дарой с массой m или постньютоновским телом с такой же массой. В последнем случае результатом будут уравнения движения ЭИХ (см. § 6.2), и это должно быть справедливо в любом случае.

Можно показать это несколько иным способом, заметив, что, поскольку локальное поле тела в свободно падающей системе отсчета является сферически-симметричным, зависит только от постоянной массы m и не зависит от внешней геометрии пространства-времени, ускорение тела в такой системе отсчета должно отсутствовать, так что его траектория должна быть геодезической некоторой метрики. Метрика, которую мы будем использовать, является постньютоновской метрикой в пространстве между телами и включает постньютоновские члены, обусловленные самим телом, но не включает собственные поля. Этот вывод был подтвержден для невращающихся черных дыр [691 и ньютоновского ускорения пост-постньютоновских тел [267]. Подробно процедура согласования, описанная выше, рассмотрена в [69].

Ключевым элементом изложенного рассмотрения является справедливость ССПЭ в рамках ОТО (см. гл. 3), который гарантирует независимость строения каждого тела от его гравитационного окружения. Напротив, большинство альтернативных теорий тяготения содержит добавочные гравитационные поля, которые в области согласования могут влиять на строение каждого тела и, следовательно, его движение. Для примера рассмотрим теорию с добавочным скалярным полем (скалярно-тензорную теорию). В локальной свободно падающей системе координат, несмотря на то что метрика в пространстве между телами является метрикой Минковского с точностью до приливных членов, скалярное поле имеет значение 屮。(f)・ В решении, описывающем строение тела, масса зависит от этого граничного значения: m = m (q)0)- Следовательно, асимптотическая метрика тела в области согласования может зависеть от его внутреннего строения через зависимость m ((р0) (по сути дела, условия согласования будут зависеть от m, dtnldq ...). Далее, ускорение тела в свободно падающей системе отсчета уже не должно быть равным нулю, как мы видели в § 2.5 и 3.3. Если энергия тела меняется в результате изменения внешнего параметра, то с помощью мысленного циклического эксперимента и предполагая только сохранение энергии, находим [см. (3.80)], что

а — агео ~ VEb (X, V) - (дт/д(р) V(p, (11.45)

где агео описывает движение по геодезической. Таким образом, тело не обязано следовать геодезическим какой-либо метрики, скорее его движение может сильно зависеть от его внутреннего строения.

На практике процедура согласования, описанная выше, является крайне затруднительной [б9]・ Более простой метод получения уравнений движения ЭИХ в рамках ОТО состоит в рассмотрении каждого тела как точечной инертной массы та и решении уравнений Эйнштейна с использованием лагранжиана для точечных масс или тензора энергии-импульса и уделением должного внимания пренебрегаемым 8 Зак. 664 225

бесконечным малым собственным полям. Для гравитационного действия в рамках ОТО можно записать

Лш)= (16nG)一 JR (—g)"2 婧 ％_ £ mjd% (11.46)

где та — собственное время вдоль траектории тела а. Решая уравнения поля в постньютоновском порядке, можно непосредственно из материального действия получить ЭИХ лагранжиан п тел в виде

/змх = J L(X],…，Xn, Vj, ..., vjdf, (11.47) записанный исключительно через переменные ха, va, характеризующие тела. В результате получаем уравнение (6.80) с ППН параметрами, соответствующими ОТО. Тогда уравнения движения ЭИХ для п тел принимают вид

d dL dL сdt加£ 眦

где a = 1, 2, ..., n.

Отличие альтернативных теорий тяготения от ОТО заключается в возможной зависимости массы от граничных значений добавочных полей. В квазиньютоновском пределе (§ 2.5 и 3.3) этого достаточно» чтобы получить полное квази ньютоновское ускорение составного тела» включая поправки (эффект Нордтведта), обусловленные их внутренней структурой. Итак, следуя предложению Ирдли [881, просто заменим постоянную инертную массу та в материальном действии переменной инертной массой ma 仲力)，где 屮从—значения внешних добавочных полей, вычисленные в центре тела (их изменением внутри области согласования пренебрегаем), исключив бесконечно малые вклады собственных полей. Функциональная зависимость та от переменной ^а обусловлена природой и строением тела. Следовательно, можно записать

(11.49)(11.49)/ = h—^ma{^A [Xa &)]} d%・

(11.49)

(11.49)

При варьировании действия по полям g同丫 ^屮力 необходимо учитывать также вариации та. В постньютоновском пределе, когда поля 屮力 разлагаются в ряд в окрестности 屮夕)仲а =屮曾)+ 6《>i), обычно достаточным является разложение та 仲а) в виде

nt。(W) = та (1|)<о)) + 2 (дта/д^) 6s +А

+十E俨 乙硒里d噌)6山6^ +… (11.50)

Следовательно, окончательный вид метрики и лагранжиана для системы 九 тел будет зависеть от та, параметров dma/d^V и т. д. При описании этих параметров будем использовать термин «чувствительность»,

поскольку они измеряют чувствительность инертной массы к изменению полей 屮小 Итак, для чувствительности первого и второго порядка запйшем соответственно

(11.51)(11.51)S^=—d （In mJ/外累；

(11.51)

(11.51)

Sf в）三一 d2（inm/川中屮）d屮&

и т. д. В окончательном результате получим модифицированный формализм ЭИХ.

По аналогии с ППН формализмом в общем виде ЭИХ формализм можно сконструировать с помощью произвольных параметров, значения которых зависят от рассматриваемой теории и в данном случае от природы тел в системе. Однако для упрощения окончательно получающегося формализма следует ввести некоторые ограничения.

Во-первых, ограничимся полностью консервативными теориями тяготения, т. е. практически теориями, ЭИХ лагранжиан которых инвариантен в постгалилеевском пределе. Каждая лагранжева метрическая теория тяготения содержит ЭИХ лагранжиан (так что все теории, рассмотренные в гл. 5, попадают в эту категорию), однако не каждая теория является полностью консервативной. Только ОТО и скаляр но-тензорные теории автоматически являются полностью консервативными. Другие теории могут быть полностью консервативными, по крайней мере, в постньютоновском пределе, только при специальном выборе варьируемых параметров и коэффициентов космологической связи, что приводит к равенству нулю ППН параметров ах и а2 (в биметрической теории Розена например, при % = q)・ Неизвестно, достаточно ли этого выбора параметров, чтобы гарантировать постгалилеевскую инвариантность ЭИХ лагранжиана. Однако экспериментальный верхний предел ППН параметров (см. гл. 8), полученный при поисках постньютоновских эффектов привилегированной системы отсчета, делает маловероятным проявление аналогичных эффектов в ЭИХ формализме. Таким образом, можно считать ЭИХ формализм полностью консервативным.

Ограничимся также теориями тяготения, не имеющими параметра Уайтхеда в постньютоновском пределе 隽=0). Экспериментальные ограничения g (см. гл. 8), полученные при поисках обусловленных галактикой эффектов в солнечной системе, с большой степенью вероятности делают аналогичные эффекты в ЭИХ формализме малоинтересными.

Каждое тело характеризуется инертной массой тл — величиной, по определению входящей в законы сохранения энергии и импульса, основанные на ЭИХ лагранжиане. Тогда для метрики, справедливой в пространстве между телами и вдали от материи, можно записать

g(W= —1+2£W /Па|х—Ха|Т+0(4)； а

(11.52)(11.52)goj =。(3);

(11.52)

(11.52)

8*8*gu = (l+ 2/у：色 |х—х^т) “，

8*

8*

227

где а2 и уа — функции параметров теории и строения a-го тела. Для геодезических, по которым движутся пробные тела в такой метрике, величины о^та и 工也乙 суть кеплеровские активные гравитационные

массы отдельных тел и системы в целом. В ОТО а：三 у^ = 1.

Для получения ЭИХ лагранжиана сначала естественным образом обобщим постньютоновский полуконсервативный лагранжиан (6.80), получив

% = _?；矶1 _十闻)^-T 蜀2)m W * X a—b

义[纥b + 3®ab Va — V ®abc ^ab va vb —

^ab (va nab)(vb nab)j »(11.53) где % = Хаь/%ь・ Величины ",鳳2),纥力觎力 ％с，bab И %, которые являются функциями параметров теории и строения каждого тела, удовлетворяют условиям

^аЪ =乡(砧)；价ab =険(ab)；跣ib =淡(ab) ； ^ab =廿(at) ； ®abc = 2)a (be) •(11.54)

В ОТО все эти параметры равны единице. В истинном постньютоновском пределе полу консервативных теорий (при g = 0) для бесструктурных (негравитирующих) масс эти параметры имеют следующие значения [ср. с (6.80)]:

4p= 4产=及Ь=1；総ab = }(2y + l); S)abc = ^-l^ab =

=~ (4丫+ 3 +(Xi—a?)； ^аь~ 1 + a2*(11.55)

В полностью консервативном случае с учетом вклада гравитационной энергии связи тел в постньютоновском порядке можно показать, что

4* =4产=1；吼ь= 1 +(4P-7-3)(QaM + Qb/^)；

% =*(2?+1)；%,=20 -1;% =十(4什3);%=1,

где Qa — собственная гравитационная энергия a-го тела.

Введем теперь в лагранжиан (11.53) постгалилеевскую инвариантность. Выполним лоренцево преобразование при низких скоростях от координат 力 х к координатам т, g:

x = g+(l+ ^-逆)wt + 春(,w) w+ g x 0(4);

f = t(l+ 春0 + »|_叫 + (1+ ~-tti2^gw + TO(5).(1L57)

Потребуем, чтобы лагранжиан L был инвариантен с точностью до дивергенций, т. е.

L^9t) = L (х, t)dt/d% + d^/dx(11.58)

для некоторой функции гр. Из преобразования (11.57) имеем

V=v+W——Y W2 V — V(VW)Y w (vw); * =

=惠屮+ 4"(wG/ +(w^)唸亦 (11・59) где v =词dt;記匕=§ab/gab. Подставляя эти результаты в уравнения (11.53) и (11.58) и опуская константы и полные производные по времени, получаем

L(g，T)= 一扌加+一4■闻y一十4伊% +

+ 十(第)一"?)) [у 畸"+ 喏 ％ W + & w)*p++ y2 覺貰 Rab+ 3 鋭Ь 時一2 ®abc 含一

711

^~院b "a 無 ^為b (% 吗b) ("b nab) H- "^ (纥b 一為b) X

X [(病就+ 2(%*)(w応J +4■(筑b+6毋аь—7映b)®2+2%w)}・

(11.60)

Следовательно, действие будет инвариантно, если и только если

4p三必2)；為Ь三纥Ь；7&Ь三纥b + 6然b.}(11.61)

Далее, размерность лагранжиана L и постоянного члена 工加а не a играет существенной роли, так что можно всегда выбрать размерность массы та так, чтобы 力屮 =1, и в соответствии с перенормированным та положить константу равной ^та. Это гарантирует, что инертная a

масса, определяемая гамильтонианом, сконструированным на основе L, будет согласована с массой, определяемой уравнениями движения. Следовательно, в окончательном виде ЭИХ лагранжиан примет вид

一龜+ 3%^一е 駆,(乳什6%)X

8 В Зак. 6618 В Зак. 661X Va Vb~^ Sab (Va4b)(Vb^ab)] •(11 ・62)

8 В Зак. 661

8 В Зак. 661

229

Поскольку конечной целью является приложение этого формализма к двойным системам, содержащим компактные объекты, таким как двойной пульсар, ограничим наше внимание системами двух тел. Положив g 三 У】？ н 険三 Si2，получим из L уравнения движения двух тел [ср. с (7.34)]

a1=-^[^一 (3 0的+现J子一伊+ 3脳 +编1)十一

—^-侈一3総)u: + 十(9 + 3例)(u£-Zv1vJ一(U 63)

一告 g 伪俞]+*(V2-V0 [侈+3 総M X-3® V2X]；

a2 —{1 Q 2, хт—x},

где a = dvjdf; x = x2 — x】；гм |x|; n s x/r; выражение для。纟 получается заменами 1 甘 2 н х f —х. Из этих уравнений легко показать, что если мы положим

(11.64)(11.64)^а s ^а + —加а 咫 一~~ 乡团。^гаЪ Для ^ ^ Ь\

(11.64)

(11.64)

X 三 Mi X] + 自 Xz)/位 1 + Шг),

то центр масс системы не будет испытывать ускорения, т. е.

tPX/d产三 0・(11.65)

Это согласуется с полностью консервативной природой ЭИХ лагранжиана и оправдывает идентификацию та как инертной массы а-го тела. Если теперь положить, что центр масс покоится в начале координат, т. е. X = X = 0, то с постньютоновской точностью можно записать

Xi = —Imjm + О ⑵]х; х2 = bnjm + О ⑵]х.(11.66)

Как и в § 7.3, положим

V s v2 - V1； a = а2 - %;加 = 加1+ /n2；卩 = m1m2/团；6/n =

=m2 —恤.(11.67)

Тогда уравнения движения для относительной орбиты примут видa м - *+ 干[(3雕+十勿2u+十%3产+

4- 29* 位晶一®R — + 丄(g一3绢)3g 比 № +

г 2г 3т

+ ^ g % (v 俞]+ 仪"J [д + 3价 _ 20 ^].(11.68)

В ньютоновском пределе орбитального движения имеем

а = —mgx/产(11,69)

с решением для кеплеровской орбиты в виде

х = р (1 +е cos ср)"1 (ех cos(р + еу sin ср); г2 d(р/d/~

(11.70)(11.70)=力三也加p)i/2； р = а (1—е2);

(11.70)

(11.70)

v = (gm/p)i/2[_% sin(р+еу (cos ф + е)];

(Рь/2л)2 = а3/^/л,

где а, р и е — большая полуось, половина фокального параметра и эксцентриситет орбиты соответственно; Л — момент импульса на единицу массы; Рь — орбитальный период. При записи этого решения за направление оси X выбрали направление периастра. Постньютоновские члены в уравнении (11.68) можно рассматривать как возмущения кеплеровской орбиты. Используя описанный в § 7.3 метод возмущений для расчета оскулирующих элементов орбиты, получаем для смещения периастра выражение

Д(о = (бл/л/р)魁-、(11.71)

где

部=乡総 +乡2 4 (恤比211 + 加2 $122)/九(1 1.72)

66

Это единственное секулярное возмущение, обусловленное постньютоновским членом в (11.68). В ППН пределе этот результат согласуется с (7.54) для полностью консервативных теорий (при Е = 0).

При выводе модифицированных уравнений движения ЭИХ предполагалось, что уравнения, вытекающие из (11.49), разрешаются относительно гравитационного поля в пространстве между телами в постньютоновском порядке. Однако из этих уравнений можно также получить и гравитационно-радиационные поля в дальней зоне, и скорость потери энергии на гравитационное излучение. Этот метод аналогичен приведенному в гл. 10, только теперь поправки на собственную гравитацию источников полей 屮(屮 могут включать и саму метрику) автоматически учитываются во всех порядках из-за наличия чувствитель- ностей s [см. (11.51)]. Единственные члены, которые необходимо удержать, чтобы определить в наинизшем порядке дипольный и квадрупольный вклады в скорость потери энергии, это [ср. с (10.104) и (10.105)]

△л ~ 4 (加/R) {(^/г)[1 + ⑹ + …][4 + С」+

+ (m")"2[⑻ + …]}⑻；

2маг ~ 4 (m/R){(m/r) "2 ⑹ + …]⑻ +'

+ (吟)"+⑹+ ...]}©,

где А, В и С описывают монопольные, дипольные и квадрупольные члены соответственно. Другие отличия от постньютоновского метода, описанного в § 10.3, состоят в использовании законов сохранения и ньютоновских уравнений движения, полученных из модифицированного ЭИХ лагранжиана. В конечном счете нас интересуют главным образом потери энергии, обусловленные дипольным гравитационным 8в* 231

излучением, так что полезно переписать дипольную часть (10.84), используя члены, более удобные в модифицированном ЭИХ формализме, а именно

)二-L 如 / f "也62)(11.74)

k dt /дип 3°、〃/''

где ⑥ связано с разностью чувствительностей двух тел системы к вариациям добавочных полей.

Для иллюстрации метода вновь рассмотрим конкретные теории тяготения: ОТО, теорию Бранса—Дике и биметрическую теорию Розена.

Общая теория относительности. Как мы уже видели, уравнения движения ЭИХ для компактных объектов в рамках ОТО идентичны соответствующим уравнениям в полном постньютоновском пределе. Другими словами,纟&ь 三 険аь 三 ®afec 三 1 вне зависимости от природы тел. Больше того, в гравитационном излучении, создаваемом орбитальным движением, доминирует квадрупольное излучение (дипольное излучение отсутствует) и скорость потери энергии точно та же, что и в чисто постньютоновском случае, когда она описывается ПМ- формулой (10.80) с 尼1 = 12; k2= 11； ^d = 0 (с теми же предостережениями относительно строгости получения результатов, как и в § Ю.З).

Теория Бранса—Дике. Модифицированный ЭИХ формализм был применен к теории Бранса—Дике в [88]. При этом использовался тот факт, что только скалярное поле 屮 оказывает влияние на строение компактного тела через граничные значения поля в области согласования. Действительно, граничное значение ср связано с локальным значением постоянной тяготения, воспринимаемой компактным телом, выражением

Ф = (4 + 2co)/G (3 + 2со).(11.75)

Следовательно, будем рассматривать инертную массу та каждого тела как функцию G или, точнее, In G. Тогда в постньютоновском приближении гравитационные поля в пространстве между телами приводят к отклонению ф от космологического (асимптотического) значения ф0 в виде Ф = Фо + ^> н можно записать

乙忆0nG)=仇)。一(侖"隐一+

+ 十(翁⑴・76)

Представим чувствительности sa и ^ инертной массы тела а к изменению локального значения G согласно (11.51) в виде

(11.77)(11.77)sa =—ld (In т^/д (In G)]o； I

(11.77)

(11.77)

Sa=—[52 (In m^/д (In G)2]0 J

Действие в теории Бранса―Дике запишем в виде

/ = (16冗)Т J [ф R —GMpTgUVcp# 屮 J (_g)l/2 d5—£ J % (у)九， °(11.79)

где интегралы берутся вдоль траекторий каждой частицы, а бесконечно малыми собственными полями пренебрегается. В результате уравнения поля получаются в виде (ср. с § 5.3)

%v — •^- ^v ₽ = бЛф-1 Т^ + (Оф-2 (фмф,у-«^-^ФаФд) +

(11.80)(11.80)+ ф"г(ф;^—^v 口g<₽)；

(11.80)

(11.80)

口g9 = W翁^ ['-2屮"川9]，

72 = ( — g) -1 /2 £ 加a @) 〃u “V "尸 §3(X — xj； °. (11.81)

"/@ф = —(―g)T/2 2 (。加a (屮)/°屮)(〃°)T 9 (x—Xa).

Уравнения движения принимают вид

(11.82)(11.82)Т^ — ф，叼77@ф = 0.

(11.82)

(11.82)

В наинизшем порядке постньютоновского разложения согласно методу гл. 5 получаем

仞Фо = (2 + (0)Т 工 /Па (1 — 2sJ/%；

(11.83)(11.83)g(W= — 1 +2 Е (加а"а)[1—S"(2+(D)]+。⑷;

(11.83)

(11.83)

gij = S/J p + 2? 2 ^alr^ [ 1 + Sa/(1 +(o)]j ,

где ra = |x — xa|; у = (1 + co)/ (2 + co). Здесь выбраны единицы измерения, в которых Ge 1. Активную гравитационную массу, измеренную как массу пробного тела на кеплеровской орбите вдали от каждого тела системы, представим в виде

(11.84)233(11.84)233(加4)а =吟И。=加。[1 — S" (2 + CO)].

(11.84)

233

(11.84)

233

В полном постньюТойоВском пределе, где $а ^ —^Jm^ это внра奴е・ ние согласуется с (6.49). Если мы определим скалярную массу выражением (т^а s -у- (2 + ^-^д (1 — 2sa), так что 屮=“(1 +

goo=—1+2 工(加Q〃a；goo=—1+2 工(加Q〃a；(11.85)(11.86)(11.85)(11.86)+ 2工(т^а/га), то метрику можно записать в виде

goo=—1+2 工(加Q〃a；

goo=—1+2 工(加Q〃a；

(11.85)

(11.86)

(11.85)

(11.86)

gii^^ii^+2^[{m^a—2(m^lra^ .

Полезно с помощью активной и скалярной масс определить «тензорную» массу

Wr)a m (m.4)a _(ms)a =卜^j^ )加。・(11.87)

Можно показать [153],. что эта тензорная масса связана с законом сохранения, записанным в форме [ (—g)(p (T**v + 卅”)l,v = 0, где 缈”— симметричный псевдотензор энергии-импульса, даваемый [153]. Этот результат согласуется с идентификацией та как инертной массы тела а.

Теперь можно получить полное постньютоновское решение для gjxv и *& и подставить его в материальное действие, которое для a-го тела принимает вид

/а = — f та (<p)df (—g0Q — 2go拡一giflaVa)1^2-(11.88)

Чтобы получить действие п тел в виде (11.47), сначала сделаем гравитационные члены в Iа симметричными в явном виде относительно парных перестановок всех частиц, затем возьмем один из таких членов и просуммируем его по всем телам. В результате получится лагранжиан п тел в виде (11.62), где

0ab = 1 — (2 + S)T (Sa + S^ —2sa Sb)；(1 1 ・89)

价 ab = 4" (2丫 + 1) + ^ (2 + ^(sa + Sb — 2Sa s/(H.90)

•abc = 1 —(2 + co)-1(2sa + sb+ sc) + (2 + co)-2[l —4sa) sb sc +

+ (5 +2co) Sa 6ь +sc) —(s； —Sa) (1 —2sb) (1 —2sc)].(11.91)

Квазиньютоновские уравнения движения получаются из ЭИХ-лагран- жиана в виде

а。=—』(ть Ха"嗑)[1 — (2 + со)"1 (sa + s^,—2s。s/] •(11.92)

厚a

В полном постньютоновском пределе произведением SaS^ можно пренебречь и ускорение можно записать в виде аа « —[ (mp)a/ma] X X 2 (^л)ь хаЬ/гдь, где (тл)ь определяется выражением (11.84);

b # a

(/Пр)a = ma [1 —sa/(2 + co)], что находится в согласии с результатами, полученными в § 6.2, уравнение (6.49). Однако если тела доста- 234

точно компактны, так что s。~ s^ ~ 1, то из-за наличия произведения sasb невозможно выразить квазиньютоновские уравнения просто через активные и пассивные массы отдельных тел.

Грубо говоря, чувствительность s будет того же порядка, что и отношение собственной гравитационной энергии связи к массе, так что для Земли s㊉ ~ 10-10, для Солнца s® ~ 10-6 и для белых карликов s6k ~ 10~8. Для нейтронных звезд, уравнения состояния которых имеют вид р = р (р), модель однозначно определяется (для конкретного значения со) локальным значением G и плотностью в центре рс или полным барионным зарядом N. Чувствительность s теперь надо вычислять, считая ^ постоянным. При этом можно показать, что

(11.93)(11.93)д\пт \ _ —I д\пт \. / dln/n \ / дln^ \

(11.93)

(11.93)

dlnG 丿n \ dlnG 丿％ \ din"丿d InG /Рс*

Для фиксированного уравнения состояния и фиксированной плотности в центре их соображений размерности находим, что ти N пропорциональны G-3/2, так что для нейтронной звезды

訂"（需计（U・94）

Заметим, что (О In m/d In N)g ——внутренняя энергия на один барион. Тогда можно показать, что

(11.95)(11.95)SH3 =(у — Sh, (ds^/d In m)G・

(11.95)

(11.95)

Уравнения (11.94) и (11.95) справедливы в любой теории тяготения, в которой локальная структура материи зависит от единственного параметра, играющего роль постоянной тяготения. Для различных моделей нейтронных звезд показано [88], что s меняется примерно от 0,01 для m = 0,13m© до 0,39 для m = 1,41 m®.

Для черных дыр (см. § 10.2) скалярное поле постоянно вне дыры, так что из (11.83) имеем s4ff = 1/2, что эквивалентно пропорциональности тчд 〜G-i/2. Заметим, что квазиньютоновское уравнение движения для пробной черной дыры и ее партнера (с массой тчд《тп) получается из (11.92) в виде

ачд=—(^cX/r3) I— «^(2 +(о)г = — [(3 + 2со)/(4 4- 2(о)] тс х/г3,

(11.96)

следовательно, кеплеровская масса, воспринимаемая пробной черной дырой, есть тензорная масса тТ компаньона [128].

Скорость потери энергии в результате дипольного гравитационного излучения в этом формализме легко рассчитать (так же как и ПМ излучение, однако результат этот мало что проясняет). Выражение для 仆 в волновой зоне получается из (11.78), (11.80) и (11.81) в виде

" = 7^r^?maa-2Sa)H+Gva + O(*)l}・(11.97)

Для двойной системы с точностью до константы имеем

9 = _[4/ (3 + 2co)]R-1nMv,(11.98)

где

® s s2—s>(11.99)

Далее, следуя методу § 10.3, находим, что скорость потери энергии определяется уравнением (11.74) с kD = 2/ (2 + со).

Биметрическая теория Розена. В теории Розена плоская фоновая метрика “ может влиять на строение компактных объектов, несмотря на то, что она является нединамическим полем. В системе координат, в которой физическая метрика g асимптотической своей формой имеет метрику Минковского и, следовательно, в которой (см. § 11.1)

"=diag (—со \ cf1, cF产，сТ1^ sin2 0),(11.100)

уравнения строения статических звезд зависят только от величины Eq) 1/2： Эта величина, как было получено при рассмотрении постньютоновского предела теории Розена [см. (5.70)], играет роль локальной гравитационной константы G. Примем теперь полностью консервативный вариант теории, т. е. вариант, в котором космологические коэффициенты связи % 三 q 三 1.

Рассмотрим тело, движущееся со скоростью v в некотором заданном постньютоновском внешнем поле. В асимптотически «минковских» координатах метрика имеет линейный элемент вида

ds2 = —е2ф/ 必2 + 2^dxidt + ^1 (dx2 + dy2 + dz?),(11.101)

где ①/ ~ О (2); A，~ О (2); ^ ^ О (3), а верхний индекс / означает, что значения величин берутся в пространстве между телами. Теперь, для того чтобы определить структуру тела, надо перейти к координатам % % в которых g имеет «минковскую» форму в области согласования. Но в этой системе координат компоненты " являются существенно обратными компонентам g (вариациями компонент в области согласования пренебрежем); в постньютоновском порядке находим

计金6 = — ^ 一 2” ； 116P =—心 1rb7? = М 丿 е - 2乂. (11.102)

Перейдем к координатам х06, в которых тело покоится. Для |v| ~ О (1) с учетом (4.49) имеем

*6= —е~2ф/ [1 —2у2(Ф7—Л7) + 2х7 V];

^T^-^i+ 2巧巒一 М；(1М03)

Лг у =е~2л/ dij + 2Vi Vj (Ф7—Л7)—2и(М).

Теперь недиагональные компоненты т)~ имеют порядок О (3), и О (4) и по самой природе локальных уравнений поля (11.21) для ССС тел они вносят только квадратичный вклад, т. е. порядка О (6) и выше, 236

Следовательно, можно определить локальные значения величин с。и Ci с точностью до О (4) выражениями

(11.104)(11.104)喈к = —(^ -)-1 = е2ф/ [ 1 + 2^2 (①/—Л7) — 2公 V];

(11.104)

(11.104)

с：ок = (-^" т)『,=е^^ [^ *~ ~~~ и?(①/—Л^) 4^- %/ vj .

Тогда локальное строение с точностью до О (4) определяется локальным значением G:

G = (“cJ/2 = ee+A[l +yv2 (Ф-Л)—^词，(11.105) где опущен индекс /• Если рассматривать инертную массу та как функцию метрических коэффициентов (и скорости) в пространстве между телами, то можно записать

tna(g^ = map f [ф + Л+у v2 (Ф—Л)—-1» vxj—

(11.106)(11.106)^"(s； — Sa) (ф + Л)2 + ... 1 ,

(11.106)

(11.106)

где $ и Sa определяются уравнениями (11.77). Действие в теории Розена можно представить в виде (см. § 5.5)

/ = (64几尸 jr]N产gY6 (gaYWgBblv—^gaBEgyblv) X

X (—ri)i/2d标—£ J mjggd%X (—ri)i/2d标—£ J mjggd%(11.107)(11.107)

X (—ri)i/2d标—£ J mjggd%

X (—ri)i/2d标—£ J mjggd%

(11.107)

(11.107)

(11.108)(11.108)(11.109)(11.109)gt尸6仃1 +2gt尸6仃1 +21~И/Н1~И/Н(11.110)(11.110)

(11.108)

(11.108)

(11.109)

(11.109)

gt尸6仃1 +2

gt尸6仃1 +2

1~И/Н

1~И/Н

(11.110)

(11.110)

где мы пренебрегли бесконечно малым вкладом «собственного поля» в та. В координатах, в которых " = diag (—1, 1, 1, 1), уравнения поля имеют вид

口T|g|rv —5aBi1”°gua,YgvB,6= — 16冗(gA])l/2 ^nv ggT }

72 = 7%+7 將；

7瑞=(-g)T2 工忆(gae) 〃U “V (公尸 63(X -Xj

7相=_2 (-g)-"2 Ji (8团。/必2 (〃°)-i б8 (x-xj

Постньютоновское разложение с использованием метода гл. 5 дает goo= -1 + 2?乙/% +0(4);

и, следовательно,

(11.111)(11.111)«2 si; ?J = 1—-±Sa・

(11.111)

(11.111)

Заметим, что В отличие от теории Вранса—Дике здесь актиййая масса, измеренная с помощью пробного тела на кеплеровской орбите, равна инертной массе т^ Теперь получим полную постньютоновскую метрику [для использования в та надо также определить функцию Л с точностью до О (4)] и подставим ее и та (g^ в материальное действие

(11.112)(11.112)(11.113)(11.113)1а = — fna (g^Jd%.

(11.112)

(11.112)

(11.113)

(11.113)

Результатом будет лагранжиан п тел в ЭИХ форме с

乡 ab=l^" Sa Sb；

^ab= 1^ Sa^" Sb + 謂 Sa S"

Значения sa и Sa для нейтронных звезд варьируются соответственно примерно от 0,05 и 0,07 для та « 0,4m® до 0,6 и 0,2 для 12m® [367].

Расчет скорости потери энергии на дипольное гравитационное излучение проводится так же, как и в § 10.3, но с использованием (11.106), (11.108) и (11.109). В результате получается (11.74) с 紘= = —20/3, как и раньше, и S = s2 — s^・

ГЛАВА 12

двойной пульсар

Лето 1974 г. было богато событиями для Тэйлора и Халса. На радиотелескопе в Аресибо (Пуэрто-Рико) они проводили систематическое изучение и поиск новых пульсаров. Ими было зарегистрировано 50 пульсаров, 40 из которых 一 впервые. Периоды этих пульсаров были измерены ими с точностью до 1 мкс. Один из пульсаров, обозначающийся как PSR1913 + 16, выглядел довольно странным: помимо того, что его период 59 мс оказался почти самым коротким из известных (за исключением пульсара NP0531 в Крабовидной туманности), измерить этот период с точностью порядка 1 мкс никак не удавалось ——период «испытывал явные изменения ото дня ко дню, доходившие до 80 мкс, иногда же до 8 мкс за 5 мин» [141]. Такое поведение совершенно нехарактерно для пульсаров, и Халс и Тэйлор тотчас же заключили, что оно является результатом эффекта Доплера при движении пульсара в системе двойной звезды. К концу сентября они получили точную кривую скорости этой однолинейной спектрально-двойной системы. Кривая скорости представляет собой зависимость регистрируемого периода пульсара от времени. Тщательная подгонка этой кривой к кеплеров-

Таблица 12.1. Параметры двойного пульсара PSR 19134-16, полученные двумя методами

Параметр

Регистрация периода пульсара (лето 1974 г.)

Регистрация времени прихода импульсов (сентябрь 1974 — август 1980 г.)

Прямое восхождение

19 ч 13 мин 13 с ±4 с

19 ч 13 мин 12,469 с土

(1950,0) а

±0,014 с

Склонение (1950,0)6

+ 16°00,24,,±60,/

16°0У08,15〃±0,20〃

Период пульсаций Рр, с

0,059030±1

0,0590299952695土 8

Производнаяпериода

3, с/с

Менее 10"12

(8,636±О,О1О).1О-18

Полуамплитуда кривой скорости К, км/с

199±5

*

Проекция большой полуоси 勿 sin i, см

(6,96±0,14).Ю10

(7,0208±0,0012).1010

Эксцентриситет орбиты е

Орбитальный период Р6,

0,615±0,010

0,617138 士 8

27 908土 7

27906,98157±6

с

Производная орбитального периода Рь, с/с

—

-(2,1±0,4)・ IO”

Функция масс 厶,т ©

0,13±0,01

*

Долгота периастра (сентябрь 1974 г.) со, °

179±1

178,867±0,002

Скорость смещения периастра со, °/год

—

4,226±0,001

Параметр гравитацион

—

4,4±0,3

ного красного — доплеровского второго порядка смещения & ме

Синус угла наклонения sin i

—

Менее 0,96

Литературный источник

[141]

[308]

Примечание. Прочерк означает, что измеряемый параметр лежит за пределами точности измерений, звездочка — точное значение параметра не требуется.

ской орбите двух тел позволила определить следующие элементы орбиты системы: К】一половина амплитуды вариации радиальной скорости пульсара; Ръ — орбитальный период двойной системы; е — эксцентриситет; со — долгота периастра в конкретную эпоху (сентябрь 1974 г.); a】 sin i — проекция большой полуоси орбиты пульсара, где i — наклонение орбиты относительно небесной плоскости; “ = =(m2 sin i)2/ (гл】+ m2)2 — функция масс, где mx и m2 — массы пульсара и его компаньона. Кроме того, Халс и Тэйлор определили «невозмущенный» период пульсара Рр, исправленный на орбитальный эффект Доплера в конкретную эпоху. Результаты их измерений представлены в средней колонке табл. 12.1 [141].

Однако в конце сентября исследователи применили новый метод, который дал значительное увеличение точности [310]. Этот метод состоит в измерении абсолютного времени прихода импульсов (в противоположность измерению периода, т. е. разницы времен прихода двух соседних импульсов) и сравнении их с временами прихода, рассчитанными по имеющимся параметрам пульсара и орбиты. Результаты об-

239

работки методом наименьших квадратов разницы между наблюдаемыми и ожидаемыми моментами прихода импульсов используются затем для корректировки элементов орбиты и параметров пульсара. Этот метод можно назвать фазовым, так как он позволяет точно следить за фазой обращения пульсара в течение длительного интервала (около 6 мес) между наблюдениями. Это и оказалось частичной причиной увеличения точности. Результаты, полученные к августу 1980 г., приведены в правой колонке табл. 12.1 [308].

Открытие пульсара PSR 1913+ 16 произвело фурор в рядах релятивистов, так как сразу стало ясно, что это открытие предоставляет новую лабораторию для проверки релятивистской теории гравитации. Постньютоновские орбитальные эффекты должны при этом иметь следующий порядок: М 〜К；〜5 ・ IO-*7 и m/r 〜厶包 sin i 〜3 ・ 10т — на порядок больше, чем соответствующие значения для Меркурия, а малость орбитального периода (около 8 ч) соответственно увеличивала секулярные эффекты, такие как смещение периастра.

Эти ожидания были подтверждены в декабре 1974 г., когда Тэйлор [307] измерил смещение периастра, оказавшееся равным 4,0 士 1,57год (сравните с Меркурием!). Более того, лаборатория эта оказалась весьма чистой, свободной от таких сложных астрофизических явлений, как, например, перенос массы. Радиоизлучение пульсара никогда не затмевается партнером, что позволяет оценить пределы геометрических размеров последнего, а дисперсия импульсного радиосигнала очень мало меняется при движении по орбите, указывая на отсутствие в системе плотной плазмы, непременно присутствующей при наличии переноса массы с компаньона на пульсар. Эти данные исключают из числа претендентов на роль партнера пульсара типичные звезды главной последовательности :хотя те вполне отвечают ограничениям, накладываемым измерениями затмений и дисперсии, они дали бы гигантское (более 5000 °/год) смещение периастра вследствие приливных деформаций, обусловленных полем тяготения пульсара [175, 342]. Другим кандидатом является гелиевая звезда, которая соответствует геометрическим ограничениям и дает приемлемые смещения периастра. Оценки расстояния между пульсаром и его партнером (5 кпк [141]) и экстинкции по лучу зрения (около 3,3加[67]) указывают, что такая гелиевая звезда имела бы видимую звездную величину порядка 21m. Многочисленные поиски в кружке погрешностей радиусом 6,5" вокруг места расположения радиопульсара, полученного из анализа данных по временам прихода импульсов [66, 100, 150, 279], ничего такого не обнаружили. Возможными кандидатами на роль компаньона пульсара являются также плотные звездные образования — белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Ни один из этих объектов не должен быть видимым; нет также никаких свидетельств того, что спутник пульсара также является пульсаром.

Дальнейшие попытки идентификации партнера пульсара связаны с разработкой механизма возникновения и эволюции этой системы. Наиболее популярной является модель возникновения такой системы из двойного рентгеновского источника, эволюция которого заканчивается образованием двух нейтронных звезд [108, 294, 342]. Были раз- 240

работаны и другие модели эволюции, заканчивающейся образованием в качестве компаньона пульсара белого карлика [294, 327], черной дыры [32, 294, 342] и гелиевой звезды [294, 342]. Как будет показано ниже, природа компаньона очень важна при обсуждении различных релятивистских и астрофизических явлений в системе.

Одним из наиболее интересных таких эффектов является испускание системой гравитационного излучения и соответствующее «затухание» орбиты [333]. Наблюдаемым следствием такого затухания является секулярное изменение орбитального периода. Однако временной масштаб таких изменений согласно ОТО настолько велик (около 109 лет), что для обнаружения его фазовым методом, по-видимому, понадобится 10——15 лет. Однако совершенствование регистрирующей аппаратуры и возможность длительного слежения за фазой пульсара позволили Тэйлору с сотр. опровергнуть этот прогноз к декабрю 1978 г., когда они измерили скорость изменения орбитального периода, оказавшуюся в хорошем согласии со значением, следующим из теории гравитационно-радиационного затухания источника в ОТО [308, 309, 311].

В этой главе подробно рассмотрен двойной пульсар в рамках различных теорий тяготения. В § 12.1 развит «фазовый формализм», аналогичный тому, который наблюдатели используют для анализа двойных систем, и обсуждены важные релятивистские гравитационные (а также некоторые конкурирующие нерелятивистские) эффекты в системе двойного пульсара. Здесь релятивистская теория тяготения выступит в новой и неожиданной роли — в роли практического инструмента для количественного измерения астрофизических параметров (например, массы пульсара). В § 12.3 ОТО используется для интерпретации наблюдательных данных. В § 12.4 эти данные интерпретируются с учетом различных альтернативных теорий тяготения. При этом обнаружено, что одну из них — биметрическую теорию Розена — этот тест «убивает». Здесь же сделано предположение, что для широкого класса метрических теорий гравитации двойной пульсар представляет собой решающий релятивистский гравитационный тест.

ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ ДВОЙНОГО ПУЛЬСАРА

Поскольку в двойном пульсаре наблюдается радиоизлучение только от одного объекта из пары, анализ его аналогичен анализу подобной оптической пары, называемой однолинейной спектрально-двойной звездой. Существуют стандартные приемы такого анализа. Важными особенностями двойного пульсара являются большие релятивистские эффекты и возможность измерять моменты прихода отдельных импульсов («фазу» обращения) вместо периода (частоты обращения). По этой причине необходимо было разработать фазовый анализ для исследования однолинейных спектрально-двойных звезд, специально приспособленный к системам типа двойного пульсара. Такой анализ впервые был выполнен Блэндфордом и Тьюколски [34] и усовершенствован Эпштейном [1031 (см. также [349]),

Начнем с определения подходящей системы координат. Выберем квазидекартову систему координат 力 х, в которой физическая метрика асимптотически плоская и является постньютоновской везде, за исключением, возможно, окрестности пульсара и его партнера. Пусть начало координат совпадает с соответствующим образом выбранным центром масс двойной системы. Опорная плоскость (рис. 12.1) определяется как плоскость, перпендикулярная лучу зрения с Земли (картинная плоскость) и проходящая через начало координат. За опорное направление выбирается направление в опорной плоскости из начала

координат к северному полюсу мира. В каждый момент орбиты обоих членов двойной системы касательны к кеплеровскому эллипсу (оску- лирующая орбита, обсуждение этой концепции и определения см. в {295]). Этот эллипс лежит в плоскости, которая называется орбитальной и пересекает опорную плоскость по линии восходящих узлов, образующей угол 0 (узловой угол) с опорным направлением. Наклонение i представляет собой угол между опорной и орбитальной плоскостями. Направление периастра оскулирующей орбиты образует с линией узлов угол о), лежащий в орбитальной плоскости. Другими элементами оскулирующей относительной орбиты являются большая полуось а, эксцентриситет е и момент прохождения периастра То. В этом случае мгновенная координата относительного положения х н х^ —— —х19 где индекс 1 относится к пульсару, 2 ——к его партнеру, принимает вид

X = -q [(cos £-е)^+ (1 -沙/2 зп Е&], (12.1)

人人

Где ер — единичный вектор в йаправленйй перийстра; ер — едини中 ный вектор, перпендикулярный еР и лежащий в орбитальной плоскости (отсчитанный в направлении движения пульсара). Тогда эксцентрическая аномалия Е связана с координатным временем t через среднюю аномалию, описываемую выражением

Е — е sin Е = (2л/Рь) (f — П)，(12,2)

где Рь — орбитальный период двойной системы. (Для целей фазового анализа удобнее использовать Е, нежели истинную аномалию ф). Рао стояние между партнерами двойной системы

г = |х| = а (1 — е cos Е)・(12.3)

Решая модифицированные ЭИХ уравнения движения в квазиньюто- новском приближении (см. § 11.3) с учетом возмущений, вносимых собственным гравитационным полем пульсара и его компаньона, из (11.70) получаем

рь12h = (a3/(дm))"2,(12.4)

где т = т1 + т2 — сумма инертных масс тел. В квазиньютоновском порядке можно считать, что центр масс [см. (11.64)] покоится в начале координат, т. е.

X е (加№ + m2x2)/m = 0,(12.5)

и, следовательно,

X] = —(m2//n)x; х2 = (/Л1//п)х・(12.6)

Теперь любое возмущение орбиты, релятивистское или нерелятивистское, можно рассматривать как причину изменения элементов оскулирующей кеплеровской орбиты 0, Z, о), а и е. При заданных значениях этих элементов в любой момент времени уравнения (12.1), (12.2) и (12.6) определяют координатное положение обоих тел. Изменения этих оскулирующих элементов, обусловленные возмущениями, могут быть либо периодическими, либо секулярными.

Рассмотрим теперь излучение пульсаром радиосигнала. Пусть т — собственное время излучения импульса, измеренное гипотетическими часами в инерциальной системе отсчета на поверхности пульсара. Время излучения N・ro импульса связано с частотой вращения пульсара выражением (так называемая счетная формула)

N = M)+vr + ； vt2+-^-vt8 + ... ,(12.7)

26

где ^o — произвольное постоянное целое число;

V = dv/dT|t=0； V = d^v/dt2k=о・(12.8)

При этом не учитывается возможность «разрывных» скачков (сбоев) частоты вращения пульсара. Окончательно надо получить время прихода ^-гo импульса на Землю.

Вдали от пульсара и его партнера метрика в выбранной здесь системе координат определяется выражениями (11.52), где а = 1 и 2, а

243

факторы а： и у2 учитывают возможность поправок к гравиатацион- ным массам на собственное поле тяготения, если одно из этих двух тел является сверхплотным (обсуждение см. в § 11.3). Поскольку нас интересует распространение сигнала пульсара на большие расстояния от системы, мы не будем учитывать возможность больших сверхпостнью- тоновских поправок к метрике в близкой окрестности двойной системы. Основным результатом таких поправок будут либо постоянные аддитивные добавки в формуле (12.7), которые можно включить в произвольную константу ^0, либо множители (обусловленные, например, красным смещением на поверхности нейтронной звезды), которые можно включить в неизвестное истинное значение v. С точностью до таких факторов собственное время в точке излучения сигнала пульсара может быть связано с координатным временем f выражением

dt=d屮—W/—-^炉+ 0(4)] ,(12.9)

где опущен постоянный вклад гравитационного потенциала пульсара офи/Хет — х/ и не учтена разница потенциалов и скоростей в точке излучения радиосигнала хеш на поверхности пульсара и в центре пульсара х「Два поправочных члена в (12.9) связаны с гравитационным красным смещением и доплеровским сдвигом второго порядка. Из уравнений (12.1) и (12.2) получаем

"=乡(欣/т) (2/г — 1/а),(12.10)

подстановка (12.10) в (12.9) дает (с точностью до константы)

Mdt = 1 — «2^2/г —乡欣/(гиг).(12.11)

Проинтегрировав это уравнение, используя (12.2) и (12.3), получим

т = / — (m2/a) (a? + ^m2/m) (Рь/2л)е sin Е・ (12.12)

Хотя константы, которые были опущены при интегрировании (12.11), могут, вообще говоря, испытывать периодические или секулярные изменения, связанные с возмущениями орбиты и другими эффектами (такие, например, как изменения а), поправочные члены в (12.12) уже достаточно малы для того, чтобы такие изменения имели пренебрежимо малое значение.

Итак, сигналы пульсара распространяются по нулевым геодезическим. Тогда для расчета координатного времени, необходимого сигналам для распространения от пульсара до барицентра солнечной системы х0, можно применить метод, использованный в § 6.1, 7.1 и 7.2; в результате получим

%rr — f = |Хо (%Г)— Х1 (01 + (а； + 饺)加2 In {2% (Zarr)/ [г (0 +

+ х(血(12.13)

где 入 =|х0|; п = х0 "о・ Здесь было учтено, что 入》г. Второй член в (12.13) представляет собой время задержки сигнала в гравитационном поле партнера пульсара. Время задержки сигнала в поле самого пульсара с требуемой точностью постоянно и поэтому опущено.

244

Конечной целью является получение выражения счетной формулы (12.7) через времена прихода импульсов /ачч. Необходимо также принять во внимание, что момент прихода сигнала регистрируется не в барицентре солнечной системы, а на Земле, и, следовательно, необходимо внести поправки на положение Земли на орбите, а также на обусловленные Землей гравитационное красное и доплеровское смещения частоты сигнала. Заметим, что именно влияние орбитального движения Земли на времена прихода импульсов позволяет точно определить положение пульсара на небе. Необходимо также принять во внимание межзвездную дисперсию радиосигнала. Все эти аффекты можно учесть стандартным образом (см., например, [34]), и они здесь рассматриваться не будут.

Итак, учитывая, что г0》乙 запишем

|х0 (储-X] (01 = % &") - Xi (On + О (г/го).(12.14)

Объединяя (12.13) и (12.14) и используя полученную формулу для выражения хг (f) через хг (/ачч) в требуемом постньютоновском порядке, получаем

t = %rr — Го + Xi (Zarr —，o)G + (Xi (t^T — r0)n) (Xi(zarr —入)台 + + [0 (3)/arrl,(12.15)

где все задержки имеют порядок [О (3)/аГГ]. Выберем константу в (12.2) так, чтобы

Е —е sin Е = (2匂Рь) (%г — г^.(12.16)

Далее, объединяя (12.12), (12.15) и (12.16), подставляя в результат (12.1) и (12.6) и замечая, что согласно (12.1)

ерп = —sin i sin со; e^n = —sin i cos co,(12.17)

с точностью до констант получаем

т = /агг —4 (cos Е—е)—侈 + %) sin Е—(2л/Рь) (1—ecos 5)-1 х

X (4 sin Е—^ cos Е) [4 (cos Е—е) + 総 sin Е] + [О (3) 4гг], (12.18) где

4 三 М sin i sin со;毋三(1 — e2)1/2a1sinf cos co;

^ ^ (tnll(tna^) (a$ -+ 0 m2/m) (Рь/2л) e;(12.19)

% = (m2/m)a.(12.20)

Тогда счетная формула (12.7) примет вид

N = М + ”/агг—v4(cosE—е)—V (毋 + 留)sinE —

—v (2л/Рь) (1 — e cos E)-i (4 sin E—毋 cos E) [4 (cos E—e) + 纺 sin E] +

$ 端r —視rr [4 (cos E — e)十期 sinE] + 丄 J爲r + …(12.21) 26

Величину N следует рассматривать как функцию /аГГ й парйМёТ- ров Nq, V, V, v* м sin 厶 co, & 尸加 淡 и /0. Подстановка первичных предположительных значений этих параметров дает первое приближение времени прихода для данного N, Различие между этим приближением и реально измеренным %гг используется для корректировки значений параметров методом наименьших квадратов. С помощью подстановок типа

о)~>со + со/ + …；е~>е+е/ +…；尸匕->•尸^-|—~Рвf + … (12.22) и т. п. определяются также возможные вариации параметров со временем, обусловленные различными возмущениями в двойной системе. Множитель 1/2 в выражении для Рь связан с формальным определением Рь через элементы оскулирующей орбиты.

Рассмотрим теперь наиболее важные измеряемые параметры двойного пульсара и их интерпретацию.

Период пульсара. Эффективный период пульсара (в определенную эпоху) и его производные определяются в счетной формуле (12.21) линейными, квадратичными и кубичными по %гг членами. Результаты оптимизации по методу наименьших квадратов с использованием измерений, выполненных к августу 1980 г., для Рр = v1 и Рр = —v/v2 приведены в табл. 12.1 (измерения сделаны в сентябре 1974 г.). Определение Рр на данный момент невозможно, за исключением грубой оценки сверху, основанной на том, что изменение Рр в течение года не выходит за пределы погрешности эксперимента, что дает

I户р| V6 • 10-28 с/с2. (12.23)

Несмотря на то, что период этого пульсара является вторым самым коротким периодом, известным к настоящему моменту, его скорость замедления вращения Рр аномально мала, т. е.

Рр/Рр = (4,617 士 0,005)・ IO- год-1. (12.24)

Наиболее распространенное объяснение этого факта состоит в том, что магнитное поле пульсара очень мало и соответственно мало тормозящее «скручивание», обусловленное магнитными силами Лоренца- откуда и следует малость Рр. Однако короткий период пульсара является отголоском ранней стадии развития системы, когда аккреция материи на пульсар усиливала его вращение, что существенно сказалось на его периоде [32, 294].

Кривая кеплеровской скорости. Так называют в уравнении (12.21) члены — v4 ( cos Е — е)——v^ sin E. Производная по времени от этих членов дает просто доплеровский сдвиг частоты пульсара первого порядка Av/v, пропорциональный угп. Эта вариация частоты является основной измеряемой величиной в спектроскопических двойных звездах, и была таковой в двойном пульсаре до применения фазового метода в конце 1974 г. Подгонка результатов регистрации времен прихода импульсов под кривые cos Ен sin Е позволяет определить па- 246

раметры Рь，с, 4 н 毋.Зная их, не составляет труда стандартными методами определить направление периастра в данную эпоху (сентябрь 1974 г.)

tgs = (1 — е2)_1/2 毋/4, (12.25) проекцию большой полуоси орбиты пульсара

旬 sin i = [/2 + 绢2/(1 _ 劣卩/2 (12.26) и функцию масс пульсара

fl = a sin i)3 (PJ2冗)-2. (12.27) Наблюдаемые значения этих величин приведены в табл. 12.1. С помощью (12.4) и (12.20) можно также представить /г в виде

& = 0 (m2 sin 炉仇2. (12.28)

Приведенные выше рассуждения предполагают наличие фиксированной кеплеровской орбиты пульсара с постоянными значениями ее элементов. В действительности вариации этих элементов со временем, например, как показано в (12.22), требуют рассматривать полученные значения как справедливые только в данную эпоху и проводить дальнейшую оптимизацию по методу наименьших квадратов для определения скоростей их изменения со, Рь, е и т. п. Ниже рассмотрены некоторые из этих величин.

Смещение периастра. Подставляя со + со/ вместо со в выражения для 4 и 険 в кеплеровской кривой скорости, можно довольно точно вычислить 6. Наилучшее полученное значение составляет 4,226 士 士 0,001 7год = 73,758 土 0,017 мрад/год.

В случае двойного пульсара есть несколько причин, вызывающих смещение периастра. Одна из них является релятивистской: в § 11.3 найдено, что в двойной системе с компактными объектами скорость смещения периастра в полностью консервативной теории тяготения согласно модифицированному ЭИХ формализму имеет вид [см. (11.71)]

△рел = [6лт/Рм(1 -e^Kg-i；

驴三乡毋+ ；乡2—L(mi®2u+m23)122)/m> (12.29) 6 6

где 毋 не следует путать с 総,определенным (12.19). Подставляя сюда известные значения Рь и е и используя (12.4), получаем

(Орел = (W加@)2/3 孑乡-"3 ・ 2,10 °/год.(12.30)

Для ОТО砂m乡三1.

Второй возможной причиной смещения периастра является непропорциональность потенциала тяготения обратному квадрату расстояния, обусловленная приливными деформациями компаньона. Соответствующее сопр имеет вид

厶叩比 30л к2Рь"(^ tn^tn^ (Z?2/a)5 f (e);

,(0三(一2尸(1 +等週 + *4 卜02.31)

где /?2 ——радиус компаньона [65]; ^2——безразмерный множитель, зависящий от распределения массы компаньона и имеющий порядок 10-2 для белых карликов или гелиевых звезд. Уравнение (12.31) получено в предположении, что партнером пульсара не является черная дыра или нейтронная звезда, чтобы избежать дополнительных усложнений приливного эффекта собственным гравитационным полем компаньона. Наличие члена (/?2/а)6 в любом случае делает приливный вклад таких объектов в эффект пренебрежимо малым. Подставляя численные значения, получаем

< ^一叫詣广%(盜)(詫『.2,11(12.32)

где X =加1/加2・ Для белого карлика (R? W Ю4 км) в качестве партнера пульсара приливный эффект также пренебрежимо мал. Только в случае гелиевой звезды, для которой (段?〃。-? (R^^ км)6 ~ ~ 6 (加2/加©)4'6, приливный вклад в движение периастра может быть существенным [251].

Третьей возможной причиной смещения периастра является непро • порциональность обратному квадрату расстояния потенциала тяготения, обусловленная деформацией компаньона при вращении. Для тела, вращающегося с угловой скоростью Q вокруг оси, наклоненной под углом 0 к плоскости орбиты, имеем

加вр Q 2几局尸即(0恤/加2)便2历)6 (1 + X-i)®/n)2g (e)p2 (cos 0),

(12.33)

где g (e)曰(1 — с?)-?； n m 2п/Рь. Этот результат получен в предположении малости собственного углового момента по сравнению с орбитальным моментом, что справедливо для наиболее вероятных типов компаньона (обсуждение см. в [294]). Подставляя численные значения, получаем

(鳥厂"(X + МчН(論г『(3”№е)х

X 0,02Г/год а а (乡加/加@)一 2/з ? (cos 0)-0,83°/год, (12.34) где

а =年囱(Q2 R 〃加2)便2〃。3 км)2. (12.35)

Для модели стабильного, однородно или неоднородно вращающегося белого карлика, например, а может варьироваться примерно от нуля до 15 [294]. Заметим, что обусловленное вращением компаньона смещение периастра может быть направлено как вперед (Р2 (cos 0)> 0)— ось вращения компаньона нормальна плоскости орбиты, так и назад (尸2 (cos 0) < 0)— ось вращения лежит в плоскости орбиты.

Если партнером является нейтронная звезда, черная дыра или не- вращающийся белый карлик, то имеет место только релятивистская 248

прецессия периастра. В этом случае наблюдаемое смещение (табл. 12.1) совместно с (12.30) дает такую связь между массами тел

/и=2,85/и®驴-3/2 乡 2,(12.36)

где 芋 н 乡 一функции тъ т% и строения пульсара и, возможно, его партнера.

Если компаньон — вращающийся белый карлик, существенны только релятивистский и вращательный вклады, так что можно записать

g = (m/m©)2/3fg_4/3.2jo/ron + a(m/mo)_2/3g_2/3 *

X 尸 2 (cos 0). 0,83°/год.(12.37)

Если компаньон — гелиевая звезда с осью вращения, перпендикулярной плоскости орбиты, работают все три причины и можно записать

△个0-4/3 2」о。/год +5/3 g一2/3 х

х(闵(諡)"卩+ 中勺制8)

«ВЗВЕШИВАНИЕ» ПУЛЬСАРА, ПОСТНЬЮТОНОВСКИЕ

ЭФФЕКТЫ И ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

^Взвеисивание» пульсара с помощью гравитационного красного смещения и эффекта Доплера второго порядка. Член ^ sin Е в счетной формуле (12.21) описывает совместное влияние на частоту излучения пульсара гравитационного красного смещения в поле тяготения компаньона и доплеровского сдвига, обусловленного движением пульсара. В некоторых теориях тяготения существует еще один эффект, вносящий в счетную формулу вклад того же порядка, что и ^ sin Е, который также следует учесть здесь [88]: при нарушении ССПЭ локальная постоянная тяготения в месте расположения пульсара может зависеть от гравитационного потенциала, создаваемого партнером, т. е.

Gl = Go (1 — п*加2”)・(12.39)

Если компаньон — белый карлик или гелиевая звезда, например, то параметр п* представляет просто комбинацию ППН параметров: П* =40 —у —3 (для полностью консервативных теорий с Е = 0)・ Однако если компаньон — черная дыра или нейтронная звезда, п* может быть более сложной функцией и может зависеть от внутренней структуры компаньона. Тогда Gl будет меняться при орбитальном движении, вызывая изменения структуры пульсара, его момента инерции и, следовательно, присущей пульсару частоты вращения согласно выражению

Av/v = —А 〃/ = &AG「/Gl =—询*m",(12.40)

249

где k характеризует реакцию момента инерции на изменения Gl・ Вклад этого изменения в счетную формулу с точностью до константы имеет вид

J Avdf =—滋т)* (mJG ®12呜е sin E. (12.41) Тогда параметр 淡 примет вид

岩=(m^/rna^ (a$ + &m2/m + krf) (Рь/2л) & (12.42) а его численное значение

留 а (/и2/加)(加/т@)?/3乡-1/3Q； + 0加2/加 + 论T*)，2,93m* (12.43)

Однако если бы прецессия периастра в системе отсутствовала, этот параметр было бы совершенно невозможно измерить, ибо при постоянных X н 53 член ^ sin Е вырождается относительно двух членов кривой кеплеровской скорости, т. е становится неотличим от них при подгонке по методу наименьших квадратов [33, 49]. Однако изменение(о на 4 7год приводит к изменению 4 н 毋 примерно с 90-летним периодом. Следовательно, раздельное определение 4,毋 н 留 можно выполнить за достаточно большой интервал времени (меньший, к счастью, 90-летнего периода). Используя имевшиеся к августу 1980 г. данные, получаем [308]

留 4,4 土 0,3 мс. (12.44)

Выражения (12.43) и (12.44) позволяют уточнить соотношение масс тел двойной системы. Совместно с функцией масс (12.28), выражениями для смещения периастра (12.36), (12.37) или (12.38) и с предположением относительно природы компаньона и типа теории тяготения они позволяют однозначно (в пределах погрешности эксперимента) определить массы 加1 и /и?，а также sin i. Эго и есть та неожиданная новая роль релятивистской теории гравитации, о которой упоминалось во введении к гл. 12. Релятивистский эффект — смещение периастра — не только дает ограничения на массы тел, но и позволяет измерить другой релятивистский эффект — гравитационное красное смещение и доплеровское смещение второго порядка, характеризуемые коэффициентом 岩.Нигде в астрофизике релятивистская теория гравитации не играла еще такой прямой, количественной роли в определении астрофизических параметров.

Постньютоновские эффекты и sin i・ В (12.15) не записан в явном виде член, обусловленный задержкой сигнала во времени (он обозначен [О (3)%гг])・ В счетной формуле есть дополнительные члены, также имеющие порядок [О (3)/аГГ1 и возникающие вследствие постньютоновских отклонений орбитального движения от чисто кеплеровского эллипса. В рамках ОТО эти члены подробно рассмотрены в [103] и включены в анализ данных в [309]. Они дают независимые способы определения параметров системы, в частности угла наклонения i. Это позволяет надежно проверить интерпретацию полученных результатов. Действительно, точность измерений позволяет зафиксировать эти эффекты, так что предел sin i (см. табл. 12.1) получен с их учетом. Отметим, что именно эти результаты справедливы только в ОТО; соответ- 250

Снующий анаПнЗ членов [0 (3)/аГГ1 с помощью ЗИХ формализма пока еще не выполнен.

Затухание орбиты — проверка наличия гравитационного излучения, Причиной секулярных изменений орбитального периода системы Рь могут быть различные явления, главным из которых представляется испускание гравитационного излучения. Согласно квадрупольной формуле в ОТО (см. § 10.3) двойная система должна терять энергию на гравитационное излучение со скоростью, определяемой (10.80):

日尸◎，"45)

где 卩=m^in^lm — приведенная масса системы;

尸(ё) = (1+ 号 ё2+*ё4)(1一行一"2.В4"

Согласно третьему закону Кеплера соответствующая скорость изменения Рь определяется выражением

尸尸 dPb/dt = 一 -^Е-1 dE/dt =—胃(卩川/必)尸(e), (12.47)

где Е =——卩/и/2a. Для известных параметров двойного пульсара гравитационное квадрупольное затухание орбитального периода

(Рь/Ра 您=一(加/加 @)5/з X (1 + XL. 1,91 ・ IO-。год-】.(12.48)

Как было указано в § 10.3, большинство альтернативных ОТО теорий тяготения предсказывают наличие дипольного гравитационного излучения. Поскольку амплитуда этого эффекта в двойной системе зависит от собственной гравитационной энергии связи двух тел, двойной пульсар представляет идеальный объект для регистрации этого явления. В ОТО энергия связи для нейтронных звезд может достигать половины их массы покоя, в других теориях она еще больше. Если бы дипольное излучение имело место, оно вызвало бы гораздо большее изменение периода, нежели релятивистский квадрупольный эффект. Предсказываемая скорость потери энергии определяется выражением dE/dt = — "^ 坛 V02(? ^lr^> = — -^-kD 歹б? *

X(^r^la^(\+ V(i_e2)-5/2,(12.49)

где kD ——дипольный параметр, зависящий от теории тяготения; 6 связано с разницей чувствительностей $2 ——s^ двух тел, являющихся мерой собственной гравитационной энергии связи на единицу массы каждого тела. В ОТО параметр kD = 0. Скорость йзменения периода вследствие дипольного гравитационного излучения имеет вид

(乙/A)дШ1 = 一 々D 蚱2(2n/а)2(1 + 十，(1一巒)一5/2, (12.50)

где считаем £ = (1/2)乡卩/n/а. Для параметров двойного пульсара имеем

(а/рЬ)ди и = 一 红伶/0,1)2(加/加®) X(l+ X)-2 3,09.10-7 год-1. (12.51)

В тех теориях тяготения, в которых |々°| ~ 1, (Р&/Р&)дип может быть на несколько порядков больше стандартного релятивистского квадрупольного значения, если только оба тела не идентичны, так как в этом случае дипольное излучение отсутствует в силу симметрии ситуации (е = 1).

Однако, прежде чем использовать этот эффект в качестве решающего теста наличия гравитационного излучения или как критерий выбора между альтернативными теориями тяготения, необходимо рассмотреть другие возможные причины изменения периода. Так как мы уже обсуждали проверку теорий тяготения с помощью изменения как периода пульсара Ар, так и орбитального периода Рь, то рассмотрим возможные причины изменения их обоих.

Приливное затухание. Приливы, вызываемые полем тяготения пульсара в его компаньоне, изменяют орбитальную энергию и энергию вращения последнего вследствие вязкого трения. Аналогичные приливы в пульсаре пренебрежимо малы вследствие его малых размеров; то же самое справедливо по той же причине и для самого компаньона, если он является черной дырой или нейтронной звездой. В случае, если ось вращения компаньона перпендикулярна плоскости орбиты, скорость изменения орбитального периода [1]

叠一喑(f]*)#了(电呼口沙02.52) где 九=2п!Рь — средняя частота орбитального обращения;

V卩>=(9/©) J 財8” (12.53) о

есть усредненный коэффициент вязкости компаньона;卩一 локальный коэффициент вязкости, г/(см • с); Л (d, Q/九) 一сложная функция 产 и Q/九，имеющая примерно такой общий вид:

h (兄 Й/n)=瓦 曾—(Q/九)h (с?). (12.54)

Для круговой орбиты (е = 1)力^ 三 力2 曰 1, однако для двойного пульсара (е ^ 0,6)力 1 и 力2 могут быть на порядок больше (при этом Лх > Л2). Следует заметить, что если Q V 九(компаньон вращается навстречу орбитальному обращению), приливное затухание всегда уменьшает орбитальную энергию и соответственно период, в то время как при Q/n > 力 1 (е2)/Л2 (с?) (компаньон вращается вокруг своей оси немного быстрее, чем обращается по орбите) затухание увеличивает орбитальную энергию (из-за энергии вращения вокруг оси) и приводит к увеличению периода. Пусть даже компаньон вращается синхронно с обращением по орбите (приливная синхронизация, Q = и), и в этом случае все равно остается приливное затухание, обусловленное меняющейся во времени деформацией компаньона, возникающей вследствие 252

эксцентрического движения пульсара. Подставляя в (12.52) наблюдаемые значения параметров, получаем

%/厶* —Х(1 +Х)2(/п//и®)-"/з(к2/105км)9х

X V卩＞13九(發，а/〃)・2・10-9годт,(12.55)

где V卩＞13= 10-13 ＜卩＞・ Для стандартной молекулярной вязкости ＜卩＞ ~ i н ＜卩＞13 〜 Ю~13, так что приливное затухание пренебрежимо мало. Однако если вязкость будет обусловлена вызванной приливными силами турбулентностью [14, 233], то ＜(1＞13 может достигать единицы. Для компаньона ■— гелиевой звезды отношение Рь/Рь тогда может быть порядка общерелятивистской квадрупольной скорости радиационного затухания. Для партнера — белого карлика (R2 ＜ ＜ 104 км) приливное затухание пренебрежимо мало, если только белый карлик не вращается с очень большой скоростью (|Q|》九)， когда возникает сильная вязкость другого типа, например магнитная вязкость (V卩＞13 ~ 105) [294].

Потеря массы системой. Испускание энергии пульсаром в различных формах (частицы, электромагнитное излучение и т. п.) приводит к уменьшению его вращательной кинетической энергии и соответственно к увеличению периода пульсаций согласно выражению

Евр = —/ (2RPp)2Rp/Pp,(12.56)

где,/ — момент инерции пульсара. Утечка энергии в результате потери массы пульсаром приводит к изменению орбитального периода со скоростью

Рь/Ръ =^ т^т.(12.57)

Если испускание энергии осуществляется главным образом с помощью релятивистских частиц (фотонов, например), то основная потеря массы будет происходить за счет кинетической энергии вращения, т. е.

Евр W 而i・(12.58)

Тогда

31Pb - IO-(加/2,85加0)-1厶5户p/рp,(12.59)

где /45 = 〃 (1046 г • см2). Поскольку наблюдаемое значение Рр/Рр ^ ^ 4 • 10-9 1/год (см. табл. 12.1), то обусловленное потерей массы Рь/Ръ должно быть порядка 10~14 1/год.

Ускорение двойной системы. Если центр масс двойной системы испытывает ускорение по отношению к солнечной системе, то и орбитальный период, и период пульсаций меняются со скоростью

户ь/А 二户р/Рр=；о =an H-rj1^2— (vn)2],(12.60)

где V и а — скорость и ускорение двойной системы по отношению к солнечной. Здесь первое слагаемое представляет собой проекцию ускорения на луч зрения (лучевое ускорение), а второе — влияние перемещения луча зрения (поперечного смещения). Ускорения могут при-

253

водить также к наблюдаемым вторым производным периодов по времени

Ръ/Ръ = Рр/Рр = Го + 2 (Р/Р\ 70 ~ 2；§, (12.61) где (户/Р)о — наблюдаемая относительная скорость изменения соответствующего периода.

Одна из возможных причин ускорения — несохранение полного момента импульса в некоторых теориях тяготения — рассмотрена в § 9.3. Так наблюдаемые границы Рр/Рр были использованы для установления потенциального предела ППН параметра ^2, связанного с законами сохранения (в этом случае второе и третье слагаемые в (12.61) пренебрежимо малы по сравнению с первым).

Другая причина — неоднородное вращение галактики. Пусть двойной пульсар и солнечная система движутся по круговым орбитам в нашей галактике с угловыми скоростями Qb и на расстояниях от центра галактики гь и г^ и имеют долготу относительно центра галактики (рь и(р0. Тогда (12.60) принимает вид

Рр/Рр = Ръ/ръ = (й®—5)2 质 гъ 历"COS (%—ф@)—

—Г® ГЬ Го2 Sin 他一Ф®)]. (12.62)

Оценки положения двойного пульсара и расстояния до него [141] дают 入^5 кпк; г© ^ 10 кпк; гь « 8 кпк; (рь —(р@ ^ 30°. Используя стандартный закон вращения галактики Q (г)〜Wlr (где W = = 250 км/с), получаем

%/"=厶/厶〜2•10f 1/год.(12.63)

Это значение слишком мало, чтобы играть какую-либо роль [291, 364].

Еще одной причиной ускорения может быть третье массивное тело в окрестности двойного пульсара. Для тела с массой т3 и элементами круговой орбиты а3,(о3 и f3 имеем

А/Р产户p/厶^ -(*『(謚£)%sin%8S(5 + <P), (12.64) где ф —— истинная орбитальная аномалия, и соответственно

%/А = %/厶 ^ (毋"У ()仰 sin & sin(5 + 屮)・(12.65)

Тогда легко показать, что если ц — наблюдаемый верхний предел jAp/PpI, то вклад третьего тела в изменение периодов ограничен согласно выражению

IРр/РрI = 1%/Pbl V 陋脸'门(^/Ю-И ГОД寸4/7 I ctg (屮 + (Оз) X

X sin (ср + зз)з/7|7 . Ю-® год-1,(12.66)

/ = (a sin i# (加 + 加3尸/ = (a sin i# (加 + 加3尸(12.67)(12.67)где

/ = (a sin i# (加 + 加3尸

/ = (a sin i# (加 + 加3尸

(12.67)

(12.67)

есть функция масс двойной системы по Отношению к третьему телу. Поскольку за год наблюдаемое значение Рр/Рр не меняется больше чем на экспериментальную погрешность (см. табл. 12.1), можно сделать вывод, что Т)V IO-" год-2. Явное определение т] из фазовых данных позволит уточнить этот предел и поможет определить степень правдоподобности того факта, что за часть наблюдаемого изменения периода ответственно третье тело.

Прецессия оси вращения пульсара. Если пульсар представляет собой быстро вращающуюся нейтронную звезду, он должен испытывать ту же релятивистскую прецессию оси вращения, какую испытывает гироскоп на орбите вокруг Земли (см. § 9.1). Доминирующими эффектами здесь являются геодезическая прецессия, обусловленная гравитационным полем компаньона, и прецессия типа эффекта Лензе— Тирринга, связанная с «магнитным» гравитационным полем, создаваемым орбитальным движением компаньона [см. (9.1), (9.3) и (9.4)]. Прецессия Лензе—Тирринга, связанная с возможным вращением компаньона, является пренебрежимо малой. Подставляя (9.1), (9.3) и (9.4) с J = 0 в (6.108), используя элементы орбиты двойного пульсара и усредняя по периоду обращения, получаем

dS/dt = QXS; (12.68)

(12.69)(12.69)Q = (3n/Pb)[ml/ma (1 一 叫十(2卄 1) ++ -^Y b N—^ %)(恤/恤)]h,

(12.69)

(12.69)

где 7 и ах — ППН параметры; h ——единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты [16, 121, 266]. При получении этого результата не учитывалась возможность поправок к эффективным массам, обусловленных применением модифицированного ЭИХ формализма в альтернативных теориях гравитации. Значение Q составляет около 1 7год (сравни с прецессией гироскопа на орбите вокруг Земли в § 9.1); заметим, однако, что прецессия должна отсутствовать, если ось вращения пульсара нормальна к плоскости орбиты.

Если прецессия имеет место, ее можно использовать для проверки теории гравитации. Однако едва ли не более плодотворным является использование релятивистской прецессии для изучения природы механизма излучения пульсара. Вследствие прецессии луч зрения наблюдателя пересекает поверхность нейтронной звезды на различных широтах, что может способствовать получению двумерной информации о структуре испускаемого луча, равно как и изучению широтных изменений спектра и поляризации луча. К сожалению, согласно большинству моделей пульсара его радиоимпульсы испускаются в чрезвычайно узком луче, так что не исключена возможность внезапного полного исчезновения пульсара.

Сравним теперь результаты измерения параметров двойного пульсара с предсказаниями теорий тяготения. Именно здесь наша «философия» проверки теорий тяготения несколько отклоняется от принятой в гл. 2——9. Там мы считали эксперименты «чистой» проверкой тео-

рий тяготения. Поскольку сопровождающая негравитационная физика, связанная с солнечной системой и лабораторными экспериментами, разработана довольно хорошо, экспериментальные результаты можно было рассматривать как независимый способ проверки альтернативных теорий тяготения. Хорошим примером такого подхода является ППН формализм. В результате происходит «съеживание пространства теорий», как это показано на рис. 8.2 и 8.3.

Однако при проверке теорий гравитации на таких сложных астрофизических системах, как двойной пульсар, уже нельзя быть уверенным в сопутствующей физике. В таких случаях подход, не учитывающий гравитационной теории, неплодотворен. Более соответствующим является подход, предполагающий раз за разом, что отдельные теории являются корректными, а затем использующий результаты наблюдений для формулировки совместимых с данной теорией положений относительно сопутствующей негравитационной физики системы. Достоверность данной теории будет поставлена под сомнение, если формулированные физические положения окажутся несостоятельными, нелогичными или суперисключительными, присущими только данной теории. Такой метод особенно удобен при оценке теорий, дающих количественно различные предсказания для сложных астрофизических систем. Эта философия «сжимания физического пространства» будет проиллюстрирована (с использованием релятивистской теории тяготения для определения астрофизических параметров) на примере ОТО, теории Бранса—Дике и биметрической теории Розена.

ДВОЙНОЙ ПУЛЬСАР СОГЛАСНО ОТО

Сравнение параметров двойного пульсара и предсказаний релятивистской теории гравитации проще и естественнее всего выполняется в рамках ОТО. В ОТО нет ЭИХ поправок на собственную гравитацию масс, обусловленных нарушением ССПЭ (см. § 11.3), как нет и дипольного гравитационного излучения. Это значит, что S5 三乡三 а；三 =yl = I и feD = Т)* = 0. При этом наиболее важные измеряемые параметры системы определяются следующими выражениями:

функция масс

=(% sin 炉/加2；(12.70)

орбитальный период

PJ2 门=(紋/加)1/2；(12.71)

смещение периастра в случае, если спутником пульсара является черная дыра, нейтронная звезда или невращающийся белый карлик,

厶=(m/m©)2/3 2,10 7год;(12.72)

вращающийся белый карлик

厶=(ги//и@)2/з • 2/0 °/год + a (zn/zn@)~2/3P2 ( cos 0) • 0,83 7год

(12.73)

или вращающаяся гелиевая звезда с жесткой (фиксированной) ориентацией

中信）］2ТЗ；中信）］2ТЗ；* =(加/啕2/3.2,10。"。" + 儀_厂"3(备)(_^『х

中信）］2ТЗ；

中信）］2ТЗ；

(12.74)(12.74)XX

(12.74)

(12.74)

параметр доплеровского второго порядка и гравитационного красного смещения

% =(m2/m)(m/加0)2/3 (1 + m2/m)- 2,93 ме;(12.75)

реакция на гравитационное излучение (чистый квадруполь) (厶田瀉=-(т/т0)5/зх (1 + XL ・ 1,91 ・《К год-】. (12.76) Эти выражения вместе с измеренными значениями, приведенными в табл. 12.1, дают ограничения возможных масс пульсара и его компаньона, а также наклонения орбиты i. Легче всего продемонстриро-

Рис. 12.2. Плоскость ть т2 в ОТО. Заштрихованная область соответствует всем ограничениям, полученным при наблюдении. Темная точка соответствует наиболее вероятным значениям массРис. 12.2. Плоскость ть т2 в ОТО. Заштрихованная область соответствует всем ограничениям, полученным при наблюдении. Темная точка соответствует наиболее вероятным значениям масс

Рис. 12.2. Плоскость ть т2 в ОТО. Заштрихованная область соответствует всем ограничениям, полученным при наблюдении. Темная точка соответствует наиболее вероятным значениям масс

Рис. 12.2. Плоскость ть т2 в ОТО. Заштрихованная область соответствует всем ограничениям, полученным при наблюдении. Темная точка соответствует наиболее вероятным значениям масс

вать эти ограничения на плоскости 加卜 m2 (рис. 12.2). Одно ограничение накладывается функцией масс и тем фактом, что sin i《1. Смещение периастра вынуждает систему находиться на прямой линии, обозначенной ЧД-НЗ-БК, если компаньоном является черная дыра, нейтронная звезда или белый карлик. Эта линия соответствует общей

257

массе m = 2,85/п@. Полезно отметить, что максимальная масса не- вращающегося белого карлика составляет 1,4/и®.

Если компаньоном является быстро вращающийся белый карлик, система может находиться в областях, обозначенных ОБК и НБК и соответствующих однородному и неоднородному вращению белого карлика [см. (12.73)]. Область слева от прямой ЧД-НЗ-БК соответствует белым карликам, ось вращения которых ориентирована перпендикулярно плоскости орбиты (0 = 0). В этом случае вращательный вклад в со положителен, так что суммарная масса системы получается меньше 2,85/и@・

Область справа от линии ЧД-НЗ-БК соответствует белым карликам с осью вращения в плоскости орбиты (0 = л/2). Здесь вращательный вклад в смещение периастра является встречным и, следовательно, m > 2,85/и®. Параметр а, зависящий от строения и скорости вращения белого карлика, был рассчитан в [294]. На рис. 12.2 показаны также области, соответствующие в роли компаньона гелиевой звезде, вращение которой синхронизовано приливными силами с орбитальным движением пульсара (Q = п). Параметры ^2 и R? для гелиевых звезд рассчитаны в [251]. В результате параметр доплеровского второго порядка и гравитационного красного смещения ограничивает местонахождение системы между двумя штриховыми линиями 留. Наконец, если приписать все измеренное затухание орбитального периода гравитационно-радиационному затуханию, то система должна находиться между штриховыми линиями Рь.

Таким образом, система может находиться только в заштрихованной области рис. 12.2. Следовательно, наиболее естественно с физической точки зрения считать компаньона черной дырой, нейтронной звездой или невращающимся белым карликом (темная точка в заштрихованной области рис. 12.2) с массой т2 = (1,42 土 0,07)mQ. Тогда масса пульсара т^ = (1,43 ± 0,07)/п® и sin i = 0,72 土 0,04. Эта оценка согласуется также с ограничением sin i V 0,96, полученным с помощью учета в счетной формуле таких постньютоновских эффектов, как запаздывание сигнала во времени [см. (12.13)] и периодические возмущения кеплеровской орбиты [308]. Однако, прежде чем уверенно принять эту оценку, следует рассмотреть возможные нерелятивистские источники периодических возмущений орбиты, приведенные в предыдущем параграфе, в частности приливное затухание и влияние третьего тела.

Итак, без учета этих слабых эффектов ОТО приводит к естественной физической конфигурации системы, так что полученные результаты поддерживают заключение о том, что измерения Ръ представляют собой первое наблюдение эффекта гравитационного излучения. Они также соответствуют квадрупольной формуле (см. § 10.3) для радиационного затухания, по крайней мере в качестве достаточно хорошего приближения, и исключают возможность того, что гравитационное излучение состоит наполовину из опережающих, наполовину из запаздывающих полей и, следовательно, вовсе не переносит энергии [262].

ДВОЙНОЙ ПУЛЬСАР В ДРУГИХ ТЕОРИЯХ ТЯГОТЕНИЯ

Теория Бранса—Дике. Поскольку эксперименты в солнечной системе ограничивают константу связи со на довольно высоком уровне (со > 500), можно ожидать, что предсказания скал я р но-тензор ных теорий для двойного пульсара будут отличаться от соответствующих предсказаний ОТО на величины порядка 1/со. Так как перенормировка собственных гравитирующих масс действительно вносит поправки порядка 1/со (см. § 11.3), то плоскость тъ т2 в скал я р но-тензор ных теориях неотличима от такой плоскости в ОТО. Даже возможное введение дипольного гравитационного излучения не вносит серьезных ограничений ни в «пространство физики», ни в константу связи со. Подставляя & = 2/ (2 + со) в (12.51), получаем

(А/Рь)дш! = -(5ОО/(о)(е/О,1)2 (卩/加@) • 10-9「од—1.(12.77)

Для моделей нейтронной звезды с массами около 1,4m® чувствительность s 比 0,39 [88]. Следовательно, член (Рь/Рь)дип может быть существенным, если компаньоном является белый карлик или нейтронная звезда с массой, отличающейся от массы пульсара больше чем на 10 %. В этом случае константа связи может быть даже больше 500. Однако наблюдаемым данным также хорошо соответствует (при со 〜 ~ 500) система с двумя нейтронными звездами почти равной массы или одна из приведенных выше возможностей малого вклада в Ръ от нерелятивистских источников.

Это тот случай, когда предсказания теории достаточно близки к предсказаниям ОТО, а неопределенности «$нзнкн》слишком велики, чтобы надежно судить о достоверности теории. Примерно таких же выводов следует ожидать в обобщенных скалярно-тензорных теориях, например в теории переменных масс Бекенштейна (см. § 5.3).

Биметрическая теория Розена. В этой биметрической теории, однако, ситуация совершенно иная. По двум причинам ЭИХ поправки к массам на собственную гравитацию (см. § 11.3) приводят к качественным отличиям. Во-первых, поправочные члены в 乡,* н др. имеют порядок s и, во-вторых, в биметрических моделях нейтронных звезд s может быть гораздо больше, чем в соответствующих моделях ОТО. В табл. 12.2 приведены значения s и s' для нормальных звезд, белых карликов и нейтронных звезд с инертной массой до 14,5/и© [367]. Из этих значений рассчитаны [см. (11.72) и (11.113)]

乡 n 1^" Si S2；芋=J~(S1+S2)+ "~ Si $2 ]乡 +

4-8 (加”；82+^82 s{)/27 tn(12.78)

и построен график для биметрической теории на плоскости тъ т2 (рис. 12.3). [Для простоты влияние изменения Gl на параметр 必 не учитывалось, см. (12.43). Оно существенно, только если компаньоном является нейтронная звезда (т)* = ^$2)и ожидаемое изменение ^ не превышает 20 % J

Таблица 12.2. Э ИХ-чувствительности s к s' в биметрической теории Розена (для уравнений состояния из [52], точность ±3 в последнем знаке; прочерк означает, что точное значение не рассчитано)

Объект

S

S，

Объект

S

s，

Нормальная звезда

〜10-6

〜10一&

Нормальная звезда

〜10-6

〜l 0-6

Белый карлик

<10~3

< ю-3

Белый карлик

< 10-3

< io-3

Нейтронная звезда с w/Wq

0,097

0,006

二

2,371

0,258

0,294

0,165

0,018

3,217

0,331

0,271

0,409

0,048

0,065

4,553

0,410

0,223

0,635

0,071

0,099

7,177

0,494

0,175

0,865

0,096

0,132

10,93

0,561

0,152

1,158

0,128

0,174

12,34

0,582

0,222

1,868

0,206

0,265

14,45*

0,628

—

Максимальная масса.

Компаньоном не может быть невращающийся белый карлик, поскольку при этом нарушилось бы условие sin i & 1. Если компаньон ——нейтронная звезда, система должна находиться на кривой НЗ, имея полную инертную массу порядка 7/и®. Введение ограничения, обусловленного доплеровским эффектом второго порядка и гравитационным красным смещением (кривая 留),приводит к серьезным затруднениям. Вследствие дипольного гравитационного излучения система должна набирать энергию, а ее период — увеличиваться со скоростью

(厶/4)皿口 亠 + 2 (©/0,3)2 (卩/т@) • 10-ь「од-* (12.79)

численные значения которой приведены у точек на кривых рис. 12.3. Для согласия с наблюдаемым значением Ръ/Рь =——(2,4 土 0,4) X X 10-9 год-1 в теории должен существовать механизм (приливное затухание, влияние третьего тела), способный компенсировать предсказываемое увеличение и дать наблюдаемое уменьшение периода. Искусственность и заданность природы такого механизма наносят непоправимый урон достоверности теории.

Решающая проверка теории гравитации. Последний результат фактически можно получить и во многих других теориях, особенно с заранее заданной геометрией (априорно-геометрических). В таких теориях ССПЭ нарушается, и разница между ними и ОТО становится тем больше, чем сильнее гравитационное поле. Следовательно, можно ожидать качественной перенормировки ЭИХ масс, аналогичной перенормировке в биметрической теории Розена. Далее, все такие теории должны предсказывать дипольное гравитационное излучение с амплитудой того же порядка, что и в биметрической теории Розена. Таким образом, 26Q

вполне вероятно, что двойной пульсар способен исключить из рассмотрения широкий класс альтернативных теорий тяготения.

Однако теории «чисто динамического» класса обладают тем свойством, что влияние добавочных гравитационных полей в них обычно можно сделать сколь угодно малым как при слабом, так и при сильном поле гравитационного излучения с помощью выбора достаточно «сла-

Рис. 12.3. Плоскость 加卜 m2 в биметрической теории Розена (масштаб здесь почти в 2 раза больше, чем на рис. 12.2). Значения Рь/Рь даны с учетом дипольного гравитационного излучения

бых》 констант связи (например, со-if 0 в теории Бранса—Дике). Таким образом, теория Бранса—Дике при со > 500 согласуется с современными данными по двойному пульсару, несмотря на то, что она также предсказывает дипольное гравитационное излучение. Такие теории, плавно и непрерывно переходящие в ОТО, в действительности никогда не смогут быть отделены от нее (до тех пор, пока эксперимен* ты согласуются с ОТО). За исключением этих случаев, двойной пуль-? cap можно рассматривать как объект решающей проверки теории тяго-： тения.

ГЛАВА 13

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ

С открытием в 20-х годах Хабблом и Слайфером разбегания далеких галактик и следующего из этого разбегания расширения Вселенной космология также стала областью проверок теорий тяготения. Во времена этого открытия оно считалось существенным подтверждением ОТО по следующим двум причинам. Во-первых, ОТО в своей начальной форме предсказывала динамическую Вселенную, которая должна была или расширяться, или сжиматься. Разумеется, позднее Эйнштейн модифицировал свою теорию введением в уравнения поля «космологического» члена для получения статического космологического решения в соответствии с дохаббловскими наблюдениями тех лет. К его большой радости, открытие Хаббла позволило ему опустить космологический член, введение которого он как-то назвал самой грубой ошибкой своей жизни.

Второй причиной был тот простой факт, что ОТО способна была описать строение и эволюцию Вселенной в целом, чего не могла сделать ньютоновская теория тяготения (без специальных допущений). Однако эта способность есть скорее следствие ЭПЭ (в противоположность постулатам метрических теорий), нежели самой ОТО. ЭПЭ вводит в пространство-время метрику & которая определяет результаты наблюдений, выполненных негравитационной аппаратурой (световые лучи, телескопы, спектрометры и т. п.), и движение пробных тел (галактик). Через уравнения поля произвольной теории тяготения распределение материи далее определяет метрику gn, следовательно, полное физическое пространство-время^ в котором выполняются наблюдения. По контрасту в ньютоновской космологии пространство и время зафиксированы априори и проблемой является либо определение и интерпретация границ конечной Вселенной, либо математические трудности, связанные в теории Ньютона с бесконечной Вселенной (обсуждение ньютоновской космологии см. в [277]).

Но успехи ОТО в описании расширения Вселенной не сняли всех сомнений. Главным среди них оставалась «проблема масштабов времени». Ранние значения параметра Хаббла — отношения скорости удаления данного объекта к расстоянию до него—давали возраст Вселенной с момента начала расширения («большого взрыва》) меньше возраста звезд (согласно теории эволюции звезд ) и радиоактивных элементов на Земле. Однако к концу 50-х годов пересмотр шкалы внегалактических расстояний (увеличение их примерно в 5 раз) и соответственное уменьшение параметра Хаббла увеличили возраст Вселенной до значений, превосходящих возраст нашей галактики, разрешив тем самым проблему масштабов времени.

Однако решающим подтверждением модели «большого взрыва》 стало открытие в 1965 г. реликтового излучения с температурой 3 К [228]. Это открытие свидетельствует, что когда-то Вселенная была гораздо горячее и плотнее, чем сегодня (подробное обсуждение и интерпретацию открытия реликтового излучения см. в [3471). В частно- 262

сти, оно сделало стационарные теории Бонди, Голда и Хойла несправедливыми. Оно также позволило объяснить расхождение между наблюдаемым космическим распространением гелия (20—30 % по массе) и оценками содержания гелия в звездах (максимум несколько процентов). Расчеты [224, 334] ядерного синтеза при горячем (1 ГК) Большом взрыве дали распространение гелия точно в наблюдаемом диапазоне (обзор см. в [275]). Модель высокотемпературного Большого взрыва в рамках ОТО в настоящее время является стандартной рабочей космологической моделью (обзор общерелятивистской космологии см. в 1185, 225, 277, 346, 377]).

Однако космологические модели в рамках альтернативных теорий тяготения пока еще не получили систематического исследования с точки зрения их использования для проверки этих теорий. Одной из причин является то, что при точной формулировке в области сильных полей альтернативные теории так сильно отличаются друг от друга, что до сих пор не удается разработать общей схемы, аналогичной ППН формализму, для их классификации, сравнения и проверки наблюдениями. Кроме того, космологические наблюдения не представляют собой «чистого» гравитационного теста, ибо требуют для интерпретации привлечения обширной «грязной» астрофизики.

Тем не менее многие альтернативные теории тяготения, даже те, постньютоновские пределы которых идентичны или близки постньютоновским пределам ОТО, в своей полной формулировке отличаются от нее настолько, чтобы предсказывать различный ход космологической истории. Они могут отличаться настолько, что наблюдения, например, самого существования реликтового излучения или распространения гелия, какими бы неточными они ни были, могут оказаться достаточными для исключения некоторых теорий, несмотря на наличие астрофизических и экспериментальных неопределенностей.

В § 13.1 обрисован общий подход, используемый при построении космологических моделей в альтернативных метрических теориях гравитации. В § 13.2 изложен краткий качественный обзор того, что известно в настоящее время о космологии в этих теориях.

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЛЬТЕРНАТИВНЫХ

ТЕОРИЯХ ТЯГОТЕНИЯ

Предположим сначала справедливость двух важных принципов, касающихся природы Вселенной, которые должны выполняться в любой метрической теории тяготения, — ЭПЭ и космологического принципа. Как показано в гл. 2, справедливость ЭПЭ эквивалентна принятию метрической теории тяготения. Космологический принцип состоит в утверждении, что Вселенная представляется одинаковой всем наблюдателям в любую фиксированную эпоху космического времени или, что то же самое, что Вселенная однородна и изотропна в пространстве, по-крайней мере в больших масштабах (около 100 Мпк). Космологический принцип может быть подтвержден наблюдением изотропности Вселенной, в особенности реликтового излучения, в предположении, что мы занимаем типичное, а не какое-то специальное место

во Вселенной (принцип Коперника). Ни одно из этих предположений не подвергается особым сомнениям (см., однако, [101]), хотя в рамках ОТО детально рассматривались космологические модели, согласно которым приблизительно изотропная в настоящее время Вселенная в прошлом была сильно анизотропной (обзор см. в [169]).

В метрике g которая описывает пространство-время, вследствие ЭПЭ негравитационные законы физики в локальных лоренцевых системах отсчета принимают спецрелятивистскую форму. Космологический принцип при этом требует, чтобы линейный элемент метрики g принимал форму линейного элемента Робертсона—Уокера (см. [185, § 27.6])

ds2 = g^x^ = —d产 + 犀⑴如2 = —d产 + @2 (f) [(1 _ 旣2)一以

X d产 + 产(d02 + sir? 0d(p2)],(13.1)

где г, 0 и ср — безразмерные координаты; t — собственное время, из" меренное покоящимися атомными часами; a (f) — параметр расширения (в единицах длины);々=0 или ±1 ——константа. Каждый элемент космической материи (галактика) предполагается покоящимся в этих координатах. Если ^ = 1, модель Вселенной является закрытой (Вселенная имеет замкнутые пространственные области), если k = —1, модель Вселенной открыта, и если ^ = 0, Вселенная открыта и имеет евклидовы области пространства. Альтернативную форму метрики, принятую в § 4.1 для отыскания асимптотически-плоской ППН метрики, можно получить из этого с помощью перехода к новой радиальной координате г' согласно выражению

г = (r7a0) (1 + "2/4喲-1,(13.2)

где а0 — значение а (0 в настоящую эпоху.

Хотя измерение а。чрезвычайно затруднено, скорость его изменения со временем может быть наблюдаема. В частности, определяя параметр Хаббла Hq и параметр торможения 击 как

"о = (а/а)0;

(13.3)

% = —”7’(а/а)о，

где нуль в индексе соответствует значению в настоящую эпоху, можно получить их различными методами, например измеряя зависимость красного смещения далеких галактик от их яркости или угловых размеров. В настоящее время наилучшими значениями этих параметров считаются "° ^ 60 土 20 км/ (с • Мпк) и —1 < ^02. Большая не

определенность до является следствием неопределенности влияния галактической эволюции на светимость далеких галактик, используе-

мых в качестве «стандартных свечей» при измерениях зависимости све» тимость — красное смещение для других галактик.

Справедливость ЭПЭ позволяет также определить поведение материи во Вселенной вне зависимости от теории тяготения. Если считать материю идеальной жидкостью, то можно показать, что уравнение движения 7腎 =0 (см. [185]) даст следующие уравнения для эволюции плотности массы-энергии р (f) и давления р (/)：

(13.4)(13.4)Р (0 =Pmo [ao/a(f)]3+ pMao/Q (OF；

(13.4)

(13.4)

где pm0 и pg — плотности массы-энергии соответственно для материи и излучения в настоящую эпоху. Эти уравнения справедливы до температуры 1010 К, при которой происходит аннигиляция электронов и позитронов.

Опишем теперь в общих чертах предлагаемый метод для конструирования космологических моделей в произвольной метрической теории тяготения.

Шаг 1. Используем космологический принцип для определения математической формы в координатах Робертсона—Уокера всех динамических и нединамических полей теории. Для динамических полей, перечисленных в § 5.1, эти формы таковы: метрическая (13.1) ds2 = =―d* + a2 (Z)da2, скалярная ср (/), векторная K^dx^ = К (f)df, тензорная В^1vd/dxv = соо (0^2 + со】(DdM где da определено в (13.1). Для нединамической плоской фоновой (абсолютной) метрики ”，описываемой уравнением Riem (ц) = 0, общий вид линейного элемента dg? = Tj^vdA^d%” в координатах Робертсона——Уокера

d 孑2 = _；2 ⑴力2 + 工2 ^da2 (13.5) для k = —1 и

d孑2 = _N (/)山2 + 曲2 (13.6)

для 尼=0・ Здесь, как и в§ 11.3, мы пренебрегали возможностью совмещения вершин световых конусов метрик “ng. Заметим, что для 尼=1 решения не существует, так что весьма маловероятно, что теория гравитации с плоской фоновой метрикой может иметь замкнутую (尼=1) космологическую модель для физической метрики g. Разумно предположить, что нединамическая космическая временная координата Т = = Т (f). Материальные переменные при этом имеют вид р = р (f); р = р (t) и и^ = (1, 0, 0, 0).

Шаг 2. Подставим эти переменные в уравнения поля теории.

Шаг 3. Установим граничные условия для полей, в частности для их значений в настоящее время(р0, Ко, т0, а。и т. д. Эти значения в общем должны быть связаны с такими измеряемыми величинами, как Яо, до н 財 а также с ППН параметрами и со скоростью изменения G в 9 Зак. 6 6 4 265

настоящее время, т. е. с (G/G)o. Используем экспериментальные значения или пределы этих параметров в настоящее время для ограничения класса рассматриваемых космологических моделей.

Шаг 4. Проинтегрируем уравнения поля и уравнения движения назад в прошлое (используя, как правило, численные методы), учитывая возможные изменения уравнений состояния для материальных переменных с увеличением плотности и температуры Вселенной (обсуждение см. в [185]).

Шаг 5. Проверки. Хотя космологические данные скудны и неточны, есть два свидетельства состояния ранней Вселенной, относительно которых нет особых разногласий, — реликтовое излучение и космическое распространение гелия.

Реликтовое излучение. Согласно общепринятым представлениям оно является остатком («реликтом») гораздо более горячей, более плотной фазы развития Вселенной, когда температура превосходила 4 кК・ Никакого разумного механизма пока не было предложено для возникновения такого излучения в последующие эпохи (при 7 V 4 кК), который согласовался бы как с наблюдаемой высокой степенью изотропности реликтового излучения (после учета движения Земли, см. § 8.2), так и с высокой степенью близости его спектра спектру черного тела. Для эпохи, предшествовавшей состоянию с 7 = 4 кК, имеется несколько физических процессов, соответствующих наблюдаемому реликтовому излучению, от рекомбинации электронов и протонов с образованием водорода до квантового испарения первичных черных мини-дыр (m < 1016 г). Следовательно, для согласования космологических моделей с реликтовым излучением теория должна гарантировать, что Вселенная эволюционирует от состояния с Т > 4кК (р/р0 > 10°; а/а0 V 10-3). Примером неудовлетворительной космологической модели была бы теория, в которой Вселенная сжимается от какото-то раннего разреженного состояния до максимальной плотности и температуры, не превосходящих указанных пределов, затем взрывается и расширяется до настоящего наблюдаемого состояния. Такая модель не содержала бы разумных объяснений реликтового излучения. Такими свойствами обладает некоторый класс моделей в биметрической теории Розена (см. § 13.2).

Распространение гелия. Принято считать, что ядерный синтез в звездах может обеспечить только малую долю наблюдаемого гелия (20—30 % по массе) и, следовательно, основная часть гелия возникла на раннем этапе эволюции Вселенной. Аналогичное утверждение было сделано и относительно распространения дейтерия (около 2 • Ю^3 % по массе), но в этом случае вклады образования (и уничтожения) дейтерия в галактиках и химического фракционирования являются более неопределенными, так что рассмотрим только гелий [275]. Первобытный ядерный синтез требует температур более 109 К и плотности числа барионов более 10-6 см-3, так что удовлетворительные космологические модели должны предсказывать состояние по крайней мере столь же горячее и плотное. Далее, доля производимого гелия чувствительна к скорости расширения Вселенной в эпоху первобытного ядерного 266

синтеза. Причина этого в следующем: при ядерном синтезе существенно, что все нейтроны переходят в ядра гелия, поэтому распространение гелия зависит только от отношения распространений нейтронов и протонов в момент ядерного синтеза ^v, т. е.

X (《Не) = 2 (小)(1 + п/р)%(13.7)

где X ——массовая доля гелия; nip ——отношение плотностей нейтронов и протонов, которое определяется двумя факторами.

Первый ——отношение nip в момент Тр (момент вымораживания), когда слабые взаимодействия перестают быть достаточно быстрыми для поддержания нейтронов и протонов в химическом равновесии; следовательно, при вымораживании отношение их плотностей определяется выражением (п/р)р — exp [ (mn — m^IkT^ где mn и mr — массы покоя нейтрона и протона;

Тр — температура вымораживания; Л — постоянная Больцмана.

Вторым фактором является интервал времени между вымораживанием и ядерным синтезом, в течение которого свободные нейтроны испытывают распад. Чем выше скорость расширения при данной температуре, тем раньше вымерзнут слабые взаимодействия, тем выше будет Т^ и тем ближе п/р к единице. Кроме того, тем короче интервал между вымораживанием и ядерным синтезом и тем меньшее число нейтронов распадается. В результате тем выше будет содержание гелия. И наоборот, малая скорость расширения приводит к малому содержанию гелия. В некоторых космологических моделях скорость расширения во время ядерного синтеза можно феноменологически представить как

a^da/dt « g [ (8/3)冗р]'%,(13.8)

где g ——параметр, равный единице в стандартной модели ОТО; р — полная плотность массы-энергии. В результате распространение гелия приблизительно определяется выражением X (4Не) « 0,26 + 0,38 lg 自, если плотность в настоящее время р0 считать равной 10-30 г/см (обсуждение см. в [275]). Следовательно, значения g больше 3 и меньше 1/3 находились бы в резком противоречии с наблюдаемым распространением гелия. Поскольку масштаб a (f) в эпоху ядерного синтеза был в 10 раз меньше, чем в настоящее время, для любой теории тяготения это ограничение оказывается очень жестким.

Другие возможные проверки космологической модели, такие как проблемы образования галактик или наблюдаемого отношения числа фотонов к числу барионов (около 108), так плохо разработаны даже в рамках ОТО, что вряд ли могут оказаться полезными для проверки альтернативных теорий гравитации в обозримом будущем.

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОВЕРКИ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ТЯГОТЕНИЯ

Для конкретных теорий тяготения сравнения с космологией носят спорадический характер. Систематических исследований космологических моделей в альтернативных теориях тяготения не проводилось, а из тех исследований, которые были выполнены, мало какие имели своей целью изучение таких вопросов, как реликтовое излучение или распространение гелия. Перечислим коротенько, без подробностей и в большинстве случаев без комментариев те немногие результаты, которые известны на сегодняшний день.

Общая теория относительности. Стандратная модель Большого взрыва (см. [185]) согласуется, по крайней мере качественно, со всеми наблюдениями, хотя еще остаются нерешенные проблемы, возникающие при более точном и детальном сравнении с наблюдениями в таких задачах, как формирование галактик, загадка фотон-барионного отношения, начальная сингулярность, значение параметра кривизны 儿, распространение дейтерия и других легких элементов, средняя плотность вещества во Вселенной и т. п.

Теория Бранса—Дике, Расчеты [116, 346] показали, что в теории Бранса—Дике широкий класс космологических моделей согласуется со всеми наблюдениями, в том числе с распространением гелия. Модели, как и в ОТО, стартуют с Большого взрыва, единственным отличием является неопределенность граничных условий, которые надо наложить на скалярное поле 屮 в момент f = 0. Однако граничные условия могут быть выбраны так, что получающиеся результаты будут идентичны результатам ОТО для соответствующих значений неизвестной в настоящее время плотности материи р0. Больше того, чем выше со, тем ближе сходство результатов с ОТО. Во всех случаях значение G/G в настоящую эпоху находится в пределах экспериментальных погрешностей (см. гл. 8).

Теория переменных масс Бекенштейна. По контрасту с теорией Бранса—Дике эта теория может иметь космологические модели, расширение в которых начинается с несингулярного «скачка» (которому, возможно, предшествовала фаза сжатия). Авторы [22] изучали группу таких моделей, удовлетворяющих следующим ограничениям: в начальный момент расширения f (屮)мало [см. (5.40), (5.41)], т. е.(о (<р)= =—3/2 (требуется для «старта» модели с минимального радиуса) и а ^ 1016+ Ю17 см (соответствует начальной температуре 100 ГК). После численного интегрирования уравнений поля для различных значений параметра кривизны k и произвольных констант г и q (см. гл. 5) авторы [22] пришли к следующим заключениям.

Хотя исходное значение(о было довольно мало, его значение в настоящее время во многих моделях превосходит 500, давая, таким образом, хорошее согласие с контрольными экспериментами и с предсказаниями ОТО для нейтронных звезд, черных дыр, гравитационных волн, двойного пульсара и т. п. Постоянная тяготения G между на- 268

чальным моментом и настоящим уменьшается на 36—40 порядков, объясняя, таким образом, загадку «большого числа» hc/(Gm^) 1038, где Шр — масса протона. Это отношение, бывшее в начальный момент близким к единице, стало столь большим вследствие катастрофического уменьшения G. Но, несмотря на столь сильное изменение G, настоящее значение относительной скорости его изменения в большинстве моделей находится существенно ниже экспериментально установленного верхнего предела. Поскольку развитие Вселенной в этих моделях начинается с горячего плотного (хотя и несингулярного) состояния, они описывают происхождение реликтового излучения столь же естественно, как и ОТО. Однако вопрос о распространении гелия в таком описании остается открытым. Во время ядер но го синтеза (7 ~ 109К) скорость расширения Вселенной в таких моделях будет существенно отлична от скорости расширения в ОТО, поскольку тогда со было чрезвычайно мало (возможно, порядка —3/2). Только тщательные детальные расчеты могут показать, согласуются ли космологические модели теории переменных масс с наблюдаемым распространением гелия.

Биметрическая теория Розена. Из-за наличия в этой теории плоской фоновой метрики п закрытых (尼=1) космологических моделей в ней нет. Эвклидовы (尼=0) модели рассматривались в [И, 54]. Имеется только два класса моделей, содержащих физически разумную фазу расширения. В моделях одного из этих классов Вселенная расширяется от сингулярного состояния в конечный момент собственного времени в прошлом. Такие модели дают вполне определенную оценку

(G/G)o > 0,51% [1 + 3QWO (1 + aj-1], (13.9)

где Qmo = 4лрто/(3//о)； «го 一 значение ППН параметра а2 в настоящее время. Эксперименты (см. гл. 8) дают ограничение |а20|《1, а из наблюдений следует, что Qm0 < 0,1 для Яо = 55 км/ (с • Мп к). Это предсказание в будущем можно будет проверить экспериментальным измерением или оценками предела (G/G)o. Модели другого класса содержат скачок при минимальном радиусе, определяемом выражением [54]

。^"。0 >11 + (1 + a20)/3Qm0]-2 > 1/60. (13.10)

Это значение слишком велико для естественного объяснения происхождения реликтового излучения.

Открытые модели (尼=—1) среди прочих возможностей имеют возможность расширения от сингулярного состояния за конечное собственное время, а также сходное расширение от сингулярного состояния за бесконечно большое время в прошлом [115]. Эти модели не могут быть согласованы со значениями ППН параметров, параметра Хаббла "о н (G/G)o в настоящее время. Автор [261] исследовал также модели, в которых фоновая метрика п не является плоской, а скорее соответствует пространству-времени постоянной кривизны. Ни в одной из этих моделей биметрической теории Розена распространение гелия не исследовалось.

Теория Рэстолла. Как и В теории Розена, наличие плоской фоновой метрики исключает возможность закрытых (论=1) космологических моделей. Автор [238] показал, что модели с 尼=0 предсказывают фазу сжатия, несингулярный скачок и затем фазу расширения. Однако скачок происходит при радиусе amjn/aQ « 1/18, слишком большом для объяснения как реликтового излучения, так и распространения гелия.

Хотя приведенные результаты весьма фрагментарны, они иллюстрируют один важный момент. Для некоторых теорий тяготения космология может дать тесты, решающие вопрос их существования. Это особенно касается тех теорий, в которых предсказания современных гравитационных явлений (постньютоновский предел, нейтронные звезды, гравитационное излучение, современные космологические наблюдательные факты) неотличимы от таковых в ОТО, например теории переменных масс. Для таких теорий гравитационные явления на ранней стадии развития Вселенной могут существенно отличаться от предсказываемых ОТО, так что реликтовое излучение и распространение легких элементов могут помочь определить наиболее корректные из них.

список СОКРАЩЕНИЙ, ПРИНЯТЫХ В РУССКОМ ИЗДАНИИ

ГМД — гравитационно-модифицированные дираковские (уравнения)

ГММ — гравитационно-модифицированные максвелловские (уравнения)

ГСПР — генератор со сверхпроводящим резонатором

ГСПЭ — гравитационный слабый принцип эквивалентности

ЛЛИ — локальная лоренцева инвариантность

ЛПИ — локальная позиционная (пространственная) инвариантность

НТТ — ньютоновская теория тяготения

ОТО — общая теория относительности

ПМ — Петерса—Мэтьюза

ППН — параметризованный постньютоновский

СПЭ — слабый принцип эквивалентности

ССПЭ — сильный принцип эквивалентности

ССС — статическое сферически-симметричное

СТО — специальная теория относительности

ЭИХ — Эйнштейна—Инфельда—Хофмана

ЭПЭ — эйнштейновский принцип эквивалентности

1

/ 3

4

5 б

7

8

9

10

11

12

13

14

15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Alexander, М. Е. (1973). The weak friction approximation and tidal evolution in close binary systems. Astrophys. and Space Sci. 23,459-510.

Allen, C. W. (1976). Astrophysical Quantities. Athlone, London.

Alley, С. O. (1979). Relativity and Clocks. In Proceedings of the 33rd Annual Symposium o〃 Frequency Control. Electronic Industries Association, Washington D.C

Anderson, J. D, (1974). Lectures on physical and technical problems posed by precision radio tracking. In Experimental Gravitation: Proceedings of Course 56 of the fnternational School of Physics "Enrico Fermi；、ed« B, Bertotti, pp. 163-99. Academic, New York.

-(1979). Private communication.

-Colombo, G., Friedman, L. D., and Lau, E. L (1977). Aft arrow to the Sun. In Proceedings of the International Meeting。〃 Experimental Gravitation, ed. B. Bertotti, pp. 393-422. Accademia Nazionale det Lincei, Rome.

一 Esposito, P. B., Martin, W., Thornton, C. L・,and Muhleman, D・ O・ (1975). Experimental test of General Relativity using tirtie-delay data from Mariner 6 and Mariner 7, Astrophys, Z 200,221-33.

-Keesey, M. S, W., Lau, E・ L・，Standish, E. M., Jr., and Newhall, XX (197或 Tests of General Relativity using astrometric and radiometric observations of the planets. Acta Astronautica. 5,43-61.

Arnett, W・D” and Bowers, R. L. (1977). A microscopic interpretation of neutron star structure. Astrophys. J. Supp, 33,415—36,

Baade, W., and Zwicky, F・(1934). On supernovae. Proc. №/. Acad. ScL (US/). 20,254-9.

Babala, D・(1975). Cosmological models in Rosen's theory of gravitation. ЛРЛ^.И.а, 1409-12.

Bahcall, J. N. (1978). Masses of neutron stars and black h"es in X-ray binaries, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 16, 241-64.

Baierlein, R. (1967). Testing General Relativity with laser ranging to the МООЩ Phys. Rev. М2, 1275-88.

Balbus, S. A., and Brecher, K. (1976). Tidal friction in the binary pulsar system PSR 1913 + 16. Astrophys. J. 203,202-5.

Barker, B・M・ (1978). General scalar-tensor theory of gravity with constant G・ Aslrophys, J. 219； 5-11,

161 and О*Сош1е11, R・ E (1975). Relativistic efifects ia the binary pulsar PSR

1913 + 16. Astrophys. Л 199, L25-6.

17 Baym, G., and Pethick, C. (1979). Physics of neutron stars. Ллл. Леи. Astrotk Astrophys. 17,415-43.

18 Sfikenstein, J. D. (1972). Nonexistence of baryon number for black holes. П. 尸加s,X”・A 5,2403-12.

19•« (1977). Are particle rest masses variable? Theory and constraints from

solar system experiments, Phys, Kev. D. 15, 1458-68.

20-(1979). Astronomical consequences and tests of relativistic theories of

variable rest masses. Comm. Astrophys. & 89-97.

21- and Meisels, A. (1978). General relativity without general relativity,

Phys. Rev. P. 18,4378-86.

22 一 and Meisels, A. (1980)» Is the cosmological singularity compulsory? Astrophys. Z 237,342-8.

23 BelinEnte, F. J., and Swihart, J. C. (1957a). Phenomenological linear theory of gravitation. I. Classical mechanics, Ann. Phys. (N.Y)J, 168-95.

24- and Swihart, J.C. (1957b), Phenomenological linear theory of gravitation.

П. Interaction witb the Maxwell field. Ann, Phys、(МУ.). 1,196-212.

25- and Swihart, J. C. (1957c). Phenomenological linear theory of gravitation.

Ш. Interaction with the spinning electron, Ann. Phys, (МУ.). g 81-99.

26 Bender, P. L., Currie, D, G., Dicke, R. H. Eckhardt, D. H., Faller, J. E., Kaula, W. M., Mulholland, J. D., Plotkin, H. H., Poultney, S. K., Silverberg, E, C., Wilkinson, D. T., Willians, J. G., and AUey, С. O, (1973). The lunar laser ranging experiment. Science 182,229 -38.

27 Bergmann, P, G. (1968). Comments on the scalar-tensor theory, Im J The叫 Phys. 1, 25-36,

28 Bernstein, J. (1973). Einstein. Viking Press, New York.

29 Bertotti, B., Brill, D.- R., and Krotkov, R. (1962). Experiments on gravitatioib 1ц Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, pp. 1-48. Wiley, New York.

30 Bessel, F. W. (1832). Versuche uber die Kraft, mit welcher die Erde Korper von verschiedener Beschaflenheit anzieht. Ann. der Physik und Chemie (Poggendorff). 25,401-17.

31 BirkhofT, G. D. (1943). Matter, electricity and gravitation in flat spacetime.

* Pn)c、Nat. Acad. ScL (USA). 29, 231-9.

32 Bisnovatyi-Kogan, G. S., and Kornberg, В. V. (1976). Possible evolution of a binary-system radio oulsar as an old object with a weak magnetic field. Sov. Astron. Lett. 2, 130-2.

33 Blandford, R., and Teukolsky, S.A. (1975). On the measurement of the mass ofPSR 1913 + 16. Astrophys. J. 198, L27-9.

34- and Teukolsky, S.A. (1976). Arrival-time analysis for a pulsar in a binary

system. Astrophys. J. 205, 580-91.

35- and Thorne, K. S. (1979). Black-hole astrophysics. In General Relativity:

An Einstein Centenary Survey, ed. S. W. Hawking and W. Israel, pp.

*454-503. Cambridge University Press, Cambridge.

36 Blokhintsev, D. I. (1966). Basis for special relativity theory provided by experiments in high-energy physics. Sov. Phys. Uspekhi. 9,405—13.

37 Bollini, C. G., Giambiagi, J. J., and Tiomno, J. (1970). A linear theory of

*gravitation. Nuovo Cim. Lett. 3, 65-70.

38 Bondi, H- (1957). Negative mass in general relativity. Rev. Mod. Phys. 29,

△423-8・

39 sYan der Burg, M, G. I, and Metzner, A、W, K・(1962). Gravitational

waves in general relativity, VIL Waves from axisymmetric isolated systems. Proc. Roy. Soc. (tendon). 26% 21 52.

40 Bmginsiy, V. B. (1974). The detection of small accelerations, gravitational antennae, \erification of the principle of equivalence. In Experimental Gravitation： Proceedings of Course 56 of the International School of Physics “Enrico Fermi；' ed. B. Bertotti, pp. 235-62, Academic, New York.

41- Caves, С. M,, and Thorne, K. S. (1977). Laboratory experiments to test

* relativistic gravity. Phys. JRev. D. 15,2047 -68,

42- and Ginzburg, V. L. (1974). Possibility of measuring the time dependence

* of the gravitational constant. Sov. Phys. Dokl. 19,290-1.

43- and Panov, V. I. (1972). Verification of the equivalence of inertial and

gravitational mass. Sov, Phys.JETP. 34,463-6.

44 Brans* Ct and Dicke, R. H. (1961). Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Revt 124,925-35.

45 BrauK, J・ W. (1962). The gravitational redshift in the solar spectrum. Doctoral Dissertation. Princeton University.

46 BriUt D, R. (1973). Observational contacts of general relativity. In Relativity^ Astrophysics and Cosmology、edt W. Israel, pp. 127-52. Reidel, Dordrecht.

47 Brilkt, A,, and Hall, J. L. (1979). Improved laser test of the isotropy of space. Phys. Rev, Lett. 42,549-52.

48 Brown, E・ W. (I960). An Introductory Treatise 0〃 the Lunar Theory» Dover,

* New York, 49 Blumberg, V. А.» ZerdovicI}, Ya・ B・$ Novikov, L D., and Shakura, N, I.

•(1975). Component masses and inclination of binary systems containing a pulsar, determined from relativistic effects, Sor. Astron.丄e"： 1,2-4, 50 Cabrera、B・,and Van Kann, F. J・(1978). Ultra-low magnetic-field apparatus for a cryogenic gyroscope, Acta Astronautica. 5,125 -130.

31 Cain, D・ L“ Anderson, J. p” Keesey, M・ S. W” Komarek,T. Laing, P・ A” and Lau, E. L. (1970). Test of general relativity with data from Yiking orbiters and landers. BulL /m. Astron. Soc. 10,396.

52 CanMo. V, (1975), Equation of state at ultra-high densities, IL /〃〃・ Re?.

Astron, Astrophys, 13,335-80..

53 Caporaso. G“ and Brecher, K. (1977). Neutron-star mass limit in the bimetric theory of gravitation. Phys. Лег. A15,3536—42・

54 Caves* С. M. (1977). Cosmological observations as tests of relativistic gravity; Ko$en*s bimetric theory. In Proceedings of the 8th International Co〃・ firence on General Relativity and Gravitation, p・ 104, (unpublished).

55- (1980). Gravitational radiation and the ultimate speed in Rosen's bimehic

theory of gravity. Ann. Phys^ (MY,). 12J, 35-52,

56 Chandrasekhar, S・(1965). The post-Newtonian equations of hydrodynamics in general relativity, Astrophys. Z 142, 1488-1512.

57- and Contopoulos, G, (1967). On a post>Galilean transformation appro

priate to the post-Newtonian theory of Einstein, Infeld and Hoffmann, Proc. Roy. Soc. (Lcndoti). 298A, 123-41.

$8 Chazy, L (1930), Na Theorie de la R&aiiwild e〃a Mechanique Celeste^ Vol» 2, Gauthier* Villars, Paris.

59 Chin. C・W” and Stothers, R. (1976), Limit on the secular change of the gravita* tional constant based on studies of sohr evolution, Phys, Rev. Leu.

克.833+

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

7$

79

Cbiu, H.-Y., and Hoffiwan, W. F. (1964), Introduction. In 34血。而拄 ani Relativity, ed. H.-Y. Chiu and W, F. Hoffman, pp, xiii-xxxv, Benjamin, New York.

Combley, F., Farley, F. J. M., Field, J. H., and Picasso, E. (1979). g-2 expert* ments as a test of special relativity. Phys. Keu. Lett. 42, 1383-5.

Cooper, P. S., Alguard, M. J., Ehrlich, R. D., Hughes, V. W., Kobayakawa, H., Ladish, J. S., Lubell, M. S., Sasao, N., Schuler, К. P., Souder, P. A., Coward, D. H., Miller, R. H., Prescott, C. Y., Sherden, D. J., Sinclair, D. K., Baum, G” Raith, W., and Kondo, K. (1979). Experimental test of special relativity from a high-у electron g-2 measurement, Phys, Rev. Lett. 42, 1386-9.

Corinaldesi, E., and Papapetrou, A, (1951). Spinning test-particles in general relativity. П. Proc, Roy. Soc, (London}, 209A, 259-68.

Counselman, С. C., Ill, Kent, S. M., Knight, C. A., Shapiro, 1.1, Clark, T. A., Hinteregger, H. F., Rogers, A. E. E., and AVhitney, A. R. (1974). Solar gravitational deflection of radio waves measured by very-long-baseline interferometry. Phys. Rev. Lett. 33, 1621-3.

Cowling, T. G. (1938). On the motion of the apsidal line in close binary systems Mon. Nof. Roy. Ast. Soc. Я8,734-44.

Crane, P,, Nelson, J. E., and Tyson, X A. (1979). Possible optical observation of the companion star to the binary pulsar PSR1913 +16. Nature, 280, 367-70.

Davidsen, A., Margon, B., Liebert,工，Spinrad, H., Middleditch, I, Chana% G” Mason, K・ O., and Sanford, P・ W. (1975). Optical and X-ray obsej> vations of the PSR1913 + 16 field. Astrophys,工 200, L19-2L

Davies, P. C. W・(1972). Time variation of the coupling constants. J・ Phys. 4 5,1296-304.

D'Eath, P, D, (1975). Interaction of two black holes in the stow-motion limit* Phys. Rev. P, 12, 2183-99.

Deser, S. (1970), Self-interaction and gauge invariance,工 Gen, Rei. and (rtav. 1；9-18・

and Laurent, В. E. (1968). Gravitation without self-interaction» Annt Phys、 (МУ) 50,76-10L

一 and Laurent, B, (1973). Linearity and parametrization of gravitational effects. Astron. Astrophys. 25,327—8.

de Sitter, W. (1916). On Einstein's theory of gravitation and its astronomical consequences. Mon. Not. Roy. 4式.Soe, 77,155-84.

Dicke, R. H. (I960). E6tv6s experiment and the gravitational red shift. Am. J・Phys•怏,344-7.

(1962). Macks principle and equivalence, In Evidence for Gravitational Theories: Proceedings of Course 20 of the International School of Physics "Enrico Fermi；' ed. C. Moller, pp. 1-49. Academic, New York.

(1964a). Experimental relativity. In Relativity. Groups and Topology, ed. C. DeWitt and B. DeWitt, pp. 165-313. Gordon and Breach, New York

(1964b). Remarks on the observational basis of general relativity. In Gravitation sd Relativity. cd・ Н.-Y» Chiu and W・ F. Hoffman, pp. 1-16. Benjamin, New York,

**(1969). Gravitation and 餉e Universe. American Philosophical Society, Philadelphia.

“Q974卜 The oblateness of the Sun and relativity* Science, 1M3 419-29.

81818282838384848585868688888989909091919292939394949797Astrophys. J. 208, L77-81.95* Einstein, A. (1907). Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselbenAstrophys. J. 208, L77-81.95* Einstein, A. (1907). Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselben

81

81

82

82

83

83

84

84

85

85

86

86

88

88

89

89

90

90

91

91

92

92

93

93

94

94

97

97

Astrophys. J. 208, L77-81.

95* Einstein, A. (1907). Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselben

Astrophys. J. 208, L77-81.

95* Einstein, A. (1907). Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselben

and Goldenberg, H. M. (1974). The oblateness of the Sun. Astrcphys.工 Supp. 27, 131-82.

Dixon, W. G. (1979). Extended bodies in general relativity; their description and motion. In Isolated Systems in General Relativity: Proceedings of Course 67 of the International School of Physics "Enrico Fermi；' ed. У. Ehlers, pp. 156-219. North-Holland, Amsterdam.

Douglass, D. H., and Braginsky, V. B. (1979). Gravitational-radiation experiments. In General Relativity: An Einstein Centenary Survey, ed. S. W. Hawking and W. Israel, pp. 90-137. Cambridge University Press, Cambridge.

Drever, R. W. P. (1961). A search for anisotropy of inertial mass using a free precession technique. Phil. Mag. 6,683—7.

Duff, M. J. (1974). On the significance of perihelion shift calculations.工 Gen. Rei. and Grav. 5, 441-52.

Dyson, F. J. (1972), The fundamental constants and their time variation. 1ц Aspects of Quantum Theory, ed. A. Salam and E. P. Wigner, pp. 213-36. Cambridge University Press, Cambridge.

(1978). Variation of constants. In Current Trends 加 the Theory of Fields, ed. J. E. Lannutti and P. K. Williams, pp.163-7. American Institute of Physics, New York.

Dyson, F. W., Eddington, A. S., and Davidson, C. (1920). A determination of the deflection of light by the Sun's gravitational Held, from observations made at the total eclipse of May 29,1919. Phil. Trans, Royt Soc.

(London). 220A, 291-333.

Eardley, D. M. (1975). Observable effects of a scalar gravitational field in a binary pulsar. Astrophys, J. 19^, L59-62.

一 Lee, D. L., and Lightman, Al P. (1973). Gravitational-wave observations as a tool for testing relativistic gravity. Phys. Keu. D. 10,3308-21*

Lee, D. L., Lightman, A. P” Wagoner, R. V., and Will, С. M. (1973). Gravitational-wave observations as a tool for testing relativistic gravity* Phys. Rev. Lett. 30, 884-6.

Eddington, A. S. (1922). The Mathematical Theory of Relativity. Cambridge University Press, Cambridge.

and Clark, G. L. (1938). The problem of n bodies in general relativity theory. Proc. Roy. Soc. (Londo向.166,465-75.

Ehlers, J. (1971). General relativity and kinetic theory. In General Relativity and Cosmology: Proceedings of Course 47 of the International School of Physics "Enrico Fermi；' ed. R. K. Sachs, pp. 1 -70. Academic, New York.

一 Rosenblum, A., Goldberg, J. N., and Havas, P. (1976). Comments on gravitational radiation damping and energy loss in binary systems.

gezogenen Fogerungen. Jahrb. Radioact. Elekt. 4,411 -62

(1911). Uber den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Annalen der Physik. 35, 898-908.

一 (1912). Zur Theorie des statischen Gravitationsfddes. Annalen 成r Phystk. 38,443-58.

-(1916). Naherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Preuss. Akad I%ss. Berlin Sitzber. 688-696.

Infeld, L., and Hoffmann, B. (1938), The gravitational equations and th© problem of motion. Ann, Math. 3% 65-100,

100 Blliolt, К. H., ?etersott, В. A., Wallace, Р. Т., Jones, D. И. Р, Clements» Е D., Hartley, К. F., and Manchester, R. N. (1980). Astrometry and hi4 speed polarimetry of an optical candidate for PSR 1913 + 16. Mo小 №l Roy. Ast. Soc. 192, 51P-58P.

101 Ellis, G. F. R., Maartens, R., and Nel, S. D. (1978). Ihe expansion of the universe. Mon, Not. Roy. Ast. Soc. 184,439-65.

102 Eotvos, R. V., Рекаг, V., and Fekete, E. (1922). Beitrage zum Gesetze der Proportionalitat von TrSgheit und Gravitat, Annalen der Physik. 68, 11-66.

1°3 Epstein, R. (1977). The binary pulsar: post-Newtonian timing effects* Astrophys. J, 216,92-100.

104- and Wagoner, R. V. (1975). Post-Newtonian generation of gravitational

waves. Astrophys. Z 197,717-23.

105 JEveritt, C. W. F. (1974). The gyroscope experiment. I. General description and analysis of gyroscope performance. In Experimental Grwitati0n： Proceedings of Course 56 of the International School 勿*Physicf "EnNco Fermi^ cd. B. Bertotti, pp. 331-60. Academic, New York*

106 Fairbank, W. M., Witteborn, F・ C., Made% L MJ, and Locihart, I M・ (1974). Experiments to determine the force of gravity on single electrons and positrons. In Experimental Gravitation: Proceedings of Course 56 of the International School of Physics "Enric。Fermi，ed. B. Bertottir pp. 310-30, Academic, New York.

107 Faulkner, J, (1971). Ultrashort-period binaries, gravitational radiation, and mass transfer. I. The standard model, with applications to WZ Sagittae and Z Camelopardalis. Astrophys. Z170, L99-104.

108 Flannery, В. P” and van den Heuvel, E. P, J. (1975), On the origin of the binary pulsar PSR 1913 + 16. Astron. Astrophys, 39,61-7.

109 Fock, V. (1964). The Theory of Space、Time and Gravitation. Macmillan, New York.

110 Fomalont, E. B., and Sramek, R A. (1975). A confirmation of Einstein's general theory of relativity by measuring the bending of microwave radiation in the gravitational field of the Sun. Astrophys, J. 199,749-55.

Ill - and Sramek, R. A. (1976). Measurements of the solar gravitational deflection of radio waves in agreement with general relativity. Phys. Яev. Lett. 36, 1475-8.

1124 and Sramek, R. A. (1977). The deflection of radio waves by the Sun.

Comm. Astrophys, 7,19-33.

113 Giacconi, R., and Ruffini, R. (eds) (1978). PhySics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes: Proceedings of Cours。65 “the International Schobl of Physics ^Enrico Fermin North-Holknd, Amsterdam.

114 Qilvarry, J. J., and Muller, P. M. (1972). Possible variation of the gravitational constant over the elements. Phys, Kev.工e"・ 28, 1665-8.

115 Goldman, I., and Rosen, N. (1976). Some cosmological models in the bimetric theory of gravitation. J. Gen. Rei. and Grav. 7, 895-901«

116 Greenstein, G. S. (1968). Brans-Dicke cosmology. И. Astrophys. Space Sci. 2, 155-65.

117 Gieenstein, J. L., and Matthews, T. A. (1963). Redshift of the unusual radio source 3C48. Nature. 197, 1041-2.

118 Hafele, J. C., and Keating, R. E. (1972a). Around-the-world atomic clocks： Predicted relativistic time gains. Science. 177, 166-68.

119 -and Keating, R. E. (1972b). Around-the-world atomic clocks： Observed relativistic time gains. Science. 177, 168-70.

120 HaTpem, L (cd J (1978).。片应e McaSW酬eM ”Cosmological Variations of 於e Gravitational Constant. University Presses of Florida, Gainesville.

121 Had Dass, N. D《and Radhakrishnan, Y. (1975). The new binary pulsar and the observation of gravitational spin precession. Astrophys. Lett. 16, 135-9.*

122 Hartle, IB, (1978). Bounds on the mass and moment of inertia of non-rotating neutron stars. Phys、Reports. 46,201-47,

123 Haugan, M, P (1978). Foundations of gravitation theory: the principle of equivalence. Doctoral Dissertation Stanford University.

124- (1979). Energy conservation and the principle of equivalence. Attn, Phys.

(МУ) 118,156-86.

125 一 and Will, С, M. (1976). Weak interactions and Eotvos experiments. Phys. &eu. Lett. 37,1-4.

126- and Will, C, M・(1977). Principles of equivalence, Botvos experiments,

and gravitational redshift experiments: The free fall of electromagnetic systems to post-post-Coulombian order. Phys. Kev. D. 15,2711-20.

127 Havas, P4 (1977). On theories of gravitafion with highe口order field equations.

工 Gen. Rd. and Grav. 8,631-45.

128 Hawking, S. W. (1972). Black holes in the Brans-Dicke theory of gravitation.

Commun. Math. Phys, 25,167-71.

129- and Ellis, G. F. R・(1973). The Lar^e Scale Structure of Spacetime.

Cambridge University Press, Cambridge.

130- and Israel, W・(eds.) (1979). General Rdaiioity： an Ebis kin Centenary

Survey. Cambridge University Press, Cambridge,

131 HeH, E W., von der Heyde, P., KeHick, G. D” and Nester, J. M. (1976). General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects. Леи. Mod. Ph*. 48,393-416.

132 Hellings, R. W” and Nordtvedt, K., Jr. (1973). Vector-jnelric theory of gravity. 3.及“"7,3593-602.

133 Hill, H. A・(1971). Light deflection. In Proceedings "the Conference on Experimental Tests of Gravitation Theories, ed. R, W. Davies, pp, 89-91. NASA-JPL Technical Memorandum 33-499.

134- Clayton, P. D” Patz, D・ L” Healy, A. W., Stebbins, R. T., Oleson, J. R”

and Zanoni, C, A. (1974). Solar oblateness, excess brightness and relativity. Phys. Rev. Lett, 33, 1497-500.

135- and Stebbins, R. T, (1975). The intrinsic visual oblateness of the Si№.

Astrophys, J. 200,471-83.

136 Hill, J. M. (1971), A measurement of the gravitational deflection of radio waves by the Sun. Mon. Not. Roy, Ast. Soc. 153,7P-1 IP.

137 Hillebrandt, W., and Heintzmann, H. (1974). Neutron stars and incompressible fluid spheres in the Jordan-Brans-Dicke theory of gravitation. J、Ge〃. A" and Grav, 6,663-72.

138 Hirakawa, H., Tsubono, K., and Oide, K. (1980). Dynamical test of the law of gravitation. Nature. 283, 184-5.

139 Hiscock, W. A., and Lindblom, L. (1979). Post-Newtonian effects on satellite orbits near Jupiter and Saturn. Astrophys. J. 231,224-8.

140 Hughes, V. W” Robinson. H. G., and Beltran-Lopez, V. (I960). Upper limit /or the anisotropy of inertial mass from nuckar resonance experiments.

^ Phys. Reu, Lett. 4,342-4.

141 我口】*, R. A., and Taylor, J. H. (1975), Discovery of a pulsar in a binary system. Astrophys, Л195, L51-3.

142 Jaffe, I, and Vessot, R. F. C. (1976). Feasibility of a second-order gravitational redshift experiment. Phys. Rev. D. 14s 3 294-300.

143 Jenkins, R. E. (1969). A satellite observation of the rehtivistic dooplcr shift. Astron. J. 74, 960-3.

144 Jones, B. F. (1976). Gravitational deflection of light: solar eclipse of 30 June 1973 II Plate reductions. Astron. J. 81, 455-63.

145 Jordan, P. (1955). Schwerkraft und Wei tall, Vieweg, Braunschweig.

146 Keiser, G. M., and Faller, J. E. (1979). A new approach to the Eotvos experiment. Bull, Am. Phys. Soc. 24, 579.

147* Kerr, R. P. (1963). Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. Phys. Rev. Lett. 11, 237-8.

148 Koester, L. (1976). Verification of the equivalence of gravitational and inertial mass for the neutron. Phys. Rev. D. 14, 907-9.

149 Kreuzer, L. B. (1968). Experimental measurement of the equivalence of active and passive gravitational mass. Phys. Rev. 169, 1007-12.

150 Kristian, J., Clardy, K. D., and Westphal, J. A. (1976). Upper limits for the visible counterpart of the Hulse-Taylor binary pulsar. Astrophys. J. 206, LI43-4.

151 Kustaanheimo, Р.» and Nuotio, V. S. (1967). Relativistic Theories of Gravitation. /. One-body problem. Dept, of Applied Mathematics, University of

* Helsinki, unpublished.

152 Landau, L. D., and Lifshitz, E. M. (1962). The Classical Theory of Fields. Addison-Wesley, Reading, Mass.

153 Lee, D. L. (1974). Conservation laws, gravitational waves, and mass losses in the Dicke-Brans-Jordan theory of gravity. Phys. Rev. D. 10, 2374-83.

154- Caves, С. M., Ni, W.-T., and Will, С. M. (1976). Theoretical frameworks

for testing relativistic gravity. V. Post-Newtonian limit of Rosen's theory, Astrophys. J. 206, 555-8.

155- and Lightman, A. P. (1973). Analysis of the Beli nfante-Swihart theory of

gravity. Phys. Rev. P. 7, 3578-86.

156- Lightman, A. P., and Ni, W.-T. (1974). Conservation laws and varia*

tional principles in metric theories of gravity. Phys. Rev. D. 10, 1685-1700.

157 Leighton, R. B. (1959). Principles of Modem Physics. McGraw-Hill, New York.

158 Lenard, P. (1921). Uber die Ablenkung eines Lichtstrahls von seiner geradlinigen Bewegung durch die Attraktion eines Weltkorpers, an wclchem er nahe vorbeigeht, von J. Soldner, 1801. Annalen der Physik, 65, 593-604.

159 Lense, J., and Thirring, H. (1918). Uber den Einfluss der Eigenrotatioa der Zentralkorper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie. Physik. Zeitschr. 19,156-63.

160 Levi-Civita, T. (1937). Astronomical consequences of the relativistic two-body problem. Am. J. Math. 59, 225-34.

161- (1964). The n-Body Problem in General Relativity, Reidel, Dordrecht,

162 Lichtenberg, D. B. (1965). Meson and Baryon Spectroscopy, p. 18. Springer* Verlag, New York.

163 Lightman, A. P., and Lee, D. L. (1973a), Restricted proof that the Weak Equivalence Principle implies the Einstein Equivalence Principle. Phy& Rev・D・ 8,364-76.

164- and Lee, D、L・(1973b). New two-metric theory of gravity with prior

geometry. Phys.欢帥,D, 8,3293-302.

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183 J 84

185*

186

187

188

166166Lipa, L A., and Everitt, C. W. F, (1978). The role of cryogenics in the gyroscope experiment. Acta Astronautica.^ 119-23.

166

166

-Fairbank, W. M., and Everitt, C. W. F. (1974). The gyroscope experiment.

. Development of the London-moment gyroscope and of cryogenic technology for space. In Experimental Gravitation: Proceedings of Course

of the International School of Physics "Enrico ArmiJ ed. B, Bertotti, pp. 361-80. Academic, New York.

Long, D. R (1976). Experimental examination of the gravitational inverse square law. Nature. 260, 417-8.

Lytlleton, R. A., and Fitch, J. P. (1978). Eilect of a changing G on the moment of inertia of the Earth. Astrophys. J. 221, 412-13.

MacCallum, M.A.H. (1979). Anisotropic and inhomogeneous relativistic cosmologies. In General Relativity: An Einstein Centenary Survey, ed. S. W. Hawking and W. Israel, pp. 533-80. Cambridge University Press, Cambridge.

McGuigan, D. F., Lam, С. С.» Gram, R. Q., Hoffman, A. W., and Douglass, D. H. (1978). Measurements of the mechanical Q of single-crystal silicon at low temperatures. J. Low Temp. Phys. 30, 621-9.

Manchester, R. N., and Taylor, J. H. (1977). Pulsars. Freeman, San Francisco.

Mansouri, R., and Sexi, R. U. (1977a). A test theory of special relativity. L Simultaneity and clock synchronization. J. Gem &e/. and Grav, % 497-513.

-and Sexi, R. U. (1977b). A test theory of special relativity. П. First order tests. J. Gen. Rei. andGrav. 8, 515-24.

-and Sexi, R. U. (1977c). A test theory of special relativity. Ш. Second- order tests. J. Ge〃. Rei. and Grav. 8, 809-14.

Masters, A. R., and Roberts, D. H. (1975). On the nature of the binary system, containing the pulsar PSR 1913 + 16. Astrophys. J. 195, L107-11.

Mathisson, M. (1937). Neue Mechanik materieller Systeme. Acta Phys, Polon» 6, 163-200.

Matthews, T. A., and Sandage, A. R. (1963). Optical identification of 3C48, 3C196, and 3C286 with stellar objects. Astrophys. /. 138, 30-56.

Maurette, M. (1976). Fossil nuclear reactors. Ann. Rev. Nuc. Sci. 26, 319-50.

Melchior, P. (1966) The Earth Tides. Pergamon Press, Oxford.

Merat, Р.» Pecker, J. C., Vigier, J. Р.» and Yourgrau, W. (1974). Observed deflection of light by the Sun as a function of solar distance, Astrort. Astrophys. 32, 471-5.

Mikkelson, D. R. (1977). Very massive neutron stars in Ni's theory of gravity. Astrophys. J. 217, 248-51,

-and Newman, M. J. (1977). Constraints on the gravitational constant at large distances. Phys. Rev. D. 16, 919-26.

Milne, E. A. (1948). Kinematical Relativity, Oxford University Press, Oxford.

Mintz, Y., and Munk, W. (1953). The effect of winds and bodily tides on the annual variations in the length of the day. Mon. Not. Roy. Ast, Soc. Geophys. Supp. 6, 566-78.

Misner, C. W., Thorne, K. S., and Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. Freeman, San Francisco.

Moller, C. (1952). The Theory of Relativity. Oxford University Press, Oxford.

Morrison, D., and Hill, H. A. (1973). Current uncertainty in the ratio of active-to-passive gravitational mass. Phys. Rev. D. 8, 2731—3.

Morrison, L. V. (1973). Rotation of tlie Earth from AD 1663 J972 and tho constancy of G. Nature, 241, 519-20.

189- and Ward, C. G. (1975). An analysis of the transits of Mercury：

1677-19 73. Mon. Not. Roy. Ast. Soc. 173, 183-206.

190 Mublcinan, D. O., Ekcrs, R. D . and Fomalont, E. B. (1970). Radio inter* fcrometric test of the general relativistic light bending near the Sun. Phys. Rev. Lett. 24, 1377-80.

191- and Reichley, P. (1964). Effects of general relativity on planetary radar

distance measurements. JPL Space Programs Summary 4 No. 37-39, 239-41.

192 Mulholland, J. D. (ed ) (1975) Scientific Applications of Lunar Laser Ranging. Reidel, Dordrecht.

193 Muller, P. M. (1978). Determination of the cosmological rate of change of G and the tidal accelerations of Earth and Moon from ancient and moder astronomical data. In On the Measurement of Cosmological Variations of the Gravitational Constant, ed, L. Halpern, pp, 93-116. University Presses of Florida, Gainesville.

i94 Newman, D., Ford, G. W., Rich, A., and Sweetman, E. (1978). Precision experimental verification of special relativity. Phys、Rev,七e". 40, 1355-8.

195 Newman, E., and Penrose, R. (1962). An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients. J. Math. Phys. 3,566-78.

196 Newton, I. (1686). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (London).

197 Newton, R. R. (1979). The Moon's Acceleratidn and 〃s Physical Origin Vol. /. As Deduced from Solar Eclipses. Johns Hopkins University Press, Baltimore.

198 Ni, W.-T. (1972). Theoretical frameworks for testing relativistic gravity, IV. A compendium of metric theories of gravity and their post-NewtOuiaU limits. Astrophys. J. 176, 769 -96.

199- (1973). A new theory of gravity. Phys. Rev、<D. 7,2880-3.

200-(1977). Equivalence principles and electromagnetism. Phys. Reth 厶/公

38,301-4.

201- (1979). Hojman-Rosenbaum-Ryan-Shepley torsion theory and the

Eotvos-Dicke-Braginsky experiments. Phys、Rev, Z>. 19,2260-3.

202 Nordtvedt, K., Jr. (1968a). Equivalence principle for massive bodies. !• Phenomenology. ^Phys. Rev. 169, 1014-16.

203- (1968b). Equivalence principle for massive bodies. П. Theory.办”・ КеЛ

169,1017-25.

204- (1968c). Testing relativity, with laser ranging to the Moon. PAps. KeV.170,

1186-7.

205- (1970a). Solar-system Eotvos experiments. Icarus, 12, 91-100.

206- (1970b). Post-Newtonian metric for a general class of scalar-tensor

gravitational theories and observational consequences. As trophys« Л 161, 1059-67..

207-(1971a). Equivalence principle for massive bodies. IV. Planetary orbits

and modified Eotvos-type experiments. Phys. Reu. D. 3, 1683-9.

208- (1971b). Tests of the equivalence principle and gravitation theory using

solar system bodies. In Proceedings of the Conference on Experimental Tests of Gravitation Theories ed. R, W. Davies, pp. 32-7.百 ASA-JPL Technical Memorandum 33-499.

209♦ (1972). Gravitation theory: Empirical status from solar-system expert

ments. Science. 178, 1157-64.

210-(1973). Post-Newtonian gravitational effects in lunar laser ranging. Phy%

Rev. D. 7, 2347-56

211—(1^7$). Quantitative relationship between clock gravitational redshift

violations and non-universality of free-fall rates in non-metric theories of gravity. Phys. Rev. D. П, 245-7.

212- (1976). Anisotropic Parametrized post-Newtonian gravitational metric

field. Phys. Rev. D. 14, 1511-17.

213- (1977). A study of one- and two-way doppler tracking of a clock on an

arrow toward the Sun. In Proceedings of the International Meeting on Experimental Gravitation, ed. B. Bertotti, pp. 247-56. Accademia Nazionale dei Lincei, Rome.

214- and Will, С. M. (1972). Conservation laws and preferred frames in

relativistic gravity. II. Experimental evidence to rule out preferredframe theories of gravity. Astrophys. J. 177, 775-92.

215 Nutku, Y. (1969a). The post-Newtonian equations of hydrodynamics in the Brans-Dicke theory. Astrophys. J. 155, 999-1007.

216- (1969b). The energy-momentum complex in the Brans-Dicke theory.

* Astrophys. J. 158, 991-6.

217 Oppenheimer, J. R., and Snyder, H. (1939). On continued gravitational con* traction. Phys. Rev. 56, 455-9.

218 Pagel, В. E. J. (1977). On the limits to past variability of the proton-electron mass ratio set by quasar absorption lines. Mon. Not. Roy, Ast, Soc. 179,81P-85P.

219 Paik, H. J. (1977). Response of a disk antenna to scalar and tensor gravita^ tional waves. Phys. Rev. D. 15,409-15.

220— (1979). New null experiment to test the inverse square law of gravitation.

* Phys. Rev. D. 19, 2320-4.

221 Panov, V. I., and Frontov, V. N. (1979). The Cavendish experiment at large distances. Sov. Phys. J ETP. 50,852-6.

222 Papapetrou, A. (1951). Spinning test-particles in general relativity. T. Proc. Roy. Soc. (London}. 209A, 248-58.

223 Peebles, P. J. E. (1962). The Eotvos experiment, spatial isotropy, and generally covariant field theories of gravity. Ann. Phys. (M У.). 20, 240-60.

224- (1966). Primordial He abundance and fireball. П. Astrophys, Л 14^,

*542-52.

225- (1971). Physical Cosmology. Princeton University Press, Princeton.

226- and Dicke, R. H. (1962). Significance of spatial isotropy. Phys, Rev, 127,

629-31.

227 Penrose, R. (I960). A spinor approach to general relativity. Ann. Phys. (^.K) 10, 171-201.

228 Penzias, A. A., and Wilson, R. W. (1965). A measurement of excess antenna temperature at 4080 Mc/s. Astrophys. J. 142, 419-21.

229 Peters. P. C., and Mathews, J. (1963). Gravitational radiation from point masses in a Keplerian orbit. Phys. Rev. 131, 435-40.

230 Potter, H. H. (1923). Some experiments on the proportionality of mass and + weight. Proc. Roy. Soc. (London}. 104, 588-610.

231 Pound, R. V., and Rebka, G. A., Jr. (I960). Apparent weight of photons.

Phys. Rev. Le〃. 4, 337-41.

232- and Snider, J. L. (1965). Effect of gravity on gamma radiation. Phys. Rev.

140, B788-803

233 Press, W. H.. Wiita, P. J . and Smarr, L. L. (1975). Mechanism for inducing synchronous rotation and small eccentricity in close binary systems. Astrophys. J. 202, LI 35-7.

234 Rastall, P. (1976). A theory of gravity Can J. Phys. 54, 66-75.

2?5- (19 /7a). A note on a theory of gravity. Can J. Phys. 55, 38-42,

236• (1977b). Conservation laws and gravitational radiation，Can. Л Physt 55,

1342-8.

237• (1977c). The maximum mass of a neutron star Aslrophyf. J. 213,234-8.

2 38' (1978). Cosmology with another theory of gravity, Astrophys. Л 220》

745-8.•

2 39- (1979). The Newtonian theory of gravitation and its generalization. Can»

丄 Phys. 57, 944-73.

240 Reasenberg. R. D.. and Shapiro, 1.1. (1976). Bound on the secular variation of the gravitational interaction. In Atomic Masses and Fundamental Constants, Vol. 5, ed. J. H. Sanders and A, H. Wapstra, pp. 643-9. Plenum, New York.

241 and Shapiro, 1.1. (1977). Solar-system tests of general relativity. In Proceedings of the International Meeting on Experimental Gravitation^ ed. B. Bertotti. pp. 143-60. Accademia Nazionale dei Lincei, Rome, 242- and Shapiro, 1.1. (1978). A radar test of the constancy of the gravitational

interaction. In On the Measurement of Cosmological Variations of the Grai itational Constant, ed. L. Halpern, pp. 71-86, University Presses of Florida, Gainesville.

243 Shapiro, 1.1., MacNeil, P. E.. Goldstein. R. B., Breldenthal, J. C., Brenkle, J. P., Cain. D. L.. Kaufman. T. М.» Komarek, T. A., and Zygielbaum, A, I. (1979). Viking relativity experiment: Verification of signal retardation by solar gravity. Astrophys. J« 234, L219-21.

244* Rees, M., Ruffini, R., and Wheeler, J. A. (1975). Black Holes, Gravitational Waves and Cosmology, p. 13. Gordon and Breach, New York.

245 Renner. J. (1935). Hung. Acad. S". 53. Part II.

246 Richard, J.-P. (1975). Tests of theories of gravity in the solar system. In General Relativity and Gravitation, ed. G, Shaviv and J. Rosen, pp. 169-88. Wiley, New York.

247 Riky. J. M (1973) A measurement of the gravitational deflection of radio waves by the Sun during 1972 October. Mon Nai. Roy, Ast. Soc. 161 ^ IIP UP.*

248 Rindler. W. (1968). Counterexample to the Lenz-Schiff argument. Лш. J. Phys, 36,540-4.'

249 Ritter, H (1979). Is Z Cha another case of gravitational radiation?. Nature. 281, 199 -200.

250 Ritter, R. C. and Beams. J. W. (1978). A laboratory measurement of the constancy of G. In O// the Measurement of Cosmological Variations of the Gravitational Constant, ed. L. Halpern, pp, 29-70. University Presses of Florida. Gainesville.

251 Roberts. D H.. Masters, A. R.. and Arnett, W・ D・(1976). Determining the stellar masses in the binary system containing the pulsar PSR 1913 + 16： Is the companion a helium main-sequence star?. Astrophys, J. 203. 196-201.

252 Robertson. H P.(1938). The two-body problem in general relativity. /〃〃• Math. 39. 101-4.

25 3- 1962. Relaii\ ity and Cosmology, In Space age astronomy^ ed. A. J.

Deutsch and W. B. Klemperer, pp. 228-35, Academic* New York*

254- and Noonan. T, W. (1968). Relativity and cosmology, Saunders.

Philadelphia.

255 Rochester. M G .. and Smylie, D. E. (1974). On changes in the trace of the Earth's inertia tensor. J. Geophys. Res, 79, 4948-51.

256 Rell. P. G . Krotkos. R.. and Dicke, R. H. (1964), The equivalence of inertial and passive gravitational ma$s. Ann. P心s, (N・Y.\ 26,442-517.

259

260

261

262

263

264

265*

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275 276*

277

278

258258Rose, R. D., Parker, H. M., Lowry, R. A., Kuhlthau, A. R., and Beams, J. W. (1969). Determination of the gravitational constant G. Phys. Rev. Lett. 23,655-8.

258

258

Rosen, N. (1973). A bi-metric theory of gravitation. J. Ge〃. Rei. and Gnw. 4, 435-47.

(1974). A theory of gravitation. Ann. Phys. (N. У) 84, 455-73.

(1977). Bimetric gravitation and cosmology. Astrophys. J. 211, 357-60.

(1978). Bimetric gravitation theory on a cosmological basis. J. Gen. Rei. and Grao. 9, 339-51.

(1979). Does gravitational radiation exist? J. Gen. Rei. and Grao. 10, 351-64.

and Rosen, J. (1975). The maximum mass of a cold neutron star. Astrophys. J. 202, 782-7.

Ross, D. K., and Schiff, L. I. (1966). Analysis of the proposed planetary radar reflection experiment. Phys. Rev. 141,1215-18.

Rudenko, V. N. (1978). Relativistic experiments in gravitational fields. Sov. Phys. Uspekhi, 21, 893-917.

Rudolph, E. (1979). Relativistic observable effects in the binary pulsar PSR 1913 + 16. In Isolated Gravitating Systems in General Relativity: Proceedings of Course 67 of the International School of Physics "Enrico Fermi*' ed. J. Ehlers, pp. 318-21. North>Hollandt Amsterdam.

-and Borner, G. (1978). The importance of gravitational self-field effects in binary systems with compact objects. I. The “static two-body problem** and the attraction law in a post-Newtonian approximation of general relativity. II. The “static two-body problem” and the attraction law in a post-post-Newtonian approximation of general relativity. J. Gen. Rei. and Gras. 9, 809-33.

Salmona, A. (1967). Effect of gravitational scalar field on high>density star structure. Phys. Rev. 154, 1218-23.

Schiff, L. I. (1960a). On experimental tests of the general theory of relativity. Am. J. Phys. 28, 340-3.

(1960b). Motion of a gyroscope according to Einstein's theory of gravitation. Proc. Nat. Acad. Sci. (USA). 46, 871-82«

(1960c). Possible new test of general relativity theory. Phys. Rev. Lett. 4, 215-17.

(1967). Comparison of theory and observation in general relativity. In Relativity Theory and Astrophysics. /. Relativity and Cosmology, ed. J. Ehlers, American Mathematical Society, Providence.

Schilpp, P. A. (ed.) (1949). Albert Einstein: Philosopher-Scientist, p. 15. Library of Living Philosophers, Evanston, IU.

Schmidt, M. (1963). 3C273: A star-like object with large redshift. Nature. 197, 1040.

Schramm, D. N., and Wagoner, R. V. (1977). Element production in the early universe. Ann. Rev. Nuc. Sci. 27, 37-74.

Schwarzschild, K. (1916). Uber das Gravitationsfeld eines Masspunktes nach det Einsteinschen Theorie. Sitzber. Deut. Akad. Wiss. Berlin, KI. MaJh.-Phys. Tech. 424-34.

Sciama, D. W. (1975), Modern Cosmology. Cambridge University Press, Cambridge.

Seielstad, G. A., Sramek, R. A., and Weiler, K. W. (1970). Measurement of the deflection of 9.602-GHz radiation from 3C279 in the solar gravitational fidd. Phys. Rev Lett, 24, 1373-6,

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

279279Shao, C.-Y., and Liller, W. (1978). Astrometry and photometry of stars in the

279

279

vicinity of the Hulse-Taylor binary pulsar. Astrophys. J. 223, 266-7.

Shapiro, 1.1. (1964). Fourth test of general relativity. Phys. Rev. Lett. 13, 789-91.

(1966a). Testing general relativity with radar. Phys. Rev. 141, 1219-22.

(1966b). Ross-Schiff* analysis of a proposed test of general relativity: A critique. Phys. Rev. 145, 1005-10.

(1967). New method for the detection of light deflection by solar gravity. Science. 157, 806 -8.

(1968). Fourth test of general relativity: preliminary results. Phys. R^v. Lett. 20, 1265-9.

-(1971). Testing general relativity: Progress, problems, and prospects. In Proceedings of the Conference on Experimental Tests of Gravitation Theories, ed. R. W. Davies, pp. 136-47, NASA-JPL Technical Memorandum 33-499.

-Ash, M. E., Ingalls, R. P., Smith, W. B., Campbell, D. B., Dyce, R. B., Jurgens, R. F., and Pettengill, G. H. (1971). Fourth test of general relativity: new radar result. Phys. Reu. Lett. 26, 1132-5.

-Counselman, С. С., Ш, and King, R. W. (1976). Verification of the principle of equivalence for massive bodies. Phys. Rev. Lett. 36, 555-8.

一 Pettengill, G. H., Ash, M. E.y Ingalls, R. P., Campbell, D. B., and Dyce, R. B. (1972). Mercury's perihelion advance: determination by radar. Phys. Rev. Lett. 28, 1594-7.

-Reasenberg, R. D., MacNeil, P. E., Goldstein, R. B., Brenkle, J., Cain, D., Komarek, T., Zygielbaum, A., Cuddihy, W. F., and Michael, W・ H., Jr. (1977). The Viking relativity experiment. J. Geophys. Res. 82, 4329-34.

-Smith, W. B, Ash, M. E., Ingalls, R. P., and Pettengill, G. H. (1971). Gravitational constant! experimental bound on its time variation. Phys. Rev. Lett. 26, 27-30.

Shapiro, S. L., and Terzian, Y. (1976). Galactic rotation and the binary pulsar.

Astron. Astrophys. 52, 115-18,

Shiyakhter, A. I. (1976a). Direct test for the constancy of fundamental nuclear constants using the Oklo natural reactor. Preprint no. 260. Leningrad Nuclear Physics Institute, Leningrad.

-(1976b). Direct test of the constancy of fundamental nuclear constants. Nature. 264, 340.

Smarr, L. L., and Blandford, R. (1976). The binary pulsar: physical processes, possible companions, and evolutionary histories. Astrophys. J. 207, 574-88.

Smart, W・ M. (1953). Celestial Mechanics. Longman Green, London.

-(I960). Spherical Trigonometry. Cambridge Umversity Press, Cambridge.

Smith, W. B. (1963). Radar observations of Venus. 1961 and 1959. Astron 九 68, 15-21

Smoot, G. F,, Gorenstein, M・ V” and Muller, R・ A. (1977). Detection of anisotropy in the cosmic blacphcd夕radiation. Phys. Rev. Lett, 3% 898-901.

Snider, J. L. (1972). New measurement of the solar gravitational redshift.

Phys, Rev, Lett、28, 853-6.

1(1974). Comments on two recent measurements of the solar gravitational red-shift. Solar Phys、36» 233-4.

301 Spero, R., Hoskins, J. K., Newman, R., Pellam, J., and Schultz, J. (1979) Test of the gravitational inverse square force law at short distances Bull. <m. Phys. Soc. 24, 579.

302 Sramek, R. A. (1971). A measurement of the gravitational deflection of microwave radiation near the Sun, 1970 October. Astrophys J. 167, L55-6O.

303- (1974). The gravitational deflection of radio waves. In Experimental

Gravitation Proceedings of Course 56 of the International School of Physics "Enrico Fermi^ ed. B. Bertotti, pp. 529-42. Academic, New York.

304 Stein, S. R. (1974). The superconducting-cavity stabilized oscillator and an experiment to detect time variation of the fundamental constants. Doctoral Dissertation, Stanford University.

305- and Turneaure, J. P. (1975). Superconducting-cavity stabilized oscillators

with improved frequency stability. I.E.E.E. Proc. 63, 1249-50.

306* Synge, J. L. (I960) Relativity: The General Theory. North-Holland, Amsterdam.

307 Taylor, J. H. (1975). Discovery of a pulsar in a binary system. Ann. M Y. Acad. Sci. 262, 490-2.

308-(1980). Private communication.

309- Fowler, L. A , and McCulloch, P. M. (1979). Measurements of general

relativistic effects in the binary pulsar PSR 1913 + 16. Nature. 277, 437-40.

31°- Hulse, R. A , Fowler, L. A., Gullahorn, G. E., and Rankin, J. M (1976).

Further observations of the binary pulsar PSR 1913 + 16. Astrophys. J. 206, L53-8.

311- and McCulloch, P. M. (1980). Evidence for the existence of gravitational

radiation from measurements of the binary pulsar PSR 1913 + 16. Ann, У. Y. Acad. Sci. 336, 442-6.

312 Texas Mauritanian Eclipse Team (1976). Gravitational deflection of light: solar eclipse of 30 June 1973. I. Description of procedures and final results. Astron. J. 81, 452-4.

31 3 Thiry, Y. (1948). Les equations de la theorie unitaire de Katuza. С.Я. Acad, Sci. (Paris). 226, 216-18.

314 Thorne, K. S. (1980). Multipole expansions of gravitational radiation. Rev, Mod. Phys. 52, 299-339.

315- and Dykla, J. J. (1971). Black holes in the Dicke-Brans-Jordan theory

of gravity. Astrophys. J. 166, L35-8.

16- Lee, D. L., and Lightman, A. P. (1973). Foundations for a theory of

gravitation theories. Phys. Rev. D. 7, 3563-78.

317 j and Will, С. M. (1971). Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. I. Foundations. Astrophys. J. 163, 595-610.

ЗГ8 - Will, С. M , and Ni, W.-T. (1971). Theoretical frameworks for testing relativistic gravity - A review. In Proceedings of the Conference on Experimental Tests of Gravitation Theories, ed. R. W. Davies, pp. 10-31 NASA-JPL Technical Memorandum 33-499.

319 Trautman, A (1962). Conservation laws in general relativity. In Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, pp 169-98. Wile% New York.

320 Trimmer. W S. N., Baierlein, R. F , Faller, J. E , and Hill, H A. (1973) Experimental search for anisotropy in the speed of light. Phys Кеи. Д, «, 3321 6,

3 v Tulczyjew, В , and Tulczyjcw, W. (1962). On multipole formaHsm in genera! relativity. In Recent Developments in General Relativity, pp. 465-472. Pergamon Pi ess, Oxford

322 I urneauic, ! P., and Stein, S. R. (1976). An expenmcntal hnut on the time variation of the fine structure constant. In Atomic Masses and Fundamental Constants, Vol. 5, ed. J. H. Sanders and A. H. Wapstra, pp. 636-42. Plenum, New York.

323- Will, С. M., Farrcl, B. F., Mattison» E. M., and Vessot, R. F. C. (1981).

Test of the principle of equivalence by a null gravitational redshift experiment, (in preparation).

324 Van Flandern, T. C. (1975). A determination of the rate of change of G. Mon. Not. Roy. Ast. Soc. 170, 333-42.

325-(1976). Is gravity getting weaker? Scientific American. 234, (2), 44-52.

326- (1978). Status of the occukation determination of G-dot. In On the Mea

surement of Cosmological Variations of the Gravitational Constant, ed. L. Halpern, pp. 21-8 University Presses of Florida, Gainesville.

327 Van Horn, H. M., Sofia, S., Savedoff, M. P., Duthie, J. G., and Berg, R. A. (1975). Binary pulsar PSR 1913 + 16: model for its origin. Science. 188, 930-3.

328 Van Patten. R. A., and Everitt, C. W. F. (1976). Possible experiment with two counter-orbiting drag-free satellites to obtain a new test of Einstein's general theory of relativity and improved measurements in geodesy. Phys. Rev. Lett. 36, 629-32.

329 Vessol, R. F. C. (1974). Lectures on frequency stability and clocks and on the gravitational redshift experiment. In Experimental Gravitation / Proceedings of Course 56 of the International School of Physics **Enrico Fermiy ed. B. Bertotti, pp. 111—62. Academic, New York.

330- and Levfije, M. W. (1979). A test of the equivalence principle using a

space-borne clock. Z Gen. Rei. and Grav. 10, 181-204.

331- Levine, M. W., Mattison, E. M., Blomberg, E. L., Hoffman, T. E.,

Nystrom, G. U., Farrel, B. F., Decher, R., Eby, P. B., Baugher, C. R., Watts, J. W., Teuber, D. L., and Wills, F. O. (1980). Test of relativistic gravitation with a space-borne hydrogen maser. Phys. Rev. Lett. 45, 2081-4.

332 Wagoner, R. V. (1970). Scalar-tensor theory and gravitational waves. Phys. Rev. D. 1, 3209-16.

333- (1975). Test for the existence of gravitational radiation. Astrophys. J. 196,

L63-5.

334- Fowler, W. A., and Hoyle, F. (1967). On the synthesis of elements at

very high temperatures. Astrophys. J. 148, 3^49.

335_ and Paik, H. J. (1977). Multi-mode detection of gravitational waves by a

sphere. In Proceedings of the International Meeting on Experimental Gravitation, ed. B. Bertotti, pp. 257-65. Accademia Nazionale dei Lincei, Rome.

336- and Will, С. M. (1976). Post-Newtonian gravitational radiation from

orbiting point masses. Astrophys. J. 210, 764-75.

337 Wahr, J. M., and Bender. P. L. (1976). Determination of PPN parameters from Earth-Mercury distance measurements, unpublished.

338 Walker, M., and Will, С. M. (1980a). Gravitational-radiation quadrupole formula is valid for gravitationally interacting systems. Phys. Rev Lett, 45, 1741-4.

339- and Will, С. M. (1980b) The approximation of radiative effects in

relativistic gravity： Gravitational radiation reaction and energy loss in nearly Newtonian systems Astrophys. /. 242, LI29 -33relativistic gravity： Gravitational radiation reaction and energy loss in nearly Newtonian systems Astrophys. /. 242, LI29 -33343 Weiler, K. W,, Ekers, R. D., Raimond, E., and Wellington, K. J. (1974). A343 Weiler, K. W,, Ekers, R. D., Raimond, E., and Wellington, K. J. (1974). A

relativistic gravity： Gravitational radiation reaction and energy loss in nearly Newtonian systems Astrophys. /. 242, LI29 -33

relativistic gravity： Gravitational radiation reaction and energy loss in nearly Newtonian systems Astrophys. /. 242, LI29 -33

343 Weiler, K. W,, Ekers, R. D., Raimond, E., and Wellington, K. J. (1974). A

343 Weiler, K. W,, Ekers, R. D., Raimond, E., and Wellington, K. J. (1974). A

34° Warburton, R. J., and Goodkind, J. M. (1976). Search for evidence of a preferred reference frame» Astrophys. Л 208, 881-6.

341 Ward, W・ R. (1970). General relativistic light deflection for the complete ce* lestial sphere. Astrophys, Л 162, 345-8,

342 Webbink, R. F. (1975). PSR 1913 + 16; Endpoints of speculation. A critical

discussion of possible companions and progenkors. Astron, Astrophys, 41, 1-8.

measurement of solar gravitational microwave deflection with the Westerbork synthesis telescope. Astron, Astrophys. 30,241-8.

344- Ekers, R. D“ Raimond, E., and Wellington, K, J. (1975). Dual-frequency

measurement of the solar gravitational microwave deflection. Phys, Rev. Lett. 35, 134-7.

345 Weinberg, S, (1965). Photons and gravitons in perturbation theory: Derivation *of Maxwell's and Einstein*s equations. Phys. Rev. 138, B988-1002.

- (1972). Gravitation and Cosmology. Wiley, New York.

347- (1977). The First Three Minutes. Basic Books. New York.

348 Weyl, H. (1919). Eine neue Erueitcrung dec Rclativitatstheorie. Anna ten der Physik.5% I0I-33.

349 Wheeler, J. C. (1975). Timing effects in pulsed binary systems. Astrophys. Z 196, L67-7U.

350 Whitehead, A. N. (1922). The Principle 炉 Rdaliuity. Cambridge University Press, Cambridge.

351 Whitrow, G. J., and Morducb, G. E・(1965). Relativistic theories of gravitation»

In Sistas in Astrommy, Vol. 6, ed. A. Beer, pp. 1-67. Pergamon Press, Oxford.

352 Wilkins, D. C. (1970). General equation for the precession of a gyroscope.《〃〃・ Phys. (МУ.)・ 61,277-93.

353 Will, С. M. (1971a). Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. II.

Parametrized post-Newtonian hydrodynamics and the Nbrdtvedt effect. Astrophys.丄 163, 611-28.

354-(1971b). Relativistic gravity in the solar system. I. Effect of an anisotropic

gravitational mass on the Earth-Moon distance, Astrophys. Z 1^5, 409-12.

355-(1971c). Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. П1. Con

servation laws, Lorentz invariance, and values of the PPN parameters. Astrophys. J. 16% 125-40.

356-(1971d). Relativistic gravity in the solar system. II. Anisotropy in the

Newtonian gravitational constant. Astrophys. J. 169,141-55.

35 7- (1972), Einstein on the firing line. Physics Today. 25, (10), 23-9.

358- (1973). Relativistic gravity in the solar system. IIГ. Experimental disproof

of a class of linear theories of gravitation. Astrophys. J. 185, 31-42.

35 9- (1974a), The theoretical tools of experimental gravitation. In Experimental

Gravitation: Proceedings of Course 56 of the International School of Physics ^£nricQ Permit ed. B. Bertotti, pp, 1710. Academic, New York

360*• (1974b). Gravitation theory. Scientific American. 231 (5), 25-33.

361- (1974c). Gravitational redshift measurements M tests of noa-metric theo*

rics of gravity, Phys. Rev. D. 10,2330-7,

36336436536*36736836937037137237337437537637 7夫36336436536*36736836937037137237337437537637 7夫

363

364

365

36*

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

37 7夫

363

364

365

36*

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

37 7夫

(1975). Periastron shifts in the binary system PS R 1913 + 16: Theoretics! interpretation. Astrophys. J. 196, L3-5.

(1976a). Active mass in relativistic gravity: Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment. Astrophys. J. 204, 224-34.

(1976b). A test of post-Newtonian conservation laws in the binary system PSR 1913 + 16. Astrophys. J. 205, 861-7.

(1977). Gravitational radiation from binary systems in alternative metric theories of gravitation: Dipole radiation and the binary pulsar. Astro-- phys： J. 214, 826-39.

(1979). The confrontation between gravitation theory and experiment. la General Relativity: An Einstein Centenary Survey, ed. S. W. Hawking and W. Israel, pp. 24-89. Cambridge University Press, Cambridge.

-and Eardley, D. M. (1977). Dipole gravitational radiation in Rosen's theory of gravity: Observable effects in the binary system PSR 1913 + 16. Astrophys. J. 212, L91-4.

and Nordtvedt, K., Jr. (1972). Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity. I. Preferred-frame theories and an extended PPM formalism. Astrophys. J. 177, 757-74.

Williams, J. G., Dicke, R. H., Bender, P. L., Alley, С. O., Carter, W. E., Currie, D. G., Eckhardt, D. H„ Faller, J. E., Kaula, W. M./Mulholland, J. D., Plotkin, H. H., Poultney, S. K., Shelus, P. J., Silverberg, E. C., Sinclair, W. S., Slade, M. A., and Wilkinson, D. T. (1976). New test of the equivalence principle from lunar laser ranging. Phys. Rev. Lett. 36, 551-4.

-Sinclair, W. S., and Yoder, C. F. (1978). Tidal acceleratibn of the Moon. Geophys. Res. Lett. 5, 943-6.

Wolfe, A. M., Brown, R. L., and Roberts, M. S. (1976). Limits on the variation of fundamental atomic quantities over cosmic time scales. Phys. Rev. Lett. 37, 179-81.

Worden, P. W., Jr. (1978). Equivalence principle tests in Earth orbit. Acta Astronautica. 5, 27-42.

and Everitt, C. F. W. (1974). The gyroscope experiment. III. Tests of the equivalence of gravitational and inertial mass based on cryogenic tech* niques. In Experimental Gravitation: Proceedings of Course 56of the International School of Physics ^Enrico Fermi；' ed. B. Bertotti, pp. 381-402. Academic, New York.

Yilmaz, H. (19 71). New theory of gravitation. Phys. Rev, Lett. 27, 1399-402.

-(1973). New approach to relativity and gravitation. Ann. Phys. (N.Y.). 81, 179-200.

Yu, H.-Т., Ni, W.-T., Hu, C.-С., Liu, F.-H., Yang, С.-H., and Liu, W.-N. (1979). Experimental determination of the gravitational forces at separations around 10 meters. Phys. Reu. D. 20, 1813-15.

Zel'dovich, Ya. B., and Novikov, I. D. (1975). Relativistic Astrophysics. Volume 〃• Cosmology. University of Chicago Press, Chicago,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. ИМЕЮЩЕЙСЯ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ 1

2*. Аллен К・ Астрофизические величины: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

32*. Бисноватый-Коган Г. С., Комберг Б. В. Радиопульсар в двойной системе ——старый объект со слабым магнитным полем: возможная эволюционная схема его образования. — Письма в Астрон. журн., 1976, т. 2, с. 338—342.

35*. Блэндфорд Р. Д・,Торн К. С. Астрофизика черных дыр. — В кн.: Общая, теория относительности: Пер. с англ. М.: Мир, 1983, с. 163—216.

36*. Блохинцев Д. И. Обоснованность специальной теории относительности опытами в области физики высоких энергий. — Успехи физ. наук., 1966, т. 89, с. 185—199.

38*. Бонди Г. Отрицательная масса в общей теории относительности.—— В кн.: Новейшие проблемы гравитации: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1961, с. 309—324.

42*. Брагинский В. Б., Гинзбург В. Л. О возможности измерения зависи* мости гравитационной постоянной от времени.——Докл. АН СССР, 1974, т. 216, с. 300—302.

43*. Брагинский В. Б., Панов В. И. Проверка принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1971, т. 61, с. 873—879.

49*. Определение масс компонентов и наклона двойной системы, содержащей пульсар, по релятивистским эффектам/В. А. Брумберг, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков и др. — Письма в Астрон. журн., 1975, т. 1, с. 1—5.

78*. Дикке Р. Гравитация и Вселенная: Пер. с англ. М.: Мир, 1972.

87*. Дайсон Ф., Эддингтон А., Дэвидсон К. Определение отклонения луча света в гравитационном поле Солнца по данным наблюдений, проведенных во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 г.——В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Пер. с англ. М.: Мир, 1979, с. 564—570.

95*—98*. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Пер. с нем. М.: Наука, 1966.

109*. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физматгиз, 1961.

130*. Общая теория относительности: Пер. с англ. М.: Мир, 1983.

147*. Керр Р. Гравитационное поле вращающейся массы как пример алгебраически специальной метрики.——В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Пер. с англ. М.: Мир, 1979, с. 208—211.

152*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 6-е изд. М.: Наука, 1973.

185*. Мизнер Ч., Торн К・,Уилер Дж. Гравитация: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

217*. Оппенгеймер Ю・，Снайдер Г. О безграничном гравитационном сжатии. —— В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Пер. с англ. М.: Мир, 1979, с. 353—361.

221 *. Панов В. И., Фронтов В. Н. Эксперимент Кавендиша на больших расстояниях. —Журн. эксперим. и теор. физ., 1979, т. 77, с. 1701—1706.

225*. Пиблс П. Дж. Е. Физическая космология: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

В основном списке эта литература отмечена звездочкой,

231*. Пауид Р. В., Ребка Г. А. мл. Эффективный вес фотонов. — В кН」 Новейшие проблемы гравитации: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1961, с. 474—483.

244*. Рис М., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

265*. Руденко В. Н. Релятивистские эксперименты в гравитационном поле. —Успехи физ. наук, 1978, т. 126, с. 361—401.

276*. Шварцшильд К・ О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории. — В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Пер. с нем. М.: Мир, 1979, с. 199—207.

306*. Синг Дж. Общая теория относительности: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.

346*. Вейнберг С. Гравитация и космология: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

347*. Вайнберг €. Первые три минуты. Современный взгляд на происхождение Вселенной: Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 1981.

366*. Уилл К. М. Теория гравитации и эксперимент. — В кн.: Общая теория относительности: Пер. с аигл. М.: Мир, 1983, с. 11—86.

377*. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. Т. 2. Космология. М.: Наука, 1975.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Д1. Тредер Г. Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности: Пер. с нем. М.: Атомиздат, 1973.

Д2. Брагинский В. Б., Полнарев А. Г. Гравитационный спин-квадруполь- ный эффект. — Письма в ЖЭТФ, 1980, т. 31, с. 444—447.

ДЗ. Braginskii V. В., Polnarev A. G・,Thorn К. S. Foucault pendulum at the South Pole. Preprint GRP-003, Caltech, USA, 1984.

Д4. Гинзбург В. Л. Об экспериментальной проверке общей теории относительности. —Успехи физ. наук, 1979, т. 128, с. 435—458.

Д5. Логунов А. А., Фоломешкин В. Н. Изменяется ли энергия источника при излучении гравитационных волн в теории гравитации Эйнштейна?——Теор. и мат. физ., т. 33, с. 174—184.

Д6. Денисов В. Н・，Логунов А. А. Существует ли в общей теории относительности гравитационное излучение? — Теор. и мат. физ., 1980, т. 43, с. 187— 201; Новая теория пространства-времени и гравитации. Препринт ИЯИ АН СССР ПМН99, 1981.

Д7. Додонов В. В., Манько В. И., Руденко В. Н. О квантовых свойствах высокодобротных макроскопических резонаторов. — Квантовая электроника, 1980, т. 7, с. 2124—2135.

Д8. Руденко В. Н・，Сажин М. В. Лазерный интерферометр как детектор гравитационных волн. — Квантовая электроника, 1980, т. 7, с. 2344—2355.

Д9. An argon laser interferometer for the detection of gravitational radiation /Н. Billing, K. Maischberger, A. Rudiger e. a. — J. Phys. E, 1979, vol. 12, p. 1043—1050.

Д10. Optical cavity laser interferometers for gravitational radiation detec- tion/R. V. Dre ver, G. Hough, A. Munley e. a. — In: Laser Spectroscopy V, Springer Series in Optical Sciences, 1981, vol. 30, p. 33—40.

Д11. Will С. M. The confrontation between general relativity and experiment: an update. — Phys. Rep., 1984, vol. 113, p. 345—422.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию

Предисловие

Глава 1. Введение

Глава 2. Эйнштейновский принцип эквивалентности и основы теории гравитации

Систематика Дике

Основные критерии достоверности теории гравитации ....

Эйнштейновский принцип эквивалентности

Экспериментальные проверки ЭПЭ

Гипотеза Шиффа

ТЯер,-формализм

Глава 3. Гравитация как геометрическое явление

Универсальность взаимодействий

Негравитационная физика в искривленном пространстве-времени •..

Дальнодействующие поля тяготения и ССПЭ

Глава 4. Параметризованный постиьютоновский формализм ...

Постньютоновский предел

Стандартная постньютоновская калибровка

Преобразование Лоренца и ППН метрика

Законы сохранения в ППН формализме

Глава 5. Постиьютоновский предел альтернативных метрических теорий гравитации'

Метод расчета

Общая теория относительности

Скалярно-тензорные теории

Векторно-тензорные теории

Биметрические теории с наперед заданной геометрией ....

Стратифицированные теории

Некорректные теории

Глава 6. Уравнения движения в ППН формализме

Уравнения движения фотонов

Уравнения движения для массивных тел ..；

Локально измеренная, постоянная тяготения

Лагранжиан п тел, сохранение энергии и ССПЭ

Уравнения движения вращающихся тел

Глава 7. Классические тесты

Отклонение света в поле тяготения

Гравитационное запаздывание света

Смещение перигелия Меркурия

3 9

202123262838456464

65737778858793

040408101216202326

2728353943^

93 1451501532

回159162169171172174175179180183185188198回159162169171172174175179180183185188198

回159162169171172174175179180183185188198

回159162169171172174175179180183185188198

Глава 8. Проверки сильного принципа эквивалентности

Эффект Нордтведта и лунный эксперимент Этвеша

Геофизические проверки эффектов привилегированных систем отсчета и расположения

Орбитальные проверки эффектов привилегированных систем отсчета и расположения

Постоянство ньютоновской гравитационной константы . . •.

Экспериментальные пределы ППН параметров

Глава 9. Другие проверки постиьютоновской теории гравитации ..

Гироскопические эксперименты

Лабораторные проверки постньютоновской теории гравитации

Проверки постыьютоновских законов сохранения

Глава 10. Гравитационное излучение как инструмент для проверки релятивистской теории тяготения

Скорость гравитационных волн

Поляризация гравитационных волн

Мульти пол ьная генерация гравитационных волн и гравитационно-волновое затухание (демпфирование) источника ....

Глава 11. Строение и движение компактных объектов в альтернативных теориях гравитации

Строение нейтронных звезд

Строение и существование черных дыр

Движение компактных объектов: модифицированный формализм Эйнштейна—Инфельда——Хофмана

Глава 12. Двойной пульсар

2.1. Фазовый анализ двойного пульсара

2. «Взвешивание» пульсара, постньютоновские эффекты и гравитационное излучение

Двойной пульсар согласно ОТО

Двойной пульсар в других теориях тяготения

Глава 13. Космологические тесты

Космологические модели в альтернативных теориях тяготения 263

Космологические проверки альтернативных метрических теорий тяготения268

Список сокращений,принятых в русскомиздании271

Список литературы270

Список литературы,имеющейся на русскомязыке290

Дополнительный список литературы292

Клиффорд М. Уилл

ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ В ГРАВИТАЦИОННОЙ ФИЗИКЕ

Редактор Л. В. Белова

Художественный редактор А. Т. Кирьянов

Технический редактор Н. П. Собакина

Корректор М. Г. Гулина

ИБ № 1019

Сдано в набор 23.01.86. Подписано в печать 16.06.85.

Формат бОхЭО1/» Бумага типографская* № 1 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 18,6 Усл. кр.-отт. 18,5 Уч.-изд. л. 23,11 Тираж 3430 экз. Заказ 664 Цена 3 р. 80 к.

Эиергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10

Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 129041, Москва, Б. Переяславская, 46

ямжиф 00HHOHnvlsavaj mLH8N0<sueesK0do8I

ШГИА.Н

ми, полученными в настоящее время. Однако поперечное сечение за

хвата весьма чувствительно к энергии низкорасположенного уровня (Е 〜0」эВ) 149Sm, поэтому изменение энергии лишь на 20 мэВ за 109 лет даст изменение поперечного сечения захвата, сравнимое с самим» измеряемым значением. Оценивая вклад сильных, слабых и

электромагнитных взаимодействий в эту энергию, Шляхтер получил пределы вариаций соответствующих констант связи (см. табл. 2.4,

а также [86]),

2.5. ГИПОТЕЗА ШИФФА

Три рассмотренные выше «части» ЭПЭ столь различны по своим

эмпирическим следствиям, что можно было бы рассмотреть их как независимые теоретические принципы. Однако поскольку любая полная и самосогласованная теория тяготения должна обладать математическим аппаратом для предсказания результатов экспериментов, проверяющих 38

В § 6.3 мы видели, что некоторые метрические теории тяготения предсказывают такие эффекты при локальном измерении гравитационной постоянной G^

с помощью опыта Кавендиша. Эти эффекгы представляют нарушение ССПЭ.

К сожалению, в настоящее время точность абсолютного измерения GL в опыте

Кавендиша не превосходит 10-6 [257], что не позволяет выделить постньютоновские поправки к 6厶 в (6.75).

I А〃/| « 2 10-8 (а3 + 2/3 а2 — %). (8.63)

сохранения момента импульс? имеем

I А〃力=I AQ/Q — А/ав/1/3 /R | V 4・ 10-10 (8.64)

и, сравнивая (8.63) и (8.64), находим | а§ + 2/3 % — % | V 0,02.

8.3. ОРБИТАЛЬНЫЕ ПРОВЕРКИ ЭФФЕКТОВ

ПРИВИЛЕГИРОВАННЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА И РАСПОЛОЖЕНИЯ

В орбитальных движениях тел, описываемых уравнениями движения для п тел (6.31), содержится значительное число наблюдаемых эффектов привилеги>

рованных расположения и системы отсчета. Наиболее важным из них является смещение перигелия планет в дополнение к классическому смещению, описан

ному в § 7.3.

s = s (фо)； s' = ds/d(p|(po； T = guvT"” индексы у 0»*v и 9,1A поднимаются и опускаются с помощью ". Величина /**” является квадратич

ной и высших порядков функцией 0**v и 9. Теперь, поскольку 工以” удовлетворяет закону сохранения, ясно, что 0/论 можно выразить через вто

рые производные по времени квадрупольных моментов т00, как и

в ОТО, и, следовательно, оно не дает вклада ни в какие дипольные члены. Однако функция источника S приводит к дипольным членам следующим образом.

нейтроны распадаются со временем полураспада около 12 мин. — Прим, пер

К.Уилл

ТЕОРИЯ

И ЭКСПЕРИМЕНТ в гравитационной физике

К.Уилл

ТЕОРИЯ

И ЭКСПЕРИМЕНТ в гравитационной физике

Перевод с английского Б.Ф. ПОЛКОВНИКОВА

Под редакцией:

В.Н. РУДЕНКО

典

Москва Энергоатомиздат 1985

УДК 521.12

Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1985. 296 с.

Приводятся результаты исследований по вопросам общей теории относительности за последние 20 лет. Рассматриваются новые области исследований теории гравитации, такие как космология, черные дыры, нейтронные звезды, гравитационные волны, включая подробный анализ известного двойного пульсара PSR 191316—радиопульсара, открытого в 1974 г., который дал подтверждение существования гравитационных волн.

Для научных работников и инженеров, занимающихся вопросами теории и эксперимента в гравитационной физике.

Табл. 18. Ил. 12. Библиогр. 388.

Рецензент Я. А. Смородинский

Theory and experiment /г gravitational physics

CLIFFORD M. WILL

Dfpanmtm 〃 州户仙人 Wt^m^yn IJmw^. Sf 〃K

CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

Cumbridye

London New York New Rochdl*

Melbourne Sydney

1704020000-290У 051(01)-851704020000-290У 051(01)-85© Cambridge University Press, 1981

1704020000-290

У 051(01)-85

1704020000-290

У 051(01)-85

© Перевод на русский язык, Энергоатомиздат, 198S