Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие к русскому изданию
Мы испытываем чувство признательности и удовлетворенна в связи с тем, что наши советские коллеги выбрали эту книгу для перевода на русский язык и тем самым сделали мембранный подход к черным дырам доступным более широкой аудитории. Надеемся, что читатели, как и мы, найдут такой подход полезным.
За полтора года после окончания работы над английским изданием развитие мембранной парадигмы произошло в двух направлениях. В рамках этой парадигмы Чжань [2356] сформулировал общерелятивистскую магнитную гидродинамику и использовал ес для воспроизведения результатов Финни [153а, б, в, г], касающихся МГД-процессов в черных дырах как источников энергии квазаров, а Фролов и Торн [72а, б] развили новый подход к теории квантовых эффектов вблизи черных дыр. В издание на русском языке включено краткое изложение этих новых результатов. Мы дополнили его ссылками на некоторые работы и исправили опечатки.
Для полного понимания современной теории черных дыр читателю наряду с настоящей книгой следует обратиться к двум другим, которые ее дополняют. Это книги И. Д. Новикова л В. П. Фролова [135] и С. Чандрасекара [36]. Прекрасный и полный обзор [135] всех аспектов физики черных дыр включает краткое введение в мембранный формализм, правда, с несколько иной точкой зрения (см. разд. III.A.1). Более специальная монография [36] содержит формализм описания движения пробных частиц и распространения полей вблизи черных дыр. Наша монография также более специальна, чем книга [135]. Ее цель — более подробно рассмотреть многие (хотя и далеко не все) из аспектов, затронутых в последней, на новом языке в рамках мембранной парадигмы, чтобы обеспечить специалистов по черным дырам новым подходом и сделать эту тему более доступной для неспециалистов.
Мы глубоко признательны И. Д. Новикову и В. П. Фролову, которые подготовили и отредактировали русское издание, а также А. Г. Полнареву, который выполнил перевод. Мы хорошо знаем этих специалистов (один из нас работал вместе с ними и опубликовал результаты совместных работ) и относимся к ним с глубоким уважением. Это позволяет нам быть уверенными в том, что русский перевод выполнен прекрасно.
К"〃 С. Торн
Ричард X. Прайс
Дуглас А. Макдоналд
Предисловие редакторов
Эта книга представляет собой введение в физику черных дыр, в котором основное внимание уделяется концепции, получившей название мембранный подход. Мембранный подход —— это перевод математического и физического формализма, описывающего черные дыры, на язык, который наиболее подходит для астрофизических исследований. Если исходный формализм для описания черных дыр доступен лишь специалистам по общей теории относительности, то мембранный подход должен оказаться доступным для всех, кто хорошо владеет аппаратом нерелятивистской физики. Следует отметить, чго достигается такая доступность вовсе не за счет каких-либо упрощений или потери богатства исходного формализма.
Ключевым понятием исходного формализма, описывающего черные дыры, служил горизонт событий черной дыры, трактуемый как глобально определенная нулевая поверхность в четырехмерном пространстве-времени. В противоположность этому при мембранном подходе горизонт событий рассматривается как двумерная мембрана, помещенная в трехмерное пространство. Сила обсуждаемого подхода заключается главным образом в том, что такому мембраноподобному горизонту приписываются простые и хорошо знакомые физические свойства. Горизонт рассматривается в виде двумерной вязкой жидкости, которая электрически заряжена, обладает электропроводностью, конечной энтропией и температурой, но не может проводить тепло; взаимодействие горизонта и окружающей Вселенной определяется знакомыми законами, описывающими эту жидкость, например уравнением Навье — Стокса, законом Ома, уравнением для приливных сил, первым и вторым началами термодинамики. Благодаря тому что эти законы, описывающие горизонт, имеют привычный вид, они дают возможность интуитивного понимания и количественного расчета поведения черных дыр в сложных астрофизических ситуациях.
Создание мембранного подхода, а также этой книги стало результатом сотрудничества группы авторов главным образом из Калифорнийского технологического института, написавших разные главы. Хотя состав авторов меняется при переходе от
88ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
8
8
одной главы к другой, эту книгу никак нельзя считать простым собранием тесно связанных статей. На самом деле главы книги образуют единое целое, причем педагогические цели имеют первостепенную важность.
Физическая интуиция, занимающая центральное место в мембранном подходе, может быть развита лишь на множестве конкретных примеров, позволяющих проследить подход в действии. Предлагаемая книга обеспечивает именно такое знакомство с мембранным подходом, поскольку содержит постановку, решение и обсуждение большого числа модельных задач по взаимодействию черных дыр с окружающей Вселенной. Исходя из этих модельных задач, можно качественно представить и оценить по порядку величины, как должны вести себя черные дыры в сложных, реалистических астрофизических ситуациях.
Примерно 60 % материала этой книги взято ——с пространными дополнениями педагогического характера ——из научных статей, опубликованных в таких журналах как Physical Review и Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. Остальные 40 % представляют собой новый материал, основанный на ранее неопубликованных исследованиях авторов.
Редакторы и авторы искренне благодарят за полезные дискуссии Роджера Блэндфорда, Тибау Дамура, Игоря Новикова, Стерла Пинни и Романа Знаека. Исследования, изложенные в этой книге, написание, редактирование и фотонабор этой книги осуществлены частично на средства Национального научного фонда (субсидии AST79-22012, AST88-14126 и AST85- 14911, выделенные Калифорнийскому технологическому институту) и фондов, находящихся в распоряжении Кипа Торна и Уильяма Кенана-младшего ——профессоров Калифорнийского технологического института. Кроме того, Национальный научный фонд частично финансировал исследования, выполненные Р. Прайсом (субсидии PHY81-06509 и PAY85-03653, выделенные Университету штата Юта), Вэй Мо Сюэном (субсидия PHY85-00498, выделенная Университету штата Флорида), Дж. Хартлем (субсидия PHY85-06686, выделенная Калифорнийскому университету в Санта-Барбаре), И. Редмаунтом (субсидия PHY83-06693, выделенная Гарвардскому университету).; а Японское общество содействия долгосрочному научному сотрудничеству выделило средства для работы Редмаунта в течение одного года в Университете Киото. Исследования В. Зу- река осуществлены частично на средства фонда им. Роберта Оппенгеймера по теоретической физике в Лос-Аламосской национальной лаборатории.
Введение: Мембранный подход
Р. Прайс, К. Торн
В теоретической физике особую роль играют диаграммы, рисунки, мысленные образы и поясняющие слова, которые сопутствуют нашим уравнениям, например рисунки с изображением силовых линий магнитного поля, которые пронизывают проводящую плазму, и соответствующее пояснение, что силовые линии «вморожены в плазму》. Подобные рисунки и слова не заменяют строгой математики, благодаря которой становится правомерным их использование, однако они играют существенную роль, позволяя быстро понять качественную сторону дела. Кроме того, благодаря им становится возможным взаимопонимание между физиками, а также между физиками и всеми остальными. Нередко появление новой системы рисунков и пояснительных слов может оказывать сильное влияние на последующее развитие того или иного научного направления.
Исследование черных дыр является хорошим примером важности рисунков и пояснений. До середины 60-х годов тот объект, который мы сегодня называем «черной дырой》，в английской научной литературе фигурирует как «сколлапсировав- шая звезда», а в русской литературе ——как «застывшая звезда》. Соответствующая мысленная картина, в основе которой лежит описание коллапса в шварцшильдовских координатах (рис. 1,〃)， была такова: коллапсирующая звезда сжимается все быстрее и быстрее по мере того, как гравитационное притяжение становится все сильнее и сильнее, затем происходит замедление сжатия из-за роста гравитационного красного смещения и в конце концов звезда застывает у «поверхности бесконечного красного смещения» (соответствующей шварцшильдовскому радиусу) ,навсегда оставаясь ограниченной этой поверхностью. Конечно, из работы Оппенгеймера и Снайдера [138] мы знали, что с точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности коллапсирующей звезды, все выглядит иначе: звезда не застывает, а испытывает коллапс вплоть до сингулярности за поразительно короткое время. Но, поскольку все, что происходит внутри поверхности бесконечного красного смещения, никогда не сможет оказать какое-либо влияние на внешнюю Вселенную, такая «сопутствующая точка зрения», казалось, не имеет отно-
черных дыр (б). Рисунок а представляет собой пространственно-временную диаграмму сферического коллапса звезды; здесь как на самой поверхности
звезды, так и снаружи ее используются шварцшильдовские временная и пространственная координаты t и г. Показаны две «гиперповерхности» постоянного времени, / = /о и / =九.Эта диаграмма иллюстрирует концепцию «застывшей звезды». Рисунок 6 изображает тот же самый коллапс, но с использованием временной координаты f Эддингтона [63] и Финкельштейна [69] (ср. разд. II. В.5 ниже). Эта диаграмма, которая иллюстрирует «черно-дыр- ную» точку зрения, ясно показывает образование горизонта черной дыры и сингулярности в центре, вызванное коллапсом. Штриховой линией на этой диаграмме Эддингтона — Финкельштейна показана поверхность постоянного шварцшильдовского времени t =九.Учитывая форму этой поверхности, резко сужающейся по мере углубления в прошлое, можно понять, почему шварцшильдовские координаты не позволяют описать образование горизонта и сингулярности. Рисунок 6 представляет собой пространственно-временную диаграмму типа Эддингтона — Финкельштейна и изображает сильно несферическую эволюцию горизонта, когда две черные дыры сталкиваются и сливаются, а затем образуется третья черная дыра и падает на ту, которая сформировалась в результате слияния первых двух. Подобные процессы стали доступны исследованиям лишь после того, как представление о «застывшей звезде» было заменено «черно-дырной» точкой зрения.
шения к астрофизике. Вот почему в теоретических работах по астрофизике в начале 60-х годов (см., например, [230,231]) преобладала концепция «застывшей звезды». И пока господствовало такое представление, физики не понимали, что черные дыры могут быть объектами динамическими, эволюционирующими, способными запасать и высвобождать энергию.
В середине и в конце 60-х годов концепция «застывшей звезды» постепенно уступила новой системе диаграмм, рисунков, мысленных образов и пояснительных слов. Пенроуз [ 147] учил нас пользоваться пространственно-временными диаграммами, построенными в координатах Эддингтона — Финкельштейна (рис. 1,6); в этих координатах коллапс звезды никогда не замедляется, а продолжается по нарастающей до сингулярности, оставляя после себя «горизонт» на шварцшильдовском радиусе. Уилер [220] ввел в обращение термин «черная дыра» для описания искривленного пустого пространства-времени, ограниченного горизонтом. Хоукинг [92, 94, 95] и другие доказали элегантные теоремы, которые прекрасно иллюстрируются диаграммами* Пенроуза (рис. 1,е), — теоремы об эволюции горизонта в произвольных динамических ситуациях. Диаграммы, рисунки, мысленные образы и поясняющие слова, соответствующие этой новой «черно-дырной» точке зрения, удачно переплелись с новыми математическими методами (дифференциальная топология, «глобальные методы анализа пространства-времени»), введенными в исследования по черным дырам Пенроузом [147——149]. Мысленные образы и диаграммы «черно-дырной» точки зрения позволили достичь глубокого качественного понимания, которое затем подтвердилось соответствующей математикой. Этот новый подход сформировал современное представление о черных дырах, как об объектах динамических ——объектах, которые способны сталкиваться, сливаться, испытывать сильные колебания и излучать мощные всплески гравитационных волн, и как об объектах, способных в 《спокойном》состоянии запасать 29 % своей массы в виде энергии вращения, а затем высвобождать ее, обеспечивая энергией квазары и ядра галактик.
И концепция застывшей звезды, и концепция черной дыры могут рассматриваться, если пользоваться терминологией Куна [114], как «парадигмы», а переход от одной из них к другой можно считать «научной революцией» по Куну. Однако концепции застывшей звезды и черной дыры не являются различными парадигмами в том смысле, в котором различаются, например, квантовый и классический подходы к описанию физического мира. В конце концов и парадигма застывшей звезды, и парадигма черной дыры сходятся друг с другом в том, что общая теория относительности Эйнштейна является полной математической теорией гравитационного поля и содержит в себе правильный ответ на любой вопрос, касающийся черных дыр, который мы пожелаем исследовать. Две парадигмы могут предложить разные математические подходы к решению таких проблем (например, различные пространственно-временные системы координат, в которых выполняются вычисления), но если
вычисления выполнены правильно и точно, то независимо от того, какой точки зрения мы придерживались, ответ должен быть одинаковым.
Однако сказанное вовсе не означает, что различие между этими двумя (или любыми подобными) парадигмами тривиально. С одной стороны, наглядные образы, присущие той или иной парадигме, имеют огромное значение для получения интуитивного, априорного представления о результатах вычислений и тем самым очень важны при выборе конкретного характера вычислений. С другой стороны, математические методы, связанные с конкретными парадигмами, весьма сильно отличаются по степени эффективности при анализе различных проблем. Парадигма застывшей звезды использует шварцшильдовские координаты, которые весьма удобны при изучении физических явлений вне горизонта статической черной дыры. Однако применение шварцшильдовских координат чревато серьезными ошибками в ситуациях, имеющих сильно выраженный динамический характер, когда важен сам горизонт, например когда речь идет об эволюции со временем магнитного поля сферической звезды, коллапсирующей с образованием горизонта и черной дыры. И наоборот, математические методы «черно-дырной» точки зрения хороши при анализе экстремальных динамических ситуаций, в которых горизонт испытывает эволюцию, но слишком громоздки при исследовании физических явлений вне горизонта статической дыры.
Однако самая важная причина различий между парадигмами в исследовании черных дыр, возможно, состоит в том, что большая часть вычислений в общерелятивистской астрофизике (и не только в ней!) не есть строгое применение математической теории. Такая роскошь, как точное вычисление, обычно встречается лишь при доказательствах общих теорем. В более или менее реалистических задачах релятивистской астрофизики математические сложности полной релятивистской теории гравитации почти всегда делают точные вычисления невозможными. Даже в случае сильно идеализированных модельных задач приближения оказываются крайне полезными, а чаще без них вообще нельзя обойтись. Сила парадигмы заключается в том, что она позволяет выбрать подходящее приближение, а также указать на те детали точной задачи, которые при анализе можно опустить без ущерба для существа исследуемой проблемы.
В качестве аналогии рассмотрим такой простой пример, как классическая механика точечной массы, испытывающей одновременное действие консервативной силы (например, идеальной пружины) и малой, но сложной диссипативной силы. Представление о силе (второй закон Ньютона) обеспечивает точное
описание поведения системы, но, вероятно, не позволяет просто оценить ту роль, которую играет диссипация. Анализ задачи в терминах механической энергии математически эквивалентен, но, очевидно, дает возможность более ясно рассмотреть диссипативные эффекты.
В большинстве работ по астрофизике черных дыр, выполненных в течение последних двух десятилетий, использовано представление о застывшей звезде. Многие из этих исследований были проделаны фактически без привлечения каких-либо реальных релятивистских гравитационных эффектов. Во многих статьях, посвященных рассмотрению как дисковой, так и сферической аккреции на объекты ——кандидаты в черные дыры (такие, как Лебедь Х-1), источник гравитации рассматривается как ньютоновский (!) монополь и вводится ad hoc некоторая сферическая поверхность, расположенная где-то вблизи того места, на котором общая теория относительности поместила бы горизонт событий («поверхность» черной дыры); расчеты (например, видимой светимости) попросту обрываются на этой в известном смысле произвольно выбранной внутренней границе, которая и представляет собой единственную неньютоновскую черту черных дыр, фигурирующую в вычислениях (см., например, [139, 165, 182——185]). Для многих задач, учитывая те неопределенности, которые свойственны астрофизическим параметрам, это приближение оказывается вполне достаточным, по крайней мере для оценок по порядку величины. Известно, что в этих задачах самый важный эффект, связанный с черной дырой, определяется тем свойством горизонта событий, что из-под него «нет возврата》. При этом фактические свойства пространства-времени вблизи горизонта событий не существенны для задачи. Привлечение «черно-дырной» точки зрения неоправданно запутало бы и усложнило анализ, и без того погрязший в вопросах, связанных с переносом излучения, магнитогидродинамической турбулентностью и т. д.
Однако для некоторых задач астрофизики черных дыр картина застывшей звезды все-таки недостаточна. Например, изменяющийся магнитный дипольный момент коллапсирующей звезды должен был бы с этой точки зрения стремиться к асимптотическому конечному значению за время / оо по мере того, как звезда «застывает». Несколько более сложный анализ в рамках концепции застывшей звезды [78] показал, что дипольный момент убывает как 1/Z. Точный ответ ——всплеск излучения, имеющий хвост, убывающий как 1/步，——потребовал вычислений, в полной мере учитывающих динамическую природу пространства-времени вблизи горизонта событий [55, 162, 201].
В рамках концепции застывшей звезды многие представляющие сегодня интерес задачи по астрофизике черных дыр не мо-
гут быть даже поставлены или по крайней мере при их постановке велика опасность ошибки. Дело в том, что при таком подходе возникают трудности, связанные с постановкой однозначных граничных условий (например, для электромагнитных полей) на горизонте событий. Такие «опасные» задачи, как правило, включают в себя астрофизические явления, в которых наиболее интересные события происходят довольно далеко от горизонта событий, но при этом горизонт весьма существенно связан с рассматриваемыми процессами (например, связь черной дыры с астрофизической плазмой посредством электромагнитного поля). В качестве примера подобных задач можно отметить процесс Блэндфорда ——Знаека [22], обеспечивающий извлечение энергии вращения черной дыры, открытие которого считается наиболее важным в данной области начиная с середины 70-х годов. Изображая черную дыру на рисунках или производя вычисления, при решении таких задач нельзя попросту взять и заменить черную дыру «поверхностью, из-под которой нет возврата». В то же время для решения таких задач не обязательны математические детали, присущие неупрощенному «черно-дырному» подходу, поскольку такие детали лишь отвлекают от рассмотрения более существенных физических процессов.
Необходимость упростить анализ подобного рода задач привела за прошедшие восемь лет к развитию в физике черных дыр нового подхода ——к «мембранной парадигме». Настоящая книга представляет собой математическое введение в эту парадигму.
Мембранная парадигма, если речь идет о физических процессах вне горизонта, с точки зрения математики эквивалентна обычной неупрощенной общерелятивистской теории черных дыр. Эта парадигма согласуется с концепцией застывшей звезды, когда речь идет о физических процессах вне горизонта, но вместе с тем в ней содержатся простые рецепты, указывающие как при решении астрофизических задач отбросить «все лишнее»——несущественные детали, относящиеся к окрестности горизонта. Если говорить точнее, то, согласно этому подходу, частицы и поля вблизи горизонта образуют весьма сложную застывшую структуру «граничного слоя》, которая по существу есть реликт прошлой истории черной дыры. Этот сложный граничный слой не оказывает никакого влияния на эволюцию частиц и полей вне этого слоя ни в настоящем, ни в будущем; мембранный подход как бы «растягивает» горизонт таким образом, чтобы он покрыл граничный слой, и затем в рамках этого подхода ставятся простые и изящные граничные условия мембранного типа на растянутом горизонте. Такое отметание всего несущественного не приводит к большим ошибкам (прак-
тически они пренебрежимо малы), но позволяет получить формализм и подход, удивительно плодотворный в астрофизических исследованиях. Более того, формализм приобретает особую изящность, если принять во внимание [242], что энтропия черной дыры есть логарифм полного числа отличных друг от друга квантовомеханических конфигураций, которые могли бы существовать в таком покрытом мембраной граничном слое.
Возникновение мембранного подхода было обусловлено несколькими поразительными основополагающими результатами, полученными в 70-х годах в рамках «черно-дырного» подхода. 1) Хоукинг доказал [96—98], что стационарная черная дыра излучает так, как если бы она была черным телом с конечной поверхностной температурой; кроме того, он понял (следуя идее Бекенштейна [10—12]), что если приписать черной дыре энтропию, пропорциональную площади ее поверхности, то законы механики черных дыр могут быть увязаны с законами термодинамики. 2) Как открыли Хоукинг и Хартль [101] (см. также [89, 90]), внешние гравитационные поля могут приливным воздействием деформировать горизонт черной дыры, причем изменение деформации создает такую энтропию, как если бы горизонт обладал вязкостью. 3) Ханни и Руффини [87], а также Хаичек [85] приписали горизонту черной дыры эффективную плотность заряда; кроме того, Ханни и Руффини [87] нашли, что если поместить черную дыру во внешнее электростатическое поле, то поле приводит к поляризации эффективного заряда на горизонте. 4) Знаек [236, 237] показал, что при прохождении электрического тока через черную дыру (например, если положительные заряды текут внутрь через полюса, а отрицательные — через экваториальную плоскость) горизонт ведет себя так, как если бы он обладал поверхностным электрическим сопротивлением порядка 30 Ом.
Эти результаты побудили Дамура [48——50] переписать уравнения, описывающие в самом общем случае эволюцию горизонта черной дыры, в такой форме, которая позволяет в явном виде выделить члены, «похожие» на те, что описывают электрическую проводимость, сдвиговую и объемную вязкости, поверхностное давление, поверхностный импульс, температуру, энтропию и т. д. Знаек [237—239] независимо вывел почти эквивалентные, но поначалу менее общие уравнения. Красивый и изящный формализм Дамура со всей очевидностью продемонстрировал, что мембранный подход обладает достаточными возможностями и формальной строгостью и может стать важным инструментом для астрофизических исследований.
К сожалению, формализм Дамура оказался в некотором смысле неполным. Согласно этому формализму, горизонт представляет собой 3-мерную нулевую поверхность в 4-мерном про-
странстве-времени, никак не связанную с физическими процессами во внешней Вселенной, окружающей горизонт. Чтобы формализм Дамура стал иструментом для астрофизики, его нужно было увязать воедино с описанием внешней Вселенной. Такое описание было обеспечено 3+ 1-формулировкой общей теории относительности.
3 + 1-формализм позволяет выбрать предпочтительное семейство 3-мерных пространственно-подобных гиперповерхностей в пространстве-времени (поверхности «постоянного времени») и рассмотреть их так, как если бы они представляли собой одно-единственное 3-мерное пространство, эволюционирующее с течением времени («разбиение 4-мерного пространства-времени на 3-мерное пространство плюс 1-мерное время»). Общерелятивистские процессы физики черных дыр, плазменные явления, процессы в аккреционных дисках ——все это происходит в 3-мерном пространстве; при этом соответствующие релятивистские физические законы, написанные на 3-мерном языке, весьма похожи на нерелятивистские законы, к которым привыкли астрофизики. Таким образом, 3+ 1-формулировка наилучшим образом приспособлена для того, чтобы нерелятивистскую интуицию физиков, их знания по плазме, гидродинамике и звездной динамике можно было применить в области черных дыр и общей теории относительности.
Хотя 3+ 1-формулировка общей теории относительности не излагается в стандартных учебниках по теории относительности, ее весьма детально разработали многие исследователи, и она сыграла важную роль в таких релятивистских исследованиях последних десятилетий, как численное интегрирование эйнштейновских уравнений поля (см., например, [154, 189]), квантование общей теории относительности (см., например, [99, 221]), анализ лабораторных экспериментов по проверке общей теории относительности (см., например, [24]). Наконец, совсем недавно 3+ 1-формулировка легла в основу мебран- ной парадигмы в физике черных дыр. Исторический обзор 3 + 1-формализма представлен в разд. 2.1 работы Торна и Макдоналда [206].
Объединение 3 + 1-формализма с дамуровским формализмом мембранного горизонта происходило в два этапа: сначала Торн и Макдоналд [206] осуществили его применительно к электродинамическим аспектам физики черных дыр, а затем Прайс и Торн [163]——применительно к гравитационным и механическим аспектам. Разработанный полный мембранный формализм нашел первое свое применение в исследовании Макдоналдом и Торном [123] магнитосферы черной дыры, окруженной замагниченным аккреционным диском. Особое внимание в этом исследовании уделялось процессу Блэндфорда — Знаека
[22], обеспечивающему высвобождение энергии вращения черной дыры с помощью магнитного поля. Благодаря этому исследованию целый ряд схематических рисунков и наглядных образов, предложенных первоначально в качестве аналогий Блэндфордом [21] и Знаеком [236, 237] (см. также [47, 174]), получили строгое обоснование — сюда относятся изображения магнитных полей, пронизывающих дыру и испытывающих закручивание из-за вращения дыры, а также изображения силовых линий магнитного поля, действующих подобно проводам в гигантской электрической цепи, соединяющей батарею на горизонте дыры (источник мощности) с плазменными образованиями (электрическая нагрузка), которые движутся с ускорением высоко в магнитосфере черной дыры. С мембранной точки зрения стало еще яснее то обстоятельство, что (независимо от степени хаотичности) магнитное поле, вмороженное в аккреционный диск, по мере приближения к черной дыре в ходе аккреции будет «выглаживаться» горизонтом за характерное время порядка классического времени, за которое свет пересекает дыру; такое выглаживание весьма существенно для эффективного действия процесса Блэндфорда ——Знаека. Мембранный подход выявил также замечательное свойство такого выглаженного поля: оно распределяется по поверхности горизонта таким образом,чтобы минимизировать омическую диссипацию на горизонте.
Полный мембранный подход в том виде, в каком он используется в указанных исследованиях, математически эквивалентен стандартному «черно-дырному» описанию повсюду вне горизонта, т. е. во всех тех областях, которые представляют интерес для астрофизики. Однако мембранный подход перестает быть применимым (фактически просто не существует) внутри горизонта. Так, наблюдатель, который, падая, пересекает горизонт, обнаруживает, что на самом деле горизонт не обладает ни электрическим зарядом, ни током, что все это лишь казалось наблюдателю, когда он был снаружи. Несмотря на столь эфемерную природу мембраны, исследователь, относящийся к мембране серьезно и поверивший в нее (хотя бы временно, в процессе выполнения той или иной исследовательской программы) ,возможно, будет вознагражден тем, что получит в свое распоряжение мощный метод анализа.
Область применимости мембранной парадигмы включает в себя те задачи, в которых изучаемая черная дыра испытывает медленные (по сравнению с временем, за которое ее пересекает свет) изменения. Математические методы мембранного подхода в случае более динамических ситуаций пригодны, но, как правило, неудобны. В статическом пространстве-времени у нас есть вполне определенная временная координата, которая отражает независимость полей «от времени». Поэтому мы имеем
естественное различие между пространством и временем — различие, которое полезно и для наглядного представления, и для вычислений, хотя и нарушает «единство пространства и времени», которое принято считать «священной коровой» теории относительности. Если в задачах фигурируют медленно меняющиеся черные дыры, то различие это остается, сохраняется и главное достоинство такого различия: 3-мерные изображения чернцх дыр, окруженных мембранной поверхностью, наделенной более или менее привычными физическими свойствами. Как мы увидим, в таких задачах весьма сложная структура граничного слоя может быть заменена мембраноподобным растянутым горизонтом. При этом физические процессы вблизи растянутого горизонта допускают такое простое и наглядное описание, которое невозможно в рамках картины застывшей звезды.
Оригинальные научные статьи по мембранной парадигме написаны в основном на языке, доступном лишь профессиональному релятивисту. Нерелятивисту разобраться в них нелегко. Но, для того чтобы мембранная парадигма проявила всю свою мощь, она должна стать доступной для астрофизиков. Она может также представлять некоторый интерес и служить источником интеллектуального наслаждения исследователям, работающим в других областях физики. Именно для таких людей в первую очередь и предназначена эта книга. Для релятивиста-профессионала эта книга, возможно, окажется интересной в качестве введения в предмет, но, вероятно, ему захочется глубже познакомиться с доказательствами обоснованности мембранной парадигмы. Для этого ему следует обратиться к оригинальной литературе, где рассматриваются следующие аспекты такого подхода: горизонт как мембрана [237—239, 48——49]; объединение формализма, описывающего горизонт, с 3+ 1-формализмом [163, 206]; приложения к магнитосфере черной дыры [120, 121, 206]; приложения к разнообразным модельным задачам по физике черных дыр [122, 195]; закручивание черной дыры внешним гравитационным полем [205]; атмосфера черной дыры, испарение черных дыр, энтропия черной дыры и другие вопросы квантовой теории поля [72а, б; 242].
В этой книге мембранная парадигма вырисовывается последовательно, шаг за шагом, причем при введении каждого важного понятия для его иллюстрации используются модельные задачи. Модельные задачи взяты не только из недавней литературы и неопубликованных работ авторов, но также из литературы 60-х и 70-х годов, предшествовавшей разработке мембранной парадигмы; в последнем случае задачи будут переформулированы на языке мембранного формализма. На протяже-
нии всего изложения мы ограничимся медленно меняющимися (шварцшильдовскими, керровскими или почти-шварцшильдов- скими и почти-керровскими) дырами, для которых мембранная парадигма наиболее плодотворна; анализ черных дыр с сильной динамикой в рамках мембранного подхода дан Прайсом и Торном [163]. Кроме того, мы ограничимся рассмотрением реалистической с точки зрения астрофизики ситуации, когда полный электрический заряд черной дыры столь мал, что его можно описать как линейное возмущение незаряженной дыры; обобщение на случай сильно заряженных (рейснер-нордстремо|в- ских или керр-ньюмановских) черных дыр не встречает принципиальных затруднений, но к настоящему времени еще не проделано.
В гл. II мы начнем с введения 3 + 1-формализма для шварцшильдовского пространства-времени, и в частности с 3+ 1-расщепления законов электродинамики. Затем мы обсудим трудность, неизбежно возникающую в рамках 3 + 1-подхода при описании процессов, протекающих в непосредственной близости от горизонта: «застывание» движения на горизонте. Этим обстоятельством мотивируется введение понятия «растянутого» горизонта, при котором нулевой горизонт заменяется времениподобной физической мембраной, наделенной электрическими, механическими и термодинамическими свойствами. Именно в этом и состоит суть мембранной парадигмы.
Степень полезности этого мембранного подхода иллюстрируется затем, в конце гл. II, с помощью ряда модельных задач по электромагнетизму. Приводится модельная задача, в которой черная дыра пронизана осциллирующими магнитными силовыми линиями, которые закреплены на идеально проводящей сфере, окружающей черную дыру; сложная и несущественная (для ответа на большинство вопросов) структура поля вблизи истинного горизонта скрыта под растянутым горизонтом. Поверхностный заряд растянутого горизонта иллюстрируется модельной задачей, в которой внешние заряженные тела индуцируют разделение заряда на горизонте. Поверхностный ток и сопротивление растянутого горизонта рассматриваются на основе задачи, в которой дыра считается помещенной в электрическую цепь. Омический нагрев горизонта в этой цепи используется для иллюстрации энтропии черной дыры и закона ее роста. Сила Лоренца, действующая на растянутый горизонт со стороны магнитного поля, пронизывающего горизонт, иллюстрируется модельной задачей, в которой (почти-) шварцшильдовская дыра действует как ротор в электромоторе. Изменение электрического и магнитного полей в окрестности горизонта, а также токи и заряды, индуцированные на растянутом горизонте в результате этого изменения, иллюстрируются модельной
задачей, в которой электрические заряды перемещаются параллельно горизонту.
В гл. III мы обращаемся к вращающимся (керровским) черным дырам. Рассмотрено 3+ 1-расщепление для таких дыр и достаточно детально проанализировано гравитомагнитное поле (гравитационный аналог магнитного поля), появляющееся в результате такого разделения. Природа гравитомагнитного поля (ГМ.) в пределе слабой гравитации вдали от горизонта иллюстрируется на основе анализа его роли в уравнении для геодезических, а также в прецессии гироскопов («эффект Лензе — Тирринга», «увлечение инерциальных систем отсчета»). 3 + 1 расщепление законов электродинамики и других законов физики и растянутый горизонт представлены в случае вращающейся черной дыры. Затем приводятся модельные задачи, с помощью которых объясняется, как ГМ-поле создает электрические поля из магнитных и магнитные поля из электрических. В качестве важного примера показано, что в случае вращающейся черной дыры, пронизанной магнитным полем, создается падение электрического напряжения между полюсами дыры и ее экватором ——фактически Г М-поле дыры взаимодействует с ее магнитным полем, создавая «поверхностную батарею» на горизонте. Физика этой поверхностной батареи поясняется с помощью модельной задачи, в которой фигурирует разделение зарядов на горизонте дыры при отсутствии входящих и выходящих токов, а также с помощью задачи, в которой поверхностная батарея создает токи в проводах, соединяющих дыру с внешней цепью. И наконец, взаимодействие магнитных полей и вихревых токов, индуцированных этими полями на горизонте, иллюстрируется модельной задачей о черной дыре во внешнем магнитном поле, которое наклонено по отношению к оси вращения дыры.
На основе понимания, достигнутого с помощью этих модельных задач, в гл. IV дается обзор по магнитосферам черных дыр. Здесь рассматриваются следующие явления: увлечение аккреционного диска в экваториальную плоскость дыры в результате совместного действия ГМ-поля дыры и вязкости диска (эффект Бардина ——Петерсона); привнесение магнитного поля на черную дыру аккреционным диском; выглаживание привносимых полей горизонтом; трансформация выглаженных полей в плазменную бессиловую магнитосферу; и, наконец, высвобождение энергии вращения черной дыры в магнитосферу (процесс Блэндфорда — Знаека), включая теорию цепей и анализ передачи энергии с точки зрения теории цепей и сохранения момента.
В первых четырех главах основное внимание уделяется гравитационным эффектам, связанным с воздействием черной
дыры на внешние поля и вещество. В следующих трех главах речь идет об обратной задаче: гравитационное воздействие со стороны внешних полей и вещества (и черных дыр!) на рассматриваемую дыру. В гл. V мы начинаем с исследования воздействия на черную дыру со стороны далеких источников гравитации. Ключевые роли в этом исследовании играют «асимптотическая система покоя》дыры и 3+ 1-расщепление приливного гравитационного поля внешних тел. Эти понятия используются для обоснования и вывода 3 + 1-уравнений для сил и моментов, действующих на дыру со стороны далеких тел; затем показывается, как получить из этих сил и моментов конкретные уравнения движения и прецессии для черной дыры, взаимодействующей со сложной внешней системой, например с другими компактными объектами, входящими в систему нескольких или многих тел. В оставшейся части гл. V приводятся модельные задачи, предназначенные для иллюстрации четырех типов прецессии, которые может испытывать черная дыра: прецессия из-за моментов, обусловленных взаимодействием квадрупольного момента дыры с приливными гравитационными полями, создаваемыми внешними телами; гравитомагнитная прецессия, обусловленная взаимодействием ГМ-поля дыры с ГМ- полями внешних тел; прецессия, обусловленная гравитационным спин-орбитальным взаимодействием, когда дыра обращается вокруг некоторого компаньона, и прецессия, обусловленная пространственной кривизной, создаваемой компаньоном, вокруг которого обращается черная дыра. Спин-орбитальная прецессия и прецессия за счет пространственной кривизны вместе составляют «геодезическую» прецессию, которая, как можно показать, преобладает над другими формами прецессии при движении в двойных системах. Однако в случае черной дыры, взаимодействующей с окружающим ее аккреционным диском, гравитомагнитная (Лензе —— Тирринга) прецессия оказывается доминирующей, а в случае дыры, взаимодействующей с окружающим ее эллипсоидальным скоплением звезд (ядро галактики) ,которое обладает пренебрежимо малым угловым моментом, отлична от нуля лишь прецессия за счет момента.
В. гл. VI мы возвращаемся к рассмотрению области сильного поля черной дыры, на этот раз для изучения гравитационных возмущений, которые могут вызывать существенные изменения горизонта. Мы развиваем здесь мембранный подход применительно к этим гравитационным возмущениям по аналогии с электромагнитным мембранным подходом, описанным в гл. II и III (хотя здесь ситуация оказывается более сложной). В качестве отправной точки берется 3+ 1-расщепление возмущающих приливных полей ——гравитационных аналогов электромаг-
нитных полей Е и В. Сначала влияние этих приливных сил на дыру сводится к их влиянию на кинематику растянутого горизонта. Затем, воспользовавшись подходом Дамура [49, 50], мы интерпретируем выявленные в результате кинематические эффекты, приписывая растянутому горизонту свойства механической поверхности (поверхностную вязкость, поверхностное натяжение, поверхностные плотности массы и импульса). Эти понятия и связанные с ними эффекты иллюстрируются в гл. VII модельными задачами, в которых внешнее вещество искажает горизонт и заставляет его эволюционировать. Первая модельная задача включает в себя квазистатическое оседание, точечных масс на горизонт невращающейся дыры; из этой задачи вырастает обсуждение квазистационарных искажений горизонта в общем случае. Вращательные возмущения иллюстрируются модельной задачей, в которой точечные массы движутся по орбитам над самым экватором керровского горизонта. Обсуждается замедление вращающейся дыры в приливном поле, создаваемом далекими источниками. Такая задача впервые продемонстрировала вязкую природу горизонта [89, 90, 101] и помогла обосновать мембранный подход. Затем обсуждаются «черно-дырные» процессы, происходящие в области сильного поля вблизи горизонта; сюда входят гравитационный механизм извлечения энергии вращения, суперрадиационное рассеяние гравитационных волн, квазинормальные пульсации дыры. И наконец, динамика горизонта еще глубже иллюстрируется с помощью модельных задач, в которых точечные частицы радиально движутся вблизи горизонта. Здесь рассмотрен случай как свободного падения, так и заданного ускорения.
Завершает книгу гл. VIII, в которой дано описание тепловой атмосферы черной дыры, предсказываемой квантовой теорией поля, в рамках мембранного формализма. Изложены физические законы, которым подчиняется атмосфера и ее эволюция, при этом особое внимание уделяется вопросу о том, как поляризация вакуума приводит к перенормировке наблюдений атмосферы для статических наблюдателей, обеспечивая энергию и импульс, которые взаимодействуют с гравитацией и являются причиной эволюции растянутого горизонта. Показано, что энтропия дыры равна перенормированной статистической энтропии атмосферы, которая в свою очередь равна постоянной Больцмана, умноженной на логарифм числа способов, которыми может быть сделана черная дыра. Такая интерпретация энтропии дыры приводит к доказательству того, что второе начало термодинамики для систем, включающих в себя черную дыру, есть всего лишь частный случай обычного нерелятивистского закона. Несколько модельных задач иллюстрируют фи-
зику тепловой атмосферы черных дыр. Среди этих задач испарение дыры в идеальный вакуум, взаимодействие атмосферы дыры с внешней тепловой баней, инжекция гравитонов в атмосферу дыры в ходе замедления ее вращения, вызванного приливным воздействием, а также возникающее в результате увеличение статистической энтропии дыры и, наконец, «впрыскивание» квантов в атмосферу черной дыры и извлечение квантов из нее.
На протяжении всей этой книги мы пользуемся теми же обозначениями, которые приняты в книге Мизнера, Торна и Уилера [129], и, так же как там, полагаем ньютоновскую гравитационную постоянную G и скорость света с равными единице («геометрические единицы»; см. приложение 1.8 книги [129]). Время от времени мы восстанавливаем G и с в уравнениях, но лишь для того, чтобы напомнить читателю, куда эти константы входят. Кроме того, следуя книге [129] (§ 8.4, приложение 9.2), мы обозначаем координатные базисные векторы частными производными, например еф = д/дф. Чтобы привести некоторые уравнения к более элегантному виду, мы пользуемся приведенными в [129] диадными обозначениями для тензоров второго ранга, но все уравнения, в которых диадные обозначения могли бы внести неясность, мы записываем в индексных обозначениях.
Невращающиесяи медленно вращающиеся черные дыры
Д. Макдоналд, Р. Прайс, Вэй Мо Сюэн, К. Торн
А- 3 + 1-расщепление шварцшильдовскогопространства-времени
Рассмотрим черную дыру, которая образовалась в результате гравитационного коллапса некоторой звезды, обладавшей пренебрежимо малым угловым моментом J <^ M2(J <^ GM2/c)f где М — масса дыры. Если бы даже черная дыра в самом начале была сильно несимметричной, она избавилась бы от своей асимметрии, излучая гравитационные волны за характерное время AZ 〜100М = 100GAf/c3 〜(1 мс)(Л4/М(э), где MQ — одна солнечная масса (см. [129], § 32.7). Если вблизи дыры нет масс, способных оказывать на дыру приливное воздействие, то дыра придет в равновесное состояние, описываемое шварцшильдовской метрикой
ds? = gg d# dxv =
=—[1 一毕]山2 + 一1 爲不 + Г2 (心 + Sin2 0 存 2). (2.1)
Здесь t, г, 0, ф ——соответственно шварцшильдовские время, радиальная и угловые координаты (см., например, [129], § 23.2, 23.3, 23.6), а 2М = гн ——гравитационный радиус черной дыры. В большей части этой главы мы ограничимся рассмотрением такой дыры, находящейся в равновесном шварцшильдовском состоянии.
Метрика (2.1) описывает дыру с пространственно-временной точки зрения. Чтобы расщепить это пространство-время на 3-мерное пространство и 1-мерное время, мы должны выбрать некоторое предпочтительное множество пространственноподобных гиперповерхностей. Наиболее естественно остановить свой выбор на гиперповерхностях постоянного времени, что мы и сделаем. (Мало-мальски проницательный читатель может возразить против такого выбора, думая, что мы возвращаемся к старому, дискредитировавшему себя взгляду на черные дыры как на застывшие звезды; мы успокоим эти опасения и объясним наш выбор позднее.) Выбрав гиперповерхности постоянного времени, мы мысленно совместим все эти гиперповерхности в единое «абсолютное» (по Галилею) 3-мерное про-
странство с координатами 厂，仇 力 и 3-мерной метрикой:
ds2 = gik dN dxk = 1」晶"+ r2 (能2 + sin2 0 d*),(2.2)
a t будем рассматривать как «мировое время》галилеева типа, отсчитываемое в этом абсолютном пространстве.
Удобно представить себе, что это абсолютное пространство заполнено опорными наблюдателями (ОПН). В каждой точке (厂，6,@) находится ОПН, который производит измерения физических процессов, происходящих в его окрестности. Каждый ОПН покоится относительно дыры и никогда не изменяет свое фиксированное (г, 0, ф) положение. Когда ОПН производит локальные физические измерения, он, как правило, пользуется локальной декартовой системой координат в универсальном пространстве. Ее базисные векторы единичной длины каса- тельны к координатным линиям:
= 毕 孟=(2，3a)
В качестве времени он обычно пользуется временем т, которое показывают физические часы, сопутствующие ОПН. Соотношение между этим временем т, измеряемым по часам ОПН, и мировым временем t можно получить из пространственно-временной метрики (2.1):
穿 W а = (— goo)i/2 = [1 —岑『2.(2.36)
Если встать на пространственно-временную точку зрения и не заниматься 3 + 1-расщеплением, то к ортонормированным базисным векторам (2.3а) добавляется
(23B)
>>>
и е«, е尸 е@, е$, вместе взятые, образуют «собственную систему отсчета» ОПН (ср. с § 13.6 книги [129]). Величина а называется функцией длительности, поскольку ею определяется длительность интервала времени по часам ОПН, соответствующая единичному интервалу мирового времени. Ее можно рассматривать также, как «функцию гравитационного красного смещения»: если фотон, испущенный ОПН, расположенным на радиальном расстоянии го, имеет частоту %, то принимающий его ОПН, расположенный вдали от дыры, измерит частоту, испытавшую красное смещение f = a(ro)fo. Отметим, что вдали от дыры часы, сопутствующие ОПН, идут в том же темпе, что и мировое время, но вблизи горизонта часы, сопутствующие ОПН, идут гораздо медленнее. Горизонт, г = rH = 2Mf можно рас-
сматривать как место, где часы, сопутствующие ОПН, не идут вовсе, т. е. место, где a f 0.
Принимая 3 + 1-подход, мы считаем пространство-время (% 厂，仇力)расщепленным на абсолютное 3-мерное пространство (г, 6,屮)плюс мировое время /; пространственно-временную метрику gg [уравнение (2.1)] мы рассматриваем как расщепленную на метрику gfk [уравнение (2.2)] плюс функция длительности а [уравнение (2.36)]; аналогично 4-мерный тензор электромагнитного поля F^v мы рассматриваем как расщепленный на электрическое поле £/ и магнитное поле 5/, измеряемые (по действию силы Лоренца) различными ОПН:
亿 e, 3) t gjk a Bj £/亿 e, 3) t gjk a Bj £/(2.4)(2.4)
亿 e, 3) t gjk a Bj £/
亿 e, 3) t gjk a Bj £/
(2.4)
(2.4)
Далее будем считать, что функция длительности а, электрическое и магнитное поля, £ и В, суть объекты, существующие в 3-мерном пространстве и (в случае £ и В) эволюционирующие с течением мирового времени. По существу все физические процессы протекают в 3-мерном пространстве с течением мирового времени, и все физические величины определяются через измерения, выполняемые в этом пространстве различными ОПН.
Абсолютное пространство вокруг черной дыры отличается от абсолютного пространства Галилея в одном существенном отношении: оно искривлено. Эффекты пространственной кривизны обсуждаются в разд. Б.5. Как правило, эти эффекты менее существенны, чем эффекты, связанные с функцией длительности (с красным смещением), поэтому нередко мы будем пренебрегать ими. Но, если время от времени будет возникать необходимость разбираться в свойствах кривизны, мы будем пользоваться «диаграммами погружения» (см. [129], § 23.8): 《плоское》 2-мерное сечение в абсолютном пространстве черной дыры (экваториальное сечение 0 = л/2 или полярное сечение ф = const) обладает 2-мерной геометрией:
ds? = (1 - 2М〃)Т dr? + г2 dK (2.5)
Точно такая же геометрия (такая же кривизна) свойственна параболоиду вращения в евклидовом 3-пространстве (рис. 2):
г = “8M(F-2M), ds2 = d 产 + dz2 + 产乙能 (2.6)
Такой параболоид можно рассматривать как 2-мерную экваториальную «плоскость» [уравнение (2.5) ], погруженную в евклидово 3-пространство. Как видно на рис. 2, эта кривизна такая же, как у оркестровой трубы, причем горизонт распо-
Рис. 2. Диаграмма погружения для 2-мерного экваториального или полярного сечения абсолютного 3-пространства шварцшильдовской черной дыры; ср. с формулами (2.5) и (2.6). Эта диаграмма иллюстрирует кривизну абсолютного пространства черной дыры.
лагается на горловине трубы, а далекая внешняя Вселенная— - на асимптотически плоском листе, с которым соединен раструб.
3 + 1-подход ничего не говорит, и фактически ничего не может сказать, о внутренней области г < 2М. По этой причине мы резко обрываем диаграмму погружения на горизонте.
Функция длительности а не только определяет красные смещения и темпы хода часов, но и, кроме того, играет роль гравитационного потенциала, по которому рассчитывается гравитационное ускорение g, испытываемое ОПН. Простой общерелятивистский расчет дает
g = — Vlna =—牛.(2.7)
[Более изощренный вывод ускорения, справедливый не только в случае шварцшильдовских дыр, но и в существенно более общем случае см. в работе [206], уравнение (2.4).] В этом и во всех последующих уравнениях V обозначает 3-мерный градиент в абсолютном пространстве (подробнее см. разд. Б.5). Вдали от горизонта величина а—1 становится близкой ньютоновскому гравитационному потенциалу Ф:
。一 1 =(!)= — 〃亿 g=—十① ПрИ 厂》2M.(2.8)
Повсюду (и вдали от горизонта и вблизи него) g есть ускорение, измеряемое ОПН, который пользуется обычным грави-
А-А
метром или акселерометром, a F =——mg——сила, которую необходимо приложить к неподвижной массе т, чтобы предотвра-
тить ее падение в черную дыру. Вдали от горизонта гравитационное ускорение является малым и ньютоновским, вблизи горизонта оно умножается на сс-1 =(1 ——2/И/厂)一以2 и становится бесконечным.
Б- 3 -[- 1-расщепление законов физикивне невращающейся черной дыры
Электрические и магнитные поля,измеряемые ОПН, уравнения Максвелла и сохранение заряда
Преимущество 3 + 1-подхода состоит в том, что его формализм весьма похож на то, к чему мы привыкли в необщерелятивистской обычной физике. 3 + 1-законы электродинамики формулируются с намеренным подчеркиванием этого сходства. Вместе с тем при электродинамическом описании области вблизи черной дыры эти привычные законы приобретают и существенно новые черты, свойственные рассматриваемой области. Наиболее важная из этих новых черт состоит в том, что здесь мы имеем дело с двумя 《временами》： мировым временем t и собственным временем ОПН т. Мировое время никак не входит в локальные измерения, выполняемые ОПН. ОПН измеряет все скорости, выражая их через свое собственное время т. На протяжении всей этой книги поля Е и В в некоторой точке определяются как поля, измеряемые ОПН, находящимся 6 этой точке, причем ОПН пользуется при измерениях своим собственным временем т.
Рассмотрим это условие более подробно. Пусть ОПН наблюдает частицу с массой покоя m и зарядом q и измеряет ее скорость v (имеющую компоненты 5 = dx；/d/x = a— dxiIdt). В качестве импульса частицы по определению он принимает -^->>>.
величину р = mv/(l — v2)1/2 (где v2 = gjkv^vk)- Тогда по его наблюдениям темп изменения импульса по отношению к его собственному времени равен
点=不妄^+〃"迎亂 (2-9а)
Локальные поля £ и В определяются в терминах той части этого соотношения, которая зависит от q, т. е. точно так же, как это сделал бы любой лабораторный наблюдатель. [Уравнение (2.9а) можно вывести из 3 + 1-расщепления обычного общерелятивистского уравнения движения для заряженной частицы 他〃气6〃[3 — ^faP^pj
К используемым здесь обозначениям следует относиться с известной осторожностью. Электродинамика в специальной теории относительности, как правило, использует символ т для обозначения собственного времени заряженной частицы. Здесь же под т подразумевается собственное время ОПН и оно играет ту же роль, что и «лабораторное время》^аь в специальной теории относительности, в которой поля Е и В определяются в лабораторной системе отсчета с помощью явно нековариантного соотношения:
В нашем случае собственное время частицы dtpart, равное в специальной теории относительности (1 — v2)1/2 ^ьь, есть dtpart = (1 —v2)1/2 dx. [Тот член, который соответствует в уравнении (2.9а) «гравитационному» ускорению, содержит лорен- цевский фактор (1 — v2)~1/2, поскольку с точки зрения лабораторного наблюдателя (ОПН) гравитационное взаимодействие определяется массой-энергией, измеренной в лабораторной системе отсчета, т. е. величиной т/(1 ——v2)1/2, а не массой покоя т.
Необходимо также обсудить и смысл производной d/dt, входящей в уравнение движения частицы (2.9а). Поскольку d/dt означает дифференцирование импульса р, который несет частица, то производная d/dx должна браться в точке, движущейся вместе с частицей. В локальных декартовых координатах, которые могут быть использованы ОПН при формировании своей локальной системы отсчета, эту производную можно было бы переписать следующим образом: dpk/dx = (a~xd/dt + + v^d/dxf) pk. Соответственно в обозначениях, не зависящих от выбора координат, эта производная принимает следующий вид:
若三恃今+詼可%， (2・96)
где V — (ковариантный) оператор градиента в абсолютном пространстве (см. ниже подразд. 5).
Плотность электрического заряда р& и плотность электрического тока /, так же как и Е и В, являются по определению величинами, измеряемыми ОПН. Это означает, что ре —— электрический заряд, приходящийся на единичный (по измерению ОПН) пространственный объем, / ——электрический заряд, протекающий за единицу времени т через поперечную площадку единичной (по измерению ОПН) площади.
Отдавая себе отчет в том, что при дальнейшем использовании всех этих обозначений может возникнуть какая-нибудь путаница, авторы пользуются случаем лишний раз повторить и подчеркнуть, что символы Е и В всегда относятся к полям, измеряемым ОПН (т. е. к полям, измеряемым в локально ло- ренцевских системах отсчета ^покоящегося^ относительно шварцшильдовских координат наблюдателя), а символы ре и / всегда будут обозначать плотность заряда и плотность тока, которые получает ОПН, производя локальные измерения.
Таким образом, ОПН представляют собой наши «локальные лаборатории», at играет роль локального лабораторного времени, а не глобальной координаты. Оно не имеет отношения к разбиению пространства-времени на сечения. Для этой цели естественно выбрать «мировое время》t — временную координату в шварцшильдовской системе. Эта временная координата участвует в разбиении пространства-времени на сечения точно так же, как это делали бы ОПН физически, используя эйнштейновское определение одновременности. Пусть ОПН 3 посылает в сторону соседнего ОПН ，毋 световой импульс, и пусть этот импульс, отразившись в зеркале, расположенном в точке 戚 возвращается к ^. Тогда событие, соответствующее отражению и происходящее в ⑨,является одновременным тому событию в 壶，которое происходит точно посередине по собственному времени т между испусканием и возвращением импульса. Из-за гравитационного красного смещения темпа хода часов невозможно так выбрать начала отсчета собственного времени t в 垓 и，纽 чтобы одновременным парам событий в 3 н 0? соответствовало одно и то же т. Однако мировое время t обладает тем замечательным свойством, что событиям, которые являются одновременными по измерениям соседних ОПН, всегда соответствует одно и то же значение Л Координата 力 соответствующая мировому времени, позволяет также наилучшим образом описать независимость 《от времени» геометрии и, как правило, приводит к наиболее простым нелокальным соотношениям.
Вот почему при дифференцировании полей, как это делается в уравнениях Максвелла, мы пользуемся d/dt. Однако при этом не следует удивляться тому, что при соответствующей записи уравнений Максвелла в них появляются множители а 三 dx/dt, отражающие то обстоятельство, что в определение Е и В входит единица ОПН-времени, тогда как, производя дифференцирование, мы берем за основу единицу мирового времени. Не существует какого-либо простого правила, позволяющего понять, в каком именно месте в уравнениях Максвелла и в урав-
нении сохранения заряда, полученных из точной теории, появляются множители ос:
V- В = 0,(2.10а)
V • Е = 4冗ре,(2.106)
号~ = —VX(aE),(2.10в)
^ = VX(aB)-4naj,(2.10г)
* = —K(oJ),(2.10д)
но их положение в уравнениях, безусловно, соответствует приведенному выше объяснению. В качестве мнемонического правила, но не в качестве объяснения можно считать, что множители а приводят правые части последних трех уравнений к единице мирового времени так, чтобы они соответствовали левым частям. В уравнениях, не содержащих d/dt, множители а не появляются.
Знакомые интегральные законы электромагнетизма можно вывести из приведенных выше дифференциальных законов. Эти интегральные законы (соответственно два закона Гаусса, закон Фарадея, закон Ампера и уравнение непрерывности для заряда) имеют вид
§ 靑・ d才=0,(2.11а)
^Е^ d才=4旺 ре%(2.116)
鳥、靑.力?=_0a声.疝，(2.11b)
方d4 =?a5.成一 4冗 ^rdA, (2.11г)
备\ped!Z = — §孑・"・(2.11Д)
Здесь。片一граница объема 於 и 份=83 — кривая, ограничивающая площадь 3; остаются в силе обычные правила (《пра- вила^правой руки》)，указывающие относительные ориентации 由，dA и d!Z; кроме того, принимается, что объем 勿，площадь ,3 и кривая 份 покоятся в абсолютном пространстве (покоятся по отношению к ОПН и, следовательно, также по отношению
к координатам 厂，0 и 9). Непривычной особенностью этих уравнений являются лишь множители а, которые, так же как и в дифференциальных соотношениях (2.10), можно рассматривать как факторы, изменяющие правые части и приводящие их к единице мирового времени таким образом, чтобы они были совместимы с производными d/dt, входящими в левые части.
Вывод приведенных выше дифференциальных и интегральных формул для уравнений Максвелла см., например, в работе Торна и Макдоналда [206]: формулы (5.8) и (5.11) при з = 0
и формулы (4.1) — (4.5) при ” = 0. Эти формулы справедливы, конечно, лишь в том случае, когда поля £ и В достаточно слабы и можно пренебречь влиянием их энергии-импульса на гравитационное поле, но это условие всегда выполняете»:, если речь идет о реальных астрофизических ситуациях.
Электрические и магнитные линии поля,напряжения и ЭДС, энергия с учетом красного смещенияи поток Пойнтинга
Один из наиболее привлекательных аспектов 3 + 1-подхода состоит в том, что он позволяет прийти к системе, в рамках которой оказывается полезной интуиция, основанная на опыте работы с плоским пространством-временем. В то же время здесь явно присутствуют новые свойства электродинамики в искривленном пространстве, и читатель, столкнувшись с ними впервые, возможно, испытает сомнение в применимости этой интуиции. По этой причине мы дадим ниже краткий обзор некоторых известных понятий и выясним, в какой мере их можно переносить на 3+ 1-электродинамику. Применимость и полезность этих понятий будут показаны на примере модельных задач в разд. Г.
Силовые линии Е и В
Как видно из уравнений Максвелла [формулы (2.10а, б)], вектор В всегда является бездивергентным, а вектор Е бездивер- гентный только в отсутствие заряда. Если мы построим силовые линии полей Е п В, следуя обычному алгоритму (силовая линия касательна направлению поля, плотность силовых линий пропорциональна напряженности поля), то силовые линии поля В окажутся кривыми, не имеющими концов, а силовые линии поля Е будут начинаться и оканчиваться только на заряде.
Представление о натяжении силовых линий и о давлении между ними по-прежнему применимо для качественного и количественного понимания действия и эволюции полей. Силовые линии по-прежнему 《хотят》 сократиться и избежать «сгущений» (см. разд. III. Б.З).
Картина силовых линий усложняется по той причине, что пространственная геометрия искривлена; об этом подробно пойдет речь ниже в подразд. 5.
Падения напряжений 〃 ЭДС по замкнутым контурам
Как следует из закона Фарадея [формула (2.11в) ], меняющееся со временем поле В порождает ЭДС в замкнутом контуре, точно так же как и в случае плоского пространства. Разница лишь в том, что в определение ЭДС входит величина аЕ, тогда как Е управляет движением зарядов с точки зрения ОПН, выполняющих локальные измерения [уравнение движения под действием силы Лоренца (2.9)]. Появление множителя а при рассмотрении напряжения не случайно, оно теснейшим образом связано с тем обстоятельством, что время, фигурирующее в глобальных явлениях, например в глобальных законах сохранения, есть мировое время 厶 а не время ОПН т, а напряжение——понятие глобальное.
Чтобы увидеть это более отчетливо, рассмотрим цепь, состоящую из сверхпроводящего провода, часть которого находится вблизи горизонта, а часть вдали от него, и расположенных на этом проводе в различных точках сосредоточенных элементов цепи (резисторы, индуктивности, батареи и т. д.). Предположим, что цепь находится в стационарном состоянии. Тогда, как следует из интегрального закона сохранения заряда (2.11д), ток, определенный через единицу мирового времени, равен
/三匹喀立=,不.d^ (2.12)
(2.13)(2.13)и не зависит от положения в цепи. (Интеграл здесь берется по поперечному сечению провода.) С другой стороны, поскольку сопротивление резистора является локально измеряемой величиной
(2.13)
(2.13)
—d (заряд)/б/т
(здесь интеграл взят по очень маленькой длине резистора), и поскольку dx = adt, связь между напряжением и током для резистора имеет вид
АУ 三、а% • dl=a «(諾也'R = /R. (2.14)
Таким образом, поскольку ток в цепи / измеряется на основе единицы мирового времени, определение напряжения через интеграл от а£ приводит к сохранению обычного вида закона Ома для резистора, V = /R.
Наличие а в определении напряжения можно понять, исходя из более формальных соображений, следующим образом. Если встать на пространственно-временную точку зрения на черную дыру и рассмотреть статическое электромагнитное поле, то можно вычислить компоненты тензора электромагнитного поля по стандартной формуле 尸川=dAQ/dxL Компоненты £, измеряемые в ортонормированной системе ОПН (в собственной системе отсчета), равны Е^ = Fq《. Точно так же компоненты Е в произвольном координатном базисе в абсолютном пространстве равны £у = F^ = ^~[Р^ = а-1 дА^дх1, поэтому именно аЕ, а не £ является градиентом потенциала (напряжения 丿= 4о)・
Стоит отметить, что а£ можно рассматривать как поле, вызывающее изменения импульса заряженной частицы, если мы измеряем эти изменения, основываясь на единице мирового времени, а не на единице времени ОПН:
存=а嘿=да 声. (2.15)
Представление об изменениях, приходящихся на единицу мирового времени, будет полезным, хотя такие изменения не соответствуют измерениям, проводимым каким-либо наблюдателем.
Энергия с учетом красного смещения
Когда фотон поднимается в гравитационном поле черной дыры, его частота испытывает красное смещение. В соответствии с этим изменяется и его энергия:
(2.16)(2.16)(энергия на бесконечности)(энергия при испускании)
(2.16)
(2.16)
При этом фактор красного смещения рассчитывается в точке испускания. Это соотношение для энергии, испытавшей красное смещение, справедливо не только для фотонов. Ему подчиняются все формы энергии (см., например, [129], § 25.3). В результате в законах физики вокруг черной дыры фигурируют два типа энергии: «локально измеряемая энергия», которая определяется обычными локальными законами физики, применяемыми
ОПН, и «энергия-на-бесконечности», или «энергия с учетом красного смещения», которая равна части локально измеряемой энергии, остающейся после переноса на бесконечность (подразумевается, что необходимая для переноса работа совершается за счет этой самой локально измеряемой энергии). Частица, расположенная в том месте, где фактор красного смещения равен а, обладает локально измеряемой энергией и энергией-на- бесконечности, которые связаны друг с другом соотношением
Eg = aEiocai. (2」7)
Если частица свободно падает (внешние силы отсутствуют) в гравитационном поле дыры, то ее энергия-на-бесконечности сохраняется, тогда как локально измеряемая энергия меняется. Если частица падает, пересекая горизонт, в дыру, она увеличивает массу дыры на величину своей энергии-на-бесконеч- ности：
АЛИ® (2.18)
(см. [129], § 25.3 и 33.7). И если в дыру попадает любой другой объект (например, электромагнитное поле), то он тоже увеличивает массу дыры на величину, равную его энергии-на- бесконечности.
г) Поток Пойнтинга
Поскольку Е и В — это физически измеряемые электрическое и магнитное поля, величина (1/4冗)ЕХ 5 должна представлять собой поток локально измеряемой энергии, т. е. количество локально измеряемой энергии, пересекающей единичную площадку за единицу собственного времени ОПН т. Однако, если мы имеем дело с законом сохранения энергии, нас интересует не эта величина, а количество энергии-на-бесконечности, пересекающее единичную площадку за единицу мирового времени, а эта величина определяется выражением (1/4л) а2£ X В. Один множитель а связан с переходом от локально измеряемой энергии к энергии-на-бесконечности, а второй появляется из-за перехода от единицы времени ОПН к единице мирового времени.
ОПН и СПН
Математическое описание физических процессов, основанное на величинах, измеряемых ОПН, независимо от того, выражаются ли эти величины через мировое время Z или через собственное время ОПН т, имеет один большой недостаток: вблизи
горизонта движение ОПН становится аномальным в том смысле, что эти «стационарные» наблюдатели движутся наружу со скоростями, близкими к скорости света (и конечно, со сколь угодно большими ускорениями). В качестве примера неаномального множества наблюдателей в каждой точке Z, г, 0, ф мы можем представить себе наблюдателей, которые свободно падают к дыре по радиальным траекториям, начав движение по этим траекториям из состояния покоя на бесконечно большом расстоянии от дыры в бесконечно далеком прошлом. Можно показать, что движение этих свободно падающих наблюдателей (СПН) описывается уравнением
d"dt = — (1 一 2M〃(2M〃)i/2 (2.19)
[см. [129], формула (25.36') при R = 8 или решение уравнения (2.9а) при 7 = 0], а скорость, с которой с точки зрения этих СПН движутся наружу ОПН (равная скорости, с которой с точки зрения ОПН движутся к дыре СПН), равна
v=_ (1-2竽尸/2" = _ (—М/Г)* 黑=产)1/2 . (2 20)
На горизонте эта скорость становится равной скорости света. В силу основополагающего принципа, согласно которому свободно падающие наблюдатели являются неаномальными наблюдателями для измерения полевых величин, мы должны прийти к выводу, что измерения ОПН вблизи горизонта весьма сомнительны. Как мы увидим ниже, эта трудность легко преодолима, поскольку преобразование Лоренца с радиальной скоростью V = (2М/г)1/2 приводит результаты измерений ОПН к результатам измерений, проведенных СПН. Отметим, что лорен- цевский фактор, фигурирующий в этом преобразовании, равен y = (1 —У2)-1/2 = qT.
Граничные условия на горизонте
Граничные условия, которым удовлетворяют Е и В на горизонте, кратки и просты: компоненты электрического и магнитного полей, измеряемые СПН, должны быть конечными. Гра- ничные условия для наших Е и 3 (измеряемых ОПН) следуют из сказанного выше и находятся с помощью обычных законов преобразования [см. [129], формулы (3.23) ]. Чтобы выписать их, отметим компоненты, измеряемые СПИ, соответствующим нижним индексом. Компоненты, измеряемые ОПН, будем записывать без нижнего индекса. Тогда законы преобразования при скорости V, определяемой соотношением (2.20), имеют еле-
дующий вид:
Ег = £спн конечна на горизонте,(2.21а)
В^ = Вспн конечна на горизонте,(2.216)
Е° = Y (或пн — ^В§пн) = а-1 [Яспн — (2М〃严盛пн] = О (а-1)>
(2.22а)
或=Y (康пн — v£cnH)= а-1 [б^пн — (2М〃严 £*спн] = О (а""1)»
(2.226)
Е$= а"1 [е£пн + (2М///2 或 гм] = О (J),(2.22в)
或=а」】 [В^пн + (2М/"/2 度rm] = О (а"1)-(2.22г)
Отсюда видно, что все компоненты £ и В, тангенциальные по отношению к горизонту, нарастают вблизи горизонта как сс-1.
Однако определенные комбинации тангенциальных компонент не расходятся на горизонте:
L + 眾=J [1 一 (2М〃)7 (或 11H + 虚пн)=
=縹(或пн + 庚пн) = 0(a)(2.23а)
и аналогично
卢一或=О (a).(2.236)
Дадим краткую сводку граничных условий (в терминах полей, измеряемых ОПН!) при а->0:
Е\ 勿= о(1),(2.24а)
Е°, £?, В6, М=0(аТ),(2.246)
Е@ + 由，£0-屈=О (а)(2.24в)
и отметим, что если 〃= ^——это единичный вектор, направленный по нормали к горизонту (в 3-геометрии), то тангенциальные компоненты Ей и Вц (компоненты, ортогональные 〃) удовлетворяют соотношениям
用1 = 〃 X 向I + О (а),绮=一〃 X 小 +。(а)・(2.25)
Соотношения (2.25) имеют простую физическую интерпретацию: поскольку вблизи горизонта (при сс -> 0) ОПН движутся наружу относительно свободно падающих наблюдателей со скоростью, близкой световой, то тангенциальные компоненты элек-
тромагнитных полей выглядят для них как распространяющиеся вовнутрь электромагнитные волны с точностью до эф« фекта порядка сс2.
Эффекты пространственной кривизны
Хотя геометрия абсолютного пространства (сечения / = const в шварцшильдовском пространстве-времени) не является плоской, ее можно описать (что, как правило, и будет делаться) в ортогональных координатах (2.2). Сказанное останется справедливым и для абсолютного пространства в случае вращающейся (керровской) черной дыры (разд. III. А.1). Это означает, что при вычислениях в рамках мембранной парадигмы мы практически всегда можем ограничиться операциями с векторами в ортогональных координатах. В частности, в ортонормальном базисе е?=(\—2М№д1дг、e6=r-1(?/(?0, G$=(厂 sin 9尸 X X д/дф векторная алгебра имеет привычный вид. В основе
> ■> -А ■> ->
ее лежат соотношения 。？・。广=6干？ и е? X е? = е?『后。忘，где 6扌？——символ Кронекера, а е??広——полностью антисимметричный символ. Векторные операции (дивергенция, ротор и т. д.) в ортогональных координатах по форме также мало отличаются от обычных (см., например, [132, 190]). В частности,
+ r Sin 8 施(sin 98。)十 r sine 而 Bq. (2.26)
Множитель (1 ——2Af/r) "2 ——единственный элемент, отражающий то обстоятельство, что геометрия не является плоской,—■ необходим здесь для того, чтобы «подправить» производную по 厂,учитывая тот факт, что дифференциал от длины вдоль радиальной координатной линии равен не dr, а (1 — 2Af/r)-1/2 dr [см. формулу (2.2)]. Хотя вычисления в рамках ортонормального базиса вполне достаточны для большинства задач, решаемых с применением мембранного подхода, при сложных вычислениях хорошим подспорьем может оказаться аппарат полного тензорного анализа, изложенный, например, в гл. 8 книги [129].
Есть еще один, более тонкий аспект искривленности пространственной 3-геометрии. В случае плоского 3-пространства никто не станет оспаривать целесообразность применения декартовых координат в описании метрики ds2 = dx2 + dy2 + dz2 или сферических полярных координат в выражении ds2 = dr2 + 十 r2(d02 + sin2 6d@2). Мы не сомневаемся в геометрическом
смысле этих координат. Иначе обстоит дело в случае 3-геометрии в области снаружи черной дыры:
办2 = (1 -2М1гГх dr2+ r2{d^+ sin20d^2). (2.27)
Применение координат 6 и 力 геометрически обусловлено, но выбор г в данной ситуации больше связан с ее удобством. Используемая здесь шварцшильдовская радиальная координата г обладает весьма примечательным свойством, которое состоит в том, что площадь поверхностей постоянного г определяется этой координатой посредством хорошо знакомой формулы А = 4лг2. Можно было бы выбрать и какую-либо другую «удобную» радиальную координату. Например, мы могли бы использовать величину
R = 2М + 卜&一 2M)]i/2 + in [(г/2М 一 I*? + (〃2Mp/2], (2.28) свойство которой заключается в том, что R ——2М измеряет истинное радиальное расстояние от горизонта наружу. В свете вышесказанного необходимо соблюдать осторожность, поскольку детали рисунков, с помощью которых мы изображаем конфигурации полей, зависят от того, какую радиальную координату мы используем для этих рисунков. Например, с помощью формулы (2.69), которая будет приведена ниже, мы опишем магнитное поле, являющееся осесимметричным и, в некотором смысле, однородным. Если мы возьмем пространственное сечение @ = const и изобразим силовые линии 启,то они будут удовлетворять соотношению г cos 0 = const и, следовательно, будут выглядеть прямыми линиями на рисунке, на котором г является радиальной координатой (рис. 3,а). Однако при представлении поля В в (/?, 0)-координатах картина силовых линий совершенно иная (рис. 3, б).
Поскольку картина силовых линий £ и В весьма содержательна для интуитивного восприятия, к построению этой картины следует относиться очень внимательно. Наиболее безопас* ный путь ——избегать нанесения карты сечения (например, Ф = const) искривленной 3-геометрии на 《плоский» чертеж. Вместо этого мы можем изобразить силовые линии на диаграмме погружения, которая отражает реальные свойства искривленной 3-геометрии (рис. 3,е). Поскольку это может оказаться далеко не простым делом, удобно пользоваться рисунком, представляющим собой вид (т. е. проекцию) диаграммы погружения сверху. Нетрудно показать, что этот вид сверху совпадает с изображением в координатах 厂,0. Следовательно, рис. 3, а есть вид сверху на диаграмму погружения, изображенную на рис. 3, в.
Рис. 3. Вакуумное статическое магнитное поле в《плоскости》0 = const абсолютного пространства шваршильдовской черной дыры. Математически поле описывается соотношением (2.69). а — конфигурация линий поля, возникающая, если по радиусу откладывать шварцшильдовскую радиальную координату г, а шварцшильдовскую угловую координату 0 откладывать вдоль окружности. 6 ——картина силовых линий, на которой по радиусу отложено физическое радиальное расстояние R [формула (2.28)], а 0 отложена вдоль окружности, в ——картина линий поля, наложенных на диаграмму погружения для абсолютного пространства дыры.Рис. 3. Вакуумное статическое магнитное поле в《плоскости》0 = const абсолютного пространства шваршильдовской черной дыры. Математически поле описывается соотношением (2.69). а — конфигурация линий поля, возникающая, если по радиусу откладывать шварцшильдовскую радиальную координату г, а шварцшильдовскую угловую координату 0 откладывать вдоль окружности. 6 ——картина силовых линий, на которой по радиусу отложено физическое радиальное расстояние R [формула (2.28)], а 0 отложена вдоль окружности, в ——картина линий поля, наложенных на диаграмму погружения для абсолютного пространства дыры.
Рис. 3. Вакуумное статическое магнитное поле в《плоскости》0 = const абсолютного пространства шваршильдовской черной дыры. Математически поле описывается соотношением (2.69). а — конфигурация линий поля, возникающая, если по радиусу откладывать шварцшильдовскую радиальную координату г, а шварцшильдовскую угловую координату 0 откладывать вдоль окружности. 6 ——картина силовых линий, на которой по радиусу отложено физическое радиальное расстояние R [формула (2.28)], а 0 отложена вдоль окружности, в ——картина линий поля, наложенных на диаграмму погружения для абсолютного пространства дыры.
Рис. 3. Вакуумное статическое магнитное поле в《плоскости》0 = const абсолютного пространства шваршильдовской черной дыры. Математически поле описывается соотношением (2.69). а — конфигурация линий поля, возникающая, если по радиусу откладывать шварцшильдовскую радиальную координату г, а шварцшильдовскую угловую координату 0 откладывать вдоль окружности. 6 ——картина силовых линий, на которой по радиусу отложено физическое радиальное расстояние R [формула (2.28)], а 0 отложена вдоль окружности, в ——картина линий поля, наложенных на диаграмму погружения для абсолютного пространства дыры.
Риндлеровское приближение
Пространственно-временная геометрия, описываемая метрикой ds2 = — (g“N)2 成 2 + d%2 + dy2 + d* gH = const (2.29) (риндлеровское пространство-время [172]), служит прекрасной иллюстрацией некоторых аспектов 3 + 1-формализма и природы горизонта черной дыры. Функция длительности для этой геометрии равна
a=gh2，(2.30)
так что горизонтом (т. е. местом, где а -> 0) является поверхность z = 0. В этой геометрии в качестве ОПН выступают наблюдатели, для которых %, у, z являются константами, а собственное время т связано с риндлеровской временной координатой (мировым временем) t соотношением
dt = g“2"(2.31)
Однако на самом деле риндлеровское пространство-время представляет собой область пространства-времени Минковского, поскольку преобразование
T = zsh(gM), 2 = zch(g”/), Х = х, Y = y (2.32) приводит метрику (2.29) к виду
而2 = 一 打2 + dH + 犷 + %•(2.33)
Изображение риндлеровских координат, нанесенных на диаграмму пространства-времени Минковского, поясняет соотношение между этими двумя системами координат (рис. 4,а). Ценность подобной диаграммы состоит в том, что в координатах Минковского все приобретает привычный физический смысл. В частности, эта диаграмма позволяет ясно понять соотношение между ОПН и СПН. Мировые линии СПН представляются здесь вертикальными линиями постоянных X, У, Z, а мировые линии ОПН ——гиперболами, линиями постоянных %, у, г. Гиперповерхности постоянного времени в риндлеровской геометрии описываются выражением
ds2 = dx2 + dy2 + dz?.(2.34)
Поэтому одно из преимуществ риндлеро<вской геометрии состоит в том, что она позволяет проиллюстрировать основные понятия, связанные с горизонтом и 3 + 1-расщеплением, и при этом лишена отвлекающих внимание сложностей, порождаемых искривленностью пространственной 3-геометрии.
Однако геометрия риндлеровского пространства-времени —— это больше, чем просто пример. Во многих случаях она может служить хорошим приближением шварцшильдовской геометрии пространства-времени вблизи горизонта невращающейся черной дыры: вблизи точки (厂=2М, 6 =冗/2, @ = 0) преобразование
% = 2м［е-》］, у = 2МЗ, z = 4M(l—2М/"1/2 (2.35)
приводит шварцшильдовский линейный элемент к виду
-［為Т ^2 + f1 - ［w］2］ 勿 +
+ ［1 -［侖ГГ 体? + "力 c。«金］=⑵ 36)
=-［侖『心+ ［加+旷+ d* {1 + 0 ［［扁『国口卜
который хорошо аппроксимируется риндлеровской геометрией с
g"=l/4M・(2.37)
Риндлеровские координаты (2.35) нанесены на диаграмму погружения для шварцшильдовской дыры на рис. 4, б. Из этой диаграммы должно быть очевидно, что риндлеровские координаты являются локально декартовыми, т. е. соответствующий им пространственный элемент дается формулой (2.34).
Рис. 4. а — диаграмма пространства-времени Минковского (координаты Т и Z), на которую нанесены риндлеровские координатные линии [координаты 方 н 2； формулы (2.32)]. б — диаграмма погружения для шварцшильдовской черной дыры, на которую нанесены риндлеровские пространственные координаты [формулы (2.35)].
В. Растянутый горизонт невращающейсяили медленно вращающейся черной дыры
Застывший граничный слой
Шварцшильдовское время t позволяет естественным образом описать эволюцию полей вдали от горизонта. Однако в непосредственной близости от горизонта его применение приводит к искаженной картине «реальности». Именно с этим искажением связана недостаточность представления о черных дырах как о застывших звездах. Способность мембранного подхода справиться с этой трудностью, сохраняя при этом простоту, присущую представлению о застывшей звезде, во многом определяет и полезность этого подхода.
Чтобы продемонстрировать суть проблемы как можно более ясно, воспользуемся в некотором смысле упрощенным примером, обратившись к риндлеровскому пространству-времени. Рассмотрим точечный электрический заряд, который до момента времени % = 0 находится в положении х = 0, у = 0, 2 = г0, потом в течение интервала риндлеровского времени А/ дви-
жется наружу и достигает точки х == 0, у = 0,之=之。+ Az, а затем останавливается и навсегда остается в состоянии покоя. Предположим далее, что AZ/Az》1 и что изменение положения заряда происходит достаточно плавно. При этих условиях естественно ожидать, что эффекты, связанные с излучением, будут незначительны и поэтому ими можно пренебрегать. При / < 0 поле Е точно такое же, как у точечного заряда, все время находящегося в точке % = 0, у = 0, z = г0. Силовые линии поля £ изображены на рис. 5, а. То обстоятельство, что поле £ нормально к горизонту, следует из граничных условий (2.24) в риндлеровской геометрии совместно с условием, что В = 0 для стационарного распределения зарядов. Можно ожидать, что при t > AZ поле £ точно такое же, как и в случае статического точечного заряда, расположенного в точке % = 0, у = 0, г = =No + Az, как это показано на рис. 5,6. Так оно и окажется всюду, за исключением области вблизи горизонта.
На рис. 6 рассматриваемая ситуация представлена на диаграмме Минковского. Крапом отмечена та область, в которой существует первоначальное статическое поле. Заштрихована область будущего по отношению к тому моменту « = А/,之=备 十 + Az, x = у = 0), когда заряд занял свое новое стационарное положение; в этой области поле £ должно быть статическим, соответствующим новой высоте, на которой находится заряд. В белой области поле должно соответствовать переходному режиму. Заметим, что любое сечение постоянного t > Д/ простирается от заштрихованной области нового статического поля через белую область в отмеченную крапом область старого статического поля. На самом деле нетрудно показать (см. разд. III. F работы [122]), что для любого / > 0 в области первоначального статического поля будет находиться та часть сечения, для которой г<г0^~5я^ Следовательно, достаточно близко от горизонта (т. е. при достаточно малых г) поле всегда будет 《помнить》свое первоначальное значение. [Разумеется справедливо и то, что поле «помнит» свое исходное значение и при достаточно больших z (ср. с рис. 6), но этот эффект связан с конечностью скорости распространения сигнала до удаленных областей, и в нем нет ничего удивительного.] Дальнейшая эволюции поля качественно происходит примерно в той последовательности, как это показано на рис. 7. На нем схематически изображена картина поля Е в моменты % = 0, / = А/ и % = 2А/ (представленные на рис. 6). На каждом из этих временных сечений поле в области ниже штриховой линии совпадает по структуре с первоначальным статическим полем, а на сечении
Рис. 5. Линии электрического поля, обусловленные точечным зарядом, покоящимся над риндлеровским горизонтом на двух различных высотах: 2 = 2° (а) и 2 = No + Az (6). Математическое рассмотрение этого электрического поля см. в разд. III. С работы [122].
Рис. 6. Диаграмма пространства-времени Минковского для заряженной частицы, которая находится в состоянии покоя на риндлеровской высоте 2 = 2о для всех f V О (Т V 0), затем плавно переходит за риндлеровское время Af на риндлеровскую высоту z = 2。+ Az и, наконец, остается в состоянии покоя для всех f > △力.В области, отмеченной крапом, электрическое поле такое же, как у статического заряда, покоящегося при z = 2°. В заштрихованной области поле такое же, как у статического заряда, покоящегося при z = No + Az. Эта диаграмма служит также иллюстрацией к приведенному в подразд. 2 обсуждению, касающемуся истинного горизонта 爲,растянутого горизонта 非$ и двух событий 0 на 箔 н 乡 на 非$, которые соответствуют ДРУГ другу.
Рис. 7. Электрические силовые линии, изображенные в риндлеровском пространстве, связанные с заряженной частицей, движение которой показано на рис. 6. а — начальное статическое поле в момент f = 0, когда частица только начинает двигаться вверх. 6 ——поле в момент t = А/, когда частица достигает новой и уже окончательной высоты; ниже штриховой линии поле остается неизменным, в ——поле в момент t = 2А/, т. е. спустя время А/ после того, как частица остановилась. Выше пунктирной линии поле такое же, как у статического заряда, находящегося на новой высоте (рис. 5,6); ниже штриховой линии поле такое же, как у статического заряда, находящегося на первоначальной высоте.
/ = 2А/ выше пунктирной линии совпадает с конечным статическим полем.
Такая «заторможенность» полей вблизи горизонта, т. е. длительная задержка их эволюции в окрестности горизонта, будет более подробно рассматриваться в разд. Г.1 на основе численного анализа осциллирующих магнитных полей вблизи горизонта. Эта заторможенность является неизбежным следствием того обстоятельства, что мы берем сечения постоянного 厶 причем все эти сечения проходят через одно и то же фиксированное положение (Т, Z) = (0,0) на рис. 6. Следовательно, вблизи этого положения, т. е. вблизи г = 2М, остаются «реликтовые поля», дошедшие из далекого прошлого. Именно в этом и состоит реальный смысл застывания всех процессов, о котором идет речь в концепции застывшей звезды. Однако застывание ограничено тонким слоем (малыми 之)，который не может оказывать сколько-нибудь значительное влияние на внешнюю Вселенную и, следовательно, никак не проявляется в «реальной» динамике, например, при взаимодействии полей с удаленной плазмой.
Чтобы исключить несущественные с точки зрения астрофизики сложности, связанные с этим застывшим граничным слоем, но сохранить при этом все реальные проявления черной дыры, мы следуем подходу [предложенному Торном и Макдоналдом в работе [206] (разд. 5.3) и развитому Макдоналдом и Сюэном [122], согласно которому граничные условия ставятся не прямо на горизонте, а на времениподобной поверхности, расположенной точно над застывшим граничным слоем (что имеет вполне определенный смысл). Теория этого растянутого горизонта кратко изложена в следующем разделе.
Растянутый горизонти его мембранные электрические свойства
Чтобы избавиться от всех несущественных деталей, связанных с застывшим граничным слоем, введем искусственную границу, которая охватывает подавляющую часть граничного слоя, т. е. расположена при а = а”, где а” ——некоторое малое положительное значение функции длительности. Замена горизонта событий таким растянутым горизонтом включает в себя процедуру отождествления каждого события 勿 на истинном горизонте с соответствующим событием 勿 на растянутом горизонте. При этом требуется, чтобы значения физических переменных в соответствующих друг другу событиях 乡 н iW были бы (практически) одинаковы, если эти переменные измеряются свободно падающими наблюдателями. [В приближении Риндлера отождествленные события 俨 на истинном горизонте 鑑 и ,夕 на растянутом горизонте 為$ связаны друг с другом распространяющимся вовнутрь нулевым лучом, для которого Т + Z = const (см. рис. 6).]
В разд. VII.В теория растянутого горизонта будет изложена достаточно подробно. А пока мы ограничимся утверждением, что горизонт растягивается до ненулевого, хотя и малого а” и что граничные условия для всех внешних физических процессов ставятся именно там.
Было бы не вполне эстетично пользоваться граничными условиями, зависящими от выбора положения растянутого горизонта, поскольку это положение, определяемое условием а — =а”，в достаточной мере произвольно. По этой причине, вместо того чтобы выражать граничные условия в терминах расходящихся бесконечно больших тангенциальных полей £ц и 3卜 мы предпочитаем воспользоваться конечными и не зависящими от а” «горизонтными полями», которые определяются следующими соотношениями:
Эти горизонтные поля существуют на двумерном растянутом горизонте и направлены тангенциально к нему. Вместе с нормальными электрическими и магнитными полями
Еп^Е-п, Вп^В^п (2.39)
(где п ——единичный радиальный вектор 毋)эти поля полностью характеризуют электромагнитное поле на растянутом горизонте. В терминах этих полей граничные условия для электромагнитного поля на растянутом горизонте принимают вид, ко-
торый непосредственно следует из асимптотических полевых соотношений (2.24) и (2.25):
Величины Е几,В几,Ен и Вн конечны; (2.40а) 亢н = ^ 乂卞н， 邑=—^义声н・(2.406)
Как уже отмечалось, соотношения (2.25) и (2.406) можно рассматривать как граничные условия «входящей волны». Конечно, эти граничные условия содержат небольшие ошибки из-за растянутого горизонта — порядка а^2. Выбирая 。日 достаточно малым, можно сделать эти ошибки сколь угодно малыми.
Как было впервые показано Знаеком [237] и Дамуром [48], удобно считать, что эти граничные условия возникают как следствие физических свойств некоторой воображаемой мембраны, расположенной на растянутом горизонте. Говоря конкретнее, удобно условно считать, что растянутый горизонт обладает поверхностной плотностью электрического заряда о” (которая впервые была введена Ханни и Руффини [86] и Хаичеком [84,85]), причем о” определяется так, чтобы все нормальные компоненты всех электрических полей, пронизывающих растянутый горизонт, оканчивались на поверхностном заряде (см. диаграмму а на рис. 8):
/заряд, приходящийся 、
ст” 三(на единицу площади )三(£九/4冗)на растянутом (2.41) храстянутого горизонта/горизонте.
Аналогично удобно условно считать, что существует поверхностный ток на растянутом горизонте (впервые введенный Знаеком [237] и Дамуром [48]), который определен так, чтобы любое магнитное поле на нем оканчивалось в соответствии с законом Ампера (см. диаграмму б на рис. 8). Однако, уточняя понятие поверхностного тока, необходимо тщательно продумать вопрос о том, какое время мы будем использовать при определении поверхностного тока. Собственное время ОПН для этого не годится, потому что на растянутом горизонте оно течет аномально медленно и, более того, темп его течения зависит от того, где именно мы помещаем растянутый горизонт. Единственно разумным вариантом является выбор такого времени, которое не зависит от положения растянутого горизонта,——это мировое время Л Таким образом, мы даем следующее определение:
> /заряд, протекающий через единичную\
/= I длину за единицу мирового времени / I.(2.42)
'на растянутом горизонте丿
Поскольку поверхностная плотность тока на множитель а” = =dx/dt меньше, чем величина, измеряемая ОПН на растяну-
в Закон Ома
Рис. 8. Иллюстрации электромагнитных свойств растянутого горизонта, а —— закон Гаусса [формула (2.41)], с помощью которого определяется поверхностная плотность заряда о” на растянутом горизонте. 6 ——закон Ампера [формула (2.43)], с помощью которого определяется поверхностная плотность
тока 7”. в — закон Ома для растянутого горизонта [формула (2.44)]. г — закон сохранения заряда на растянутом горизонте [формула (2.46)]. (Рисунок заимствован из статьи Торна [204].)
том горизонте, закон Ампера должен связать эту плотность тока с тангенциальным магнитным полем (умноженным на 1/4冗), которое меньше на множитель ан, чем поле, измеряемое ОПН, т. е. с (умноженным на 1/4а) «горизонтным полем» Вн = анВ\[. Таким образом, закон Ампера, который по существу является определением /я, имеет вид
Вн = 4п/н X 儿. (2.43)
(см. диаграмму б на рис. 8).
Очень важное для интуитивного понимания следствие из этого определения поверхностного тока на горизонте состоит в том, что граничное условие «входящей волны» Вн = Ен\п [формула (2.406)] можно теперь интерпретировать заново как закон Ома (см. [48, 237], а также диаграмму g на рис. 8): благодаря закону Ампера граничное условие «входящей волны»
означает, что поверхностный ток на горизонте пропорционален электрическому полю:
д日=(1伏")*,(2.44)
где
/удельное поверхностное\
^№ I сопротивление растяну- I = 4л ^ 377 Ом (2.45)
'того горизонта/
(см. диаграмму в на рис. 8). Не следует удивляться тому, что горизонт имеет удельное поверхностное сопротивление именно 4л = 4n/c 4 377 Ом. В конце концов это не что иное, как импеданс на конце открытого волновода, это «импеданс вакуума», в который волны могут свободно распространяться.
Вторым важным следствием наших определений (2.41) и (2.43) заряда и тока на горизонте является закон сохранения заряда на растянутом горизонте (см. [48, 237] и диаграмму а на рис. 8). Из определений (2.41) и (2.43) с учетом нормальной компоненты уравнения Максвелла (2.10г)
дЕпдЕпdtdt=[V X Q5)]几—4冗а/〃=[V X Q5)]几—4冗а/〃
дЕп
дЕп
dt
dt
=[V X Q5)]几—4冗а/〃
=[V X Q5)]几—4冗а/〃
следует, что
_^ + ⑵V • 7H + (%) да растянутом горизонте) = °，(2.46)
Здесь ⑵十•夕н — 2-мерная дивергенция 2-мерного поверхностного тока, jn——нормальная компонента объемного тока (заряд на единицу площади, протекающий за единицу собственного времени т), выходящего из растянутого горизонта и измеряемого ОПН, a ajn ——уходящий ток, пересчитанный на тот же самый единичный интервал мирового времени, что и первые два члена уравнения (2.46). Именно мировое время t, а не собственное время ОПН т входит в закон сохранения заряда, поскольку часы ОПН отсчитывают время на растянутом горизонте в аномально медленном темпе, да еще зависящем от а”, тогда как мировое время идет в физически разумном с точки зрения свободно падающих наблюдателей темпе.
Согласно закону сохранения заряда (2.46), электрический заряд, падающий на растянутый горизонт, через него внутрь не проходит и во внутренность дыры не попадает. Вместо этого он остается на растянутом горизонте и движется по нему, сохраняясь до тех пор, пока на растянутый горизонт не упадет заряд противоположного знака и не произойдет взаимное уничтожение зарядов. Иначе говоря, электрический ток может как втекать на растянутый горизонт (падение положительных зарядов), так и вытекать наружу (падение отрицательных зарядов).
Любой ток, текущий вовнутрь, остается на растянутом горизонте, при этом заряд сохраняется до тех пор, пока ток не вытечет с него наружу (диаграмма а на рис. 8).
Хотя наблюдатель, падающий через растянутый горизонт, обнаружит, что заряд на горизонте о” и ток 贡日—это фикции, тем не менее наблюдатель, который все время остается вне растянутого горизонта, может считать их вполне реальными.
Четыре закона электродинамики для растянутого горизонта—т. е. законы Гаусса (2.41), Ампера (2.43), Ома (2.44) и закон сохранения заряда (2.46) — являются приближениями к соответствующим точным законам для истинного горизонта (абсолютного горизонта событий), которые первоначально были сформулированы Дамуром [48] и в несколько ином виде Знае- ком [237]. Эти законы являются приближенными из-за ошибок, неизбежно возникающих при《растягивании》горизонта, причем ошибки имеют величины порядка а% и становятся сколь угодно малыми, если растянутый горизонт сколь угодно близок к истинному горизонту. Торн и Макдоналд [206], а также Прайс и Торн [163] формально доказали, что эти законы эквивалентны законам в дамуровской формулировке, и привели более строгий, хотя и физически менее наглядный, чем приведенный выше, вывод этих законов.
Четыре закона электродинамики, записанные в виде точных уравнений (2.41), (2.43), (2.44) и (2.46) в совокупности с определением перенормировки полей Вн и Ен (2.38) и волновым граничным условием (2.406), справедливы не только для шварцшильдовских дыр, но также и для керровских дыр, для дыр, испытывающих динамическую эволюцию, т. е. фактически для любых мыслимых черных дыр. Доказательство этих законов для истинного горизонта дано Дамуром [48], а для растянутого горизонта ——Прайсом и Торном [163]. Для случая вращающейся (керровской) дыры мы обсудим эти законы в разд. III. В.4.
Четыре закона электродинамики для растянутого горизонта в совокупности с уравнениями Максвелла в 3 + 1-форме для внешней Вселенной (см. выше разд. Б.1) составляют тот базис, на основе которого можно рассчитать вазимодействие черной дыры с произвольными электромагнитными полями, зарядами и токами. Разумеется, вовсе не обязательно при изучении таких взаимодействий считать ток и заряд на горизонте реальными величинами, но, как показали исследования авторов данной книги, такой подход оказывается весьма плодотворным.
Отличие законов электродинамики для растянутого горизонта в варианте Знаека [237] и в варианте Дамура [48], принятом в этой книге, состоит в том, что Знаек приписывал го-
ризонту наряду с электрическим зарядом также и магнитный заряд и, кроме того, очень большие объемные проводимости по отношению как к магнитному, так и электрическому току. В тонком слое непосредственно под горизонтом все электромаг-
> > >
нитные величины (£ц, £п,吕卜 Вп, ре, /п) обрываются на получающихся в результате зарядах и токах. Красота и преимущество формализма Знаека в том, что в нем £ и В рассматриваются одинаковым образом. Тем не менее мы принимаем формализм Дамура, а не Знаека, поскольку он лучше сочетается с физикой плоского пространства-времени и с лабораторными экспериментами, не подтвердившими существование магнитных монополей.
Энтропия, температура и омические потерина растянутом горизонте
-> g-> gГравитационное ускорение на растянутом горизонте невращающейся шварцшильдовской черной дыры определяется соотношением
-> g
-> g
(2.47)(2.47)1 М >11 >
(2.47)
(2.47)
2- п пa” rHа〃 4M
[ср. с уравнением (2.7)], где n = ef — единичный радиальный вектор на растянутом горизонте и rH = 2М ——«радиус горизонта» (называемый также гравитационным радиусом). Величина g расходится при a”f 0, становясь бесконечно большой, и, следовательно, она чувствительна к тому, где именно мы выбираем положение растянутого горизонта. Однако если в качестве ускорения считать темп изменения скорости в пересчете на единицу мирового времени [умножив g на а”； ср. с формулой (2.15)], то мы получим перенормированное ускорение g”, которое конечно и не зависит от положения растянутого горизонта:
gH = M/r^= 1/4МgH = M/r^= 1/4М(2.49)(2.49)gH= —gH“ = Qg)на растянутом горизонте. (2.48) Абсолютная величина этого перенормированного ускорения
gH = M/r^= 1/4М
gH = M/r^= 1/4М
(2.49)
(2.49)
называется поверхностной гравитацией черной дыры. Эта величина——гравитационный аналог электрического и магнитного полей Ен и Вн на горизонте——и является тем параметром, который фигурирует в риндлеровском приближении для функции длительности вблизи горизонта дыры и для пространственной метрики (см. выше разд. Б.6).
Расчеты, в которых используется квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени (см. [20, 96—98] и гл. VIII этой книги), показывают, что растянутый горизонт любой стационарной черной дыры излучает (фотоны, нейтрино, гравитоны, ...)так, как если бы он был черным телом, обладающим температурой, измеряемой локально ОПН на растянутом горизонте, которая равна
7 =念а (2.5。)
Здесь g = I g I — гравитационное ускорение ОПН на растянутом горизонте [формула (2.47)],力 ——постоянная Планка и kB ——постоянная Больцмана. Покидая гравитационную потенциальную яму дыры, это «хоукинговское излучение» испытывает общее красное смещение, равное а”. Следовательно, излучение выходит из окрестности черной дыры с тепловым спектром, который характеризуется температурой, испытавшей красное смещение:
Тн = ан『気 gH. (2.51)
Хотя температура Т, измеряемая локально ОПН на растянутом горизонте, расходится, становясь бесконечно большой, при а”— 0 и, следовательно, зависит от того, где именно расположен растянутый горизонт, температура Т”, испытавшая красное смещение и измеряемая далеким наблюдателем, конечна и не зависит от положения растянутого горизонта. Температура Гя, испытавшая красное смещение, называется поверхностной температурой дыры. Численно для шварцшильдовской черной дыры массы M/Mq (в единицах солнечных масс) поверхностная температура равна
Т” =(6,17・ 10—8к)(М/Мо)т. (2.52)
Повсюду в этой книге, за исключением гл. VIII, мы будем иметь дело только с черными дырами «астрофизических размеров», т. е. с M/Mq ^ 1. Поверхностные температуры таких дыр оказываются столь малыми, что их тепловое излучение физически не существенно. Напротив, для черных дыр с 7И《10”「〜 〜10-187Ио, которые могли образоваться в процессе Большого Взрыва [93], Тн составляет 1011 К и выше. Возникающеевэтом случае хоукинговское излучение включает в себя мюоны, электроны, позитроны, гравитоны, нейтрино, фотоны; за счет этого излучения происходит испарение дыры за характерное время меньше или порядка возраста Вселенной [96, 97, 140, 141].
Теоретическое открытие Хоукингом теплового излучения черных дыр навело его на мысль связать воедино законы меха-
II. Невращающиеся и медленно вращающиеся черные дыры 53
ники черных дыр с началами термодинамики [98]. (Идея о возможности такой связи была еще раньше высказана Бекен- штейном [10—12].) Согласно полученным в результате законам термодинамики черных дыр, любая черная дыра обладает энтропией S”，пропорциональной площади поверхности дыры Ад = 4"^:
kBkB (площадь поверхности горизонта)
4力4 (планковская длина, 1,616-10-33 см)2
=16лЛ12 = (1,05 • Ю77^в)1 для Шварцшильдов- (2.53)
L 。」ской дыры.
Мембранный формализм позволил понять смысл энтропии черной дыры с точки зрения статистической механики (см. [242] и гл. VIII данной книги): ОПН, находящиеся в застывшем граничном слое под растянутым горизонтом, обнаруживают, что они находятся в 《бане》 теплового излучения с температурой Т = Т”/а («атмосфера черной дыры»). Информацию о прошлой истории дыры, заключенную в граничном слое, несут отклонения этой атмосферы от теплового равновесия. Растягивая горизонт, мы по существу отказываемся от детального и точного описания этих отклонений от равновесного теплового состояния. Мы не можем сказать, соответствуют ли эти отклонения внезапному образованию дыры в результате гравитационного коллапса, скажем вчера в 3 ч 17 мин, или же дыра образовалась в результате коллапса 1,35-109 лет назад и за коллапсом последовала аккреция межзвездного газа, имеющая свою собственную историю, или же в прошлом все происходило совсем иначе. Однако если мы рассчитываем полное число различных (с точки зрения квантовой механики) способов W, которыми атмосфера граничного слоя могла бы отличаться от полного теплового равновесия, причем каждому способу соответствует своя история в прошлом, то обнаружим (подробности см. в гл. VIII), что энтропия дыры (2.53), полученная Хоукингом из термодинамических соображений, равна Sh = kB In W. Это не что иное, как очевидное и естественное обобщение на случай черной дыры стандартного «микроканонического» описания энтропии (см., например, разд. 5 книги Киттеля [113]). Теперь мы вполне удовлетворительно можем понять, почему энтропия черной дыры в одну солнечную массу равна S” = =1,05- lO77kBf что на 19 порядков превосходит энтропию Солнца S© = 1058feB: число способов, которыми можно было бы сделать такую черную дыру, в ехр(1019) раз больше, чем число способов, которыми можно распределить частицы внутри Солнца.
Для невращающейся (шварцшильдовской) дыры первое начало термодинамики гласит, что любое увеличение энтропии дыры S” сопровождается соответствующим увеличением массы:
Тн dSH = (g“/8冗)dAH = dM.(2.54)
Согласно второму началу термодинамики, сумма энтропии черной дыры и энтропии окружающей среды никогда не может уменьшаться. Черная дыра астрофизических размеров не может испускать сколько-нибудь значительное количество теплового излучения и поэтому не может «перекачать» сколько-нибудь значительное количество энтропии в окружающую среду. Следовательно, энтропия (и площадь поверхности) такой дыры сама по себе не может существенно уменьшиться независимо от того, что происходит с окружающей средой. [В принципе есть исключение, которое, однако, не имеет реального астрофизического значения, — это использование ресурсов черной дыры разумными существами; см. [210] и ниже разд. VIII. В.6.]
Один из наиболее важных способов увеличения массы и энтропии шварцшильдовской дыры реализуется посредством действия электромагнитных полей на горизонте. Учитывая то, что говорилось об энергии, испытавшей красное смещение (энергия-на-бесконечности), и о потоке Пойнтинга в частях 《в》 и «г》разд. Б.2, мы легко можем сделать вывод, что темп увеличения массы дыры описывается соотношением:
嘗=& 要= 勺(1/4冗)(一 Ен X 鼠)• d亢(2.55)
по растянутомугоризонту
Примечательно, что закон Ампера (2.43) и закон Ома (2.44) для растянутого горизонта позволяют переписать это уравнение, описывающее увеличение массы, в виде закона омических потерь на растянутом горизонте:
&密= 勺 Ен^н dA= §Rh 弗idA.(2.56)
по растянутомупо растянутому
горизонтугоризонту
Таким образом, если электрическое поле создает поверхностные токи на растянутом горизонте черной дыры, то эти поверхностные токи работают против поверхностного сопротивления и дают в точности ту же самую величину омических потерь, которую можно было бы ожидать исходя из лабораторных экспериментов. Этим замечательным результатом мы обязаны Знаеку [237] и Дамуру [48].
Медленно вращающиеся черные дырыи электромагнитные вращательные моментына растянутом горизонте
Если шварцшильдовская черная дыра погружена во внешние электрическое и магнитное поля, то эти поля взаимодействуют с поверхностным зарядом о” и поверхностным током 夕" и оказывают влияние на горизонт посредством силы Лоренца. Можно считать, что эта сила равна скорости изменения плотности импульса горизонта
Пн = (импульс на единицу площади растянутого горизонта)= =(вектор, тангенциальный растянутому горизонту). (2.57)
Для шварцшильдовской дыры плотность импульса равна нулю, но под действием силы Лоренца плотность импульса начинает увеличиваться и соответственно горизонт начинает вращаться. При этом дыра из шварцшильдовской превращается в керровскую (или «медленно вращающуюся шварцшильдовскую»).
Неудивительно, что сила Лоренца (скорость изменения плотности импульса, измеряемая в пересчете на единицу мирового времени) равна
dTiHldt = бн*н + 贡” X 応.(2.58)
(Справедливость этого выражения, полученного Дамуром [48], мы докажем ниже, в разд. VI. В.9.) В формулу (2.58) входит нормальная компонента магнитного поля Вп = Впп, поскольку сила Лоренца должна быть тангенциальна к горизонту, а тангенциальное магнитное поле создает нормальную силу. Компонента силы Лоренца, направленная вдоль вектора Киллинга, являющегося генератором вращений д/дф = rH sin бе-, равна скорости изменения углового момента вдоль полярной оси. Поэтому, если Jz ——полный угловой момент черной дыры относительно полярной оси, то
dJ』dt =\(宙"出)• (д〔д哈 dA =
по растянутомугоризонту
=\ [d\XH^fdt^ rH sin0 dA =
=\ ®Е$ - У”饱)(％ sin 6)(吟 sin 9 能 /).(2.59)
Иначе говоря, величина dJz/dt есть сила Лоренца, умноженная на «плечо» гн sin 0 и проинтегрированная по растянутому горизонту. Аналогично можно получить скорость изменения угло-
вого момента вокруг любой другой оси; для этого надо вычислить d3dt вдоль соответствующего генератора вращений (ср. с упр. 25.8 из книги [129]).
Если шварцшильдовская дыра начинает вращаться, то ее вращение можно рассматривать как твердотельное с некоторой угловой скоростью Q”. Эта угловая скорость имеет фундаментальный и вполне определенный смысл на языке «увлечения инерциальных систем отсчета» вблизи горизонта, представляя собой ту угловую скорость, с которой наблюдатели вблизи горизонта вынуждены вращаться вокруг дыры из-за увлечения системы отсчета (см. разд. III. А.4).
Отношение углового момента дыры к ее угловой скорости по определению есть ее момент инерции /”：
/ = /川班 (2.60)
Для шварцшильдовской дыры моменты инерции относительно всех осей одинаковы (из-за сферической симметрии) и равны
1н = Мг^ = 4М3 (2.61)
[ср. с пределом «малых а》； [129], формула (33.42b) ]. Заметим, что это значение превышает тот максимально достижимый момент, который может иметь сфера с массой М и площадью поверхности Ан = 4лг^ в плоском пространстве. Если плотность распределена на сфере однородно, то момент инерции в плоском пространстве равен (2/5)7Иг^, если же масса целиком сконцентрирована в тонкой оболочке на сферической поверхности, то момент инерции равен (2/3) Мг^.
Под действием вращательного момента шварцшильдовская дыра начинает вращаться, приобретая не только угловую скорость Q” и угловой момент /〃，но также и вращательную энергию. Пока дыра вращается достаточно медленно и почти не деформируется вследствие вращения (что имеет место в случае, когда ^1нГн <^ 1), то момент инерции остается равным шварцшильдовскому значению (2.61), а энергия вращения представляется хорошо известным выражением:
Mrot=l/2IH^ (2.62)
[ср. с пределом малых а; [129], формула (33.60)]. Полная масса-энергия М медленно вращающейся дыры (величина, которой определяется кеплеровское движение удаленных планет) складывается из этой вращательной энергии и «неприводимой массы», связанной с площадью поверхности простой формулоц
[см. [129], формулу (33.59)]:
m宀[制=[為「⑵63)
M = Mrr + 即。3(2.64)
Название «неприводимая масса》 [38, 39] отражает то обстоятельство, что, согласно второму началу термодинамики, эта часть массы никогда не может уменьшаться. По мере того как медленно вращающаяся черная дыра раскручивается и на ее горизонте происходит диссипация, масса дыры возрастает, а темп этого возрастания определяется первым началом термодинамики [2, 97, 98]:
dM = dMrr += TH dSH + QH dJ (2.65)
[обобщение уравнения (2.54)]. Член Тнй8н представляет увеличение Мгг, а член ◎”〃一увеличение Mrot・
Эти свойства вращения черных дыр справедливы лишь в пределе медленного вращения, йягя《1. В случае быстровра- щающихся дыр, О^нГн 〜1, некоторые из этих свойств видоизменяются и существенными становятся новые физические эффекты (см. гл. III).
Время в падающей системе отсчета
Для описания динамической эволюции полей на растянутом горизонте понадобится удобная координата для параметризации времени на этом горизонте. Этот временной параметр должен удовлетворять двум фундаментальным требованиям: 1) время течет в физически разумном темпе, так что поля эволюционируют за разумные характерные времена, и 2) этот параметр не должен быть чувствителен к конкретному выбору малой величины а”； другими словами, это означает, что метка времени, приписываемая некоторому заданному событию 夕 на растянутом горизонте, лишь незначительно меняется при а”一＞ О и по мере того как 夕 стремится к 乡，т. е. к соответствующему событию на истинном горизонте (рис. 6). В риндлеровском приближении время Минковского Т == g^a sh g^ течет в физически разумном темпе, и является в 夕 практически постоянным при 夕夕[см. формулу (2.32) разд. 2], и, следовательно, вполне приемлемо. То же самое, конечно, можно сказать и о g/In (2g“T)亠 / + g/ In а. Эта временная координата вблизи горизонта совпадает с 《временем в сжимающейся системе Эд=
дингтона — Финкельштейна»
彳三/ + г + 27И In ("2Л1 — 1) 4 f + g-1 Ina + const 4
u g"1 In (2gHT^ + const (2.66)
и показана на рис. 1,6, а также обсуждается в дополнении 31.2 работы Мизнера, Торна и Уилера [129] (где обозначается как V). Таким образом, / является приемлемым временным параметром на растянутом горизонте в том смысле, что при использовании этого параметра для описания эволюции полей на горизонте поля будут эволюционировать в разумном темпе и их описание при заданном F не будет зависеть от выбора конкретного (малого) значения величины а”. Мировое время 方 в данном случае, напротив, неприемлемо: хотя оно и течет в то吧 же темпе, что и 厶 но при a”f 0 и постоянном t величина ? стремится к —8 («застывание прошлой истории в граничном слое вблизи горизонта»; ср. рис. 1, б и 6). В результате описание горизонта при фиксированном t весьма чувствительно к выбору величины а”.
Однако следует отметить, что на любом конкретном растянутом горизонте мировое время / и время 1 в сжимающейся системе отсчета различаются на константу (но идут в одном и том же темпе). Следовательно, на растянутом горизонте (т. е. при постоянном а)
=靑•(2.67)
на растянутом °" на растянутом горизонтегоризонте
Это позволяет нам записывать дифференциальные уравнения эволюции полей на растянутом горизонте через d/dt. Практическое отличие / от ? на растянутом горизонте (но не вне его) очень часто и вовсе отсутствует, поскольку нередко начала отсчета t и t сдвигаются к одному и тому же выбранному на растянутом горизонте событию е, полагая при зтом f—Z=gN】X ХЕ (。〃/。)= °，когда а = ая. (Примером события е может служить момент пересечения частицей растянутого горизонта； об этом более подробно речь пойдет в разд. VII. Д.1.)
Г. Модельные задачи в случае невращающихсяи медленно вращающихся черных дыр
Самый эффективный способ разобраться в системе физических законов и уравнений состоит в решении иллюстрирующих их модельных задач. Поэтому ниже мы обращаемся к ряду модельных задач, в которых речь идет об электромагнитных по-
лях снаружи от невращающихся и медленно вращающихся черных дыр.
В подразд. 1 исследуются колебания магнитного поля, силовые линии которого зафиксированы на сфере, окружающей невращающуюся дыру. Эта модельная задача является иллюстрацией сложного граничного слоя, возникающего в динамических ситуациях вблизи истинного горизонта, и демонстрирует, как можно исключить этот слой из рассмотрения, растягивая горизонт. Затем в подразд. 2 мы займемся исследованием поля статического заряда, покоящегося снаружи от невращающейся дыры, что позволит нам понять, что такое поверхностная плотность заряда на растянутом горизонте и какова природа его поляризации внешними электрическими полями. После этого в подразд. 3 мы решим модельную задачу, в которой невращаю- щаяся дыра выступает в роли резистора в электрической цепи. Эта задача помогает понять, что такое поверхностный ток и омические потери на горизонте, и наглядно показывает мощь мембранного подхода в исследовании электродинамических процессов вокруг черных дыр. В подразд. 4 мы рассмотрим медленно вращающуюся дыру, которая выступает в роли ротора в электромоторе. Эта задача позволит нам оценить силу Лоренца, действующую на заряды и токи на растянутом горизонте, а также выяснить, какую роль играет первое начало термодинамики в качестве закона, определяющего поток энергии и углового момента в черную дыру. И наконец, в подразд. 5 с помощью риндлеровского приближения мы займемся исследованием электрических и магнитных полей точечных зарядов, которые совершают различные движения вблизи горизонта невращающейся дыры. Эта задача демонстрирует плодотворность риндлеровского приближения и позволяет разобраться в динамике электрических и магнитных полей, движущихся относительно горизонта. В подразд. 6 эта картина обсуждается подробнее в более общем случае электромагнитных полей. Это обсуждение понадобится нам позднее (см. разд. IV.B ниже), когда мы рассмотрим «выглаживание» хаотического магнит。 ного поля горизонтом черной дыры.
Колеблющееся магнитное поле:действенность растягивания горизонта
Иллюстрацией сложного застывшего граничного слоя, который образуется в динамических ситуациях, может служить приводимая ниже модельная задача. В ходе решения этой задачи, вплоть до самого конца нашего исследования, мы не будем «растягивать» горизонт и, следовательно, не будем пользоваться мембранным описанием электромагнитных граничных условий на горизонте. Вместо этого мы выполним весьма подробное
Рис. 9. Начальные (а и 优)и конечные (6 и 6。конфигурации магнитного поля в модельной задаче об осциллирующем поле. Диаграммы а и 6 изображают начальные и конечные силовые линии магнитного поля, нанесенные на диаграмму погружения. На диаграммах а' и 6’ показан вид сверху на эти диаграммы погружения или (что эквивалентно) силовые линии, изображенные в координатной плоскости 广——0.
исследование задачи, рассматривая всю сложность картины, возникающей вблизи горизонта.
Наша модельная задача, разработанная Макдоналдом [120, 122], сводится к анализу колебаний силовых линий магнитного поля в окрестности шварцшильдовского горизонта. Магнитное поле вморожено в идеально проводящую сферу, окружающую шварцшильдовскую черную дыру, с радиусом г =5г” = ЮТИ. Поле при этом совершает колебания в сферической полости, взаимодействуя с горизонтом по мере своего движения. Начальная конфигурация магнитного поля показана на рис. 9, а и 9, а'. Это поле чисто радиальное, но ниже экваториальной плоскости оно направлено вовнутрь дыры, а выше этой плоскости—наружу. Математически начальное магнитное поле описывается выражением
B = BQ (5厂"〃)2 cos Не?.(2.68)
Начальное электрическое поле отсутствует.
Рассматриваемое начальное магнитное поле не находится в равновесии. Предоставленное самому себе, оно начинает колебаться, в результате чего электромагнитная энергия уходит в дыру. По мере потери энергии колебания затухают, благодаря чему поле приходит в состояние покоя в конечной равновесной конфигурации. Эта конечная конфигурация является единственным не зависящим от авремени решением уравнений Максвелла (2.10), при котором силовые линии поля 3 по-прежнему зафиксированы на сфере радиуса 厂=5г”：
В = В0[созОе.-(1 - 2M〃)i/2 sin 茄©]. (2.69)
Это конечное поле (аналитическое решение уравнений Максвелла было получено и исследовано Уолдом [215], а также Ханни и Руффини [87]) представлено на рис. 9, б и 9,夕.Заметим, что если смотреть на диаграмму погружения сверху (рис. 9,6'), то конечное поле выглядит совершенно однородным. (Вспомните наше обсуждение подобных диаграмм в разд. Б.5.)
Динамическая эволюция от начальной конфигурации (рис. 9, а) до конечной конфигурации (рис. 9,6), полученная с помощью численного интегрирования уравнений Максвелла (2.10), выполненного Макдоналдом, представлена на рис. 10. В первой колонке изображений (конфигурации в моменты времени t/M = 3, 4, 6, 12) показано распрямление силовых линий вследствие их взаимного отталкивания. Во второй колонке (моменты времени t/M = 20, 24, 28, 32) показано обратное стягивание силовых линий и повторное распрямление, в третьей колонке (моменты времени t/M = 40, 44, 48, 52) показан следующий цикл колебаний. С каждым циклом амплитуда колебаний становится меньше, поскольку энергия уходит в черную дыру. К моменту времени /〃И 〜200 (не показанному на рис. 10) колебания становятся настолько слабыми, что уже неразличимы в масштабе, использованном на этих диаграммах, а силовые линии приходят в《однородную》равновесную конфигурацию, изображенную на рис. 9, 6х.
Более тщательный анализ показывает, что распрямление силовых линий от горизонта и стягивание к горизонту происходят не так просто. Вблизи горизонта (г《1,5гя) силовые линии движутся так, будто они завязают в «зыбучем песке»: они засасываются вовнутрь (вследствие гравитационного притяжения дыры), но их движение происходит очень медленно (из-за гравитационного красного смещения). Когда силовая линия (например, штриховая линия в момент времени t/M = 4 на рис. 10) пытается оторваться от горизонта, то оказывается, что гравитационное притяжение при 厂《1,3厂” слишком велико, поэтому здесь происходит пересоединение линии с разделением на
Рис. 10. Динамическая эволюция (затухающие колебания) магнитных силовых линий, начальная и конечная конфигурации которых изображены на рис. 9. Каждая картинка представляет собой вид сверху на диаграмму погружения или (что то же самое) координатную диаграмму г — 0. (Рисунок заимствован из работ [120, 122].)
две части ——внешнюю, которая затем распрямляется наружу, и внутреннюю, которая затем засасывается в дыру. После пере- соединения распрямившаяся силовая линия испытывает толчок обратно вовнутрь со стороны максвелловского давления в момент времени t/M 〜12, снова завязает в «зыбучем песке» в момент времени //М 〜24, затем ей снова удается освободиться в момент времени //М 〜28, но только ценой пересоединения;
Рис. 11. Магнитные силовые линии в модельной задаче о колебаниях поля (см. рис. 9 и 10) в момент времени t/M = 92. а — вид сверху на диаграмму погружения. 6 ——диаграмма погружения, представленная в перспективе; при этом лежащая в глубине область (граничный слой) /*" V 厂 V 1,075г” растянута по вертикали [формула (2.70)], чтобы показать сжатые петли магнитного поля вблизи горизонта. (Рисунок заимствован из работ [120, 122].)
при этом часть этой силовой линии остается внизу, обреченная на падение в черную дыру.
В результате происходящего время от времени пересоедине- ния в структуре поля вблизи горизонта формируется довольно сложный «граничный слой». На рис. 11, а представлена картина поля в момент времени t/M = 92, но из-за ограниченного разрешения любого подобного изображения показать сложность граничного слоя здесь невозможно. Изображение с бесконечно хорошим разрешением показало бы великое множество силовых линий, плотно намотанных на окружность радиуса 广= /7/. Чтобы выявить эти детали, воспользуемся деформированной диаграммой погружения, показанной на рис. 11, б. Часть диаграммы, имеющая форму 《раструба》， представляет собой (не- деформированную) диаграмму погружения, обрезанную при 厂= 1,075厂".«Цилиндрическая» часть ——это глубинная область А厂=0,075гя, растянутая в вертикальном направлении тем сильнее, чем ближе к горизонту мы находимся. Количественно расстояние s по вертикали вдоль цилиндрической части граничного
G4 д. МАКДОНАЛД, Р. ПРАЙС, вэй МО сюзн, к. т6рн слоя на этой диаграмме задано соотношением
s = 2M In (〃2М — 1) + const 二 4Л1 Ina + const, (2.70) которое означает, что горизонт на этой диаграмме расположен бесконечно далеко внизу (s = —оо).
Отметим, что магнитное поле на граничном слое состоит из замкнутых петель. Если проследить за изменением диаграммы, то мы увидели бы как с течением времени петли непрерывно движутся вниз к горизонту. Каждая осцилляция поля во внешней области (имеющей форму раструба) будет приводить к образованию нового семейства замкнутых петель во внутренней области (в цилиндрической части, в граничном слое). Низ петли формируется в тот момент, когда внешнее поле сжимается, толкаемое в область «застоя» вблизи горизонта (например, в моменты времени t/M = 20 и 24 на рис. 10, а также при t/M = 92 на рис. 11). Верхняя часть петли формируется в моменты времени, когда внешнее поле вырывается из застойной области ценой пересоединения (например, в моменты времени //М = 4 и 28 на рис. 10). Образовавшись, петля оседает к горизонту, освобождая над собой место для образования следующей петли.
К моменту времени "М = 92 на рис. 11 внешнее поле завершает свою четвертую осцилляцию и образует четвертое семейство петель. Каждая петля является реликтом одной осцилляции, а силовые линии ниже первой петли, простирающиеся радиально вниз вплоть до горизонта, являются реликтом начальной конфигурации. Нетрудно заключить, что скорость, с которой опускаются вниз все эти реликтовые поля, измеряемая ОПН, равна скорости света:
—d (истинное радиальное расстояние)—(]——2M卜尸忆 dr
— dx a dt
Интегрируя это уравнение, находим, что радиус г и растянутая высота s, соответствующие некоторой заданной метке на силовой линии, зависят от времени следующим образом:
厂一2М 4 const • «Т/2М, s 4 —力 + const. (2.72)
Таким образом, из-за бесконечного красного смещения темпа хода часов ОПН (а -> 0) петли силовых линий никогда не достигают горизонта. Однако они экспоненциально приближаются к горизонту, и по мере этого приближения размер этих петель по радиусу экспоненциально уменьшается (это уменьшение на рис. 11 не показано, поскольку при изображении петель высота s чрезмерно растянута).
Приведенное выше описание колебаний поля оказалось чудовищно сложным и громоздким из-за нашего настойчивого желания проследить за всеми деталями структуры поля, падающего с замедлением в граничном слое. Наше описание становится куда более простым и элегантным, если мы 《растянем» горизонт, т. е. передвинем границу черной дыры наружу, скажем, до г = 1,07$厂〃 и тем самым отбросим все усложняющие детали граничного слоя. К счастью, такое исключение из рассмотрения граничного слоя со всеми его сложными петлями поля вполне возможно. Эти петли силовых линий суть не что иное, как «окаменелости» прошедшей истории, плотно уложенные на радиальной координате 厂 ^ 1,1 厂“.Мн уже сталкивались с отдельными фрагментами этой истории, которые отражают эволюцию во времени, представленную на рис. 10. Отбрасывание петель поля подобно нежеланию вникать в строение отложений на дне океана, когда нам уже известна история океана и тех процессов, которые привели к образованию этих отложений.
Представления, сопутствующие растягиванию горизонта, становятся математически жизнеспособными и по существу очень привлекательными благодаря совокупности изящных мембраноподобных граничных условий на растянутом горизонте (разд. В.2), а также благодаря изящному описанию энтропии дыры с учетом информации, потерянной при этом растягивании (разд. В.З).
Соотношение между растянутым и истинным горизонтами прослеживается до конца, если встать на обычную «пространственно-временную» точку зрения на черные дыры. Рис. 12 представляет собой пространственно-временную диаграмму пен- роузовского типа, на которой изображено образование шварцшильдовской дыры в ходе гравитационного коллапса сферической звезды (то же самое, что на рис. 1,6, но с некоторыми дополнительными деталями). На этой диаграмме по вертикали отложено время t в сжимающейся системе отсчета Эддингтона—Финкельштейна [разд. В.5, формула (2.66)], поскольку это время хорошо ведет себя на горизонте, чего не скажешь о шварцшильдовском времени /. На диаграмме показаны две поверхности постоянного шварцшильдовского времени, / = const. (Хотя общий вид этих поверхностей весьма напоминает поверхности погружения, изображенные на рис. 9 и И, их ни в коем случае нельзя путать. Рис. 12 ——это пространственно-временная диаграмма, тогда как рис. 9 и 11 — чистые диаграммы погружения.) На рис. 12, кроме того, показано, как эволюционируют растянутый и истинный горизонты. Обратим внимание на то, как истинный горизонт «вставлен» в растянутый горизонт. Оба горизонта — это 3-мерные гиперповерхности в про
Рис. 12. Пространственно-временная диаграмма, показывающая образование черной дыры в процессе коллапса звезды. Вверх отложено время t (время в сжимающихся координатах Эддингтона — Финкельштейна), наружу откладывается шварцшильдовская радиальная координата г. Показаны также истинный горизонт, растянутый горизонт, два сечения постоянного мирового времени /, а также «мгновенные» истинный и растянутый горизонты 5^_ и 咏;.
странстве-времени (изображенные как 2-мерные, поскольку один угол вращения на диаграмме не представлен). Пересечение растянутого горизонта с гиперповерхностью / = const является 2-мерной поверхностью (на диаграмме——1-мерной). Эта
поверхность представляет собой растянутый горизонт в заданный момент времени. Такой «мгновенный растянутый горизонт» будем обозначать как 莞：.
Поверхности постоянного t представляют собой сходящиеся световые лучи и поэтому изображаются на диаграмме в виде сходящихся конусов с углом наклона 45°, вдоль которых радиус 厂 растет наружу. Мгновенному растянутому горизонту 莞: соответствует мгновенный истинный горизонт 非"который взят в тот же момент ?, что и 非;,т. е. лежит на том же самом сходящемся световом конусе. Аналогично событие 夕 на 非;соответствует событию 夕 на%式то же самое соответствие, с которым мы сталкивались на рис. 6). Граничные условия на растянутом горизонте, сформулированные в разд. В.2, приписывают мгновенному растянутому горизонту 第『все физические свойства мгновенного истинного горизонта%/ (подробнее см. разд. VI. В ниже).
Рис. 12 позволяет понять, каким образом внутри растянутого горизонта на гиперповерхностях / = const записана давняя история (граничный слой): эти гиперповерхности постоянного времени внутри растянутого горизонта (изображенные пунктиром) почти совпадают в пространственно-временном смысле с истинным горизонтом. По мере приближения к истинному горизонту, все глубже и глубже в прошлое, эти гиперповерхности / = const асимптотически приближаются к истинному горизонту, сгущаясь к точке образования истинного горизонта и почти касаясь его в этой точке. Отбрасывая узкую область между истинным горизонтом и растянутым горизонтом, мы попросту отбрасываем прошлую историю истинного горизонта, совпадающую в существенных чертах с прошлой историей растянутого горизонта, которая в свою очередь содержится в истории внешней Вселенной (т. е. части Вселенной снаружи от растянутого горизонта).
Из всего вышесказанного становится понятным, насколько сильно можно растягивать горизонт, избегая при этом недопустимых ошибок: растяжение должно быть мало настолько, чтобы физические поля и частицы находились бы на растянутом горизонте практически в том же самом состоянии, что и на истинном горизонте, с точки зрения физически разумных свободно падающих наблюдателей (СПН), а не с точки зрения ОПН, фигурирующих в мембранной парадигме. Математически это означает (как можно показать с помощью вычислений в сжимающихся координатах Эддингтона ——Финкельштейна), что радиальная координата растянутого горизонта гзн и характерное мировое время (шварцшильдовское характерное время)
А/s”, за которое эволюционируют поля и частицы на растянутом горизонте, должны удовлетворять неравенствам
гsh —厂”《NtsH、厂s” — гн《гн・ (2.73)
Для колеблющегося магнитного поля, представленного на рис. 9 и 10, характерное время изменения на всех радиусах порядка А/ = А『〜4М. Следовательно, можно выбрать растянутый горизонт снаружи истинного горизонта на некотором расстоянии, удовлетворяющем неравенству rSH —厂“《47И = 2厂”. Величина растяжения, принятая на рис. 11,6,厂 ——гн = =0,075厂"，может соответствовать точности примерно 10 %. Вполне естественно использовать значительно меньшее растяжение, чтобы относительные ошибки, которые, как правило, по порядку величины равны а^ = 1 — rH/rSH, оставались существенно ниже 0,01.
Конечно, следует выбирать растянутый горизонт достаточно малым, чтобы все, в него входящее, никогда не выходило из него обратно. Как правило, критерий (2.73) годится и в этом случае, но в особых ситуациях (например, когда объект опускают на бесконечно прочной нити очень близко к истинному горизонту, а затем вытягивают обратно вверх) необходим критерий, более сильный, чем (2.73). В любой конкретной ситуации после здравого размышления необходимо выбрать величину растяжения. Подобного рода рассуждения напоминают те соображения, к которым прибегают при выборе шага сетки при численном решении дифференциального уравнения.
Точечный заряд, покоящийся вблизиневращающейся черной дыры
В качестве иллюстрации действенности растягивания горизонта рассмотрим силовые линии электрического поля точечной частицы, покоящейся на полярной оси (0 = 0) на радиальном расстоянии го около шварцшильдовской черной дыры (рис. 13). Аналитическое решение для электрического поля 声=今加[1 -匸廿+
]г [(г — Л4)(厂0 — М) — М2 cos 0] [г — М —(厂о — М) cos 6] ] > ।
+(2.74)
。三 G — М)2 + (厂о-М)2 -м2- 2(г-М)(厂о-М) cos 6+М2 cos2 吓/2 было получено в замкнутой форме Линетом [ 117] (который исправил более ранние результаты Копсона [45]), после того
Рис. 13. Силовые линии электрического поля, создаваемого точечным зарядом, покоящимся на радиальном расстоянии г0 около шварцшильдовской черной дыры [формула (2.74)]. а — силовые линии на диаграмме погружения. 6, в и а — диаграммы погружения, вид сверху.Рис. 13. Силовые линии электрического поля, создаваемого точечным зарядом, покоящимся на радиальном расстоянии г0 около шварцшильдовской черной дыры [формула (2.74)]. а — силовые линии на диаграмме погружения. 6, в и а — диаграммы погружения, вид сверху.
Рис. 13. Силовые линии электрического поля, создаваемого точечным зарядом, покоящимся на радиальном расстоянии г0 около шварцшильдовской черной дыры [формула (2.74)]. а — силовые линии на диаграмме погружения. 6, в и а — диаграммы погружения, вид сверху.
Рис. 13. Силовые линии электрического поля, создаваемого точечным зарядом, покоящимся на радиальном расстоянии г0 около шварцшильдовской черной дыры [формула (2.74)]. а — силовые линии на диаграмме погружения. 6, в и а — диаграммы погружения, вид сверху.
как Коэн и Уолд [44] получили выражение для этого поля в виде мультипольного разложения, а Ханни и Руффини [86] построили изображения силовых линий, подобные тем, что представлены на рис. 13. Если частица расположена достаточно далеко (например, на радиальном расстоянии 厂о = 2,5厂",как на диаграммах а и б рис. 13), то силовые линии создаваемого ею поля несильно искажаются дырой. Однако, если частица очень близка к горизонту (например, при г0 = 1,05厂",как на диаграмме г), ее силовые линии искажаются так сильно, что более удаленные наблюдатели обнаруживают почти радиальное поле с силовыми линиями, выходящими из центра дыры, а не из точки, где расположена частица. Растягивая горизонт до 厂о = 1,15厂" (пунктирная линия на диаграмме г), мы полностью покрываем частицу и получаем картину, в которой силовые линии выходят радиально из растянутого горизонта так, как если бы растяну-
Рис. 14. Распределение поляризационного заряда на растянутом горизонте (отмечен знаками плюс и минус), создаваемое электрическим полем статического точечного заряда, расположенного на радиальном расстоянии 厂()=1,1厂〃.Рис. 14. Распределение поляризационного заряда на растянутом горизонте (отмечен знаками плюс и минус), создаваемое электрическим полем статического точечного заряда, расположенного на радиальном расстоянии 厂()=1,1厂〃.
Рис. 14. Распределение поляризационного заряда на растянутом горизонте (отмечен знаками плюс и минус), создаваемое электрическим полем статического точечного заряда, расположенного на радиальном расстоянии 厂()=1,1厂〃.
Рис. 14. Распределение поляризационного заряда на растянутом горизонте (отмечен знаками плюс и минус), создаваемое электрическим полем статического точечного заряда, расположенного на радиальном расстоянии 厂()=1,1厂〃.
тый горизонт обладал однородной плотностью заряда, а частица полностью исчезала в дыре.
Электрическое поле такого объекта, как падающая частица, обладающего динамическими свойствами, можно представить как последовательность приведенных статических полей. Эта частица никогда, ни за какое конечное мировое время / не пересекает истинный горизонт. Однако вскоре после того как она проходит растянутый горизонт, картина создаваемого ею поля становится такой, как если бы электрический заряд частицы был передан растянутому горизонту и равномерно распределен по нему. Мембранный подход в форме, изложенной в разд. В, позволяет описать полную динамическую эволюцию (видимого) заряда на растянутом горизонте в процессе его размазывания по этому горизонту.
Поле (2.74) статического точечного заряда служит прекрасной иллюстрацией мембраноподобных свойств растянутого горизонта. На рис. 14 показаны в деталях электрические силовые линии и распределение заряда на растянутом горизонте для случая внешнего заряда, расположенного на радиальном расстоянии 厂о =1,1 厂и для растянутого горизонта при rSH — —Гн《0,1厂"・ Качественно поведение силовых линий и заряда на горизонте легко понять, а на самом деле нетрудно предсказать заранее исходя из законов электродинамики для растянутого горизонта.
Чтобы проиллюстрировать это положение, перейдем к описанию динамической эволюции. Предположим, что частица с положительным зарядом Q очень быстро опускается вдоль полярной оси (0 = 0) до радиального расстояния 厂°. Тангенциальное электрическое поле EHi создаваемое этой частицей, затем нач-
нет воздействовать на электрически нейтральный растянутый горизонт, вызывая разделение зарядов: по растянутому горизонту потекут токи, перенося отрицательный заряд в область под частицей и оставляя положительный заряд с противоположной стороны горизонта. В конце концов установится равновесное состояние, представленное на рис. 14, в котором Ен и поверхностный ток равны нулю.
Эта динамическая эволюция и конечная равновесная конфигурация качественно напоминают то, что происходит в лаборатории, когда заряженную частицу помещают вблизи металлической сферы конечной проводимости. Как в случае черной дыры, так и в случае лабораторной сферы чем ближе частица к горизонту (к сфере), тем более локализованной становится область отрицательного заряда и более однородно распределение положительного заряда по оставшейся части горизонта. Количественно это следует из формулы для плотности заряда на горизонте [эта формула выводится из закона Гаусса для растянутого горизонта (2.41) и из формулы (2.74) для электрического поля вне растянутого горизонта]:
_ Q[2(r0-Af) cos9-M(l + cos2 9)] 哈 — 8лг0[г0-М(1 + cos О)]2 °
При r°f 2乂 =厂"и при условии, что растянутый горизонт всегда находится ниже частицы, эта плотность заряда стремится к величине
_ _ 2Q6 (6) _Q_Н — A” sin 0 十 4H
где Ан = 4лг^ = 16лА12 — площадь поверхности горизонта. Однородно распределенный положительный заряд в пределе 厂。—г” создает радиальное электрическое поле, которое в том случае, когда растянутый горизонт выбран не внутри, а снаружи от частицы (штриховая окружность на рис. 13, г), можно было бы приписать частице, упавшей в дыру, считая, что ее заряд при этом распределился по растянутому горизонту.
Черная дыра в качестве сопротивленияв электрической цепи
Выяснив распределение поверхностного заряда на горизонте, обратимся теперь к модельной задаче, которая поможет нам разобраться с поверхностным током и сопротивлением. В этой задаче (сформулированной Дамуром [48]) черная дыра подсоединена к обычной цепи постоянного тока, в которую входят батарея, дыра и провода (рис. 15, а). Батарея создает напряжение V, обладает пренебрежимо малым внутренним сопротив-
Рис. 15. Шварцшильдовская черная дыра, выступающая в роли резистора в электрической цепи.
б
лением и расположена далеко от дыры. Провода считаются идеально проводящими и подходят к дыре вдоль полярной оси. Горизонт черной дыры создает единственное ненулевое сопротивление в этой цепи. Полное сопротивление равно поверхностному удельному сопротивлению, деленному на длину поперечного сечения 2ягя sin 0, через которую течет ток, и проинтегри-
рованному по течет:рованному по течет:элементу длины гн^, вдоль которого этот ток
рованному по течет:
рованному по течет:
южныйПОЛЮС
(2.76)(2.76)D _ fRfi「r”d6 ]
(2.76)
(2.76)
J■2S~LrHsin0 г
северныйполюс
Если провода вание должно в точности до обращается вЕсли провода вание должно в точности до обращается вимеют бесконечно малый радиус, то интегриро- проводиться точно от северного полюса (0 = 0) южного полюса (0 = л); в этом случае интеграл бесконечность. При бесконечном сопротивлении
Если провода вание должно в точности до обращается в
Если провода вание должно в точности до обращается в
ток в цепи течь не может. Более интересен случай, когда провода имеют конечный радиус. Чтобы упростить анализ, в качестве проводов возьмем идеально проводящие конические поверхности с полууглом раствора 0о (рис. 15, а). Тогда интеграл
в формуле результатев формуле результате(2.76) берется от 0О до л — 0О и получающееся в полное сопротивление горизонта дыры равно
в формуле результате
в формуле результате
(2.76‘)(2.76‘)Rht = 41n [tg (0о/2)] = (120 Ом) In [tg (00/2)]
(2.76‘)
(2.76‘)
[поскольку в геометрических единицах 1 = 1/с = 30 Ом].
Полный ток, текущий в цепи и измеряемый в пересчете на единицу мирового времени
/=\ а/・бМ,(2.77)
по любомупоперечномусечению
(2.78)(2.78)получается из обычного уравнения для цепи
(2.78)
(2.78)
/ = V IRht・
Из соображений симметрии очевидно, что этот ток должен течь однородно по горизонту, при этом длина, через которую течет ток, равна 2лгя sin 0 = 4лА1 sin 0. Таким образом, ток на горизонте должен быть направлен в 0-направлении и иметь поверхностную плотность I/2nrH sin0:
九―(2.79)
Согласно закону Ома и закону Ампера для растянутого горизонта, этот ток, определяемый электрическим полем, должен создавать магнитное поле горизонта, согласно следующим соотношениям:
七"=7hRh — % s\ 8 е侪 (2.80а) 京"=一丁爲訂 (2.806)
Тангенциальные электрическое и магнитное поля Ец и Вц, измеряемые ОПН на растянутом горизонте, совпадают с этими полями Ен н Вн с точностью до множителя 1/а”. Электрические и магнитные поля, измеряемые ОПН на больших радиальных расстояниях, согласно полным уравнениям Максвелла (2.10) [48], равны
В = —(2.816)
Заметим, что электрическое поле (2.81а) обладает тем необходимым свойством, что оно равно Ен^н на растянутом горизонте и создает падение напряжений между верхним проводя-
щим конусом и нижним проводящим конусом, равное напряжению батареи:
нижнийпроводящийконус
, aE-df= IRHT = V.(2.82)
верхнийпроводящийконус
По аналогии заметим, что магнитное поле В, определяемое соотношением (2.816), равно Rh№h на растянутом горизонте, и если умножить его на сс и проинтегрировать по замкнутому контуру, который охватывает дыру и провода, то в результате получится произведение 4л на ток в цепи [закон Ампера, формула (2.11г)]
\ аВ- df= 4л/.(2.83)
по замкнутомуконтуру вокругдыры
Ток (2.79), текущий по растянутому горизонту, приводит к омической диссипации [формула (2.56)]:
7H "^ = \ 爲•务 d4 ="小 2兀厂н sin 9) EHrH d6 =
=、/声” • 〃= W = DRht. (2.84)
Таким образом, темп диссипации определяется хорошо знакомым выражением для участка цепи и равен квадрату полного тока, умноженному на полное сопротивление. Поэтому, пока речь идет о свойствах цепи постоянного тока, черная дыра идентична обычному резистору!
Эта модельная задача служит, кроме того, примером эквивалентности концепции входящей волны и концепции омической диссипации. Электрические и магнитные поля вблизи от дыры по своему виду являются в точности радиационными (Е и В взаимно ортогональны и равны по величине). Постоянный поток Пойнтинга Е X 5/4л, измеряемый ОПН, направлен по радиусу вовнутрь и имеет величину а~212/п{гн sin 0)2. Чтобы перейти от потока локально измеряемой энергии к потоку энергии с учетом красного смещения («энергии-на-бесконечности»), необходимо умножение на один множитель а. Чтобы перейти от потока, измеряемого в пересчете на единицу собственного времени ОПН, к потоку, измеряемому в пересчете на единицу мирового времени, следует умножить указанное выражение на второй множитель а. Эти два умножения устраняют зависи-
мость потока Пойнтинга от сс и приводят к величине, которая, будучи проинтегрирована по растянутому горизонту, оказывается в точности равной темпу омической диссипации, определяемому соотношениями (2.55), (2.56) и (2.84).
В приведенном выше описании черной дыры как резистора не учитывался очень важный физический фактор: конические провода, изображенные на рис. 15, а, не могут быть протянуты до самого истинного горизонта. Если бы это было возможно, то гравитационное ускорение на их внутренних концах было бы бесконечным. Следовательно, между истинным горизонтом и концами проводов должны существовать зазоры (рис. 15, б). Если бы эти зазоры препятствовали протеканию тока, они создавали бы электрические поля, напряженность которых определялась бы разностью потенциалов 廿/2:
Езазор 4 ， (2.85)
где d ——ширина зазора, atip ——значение функции длительности на кольцевых концах проводов [ср. с формулой (2.14)]. В ходе нашего рассмотрения мы предполагаем, что эти зазоры достаточно малы (atipd достаточно мало), чтобы создать поле (2.85), достаточно сильное для «вытягивания» из проводов носителей заряда (электроны или ионы), которые заполняют зазоры и замыкают тем самым цепь. В данном случае поле в зазоре окажется существенно более слабым, чем (2.85), и будет поддерживать протекание тока, причем почти все падение напряжения будет приходиться на истинный горизонт дыры.
Растягивая горизонт достаточно сильно, так, чтобы он оказался выше концов проводов (рис. 15, б), можно «скрыть» зазоры и сложную физику, которая с ними связана. Эта процедура совершенно аналогична помещению растянутого горизонта над заряженной частицей на рис. 14,6. Поэтому рассмотрение, связанное с рис. 15, а, и изложенные выше соображения становятся абсолютно правильными.
В последующих разделах мы будем изучать другие роли, в которых выступают черные дыры в электрических цепях. Здесь мы всегда будем предполагать, что зазоры вблизи горизонта достаточно малы, и при этом пренебрежимо малые падения напряжения будут достаточны для поддержания требуемых токов. Мы всегда будем помещать растянутый горизонт выше этих зазоров, чтобы не заниматься рассмотрением связанной с ними сложной физики. В разд. IV.Г мы будем рассматривать астрофизически реалистические цепи постоянного тока, в которых носителем тока служит плазма электрон-пози- тронных пар, и вопрос о зазорах вблизи горизонта не возникает.
Черная дыра в качестве роторав электромоторе
В качестве примера медленно вращающихся дыр и электромагнитных моментов, действующих на них, рассмотрим модельную задачу, в которой медленно вращающаяся дыра действует как ротор в простом электромоторе (рис. 16).
Прежде всего полезно вспомнить устройство аналогичного мотора в лаборатории: возьмем проводящую сферу радиуса г”, которая может свободно вращаться вокруг своей вертикальной оси, и поместим ее в однородное вертикальное магнитное поле напряженности 5°. Затем к верхнему полюсу сферы подсоединим провод, а к экватору сферы подсоединим проводящий диск. (Подсоединение обычно осуществляется с помощью щеток, которые при вращении сферы свободно скользят по ней.) Соединим проводами внешний край диска с полярным проводом и поместим в цепь батарею, тогда в цепи будет течь полный ток. По верхней полусфере будет протекать поверхностный ток, равный
夕н = 〃(2冗г” sin 0) * (2.86)
Этот ток будет взаимодействовать с магнитным полем, создавая вращательный момент, который, действуя на сферу, раскручивает ее:
3蜜=醬=\血X/•矗!必=-4"/统Г% (2.87)
по верхней полусфере
В принципе можно заменить проводящую сферу шварцшильдовской черной дырой. Окружающее вертикально направленное магнитное поле 5° в таком случае идентично конечному состоянию в нашей задаче о колеблющемся магнитном поле [формула (2.69), рис. 9, б]:
Во = Во [cos 9^-(1 - 2М")1/2 sin 8%],(2.88)
а ток на горизонте имеет в точности тот же вид (2.86), что и в нашем лабораторном моторе. Примечательно, что и уравнение для вращательного момента тоже имеет в точности тот же вид, что и в лабораторном случае: формула (2.87) остается неизменной, если под 1н теперь понимать момент инерции дыры, а под Q” 一 угловую скорость дыры и т. д.
В этом «черно-дырном» моторе ток на горизонте не только создает вращательный момент, но и приводит к омической дис-
Рис. 16. Медленно вращающаяся шварцшильдовская черная дыра, выступающая в роли ротора в электромоторе.
сипации
dM-^dt = Тн dSH/dt =\ ^hRh) dA = I2RHTi (2.89)
по горизонту
выражение для которой идентично формуле (2.84) для такой же сферы, но не помещенной в магнитное поле [с точностью до множителя 1/2 в формуле (2.76х) для полного сопротивления горизонта, поскольку тогда под током находились обе полусферы дыры, а в данном случае ——лишь верхняя полусфера]. Масса дыры растет как за счет омической диссипации (рост неприводимой массы), так и за счет увеличения угловой скорости [рост вращательной массы-энергии, согласно первому началу термодинамики, формула (2.65)]:
dMdMY0i т dSH ( dJ
丁 ==
= I2RHT-QH(IBQ/2)rl， (2.90)
Точечные заряды, движущиесянад растянутым горизонтом
Обратимся теперь к серии модельных задач, в которых рассматривается движение точечных зарядов вблизи горизонта невращающейся черной дыры. Наша цель — разобраться во
взаимодействиях между растянутым горизонтом и динамическими электрическими и магнитными полями. Чтобы упростить анализ, будем предполагать, что частицы настолько близко находятся к горизонту (расстояние 《г”), что мы вправе пользоваться риндлеровским приближением.
(2.91)(2.91)Наша первая задача о движении зарядов иллюстрирует увлечение силовых линий электрического (или магнитного) поля к горизонту зарядами, с которыми ^ти силовые линии связаны. В этой задаче, сформулированной Макдоналдом (разд. IILD работы [122]), нейтральная частица, расположенная на высоте 之。над риндлеровским горизонтом в момент времени / = 0, распадается на две заряженные частицы. Положительный заряд (+Q) остается на месте на высоте 之°, тогда как отрицательный заряд (——Q) свободно падает вниз по направлению к горизонту, причем высота зависит от времени как
(2.91)
(2.91)
凶(g#
[ср. формулу (2.32) с Z = const]. На рис. 17 показана эволюция электрического поля, соединяющего эти две частицы, полученная в расчетах Макдоналда в рамках риндлеровского приближения. При выборе растянутого горизонта на высоте 2н = го/100 отрицательно заряженная частица попадает на него в момент мирового времени t = 5,3/g”. Электрическое поле первым достигает растянутого горизонта еще до этого момента, но ненамного раньше. Когда электрическое поле «натыкается» на растянутый горизонт, оно начинает возбуждать на нем токи. Эти токи текут по направлению к той точке, куда в скором времени попадет отрицательно заряженная частица. Токи переносят туда положительный заряд горизонта, оставляя отрицательный заряд в более удаленных областях. Когда эта частица попадает на горизонт, ее отрицательный заряд взаимно уничтожается с принесенным в эту точку положительным зарядом, и вскоре после этого (к моменту времени £ = б/g”) распределение заряда на горизонте и внешнее поле приходят в статическое состояние, представляющее собой риндлеровское приближение к статическому распределению, показанному на рис. 14 и описываемому формулой (2.75).
Перейдем теперь к модельной задаче, сформулированной Сюэном (см. разд. III. D работы [122]). Частица с зарядом Q находится очень близко к шварцшильдовскому горизонту (расстояние го《厂”)и совершает равномерное движение параллельно горизонту со скоростью В， которая измеряется ОПН, когда частица проходит мимо них:
(dx/dr) (частицы) = |3.(dx/dr) (частицы) = |3.(2.92)(2.92)
(dx/dr) (частицы) = |3.
(dx/dr) (частицы) = |3.
(2.92)
(2.92)
Рис. 17. Силовые линии электрического поля, получающиеся в результате разделения нейтральной частицы, расположенной на высоте 2о《гн над горизонтом, на две точечные частицы, одна из которых, имеющая заряд +Q, остается на высоте 2о, а другая, имеющая заряд —Q, свободно падает вниз по направлению к горизонту. (Рисунок заимствован из работы [122].)Рис. 17. Силовые линии электрического поля, получающиеся в результате разделения нейтральной частицы, расположенной на высоте 2о《гн над горизонтом, на две точечные частицы, одна из которых, имеющая заряд +Q, остается на высоте 2о, а другая, имеющая заряд —Q, свободно падает вниз по направлению к горизонту. (Рисунок заимствован из работы [122].)
Рис. 17. Силовые линии электрического поля, получающиеся в результате разделения нейтральной частицы, расположенной на высоте 2о《гн над горизонтом, на две точечные частицы, одна из которых, имеющая заряд +Q, остается на высоте 2о, а другая, имеющая заряд —Q, свободно падает вниз по направлению к горизонту. (Рисунок заимствован из работы [122].)
Рис. 17. Силовые линии электрического поля, получающиеся в результате разделения нейтральной частицы, расположенной на высоте 2о《гн над горизонтом, на две точечные частицы, одна из которых, имеющая заряд +Q, остается на высоте 2о, а другая, имеющая заряд —Q, свободно падает вниз по направлению к горизонту. (Рисунок заимствован из работы [122].)
Когда частица движется, она переносит с собой свое кулоновское поле, и, следовательно, силовые линии кулоновского пoл^^ скользят вдоль растянутого горизонта с локально измеряемой скоростью
(dx/dx) (силовых линий на растянутом горизонте)=
=&/a")6 = (%/2")6.(2.93)
а Статический заряда Статический зарядРис. 18. Силовые линии электрического поля, создаваемого покоящейся заряженной частицей (а) и заряженной частицей, движущейся с локально измеряемой скоростью р = 0,5 (6), вблизи риндлеровского горизонта (здесь учтено, что полный заряд черной дыры равен нулю. — Ред.) [122].Рис. 18. Силовые линии электрического поля, создаваемого покоящейся заряженной частицей (а) и заряженной частицей, движущейся с локально измеряемой скоростью р = 0,5 (6), вблизи риндлеровского горизонта (здесь учтено, что полный заряд черной дыры равен нулю. — Ред.) [122].
а Статический заряд
а Статический заряд
Рис. 18. Силовые линии электрического поля, создаваемого покоящейся заряженной частицей (а) и заряженной частицей, движущейся с локально измеряемой скоростью р = 0,5 (6), вблизи риндлеровского горизонта (здесь учтено, что полный заряд черной дыры равен нулю. — Ред.) [122].
Рис. 18. Силовые линии электрического поля, создаваемого покоящейся заряженной частицей (а) и заряженной частицей, движущейся с локально измеряемой скоростью р = 0,5 (6), вблизи риндлеровского горизонта (здесь учтено, что полный заряд черной дыры равен нулю. — Ред.) [122].
Множитель ао/а” = 2о/之万，обусловленный гравитационным красным смещением часов на растянутом горизонте по отношению к тем часам, положение которых совпадает с положением частицы, приводит к тому, что скорость силовых линий может становиться бесконечно большой и существенным образом зависит от фактического положения растянутого горизонта. Чтобы избежать этих аномалий, будем описывать движение силовых линий не с помощью локально измеряемой скорости, а с помощью расстояния, проходимого за единицу мирового времени («скорость относительно горизонта»):
vH = (dx/dt) (силовых линий на растянутом горизонте)=
=a” (dx/dt) = g”2o6 =。。自.(2.94)
(Фактически силовые линии движутся с одной и той же скоростью, в расчете на единицу мирового времени при любых положениях в риндлеровской области ——на растянутом горизонте z = 2”, на высоте частицы г = 2°, на высоте, в десять раз превышающей высоту частицы и т. д.).
В пределе нулевой скорости кулоновское поле частицы будет определяться формулой (2.74) и рис. 13 и 14 в риндлеров- ском приближении. Статическое поле показано на рис. 18, а. В случае произвольной конечной скорости частицы р V 1 Сюэн получил сложную аналитическую формулу для Е и В [формулы (3.21) работы [122] ]. Для случая |3 = 0,5 силовые линии электрического поля изображены в плоскости х ——2 (частица и ее скорость лежат в этой вертикальной плоскости) на рис. 18, б. Сравнивая этот случай со случаем статического поля
(рис. 18, а), можно отметить, что кулоновское поле увлекается вслед за частицей.
При растягивании горизонта на рис. 18, б (пунктирная линия) силовые линии электрического поля оканчиваются на зарядах внутри растянутого горизонта. Оказывается, что заряд растянутого горизонта концентрируется вокруг точки, имеющей координату
九="а% + ("н/gH)Е Он/%) = "3(2・95)
где мы воспользовались временем в сжимающейся системе отсчета на растянутом горизонте F = / + g^1 In (ая/ао) (см. разд. В.5). Отметим, что при некотором заданном мировом времени (сечение f = const в пространстве-времени) чем ближе растянутый горизонт к истинному горизонту (т. е. чем меньше а”), тем дольше заряд горизонта будет увлекаться за частицей. Из-за этого увлечения использование времени в сжимающейся системе отсчета становится невозможным. Поскольку представление об увлечения весьма полезно для подхода, основанного на физической интуиции (см. ниже), данная модельная задача иллюстрирует преимущества 3 + 1-расщепления в рамках мембранной парадигмы (использование времени 力 а не ?).
Макдоналд и Сюэн [122] приводят следующее аналитическое выражение [формула (3.22)] для плотности заряда о” на растянутом горизонте:
e . К + (各一喲俨一(芸 + 嗡 вх//
L L而」02+君一2吃%)3 , 5
Здесь G и X — функции от х, у, /, заданные в явном виде:
X = х — %с + -—— InX = х — %с + -—— In
X = х — %с + -—— In
X = х — %с + -—— In
(2.97)(2.97)芸=月+产
(2.97)
(2.97)
Отметим, что в пределе малых скоростей р《1 (когда можно опустить логарифмический член), X ——это расстояние от центра заряда Хс в направлении движения, а 6 — радиальное расстояние от центра заряда. Указанная интерпретация остается справедливой и в случае высоких скоростей В ~ 1，если рассматриваемая точка находится близко от центра заряда, й> « г0. Однако в случае высоких скоростей для точек с й >, го логарифмический член искажает приведенную выше интерпретацию функций X н △.
В пределе нулевой скорости формула (2.96) для распределения заряда на горизонте согласуется с риндлеровским пре-
делом, который выражается формулой (2.75), и заряд сосредоточен в круге радиуса 〜备 непосредственно под частицей. Чем быстрее движется частица, тем дальше увлекается за ней заряд [формула (2.95)] и тем сильнее распределение заряда отличается от кругового. В ультрарелятивистском режиме, 1 ——р« 1, заряд сосредоточен в области, которая испытывает сильное лоренцевское сокращение: радиус области концентрации заряда становится порядка (1——р2) 1/2г0.
Закон сохранения заряда на растянутом горизонте требует, чтобы движение заряда сопровождалось электрическими токами. Макдоналд и Сюэн получили следующее распределение токов на растянутом горизонте (см. [ 122], формула (3.23)):
Q 0 +噺
2冗(й2 + ^о — 2₽Х^0)3
X [(2片 一 26z。X + ₽2^ 一 g _ 君從 + 2y (X 一 眨)^]. (2.98)
Это распределение токов показано на рис. 19 для скорости частицы р = 0,5. Затененная область на этом рисунке представляет собой круг радиуса г0, в котором сосредоточена большая часть заряда.
Если внимательно вглядеться в рис. 18 и 19, становится ясен физический механизм увлечения частицей заряда, который она индуцирует на растянутом горизонте. По мере того как частица движется, ее кулоновское поле отстает (рис. 18,6) вследствие 《трения》на горизонте (об этом речь пойдет ниже). Отстающее поле £, показанное на рис. 18,6, имеет тангенциальную составляющую на горизонте, которая и генерирует токи на горизонте, изображенные на рис. 19 (закон Ома). Эти токи и ответственны за движение индуцированного заряда.
Сила Лоренца на горизонте является причиной того самого 《трения», которым объясняется отставание кулоновского поля от частицы. Эта сила Лоренца передает горизонту импульс со стороны кулоновского поля со скоростью
+8 +84-00 +8
dpH/dt = \ \ ^dHH/dt^ dx dy = \ \ °н^н dx dy =
-ОО —ОО一ОО —ОО
专99)
Равная, но противоположно направленная сила действует со стороны горизонта, через кулоновское иоле, на частицы. Заметим, что в случае малых скоростей эта сила противодействия, определяемая соотношением (2.99), взятым с обратным
Рис. 19. Распределение тока — /н на растянутом горизонте, создаваемое движущимся точечным зарядом (см. рис. 18,6). Крапом отмечена область радиуса [(% — х0)2 + ^,2 = ^о = (высота частицы над горизонтом), в которой сосредоточена большая часть индуцированного отрицательного заряда горизонта. Токи, показанные на рисунке, переносят этот заряд вдоль горизонта со скоростью dx/dt = у” = рао, причем он все время остается на одном и том же расстоянии ниже и позади движущегося точечного заряда. На этом рисунке ток — ун представлен так, что стрелки всегда указывают направление потока отрицательного индуцированного заряда. Показано только направление — /н, величина его не представлена.
знаком, как и обычное увлечение, пропорциональна скорости силовых линий и направлена в противоположном (——е%)-направлении.
Поскольку все силовые линии поля, создаваемого частицей, в конце концов уходят в горизонт (и ни одна из них не выходит на бесконечность, см. рис. 18), силовой контакт с бесконечностью отсутствует. Следовательно, сила реакции, действующая на частицу, должна быть полностью уравновешена силой неэлектромагнитной природы, которая заставляет частицу дви-
гаться параллельно горизонту и величина которой определяется соотношением (2.99).
(2.100)(2.100)Если точечная частица движется вдоль экватора черной дыры, то сила Лоренца (2.99) вызывает увеличение углового момента горизонта относительно его полярной оси и темп этого увеличения равен
(2.100)
(2.100)
а темп изменения вращательной энергии дыры соответственно равен
^^^н.=(2.101)
кроме того, ток на горизонте приводит к омической диссипации, а с ней и к увеличению неприводимой массы дыры: 号工=*字=霜dxdg=4吟等号河•(2.102)
Чтобы еще глубже понять движение электрического поля вблизи горизонта, представим себе, что наша заряженная частица движется со скоростью, меняющейся во времени. Сюэн рассчитал получающееся в результате электромагнитное поле, воспользовавшись методом потенциалов Льенарда — Вихерта в плоском пространстве-времени (см. разд. III работы [122]). На рис. 20 показаны силовые линии электрического поля в том конкретном случае, когда заряд Q первоначально (в моменты времени т < 0) покоится на расстоянии г0 от горизонта (положение А), затем движется вправо (в +%-направлении) со скоростью, равной половине скорости света (локально измеряемая скорость |3 = 0,5), в течение локально измеряемого интервала времени 3t = г0, затем останавливается в положении В и остается там навсегда в состоянии покоя. Сплошными кривыми представлены электрические силовые линии до начала движения (т < 0), штриховыми кривыми — те же самые силовые линии, но в момент, когда движение частицы прекратилось (工=之0). Заметим, что силовые линии переместились вместе с частицей лишь в верхней части рисунка. Вблизи горизонта они остались неизменными, поскольку еще не прошло достаточно времени, чтобы информация о движении частицы успела дойти до низа. Пунктирные кривые ——это те же самые силовые линии, но в момент времени t = 4г0. Совсем близко к горизонту силовые линии еще не получили сигнал о смещении частицы, поэтому они остаются здесь неизменными, но дальше от горизонта они уже сместились вместе с частицей.
Рис. 20. Электрическое поле точечного заряда, который покоится в положении / во все моменты времени t V 0, затем перемещается вправо до положения В со скоростью, равной половине скорости света, а затем навсегда остается в В. Сплошные кривые ——силовые линии электрического поля; штриховые кривые ——силовые линии в момент, когда частица достигает положения В, пунктирные кривые ——силовые линии в существенно более поздний момент времени.
Большой интерес представляет переходная область между сместившимися верхними частями силовых линий, изображенных пунктиром, и неподвижными нижними частями. В этой переходной области при t》％о силовые линии почти параллельны горизонту, а сама переходная область постепенно опускается к горизонту с той же самой экспоненциальной скоростью г = =(const)X exp(—g"f) (локальная скорость света), с которой мы уже имели дело в задаче Макдоналда о колебаниях магнитного поля [формула (2.72) с г = 47И (1—2М/г)1/2 и gH = =1 /47И]. Когда переходная область проходит через растянутый горизонт, она создает электрическое поле горизонта Ен, которое вызывает ток на горизонте 夕〃，который в свою очередь переносит индуцированный заряд вправо, в его новое положение под переместившейся частицей.
Движение электрических и магнитных силовых линийвблизи растянутого горизонта
Из точных модельных расчетов предыдущего раздела мы смогли познакомиться с рядом особенностей движения электрических (а также магнитных) полей вблизи горизонта.
Когда электрические силовые линии, пронизывающие горизонт, неподвижны (т. е. когда им не сопутствует магнитное поле), они пересекают горизонт по нормали и никаких токов на горизонте, никаких сил Лоренца на горизонте и никакой омической диссипации они не создают. Если внешний объект (например, частица в модельных задачах о движении зарядов) начинает《тащить» эти нормальные силовые линии в направлении, параллельном горизонту, то верхние части этих линий начнут двигаться мгновенно, тогда как движение их нижних частей будет запаздывать из-за конечности времени распространения сигнала. В результате силовые линии будут перемещать-
ся, «укладываясь» почти параллельно горизонту, как это показано на рис. 20, и вслед за этим погружаться под растянутый горизонт. В процессе погружения почти параллельного поля под растянутый горизонт поле будет генерировать поверхностные токи, согласно закону Ома, а эти поверхностные токи будут переносить заряд горизонта и создавать омический нагрев, а также будут поворачивать горизонт и, наоборот, создавать вращательные моменты, действующие на силовые линии, а через них и на объект, благодаря которому силовые линии движутся.
По порядку величины напряженность электрического поля, создаваемого в результате движения силовых линий, будет равна
Ен 〜仄,(2.103)
где Еп ——напряженность нормального поля, a v” ——скорость движения силовых линий (в пересчете на единицу мирового времени) относительно растянутого горизонта. [Этот вывод можно получить, исходя из формул (2.98) для /^ = Ен/ 4л и (2.96) для ^н = Еп/^л в модельной задаче о движении зарядов.] Соответственно ток и плотность заряда в процессе погружения 《уложенной》 области под растянутый горизонт будут связаны друг с другом соотношением
?н = ЕнКн 〜Gh、h・(2.104)
Омический нагрев в пересчете на единицу плотности будет равен [ср. с формулой (2.102)]
=纥，(2.105)
и темп передачи импульса горизонту будет составлять dp гт
=以〜％或，⑵i°6)
Заметим, что вследствие пропорциональности темпа передачи импульса скорости движения силовых линий полный импульс, переданный горизонту, пропорционален полному расстоянию Зх, на которое сместились силовые линии：
ЗПн 〜爲6%.(2.107)
Это описание движения электрических силовых линий позволяет получить результаты, аналогичные тем, что были получены для движения магнитных силовых линий. При отсутствии каких-либо реальных зарядов и токов между электричеством и магнетизмом существует полное сходство. Из любого реше-
ния уравнений Максвелла можно получить новое решение с по-> > > >
мощью перестановки £ -> В и В f —Е. В искривленном пространстве это так же верно, как и в плоском, и при наличии горизонта так же верно, как и в отсутствие горизонта. Теперь рассмотрим магнитные поля без зарядов и токов, пронизывающие горизонт черной дыры. Как в случае электрического поля, так и в случае магнитного поля, если силовые линии неподвижны, то они пересекают горизонт перпендикулярно ему и никаких токов на горизонте не возникает. [В случае электрического поля на горизонте имеются заряды, на которых оканчиваются нормальные к горизонту силовые линии; в случае магнитного поля таких зарядов нет, поскольку, для того чтобы наш мембранный подход был максимально близок к хорошо знакомой классической электродинамике, мы предполагаем отсутствие магнитных монополей и тем самым нарушаем полную аналогию между электричеством и магнетизмом. Мы могли бы сделать и иной выбор и считать, что растянутый горизонт обладает плотностями и токами магнитных монополей [237], но поведение полей, конечно, не зависит от нашего выбора. Предположение о полном сходстве электрического и магнитного полей остается верным выше горизонта. В обоих случаях поля ведут себя одинаково.]
Допустим теперь, что некоторая внешняя сила приводит верхние части магнитных силовых линий в движение параллельно горизонту. Как и в случае электрического поля, магнитные силовые линии должны «укладываться» почти параллельно горизонту, и эта область параллельности должна затем опускаться по направлению к горизонту. По мере погружения этой области под растянутый горизонт параллельное горизонту поле будет генерировать токи, текущие по горизонту, согласно закону Ампера (токи, а не заряды на горизонте). Взаимодействуя с нормальной горизонту компонентой магнитного поля, эти токи будут приводить к омической диссипации и порождать силу Лоренца f н\Вп, а также соответствующий вращательный момент, действующий на горизонт. Величина почти параллельного горизонту магнитного поля, проходящего под растянутый горизонт, будет равна
BH^vHBn, (2.108)
где и” ——тангенциальная скорость силовых линий на горизонте (измеряемая в расчете на единицу мирового времени), а В九—— нормальная к горизонту компонента магнитного поля. Соответственно ток на горизонте будет описываться соотношением
彳"〜（1/4冗）vHBn,彳"〜（1/4冗）vHBn,(2.109)(2.109)
彳"〜（1/4冗）vHBn,
彳"〜（1/4冗）vHBn,
(2.109)
(2.109)
темп омической диссипации —
T„dS„
曲肃=3Н〜V陷(2.110)
темп передачи импульса горизонту —
45出=牙质一n心%,(2.1Н)
а полный импульс, переданный горизонту в результате смещения на расстояние 3%,——
611H 〜皮6%.(2.112)
В разд. IV. Г мы убедимся, что эти особенности движения силовых линий играют очень важную роль в моделях, объясняющих энергетику внегалактических выбросов с помощью механизма «черно-дырной» электродинамики.
Быстро вращающиеся черные дыры
К. Торн, Р. Прайс, Д. Макдоналд,Вэй М。Сюэн, Сяо Хи Чжань
Вращение черной дыры может сопровождаться яркими и неожиданными эффектами. До сих пор мы рассматривали лишь простейшие аспекты вращения черных дыр и лишь медленно вращающиеся дыры. Теперь мы обращаемся к быстрому вращению и к полному набору связанных с ним эффектов. В ходе всего нашего изложения (вплоть до гл. VI) мы будем предполагать, что черная дыра находится в стационарном равновесном состоянии и гравитационные возмущения, обусловленные внешними телами, пренебрежимо малы. Это означает, что 4-мерная пространственно-временная геометрия дыры описывается метрикой Керра.
А. 3 + 1-расщепление пространства-времени Керра
Выбор опорных наблюдателейи 3 + 1-расщепление метрики
В случае керровской черной дыры, как и в случае шварцшильдовской, мы должны очень внимательно отнестись к выбору опорных наблюдателей (ОПН) при 3+ 1-расщеплении. В шварцшильдовском случае мы выбираем ОПН так, чтобы они все время оставались неподвижными по отношению к дыре. В керровском случае само понятие «неподвижности по отношению к дыре» отчасти перестает быть однозначным, поскольку дыра сама вращается. Вращение дыры увлекает все физические объекты, находящиеся вблизи нее, в орбитальное движение в том направлении, в котором вращается дыра, и противостоять этому увлечению ни один объект не может. Чем ближе к горизонту, тем сильнее этот эффект увлечения. Поэтому с точки зрения удаленных статических (не испытывающих увлечение) наблюдателей наши опорные наблюдатели неизбежно должны обладать некоторой зависящей от радиуса конечной угловой скоростью, з = d^/df. Мы, однако, можем потребовать, чтобы никаких других движений ОПН не совершали, если смотреть на них издалека. Поскольку вращающаяся дыра обладает осевой симметрией, такие обращающиеся вокруг нее
ОПН все время будут испытывать неизменные гравитационные эффекты (имеются в виду неизменные пространственная кривизна, функция длительности и гравитационное ускорение). Единственный способ для них узнать о своей отличной от нуля угловой скорости — наблюдать за движением далеких звезд у себя над головой.
Угловая скорость ОПН со не является произвольной. Она должна быть выбрана так, чтобы мировые линии ОПН были ортогональны (в пространственно-временном смысле) семейству 3-мерных гиперповерхностей, которые ОПН будут физически отождествлять с гиперповерхностями постоянного времени и которые мы мысленно《соберем》в единое 3-мерное «абсолютное пространство». Это требование ортогональности гиперповерхностей, предъявляемое к ОПН, в совокупности с условием, чтобы вдали от дыры ОПН покоились относительно инерциальных систем отсчета, однозначно определяет угловую скорость ОПН и соответственно однозначно определяет ортогональные гиперповерхности (см. разд. 5.1 работы [206]). Оказывается, что получающиеся в результате гиперповерхности являются поверхностями постоянной «бойер-линдквистовской временной координаты» £, а получающиеся в результате ОПН являются «наблюдателями с нулевым угловым моментом» (ННУМ) (это понятие впервые ввел Бардин [2]). Такой выбор гиперповерхностей побуждает нас использовать боейр-линдкви- стовскую временную координату t в качестве мирового времени при 3 + 1-расщеплении.
Как в случае шварцшильдовской, так и в случае керровской черной дыры мы теперь мысленно соберем гиперповерхности / = const в единое 3-мерное пространство, называемое абсолютным пространством, в которс^ физические процессы протекают в соответствии с течением мирового времени f. Поскольку все физические объекты испытывают увлечение в орбитальное движение вращением дыры, будем считать, что само абсолютное пространство увлекается в круговое движение относительно далеких звезд ——эта картина сильно напоминает движение воздуха в смерче или воды в водовороте. Точнее, мы будем считать, что ОПН покоятся в абсолютном пространстве, при этом абсолютное пространство, как и ОПН, совершает круговое движение вокруг дыры (если смотреть издалека) с угловой скоростью со.
Чем ближе точка абсолютного пространства к горизонту, тем быстрее ее круговое движение. Поэтому если считать, что наши пространственные координаты увлекаются этим круговым движением, то наши координатные линии будут быстро деформироваться в спирали. Со временем эти спирали будут все туже наматываться на черную дыру, как нитки на катушку. Чтобы
этого избежать, можно потребовать, чтобы наши координаты (которые в конце концов не являются физическими объектами) не поддавались смерчеобразной циркуляции и всегда и повсюду оставались неподвижными относительно далеких звезд (жесткие, «фиксированные относительно звезд», координаты). Таким выбором %/ мы сохраняем форму и масштаб координатной решетки неизменными с течением времени, т. е. обеспечиваем независимость от времени метрических коэффициентов g/左 абсолютного пространства. Однако это достигается лишь ценой движения абсолютного пространства и ОПН относительно координат с некоторой зависящей от времени координатной скоростью
(厶/〃仇^=一伊， (3.1)
которая физически соответствует круговому движению с угловой скоростью з. Величина 似，так же как и £ и В, представляет собой вектор, существующий в абсолютном пространстве. Ее иногда называют «функцией смещения» [219], потому что она равна скорости, с которой пространственная координатная решетка смещается относительно ОПН.
Поскольку наглядные образы играют такую важную роль в мембранной парадигме, полезно снова и снова повторять мысленные представления, которые имеют в виду авторы, когда речь идет о движении координат, ОПН и абсолютного пространства: мы считаем, что абсолютное пространство заполнено жесткой, неподвижной по отношению к звездам координатной решеткой. С течением времени эта решетка не деформируется и все время остается неподвижной по отношению к далеким звездам. Вращение дыры увлекает ОПН во вращательное движение сквозь эту неподвижную относительно звезд решетку (dN/df =——伊，с угловой скоростью со по отношению к далеким наблюдателям). Угловая скорость ОПН монотонно растет при перемещении от удаленных областей к горизонту, что сильно напоминает поведение угловой скорости в смерче или водовороте. Следовательно, тот мысленный образ, который стоит перед глазами авторов, сводится к следующему: ОПН проскальзывают сквозь жесткую координатную решетку, двигаясь будто в смерче (или водовороте), т. е. вдали от горизонта медленно, а вблизи него быстро (однако это движение чисто круговое, без какого-либо перемещения внутрь).
Авторы предпочитают представлять себе абсолютное пространство скользящим вместе с ОПН, так что относительно абсолютного пространства ОПН покоятся. Это приводит к необходимости иметь дело с абсолютным пространством, которое испытывает сдвиговые деформации, т. е. с пространством, в котором соседние точки движутся относительно друг друга. От-
меченное неудобство, связанное со сдвиговыми деформациями, навело Новикова и Фролова [135] на мысль, что абсолютное пространство лучше считать жестко связанным с неподвижными относительно звезд координатами. Действительно, двое из авторов данной статьи (Торн и Макдоналд) в своих самых ранних работах по мембранной парадигме придерживались именно такой точки зрения [49, 123, 206]. Оказывается, что можно без каких-либо изменений в математическом формализме мембранного подхода перейти от нашей точки зрения, т. е. абсолютного пространства, испытывающего сдвиговые деформации, к точке зрения Новикова ——Фролова, т. е. к жесткому абсолютному пространству. (Такая возможность объясняется тем, что в математическом описании фигурируют только движения координат и ОПН, а «движение абсолютного пространства» из него выпадает. Единственное, что необходимо изменить при переходе от одной точки зрения к другой ——это некоторые детали наглядных образов, которые сопутствуют математическому описанию.)
Тем не менее на протяжении всей этой книги авторы придерживаются мысленных представлений об абсолютном пространстве, испытывающем сдвиговые деформации, и неподвижном относительно ОПН. Главная тому причина связана с 3 + 1- расщеплением, которое лежит в основе мембранного подхода: абсолютное пространство в любой заданный момент мирового времени f является гиперповерхностью в пространстве-времени. Такая поверхность всюду ортогональна мировым линиям ОПН. Это означает в соответствии с общепринятой релятивистской интерпретацией, что ОПН считают себя покоящимися (в абсо-{ лютном пространстве) на гиперпб^ерхности [а также считают такую гиперповерхность сечением «одновременности» в пространстве-времени, если определять одновременность согласно Эйнштейну, физически, т. е. методом световых сигналов; см. обсуждение перед формулой (2.10) ]. Таким образом, наша точка зрения, согласно которой абсолютное пространство покоится относительно ОПН, вытекает из 3+ 1-расщепления в совокупности с общепринятой физической интерпретацией гиперповерхностей, ортогональных мировым линиям наблюдателей.
После наглядного качественного описания нашей жесткой координатной решетки и движений ОПН и абсолютного пространства, перейдем теперь к более точному математическому описанию. Метрика пространства-времени, выраженная через бойер-линдквистовскую временную координату / и произвольные пространственные координаты %', имеет вид
、 公2 = 一a2出2 + gik (dM + k 力)(dd + 俨近)； (3.2)
Соображения, изложенные перед формулой (3.1), гарантируют независимость всех метрических коэффициентов а,伊，gjk от t. Нетрудно убедиться, исходя из этой метрики, что: 1) а есть отношение темпа хода часов ОПН к темпу течения мирового времени %, т. е.
а = (dt/df)onH = функция длительности =
—фактор красного смешения; (3.3)
2) gjk есть 3-метрика на гиперповерхности постоянного времени f, т. е. метрика абсолютного пространства; 3) мировые линии ОПН (dx^dt =——р) ортогональны в пространстве-времени гиперповерхностям постоянного Л
В конкретных расчетах будет полезно ввести систему фиксированных относительно звезд координат (г, 0, ф), которые были бы максимально близки к шварцшильдовским координатам. Координаты Бойера ——Линдквиста [23] наилучшим образом отвечают поставленной цели. С помощью этих координат, а также массы черной дыры Л4 и ее углового момента, отнесенного к единице массы,
а = J/M, (3.4)
построим следующие функции:
А 三厂2 + “2 — 2Мг, р2 = г2 + а? cos2 О,
?2 三(产 + &2)2 — а2A sjn2 仇 心三(S/p) sin 9.(3.5)
(3.6а)(3.66)(3.6а)(3.66)Эти функции(входят в функцию длительности, функцию смещения и метрические функции следующим образом:
(3.6а)
(3.66)
(3.6а)
(3.66)
g =俨=О, Н 三 _(о = _ -^Г р2
ёгг= ~д~, gee = p2, ёФФ = ^2,
幻々=0 для всех других /, k. (З.бв) [Не трудно убедиться, что, подставив а, §/ и g/ в формулу (3.2), мы получим метрику Керра в общепринятом виде, в координатах Бойера ——Линдквиста; ср., например, с формулой (33.2) в работе [129].]
Заметим, что со =——6。= (d@/df)oriH есть угловая скорость ОПН, а 2лй — 2л Vg^ — длина окружности вокруг оси симметрии. Заметим далее, что в пределе нулевого углового момента, / = а = 0, функция смещения р стремится к нулю, а функция длительности и метрические функции принимают шварцшильдовский вид. Как в шварцшильдовском, так и в
керровском случае горизонт представляет собой 2-мерную поверхность, на которой функция длительности обращается в нуль (бесконечное гравитационное красное смещение):
а = А = 0 и г = гн = М-{-^М2 — а?- на горизонте. (3.7) Наши опорные наблюдатели (ОПН) иногда называются наблюдателями с нулевым угловым моментом (ННУМ), потому что их угловой момент, приходящийся на единицу массы, обращается в нуль:
иФ = и - д/дф = а-1 о2 (d^/dt + 6。) = 0,(3.8)
где U = а~{ {d/dt — Р) = (4-скорость ОПН) (см. [1]).
В абсолютном пространстве с пространственной метрикой (З.бв) можно пользоваться ортонормированными базисными векторами
>1 д々с、
①气石"粛，(3.9a)
и если мы будем придерживаться пространственно-временной точки зрения, то будем дополнять их временным базисным вектором
焉=市=皆[±一可，(3・96)
который имеет единичную норму и ортогонален векторам е?. Эти базисные векторы можно считать «ортогональным базисом》 или «собственной системой отсчета» ОПН. В терминах пространственных базисных векторов (3.9а) операции 3-мерной векторной алгебры приобретают свой общепринятый вид (ср. с разд. II. Б.5). Векторные операции можно также производить с ортогональными, но не нормированными базисными векторами д/дг,(5/(50, д/дф. В этом базисе векторное произведение, например, строится с помощью тензора Леви-Чивита
е 削= (det||g#|)i/2e?ef =^^-^^c^kt(3.10)
где 6不8§=1, едтд = —1 и т. д. Для дифференцирования полей по пространству нам понадобится «ковариантная производная» или «градиент» ——т. е. производная, которая в локально декартовой системе координат сводится к обычному дифференцированию (см., например, гл. 8 книги [129]). Ковариантную производную в искривленном 3-мерном абсолютном пространстве мы будем обозначать как V, если пользуемся абстрактными обозначениями, и вертикальной чертой при использовании индексных обозначений, например, так
(З.Н)(З.Н)Г //-компонента 3-мерного
(З.Н)
(З.Н)
Vil/ —1I
градиента W 3-вектора
Электрические и магнитные поля,гравитационные ускорения и инерциальные направления,измеряемые ОПН
Электрические и магнитные поля £ и В и гравитационное ускорение g вблизи вращающейся дыры определяются тем же способом, что и вокруг невращающейся дыры, т. е. посредством сил, которыми они воздействуют на пробные частицы. Рассмотрим пробную частицу массы т, движущуюся со скоростью v, измеряемой ОПН с помощью локальных стержней и часов («локальный подход»). Эта измеряемая ОПН скорость, выраженная через скорость движения частицы по отношению к неподвижным относительно звезд координатам (W/d力)part, равна
"=%[(穿入 art -(芻)onJ = V [(需)part + 叫 ◎• 12)
Важно отметить, что v, так же как £ и В и все другие векторные величины, измеряемые ОПН, является 3-мерным вектором, принадлежащим абсолютному пространству. ОПН могут рассматривать v как《стрелку》в абсолютном пространстве: они могут разложить v на «координатные компоненты» W в неподвижных относительно звезд координатах или же на «физические компоненты» у/ [проекции на взаимно перпендикулярные единичные векторы е?, определяемые формулой (3.9)]:
V = V7 (д/дх1) = »i eq；
vr = (p/VA) У, ”。= pve, v$ =(3.13)
Импульс частицы определяется ОПН обычным образом через массу т и скорость v, измеряемые ОПН:
->р = т->р = т(1 —#)1/2(1 —#)1/2(3.14)(3.14)
->
р = т
->
р = т
(1 —#)1/2
(1 —#)1/2
(3.14)
(3.14)
где V2 = gf/V%7 — бо-yvz v;. Чтобы определить скорость изменения импульса ОПН, поступают тоже обычным образом: берут две частицы, движущиеся в течение короткого промежутка времени Дт, измеряемого по часам ОПН, затем совершают параллельный перенос вектора р в абсолютном пространстве от нового положения частицы %/ + Ах， обратно к ее первоначальному положению N, вычитают р из его первоначального зна-
чения и делят на Дт. Математически эти операции описываются следующим образом:
樂=黑係 + (WOpart，V/]i=4■係 + (/一南.可(3.15)
где V ——ковариантная производная (градиент) в искривленном абсолютном пространстве, a dx относится к собственному времени ОПН, а не к собственному времени частицы [ср. с формулой (2.9)]. Именно эта скорость изменения импульса ОПН отождествляется с результатом действия физических сил.
Электрические и магнитные поля ОПН определяют через силу Лоренца, с которой эти поля действуют на заряд q:
(МоренцВ)；(3.⑹
а гравитационное ускорение g ОПН определяют через силу, связанную с g и действующую на частицу массы т\
他)(3.17)
или, что эквивалентно, по показаниям физического гравиметра или акселерометра, сопутствующего ОПН. Оказывается, что как в случае невращающейся [ср. с формулой (2.7)], так и в случае вращающейся черной дыры гравитационное ускорение создается градиентом функции длительности
g=—V In а =—а V(x =
_mp2 (г4 -a4)| 2MMa2A si/ g )
+ 2"「簪 + 尚 cos e sin 脸.(3.18)
Лоренцева и гравитационная силы знакомы нам по лабораторной физике и по рассмотрению невращающихся черных дыр. Менее известна гравитомагнитная (ГМ) сила, создаваемая градиентом функции смещения:
(*)см = /%，т・ е・(3」9а)
//三。一”|3, т. е. Н^ = а-113/1 /.(3.196)
<А
Отметим, что компоненты тензора " равны
/3 = - 畸巽[(产 + 金 У2 + 睁2A Sid 0],
H$5 =嘴产"2 +。2)£2 — a2P込 sin2e],
"/ = 一 沙龄5e.{出 COS2 貶2 一 p2r x
X [2r (产 + a2) — a? (r — M) sin?0]},
H$? = 一 2叱借ne {产22一p2"2r(产 + 喲一
—。2(广一M) sin20]}.(3.19в)
Заметим, что, так же как и магнитная сила q”XB, эта гравито- магнитная сила обращается в нуль, когда частица покоится по отношению к ОПН, и линейно зависит от скорости частицы
V при малых V. Поле Н называется гравитомагнитным тензорным полем, а функцию смещения р иногда называют гравитомагнитным потенциалом. Оправданность использования термина «гравитомагнитный» станет более понятной из дальнейшего.
Уравнение движения пробной частицы с массой т и зарядом 仇 имеющей скорость v и импульс р, получается в результате учета силы Лоренца, гравитационной и ГМ-силы 窘=士算=―(3.20)
(1-V2)1/2(1一V2)1/2
[Чтобы вывести выражения (3.17) — (3.19) для гравитационной и ГМ-силы, достаточно показать, что уравнение (3.20) эквивалентно пространственно-временному уравнению движения ти^,
Хотя уравнение движения (3.20) полезно при рассмотрении локальных измерений, выполняемых ОПН, им не очень удобно пользоваться в качестве отправной точки при исследовании орбит пробных частиц. Для анализа орбит пробных частиц удобнее всего использовать картеровские интегралы движения [см. формулы (33.32) и (33.33) из книги [129]], которые эквивалентны (3.20), но более пригодны для работы.
Иногда полезно представить себе, что ОПН несет с собой инерциальную гидирующую систему ориентации, состоящую из гироскопов, к центрам масс которых ОПН прилагает силу, удерживающую их от падения на дыру. Оказывается, что гра-
витомагнитное поле дыры взаимодействует с таким гироскопом, заставляя его прецессировать относительно абсолютного пространства с угловой скоростью ——1/2":
, 詰三Е Т • V)S = X S. , (3.21) Здесь s ——собственный угловой момент гироскопа, Н —— грави< томагнитное векторное поле, в котором содержится та же информация, что и в антисимметричной части гравитомагнитного тензорного поля.
"了三6阿/2 =q%-%队。е. н^а-^Х1 (3.22)
Компоненты Н в координатах Бойера — Линдквиста (3.5), (3.6) можно представить в следующем виде:
Я = — -^^ [(产—a2 cos2 0) sin 成 + “(；^1 吸 cos 位]. (3.23) Изучением физических следствий и физического значения этой «гравитомагнитной прецессии» мы займемся в следующем разделе. Вывод уравнения прецессии (3.21) из «уравнения переноса Ферми — Уолкера» и связанные с этим математические вопросы см. в разд. 2.4 работы [206].
3 + 1-физика вдали от горизонта
Вдали от горизонта функцию длительности, функцию сдвига и метрические функции можно разложить по степеням 1/г и по сферическим гармоникам, а коэффициенты в этом разложении можно отождествить с мультипольными моментами черной дыры. Оказывается (см., например, разд. X и XI работы [202]), что полная информация о любом асимптотически плоском, не зависящем от времени гравитационном поле содержится в двух наборах мультипольных моментов — это «массовые моменты», которые получаются из разложения по 1/г функции длительности а, и «токовые моменты», которые получаются из разложения функции смещения р. Разложение метрики gjk по 1/г полностью определяется с точностью до координатных преобразований этими двумя семействами моментов.
Чтобы получить моменты, исходя из а и В, необходимо ввести координаты, которые были бы «максимально близки к декартовым» на больших радиальных расстояниях; для этого с точностью до относительных ошибок порядка (1 /г4) можно использовать следующие координаты:
x = r sin 0cos ^>, y = r sinQ sin ^>, z =「一 ^^Jcose. (3.24а)
a2 cos2 0a2 cos2 0Сферические координаты, связанные с этими асимптотически декартовыми координатами, с точностью до относительных ошибок порядка (1/г4) имеют вид
a2 cos2 0
a2 cos2 0
厂‘ =(%2 + 力 + №)1/2 = г —
3 = arccos [夕]=0+ "2 со*т± “ = arctg [号]=小 (3.246)
[см. формулу (11.25) в работе [202] ]. Координаты (%, у, г) являются «асимптотически декартовыми» в том смысле, что при разложении а,阳 и gjk по степеням 1/к в члены O(l/rz) входят лишь сферические гармоники порядка / = 0, в члены О(1/г'2) входят лишь гармоники порядка / = 0 и 1, а члены О(1/г/3) содержат лишь гармоники порядка / = 0, 1, 2. Функция длительности в метрике Керра (3.6а) при разложении ее в этих асимптотически декартовых координатах принимает вид
а2=1-^- + 卓[1/2 + A (cos g] + О [十],(3.25а)
где Р2 — полином Лежандра (3.25а) со стандартной формой [202]]где Р2 — полином Лежандра (3.25а) со стандартной формой [202]]с / = 2. Сравнивая формулу разложения [формула (11.1) вс / = 2. Сравнивая формулу разложения [формула (11.1) в
где Р2 — полином Лежандра (3.25а) со стандартной формой [202]]
где Р2 — полином Лежандра (3.25а) со стандартной формой [202]]
с / = 2. Сравнивая формулу разложения [формула (11.1) в
с / = 2. Сравнивая формулу разложения [формула (11.1) в
21 2Ml const const 3力冗[ с「1 ] /О
а =1~ —+7+。匕丁|，(3.256)
мы приходим к выводу, что массовый монопольный момент (т. е. масса) черной дыры равен М, а массовый квадрупольный момент 夕/々 равен
= ^уУ = ^ М* = 一等 мм. (3.26)
(Здесь, как и в ньютоновской теории, отсутствие массового диполя, т. е. слагаемого с /-2 и / = 1 в выражении для сс2, соответствует тому обстоятельству, что координаты «центрированы по массе》. Аналогично из разложения функции смещения (ГМ-потенциала)
Р = + ~рт(уе% —%办)+Для метрики Керра, (3.27а)
才I (токовый квадруполь) . (член с четностью +).
p = J н 戸+尸h
+。闵+。闵в стандартном разложениив стандартном разложении(3.276)(3.276)
+。闵
+。闵
в стандартном разложении
в стандартном разложении
(3.276)
(3.276)
[формула 11.1 в [202] ], мы делаем вывод, что токовый дипольный момент (т. е. угловой момент) есть
J х = Jy = 0,Jz = аМ = J(3.28)
и что токовый квадрупольный момент равен нулю.
Как будет показано позднее в этой книге (разд. В.2), наличие отличного от нуля массового квадрупольного момента (3.26) играет важную роль: оно позволяет понять природу вызванного вращением центробежного уплощения черной дыры.
Кроме того, при взаимодействии с гравитационными полями внешних объектов (аккреционных дисков, звезд, других черных дыр) создается вращательный момент, действующий на дыру и вызывающий прецессию ее оси вращения [формула (5.52az) и разд. V. Б.1]. Но пока мы на время забудем о квадрупольном моменте и, сосредоточив свое внимание исключительно на гравитационных проявлениях массы дыры и ее углового момента, воспользуемся следующим приближением, справедливым на больших расстояниях:
а?仝 1 ——2,加S//r'3,
&%4 6汴 +0(m/<).(3.29)
Чтобы получить представление о гравитационных силах, создаваемых массой и угловым моментом дыры, конкретизируем уравнение движения (3.20) для случая пробной частицы с нулевым зарядом (7=0), движущейся с малой скоростью (|”|《1) и находящейся на большом расстоянии от горизонта (г》А4). Будем рассматривать траекторию пробной частицы в фиксированных относительно звезд координатах %'«). С помощью формул (3.12) и (3.14) можно связать импульс пробной частицы pi с ее координатной скоростью d^/dt:
〃 = m(dM/df+ 夕).(3.30)
Как следует из формулы (3.15), скорость изменения этого нм» пульса равна
"=叫參+嘗^片АП * + "储.(3.31)
Здесь мы воспользовались приближением а ^ 1, | В |《| ” |, поскольку вдали от черной дыры величина р очень мала. Подставляя (3.31) в уравнение движения (3.20) и перенося ГМ-член в правую часть, получаем
что можно переписать как
(3.32)(3.32)^备=俏儲+穿X外
(3.32)
(3.32)
Здесь 眾%/力2 соответствует 般尤‘/呢 а Н — гравитомагнитное векторное поле, определенное формулой (3.22), которое вдали от дыры описывается соотношением
方三守Х&(3.33)
[Формулу (3.32) можно также непосредственно вывести из уравнения для геодезической в пространственно-временной метрике (3.2) в случае малых скоростей и слабой гравитации.]
Уравнение движения (3.32) говорит о многом. Во-первых, оно напоминает о том, что импульс, измеряемый ОПН, отличается от тdx/dt на величину т₽ [формула (3.30)] из-за движения ОПН относительно координат, фиксированных по отношению к звездам, и, как следствие этого, скорость изменения импульса отличается от md^xldt? на гравитомагнитный поправочный член р • Н [формула (3.31) ]. Далее, из (3.32) становится ясно, что этот поправочный ГМ-член в комбинации с ГМ-силой, измеряемой ОПН, создает полное координатное ГМ- ускорение (3.32), которое по своему виду напоминает ускорение в магнитном поле, m (dx/dt) X Н. Действительно, полное координатное ускорение незаряженной частицы в приближении слабой гравитации и малых скоростей в точности соответствует силе Лоренца, если £ заменить на g, В — на ", заряд q ——на массу т, а формула (3.33) для Н выглядит как В = VX4, если магнитный векторный потенциал заменить на ГМ-потенциал (функцию смещения) р. Эти аналогии и легли в основу использования терминов «гравитомагнитный» для описания функции -><--> >
смещения р и ее производных " и " и «гравитоэлектрический)> для описания поля гравитационного ускорения g.
Чтобы усилить аналогию с электромагнетизмом, сделаем отступление и рассмотрим слабо гравитирующее вращающееся тело, такое, как Земля или Солнце, для которого всеми нелинейными гравитационными эффектами можно пренебречь. Такое тело можно описывать с помощью того же самого 3 + 1-расщепления, каким мы пользовались в случае черных дыр, но теперь уравнение движения (3.32) с лоренцеподобной силой справедливо и внутри, и вблизи тела так же, как и вдали от него. Более того, в этом случае мы можем рассчитать грави-
тационное поле g и ГМ-векторное поле Я с помощью линеаризованных уравнений Эйнштейна. Оказывается [24, 71], что в случае тела, свойства которого не зависят от времени, эти уравнения Эйнштейна почти идентичны уравнениям Максвелла
V X ^ = VX VX ₽ = —V2₽ = —16 冗 Gp〃； VX/=0, (3.34a)
V・g=—V%=—4nGpm, V • H = Q. (3.346)
Они отличаются от уравнений Максвелла лишь знаком минус, из-за того что гравитация соответствует притяжению, а не отталкиванию, множителем 4 в уравнении с VX", присутствием гравитационной постоянной G (которую мы обычно полагаем равной единице), заменой плотности заряда ре плотностью массы р俏 и заменой плотности тока / плотностью массового тока pmv (где v — скорость массы). С помощью стандартной процедуры, применяемой в электродинамике, можно убедиться, что вне гравитирующего тела а = 1 + 2Ф и В имеют стандартный вид, даваемый формулами (3.256) и (3.276), если положить
夕/ = \ Pm 卜/ 一 g渔产]0%. (3.35)
Таким образом, масса М и массовый квадрупольный момент 夕汴 выступают в той же роли, что и соответственно полный электрический заряд и электрический квадрупольный момент, тогда как угловой момент / играет ту же роль, что и магнитный дипольный момент.
Эту явную аналогию с электродинамикой можно провести и для тел с переменными во времени параметрами (например, для пульсирующих, коллапсирующих или взрывающихся тел), пока скорости малы по сравнению со скоростью света, а гравитация достаточно слаба и ее можно рассматривать в линейном приближении (более подробно см. [24]). Однако в случае больших скоростей и сильной гравитации эта аналогия нарушается (хотя и не совсем исчезает; этот вопрос подробно обсуждается в работе [156]).
Вернемся теперь к вращающейся черной дыре и подробно рассмотрим гравитационное ускорение g и ГМ-поле Н вдали
Рис. 21. Поле гравитационного ускорения g и гравитомагнитное векторное поле Н вдали от вращающейся черной дыры [см. формулы (3.36)].
от нее. Из равенств g= —V In а и 7/ = a~1VXP, где а и р даются соотношениями (3.29), получаем
g = H = 2 I рз J . (3.36)
Таким образом, вдали от горизонта g представляет собой обычное радиальное ньютоновское ускорение, а "——дипольное гравитомагнитное поле, причем в роли диполя выступает угловой момент дыры (рис. 21).
Важным физическим проявлением ГМ-поля Н является гра- витомагнитная прецессия (3.21), которую испытывают гироскопы вдали от дыры. Эта прецессия относительно абсолютного пространства по существу не зависит от того, покоится ли гироскоп по отношению к далеким звездам (dx^/dt = 0) или движется (с очень малой скоростью) вместе с абсолютным пространством и OFIH(d//d/=—仅).В случае когда гироскоп покоится по отношению к фиксированным относительно звезд координатам, эту прецессию можно рассматривать как прецессию относительно далеких звезд. (Если же гироскоп движется, то имеются другие причины прецессии по отношению к дале-
ким звездам; см. ниже гл. V.) ГМ-прецессию можно понять следующим образом, воспользовавшись аналогией с электромагнетизмом: ГМ-поле дыры Н является аналогом магнитного поля В, а собственный угловой момент гироскопа s является -А
аналогом магнитного дипольного момента pi «пробного маг- нита». Точно так же как вращательный момент иХ ^ действует на магнит, так и вращательный момент 72s X Н действует на гироскоп. Угловой момент гироскопа под действием этого вращательного момента меняется:
箒= %sX〃・(3.37)
Этому уравнению удовлетворяет прецессия собственного углового момента гироскопа с угловой скоростью
3GM =-% 至(3.88)
Отметим, что эта скорость прецессии, как и гравитационное ускорение g, не зависит от состава и структуры гироскопа. Эту универсальную прецессию испытывают все тела, даже те, у которых угловая скорость исчезающе мала. Точно так же как универсальность g можно связать с тем обстоятельством, что локально инерциальные системы отсчета падают с ускорением g, так и универсальность Qgm = —%Н можно связать с вращением локально инерциальных систем отсчета с угловой crd- ростью Qgm・ Другими словами, ГМ-поле Н можно рассматривать как некоторое силовое поле, которое увлекает локально инерциальные системы отсчета, заставляя их вращаться, и создает в результате этого《силу Кориолиса》(dx/dt)\ Я в нашем абсолютном пространстве [формула (3.32)].
Аналогия с магнетизмом наводит на мысль, что ГМ-поле Н создает не только вращательный момент, действующий на гироскоп вне черной дыры, но и некоторую силу. Точно так же как неоднородное магнитное поле В действует с силой (ц • V) В на магнитный диполь, так и Н должно действовать на гироскоп с силой
声=(i点.市至(3.39)
Как будет показано в разд. V. А.З [формулы (5.47) и (5.456)], так оно и есть.
Гравитомагнитная прецессия (3.37) и (3.38) была обнаружена при анализе уравнений общей теории относительности Тиррингом и Лензе [200], и поэтому ее часто называют эффектом Лензе — Тирринга. Хотя ГМ-поле какого-либо вращающегося тела пока еще не обнаружено, есть надежда обнаружить ГМ-поле Земли в начале 1990-х годов с помощью ГМ- прецессии сверхпроводящего гироскопа, который будет выведен на орбиту вокруг Земли высотой 500 км (проект «Гравитационный зонд В》НАСА [67, 118]). Возможны и другие способы обнаружения ГМ-поля, одни из которых основаны на гравитационном вращательном моменте (3.37), другие ——на ГМ-силе (3.39) (см., например, [212, 24, 181, 25, 26, 42]). Мы считаем, что проект «Гравитационный зонд В》и другие попытки обнаружения ГМ-полей очень важны, поскольку ГМ-поля играют центральную роль в физике черных дыр (см. последующие разделы).
Застывание физических процессов вблизи горизонта
Хотя .увлечение инерциальных систем отсчета в области вдали от черной дыры представляет собой очень малый эффект (и до обидного слабо вблизи Земли), вблизи горизонта дыры оно становится подавляюще сильным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение произвольной пробной частицы, на которую действует произвольная сила. Эта сила может быть сколь угодно велика, но независимо от ее величины вблизи горизонта скорость частицы, измеренная ОПН, находящимся в том же месте, что и частица, должна быть субсветовой:
(3.40)(3.40)
(3.40)
(3.40)
Следовательно, скорость изменения координатного положения частицы в пересчете на единицу абсолютного времени должна удовлетворять неравенству
[dx[dx< а・< а・(3.41)(3.41)
[dx
[dx
< а・
< а・
(3.41)
(3.41)
Приведенное неравенство говорит о том, что вблизи горизонта (а《1) частица движется относительно неподвижных по отношению к звездам координат %/ с почти той же координатной скоростью dx/dt = —13, что и ОПН и само абсолютное пространство. Чем ближе частица к горизонту, тем меньше значение функции длительности а и тем сильнее движение частицы следует за общим движением ОПН и абсолютного пространства.
В такой привязке движения частицы проявляется увлечение абсолютного пространства ГМ-потенциалом дыры. Сказанное означает, что при стремлении к горизонту все частицы должны двигаться с точки зрения далекого наблюдателя с угловой скоростью
①=—俨工^ Q// = а/2М「н (3.42)
[ср. с формулой (3.66)]. Исходя из универсальности этой угловой скорости, мы определяем С” как угловую скорость самого горизонта. Другими словами, мы считаем дыру вращающейся как твердое тело (поскольку С” не зависит от 0) с угловой скоростью С”.
Допустимые отклонения от этого вынужденного вращения сводятся к чрезвычайно медленным в пересчете на единицу мирового времени движениям [ср. с формулой (3.41)]. Например, любое падение по радиальному направлению и на невра- щающуюся и на вращающуюся черную дыру происходит в пересчете на единицу мирового времени так медленно, что частица не может достичь истинного горизонта за какой-либо конечный интервал мирового времени Л Как и в случае невра- щающейся дыры, в рассматриваемом случае это обстоятельство приводит к появлению в непосредственной близости от истинного горизонта граничного слоя со сложной структурой полей и частиц, которую мы 《спрячем》под растянутый горизонт (см. ниже разд. В.1). Новая ключевая особенность граничного слоя, которая появляется в случае вращающейся дыры, состоит в его вынужденном вращении вместе с горизонтом, d^ldt = С”.
Б. 3 + 1-расщепление законов физикивне вращающейся черной дыры
В дальнейших исследованиях взаимодействия вращающейся черной дыры со своим окружением необходимо как математически, так и качественно сформулировать законы физики на языке 3+ 1-расщепления в абсолютном пространстве дыры. Данный раздел и будет посвящен разъяснению этих законов.
Мы уже имели дело с силой Лоренца, действующей на заряженную частицу [формула (3.16)], и уже использовали ее для определения электрического и магнитного полей, Е % В. Поэтому в данном разделе мы сосредоточим внимание на других аспектах электродинамики: на плотностях электрического заряда и тока, р? и j, и на законах их сохранения (подразд. 1), а также на уравнениях Максвелла (подразд. 2). Затем в под-
разд. 3 мы обратимся к локальным законам сохранения энергии и равновесия сил, из которых затем уже выводятся законы гидродинамики и магнитогидродинамики. И наконец, в подразд. 4 мы займемся изучением глобальных законов сохранения энергии и импульса. Представление физических законов в 3 + 1-трактовке можно получить, исходя из 4-мерной пространственно-временной формы этих законов; подробности см. в работе [206].
Электрический заряд и токи законы их сохранения
Опорный наблюдатель (ОПН) определяет плотность электрического заряда ре и плотность электрического тока / в своей окрестности с помощью тех же измерительных процедур, что и на Земле. [Математически это соответствует следующим соотношениям: ре= —J^U^ и /v s /и(6\ + UVU^, где /"—4-вектор заряда-тока, а <7и — 4-скорость ОПН.]
Согласно глобальному закону сохранения заряда, скорость увеличения полного заряда в 3-объеме 夕,очевидно, равна темпу, с которым заряд течет внутрь через 2-мерную границу дТ объема 歹.Когда этот закон формулируют в плоском пространстве, то обычно границу объема 歹 считают статической (неподвижной). Однако в данном случае из-за вращения дыры мы сталкиваемся с двумя разными понятиями «статичности»: координатная статичность (неподвижность по отношению к нашим жестким, «привязанным к звездам» координатам и, следовательно, по отношению к «далеким звездам》)и физическая статичность (неподвижность по отношению к ОПН и, следовательно, по отношению к абсолютному пространству). Иногда, когда речь идет о законе сохранения заряда, у нас может возникнуть желание воспользоваться координатно-статическим объемом, а в других случаях (особенно, когда объем 歹 мал) мы можем предпочесть физически-статический объем. Предусматривая обе эти возможности, будем считать, что граница "может произвольным образом двигаться в абсолютном пространстве (рис. 22,а). Поскольку ре и / определяются физически (с помощью измерений, выполняемых ОПН), то движение dF мы также будем описывать на физическом языке:
V = (скорость 。犷,измеряемая локально ОПН). (3.43а) Отметим, что, поскольку граница дТ не является физическим объектом, она вполне может по измерениям ОПН двигаться быстрее скорости света, т. е. |v | может превышать единицу.
Рис. 22. Области интегрирования, использованные при формулировке закона сохранения заряда (3.44) и в интегральном представлении уравнений Максвелла (3.48), (3.49), (3.51). а — 3-мерная область F вместе с границей а歹(/), которая движется в абсолютном пространстве со скоростью ”, измеряемой ОПН; показан также 2-мерный элемент интегрирования dA. б — 2-мерная поверхность 必(/) с границей а^(/), которая тоже движется со скоростью V, измеряемой ОПН; показаны поверхностный элемент интегрирования dA и линейный dl.Рис. 22. Области интегрирования, использованные при формулировке закона сохранения заряда (3.44) и в интегральном представлении уравнений Максвелла (3.48), (3.49), (3.51). а — 3-мерная область F вместе с границей а歹(/), которая движется в абсолютном пространстве со скоростью ”, измеряемой ОПН; показан также 2-мерный элемент интегрирования dA. б — 2-мерная поверхность 必(/) с границей а^(/), которая тоже движется со скоростью V, измеряемой ОПН; показаны поверхностный элемент интегрирования dA и линейный dl.66
Рис. 22. Области интегрирования, использованные при формулировке закона сохранения заряда (3.44) и в интегральном представлении уравнений Максвелла (3.48), (3.49), (3.51). а — 3-мерная область F вместе с границей а歹(/), которая движется в абсолютном пространстве со скоростью ”, измеряемой ОПН; показан также 2-мерный элемент интегрирования dA. б — 2-мерная поверхность 必(/) с границей а^(/), которая тоже движется со скоростью V, измеряемой ОПН; показаны поверхностный элемент интегрирования dA и линейный dl.
Рис. 22. Области интегрирования, использованные при формулировке закона сохранения заряда (3.44) и в интегральном представлении уравнений Максвелла (3.48), (3.49), (3.51). а — 3-мерная область F вместе с границей а歹(/), которая движется в абсолютном пространстве со скоростью ”, измеряемой ОПН; показан также 2-мерный элемент интегрирования dA. б — 2-мерная поверхность 必(/) с границей а^(/), которая тоже движется со скоростью V, измеряемой ОПН; показаны поверхностный элемент интегрирования dA и линейный dl.
6
6
Так оно и должно быть вблизи горизонта, если граница дТ является координатно-статической. В общем случае связь между физической скоростью v и координатной скоростью выражается соотношением
号^ = (координатная скорость дТ) = av^ — р^ (3.436)
[ср. с формулой (3.12)].
Скорость, с которой заряд, двигаясь внутрь, пересекает элемент площади d4 движущейся границы, согласно измерению >->->
ОПН, равна dg/dt =(——j + р?») • d/. Здесь первый член есть скорость, с которой ток (согласно измерению ОПН) натекает на границу, а второй член ——это скорость, с которой граница (согласно измерению ОПН) надвигается на заряд. Чтобы получить глобальный закон сохранения, мы должны пересчитать измерения скоростей в / и v, проводимые ОПН, на единицу мирового времени (умножить на a = dx/dt). Таким образом, глобальный закон сохранения заряда запишется в следующем виде:
备 \ Ре〃= § a(-T+ ^)-dA(3.44)
(ср. с рис. 22, а). [Элементы объема и площади, dV и dA, в этих интегралах определяются с точки зрения физики обычным
образом в терминах измеряемых ОПН величин, а математически они определяются следующим образом:
dV = (det || gjk II)"? d/dx2d= (шр/А1/2) dr d0
в координатах Бойера — Линдквиста, (3.45а) dAj = e 同凜某 dbdc,(3.456)
где b и с — произвольные координаты на 5Z, а 场図一тензор Леви-Чивита в искривленном 3-пространстве, формула (3.10).] В случае невращающейся дыры и статического объема интегрирования (V = 0) закон сохранения заряда (3.44), как это и должно быть, сводится к (2.11д).
Локальный закон сохранения заряда, эквивалентный глобальному закону (3.44), имеет вид
а -^~ =(早一Р • V)Ре = —V • (а/).(3.46)
V • В = 0, V • £ = 4npeV • В = 0, V • £ = 4npe(3.47)(3.47)Левая часть этого соотношения есть скорость изменения плотности заряда, измеряемая ОПН, но пересчитанная на единицу мирового времени; правая же часть есть дивергенция пересчитанной на мировое время плотности тока. В случае невращаю- щейся дыры (р = 0) это соотношение принимает обычный вид (2.10д). Отметим, что здесь, как и во всех 3 + 1-законах сохранения (которые будут рассматриваться ниже), поток сохраняющейся величины измеряется в пересчете на единицу мирового времени [а/= (заряд, пересекающий единицу площади за единицу мирового времени)].
V • В = 0, V • £ = 4npe
V • В = 0, V • £ = 4npe
(3.47)
(3.47)
[(ср. с формулами (2.10а, 6) и с разд. II. Б.2.а]. Переписанные в интегральной форме, эти уравнения выглядят так
^B-dA = 0f ^Е-dA = 4л \ ре dV (3.48)
[ср. с формулами (2.11а, 6)], где 歹——произвольная 3-мерная область абсолютного пространства вне дыры, а дТ — граница этой области. (Поскольку в эти уравнения Максвелла не входят производные по времени, они являются мгновенными уравнениями, и движение границы dZ отношения к делу не имеет). Иначе говоря, согласно этим интегральным законам, любая силовая линия магнитного поля, входящая в область 歹,должна выйти из нее, а полный поток силовых линий электрического поля, выходящий из 歹，равен произведению 4л на полный электрический заряд, находящийся в
Другую пару уравнений Максвелла для лучшего понимания удобнее представить в интегральном виде. Закон Фарадея в искривленном пространстве, так же как и в плоском, связывает скорость изменения магнитного потока через 2-мерную поверхность 3 ⑴ с ЭД С вдоль замкнутой кривой 。必，являющейся границей поверхности 必 (рис. 22, б):
勺 a(E + vXB)・dl=— 方 \ В • dA, (3.49) 04(f) л V)
[ср. с формулами (2.11b)] . Здесь, как и в случае глобального закона сохранения заряда [формула (3.44)], допускается произвольное движение области интегрирования 解 и ее границы ds/ относительно абсолютного пространства с течением времени Z; обозначим через v скорость поверхности 垓 и ее границы, физически измеряемую ОПН [формула (3.43а)]. Слагае- 匸
мое Ф а»ХВ • dl учитывает изменение магнитного потока, соз- дЛ
даваемое движением ограничивающей кривой относительно
ОПН, слагаемое § аЕ • dl представляет ЭДС, которая генери' дЛ
руется той частью изменения потока, которая не связана с движением ограничивающей кривой. Отметим, что это та же самая ЭДС, которая фигурировала при нашем обсуждении черной дыры как резистора в электрической цепи [см. формулу (2.82) и рис. 15]. Линейный дифференциал dl под знаком интеграла в ЭД С определяется физически, как обычно, в терминах измерений ОПН, а математически выражается соотношением
(3.50)(3.50)dl1 = (0% 個)db,
(3.50)
(3.50)
где b — произвольный параметр вдоль замкнутой кривой 。解.
Закон Ампера получается из закона Фарадея (3.49) обычным образом, т. е. путем использования дуальной симметрии
токатока(Е f В, В ——Е) в сочетании с введением физического в качестве источника для интеграла по контуру от В:
тока
тока
勺 а(В-»ХЕ)•成=亲 \ E-dA + 4n \ a(j-pc)・d4
дЛ(ОЛ (/)必⑴
(3.51)
[Ср. с формулой (2.11г).] Интеграл по контуру от —avX учитывает изменение потока электрического поля, вызванное движением ограничивающей кривой Н垓.Поверхностный интеграл от —《парс учитывает [через закон Гаусса (3.48)] изменение потока электрического поля, вызванное движением поверх- ности 垓.После того как эти поправки внесены в (d/df) \Е • dA, закон Ампера принимает знакомый вид: интеграл по контуру от аВ (В измеряется ОПН в пересчете на единицу мирового времени) вдоль замкнутой кривой 。汲 равен произведению 4л на полный ток \ а/ • dA, пересекающий 垓，плюс полный ток смещения (d/df) \ Е • dA.
Закон Фарадея (3.49) и закон Ампера (3.51), если привести их к локальному виду, запишутся соответственно так:
(3.52)(3.53)(3.52)(3.53)(演__友
(3.52)
(3.53)
(3.52)
(3.53)
V X (a启)=(鳥一2声)E + ^aj
[ср. с формулами (2.10в, г)]. Здесь через Z> обозначена 《про- изводная Ли》вдоль р = — (с?х/Л)опн：
->
2百七= (^^)Е-{Е -\^ = ^-\Е-аЕ • Н, (3.54)
где Ни = a~JP/1 / ——гравитомагнитное тензорное поле, определяемое формулой (3.196). (Обсуждение геометрического и физического смысла производных Ли см., например, в [179].) В такой дифференциальной формулировке законов Фарадея и Ампера подчеркивается взаимодействие между электромагнитным полем (Е, В) и гравитомагнетизмом (вращение дыры, Р, Н)——взаимодействие, которое скрыто в интегральной формулировке (3.49), (3.51) этих законов, но проявится ниже, когда мы перепишем интегральные соотношения в несколько
12 к. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ ином виде [формулы (3.103), (3.104)] и окончательно станет ясным, когда мы займемся изучением конкретных применений интегральных законов (разд. Г).
Локальные законы сохранения энергии и баланс сил
В локальной системе отсчета ОПН, как и на Земле, можно измерять полную плотность массы-энергии 8, полный поток массы-энергии (или, что то же самое, плотность импульса) S и тензор натяжений (или, что то же самое, поток импульса) Т (обозначаемый через W в работе [206]). Эти величины представляют собой те три части, на которые распадается 4-мерный тензор энергии-импульса 7卩”，если произвести 3 4-1- расщепление. В е, S и Т входят все негравитационные формы энергии, импульса и натяжения. Например, хорошо известны выражения, описывающие вклад электромагнитного поля:
€ =急(声+择)，声X以
7信=去[一(七咼+当&)+ % (严+严)g加，(3.55)
где б — обычная плотность энергии электромагнитного поля, S— обычный поток Пойнтинга, а Тпредставляет обычное натяжение вдоль силовых линий и давление, направленное перпендикулярно силовым линиям (разд. II. В.2.а). Другой пример——вклад идеальной жидкости, которая движется со скоростью и относительно ОПН и обладает плотностью и давлением (по измерениям в системе отсчета, сопутствующей жидкости) соответственно рт и р, дается хорошо известными из специальной теории относительности выражениями:
= (Pm + 證)Y2, S = (Ре +' р) Y2v,
Tjk = (pm + Р)丫2%“月 + pgjh，Y 三(1 —瑟)7/2.(3.56)
Локальный закон сохранения энергии, выраженный на языке 3 + 1-расщепления, имеет вид
缁一3力=-营应(曲一(3・57)
[формула (3.12) из работы [206]; см. также приводимые там ссылки). Здесь о注一темп сдвиговых деформаций ОПН относительно друг друга, вызванных тем, что увеличение инерциаль-
Рис. 23. В координатах, жестко связанных с ОПН в точке О, показана переменная во времени деформация ящика, стенки которого покоятся в абсолютном пространстве. Вращение ящика вокруг дыры не показано. Дифференциальное движение (сдвиговая деформация) абсолютного пространства деформирует ящик по сравнению с его начальной формой (сплошная линия), делая форму ящика вытянутой (штриховая линия). Увлечение инерциальных систем отсчета дырой заставляет гироскоп в точке д поворачиваться от своего начального положения (сплошная стрелка) до нового положения (штриховая стрелка).
ных систем отсчета тем сильнее [со = (^^>/Л)опн тем больше], чем ближе ОПН к дыре:
° 汴=-£ 偉川左 + 6 W)= - %(%，+ "加 (3.58)
[формулы (5.5), (5.6g, d) из работы [206] ]. Заметим, что благодаря осевой симметрии |V । / = 0, поэтому след тензора s% равен 0. Природа рассматриваемого сдвига иллюстрируется рис. 23 и связанными с ним рассуждениями.
Закон сохранения энергии (3.57) математически эквивалентен 4-мерному пространственно-временному уравнению。卩”％ = =0, где U^ — 4-скорость ОПН, a T^v — тонзор энергии-импульса; ниже в этом подразделе будет дан физический вывод (3.57) из приведенного уравнения.
Левая часть (3.57) представляет собой производную по собственному времени d/dx от плотности энергии 8, измеряемой ОПН [ср. с формулой (3.46) ]. Член —a-2V • (a2S) — хорошо знакомая нам дивергенция от потока энергии; в нем один множитель а под знаком дивергенции учитывает гравитационное красное смещение энергии, а другой множитель а выполняет роль переводного коэффициента в определении потока 《за единицу собственного времени». Член s%T汴 вносит поправку, учитывающую относительное движение о注 соседних ОПН. Подробности см. ниже, где приводится вывод формулы (3.57).
Выражая сдвиг и градиент функции длительности через гра- >>» ^^
витационные поля, создающие силы, a-!Va= —g^ a-1vp = Н, можно переписать закон сохранения энергии (3.57) иначе:
> = 4-(l-?-V)6 = -v4+2i.S + ^：r (3.579
Член 2g • S можно рассматривать как скорость, с которой гравитация совершает работу над единичным объемом вещества, о >・
увеличивая тем самым его энергию, а член Н : Т 三 Н^Т” мож、 но рассматривать как скорость, с которой гравитомагнитное поле (вращение дыры) совершает работу над единичным объемом вещества. Ниже в этом подразделе мы убедимся в справедливости выражений для этих членов.
Локальный закон сохранения импульса (баланс сил) на 3 + 1-языке принимает вид
石三不(导―6・V)S=—%"Х6 —o・S + eg —；V・(aT) (3.59)
[см. формулу (3.13) из работы [206], а также приводимые там ссылки). Этот закон сохранения математически эквивалентен 4-мерному пространственно-временному уравнению 隔卩 + 十//^//^) Т「^ = 0, и ниже в этом подразделе мы приведем физический вывод уравнения (3.59).
Член —1/2//XS в (3.59) уже знаком нам по закону прецессии гироскопов (3.21). Его наличие указывает на то, что плотность импульса S при отсутствии прочих вынуждающих сил будет прецессировать относительно абсолютного пространства точно так же, как собственный момент гироскопа s. В члене eg мы узнаем гравитационную силу приходящуюся на единичный объем. Член a~{V- (аТ) — это знакомая нам дивергенция от потока импульса (т. е. напряжение); при этом один множитель а под знаком дивергенции является переводным коэффициентом в определении потока《за единицу собственного времени» к потоку《за единицу мирового времени》до дифференци-
<■-> ->_ ~> <■->
рования. Член —a-S — это дополнительная поправка к。一1厂• (аТ) за счет сдвигового движения ОПН. Подробнее см. вывод, приводимый ниже.
Закон сохранения импульса (3.59) можно переписать в более простом виде, если выразить а и Я через тензор ГМ-поля Н [формулы (3.58) и (3.22)] и произвести соответствующие раз、 ложения и сокращения. В результате получаем
-> о <--><--> ->-» о
=g • (eg + т)十"・ s — V ・ Т, (3.59х)
где через g обозначена 3-метрика абсолютного пространства. Отметим, что соотношение (3.59х) очень похоже на уравнение движения (3.20) пробной частицы. Оба уравнения содержат одну и ту же «гравитационную силу» (g-член) и одну и ту же «гравитомагнитную силу» (Я-член). [Напоминаем, что eg + Т представляет собой инертную массу, приходящуюся на единичный объем (см. упражнение 5.4 из книги [129]), a S — импульс, приходящийся на единичный объем.]
Если выбрать конкретный вид плотности энергии €, потока энергии S и тензора натяжений Т, измеряемых ОПН, то из локальных законов баланса сил (3.59) и сохранения энергии (3.57) можно вывести целый ряд фундаментальных физических уравнений. Например, выбрав одну только идеальную жидкость [формула (3.56)], приходим к уравнениям адиабатической гидродинамики, а выбрав идеальную жидкость [формула (3.56)] плюс электромагнитное поле [формула (3.55)] и потребовав при этом, чтобы в сопутствующей системе отсчета жидкости >>>
электрического поля не было [£ + v X ^ = 0], приходим к релятивистским уравнениям магнитогидродинамики идеальной жидкости [235а, 186, 153].
Мы завершаем этот подраздел физическим выводом законов сохранения энергии и импульса (3.57) и (3.59). Позволяя существенно продвинуться в понимании законов сохранения, вывод этих законов оказывается сам по себе достаточно сложным, поэтому многим, возможно, захочется пропустить его при первом чтении этой книги.
Для вывода локальных законов сохранения энергии и импульса можно воспользоваться мысленным экспериментом (рис. 23). Представим, что ОПН, расположенный в точке (7, сооружает очень маленький ящик с проницаемыми и деформируемыми стенками. (Малость ящика позволяет пренебречь муль- типольными взаимодействиями с внешней кривизной.) Пусть ОПН, расположенный в О, просит соседних ОПН держать стенки ящика, по мере того как они движутся по орбите вокруг дыры. Таким образом, каждый кусочек стенки покоится по отношению к абсолютному пространству и по отношению к ОПН, расположенному там же, где и рассматриваемый кусочек («сопутствующие стенки》). Однако из-за того, что увлечение инерциальных систем отсчета тем сильнее (со тем больше), чем ближе к дыре находится ОПН, стенки ящика движутся относительно О. Верхняя стенка движется вокруг дыры медленнее, чем (7, и потому отстает от 0, а нижняя стенка движется вокруг дыры быстрее и потому обгоняет G (рис. 23). Ясно, что
такое дифференциальное движение не приводит к изменению объема, т. е. объемное «расширение» ящика 0 = (l/V) (dV/d%) (и самого абсолютного пространства) равно нулю. На первый взгляд кажется, что ящик испытывает некоторое вращение против часовой стрелки. Однако вращение это происходит относительно радиального направления, а не относительно локальных гироскопов. Гироскоп в положении О вращается так, как показано стрелками на рис. 23, т. е. совершает такое же вращение, что и ящик; поэтому относительно локальных гироскопов никакого вращения нет. Другими словами, локальное вращение з абсолютного пространства равно нулю. А вот скорость сдвиговой деформации ящика ①出 т. е. сдвиговой деформации абсолютного пространства, напротив, не равна нулю и дается уравнением (3.58). (Обоснование этих утверждений см., например, в § 5.1 (работы [206].) При выводе законов сохранения мы будем вычислять изменения по отношению к жесткой системе отсчета («инерциальная система ориентации»), которая реализуется на гироскопах, переносимых ОПН в Ь. В этой системе отсчета, если начало локальных декартовых координат Е『находится в С、физическая скорость Sv7 точки ^, расположенной на стенке ящика, определяется соотношением
W = Oo"『・(3.60)
Здесь о。'右——величина сдвиговой деформации ОПН в С.
Рассмотрим теперь закон сохранения энергии. С течением времени ящик деформируется, наблюдатель в С тщательно следит за полной энергией в ящике, т. е. за энергией, измеряемой самим наблюдателем с помощью его собственных физических линеек, часов и масштабов. В произвольный момент времени энергия в ящике равна
£= J (а/а0) е dV,(3.61а)
где а ——функция длительности в точке, в которой берется подынтегральное выражение, а «о——функция длительности в точке (7. Отношение а/а° представляет собой фактор гравитационного красного смещения для энергии: локально измеряемая энергия вблизи верха ящика, где а больше,《более весома》 для наблюдателя (7, чем энергия в том месте, где он находится, поскольку гравитация будет совершать работу, увеличивая энергию, если она будет отправлена вниз к G для подсчета. Скорость, с которой происходит изменение энергии (3.61а), измеряемая наблюдателем в С?, равна
黑=!^±(?)〃=!(誥у＞叱(3.61 б)
где а/ао можно вынести за знак производной d/d%, поскольку а не зависит от времени т там, где расположен ОПН. Наблюдатель в О следит также тщательно за скоростью, с которой энергия переносится через стенки ящика посредством потока энергии S:
переноспереноспотокомпотоком广虱詐瑯(3.61в)广虱詐瑯(3.61в)
перенос
перенос
потоком
потоком
广虱詐瑯
(3.61в)
广虱詐瑯
(3.61в)
В этом уравнении поток S (энергия за единицу времени и на единицу площади) «подправляется» двумя факторами красного смещения (а/ссо)2: один из них ответствен за пересчет энергии в различных точках к энергии в О [тот же самый фактор, что и в (3.61а)]„ а другой множитель нужен, чтобы от времени ОПН т вне С перейти к времени ОПН т0 в О. Кроме того, в формуле (3.61в) с помощью теоремы Гаусса поверхностный интеграл был сведен к объемному интегралу. И наконец, наблюдатель в (7 по мере движения стенок относительно О тщательно следит за работой, совершаемой веществом вне стенок ящика над веществом внутри стенок (работа равна «сила X скорость X X время», причем сила обусловлена натяжением Т」％):
(———1\ dt()/ работа, совершаемая стенками(———1\ dt()/ работа, совершаемая стенками
(———1
\ dt()/ работа, совершаемая стенками
(———1
\ dt()/ работа, совершаемая стенками
-§ (穹&"%%= \ (穹&(3.61г)
г
Здесь один множитель сс/сс0 представляет собой обычное красное смещение энергии, второй переводит сдвиговые деформации о订， измеряемые с помощью часов, расположенных на стенке, в сдвиговые деформации, измеряемые ОПН в О, т. е. (а/а0) ^i^ — =Oo〃m = 6%— скорость стенки, измеряемая ОПН в б [формула (3.60)]; TikdAk есть сила, действующая на движущуюся стенку; последнее равенство получается в результате применения теоремы Гаусса с учетом малости ящика, т. е. считая 自『малыми. Из локального закона сохранения энергии следует, что сумма правых частей уравнений (3.61 б, в, г) равна нулю, т. е.
5Ш2{詳 + 土守• (衣)+ ^}^ = 0, (з.61д)
Это в свою очередь означает, поскольку ящик сколь угодно мал, что подынтегральное выражение обращается в нуль. Приравнивая подынтегральное выражение нулю, получаем локальный закон сохранения энергии (3.57).
Аналогичным образом можно вывести локальный закон сохранения импульса (баланс сил). Пусть опорный наблюдатель в центре О ящика, изображенного на рис. 23, тщательно еле- дит за изменениями полного импульса ящика Р, измеряемого в собственной инерциальной и ориентированной системе отсчета. Производная по собственному времени DXoP от Р в этой системе отсчета выражается через V и производную по мировому времени d/dt следующим образом:
厶『三圭(景―6・V)P +(l/2)"XP = \*%SdU =
=\ 品圭缁-声• 6) 3 +(1/2)行 X 同％ (3.62а)
Здесь член (1/2) Я X представляет собой поправку на вращение координат, «привязанных» к звездам, относительно локальных гироскопов [формула (3.21)], а множитель а/а° обеспечивает переход от производной по собственному времени Dx в произвольной точке внутри ящика к производной Dx. по соб、 ственному времени в О. Изменение импульса (当62а) может быть обусловлено двумя типами сил: гравитацией g, действующей на плотность массы-энергии €, и натяжениями, действующими через стенки ящика. Действие гравитации, очевидно, можно представить следующим образом:
(&В「рав = § (。/固)彥 dV.(3.626)
Вычисляя действие натяжений, мы должны быть осторожны и использовать тензор натяжений, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем в С?, а не с движущейся стенкой:
噌=(а/ао) [Т^ + ⑻ 6好 + 5月 63)] = (а/а0) [Г^ + (Sd—SA 吟)У].
[Ср. с формулой (3.69), где мы заменили ст。" на ст厶 допустив ошибку порядка (耳产，т. е. пренебрежимо малую, благодаря малости ящика.] Результирующая сила, действующая на стенку и измеряемая наблюдателем в 0, равна
(&Р)стен = — § Т。/ dAk=- \tq^ 左 dV =
=7 [(訂吗"若 S^M (3.62b)
Здесь мы воспользовались теоремой Гаусса и тем, что 叫=0. Полное изменение импульса (3.62а) должно равняться сумме силы гравитации (3.626) и силы, действующей на стенки (3.62в):
)小三，許5。$叩=\^^-^^S + ^HXS]dV=
(3.62г)(3.62г)=，品/一貝.(5二.山匕
(3.62г)
(3.62г)
Поскольку ящик произвольно мал, подынтегральные выражения в (3.62 г) должны быть равны друг другу сами по себе, и их равенство есть не что иное, как локальный закон сохранения импульса (3.59).
Глобальные законы сохранения энергиии углового момента
3-метрика g〃・， функция смещения |3/ и функция длительности а в случае керровской черной дыры [формула (3.6) ] обладают двумя симметриями: они статичны (не зависят от мирового времени /) и осесимметричны (не зависят от угла поворота ф вокруг оси вращения дыры е^). С этими симметриями связаны два глобальных закона сохранения для вещества и полей, находящихся и движущихся в пространстве вокруг дыры: закон сохранения «энергии на бесконечности» и закон сохранения г- компоненты углового момента.
Под «глобальными законами сохранения» мы понимаем такие законы сохранения, которые могут быть сформулированы для произвольной 3-мерной области 歹 в искривленном пространстве вокруг дыры и которые, подобно глобальному закону сохранения заряда (3.44), гласят, что скорость увеличения некоторой величины внутри 歹 равна скорости, с которой эта величина 《втекает》 через границу области 歹.
(3.63)(3.63)г-компонента углового момента пробной частицы равна скалярному произведению локально измеряемого импульса р и вектора 自= 0/0#, который «генерирует вращения вокруг z-ocn》, или, что то же самое, она равна произведению физически измеряемой компоненты вектора р вдоль ^-направления, = рХ Х(единичный вектор е$ в ^-направлении), и «плеча» длиной со = (длина окружности вокруг дыры) /2л:
(3.63)
(3.63)
4 = P •自=% =行%；
ср. с формулой (3.9а). Исходя из уравнения движения (3.20), можно убедиться, что для незаряженной пробной частицы Lz сохраняется:
dLjdu =旷，dLjdt = 0. (3.64)
Здесь d/dx ——производная по времени, измеряемому ОПН, в системе, сопутствующей частице [формула (3.15)]. Этот закон сохранения является следствием осевой симметрии характеристик гравитационного поля дыры g订,|3/ и а, т. е. следствием их инвариантности относительно движений, генерируемых вектором д/дф = (ср. с § 25.2, 25.3 и 33.5 в книге [129]).
Веществу и негравитационным полям с (локально измеряемой) плотностью энергии & плотностью импульса S и потоком импульса (натяжением) Т соответствуют плотность и поток г-компоненты углового момента
七М3。自=3产 哈， (3.65а)
SL^K т. е. S/7%=G*. (3.656)
Эти величины также подчиняются глобальному и локальному законам сохранения, идентичным законам сохранения электрического заряда [формулы (3.44), (3.46)]:
糸 \ ejdU =勺 а (一 Sl2 + ^l^ • dA, (3.66) 勿⑴ 0优⑴
а • V)% = Г • (aS%). (3.67)
Здесь в отличие от формулы (3.64) под d/dt понимается полная производная по времени, измеряемому ОПН, в системе, сопутствующей ОПН. Локальный закон (3.67) можно вывести из баланса сил [формула (3.59) ]; глобальный закон (3.66) можно вывести из локального закона, если воспользоваться теоремой Гаусса. Эти законы сохранения, так же как и в случае углового момента свободно падающей частицы [формула (3.64)], являются следствием осевой симметрии гравитационных полей дыры.
Займемся теперь глобальным законом сохранения энергии. Очевидно, что «энергия», которая должна сохраняться,——это не та энергия, которая локально измеряется с помощью физических линеек, часов и масштабов ОПН. В этом можно убедиться с помощью мысленного эксперимента, который уже упоминался в связи с формулой (3.61а). Пусть некоторый сгусток энергии
£/ в начальный момент покоится в руках ОПН, который находится на некотором большом радиальном расстоянии, где функция длительности равна а/； £； есть полная масса ——энергия сгустка (включая массу покоя), измеряемая начальным ОПН. Представим, что этот ОПН бросает сгусток, тогда по мере падения сгустка к дыре скорость его возрастает. Другой ОПН в некотором конечном положении, где а = а尸,ловит этот сгусток и, преобразовав его кинетическую энергию падения Ек в тепловую энергию, сообщает ее сгустку. Полная энергия сгустка, измеряемая ОПН при а = а尸,равна теперь EF = Ej -]+ 七尺〉七/； таким образом, «локально измеряемая энергия» оказывается несохраняющейся величиной. Чтобы получить сохраняющуюся энергию, мы, очевидно, должны внести поправку на кинетическую энергию падения, или, в более общем случае, на всю работу, совершаемую, когда сгустки энергии падают или поднимаются в гравитационном поле дыры. Удобно (см., например, § 25.3 книги (129]) вносить поправки таким образом, чтобы под «сохраняющейся энергией» понимать количество локально измеряемой энергии, которой бы обладал сгусток, переместившись без внешней помощи и без потерь из своего фактического положения в точку, удаленную от дыры (на «радиальную бесконечность»), «Подправленная» таким образом энергия называется «энергией-на-бесконечности» и обозначается как Eg； иногда она фигурирует как «энергия, испытавшая гравитационное красное смещение» или просто «энергия с учетом красного смещения».
Энергия-на-бесконечности для незаряженной пробной частицы, движущейся вблизи вращающейся дыры, если выразить ее на языке 4-мерного пространства-времени, равна со знаком минус скалярному произведению 4-импульса частицы 夕卩 и генератора трансляции во времени 0•。力 Eg = —p^(d-dt) р, — —р0, ср. с § 25.2, 25.3 и 33.5 книги [129]. Если перевести это соотношение на язык 3 + 1-расщепления, то можно записать
七^ = а£ — Р • р = а£ + з厶， (3.68)
где Е есть локально измеряемая энергия частицы, Е = т(1 — V2) ; р — ее локально измеряемый импульс, р = mv(l — V2) ; Lz ——г-компонента углового момента, о —
угловая скорость ОПН, расположенного там же, где и частица, —— 6 = з0/0В = з£. в (3.68) первый член а£ уже фигурировал
в случае невращающейся дыры (разд. II. Б.2). Второй член ——В • р = 3七2 учитывает орбитальное движение dx/dt =——6 локальных ОПН относительно статических наблюдателей на бес-
конечности. Можно убедиться, исходя из уравнения движения (3.20), что для незаряженной пробной частицы величина Ето = аЕ — Р • р сохраняется вдоль траектории частицы. Этот закон сохранения вытекает из того факта, что характеристики гравитационного поля дыры g〃・，pz, а не зависят от времени (ср. с § 25.2, 25.3, 33.5 книги Мизнера, Торна и Уилера [129]).
В случае вещества и полей с (локально измеряемой) плотностью энергии с, потоком энергии (плотности импульса) S и потоком импульса (натяжение) Т плотность и поток «энер- гии-на-бесконечности» равны соответственно
е£ = ае — В • S = ае + сое厶；(3.69а)
= aS — В • Т = aS + ①S%, f. е.
5上=aS» + 吗=aS，+ co 吗；(3.696)
причем эти величины подчиняются глобальному и локальному законам сохранения, идентичным законам сохранения г-компо- ненты углового момента и электрического заряда:
* \ 4/}=§ a(-3% + 45) •疚 (3・7。) 方4)0夕(f)
.禁=医一6•可4 = _$•(显 J (3・71)
Локальный закон (3.71) можно вывести из законов локального баланса энергии и баланса сил [формулы (3.57‘) и (3.59)]. Глобальный закон (3.70) получается из локального закона с помощью теоремы Гаусса. Оба закона являются следствием независимости характеристик гравитационного поля дыры от времени.
В случае заряженной частицы, взаимодействующей с гравитационным полем дыры и с окружающими электрическими и магнитными полями, можно (как и в электродинамике в плоском пространстве-времени) следовать одному из двух различных подходов к энергии и угловому моменту, связанным с электромагнитными взаимодействиями частицы с окружающими полями. Согласно первому подходу, который справедлив в самом общем случае и которого мы будем придерживаться, энергия и угловой момент взаимодействия включаются в плотность энергии egg и углового момента eL поля [формулы (3.55), (3.69) и (3.65) с учетом перекрестных членов, в которые входят -А > > >
Е, В частицы и окружающие £, В]. При таком подходе самой частице приписываются те же Е^ и Lz, что и для незаря-
женной частицы [формулы (3.68) и (3.63)]. При втором подходе, который применим лишь в том случае, когда поля Е и В вокруг дыры не зависят от времени и обладают осевой симметрией, энергия и угловой момент электромагнитного взаимодействия включаются в собственную энергию £оо и угловой момент Lz частицы:
Ее — аЕ + со厶一q4,(3.72а)
4=G(% + q%)・(3.726)
Здесь q ——заряд частицы, 4° и Л- — компоненты электромагнитного 4-потенциала вдоль пространственно-временных векторов d/dt ие$. По существу, согласно первому подходу, Eg и Lz рассчитываются по кинематическому 4-импульсу частицы, а согласно второму подходу, они рассчитываются по обобщенному (каноническому) 4-импульсу; ср. с формулами (33.31) книги [129]. Более подробно эти вопросы, включая 3 + 1-расщепление электромагнитного 4-потенциала и его связь с £ и В, изложены в § 5.2 и 3.3 работы [206], а также в § 33.5 книги [129].
В. Растянутый горизонт вращающейся дыры
Растягивание горизонта
В случае вращающейся дыры, как и для невращающейся, мы растянем горизонт так, чтобы отпала необходимость прослеживать слой за слоем прошлую историю, сконцентрированную вблизи истинного горизонта. Вращение не вносит ничего существенно нового в процедуру растягивания горизонта; указания, которым надлежит следовать при выборе величины растяжения, такие же, как и в случае дыры без вращения (см. последние два абзаца разд. П.Г.1).
Желательно (по техническим причинам, обсуждавшимся в [163]) осуществить выбор растянутого горизонта в пространстве-времени Керра таким образом, чтобы он являлся поверхностью постоянной функции длительности а = а〃《1. Это означает, что растянутый горизонт не является поверхностью, на которой постоянна радиальная координата Бойера ——Линдквиста г, поскольку вблизи истинного горизонта (а = 0 и г = г” 曰 М + “乂2——。2)функция длительности связана с радиальной координатой следующим образом:
0P2/ a2 sin2 0 \ / Ггг — М \
а = у А = (1 — -^—)—「★(373)
[формулы (3.5), (3.6)]. Ниже мы всюду будем через гн обозначать истинный горизонт, а функцию длительности будем использовать в качестве 《координаты》 местоположения растянутого горизонта, а = а〃. Вычисляя величины на растянутом горизонте, мы будем всюду пренебрегать поправками порядка 0 (喑).
Форма поверхностная гравитацияи поверхностные ГМ-поля растянутого горизонта
Растянутый горизонт невращающейся черной дыры сфери- чески-симметричен. Этого нельзя сказать в случае вращающейся дыры, поскольку здесь центробежные силы приводят к уплощению дыры к экватору. 2-мерную геометрию горизонта можно выделить из 3-метрики (З.бв) абсолютного пространства, положив г = Гн：
d^ = ^Hd^+^Hd^\(3.74)
где
Р% =「％ + a?cos2 8 = 2MrH — a? sin2 0,(3.75а)
2Мггт sin О
丽=亠 sin 8 =~к.(3.756)
Отметим, что длина окружности вдоль экватора,穹=2冗击，при 0 = л/2 равна 4лЛ1 независимо от углового момента дыры.
Можно наглядно представить себе 2-геометрию (3.74) растянутого горизонта, если выделить ее из искривленного 3-пространства, в котором она расположена, и погрузить в плоское 3-мерное пространство (ср. с обсуждением погружений в разд. II. А). 2-геометрия после такого погружения, впервые исследованная Смарром [187], представлена на рис. 24 для трех горизонтов черных дыр. Все три имеют одну и ту же «неприводимую массу》Alirr (см. разд. II.В.4 и III.В.5). На рис. 24 первая дыра (а) не вращается, поэтому ее полная масса М равна ее неприводимой массе, а ее горизонт сферически-сим- метричен и имеет длину окружности 4nAi = 4冗乂仃「Вторая дыра (б) вращается довольно быстро, у нее а/М = “3/2 = 0,866, и соответственно ее полная масса (неприводимая масса плюс вращательная энергия) Л1=(2/“3)Мкг = 1,15Л1тг и длина окружности на экваторе на 15 % больше, чем у первой дыры. Отметим, что эта вторая дыра сильно сплюснута из-за центробежных сил. Ее полярные области фактически совершенно плоские, их гауссова кривизна равна нулю. В случае более медленного вращения, чем у дыры 6, сплюснутость меньше и гауссова кривизна на полюсах положительна. В случае более быстрого вращения гауссова кривизна на полюсах отрицательна
Рис. 24. Формы горизонтов трех черных дыр с одной и той же неприводимой массой Mirr, изображенные на диаграммах погружения. Каждую из диаграмм следует рассматривать как фигуру вращения вокруг ее вертикальной оси. а ——невращающаяся сферическая дыра; 6 ——дыра вращается достаточно быстро, настолько, что ее полюса стали полностью плоскими под действием центробежных сил; 6 ——дыра вращается настолько быстро, что ее полярные области (показаны штриховой линией) приобрели отрицательную гауссову кривизну и поэтому погружены в пространство Минковского [формула (3.766)] (Рисунок заимствован из работы [187].)
(длины окружностей для полярных областей не меньше, а больше произведений 2л на радиусы), и потому невозможно погрузить горизонт в 3-пространство с евклидовой геометрией. Тем не менее мы все-таки можем наглядно представить себе эту геометрию с помощью «смешанного погружения», показанного на рис. 24,8, на котором изображена 2-геометрия горизонта дыры с максимально возможным для черных дыр вращением, а/М = 1. Вблизи экватора, где горизонт изображен сплошной линией, геометрия пространства, в которое происходит погружение, является евклидовой
ds2 —近2 + dr2 + 产對＞2; (3.76a)
однако вблизи полюсов, где горизонт изображен штриховой линией, геометрия пространства, в которое происходит погружение, является геометрией Минковского
ds2 = — dz2 + d 产 + r2 d*. (3.766)
Знак минус в формуле (3.766) означает, что в областях, изображенных штриховой линией, наклон кривой тем круче, чем меньше физическое расстояние вдоль кривой.
Центробежное сплющивание горизонта черной дыры сопровождается сплющиванием ее гравитационного поля. Одна из количественных характеристик сплюснутости поля — это квадрупольный момент дыры (3.26). Когда сплющивание горизонта в пределе быстрого вращения атМ становится экстремальным и приходится отказаться от евклидовых представлений (необходимость прибегать к «смешанному погружению»), тогда и сплющивание цоля при а-^ М становится экстремальным,
но тоже не в евклидовом смысле: в этом пределе дыра с массой М и длиной окружности на горизонте 2лг^ = 4лЛ1 обладает квадрупольным моментом %% =夕” =—1/2^2 = (1/3) Мгн2. Из всех же ньютоновских тел в евклидовом пространстве с той же массой М и с той же длиной окружности 2冗厂〃 экстремальный квадрупольный момент достигается в случае тонкого кольца; в этом случае ^ху = ^^ = (—1/2) «722 = (1/6) Мгя2, т. е. в 2 раза меньше, чем квадрупольный момент рассмотренной выше дыры. Эта особенность напоминает об экстремальном моменте инерции, которым обладает невращающаяся дыра [см. обсуждение, следующее после формулы (2.61)].
ОПН на растянутом горизонте измеряет неограниченно рас- гущее при 0 гравитационное ускорение g= —Vina, но переопределив g — пересчитав его на единицу мирового времени, он получает конечное ускорение — «поверхностную гравитацию» дыры,
g〃 三 °Н gpacT. гор — g"他 (3.77а)
2М「н2М「н(3.776)
2М「н
2М「н
Здесь п ——направленный наружу единичный вектор, нормальный к растянутому горизонту. Он соответствует единичному радиальному вектору в координатах Бойера — Линдквиста с точностью до малых поправок порядка а“е@, которыми мы пренебрежем [ср. с формулами (3.6), (3.9), (3.18)]:
2Мг н&н d+ a2 cos2 0 dr2Мг н&н d+ a2 cos2 0 dr(3.78)(3.78)
2Мг н&н d+ a2 cos2 0 dr
2Мг н&н d+ a2 cos2 0 dr
(3.78)
(3.78)
Если при ОПН вблизи растянутого горизонта имеется гироскоп, то с точки зрения ОПН он будет прецессировать с неограниченно растущей при а〃一＞ 0 угловой скоростью по отношению к параллельному переносу в абсолютном 3-пространстве [формулы (3.21), (3.23)], т. е. ОПН будет испытывать действие неограниченно растущего при a”f 0 гравитомагнитного поля 方.Однако, если, как и в случае с гравитационным ускорением, ОПН переопределит ", перейдя к единице мирового времени, он получает конечное поле — «гравитомагнитное векторное поле горизонта»
н ^я-^раст. гор=="“儿,(3.79а)
Нн 三一(4aMr“/p$) cos 0.(8.796)
(Здесь, как и в формуле (3.78), мы пренебрегаем поправками порядка а〃е@ в направлении почти радиального поля Нн.) Ана・ логично расходится и гравитомагнитное тензорное поле //〃・，но его переопределение приводит к «величине на горизонте», которая имеет единственную не равную нулю компоненту
"〃3@ = — Нн^ф = (2аМ“/р%) cos 0. (3.80)
Термодинамика растянутого горизонта
Обратимся теперь к термодинамическим характеристикам растянутого горизонта быстро вращающейся дыры, обобщая результаты разделов II. В.З и II. В.4 для случая медленного вращения.
Исследования Хоукинга [96, 97] в области квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени показали, что любая стационарная черная дыра, вращающаяся или не вращающаяся, испускает тепловое излучение так, как если бы горизонт обладал температурой (испытывающей красное смещение), пропорциональной поверхностной гравитации дыры,
隔=蟲8Н (3.81)
[формула (2.51)], а его дальнейшие исследования эволюции горизонта черной дыры [94, 97, 98] показали, что независимо от того, вращается дыра или нет, ее энтропия Sh должна быть пропорциональна площади ее поверхности Ан:
SH = ^AH (3.82)
[формула (2.53)]. Исходя из 2-геометрии (метрики) горизонта [формула (3.74) ], мы легко можем выразить площадь поверхности горизонта через массу М и угловой момент / = аМ:
Ан = 4л (г^ + а2). (3.83)
Как подчеркивалось в разд. II. В.З, интересующие нас черные дыры астрофизических размеров (М ^ Л1о) имеют столь низкие температуры, что не могут быть источниками сколько-нибудь значительного хоукинговского излучения, и поэтому их энтропия не может уменьшаться. Если извлечь из такой дыры с массой Л1 и с угловым моментом / = аМ всю ее вращательную энергию и проделать это наиболее эффективным из всех возможных способов (т. е. поддерживая энтропию постоянной), то в результате получится невращающаяся черная дыра, имеющая такую же площадь поверхности, как и первоначальная
дыра [формула (3.83)], и массу Mnonrot =(Д///16л)1/2. Эта масса, которая остается у дыры, после того как она полностью замедлила свое вращение, причем это замедление было осуществлено наиболее эффективным из всех возможных способов, называется «неприводимой массой» черной дыры [38, 39]:
Afirr = (4〃16冗)1/2 = (1/2) (г% + 炉严・(3.84)
Отметим, что энтропия дыры, площадь поверхности и неприводимая масса совершенно эквивалентны друг другу как функциональные характеристики; зная одну из этих величин, мы можем вычислить две другие.
Все термодинамические свойства системы, находящейся в равновесии, можно вычислить, зная всего лишь одну функцию: полную массу-энергию системы, выраженную через другие «экстенсивные» переменные, характеризующие систему (см., например, гл. 6 и 8 книги [131]). В случае керровской черной дыры в качестве других экстенсивных переменных можно выбрать энтропию дыры и ее угловой момент или ее площадь поверхности и угловой момент. Из соотношений (3.4), (3.7), (3.82) и (3.83) можно вывести следующее фундаментальное уравнение:
" %, /)=(仓 SH + 管击)"2 =(强 + 4期 +)"2 • (3.85)
«Интенсивными» переменными, которые соответствуют энтропии SH и угловому моменту ", являются температура Тн и угловая скорость ◎〃, а площади Ан соответствует поверхностная гравитация g$ деленная на 8л. Следовательно, первый закон термодинамики для керровской черной дыры должен принимать вид
dM = Тн dSH + Qr dJ = (1/8л) gH dAH + Q〃 dJ.(3.86)
Отсюда можно выписать частные производные
『(詢丿吋閉з*(誅L
Qh = (*)沙(3・87)
Можно непосредственно убедиться в том, что, подставив фундаментальное уравнение (3.85) в эти уравнения, получим в результате в точности те же выражения для поверхностной температуры горизонта, поверхностной гравитации и угловой скорости, что и выражения (3.81), (3.776) и (3.42).
Формализм термодинамики черных дыр имеет одно существенное отличие от соответствующего формализма, применяв-
мого в учебниках при описании большинства систем: масса черной дыры не является линейной однородной функцией экстенсивных переменных S〃 и /, а представляет собой однородную функцию и / в степени 1/2 [формула (3.85)]. Одно из следствий такой зависимости заключается в том, что ThSh + QhJ = = (l/&rt)g"A" + ◎”/ равно М/2, а не М (теорема Эйлера, формула Смарра [188]). Другие следствия см. в [208].
Вращательная энергия керровской черной дыры равна разности между ее полной массой-энергией и ее неприводимой массой
М _ М[г=(Н" + 金)"2 -他"・ (3・88)
Только в случае медленно вращающейся дыры можно выразить эту вращательную энергию как половину произведения не зависящего от угловой скорости момента инерции и квадрата угловой скорости дыры [ср. с формулой (2.62)]. В случае быстро вращающейся дыры (так же как и в случае быстро вращающейся звезды) нелинейность, связанная с центробежным сплющиванием, мешает получить подобное соотношение; самое простое, что есть, — это формула (3.88) и эквивалентное ей соотношение, связывающее Mrot с М и а = J/M:
Mm = М- Мн = М — [ 1/2М (М + д/ЛР-а叫 1/2.⑸力“
Когда керровская черная дыра взаимодействует со своим окружением, то масса М играет для горизонта роль «энергии на бесконечности》. Следовательно, глобальный закон сохранения энергии (3.70), примененный к растянутому горизонту, гласит, что (ср. с § 33.7 книги [129])
請=_ § ая3£оо ・ ndA = — § (哈6 + аяЙяГ 寸)• ndA. (3.89)
Здесь было использовано соотношение (3.696), которое в сово- купности с р = — йя^ — — QHd/d^ [формула (3.42)] позволяет выразить подынтегральное выражение через поток энергии S и натяжение Т, измеряемые ОПН. Другими словами, согласно уравнению (3.89), темп увеличения массы дыры за счет вещества и полей, падающих в нее через растянутый горизонт 非:，равен направленному вовнутрь потоку энергии на бесконечности, причем потоку, пересчитанному с помощью функции длительности а” на единицу мирового времени. Аналогично темп увеличения углового момента дыры за счет падения вещества и полей равен (переопределенному) потоку г-компоненты углового момента (глобальный закон сохранения (3.66); см.
§ 33.7§ 33.7книги [129]):
§ 33.7
§ 33.7
景=一① aHSLz • ndA = ~ ^ан^ • T • ndA, (8.90)
Здесь было использовано соотношение (3.656) для того, чтобы выразить подынтегральное выражение через натяжение Т, измеряемое ОПН на растянутом горизонте. Комбинируя эти законы сохранения с первым началом термодинамики, получаем уравнение для темпа увеличения энтропии или площади поверхности черной дыры:
dSrr grr dA„ dMdJ
Th =寸 ~^T = k - Q"石=
=_§a"©e—q就l)，e dA =_ ^ oi^S • n dA. (3.91)
Отметим, что, согласно последнему соотношению, темп диссипации энергии-на-бесконечности (в пересчете на единицу мирового времени) на растянутом горизонте равен скорости, с которой локально измеряемая энергия протекает через растянутый горизонт, исправленной двумя множителями а〃： один необходим, чтобы пересчитать указанную скорость на единицу мирового времени, а второй — чтобы учесть красное смещение локально измеряемой энергии.
Электродинамика растянутого горизонта
Можно считать, что растянутый горизонт вращающейся черной дыры, как и в случае невращающейся дыры, обладает поверхностным зарядом о”，поверхностным током /я и поверхностным сопротивлением Rh・
Определения и свойства о〃，夕〃 и R〃 в случае вращающейся дыры точно такие же, как и в случае невращающейся дыры (разд. II. В.2). Поверхностная плотность заряда о” определяется с помощью теоремы Гаусса; величина плотности заряда должна быть такой, чтобы на этом заряде оканчивались силовые линии электрического поля, пронизывающие растянутый горизонт:
5= (£丿4冗)раст. гор (3.92)
[ср. с формулой (2.41)]. Здесь Еп ——нормальная компонента электрического поля, измеряемая ОПН на растянутом гори， зонте:
£д = Ь-п; (3.93)
[ср. с формулой (3.78)]. Поверхностный ток /я определяется на основе закона Ампера. Плотность тока должна быть такой, чтобы на этом токе оканчивалось (переопределенное) тангенциальное магнитное поле растянутого горизонта:
вh -(a日仇)раст.гор4я/я X(3.94)
[ср. с формулой (2.43)]. Поверхностные заряд и ток входят в тот же самый закон сохранения заряда, что и в случае растянутого горизонта невращающейся дыры:
д(Ун/д1 + ⑵V • /я + (аН/п)раст. гор =。(3.95)
[ср. с формулой (2.46) ]. Поверхностный ток зависит от тангенциальной компоненты (переопределенного) электрического поля горизонта согласно закону Ома:
Е"三 ЗнЕ^раст. гор = R"7H(3・96)
[ср. с формулой (2.44) ]; поверхностное сопротивление R”，как и в случае невращающейся дыры, равно
R〃m4jt = 377 Ом.(3.97)
Так же как в случае невращающейся дыры, закон Ома и закон Ампера эквивалентны «радиационному граничному условию» (тангенциальные электрическое и магнитное поля воспринимаются ОПН как излучение, распространяющееся внутрь растянутого горизонта):
Вн = ЕнХп(3.98)
[ср. с формулой (2.25)].
Вклады электромагнитного поля в скорости изменения массы, углового момента и энтропии в случае вращающейся черной дыры опять-таки такие же, как и в случае невращающейся (или медленно вращающейся) дыры. Общее уравнение (3.91), описывающее рост энтропии дыры в комбинации с формулой (3.55) для потока электромагнитной энергии, измеряемого ОПН на растянутом горизонте, и в комбинации с законами Ампера и Ома, преобразуется в уравнение, которое описывает омическую диссипацию (2.56):
Т” —^~ =勺 R〃％dA= ^ Ен • f HdA =
=急§（一晶Х=急§（一晶Х恥.ndA. (3.99)恥.ndA. (3.99)
=急§（一晶Х
=急§（一晶Х
恥.ndA. (3.99)
恥.ndA. (3.99)
Аналогично общее уравнение (3.90), описывающее рост углового момента черной дыры в комбинации с формулой (3.55) для электромагнитного натяжения Т, измеряемого ОПН, и в комбинации с теоремой Гаусса и законом Ампера для растянутого горизонта преобразуется в уравнение для силы Лоренца на горизонте:
^(онЕн + ^нХВп)^ЫА (3.100)
[ср. с формулами (2.58), (2.59) ]; а общее уравнение (3.86), описывающее рост массы черной дыры, аналогичным образом переходит в следующее уравнение:
=$ [Ен • /я - Ря • ^нЕн + /я X О dA, (3.101) где
&“ = 一 Q” 它=一 QHdld^(3.102)
равно величине р на растянутом горизонте.
Г. Модельные задачи для вращающихся черньвх дьвр
В последних нескольких разделах излагались основополагающие понятия мембранной парадигмы для вращающихся черных дыр и были приведены фундаментальные уравнения этой парадигмы. В данном разделе, воспользовавшись указанными основополагающими понятиями и уравнениями, мы постараемся разобраться во взаимодействии вращения дыры с окружающим ее электромагнитным полем. При этом мы будем исходить из анализа ряда модельных задач. В подразд. 1 мы увидим, что в результате взаимодействия ГМ-поля вращающейся дыры с внешним магнитным полем в вакууме горизонт дыры ведет себя подобно батарее; при этом происходит разделение зарядов на горизонте и возникновение электрического поля вне горизонта. В подразд. 2 будет показано, как вращение дыры с нулевым электрическим зарядом порождает с точки зрения удаленного наблюдателя токовые петли на горизонте, в результате чего возникает дипольное магнитное поле и как это магнитное поле, в свою очередь взаимодействуя с ГМ-полем дыры, создает эффект батареи, заставляющий электрический заряд двигаться к экватору дыры. В подразд. 3 мы
вернемся к задаче, которая рассматривалась в подразд. 1, т. е. к задаче о черной дыре, погруженной во внешнее магнитное поле, и подсоединим дыру ко внешней электрической цепи. «Поверхностная батарея», связанная с дырой, будет заставлять ток течь через внешнюю цепь, и теория этой цепи окажется идентичной элементарной теории цепей постоянного тока с батареей и нагрузкой в плоском пространстве. В подразд. 4 мы увидим, как однородное внешнее магнитное поле, наклоненное по отношению к оси вращения, создает вихревые токи на горизонте и как эти вихревые токи взаимодействуют с магнитным полем, создавая вращательный момент, тормозящий вращение дыры и преобразующий часть ее вращательной энергии в неприводимую массу.
Черная дыра, погруженнаяв статистическое внешнее магнитное поле в вакууме
В качестве первой модельной задачи рассмотрим керровскую черную дыру, погруженную в постоянное во времени магнитное поле, т. е. поле, у которого (ОЗ/df)丿=0, где / — фик* сированные по отношению к звездам координаты (рис. 25). Мы не требуем с самого начала, чтобы поле было симметричным относительно оси вращения дыры, но обязательно ставим условие, чтобы часть силовых линий пронизывала растянутый горизонт.
ЭДС = § аЕ • dl,ЭДС = § аЕ • dl,(3.103)(3.103)Мы можем продвинуться в понимании взаимодействия поля В с вращением дыры, если применим закон индукции Фарадея к специально выбранному для этого замкнутому контуру 穹(рис. 25). Контур начинается в некоторой произвольной точке Q на растянутом горизонте, тянется от растянутого горизонта вверх вдоль магнитной силовой линии к точке вдали от дыры, затем, пересекая поле, попадает на другую силовую линию и спускается вдоль нее к растянутому горизонту в точке 夕,затем идет вдоль растянутого горизонта, возвращаясь в исходную точку Q. Мгновенная《ЗДС》по этому замкнутому контуру,
ЭДС = § аЕ • dl,
ЭДС = § аЕ • dl,
(3.103)
(3.103)
не зависит от того, как контур движется с течением времени. Если считать, что контур покоится в неподвижных по отношению к звездам координатах N, то он имеет скорость v = р/а, измеряемую ОПН, и поскольку магнитное поле не зависит от времени 京)j=0], то магнитный поток, охватываемый кон-
Рис. 25. Вращающаяся черная дыра, погруженная в магнитное поле, не зависящее от времени, (dB/dt) у = 0. Взаимодействие ГМ-потенциала дыры р с магнитным полем В создает ЭДС по замкнутому контуру 份.Можно считать, что эта ЭДС создается магнито-гравитомагнитной «поверхностной батареей» на растянутом горизонте [формула (3.106)].
туром, является постоянным во времени. Следовательно, согласно закону Фарадея [формула (3.49)]:
ЭДС = § - av 义 3 •山=§ — р 义 3 •由， (3.104)
и наоборот, если мы считаем контур жестко связанным с ОПН, т. е. покоящимся в абсолютном пространстве, то ” = 0, но тогда контур испытывает дифференциальное орбитальное движение относительно координат, фиксированных по отношению к звездам, dxj/dt =—伊.Таким образом, через него проходит переменный поток, который создает ЭДС, равную представленной формулой (3.104):
3Дc = _ "^、声• d才=§—京x5.而，(3.105)
Л&
где 必一2-поверхность, ограниченная контуром 份.Та часть 穹, которая параллельна силовым линиям магнитного поля, не вносит никакого вклада в интеграл (PX^・dZ = O), как и та часть, которая расположена вдали от горизонта, (| ₽ | ^ //г2,
поэтому интеграл 〜//г, что пренебрежимо мало при 厂》2〃). Таким образом, вклад в интеграл вносит только горизонт:
ЭДС= J - Ря X Вп • ЙЛ(3.106)
Интеграл здесь берется вдоль растянутого горизонта от точки 夕 до точки Q (ср. с рис. 25).
Возможны три различных способа наглядно представить физическую природу этой ЭДС. Два из этих способов соответствуют изложенным выше точкам зрения, которые лежат в основе вывода формул (3.104) и (3.105): а) контур неподвижен относительно звезд, но движется относительно ОПН и, следовательно, относительно поля В, которое эти ОПН измеряют, и это движение создает ЭДС; б) контур жестко связан с ОПН и в этом случае испытывает дифференциальное орбитальное движение вокруг дыры, охватывая переменный во времени магнитный поток, что и приводит к возникновению ЭДС. При третьем подходе вопрос о конкретном характере движения контура даже не ставится (это движение на самом деле никак не сказывается на ЭДС!), и ЭДС рассматривается как результат взаимодействия между гравитомагнитным потенциалом В и приложенным извне магнитным полем В. Мы предпочитаем именно такой подход и ниже будем ему следовать. Отметим, что такой подход прекрасно согласуется с законом Фарадея в дифференциальной форме [формула (3.52)], и в нем явно прослеживается взаимодействие магнитного и гравитомагнит- ного полей, которое и создает вихрь величины
Придерживаясь этой точки зрения, можно сделать еще один шаг: можно считать, что магнитное и гравитомагнитное поля, вместе взятые, создают «поверхностную батарею» на горизонте дыры—батарею, ЭДС которой между точками 乡 н Q дается формулой (3.106). Однако следует проявлять некоторую осторожность, говоря о поверхностной батарее. ЭДС создается одним только горизонтом лишь в том случае, когда ветви замкнутого контура вблизи горизонта параллельны магнитному полю и уходят на большие расстояния. Для других типов замкнутых контуров формула (3.104) или (3.105) для магнито- гравитомагнитного взаимодействия остается справедливой, но формула (3.106), в которой интеграл берется только по горизонту, уже становится неверной, так как отдельные части замкнутого контура вне горизонта могут вносить ненулевой вклад в ЭДС.
Переходя теперь в явном виде к конкретной конфигурации магнитного поля, рассмотрим однородное внешнее магнитное
В
6
Рис. 26. Вращающаяся черная дыра, погруженная в однородное, не зависящее от времени магнитное поле, направленное параллельно оси вращения дыры. Из закона Ампера, примененного к контуру на рис. а, в комбинации с законами Ампера и Ома для горизонта следует, что на растянутом горизонте не может быть никакого электрического поля. На рис. б схематически изображены распределение зарядов и картина силовых линий поля Е (показанных штриховой линией) [ср. с формулой (3.109)].
поле, направленное параллельно оси вращения дыры (рис. 26). Точное определение «однородного поля》будет дано ниже [формула (3.108)]. А пока поставим условия, чтобы магнитное поле было осесимметричным, не зависело от времени и пронизывало горизонт. Мы хотим выяснить физические следствия действия «батарееподобной» ЭДС на горизонте дыры. Для этого воспользуемся законом Ампера (3.51), применив его к окружности 穹-расположенной на растянутом горизонте и изображенной на рис. 26, а. Учитывая осевую симметрию и приняв, что контур 份/ неподвижен относительно звезд, так что ” = — В/a, получаем
2н&нВн$ = § аВ • dl =
=§ Р ХЕ • d/ -|—^~ \ Е • dA -j- 43T 卜°’ — PeP) • dA. (3.107) @‘лл
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку гравитомагнитный потенциал В параллелен контуру 份'；вто-
рое слагаемое обращается в нуль, потому что любое электрическое поле Е, генерируемое за счет взаимодействия не зависящих от времени полей Вир, должно само быть не зависящим от времени; третье слагаемое обращается в нуль, поскольку в пространстве вне дыры нет ни зарядов р?, ни токов /. Таким образом, интеграл от аВ = Вн вдоль контура 窗 равен нулю. Это означает, что «-компонента («тороидальная компонента») поля Вн равна нулю на растянутом горизонте. Но из равенства нулю тороидальной компоненты Вн^ следует [согласно закону Ампера для растянутого горизонта; формула (3.94)], что 0-компонента («полоидальная компонента») тока на горизонте /я тоже должна быть равна нулю, из чего в свою очередь следует (согласно закону Ома), что полоидальная компонента электрического поля горизонта 七”^^^万七'© должна обращаться в нуль.
Вывод о равенстве нулю полоидального поля Е^ горизонта может показаться неожиданным, если вспомнить о 《батарее- подобной» ЭД С (3.106) на растянутом горизонте. Этой ЭДС должен противодействовать какой-то фактор, чтобы тангенциальное электрическое поле обращалось в нуль. Таким фактором может быть только «разделение зарядов» на растянутом горизонте (рис. 26, б). В момент, когда дыру помещают в магнитное поле, ЭДС, действующая как батарея, заставляет положительный заряд на горизонте двигаться к экватору, а отрицательный—к полюсу. Такое перемещение будет продолжаться до тех пор, пока возникающее в результате распределение заряда не создаст собственное электрическое поле, достаточное чтобы уравновесить ЭДС и чтобы сделать тангенциальные компоненты электрического поля и тока на горизонте равными нулю. Характер этого распределения заряда (рис. 26, б) позволяет предполагать, что угловое распределение электрического поля в абсолютном пространстве вокруг дыры должно быть квадрупольного типа. Именно такое поле будет соответствовать результирующей ЭДС (3.105), (3.106) по замкнутым контурам 從 подобным контуру на рис. 25.
В справедливости этих качественных выводов, полученных из простых физических соображений, можно убедиться, исходя из точного аналитического решения Уолда [215] для керров
магнитное поле поле представ-магнитное поле поле представ-厂》м (3.108)厂》м (3.108)ской черной дыры, погруженной в однородное (ср. с работой [206]). Однородное магнитное ляется следующим аналитическим выражением: 5=1^гИ嗡 4 — “А 第用при
магнитное поле поле представ-
магнитное поле поле представ-
厂》м (3.108)
厂》м (3.108)
а электрическое поле —
{[堂+ 卡⑵一 4a2析)(£)e+
+ А』[曙 + 号2 °(22-4aW)备(击)]幫(3.109)
=丛 隔厶 3寿小 隔 sin 0 - 2M COS20(1 + cos20)] Cf +
.D д/A a3 cos 8 sin 8 (1 + cos2 8) >» 1
+ Bo(「戸 a2 cos5 8)2气，ПРИ a《I'
4 —综啓(3 cos2 8 — 1) & + 综芸(13 cos2 0 + 2 cos2 0 一 3爲 +
9/уЗ>
+ 纥一^^—sin 0cos0(1 + cos20) ^б при r》Af,
где X s (sin2 0/p2) (S2 — 4a2Mr) и p, A, S и a определяются с помощью формул (3.5) и (3.6). Это поле £ показано на рис. 26, 6. Вид силовых линий поля оказывается несколько неожиданным: им свойственна, как и предполагалось, квадрупольная зависимость 3 cos2 0——1, но, вместо того чтобы, выйдя из экваториальной области черной дыры, развернуться и идти обратно к полярной области, следуя радиальной зависимости 1/г4, как положено вести себя полю локализованного квадруполя в плоском пространстве, поля в рассматриваемой задаче направлены почти точно по радиусу и зависят от радиуса как 1/г2. Малая компонента, направленная по углу [порядка 0(1/厂4)], обеспечивает возвращение силовых линий из бесконечности в полярные области, их разворот и выход на бесконечность в области экватора.
Это необычное поведение силовых линий легко объяснимо.
У поля Е, изображенного на рис. 26,6, имеются два источника: один для V • Е и другой для V X (аЕ)・ Источник для А • Е знаком по опыту плоского пространства: это поверхностная плотность заряда горизонта, от которой зависит поведение поля Е на малых радиальных расстояниях. Источник для V X QE) совершенно иной ——это магнитно-гравитомагнитное взаимодействие ①育靑[формулы (3.52), (3.54)]. Этот источник спадает на больших радиальных расстояниях как 1/г3 (магнитное поле В постоянно), гравитомагнитный потенциал р убывает как 1/厂2, и еще один множитель 1/г привносит производная Ли Z (и непосредственно генерирует в области больших 厂 электрическое поле, изображенное на рис. 26,6 и убывающее как 1/г2).
Плотность заряда на растянутом горизонте, соответствующую решению Уолда, можно получить из формулы (3.109) при малых а (от” =七丿4冗=£>/4冗)：
Gh =Gh =综。“ (“ —М)厂万 sin4 0 — 2M cos2 0(1 + cos2 0)综。“ (“ —М)厂万 sin4 0 — 2M cos2 0(1 + cos2 0)4冗4冗(「J + а? cos2 0)2(「J + а? cos2 0)2(3.110)(3.110)
Gh =
Gh =
综。“ (“ —М)厂万 sin4 0 — 2M cos2 0(1 + cos2 0)
综。“ (“ —М)厂万 sin4 0 — 2M cos2 0(1 + cos2 0)
4冗
4冗
(「J + а? cos2 0)2
(「J + а? cos2 0)2
(3.110)
(3.110)
Здесь в явном виде обнаруживается разделение зарядов, показанное на рис. 26, б (с о”〉0 в экваториальных областях и о” V 0 в полярных областях). Интеграл от gh по горизонту равен нулю, так что полный заряд растянутого горизонта равен нулю, как это и должно быть.
Полный магнитный поток через горизонт к северу от экватора можно рассчитать, исходя из формулы (3.108); он оказывается равным Ф = ^пВ^М {ги — Как было отмечено Би- чаком и Двораком [18], по мере убыстрения вращения дыры магнитный поток выталкивается из нее. В случае максимально быстрого вращения дыры (а = М) магнитный поток, пронизывающий горизонт, отсутствует. Мы обсудим это необычайное поведение поля ниже, в конце подразд. 4.
Черная дыра с электрическим зарядом
Рассмотрим теперь черную дыру, которую пронизывает не магнитное, а постоянное во времени электрическое поле (т. е. на рис. 25 силовые линии поля В следует заменить силовыми линиями поля £). Поскольку (до сих пор) мы рассматриваем области пространства, свободные от источников, ре = / = 0, то между электричеством и магнетизмом имеется полная дуальная симметрия: закон Ампера, примененный к замкнутому контуру, изображенному на рис. 25, должен приводить к тому же результату [формулы (3.103)——(3.106)], что и закон Фарадея, но >>，->
при замене В — Е и Е f В. Следовательно, должна возникать не равная нулю «магнитная ЭД С» по замкнутому контуру
0 a£ "= § 声 Х^ •疝(3.111)
В таком виде закон Ампера справедлив не только для специально выбранного контура, изображенного на рис. 25, но и для произвольного замкнутого контура 份，помещенного в не зависящее от времени электрическое поле в вакууме. Если контур имеет специально выбранную форму, как на рис. 25 (при замене В f — Е), или, что то же самое, как на рис. 27, а, то не-
нулевой вклад в интеграл вносит только горизонт, так что
勺僉•病=\ 声X 启•力=4冗 \ nX(—aH^Hydf (3.112)
[ср. с формулой (3.106) ]. Точно так же как ЭДС в формуле (3.106) мы эвристически сводили к «батарее» на растянутом горизонте, мы можем считать, исходя из эвристических соображений, что интеграл от магнитного поля в формуле (3.112) обусловлен «токовыми петлями», которые с точки зрения далекого наблюдателя возникают из-за вращательного движения dxfdt = — ря = QHdld^ заряда на горизонте о”. И точно так же как «батарейный» подход требует осторожности, поскольку применим лишь к контурам специальной формы, как на рис. 25, и неприменим к контурам, которые пересекаются с силовыми линиями поля В, так и подход, апеллирующий к «токовым петлям», требует осторожности, поскольку применим только к контурам той же специально выбранной формы (см., например, рис. 27, а). Альтернативный подход, который верен всегда (и ко-, торому мы предпочитаем следовать), основан на понятии гра- витомагнитной индукции: взаимодействие ГМ-потенциала 0 или поля " = a-1VP с произвольным не зависящим от времени электрическим полем дает в результате интеграл от магнитного поля (3.111) точно так же, как взаимодействие ГМ- поля с магнитным полем порождает ЭДС [формула (3.105)].
Обратимся теперь к определенной специальной конфигура-
примененный к контуру 份 на рис. а, указывает на необходимость дипольного
поля В, изображенного на рис. 6.
зонт: она получается, если поместить на горизонт отличный от нуля электрический заряд (рис. 27, а). Согласно приведенному выше анализу, основанному на законе Ампера, в этом случае должен получаться отличный от нуля 《магнитный» интеграл [формула (3.112)] по замкнутому контуру W. Однако в рассматриваемой конфигурации, свободной от зарядов и не зависящей от времени, не может быть никакого полоидального магнитного поля 3^ = аЗ@ на растянутом горизонте. [В этом можно убедиться, применив закон Фарадея, аналогичный закону, использованному в ситуации, изображенной на рис. 26, а, когда электрическое и магнитное поля были дуально симметричны; см. также рассуждения после формулы (3.107).] Следовательно, «магнитный» интеграл должен быть связан с дипольным магнитным полем, которое выходит перпендикулярно из растянутого горизонта и образует петли, как это показано на рис. 27, б. В соответствии с формулой (3.112) мы можем считать, что это дипольное поле создается токовыми петлями, которые, с точки зрения далекого наблюдателя, порождаются вращательным движением заряда на горизонте.
Дипольное магнитное поле, созданное вращением дыры, взаимодействует с ГМ-полем и влияет на структуру электрического поля. Более конкретно, это взаимодействие создает ЭДС «батарейного» типа на растянутом горизонте [формулы (3.105), (3.106) ], и эта ЭДС вызывает разделение зарядов точно так же, как и в случае однородного поля В, изображенного на рис. 26. Однако в этом случае разделение зарядов не сопровождается появлением отрицательного заряда вблизи полюсов, вместо этого происходит лишь выталкивание некоторой части избыточного положительного заряда от полюсов к экватору, благодаря чему gh на экваторе оказывается больше, чем на полюсах.
Эти полукачественные выводы можно подкрепить точным аналитическим решением для электромагнитного поля заряженной вращающейся дыры. В рассматриваемом случае, когда полная (с учетом красного смещения) энергия, заключенная в электромагнитном поле, пренебрежимо мала по сравнению с массой дыры, т. е. когда Q = (заряд дыры) < М, указанное решение (формула (33.5) книги [129]) имеет следующий вид:
Е = -^ [(г2 + а?)(厂2 — о? cos2 0) С/ ——2a2r «R sin 0 cos 0^] (3.113a) =(Q〃2)氤 при 厂》M;
В = -^" [2г (厂2 + @2)cos еХ + (产—@2 cos2 ① “A sin 0^] (3.1136) =(Q^3) (2 cos 0^. + sin 0еб), при 厂》M.
Отметим, что магнитное поле, создаваемое ГМ-полем, на боль
ших радиальных расстояниях имеет истинно дипольный харак
тер как по угловой, так и по радиальной зависимости в противоположность электрическому полю, создаваемому ГМ-полем
в однородное магнитное поле Здесь индуцирующий источник так быстро ослабевает нав однородное магнитное поле Здесь индуцирующий источник так быстро ослабевает нав случае дыры, погруженной [рис. 26 и формула (3.109)]. (①彥七с Еос Q/产и В ос Ма/产)
в однородное магнитное поле Здесь индуцирующий источник так быстро ослабевает на
в однородное магнитное поле Здесь индуцирующий источник так быстро ослабевает на
больших радиальных расстояниях (ос 1/г5), что не может влиять на индуцированное дипольное (ос 1/г3) поле В, а там индуци- рующий источник (2宫3 с В = const и |3 ос Ма^г^ остается на больших расстояниях настолько сильным, что оказывает определяющее влияние на индуцированное поле Е.
Точное распределение заряда на растянутом горизонте, изображенное на рис. 27,6, можно получить из выражения (3.13а)
для радиального электрического поля при малых а:
(З.НЗв)(З.НЗв)Q (总—а2 cos%)°" 4л (总 + а2 cos2 0)2 °
(З.НЗв)
(З.НЗв)
нимает виднимает видЗдесь в явном виде прослеживается концентрация заряда к экватору дыры; например, в случае дыры с максимально быстрым вращением (а = М) распределение зарядов (3.113в) при
нимает вид
нимает вид
(3.114)(3.114)—Qsid е
(3.114)
(3.114)
°Н — 43TM2(2 — sin2 0)2 '
В этом случае заряд так сильно концентрируется к экватору, что плотность заряда на полюсах доходит до нуля.
Замагниченная вращающаяся черная дыракак батарея для внешней цепи
Вернемся теперь к модельной задаче, обсуждавшейся в подразд. 1 и проиллюстрированной рис. 26, а ——о вращающейся черной дыре, погруженной в однородное внешнее магнитное поле. В подразд. 1 считалось, что дыра окружена вакуумом, токи не могут течь ни к горизонту, ни от него, поэтому ЭД С, играющая роль батареи, приводит к разделению зарядов (рис. 26,6), а не к возникновению токов. Теперь мы подсоединим дыру к внешней цепи, наподобие той, что была исследована в разд. II. Г.4 (рис. 16), но заменим внешнюю батарею в этой цепи на внешнюю нагрузку в виде резистора с полным сопротивлением Rl (рис. 28). Теперь черная дыра играет роль батареи, магнитно-гравитомагнитное взаимодействие создает
Рис. 28. Замагниченная вращающаяся черная дыра, играющая роль батареи для внешней цепи. Показана только полоидальная часть магнитного поля Вр, однако имеется и тороидальная часть, генерируемая током в цепи [см. формулу (4.29)].
ЭДС в цепи, т. е. в замкнутом контуре, который идет от экватора дыры наружу вдоль идеально проводящего диска к какому-нибудь удаленному проводу, затем вдоль провода и через нагрузку в виде сопротивления к верхнему основанию конического проводника, а после этого вниз по коническому проводнику к его кончику (вершине конуса), расположенному при 9 = Но《1 на горизонте, и далее в полоидальном (0) направлении вниз по горизонту к исходной точке на экваторе:
экватор
V = зДс三 § а5 ^М=\ (一嘉义质.行=
вершина конуса
Л/2
=Qh，然GhPhSH.(3.115)
00
Второй интеграл представляет ЭДС 《типа батареи», определяемую формулой (3.106); последний интеграл получается, если выражение для этой ЭДС переписать с учетом того, что 前= =—^нд/дф = — Q//G 吟.
Напряжение на дыре (3.115) вызывает полный ток, текущий в цепи и равный / = ^(заря“)/d£ На горизонте этот ток осуществляется в виде полоидального (0-направление) поверхностного тока
九=読7^・ (3・ii6)
Применяя сначала закон Фарадея, а затем Ома к контуру 穹'， изображенному на рис. 26, а, можно убедиться, что тороидальная 仲)компонента поверхностного тока обращается в нуль. Затем, пользуясь соотношением § аЕ • dl = V, можно рассчитать полный ток в цепи. Та часть интеграла, которая набирается на горизонте, обеспечивает вклад, равный
л/2Л/2л/2~е
%= \(Хн4Рн4/е=，RH^6ря dQ = I \ 欠“~^^ —曰 IRht，000000H
(3.117)
Здесь первое равенство следует из соотношения dl =(Рн^9) ^ ； второе — из закона Ома, третье — из формулы (3.116), а четвертое равенство представляет собой обычное определение полного сопротивления как интеграла вдоль проводника (горизонта) от поверхностного удельного сопротивления R”， деленного на длину поперечного сечения, через которое течет поверхностный ток; ср. с формулами (2.76) и (2.76х). Для простоты будем предполагать, что экваториальный диск и узкий полярный конус являются идеальными проводниками и устроены так, что каждый элемент диска или конуса покоится относительно системы отсчета локального ОПН. Поэтому измеряемое ОПН тангенциальное электрическое поле должно обращаться в нуль
(3.118)(3.118)на диске и на конусе, и они не вносят никакого вклада в ®а£ • dl=V. Провода, идущие от внешнего края диска к верхнему краю конуса, неподвижны в асимптотически плоской области (а 4 1,6 亠0) пространства, поэтому к ним применима обычная теория цепей в плоском пространстве. Их вклад в интеграл ^аЕ • dl равен
(3.118)
(3.118)
У L~ IRl，
где Rl一полное сопротивление нагрузки, вычисляемое обычным образом(R/ = R「+ для параллельной цепи. Складывая вклады горизонта (3.117) и нагрузки (3.118),
(3.119)(3.119)получаем привычный ответ
(3.119)
(3.119)
^НТ + R【,
выражающий ток в цепи через У, т. е. через ЭДС《батареи》 на горизонте, и полные сопротивления горизонта Rht и нагрузки &.
dEr °dEr °Поскольку связь между напряжением и током (3.119) такая же, как и в теории цепей постоянного тока в плоском пространстве, то и баланс энергии для цепи такой же. Темп выделения энергии-на-бесконечности (сохраняющийся вид энергии) на сопротивлении нагрузки равен
dEr °
dEr °
(3.120)
Аналогично темп увеличения площади поверхности дыры AHi энтропии Sh и неприводимой массы М{ХГ = (Ан/1Вл)1/2 вследствие омического нагрева равен
Л/2
黑'% = Тн% = § 鼠 Gн dA= \ EH^H^HpHdQ =
Л/2
=/ \ EH^HdQ = I2RHT.(3.121)
Первое равенство следует из формул (3.81) и (3.82), второе — из формулы (3.99), третье ——из соотношения dA = 2п(ЬнРн(1В, четвертое ——из формулы (3.116) для 夕” и пятое——из формулы (3.117). Мощность омических потерь (3.120) и (3.121) в конечном счете черпается из энергии вращения дыры, поэтому из-за диссипации этой мощности дыра должна замедлять свое вращение:
-q"%= -(务 х 瓦)•备^ =
Л/2Л/2
= ^н \ нбВп°н2п&н0н d® = /Q“ \ В110H®н d® =
Oo6o
= IV = I\RHT + R^(3.122)
Здесь первое равенство описывает силу Лоренца, действующую на горизонт (3.100), второе следует из соотношений д/дф = =юяе- и dA = 2n^H^HdQ, третье вытекает из формулы (3.116) для /я, четвертое ——из формулы (3.115) для напряжения 《батареи》 на горизонте, а пятое ——из соотношения (3.119) для цепи с сосредоточенными элементами.
Можно в деталях проследить за потоком мощности, воспользовавшись глобальным законом сохранения «энергии»,
Рис. 29. Схема черной дыры в цепи, представленных на рис. 28, с изображением границ дТ, используемых при анализе потока мощности в цепи.
сформулировав его с помощью поверхностного интеграла [формула (3.70)]. Рассмотрим область # абсолютного пространства, которая включает в себя все пространство, кроме дыры и слоя между истинным и растянутым горизонтами, а также кроме резисторов нагрузки и бесконечно тонких слоев вокруг них. Граница 0# области F показана штриховыми линиями в сечении, изображенном на рис. 29. Полная энергия-на-беско- нечности,，е£оо dV, заключенная в не зависит от времени, что является следствием независимости от времени полей, зарядов и токов в этой области; независимо от того, считаем ли мы границу дТ неподвижной относительно звезд, или же локально неподвижной (v = p/а или v = 0), осевая симметрия обеспечивает ортогональность скорости границы к ее нормали,
V • dk = 0. Таким образом, на основе глобального закона сохранения (3.70) для энергии-на-бесконечности можно записать
0 = § aS^g • dA = § (a2S —“В • Т ) • dA =
*(eХ3) +亲『[一(e0e+5g3) +
+ 1/2三庐 + 京)]}.d工(3.123)
где второе равенство следует из (3.696), а третье — из (3.55). Граница дТ состоит из двух частей: растянутого горизонта
дыры дТн и поверхности резисторов нагрузки дТь (рис. 29). На растянутом горизонте, где ①二^万，Е •自=0 и 自・d4 = 0, интеграл равен
一 § aS^oo • dA=— § [-^ (Ен ХВну п — -^- wHBH^B^ dA = дгН07PH
сdJdS 口dJ dM
=% + % R = &才 + % R = k(3・ 124)
[ср. с формулой (3.99)]. Здесь n определяется обычным образом, как направленная наружу нормаль к дыре, а не к области У7. Формула (3.124) описывает темп втекания в дыру электромагнитной энергии-на-бесконечности. Конечно, этот темп отрицателен, т. е. на самом деле энергия-на-бесконечности течет от дыры наружу, потому что дыра замедляет вращение (теряет энергию вращения) быстрее, чем происходит омическая диссипация (увеличение неприводимой массы дыры). Этот направленный поток энергии на бесконечности переносится без потерь электромагнитным полем (локально измеряемый поток Se^) от горизонта до резисторов, где и выделяется со скоростью
§ aSEoo-dA= § 負(声X 宓・d4 = /2&. (3.125) dfL d^L
Глобальный закон сохранения энергии (3.123)—это всего лишь констатация равенства мощности перекачки энергии дыры в электромагнитное поле и мощности, выделяемой на нагрузке:
一將=—Qh % — PRht =产&, (3.126)
т. е. мы приходим к равенству, которое мы уже вывели [формула (3.122)], пользуясь понятиями теории цепей.
Было бы неплохо, если бы нам удалось выписать аналитическое решение для электрического и магнитного полей в абсолютном пространстве вокруг этой дыры и цепи. К сожалению, никаких аналитических решений не найдено. С другой стороны, по-существу в нем и нет необходимости, если нас интересует лишь поведение самой цепи. Точно так же как в лабораторной электронике (где, как правило, не рассматриваются поля £ и В в пространстве между элементами цепи), здесь нам вполне достаточно во всех деталях исследовать саму цепь, не вдаваясь в детали поведения полей Е и В.
4. Вихревые токи на растянутом горизонте,обусловленные наклонным внешним магнитным полем
В качестве последней модельной задачи рассмотрим вращающуюся черную дыру, погруженную в асимптотически однородное магнитное поле, наклонное по отношению к оси вращения дыры. Эта задача была исследована Бичаком и Двораком [19], Кингом и Лазотой [111], а также Дамуром [48]. Полные выражения для электромагнитного поля и даже выражения для полей на горизонте слишком сложны, чтобы их здесь выводить, но некоторые результаты, особенно полученные в пределе медленного вращения а <^ М, достаточно просты и полезны в методическом отношении.
В случае, рассмотренном в подразд. 1 (рис. 26), когда магнитное поле направлено вдоль оси вращения дыры, никаких токов или тангенциальных электромагнитных полей на растянутом горизонте не возникало, потому что разделение зарядов на растянутом горизонте компенсировало ЭДС, создаваемую гравитомагнитным полем. Однако почти очевидно, что в случае наклонного магнитного поля никакое стационарное распределение поверхностного заряда не может компенсировать ЭД С и, следовательно, по растянутому горизонту будут течь токи, что будет приводить к нагреву горизонта и порождать замедляющий вращательный момент, действующий на вращающуюся Дыру.
Чтобы представить это наглядно, отбросим компоненту магнитного поля, которая вдали от горизонта параллельна оси вращения, и оставим только ту компоненту, которая параллельна экваториальной плоскости. (Благодаря линейности уравнений Максвелла это можно сделать, не теряя общности.) В пределе
медленного вращения, когда увлечение инерциальных систем отсчета очень мало, а горизонт близок к сферически-симметрич- ному, конфигурация магнитного поля показана на рис. 30. Отметим, что, находясь в точке 0 на обращенной к нам стороне дыры, ОПН, которые движутся направо относительно магнитного поля, фиксированного по отношению к звездам, будут измерять индуцированное электрическое поле Е = — ^^н X В,
направленное вверх, но на обратной стороне дыры соответствующее индуцированное поле будет направлено вниз. Хотя на первый взгляд никакого индуцированного электрического поля, параллельного горизонту, на полюсах дыры нет, тем не менее ясно, что поле £ на обращенной к нам стороне и поле £ на обратной стороне будут создавать токи, текущие до тех
пор, пока не установится разделение зарядов, достаточное
Рис.Рис.одно-одно-родное магнитное поле, перпендикулярное угловому моменту дыры /. Взаимодействие поля В с ГМ-потенциалом горизонта §” = —^нд/дф создаетродное магнитное поле, перпендикулярное угловому моменту дыры /. Взаимодействие поля В с ГМ-потенциалом горизонта §” = —^нд/дф создаетЭДС, равнуюЭДС, равнуюпо замкнутым контурам в плоскости В — /,по замкнутым контурам в плоскости В — /,
Рис.
Рис.
одно-
одно-
родное магнитное поле, перпендикулярное угловому моменту дыры /. Взаимодействие поля В с ГМ-потенциалом горизонта §” = —^нд/дф создает
родное магнитное поле, перпендикулярное угловому моменту дыры /. Взаимодействие поля В с ГМ-потенциалом горизонта §” = —^нд/дф создает
ЭДС, равную
ЭДС, равную
по замкнутым контурам в плоскости В — /,
по замкнутым контурам в плоскости В — /,
приводя тем самым к возникновению поверхностных токов («вихревых то-ков»), текущих по окружностям, указанным на рисунке.
чтобы индуцировать тангенциальные полярные поля Е и токи. Результирующий ток на горизонте будет циркулировать вокруг дыры, как показано на рисунке. Выводы о существовании этого кругового тока можно получить, исходя из закона Фарадея (3.49), согласно которому вдоль круговых контуров, изображенных на рис. 30, должна существовать результирующая
ЭДС = — ^н \ В • dl, а также исходя из закона Ома (3.96), согласно которому вдоль этих контуров должны течь круговые токи.
Эти круговые токи на горизонте черной дыры аналогичны вихревым токам, которые возбуждаются в проводящей металлической сфере, вращающейся в наклонном магнитном поле. По этой причине Дамур [48] назвал их «черно-дырными вихревыми токами》.
Подробная структура картины черно-дырных вихревых токов в случае быстро вращающейся дыры следует из структуры электромагнитного поля, описанной Бичаком и Двораком [19]. Полученные таким образом тангенциальные поля на горизонте
равны
Ен6
4冗
5“3
4л
aMBQ sin у ги cos Ф + a cos2 0 sin e
4冗 д/“2 _|_ 絞 cos2 0
(3.127а)
‘Хе4 冗‘Хе4 冗BqBq4冗4冗аМ综 sin у cos 0 [a cos 3 — % sin 竹аМ综 sin у cos 0 [a cos 3 — % sin 竹ГН2 + а2ГН2 + а24л д/г^2 + б/2 cos2 04л д/г^2 + б/2 cos2 0
‘Хе4 冗
‘Хе4 冗
Bq
Bq
4冗
4冗
аМ综 sin у cos 0 [a cos 3 — % sin 竹
аМ综 sin у cos 0 [a cos 3 — % sin 竹
ГН2 + а2
ГН2 + а2
4л д/г^2 + б/2 cos2 0
4л д/г^2 + б/2 cos2 0
(3.1276)
Здесь 丫 ——угол между осью вращения дыры (осью z) и асимптотическим направлением магнитного поля, а угол 岁 определяется соотношением
3 = 6 +3 = 6 +аа+ arcsin+ arcsin(3.128)(3.128)
3 = 6 +
3 = 6 +
а
а
+ arcsin
+ arcsin
(3.128)
(3.128)
где rfH^ М — ^/М2 — а2, а 屮 выбран так, чтобы асимптотиче- ское поле В лежало в плоскости @ = 0, “ =冗 и было направлено от 屮=0к 力=冗(ср. с рис. 30). Выражения для полей Еп и Вп, нормальных к горизонту, намного сложнее.
Темп, с которым происходит увеличение энтропии дыры за счет взаимодействия с электромагнитным полем, дается соотношением
ds2л л
嘉才=§ 元•鼠d4 = 4冗 \ \ [Z^o + Z^](r/ + ^2)sin0d0^ = 彰sо о
(3.129)(3.129)2 (B^aM sin у)2
(3.129)
(3.129)
Во вращательный момент, действующий на горизонт, входят (крайне сложные) нормальные поля на горизонте, и поэтому вычислить его аналитически очень трудно. Однако, как показал Дамур [48], расчет вращательного момента в первом порядке по а/М дает результат, применимый и при учете всех других порядков по а/М, т. е. полное выражение для вращательного момента совпадает с соответствующим выражением в пределе медленного вращения. В случае медленного вращения (а《М, рис. 30) поля на горизонте можно записать в еле-
дующем виде:
aB sin у八
-16 冗 M cos"
(3.130a)
ЕнЬ —
4冗一
-b宀
一Нф _
4冗
么Нф
e八
Нф _
4冗
4冗
吗sin Y宀
:16 冗 M cosHsmB,
(3.3106)
о” =聚=閣^f [— cosy (1—3 cos2 0) + 3sin у sin 0 cos 0 cos $],
““(3.130b)
Bn — — Bq [cos y cos 0 + sin у sin 0 cos $] + ^^ sin 丫 sin 0 sin $.
(3.130r)
С помощью этих выражений можно вычислить z-компоненту вращательного момента, действующего на горизонт со стороны электромагнитного поля (т. е. компоненту вращательного момента, направленную вдоль оси вращения дыры):
常=* = § М 主 н + 牙 нХЬ・* d4=(3.131)
=勺 K*〃3 + (完 XB^)^HdA=^-^a (练M sin у)2.
Подынтегральное выражение здесь имеет знакомый вид плот- ности силы Лоренца(знЕн + /я X ^ в проекции на генератор вращений вокруг оси 之，自=0/0屮=亩“2^ [формула (3.100)].
Отметим, что выражения для темпа замедления вращения (3.131) и темпа диссипации (3.129) с учетом первого начала термодинамики dM = THdSH + ^н(1/ позволяют сделать вывод о постоянстве массы дыры с течением времени, dM/dt = 0. Таким образом, стационарное наклонное магнитное поле выступает в роли катализатора, который вызывает преобразование энергии вращения черной дыры в неприводимую массу без изменения полной массы дыры. В разд. VII. В мы покажем, что наклонное приливное гравитационное поле, создаваемое стационарными удаленными телами, приводит к тому же самому эффекту.
В случае быстро вращающейся черной дыры центробежное уплощение приводит к нарушению сферической симметрии и не позволяет ‘в сколько-нибудь простом виде выразить х- и ^/-компоненты вращательного момента через интегралы по растянутому горизонту. Легко можно вычислить только dJx/dt и d/y/dt на основе анализа для области вдали от дыры, где абсо-
лютное пространство является асимптотически сферически-сим- метричным, а угловой момент переносится полями. Этот подход будет развит для случая гравитационных вращательных моментов в разд. V. А.4. Здесь мы ограничимся анализом медленно вращающихся черных дыр, для которых абсолютное пространство и горизонт почти сферически-симметричны, что позволяет выразить вращательные моменты dJx/dt и dJy/dt через поверхностные интегралы по горизонту от силы Лоренца в проекции на генераторы и Ly вращений вокруг осей % и у [см. обсуждение после формулы (2.59)].
Исходя из соображений симметрии, можно убедиться, что, поскольку ось у перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектор / и асимптотическое поле 百(плоскость @ = 0), у-ком- понента вращательного момента обращается в нуль. Генератор вращений вокруг оси % имеет вид
. д cos 8 cos 0 d 1 сс、
4 = -sm^^~- SEB 而 (3.132)
и, следовательно, вращательный момент вокруг оси х равен 等=§ [^нЕн + 7н X Bnti] • [- sin 3* 一 ^^^帚]dA =
9
=@ a (&M)2 • sin у cos у(3.133)
в согласии с работами [156, 111, 48]. Три компоненты вращательного момента (3.131), (3.133) и dJy/dt = 0 можно скомбинировать в одно единое векторное соотношение [156]:
М(7ХВ)ХВ, (3.134)
которое, как показали Кинг и Лазота [111], а также Дамур [48], для быстро вращающихся черных дыр остается справедливым, так же как и *в случае медленного вращения.
Уравнение для момента (3.134) имеет простую физическую интерпретацию: компонента углового момента дыры 7ц, направленная вдоль асимптотического поля 占,сохраняется, тогда как компонента /丄,перпендикулярная полю В, испытывает экспоненциальную диссипацию
7И = const, 7± = 71 нач ехр ( — у MB2i^ . (3.134')
Хотя эта диссипация представляет значительный принципиальный интерес, ее астрофизическое значение не велико, поскольку
Рис. 31. а — диаграммы погружения для экваториального сечения абсолютного пространства черной дыры с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1,0 (рисунок заимствован из работы [4]); 6 ——диаграмма погружения для полярного сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии в случае осесимметричного поля В, которое асимптотически однородно и направлено параллельно оси вращения дыры; 6 ——диаграмма погружения для экваториального сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии поля 月,которое асимптотически однородно и направлено параллельно экваториальной плоскости.Рис. 31. а — диаграммы погружения для экваториального сечения абсолютного пространства черной дыры с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1,0 (рисунок заимствован из работы [4]); 6 ——диаграмма погружения для полярного сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии в случае осесимметричного поля В, которое асимптотически однородно и направлено параллельно оси вращения дыры; 6 ——диаграмма погружения для экваториального сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии поля 月,которое асимптотически однородно и направлено параллельно экваториальной плоскости.в Экваториальное сечение и полев Экваториальное сечение и поле
Рис. 31. а — диаграммы погружения для экваториального сечения абсолютного пространства черной дыры с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1,0 (рисунок заимствован из работы [4]); 6 ——диаграмма погружения для полярного сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии в случае осесимметричного поля В, которое асимптотически однородно и направлено параллельно оси вращения дыры; 6 ——диаграмма погружения для экваториального сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии поля 月,которое асимптотически однородно и направлено параллельно экваториальной плоскости.
Рис. 31. а — диаграммы погружения для экваториального сечения абсолютного пространства черной дыры с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1,0 (рисунок заимствован из работы [4]); 6 ——диаграмма погружения для полярного сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии в случае осесимметричного поля В, которое асимптотически однородно и направлено параллельно оси вращения дыры; 6 ——диаграмма погружения для экваториального сечения в случае дыры с максимально быстрым вращением (а/М = 1) и магнитные силовые линии поля 月,которое асимптотически однородно и направлено параллельно экваториальной плоскости.
в Экваториальное сечение и поле
в Экваториальное сечение и поле
время изменения /丄 в е раз крайне велико, /diss = 3/(2МВ2)= = 101° лет [(104 Гс)/В]2(108Л4о/Л4).
Весьма поучительно исследовать поведение полей на растянутом горизонте в предельном случае, когда дыра приведена в максимально быстрое вращение, атМ. Если магнитное поле асимптотически параллельно оси вращения дыры (см. подразд. 1, рис. 26), то поля вблизи горизонта, согласно расчетам Уолда [215], при а-^М стремятся к нулю [ср. с формулами (3.108—3.110) при а = М и гн = М]. Напротив, если магнитное поле асимптотически наклонено к оси вращения (данный раздел), то поля вблизи горизонта, как показали расчеты Бичака и Дворака [19], при а-^М отличны от нуля.
Эти замечательные особенности поведения полей легко понять, воспользовавшись диаграммами погружения, изображенными на рис. 31.
На рис. 31, а показаны самые нижние, расположенные вблизи горизонта части диаграмм погружения для экваториальных плоскостей черных дыр с а/М = 0,9; 0,99; 0,999 и 1. Отметим, что при а/М-> 1 горловина диаграммы погружения растягивается вниз до бесконечной длины. Подобное поведение свойственно и диаграммам погружения для полярных сечений в 3-геометрии абсолютного пространства: керровский метрический
154 к. ТОРН, Р. ПРАЙС, Д. МАКДОНАЛД, ВЭЙ МО СЮЭН, СЯО ХИ ЧЖАНЬ коэффициент grr [формула (З.бв)] в пределе а-^ М пропорционален (г ——г”)-2, и, следовательно, истинное физическое расстояние от произвольного конечного радиуса г>гн до горизонта g[^ dr логарифмически расходится.
Рис. 31, б предста(вляет собой диаграмму погружения в пределе атМ для полярного сечения абсолютного пространства. На этой диаграмме изображены силовые линии магнитного поля, которое осесимметрично и асимптотически параллельно оси вращения (см. подразд. 1, рис. 26). Заметим, что поскольку горизонт расположен бесконечно далеко внизу на этой диаграмме, то конечный магнитный поток должен охватить бесконечную пространственную область вокруг цилиндра на диаграмме погружения, и, следовательно, вблизи горизонта магнитное поле падает до нуля.
Рис. 31,6 ——это аналогичная диаграмма погружения в пределе М для экваториального сечения в абсолютном пространстве. На диаграмме изображены силовые линии магнитного поля, асимптотически параллельного экваториальной плоскости (случай, рассмотренный в этом разделе, с углом наклона 丫 = л/2). В этом случае абсолютное пространство и ОПН движутся все время по кругу вокруг вертикальной оси диаграммы; круговое движение приводит к увлечению магнитных силовых линий и закручиванию их в спиральную структуру вблизи горизонта. Такое увлечение структуры поля аналогично тому, что было изображено на рис. 18, б (поле £, создаваемое заряженной частицей, движущейся параллельно риндлеров- скому горизонту). И в том и в другом случае имеется неоднородная структура поля, привязанная к некоторому объекту (здесь таким объектом является «пространственная бесконечность», а на рис. 18 ——заряженная частица), и абсолютное пространство вблизи горизонта движется относительно объекта, к которому привязано поле.
Можно иначе взглянуть на рис. 31,6 и рис. 18, б, если заметить, что внизу на диаграмме функция длительности а очень мала. Следовательно, объект, к которому привязано поле, движется через абсолютное пространство быстрее, чем скорость света, поэтому поле становится полем излучения (сходящиеся, локально плоские электромагнитные волны, распространяющиеся по направлению к горизонту). Здесь видна полная аналогия поведению наклонного вакуумного дипольного магнитного поля, зафиксированного на вращающейся проводящей сфере (или нейтронной звезде), которое становится полем излучения вне светового цилиндра (расходящиеся волны, распространяющиеся на бесконечность). Как известно, вакуумное дипольное поле вращающейся сферы, если оно осесимметрично, а не наклонно,
не становится полем излучения на световом цилиндре; точно так же и осесимметричное поле, изображенное на рис. 31,6, не будет полем излучения.
По мере радиального распространения наклонного поля, изображенного на рис. 31,6, через абсолютное пространство по направлению к горизонту оно проходит через области, сфероидальное поперечное сечение которых никогда не меняется (ср. с цилиндрическим характером поверхности погружения, при этом опущенное пространственное измерение восстанавливается путем замены горизонтальных окружностей на сфероидальные 2-поверхности). Следовательно, хотя поле прежде, чем достичь горизонта, должно пройти бесконечное расстояние, амплитуда поля падать не будет. На самом деле, поскольку функция длительности становится все меньше и меньше, если идти вниз по данной диаграмме, поле в процессе распространения, наоборот, приобретает все большее смещение в голубую часть спектра. Следовательно, длина волны становится короче (спираль на диаграмме все туже), измеряемые ОПН напряженности £[| и Вп растут, и переопределенные поля на растянутом горизонте Еи, Вя, Еп и Вп оказываются конечными.
Астрофизические приложенияэлектродинамики черных дыр
Д. Макдоналд, К. Торн, Р. Пра〃с, Сяо Хи Чжань
Перейдем теперь от модельных задач к черным дырам в реальной астрофизической Вселенной. Наша цель в этой главе——показать, как мембранная парадигма позволяет понять возможное поведение вращающихся черных дыр при их взаимодействии с аккреционными дисками и замагниченной плазмой. Как мы увидим, это взаимодействие позволяет дать разумное объяснение некоторых наблюдаемых свойств квазаров и активных ядер галактик.
В разд. А мы начнем с краткого обзора наблюдаемых свойств квазаров и активных ядер галактик, уделяя особое внимание выбросам (джетам), которые простираются наружу от их центров, а также полной энергетике рассматриваемых объектов, и дадим обзор свидетельств в пользу того, что энергетика квазаров и ядер галактик обеспечивается сверхмассивными черными дырами, окруженными аккреционными дисками. Затем в разд. Б мы покажем, как гравитомагнитное поле вращающейся дыры вынуждает аккреционный диск расположиться в экваториальной плоскости; поэтому направление любых выбросов, создаваемых дырой или диском, фиксируется осью вращения дыры («эффект Бардина — Петтерсона»). В разд. В мы рассмотрим качественные свойства магнитосферы черной дыры и диска, включая передачу магнитного поля от диска к дыре, исследуем механизмы удержания поля дырой и «выглаживания» поля горизонтом дыры, оценим возможные значения напряженности получающихся в результате полей и, наконец, предложим вероятный механизм заполнения магнитосферы дыры плазмой. В разд. Г мы набросаем контуры детальной теории строения магнитосферы дыры и выполним в рамках теории цепей постоянного тока анализ электрических токов и выделения энергии в замагниченной магнитосфере, заполненной плазмой. Наличие этих токов и энерговыделения позволяет дать разумное объяснение того, как возникают и подпитываются энергией некоторые наблюдаемые выбросы («процесс Блэндфорда —Знаека»).
Наблюдаемые свойства квазарови активных ядер галактик
Сейчас представляется вероятным, что квазары ——это разновидность ярко выраженных и очень далеких активных ядер галактик (АЯГ). Последние можно изучать более подробно, поскольку они расположены ближе к нам (см., например, [102, 223]). В типичном АЯГ (и в типичном квазаре) имеется яркий неразрешенный центральный источник излучения в непрерывном спектре, который может быть аккреционным диском вокруг сверхмассивной черной дыры. Размер его порядка 1015 см, примерно такой же, как у нашей Солнечной системы. Светимость центрального источника (главным образом в ультрафиолете) может достигать 1048 эрг/с (10 солнечных масс в виде энергии за год), хотя типичное значение светимости на несколько порядков меньше. Из центрального источника часто выходят сильно сфокусированный выброс (угол раствора ^ 10°) или, в некоторых случаях, два выброса в противоположных направлениях. В подклассе АЯГ, называемом «радиогалактики» (и в подклассе квазаров, называемом «квазизвездные радиоисточники») ,выбросы, интенсивно излучающие в радиодиапазоне, простираются через ядра галактик (имеющих размеры порядка 3000 световых лет или 3-1021 см), через внешние области галактики (имеющие размеры порядка 100 000 световых лет или 1023 см) и уходят в межгалактическое пространство, где они заканчиваются гигантскими облаками (имеющими размеры порядка 1 млн. св. лет или 1024 см), состоящими из плазмы, пронизанной магнитными полями, и излучающими в радиодиапазоне. Светимость этих облаков («протяженных радиокомпонент») может достигать 1045 эрг/с. Хорошим примером является галактика NGC 6251 (рис. 32). Общепринято, что вся конфигурация черпает энергию из 《машины》 (вероятно, черной дыры), расположенной в центре неразрешенного центрального источника (который, вероятно, является аккреционным диском), а струйный выброс осуществляет перенос энергии от центральной машины к гигантским протяженным радиокомпонентам. Многие струйные выбросы наблюдаются с помощью радиотелескопов, а некоторые — также с помощью оптических и рентгеновских телескопов. Дополнительную информацию дают оптические эмиссионные линии, которые формируются в облаках фотоионизованного газа в областях с размерами не больше светового года (1018 см) вокруг центрального неразрешенного источника непрерывного спектра. Подробный обзор наблюдений см. в [103, 27, 158, 70, 127].
Окончательно еще не доказано, что центральная машина в АЯГ (и в квазарах) представляет собой сверхмассивную
Рис. 32. Радиокарты струйных выбросов из галактики NGC 6251 (рисунок заимствован из работы [168]). Пунктирная окружность, наложенная на среднюю карту, указывает примерный размер оптической галактики. Внутри и вблизи галактики левый выброс настолько слабее, чем правый, что он не виден ни на средней, ни на нижней картах.
черную дыру, но есть сильные свидетельства в пользу такой возможности: «черно-дырные» модели центральной машины прекрасно согласуются с наблюдениями. Другие модели центральной машины (главным образом это сверхмассивные быстро вращающиеся звезды или плотные скопления звезд нормальной массы) также позволяют объяснить результаты наблюдений, но при этом мы либо сталкиваемся с трудностями, либо должны прибегать к различным ухищрениям. Более того, центральные машины в других моделях должны быть столь компактными, что их времена жизни по отношению к гравита-
ционному сжатию, приводящему к образованию сверхмассивной дыры, как правило, должны быть меньше возраста Вселенной. Таким образом, разумно считать, что другие модели соответствуют короткоживущим предшественникам сверхмассивных черных дыр и, хотя некоторые из наименее активных АЯГ могут обеспечиваться энергией за счет этих предшественников, большинство АЯГ (и квазаров) обеспечиваются энергией за счет черных дыр. Более подробно см. разд. III.Б обзора [9].
В некоторых АЯГ светимость неразрешенных источников непрерывного спектра (аккреционных дисков?) меняется на десятки процентов за поразительно короткое характерное время. Сравнение этого характерного времени переменности /var с полной светимостью источника непрерывного спектра L приводит к одному из наиболее сильных свидетельств в пользу того, что центральная машина представляет собой черную дыру [66, 6]. Излучающий газ в источнике непрерывного спектра, каким бы он ни был, удерживается гравитационным полем центральной машины (сила притяжения пропорциональна массе машины) и выталкивается наружу давлением излучения (расталкивающая сила пропорциональна светимости источника). Из требования, чтобы источник непрерывного спектра не был разбросан давлением излучения, следует, что светимость источника не должна сильно превышать эддингтоновский предел
L W £Edd = ^ятР1ат) М = 1,3 ・ 1038(м/м。)Эрг/с; (4.1) здесь тр — масса протона, от — томсоновское сечение рассеяния фотонов на электронах и М — масса центральной машины. Это ограничение устанавливает связь между светимостью источника и массой машины. Требование, чтобы характерное время изменений светимости «аг не было намного меньше, чем время, за которое свет проходит источник из конца в конец (ivar > R, где R — размер источника), в комбинации с ограничением (4.1) дает
R < %ar/l МНН万Й" W L/1045 арг/с •
Следовательно, чем короче характерное время переменности fvar в сравнении со светимостью L, тем жестче ограничение на компактность источника непрерывного спектра и тем меньше отличие размеров этого источника от гравитационного радиуса центральной машины.
Некоторые АЯГ проявляют такую быструю переменность в сравнении с их светимостью, что, согласно (4.2), R/2M《1, из чего следует, что центральная машина ——черная дыра, а излучающая область ненамного протяженней, чем горизонт дыры.
Для многих других объектов R/2M ^ 100, следовательно, даже если центральная машина и не является черной дырой, она тем не менее столь компактна, что ее время жизни по отношению к гравитационному сжатию с образованием черной дыры мало по сравнению с возрастом Вселенной. Подробный обзор данных наблюдений см. в работах [66, 6].
К сожалению, этот аргумент нельзя считать полностью убедительным. При экстремальных обстоятельствах светимость источника может несколько превышать эддингтоновский предел (возможно, в 10 раз) и, если переменный источник в процессе излучения расширяется с ультрарелятивистской скоростью, замедление времени, следующее из специальной теории относительности, может приводить к видимой переменности с более коротким характерным временем, чем время, за которое свет проходит расстояние, равное размеру источника. Эти сложности, позволяющие избежать вывода, что центральная машина есть черная дыра или вскоре станет ею, иллюстрируют не- окончательность всех аргументов в пользу черных дыр как поставщиков энергии в АЯГ. Тем не менее очевидно, что в основе наиболее разумных, непротиворечивых моделей, объясняющих данные наблюдений, лежат черные дыры. В оставшейся части этой книги мы будем предполагать, что черные дыры на самом деле являются поставщиками энергии.
Б. Диск и направленность выбросовза счет гравитомагнитных сил
Черная дыра сама по себе не может создать наблюдаемое излучение и выбросы. Она способна на это лишь с помощью окружающего вещества и магнитных полей. Сверхмассивная дыра в ядре галактики может заполучить окружающее вещество либо посредством гравитационного затягивания межзвездного газа в свою окрестность, либо посредством приливного разрушения пролетающих мимо звезд и последующего «размазывания» их вещества вокруг дыры. И в том и в другом случае газ, по всей вероятности, обладает весьма значительным угловым моментом. Поэтому, вместо того чтобы сразу же радиально падать в поглощающую его дыру, он образует диск, который обращается вокруг дыры. Ориентация диска на больших радиальных расстояниях, г》100 М, будет определяться направлением вектора углового момента поступающего газа и вполне может меняться за характерное время много меньше миллиона лет, особенно в том случае, если главным поставщиком газа служит разрушение случайно пролетающих мимо звезд. Однако на меньших радиальных расстояниях,厂《100 М, гравитомагнитное поле Н воздействует на диск силой, которая
Рис. 33. Аккреционный диск вокруг вращающейся черной дыры, располагающийся в экваториальной плоскости дыры на малых радиальных расстояниях под действием эффекта Бардина ——Петтерсона, который возникает в результате комбинации гравитомагнитных сил (поле ", взаимодействующее с газом, который движется вокруг дыры) и сил вязкости.
заставляет его расположиться в экваториальной плоскости и удерживает его там бесконечно долго независимо от возможных изменений углового момента диска и ориентации его внешней области (эффект Бардина ——Петтерсона [3]; см. рис. 33 и подпись к нему). Следовательно, на радиальных расстояниях от 〜2 М “о 〜20 М, где выделяется основная доля гравитационной энергии диска и где взаимодействия между дырой и диском сильны, есть только одно геометрически выделенное направление, вдоль которого могут происходить выбросы: это направление, перпендикулярное плоскости диска, совпадающее с осью вращения дыры. В некоторых случаях струйный выброс может создаваться ветром от диска, в других случаях ——электродинамическим ускорением от диска, а иногда благодаря токам в магнитосфере дыры, которые получают энергию от вращения дыры (см. [9]). Однако во всех случаях независимо от механизма, преимущественное направление выброса совпадает с осью вращения дыры. Если такая картина верна, то дыра действует как гироскоп, поддерживающий выброс направленным, и обстоятельство, что ось вращения черной дыры повернуть очень трудно (см. гл. V ниже), объясняет постоянство наблюдаемых направлений струйных выбросов в масштабах, превышающих миллионы световых лет (рис. 32) и, следовательно, за характерные времена в миллионы лет или больше.
Математический вывод эффекта Бардина — Петтерсона (увлечение диска в экваториальную плоскость дыры) является
поучительным примером применения 3 + 1-формализма в случае слабой гравитации, поэтому оставшуюся часть этого раздела мы посвятим основным моментам этого вывода. (Некоторые из читателей, возможно, захотят пропустить этот вывод и перейти к следующему разделу.) Вывод можно осуществить в пределе слабой гравитации, поскольку оказывается, что увлечение диска в экваториальную плоскость происходит на радиальных расстояниях 厂》2 M.
Строение диска определяется совместным действием гравитации g, гравитомагнетизма //, пространственной геометрии g/办 сил давления и сил вязкости. Главной вынуждающей силой является радиальная компонента g, которая создает гравитационное ускорение относительно координат, неподвижных по отношению к звездам; величина этого ускорения равна
"S7r"S7rig, радig, радММ(4.3а)(4.3а)
"S7r
"S7r
ig, рад
ig, рад
М
М
(4.3а)
(4.3а)
Доминирующая сферическая компонента gjk создает эффекты меньше, чем (4.3а) на фактор 〜М〃，т. е. эффекты «пост-нью- тоновского порядка»:
d江d江L…~步~（*）閉L…~步~（*）閉(4.36)(4.36)
d江
d江
L…~步~（*）閉
L…~步~（*）閉
(4.36)
(4.36)
(см. § 39.6 книги [129]). Если бы все другие гравитационные эффекты были, как и рассмотренные выше, сферически-симмет- ричными, диск лежал бы в одной плоскости. Искривление, показанное на рис. 33, создается несферическим гравитационным полем.
Несферические гравитационные эффекты g = — V In а обусловлены квадрупольным моментом дыры 5^々 ~ Ма2 [формулы (3.25), (3.26)] и создают несферические ускорения порядка
которые на фактор О (а2/г2) меньше, чем эффекты сферической компоненты g. (Напомним, что а/М 〜1 для быстро вращающейся дыры.) Аналогично несферические эффекты в gjk меньше, чем сферические эффекты [формулы (3.5) и (З.бв)] на фактор О(〃2М〃з)：
g/加 несфер
В противоположность этому доминирующие гравитомагнитные (|3, ") эффекты являются несферическими и имеют величину
Ma Ma ( М \1/2 М а ( М f/2
(4.3д)
[см. формулы (3.32), (3.36)], что превышает несферические эффекты связанные с g, на фактор (М/а) (г/М)"?, а несферические эффекты от g]ky — на фактор (М/а) (r/М)3/2.
Следовательно, можно с высокой точностью рассчитать конфигурацию искривленного диска, пренебрегая несферич- ностью от gjk н g и считая гравитомагнитные эффекты (4.3д) слабыми несферическими возмущениями, наложенными на ньютоновский диск. При таком рассмотрении может возникнуть сомнение в отношении того, что опускаются сферические «постньютоновские» \0{М/г)] поправки к g [формула (4.3а)], а также вклад со стороны gjk [формула (4.36)] — ведь они превышают гравитомагнитные эффекты, которые мы оставляем [формула (4.3д)], на фактор (М/а) (r/М)1/2. Заметим, однако, что эти сферические поправки, по-видимому, незначительно влияют на искривление диска, именно поэтому мы ими можем пренебречь.
Основным уравнением, определяющим структуру диска, является уравнение Навье ——Стокса. Его можно вывести с помощью нашего 3 + 1-формализма в пределе слабой гравитации, подставляя в локальный закон баланса сил (3.59‘) ньютоновскую плотность массы-энергии е, поток импульса S и натяжение 7注：
е = Ре 5 = pmv,
Tik = p»d + pg* — 2 叩汴. (4.4a) Здесь п ——коэффициент сдвиговой вязкости (объемная вязкость пренебрежимо мала), а 6々—темп сдвиговых деформаций в газе. Фигурирующая здесь скорость представляет собой скорость, измеряемую ОПН: vz = ос-1 (dx^/dt + ₽;) • Фактор а является пост-ньютоновским и сферическим, поэтому мы можем его опустить, но величину р', хотя она и мала (| р | ^ Ма/г2\ следует оставить, поскольку она является несферическим гравитомаг- нитным членом. Таким образом, сохраняя В, можно записать
W = 〃 +『；〃三 d%'/" (4.46) С другой стороны, нет необходимости сохранять 0 повсюду. В астрофизических дисках вязкие натяжения ——2nо」％, как пра-
вило, очень малы по сравнению с 卩力”月匕 поэтому в сдвиговой деформации можно пренебречь величиной Р, т. е. сдвиговые деформации можно рассчитывать по обычной ньютоновской формуле
о從=-^ (〃/1 + 川7) —^- g^kul\ /.(4.4в)
Подставляя б, S и Т汴 из (4.4а) в закон баланса сил '(3.59‘) и исключая те эффекты сферической гравитации, которые имеют пост-ньютоновскую величину, получаем
=Р/ - W + 的叫[k + н0y + 严(pW)| v
Затем, комбинируя это соотношение с законом баланса энергии (3.57х), который в пределах нужной точности имеет вид 贲 +(P/Л 厂 В'Рт " = О，
<—">> >>>
и с соотношениями Н = VP，" = VX6, а также с выражением (4.46) для V, получаем в первом порядке по 0
Pm [*+必叫J = Pm (g‘ +成浦"")一户+(2叩法)1方(4.5)
Это есть обычное нерелятивистское уравнение Навье — Стокса, в которое добавлены гравитационная и гравитомагнитная силы >>
pm (g + ^ X Н). Отметим, что гравитомагнетизм входит в это уравнение в том же самом виде, по форме аналогичном выражению силы Лоренца, что и в уравнение движения для пробной частицы в пределе слабой гравитации (3.32).
Бардин и Петтерсон [3], Петтерсон [150, 151], а также Хатчетт, Бегелман и Саразин [91] воспользовались уравнением Навье — Стокса (4.5) для расчета деформированной структуры аккреционного диска вокруг черной дыры. Деформация вызывается совместным действием гравитомагнитной силы рт (и\Н) и вязких сил V • (2т]ог). ГМ-сила сама по себе, т. е. в отсутствие вязкости, заставила бы диск прецессировать, точно так же как она заставляет прецессировать гироскоп [формула (3.37)]. В самом деле, можно непосредственно убедиться, воспользовавшись уравнением Навье — Стокса (4.5) и выражением дипольного ГМ-поля (3.36), что тонкое кольцо вещества с радиусом г и угловым моментом если на него не действуют силы со стороны соседнего вещества (。= п = 0), прецессирует вокруг
вектора углового момента дыры, /, с угловой скоростью Qgm= =2務з [224]:
~^ = 3gmXG QGm = 7г Для тонкого кольца. (4.6) В аккреционном диске вязкость заставляет каждое газовое кольцо двигаться по спирали к дыре с радиальной скоростью \иг\<^ (орбитальная скорость) = (7И/г)1/2. Если бы это был единственный эффект вязкости, то деформация диска сводилась бы к дифференциальной прецессии. Каждое последующее кольцо, имеющее меньший радиус, чем предыдущее, более долго взаимодействовало бы с ГМ-полем и, следовательно, успевало бы повернуться в ходе прецессии на больший угол у:
dv 1 2аМ 1
dr \ur\ r r2 I Г 〈
В результате диск оказался бы радиально искривленным, но не лег бы в экваториальную плоскость. Однако прецессия изменяет сдвиговые деформации в диске o/左 и это ведет к изменению сил вязкости. Именно эти изменившиеся силы заставляют диск стремиться к экваториальной плоскости черной дыры. Таким образом, рассмотренная комбинация гравитомагнитных и вязких сил приводит к стационарной конфигурации, изображенной на рис. 33.
Математическое описание деформированного диска осуществляется с применением двух углов Эйлера у и р (рис. 34) для кольца, заданных в виде функций от радиуса кольца г. Мы опишем здесь вывод уравнений для у (г), р(г) в том виде, в каком он был первоначально дан Бардиным и Петтерсоном [3] и Петтерсоном [150, 151], а затем модифицирован и переформулирован в терминах одной единственной комплексной величины Хатчеттом, Бегелманом и Саразином [51]. Этот вывод начинается с введения координат 厂，屮，之，удобных для описания конфигурации диска. Как показано на рис. 34, координаты 厂，屮，С точки 勿，расположенной внутри или вблизи диска, определяются следующим образом: построим в 勿 нормаль к центральной поверхности деформированного диска (это поверхность, которая отделяет верхнюю половину от нижней, т. е. поверхность, изображенная на рис. 33), причем g есть расстояние вниз вдоль нормали. Нормаль упирается в центральную поверхность на некотором выделенном тонком кольце диска; г——радиус этого кольца, а 屮——угол, характеризующий положение 乡 на этом кольце, поэтому г,屮，之 по отношению к этому кольцу образуют цилиндрическую систему координат. Ориентация кольца по отношению к черной дыре определяется углами Эй-
Рис. 34. Координаты, удобные для описания эффекта Бардина — Петтерсона. Координаты %, у, г связаны с черной дырой: дыра расположена в начале координат, а ее собственный угловой момент направлен вдоль оси z. Координаты %',旷，z‘ связаны с некоторым выбранным тонким кольцом на центральной поверхности диска; кольцо, показанное на рисунке, лежит в плоскости /, у'. Эти две декартовы системы координат связаны друг с другом через углы Эйлера р и у. Точка 夕，расположенная непосредственно над кольцом, имеет цилиндрические координаты г,屮，С в системе %', у', z‘.
лера р(г) и у (г). Новые координаты г,屮，С следующим образом выражаются через декартовы координаты х, yt z абсолютного пространства (пространство в соответствующем приближении берется плоским; см. обсуждение выше; дыра расположена в начале координат, а ее угловой момент направлен вдоль оси г):
[o] = Cap)B(6)C(Y)U，[o] = Cap)B(6)C(Y)U，(4.8)(4.8)
[o] = Cap)B(6)C(Y)U，
[o] = Cap)B(6)C(Y)U，
(4.8)
(4.8)
где С и В ——матрицы вращения:
-cos 屮
sin屮
「1
0
0 -i
e （屮）三
—sin 屮
cos屮
0
0
cos 6
sin 6
.0
0
1 _
_о
—sin §
cos § _
(4.9)
Введем также ортонормированный базис, который сводится к обычному базису для цилиндрических координат, если у и 0 постоянны:
牛三Q[^一 (Y，Гcosp•器)备一「步工]，
где
IF = 6, Г sin 屮一Y，r cos " sin 0, 0三(1 -甘步)~) (4.11) Символы Кристоффеля для этого ортонормированного базиса в евклидовом пространстве просты, но вычислять их утомительно; те из них, которые не обращаются в нуль, равны
F% = - Fj = Q 器'Г% = - F& = у,
产万=-F% = W,产讨=—F% =。需•(4.12)
Чтобы проанализировать конфигурацию стационарного деформированного диска, мы воспользуемся формулой (4.5), записанной в этом базисе, сделав следующие допущения. 1) Движение вещества первоначально является круговым, поэтому 川 и 〃七 малы по сравнению с орбитальной скоростью 〃①. 2) Предполагается, что мы находимся на достаточно малом радиальном расстоянии, где наклон диска уже становится малым вследствие эффекта Бардина — Петтерсона, так что 6《1; справедливость этого допущения будет подтверждена окончательным результатом. 3) Предполагается, что диск тонкий, т. е. что область, заполненная веществом, ограничена С《厂.Формально мы считаем, что
М〜协〜6〜广步=0 (加)《1.(4.13)
Оценивая радиальную r-компоненту уравнения Навье —— Стокса (4.5) в нулевом порядке по 加，можно записать
(〃呼= 〃〃，(4.14)
т. е. что орбитальная скорость близка к кеплеровской.
С другой стороны, ф-компонента уравнения (4.5) для стационарного диска в первом порядке по и? имеет вид
(rd) =" -^(v-)].(4.15)
Полезно проинтегрировать это уравнение по С, т. е. вертикально по диску, воспользовавшись при этом тем фактом, что
2兀厂 \ Pm加哀=М,(4.16)
где в случае стационарного диска темп аккреции массы М является константой. При и^ ос г~х^ из уравнения (4.15), проинтегрированного по С, следует, что \ п 臂 не зависит от г и
— ^\nW = "p俏川哀=备・(4.17)
Во втором порядке по 〃‘ ^-компонента уравнения (4.5) принимает вид
2p。黑"力"=Р代 -± p + Рm气自彼h‘ +
+ ±[2标К 一品吟& -巾仙取需]+
+备5需叫+ П腸*+n黑粵• (4.18)
При выводе этого уравнения из уравнения (4.5) имеется по меньшей мере одна тонкость. При вычислении 〃砧｝ & следует включить член г~[и^5^/^^, поскольку д周д~ не обращается в нуль из соображений симметрии. Этим объясняется множитель двойка в левой части уравнения (подробности см. в [91]). Проинтегрируем теперь уравнение (4.18) по g. Члены, включающие 0/契，после этого обращаются в нуль, поскольку р и п равны нулю вне диска; член g$ исчезает, поскольку он должен быть нечетным по 之.Если воспользоваться формулой (4.17) в проинтегрированном по С уравнении (4.18) и учесть, что для диска с малым углом наклона
Нг = — ^ ^J sin 屮，
то приходим к следующему уравнению:
d2W . 2 dW . dy W7 ^Ma sin 屮 11w— = u. 0rd2 г 0屮 drdu
Наиболее просто деформацию диска можно описать лексной функцией
W= 6标Y；
полагая 廿《1 в формуле (4.11), замечаем, что
Если переписать уравнение (4.20) через w и усреднить то оно принимает простой вид:
d2w 丄 2 dw — . ^Maw dr2 r dr 产〃「
(4.19)(4.20) комп-(4.21)(4.22) по ф,(4.23)(4.19)(4.20) комп-(4.21)(4.22) по ф,(4.23)Это и есть вариант Хатчетта — Бегелмана — Саразина уравнения Бардина — Петтерсона, описывающего деформацию диска.
(4.19)
(4.20) комп-
(4.21)
(4.22) по ф,
(4.23)
(4.19)
(4.20) комп-
(4.21)
(4.22) по ф,
(4.23)
В большинстве моделей, представляющих интерес для астрофизиков, М меняется как отрицательная степень радиуса г-п. [Наиболее интересны для случая дисковой аккреции модели
《а-вязкости》, для которых п = 1/4 во внешних областях диска и 〃 = 2/5 в промежуточных областях; см. [136] ]. Для этих моделей можно решить уравнение (4.23), выразив решение через функции Бесселя, и показать (для п < 2), что на малых радиальных расстояниях р очень мало. Характерное радиальное расстояние, на котором эффект Бардина ——Петтерсона становится существенным, как можно видеть, соответствует радиусу, при котором правая часть уравнения (4.23) имеет величину порядка 侬/厂2. Следовательно, «радиус Бардина — Петтерсона» Гвр, внутри которого увлечение к экватору существенно, определяется как радиус, при котором
2aM/产=| 加 |・(4.24)
Можно сказать, что это тот радиус, при котором скорость ГМ-прецессии Qgm^ = 2аМ/г2 порядка радиальной скорости дрейфа. Оказывается, что для типичных моделей аккреционных дисков этот радиус составляет
гвР^ 100 М,(4.25)
т. е. соответствует области, далекой от горизонта.
Качественные свойства магнитосферычерной дыры
В принятых моделях аккреционного диска вокруг сверхмассивной черной дыры гравитационная энергия непрерывно переходит в кинетическую, тепловую и магнитную энергию в результате совместного действия вязкости, а также растяжения и пересоединения магнитных силовых линий. По своему происхождению вязкость может быть турбулентной, магнитной, радиационной или даже молекулярной. (Подробные обзоры см. в [136, 164].) Количество выделяющейся тепловой энергии достаточно, чтобы поддерживать газ диска сильно ионизованным. Следовательно, такой газ является прекрасным проводником, что означает вмороженность магнитных полей диска в плазму («идеальная магнитогидродинамика»), если не учитывать некоторое пересоединение силовых линий, когда поле становится слишком хаотическим и запутанным, и некоторое макроскопическое проскальзывание поля сквозь плазму из-за рэлей-тей- лоровской неустойчивости (см. ниже). По мере того как плазма диска, находящаяся под действием вязкости, постепенно по спирали падает в черную дыру, она несет с собой вмороженное в нее магнитное поле и освобождается от этого поля на растянутом горизонте дыры.
На рис. 35 показаны центральная область такого аккреционного диска и вмороженные в него магнитные поля. Диск
Рис. 35. Внутренняя область аккреционного диска вокруг черной дыры с пронизывающими ее магнитными силовыми линиями. Хотя диск изображен тонким, анализ, данный в тексте, этого ни в коей мере не предполагает. Поверхность М н ее граница а必=份 используются при обсуждении сохранения магнитного потока. (Рисунок воспроизводится по работе [123].)
лежит в экваториальной плоскости дыры из-за эффекта Бардина—Петтерсона. В этом разделе мы воспользуемся уравнениями Максвелла и результатами модельных задач из II и III глав, чтобы разобраться в качественной структуре магнитосферы дыры и диска. При этом мы не будем делать каких-либо предположений об их осевой симметрии или о стационарности, т. е. попытаемся быть по возможности ближе к реальности.
Вблизи горизонта физическая ситуация может быть весьма сложной. Например, пересоединение силовых линий может быть частым явлением и приводить к серьезным нарушениям вмороженности поля в плазму, а поле на горизонте может иногда становиться столь сильным, что будет выталкиваться от дыры обратно в диск (рэлей-тейлоровская неустойчивость). Тем не менее вдали от дыры идеальная магнитогидродинамика (МГД), по-видимому, может служить прекрасным приближением.
Замкнутый контур 份=。加 на рис. 35 лежит в удаленной области, где применима идеальная МГД. Этот контур ограничивает 2-мерную поверхность 加,которая простирается вверх над диском и над северным полюсом дыры наподобие купола цирка. Мы выберем в качестве контура 份 окружность в экваториальной плоскости, а поверхность 加 возьмем осесимметрии-
ной, но даже при этом диск и магнитное поле могут существенно отклоняться от осевой симметрии. Кроме того, мы выберем 份 и 加 покоящимися относительно координат %', фиксированных по отношению к звездам, или, что тоже самое (благодаря осевой симметрии), покоящимися в абсолютном пространстве, т. е. привязанными к ОПН.
Согласно закону Фарадея (3.49), примененному к 份 и
В • dA= — §aE • dl.(4.26)
Выражение для ЭДС в правой части можно переписать, чтобы выразить ее через магнитное поле в диске, воспользовавшись для этого условием вмороженности, справедливым в МГД:
>>>
£ + ^ X ^ — 0 в диске на。必，(4.27)
где у ——скорость плазмы в диске, измеряемая ОПН, Тогда уравнение (4.26) принимает вид
★、方.质= 0£>< 声.疝(4.28)
Это уравнение имеет очевидную физическую интерпретацию: скорость изменения магнитного потока через «купол цирка» 必 (измеряемая в пересчете на единицу мирового времени) равна темпу, с которым магнитное поле переносится через контур 份 текущей вовнутрь плазмой. Таким образом, магнитный поток сохраняется с течением времени; поток через 加 может увеличиваться или уменьшаться только в результате того, что магнитные силовые линии физически переносятся вовнутрь или наружу через 份.Этот вывод, являющийся очевидным в плоском пространстве при отсутствии гравитации, остается справедливым и в искривленном пространстве вокруг черной дыры и в присутствии гравитационного и гравитомагнитного полей дыры.
Рассмотрим теперь судьбу магнитных силовых линий, переносимых к дыре плазмой диска. По мере того как плазма достигает внутреннего края диска (вблизи минимального радиуса устойчивых круговых орбит; см. [136]) и затем по спирали падает в дыру, она становится причинно не связанной с силовыми линиями, которые она несла. Однако это вовсе не означает, что переносимое поле становится свободным. Закон сохранения потока (4.28) гарантирует, что силовые линии, даже оторвавшись от своих источников, не могут уйти на бесконечность. Они могут либо выталкиваться обратно в диск (рэлей- тейлоровская неустойчивость), либо пронизывать почти вакуум-
ный зазор между дырой и диском, либо максвелловские давления близлежащих силовых линий могут заталкивать их в дыру.
Мы легко можем составить качественное представление об эволюции поля вблизи дыры, комбинируя соображения о максвелловском давлении и максвелловском натяжении с выводами, сделанными в последних трех абзацах разд. II. Г.6. Рассмотрим сначала идеализированную магнитную силовую линию в виде петли, изображенную на диаграмме al рис. 36. Самый левый край этой петли уже перенесен плазмой, в которую он был вморожен, через растянутый горизонт, а оставшаяся часть петли недавно высвободилась, когда плазма, находившаяся внутри петли, упала в дыру, оставив петлю позади. В это мгновение петля оказалась свободной в почти полном вакууме в области сверхсильного гравитационного поля прямо над растянутым горизонтом. Когда удерживавшая петлю плазма покинула ее, оказалось, что максвелловское натяжение вдоль силовой линии уже не уравновешивается другими силами, действующими на плазму, поэтому силовая линия сжимается и укладывается параллельно растянутому горизонту, генерируя тем самым ток на горизонте (закон Ампера; диаграмма а2), а затем уничтожается под действием этого тока (омический нагрев; диаграмма аЗ).
Рассмотрим теперь магнитные силовые линии (подобные тем, что пронизывают дыру на диаграмме 61 рис. 36), которые простираются до очень больших радиальных расстояний. Возможно, вдали от дыры они делают петлю и возвращаются в аккреционный диск или простираются неограниченно, уходя в межзвездное пространство. Эти силовые линии вносят вклад в результирующий магнитный поток через «купол цирка», изображенный на рис. 35, и потому не могут аннигилировать. Эволюция этих силовых линий в окрестности горизонта будет определяться капризами максвелловских давлений, толкающих их. Если каким-то образом все силовые линии на дыре в какой-то момент собрались в локализованное пятно (диаграмма 61 на рис. 36), то дальше они в таком виде оставаться не могут; максвелловские давления быстро (с локальной скоростью света) растолкают их и создадут более или менее однородное распределение (диаграмма 62). Однако из-за гравитационного красного смещения обратное распрямление поля будет задерживаться вблизи растянутого горизонта и силовые линии на самом деле будут при распрямлении укладываться параллельно растянутому горизонту, что будет сопровождаться омической диссипацией. Качественные детали движения подобных силовых линий, включая их энергетику и баланс сил, обсуждаются в разд. II. Г.6. Результатом этого движения является примерно
173
IV. астрофизические приложения электродинамики черных дыр
аЗ63
6
Рис. 36. Выглаживание магнитного поля растянутым горизонтом черной дыры. Внизу (в) — возможная конечная структура выглаженного поля, а также окружающий диск и его хаотическое поле. Слева (а/ ——аЗ)——исчезновение замкнутых магнитных петель, которое является частью процесса выглаживания. Справа (6/ ——63)—— динамическое перераспределение силовых линий, которые первоначально были сильно сконцентрированы вблизи полюсов дыры. (Рисунок заимствован из работы [122].)
однородное распределение поля, пронизывающего растянутый горизонт.
Из этих соображений мы можем заключить (следуя Макдоналду и Торну [123], а также Макдоналду и Сюэну [122]), что качественная структура магнитосферы дыры и диска должна быть такой, как на диаграмме в на рис. 36: независимо от того, насколько хаотическим является поле, пронизывающее диск, поле, пронизывающее дыру, будет очень сглаженным. Если диск «пытается» сбросить хаотическое поле на дыру, то замкнутые силовые петли будут уничтожаться за характерное время Nt 〜2 M 仝(1000 с) (М/108 Mo), оставляя при этом упорядоченное поле. Если же максвелловские давления со стороны силовых линий, пронизывающих диск, в какой-то момент, толкая поле дыры, приведут к появлению сгущения, то поле распрямится обратно за такое же характерное время и сделается более или менее однородным.
(Мы должны признать, что представленные выше выводы почти целиком основаны на интуитивных рассуждениях, которые мы привели. Никто не пытался доказать их на более высоком уровне строгости. Тем не менее нам эти выводы кажутся вполне надежными.)
Магнитные силовые линии, пронизывающие растянутый горизонт и изображенные на рис. 36,8, не закреплены в дыре непосредственно гравитационным притяжением. Они «вынуждены» пронизывать дыру из-за максвелловского давления со стороны окружающих силовых линий, которые в свою очередь закреплены на диске. Если проводимость диска внезапно исчезнет (или, что более реально, если диск разрушится), то поле, закрепленное на диске, будет разлетаться, и его максвелловское давление на силовые линии, пронизывающие дыру, будет исчезать. Тогда поле дыры будет исчезать вследствие пересо- единения подобно тому, как это изображено на рис. 10 (разд. II. Г.1), и излучаться в межзвездное пространство в виде сверхнизкочастотных электромагнитных волн; при этом дыра лишается поля В.
Напряженность поля на дыре определяется историей эволюции диска в прошлом: результирующий поток через дыру в данное время равен суммарному потоку, от которого освободился диск за все предшествовавшее время существования. В некоторые эпохи диск освобождался от поля одной полярности, в другие эпохи ——от поля противоположной полярности. (Например, силовые линии, показанные в левой части рис. 36,8, которые будут переданы дыре в ближайшем будущем, имеют противоположную полярность с теми силовыми линиями, которые в данный момент пронизывают дыру.) Эти передачи поля
будут приводить к стохастическим флуктуациям, типа случайных блужданий, результирующего потока через дыру. Однако в ходе этих случайных блужданий дисперсия случайного поля дыры будет с течением времени расти, пока не станет, наконец, столь большой, что поле будет вытолкнуто обратно к аккреционному диску и приведет к замедлению аккреции. Результирующая максимальная напряженность поля, вероятнее всего, будет иметь величину, необходимую для установления равновесия между магнитным давлением В2/8я вблизи дыры и газовым давлением pgas в самых внутренних частях диска. Из типичных моделей аккреционных дисков вокруг сверхмассивных черных дыр в ядрах галактик (см., например, приложение С работы [153]) следует, что pgas может быть порядка 107 дин/см2 и соответственно характерная максимальная напряженность магнитного поля на дыре может быть порядка 104 Гс.
Было бы интересно попытаться дать детальный анализ динамического взаимодействия между аккреционным диском и полем на дыре, имеющим почти максимальную напряженность. Рэлей-тейлоровские неустойчивости, безусловно, могут оказаться существенными и понизить приведенную выше оценку для максимального поля.
Теперь мы займемся электрическим полем вблизи диска и дыры, имея в виду, что электрические заряды могут свободно двигаться вдоль магнитных силовых линий, но не поперек, поскольку их ларморовские радиусы малы. Если бы имелась зна- читальная составляющая поля £ вдоль полей В, пронизываю、 щих диск (т. е. если бы лоренц-инвариантная величина Е • В не была бы близка к нулю), то электрические поля быстро и легко вытягивали бы электрические заряды из диска вдоль силовых линий поля В, создавая тем самым пространственную плотность зарядов, которая бы и привела к исчезновению породившей ее величины £ • В. Поэтому разумно ожидать, что магнитные силовые линии диска, так же как и в случае нейтронной звезды в моделях пульсаров [82], будут ортогональны электрическому полю, т. е. что Е • В 0.
Силовые линии поля В, пронизывающие дыру, бывают разными. Хотя электрические токи могут вытекать из-под растянутого горизонта, физически это может происходить только вследствие падения в дыру электрически заряженных частиц. В отсутствие электрических зарядов над дырой никакое электрическое поле не может создать ток, текущий от растянутого горизонта. Следовательно, можно ожидать, что силовые линии
поля В, пронизывающие дыру, будут свободны от электрического заряда и тока.
Если это действительно так, то магнитно-гравитомагнитная 《батарея》дыры будет приводить к разделению зарядов на растянутом горизонте и тем самым создавать в магнитосфере дыры электрическое поле квадрупольного типа. Вблизи дыры величина этого электрического поля должна составлять £ 〜 〜5а/М 〜(3・ KF 百/см) (a/AI), что соответствует полному падению напряжения вдоль силовой линии поля В между растянутым горизонтом и несколькими гравитационными радиусами V 〜Егн 〜Ва 〜1028 В для дыры с массой 109 М©! Как впервые отметили Блэндфорд и Знаек [22], это падение напряжения столь чудовищно велико, что будет приводить к каскадному рождению электрон-позитронных пар, тем самым создавая хорошо проводящую электрон-позитронную плазму (см. также [152]). Нацример, случайный электрон из диска или из межзвездного пространства будет ускоряться вдоль силовой линии поля В электрическим полем до энергии, на много порядков превышающей его массу покоя, после чего он столкнется с мягким фотоном из аккреционного диска, сообщив фотону высокую энергию («обратное комптоновское рассеяние»). Получившийся в результате высокоэнергетичный фотон затем столкнется с еще одним мягким фотоном из диска, создавая при этом электрон-позитронные пары. Возникающие в результате электроны и позитроны будут затем ускоряться и испытывать обратное комптоновское рассеяние, создавая новые высокоэнергичные фотоны, которые будут сталкиваться с мягкими фотонами из диска, создавая дополнительные электрон-позитронные пары. Аналогичный, но несколько иной процесс был предложен Рудерманом и Сазерлендом [173] в качестве механизма рождения пар в магнитосферах нейтронных звезд, у которых ионы на поверхности образуют столь прочную кристаллическую решетку, что она мешает полю Е на поверхности «вытянуть» ионы из звезды.
Получающаяся в магнитосфере сверхмассивной дыры элек- трон-позитронная плазма, согласно оценкам Блэндфорда и Знаека [22], обеспечивает достаточное количество заряда, чтобы проскальзывать вдоль магнитных силовых линий и уничтожать компоненту поля Е, направленную вдоль В. Поэтому силовые линии поля В становятся почти ортогональными силовым линиям поля Е, но при этом остающееся ненулевое значение величины Е • В как раз достаточно, чтобы приводить время от времени к《искрам》с образованием электрон-позитронных
пар и поддерживать заполнение магнитосферы плазмой. Ситуация здесь аналогична модели Рудермана ——Сазерленда с «искровым зазором» для магнитосферы нейтронной звезды.
Г. Структура и энергетика стационарной осесимметричноймагнитосферы: процесс Блэндфорда — Знаека
Получившаяся в результате магнитосфера черной дыры, заполненная плазмой, по своим свойствам очень похожа на электрическую цепь, исследованную на рис. 28 и в разд. III. Г.З. Силовые линии поля В, пронизывающие дцру, выполняют роль токонесущих проводов: электроны и позитроны могут скользить вдоль них [с ларморовскими гирорадиусами RL — mc2/eB 4 (0,2 см) (В/104 Гс)-1], но не могут пересекать их, разве только вдали от дыры, где поле В слабое. Магнитные «провода» соединяют горизонт с удаленной областью слабого поля В. Магнитно-гравитомагнитная 《батарея》дыры создает токи вдоль контуров, подобных штриховому контуру на рис. 36, 6： вверх по почти экваториальным (низкоширотным) проводам в область слабого поля В, затем в этой области поперек проводов от низких широт к высоким, затем обратно вниз по высокоширотным проводам к растянутому горизонту и вдоль растянутого горизонта замыкают цепь. Здесь, как и на рис. 28, поток Пойнтинга вдоль цепи переносит энергию от дыры к области слабого поля В [ср. с формулой (3.126)], и эта энергия вполне может идти на создание и управление выбросами, наблюдаемыми в квазарах и активных ядрах галактик.
Блэндфорд и Знаек [22] первыми поняли, что этот механизм генерации мощности может действовать вокруг вращающейся замагниченной черной дыры ——хотя аналогичный процесс в случае нейтронных звезд был уже давно предложен и исследован Голдрайхом и Джулианом [82]. Макдоналд и Торн (123) выполнили детальный анализ электродинамики и энергетики процесса Блэндфорда — Знаека на языке мембранной парадигмы (см. дополнение 1 в конце книги).
С самого начала мы ограничимся рассмотрением магнитосферы черной дыры, которая является стационарной осесимметричной заполненной плазмой конфигурацией, и предполо- жим, что в области сильного поля В вблизи дыры Е • В = 0. (При описании магнитосферы в рамках МГД уравнение 声•方=0 вытекает из требования, чтобы электрическое поле исчезало в системе покоя жидкости, т. е. ОПН видят Е = —v X В, где v — скорость жидкости, измеряемая ОПН.)
Чтобы наглядно представить себе магнитосферу, полезно
Рис. 37. Спиральная структура магнитного поля в стационарной осесимметричной несущей ток магнитосфере черной дыры. Силовые линии поля В лежат на магнитных поверхностях, две из которых (помечены цифрами / и 2) изображены на рисунке.
разложить £ и В на «тороидальную» (вдоль ^-направления) и «полоидальную» (вдоль 0- и r-направлений) составляющие:
上'=成裔，£Р三Е^ + 七@
>
Е =Вт ^Вфе-,
> т > п3 = 57+片.> т > п3 = 57+片.(4.29)(4.29)(Аналогично, при описании магнитосферы в рамках МГД, мы разлагаем скорость жидкости на тороидальную и полоидальную составляющие: у = vT + vP).
> т > п
3 = 57+片.
> т > п
3 = 57+片.
(4.29)
(4.29)
Тороидальные составляющие £ и В можно вычислить, применяя законы Фарадея и Ампера [формулы (3.49) и (3.51)] к окружности с постоянными (г, 0), жестко связанной с ОПН; например, такой окружностью является сплошная кривая 份/ на рис. 37. Благодаря стационарности производные по времени от потоков 5 и Е через рассматриваемую окружность должны обращаться в нуль, а поскольку эта окружность жестко связана с ОПН, ее скорость должна обращаться в нуль. Таким образом, согласно законам Фарадея и Ампера,
^ аЕ • dl = Q, ^ аВ • dl = 4л ^ aj • dA = -~ 4л/,
где / — ток, текущий вниз через окружность. Поскольку длина этой окружности равна 2л(о и окружность ориентирована в тороидальном направлении, из приведенных уравнений следует (см. дополнение 2 в конце книги):
声=0,俞=一得^. (4.30)
На рис. 37 показана структура магнитного поля. Каждая из 2-поверхностей (помеченных цифрами / и 2) получена вращением одной-единственной силовой линии поля В на угол 360°
вокруг оси вращения черной дыры. Силовые линии поля В (а в МГД также и линии течения жидкости) можно представить себе в виде спиралей, которые многократно накручиваются на эти «магнитные поверхности», делая их похожими на «шест брадобрея». Тороидальное поле Вт, определяемое формулой (4.30), ответственно за это накручивание по спирали, поло- идальное поле Вр определяет формы магнитных поверхностен.
2лсо2лсоКаждую магнитную поверхность можно характеризовать полным магнитным потоком 屮，заключенным внутри ее; например, для поверхности 1 4r равно полному магнитному потоку, проходящему вверх через контур 纟'(который ограничивает поверхность 1 сверху). Если рассматривать 中 как скалярное поле в абсолютном пространстве дыры, то магнитные поверхности являются 2-поверхностями постоянного 屮,а полоидальная составляющая В определяется соотношением
2лсо
2лсо
(4.31)
(которое следует непосредственно из определения 屮).
Поскольку £7 = 0, поле Е является чисто полоидальным, а поскольку £ • В = 0, оно ортогонально магнитным поверхностям (см. один вектор £ на рис. 37).
Любое электромагнитное поле, подобное рассматриваемому, у которого Е • В = 0, называется «вырожденным». (Поскольку величина £ • В лоренц-инвариантна, понятие вырожденности тоже лоренц-инвариантно.) Если, кроме того, | В | > | £ |, то можно считать, что электрическое поле целиком «индуцировано» движением наших опорных наблюдателей в магнитном поле, т. е. можно определить локальную систему покоя магнитного поля как систему, в которой = 丫尸(Е + 夕尸 X 5) обращается в нуль. «Скорость силовой линии》vF, конечно, определяется лишь с точностью до переноса вдоль В. Один из естественных способов выбора у состоит в том, чтобы положить эту величину равной скорости жидкости в МГД. (Напомним, что в системе отсчета, где жидкость покоится, электрическое поле зануляется). Однако более удобен выбор чисто тороидального (вращательного) движения, поскольку при таком выборе можно считать, что силовые линии поля постоянно вращаются во-
круг оси симметрии:
vf ^= ~ (^р —(0)(023,(4.32)
强=一^义济=一骂更京屮.(4.33)
Здесь Of = d^/dt ——угловая скорость магнитных силовых линий, а з ——угловая скорость ОПН, которые измеряют £, В и 夕尸.Поскольку Е • В = 0, соотношения (4.32) и (4.33) остаются математически корректными (в качестве определений vF и ◎尸)даже в тех областях, где |Е|>|5| и |夕尸|> 1.
Разные магнитные силовые линии могут вращаться с разными угловыми скоростями, но каждая силовая линия (и каждая магнитная поверхность) должна вращаться твердотельно, в противном случае шаг спирали силовых линий менялся бы со временем, что означало бы нарушение стационарности:
Величина Qp, как и 屮,постоянна на магнитных поверхностях.
(4.34)
Формальное доказательство твердотельности вращения основано на законе Фарадея, применном к полоидальному замкнутому контуру 份 на рис. 37 (пунктирная кривая). Контур предполагается неподвижным относительно далеких звезд, поэтому магнитный поток через него постоянен, а скорость контура относительно ОПН есть v = а-1Р =——。一】①Geg. Согласно закону Фарадея (3.49), для этого контура
0 = ^a(E + vX В)-"= 一击勺 QfVW • dl. (4.35)
Поскольку величина 4r постоянна на магнитных поверхностях, единственный отличный от нуля вклад в интеграл обеспечивается сегментами кривой 夕叁 и 现夕，которые поперечны поверхности. Если взять бесконечно близкие друг к другу магнитные поверхности, отличающиеся по своим потокам на АТ, то формула (4.35) принимает вид
击[Qf(© —Qf (例)]АВ = 0,
из чего следует, что ◎尸 в 现(в произвольной точке на магнитной поверхности 2) должна быть точно такой же, как и в^. Комбинируя этот результат с условием осевой симметрии, делаем вывод, как это утверждалось выше, что ◎尸 является константой на каждой магнитной поверхности. (Этот закон
твердотельного вращения для вырожденных стационарных осесимметричных магнитосфер был впервые доказан Ферраро [63] в случае плоского пространства-времени и Блэндфордом и Знаеком [22] для искривленного пространства-времени. Изящное геометрическое доказательство этого закона твердотельного вращения в искривленном пространстве-времени, не зависящее от системы отсчета и имеющее более общий вид, см. в разд. 6.5.5 работы [33].)
Обратимся теперь к токам, текущим в магнитосфере, заполненной плазмой. Вблизи дыры, где поле В сильное, электрон- позитронная плазма вряд ли способна оказывать значительное воздействие на магнитное поле, т. е. закон баланса сил (3.59‘)， скорее всего, выполняется за счет одного лишь электромагнитного поля. Как в плоском пространстве, так и в искривленном это условие, соответствующее наличию «бессилового магнитного поля», сводится к следующему соотношению:
)++
—(реЕ + / X ^) = (сила, действующая со стороны единичного объема плазмы на поле) = 0. (4.36) Тороидальна兑 составляющая этой плотности силы, равной нулю (так как Ет = 0), есть 产><5尸=0. Это означает, что полои- дальная составляющая тока течет вдоль магнитных поверхностей. (Мы могли бы прийти к тому же выводу, исходя из того, что электроны и протоны плазмы привязаны к силовым линиям В, двигаясь по ларморовским спиралям.) Если обозначить через / ток, текущий вниз через контур 份/ на рис. 37 и заключенный внутри магнитной поверхности 1, то очевидно, что / является константой на магнитной поверхности 1 и, следовательно, функцией магнитного потока 屮：/ = /(屮).Таким образом, условие Jp \ Вр = 0 эквивалентно соотношению
力=—^爲加，(4・37)
где множитель 1/а представляет собой переводной коэффициент от единицы мирового времени, использованной в определении /, к единице времени ОПН, используемой в определении /, а знак минус возникает здесь из-за того, что / есть ток, текущий вниз, а 中——поток, направленный вверх. Комбинируя формулу (4.37) с условием бессилового поля (4.36), а также с соотношением Е = — vF \ В, мы видим, что суммарная плотность тока (полоидальная плюс тороидальная составляющие) равна
/ = Ре"尸 一 G~^T В (4.38)
врвр
Рис. 38. Магнитосфера черной дыры с рис. 37, показанная сбоку. Штриховые кривые ортогональны силовым линиям поля Е, сплошные кривые ——магнитные силовые линии; те и другие совпадают в области бессилового (尸F) поля вблизи дыры, но удаляются друг от друга в области астрофизической нагрузки (Л). Подробный анализ в тексте относится к бессиловой области; в области нагрузки протекают весьма сложные и до конца не понятые физические процессы.
Таким образом, не зависящая от времени результирующая плотность заряда ре привязана к вращающимся силовым линиям и, следовательно, генерирует плотность тока pevF, причем остающийся ток течет вдоль магнитных силовых линий.
Количественные оценки, касающиеся тока и потока энергии в бессиловой магнитосфере черной дыры, можно вывести с помощью закона Фарадея, примененного к полоидальному замкнутому контуру 份(пунктирная кривая) на рис. 38. Этот контур простирается вверх от точки Q на растянутом горизонте вдоль магнитной поверхности 2 до точки 歹，лежащей в основании области слабого поля В, где токи могут пересекать силовые линии («область нагрузки»), затем поперек силовых линий от точки 疔 на поверхности 2 до ближайшей точки ，% на поверхности /, затем вниз вдоль магнитной поверхности / от 2/ до 夕 и, наконец, вдоль растянутого горизонта обратно к @ Полная ЭД С вдоль 窗 вычисляемая обычным образом по закону Фарадея, равнас
AU = § аЕ •山=一 \ р X 8 •山=去 Q” АВ (4.39)
[ср. с формулой (3.115)]. Здесь A4r ——магнитный поток между поверхностями / и 2, причем предполагается, что область слабого поля В расположена достаточно далеко от дыры, так что там 0 4 0. Как и в случае модельной цепи, рассмотренной в разд. III. Г.З (рис. 28), здесь можно считать, что эта разность потенциалов создается «батареей» на горизонте дыры. Внутреннее сопротивление батареи (сопротивление между магнитными поверхностями / и 2 на растянутом горизонте) равно л /лиг
NRh = Rh~^ = Rh 石碍瓦 '(4・40)
где А/ — расстояние между поверхностями 1 и 2 вдоль горизонта, Вп — нормальное магнитное поле на горизонте между поверхностями 7 и 2 и R” = 4п = 377 Ом — удельное поверхностное сопротивление горизонта. Весь полоидальный ток /, который течет вниз к дыре внутри поверхности / (на более высоких широтах, чем поверхность /), согласно закону сохранения заряда, должен становиться током на горизонте как только он достигает растянутого горизонта; затем он должен течь полоидально вдоль растянутого горизонта через сопротивление AR〃 между поверхностями 7 и 2 и вновь выходить вверх через магнитные поверхности на меньших широтах. Протекая через сопротивление горизонта AR”， этот ток создает падение напряжения
А% =、/•/=/ AR”，(4.41а)
которое можно рассчитать по формуле (4.33) для Е:
=击(Q" — *)АВ.(4.416)
《батарея》создает полное падение напряжения AU [формула (4.39)] вдоль контура 從 состоящее из падения напряжения на горизонте AV” плюс падение напряжения AVY в астрофизической 《нагрузке》в области слабого поля 方,где токи могут пересекать силовые линии (т. е. плюс падение напряжения А1/ь вдоль участка 于也 на рис. 38):
М/ = А% +А乙.(4.42)
Мы можем формально определить сопротивление астрофизической нагрузки NRl через соотношение 亥<u
A九=\ /•/=\ 至.言=INRl(4.43)
乡sr
(и можем поставить перед теми, кто строит астрофизические модели, невероятно сложную задачу попытаться рассчитать это
сопротивление). Альтернативное выражение для AVL следует из формулы (4.33) для Е при а = 1 и о = 0, что справедливо вдали от дыры:
△九= ±ЗАВ・(4.44)
Из формул теории электрических цепей (4.39) — (4.44) мы можем вывести некоторые важные свойства магнитосферы дыры: угловая скорость Q尸 силовых линий в узком слое между поверхностями / и 2 определяется отношением сопротивления нагрузки к сопротивлению горизонта
0少 AR了А乙
%一 0戶=丽^ =丽7 •(4・45)
Полный ток, текущий вниз во всей области внутри поверхности /, равен
/ =两瑞互=4(% — Qf)守综. (4.46)
Здесь, как и в случае модельной цепи, рассмотренной в разд. III. Г.З (рис. 28), полная мощность, которая диссипирует при омическом нагреве в узкой полоске горизонта между поверхностями / и 2, равна
= / % =£ % АВ; (4.47)
а полная мощность, переносимая полоидально наружу в виде потока Пойнтинга между двумя магнитными поверхностями и выделяемая в астрофизической нагрузке, равна
a А =回& =(旷)2回崇守=5” 守综A屯(4・48)
Мощности (4.47), (4.48) обеспечиваются, конечно, вращением дыры, и в процессе их диссипации на горизонте и в нагрузке вращение дыры замедляется. Отметим, что здесь, как и в случае лабораторной цепи постоянного тока, мощность, выделяемая в нагрузке, достигает максимума (при заданном напряжении и сопротивлении 《батареи»), если сопротивление нагрузки ARl равно сопротивлению «батареи» AR”. Эта оптимизация NRl = NRh [согласно формуле (4.45)] соответствует QI
Сопротивление нагрузки было оценено многими способами и разными исследователями (см. дополнение 3 в конце книги). Согласно всем оценкам, с точностью до множителя порядка единицы ARl равно AR〃, Q尸〜 '丨&н、а выделяемая мощность ма-
ксимальна:
"L〜寥鋁旦a中.(4.49)
Полная выделяемая мощность получается суммированием величины NPl по всем узким полоскам между магнитными поверхностями. Полагая 2 а中 =屮 冗广代 守 〜〈鋁〉~厂М/2, R" = =арМгн、получим следующую оценку по порядку величины: "厶 ~ w (1й-)2в^2^ (10452F) (^~)2(-iW7)2 (1^)^
(4.50) ЭДС, которая приводит к такому огромному направленному наружу потоку мощности, дается формулой (4.39) при Q尸〜1/2Q"：
〜4 隔)МВ"〜(呼 В)(箱(TW7)(т/тг) .(4.51) Таким образом, при разумных астрофизических параметрах получаются оценки напряжения в магнитосферах R 〜1020 В и энерговыделения ^ 1045 эрг/с, соответствующие наблюдаемым в выбросах (джетах) и протяженных радиокомпонентах у наиболее мощных радиогалактик и квазизвездных радиоисточников.
Близкое по величине энерговыделение могут обеспечивать также магнитосфера аккреционного диска и ускоряемый излучением ветер от диска. Вполне вероятно, что на самом деле работают все три механизма генерации энергии, которые вносят разные относительные вклады в наблюдаемых квазарах и ядрах галактик (подробный обзор см. в [9]).
Детальная картина «астрофизической нагрузки», изображенной на рис. 38, далека от ясности (см. дополнение 4 в конце книги). В отличие от области астрофизической нагрузки, с присущей ей сложностью и неопределенностью, бессиловая область довольно проста и достаточно хорошо понятна. Детали движения жидкости в ней описаны в работах Финни [153] и Чжаня [235а]. В работах Макдоналда и Торна [123] и Макдоналда [120, 121] обсуждаются детали строения магнитосферы в этой области (включая уравнения и решения для формы поверхностей магнитного поля, «принцип минимальной диссипации», уд о- влетворяемый полем В на горизонте, и анализ потока энергии и баланса вращательного момента).
VГравитационное взаимодействиечерной дыры с удаленными телами
Дж. Хартль, К. Торн, Р. Прайс
Вплоть до этой главы мы ограничивались рассмотрением черных дыр, гравитационное поле которых было столь сильным по сравнению с полем окружающего вещества, что гравитацией вещества можно было полностью пренебречь. Это позволяло нам полностью описывать гравитационное поле функцией длительности а, функцией смещения 0 и пространственной метрикой статической шварцшильдовской дыры или стационарной керровской дыры.
Теперь в гл. V, VI, VII мы обратимся к более сложной ситуации, когда черная дыра взаимодействует с веществом и с другими дырами, гравитационное поле которых достаточно сильное. При исследовании таких ситуаций мы будем исходить из того же самого 3 + 1-подхода, которым пользовались при изучении изолированной дыры. Это означает, что мы будем иметь дело с функцией длительности, функцией смещения и с метрическими коэффициентами, в которых наряду с гравитацией дыры учитывается влияние《внешнего» гравитационного поля. Однако мы ограничимся рассмотрением дыры, горизонт которой и близлежащие гравитационные поля испытывают лишь малые возмущения со стороны внешней Вселенной, поэтому вклад внешних полей в а, р и g/ мы будем рассматривать как слабые возмущения шварцшильдовских или керровских величин.
В системах, которые мы собираемся изучать, внешнее гравитационное поле будет заставлять дыру эволюционировать, и эта эволюция будет приводить к нарушению единственности «пространственно-временного сечения», на которой основано 3 + 1-расщепление. В результате при изучении физических процессов вблизи горизонта (гл. VI) мы будем вынуждены столкнуться с некоторой «калибровочной свободой» в возмущениях шварцшильдовских или керровских величин а, Р и g汴. Соответственно при изучении физических процессов вдали от горизонта (гл. V), где пространство-время является почти плоским, мы будем вынуждены выбирать для сечения специальную систему отсчета. Это может быть асимптотическая инерциальная
система отсчета дыры или система центра масс двойной системы, включающей черную дыру, или же средняя система покоя галактики, в которой находится черная дыра и т. д.
С вопросом выбора сечения мы впервые столкнемся (гл. V) в случае черных дыр, взаимодействующих с удаленными телами (с телами, расположенными вдали от горизонта), и затем (гл. VI и VII), когда речь пойдет о дырах, взаимодействующих с веществом вблизи горизонта. В данной главе мы рассмотрим вековую эволюцию системы, которая включает в себя черную дыру и другие, удаленные тела. Гравитация будет считаться единственным видом взаимодействия между внешними телами и дырой. К таким системам относятся, например, черная дыра, покоящаяся в центре эллиптического звездного скопления (разд. Б.1), черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском, когда большая часть вещества диска расположена вдали от горизонта дыры (разд. Б.2), и двойная система, в которую входит черная дыра (разд. Б.З). Но, прежде чем перейти к подробному изучению этих систем, сформулируем три основополагающих утверждения. 1) Некоторые из интересующих нас систем (например, двойную систему) лучше всего исследовать в системах отсчета, относительно которых дыра движется, поэтому в разд. А.1 мы попытаемся разобраться, как применить 3 + 1-подход к движущейся дыре, исследовав с этой целью точное аналитическое решение для функций длительности и смещения, а также для пространственной метрики в случае движущейся невращающейся черной дыры. (В принципе такое исследование весьма полезно, хотя мы не будем в явном виде использовать его результаты в этой книге.) 2) В разд. А.2 и А.З мы введем понятие приливных гравитационных полей и попытаемся разобраться в этих приливных полях, изучая силы и вращательные моменты, посредством которых приливные поля оказывают воздействие на вращающиеся несферические пробные тела. 3) И наконец, в разд. А.З—А.6 мы выведем уравнения движения и прецессии в случае черной дыры, взаимодействующей с удаленными внешними телами. В этих уравнениях учитываются силы и вращательные моменты, которыми приливные поля внешних тел действуют на черную дыру.
А. 3 + 1-расщепление законов гравитационноговзаимодействия
Ь 1-расщепление пространства-временивокруг движущейся невращающейся черной дыры
В гл. II мы описали стандартный выбор пространственно- временного сечения в случае изолированной невращающейся черной дыры. Как и там, обозначим через t мировое (шварц-
шильдовское) время при таком выборе сечения, а через а и g/々 соответственно обозначим отвечающие этому выбору функцию длительности и пространственную метрику и будем говорить об этом сечении как о «системе покоя черной дыры». Функция длительности и метрика в системе покоя дыры выражаются через шварцшильдовские радиальную и угловые координаты г, 0,力 следующим образом:
а = (1 -2М〃)叱
ds? = gjk dxj dxk = ―"\疝 + 产(府 4- sin20d^2)(5.1)
[формулы (2.2), (2.36)]. В этом разделе нам будет удобно заменить шварцшильдовские координаты новым набором пространственных координат %, у, 2 в системе покоя:
% = R sin 8 cos 屮，
у = R sin 8 sin 屮，(5.2а)
z = RcosB,
где
R = % (厂 一 м + д/产 一 2Мг ) = %2 + у2 + 之2.(5.26)
Эти координаты х, у, z являются асимптотически (при г》М) декартовыми. Функция длительности а и пространственная метрика gjk в формуле (5.1) выражаются через эти координаты следующим образом:
—1 一 M/2Rа = 1 + M/2R、—1 一 M/2Rа = 1 + M/2R、中三1+费，中三1+费，
—1 一 M/2R
а = 1 + M/2R、
—1 一 M/2R
а = 1 + M/2R、
中三1+费，
中三1+费，
(5。3)(5。3)曲2 - gjh dW dxk =屮4 (d%2 + dy2 + 虑2),
(5。3)
(5。3)
и соответственно если перейти от 3+ 1-расщепления к 4-мерному пространству-времени, то пространственно-временная метрика принимает вид
⑷曲2 =-出出2 + 中4 (d%2 + dy2 + 史2). (5.4)
Эти координаты называются «изотропными» из-за той формы, которую имеют в этих координатах пространственные метрические коэффициенты. Отметим, что горизонт (厂=2 М, а = 0) расположен при R = M/2 и что система покоя дыры является «асимптотически инерциальной», т. е. при г-> оо она становится инерциальной системой плоского пространства-времени, а координаты £, х, у, z становятся лоренцевыми. У опорных наблюдателей в системе покоя дыры угловой момент относительно дыры равен нулю. Мы будем называть их ННУМ («наблюдатели с нулевым угловым моментом»), чтобы отличать их
от других опорных наблюдателей, введенных в предыдущих главах. Отметим, что для ННУМ
(5.5)(5.5)(г, 0, В) = const и (х, у, г) = const.
(5.5)
(5.5)
Теперь мы хотим исследовать эту невращающуюся изолированную дыру при новом выборе пространственно-временного сечения (т. е. в новой «системе отсчета»), когда дыра движется со скоростью у。. Мы потребуем, чтобы эта новая система, как и система покоя дыры, была асимптотически инерциальной. Таким образом, временную функцию f при больших радиусах можно будет получать из временной переменной в системе покоя £ преобразованием Лоренца: ? = у(/ + voA：). Вблизи дыры, где пространство-время искривлено, особо предпочтительного выбора временной функции 1 не существует, т. е. имеется «калибровочная свобода» при нашем выборе сечения. Однако удобно и полезно сделать выбор таким образом, чтобы формула t = y(t + vo%) при малых R оставалась справедливой, как и при больших R:
F = у (/ + vox) = (временная функция в «новой» системе отсчета), у = (1—啕 7俘 (5.6)
В качестве ОПН в этой новой системе отсчета выступают те наблюдатели, для которых поверхности постоянного f выглядят как поверхности одновременности. Согласно пространственно-временной точке зрения, ими являются те наблюдатели, которые движутся в пространстве-времени ортогонально поверхностям постоянного времени Z, т. е. наблюдатели, имеющие 4-скорости U~ =——九(OZ/Ox卩),где 九 ——положительная нормировочная постоянная, выбранная из условия, чтобы U^U^g^ — =—1, а благодаря знаку минус в выражении 4-скорости Uj является вектором, направленным в будущее. Замечая, что функция длительности а, соответствующая этому новому сечению, определяется соотношениями = dt/dx = U^(dt/dx^)= =[/卩[—V^J = X-1, мы убеждаемся, что нормировочная постоянная 九 есть фактически не что иное, как функция длительности а:
и^ = — a (di/dx^) = (4-скорость ОПН). (5.7)
Комбинируя это соотношение с новым выбором мирового времени t (5.6) и с пространственно-временной метрикой (5.4), мы видим, что ОПН в нашей новой системе отсчета имеют функцию длительности
(5.8)(5.8)/ 1-喏
(5.8)
(5.8)
и что они движутся относительно ННУМ со скоростью
/口h嘗)=一击V信(по Ияm) (5.9)
а '/ опн ох т\ ННУМ /
Здесь % =屮-д/дх — единичный вектор в направлении д/дх. Отметим, что с точки зрения ННУМ ОПН в новой системе отсчета вдали от горизонта движутся со скоростью 1Voпн| = ”о, но вблизи горизонта ОПН почти совсем не движутся: | топн I = =(a/W2) v0 с^ (а/4) v0. ОПН в новой системе отсчета, так же как и ННУМ в случае керровской дыры, 《вморожены» вблизи горизонта дыры из-за «увлечения инерциальных систем отсчета».
К тому же выводу можно прийти, исследуя движение новых ОПН не в абсолютном пространстве ННУМ, как это сделано выше [формула (3.92) ], а в их собственном абсолютном пространстве, т. е. в Зчпространстве нового сечения (5.6). Для этой цели нам необходимы пространственные координаты %, у, z для нового абсолютного пространства. Очевидно, мы хотим, чтобы эти координаты были асимптотически инерциальными вдали от дыры; это означает, что мы хотим получить их все из того же преобразования Лоренца (5.6):
无=丫 (％ + %/), У = У， 2 = z・(5.10)
Вполне естественно (но вовсе не обязательно) определить 元 歹，2 вблизи дыры с помощью этих же соотношений, так же как и вдали от нее. Тогда пространственно-временную метрику в новой системе отсчета можно получить из пространственно- временной метрики в системе покоя (5.4) с помощью преобразований координат (5.6), (5.10):
{^ds = 一 a di2 + У2 (屮4 一 廿喲(d元 + ^ 4)2 + 屮4 (妇2 + d纟2),
— (5.11) где |3元——функция, которая будет описана ниже. Из этой шро- странственно-временной метрики мы можем получить функцию смещения 0/ и пространственную метрику g/左 в новой системе отсчета. Мы выпишем их здесь вместе с функцией длительности
а, полученной выше:
а = а
Р = —V0
/ 1 一芯
（1 一%（/他’
（1 一a2?）
、1/2 г)
(5.12а)
(1—у紂倬4)，『 = 0,
В』，
(5.126)
叁元=卡中4（1 一喩2/中4）,
(5.12b)
Здесь а и W — функции R, даваемые формулой (5.3), a R определяется соотношением
R = [У2 (元一v0F)2 + у2 + 門"2(5.12г)
[ср. с формулами (5.26), (5.6), (5.10)]. Соотношения (5.12), (5.3) полностью описывают гравитационные свойства черной дыры — функцию длительности а, функцию смещения @ и пространственную метрику gjk, — измеряемые новыми ОПН в новом абсолютном пространстве.
Поскольку гравитационное воздействие дыры (а,伊,g注)зависит от положения 元歹，2 в новом абсолютном пространстве только через функцию 欠=[丫2(元—vo?)2 + ^2 + ^2]1/2, это воздействие распространяется относительно координат х,歹，2 абсолютного пространства со скоростью
И точно так же как вращение черной дыры увлекает ОПН и абсолютное пространство в орбитальное движение вокруг дыры (разд. III. А.4), это поступательное движение дыры увлекает ОПН и абсолютное пространство в соответствующее движение относительно координат (元 歹,2):
' ^опн' ^опн(1 —a2/P)(-紂/唄)，(1 —a2/P)(-紂/唄)，
' ^опн
' ^опн
(1 —a2/P)
(-紂/唄)，
(1 —a2/P)
(-紂/唄)，
4Му2 4Р%уп о
(5.14)(5.14)4 (1 — v0 вблизи горизонта, а《1;
(5.14)
(5.14)
=(丝)=0;
< df 丿0rlнI df 7ОПН
(рис. 39). Отметим, что очень далеко от дыры ОПН едва увлекаются в движение (dx/dt <С vo), тогда как очень близко от горизонта (R = М/2, a = a = 0) ОПН увлекаются почти с такой же скоростью, с какой движется дыра, т. е. так же, как и ННУМ в системе покоя дыры, ОПН «вморожены» в горизонт дыры. Отметим далее, что слабое увлечение на больших расстояниях определяется импульсом поступательного движения дыры P^ = MyvQ^x через величину 伊=—^P^ytR, которая сводится к —4卩/|君 для ОПН на оси х и к —4Р^у/(у2 + + 刁)1/2 для ОПН в плоскости у — 2
Читатель, возможно, сочтет полезным рассчитать движение ННУМ, каким его локально измеряют новые ОПН, и убедиться,
Рис. 39. Координатные скорости dx^dt ОПН и абсолютного пространства вокруг шварцшильдовской черной дыры, которая движется со скоростью (d元/2/)днра = Vo [формула (5.14)]. Отметим, что вблизи горизонта ОПН увлекаются дырой (dx/di) опн = v0[l——О(а2)]. Рисунок соответствует случаю Vo《1. В случае когда Уо 〜1, форма горизонта; R = [丫2(元—Vo?)2 + у2 + + 方？/2 = М/2, в системе координат 元 у, 2 будет сплюснутой (в результате «лоренцева сокращения») вдоль направления движения дыры.
что измеряемая скорость ННУМ относительно OnH,vz = ci"1 X X (票 + 伊),равна
"ннум = "科受 по измерениям ОПН, (5.15)
где е；——единичный вектор в направлении д/дх. Тот факт, что эта скорость равна и противоположна по знаку скорости ОПН (5.9), измеряемой ННУМ, есть следствие принципа относительности, гласящего, что локально ни одна система отсчета, будь то система ННУМ или ОПН, не является «предпочтительной» по сравнению с другими и ни один наблюдатель не может измерить скорость, которая выделяла бы его среди других наблюдателей.
Увлечение ОПН дырой и их 《вмороженность》в горизонт при а <С 1 не есть следствие нашего конкретного выбора (5.6) пространственно-временного сечения, т. е. выбора мирового времени Л Такое увлечение и《вмороженность» с неизбежностью следуют из физических свойств горизонта черной дыры. Если
мы требуем, чтобы наши ОПН всегда оставались вне горизонта (как мы и будем делать в дальнейшем) и чтобы их мировые линии всегда покрывали все пространство-время вне горизонта, то любое семейство «новых» ОПН с необходимостью будет двигаться с некоторой скоростью, локально измеряемой «старыми» ОПН, причем вблизи горизонта эта скорость стремится к нулю пропорционально а:
V (новых ОПН) сс а по измерениям старых ОПН (5.16)
[ср. с формулами (5.9) и (5.15), а также см. доказательство приведенного утверждения в [ 163] ]. Вблизи горизонта два произвольных семейства ОПН будут《вморожены》друг в друга и в сам горизонт.
Приведенный выше анализ ограничивался случаем невра- щающихся дыр. С помощью тех же методов можно проанализировать и вращающуюся дыру в системе отсчета, в которой дыра движется. Однако мы не будем выполнять такой анализ, поскольку ниже он нам не понадобится. По существу и приведенное выше исследование необходимо исключительно для общего понимания; нигде в книге детали этого анализа нам не понадобятся.
Приливное гравитационное поле
с точки зрения локально инерциальной системы отсчета
Согласно ньютоновской теории гравитации, приливы на Земле создаются 《приливным гравитационным полем》
(5.17)
где Ф ——ньютоновский гравитационный потенциал Луны и Солнца. Это приливное поле описывает неоднородности ньюто- невского гравитационного ускорения g=—V①，т. е. оно отражает те аспекты гравитационного ускорения, от которых нельзя избавиться переходом в локально инерциальную (т. е. свободно падающую) систему отсчета. Оно измеряется непосредственно инструментами, которые называются гравитационными градиентометрами (см., например, дополнение 16.5 в книге Миз- нера, Торна и Уилера [129], а также [146]).
В локально инерциальной системе отсчета ньютоновский потенциал с точностью до членов второго порядка по расстоянию от начала координат имеет вид (главный член степенного разложения)
①—\ь巻:"心,醫^三(приливное поле при х = 0);(5.18)
и соответственно гравитационное ускорение, действующее на пробную частицу, находящуюся в положении %/ вблизи начала
координат, равнокоординат, равно(5.19)(5.19)
координат, равно
координат, равно
(5.19)
(5.19)
Эту формулу можно применить к Земле, принимая за начало координат центр Земли, а в качестве /聂——приливное поле Луны и Солнца; по этой формуле (с учетом топографии дна океана) можно рассчитать детальную картину приливов в океане (см., например, [116, 80, 137]).
В общей теории относительности пространственно-временным аналогом величины ^^ является тензор Римана ^apYd» описывающий кривизну пространства-времени. Один из способов описания приливных сил, связанных с тензором Римана, — это «уравнение геодезического отклонения» (см., например, [129], § 1.6, 8.7 и 11.1——11.3); другой способ — уравнение для гравитационной силы, действующей на пробную частицу в локально инерциальной системе отсчета [аналог уравнения (5.19)]. Можно показать (см., например, [124, 134]), что если свободно падающий наблюдатель построит в своей окрестности локально инерциальную систему отсчета, т. е. систему, которая все время движется вдоль геодезической мировой линии в пространстве- времени, то функции длительности и смещения и 3-метрика в этой системе отсчета (не путать с функциями длительности и смещения и 3-метрикой в системе отсчета ННУМ, используемой в гл. II и III!) с точностью до членов второго порядка по расстоянию от начала координат будут иметь вид
a=l+4~R/o^^, (5.20а)
В尸告 (5.206)
g订=0订+。依邛Y/*m). (5.20b)
В этих соотношениях, которые представляют собой релятивистский аналог формул (5.18), 7?通6 =氏闻6«)—компоненты тензора кривизны Римана пространства-времени, взятые в начале пространственных инерциальных координат. Вид функции a [формула (5.20а)] однозначно определяется тензором Римана. Вид функции |3/ [формула (5.206) ] однозначен с точностью до аддитивной величины 5M = 3Q〃％%‘尤々(появляется в результате преобразования мирового времени /нов =/стар + Q订々无'无/无々)，которую нельзя спутать с (5.206), потому что тензор Q订々 должен быть симметричным по ij и，力，тогда как Rr/ko является антисимметричным по 订.В отличие от величин а и |3/, которые опреде-
ляются однозначно, конкретный вид членов второго порядка в выражении для gi, (формула (5.20в) ] зависит от конкретного выбора пространственных координат в третьем порядке. (Обсуждение инфинитезимальных преобразований координат см. в дополнении 18.2 книги [129].)
Пробная частица, движущаяся с малой скоростью »〃 = =dxl/dt относительно этой локально инерциальной системы отсчета, испытывает гравитационное ускорение ^2x/rf/2 = g + + vX", где g а —Va,"三 VX§ [относительные поправки порядка V2 здесь опущены; ср. с формулами (3.30) — (3.33); см. также обсуждение этих формул]. С точностью до членов первого порядка по расстоянию частицы от начала локально инерциальной системы отсчета и первого порядка по скорости частицы vk это гравитационное ускорение принимает вид
寄=—弋0々0状一2R從(5.21)
-A -A -A -A -A-A
[При вычислении vX^f = vX(VXp), беря § из (5.20), мы
используем свойства симметрии тензора Римана
凡8У6 = кУ6a0，
氏呻丫6 十 Каубе + Ra66Y ~ °； (5.22) ср. § 13.5 книги Мизнера, Торна и Уилера [129].] Уравнение (5.21) является релятивистским аналогом уравнения (5.19); из (5.21) видно, что Rjoko является релятивистским аналогом величины 醫% = д2Ф/дх]дхк.
Чтобы углубить наше понимание свойств приливного поля R/о/го, представим себе пробное тело, состоящее из двух точечных масс / и 2, соединенных жестким невесомым стержнем (рис. 40, а). Поместим центр стержня 0 в центр локально инерциальной системы отсчета и дадим ему возможность свободно падать (так что его центр будет покоиться относительно ло
кально инерциальной системы отсчета). Тогда если п есть положение массы /, —П — положение массы 2, то, согласно уравнению (5.21) в пределе малых скоростей (|»|《1) эти массы будут испытывать гравитационные ускорения противопо
ложных знаков
/ d2x^、/ d2x^、 с 々
Очевидно (см. рис. 40, а), что на стержень действует вращательный момент.
Рис. 40. Действие приливных гравитационных полей на две пробные массы, соединенные жестким невесомым стержнем, а — стержень не вращается, и приливное поле R/o左о создает указанные на рисунке гравитационные ускорения [формула (5.23)], которые вращают стержень [формула (5.28)]. б — стержень вращается, и приливное поле R»汴о взаимодействует с вращательным движением масс на стержне, создавая указанные на рисунке дополнительные гравитационные ускорения [формула (5.29)], что приводит к результирующей гравитационной силе, действующей на стержень [формула (5.35)].Рис. 40. Действие приливных гравитационных полей на две пробные массы, соединенные жестким невесомым стержнем, а — стержень не вращается, и приливное поле R/o左о создает указанные на рисунке гравитационные ускорения [формула (5.23)], которые вращают стержень [формула (5.28)]. б — стержень вращается, и приливное поле R»汴о взаимодействует с вращательным движением масс на стержне, создавая указанные на рисунке дополнительные гравитационные ускорения [формула (5.29)], что приводит к результирующей гравитационной силе, действующей на стержень [формула (5.35)].
Рис. 40. Действие приливных гравитационных полей на две пробные массы, соединенные жестким невесомым стержнем, а — стержень не вращается, и приливное поле R/o左о создает указанные на рисунке гравитационные ускорения [формула (5.23)], которые вращают стержень [формула (5.28)]. б — стержень вращается, и приливное поле R»汴о взаимодействует с вращательным движением масс на стержне, создавая указанные на рисунке дополнительные гравитационные ускорения [формула (5.29)], что приводит к результирующей гравитационной силе, действующей на стержень [формула (5.35)].
Рис. 40. Действие приливных гравитационных полей на две пробные массы, соединенные жестким невесомым стержнем, а — стержень не вращается, и приливное поле R/o左о создает указанные на рисунке гравитационные ускорения [формула (5.23)], которые вращают стержень [формула (5.28)]. б — стержень вращается, и приливное поле R»汴о взаимодействует с вращательным движением масс на стержне, создавая указанные на рисунке дополнительные гравитационные ускорения [формула (5.29)], что приводит к результирующей гравитационной силе, действующей на стержень [формула (5.35)].
Мы вычислим вращательный момент, создаваемый приливными силами, не только для этого стержня, но и для произвольного пробного тела (произвольного тела, самогравитацией которого можно пренебречь), покоящегося относительно локально инерциальной системы отсчета. Если рт (х) есть распределение плотности в теле, а форма тела произвольна, то приливный вращательный момент, действующий на тело, равен m=，5^俏(喘)询网.(5.24)
Используя выражение —RhoioP для приливного гравитационного ускорения и воспользовавшись определением второго момента от распределения массы тела
Iji = , 0tHMJd3x,(5.25)
получаем
М = —J•汴&ozo/〃・(5.26)
(Здесь и ниже, поскольку используются декартовы координаты [формула (5.20в)], для нас безразлично вверху или внизу расположены пространственные индексы и по всем повторяющимся пространственным индексам проводится суммирование, даже если оба индекса находятся внизу или вверху). Фактически только бесследовая часть ?〃 тензора /〃 вносит ненулевой вклад во вращательный момент (5.26); вклад той части, которая имеет след, (】/з)/俏равен нулю благодаря свойствам симметрии RkQiQ = Rioko и антисимметрии &注=—&%/• Бесследовая часть Iji — это массовый квадрупольный момент тела
?〃 = /〃 ^" /mm^jl^(5.27)
выраженный через него приливный вращательный момент, действующий на тело, равен
Nj = —^ijkRkQlQ^"=
e订々 В①Д/Х%У ) % в ньютоновской теории. (5.28)
Поскольку ньютоновские гравитационные поля складываются линейно, эта формула для вращательного момента справедлива для самогравитирующих тел так же, как для тел пробных: конечно, в этом случае д2\ф/дх}дхк следует заменить на 。2①ext/d/Ox右(т е. необходимо вычесть из Ф собственное гравитационное поле тела). Например, в случае Земли соответствующим приливным полем является поле, создаваемое в центре Земли Солнцем, Луной и другими планетами. Соответствующий квадрупольный момент обусловлен деформацией экватора Земли, вызванной центробежными силами, а результирующий вращательный момент (5.28) вызывает «общую прецессию» оси вращения Земли с периодом 26 000 лет («прецессия равноденствий»).
Замечательное свойство общей теории относительности заключается в том, что формула (5.28) для приливного вращательного момента справедлива не только для пробных или почти-ньютоновских тел, но также и для тел, обладающих релятивистски сильным внутренним гравитационным полем (нейтронные звезды и черные дыры). Ниже, в подразд. 4, мы рассмотрим этот вопрос более подробно.
А пока вернемся к жесткому стержню, изображенному на рис. 40, и воспользуемся им, чтобы составить представление о неньютоновском приливном поле &卜心 Пусть стержень вращается вокруг своего центра, так что положения и скорости >-> ->-> ->-> ->->
двух масс / и 2 таковы:心=n，vi = п; х2 = —П，”2 =—斗 Тогда, как следует из формулы (5.21), Rj^。приводит к одному и тому же гравитационному ускорению двух масс
(需)1 =(詳)2 = —2R 阿。Md(5.29)
(рис. 40, б). В результате стержень как целое ускоряется относительно локально инерциальной системы отсчета с ускорением (5.29), т. е. в 4-мерном пространстве-времени его мировая линия отклоняется от геодезической!
Полезно вычислить вызванное приливным полем ускорение (5.29) для пробного тела произвольной формы с распределением плотности рт (х) и распределением скорости v (х). Мы выполним вычисления для того момента времени, когда центр масс тела покоится относительно нашей локальной инерциаль-
ной системы отсчета, и поместим начало нашей инерциальной системы в центр масс тела. Тогда полная гравитационная сила, действующая на тело, равна
=—R晔，PmX%% — 2R//o，^^ky^d?K(5.30)
[ср. с формулой (5.21) ]. Первый член (ньютоновского типа) обращается в нуль, поскольку начало координат находится в центре масс, а интеграл во втором члене можно переписать следующим образом:
,р戸УбРх = g , Pm (vV — d，)网 + g \ pm (代У + 无屮)d3x =
=—4" ekla \ eabc^ (p“) "x + 等 * \ ^my^^d?X =
—±*/々厶(5.31)
где
/三、xX(pwv) "x(5.32)
есть угловой момент тела. Таким образом, соотношение (5.30) сводится к следующему:
尸/ = —RjhiG [—%/Jz + 皆 % / j •(5.33)
Эта сила столь слаба, что может представлять физический интерес только после усреднения по большому интервалу времени, а после усреднения {d/dt)Iki обратится в нуль. Следовательно, приливная сила целиком связана с взаимодействием приливного поля Rjhio с угловым моментом тела /:
尸 / = Rjkl^klJa'(5.34)
Принято писать это уравнение в несколько ином, но эквивалентном виде, используя свойства симметрии /?apY6 [формула (5.22)] и антисимметрии %必：
尸/ =^~ EklaRhlMа・(5.35)
Приведенное соотношение для приливной силы, как и соотношение (5.28) для приливного вращательного момента, справедливо как для пробных, так и для самогравитирующих тел; оно справедливо даже для нейтронных звезд и черных дыр (см. ниже подразд. 4). К сожалению, в практических ситуациях
эта сила столь слаба, что никому пока не удалось найти какое-либо интересное применение этой формулы [ср. с упражнением 40.8 в книге [129] и § 6.5 в книге [225]].
Приливная гравитация с точки зренияопорных наблюдателей в абсолютном пространстве
Теперь от локально инерциальной системы отсчета вернемся к абсолютному пространству, с которым связано конкретное глобальное сечение пространства-времени, и к законам физики, сформулированным опорными наблюдателями в этом абсолютном пространстве.
Напомним (разд. III. Б.З), что опорный наблюдатель, прибегая к 3 + 1-расщеплению законов физики, расщепляет 4-мерный тензор энергии-импульса T^v на плотность энергии е = Т。。, поток энергии S' = t6 и натяжение Тм, где индексом б обозначена пространственно-временная компонента вдоль единичного временного вектора ОПН. Аналогично ОПН расщепляет 4-мерный тензор кривизны Римана на три составляющие:
欠冷月6，R j' Rjklm • (5.36)
Благодаря свойствам симметрии тензора Римана [формула (5.22)] все другие компоненты можно выразить через приведенные выше.
Рассмотрим малое пробное тело, покоящееся в данный момент относительно ОПН, который расположен в центре масс тела. ОПН припишет этому телу угловой момент / и квадрупольный момент 3jz, определенные с помощью вычислений или экспериментально точно таким же образом, как и в земной лаборатории. Например, ОПН мог бы ввести локально инерциальную систему отсчета, покоящуюся в данный момент относительно него, и в этой системе отсчета он мог бы вычислить
/ и ? с помощью интегралов (5.32), (5.25) и (5.27). Поскольку локально инерциальная система отсчета и система
отсчета ОПН в данный момент совпадают, / п 夕 можно с равным основанием считать величинами, измеряемыми ОПН, т. е. их можно рассматривать в абсолютном пространстве. Если затем ОПН измеряет полный вращательный момент и полную силу, действующие на тело, он обнаружит ——дополнительно к вращательным моментам и силам, действующим на идеальную точечную массу [т. е. массу без углового момента и без квадрупольного момента; формулы (3.21) и (3.20) для ОПН вне керровской дыры]——также и приливный вращательный момент
NT и силу FT, которые определяются в точности теми же самыми соотношениями, которые были получены нами в локально инерциальной системе отсчета:
诚3•法紹 6,6 列，(5.37)
^=~^4laRkl^Ja(5.38)
[формулы (5.28) и (5.35)]. Совпадение приливной силы и вращательного момента в ускоренной системе отсчета ОПН и в локально инерциальной системе отсчета следует из соображений локального ньютоновского подхода, который справедлив здесь потому, что рассматриваемые скорости малы (никаких специальных релятивистских поправок при переходе от одной системы отсчета к другой) и мал размер тела (никаких общерелятивистских поправок).
Ниже мы убедимся, что весьма полезно расщепить тензор Римана в некоторой заданной точке (/; £) пространства и времени на две разные составляющие: источником одной будут плотность энергии е, плотность импульса S и натяжение Т, локализованные в (/;%/), а другая часть — это, грубо говоря, 《свободное》 гравитационное поле. Вклад от свободного поля представляет собой бесследовую составляющую тензора RccByg， которая называется «тензором кривизны Вейля》и обозначается Саву》 Локальный вклад является той составляющей, которая входит в следы T?apY6, т. е. в тензор Риччи Ra^ ее можно выразить алгебраически посредством уравнений Эйнштейна через €,
S и Т. 4-мерные уравнения для компонент /?apY6, выраженные через локальную и свободную составляющие [книга Мизнера, Торна и Уилера [129], формулы (13.50), (13.49) и (17.9)], когда выполнено 3+ 1-расщепление, сводятся к следующим соотношениям:
&6在。=*(6 + 2*) g的(5.39а)
6 + 4冗(Sg% — Sg・Q， (5.396)
Rijki = Cjjhi + 4л (Tikgji + T〃g 庶—Tng* — TjkSn) +
+ 粤(e —鑑)(SikSji — g"g/)・ (5.39b)
Здесь, как и раньше, индекс нуль (например, в &$圆)соответствует компоненте вдоль единичного временного направления ОПН, т. е. вдоль 4-скорости ОПН,合=U, а пространственные координаты и базисные векторы совершенно произвольны. В ва-
кууме локальный вклад обращается в нуль и /?apY6 сводится К свободному Приливному ПОЛЮ, Ra0Y6 =。呐6・
Оказывается, из-за того что свободное приливное поле Ca|3Y6 является бесследовым по всем парам индексов, оно имеет только десять независимых компонент (в противоположность двадцати независимым компонентам тензора /?apY6). Когда совершается 3+ 1-расщепление, пять из его компонент входят в приливное поле ньютоновского типа С/©^б， а пять ——в неньютоновское приливное поле С,注万.Как мы убедимся, полезно ввести новые обозначения для этих двух очень важных приливных полей:
置汴三e冷在6，l с、
(5.40а)
^ik = Xl^jpqCk^,
Q*S = e 汴"鲂夕•(5.406)
Отметим тесную аналогию с электрическим и магнитным полями, измеряемыми ОПН, которая заметна, если выразить их через тензор электромагнитного поля:
(5.41а)(5.416)(5.41а)(5.416)Ej・ = Fr,
(5.41а)
(5.416)
(5.41а)
(5.416)
Fjh = £ 注歩
Эта аналогия побуждает назвать 若法 «составляющей электрического типа», или «гравитоэлектрической (ГЭ) составляющей приливного тензора 。々廿丫台，и назвать 咏汴 «составляющей магнитного типа», или «гравитомагнитной (ГМ) составляющей».
Можно убедиться, исходя из симметрии тензора Вейля
以8У6 + саY66 + тензоры явля-以8У6 + саY66 + тензоры явля-[Са^уб = —Срауб，Софуб = —&1傥丫，&фу6 = °丫6邛，
以8У6 + саY66 + тензоры явля-
以8У6 + саY66 + тензоры явля-
+ Саб* =。‘ Сбаб], что 1) приливные ГЭ- и ГМ ются симметричными и бесследовыми:
器法=器为/,器；=0;
羽汴=然〃%:=0(5.42)
и поэтому имеют по пять независимых компонент каждый и 2) чисто пространственные компоненты тензора Вейля Ci注i можно выразить полностью через приливный ГЭ-тензор:
Cipjq = gij^pq + gpq石订一gjg器pj — gpj君iq・ (5・43 Отметим, что формулы (5.40а, б) и (5.43) определяют все составляющие тензора Вейля CapY6 через 後從,毋注 и метрику g〃,
а также отметим, что формула (5.39) затем определяет все составляющие тензора кривизны Римана Ra^y6 через 君注,纺注, g小 & Si И Tij.
Хотя это 3 + 1-разложение тензора кривизны Римана может показаться чрезвычайно сложным, оно очень плодотворно и важно. Каждый отдельный элемент в этом разложении имеет свою собственную физическую интерпретацию и физическую роль. Очевидно, читатели хорошо знакомы с физическим смыслом и физической ролью плотности энергии с, потока энергии Si и натяжения Т^. Куда меньше читателям известно о пространственной метрике gz% (хотя мы уже имели дело с эффектами, связанными с ней, на диаграммах погружения в гл. II) или о приливных ГЭ- и ГМ-полях,齒法 и 毋注(хотя мы уже познакомились в этом разделе с той ролью, которую играют создаваемые ими приливные силы и приливные вращательные моменты) .По ходу изложения в оставшейся части книги мы будем встречаться с g/右，扇右 и 纺注 во многих других разнообразных контекстах.
Тензор Римана можно вычислить по пространственно-временной метрике g^v, Т・ е. по функциям длительности а и смещения 俨 и по пространственной метрике g订，используя формулы, которые можно найти в любом учебнике по общей теории относительности [см., например, формулы (8.44) и (8.24) в книге [129]]. В частном случае гравитационного поля, настолько слабого, что его можно рассматривать как линейное возмущение плоского пространства-времени, т. е. вдали от черной дыры, соответствующая формула [см. [129], формула (18.9) ] имеет вид
~ % (^ца, V九 + gvA, цл — ^цХ, vo — gvo, u九)，(5.44)
где запятыми обозначены частные производные в (почти-) ло- ренцевой системе координат. Если, кроме того, пространство является локально пустым (氏卩”九。=C^za) и не зависящим от времени (например, керровским) или медленно меняющимся, то приведенное соотношение вместе с формулой (5.40) и линеаризованными соотношениями goo = —а2 = — 1 — 2Ф, go/ =团, >>>>>>
g = —V In а = —V① и Я = V X ₽ дает
齒订=W 订=①I 订=—&•丨 / = —g7 I i,(5.45a)
疹订=^-eiPQ^Q\pi=—皆 力 I / = — 4~ "小・(5.456)
Здесь вертикальные черточки будут переходить в запятые (в частные производные), если пространственные координаты невозмущенного плоского пространства будут декартовыми [например, %, у, г в формуле (3.24)], но в более общем случае
пространственных координат [например, координат Бойера —— Линдквиста г, 6, ф] они обозначают ковариантные производные. Если гравитационное поле является локально сильно динамическим и (или) нелинейным и(или) невакуумным, то выражения (5.45) становятся существенно более сложными. Заметим, что именно ньютоновский потенциал Ф и (гравитоэлектри- ческое) гравитационное ускорение g входят в гравитоэлектри- ческое приливное поле 髻订 и именно гравитомагнитный потен
циал р и поле Н входят в гравитомагнитное приливное поле 倣
В вакууме, но в случае произвольно сильного и, возможно, динамического гравитационного поля приливный вращательный момент и сила, действующие на малое вращающееся несферическое пробное тело, покоящееся в данный момент относительно ОПН [формулы (5.37) и (5.38) ], можно переписать в следующем виде:
= —ё 订整 4夕〃， (5.46)
fl — 一毋订/・ (5.47)
Приливный вращательный момент (5.46) и приливная сила (5.47)——это первые члены степенных разложений для малых пробных тел. Безразмерным параметром разложения служит отношение размера пробного тела 厶 к характерному размеру неоднородностей Z внешнего приливного поля. Вполне вероятно, что физически всегда важен лишь главный порядок во вращательном моменте (5.46). Поскольку в большинстве физических систем скорости малы, сила, созданная ГМ-полем,
/, часто не превосходит по величине не зависящую от скорости поправку следующего порядка. С учетом этой поправки соотношение (5.47) для приливной силы принимает следующий вид (в вакууме, где свободные поля 後订 и 毋订 являются единственными источниками приливных воздействий)：
% = —苏订以注 (5.48)
Здесь »決 ——квадрупольный момент тела, a ^ijk ——симметричный бесследовый тензор, описывающий неоднородность приливного поля齒注：
цк — (симметричная, бесследовая часть тензора R^j^{ ^- (5.49) В случае слабых (линейных) гравитационных полей, не зависящих от времени или медленно меняющихся, это соотношение сводится к
君tjh = 6iih (5.50)
[ср. с формулами (5.45)]. Более подробно см. [234,235,205].
Законы движения и прецессиидля вращающейся черной дыры
Замечательная особенность общей теории относительности состоит в том, что черные дыры, нейтронные звезды и другие релятивистские объекты подчиняются тем же самым законам движения и прецессии, что и пробные тела («сильный принцип эквивалентности)»). Иначе обстоит дело в других релятивистских теориях гравитации, например в теории Дикке — Бранса——Йордана (см., например, § 11.3 книги [225]). Соблюдение в общей теории относительности сильного принципа эквивалентности проявляется, во-первых, в том, что направление и скорость движения, а также направление и угловая скорость вращения тела полностью описываются соответственно импульсом тела Р и его угловым моментом J, а во-вторых, в том, что именно Ри/ являются теми величинами, которые определяют слабое гравитационное поле вдали от тела, и именно эти величины подчиняются законам сохранения, которые (если их сформулировать в области слабого гравитационного поля) имеют для черных дыр и нейтронных звезд тот же вид, что и для любого пробного тела. Мы не будем в этой книге доказывать, что общая теория относительности удовлетворяет сильному принципу эквивалентности; доказательства и более глубокое обсуждение этого вопроса см., например, в гл. 20 книги [129] или в [205], а также в более ранних работах, на которые там есть ссылки. Здесь мы сосредоточим внимание на следствиях сильного принципа эквивалентности, которые проявляются в движении и прецессии черных дыр.
Рассмотрим вращающуюся черную дыру с угловым моментом Jz = MaJi (где 7 — единичный вектор в направлении собственного углового момента) и с квадрупольным моментом Sf ц, который описывается формулой (3.26):
Ji = MaJh 夕订=一〃絞 0d — go订) (5.51)
Пусть эта дыра находится в гравитационном взаимодействии с внешними телами, которые все расположены на расстояниях 〜2》〃/ от дыры. Тогда вблизи дыры эти удаленные внешние тела создают слабые приливные поля 石订，後订々，订，которые действуют на дыру посредством некоторых приливных вращательных моментов и некоторых сил. Благодаря сильному принципу эквивалентности эти приливные вращательные моменты и силы в некоторой подходящей системе отсчета (см. ниже) имеют такой же вид, как и в случае пробного тела
[формулы (5.46) и (5.48)]:
/V； = —0 苏診勿， (5.52а) 网=一统力/ —苏报夕叱 (5.526)
Отметим, что, воспользовавшись конкретной формой (5.51) квадрупольного момента дыры, выражение приливного вращательного момента (5.52а) можно переписать в следующем виде:
/=QT X t Qt力 =一苏兮%戸， (5.52a‘) где Qt называют угловой скоростью прецессии, вызванной приливным вращательным моментом.
Поскольку гравитация в общей теории относительности является нелинейной, гравитационные поля черной дыры и внешних тел не подчиняются линейной суперпозиции. В связи с этим нельзя, исходя из результирующей прецессии, отделить приливные поля 苏兮'и 例步，создаваемые вблизи дыры внешними телами, от приливных полей, создаваемых самой дырой. Аналогично, зная результирующую прецессию, нельзя по сильно нелинейному полю вблизи дыры определить массу дыры М, угловой момент 〃 и квадрупольный момент 夕汴；присутствие внешних приливных полей не позволяет выполнить подобного рода процедуру и создает неопределенности в величинах М, J1 и 斤注 и соответствующие неопределенности и ошибки в приливных вращательных моментах и силах (5.52).
К счастью, когда расстояние до внешних тел велико по сравнению с размером дыры Z》г”， этими неопределенностями можно пренебречь (подробное обсуждение этого вопроса см. в [205]). Такая возможность должна быть ясна на примере более знакомой ситуации, когда рассматривается взаимодействие Земли с Солнцем, Луной и другими телами Солнечной системы — взаимодействие, которое определяется теми же законами для приливных вращательных моментов и приливных сил (5.52), что и в случае черных дыр, и в котором фигурирует та же самая принципиальная неоднозначность. Поскольку гравитационное поле в Солнечной системе является слабым, суперпозиция полей близка к линейной и неоднозначность, о которой идет речь, столь незначительна, что нет необходимости беспокоиться о ней, когда вычисляются движение и прецессия Земли. Более того, из-за малой скорости Земли относительно Солнца по сравнению со скоростью света нижние и верхние индексы в законах для приливных вращательных моментов и сил (5.52) обозначают компоненты в декартовой системе координат, которая в равной степени может быть выбрана покоящейся относительно центра Земли или относительно центра Солнца.
Рис. 41. Диаграмма погружения для двух черных дыр, движущихся вокруг друг друга. Область, показанная точками,——это асимптотическая система покоя левой дыры.
В случае черной дыры интерпретация соотношений (5.52), описывающих вращательные моменты и силы, оказывается более тонкой. Вблизи дыры пространство сильно искривлено и вполне возможно, что дыра с большой скоростью движется относительно внешних источников гравитационного поля. Поэтому мы должны очень точно определить как систему отсчета, в которой справедливы уравнения для вращательных моментов и сил, так и базисные векторы, по отношению к которым величины с нижними и верхними индексами являются компонентами.
В работе [205], где подробно обсуждается этот вопрос, делается вывод, что формулы (5.52) справедливы в «мгновенной асимптотической системе покоя》дыры, являющейся аналогом мгновенной системы покоя пробного тела.
Дадим более строгое определение «мгновенной асимптотической системы покоя». Вблизи черной дыры гравитационные эффекты, создаваемые удаленными внешними телами, очень слабы, поэтому дыра с достаточной точностью описывается формулами для керровского решения, и мы можем ввести стандартное пространственно-временное сечение (с мировым временем t, эквивалентным «бойер-линдквистовскому времени》)， о котором шла речь в разд. III. А.1. Очень далеко от горизонта гравитационные воздействия со стороны других тел будут сравнимы с воздействиями со стороны дыры, и керровские формулы потеряют свою точность. Под «системой покоя дыры》мы будем понимать абсолютное пространство, соответствующее стандартному (бойер-линдквистовскому) выбору сечения t, ограничиваясь рассмотрением области, достаточно близкой к горизонту дыры (радиус г меньше некоторого значения го), в которой гравитационное поле дыры доминирует и близко к керровскому. Под «асимптотической системой покоя дыры» мы будем понимать ту часть системы покоя, которая расположена достаточно далеко от горизонта (радиус г 扰门》гн), так чтобы гравитационное поле в ней было слабым, пространство почти плоским и, следовательно, гравитационные поля дыры и внешних тел складывались бы с большой степенью точности линейно.
На рис. 41 показана асимптотическая система покоя в случае черной дыры (левая часть диаграммы) в двойной системе,
в которую входит еще одна черная дыра сравнимой массы. Пространственная область, соответствующая асимптотической системе покоя левой дыры, обозначена точками; она простирается от «внутреннего радиуса» г；》гн до «внешнего радиуса» ro《Z, где 交一расстояние между дырами.
Угловой момент дыры J, ее квадрупольный момент 夕法 и слабые приливные поля 罟幫，苏觀 и 笼？ внешних тел можно рассматривать соответственно как пространственный вектор и пространственные тензоры, помещенные в асимптотическую систему покоя; поскольку пространство там почти плоское, практически безразлично, куда в асимптотической системе покоя мы их помещаем — над северным полюсом дыры, над ее южным полюсом, над экватором или где-то еще. Их можно перемещать туда-сюда почти безнаказанно. Более того, то обстоятельство, что пространство здесь почти плоское, позволяет нам ввести в асимптотической системе покоя почти-декартовы координаты [например, асимптотически декартовы координаты, использованные в соотношении (3.24) ] и рассматривать 厶，力々，苏患，苏盟 и 例需 соответственно как компоненты углового момента, квадрупольного момента и приливных сил, создаваемых внешними телами, в этих координатах. Естественно, именно в этих декартовых координатах в асимптотической системе покоя дыры справедливы уравнения для приливных вращательных моментов и приливных сил.
Согласно сильному принципу эквивалентности, в отсутствие приливного вращательного момента и приливной силы наша дыра должна двигаться во внешних гравитационных полях, создаваемых удаленными телами, точно так же, как движутся идеальная пробная масса и гироскоп; это означает, что именно так движется асимптотическая система покоя дыры. Таким образом, асимптотическая система покоя движется инерциально во внешних гравитационных полях, и приливный вращательный момент и приливная сила (5.52) являются единственными причинами прецессии черной дыры или ускорения в этой системе отсчета. Можно сказать, что изменение компонент углового момента /力 и импульса Pi дыры в асимптотической системе покоя описывается «законами движения и прецессии» черных дыр [205, 234]:
* = 2； = 一0 苏毋刃，(5.53а)
端=瞑=一缴"‘ 一 S^ik.(5.536)
Заметим, что хотя дыра может покоиться (Р% = 0) в этой асимптотической системе покоя в момент времени /= 0, приливная
сила (5.536) заставит ее двигаться (Р" =/=0) в следующие моменты времени /. На более специальном языке этот вывод можно выразить так: асимптотическая система покоя дыры определена как система, которая движется вдоль геодезической во внешнем искривленном пространстве-времени и осуществляет перенос Ферми ——Уолкера своих пространственных координат. Можно считать, что уравнения (5.53) представляют количественные отклонения движения дыры от геодезической и от переноса Ферми — Уолкера ее углового момента. Учитывая это небольшое различие в движении дыры и ее асимптотической системы покоя, мы добавляем слово «мгновенный» к названию этой системы и называем ее мгновенной асимптотической системой покоя дыры.
Уравнения движения и прецессии для черной дырыили нейтронной звезды в сложных внешних системах
В большинстве астрофизических исследований интерес представляет не движение и прецессия дыры относительно мгновенной асимптотической системы покоя, а ее движение и прецессия относительно внешней Вселенной. В принципе можно получить «уравнения движения и прецессии» дыры во внешней Вселенной, если на инерциальное движение и прецессию мгновенной асимптотической системы покоя дыры наложить приливную силу и вращательный момент (5.52), действующие в этой системе покоя. Хотя в принципе эта операция кажется простой, здесь могут возникнуть сложности, когда дыра достаточно массивна и оказывает существенное влияние на внешние тела (обсуждение этого вопроса см. в разд. IV работы [205]).
Обратимся к конкретной астрофизической ситуации, когда имеется система, включающая черные дыры, нейтронные звезды, обычные звезды и газовые облака, причем все эти объекты гравитационно связаны. Кроме того, каждая черная дыра может быть окружена массивным аккреционным диском; в таком случае мы условимся, что существенное гравитационное поле может создаваться лишь той частью диска, которая расположена далеко от горизонта. Пусть наиболее массивные тела в системе имеют массы 〜Л、минимальное расстояние между телами 〜Z и Z》《<. Тогда в области между телами (т. е. достаточно далеко от области сильного поля любого из тел) гравитационное поле можно аппроксимировать ньютоновским полем с точностью до относительных ошибок порядка ,«</2, а характерная величина ньютоновского потенциала 卜① | 〜,％72.
В данном подразделе мы проведем исследование гравитационных полей в этой системе и их влияния на движение и прецессию черных дыр и нейтронных звезд, входящих в нее. (Дви-
жение и прецессия обычных звезд и газовых облаков имеют почти ньютоновский характер и хорошо изучены, поэтому рассматривать их здесь нет необходимости.) При нашем анализе мы будем пользоваться таким сечением пространства-времени (таким выбором абсолютного пространства), в котором центр масс системы покоится. Более того, мы выберем это сечение так, чтобы система центра масс в области слабого поля между телами была почти инерциальной настолько, насколько это позволяет гравитационное поле. В этой системе вводятся изотропные декартовы пространственные координаты таким образом, чтобы с ньютоновской точностью функции длительности, смещения и метрические функции в области слабого поля принимали вид
a = 1 +①+ 。 (42/歹)，Р/ = 0 (從住/z昵)，
g/=6注(1 — 20) +0(.42便2) (5.54)
(см., например, гл. 39 в книге Мизнера, Торна и Уилера [129], в частности упражнение 39.15). Здесь Ф ——ньютоновский гравитационный потенциал системы.
Формулы (5.54) перестают быть справедливыми вблизи нейтронных звезд и вблизи горизонтов дыр [и их следует заменить другими выражениями, такими, как (5.12)]. Тем не менее в данном случае, как и при строгом рассмотрении движущейся шварцшильдовской дыры [формулы (5.12) ], мы можем считать, что каждая дыра или нейтронная звезда движется вдоль некоторой конкретной траектории в глобальных изотропных декартовых координатах х*
х; = хк (0 = (траектория дыры или нейтронной звезды К). (5.55)
Если мы находимся достаточно близко от тела К, так что его гравитационное поле преобладает, \ х — хк \ < го <^ (расстояние между телом К и соседними телами), но в то же время достаточно далеко от него, так чтобы его гравитационное поле было все еще слабым, \ х — хк\> rj ^ М^, то функция длительности и метрика определяются формулой (5.54) с потенциалом
①4 -①4 -++/малые эффекты \от внешних тел./малые эффекты \от внешних тел.при 〃《I X — %к I《Q；при 〃《I X — %к I《Q；(5.56а)(5.56а)
①4 -
①4 -
+
+
/малые эффекты \от внешних тел.
/малые эффекты \от внешних тел.
при 〃《I X — %к I《Q；
при 〃《I X — %к I《Q；
(5.56а)
(5.56а)
祖4 -祖4 -4mk\х ~ хк\4mk\х ~ хк\
祖4 -
祖4 -
4mk
\х ~ хк\
4mk
\х ~ хк\
а функция смещения (гравитомагнитный потенциал) будет даваться соотношением
dxK 2ё/分(丿_%幻 I /малые эффектыЧ
dt 法"J；—7 卩 \от внешних тел/
при 厂/《I х — %к I《％;(5.566)
[ср. с формулами (5.14) и (3.29)]. Здесь Мк, % = МKdx1^dt иД — это соответственно масса, импульс и угловой момент тела К в выбранной системе отсчета; мы здесь пренебрегли относительными поправками к функциям длительности и смещения и к метрике порядка \Ф\^ Мк1\ к ~ хк\. Каждая черная дыра или нейтронная звезда в этой системе будет иметь свою собственную траекторию хк (/), и вблизи (но не слишком близко) от каждой дыры или нейтронной звезды величины Ф и 0/ будут определяться соотношениями (5.56).
Ньютоновский потенциал Ф и ГМ-потенциал 仅 можно рассчитать всюду в системе, исключая области вблизи горизонтов и поверхностей нейтронных звезд. При этом используются эйнштейновские уравнения (3.34) для случая слабого гравитационного поля и медленных движений:
у/2①=4冗卩俏，у2р/ = 16npmvz, повсюду, где | ① |《1 (5.56в)
(здесь pm и W — соответственно плотность массы и скорость гравитирующей материи) с соответствующими граничными условиями, поставленными вблизи каждой черной дыры и каждой нейтронной звезды [формулы (5.56а, б) или более точные варианты этих соотношений]. Если известны траектории %к(Г) черных дыр и нейтронных звезд этот метод позволяет определить ① и 仅 в области слабого поля.
Траектория xK(t) тела К (черной дыры или нейтронной звезды) является почти инерциальной. Малые отклонения от инерциального движения описываются соотношением (5.536) для приливной силы. Мы можем при вычислениях воспользоваться этим соотношением в нашей системе покоя центра масс, а не в мгновенной асимптотической системе покоя тела, допустив при этом относительные ошибки, не превышающие по порядку величины М/Z\
(т)пр„л =亡(尸С =
=亡(一.制产以-矍^2玄)[1+0 (/2)]. (5.57)
Здесь верхний индекс 《ext》 указывает на то, что поле создается всеми внешними телами (т. е. если убрать тело К). По порядку величины 若馭〜Л陸、笏了 〜(4/Z严 jl(啰、Jk《 友поэтому
(欝％引員з此+修(贪К(5.58)
К этому полному ускорению в выбранной нами системе центра масс следует добавить ускорение, которое должна испытывать точечная масса, помещенная вблизи рассматриваемого тела, под действием тех же самых внешних гравитационных полей. С точностью ньютоновского приближения это инерциальное ускорение будет, разумеется, равно
(т)ИНер = ^ [ 1 + ° (圈Z)1 = — ^ [ 1 + ° (圈①)]〜4 •
(5.59)
Здесь ①ext — ньютоновский потенциал, создаваемый всеми другими телами системы и рассчитанный вблизи тела К. Отметим, что приливное ускорение (5.58) меньше, чем инерциальное (ньютоновское) ускорение (5.59) на фактор (^/^)3/2, т. е. является величиной «пост1>5-ньютоновского порядка». Таким образом, с высокой точностью мы можем пренебречь им.
Из формул (5.58) и (5.59) с очевидностью следует, что если ограничиться изучением движения дыры или нейтронной звезды с точностью до относительных ошибок порядка，贫/Z, то можно применить чисто ньютоновский анализ системы, при котором каждая дыра или нейтронная звезда рассматривается как ньютоновская точечная масса. Такой анализ обеспечивает точность, вполне достаточную для сравнения со всеми имеющимися на сегодняшний день данными наблюдений, исключая данные, относящиеся к двойному пульсару (система, включающая нейтронную звезду; см. гл. 12 книги [225]).
Если, с другой стороны, мы хотим описать движение с точностью до пост1>5-ньютоновского порядка, необходимо учесть ^2尤^/d/ из формул (5.58) и (5.59) с дополнительными постньютоновскими инерциальными членами. Мы выпишем эти члены в следующем подразделе для частного случая, когда все тела в системе малы по сравнению с расстояниями между ними (когда отсутствует существенное гравитационное поле, создаваемое аккреционными дисками, или протяженными газовыми облаками или другими подобными объектами).
Хотя ньютоновское рассмотрение движения дыры адекватно для практически всех интересных приложений, этого нельзя сказать о прецессии черной дыры. Причина заключается в том, что астрофизические выбросы, вероятно, выходят вдоль оси вращения черных дыр, и при изучении формы этих выбросов на основе наблюдений можно получить весьма точные сведения об истории прецессии дыры на протяжении интервалов порядка 107 лет (см. ниже разд. Б.З).
Прецессия собственного углового момента тела К (черной дыры или нейтронной звезды) в рассмотренной выше системе
относительно асимптотической системы покоя описывается уравнением для приливного вращательного момента
(5.60)(5.60)(写k
(5.60)
(5.60)
Асимптотическая система покоя в свою очередь прецессирует относительно далеких звезд, или, что эквивалентно, относительно глобальных декартовых координат / в системе центра масс, которая становится асимптотически инерциальной вдали от исследуемой системы и, следовательно, фиксированной по отношению к далеким звездам. Поскольку асимптотическая система покоя тела является инерциальной во внешнем гравитационном поле, она прецессирует точно так же, как локальный инерциальный гироскоп (см. § 40.7) книги [129]):
=+ Qgeod) X /к【1 +。(步便)]・(5.61) инер
Здесь Qgm ——угловая скорость гравитомагнитной прецессии, с которой мы уже имели дело и изучали ранее [формулы (3.21) и (3.38)]:
(5.62)(5.62)Qgm =^^eXt，
(5.62)
(5.62)
a Qgeod ——угловая скорость «геодезической прецессии»:
x/xt(5.63)
geod
с которой мы еще не имели дела потому, что она пропорциональна скорости ”к тела (гироскопа), а раньше мы рассматривали гироскопы, покоящиеся относительно ОПН. В формулах (5.62) и (5.63) g^ и 声ex' — это гравитационное ускорение и ГМ-векторное поле, создаваемые внешними источниками, в асимптотической системе покоя тела К:
"* = —уфех\ 行ext =京 X *ext (5.64)
Складывая прецессию за счет вращательного момента (5.60) с инерциальной прецессией (5.61), получаем уравнение для прецессии собственного углового момента черной дыры или нейтронной звезды К относительно глобальных декартовых координат и, следовательно, относительно далеких звезд:
d： — Qgm X」к + Qgeod 义」к + ("к)'， (5.65а) где (亦к)т ——приливный вращательный момент из (5.60), который в случае черной дыры может быть выражен следующим
образом:
(%к) =QtX」k Для черной дыры. (5.656)
В соотношениях (5.65) Qr [формула (5.52а‘)], Qgm [формула (5.62) ] и Qgeod [формула (5.63)] — это угловые скорости прецессии (соответственно прецессия, вызванная приливным вращательным моментом, гравитомагнитная и геодезическая).
Ниже в разд. Б мы рассмотрим несколько модельных задач, позволяющих разобраться в этих трех видах прецессии.
Уравнения движения и прецессии системы,состоящей исключительно из тел, размеры которых малыпо сравнению с расстояниями между телами
В качестве примера систем, рассмотренных в подразд. 5, возьмем систему, состоящую исключительно из тел, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними —— настолько малы, чтобы выполнялось условие:
Л = (максимальный размер тела)《(乂/①尸佟，(5.66)
где Л — максимальная масса тела и 35 — минимальное расстояние между телами. В такой системе приливные силы T阂[с I例需I W(胫/0)(阕①)1/2 и I厂|《JTj н -厶驴^詁 [с \3аь\^ле и I 齒鶉 У 胫/Z1 могут достигать пост-нью- тоновских величин (пост1>5-ньютоновских в случае черной дыры), но все приливные силы более высоких порядков, которыми мы пренебрегли [ср. текст после формулы (5.47)], должны быть величинами пост2-ньютоновского порядка или меньше. Аналогично приливный вращательный момент 器贽 может достигать пост-ньютоновского значения (пост^5-ньютоновского в случае черной дыры), но все приливные вращательные моменты более высоких порядков должны быть величинами пост2-ньютонов1ского порядка или меньше.
Торн и Хартль [205] вывели для таких систем уравнения движения и прецессии с точностью вплоть до пост1«5-ньютонов- ской величины; в последнем разделе мы кратко познакомимся с этим выводом. Результаты их анализа таковы:
Тело К движется по траектории %£(/), которая в нашей системе центра маос определяется из уравнения:
財К ^L =尸产切+ 心(so)+尸炉)+尸1.(5.67)
Четыре силы в правой части будут выражены через массы МА, собственные угловые моменты /л и квадрупольные моменты
，4 различных тел, а также через координатные скорости:
М 三 уав = уд — vL(5.68а)
координатные расстояния:
гав = [б/场(以一％%) (%¥ —(5.686)
тела：тела：и единичные векторы, направленные по линиям, соединяющим
тела：
тела：
(5.68в)(5.68в)/ ХА 一 ХВпдв =гав
(5.68в)
(5.68в)
при этом мы будем пользоваться векторными обозначениями для плоского пространства. В частности, F^d} — инерциальная сила Эйнштейна, Инфельда и Гофмана [65] [формула (39.64) в книге [129]]:
尸戈IH)= 〉 _a к nAK 1 -4
4 a I 2 小 45 (4 a I 2 小 45 (Q+^ + 2^-Q+^ + 2^-—鼠—鼠一 3 /…k一万（一 3 /…k一万（-z4*K-z4*KГАКГАК71K . (3匕一4%)+71K . (3匕一4%)+
4 a I 2 小 45 (
4 a I 2 小 45 (
Q+^ + 2^-
Q+^ + 2^-
—鼠
—鼠
一 3 /
…k一万（
一 3 /
…k一万（
-z
4*K
-z
4*K
ГАК
ГАК
71K . (3匕一4%)+
71K . (3匕一4%)+
+/ пса2，(5.69а)
幺邑 Г^eа
которая включает ньютоновские эффекты порядка ^2/^2 и пост-ньютоновские эффекты порядка ^<з/?з и верна с точностью до ошибок порядка пост2-ньютоновской величины 及4/%4 в (5.67) FxO) — «спин-орбитальная сила»:
尸，°)= Z “;3 [6〃К4 (/4 X n^A)v7<x + 4」к X ”К4 —
—6 (/д X ni^A)(VKA • 〃К4)] + 2 ~~~Г\^ПКА (‘К X 〃КА)义 “КА +
+ 3」к X ”К4 — 3 (〃 X "а) ("/и • "каН， (5.696)
(险72)7/2, когда /д(险72)7/2, когда /дкоторая имеет пост>-ньютоновский порядок величины или /к является собственным угловым моментом нейтронной звезды или дыры. Первое слагаемое в выражении этой спин-орбитальной силы появляется вследствие инерциального (геодезического) движения тела К в гравито- магнитном поле, создаваемом собственным угловым моментом тела А (сила ”кХ"д), а второе слагаемое возникает из-за приливной силы 笼了风 определяемой соотношением (5.57). В (5.67)方戈s)_«спин-спиновая сила》：
(险72)7/2, когда /д
(险72)7/2, когда /д
Ьк“')= V —Ц- [—3〃к4 (〃 • /力一3〃(〃К4 • ^а)—
—3/д•」к) + ^пКА (пКА ' /к)(〃К4 * 〃)】，(5.69в)
которая имеет пост-ньютоновский порядок величины (^/2)4 и, следовательно, пренебрежимо мала, если оба собственных угловых момента принадлежат нейтронным звездам или черным дырам, но которая становится величиной пост1>5-ньютонов- ского порядка или даже больше и, следовательно, существенна, если одно или оба тела имеют собственный угловой момент I /1 2 及3/2%1/2. эта сила возникает исключительно из-за приливной силы —纳尸/左.И наконец, F? в (5.67)—«квадрупольная сила»:
+ Z[з 夕 к •枕 кА —у- пка (几 к а • "к • 〃к,4)]，(5.69г)
имеющая пост2-ньютоновский порядок величины (及/必)支 Следовательно, ею можно пренебречь, когда квадрупольный момент принадлежит нейтронной звезде или черной дыре, но она становится величиной пост1)5-ньютоновского порядка или больше и, следовательно, начинает быть существенной, если
которая в применении конкретно к нашей системе многих тел имеет вид
醬=掰M) + 3不叫x4 +応⑴ (5.70)
Здесь (2丈М)——угловая скорость гравитомагнитной прецессии [формула (5.62)];
Qk = ) Г【一〃 + 3〃К4(〃К，4 /)] + X Г~Х〃К』，
А#К 厂厶КА，К “К
(5.71а)
Q$eod)__ уГЛОвая скорость геодезической прецессии [формула (5.63)]:
譲eod)= 2 一等以乎义/4(5.716)
и Np— приливный вращательный момент [формула (5.65а)]:
”/)=— > 3T〃nX?K"h，(5・71в)
который в случае черной дыры можно записать в виде [формула (5.656)]:
旗)=6趴大/к，加⑴=2,3 (今)(/^±) . пКА. (5.71в) [Замечание: Торн и Хартль [205] немного иначе определяют Q器'° и Q戈е°"), и по этой причине последний член в формуле (5.71а) переходит в формулу (5.716); ср. с формулами (4.17а, б) из [205].)
В этой системе координат, связанной с центром масс, функция длительность, функция смещения и пространственная метрика даются соответственно следующими выражениями:
3 -4 2 券^ - 2 Z ^俨 + О (春｝ (5.726) g〃 = 6〃[l+2^^] + O(^)(5.72b)
ср. с формулой (4.2) в работе [205], где для а приведены некоторые поправки более высоких порядков].
Б. Модельные задачи о прецессии черных дыр
Черная дыра в центре эллиптическогозвездного скопления
В качестве простого примера прецессии черной дыры рассмотрим дыру, покоящуюся в центре эллиптического звездного скопления, скажем в ядре галактики. Ясно, что система отсчета, связанная с центром масс, является общей системой покоя как для центра скопления, так и для дыры, и симметрия в этой системе отсчета обеспечивает отсутствие гравитационного ускорения, испытываемого дырой, gext = 0. Предположим для простоты, что в среднем каждой звезде, обращающейся вокруг центра по часовой стрелке, соответствует звезда, обращающаяся вокруг центра против часовой стрелки, т. е. предположим, что среднестатистический импульс р в каждой точке скопления равен нулю. Предположим также, что оси вращения звезд ориентированы случайным образом (хотя в любой реальной астрофизической ситуации эффектами, связанными с собственными угловыми моментами звезд, можно пренебречь). Тогда полный угловой момент скопления обращается в нуль, как и функция смещения Р7' и ГМ-поле в месте расположения дыры "ext = V X ₽ext. Поэтому инерциальная (гравитомагнит- ная плюс геодезическая) составляющая прецессии черной дыры [формулы (5.61) — (5.64) ] обращается в нуль, и остается не равной нулю только прецессия, обусловленная приливным вращательным моментом /VT = QT X /, Qi7= — S^a]1 [формула (5.52az)].
Мы предположим, что скопление звезд не настолько компактно, чтобы его гравитационное поле считалось релятивистским. Тогда приливное поле 覇計 в вакууме вблизи дыры представляется обычным ньютоновским выражением
Ориентируя наши декартовы координаты вдоль главных осей скопления, можно привести 器：^‘ в его центре к следующему виду：
器提乎=—邕》=—2л^т1у,
器釁=—2лр,п/г,矍扌=器^ =交乎=0, (5.74) где рт ——средняя плотность массы скопления, а /%, /у, /2 —— безразмерные постоянные, которые существенным образом зависят от формы скопления, но слабо зависят от радиального
(5.75)(5.75)профиля плотности и (поскольку след тензора 匿；^‘ равен 0) удовлетворяют соотношению
(5.75)
(5.75)
厶+ 4 +厶=0.
В простом случае эллиптического скопления с однородным распределением плотности и главными полуосями а%, ау, az, имеющего сферическую полость в центре, в которой находится черная дыра, величины //, как нетрудно показать, равны /; = А,—— —2/3, где Aj — величины, приводимые Чандрасекаром [см. книгу [35], гл. 3, формулы (31) — (37)]. Например, если взять осесимметричный сплюснутый эллипсоид, ах = ау> az, с эксцентриситетом е=(1—冠/喲，то
厶=4 =—万厶=arcsin e — n + T
2
4——jye? при е《1 (почти сфера)
2
亠 ——彳при е 亠1 (《блин》).(5.76)
В случае осесимметричного скопления, если ось вращения дыры 了 ориентирована под углом 9 к оси симметрии скопления, угловая скорость прецессии QT, вызванной вращательным моментом [формула (5.52az)], принимает вид:
Qt =——I" а齒甥 cos 0e2 = 3npmtz/z cos 8亀. (5.77)
(Здесь были отброшены те члены в выражении Йт, которые параллельны / и, следовательно, не вносят вклада во вращательный момент, действующий на дыру.) Таким образом, если скопление осесимметрично, дыра испытывает простую плавную прецессию вокруг оси симметрии скопления с постоянной угловой скоростью, причем величина ее равна нулю, если оси дыры и скопления ортогональны (6 =冗/力)；если же 9 не близко к 冗/2, то угловая скорость прецессии равна
Q…G2c%M 9IM)1z 〜e7)( 2m。爲.*扌)X
Х( 10北0 )备厶・ (5.78)
Таким образом, прецессия под действием вращательного момента достаточно велика и представляет интерес (QT > > 1/108 лет) только в том случае, если очень высока плотность звездного скопления (р^ > 109 солнечных масс на кубический
световой год) и если дыра очень массивна (М 为 108 солнечных масс).
Если скопление не является осесимметричным, то из формулы (5.52а") следует, что угловая скорость прецессии QT меняется в ходе прецессии дыры и характер прецессии может быть довольно сложным.
Черная дыра,окруженная массивным аккреционным диском
В качестве второго примера прецессии черной дыры рассмотрим дыру, окруженную аккреционным диском, внешние области которого столь массивны, что их собственным гравитационным полем пренебрегать нельзя. Для простоты примем идеализированную модель внешней (массивной) области диска в виде тонкого кольца массы Mr и радиуса 6, а чтобы еще больше упростить задачу, предположим, что это массивное кольцо расположено вне радиуса Бардина — Петтерсона (разд. IV. Б), b > r^p^ М; в этом случае оно не обязательно должно лежать в экваториальной плоскости дыры (рис. 33).
Благодаря симметрии условий задачи дыра покоится в центре масс всей системы и gext обращается в нуль там, где расположена дыра. Однако ни гравитомагнитное поле диска "ext, ни его приливное поле S^ не обращаются в нуль, поэтому они оказывают воздействие на дыру посредством вращательных моментов [формулы (5.52а", (5.62) и (5.65)]. Ориентируя оси наших глобальных (почти-) декартовых координат так, чтобы кольцо лежало в плоскости % — у, мы можем привести выражения гравитомагнитного и приливного полей кольца [формулы (3.34) и (5.73)] в месте расположения дыры, х = у = г = 0,к следующему виду:
(5.79а)(5.79а)
(5.79а)
(5.79а)
器缪=一豆苏真‘=一万齒;寸 =-^ •(5.796)
Здесь Mr и Al”一 массы кольца и дыры, Jr — угловой момент кольца [предполагается, что вещество кольца обращается вокруг дыры с кеплеровской угловой скоростью Qr = (М”/63) 1/2].
Поскольку 齒/' обладает той же алгебраической структурой, что и в случае осесимметричного эллиптического звезд
ного скопления, угловая скорость прецессии QT, вызванной при-
Рис. 42. Черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском, который представлен в виде идеализированного тонкого кольца. И дыра, и кольцо испытывают гравитомагнитную прецессию вокруг вектора их суммарного >>->углового момента Jt = Jh + Jr [формула (5.86)]Рис. 42. Черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском, который представлен в виде идеализированного тонкого кольца. И дыра, и кольцо испытывают гравитомагнитную прецессию вокруг вектора их суммарного >>->углового момента Jt = Jh + Jr [формула (5.86)]ливным вращательным моментом, имеет тот же вид, случае звездного скопления [формула (5.77)]:
Рис. 42. Черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском, который представлен в виде идеализированного тонкого кольца. И дыра, и кольцо испытывают гравитомагнитную прецессию вокруг вектора их суммарного >>->
углового момента Jt = Jh + Jr [формула (5.86)]
Рис. 42. Черная дыра, окруженная массивным аккреционным диском, который представлен в виде идеализированного тонкого кольца. И дыра, и кольцо испытывают гравитомагнитную прецессию вокруг вектора их суммарного >>->
углового момента Jt = Jh + Jr [формула (5.86)]
что и вчто и вйт= — 2" a/zz cos 6« =—万一^~ cos 8& .(5.80)
что и в
что и в
ОСЬЮ тоже % —ОСЬЮ тоже % —◎ gm =2 “ex'◎ gm =2 “ex'匕з匕з2% (m小3)1/2 >2% (m小3)1/2 >(5.81)(5.81)где 9 — угол между осью симметрии кольца (осью г) и вращения дыры (рис. 42). Гравитомагнитное поле кольца создает прецессию вокруг оси z, dJH/dt = QGm X где угловой момент дыры, и
ОСЬЮ тоже % —
ОСЬЮ тоже % —
◎ gm =2 “ex'
◎ gm =2 “ex'
匕з
匕з
2% (m小3)1/2 >
2% (m小3)1/2 >
(5.81)
(5.81)
есть угловая скорость гравитомагнитной прецессии. Отношение абсолютных величин угловых скоростей этих составляющих
1/2< 1.1/2< 1.I 0GM I 4I 0GM I 4прецессии равно
1/2
< 1.
1/2
< 1.
I 0GM I 4
I 0GM I 4
(5.82)(5.82)同 I — 3 а
(5.82)
(5.82)
Таким образом, гравитомагнитное поле кольца " создает намного более сильную прецессию, чем взаимодействие приливного поля кольца 咅/々 с квадрупольным моментом дыры. Этот результат может показаться неожиданным для тех читателей, которые привыкли думать об Н как о пост-ньютоновском поле, а об ^jk — как о ньютоновском поле. Противоречие с интуицией, основанной на пост-ньютоновском опыте, объясняется крайней компактностью дыры, вследствие которой квадруполь-
ный момент, ^jkМна ^ Мн^ оказывается чрезвычайно ма
лым даже в случае быстрого вращения а М.
Угловая скорость гравитомагнитной прецессии (5.81) равна
。"（「）（/）（謐J（屮广
1Ю6 лет1Ю6 лет(5.83)(5.83)
1
Ю6 лет
1
Ю6 лет
(5.83)
(5.83)
поэтому прецессия может быть существенной в астрофизическом смысле, даже если кольцо менее массивно, чем дыра.
Следует учитывать, что не только кольцо заставляет прецессировать дыру, но и дыра заставляет прецессировать кольцо. Пост-ньютоновский закон сохранения полного углового момента (сформулирован Чандрасекаром [34]; обзор по этому вопросу см. в разд. 4.4b книги [225]) гарантирует, что и прецессия, вызванная вращательным моментом, и гравитомагнитная прецессия должны удовлетворять равенству
(5.84)(5.84)dJ гт dJ п
(5.84)
(5.84)
F + 丁 = °・
Как следует из формул (4.6) и (5.81), для доминирующей гравитомагнитной прецессии
так что сумма (5.84) действительно равна нулю. Поскольку оба момента /戻 и /” прецессируют и, следовательно, не являются постоянными векторами, желательно переписать формулы (5.85) в следующем виде:
к + (5.86)
откуда видно, что и ", и “ прецессируют вокруг вектора сохраняющегося суммарного углового момента ]т (ср. с рис. 42). Заметим, что отношение абсолютных величин JR и Тн равно
I Jн I мна
Таким образом, с учетом характерных числовых значений, даваемых формулой (5.83), можно сказать, что хотя масса кольца несколько меньше, чем масса дыры, его угловой момент несколько больше и амплитуда прецессии дыры, следовательно, несколько превышает амплитуду прецессии кольца.
Черная дыра в двойной системе
В качестве третьего примера прецессии черных дыр мы рассмотрим двойную систему, в которой одно из тел является черной дырой. Вначале в качестве наводящих соображений мы предположим, что другое тело намного более массивно, чем черная дыра, Мв》М〃. Пусть независимо от того, является ли это тело черной дырой или звездой, его угловой момент и квадрупольный момент будут иметь соответственно такие величины:
I /8нMbRb VМв|统 =7m款8，
\^в\^ MbR^(5.88)
где Rb — радиус тела и у/Мв/Р^ — максимальная угловая скорость, при которой тело может вращаться, не разрушаясь.
Поскольку система отсчета, связанная с центром масс системы, привязана к телу, орбита дыры относительно наших глобальных почти-декартовых координат почти-кеплеровская. Предположим для простоты, что орбита круговая, и сориентируем наши координаты так, чтобы орбита лежала в плоскости х — у. Тогда
嘗=氟＞4;嘉=(鲁)"n，(5.89)
где Е«)—положение черной дыры в выбранных координатах, а ^ — угловая скорость кеплеровского движения.
Приливное поле S^ там, где расположена дыра, создается двумя источниками: это «ТИ5/г-потенциал» тела и «е7/^/г3-по- тенциал». Последний источник доминирует, превосходя первый по меньшей мере на множитель WRb)\ и определяется соотношением
器患= 3(—+ 6加，(5.90)
где 3 = E"b — единичный вектор, направленный от тела к дыре. Это приливное поле вызывает прецессию собственного углового момента дыры [формула (5.52а')] под воздействием вращательного момента, причем угловая скорость этой прецес-
сии равна
Q? = За cos %(5.91)
где 0 — угол между вектором собственного углового момента дыры / и направлением 自 от тела к дыре [заметим, что мы опустили в (5.91) ту часть Qr, которая параллельна /].
Угловой момент тела создает гравитомагнитное поле 方‘気， которое в том месте, где расположена дыра, определяется стандартной дипольной формулой (3.36). Это поле //ext приводит к гравитомагнитной прецессии [формула (5.62)] собственного углового момента дыры с угловой скоростью, равной
3GM = 一 m二也(5.92)
[ср. с формулой (5.71а)].
->->ext
Движение d^/dt дыры в гравитационном поле тела g = =—(Мв/Ь2) ^ приводит к геодезической прецессии с угловой скоростью [формула (5.63)]
de°d =式窑 X Уt) =4 学氤 (5.93)
Отношения абсолютных величин угловых скоростей этих трех прецессий ——вращательной, гравитомагнитной и геодезической —равны
->->0GM 1 • 1 Qgeod I0GM 1 • 1 Qgeod I(5.94)(5.94)
->
->
0GM 1 • 1 Qgeod I
0GM 1 • 1 Qgeod I
(5.94)
(5.94)
Здесь мы считали, что тело вращается максимально быстро, насколько это возможно,——так, чтобы ГМ-прецессия была как можно больше [ср. с формулой (5.88) ]. Таким образом, вращательная прецессия всегда пренебрежимо мала по сравнению с геодезической; если дыра находится далеко от тела, b》Rs, то и ГМ-прецессией тоже можно пренебречь.
Доминирующая геодезическая прецессия аналогична прецессии спина электрона в классической модели атома водорода. Точно так же как движение электрона в электрическом поле Е ядра индуцирует в системе покоя электрона магнитное поле ВИнд =——WE/山)X Е, создает вращательный момент 卩 X Винд и в результате приводит к прецессии спина электрона [«атомное спин-орбитальное взаимодействие»; ср. с формулами (5.61) — (5.63)], движение гироскопа в поле gext индуцирует в системе
Рис. 43. Иллюстрация происхождения прецессии, обусловленной пространственной кривизной, а ——диаграмма погружения для абсолютного пространства внутри и снаружи некоторого тела (звезды) массы Мв\ черная дыра массы Мн《Мв вращается вокруг звезды вдоль штриховой кривой, причем локальная пространственная геометрия точно такая же, как на конусе, изображенном пунктиром, 6 — если из круга вырезать малый сектор ВАВГ, а оставшуюся часть склеить в единое целое, то получится пунктирный конус. Вектор собственного углового момента дыры, ориентированный так, как показано на рисунке, испытывает прецессию, обусловленную пространственной кривизной (5.96).Рис. 43. Иллюстрация происхождения прецессии, обусловленной пространственной кривизной, а ——диаграмма погружения для абсолютного пространства внутри и снаружи некоторого тела (звезды) массы Мв\ черная дыра массы Мн《Мв вращается вокруг звезды вдоль штриховой кривой, причем локальная пространственная геометрия точно такая же, как на конусе, изображенном пунктиром, 6 — если из круга вырезать малый сектор ВАВГ, а оставшуюся часть склеить в единое целое, то получится пунктирный конус. Вектор собственного углового момента дыры, ориентированный так, как показано на рисунке, испытывает прецессию, обусловленную пространственной кривизной (5.96).
Рис. 43. Иллюстрация происхождения прецессии, обусловленной пространственной кривизной, а ——диаграмма погружения для абсолютного пространства внутри и снаружи некоторого тела (звезды) массы Мв\ черная дыра массы Мн《Мв вращается вокруг звезды вдоль штриховой кривой, причем локальная пространственная геометрия точно такая же, как на конусе, изображенном пунктиром, 6 — если из круга вырезать малый сектор ВАВГ, а оставшуюся часть склеить в единое целое, то получится пунктирный конус. Вектор собственного углового момента дыры, ориентированный так, как показано на рисунке, испытывает прецессию, обусловленную пространственной кривизной (5.96).
Рис. 43. Иллюстрация происхождения прецессии, обусловленной пространственной кривизной, а ——диаграмма погружения для абсолютного пространства внутри и снаружи некоторого тела (звезды) массы Мв\ черная дыра массы Мн《Мв вращается вокруг звезды вдоль штриховой кривой, причем локальная пространственная геометрия точно такая же, как на конусе, изображенном пунктиром, 6 — если из круга вырезать малый сектор ВАВГ, а оставшуюся часть склеить в единое целое, то получится пунктирный конус. Вектор собственного углового момента дыры, ориентированный так, как показано на рисунке, испытывает прецессию, обусловленную пространственной кривизной (5.96).
покоя гироскопа гравитомагнитное поле //ИНд = — (^WO X создает вращательный момент ―1^ X ^инд и в результате приводит к «спин-орбитальной» прецессии гироскопа с угловой скоростью
Qso = —= —丁у — Qk- (5.95)
Эта величина составляет одну треть от угловой скорости геодезической прецессии (5.93).
В атоме водорода имеет место также и «прецессия Томаса», являющаяся следствием того факта, что произведение двух 《бустов скорости» дает комбинацию《буста и вращения》.В нашей гравитационной задаче прецессии Томаса нет, поскольку мы предполагаем, что гироскоп движется по траектории свободного падения, т. е. ускорение относительно локально инерциальных систем отсчета отсутствует и, следовательно, 《бустов》 нет. С другой стороны, в случае гравитационного поля появляется новый аспект — кривизна пространства,——не имеющий аналога в электромагнетизме, и эта пространственная кривизна приводит к совершенно незнакомому типу прецессии. На рис. 43,〃 мы видим диаграмму погружения (ср. с рис. 2) для искривленного пространства вокруг массивного тела. Пунктирная линия——это круговая орбита гироскопа. Гироскоп может «чувствовать» только ту часть пространства, которая находится в
непосредственной близости от его орбиты. Это позволяет произвести упрощение, полезное в методическом отношении, — диаграмму погружения реального искривленного пространства, поверхность которой имеет форму параболоида, заменить конусом (пунктирная линия), который касается параболоида вдоль орбиты гироскопа. Такой конус можно построить, нарисовав кружок на плоском листе бумаги (рис. 43, б), вырезав сектор в форме кусочка пирога (ВАВ^) и соединив затем разрезы АВ и ABf вместе. В процессе движения гироскопа по орбите вокруг конуса вектор его собственного углового момента все время направлен в одном и том же фиксированном направлении в плоской геометрии листа бумаги, служащего поверхностью конуса (стрелки на рис. 43,6; локальной прецессии нет). Однако легко видеть, что, вырезая сектор из бумажного кружка и склеивая конус, мы получим результирующую прецессию собственного углового момента, когда гироскоп возвращается в исходную точку В = В'. По форме поверхности погружения [формула (2.6) с г — 2М ^ г] и по тому, как строился конус, легко сообразить, что результирующий угол прецессии за один период обращения по кеплеровской орбите 2冗/Qk равен 2лМв/Ь, что соответствует угловой скорости прецессии
Qsc = 2冗—^ 2л" = ь Qk = 2Qso・(5.96)
Отметим, что угловая скорость прецессии, вызванной кривизной пространства, равна удвоенной угловой скорости спин-орбиталь- ной прецессии (5.95). Две эти прецессии, вместе взятые, составляют геодезическую прецессию (5.93).
Если тело ——компаньон черной дыры в двойной системе —— лишь ненамного более массивно, чем дыра, т. е. если Мв W то и тело, и дыра будут двигаться вокруг их общего центра масс. В случае круговых орбит, если обозначить через £〃 единичный вектор, направленный от тела к дыре, а через b ——расстояние между телом и дырой, то положения тела и дыры относительно центра масс (т. е. начала координат) будут таковы:
=(5.97a) а их скорости будут
=-^- = Qk X 自"，Qk (5.976) где
苗=(*)1/2 訂 M = MB + MH. (5.97b)
Как и при Мв》М〃, в рассматриваемом случае вращательная прецессия и ГМ-прецессия, вызванная собственным угловым моментом тела, пренебрежимо малы по сравнению с геодезической прецессией. Однако движение тела вносит вклад в ГМ- прецессию:
₽eXt = - •聲麼—,声ext = у X ₽eXt =
= —^7нХ、В при х =
◎gm = — q ”ех‘= 2gg X Vg, ёв~ ~ ('Jr')^(5.98a)
[формулы (5.566) и (5.64)], который сравним по величине с геодезической прецессией или превышает ее
^geod = Qsc + ^SO = у V// X ^•(5.986)
Складывая эти две прецессии и используя кеплеровские соотношения (5.97), мы получаем следующий результат для суммарной угловой скорости прецессии собственного углового момента дыры:
->>3% + ц^в^н / приведенная、
Qge°d+QGM= 26масса 丿.
(5.99)
Пока разница в массах дыры и ее компаньона не слишком велика, орбитальный угловой момент будет сильно превышать собственные угловые моменты дыры и тела, а это означает, что гравитомагнитные силы не будут приводить к заметной прецессии орбиты и сумма QgeOd + Qgm будет оставаться практически постоянной во времени.
Формула для прецессии (5.99) впервые была получена для слабо гравитирующих тел с 卩《Мв де Ситтером [56] применительно к Солнечной системе; при этом роль вращающегося тела играла система Земля ——Луна, а роль массивного центрального тела (В) играло Солнце. Формула (5.99) в случае слабо гравитирующих тел, но с 卩〜Мв была впервые получена Вакером и О'Коннеллом [5], а ее справедливость для черных дыр, так же как и для слабо гравитирующих тел, была впервые строго доказана Д'Зсом [53]. Дополнительные выражения для существенно более слабой гравитомагнитной прецессии, вызванной собственным угловым моментом, прецессии, вызванной приливным вращательным моментом, и прецессии самой орбиты были получены в случае слабо гравитирующих
Рис. 44. Карта радиоизофот прецессирующего выброса из квазара 2300-189. Предполагается, что по своему происхождению эта прецессия является геодезической. Сплошная линия — это форма, которую можно предсказать (исходя из теоретических расчетов с параметрами, согласующимися с наблюдениями), если выброс состоит из газа, движущегося по баллистической траектории после того, как он был выброшен вдоль прецессирующей оси. (Рисунок заимствован из работы [104].)
тел, например, Вакером и О'Коннеллом [5], а для черных дыр Д'Зсом [53] и Торном и Хартлем [205]; все эти выражения можно вывести из формул (5.70) и (5.71).
Бегелман, Блэндфорд и Рис [9] высказали утверждение, что две сверхмассивные черные дыры могут нередко находиться в одном и том же ядре галактики. Если это так, то гравитационное увлечение, вызываемое обычными звездами («приливное трение》) будет заставлять две дыры постепенно приближаться к центру ядра галактики, где они легко встретятся и образуют двойную систему. Если в окрестности одной из дыр формируется выброс, направление которого определяется напра-
влением ее собственного углового момента, то выброс будет прецессировать с угловой скоростью
с I с ЗМ0 / М、1/2 &2geod 十 &必М 二-^- （歹 J
，1 V м° V M Y/2 （1017 CM Y/2
ч Ю4 лет 丿（108Mo丿（108Mo丿（一^ —丿,（5-Ю0）
где Af0 ——масса другой черной дыры, а М — сумма масс двух дыр. На рис. 44 показана радиокарта выброса из квазара 2300-189. Возможно, форма выброса отражает прецессию именно такого характера.
Гравитационное взаимодействие черной дырыс близлежащим веществом
Р. Прайс, К. Торн, И. Редмаунт
Теперь мы обратимся к взаимодействию черной дыры с веществом в непосредственной близости от нее. Это может быть вещество планеты, обращающейся вокруг черной дыры, вещество аккреционного диска, постепенно, по спирали падающее в дыру, вещество астероида, испытывающего лобовое столкновение с дырой, или вещество ведра, спускаемого к дыре на конце длинной веревки. В каждом из этих случаев нас может заинтересовать вопрос о влиянии вещества и его гравитационного поля на форму и эволюцию горизонта черной дыры, а также вопрос о воздействии дыры на вещество.
Анализ аналогичных задач электромагнетизма облегчался двумя наборами математических, наглядных и эвристических приемов: 1) электрические и магнитные силовые линии и законы Гаусса, Ампера и Фарадея, которым они подчиняются, и 2) мембраноподобные свойства горизонта и роль этих свойств в описании взаимодействия горизонта с внешними электрическими и магнитными полями. В случае задач, касающихся гравитации, описание горизонта как мембраны оказывается столь же эффективным. Однако вне горизонта не существует простых и плодотворных гравитационных аналогий электрическим и магнитным силовым линиям или законам Гаусса, Ампера и Фарадея. Поэтому те представления о гравитационных взаимодействиях, которые нам удастся получить на основе мембранного формализма, окажутся несколько менее плодотворными, чем то, к чему мы пришли в случае электромагнетизма, но тем не менее они будут весьма полезны.
Наше исследование возмущенных черных дыр разбивается на четыре части. В разд. А мы сформулируем основные идеи, необходимые для исследования, уделив особое внимание выбору мирового времени и ОПН вне динамически возмущенной черной дыры, выбору положения растянутого горизонта и выбору приливных гравитационных полей в качестве носителей информации об этих возмущениях. Затем в разд. Б мы разовьем количественное описание внешних областей вокруг черной дыры, сосредоточив особое внимание на возмущенных приливных полях, а также на энергии, импульсе и натяжении ма-
терпи ——факторах, создающих приливные поля. Затем в разд. В мы разовьем мембраноподобное описание взаимодействия вещества и создаваемых им приливных полей с растянутым горизонтом. В гл. VII этот формализм будет применен к ряду модельных задач, которые позволят нам разобраться в физической картине гравитационных взаимодействий вещества (С черными дырами.
А. Основные понятия
В гл. II и III этой книги мы изложили основные идеи мембранного формализма ——3+ 1-расщепление пространства-времени на пространство плюс время, выбор ОПН, введение растянутого горизонта — для черных дыр с шварцшильдовской, либо керровской пространственно-временной структурой. Теперь, приступая к изучению возмущенных дыр, мы должны вновь обратиться к основам. Это необходимо, поскольку гравитация есть проявление кривизны пространства-времени, т. е. гравитационно-возмущенная дыра обладает иной пространственно-временной структурой, отличающейся от соответствующей структуры шварцшильдовской или керровской дыры. В рассматриваемом случае требуется иное 3+ 1-расщепление, другой выбор ОПН и другой выбор растянутого горизонта.
В этой книге мы ограничимся рассмотрением черных дыр, которые хотя и могут заметно эволюционировать за характерные астрофизические интервалы времени, но тем не менее всегда остаются по своему виду почти керровскими. Это означает, что каждую изучаемую дыру на любом этапе ее эволюции можно характеризовать массой М и угловым моментом /; при этом ее пространственно-временная структура на каждом этапе будет соответствовать почти керровской дыре с данными М п J. Отклонения от керровской структуры (гравитационные возмущения) будут вызваны гравитационным воздействием вещества, находящегося в окрестности дыры или далеко от нее, и эти возмущения приведут к эволюции Л1 и / за характерное время t* М.
Кроме того, мы ограничимся рассмотрением коротких (AZ《％*) стадий в эволюции возмущенной дыры. Это позволит нам аппроксимиро!вать структуру дыры с учетом эволюции М и / в виде малых возмущений, наложенных на постоянную, неэволюционирующую керровскую дыру.
Мы ограничиваемся рассмотрением малых возмущений, наложенных на керровскую структуру, мотивируя это стремлением к простоте анализа. В пользу такого ограничения говорит и то обстоятельство, что большинство реальных астрофизиче-
ских ситуаций, понвидимому, относится к указанному типу. Однако это ограничение вовсе не присуще мембранному формализму. Обобщение этого формализма на случай сильно возмущенной (существенно некерровской), быстро эволюционирующей дыры см. в [163].
Прежде всего четко определим выбор ОПН и мирового времени (т. е. выбор 3+ 1-расщепления), которым мы будем пользоваться лри описании черной дыры, слабо возмущенной по сравнению с постоянной керровской структурой. Будем выбирать наших ОПН и мировое время, руководствуясь следующими правилами (рис. 45). 1. Мировые линии ОПН ортогональны (в пространственно-временном смысле) сечениям постоянного мирового времени Z,夕九 2. ОПН и мировое время являются по своему виду почти керровскими, насколько это позволяет наличие возмущений. 3. Очень близко от дыры ОПН «прижимаются» к истинному горизонту (абсолютному горизонту событий) возмущенного пространства-времени так, чтобы их мировые линии а) покрывали все пространство-время вне истинного горизонта, б) всюду оставались времениподобными и в) по мере асимптотического приближения ОПН к истинному горизонту асимптотически приближались к нулевым генераторам горизонта. Доказательство возможности такого выбора ОПН и мирового времени дано в разд. III и IV работы [163].
Как в керровском случае, так и в случае возмущенной черной дыры мы мысленно соберем воедино 3-мерные сечения постоянного мирового времени 7 и будем рассматривать их как искривленное абсолютное пространство, в котором с течением мирового времени протекают все физические процессы. В этом абсолютном пространстве мы введем «фиксированные по отношению к звездам» координаты %1 = г, %2 = 0,炉=«, которые, насколько это позволяют возмущения, почти совпадают с координатами Бойера ——Линдквиста. Тогда абсолютное пространство будет описываться метрикой g订，движение пространственных координат относительно ОПН ——функцией смещения 仇，и отношение темлов хода часов, отсчитывающих собственное время ОПН и мировое время, — функцией длительности а, которая будет иметь почти стандартный керровский вид:
(嘗)0nH (告工^三a；(6.1)
gii = ^?/ + gib 『三 B" + B“，а = а° +(/. (6.2)
Здесь верхний индекс《о》указывает на то, что величина имеет функциональный стандартный вид для керровской дыры с постоянной массой М и параметров углового момента а = J/M, которые соответствуют невозмущенному неэволюционирующему
Рис. 45. Пространственно-временная диаграмма, изображающая рождение и последующую медленную эволюцию гравитационно возмущенной, но невращающейся черной дыры (ср. с рис. 1,а, 6). Внутреняя сплошная кривая, помеченная буквой 非，——это истинный горизонт (абсолютный горизонт событий), а внешняя сплошная кривая, помеченная 縱、——это растянутый горизонт. Мировые линии ОПН (показанные штрихами) прижимаются к истинному горизонту, как изложено в разд. А, а сечения постоянного мирового времени g% и В( (абсолютное пространство в моменты времени 九 и /2), которые ортогональны мировым линиям ОПН, тоже приближаются к истинному горизонту. Поскольку сечение 夕介 «глубоко уходит» в прошлое, мы вправе считать массу дыры Л1 и ее угловой момент / постоянными на ^tx только в том случае, если произведем усечение 夕九 на растянутом горизонте, который расположен не слишком близко к истинному горизонту. Это ограничение наряду с другими факторами приводит к условию (6.5) на величину а〃. Точки 死 и 先 на растянутом горизонте соответствуют точкам 乡i и 乡2 на истинном горизонте и выступают в роли их заменителей, как это описано в разд. В. Аналогично опороны на растянутом горизонте в точке 死 и 夕2 заменяют генераторы на истинном горизонте соответственно в точках 俨i и 乡2. (Рисунок заимствован из работы [163].)
состоянию [формула (3.6)], а штрихом обозначены возмущения, т. е. отклонения от стандартного керровского вида.
Анализ возмущений сильно усложняется из-за свободы введения малых поправок, равных по величине возмущениям, в пространственные координаты W и в выбор мирового времени Л Такие малые поправки будут приводить к существенным изменениям в функциональном виде возмущений метрики g；, функции смещения р( и функции длительности а'. Изменения, вносимые вариацией %•, мы называем «калибровочными преобразованиями» по аналогии с электромагнетизмом, а свободу вносить такие изменения мы называем «калибровочной свободой». Аналогично изменения, вызванные вариацией /, мы называем «преобразованиями, связанными с выбором сечения», а свободу вносить такие изменения ——«свободой выбора сечения».
Калибровочная свобода и свобода выбора сечения вносят чрезмерные усложнения в полную теорию гравитационных возмущений черных дыр (подробнее см., например, в книге [36]). К счастью, в большинстве случаев при изучении возмущенных черных дыр можно избежать усложнений, связанных с калибровочной свободой и свободой выбора сечения, ограничившись рассмотрением исключительно (или пойти исключительно) тех возмущенных величин, которые калибровочно инвариантны и инвариантны по отношению к выбору сечения; мы пойдем именно по этому пути. Это означает, в частности, что мы не будем использовать для количественного описания гравитационных возмущений величины g；, 0； и с/, зависящие от выбора калибровки и от выбора сечения. Вместо этого мы будем пользоваться теми частями приливных гравитационных полей /订 и М/, измеряемых ОПН, которые не зависят ни от выбора калибровки, ни от выбора сечения, и будем обращаться к тем свойствам растянутого горизонта, которые (почти) инвариантны по отношению к калибровке и выбору сечения. Более того, мы получим уравнения, которые описывают не зависящие от калибровки и от выбора сечения возмущения лишь с той точностью, при которой на них еще не сказываются возмущения метрики g), функции смещения В； и функции длительности а. Это означает, что на протяжении всего нашего анализа мы можем, не боясь последствий, положить
gi/ = g?j, 0’= В°‘， а = а°‘ (6.2‘) что мы и сделаем.
Наш выбор ОПН и мирового времени гарантирует [163], что истинный горизонт располагается там, где а = 0. Чтобы избежать трудностей, связанных с нашей аппроксимацией а керровской функцией длительности а°, мы выберем наши про-
странственные координаты так, чтобы истинный горизонт был расположен там, где а。= 0. Точнее, наш выбор координат будет таким, чтобы вблизи истинного горизонта
с/ = О [(а°)3] при а°《1(6.3)
и при анализе вблизи горизонта мы всегда будем пренебрегать относительными поправками порядка а2.
Как и для керровской дыры, в случае возмущенной черной дыры мы поместим растянутый горизонт там, где
а = ан = const <С 1 на растянутом горизонте. (6.4)
[Это определение на самом деле немного переупрощено. Чтобы наделить динамически эволюционирующий горизонт наиболее полезными свойствами, целесообразнее определить его как поверхность, образованную мировыми линиями ОПН, причем у всех этих ОПН а = а”《1 в некоторый начальный момент времени. Однако в случае слабо возмущенных горизонтов, рассматриваемых в этой книге, отличие такого определения от (6.4) вносит относительную погрешность того же порядка а2, что и погрешность нашего анализа, поэтому мы можем безнаказанно принять определение (6.4). Более подробно см. разд. III. В.1 в работе [163].] По техническим причинам, которые обсуждаются в разд. III. С работы [163], иногда появляется ограничение на а” снизу:
L(6.5)
где ^ — характерное время эволюции дыры, a g” 〜1/47И — невозмущенная поверхностная гравитация. Без этого ограничения мембранный формализм иногда приводит к относительным ошибкам, превышающим а*. Отметим, что для дыры с массой 108 M©, масса и угловой момент которой эволюционируют за характерное время 〜108 лет (типичная реальная ситуация), это ограничение соответствует ан》3 • 10~6 или «я ^ 1。一" [более подробно см. ниже текст после формулы (6.77в)].
Наш выбор положения растянутого горизонта при постоянной функции длительности (а не при постоянной, скажем, радиальной координате г) имеет то преимущество, что те ОПН, которые 1первоначально находились на растянутом горизонте, так и будут оставаться на нем, — это утверждение справедливо с относительной точностью порядка а^, т. е. с точностью до ошибок, которыми мы пренебрегаем (доказательство этого утверждения см. в разд. III. В.1 работы [163]). Развивая мембранный формализм для возмущенных дыр, мы будем часто прибегать к ОПН, которые находятся на растянутом горизонте.
Например, свойства растянутого горизонта как мембраны мы будем определять через физические измерения, выполняемые такими ОПН.
Б. Гравитационные возмущения вне растянутого горизонта
Обратимся теперь к количественному описанию внешних областей вокруг возмущенной черной дыры. Поскольку мы воспользуемся приливными гравитационными полями в качестве носителей информации о возмущениях, прежде чем приступить к количественному описанию этих возмущений, нам обязательно предстоит подробно изучить приливные поля невозмущенной керровской дыры. Мы сделаем это в подразд. 1. Затем в подразд. 2 мы выявим ту часть приливных полей возмущенной дыры, которая не зависит от калибровки и от выбора сечения,——т. е. ту часть, которая обращается в нуль в невозмущенном случае,——и воспользуемся ею наряду с плотностью энергии материи, потоком энергии и натяжением для описания возмущений.
керровской черной дырыкерровской черной дырыПриливные поля невозмущенной
керровской черной дыры
керровской черной дыры
Каждый ОПН в абсолютном пространстве вокруг невозмущенной керровской дыры имеет набор ортонормированных пространственных базисных векторов е?, на которые он может проецировать пространственные векторы и тензоры, а если он примет локально лоренцеву, 4-мерную пространственно-временную точку зрения физики, он может добавить к этим векторам «временной базисный вектор» е^ (который равен 4-скорости). Например, если невозмущенная дыра я1вляется невращающейся (шварцшильдовской), то наиболее естественный выбор базисных векторов ОПН таков [формулы (2.3)]:
^ = [1^ = [1_ 2М]1/2 д г~]而，_ 2М]1/2 д г~]而，1 Ог 081 Ог 08
^ = [1
^ = [1
_ 2М]1/2 д г~]而，
_ 2М]1/2 д г~]而，
1 О
г 08
1 О
г 08
(6.6)(6.6)] 且.]д_? — г sin 0 03’ G — (1 - 2M")i/2 dt
(6.6)
(6.6)
а в случае вращающейся (керровской) дыры, наиболее естественный выбор таков [формула (3.9)]:
> Va 0>1 д >1 д
^=口备+①昌](6.7)
где использованы те же обозначения, что и в формулах (3.5)—— (3.6).
Приливные поля в окрестности ОПН можно описывать с помощью компонент тензора кривизны Римана R^y^f измеряемых ОПН, или, что эквивалентно, с помощью составных частей этого тензора, которые выражаются через плотность энергии % поток энергии S, натяжение Т, а также ГЭ- и ГМ-приливные поля 醫 и .劣[см. формулы (5.39), (5.40) и связанное с ними обсуждение]. В случае невозмущенной черной дыры е, S и Т обращаются в нуль, а 歩 н ^ отличны от нуля. Мы будем пользоваться верхним индексом 《。》,чтобы отличать эти керровские поля ^ и 毋 от возмущенных приливных полей, о которых речь пойдет ниже. Эти керровские приливные поля [см. [4], формула (3.71) ] представляются выражениями
醫^ = -Qe 廿告 醫^ =QeW^, 餐^ =Qe,看!戸=闯俏；
(6.8a)
缴户=一闯6(6.86)
0歩;a、 =歩^ =例3/=毋3g=°，здесь
Qe —Qe —Mr (产-3"2 cos2 0)Mr (产-3"2 cos2 0)Mv亠尸 при больших гMv亠尸 при больших г1[1-3 (“2/г J) COS2 9]—V на горизонте, Ш2 [1 - (“2/2”％) sin2 9]31[1-3 (“2/г J) COS2 9]—V на горизонте, Ш2 [1 - (“2/2”％) sin2 9]3Qm ^Qm ^Ma cos 0 (3厂2 — a2 cos2 0)Ma cos 0 (3厂2 — a2 cos2 0)P6P63Ma cos 03Ma cos 0при больших 厂при больших 厂За cos 0 Г1 — Г^2/Згя2) cos2 01 =—на горизонте,Ш2гн [1 - (“2/2〃”)sin2 9]3>A“2 sjn2 0“2 sjn2 0« = При больших Г'(产+ a2)2产 ，=0 на горизонтевсюду лежит в интервале 0&Z& 0,043,За cos 0 Г1 — Г^2/Згя2) cos2 01 =—на горизонте,Ш2гн [1 - (“2/2〃”)sin2 9]3>A“2 sjn2 0“2 sjn2 0« = При больших Г'(产+ a2)2产 ，=0 на горизонтевсюду лежит в интервале 0&Z& 0,043,За “А (产 + a?) sin 6 За sin 6《Ц = —— 4——-—— при больших гЗа “А (产 + a?) sin 6 За sin 6《Ц = —— 4——-—— при больших г=0 на горизонте.=0 на горизонте.(6.9а)(6.96)(6.9в)(6.9г)(6.9а)(6.96)(6.9в)(6.9г)
Qe —
Qe —
Mr (产-3"2 cos2 0)
Mr (产-3"2 cos2 0)
Mv
亠尸 при больших г
Mv
亠尸 при больших г
1[1-3 (“2/г J) COS2 9]
—V на горизонте, Ш2 [1 - (“2/2”％) sin2 9]3
1[1-3 (“2/г J) COS2 9]
—V на горизонте, Ш2 [1 - (“2/2”％) sin2 9]3
Qm ^
Qm ^
Ma cos 0 (3厂2 — a2 cos2 0)
Ma cos 0 (3厂2 — a2 cos2 0)
P6
P6
3Ma cos 0
3Ma cos 0
при больших 厂
при больших 厂
За cos 0 Г1 — Г^2/Згя2) cos2 01 =—на горизонте,
Ш2гн [1 - (“2/2〃”)sin2 9]3
>A“2 sjn2 0“2 sjn2 0
« = При больших Г
'(产+ a2)2产 ，
=0 на горизонте
всюду лежит в интервале 0&Z& 0,043,
За cos 0 Г1 — Г^2/Згя2) cos2 01 =—на горизонте,
Ш2гн [1 - (“2/2〃”)sin2 9]3
>A“2 sjn2 0“2 sjn2 0
« = При больших Г
'(产+ a2)2产 ，
=0 на горизонте
всюду лежит в интервале 0&Z& 0,043,
За “А (产 + a?) sin 6 За sin 6《
Ц = —— 4——-—— при больших г
За “А (产 + a?) sin 6 За sin 6《
Ц = —— 4——-—— при больших г
=0 на горизонте.
=0 на горизонте.
(6.9а)
(6.96)
(6.9в)
(6.9г)
(6.9а)
(6.96)
(6.9в)
(6.9г)
Стоит отметить некоторые из свойств этих керровских приливных тензоров: 1) как можно было бы ожидать, основываясь на знакомстве с ньютоновской гравитацией, величина ^ отрицательна всюду (исключая области вблизи полюсов горизонта быстро вращающейся дыры), тогда как 醫^® и 醫工3 положительны и равны примерно половине абсолютной величины 醫%. Это соотношение означает наличие приливных сил, которые растягивают упругое пробное тело в радиальном направлении и сжимают в тангенциальных направлениях, оставляя при этом его объем постоянным. Оно означает также наличие приливного вращательного момента, который стремится развернуть пробное тело в форме стержня (как это показано на рис. 40) в радиальном направлении. Переход к 歩% < 0 на полюсах горизонта (тангенциальное растяжение и радиальное сжатие) происходит в тот момент, когда а/М становится больше, чем д/3/2, т. е. тогда же, когда гауссова кривизна горизонта из положительной становится отрицательной (разд. III. В.2 и рис. 24; см. ниже формулу (6.13), а также связанное с ней обсуждение). 2) На больших радиальных расстояниях 歩｝^ равно градиенту гравитационного ускорения, создаваемого дырой [формула (5.45а) ], и, следовательно, принимает обычный ньютоновский вид для поля точечной массы М:
^0 ->-> м ->->->->->->
歩=Vg = — (— 2^ ® ^ + е^ ® e-g + ej ® %)
= 7T(g—3&®е/ при г》г”， (6.10а)
где g — метрика абсолютного пространства. 3) Гравитомагнитный приливный тензор %｝倉 обращается в нуль в случае невращающейся дыры и пропорционален угловому моменту дыры в случае медленного вращения. 4) На больших расстояниях от дыры величина 期晶 равна ——1/2 от градиента дипольного векторного ГМ-поля дыры [формулы (5.456) и (3.36)]:
1 -> ->
=3[工位4±：^'+(г"»〔：>：；)] 11P一з ©о6)
Пробный гироскоп с собственным угловым моментом s вдали от дыры испытывает в этом приливном поле силу [формулы (3.39), (5.47)]
尸=一期。・s = ^(s・ V)",(6.11)
>> ^> ^>
которая является полным аналогом силы 尸=(卩• V) 3, действующей на диполь, помещенный в магнитное поле В.
(Напомним, что, согласно формулам (3.37) и (5.61), (5.62), на гироскоп s в ГМ-поле Я и на магнитный диполь 口 в магнитном поле В действуют также вращательные моменты, рав>1 -А >>>
ные соответственно N =工 s 乂 Н и N =卩 X В. Если гироскоп
расположен на оси вращения дыры (где Н = —4//г3), причем ориентирован вдоль нее (s||/), то он отталкивается от дыры вследствие гравитомагнитного взаимодействия. Если гироскоп расположен на полярной оси, но ориентирован против вращения дыры, то он испытывает притяжение. Такой характер поведения гироскопа противоположен тому, с чем мы сталкиваемся в аналогичной магнитной задаче, поскольку Н имеет противоположный по сравнению с В знак (Я = —4//N на полярной оси, тогда как В = +3^/г3 на полярной оси магнитного диполя Л\ Это гравитомагнитное отталкивание ориентированного гироскопа связано с дополнительной работой, которую необходимо совершить, опуская ориентированный гироскоп в дыру, что приводит к увеличению энергии вращательного движения дыры.
Отметим, что вблизи горизонта, несмотря на то что поведение наших ОПН становится физически аномальным (движение со скоростью света и бесконечное ускорение, направленное наружу относительно свободно падающих локальных наблюдателей), они измеряют конечные приливные поля 醫;倉 и ⑨}g：
醫。醫。1 [1 — 3 (“2/喲 cos? е] (—2^t(Э ^ + y°)1 [1 — 3 (“2/喲 cos? е] (—2^t(Э ^ + y°)8M28M2[1 - (а2/2Мгя) sin29]3[1 - (а2/2Мгя) sin29]3на растянутом (6.12а) горизонте,на растянутом (6.12а) горизонте,За cos 0[1 — (a2/3rjr\ cos2 01->-> <->⑨。=о- (—2〃 ® м + Y ) на растянутом8AF厂“ [1 — (“2/2Мг”)Sin2 0]горизонте.За cos 0[1 — (a2/3rjr\ cos2 01->-> <->⑨。=о- (—2〃 ® м + Y ) на растянутом8AF厂“ [1 — (“2/2Мг”)Sin2 0]горизонте.
醫。
醫。
1 [1 — 3 (“2/喲 cos? е] (—2^t(Э ^ + y°)
1 [1 — 3 (“2/喲 cos? е] (—2^t(Э ^ + y°)
8M2
8M2
[1 - (а2/2Мгя) sin29]3
[1 - (а2/2Мгя) sin29]3
на растянутом (6.12а) горизонте,
на растянутом (6.12а) горизонте,
За cos 0[1 — (a2/3rjr\ cos2 01->-> <->
⑨。=о- (—2〃 ® м + Y ) на растянутом
8AF厂“ [1 — (“2/2Мг”)Sin2 0]горизонте.
За cos 0[1 — (a2/3rjr\ cos2 01->-> <->
⑨。=о- (—2〃 ® м + Y ) на растянутом
8AF厂“ [1 — (“2/2Мг”)Sin2 0]горизонте.
(6.126)
Здесь 〃 =乡——единичный вектор, направленный по нормали к растянутому горизонту, а
(6.12в)(6.12в)О >-> -А ->
(6.12в)
(6.12в)
Y。=约® 縮 + % ® еФ
——это метрика растянутого горизонта ——или, что эквивалентно, единичный тензор, который осуществляет проекцию на растянутый горизонт.
Чем сильнее приливные гравитационные поля вблизи черной дыры, тем сильнее искривлен (и потому меньше по размеру) должен быть растянутый горизонт дыры, иначе он будет деформирован приливными гравитационными полями. Этот простой физический факт отражен в «формуле Хартля для кривизны» стационарных черных дыр:
%н = —2醫九九 для любой стационарной черной дыры (6.13) [формула (2.6) работы [90]; здесь следует изменить знак у 屮2, учитывая разные договоренности о выборе знаков в тензоре Римана и тензоре Риччи, положить р = о = 0, поскольку дыра стационарна, и, согласно формуле (А9) работы [163], надо положить 契е (22)= — у ^пп\ • Здесь &пп — нормально-нормальная компонента тензора 歩 на растянутом горизонте, а 死"一скалярная кривизна (свертка 2-мерного тензора Римана,究1*4, равная удвоенной гауссовой кривизне растянутого горизонта. В случае осесимметричной дыры, такой, как шварцшильдовская или керровская, с метрикой на горизонте
厶2 = Yea d* +Y^d疔，Y"6=функиия 0,(6.14)
скалярная кривизна горизонта дается соотношением (ср. с дополнением 14.1 в книге [129])
皱н = _，(6.15а)
где
окружности вдоль горизонта), (6.156)окружности вдоль горизонта), (6.156)% = VvTT =(击)(длина 0
окружности вдоль горизонта), (6.156)
окружности вдоль горизонта), (6.156)
00
0
0
=(расстояние в 0-направлении от северного полюса).
(6.15в)
11 - 3 (а2/4) cos2 011 - 3 (а2/4) cos2 0魁=魁=2M2 [1 — ”/2м“)sid 可з2M2 [1 — ”/2м“)sid 可з(6.16)(6.16)Можно проверить формулу Хартля для кривизны (6.13) в частном случае керровской черной дыры; для этого подставим метрику керровского горизонта (3.74), (3.75) в формулу (6.15а) и получим выражение, вывод которого принадлежит Смарру [187]:
11 - 3 (а2/4) cos2 0
11 - 3 (а2/4) cos2 0
魁=
魁=
2M2 [1 — ”/2м“)sid 可з
2M2 [1 — ”/2м“)sid 可з
(6.16)
(6.16)
и которое действительно равно —2/2九,как это следует из формулы (6.12а).
Стоит напомнить, что, зная скалярную кривизну 2-мерной поверхности, мы уже знаем все о ее 2-геометрии. В случае осесимметричной стационарной дыры, такой, как керровская, можно рассчитать 契"，зная метрику и выполняя дифференцирование в формуле (6.15а). Можно также восстановить метрику, зная 庞"и взяв (6.15в) в качестве определения /(0). Проинтегрировав (6.15а) с граничными условиями $” = 0 и d®"/d/= 1 при / = 0, получаем 2)"(/) и затем полагаем ds2 = =d『+'й5я d§L
Возмущающие приливные поля
Перейдем теперь от стационарных керровских дыр к динамически возмущенной черной дыре. В этой книге мы будем описывать гравитационные возмущения в〔не растянутого горизонта дыры с помощью величин, которые ОПН может наиболее легко измерять в ходе чисто локальных измерений. К ним относятся различные компоненты тензора Римана, которые представляют плотность энергии е, поток энергии S и тензор натяжений Т возмущающего вещества, а также возмущения 醫/幅 и 毋7幅 приливных полей. Каждую из этих величин мы будем рассматривать как некоторое поле, существующее и эволюционирующее в абсолютном пространстве.
Приливные поля 醫?? и 了, измеряемые ОПН, расположенными вокруг возмущенной дыры, представляют собой сумму невозмущенных керровских полей (мы их будем отличать с помощью нижнего или верхнего индекса 《。》)и возмущений (обозначаемых с помощью штрихов):
醫=醫+ 醫？?，筠(6.17)
Иначе обстоит дело с плотностью энергии е, потоком энергии S и натяжением Т. Поскольку в случае невозмущенной дыры эти величины равны нулю, только возмущения вносят вклад в €, S и Т, т. е. нет необходимости использовать штрихи, чтобы отличать их от невозмущенных частей.
Расчет приливных полей 醫;у и 毋?у, создаваемых данным источником (например, планетой, движущейся по орбите вокруг дыры), представляет собой существенно более сложную задачу, чем расчет полей £ и 3, создаваемых данным распределением зарядов. Дополнительные трудности возникают по нескольким причинам. 1) Не самая главная из этих трудностей
связана с тем, что 醫彳虚 и .劣彳近 являются тензорами с пятью независимыми компонентами каждый, тогда как £ и 3 являются векторами, имеющими всего лишь по три независимые компоненты. 2) Серьезная трудность проистекает от отсутствия для 齒了& и 例?后 каких-либо простых аналогов электрических и магнитных силовых линий, а также законов Гаусса, Ампера и Фарадея. 3) Серьезная трудность возникает из-за того, что 齒?彦 и ⑨了近 в отличие от £ и В не равны нулю для невозмущенной керровской дыры. Вследствие этого обстоятельства 器『近 н 期了应 не являются инвариантными ни по отношению к калибровке, ни по отношению к выбору сечения, и потому (как говорилось выше, в разд. А) эти функции не подходят для использования в нашем формализме.
К счастью (несколько неожиданно), оказывается [196——198], что существует линейная комбинация полей 醫了近 н %/近，выРа~ женная в виде комплексного калибровочно-инвариантного и инвариантного по отношению к выбору сечения скалярного поля 屮，которое содержит в себе полную информацию о гравитационных возмущениях дыры. Зная это поле 屮 и определив конкретный выбор сечения и калибровки, при необходимости можно рассчитать все другие свойства возмущений, включая все 醫｝е и 纺е，возмущения g；?, 0“ и а соответственно метрики, функции смещения и функции длительности, и все возмущения растянутого горизонта. Как мы увидим, расчет свойств растянутого горизонта по 屮 выполняется достаточно просто. С другой стороны, расчет 醫彳应，⑨彳彦，g) и 0” вне растянутого горизонта оказывается делом крайне сложным, хотя и возможным [214, 40, 43, 36], и здесь мы не будем касаться этого вопроса.
Величина 屮 называется функцией Тюкольского. Имеется несколько* разновидностей функции Тюкольского, которые получаются один из другого. Эти разновидности делятся на два класса: одни предназначены специально для исследования возмущений, распространяющихся внутрь, а другие — для исследования возмущений, распространяющихся наружу. Внутри каждого класса имеется несколько разновидностей, отличающихся друг от друга множителем, который является функцией радиуса г (подробное изложение см., например, в [199]). Наш выбор Т сводится с точностью до постоянного множителя к функции Тюкольского — Пресса Q_2 = (А/2)2 Т2 = (4") 屮。• Раин полноты мы выпишем здесь точное определение выбранной нами функции 屮,хотя в дальнейшем она используется мало.
Сначала мы определим «нулевую тетраду Кнннерслн» [112] пространственно-временных базисных векторов:
->т =->т =-АП =-АП =ррг2+a22V А「r2 + "2г2+a22V А「r2 + "22PL 22PL 2> .VZ~ a sin 8 > I ]^o +s—5 3」，> .VZ~ a sin 8 > I ]^o +s—5 3」，(6.18а)(6.18а)(6.186)(6.186)“2 (г + ia cos 0)“2 (г + ia cos 0)「> I .，产 + "2 > I Va~a sin е >1、[婚+ z(—^jj, (6.18b)「> I .，产 + "2 > I Va~a sin е >1、[婚+ z(—^jj, (6.18b)
->
т =
->
т =
-А
П =
-А
П =
р
р
г2+a22
V А「r2 + "2
г2+a22
V А「r2 + "2
2PL 2
2PL 2
> .VZ~ a sin 8 > I ]
^o +s—5 3」，
> .VZ~ a sin 8 > I ]
^o +s—5 3」，
(6.18а)
(6.18а)
(6.186)
(6.186)
“2 (г + ia cos 0)
“2 (г + ia cos 0)
「> I .，产 + "2 > I Va~a sin е >1、
[婚+ z(—^jj, (6.18b)
「> I .，产 + "2 > I Va~a sin е >1、
[婚+ z(—^jj, (6.18b)
m = комплексное сопряжение m; /-> — /, (6.18г)
где eg образуют базис (3.6) собственной системы отсчета ОПН. Эта тетрада в точности соответствует используемой Чандрасекаром (36) (см. его формулу (170) в гл. 6). Нулевая тетрада такого типа играет ключевую роль в формализме Ньюмена —— Пенроуза, разработанном для расчетов в общей теории относительности, такую же важную роль играет и комплексное скалярное поле [см. [36], гл. 6, формула (178); обозначается Чандрасекаром Фо — см. гл. 9, формула (6)] ^0= — CapYe X X /am3/Ym6, где Ссфуб =。；|3丫6 + С〔(зуб ——тензор Вейля. Выбранная нами функция Тюколнекого определяется через эти величины следующим образом:
w=_正(；^)中0三后(1^) С^^п/Гm. (6.19) Множитель ——(1/16) {1^/МгнУ введен специально для того, чтобы 4r хорошо вела себя на растянутом горизонте [см. ниже формулу (6.54)]. Ключевое свойство функции 屮，на котором основана ее калибровочная инвариантность, заключается в том, что, подобно е, S и Г, функция 4r обращается в нуль в случае невозмущенной керровюкой дыры. В этом можно убедиться, подставив формулу (6.18) в (6.19) и выразив C^r勺3 че" рез 段九 и ⑨乳 [формулы (5.40) и (5.43) ], а затем подставив керровские выражения для 後号石 и 毋九[(формулы (6.8) и (6.9) ]. Поскольку функция 4r является калибровочно-инвариантной и инвариантной относительно выбора сечения, она инвариантна относительно малого изменения в тетраде (6.18). Эта инвариантность в совокупности с обращение 4r в нуль в керровском невозмущенном случае означает, что в определении (6.19) мы можем。邯丫6 заменить на C^y6.
Вдали от дыры, где 1 = е^ -\- е.-\- О (М/г) и 俏= (1/«2)Х X (^0 + ^) + О (а/г), выражение (6.19) для W сводится к еле-
дующему:
屮 4 16/；2“5[(/@@ —醫^ — 2"@Q + '(筠@3 — ^фф + 2"@Q] при 厂 f oo (6.20)
[ср. с формулами (5.40) и (5.43) ]. Эта конкретная комбинация приливных полей теснейшим образом связана с гравитационным излучением, распространяющимся вовнутрь. Напомним, что из изложенного перед формулой (6.18а) следует, что выбранная нами функция 4r принадлежит тому классу функций Тюкольского, которые хорошо подходят для описания излучения, распространяющегоюя вовнутрь. Для такого входящего излучения [ср. формулы (2.19), (2.20) и (2.24f) работы [203] имеем
鍔谷=—鬻g =—縱J = — 4 "工(6.21a)
縱目=—然3 = +鍔鼻=_4成,(6.216)
где
/г『冷/好2”成=砍(；壮里(6.21b)
суть безразмерные амплитуды для поляризаций 《十》и 《X》 гравитационных волн (рис. 46), а точками обозначены производные по времени. Таким образом для (входящих) волн, распространяющихся внутрь, вдали от дыры наша функция Тю- кольского равна
屮山 4 — 8дХ”2 (方+ + 力方х)〜产 X (функция от / + г, 9, 3). (6.22)
Радиальная расходимость, 4r也〜г3, является искусственной; она возникает из-за множителя (1/16) (\/Мгн)2, который мы ввели для того, чтобы 屮 хорошо вела себя на горизонте.
Для гравитационных волн, распространяющихся наружу вдали от дыры, получим
"需=-龍^ = +①得=-|谭* (6.23a)
鳄扌=-毋缴=_若爲=+ ^唠， (6.236) где
好理(6.23В)
Для этих выходящих волн функция 屮,вычисленная по приближенной формуле (6.20), обращается в нуль. Однако более аккуратный расчет, основанный на точном определении (6.19)
Рис. 46. Приливные смещения, создаваемые гравитационными волнами, распространяющимися радиально. Рисунки иллюстрируют воздействие гравитационной волны на кольцо, состоящее из пробных частиц (сплошная окружность), которое лежит в поперечной плоскости (0 — Ф). Частица, расположенная в точке с координатами %’ относительно центра кольца, испытывает приливное ускорение 徐х"" = —^汴炉[формулы (5.23), (5.39а), (5.40а)].Рис. 46. Приливные смещения, создаваемые гравитационными волнами, распространяющимися радиально. Рисунки иллюстрируют воздействие гравитационной волны на кольцо, состоящее из пробных частиц (сплошная окружность), которое лежит в поперечной плоскости (0 — Ф). Частица, расположенная в точке с координатами %’ относительно центра кольца, испытывает приливное ускорение 徐х"" = —^汴炉[формулы (5.23), (5.39а), (5.40а)].86$=驾686$=驾6Волны с поляризацией, отмеченной знаком ,,+
Рис. 46. Приливные смещения, создаваемые гравитационными волнами, распространяющимися радиально. Рисунки иллюстрируют воздействие гравитационной волны на кольцо, состоящее из пробных частиц (сплошная окружность), которое лежит в поперечной плоскости (0 — Ф). Частица, расположенная в точке с координатами %’ относительно центра кольца, испытывает приливное ускорение 徐х"" = —^汴炉[формулы (5.23), (5.39а), (5.40а)].
Рис. 46. Приливные смещения, создаваемые гравитационными волнами, распространяющимися радиально. Рисунки иллюстрируют воздействие гравитационной волны на кольцо, состоящее из пробных частиц (сплошная окружность), которое лежит в поперечной плоскости (0 — Ф). Частица, расположенная в точке с координатами %’ относительно центра кольца, испытывает приливное ускорение 徐х"" = —^汴炉[формулы (5.23), (5.39а), (5.40а)].
86$=驾6
86$=驾6
—君 ФФ =— }%+]'—君 ФФ =— }%+]'деформируют кольцо так, как это показано на левом рисунке [штриховая кривая соответствует моменту времени, когда 九+ > 0, а пунктирная ——когда 九+ V 0]. Диалогично волны с поляризацией, отмеченной знаком ,,Х“
—君 ФФ =— }%+]'
—君 ФФ =— }%+]'
=君，=—4-万 1, деформируют кольцо так, как это показано справа [штри- Ф9 2 xJ
ховая линия соответствует моменту времени, когда Лх> 0, а пунктиром — когда 九х< 0]. Подробнее см., например, [203] или § 35.6 книги [129].
функции 4r и на более точном, чем (6.23), выражении для волн, дает ненулевой результат, который меньше, чем (6.22), на множитель, равный по порядку величины 1/((ог)4, где (о —— характерная частота волн:
f"〜丽% m击伤+ и公)]. (6.24)
Иначе говоря, «радиационная» (1/г) компонента выходящей гравитационной волны не входит в 中，но «индукционная» (1/г5) компонента волны входит в Т* и по ее влиянию можно воссоздать всю волну. Процедура такого воссоздания довольно- таки сложна, отчасти из-за того, что угловая (0, ф) зависимость индукционной 1/卢-компоненты волны, которая входит в 屮，несколько отличается от угловой зависимости радиационной 1/г-компоненты. Подробности процедуры воссоздания, которая основана на разложении 4r на нормальные моды с разделяющимися переменными, см. в [199] или в гл. 9 книги [36].
[Если бы мы выбрали 4f из другого класса функций Тюколь- ского, то в нее входили бы радиационная 1/r-компонента выходящих волн и индукционная 1/г5-компонента входящих волн.]
Вблизи горизонта /亠(р/“А ) (е@ 十 ”)и 团 4(1/«2)е认义 Х(е@ + '%)‘「耻
九三一arctg (a cos В"”)，(6.25)
поэтому наше определение (6.19) функции 4r сводится к следующему：
中亠扌ё2%2 [但 36 —屠33 _ 2 筠 @3) + 20@@ -例/3 + 2^0^)]
при r f「н・ (6.26)
Хотя это выражение пропорционально квадрату функции длительности а, которая стремится к нулю на горизонте, 4r не обращается на горизонте в нуль. ОПН (вблизи горизонта обнару- живают тангенциальные поля £ и В, структура которых подобна волне, распространяющейся внутрь, а величины полей расходятся, становясь сколь угодно большими, £ц ос 1/а,月ц = =—е^\Е[[С^ 1/а. Как показано в разд.В.2, эти же ОПН обна- руживают также тангенциальные поля 段 н ⑨,которые по структуре подобны волне, распространяющейся внутрь, а величины полей квадратично расходятся:
^ее = ——购3 0c I/*
纵6 =一纺算(6.27)
Именно эти поля, имеющие вполне ясный физический смысл, соответствуют конечному значению 4r.
Математическая мощь функции Тюкольского 4r объясняется несколькими замечательными обстоятельствами: 1) функция 4r обращается в нуль для невозмущенной керровской черной дыры. 2) 4r инвариантна по отношению к выбору сечения; инфинитезимальные изменения в выборе мирового времени / не вносят в 4r каких-либо добавок от невозмущенных полей 段九 и 毋九. 3) 4r калибровочно-инвариантна; инфинитезимальные вариации координат не привносят в нее каких-либо добавок от невозмущенных полей 窮笈 и 伤号虎.4) 4r инвариантна по отношению к инфинитезимальным вариациям «нулевой тет- рады» /, п, т, т, использованной при определении 屮；такие вариации тетрады не привносят в 4r каких-либо добавок от не-
возмущенных полей 匿九 и %%. 5) Зная 屮，можно восстановить любые свойства произвольного динамического (зависящего от времени) гравитационного возмущения керровской черной дыры. ”
Функция Тюкольского может быть найдена из уравнения в частных производных, так называемого уравнения Тюкольского [формула (4.7) в работе [197] ], которое является следствием полевых уравнений Эйнштейна, из которых исключены все другие /% и 例/£：
I А “" г д dtd(p [ A sin20 J 002
万7万7煮亲[sin 8 %]一煮亲[sin 8 %]一
万7
万7
煮亲[sin 8 %]一
煮亲[sin 8 %]一
<「а (厂一M) I , cos 8 ] ^o
—~Ai
-4[^^^ -r-ia cos e]等 + (4 ctg2 8 — 2)屮。=8яр2Г0, (6.28)
где Wo= —16 I—I 4r из формулы (6.19) (сам Тюкольский [197] обозначает 4ro через 屮).Источник То является линейной комбинацией возмущенных плотности энергии € = Г^^, потока энергии 5?=Т^7 и натяжения Т?匕 причем входящие в эту комбинацию коэффициенты зависят от радиуса г и полярного угла 0. Более конкретно,
То = [формула (2.13) работы [197] ].(6.29)
Уравнение Тюкольского (6.28) в вакууме (То = 0) может быть решено методом разделения переменных, если предста
вить решение в следующем виде:
屮。(九厂，仇例=\ dog £ A^lmR ⑺2 S^ (Mg, 9) /”-3(6.30)
Z, m
Входящие в (6.30) угловые функции 2Sim(ctOooy 0) называются «спиновыми сфероидальными гармониками с весом 2》и кратко обсуждаются в разд. VIII. В.4. В этом формализме моды с положительной спиральностью связаны с положительной частотой Поо > 0, а моды с отрицательной спиральностью соответствуют огоо < 0. В формализме квантовой теории поля, о которой речь пойдет в гл. VIII, наоборот, а^ всегда больше 0, а состояниям с отрицательной спиральностью >свойст1венны угловые зависимости —2$/倘(а(Ьо, 8), отличные от 2S/俏(aOg, 9) • Этот вопрос обсуждается в начале разд. VIII. В.4. Отметим, что Поо есть именно та угловая частота моды, какой ее физически измеряет ОПН «на бесконечности», при г》гн. Она является ана-
логом Eg, энергии, которую имела бы частица, если бы она достигла «бесконечности» собственными силами [《знергия-на бесконечности»; см. разд. II. Б.2.в и III. Б.4]. В гл. VIII при квантовании гравитационных волн вблизи черной дыры каждый гравитон, связанный с модой частоты (Ьо, будет иметь энергию-на-бесконечности =九仆
На основе функции Тюкольского был разработан очень мощный, но сложный вычислительный формализм; подробности см. в [36]; см. также [177, 178], где изложено большинство новых оригинальных результатов. Мы будем называть его «формализмом Тюкольского ——Чандрасекара». В некоторых модельных задачах гл. VII мы представим результаты, полученные с помощью формализма Тюкольского — Чандрасекара. К счастью, нет необходимости овладевать этим формализмом, чтобы разобраться в модельных задачах и достичь глубокого физического понимания поведения черных дыр. И поскольку главная цель нашей книги ——научить физическому пониманию, а не вычислительным методам, мы не будем больше углубляться в формализм Тюкольского ——Чандрасекара. В сущности данная книга дополняет книгу Чандрасекара [36]. Чтобы достичь физического понимания, надо изучать данную книгу. Чтобы овладеть в полной мере мощными вычислительными методами, следует обратиться к книге Чандрасекара.
Существуют еще три других широко используемых вычислительных формализма, с помощью которых в конкретных ситуациях можно определить приливные поля 段彳石 и 毋〉份,обусловленные возмущающими плотностями энергии с, потоками энергии S и натяжениями Г. Мы дадим очень краткое их описание.
Во-первых, для произвольных возмущений невращающейся дыры имеется формализм теории возмущений, разработанный Редже и Уилером [171]. Формализм Сасаки — Накамуры [177, 178], представляющий собой один из вариантов формализма Тюкольского ——Чандрасекара, сводится к формализму Редже и Уилера в частном случае невращающейся дыры. Нам не известно ни одного хорошего с методической точки зрения введения в этот формализм, но важные оригинальные результаты можно найти в [64, 2 33, 130, 37] и в гл. 4 книги [36].
Во-вторых, для стационарных осесимметричных возмущений невращающейся дыры можно «пользоваться формализмом, разработанным Вейлем [217, 218]. Этот формализм в отличие от других позволяет наряду со слабыми возмущениями рассматривать сильные, нелинейные возмущения. Обзор недавних исследований возмущений в черных дырах, в которых используется формализм Вейля, см. в [76, 195, 194].
В-третьих, для произвольных возмущений невращающейся дыры, когда возмущающие источники расположены очень близко к горизонту, можно принять риндлеровское приближение^ т. е. пространство-время невозмущенной дыры вблизи горизонта можно аппроксимировать пространством-временем Минковского. Этот вопрос обсуждался для случая невращающихся дыр в разд. II. Б.6, а ниже (разд. VI. В.1) мы обсудим этот вопрос применительно к вращающимся дырам. В этом приближении при решении уравнения □丘屮=—16nT^v для «возмущений метрики с обратным следом» 亦 можно воспользоваться аналогом потенциала Льенарда ——Вихерта в электродинамике. По 砂V с помощью стандартных методов можно затем рассчитать тензор Римана /?%§, а затем уже по тензору Римана можно рассчитать 器？石 и 毋？石.Соответствующий потенциал Льенарда —— Вихерта и примеры расчетов, в которых он используется, см. в [195].
В. Строение и эволюция растянутого горизонта
Обратимся теперь к растянутому горизонту динамически возмущенной черной дыры. Чтобы облегчить исследование растянутого горизонта, в подразд. 1 мы вводим новые пространственные координаты, которые в отличие от координат г, 0,力， фиксированных по отношению к звездам, связаны с вращающимся горизонтом и потому вращаются относительно далеких звезд. Затем в подразд. 2 и 3 мы изучим радиальное (т. е. зависящее от а) изменение динамически возмущенных приливных полей ^у, ,^ij и функции Тюкольского 中，а также плот><А
ности энергии с, плотности импульса S, и натяжения Т вблизи растянутого горизонта. При этом обнаруживается, что, как и в случае электрических и магнитных полей, некоторые из рассматриваемых величин расходятся, становясь сколь угодно большими. Переопределив расходящиеся величины, мы получаем физические поля на горизонте, аналогичные Ен и Вн. Эти поля будут играть ключевую роль как вынуждающие силы, приводящие к эволюции растянутого горизонта. В подразд. 4——7 в'водится понятие опорных частиц, или《опоронов》, которые находятся вюе время на растянутом горизонте и выступают в роли заменителей генераторов истинного горизонта, а затем исследуется эволюция относительного расширения и сдвига этих опоронов. В подразд. 8 мы показываем, что опороны растянутого горизонта можно рассматривать как частицы, которые образуют 2-мерную вязкую жидкость, характеризуемую поверхностными плотностями массы Е” и импульса Пя, а также обычным для вязкой жидкости тензором натяжений S”. В подразд. 9
мы формулируем законы сохранения энергии и импульса для растянутого горизонта ——законы, согласно которым любые энергия и импульс, переносимые к растянутому горизонту падающим веществом или негравитационными полями, захватываются, удерживаются и сохраняются жидкостью опоронов. В подразд. 10 рассматривается (очень слабая) зависимость наших уравнений для горизонта от калибровки и выбора сечения. В подразд. 11 формулируются законы эволюции полной массы и углового момента дыры. И наконец, в подразд. 12 мы подводим итог применения мембранного подхода к растянутому горизонту.
Пространственные координаты а, 0,屮，фиксированные по отношению к горизонту
В ходе исследования динамики и эволюции растянутого горизонта в последующих подразделах было бы очень неудобно (хотя и возможно) пользоваться в качестве координат для абсолютного пространства координатами Бойера ——Линдквиста г, 9 и «, фиксированными относительно далеких звезд. У этих координат есть нежелательное для нас свойство ——вблизи растянутого горизонта они вращаются относительно абсолютного пространства и соответствующих ему ОПН с угловой скоростью ——Q”. Поэтому мы устраним это неудобство, введя новую угловую координату 3=3——、0нМ которая очень близка к константе в абсолютном пространстве. Бойер-линдквистовская радиальная координата г тоже неудобна, поскольку вблизи горизонта многие формулы, в которые эта координата входит, выглядят довольно громоздкими. Мы устраним это неудобство, используя в качестве радиальной координаты не 厂，а функцию длительности а. Переходя от г к сс, мы тем самым вводим в пространственную метрику вблизи горизонта нежелательный член ga& Чтобы избавиться от этого третьего неудобства, мы введем слегка модифицированную 0-координату, обозначив ее как 0.
(6.31a)(6.316)(6.31b)(6.31a)(6.316)(6.31b)Строгие определения этих новых координат ——с точностью в пределах относительных ошибок порядка сс2, которыми мы, как обычно, пренебрегаем, — таковы:
(6.31a)
(6.316)
(6.31b)
(6.31a)
(6.316)
(6.31b)
a— р 小2_「一絞^2 6/2m“y21/2
J £八 Г М「н"н — М)「圖，
где р^ = r^ + a? cos2 0 — значение функции р2 на горизонте и где
QH = а/2Мгн(6.32)
——угловая скорость метрики Керра [ср. с формулой (3.42)], выраженная через массу М и параметр вращения а «фоновой» дыры, на которую мы накладываем возмущения. {Замечание: координаты, обозначенные здесь через 0 и ^), в статье [163] обозначаются как 0х и *, а бойер-линдквистовские координаты 0,屮 обозначаются там как 0+, @+; см. приложение С в [163]. Поскольку 0 отличается от 0 лишь на величину О (сс2), различие между 0 и 0 практически всегда несущественно. (В этой главе мы будем стараться их различать, а в гл. 7 и 8 перестанем делать между ними различие, заменив 0 на 0 на растянутом горизонте и вблизи него.) Невозмущенная метрика абсолютного пространства [формула (3.6) ], выраженная через координаты а, 0,力，принимает следующий элегантно простой вид (с точностью до относительных поправок порядка сс2):
厶2 =咚 + р% dH + G^ dg.(6.33)
Здесь g”，p” н “ 一 невозмущенные керровские поверхностная гравитация и метрические функции р и (о, вычисленные при г = гн (а = 0) для медленно эволюционирующих значений М и а:
—， P^ = % + q2cos2 8,siMe. (6.34)
Очень медленные движения ОПН вблизи горизонта (как невозмущенных, так и возмущенных) по отношению к координатам (а, 8,力)характеризуются величинами
V (需)опн 〜(存)°пн ~ (謂)опн 〜0(а2) • (6-35)
При наших (излагаемых ниже) исследованиях структуры и эволюции растянутого горизонта нас не будут интересовать малые, О (а2), поправки к пространственной метрике (6.33) или к движениям ОПН (6.35), за одним исключением. Некоторый интерес будут представлять малые, О(а2), движения ОПН, тангенциальные растянутому горизонту; эти движения оказываются среди тех немногих величин, зависящих от калибровки и от выбора сечения, которые тем не менее появятся
в мембранном формализме. Они имеют следующий вид:
/ возмущения О (а2),
— со — йя + I зависящие от калибровкиопн\ и выбора сечения
а Г М ~ a2 cos2 1
1 Н—z а2 + (возмущения),
(6.36a)
возмущения О (а2),、
зависящие от калибров- I (6.366) ки и выбора сечения /
Отметим, что хотя и главный член, и возмущения в (d@/df) одного порядка О (а2), главный член есть величина «конечная» (свойство невозмущенной керровской дыры), тогда как возмущения, зависящие от калибровки и выбора сечения, являются «инфинитезимальными».
В непосредственной окрестности некоторой точки (а = а”, 0 = 0о, @=%) на растянутом горизонте и на поперечных расстояниях, малых по сравнению с г”，мы можем ввести локально декартовы координаты, основанные на а, 0, @:
ох = \ Ph d6 —6ох = \ Ph d6 —6ДДd&Hd&H(9 - So)2,(9 - So)2,
о
х = \ Ph d6 —
6
о
х = \ Ph d6 —
6
Р”
Р”
d&H
d&H
(9 - So)2,
(9 - So)2,
У = ^н^ — ?о)?(6.37)
Метрика (6.33) и функция длительности, выраженные через эти координаты, принимают риндлеровскую форму
ds2 = dx2 + dy2 + dz2, a = gHz(6.38)
с точностью до относительных поправок порядка a2,炉/吟， ^2/厂% и ху%. Формула (6.38) в сочетании с тем обстоятельством, что с точностью до относительных ошибок О ”)ОПН покоятся в этих координатах, позволяет нам пользоваться формализмом риндлеровского приближения (разд. II.Б.6) при изучении локальных физических процессов в узкой (размер 《厂”) пространственной области, включающей растянутый горизонт и внешнюю окрестность вращающейся возмущенной черной дыры. Примеры и более подробное обсуждение см. в [194], а модельные задачи см. ниже в разд. VII.B.2 и УП.Д.
В последующем анализе мы будем расщеплять различные векторы и тензоры на компоненты, нормальные к растянутому горизонту и тангенциальные к нему. В пределах малых отно*
сительных небрегать, (心% 6,彳， тационногосительных небрегать, (心% 6,彳， тационногопоправок порядка ас®. которыми мы будем пренормаль направлена вдоль Va, а также вдоль вдоль (dldr)t е ° и вдоль измеряемого ОПН гравиускорения:
сительных небрегать, (心% 6,彳， тационного
сительных небрегать, (心% 6,彳， тационного
一而1（°/°%^] - |（0/"）九^| 一-Г
(6.39)(6.39)СМ, 彳СМ, 彳ФФ（含）亠彳=（^）,小・（64。）（含）亠彳=（^）,小・（64。）[ср. с формулой (3.78) ]. Мы будем пользоваться нижними индексами а, Ь, с, d, с из начала латинского алфавита для обозначения компонент, тангенциальных растянутому горизонту, т. е. компонент, направленных вдоль (d/d^)t & @ и вдоль (9/0® а^・ Отметим, что с точностью до пренебрежимо малых погрешностей порядка а?
(6.39)
(6.39)
СМ, 彳
СМ, 彳
Ф
Ф
（含）亠彳=（^）,小・（64。）
（含）亠彳=（^）,小・（64。）
Обозначим компоненты вектора Д, направленные вдоль этих базисных 'векторов, как Дб и Д^ или просто как 儿，а компоненту вдоль п ——как Ап. Компоненты, направленные вдоль тангенциальных единичных базисных векторов
L I⑷叫屯71 ' L [(。/。%aмL I⑷叫屯71 ' L [(。/。%aм(6.41)(6.41)
L I⑷叫屯71 ' L [(。/。%aм
L I⑷叫屯71 ' L [(。/。%aм
(6.41)
(6.41)
обозначаются как А^, 4$ или просто как 4@.
Отметим, что метрика 唸 невозмущенного растянутого горизонта, следующая из метрики (6.33) абсолютного пространства, имеет вид
We = P3 巾0=呜,y友=。■(6.42)
Поведение приливных полей Sjk и ⑨汴вблизи растянутого горизонта
В разд. II. Б.4 мы получили зависимость от а электрического и магнитного полей Е и В вблизи горизонта, исходя из законов преобразования между полями Е и В, измеряемыми ОПН, и полями Еспн и ^спн， измеряемыми наблюдателями, которые свободно падают в дыру из бесконечности по радиальному направлению. Анализ был дан для частного случая
шварцшильдовской дыры, но он применим без существенного изменения и в случае невозмущенной керровской дыры и даже в случае возмущенной керровской дыры. Если п — единичный радиальный вектор, v ——скорость СПН, измеряемая ОПН, и у=(1 —W)-i/2, то очень близко от горизонта
V = 一 〃 [1 一 О(/)], Y = g [1 + о (а2)].(6.43)
Согласно обычным законам преобразований Лоренца для Е и В,
Еп = Е • п = Еп спн, Вп = В • п = Вп спн,(6.44а)
Е\\ = Y (£| спн — V X ^и спн) — (吊 спн + 〃 X 5|| спн), (6.446) -^-^—А-^-^-^-^
8l = Y (Вц спн + V X ^н спн) — а"4 (8| спн — X ^Н спн) (6.44в)
где ~ означает «равно с точностью до относительных ошибок 0(^2)》， которыми мы в дальнейшем будем пренебрегать. Эти соотношения в совокупности с тем обстоятельством, что поля, которые видит СПН, должны хорошо вести себя, означают, что поля £ и В вблизи растянутого горизонта обладают следующими свойствами:
Еп, Вп конечны;(6.45а)
Е\\ = Ен® В\\ = Вн®(6.456)
Вн =— 几乂 Ен („сходящиеся волнн"), (6.45в)
гдегдеи Вн — конечные «поля горизонта». Эти соотношения
где
где
послужили отправной точкой для вывода электромагнитных свойств растянутого горизонта.
Этот метод анализа легко обобщается на приливные поля /沦 и 毋泳，измеряемые ОПН. Точно так же как £ (и В) расщепляется на две существенно различные составляющие, Еп и Е\\ (Вп и Вп), так ёjk (и 0汴)расщепляется на три существенно различные составляющие: «нормально-нормальную»
器=п • ^ • п = nj^^,(6.46а)
„ норма льно-поперечную44 или просто „поперечную44
翼三銹а，「е・ ^т = п- • у°(6.466)
и „поперечно-бесследовуюи
醫2 M 苏ab + ^ 苏зХь， т. е.
苏"三Y。.醫.苏，八。(6.46в)
Здесь
Y。= g -/tg；, £b =g心 崂。=Y^=。
(не путать с Y= 1/V1 - v2) есть невозмущенная метрика растянутого горизонта, которая здесь выступает в роли проецирующего тензора, с помощью которого векторы проецируются на поперечную плоскость. Отметим, что член (1/2) Sп^ь в (6.46в) убирает след из /。匕,поскольку тензор 醫/々 является бесследовым:
丫弊黑=g^ab + 銹广 g^注=0.(6.46Г)
Аналогично 纺注 расщепляется на составляющие 毋〃九,毋九@ и ^^ по формулам (6.46), в которых достаточно / заменить на ⑨.
Исходя из определений (5.40) полей 醫了々 и 毋/々 посредством несложных, хотя и довольно громоздких выкладок, можно прийти к обычному результату (см., например, разд. V. А работы [163]), согласно которому приливные поля 君注 и 冒,々, измеряемые ОПН, связаны с этими же тюлями, измеряемыми СПН, следующими соотношениями, аналогичными (6.44):
^мп ^^ ^пп СПН,^пп ^^ ^пп СПН>(6.47а)
菸=Y (霊пн — ^Х 缢пн)，赤=Y (或пн” X 食向，(6.476)
= W[(l +衿放脑-2vX熬3],
笏"=У? [(1 + 衿芽注1H + 2vX<^H],(6.47b)
где диадное обозначение для векторного произведения имеет следующий смысл:
Эти результаты в совокупности с тем фактом, что поля, измеряемые СПН, должны вести себя хорошо, означают, что вблизи горизонта (где у 4 a-1, v 三一〃)
醫шг，^пп =。(1)，
展加，^na = O^)f(6.48)
叮，弱=。(d
и это побуждает следующим образом определить >поперечные и поперечно-бесследовые лол я на растянутом горизонте, которые конечны (не расходятся) и не зависят от ан'.
п ла л ап7
?. e.若"三a"器7，纺н еан芻'；(6.49а)
臨三磕甥彳，憑三磽總；
t. е.a経济7,说三a产芽С(6.496)
Правые части всех этих выражений берутся на растянутом горизонте а = а”. Точно так же как электрические Е〃 и магнитные Вн поля рассматриваются как поля на растянутом го- ризонте или непосредственно над ним, так и 再"，例"，器"и 例" располагаются там же. Более того, точно так же как Е〃 и Вн связаны соотношением Вн =—几乂 Ен, так и [по формулам (6.47) с V = —п]
⑨"=—n X 器"，後"=/1 X 例"，
т. е.例考=+得， 然=_鍔(6.50а)
и
例"=-n X 展"， 展"=/1 X 畠"， т. е.
齡6 =-縱/ =瑞谷=蝠3，% =然3 = 一彝6 = +瑞丁
(6.506)
В последнем из этих соотношений мы воспользо1вались сим- <--a 《》
метрией и свойствами бесследовости полей ^^ и 毋".Соотношения (6.50) можно рассматривать как граничные условия на ра-стянутом горизонте, которые накладываются на измеряемые ОПН и зависящие от а приливные поля
靑 Т =宫 Н®彰=初/а,(6.51а)
済7 = 齧32,笏7 = 泾7公(6.516)
[ср. с формулами (6.48), (6.49)].
Некоторые свойства приливных 'полей вблизи горизонта (6.46) стоит рассмотреть более подробно. Точно так же как наиболее сильно расходящиеся составляющие электромагнит-
ного поля £ц и ВII, измеряемого ОПН, выглядят как электромагнитные волны, распространяющиеся внутрь, В\\ = ~ п \ £ц, так и наиболее сильно расходящиеся составляющие приливных полей 罟тт и 符т выглядят как распространяющиеся внутрь гравитационные волны [формулы (6.21) и рис. 46]: 1) они являются попаренными и бесследовыми [формулы (6.46в, г)] и 2) они удовлетворяют равенству 翱тт =—几 乂 器тт [формулы (6.506) и (6.516)]. Более того, эти волноподобные гравитационные поля являются «дважды расходящимися» 口о сравнению с волноподобными электромагнитными полями: (醫丁丁, 例丁丁)〜 〜a-2, а (£)1,点)~J.
Поперечно-нормальные составляющие приливных полей, и 例т =ведут себя вблизи горизонта точно так
aаа 几丄
же, как и £ц и Bf 1) они являются «однократно расходящимися», т. е. их амплитуда 〜а-4, и 2) они выглядят как волны
со «спином единица», распространяющаяся (внутрь, т. е. они удовлетворяют равенствам 毋目九=展徐，毋我=一展氟.Нормальнонормальные составляющие приливных полей ^пп и ，毋〃〃,как и нормальные электрические и магнитные поля Еп и В% являются конечными и не зависят от а, и след поперечно-поперечного приливного поля равен с точностью до знака соответствующему нормально-нормальному полю, 苏^8価=—君毋abg°" = =—務m・ 。ТТ ОТТ
В случае невозмущенной керровской дыры 宕雷\ 就“, 齒^〃 и 毋^九 обращаются в нуль на горизонте и соответственно поля горизонта 展需 и 醫片 тоже обращаются в нуль. Только нормально-нормальные поля (а также след поля 器^匕 и след поля 例^匕)не равны нулю:
器工=宛?=0， ^"=院"=0, (6.52a)
器農=-2Qe=-器農=-2Qe=-欧〃 =—2Qm =—欧〃 =—2Qm =—(6.526)(6.526)(6.52b)(6.52b)1[1—3 («2Л^2) cos2 0]
器農=-2Qe=-
器農=-2Qe=-
欧〃 =—2Qm =—
欧〃 =—2Qm =—
(6.526)
(6.526)
(6.52b)
(6.52b)
■JaF [1 - (a2/2MrH) sin2 9]3
3a cos 0[1 —(酸/3厂”2)cos2 0]
AM2rH [1 —(絞/2財“)sin2 0]3
[ср. с формулами (6.8) и (6.9)].
В случае возмущенной керровской дыры (безразмерные возмущения порядка 九)малые вариации выбора сечения и калибровки приводят к тому, что малые добавки к невозмущенным полям 後月〃 и ^^ (добавки порядка 九)переходят в возмущения
君^ и 筠；々・ Эти добавки создают существенные изменения 0(九) в 厉;〃 и 仞;九,но, не расходясь по а, они не могут повлиять ни на поперечно-нормальные поля порядка 0(。一〔), ^ап = ^ап и 亂п =⑨:炉 ни на поперечно-поперечные поля порядка О (а~2), ^^,耘^・ Следовательно, в первом порядке по 九
岔為，匿£,例爲，周夕 инвариантны относительно выбора сечения и калибровки (6.53) (более подробно см. [163]).
Зная поперечно-бесследовые приливные поля горизонта 学爲, мы можем найти и 毋爲，поскольку 例"=—孔义学"[формула (6.506)], и таким образом можем определить калибровочно-инвариантную и инвариантную относительно выбора сечения функцию Тюкольского 4r на растянутом горизонте [формулы (6.26), (6.506) и (6.516)]:
屮〃=(学話 + 力芻 $)ехр[—2iarctg (acosH/%)].(6.54)
Уравнение Тюколыского (6.28) является стандартным калибровочно-инвариантным и инвариантным по отношению к выбору сечения инструментом для расчета гравитационных возмущений вне керровской дыры, поэтому большинство расчетов, относящихся к горизонту, относится к поперечно-бесследовому приливному полю ^^ь. Формализм Тюколыского — Чандрасекара позволяет получить нормально-поперечные и нормальнонормальные поля горизонта 歩夕，鋁爆，毋g и 纺恤, но только после большой дополнительной вычислительной работы [36], поэтому в большинстве расчетов эти поля опускаются. Как мы убедимся, исключая эти поля, мы почти ничего не теряем: зная и потоки негравитационной энергии и импульса через растянутый горизонт, мы можем рассчитать форму и эволюцию растянутого горизонта, а также эволюцию массы М и углового момента J == Ма черной дыры.
Поведение негравитационных натяжений, энергиии импульса вблизи растянутого горизонта
Эволюция возмущенной черной дыры зависит не только от возмущающих приливных полей /,々 и 陽汴，но также и от негравитационных величин: плотности энергии е = Т^, плотности импульса (потока энергии) S『=Т® и натяжения 7汴.Чтобы представить себе поведение этих величин, измеряемых ОПН, вблизи горизонта, можно выполнить лоренцевское преобразо-
вание и перейти от системы отсчета свободно падающего на
блюдателя (СПН) к системе отсчета ОПН:
е =俨(“пн + 2y . Scfih + у，Тспн • v)
4 a 2 (еспн — 25спн + ^спн),(6.55а)
S" = у [— vecnH + (1 + V2) Scпн — уТ 器 н]
=—d (бспн — 25спн + ^спн),(6.556)
S" = у(5спн — vTcfth) = а-1(5спн — Т^спн), (6.55в) Т“" = Y (— vScnH + ^спн) = — а-1(5спн — Т^%н), (6.55г) Тпп = у? (v26cnH — 2vScnH + ^спн)
=а""? (бспн — 25спн + Т 醫 н),(6.55д)
ТаЬ=Т^(6.55е)
Здесь используются такие же обозначения, как и в аналогичных законах преобразования (6.44) и (6.47) для электромагнитных и приливных полей. Из этих законов преобразования, а также из того факта, что поля, измеряемые СПН, должны хорошо вести себя на горизонте, следует, что вблизи растяну
того горизонта е, S и Г принимают следующий вид:
6 =驴"伍2,5"=一歹"/a2,｝九=歹"他2,(6.56a)
，=婚/a，詳〃=-終/a，(6・566)
Tab ——конечная величина.(6.56в)
Величину夕"мы будем называть «потокомэнергии гори-
зонта》，а 乡"一«потоком импульса горизонта». В сущности 歹" представляет собой поток энергии, приходящийся на единичную площадку на поверхности растянутого горизонта за единицу времени, измеряемого ОПН на горизонте, и дополненный двумя множителями а: ^ = а2 (—S九).Один множитель а = =d%/dt позволяет пересчитать поток, приходящий за единицу времени ОПН т, к потоку за единицу мирового времени /, а второй множитель а ответствен за гравитационное красное смещение от единицы энергии, используемой ОПН, к единице энергии, используемой удаленными наблюдателями (энергия с учетом красного смещения или энергия-на-бесконечности). Аналогично g" представляет собой тангенциальную компоненту импульса, протекающего через единичную площадку на поверхности растянутого горизонта за единицу времени, измеряемого ОПН на горизонте, с множителем а: ^а =а(— Tan)' Множи-
тель а = d%/dt обеспечивает пересчет от единицы времени ОПН т к единице мирового времени t.
Поскольку е, S и Т ——это слабые возмущения вакуумной керровской дыры, они не изменяются (в главном порядке) в результате вариации выбора сечения или калибровки; то же самое можно сказать также。舒 и 纟"：
е, S, Г,歹н и 9" инвариантны относительно выбора сечения и калибровочно-инвари- (6・57)
антны.
Эта инвариантность доказывает справедливость анализа потока энергии и импульса вокруг керровской дыры, который был выполнен в гл. II—IV и при котором гравитационные поля и ОПН рассматривались как невозмущенные. Представленный там анализ в совокупности с формулами (6.56) показывает, что поток энергии горизонта 歹"——это величина, которая непосредственно создает «диссипацию», т. е. увеличение энтропии дыры S":
ТНТН(6.58а)(6.58а)dSH —( вклад приливных полей, Чdt ~ j\ рассматриваемый ниже 丿
ТН
ТН
(6.58а)
(6.58а)
[формулы (3.91) и (6.56а)]; ^-компонента 纟"一это величина, которая непосредственно увеличивает угловой момент
дыры:
dJ f х I / вклад приливных полей, \ “ 匚。々、 R \ 乡? d4 + ( рассматриваемый ниже 丿(6«586)
[формулы (3.90) и (6.566)], а комбинация А" + а”9%—зто величина, которая непосредственно увеличивает массу дыры: 將Tb + Q噬)"4 + (謬募设嚣Z ниже")(6.58в) [формулы (3.89) и (6.56а, б)].
Опороны и их кинематика: метрика, расширениеи сдвиговые деформации растянутого горизонта
В стандартном 4-мерном пространственно-временном анализе черной дыры истинный горизонт (абсолютный горизонт событий) генерируется семейством нулевых геодезических, которые вычерчивают горизонт и называются его «генераторами» (см., например, гл. 34 книги [129], книгу [100] или статью [94]). Описание эволюции истинного горизонта сводится к описанию относительного движения его генераторов, в частности
Рис. 47. Пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая связь мировой линии опорона с соответствующим ему генератором. Событие 乡 на генераторе связано с соответствующим событием 乡 на мировой линии опорона нулевым, распространяющимся внутрь лучом (геодезической). (Рисунок заимствован из работы [163].)
<>
к их «сдвиговой деформации» о" и «расширению» 0я. Но, поскольку эти генераторы являются нулевыми мировыми линиями в пространстве-времени, эти движения труднее себе представить, чем более привычную кинематику нерелятивистской жидкости.
В мембранном формализме растянутый горизонт выступает в роли заменителя истинного горизонта и соответственно «опо- роны», расположенные на растянутом горизонте, играют роль заменителей генераторов истинного горизонта. Как мы увидим ниже в подразд. 8, опороны ведут себя так, как будто образуют нерелятивистскую, двумерную, вязкую жидкость, и их сдвиго- <—> вые деформации и расширение, которые заменяют о" и 0я, можно наглядно себе представить.
Каждый опорой раз и навсегда связан с генератором, который он представляет, как это изображено на пространственно-временной диаграмме на рис. 47: из каждой точки (события) 夕 на генераторе выходит нулевой направленный в прошлое луч (нулевая геодезическая), который доходит до соответствующего события 乡 на мировой линии опорона, соответствующего этому генератору [подробнее см. формулу (3.13) в [163] и связанный с ней текст].
Опороны, как и те ОПН, которые находятся вблизи растянутого горизонта а = а〃，остаются с высокой точностью в состоянии покоя относительно пространственных координат Ви»
Если бы дыра была не возмущена, они оставались бы точно в покое относительно этих координат; возмущения заставляют их слегка двигаться с координатными скоростями
(dB/df)0110Poн ~ (dB/df)onopOH
=[возмущения порядка О (ая2), зависящие от выбора
калибровки и сечения]. (6.59)
Следовательно, согласно измерениям ОПН на растянутом горизонте, эти опороны движутся с физическими скоростями [которые вычисляются с помощью формул (6.59) и (6.36)]
— Q丄 М (厂“2_ a2 cos2©)]/ возмущения 、
=2М(Гя - М) У」а” 十 I порядка О ，
(6.60а)
vonopoH = [возмущения порядка О (%)]・(6.606)
[Напомним — см. формулу (6.40) и связанный с ней текст,— что нам нет необходимости ставить черточку над векторными индексами (мы пишем * а не “$), поскольку базисные вектора с черточками и без черточек совпадают.]
В нерелятивистской гидродинамике темп расширения жидкости определяется как 0 =(1/V) (dV/dt), где V — объем элемента жидкости, а / ——нерелятивистское время. По аналогии темп расширения 2-мерной опоронной жидкости, измеряемый ОПН (которые почти покоятся относительно опоронов), по определению равен
』(£)(粤)，(6・6i)
где А4 — площадь поперечного сечения пучка опоронов, а т — собственное время, измеряемое ОПН. Поскольку темп хода часов, отсчитывающих собственное время ОПН на растянутом горизонте, является аномально медленным, темп этого расширения расходится, становясь бесконечно большим [О (а"1)]. Поэтому мы переопределим этот темп, введя один множитель^ а”； чтобы получить конечный темп расширения 0я, который (доказательство см. в разд. III.В и III.С работы [163]) с точностью до относительных разностей порядка О (ая2) совпадает с тем-
пом расширения генераторов истинного горизонта
/ относительное изменение площади элемента \
=(опоронной жидкости за единицу мирового I. (6.62, Е) \времени //
Здесь и далее добавление буквы 《Е》к номеру формулы означает, что эта формула является точной во всех порядках по возмущению.
В нерелятивистской гидродинамике сдвиговая деформация o/左 жидкости определяется как темп изменения формы элемента жидкости. Сфомулируем это определение более строго: если Ах左 есть вектор между двумя частицами жидкости, а (As) 2 ——квадрат расстояния между ними, то d (As)2/rf/ = 2 ^0*^+ + geg/) А%'А%'. Аналогично для 2-мерной опоронной жидкости мы определяем сдвиговую деформацию Оаь, связывая ее с темпом изменения квадрата расстояния (As)2 между двумя опоронами и 'вектором между опоронами А%":
寞'三 2 (爲匕 + 4" ®Yab) А%@ Ал?. (6.63, E)
Здесь множитель 1/2 (вместо обычного множителя 1/3) отражает 2-мерную природу опоронной жидкости (по сравнению с тремя измерениями для обычной жидкости); таким образом, обеспечивается бесследовость Gab и, следовательно, изменение
объема исключительно за счет 0, а не за счет о. Физически измеряемая сдвиговая деформация ваь, как и физически измеряемый темп расширения 0, расходится, становясь сколь угодно большой [О (а/】)], поэтому мы переопределяем эту величину, чтобы сделать ее конечной «сдвиговой деформацией горизонта»
电 = 2 (唱 + eHNab)^ АМ, (6.64, Е)
/ относительное изменение формы элемента、 唱= %(%, = ( опоронной жидкости за единицу мирового I.
、времени丿
(6.65, Е)
Физическая интерпретация 8〃 как расширения опоронов и а^ как сдвиговой деформации опоронов иллюстрируется на рис. 48. На верхней диаграмме, где изображен растянутый горизонт в момент мирового времени /о, показаны два круговых элемента опоронной жидкости. По прошествии интервала вре-
Рис. 48. Физическая интерпретация расширения 0〃 и сдвиговой деформации о 爲 растянутого горизонта. Вверху изображен горизонт в момент времени /0； показаны два круглых элемента опоронной жидкости. С течением времени от момента /0 (вверху) до момента % + 3/ (внизу) левый элемент жидкости испытывает расширение 0〃 без сдвиговой деформации, поэтому он изменяет свою площадь, но не форму [формула (6.66)]. Правый элемент жидкости испытывает сдвиговую деформацию без расширения, поэтому он меняет свою форму без изменения площади [формула (6.67)].
чивается начивается на6АД = (0ЯАЛ) дЛ6АД = (0ЯАЛ) дЛ(6.66, Е)(6.66, Е)мени от 力 до /0 + 5f левый элемент жидкости претерпевает расширение 8” без сдвиговой деформации, тогда как правый элемент жидкости испытывает сдвиговую деформацию 嚼 без расширения. Расширение левого элемента жидкости оставляет его круговую форму неизменной, но площадь элемента увели
чивается на
чивается на
6АД = (0ЯАЛ) дЛ
6АД = (0ЯАЛ) дЛ
(6.66, Е)
(6.66, Е)
Аналогично сдвиговая деформация правого элемента жидкости оставляет его площадь неизменной, но искажает его форму. Более конкретно, 吟守=—仃鼠 увеличивает 0-диаметр пучка D^ и уменьшает его ^-диаметр Qg, согласно следующему соотношению:
-^ = 一号=喘60 = - 6 號m(6.67a, e) 0 Ф
тогда как о話—碎§* увеличивает диаметр вдоль направления 。不 +。3 и Уменьшает диаметр вдоль направления е^ ——е力,согласно следующему соотношению:
h予=_a? = 4?出=吟谷6九 (6.676, e)
Имея в виду эту простую физическую интерпретацию 0н и 嚼，а также тот факт, что они обращаются в нуль в случае невозмущенной керровской дыры, можно ожидать, что 0Я и о"
инвариантны по отношению к выбору сечения и калибровочноинвариантны в главном порядке по возмущениям. (Доказательство справедливости этого предположения см. в разд. II. С работы [163].)
Физические скорости опоронов, измеряемые ОПН, порядка ° (а”) [формула (6.60)], тогда как непереопределенное расширение и сдвиговые деформации опоронов относительно друг друга порядка О(а£)； из этого следует, что ОПН достаточно строго следуют движениям расширения и сдвига опоронов —— настолько строго, что возможные относительные отклонения ОПН от этих движений вюего лишь порядка О (а”?). Иначе говоря, расширение и сдвиговая деформация ОПН на растянутом горизонте относительно друг друга должны в пределах относительных ошибок порядка О(ая2) совпадать с соответствующими относительными движениями опоронов. В этой крайне тесной связи проявляется непреодолимо сильное увлечение черной дырой инерциальных систем отсчета (ср. с разд. III. А.4).
Общие для опоронов и ОПН расширение и сдвиговая деформация теснейшим образом связаны с эволюцией во времени метрики растянутого горизонта yab = у^ + Y^- Хотя динамически эволюционирующее возмущение метрики 丫/匕 нельзя считать калибровочно-инвариантным, полная метрика растянутого горизонта уаь не только калибровочно-инвариантна, но и инвариантна относительно выбора сечения (см. разд. II. С работы [163]), поэтому геометрию горизонта мы будем трактовать, пользуясь полной метрикой, а не возмущением метрики. Полная метрика горизонта как часть целого содержится в 3-мерной метрике абсолютного пространства растянутого горизонта, так что
УаЬ = §аЬ = ^У 7 •(嘉｝ (6.68, Е)
Мы можем рассматривать уаь либо как функцию угловых координат 0,力，сопутствующих опоронам, либо как функцию глобальных координат 0, ф абсолютного пространства. Поскольку два набора координат связаны жестким вращением [с точностью до относительных ошибок порядка О (а”？)； ср. с формулами (6.31)]:
0 = 6, (6.69а)
3 =3十，即山 (6.696)
(здесь Q” не зависит от 8 и ”, но медленно эволюционирует со временем /), то в заданный момент времени t можно поль-
зоваться как dx", так и dxd:
d8 = d0, d§ = d§ при заданном /;(6.70)
и соответственно мы можем записать квадрат расстояния между двумя опоронами следующим образом:
ds? = yab dxa dxb = yab dxa d%5(6.71)
(в последнем выражении черточки над а и 6 не нужны). Соотношение (6.71) можно также получить, если приравнять базисные векторы с черточками и без черточек [формулы (6.40)].
Из формул (6.64) и (6.71) с очевидностью /следует, что в любых системах координат, которые точно следуют за опоронами, так что d(A%“) /dt = 0,
2 (喝 + у 叫 J А%“ W = -"片'=~^~ * А%" ； (6.72, Е)
и поэтому
心Скоординатах, сопутст-\
k dt Лпорон — \аЬ ~ 2 丿 < вующнх сторонам 丿.
(6.73, Е)
Воспользовавшись тем, что тензор о^ является бесследовым, т.
唱Y"' = 0,(6.74, Е)
мы можем обратить соотношение (6.73); в результате получаем
窜="* = ^^ Y = detII丫说И, (6.75a, E)
2鳴=，-％(6.756,E)
Поскольку с точностью до относительных ошибок порядка О (aj), которыми мы всегда пренебрегаем, наши координаты (0, ф) сопутствуют опоронам, все приведенные выше соотношения справедливы в указанных координатах и в этих соотношениях
4 = (%% 不.(6・76, Е)
Уравнение приливных сил и уравнение фокусировки
В следующих нескольких подразделах мы будем строить теорию эволюции растянутого горизонта под воздействием потока энергии 歹"，потока импульса 乡夕 и приливных сил 歩*.
В этом подразделе мы начнем с подробного исследования трех уравнений, которыми описывается согласованная эволюция О”，噥 и уа6, но полную физическую интерпретацию этих уравнений через мембранные свойства отложим до подразд. 8.
В уравнения, описывающие эволюцию 8“ и о^, входит поверхностная гравитация черной дыры g〃. Эта величина как для возмущенной, так и для невозмущенной дыры определяется как перенормированное ускорение, испытываемое ОПН на растянутом горизонте:
g% 三 g务 + gj =。〃 I 割’(6.77а)
翳=~^= (поверхностная гравитация керровской (6.776)
'н черной дыры)
[формула (3.776)]. Поскольку ^ не равно нулю, возмущение gj зависит и от выбора сечения, и от калибровки. Для определенности и простоты анализа во всей этой главе мы будем фиксировать наш выбор сечения вблизи горизонта (выбор /), так чтобы возмущение g) тождественно равнялось нулю:
gj =。， g” = g多.(6.77в)
Такой выбор сечения обладает дополнительным достоинством, так как освобождает нас от ограничения (6.5), касающегося малости а” (т. е. того, насколько близко к истинному горизонту может быть расположен растянутый горизонт). Как показано )в разд. III. В работы [163], при любом выборе сечения (включая и наш) с постоянным g〃 растягивание горизонта приводит к относительным ошибкам порядка О (ая2) независимо от того, насколько малым может быть это растяжение. [Подробное обсуждение свободы подгонки gH к заданному значению при выборе сечения и следствий такой подгонки см. в разд. II. С и дополнении D работы [163]; см. также подраздел 10 ниже.]
Приведем три взаимосвязанных уравнения, описывающие эволюцию расширения, сдвиговой деформации и метрики растянутого горизонта, которые записаны в координатах, сопутствующих опоронам. Эти уравнения, справедливые как для сильно возмущенных дыр, так и для слабовозмущенных, и при произвольном выборе сечения (т. е. любом g”) таковы: «уравнение приливной силы»
-^г+^н-0н)嚼 + О 噂 + 匕,5) * =鷗，(6.78а, Е)
«уравнение фокусировки»
dQrr1
--萨+g也一2% =喝噌+ 8冗歹"；(6.786, E)
«уравнение эволюции метрики》
* = 2唱 + 匕凤.(6.78в,Е)
Эти уравнения эволюции в ином, но в эквивалентном виде были впервые получены Хокингом [92] как самое простое следствие «оптических скалярных» уравнений (см. [175, 176]; разд. 9 книги [36]) для конгруэнции геодезических. В такой конкретной форме уравнения были впервые записаны Дамуром [49,50]; см. также разд. II. В и приложение А работы [163], где ковариантная производная по времени D} действующая на скаляр, совпадает с нашей временной производной d/dt = (dldt)^^ вдоль траектории, но D» действующая на симметричный тензор ^аь (например, на 。“匕)，отличается на члены с символами Кристоффеля согласно соотношению D^ab = d^ab/dt —(2(уас + + y@c鼠)畸 [сР・ с формулами (6.111), приведенными ниже].
Уравнения эволюции (6.78) несколько упрощаются, если их применить к слабо возмущенным черным дырам. Будем считать приливное поле ^北 величиной 'первого порядка по малому безразмерному параметру возмущения 九 и предположим на время, что пото(к негра<витационной энергии, пересекающий горизонт, пренебрежимо мал, т. е. величиной 夕"можно пренебречь. В этом случае из уравнений (6.78) следует, что возмущения горизонта имеют следующие по,рядки:
密北〜九，0fb〜九，8"〜九2, Y^ = %Ь一 Y^〜九.(6.79)
С учетом сказанного, чтобы быть последовательным, надо в уравнении для d鳴[dt удерживать только члены порядка 九， а в уравнении для MH/dt — только порядка X2.
После этого упрощения полный набор уравнений (6.78), описывающих слабо возмущенный горизонт, принимает следующий вид.
Поперечное бесследовое приливное поле /^ горизонта 《вызывает》сдвиговую деформацию горизонта 喝 в соответ* ствии с уравнением приливной силы
do点
一-+=(6.80)
Квадрат сдвиговой деформации 鳴噌 и поток 歹〃 негравитационной энергии совместно 《вызывают》 расширение горизонта 8" в соответствии с уравнением фокусировки
-箒+ g"* =嚼噌+ 8冗歹乙 (6.81)
Сдвиговая деформация сг^ и расширение 0я совместно 《вызывают》эволюцию метрики дыры в соответствии с уравнением эволюции метрики
(6.82)(6.82)
(6.82)
(6.82)
«Телеологические» граничные условия
При отсутствии вынуждающих членов в уравнении приливной -силы (6.80) и уравнении фокусировки (6.81) оба этих уравнения для слабо возмущенной дыры принимают одну и ту же однородную форму
(-^ + g〃)y = 0,(6.83)
где §н ——постоянная поверхностная гравитация невозмущенной черной дыры. Решение этого уравнения расходится во времени у = (const)(6.84)
это может навести на мысль, что если в какой-то момент приложить вынуждающие члены, а затем их отключить, то возникающая сдвиговая деформация 鳴 и расширение 0я будут расти экспоненциально со временем, пока не разрушат дыру.
Так бы оно и было, если бы горизонт по своей природе был причинным. В таком случае 0я и о玖 были бы равны нулю до возмущения горизонта, т. е. граничное условие для уравнения (6.83) было бы у = 0 в бесконечном прошлом. Но горизонт есть глобально определенная поверхность границы между теми сигналами со световой скоростью, которые могут когда-либо уйти на пространственную бесконечность, и теми, для которых это невозможно [92, 95]. Рассматриваемая возможность зависит от области пространства-времени, которая лежит в будущем по отношению к источнику сигнала, и поэтому движение горизонта в любой заданный момент времени зависит не от того, что произошло с горизонтом |в прошлом, а от того, что произойдет с горизонтом в будущем. Эту зависимость от событий в будущем некоторые называют «телеологической» природой горизонта в противоположность обычной причинной природе динамических систем.
Рис 49. Пространственно-временная диаграмма для невращающейся черной дыры, на которую падает тонкая сферическая оболочка вещества. Истинный горизонт (абсолютный горизонт событий)捲 начинает расширяться прежде, чем оболочка столкнется с ним, и прекращает расширение в момент столкновения [«телеологическая эволюция», формула (6.85)]. Показанная вертикальной стрелкой временная координата i — это время в сжимающейся системе отсчета Эддингтона — Финкельштейна (ср. с рис. 1 и 12 и разд. II. В.5).
«Телеологическая» природа горизонта проиллюстрирована на рис. 49, на котором изображена пространственно-временная диаграмма невращающейся шварцшильдовской черной дыры, в которую падает тонкая сферическая оболочка массы Ms. Пространственно-временная геометрия является шварцшильдовской как внутри оболочки, так и вне ее, но внутри шварцшильдовская масса равна М, а снаружи она равна М + Ms・ Будучи границей между точками (событиями), из которых можно и из которых нельзя послать сигнал со световой скоростью к удаленным наблюдателям, горизонт касателен к внешним краям световых конусов. Задолго до того, как оболочка достигнет горизонта, длина горизонта по окружности равна I穹=2лтн = 4пМ. Затем, когда оболочка приближается к горизонту, он начинает расширяться. Величина 8〃 = =2穹id穹/d方 становится положительной, «предвосхищая» тот факт, что испущенные наружу сигналы ：в ближайшей окрестности вне г = 2М будут захвачены и затянуты в дыру добавочной гравитацией оболочки. Когда оболочка в конце концов пройдет через горизонт, он резко перестанет расширяться и застынет на длине окружности 穹=4п(М + М$).
Рассмотренный «телеологический» сценарий поведения горизонта требует, чтобы экспоненциальный рост расширения 8” [формула (6.84) ] произошел до того, как оболочка столкнется с горизонтом, опережая это столкновение, а не являясь откликом на него:
ея =・2(〃々鹏 exp [g〃 (/ - У)] для t < У
=0 для / > У, (6.85)
Рис. 50. «Телеологическая» функция Грина [формула (6.866)], используемая при интегрировании уравнения приливной силы и уравнения фокусировки [ср. с формулами (6.87) и (6.88)].
где £' — момент времени, когда оболочка сталкивается с горизонтом.
В более общем случае «телеологическая» природа горизонта требует, чтобы при решении и уравнения приливной силы, и уравнения фокусировки использовалась функция Грина G(f,/), отклик которой предшествовал бы вынуждающей силе:
(-d/dt + g〃)G 亿，)=6 (f —，)；(6.86a)
G (f, Q = exp [gH (f — f)] для f <，
=0 для Z > У.(6.866)
Эта «телеологическая» функция Грина представлена графически на рис. 50. Решение уравнения приливной силы (6.80), выраженное через такую функцию Грина, имеет вид
鳴(力 6, V)= i^lr，6,面 G 亿，)〃，(6.87)
а решение уравнения фокусировки (6.81)—
脚(/, 6, $) = j (诡滥 + 8兀歹H)(亿 6 a G «, /) 〃・(6.88) t
В уравнение (6.82), описывающее эволюцию метрики растянутого горизонта, никакая «телеология» не входит. Эта эволюция, проистекающая между моментами времени 力 и f, определяется прямым интегрированием правой части в (6.82):
G，& 不)=Y* (%, 0，$) + 2呪 + M吸，(6.89а) где，爲—проинтегрированная по времени сдвиговая деформация
£*(力 3 $)三、。靠 Г，6, 0)",(6.896)
а 0я — проинтегрированное по времени расширение t
0я (Z, б, 0)三，0^ (/； 6,，)”.(6.89в)
Можно непосредственно убедиться в том, что в случае шварцшильдовской черной дыры, возмущенной падающей на нее сферической оболочкой вещества (рис. 49), формулы (6.88) и (6.89) описывают возмущение метрики, соответствующее растянутому горизонту, длина окружности которого эволюционирует следующим образом:
诊=4nM + ^nMs exp [gH (Z ——，)]для Z < f =
= 4n(M + M) для f>，.(6.90)
Эта эволюция согласуется с поведением горизонта, показанным на рис. 49.
Каустики на растянутом горизонте
Смысл уравнения фокусировки понять легче, если отказаться на время от ограничивающего нас предположения о малости возмущений черных дыр. Рассмотрим, например, эволюцию растянутого горизонта очень большой черной дыры, когда на него падает очень компактный объект (малая черная дыра или, может быть, нейтронная звезда).
Компактный объект обладает столь сильным гравитационным полем, что довольно крепко держит нулевые лучи (т. е. мировые линии фотонов) своим собственным притяжением. В ходе падения, проходя через горизонт, объект оставляет часть крепко удерживаемых им лучей на истинном горизонте, где они становятся генераторами и остаются навсегда. Этот процесс, изображенный на рис. 51, был проанализирован в существенно более общем случае Пенроузом [149] и в § 34.4 книги Мизнера, Торна и Уилера [129] (где обсуждение основано на работе Пенроуза).
Как показано на рис. 51 (если мысленно восстановить одно опущенное пространственное измерение), незадолго до того, как новые опороны будут оставлены на растянутом горизонте, они образуют сжимающийся 2-мерный лузырь вокруг или, возможно, внутри падающего1 тела. По маре приближения пузыря к растянутому горизонту (рис. 51,6 и в) 'пузырь и растянутый горизонт вытягиваются и приходят в касание друг с другом в точке (《каустике》)，через которую опороны затем начинают перетекать от пузыря к растянутому горизонту (рис. 51,6 и г). В конце концов, когда все опороны перетекли
Рис. 51. Поток новых опоронов через каустику и на растянутый горизонт. Рисунки а—д — пространственные диаграммы в последовательные моменты времени, при этом а соответствует самому раннему моменту. Сплошной кривой показан сегмент растянутого горизонта (одно из пространственных измерений здесь опущено), а штриховая кривая——это пузырь новых опоронов, которые текут через каустику и попадают на растянутый горизонт в моменты времени, соответствующие диаграммам 6 и а.
на растянутый горизонт, каустика исчезает и растянутый горизонт выглаживается (рис. 5i,d).
Протекая через каустику, новые опороны бесконечно близко сходятся друг с другом, а затем расширяются с конечной относительной скоростью, удаляясь друг от друга ло растянутому горизонту; в результате темп их расширения 6 я = =(1/ДЛ) (d\A/dt) оказывается бесконечно большим. Из этого должно быть ясно, что бесконечное расширение 6я означает, что образовалась каустика и к растянутому горизонту присоединяются новые опороны.
Обратимся теперь к точному уравнению фокусировки (6.786) (при выборе сечения, соответствующего постоянному g”, и исследуем, каким образом из него следует бесконечное расширение в каустике. Полагая у = BH/2gHi приводим однородное в этом случае (夕“=噌=0) точное уравнение к следующему виду:
\~4i + SH\y-SHy2 = ^ (6.91)
[ср. с однородным уравнением (6.83) для малых возмущений]. В некоторый момент времени t0, до того как начала действовать вынуждающая сила, у имеет значение у。, тогда решение этого уравнения есть
^ = [1+(濕一1)沸"仇")「-⑹*)
Если у。《1, это решение принимает вид у уоеён ^~to\ что по существу совпадает с нашим решением (6.84) для слабого возмущения. В частности, у уменьшается до нуля в прошлом при стремлении / к —оо. Однако, если уо > 1, то, как видно из формулы (6.92), у растет по мере стремления в прошлое и становится бесконечным в некоторый конечный момент времени t V力.
Следовательно, если когда-нибудь некоторому участку горизонта предстоит испытать воздействие чрезвычайно большого потока энергии 3rH или претерпеть сильную сдвиговую деформацию, что «телеологически» обусловливает 6я > 2g” (т. е. у>1), то в соответствии с точным уравнением фокусировки на этом участке горизонта в некоторый более ранний момент времени должны возникнуть каустика или каустики с бесконечным 0я.
В рамках теории возмущений 6я《g” (см. подразд. 5) и, следовательно, у《1. При у порядка единицы расчеты, основанные на теории возмущений, формально уже неприменимы, но, как правило, позволяют дать грубую оценку, верную по порядку величины. Поэтому в рамках нашего подхода на основе теории возмущений мы можем получить приближенные условия, при которых образование каустик неизбежно. Эти условия иллюстрируются одной из модельных задач в разд. VII. Д.1.
Поверхностное натяжение S" и поверхностные плотностимассы 2" и импульса П" растянутого горизонта
В этом разделе, прервав на время изучение эволюции растянутого горизонта, познакомимся, следуя Дамуру [48——50], с мембраноподобным описанием механических свойств горизонта. Отметим, что здесь, как и в случае электрического свойств горизонта (поверхностные плотности электрического заряда о" и тока 7"), оригинальный формализм Дамура применим исключительно к истинному, абсолютному горизонту событий. Обобщение механических свойств на случай растянутого горизонта и их объединение с 3 + 1-формализмом, описываемое ниже, были выполнены Прайсом и Торном [163].
Напомним (гл. II и III), что электрические свойства растянутого горизонта были определены таким образом, чтобы выполнялись два условия: 1) нормальное электрическое поле Еп и тангенциальное магнитное поле В и обрываются соответственно на ь" и 乎"；2) когда электрический заряд втекает в растянутый горизонт из внешней Вселенной, он не пересекает растянутый горизонт, а остается на нем, сохраняясь в виде о" и fH.
Аналогично можно определить на растянутом горизонте поверхностную плотность массы-энергии 2", поверхностную плотность импульса □" и поверхностное натяжение S" таким образом, чтобы выполнялись следующие условия: 1) определенные составляющие внешних гравитационных полей «обрывают- ся》соответственно на 2", □" и S"; 2) когда энергия или импульс втекают на растянутый горизонт из внешней Вселенной, они не проходят через растянутый горизонт, а остаются на нем, сохраняясь в виде 2", II" и SH.
Если бы черная дыра описывалась посредством ньютоновской теории гравитации, то мы считали бы, что у дыры есть поверхностная плотность массы 2, необходимая для генерации внешнего гравитационного поля g согласно соотношению V-g = —4л26(г — гя). Тогда мы выбрали бы S таким образом, чтобы 《оборвать》g = —g-д/дг на растянутом горизонте, т. е.
g = 4л2, если бы гравитационное поле было ньютоновским.
(6.93)
Общая теория относительности дает аналогичное, но несколько иное описание гравитационных эффектов, авязанных с поверхностным слоем, обладающим массой, импульсом и натяжением (§ 21.13 в книге [129]). Согласно этому описанию на языке 4-мерного пространства-времени, эволюционирующий во времени растянутый горизонт порождает 3-мерную «мировую трубку》в пространстве-времени. Характер погружения этой мировой трубки в окружающее пространство-время внешней Вселенной описывается внешней кривизной (второй фундаментальной формой) К；', а характер погружения трубки в пространство-время внутренней области дыры описывается внешней кривизной К?'. (Здесь и ниже заглавные индексы Л, В, ... пробегают значения /, 0, @, т. е. соответствуют компонентам на 3-мерной мировой трубке растянутого горизонта.) Внешние кривизны К?' и К竺 существуют на мировой трубке и их разность связана с «поверхностным тензором энергии- импульса» растянутого горизонта SABf введенным Израэлем [107, 108], условиями сшивки
(К里一 K&g"B) — (К乎一 К!*") = 8ns“в (6.94, E) [129], формула (21.165b) . На самом деле, конечно, никакого поверхностного слоя энергии-импульса на растянутом горизонте
не существует: SAB = 0, так что кТ = К— . Однако для интуитивного понимания весьма полезно себе представить, что поверхностный слой существует на самом деле, причем он такой, что К?' зануляется. Такое представление не меняет ни одной детали в картине внешней Вселенной, но при этом реальное пространство-время внутри растянутого горизонта заменяется воображаемым пространством-временем, которое 《плоско》 переходит в растянутый горизонт (так, что внешняя кривизна во внутренней области К竺 равна нулю). Таким образом, это представление аналогично занулению £« и 瓦 внутри растянутого горизонта на основе предположения, что растянутый горизонт несет соответствующий поверхностный заряд о" и поверхностный ток /я.
Эта аналогия на самом деле еще более глубокая, чем кажется на первый взгляд. Наш поверхностный тензор энергии- импульса SABy который определен так, чтобы занулить Y', и потому выражается в виде
S”嘖(1/8冗)(庶一 ^cgAB\ (6.95, E) будет занулять под растянутым горизонтом также и величины Впп,對т и 战тт (точная аналогия с о" и /я, зануляющими Еп и Вц；доказательство см. в разд. V. В.2 и приложении А работы [163]). Более того, как мы увидим в подразд. 9, посредством тензора S^ обеспечивается《перехват》，удержание и хранение энергии и импульса, которые погружаются в растянутый горизонт (точная аналогия с величинами о" и /я, которые обеспечивают 《перехват》，удержание и хранение всего текущего внутрь заряда).
Выражение (6.95) представляет собой релятивистский вариант ньютоновского условия сшивки (6.93). Чтобы убедиться в этом, заметим, что временно-временная компонента выражения (6.95) в совокупности с соотношениями
^00 曰—ез • Vo〃 = — и • V方儿=П . V方и = n-a = g = gH^H^
(6.96, Е)
[где первое равенство (тождество) следует из определения внешней кривизны, см. [129], формула (21.60); второе — из того, что е《=U = (4-скорость ОПН); третье — из того, что U . п = 0; четвертое — из определения 4-ускорения, пятое и шестое—из связи между 4-ускорением ОПН, гравитационным
ускорением и поверхностной гравитацией] позволяет сделать вывод о том, что
= ён/^н = ^Г = 4^(Sо о + Sa^ (6.97, Е)
Если бы поверхностный слой был ньютоно'вским (т. е. если бы он создавал слабое гравитационное поле и обладал натяжением S°b> пренебрежимо малым по сравнению с плотностью массы S°° =2), то функция (6.97) свелась бы к ньютоновскому условию сшивки g = (разность нормальных гравитационных ускорений с наружной и внутренней стороны поверхностного слоя) = 4л2, как в формуле (6.93). Однако наша «черно-дыр- ная» мембрана обладает релятивистски сильным гравитационным полем, величина S% не мала по сравнению с S0 0 и, следовательно, условие сшивки Израэля (6.95) не сводится к соотношению g = 4л S.
Когда мы осуществляем 3 + 1-расщепление пространства- времени вблизи растянутого горизонта, величина S = S^^ = = c^/S“ становится поверхностной плотностью массы-энергии, измеряемой ОПН. Из-за огромного фактора голубого смещения 1/ан, связывающего массу-энергию, измеряемую ОПН, с массой-энергией, измеряемой на бесконечности (энергия с учетом красного смещения), S°6 расходится как 1/ан при ая0. Если перейти к описанию, основанному на «массе-энергии, измеряемой на бесконечности», то поверхностная плотность массы-энергии (или просто массы) будет конечной:
羽=a就66 =
(
масса на бесконечности, т. е. энергиях
с учетом красного смещения, приходя- I /^ 尸、 щаяся на единичную площадку растянуто- I* '' ' ' го горизонта/
Компоненты S^а = ^н^а тензора SAB на языке 3 + 1-расщепления интерпретируются как поверхностная плотность импульса, измеряемого ОПН, и обозначаются через 口£:
/ импульс, измеряемый ОПН и прихо-\
П^ = 5«дящийся на единичную площадку I. (6.986, Е)
\ растянутого горизонта/
Поскольку импульс не испытывает гравитационное красное смещение, величина П^ конечна и никаких переопределений, связанных с умножением на ан, не требуется. Пространственными компонентами Sab тензора SAB представлен «поверхностный тензор натяжения» S , измеряемый ОПН на растянутом гори-
зонте. Более конкретно, если е$ и е§ — ортогональные единичные векторы, лежащие на растянутом горизонте, то
Sa6 =Sa6 =поток a-компоненты импульса, пересекающий отрезок единичной длины, перпендикулярный направлению 6, за единицу собственного времени ОПН, т
Sa6 =
Sa6 =
Из-за аномально медленного хода часов, отсчитывающих собственное время ОПН, S&5 расходится как 1/а” и для получения конечного результата S% требуется переопределение
.(6.98в, Е).(6.98в, Е)поток й-компоненты импульса, пересекающий отрезок единичной длины, перпендикулярный направлению &, за единицу мирового времени t
.(6.98в, Е)
.(6.98в, Е)
Отметим, что из-за множителя ан、который входит в переопределенные энергию и время, а также из-за конечности □? = S°&= =(плотность импульса, измеряемая ОПН) = (поток энергии, измеряемый ОПН):
/ энергия с учетом красного смещения, пересекающая \
I отрезок единичной длины, перпендикулярный направ- J = \ лению & за единицу мирового времени //
= a2/S0d = a2fIId^ 0.(6.98г, Е)
Поэтому, хотя растянутый горизонт может быть носителем тангенциального потока импульса (поток импульса = S*) и тангенциального потока заряда (поток заряда = /^)> он не может быть носителем тангенциального потока энергии с учетом красного смещения, т. е. градиенты температуры на растянутом горизонте не могут привести к потоку тепла, т. е. растянутый горизонт имеет нулевую теплопроводность.
В разд. V. В.1 работы [163] выполнено прямое вычисление компонент К：' и по ним вычислен тензор S”' [формула (6.95) ] и, следовательно, 5я, П^ и S^,. Точные результаты (без каких-либо ограничений, связанных с малостью возмущений, наложенных на керровский горизонт) имеют вид
羽=一宸"，羽=一宸"，(6.99а, Е)
羽=一宸"，
羽=一宸"，
(6.996, Е)(6.99в, Е)(6.996, Е)(6.99в, Е)^ = ^yab + Sab)v^SbP% — 2nF — ^%
(6.996, Е)
(6.99в, Е)
(6.996, Е)
(6.99в, Е)
где
pH м 忘 gH，п"三而甘"=—隔・ (6.99г, Е)
Здесь gH — поверхностная гравитация растянутого горизонта, Уаь — 2-мерная метрика растянутого горизонта, 6я и а^ — расширение и сдвиговая деформация (за единицу мирового времени) о'поронов на растянутом горизонте [формула (6.64)], v^nopoH ——физическая скорость опоронов относительно ОПН [формула (6.60) ], a S^G и Sab — измеряемые ОПН плотность энергии и натяжение на растянутом горизонте [формулы (6.98а, в)].
Некоторые особенности соотношений (6.99) следует рассмотреть более подробно:
Как мы увидим ниже, расширение 6я растянутого горизонта всегда неотрицательно; следовательно, поверхностная плотность массы 2"=——(1 /8л) 0я всегда неположительна. Для шварцшильдовской или керровской дыры 6я = 0, поэтому и 2" = 0. Эти, казалось бы, противоречащие интуиции результаты, как мы позднее увидим, имеют разумный смысл.
Тензор натяжений Sab соответствует вязкой жидкости («опоронной жидкости»): имеется изотропное положительное давление Рн = (I/Sh)^, сдвиговое вязкое натяжение——2nH鳴 и объемное вязкое натяжение —之"9"丫@匕.
В случае шварцшильдовской черной дыры, у которой gH =(1/4)Л1, поверхностное давление равно
рН = ^М=^^^ дин/см)(甞)・(6.100)
Для сравнения отметим, что, согласно ньютоновской теории гравитации, для удержания самогравитирующей оболочки массы М и радиуса R = тн = 2GM]c? от сжатия под действием собственного гравитационного поля потребовалось бы поверхностное давление
М GM c6G2/、
Р = Л^-^ = ЖлГ =(2^0- 104 М/см)(匂.(6.101)
Соотношение, справедливое в общем случае, g〃 = 8npн, представляет собой условие сшивки (6.97) для черной дыры; его ньютоновским эквивалентом является соотношение g = =4л2 [ср. формулу (6.93) ]. Следовательно, в случае ньютоновской оболочки поверхностную гравитацию g создает поверхностная плотность 2, тогда как в случае черной дыры поверхностную гравитацию g” создает поверхностное давление Рн.
Сдвиговая вязкость горизонта п" имеет численное значение
П"=急=8,0 ・ 1°зб 「/с.П"=急=8,0 ・ 1°зб 「/с.(6.102)(6.102)
П"=急=8,0 ・ 1°зб 「/с.
П"=急=8,0 ・ 1°зб 「/с.
(6.102)
(6.102)
Она приводит к вязкой силе, которая меньше, чем сила, связанная с поверхностным давлением, на фактор
2d喝喝GM*
=-—〜.(0. 1
尸g (характерное время деформации горизонта)
Объемная вязкость горизонта С" отрицательна и равна по абсолютной величине сдвиговой вязкости
少=_急=—8,0 ・ 1036「/с.(6.104)
В обычной жидкости, удовлетворяющей условию причинности, отрицательная объемная вязкость приводила бы к неустойчивости, к расширению типа разлета. Однако в случае опорон- ной жидкости ситуация иная: ее «телеологические» граничные условия (см. выше подразд. 6) сохраняют устойчивость и препятствуют разлету.
Плотность импульса П^, так же как и натяжение 5為, соответствует вязкой жидкости: крайне малая [О(ан)] физическая скорость 囁орон опоронов относительно ОПН в сочетании с гигантской [О (сс^1)] измеряемой ОПН инертной массой, приходящейся на единицу площади (S^Yab + Saj приводит к конечной плотности импульса, измеряемой ОПН [формулы (6.99)]: 噂= 3^%б +，б)唸。р°н =
=®" + X 叫2Tl〃啕 а/唸。р°н・ (6.105)
(Объяснение, почему плотность инертной массы представляется тензором SG®6 + Sab, а не скаляром S^G см. в упражнении 5.4 в книге [129].) 8) Для стационарной керровской дыры о為= / = 0, метрика горизонта выражается формулой (6.42), или, что эквивалентно, формулами (3.74), (3.75), поверхностная гравитация ——формулой (6.766), физическая скорость опорона определяется формулой (6.60) и, следовательно,
口2。ф口2。ф=i &霁3e)2 [「H (咕 + 出 C°s2 8) + M COS2 0)].
口2。ф
口2。ф
(6.106)
Поскольку 2"° обращается в нуль, 2" = 2"' оказываются инвариантными относительно выбора сечения и калибровочноинвариантными в случае слабо возмущенной дыры; поскольку РНо и 口"° не обращаются в нуль, Р"' и П^ оказываются неинвариантными относительно выбора сечения и калибровки. Мы уже сталкивались с этой трудностью, касающейся Рн = 三 ён/8^у когда выбирали во всей этой главе конкретное сечение, на котором gH = gHoy т. е. g% = 0 (см. выше подразд. 5). В результате при нашем описании растянутого горизонта остаются неинвариантными относительно выбора сечения и ка- либровочно-неинвариантыми только возмущение плотности импульса П^ и возмущение метрики 丫：疗 Как в случае метрики, так и в случае плотности импульса мы (частично) будем скрывать это отсутствие инвариантности, избегая расщепления на невозмущенную и возмущенную составляющие, т. е. мы будем строить наш анализ на основе использования 丫爲 и И/, а не 脸 и 口广(более подробно см. ниже подразд. 10).
Сохранение энергии и импульса на растянутом горизонте
Измеряемые ОПН потоки энергии и импульса, направленные к растянутому горизонту из внешней Вселенной, (с Л = 0 для энергии и Л = 6 или 屮 для импульса), и потоки от растянутого горизонта во внутренние области дыры, — Т竺\ связаны с внешними кривизнами растянутого горизонта через уравнения Эйнштейна:'
(^в - K±cgAB)\ в=- 8пТ^ (6.107, Е)
[[129], формула (21.1626)]. Следовательно, наше решение занулить К?', введя энергию, импульс и натяжение поверхностного слоя, влечет за собой зануление Т吋 и закон сохранения
Sab^b = -T^(6.108)
для энергии и импульса растянутого горизонта [ср. с формулами (6.107) и (6.95); см. также [129], формулу (21.170)]. Здесь вертикальной чертой обозначена ковариантная произвол、 ная по отношению к 3-мерной геометрии на 3-мерной мировой трубке, соответствующей растянутому горизонту.
Зануление Tf и закон сохранения SAB\ в = — 丁厅 являются математическими воплощениями утверждения, что вся энергия (Д = 6) и импульс (Л = 6 или 0), которые погружаются в растянутый горизонт из внешней Вселенной, захватываются мембраной и преобразуются без потерь в сохраняющуюся энергию
опоронной жидкости. Этот закон сохранения энергии и импульса представляет собой математический аналог закона сохранения заряда растянутого горизонта [формулы (2.46) и (3.95)]: всякий заряд, который погружается в растянутый горизонт, захватывается мембраной и преобразуется без каких- либо потерь в сохраняющийся заряд опоронной жидкости.
Переписанный на языке 3 + 1-расщепления закон сохранения энергии (6.108) с Л = 6 принимает следующий вид в точной записи (а не в приближении малых возмущений керровской дыры):
力2“ + %，н = — Р”％ + Wh%2 + 2т]"Оаь"он@" + А я (6.109, Е) [[163], формула (5.22)]; соответственно закон сохранения импульса (соотношение (6.108) с А = а) принимает точный вид 2 項+(。爲 +嘴 + w =
= ~PH,a + ^a + ^\b + ^(6.110, E)
[[163], формула (5.23)]. Здесь о^ъ^ъ — ковариантная дивергенция тензора 吧 в 2-геометрии уаЪ растянутого горизонта, нижний индекс о относится к компонентам градиента (то же самое, что д/дха в координатном базисе); a Dt — лроизводная по времени, смысл которой можно пояснить несколькими разными способами: 1) Dt — это пространственно-временная ковариантная производная, взятая по мировому времени / в сопутствующей системе отсчета опорона; 2) ^Dt = Dx есть производная по времени, измеряемая физически ОПН, использующими физические линейки, часы и гироскопы; 3) если использовать выражение через компоненты в наших сопутствующих координатах (ё,^),то
Q两=与%=(笠^为， (6.Ша, e) 叩吊=Ст).,厂G也+ 19瞪)吧(6・1116, E) Комбинируя эти выражения для Dt с формулами (6.109) и (6.110), получаем точные законы сохранения, переписанные через обычные частные производные по времени в наших сопутствующих координатах (仇力)：
(■^)_ _ + ея2я = - р^н + W + ^ь^ +(6.112, Е)
(学力卢崛尸一明 +叁* + 2^*+券(6.113, e)
Закон сохранения энергии (6.112) полностью аналогичен соответствующему закону для вязкой нерелятивистской жидкости:
deldt + 央=一尸6 + 萨 + 2r](y 法 + 夕， (6.114) где е — плотность энергии жидкости, 0 — темп расширения, о注一темп сдвиговых деформаций, ;^ — темп генерации энергии за счет химических, ядерных и т. д. реакций, Р ——давление жидкости, 刀一ее объемная вязкость, — ее сдвиговая вязкость и d/dt——субстанциональная производная по времени. Точно так же как член 0е в (6.114) описывает уменьшение энергии е, приходящейся на единицу объема за счет увеличения объема при постоянстве полной энергии, член Н"Е" в (6.112) описывает уменьшение массы-энергии, приходящейся на единицу площади, £", за счет увеличения площади поверхности горизонта при постоянстве полной массы-энергии. Подобно тому, как член —Р8 в (6.114) описывает потерю энергии жидкости за счет работы, совершаемой при расширении («PdV^-работа), член — Р"Н" описывает потерю энергии горизонта за счет «РйД»-работы, совершаемой при расширении площади поверхности дыры. Точно так же как сумма ^02 + 2刀о,々о/ описывает вязкую диссипацию в жидкости (генерация плотности энергии е за счет вязких сил, совершающих работу против расширения и сдвиговой деформации), сумма 頂％+ 21)"唱噌 описывает вязкую диссипацию на растянутом горизонте. Наконец, по аналогии с тем, как ।歹 описывает добавление новой плотности энергии е за счет химических, ядерных и т. д. реакций, ^н описывает приток новой энергии на растянутый горизонт из внешней Вселенной.
Закон сохранения импульса (6.113) представляет собой уравнение Навье ——Стокса для опоронной жидкости на горизонте. По существу оно является полным аналогом нерелятивистского уравнения Навье ——Стокса для вязкой жидкости:
备(叫)+ 0 (叫)=一 J + 0 - 2叩打 + 乡.(6.115)
Здесь используются декартовы координаты, р”》——плотность импульса, а 衫『——сила на единичный объем, создаваемая внешним (не принадлежащим жидкости) источником. Подобно тому как 6(pVi) в (6.115) описывает уменьшение плотности импульса за счет расширения объема жидкости при сохраняющемся полном импульсе, член 0ЯП^ в (6.113) описывает уменьшение плотности импульса горизонта за счет расширения его площади при сохраняющемся полном импульсе. Члены — Р z и 4®,厶 + 2刀(^ 力 есть соответственно сила давления и вязкая сила, приходящиеся на единицу объема жидкости, и аналогично — Рна и Ся^я, а +
+ 2г]но^ь представляют собой соответственно силу давления и вязкую силу, приходящиеся на единицу площади на растянутом горизонте. И точно так же как 乡方 является внешней силой, действующей на единичный объем жидкости,乡夕 является силой, приложенной к единице площади растянутого горизонта со стороны внешней Вселенной. [Если искушенному в математике читателю это сравнение обычного уравнения Навье ——Стокса в декартовых координатах с уравнением Навье ——Стокса для опоронной жидкости в сопутствующих координатах покажется сомнительным, он может обратиться к уравнению для опоронов в форме, не зависящей от координат. Можно убедиться, что непривычные члены (о倉 + ❷明明)□?, которые там появляются, вносят поправку на расширение и сдвиговые деформации системы отсчета ОПН, по отношению к которым происходит 3+ 1-расщепление (см. разд. V. В.1 работы [163]).
Закон сохранения энергии для опоронов (6.112)——это фактически завуалированное уравнение фокусировки. Если подставить в него £" = — (1/8п)0я, g" = —1/16п, т]"=1/16л и Р" = (l/8n)g〃, то оно примет стандартный вид уравнения фокусировки [формула (6.786)]:
一(嗖)行+ ^/_^%2 =唯噌+ 8冗夕".(6.116, e)
Из исследования «телеологического» характера уравнения фокусировки (см. выше подразд. 6) мы можем сделать вывод, что откликом на внезапный и короткий по времени импульс потока энергии I歹"или приливным образом индуцированную сдвиговую деформацию 鳴噂 будет эволюция плотности массы гори
зонта 2〃，имеющая следующий характер.
За некоторое время А/ 〜l/g〃 до того, как поток 歹〃 или деформация 仃加噌 попали на растянутый горизонт, 2〃 =
=——(1/8п)0я начнет экспоненциально расти по абсолютной величине, приобретая все большие по абсолютной величине отрицательные значения и совершая над собой 《РсС4》-ра6оту:
^-^^^~pHQH-~^^H = g^H，(6.117)
так что 2” сх еён\
Затем, когда 歹"или 唱噌 попадут на горизонт, они компенсируют теперь уже отрицательную величину 2" и после этого на растянутом горизонте £"=——(1/8п)0я = 0.
Закон сохранения энергии опоронов (6.112) и уравнение Навье ——Ctoikch (6.113) несколько упрощаются, если их записать для частного случая слабо возмущенных черных дыр. По-
скольку 10Я2Я I 〜Zi^h2《 巳界"，закон сохранения энергии (6.112) принимает вид
(竇)瓦 _ = - Р/н + 2nH喝嘴 + 夕н， (6.118) а это соотношение есть не что иное, как завуалированное уравнение фокусировки для малых возмущений (6.81). И поскольку мы определенным образом выбираем сечение так, чтобы величина g〃 = 8пР〃 была постоянной как во времени, так и в пространстве, градиент давления Рн, а в уравнении Навье — Стокса (6.113) можно опустить, приведя уравнение к следующему виду：
(等)瓦 3 + %取=柒% Q + 2TlwKb + 终.(6.119)
Вариации калибровки и выбора сеченияна растянутом горизонте
Применение изложенных выше законов эволюции для растянутого горизонта в случае слабо возмущенной дыры приводит к определенным затруднениям, которые связаны с принятым нами совершенно произвольным решением использовать сопутствующие пространственные координаты 6, @ и такой выбор сечения, при котором поверхностная гравитация все время сохраняет свой невозмущенный керровский вид. В этом подразделе мы рассмотрим эти затруднения и обсудим, как с ними быть.
Рассмотрим в качестве методического приема черную дыру, которая вначале при 力 V 厶 имеет абсолютно невозмущенный, в точности керровский вид, затем испытывает слабые возмущения и динамически эволюционирует в течение интервала времени 介 V / V %2 и, наконец, при / > /2 остается невозмущенной (возмущающие источники энергии, импульса, натяжения и приливного тензора «выключаются»). Тогда из теорем о единственности керровских черных дыр (см., например, разд. 6.7 в обзоре [33]) однозначно следует, что дыра при Z > Z2 придет в керровское состояние.
Однако если мы будем описывать эволюцию метрики горизонта уаь в сопутствующих координатах, используя связанные друг с другом уравнения приливной силы, фокусировки и эволюции метрики (6.78) и взяв вначале в качестве уаь стандартную керровскую метрику (6.42) при / V 九 то мы не можем быть уверены, что уаь вернется к стандартному керровскому виду при / > %2・ И на самом деле этого, как правило, не происходит. Дело в том, что, как правило, возмущения будут созда-
вать локальные сдвиговые деформации и расширения, неодинаковые для разных опоронов в разных областях растянутого горизонта (здесь больше, там меньше, ...), и координаты, почти сопутствующие опоронам, будут испытывать расширения и сдвиговые деформации, разные по величине в разных областях. Таким образом, хотя вначале координаты 0,屮 имеют стандартный керровский вид, по окончании эволюции эти координаты и метрические компоненты в (них оказываются уже некерровскими.
Эта трудность может быть преодолена в принципе, если рассчитывать эволюцию в подходящих несопутствующих координатах. В этой книге мы поступим проще: мы рассчитаем эволюцию в сопутствующих координатах и, после того как дыра достигнет физически керровского состояния, введем изменение координат
^ew = 4d + ^ (4и), (6.120а)
которое (в предположении, что вызванное эволюцией изменение уаь мало, так что изменение координат также может быть малым) вызывает изменение в функциональном виде метрики [«калибровочное преобразование», формула (35.65) в книге Мизнера, Торна и Уилера [129]]:
嘅W (脸w) 一 Y工因ew)三зab = - &1历+自丽)
=一(*,d + + (6・1206)
Выбрав нужным образом генератор F этого калибровочного преобразования, мы приведем уаь к стандартному керровскому виду. Калибровочное преобразование, помимо изменений метрики (6.1206), будет приводить к изменению плотности импульса горизонта
l^new (хК) — 1蕾。9 (脸w)三6口烈w = 一(口黑苧+口器身.),
(6.120в)
но при этом все другие характеристики горизонта остаются в первом порядке по возмущениям неизменными, поскольку они калибровочно-инвариантны.
Обратимся теперь к следствиям нашего произвольного выбора сечения, соответствующего горизонту,——выбора, который обеспечивает невозмущенность и керровский вид поверхностной гравитации. Рассмотрим в методических целях ситуацию, уже рассматривавшуюся раньше, когда дыра находится в невозмущенных керровских состояниях при / < Zi и / > /2 и эволюционирует в ответ на слабые возмущения в течение промежуточного интервала 九 V / V %2・ Начальное сечение в точности со-
ответствует мировому времени Бойера ——Линдквиста Z, и соответственно плотность импульса горизонта первоначально имеет стандартный керровский вид П^° [формула (6.106)]. Однако оказывается, что наш произвольный (но жестко фиксированный) выбор сечения в течение интервала времени 力i V / V 已， когда происходит эволюция, заставляет мировое время в самом общем случае эволюционировать к виду, отличному от времени Бойера ——Линдквиста в конечном физически керровском состоянии; соответственно, даже после того как калибровочное преобразование (6.120) привело окончательную метрику горизонта к стандартному керровскому виду, зависящая от выбора сечения плотность импульса горизонта □务 не принимает в конце стандартный керровский вид (6.106).
В принципе эта трудность может быть преодолена, если при расчете эволюции разумно выбрать сечение так, чтобы время Z принимало бы в конце концов бойер-линдквистовский вид. Такой результат может быть достигнут ценой того, что поверхностная гравитация будет слегка переменной в пространстве (т. е. не будет иметь стандартный керровский вид) при включении возмущений (см. обсуждение в разд. II. С и III. С в работе [163]). В этой книге мы поступим проще: мы проследим эволюцию горизонта, пользуясь нашим выбором сечения, при котором gH всегда имеет один и тот же керровский вид, а затем после «выключения» возмущений мы совершим преобразование сечения так, чтобы привести П^ к стандартному керровскому виду.
Более конкретно, в момент, когда дыра вернется к физически керровскому виду, мы введем новое мировое время /new, связанное со старым мировым временем Zoid соотношением
%ew = fold + Ю (6.121а)
Вид этого преобразования сечения тщательно выбирается таким образом, чтобы поверхностная гравитация дыры оставалась неизменной (она всегда была и остается равной поверхностной гравитации невозмущенного керровского фона; см. формулы (2.18) работы [163]). Локально в окрестности произвольной точки (0о, Во) на растянутом горизонте изменение в сечении (6.121а) соответствует следующему преобразованию Лоренца с малой измеряемой ОПН скоростью:
%w = %id — 3%) (^ —第)+ const, (6.1216)
при котором новые ОПН относительно старых ОПН имеют физическую скорость
6% = — а“@・ (6.121в)
Соответственно новые ОПН с их новым выбором сечения видят опороны движущимися со скоростью, измененной на величину —б”。，и, следовательно [формула (6.996)], они видят, что плотность импульса опоронов изменилась на величину дП^ Е Ugnew — 口撃d = (S『运/ + SJ) (— 6%)=
-[(2я + PH-丁尹)廿-2n%^] f b =
4(рн〉а・(6.121г)
Последнее равенство здесь следует из того обстоятельства, что 2я, 6" и 唠匕 равны нулю в невозмущенном состоянии, тогда как величина Рн = gH/8n не равна нулю и является константой. Подходящим выбором генератора f преобразования сечения можно привести П^ к стандартному керровскому виду (6.106), и соответственно такой выбор приведет сечение к стандартному бойер-линдквистовскому виду. Более того, поскольку все другие величины на горизонте (кроме gH и □；) инвариантны относительно выбора сечения, изменение сечения (6.1216) оставит их неизменными.
Поскольку изменение импульса (6.121г), вызванное изменением в выборе сечения, соответствует простому добавлению произвольного градиента к П^, наша свобода в преобразованиях сечения соответствует утверждению, что всякий раз, когда Пд имеет почти керровский вид, возмущения этой величины физически значимы лишь с точностью до градиента.
Эволюция энтропии, углового моментаи массы черной дыры
Точно так же как полную площадь поверхности Ан растянутого горизонта можно рассматривать как сумму площадей поверхности АД всех элементов опоронной жидкости, полную энтропию горизонта S” =(々8/4九)4以[формулы (2.53) и (3.82)] можно рассматривать как сумму вкладов AS от всех элементов опоронной жидкости, где
(энтропия пучка опоронов А ^ площадью АЛ丿=4匕)
Примечательно, что точное уравнение фокусировки для растянутого горизонта (6.786), или, что эквивалентно, точный закон сохранения энергии для него (6.112), если переписать их через AS, воспользовавшись (6.122) и соотношением 0я = d In \A/dt [формула (6.62)], превращается в «уравнение диссипации» для элемента опоронной жидкости:
* [学一表需]=(BHJ + 2SO以。曾 + 笏")А4 (6.123, e)
Здесь
Тн = @]2пкв)8н(6・124, Е)
——поверхностная температура элемента жидкости [формулы (2.51) и (3.81)].
Правая часть этого уравнения диссипации знакома из обычной гидродинамики; члены Z^h и 2nH鳴噂 представляют вязкую диссипацию (увеличение энтропии за счет вязкости), а 歹〃 представляет поток энтропии на горизонт из внешней Вселенной. [Если 歹〃 имеет электрическую природу, то выражается соотношением
分н = —(EhXBhRn) • ri = "н • Ен，(6.125, Е)
которое описывает омическую диссипацию; ср. с формулами (2.56) и (3.99).]
Несколько более непривычен член ——(1/^я) d^\S/d-fl в левой части уравнения (6.123). Он, как и соответствующий член в уравнении фокусировки, имеет «телеологическую» природу. Благодаря этому члену и через посредство «телеологической» функции Грина (6.866), которую необходимо использовать для решения (6.123) относительно dAS/d/:
穿 =j [*隔昭+ 2nH嚼噌+歹") A4], _G(/, /9次，
”’(6.126, E)
энтропия элемента жидкости начинает расти за некоторое время 〜gp до начала действия диссипации (^я0^ + 2nH唯喈 + ^нУ Этот рост прекращается, как только появляется диссипация.
В большинстве модельных задач мы будем интересоваться интегрированием уравнения диссипации (6.123) в течение интервала времени % —— 匕》g/, считая, однако, что t2 —— 九《 《= (время существенного изменения М, J, S”，Т〃). Точный результат такого интегрирования представляется в виде:
T"[AS&) —AS(Q]= ) [(嘉6/ +2s磴步件 + 歹")A斗匕-評，+
+ j [(W + 2soM。普+%)А间匕瓦-rг("а)"一
一、便H打+ 2S。m噌+夕Н)А4]，目,й一唁(6.127)
Из-за наличия экспонент вклад во второй и третий («телеологические») члены вносят только короткие интервалы времени ~g£, тогда как вклад в первый член связан с длительным ин
тервалом времени всей эволюции 九——厶，поэтому вторым и третьим членами можно пренебречь. Это означает, что при расчете эволюции горизонта за интервалы времени /2-—1｛》g~[ можно
аппроксимировать уравнение диссипации (6./23) уравнением
=(“е『+ 2nH 噂唱 + 歹")АЛ (6.128)
[ср. с разд. 6.2.2 работы [32] ]. В дальнейшем мы в основном будем опираться на это приближение «долговременной эволюции».
Интегрируя уравнение (6.128) по растянутому горизонту 舒s, мы получаем тем'п полной диссипации на горизонте в приближении долговременной эволюции:
7〃寸=§ (“ё/+ 2刀壮替。為 + 歹")d4(6.129)
箔s
В случае слабо возмущенных дыр, рассмотрением которых мы и ограничимся, из решения (6.88) уравнения фокусировки следует, что 0^ 〜g/ (鳴噌 + 8冗*以)，а это в свою очередь означает, что первый член в (6.129) меньше суммы второго и третьего членов на множитель 〜B"/g〃 < 1. Поэтому мы можем пренебречь первым членом (диссипацией, связанной с объемной вязкостью) и написать, что
俄。爲 + 歹")(6.130) 箔s
В целях сравнения с законами эволюции полного углового момента / и массы М черной дыры [см. ниже формулы (6.134) и (6.136)] удобно переписать один множитель 嚼 в (6.130) как 寸2Kаь® — Вн、аъ) [формула (6.756)] и тем самым привести (6.130) к следующему виду:
&常=§[^0瓦3叫6 + 歹“]^.&常=§[^0瓦3叫6 + 歹“]^.(6.130)(6.130)
&常=§[^0瓦3叫6 + 歹“]^.
&常=§[^0瓦3叫6 + 歹“]^.
(6.130)
(6.130)
Обратимся теперь к эволюции полного углового момента черной дыры /. Точно так же как частица с импульсом 夕 обладает угловым моментом Lz = р • д/дф = рф относительно оси вращения дыры, так и растянутый горизонт с плотностью им-
пульса Пя обладает плотностью углового момента Ilf относительно оси вращения. Полный угловой момент дыры равен интегралу по растянутому горизонту от этой плотности углового момента
/= § И? d4= § 恵 “7d6df,(6.131)
где y = det||Ya& || [см. [163], в частности, формулы (2.7) и (5.37), а также приведенные там ссылки]. В случае керровской дыры с П^, выражаемым формулой (6.106) и y = (2тИгя)2 sin2 0, этот интеграл, как и должно быть, дает J = Ма.
Темп изменения 'полного углового момента (6.131) можно вывести из точного уравнения Навье ——Стокса (6.113) для горизонта. Поскольку 0я = 5 (in Vy)/^ [формула (6.75а)] ^-компонента этого уравнения имеет вид
表导(^П^) = -(РЯ + 色网),з + 2А/6||6 + 鬻
и, следовательно,
+V7d0^.(6.132)
По метрике уаь растянутого горизонта можно вычислить коэффициенты связности, входящие в дивергенцию от о北：
%耳=去("7嚟)，6-^Y*尹Н叫 (6.133)
Подставляя это выражение в формулу (6.132) и замечая, что 7、т d§ = dA есть площадь поверхности элемента на растянутом горизонте, получаем
* = § (2喂。зь + ^)dA=^ [%(专).V6 + ”] d4
(6.134)
Первый член соответствует увеличению углового момента под действием сил сдвиговой вязкости на растянутом горизонте, а второй член описывает его увеличение благодаря потоку углового момента, приносимого на горизонт веществом и электромагнитными полями. Заметим, что поскольку невозмущенная метрика 丫^匕 не зависит от @, то первый член (сила сдвиговой вязкости) квадратичен по возмущениям. Выражение (6.134)— это закон эволюции / в том виде, который мы будем использовать при изучении конкретных примеров возмущений черных Дыр.
В приведенном выше выводе формулы (6.134) для dJ/dt мы умолчали об одном серьезном и щекотливом обстоятельстве. Выражение (6.131), на котором был основан вывод, совер
шенно точно и правильно представляет угловой момент дыры только в том случае, когда дыра строго осесимметрична и базисный вектор д/дф = (。/。小)@ t в точности совпадает с генератором 三 вращений вокруг оси симметрии, 0/3。三占.
Рассмотрим в качестве методического приема эволюционную задачу, обсуждавшуюся в подразд. 10. Пусть черная дыра при / V 厶 начинает свою эволюцию точно из керровского состояния, причем (仇力)——это в точности сопутствующие координаты Бойера ——Линдквиста; затем дыра подвергается слабым возмущениям и эволюционирует динамически в течение интервала 介 V / V %2, и (в конце эволюция при Z > Z2 находится в новом конечном керровском состоянии. В начальном керровском состоянии (。/0小)@ t в точности равно 自，т. е. генератору вращений вокруг оси симметрии, поэтому угловой момент /Нач точно представляется интегралом (6.131). Однако, как уже отмечалось в подразд. 10, 'после того как мы проследим эволюцию дыры, пользуясь сечениями постоянного g〃 и сопутствующими координатами (как мы и делали при указанном выше выводе dJ/dt), наши временные сечения не будут стандартными сечениями Бойера ——Линдквиста (следовательно, генератор вращений 自 не будет больше принадлежать этим сечениям) и наши 0, ф не будут больше стандартными координатами Бойера ——Линдквиста. В результате 自 не будет равно (0/。®)©,， интеграл (6.131) не будет точным и правильным выражением для конечного углового момента дыры /КОн и изменение интеграла (6.131) [интеграл по времени от (6.134) ] может быть плохим приближением для изменения углового момента дыры А/ — /кон ' Jнач*
К счастью, оказывается, что /кон аппроксимируется формулой (6.131) достаточно хорошо, чтобы формула (6.134) была справедливой. Мы можем в этом убедиться в два этапа. 1) Пересчитаем эволюцию горизонта при t\ V t V t? как отклик на те же самые вынуждающие силы, что и раньше, используя те же, что и раньше, сопутствующие координаты, но считая, что gH зависит от положения так, чтобы обеспечить бойер- линдквистов'ский вид конечных временных сечений. Эта эволюция приведет в точности к тому же выражению для изменения интеграла (6.131), что мы получили раньше [интеграл по времени от (6.134); эффекты, связанные с g〃 = 8пР〃, выпадают из вычислений). Таким образом, генератор вращений 三 останется
в сечении постоянного t, и П;/, сохранив бойер-линдквистовский вид, останется направленным вдоль 自，так что П =口方自. Однако, из-за того что сопутствующие координаты будут все-таки деформированными, (0/9屮)@ 彳 не будет равно W. 2) Затем предположим, что в момент времени f〉友 в черную дыру падает большое количество частиц с нулевым угловым моментом (изменяя тем самым массу дыры, но сохраняя прежним ее угловой момент). Приливное воздействие каждой частицы при ее прохождении через растянутый горизонт будет деформировать элементы опоронной жидкости на горизонте и соответственно будет характерным образом деформировать сопутствующие ей координаты [к этому мы вернемся в разд. УП.Д.1 (рис. 63)]. Аккуратно выберем распределение (т. е. массу на единицу площади) частиц, падающих через растянутый горизонт (одна функция двух переменных 9, @), так, чтобы деформированные линии постоянной сопутствующей координаты ф, одинаково отстояли друг от друга и были ортогональны &. Эти координатные линии будут тогда совпадать с бойер-линдквистовскими лнннямн_по- стоянной долготы, и соответственно базисный вектор (d/d^)f @ —-А
будет удовлетворять равенству д/дф-^ =|g|2, плотность импульса горизонта Пя = 口％自 будет иметь 介компоненту II/ = =П •自，и окончательный угловой момент дыры /кон будет точно представляться интегралом (6.131). Хотя на этой второй стадии эволюции масса дыры изменилась, ее угловой момент /кон остался неизменным. Как ясно из соображений симметрии, характер приливных деформаций таков, что для каждой падающей частицы (рис. 63) они вносят нулевой вклад (в нужном втором порядке) в интеграл по времени от (6.134). Следовательно, формула (6.131) теперь правильно представляет /Кон и разность /Кон — /нач = [изменение интеграла (6.131)] дается интегралом по времени от (6.134) (правильным до второго порядка по амплитуде возмущений), который берется по первой эволюционной стадии и t\ V t V t& Сказанное подтверждает справедливость использования нами формулы (6.134) для описания временной эволюции углового момента дыры в методически интересной ситуации эволюции от одного керровского состояния к другому. В более общем случае, например в ходе неосесимметричной эволюции (рассмотренной выше или при эволюции между состояниями, отличающимися от точно керровских) ,угловой момент не является строго определенным, поэтому мы вольны, если хотим, принять (6.131) и (6.134) в качестве нашего определения момента и его эволюции. Другие
способы вывода формулы (6.134) см. в разд. IV работы [199], а также в [ 166, 167].
Формулу (6.134) для вращательного момента, действующего на дыру, можно переписать, воспользовавшись тем, что Yab 三 Y^b + 22爲 + @”Y^ И 讣統дф = О и 風=д^аь/dt, следующим образом:
%)J号%后十州卜4 (6.135) 箔S
Отметим, что если 乡? = 0 (чисто приливные возмущения), то этот вращательный момент оказывается второго порядка и, следовательно, физически значимые части силы вязкости —2т]"СГ%?ь и уравнения Навье — Стокса (6.113) тоже будут второго порядка. Расчет всех деталей в уравнении Навье —— Стокса до второго порядка потребовал бы знания возмущающих приливных полей 器北 с точностью до второго порядка — задача, выходящая за рамки любых модельных расчетов в этой книге. К счастью, как показывает формула (6.135), та часть уравнения Навье — Стокса, которая представляет полный вращательный момент dJ/dt, действующий на дыру, определяется вплоть до второго порядка тем, что известно о 2北， или ст*, или Sab в первом порядке.
Обратимся, наконец, к эволюции полной массы дыры М. Комбинируя формулы (6.1309 для THdSH/dt и (6.134) для dJ/dt с первым началом термодинамики для дыры dM = =THdSH + ^HdJy получаем следующее уравнение для темпа роста М:
dM d$H \ с " _
— / н №—
=0 [*(胃认j产 + 歹"+ ^ф] d4 (6.136a) 箔s
Мы воспользовались здесь следующим соотношением [формулы (6.69)]:
■(6.1366)
Краткий обзор законов эволюции растянутого горизонта
Эволюция растянутого горизонта слабо возмущенной черной дыры обусловлена приливным гравитационным полем 後£匕,потоками энергии 歹"и импульса 乡?, переносимыми на растя-
нутый горизонт электромагнитными полями и веществом. Для вычисления приливного поля можно решить уравнение Тю- кольского (6.28) для функции Тюкольского 屮"на горизонте и затем, зная 屮"，определить /&ь [формула (6.54)]. Можно также вычислить 君^ь, пользуясь некоторыми другими методами,— рассчитать сначала приливное поле SаЬ = Са^ь^, измеряемое ОПН на растянутом горизонте (конец раздела VI. Б2), а затем взять поперечную бесследовую часть, производя переопределение 段房=咤後黒[формула (6.496)]. Далее можно рассчитать поток 歹"энергии, производя переопределение плотности энергии е или нормального потока энергии S九,измеряемых ОПН на растянутом горизонте,歹"=а$е = —%Sn [формула (6.56а) ], а поток импульса ——после переопределения плотности импульса Sa или потока импульса Т^, измеряемых ОПН на растянутом горизонте, 乡£ = a^Sq =—а”Г"а [формула (6.566)]. В случае электромагнитного поля 歹"=-(£я X 訴)• ^=前•云"=
=(темп омической диссипации),(6.137а)
骄/ =風+尹 ><務=
=(сила Лоренца на единицу площади) (6.1376) [формулы (3.99), (3.100)].
Эволюция ^сдвиговых деформаций растянутого горизонта о^ обусловлена приливным полем Sab и описывается уравнением приливной силы (6.80), которое следует решать, используя «телеологическую» функцию Грина (6.86), (6.87). Эволюция расширения В" и поверхностной плотности массы 2" = — (1/8л)0// обусловлена квадратом сдвиговой деформации и потоком энергии 歹"и описывается уравнением фокусировки (6.81), или, что эквивалентно, законом сохранения энергии для горизонта (6.112), которое также следует решать, пользуясь «телеологической» функцией Грина. Эволюция поверхностной плотности импульса горизонта □" обусловлена дивергенцией сдвиговой деформации и потоком импульса 乡"и описывается уравнением Навье ——Стокса для горизонта (6.113). Эволюция метрики горизонта уаь обусловлена расширением 8" и сдвиговой дефор- „ Но
мациеи о^ь и описывается уравнением для возмущении метрики (6.82). И наконец, эволюция массы дыры М, углового момента / и энтропии S” обусловлена сдвиговой деформацией Оаь, метрикой Yab и потоками энергии и углового момента 夕" н 疆 и описывается уравнениями (6.136), (6.135) и (6.130).
VIIМодельные задачи для гравитационных возмущенийчерных дыр
Р. Прайс, И. Редмаунт, ВзВ М。 Сюэн, К. Торн,Д. Макдоналд, Р. Краули
Обратимся теперь к серии модельных задач, иллюстрирующих применение мембранного формализма для исследования гравитационных возмущений черной дыры. Прежде всего в разд. А (а также Б.2) мы рассмотрим модельные задачи для квазистатических возмущений горизонта, т. е. возмущений с характерными динамическими временами 力厶，удовлетворяющими условию tp》g/・ В разд. В и Г мы приведем примеры более типичного с точки зрения астрофизики случая td ~ g". Наконец, в разд. Д мы обратимся к модельным задачам с характерными динамическими временами tD《gf.
В процессе рассмотрения наших примеров будут приведены общие рассуждения и формулы для двух широких классов возмущений—квазистационарных возмущений (разд. А.2) и возмущений, вызываемых приливными полями с твердотельным вращением вокруг черной дыры (разд. Б.1). Источниками рассматриваемых нами возмущений могут быть звезды и другие тела, находящиеся в состоянии свободного падения вблизи дыры (разд. Г.1 и Д.1), массивные частицы, прикрепленные к концам нитей и перемещаемые с помощью этих нитей (разд. А.1, Б.2 и Д.2), удаленные тела, которые не движутся по орбите вокруг дыры, но создают вблизи нее приливное гравитационное поле (разд. В), а также гравитационные волны от удаленных источников, падающие на дыру (разд. Г.2).
А. Квазистационарные взаимодействия черной дыры
Компактные массы, приближающиеся квазистатическик невращающейся черной дыре
Наша первая модельная задача дает представление о медленно (квазистатически) изменяющихся гравитационных возмущениях невращающейся дыры. Рассмотрим невращающуюся невозмущенную (шварцшильдовскую) черную дыру с массой М и радиусом горизонта гн^2М. Представим себе, что мы взяли два компактных тела с массой m каждое; закрепим каждое из тел на тонкой нити и будем медленно опускать их к чер-
ной дыре по симметричным направлениям — одно тело опускаем вдоль северной полярной оси дыры (9 = 0), другое — вдоль южной полярной оси (0 = л); см. рис. 52 и 53. Тела олускаем за характерное время f。, которое произвольно велико — по крайней мере достаточно велико, чтобы tD》g£ = 4М; таким образом дыра может квазистатически подстраиваться к приливным гравитационным полям масс и нитей.
Мы хотим изучить эволюцию горизонта дыры под действием приливных полей подвешенных масс. Но, прежде чем рассматривать эволюцию, выскажем некоторые замечания о значении нитей и важности использования двух масс, а не одной.
Данная модельная задача вполне аналогична задаче о точечном заряде, находящемся в состоянии покоя над шварцшильдовской дырой, которая была рассмотрена в разд. П.Г.2 (рис. 13 и 14). В задаче о точечном заряде можно было не думать о механизме подвешивания заряда (нить или нечто другое) ,поскольку такой подвес мог быть в принципе электрически нейтральным и иметь вакуумную диэлектрическую проницаемость, а следовательно, мог не оказывать влияния на электромагнитное поле. Иначе обстоит дело с гравитационным полем. Механизм подвешивания (нити) должен оказывать усилие на подвешенные массы; таким образом, в нем должны возникать внутренние напряжения, а эти напряжения будут создавать гравитационные силы. Более того, уравнения поля, предложенные Эйнштейном и описывающие создание гравитации массой, моментом и напряжением, заключают в себе уравнения движения и баланса сил для любых создающих гравитацию объектов (см., например, разд. 17.2 книги [129]). Если при расчете приливных сил, действующих на дыру, учесть гравитацию подвешенных масс, но пренебречь гравитацией испытывающих напряжения нитей, то результирующее гравитационное поле будет противоречить закону баланса сил для данных подвешенных масс; в соответствии с этим законом рассматриваемые массы должны свободно падать, а если свободное падение не происходит, то результаты математического анализа не будут иметь смысла (авторы уже столкнулись с этим в своих ранних неудавшихся расчетах).
Аналогичные соображения требуют, чтобы рассматривались две массы, подвешенные с противоположных сторон дыры. Если подвешена только одна масса, то дыра будет падать в направлении к ней и данная конфигурация уже не может эволюционировать квазистатически. Гравитационная сила со стороны второй массы, действующая на дыру, уравновешивает гравитационную силу первой массы, что позволяет дыре находиться в состоянии квазистатического равновесия.
Рис. 52. а — два компактных объекта с массой т, подвешенные на радиаль-ных нитях при радиусах гт》Гн над северным и южным полюсами невра-щающейся черной дыры с массой Af; б — диаграмма погружения, иллюстри-рующая вытянутую форму квадрупольно деформированного растянутого го-ризонта черной дыры под действием приливных полей ^пп подвешенныхмасс.
Рис. 53. а — то же, что и на рис. 52, а, но подвешенные массы расположены очень близко от растянутого горизонта; 6 — диаграмма погружения, аналогичная рис. 52,6, на которой показана вызванная приливными силами деформация в виде 《бугорков》в районах северного и южного полюсов.Рис. 53. а — то же, что и на рис. 52, а, но подвешенные массы расположены очень близко от растянутого горизонта; 6 — диаграмма погружения, аналогичная рис. 52,6, на которой показана вызванная приливными силами деформация в виде 《бугорков》в районах северного и южного полюсов.
Рис. 53. а — то же, что и на рис. 52, а, но подвешенные массы расположены очень близко от растянутого горизонта; 6 — диаграмма погружения, аналогичная рис. 52,6, на которой показана вызванная приливными силами деформация в виде 《бугорков》в районах северного и южного полюсов.
Рис. 53. а — то же, что и на рис. 52, а, но подвешенные массы расположены очень близко от растянутого горизонта; 6 — диаграмма погружения, аналогичная рис. 52,6, на которой показана вызванная приливными силами деформация в виде 《бугорков》в районах северного и южного полюсов.
Вернемся теперь к эволюции горизонта при квазистатиче- ском опускании подвешенных масс. Медленно изменяющееся О
приливное поле /" подвешенных масс создает сдвиговую де- <А
формацию горизонта о" [уравнение приливной силы (6.80)], этот сдвиг затем вызывает расширение горизонта 8" [уравнение фокусировки (6.81), или, что эквивалентно, закон сохранения энергии (6.112)], а сдвиг и расширение порождают изменение метрики горизонта [уравнение эволюции метрики (6.82)].
По интуитивным соображениям, которые на самом деле соответствуют действительности, очевидно, что, поскольку сдви- говая деформация от" характеризует скорость изменения формы горизонта под действием приливной силы, то чем медленнее опускаются подвешенные массы, тем меньше будет сдвиговая деформация. Действительно, сдвиговая деформация будет обратно пропорциональна произвольно большому характерному времени 力°, за которое осуществляется опускание масс. В сочетании с уравнением приливной силы (6.80) (где производной по времени пренебрегают, так как 1/3《g”)это означает, что приливное поле /為 горизонта также обратно пропорционально 3：
Oab = gH^ab-(7.1)
Расширение, представленное уравнением фокусировки (6.81), в котором производной по времени пренебрегаем, поскольку l/%o《g”， выражается следующим соотношением:
8" = g/喝噌"1/%；(7.2)
соответственно метрика горизонта, описываемая интегралом (6.89) уравнения эволюции метрики (6.82), имеет вид
Vab = Vab + 2^b + eHy^(7.3а)
где величина 力t
2幫=、滥山=,gH^^bdt(7.36)
не зависит от tD и
®"三,0Н dt= , g小氏畔dtz屮d・(7・3в)
Следует отметить, что, поскольку величиной 0^ ос \/tD можно пренебречь, возмущение метрики будет бесследовым и соответственно горизонт деформируется, но площадь его поверхности останется неизменной. Более того, поскольку энтропия черной дыры пропорциональна площади ее поверхности,
данный квазистатический процесс вызывает лишь ничтожно малое возрастание энтропии (ос 1 /tD). Мы могли бы также вывести из уравнения диссипации для горизонта (6.129), что энтропия не растет. В сочетании с формулами (7.1) и (7.2) для сдвиговой деформации и расширения это уравнение позволяет заключить, что ТHdSHldt ^. 1//Ь； следовательно, изменение энтропии пропорционально величине \/tDl которая произвольно мала.
Благодаря симметрии очевидно, что опускание подвешенных масс не может сообщить какого-либо углового момента дыре. Поскольку какие-либо изменения энтропии и углового момента отсутствуют, первый закон термодинамики для дыры (6.136) дает основания считать, что изменения массы не происходит.
Обратим внимание на описанную метрикой (7.3а) мгновенную геометрию (растянутого) горизонта, пренебрегая величиной ®". Вследствие симметрии главными осями приливной деформации горизонта должны быть направления В н 力 н, следовательно, величина S^, должна обратиться в нуль. Более того, поскольку 2為 является бесследовой величиной, две ненулевые компоненты можно записать в виде
£隹=一 S^/sin2 9 м ^гн, (7.4)
и полная метрика (7.3а) горизонта с точностью до линейного порядка по функции возмущения р (0) должна иметь осесимметричный вид
ds2 =(厂” + 6)2 d# + (厂〃 一 6)2 sin2 0 壮产. (7.5) Здесь § является функцией 0 с размерностью длины. Для данной метрики, как и для любой двумерной осесимметричной метрики, скалярная кривизна определяется по стандартной формуле (6.15), которая тюсле взятия двух производных приобретает следующий вид:
% side)] (7.6)
Скалярную кривизну так же просто можно связать с радиально-радиальным гравитоэлектрическим полем 齒〃〃：
处н=—^пп (7.7)
[формула кривизны (6.13) Хартля [90]].
Таким образом, мгновенную деформированную геометрию растянутого горизонта в равной степени можно охарактеризовать либо метрикой горизонта уаь, либо проинтегрированной по времени сдвиговой деформацией £方，либо скалярной крн・ визной 孰н、либо функцией возмущения р, либо мгновенным приливным полем ।因九力 либо проинтегрированным по времени
приливным полем \ Sab dt. Если нам известна одна из этих величин, то с помощью приведенных выше уравнений мы можем рассчитать и все остальные.
Нетрудно понять, что все вышеуказанные формулы справедливы для любого квазистационарного осесимметричного возмущения шварцшильдовской черной дыры. Например, они справедливы, если возмущающее гравитационное воздействие создано испытывающим напряжение кольцом материи, которое квазистатически сжимается или расширяется вокруг черной дыры, а также если возмущения созданы медленно эволюционирующим диском вещества, который вращается вокруг дыры, без аккреции. [В поюледнем случае, несмотря на то что диск обладает отличным от нуля угловым моментом, осевая симметрия не позволяет ему создавать вращательный момент, действующий на дыру; в формуле (6.134) дуаЬ/дф равно нулю, а следовательно, dJ/dt также равно нулю.]
Для данного специального случая с двумя подвешенными массами мгновенное возмущающее приливное поле ^пп было рассчитано 1) в общем виде Редмаунтом [169] с привлечением формализма Вейля; 2) для масс, находящихся вблизи горизонта, Сюэном, Прайсом и Редмаунтом [195] с использованием аппроксимации Риндлера; 3) для масс, сильно удаленных от горизонта (в случае чего нить не важна), Хартлем [90] с помощью формул Тюкольского — Чандрасекара (см. конец разд. VI. Б.2, где рассмотрены эти три метода расчета). При анализе, основанном на методах Вейля и Риндлера, для простоты рассматривались лишь нити, которые на момент, соответствующий 君пп, имели распределения напряжений и масс, аналогичные космической струне (например, Виленкин [213]): считалось, что нити не имеют поперечных составляющих напряжения и обладают продольным натяжением Т = — ^ TrrdA и массой на единицу длины 九三、Т'З 壮』，которые взаимосвязаны «уравнением состояния» Т =九.(Здесь через интегралы выражается площадь поперечного сечения нити.)
Ограничиваясь условием Т =九，мы уменьшаем массы нитей до минимума, допустимого с точки зрения «сильного энергетического условия» [100]; более важно то, что в этом случае ннтн становятся «невесомыми», т. е. их инертная масса на единицу длины при продольном (но не при поперечном) движении, которая равна их пассивной гравитационной массе при радиально вытянутой конфигурации, принимается равной 九——Т = 0 (ср. упражнен'ие 5.4 в книге [129] и приложение Б, часть II, в [169]). Так как каждая нить невесома, ее натяжение по длине постоянно и принимается равным силе, необходи-
МОЙМОЙдля удержания массы на ее конце:для удержания массы на ее конце:卜=Т = mg =卜=Т = mg =mMmM(7.8)(7.8)
МОЙ
МОЙ
для удержания массы на ее конце:
для удержания массы на ее конце:
卜=Т = mg =
卜=Т = mg =
mM
mM
(7.8)
(7.8)
где g ——гравитационное ускорение при том радиусе rm, где находится масса; а^ = д/1 — гн1гт ——функция длительности при данном радиусе.
Рассматривая формулы для ^пп и их приложения для свойств горизонта, сосредоточим наше внимание на трех областях параметров: 1) случай, когда массы находятся при произвольных радиусах 厂加 2) частный случай, когда массы сильно удалены от дыры, гт 步厂”；3) частный случай, когда массы расположены весьма близко к горизонту, т. е. на расстоянии s^ 4 4Mam《rH(7.9)
над горизонтом. [Напомним, что мы раз и навсегда зафикси- ро!вали наши пространственные координаты таким образом, что истинный горизонт, хотя он и претерпел физическую деформацию, имеет те же, т. е. невозмущенные координаты,厂=厂”；см. рассуждения, следующие за уравнением ,6.2').] Приводимые далее формулы справедливы до тех пор, пока гравитация масс на горизонте «нерелятивистски мала》：
^/sm <С 1,(7.10)
и массы имеют форму, достаточно близкую к сферической, или достаточно удалены от горизонта, чтобы можно было пренебречь их квадрупольными моментами или моментами более вы
сокого порядка.В этой ситуации осесимметричное приливное поле — каксокого порядка.В этой ситуации осесимметричное приливное поле — какфункция углового положения 0 — 0 на растянутом горизонте, массы М и радиуса дыры 厂"=2М, а также массы т, радиуса гт и значения функции длительности при г = rm,々团= — 2M/rm возмущающих тел,——определяется формулами:функция углового положения 0 — 0 на растянутом горизонте, массы М и радиуса дыры 厂"=2М, а также массы т, радиуса гт и значения функции длительности при г = rm,々团= — 2M/rm возмущающих тел,——определяется формулами:^пп =^пп =小一m)小一m)16m16m後九九=/；% + 後鳥，/；九=—1/4М2 = —2М/%後九九=/；% + 後鳥，/；九=—1/4М2 = —2М/%При rm》2MПри rm》2M(1 --^sin20)(1 --^sin20)3 cos2 0 —23 cos2 0 —2-При Sm《2M.-При Sm《2M.(7.11a)(7.116)(7.11b)(7.11a)(7.116)(7.11b)1 H I1 H I
сокого порядка.
В этой ситуации осесимметричное приливное поле — как
сокого порядка.
В этой ситуации осесимметричное приливное поле — как
функция углового положения 0 — 0 на растянутом горизонте, массы М и радиуса дыры 厂"=2М, а также массы т, радиуса гт и значения функции длительности при г = rm,々团= — 2M/rm возмущающих тел,——определяется формулами:
функция углового положения 0 — 0 на растянутом горизонте, массы М и радиуса дыры 厂"=2М, а также массы т, радиуса гт и значения функции длительности при г = rm,々团= — 2M/rm возмущающих тел,——определяется формулами:
^пп =
^пп =
小一m)
小一m)
16m
16m
後九九=/；% + 後鳥，/；九=—1/4М2 = —2М/%
後九九=/；% + 後鳥，/；九=—1/4М2 = —2М/%
При rm》2M
При rm》2M
(1 --^sin20)
(1 --^sin20)
3 cos2 0 —
2
3 cos2 0 —
2
-При Sm《2M.
-При Sm《2M.
(7.11a)
(7.116)
(7.11b)
(7.11a)
(7.116)
(7.11b)
1 H I
1 H I
Некоторые особенности этого приливного поля заслуживают внимания. 1) Член ^п представляет невозмущенное приливное поле черной дыры [уравнение (6.12а) при а = 0]; он имеет точно такую же математическую форму, что и ньютоновское приливное поле точечной массы М при ньютоновском радиусе Гн. 2) Член ^пп — это возмущение под действием масс и нитей. 3) Возмущающее приливное поле 器:八 имеет величину, соответствующую интуитивным предположениям на основе ньютоновского подхода: если массы удалены от горизонта, гт》гн, то мы получим предел 器:九〜小/噜； если массы находятся вблизи горизонта, то в точке непосредственно под ними получим 器:九〜小/s^; в обоих случаях полученные зависимости соответствуют ньютоновской формуле 器:九〜 (масса) / (расстояние)3. 4) Среднее по площади от 器嘉 на горизонте равно нулю. Последнее свойство связано с тем о б сто я те л ьст)в о м, что для 2-мерной поверхности с топологией 2-оферы (включая горизонт нашей черной дыры) поверхно'стный интеграл от скалярной кривизны должен быть равным 8л; так как площадь поверхности невозмущена, интеграл по площади от невозмущенной скалярной кривизны должен дать 8л, и таким образом вклад в интеграл от 例) = ——2器:九 равен нулю:
一2 §器算d4 = -2 § (器河-器農)dA
=§ (笈"一契务)力4 = 8兀 — 8n=0.(7.12)
Чтобы было легче представить себе скалярную кривизну, обусловленную приливным полем, на рис. 52 и 53 приведены диаграммы погружения для 2-мерной геометрии горизонта, рассчитанные Хартлем [90] и Редмаунтом [169]. Следует обратить внимание на то, что, если массы слишком сильно удалены от дыры (рис. 52), горизонт деформируется, приобретая форму слегка вытянутого сфероида [у полюсов приливное поле и кривизна более сильные, чем вблизи экватора; с,р. с формулой (6.10а), которая показывает, что продольная лриливная сила удаленной массы дает растяжение, которое по абсолютной величине в два раза больше поперечного приливного сжатия]. Напротив, если массы находятся очень близко от горизонта (рис. 53), то деформация сильно локализуется у полюсов. Кроме того, в пределе т^т》\吟 обусловленная возмущением кривизна значительно больше у полюсов, чем невозмущенная кривизна (笈А》例?л 《бугорки》 на диаграмме погружения). Однако это ни в коем случае не означает несостоятельности анализа; анализ остается справедливым, пока m/sm<^ 1.
Скалярная кривизна 例，сильно локализованная в одной точке на 2-мерной поверхности, плоской в других местах, обусловливает коническую (внутренне плоскую) геометрию за пределами этой точки. Конус с такой геометрией отклоняется от плоскости на угол 0dev (дополнение к углу раствора конуса); этот угол отклонения определяется формулой
0dev 2 Sin 4~0dev = [^ ^ d/丁 • (7.13)
Так же и в нашем случае (рис. 53,6) сильно локализованная кривизна у полюсов горизонта образует поверхность погружения, которая быстро переходит в коническую на расстояниях * 三 2М sin 8》s俏 от полюса; угол раствора конуса определяется по стандартной формуле (7.13) с 笈=例〃，которая после интегрирования дает
9dev=(8/n/Sm)l/2. (7.13‘)
Для полярных углов 0 才 0dev коническая поверхность погружения асимптотически принимает невозмущенную сферическую геометрию, причем даже в конической области она имеет несколько большую чистую скалярную кривизну (отклонение от идеальной конусности), чем невозмущенный горизонт.
В заключение данного подраздела приведем некоторые замечания, адресованные специалистам ib области общей теории относительности. Героч и Хартль [76] разработали весьма общий математический формализм для описания невращающихся гравитационно-деформированных статических черных дыр и окружающей их материи, которая вызывает эти деформации. В отличие от приведенного здесь анализа слабых возмущений формализм Героча ——Хартля позволяет анализировать произвольно сильные (но обязательно статические) возмущения и даже возмущения настолько нереалистически сильные, что они способны изменить топологию горизонта от сферической до тороидальной.
В формализме Героча ——Хартля имеются два возможных определения массы дыры. Одно из них соответствует определению, принятому нами здесь,——имеется в виду масса (mint в системе обозначений Героча и Хартля; см. формулу (4.8) в работе [76]), которая, если выразить ее через площадь горизонта 4, равна (Д/16л)1/2 и которая в процессах квазистати- ческих возмущений не меняется под действием гравитационных полей окружающей материи. Второе определение соответствует понятию массы, принятому в большинстве работ по общей теории относительности, например, такими авторами, как Бардин, Картер и Хоукинг [2] и Картер [32, 33], — это масса (т в системе обозначений Героча ——Хартля), определяемая через 《ин-
304 Р. ПРАЙС, И. РЕДМАУНТ, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН, Д МАКДОНАЛД, Р. КРАУЛИ теграл Комара》 на бесконечности и изменяющаяся под действием гравитационных полей окружающей материи. Принятие нами первого, менее традиционного определения массы продиктовано стремлением к простоте при рассмотрении динамических ситуаций: принятая нами простая формула (6.136а) для расчета dM/dt в динамических ситуациях дает М = mint в статических ситуациях с деформированными дырами (эти ситуации возникают в результате воздействия на невозмущенные черные дыры квазистатических процессов, аналогичных представленным в начале данного раздела).
Квазистационарные деформации вращающейся дыры
Кратко рассмотрев квазистатически деформированную невращающуюся дыру, обратимся к квазистационарно деформированной вращающейся дыре. Чтобы некая деформация вращающегося горизонта была квазистационарной, она должна меняться (с точки зрения ОПН и опоронов на растянутом горизонте) с очень малой скоростью по сравнению с поверхностной гравитацией дыры, т. е. характерное время изменения горизонта tD должно удовлетворять условию \代口《gH・ Это означает, что если деформация не осесимметрична, то она и ее источники должны участвовать во вращении вместе с горизонтом; следовательно, ее источники должны излучать гравитационные волны на бесконечность. Примером может служить медленно вращающаяся черная дыра с малым объектом (масса m <С Л1), который обращается (в направлении вращения дыры) по экваториальной круговой кеплеровской орбите в точности с таким значением радиуса гш, при котором кеплеровская угловая скорость равна угловой скорости горизонта О^н == {М/rm)1/2. Гравитационные волны, испускаемые та
ким спутником черной дыры, будут настолько слабы [ (потери энергии за один оборот) (тг^к^У/^^ что относительные изменения орбитальной энергии связи и орбитального радиуса в течение одного оборота будут весьма малы [порядка {М/г^^^т/Гт) << 1]. Следовательно, деформация горизонта будет эволюционировать весьма медленно, т. е. она будет ква- зистационарной. Этот пример будет рассмотрен ниже в разд. Г.1.
Более интересным с точки зрения астрофизики примером является медленно эволюционирующий аккреционный диск, центральная плоскость которого совпадает с экваториальной плоскостью дыры. Гравитационные поля такого диска будут осесимметричными, и, следовательно, чтобы горизонт испытывал неизменное или медленно меняющееся возмущение, диск не обязательно должен вращаться с той же угловой скоростью, что и горизонт. До тех пор пока диск эволюционирует за ха-
рактерное время /q》g〃 , возмущения горизонта будут ква- зистационарными. Если, кроме того, внутренний край диска достаточно удален от горизонта, чтобы исключалось падение в дыру значительных количеств газа, то речь пойдет о возмущениях гравитационного поля в пустоте.
Рассмотрим теперь квазистационарное вакуумное возмущение горизонта вращающейся черной дыры, вызванное, например, объектом, движущимся по орбите вокруг дыры, или описанным выше аккреционным диском. Для такого возмущения мы можем воспользоваться теми же аргументами, что и для квазистатического возмущения невращающейся дыры (предыдущий раздел), и на их основе мы можем сделать те же выводы:
Oab = gH^ab с l/办，(7.14а)
» = g^鳴噌 ~ 1修，(7.146)
t
2爲=\ ^ab dt не зависит от 办，(7.14в)
00 t
@= J ^dt^ 1〃q.(7.14г)
С помощью формулы (6.15) можно рассчитать скалярную кривизну, соответствующую независимой от tD метрике, для осесимметричных горизонтов:
Yab = Y^+2W^・(7.15)
В более общем виде расчет можно произвести с помощью стандартных формул теории возмущений первого порядка [например, свертка уравнения (35.58а) в [129] ], и полученный результат можно объединить с формулой Хартля для кривизны, что дает
= < + и 例々 = 22机 ab=—2鼠磔 (7.16)
Объединив уравнения (7.14) и (7.16), получим зависимость между приливными полями горизонта 器九八 и 器北,справедливыми для квазистационарного приближения:
gH (噜9瓦3=-經(7/7)
Очевидно, эта зависимость является следствием тождеств Бианки [уравнение (13.42) в [129] ] в квазистационарном пределе.
Если только дыра не вращается со скоростью, очень близкой к максимальной, а = J/M = М, величина приливного поля
^пп, вызывающего деформацию, будет того же порядка, который следует из ньютоновокой теории. Однако в пределе атМ, вследствие того что горизонт удаляется бесконечно далеко от любого конечного радиуса [рис. 31а], приливное поле, возникающее на горизонте под действием некоего идеально стационарного (力°= 8) объекта при 厂 > 厂〃,становится исчезающе малым и горизонт не испытывает деформаций. Эта ситуация полностью аналогична случаю с электромагнитным полем, рассмотренному ® разделе III. Г.4 и на рис. 31,6.
Следует обратить 'внимание на то, что для квазистационар- ных возмущений с масштабом неоднородности Z и характерным динамическим (временем 坛 на растянутом горизонте формула (7.17) дает следующий порядок величин:
歩剪〜(g〃Z)(Z/⑨歩£•(7.18а)
Это соотношение в сочетании с тем фактом, что 歩第 имеет типичную величину того же порядка, который следует из ньютоновской теории, можно использовать для оценки порядка величины 歩〃 не только в существенно стационарных ситуациях (/q》g^i)， но и в ситуациях, близких к квазистационарным "с 〜g/)・ Исходя из этого соотношения и из формулы (7.14), получаем оценки порядка величин о北,8”, 2爲 и О”, справедливые для ff)Ng/：
或〜亡 0器:)(7.186)
В"(守鼠 J，(7.18в)
嶋〜①2歩(7.18г)
❷〜鼠J・(7.18д)
Б. Вращающиеся возмущения
Неосесимметричные приливные поля,движущиеся твердотельно вокруг вращающейся черной дыры
Оставим на некоторое время квазистационарные возмущения растянутого горизонта и обратимся к другому частному случаю, а именно случаю приливных полей, совершающих твердотельное движение по круговой орбите вокруг вращающейся черной дыры. Такие приливные поля могут быть созданы любым неосесимметричным источником или комбинацией источ-
ников возмущающей гравитации, которые сами совершают твердотельное орбитальное движение вокруг дыры. Обозначим символом Qm общую угловую скорость (относительно удаленных инерциальных систем отсчета) этих источников и их приливных полей. Тогда зависимости источников и приливных полей от ф и t будут выражаться формулой:
(все возмущения первого порядка) = f(«——◎俏/)=
= f©—(Qm — Q“)力(7.19) [ср. с формулой (6.316)].
Это особое соотношение между зависимостями от / и от @ обусловливает особое соотношение между скоростью вязкой диссипации на горизонте, описание которой было дано через поверхностный интеграл (6.130') в уравнении диссипации, и скоростью возрастания углового момента, описываемого через поверхностный интеграл (6.134) уравнения Навье ——Стокса. Так как невозмущенная метрика независима от « и 厶 производные по / и @ в этих уравнениях связаны друг с другом в первом приближении соотношением:
следовательно,
(?Н 常)вяз =(")ваз =
=停巾一0万)2 §2m(警)(等)d4(7.21a)
箔S
Здесь второе равенство вытекает из формулы (6.13Э) для THdSH/dt и из соотношения о爲=(。2北/初)百,$= — (Q^ — Q“)X Хд^ь/дф. Из первого начала термодинамики (3.86) в сочетании с формулой (7.21а) вытекает
(體)вяз = (*)вяз = (Ql %)§ 2nH (号乂禦)d4 箔S
(7.216)
Массивная частица, движущаяся вдоль экваторавращающейся черной дыры
В качестве частного примера, в котором квазистационарное рассмотрение, изложенное в разд. А.2, сочетается с условием твердотельного вращения, рассмотренным в разд. Б.1, иссле-
Рис. 54. Масса т, висящая на конце нити на расстоянии ственно над экватором вращающейся черной дыры. Масса движение по орбите вокруг дыры с угловой скоростью равной угловой скорости вращения дырыРис. 54. Масса т, висящая на конце нити на расстоянии ственно над экватором вращающейся черной дыры. Масса движение по орбите вокруг дыры с угловой скоростью равной угловой скорости вращения дырыsm < 厂〃 непосреди нить совершают Qm, приближенно
Рис. 54. Масса т, висящая на конце нити на расстоянии ственно над экватором вращающейся черной дыры. Масса движение по орбите вокруг дыры с угловой скоростью равной угловой скорости вращения дыры
Рис. 54. Масса т, висящая на конце нити на расстоянии ственно над экватором вращающейся черной дыры. Масса движение по орбите вокруг дыры с угловой скоростью равной угловой скорости вращения дыры
дуем следующую модельную задачу, предложенную Сюэном, Прайсом и Редмаунтом [195]. Пусть частица массы т, подвешенная на длинной нити с «уравнением состояния» 7 =九(натяжение равно массе на единицу длины; ср. разд. А.1), перемещается горизонтально с постоянной скоростью над экватором вращающейся дыры (рис. 54). Радиальное расстояние между горизонтом и частицей sm мало по сравнению с размером горизонта, а угловая скорость частицы Qm достаточно близка к С〃, чтобы можно было применить квазистационарное приближение (например, I С〃一 С〃 |《g〃).
При рассмотрении этой задачи воспользуемся приближением Риндлера в том виде, в котором оно справедливо для вращающейся черной дыры [см. формулу (6.38) и связанные с ней рассуждения]. Наши локальные декартовы координаты, действительные для узкой полосы вдоль экватора горизонта, таковы:
% = &н中=(2论/% у = рн(е — л/2) = rH(Q — л/2),之=^1ёН'
(7.22)
”\ dt /приливные поляна горизонте”\ dt /приливные поляна горизонте=(亲)3碑=^网一Q")(7.23а)=(亲)3碑=^网一Q")(7.23а)Расстояние, на которое смещаются за единицу времени частица и приливные поля относительно ОПН, равно
”\ dt /приливные поля
на горизонте
”\ dt /приливные поля
на горизонте
=(亲)3碑=^网一Q")(7.23а)
=(亲)3碑=^网一Q")(7.23а)
(здесь используются те же обозначения, что и в аналогичной задаче для электромагнитных полей в разд. II. Г.5), а физическая скорость частицы относительно ОПН вблизи нее:
Р = (физическая скорость частицы) = -^—.(7.236)
Приливные поля частицы на растянутом горизонте будут двигаться вслед за частицей, так же как электромагнитные поля в аналогичной задаче [формула (2.95) ]: приливные поля горизонта будут концентрироваться в области радиуса с центром в точке
У = о， 2 = 2〃 = ^"， % =九三 ”/+ ^Е (4^) = ”/・ (7・24) Здесь
i^t + ён1 In (a/am)(7.25)
представляет собой время в падающей системе отсчета (разд. II. В.5), совпадающее с мировым временем с точностью до аддитивной, зависящей от высоты постоянной. Чтобы можно было воспользоваться очевидной трансляционной симметрией задачи, введем для удобства координаты [аналоги формул (2.97) для случая малых скоростей]
X = х — хс = х — v" = G”(3 — Q/) + const, G = (К? + z/2)1/2.
(7.26)
Sm 1Sm 1VH g〃P ，VH g〃P ，(7.27)(7.27)Локальную радиальную координату на растянутом горизонте 5)не следует путать с экваториальным радиусом окружности о)/； = (2Мгн)1/2. Твердотельное движение приливных полей горизонта означает, что эти поля являются функциями только X и у; временная зависимость входит только в X, и, поскольку характерные длины пространственных изменений этих полей не короче, чем Ах 〜s〃，характерные времена их изменений будут равны
Sm 1
Sm 1
VH g〃P ，
VH g〃P ，
(7.27)
(7.27)
Следует отметить, что ограничение квазистационарности соответствует движению частицы с физической скоростью, величина которой мала по сравнению со скоростью света:
td》g" соответствует В《L (7.28)
Прежде чем остановиться на точных характеристиках эволюции приливных полей и горизонта для данной модельной задачи, получим оценку порядков величины на основе 1) модельной задачи «частица на нити», приведенной в разд. А.1;
квазистационарного рассмотрения, изложенного в разд. А.2 и 3) твердотельного вращения, рассмотренного в разд. Б.1.
Из разд. А. 1 известно, что возмущение 器:九,обусловленное приливными полями, создающими кривизну, будет иметь следующий вид:
卜^ +g2)3,(7・29)
т. e. оно будет концентрироваться в области △,《sm, и в пределах этой области и вблизи нее оно будет иметь ньютоновскую велидину
歩鳥〜m/sL(7.30а)
(7.306)(7.306)Связь (7.18а) по порядку величин между 器:〃 и 歩北 при 2 〜s^ и tD 〜sm/vH означает, что
(7.306)
(7.306)
а из соответствующих (7.186) — (7.18д) следует,а из соответствующих (7.186) — (7.18д) следует,соотношений по порядку чтосоотношений по порядку чтовеличинвеличин
а из соответствующих (7.186) — (7.18д) следует,
а из соответствующих (7.186) — (7.18д) следует,
соотношений по порядку что
соотношений по порядку что
величин
величин
о"〜v&6 Jо"〜v&6 J端端mm;〜Fmm;〜F” Sm \ sm /” Sm \ sm /(7.30в)(7.30в)
о"〜v
&6 J
о"〜v
&6 J
端
端
mm;〜F
mm;〜F
” Sm \ sm /
” Sm \ sm /
(7.30в)
(7.30в)
Опоронная жидкость горизонта реагирует на сдвиговую деформацию (7.30|в) вязкой диссипацией на единицу площади [формула (6.130)]
Тн 〜2nH唯噌 ~,(7.30r)
которая, проинтегрированная по области ы ^ sm наибольшей диссипации, дает полный темп диссипации, равный
*争〜吟(7・3®)
Следует отметить, что формула (7.30г) имеет тот же вид, что и формула скорости омической диссипации в аналогичной задаче для электромагнитного поля [формула (2.105) ]; чтобы получить одно соотношение из другого по порядку величин, требуется просто заменить заряд частицы Q на ее массу т. Аналогичным образом вязкая сила, действующая на растянутый горизонт в соответствии с уравнением Навье — Стокса, проинтегрированная по области △《sm наибольшей силы, дает
вращательный момент, действующий на дыру [формула (7.21а) в комбинации с формулой (7.23а)]
(7.30е)
Эта формула имеет тот же вид, что и формула (2.100) для вращательного момента, создаваемого силой Лоренца, в соответствующей задаче для электромагнитного п'оля.
Сюан, Прайс и Редмаунт [195] провели точный анализ этой модельной задачи и получили результаты, согласующиеся с вышеизложенными рассуждениями относительно определения порядков величин, с одним исключением: для данной гравитационной задачи вязкая диссипация и вязкий вращательный момент концентрируются в области d《s俏 в меньшей степени, чем в соответствующей задаче для электромагнитного поля; в результате значительным оказывается вклад других областей на всех расстояниях вплоть до со〜厂н, что ведет к логарифмическому увеличению общей диссипации и вращательного момента (7.30д, е):
&(3)， (7・3。m)
(7.30J)
Некоторый интерес представляют и точные выражения, выведенные Сюэном, Прайсом и Редмаунтом [ 195] для приливных сил и сдвиговой деформации горизонта:
^ у у = ён^УУ ~ —歩%% — —ён^ХХ =
(7.31а)(7.316)(7.31а)(7.316)4my〃g〃 X(2//2 + s幻
(7.31а)
(7.316)
(7.31а)
(7.316)
F —(G2+s^)2，
器爲—^н°ху =器爲—^н°ху =4m7h8h у收一『一编
器爲—^н°ху =
器爲—^н°ху =
Sm 02 + 4)2
Для G W s〃 вблизи центра возмущения приливные поля порядка v”gH〃/sM，что согласуется с нашей оценкой порядка величины (7.306). Для 厶》Sm приливные поля уменьшаются по величине как отношение v〃g〃俏/(s俏厶).Предоставляем читателю возможность самому произвести вычисление, исходя из данных приливных полей, детальной структуры и эволюции растянутого горизонта и сравнить свои результаты с приведенными выше оценками по порядку величин.
Приливные поля (7.31) вызывают деформации элементов опоронной жидкости. Эти деформации описываются с помощью
У
о
о
о
о о Q
о
6
о
о
о
D о о
о
о
о
о
Рис. 55. Деформация 2" вблизи центра возмущения на растянутом горизонт те, вызванная частицей, движущейся по орбите (см. рис. 54). Приливное поле 齒爲 частицы деформирует первоначально круглые пучки опоронов, превращая их в эллипсы, как это показано на рисунке.
возмущений метрики ，М«, %, ")=[8°^(У，尤，y)dt‘ [фор・ мула (6.89) ] и показаны для элементов жидкости вблизи центра (возмущения (齿 俏)на рис. 55. Следует отметить, что на оси х (вдоль которой движется частица) элементы жидкости первоначально имеют круглую форму (справа на схеме); затем по мере прохождения возмущения (в центре схемы) они удлиняются в направлении, поперечном направлению движения частицы; наконец, когда возмущение минует, они снова принимают круглую форму. Обратите внимание также на то, что направление удлинения в процессе возмущения противоположно приливному удлинению, которое вызвало бы движение массы над идеально гладкой поверхностью океана на Земле; на Земле удлинение было бы параллельно направлению движения. Это различие объясняется «телеологической» природой горизонта (отклик предшествует силе, разд. VI. В.6) и выражается в том, что величины 仃纟 и /2 имеют одинаковый знак, в то время как для океана на Земле они имели бы противоположные знаки в течение большей части времени. Это различие станет более понятным, когда мы перейдем от медленного движения частицы к быстрому [разд. Д.1; абзац, следующий за формулой (7.77)].
В. Замедление вращения черной дырыво внешнем приливном поле
Теперь перейдем от идеализированных модельных задач к более реалистическим модельным задачам. Рассмотрим черную дыру во внешнем приливном гравитационном поле электрического типа, создаваемом удаленным внешним источником. Для конкретности представим себе, что таким внешним источником служит сфероидальное звездное скопление с черной дырой в центре, рассмотренное в разд. V. Б.1, но большая часть наших рассуждений и формул будет справедлива также и для других внешних источников.
Будем характеризовать гравитацию этого внешнего источника его приливным полем 範扌，оцениваемым в асимптотической системе покоя дыры. Данное приливное поле пространственно однородно в асимптотической системе покоя до тех пор, пока мы не достигнем таких больших радиусов, что уже окажемся вблизи от внешнего источника, и до тех пор, пока мы не достигнем таких малых радиусов, при которых оно уже искажается гравитационными полями дыры.
Для простоты изложения допустим, что внешнее приливное поле 醫居 осесимметрично, и введем декартовы координаты в асимптотической системе покоя дыры с осью z, направленной вдоль оси симметрии поля S^b. В этом случае ненулевыми компонентами внешнего приливного поля 醫讚 будут только
醫釁=一2窗裳=一2器力 (7.32)
(рис. 56). Если внешним источником является однородное сфероидальное звездное скопление, рассмотренное в разд. V. Б.1, со сферической полостью в центре, в которой находится черная дыра, то
置缪=一2п(7.33) где p ——плотность массы скопления, а /2 ——параметр, описывающий форму согласно формуле (5.76).
В данном разделе рассмотрим эволюцию черной дыры под действием внешнего приливного поля /證.Для упрощения нашего исследования допустим, что внешнее поле всегда остается постоянным в асимптотической системе покоя дыры. Это условие выполняется с достаточной точностью для сфероидального звездного скопления, описываемого формулой (7.33), до тех пор, пока скопление существенно не проэволюционирует.
Из анализа, представленного в разд. V. Б.1, нам уже известен ключевой аспект эволюции черной дыры: ось ее вращения прецессирует вокруг оси внешней симметрии (ось г) с угло-
Рис. 56. Асимптотическая система покоя черной дыры во внешнем приливном поле嗡・Ось вращения дыры образует угол 0ext с осью 2, являющейся осью симметрии приливного поля.
вой скоростью прецессии, вызываемой вращательным моментом [формула (5.77)]:
每=一 V 〃醪t cos J忘， (7.34)
где 0ext ——угол между осью вращения дыры и осью внешней симметрии, т. е. угол раствора конуса прецессии на рис. 56. Следует обратить внимание на то, что угловая скорость прецессии значительно меньше угловой скорости вращения дыры
1. (7.35)
В данном разделе, исследуя реакцию горизонта дыры на воздействие внешнего приливного поля, мы выясним и другие особенности эволюции дыры.
Детальный анализ отклика горизонта показывает, что внешнее приливное поле распространяется до растянутого горизонта, согласно уравнению Тюкольского (6.28), тем самым предопределяя поля горизонта 苏落,что позволяет вывести уравнения, описывающие эволюцию горизонта. Тюкольский [198] получил аналитическое решение уравнения Тюкольского для данной конкретной задачи, а вытекающие из него следствия изучались и обсуждались Хартлем [90] и Кржановским [41]. Прежде чем подробно рассмотреть это аналитическое решение и количественные выводы из него, остановимся на основных особенностях эволюции горизонта, исходя из более простых соображений.
На протяжении всего нашего анализа, почти до самого конца, мы будем пренебрегать прецессией дыры, т. е. ограничимся короткими по сравнению с 1/Ст характерными временами. За такие характерные времена вызывающее возмущение приливное поле как вблизи горизонта, так и вдали от него остается неизменным по своей конфигурации и жестко связано с асимптотической системой покоя дыры. Это означает, что эволюция массы, энтропии и углового момента дыры подчиняется формулам твердотельного вращения, приведенным выше в разд. Б.1, причем Qm = (угловая скорость поля относительно асимптотической системы покоя) = 0:
dM/dt = 0,(7.36а)
&要=—Qh黑=§ 2。"鳴噌 dA.(7.366)
Поскольку приливное поле имеет квадрупольную конфигурацию, масштаб его неоднородности на растянутом горизонте равен ① а 石"〜М, а будучи жестко связанным с «бесконечностью», оно вращается относительно растянутого горизонта с угловой скоростью —◎”； соответственно ОПН на растянутом горизонте видят, что оно перемещается с линейной скоростью (,в пересчете на единицу мирового времени) »н 4 0н&н 〜а/М. Таким образом, каждый ОПН видит, что вблизи него изменения приливного поля происходят за характерное мировое время %о =①/у” 4 1/Сн 〜М2/а. В итоге получаем
①4 GH〜m 54g凡〜备，
/ Q 44-TT—〜/ Q 44-TT—〜(7.37)(7.37)
/ Q 44-TT—〜
/ Q 44-TT—〜
(7.37)
(7.37)
Приливные возмущения горизонта будут квазистационар- ными (разд. А.1), если tD 〜1/g”, т. e. если a/M《1. В противоположном предельном случае а/М-^-1 величина Q” остается конечной, в то время как gH стремится к нулю, что вызывает сильное нарушение квазистационарности. В ходе предварительного грубого анализа мы исключим сильные нарушения квазистационарности, т. е. потребуем, чтобы
备 < 0,9, что соответствует iD ^ -^― . (7.38)
Ниже, рассматривая результаты строгого анализа, мы увидим, что эволюция существенно не меняется даже в пределе сильной неквазистационарности а/М ->• 1.
Поскольку квазистационарность сильно не нарушается, величина 冒;〃 на растянутом горизонте будет соответствовать
ньютоновской теории
苏鳥〜/釁(7.39а)
и соответственно Sab, Oab И S^ будут иметь следующие величины [формулы (7.18)]:
黑〜勛①)(①/办)醫鳥〜今醫釁，(7.396)
《〜gН~1^а6 ~a醫釁，(7.39B)
端〜击或~俏^・(7・39Г)
Возмущение метрики ，爲 соответствует возмущению скалярной кривизны горизонта [формула (7.16) ], определяемой соотношением
^я = 2%〜~ 醫釁.(7.39д)
Сдвиговая деформация (7.39в) опоронной жидкости вызывает вязкую диссипацию и создает соответствующий вязкий вращательный момент, воздействующий на дыру [формула (7.366)]:
dS гт
*寸〜(唯噌)^2〜(歩釁户 Л!%2，(7.39e)
% = _%Тн- О缪)2 ^а.(7.39ж)
Эти оценки по порядку величин приливной диссипации и приливного вращательного момента были впервые выполнены Хоукингом и Хартлем [101]. Хотя их анализ на многие годы опередил разработку мембранного подхода, Хоукинг и Хартль отметили поразительную аналогию между формулами для черной дыры (7.39е, ж) и соответствующими формулами для вязкой диссипации и вязкого вращательного момента, возникающих в недрах жидкой планеты под действием внешних приливных возмущений. Хартль [89, 90] более глубоко исследовал отмеченную аналогию и эти исследования позднее послужили одной из основных предпосылок разработки мембранного подхода.
Будет поучительным, следуя рассуждениям Хартля, сравнить 1) ориентации приливных полей 品匕 на поверхности черной дыры и планеты; 2) ориентации (скоростей) сдвиговой деформации Gab, вызываемой приливными полями в опоронной жидкости горизонта дыры и в веществе планеты; 3) ориентации геометрических искажений 2ab и 纺 горизонта дыры и поверхности планеты, создаваемых эволюцией сдвиговой дефор-
Рис. 57. Приливная сила (F為,сдвиговая деформация (скорость сдвига) о* среды и искаженная приливной силой форма 2* жидкой планеты (а) и растянутого горизонта черной дыры (6), создаваемые внешним приливным полем с осью симметрии (ось z), расположенной в экваториальной плоскости планеты или черной дыры (на рис. 56 0ext = л/2). Каждая из схем выполнена в сопутствующей системе отсчета среды ——жидкости, из которой состоит планета (а), опоронной жидкости (6),——следовательно, ось симметрии (ось г) возмущающего приливного поля вращается относительно среды в направлении по часовой стрелке, и вместе с ней вращаются эллипс сил, эллипс сдвиговой деформации и эллипс формы. Можно считать, что эллипсы дают описание приливной силы, сдвиговой деформации и формы элемента среды на оси вращения тела (9 = 0); в равной степени можно считать, что эллипсы представляют собой описание приливной силы, сдвиговой деформации и формы всей планеты или дыры, если смотреть на них сверху. В тексте рассмотрено физическое происхождение угла отставания Аа между осью z, осью силы, осью сдвиговой деформации и осью формы.
мации. Мы рассмотрим эти ориентации в простейшем (в методическом отношении) случае дыры и планеты, которые вращаются достаточно медленно, чтобы допустить квазистацио- нарную аппроксимацию, причем их оси собственного вращения (/), ортогональны к оси симметрии (ось г) приливного поля, т. е. Hext = n/2. Основная идея такого сравнения заключается в том, что, хотя и черная дыра, и планета подчиняются одним и тем же физическим законам, определяющим действие приливных сил на вязкие среды, их реакции на это воздействие в существенной мере различны.
Рассмотрим сначала (ньютоновскую) жидкую планету. Поскольку пространство вокруг планеты плоское, а ньютоновское тяготение имеет линейный характер, приливообразующее поле ^аь распространяется до поверхности планеты и в ее недра, оставаясь неизменным. Это означает, что растягивающая приливная сила на поверхности планеты имеет то же направление г, что и вдали от планеты (см. обозначенный пунктиром эллипс приливной силы на рис. 57, а).
В случае черной дыры, напротив, приливное поле меняется по мере того, как оно распространяется в направлении к гори-
зонту. Ключевой аспект этого изменения состоит в том, что согласно наблюдениям ОПН над растянутым горизонтом приливное поле распространяется по радиальному направлению внутрь дыры; поскольку ОПН 《увлекаются》вращением дыры («гравитомагнитное увлечение»), поле тоже испытывает увлечение. Для данного участка поля, движущегося вниз с локальной скоростью света в области а《1, справедливы соотношения
△На 1 da 1 °(g/) ，1 dz、 心 ~dT =元而=元 ~dr~ =以 U =—gH， (7.40)
где 之——истинное вертикальное расстояние (не путать с декартовой координатой асимптотической системы покоя), а a = =g"之一 функция длительности в области a《1. По мере распространения вниз приливное поле увлекается с локальной угловой скоростью абсолютного пространства d^/dt = со ^ Q^； следовательно,
dФdФd In a 丿полеd In a 丿поле=——при a < 1.=——при a < 1.(7.41)(7.41)
dФ
dФ
d In a 丿поле
d In a 丿поле
=——при a < 1.
=——при a < 1.
(7.41)
(7.41)
Это означает, что приливное поле имеет следующую зависимость 0т中：
/@6 ~ 屮〜Re kxp 2八小 + QhI^h) E a +
+ (фаза, не зависящая от положения)]}=
=Re {exp 2/ [</> + Q^F + (фаза, не зависящая
от положения)]}. (7.42)
Здесь поведение exp(2i@) соответствует квадрупольной конфигурации поля (т. е. эллиптической симметрии, показанной на рис. 57), и мы воспользовались тем, что 力=力 + £2”力[формула (6.696) ], at = t + gH1 In a [формула (2.66) и (7.26) ]. Отметим, что соотношение (7.42) аналогично формулам (7.24), (7.26), выражающим зависимость от положения для приливного поля или электрического поля соответственно массы или заряда, движущихся параллельно горизонту. Отметим также то очень важное обстоятельство, что, согласно формуле (7.42), чем ниже мы выберем растянутый горизонт, тем меньше будет а” и тем больше будет «, при котором приливное поле принимает заданное значение, т. е. тем больше будет приливное отставание,
改fd = — (^я/ён) ln ая»(7.43)
вызванное увлечением инерциальных систем отсчета по мере того, как поле распространяется вниз. Оказывается, как мы
увидим ниже, хотя полное приливное отставание поля /二八 почти равно А力尸о, имеется еще и дополнительное отставание ——л/4 в ориентации /爲 (см. пунктирный эллипс приливных сил на рис. 57,6). Точное выражение для /爲 в простом (в методическом отношении) пределе а/М《1 принимает вид
鬻谷=—鄧$ =击充^ 备(1 + cos? 8)cos [2 (小—N§fd + 冗/4)]= =击"釁★ (1 + cos2 0)cos [2 * + °日/ —妆fd + 冗/4)]，(7.44.a) и
/弘=—^ 齒翦奇"cos 0 cos [2 * + QM — 2fd)1・ (7.446)
Подводя итог, можно отметить, что щриливное поле на поверхности ньютоновской планеты [пунктирный эллипс на рис. 57, а] вообще не имеет отставания по фазе; напротив, приливное силовое поле на растянутом горизонте черной дыры [пунктирный эллипс на рис. 57, б] имеет достаточно большое отставание по фазе А力尸о ——л/4 вследствие увлечения систем отсчета.
Обратимся теперь к угловым ориентациям физической формы и скорости сдвиговой деформации жидкого вещества планеты. В пределе медленного вращения эта конфигурация непрерывно саморегулируется таким образом, что находится почти в гидростатическом равновесии с вынуждающей приливной силой, т. е. сумма силы внутреннего давления и силы внутренней самогравитации почти уравновешивает приливную силу. Как следствие направление удлинения формы планеты почти совпадает с направлением г, а сплошной эллипс на рис. 57, а почти совпадает с пунктирным эллипсом приливной силы. В данном описании словом «почти» учитывается влияние вязкости планетной среды. Вязкость вызывает небольшое отставание по фазе A%is в отклике формы планеты на действие вынуждающей силы; ср. с рис. 57, а. Это вязкое отставание по фазе пропорционально коэффициенту вязкости; если удваивается вязкость, то удваивается и отставание по фазе. В системе отсчета, связанной с вращающейся планетой (сопутствующая система отсчета), ось приливной силы (ось г) вращается с угловой скоростью ——Qp и вместе с ней вращаются эллипсы приливной силы и формы (стрелка, обозначенная ——◎「, на рис. 57,а). Это вращение формы вызывает сдвиговую деформацию среды, причем эллипс сдвиговой деформации (штриховая линия) представляет собой производную по времени от эллипса формы и таким образом опережает эллипс формы по фазе на угол А，＞ = л/4.
Отклик черной дыры на возмущающее приливное поле весьма отличается от реакции планеты. Рассмотрим сначала скорость сдвиговой деформации 滥 опоронной жидкости черной дыры. Из уравнения приливной силы [(——d/初)彳 + g“) о爲=醫方] [формула (6.80)] при угловой и временной зависимости ехр [2?仲 + Q〃f) ] видно, что сдвиг опережает приливную силу по фазе на
A^teleo = ^н/ён = а/М・(7.45)
Это «телеологическое опережение по фазе》связано с «телеологическим» членом, который описывает поверхностную гравитацию в уравнении приливной силы, и с соответствующей «телеологической» функцией Грина (6.86), описывающей реакцию среды на действие приливной силы. Как для вещества планеты, так и для черной дыры сдвиговая деформация (по определению) является скоростью изменения формы элемента среды; таким образом, эллипс формы дыры отстает от эллипса сдвиговой деформации на ту же величину А^> = л/4, что и в случае с планетой. Формулы, соответствующие этим утверждениям о сдвиговой деформации и форме дыры, легко выводятся из выражения для приливного поля (7.44), уравнения приливной силы (6.80), уравнения эволюции метрики (6.82) и уравнения (7.16) кривизны горизонта и имеют следующий вид:
н я
=~|"醫釁а (1 + cos2 0)cos〔2 (小—峡fd + A%eieo + 子)](7.46a)
璃& = 一 ｝範％ cos 0 cos [2 (6 — А处Q + A%ele。)]； (7.466)
2^@ = —2冬而="4~ 苏缪M? (1 + COS? 0)COS [2 (小一厶处。-j- A^teleo)],
(7.47a)
*3 = —苏釁” cos 0 cos [2 (巾 一 A处。+ A%eie。一冗/4)];(7.476)
< =~4^ Sin20COS [2 (力 一 A处Q + A</>teieo)]. (7.48)
Фактически возмущение кривизны горизонта (7.48) включает лишь зависящую от времени составляющую, измеряемую ОПН, находящимися на горизонте, т. е. составляющую, которая зависит от @=@ + Q〃f. Имеется дополнительное, не зависящее от времени возмущение кривизны, вывод о существовании которого можно сделать на основании того, что общее возмущение кривизны должно иметь такой же квадрупольный вид, как и в модельной задаче для двух квазистационарных масс, под-
вешенных на нитях на большом расстоянии над горизонтом невращающейся дыры [уравнение (7.11.в) и рис. 52,6]:
-2/釁{ ^ SEW8S2(0一叫广空з±1]-±} =
=一2歩釁(用等二1)..(7.48‘)
Здесь % — угол между осью симметрии деформированного горизонта и радусом-вектором данной точки(9,@) на горизонте:
cos % = sin е cos (В — ^FD + A</»teIeo)・(7.49)
Отметим принципиальные различия между планетой и черной дырой. 1) Приливное поле на горизонте дыры испытывает гравитомагнитное отставание по фазе А“尸о, вызываемое увлечением инерциальной системы отсчета; в случае приливного поля на поверхности планеты такое отставание отсутствует. 2) Самогравитация планеты, внутреннее давление и вязкое напряжение совместно реагируют на действие приливной силы таким образом, чтобы сохранить ориентацию формы планеты вдоль силы («гидростатическое равновесие»), не считая незначительного отставания по фазе A^vis за счет вязкости. Напротив, хотя 'поверхностное давление и вязкое натяжение дыры играют ключевую роль в уравнении Навье ——Стокса для опорой- ной жидкости, а следовательно, и для приливного вращательного момента, исключительно сильное увлечение инерциальных систем отсчета развязывает уравнение Навье ——Стокса для опоронов и эволюцию опоронной сдвиговой деформации; таким образом, поверхностное давление и вязкое натяжение не могут влиять на сдвиговую деформацию или форму дыры, и при этом отсутствуют как гидростатическая подстройка формы к приливной силе, так и отставание по фазе, обусловленное вязкостью. (Подробно об отщеплении уравнения Навье — Стокса для опоронов от эволюции сдвиговой деформации опоронов, вызываемом увеличением систем отсчета, см. в двух абзацах, следующих за уравнением (5.30в) в [163]). 3) Сдвиговая деформация опоронной жидкости реагирует на действие приливной силы с «телеологическим» опережением по фазе A^teieo. В случае с планетой такое «телеологическое» опережение отсутствует, но имеется вполне причинное отставание по фазе A«vis・
Несмотря на эти 1существенные различия, как форма планеты, так и форма горизонта испытывают результирующее отставание по фазе. Можно считать, что вращательный момент, вызывающий замедление вращения как черной дыры, так и планеты, обусловливается взаимодействием возмущающей приливной силы и этих отстающих по фазе конфигураций. В каче-
стве альтернативного подхода можно считать, что замедляющий вращение момент в обоих случаях обусловлен вязкими силами, которые порождаются приливным воздействием сдвиговой деформации в вязкой среде [подход, основанный на уравнении Навье — Стокса; формулы (7.39е, ж), приведенные выше].
Для наглядности изложенные выше рассуждения относились к медленно вращающейся дыре и к приливной силе с осью симметрии, ортогональной к оси вращения дыры. Теперь вернемся к общему случаю черной дыры с произвольно быстрым вращением (удовлетворяющим единственному условию а/М & и приливной силы с произвольным углом наклона 0ext (рис. 56). В этом общем случае расчеты Тюкольского [198] дают следующие выражения для скорости диссипации и для момента, вызывающего замедление вращения [уравнение (6.4) Тюкольского]:
dSH Тн-^г
dJdJ=皆(国昙’sin Bext)2 ^-[1 ^2 + 4ж sin2 0ext] , (7.50) |-(^22t sin 0ext)2^M4 p — -^2 + 4^Г sin20ext] •(7.51)
dJ
dJ
Отметим, что диссипация и вращательный момент не имеют каких-либо специфических особенностей в пределе а/М-^-1; точно так же нет никаких особенностей и в приливных полях 器;九,器* или в возмущении кривизны горизонта 例)в данном пределе: все они приближаются к конечным, ненулевым значениям порядка S^. Такое поведение в корне не похоже на поведение строго стационарных возмущений, которые в пределе a]Mf\ обращаются в нуль на горизонте, так как горизонт отступает на бесконечное истинное расстояние от источника возмущения (см. конец разд. А.2, а также разд. III. Г.4 и рис. 31,6). В динамической ситуации, рассматриваемой в этом случае, как и в случае электромагнитного поля, показанном на рис. 31, в, возмущающее поле Sаь принимает вид сходящихся волн в зоне некоторого конечного радиуса; эти волны распространяются вниз на бесконечное радиальное расстояние к горизонту с интенсивностью, возрастающей вследствие гравитационного голубого смещения. Растущие возмущения, о которых идет речь при перенормировке на а”，на растянутом горизонте соз、 дают конечное поле /囂=。”窖£ даже в пределе а = М； это приливное поле горизонта в свою очередь создает конечную диссипацию, конечный приливный вращательный момент и конечное искажение горизонта.
Наш анализ эволюции горизонта позволил нам вычислить только одну компоненту векторного приливного вращательного момента ^, действующего на дыру, а именно компоненту N?, направленную вдоль углового момента дыры / = ///:
及了(7.52а)
и вызывающую изменение в величине /. Примечательно и важно то, что на свойствах горизонта не сказываются (индуцирующие прецессию) вращательные моменты, ортогональные /. Например, несмотря на то что момент NT = ^т \ J в формуле (7.34) и на рис. 56 является линейным по возмущающему полю 咅* и таким образом значительно больше, чем величины второго порядка N? в формуле (7.52а), Nt не оказывает влияния на эволюцию растянутого горизонта. Этот факт имеет простое физическое объяснение: если черная дыра прецессирует, то увлечение инерциальной системы отсчета становится настолько сильным у растянутого горизонта, что заставляет прецессировать и опороны. Опорой, первоначально находившийся на оси вращения дыры, в процессе прецессии всегда остается на этой оси, а опорой, первоначально находившийся на экваторе, всегда остается на экваторе. Поскольку прецессия не 【сказывается на движении опоронов, невозможно сделать вывод о наличии или о деталях вращательного момента, ортогонального 7, исходя из исследований растянутого горизонта.
К счастью, детали вращательного момента, ортогонального /, можно вывести из вычислений в асимптотической системе покоя дыры, как в разд. V. А [где вычисления привели к выводу, что / должен прецессировать вокруг оси г на рис. 56 с угловой скоростью (7.34) ]. Ортогональные вращательные моменты можно вывести также из вычислений вращательного момента, действующего со стороны дыры на внешний источник, учитывая при этом закон сохранения углового момента, согласно которому вращательный момент, действующий на внешний источник со стороны дыры, должен быть равен противоположно направленному вращательному моменту, с которым внешний источник действует на дыру.
В качестве важного примера таких вычислений рассмотрим г-компоненту вращательного момента, т. е. вращательный момент, направленный вдоль оси симметрии 範方，с точностью до второго порядка по 君證.Рассмотрим вращательный момент
—М, действующий на внешний источник со стороны дыры. Поскольку данный вращательный момент передается от дыры к источнику через асимптотическую систему покоя дыры, он может зависеть только от количественных параметров, которые могут быть измерены в указанной системе отсчета, а именно 矍方 источника, а также А4 и / дыры; в частности, он не может зависеть от каких-либо деталей структуры источника, за исключением ^^ь. Таким образом, не теряя общности, мы можем допустить, что источник является точечной массой т, расположенной на оси г на расстоянии 厂俏》М от дыры, полагая 石^ = —2卷酸'=—2罟端=—2mjr^n. В этом случае вращательный момент, действующий со стороны дыры на массу т, выражается как rmez X F, где F ——действующая сила. В 尸 входит гравитационная сила, обусловленная индуцированным под действием вращения квадрупольным моментом ——mV (3^аьхахь/гь), который вызывает вращательный момент, линейный по—2m/rm= =若缪； если подставить <величину (3.26) квадрупольного момента дыры, то, как легко заметить, получается вращательный момент Qt X / [ср： с формулой (7.34)]. В 尸 входит также гравитационная сила, вызванная той составляющей квадрупольного момента черной дыры, которая порождается приливной деформацией дыры; эта сила F и связанный с ней вращательный момент будут квадратичными по ——2团/厂^ =器^ (один множитель обусловлен приливной деформацией дыры, другой ——взаимодействием гравитационного поля деформации с массой т). Неудивительно, что этот вращательный момент вызывает замедление вращения дыры (7.51) (см. формулы (5.14) — (5.22) в [41] для доказательства и анализа этого факта).
Вид rmez X F прецессионного и замедляющего вращение вращательных моментов (соответственно первого и второго порядка) гарантирует, что эти вращательные моменты имеют нулевую компоненту вдоль оси симметрии приливного поля (ось z): m=立2=0.(7.526)
Таким образом, если разложить угловой момент дыры / на компоненту J н, направленную вдоль оси симметрии ez приливного поля, и на компоненту j丄,ортогональную оси симметрии (рис. 58), то компонента /ц сохраняется, а /丄 изменяется. Изменения /丄 будут состоять из прецессии с угловой скоростью
Рис. 58. Комбинация прецессии углового момента /, вызванной приливным воздействием, и замедления вращения черной дыры. Компонента / ц, направленная вдоль оси симметрии внешнего приливного поля, остается неизменной, а перпендикулярная компонента /丄 описывает закручивающуюся спираль.
◎т [формула (7.34) ] и уменьшения по модулю именно с той скоростью
d I /丄 I —1 dJ —
~~dt — — sE 0ext dt 一
=—g-(器釁У sin 0ext • aM [1 —^т + ；^r sin? 9ext] ,(7.53)
которая обеспечивает замедление вращения (7.51). Прецессия и сжатие совместно соответствуют спиральному движению /丄,
а следовательно, и конуса прецессии ва следовательно, и конуса прецессии в/; при этом изменение A0ext угла раствора течение каждого оборота составляет
а следовательно, и конуса прецессии в
а следовательно, и конуса прецессии в
A®ext ==A®ext ==(2n/w)01了丄 |/d/)cosёext2n A 1 dJ
A®ext ==
A®ext ==
7=耳 Ctg 0ext =
晉容t乎[1 —磊 + 需 sin2%t]sin%t； (7.54)
(см. рис. 58). Отметим, что, по мере того как конус прецессии становится все более узким, уменьшается и период 2n/Qr одного оборота вокруг конуса прецессии, приближаясь к конечному пределу. Однако сужение угла раствора конуса за один оборот при малых 0ext уменьшается как 0ext, поэтому конус сжимается до нулевого угла раствора (прецессия прекращается)
^zp+^-Qm)/](7.56a)^zp+^-Qm)/](7.56a)
^zp+^-Qm)/](7.56a)
^zp+^-Qm)/](7.56a)
326 Р. ПРАЙС, И. РЕДМАУНТ, ВЭЙ МО СЮЭН, К. ТОРН, Д. МАКДОНАЛД, Р. КРАУЛИ лишь после логарифмически бесконечного числа оборотов, что требует бесконечного времени.
Напомним, что вызванная приливным вращательным моментом прецессия вряд ли достаточно велика, чтобы представлять астрофизический интерес: если возмущающим источником является звездное скопление с экстремальными характеристиками (см. формулу (5.78)—плотностью р 〜109〃。/(1 св. год)3 и сильным уплощением 厶〜 1) и если масса дыры имеет экстремальную величину М 〜10 MG, то время одного цикла прецессии составит 2n/Qt 〜10 лет. В этом экстремальном случае уменьшение угла за один цикл равно
△Bext 〜Ю-12 ( 109 Мо/^в. ГОД)3 ) (，(7.55)
т. е. настолько мало, что не имеет астрофизического значения.
Г. Процессы с участием черной дыры:извлечение энергии, суперрадиация и квазинормальные моды
Гравитационный механизм извлечения энергии вращения черной дыры телами, движущимися по круговым орбитам
[ср. с формулой (7.18) для 後；九〜团/吟 и 2 〜М]. Соответствующая сдвиговая деформация опоронной жидкости [производная по времени от 2北 для заданной величины @] равна
嚥〜(券庙):(7.566)
Рис. 59. Квадрупольное распределение массы жесткой структуры на радиальном расстоянии гт от черной дыры. Если эта структура вращается твердо- тельно с угловой скоростью Qm 〜Q〃/2, то она служит катализатором преобразования энергии вращения черной дыры в уходящие гравитационные волны.
эта сдвиговая деформация под действием вязкой диссипации и вязкого вращательного момента вызывает изменение массы черной дыры [формула (7.21в) ], равное
噜〜(Qm — Qh).(7.57)
必1吟丿
Отметим, что в пределах О V Qm V Q〃 масса дыры уменьшается, т. е. имеет место результирующее извлечение энергии вращения дыры. Ниже мы допустим, что Qm находится в таком интервале значений, в котором происходит извлечение энергии.
Эта твердотельно вращающаяся жесткая структура также создает гравитационное излучение, уносящее энергию из системы черная дыра ——жесткая структура со скоростью, порядок величины которой определяется «квадрупольной формулой»
= 丿〜6Ю2(7方8)
(см., например, формулу (36.1) в книге [129]). Приливно индуцированный квадрупольный момент дыры будет иметь величину 〜тМ』％ которая меньше квадрупольного момента 〜 加广^ жесткой структуры и, следовательно, им можно пренебречь как источником гравитационных волн.
Формулы (7.58) и (7.57) показывают, что если жесткая структура вращается очень медленно, то излучаемая энергия очень мала, но извлечение энергии из дыры значительно. Извлеченная энергия может идти только на ускорение вращения жесткой структуры. В противоположном пределе, когда жесткая структура вращается со скоростью, почти равной скорости вращения дыры, происходит излучение значительного количе-
ства энергии, но почти не происходит извлечения энергии из дыры. Излучаемая энергия может черпаться только из одного источника: за -счет замедления вращения жесткой структуры. Сравнив эти два предела, видим, что должна быть некоторая «равновесная» скорость вращения Q煖^", которой достигнет жесткая структура, если она будет существовать достаточно долго. В этом равновесном состоянии жесткая структура будет действовать как катализатор преобразования энергии вращения черной дыры в гравитационное излучение, а скорость излучения будет точно уравновешена скоростью извлечения энергии.
Описанный гравитационный механизм извлечения энергии вращения черной дыры напоминает по некоторым особенностям механизм электромагнитного извлечения Блэндфорда ——Знаека (разд. IV. Г и рис. 37, 38). Угловая скорость Qm жесткой структуры и ее приливного поля является очевидным аналогом угловой скорости ◎尸 силовых линий магнитного поля, и так же как скорость электромагнитного извлечения энергии вращения [формула (4.48)] пропорциональна ◎尸(Q” — 0尸),так и скорость гравитационного извлечения энергии вращения [формула (7.57) ] пропорциональна Qm(Q〃 — Q俏).Более того, в электромагнитном случае скорость диссипации ТHdSи/dt пропорциональна (◎” ——Q尸)2; в гравитационном 'случае соответствующая скорость диссипации пропорциональна (Q” ——Q俏产 Вполне естественно, в выражениях скорости диссипации энергии и извлечения энергии безразмерный электромагнитный множитель (BnM)2 заменяется безразмерным гравитационным множителем (加/噜У 4(若鳥m2y.
Конечно, черные дыры в реальной Вселенной вряд ли окружены жесткими структурами. С другой стороны, вокруг реальных черных дыр могут вращаться по круговым орбитам звезды, планеты и другие тела, поэтому интересно выяснить, могут ли такие объекты служить катализаторами превращения энергии вращения черной дыры в гравитационное излучение. Такая возможность впервые была отмечена Мизнером [128].
Формулы, приведенные выше для жесткой структуры, сохраняют справедливость то порядку величины для массы т, свободно обращающейся по круговой орбите на радиальном расстоянии Гт 2 2厂”,если заменить произвольную угловую скорость Q俏 жесткой структуры на кеплеровскую угловую скорость этой маюсы (или на ее аналог для метрики Керра):
Q倘〜(〃/噜产 (7・59)
Объединив формулы (7.57)——(7.59), получим
(7.60)(7.60)dEGwg1 (偌 y/2
(7.60)
(7.60)
- dMidt ~ m (аН - C俏)I M 丿
Для большинства значений параметров данное отношение будет значительно больше единицы, и, следовательно, энергия, извлеченная из дыры, будет ничтожно мала по сравнению с энергией, излучаемой в виде гравитационных волн. Излучаемая энергия будет почти полностью исходить от движущейся по круговой орбите массы, а масса под действием радиационного трения будет приближаться по спирали к дыре. Однако в пределе быстро вращающейся дыры (MQ” 〜1) и массы, находящейся очень близко к дыре (гт/М 〜1), наша оценка (7.60) порядка величины позволяет считать, что извлечение энергии может уравновесить потери на излучение. Если бы это было так, то вращающаяся по орбите масса обращалась бы вокруг дыры на фиксированном радиальном расстоянии, а не приближалась бы по спирали к дыре («плавающая орбита» [128]). Двигаясь по круговой орбите, она служила бы катализатором превращения энергии вращения черной дыры в гравитационные волны. Только тщательное точное вычисление способно подтвердить, будет ли это происходить на самом деле.
Такое вычисление было выполнено Детвилером [58]. К сожалению, его ра'счеты показывают, что никакая угловая скорость черной дыры и никакая орбита пробной частицы не могут обеспечить извлечение энергии, достаточное, чтобы полностью уравновесить излучаемую энергию. Возможно достижение состояния, близкого к равновесию, но всегда имеется избыток излучаемой энергии, заставляющей частицу двигаться по спирали, постепенно приближаясь к дыре. «Плавающих орбит》 не бывает.
Суперрадиационное рассеяние гравитационных волн
Другой механизм, посредством которого в принципе может происходить извлечение энергии вращения черной дыры, заключается в рассеянии гравитационных волн дырой [228, 229, 128, 160, 192, 199, 36].
Сходящиеся и рассеивающиеся гравитационные волны могут быть описаны функцией Тюкольского W, которую в свою очередь можно разложить на компоненты Фурье и спиновые сфероидальные гармоники [формула (6.30) ]. Для компоненты с угловой частотой Ug, измеренной ОПН, находящимися далеко от дыры («частота с учетом красного смещения» ——аналог «энергии с учетом красного смещения» Е^ для частицы), и с квантовыми числами / и m сфероидальных гармоник (где т не следует путать с массой возмущающего источника — в этой модельной задаче возбуждающая масса отсутствует) 4r принимает следующий вид:
屮〜R (厂)2Slm (0)鍔俏("％£)] _ R (广)2szm (0) ^m(。一。J/咆. (7.61)
Радиальная функция R (厂)несет информацию об амплитуде падающих и рассеянных волн и о волнах, входящих под растянутый горизонт.
Хотя функция Тюкольского (7.61) не характеризует твер- дотельно вращающееся приливное поле, тем не менее она имеет зависимость от @ и f, аналогичную использованной нами [формула (7.19) ] при выводе формул твердотельного вращения в разд. Б.1. Как следствие эти формулы твердотельного вращения остаются справедливыми, если заменить Q俏 на В частности, скорость изменения массы дыры вследствие вязкой диссипации THdSH/dt и вязких вращательных моментов ^HdJ/dt пропорциональна (а-/т) (aw/m ——Q”) [ср. с формулой (7.216) при замене Qm ->■ сгоо/m]:
嘗 сс (ajm) — Q”).(7.62)
Очевидно, если частота волн с учетом красного смещения лежит в диапазоне
О < ^я < mQ^, «суперрадиационный» диапазон частот, (7.63)
то действие вязкого вращательного момента приведет к извлечению энергии, превышающему вязкую диссипацию, величина dM/dt будет отрицательной, и по закону сохранения энергии отношение энергии рассеянной гравитационной волны к энергии падающей волны превысит единицу:
— dE^ldt _ 111匚— dE^ldt _ 111匚(7.64)(7.64)
— dE^ldt _ 1
11匚
— dE^ldt _ 1
11匚
(7.64)
(7.64)
Это явление, называемое «суперрадиацией», представляет собой гравитационно-волновой аналог механизма извлечения энергии, о котором шла речь в последнем разделе.
Тюкольский и Пресс [199] дали численное решение радиальной части уравнения Тюкольского, чтобы получить радиальные волновые функции 火(广)，и по ним рассчитали вероятность отражения | R|2 как функцию частоты волны Ug, угловых квантовых чисел / и т волны и параметра вращения дыры а/М. Тюкольский и Пресс нашли, что максимальное значение | R|2 равно 2,38, что соответствует усилению энергии падающей волны на 138 %. Это максимальное усиление имеет место при значениях / = m = 2 и при величине Og, несколько меньшей, чем 2Q”一т. е. довольно близко к верхнему концу суперрадиационного режима. На рис. 60 приведены численные результаты Тюкольского——Пресса для вероятности отражения при I — т = 2 (квадрупольные волны).
Дальнейшее обсуждение суперрадиации с точки зрения квантовой механики приводится в разд. VIII. Б.4 и VIII. В.4.
Рис. 60. Вероятность отражения |R|2 [формула (7.64)] для квадрупольных (/ =俏=2) гравитационных волн, падающих на вращающуюся черную дыру. Различные кривые относятся к различным значениям удельного углового момента дыры, а/М, а соответствует а/М = 0,999 и |3 соответствует а/М = 0,9999. По горизонтали отложена испытавшая красное смещение частота а со в единицах 噌 ах = 2 喟 х = ]/〃(теС『ах = 1/2兩 ——угловая скорость горизонта для дыры, вращающейся с максимальной скоростью, а/М = 1). Вертикальная шкала линейна по arcsin[105(|R|2—1]. (Рисунок взят из [199].)
Квазинормальные моды черной дыры
Пресс [159] путем численных экспериментов обнаружил, что черная дыра может колебаться, а впоследствии Чандрасекар и Детвилер [37] и Детвилер [60] получили численное решение уравнения Тюкольского для нахождения собственных частот собственных колебаний вращающейся дыры. Эти собственные колебания, часто называемые квазинормальными модами, представляют собой возбуждения гравитационного поля дыры в области 厂” V 广,《Зг” («область колебаний»), которые обладают следующими свойствами: 1) имеют синусоидальную зависимость от времени
屮〜吟(7.65а)
вдали от дыры есть только расходящиеся волны (падающие волны отсутствуют), т. е.
ш [r+2M In (r/2m) — t]、
(7.656)(7.656)屮〜ё 81丁丿j при广》不Н；
(7.656)
(7.656)
на растянутом горизонте есть только распространяющиеся вниз волны (распространяющиеся вверх волны отсутствуют), т. е.
中〜е "% % при а《1.(7.65в)
Расходящиеся волны уносят энергию-на-бесконечности из области колебаний, а сходящиеся волны приносят энергию-на- бесконечности в область колебаний или уносят ее в зависимости от того, находится или не находится собственная частота в суперрадиационном диапазоне. В результате этого обмена энергией между областью колебаний и распространяющимися волнами квазинормальные колебания, как правило, должны либо затухать, либо усиливаться, т. е. собственные частоты Og, как правило, должны быть комплексными.
Пресс и Тюкольский [161] показали численно, а Уайтинг [222] доказал аналитически, что все квазинормальные моды затухают. Это удовлетворительный результат, так как в противном случае черная дыра была бы неустойчивой и способной к саморазрушению.
Удобно выразить комплексную собственную частоту квази- нормальной моды в виде
% =以一山/. (7.66)
Здесь Gr ——вещественная часть, соответствующая синусоидальным колебаниям, а о,——мнимая часть, соответствующая экспоненциальному затуханию. «Добротность» Q моды, равная длительности интервала колебаний (в радианах), в течение которого энергия в активной области затухает в е раз, связана с 07 И (Jr формулой
^^в области колебаний 0rA^7、 = dM/dt + dEGW/dt=丿
Детвилер [60] дал оценку or и О/ для наиболее слабо затухающих мод вращающейся дыры (моды с наименьшей величиной о, и наибольшей величиной Q). На рис. 61 приведены полученные результаты для квадрупольных мод (/ = 2). Отметим расщепление собственной частоты на различные значения для разных т, вызываемое вращением дыры. Заметим также, что все собственные частоты лежат выше области суперрадиационного режима, Or > т0н, но в пределе очень быстрого вращения, а/М 1, собственная частота моды I = т = 2 приближается к области суперрадиации, gr^-2^h = i/M. В этом пределе приливные поля вращаются вместе с растянутым горизонтом, т. е. возмущения горизонта становятся стационарными; таким образом, отсутствует обмен энергии-на-бесконечности с горизонтом и dM/dt = 0. Кроме того, в этом пределе, а/М 1, объем, занимаемый областью колебаний, становится бесконечным (ср. с бесконечно длинной горловиной диаграммы погружения на рис. 31, а); как следствие отношение энергии, заключенной в области колебаний, к излучаемой энергии становится беско-
Рис. 61. Собственные частоты большинства медленно затухающих квадрупольных квазинормальных мод вращающейся черной дыры согласно вычислениям Детвилера [60]. Нижние кривые показывают вещественную часть о^ собственной частоты, а верхние кривые ——мнимую часть 仃卜(Рисунок взят из [60].
нечным и соответственно бесконечным становится и Q соответствующих мод [формула (7.67)].
Квазинормальные моды представляют значительный интерес с точки зрения астрофизики, так как они могут быть возбуждены под действием любого динамического возмущения дыры с компонентами, имеющими частоты, близкие к or. Поэтому на поздней стадии излучения гравитационных волн в большинстве динамических процессов, связанных с черными дырами, вероятно доминирование квазинормального 《звона》. Более подробно эти вопросы рассмотрены, например, в работах [58, 59, 60, 46, 191].
Д. Модельные задачи с радиально движущимися частицами
Радиальное падение звезды в невращающуюся черную дыру
Перейдем теперь от возмущений черной дыры с tD ^ g^〔 к другому предельному случаю самого быстрого возмущения, которое может быть вызвано каким-либо источником: возмущения, порожденного компактным телом, проходящим сквозь растянутый горизонт со скоростью, очень близкой к локальной скорости света.
Конкретнее рассмотрим невращающуюся черную дыру с массой М и звезду с массой т и радиусом R, значительно меньшим радиуса дыры и достаточно малым, чтобы исключить ее разрыв под действием приливных сил, когда она будет вблизи дыры, т. е.
и R《(俏〃2)1/з.(7.68)
Пусть звезда падает в черную дыру радиально из состояния покоя в пространственной бесконечности над северным полюсом дыры.
Когда звезда, падая, будет пролетать через точку с радиальной координатой 厂，покоящиеся там ОПН зафиксируют ее физическую скорость V = (2М/г)1/2 [формула (2.20) ]; следовательно, когда она будет падать под растянутый горизонт, она будет двигаться со скоростью, почти равной скорости света:
丫三(1 一吟т/2 = а/》1.(7.69)
При скорости, близкой к скорости света, приливное поле звезды сплющится в 《блин》 подобно тому, как это происходит с электрическим полем точечного заряда, имеющего высокую скорость. В плоском пространстве-времени с полярными координатами (Т, со, «, Z) сплющенное гравитационное поле частицы с массой т, движущейся с 6 = 0 и Z = vT, имеет попе
речные компоненты 咨 при Z — 0, определяемые формулой
寓6—母黑涵[1 + °(7.70)
(ср. с [155, 54]). С некоторыми видоизменениями этот результат, полученный для плоского пространства, пригоден для опи- <А
сания поля / звезды и на растянутом горизонте нашей невращающейся дыры (что подтверждается детальными расчетами Сюэна, Прайса и Редмаунта [195]). Для этой цели необходимо следующее: 1) Радиальная координата со должна быть приравнена к радиальному расстоянию 2MQ от северного полюса дыры и должна быть значительно меньше М так как растянутый горизонт аппроксимируется пространственно плоской поверхностью Z = 0 лишь на расстояниях, значительно меньших, чем М. 2) Время Минковского Т в формуле (7.70) необходимо заменить собственным временем ОПН т, сдвинув начало отсчета так, чтобы значение т = 0 соответствовало моменту падения частицы под растянутый горизонт. 3) Растянутый горизонт
имеет ускорение с абсолютной величиной | а | = (47Иая)-1, так что собственное время ОПН должно быть ограничено условием I At| « 1/| а I = 4Л4а” = 4A4/y, если пренебречь отличием движения ОПН от свободного падения и воспользоваться формулой (7.70). 4) Хотя и полезно использовать собственное время ОПН, как отмечено выше и рассмотрено в разд. П.В.5, оно не может служить достаточно хорошей временной координатой для описания динамики горизонта. Поэтому введем мировое время /, так чтобы значение Z = 0 соответствовало моменту падения частицы под растянутый горизонт. (В разд. II. В.5 показано, что мировое время, начало отсчета которого сдвинуто таким образом, обеспечивает хорошую временную параметризацию растянутого горизонта.) Времена т и Z взаимосвязаны на растянутом горизонте формулой dt = a”d玄 из которой следует, что ут = yaHt = f. 5) Приливное поле (7.70) расходится, становясь сколь угодно большим, поэтому мы переопределяем его (как обычно), чтобы получить 歩焉三а諺^J = у-?/；；. С учетом этих пяти модификаций возмущающее приливное поле (7.70) на растянутом горизонте принимает вид
瑞谷=一鍔$播:::醉 при g = "8《m И м1《m.
(7.71)
>
Напряженность этого поля /" достигает максимума при / = 0 и убывает при |勺丨* со. В «телеологической» функции Грина (разд. VI.В.6) для эволюции сдвиговой деформации и расширения горизонта характерное время g/i =4Л4, поэтому для определения сдвиговой деформации о為，расширения 9口 и метрики уаь горизонта хорошее приближение (с относительной погрешностью 〜d/AP) дает замена формулы (7.70) на дельта функцию
鍔 谷 =一熒3= 一醬 6 ⑺，(7.72)
интеграл по времени от которой имеет такую же величину.
Подставив полученное выражение приливного поля в интегралы функции Грина (6.87), (6.88) и (6.89) уравнения приливной силы, уравнения фокусировки и уравнения для возмущения метрики, получим следующие выражения, описывающие эволюцию сдвиговой деформации, расширения и метрики гори-
зонта во времени:
ннГ —(4т/со2) ^ut
при
Z<0
(7.73)
при
t > 0,
* = ( (128倘2m/g4)
при при
/<о,
f>0,
(7.74)
кЬ三Y^ + 22為+ 0乩廳，
(7・75)
2勿=_2力-(16倘財/g2)”出
601 一16 m M/鋁
при при
t < 0 />о,
(7.76)
= [(256m2M7(o4)(2eSHt - /^力)
при
/ < 0
(7.77)
I - 1 256倘 2M2他4
при
/ > о.
Отметим, что, как и в рассматривавшихся выше модельных задачах, S^ представляет собой проинтегрированную по времени сдвиговую деформацию, а @" — проинтегрированное по времени расширение.
Эволюционирующие во времени поля горизонта (7.73—7.77) показаны на рис. 62. Отметим их «телеологическое» поведение: все кинематические поля горизонта 鳴，6я,喝 и 0я экспоненциально растут от нуля в самом начале с характерным временем изменения в е раз 〜l/g” = 4A4, упреждая момент, когда ^^ достигнет горизонта при £ = 0. Сдвиговая деформация о爲 и расширение 6" «выключаются» после удара приливного импульса по горизонту, в то время как возмущения метрики W爲 и О" становятся статическими и отличными от нуля.
Эффекты искажения приливного поля ^^ можно наглядно представить себе в виде эволюции формы первоначально круглого «пучка» опоронов. На рис. 63 показано некоторое число таких пучков, по-разному расположенных вокруг растянутого горизонта. В начале, упреждая резкое радиальное (в направлении 0) растягивание под действием поля В* \d^^fdt = =_ d碍$/山=(4Л1/с52) 6(/) незадолго до Z = 0], каждый пучок, начинает растягиваться в тангенциальном (。)направлении. К моменту времени t = 0 это саморастяжение порождает результирующую отрицательную компоненту。召會 именно такой величины, при которой происходит резкое зануление деформации под действием приливной силы. В результате при f > 0 сдвиговая деформация о爲 обращается в нуль и остается не исчезаю-
Рис. 62. Зависимость от времени приливного поля 歩"，сдвиговой деформации 仃北，расширения 8", возмущений метрики горизонта 5^ = (проинтегрированная по времени сдвиговая деформация) н 日"三(проинтегрированное по времени расширение), создаваемых радиальным падением компактной звезды на северный полюс невращающейся черной дыры. Сдвиговая деформация, расширение и возмущения метрики возрастают за характерное время l/g〃, опережая всплеск /" с острым пиком в момент прохождения звезды сквозь горизонт при / = 0. Сдвиговая деформация и расширение затем затухают за характерное время, значительно более короткое чем l/g〃，а возмущения метрики становятся постоянными. (Рисунок взят из [195].)
щая, и не зависящая от времени результирующая деформация в тангенциальном направлении с эллиптичностью, равной
С 〜(тангенциальный диаметр) 〔—
— (радиальный диаметр)—
=(778)
Аналогичным образом в результате расширения 0я каждый пучок опоронов при 方 > 0 имеет слегка увеличенную площадь поверхности：
孚=驴=(整广亿79)
Рис. 63. Искажения горизонта, вызываемые радиальным падением компактной звезды. Элементы опоронной жидкости, имевшие первоначально круглую форму, искажаются, превращаясь в эллипсы, по мере деформации горизонта в ожидании прихода приливной ударной волны, сопровождающей погружение звезды. Эти искажения соответствуют 2,@ > 0 и 喝<0, как отмечается в тексте.
Эта модельная задача является хорошим примером перескока новых опоронов на растянутый горизонт, рассмотренного в разд. VI. В.7 и на рис. 51. Критерий перескока новых опоронов на растянутый горизонт состоит в том, что расширение 8” возрастает до 2g” (по этой причине несколько раньше оно должно было возрастать до бесконечности). Наш формализм теории возмущений становится неприменимым, если когда-либо будет достигнут этот режим, 8“ 〜2g”， но этот формализм остается в силе почти вплоть до самого наступления этого режима и поэтому может обеспечить критерий по порядку величины для перескока новых опоронов на растянутый горизонт.
Расширение 8”， описанное формулой (7.74), достигает наибольшей величины при Z = — g~l In 2, незадолго до того, как происходит воздействие приливного импульса； его величина, деленная на 2g”, в этот момент равна 、т2М
Если эта величина превышает 〜1 при G = R 三(радиус звезды), то в некоторый момент незадолго до прохождения звезды через горизонт опороны обязательно перескочат на растянутый горизонт в преддверии прихода сильных приливных полей:
RW2«2znAf чтобы новые опороны были вытолкнуты на растянутый горизонт падающей звездой.(7.81)
Соответственно критерий справедливости нашего анализа возмущений таков:
7?4 ^> 64 (тМ)2 чтобы анализ возмущений оставался в силе повсюду вне звезды,
со4 » 64 (тМУ чтобы анализ возмущений
оставался в силе при со. (7.82)
Для внутренней части звезды наш анализ должен быть модифицирован так, чтобы учесть поток 歹 энергии втекающего вещества в уравнении фокусировки и за счет модификации (уменьшения напряженности) приливного поля /爲，которое вызывает сдвиговую деформацию. Детальный анализ предоставляем читателю выполнить в качестве упражнения.
Задача с падением звезды служит хорошим примером калибровочных вариаций (инфинитезимальных вариаций пространственных координат), которые по желанию можно выполнить после выключения возмущений, чтобы привести пространственные координаты к стандартному виду Бойера ——Линдквиста или Шварцшильда (см. разд. VI. В.10). Рассмотрим сначала вклады первого порядка (индуцированные сдвиговой деформацией) в возмущенную метрику. Полная метрика (7.75) после прекращения действия возмущений примет следующий вид:
ds2 = 4(1+ 22抬)府 + 总(1 + 22") sirA d* =
f 2[1 —岩耨》+ ” +^^]e2^2 при 0< 1. (7.83)
Эта метрика отклоняется от сферичности, так как координаты привязаны к опоронам, а опороны испытывали приливную сдвиговую деформацию. Чтобы привести координаты и метрику к неискаженному сферически-симметричному виду, введем новую координату 0:Эта метрика отклоняется от сферичности, так как координаты привязаны к опоронам, а опороны испытывали приливную сдвиговую деформацию. Чтобы привести координаты и метрику к неискаженному сферически-симметричному виду, введем новую координату 0:Bold BnewBold Bnew16mM16mM壹，壹，(7.84)(7.84)и получими получим如？—吟(dW + В? d^) для 6《1.如？—吟(dW + В? d^) для 6《1.(7.85)(7.85)
Эта метрика отклоняется от сферичности, так как координаты привязаны к опоронам, а опороны испытывали приливную сдвиговую деформацию. Чтобы привести координаты и метрику к неискаженному сферически-симметричному виду, введем новую координату 0:
Эта метрика отклоняется от сферичности, так как координаты привязаны к опоронам, а опороны испытывали приливную сдвиговую деформацию. Чтобы привести координаты и метрику к неискаженному сферически-симметричному виду, введем новую координату 0:
Bold Bnew
Bold Bnew
16mM
16mM
壹，
壹，
(7.84)
(7.84)
и получим
и получим
如？—吟(dW + В? d^) для 6《1.
如？—吟(dW + В? d^) для 6《1.
(7.85)
(7.85)
Устранив таким образом искажение координат, мы готовы выполнить расчет следующего этапа эволюции нашей черной дыры, связанного, например, с падением еще одной звезды.
Формулы (7.83) — (7.85) показывают, что конечная деформация метрики, 2 S^, полностью обусловлена искажением опоронов и координат и вообще не связана с деформацией физической формы горизонта. Более того, поскольку 2^ имеет одинаковую зависимость от координаты 0, 1/02, и для начала приливного импульса, и в процессе его действия, и после него, деформация метрики всегда имеет чисто координатное происхождение. Постоянное отсутствие какой-либо физической деформации геометрии горизонта является особенностью данной и некоторых других модельных задач; его нельзя считать универсальным свойством гравитационных возмущений черных дыр. На-
пример, квазистационарные возмущения, рассмотренные в разд. А.1 и Б.2, вызывают заметную физическую деформацию горизонта, а в следующем подразделе мы рассмотрим высокоскоростное динамическое возмущение с истинной физической деформацией.
Несмотря на то что физическая геометрия горизонта не изменяется в первом порядке под действием возмущений, вызванных падением звезды, имеется второй порядок ——физическое расширение, выраженное величиной ®". В новых, неискаженных координатах (т. е. после выполненного нами калибровочного преобразования) метрика физически расширившегося горизонта имеет вид
ds2 = r^(l + О") (d# + sin29 2兴)
=吟「1 + (面2 + О2 舛В при е《1, (7.86)
для которой скалярная кривизна, вычисленная по формуле (6.15), равнадля которой скалярная кривизна, вычисленная по формуле (6.15), равна(7.87)(7.87)
для которой скалярная кривизна, вычисленная по формуле (6.15), равна
для которой скалярная кривизна, вычисленная по формуле (6.15), равна
(7.87)
(7.87)
Отметим, что расширение горизонта в окрестности точки падения, 6《1, уменьшает его скалярную кривизну, и это уменьшение может быть настолько существенным, что при достаточно малой величине 0 скалярная кривизна может принять даже отрицательное значение.
На первый взгляд может показаться странным, что конечная метрика горизонта (7.86) не является строго сферической. Ведь в конечном счете симметрия гарантирует, что угловой момент дыры не может изменить своего первоначального нулевого значения, и теорема Израэля о единственности черных дыр [108, 109] (см. также разд. 6.7.1 в работе [33]) говорит о том, что конечная установившаяся невращающаяся дыра должна быть шварцшильдовской дырой и иметь таким образом строго сферический горизонт.
Некоторое размышление развеивает беспокойство на этот счет. Хотя наш анализ имел целью определить расширение дыры и тем самым изменение площади ее поверхности с точностью до второго порядка по гравитационному возмущению, наше рассмотрение сдвиговой деформации корректно только до первого порядка. Несферичность конечной дыры является искажением второго порядка, которое можно устранить вычислением сдвиговой деформации с точностью до второго порядка, т. е. с помощью вычисления, для которого требуется знать приливное поле 歩為 с точностью до второго порядка.
Эти соображения позволяют сделать вывод о том, что конечная дыра должна быть действительно сферической. Более того, хотя конечная метрика (7.86) не отражает вклад сдвиговой деформации второго порядка 2£^, этот вклад все равно не повлиял бы на результат вычисления площади поверхности по этой метрике; на площадь поверхности может влиять только ®". Таким образом, конечная площадь поверхности горизонта может быть вычислена из метрики (7.86), дополненной соответствующей метрикой для радиусов △ V R, через которые падает поток 歹 энергии вещества звезды. Иначе говоря, в соответствии с законом сохранения полной энергии системы черная дыра — звезда и с результатом работы [52], согласно которому полная энергия, излученная на бесконечность в виде гравитационных волн, определяется соотношением Е ^ 0,0104т2/Л1, нам известно, что полное изменение массы дыры вследствие падения в нее звезды
0,0104倘2/m，(7.88)
и соответственно изменение площади поверхности горизонта = А (4“汾=В2冗М АМ а 32冗俏М — 1,05m2.(7.89)
Интересно узнать, какая часть увеличения массы дыры (7.88) обусловлена приливными полями вне поверхности звезды. Из первого начала термодинамики для дыры АМ = ThNSh и формулы (6.130) для вязкой диссипации горизонта, или, что эквивалентно, из соотношения М = (Ан/16л)1/2 и формулы (7.79) для локального изменения площади поверхности, проинтегрированного по площади горизонта вне звезды, находим
0「~ Мq
(АМ)вне звезды = \\ 2呼唱噌2几G dG 山 N 团(^^~)・(7.90)
-OO L RJ
Поскольку приливные поля звезды при пересечении растянутого горизонта имеют вид сходящихся гравитационных волн, то (7.90) можно также рассматривать как перенос определенного количества энергии в дыру в виде гравитационного излучения, создаваемого звездой. Отметим, что эта энергия сходящихся волн во много раз превышает энергию, излучаемую на бесконечность.
Разность между (7.88) и (7.90)——это полное увеличение массы, которое приписывается области внутри звезды
(АМ)внутрн звезды —[1 — 0,0104-^~^~] •(7.91)
Можно предположить, что уменьшение величины в скобках по сравнению с единицей объясняется реакцией гравитационного излучения, которая приводит к тому, что в момент, когда звезда
падает под горизонт, энергия с учетом красного смещения в ее внутренней области меньше величины т, которую звезда имела в начале падения. Однако авторам не вполне ясно, следует ли энергию (7.90), которую несет приливное поле звезды, испытавшее лоренцево сокращение, приписывать сходящимся гравитационным волнам (как это сделано выше) или же ее надо относить к энергии самой звезды. Где в действительности кончается сплющенное в《блин》гравитационное поле звезды и начинается входящее гравитационное излучение?
2, Частица, испытывающая радиальное ускорениенад растянутым горизонтом невращающейся дыры
Обратимся теперь к другой динамической задаче, на этот раз к такой, в которой нет потока энергии вещества сквозь горизонт и отсутствует увлечение новых опоронов на горизонт. Как и в рассмотренной выше задаче, возьмем для простоты одиночную массивную частицу в качестве источника приливной гравитации и, чтобы обеспечить динамическую ситуацию без падения частицы сквозь горизонт, укрепим частицу на такой же нити [Т =九；(натяжение) = (масса на единицу длины); нулевая инертная масса в продольном направлениии], которую мы использовали в разд. А.1 и Б.2.
Рассмотрим более конкретно частицу с массой /п《М, подвешенную над горизонтом невращающейся дыры на радиальной нити с натяжением Г, несколько большим, чем необходимо для статического равновесия. В самом начале частица опускается радиально вниз вдоль северной полярной оси дыры с высокой скоростью, но при этом происходит замедление под действием силы со стороны нити, тянущей наружу. Нить постепенно останавливает частицу на минимальной высоте s俏《М над северным полюсом растянутого горизонта и затем тянет частицу назад вверх со все возрастающей скоростью. Попытаемся разобраться в свойствах приливных полей, создаваемых на горизонте этой частицей, подобной «чертику на ниточке», и в характере результирующего искажения и вязкого нагрева горизонта. В ходе нашего анализа мы воспользуемся аппроксимацией Риндлера и соответственно ограничимся областью растянутого горизонта вблизи северного полюса,
G = = (7.92)
Если частица подвешена в равновесии на высоте s^, то натяжение нити будет [ср. с формулами (7.8), (7.9)] Т = mg = =m/sm. Чтобы упростить анализ, положим натяжение нити большим, чем указанное, на постоянную величину f:
Т = ^ = (\ -^- f) —-, f = const > 0. (7.93)
Ускорение частицы, измеряемое находящимся на ней акселерометром, будет всегда постоянным и направленным вверх и будет иметь абсолютную величину, равную tz = (1 + f) /sm.
В нашем анализе мы параметризуем время на растянутом горизонте мировым временем 厶 сместив начало отстчета таким образом, чтобы значение / = 0 соответствовало моменту достижения горизонта первыми гравитационными сигналами от движущейся вниз частицы. Первый сигнал 罟"，достигающий растянутого горизонта, приходит из бесконечного прошлого частицы, когда она двигалась в направлении к горизонту со скоростью (измеряемой удаленными ОПН), близкой к скорости света. Это, вероятно, наводит на мысль, что растянутый горизонт при / = 0 испытает воздействие кратковременного импульса гравитационного излучения, бесконечно сильного вследствие бесконечного голубого смещения сигналов от частицы. Однако вследствие лоренцева сокращения пространственное расстояние до горизонта для частицы в бесконечном прошлом оказывается чрезвычайно сжатым до расстояния 〜s^, которое является характеристической длиной гравитационных волн, излучаемых этой частицей. Поэтому горизонт находится не з волновой зоне излучения частицы, и сигнал, первым достигший горизонта, не обязательно должен быть бесконечно сильным и острым. Фактически при Z = 0 внезапно возникает приливное поле 彩",но оно имеет слабую [/% 〜他乂飞厂(G/s俏У] первоначально почти постоянную напряженность (точнее напряженность, которая непосредственно после «включения» изменяется с характерным временем порядка М).
>
Поле /" в соответствии с вычислениями Сюэна, Прайса и Редмаунта [195] является наиболее сильным и представляет наибольший интерес при Z》s% когда оно принимает вид
=一/九=*L+ f) Ь产£_
ее2smM2 [(а - 6)2 + 46]5/2 *
где
。三 11),& = [(! +f)G/s
Для моментов времени f》l/g“ = 4M напряженность этого поля определяется главным образом знаменателем в формуле
<А
Поле /" достигает максимальной напряженности
аЬ msm е ) в кольце, показанном на рис. 64 и имеющем радиальную толщину
(7.95а)(7.95а)AG 〜sm
(7.95а)
(7.95а)
Рис. 64. Кольцо сильных приливных полей /", возникающих на растянутом горизонте под действием частицы, движущейся ускоренно вертикально вверх. В самом конце частица удаляется от горизонта с скоростью, которая по измерениям ОПН близка к скорости света. Гравитационное влияние частицы распространяется по нулевым лучам, которые искривляются под действием гравитационного притяжения дыры, что приводит к концентрации поля ^н горизонта в узком кольце, движущемся наружу. Внутрь кольца сдвиговая деформация 。北 и расширение 0я горизонта равны нулю, а снаружи сдвиговая деформация и расширение убывают как й-2.
при радиусе
Gmax = sM(l+f)Te%g%(7.956)
который возрастает экспоненциально во времени. В эти поздние моменты времени источником поля на растянутом горизонте служит частица, когда она уже удаляется со скоростью, близкой к скорости света, и горизонт находится далеко от частицы, если выполнять измерение в связанной с ней системе отсчета. Локализацию и ширину кольца можно легко получить, если применить понятия геометрической оптики к распространению «гравитонов» от частицы к растянутому горизонту. Согласно геометрической оптике, кольцевая зона высокой интенсивности состоит из «гравитонов», которые по измерениям в системе отсчета частицы излучаются более или менее ортогонально направлению движения, но с точки зрения ОПН излучаются преимущественно вперед (вверх). Эти «гравитоны» притягиваются назад вниз к растянутому горизонту под действием сильного гравитационного поля дыры, но достигают растянутого горизонта лишь после того как, распространяясь наружу, достигнут расстояния G 亠 Gmax・
<А
При данной величине 5)》s^ н для g”％》1, поля 醫"до- стигнут максимума через время А/〜, значительно более короткое, чем характерное время отклика/斤* «телеологи-
ческой» функции Грина, описывающей эволюцию сдвиговой деформации и расширения; таким образом, как и в нашем случае со звездой, падающей под горизонт, приливные поля можно аппроксимировать дельта-функцией:
符貪々-- /max ⑹].(7.96a)
Здесь /max ——это момент времени, в который поле /" достигает максимума при радиусе й:
/max ⑹=8M 1П [ ° ^ ] •(7.966)
Подставив выражения для приливных полей (7.966) в решения для функции Грина (6.87)——(6.89) уравнений приливной силы, фокусировки и эволюции метрики, получим следующие выражения, справедливые при s俏《击《М н g”％》1, соответственно для сдвиговой деформации, расширения и метрики растянутого
горизонта:горизонта:mf2mf2нн )==(0нн )==(02Жт(1 + D2Жт(1 + D2m2f42m2f4尹=| ms^(i + /)2尹=| ms^(i + /)24 egH‘(0gH‘max —済”")4 egH‘(0gH‘max —済”")IОIОY„ = Y^ + 2^ + ©^, %=—老3 =Y„ = Y^ + 2^ + ©^, %=—老3 =sm (1 + f)—2mf2sm (1 + f)—2mf20Я = v0Я = v2mf22mf2I s俏(1 + f)I s俏(1 + f)g""max — gg"*)g""max — gg"*)4M尸^m (1 "НУ 4m2f4sL(l+f)24M尸^m (1 "НУ 4m2f4sL(l+f)2gRmax = - 2/П (1 + f)gRmax = - 2/П (1 + f)smsm2g/max =仅^(1 +炉2g/max =仅^(1 +炉3'L3'LПРИ /С/max ⑹，ПрИ />/max ⑹， (7.97)при t < Zmax (й),При Жах(€)， (7.98) (7.99)ПрИ /々max ⑥),ПРИ > %ах ⑹, (7.100)ПРИ /V /щах ⑹，ГфН t > ^max (硝・ПРИ /С/max ⑹，ПрИ />/max ⑹， (7.97)при t < Zmax (й),При Жах(€)， (7.98) (7.99)ПрИ /々max ⑥),ПРИ > %ах ⑹, (7.100)ПРИ /V /щах ⑹，ГфН t > ^max (硝・
горизонта:
горизонта:
mf2
mf2
нн )
==(0
нн )
==(0
2Жт(1 + D
2Жт(1 + D
2m2f4
2m2f4
尹=| ms^(i + /)2
尹=| ms^(i + /)2
4 egH‘(0gH‘max —済”")
4 egH‘(0gH‘max —済”")
IО
IО
Y„ = Y^ + 2^ + ©^, %=—老3 =
Y„ = Y^ + 2^ + ©^, %=—老3 =
sm (1 + f)
—2mf2
sm (1 + f)
—2mf2
0Я = v
0Я = v
2mf2
2mf2
I s俏(1 + f)
I s俏(1 + f)
g""max — gg"*)
g""max — gg"*)
4M尸
^m (1 "НУ 4m2f4
sL(l+f)2
4M尸
^m (1 "НУ 4m2f4
sL(l+f)2
gRmax = - 2/П (1 + f)
gRmax = - 2/П (1 + f)
sm
sm
2g/max =仅^(1 +炉
2g/max =仅^(1 +炉
3'L
3'L
ПРИ /С/max ⑹，
ПрИ />/max ⑹， (7.97)
при t < Zmax (й),
При Жах(€)， (7.98) (7.99)
ПрИ /々max ⑥),
ПРИ > %ах ⑹, (7.100)
ПРИ /V /щах ⑹，
ГфН t > ^max (硝・
ПРИ /С/max ⑹，
ПрИ />/max ⑹， (7.97)
при t < Zmax (й),
При Жах(€)， (7.98) (7.99)
ПрИ /々max ⑥),
ПРИ > %ах ⑹, (7.100)
ПРИ /V /щах ⑹，
ГфН t > ^max (硝・
(7.101)
В любой момент времени /》g斤】сдвиговая деформация и расширение равны нулю внутри кольца, т. е. при(о<сотах — Аз,
и убывают с ростом G вне кольца, G > штах + Аш. Проинтегрированная по времени сдвиговая деформация 2弦 соответствует, как и в задаче с падением звезды, тангенциальному растяжению и радиальному сжатию исходного круга опоронов. При фиксированном со это искажение увеличивается по мере приближения расширяющегося кольца, а затем, когда происходит импульсное воздействие поля /", искажение внезапно перестает нарастать и после прохождения кольца становится статическим. Как внутри, так и снаружи кольца, несмотря на ненулевую величину 2爲，внутренняя геометрия горизонта остается плоской в первом порядке (по 喝)：простое изменение координат, как в формуле (7.84), приводит метрику в первом порядке к стандартному плоскому виду при й < йтах — Ай и ш > йтах + Ай. Однако внутри самого кольца | й —(Ьтах | ^ Ай = sm это не так. Здесь геометрия горизонта испытывает истинное физическое искажение первого порядка — искажение, не отраженное в приведенных выше формулах, которые основаны на приближении б-функции.'
Так как величина о落 внутри кольца равна нулю, вязкая диссипация опоронной жидкости происходит только снаружи кольца. Скорость диссипации, описываемая формулой (6.30), имеет вид
~dF = TH~ar^ \ 2nH 喘理 2n&d& = “max
-= 4 (备)2:(7.102)
в результате общее увеличение массы черной дыры к моменту времени t равно
aМ= \需成=瑞决%(7.Ю3)
Поскольку представленный здесь анализ справедлив только в приближении Риндлера, т .е. для G « М, максимальное значение 方，до которого он остается в силе, ограничивается условием [sM/(l+f)『egR=^ax《М2, Чтобы оценить по порядку величины общее увеличение массы дыры, можно обобщить вычисление на момент времени, когда кольцо проходит через экватор дыры, т .е. на момент времени, определяемый соотношением [s//(l + /)]2 egHt 〜М2. В результате получим
W~中(*)*• (7」。4)
VIIIТепловая атмосфера черной дыры
К. Торн, В. Зурек, Р. Прайс
А. Историческое введение
Утверждение Хоукинга [96] о том, что черная дыра должна испускать тепловое излучение с температурой T" = %g〃/2jr^8, вызвало у физиков огромное удивление и даже шок, несмотря на то что этому предшествовали исследования в двух направлениях.
Законы механики черных дыр в том виде, в каком они были изложены в [38, 39, 92, 94, 2], по форме были идентичны законам термодинамики. Это дало Бекенштейну [10, 11, 12] основание утверждать, что эти два набора законов представляют собой одно и то же и что поэтому черная дыра должна быть наделена энтропией, пропорциональной площади ее поверхности. Более того, Бекенштейн высказал предположение, оказавшееся, как мы увидим, верным, что эта энтропия черной дыры с точки зрения статистической физики по своей природе есть логарифм числа «внутренних состояний» дыры, которые должны соответствовать ее наблюдаемому извне состоянию. Исходя из этого предположения, он получил правильную по порядку величины оценку для отношения энтропии дыры к площади ее поверхности. Несмотря на такую проницательность, Бекенштейн не отважился предположить, что соответствующая температура черной дыры может быть связана с какими-либо реальными физическими тепловыми эффектами.
Исходя из аналогии с задачами из физики плоского пространства, Зельдович [228, 229] ясно понимал, что некоторые моды волновых полей излучения должны рассеиваться с усилением вращающейся черной дырой посредством механизма суперрадиации (разд. VII. Г.2) и что, поскольку суперрадиационное рассеяние можно рассматривать с точки зрения квантовой механики как индуцированное излучение, черная дыра также должна испускать спонтанно кванты в эти суперрадиационные моды. Несмотря на такое правильное представление, Зельдович не догадался, что несуперрадиационные моды (включая все моды невращающейся дыры) также будут испытывать спонтанное излучение и что это излучение будет тепловым.
Пытаясь подтвердить предсказание Зельдовича о спонтанном излучении в суперрадиационные моды, Хоукинг [96, 97, 98] об-
наружил, что все моды испытывают спонтанное излучение, причем это излучение именно тепловое, и поэтому в соответствии с предположением Бекенштейна черная дыра действительно характеризуется температурой, пропорциональной ее поверхностной гравитации, и энтропией, пропорциональной площади ее поверхности, а законы механики черной дыры представляют собой частный случай законов термодинамики.
Вначале физики весьма скептически отнеслись к результатам Хоукинга. Проверить их было не так просто, поскольку в то время не существовало какого-либо согласованного формализма для теории квантовых полей в искривленном пространстве-времени. Каждый из специалистов предпочитал пользоваться собственным способом исследования квантовых полей в искривленном пространстве-времени, и большинство из них высказывали сомнения относительно того, подтвердят ли их собственные методы те результаты, которые были получены Хоукингом. Наиболее скептически относился к такой возможности сам Зельдович. Однако уже к сентябрю 1975 г. все ведущие ученые, в том числе и Зельдович, по-своему повторили вычисления Хоукинга с использованием собственных математических методов и получили тот же результат: тепловое излучение. (Обширные ссылки на оригинальную литературу по данному и другим аспектам истории этого вопроса см., например, в работах [190, 20, 73].)
Ключом к пониманию природы теплового излучения стало открытие Унру [209]. Он выяснил, что ускоренный детектор частиц в плоском пустом пространстве-времени должен вести себя так, как будто он помещен в идеальную баню теплового излучения с температурой Т = 九。/2冗力s, где а ——ускорение детектора. Поскольку в соответствии с аппроксимацией Риндлера (разд. II. Б.6) неподвижный наблюдатель (ОПН), покоящийся непосредственно над шварцшильдовским горизонтом, является полным аналогом ускоренного наблюдателя в плоском пространстве-времени, ускорение которого равно а = g“/a, Унру предположил, что такой ОПН должен чувствовать себя погруженным в тепловое излучение с локально измеряемой температурой Г = %(g"/a)/2a力в = Тв/а. Это тепловое излучение («тепловая атмосфера дыры»), преодолевая воздействие гравитационного поля дыры, будет испытывать красное смещение, описываемое множителем а, и поэтому оно выходит как тепловое излучение Хоукинга с температурой Tн^
Было не просто привести физическую интуицию в соответствие с этими предсказаниями теории квантовых полей. Трудно было понять, почему, например, в то время как испытывающий ускорение наблюдатель в плоском пространстве-времени видит
тепловую баню, свободно падающий наблюдатель видит чистый вакуум. Соответственно, в то время как находящийся в состоянии покоя наблюдатель вблизи шварцшильдовской дыры видит тепловую атмосферу, свободно падающий наблюдатель такой атмосферы вообще не видит. Значительный прогресс на пути к согласованию этих явно противоречащих друг другу точек зрения был достигнут благодаря серии модельных задач, поставленных и исследованных Унру и Уолдом [210, 211]. В одной из таких задач эти авторы показали, что, когда испытывающий ускорение наблюдатель поглощает один квант из окружающей его тепловой бани, свободно падающий наблюдатель видит его испускающим один квант. Такие противоречия в восприятии одного и того же события удалось устранить, показав, что оба наблюдателя согласны в том, что в результате погло- щения/испускания возрастает энергия поля излучения. Это очевидно с точки зрения свободно падающего наблюдателя: поле было пустым до испускания кванта, а после этого стало содержать один квант. Это менее очевидно, но верно и с точки зрения наблюдателя, испытывающего ускорение: до поглощения кванта поле находилось в идеально тепловом смешанном состоянии и существовала конечная вероятность того, что оно никогда не будет содержать каких-либо квантов. Поглотив квант, испытывающий ускорение наблюдатель осуществляет частичное измерение поля; например, он узнает, что оно содержало как минимум один квант до поглощения. Оказывается, это частичное измерение, несмотря на поглощение кванта, увеличивает ожидаемую величину энергии в данном поле и по расчетам ускоренного наблюдателя.
Как только Хоукинг обнаружил, что невращающаяся черная дыра испускает излучение, для него стало очевидным, что обратная реакция излучения должна вызывать убывание массы дыры и соответственно сокращение ее горизонта. Представлялось разумным предполагать, что это сокращение будет подчиняться полуклассическому уравнению Эйнштейна G^v=8k<jT^v>, в котором кривизна классического пространства-времени дыры G^“ создается перенормированным ожиданием 〈「模”〉тензора энергии-импульса испаряющихся полей. Однако если это предположение верно, то вблизи испаряющейся шварцшильдовской дыры величина 〈丁模”〉должна соответствовать направленному внутрь потоку отрицательной энергии. Соответственно ОПН вблизи горизонта должен наблюдать отрицательную плотность перенормированной энергиии ⑹=〈丁卫。〉——〈Т，「〉=〈「"〉= =—七/(4冗r^a?) < 0, где L — светимость испаряющейся дыры. То, что дело обстоит именно так, стало совершенно ясно только в 1980 г. (28, 180) после разработки методов перенормировки
тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени шварцшильдовской дыры.
Как может быть, что атмосфера черной дыры, которую ОПН, находящиеся вблизи горзионта, считают тепловой, в действительности имеет отрицательную плотность перенормированной энергии? Ответ на этот вопрос [180, 242, 72а, б] на самом деле совершенно прост. В непосредственной близости от горизонта поляризация вакуума вносит вклад' в <T^V>, который точно равен по абсолютной величине, но противоположен по знаку вкладу тепловой бани с локальной температурой. Т = Тн/а (если отвлечься от пренебрежимо малых поправок порядка а2). Следовательно, если атмосфера, измеренная ОПН, была бы именно тепловой, то атмосферный вклад в 〈丁模”〉точно взаимно сокращался бы с вкладом поляризации вакуума (в пределе а->0), давая нуль. Однако атмосфера является тепловой лишь приближенно, а не точно. Испарение слегка выводит ее из теплового состояния, создавая после перенормировки небольшую плотность энергии вблизи горизонта, имеющую отрицательный знак и именно тот вид, который требуется, чтобы горизонт дыры испытывал сокращение с ожидаемой скоростью.
К тому времени (1984 г.), когда авторы настоящей главы приступили к изучению атмосферы черной дыры на основе мембранного подхода, нерешенными оставались только три основные проблемы. 1) Хотя структура〈丁模”〉для испаряющейся невращающейся дыры представлялась достаточно ясной, вычисления 〈丁模”〉для вращающейся дыры, взаимодействующей со сложной внешней Вселенной, которые связаны со значительными техническими трудностями, не были выполнены; таким образом, оставалось не выясненным, как процессы взаимодействия и испарения определяют эволюцию вращающейся дыры. 2) Несмотря на некоторые многообещающие попытки [12, 14, 15, 75, 227], еще не было достигнуто достаточного понимания природы энтропии черной дыры с точки зрения статистической механики. 3) Хотя все специалисты признавали, что второе начало термодинамики должно быть справедливым для системы, включающей черную дыру (для системы, в которой материя и излучение инжектируются в дыру и извлекаются из ее атмосферы произвольным образом), не было доказательства справедливости второго начала термодинамики для данного случая. Более того, шла острая дискуссия [16, 17, 144, 210] по вопросу о том, не требует ли справедливость второго начала нового, пока неизвестного ограничения на отношения энтропии к массе для некоторых или для всех термодинамических систем.
Мембранный подход обеспечил весьма привлекательные решения всех трех проблем. Эти решения основывались на следующих соображениях. Можно представить себе, что любо-
му слою атмосферы черной дыры в момент, когда он уходит под растянутый горизонт, приписываются мгновенные значения массы М растянутого горизонта, углового момента /, угловой скорости поверхностной гравитации g〃， поверхностной температуры Тн и энтропии S〃. После этого каждый слой сохраняет эти величины навсегда, приближаясь с локальной скоростью света к истинному горизонту. Соответственно в фиксированный момент мирового времени t мы можем рассматривать М, /, Q”，g”，Тн и S” как функции высоты z в атмосфере дыры («послойная история прошлого»). В сущности высота г в фиксированный момент времени / является заменой времени в падающей системе отсчета t = t -\- g/i In (g〃2) (см. разд. II. В.5 и рис. 12); и подобно тому как с пространственно-временной точки зрения история дыры в прошлом описывается через зависимости М /, М, g”，7〃 и S” от Z на истинном горизонте, так с мембранной точки зрения история прошлого описывается через М(2), /(%), Q"(z), g”(z), 丁"(之)и S〃(z) в атмосфере дыры.
В фиксированный момент мирового времени / массу и угловой момент дыры можно рассматривать как суммы вкладов от каждого очень тонкого слоя атмосферы. Слой с нижней поверхностью при 之1 и верхней при 之2 вносит вклад AM = A4(Z2)— ——M(2i) в массу М, равную полной перенормированной энергии-на-бесконечности (энергии с учетом красного смещения), которую он заключает в себе; аналогичным образом этот слой вносит вклад А/ = J(z2) — /(^i) в /, равный полному заключенному в нем перенормированному угловому моменту. Эти вклады в перенормированные энергию-на-бесконечности и угловой момент можно вычислить как интегралы от соответствующих компонент перенормированного тензора энергии-импульса по объему. Другими словами, как для невращающейся и испаряющейся дыры, так и для вращающейся дыры, взаимодействующей со сложной внешней Вселенной, АМ и А/ равны соответственно энергии и угловому моменту, которые несут все измеренные ОПН кванты данного слоя (включая кванты, связанные с истощаемой испарением тепловой атмосферой, и дополнительные кванты, инжектируемые в результате взаимодействия с внешней Вселенной) минус энергия и угловой момент идеальной теловой атмосферы с температурой, равной температуре данного слоя (поправка на поляризацию вакуума). Более того, с учетом природы данного слоя, определяемой историей прошлого, мы можем рассматривать АМ и А/ этого слоя как перенормированные значения энергии и углового момента, которые были инжектированы в этот слой (с отрицательной величиной АМ вследствие «инжекции за счет испарения»), когда слой опу-
скался под растянутый горизонт. Доказательства этих утверждений приведены в работе [72а, б].
Согласно работе [242], можно считать, что энтропия дыры заключена в ее атмосфере, т. е. можно рассматривать ее как сумму вкладов от всех ее атмосферных слоев 《истории прошлого». Энтропию, ASh = Sh(N2)— S”(zi), данного слоя можно вычислить на основе термодинамического подхода или с использованием аппарата статистической механики. С термодинамической точки зрения AS” является стандартным возрастанием энтропии, сопровождающим инжекцию массы ДМ и углового момента А/ во вращающийся тепловой резервуар, AS// = Th1 X Х(А7И — Q//A/). Очевидно, что в данном случае этим тепловым резервуаром является слой тепловой атмосферы. Как можно заметить, лишь избыток массы и энергии сверх массы и энергии идеально тепловой атмосферы (массы и энергии данного резервуара), вносит вклад в АМ и А/, и аналогично лишь избыток энтропии сверх энтропии идеально тепловой атмосферы (энтропии данного резервуара) вносит вклад в AS”. Идеально тепловой вклад в массу и угловой момент исключается перенормировкой, связанной с поляризацией вакуума, и подобно этому идеально тепловой вклад в энтропию также исключается с помощью перенормировки.
В переводе на язык статистической механики изложенное выше описание энтропии AS” рассматриваемого слоя представляется следующим образом. Рассмотрим идеально тепловой резервуар, состоящий из идеально термализованных квантов в очень тонком слое z】V z V г2, вращающийся с угловой скоростью С” и имеющий локальную температуру Т”/а, где С” и Тн — соответствующие средние величины от 0”(z) и Т” ⑶ по данному слою. Вычислим число способов, посредством которых фактическая масса и угловой момент слоя до перенормировки (А7И плюс масса резервуара и А/ плюс угловой момент резервуара) могут распределяться среди квантов, и разделим его на число способов, которыми могут распределяться между квантами в точности тепловая энергия и угловой момент. Частным будет йисло способов, которыми атмосфера слоя после инжекции ДТП и Д/ может отличаться от своего начального (до инжекции) теплового состояния. Энтропия AS” данного слоя равна постоянной Больцмана, умноженной на логарифм этого числа. Соответственно, просуммировав вклады всех слоев, можно рассматривать полную энтропию дыры в единицах kB как логарифм числа способов, которыми вся атмосфера дыры, скрытая под растянутым горизонтом, может отличаться микроскопически от идеально тепловой атмосферы с переменной по вертикали температурой 7”(z) и угловой скоростью C"(z). Так как фактическое микроскопическое состояние атмосферы представляет
собой послойную историю ее эволюции в прошлом, то энтропию дыры можно также трактовать как логарифм числа различных с точки зрения квантовой механики способов, позволяющих «построить» черную дыру, или, что то же самое, как логарифм количества информации, теряемой при растягивании горизонта, необходимом, чтобы скрыть соответствующие слои прошлой истории. Это описание энтропии черной дыры обеспечивает тривиальное доказательство второго начала термодинамики для системы, включающей черную дыру: поскольку энтропия черной дыры — это не что иное, как (перенормированная) энтропия вращающегося теплового резервуара, в частном случае тепловой атмосферы второе начало термодинамики для системы с черной дырой ——это не что иное, как частный случай обычного второго начала для систем, включающих в себя вращающийся тепловой резервуар.
Этот мембранный подход к атмосферам черных дыр и к их термодинамике будет развит в количественном отношении в настоящей главе. В частности, в разд. Б будут представлены физические законы, определяющие свойства атмосфер черных дыр, а в разд. В эти законы будут проиллюстрированы серией модельных задач.
В разд. Б.1 приведено физическое описание того, каким образом черная дыра сохраняет свою атмосферу и избегает быстрого испарения. В разд. Б.2 дано описание квантовомеханического распределения вероятности для результатов измерений ОПН внутри атмосферы в идеализированном пределе идеально тепловой атмосферы. В остальной части разд. Б описаны эффекты отклонений от идеального теплового состояния. В разд. Б.З и Б.4 представлены четыре специальных типа мод классических или квантованных полей вокруг черной дыры: IN, UP, суперрадиационный и несуперрадиационный. В разд. Б.5 с помощью этих мод описано взаимодействие атмосферы с внешней Вселенной, и в частности потоки массы и углового момента между атмосферой и Вселенной. В разд. Б.6 и Б.7 изложено, как поляризация вакуума перенормирует энергию, момент и натяжение, измеренные ускоренным наблюдателем в плоском пространстве-времени и ОПН вокруг черной дыры, и как потоки перенормированных энергии и момента в атмосфере черной днры заставляют эволюционировать горизонт дыры. В разд. Б.8 дано описание происхождения энтропии черной дыры с точки зрения статистической механики; а в разд. Б.9 обрисован вывод второго начала термодинамики с точки зрения статистической механики для системы, включающей в себя медленно эволюционирующую черную дыру, и утверждается (но не доказывается), что второе начало термодинамики справедливо и в случае быстрой эволюции дыры.
В разд. В.1 и В.2 приведено описание двух модельных задач, иллюстрирующих процессы в атмосферах черных дыр: испарение черной дыры в окружающий идеальный вакуум, а также испарение в окружающую идеальную тепловую баню и аккреция из нее. В разд. В.З и В.4 представлены детальные характеристики классических и квантованных мод атмосферы черной дыры для трех специальных типов полей: безмассового скалярного поля, электромагнитного поля и гравитационных возмущений. В разд. В.5 рассмотрена квантовомеханическая модельная задача, которая в разд. VII.В была исследована в классической постановке, а именно: замедление вращения черной дыры в результате взаимодействия с гравитационными полями внешних стационарных тел. Эта модельная задача иллюстрирует наличие потока гравитонов в атмосферу дыры и под ее растянутый горизонт, а также возрастание энтропии дыры, сопровождающее потерю информации о точном распределении гравитонов по модам гравитационных полей. В разд. В.6 будет рассмотрена модельная задача Унру и Уолда [210]: сброс материи в черную дыру и вычерпывание атмосферных квантов дыры с помощью ящика, который опускают в атмосферу из «бесконечности» на конце длинного шеста. Эта задача иллюстрирует второе начало термодинамики в сложной ситуации и показывает, что в принципе можно заставить дыру сжиматься, вычерпывая энергию из ее атмосферы, значительно быстрее, чем это происходит при естественном испарении.
Б. Физические законы, управляющие атмосферамичерных дыр
Как и ранее в настоящей книге, в этой главе мы сосредоточим наше внимание на черной дыре, которая эволюционирует медленно и имеет малый электрический заряд. Соответственно дыра будет испытывать лишь слабое возмущение от равновесного осесимметричного керровского состояния [формулы (3.2)—— (3.6)]. В предыдущих главах мы рассматривали отклонения от равновесия в классической постановке. В данной главе мы рассмотрим их с квантовомеханической точки зрения как возбужденные уровни атмосферы дыры, расположенные выше и ниже уровня тепловых возбуждений в соответствии с требованиями квантовой теории поля. Эти квантовомеханические возбуждения и соответствующие им кванты могут быть любого типа из встречающихся в природе: электромагнитными (фотоны), гравитационными (гравитоны), нейтрино, электронами, позитронами, протонами, нейтронами и любыми другими.
Можно непосредственно обобщить приведенные в данной главе рассуждения на случай черных дыр с сильным зарядом
(черные дыры Керра — Ньюмена) и осесимметричных стационарных дыр, испытывающих сильные отклонения от керровского состояния под действием гравитационных или электромагнитных полей со стороны стационарной внешней материи; краткое изложение того, как это делается, приведено в работе [242].
Как черная дыра сохраняет свою атмосферу
Согласно квантовой теории поля [96, 97, 209], горизонт (прошлого) черной дыры с точки зрения ОПН испускает кванты идеально теплового излучения. Эти кванты, распространяясь вверх от горизонта, создают тепловую атмосферу дыры. Черная дыра цепко держит свою атмосферу. Два фактора препятствуют уходу на бесконечность подавляющего большинства ее тепловых квантов: 1) большинство квантов имеет слишком большой угловой момент, чтобы уйти на бесконечность; 2) для тех квантов, которые имеют достаточно малый угловой момент, характерны такие большие длины волн, что при попытке уйти на бесконечность они рассеиваются на кривизне пространства- времени дыры и вынуждены возвращаться назад к горизонту.
Для квантов с нулевой массой покоя (т. е. для тех квантов, которые наиболее легко уходят на бесконечность) первый из этих факторов наиболее просто понять в пределе геометрической оптики, согласно которой квант рассматривается как локализованный пакет волн с хорошо определенными положением и импульсом. С малого физического расстояния,厂《厂"= 匚 2М, над горизонтом шварцшильдовской дыры с массой 加 могут уйти на бесконечность лишь те кванты, импульсы которых лежат в пределах «конуса вылета》с полууглом раствора, равным
Sesc =峥 а = «1 — 2М〃 = gHz《1 (8.1)
(см. дополнение 25.7 в книге [129] и рис. 65 настоящей книги). Здесь g” = 1/4М ——поверхностная гравитация дыры. Кванты с импульсами вне этого конуса долетают вверх до некоторого расстояния, достигают точки поворота и падают назад в направлении к горизонту. Число этих «захваченных квантов» во много раз превосходит число тех, которые уходят на бесконечность:
□пело захваченных квантов на внсоте 之
число квантов, уходящих с высоты 之 на бесконечность
4冗
16л1
27 (g/)2
》1. (8.2)
а
6
Рис. 65. Два фактора, которые способствуют удержанию черной дырой тепловой атмосферы: а — на высоте 厂《г” в атмосфере рассчитанный в приближении геометрической оптики конус ухода на бесконечность имеет лишь очень малый угол раствора desc =(3 V^/2 ) gH^. Все кванты с импульсами вне этого конуса ухода на бесконечность захватываются черной дырой. 6 — в закрапленной области длины волн всех тепловых квантов, за исключением квантов с очень высокими энергиями, превышают радиус кривизны пространства-времени; поэтому кривизна сильно отражает кванты, вынуждая их возвращаться обратно к горизонту.
Чтобы понять природу второго фактора, препятствующего уходу на бесконечность тепловых квантов атмосферы, отметим, что очень немногие кванты обладают энергией с учетом красного смещения, превышающей, скажем, 5左6丁” = (5,2冗)％g”； т. е. очень немногие из них, если уходят на бесконечность, имеют при этом длины волн короче, чем
九min, оо — • ^^- = 厂口亠 16厂н・ (8・3)
С другой стороны, перед уходом на бесконечность, когда они находятся на высоте z《г” глубоко внутри атмосферы дыры, кванты имеют длины волн с учетом гравитационного голубого смещения, ограниченные величиной
九min, n == aA/min, оо —既《厂”. (8.4)
До тех пор пока радиус кривизны пространства-времени
鬼t - &з/2м)1/2 =(〃厂“)3/2 Гн (8.5) велик по сравнению с длиной волны кванта, квант может легко распространиться сквозь кривизну по законам геометрической оптики. Однако, когда квант попадает в область, где радиус кривизны становится меньше, чем длина волны кванта, его распространение весьма затруднено. Он испытывает снл^
ное отражение от такой области. Для тепловых квантов дыры как вблизи горизонта на расстоянии 2&(1/8)厂“ так и далеко от дыры при радиальной координате г ^ (\&)^гн — ^гн радиус кривизны 应st больше, чем 入min, и кванты легко распространяются. Однако в промежуточной области (закрапленная область на рис. 65,6) 例st меньше, чем 入min, и кванты сильно отражаются. Таким образом, даже если тепловые кванты имеют радиально направленные импульсы, они с большим трудом проникают через кривизну пространства-времени в промежуточной области. Эта кривизна (приливная гравитационная сила) действует как «изолирующий покров》，который удерживает тепловую атмосферу дыры и ограничивает ее тонким слоем непосредственно над горизонтом (на рис. 65,6 атмосфера показана светлым кольцом).
Эти два фактора гарантируют, что уход квантов на бесконечность из атмосферы черной дыры представляет собой редкое явление и, следовательно, созданная горизонтом атмосфера будет почти идеально тепловой. В следующем разделе мы упростим задачу, считая атмосферу идеально тепловой (выражаясь языком квантовой теории поля, мы допустим, что она находится в «вакуумном состоянии Хартля ——Хоукинга»), и в последующих подразделах исследуем эффекты, связанные с ее отклонениями от идеально теплового состояния.
е£ и 厶". (Мы опускаем штрих у К в символах £^ и 厶"，так как эти величины не зависят от граничных условий IN или UP) Соответственно поля, связанные с модой К', будут иметь синусоидальную зависимость от мирового времени Z и угла ф
(поле) = (функция от г и 9)е~^^етф, (8.6а) где и m связаны с Ей и LK соотношениями
/ энергия Eg с учетом красного \ = к =方66、
V смещения кванта в моде К 丿—丿 (угловой момент Lz кванта в моде К) = LK = mti, (8.6в) Энергия кванта в моде К', измеренная удаленным от черной дыры ОПН, будет £^, но измерения ОПН, находящегося глубоко внутри атмосферы дыры, вблизи горизонта, дадут совершенно иную величину энергии. Такой ОПН имеет угловую скорость, равную угловой скорости горизонта С”，т. е. он находится при фиксированном ф = ф — С“/ (ср. с разд. III.A.4 и VI.B.1), и измеряет собственное время t = а/. Следовательно, по его наблюдениям поля моды К7 имеют синусоидальные временную и угловую зависимости
(поле)〜J%" =「。％的3(8.7а)
с
и = Soo — mQn)/a(8.76)
и по его измерению энергии квантов в моде К будут такими:
5^ = (локально измеряемая энергия кванта в моде К') =
=% = (Е 一 丽厂加(8.7в)
[ср. с формулами (3.68) и (3.42)]. Здесь
a = g#(8.7г)
есть функция длительности на высоте z в атмосфере [формула (6.37) ], §н ——поверхностная гравитация вращающейся дыры [формула (3.77)], а С” ——угловая скорость [формула (3.42) ]. В формуле (8.7в) функция длительности а обеспечивает голубое смещение энергии Ето, испытавшей красное смещение, возвращая ей локально измеряемую величину, а посредством вычитания члена ◎”£« учитывается тот факт, что ОПН в атмосфере вращается вместе с дырой и тем самым вращается относительно бесконечности. Комбинация Eg ——QA встречается также в ньютоновской теории вращающихся тепловых атмосфер, причем она имеет тот же смысл, что и в нашем случае [ср. с формулой (26.1) в книге [115]].
Как отмечалось в разд. А, измерение ОПН на высоте г внутри атмосферы дыры должно дать температуру Т, которая испытала голубое смещение относительно температуры Тн выходящего излучения:
Т = ТнЕ (8・8) где
■备 (8.9)
Это возрастание голубого смещения температуры по мере все большего погружения в систему, находящуюся в состоянии термодинамического равновесия, представляет собой универсальное явление в общей теории относительности (см., например, с. 568, 588 и 685 в книге [129]). Поскольку мы идеализируем атмосферу, рассматривая ее как чисто тепловую («вакуумное состояние Хартля ——Хоукинга»), то когда ОПН измеряет вероятность Рп обнаружения м квантов в моде К' поля, он должен получить стандартный «тепловой» результат
(8.10)
[см. [72а, б, 110, 216] и формулу (19) в работе (180]. Здесь верхний знак берется, если поле является бозонным (электромагнитное, гравитационное, альфа-частицы,…)，а нижний знак берется, если поле фермионное (нейтрино, электроны, ...). Отметим, что последняя экспонента в выражении (8.10)——это стандартный больцмановский экспоненциальный множитель, который описывает относительную вероятность для различных уровней возбуждения (различные числа п квантов) и равен ехр [— (разность энергий) /kBT]. Множитель перед этой экспонентой представляет собой нормировочную постоянную, обеспечивающую получение единицы, если просуммировать Р J，th по всем допустимым значениям числа квантов п в данной моде. Допустимыми значениями м для фермионных мод являются 0 и 1, для несуперрадиационных бозонных мод 0, 1, 2, 3, ..., а для суперрадиационных бозонных мод —1, —2, —3, .... (Суперрадиация будет рассмотрена ниже в разд. Б.4.) Знаки модуля в (8.10) необходимы, так как для суперрадиационных мод, рассматриваемых ниже в разд. Б.4, величина 戸 отрицательна, что делает величину под знаком модуля отрицательной. Мы добавили к вероятности PJ в формуле (8.10) верхний индекс 《th》，чтобы напомнить о том, что это вероятностное распределение для идеализированной, идеально тепловой атмосферы. Здесь, как и в обычной статистической механике, среднее число квантов, которое ОПН измерит в моде К7 термализованной
атмосферы, составит
仇М = £ 〃…=•(8.11)
+е % "干 1
Если рассмотреть саму моду К, а не измерения, выполняемые ОПН на некоторой высоте z в атмосфере, то полезно переписать формулы для теплового распределения (8.10) и среднего числа квантов (8.11), выразив их через величины, испытавшие красное смещение и, следовательно, независимые от г. Подставив выражения (8.7в) и (8.8) в формулы (8.10) и (8.11), мы перепишем эти формулы в следующем виде:
pj，th=| 1 干 e-(E^-^HL^lkBTH}±^ t e-n(E^-^HL^/kBTH^ (8.1()/) 自小=-7—к——*——;—— • (8.1 r)
Отметим, что эти формулы точно выражают распределение и среднее число квантов для нерелятивистского твердотельно вращающегося теплового резервуара с температурой Тн и угловой скоростью С”. Здесь аналогия совершенно полная. Как мы увидим ниже в разд. Б.8, до тех пор пока мы в ходе нашего исследования рассматриваем энергии и температуры с учетом красного смещения, термодинамические и статистические свойства атмосферы черной дыры идентичны таким же свойствам нерелятивистского вращающегося теплового резервуара. Это обстоятельство подчеркивается не для того, чтобы создалось впечатление об отсутствии тонких различий. В действительности теория атмосфер черных дыр изобилует такими различиями. Однако в той степени, в какой авторы понимают эти различия, они не влияют на справедливость аналогии между атмосферой черной дыры и элементарным вращающимся тепловым резервуаром (см. дополнение 5 в конце книги).
Моды IN и UP
Далее будет полезным описать два различных типа мод: моды /N и моды UP. Рис. 66 иллюстрирует эти два типа мод с помощью диаграмм погружения для искривленного пространства вокруг черной дыры.
Мода IN описывает возбуждения, набегающие на дыру издалека. Эти возбуждения частично отражаются кривизной пространства-времени дыры (рис. 65,6) и центробежными силами (в случае, если не имеют направление, достаточно близкое к радиальному, рис. 65, а), а частично пропускаются. Как показано на рис. 66, амплитуда каждого отражаемого кванта /М
Рис. 66. Диаграммы погружения, иллюстрирующие два типа мод полей в окрестности черной дыры. Кванты в моде IN с квантовыми числами К падают на дыру извне и имеют вероятность отражения | RK|2 и вероятность пропускания 1 ——|RK|2. Кванты в моде UP выходят из-под горизонта и имеют вероятность отражения назад к горизонту |RK|2 и вероятность пропускания1 一 |R，ZРис. 66. Диаграммы погружения, иллюстрирующие два типа мод полей в окрестности черной дыры. Кванты в моде IN с квантовыми числами К падают на дыру извне и имеют вероятность отражения | RK|2 и вероятность пропускания 1 ——|RK|2. Кванты в моде UP выходят из-под горизонта и имеют вероятность отражения назад к горизонту |RK|2 и вероятность пропускания1 一 |R，Z
Рис. 66. Диаграммы погружения, иллюстрирующие два типа мод полей в окрестности черной дыры. Кванты в моде IN с квантовыми числами К падают на дыру извне и имеют вероятность отражения | RK|2 и вероятность пропускания 1 ——|RK|2. Кванты в моде UP выходят из-под горизонта и имеют вероятность отражения назад к горизонту |RK|2 и вероятность пропускания
1 一 |R，Z
Рис. 66. Диаграммы погружения, иллюстрирующие два типа мод полей в окрестности черной дыры. Кванты в моде IN с квантовыми числами К падают на дыру извне и имеют вероятность отражения | RK|2 и вероятность пропускания 1 ——|RK|2. Кванты в моде UP выходят из-под горизонта и имеют вероятность отражения назад к горизонту |RK|2 и вероятность пропускания
1 一 |R，Z
моды К = (К, IN) имеет величину RK' и вероятность отражения IRK'R Так как полная энергия с учетом красного смещения должна сохраняться, а все кванты в данной моде имеют одинаковую энергию с учетом красного смещения Е& число квантов также должно сохраняться. Это означает, что вероятность прохождения каждого кванта в глубины атмосферы дыры должна быть равной 1——IRK'R Моды IN представляют собой тот тип мод, который обычно фигурирует в астрофизическом контексте, например при аккреции материи или излучения из межзвездного пространства.
Мода UP описывает возбуждения, выходящие из-под горизонта (из-под «горизонта прошлого», если принят подход 4-мерного пространства-времени, а не 3 + 1-мерный подход мембранного формализма); см. рис. 66,6. Квант в моде UP имеет амплитуду RK' для отражения назад в дыру кривизной пространства-времени и центробежными силами и соответственно вероятность отражения |RK'R Сохранение энергии с учетом красного смещения (и, что эквивалентно, квантов) гарантирует, что вероятность просачивания наружу кванта в моде UP и его ухода от дыры составляет 1—|RK'R
Имеется взаимнооднозначное соответствие между модами IN и UP. Эти два типа мод, соответствующие друг другу, одинаково зависят от /,厂，0,屮，но имеют различные амплитуды в канале, пропускающем кванты на бесконечность (канал, отражающий моды IN и пропускающий моды UP); они также имеют одинаковые зависимости от Z,厂，9,力 в канале, по которому кванты идут к горизонту (канал, пропускающий моды IN и отражающий моды UP). Соответствующие моды (К,/N) и (К, UP) имеют тождественно одинаковые квантовые числа К, за исключением того, что одно число /^, а другое UP. Очевид-
но, что они также имеют одинаковую частоту с учетом красного смещения сг^, энергию с учетом красного смещения Е£ =九恋, угловой момент LK =优九 и локально измеряемую энергию Е« —九о". Примечательно, что они имеют также одинаковую вероятность отражения | R^ |2= | R^ |2, хотя фазы их амплитуд отражения RK' могут быть разными. Равенство вероятностей отражения для волн, набегающих на барьер с противоположных сторон, знакомо нам из элементарной квантовой механики (см., например, разд. 11 гл. III книги [126]) и тесно связано с принципом детального равновесия (см., например, [207]).
Ключевой результат применения квантовой теории поля [96, 110, 209, 180, 72а, б] состоит в следующем: модам UP всегда свойственно тепловое возбуждение при температуре Хоукинга [формулы (8.1(У) и (8.1 Г) ], в то время как моды /N находятся в состоянии возбуждения, которое зависит от того, что происходит вдали от черной дыры (например, от того, располагается ли дыра изолированно в вакууме или же испытывает бомбардировку межзвездным веществом или газом, перетекающим от звезды-компаньона). Другими словами, если растянуть горизонт таким образом, как это рассматривалось в предыдущих главах, то можно рассматривать растянутый горизонт как источник идеально теплового излучения абсолютно черного тела, а также как идеальный поглотитель всего, что может падать на горизонт (еао собственного отраженного теплового излучения или возмущений, приходящих издалека в виде мод /%).
Один из путей к пониманию того, почему модам UP свойственно тепловое возбуждение, состоит в изучении пространственно-временных диаграмм, описывающих историю черной дыры в прошлом (рис. 67). На приведенной диаграмме по вертикали вверх отложена временная координата ? того же типа, что и в сжимающейся системе отсчета Эддингтона ——Финкельштейна; ср. с рис. 1 и 12. На диаграмме не показана мировая трубка звезды, испытывающей коллапс с образованием дыры. Волнистые линии изображают распространение моды некоторого поля (нейтринного, электромагнитного, гравитационного, ...).В соответствии с нашим выбором задолго до образования дыры (нижняя часть диаграммы) данная мода распространяется радиально внутрь и содержит частоты настолько высокие, что ничто во Вселенной, включая коллапсирующую звезду, не может привнести в нее кванты. Таким образом, мода находится в чисто вакуумном состоянии. Первоначально мода имеет вид очень узкого радиального волнового пакета и направлена она таким образом, что достигает центра звезды именно в тот момент, когда формируется горизонт. После этого мода распространяется вдоль горизонта, причем та
Рис. 67. Пространственно-временная диаграмма, показывающая рождение горизонта черной дыры. Волнистые линии изображают пространственные моды некоторого поля (нейтринного, электромагнитного, гравитационного, ...).Мода берет начало из пустоты (чисто вакуумное состояние). Когда происходит формирование горизонта, часть моды уходит под горизонт и теряется, тогда как остальная часть в течение долгого времени распространяется непосредственно вдоль горизонта, медленно просачиваясь наружу в виде моды UP. ОПН, наблюдающие эту моду UP, получают лишь частичную информацию об исходном вакуумном состоянии моды. Они видят ее в смешанном состоянии, которое оказывается тепловым.
часть, которая находится непосредственно под горизонтом, медленно просачивается внутрь к сингулярности, а та часть, которая находится непосредственно вне горизонта, медленно просачивается вверх в область ОПН дыры. ОПН воспринимают просачивающуюся вверх часть как моду UP, и, поскольку гравитационное красное смещение моды при восхождении от горизонта значительно превышает ее прежнее голубое смещение при падении на испытывающую коллапс звезду, эта мода UP выходит с сильно понизившейся частотой. Если мы правильно выберем чрезвычайно высокую исходную частоту, то мода UP будет появляться с конечной частотой 。8 〜g”. Так как мода UQ, какой ее видят ОПН, представляет собой лишь часть исходной моды (остальная часть ушла под горизонт), то ОПН могут получить только частичную информацию о квантовом состоянии исходной моды. Хотя исходное квантовое состояние было чисто вакуумным (точно нулевые кванты), наблюдения ОПН свидетельствуют о наличии некоторой конечной, отличной от единицы вероятности Р『’” того, что мода находится в своем вакуумном состоянии, и отличной от нуля вероятности РЗ"
того, что она в действительности содержит п квантов. Замечательный вывод квантовой теории поля состоит в том, что теряемая информация, когда часть моды уходит под горизонт, не зависит от деталей процесса образования дыры и что она должна обеспечивать преобразование оставшейся части моды UP из чисто вакуумного в чисто тепловое состояние с температурой, в точности равной хоукинговской [216, НО, 180, 72а, б]. В основе открытия Хоукингом [96, 97] испарения черной дыры лежал количественный анализ такого распространения мод.
Суперрадиационные и несуперрадиационные моды
Помимо разделения мод на IN и UP имеется другая очень важная классификация мод. Если бозонная (с целым спином) мода имеет частоту с учетом красного смещения Og в диапазоне 0 < doo < т^н, где т — азимутальное квантовое число (или, что эквивалентно, если 0 < £^ < L*Qh), то мода называется суперрадиационной, или СР. В противном случае мода несуперрадиационная, или НСР. Фермионные моды всегда несуперрадиационные. Отметим, что, поскольку мы условно полагаем Qh N 0, CP-мода должна иметь 俏〉6, т. е. она должна вращаться вместе с дырой [ср. с формулой (8.6а)]. Суперрадиационные гравитационно-волновые моды были кратко рассмотрены с классической точки зрения в разд. VII.Г.2. Как было там показано, они имеют вероятности отражения | RK|2, которые всегда больше единицы; отсюда и происходит их название—суперрадиационные. Напротив, НСР-моды всегда имеют вероятность отражения в обычном интервале между 0 и 1. На рис. 60 в разд. VII.Г.2 отмечена высокая степень суперрадиации, которая может быть достигнута (| RK |2 достигает 2, если дыра имеет а/М > 0,999) для гравитационно-волновых СР-мод с угловыми квантовыми числами I = т = 2.
В разд. Б.2 было отмечено, что идеально тепловые СР-моды обладают необычными свойствами. Однако эти особенности фактически не проявляются при любых измерениях, выполняемых ОПН глубоко в атмосфере дыры. Такие ОПН придерживаются точки зрения, которую мы назовем «старой» (в статье Фролова и Торна [726] она называется «точкой зрения наблюдателей вблизи горизонта»), и приписывают каждому кванту в CP-моде положительную локально измеряемую энергию £oid > 0; вероятность того, что мода содержала 扑。口 = 1, 2, 3, . . . квантов по их измерениям, будет равна
(8.12а)(8.12а)%“ = (] _ e~Eold/kBT^ e~no\dEoldlkBT
(8.12а)
(8.12а)
Соответственно измеряемое ОПН среднее число квантов в этой моде, включая нулевые колебания по 1 /2 кванта, есть
(^oid) = Sid〉+ 上+ У •(8・ 126)
Все это ничем не отличается от бозонных НСР-мод.
Какой бы привлекательной ни казалась на первый взгляд эта《старая》точка зрения, она имеет одну важную неприятную особенность: CP-моды глубоко в атмосфере имеют локальное измеряемые энергии Е* = (е£ — L*Qh)& противоположные по знаку их энергиям с учетом красного смещения £^. Если мы припишем CP-модам положительную энергию Ек (как это мы делаем, придерживаясь 《старой» точки зрения), то тогда мы должны приписать им отрицательную энергию £^ и соответственно отрицательную частоту с учетом красного смещения о^. Однако в стандартной формулировке квантовая теория поля требует, чтобы величина Og была положительной, а переформулировать квантовую теорию поля таким образом, чтобы допустить Os V 0 для CP-мод, было бы довольно неблагодарной задачей (хотя и возможной; см приложение А в статье [726]).
Учитывая сказанное, мы перепишем «старую» трактовку тепловых свойств CP-моды в математически эквивалентном виде, представляющем локально измеряемую энергию кванта отрицательной величиной: Ек = — £oid. Такое изменение знака £к требует соответствующего изменения знака числа квантов в данной моде: если мода содержит Л%^ = 〃oid + 1/2 квантов с энергией E^d >。，то ее полная энергия будет равна (nold + + 1/2) £^ld > 0. Перепишем выражение для полной энергии в виде:
(nold+l/2)E^Id = (n+l/2)E^(8.12в)
[смысл знака при второй дроби 1 /2 будет пояснен ниже в формуле (8.13в) ]. Поскольку Е* = — Efid, формула (8.12в) требует принять число квантов в моде равным
〃 =一(”м+ 1)・(8.12г)
Другой, более формальный вывод этого соотношения можно найти в работах [72а, б]. Поскольку noid пробегает значения 0, 1, 2, 3, ..., то с новой точки зрения п должно пробегать значения —1, —2, —3, ... . По 艮 ставив 七个口二—七跃 и 〃°id = ——(〃+1) в выражение (8.12а) для Р；“， получим стандартное тепловое распределение вероятностей (8.10); и соответственно для 〈〃〉= =——</：oid + 1> получим стандартные тепловые числа заполнения (8.11).
Таблица /. Сравнение суперрадиационных (СР) бозонных мод с несуперрадиационными (НСР) бозонными модами
Характеристика
СР
НСР
Значения азимутального квантового числа
m > 0
Любое m
Диапазон частот с учетом красного смещения
о£ > 俏◎”，of》о
Диапазон энергий с учетом красного смещения
o<£^< c^lK
碎》3，碎）。
Диапазон локально измеряемых частот глубоко внутри атмосферы
—mQ^/a & о" V 0
a^>0
Диапазон локально измеряемых энергий глубоко внутри атмосферы
-QHLK/a^EK < 0
£K》0
Вероятность отражения
Для идеально тепловых мод UP:
丨RK『> 1
0 V 1 RK F & 1
среднее число квантов, уходящих вверх от горизонта
确V。
средняя локально измеряемая энергия, уходящая вверх от гори
n^EK > 0
碓糜》。
зонта
среднее число квантов, уходящих от дыры на бесконечность
(i —IrK |2)畸>0
(i-IrkI2)^^0
средняя энергия с учетом красного смещения, уносимая от дыры
(1 -|rK|)〃£e3》o
（1 一3，2）"东七^^0
среднее число квантов, отражаемых назад к горизонту
IR呼脸V。
Irk产确>0
средняя локально измеряемая энергия, отражаемая назад к горизонту
1内2礁歷＞0
Irk |2确歷》。
«Старая» трактовка (с точки зрения ОПН, находящихся глубоко в атмосфере):
знаки 几不，eК,е3 оЛ03 厶"，加
Обратные указанным выше
Те же, что и выше
В табл. 1 приводится сравнение CP-мод с НСР-модами на основе этой «новой» точки зрения, впредь принимаемой в качестве стандартной. Вывод всех свойств, приведенных в табл. 1, из рассмотренных выше уравнений и соотношений является тривиальной задачей. Читателю рекомендуется внимательно рассмотреть этот перечень свойств.
В табл. 1 следует обратить внимание на некоторые следствия нашей точки зрения. В идеально термализованной моде UQ — СР среднее число квантов 1] отрицательно. Однако средняя локально измеряемая энергия, переносимая вверх от горизонта в такой моде, 〃东£К положительна; средняя локально измеряемая энергия, отражаемая назад к горизонту, I R^ ^п^Ек положительна； среднее число квантов, уходящих от дыры на бесконечность, (1 ——|RK|2)〃” положительно; средняя энергия с учетом красного смещения, уходящая от дыры на бесконечность, (1——|RK|2)〃^£f также положительна. Если вернуться к «старой» точке зрения, то знаки всех суперрадиационных потоков частиц изменятся на противоположные, а знаки всех потоков энергии останутся неизменными.
Для фермионных мод с О V Og V т^н тепловые формулы (8.10), (8.11) записаны с новой точки зрения, аналогичной изложенной выше для бозонных CP-мод; при этом локально измеряемая энергия Ек = h(Goo —— 团2〃) глубоко внутри атмосферы считается отрицательной, а 儿=*1 в основном состоянии и % = 0 в возбужденном состоянии. Так как в нашей книге рассматриваются почти исключительно бозонные моды, мы не будем вдаваться в детальный анализ этой точки зрения для данного случая, предоставляя читателю сделать это самостоятельно; подробности можно найти в разд. IID статьи [726].
Взаимодействие атмосферы с внешней Вселенной
Теперь мы в состоянии вывести формулы для скоростей возрастания массы и углового момента атмосферы черной дыры в результате взаимодействия с внешней Вселенной; по ходу вывода этих формул мы поясним наш выбор условных значений числа квантов в CP-модах. При выводе формул и при пояснениях мы будем предполагать, что вне черной дыры имеется окружающий ее сферический《ящик》——замкнутый объем между сферическими поверхностями с радиусами г、》Гн и 厂2》厂1 (рис. 68). Квантование всех полей внутри этого ящика будет осуществляться, как обычно, с использованием периодических граничных условий. Внутри ящика, где гравитацией можно пренебречь, разделим моды всех полей на два класса: моды f, радиальное распространение которых направлено наружу, и
Рис. 68. «Ящик》в форме толстой сферической оболочки, окружающей черную дыру, который используется для квантования полей. В этом ящике моды можно охарактеризовать направлением их радиального распространения, разделив на моды Т при распространении наружу и моды ( при распространении внутрь.
моды J, радиальное распространение которых направлено внутрь.
Допустим, что внешняя Вселенная бомбардирует дыру квантами, и обозначим символом〈啖〉среднее число квантов, падающих на дыру в моде〈К,/М〉. Так как моды J могут заполняться только квантами /N во входном канале (и не заполняются квантами UQ ни в каком из каналов), среднее число квантов в моде | будет равно
(碎〉=〈啖〉.(8.13а)
Моды f в ящике заполняются отраженными квантами IN и испаряющимися квантами UQ： таким образом, среднее число квантов f составляет
〈喲=I RK 卩〈味〉+ (1 — IRK F)琳(8.136)
Знак второй дроби 1/2 в формуле (8.12в) диктуется требованием, чтобы включение в моды IN и UP нулевых колебаний (1/2) обеспечивало нужные 1/2 кванта в модах f:
〈”Q = I R* 仔(〈啖〉+ 1/2) + (1 — I RK |2)(晞 + 1/2)=〈唠 + 1/2.
(8.13в)
Если мы изменим на противоположный знак второй дроби 1/2 в формуле (8.12в), получив таким образом м =—仇口 вместо п =——(Moid + 1)» то в формуле (8.13в) вклад нулевых колебаний не даст должного результата. Кванты в моде ，полностью покинут ящик и уйдут во внешнюю Вселенную за время
А/ = (& —h)/v“，(8.14)
(где ”к ——радиальная скорость кванта в состоянии К, когда он находится далеко от дыры), а кванты в моде | полностью покинут ящик и перейдут в атмосферу дыры за то же самое время
Af, причем каждый квант несет энергию с учетом красного смещения е£ и угловой момент LK. Поэтому полные скорости, с которыми масса и угловой момент переносятся в атмосферу, выражаются соответственно в следующем виде:
需=三2 (〈唠—〈唠)磁=Е 2 а т м?)(〈%-陶典
(8.15а)
%=三2 (〈唠-〈唠)小=三2( 1 -1R阡)(〈啖〉一啕
(8.156)
Поскольку вдали от дыры кванты распространяются с радиальной скоростью ”к, поле в моде К' вдали от дыры имеет пространственно-временные зависимости
поле 〜尸Ss/^j (б)。”—'％ “ 干 WO (8.16)
Здесь в соответствии с нашим рассмотрением в разд. Б.2 s обозначает вид поля, Л ——спиральность, / и т ——угловые квантовые числа, Os —— частоту с учетом красного смещения; ^Sshim(5oo (0) является угловой функцией, которая может зависеть от всех квантовых чисел. Правило квантования с использованием периодических граничных условий требует, чтобы поле имело ту же фазу у внешней границы ящика г2, что и у внутренней границы 门，это в свою очередь требует, чтобы частота с учетом красного смещения выражалась в виде
оо(8.17)(8.17)
о
о
(8.17)
(8.17)
где N ——целое число. Приводимое соотношение означает, что в интервале частот dog имеется [ (/л2 —— 厂1)/v^] (dog/2Tг) мод с заданными shim, и соответственно формальную сумму мод, появившуюся в формулах (8.15), можно заменить более явно выраженной суммой
2FК shim2FК shim(厂2 -广1) dcTg(厂2 -广1) dcTg-к 2冗-к 2冗(8.18)(8.18)
2F
К shim
2F
К shim
(厂2 -广1) dcTg
(厂2 -广1) dcTg
-к 2冗
-к 2冗
(8.18)
(8.18)
Комбинируя формулы (8.15), (8.14) и (8.18), получим для результирующих темпов поступления массы и углового момента в атмосферу следующие выражения:
將=e，第(1-MF|2)(〈成吟瑞叫)为% (8.19a) shim
*=У ]噺(1 T ^ShlmO^ F)(〈哦"小〉一嵐‘m%)方丸(8. 196) shim
Эти выражения дают в простом и удобном виде результирующий темп поступления массы и углового момента в атмосферу черной дыры в результате двух следующих процессов: 1) бомбардировки дыры квантами 0^та°°^ которые приходят из внешней Вселенной и имеют вероятность (1 — | ^1^°° |2) проникновения в атмосферу, и 2) испарения квантов 亢;,团^, которые выходят из горизонта и имеют вероятность (1 — I ^shlmG°° |2) проникновения наружу, в межзвездное пространство. В модельных задачах в разд. VIII.В мы рассмотрим некоторые конкретные приложения этих формул.
Ускоренные наблюдателив плоском пустом пространстве-времени — отступление
Эволюция горизонта или растянутого горизонта черной дыры определяется перенормированным ожиданием 〈丁乩”〉тензора энергии-импульса возбужденных полей. В искривленном пространстве-времени вычисление 〈丁乩”〉является чрезвычайно сложной задачей; см., например, [20, 28, 72а, б, 73]. Вместо того чтобы углубляться в вычисления, попытаемся представить их результат путем экстраполяции, исходя из более простой ситуации в плоском пустом пространстве-времени, рассматриваемом с точки зрения ускоренных наблюдателей.
Детектор частиц, который несет инерциальный наблюдатель в плоском пустом пространстве-времени, не будет регистрировать каких-либо частиц, и соответственно ожидание тензора энергии-импульса〈丁乩”〉после перенормировки, исключающей вклад от половинок квантов энергии нулевых колебаний в каждую моду, будет точно равно нулю. Можно предполагать, что именно эта величина 〈丁乩”〉связана с гравитацией через уравнения поля Эйнштейна и вследствие того, что она равна нулю, пространство-время совершенно плоское.
Испытывающий постоянное ускорение наблюдатель движется в плоском пустом пространстве-времени по гиперболе, показанной на диаграмме пространства-времени Минковского (рис. 69), а семейство таких ускоренных наблюдателей (семейство «ринд- леровских ОПН») движется вдоль семейства таких гипербол (ср. с рис. 4 в разд. П.Б.6). Поскольку такое семейство не может покрыть все пространство-время (ОПН ограничены правым квадрантом на пространственно-временной диаграмме Минковского) ,невозможны и глобальные измерения какого-либо поля с целью проверить, действительно ли оно находится в «вакуумном состоянии Минковского» (в невозбужденном состоянии) .В результате такие ОПН могут получить лишь частичную информацию о состоянии поля, кочорая соответствует
Рис. 69. Движение испытывающего постоянное ускорение опорного наблюдателя («риндлеровский ОПН》) в плоском пустом пространстве-времени. По вертикали откладывается истинное время Т, измеряемое семейством инерциальных наблюдателей; по горизонтали откладывается расстояние Z, которое они регистрируют вдоль направления ускорения ОПН. Мировой линией ОПН является гипербола, обозначенная z =之卜 вдоль которой отмечено собственное время т, измеряемое ОПН в единицах 1/а, где а — измеряемое им собственное ускорение. Показана также мировая линия второго риндлеровского ОПН, обозначенная z — г2. Более подробные пояснения см. в разд. II. Б.6.
рассмотрению каждой моды поля в смешанном состоянии с отличной от единицы вероятностью Ро не иметь ни одного кванта и ненулевой вероятностью Pi, Р2,.…иметь один, два, ... квантов. Детальное вычисление (см. [209]; приложение С в работе [180], а также [51, 74, 110]) показывает, что эти вероятности имеют в точности тепловое распределение. Более того, эти тепловые Рп представляют собой именно те вероятности, с которыми п квантов будут регистрироваться в данной моде с помощью реального физического детектора частиц, который несет с собой риндлеровский ОПН. Данная ситуация полностью соответствует превращению ранее незаполненной моды в заполненную в соответствии с тепловым распределением моду UQ в атмосфере черной дыры, как было показано на рис. 67.
Исследуем риндлеровскую ситуацию более подробно. Рассмотрим семейство риндлеровских ОПН в плоском пространстве-времени и произведем 3 + 1-расщепление пространства- времени с точки зрения ОПН (разд. II.Б.6). Их функция смещения обращается в нуль, а их пространственная метрика и функция длительности будут равны соответственно
(8.20)(8.20)ds2 = d%2 + dy2 4~ d* a = g^N,
(8.20)
(8.20)
где gH — поверхностная гравитация их горизонта, имеющая произвольную величину, что соответствует произвольности нормировки мирового времени t. ОПН на высоте г над горизонтом (мировая линия Z2 ——Т?=之2 на пространственно-временной диаграмме на рис. 69) испытывает ускорение а = g/a и, согласно его наблюдениям, все поля термализованы при температуре
Т =丄，(8.21)
2nkB2冗尼§a 〃 a、 丿
где Th = hgH/2nкв ——температура с учетом красного смещения, не зависящая от высоты. Детектор частиц ОПН реагирует на кванты, которые имеют не зависящую от времени энергию Е, измеряемую в ускоренной системе отсчета ОПН. Такие кванты не являются собственными состояниями обычных мод полей в плоском пространстве-времени (которым свойственны синусоидальная зависимость от инерциального времени Т и вполне определенная инерциально измеряемая энергия). Однако они представляют собой собственные состояния мод поля с синусоидальными зависимостями от мирового времени ОПН / = g~l arc th (T/Z) и имеют вполне определенную энергию с учетом красного смещения Eg = а£. Вероятность Р,' того, что ускоренный детектор будет воспринимать моду /С с локально измеряемой энергией £к и энергией с учетом красного смещения Е^, содержащей точно п квантов, описывается стандартной тепловой формулой (8.10), а среднее число квантов 〈〃к) представляется стандартной тепловой формулой (8.11)； 〈〃к〉=〃з Если выразить эти Р^ и п^ через величины, не зависящие от высоты, с учтенным красным смещением, то они определяются формулами (8.10') и (8.11'), в которых угловая скорость горизонта принята равной нулю.
Таким образом, ускоренный детектор может вести себя совершенно иначе, чем неускоренный, причем собственные состояния энергии, с которыми он взаимодействует с не зависящей от времени силой, должны весьма существенно отличаться от собственных состояний с постоянной инерциально измеряемой энергией. Эти положения наглядно иллюстрируются рис. 69. Чтобы измерить квант энергии £к 〜квТ =近а/2л, имеющий (по данным ускоренного детектора) частоту о* =七长/九〜。/2兀， детектор должен производить непрерывное измерение в течение интервала времени более Ат 〜 兀/。长 〜^/а 〜20/а. Как показано на рис. 69, относительно инерциального наблюдателя детектор за время измерения меняет свою собственную скорость на величину, почти равную скорости света. Очевидно, что при таком радикальном изменении скорости, взаимодействие детектора с модами, которые инерциальный наблюдатель считает простыми, вряд ли будет простым!
Тепловая баня, которую реально воспринимают ускоренные наблюдатели, нисколько не противоречит тому факту, что величина 〈丁卩”〉равна нулю. Совместимость обеспечивается эффектами поляризации: оказывается [29, 30, 180], что с точки зрения ускоренных наблюдателей, поляризация вакуума вносит вклад в〈丁卩”〉，6 точности равный по величине и противоположный по знаку вкладу идеальной тепловой бани с локально измеряемой температурой Т = %а/2л^з・
Разумеется, отмеченный вклад поляризации вакуума в〈7卩丫〉 не зависит от фактического состояния полей. Представим, например, что риндлеровские ОПН производят квантование их полей внутри ящика, нижняя грань которого находится на высоте %1, измеряемой этими наблюдателями, а верхняя грань —— на высоте z2》zb а площадь поперечного сечения в плоскости х ——у равна АД》％|・ Мировые линии нижней и верхней граней этого ящика показаны на рис. 69. Если состояние полей соответствует вакууму Минковского, риндлеровские ОПН будут видеть эти поля в идеальном тепловом состоянии. Допустим, однако, что фактическое состояние полей произвольно. Этому фактическому состоянию будет соответствовать некоторое ожидание величины 〈几尺'〉для числа квантов в моде К'; соответственно полная энергия с учетом красного смещения в ящике по измерениям риндлеровских ОПН составит
/энергия с учетом красного смещенияА — , \измеряемая ОПН 丿—%(8.22)
Вакуумная поляризация будет всегда вносить вклад в энергию с учетом красного смещения, заключенную в ящике, равный
(8.23)(8.23)/энергия поляризации вакуума с учетом украсного смещения
(8.23)
(8.23)
где п^ — число квантов, которое содержала бы мода К', будь она идеально термализованной. Следовательно, взаимодействующая с гравитацией полная энергия в ящике с учетом красного смещения (создающая кривизну пространства-времени через уравнения Эйнштейна) имеет вид
/полная энергия с учетом красного\ г ,
\ =。。)a dx dij dz =
\смещения в ящике/ J /
=§ (〈俨〉-陶 Е£・(8.24а)
Здесь (?о о) — это проекция〈7卩“〉на 4-скорость ОПН, т. е. это перенормированная плотность энергии, измеренная в системе отсчета ОПН (обозначена как е в разд. III.Б.З). Если все поля находятся строго в вакууме Минковского, то величина 〈〃*'〉 будет точно равна 亢东 и (как отмечалось выше) полная энергия с учетом красного смещения равна нулю.
Если моды К рассматривать как собственные состояния не только энергии с учетом красного смещения, но и х-компоненты
импульса с собственными значениями р^, то полная х-компо- нента импульса в ящике в общем случае должна быть равна
(полная(полнаях-компонента импульсах-компонента импульса(8.246)(8.246)=2（〈公’〉一滥）或=2（〈公’〉一滥）或
(полная
(полная
х-компонента импульса
х-компонента импульса
(8.246)
(8.246)
=2（〈公’〉一滥）或
=2（〈公’〉一滥）或
И снова в вакууме Минковского (в строго тепловом состоянии, измеряемом ОПН) эта величина равна нулю.
[Отметим, что здесь и на протяжении всей этой главы мы рассматриваем гравитоны (гравитационно-волновые возмущения) наравне с другими частицами; в частности, мы приписываем им тензор энергии-импульса 丁叫 Строгое обоснование такого подхода в классической (не квантовой) области см. в работе [105] или в разд. 35.13—35.15 книги [129].]
Перенормированные угловой момент и энергияс учетом красного смещения в атмосфере черной дыры
С точки зрения мембранного формализма опорные наблюдатели, расположенные очень близко к горизонту стационарной вращающейся черной дыры физически неотличимы от риндлеров- ских ОПН в плоском пространстве-времени. Это сходство отчетливо проявляется в аппроксимации Риндлера к метрике, функции длительности и функции смещения вблизи вращающегося горизонта (разд. VI. В.1). В пределах расстояния z от горизонта метрика, функция длительности и функция смещения соответствуют параметрам пространства-времени Риндлера с точностью до относительных поправок порядка а?〜(g”z)2. До тех пор пока нас не интересуют такие поправки, можно рассматривать ОПН дыры так, как будто они являются риндлеров- скими наблюдателями в плоском пространстве-времени.
Это утверждение справедливо не только с позиций классической физики, но, как показывали до сих пор вычисления, и с точки зрения квантовой механики. В частности, вычисления, приведенные в работах [28, 72а, б, 180], совместимы с предположением, что в (почти-) тепловой атмосфере в непосредственной близости от горизонта черной дыры, так же как и в плоском пространстве-времени, доминирующие компоненты〈丁卩”〉соответствуют энергии-импульсу, который ОПН получают в результате вычислений, исходя из своих собственных измерений, за вычетом поправки на поляризацию вакуума, равной поправке для строго тепловой атмосферы. Такая атмосфера движется вместе с покоящимися вблизи горизонта ОПН и, таким образом, имеет угловую скорость ◎” и локально измеряемую температуру Т, связанную с ускорением ОПН а формулой Т =
=ha/2nkB = Т”/а. Здесь под «доминирующими компонентами» подразумеваются те компоненты <T^V>, которые расходятся в системе отсчета ОПН по мере приближения к горизонту. Доминирующими компонентами, как правило, являются плотность энергии 〈е〉=〈Т°°〉， направленный внутрь радиальный поток энергии —〈S「〉=——〈Т°「〉 и радиальное натяжение {Тг г). Все эти величины равны друг другу и расходятся как 1/а2, а плотность и поток поперечного импульса {SQ) = (T ®^), 〈S$〉= ⑺？… также угловой момент〈Т?〉=
= Gh〈T$®〉，〈 Т；〉=曲貝 тЗ，〉)，как правило, расходятся как 1/а. (Конечно, эти расходимости связаны с красным смещением собственного времени ОПН вблизи горизонта dt/df = a《1; если перейти к потокам, измеряемым в единицах мирового времени, и к энергиям с учетом красного смещения, то расходимости исчезнут.) Оставшиеся компоненты〈丁《“〉в системе отсчета ОПН, которые остаются конечными, при ат0 не могут быть вычислены с помощью бесхитростного вычитания вклада идеальной тепловой бани из результатов измерения ОПН. Эти конечные компоненты чувствительны к кривизне пространства-времени дыры (см. детальное рассмотрение в статьях [72а,б] и обзор вычислений в [73]), и, таким образом, они ведут себя вблизи горизонта реальной черной дыры иначе, чем вблизи ринд- леровского горизонта в плоском пространстве-времени. Аналогично на достаточном удалении от горизонта, например при г = 1,5г”, где тепловые кванты имеют длины волн, сравнимые с радиусом кривизны пространства-времени, ни одна из компонент 〈Т«*〉 не может быть вычислена путем вычитания из результатов измерений ОПН вклада идеальной тепловой бани. Все компоненты чувствительны к кривизне пространства-времени. Наконец, далеко от дыры при 厂》厂" ОПН по существу инерциальны, а длины волн малы по сравнению с радиусом кривизны пространства-времени, поэтому все компоненты 〈严〉 могут быть вычислены по результатам измерений ОПН без перенормировки; такие вычисления позволяют определить энергию, уходящую вследствие испарения, и энергию, поступающую вследствие аккреции. Более подробно об этом см., например, в статьях [72а, б, 73] и во многих более ранних цитируемых там работах.
При исследовании свойств атмосферы черной дыры на высотах z «厂” в методических целях полезно произвести квантование внутри ящика, который целиком находится в атмосфере. По аналогии с ящиком, использованным нами выше при рассмотрении случая с пространством-временем Риндлера (разд. В.6), в данном случае поместим этот ящик так, чтобы
Рис. 70. Диаграмма погружения, иллюстрирующая квантование атмосферы черной дыры с использованием периодических граничных условий на поверхностях ящика (затененная область). ОПН внутри этого ящика будут относить моды к типу f, если они распространяются вверх через оболочку, и к типу J, если они распространяются вниз.
его нижняя поверхность находилась на высоте zi, а верхняя поверхность ——на высоте z2, причем 22/^1》1 и 友《г» Для простоты примем, что этот ящик не имеет боковых стенок; как в случае полей вдали от дыры, представленном на рис. 68, так и в данном случае допустим, что при малых z этот ящик охватывает дыру (рис. 70).
По аналогии с риндлеровскими результатами (8.24) полная энергия с учетом красного смещения и полный угловой момент в этом ящике после устранения эффектов поляризации вакуума в результате перенормировки равны [72а, б]
Z2
АМ = \ \ (〈 “6>а +(穹〉)血 dA = £ (〈俨)—啕磁，
(8.25а)
A/= J J〈T?〉dzd# = Z (〈几十〉_ 亢£) £K.(8.256)
Здесь моды 7c полагаются собственными модами энергии с учетом красного смещения и углового момента с собственными значениями 確 и /Л, а интеграл по dA охватывает всю площадь поверхности горизонта.
Приведенные выражения для ЛЛ4 и А/ можно записать в более удобном виде, разложив моды в данном ящике на два класса: моды, кванты которых распространяются только вверх,—— моды Т， и моды, кванты которых распространяются только вниз, — моды J. (Такая классификация мод является альтерна-
тивой разделению мод на типы UP и IN) Каждая мода Т внутри ящика заполнена квантами UP, причем это заполнение строго тепловое; следовательно, после перенормировки моды 八 не вносят никакого вклада в〈7卩丫〉. Аналогично каждая мода 、， внутри ящика заполняется двумя путями: 1) после отражения соответствующая мода UP вносит вклад в моду J в количестве IMF味квантов; 2) после пропускания соответствующая мода /N, попадающая в окрестность дыры с некоторым числом 〈“第〉 квантов, вносит вклад в моду J в количестве 1——I RK I2 () квантов. Таким образом, среднее число квантов в моде J равно
〈〃力=I RK F 磕 + (1 — I М F)〈啖〉.(8.26)
Соответственно полная перенормированная энергия с учетом красного смещения и перенормированный угловой момент в ящике [формула (8.25)] равны
am = \ (( т巧a + а"(尊))衣d才=
=2(〈〃〉-晞)琰+2(〈珠〉一端)瓏= кк
= £(1—|RK|2)(〈啖〉—陶理，(8.27a)
A/= \〈尊〉dz d4 = 2 ((严〉一磔)厂=к，
=2(1-1瞇卩)(〈啖〉—喩i.(8.276)
к
Перенормированные энергия и угловой момент будут распространяться вниз через ящик со скоростью света, локально измеряемой ОПН: dz/adt =——1, поскольку их несут только моды J, а не моды f, имеющие строго тепловой характер. (Глубоко в атмосфере даже кванты с конечной массой покоя движутся относительно ОПН со скоростью, близкой к скорости света.) Так как а = gHz, полное мировое время, затрачиваемое энергией и угловым моментом на прохождение от верхней поверхности к нижней поверхности ящика (полное время, необходимое для «опустошения» ящика), равно
Если поместить растянутый горизонт на нижней поверхности ящика, то скорость потока перенормированной энергии с учетом красного смещения и перенормированного углового момента
под растянутый горизонт будет выражаться соответственно еле» дующими формулами:
dM/dt = АМ/М dJ/dt = А〃А 九(8.29)
Поскольку в полевые уравнения Эйнштейна входит именно перенормированный тензор энергии-импульса, G^” = 8 冗〈丁卩丫〉， масса и угловой момент дыры будут возрастать именно с такими скоростями (8.29).
Соотношения (8.27) — (8.29) для dM/dt и dJ/dt можно привести к более конкретному виду, выразив их через квантовые числа К более явно. Как и при рассмотрении области над атмосферой (разд. Б.5), так и здесь мы будем в качестве К использовать квантовые числа s, h, I и т и частоту 。働 с учетом красного смещения. В атмосфере, близкой к плоскопараллельной, интересующие нас моды j характеризуются следующими пространственно-временными зависимостями:
поле 〜(°)宀-宀=
=(0) e唸一(8.30)
Здесь 屮=力 ——С”？——угловая координата, относительно которой ОПН неподвижны, Sshimo^ (0) — угловая функция, которая может зависеть от всех квантовых чисел, а зависимость от высоты z определяется тем, что локальная скорость распространения в локальном, почти риндлеровском гравитационном поле близка к скорости света. Обычное периодическое граничное условие для квантования внутри ящика требует, чтобы фаза данного поля была одинаковой для верхней и нижней границ ящика, т. е.
g/(Ooo - In 色/乙)=2 冗M(8.31)
ггде ^ ——целое число. Это означает, что число мод, попадающих в частотный интервал dog, равно
dN = g/ (d%/2m In (々/z)(8・32)
Соответственно суммы по модам в (8.27а, б) можно переписать в виде
2=е 偿｝ (&33) Кshim
Комбинируя эту формулу с формулами (8.27)——(8.29), найдем, что размер ящика, In (22/^1), выпадает из формулы, как это и должно быть, а скорости изменения массы и углового момента
дыры приобретают вид
右=2 \ к (〈咪小〉一赠小)九08 = shim О
=£ \(1 _ I R5^^- I2) « ns^ ) - ^Zma°°)(8.34a)
shim 0
* = 2:祭(〈"〉-曙小) shim 0
=£ \ 滎(1 _ I rs^% I2)((俏”)-碌"俏。8)①九(8.346) shim О
Здесь мы использовали соотношения Eg =九。8 н £ = тй для квантов в любой моде.
Можно считать, что эти уравнения описывают эволюцию растянутого горизонта, обусловленную двумя процессами: 1) бомбардировкой дыры квантами (n^ZmG°°) из внешней Вселенной с вероятностью (1 ——| f^hlm°oo |2^ того, что кванты преодолеют центробежные силы и кривизну пространства-времени дыры и действительно достигнут растянутого горизонта; 2) испусканием тепловых квантов 场;『"“8 горизонтом с вероятностью I f^hlma^ |2 того, что они будут отражены вниз к горизонту. Если подходить к формулам (8.34) таким образом, то мы не увидим каких-либо проявлений поправок на поляризацию вакуума. Причина заключается в том, что при таком подходе поправки на поляризацию вакуума для тепловых квантов в точности взаимно сокращаются с такими же поправками для квантов, падающих извне.
В полном соответствии с глобальным законом сохранения энергии с учетом красного смещения и углового момента величины dM/dt и dJ/dt для растянутого горизонта дыры будут равны результирующим темпам dM/dt и dJ/dt поступления массы и углового момента в атмосферу из внешней Вселенной [формула (8.19)].
Энтропия атмосферы черной дыры
Прежде чем рассматривать энтропию атмосферы черной дыры, вспомним о статистико-механическом характере энтропии термализованного резервуара, состоящего из твердотельно вращающегося 《газа》,в состав которого входят все типы частиц,
существующих в природе, причем все эти частицы полностью термализованы внутри весьма большой камеры. Если мы примем «микроканоническую» точку зрения, то макроскопическое состояние этого резервуара будет характеризоваться тремя количественными параметрами: его объемом VR (который мы полагаем фиксированным), общей массой-энергией MR и угловым моментом Jr газа.
Каждое квантовое поле в этом резервуаре можно разбить на моды (одночастичные квантовые состояния), причем каждая мода будет иметь свой набор квантовых чисел К и свои собственные значения энергии (обозначается 七胃)，измеряемой в инерциальной системе отсчета, и углового момента (обозначается £к)・ Тогда вероятность того, что в моде К' имеется п квантов, и среднее число квантов в этой моде определяются по тем же «тепловым» формулам (8.10z) и (8.1 V), которые использовались применительно к атмосфере нашей черной дыры:
11 干 eY哈屮井bTr『「(*E/3r,(8.35) 磕=> nP§ th =-———3.(8.36)
Здесь температура Tr резервуара и его угловая скорость Cr определяются условием, что известные и заданные масса MR и угловой момент Jr выражаются формулами
Mr= 2 或滥，/r= 2 严滥’(8.37)
кк，
а CP-моды [моды, у которых Е* =(七金一QrL*)/。и £й имеют противоположные знаки] рассматриваются таким же образом, как и в случае черной дыры (переход от《старой》точки зрения к новой; разд. Б.4), хотя мы могли бы, если захотели, исходить из 《старой》точки зрения как для дыры, так и для этого резервуара. Как и всегда в статистической механике, формулы (8.35) — (8.36) имеют относительные погрешности, которые становятся исчезающе малыми, когда размер резервуара становится произвольно большим.
Энтропия Sr резервуара тесно связана с тем, что мы отказались от всей информации о его микроскопическом состоянии (точное число квантов в каждой из его мод) и охарактеризовали его состояние лишь немногими макроскопическими параметрами: Vr, Mr и Jr. В частности, энтропия резервуара в единицах постоянной Больцмана ——это логарифм общего числа “th различных с точки зрения квантовой механики состояний, в которых мог бы находиться фотонный газ и которые соответ-
ствуют тому известному микроскопическому состоянию, в котором он находится:
Sr =々8 In “th・(8.38)
Число возможных состояний “т при желании нетрудно вычислить, выполняя стандартное суммирование по модам
In “th = 2 X 片'm In 謂th(8.39)
Допустим, что дополнительная масса-энергия АМ и дополнительный угловой момент А/ инжектируются в резервуар определенным образом, и при этом определенным образом меняется среднее число квантов в различных модах. Если 〈〃长'〉一 это новое среднее число квантов в моде ТС, то АМ и А/ можно выразить как
AM=ZX(〈Z〉一啕，a/=2l(〈小)一濫).(8.40) кк’
До тех пор пока мы сохраняем информацию, {пк ) — nth, о том, сколько квантов было инжектировано в каждую моду, мы не можем считать, что энтропия резервуара увеличивается на стандартную величину AS = (АМ — CrA/)/Tr. Однако если после инжекции мы откажемся от всей информации о том, 6 какие микроскопические состояния перешли А" и А/, 〃 сохраним только информацию о том, что масса 〃 угловой момент возросли соответственно на АМ и А/, то тогда число микросостояний, s которых резервуар мог бы находиться (старое число /h, новое число ”行+厶乂, а/), возрастает, 〃 соответствующее возрастание энтропии представляется стандартными формулами:
AS = М Е (一 ^ a” (8.41) ' "th 丿 1 r
Обратимся теперь к атмосфере черной дыры. Рассмотрим оболочку в атмосфере, которая в некоторый момент мирового времени Z располагается между высотами %i н 乞2《厂"(рис. 70). Эта оболочка имеет микроскопическую структуру, которая является суперпозицией тепловых квантов UP, движущихся снизу вверх и в некоторых случаях отражаемых назад вниз, и нетепловых квантов /N, инжектируемых внешней Вселенной и проникающих через барьер, создаваемый пространственной кривизной и центробежными силами. Отклонения этих микроскопических структур от идеального теплового состояния можно рассматривать как наслоившуюся историю прошлых событий, происходивших в окрестности дыры, когда внешние кванты IN входили в атмосферу, а отраженные кванты UP отражались назад (ср. с обсуждением рис. 12 в разд. П.Г.1). Эти отклони-
ния представлены средним числом 〈俨〉квантов, содержащихся в различных модах, — числом, связанным с перенормированной массой АМ и угловым моментом Л/ в атмосферной оболочке той же формулой (8.40), которая применима и к нашему тепловому резервуару:
aM =2e3(〈小〉一 啕，zV=2厂(〈俨〉一味).(8.42) к， к，
[См. формулу (8.25), где этот результат был получен для черной дыры.] Когда горизонт дыры растягивается, покрывая атмосферную оболочку, мы вынуждены отказаться от всей информации о ее микроскопической структуре, т. е. о фактических значениях 〈俨〉 и, следовательно, о записанной в оболочке всей истории прошлого, за исключением двух макроскопических количественных параметров: величины перенормированной массы (энергия с учетом красного смещения) АМ и величины перенормированного углового момента' Л/ в оболочке. Таким образом, растягивая горизонт над оболочкой, мы увеличиваем число различных микросостояний, которые может принимать оболочка, до нового значения yfth+AM, а/. Отношение этой величины к ”т для идеально тепловой оболочки должно определяться той же формулой (8.41), которая применима для нашего резервуара [за исключением того, что величины TR и Cr, входящие в тепловые распределения вероятностей (8.35) для резервуара, заменяются величинами Тн и С”，входящими в тепловое распределение вероятностей (8.10х) для черной дыры]
kB In (&■聲 1) = 6 (АМ — Q〃 AZ). (8.43)
Теперь посмотрим на растягивание горизонта иначе. Выше мы представляли себе, что перемещаем растянутый горизонт наружу, чтобы покрыть оболочку. Теперь пусть растянутый горизонт остается фиксированным, а верхняя и нижняя границы оболочки движутся вниз в направлении к горизонту и проходят через него с локальной скоростью света. Так как кванты в моде | также движутся вниз с локальной скоростью света, движущаяся вниз оболочка всегда будет заключать в себе одни и те же кванты J, а их вклад в количественные характеристики оболочки останется неизменным. Иначе обстоит дело с квантами f, которые будут покидать оболочку с течением времени и заменяться новыми. Однако, поскольку уходящие кванты f и вновь поступающие кванты f являются строго тепловыми (в отличие от квантов J, отклонения которых от теплового состояния представляют собой «запись истории》 оболочки) ,уход и приход квантов f ничего не будет менять в оболочке. Таким образом, распределения вероятностей квантов в
оболочке и среднее число квантов в ее различных модах остаются неизменными по мере того, как ее верхняя и нижняя границы движутся вниз с локальной скоростью света.
Когда оболочка движется вниз, пересекая (теперь фиксированный) растянутый горизонт, ее перенормированный тензор энергии-импульса <T^V> увеличивает массу и угловой момент дыры на величины и А/, которые несет оболочка, и, согласно первому началу термодинамики (разд. III.В.3), энтропия дыры возрастает на величину
AS〃 = — ^М-Q〃 А/) = 4f- ^AHУ (8.44)
где АЛ я — увеличение площади поверхности Ан растянутого горизонта за время прохождения оболочки.
Сравнение уравнений (8.43) и (8.44) подчеркивает статистико-механическую природу энтропии черной дыры: когда оболочка атмосферы, заключающая 6 себе перенормированную массу АМ и. перенормированный угловой момент А/, опускается под растянутый горизонт дыры, увеличивая при этом массу а угловой момент дыры соответственно на АМ и А/, эта оболочка увеличивает также энтропию дыры на величину AS〃， которая определяется формулой'.
AS” = kB 1П (—，W' A，)=々в 1П “th+AM, д/ — kB In “th =
= ~^M~ Q”A/)=鼻^AH. (8.45)
Здесь ^th+AM, д/ — общее число микросостояний, которые оболочка атмосферы может принимать, после того как она уйдет под горизонт, и следовательно, мы вынуждены отбросить всю информацию о ее детальной микроскопической структуре (детали наслоений истории прошлого); “th ——общее число микросостояний, которые оболочка могла бы принимать, будь она идеально тепловой.
Вычитание энтропии kB In ./Tth идеально тепловой атмосферной оболочки в выражении (8.45) можно рассматривать как перенормировку энтропии оболочки, аналогичную перенормировке ее тензора энергии-импульса <Т^ v>, массы и углового момента. Хотя тепловые кванты в атмосфере черной дыры по измерениям ОПН представляются совершенно реальными (реальные физические детекторы частиц, которые несут ОПН, считают эти кванты точно так же как кванты, поступающие из внешней Вселенной), тепловые кванты не вносят вклада в не зависящие от наблюдателя величины {Т^}, АМ, А/ или AS”. Эффекты, связанные с тепловыми квантами, необходимо отнор-
мировать при вычислении всех этих величин, включая энтропию оболочки.
Теперь представим себе черную дыру, которая образуется с произвольно малым начальным размером (который, однако, больше длины Планка — Уилера 勿分= 1,616 X 10-33 см, поэтому мы можем не беспокоиться относительно квантовых гравитационных эффектов), а затем испытывает медленный квази- стационарный рост. Макроскопическая история этого роста в некоторый «конечный момент времени» f записана в функциях М (г) и /(г), которые представляют слоистую структуру атмосферы черной дыры. Микроскопическая история записана в виде числа квантов 《〃艮'〉 в атмосферных модах дыры. Если не учитывать вклад от начального состояния дыры, которым можно пренебречь, то конечная энтропия дыры будет суммой энтропий всех ее атмосферных оболочек. Сложив вклады (8.45) от всех оболочек, получим
”(8.46) где
—И G 咛仆)(8.47)
по всем \ "th / оболочкам
Так как величину “" можно рассматривать как общее число различных с точки зрения квантовой механики способов, которыми можно сделать черную дыру с данной макроскопической структурой, т. е. с Л1 ⑶，/(z), прибавляя кванты к ее атмосфере, мы можем считать, что энтропия черной дыры равна постоянной Больцмана, умноженной на логарифм этого общего числа.
Отметим, что эта полная энтропия вообще не зависит от деталей М (z), /(г) макроскопической структуры атмосферы. Точнее она зависит только от конечной массы М и конечного углового момента / дыры, т. е. от величин М (г) и /⑶ на результирующем растянутом горизонте. Во всяком случае сказанное полностью справедливо для сценариев «медленного роста» М (z) и /(z) (когда черная дыра лишь слегка возмущена относительно керровского состояния), которыми и ограничен приведенный выше анализ. Однако это утверждение может быть справедливо и для сценариев «быстрого роста》, например для быстрого образования черной дыры в результате гравитационного коллапса массивной звезды. В пользу такой возможности свидетельствуют следующие соображения: с течением времени и по мере того, как каждый атмосферный слой опускается вниз, приближаясь к истинному горизонту, он заполняется все большим и большим числом мод UP, которые захватываются на малых высотах, поскольку имеют очень большие угловые
квантовые числа /, т. Соответственно, поскольку моды UP полностью термализованы, число идеально тепловых захваченных квантов в данном слое по мере его опускания возрастает пропорционально величине l/d = exp (2g”f), где t — мировое время, сх = g〃乙 z — высота слоя [формулы (8.2) и (8.28)]. Следовательно, независимо от того, насколько велики А；И и А/ в данном слое (в соответствии с быстротой эволюции), они скоро становятся малыми в сравнении с экспоненциально растущими (неперенормированными) тепловой энергией и угловым моментом данного слоя; т. е. вскоре они превращаются в слабые возмущения тепловой атмосферы в слое, тем самым подтверждая справедливость нашего вывода выражений (8.46), (8.47) для энтропии дыры. [Сказанное нельзя считать строгим доказательством справедливости выражений (8.46), (8.47) для сценариев быстрого роста, поскольку доказательство того, что моды UP идеально термализованы, было приведено только для черных дыр, являющихся почти равновесными (т. е. почти керровскими) .]
В качестве резюме отметим, что при растягивании горизонта с целью покрыть атмосферные слои, заключающие в себе историю его прошлого, мы утрачиваем информацию как о микроскопической структуре 〈〃к'〉， так и о макроскопической структуре [М⑶，/⑶]атмосферы, включая информацию о том, каким' был рост черной дыры — медленным или быстрым. Можно также отметить, что независимо от того, какой была микроскопическая история роста, число возможных независимых микроскопических состояний атмосферы 及н [формула (8.47)] связано с энтропией дыры S” стандартным в статистической механике соотношением S” = kB In Л^я (по крайней мере, в случае медленного роста, а возможно и в случае быстрого роста).
Второе начало термодинамики
Из рассуждений и формул, приведенных выше, должно быть ясно, что каждый раз, когда медленно эволюционирующая черная дыра взаимодействует с окружающей Вселенной, ее статистические свойства ——если выражать их через энергию и температуру с учетом красного смещения, а не через локально измеренные энергию и температуру — точно соответствует статистическим свойствам элементарного негравитирующего, но вращающегося теплового резервуара. Сравним, например, распределения вероятностей для числа квантов в каждой моде каждого вида поля в пределе полной термализации {формула (8.35) для резервуара; формула (8.10') для атмосферы дыры] или выражения для изменений энтропии, обусловленных взаи-
модействием с внешней Вселенной [формула (8.41) для резервуара; формула (8.45) для атмосферы дыры]. Поскольку стандартный вывод второго начала термодинамики полностью справедлив для произвольных систем, взаимодействующих с таким элементарным резервуаром, ясно, что второе начало должно быть в равной степени справедливо и для произвольных систем, взаимодействующих с медленно эволюционирующей черной дырой. Таким образом, второе начало термодинамики для системы^ включающей 6 себя медленно эволюционирующую черную дыру, является просто частным случаем обычного второго начала термодинамики. В такой системе полная энтропия, включающая энтропию дыры и энтропию вещества и полей за пределами растянутого горизонта дыры^ никогда не может уменьшаться.
Может возникнуть сомнение по поводу того, что перенормировки, используемые в теории черных дыр, могут сделать эту ссылку на стандартный статистический анализ неправомерной. Заметим, что эти сомнения безосновательны, поскольку перенормировки в теории черных дыр эквивалентны вычитанию (отбрасыванию) начальных массы, углового момента и энтропии, связанных с элементарным вращающимся резервуаром в стандартном анализе. Однако стандартный анализ не чувствителен по отношению к любому (не зависящему от времени) изменению экстенсивных характеристик резервуара. Если, после того как произошел исследуемый физический процесс, мы вычитаем те же не зависящие от времени массу, угловой момент и энтропию, которую мы вычитали до этого процесса, то полная энтропия резервуара и внешней Вселенной никогда не может уменьшиться. Аналогичным образом и по той же причине никогда не может уменьшиться и суммарная энтропия черной дыры и внешней Вселенной.
А как обстоит дело с быстро эволюционирующими черными дырами? Представляется интуитивно ясным, что при быстрой эволюции дыр, например когда дыра рождается в результате гравитационного коллапса или при столкновении и слиянии двух дыр, их энтропия будет возрастать намного быстрее, чем может убывать энтропия внешней Вселенной вследствие сброса материи и полей в дыру. Другими словами, представляется интуитивно ясным, что быстро эволюционирующие дыры, как и медленно эволюционирующие дыры, должны удовлетворять второму началу термодинамики. Однако изложенные выше рассуждения и методы, поскольку они в значительной степени построены на предположении о медленности эволюции горизонта, не позволяют доказать это интуитивное убеждение, и по- зтом.у пока оно остается лишь гипотезой.
В. Модельные задачи для атмосфер черных дыр
Теперь перейдем от фундаментальных законов, управляющих атмосферами черных дыр, к модельным задачам, иллюстрирующим эти законы. В разд. В.1, В.2, В.5, В.6 мы рассмотрим модельные задачи, в которых черная дыра взаимодействует с некоторой внешней Вселенной, обладающей специальными свойствами,——это идеальный вакуум в разд. В.1, невращающаяся тепловая баня в разд. В.2, приливные поля стационарных внешних тел в разд. В.5 и ящик, опускаемый в атмосферу на длинном шесте, в разд. В.6. В разд. В.З и В.4 мы исследуем применительно к общему случаю атмосферы черной дыры некоторые математические детали мод скалярных полей, электромагнитных полей и гравитационных возмущений.
Испарение черной дыры в идеальном вакууме
Если черная дыра окружена идеальным вакуумом, то масса и угловой момент растянутого горизонта эволюционируют в соответствии с формулами (8.34) без инжекции квантов из внешней Вселенной, т. е. с {п^то°°) = 0:
吧=_『(1 — 11^"他。8 I2)片片 J 力气, (8.48a) dtJ
shim 0
^. = _ £ \ 象(1 _ I RS^Ooo |2) -Mm^ 优九 (8.486) shim 0
Соответственно энтропия растянутого горизонта эволюционирует как
甞=一 2 [>(1-|К--Г)С--^^^ (8.48в) shim 0H
[см. формулу (8.45) ]. Среднее число тепловых квантов п^1т0°°, фигурирующих здесь, выражается формулой (8.1 У), а вероятности отражения | 吁/俏恥『можно вычислить, изучая рассеяние классических электромагнитных и гравитационных волн, квантовомеханических нейтринных полей и полей массивных частиц на черной дыре с массой М и угловым моментом J.
Как отмечалось в разд. Б.1, рассеяние является очень сильным (вероятность пропускания, i —|rs^"°8|2, мала) для мод с наибольшими числами заполнения, которые имеют частоты с учетом красного смещения о^ W g” ~ 1〃才 Рассеяние становится еще более сильным благодаря центробежным эффектам,
если такие моды имеют большое угловое квантовое число /. Безмассовое поле со спином s имеет минимальное угловое квантовое число /min = s, поэтому чем выше спин, тем сильнее подавляется пропускание тепловых квантов через атмосферу и тем меньше влияние на испарение дыры.
Для черной дыры с массой Л1》1017 г температура Тн горизонта достаточно мала (Т”《109 К), поэтому единственными квантами, которые может испускать дыра, являются кванты с нулевой массой покоя: нейтрино (которые мы будем полагать безмассовыми), фотоны и гравитоны. Для этих квантов примем квантовое число s, обозначающее название типа квантов и равное спину, и запомним, что имеется шесть независимых видов частиц с s = 1/2: v^, Ае, 丫卩，勺屮 vT, vT. Пейдж [140, 141] получил численные оценки вероятностей отражения для нейтринных (s = 1/2), электромагнитных (s = 1) и гравитационно-волновых (s = 2) полей и вычислил суммы мод (8.48), чтобы определить эволюцию дыры с массой М》1017 г в ответ на испускание ею квантов.
На рис. 71 показаны результаты Пейджа для спектра (энергия на единицу времени и на единицу частоты с учетом красного смещения) квантов различных типов, испускаемых невращающейся черной дырой с массой М》1017 г. Этот спектр представляет собой подынтегральную функцию в формуле (8.48а) для спина s=l/2, 1, 2, просуммированную по спиральности Л и угловым квантовым числам /, m и умноженную на коэффициент, равный шести для s= 1/2, чтобы учесть шесть независимых типов нейтрино и антинейтрино. Отметим, что, как и ожидалось, на частотах 九《g” = 1/4М, где испускается основная часть энергии, чем выше спин поля, тем сильнее подавляется излучение. Отметим также, что на высоких частотах излучение соответствует абсолютно черному телу с площадью поверхности 27яМ2 и с температурой, равной температуре Хоукинга Тн (штриховая линия). Это соответствие объясняется тем, что на высоких частотах кванты можно описать с помощью геометрической оптики, а в пределе геометрической оптики («точечные частицы» с нулевой массой покоя) дыра по отношению к внешней Вселенной характеризуется поперечным сечением захвата 27пМ2 (см. упражнение 25.25 в книге [129]).
Проинтегрировав спектры, изображенные на рис. 71, по всем частотам, Пейдж получил темп потери массы дыры, вызванной испарением:
需=-C 磊 (8.49)
где —
C = 2,83J・1()T при м》1017 r. (8.50)
Рис. 71. Спектр квантов различных типов, излучаемых невращающейся черной дырой с массой М》1017 а. (График основан на расчетах Пейджа [140], за исключением кривой для нейтрино и суммарной кривой, которые экстраполированы, исходя из расчетов Пейджа для четырех независимых типов нейтрино, на случай известных в настоящее время шести типов нейтрино).
Спектр соответствует постоянному сечению 2лМ2.
(Величина, полученная экстраполяцией от четырех типов нейтрино, положенных в основу оригинальных расчетов Пейджа, к шести типам нейтрино, известным в настоящее время.) При этом 86,7 % излученной энергии уносится нейтрино (1/3 из них — электронные нейтрино и антинейтрино, 1 /3 ——мюонные нейтрино и антинейтрино, а еще 1 /3 ——тау-нейтрино- и антинейтрино) .Так как фотонам и гравитонам значительно труднее уйти на бесконечность, чем нейтрино, фотоны несут всего 11,9 %, а гравитоны всего 1,4 % излучаемой мощности.
Если масса дыры находится в пределах 5-1014 г《М《 « 1017 г, то дыра может наряду с нейтрино, фотонами и гравитонами испускать электроны и позитроны; причем большинство уходящих электронов и позитронов обладают достаточной энергией, чтобы быть ультрарелятивистскими, и, таким образом, ведут себя как кванты с нулевой массой покоя и со спином 1/2. Таким образом, для черной дыры в этом диапазоне масс частицы со спином 1 /2 уносят в (6 + 4)/6 = 5/3 раз больше энергии, чем можно было бы ожидать, если пренебречь электронами и позитронами; четверка появляется потому, что имеется по
две моды спиральности (для е+ и е~); соответственно темп потери массы дырой определяется по формуле (8.49) с несколько большим значением С, чем (8.50):
0 = 4,466 • IO— при 5 • IO" г《乂《1017「. (8.51)
В этом диапазоне масс 54,9 % мощности уносят нейтрино, 36,6 % — электроны и позитроны, 7,6 % — фотоны и 0,9 % — гравитоны.
Когда масса дыры становится все меньше в области М W V 5Т014 г, ее температура поднимается все выше, дыра способна испускать все больше типов частиц и коэффициент С в скорости ее испарения становится все больше. В конце концов испаряющаяся дыра должна взорваться в виде ослепительной вспышки.
Время жизни, имеющееся в распоряжении невращающейся дыры с массой М, легко вычисляется по формуле (8.49), так как большую часть жизни дыра имеет массу, близкую к начальной, когда С имеет свое начальное значение
1 Л43
%кнзн = -^- = 1,9 • 10" лет (Л1/1()17「)3 При М》1017 г
■ —1,5- 1010 лет(М/5- 1014 г)3 при 5- 1014г<М<1017 г. (8.52)
Таким образом, все невращающиеся первичные черные дыры, рожденные с массами меньше 〜5・10乂 г, к настоящему времени испарились, а все дыры, рожденные более массивными, должны еще существовать, хотя и их массы уменьшились. Подробнее о наблюдательных ограничениях, касающихся таких первичных черных дыр и о попытках обнаружить их испарение и взрывы см., например, в работах [31, 135].
При полном испарении невращающейся дыры с массой М энтропия дыры уменьшается от S〃 = 4ahвМ?佈 до нуля, и соответственно энтропия внешней Вселенной должна возрастать по меньшей мере на столько же. Тщательное вычисление энтропии, заключенной в испарившихся квантах после испарения в вакуум, дает величину =(4/3)S” [241, 145]. Таким образом, как и следовало ожидать, испарение протекает необратимо и приводит к увеличению полной энтропии дыры и внешней Вселенной.
Обратимся теперь к вращающимся дырам, испаряющимся в вакуум, численное исследование которых было выполнено Пейджем [141]. На рис. 72, а представлена зависимость общего времени жизни испаряющейся черной дыры от ее начальной массы Mi и начального параметра вращения а»; на рис. 72, б показана эволюция массы дыры во времени в процессе ее испарения. Отметим, что чем быстрее вращается дыра, тем быстрее она испаряется. Это объясняется сильным вкладом супер-
О 0,20,40,60,81,0О 0,20,40,60,81,0о.о.о,t/wо.о.о,t/wЮ2Ю200,20,40,60,81,000,20,40,60,81,0'/Г*ИЗН6'/Г*ИЗН600
О 0,20,40,60,81,0
О 0,20,40,60,81,0
о.о.о,t/w
о.о.о,t/w
Ю2
Ю2
00,20,40,60,81,0
00,20,40,60,81,0
'/Г*ИЗН
6
'/Г*ИЗН
6
0
0
Рис. 72. а ——время жизни черной дыры, испаряющейся в вакуум, в единицах M^/h, где Mt — начальная масса дыры. Показано время жизни дыры как функция начального параметра вращения а». Различные кривые соответствуют разным допущениям относительно числа безмассовых или эффективно без- массовых [kBTH ^> (масса покоя)] типов частиц, излучаемых черной дырой; первое целое число обозначает типы частиц со спином 1/2 (в настоящее время считается, что при низких температурах их всего шесть: нейтрино и антинейтрино, соответствующие электрону, мюону и тау-частице); второе целое число обозначает типы частиц со спином 1 (считается, что существует только один тип: фотон); третье целое число обозначает типы частиц со спином 2 (считается, что существует только один тип: гравитон). 6 ——эволюция массы черной дыры из начального состояния, соответствующего максимально быстрому вращению с а» = Mi. (Рисунок взят из работы [141].)
радиационных фотонных и гравитонных мод в случае быстро вращающейся дыры. Такие моды всегда излучают положительную энергию, и абсолютная величина вероятности пропускания, 11—I R|2|, для таких мод порядка единицы (см. разд. Б.4).
На рис. 73 представлена эволюция параметра вращения а/М и энтропии S” дыры в процессе испарения. Как показывает рис. 73, а, испарение вызывает замедление вращения дыры: вследствие влияния суперрадиационных фотонных и гравитонных мод угловой момент излучается существенно быстрее, чем масса, что приводит к уменьшению а/М. до малых значений к тому времени, когда масса дыры уменьшится всего в 2 раза. Отметим, глядя на рис. 73,6, что испарение увеличивает энтро-
Рис. 73. а ——эволюция параметра вращения а〔М как функции эволюционирующей массы черной дыры М в процессе испарения в вакуум. Эволюция протекает от верхней правой части диаграммы к ее нижней левой части. Эволюция показана для начального состояния с а/М = 1; можно представить себе и эволюцию от некоторой начальной величины а/М V 1, полагая начальную массу меньшей, чем Мз 6 ——эволюция энтропии Sh испаряющейся черной дыры. (Рисунок взят из работы [141].)Рис. 73. а ——эволюция параметра вращения а〔М как функции эволюционирующей массы черной дыры М в процессе испарения в вакуум. Эволюция протекает от верхней правой части диаграммы к ее нижней левой части. Эволюция показана для начального состояния с а/М = 1; можно представить себе и эволюцию от некоторой начальной величины а/М V 1, полагая начальную массу меньшей, чем Мз 6 ——эволюция энтропии Sh испаряющейся черной дыры. (Рисунок взят из работы [141].)
Рис. 73. а ——эволюция параметра вращения а〔М как функции эволюционирующей массы черной дыры М в процессе испарения в вакуум. Эволюция протекает от верхней правой части диаграммы к ее нижней левой части. Эволюция показана для начального состояния с а/М = 1; можно представить себе и эволюцию от некоторой начальной величины а/М V 1, полагая начальную массу меньшей, чем Мз 6 ——эволюция энтропии Sh испаряющейся черной дыры. (Рисунок взят из работы [141].)
Рис. 73. а ——эволюция параметра вращения а〔М как функции эволюционирующей массы черной дыры М в процессе испарения в вакуум. Эволюция протекает от верхней правой части диаграммы к ее нижней левой части. Эволюция показана для начального состояния с а/М = 1; можно представить себе и эволюцию от некоторой начальной величины а/М V 1, полагая начальную массу меньшей, чем Мз 6 ——эволюция энтропии Sh испаряющейся черной дыры. (Рисунок взят из работы [141].)
пию дыры, если дыра вращается очень быстро, но уменьшает ее, если дыра вращается медленнее. Это также объясняется влиянием суперрадиационных мод, которые уносят отрицательную энтропию [ср. с табл. 1 и формулой (8.48в)]. В случае быстро вращающейся дыры CP-моды доминируют над НСР-мо- дами и вызывают результирующее возрастание энтропии; в случае медленно вращающейся дыры доминируют НСР-моды, вызывая результирующее убывание энтропии. И в том и в другом случае, если учитывать энтропию, которую испаряющиеся кванты несут во внешнюю Вселенную, мы обнаружим возрастание суммарной энтропии дыры и внешней Вселенной.
Взаимодействие черной дыры с внешней тепловой баней
В качестве второй модельной задачи рассмотрим вращающуюся черную дыру, погруженную во внешнюю невращаю- щуюся тепловую баню с температурой Т& Для такой бани моды
/% имеют средние числа заполнения квантами
〈"第〉= 尢…;тв — 1 •(&53)
Следовательно, результирующие темпы изменения массы дыры, ее углового момента и энтропии [формулы (8.34) и (8.44)], вызванного совместными эффектами испарения в тепловую баню и аккреции из нее, выражаются в виде:
(穿，%，？н^-)= 2 \(ffoo — т^н)] х
shim О
X (1 _ I ^1т0^) ^_—_1__ _ ___1___) .(8.54)
Рассмотрим важный частный случай ——внешнюю баню с температурой, в точности равной температуре дыры, Тв = Ти. Можно было бы ожидать, что такая баня будет находиться в состоянии равновесия с дырой, но это не так. Хотя у них одинаковая температура, они имеют разные угловые моменты. Как следствие моды с отрицательным угловым моментом 俏 V 0 имеют большее число заполнения в бане, чем в атмосфере дыры, и таким образом больше квантов испытывает аккрецию из таких мод, чем испаряется. Эти аккрецируемые кванты увеличивают массу и энтропию дыры, уменьшая при этом ее угловой момент [формула (8.54)]. Суперрадиационные моды, т. е. моды с m > 0 и стоо V т^н, имеют отрицательные числа заполнения в атмосфере, но положительные числа заполнения в бане, а вероятности 1——|R|2 пропускания отрицательны. В результате и аккреция и испарение заставляют моды с отрицательными числами заполнения идти в дыру (а с положительными числами —— из дыры), приводя к убыванию массы и углового момента дыры и возрастанию ее энтропии. Остальные моды, т. е. моды с m > О и Ооо〉tnQm, имеют большие (положительные) числа заполнения в атмосфере, чем в бане, и таким образом больше квантов испаряется, чем испытывает аккрецию, что вызывает убывание как массы и углового момента дыры, так и ее энтропии. Без более скрупулезного исследования невозможно сказать, какой будет результирующая эволюция массы или энтропии дыры, но можно быть уверенным в том, что вращающаяся дыра, погруженная 6 тепловую баню с той же температурой, что 〃 у дыры, будет замедлять вращение вследствие совместного действия эффектов испарения 〃 аккреции.
Перейдем теперь от вращающейся дыры к невращающейся. Если дыра не вращается, вероятность отражения не зависит от азимутального квантового числа 俏 моды. Это означает, что моды с отрицательным m вносят точно такой же вклад в эволю-
цию, как и моды с положительным т, и, следовательно, угловой момент дыры остается равным нулю, dJ/dt = 0.
Если внешняя баня имеет более высокую температуру, чем невращающаяся дыра, Тв〉Т〃， то аккреция преобладает над испарением и масса и энтропия дыры возрастают. Это возрастание массы и энтропии дыры ведет к уменьшению поверхностной гравитации дыры и к снижению ее температуры. До тех пор пока внешняя баня обладает достаточной энергией, чтобы не «ощущать» потерь энергии в дыру, разница в температурах со временем будет все увеличиваться; аккреция будет приобретать все большее значение по сравнению с испарением, а дыра будет расти со все возрастающей скоростью. С другой стороны, если внешняя баня обладает малой энергией, аккреция, снижающая температуру дыры, может настолько истощить энергию бани, что температура бани будет снижаться быстрее, чем температура дыры. В этом случае эти две температуры будут сближаться, и, когда они сравняются, будет достигнуто устойчивое равновесие. При таком равновесии подынтегральные функции в формуле (8.54) обратятся в нуль и дыра перестанет эволюционировать.
Аналогично, если внешняя баня имеет температуру ниже, чем у невращающейся дыры Тв< Тн, испарение преобладает над аккрецией и масса и энтропия дыры убывают, вызывая возрастание ее температуры. И в этом случае, если баня обладает достаточной энергией, чтобы не испытывать большого влияния со стороны испаряющихся квантов дыры, разность температур со временем будет все более увеличиваться, а дыра будет испаряться во все возрастающем темпе, пока не взорвется. Напротив, если внешняя баня обладает малой энергией, испарение будет вызывать рост ее температуры в более высоком темпе, чем темп роста температуры сжимающейся дыры. Эти две температуры будут сближаться и, когда они сравняются, будет достигнуто устойчивое равновесие.
Это любопытное различие между малой баней и большой баней можно проанализировать количественно с применением термодинамических методов [98, 142, 77]. При таком анализе мы предполагаем, что тепловая баня способна рождать и уничтожать кванты с достаточной легкостью, чтобы всегда сохранять тепловое равновесие, при котором химические потенциалы для всех типов частиц равны нулю. Полагая температуру бани достаточно низкой, чтобы она содержала только гравитоны, фотоны и нейтрино электронного, мюонного и тау-типов, получим общую энтропию бани
— (&55)
Здесь V ——объем бани, a U ——суммарная масса-энергия бани и дыры, и, таким образом, U — М является полной массой-энергией бани. Для сравнения отметим, что полная энтропия невращающейся дыры с массой М равна
(8.56)(8.56)4冗左А es〃 = TM・
(8.56)
(8.56)
По мере того как дыра и баня эволюционируют, взаимодействуя друг с другом, масса-энергия М дыры и масса-энергия U — М бани изменяются, но суммарная энергия U и объем V остаются фиксированными. (Мы пренебрегаем ничтожно малым объемом, занимаемым дырой внутри бани, т. е. предполагаем, что 厂$《丿.)
В тот момент времени, когда дыра будет иметь массу М, ее температура, вычисленная термодинамически, будет
Тн = dSH/dM = 8叫М '(8.57)
что является стандартным результатом для невращающейся дыры. Аналогично, температура бани, вычисленная термодинамически, будет
県=——!—=4(8.58)
” dSB/d (U — M) I 37冗2砲V 丿
На рис. 74 показаны энтропии дыры (пунктирная линия) и бани (штриховая линия), а также суммарная энтропия (сплошная линия) как функции массы дыры. При росте дыры в результате аккреции положение системы на этих кривых смещается вправо; при сжатии дыры в результате испарения система смещается влево. Дыра и баня будут находиться во взаимном термодинамическом равновесии, если суммарная энтропия достигает экстремума. Формулы (8.57) и (8.58) говорят нам о том, что в экстремуме d(SH -]- Sв) /dM = 0 суммарная энтропия соответствует равенству температуры бани и дыры. Имеется критический объем
3 223冗 2z и
厶=ь =—— см3, (8.59)
/37 54力\1,45 • 1035 эрг7 '' 丿
такой, что при V > V2 поведение энтропии имеет вид, показанный на рис. 74, а, и экстремум отсутствует. В случае бани с таким большим объемом дыра всегда имеет более высокую температуру, чем баня, и со временем она будет всегда испаряться (эволюция в направлении стрелок на рис. 74, а, в сторону возрастания суммарной энтропии и убывания массы черной дыры). Для бани с объемом I/ < V2 имеются два экстремума кривой суммарной энтропии: минимум, обозначенный °Н на рис. 74, 6, s и являющийся неустойчивым, и максимум, обозначенный 俨 или
Рис. 74. В полости с объемом У, заключающей в себе полную энергию U, энергия распределена между невращающейся черной дырой с массой М и тепловой баней с энергией U ——М. Кривые показывают энтропию черной дыры (пунктирная линия), энтропию бани (штриховая линия) и суммарную энтропию дыры и бани (сплошная линия) как функции массы дыры. а ——объем полости V превышает величину U2(U), которая дается формулой (8.59); 6—匕 V V V %； e-V < 匕(U).Рис. 74. В полости с объемом У, заключающей в себе полную энергию U, энергия распределена между невращающейся черной дырой с массой М и тепловой баней с энергией U ——М. Кривые показывают энтропию черной дыры (пунктирная линия), энтропию бани (штриховая линия) и суммарную энтропию дыры и бани (сплошная линия) как функции массы дыры. а ——объем полости V превышает величину U2(U), которая дается формулой (8.59); 6—匕 V V V %； e-V < 匕(U).
Рис. 74. В полости с объемом У, заключающей в себе полную энергию U, энергия распределена между невращающейся черной дырой с массой М и тепловой баней с энергией U ——М. Кривые показывают энтропию черной дыры (пунктирная линия), энтропию бани (штриховая линия) и суммарную энтропию дыры и бани (сплошная линия) как функции массы дыры. а ——объем полости V превышает величину U2(U), которая дается формулой (8.59); 6—匕 V V V %； e-V < 匕(U).
Рис. 74. В полости с объемом У, заключающей в себе полную энергию U, энергия распределена между невращающейся черной дырой с массой М и тепловой баней с энергией U ——М. Кривые показывают энтропию черной дыры (пунктирная линия), энтропию бани (штриховая линия) и суммарную энтропию дыры и бани (сплошная линия) как функции массы дыры. а ——объем полости V превышает величину U2(U), которая дается формулой (8.59); 6—匕 V V V %； e-V < 匕(U).
及夕 и являющийся локально устойчивым. Если объем бани V превышает вторую критическую величину, равную
匕= 0,256/,(8.60)
т. е. если Vi < V < V2 (рис. 74,6), то локально устойчивое равновесие имеет меньшую энергию, чем в состоянии с полностью испарившейся черной дырой, т. е. энтропия локального максимума 宫夕 меньше, чем в точке В. В этом случае локально устойчивое равновесное состояние 贫夕 является лишь метаста- бильным, хотя типичное время жизни в этом метастабильном состоянии будет в действительности весьма большим.
Если V < Vi (рис. 74,6), то локально устойчивое равновесие абсолютно стабильно. В этом случае, если замкнутая си-
стема изначально включала в себя только тепловую баню и черная дыра отсутствовала (точка 贫夕)，то баня в принципе могла бы создать крошечную черную дыру за счет квантовомеханических флуктуаций. Почти всегда дыра сразу после образования будет быстро испаряться, но имеется конечная, хотя и очень малая вероятность того, что она будет расти и достигнет 《размера ядрообразования», соответствующего минимуму энтропии U на рис. 74,6. Достигнув этой неустойчивой точки, дыра с равной вероятностью будет испаряться или продолжать расти в результате аккреции, перемещаясь вверх по кривой энтропии на рис. 74,6 в направлении к точке 夕 или к точке 及夕.Время, необходимое, чтобы флуктуации создали дыру макроскопического размера, абсурдно большое, но если иметь дело со столь малыми объемами, как V 〜力з/2 〜1Q-" см, в которых гравитация является существенно квантовой, то квантовые флуктуации становятся огромными и черные дыры могут за счет них непрерывно создаваться и уничтожаться. Более подробное изложение этих вопросов см., например, в работах [77, 240, 83].
Реальная Вселенная, заполненная космическим фоновым излучением, созданным Большим Взрывом, представляет собой гигантскую тепловую баню. По мере расширения Вселенной температура этой тепловой бани снижается. Следовательно, хотя сегодня типичные астрофизические черные дыры во Вселенной имеют температуры значительно ниже 3 К и, следовательно, быстрее аккрецируют, чем испаряются, в отдаленном будущем (если предполагать, что Вселенная будет продолжать расширяться) температура Вселенной станет ниже, чем температура дыр, и дыры начнут испаряться. Более подробно о конечной судьбе Вселенной см., например, в работах [62, 106, 7].
их дополнительная сложность редко приводит к каким-либо качественно новым результатам.
В искривленном 4-мерном пространстве-времени безмассо- вое скалярное поле Ф подчиняется скалярному волновому уравнению
□ O)MgaB(D；aB = 0.(8.61)
При 3 + 1-расщеплении это уравнение принимает особенно простой вид, если (как в случае медленно эволюционирующей
дыры) g订，力=阮方=a力=0 и V• [3 = 0:
1 >>
□(!)=- DXD^ + 六 V • (aV①)=0,(8.6Г)
где
a三x导一后6)=黄宗+①系)для чеРн°й дыры (8.62)
——производная по собственному времени, измеряемому ОПН.
В координатах Бойера ——Линдквиста (f,几仇力)для вращающейся керровской черной дыры [формулы (3.4) — (3.6) ] переменные в скалярном волновом уравнении (8.61) разделяются:
0(厶厂，0,屮)=…cose)。^%-%。 (8.63)
Здесь /, m — угловые квантовые числа, характеризующие нормальную моду, причем
/ ——неотрицательное целое число,(8.64а)
m — целое число в интервале —/ ^ m ^ + /;(8.646)
Ооо — частота моды с учетом красного смещения: а ——параметр вращения дыры и oS/俏(aog, cos 8)—сфероидальная гармоника [125], удовлетворяющая уравнению
击 。+ ® co.Q 向〃 £闽
В этом угловом уравнении 旧团 является собственным значением, которое становится равным /(/ + 1) в пределе а(Уоо->0. (В таком пределе 0Sim переходит в обычную функцию Лежандра.)
Радиальная функция R(r) в формуле (8.63) подчиняется радиальному волновому уравнению, которое имеет наиболее
простой вид, если воспользоваться радиальной координатой
+ 叩-(1—%)11n [ m 一- 1]
4 厂十 2M In (〃2Af — 1) + const при 厂》厂〃，
~ const + -^ In ("Ц~) ПРИ г — гн《гн,
,11 乙 °2 sin2 0 \ .1 12
4COnst —②一E(12Лй~) + 1^ П(^Я^ ПРИ 之《5
”Н(8.66)
Здесь А =厂2 + а?——2Mr ——стандартная функция, появляющаяся в метрике Керра и в функции длительности [формулы (3.5) и (3.6) ], г — истинное расстояние от горизонта, причем здесь использованы формулы (3.7), (6.31в), (6.38) и (6.34). Радиальное волновое уравнение, если переписать его через 厂*, принимает стандартный вид для 1-мерной волны, распространяющейся в эффективном потенциале:
学—ЮК = 0.(8.67)
Эффективный потенциал 1/(厂*), выраженный через 厂，имеет вид
(а \2(0^/т-2^оо + ^1) А .
+戸〒рл +
/2 (m广 一。2)3絞
十 (川+ a2)3 公十(厂2 +炉)4公
c^ (g^ — mQHf + О {еёиГ^} при г ->гн и — оо, 40乙 +0(1/彳)пРи г -> оо и г*-> оо.(8.68)
Вдали от дыры и вблизи горизонта решения f (распространяющиеся наружу) и J (распространяющиеся внутрь) для радиального волнового уравнения (8.67) имеют вид
7?小=7?小=+ io г е 00 :+ io г е 00 :Rv =Rv =“「"《У*-7^：~“「"《У*-7^：~при г^гн\ (8.69)при г^гн\ (8.69), 氏=, 氏=Е|Е|при 樓《-ГН.при 樓《-ГН.Как мы увидим ниже [формула мировки соответствуют волнам,Как мы увидим ниже [формула мировки соответствуют волнам,(8.79)],которые(8.79)],которые(8.70) выбранные здесь нор- за единицу мирового(8.70) выбранные здесь нор- за единицу мирового
7?小=
7?小=
+ io г е 00 :
+ io г е 00 :
Rv =
Rv =
“「"《У*
-7^：~
“「"《У*
-7^：~
при г^гн\ (8.69)
при г^гн\ (8.69)
, 氏=
, 氏=
Е|
Е|
при 樓《-ГН.
при 樓《-ГН.
Как мы увидим ниже [формула мировки соответствуют волнам,
Как мы увидим ниже [формула мировки соответствуют волнам,
(8.79)],которые
(8.79)],которые
(8.70) выбранные здесь нор- за единицу мирового
(8.70) выбранные здесь нор- за единицу мирового
времени t переносят некоторое не зависящее от моды (т. е. от /, т, Ооо) число квантов через поверхность постоянного радиуса г*.
①不ИЛИ▼①不ИЛИ▼Отметим, что вдали от дыры и вблизи горизонта полное скалярное поле имеет вид
①不ИЛИ▼
①不ИЛИ▼
^1те1тф e~tOoQ^^r^ ПРИ 厂*》厂由(8.71)
①懦：』V仄?^ I忌手。^ М3「z吗）°孑幻
при q《-гн. (8.72)
Здесь 力=力 ——^Ht ——угловая координата, сопутствующая ОПН вблизи горизонта, а верхний и нижний знаки в f 干厂* относятся соответственно к волнам f и J. Это частные случаи асимптотик (8.16) и (8.30), которыми мы пользовались в разд. Б при выводе числа мод на единицу частотного интервала внутри ящика.
Тензор энергии-импульса для классического безмассового скалярного поля имеет вид
&" =*[(弦①)，以係?①)一 Ig卩,侬①)a (死。①)T，(8.73)
где 例/ означает вещественную часть. Соответственно радиальные потоки энергии и углового момента с учетом красного смещения вдали от черной дыры и вблизи от горизонта будут равны
энергия с учетом красного сме-\
dEgdA dtdEgdA dtщения, пересекающая единичную )=_аТ^ = —— 7 = площадку за единицу мирового I °'°「*
dEgdA dt
dEgdA dt
времени丿
=負您g),/(死纯)/*,(8.74a)
dL /угловой момент с учетом красногоХ
~^~^ =1 смещения, пересекающий единич- I = аГф- = Т^* =
、ную площадку за единицу времени/*
=亲（瘓①），力（感①）,》（8.746）
где производная d/dt взята при постоянном 力，а не при постоянном «. В этих формулах второе равенство следует из определения——「о? и Г貯 как потоков энергии и углового момента с учетом красного смещения на единицу измеряемого ОПН собственного времени т и из того, что а = dx/dt\ третье равенство следует из того факта, что единичный радиальный вектор
(dEg у юш 屮= и®\ dA dt丿 一一8冗力(dEg у юш 屮= и®\ dA dt丿 一一8冗力I①个или▼I2方OgI①个или▼I2方Ogf dLz у нли 屮=%\ dA dt丿 —一8冗力f dLz у нли 屮=%\ dA dt丿 —一8冗力I①小илиI①小или屮^ mh屮^ mhпри r^rH, (8.76а)при r^rH, (8.76а)dEg、个 или 屮-dAdi)=±dLz 、小 или 屮 dA dt )~ ~dEg、个 или 屮-dAdi)=±dLz 、小 или 屮 dA dt )~ ~"оо — т^н)"оо — т^н)8Л力зоо —叫)8Л力зоо —叫)I ①小 или V |2 方0r8I ①小 или V |2 方0r88h力8h力I ф^ или屮|2他力I ф^ или屮|2他力при Г*《一Гн・при Г*《一Гн・
(dEg у юш 屮= и®
\ dA dt丿 一一8冗力
(dEg у юш 屮= и®
\ dA dt丿 一一8冗力
I①个или▼I2方Og
I①个или▼I2方Og
f dLz у нли 屮=%
\ dA dt丿 —一8冗力
f dLz у нли 屮=%
\ dA dt丿 —一8冗力
I①小или
I①小или
屮^ mh
屮^ mh
при r^rH, (8.76а)
при r^rH, (8.76а)
dEg、个 или 屮
-dAdi)=±
dLz 、小 или 屮 dA dt )~ ~
dEg、个 или 屮
-dAdi)=±
dLz 、小 или 屮 dA dt )~ ~
"оо — т^н)
"оо — т^н)
8Л力зоо —叫)
8Л力зоо —叫)
I ①小 или V |2 方0r8
I ①小 или V |2 方0r8
8h力
8h力
I ф^ или屮|2他力
I ф^ или屮|2他力
при Г*《一Гн・
при Г*《一Гн・
[формулы (3.9) и (8.66)] имеет вид
—г2 + а2 / д \—
6 Р «А I dr,, Jt, е, ф
(8.75)(8.75)как при 厂*》г”， так и при 厂*《—гн,
(8.75)
(8.75)
а четвертое равенство в формулах (8.74) следует из формулы (8.73). Асимптотики (8.71), (8.72) для Ф позволяют нам переписать радиальные потоки (8.74) после усреднения по одному периоду волны в следующем виде:
(8.766)
Так как каждый квант несет энергию с учетом красного смещения 九Og и угловой момент m/z, формулы (8.76) показывают, что поток квантов в классических волнах (8.69)——(8.72) равен
/ dN 、小 или 小 \dA dt)/ dN 、小 или 小 \dA dt)=±舟…怦=±=±舟…怦=±“ ((А"8冗力r2“ ((А"8冗力r2при Г*》Гн，при Г*》Гн，/ dN、小 или ▼ \dAdi)/ dN、小 или ▼ \dAdi)+ (0рд 一△ или ▼ !2-8冗力11士 sign 98 一 тQя) •-少8冗九[rH + a )+ (0рд 一△ или ▼ !2-8冗力11士 sign 98 一 тQя) •-少8冗九[rH + a )(8.77a)(8.77a)при乙《一厂".при乙《一厂".(8.776)(8.776)
/ dN 、小 или 小 \dA dt)
/ dN 、小 или 小 \dA dt)
=±舟…怦=±
=±舟…怦=±
“ ((А"8冗力r2
“ ((А"8冗力r2
при Г*》Гн，
при Г*》Гн，
/ dN、小 или ▼ \dAdi)
/ dN、小 или ▼ \dAdi)
+ (0рд 一△ или ▼ !2
-8冗力11
士 sign 98 一 тQя) •-少
8冗九[rH + a )
+ (0рд 一△ или ▼ !2
-8冗力11
士 sign 98 一 тQя) •-少
8冗九[rH + a )
(8.77a)
(8.77a)
при乙《一厂".
при乙《一厂".
(8.776)
(8.776)
Отметим, что, согласно табл. 1, вблизи горизонта CP-моды несут отрицательный поток квантов, в то время как НСР-моды несут положительный поток. Интегрируя по сфероидальной поверхности постоянного г и используя нормировку
(8.78)(8.78)л J(oSZm)2sin0d0=l, о
(8.78)
(8.78)
получаем следующее соотношение для полного темпа, с которым кванты уносятся и приносятся модами ，и J, если принять
такую же нормировку, как в формулах (8.69) — (8.72):
/ dN \Ф или с / dN 、小 нлн Vг
(к丿=\VdAdi) "4 = ± 而 ПРИ 几》厂〃，
-± 存при几《一广"・(8.79)
Мода IN с данными /, m, Og является тем единственным решением радиального волнового уравнения (8.67), которое имеет асимптотики
(8.80а)(8.80а)R器% ^ ^~ (「%展 + R器%小"。0'*) при (》Г",
(8.80а)
(8.80а)
R僚％ vV^i^jT僚％с-"" прн(《一/•”(8.806) (ср. с рис. 66, а). Аналогично мода UP является единственным решением с асимптотиками
^-Vt^^+ R 编8L(%一皿6"
При 喙《一Гн，(8.81а)
R氏％ 4 7号 Т偽項％' При r^rH (8.816)
(ср. с рис. 66,6). Сравнивая с формулами (8.79), (8.63), (8.71) и (8.72), видим, что величина |RfX£H'"『 представляет собой вероятность отражения квантов (отношение числа отраженных
квантов к числу падающих квантов), a sign(а^ — тйя) X X I Т[Х?И '" |2 ——вероятность пропускания.
Исходя из постоянства вронскианов, вычисленных для вол
новых функций (8.80) и (8.81) (см., например, разд. II гл. 3 в книге [126]), нетрудно показать, что
1R旣。」0R爆丁，1嚅%『 = 1T縊R1R旣。」0R爆丁，1嚅%『 = 1T縊R(8.82а)(8.82а)
1R旣。」0R爆丁，1嚅%『 = 1T縊R
1R旣。」0R爆丁，1嚅%『 = 1T縊R
(8.82а)
(8.82а)
т. е. вероятности отражения одинаковы как для волн, распространяющихся вверх от горизонта, так и для волн, приходящих из бесконечности; то же самое относится и к вероятности пропускания. Таким образом, имея дело с модулями и пренебрегая фазой R или Т, нет необходимости делать различие между модами /N и UP. Аналогично, исходя из постоянства вронскианов для этих решений и их комплексных сопряжений, нетрудно показать, что
1 - I R/ma^ |2= + |「『|2 для НСР-МОД (% — tnQH > 0), (8.826)
1 — iRz/nOgfu — I Ат%? для СР-мод (% —/nQ” V 0)・(8.82в)
Приведенные соотношения есть не что иное, как закон сохранения квантов. Из этого закона следует, что CP-моды имеют вероятности отражения | R|2 больше единицы, а НСР-моды имеют |R|2 меньше единицы в соответствии с нашими рассуждениями в разд. Б.4.
Вероятности отражения | Rzma^ |2, играющие такую важную роль в квантовой теории атмосферы черной дыры, могут быть выведены путем решения радиального волнового уравнения (8.67) с потенциалом (8.68) при наложении граничных условий (8.80) или (8.81). Потенциал V(r) включает в себя из-за наличия углового собственного значения 。七乙^ (равно /(Z + 1) для невращающейся дыры] эффекты центробежных сил на распространение волны; кроме того, в него входят ——через массу дыры М (которая появляется в А) и параметр ее вращения а — эффекты кривизны пространства-времени. Качественное влияние этих эффектов было рассмотрено выше в разд. Б.1.
Аналитические вычисления, основанные на радиальном волновом уравнении (8.67), потенциале (8.68) и граничных условиях (8.80) или (8.81), дают для вероятности отражения скалярных волн при низких частотах [193] следующее соотношение:
- I Rs,* I2 -2 [(^力盟3：![]义
义(三户)(缭。8r如+(T)h
-呢 ПРИ s = 0, / = /п = 0. (8.83)
Эта формула записана в виде, справедливом для любого бозонного поля (s = 0 для скалярных волн, s = 1 для электромагнитных волн, s = 2 для гравитационных волн). Сильное подавление пропускания волн с doo *< 1 Дя и для больших / (рассмотрены в разд. Б.1) явно описывается множителем [(Ля^я/2л)аоо]2W этой формулы. Отрицательность величины 1 — I Rshimcg |2 для СР-мод определяется членом (Ооо —
Фотонные и гравитонные моды: асимптотический анализ
Анализировать моды электромагнитных полей и гравитационных возмущений значительно сложнее, чем моды безмас- сового скалярного поля. Эти трудности связаны с одним только новым физическим фактором: наличием двух состояний спиральности, 九=±1 для каждого s, /, т, Og. Стандартный ма-
тематический формализм для исследования эффектов спиральности был создан Тюкольским [197] и развит Чандрасекаром [36] (см. разд. VI.Б.2). В данной книге мы опускаем большую часть деталей формализма Тюкольского ——Чандрасекара. Тем самым мы делаем данную книгу дополнением к книге Чандрасекара [36]; здесь мы делаем основной упор на физическое понимание проблемы, а книга Чандрасекара посвящена главным образом математической структуре и деталям полного формализма, описывающего возмущения.
Следуя такому подходу, мы ограничим наши рассуждения относительно фотонных и гравитонных мод асимптотическими областями г*》гн вдали от дыры и г*《一гн глубоко внутри атмосферы дыры, причем для этих областей мы дадим описание фотонных и гравитонных мод в терминах электрических
полей £ и приливных полей 若，измеряемых ОПН.
Широтные (0) зависимости фотонных и гравитационных нормальных мод описываются угловыми функциями sS/俏(aOg, 6), которые называются «спиновыми сфероидальными гармониками». Они являются собственными функциями уравнения
击晶(sin 0 唸)+ d% cos^e-磊-
一 2a%SCOS0- 2?誤8 一 s2Ctg20 + sElm — s》‘S^ = 0. (8.84)
Здесь sEim ——собственное значение, получаемое из условия, чтобы функция sSim была регулярной во всем диапазоне 0 W 9 W л; и сводилась бы к /(/ + 1) для невращающейся дыры. Угловая функция нормирована таким образом, чтобы
Л
0)]2sin20d0=l. (8.85) о
Для спинового веса s = 0 эта функция является сфероидальной гармоникой (8.65), использованной в описании безмассового скалярного поля, для спинового веса s = ±l—угловой функцией для мод электромагнитного поля, а для спинового веса s = ±2 ——угловой функцией для гравитационных возмущений. Для некоторого данного спина s》0 угловые функции со спиновым весом 土 s связаны формулой
sSim (^оо, 8) =-sSz/nS%, Л — 0). (8.86)
Эти угловые функции затабулированы для нескольких типичных значений параметров в приложении книги [36]. На рис. 75, в основу которого положены эти таблицы, показаны ±2$/团 как
Рис. 75. Угловые функции ±2^22(^(Тоо, 0) для гравитационных возмущений черной дыры. Угловые функции показаны для двух значений а(?8： 0 (невращаю- щаяся дыра или стационарные возмущения вращающейся дыры) и 0,475. Данный рисунок основан на вычислениях С. Детвилера, которые затабулированы в приложении к книге Чандрасекара [36].
функции полярного угла 0 для / =团=2 и для си = 0 и 0,475. Отметим, что в то время, как соответствующая скалярная (s = 0) функция oS/m симметрична между северным и южным полушариями дыры, гравитационные функции (s ± 2) сильно концентрируются в одном из полушарий, причем чем больше aog, тем сильнее эта концентрация. Аналогично и поведение электромагнитных (s = ±l) функций.
Для фотонных мод f и j асимптотические измеряемые ОПН электрические поля Е вдали от дыры и вблизи горизонта имеют вид
(今干沂力片лНw = *гН干包(a%, 0)产。「%(‘寸)
При 厶》Гн, (8.87а)
a (匾干ihE^^ = 丝驴亙X
X ^hStm (Лa^, 8))1"")「(。8-^")64)при /*《一Г".
(8.876)
Здесь v ——зависящий от 0 малосущественный фазовый множитель, а верхний и нижний знаки относятся соответственно к модам ，н Эти моды зависят от спиральности h в дополнение к /, m и о». Спиральность может принимать значения 九=+1
(волны с правой круговой поляризацией) и 九=——1 (волны с левой круговой поляризацией). [В формализме Тюкольского —— Чандрасекара моды J наиболее естественным образом описываются величиной Ньюмена ——Пенроуза ^0, а моды ，一величиной 力2； моды с 用=+1 берутся такими, чтобы они имели положительную частоту(joo, а моды с 用=——1 имели отрицательную частоту. В соответствии с тем, как это принято в квантовой механике, в данной главе мы считаем, что Поо всегда положительно, и соответственно спиральность всегда представлена факторами 九，фигурирующими в левой части уравнений (8.87) и в спиновых весах (префикс угловых функций) в правой части.]
В асимптотических областях электрические и магнитные поля равны по величине и ортогональны по направлению (стандартная структура, соответствующая плоской волне). Из стан- дартного выражения £ X 5/4л для локально измеряемого потока энергии и из того факта, что каждый фотон несет локально измеряемую энергию 力о» вдали от дыры и а~!Й (doo — mQH) вблизи горизонта, мы делаем вывод, что фотонные моды, нормированные как в формулах (8.87), имеют поток фотонов С^У =± I =
=± ”氏"'11PH 厶》ГИ- (@・88а)
= 土 4^(。二吗)I % 干"母『=
=士sign(% 一加公急話方咁(《一Г"• (8.886)
Проинтегрировав по поверхности постоянного радиуса 厂*, получаем для общего числа квантов, протекающих через такую поверхность за единицу мирового времени, следующее выражение:
士祭при几》г”,士祭при几》г”,
士祭при几》г”,
士祭при几》г”,
=±山产^ при г,<-гя.(8.89)
Следует обратить внимание на сходство формул (8.87) — (8.89) для фотонных мод с формулами (8.71), (8.72), (8.77) и (8.79) для мод скалярных полей.
Весьма похожи и гравитационно-волновые моды. В терминах
<a
приливного поля 齒,измеряемого ОПН, асимптотические моды
f и J имеют следующий вид:
(此6干论苏破严加"=^^:m8m (a%, 0) X
义《的％-%^ (tkj при r^rH, (8.90а)
у гн + а
X 彳28m (aa^, 0)级•(晦+ 6。一("8-g")(‘觊)при 喙《一Г".
(8.906)
Из стандартных выражений для потока энергии гравитационных волн вдали от горизонта и из законов эволюции для растянутого горизонта [формула для приливной силы (6.80) и темпа возрастания массы (6.136а)], а также из того факта, что каждый гравитон несет энергию с учетом красного смещения 力Og, получаем следующие выражения для потоков гравитонов в модах Т и 卜 которые нормированы как в формулах (8.90):
(爲 Г"$ак"t
=士 '"(孤”厂 при г*》Гн，(8.91а)
(dN нлн 屮—тaj*
(dAdt)一 4冗力(ofg — тйя) [^ + (a^ — тйя)2]
Xa芻干ih石谷3F = ± Sign (% - mQ") X
X 急審*(8.916)
Полный темп изменения потока квантов, проинтегрированный по поверхности постоянного радиуса г*, равен
/ dN \Ф или 屮 г
丿 =± 2Г при Гф > Гн,
5 Sign (% - ^^я)
=士砺При г*《一rH,(8.92)
Отметим, что гравитационная мода со спиральностью +1 распространяется внутрь с угловым распределением +2S/^, а наружу (например, после отражения от кривизны пространства- времени дыры) с несколько иным распределением -2Sim. Для 1 = т = 2 (рис. 75) сходящиеся волны сильно концентрируются в области южного полюса, в то время как расходящиеся
волны сильно концентрируются в области северного полюса. Для спиральности ——1 угловые распределения имеют обратный
характер: волны концентрируются у северного полюса при распространении внутрь и у южного полюса при распространении наружу.
Из этих выражений, описывающих свойства мод , и j, можно получить соответствующие выражения для мод UP и IN путем очевидного обобщения скалярноволнового анализа (см. выше в разд. В.З). Однако вычисление вероятностей отражения и пропускания требует весьма сложного обобщения скалярноволнового анализа, т. е. обобщения с привлечением сложного формализма Тюкольского ——Чандрасекара. Подробнее об этом см. в работе [199] и в гл. 8 и 9 книги [36]. Оказывается, что
вероятности отражения и пропускания не зависят от спиральности; они зависят только от /, m и о», а также от массы и
углового момента дыры.
Приливное замедление вращениямедленно вращающейся черной дыры
В качестве простого примера инжекции гравитонов в атмосферу дыры из внешней Вселенной рассмотрим замедление вращения черной дыры в статическом внешнем приливном поле, вернувшись к модельной задаче, рассмотренной в разд. VII.В. Как и в рассуждениях, следующих за формулой (7.39ж), мы ограничимся рассмотрением простого случая медленно вращающейся дыры, а/М. & 1, и осесимметричного приливного поля с осью симметрии (ось г), расположенной в экваториальной плоскости дыры. Приливные поля на растянутом горизонте для данного случая (формула (7.44) ] можно переписать через моды дыры в следующем виде:
X i [— 2s2—2 (0) ?-2‘("а*-А°Увп)+ 2s22 (①讃@+Q”" А0увл)]. (8.93)
Здесь S^ ——возмущающее приливное поле в асимптотической системе покоя дыры вдали от горизонта. В формуле (8.93) использовано выражение —
2s2土2 (0) = ^/4 (1 千 COS 8)2 (8.94)
для спиновых сфероидальных гармоник в случае медленно вращающейся дыры {а/М приближенно полагается равным нулю); ср. с [81]. Поскольку 尸о = —(a”/g")lna〃 [формула (7.43)] и вблизи растянутого горизонта In а = ёнг^ + v, где v ——плав-
ная функция 0 [формулы (8.66) и (6.31в) ], то приливные поля растянутого горизонта (8.93), соответствующие распространяющимся вниз измеряемым ОПН приливным полям в атмосфере дыры, определяются формулой
X /[— 2s2—2 ®)「"$+ 屈('+ G + ”] + 2s22 ⑼濟【"Q" (' + 力 + 叫.
(8.95)
Первый член в правой части этой формулы
а2 爲а + 汤飭)s = Т дД 窖 £ 2s2 (8) °н• 口+Q" « +，*) + ”]
(8.96а)
имеет тот же вид, что и стандартное выражение (8.906) для моды I со спином s = 2 (гравитоны), спиральностью 九= +1, угловыми квантовыми числами / = 2, т =——2 и частотой с учетом красного смещения оъо = 0. Второй член
а2 (苏的 + ^)втор=^л/|^^ 2s22 (0) е2 巾 + (' +
(8.966)
имеет стандартный вид (8.906) для моды J с s = 2, Л = +1, / = 2, m = 2 и doo = 0. Он отличается от первой моды только знаком т. Каждая из этих мод имеет амплитуду, которая больше по абсолютной величине на множитель
V 5 32 M gH (2ЙЯ)1/2 V 5 4(2^HrHy12、丿
чем стандартным образом нормированные моды J (8.906), и соответственно каждая мода несет поток квантов больше на квадрат (8.97), чем в случае стандартным образом нормированных мод [формула (8.92)]:
dN&1 (Ма^У
N- = sign(8・98)
Отметим, что мода с m = —2 несет внутрь положительное число квантов [отрицательный знак в (8.98) ], в то время как мода с м = 4-2, будучи суперрадиационной, несет внутрь отрицательное число квантов. Каждый квант в этих модах имеет угловой момент тй и энергию с учетом красного смещения Й(Тоо = 0, и, когда эти кванты пересекают растянутый горизонт, они вызывают изменения массы и энтропии дыры, определяемые фор-
мулой:
Тн 豕=一 ^ = - Q” 2 (-小嘗)=呑(発手 aM)2. (8.99) т
Отметим, что это выражение согласуется с пределом медленного вращения (а/М《1) для экваториального приливного поля (0ext =冗/2)в формуле (7.50).
Если произвести квантование мод атмосферы черной дыры внутри ящика с нижней границей на высоте 之1 и верхней границей на высоте 之2, то время, необходимое для распространения квантов вниз через этот ящик, будет равно
& =矗1п(Н (8.100) соответственно каждая из двух мод J с s,瓦 /,倘，Ооо = 2, +L 2, ±2, 0 дополнительно к своим тепловым квантам будет содержать в себе следуЬщее числю квантов: ■ ] '
〈碍 +1.2±2,。)=干击(吃 Way 悬. (8.101) Пренебрегая незначительным вкладом тепловой атмосферы, мы можем рассматривать эти моды как чистые состояния. Более того, поскольку эти моды относятся к типу мод гармонического осциллятора и возбуждаются макроскопической классической силой (совокупные эффекты вращения дыры и внешнего приливного поля), их чистые состояния будут «когерентными», т. е. состояниями типа возникающих в идеальном лазере [79].
Прежде чем кванты в этих модах пересекут растянутый горизонт, они несут с собой точно нулевую энтропию, так как они соответствуют чистому состоянию. Однако, когда они пересекают растянутый горизонт, мы отбрасываем всю информацию о том состоянии, в котором они пребывают, и соответственно приписываем дыре возросшую энтропию, равную произведению kB на логарифм числа способов, которыми переносимые энергия с учетом красного смещения (нулевая) и угловой момент (отличный от нуля) могут перераспределяться между всеми модами атмосферы. Совершенно ясно, что это увеличение энтропии определяется выражением (8.99), умноженным на время А/, даваемое формулой (8.100).
Сброс энтропии в атмосферу
и вычерпывание из атмосферы невращающейся дыры
В качестве иллюстрации второго начала термодинамики в случае взаимодействия черной дыры с внешней Вселенной представим модельную задачу, которая была поставлена Уилером
и Бекенштейном [10, 12, 15, 16], но впервые была решена с учетом эффектов атмосферы дыры Унру и Уолдом [210]. Описывая эту модельную задачу в настоящей книге, мы будем следовать рассуждениям Унру и Уолда.
В данной задаче делается попытка нарушить второе начало термодинамики посредством сброса огромного количества энтропии AS из внешней Вселенной в невращающуюся дыру. При этом ставится цель, чтобы энтропии AS сопутствовало как можно меньше энергии с учетом красного смещения АМ так, чтобы энтропия дыры возрастала на величину AS” = AA1/T", меньшую, чем уменьшение ——AS энтропии внешней Вселенной. Если это удастся, то второе начало термодинамики будет нарушено.
Стратегия этой умозрительной попытки нарушить второе начало заключается в том, чтобы поместить энтропию AS и энергию ДЕ в некоторый ящик с массой Л и медленно опускать этот ящик на конце длинного шеста (предполагаемого безмас- совым) до тех пор, пока он не окажется непосредственно над горизонтом. Затем открывают ящик и сбрасывают энтропию AS и энергию ДЕ в атмосферу дыры и, наконец, поднимают пустой ящик назад к исходной точке вдали от дыры.
Можно подумать, что масса дыры увеличится на величину АМ = АЕ, которую можно сделать произвольно малой, поместив в ящик произвольно малое количество энергии ДЕ с энтропией AS. Если бы это было так, то энтропия дыры возросла бы на произвольно малую величину AS" = AE/T" и второе начало было бы нарушено. Такая наивная аргументация является ошибочной, так как она не учитывает работу (положительную или отрицательную), которая идет на опускание и поднимание ящика.
Чтобы вычислить эту работу, рассмотрим ящик в тот момент, когда он находится на высоте г (где функция длительности равна а) над горизонтом и опускается вниз очень. медленно. На высоте г на ящик действует некоторая локально измеряемая направленная вниз сила гравитации
施=(胫 + Д£) g =(胫 + АЕ) d In a/dz. (8.102)
На верхнюю поверхность ящика тепловая атмосфера дыры действует с направленной вниз силой Рй(гвеРх)Л, где Л — площадь верхней и нижней поверхностей ящика, а Ра — измеряемое ОПН давление атмосферы. Аналогично на нижнюю поверхность ящика со стороны атмосферы действует направленная вверх сила Р“(2ннжн)%・ Собственные времена, которые ОПН используют для измерения этих сил на верхней и нижней поверхностях, отличаются на аВерх/аНижн； соответственно, если привести эти силы к эффективной силе (равной темпу изменения импульса за единицу времени), приложенную к центру ящика, где
функция длительности равна а, получим результирующую направленную вниз силу со стороны атмосферы
Fa = ^Pa)^-(8.103)
Здесь V — объем ящика, и мы полагаем высоту ящика малой по сравнению с расстоянием от дыры. Если опускать ящик с высоты z до высоты z ——dz, гравитация и атмосфера выполняют результирующую локально измеряемую работу над ящиком, равную
d^ = (^g + &)dz,(8.104)
и соответственно вверх по шесту на «бесконечность» передается энергия с учетом красного смещения
dWoo = adW.(8.105)
Полную энергию с учетом красного смещения, передаваемую вверх по шесту при опускании ящика из «бесконечности» до высоты z, получим, комбинируя формулы (8.102)——(8.105) и производя интегрирование:
№^ускание =(儿 十厶£) ( 1 — а) 一 ％卜忆(8.106)
Здесь Ра и а — соответственно давление в атмосфере и функция длительности в конечной точке покоя ящика. Аналогично получаем общую энергию с учетом красного смещения, передаваемую вверх по шесту при подъеме пустого ящика назад на «бесконечность»,
^£дъем = -胫(1(8.107)
Вклад Д£ при подъеме отсутствует, так как энергия Д£ была сброшена в дыру; отсутствует и вклад PaV, так как дверца ящика теперь предполагается открытой и на него не действует выталкивающая сила давления.
Увеличение массы дыры в ходе всего эксперимента можно получить из закона сохранения энергии с учетом красного смещения:
/ масса «Ж + АЕ、 / масса
АМ = I ящика ДО 1 — ( послеI —步工усканне 一
\ опускания / V подъема /
一 Г^дъем = (АЕ + РJ) а.(8.108)
Это вполне стандартный результат для «энергии инжекции» в звездной атмосфере (см., например, с. 20 в [88] или разд. 10.7 в [237]). Точно так же как масса Я ящика выпала из этой энергии инжекции, выпала бы и масса шеста, если бы мы использовали реальный шест с конечной массой.
Если мы выберем точку инжекции высоко в атмосфере, то а будет велико и масса дыры увеличится на большую величину. Если же точка инжекции находится глубоко в атмосфере, то Раа будет велико и увеличение массы будет большим. Имеется единственное положение, в котором увеличение массы дыры и соответствующее возрастание энтропии будут минимальными; это точка, в которой d\M/dz = 0. Так как мы желаем минимизировать возрастание энтропии дыры, то произведем инжекцию именно в этой точке. Из формулы (8.108) видно, что в этой оптимальной точке инжекции
(8.109)
Для сравнения заметим, что, согласно закону гидростатического равновесия для тепловой атмосферы,
營(Ра+&)*，(8.П0)
где р“ 一(неперенормированная) плотность массы-энергии в тепловой атмосфере, измеряемая находящимися в ней ОПН. Сравнение формул (8.109) и (8.110) показывает, что оптимальная точка инжекции находится на такой высоте, где плотность массы инжектируемой материи и плотность массы атмосферы равны друг другу:
\ElV = ^a.(8.111)
Соответственно получим минимальное увеличение массы черной дыры [формула (8.108)], равное
Ш = ^а + Р^ Ж(8.112)
Так как атмосфера находится в состоянии термодинамического равновесия, ее неперенормированная плотность энтропии s“ с точки зрения ОПН выражается через ее плотность р@ и давление Ра стандартным термодинамическим соотношением
s“ =卫纥戶=卫哗負a.(8.113)
Комбинируя это соотношение с формулой (8.112), получим минимальное увеличение массы дыры
ДМ = THsaV(8.114)
и соответствующее ему минимальное увеличение энтропии
AS〃 = АА4/Т н = saV.(8.115)
Поскольку энтропия дыры возрастает как минимум на эту величину, а энтропия Вселенной уменьшается на величину AS,
содержавшуюся в ящике, суммарное изменение энтропии дыры и Вселенной составляет
AS〃 一 AS》(s“ 一 AS/丿) У.(8.116)
Чтобы убедиться в том, что оно будет неотрицательным, как и должно быть согласно второму началу термодинамики, вспомним, что в точке инжекции плотность массы-энергии материи в ящике ЛЕ/У и неперенормированная плотность массы-энергии тепловой атмосферы р@ равны друг другу. Фундаментальный результат термодинамики состоит в том, что при фиксированной плотности массы-энергии та конфигурация частиц и полей, которая создает абсолютно максимальную плотность энтропии, является полностью термализованной конфигурацией ——именно такова конфигурация (неперенормированной) атмосферы. Итак, в какой бы форме ни находились материя и поля в ящике до инжекции, они не могут иметь плотность энтропии AS/匕 превышающую плотность энтропии (неперенормированной) атмосферы Sq. Поэтому выражение (8.116) всегда неотрицательно и второе начало термодинамики соблюдается.
Как подчеркивали Унру и Уолд [210] в своем оригинальном изложении этого мысленного эксперимента, можно обратить ход эксперимента и тем самым представить «вычерпывание» энергии из атмосферы черной дыры, т. е. можно опускать пустой ящик с открытой дверцей до некоторой заданной точки в атмосфере, закрывать в этой точке дверцу и поднимать ящик назад уже заполненным тепловым излучением. Общую извлеченную таким образом энергию можно определять по формуле, аналогичной (8.108):
Д^вычерп = 一 АМ = (Ра + PJ 7а.(8.117)
В условиях идеального теплового равновесия при локально измеряемой температуре Т сумма ра + Ра определяется по формуле
Pa + Pa'^aG/t(8.118)
где а ——обычная постоянная излучения для фотонов, a Ga —— статистический вес, равный половине числа независимых бозонных типов частиц (если различные состояния спиральности считать независимыми), которые могут существовать при температуре Т, плюс 7/8 половины числа независимых фермионных типов частиц (см., например, гл. 8 книги [232]). Комбинируя формулы (8.117) и (8.118) с законом голубого смещения температуры для атмосферы Т = Т”/а, получим
4 ri
А^вычерп = — АМ 4 у aGa ~^~ V.(8.119)
Таким образом, путем «вычерпывания» энергии из глубин атмосферы, где функция длительности очень мала, можно в принципе извлекать огромное количество энергии из черной дыры. Это достигается посредством удаления из атмосферы огромного числа тепловых квантов, которые из-за наличия центробежного барьера не способны когда-либо самостоятельно уйти на бесконечность. В принципе путем такой «добычи» энергии можно вызвать сжатие дыры, значительно более быстрое, чем сжатие в результате естественного испарения.
Конечно, если подставить в эти формулы реальные числа и учесть ограниченные прочности реальных шестов, можно быстро обнаружить, что такое «вычерпывание» вряд ли будет привлекательным способом извлечения энергии из черной дыры.
Подобные мысленные эксперименты со сбросом и вычерпыванием энергии представляют собой мощный инструмент исследований, помогающий достигнуть понимания различий в восприятиях свободно падающих наблюдателей и наших статических ОПН. Однако, поскольку мембранный подход основан на точке зрения статических ОПН и не учитывает точку зрения свободно падающих наблюдателей, детальный анализ этих разных восприятий и их согласование увели бы нас далеко от целей настоящей книги. Более подробное обсуждение этого вопроса см. в статье Унру и Уолда [210].
Дополнения 6 корректуре
(К стр. /77.) Финни [153а, б, в, г] показал, что плазма электрон-позитронных пар, по-видимому, достаточно богата частицами, так что ток переносится лишь посредством крайне малого относительного движения электронов и позитронов. Другими словами, электроны и позитроны образуют проводящую электрический ток жидкость, которая непрерывно рождается искровым зазором на расстоянии 厂 порядка нескольких гн и течет из области искрового зазора как внутрь горизонта, так и наружу на бесконечность. Исходя из этих соображений, Финни применил для анализа магнитосферы релятивистскую магнитную гидродинамику (ИГД). (О том как этот МГД-анализ переводится на обозначения и язык мембранного подхода, можно прочитать в работе Чжаня [2356]). МГД-анализ воспроизводит, хотя и с другой (новой) точки зрения, результаты Блэндфорда и Знаека [22] и Макдоналда и Торна [123], предсказывающие особенности электродинамики и энергетики, и вдобавок описывает поток жидкости. В остальной части этого раздела мы рассмотрим некоторые детали варианта анализа Макдоналда и Торна, основанного на мембранной парадигме, дополняя это рассмотрение некоторыми выводами Финни и Чжаня, касающимися потока жидкости.
(К стр. /78.) При МГД-анализе, когда электрическое поле дается соотношение Е =——v X В, его тороидальная часть порождается только полоидальными составляющими скорости жидкости и магнитного поля. Как отсюда следует, обращение в нуль Ет означает, что полоидальная составляющая скорости жидкости vp параллельна полоидальному магнитному полю ВР. Этот вывод вытекает также из МГД как следствие «вморожен- ности магнитных силовых линий в плазму》.
(К стр. 184.) Лавлейс, Мак-Услан и Бернс [119] привели доводы в пользу того, что в области нагрузки ток, по-видимому, «ограничен из-за наличия пространственного заряда》. Из этого предположения они вывели, что полное сопротивление нагрузки между полярной и экваториальной областями должно быть по-
рядка 30 Ом, т. е. того же порядка, что и полное сопротивление горизонта и, следовательно, ◎尸〜х/^н. Макдоналд и Торн [123], возрождая старые аргументы из теории пульсаров, принадлежащие Голдрайху и Джулиану [82], показали, что если ARl《AR“，то соответствующее медленное вращение силовых линий, ◎尸《Q“, позволяет заряженным частицам (или плазме, в которую линии вморожены) выходить вдоль силовых линий в далекую от черной дыры область при скоростях, много меньших скорости света. В этом случае плазма является слабым препятствием для вращения силовых линий и горизонт довольно свободно может раскрутить силовые линии до больших угловых скоростей. По мере своего возрастания Q尸 приближается к критическому пределу (который в идеальном случае направленных по радиусу силовых линий равен Угйя). При этом скорость плазмы увеличивается до скорости света с тем, чтобы плазма оставалась в покое по отношению к быстродвижущимся силовым линиям, а ее инерция становится все больше и больше. Эта инерция, по-видимому, препятствует дальнейшему увеличению скорости вращения и останавливает это увеличение при Qf^1/2Q>h (и NRG、Приведенное рассмотрение имеет аналог в МГД- подходе [152]. Если QF《С”，поток жидкости на больших расстояниях от дыры будет с большим запасом дозвуковым, и по- видимому, не сможет оказать сопротивления увлечению во вращение поля дырой. При достижении ◎尸 критического значения (как и прежде, равного !/2Йн для направленных по радиусу силовых линий) скорость потока на больших расстояниях достигает скорости быстрого магнитоакустического звука (которая очень близка к скорости света). Образуется звуковой барьер, и дальнейшее возрастание ◎尸 становится невозможным.
(К стр. 185) Топология электрических эквипотенциальных поверхностей в области нагрузки (штриховые линии) позволяет предполагать, что электрические поля способны там ускорять заряженные частицы до сверхвысоких энергий, приводя к образованию пучка заряженных частиц. Этот пучок выметает нейтральное вещество вдоль своего пути и, в конце концов, приводит к возникновению выброса. Другая, вероятно, более сложная картина возникает в рамках МГД-анализа [153а, б, в, г]. В решениях Финни МГД-уравнений звуковой барьер в выходящем наружу потоке жидкости лежит внутри бессиловой области. Поэтому выходящая мощность уносится через него почти целиком в виде потока Пойнтинга, связанного с постоянными токами, и только малая часть мощности связана с движением жидкости. Финни предполагает, что где-то вдали за звуковым барьером изменения в окружающей поток среде (случайный поток из области аккреционного диска или попадание нейтральных облаков или...) могут заставить поток диссипировать. Это приводит
к исчезновению бессиловой области и возникновению нагрузки. При этом приближение идеальной МГД уже не работает, частицы будут ускоряться до высоких энергий довольно хаотическим электрическим полем (неустойчивости плазмы) и этот «нагрев частиц» может превратить основную долю энергии из потока Пойнтинга в движение жидкости ——релятивистский выброс. Дальнейшие рассуждения и детали сложной физики, которая возможна в области нагрузки, можно найти не только в работах Финни [153а, б, в, г], но и в статье [9], а также в приведенных в ней ссылках.
(К стр. 360.) До сих пор при обсуждении идеализированного состояния вакуума Хартля ——Хоукинга, для которого все моды для всех полей характеризуются в точности тепловым распределением (8.10Э, мы ограничивались лишь областью непосредственно примыкающей к горизонту черной дыры. Однако, поскольку эти моды можно распространить на всю внешнюю (по отношению к черной дыре) область, тепловое распределение (8・1(У) задает состояния полей всюду. В частности, оно приводит к тому, что ОПН, покоящийся на любом радиусе, видит идеальную тепловую атмосферу, вращающуюся с постоянной угловой скоростью. Поскольку угловая скорость атмосферы постоянна и совпадает с угловой скоростью вращения горизонта черной дыры, ее линейная скорость по отношению к локальным ОПН (т. е. по отношению к абсолютному пространству) равна V =(о(йя — со)/а . Эта локальная скорость сколь угодно мала вблизи горизонта, [так как Q” 一 о =。(壮)].Однако по мере удаления от горизонта она растет, достигая скорости света на поверхности типа «светового цилиндра» (на «поверхности световых скоростей»), окружающей черную дыру и ее ось симметрии. ОПН внутри такой поверхности и в непосредственной близости от нее видят атмосферу, движущуюся со скоростью, близкой к световой и, следовательно, для них кванты атмосферы имеют огромное синее смещение и обладают сколь угодно высокими энергиями. На поверхности световых скоростей эти энергии становятся бесконечными и, соответственно, сама атмосфера ——физически сингулярной. Эта сингулярность проявляется йе только в измерениях, выполненных ОПН, но и при формальных вычислениях в квантовой теории поля. На границе и вне поверхности световых скоростей состояние вакуума Хартля —— Хоукинга нарушает принципы квантовой теории поля [110а, 72а]. В соответствии с этим единственная возможность получить в реальной Вселенной вакуум Хартля ——Хоукинга состоит в том, чтобы не дать атмосфере выйти за пределы поверхности световых скоростей. Этого можно добиться, если окружить вращающуюся дыру непроницаемой стенкой, которая вращается с той
же угловой скоростью, что и горизонт и нагрета до той же самой (с учетом красного смещения) температуры Т〃，что и горизонт.
В гл. VIII (за исключением разд. VIII.В.2) мы ограничиваемся рассмотрением дыр без подобных стенок и поэтому будем требовать, чтобы состояние полей вне дыр отличалось от вакуума Хартля — Хоукинга. Тем не менее, как мы увидим, независимо от того как выбраны состояния полей вдали от дыры, вблизи горизонта они оказываются почти тепловыми, т. е. почти совпадают с состоянием Хартля ——Хоукинга.
Литература
Bardeen J. M. In: Black Holes, eds. DeWitt C., DeWitt B. S. (Gordon and Breach, New York), 1973.
Bardeen 丄 M., Carter 8, Hawking S. W. Commun. Math. Phys. 31, 181,
Bardeen J. M., Petterson J. 4, Astrophys. J. (Lett.) 195, L65, 1975.
Bardeen J. M., Press W. H., Teukolsky S. A. Astrophys. J. 178, 347, 1972.
Barker B. M., O'Connell R. F. Phys. Rev. D 12, 329, 1975.
Barr P, Mushotzky R.尸.Nature, 320, 421, 1986.
Barrow J. D., Tipler J. F. The Anthropic Cosmological Principle (Oxford Univ. Press, Oxford, England), Sec. 10, 1986.
Begelman M. C., Blandford A. D., Rees M. J. Nature 287, 307, 1980.
Begelman M. C., Blandford R. D., Rees M. J. Rev. Mod. Phys. 56, 255, 1984.
Bekenstein J. D. Ph. D. diss, Princeton University, 1972.
Bekenstein J. D. Lett. Nuovo Cimento 4, 737, 1972.
Bekenstein /. D. Phys. Rev. D 7, 2333, 1973.
Bekenstein J. D. Phys. Rev. D 12, 3017, 1975.
Bekenstein J. D. In: To Fulfill a Vision, Jerusalem Einstein Centennial Symposium, ed. by Y. Ne'eman (Addison Wesley, Reading, Mass.), 1979.
BekensteinJ.D.Phys.Today 33, no. 1, 24, 1980.
BekensteinJ.D.Phys.Rev., D 23, 287, 1981.
BekensteinJ.D.Phys.Rev. D 27, 2262, 1983.
Bicak J., DvorakL. Gen Relativ. Gravit. 7, 959,1978.
Bicak /., Dvorak L Phys. Rev. D 22, 2933, 1980.
Birrell N. D., Davies A. C.步.，Quantum Fields in Curved Space (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1982.
Blandford R. D. In: Active Galactic Nuclei, ed. C. Hazard and S. Mitton (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1979.
Blandford R. D, Znajek R. L Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 179, 433, 1977.
Boyer R. "., Lindquist R. W. J. Math. Phys. 8, 265, 1967.
Braginsky V. B., Caves C. M., Thorne K. S. Phys. Rev. D 15, 2047, 1977.
Брагинский В. Б., Полнарев А. Г. Письма в ЖЭТФ, 31, 444, 1980.
Braginsky V. A, Polnarev 4 G., Thorne К. £ Phys. Rev. Lett. 53, 863, 1984.
Bridle A. "., Perley R. A. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 22, 319, 1984.
Candelas P. Phys. Rev. D 21, 2185, 1980.
Candelas P., Deutsch D. Proc. Roy. Soc. London A 354, 79, 1977.
Candelas P, Deutsch D. Proc. Roy. Soc. London A 362, 251, 1978.
Carr B. J. Astrophys. J. 206, 8, 1976.
Carter B. In: Black Holes, eds. DeWitt C., DeWitt B. S. (Gordon and Breach, New York), 1973.
Carter B. In: General Relativity. An Einstein Centenary Survey, ed„ S. W. Hawking and W. Israel (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 294, 1979.
Chandrasekhar S. Astrophys. J. 158, 45, 1969.
Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium (Yale University Press, New Haven), 1969. [Имеется перевод: Чандрасекар Ч. Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир, 1973.]
Chandrasekhar S. The Mathematical Theory of Black Holes (Clarendon Press, Oxford, England), 1983. [Имеется перевод: Чандрасекар Ч. Математическая теория черных дыр. Т. 1—2. — М.: Мир, 1986.]
Chandrasekhar S., Detweiler S. L Proc. Roy. Soc. London A 344, 441, 1975.
Christodoulou D. Phys. Rev. Lett. 25, 1596, 1970.
Christodoulou D., Ruffini R. Phys. Rev. D 4, 3552, 1971.
Chrzanowski P. L. Phys. Rev. D 11, 2042, 1975.
Chrzanowski P. L. Phys. Rev. D 13, 806, 1976.
Ciufollini 7. Phys. Rev. Lett. 56, 278, 1986.
Cohen J. M., Kegeles L S. Phys. Lett. 54A, 5, 1975.
Cohen J. M., Wald R M. J. Math. Phys. 12, 1845, 1971.
Copson E. T. Proc. Roy. Soc. London A 118, 184, 1928.
Cunningham С. T., Price R H., Moncrief Astrophys. J 236, 674, 1980.
Damour T. Ann. N. Y. Acad. Sci. 262, 113, 1975.
Damour T. Phys. Rev. D 18, 3598, 1978.
Damour T. Ph. D. diss., University of Paris VI, 1979.
Damour T. In: Proceedings of the Second Marcel Grossman Meeting on General Relativity, ed. R. Ruffini (North-Holland, Amsterdam), 587, 1982.
Davies P. C. W. J. Phys. A 8, 609, 1975.
Davis M., Ruffini R., Press W. "., Price R H. Phys. Rev. Lett. 27, 1466, 1971.
D'Eath P. D. Phys. Rev. D 11, 1387, 1975.
D'Eath P. D. Phys. Rev. D 18, 990, 1978.
de la Cruz V., Chace J. E., Israel W. Phys. Rev. Lett. 27, 423, 1970.
de Sitter W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 77, 155, 1976.
Detweiler S. L. Proc. Roy. Soc. London A 352, 381, 1977.
Detweiler S. L. Astrophys. J. 225, 687, 1978.
Detweiler S. L In: Sources of Gravitational Radiation, ed. L. Smarr (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 211, 1979.
Detweiler S. L. Astrophys. J. 239, 292, 1980.
DeWitt C., DeWitt B. S. Black Holes (Gordon and Breach, New York),
Dyson E J. Rev. Mod. Phys. 51, 447, 1979.
Eddington A. S. Nature 113, 192, 1924.
Edelstein L. A., Vishveshwara С. V. Phys. Rev. D 1, 3514, 1970.
Einstein 4, Infeld L., Hoffman B. Ann. Math. 39, 65, 1938.
Elliott J. L., Shapiro S.工.Astrophysics J. (Lett.), 192, 13, 1974.
Everitt C. W. F. In: Experimental Gravitation, ed. B. Berto饰(Academic Press, New York), 331, 1974.
Ferraro V. C. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 97, 458, 1937.
Finkelstein D. Phys. Rev. 110, 965, 1958.
Fomalont E. B. In: Origin of Cosmic Rays, IAU Symposium no. 94, ed. G. Setti, G. Spada, and A. W. Wolfendale (Reidel, Dordtecht), HI, 1981.
Forward R. L. Proc. IRE, 49, 892, 1961.
72a. Frolov V. P., Thorne ^. S. In press, 1988.
Frolov V. P., Thorne ^. S. Phys. Rev. D. In press, 1988.
Frolov V. P., ZeUnikov A. /. In: Proceedings of the Third Seminar on Quantum Gravity (World Scientific, Singapore and Philadelphia), 413, 1985.
Fulling S. A. Phys. Rev. D 7, 2850, 1973.
Gerlach U. H. Phys. Rev. D 14, 1479, 1976.
Geroch R., Hartle J. B. J. Math. Phys. 23, 680, 1982.
Gibbons G. IF., Perry M. /. Proc. Roy. Soc. London A358, 467, 1978.
Гинзбург В. Л., Озерной 〃• М. ЖЭТФ, 47, 1030, 1964.
Glauber R. /. In： Quantum Optics and Quantum Electronics, ed. S. DeWitt et al. (Gordon and Breach, New York), p. 163, 1965.
Godin G. The Analysis of Tides (University of Toronto Press, Toronto), 1972.
Goldberg J. M, McFarlane A. /., Newman E. T., Rohrlich F., Sudarshan E C. G. J. Math. Phys., 8, 2155, 1967.
Goldreich P, Julian 忆 H. Astrophys. J. 157, 869, 1969.
Gross D. /., Perry M. /., Yaffe L G. Phys. Rev. D 25, 1330, 1982.
Hajicek P. Commun. Math. Phys. 34, 37, 53, 1973.
Hajicek P. Commun. Math Phys. 36, 305, 1974.
Hanni R. S., Ruffini R. Phys. Rev. D 8, 3259, 1973.
Hanni R. S., Ruffini R. Lett. Nuovo Cimento 15, 189, 1976.
Harrison B. ^., Thorne K. S., Wakano AL, Wheeler J. A. Gravitation Theory and Gravitational Collapse (Univ, of Chicago Press, Chicago), 1965. [Имеется перевод: Уилер Дж., Гаррисон 6., Вакано М., Торн /<. Теория гравитации и гравитационный коллапс. — М.: Мир, 1967.]
Hartle /.В.Phys. Rev. D8, 1010, 1973.
Hartle J.8.Phys. Rev. D9, 2749, 1974.
HatchettS.P, BegelmanM. C, Sar azinC.Astrophys. J. 247, 677, 1981.
Я aw kingS.W. Phys. Rev.Lett. 26, 1344,1971.
Hawking S. W. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 152, 75, 1971.
Hawking S. W. Commun. Math. Phys. 25, 152, 1972.
Hawking S. W. In: Black Holes, eds. DeWitt C., DeWitt B. S., (Gordon and Breach, New York), 1973.
Hawking S. W. Nature '248, 30, 1974.
Hawking S. W. Commun. Math. Phys. 43, 199, 1975.
Hawking S. W. Phys. Rev. D 13, 191, 1976.
Hawking S. W. In: Relativity, Groups, and Topology, ed. B. S. DeWitt and R. Stora (North-Holland, Amsterdam), 1984.
Hawking S. W., Ellis G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1973. [Имеется перевод: Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. —М.: Мир, 1977.]
Hawking S.忆，Hartle 丄及 Commun. Math. Phys. 27, 283, 1972.
Hazard C. In: Active Galactic Nuclei, ed. C. Hazard and S. Mitton (Cambridge Univ. Press. Cambridge, England), 1979.
Hine R. G, Longair M. S. Mon. Not. Roy. Astron Soc. 188, 111, 1979.
Hunstead A.呼.，Murdoch H. S., Condon 丄 /., Philips M. M. Mon. Not. Roy Astron. Soc. 207, 55, 1984. ”
Isaacson R. 4, Phys. Rev： 166, 1272, 1968.
Islam J. N. The U出mate Fate of the Universe (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1983.
Israel W. Nuovo Cimento 44B, 1, and corrections in 48B, 463, 1966.
Israel W. Phys. Rev. 164, 1776, 1967.
Israel W. Commun. Math. Phys. 8, 24 5, 1968.
Israel W. Phys. Lett. 57A, 107, 1976.
110a. Kay B., Wald R. M. In preparation, 1987.
King A. R., Lasota J. P. Astro口. Astrophys. 58, 175, 1977.
Kinnersley W. J. Math. Phys. 10, 1195, 1969.
Kittel C. Elementary Statistical Physics (Wiley, New York), 1958.
Kuhn T. S. The Structure of Scientific Revolutions, 2nd ed. (Univ, of Chicago Press, Chicago), 1970. [Имеется перевод: Кун T. Структура научных революций. — М.: Прогресс, 1975.]
Ландау Л. Д., Лафишц Е. М. Статистическая физика, ч. L изд. 3-е, доп. — М.: Наука, 1976.
Lightman А.尸.，Press W. "., Price R. 〃.，Teukolsky S. 4 Problem Book in Relativity and Gravitation (Princeton Univ. Press, Princeton), problem 12.2. [Имеется перевод: Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюколь- ски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации.—М.: Мир, 1979.]
Linet В. J. Phys. А 9, 1081, 1976.
Lipa J. 4, Fairbank W.血，Everitt C. W. F. In: Experimental Gravitation, ed. B. Bertotti (Academic Press, New York), 361, 1974.
Lovelace R. V. E, MacAuslan /., Burns M. In: Proceedings of La Jolla Institute Workshop on Particle Acceleration Mechanism in Astrophysics, ed. J. Arons, C. Max, and C. McKee (AIP, New York), 1979.
Macdonald D. A. Ph. D. diss., California Institute of Technology, Pasadena, 1983.
Macdonald D. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 211, 313, 1984.
Macdonald D. 4, Suen W.-M. Phys. Rev. D 32, 848, 1975.
Macdonald D. A., Thorne K. S. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 198, 345, 1982.
Manasse F. K., Misner C. W., J. Math. Phys., 4, 735, 1983.
Meixner /., Schafke F. W. Mathieusche Functionen und Spharoidfunctionen (Springer-Verlag, Berlin), 1954.
Messiah A. Quantum Mechanics, Vol. 1 (North-Holland, Amsterdam), 1981.
Miller J. S. Astrophysics of Active Galaxies and Quasistellar Objects (University Science Books, Mill Valley, California), 1985.
Misner C. W. Phys. Rev. Lett. 28, 994, 1972.
Misner C.取，Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation (Freeman, San Francisco), 1973. [Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К・,Уилер Дж. Гравитация, т. 1—3. — М.: Мир, 1977.]
Moncrief V. Ann. Phys. 88, 323, 1974.
Morse 立 M. Thermal Physics (Benjamin, New York), 1962.
Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics (McGraw-Hill, New York), 1953.
Newman F.「.，Penrose R. J. Math. Phys. 3, 566, 1982.
Nt W.-T., Zimmermann M. Phys. Rev. D 17, 1473, 1978.
Новиков И. Д., Фролов В.力.Черные дыры. — М.: Наука, 1986.
Novikov /. D., Thorne К. S. In: Black Holes, eds. DeWitt C., DeWitt B. S. (Gordon and Breach, New York), 1973.
Officer С. B. Physical Oceanography of Estuaries (Wiley, New York), 1976.
Oppenheimer J. R., Snyder ". Phys. Rev. 56, 455, 1939. [Имеется перевод: Оппенгеймер Дж., Снайдер Г. Эйнштейн и его теория гравитации: Сб. статей к 100-летию со дня рождения. — М.: Мир, 1979.]
Paczynski В., Wiita Р. /. Astron Astrophys. 88, 23, 1980.
Page D. N. Phys. Rev. D 13, 198, 1976.
Page D. N. Phys. Rev. D 14, 3260, 1976.
Page D. N. Phys. Today 30, no. 1, 11, 1977.
Page D. N. Gen. Relativ. Gravit. 13, 1117, 1981.
Page D. N. Phys. Rev. D 26, 947, 1982.
Page D. N. Phys. Rev. Lett. 50, 1013, 1983.
Paik H.-J. IEEE Trans. Geoscience and Remote Sensing, Spec. Iss. on Satellite Geodynamics GE-24, 527, 1985.
Penrose R. Phys. Rev. Lett. 14, 57, 1965.
Penrose R. Analysis of the Structure of Spacetime, Adams Prize Essay, unpublished; 1966.
Penrose R. In: Battelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, ed. C. DeWitt and J. A. Wheeler (Benjamin, New York), 1968.
Petterson J. A. Astrophys. J. 214, 550, 1977.
Petterson /. A. Astrophys. J. 226, 253, 1978.
Phinney Е. S. In: Proceedings of the Torino Workshop on Astrophysical ^扇 ed. A. Ferrari and A. G. Pacholczyk (Reidel, Dordrecht, Holland),
153a. Phinney E. S. Ph. D. diss. Univ, of Cambridge, 1983.
Phinney E. S. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., in press, 1988.
153b. Phinney E. S. In preparation, 1988.
153r. Phinney E. S. In preparation, 1988.
Piran T. In: Gravitational Radiation, ed. N. Dereulle and T. Piran (North- Holland, Amsterdam), 11, 1982.
PIrani F. A. E. Proc. Roy. Soc. London A 252, 96, 1959.
Pollock M. D. Proc. Roy. Soc. London A 350, 239, 1976.
Pollock M D. Ph. D. diss. Univ, of Cambridge, 1977.
Porcas R. W. In: Active Galactic Nuclei, ed. J. E. Dyson (Manchester Univ. Press, Manchester), 1985.
Press W. H. Astrophys. J. (Lett.) 170, L105, 1971.
Press W. "., Teukolsky S. A. Nature 23B, 211, 1972.
Press W. "., Teukolsky S. A. Astrophys. J. 185, 649, 1973.
Price R. "., Phys. Rev. D 5, 2419, 2439, 1972.
Price R. H., Thorne K. S. Phys. Rev. D 33, 915, 1986.
Pringle J. £. Annu. Rev. Astron. Astrophys. 19, 137, 1981.
Pringle J. E, Rees M J. Astron. Astrophys. 21, 1, 1972.
Prior C. R. Proc. Roy. Soc. London A 354, 379, 1977.
Prior C. R. Proc. Roy. Soc. London A 355, 1, 1977.
Readhead A. C. S., Cohen M. "., Blandford R. D. Nature, 178, 347, 1978.
Redmount 1. H. Ph. D. diss., California Institute of Technology, Pasadena, 1983.
Rees 丄 Ann. N. Y. Acad. Sci. 302, 613, 1977.
Regge「.，Wheeler J. 4 Phys. Rev. 108, 1063, 1957.
Rindler W. Am. J. Phys. 34, 1174, 1966.
Ruderman M, Sutherland P. G. Astrophys. J. 196, 51, 1975.
Ruffini R., Wilson J. R. Phys. Rev. D 12, 2959, 1975.
Sachs R. k. Proc. Roy. Soc. London A 264, 309, 1961.
Sachs R. K. Proc. Roy. Soc. London A 270, 103, 1962.
Sasaki M., Nakamura T. Phys. Lett. 89A; 68, 1982.
Sasaki M., Nakamura T. Prog. Theor. Phys. 67, 1788, 1982.
Schutz B. F. Geometrical Methods of Mathematical Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1980.
Sciama D. W., Candelas P., Deutsch D. Adv. Phys. 30, 327, 1981.
Scully M. O. In: Laser Spectroscopy IV, ed. H. Walther and K. W. Rothe (Springer-Verlag, Berlin), 27, 1979.
Shakura N. /., Sunyaev A 4 Astron. Astrophys. 24, 337, 1973.
Shapiro S. L. Astrophys. J. 180, 531, 1973.
Shapiro S. L. Astrophys. J. 185, 69, 1973.
Шварцман A ⑦.Астрон. ж., 48, 479, 1971.
Sloan J. H., Smarr I. In: Numerical Astrophysics, ed. J. M. Centrella, J. M. LeBlanc, and D. L. Bowers (Jones and Bartlett, Boston), 52, 1985. [Имеется перевод: Численное моделирование в астрофизике./Под ред. Дж. Сентрелла, Дж. ле Бланка, Д. Бауэрса. — М.: Мир, 1988.]
Smarr L. Phys. Rev. D 7, 289, 1973.
Smarr L. Phys. Rev. Lett., 30, 71, 1973.
Smarr L, ed. Sources of Gravitational Radiation (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1979.
Smythe 呼.R. Static and Dynamic Electricity (McGraw-Hill, New York), 1950.
Stark R.尸.，Piran T. In: Dynamical Spacetimes and Numerical Relativity, ed. J. M. Centrella (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1986.
Старобинский A. 4, ЖЭТФ, 64, 48, 1973.
Старобинский A. 4, 7 у рилов С. M.氷 ЗТ ①，65, 3, 1973.
Suen Г.-М, Phys. Rev. D, 34, 3633, 1986.
Suen W.-M., Price R. H., Redmount /. H. Phys. Rev. D, in press, 1988.
Teukolsky S. A. Phys. Rev. Lett. 29, 1114, 1972.
Teukolsky S. 4 Astrophys. J. 185, 635, 1973.
Teukolsky S. 4 Ph. D. diss., California Institute of Technology, Pasadena, 1973.
Teukolsky S. 4, Press W. H. Astrophys. J., 193, 443, 1974.
Thirring H., Lense J. Phys. Z. 19, 156, 1978.
Thorne K・ S. In: Magic Without Magic: John Archibald Wheeler, ed. J. Klauder (Freeman, San Francisco), 1973.
Thorne ^. S. Rev. Mod. Phys. 52, 299, 1980.
Thorne ^. S. In: Gravitational Radiation, ed. N. Dereulle and T. Piran (North-Holland, Amsterdam), 1, 1982.
Thorne K. S. In: Near Zero, Festschrift for William M. Fairbank, ed. C. W. F. Everitt (Freeman, San Francisco), 1986.
Thorne K. S., Hartle J. B. Phys. Rev. D 31, 1815, 1985.
Thorne K. S., Macdonald D. A. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 198, 339, 1982.
Tolman R. C. The Principles of Statistical Mechanics (Clarendon Press, Oxford), 1938.
Trahan D, Landsberg P. T. Collective Phenomena 3, 81, 1980.
Unruh W. Phys. Rev. D 14, 870, 1976.
Unruh 呪，Wald R. M. Phys. Rev. D 25, 942, 1982.
Unruh F., Wald R. M. Phys. Rev. D 29, 1047, 1984.
Van Pattern R. 4, Everitt C. W.尸.Phys. Rev. Lett. 36, 629, 1976.
Vilenkin 4 Phys. Rev. D 23, 852, 1981.
Wald R. M. J. Math. Phys. 14, 1453, 1973.
Wald R. M. Phys. Rev. D 10, 1680, 1974.
Wald R. M. Commun. Math. Phys. 45, 2, 1975.
Weyl H. Ann. Phys. (Germany) 54, 117, 1917.
Weyl H. Ann. Phys. (Germany) 59, 185, 1919.
Wheeler J. A. In: Relativity, Groups, and Topology, ed. C. DeWitt and B. S. DeWitt (Gordon and Breach, New York), 1964.
Wheeler /. A. Am. Sci., 56, 1, 1968.
Wheeler J. 4 In: Battelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, ed. C. DeWitt and J. A. Wheeler (Benjamin, New York), 1968
Whiting B, In preparation, 1988.
Wiita P. J. Phys. Rep. 123, 117, 1985.
Wilkins D. Phys. Rev. D 5, 814, 1972.
Will С. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England), 1981. [Имеется перевод: Уилл К. М. Теория и эксперимент в гравитационной физике.——М.: Энергоатомиз- дат, 1985.]
Wilson J, R. Proc. Seventh Texas Symp. on Relativistic Astrophysics, in Ann. N. Y. Acad. Sci., 262, 123, 1974.
Уо№ J. W. Phys. Rev. D 28, 2929, 1963.
Зельдович Я. £ Письма в ЖЭТФ, 14, 270, 1971.
Зельдович Я. £ ЖЭТФ, 62, 1076, 1972.
Зельдович Я. £, Новиков И. Д. УФН, 84, 377, 1965.
Зельдович Я. £, Новиков И. Д. УФН, 86, 477, 1965.
Зельдович Я. 5., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд.— М.: Наука, 1971.
Zerilli 尸.丄 Phys. Rev. D 2, 2141, 1970.
Zhang X-H. Phys. Rev. D 31, 3130, 1935.
235a. Zhang X.-H. Phys. Rev. D, 34, 991, 1986.
2356. Zhang X.-H. Phys. Rev. D, submitted, 1988.
Znajek R. L. Ph. D. diss., Univ, of Cambridge, 1976.
Znajek R. L. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 185, 833, 1978.
Znajek R. L. Black Holes, Apparent Horizons, Entropy, and Temperature. Unpublished manuscript, Univ, of Cambridge, 1981.
Znajek R. L. A Hartle-Hawking Formula for Apparent Horizons. Unpublished manuscript. Univ, of Cambridge, 1984.
Zurek F. H. Phys. Lett. 77A, 399, 1980.
Zurek W. H. Phys. Rev. Lett. 49, 1683, 1982.
Zurek W. "., Thorne K. S. Phys. Rev. Lett. 54, 2171, 1985.
Оглавление
Предисловиередакторов перевода 5
Предисловиек русскому изданию6
Предисловиередакторов 7
Введение: Мембранный подход. Р. Прайс, К. Торн 9
Невращающиеся и медленно вращающиеся черные дыры. Д. Макдо
налд, Р. Прайс, Вэй Мо Сюэн, К. Торн 24
3 + 1-расщепление шварцшильдовского пространства-времени 24
Б. 3 + 1-расщепление законов физики вне невращающейся черной дыры . . . 28
Растянутый горизонт невращающейся или медленно вращающейся черной дыры .42
Г. Модельные задачи в случае невращающихся и медленно вращающихся черных дыр58
Быстро вращающиеся черные дыры. К・ Торн, Р. Прайс, Д. Макдоналд, Вэй Мо Сюэн, Сяо Хи Чжань 89
3 + 1-расщепление пространства-времени Керра ....... 89
Б. 3 + 1-расщепление законов физики вне вращающейся черной дыры 106
Растянутый горизонт вращающейся дыры123
Г. Модельные задачи для вращающихся черных дыр132
Астрофизические приложения электродинамики черных дыр. Д. Макдоналд, К. Торн, Р. Прайс, Сяо Хи Чжань156
Наблюдаемые свойства квазаров и активных ядер галактик . . 157
Б. Диск и направленность выбросов за счет гравитомагнитных сил 160
Качественные свойства магнитосферы черной дыры169
Г. Структура и энергетика стационарной осесимметричной магцито- сферы: процесс Блэндфорда — Знаека177
Гравитационное взаимодействие черной дыры с удаленными телами.
Дж. Хартль, К. Торн, Р. Прайс156
А. 3 + 1-расщепление законов гравитационного взаимодействия . . 187
Б. Модельные задачи о прецессии черных дыр .217
Гравитационное взаимодействие черной дыры с близлежащим веществом. Р. Прайс, К. Торн, И. Редмаунт229
Основные понятия . . 230
Б. Гравитационные возмущения вне растянутого горизонта . . . 325
Строение и эволюция растянутого горизонта . 248
Модельные задачи для гравитационных возмущений черных дыр.
尸.Прайс, И. Редмаунт, Вэй Мо Сюзн, К. Торн, Д. Макдоналд,
Р. Краули295
Квазистационарные взаимодействия черной дыры ...... 295
Б. Вращающиеся возмущения306
Замедление вращения черной дыры во внешнем приливном поле 313
Г. Процессы в черной дыре: извлечение энергии, суперрадиация и квазинормальные моды 326
Д. Модельные задачи с радиально движущимися частицами . .333
II. Тепловая атмосфера черной дыры. К. Торн, В. Зурек, Р. Прайс . . 345
Историческое введение.. 345
Б. Физические законы, управляющие атмосферами черных дыр . . 354
Модельные задачидляатмосфер черных дыр387
Дополнения 416
Литература420
Научное издание
Кип Торн, Ричард Прайс, Дуглас Макдоналд и др.
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
МЕМБРАННЫЙ ПОДХОД
Заведующий редакцией проф. А. Н. МатвеевЗам. зав. редакцией С. М. ЖебровскийНаучный редактор М. Ф. Путов
М.л. редакторы В. И. Аксенова, И. А. ЗиновьеваХудожник А. А. ЛукьяненкоХудожественный редактор К. В. РадченкоТехнический редактор И. М. КренделеваКорректор С. А. Денисова
ИБ № 6745
Сдано в набо 24.02.88. Подписано к печати 18.08.88.
Формат 60X90716- Бумага кн.-журн.
Печать высо ^ая .Гарнитура латинская.
Объем 13,50 бум. л. Усл. печ. л. 27,00. Усл. кр.-отт. 27,00. Уч.-изд. л. 27,90.Изд. № 2/5998. Тираж 3800 экз. Зак. № 3042. Цена 4 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» В/О «Союзэкспорткнига» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано с набора Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29 в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.
①,создаваемом телом Д, а второе слагаемое появляется из-за
приливной силы ——齒;}£夕玄，определяемой формулой (5.57).
Черные дырм £
мембраннь)Я
подход
Издательство «Мир»
Black Holes:
The Membrane Paradigm
Edited by
Kip S. Thorne
Richard H. Price
Douglas A. Macdonald
Yale University Press
New Haven and London
Черные дыры мембранный подход
Под редакцией
К. Торна, Р. Прайса, Д. Макдоналда
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук А. Г. Полнарева
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. И. Д. Новикова, д-ра физ.-мат. наук В. П. Фролова
Москва «Мир» 1988
ББК 22.63
449 УДК 52.531
Авторы: Прайс Р., Торн К., Макдоналд Д., Вэй Мо Сюэн, Сяо Хи Чжань, Хартль Дж., Редмаунт И., Краули Р., Зурек В.
Черные дыры: Мембранный подход： Пер. с англ./Под 449 ред. К. Торна, Р. Прайса, Д. Макдоналда.——М.: Мир, 1988.— 428 с., ил.
ISBN 5-03-001051-3
В коллективной монографии видных американских специалистов подобно изложен новый подход к анализу физических свойств черных дыр, позволяющий описать явления в сильном гравитационном поле черной дыры на языке, привычном для физиков-нерелятивистов и астрофизиков. Горизонт черной дыры представляется как обычная поверхность, наделенная такими свойствами, как электропроводность, индуктивность, сопротивление и т. д. Помимо электродинамики черных дыр в книге содержится анализ их взаимодействия с другими объектами и рассматриваются свойства тепловой атмосферы.
Для специалистов в области теоретической физики, астрофизики и прикладной математики, включая студентов старших курсов и аспирантов.
ЧЧ1604030000—02804П0П—881604030000—02804П0П—8845—89, ч. 145—89, ч. 1ББК 22.63ББК 22.63
Ч
Ч
1604030000—028
04П0П—88
1604030000—028
04П0П—88
45—89, ч. 1
45—89, ч. 1
ББК 22.63
ББК 22.63
РеОак屮л兄 литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-001051-3 (русск.)© 1986 by Yale University
ISBN 0-300-03769-4 (англ.)© перевод на русский язык,《Мнр》，1988
В течение последних десятилетий в астрофизике были открыты объекты качественно нового типа 一 небесные тела, в которых эффекты релятивистской теории тяготения Эйнштейна играют определяющую роль. Это нейтронные звезды ——пульсары, рентгеновские источники в двойных звездных системах, интерпретируемые как черные дыры и, наконец, активные галактические ядра и квазары, в центрах которых, вероятно, находятся сверхмассивные черные дыры массой до 109 М。，①н- зические процессы в окрестностях сверхмассивных черных дыр обеспечивают энерговыделение порядка 1047 эрг/с и, таким образом, эти объекты, вероятно, являются наиболее мощными источниками энергии в наблюдаемой Вселенной.
В течение определенного периода после возникновения рел51- тивистской астрофизики как науки у нас в стране существовал относительный дефицит соответствующей специальной литературы. Это в полной мере относится и к теории черных дыр. Однако в последнее время этот дефицит в значительной мере восполнен, в частности, монографиями, отмеченными в предисловии автора к русскому изданию. Книга, предлагаемая вниманию читателя, также относится к релятивистской астрофизике и посвящена проблеме черных дыр. Она, однако, выделяется из ряда монографий по этой тематике. Особенность этой книги состоит в том, что в ней представлен принципиально новый подход к старой проблеме. Применение теории черных дыр и ОТО в астрофизике затрудняется, во-первых, новизной представлений о пространстве и времени, непривычных для астрофизиков, и, во-вторых, сложностью математического аппарата четырехмерного тензорного анализа, который нередко имеет отвлеченный характер и неудобен для конкретных приложений. Поэтому авторы данной монографии ——авторитетные в своей области специалисты ——поставили целью построение математического аппарата, позволяющего описывать физические процессы в окрестностях черных дыр на основе привычных для астрофизиков понятий.
Можно выразить уверенность, что перевод этой книги придаст новый импульс развитию релятивистской астрофизики в нашей стране и будет полезным для многих физиков-теоретикоз, астрофизиков и специалистов по прикладной математике, в том числе для студентов старших курсов и аспирантов.
Я. Д. Новиков В. П. Фролов