Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Системыкоординатикинематика континуума 27
Координаты, законы движения, системы координат исистемыотсчета 27
Пространство-время в ньютоновской механике и преобразования Галилея 31
Пространство-время в специальной теории относительности. Преобразования Лоренца 33
Пространство-время в общей теории относительности 40
Специальные системы отсчета и некоторые геометрические характеристики в СТО и ОТО 42
О формуле Гаусса—Остроградского 53
Собственное голономное глобальное время для выделенной сопутствующей системы отсчета 56
«Парадокс» близнецов 60
Четырехмерная скорость 63
Четырехмерное ускорение. Уравнения геодезических 66
Тензор деформаций и тензор скоростей деформаций как характеристики движения сплошной среды 75
§ 12, Система координат Ферми 79
Тетрада Ферми——Уолкера. Собственная тетрада. Связь между трехмерным и четырехмерным ускорениями 83
Решение задачи инерциальной навигации в инерциальной системе отсчета в СТО и в системе координат Ферми в ОТО 91
Решение задачи инерциальной навигации в системе отсчета произвольного наблюдателя в СТО и ОТО 94
Физический смысл показаний акселерометра и основные принципы инерциальной навигации 97
Глава II. Вариации скалярных, векторных и тензорных функций 107
Общие замечания о варьировании 107
Вариация закона движения 108：
Варьирование базисных векторов Ш
Вариации векторов и тензоров 11&
Некоторые специальные виды вариаций векторов и тензоров 123
Вариации, сохраняющие инвариантными скалярные функции 127
Варьированиетензоров в ОТО 130
Варьирование параметрически задаваемых тензорных функций 132
Глава 111. Исходные методы построения динамических .и термодинамических теорий 135
Общие предварительные замечания о моделировании 135
Модель материальной точки 137
Гравитация и моделирование пространства и времени 145
Релятивистская теория полета ракеты 153
Термодинамические параметры состояния 164
Первое и второе начала термодинамики. Энергия термодинамической системы 167
Базовое вариационное уравнение 173
Система уравнений Эйлера и уравнений состояния для моделей сплошных сред в СТО 189
Применение вариационного уравнения к построению моделей сплошных сред в ОТО 200
Условия на поверхностях сильных разрывов 209
Тензоры энергии-импульса для некоторых специальных моделей сплошных сред 215
Модели пластин, оболочек, стержней 220
Глава IV. Модели сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем 233
Вводные замечания о характерных параметрах электромагнетизма 233
Энергетические уравнения и вариационное уравнение для электромагнитного поля и вещества 242
Система уравнений механики и электродинамики в специальной теории относительности 249
Некоторые релятивистские модели сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем 256
Примеры тензора энергии-импульса электромагнитного ноля 264
ПРЕДИСЛОВИЕ
Монография посвящена изложению общих принципов коне口 руирования моделей сплошн1ых сред в ньютоновской механике, а также в специальной и общей теориях относительности.
К настоящему цремени в механике сплошных сред существует достаточно много общепринятых и хорошо исследованных моделей, позволяющих решать с необходимой степенью точности довольно много практически важных задач. К таким классическим моделям относятся модели ид(еальной сжимаемой и несжимаемой жидкости, вязкой жидкости Навье——Стокса, модели идеальных упругих и пластических сред. Однако в последнее время в практике все чаще встречаются задачи, в которых нельзя ограничиться использованием обычных, ранее рассматриваемых свойств материалов (упругостью, вязкостью, пластичностью) и необходимо рассматривать такие свойства, как непосредственное взаимодействие материалов с электромагнитными полями,, излучением и т. д. При этом часто реализуются такие физические условия, что обычные материалы проявляют свойства, которые не могут быть описаны с помощью имеющихся моделей. Возможность ставить и, главное, эффективно решать усложненные макроскопические задачи, моделируемые в рамках механики сплошных сред, появилась в последнее время в связи с развитием ЭВМ. С другой стороны, в последнее время появилось много новых, искусственно созданных материалов, поведение которых не может быть описано на основании классических, (н, вообще, имеющихся) моделей сплошных сред. К таким материалам можно отнести различные пластмассы, композитные материалы, микронеоднородные среды, ферромагнитные жидкости, поляризующиеся и намагничивающиеся среды и т. д. Во многих новых технологических процессах свойства таких материалов в экстремальных физических условиях являются существенными и определяющими. Все это делает проблему построения математических моделей сплошных сред с усложненными физико-химическими свойствами в наше время весьма важной и актуальной.
Необходимо отметить, что поел едова тел ьное и достаточно* строгое описание перечисленн!ых явлений и процессов требует явной формулировки и тщательного анализа постулатов, лежащих в основании механики сплошных сред, без котцрого можно обойтись при конструировании ряда классических моделей
сплошных сред (достаточно упомянуть лишь такой факт, что в линейной теории упругости обычно не вводится такое фундаментальное понятие механики сплошных сред, как лагранжева система координат).
В монографии в явном виде формулируются основные исходные постулаты механики сплошных сред, а также фундаментальные физические утверждения, лежащие в основах физических моделей, в частности понятия о пространстве-времени и ряд понятий, необходимых при описании явлений гравитации и электромагнетизма. Обращается внимание на то, что в естественных науках *всегда приходится иметь дело с мысленно изобретенными моделями, которые, как правило, пригодны для описания действительности только в некотором приближении и в некоторых диапазонах. В связи с этим ясно, что иногда бытующая точка зрения, состоящая в том, что некоторые уравнения механики и физики (а следовательно, и их точные решения) адекватно отвечают действительности, неверна, так как точное решение дифференциальных уравнений является лишь точным описанием выбранной модели, а вовсе не точным описанием действительности.
Материал, изложенный в книге, является результатом исследований по проблемам конструирования моделей континуумов, проводимых в МГУ им. М. В. Ломоносова и МИАН им. В. А. Стеклова. Работа по составлению настоящей монографии стимулировалась исследованиями большого числа научных сотрудников, в результате обсуждений с которыми возникла благоприятная атмосфера, способствовавшая совершенствованию излагаемых в монографии точек зрения на проблемы моделирования в механике сплошных сред.
Глава I написана Л. И. Седовым, главы II и III Л. И. Седовым и А. Г. Цыпкиным совместно, глава IV — А. Г. Цыпкиным.
Авторы считают, своим долгом выразить благодарность А. Т. Ильичеву за помощь, оказанную в составлении текста § 8, 14, 15 главы I, В. Г. Сутырину и Ле Хань Чау в составлении текста § 12 главы III, а также И. М. Веселовской и Н. В. Моругиной, выполнившим большую работу по подготовке рукописи.
ВВЕДЕНИЕ
Для научного описания механических и вообще физических объектов необходимо пользоваться теоретическими моделями, в основе которых лежит математическое моделирование физического пространства и времени.
До сих пор главной особенностью обычных представлений о физическом пространстве и времени является представление о непрерывном четырехмерном континууме точек, которые можно задавать с помощью четырех вещественных чисел — координат, причем одна из этих координат имеет временную природу, что находит свое отражение в геометрических свойствах четырехмерного континуума.
Пути физико-геометрической конкретизации математической модели пространства и времени могут быть различными. Как известно, в ньютоновской механике в качестве модели физического пространства вводится трехмерное евклидово пространство, а время абсолютно и рассматривается как скаляр, независимый от состояний и событий в физических явлениях. В специальной теории относительности (СТО) постулируется, что моделью четырехмерного физического пространства-времени служит псев- доевклидово пространство, а в общей теории относительности (ОТО) и в многочисленных ее обобщениях принимается, что четырехмерное пространство-время риманово и что локально это пространство псевдоевклидово (так же, как и в СТО).
Существуют и другие многочисленные предложения трактовок моделей физического пространства.
Дополнительно к математическому определению эти геометрические объекты можно наделять некоторыми физическими свойствами и рассматривать их подобно физическим полям, на- П|ример как источники энергии или сил (в электродинамике), или, в частности, как источники сил инерции и их работу, представляющую собой кинетическую энергию (в ньютоновской физике). Соответствующие постулаты в математических определениях пространства можно трактовать как физические связи, влекущие за собой появление соответствующих реакций связей. Например, так обстоит дело в теории гравитации при учете только наличия масс и их движения без столкновения и при полном отсутствии других взаимодействий. Как известно, в ОТО движение индивидуальных частиц в подходящем римановом пространстве
должно происходить по геодезическим при полном отсутствии ускорений частиц и сил инерции. Если риманово пространство задано и не определено специально, то задание конкретного пространства равносильно наложению связи. В этом случае движение частиц должно происходить с ускорением, при наличии взаимодействующих сил, подобно тому как это происходит в ньютоновской механике и в СТО при моделировании физического пространства геометрическим евклидовым или псевдоевкли- довым пространством соответственно.
Таким образом, моделирование пространства и времени представляет собой и при наличии различного рода взаимодействий существеннейшую особенность теоретического физического описания природных явлений. Вместе с этим важно отметить, что для практических нужд при требующейся точности результатов модельных теорий и для правильных объяснений сущности явлений возможно применение различных моделей.
Однако с точки зрения дальнейших перспектив наибольшим преимущество'м обладают наиболее простые модели. В связи с этим среди ученых укоренилось мнение, что все существенные модельные теории можно описать и сформулировать в простом виде. Необходимо отметить, что понятие «наиболее простой модели» весьма условно. Так, развитие физики как науки происходило таким образом, что исторически в качестве первой модели пространства-времени была принята модель евклидова пространства, в котором взаимодействие между телами описывается с помощью сил, вводимых дополнительными условиями. Модель пространства-времени, принимаемая в общей теории относительности (риманова пространства), уже не требует для описания движения тел дополнительных гипотез, связанных с понятием «силы», т. е. в модели ОТО происходит (по сравнению с ньютоновской механикой) «геометризация» силового взаимодействия. Таким образом, в результате исторического развития физики оказалось, что ньютоновская механика более «простая», чем общая теория относительности. Однако если гипотетически вообразить, что до появления работ Ньютона уже имелась развитая теория неевклидовой геометрии, то возможно, что история развития физики пошла бы по другому пути, а именно: в качестве первой (а следовательно, по современной терминологии и более «простой») модели возникла бы «геометрическая» теория (ОТО), а в качестве одной из последующих — ньютоновская механика, математически более простая, но использующая не определяемое геометрически понятие силы. Знаменательно, что до Ньютона, но после Коперника, в работах Галилея сказано, что простейшие свободные (не подверженные действиям связей) движения должны п»редставлять собой окружности (в евклидовом трехмерном пространстве), Эти представления оказываются весьма
сходными с современной точкой зрения на свободное движение тела по геодезическим в римановом пространстве, моделирую- щем центрально-симметричное гравитационное поле. Этим геодезическим, в частности, могут соответствовать круговые траектории в трехмерном физическом пространстве.
Для развития теорий, опирающихся на математические методы дифференциального исчисления, вводятся понятия континуума сплошной среды и, в частности, в релятивистских теориях понятия пространств Римана, в которых локально введены метрический тензор с компонентами gij и коэффициенты связности 「方，определенные во всех точках континуума пространств и времени как функции координат и подчиняющиеся известным формулам преобразования координат. В связи с каноническим видом метрического тензора g〃 в специальных выделенных системах координат можно вводить инвариантным образом определенные локальные расстояния между двумя бесконечно близкими точками и бесконечно малые площади и объемы.
Среди выделенных систем координат и систем отсчета особое значение имеют сопутствующие локальные и глобальные системы координат, которые представляют собой просто системы координат Лагранжа.
Особое значение сопутствующих систем координат связано, в частности, с тем, что основные физические характеристики, такие как масса, энергия и др., определяются с помощью выбора специальных систем отсчета, вводимых для индивидуализации объектов, а основные физические законы формулируются для индивидуализированных объемов различного рода полей и частей вещества. В частности, закон движения сплошной среды можно определять теоретически с помощью динамических уравнений или с помощью измерений в системе наблюдателя сигналов, приносящих информацию о событиях в подвижной сопутствующей системе отсчета. Последний путь принципиально не всегда возможен и связан с рядом искажений, вносимых, во-лервых, особенностями и процессами в промежуточной среде, в которой распространяются сигналы, и, во-вторых, различиями в механических и, вообще, физических состояниях наблюдателя и подвижной среды. Примерами могут служить, с одной стороны, явления рассеяния, поглощения и искажения электромагнитных или акустических возмущений в промежуточной среде, всякого рода «шумы», а с другой — явления, подобные эффекту Доплера, и особенно релятивистские эффекты, связанные с различиями электромагнитных характеристик для наблюдателя и в сопутствующей системе отсчета, а также с различием геометрических размеров и промежутков времени в системе наблюдателя и в подвижной системе.
Очевидно, что примеры перечисленных эффектов связаны существенным образом с выбором системы наблюдателя и отража-
ют не только свойства и состояния явлений в подвижной системе, но и явлен1Ия и состояния самого наблюдателя, что по своему существу, вообще говоря, несущественно с точки зрения физических законов, регулирующих явления, происходящие в подвижной системе.
В связи с этим можно высказать общее положение о том, что целесообразно осуществлять исследования и устанавливать основные физические соотношения путем измерений и построения теоретических моделей непосредственно в сопутствующей системе отсчета теоретическим или экспериментальным путем, а после этого пересчитывать и переформулировать полученные результаты в системе заинтересованного наблюдателя. По существу так и поступают в физических теориях в простейших частных случаях (иногда не совсем в явной форме).
По своему существу результаты, полученные в сопутствующей системе отсчета и не зависящие от состояния движения случайных наблюдателей, имеют более простой вид, чем результаты, полученные после указанной выше переформулировки, которая может быть произведена с помощью довольно сложных дополнительных математических операций, составляющих содержание навигационных расчетов. Грубо говоря, суть дела можно иллюстрировать на примерах сравнения точки зрения Птолемея в системе земного наблюдателя с точкой зрения Коперника в системе, сопутствующей Солнцу, или на примере рассмотрения движения спутников Юпитера относительно его центра, или рассмотрения физических явлений в атомах, принадлежащих подвижным телам при использовании систем отсчета, связанных с ядром атома, и т. д.
Теоретическое осмысление различных реальных явлений связано с введением математических понятий и характеристик, для которых устанавливаются числовые методы расчетов. В связи с этим необходимо вводить схематизированные модели и процессы, с помощью которых формулируются различного рода закономерности, описывающие с требуемой степенью точности свойства и события, отвечающие реальности.
Во многих современных проблемах разумно избегать чрезмерных усложнений, так как соответствующие эксперименты и явления, как правило, связаны с разбросом экспериментальных данных, которые привносятся трудно контролируемыми разли* чиями в самих объектах изучения, например различием испытуемых материальных образцов, различием в условиях проведения опытов, в их наблюдениях и в погрешностях систем измерения и т. п. Тем не менее вопрос о построении усложненных моделей материальных сред с учетом новых и дополнительных свойств и эффектов поставлен в порядок дня. Как известно, нередко учет малых эффектов, едва уловимых на первоначальной стадии исследования, впоследствии, при более глубоком проник-
новении в сущность природы явлений и ггри расширении области приложений, становится основой возникновения прогресса в теории.
Многие фундаментальные свойства вещества и закономерности были открыты в результате обсуждения эффектов, обнаруживающихся на грани экспериментальных возможностей; как правило, наличие таких эффектов подвергалось сомнениям не только критиками-скептиками, но иногда и самими авторами. В качестве примеров напомним о нарушениях законов сохранения массы при взаимодействии частиц, о неевклидовости пространства и времени, эффектах вязкости в газах и жидкостях, эффекте ползучести для металлов, аномалии в теплоемкостях твердых тел и т. д.
На практике перечисленные эффекты при правильных подходах в ряде случаев можно и нужно не принимать во внимание и, таким образом, развивать теории и методы расчета без их учета, иначе говоря, пренебрегать их существованием. С другой стороны, в других случаях такого рода эффекты представляют собой самую квинтэссенцию проблемы и обязательно должны учитываться. Однако во всяком вопросе можно указать другие уже открытые эффекты или эффекты еще неясные и исследуемые, которые в рассматриваемых явлениях имеют место и в перспективе требуют своего учета для более глубокого и тонкого изучения.
Существенный прогресс в науке, как правило, связан именно с все более полным и детальным проникновением в сущность свойств малых микроскопических частиц и механизмов их взаимодействия и, с другой стороны, в сущность макроскопических эффектов, проявляющихся на грани существующих методов наблюдения и измерения.
Тем не менее история науки показывает, что законы и представления, которые мы считаем установленными в настоящее время, сохранят, подобно механике Ньютона, свое значение и в будущем, но эти представления и законы должны рассматриваться как хорошие приближения, имеющие практическую ценность, и как приближения недостаточные и по своим основным понятиям неудовлетворительные для более тонких задач. Известно, что теперь вместо механики Ньютона в теории атомов и молекул необходимо пользоваться квантовой механикой.
Всем ясно, что вполне допустимо и полезно при изучении многих важных проблем сознательное использование методов, понятий и законов, заведомо неприемлемых или просто неверных при более детальном исследовании, но вполне удовлетворительных с точки зрения поставленных целей на практике.
Есть все основания думать, что на следующих стадиях развития науки и особенно при исследовании микроскопических, физических и биологических явлений такое положение будет
повторяться. С этим же положением дел, даже в рамках ньютоновской механики, мы встречаемся и в механике деформируемых макроскопических твердых, жидких и газообразных тел. Таким образом, отмеченная выше характеристика типичного взаимоотношения между наукой и ее предметом исследования в. окружающем нас мире приложима в одинаковой степени как к прошлому, так и к настоятЦему, и несомненно будет приложима и к будущему развитию науки.
В наше время при исследовании и разрешении многих основных проблем естественных наук и в технике требуется рассматривать системы, состоящие из различных взаимодействующих частиц и тел, когда основные свойства систем, эффекты коллективных взаимодействий и характерные особенности совершающихся процессов имеют механическую природу не только в свете анализа микроскопических теорий, но и при макроскопическом описании наблюдаемых явлений.
Познание природы (астрономия, физика, химия, биология) и создание различных объектов в технике тесным образом свя- заны с введением моделей механических систем, с постановкой и решением разнообразных механических задач.
Существует великое множество интересных явлений и акту- альных задач, которые можно и нужно решать в рамках и с по- мощью уже введенных моделей сплошных сред в теории иде- альных или вязких жидкостей и газов, в теории упругости, плас* тичности и т. д. Однако обсуждение вопросов в методах конструирования новых моделей с учетом накопленного опыта полезно в связи с развитием новых важных направлений в механике газообразных, жидких и твердых тел, в механике составных материальных сред с различного рода структурой.
Данные физики о микроскопических размерах и о геометрических формах частиц, структурах их расположения и их взаимодействиях очень полезны и необходимы для понимания макроскопических свойств тел. Однако одних микроскопических данных и механизмов недостаточно для установления макроскопи- ческих теорий, и поэтому совершенно неправильно бытующее мнение, что после установления микроскопической картины устройств тел в теории конечных тел уже нет существенных принципиальных проблем. В простейшем случае для модели совершенного газа осуществляется переход от совокупности большого числа ^ атомов, рассматриваемой как подвижная механическая система упругих гладких шариков, взаимодействующих между собой с заданными силами и обладающих 3^ степенями свободы, к материальному континууму, для которого состояние физически малой частицы в теории и на опытах определяется только двумя параметрами ——плотностью и температурой. Однако такой переход связан с использованием существенных стэ- тистических закономерностей.
Другим примером макроскопических свойств — законов, имеющих важные приложения, является понятие абсолютно твердого тела. Абстрактная и, вообще говоря, неверная гипотеза о неизменности расстояний между всякими двумя индивидуализированными точками тела определяет макроскопические механические свойства тела и, очевидно, является добавочным сильным условием, снижающим число степеней свободы конечного тела до шести.
Приведенные два примера характеризуют кажущуюся простоту макроскопических гипотез. В других случаях такого рода гипотезы по существу носят более сложный характер и требуют для своей формулировки использования сложных понятий и характеристик о деформации частиц и об их внутреннем состоянии, которые задаются с помощью скалярных, тензорных, спинорных и других величин.
Установление запаса понятий и характеристик состояний —— это важная математическая проблема, ее количественное описание —необходимое условие для применения научного метода. Для решения этой проблемы, в частности, может требоваться привлечение основных физических понятий электромагнитного поля и способов его описания. Например, так обстоит дело в макроскопических проблемах для описания свойств дислокаций в металлах, в механике полимерных материалов, при описании свойств взаимодействия материальных сред с сильными переменными электромагнитными полями, в пучках лучей лазера, при описании явлений сверхпроводимости и сверхтекучести и т. д. Многие современные проблемы в перечисленных вопросах еще не решены и даже еще не поставлены в ясной форме.
Таким образом, термодинамические свойства макроскопических тел нельзя вывести из микроскопических свойств без дополнительных существенных гипотез макроскопической природы.
При построении моделей тел никогда нельзя рассчитывать на полную ясность в элементарных микроскопи<геских соотношениях. Вместе с этим обязательность дополнительных гипотез макроскопической теории служит основой для интуитивных феноменологических теорий, в которых микроскопические сведения учитываются очень приблизительно и по существу заменяются гипотезами, основанными на данных наблюдений и измерений в макроскопических опытах. Подобные феноменологические приемы в той или иной степени всегда используются во всех приложениях. В связи с этим можно понять плодотворность и успехи в прошлом теории теплорода в термодинамике.
Остановимся еще на одном из важнейших вопросов моделирования физического явления — выборе и перечне характерных величин определяющих параметров модели.
Построение моделей сплошных сред всегда связано с принятием ряда гипотез, которые можно рассматривать как схематизированные и концентрированные данные наблюдений и опытов. Нередко такие гипотезы очень просты и естественны, например гипотеза об изотропности свойств пространства или данного материального тела, но в последнем случае гипотетичность свойств изотропии особенно ясна, так как нередко можно и нужно вводить и изучать анизотропные тела.
При построении моделей вопросы явного формулирования и рационального выбора непротиворечивой, минимальной и удобной для проверки системы гипотез следует рассматривать как с точки зрения физического (опытного или статистического) обоснования модели, так и с точки зрения общих методов математической формулировки системы замкнутых уравнений и добавочных краевых и других условий, задающих модель для теоретических исследований. Выявление наиболее удобной системы характерных величин и гипотез для формулировки нужных закономерностей и для последующей опытной проверки имеет существенное значение с методической точки зрения. Теоретически полезно также знать системы эквивалентных гипотез и имеющиеся возможности для варьирования систем гипотез в пределах точности постановки задач.
В классических простейших случаях эти вопросы имеют почти тривиальный характер, однако и в этих случаях явные формулировки полезны. В последнее время реологические исследования сильно усложнились, и поэтому обсуждение общих приемов и методов, которые полезны при построении моделей сплошных сред, стало совершенно необходимым.
После фиксирования системы отсчета и систем единиц измерения характеристики состояний и процессов задаются с помощью чисел и некоторых операторов математической природы, соответствующие законы и связи формулируются с помощыа уравнений, содержащих числовые характеристики и операторы.
Для данной системы среди характерных величин могут быть переменные и постоянные величины, а число числовых параметров, задающих положение, состояние и процесс, может быть конечным или бесконечным.
По своей сущности переменные, определяющие величины и их вариации, должны рассматриваться как независимые аргументы, изменяющиеся в некоторых пределах при рассмотрении полной совокупности всех возможных состояний и процессов в среде, для которой строится модель.
Понятие об определяющих параметрах и об их числе в общем случае является непосредственным обобщением понятия о степенях свободы и о независимых координатах для механических систем в аналитической механике и в классической термодинамике.
Очевидно, что для деформируемых тел, заполняющих объемы конечных размеров, число определяющих чисел — степеней свободы —бесконечно. Для бесконечно малых частиц в типичных примерах число определяющих параметров конечно и, вообще говоря, невелико.
Обычно, если замкнутая система уравнений написана, то определяющие величины легко выделить и перечислить. Если уравнения системы дифференциальные и их число конечно, то для бесконечно малой частицы число определяющих параметров может быть небольшим и уж во всяком случае конечным.
С другой стороны, в отдельных важных случаях, когда уравнения движения представляют собой сложные операторные соотношения, например интегро-дифференциальные уравнения, и когда необходимо учитывать наследственность, число определяющих параметров и для бесконечно малых частиц также получается бесконечным. В этом отношении в ньютоновской механике характерным примером могут служить задачи о движении или о фигурах равновесия газовых масс с учетом сил взаимного притяжения частиц газа.
Можно вводить и рассматривать механические модели сплошных сред, когда число степеней свободы бесконечно даже для сколь угодно малых частиц. Однако обычно в конкретных случаях приложений, всегда приближенных по своему существу» достаточно рассматривать системы, которые в бесконечно малом имеют конечное число степеней свободы.
Основные успехи, добытые в механике и физике, связаны с рассмотрением объектов, для которых число задаваемых опытных данных и теоретических определяющих характеристик конечно и невелико.
Подчеркнем, что число характеристик и определяемых величин может быть любым, речь идет только о числе независимых аргументов, т. е. задаваемых из опытов и по смыслу математических задач (координаты, время, тензор деформации, температура и т. п.) переменных или постоянных величин.
Очевидно, что при построении моделей материальных тел в качестве определяющих величин существенны тодько такие величины, которые связаны со свойствами модели и с изучаемыми процессами и, следовательно, в определенном смысле инвариан* тны относительно выбора системы координат и единиц измерений.
Определяющие параметры могут быть скалярами и тензорами, размерными и безразмерными величинами, постоянными и переменными.
При фиксировании модели фактическое выделение для малых частиц перечня определяющих параметров уже само по себе сильно ограничивает возможный произвол в искомых результатах.
Очевидно, что для конструирования моделей совершенно недостаточно одного передня величин, которые можно взять в качестве независимых аргументов в уравнениях состояний, в кинетических уравнениях или при установлении различных функций состояния. Однако наличие таблицы определяющих величин совершенно необходимо для развития общей теории, постановки и представления результатов необходимых опытов и теоретической формулировки дополнительных гипотез, требуемых для полного описания модели.
В некоторых частных случаях наличие только перечня определяющих параметров вместе с простейшими математическими допущениями (например, о разложениях функций состояния в ряды по определяющим параметрам с сохранением только первых членов рядов) позволяет находить вид функциональных зависимостей в уравнениях состояния и в других физических зависимостях.
Рассмотрим теперь типичные и основные величины, которые можно использовать в соответствующих таблицах определяющих параметров при построении моделей сплошных сред.
Хорошо известны примеры размерных физических констант, которые в ряде случаев могут фигурировать в общем перечне определяющих параметров (скорость света, постоянная Больцмана, ускорение силы тяжести или гравитационная постоянная, модули упругости, коэффициенты вязкости и теплопроводности и т. д.).
Отметим еще специально возможное присутствие среди определяющих величин постоянных тензоров, которые могут и должны быть введены как объекты, задающие симметрию элементарных частиц сплошной среды. Оказывается, что свойства симметрии можно задавать с помощью простого набора в аргументах фигурирующих функций некоторых тензорных аргументов. Нередко наличие симметрии сводится к наличию среди независимых аргументов в искомых функциях соответствующих постоянных параметрических тензоров. Иначе говоря, наличие свойств симметрии связано с присутствием среди определяющих параметров тензоров, задающих соответствующие группы симметрии.
Можно установить простые системы тензоров для всех точечных подгрупп — полной ортогональной группы (кристаллические группы, группа икосаэдра, текстуры, призматические группы). После введения таких тензорных аргументов отпадает необходимость проверять выполнимость условий симметрии в искомых математических уравнениях — соответствующие условия будут удовлетворяться автоматически.
Наличие общей алгебраической теории структуры нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных аргументов позволяет извлекать часто ценные выводы. Эти выводы связа-
ны со следующим равенством для определяемого тензора Н:
н =工 ен$,
где ks — функция скаляров, Н8 ——соответствующие тензоры, составленные путем полиадных произведений и сверток из тензорных аргументов. Число р, равное числу линейно независимых тензоров Н$, определяется с помощью теории характеров для группы симметрии, которая допускается системой тензорных аргументов. К настоящему времени имеются все формулы указанного типа для трехмерного случая, когда определяемый тензор Н представляет собой тензор первого, второго, третьего и четвертого рангов.
В качестве простейших примеров определяющих параметров динамической и вообще физической природы можно вводить и рассматривать температуру Т или (для некоторых случаев при отсутствии локального равновесия) несколько температур Т2,... для составных компонент. Эти компоненты, кроме того, можно характеризовать плотностями рь рг,...»которые также могут служить определяющими величинами.
При учете электромагнитных эффектов в качестве определяющих параметров можно взять компоненты векторов £а и Ра электрического напряжения и электрической поляризации и компоненты антисимметричных тензоров 〃耶 и 2Иа3 магнитного напряжения и намагниченности — магнитного момента среды.
Подчеркнем, что характерная особенность современных теорий связана еще и с тем, что наряду с аргументами Л, рм Р。 и Mx。в качестве определяющих величин необходимо вводить их производные по пространственным координатам и по времени.
Появление различных структурных параметров физической и химической природы связано с количественным описанием вновь открываемых или уже известных, но приобретающих в изучаемых явлениях существенное значение механизмов обмена энергии, диссипации энергии и других взаимодействий между частицами внутри материальных тел.
В частности, такие параметры могут появляться как характеристики образования и распределения кристаллических и других внутренних структур, как характеристики распределения трещин, пористости и т. п., как характеристики пластических деформаций, эффектов дислокации или механизмов электрической и магнитной поляризации.
Установление системы определяющих параметров связано с общей схематизацией явления, с использованием различного рода разведывательных гипотез» экспериментальных данных, статистических выводов и с проблемой описания изучаемых объ- 2—4787
ектов и процессов точными или приближенными уравнениями и добавочными условиями.
Выделение системы определяющих параметров связано с проникновением в механизм исследуемых явлений и является важным составным элементом постановки задачи.
В построении теоретических моделей центральное место занимает вопрос об источнике и методе получения систем математических соотношений в предлагаемых моделях, описывающих в приемлемом виде изучаемое явление.
В качестве основы получения замкнутых систем математических соотношений следует положить базовые, в большей или меньшей степени универсальные соотношения, которые, с одной стороны, обычно сами по себе рассматриваются как закономер* ности, пригодные для различных моделей и различных явлений, а с другой — могут и должны служить полем для введения различного рода гипотез или законов, подлежащих проверке при описании физических явлений.
Например, на основе соглашения о евклидовости пространства и об абсолютности времени после выбора инерциальной системы координат и определения понятия материальной точки, аналитическую механику системы взаимодействующих дискретных материальных точек можно строить на основании уравнения Ньютона
ma = F, (1)
где т — масса материальной точки, а — ее ускорение относительно выбранной инерциальной системы координат, a F — действующая сила, которая либо определяется из (1), либо фиксируется с помощью постулатов — законов, предварительно проверенных на основании опытов с обязательным исзполызованием уравнения (1).
Полезно заметить, что для движения систем, когда для каждой точки отсутствуют «гироскопич}вские> силы, базовое уравнение (1) полностью эквивалентно соответствующему уравнению энергии.
Одна из наиболее (важных переформулировок системы уравнений вида (1) в аналитической механике — это одно скаляр， ное уравнение принципа возможных перемещений или скалярное вариационное уравнение в форме Лагранжа или Гамильтона.
В настоящее время происхюдит объединение механики и физики. Это проявляется особенно ясно в макроскопических теориях механики сплошных сред. Во многих явлениях наряду с чисто механическими характеристиками — такими, как векторы перемещения точек среды и их производные различного порядка по времени и координатам, — основное значение приобретают термодинамические и электромагнитные характеристики
внутреннего состояния тел и полей. Описание в нужной и эффективной форме макроскопических соотношений и моделей сплошных сред с внутренними степенями свободы только на базе уравнения (1) становится невозможным.
В связи с этим возникает проблема формулировки базовых соотношений более общей природы, чем уравнение (1), а именно соотношений, которые содержали бы в себе как частные случаи соответствующие базовые закономерности, плодотворность которых уже продемонстрирована и доказана в механике, физике и химии при изучении материальных сред и полей.
В такой общей постановке предварительное опытное обоснование может быть только частным, но исторический опыт, интуиция и здравый смысл могут помочь формулировать минимально необходимые и обязательные допущения математического и физического характера.
В связи со сложностью описания свойств и механизмов взаимодействия между соседними частицами вещества и полей при конструировании новых моделей необходимо использовать регулярные методы, хорошо зарекомендовавшие себя на практике.
Уже много лет в механике и физике употребляются следующие универсальные уравнения: закон сохранения энергии, выражающий баланс всех видов энергий, уравнение принципа возможных перемещений и уравнение вариационного принципа Лагранжа.
Уравнение принципа возможных перемещений обычно формулируется или выводится из уравнений механики Ньютона для чисто механических явлений. Вариационный принцип Лагранжа тоже выводится для непрерывных механических и электродинамических явлений.
В качестве обобщения этих соотношений на случай наличия внутренних степеней свободы может быть взято базовое варка- ционное уравнение вида
6『Ad匕+ 6取* + 6步==0・ (2) 匕
Следует отметить и подчеркнуть, что если бесконечно малые возможные вариации искомых функций совпадают с малыми приращениями этих функций в соответствующих действительных процессах, то для малой частицы уравнение энергии, уравнение принципа возможных перемещений и базовое вариационное уравнение в точности совпадают.
В частных случаях, когда действительные бесконечно малые приращения искомых функций могут быть произвольными (достаточно линейной независимости), для различных процессов, в которых коэффициенты при приращеяиях этих функций всякий раз независимы от этих приращений, следует, что из уравнения энергии, так же как и из уравнений принципа возможных пере-
мещений и вариационного уравнения, можно вывести непосредственно (при отсутствии дополнительных связей) уравнения движения, уравнения состояния и другие уравнения физико-хи* мических процессов для внутренних переменных характерных параметров.
Однако в общем случае уравнение принципа возможных перемещений и вариационное уравнение имеют более общую природу, чем уравнение энергии, из которого выпадают «гироскопические члены», входящие в уравнение принципа возможных перемещений и в вариационное уравнение.
Необходимо отметить, что вариационное уравнение, в отличие от принципа возможных перемещений и вариационного принципа Лагранжа, пригодно для моделирования сплошных сред с механическими и физико-химическими процессами, связанными с проявлением внутренних степеней свободы, характеризуемых макроскопическими параметрами, вообще говоря, немеханической природы.
Вариационное уравнение применяется для описания необратимых явлений (в системе уравнений Эйлера могут содержаться не только общие уравнения законов сохранения, но и кинетические уравнения химических реакций и фазовых переходов, а также — в случае учета электродинамических явлений ——и уравнения Максвелла).
Уравнение (2) при различных моделях для пространства и времени, в частности в ньютоновской механике и в теориях относительности, сохраняет свой смысл. В общем случае подразумевается, что каждое слагаемое в равенстве (2) является скаляром, причем плотность лагранжиана Л — скаляр, равный плотности полной энергии, взятой со знаком минус, б IT* — функционал, определяющий задаваемый приток энергии к объему 匕，а функционал 6加 описывает дополнительный приток энергии за счет энергетических взаимодействий на поверхности Ез ——границе объема У《・ Само уравнение (2) выражает собой уравнение энергии для произвольных мысленных (виртуальных) приращений определяющих параметров.
В уравнении (2) каждое из слагаемых является скаляром. Однако в процессе конструирования модели нередко целесообразно переносить отдельные члены, входящие в слагаемые уравнения (2), из одного в другое с нарушением их скалярности, но при сохранении скалярной природы уравнения в целом. Можно также на основании предварительно установленных тождественных соотношений определить механический смысл лагранжиана Л при сохранении опять же смысла уравнения в целом. Как показано в § 7 гл. III, в ньютоновской механике можно положить
А=Т—U, (3)
где Г — кинетическая энергия, a U — внутренняя энергия, или
принять, чтопринять, что
принять, что
принять, что
(4》(4》А = 7 + и.
(4》
(4》
В случае предположения (3) уравнения Эйлера представляют собой уравнения Лагранжа второго рода, а в случае (4)—— уравнения Гамильтона.
В другом примере для электродинамики показано (см. § 2 гл. IV), что плотность внутренней энергии электромагнитного» поля, определенная формулой
8 =8 =*♦♦♦Н • в + Е D8兀*♦♦♦Н • в + Е D8兀—FiiH" — 16几—FiiH" — 16几FisH^wuj 4兀FisH^wuj 4兀
8 =
8 =
*♦♦♦
Н • в + Е D
8兀
*♦♦♦
Н • в + Е D
8兀
—FiiH" — 16几
—FiiH" — 16几
FisH^wuj 4兀
FisH^wuj 4兀
(办 и щ — контравариантные и ковариантные компоненты векто^- ра четырехмерной скорости), участвует в уравнении энергии для электромагнитного поля и может быть взята в качестве лагранжиана электромагнитного поля. Однако удобнее в качестве лагранжиана электромагнитного поля взять скаляр* £ =与 FijH^, не содержащий вектора четырехмерной скорости,, и произвести соответствующее переопределение функционала dW*9 сохраняя прежний смысл вариационного уравнения, как уравнения энергии. С другой стороны, такое переопределение членов вариационного уравнения скрадывает связь вариационного уравнения с уравнением энергии. Во многих учебниках по физике лагранжиан постулируют равным L,. и вовсе не рассматривается вопрос о термодинамическом смысле вариационного уравнения.
Следует также специально отметить, что уравнение (3) в общем случае содержит поверхностные и объемные интегралы.
В используемых в физике вариационных методах применяются вариации, обращающиеся в нуль на поверхности Ез, и после этого устанавливаются уравнения Эйлера. Однако такого рода- действия сильно обедняют возможности уравнения (2). В самом деле, в соответствии с внедренным способом вывода фундаментальных соотношений в механике сплошной среды можно в уравнении 侬)перейти к пределу при стягивании в точку объ* ема 匕.
Если в лагранжиане А или в выражении для функционала 6TF* до варьирования или после варьирования присутствуют или возникают дивергентные члены вида ▽&', то эти члены переходят в выражение для функционала 6W. При стремлении, объема У《к нулю трехмерные интегралы по поверхности 2з и； четырехмерные по объему У4 имеют разный порядок малости и. поэтому они балансируются независимо друг от друга. При. этом из четырехмерных интегралов получаются уравнения Эйлера и из трехмерных — уравнения состояния.
Возможность получения таким простым путем из уравнения (2) уравнений состояния «нередко многими авторами упускается из вида из-за обычно вводимого дополнительно допущения о равенстве нулю всех вариаций на поверхности 23. В уравнениях состояния, устанавливаемых таким образом, содержится такая важная модельная характеристика, как тензор энергии-импульса с компонентами Р〃, характеризующий приток энергии через поверхность Ез внутрь объема 匕 за счет работы четырехмерных пондеромоторных сил на возможных перемещениях 6%' (/= 1, 2, 3, 4) в точках поверхности Ез・ Кроме этих притоков энергии, за счет вариаций дополнительных определяющих параметров 卩厶 получаются дополнительные уравнения состояния, учитываются притоки энергии через поверхность Ез за счет изменения определяющих параметров цА.
В связи с тензором энергии-импульса также необходимо отметить следующее. В литературе по ОТО обычно тензором энергии-импульса поля называют тензор с компонентами 7", определяемый формулами
Компоненты тензора 7" присутствуют в уравнениях Эйлера. Однако наличие в лагранжиане дивергентного члена вида %О, не оказывающего влияния на уравнения Эйлера, приводит к тому, что в функционал 6步 входит тензор Р〃, вообще говоря, отличный от тензора Т〃. Из указанной неоднозначности вида тензора энергии-импульса следует, что уравнения Эйлера для поля и условия на поверхностях сильных разрывов записываются для различных тенэоров.
Также весьма важен вопрос о виде тензора энергии-импульса для моделей деформирующихся сред, взаимодействующих с электромагнитным полем в СТО. Здесь следует обратить внимание на следующие аспекты. Во-первых, вариационное уравнение позволяет получать выражение для суммарного тензора энергии- импульса системы сплошная среда — электромагнитное поле для случая деформирующихся сред (как жидкостей, так и упругих тел). Во-вторых, из получаемой связанной системы уравнений механики и электродинамики следует, что дискутируемый на протяжении многих лет вопрос о виде пондеромоторной силы, действующей со стороны электромагнитного поля на сплошную среду, носит непринципиальный характер, так каква： хен лишь вид суммарного тензора энергии-импульса, который может быть большим числом способов разложен на тензоры энергии-импульса сплошной среды и электромагнитного поля.
Упомянем еще об одном принципиальном вопросе механики сплошных сред — об условиях на поверхностях сильных разрывов.
После задания лагранжиана Л и функционала 6W*9 выраженного через внешние притоки энергии к частицам, на основании интегральной формы вариационного уравнения появляется возможность устанавливать условия на поверхностях сильных разрывов — скачках характеристических определяющих параметров внутри среды (эти условия можно использовать, в частности, для формулировки начальных и граничных условий).
В некоторых учебниках и научных работах можно встретить утверждение, что если известна замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая некоторые явления в рамках данной модели, то условия на сильных разрывах могут быть получены на основании этой системы. В действительности это утверждение неверно! Дело в том, что, во-первых, разрывные движения, вообще говоря, нельзя рассматривать как предел непрерывных движений в рамках той же самой модели и, во-вторых, при выводе условий на сильных разрывах необходимо обязательно использовать некоторые интегральные соотношения, которые для данной системы дифференциальных уравнений не определяются однозначно.
Для непрерывных движений данной системе дифференциальных уравнений можно поставить в соответствие много различных систем интегральных соотношений, полностью ей эквивалентных. Для разрывных движений разные системы интегральных соотношений дают различные условия, которые могут находиться между собой в противоречии. Отсюда следует, что для установления условий на сильных разрывах необходимо постулировать как опытный закон соответствующую систему интегральных соотношений, верных как для непрерывных процессов, так и для процессов с сильными разрывами.
Опыт показывает, что в качестве интегрального соотношения, приложимого не только для непрерывных движений, но и для разрывных движений, нужно брать закон сохранения энергии в интегральной форме. Заметим, что, например, уравнение притока тепла в интегральной форме или уравнение сохранение энтропии для адиабатических процессов в интегральной форме приводят к неверным условиям на сильном разрыве.
В связи с этими соображениями ясно, что вариационное уравнение в интегральной форме можно применять как для описания разрывных процессов, так и для вывода условий на ска* ках при соответственно физически правильно (в согласии с опытом) определенных выражениях для плотности лагранжиана А м функционала 6W. В частности, при выводе условий на скачках в выражении для <6% необходимо сохранить все члены, характеризующие притоки энергии, и ввести новые концентрированные притоки на поверхностях разрывов в форме, которая непосредственно входит в уравнение энергии. Функцию Л также необходимо фиксировать (и этим определяется дивергентньй
член), исходя из физических соображений, которые в конечном счете оправдываются соответствием данной модели опытам, в которых наблюдаются сильные разрывы характеристик состояния.
При использовании вариационного уравнения в качестве основы при построении моделей сред и полей необходимо учитывать следующее. Фиксирование системы уравнений Эйлера, содержащих уравнения количества движения, уравнения моментов количества движения, уравнение энергии, уравнение производства энтропии, кинетические уравнения и т. п., которые могут не быть независимыми, не определяет собой плотность лагранжиана Л. Очевидно, что добавление к лагранжиану отличных от нуля «дивергентных» членов не меняет системы уравнений Эйлера. Однако добавление «дивергентных» членов к лагранжиану меняет выражение для 6W и, следовательно, влияет на вид уравнений состояния. Таким образом, задание замкнутой системы уравнений Эйлера, т. е. всех уравнений, выполняющихся для различных процессов, недостаточно для фиксирования уравнений состояния.
Отметим еще одно весьма важное приложение вариационного уравнения. Вариационное уравнение можно использовать для построения специальных моделей тонких тел: пластин, оболочек, стержней, а также моделей движения жидкости в пленках или в мелких каналах (в тонких слоях жидкости), при расчетах композитных конструкций и т. п. В такого рода случаях можно выделить некоторые характерные геометрические направления» например направление толщины ггластины или направление поперечного сечения стержня. В этих направлениях (например, по малой толщине пластины) распределения изучаемых характеристик состояния можно задавать в упрощенной форме конкретными функциями вдоль первоначальной нормали к пластине, содержащими «внутренние параметры», которые могут зависеть от координат вдоль пластин и которые должны варьироваться и определяться с помощью вариационного уравнения в процессе решения задачи.
Применение аналогичного метода в различных вариантах к трехмерному случаю может представлять собой прямое или косвенное обобщение метода Бубнова — Галеркина.
После подобной замены искомых функций можно осуществить некоторые интегрирования в вариационном уравнении, после чего вариационное уравнение приводит задачу к рассмотрению усложненной модели с внутренними степенями свободы^ но с меньшим числом измерений, например, для пластин и оболочек —к двумерной модели, для стержней — к одномерной модели и т. п.
В заключение остановимся на некоторых вопросах, затронутых в книге.
Как уже упоминалось выше, преимущество сопутствующих систем координат связано с тем, что в этих координатах все физические соотношения (имеющие, как правило, тензорную природу) естественны и не зависят от выбора системы координат наблюдателя.
Соответствующие соотношения для наблюдателя зависят от выбора системы координат наблюдателя и получаются с помощью тензорного преобразования от известной сопутствующей системы к известной системе координат наблюдателя. Решение задач-и инерциальной навигации, содержащееся в § 14—16 гл. I, основано на использовании показаний инерциальных приборов в сопутствующей системе и состоит в определении различных соотношений с последующим их пересчетом по правилу тензорных преобразований к известной заданной системе отсчета наблюдателя.
В гл. I даны также важные инвариантные определения для; геометрических и кинематических характеристик в сопутствующих и соответственно в произвольных системах координат как. для ненулевых, так и для нулевых мировых линий, и анализируются некоторые примеры преобразований Лоренца.
В 1976 г. в работе Л. И. Седова развита естественная теория исследования проблем механики сплошных сред в неголо- номных сопутствующих тетрадных системах координат. На этой основе в предлагаемой книге с использованием тетрадных методов изложено решение задачи инерциальной навигации в рамках СТО и ОТО. В § 14—16 гл. I содержится подробная точная теория навигации в усовершенствованном и простом виде с учетом релятивистских эффектов.
В гл. II развивается теория вариаций векторов и тензоров, сохраняющих векторную и тензорную природу для варьируемых объектов. Теория вариаций развивается в свете приложений к получению уравнений состояния и законов сохранения с помощью первого и второго начал термодинамики, преобразованных для формулирования бааового интегрального уравнения.
В гл. III изложен метод конструирования моделей механики： сплошных сред, основанный на вариационном уравнении. Даны система уравнений Эйлера и уравнений состояния для весьма общих моделей континуумов в СТО и ОТО. Обращено внимание на то, что при построении усложненных моделей континуумов с внутренними степенями свободы существуют несколько тензоров энергии-импульса материи, удовлетворяющих уравне-
ниям импульсов. Рассмотрен вопрос о виде начальных и граничных условий, а также условий на поверхностях сильных разрывов для полученных систем уравнений Эйлера.
Отметим также § 4 гл. III, посвященный теории релятивистских ракет. В этой теории показана возможность при использовании всей массы покоя ракеты (и, в частности, для фотонной ракеты) за конечное собственное время (или конечное время наблюдателя) получить физический объект, подобный фотону или нейтрино, имеющий энергию при отсутствии массы покоя.
В гл. IV изложены основы теории взаимодействия вещества с электромагнитным полем в общем случае, когда вещество, обладающее массой, рассматривается как ускоренно движущийся материальный континуум, который деформируется и характеризуется общими электромагнитными свойствами, связанными с намагничиванием и поляризацией.
ГЛABA I
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И КИНЕМАТИКА КОНТИНУУМА
Координаты, законы движения, системы координат и системы отсчета
В основе всякого теоретического описания физических явлений лежит представление о пространстве и времени.
При моделировании пространства-времени используются аксиомы о математическом понятии континуума точек. Точки определяются как простейшие объекты, задаваемые числами с помощью введенных систем координат. В простейшей физической трактовке каждая точка пространствa-времени определяется одинаковым количеством координат, которое называется размерностью пространства как геометрического объекта. Таким образом, арифметизация пространства связана с понятиями о системах координат, выбор которых допускает произвол. Физическое четырехмерное пространство-время обычно моделируется как непрерывное диффе|рен1цируемое многообразие точек, арифметизируемое четырьмя координатами %* х2, х3, х4, причем по др азумев ается, что одна из координат, а именно х* имеет временную природу. Еще до наложения дополнительных условий на математические свойства четырехмерного многообразия, моделирующего физическое пространство, делается допущение, что одну и ту же точку многообразия можно индивидуализировать фиксированными значениями координат %’ или 丸 между которыми существуют функциональные зависимости, иначе — существует преобразование координат, которое в рамках одного и того же пространства-времени имеет вид
式=尸(冰) & 左=1, 2, 3, 4), (1.1) где 产一непрерывные кусочно гладкие взаимно однозначные функции своих аргументов.
Если %* х2, х3,炉—координаты точек и по определению х4 — временная координата, то множество точек, индивидуализированных постоянными значениями пространственных координат N,炉，х3 и переменной временной координатой х4, определяет собой мировую линию, которую можно рассматривать в четырехмерном пространстве как траекторию выделенной точки трехмерного пространства, индивидуализированной фиксированными значениями трех координат х* х2, х3.
Пусть z и хЛ — две координатные системы, связанные между собой функциональными зависимостями
片=9а(炉)， / = f (鸡公)， (1.2)
являющимися частным видом общих соотношений (1.1) L В координатной системе z* фиксированным постоянным значениям координат У соответствуют некоторые постоянные фиксированные значения * индивидуализирующие ту же самую точку пространства. При этом мировые линии сохраняются, меняются только численные значения координат и может меняться произвольно только начало отсчета и масштаб временной координаты вдоль каждой из мировых линий.
Системы координат z* и %也,связанные преобразованием вида (1.2), можно рассматривать как координаты, отвечающие одному и тому же семейству мировых линий индивидуализированных точек, образующих идеальный объект-среду, представляющий собой трехмерную совокупность точек, занимающую в четырехмерном пространстве различные положения в зависимости от значения временной координаты z《или %£
Множество всех систем координат, связанных между собой преобразованием вида (1.2), образует одну и ту же систему отсчета.
Координаты %° или Z。 называются лагранжевыми координатами соответствующей системы отсчета. Системы координат %' и z‘ называются сопутствующими системами координат для системы отсчета с лагранжевыми координатами ха или за. Таким образом, всякая система координат по существу является сопутствующей для некоторой системы отсчета.
Очевидно, что для данной системы отсчета в сопутствующей системе координат можно считать, что индивидуальные точки покоятся, так как их трехмерные координаты %° или za постоянны.
Во всяком конкретном четырехмерном пространстве можно рассматривать многочисленные различные системы отсчета.
Пусть в данном одном и том же многообразии — четырехмерном пространстве—имеются две различные системы отсчета ^ и L с соответствующими им координатными системами х* и & и связанные между собой взаимооднозначными функциональными соотношениями общего вида
%'=%'(&) или 耳=耳(川)・ (1.3)
Первое из соотношений (1.3) называется законом движения системы У относительно системы х*, а второе — законом дви-
1 Здесь и далее малые латинские индексы принимают значения, равные
жения системы х* относительно системы 第.Далее для определенности условимся называть систему отсчета с координатами х* системой наблюдателя (или эйлеровой системой), а систему отсчета с координатами 耳一сопутствующей (или лагранжевой) системой. Временную координату в системе отсчета наблюдателя будем обозначать через х4, а в сопутствующей системе отсчета (если нет специальной оговорки) — через 1・ Системы мировых линий и координатные линии как в системе ^, так и в системе L могут быть самого общего вида. Далее для обозначения эйлеровых координат будем использовать малые латинские буквы, снабженные индексами 力，式，△, для обозначения лагранжевых координат — греческие буквы, снабженные индексами 比
Для описания геометрических свойств пространства и характерных свойств закона движения (1.3), а также различных физических явлений необходимо вводить различные характерные понятия скалярной, векторной и тензорной природы. В частности, в каждой точке четырехмерного многообразия точек можно рассматривать бесконечно малый вектор dr с компонентами^ или dp и ввести векторные базисы (тетрады базисных векторов) системы координат наблюдателя и сопутствующей системы, определяемые равенствами
соответственно. Связь между указанными векторами базисов устанавливается с помощью следующих формул преобразования:
а дx1 /兆/e s
3/==旋7" =々汕立=/9/ = b3厶(1.4)
в которых £ и Si — элементы взаимно обратных матриц, т. е.
xlj^k = ^,*总=%
где 8* — символы Кронекера. Здесь и далее символом 人 над буквой будут обозначаться векторы базисов, а также компоненты векторов и тензоров в лагранжевой системе координат.
Основными условиями, конкретизирующими геометрические свойства континуального многообразия точек с четырьмя эйлеровыми координатами 炉 или лагранжевыми координатами ^, служат правила вычисления трехмерных пространственных расстояний dl и инвариантно определяемых четырехмерных расстояний ds между двумя произвольными бесконечно близкими точками М и Mf через координаты точек М и М7 ия в частности, вычисление бесконечно малых инвариантно определенных собственных промежутков времени dt на мировых линиях. При формирова-
нии этих величин необходимо вводить понятие о метрике, а для сравнения векторов и тензоров в двух бесконечно близких точках необходимо вводить правила параллельного переноса. Для аффинносвязных метрических пространств эти понятия образуются с помощью введения четырехмерного метрического тензора второго ранга с компонентами g〃(炉)и комплекса коэффициентов связности Г^ (xz), определяемых в системах координат х* или & равенствами
曲2 = g〃(/)d/d幻=gu (^) d^d^^
(1.5)
磐=「®)%(M),芻=鹭(")£(円，
где dxl и 或论一координаты бесконечно малого вектора MMf в тетрадах базисных векторов 號 и э, соответственно. В формулах (1.5) подразумевается, что детерминанты матриц llgf/l|j#ll и II gu II отличны от нуля. В общем случае в некоторой исходной системе координат компоненты метрического тензора g“ и коэффициенты связности Г^ можно задать произвольно, задавая тем самым специальные частные свойства пространства. В римановых пространствах по определению коэффициенты связности симметричны: /■% и задаются через g^ как символы Кристоффеля. В каждой отдельной точке М можно выбрать систему координат в римановом пространстве так, что Г-； = 0 в точке М. В аффинносвязных пространствах с кручением「入=# 鳴.Разность Г*—1^р#0 образует тензор третьего ранга S^^= Г^ — Г^ компоненты которого нельзя обратить в нуль сразу во всех точках пространства с помощью преобразования координат.
В некоторых случаях можно рассматривать метрические пространства при отсутствии связности и связные прост* ранства при отсутствии метрики. В аффинносвязных метри* ческих пространствах определяются как метрика, так и параллельный перенос.
Аффинносвязные метрические пространства, определяемые математическими постулатами, могут быть использованы для различного моделирования физического пространства. Основной физической посылкой, на основании которой для моделирования физического пространства выбирается то или иное аффинносвязное метрическое пространство, служит универсальный принцип относительности Галилея. Этот принцип состоит в утверждении, что все физические процессы протекают одинаково в лю-
бой инерциальной системе отсчета и все физические законы во всевозможных инерциальных системах отсчета формулируются одинаково. При этом добавочно постулируется существование множества инерциальных систем отсчета, которые могут двигаться относительно друг друга. Однако сам вопрос об определении множества движущихся друг относительно друга инерциальных систем отсчета в разных теориях решается по-разному.
П ространство-время в ньютоновской механике
и преобразования Галилея
В ньютоновской механике и физике предполагается, что физическое пространство однородно, изотропно и представляет собой трехмерное евклидово пространство, что время абсолютно и может быть определено как универсальный скаляр, одинаково меняющийся во всевозможных, движущихся друг относительно друга системах пространственных координат. В свою очередь> множество инерциальных систем отсчета определяется тем, что в этих системах изолированная материальная точка (т. е. материальная точка, на которую не действуют никакие силы) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью.
Основные определения и постулаты ньютоновской механики применимы во многих важнейших приложениях. Вместе с этим модель ньютоновской механики в ряде важнейших исследований механических и физических явлений неприменима, так как ее постулаты представляют собой слишком сильные ограничения, противоречащие некоторым опытам. Поэтому построение уточненных механических и физических моделей основано на дальнейшем развитии, углублении и обобщении ньютоновской физики.
В ньютоновской механике формулы (1.5) отвечают трехмерному евклидову пространству, все индексы в этих формулах пробегают значения 1, 2, 3. В любой системе координат трехмерное расстояние dl между двумя бесконечно близкими точками евклидова пространства определяется формулой
М = ^(^, t)d^d^. (2.1) где gau — компоненты метрического тензора в произвольной криволинейной системе координат t)y, t — абсолютное время. Коэффициенты связности Г；в, называемые символами Кристоффеля трехмерного евклидова пространства, представляются формулами
В трехмерном евклидовом пространстве, моделирующем физи* ческое пространство в ньютоновской механике в любой фиксиро* ванный момент времени f, можно ввести новую глобальную систему координат наблюдателя х^ = ^ (у^, /) и новую глобальную сопутствующую систему координат 中=时(口°\ f), в которых формулы (2.1) и (2.2) сразу во всех точках трехмерного евклидова пространства примут канонический вид
出2= 22 ("右一
а=1B=1
人(2・3)
Г:в (у*) = 0 и『:в (瞰)=0.
В общем случае в ньютоновской механике форма (2.1) для эйлеровой системы координат может быть приведена к каноническому виду (2.3) одним глобальным преобразованием координат уа =(ра (%) /) сразу для всех точек евклидова пространства, для всех моментов универсального скалярного глобального времени f・ Если при этом форма (2.1) для лагранжевой системы координат приводится к каноническому виду (2.3) также одним глобальным преобразованием координат, не зависящим от времени t, от |а к т)°, то закон движения уа =уа (瞰，t) в общем случае представляет собой закон движения одного твердого тела относительно другого твердого тела, сводящийся к комбинации некоторого поступательного и вращательного движения.
В общем случае, если в качестве системы координат тр взять декартову систему координат, в которой расстояния между точками вычисляются по формуле (2.3), и дополнительно потребовать, чтобы система уа также была декартова, то, как из* вестно, преобразование координат от переменных 限 к переменным 川 будет линейным преобразованием вида:
Уа =隔唄+ uо7 +稣，
r = t + tQ = х^ /о,⑵4)
причем коэффициенты этого общего линейного преобразования (2.4) будут удовлетворять шести алгебраическим уравнениям
з
£ c；c：=gY“，(2・5)
где g" =g22 = g33 = 1, ga。= о Прн а，р, в которых с?, и° и ао могут быть, вообще говоря, произвольными функциями от переменной t Общие формулы (2.4) при наличии условий (2.5) представляют собой преобразование от одной декартовой системы координат к другой и одновременно определяют собой общий вид закона движения одного твердого тела относительно другого. В ньютоновской механике принцип относительности Га-
лилея обычно формулируется в виде принципа относительности Г ал и лея — Ньютона, постулирующего, что все физические уравнения и законы должны быть инвариантными относительно общего преобразования Галилея, определяющего переход от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета, при этом инерциальные системы должны вводиться по специальному условию на основании опытов, устанавливающих их инерциальность. Из свойства инерциальности следует, что в декартовых системах координат эти преобразования имеют вид (2.4), в которых шестнадцать параметров с；, va, 曲 и ^о постоянны.
Преобразования Галилея (2.4) с условиями (2.5) образуют группу, зависящую от десяти параметров: параметры а$ и /0 определяют смещение начала координат и начало отсчета времени, va представляет собой компоненты скорости поступательной трансляции системы уа относительно системы rf, три дополнительных независимых параметра, через которые выражаются коэффициенты с；, определяют поворот и зеркальное отражение трехмерного пространства при переходе от системы координат уа к системе координат rf. В частном случае, когда исключаются поворот и зеркальное отражение (когда оси уа параллельны осям т)а), из условия (2.5) следует, что с^ = 6^.
Пространство*время в специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
Обобщением ньютоновской физики является переход к специальной теории относительности (СТО), в которой в качестве модели физического пространства для формулировки физических проблем постулируется частный вид метрического аффинносвяз* ного пространства, а именно четырехмерное плоское псевдоев- клидово пространство Минковского. Этот постулат представляет собой следствие отдельных допущений об изотропности и однородности пространства и опытного факта о постоянстве скорости распространения света в вакууме (скорости фотона) в любой инерциальной системе координат.
Из постулата о постоянстве скорости света в вакууме следует, что совокупность инерциальных систем координат в СТО может быть получена с помощью преобразования Лоренца из од- ной-единственной системы координат, которая выделяется условиями, основанными на опытных данных L Для отыскания соответствующих формул преобразования наряду с условиями постоянства скорости света существенным образом используются
Необходимо отметить, что в СТО любая декартова система координат является инерциальной, в то время как в ньютоновской механике существует множество декартовых систем координат, не являющихея инерциальными. 3-4787
условия изотропности и однородности пространства. В качестве исходной инерциальной системы координат, выбор которой связан с опытными данными, можно взять систему координат х» х,炉，х*=с/, в которой пространственные координаты %* %2, х р асе м атр ив а ются как декартовы координаты евклидова трехмерного пространства, а переменная t — как время. Преобразования ^*=/(^), сохраняющие инвариантной во всех точках пространства величину
з
"2 =炉(小产一出2 = c2由2 — e (d"a片⑶1)
a==l
в общем случае представляются линейными формулами вида1 y» = L；." + f；,(3.2)
где /о и коэффициенты Lf. — постоянные. Линейные преобразования (3.2) общего вида определяют однородную деформацию четырехмерного псевдоевклидова пространства. Для выделения из общих линейных преобразований (3.2) преобразований Лоренца прежде всего необходимо дополнительно потребовать» чтобы преобразования (3.2) сохраняли вид формулы (3.1) для ds2, что приводит к следующей системе десяти алгебраических связей для шестнадцати коэффициентов:
g〃・L： L； =g^,(3.3)
где gn=g22 = g33 = —1, g44 = 1 Н gij = о при i^j.
Преобразования (3.2) с условиями (3.3) называются преобразованиями Пуанкаре. Преобразования Пуанкаре, так же как и преобразования Галилея, образуют группу, зависящую от десяти параметров: от четырех параметров fo, определяющих смещение начала координат, и согласно (3.3) от шести параметров, определяющих зеркальное отражение и вращение четырехмерного пространства Минковского, через которые выражаются все шестнадцать коэффициентов Lf ・ В частности, если дополнительно положить fo=O, то преобразования Пуанкаре представляют собой преобразования Лоренца. Преобразования Пуанкаре—Лоренца исторически получены как обобщение преобразований Галилея для евклидова пространства и абсолютного времени и в связи с введением новой модели физического пространства-времени —как математически определенного пространства Минковского.
Так как преобразование Лоренца определяется как преобразование, сохраняющее вид метрики (3.1), т. е. как ортогональ* ное преобразование (сохраняющее диагональный вид метрического тензора)
gij = Цт ЦЛ ётп^ (3•分 где gij и gmn — компоненты метрического тензора в преобразованной и исходной системе координат соответственно и： gll = g2 2 = g3 3 n gll = g22 = gsa = — 1，g44 0 gM = L gij=gij = =0 при i 卢 j, то из формул (3.4) следует равенство для определителей
—1 = det И L.w || • det || L； 口 • (― 1),
откуда следует, что
det II L； Н == ± 1.
Ортогональные преобразования, удовлетворяющие условию det II L.j|| >0,
называются собственными преобразованиями. Нетрудно проверить, что преобразования Лоренца без отражений являются собственными преобразованиями.
В случае, когда пространственные оси декартовых пространственных систем координат 炉 в системе отсчета К и уа в системе отсчета К" параллельны, но система координат уа движется относительно системы координат ха с постоянной трехмерной】 скорсютью V, направленной параллельно оси Ох\ т. е. v= =(。，0, 0) в системах координат у® и л®, матрица преобразований Лоренца ||L^||, сохраняющая вид формы (3.1) для метрики в переменных “ имеет вид
1— va/ca
0
0
1
L； II =
0
0
и/с
1 —и?1 с”
0
0
V 1—叫 с2
0
0
1
0
，(3.5)
0
К 1-叫 с2
а соответствующие формулы (3.2) в развернутом виде будут следующими:
ии34(у)=34(у)=
и
и
34(у)=
34(у)=
з；(у) = %(х)； Эз (у) = э8(х),
где 3G无)и з；(У&) — тетради базисных векторов систем К и /С соответственно.
Формулы (3.6) справедливы в том частном случае, когда в декартовых системах х。и уа одна из координатных осей (в рассматриваемом случае ось Ох) параллельна относительной скорости V； в этом случае преобразование (3.6) является частным преобразованием Лоренца.
Группы преобразования координат Галилея в четырехмерной форме в обычной формулировке можно рассматривать как подгруппу группы преобразования Лоренца в пространстве Минковского и легко видеть, что группа преобразования Лоренца совпадает с группой Пуанкаре в контрвариантном виде при соответствующем виде четырехмерных компонент меягрического тензора L
Пусть теперь вектор фигурирующей в преобразовании Лоренца трехмерной скорости v движения системы координат ул относительно системы координат ха произвольно ориентирован относительно этих декартовых систем координат. Когда в трех- :мерных пространствах оси х и у* х и t/2, х и у3 параллельны, то матрицу преобразования Лоренца2 можно записать в
виде
1+М 呼
kv1炉
kv11?
"1/c'
V 1 一叫d
1 +月（呼
叫c
M |-W/c2
kv3 M
[+秋呼
J [一呐
mic
讲/c
иЗ/с
1
丿［—^2/с2
M 1-再®
где 论==t 彳］ - —1где 论==t 彳］ - —1а усложненные формулыа усложненные формулы(3.7)
где 论==t 彳］ - —1
где 论==t 彳］ - —1
а усложненные формулы
а усложненные формулы
преобразования координат принимают вид
yf-寸誉（月廿一Iyf-寸誉（月廿一Ip 1一呐 J '(3.8>p 1一呐 J '(3.8>］/ 1-呷С?］/ 1-呷С?
yf-寸誉（月廿一I
yf-寸誉（月廿一I
p 1一呐 J '
(3.8>
p 1一呐 J '
(3.8>
］/ 1-呷С?
］/ 1-呷С?
где v == (v1; v2; v3) — вектор трехмерной скорости с компонентами о* взятыми в системе %', причем vY = vY, т. е. жонглирование индексами для компонент трехмерной скорости* и' осуществляется с помощью метрического тензора трехмерного евклидова пространства с положительно определенной метрикой.
Обратные формулы преобразования координат получаются из формул (3.8), если заменить х" на у° и наоборот, а сЛ* 吟 炉 Заменить на —吟一叫一炉.Обратная матрица преобразования Лоренца(L?)~i получается из матрицы L? заменой d на —，・
Каждую локальную декартову систему координат с ортонор- мированным базисом единичных векторов эь эг, &з, э4 можно рассматривать как локальную инерциальную систему отсчета в. данной точке М.
По определению линейное однородное преобразование в дан^ ной точке М одного ортонормиров энного базиса э； в любой другой ортонормированный базис ① представляет собой преобра-
зование Лоренца L. Можно показать, что произвольное преобразование Лоренца L можно представить в виде произведения двух следующих преобразований.
Преобразования Лоренца L*, отвечающего матрице (3.7) и переводящего исходную ортонормированную систему базисных векторов эь э2, э3, э4 в ортонормированную систему з；, з；, эз, э4=Э4 с использованием трехмерного вектора v в пространстве эь э2, Эз согласно формуле (3.7). Скорость v может быть истолкована как поступательная скорость триэдра эь э2, эз в тетраде эь э2, эз, э4 и определяется вектором з； При этом базисные векторы Э1, @2, @з образуют соответствующую систему ортонормированных пространственных векторов базиса, а Эа, Э4— четырехмерную ортонормированную систему базисных векторов.
Преобразования Лоренца L。с v = 0, представляющего собой конечный поворот триэдра векторов эл как твердого тела с возможными зеркальными отражениями триэдра эь 电,эз> переводящего его в заданный ортонормированный триэдр эь Э2, эз, при неизменных значениях 34=з； или с изменением направления времени з《^——％. “ ，
Очевидно, что преобразования Lo при Э4 =3 4 можно рассматривать как частный случай преобразования Галилея.
Таким образом, произвольное преобразование Лоренца от э/ к з； в матричном виде можно представить формулой
L = L*L0. (3.9)
В четырехмерной трактовке каждой глобальной декартовой системе отсчета в СТО отвечает семейство сопутствующих линий —прямых, параллельных оси t В специальной теории относительности все четырехмерные декартовы системы координат представляют собой инерциальные системы отсчета. Семейства сопутствующих линий в инерциальных системах отсчета в специальной теории относительности — это семейства прямых, параллельных осям времени и различных в разных декартовых системах отсчета (рис. 1). В инерциальных системах, отвечающих декартовым системам координат, роль лагранжевых координат играют пространственные координаты.
В каждой точке четырехмерного псевдоевклидова пространства Минковского для двух различных инерциальных систем координат %* х2, *з,仆=或 и 员，/，з, ^4<= cf (см. рис. 2, где 01 и 02 — прямые углы в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве, L и U — семейства сопутствующих линий, параллельных осям f и Г соответственно) согласно преобразованию Лоренца имеем
у' н L； # и % = ( lJ ) I Эл, (3.10)
где L； и (С )~! — элементы матриц преобразования Лоренца, являющиеся постоянными.
Из формул (3.10) следует, что у0 = %& з； н dy‘> = dx0, а из формул (3.6) и (3.8) следует, что вдоль сопутствующих мировых линий в декартовых системах лА и ул при *° = const и уа = const во всех точках пространства Минковского выполняются равенства
df = М1—М/с? “ при ха = const,
d" = М1 — М/с? dt при у ° = const.
Если трехмерные повороты и скорость v движения системы координат 夕 относительно системы 炉 малы, то компоненты
матрицы общего преобразования Лоренца L/ могут быть представлены в виде
Lfn^ + sf, Ь4Э = -—, Lf = —幺， 1^ = 1, сс
где(о* и 9[с — бесконечно ренца с компонентами матрицы
(З.Н) малые. Преобразование Ло- (3.11) можно записать в виде
М. = % 十 СО/. З4. = — — , wa.=———•
Его называют бесконечно малым преобразованием Лоренца.
Шесть независимых компонент антисимметричного тензора 3ij можно рассматривать как независимые параметры, определяющие бесконечно малое вращение в четырехмерном простран-
стве Минковского. В общем случае матрица компонент IlgUI в декартовой системе координат может быть записана в виде
(3.12)(3.12)
(3.12)
(3.12)
Аксиальный вектор о с компонентами о, о, о характеризует бесконечно малый трехмерный пространственный поворот осей декартовой системы координат уа относительно системы х®, а полярный вектор v с компонентами s, v2, ^з — бесконечно малую трехмерную поступательную скорость инерциальной системы у06 относительно системы х®, координаты которых связаны данным бесконечно малым преобразованием Лоренца.
Пространство-время в общей теории относительности
В общей теории относительности (ОТО) и в некоторых ее обобщениях принимается, что характеристики четырехмерного- пространства-времени (компоненты метрического тензора и коэффициенты связности) подлежат отысканию. В классической ОТО полагается, что моделью физического пространства явля・ ется четырехмерное риманово пространство и что только локально это пространство псевдоевклидово, так же как и в СТО. В связи с этим в общей теории относительности локально справедливы все формулы, которые глобально справедливы в специальной теории относительности. В частности, в ОТО локальна в каждой точке преобразованием координат формула ds2 может быть приведена к виду (3.1) с выполнением условия Г%==(И
Локальные тетрады базисных векторов в ОТО в данной точке и глобальные тетрады базисных векторов в СТО, соответ* ствующие системам координат, в которых в данной точке справедлива формула (3.1) при условии равенства нулю коэффициентов связности, называются инерциальными тетрадами.
Риманово пространство — более общий пример метрического аффинносвязного пространства с локальными свойствам» псевдоевклидова пространства Минковского, только с точностыа до малых первого порядка включительно.
Помимо метрического тензора, главные геометрические характеристики п-мерных аффинносвязных пространств связаны с отличием от нуля тензора кривизны Римана четвертого ранга
с компонентами Rijkit определяемыми формулами
R"hL gb ("^^г + %• F& — Г₽* Г>) '(4・ D
в которых Г|Л = rji определяются формулами
警+黎一州 42)
2〈0炉 дЛ* дx1 丿
В силу свойств симметрии компонент /?〃紹 после соответствующей свертки по индексам /, s можно ввести симметричный тензор второго ранга (тензор Риччи) с компонентами Rih определенными формулами
и скаляр
R = R，(4.3)
называемый гауссовой кривизной.
Важное значение имеют частные пространства, для которых Ri$=0, R = 0, но /?订壮=/=0・ В общем случае имеют место формулы Riini =呼"献 + ^ (g偿 R〃 + g〃 Rg — Sjh Ri — gii RQ —
^" (g伍 gjl — gn gQ R・(4・4)
Тензор четвертого ранга с компонентами Wi/hl называется тензором Вейля. Для тензора Вейля в каждой точке верно равенство 取；5)= 0. Из формул (4.3), в частности, следует, что Ra鼠=^ijhb если 旦/ =0.
В евклидовых и псевдоевклидовых пространствах /?仃以=0 и %必=0.
Из свойств симметрии компонент тензора Римана Rijki легко вывести, что в одномерных (n= 1), двумерных (九=2) и в трехмерных (п=3) пространствах всегда 历仃版=0・
В более общих случаях в метрических аффинносвязных пространствах с кручением коэффициенты связности「％ не равны символам Кристоффеля и не симметричны по нижним индексам.
В этом случае, кроме тензора кривизны с компонентами, определяемыми формулами (4.1), можно ввести еще тензор третьего ранга — тензор кручения с компонентами
S当=it -以.
При наличии кручения локальная структура пространства усложняется в зависимости от свойств тензора кручения. Вопрос о построении физических моделей пространств с кручением поставлен в порядок дня, однако здесь мы ограничимся только сделанной выше краткой справкой о существовании аффинносвязанных математических пространств, более сложных, чем римановы пространства.
Специальные системы отсчета и некоторые геометрические характеристики в СТО и ОТО
Главные идеи познания и технического прогресса связаны с представлениями о независимости устанавливаемых или вводимых понятий от различных вспомогательных средств исследования, например от произвола при выборе применяемых систем координат, от способов численных расчетов, от использования тех или иных единиц измерения, от свойств применяемых приборов, обеспечивающих требуемую точность и самую возможность получения нужных или искомых результатов, и т. д.
Однако уже в квантовой механике постулируется, что самое существо получаемых результатов неотделимо от наблюдателя. То же самое можно сказать и о теории относительности, в которой результаты измерений могут зависеть от механических состояний не только изучаемого объекта, но и от состояний наблюдателя. Тем не менее и в этих примерах сохраняются некоторые общие физические положения об инвариантности добываемых существенных физических выводов и результатов относительно вспомогательных средств исследования.
Вместе с этим следует подчеркнуть, что столь ценимая инвариантность —независимость физических результатов от методов исследования — все же связана с выбором некоторых канонических систем координат, положенных в основу определений фундаментальных понятий в геометрии, физике и механике. В дальнейшем при оперировании такими понятиями они ^выражаются в инвариантном виде в любых произвольных системах координат. В связи с этим нередко указывают и доказывают принципиальную физическую и математическую эквива* лентности различных систем координат без явного указания существенной роли канонических специальных координатных систем как источников фундаментальных понятий, закономерностей и формул, которые затем выражаются общими формулами и используются при употреблении любых других систем координат.
В ньютоновской механике в качестве канонических систем отсчета можно привлекать вводимые аксиоматически глобальные или локальные трехмерные инерциальные пространственные системы отсчета, которым в евклидовом пространстве при-
писываются особые физические свойства, положенные в основы теоретических построений с использованием произвольных координатных систем.
Аналогичное положение имеет место в специальной теории относительности, в которой пространство и время рассматриваются в рамках четырехмерного пространства Минковского с выделенными исходными эквивалентными инерциальными системами отсчета, в которых выражение для метрики имеет канонический вид и которые с физической точки зрения принимаются в качестве опоры для формулирования базовых научных утверждений и выводов.
В классической общей теории относительности многие основные понятия также базируются на выделении специальных глобальных и локальных канонических систем координат, которые локально, а в некоторых случаях и глобально, аналогичны выделенным исходным системам координат в специальной теории относительности.
Рассмотрим подробнее высказанные выше положения на конкретных примерах.
Из общей теории преобразований симметричных тензоров второго ранга следует, что в произвольной фиксированной точке М четырехмерного пространства Минковского или четырехмерного риманова пространства метрическую форму
ds2 =且订(炉)da dx〕 (5.1) в произвольно заданной системе координат соответствующим и преобразованиями координат
/=产(疗) (5.2) можно привести к каноническому виду с сохранением инвариантности ds?：
厶2 = ®у4户—2 (d/)2,琨=0, (5.3)
где. ds ——скаляр, равный «модулю» вектора
dr = dx%i = dyk3k. (5.4)
В СТО преобразование к каноническому виду (5.3) можно провести глобально сразу во всех точках пространства Минковского, а в ОТО — только локально в каждой точке М риманова пространства или, в случае координат Ферми, — локально сразу во всех точках заданной произвольной мировой линии L L
См.: Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I. — 4-е изд. — М.: Наука, 1983, гл. II, § 5. Подробнее о системе координат Ферми см. также § 12 настоящей главы.
Если векторы э< для системы координат Ферми в точках кривой L направлены по касательной к L, то кривая 厶 должна быть геодезической L
Очевидно, что равенство (5.3) в римановом пространстве ни в какой системе координат не может выполняться в каком-либо четырехмерном или трехмерном объеме. Это запрещается отличием от нуля компонент тензора Римана согласно формуле (4.1).
Преобразование (5.2), приводящее квадратичную форму для ds2 к каноническому виду, не определяется однозначно, так как существует дополнительное произвольное преобразование Лоренца (зависящее от шести постоянных параметров) с переходом от у к * сохраняющее вид метрических форм (5.3) .
В СТО приведение квадратичной формы (5.1) к каноническому виду (5.3) возможно сразу одним преобразованием типа (5.2) во всех точках пространства Минковского. Соответствующие глобальные системы координат представляют собой ортогональные четырехмерные декартовы системы. Любую ортогональную декартову систему координат можно перевести в произвольно заданную ортогональную декартову систему при Г^ (у^) = r*j (гр) =^ 0. Выше показано, что любая декартова система координат в СТО при Г^ = 0 представляет собой локальную инерциальную систему отсчета с сопутствующими мировыми линиями, фиксированными пространственными координатами х° = const. Семейство сопутствующих мировых линий является множеством прямых, параллельных координатной прямой у* вдоль которых у’ или глобальное время /= — переменны. Для разных инерциальных систем эти семейства прямых могут иметь разные направления.
Каждой точке пространства Минковского в данной инерциальной системе соответствует свое глобальное время /, определенное в канонической системе (5.3), однако для разных декартовых систем в одной и той же точке М значения переменных / и Г различны, и соответствующая формула связи между f и / согласно преобразованию Лоренца (3.7) имеет вид
d〃 = I/ 1—* 由 при x，e = const. (5.5)
Двум инерциальным системам координат К н К соответствуют два глобальных скалярных времени t и f. Очевидно, что начало отсчета t и f па соответствующих сопутствующих прямых можно выбирать произвольно. Если системы координат К и /С поменять местами, то формула (5.5) сохранит свой вид с переменой местами dt и d〃 при ха=const.
В данном случае векторные поля э4 и 94, соответствующие сопутствующим декартовым системам координат во всем пространстве, представляют собой системы единичных векторов э4 и Э4, параллельных осям координат / и f, но, вообще говоря, непараллельных друг другу (при v=/=0).
В четырехмерном римановом пространстве при локальном введении для каждой фиксированной точки М канонических систем координат, для которых локально справедливы формулы (5.3), получим соответствующие касательные псевдоевклидо- вы пространства, которые можно рассматривать как носители локально определенных инерциальных систем отсчета в ОТО. В этих касательных пространствах для всевозможных точек М можно рассматривать неголономно определяемую систему ор- тонормированных тетрад с базисными векторами 质.
Если тетрады векторов э/ в каждой точке пространства определены однозначно, то связь между этими тетрадами в двух бесконечно близких точках М н ЛГ устанавливается с помощью бесконечно малого преобразования Лоренца. Ковариантные компоненты матрицы этого преобразования антисимметричны и могут быть записаны в виде
где dx尼一компоненты бесконечно малого вектора ММГ =或论 3肥
Компоненты 力俱=—нт образуют тензор третьего ранга с антисимметричными компонентами по индексам /, /. Двадцать четыре независимые компоненты *加 являющиеся функциями точек пространства, называются символами Риччи. Тензор с компонентами 力川 соответственно можно рассматривать как в римановом пространстве, так и в любых аффинносвязных пространствах с метрикой, как в локальных тетрадах, так и в любых глобальных системах координат. В любых системах координат для риманова пространства компоненты 丁〃尼 выражаются через коэффициенты связности 「*〃, и следовательно< их можно выразить в этом случае через компоненты мет- римского тензора и их производные по координатам g〃 и
Векторы э4=и, заданные в каждой точке пространства, определяют собой векторное поле. Огибающие векторные линии этого поля можно рассматривать как мировые линии соответствующей сопутствующей системы отсчета.
Если в пространстве Минковского все векторы э4 параллельны, то их огибающие •— прямые линии. Если поле векторов задано в соответствии с некоторыми условиями единственным образом, то получатся, вообще говоря, криволинейные мировые линии, которые можно рассматривать как в СТО, так и в ОТО.
Векторы 84=11 можно рассматривать как векторы скорости, определенные движением какой-нибудь среды или соответственно определенные для некоторых физических полей, или определенные геометрическими свойствами самого пространства в ОТО. В последнем случае получатся системы отсчета, определенные геометрией самого пространства. Например, в СТО это будут системы времениподобных параллельных линий. В общей теории относительности соответствующие системы сопутствующих линий представят собой геометрически выделенные характерные сопутствующие системы отсчета.
Определение соответствующих преобразований Лоренца в случае единственного выделения полей ортонормированных тетрад э( в каждой точке М четырехмерного риманова пространства можно получить с помощью дополнительных условий. В частности, таким условием может быть добавочное требование совпадения тетрад э( с каноническими тетрадами для компонент некоторых тензоров, например компонент тензоров Вейля. Однако, в свою очередь, в частных примерах римановых пространств такого рода условия могут оказаться недостаточными для выделения единственного векторного поля э< и семейства соответствующих мировых линий. В этом случае можно построить серии семейств выделенных сопутствующих мировых линий. Тем не менее при неединственности в каждой точке пространства векторов э4 можно указать единственное соответствие векторов э4=и в любых соседних точках М н ATL
Все сказанное выше было связано с существованием (возможно, неединственного) преобразования координат при переходе в метрическом пространстве к каноническим координатам К，для которых выполняется равенство
з
或、(dy4)2 一 £ (川屮， (5.6> аТ
в СТО глобально, а в ОТО только локально. Независимо от неоднозначности выбора тетрад %, выделенных видом (5.6) выражения для ds2t можно вводить геометрические понятия, которые в частных примерах инвариантны относительно преобразований Лоренца, но основаны на использовании специальной формы метрики (5.6). В частности, можно ввести понятие инва* риантных геометрических объемов dV4>0, а при фиксированном 立一величин dVz>0 и d%>0 в точке М. как модулей произведений приращений координат в системе координат с метрикой вида (5.6),
d%=1或"炉厶31, d% = 1d/d炉 I (5.7)
I См.: Седов Л. И. О динамических свойствах гравитационных полей //ПММ. — 1983. — Т. 47, вып. 2, — С. 180-199.
и элементов трехмерной длины
М= £(*)■・
Рассмотрим введение понятий об «объемах», определенных в канонических системах координат х* формулами типа (5.7), с точки зрения минимального числа аксиом о «пространстве» и о «времени» для ^-мерных пространств. Введенные формулами (5.7) элементарные «объемы» в конкретной выделенной системе координат с метрикой канонического вида (5.6) можно затем вычислять и суммировать в любой другой системе координат. Рассмотрим линейное преобразование дифференциалов координат от / к 兴
d炉=Gi d*,欣尼 b, dW 04 bki = 8j),(5・8)
где матрица ||a\|| в точке M может быть любой с определителем Д, удовлетворяющим условиям А = |а：*| 唉 0 и -у = I Ь-i I ¥= О- В частности, в общем случае нелинейных прямого и обратного преобразований
炉=炉(У), У = /(/)(5.9)
в точке М имеем
причем связь между xz и g% будет взаимно однозначной.
Если равенства (5.10) справедливы сразу во всех точках пространства, то имеют место формулы (5.9), так как формулы (5.8) становятся интегрируемыми. В этом случае преобразование (5.8) называется голономным. В общем случае равенства (5.10) могут выполняться только во взятой точке М. В этом случае преобразования (5.8) имеют только локальную природу и называются неголономными.
Как известно, в каждой точке пространства можно рассматривать координатные линии, определяемые условиями постоянства всех координат, кроме одной, а также ввести понятие векторных базисов и вообще понятия векторов и тензоров любого ранга. В частности, в системах координат х* и № векторы базисов а； и а&, направленные по касательным к соответствующим координатным линиям, надо рассматривать как характеристики координатной системы. Наряду с ковариантными векторами базиса а； можно ввести контравариантные компоненты вектора Л*
и понятие вектора как инвариантного объекта относительно преобразований координат согласно формулам
募們 з；=今力 А="% =(5.11)
а также контравариантные векторы базисов *, образующие векторный пучок, аналогичный базисному пучку э；, но преобразующийся вместе с компонентами векторов А, по формулам, взаимно обратным формулам (5.11)
А/= ^j 4，э = :; У， А = 4?У = А/3“.(5.12)
После фиксирования способа определения объектов dx】и эг в системе %', которые можно вводить, вообще говоря, не единственным образом L можно написать равенства
dr = dW % = d%? з‘；4 = 4з‘ = А； з〃 =川立=4〃 з] (5.13)
справедливые в любых системах координат. При переходе от системы %» к любой другой системе координат 士儿 величины dadxi,力弘厶 как видно из формул (5.11) — (5.13), имеют инвариантные значения, не зависящие от выбора систем координат.
Всякому преобразованию от / к 自卜(i, Л= 1,..., т) можно поставить в соответствие две несимметричные матрицы
отличающиеся заменой местами строк и столбцов. Очевидно, что детерминанты этих матриц равны одному и тому же числу А.
Рассмотрим матрицу произведения
В • & =1風 II где
2^-(5
См.: Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I. — 4-е изд. — М.; Наука, 1983.
(5.15)(5.15)Элементы симметричной матрицы Хи Для фиксированной системы координат можно рассматривать как ковариантные компоненты тензора в любой системе координат 0 с векторами базиса 9i：
(5.15)
(5.15)
X =公何6.
Если взять за основную систему координат 乳 то в любой другой системе координат xk придем к тензору % с контравариант- ными компонента1ми 严(％=严4力)，для которого верны равенства
(5.16)(5.16)х“=» 齧
(5.16)
(5.16)
причем для компонент этого тензора будет справедлива формула
严為=林.(5.17)
Таким образом, компоненты тензоров х и X можно рассматривать как характеристики связей между двумя системами координат %’ и 0. Так как одна из систем координат фиксирована /для тензора х фиксирована система 占庵,а для тензора х — система 炉)，то тензоры х и х можно рассматривать как характеристики систем 炉 и № соответственно. Если х* = V, то обе матрицы для компонент х и х равны единичной матрице; с помощью тензоров х и х и векторов базисов а«, Э/, 6 и 3 можно строить другие тензоры, зависящие от выбора исходной системы координат в частности тензоры с компонентами, связанными со всевозможными инвариантными суммами, содержащими по- лиадные произведения э<э；...э/, отвечающие исходной или произвольно выбранной системе координат. Например, для данных векторов аь 做，о^ с компонентами % ,・・•，ат соответственно можно построить тензор
山也戸...0萨气%...Sj.(5.18)
Если ввести компоненты со смешанными индексами ряд, равные символам Кронекера 解,то сумма вида 依事Э,и V* ... > =
=Z ±風...史3厶...3J 虱...3%, (5.19)
где знак плюс отвечает четной перестановке индексов /1... jm в выражении 1, 2, ..., т, а знак минус — нечетной, в любой системе координат представляет собой один и тот же тензор с одинаковыми компонентами, хотя базисные векторы э,, з‘ зави* сят от выбора системы координат и от способа определения ковариантных и контравариантных базисных векторов.
Нетрудно усмотреть, что свертка компонент тензора (5.18) с компонентами тензора (5.19) по индексам /в (s= 1, 2,..., т) дает альтернированное произведение векторов
2 土疝• •・ а：Т = Е (士 d ・・・ а>)8^：>=х 1,….m1,….m
=原...a^(5，20)
Так как 6/ — инвариант, то равенство (5.20) представляет собой также инвариантную запись относительно произвольного преобразования координат.
Если положить ах =э d^ эь ・・・,q^ = ^т ^т ，， то, учи
тывая формулы d%‘ =тывая формулы d%‘ =dxk
тывая формулы d%‘ =
тывая формулы d%‘ =
—эЛ и используя опреде
ление детерминанта det | 蓄 || " связь между альтернированным произведением векторов и объемами соответствующих параллелепипедов, получим следующую формулу:
£±（*一礬）犯£±（*一礬）犯成m工改1...d%m. (5.21)成m工改1...d%m. (5.21)
£±（*一礬）犯
£±（*一礬）犯
成m工改1...d%m. (5.21)
成m工改1...d%m. (5.21)
Здесь и в дальнейшем под d/・・・dx% d早・・・4£巾 подразумеваются не произведения, а элементы объемов, определенные каноническим образом по системам координат х1 и 班
Как частный случай формулы (5.21) при т=1 получаем выражение для элемента длины 力：
при т=2 — выражение для элемента площади двумерной по верхности:
空竺—四四d^d^= ]/而dFdF = d"d%2 = d%.
J (祓】0F df dP "1 l/1
r〃ei, j=l,2; при m = 3 — выражение для элемента трехмерного объема
I det II %：• HI d?成 2 dF = У ]^[ dp dE2 df = d" d 炉 d^ = di*
где 厶 /= 1, 2, 3; при 加=4 — выражение для элемента четырехмерного объема
I det II 力 III 国 df 或з 眼=J 百Г dFdFdl 戍 4 =
=dx1 d# d%3 dx4 = d%
и T. Д.
Скалярные величины dZ, d%, d%, d匕 и т. д., вычисляемые в любых системах координат, определяемые с помощью формулы (5.21), можно рассматривать как длины, площади и объемы (трехмерные и четырехмерные), определенные с помощью выделенной системы координат х*. В этой системе координат или. в системах координат, в которых соответствующая симметричная матрица 11耳/11 имеет детерминант, равный единице, будет верно равенство
d^... d^ = dxi.・.dxm.(5.22)
Все предыдущие определения касались локальных преобразований в любой точке. Системы %’ и 己儿 можно рассматривать в каждой точке только локально с помощью координатных базисов э( и 鼠，определенных неголономными преобразованиями ( Задаваемые канонические системы координат 炉 в разных точках могут быть неголономными, а заданные или употребляемые системы координат 少 можно вводить как глобальные голо* номные системы координат в пространстве.
Рассматриваемые пространства можно наделять различными свойствами, например метрикой и правилами параллельного переноса векторов и тензоров.
Формулы для dl, d%, d%, d%, введенные выше, верны независимо от метрики и правил параллельного переноса, но этк величины зависят от выбора исходных локальных систем координат х1 и, следовательно, определены не единственным способом.
Если задать во всех точках пространства локальные системы координат х\ то для всех преобразований, оставляющих детер-
52 Гл. I. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И КИНЕМАТИКА КОНТИНУУМА минанты |Д| инвариантными, величины d/, d%, d%, d%, также зависящие от исходных систем %", определяются однозначно.
Для получения универсальных определений объемов достаточно указать выделенные локальные системы координат которые преобразуются друг в друга с помощью преобразований, для которых |Al = L
В частности, для евклидова пространства и пространства Минковского за подобные выделенные системы координат можно взять инерциальные системы координат, преобразующиеся друг в друга соответственно с помощью преобразований Галилея или Лоренца, для которых, как легко показать, |Д| = 1.
Для метрических пространств общего вида с метрикой, определенной формулой
ds2 = gudy^dy^(5.23)
в качестве локальной выделенной системы координат / можно взять систему координат, для которой формула для метрики (5.23) имеет вид
ds2 = 士(d%】)2 ± ①炉产 土 ... 土(d”)2,(5.24)
где знаки необходимо фиксировать в соответствии с сигнатурой для задаваемой квадратичной формы (5.23).
Так как по определению в системе координат xz элемент объема т порядка dVm вводится формулой
dVm = dx^..dxm9(5.25)
то инвариантная величина dYm в любой системе координат рассчитывается по формуле
*mП/]^7對...成叫(5.26)
Нетрудно убедиться, что хотя в общем случае 初耍gq, однако все же верна инвариантная формула
IZi/l«±lfi/|.(5.27)
Знак в равенстве (5.27) определяется сигнатурой в формуле (5.24), и поэтому выражение (5.26) в любой системе координат 尹 можно переписать в виде
4Vm»/±i7d^ ・・・ dET4Vm»/±i7d^ ・・・ dET(5.28)(5.28)
4Vm»/±i7d^ ・・・ dET
4Vm»/±i7d^ ・・・ dET
(5.28)
(5.28)
О формуле Гаусса — Остроградского
Как известно, формула Гаусса—Остроградского в простейшем случае, который будет рассматриваться далее, представляет собой преобразование четырехкратного объемного интеграла по области У4 в трехкратный интеграл по области 23 — границе 匕.
Эта формула выполняется независимо от геометрических свойств четырехмерного континуума точек в любой его четырехмерной области 匕，ограниченной трехмерной поверхностью Ез・ в системе координат %* х2, х3,仆 для четырех произвольных функций Р, Р\ рз, р&, зависящих от %% и обычно записываете» в виде
J 】^7 d" dx2 d%3 d"=
(6.1)
где подынтегральные функции Р〔 не обязательно представляют собой компоненты какого-либо вектора, а объем 匕 и поверх* ность 23 при вычислении интегралов предполагаются ориенти* рованными.
Интегралы в формуле (6.1), зависящие от выбранной систем мы координат N, можно представить и вычислить в любой другой системе координат, связанной с системой координат х* голо- номным преобразованием, или в множестве локальных систем- координат, связанных с системой координат х‘ неголономным№ преобразованиями. В общем случае (как голономном, так и не голономном) бесконечно малые приращения координат dx* и dj% связаны формулами вида (5.8):
@犷=afid* dE^=" dW, где
虑爲：=¥・(6.2》
Здесь a：j и 6*j — некоторые функции от Е尼 или от х‘. Для детерминантов этих линейных соотношений справедливы формулы
А н I Ji I = ± М lx： I ^0> ； = W】=土 МIX”I * & (6・3>
в которых обозначено
Xi = 2 **， %" = 2 %°\无=1*=!
кор-(6.4)спра-(6.5)(6.6)кор-(6.4)спра-(6.5)(6.6)а из двух возможных знаков, стоящих перед квадратным нем, выбирается знак, соответствующий знаку А.
кор-
(6.4)
спра-
(6.5)
(6.6)
кор-
(6.4)
спра-
(6.5)
(6.6)
На основании формулы (5.22) следует, что
dN・・• dxm ■ А • d8・・・4沪,я с помощью формальных выкладок можно убедиться введливости равенстваdPi 1 д(Р" • А)
где
pir =b^.pj
Правая часть равенства (6.5) обычно обозначается 7Р». Нетрудно видеть, что символ V； по смыслу определен для произвольного континуума в римановом пространстве и представляет собой дивергенцию соответствующей размерности от вводимого вектора согласно преобразованию (6.6).
Очевидно, что величина 储Р, зависящая от системы координат х\ инвариантна относительно преобразования (6.2) к любой другой системе координат 士七 введенной голономными или неголономными формулами (6.3)х.
Используя формулы (6.4) и (6.5), левую часть равенства (6.1) при фиксировании координат х* можно переписать в лю- •бой системе координат f в инвариантном виде
0(p" / 1%,1)0(p" / 1%,1)
0(p" / 1%,1)
0(p" / 1%,1)
dPdFdFd已(6.7)
Получим теперь для, вообще говоря, неголономных систем координат %’ инвариантную запись подынтегрального выраже-
1 Следует отметить, что формула (6.5) верна не только в римановом пространстве, но и для пространств более общего вида независимо от определения законов параллельного переноса векторов базиса и, в частности, для аффинносвязных пространств с кручением.
ния, стоящего в правой части равенства (6.1) в любой глобальной системе координат F для конечной области 匕 н ее границы Ез.
Пусть уравнение границы & в переменных 扌 имеет вид
fG,比济 F)=0・ (6.8)
В каждой точке 2з введем новые локальные координаты Т)1, т)2, П* п"，для которых в каждой точке поверхности (6.8) выполняются условия т]4=0 и dr^=dft а соответствующие трехмерные векторы, отвечающие приращениям drf, dx^, d*, лежат в касательной плоскости к поверхности (6.8).
Вектор градиента N к поверхности f(F)=O определен как вектор с компонентами дЦд^. Легко проверить, что в переменных 限 этот вектор N имеет компоненты (0, 0, 0, 1), так как на £/〃@于=0 (а= 1,2,3), a d//囱4=1 Если пространство метрическое, то вектор N, равный градиенту функции ортогонален к поверхности /(±')=0, а координатную линию, соответствующую приращению dx^t можно выбрать перпендикулярной к этой трехмерной поверхности. Однако в дальнейшем (если нет специальной оговорки) рассматриваются преобразования, справедливые и для неметрических пространств.
Примем по определению, что вектор N направлен в сторону, внешнюю к области 匕，что соответствует 力=々睢＞。при смещении из точек 23 во внешность 匕. Таким путем определяются и противоположные направления вектора N. Нетрудно заметить, что в переменных 戸 верна формула
對4= 务硯i=MdF. (6.9) or
Далее согласно определению четырехмерного объема и в силу формулы (6.9) имеем
М而或工或2成3 或4= У \ Нц I d^d^d^d^ =
=叫對4 =%Md{
где dV3 = Y\hi \drf- dtf d^ — элементарный трехмерный объем, представляющий собой элемент поверхности Е3. Матрица И А：/ II и детерминант этой матрицы |hi | в системе координат 仆 в точках поверхности S3 имеют тот же смысл, что и матрица ||х〃|| и детерминант |х〃 | в четырехмерном пространстве для объема 匕.
Если применить формулу (6.1) к конечной области, то слева в (6.1) конечный объем V4 надо разбить на систему бесконечно малых объемов с общими трехмерными границами, по которым соответствующие трехмерные интегралы сокращаются, после
чего останется только один интеграл по поверхности Ха (6.8), который теперь можно написать в виде
J РМ%・
Таким образом, для любых заданных — выделенных локально или глобально — систем координат х* можно в произвольной заданной глобальной системе координат У написать формулу
J %戶忆匕=J PNgV» (6.10)
В этой формуле выделение исходных систем координат проявляется слева только через детерминант р |工牙| , а справа—через компоненты Мн через детерминант |%|・
При наличии метрики в качестве системы х1 можно взять каноническую (в общем случае неголономную) систему координат для четырехмерного метрического тензора в 匕；при этом получим равенство |x〃| = ±[g“| и соответствующие легко устанавливаемые формулы для М |Л,/1 .
При наличии метрики с соответствующим выбором функции f, введением вектора N, ортогонального 2з, и компонент метрического тензора 九炉 на Ез можно принять, что |N| = 1, l%d =出I, и произвести переход от четырехмерной метрики в 匕 к трехмерной метрике на поверхности S3.
Из предыдущих формул следует, что четырехмерный и трехмерный объемы определятся однозначно только после фиксирования канонических выделенных систем координат W・
Наличие метрики позволяет естественным образом указать соответствующие выделенные системы с помощью неголоном- ных канонических систем координат в каждой точке пространства 匕 н с помощью тензоров, определяющих метрику.
Локальные канонические системы координат в метрических пространствах определяются, вообще говоря, не единственным образом, но соответствующие понятия т^хмерннх и четырехмерных объемов и величин V/Р* и определяются при |Д| = 1 единственным образом.
Собственное голономное глобальное время для выделенной сопутствующей системы отсчета
В каждом модельном четырехмерном римановом пространстве с локально определенной метрикой Минковского можно вводить различные системы координат: х\ 己匕 тр и т. д. Любая из этих систем координат вместе с системами координат, полученными из нее преобразованием (1.2), представляет собой
систему отсчета, в которой семейство мировых линий имеет постоянные пространственные координаты 优 F, Чт и переменную временную координату 认 艮 т)4 соответственно.
В общем случае система мировых линий, индивидуализированных условиями ga=const, совпадает с системой мировых линий T)a=const, если переменные F и 期左 связаны между собой преобразованиями вида
才=户(冷哦=f(E) (7.1)
Все системы координат Лагранжа, соответствующие данным фиксированным мировым линиям, связанные между собой преобразованиями (7.1), образуют систему отсчета Лагранжа.
Выражение общего вида для метрики
^ = gi} @Е» 砒丿=区4 ("У5 + 2区МТ d^ + 盛砂或自 (7.2)
в рамках одной и той же системы отсчета с ненулевыми мировыми линиями семейства линий L можно привести к виду
ds2 =(對4)2 + 2；м 對％瞰 + g^ d/ ・(7.3)
В частности, такое приведение может быть осуществлено с помощью следующего частного преобразования (7.1):
d = J /&4@)或4 =屮(匕 №),暇=?(7.4)
В формуле (7.3) обозначено
入=部+生丝—2/^』
研能80*吸
Итак, среди множества всех систем координат Лагранжа, соответствующих одной системе отсчета, найдется такая система координат 卄 в которой g44=L Далее компоненты метрического тензора, обозначенные двумя крышками, будем обозначать одной крышкой, подразумевая при этом, что из множества систем координат Лагранжа, соответствующих одной системе отсчета, выбраны системы координат У, в которых g44=L На каждой
мировой линии выделенного семейства мировых линий L, инди* видуализированных условиями ga=const, может быть введен глобально определенный переменный временной параметр p+f(E°), Для которого во всех точках линий L имеет место равенство
dc =也.(7.5)
с
Для выделенного семейства мировых линий L и соответствующих координат 廿 и глобального времени т метрическую форму (7.3) можно переписать в виде
ds2 = с2 小 2 + 2。鼠4 йГ eh + g^ 成К(7.6)
Аналогичным образом можно поступить для любого другого семейства мировых линий U и соответствующих координат
В каждой точке пространства значения глобальных временных переменных т и тх и соответственно dr и dV различны. Из формул преобразования Лоренца (3.8) следует, что для любых двух семейств мировых линий в каждой точке их пересечения справедливы равенства
г一彳d
&七==I— a de при E const,
dt' = p/^ 1—= &七 при 7ja = const,
где v — введенный выше один и тот же параметр для прямого и обратного преобразований Лоренца.
Выражение для метрики (7.6) можно также записать в виде
ds^ = d 山 2 + 几 в dl d 艮(7.7)
где
冗 В = iap — gaCg^i
dt^dx + lg^d^(7.8)
причем, как нетрудно проверить, для компонент тензора 几§ •справедливы равенства
公公公公公
万aB = gaR —ga4 g閣= 6aB・
Очевидно, что на каждой сопутствующей линии L, определяемой условиями ^a=const, при любых
ga4 = ga4(廿,X)
имеют место равенства
dt=d*
区4(比d階=0.
В общем случае при переходе от мировой линии L, индивидуализированной условиями ^a=const, к близкой линии Lz, индивидуализированной условиями
乎 + 呦=const,
из формул (7.8) следует
cd(t—x)=以4階=£/爲卢 0.(7.9)
Если предположить, что dQ представляет собой дифференциал некоторой функции fi = Q(ga, т), то при любых d^a справедливы равенства
- 0Qga，= ~7，- 0Qga，= ~7，(7.Ю)(7.Ю)
- 0Q
ga，= ~7，
- 0Q
ga，= ~7，
(7.Ю)
(7.Ю)
откуда следует, что Q = Q(ga). Из равенства (7.10) также следует, что в этом случае выполняются условия интегрируемости уравнений (7.8)
Мм — М必=c 以 pg" =Q (7.11) 延6 08 加
т. e. g(u не зависит от т.
Таким образом, из предположения о том, что величина dQ в (7.9) является дифференциалом некоторой функции, следует, что на разных мировых линиях L значения f и т связаны равенством /=x+(p(ga).
При вышолнении условий интегрируемости (7.11) выражение для метрики во всем четырехмерном пространстве приводится к виду
ds2=c2"+啞階呦 (7.12) и значения / отличаются от значений т только началом отсчета на мировых линиях.
Системы координат, в которых метрика имеет вид (7.12), называются синхронными. При этом мировые линии, определяемые условиями ga = const, ортогональны к трехмерным поверхностям x=const.
«Парадок» близнецов
В связи с изложенными выше теориями собственного времени полезно разобрать существо примера о различных временах у близнецов, которые движутся по разным, пересекающимся в двух точках 0】и 02 мировым линиям. При рассмотрении различных движений в СТО и ОТО конечные промежутки собственного времени вычисляются при помощи интегралов вдоль мировой линии
cAt = As = f ds, d$2 = gijdx1 dW・(8.1)
Собственное время Дт является инвариантом, и поэтому результат вычисления по формуле (8.1) не зависит от выбора системы координат для расчета интервала As по разным миро* вым линиям. Результат расчетов является функционалом от
Рис. 4Рис. 4
Рис. 4
Рис. 4
пути интегрирования и, вообще говоря, различен для разных путей. Так, например, для покоящегося наблюдателя А в инерциальной системе координат ха, t в СТО мировая линия (путь интегрирования) совпадает с осью времени f・ Для движущегося наблюдателя В траектория изображается кривой L (рис. 3). В псевдоримановом пространстве интеграл в выражении (8.1) максимален вдоль геодезической, а так как в пространстве Минковского через две точки проходит лишь одна геодезическая —прямая, то Дта>Дтв. В связи с этим возрасты близнецов, одинаковые в точке 01, при встрече в точке 02 оказыва* ются различными. Это и есть классический пример, названный «парадоксом» близнецов. Этот парадокс давно, с самого зарождения СТО и ОТО, дебатируется во многих монографиях и учебниках, зачастую с неотчетливыми, а иногда просто неверными комментариями.
Разъяснение сути дела и бытующих высказываний, по-види- мому, удобно дать на конкретном примере движения близнецов.
Рассмотрим две мировые линии в пространстве-времени Шварц* шильдаг, изображенные на рис. 4. Две кривые La и Lb, соответствующие наблюдателям Л и В, пересекаются в двух точках 01 и 02- В точке 01 произведена синхронизация часов, так что
Мировую линию близнеца £д можно рассматривать как мировую линию Земли, а линию Lb как траекторию полета близнеца-космонавта, возвращающегося на Землю.
Доказательство неравенства ^Sa^^sb для любых заданных мировых линий 厶厶 и Lb можно получить вычислениями на основании известной формулы для метрики. Ниже рассмотрим случай, когда мировые линии 厶《 н " — геодезические, что соответствует движениям близнецов при отсутствиях каких-либо внешних сил.
Интервал для пространства-времени Шварцшильда в координатах Бойера—Линдквиста имеет вид
加2=d ( 1 _ / )或2 — ( 1 - f)i 右2 -产(或2 + sina0dq)2)
(г* ——гравитационный радиус). В выбранных координатах уравнения мировых линий La и Lb имеют вид
г0 片 const, 8 =十，?=г0 片 const, 8 =十，?=1/21/2
г0 片 const, 8 =十，?=
г0 片 const, 8 =十，?=
1/2
1/2
(8.2)(8.2)(т — собственное время), з^О + cosa), BuJ(т — собственное время), з^О + cosa), BuJФ = const, Я = const,Ф = const, Я = const,
(8.2)
(8.2)
(т — собственное время), з^О + cosa), BuJ
(т — собственное время), з^О + cosa), BuJ
Ф = const, Я = const,
Ф = const, Я = const,
(8.3)(8.3)
(8.3)
(8.3)
+ 借一 1y" a + 啜"(a + SE a)
1 В рассматриваемом примере полагается, что объекты А и В представляют собой пробные тела, влиянием которых на геометрию пространства- времени можно пренебречь. Мировая линия La, вдоль которой происходит увеличение времени / является винтовой.
Из формул (8.2) и (8.3) ясен смысл параметров 力，а и /?.
Из (8.2) в результате вычислений интеграла в определении (8.1) для мировой линии La получим
(&4>(&4>
(&4>
(&4>
а из (8.3) для мировой линии 厶広一
ПриравниваяД(р от R:ПриравниваяД(р от R:ск% = 2 (亲 Y/2 (% + sin а0), г0= у &1 + cosa0). (8.5》
Приравнивая
Д(р от R:
Приравнивая
Д(р от R:
Предположим, что R 3> rQi тогда
из (8.5) следует, At с точностью
ЧТО до
gm Из (8.3)
можно оценить
。（計
必厂(^)‘"(П +
2r* J
(8.6>
Af из (8.3) к Af из (8.6), получим зависимость.
I^l2^2V2kr^\
где Д(р = 2衣左.
Приведем результаты расчета для конкретных значений входящих в задачу параметров. Для простоты вычислений положим г0я2г*, тогда для различных 也 значения максимального удаления R, собственных времен Aq, Атн даются таблицей
力
Л. см
△j. с
△5・c
10
~18r*
123r*/c
234r*/c
20
~29尸
249r*/c
480r*/c
RC
〜38г*
360r*/c
720r*/c
Разница времен Aq и Аз существенна для компактных объектов, радиус которых лишь в несколько раз больше гравитационного (например, для нейтронных звезд). Для системы Земля — Солнце Aq мало отличается от Aq даже при боль* шом числе оборотов (напомним, что для Земли г0 =0,5-10~® г©> где г© — значение г* для Солнца).
В разобранном примере движение происходит по инерции, по геодезическим, тем не менее имеет место разница собственных времен рассматриваемых объектов. Отсюда ясно, что уско^
рение не является причиной парадокса. Обратные же утвержде* ния, часто встречающиеся в многочисленной литературе по данному вопросу, необоснованны и просто неверны.
Четырехмерная скорость
В соответствии со сказанным в § 1 точки континуума можно индивидуализировать значениями трех пространственных координат, сохраняющих постоянные числовые значения на мировой линии, и, таким образом, рассматривать лагранжевы системы координат в четырехмерном пространстве. На основе введенных индивидуализированных координат можно вводить различные физические характеристики изучаемых объектов и, в частности^ кинематические характеристики.
Индивидуализированным точкам в четырехмерном пространстве в фиксированной лагранжевой системе координат ^Л соответствуют мировые линии, представляющие собой координатные линии для временнбб переменной &' или для некоторой переменной %(&а, ^4), которую можно взять вместо §4 при неизменных ga.
На ненулевой мировой линии L данной точки М трехмерного пространства, индивидуализированной условиями ^。匸 const, в произвольной системе координат х* наряду с точкой М можно рассматривать близкую точку %", которая в системе координат 尸 имеет координаты xi+dxi. Паре близких точек М, ЛГ можно поставить в соответствие бесконечно малый вектор
dr = d%‘3i,(9.1)
где э/ — базисные векторы в системе координат х1 в точке М.
Если точки, взятые на мировой линии 丄，определены значениями некоторого скалярного параметра X, а переход от точки М к точке W задается приращением 丸 то можно ввести конечный вектор, направленный по касательной к мировой линии 結気"(9-2)
Введенный таким путем вектор …疝一,очевидно, зависит от выбора параметра %, фиксирующего положение точки М на L, который можно вводить различными способами. В различных теориях параметр X часто вводится с использованием различных точек зрения, и в качестве параметра 九 можно выбирать разные искусственно определенные переменные на одной и той же рассматриваемой мировой линии.
Особое значение имеет выбор параметра 九 как собственного времени на данной ненулевой мировой линии .L или как глобаль-
ного голономного времени на семействе мировых линий, введенного в § 7,
к = т -|- f (Sa), А = dt =丄曲耍0.(9.3)
В равенстве (9.3) функция /(己。)определяет собой точки начала отсчета глобального времени 九 на мировых линиях семейства L. В данном случае инвариантная величина ds представляет собой элемент длины в четырехмерном пространстве на мировых линиях семейства L.
При выборе параметра 九 согласно формуле (9.3) контрава- риантные компоненты четырехмерного безразмерного вектора скорости точек среды, индивидуализированных условием |а=const, в произвольной системе координат наблюдателя / определяются формулой
где ds — элемент данной ненулевой мировой линии.
В согласии с определением (9.4) вектор четырехмерной скорости с компонентами г? направлен по касательной к мировой линии, индивидуализированной условием 廿=const. Вектор u^u^i абсолютен, так как определен инвариантно независимо от выбора системы координат или системы отсчета х*. Так получается в ОТО и в СТО, в противоположность определению вектора трехмерной скорости в ньютоновской механике как векторной относительной характеристики, зависящей от выбора системы координат наблюдателя.
Так как при Е° = const элемент длины мировой линии вычисляется по формуле ds =，g“ dE* то формула (9.4) может быть записана еще в следующем виде:
из которой следует, что вектор четырехмерной скорости единичен, так как
/М = umungmn = -зЛ- gmnAA = 口 в 1 •(弘5)
?44«44
Из определения вектора четырехмерной скорости и правила преобразования компонент векторов следуют выражения для
а* 9林不=а* 9林不=
а* 9林不=
а* 9林不=
контравариантных и ковариантных компонент вектора четырехмерной скорости в сопутствующей системе координат
(9.6)(9.6)О, J?
(9.6)
(9.6)
Как было отмечено в § 7, из множества сопутствующих систем координат, соответствующих одной и той же системе отсчета, можно выбрать такую систему, в которой gM=l, и выражения для компонент четырехмерной скорости в сопутствующей системе координат примут вид
〃'=&, 〃i = &4・
Вдоль данной мировой линии выражение для элемента длины в четырехмерном пространстве ds в произвольной системе координат наблюдателя с координатами ха, %4 =以，где t ——глобальное время наблюдателя, может быть записано в виде
dsz = e2山2 一出2 =炉成2 [ 1 — а в сопутствующей системе — в виде
ds2=c2d* (9.8) где dl — бесконечно малый элемент длины в трехмерном подпространстве dV3t ортогональном направлению глобального времени наблюдателя /; т — глобальное время в сопутствующей системе. Далее, так как производная ~^ есть не что иное, как модуль вектора трехмерной скорости v в dVZi то формула (9.7) принимает вид
"I叫(9.9)
Здесь скорость < определена с точки зрения наблюдателя и может быть введена в каждой точке неголономным путем с помощью инерциальных тетрад. Подставляя полученное выраже* ние в формулу (9.4), получаем равенства, связывающие контр а- вариантные компоненты вектора четырехмерной скорости и* и контравариантные компоненты вектора трехмерной скорости
灯°= 成 'вычисляемой с точки зрения наблюдателя,
“а 严/c„41
д■'・'—"=—
У 1-U%!]/ i一呷,2
где u2 = Uaua. Ковариантные компоненты, в согласии с принятым выше соглашением о сигнатуре метрики, вычисляются по формулам
% =，“4 = 7二'二1 ,з •(9.Н>
У 1-呷МJ/ 1—Ь/М
Используя связь между компонентами векторов четырехмерной и трехмерной скорости (9.10), формулу (3.7) для матрицы преобразования Лоренца при переходе от собственной системы отсчета L к системе К, движущейся относительно L с трехмерной поступательной скоростью v можно записать через компоненты вектора четырехмерной скорости и1 точек мировых лини^ системы К в системе L:
ku1 “3ku2 a31 + ku?炉ku1 “3ku2 a31 + ku?炉，(9.12>，(9.12>1 + ku1 и1 к* 炉也〃 2 д11 + ku 辽 2
ku1 “3
ku2 a3
1 + ku?炉
ku1 “3
ku2 a3
1 + ku?炉
，(9.12>
，(9.12>
Au"°Au3 a2
一〃I一炉
где
Четырехмерное ускорение. Уравнения геодезических
Ниже развивается кинематическая теория движений в ньютоновской и релятивистской физике в четырехмерных римановых пространствах.
Фундаментальны такие основные понятия, как системы координат и системы отсчета, сущность метрики, мировых линий индивидуализирова<нных точек, понятия о векторах скорости и векторах ускорения для индивидуализированных точек.
Математическое (теоретическое) описание движений строится с помощью введения наблюдателя 驳歹 представляющего собой систему координат, с помощью которой определяются различные векторные и вообще тензорные кинематические характеристики, используемые для изучения различных подвижных объектов — отдельных точек или их континуальных систем, обозначенных далее через L.
При введении понятий векторов скорости, ускорения точек и многих других понятий необходимо точки индивидуалйзиро-
вать и ввести понятие собственного времени т. Соответствующие определения получаются с помощью обязательного на практике всегда явного или неявного введения лагранжевых координат 已 В，把 т, в которых уравнение рассматриваемых мировых линий L, составленных из индивидуальных точек, имеют вид Е』const.
В любых системах координат в каждой точке можно рассматривать псевдоримановы четырехмерные пространства с ненулевым собственным временем т в канонической сопутствующей метрике и координатными тетрадными базисами эь э2, э3.
c2dp2 + 2cga4 (^, r)d^dx + / (f,力喈瞋电 (10.1)
Далее для простоты примем, что характеристическая скорость с=1・
Для любых векторных элементов dr в глобально определенной лагранжевой метрике (10.1) можно написать
dr = d『3a + dr” = df9a + 击台4 = |d"二 ds. (10.2)
Отсюда для тетрадных базисов в тетрадах L и по определению в К получим
(10.3)(10.3)人 dr"訳.
(10.3)
(10.3)
Так как 工了 = (а声/), то в тетрадах сопутствующая метрика (10.1) для К н L совпадает в каждой точке пространства:
gH = g 仃
Вместе с этим производные по времени т (в последующем и по координатам 己。)для базисов эа наблюдателя К можно ввес「 ти независимо от производных по т от базисов э/ на мировых линиях L.
Такое действие связано с тем, что в рамках фиксированного пространства Римана координаты собственного глобального времени т, вид уравнений мировых линий 廿=const и вид метрики
сохраняются при преобразованиях по формулам
т = р + ф(^), Е” = уа (У)(10.4)
влияющих на компоненты базисов а'・
Для заданных или искомых мировых линий L вектор скорости и касателен к L и согласно (10.2) определен равенством
и = э4 = э4 =竺(*〔。),(10.5)
где dr ——элемент линии L, на которой 廿=const.
Векторы и, э4 для К н а《для L неголономным образом совпадают в точках мировых линий L. В согласии с применяемым алгоритмом э/ для К и э/ для L должны совпадать неголономно в каждый момент времени на L.
Итак, а； задаются, и этим определяется ^ и э, в точках на L. Наряду с ковариантными базисами Э/=Э/ в точках пространства для наблюдателя к можно ввести контравариантные базисы 9‘ = g®・
Таким образом, в каждой индивидуализированной точке с координатами 廿，т в римановом пространстве можно ввести соответствующую (10.1) каноническую глобальную метрику с определением глобальной временной координаты т и различные системы отсчета с тетрадными базисами э4=и и э; в каждой точке пространства или на отдельных линиях L и рассматривать различные системы отсчета наблюдателя К・
Обратимся к установлению общей формулы для относительных ускорений в сопутствующей системе отсчета, когда метрика для семейства мировых линий L имеет вид (10.1) и когда для локальных наблюдателей К в точках линии L имеем
U = 94(厶)=94(k).
В системе сопутствующей метрики (10.1) в любой точке М на мировых линиях L для наблюдателя К имеем
U (М) = Э4 (М) = Э4 (М) + 〃а№ = э4 (М) + ga4* (Ю.6)
так как и^=\ и иа=0 и , кроме того, в точке М 〃4=1 н 〃а=?а4 базисы э4, эа для наблюдателя К являются его характеристиками, производные которых могут задаваться вообще произвольно. В окрестности точки М в соседних точках М' вообще и на L имеем
□ (АГ) = %(№) = 34(Afz) + g&aYM'),поэтому в точках линии 厶信=const, т переменно) для векто-
ра ускорения аот относительно наблюдателя К, задаваемого тетрадой э*, справедлива формула
а0Т = ~ = (/а4 峭)+ • ( 1。・7> dr dr от
Очевидно, что, так как |и|=1, вектор аот всегда перпендикулярен к вектору и.
Если K=L то в лагранжевой системе на мировых линиях d^a/dr=0, и поэтому относительно лагранжевых координат индивидуальные точки в L н К покоятся, для них только время изменяется, но в этом случае 壮(工长——т£) =0, поэтому на L и К можно считать, что если 正=工衣，то для индивидуальных точек относительные скорости и ускорения на мировых линиях К н L во всех точках друг относительно друга равны нулю. Очевидно, что в лагранжевых координатах при K=L динамика сводится к статике.
Для заданной метрики (10.1) задаваемая система базисов а' для К на мировых линиях L определяется как векторные функции глобального собственного времени т.
Опыты показывают, что особое физическое значение имеют выделенные инерциальные системы отсчета для наблюдателя К* в точках L, которые с математической точки зрения определяются условием постоянства (иначе равенства нулю производных по т) базисов э* и э* локально в каждой точке на рассматриваемой мировой линии!или для тетрад наблюдателя К*, заданных глобально во всех точках пространства. Если система базисов э* и соответственно 卢 инерциальны, то ускорение на L называется абсолютным и определено формулой
久6 43aА (10.8)
В связи г этим подразумевается, что система отсчета наблюдателя К* инерциальная, так как для К* в точках на линии L э* должны быть постоянными.
Если векторы М заданы как постоянные по времени во всех точках пространства, то на всех векторных линиях для К* в такой инерциальной системе отсчета ускорение равно 0.
Линии, для которых в лагранжевых координатах ^а, т ускорение равно 0, называются геодезическими.
Согласно (10.8) на геодезических должно быть ga4(¥) = =const. Поэтому в глобальной инерциальной системе отсчета К* все мировые линии являются геодезическими.
После соответствующего одного и того же локального преобразования в каждой точке пространства вместо 凯 и э( можно ввести неголономно ортонормированные базисы е« и ё», в которых е4=э4 и ё4=е4.
При переходе к ортонормированным базисам все инвариантные выводы, независимые от употребляемой системы координат, сохраняют свою силу.
Для инерциальной системы К* имеем
из определения инерциальности следует, что Гм =0.
Для «неинерциальной сопутствующей системы отсчета для К и метрики в форме (10.1) в формуле (10.7) для производных от еа имеем
丧а ( 1，с) ”г (此 т) du (也 т)=中 u.
дтdr庆а奕а
Общий вид формулы (10.8) может сохранять свой вид и отвечать относительному ускорению при переменных а' для наблюдателя, когда в формуле (10.8) второй член равен нулю, иначе когда
Легко проверить, что такое равенство в частном случае верно, если положить
^ = — Г4/ 乂
где символы Кристоффеля Г4/ взяты для метрики (10.1). Однако в системе наблюдателя К подобные соотношения для э* возможны, но необязательны.
Наряду с кинематическими четырехмерными формулами, написанными выше, можно в каждой точке пространства ввести •еще трехмерные векторы скорости и ускорения в малом локальном субстациональном трехмерном объеме пространства Уз, ортогонального к мировым линиям вектора и.
В объеме 匕 на сопутствующей L, согласно выводам в § 7, можно метрику привести соответствующими преобразованиями
координат к лагранжевому виду (10.1), а на мировой линии L для двух близких моментов времени тит7 определить приращение времени
dr = тх — т.
Все трехмерные кинематические понятия в римановом пространстве Уз, ортогональном к и, можно ввести обычными определениями и, в частности, в одинаковом локальном трехмерном ортонормированном базисе еа в Уз в разных точках на L.
Таким путем в каждой точке мировой линии Lb% можно ввести трехмерную скорость v в рассматриваемом 匕 так, что- 6н в данной точке в рассматриваемый момент времени т было бы v = 0, но ее локальное приращение было бы отлично от нуля, причем из (9.10) в базисах эа следует, что
dua = dva ¥= 0.
Исходя из такого локального равенства, получим для данного т
(10.9)(10.9)dua dva
(10.9)
(10.9)
—=耍 0
0七 dt
при одинаковых приращениях dr. Однако и = 〃'е» — четырех- мерный единичный вектор в У4, а вектор v=vaea — трехмерный в Уз.
Из равенства (10.9) следует, что в координатах |а, т на любой мировой линии L в каждой ее точке локально абсолютное или относительное ускорение 0и/0т локально представляется производной от трехмерного абсолютного или относительного вектора v по т с равными нулю пространственными компонентами.
Если локальные базисы е» инерциальны и, следовательно, постоянны, то соответствующие равные трехмерные и четырехмерные ускорения абсолютны.
Выше описано вычисление абсолютных ускорений в СТО и ОТО путем дифференцирования соответствующих трехмерных скоростей V по т в трехмерном пространстве 匕,когда в рассматриваемой точке М на мировой линии L и в системе координат К выполняется равенство v=0.
Если в точке М на L принять, что лагранжева система отсчета (f，т) движется относительно инерциальной системы отсчета наблюдателя с постоянной скоростью v*=#0, то в развитой выше теории вместо производной по т можно дифференцировать по собственному времени наблюдателя f с учетом того, что разница в производных по т и f связаны с равенством
В этом случае du dv 1 击dt /1-и*%2
но для наблюдателя в точке М на L
корень У1 — М/с? можно опустить везде в предыдущих формулах, если вместо dr — собственного времени пользоваться dt — собственным временем наблюдателя.
В синхронных системах для соответствующего семейства геодезических в каждой точке пространства можно рассматривать координатные элементы скаляра dr для глобального времени 工 и пространственного вектора di для геодезических.
Как известно, и очевидно непосредственно, в синхронных системах отсчета при dx=0 элементы ds2 представляют собой трехмерную метрику dN для трехмерного подпространства So, все элементы которого dl ортогональны к касательным к геодезическим пересекающим So из-за условия ga4 = 0 на синхронных геодезических, поэтому на синхронизированных поверхностях для постоянных т=то на So получим, что для других постоянных т=Т1>то существуют поверхности Sb аналогичные So, отве* чающие значениям т = ть
Обратимся теперь к понятиям скорости и ускорения для нулевых линий.
Пусть в данном римановом пространстве дана произвольная нулевая линия £. Очевидно, что на L по определению ds； =0. Так как ds^ =0, то вдоль L нельзя ввести собственное время* так как интервал времени между двумя точками Д и В вдоль L равен нулю:
вcAt = J dsL = 0.А
Поэтому фотону, с его собственной «точки зрения», не требуется времени для его перемещения вдоль L. Однако для любого наблюдателя К в синхронной системе отсчета можно ввести глобальное время тк (см. § 7); в такой системе переход вдоль 厶 из точки { в точку 8 связан с интервалом глобального времени Атк.
Очевидно, что, как показано в § 9, время Ау перехода из： точки А в точку В вообще зависит от выбора синхронной системы отсчета К, причем Атк равняется расстоянию по геодезическим между S и So, на которых находятся точки А и В. Однако для глобального времени в синхронной системе отсчета Атк за-
висит только от выбора системы отсчета К в метрике (10.1), в которой ga4=0・
Рассмотрим вопрос о характеристиках нулевых линий £,. определяемых с помощью наблюдателя К, применяющего синхронную систему координат.
Из формулы (10.1) при dsL=0 и ga4=0 (в данном случае с сопутствующими мировыми линиями) следует, что вдоль L для любого наблюдателя К, применяющего синхронные системы, в любых данных пространствах Римана верна формула
c2d《一d£ = 0 или I 戸『=d на К, (10.10)
где dtK — элемент собственного пространственного времени в системе К・ Для разных К в синхронных системах d\K и dt^ могут быть различными, однако во всех точках нулевых L для любых К имеет место универсальное равенство
—=с. (10.11)
С точки зрения наблюдателя К в трехмерном пространстве S, определяемом в синхронной системе постоянным значением т/с в метрике (10.1), трехмерный вектор с в системе К представляет собой наблюдаемую трехмерную скорость в трехмерном вообще римановом пространстве.
Для наблюдателя К вдоль L определяются трехмерные векторы с, |с| = с и элементы собственного времени dy в синхронной системе К, поэтому для трехмерного абсолютного ускорения в точках нулевой линии L по определению положим
Таким образом, получается определение вектора ускорения на нулевых линиях с точки зрения выбранной синхронной системы К.
Однако следует отметить и подчеркнуть, что определение ускорения по формуле (10.12) связано с выбором синхронной системы отсчета наблюдателя К через понятие о ее собственном времени тк на геодезических.
Для разных синхронных семейств К глобальная переменная тк может быть различной, поэтому на нулевых линиях ускорение а определяется неоднозначно, в частности, за счет различия dtK в разных синхронных системах наблюдателей. Если наблюдатели выделяются дополнительно естественным образом в данном римановом пространстве однозначно, то после этого ускорение а в (10.12) и интервалы времени между фиксированными событиями на нулевых линиях, в частности, на лучах света ми-
74 Гл. I. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И КИНЕМАТИКА КОНТИНУУМА ровых линий фотона, получаются единственными (например, интервалы времени изгиба лучей, проходящих около Солнца, с точки зрения земного наблюдателя).
Ускорение и различные другие векторные или скалярные характеристики, определенные наблюдателем в синхронных сопутствующих координатах, можно пересчитать в данном римановом пространстве для любых заданных наблюдателей с помощью алгорифмов, разработанных в теории инерциальной навигации.
Из развитой выше теории в ОТО следует, что можно вводить различные выделенные системы отсчета, с помощью которых вводятся различные механические понятия, необходимые для построения физических моделей.
Отметим несколько специальных выделенных систем отсчета первостепенного значения в механике и вообще в физике с точки зрения теории и практического использования понятия об ускорениях индивидуализированных точек.
Когда речь идет об описании движений и о мировых линиях в римановых пространствах, всегда подразумевается наличие наблюдателя с соответствующим семейством мировых линий и семейство индивидуализированных точек и их мировых линий L.
Если семейства К н L совпадают, то можно говорить о семействах сопутствующих.
Важно, что для семейства сопутствующих всегда можно ввести канонический вид метрики (10.1) и глобальную координату т, изменяющуюся вдоль сопутствующих мировых линий и представляющую собой на всех этих линиях собственное глобальное время т*, которое можно рассматривать как скалярный параметр во всем пространстве, характеризующий взятое четырехмерное пространство Римана и выделенные семейства К н L.
В каждой точке данного пространства скалярное значение координаты т может быть различным для разных семейств L и Lf.
Очевидно, что в одном и том же семействе с собственным временем т* другое скалярное поле т можно рассматривать как скалярное инвариантное поле для другого сопутствующего семейства. Однако глобальное собственное время в данном семействе —это глобальный? параметр т, который вообще не будет собственным глобальным временем в другом семействе, но будет также некоторой скалярной характеристикой риманова пространства.
ds2 =e2必 +g紹山1.ds2 =e2必 +g紹山1.(10.13)(10.13)Среди семейств наблюдателей К можно выделить глобальные семейства К* с инвариантными геодезическими мировыми линиями. В качестве таких семейств ненулевых геодезических можно взять семейство геодезических, образующих синхронную систему координат, для которых каноническая метрика (10.1) имеет вид
ds2 =e2必 +g紹山1.
ds2 =e2必 +g紹山1.
(10.13)
(10.13)
В сопутствующих синхронных системах отсчета абсолютное ускорение всегда равно нулю, и поэтому синхронные системы в СТО и ОТО можно рассматривать как глобальные инерциальные системы координат.
Напомним еще, что понятия о расстояниях, о площадях и объемах вводятся с помощью специальных канонических координат и видом метрик, которые всегда и в каждой точке пространства можно вводить локально. С помощью соответствующего интегрирования скалярных характеристик, введенных локально {например, объемов), можно рассматривать характерные конечные инвариантные величины.
С физической точки зрения сопутствующие координаты и соответственно их канонический вид вместе с глобальным собственным временем являются выделенными системами отсчета, в которых целесообразно формулировать различного рода закономерности, наблюдаемые в естествознании. Распространение соответствующих результатов от сопутствующих систем отсчета на любые другие системы отсчета ——это задача инерциальной навигации.
Тензор деформаций и тензор скоростей деформаций как характеристики движения сплошной среды
Наряду с такими введенными выше кинематическими характеристиками, как скорость и ускорение, для бесконечно малых частиц континуума можно ввести еще такие характеристики, как тензор деформаций и тензор скоростей деформаций. Один ：из наиболее естественных способов введения тензора конечных деформаций бесконечно малых индивидуальных частиц в четырехмерном пространстве-времени для непрерывных движений и процессов состоит в следующем. Пусть в лагранжевой системе координат для подвижной среды выражение для метрики в глобальной форме имеет вид
ds2 = с?心2 + 2哈必d产 dx + g^d^ . (11.1) которое в каждой индивидуальной точке среды можно привести к виду
金2 = 02力2 +%0或a龙3, где
百оф = g*B — ga4gM H d£ = dt + 丄 gndW. c
На основании формул (9.6) выражения для компонент тензора 啞 также могут быть записаны в виде
%в =広 в —%講・ (И.2)
Компоненты тензора 无ао(т) определяют трехмерный метрический тензор на элементе трехмерного пространства, локально ортогонального данной мировой линии L, индивидуализированной условиями ^а=const. Трехмерное расстояние между двумя- близкими точками, принадлежащими указанному подпространству, можно определить формулами
d№ = —6asd『d^・(11.3>
Нетрудно проверить, что величина dP инвариантна относитель^ но преобразования координат (1.2):
Т = 广 (的，1 =屮(*冷
Наряду с актуальным физическим четырехмерным пространством с введенными в нем системой координат наблюдателя л* и сопутствующей системой координат 自左 можно рассматривать аффинносвязное метрическое пространство £>о, геометрической характеристикой которого служит квадратичная форма, задающая метрику
ds2 = gu dF 或丿；gij = 3/j (F)
с тетрадой базисных векторов Э/.
Во многих случаях в качестве компонент метрического тензора ga можно рассматривать метрику актуального пространства при некотором значении 七=% (т. е. в некоторый момент собственного времени)
侖《*)=£"( Е\ %)•
Мысленно введенное пространство D в рамках специальной теории относительности, вообще говоря, неевклидово. В момент собственного времени то= — ^ пространство Dq соприкасается с реальным псевдоевклидовым пространством по трехмерно- му пространству. В общем же случае метрический тензор gu может не соответствовать никакому реально осуществимому состоянию, изучаемого континуума L Далее, однако, для простоты положим, что пространство Do является пространством началь-
1 С таким положением приходится встречаться в континуальной теории дислокаций. См., например: Седов Л. И., Бердичевский В. Л. Дина* мическая теория непрерывно распределенных дислокаций //ПММ.——1967. — Т. 31, вып. 6. — С. 981—1000.
ных состояний, т. е. в некоторый момент собственного времени to совпадает с актуальным физическим пространством.
Определив контравариантные компоненты четырехмерного вектора скорости в пространстве начальных состояний равенствами
力(2=2*( Е\ ф, трехмерное расстояние d/0 в момент времени т0 можно вычислить по формуле
d/? = 一 h^ d已
%В = g@B — 〃x 〃B .
Наиболее простой и часто употребляемой характеристикой изменения одного и того же индивидуального отрезка может служить разность
必一dll =焉(Е* М) -М( Г, 1)]庞а 或彳(11.4)
в которой % —% = 2% можно рассматривать как компоненты тензора второго ранга
Е =» Eij эгэ^ = -~ {hij—hij} э1 э\(11.5)
млн тензора
Е » Eij э* э^ » Т 优“一hij э*э^,
причем hij( 5е, $о) постоянны вдоль мировой линии ge—const и удовлетворяют условиям 儿『〃丿=友川‘=0. В раскрытом виде для ковариантных компонент тензора £ в сопутствующей системе координат справедливы формулы
员=у 庇)(М。)- %(MJ 后(M。) 一
一扇(М) + 2(М)力(М)] ,(11.6)
причем
瓦j d = &j и? ■ 0.
Непосредственная проверка показывает, что компоненты тензора Е^ = Е： Е：瓦/ для фиксированной индивидуальной точки среды с координатами Е" инвариантны относительно пре- образования координат вида
瞰=『，哦=中(R 1),
где <р — произвольная дифференцируемая функция.
Наряду с введенными выше тензором деформаций в четырех^ мерном пространстве-времени может быть введен и тензор скоростей деформаций, компоненты которого в сопутствующей системе координат определяются формулами
(И7>
Если для точки М. индивидуализированной условиями Т = const, компоненты тензора 方《в не зависят от времени» то наряду с формулой (11.7) будет справедлива формула
八 dEij
Из определения (11.7) можно получить выражения для компонент тензора скоростей деформаций через кинематические характеристики сплошной среды в системе координат наблюдателя:
旬=- ~(V/勺 + V/"D + 十@ 〃/ + Q/"t)(11.8>
Нетрудно проверить, что из последней формулы следуют равенства
е* и1 = 6切凉 «= О,
т. е. в собственной системе координат тейзор скоростей деформаций имеет только пространственные компоненты. Наряду с формулой (11.8) для тензора скоростей деформаций в ряде случаев также используется формула
&尸一Y^h^ + h?h^u-⑴9
Нетрудно показать, что компоненты тензора деформаций, определяемые формулами (11.8) и (11.9), совпадают.
Система координат Ферми
Как известно, в евклидовом пространстве можно ввести единую для всего пространства глобальную декартову систему координат, в которой gij = const и, следовательно, все символы Кристоффеля Г力 равны нулю во всех точках пространства. В римановых пространствах дело обстоит не так. Пусть ^—некоторая произвольная система координат и Г刍一 символы Кристоффеля в системе координат &*• Напишем уравнения, определяющие систему координат, в которой все коэффициенты Г*吉 равны нулю. Пусть 疗="(Е*) — преобразование координат и Det ®- Оиевндно, что все Г^ (^) могут
обратиться в нуль только при выполнении равенств
。我0龙。 /丁
，q■。・(12・1)
В римановом пространстве этим равенствам всегда можно удовлетворить в некоторой заданной точке, т. е. всегда можно ввести новые координаты 才 так, чтобы в заданной точке »Ь, соответствующей точке %, все Г? = 0. Для это* го, очевидно, достаточно положить
即一壻■#&5-圖-十喘/0一砌(哦一喟)+ ...
Ниже покажем, что можно построить системы координат (координаты Ферми), в которых Г*=0 во всех точках произвольно выбранной мировой линии L. Чтобы доказать это важное и полезное предложение, достаточно указать метод конструирования системы координат 3, для которой во всех точках произвольно заданной мировой линии L выполняются равенства
「方=0・(12.2)
Бели пространство евклидово (псевдоевклидово), то, вводя декартову систему координат, получаем, что равенства (12.2) выполняются не только на кривой L, но и во всех точках пространства. Следовательно, проверка равенств (12.2) вдоль L должна быть выполнена только в случае риманова пространства, где не все компоненты тензора Римана Ri ", определяемые формулой (4.1), равны нулю.
Непосредственно ясно, что в случае n-мерного риманова пространства невозможно удовлетворить равенствам (12.2) ни во
всех точках бесконечно малого объема, ни на произвольных элементах поверхности с размерностью, большей единицы.
Положим, что уравнение мировой линии L, взятой в п-мер- яом пространстве, в исходной системе координат 炉 в параметрической форме задано в виде1
犬=b ("), а = 2, 3, .. , л; Ет = /,
и допустим, что функции(paz (х1) определены для всех х1 в подходящим образом выбранных интервалах. Выполнив преобразования координат
1=炉一叭")，.，下二炉一叭炉)，
получим, что мировая линия L в системе координат V определяется равенствами
守=±8 =・.・=守=О
при переменной &L Очевидно, что в системе ^ мировая линия L совпадает с координатной кривой &•
Преобразование символов Кристоффеля от системы ^ к системе М может быть записано в виде
泄 гч м 况「ан , /1 豆％而巾丁丽•
Так как Det ^ II # 0, то, если для всех Л « 1, 2, . . . , л
и фиксированных индексов Z и / верны равенства (12.1), то верно также, что
Г^ = 0 при论=1, 2,・・・,〃・
Рассмотрим сначала частное преобразование от системы ・ к системе к，в которой Г 才=0 для всех k и всех 厶 /, за исключением £ = / = 1:
F 匸 Т1 + 尺 ”。一~- [ бх Ьх Гjxv + (从找 + Ь：戍)Г；1 +
+ 从hГ；1] *刀'+ 尸，(12.3)
Vх n b；期*^ [ b：或 г% + (区此 + b： b£) rgi +
+从н ri]限瞰+
I Далее принимается, что латинские индексы пробегают значения 1,2, ...,л, а греческие — значения 2, 3, ...v л.
где E(d), 63 W ( Det II &5||=#О) — функции 寸 и 尸，^ — произвольные функции %1 и f* стремящиеся к нулю как бес* конечно малые порядка выше второго по ^, когда ^ стремится к нулю. Очевидно, что вдоль мировой линии 厶
哦=Т|3 = • • •=寸=О, Р =寸.
В формулах (12.3) в качестве величин Г* (F) используются их значения 「方G) на мировой линии £. Подставив F(刀尼)из (12.3) в условия (12.1), получим уравнения для функций 屏(寸)и 舔(叩)•
Перепишем сначала условия (12.1) в виде
可矿 、加斤一е2豆■加而刃一「"源凉.
(12.4)
Из формул (12.3) вытекает, что на мировой линии L имеют место следующие равенства:
OWOW（内1尸（内1尸О,О,дт]1 дт)хдт]1 дт)х
OW
OW
（内1尸
（内1尸
О,
О,
дт]1 дт)х
дт]1 дт)х
[b；此「:廿 + (从收 + 尺成)Тl + b\6iгn], д^ di/
而=°・而=°・0飞 а— db；内хd# /10飞 а— db；内хd# /1
而=°・
而=°・
0飞 а— db；
内хd# /1
0飞 а— db；
内хd# /1
- = 一 [b:龙「3 + (区成 + 区戍)Г力 + 比 di гм. 0十加1Х
Подставляя эти значения производных на L в формулу (12.4), получаем:
для 论=% i=x, /=х соотношения (12.1) удовлетворяются тождественно;
для 々 = i=l и /=х или 々=/=1 и i=x имеем
丁7 = 一「屮b"；
6T787
3)论=а, i= 1, /=х или 论=а, i=x, j= 1 получаем
^— = - r* 比.
Определив интегрированием полученных дифференциальных уравнений набор величин &i и Ь；, с помощью формул (12.3) получим множество преобразований к переменным 昧 в которых все символы 「；) на мировой линии 厶 за исключением, быть может, символов Гп (ft = 1, 2, . . . , п), равны нулю. Для преобразования системы 刀‘ в систему С% в которой все символы 邛 на L равны нулю, уравнения (12.1) на линии 厶 будут иметь вид
「咨竺+=(12.5)
Для того чтобы получить преобразования, удовлетворяющие этим уравнениям, положим
寸=f(G), 哦=内佇)+ 1.
При i*l или j*l уравнения (12.5) удовлетворяются тождественно. При /=/= 1 получаем
KF + f〃 = O и 「；；l + (ga)〃 = 0.
Заменив в「*(寸)аргумент 寸 на f(d), после интегрирования этих уравнений получаем вполне определенное преобразование, которое решает поставленную задачу. Общее преобразование х1 к С получается последовательным применением частных указанных выше преобразований.
Заметим, что полученный результат не связан ни с формулами (4.2), определяющими связь между Г^ и компонентами метрического тензора g订，ни с исходной Метрикой пространства; существенна лишь симметрия 「$ = Г^н формулы преобразования символов Кристоффеля「方 от одной системы координат к другой.
В системе координат ? все первые ковариантные производные произвольного тензора вдоль линии L совпадают, очевидно, с обычными производными. Условия постоянства тензора вдоль мировой линии L сводятся к постоянству его компонент в системе координат.
Если линия L замкнута или обладает точками самопересечения, то значения координат ^ и векторов базиса эл(^) после
обхода по L и возвращения в первоначальную точку или в точку самопересечения будут, вообще говоря, отличны от исходных значений. Очевидно, что в этом случае постоянные векторы и тензоры, имея в системе 『на замкнутой линии L одни и те же компоненты, не будут после обхода совпадать с начальными векторами и тензорами. Отсюда также вытекает, что два тензора, равные друг другу в точке Mt не будут равны между собой в другой точке ^, если значения тензоров в точке ^ получаются в результате переноса из точки М в точку ^ по различным линиям. Можно показать, что эти результаты существенно связаны с неевклидовыми свойствами пространства.
В римановом пространстве для компонент метрического тензора всегда имеют место равенства V^gij = O・ В системе координат £‘вдоль £ имеем 办g, = ? =。и, следова- тельно, на линии 厶 в координатах G имеем gi； (^) = const. Отсюда вытекает, что векторы базиса 飢(3) и У (У) в точках линии L образуют неизменяемую систему, которая при перемещении вдоль 厶 может только вращаться как твердое тело.
Исходя из общих преобразований символов Кристоффеля 「%, легко усмотреть, что каждое линейное преобразование
9 = *,
где а* — постоянные коэффициенты, также обращает в нуль символы Г^ на линии 厶 в координатах 《"・ Подходящим выбором вещественных коэффициентов а； можно удовлетворить на линии L в системе *' следующим равенствам; gij =0 для i # j и gfn = ± I (знаки определяются сигнатурой метрики). Ориентация соответствующей системы векторов базиса может быть задана произвольно в общем случае только в одной произвольно заданной точке кривой L.
Тетрада Ферми—Уолкера. Собственная тетрада.
Связь между трехмерным и четырехмерным ускорениями
Наряду с заданной системой координат наблюдателя х£ с тетрадой базисных векторов э； и сопутствующей системой координат &厶 с тетрадой базисных векторов £色，отвечающей заданному или искомому семейству мировых линий в теории относительности, используются и некоторые другие, специальным образом определенные тетрадные поля базисных векторов. Пусть L — некоторая ненулевая мировая линия точки, которая движется с конечным ускорением и индивидуализирована условия-
MH^a=const・ И пусть в каждой точке данной мировой линии L некоторым способов определена ортонормированная тетрада ео так, что «『и. Базисные векторы тетрад еа в двух близких точках М и 府'данной мировой линии связаны между собой бесконечно малым преобразованием Лоренца
илиили%(М‘)^(^+^ds)eb(M)%(М‘)^(^+^ds)eb(M)(13.1)(13.2)(13.1)(13.2)
или
или
%(М‘)^(^+^ds)eb(M)
%(М‘)^(^+^ds)eb(M)
(13.1)
(13.2)
(13.1)
(13.2)
Из формул (13.2) следует, что компоненты матрицы о)аб определяются формулами
(13.3)
Производную dejds можно также записать в виде
8工然ds8工然ds(13.4)(13.4)
8工然ds
8工然ds
(13.4)
(13.4)
где через 私% обозначены символы Риччи, представляющие собой коэффициенты разложения производной де/д卢 по локальной тетраде efl (векторные поля е. предполагаются продолженными произвольным образом на окрестность линии L). Так как при перемещении вдоль мировой линии тетрада еа остается ортонормироваиной, то для коэффициентов Риччи справедливо равенство
гдегдеТо" e — TbaA，\ab* я Та** %•，
где
где
(13.5)(13.5)а %. — компоненты метрического тензора в тетраде %. На основании формул (13.3) и (13.4) для компонент антисимметричной матрицы ofld получаются выражения
(13.5)
(13.5)
<°з = 5 *
Нетрудно убедиться, что если при перемещении вдоль данной мировой линии векторы еа не вращаются в пространствен- яоподобном трехмерном объеме d%, ортогональном к данной мировой линии, то
Т«ВА / = О,
и матрица ||%力|| имеет вид
ОООTi4fe 沙
ОООT24fe 仆
II 喉 11 =
ОООТ34* /
—Т14”— Т24Л«*—734”°
(13.6)
Из формулы (13.3), равенства e<=u и определения четырехмерного ускорения
du ds
следует, что для компонент матрицы llsabl! справедливы равен- ства
о)4ь =粤.е6 = @с ес • е6 = аг 戏^ = — а。, ds
(13.7) з 办=—а° %© = а",
причем, в силу способа введения тетрады еа, четвертая компонента вектора четырехмерного ускорения в базисе еа равна нулю.
В системе координат наблюдателя с базисными векторами э( компоненты матрицы |心"|| бесконечно малого преобразовав ния Лоренца имеют вид
о)" = a1 uJ — #〃'・(13・8>
Если через е* обозначить компоненты базисного вектора е^ в базисе 9& 佃=成9&), то из формул (13.2) и (13.8) следует равенство
丝=S 〃/ — # ") %/.(13.9>
ds
О векторах тетрады % преобразующихся при перемещении^ вдоль данной мировой линии по формуле (13.9), говорят, что» они переносятся по Ферми—Уолкеру.
Движущаяся ортонормированная тетрада базисных векторов еа (причем е《=и), связанная с ТОЧ1КОЙ, движущейся с произвольным (но конечным) ускорением, каждый из векторов которой переносится вдоль мировой линии по Ферми—Уолкеру, на- зывается тетрадой (репером) Ферми—Уолкера. Перенос Ферми—Уолкера пространственных базисных векторов еа можно* осуществить, связав их с малыми гироскопами, оси которых направлены по векторам еа. Вдоль мировой линии наблюдателя
некоторые из коэффициентов связности системы координат, связанной с тетрадой Ферми—Уолкера, можно вычислить, используя правило переноса локальной тетрады базисных векторов еа и выражения для компонент матрицы s〃・ Учитывая, что в локальной системе координат, связанной с тетрадой Ферми— Уолкера, для комшонент вектора четырехмерной скорости и четырехмерного ускарения справедливы формулы
〃а = 0,〃4 = 1, @4 =0,
из формул (4.2) для коэффициентов связности в точках мировой линии L следует равенства
Г44 = Г^4 = 0, Га4 в %, П4 =。° •
Остальные независимые коэффициенты связности можно определить, используя для продолжения тетрады в окрестность линии L параллельный перенос по пространственным геодезическим, и они будут во всех точках линий L равны нулю.
Для каждой точки М данной мировой линии L наряду с тетрадой Ферми—Уолкера еа можно локально ввести поле тет・ рад Э/, значение которого в точке М совпадает с тетрадой еа:
я которое постоянно вдоль геодезической, касательной к мировой линии L в точке М:
Для геодезической линии, проходящей через точку М данной мировой линии и касающейся ее в этой точке, тетрада 凯 является тетрадой Ферми—Уолкера. Векторному базису э； в точке М соответствует локальная инерциальная система координат; начало этой системы координат движется по геодезической с ускорением, равным нулю (так как 曲《/ds=O), и ее четырехмерная скорость и в точке М равна скорости и индивидуализированной точки М, но du/ds = 0. В общей теории относительности локально определенную тетраду э, можно рассматривать в каждой точке сопутствующей системы отсчета как локальный инерциальный базис, свободно падающий (с ускорением, равным нулю) в гравитационном поле. Локально определенный инерциальный базис э< называется собственной тетрадой в точ-
ке М. Приращение собственного времени dr — одно и то же относительно тетрад базисных вектрров.еа и э：.
Так как пространственные векторы базисов е« и эа при переходе от одной точки мировой линии к другой сохраняют свою ориентацию в трехмерном пространстве, то можно считать, что для обоих трехмерных реперов в трехмерном пространстве их ориентация одинакова во всех точках мировой линии и разли- чие базисов эа и эа обусловлено только поступательным движением триэдра базисных векторов эа относительно триэдра базисных векторов эа. Если v — трехмерный вектор скорости этого поступательного движения, то тетрады базисных векторов Э/ и э/ связаны преобразованием Лоренца.
Определенные выше локальные тетрады собственных базисных векторов позволяют установить связь между вектором четырехмерного ускорения и используемым в ньютоновской механике вектором трехмерного ускорения.
Так как по определению вектор четырехмерного ускорения а ортогонален вектору четырехмерной скорости и, то в локальной собственной ортонормированной тетраде базисных векторов э, при условии, что э4=и, вектор а имеет только пространственные компоненты
а = ааэ«. (13.10)
Очевидно, что при указанном способе введения собственной тетрады базисных векторов компоненты вектора четырехмерного ускорения в тетраде Ферми—Уолкера также будут равны аа.
В ньютоновской механике компоненты вектора трехмерного ускорения а точки М, индивидуализированной условием Е。』 =const, относительно инерциальной, локально определенной тетрады э, определяются равенством
а = аа%= — э«, (13.11) dt
где и° — компоненты вектора трехмерной скорости точки М относительно триэдра базисных векторов эв.
Связь между компонентами векторов четырехмерного ускорения а и трехмерного ускорения а в собственной тетраде э( устанавливается следующим образом. Так как в собственной тетраде базисных векторов з〃 введенной в окрестности точки
Mt трехмерная скорость и。индивидуализированной точки на мировой линии L равна нулю и
а =а =(13.12)(13.12)
а =
а =
(13.12)
(13.12)
то с учетом формул
|/■金工t'н一蟆
из (13.11) и (13,12) следует равенство
(13.13)
т. е. компоненты вектора четырехмерного ускорения в локально определенной тетраде，с точностью до постоянного множителя i/c2 совпадают с компонентами вектора трехмерного ускорения.
В сопутствующей системе координат на ненулевой мировой линии L, индивидуализированной условиями ^а=== const, из определения четырехмерного ускорения следует формула
(13.14>(13.14>а = Г44 Эг ,
(13.14>
(13.14>
где учтено, что на выбранной мировой линии L выполняются равенства
=0 н 2“ у 0,証=1.
Используя выражение для символов Кристоффеля череа компоненты метрического тензора в сопутствующей системе координат» из формулы (13.14) также получается следующее выражение для вектора четырехмерного ускорения:
а =а =1 二牙 @7/47е Н1 二牙 @7/47е Н(13.15>(13.15>
а =
а =
1 二牙 @7/4
7е Н
1 二牙 @7/4
7е Н
(13.15>
(13.15>
Сравнивая формулы (13.13) и (13.15), получаем
孤「毋燮^От
и после скалярного умножения обеих частей на з& прихо* дим к равенству
1^^1-а^аз^ .(13.16>
Так как по определению эа перпендикулярны э4 при условии, что ?м= 1, из формулы (13.16) следуют равенства
= 0,=丄詠(&в k),(13.17)
от с
используемые, в частности, при решении задачи инерциальной навигации в СТО и ОТО (см. § 14, 15).
В связи с сопутствующей тетрадой базисных векторов э< необходимо отметить следующее. В общем случае для сопутствующей системы координат имеет место неравенство ?<х4#0, т. е. векторы эа не ортогональны Э4. Для данной мировой линии 丄,индивидуализированной условиями f = =const, с помощью вектора В& = и, направленного по касательной к мировой линии £, можно ввести триэдр базисных векторов сопутствующей системы координат по формулам
Эа = Эа —鼠4 Э4,(13.18)
из которых, в частности, следует, что
(3每0,
т. е. триэдр базисных векторов эа принадлежит элементу трехмерного пространства % локально ортогональному данной мировой линии £, и вектор 5х представляет собой проекцию вектора эа на подпространство, локально ортогональное мировой линии L.
Так как по своему определению векторы 9a принадлежат У“ то для векторов эа и э« справедливы равенства
(э«9д) = (э« Эр),
вследствие которых формулы (13.17) могут быть записаны в виде
=丄 @в(9a “)・(13.19)
Как отмечено в § 7, в каждой точке М четырехмерного пространства выражение для метрики четырехмерного пространства может быть приведено к виду
d^^c2di2^h^d^d^.
(13.20}
При выполнении условий интегрируемости (7.11)
*。'鲁-鲁(13.21)
с помощью голономного преобразования 7f =广(Е°),円‘ = =» f(^) общее выражение для метрики ds2 n gtj 或‘或丿 может •быть глобально приведено к виду (3.1), т. е. в системе координат т/ можно обратить в нуль все g^ (^)- Система отсчета 寸.определенная условиями ga4 = 0, g44 » 1, называется синхронной. В синхронной системе отсчета для семейства мировых линий, индивидуализированных условиями 刀°= const, может быть введено глобальное голономное собственное время т = /. В синхронной системе отсчета трехмерные поверхности т = / == const в каждой точке ортогональны к мировым линиям 7f = const. Согласно формулам 《13.15) при выполнении условий (13.21) на мировых линиях рассматриваемого семейства выполняется равенство а = О, т. е. мировые линии, индивидуализированные условиями Р° == const, являются геодезическими.
Во всяком пространстве Римана можно вводить синхронные системы отсчета и соответственно координаты, сопутствующие семейству мировых линий, образованному геодезическими, однако в общем случае система отсчета и система координат, связанная с семейством геодезических в качестве мировых линий, не является синхронной.
В общем случае пространства Римана можно конструировать синхронную систему координат следующим образом.
В рассматриваемой области четырехмерного пространства можно в общем случае выделить геометрически единственным образом некоторую точку М и некоторое направление в этой точке (например, точку, отвечающую особым значениям инвариантов тензора кривизны).
Проведем через точку М геодезическую линию & в выделенном времениподобном направлении и проведем через точку М всевозможные геодезические, ортогональные в точке М к линии Lq. Полученное семейство геодезических образует трехмерное подпространство 2 данного четырехмерного риманова пространства. Через каждую точку S проведем геодезические L, ортогональные к 2. Семейство геодезических L, содержащих также и Lo, рассмотрим как мировые линии некоторой системы отсчета.
В этой системе отсчета введем сопутствующие координаты Л1, Л2» ^3, т, где т — собственное время вдоль геодезических L, а qa — координаты точек £. Из построения мировых линий следу-
ет, что в точках трехмерного пространства Е в силу ортогональности линий L к Е формула для ds2 имеет вид
dsz = c^d^ + 氤вММ ,(13.22)
т. е. См = 0 на 2, а уравнению трехмерной поверхности JJ можно придать форму
t (刀0) то，
причем вдоль геодезических, отвечающих 刀°= const, имеем ds = с dt・
Нетрудно заметить, что при «乏％ в достаточно малой окрестности поверхности 2 метрическая форма (13.22) сохраняет свой вид, т. е. при т^т0 также верны равенства ?о4(т『,с ) = 0. В самом деле, так как координатные линии т при ”° = const — геодезические, то из уравнений геодезических
при условии, что g44 = 1» следуют равенства
響-鲁)e家匸。 ИЛИ
т. е. &4(谓 0=0, так как 0a《("* %) = 0 по построению.
Решение задачи инерциальной навигации
в инерциальной системе отсчета в СТО и в системе
координат Ферми в ОТО
Сущность задачи об инерциальной навигации состоит в определении относительно известного наблюдателя закона движения (преобразования координат) для рассматриваемой точки по заданной системе ее ускорений вдоль ее искомой мировой линии.
Пусть 厶 г семейство сопутствующих мировых линий малого тела, занимающего локальный объем d% в римановом пространстве или в пространстве Минковского в СТО. Из этого семейства выберем мировую линию (которую в дальнейшем для удобства будем обозначать той же буквой L), отвечающую некоторой индивидуализированной точке М объема dVa. Для решения задачи инерциальной навигации в инерциальных системах в СТО и в ОТО необходимо рассматривать следующие системы координат и связанные с ними тетрады базисных векторов.
Инерциальную систему координат наблюдателя у『в СТО О
с базисными векторами 凯 и инвариантным интервалом ds в координатах наблюдателя
ds2 =d成2 一(dyi)« 一 (dy2)2_@уЗ)2,(14.1)
где dt — приращение глобального времени наблюдателя.
Семейство тетрад базисных векторов Ферми—Уолкера ео на мировой линии L, определяемое формулами (13.2), (13.9).
Лагранжевы координаты 貝 индивидуализирующие линии семейства L, и время т — глобальное время для семейства L.
Собственный репер 凱,который в данный момент собственного времени т на кривой L совпадает с еа. Локальный базис Qi можно рассматривать мысленно в каждой точке кривой L как локальный инерциальный базис, в ОТО определяющий ево- бодно падающий репер в гравитационном поле, для которого справедливо равенство
da.
—-=0.(14.2)
ds
Систему координат Ферми уа, /, для которых вдоль кривой L в ОТО отвечающие ей координатные базисы э； постоянны и переносятся вдоль линии L параллельно согласно равенству
^1-0.(14.3)
ds
Перейдем к изложению алгоритма решения задачи инерциальной навигации в инерциальных системах в СТО и в ОТО. Вектор ускорения а точки М в каждой точке пространства можно измерить малым акселерометром, неизменно скрепленным с ортогональным базисом еь еа, е3, орты которого совпадают с неподвижными по направлению осями гироскопов, образующими неизменно ориентированную платформу в трехмерном объеме dV3f «и переносятся вдоль мировой линии по Ферми — Уолкеру.
Таким образом, можно определить сопутствующий ориентированный трехгранник Ферми — Уолкера и измерить компоненты ускорения аа в локальном базисе э(, совпадающем с еа. Инерциальные приборы, кроме гироскопов и акселерометра, включают в себя также часы, измеряющие собственное время т вдоль искомой мировой линии L.
По известным показаниям приборов можно построить вектор четырехмерной скорости точки и, ортогональный ускорению а. Для этого необходимо проинтегрировать вдоль линии L уравнение
—=—а(14.4)
dr с
и определить кривую L как огибающую векторов и.
Таким путем производится отыскание закона движения точ- ки М, т. е. мировой линии L, отвечающей заданным начальным данным, в системе отсчета инерциального наблюдателя по известному ускорению а.
Как известно (см. § 12), в ОТО во всех точках кривой L с помощью преобразования координат общего вида выражение для метрики и символов Кристоффеля может быть приведено к виду
叁2 =庭(山)2 一 £ (d/)2,區(W) = 0.si
Соответствующие координаты связаны с видом кривой L и называются координатами Ферми. Координатам Ферми у， отвечает голономный вдоль L базис э〃 орты которого согласно (14.3) переносятся параллельно вдоль кривой L. Тетрады 凱 являются аналогом глобальной декартовой системы отсчета в СТО. Из закона переноса тетрады Ферми—Уолкера вдоль линии L нмеем
de1 *1 *_
-г" а ая в4,—- « — да е ,(14.5)
ds с*d$ d'
е< = Llf. Э/,(14.6)
где Ал — матрица общего преобразования Лоренца, определяемая формулой (3.7). Таким образом, базисы е； и з； различа* ются лишь за счет поступательного движения с вектором трехмерной относительной скорости v = £% = ^-”• При этом промежутки времен de и dt связаны равенствами
йт= |/ 1—,# 曲.
Подставляя (14.6) в (14.5) и используя (14.3), получим, что система (14.5) эквивалентна уравнениям
——!(14.7)
Для решения задачи инерциальной навигации необходимо проинтегрировать систему (14.7).
Не ограничивая общности при интегрировании системы (14.7), можно принять, что в некоторый характерный (начальный) момент т0 имеем т»о = 0. Этого можно достигнуть, выбрав в начальный момент 34(%) = и(%)・ После интегрирования (14.7) определятся компоненты скорости и° и из равенства
dya а
—закон движения точки
/ = Г (О-(14・8)
Закон движения (14.8) дает решение навигационной задачи в СТО, когда система координат у1 — глобальная декартова. В общей теории относительности закон движения (14.8) дает решение задачи инерциальной навигации в системе координат Ферми. Таким образом, задача инерциальной навигации имеет одинаковое решение в инерциальной глобальной декартовой системе в СТО и в системе координат Ферми в ОТО, которая является аналогом инерциальной системы в СТО.
Решение задачи инерциальной навигации в системе отсчета произвольного наблюдателя в СТО и ОТО
В этом параграфе, в отличие от § 14, рассматривается задача инерциальной навигации не в инерциальных систем ах ^отсчета, а в системе отсчета произвольного наблюдателя. Решение этой задачи в СТО и в ОТО одинаково. Для решения задачи инерциальной навигации необходимо рассматривать следующие системы координат и связанные с ними тетрады базисных векторов.
Систему координат наблюдателя %’ с базисными вектора- О
ми 电 и инвариантным интервалом ds в координатах наблюдателя
ds^cUt^ +2cg4dxadt + g^dxdx ・(15.1)
Наблюдателю отвечает семейство мировых линий 2/, индивидуализированных координатами х®. Вдоль сопутствующих мировых линий U имеем ds = cdf, dt — приращение глобального времени для семейства наблюдателя. Метрической форме (15.1) соответствует координатный базис э/, @4=и', где и' — вектор четырехмерной скорости движения наблюдателя.
Семейство тетрад базисных векторов Ферми — Уолкера ef на мировой линии 工,определяемое формулами (13.2).
Лагранжевы координаты 貝 индивидуализирующие линии семейства L, и время т — глобальное для семейства L. Этой системе отвечает координатный базис э/, э4=и, где и — четырехмерная скорость движения среды. Наряду с тетрадой э, рассматривается базисный репер э», где эа определены формулами (13.18), а £=94, образующий сопутствующий базис для малого объема d% среды, лежащего в пространстве, ортогональном четырехмер ной скорости и в данной точке М кривой L.
Собственный репер э/, который в данный момент собственного времени т на кривой L совпадает с еа.
Систему координат Ферми уа,厶 вдоль кривой L и отвечающие ей координатные базисы э<, параллельно переносимые вдоль линии L,
В § 14 была получена формула, связывающая относительные трехмерные скорости v и измеренное ускорение а*:
…r——"一.=厶言. (15.3)
Для получения решения навигационной задачи в системе произвольного наблюдателя необходимо установить еще преобразование от системы координат у1 к системе координат наблюдателя х^хЦг/*). Поскольку
S=gjb 匕(15.4)
то уравнение кривой L может быть записано в виде
嘗十学”5)
У равнение для определения Ь? получим из (15.4) с учетом постоянства ортов St на кривой 厶.
В самом деле, любой вектор <о можно разложить как по 3», так и по 3厶 и используя (15.2) и (15.4), получим равенство
『=? ” = —(9i阮w)=六(仇? J) gj +瓦F W广厶务， as as asasas
咧3 которого следует уравнение для нахождения 瓦厶
瓦! + bj卜膜/ — = 0.(15.6)
dsas
Для определения u°(s), x'(s) н b： (s) в произвольных системах координат наблюдателя в ОТО и СТО получается система обыкновенных дифференциальных уравнений (15.3), 《15.5) и (15.6) 27-го порядка. При этом необходимо задавать начальные условия 碇，хо, Ьо/ и dxQlds.
Для полного решения задачи инерциальной навигации необходимо еще определить вращения и деформации объема d^a который моделировался точкой М, т. е. движение di/, относительно собственной тетрады э(. Это движение задается матрицей || 匚凯 которая определяет переход от базиса % к сопутствующему базису 办：
з3 = 4 (七)3Y •(15.7)
Для теоретического определения компонент матрицы /J необходимо строить динамическую теорию.
Для экспериментального определения компонент малицы 2% достаточно произвести измерения с помощью масштабных приборов в собственной системе отсчета шести независимых углов из девяти между векторами 9丫 и тремя единичными векторами эа> образующими неизменно направленный репер, связанным с гироскопами, и, кроме того, достаточно еще измерить три длины векторов 員.Если сопутствующий репер абсолютно твердый, то достаточно измерить только три угла, определяющие ориентацию неизменяемого триэдра 家 по отношению к неизменно
ориентированному Триэдру 9a.
На основании формул (15.7) и равенства
3а = 3а— i«4 Э4(15.8)
получим八
也L = ；*%p(15.9)
От
где т)ат — пространственные компоненты метрического тензора в пространстве Минковского. Как легко видеть из (15.9),
Т = 咻.(15.10)
Кроме того, из формул (15.7) — определения векторов эа сопутствующего базиса следует
з
Лдр = Эа • Эр =£аВ— За4 ?В4 = — С 4 •(15.1 1)
Y—1
Соотношения (15.10) и (15.11) вместе с начальными данными для gM на рассматриваемой мировой линии полностью определяют компоненты метрического тензора ^4 и gas в сопутствующей системе отсчета.
Из вышеизложенного следует, что с помощью компонент метрических тензоров gfaP(^a, т), вектора ускорения а и введенных выше матриц 以 Li! и b£ можно пересчитать компоненты любых тензоров, заданных в одном из базисов э/, э(, э(, э/ и э,, на любой другой базис.
Физический смысл показаний акселерометра
и основные принципы инерциальной навигации
Акселерометр — основной измерительный прибор в комплексе приборов, необходимых для решения задач инерциальной навигации, которые состоят в определении в заданных пространствах законов движения различных объектов относительно заданных систем координат. Простейшей такой системой является стабилизированная с помощью гироскопов по ориентации платформа в трехмерном пространстве с закрепленным на ней трехкомпонентным акселерометром, позволяющим измерять векторы ускорений. Отметки на шкалах акселерометров дают по 7-4787
ложения малых «шариков» с постоянной массой, изготавлива- емых из электрически нейтрального вещества и присоединенных к стабилизированной платформе с помощью упругих пружин.
С помощью трех гироскопов малая платформа как абсолютно твердое тело с неизменной ориентацией в трехмерном пространстве вблизи точки М может быть определена следующим образом.
Пусть при движении по геодезической гироскопы находятся в состоянии устойчивого вращения относительно главных осей инерции, проходящих через центры масс гироскопов при неизменном направлении их осей в трехмерном пространстве d%, локально ортогональном данной геодезической. При этом все точки осей вращения движутся поступательно с одинаковой трехмерной скоростью v относительно любой локальной инерциальной системы координат в d%. Возьмем три малых гироскопа, вращающихся устойчиво относительно их главных осей, которые пересекаются в одной точке М в евклидовом или в римановом пространствах. Точка М и близкие к ней три точки Лл В, С, лежащие соответственно на осях трех гироскопов, движут- ся с одной и той же трехмерной скоростью v относительно локальной мысленно вводимой в точке М инерциальной системы отсчета.
Система трех точек At Bt С и четвертая точка М образуют бесконечно малую неизменную геометрическую фигуру, движущуюся как абсолютно твердое тело, которое можно ввести и определить как совокупность точек, каждая из которых сохраняет постоянные трехмерные расстояния до точек А9 В^ С в локально определенной метрике.
Так определенная локальная совокупность точек образует малую платформу, которая может двигаться поступательно со скоростью V по отношению к каждой инерциальном системе отсчета. Такое поступательное движение может происходить с переменной скоростью v(f) и с переменным ускорением dvfdt относительно локальной инерциальной системы координат, в которой dt — приращение времени. В рамках СТО и ОТО приращение dt совпадает с приращением собственного времени в применяемых инерциальных системах отсчета. В частности, в каждой точке мировой линии индивидуальной точки М дифференциал df можно отождествить с приращением ее собственного времени в локальной собственной системе отсчета, сопутствующей движению этой точки М. В ньютоновской механике dt универсально и не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.
Система, состоящая из неизменно ориентированной платформы и скрепленного с ней трехкомпонентного акселерометра, определяющего положения шариков, скрепленных упругими цру-
жинами с платформой, образует прибор для определения ускорений шариков. При этом подразумевается, что силы, действующие на шарики со стороны пружин, не зависят явно от движения платформы и шариков, а зависят только от растяжения или сжатия пружин. Очевидно, что зависимости этих сил от положения шариков можно считать определенными однозначно как свойства применяемого акселерометра, которые можно определить в статических опытах по растяжению (сжатию) пружин и использовать в динамике при предположении о квазистатичности.
Следует отметить, что допустимость подобной квазистатичности, так же как и сохранение ориентации платформы в идеальной постановке задачи, теоретически оправдана, но на практике могут возникнуть нарушения за счет неидеальности пружин» гироскопов и т. п. Для простоты и наглядности далее рассматривается акселерометр с одним шариком, имеющим три степени свободы в трехмерном пространстве 2匕，при этом предполагается измеримость вектора суммарной силы, действующей на шарик со стороны платформы, и других соответствующих характеристик.
С помощью ориентированной, движущейся поступательно платформы акселерометра, можно измерять в каждый момент собственного времени точки М вектор абсолютного ускорения шарика аабс.ш, а также абсолютное ускорение платформы аабс.口л и ускорение шарика относительно платформы а0Тн.ш. В ньютоновской механике эти ускорения связаны соотношениями
Забе, ш = Я-абс. пл + Яотн. ш» (16.1)
Если движение шарика квазистатическое, то аОТн.ш=0, и это значит, что шарик движется вместе с платформой как одно целое.
Относительное движение шарика связано с параметрами и конструкцией акселерометра. На практике нередко квазистати- ческое действие акселерометра обеспечивается для заданных классов режимов и законов движений различных точек М кон* струкцией акселерометра. При этом равенство аабс.пл = аабс.1в справедливо для любой модели пространства-времени. В общем случае в приложениях к инерциальной навигации существенны случаи, когда абсолютное движение шарика мало отличается от движения точки Af, однако относительное движение шарика по отношению к платформе также может быть выражено с помощью измерения координат шарика ха (а=1, 2, 3) в локальной декартовой (собственной) системе координат, связанной с платформой.
Рассмотрим физический смысл показаний модельного акселерометра.
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения шарика акселерометра как материальной точки с постоянной массой т связано с суммой соответствующих внешних сил F=Fi + F2+..., действующих на шарик. Это уравнение движения можно рассматривать при различных определениях пространства и времени. Ниже мы будем иметь в виду, что математической моделью пространства-времени может служить либо пространство-время ньютоновской механики, которая базируется на использовании трехмерного евклидова пространства вместе с осью универсального абсолютного времени (координаты /), либо псевдориманово четырехмерное пространство.
В каждом из таких пространств можно вводить соответствующие четырехмерные и трехмерные векторы и тензоры и понятия собственного глобального времени и соответствующих скоростей и ускорений.
Общее уравнение движения материальной точки с постоянной массой m в трехмерном пространстве можно написать в виде
—таабс + G + F = 0, (16.2)
где вектор G=mg или вектор g характеризуют влияние гравитации на движение точки; F — суммарная внешняя сила, добавочная к силе G. Сила F‘может иметь электромагнитную природу, обусловленную взаимодействием данной частицы как материальной точки с соседними частицами или полями, или быть обусловленной силами реакции, действующими на шарик при растяжении или сжатии пружин, закрепленных на ориентированной платформе акселерометра L
Выделение силы G в отдельное слагаемое объясняется тем, что с ее помощью строится теория гравитации, производится выбор модели пространства-времени и формулируются постановки конкретных задач.
Можно поставить вопрос: как изменяется присутствующее поле ускорений g в точках мировых линий индивидуальных частиц при изменении задаваемой модели пространства и времени? При изучении этого вопроса выявляется природа сил тяготения G, которую, как будет показано ниже, так же как и силы инерции, можно, в частности., рассматривать просто как физический атрибут моделей пространства и времени.
При моделировании теоретических основ механики требуется в первую очередь вводить модельные понятия о различного рода метрических пространствах и времени как математических объ-
1 Именно такой механизм позволяет определить по показаниям акселерометра силу F, т. е. подразумевается, что акселерометр воспринимает действие гравитационного поля через G, а все остальные воздействия на шарик проявляются через изменения длины пружин, определяющих силу F.
ектах. Это совершенно необходимо для дальнейшего введениям фундаментальных кинематических характеристик, с помощью* которых можно описывать результаты опытов и формулировать их соответствие универсальным постулатам и различного рода частным постановкам механических проблем.
Имея в виду ньютоновскую механику и возможные релятн- вистские варианты, рассмотрим различные четырехмерные метрические пространства: Е (с выделенным абсолютным временем /) и псевдоримановы пространства R.
Рассмотрим случай, когда движение изолированных частиц или индивидуализированных точек континуумов свободное, т е. это движение описывается уравнением (16.2) при условии F=0.
Очевидно, что в общей постановке вопроса возникает произвол в выборе систем координат, в выборе конкретного пространства-времени (иначе, метрики) в начальных данных и в заданиях свойств поля силы тяжести G, что сильно усложняет аналитические решения соответствующих конкретных задач.
В связи с этим удобно воспользоваться развитой выше теорией и получить исходные результаты в сопутствующих координатах для канонически определенной метрики (7.6):
ds^ = б2 d^ + 2 ri，4 ( V, х) dr dx + g^ d^ d^, (16.3) где dr — приращение глобального времени, а т рассматривается как координата, изменяющаяся вдоль мировых линий в лагранжевой системе координат ^а, т, в которой ^а сохраняют постоянные значения вдоль каждой мировой линии частиц или； индивидуальных точек. При этом компоненты вектора четырех- мерного ускорения а в системе координат 自左 определяются формулами (13.15).
Из изложенного в § 14, 15 следует, что если задача о движении частиц решена в сопутствующей системе и если на каждой мировой линии во всех ее точках известны векторы ускорения в каком-либо фиксированном пространстве, то законы движения этих же частиц в данном пространстве для произвольного наблюдателя получатся с помощью расчетов инерциальной навигации.
Теперь обратимся к мысленному опыту, представив, что каждая индивидуальная частица имеет у себя акселерометр и. эти акселерометры дают показания об ускорении частиц. Тогда для свободно движущейся частицы стрелка акселерометра сохранит свое нулевое положение, т. е. подвижная частица будет находиться в состоянии невесомости. Это должно выполняться всегда, в любом модельном пространстве, независимо от применяемой модели — релятивистской или ньютоновской.
Состояние невесомости для частиц и отсутствие напряжений в пружинах и платформе акселерометра должно в соответствии с опытом проявляться одинаковым образом во всех моделях пространства и времени, т. е. при свободном движении как для ньютоновской, так и для любой релятивистской модели пространства-времени должно выполняться равенство
—тааб二+ G = 0, или — аабс + g = 0.(16.4)
Это и есть фундаментальное соотношение небесной механики. Далее, согласно равенству (16.4) возможно свободное движение при условии
ааСс = g = 0.(16.5)
Равенство аабс=0 указывает, что все соответствующие мировые линии частиц являются геодезическими. Для всех таких пространств компоненты метрического тензора сопутствующей системы координат ^а4 не зависят от т:
区4(К 少=九(声).(16.6)
Но пространство, определяемое канонической метрикой (16.3), в которой выражение 且邮増却 может быть произвольным, не юпределяется единственным образом, так что условие только геодезичности мировых линий еще не определяет конкретное пространство-время ОТО. Если выполняется условие
@а6с = g 取 °,(16.7)
то в каждой точке пространства на малую частицу с массой т действует внешняя сила гравитации G=mg, а равенство (16.4) показывает, что эти внешние и, возможно, переменные по координатам силы при свободных движениях всегда уравновешиваются с силами инерции.
Наличие такой внешней гравитационной силы тяготения характерно для ньютоновской механики. Однако подобной силы нет в пространствах ОТО, в которых мировые линии геодезические. При рассмотрении гравитационных сил в рамках релятивистской механики, основанной на СТО, в случае (16.7) гравитационные силы должны уравновешиваться силами инерции. Очевидно, что при этом сила G=/=0, так как при G=0 линии L .должны быть геодезическими, которые в СТО всегда прямые, а мировые линии в гравитационном поле для частицы в СТО не являются прямыми.
Легко видеть, что для каждых двух различных фиксирован* яых метрик пространства для одного и того же семейства мировых линий L, определяемых условиями ga== const, ускорения их точек, вообще говоря, не равны между собой.
В общем случае силу G и соответствующее поле ускорения g а также силу F необходимо задавать теоретически или находить в результате специальных опытов после определения или задания метрического тензора. Однако эти векторы в применяемых теориях связаны с употребляемой моделью пространства и времени и с видом искомых семейств мировых линий L.
На первый взгляд может показаться, что силу G и соответственно ускорение силы тяжести g или ее градиент нельзя измерять в свободном полете ракеты соответствующими инерциальными приборами. Однако это неверно!
В самом деле, можно указать множество примеров, в которых движение шарика акселерометра относительно стабилизированной по ориентации платформы в сильной степени зависит по величине и по направлению от ускорения самой платформы. В принципе с помощью фиксирования этих относительных движений с помощью специальных дополнительных приборов можно получить нужную информацию об ускорении платформы. Достаточно напомнить также о практических методах измерения в опытах полей ускорений g в геофизике.
В ньютоновской механике распределение ускорений силы тяжести в евклидовом пространстве обычно трактуется как суммарный результат притяжений всех масс, распределенных во Вселенной по закону сил всемирного притяжения данной частицы, отнесенного к единице ее массы 加。со стороны всех масс, распределенных во всей Вселенной:
gг，号，(16.8)
где т——постоянный гравитационный коэффициент,加左一масса 瓦й материальной точки в пространстве, а г^ — векторы, проведенные от рассматриваемой малой массы шарика ко всем малым массам д, распределенным в окружающем глобальном трехмерном евклидовом пространстве.
На практике эта точка зрения хорошо оправдывается действительностью, однако с физической точки зрения такое представление связано с дальнодействием и бесконечной скоростью распространения возмущений и поэтому вряд ли приемлемо, особенно при больших относительных скоростях движения частиц. В связи с этим возникают непреодолимые затруднения для обобщения закона всемирного тяготения на релятивистские теории.
В принятой здесь методике введение «внешнего» поля сил гравитации как добавочной физической характеристики модели пространства-времени проявляется через метрику в собственной системе отсчета в уравнениях движения частиц и континуумов
и в физических событиях подобно связям, накладываемым выбором типа модели пространства и времени,
В ОТО в задаче о движении пыли силы гравитации G иг силы инерции — таабс равны нулю. Это в известной форме и смысле геометризует соответствующие механические свойства и： эффекты в рамках модели пространства и времени.
Однако в общем случае при F=/=0 и в ОТО проявляются силы инерции, а при переменной массе m из-за излучений или отбрасывания или налипания масс возникают реактивные силы, дающие вклад в выражение для силы F.
Если переменные положения шарика относительно платформы квазистатичны, то инерционные свойства пружин несущественны, а вектор a=F/m определяется в опытах довольно* просто и надежно. В этом случае после измерения а в каждом положении точки М уравнения (16.1), (16.5) при известном поле векторов g определяют вектор ускорения аабс.ш методами инерциальной навигации, изложенными в § 14 и 15. Это позволяет провести вычисление закона движения шарика в пространстве в любой системе координат для заданного наблюдателя^
Если измерения акселерометра неквазистатичны, то для закона движения точки М, не являющейся материальной точ- кой, а определяемой как точка пересечения осей вращений гироскопов, нужно использовать еще равенства (16.1) и (16.2) с измерением функций ¥(/).
Применительно к рассматриваемым классам движения опыты и теория показывают, что параметры применяемых акселерометров можно выбирать так, чтобы их показания следили практически в квазистатической форме за изменяемыми ускорениями точки М подвижного объекта, с которым соединена стабилизированная платформа, совершающая в локальном трехмерном пространстве dV^ поступательное движение с трехмерной скоростью V и несущая на себе трехкомпонентный акселерометр.
Нередко проблему навигации сводят просто к задаче об абсолютном движении шарика, закон движения которого определяется с помощью уравнения (16.2). Это оправдывается тем> что на практике при подходящем выборе параметров акселерометра для выделенного класса рассматриваемых движений раз-
ницей в положениях точки М и шарика можно пренебречь. Можно строить решение задачи об абсолютном движении платформы для точки М, которая может быть любой точкой, принадлежащей исследуемому телу, например ракете. Далее методами инерциальной навигации полностью определяются законы изменения скорости отмеченной точки М и ее местоположения в зависимости от времени L
Законы абсолютного движения шарика акселерометра и точки центра масс тела М*, вообще говоря, разные и они могут сильно различаться при заметных растяжениях пружин и за счет их динамических особенностей, обусловленных механическими свойствами движения различных точек М тела Q. Если движущийся шарик останавливается в упорах относительна платформы, то вообще теряется возможность определения акселерометром вектора а. 〜
На практике, зная диапазоны изменения векторов а и необходимые диапазоны времени действия инерциальных приборов, можно конструировать акселерометры и гироскопы так, чтобы ошибки в поддержании неизменной ориентации платформы и различие в законах движения платформы и движения шариков акселерометров для различных фиксированных точек М тела Q， приводили бы хотя и к разным, но практически близким зако- нам движения шариков и точек М・
Если тело Q в целом совершает вращательные или колебательные движения, то ускорения разных точек М и показания связанных с ними акселерометров также будут разными.
Все сказанное выше касается в основном свободных или вынужденных движений материальной точки. При движении конечных тел, абсолютно твердых или деформируемых, в которых возникают силы внутренних взаимодействий, ускорения различных точек — частиц тела (среды) различны,, в частности, за счет внутренних вращений и деформаций. Однако и в. этом случае ускорение любой точки а можно измерять с помощью описанных приборов для инерциальной навигации.
При свободном движении конечных тел в рамках любых моделей пространства и времени соответствующее распределение ускерений частиц тела в свободном полете обусловливается не
только и не столько за счет распределения в пространстве вектора силы тяжести g, но главным образом за счет возможных вращений или деформаций, вызванных действием внешних и внутренних напряжений, обусловленных негравитационными силами взаимодействия между собой частиц, принадлежащих телу, или внешними полями и телами. Такого рода взаимодействия могут иметь разную природу, в частности это могут быть взаимодействия типа идеализированных связей, например условия об абсолютной твердости и т. п.
Пользуясь принципами изложенной выше теории и инерциальными комплексами, в римановых пространствах можно находить силы F=ma на элементах мировых линий подвижной частицы.
В заключение отметим, что постановка и решение задачи о расчете движений материальных точек и твердых тел методами инерциальной навигации по данным измерений инерциальных приборов без методических ошибок впервые был дан Л. И. Ткачевым 1. В работах, предшествующих публикации Л. И. Ткачева, отсутствовали необходимые методы расчетов, позволяющие давать навигационную информацию о движении различных объектов, таких как корабли, самолеты, ракеты и космические «аппараты, в промежутках времени порядка нескольких часов.
Необходимо также отметить, что в случае, когда ставится задача об инерциальной навигации с длительным временем движения тел в пространстве, Землю нельзя считать инерциальной системой, а ускорение силы тяжести постоянным. В связи с этим правильная постановка задачи требует особого обсуждения, и ее решение связано с алгоритмами расчетов и с правильным учетом показаний инерциальных приборов относительно инерциальной системы.
ГЛАВА II
ВАРИАЦИИ СКАЛЯРНЫХ, ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ФУНКЦИЙ
Общие замечания о варьировании
В задачах, связанных с отысканием законов движения и свойств механических и физических полей, характеризующих изучаемые процессы, кроме действительного закона движения и действительных полей (т. е. тех полей, которые характеризуют действительно происходящие процессы), можно оперировать с мысленно вводимыми, варьированными «законами движения» среды и мысленно вводимыми варьированными скалярными, векторными и тензорными полями.
Варьированные законы движения и варьированные скалярные, векторные и тензорные поля могут вводиться различными способами и в соответствии с различными определениями. Вариации закона движения х‘ (自饱)и вариации скалярных, векторных или тензорных полей рЛ можно рассматривать как их приращения, которые необходимо определять дополнительно L Например, вариацию тензорной функции 卩厶,определенной в каждой точке некоторого фиксированного объема, можно определить как приращение этой функции за счет смещения из данной индивидуализированной точки Мо в близкую точку М или как приращение за счет бесконечно малого преобразования системы координат в фиксированной точке М。 и т. д. При определении вариации функции можно (но не обязательно) требовать, чтобы вариации представляли собой приращения за счет изменения некоторых специально вводимых глобальных вспомогательных параметров, определяющих собой в конечных объемах пространства поля варьируемых состояний. В общем случае вариации рассматриваемых характеристических величин не обязательно связаны только с вариациями их аргументов, а могут быть обусловлены изменением вида самих функций от неизменных или от варьируемых значений определяющих аргументов.
Необходимо также отметить, что определяя бесконечно малые вариации тензоров, целесообразно (для выполнения свойств инвариантности получаемых с помощью вариационного уравнения соотношений) требовать, чтобы они также представ-
1 Здесь и далее индексы А, В, С, ... служат для собирательного обозначения тензорных индексов (как контравариантных, так и ковариантных).
ляли собой тензоры того же ранга с тем же строением индексов, что и варьируемый тензор.
Далее в рамках четырехмерного пространства рассматриваются только бесконечно малые вариации скаляров, векторов и тензоров и даны некоторые важные простейшие примеры взаимно связанных вариаций в одной и той же системе координат, а также связи между вариациями различных типов в системе координат наблюдателя х* и в сопутствующей системе координат Лагранжа三丸・
Вариация закона движения
Вариацию закона движения в ньютоновской механике и в специальной теории относительности можно определять, полагая, что выбраны системы координат наблюдателя х* с базисными векторами э/ и сопутствующая система координат 士丸 с базисными векторами з丸.Вариацию закона движения %»=%»(±丸) индивидуализированной точки MQ с координатами х* для наблюдателя, имеющей пространственные лагранжевы координаты 替(а=1, 2, 3) и временную координату >, определим равенствами
女"玲，F)= W(续『)一x”(^E4),(2.1)
где 炉⑶，У) 一 уравнение выделенной мировой линии точки Мо в системе наблюдателя, х〃 (自^, ^4) — проварьированная в системе наблюдателя %' мировая линия, близкая к выделенной мировой линии L В частности, при фиксированных значениях 『вариации бх\ определенные формулами (2.1), могут представлять собой бесконечно малое возможное изменение вида самой функции %i(f):
№(Е\ Е4)= х«Е\ 1 + 成&)•
В этом случае вариации бх* представляют собой действительные перемещения, если они являются просто приращениями координат х* для закона движения относительно изменения переменной Е т. е.
初，(的= dW =四诡*(2.2>
1 Далее, индекс ° у лагранжевых координат ga будем опускать, подразумевая при этом, что при определении вариации закона движения всегда речь идет о вариации закона движения точки, индивидуализированной условиями 守=const； Иначе говоря, координаты 卜 можно рассматривать мак параметры типа Кв (см. § 5 гл. III).
и для данной мировой линии L, индивидуализированной условиями 戸=const,
dxi = uids,
где и1 = х；/ К晶—компоненты вектора четырехмерной скорости точки Л!。.
Наряду с определением вариаций закона движения по формуле (2.1) в ряде случаев целесообразно вводить вариацию закона движения 8d%i (自丸)при фиксированных значениях на мировых линиях всех лагранжевых координат Т как сумму двух слагаемых
包 V^)=dR (旳+ 女》(*),(2.3)
где 6/(Т) — произвольные бесконечно малые величины.
В согласии с формулой (2.3) для фиксированных действительных законов движения среды в каждой точке мировой линии справедливо равенство
S' (1) = 0 и 3炉(Е&) = d^ (?)・
Введенные выше вариации закона движения континуума определены для индивидуальных точек сплошной средн, и эта индивидуализация осуществляется с использованием сопутствующей системы координат Лагранжа ^. При наличии вещества, моделируемого одним континуумом, способ введения сопутствующей системы координат хорошо известен и не представляет трудностей. Несколько сложнее обстоит дело в том случае, когда встает вопрос о введении сопутствующей системы координат для вещества, моделируемого несколькими континуумами, в каждом из которых уже введена своя лагранжева система координат, либо когда изучается совместное поведение вещества, вз а и модействующего с электромагнитным полем. Остановимся более подробно на возможном способе введения лагранжевой системы координат сопутствующей смеси, состоящей из нескольких взаимодействующих между собой континуумов, движение которых изучается в рамках ньютоновской механики.
Допустим, что имеется сплошная среда, состоящая из ^ различных континуумов, в каждом из которых введена сопутствующая лагранжева система координат Ej・)(4=1, 2,,.., ^). Закон движения 厶й компоненты относительно системы координат наблюдателя 犬 обозначим
%=%(%，f) •
Скорость ьй компоненты смеси 少右 и ее плотность р«)естественно определять теми же формулами, что и в случае только одного континуума. Сопутствующая лагранжева система ко-
ординат для смеси может быть введена при помощи следующей конструкции. Определим суммарную плотность смеси и суммарную скорость смеси формулами
р= »(》toilр= »(》toil。a= £%）啥）,『1。a= £%）啥）,『1(2.4)(2.4)
р= »(》toil
р= »(》toil
。a= £%）啥）,『1
。a= £%）啥）,『1
(2.4)
(2.4)
где c(i)=p(i)/p — массовая концентрация 厶й компоненты. Если предположить, что суммарный импульс смеси равен сумме им*
то система координат, сопутст- быть введена посредством диф-то система координат, сопутст- быть введена посредством диф-дхл 7Гдхл 7Гпульсов отдельных компонент, вующая смеси в целом, может ференциальных соотношений
то система координат, сопутст- быть введена посредством диф-
то система координат, сопутст- быть введена посредством диф-
дхл 7Г
дхл 7Г
(2.5)
где 炉⑴ 一 закон движения смеси относительно системы координат наблюдателя х®.
Константы интегрирования 自° системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.5) по определению можно считать сопутствующими координатами для смеси в целом.
Модели смесей, образованных из ^ взаимодействующих между собой континуумов, можно строить с помощью вариационнога уравнения!. При этом уравнения импульсов для 厶й компоненты получаются приравниванием нулю коэффициентов при линейно независимых вариациях бх^} закона движения 厶й компоненты, определяемых формулами
(2.6>(2.6>^X(i) Я" 办宿 + 6汴),
(2.6>
(2.6>
где в общем случае бесконечно малые приращения dx^ различны для различных значений 厶 бесконечно малые вариации 6%品》 произвольны и также различны для различных значений компонент смеси.
В некоторых случаях, наряду с ^ уравнениями импульсов для отдельных компонент смеси, можно ввести уравнения им* пульсов для смеси в целом. Эти уравнения могут быть получены из того же самого вариационного уравнения, что и уравнения импульсов для отдельных компонент приравниванием к нулю коэффициентов при линейно независимых вариациях 6炉， определяемых равенствами
初0 =女6)=...="力),初0 =女6)=...="力),(2.7)(2.7)
初0 =女6)=...="力),
初0 =女6)=...="力),
(2.7)
(2.7)
1 См.: ЦыпкинА. Г., Штейн А. А. Модель вязкой сжимаемой многокомпонентной жидкости с учетом эффектов поляризации и намагничивания // ПММ. - 1974. — Т. 38, вып. 4. — С. 644—653・
где все равные между собой вариации 6脸 (i=l, 2,...,N) рас* сматриваются как произвольные функции эйлеровых координат 炉 или лагранжевых координат Е* сопутствующих смеси в целом. Очевидно, что при условии выполнения равенств (2.7) действительные бесконечно малые приращения по-прежнему в общем случае остаются различными для различных компонент смеси.
Наряду с равенствами (2.7) возможны варианты построения моделей смесей, в которых вместо равенств (2.7) совокупность вариаций 6%&)(4=1, 2,.・.，％) разбивается на несколько групп
равенств
5*(1)= . •.=次(°), "х(р+1)=...=女(р+q), • • •
При этом число степеней свободы также сокращается, но в меньшей степени, чем при выполнении равенств (2.7).
Варьирование базисных векторов
В общем случае вариации различных функций могут быть произвольными, а для введенных независимо друг от друга определяющих параметров могут быть (и даже должны быть) независимыми между собой. Однако вариации одних и тех же величин в разных системах отсчета, вообще говоря, зависимы, если системы отсчета не варьируются. При варьировании самих базисных векторов систем отсчета возникают различного рода соотношения между вариациями, наличие которых необходимо учитывать при использовании вариаций векторных и тензорных функций.
Исходные формулы связи между базисными векторами системы координат наблюдателя х* и сопутствующей лагранжевой системы координат 翦 вытекающие из определения векторных базисов, имеют вид
3/ = %}%,9? = &9‘，(3.1)
где
石三翁，g三篆，必 Е =学.(3.2)
Набор величин 芍 при фиксированном нижнем индексе представляет собой контравариантные компоненты базисного вектора лагранжевой системы координат э； относительно системы координат наблюдателя х\ а набор величин 以 при фиксированном верхнем индексе — ковариантные компоненты базисного вектора з$ в системе координат дЛ
Варьированные векторы базисов системы координат наблюдателя %’ в данной точке Мо определяются следующими общими равенствами:
9； = Э/ + Q：i，，9“ = 9’ + A'・s 9*(3.3)
где Q=Qs；9s9* и 厶=仅$9却 一 некоторые произвольные бесконечно малые тензоры второго ранга.
Из основного свойства ковариантных и контравариантных базисных векторов, которое должно выполняться и для варьированных базисных векторов
ЛА
следует, что для компонент тензоров й и А должны выполняться равенства
&； = -%(3.4)
и в. общем случае формулы (3.3) принимают вид
Э/ = 3, + QS； 9$,3“ = gi — 6応 3s
млн
%”=%，，％3»=(3.5)
Аналогичные формулы можно написать и для вариаций базисных векторов сопутствующей системы координат:
8« & = з±5,工 3’ = — £3)(3.6)
где(о=(д^э/эл —— произвольный бесконечно малый тензор второго ранга.
Рассмотрим подробно несколько важных специальных случаев варьирования базисных векторов.
Вариации, зависящие от варьирования закона движения. Используя формулы (3.1), (3.5) и (3.6), можно установить формулы связи между вариациями закона движения и произвольными бесконечно малыми компонентами тензоров Q и ю, характеризующими бесконечно малые изменения базисных векторов.
На основании равенств (3.1) вариацию базисных векторов сопутствующей системы координат бэ/ можно записать в виде
人а е 厶 d(W+&W), дх1
漑=立(/ + *)—声-—，(#)-=
=#(？$次’+d5)9,=朽V'大0+ Зa a/.(3.7)
Здесь учтено, что с точностью до бесконечно малых высшего порядка справедливы формулы
э； (Х* + 6炉)=” (У) + Г2п (У) 3/ Эя (/) + £； 9s (/) и
符" +翁％(叫运飞(#).
=^ (礬 + М '" ) " = " Vs * 9/.
Так как всегда можно считать, что вариации базисных векторов сопутствующей системы координат определены общими равенствами (3.6), то из (3.7) следует формула
石 Vs W = 3：； £ — Q：；君，
которую можно взять в качестве определения вариации 6%} в системе координат наблюдателя 炉 при варьировании базисных векторов а； и э； и закона движения 炉(即 при фиксированных 1：
Bxj = X： а 次，=^i х： 一 Qf；居・(3.8)
Из формул (3.6) и (3.8) следуют выражения для вариаций базисных векторов э\ аналогичные формулам (3.7):
曲=—(Е；?$&中 + 0； Е：) 9s.
Вариации функций ±；(%左)，обратных функциям х| (±&), можно получить, используя равенства
8(Х/ф = 0,
из которых следуют выражения для вариаций 6畐：
隔= -E：V/ $6 = Qj E：-慈 E；・(3.9)
Согласно равенствам (3.8) вариации бл| обращаются в нуль, если
/j*f=Qf；x； или 硝= £4х寓.(3.10)
Равенства (3.10) показывают, что в этом случае компоненты з：； и С'.% являются компонентами одного и того же тензора, вычисленными в различных базисах.
Если при варьировании принять, что of/ =/= 0 и в фиксированной точке %'=炉(1) базисные векторы эйлеровой системы 8-4787
координат не варьируются, т. е. Qfj =0, то вариации величии xj определяются формулами
次；=右 v$ 次，=sf j%：, (3.11} причем при вариации закона движения вариации векторов базиса для сопутствующей системы координат в фиксированной точке ±а происходят за счет деформации и вращения индивидуальных частиц.
При Qfi=O (т. е. при условии, что тетрада базисных векторов эйлеровой системы координат %’ не варьируется) вариации компонент метрического тензора в сопутствующей системе координат вычисляются по формулам
8 為・=glm (%： Е + 匕右)Vs 次叫 (3.12>
Из формул (3.9) при =0 и (3.11) следуют также выражения для вариаций контравариантных компонент метрического тензора сопутствующей системы координат
喈；一g叫龍К+Е； Е^)%*・
Если принять, что Cfj 片0, но в фиксированных точках ^ и / выполняются равенства со!/ =0, то в системе координат наблюдателя %’ получаем формулу
次;=# Vs ” = (3.13)
Равенствами (3.8), (3.9), (3.11) и (3.13) необходимо руководствоваться при вычислении вариаций от тензоров в тех случаях, когда их компоненты определены одновременно в двух типах базисов (базисах э： и э；), а функции закона движения xf(^) и их частные производные дх1/д^, входящие в формулы преобразования (3.1), являются искомыми функциями и также подлежат варьированию. В качестве примера приложения полученных выше формул найдем выражения для вариаций компонент вектора четырехмерной скорости 屈，а также выражение для вариации массовой плотности сплошной среды р, при условии, что система координат наблюдателя х1 фиксирована (т. е. % =0), а закон движения сплошной среды варьируется (а следовательно, варьированию подвергаются и базисные векторы сопутствующей системы координат).
Согласно формулам (9.4) гл. I компоненты вектора четырехмерной скорости и* в системе координат наблюдателя %’ определяются равенствами
Используя формулы (3.11), нетрудно получить выражения для вариаций контравариантных компонент вектора четырехмерной скорости
М，=—二二 8x4 + М $ —=
2
=®Rs ”'一£(£“ )7" g*s 云 xhj 况s n
=Us Vs 次'一〃i 4 〃$ Vs 6炉=
= (sj-^ uk)us Vs 翫” =hi 〃s и 8/ ,(3.14)
где %=hhjg"; hkj — компоненты метрического тензора на элементе трехмерного подпространства, локально ортогонального данной мировой линии.
Так как при варьировании закона движения справедливы равенства 6g”=0, то вариации ковариантных компонент вектора четырехмерной скорости будут вычисляться по формулам
6% = 3〃$у$ 次上(3.15)
Используя формулы (3.9) и (3.14), можно получить выражения для вариаций лагранжевых компонент вектора четырехмерной скорости #=乳小：
62a = О И bi?= —UhUs^sbxk .
Выражение для вариации массовой плотности сплошной среды может быть получено из следующего равенства, которое может быть принято в качестве определения массовой плотности сплошной среды:
Воспользовавшись равенствами, в справедливости которых нетрудно убедиться на основании несложных вычислений,
X/X/〃坤i = | 喇｛(I 喏 | = det|| 客 II)〃坤i = | 喇｛(I 喏 | = det|| 客 II)
X/
X/
〃坤i = | 喇｛(I 喏 | = det|| 客 II)
〃坤i = | 喇｛(I 喏 | = det|| 客 II)
из формулы (3.16) в предположении, что ро Vglgi^ зависит от 弓 получаем
(3.17)
Если положить, что массовая плотность среды р зависит только от компонент матрицы xj, то на основании формул (3.11) и (3.17) получаем
(3.18)(3.18)=—p (* —修 г?) ?a 6x‘ h — ph? ?» *・
(3.18)
(3.18)
Формула (3.18) дает выражение для вариаций массовой плотности среды при варьировании закона движения.
Вариации за счет преобразования координат. Рассмотрим частный случай бесконечно малого преобразования базисных векторов системы координат наблюдателя. Пусть в фиксированной точке "о определено бесконечно малое преобразование координат
(3.19)(3.19)炉‘=w+ a才(X*)，
(3.19)
(3.19)
где х* и М — первоначальные и преобразованные координаты в одной и той же точке Мо четырехмерного пространства, а 6# — произвольные бесконечно малые функции. В этом случае рассмотрим вариации
gif『э尸—gtj М э/ ^ga М зЛ (3.20)
, дх1 а，/gmegn 俞，寿，, дх1 а，/gmegn 俞，寿，Если для определения g》и 9Ь воспользоваться известными формулами преобразования компонент тензора и векторов базиса при преобразовании координат, то
, дх1 а，/gmegn 俞，寿，
, дх1 а，/gmegn 俞，寿，
(3.21)(3.21)dxmf ,W =gдх1 '
(3.21)
(3.21)
и после подстановок формул (3.21) в (3.20) придем к тривиальному равенству
6 Sa = 0-
Для получения отличной от нуля вариации компонент метрического тензора с сохранением тензорной природы вариаций видоизменим определение вариации векторов базиса, полагая
у =裁+ — ^s =逑—「如建£(3.22)
dxs
и соответственно
力=% +「m"心/.
Теперь, учитывая равенства дхт ат д gm dxmf 0m . dbrim
и формулы (3.21) и (3.22) для g；〃 и W соответственно, с точностью до бесконечно малых порядка выше первого получим
外g〃 = - Vz ^i — V/ 阮・・(3.23)
Аналогичным способом может быть получена формула для вариаций контравариантных компонент метрического тензора:
48" = ?‘瓦/ +W#.
Очевидно, что и в этом случае справедливо равенство
\Sa = - gimgjn\gmn-
Из формул (3.23) и их обобщений для любых тензоров следует» что преобразованию (3.19) при существенном предположении (3.22) соответствует тензор Q с бесконечно малыми компонентами £2纟,определяемыми формулами
Bi П 一办6寸.
При этом в силу (3.5) формулы для вариаций векторов базиса системы координат наблюдателя х* имеют вид
% 立=—口 6d %, % ¥ = “ 6* 蒙(3.24)
В случае, когда система координат наблюдателя преобразуется по (3.19), а сопутствующая тетрада базисных векторов фиксирована (ш^ =0), вариации компонент матрицы преобразования определяются формулами, следующими из формул (3.8),
外 X； 0 — Q：； X； п 若 VsW・(3.25)
Несмотря на внешнее сходство формул (3.25) и (3.11) для вариации компонент матрицы |財 ||, указанные формулы имеют различный смысл, а именно: в формуле (3.11) вариации 6%； определяются как вариации ковариантных компонент вектора при фиксированном верхнем индексе (т. е. в предположении, что при варьировании закона движения система координат наблюдателя х* фиксирована), а в формуле (3.25) фиксированной считается сопутствующая система координат, и вариа* ции компонент матрицы |%|| определяются как вариации контравариантных компонент при фиксированном нижнем индексе. Необходимо также отметить, что формулы (3.23) и (3.24) справедливы независимо от выбора лагранжевой системы координат.
Как будет показано ниже, отмеченное различие в определении вариаций 6%； и 6"； существенным образом скажется на физическом смысле уравнений, получаемых из вариационного уравнения и из условия скалярности лагранжиана вариационного уравнения относительно бесконечно малого преобразования координат (3.19).
Вариации векторов и тензоров
Вариации произвольного векторного или тензорного поля(И можно ввести следующим образом. Пусть система координат наблюдателя и сопутствующая система координат фиксированы. Для простоты примем, что 卩从—компоненты вектора
N ==炉(/)立(炉)=С 储 3; (Е*)・
Пусть 卩‘ 一произвольное векторное поле, мало отличающееся от векторного поля р, имеющее компоненты 山 и 口" относительно тех же самых фиксированных реперов э< и э< в точке М). Частную вариацию dp векторного поля 卩 в точке Mq можно определить как разность
т==" — n・ (4.1)
В соответствии с этим определением частные вариации компонент вектора р, так же как и варьированные значения компонент р/‘, являются компонентами вектора, и для них справедливы формулы
* = */戈 ^d^9i , dp = %汨『， 2) 汕 n gud^t d^i — g〃 * ・
Частные вариации компонент тензора любого ранга с любым строением индексов можно ввести по формулам, аналогичным
формулам (4.1). При этом частная вариация тензора будет тензором того же ранга с тем же строением индексов.
В соответствии с данным способом введения частных вариаций в рамках ньютоновской механики и специальной теории относительности частные вариации компонент метрического тензора равны нулю:
dgij — dgij = Ot
и поэтому символ частной вариации и оператор ковариантного дифференцирования в системе координат наблюдателя переста- новочны.
В согласии с данными выше определениями варьированные компоненты векторов и тензоров представляют собой компоненты векторов и тензоров той же самой природы в фиксированных (неварьируемых) базисах. Отсюда следует, что варьированные значения компонент тензора с любым строением индексов в различных базисах определяются однозначно через частные вариации некоторых компонент с фиксированным строением индексов в какой-либо одной выбранной системе координат.
Пусть теперь 卩—произвольное векторное поле, которое является функцией эйлеровых или лагранжевых координат; М — точка сплошной среды, индивидуализированная лагранжевыми координатами 自在；％" (£在)и х1 (^Л) — варьированный и действительный законы движения точки
Разность значений векторного поля 卩 в точках х* и х*
» N = N (№) — М”)= 3/ q 内 S(4.3)
есть вариация данного векторного поля 卩 за счет варьирования закона движения, причем для вариаций компонент векторного поля |1 справедливы формулы
% U = Зк а此斗^ =运$ y$囱•
.Аналогично можно определить вариации fix для компонент тензора Т любого ранга с любым строением индексов
% Т = Т(х〃) 一 Т(М) = 6炉 ” 7м 以，
тде Л — собирательное обозначение тензорных индексов (как контравариантных, так и ковариантных), а через за обозначены соответствующие полиадные произведения. Из этой формулы, в частности, следует, что вариации эйлеровых компонент метрического тензора 8xg^ и 6x^j равны нулю.
Заметим, что вектор 6翼卩 имеет лагранжевы компоненты бжц<, которые связаны с его эйлеровыми компонентами обычными ^формулами преобразования компонент вектора
工"П ">氏・(4.4)
Сумма частной вариации эйлеровых компонент вектора (илн тензора) и вариаций эйлеровых компонент вектора (тензора) за счет варьирования закона движения представляют собой полные вариации компонент вектора (тензора), которые для вектора и тензора произвольного ранга имеют вид
畑-*' + 8^ a 此 8ТА = @丁厶 + 6炉 v 7sA (4.5>
В соответствии с формулами (4.2), (4.5) можно считать, что частные вариации определяются при постоянных эйлеровых координатах, а полные вариации — при постоянных лагранжевых координатах (и варьируемом законе движения).
В качестве основного предположения можно принять, что при варьировании закона движения для заданного векторного по* ля 卩 справедливо равенство
"便弘)=%(户3京 (4.6方
т. е. положить, что вариация вектора 卩,обусловленная варьированием закона движения, не зависит от того, относительно какой системы координат (эйлеровой или лагранжевой) рассматривается заданное векторное поле. Из равенства (4.6) и фор* мул (3.9) следуют выражения для вариаций лагранжевых компонент вектора 卩：
34 TH Е； 3d % 步$ —以 н 办况s.
Аналогично можно ввести вариации лагранжевых компонент тензора произвольного ранга с любым строением индексов. Так〉 например, вариации лагранжевых компонент тензора второго ранга Т=Т/ э*э/=Т/э* э； являются компонентами тензора второго ранга и вычисляются по формулам
“偉=成**□%“一 У"在Е*+ 發索R6K
Полученные формулы, в частности, позволяют получить выражения для вариаций компонент матрицы х/. Если в величи* нах 川 верхний индекс считать фиксированным, то набор величин хь %2, хз, %； можно рассматривать как лагранжевы компоненты вектора. Нетрудно проверить, что вариации этих: компонент будут вычисляться по формуле
Сравнивая последнюю формулу с формулой (3.11) для ва* риаций величин %* можно заметить, что эти формулы совпадают, т. е. вариации величин %：, рассматриваемых как эйлеровы компоненты вектора (при фиксированном нижнем индексе).
равны вариациям тех же величин, рассматриваемых как лагранжевы компоненты вектора (при фиксированном верхнем индексе) ・
Полные вариации лагранжевых компонент вектора и тензора можно определить как сумму частных вариаций лагранжевых, компонент и вариаций, обусловленных варьированием закона движения:
%尸=de+ %T,%齊! ■ d% +%"，
и компоненты вектора 也 и тензора Т в системе координат наблюдателя %’ вычисляются по формулам
e 互 h =办‘+ 次'% W - 1V* 女‘，
(4.7)
^UlT^^ "f + 况$ V.n：-提飞$* + 7sMM・
Выражения, стоящие в правых частях формул (4.7), представляют собой полные вариации компонент вектора и тензора второго ранга, введенные в лагранжевой системе координат и пересчитанные к системе координат наблюдателя (эти вариации также называют абсолютными вариациями).
Нетрудно проверить, что для вариации тензора произвольного ранга с любым строением индексов Т=ТАэА будет справедлива формула, являющаяся обобщением второй из формул (4.7)'
x^Sl 产=дТА + ZX^STA-尸幫 Т、@хЗ (4.8> где символом 尸幫 обозначены комбинации символов Кронекера,, вид которых легко установить из формулы
粤+ М，'М・(49)
Например, если ТА — контравариантные компоненты тен* зора второго ранга Т=Т^Э/Э； (A^pm, c=gs), то
f年。3#7院+优%3Т.
Необходимо также отметить, что во всех приведенных выше формулах под вариацией закона движения может пониматься как вариация 6W, определенная формулой (2.1), так и вариация 6d%‘，определенная формулой (2.3).
В согласии с данными выше определениями различных типов вариаций векторов и тензоров для фиксированных действительных движений и процессов частные вариации обращаются в нуль, а полные вариации компонент векторов и тензоров переходят в действительные приращения компонент относительно
систем координат 仙 и g*. Так как для действительных движений точки, индивидуализированной условием &。=const,
6/=d/=Mds,
то для тензора произвольного ранга Т=7& получаем
Эа"4 = af vfTA эА ds9
dLTA^ us\jsTAds- F^ TBVjkazds.
При построении моделей сплошных сред в ряде случаев необходимо варьировать тензорные функции, зависящие от тензорных аргументов, которые также подлежат варьированию. Пусть Т ——некоторый тензор произвольного ранга с компонентами Г4 относительно системы координат наблюдателя 炉,которые являются функциями закона движения xz(^) и компонент некоторого тензора произвольного ранга цв, в свою очередь зависящих от закона движения
ГЛ= TA(x^)t 产6g))).
Полную вариацию компонент тензора ТА можно определить как сумму двух вариаций ——полной вариации при варьируемом законе движения и постоянных цв и вариации при фиксированном законе движения и варьируемых аргументах цв:
Вариация при 5(лв=0 есть обычная полная вариация компонент тензора, определяемая формулой (4.5):
где во втором слагаемом ковариантному дифференцированию подвергаются все аргументы функций 7M. Вариация при фиксированном закону движения определяется лишь частными вариа* днями компонент тензора рЛ:
"a|b*Jo = ^^ di
и соответственно полная вариация 6ТА вычисляется по формулам
8ТЛ «= дТА + 史*в + * ЪТА.
§ 5. Некоторые специальные виды вариаций векторов и тензоров
Пусть А и В — два векторных поля:
А = А (")弘(/), В = & (炉)М 伊)，(5.1)
где А1 и Bi — контравариантные и ковариантные компоненты векторов А и В соответственно относительно тетрад базисных векторов э/ и э* произвольной системы координат наблюдателя.
Согласно формулам (3.5) в общем случае вариации базисных векторов системы координат наблюдателя W определяются формулами
立—э. с= 8ft 9/ — Q% %, эг — У = % У = — й^э*,(5.2)
где Q匕(N) — компоненты произвольного бесконечно малого тензора, а/ н W — варьированные базисные векторы.
Пусть А" нВ/ — варьированные значения компонент тех же самых векторных полей (5.1), отвечающие варьированным значениям базисных векторов э/ и з" соответственно:
А == 4’ ％, В «= 8 а'•
Тогда, в согласии с формулами (5.2), получаем
4〃э；— А% = М'(& +。：；)％ — А% =
■ G4" — A”i +力皿％ =0,
(5.3) 3；尸一®э» п 瓦(廿一2*0 э，— & У =
=(8 — Bi) э1 — Bk Q：・ э，= 0.
Обозначая Af,—А/=бпЛ/ и 瓦一Bi=6j3“ из равенств (5.3) получаем выражения для вариаций компонент векторных полей А и В, обусловленных варьированием базисных векторов системы координат наблюдателя:
% a = - $4 不，%8, П £2% ".(5.4)
Эти вариации представляют собой бесконечно малые разности между компонентами заданного (неварьируемого) тензорного поля (А и В соответственно) относительно варьированных и исходных базисных векторов соответственно.
Из формул (5.2) и (5.4), в частности, следует, что для произвольного векторного поля А имеют место неравенства
” ％"' # а' % A” ^Q^i^Si^a 4'・
Пусть теперь А7 и Вх — векторные поля, отвечающие прокз* вольным варьированным значениям компонент А" и В； относительно тетрад базисных векторов 凱 и М. Согласно определеник> (4.2) разности
从"立一川立， B^ — Bi B^
представляют собой частные вариации компонент векторов дА1 и dBt относительно системы координат наблюдателя. Суммы вариаций
@4 + %4三^川，двi +^вг ^8^ei(5.5>
представляют собой вариации компонент векторных полей А н В, соответствующие варьированию векторных полей и варьиро* ванию базисных векторов э： и
Непосредственно из формул (5.5) с точностью до бесконечна малых высшего порядка следует, что для вариаций скалярно* го произведения векторов А В=Л*В/ справедливо равенство
^вг) =8^" + <嗚氏=或"6)(5.6)
правая часть которого не содержит компонент бесконечно малого тензора С：%・ Таким образом, вариация скалярного произведения двух произвольных векторов А и В равна нулю в случае^ когда 5Л/=дВ«=0, хотя в силу формул (5.4) и (5.5) вариации 6сА‘ и 6cBi отличны от нуля и содержат компоненты произвольного бесконечно малого тензора С%・
Очевидно, что векторные поля А и В (равно как и варьированные поля А' и В') можно рассмотреть относительно сопут* ствующей системы координат с базисными векторами э( и запи- сать равенства, аналогичные равенствам (5.4) и (5.5):
0* + 6/=0不一鋒就=6：k
八入...(5.7>
d&+ $3瓦=0& + 8，自=6二儿
где c/i — компоненты произвольного бесконечно малого тен* зора-
Из формул (5.7) также следуют равенства, аналогичные ра* венствам (5.6):
鼠(彳&)=d(不良)，(5.8>
которые справедливы для произвольного бесконечно малого тензора со, причем в силу определения частной вариации векторного поля имеет место равенство
0(川8)=@(矛瓦).
Из формул (5.6) и (5.8) при условии, что частные вариации -векторов А и В равны нулю, следует, что вариации скалярного произведения векторов А и В равны нулю для произвольных бесконечно малых тензоров Qus:
bn(AlBi ) =6з(*8) = 0・(5.9)
Для тензора произвольного ранга с любым строением индексов можно получить формулы, аналогичные формулам (5.5) и <5.7):
^Х ^дТА—尸醤ТВ Qf& = 0TA + ЪатА,
8：та=(?тл + ^г^ =дТА + ^ тА. (510)
где символами Fb? обозначены комплексы, определенные формулами (4.9). Кроме того, для тензора Т можно получить формулы для вариаций смешанных компонент (т. е. вариации ком- лонент, один из индексов которой относится к системе координат наблюдателя, а другой — к сопутствующей системе координат). Если, например, для тензора второго ранга Т обозначить такие компоненты через 7% т. е. Т=Т号凯叫 то
г*тЪ -^) —「'/ 京，+ 7*；度；=
=*• +57 + %吟，(5.11)
где через “Т* и 6сТ* обозначены вариации компонент Т$ при варьируемых базисных векторах э( и постоянных а『и варьируемых базисных векторах 6 и постоянных э： соответственно.
Из рассмотренных выше свойств вариаций типа 6tt и 60 следуют равенства
где Г4 и Г4 — эйлеровы и лагранжевы компоненты тензора Т=Таза = Тлэд произвольного ранга с любым строением индексов.
Нетрудно заметить, что в силу определения вариаций 6с и 石s для любой свертки /, образованной из компонент векторов и тензоров произвольного ранга, справедливы формулы
(5.12)(5.12)% J == 6：/ «= О/, %J = 63/ = 0.
(5.12)
(5.12)
Как частный случай общих формул (5.10) для вариаций ковариантных и контравариантных компонент метрического тен* зора системы координат наблюдателя gij имеем
$% g/j = dgu + gsi，i + gis。号 n dg〃 + Q" + Q〃， (5.13) 心 /' = d^ — % — Q".
Из приведенных формул следует, что 6%g〃=dgi/ и 6%g"= d『* если Q〃 一 компоненты антисимметричного тензора. Если же Qi； — компоненты произвольного тензора, то
%g〃 = -g“gs『％g 匕 (5・14>
Для вариаций 6： ковариантных и контравариантных компонент метрического тензора сопутствующей системы координат справедливы формулы, аналогичные формулам (5.13), (5.14)> следующие из общих формул (5.10).
Частным случаем рассмотренных выше формул для вариаций являются вариации бл компонент векторов и тензоров произвольного ранга при бесконечно малом преобразовании координат (3.19). Вариации бл получаются из вариаций 6а, если положить
Q/g—УМ*. (5.15)
Вариации компонент вектора или тензора произвольного' ранга с любым строением индексов при бесконечно малом преобразовании координат (3.19) можно ввести и независимо от формул (5.10) следующим образом. Так как тензор есть объект» инвариантный относительно бесконечно малого преобразования координат (3.19), то, например, для тензора произвольного ранга с любым строением индексов справедливо равенство
卅П)=0.
Из этого равенства на основании формул (3.24) для Варна- ций базисных векторов 凯 и э* нетрудно получить выражения для вариаций его компонент
彳吸=尸笫吸%財. (5.16>
Так как при бесконечно малом преобразовании вектор ковариантного дифференцирования зМ есть инвариант, то выражения для вариаций компонент тензоров, в состав которых входит оператор ковариантного дифференцирования, могут быть получены по формулам типа (5.16). Так, например, вариация ковариантной производной от тензора произвольного ранга T=T4q色 имеет вид
8足丛=一口74%8唄+尸骯/'"М・
Вариации, сохраняющие инвариантными скалярные функции
Пусть А — некоторая скалярная функция, зависящая от неизвестных или задаваемых тензорных функций координат 炉 в системе координат наблюдателя или координат 自人 в сопутствующей системе координат. На основании равенств
A (f (片))=a(Е) a，⑴(/)+ 又i (E? = A，(/)вариацию скаляра Л можно определить следующим образом:
8Л = А，(У) — A(F) = А，3 + 次 9 — A(W), которая с точностью до бесконечно малых высшего порядка может быть записана в виде
ВЛ = dA + 况 ％А.
Здесь символ 6 отвечает вариации при постоянных ^Л, а символ д — вариации при постоянных N. Очевидно, что для действи- тельных приращений вариация dA равна нулю.
Рассмотрим теперь детально вопрос о варьировании скаляра Л, зависящего от ряда определяющих параметров, представляющих собой размерные скалярные, векторные или тензорные аргументы. Как известно, любой скалярный инвариант системы тензорных функций может быть представлен как скалярная функция соответствующей системы скалярных сверток Л, обра- зованных из компонент этих тензоров. При этом свертки могут быть образованы не только из компонент искомых тензорных функций цл, но и содержать параметрически заданные компоненты тензоров типа К" (У) и К。(/), причем компоненты искомых и параметрически заданных тензорных функций можно рассматривать как относительно системы координат наблюдателя так и относительно сопутствующей системы координат 守 L Необходимо отметить, что компоненты параметрически заданных тензоров также варьируются при варьировании векторов базисов, и их вариации б#Кв и баК， отличны от нуля. При варьировании скаляров А, зависящих от некоторого набора тензорных компонент, для которых бесконечно малые вариации 6。 и бш выражаются только через компоненты тензоров Q% и о^а соответственно, вариации 60Л и S«A обращаются в нуль независимо от вида зависимости скалярной функции от своих аргументов при любых бесконечно малых Q^ и Ji соответственно.
Подробнее о параметрически задаваемых тензорных функциях К в и ЛС см. § 5 гл. III.
Если варьируемая величина Л, зависящая от компонент векторов и тензоров, не является скаляром, но сохраняется относительно преобразований некоторой группы G, то равенства 50Л =0 и бшЛ =0 также будут выполняться, если компоненты тензора Q：% и sf% соответственно определяют вариации векторов базиса, отвечающих преобразованиям группы G.
Далее примем, что скаляр Л зависит от следующего набора «аргументов Ч
4 &з 广，％不，G, к*(6.1)
где р? — компоненты тензоров произвольного ранга с любым строением индексов.
В общем случае функциональная зависимость Л от аргументов (6.1) будет следующей:
A = A(J) s= 1, 2,・•・，(6.2)
где инварианты 7в представляются в виде сверток, образованных из компонент тензоров, входящих в число аргументов функции А. При этом очевидно, что для свертки 厶 будут справедливы равенства
J^A^B^ ^А\^ В^С^ A^Bjch^ .・•，
т. е. свертка /8 может быть образована как из эйлеровых компонент тензоров, так и лагранжевых компонент тензоров, а также из смешанных компонент тех же тензоров.
При этом для вариаций 6qJs и 6ttJ8 справедливы равенства типа
%4=8? ? 6n(а今6)，
工厶・BX3(4f/cj,
т. е. соответствующие компоненты тензоров при разных типах вариаций можно выносить из-под знака вариаций как постоянные множители.
Как следствие скалярности функции Л, зависящей от аргументов (6.1), с помощью формул (3.8) при 6}=0 и фор-
1 Здесь для простоты в набор аргументов не включены высшие ковариантные производные от компонент тензоров цА. Соответствующие формулы, аналогичные полученным ниже, при наличии высших ковариантных производных нетрудно получить на основании общих формул для вариаций ком- лонент тензоров.
мул (5.10) при условиях, что частные вариации равны нулю, из равенства боЛ=0 при произвольных “％ следуют 16 тождеств
0А / I с °А к 0A pAk^B , дл г
— Х/ + 2 ——g〃— ^BZH 4т-Vz ^ —
-啮“——吟喳《=0,(6.3)
0以，dка
где учтено, что боКв=0.
Добавляя к левой и правой частям равенств (6.3) слагаемое —Лб/, с учетом формул
№1 0g2 д V—g с
g dghi 匕彳 dgki
и следующих из них равенств
-2 - ga - A 学=—-~- gif,
°gR]/_g°g^/
соотношениям (6.3) можно придать вид
令"3-贵喲一就尸中
FbNs^BFbNs^B@A f人在 k b 二M дКА@A f人在 k b 二M дКА2 0(aW2 0(aW
FbNs^B
FbNs^B
@A f人在 k b 二M дКА
@A f人在 k b 二M дКА
2 0(aW
2 0(aW
Нетрудно убедиться, что при составлении сверток из аргументов (6.1) величины х/ и Кв могут входить в лагранжиан только в виде комбинации №=%鏡瓜(где через Хв обозначены произведения вида %^=灯方・・・客)，и первое слагаемое в формуле (6.4) может быть заменено на слагаемое вида
@A 尸佻К8дК° ?・
Тождества (6.4) можно использовать для преобразования соотношений, получаемых из вариационного уравнения, а в ряде важных случаев ——для вычисления компонент тензора энергии-импульса (см. § 8, 9 гл. III).
9-4787
Полагая 6п'=е"%/, где е〃 一 компоненты антисимметричной матрицы, определяемой формулой (3.12) гл. I, в качестве частного случая бесконечно малого преобразования координат (3.19) получаем бесконечно малое преобразование Лоренца. При этом Q'*=—е*л представляют собой компоненты антисимметричного тензора
и из скалярности функции А следуют шесть антисимметричных по i,论 тождеств, не содержащих члена d(bV —g)/dgki.
бесконечнобесконечноНаряду с полученными выше тождествами, из условия скалярности функции А относительно произвольного 一
бесконечно
бесконечно
координатпроизволь-координатпроизволь-малого преобразования сопутствующей системы (т. е. при *=0) из тождества 6ША при условии ности о/% следуют равенства
координатпроизволь-
координатпроизволь-
А黯一关г 尸諧/+ -^%V/^- dxkd N0"世
d▽$ 1dKA
2°(A {- g )八m一2 d^ki2°(A {- g )八m一2 d^ki(6.5)(6.5)
2°(A {- g )八
m一2 d^ki
2°(A {- g )八
m一2 d^ki
(6.5)
(6.5)
где учтено, что 6зКс=о.
Варьирование тензоров в ОТО
При построении моделей сред и полей в рамках общей теории относительности компоненты метрического тензора g” являются искомыми функциями, и их следует относить к параметрам типа р/* Частные вариации g^ произвольны и отличны от нуля, а вариации Sxgn (так же как в ньютоновской механике и специальной теории относительности) равны нулю. Используя
равенства
°= " A dg〃 и °=-/方产 °g〃
для частных вариаций символов Кристоффеля и ковариантной4 производной тензора ТА произвольного ранга с любым строением индексов, получаем
开务=£ [gkn(^^? + 川学)一£kS 岁训 NSgnq，
(7.1) d^TA^VidTA + F^T дЛь
где через Fbs обозначена сумма произведений символов Кронекера, вид которой устанавливается с помощью формулы (4.9).
При моделировании пространства-времени в четырехмерных римановых пространствах используются формулы для вариаций тензора Римана
D・・・s。‘，饱0°А/ I T-»S「s「卩
Qxi + 1 Р/ 1 /尼 1 p" ih
и инварианта кривизны (скаляра Риччи)
R = £5,% = g〃Q曰.
Формулы для вариаций компонент тензора Римана и инварианта кривизны могут быть получены с помощью формул для вариаций символов Кристоффеля (7.1). В частности, вариация инварианта кривизны записывается в виде
dR = - R"dgtj + у$ D,(7.2)
где
『=(g^ — gJ 加普= (g〃g"-g〃g，v/g〃・
При построении моделей континуумов в ОТО объем dV《также варьируется, и вариация бесконечно малого четырехмерного инвариантного объема
d匕=m 一e dP或2或3现4(7.3)
может быть вычислена с помощью формул для вариации компонент метрического тензора сопутствующей системы координат
При этом 6gi/=dgi〃 а вариация величин х/ определяется формулами (3.11):
(7.5)
Так как при варьировании четырехмерного объема, построенного на векторах ④耳新,d^32l d^93, dg494, варьированный объем представляет собой объем, построенный на векторах й^э!, dfa% d?93,成％4, имеющих те же самые координаты в варьированном базисе, что и в исходном, то вариация бесконечно малого четырехмерного объема может быть записана в виде
ZdV^lV -g d 早 dfdE3 dl.(7.6)
Выражение для вариации б ]/—2 может быть получено на основании определения контравариантных компонент метрического тензора g" как алгебраических дополнений элемента g“ в определителе g и имеет вид
М —£ = —$£ =千 М —g С"扌?仃•(7.7)
Используя формулы (7.4) и (7.5), а также учитывая, что 5gii=°gii для вариации б М-?, получаем выражение
М —i = *|" М — ? glidgu+ И — i Vi "К
% следовательно, вариация четырехмерного инвариантного -объема определяется формулой
3d匕 ® ^-i-gifdgn +у,* )d匕.
При варьировании бесконечно малого четырехмерного объема в рамках специальной теории относительности в последней «формуле необходимо положить 0g『0.
§ 8. Варьирование параметрически задаваемых
тензорных функций
Пусть К — параметрически задаваемая тензорная функция с компонентами КВ(^Л) и /(，(％&) относительно тетрад базисных векторов э( и э( соответственнох:
к = №騎 Зв(力=K’d)9c(d),(8.1)
Подробнее о параметрически задаваемых тензорах см. § 5 гл. III.
где В и С — собирательные обозначения тензорных индексов (как ковариантных, так и контравариантных); через 9н и э(* обозначены соответствующие полиадные произведения.
В соответствии с тензорной природой функций К для компонент тензоров Rb (е尼)н к。3) в каждой точке четырехмерного пространства справедливы равенства
K' = d犬，KB=^KC 1с. (8・2)；
где через Хв и |с обозначены соответственно произведения вида：
Х^Хп • . . , 1с = S; л ...
Рассмотрим некоторые используемые при построении моделей континуумов в СТО и ОТО виды вариаций параметрически7 задаваемых тензоров К.
Пусть система координат наблюдателя хл и сопутствующая система координат ^ фиксированы и закон движения сплошной среды х'(Е&) не варьируется. В этих предположениях могут быть введены частные вариации компонент тензора К,, определяемые изменением вида тензорных функций в фиксированной точке четырехмерного пространства 修(и, следовательно,, в фиксированной точке хл):
дКв и дКс. (8.3}
Так как при сделанных предположениях компоненты матриц. || ^/11 и II5/ II постоянны, то частные вариации компонент тензоров К°, являются компонентами тензоров того же ранга и связаны равенствами
дКс^^дКв, дкв = ^дК° . (8.4>
Пусть системы координат 炉 и 戸 фиксированы, а закон движения сплошной среды %左(戸)варьируется. При варьировании закона движения вариации компонент матриц ||х；|| и： IIII определяются формулами (3.8) и (3.9):
^/ =若V$ 次'=証；X , 5》 阳=_g V,次5 =-好:自\
а базисные векторы сопутствующей системы координат э( и а' также варьируются, и их вариации определяются формулам» (3.6)
В рассматриваемом случае полные вариации лагранжевых компонент тензора К, определяемые равенствами
iKB^dKB + ^tKB9(8.6)
согласно физическому смыслу параметрически задаваемого тензора равны нулю, и для действительных движений равенство 6&н=0 представляет собой условие постоянства лагранжевых компонент тензора К для индивидуальной точки сплошной среды:
которое не исключает возможной пространственной неоднородности сплошной среды, характеризуемой компонентами тензора £в(У)・人
Из равенства 6^=0 с помощью формул (8.2) и (8.5) можно получить выражение для вариаций эйлеровых компонент тензора
ZKc^F^KAVk^^(8.7)
где 尸^? — комбинации символов Кронекера, определяемые формулами (4.9).
Из формул (8.6) и (8.7) следуют выражения для частных вариаций лагранжевых и эйлеровых компонент тензора
狄嘖一次乜RB,
/с =一 阮％ к‘ + F^KAVk 次'•
Из формул (5.16) следует, что частные вариации эйлеровых ком・ донент 砍。также можно записать в виде
дКе =-6儿Кe + 6№
ГЛАВА III
ИСХОДНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
Общие предварительные замечания о моделировании
Описание микроскопических и макроскопических физических явлений связано с построением теоретических и по существу математических методов описания различных объектов и их взаимодействий для наблюдаемых в природе событий, а также в искусственно поставленных лабораторных экспериментах. В математике вводятся аксиоматически точно определяемые и абстрактно описанные модельные объекты и операции. Затем математическими исследованиями вскрываются вытекающие из них определения и следствия. Наряду с этим в физике, механике и в других науках рассматривается окружающий нас мир с его реальными объектами, событиями и процессами, которые воспринимаются людьми и с которыми люди взаимодействуют своими ощущениями непосредственно или с помощью приборов и инструментов.
Систематизация, описание, упорядочение и предсказание всего происходящего, с конструктивными уточнениями и усовершенствованиями обостренных ощущений, — это и есть научные методы познания и основы их приложений для реализации возникающих целей.
При описании одних и тех же реальных объектов и событий модельные методы могут быть различными, более или менее подробными или точными. Например, в механике, используются как феноменологически конструируемые модели сплошных сред, так и статистические методы с дискретно выделенными модельными образованиями. Понятно, что всякое моделирование основано на идеальных схемах и допущениях — гипотезах и постулатах, всегда приближенных и нуждающихся в подтверждении их приемлемости для удовлетворительной согласованности получаемых результатов с наблюдениями в действительности. Само понятие об удовлетворительном согласовании связывается с существом постановок проблем, добываемых выводов и формулировкой новых полезных точек зрения.
В науке явное использование знаний, опытов, постановок разных проблем, формулирование целей и их достижение получается по существу с помощью замены реальности моделями из
числа уже созданных и апробированных или вновь разрабатываемых.
Математика — это по своему существу общая теория мо- дельных объектов, основанная на логически разработанных one- рациях или на обобщениях вычислительных экспериментов, полученных путем решения многих задач.
Естествознание — это по своему существу приложение математических теорий и моделей применительно к реальности с их непосредственной опытной апробацией. Именно поэтому математика и ее методы используются во всех науках.
Во многих случаях в науке ответы на Поставленные задачи^ вопросы или закономерности, подмеченные в регистрируемых результатах, получаются непосредственно в натуральных условиях или в специальных лабораторных или натурных опытах и в различного рода наблюдениях. Но результаты должны, вообще говоря, осмысливаться теоретически и могут служить в ряде случаев основой для дальнейшего развития более точных и преобразованных модельных теорий. По этому поводу можно упо- минуть о фундаментальных примерах, касающихся возникновения теории относительности, квантовой механики, проблем коррекции термодинамических функций конкретных сред и т. д.
Моделирование — это замена каких-либо действительных или мысленно определяемых объектов-предметов и соответствующих процессов другими объектами-предметами и процессами, действительными или связанными с абстрактно построенные ми образами объектов и понятиями, выработанными человечес- ким мозгом. Моделирование составляет основу сознательнога описания свойств различных объектов и событий, воспринимаемых людьми.
Изобретение и проектирование моделей и с их помощью тео* ретические исследования связаны, в первую очередь, с конструированием моделей, в которых используется ряд определений в постулатов для введения многочисленных идеальных объектов， выяснением их свойств и допускаемых ими соответствующих операций, а также с исследованием содержащихся в них имплицитно многих соотношений, вскрываемых как теоремы или как специальные связи и предоставляющих возможности для фор* мулировки и постановки задач, решение которых может осуществляться математическими методами (теоретически) или опыт* ным путем.
В гл. I были введены некоторые универсальные модельные кинематические понятия, которые используются в разных моделях и приложениях. Теперь обратимся к новым понятиям, кото- рые необходимы для описания в модельных постановках задач о физических явлениях.
Для этого, помимо модельных свойств физических объектов, необходимо еще опереться на некоторые постулаты, дающие возможность применения универсальных методов выделения действительных процессов и событий из множества возможных, мысленно рассматриваемых процессов и событий.
Очевидно, что разрешение так поставленной проблемы связано как с опорой на универсальные постулаты, которые уже надежно апробированы в опытах и в наблюдениях, так и с использованием ряда частных гипотез — допущений и аксиом, касающихся конкретных свойств веществ и полей.
Модель материальной точки
В механике простейшим идеальным абстрактным объектом является модель материальной точки. Понятие о материальной точке включает в себя понятие об индивидуализированной геометрической точке, связанное с понятием о системе координат, с сопутствующей мировой линией и с определением пространства и времени.
Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина т — масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной- величиной. В ряде специальных случаев для характеристики материальной точки вводятся также дополнительные физические характеристики, например такие, как электрический заряд, магнитный и механический моменты. Наряду с этими характеристик ками материальную точку можно наделять еще и иными механическими или физическими свойствами.
В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой т0> являющейся мерой ее инерции L
При моделировании малых тел — частиц — как материальных точек можно подразумевать, что в частицах происходят
В частности, массы тяготения тТЯг фигурируют в ньютоновской механике как параметр в законе всемирного тяготения. В связи с этим иногда в порядке уточнения этого закона можно вводить различные массы: инертную тин и массу тяготения тщ. Подобное уточнение основано на идее о том» что справедливость действия закона всемирного тяготения Ньютона можно, расширить за счет неравенства тТяг¥=^ин. Однако опыт показывает, что в пределах ньютоновской механики равенство тТяг=^ин выполняется с очень большой точностью. Тем не менее углубление теории гравитации в теории относительности связано с пересмотром закона всемирного тяготения ие путем введения другой массы вместо mHHt а путем радикального изменения основных понятий пространства и времени. В частности, в ОТО появилась возможность учесть влияние гравитационного поля на движение фотонов — «частиц», движущихся в пустоте со скоростью света и имеющих массу, равную нулю.
различные процессы, которые могут приводить к изменению их масс. В связи с этим для материальной точки можно вводить такие понятия, как химическая, тепловая, внутриядерная энергии, которые могут трансформироваться между собой и порождать взаимодействия с внешним миром, в частности влиять на макроскопическую механическую энергию материальной точки м, таким образом, оказывать существенное влияние на движение малых частиц вещества.
Ниже, ввиду общеизвестности теории движения материальной точки в рамках ньютоновской механики, этого вопроса мы не будем касаться специально. Не будем также рассматривать движение материальной точки с конечной массой в общей теории относительности (ОТО), так как в ОТО само понятие о материальной точке с ее конечной массой, движущейся в гравитационном поле в пустоте, строго говоря, требует дополнительных разъяснений. Однако нижеследующие выводы можно посчитать справедливыми и в ОТО для частиц с достаточно малой массой или для изолированных частиц на больших расстояниях от других тел.
Необходимо отметить, что и в ньютоновской механике понятие материальных точек с конечными массами, находящихся в непосредственной близости друг от друга, связано с такими физическими эффектами, как неограниченные величины ускорения и энергии при взаимодействиях точек, поэтому соответствующая модельная идеализация при замене частиц материальными точками с конечными массами может очень хорошо отвечать действительности только на значительных расстояниях между ними и другими телами по сравнению с их собственными размерами.
Итак, характернейшая особенность определения материальной точки как модельного объекта, пригодного для описания физических явлений, — это допущение о несущественности каких- либо собственных пространственных размеров и индивидуализация точки, осуществляемая с помощью времениподобной ми* ровой линии L, выделяемой в пространстве тремя лагранжевыми координатами 早=const, V = const, &з=const с дополнительной скалярной характеристикой — последовательно меняющимся собственным временем т вдоль L.
Выше было показано, что в СТО и в ОТО метрику в сопутствующей системе координат ^а, f* всегда можно написать в канонической форме
ds2 = с2 dt2 + 2 с 区低° dr + 区pdf d^t (2.1)
в которой мировая линия 厶,сопутствующая точке М. определится условиями dga=0(a=l, 2, 3), а глобальное переменное
время т рассматривается как координата, которая меняется вдоль каждой мировой линии.
В любой системе координат %' и, следовательно, в любой системе отсчета для данной индивидуальной точки М можно написать закон движения в виде
У== х'(±* т) при ^а= const(2.2)
Основные кинематические характеристики индивидуализированной точки подробно определены и изучены в § 9 и 10 гл. I—это вектор скорости и и ускорения а. Вместе с этим важнейшими кинематическими и динамическими характеристиками являются понятия скорости света в пустоте с как характеристики четырехмерного пространства в СТО и ОТО, собственной массы покоя материальной точки mQ и важных производных величин — вектора импульса (или количества движения) материальной точки Р и скаляра-энергии W, определенных инвариантно в произвольной системе отсчета формулами
Р = m0cut 晋= сР・ и ^т0с2gZ/ uf u7 = mQс2.(2.3)
Кроме этого, для частиц, моделируемых материальными точками, можно вводить ряд различных аддитивных видов масс т, и соответственно энергий, в частности таких, как тепловая, упругая, электромагнитная, ядерная энергии и другие типы энергии. Во многих случаях переменная энергия может быть выражена через полную массу m в виде
卷=тс， 加= /По +加1+.・.+тп.
Во многих чисто механических задачах можно принять, что все mi постоянны. Вообще же за счет химических или ядерных реакций, разного рода излучений или просто отбрасываний или налипаний масс (для ракеты, при взаимодействии с метеорным веществом и т. п.) т； могут изменяться. В некоторых особых случаях материальной точке мржнр приписывать также вектор момента количества движения, заряд е, дипольный момент и, возможно, еще дополнительно определяемые параметры для других характерных величин.
Рассмотрим случай, когда индивидуальной точке соответствует ненулевая мировая линия L, на которой инвариантные элементы ds*O и соответствующие приращения собственного времени или равные ему приращения глобального времени dt= «» ". для семейства мировых линий L отличны от нуля, с
В качестве основного постулата в механике применяется положение о том, что если материальная точка М с постоянной
массой /и。движется (в четырехмерных метрических пространствах Римана или Минковского, моделирующих физическое пространство) свободно, без какого-либо взаимодействия с другими телами или полями (исключая гравитационное), то промежуток собственного времени в действительном движении точки М между данными любыми фиксированными точками Л и В — максимальный по сравнению с таковыми на других мысли* мых мировых линиях. Из формул (10.7) гл. I следует, что требование об экстремуме собственного времени между фиксированными точками А и 5 можно написать в виде следующего вариационного условия:
в в
/и0& Jds = mof(a・ 2 ds = 0 (mQ = const). (2.4)
Отсюда следует, что в указанных условиях на действительной мировой линии L ускорение равно нулю, т. е. как в СТО, так и в ОТО мировая линия материальной точки является геодезической, когда
б Jds = O.
Таким образом, в качестве основного постулата можно и естественно принять, что при свободном инерциальном движении материальной точки в СТО движение материальной точки массы гл。происходит в согласии с (2.4) по геодезической» которая в СТО является прямой. При этом справедливо равенство
—тоа = 0.(2.5)
Вектор —moa по определению называется силой инерции. Уравнения (2.5) представляют собой уравнения движения свободной материальной точки. Если в действительности мировая линия L не геодезическая, т. е. ускорение отлично от нуля и, следовав
тельно, J (—moa 6r)ds¥=0, то в этом случае по определению дви
жение точки М не свободно, иначе говоря, в каждой точке мировой линии L можно ввести специальный вектор F той же природы, что и вектор силы инерции —moa, так чтобы имели место
равенства
в
J (—矶 а + F) • 8г ds = 0,— /л°а + F = 0.(2.6)
Вектор F, с которым при ускоренном, т. е. неинерциальном движении балансируется отличный от нуля вектор силы инерции: —/поа, образует в сумме с последним вектор, равный нулю: —moa+F=O, играющий при а=/=0 точно ту же роль, что вектор а при инерциальном движении, когда F=0.
Уравнения (2.6) представляют собой уравнения движения материальной точки при неинерциальном движении. Таким образом, проблема об ускоренном движении материальной точки связана непосредственно с понятием вектора силы F, который определяется с помощью уравнения (2.6), когда мировая линия L известна и, следовательно, вектор ускорения а задан.
В общем случае как при постоянной, так и при переменной массе m целесообразно вводить в рассмотрение четырехмерный вектор Р=Р*э； количества движения материальной точки 】,определяемый инвариантно в любой системе координат формулой
р татт эо(2.7)
dr
dp
и вектор силы инерции, для которого при /п =/= 0 спрайт
ведливы общие формулы вида
dP d /、 d f\
——=——= — — I 加—% I =
n 1圉*1券)+加"打屮，(2・8)
где 凯一векторы базиса в произвольно выбранной системе координат, a dr — приращение собственного времени.
Общее динамическое уравнение для движения материальной точки в заданном или в дополнительно определяемом простран-
Можно рассматривать движение физически определенных релятивистских частиц, для которых /п=0, а Р*0・ Такие частицы рассматриваются в физике, они движутся по нулевым мировым линиям при dr=0 с постоянной по величине трехмерной скоростью, равной скорости света с. Однако и в этом случае, так как энергия такого рода частиц отлична от нуля, для них можно определить количество движения и соответствующие трехмерные ускорения (см. § 10 гл. I). Напомним, что четырехмерный инвариантный вектор ускорения для каждой индивидуальной точки всегда имеет трехмерную природу.
стве в произвольной системе координат, не ограничивая общно- си, можно записать в виде
—— (加 cu) + F + cQu = — — (moi) +
drdr
+ F1 + F.+ ・・・ +F〃 + cQu = 0,(2.9)
где вектор F перпендикулярен u, а вектор cQu параллелен вектору u. Для выделения конкретных решений уравнений движения потребуется добавить некоторые условия типа данных Коши или им равносильных. Решение задач связано с некоторыми общими преобразованиями и следствиями из уравнения (2.9) и, в частности, что очень важно, с конкретизированием смысла и вообще переменного значения скалярного параметра массы т, зависящего от различного рода процессов, происходящих в теле, моделируемом материальной точкой. Во многих классических проблемах принимается, что m=m0=const есть физическая постоянная для рассматриваемой конкретной частицы, моделируемой материальной точкой.
В связи с соотношением (2.9) основная физическая проблема состоит в определении векторов сил F；, величины Q и законов изменения для массы т.
Основное важнейшее свойство силы, обозначенной через F,— это перпендикулярность вектора силы F к вектору четырехмерной скорости и Таким образом, в каждой точке мировой линии L для материальной точки при m = m0=const суммарная сила F, так же как и ускорение а, перпендикулярна к касательной к мировой линии L и, следовательно, полная сила F ——это трехмерный вектор.
При различных движениях одной и той же материальной точки или в движениях различных точек могут встречаться случаи, когда в правой части соотношения (2.9) одни и те же силы Fi фигурируют в различных комбинациях, поэтому, когда m=m0=const, при формулировании физических законов для силы Ft нужно исходить из требования, чтобы не только суммарная сила F, но и каждый вектор составляющих сил Fi имел трехмерную пространственную природу и, следовательно, был ортогонален к мировой линии в каждой ее точке.
Каждая сила F/ характеризует взаимодействие рассматриваемой материальной точки с различного рода физическими объектами; эти взаимодействия могут иметь различную природу, в частности, это могут быть и силы реакции связей, а также различного рода взаимодействия, которые можно рассматривать как связи в частности силу инерции(mcu) можно рас- сматривать как силу реакции связи, обусловленную аксиоматическими определениями вводимой модели четырехмерного прост-
ранства). Если все силы F/ и cQu, характеризующие взаимодействие рассматриваемой материальной точки с внешними телами или полями, отсутствуют, то по определению сил согласно равенству (2.9) получим
F=F]+ F?+…+Fn=0, Q=0, P = men=const,(2.10)
отсюда следует, что u=const, если m=const.
В равенстве (2.10) важно, что F=0, причем в более общем случае F» могут отличаться от нуля, но существенно, что
Е = 0・ z«i
Физические и механические исследования состоят в установлении модельных законов для силы F и сил F/, а после установления законов для F, существенна проверка гипотез о справедливости равенства типа п
F= £艮，(2.11)
которые, вообще говоря, не всегда справедливы, что связано с отсутствием свойства аддитивности силовых взаимодействий.
В связи с уравнением (2.9) очевидно, что если движение индивидуальной точки М и изменение ее массы как функционалы различного рода процессов внутри частицы моделируемой материальной точкой известны из опытов или просто заданы условиями постановки рассматриваемых задач, то это дает важную информацию о свойствах векторов F, Qu. В частности, если т = «т0=const и вектор F=ma перпендикулярен к и, то, следовательно, Q = 0・
Физические законы для сил F” как правило, устанавливаются в предварительных и экспериментальных исследованиях с обязательной опорой на соотношения (2.9) — (2.11) в соответствующих обоснованиях, апробированных опытами*
Метод установления физических законов для сил F/ заключается в постулировании выражений для сил F/ с последующей проверкой постулируемых выражений на разнообразных конкретных статических и динамических примерах. Необходимо отметить, что справедливость физических законов для сил, установленная на основании статических опытов в условиях абсолютных или относительных равновесий, при переходе к динамическим явлениям должна быть также постулирована или скорректирована с учетом имеющихся экспериментальных данных. Характерным примером этого может служить обобщенная формулировка свойств силы тяжести в виде закона всемирного тяготения Ньютона. Аналогичным образом вводятся законы для сил, действующих со стороны электромагнитного поля на изолированные точки или на сплошную среду, экспериментально
установленные в статических опытах и затем обобщенные на случай движущейся сплошной среды; аналогичным образом устанавливаются законы для реактивных сил, для сил трения, для расходов и притоков энергии при химических и ядерных реакциях и т. п.
В ортонормированной локальной декартовой собственной системе координат при непрерывном изменении ненулевого вектора и уравнение (2.9) можно написать в виде
—加а + F — — cu + cQu = 0.(2.12)
dr
Такую запись можно мотивировать тем I что векторы F/ и по определению вектор F пространственноподобны и в случае переменной массы m и, следовательно, трехмерны, а вектор си и добавочный вектор Q=Qu направлены по касатель- 小
ной к мировой линии и, следовательно, они балансируются и перпендикулярны к ускорению а и силе F.
Из введенных определений силы F и вектора Qu в собственной системе координат равенство (2.12) приводит к следующим соотношениям:
—ma + F=0,— «Q.(2.13)
Вектор притока массы Qu характеризует задаваемый или определяемый скалярный приток массы т или энергии =тс в единицу времени.
Из равенства (2.13) следует, что если масса материальной точки, моделирующей малую частицу, постоянна, то Q=0, и ее полная энергия
^=тс?(2.14)
постоянна.
Очевидно, что в общем случае для подвижной точки М всегда выполняется равенство
F • uds = /па ・ uds = 0,(2.15)
т. е. работа сил F на четырехмерных перемещениях всегда равна нулю. Следовательно, изменение массы — =Q*0 при dr
непрерывном движении может произойти только за счет притока энергии немеханической природы, например, в связи с пере-
численными выше видами притоков энергии и соответствующих процессов, происходящих в моделируемой частице — за счет тепловых или электромагнитных излучений, за счет ядерных или химических реакций диффузий и т. п.
Однако этот вывод существенно связан с обусловленной вначале непрерывностью изменения скорости и для всех элементов частицы, моделируемой материальной точкой. Ниже в § 4 развита теория полета ракеты, в которой происходит отбрасывание масс, для которых скорость и разрывна, и поэтому предыдущие выводы будут видоизменены.
Вектор силы F и скалярный приток массы Q (или энергии ^ определены инвариантно в связи с выделенной локальной тетрадной ортонормированной инерциальной собственной системой отсчета. После их определения эти инвариантные объекты и соответствующие уравнения можно рассматривать в любых заданных системах координат.
Отметим, что все локальные соотношения, рассмотренные в этом параграфе, показывают, что в собственной системе координат К в СТО и ОТО для ненулевых мировых линий и в ньютоновской механике все уравнения движения и их смысл для материальной точки точно совпадают между собой. Такое совпадение сохраняется также при любых преобразованиях только пространственных координат, рассматриваемых как лагранжевы. Различие возникает только при преобразовании координат от собственной инерциальной системы к любой локальной инерциальной системе координат К', движущейся поступательно относительно собственной системы координат с конечной трехмерной скоростью V. В ньютоновской механике таким преобразованием будет преобразование Галилея. В теории относительности таким преобразованием будет преобразование Лоренца. При этом в результирующих релятивистских уравнениях проявятся, в частности, соответствующие различия в приращениях собственного времени и собственных пространственных координат.
Гравитация и моделирование пространства и времени
• Как уже упоминалось ранее, исследование и описание физических явлений связано с введением и использованием систем координат и различных моделей пространства и времени: трехмерного евклидова пространства и абсолютного времени в ньютоновской механике, четырехмерного псевдориманова пространства Минковского в специальной теории относительности и риманова пространства в общей теории относительности.
В перечисленных пространствах можно вводить координаты и рассматривать семейства времениподобных мировых линий 厶，соответствующих движению пробных индивидуальных материальных частиц («пыли») при отсутствии их столкновений, которые можно рассматривать как точечный континуум, описываемый в сопутствующих лагранжевых координатах т=|4, |а, где отдельные линии семейства L отвечают постоянным значениям координат Е01.
В точках семейства линий L всегда можно ввести глобальна каноническую форму метрики в каноническом виде (см. формулу (7.6) гл. I)
ds2 =狐2 + 2 g°4 (比。df d” + gap &,爾 df 或°, (3.1)
где для простоты положено, что скорость света с= 1.
Выделенное семейство L и соответствующие компоненты метрического тензора g〃, в частности, могут соответствовать некоторым мировым линиям свободного движения несталкивающих- ся индивидуальных частиц пыли.
Исходя из общего определения ускорения (см. § 10 гл. I), в любых пространствах и в любых координатах абсолютное ускорение аабс частиц в сопутствующих координатах т, ^а для метрики (3.1) определяется формулой
а.бс=竺竺手2鼠， (3.2)
где эа — векторы координатных базисов, отвечающие системе Е°\ т в сопутствующей метрике (3.1).
В качестве основного постулата, отвечающего опыту, принимается, что в любой выбранной фиксированной модели пространства и времени как в ньютоновской механике, так и в релятивистских теориях при отсутствии всяких внешних сил, за исключением сил гравитации, для каждой частицы с постоянной массой m в ее свободном движении имеет место состояние невесомости и выполняются равенства
—/паабс + /ng = 0 или аабс = g, (3.3)
где g — вектор ускорения силы тяготения, рассматриваемый как функционал точек пространства-времени и закона движения, а в каждой конкретно решаемой задаче для движения пробных частиц рассматриваемый как функция координат точек пространства-времени.
Уравнения (3.3) справедливы для каждой свободно движущейся индивидуальной малой частицы и представляют собой общие уравнения небесной механики.
Таким образом, моделирование проблемы движения отдель* ных материальных точек с постоянной массой или движения пыли как континуума связано с введением для четырехмерного* пространства-времени сопутствующей метрики (3.1) для семейства мировых линий 厶 и переменного вектора ускорений g как функции точек пространства, связанного с наличием сил тяготения.
В ньютоновской механике поле ускорений g вводится и обосновывается законом всемирного тяготения Ньютона. Однако такое обоснование физически, вообще говоря, неприемлемо, так как оно противоречит инвариантности гравитационных явлений относительно преобразований Лоренца, связано с дальнодейст- вием и с мгновенным распространением возмущений.
Если, однако, взять поле ускорений g согласно закону всемирного тяготения по Ньютону, то на практике его можно приближенно рассчитать. С другой стороны, опыты показывают, что законы движения небесных тел, рассчитанные по Ньютону, вообще говоря, очень хорошо согласуются с наблюдениями в дей* ствительности. Это связано с тем, что в задачах небесной механики отношение и?/с2 мало. В связи с этим после замены и2/с2 нулем при переходе от собственной системы координат частиц к координатам наблюдателя с помощью преобразований Лоренца исключаются основные релятивистские эффекты. Возникающие при этом локальные ошибки будут очень малыми. Если в римановом пространстве для некоторых мировых линий частиц отношение и%2 нельзя считать малым, то можно ставить задачи об определении уточненного закона движения в гравитационном поле с учетом релятивистской теории гравитации.
В связи с этим обязательно потребуется вместо закона всемирного тяготения по Ньютону использовать дополнительно предположения, допускающие проверку в опытах.
Примером подобного постулата является допущение, принимаемое в ОТО, что g=0, т. е. условие об отсутствии сил тяготе- ния при наличии подходящей кривизны пространства, и поэтому в ОТО в согласии с постулатом (3.3) и формулой (3.2) полу* чается, что аабс = 0 в точках любых мировых линий пробных частиц, т. е. в ОТО все мировые линии свободно движущихся частиц геодезические.
Очевидно, что в псевдоевклидовом пространстве Мннковско- го (в ОТО) и в других фиксированных пространствах можно вводить поле гравитационного ускорения g=#0 и силу тяготе^ ния G=mg#0・ Тем не менее для специально определенных в ОТО псевдоримановых пространств условие g = 0 может быть допустимым в некоторых весьма важных модельных постанов- 10*
ках для подходящих движений частиц в соответствующих значительных масштабах объемов пространства и времени L Это означает возможность замены эффектов притяжения масс подходящей кривизной пространства и замены абсолютного времени значением глобального собственного времени в (3.1) для соответствующего семейства L.
В общем случае поле вектора g или градиенты вектора g можно в опытах измерять с помощью специальных приборов, что и может послужить опытным обоснованием для его определения, которое может фактически не согласовываться с законом всемирного тяготения Ньютона или с ОТО для физических объектов, обладающих массами.
Следует отметить, что речь идет о замене закона всемирного притяжения масс в ньютоновской механике релятивистскими законами взаимодействия между индивидуальными частицами, отличие которых от ньютоновских возникает за счет больших трехмерных скоростей частиц и кривизны четырехмерного пространства.
Когда вместо модели пространствa-времени по Ньютону выбирается любое фиксированное четырехмерное псевдорима- ново пространство, например, пространство Минковского в СТО или вообще любое другое конкретное риманово пространство, то можно поставить задачу об определении соответствующих свойств поля ускорения g и силы тяжести G по аналогии с физикой Ньютона, например, с помощью пересчета апробированного опытом поля трехмерных ускорений в ньютоновской механике,
1 Очевидно, что в соответствии с законом всемирного тяготения масс сила веса G в ньютоновской механике присутствует, она порождает ускорение g и является экспериментально установленным фактом.
С другой стороны, как известно, уравнение теории поля в ОТО для пыли с плотностью р в общепринятых обозначениях в любой системе координат имеет вид
где х — скалярный постоянный коэффициент. На основании тождества Бьянки по (*) получается
〃女У尺？"‘) + p〃/ V/ U女=0.
Отсюда следует, что V i(pwf) = 0 из-за постоянства масс частиц, а второй член согласно (3.3) дает
и1 V] 〃衣=—== 0.
Таким образом, из (*) следует, что g=0 в любых регулярных точках пространства для любых конечных значений р.
которые определяются с помощью закона всемирного тяготения или путем непосредственного измерения ускорений или их. градиентов в опытах со свободно движущимися частицами.
Укажем метод, позволяющий по известному полю ускорений g =/=0 в каком-либо одном фиксированном псевдоримановом： пространстве R* путем пересчета определять поле ускорения g; для аналогичной задачи о движении материальной среды с точки зрения произвольного наблюдателя в другом фиксированном, псевдоримановом пространстве А, не совпадающем с пространством
Под аналогичностью задач подразумевается, что сопутствующие системы координат &】，廿，V и семейства линий L одинаковы, но собственные глобальные времена и метрические* компоненты g“ могут быть различными при одних и тех же мировых линиях ^а = const, заполняющих все пространство.
Отметим, что в этом случае в каждом из пространств R и R* метрические тензоры g〃 и gij в сопутствующих координатах можно привести к каноническому виду (3.1), откуда следу- ет, что в общем случае
Л* # dj если /?* 片 R. (3.4>
Если пространства R* н R совпадают, то наряду с системой- сопутствующих координат |а, т можно ввести систему координат наблюдателя ха, K=f, где связь между координатами определяет закон движения континуума
d = d(Eb・ (3.5>
Согласно формулам (3.5) из инвариантности метрической формы ds2 при совпадении пространств R* н R следует, что
gii ^)耍 g/j (f) И g，F) = gm〃 W) %『%； • (3.6>
При совпадении пространств R* н R определение четырех, функций (3.5), иначе, закона движения точек континуума прн переходе от переменных 1 к переменным х*, представляет собой проблему инерциальной навигации. Как известно, ее можно решить экспериментально или путем теоретических расчетов, когда системы отсчета 产 и 炉 заданы (см. § 14, 15 гл. I). В этом случае преобразования (3.5) представляют собой обобщение- преобразования Лоренца. Очевидно, что переход от одного решения задачи о движении пыли к другому при фиксированном пространстве R* сводится к преобразованию в каждой точке пространства вектора g к вектору g для фиксированной метрики, в соответствии с тензорной формулой (3.6).
Если в одном и том же римановом пространстве получено некоторое точное решение задачи о движении пыли в переменных 炉，％з, х4 = / в зависимости от лагранжевых переменных М* Л2» Л3> 匸=唄，то это определит собой четырехмерное преобразование (3.5) в виде
犬=炉(代儿炉=£. (3.7)
При этом очевидно, что формулы (3.7) определяют собой закон движения 炉(的 и метрику в одном и том же пространстве Rt а трехмерные компоненты скорости 严 в силу преобразования (3.7) можно рассматривать как функции от сопутствующих координат 口01 и 力 которые, однако, вообще говоря, не будут каноническими согласно определению (3.1).
Если переменные х1 взяты в одних и тех же декартовых координатах по Ньютону и по Минковскому в СТО, то, очевидно, что в пространствах Минковского и Ньютона можно ввести наблюдателей, для которых описание движений будет определяться одними и теми же функциями
不=寸(") 0, (3.8)
где t — абсолютное время по Ньютону, которое не совпадает с собственным временем т по Минковскому, а лагранжевы переменные т)а = const определяют собой один и тот же конкретный закон движения в обоих случаях для разных наблюдателей. При решении задачи о движении частиц в ньютоновской механике время t абсолютно, а трехмерная пространственная метрика ммеет вид
成2 = (d/户+m炉产+(〃3户.(3.9)
При решении задачи в СТО метрика четырехмерного псевдоевклидов а пространства Минковского определяется формулой
金2 =必2 — (d炉)2 —(厶2)2 一佃炉)2 =由2 一成2.
Из формул преобразования координат (3.7), не являющихся преобразованием Лоренца с переходом от 炉 к 們 следует
II поэтому
ds2 = (1 —。2) " + 2 ( За • v) d瞰由 + ( За ・ ^川噴 d^ . (ЗЛО) где эа — ковариантные компоненты координатных базисов в системе 倘 dt — дифференциал абсолютного времени по Ньютону, совпадающий со временем наблюдателя в СТО. Формула (3.10) задает метрику в сопутствующей системе координат * т в пространстве Минковского.
Для получения метрики в сопутствующей канонической системе достаточно произвести еще дополнительное четырехмер- н®е преобразование
dc=df]/ l-t；2 ,(3.11)
после чего получим сопутствующую метрику в каноническом виде
厶2 =狐2 十 2 g^ dt + gap dl 或 °,(3.12)
где
ga4 =絞.
Если пространства R* н R различны, то и в этом случае также можно ввести одно и то же семейство мировых линий L, преобразование (3.5) и различные тензорные компоненты метрик gij в R* н gij в R, однако связь (3.6) между этими метрическими тензорами нарушится.
Соответственно вдоль одних и тех же линий L можно определить отдельно локальные кинематические тензорные характеристики, например, для четырехмерной и трехмерной скоростей и и V и для ускорения аабс в R* с помощью g^, а в R с помощью gij, опираясь на каноническую формулу (3.1).
Очевидно также, что различные векторы и соотношения между ними, определенные в R*, и соответственно одинаково определенные аналогичные векторы в том же смысле в R можно рассматривать также и в R*, но с соответственно измененным смыслом.
Такое положение позволяет переходить от соотношений и характеристик в одном римановом пространстве к аналогичным соотношениям и характеристикам в другом римановом пространстве. В частности, можно ввести аабс в R* н аабс в R вдоль одних и тех же линий L (ga = const). Отсюда очевидно, что из **
условий (3.3) следует, что наряду с равенствами аабс = g в R
должны выполняться и равенства aa6c=g в R, причем g#=g и @а6с 耍 @абс L
Таким образом, по полю ускорений в R* можно найти поле ускорений в R. Например, по полю ускорений в СТО можно найти поле ускорений в любом модельном римановом пространств ве, поэтому в римановых пространствах для L = Lz метрика и компоненты ускорения аабс и а'абс получаются разными.
Для одного и того же семейства мировых линий L можно рассматривать различные римановы пространства R* н R н ускорения g и g, если преобразования (3.5) выбраны или найдены.
С другой стороны, если пространство R* фиксировано, то с помощью инерциальной навигации можно для разных наблюдателей найти соотношения (3.5), соответствующие семейства L* и L и отвечающие им компоненты вектора ускорения.
В частности, если метрика для семейства ga = const в сопутствующей системе координат имеет вид
* = dm + 2gM(1)dcdl + gxs (Г, Sd^dl, (3.13> где t — собственное время, то в каждой точке таких пространств а = g = 0, что отвечает общей теории относительности, в которой наличие поля g заменяется кривизной пространства и все мировые линии пробных частиц — геодезические.
Заметим еще, что для любого заданного псевдориманова пространства в сопутствующей системе координат (3.1) всегда легко вычислить вектор аабс и, используя равенство (3.3), получить поле для вектора g, если это поле известно в некотором заданном пространстве, например в СТО.
Очевидно, что только из условия отсутствия внешних сил негравитационной природы в свободном движении, определяемой уравнением (3.3), нельзя установить однозначным образом метрику (3.1) без выбора определенной модели релятивистского пространства*времени, а также поля ускорений для сил тяжес* ти g. В связи с этим можно ставить задачи о выборе дополнительных условий для установления модельных метрик среди псевдоримановых четырехмерных пространств.
В качестве частного примера канонических разных метрик вида (3.1) при L=LZ, но R* 唉R можно положить
dsi=dx^+2kgalt d^ dt+gap dl d 朋，
где 论>0 ——произвольный постоянный скаляр. Легко видеть, что в этом случае для компонент ускорений вдоль мировых линий 厶 будут верны формулы
В частности, легко указать обширный класс псевдорим ано- вых пространств, в которых движения пылевой материи могут происходить ТОЛЬКО при условиях аабс = g = 0, фигурирующих в общей теории относительности.
Для выбора конкретных модельных пространств, кроме задания гравитационного поля ускорений g=#0 или аабс 耍 0, обоснованного опытом, требуется еще опереться на ряд добавочных постулатов, связанных с привлечением физически оправданных функционалов и вариационных методов длй получения соответствующих уравнений (это могут быть уравнения типа Гильберта —Эйнштейна). В зависимости от разных конкретных задач в результате их решений соответствующие римановы пространства будут получаться разными.
Такое положение сильно осложняет теорию. Очевидно, что модельная теория тяготения по Ньютону в фиксированном пространстве проста и описывает явление гравитации с очень высокой точностью. В связи с этим идею А. А. Логунова построить аналогичную теорию в СТО следует признать естественным стремлением. Изложенные выше теоретические результаты проясняют физическую сущность гравитации и пути конструирования новых моделей с учетом релятивистских эффектов, но нужно помнить, что в физике все математические модели допускают углубления и усовершенствования и что в ОТО к этому имеются： определенные поводы.
Вместе с этим однозначность решений о движениях пыли при наличии соответствующих уравнений в ОТО в современной практике может достигаться, строго говоря, только в частных примерах и только с помощью дополнительных обязательных частных допущений. Стандартизирование постановок задач в ОТО для уравнений с частными производными с помощью условий типа начальных или краевых еще не внедрено в приложениях.
4. Релятивистская теория полета ракеты
Первыми работами, посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккере- та и Зенгера.
В работах Зенгера дана подробная теория обитаемых релятивистских ракет с экипажами на борту с учетом поступления в ракету встречных космических масс, используемых в качестве источников энергии в реактивных двигателях типа прямоточных.
Ниже изучаются соотношения для движений необитаемых ракет, когда их расходуемая масса покоя стремится к нулю.
Характерная особенность движения ракет связана с отбрасыванием принадлежащей им массы и созданием, таким образом, тяги, позволяющей осуществлять старт и разгон ракет со значительным увеличением относительно фиксированного наблюдателя скорости их полета.
На рис. 5 представлена схематически мировая линия ракеты в декартовой инерциальной системе отсчета наблюдателя х, f. Некоторое произвольно взятое положение ракеты обозначено М; MB, WBr — элементы мировых линий для отбрасываемых бесконечно малых масс \dmk\ при помощи ракетных двигателей, а и^— их начальная четырехмерная скорость (скорость истече
ния газов из сопел двигателя). В общем случае естественно считать, что дальнейшее движение отброшенных масс по мировым .линиям МВ не может оказать влияния на движение ракеты М, но свойства начального вектора и； очень важны.
Обозначим Р = mocu четырехмерный вектор количества движения ракеты с массой покоя т0 в данный момент собственного -времени /*, так как разность P(f* + df*)—Р(尸)в значительной степени определяется уносом от ракеты количества движе- мия масс dmk, выбрасываемых ракетным двигателем с разными скоростями Uk (々=1, 2,...), вообще говоря, в различных направлениях.
Для изменения начального суммарного импульса mocu = Р ракеты с учетом импульсов, уносимых массами dmk9 отбрасыва* емыми за время df*, в локальной инерциальной собственной •системе отсчета в точке М, взятой на мировой линии ОА ракеты, можно записать
(4.1)(4.1)dPdmcvLdud加広八
(4.1)
(4.1)
—=■= тсу —■‘ …'w& =
由*d仲山"dt* h
где dm = —^\dmk | при dmK<0; 畋一соответствующие k
относительные к ракете скорости, вообще говоря, различные по величине и по направлению , отбрасываемых масс dmk\ G —
суммарная внешняя сила, приложенная к ракете и обусловленная гравитацией и силами взаимодействия ракеты с внешней средой и полями, в которых движется ракета; дифференциал 济* — скалярная величина, равная приращению собственного времени ракеты.
В равенстве (4.1) принято, что во всех точках траектории 04 ракеты Q = Q'u = 0, где — притоки внутренней не механической энергии, а векторы скоростей w^ пространственноподобны, так же как и вектор ускорения ракеты du/df*; воздействие внешней среды на ракету представлено также только пространственноподобным вектором внешней силы G.
Движущиеся элементы массы \dmh\ в рассматриваемый момент времени f* резко изменяют направление своей скорости 出 пределе для материальной точки — скачком) от четырехмерной скорости и до четырехмерной скорости и^.
Перенесем члены
_ У 也•w
из левой части уравнения (4.1) в правую. Если на ракете действуют несколько двигателей, то в правой части уравнения появляется вектор
R=禦W|+醬W,+ ・・•'
который можно рассматривать как реактивную силу, обусловленную в пределе ударным изменением dm < 0 общего количества движения массы m при ее отбрасывании (или, когда массы налипают на тело, dm^ > 0).
Согласно равенству (4.1) общая локальная форма уравнения для криволинейного движения ракеты в собственной системе Л* имеет
"^ = ?醬 w& + G， (4.2)
где 断о — текущая переменная масса покоя. Преобразование массы покоя 加。в энергию, в частности в электромагнитную, или обратный процесс может происходить при помощи различных механизмов. Здесь обращаем внимание на осуществление подобных процессов при движении ракеты. В частности, в качестве модельных примеров физических безмассовых объектов частиц, обладающих энергией, можно указать на понятия нейтрино или фотона, которые вводятся и рассматриваются в физике.
Ниже будем моделировать ракету материальной точкой, которую наделим массой и энергией, полагая, что полная энергия ракеты как материальной точки слагается из энергии, равной： кинетической энергии т^/2 по отношению к наблюдателю, и внутренней энергии (тепловой, электромагнитной, химической, или ядерной природы), которая может превращаться в механи* ческую энергию и наоборот. Под влиянием некоторых физически допустимых внутренних процессов в моделируемом теле может происходить по некоторым заданным законам выброс масс и： энергии из тела или присоединение к телу движущихся в пространстве масс и излучений, встречающихся с телом.
Таким образом, можно строить теорию движения ракет как материальных точек, для которых масса и энергия изменяются закономерно заданными способами (как результаты внешних влияний, определяемых из дополнительных условий) при соблюдении всех остальных механических законов как в ньютоновской, механике, так и в теориях относительности.
Важно, что в основном уравнении движения (4.2) для точки могут присутствовать задаваемые векторы реактивных сил, определяемых относительными к ракете трехмерными скоростями отбрасываемых или присоединяемых к ракете масс или энергий.
Как известно, в соответствии с основаниями теорий относи- тельности скорости w^ не могут превышать скорость света^ рассчитанную в локальных собственных инерциальных системах отсчета для точки М, поэтому |wfe| < с = 3・ 10】。см/с.
Далее ограничимся рассмотрением примера прямолинейного движения ракеты вдоль оси х в глобальной инерциальной системе наблюдателя (х, /) в ньютоновской механике и в СТО в простейшем случае, когда G = 0 и имеется только одна скорость Wi = w, с которой отбрасываются назад часть dm。массы покоя ракеты. В этом случае уравнение (4.2) можно написать в виде
/п/ = (dm0/d/*) w = R,(4.3>
где R — реактивная сила. Из равенства (4.3), в частности, очевидно, что равные векторы т^ и (dm0/d/*)w имеют равные компоненты в любых базисных тетрадах.
В любой системе координат и, в частности, в глобальней, инерциальной системе координат Ко наблюдателя х, f уравнение (4.3) в общем виде криволинейного пространственного дви- жения можно записать в виде
т0=5/.ri.(4.4)
Здесь m0, df* и dm()/df* < 0 — скаляры. Очевидно, что соотношение (4.4) имеет одинаковый вид как в СТО, так и в ньюто- новской механике, если отождествить собственное время /* с аб- солютным временем по Ньютону. Последующие выводы вполне
аналогичны получению известной формулы К. Э. Циолковского в ньютоновской механике.
Прямолинейное движение ракеты вдоль оси х регулируется одним скалярным глобальным уравнением из (4.4) с индексом г = 1, в котором нужно еще учесть, что полное ускорение и скорость w направлены по оси xt a wx = —w, где w = |w|, так как при ах > 0 произведение (dmQ/dt*)wx > 0, а проекция силы тяги на ось х равна
d dx加00 d/* df*d dx加00 d/* df*= R= R(R>°)・(R>°)・(4.5)(4.5)
d dx
加0
0 d/* df*
d dx
加0
0 d/* df*
= R
= R
(R>°)・
(R>°)・
(4.5)
(4.5)
Физическую величину скорости w(m0) истечения газа относительно ракеты можно задавать различным образом в зависимости от типа и режима работы ракетного двигателя, что связано с внутренними процессами внутри ракеты.
Рассмотрим сначала движение ракеты согласно уравнению (4.5) в ньютоновской механике, когда 尸一абсолютное время, dx^/dt = V — скорость относительно наблюдателя, а 如(加。)一 заданная функция, характеризующая работу ракетного двигателя. Имеем madv = —wdmQt и уравнение баланса масс, отбрасываемых назад, принимает вид
dmoldt = ^kw.(4.6)
где Л — параметр, характеризующий свойство ракетного двигателя. Из (4.6), когда и = 0, т^ =加亚 при / = 0 и когда, например, kw = const, получим
。二一"旧旦.f = 5吧.(4.7)
加 ookw
Для кинетической энергии ракеты и ее полной переменной энергии £, равной работе реактивной силы тяги на перемещениях ракеты, верны формулы
警(4.8) 22moo
£ = J Rdx = J Rv di =оо
do
=国券+ J彳"加0.(4.9)
Из формул (4.7), (4.8), (4.9) найдем, что при т0->0 верны следующие предельные соотношения:
и г + 8, -0-1—> О,
2 (4.10>
Ет也 f in2-^dZZZo>O.
2 J 加 <юО
Таким образом, в ньютоновской механике скорость подвижной точки как физического объекта стремится к Аесконечностн» кинетическая энергия становится равной нулю, а полная энергия этого объекта получается конечной и отличной от нуля.
Отличие от нуля предельного значения полной энергии точки М при zn()f 0 получается за счет притока энергии от трансформации начальной энергии Ео частично в энергию отброшенных масс и от различного рода энергетических трансформаций в системе ракетных двигателей и частично за счет возвращения начальной энергии Ео в энергию разгоняемой части ракеты через работу силы тяги.
Дальше речь пойдет о движении ракеты при наличии релятивистских эффектов в системе отсчета наблюдателя (х, f) вдоль оси х. В каждой точке псевдориманова пространства, в частности, в точках оси х, оггределены ортонормированные тетрады системы отсчета Ко для наблюдения с постоянными базисами Э/. Наряду с системой наблюдателя в каждой точке оси х можно ввести еще локально собственную инерциальную тетраду как систему отсчета К* с различными в каждой точке ортонор- мированными базисами э*. Для любого бесконечно малого вектора dr можно записать
dT = dl% = dL 或・ (4.11>
Компоненты dr в К。н К* в формуле (4.11) при соответствующих базисах 立 и % обозначим через с dt и cdt*9 а при Э1 и э* ——через dl и d/*, и в соответствии с постановкой задачи получим, что компоненты dr при э2, э2 и э3, Эз равны нулю.
Очевидно, что df и df* ——это приращения времени наблюдателя и собственного времени движущейся ракеты по часам, связанным неизменно с инерциальными тетрадами Ко н К*.
В каждой точке М мировой линии ракеты компоненты d「 в формуле (4.II) в базисах 気 и э* геометрически связаны преобразованием, которое не зависит от того, постоянны эти компоненты или переменны. Соответствующее преобразование является преобразованием Лоренца, определяемым, однако, только через трехмерную переменную поступательную скорость
и = dx/dt в системе наблюдателя. В принятой постановке задач» о движении ракеты как материальной точки М такое преобразование имеет вид
厶二色3丿 1—v2/c2厶二色3丿 1—v2/c2с dtс dtс dt*+(v/c) dx*/ Ц/С2с dt*+(v/c) dx*/ Ц/С2
厶二色3丿 1—v2/c2
厶二色3丿 1—v2/c2
с dt
с dt
с dt*+(v/c) dx*
/ Ц/С2
с dt*+(v/c) dx*
/ Ц/С2
d%*2 = Jx2, d%*3 = d*
Из этих формул следует, что приращения показаний на ча* сах ракеты df* и на часах наблюдателя dt при dx* = 0 связаны равенствами
dt* =成 J1 一 〃2/с2, и = dxldt,(4.12)
а длины dx* и dx при dt* = 0 — равенством
dx* = dx J1 一炉/с2 ・(4.13>
У равнение (4.5) в окончательном виде после замены d/* — dtY^—о2/с2 можно записать еще так:
—d =廸 w(加°).(4.14)
丿1 一炉便 m°
(Учет релятивизма осуществляется именно путем этой замены, в результате чего получается, что роль бесконечной скорости ракеты в ньютоновской механике заменяется через скорость света в релятивистской механике.)
Наряду с равенством (4.11) в каждом положении ракеты в общем случае можно ввести векторы, имеющие размерность скорости: dr/dt и dr/d尸.Таким путем при помощи компонент d/*, d/, df* и dt можно ввести четыре компоненты для двух трехмерных векторов, когда трехмерная составляющая вектора dr направлена вдоль пространственной оси мировой линии ракеты:
(4.15)(4.15)
(4.15)
(4.15)
Из формул (4.12) — (4.15) следует
A) w： = з (если 5 = 0, то и £ = с);
B)w^ = w /1—力” (при ^*>с ]/1 — и2/с2 @：〉с)；
(4.16)
c)也=一丁上.
)/ 1—呐
Очевидно, что компоненты з：=з или dl*/dt*=dl/dt представляют собой скорость истечения рабочей среды в собственной системе отсчета и равняются по величине скорости истечения w рабочей среды с точки зрения наблюдателя, поэтому в пределе при df*-> 0 для фотонной ракеты имеем з = с н з： = с.
Нужно подчеркнуть, что величина w = w* представляет собой физическую характеристику работы ракетного двигателя, его устройства и регулирования, которую необходимо задавать при расчетах движения ракеты.
Важно и полезно отметить, что в собственной тетраде w* = — з* э*, а в системе наблюдателя w = — зз- Следовательно, равенство Л в общем случае верно только в компонентах.
Переход от з： к w происходит за счет преобразования Лоренца, в частности за счет перехода от df* в собственной системе отсчета К* к df в системе наблюдателя Ко.
Как сказано выше, именно скорость з： имеет физический смысл в уравнении расхода масс топлива, именно эта скорость характеризует режим работы ракетного двигателя и именно ее целесообразно задавать как существенный параметр в формуле для тяги (4.4), записанной в собственной тетраде.
С математической точки зрения скорости
吟叫 з*,吗， (4.17)
как функции от mQ и и, можно задавать подходящими и различными, что приводит к равносильным проблемам. Соответствующие зависимости от выбора наблюдателя и от режимов работы двигателя и определяют законы движения ракеты. В то же время скорости з： = w (т0) зависят только от режима движения ракеты. К этому полезно добавить, что все скорости в перечне (4.17) могут быть переменными.
В формуле Аккерета «нереалистически подразумевается, что ду* == const, и рассмотрен даже случай, когда 5*=с. Ясно, что в зависимости от выбора функций (4.7), (4.17), которые фигурируют в равенствах (4.16), можно дать расчет движения ракеты. Однако с динамической точки зрения расчеты, при которых нарушается неравенство з*《с, нельзя признать реалистическими (см.случай В).
Следует учитывать, что закон изменения расхода массы в сопутствующей системе, как и в ньютоновской механике, регулируется равенством
Решение уравнения (4.14) можно начать при помощи квадратуры; если при / = 0 (на старте ракеты) имеем и = 0 н то = т(х), то
(4.19)(4.19)
(4.19)
(4.19)
Для вычисления интеграла справа необходимо задать в общем случае функционал w(/n0), а в случае прямолинейного движения ракеты — просто функцию w(m^}.
Рассмотрим два типичных примера.
Фотонная ракета (масса dm。предварительно превращается в излучение, отбрасываемое с постоянной скоростью % равной скорости света). В этом случае после интегрирования из (4.19) получаем
илиили一 —一=
или
или
(4.20)(4.20)Г -р/с
(4.20)
(4.20)
加 0 = Fo exp —厂—
.]/ ]—讲仔
Из (4.20) следует, что при и = 0 加。=т^, а при и = с /Ио=О. Для вычисления времени /* или / полета ракеты от значения скорости и = 0 до значения v = с необходимо использовать уравнения (4.18) и равенство (4.12), в котором коэффициент 左(гл/ — характеристика ракетного двигателя, связанного с его устройством. При Л = const в результате получим крайне простые формулы при з = с. В этом случае имеем
入=二， (4.22) с
Очевидно, что величины f* н f конечны. Следовательно, после расходования всей массы ракета достигает скорости света с. Затем ракета превратится в объект с массой т^ = 0, который будет продолжать двигаться прямолинейно вдоль оси % со ско- 11-4787
ростью света при R = 0 н при df* = 0. Энергия этого объекта будет равной работе силы тяги, которая равна R в собственной тетраде, а ее величина в системе наблюдателя на оси х равна R/Ml-u2/c2 За время разгона ее работа силы тяги представится интегралом
Id m()К 1-入2Id m()К 1-入2г R у dtJ р I-橫dг R у dtJ р I-橫d/ 一入 \ 入d入 (m二7T)(1一m)3/2/ 一入 \ 入d入 (m二7T)(1一m)3/2(4.23)(4.23)
Id m()
К 1-入2
Id m()
К 1-入2
г R у dt
J р I-橫d
г R у dt
J р I-橫d
/ 一入 \ 入d入 (m二7T)(1一m)3/2
/ 一入 \ 入d入 (m二7T)(1一m)3/2
(4.23)
(4.23)
Таким образом, в рамках классической релятивистской ме* ханики с помощью фотонной ракеты можно получить объект — элементарную частицу с энергией, пропорциональной /иОо и равной Е. Можно показать, что при переменных k(m^} #= const сделанные выше основные качественные выводы сохранят свою силу. Если рассмотреть ракету, на которую кроме тяги действует еще реактивный момент также за счет расхода массы, то можно получить элементарный объект — частицу с очень большой энергией и моментом.
Рассмотрим аналогичное движение ракеты при условии, что в формуле (4.19) скорость w(m^ < с, но при т0 = 0 выполняется равенство w (0) =с. При произвольном законе изменения w(m^ вместо формул (4.20) —(4.23) получим
"(m0)也(m0)"(m0)也(m0)
"(m0)也(m0)
"(m0)也(m0)
(4.24)
E == —m0Qc2
о
С 入“(mJ dm。
J M 1—М
Выбором функции w (mc) V с можно обеспечить сходимость определенных интегралов в последних трех формулах при и, следовательно, достижимость скорости света объектом, получающимся из ракеты. Возможность реализации такого рода закона выбрасываемой массы из ракеты на практике проблематична. Однако в теории движения континуумов на их границах получение подобных эффектов нельзя исключать.
Таким образом, регулированием скорости истечения ш в принципе возможен разгон ракеты до скорости света, происходящий за конечное время в системе наблюдателя. В результате для любого наблюдателя возникает объект, подобный фотону, обладающий энергией, движущийся со скоростью света и с массой, равной нулю.
По-видимому, описанный механизм разгона массы и образования —рождения соответствующих безмассовых объектов, движущихся со скоростью света, в природе может реализоваться при взрывах и различных катаклизмах, связанных с эволюциями звезд и с разного рода струйными течениями, наблюдаемыми в космосе.
Как известно, в ОТО материальная точка в свободном полете движется по геодезической, причем это свойство сохраняется и в том случае, когда точка излучает энергию изотропным образом за счет уменьшения массы покоя. Например, в поле Шварцшильда можно принять, что в пустоте материальная точка с малой массой, отпущенная без начальной пространственной скорости и。= 0, будет падать по геодезической и за конечное собственное время 尸 сможет истратить на излучение всю массу т^ достичь и пересечь пространственную сферу горизонта (границу черных дыр). Но с точки зрения времени наблюдателя, находящегося в фиксированной точке геодезической мировой линии, соответствующее значение величины времени (времени наблюдателя /) будет расти неограниченно до бесконечности, когда материальная точка приближается к горизонту, где скорость становится равной скорости света с.
Однако при наличии внешней силы G, направленной к границе черной дыры и ускоряющей материальную точку в ее движении к черной дыре, время наблюдателя t достижения материальной точкой границы черной дыры может стать конечным. Выше было показано, что для ракеты роль такой силы G может вы* гголнять ракетная тяга за счет соответствующего отбрасывания ее полной массы 恤。назад.
Предыдущие вычисления произведены в рамках идеальной теории движения ракеты как материальной точки. При более детальном анализе ускорений в распределенной ракетной массе потребуется учесть возможные трансформации энергии и работы от распределенных сил тяги, связанные с устройствами са- 11*
мой ракеты, в которой могут осуществляться различного рода физико-химические процессы, сопровождаемые рассеянием энергии в окружающей среде, и от переноса энергии в отбрасываемых массах.
Термодинамические параметры состояния
При построении моделей сплошных сред, а также при изучении различных физических явлений, происходящих в сплошной среде, наряду с законом движения сплошной среды %' = xf(^fe) необходимо вводить и рассматривать различным образом определенные скалярные, векторные и тензорные поля, характеризующие как различные физические и химические процессы, происходящие в сплошной среде, так и саму сплошную среду. К таким скалярным, векторным или тензорным характеристикам относятся, например, кинематические характеристики изучаемых движений (скорость, ускорение, деформация и т. д.), динамические (масса, плотность, силы и т. п.), а также всевозможные характеристики, имеющие различный физический или химический смысл (температура, энтропия, напряженность электрического и магнитного полей, концентрации компонент в смесях различных веществ и т. д.).
Параметры всех этих типов, рассматриваемые как функции эйлеровых или лагранжевых координат, независимо от их физической природы можно условно разбить на два класса.
Скалярные, векторные или тензорные характерные величины —параметры, которые будем обозначать ц1, ц,...,卩叫 Параметры 卩厶(4 = 1， 2, •••,") характеризуют состояние сплошной среды или поля, являются искомыми функциями координат точек пространства и подлежат определению в результате решения конкретных задач. К параметрам ц1,(а2, ...»叱^ могут относиться такие характеристики происходящих процессов, как энтропия, векторы напряженностей электрического и магнитного полей, тензоры внутреннего момента количества движения и т. д. Эти параметры могут меняться совместно и, вообще говоря, независимо от геометрических, кинематических и динамических характеристик среды и описывать возможные взаимодействия сплошной среды с внешними тепловыми потоками, электромагнитными полями, излучением и т. п.
Скалярные, векторные или тензорные размерные параметры, которые будем обозначать &瓜(产),KJ/). Эти параметры являются универсальными физическими постоянными или за- раннее известными функциями координат У и xk соответственно.
К параметрам типа Кв или № могут, например, относиться модули упругости, коэффициенты вязкости, коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемости и т. д. Другими при- мерами параметров типа Кв и К' могут быть различного рода постоянные скаляры или скалярные функции пространственных координат и времени, задающие различные свойства сплошной среды или характеризующие внутренние задаваемые взаимодей- ствия в рассматриваемой термодинамической системе. Именно за счет присутстзия параметров £в и К° среди аргументов раз- личных термодинамических функций можно установить разлн- чие между всевозможными веществами и полями и выделить конкретную сплошную среду из множества различных аналогичных сплошных сред.
Параметры Кв и К° могут представлять собой заданные постоянные или переменные по времени и пространству компоненты тензоров. Например, в качестве параметров Kc(xk) могут выступать известные заданные компоненты метрического тензора системы отсчета наблюдателя ga(xk)t а в качестве параметров Кв(^) — компоненты метрического тензора gij^) в сопутствующей системе координат, взятые в некоторый момент собственного времени то. К параметрам типа Кв в некоторых случаях могут быть отнесены компоненты тензора остаточных деформаций или векторы остаточной намагниченности, а также постоянные, входящие в формулировки законов типа закона Ома и т. п.
Введение параметров Лв и К° обусловливается необходимостью дать физическую характеристику свойств конструируемых объектов, связанных с описанием их внутренних степеней свободы и вообще всех их физических свойств, существенных в классе рассматриваемых явлений.
Необходимо отметить, что вопрос о принадлежности параметров к тому или иному виду зависит от постановки задачи и в каждом конкретном случае должен решаться отдельно. Так, например, при построении моделей в рамках ньютоновской механики компоненты метрического тензора g^ и свойство евклидо- вости пространства следует относить к физическим известным постоянным (параметрам типа Кс(х*)), в то время как в рамках общей теории относительности компоненты метрического тензора являются искомыми функциями, и их необходимо относить к параметрам типа рА
Пусть pi* рЛ .・,卩№, &в, дг — полная система параметров, определяющих состояние малого индивидуального элемента сплошной среды, т. е. набор этих параметров обладает тем свойством, что все другие рассматриваемые в данном классе задач характеристики состояний, движений и процессов можно выра-
зить через эти параметры и, возможно, через их производные по координатам и по времени.
В пространстве состояний g, ц,...»рЛ далее будем рассматривать равновесные, но, возможно, необратимые процессы, •отвечающие произвольным приращениям параметров состояний 1.
Основная проблема при построении моделей сплошных сред состоит в установлении законов и механизмов взаимодействия малой индивидуальной частицы сплошной среды с внешними по отношению к ней телами и полями, в частности, с соседними частицами той же самой сплошной среды. Рассматривая систему, которая характеризуется конечным числом определяющих параметров, — бесконечно малую частицу сплошной среды с индивидуальным объемом dV^ будем подразумевать, что по известным значениям параметров р,1, |х2, ...,卩八 и их бесконечно малым приращениям dpi1, dg2,..., d[iN можно судить о внешних суммарных макроскопических притоках энергии к частице.
Полный внешний приток энергии для элементарного процесса dpi*...,dpA к малой индивидуальной частице сплошной среды, занимающей объем dV^ можно ггредставить в виде
А А伊 + AQ 伊 + AQ；, (5.1)
где А4$)— элементарная работа внешних по отношению к элементарному объему 力匕 макроскопических массовых и поверхностных сил, AQ$)— элементарный приток тепла к объему z/Уз, AQ； — элементарный внешний приток энергии к объему dV^ который возникает за счет различных механизмов взаимодействия, отличных от работы поверхностных сил и теплообмена (например, за счет объемного или поверхностного на границах взаимодействия поляризующейся и намагничивающейся сплошной среды с электромагнитным полем или за счет гюверхност- лых сил типа моментов или аналогичных поверхностных сил, описываемых тензорами более высокого порядка). Приращения AA$),&QS, AQr в общем случае не являются полными дифференциалами каких-либо функций.
Для элементарной работы внешних сил в соответстаии со смыслом определяющих параметров 卩* ц2,..., цх для бесконеч-
но малого элементарного процесса, соответствующего изменению параметров dp,1, dg2,...»dgx, справедлива формула
"贸=b(吟 &3, КпМ.(5.2)
Аналогичная формула может быть написана и для суммы элементарного внешнего притока тепла AQ$)и элементарного внешнего притока энергии AQ『：
^Qv^^+^^Qi^A9 К* Kc)d^. (5.3)
Вид функций Pi и Qi в формулах (5.2) и (5.3) связан с формулировкой основных физических постулатов, входящих в определение математической модели рассматриваемого физического явления.
Первое и второе начала термодинамики.
Энергия термодинамической системы
Первое начало термодинамики, или закон сохранения энергии для бесконечно малого индивидуального объема сплошной среды, может быть записан в виде
АЕ = АА$)+ AQ 猊 + AQS,(6.1)
где в пределе приращение ДЕ является дифференциалом функции Е, зависящей от параметров состояния системы ц * )х2,..., ц\ &в и кс и называемой полной энергией малой частицы в объеме d%・
Согласно основам физики, энергия, входящая в левую часть уравнения (6.1) первого начала термодинамики, может быть введена всегда и представляет собой основную модельную характеристику индивидуальных физических объектов, подобную массе вещества и существующую также и в тех случаях, когда масса покоя объекта равна нулю. В частности, через энергию можно выражать и другие характерные физические величины, принимаемые в качестве первичных. Но важно отметить сразу, ято для всякого индивидуализированного физического объекта всегда можно в его бесконечно малом объеме вводить и рассматривать его полную энергию и в определенных случаях соответ- стаующие доли различных по своей природе видов энергии, которые могут трансформироваться друг в друга. Существование понятия энергии индивидуальных физических объектов и ее существенное значение для всякого физического объекта (вещества и поля) выводится из первого закона термодинамики, представляющего собой универсальное физическое утверждение. В механике и физике вопрос об индивидуализации точек вещества
сводится к введению переменных координат Лагранжа； Что касается индивидуальных точек полей, то понятие сопутствующих систем отсчета для полей также требуется вводить и формулировать явно.
Используя определение трехмерного бесконечно малого индивидуального объема а% = /一良 阿仆對，уравнение энергии (6.1) можно также записать в виде
А (崔J-百) = A"° + AQ⑷+ AQ**, 丿二
где ^ — объемная плотность полной энергии, А А® = =А Ди^Из ——объемная плотность элементарной работы внешней силы, AQ")= AQ£)/dP3, AQ** = Д^/^И8 — объемные плотности элементарных притоков тепловой и нетепловой энергии к объему d%
Далее, так как сопутствующую систему координат всегда можно выбрать таким образом, что ^« 1, a heg, то уравнение энергии также может быть записано в виде
-4= A (gV—?) = АА(е)+皿⑷+ aq**. (б2)
В качестве универсальной гипотезы (которая в теории относительности доказывается, а в рамках ряда отдельных теорий постулируется) принимается, что для вещества полная энергия бесконечно малого индивидуального объема сплошной среды в собственной системе координат определяется равенством
£ e^dV3 = Дт* .谓
где с — скорость света, Ат* — полная масса покоя объема d%, которая при изучении ряда физических явлений может быть представлена в виде суммы
Д/п* = Д/п0 + 二 AU,
где А/no ——механическая масса покоя индивидуального объема среды с/Уз, не зависящая от физических процессов, исследуемых и происходящих в объеме dV3. В теориях многих явлений (например в теориях, не учитывающих явление радиоактивного распада и явления с ядерными реакциями, а также поглощение и излучение некоторых видов энергии) величину Дт0 можно
рассматривать как постоянную величину для индивидуального объема d^3・ Для сплошной среды величина А1/ — макроскопическая внутренняя удельная термодинамическая энергия малого индивидуального объема d^3, которая определяется в первую очередь макроскопическими тепловыми движениями частиц в объеме dV3 и внутренними взаимодействиями, связанными с деформациями и различными внутренними процессами в объеме d% (химическими реакциями, фазовыми переходами и т. п.). Величина AU также может быть связана и с наличием различного рода полей.
В произвольной инерциальной системе координат наблюдателя полная энергия бесконечно малого индивидуального объема dV3, движущегося относительно системы координат наблюдателя с трехмерной скоростью и, определяется равенством
Е = Д/п • с2,(6.3)
где полная масса Ат, отвечающая всем видам механической энергии, связана с полной массой покоя Am* формулой
А加=…Л….(6.4)
丿 1—У2/с2
В предположении, что v2/c2 <^ 1, формула (6.3) с учетом (6.4) дает
Е у 厶加。• с2 + -~ Д/и0 • и2 + А亿(6.5)
т. е. полная энергия индивидуального объема dV3 складывается из суммы полной энергии механической массы покоя, кинетической энергии и макроскопической энергии.
Определяющие уравнения механики сплошных сред и, в частности, первое начало термодинамики можно формулировать в произвольно выбранной системе отсчета. Однако наиболее простая и физически наглядная локальная формулировка первого закона термодинамики может быть дана в собственной системе координат, связанной с локально вводимыми собственными инерциальными тетрадами. Применение собственных тетрад удобно тем, что из дифференциального ураанения первого начала термодинамики можно исключать термодинамически несущественные трехмерную скорость объекта и его кинетическую энергию, зависящие от выбора системы отсчета наблюдателя, что» как правило, не связано с изучаемыми процессами в сопутствующей системе отсчета и с внутренними закономерностями, независимыми от точки зрения наблюдателя, которого в принципе можно выбирать произвольно. При таком подходе согласно уста-
ловившейся терминологии (не совсем верной) первое начало термодинамики принимает вид «уравнения притока тепла».
В связи с первым началом термодинамики также необходимо отметить, что для определения полной энергии Е(卩')индивидуальной частицы сплошной среды, занимающей объем dV3r лужно, вообще говоря, знать вид функций Р» и Q«, фигурирующих в формулах (5.2) и (5.3). В силу первого начала термодинамики (6.1) Pi н Qi не могут быть произвольными функциями параметров состояния, а подчиняются следующим условиям.
В случае, когда изучаемая термодинамическая система голономна, т. е. когда все величины dpi1, dg2, ...,</^ независимы (в частности, среди параметров цА (4 = 1, 2,..., ^) нет последовательных производных по времени), из (6.1) с учетом (5.2), (5.3) вытекает, что
Ri = p, + Qi-吗=0. (6.6)
Равенства (6.6) при заданной энергии Е представляют собой уравнения состояния или кинетические уравнения, связывающие определяющие параметры у* ^t . . . 9 ^N с определяемыми величинами Pt 4- Qf. Уравнения (6.6) справедливы и в тех случаях, когда среди определяющих параметров р.1,卩* ・. ,а* имеются их производные по пространственным координатам любого порядка. Уравнения (6.6) можно рассматривать как обобщенные законы теории упругости.
Если среди параметров р.1, р.2,..・,步" содержатся производные по времени &* р.2,..・,р.г (г <Л^), то из первого начала термодинамики (6.1), вообще говоря, не следуют равенства (6.6). Пусть величины & =兄 + Qi——尊 за-
зависят от p.z (t = 1, 2, . . . , г), причем величины R/(i = I, 2 ・.・,«《г) не известны заранее, a Rq+i. Rq^ • • • ^r — известные функции определяющих параметров. В этом случае из уравнения (6.1) следуют равенства ₽Л = 0 (k = r + + 1, . . . , /V), Rk при 左=g+ 1,・・・,г известны как функции определяющих параметров, а для остальных функций Rt справедливы равенства
ц1
^2 = 71 +т}—hl,
&=力 + 從一78 j
Rq = V1+ 涓， где
а величины т】,у2, . . . , 丁§_[ могут быть произвольными функциями.
Если q=l, т. е. имеется только одна неизвестная величина R], то из уравнения (6.1) следует
% = —£&£ % = R叶2 =・• • = R# =0,
а & &，・••，％ известны по условию.
Простейшей моделью, в которой в число определяющих термодинамических параметров входят последовательные производные по времени, служит модель идеальной среды — жидкости с пузырьками 1. Модель такой идеальной среды может быть построена в предположении, что свободная энергия этой среды зависит от абсолютной температуры Г, плотности р и производных по времени от плотности р, р,..., р(г~ЧВ этом случае из уравнения (6.1), преобразованного к виду уравнения притока тепла, следует равенство
产祢 + 空 d j + •・• НdpD +
Opdpdp”-"
+ 更 dT = -^dp-SdT
{p — давление, S ——энтропия,尸——массовая плотность свободной энергии), а соответствующее следствие из этого уравнения дает уравнения состояния
D dF n dFn GF
dF
К о г a p к о Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости // ДАН СССР. — 1961. — Т. 137, № 6. — С. 1331 — 1333.
Второй закон термодинамики, так же как и первый закон* представляет собой универсальное утверждение, подтверждаемое всеми известными опытными данными и всеми известными теоретическими представлениями о механизме физических явлений.
Второе начало термодинамики в случае равновесных процессов для индивидуального объема сплошной среды dV3 в собственной системе координат, связанной с локально введенными собственными тетрадами, может быть записано в виде
TdS = ^Q^ + ^Qvt(6.7)
а при условии Д/п = pdl/3 = const в виде
pTds = AQ® +AQ-(6.8>
где ds == dS/^m — приращение массовой плотности энтропии> Т — абсолютная температура, AQ⑻=AQyVdV3 и AQ'= =AQy/dV9> 0 — плотности внешнего притока тепла и приращения некомпенсированного тепла соответственно, AQ'— объемная плотность некомпенсированного тепла.
Если процессы обратимы, то
AQZ = 0.(6.9)
Однако при выполнении условия (6.9) процессы могут быть необратимыми, т. е. это условие не является достаточным уело- вием обратимости термодинамического процесса.
При любом процессе (как обратимом, так и необратимом) приращение энтропии dS может быть представлено в виде двух бесконечно малых слагаемых
dS = 4S + &S,
а второй закон термодинамики (6.7) записан в виде
T^S + T^S^^+ 皎工
где ^S — приращение энтропии за счет потоков обмена энтропией с другими телами; при этом подразумевается, что А£ — приращение энтропии за счет внутренних процессов, происходящих в термодинамической системе. В случае обратимых про-
цессов &S = 0. Необходимо отметить, что в общем случае условия А£ = 0 и AQ)= 0 не равносильны. Можно показать, что, например, при наличии градиентов температуры внутри элементарного объема сплошной среды имеет место неравенство
T&S 耍 AQ).
В связи с первым и вторым началами термодинамики необходимо отметить следующее. При конструировании макроскопических моделей физических объектов, характеризуемых в приемлемом виде минимальным числом характерных величин, в соответствии с первым и вторым законами термодинамики для механической системы и для каждой ее малой части можно вводить энергию и энтропию как разумно обоснованные последующими выводами постулируемые функции от, вообще говоря, небольшого числа определяющих параметров. Очевидно, что для многих частных моделей эти постулаты на основании опытов или других предварительных теорий можно заменить эквиза- лентными им другими постулатами для других характеристик, через которые выражения для энергии и энтропии получаются при помощи специальных расчетов в виде формул или заменяющими их способами.
Базовое вариационное уравнение
Научное описание различного рода явлений в окружающей людей действительности связано с построением идеально-схематических характерных моделей, в рамках которых определяются соответствующие мысленные объекты и их мысленные взаимо- дейстаия, отвечающие наблюдаемым событиям. Нередко в прошлом и даже до сих пор можно встретить высказывания, что при микроскопическом и макроскопическом моделировании все взаимодействия можно описывать с помощью сил с соответствующими их обобщениями, которые можно вводить как в ньютоновской механике, так и в релятивистских теориях. Однако такая точка зрения совершенно неверна. Можно указать большое множество примеров введения и применения модельных взаимодействий, в которых основные механизмы взаимных влияний не имеют механической природы (достаточно указать на применяемую практику описания тепловых явлений, на всякого рода химические эффекты и ядерные реакции, на явления фазовых превращений, на взаимодействие электромагнитных полей с телами, обладающими массами, на структурные преобразования в кристаллах и смесях, на отгисание макроскопических явлений полимеризации, на всевозможные явления, связанные с поляризацией и намагничиванием веществ, и всевозможные эффекты, обусловленные взаимным превращением электромагнит-
ного излучения и вещества и т. Д. и т. п.). Все подобные проблемы становятся актуальными и подлежат исследованиям в са- мых различных областях современной науки; всем понятно и очевидно, что теперь и :в ближайшей перспективе отмеченные выше и некоторые другие взаимодействия будут в центре фундаментальных научных проблем.
Опыт показывает, что при построении моделей вырабатываются общие методологические подходы и определяются некоторые общие свойства моделей, которые употребляются в разнообразных исследованиях и в разных проблемах имеют одинаковый «математический или физический смысл». Такого рода понятия могут фигурировать в разных изучаемых проблемах и обладают в некотором смысле свойством «инвариантности» относительно принимаемых логических или экспериментальных средств исследований. В качестве важнейших примеров такого рода понятий служат понятия об индивидуальных объектах как носителях формулируемых свойст® и об универсальных термо- динамических законах типа законов сохранения.
В настоящее время в естественных науках основной характеристикой состояния материи является понятие связанной с индивидуальным объектом энергии, с помощью которой строят- ся модельные описания различного рода взаимодействий, сопровождающихся трансформациями энергии. Согласно укоренившимся научным методам исследований для индивидуализированных физических объектов как в микроскопической трактовке, так и для малых или конечных частиц в макроскопической можно ввести энергию как их основную характеристику.
Первое начало термодинамики, известное как уравнение закона сохранения энергии, позволяет находить и постулировать в согласии с опытами выражение для энергии индивидуальных объектов, а затем благодаря своей универсальности может служить источником получения замкнутых систем уравнений для модельных описаний различного рода движений и процессов* происходящих в множестве качественно разнообразных физических объектов. Применение закона сохранения энергии вполне аналогично применению второго закона Ньютона в ньютоновской механике, позволяющего на основании предварительных опытов находить законы для сил и затем математическим путем находить законы движения материальных точек. Уравнение второго закона Ньютона и соответствующее уравнение закона сохранения энергии в аналитической механике (теорема живых сил), а также соответствующее универсальное уравнение энергии первого начала термодинамики как для механических про” цессов, так и для всевозможных действительных процессов, происходящих в физических явлениях, можно переформулировать соответственно на уравнение принципа возможных перемещений и уравнение энергии для мысленно возможных (виртуальных^
бесконечно малых приращений термодинамических параметров и возможных работ массовых и поверхностных сил. В полученных таким путем уравнениях в общем случае необходимо учесть появляющиеся некоторые добавочные члены, которые в действительных процессах обращаются в нуль вследствие равенства нулю соответствующих скалярных произведений или тензорных сверток (гироскопические члены).
В качестве основного предположения примем, что для рассматриваемых моделей континуумов для виртуальных движений и процессов сйразедливы следующие вариационные обобщения первого и второго законов термодинамики:
(晋 ⑻+ >Q⑻(7.1>
/
pT6dS = BdQ(” + >QJ (7・2>
где 啓一плотность полной энергии индивидуальной частицы континуума, 6dA⑵一плотность виртуальной работы внешних массовых и поверхностных сил, 6dQ(e) “ 6dQ** — плотности виртуального внешнего притока тепла и виртуального внешнего притока энергии нетепловой природы к рассматризаемому индиви- дуальному объему. Плотность внешнего виртуального притока тепла 6dQ® может происходить за счет внешних (по отношеникх к рассматриваемой термодинамической системе) распределенных внутри индивидуальной частицы массовых источников тепла и за счет притоков тепла через границу индивидуального объема. В частности, величина 6dQ(e)может быть обусловлена возможным выделением джоулева тепла. Плотность виртуального притока нетепловой энергии 6dQ** обусловлена наличием в аргументах функции различных дополнительных параметров немеханической природы, в частности, электромагнитных харак。 теристик, а также величин, выражающихся через последовательные производные от закона движения, и тому подобных существенных характеристик вещества и поля L В уравнении (7.2) 6dQ‘ 一 виртуальное некомпенсированное тепло — величина, определяемая механизмами необратимых явлений. В приложениях нередко для определения 6dQ‘ используются линейные связи между силами и потоками для соответствующих величин в теории Онзагера или нелинейные связи вместе с обобщенной теори* ей Онзагера (например, s теории пластичности или теории электромагнитного гистерезиса).
Подробнее о термодинамическом обосновании члена 6dQ** в уравнении (7.7) см. <Некоторые проблемы построения новых моделей сплошных сред> в книге: Седов Л. И. Размышления о науке и об ученых, — М.: Наука» 1980.-С. 123.
В уравнении (7.2) принято также, что в рассматриваемых моделях для бесконечно малых частиц существует абсолютная температура Г. Если рассматриваемые процессы обратимы, то 6dQ‘ = 0, и соотношение (7.2) заменяется равенством
pT〃S = %Q(叱
К уравнениям (7.1), (7.2) также необходимо добавить соотношение
“△加=0, (7.3)
представляющее собой условие постоянства собственной массы континуума в индивидуальном объеме d%. Условие (7.3) может рассматриваться как свойство индивидуальных объектов, принимаемое во многих практически важных приложениях механики и физики.
Интегрируя уравнения (7.1) и (7.2) по произвольному четырехмерному объему 丫击 получаем интегральные обобщения уравнения энергии и второго закона термодинамики. Необходимо отметить, что эти интегральные следствия законов термодина^ мики нельзя рассматривать как первый и второй законы термодинамики для конечных объемов, так как при интегрировании по объему промежутки времени у разных частиц могут быть разными и в разные моменты времени в объеме 匕 будут присутствовать различные частицы.
Как следствие этих интегральных соотношений получается следующее скалярное интегральное базовое вариационное уравнение
以J Ad匕+》№*+必№ = 0, (7.4)
тде У《—произвольный четырехмерный конечный объем пространства и времени, элемент которого d匕 в СТО и ОТО определяется формулой
d 匕=У —g dx^d^dx^dx^ (g = detllg /II}, а в ньютоновской механике ——формулой
~匕=丿丁〃也2d炉成 (g = detllgas II),
gas — компоненты трехмерного метрического тензора, t — абсолютное время, Л — объемная плотность функции Лагранжа, связь которой с функцией плотности полной энергии 晋 будет установлена ниже, 6d W* ——линейный по вариациям 6d скалярный функционал, вид которого находится, исходя из первого и второго законов термодинамики, определяющих свойства выделяемых физических объектов и изучаемых процессов. Слага-
емое 6dW в уравнении (7,4), представляет собой интеграл по поверхности S3, ограничивающей область непрерывных значений термодинамических характеристик состояний и их вариаций в объеме У《(о виде слагаемых вариационного уравнения при наличии сильных разрывов механических и термодинамических характеристик сплошной среды см. § 10). При этом подынтегральная функция в 6d 呼 полностью определяется по заданным Л и 6d 吋.Ниже вид, а также смысл всех этих слагаемых будут обсуждены подробнее.
Для действительных движений и процессов уравнение (7.4) принимает вид
d J А。&匕 + d吼 + d取=0, (7.5)
причем разности Л —Ао и 6dM胱 обращаются в нуль при переходе к действительным процессам. Отметим, что величина Л для виртуальных процессов может содержать добавочные (по сравнению с Ло) члены, обращающиеся :в нуль для действительных процессов.
Термодинамическое уравнение (7.5) может служить наводящим соотношением для определения Л и функционала 6d取* в уравнении (7.4), из которого на основании определения вариаций при постоянных ^ (см. гл. II) и уравнения (7.5) следует уравнение
В J AdV^ + ^* +W^O. (7.6)
В базовое вариационное уравнение (7.6) могут ©ходить дополнительные члены, отсутствующие в уравнении (7.5) и обращающиеся в нуль для действительных процессов. В частности, такими членами могут быть элементарные работы сил гироскопической природы или члены специального вида, связанные с необратимостью для варьированных процессов.
Скалярные уравнения (7.1) — (7.3) и следующее из них уравнение (7.6) написаны для произвольных вариаций искомых величин. Это накладывает на коэффициенты при вариациях после варьирования требования об обращении их в нуль для всевозможных осуществимых процессов и движений, что дает систему уравнений, состоящую из уравнений Эйлера, уравнений состояния и дополнительных условий на сильных разрывах и на границах области для искомых функций. Из условия ковариантности физических уравнений и законов лагранжиан Л и соответствующую ему энергию ё? необходимо вводить как четырехмерный инвариант ——скаляр, зависящий, вообще говоря, от известных и главным образом от искомых функций, в частности, 12-4787
от ряда функций, выражающихся через закон движения %’ = %П) и от некоторых физически определенных переменных К炉)一компонент тензорных или скалярных искомых функций, от компонент метрического тензора gij (заданных в сопутствующей системе координат или в системе координат наблюдателя) и постоянных параметров или известных функций Кв(^) илике(仙).
При использовании написанного выше базового уравнения
в каждый из трех членов, являющихся скалярами, вкладывается соответствующий физический смысл, причем объем У《一 конечный и произвольный, и на границе этого объема вариации искомых функций могут также принимать отличные от нуля произвольные значения.
Рассмотрим еще дополнительно вопрос о виде задаваемой функции Л и функционала 6W* в базовом вариационном уравнении (7.6).
В известных классических теориях функция Л задается как для определенных конкретных моделей сплошных сред, так и для электромагнитного поля. В общей теории относительности часть функции Л, связанная с тяготением, также известна (теория Гильберта — Энштейна) и служит основой для определения компонент метрического тензора g叮(％左)・ Различные обобщения общей теории относительности, предлагаемые в настоящее время, вообще говоря, связаны с постулированием измененного вида функции Лис введением дополнительных искомых функций по сравнению с классической общей теорией относительности.
Накопленные в механике и физике результаты показывают, что физическую систему можно считать заданной только в том случае, когда функция Л задана. Более того, в настоящее время, пожалуй, единственный надежный метод получения системы уравнений, описывающей новую модель физической системы, основан на использовании вариационных «принципов^. Обычно в физике при построении моделей сплошных сред и особенно полей пользуются вариационным «принципом» вида
8 [а*；=0, (7.7)
где функция Л (плотность функции Лагранжа) постулируется из математических соображений без ее отождествления с термодинамической энергией (во всяком случае явного); при этом вариации компонент искомых тензорных функций в ряде случаев определяются таким образом, что могут и не являться компонентами тензоров и равны нулю на границе объема 匕，представ-
ляющего собой объем области, в которой ищется решение с задаваемыми граничными условиями на границе ^.Основная цель использования вариационного принципа (7.7) состоит только в получении уравнений Эйлера. При этом демонстрируемые ниже возможности получения уравнений состояния и выражений для тензора энергии-импульса при заданных А и 61^*=О с помощью уравнения (7.6) упускаются из виду.
Таким образом, можно отметить, что в физике теперь ®се конструкции, связанные с введением новых моделей, в той или иной степени основаны на использовании интегральных вариационных уравнений, но, как правило, без явной связи с их термодинамическими основами.
Для определения связи вариационного уравнения с первым началом термодинамики можно постулировать, что в вариацион- ном уравнении (7.6) лагранжиан А =—器 представляет собой со. знаком минус полную удельную термодинамическую энергию,, обобщенную на произвольные мысленно вводимые процессы, мало отличающиеся от действительных процессов в варьируемом объеме У4, составленном из объемов dV4 индивидуальных час* тиц для соответствующих моментов времени. Отметим, что выражение для величины Л для возможных процессов может со- держать добавочные члены, обращающиеся в нуль для действи- тельных процессов.
Остановимся на виде задаваемого функционала 6取*, характеризующего массовые взаимодействия рассматриваемой сплошной среды с внешними полями и другими вещественными континуумами, необратимые воздействия соседних частей сплошной среды, примыкающих к выделенному объему У《по поверхности Ез, а также внешние голономные и неголономные связи с множн- телями Лагранжа, порожденные дополнительными условиями L При этом будем полагать (если не оговорено противное), что лагранжиан Л принимается равным —窗.
При адиабатических обратимых процессах, при отсутствии специальных связей и дополнительно вводимых внешних прито* ков энергии внутрь объема 匕 иногда естественно принимать, что функционал 6W* равен нулю. Например, в консервативных системах небесной механики всегда можно полагать, что 6W* = О при условии, что лагранжиан Л определен как разность кинети* ческой и потенциальной энергии.
При построении достаточно широкого класса феноменологических моделей при наличии внешних по отношению к рассматриваемой термодинамической системе объемных и поверхностных притоков энергии и необратимых процессов скалярный фун-
Ниже для простоты полагается, что в континууме отсутствуют поверх хности сильных разрывов S и что происходящие процессы и движения в объеме 匕 непрерывны. 12*
кционал 6取* с использованием второго закона термодинамики (7.2) в области непрерывных движений и процессов можно вы* бирать в виде
6%*= f (pT8s—g‘ + 必⑹ + 通**+限)d九， (7.8)
где рТ 6s — bQ‘ = 6Q(e)— плотности внешнего возможного притока тепла к рассматриваемой термодинамической системе *; 6Q**, 6A(e)— плотности возможных притоков нетепловой энергии к системе и возможных работ внешних сил соответственно; 6Q — слагаемое, описывающее возможную работу обобщенных «гироскопических сил», отличную от нуля на возможных приращениях определяющих параметров и тождественно равную нулю на действительных приращениях. Примером гироскопической силы, работа которой отлична от нуля на возможных перемещениях и равна нулю на действительных перемещениях, может служить сила Лоренца. Задание обобщенных «гироскопических сил» представляет собой физическую проблему, которая должна быть однозначно решена при задании вида функции А и функционала 6W*. Очевидно, что для фиксированного энергетического соотношения (7.4) функционал 6Q и соответствующие ему и уравнению энергии величины А и 6% могут быть различными за счет присутствия различным образом заданных при физическом моделировании обобщенных «гироскопических сил», совершающих работу на виртуальных смещениях.
Если цА — полный набор термодинамических параметров рассматриваемой термодинамической системы, то выражение для функционала 6W* может быть выбрано в виде
g= J k7抬 + % m 一 Q» 即)嘅 +
+ J(Q；ft8? + ^SHA)nft^8. (7.9) 必s
Здесь 九丸一компоненты единичного вектора внешней нормали к Ез, S — поверхность сильного разрыва характеристик сплошной среды, а величины
Qz , Q；t Мъ 八匕 (7.10)
—некоторые задаваемые внешние обобщенные «силы». В формуле (7.9) вариация энтропии s введена как величина, не зависимая от вариаций 6/ и 6卩'•
Слагаемое рТ 6s—6Q' необходимо включать в выражение для функционала 6М* н в том случае, когда dQ(e)=O.
В связи с формулой (7.9) необходимо отметить, что наборы термодинамических параметров цА, входящие в число аргументов лагранжиана Л и в выражение для функционала 6『，могут не совпадать. С такой ситуацией приходится встречаться при построении моделей сплошных сред с необратимыми процессами, например, обусловленных наличием магнитного гистерезиса, наличием пластических деформаций й т. д.
Определение компонент обобщённых массовых и поверхностных «сил» (7.10) представляет собой проблему, тесно связанную с теорией диссипативных механизмов; при решении этой задачи неизбежны различные допущения и обращение к термодинамике необратимых процессов. Задание вида функционала 6取* связано с выбором определяющих параметров %； и 卩&, с определением их вариаций, и в частности, со свойством непрерывности соответствующих вариаций на поверхностях сильных разрывов. Выбор вида функционала 6取* также связан с проблемой разделения взаимодействий на внутренние и внешние. Например, если электромагнитное поле или гравитационное поле рассматриваются как внешние объекты по отношению к рассматриваемой системе, то соотаетствующие потоки энергии и элементарные работы электромагнитных и гравитационных сил присутствуют в выражении для б IF*； если же эти поля сами считаются искомыми, то в выражении для Л могут появляться соответствующие добавочные функции — полные дифференциалы, которые можно выделять из 5取* и включать в выражение для функции Л. При перенесении полных дифференциалов из 6IV* в первое слагаемое вариационного уравнения (7.6) меняется смысл Л, и выражение для лагранжиана Л должно быть заменено выражением, в котором вместо внутренней энергии, содержащейся в полной энергии W, взята некоторая другая термодинамическая функция состояния. Так, например, если для задаваемых функций Мл существуют функции Л* и Ra, удовлетворяющие равенству
6М(Ма)= J Л4д 8^dV= 8 J A* dV^ 4
+ JRaM4Wl3『a7几+6步m公)， (7.Н)
то в качестве лагранжиана вариационного уравнения должна быть взята функция
+ Л + Л*, (7.12) а функционал 6吃м^)в вариационном уравнении (7.6) заменен на функционал 6^(нл).
Необходимо отметить, что в общем случае при наличии необратимых процессов включение члена 6W* целиком в Л невоз* можно, так как вариация б IF* неголономна. Так, в частности, обстоит дело для неконсервативных систем, в которых происходят внутренние процессы с выделением тепла.
В ряде случаев голономный член может быть естественным образом выделен из функционала б IF*. Так, например, при построении моделей в рамках ньютоновской механики внутренняя энергия pl/m, входящая в полную энергию 国,может быть заменена на свободную энергию
P^m = Р^т — 7s
с заменой первого слагаемого в подынтегральном выражении (7.9) на слагаемое pS 6Т. Аналогичным образом вместо внутренней энергии pUm может быть взята энтальпия или термодинамический потенциал.
Очевидно, что и в специальной теории относительности лагранжиан Л может быть заменен на лагранжианы, в которые вместо плотности :внутренней энергии входит плотность свободной энергии или некоторая другая термодинамическая функция состояния. При этом соответствующим образом изменится набор аргументов в термодинамических функциях и в выражениях для функционала 61^*.
Необходимо отметить, что при задании величин Л и 6W* выявляются общие основы для построения самых разнообразных моделей, что позволяет использовать и синтезировать опыт в различных областях и установить непосредственные связи между различными теориями.
Если в вариационном уравнении (7.6) лагранжиан Л и функционал 6 取* заданы, то функционал 6VF однозначно находится из вариационного уравнения (7.6). Этот функционал 6W представляет собой скаляр, который может быть записан в виде поверхностного интеграла по поверхности 2з от линейной ком・ <бинации выражений по вариациям бх* и 6(лА и их производных, отличных от нуля на поверхности Ез, ограничивающей объем 丫乖
Конкретный вид функционала 6W для моделей континуумов в СТО и ОТО будет приведен, в § 8, 9 настоящей главы.
Следует подчеркнуть, что каждый из трех членов вариационного уравнения (7.6) является четырехмерным скаляром. Однако при сохранении скалярности всего вариационного уравнения в целом возможно такое преобразование членов вариационного уравнения, что каждый из них перестает быть четырехмерным «скаляром.
Как будет показано в следующих параграфах, система уравнений Эйлера, получающаяся из условия равенства нулю объемного интеграла вариационного уравнения, не изменится, если
при сохранении вида функционала б IF* лагранжиан Л заменить на лагранжиан
Л* = А + v,Q',
где а’ — произвольные функции, зависящие от определяющих термодинамических параметров(лА или вообще от любых величин. Однако при такой замене лагранжиана изменяется функционал за счет появления добавочного слагаемого, вид которого устанавливается на основании следующих формул:
г VfQZ匕г VfQZ匕J* [&V声 +H +J* [&V声 +H +
г VfQZ匕
г VfQZ匕
J* [&V声 +H +
J* [&V声 +H +
+ V,(V/2zSx5) 4匕
77M— к。皿 Q‘ + w Q'd M— gM— к。皿 Q‘ + w Q'd M— g~匕+ J Vi ^^snsda3.Ms 土~匕+ J Vi ^^snsda3.Ms 土
7
7
M— к。皿 Q‘ + w Q'd M— g
M— к。皿 Q‘ + w Q'd M— g
~匕+ J Vi ^^snsda3.Ms 土
~匕+ J Vi ^^snsda3.Ms 土
Используя для преобразования первого интеграла равенство
v< Tv< T忆=(a色"一产忆忆=(a色"一产忆
v< T
v< T
忆=(a色"一产忆
忆=(a色"一产忆
j 歹「备'(О U-g Qi)M =
J Tzf-^J Tzf-^M—gM—gd J-gQs .I7— r 〃s d%,d J-gQs .I7— r 〃s d%,
J Tzf-^
J Tzf-^
M—g
M—g
d J-gQs .
I7— r 〃s d%,
d J-gQs .
I7— r 〃s d%,
〃sd%・(7.13)〃sd%・(7.13)
〃sd%・(7.13)
〃sd%・(7.13)
окончательно получаем
« [ VR 忆
При получении формулы (7.13) учтено, что в рамках ОТО (когда варьированию, наряду с термодинамическими параметрами 卩а и законом движения, подлежат компоненты метрического тензора gij) символ частной вариации и оператор ковариантного дифференцирования не перестановочны, но
Очевидно, что в специальной теории относительности формула (7.13) упроадется и принимает вид
s J Vt Q'd匕=f(Vi Q'3*s + 0 a) ns 曲3・
Как будет показано в следующих параграфах, замена лагранжиана Л на лагранжиан Л + V/Q*, в частности, изменяет выражение для тензора энергии-импульса, участвующего в соотношениях на поверхностях сильных разрывов. В связи с этим в физической задаче о построении модели энергию 晋 и лагранжиан Л необходимо задавать полностью, несмотря на то, что основные уравнения Эйлера не зависят от добавок вида V/Q£ в лагранжиане Л. Эти обстоятельства важны при решении проблемы о виде тензора энергии-импульса гравитационного поля, и, очевидно, так же обстоит дело во всех случаях, когда при построении моделей требуется устанавливать уравнения, которые должны использоваться, в частности, при формулировке граничных условий и условий на поверхностях сильных разрывов.
Рассмотрим подробнее вопрос о связи вариационного уравнения в ньютоновской механике с первым и вторым началами термодинамики. Уравнение энергии (первое начало термодина* мики) для трехмерного индивиду а льного объема сплошной среды 匕 можно записать в интегральной форме
& J 泻矶々=J (PF”， dr +d^ + d^)dV3^-
+ J区⑷厶七支，(7.14)
где 器■ (7 + ри2/2 — объемная плотность полной энергии (U — объемная плотность внутренней энергии, v — трехмерная скорость); FM — вектор массовой плотности внешних массовых сил; dr—трехмерный вектор бесконечно малого
перемещения с компонентами *(а = 1, 2, 3); р*— компоненты тензора напряжений; /^ — компоненты вектора нормали к двумерной поверхности Еа—границе трехмерного объема 匕.
Очевидно, что при выполнении условия сохранения массы индивидуальной частицы, занимающей объем d匕，
(pd/) = ； △/» = О,
уравнение (7.14) может быть записано в виде
d^UdV^ J [(PFM-Pa)* 办 +
+ dQ© + dQ** ]d/+ J pld^nd^ (7.15)
где учтено, что выражение для приращения массовой плотности： кинетической энергии
d 佞)=а • dr
может быть истолковано как взятая со знаком минус элементар- ная работа сил инерции на бесконечно малых перемещениях^ Уравнение энергии (7.15) представляет собой уравнение энер- гии для индивидуального объема V3, в котором слагаемое
Р(fm - а) • dr
представляет собой элементарную работу внешних сил, дейст- вующих на индивидуальный объем в неинерциальной сопутст- вующей системе координат.
Возьмем произвольный четырехмерный объем У《в пространстве х1, %2, %з, /. Сечения этого объема различными поверхностями / = const образуют различные трехмерные объемы 匕・ Рассмотрим уравнения (7.15) для всевозможных Уз, соответствующих различным значениям t = const.
Интегрированием равенств (7.15) по времени с учетом второго закона термодинамики
p「ds = dQ ⑷ +亚
можно получить следующее равенство, представляющее собой следствие множества равенств (7.15):
d J (— t/) dV^ di + J(P(F“— a) • dr + pT ds —
—dQ—W)d%df+ j p^n^dx^dt^O. (7.16)
Если принято, что при интегрировании равенства (7.15) все объемы 匕 соответствуют одному и тому же подвижному субста- циональному объему среды при одинаковых приращениях dt для всех частиц, то уравнение (7.16) переходит в обычное урав« нение энергии для конечного интервала времени.
При конструировании вариационного уравнения на основании уравнения (7.16) в качестве основного естественного допущения можно принять, что величины Л, 6W* и 6W в вариационном уравнении должны быть такими, чтобы вариационное уравнение тождественно совпадало с уравнением (7.16), когда вариации всех величин представляют собой действительные бесконечно малые приращения определяющих параметров за время dt, иначе говоря, когда справедливы равенства
次° = u°df, 8|лЛ»^dt^ 6s = s df. (7.17)
Учет этого обстоятельства служит основой для физического истолкования различных членов и функций, входящих в уравнение (7.16), когда вариации определены равенствами (7.17). Отсюда следует, что в общем случае для произвольных, допустимых связями вариаций бха, 6卩а и 6s уравнению (7.16) всегда можно придать форму
d J (-U)d%成 + J (p(FM~a).加 +
十pTbs - 8QZ + 8Q** + 即)dV^t + j 区 n^ 曲2出=0, (7.18)
где через 6Q обозначен функционал, тождественно обращаю- щийся в нуль на действительных перемещениях и в действительных процессах. Необходимо отметить, что при варьировании первого члена вариационного .уравнения в рамках ньютоновской механики время 力 абсолютно и не варьируется. В уравнении (7.18) второе слагаемое по определению будем отождествлять с функционалом 6步*. В ньютоновской механике возможную эле-
ментарную работу сил инерции на возможных перемещениях бесконечно малой частицы с массой Дт, движущейся с ускорением а относительно инерциальной системы отсчета, можно записать в следующих двух видах Ч
—(а • 6г) △加 dt =—(а • 6г) △加 dt =^）产出,^）产出,(7.19)(7.19)—(a •打)A/ndt = 8—(a •打)A/ndt = 8"2 A加"2 A加dv・ 6rAm '” ''dt —dtdv・ 6rAm '” ''dt —dt(7.20)(7.20)
—(а • 6г) △加 dt =
—(а • 6г) △加 dt =
^）产出,
^）产出,
(7.19)
(7.19)
—(a •打)A/ndt = 8
—(a •打)A/ndt = 8
"2 A加
"2 A加
dv・ 6rAm '” ''dt —
dt
dv・ 6rAm '” ''dt —
dt
(7.20)
(7.20)
На основании равенств (7.19) часть выражения функционала 6步*, связанную с возможной работой сил инерции, можно переписать в виде
6吃■6吃■(—а * 8г) А/п dt ==(—а * 8г) А/п dt ==讲Am~T讲Am~Tdt^dt^(v-訓(v-訓kmdt. (7.21)kmdt. (7.21)
6吃■
6吃■
(—а * 8г) А/п dt ==
(—а * 8г) А/п dt ==
讲Am
~T
讲Am
~T
dt^
dt^
(v-訓
(v-訓
kmdt. (7.21)
kmdt. (7.21)
Подчеркнем, что для действительных процессов выражение €V2—d(V • -^-) = 0, а следовательно, и второй интеграл обра- dt
щаются в нуль тождественно, и поэтому равенство (7.21) для действительных движений при замене вариаций на действительные приращения приобретает вид
dWa^—dKdt, где
"J? А 加
—кинетическая энергия.
См.: Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I. — 4-е нзд. — М.: Наука, 1983.
Если исходить из тождества (7.20), то после преобразования соответствующего объемного интеграла в поверхностный полу* чим
8 Wa = f (— а * 8r) Nm df =
=& j 十 pMd% — J pv • 8r N^ da3 —
-J p^a(v . 2 N“ 曲耻 (7.22>
Здесь Ni — компоненты четырехмерного единичного вектора нормали1 к границе Ез объема 匕.
В варианте теории, основанном на формуле (7.19), в качестве лагранжиана Л в вариационном уравнении (7.18) используется полная удельная энергия, взятая со знаком минус:
А=—ри^—~-.(7.23〉
Если уравнение поверхности 23 имеет вид
f(",* Л3, 0 = 0，
то, очевидно,
%=”(а=1, 2, 3), М= —В,
где na __ компоненты трехмерного вектора нормали к двумерной поверхности, ограничивающей трехмерный объем среды, D ——скорость движения этой поверхности, а величины 入 н D определяются равенствами
г」倩)闵+凯
В этом случае последний интеграл в формуле (7.22) можно записать также в виде
J ”(v ^г) Па
При этом в функционале bWa остается интеграл
幫］аХПМ幫］аХПМ
幫］аХПМ
幫］аХПМ
который равен нулю для действительных движений, а функционал 6W представляет собой возможную работу поверхностных сил на границе
В варианте теории, использующем формулу (7.20), суммируются 6К Н ——6Urn. Поэтому можно принять, что
a=Р g一4)=厶(7.24)
В этом случае функция Лагранжа L не является «полной энергией» со знаком минус, а в выражение для функционала 6步 входят поверхностные интегралы из (7.22), поэтому 6取 не совпадает с возможной работой поверхностных сил на поверхности 工2・ Выражение А = р(Um) обычно используется в аналитической механике.
Преимущество последнего подхода с выбором лагранжиана в зиде (7.24) заключается в том, что в аналитической механике при этом нет необходимости вводить функционал 6W* в ряде важных случаев, в частности, когда кроме сил инерции и сил тяготения нет других внешних непотенциальных сил (работа потенциальных сил включается в функцию U), иначе говоря, когда система консервативна. Однако в общем случае функционал 6UZ* отличен от нуля и его необходимо ©водить и в аналитической механике, например, когда внешние силы неконсервативны или система неголономна. Преимущество первого подхода заключается в том, что при определении лагранжиана А формулой (7.23) и включении в функционал 6吋 второго слагаемого из формулы (7.21) каждый член вариационного уравнения допускает естественное физическое толкование, а само вариацион* ное уравнение в бесконечно малом представляет собой уравнение в вариациях балансов энергий. Поэтому первому из рассмотренных выше вариантов записи вариационного уравнения из-за его физичности (с сохранением скалярной природы каждого его члена) можно отдать предпочтение.
Система уравнений Эйлера и уравнений состояния для моделей сплошных сред в СТО
Рассмотрим довольно общий иллюстративный пример модели континуума в рамках специальной теории относительности, когда лагранжиан материи Л зависит от набора аргументов
4， 「办 小 S, g,3心(心，不(力 (8.1)
Выражение для функционала 6步* в области непрерывных движений и процессов возьмем в виде
М = J (рТ 8s _ % % 1 十 % g“ — Qi 3』产，(8.2>
Принятое для функционала б IF* выражение (8.2) позволяет описать достаточно большое число моделей континуумов в рамках специальной теории относительности, в том числе все известные классические релятивистские модели жидкостей и газов. Слагаемое Л4а6ьца представляет собой возможное прнра- щение некомпенсированного тепла в рассматриваемой термодинамической системе за счет диссипативных процессов, не связанных со свойством вязкости сплошной среды (которые описываются компонентами тензора т^=т"), и согласно вариационному обобщению второго закона термодинамики удовлетворяет равенству
РТ Zs^^e)+MAZL?.A+ 3，&g办 (8.3) а вариации бьЦА, согласно изложенному в гл. II, представляют собой вариации лагранжевых компонент тензора ц при фиксированных базисных векторах сопутствующей системы координат» пересчитанные на систему координат наблюдателя по правилам преобразования компонент тензоров. Необходимо также отметить, что наборы тензоров 卩участвующие в выражениях для некомпенсированного тепла и в наборе аргументов (8.1), не обязательно совпадают. Здесь также принято, что внешние вза・ имодействия рассматриваемой термодинамической системы с другими термодинамическими системами и полями описываются только последним слагаемым формулы (8.2), т. е. полагается, что отсутствует возможный внешний приток энергии нетепловой природы 6Q** к данной термодинамической системе. Условие 6Q** = 0 означает, что если, например, строится модель сплошной среды, взаимодействующей с электромагнитным полем, то лагранжиан Л должен содержать лагранжиан электромагнитного поля, лагранжиан сплошной среды и лагран* жиан взаимодействия электромагнитного поля со сплошной средой или, другими словами, рассматриваемая термодинамическая система при условии 6Q** = 0 должна состоять из сплошной среды и электромагнитного поля. Очевидно, что в тех случаях, когда строится модель термодинамической системы, состоящей только из сплошной среды, а электромагнитное поле считается внешним объектом, то 6Q**=/=0 и вид члена 6Q** необходимо задавать дополнительными предположениями (см. гл. IV).
В формуле (8.2) через Qi обозначены компоненты четырехмерного вектора внешней объемной силы (например, гравитационной природы), причем для компонент вектора Q/ справедливо равенство Qi〃‘ = 0, т. е. вектор Qi — пространственноподобный. Слагаемое Q/бх* представляет собой элементарную работу внешних сил на возможных перемещенияхВыбор знака «минус» перед этим слагаемым обусловлен выбором сигнатуры метрики псевдоевклидова пространства (Ч— ), а также тем, что компоненты вектора в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве и компоненты того же самого вектора в трехмерном евклидовом пространстве связаны равенствами
Qa(4) = — Q3，Q：3) = Q(4) = Qa(3)
и, следовательно,
Qa⑶近=—Q^) •
Используя приведенные в гл. II формулы для вариаций тензорных функций, вариационное уравнение в предположении, что А является функцией, зависящей от набора аргументов (8.1), а функционал 6步* определяется формулой (8.2), можно записать в виде
一加А山 d - Vft ［MA f^ 1)-
V质В-S内一 V“尸醤кВ+дКв\дКА 丿
+ ［款券)］狄产+
+ f 当 后+ AB『——J - +
+ MА 尸診 1+ 号 f^KA \ ^ +
АдКС丿
+ —°А 汕"\nkda3 + bW ^0.(8.4)
d”*A I
1 В частности, в элементарную работу внешних сил иа возможных перемещениях можно включать работу сил инерции. Более подробно о виде лагранжиана А и функционала 6步* при наличии сил инерции см. § 7 настоящей главы.
В формуле (8.4) через 尸當 обозначены алгебраические выра- -жения, составленные из символов Кронекера, вид которых нетрудно установить на основании формул
V$1 = 61/0炉+产尸第1^.
Из условия равенства нулю объемного интеграла в (8.4) приравниванием нулю коэффициентов при произвольных линейно независимых вариациях 6炉，。卩厶 и ds получаем следующую систему уравнений Эйлера:
ЭЛ k\0А 。 s dA , А .k
—^*'-氤 %s +*“・一
dzj.J@工；ds
— % Vz|*4 ▼ V* (^д 磯 J) — @：； W Y —
дкс〈 дКА удкс〈 дКА у(8.5)
дкс〈 дКА у
дкс〈 дКА у
(8.6)
(8.7)
Уравнения Эйлера (8.5) — (8.7) содержат уравнения импульсов и энергии, и, в зависимости от смысла параметров 卩厶,среди них могут содержаться уравнения Максвелла, уравнения химической кинетики, различные другие виды уравнений для искомых параметров 卩厶—характеристик внутренних степеней свободы.
Уравнения Эйлера представляют собой, вообще говоря, уравнения с частными производными, порядок которых связан с порядком производных, входящих в аргументы функции Лагранжа Л.
При заданных функциях Л, Мл и Q： уравнения (8.5) — (8.7) образуют замкнутую систему дифференциальных уразне- ний для функций к%Р)9 卩厶(冰)и s (炉)•百се эти уравнения имеют тензорный вид, и их можно рассматривать в любой специально выбранной системе координат наблюдателя, а также в сопутствующей системе координат. Необходимо отметить, что указанные системы отсчета могут быть введены как с помощью голономных систем координат, так и с помощью неголономно определенных базисов. Например, все тензорные компоненты и все соответствующие уравнения можно рассматривать в каждой точке четырехмерного пространства событий в локально определенных собственных базисах э/.
В сопутствующих или собственных системах координат параметры № (炉)в наборе аргументов (8.1) будут отсутствовать, если наличие произвольной системы координат наблюдателя несущественно. Если же, в силу особенностей рассматриваемых физических взаимодействий, выбор системы координат хл оказывается существенным, то присутствие параметров 驳°(%在),пересчитанных к сопутствующей системе координат, может оказаться обязательным.
Из вариационного уравнения (8.4) для произвольного объема У《следует, что слагаемое 6W представляет собой поверхностный интеграл по трехмерной поверхности 2з, ограничивающей объем У4. В рассматриваемом случае выражение для функционала 61r имеет вид
J仍亡又" +例彳汕А) /曲3,(8.8)
где 小—компоненты вектора внешней нормали к поверхности Ез, а коэффициенты Pik и M\t являющиеся компонентами тензоров, выражаются через плотность лагранжиана А и те члены, входящие в функционал 61Г*, которые преобразуются в по< верхностные интегралы по S3 при условии произвольности вариации 5炉 и 6цА на поверхности Ез, а компоненты тензоров Pi k и Af а определяются формулами
-MaF^^b — 込^贷 У、 (8.9) дКс
也2 =.(8.10)
Уравнения (8.9) и (8.10) можно истолковать как уравнения состояния для данной термодинамической системы.
Из равенства
V，A= ^皿若+ «^.wp/^j^― VzVsPzA +
。工/d^s^A
+咎s・心+鼻SKСdsдКвдКс
выражения (8.9) для тензора 尸广 и формул (8.6) следует, что 13-4787
уравнения импульсов (8.5) могут быть записаны в виде
“P/uQ,, (8.11)
а компоненты тензора Р^ истолкованы как компоненты тензора энергии-импульса рассматриваемой термодинамической сис< темы.
Наряду с формулой (8.9) выражение для тензора энергии- импульса Р% может быть также записано в несколько иной форме. Так как согласно основному предположению величина Л является четырехмерным скаляром, инвариантным относительно бесконечно малого преобразования системы координат наблюдателя (3.19), то из тождественно выполняющегося равенства
У = 0
следуют равенства
0弓d▽a卩
@А 尸С& к 4 — дКс &
2 0(a/N) “ оg〃 +
Из этих равенств и формул (8.9) получаем, что компоненты тензора энергии-импульса могут быть записаны в виде
р* =—т У，а + ?/ 亠—尸笈 g^
Таким образом, при наличии среди набора аргументов (8.1) компонент тензоров 7«цА, где 牍▲ — компоненты вектора или тензора произвольного ранга, из последнего выражения для тензора энергии-импульса следует, что
Р7
Нетрудна проверить, что система уравнений Эйлера (8.5) — (8.7) остается неизменной, если лагранжиан Л заменить на лагранжиан Л* согласно формуле
А、А + ?冏
где Qz — любые функции определяющих параметров, фигурирующих в аргументах Л, или Qz — произвольные функции некоторых аргументов (в частности, координат). Присутствие дивергентного члена V/fi* может изменить лишь уравнения состояния (8.9) и (8.10) и, следовательно, дает вклад в выражение для тензора энергии-импульса Р；±
Фиксируя набор аргументов функций О, нетрудно в каждом конкретном случае получить выражение для тензора энергии- импульса при наличии в лагранжиане члена ▽◎・
Если ограничиться простейшим случаем, когда О ——компоненты произвольного, заданного вектора, зависящего только от координат %在,то в качестве тензора энергии-импульса будет выступать тензор с компонентами
p/ 一 VsQs碎+口欧，
где компоненты тензора Р* определены формулами (8.9).
Добавление к лагранжиану члена V^Q' (который является： скаляром в случае, когда 6 — компоненты вектора) представляет собой физическое допущение термодинамического характера, так как приводит к изменению термодинамических функций для варьированных состояний. Вообще говоря, это изменение связано с добавлением некоторой энергии, которая не оказывав ет влияния на физические уравнения (в частности, на уравнения импульсов), но оказывает влияние на уравнения состояния и тем самым на граничные условия в краевых задачах, а также на условия на сильных разрывах.
Из вышесказанного следует, что фиксирование уравнений Эйлера не дает достаточно полной информации о конкретной модели сплошной среды, в то время как фиксирование лагранжиана (которое можно включить в физическое определение рассматриваемой термодинамической системы) позволяет получить как систему уравнений Эйлера, так и дополнительные соотношения, которые можно истолковывать как уравнения состояния термодинамической системы.
Как отмечено выше, в случае, когда лагранжиан Л зависит от аргументов (8.1) компоненты тензоров PJ? и “彳 однознач^ но определяются из вариационного уравнения.
Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда в число аргументов (8.1) входят высшие ковариантные производные от аргументов рЛ или ковариантные производные от аргументов X/. В качестве примера рассмотрим случай, когда к аргументам (8.1) добавляется аргумент V尼х/・ В этом случае при сохранении формулы (8.2) для функционала б IF* уравнения Эйлера (8.6) и (8.7) сохраняются, а уравнения (8.5) по-прежнему можно записать в виде
(8.12>(8.12>"以=0,
(8.12>
(8.12>
где компоненты тензора энергии-импульса Р,Г определяются •формулой
рь = - 少一a酢 + ~-V/ # + 七片 +
+ V，L - МА 喇в ——尸殮 KAt (8.13) @3дкс
а через
обозначена вариационная производная.
При этом функционал 6W определяется формулой
6/= J (总气户 + /Up/ + “¥a6£)纵曲3,(8.14)
* которой компоненты тензора Ма при заданном лагранжиане однозначно определяются формулами (8.10), а вид тензоров 戶/ и М；?, в отличие от рассмотренной выше модели с лагранжианом, зависящим от набора аргументов (8.1), уже не может быть однозначно установлен по заданному лагранжиану Л и функционалу 6W*. Эта неоднозначность связана с тем, что к лодынтегральному выражению (8.14) всегда можно добавить слагаемое вида
Vs(Q；：U* 〃飢
тождественно равное нулю, когда набор величин Q* является набором компонент произвольного, антисимметричного гго индексам s, k тензора с непрерывными компонентами, имеющими непрерывные частные производные первого и второго порядка во всех точках объема 匕,ограничениого поверхностью S3. В этом случае в качестве компонент тензора энергии-импульса будет выступать тензор с компонентами
А：* = Р/+ 口 С芒，
также удовлетворяющий уравнениям импульсов (8.12), а компоненты тензора Mjf： будут определяться равенствами
М；? =——込一 ％； + ◎；¥・
0У在工；
Таким образом, оказывается, что для фиксированных лагранжиана и функционала 6 取* существует произвол в определении уравнений состояния. При этом дополнительные краевые- и начальные условия, а также условия на поверхностях сильных разрывов, выражающие собой физические взаимодействия на. границе тела или внутри тела на поверхностях сильных разрывов, не могут служить основой для исключения указанной неоднозначности в уравнениях состояния.
Необходимо отметить, что указанная неоднозначность уравнений состояния не связана со спецификой метода установления, уравнений состояния с помощью вариационного уравнения. Так. же обстоит дело и в случае использования общего термодинамического уравнения притока тепла в дифференциальной, форме.
Смысл этой неоднозначности в уравнениях состояния релятивистской механики сплошных сред аналогичен неоднозначности в выборе уравнений состояния для напряжений в ньютоновской механике.
Хорошо известно, что в ньютоновской механике при движении абсолютно твердых тел решение задачи о внутренних напряжениях в твердом теле не имеет определенного ответа. В твердом теле всегда можно ввести некоторую систему распреде* ленных внутренних сил, эквивалентную нулю, наличие или отсутствие которой не сказывается на уравнениях движения. Аналогично для любых деформируемых тел можно указать много различных систем напряжений, которые не влияют на законы; движения, и поэтому наличие или отсутствие таких напряжений, нельзя обнаружить. Для различных систем внутренних напряжений уравнения движения и добавочные условия одинаковы», но уравнения состояния различны.
Очевидно, что вопрос о такой неоднозначности «е возникает, когда заранее приняты уравнения состояния. Однако в проблемах конструирования новых моделей, когда необходимо установить вид самих уравнений состояния, вопрос о возможности разного выбора уравнений состояния возникает по существу решаемой задачи. Этот вопрос приобретает особенно существенное значение, когда плотность лагранжиана зависит от последовательных ковариантных производных определяющих характеристик.
Для того чтобы продемонстрировать на примере справедливость указанного предложения, рассмотрим в рамках ньютоновской механики уравнения теории упругости, для которых уравнения состояния представлены формулами
где U — внутренняя энергия упругого тела, а еар — компоненты тензора деформаций.
Вместо уравнений состояния (8 15) возьмем уравнения состояния вида
где QaY3 = — Qa31 — компоненты тензора, произвольным заданным образом зависящие от любых параметров состояния « любых их производных.
Легко убедиться, что все законы движения и деформации будут определяться независимо от 方吗 так как добавочные напряжения 方0^ удовлетворяют тождественно урав・ иениям равновесия
V3 р^ = О,
«и, кроме того, для любого трехмерного объема Vs, ограниченного замкну.ой двумерной поверхностью £厶 справедливо равенство
В этом случае очевидно, что наряду с напряжениями раВ вводятся поверхностные напряжения третьего порядка £2"、°. Входящие в граничные условия нормальные составляющие градиента VY подынтегральной функции в поверхностном интеграле обращаются в нуль в каждой точке поверхности 2г тождественно. Интеграл по любому элементу Да поверхности % по формуле Гаусса — Остроградского сводится к интегралу по контуру Г, ограничивающему этот элемент. Взаимодействия по элементу До сводятся к взаимодействиям по контуру Г, которые можно рассматривать как внутренние. Если 6ха=0 на Г, то интеграл но Ао равен нулю. Отсюда следует, что добавочные напряжения рав в совокупности не дают вклада в потоки энергии взаимодействий (при произвольных возможных перемещениях 6%а) между соседними частицами, отделенными одна от другой элементами .любой поверхности Ег, а следовательно, и внешними телами на границе тела. Применение аналогичного преобразования к
компонентам ”，определенным формулой (8.15), приводит к уравнению энергии с наличием обмена механической работой между частицами, отделенными одна от другой элементами Да поверхности S2, при 6%产0. В этом случае обмен энергией между соседними частицами осуществляется только за счет обычных напряжений второго порядка ра^. В связи с этим подчеркнем, что в более сложных моделях внутренние поверхностные взаимодействия нельзя свести только к обычным напряжениям второго порядка, поэтому приведенные выше соображения представляют интерес.
Необходимо также отметить, что вопрос о виде уравнений состояния тесно связан с вопросом о виде начальных и граничных условий на поверхностях сильных разрывов, которые не следуют из дифференциальных уравнений Эйлера без некоторых дополнительных допущений. Здесь особенно явно проявля* ется преимущество интегрального базового вариационного уравнения как метода конструирования моделей сплошных сред, а именно, базовое вариационное уравнение дает возможность получать, наряду с системой уравнения Эйлера, также все перечисленные выше уравнения и условия.
Последующие выводы будут связаны с преобразованием формулы (8.14) к виду, содержащему только вариации 6炉 и производные по нормали к поверхности S3 от вариаций бх\ которые можно считать независимыми между собой на поверхности Ез・
Предположим, что поверхнсють Ез достаточно гладкая. В этом случае выражение (8.14) для функционала 6W можно привести к виду
占步=f" + м£ м"勺 + Ri 3 舐八 d% +
+，^(M；乎仆 e汉)d%.(8.16)
В формуле (8.16) через Р и 凡 обозначены соответственно компоненты векторов
Р/ = Р/ 几儿一〃а Vs Mi^ + ens & М* +
+ е 九В С"£ М浒 一 b； ns nk M* ,(8.17)
R/ = ens nk M?)
где D/Dn ■〃'？/ —— символ ковариантной производной по нормали к поверхности Е3; е ug〃步歩一индикатор знака
модуля вектора нормали; ▽：— символ ковариантной производной на поверхности Е^. Компоненты С： в формуле (8.16) определяются равенством
в котором G叩一контравариантные компоненты первого метрического тензора поверхности J в системе координат С" на поверхности S3; J% = d/ld^—компоненты векторов ка・ сательных к поверхности £д；方;：=6冲6“* где Ьл^ — компонек- ты второго метрического тензора на поверхности Е8.
Компоненты векторов В и R» при заданном лагранжиане Л и заданном функционале 6步* определяются вариационным уравнением однозначно, не зависят от произвольных функций Q)?, н именно для компонент этих векторов формулируются условия на поверхностях сильных разрывов и граничные условия.
Существенной особенностью компонент векторов Р, и R», он- ределенных в точках элементов da3 на граничной поверхности 自з, будет их зависимость не только от ориентации этих элементов, как это имеет место для обычных напряжений, но и от других дифференциальных геометрических свойств рассматриваемых элементов L
В более сложных случаях, когда в число аргументов (8.1)， входят высшие производные от аргументов цА, в выражение (8.16) для функционала 6W войдут добавочные члены вида 心"炉以汕* N^nkns^s^A9 ..
где тензорные коэффициенты N屮,N乳 ・• • вычисляют* ся однозначно по заданному лагранжиану Л и функциона* лу М・
Применение вариационного уравнения
к построению моделей сплошных сред в ОТО
Динамические уравнения для поля и сплошной среды в рам* ках общей теории относительности также могут быть получены с помощью вариационного уравнения
8 “忆 + №+6№ = 0,(9.1>
где лагранжиан Л, являющийся четырехмерным скаляром, зависит от следующих аргументов:
4 广办1, g/3「分,
霊，心(守).Kg(9.2>
Здесь Г* —символы Кристоффеля, связанные с компонентами метрического тензора равенствами
а цА могут быть как скалярами, так и компонентами векторов или тензоров произвольного ранга с любым строением индексов, рассматриваемые как функции координат х*. В качестве пара- метров 卩а, например, могут быть взяты характеристики элек* тромагнитного поля или термодинамические характеристики сплошной среды L В рамках рассматриваемых моделей величи* ны 卩а являются искомыми функциями наряду с компонентами метрического тензора gij(xk) и законом движения сплошной среды W(F)・
Рассмотрим пример модели достаточно общего вида, в которой лагранжиан берется в следующей форме:
А =—^ +V/P + U ,(9.3)
где R — скалярная кривизна четырехмерного риманова прост- 8nGс
ранства; х — гравитационная постоянная; G ― ньюто-
с4
новсКая гравитационная постоянная;入—космологическая постоянная; — компоненты четырехмерного вектора, являющего* ся функцией только координат хл ; скаляр U — лагранжиан материи, зависящий также от аргументов (9.2). Далее будем полагать, что функция U не зависит от d「％ /6%： и зависит от Г*方 только через выражения для ковариантных производных в. аргументах вида VapA
Рассмотрим простейший случай непрерывных движений и лроцессо®, когда, вообще говоря, неголономный функционал 石步* в области непрерывных движений и процессов имеет вид
В формуле (9.4) величины АЦ = компоненты обобщенных массовых и поверхностных сил, задание которых связано с принимаемой в рамках рассматриваемой модели теории диссипативных механизмов и проблемой разделения силовых и энергетических взаимодействий в рассматриваемой термодинамической системе на внутренние и внешние; 6厶卩厶 一 абсолютная вариация компонент тензора цА, введенная в гл. II. Необходимо отметить, что присутствие в вариационном уравнении отличного от нуля неголономного функционала 6W* является, вообще говоря, обязательным при конструировании многих моделей сплошных сред и полей. При этом очевидно, что набор варьируемых параметров цА, входящих в выражение для функционала 6步*, может не совпадать с набором параметров 卩厶,входящих в число аргументов лагранжиана (9.2). Необходимо также отметить, что зависимость неголономного функционала 6步* от абсолютных вариаций параметров цА, а не от каких-либо других вариаций, вполне естественна, так как согласно своему физическому смыслу параметры цА описывают термодинамическое состояние материи, которое не зависит от выбора системы координат наблюдателя. В частности, при соответствующем выборе параметров рЛ и обобщенных массовых и поверхностных сил функционал вида (9.4) описывает процессы диссипативного выделения тепла, обусловленного электропроводными свойствами сплош- лой среды.
В формуле (9.4) через 工叮 обозначены компоненты обобщенного тензора вязких напряжений. Далее положим, что т^=т"・ Необходимо отметить, что если рассматриваемая термодинамическая система замкнута, то согласно второму закону термодинамики для действительных процессов выполняется ра・ ленство
財4 勿产"^ t" dL g〃 = °*
Пользуясь развитой в гл. II теорией вариаций, вариацию первого члена вариационного уравнения (9.1) в области нелре-
рывных движений и процессов, можно представить в виде
+r号wxfs (考")—
+ —―^ 廿 + v$ a 酢一у%, a + —т-" + Ubf —
丝7口不 + T-尸笛k4
+ °；：a M” —— gl'gSk) Vs dg"卜a &%• (9.5)
Здесь 九丸一компоненты единичного вектора внешней нормали к трехмерной поверхности S3, ограничивающей объем V4; б/оз —— инвариантный элемент поверхности S3.
Из условия равенства нулю объемного интеграла в вариационном уравнении с учетом формул (9.4), (9.5) при линейно независимых вариациях Og^, Sx* и 6卩公 получим следующую систе-
му уравнений Эйлера для функций gij(炉)，％’(У) и 阳^冲):
(9・6)
V/ ^—^s / -^~ 器)+ 从人 vY + v«! +
+ " （以尸診1）-噥戸水一景砧Y 一
咚闵К ) = 0,咚闵К ) = 0,(9.7)(9.7)
咚闵К ) = 0,
咚闵К ) = 0,
(9.7)
(9.7)
@V$产@V$产(9.S)
@V$产
@V$产
В уравнениях (9.6) через 7叮 обозначены компоненты симметричного тензора
2 3 ("W)+ XU =
MNdg 门2
xvJv —(尸舒及 + 尸佻"3а'?а-
西*西*经Г尸贪 1( 8/‘ + 3У)]1+Е(9.9)
西*
西*
и через 尸以 обозначены комбинации символов Кронекера, вид которых легко установить на основании формул
Vsl = J-尸望步В г^.
Уравнения (9.6) представляют собой уравнения поля; уравнения (9.7) представляют собой четырехмерные уравнения импульсов для материи; уравнения (9.8) можно рассматривать как уравнения состояния (к ним, в частности, при соответствующем выборе параметров 卩厶 относятся и уравнения моментов для материи) .Из условия равенства нулю поверхностного интеграла в
§ 9. применение вариационного уравнения 205
вариационном уравнении (9.1) следует выражение для функционала
где величины Рл, Tk", Tkstl, М% определяются вамигде величины Рл, Tk", Tkstl, М% определяются вамир/ = ；(r +入)战-v$qs酢+ 皿0 +еД2 乂р/ = ；(r +入)战-v$qs酢+ 皿0 +еД2 乂6М =ж J (Pik^+ 卄7 dg" + 户“Е dg* + M\^A) nk 曲3，(9.10)равенст-
где величины Рл, Tk", Tkstl, М% определяются вами
где величины Рл, Tk", Tkstl, М% определяются вами
р/ = ；(r +入)战-v$qs酢+ 皿0 +еД
2 乂
р/ = ；(r +入)战-v$qs酢+ 皿0 +еД
2 乂
(9.И)
两两0山~0山~T (F^gjs-F^sgk&)^B +^sNksii,T (F^gjs-F^sgk&)^B +^sNksii,(9.12)(9.12)
两
两
0山~
0山~
T (F^gjs-F^sgk&)^B +^sNksii,
T (F^gjs-F^sgk&)^B +^sNksii,
(9.12)
(9.12)
7^〃 =丄(g" gks -g/sg伍)+ Nm9
где №$" = — Nsktl—произвольные дифференцируемые функции любых аргументов.
В формуле (9.11) принято обозначение
е/ «= —…х/ — U^i + —竺丁 Vi a' +
d片0"肘
+ MAFj^B + у" — 岑尸裳 К a(9.13)
адкс
Уравнения, определяющие подынтегральные члены в 6W в известных классических теориях (теория идеальной жидкости, теория упругости), являются уравнениями состояния. Так как лагранжиан U — четырехмерный скаляр, то совокупность величин Рл представляет собой комплекс компонент тензора второго ранга. Вид подынтегральных членов в функционале 6呼 существенно зависит от используемых в 6呼 вида вариаций определяющих параметров. Использование того или иного вида вариаций в 6呼,вообще говоря, есть дело условия и связано с соображениями удобства и возможностью физического истолкования формул уравнений состояния, следующих из вида функционала
6忆 Необходимо также отметить, что вид всего функционала 6W зависит от вида дивергентных членов V^Q®, входящих в лагранжиан Л и не оказывающих влияния на уравнения Эйлера. При отсутствии материи (т. е. в вакууме) компоненты
p片=-^7(R + Q8‘ - ？5a廿 + ?,g(9.14)
являются по определению компонентами тензора энергии-импульса, выражающимися через 入 и вектор Q, который в предыдущих выкладках может быть любым с компонентами Qf, зависящими только от 炉 1.
В этом случае (когда U=0, 6步*=0) ураенения Эйлера (9.6) представляют собой уравнения общей теории относительности для гравитационного поля в вакууме
^ — ~- Rgli —入g 订=0.
Как следует из равенств (9.12J, величины 仆“，7褊% входящие в выражение (9.10) для функционала 6W9 определяются вариационным уравнением с некоторым произволом, связанным с наличием функций Nh8iL Однако можно указать алгоритм, позволяющий определить члены в функционале 6М однозначным образом. Такое однозначное определение членов в функционале 6W необходимо, в частности, для получения соотношений на поверхностях сильных разрывов (см. § 10 настоящей главы).
Согласно развитой в гл. II теории вариаций для аргументов (9.2) справедливы следующие вариационные формулы:
G J； = х； ?$ М,Mg” = — S М/ — V/ Ч,
% 不 尸舒 1VЛ 电’，(9.15)
%?Х = - aLv丿哦+户第口1办3优%内=磴仆m,
и условие скалярности лагранжиана материи относительно произвольного бесконечно малого преобразования координат 6卩=0 в раскрытой форме имеет вид
4 _ 2普g" +鸟尸舘1+_^“1尸常一
I 竭Ogki *4dVsL
——^S不+導f%/()办3哦=0.(9.16)
1 Вопрос об общем виде вектора Q для гравитационного поля в вакууме рассмотрен в работе: Седов Л. И. О динамических свойствах гравитационных полей //ПММ. — 1983. — Т. 47, вып. 2.
Из тождества (9.16) при произвольных вариациях 6fli полу* чаются шестнадцать тождественно выполняющихся равенств, которые с учетом принятых выше обозначений (9.9), (9.13) можно записать в виде
22^3+口^3+口(9.17)(9.17)
2
2
^3+口
^3+口
(9.17)
(9.17)
Из вариационного уравнения (9.1) при вариациях 6т)‘，соответствующих бесконечно малому преобразованию системы координат х*, следуют уравнения
(9.18)(9.18)W = 0.
(9.18)
(9.18)
Нетрудно проверить, что уравнения импульсов (9.7) для материи с учетом формул (9.13) можно записать в виде
Vfe 瓦宀=…(口 S - V/ U) L,(9.19)
西6步
или
办仇严=R/浪尸寄1 *•(9.20)
Из формул (9.11), (9.20) следует, что уравнения импульсов для сплошной среды могут быть записаны с использованием тензора Р』：
УаР、- 尸翁g"a"・
Воспользовавшись связью (9.17) между тензорами 8" и 7% можно проверить, что уравнения (9.18) можно также записать в виде
办限=子(办？$一口办)8丝(9.21)
где компоненты антисимметричного по индексам s, k тензора е“А определяются равенствами
严=(雨丁一戶務g‘s“.
В результате несложных преобразований уравнение (9.21) также можно записать в виде (9.20), т. е. в рамках рассматриваемой модели уравнения (9.18), являющиеся следствиями уравнений (9.6) для гравитационного поля, совпадают с уравнениями импульсов для материи (9.7). Указанное свойство системы уравнений Эйлера будет нарушаться в случае, когда в функционал 6W* входят члены вида Q^xf, описывающие внешнее объемное взаимодействие рассматриваемой термодинамической системы с другими термодинамическими системами, но будет выполняться независимо от способа задания обобщенных внутренних поверхностных и массовых сил т" и Ма, отвечающих за внутренние механизмы преобразования одних видов энергии в другие внутри рассматриваемой термодинамической системы. Так, при учете диссипативных процессов за счет вязких и электропроводных свойств сплошной среды (преобразования нетепловых видов энергии в тепловую энергию) уравнения импульсов для материи совпадают с уравнениями, являющимися следствиями уравнений поля независимо от выбора вида зависимости компонент тензора вязких напряжений тл и вектора четырехмерного тока Ik от определяющих параметров (9.2). Необходимо отметить, что в случае учета диссипативных эффектов для учета электропроводных свойств сплошной среды в лагранжиан материи обязательно должен быть включен лагранжиан электромагнитного поля, так как в противном случае процесс выделения джоулева тепла нельзя считать внутренним процессом преобразования одного вида энергии в другой внутри одной термодинамической системы.
Полученная выше система уравнений Эйлера (9.6) — (9.8) и выражение для функционала bW показывают, что при конструировании усложненных моделей сплошных сред в общей теории относительности возникает вопрос о том, что называть тензором энергии-импульса материи. Уравнения импульсов для сплошной среды могут быть записаны в виде (9.18) с помощью тензора W, который обычно называют тензором энергии-импульса материи. Этот тензор для любого материального континуума симметричен независимо от выбора определяющих параметров модели. Однако, как следует из вариационного уравнения, условия на поверхности сильных разрывов (а также на* чальные и граничные условия) формулируются для определенных формулами (9.11) компонент тензора Р^, который в общем случае не симметричен и отличается от тензора Ti}. Это отличие связано, во-первых, с тем, что в выражение для лагранжиана А входит дивергентный член ▽»◎', который не влияет на вид уравнений Эйлера (9.6) и тензора 7& но меняет вид тензора Р% а, во- вторых, с присутствием среди набора аргументов (9.2) ковари* антных производных ▽左卩厶・ Все сказанное выше относится к случаю моделей континуумов с усложненными физико-химичес-
кими свойствами. В том случае, когда в числе аргументов лагранжиана U отсутствуют ковариантные производные тензорных функций V々卩力 и отсутствует член ViQ( компоненты тензора 户叮 с точностью до множителя совпадают с компонентами тензора Риччи.
При построении моделей континуумов в рамках специальной теории относительности с постулируемым видом метрического пространства как четырехмерного псевдоевклидова пространства Минковского уравнения импульсов для материи (9.20) могут быть записаны как в виде Vj8〃 = 0, так и в виде VjT^ = O, где компоненты несимметричного тензора 0" и симметричного тензора 7〃 связаны равенствами (9.17), а граничные условия формулируются для компонент несимметричного тензора 8".
Условия на поверхностях сильных разрывов
Как известно, во многих задачах, решаемых в некоторых областях У《четырехмерного пространства-времени, решения могут существовать только при наличии сильных разрывов на трехмерных поверхностях S внутри V4 для искомых характеристических функций, являющихся аргументами термодинамических функций состояния вещества и поля. На поверхностях сильных разрывов искомые функции, терпящие разрыв, должны удовлетворять некоторым условиям. В простейших элементарных случаях такие условия могут быть получены с помощью универсальных законов сохранения с учетом различных внешних воздействий на поверхностях сильных разрывов. Необходимость учета таких воздействий также может быть и результатом того, что при решении задач в рамках принятой простой модели, построенной без учета некоторых существенных свойств изучаемого явления, влияние этих эффектов, учитываемых в более сложных моделях, проявляется в условиях на поверхностях сильных разрывов. Так, например, обстоит дело в некоторых задачах, учитывающих вязкие свойства среды, химические реакции при горении и детонации, поглощение и выделение энергии при фазовых переходах, наличие поверхностных токов и т. д.
Иногда можно встретиться с утверждением, что условия на сильных разрывах можно получить, если известна замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающих некоторые явления в рамках данной модели.
В действительности это утверждение неверно. Дело в том, что, во-первых, разрывные движения, вообще говоря, нельзя рассматривать как предел непрерывных движений в рамках той же самой модели и, во-вторых, при выводе условий на сильных разрывах необходимо обязательно использовать некоторые интегральные соотношения, которые для данной системы диф- ференциальных уравнений не определяются однозначно. 14—4787
Для непрерывных движений данной системе дифференциальных уравнений можно поставить в соответствие много полностью эквивалентных ей различных систем интегральных соотношений. Для разрывных движений разные системы интегральных соотношений дают различные условия, которые могут находиться между собой в противоречии. Отсюда следует, что для установления условий на сильных разрывах необходимо как опытный закон постулировать соответствующую систему интегральных соотношений, верных как для непрерывных процессов, так и для процессов с сильными разрывами.
Опыт показывает, что в качестве интегрального соотношения, приложимого не только для непрерывных, но и для разрывных движений, нужно брать закон сохранения энергии в интегральной форме. Заметим, что, например, уравнение притока тепла в интегральной форме или уравнение сохранения энтропии для адиабатических процессов в интегральной форме приводят к неверным условиям на сильном разрыве.
В связи с этими соображениями ясно, что вариационное уравнение (7.6) в интегральной форме можно применять для описания разрывных процессов и соответственно для вывода условий на скачках при физически правильно (с согласии с опытом) определенных выражениях для плотности функции Лагранжа Л и функционала 6取*. В частности, при выводе условий на сильных разрывах в выражении для 6取* необходимо сохранить все члены, характеризующие притоки энергии, и ввести новые присутствующие концентрированные притоки на поверхностях разрывов в форме, которая непосредственно входит в уравнение энергии. Функцию Л также необходимо фиксировать (и этим определяется дивергентный член), исходя из физических соображений, которые в конечном счете оправдываются соответствием данной модели опытам, в которых наблюдаются сильные разрывы характеристик состояния.
Для моделей с внутренними степенями свободы и наличием дополнительных термодинамических параметров цА для получения условий на поверхностях сильных разрывов необходимо опереться на термодинамические закономерности типа закона сохранения энергии. Учет внешних воздействий типа распределенных поверхностных сил, моментов, притоков энергии на поверхностях сильных разрывов приводит к необходимости включить в выражение для функционала 6 历* дополнительные поверхностные интегралы по поверхностям сильных разрывов. Заметим, что краевые условия на границе области непрерывных решений можно получать как условия на поверхностях сильных разрывов, в которых необходимо задавать значения характерных величин на внешней стороне поверхности разрыва.
Рассмотрим простейший случай, когда в число аргументов функции Л наряду с аргументами х/ и термодинамическими па-
§ 10. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ 211 раметрами * входят также первые ковариантные производные параметров рЛ, а функционал 6s выбирается в виде (7.9), содержащем поверхностный интеграл по S:
£依"次'+心犷)纵曲3, (ЮЛ/
где Qtk и Na — компоненты тензоров, описывающих концентрированные обобщенные внешние силы и обобщенные притоки энергии на поверхностях сильных разрывов.
Для получения условий на поверхностях сильных разрывов в рамках специальной теории относительности воспользуемся обозначениями, принятыми в выражении для функционала 6W, задаваемом формулой (8.8),
6取=f (Pik^ + M^A)nkdo3i (Ю.2)
где P；fe — компоненты тензора энергии-импульса, выражаю* щиеся через лагранжиан по формулам (8.9), а компоненты тензора Л1\ определяются формулой (8.10)
__ _ dA
@V储
При указанном выборе функционала 6W* после вывода уравнений Эйлера и уравнений состояния из условия равенства нулю поверхностного интеграла вариационного уравнения на поверхности сильного разрыва S с учетом формулы (10.2) получаем равенство
J {Р^^+М^А\пкй^ f{Q?8xz +N^A]nkda3. (10.3) s± s
Поверхностный интеграл в левой части формулы (10.3) взят по обеим сторонам поверхности разрыва S. В предположении, что вариации искомых функций бх^ 6nA непрерывны и произвольны на поверхности S, из равенства (10.3) следуют условия на поверхностях сильных разрывов
仍/耳=Q% [M^^N^. (10.4)
В формуле (10.4) принято обозначение [Р]； = Р2 — Л> индексами 1 и 2 обозначены значения компонент тензоров на разных сторонах достаточно гладкой поверхности разрыва S, использовано равенство Пщ)=—nf(2), а также учтено, что в
рамках специальной теории относительности dc(i)= do(2), т. е. метрика пространства-времени непрерывна.
Как было отмечено в § 8, к компонентам тензора энергии- импульса Plk может быть добавлено слагаемое вида UQ：* где QI' — компоненты произвольного, антисимметричного по индексам s, k тензора с непрерывными компонентами, имеющими непрерывные частные производные первого и второго порядка во всех точках объема V4. При этом уравнения импульсов (8.11) окажутся справедливыми как для тензора Pjk , так и для тензора
P/ + qQ* . (Ю.5) Можно показать, что при выбранном наборе аргументов функции Л и выбранном виде функционала 6W* в соотношениях на поверхностях сильных разрывов по-прежнему будут участвовать компоненты тензора Pik . Отмеченное свойство может оказаться существенным при установлении вида тензора энергии-импульса в усложненных моделях континуумов, когда тензор энергии-имшульса может выбираться неоднозначно.
Нетрудно проверить, что при добавлении к лангранжиану члена вида ▽,£? уравнения Эйлера остаются неизменными, а краевые условия на поверхностях сильных разрывов изменяются. Этот факт в явном виде подтверждает часто упускаемое положение о том, что условия на поверхностях сильных разрывов и краевые условия нельзя выводить из уравнений Эйлера (в частности, условия для разрывных движений не могут быть выведены из уравнений импульсов).
Из вариационного уравнения также могут быть получены соотношения на поверхностях сильных разрывов для моделей континуумов в рамках общей теории относительности Однако, в отличие от способа получения условий на поверхностях сильных разрывов для рассмотренной выше простейшей модели континуума в СТО, процедура получения условий на поверхностях сильных разрывов в ОТО оказывается несколько более сложной. Эта сложность связана с тем, что даже в простейших моделях континуумов в ОТО, наряду с аргументами %屮,М, %М, gi/,B число аргументов лагранжиана Л входят вторые производные варьируемых компонент метрического тензора. Наличие этих производных приводит к появлению в функционале 6W слагаемых, содержащих вариации 0g”, а также ковариантных производных от этих вариаций V尼 dg〃, которые уже нельзя считать независимыми между собой I Поэтому для получения условий
1 Необходимо отметить, что с аналогичной ситуацией приходится встречаться и в специальной теории относительности, когда в число аргументов лагранжиана входят производные порядка выше первого от аргументов 丛厶,либо производные от аргумента %/.
на поверхностях сильных разрывов в ОТО необходимо прове- сти предварительное преобразование подынтегрального поверхностного интеграла, получаемого из вариационного уравнения после варьирования первого слагаемого вариационного уравнения с учетом выбранного выражения для функционала 6步*
J {Р^^ + ТкЦ dgii + Т Ms/S dgii + М^А) nh do3. (10.6) £-8±
В формуле (10.6) компоненты тензоров Л*, 7” Т“"“ н М^ задаются формулами (9.11), (9.12), причем величины Т&〃 и 小叮 определены с точностью до слагаемых VsN^j и Л/尼叮 соответственно, где N&sU=—N8kif — произвольные дифференцируемые функции любых аргументов.
Преобразуем выражение для функционала (10.6) к виду, содержащему вариации искомых функций 6/, 6рД dgij и производные по нормали к поверхности Ез + S от вариаций dgij. Положим, что поверхность 2з+5 — достаточно гладкая (для это- го достаточно, чтобы поверхность S была достаточно гладкой^ так как объем У《и ограничивающая его поверхность £з произ- вольны). Пусть на поверхности S введена система координат ^а (а=1, 2, 3). Тогда ковариантная производная V/ от вариаций определяющих параметров может быть представлена в виде составляющих — касательной и нормальной к поверхности S
% =(砂一£几仆)办+£%•#“= С у；+ 己& —^―. (10.7} Dn
Здесь D/Dn=nkVk — символ ковариантной производной па нормали к поверхности S, £=д^м'м/ — индикатор знака модуля вектора нормали, Va — символ ковариантной производной на поверхности S. В формуле (10.7) величины J? определяются равенствами
^ = G^gii^
в которых G" — контравариантные компоненты первого метрического тензора поверхности S в системе координат Н 工官= =дх8/д^ — компоненты базисных векторов, касательных к поверхности S. При получении второй части формулы (10.7) использовано известное равенство, связывающее компоненты вектора нормали и, и компоненты векторов g；, касательных к поверхности S:
% — $〃$ 储==C： C・
Заменяя ковариантные производные V/ в выражении для «функционала (10.6) по формуле (10.7), получаем следующее выражение для интеграла (10.6):
(\ Р^пкЬх( + М1пк^А +
+ [7材依一?：(丁*必 SC：)]dg“ + Tksi\nkns^-dgAda3 +
+ J V：(T^J"；dg")而s・(Ю.8)
4ds 土
Нетрудно проверить, что компоненты тензоров
Tkiink- V： d пЛ 0,7^'%曲 ％
определяются вариационным уравнением однозначным обра* зом и не зависят от произвольных функций Nksift входящих в формулы (9.12). Далее ограничимся случаем, когда поверхностный интеграл функционала 6取* равен нулю. Записывая элемент трехмерной площади в виде
曲з= M^dG或2愿
где G = det || Ge₽|| (G^ — компоненты первого метрического тензора в системе координат С поверхности S), и предполагая, что вариации 0g“，纟 dg“，女‘，^А непрерывны и линейно независимы на поверхности разрыва S, приходим к следующим условиям на скачке в точках поверхности:
[(尸" 纭- V：(/% ⑦)М万]：=0,(Ю.9)
[宀%%/5卜0,(10.10)
\PiknkV^ = ^(ЮЛ1)
[M^nk /G ]； = 0.(10.12)
Здесь вектор нормали п с компонентами % направлен от стороны 2 к стороне 1 и принято обозначение [Q]? = Q2 — Qi, а индексами 1 и 2 обозначены значения функций по разные стороны поверхности разрыва.
При выводе равенств (10.9) — (10.12) учтено, что координаты и их вариации на поверхности S непрерывны, тогда как метрика и элементы площади могут быть разрывными.
При переходе с одной стороны поверхности разрыва на другую предположение о непрерывности координат %’ и вариаций °gfj，2 °gij，бцА и 6%' связано с допущениями об отсутствии внутри сплошной среды разрывов типа трещин или дислокаций и с существенным требованием о превращении условий на скачках в тождества, когда на поверхности S нет сильного разрыва. Очевидно, что условия (10.11) совпадают с обычными уравнениями сохранения импульса и энергии на скачке. Условия (10.12) возникают только в том случае, когда функция Л зависит от ковариантных производных 7лЦЛ некоторых параметров цА.
В заключение отметим, что если лагранжиан Л зависит от производных искомых функций р/ и х^к) порядка выше первого, то в выражении (10.6) под знаком интеграла будут присутствовать члены вида
Na Vi^A^ N^yz/eN%,..・，
N?・ky心士 и» M严 V/V/"%, •・•
В этих случаях подынтегральное выражение (10.6) можно привести к виду, аналогичному (10.8), таким образом, чтобы в нем содержались ковариантные производные от брЛ и 6/ только по нормали п к поверхности разрыва S. После таких преобразований с учетом непрерывности производных от вариаций
疋nsnk^s办加Л・・•， 标Vff； 紋〃*V$Vh証-・・
могут быть получены дополнительные соотношения на поверхностях сильных разрывов.
Очевидно, что при наличии среди аргументов Л производных высшего порядка от искомых функций повышается и порядок уравнений Эйлера.
Тензоры энергии-импульса для некоторых специальных моделей сплошных сред
На основании развитого выше вариационного метода (см. § 7 настоящей главы) можно получить выражения для тензоров энергии-импульса для конкретных моделей сплошных сред в рамках различных принятых моделей геометрических пространств
и времени L В общем случае компоненты тензора энергии-импульса можно представить в виде
W = pk[ /z =-夕"+ 〃Q + W (/ + J W17,(11.1>
где компоненты четырехмерного тензора 川，компоненты четырехмерных векторов ^ и G' н четырехмерный скаляр U определяются равенствами, в которых 力^ = & ——〃$〃储
产=-/Up?zJ^UihimP^t
G* = A^и}Рт19U =umun 尸叫 ° L2>
Из равенств (11.2) следует, что
Ui р" = uj р" = 0, 〃/ £ = 0, i〃G‘= 0.
В собственной системе координат четвертые компоненты векторов £‘ н G' н четвертый столбец и четвертая строка матрицы компонент тензора 曲 равны нулю.
В собственной системе координат для тензора энергии-импульса Pi четырехмерный скаляр U является объемной плотностью энергии, четырехмерный вектор се* — объемной плотностью потока энергии, четырехмерный вектор 丄 G' — плотностыо импульса, а компоненты тензора р" — компонентами обычного трехмерного тензора напряжений в собственной системе координат.
На основании общих формул (11.2) нетрудно получить выражения для тензора напряжений, плотности потока энергии, плотности потока импульса и плотности энергии для каждого из приведенных ниже конкретных тензоров энергии-импульса сплошной среды.
Тензор энергии-импульса «пыли», т. е. континуума, состоящего из невзаимодействующих частиц с плотностью массы по* коя ро> может быть получен из вариационного уравнения с лаг* ранжианом, определенным формулой
Л = — ро с',и функционалом 6W*, равным нулю, и определяется формулойр" = р0 02 〃 〃/
Тензор энергии-импульса идеальной жидкости может быть получен из вариационного уравнения, если лагранжиан задан, формулой
А =—PM* —PoU
1 Выражения для тензоров энергии-импульса электромагнитного поля приведены в § 5 гл. IV.
(где ро — плотность массы токоя, U — термодинамическая плотность внутренней энергии идеальной жидкости, зависящая только от плотности ро> а функционал 6步* равен нулю) и опре- деляется формулой
Р"=炉(Ро + Ро ^ + ^)出 и1 —尸g",
где через р обозначено давление в идеальной жидкости, связан- ное с плотностью внутренней энергии формулой
Основным признаком, отличающим модели классических жидкостей (или газов) от других моделей деформируемых сред, является допущение, что зависимость внутренней энергии от деформаций проявляется только через плотность среды р0 и что лагранжиан зависит от аргументов х/ только через плотность массы покоя р0. Иначе говоря, по определению для жидкостей и газов в типичных примерах принимается, что
А = —Pod —ро。®,厂，VhL, s, gu), (И.З)
где U ——плотность внутренней энергии, рассчитанная на единицу массы покоя, цА — дополнительные переменные искомые параметры, которые могут быть как скалярами, так и тензорами, служащие для описания усложненных моделей жидкостей или газов.
В случае обратимых процессов, т. е. для идеальных жидкое^ тей и газов, по определению второй закон термодинамики имеет вид
P°7ds = dQQ
поэтому при отсутствии внешних сил можно принять, что
6IF*= J Po76sd九.
При необратимых процессах (например, при учете диссипативных процессов, обусловленных вязкими свойствами) выражение для функционала 6步*, вообще говоря, усложняется. В некоторых случаях (например, в моделях вязких жидкостей) на основании термодинамики необратимых процессов выражение для функционала 6吋 следует брать в виде
2 =2 =j @ 75s - *w V 左 3/+ Ма 互产)d匕，(11.4}
2 =
2 =
где компоненты тензоров тл , Ма необходимо задавать исходя из дополнительных термодинамических соображений.
Из вариационного уравнения с лагранжианом Л, взятым в виде (11.3), и функционалом 6取*, взятым в виде (11.4), стандартным образом получается система уравнений Эйлера и выражение для тензора энергии-импульса.
Обозначая через р = р? -^—давление в жидкости, выражение для тензора энергии-импульса может быть записано в виде
Р2 = —р (豆一& 歩)+ Ро(с2 + U) Ui 以 +
+ 七2 - Po —叫 丁 W厂一Ma Fbi ^-
При построении моделей деформируемых тел в качестве основной характеристики деформирования вводится тензор конечной деформации, определяемый локально в сопутствующей системе координат изменением длины пространственных бесконечно малых индивидуализированных отрезков dl (перпендикулярных в каждой точке к мировой линии) вдоль мировой линии, отвечающих бесконечно малым приращениям лагранжевых координат djl d?, d£
Наиболее простой и чаще всего употребляемой характеристикой изменения длины индивидуального отрезка
“ =一 h^d^ = 一 Ьц(^^
может служить разность
或2 - d/2 =(碟-展В)恋七户，
где индекс 0 указывает на то, что компоненты метрического тензора h^ на элементе поверхности, ортогонального данной мировой линии, вычислены в некоторый «начальный» момент собственного времени то.
Для двух разных точек мировой линии, Мо и Mt могут быть введены различные тензоры деформации 1
Е=%3*=^(^・一М)3®
Е = Ец эг э[ = }• (h〃一万〃・)寸 sz.
Далее ограничимся использованием только тензора Е. Для лагранжевых и эйлеровых компонент тензора Е справедливы формулы
Д7 = "Y [ 3〃(Мо) — В (М°) и)( Мо)—
—Е〃(М) +2(Af) Z(M)],—Е〃(М) +2(Af) Z(M)],⑴・5)⑴・5)
—Е〃(М) +2(Af) Z(M)],
—Е〃(М) +2(Af) Z(M)],
⑴・5)
⑴・5)
e"= ХГ爲|旨焉g，PgS _g" +必必一^ .
2 [gmn *4 *4
В отличие от рассмотренной в п. 3 модели жидкости выражение для лагранжиана Л при построении модели упругого тела в рамках СТО имеет вид
A = —poc2-poU(E“，а* 办不，s, g“(d)),(116)
где плотность внутренней энергии упругого тела U зависит от компонент тензора упругих деформаций Е^. Наличие среди аргументов лагранжиана параметров 卩厶 позволяет в данной модели учесть дополнительные внутренние степени свободы. Необходимо также отметить, что характерное свойство упругой среды состоит в том, что все процессы, происходящие в упругой среде, считаются обратимыми, вследствие чего второй закон термодинамики для действительных и варьируемых процессов имеет вид
PoTds = AQ") и poTbs = 6Q?
и, следовательно, выражение для функционала 6取* в отсутствие дополнительных задаваемых функций Ма будет следующим:
8^= J PoT3sdV4.(11.7)
Из вариационного уравнения с лагранжианом Л, задаваемым формулой (11.6), и функционалом 8W*9 задаваемым формулой (11.7), можно получить выражение для компонент тензора энергии-импульса упругого тела:
以一心+ U)研7 р。券窘此+ 生 ^S1.
Используя равенство 亠=—— 乩 ％, справедливость kos торого нетрудно проверить, из формул (11.5) получим соотношение
丝"- Л?гг gkn - 2—
М 2 L
_ йо ^^^ + (审m*，叫4T)(®，j "ds，
на основании которого выражение для тензора энергии-импульса может быть записано в виде
& = P°d + S W〃 + % 蒜(-/Z'm +
+ 覃"" uJ - 以m un 〃/ %) + p0 -^— 口 步а.(11.8)/
“/А
Формула (11.8) представляет собой обобщенное уравнение состояния для четырехмерных «напряжений» в нелинейной тео* рии упругости в рамках специальной теории относительности.
§ 12. Модели пластин, оболочек, стержней
В настоящем параграфе приведены выражения для лагранжиана Л и функционала 8W*t на основании которых из вариационного уравнения в рамках ньютоновской механики могут быть получены динамические уравнения теории пластин, стержней и оболочек. Далее через 炉(i = 1, 2, 3) будем обозначать декартовы координаты в трехмерном евклидовом пространстве, через t — время, через ^(«=1, 2)——лагранжевы координа* ты, связанные со срединной поверхностью. С помощью малых латинских индексов обозначены компоненты векторов в системе координат наблюдателя W, а с помощью малых греческих индексов —компоненты векторов и тензоров в сопутствующей системе координат 守・
Модели тонких упругих оболочек 〃 пластин. В моделях пластин и оболочек приняты следующие обозначения: Л ——тол* щина пластины или оболочки;炉=；'(少)=i (守，/0) — урав-
нения срединной поверхности Q пластины (оболочки) в начальном (недеформированном) состоянии; / =尸笛，)一закон движения срединной поверхности Й; г^, /) — компоненты радиуса-вектора точки поверхности 2 с лагранжевыми координатами У；办(艮。^ 厂传气 /)—尸化％ 厶)—перемещения срединной поверхности; %3 = *「出 н b^ = п^в {— компоненты метрических тензоров первой и второй квадратичных форм поверхности Q соответственно; Га= дг7^а — компоненты касательных векторов к поверхности Q; М — компоненты вектора единичной нормали к поверхности С；厂工— оператор ковариантного дифференцирования по метрике аар： 口丁3 = +「2丫丁丫，где символы Кристоффеля「?丫 выражаются через компоненты метрического тензора первой квадратичной формы по формулам
В последней формуле через а"' обозначены контравариантные компоненты метрического тензора первой квадратичной формы, матрица которого обратна матрице а。丁 Значения первой и второй квадратичных форм в начальном состоянии будем обозначать через Zp, %% а оператор ковариантного дифференцирования по метрике ；ав — через va.
В результате усреднения по толщине базовое вариационное уравнение имеет вид
8 jj Ad^dt + iW^ + iW = Ot(12.1)
где dw = V^ dd^i砾2—элемент площади поверхности (a =： =det fl aap||); Л —плотность функции Лагранжа, равная (— U) (U — поверхностная плотность внутренней энергии); 8W7* — иеголономный функционал, описывающий виртуальную работу внешних сил, распределенных по поверхности Q (включая работу сил инерции); 8IF — функционал, определяемый из вариационного уравнения (12.1) по заданным А и BIT*.
Процедура построения двумерной модели с помощью вариационного уравнения состоит в выборе искомых функций и зада-
ний функции Л и функционала 6步*. В дальнейшем ограничимся случаем, когда оболочка (или пластина) является физически линейным однородным изотропным упругим телом с коэффици* ентами Ламе 尢卩 н постоянной плотностью ро.
Упругая пластина (модель Кирхгофа)1. В модели рассматривается одна искомая скалярная функция и (^а, /) — среднее нормальное перемещение пластины.
Выражения для поверхностной плотности внутренней энергии и функционала 6吋 имеют вид
入+2* '(12.2>入+2* '(12.2>U==^[a(A〃) + VaV0^VeV0«] >
入+2* '
(12.2>
入+2* '
(12.2>
6%= f fР(Л^6口+/6〃 d^dt9
где f — нормальная составляющая внешней силы, А = уа ух — двумерный оператор «Лапласа.
В выражении (12.2) для 6步* первое слагаемое соответствует работе сил инерции на возможном перемещении 6〃，второе — работе внешней поверхностной силы, действующей на пластину.
Упругая оболочка (классические линейные модели). В классических линейных моделях состояние упругой оболочки определяется тремя функциями u* (ga, /), имеющими смысл средних по толщине перемещений оболочки.
В качестве функции поверхностной плотности внутренней энергии U берется квадратичная форма
и/4в, Рав)三闷。(思户 + 4р人叫 +^[а(р讨 + раЭр叫(12.3》 по мерам деформации оболочки Аае (мере растяжения) и ра» (мере изгиба), а в качестве функционала 6W^ — выражение
『J —phR-Bui+fi&u； d^dt. (12.4>
За меру растяжения 4aP в теории оболочек принимается разность первых квадратичных форм в актуальном и начальном состояниях оболочки, которая в линеаризованной по перемещениям форме имеет следующий вид:
/(»3 = V(a 〃 В) — baR “/(»3 = V(a 〃 В) — baR “"a =%"厶 U =总U‘."a =%"厶 U =总U‘.(12.5)(12.5)
/(»3 = V(a 〃 В) — baR “
/(»3 = V(a 〃 В) — baR “
"a =%"厶 U =总U‘.
"a =%"厶 U =总U‘.
(12.5)
(12.5)
По аналогии, за меру изгиба естественно взять линеаризо* ванную по перемещениям разность вторых квадратичных форм оболочки в актуальном и начальном состояниях: BaP=nfVaVpU/. В целях упрощения уравнений теории оболочек в качестве меры изгиба вместо % чаще используются асимптотически эквивалентные мере меры изгиба Койтера — Сандерса
PaP= VaV3^ + V(a (瓦)4人)+ ^ 期入, (即，6) ①aB=十俗。1 "в — VB "a)
и мера изгиба Новожилова — Балабуха
” =—PaB•方 ％ * / ,^ = -у ,
一(12.7)
d^b^XVb^瓦产恥ё*$=^瓦。产.
Здесь скобками в индексах обозначена операция сим* метризации, жонглирование индексами осуществляется с помощью метрического тензора 評；ea0 — двумерный символ Леви-Чивита. В выражении (12.4) для функционала 6取* первое слагаемое соответствует работе сил инерции, второе—работе внешней силы 尸.
Упругая пластина (нелинейная модель Кармана). В модели — три искомые функции иа (&а), я(^а), имеющие смысл средних по толщине перемещений пластины.
Функция плотности внутренней энергии и функционал 6W* задаются формулами
U = m 卜(T» + 7aB 产］+ p ^［u(心)2 + %В 产］，
8W7*8W7*J J f8 a do)dt9J J f8 a do)dt9
8W7*
8W7*
J J f8 a do)dt9
J J f8 a do)dt9
где меры растяжения тв3 и изгиба 翼。^ определяются равенствами
Т«0 e V(0 Wa)+g，a 〃^В 〃■Т«0 e V(0 Wa)+g，a 〃^В 〃■а0 n ?а VB 〃•а0 n ?а VB 〃•
Т«0 e V(0 Wa)+g，a 〃^В 〃■
Т«0 e V(0 Wa)+g，a 〃^В 〃■
а0 n ?а VB 〃•
а0 n ?а VB 〃•
В выражении для функционала 6步* отсутствует член, отвечающий работе сил инерции (статический случай).
Упругая оболочка (геометрически нелинейные модели). В модели — три искомые функции 戸(廿，f) — закон движения срединной поверхности оболочки. Функция плотности внутренней энергии U и функционал 8W* задаются формулами
U н 4л(7呐 Рав) (Койтер1),
ИЛИ
U в ^кл (*faB，8»В),
BIF* =BIF* =“I“I際Lj〃 +产计,• ］（^）必,際Lj〃 +产计,• ］（^）必,
BIF* =
BIF* =
“I
“I
際Lj〃 +产计,• ］（^）必,
際Lj〃 +产计,• ］（^）必,
где меры растяжения 7а3 й изгиба Ва3 (ра3) определяются равенствами
у (%В — £ J = "^ (片 ％ — 士в)，
纥B =九8 - &В = % %彳-&伊纥B =九8 - &В = % %彳-&伊(12.8)(12.8)
纥B =九8 - &В = % %彳-&伊
纥B =九8 - &В = % %彳-&伊
(12.8)
(12.8)
р0ф -纥в -咏n)入•
Упругая оболочка (модель с учетом геометрических поправок) 2. В модели — три искомые функции 戸(ga, f) — закон движения срединной поверхности оболочки. Функция поверхностной плотности внутренней энергии U и функционал 6步* задаются формулами
(12.9)(12.9)1 К o i t e г W. T. On the nonlinaer theory of thin elastic shell // Proc. Kon, Ned. Ak. Wet.-1966.-V. 69-P. 1-54.2 Бердичевский В. Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек // ПММ. — 1979. — Т. 43, вып. 4. — С. 644—687.1 К o i t e г W. T. On the nonlinaer theory of thin elastic shell // Proc. Kon, Ned. Ak. Wet.-1966.-V. 69-P. 1-54.2 Бердичевский В. Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек // ПММ. — 1979. — Т. 43, вып. 4. — С. 644—687.U = UfCJ!(T(xB，P(xB)+。nep(7«0，PaB)， 4ер(Т，P)= — В ^
(12.9)
(12.9)
1 К o i t e г W. T. On the nonlinaer theory of thin elastic shell // Proc. Kon, Ned. Ak. Wet.-1966.-V. 69-P. 1-54.
2 Бердичевский В. Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек // ПММ. — 1979. — Т. 43, вып. 4. — С. 644—687.
1 К o i t e г W. T. On the nonlinaer theory of thin elastic shell // Proc. Kon, Ned. Ak. Wet.-1966.-V. 69-P. 1-54.
2 Бердичевский В. Л. Вариационно-асимптотический метод построения теории оболочек // ПММ. — 1979. — Т. 43, вып. 4. — С. 644—687.
М+ ({Pi}~h^[P^^М+ ({Pi}~h^[P^^(12.10)(12.10)гдегде
М+ ({Pi}~h^[P^^
М+ ({Pi}~h^[P^^
(12.10)
(12.10)
где
где
8= ^【Ph；-^{P}pt，Р = РМ
В формулах (12.9) меры растяжения 丁。^ и изгиба ра3 определяются формулами (12.8), выражение для (7КЛ — (12.3) и также приняты обозначения
£入=七-方心，力=%足.
В формуле (12.10) для &IF* первое слагаемое — работа сил инерции на возможных перемещениях, остальные слагаемые —работа внешних поверхностных нагрузок Р±, действующих на лицевые поверхности оболочки на возможных перемещениях. Через {Р} и [Р〔 обозначено
{Р\^^ + Р^ [Р] = % — /＞」
где % н Р^ — компоненты внешних поверхностных сил на различных сторонах оболочки.
Упругая оболочка (модель с учетом поперечного сдвига). В модели пять искомых функций ”&, f).旷(&工 0- Функции г/ (Г, f) описывают средние по толщине перемещения оболочки;屮°(廿，0 — углы поворота нормальных волокон (внутренние степени свободы). Функция поверхностной плотности внутренней энергии U и функционал iW^ задаются формулами
и = £4л(4в，Рав)+и呻(4в，Ра3)+^^?а(ра,(12.11)
‘〉* = f J[f '(糸舐'+/("告。)"爷 3屮。 +
+ ^胪 ^F Vx Sux )]d^+Mg d, (12.12)
ЙЛПОВ= J [ ({Л} -八白⑶)^-^h [Q]总 Va 8^-5Врш ；
где
日=专o([口+ ^八①們)理一*尸(仍} +
+ ^Ava И)Р?-^ИЧ- (12.13)
В формулах (12.11) — (12.13) компоненты тензоров pap,^ <pa выражаются через uh Фа по формулам
Pa0 =——V(a 屮В) + 务^ 30)入,8aBes}Ga〃B —仇〃)
中ан屮a +哀〃 +£ "入,
а компоненты тензора АаЭ — по формулам (12.5). Выражения для Um и Ugp даны под номерами (12.3) и (12.9) соответственно. В выражении (12.12) для 8м* первые три слагаемых — работа сил инерции на возможных перемещениях, слагаемое бЛпов — работа внешних поверхностных нагрузок Р, на возможных перемещениях.
Упругая оболочка (модель высокочастотных колебаний) х. В модели восемь искомых функций лагранжевых координат 1 и времени /: 〃:屮°,屮，и°・ Функции
1 Бердичевский В. Л., Ле Хань Чау. Высокочастотные колебания оболочек //ДАН СССР. — 1982. — Т. 267. № 3. — С・ 284—289.
〃'(&* /) имеют смысл средних по толщине перемещений оболочки. Кинематический смысл функций 屮* 屮,。“， которые могут быть истолкованы как внутренние степени свободы, следует из связей между трехмерными перемещениями оболочки И функциями UZ,屮\ 屮，V®, КОТОрЫв В ПврВОМ приближении имеют вид
w = # 叫=〃 + 屮 /2 sin —, h
Wa n r^w. = Ua — ^Va U 4-冷 ％) E +
+ ® 系Sin午+ %丿5cos竿，
где Wi — трехмерные перемещения, 5 — поперечная координата (||| < Л/2),屮a = Wa+E〃 +◎ 〃入.Таким образом, функции Фа = фа + Va ^ + ^а 〃入 описывают меру «синусоидального» сдвига поперечного волокна, ф — степень его обжатия, ^а ——амплитуду внутреннего перемещения поперечного волокна, когда частицы лицевых поверхностей перемещаются в одну сторону, а частицы срединной поверхности — в другую.
Данная модель задается функцией поверхностной плотности внутренней энергии U и функционалом dW* вида
。="^ № S](川)2 + 2 4в 4aB + ^. (о (р/ 十 PaB p№)十
+ «2 ?аф ?вф +^3(vxVX) +2&依。戸'° 濟 +
+ 2厶 A-1 ^Al + 2r2h^1^^ + 2r3h^1 vx^ +
+ ??«ФаФа + 传『"* + filh^va и" ] »
「。"詳М +加需叱+
+答冲+嗤叫）卜器+ "7〃
Mus = J ({Р} 6〃“ + а^ [Р] 3% + a2h 仍a] Va 迎 +
+/仍]帅一 a/Q}吗)dh.
где компоненты 厶。^ Рав， Фа определены равенствами (12.5) и (12.14), а коэффициенты S[, s2, S3, rh q，П, M，卩2,卩з выражаются через коэффициент Пуассона v упругого материала оболочки.
Модели тонких упругих стержней и пружин. Под упругим стержнем обычно понимают линейное упругое тело, занимающее в недеформированном состоянии объем V, полученный ® результате движения вдоль пространственной кривой Г плоской фигуры S, в каждой точке перпендикулярной Г. При этом считается, что для геометрических характеристик стержня вьь полняются неравенстаа
匕《1 и ——《1,
где Л — максимальное расстояние между точками границы фигуры S; R — минимальный радиус кривизны — кручения кривой Г; |Г| — длина кривой Г.
В деформированном состоянии уравнение движения кривой Г в декартовой системе координат имеет вид х* = г*(^), где g — лагранжева координата, длина дуги вдоль кривой Г. При указанном моделировании стержня пространственной кривой Г удобно использовать локальный трехмерный ортонормирован- ный репер, один из векторов которого р； является касательным к Г, а два других 亡(а=1, 2) связаны с фигурой S. В недеформированном состоянии векторы орторепера будем обозначать ；£(Е) = d*/d& и та (Е), причем эти векторы удовлетворяют равенствам (аналог формул Френе)
半(12.14)
где wi и(02 — кривизны, a g)3 — кручение стержня, еаъс — символ Леви-Чивита, индексы а, 6, с пробегают значения 1, 2, 3, величины с верхними и нижними индексами совпадают. Если
оз^О, то стержень называют естественно закрученным.
В деформированном состоянии стержня справедливы формулы, аналогичные формулам (12.14):
(12.15>
ыыоси стержня удлиненияиспользуяоси стержня удлиненияиспользуягде s — длина дуги вдоль кривой Г. Удлинение описывается функцией s=s (±). В качестве обычно выбирается величина 7= -~ (("^)— которую, формулы (12.15) можно записать в виде
ы
ы
оси стержня удлинения
используя
оси стержня удлинения
используя
^ = —〃ьс/1 十 2丁^ = —〃ьс/1 十 2丁(12.16)(12.16)
^ = —〃ьс/1 十 2丁
^ = —〃ьс/1 十 2丁
(12.16)
(12.16)
Из сравнения формул (12.14) и (12.16) следует, что меры изгиба G и кручения Q3 стержня можно определить формулами
(12.17)(12.17)❷=/1 十 2 7 久(s(E)) — k (E),
(12.17)
(12.17)
которые можно преобразовать к виду
Л d^c о
^а = — %Ьс" ~ 一 ％.(12.18)；
Система дифференциальных уравнений, описывающая поведение стержня, может быть получена из вариационного уравнения
|о|
8 f (一u)匪 + 6力冷 + 34吨=0,(12.19>
о
где U — одномерная плотность внутренней энергии; 64Kp — работа внешних нагрузок, распределенных по кривой стержня на возможных перемещениях; бАторц — работа нагрузок, действующих на торцах стержня на возможных перемещениях. Ниже приведены некоторые конкретные модели стержней.
Упругий нерастяжимый стержень (модель Кирхгофа — Клебша). В модели искомыми являются функции 「' (&,« 售), удовлетворяющие следующим ограничениям:
一1=0, *务=6《”尸忆，
первое из которых представляет собой условие нерастяжимости стержня. Уравнения модели упругого нерастяжимого стержня получаются из вариационного уравнения (12.19), если функция U задается в виде
и = Т (*&& + 2 8a Q* + g)
а работа внешних распределенных нагрузок Мкр — в виде
Мкр= ^(Qi^+Q^d^.о
Здесь Qf, Q? — «обобщенные» силы, совершающие работу на возможных перемещениях 8/ и 6七；；4°° — жесткость на изгиб; С — жесткость на кручение, а компоненты вектора 6° характеризует перекрестный эффект между изгибом и кручением.
Упругий стержень. В модели искомыми являются следующие функции：，(Е), 4(|). Функции /(?)——компоненты радиуса-вектора деформированной оси стержня; 4 — два единичных вектора, которые удовлетворяют ограничениям
Модель стержня задается выбором функции U в виде квадратичной формы по мерам растяжения 丁, изгиба Qa и кручения Q3S£2 и выражения для 6%кр в виде
U = ^ (牙 + £В % & + OP + 2т(ДаЙд + AQ) + 2 В。& »
|г|
= J (Qt标+ Q*由或・(12.20)
Здесь Qi и Q? — обобщенные силы, совершающие работу на приращениях 8/ и *；, коэффициент Е имеет смысл эффективного модуля Юнга, Ла3 — компоненты тензора жесткости на изгиб, С — жесткость на кручение, а коэффициенты 能 Л, Ва характеризуют перекрестные эффекты между изгибом, кручением и растяжением.
Модель пружины). Все приведенные в настоящем параграфе выражения для плотности внутренней энергии представляли собой квадратичные формы по мерам деформации. Интересный пример модели стержня с нетривиальным нелинейным взаимодействием между кручением и растяжением представляет собой модель эффективного стержня пружины, полученная посредством усреднения модели Кирхгофа — Клебша для нерастяжимого стержня, свитого в недеформированном состоянии в винтовую линию так, что векторы т« повернуты вокруг вектора ^з на некоторый постоянный угол(р0 относительно естественного трехгранника Френе винтовой линии.
Для пружины величины(оа постоянны по ^ и выражаются формулами
& в — cosa0 sin(р0,
a)2 = —cos%cos%, А
w3 = ^sina0,
где А н а。一 длина и угол подъема винта пружины.
Эффективный стержень в недеформированном состоянии является прямым и совпадает с осью винтовой линии пружины. В деформированном положении состояние эффективного стержня задается функциями 巧售)一компонентами радиуса-вектора точек эффективного стержня,七公(士) — компонентами ортонормированной тройки векторов, связанных с эффективным стержнем и дополнительной функцией(р(±)——внутренней степенью свободы. В недеформированном состоянии угол (р(±) постоянен по § и равен фо. Векторы т； в недеформированном состоянии также постоянны по §, а кривизна и кручение эффективного стержня в недеформированном положении равны нулю. Поэтому меры изгиба Qa и кручения Q3 для эффективного стержня выражаются формулами
01 Zi' 7с
Бердичевский В. Л., С у т ы р и н В. Г. Проблема эквивалентного стержня в нелинейной теории пружин 〃ПММ. — 1983. — Т. 47, вып. 2.— С. 238—248.
В качестве характеристики растяжения используется велМина
которая в недеформированном положении ра&на sin о()・ Плотность внутренней энергии эффективного стержня пру
жины выражается формулой
2и^меа% + 1алаа9
% = — (2к/Д + Q3) / 1 — х2 sin ф — <«1,(12.21)
% = (2п/А + %) /1— х2 cos ф — со?，
% s (2н/А + ◎ J к — <оа.
Здесь через 1аЬ обозначен смешанный тензор жесткостей на изгиб и кручение: /аР=4а₽, /а3=Ва, /33=С, а через / — величина
где Jab — матрица, обратная к матрице №.
ГЛАВА IV
МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Вводные замечания о характерных параметрах электромагнетизма
Наука об электромагнитных взаимодействиях и электромагнитных явлениях зародилась сравнительно недавно, около двух столетий тому назад. Однако за этот отрезок времени накоплен^ огромный объем опытных фактов по электромагнитным явлениям, создано большое число теоретических моделей для объяснения этих фактов, на основании которых установлено, что электромагнитными эффектами объясняется очень большое число физических явлений и процессов. При этом оказалось, что описание внутреннего механизма как микро-, так и макровзаимодействий в телах, изучаемых в различных фундаментальных разделах физики, химии, механики и биологии, требует обязательного привлечения теории электромагнетизма.
В рамках механики сплошных сред наряду с силами гравитации вводятся силы электромагнитной природы, с помощью которых описываются некоторые характерные эффекты и закономерности взаимодействия вещества и электромагнитного поля как модельного физического объекта.
На основании обобщений наблюдений для описания электромагнитного поля вводятся различные понятия, поддающиеся количественным определениям и измерениям, позволяющие характеризовать электромагнитное поле и дать с их помощью формулировки различного рода закономерностей, обнаруживаемых в опытах.
Таким образом, выявляется возможность получения универсальных математических уравнений как исходных соотношений для построения моделей электромагнитного поля, которые можно конкретизировать с помощью дополнительных допущений и гипотез для выделяемых классов явлений. Такими уравнениями являются уравнения Максвелла.
Замечательно, что теоретическое осмысление электромагнитных опытов, в результате которого были сформулированы уравнения Максвелла, привело к необходимости пересмотра перво* начальных основ механики Ньютона. Вследствие этого изменения основ механики потребовалось углубление наших представлений о пространстве и времени, в результате чего возникли специальная и общая теории относительности.
Таким образом, произошло объединение основ механики и электродинамики и возникновение в известном смысле единообразных геометрических представлений о четырехмерном пространстве-времени. Опыт показывает, что теории гравитационных л электромагнитных полей не достаточны для научного описания всех природных явлений в окружающем нас мире. Однако эти фундаментальные теории имеют огромное значение в деятельности людей и служат основанием для понимания, построения и развития дальнейших модельных теорий в физике элементарных частиц, вообще в естествознании и во многих других областях научного познания.
Напомним теперь определение основных характерных величин, используемых в моделях электромагнитных полей.
В качестве основных принятых характеристик электромагнитного поля в трехмерных пространствах и во времени используются трехмерные пространственные векторы Е, D, Н и В, характеризующие напряженности и индукции электрического и магнитного полей в пустоте или в веществе, трехмерный вектор электрического тока j и плотность свободного электрического заряда р& а также дополнительные характеристики электромагнитного поля — трехмерный векторный и скалярный потенциал А и ф соответственно. Все перечисленные выше характеристики электромагнитного поля могут рассматриваться как функции лагранжевых координат V(« = l, 2, 3) и собственного временит или как функции координат наблюдателя 炉 и времени /.
В четырехмерном глобальном псевдоевклидовом пространстве Минковского (в специальной теории относительности) и в локальном касательном пространстве Минковского (в общей теории относительности) электромагнитное поле в поляризующейся и намагничивающейся сплошной среде обычно описывается с помощью антисимметричных тензоров электромагнитного поля F и Н, матрицы компонент которых в инерциальной декартовой системе координат с ортонормированной тетрадой базисных векторов 凱 имеют вид
屋0母屋0母flUJ^oflUJ^o
屋0母
屋0母
flUJ^o
flUJ^o
(11)
о ^^- ^о ^^- ^£ £ £ о£ £ £ о
о ^^- ^
о ^^- ^
£ £ £ о
£ £ £ о
компоненты трехмерногокомпоненты трехмерногополярного вектора электриполярного вектора электри
компоненты трехмерного
компоненты трехмерного
полярного вектора электри
полярного вектора электри
ческой напряженности, 5a — компоненты трехмерного аксиального вектора магнитной индукции, Da — компоненты трехмерного полярного вектора электрической индукции, На ——компоненты трехмерного аксиального вектора магнитной напряженности, измеренные в данной инерциальной системе отсчета L
В связи с формулами (1.1) необходимо явно отметить, что трехмерные векторы напряженностей электрического и магнитного полей представляют собой физические характеристики электромагнитного поля, измеряемые приборами, сделанными из вещества и основанными на проявлении взаимодействий между полем и веществом.
Если ввести э» и з‘ — базисные векторы в собственной системе отсчета, э( и э£ — базисные векторы в системе наблюдателя, связанные линейными однородными преобразованиями
" = L/1， э^ = V：k э\ (1.2) то тензоры F и Н можно записать в виде
F =尸"э- 9丿=Ец эг э7 , Н = Н" 3j Эу =力"$3, (1.3) в которых компоненты матриц (1.1) равны компонентам тензоров F, Н и связаны линейными преобразованиями в соответствии с преобразованиями векторов базиса (1.2).
Очевидно, что формулы (1.3) верны при любых преобразованиях базисов э£ к произвольным базисам э и соответственно от э/ к эз Такого рода преобразования станут преобразованиями Лоренца, если оба вида базисов ортонормированы, т. е. декартовы.
Векторы напряженностей электрического и магнитного полей, вектор электрического тока и плотность свободного электрического заряда в собственной декартовой системе координат К*, движущейся с трехмерной скоростью v относительно системы координат К, нв системе координат К, связаны между собой формулами преобразования Лоренца
е1| = Ге* + ^хв*1 , Но =/h*-；xd*],
[е*+ Л хв* 1 (н* —二 х D*]e.=」_，…」丄.,h丄=I一上一L,
К 1-炉/洲 У 1-叫e2
Dl[d* + ：Xh], Bl[b* — ；XE[j (L4)
Fd* +1 X н*1[b*-1 XE*]
D 丄=厂 丄,Bl .二,工,
P 1-S/C2И 1-u2佇
力= Z=ZT■=， L=j丄， % = ■L,二:二=T . ]/ 1一吗~y 1 一叫d
Здесь символы ± и || означают составляющие соответствующих векторов, перпендикулярных и параллельных вектору трехмерной скорости V.
Согласно общим формулам преобразования компонент тензоров для тензоров F и Н будут справедливы формулы
*j = L；" L；f 耳з, 方"=Lf. L二"^ ・(1.5>
В этом случае матрицы тензорных компонент 尸〃 и "〃 имеют вид (1.1), в которых соответственно есть звездочки или их нет. Из формул (1.5) следует, что если, например, в собственной системе координат Е； =0, то в системе координат наблюдателя» относительно которой собственная система координат движется, Еа=/=0.
Необходимо отметить, что антисимметричные тензоры второго ранга F и Н являются характеристиками электромагнитного поля, не зависящими от выбора системы координат, в то время как компоненты этих тензоров, очевидно, зависят от выбора системы отсчета, в которой они вычисляются.
Наряду с тензорами F и Н при наличии эффектов поляризации и намагничивания для описания электромагнитного поля можно использовать еще антисимметричный тензор поляриза» ции — намагниченности М=Л/^э*э^, компоненты которого связаны с компонентами тензора F и Н равенствами
м“= Л(&-%)•(16)
Очевидно, что при отсутствии намагниченности и поляризации вещества в магнитном поле, например в пустоте, верны равенства
Мц = 0 и 尸〃• =//〃♦.
В собственной системе отсчета матрица компонент тензора М
имеет вид|1 “II =имеет вид|1 “II =0Мз—м；一力—Л4з0м；—炉—м：0一户3Р1户户00Мз—м；一力—Л4з0м；—炉—м：0一户3Р1户户0
имеет вид
|1 “II =
имеет вид
|1 “II =
0
Мз
—м；
一力
—Л4з
0
м；
—炉
—м：
0
一户3
Р1
户
户
0
0
Мз
—м；
一力
—Л4з
0
м；
—炉
—м：
0
一户3
Р1
户
户
0
где Л4а —компоненты трехмерного аксиального вектора намагниченности среды, а Ра — компоненты трехмерного полярного вектора электрической поляризации, связанные с компонентами трехмерных векторов электромагнитного поля равенствами
МЛ = — (йа —方D 户=丄("一К)
ИЛИ
в* = Н* + 4 n М*,D* = Е* + 4 n Р*.
Для векторов поляризации намагниченности справедливы формулы пересчета от одной инерциальной системы координат к другой, аналогичные формулам (1.4).
Как известно, уравнения Максвелла в трехмерной форме в любой декартовой инерциальной системе координат имеют вид
rot Е=—丄竺，div В = 0,(1.7)
с dt
2号+甘,2号+甘,div D = 4 n也,div D = 4 n也,
2号+甘,
2号+甘,
div D = 4 n也,
div D = 4 n也,
а в тензорной четырехмерной форме в произвольной криволинейной и подвижной системе координат как в специальной, так и в общей теории относительности имеют вид
Vz Fjh + у； Fki + Va 尸〃 =°,Vz Hki = 4冗/匕(1.8)
где Ik — компоненты четырехмерного вектора электрического тока, связанные с компонентами трехмерного тока /а и плотностью свободного заряда равенствами /а 广，Z4 = р.・ Вместо первого из тензорных уравнений (1.8) может быть взято уравнение
尸〃 =VM/-V/A-»
где Ai — комноненты четырехмерного векторного потенциалэ
А = Ai э\
Система уравнений Максвелла в векторной (1.7) и тензорной (1.8) форме сохраняет вид при любых преобразованиях Лорен* ца. Очевидно, что при наличии эффектов поляризации-намагниченности, а также при наличии электрических токов система уравнений (1.7) или (1.8) незамкнута.
Для получения замкнутой системы уравнений, позволяющей найти входящие в них функции, к системе уравнений (1.7) и (1.8) необходимо добавить уравнения, связывающие компоненты тензоров Fij и 〃叮,а также специальные зависимости для вектора 1к от компонент тензоров Л/ н "〃 L
При моделировании электромагнитного поля необходимо отметить, что характеристики поля вводятся и определяются с помощью малых приборов, сделанных из пробного вещества, помещенного внутрь поля и взаимодействующего с полем, в связи с чем возникает понятие об индивидуальных точках поля.
Одной из характеристик состояния пробного вещества является абсолютно определенный единичный времениподобный вектор четырехмерной скорости и. Поле скоростей и определяет собой индивидуальные точки вещества и их мировые линии, а производные вдоль мировых линий du/ds представляют собой ускорение, являющееся дополнительной геометрической характеристикой мировой линии. Четырехмерный вектор скорости пробных приборов оказывает влияние на их показания значений характерных величин поля. Эту скорость можно рассматривать не только как вектор собственной скорости масс вещества, индивидуализирующих точки приборов, но и как вектор скорости мировых линий, индивидуализирующих точки поля.
Электромагнитное поле в пустоте описывается уравнениями Максвелла (1.7) при условии, что D=E и В=Н, написанным» в произвольной декартовой инерциальной системе координат в СТО. В этом случае мировые линии вещества приборов — это прямые линии, параллельные оси времени. Эти прямые линии являются сопутствующими для покоящихся тел в рассматриваемой инерциальной системе. Таким образом, в пустоте каждое семейство инерциальных прямых можно рассматривать как семейство сопутствующих не только для пробных приборов, но и как сопутствующих для электромагнитного поля, выделяющего его индивидуализированные точки.
В качестве основного модельного постулата о взаимодействии вещества с полем можно принять (как это обычно и делается в уже существующих теориях), что сопутствующие мировые линии для поля и для вещества (для пробных приборов) в лю-
Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 3, 4 настоящей главы.
бых подвижных средах совпадают. Это значит, что индивидуальные точки и, следовательно, их мировые линии для поля и для вещества одни и те же. Справедливость этого постулата связана с допущением об отсутствии массы покоя индивидуальных точек поля, вследствие чего в индивидуальных точках вещества изменение характеристик электромагнитного поля следует всегда немедленно без запаздывания за изменением четырехмерной скорости вещества. Сформулированного постулата об индивидуальных точках недостаточно для описания взаимодействия в совпадающих индивидуальных точках вещества и электромагнитного поля. Эти взаимодействия могут иметь различную природу, в частности, они могут описываться с помощью массовых или поверхностных сил и в некоторых случаях с помощью притоков энергии (как тепловой, так и нетепловой) или с помощью антисимметричных тензоров (силовых моментов) и, вообще говоря, с помощью некоторых других физических механизмов.
В частности, в зависимости от конкретных свойств вещества как материального континуума во многих примерах проблему описания взаимодействия поля и вещества в соответствии с опытами можно описывать с помощью введения понятия о тензорах энергии-импульса для поля и вещества и с использованием различных законов сохранения. Однако в последнее время в приложениях, в теориях и на практике все чаще требуется еще дополнительно вводить понятия о моментах количеств движения и составлять уравнения моментов и уравнение первого начала термодинамики (иначе, закона сохранения энергии), которые в общем случае независимы от уравнений импульсов и соответствующего энергетического соотношения, вытекающего из формул для тензора энергии-импульса.
Во многих случаях получение полной замкнутой системы уравнений может быть проведено в рамках комбинаций перечисленных выше типов уравнений и некоторых добавочных соотношений, таких как закон Ома и т. п.
Однако для сред и процессов с усложненными свойствами необходимо прибегать еще к дополнительным уравнениям и закономерностям. Исходным источником для описания явлений в общем случае может послужить базовое вариационное уравнение, вывод и применение которого разъясняются в § 2 настоящей главы.
Основной характеристикой, описывающей соответствующее механическое взаимодействие электромагнитного поля со сплошной средой вещества, служит тензор энергии*импульса электромагнитного поля
S = S"a 声〃
<с помощью которого определяется отвечающее этому тензору силовое и соответствующее ему энергетическое взаимодействие электромагнитного поля с веществом. Трехмерный вектор
G。=m%/S"(1.9)
называют плотностью импульса, трехмерный вектор
еа = ch^u^(1.10)
—плотностью потока энергии, скаляр
卷 н S〕便Uj(1.11)
—плотностью энергии электромагнитного поля, а пространственные компоненты тензора S? в декартовой системе координат (локальной в ОТО или глобальной в СТО) — компонентами тензора напряжений электромагнитного поля. Общие формулы для компонент четырехмерного вектора объемной пондеромоторной силы имеют вид
尸,= -?/?•(1.12)
При моделировании электромагнитного поля обычно подразумевается, что основные энергетическое и силовое взаимодействия поля и вещества определяются именно тензором энергии-импульса S, который должен постулироваться универсальным образом в согласии с опытными данными.
Необходимо отметить, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля (так же, как и тензоры электромагнитного поля F и Н) является характеристикой электромагнитного поля, не зависящей от выбора системы координат, а его компоненты относительно инерциальных ортонормированных тетрад базисных векторов % или з在 соответственно связаны между собой равенством
Sif ^L'^ К1 Sk\
где Lr. — компоненты матрицы преобразования Лоренца, содержащей трехмерную скорость v поступательного движения тетрады эл относительно тетрады наблюдателя
Зависимость компонент тензора энергии-импульса в моделях электромагнитного поля от компонент тензоровр и Н и от скорости сплошной среды и устанавливается дополнительными предположениями. Наиболее часто используемыми предположения-
ми о виде тензора энергии-импульса электромагнитного поля являются постулаты Минковского или Абрагама L
Так, по Минковскому компоненты тензора энергии-импульса определяются формулами
s?=一专《J次-T尸騎叫）•s?=一专《J次-T尸騎叫）•(S3)(S3)
s?=一专《J次-T尸騎叫）•
s?=一专《J次-T尸騎叫）•
(S3)
(S3)
Компоненты тензоров электромагнитного поля 尸打 и 〃订, а следовательно, и тензора энергии-импульса S/“, в качестве которого может быть выбран тензор энергии-импульса (1.13), выражаются только через трехмерные характеристики электромагнитного поля Е, Н, D и В. В качестве другого тензора энергии-импульса электромагнитного поля в поляризующейся и намагничивающейся сплошной среде может быть взят тензор энергии-импульса Абрагама, компоненты которого в произвольной системе координат связаны с компонентами тензора Минковского по формулам
4优=S（的-专[叩*小一〃s"s产"尸""]4优=S（的-专[叩*小一〃s"s产"尸""](1.14)(1.14)
4优=S（的-专[叩*小一〃s"s产"尸""]
4优=S（的-专[叩*小一〃s"s产"尸""]
(1.14)
(1.14)
В формуле (1.14) круглыми скобками обозначена операция симметрирования. Очевидно, что в собственной системе координат плотность потока энергии электромагнитного поля еа и плотность энергии 晋 электромагнитного поля для тензоров S；f н4』совпадают:
氐х 3=氏а = ； (Е* х Н*) ■丄?,
4Tс '
б%，= S^^— (Е*・ D*+H* • В*)« 爲
где S — компоненты вектора Умова—Пойнтинга, ^ — плотность энергии электромагнитного поля в поляризующейся и намагничивающейся сплошной среде.
1 Вид тензора энергин-импульса электромагнитного поля, соответствующего гипотезам Минковского и Абрагама, приведен в § 4 настоящей главы. Выбор для поля и вещества тензоров энергии-импульса сказывается через внутренние взаимодействия поля и вещества и входит в определение моделей вещества и поля. Необходимо отметить, что в уравнение имнульсов, содержащее тензор энергии-импульса электромагнитного поля, входят компоненты суммарного тензора энергии-импульса системы сплошная среда — электромагнитное поле Т ；?(m)+Sjf. Вследствие этого при сохранении общей суммы как физической характеристики системы изменение вида тензора энергии-импульса электромагнитного поля всегда можно компенсировать изменением вида тензора Т^.
В заключение отметим, что в соответствии с простейшими» наиболее употребительными моделями силовое и энергетическое взаимодействия между электромагнитным полем и сплошной средой описываются с помощью тензора энергии-импульса электромагнитного поля
S = 5；*£а^=5?зМ = S'ik9 3k-
При этом в качестве основного, но частного дополнительного предположения принимается, что объемное силовое и энергетическое взаимодействия между электромагнитным полем и сплошной средой AQ3n определяются формулой
AQg =-%(s?涼)=一近(就症)=一 "(3上症｝ (1.15) где dx = uds ——компоненты бесконечно малого четырехмерного вектора перемещений в системе координат наблюдателя, da" и dx компоненты того же самого вектора в сопутствующей и собственной системах координат соответственно.
В частности, в качестве тензора энергии-импульса S может быть взят хорошо апробированный опытом тензор энергии-импульса Минковского.
Нетрудно проверить, что в сопутствующей системе координат справедливо равенство
猷痉=元%2：
Аналогичное равенство имеет место и в собственной системе координат, отмеченной звездочкой в формуле (1.15). Отсюда следует, что приращение AQ9a не зависит от выбора указанных видов тензора энергии-импульса электромагнитного поля1.
Энергетические уравнения и вариационное уравнение
для электромагнитного поля и вещества
Вариационное уравнение, с помощью которого ниже будет получена система уравнений Эйлера и уравнений состояния» описывающая поведение системы сплошная среда — электромагнитное поле, может быть получено как частный вид вариа-
ционного уравнения, рассмотренного в § 7 гл. III, конкретизацией набора определяющих параметров р? в лапранжиане Л и функционале 6历* L Однако для выяснения физического, смысла каждого из членов вариационного уравнения и установления явной связи между вариационным уравнением и энергетическими соотношениями для электромагнитного поля и сплош* ной среды целесообразно детально рассмотреть энергетические соотношения для данной термодинамической системы..
Уравнение энергии для сплошной среды, взаимодействующей с электромагнитным полем, запишем в виде
d([7 yf—g) 一= AQ‘)一 Qd心 + Fds + Air, (2.1)
где U — плотность полной энергии сплошной среды, рассчи^ тайная на единицу трехмерного индивидуального объема；： AQ")— плотность внешнего объемного притока тепла к сплошной среде, за исключением джоулева тепла; Qi — компоненты четырехмерного вектора плотности внешней объемной силы (за исключением внешней пондеромоторной силы электромагнитной природы); Fds — слагаемое, описывающее объемное силовое и энергетическое взаимодействия между электромагнитным полем и сплошной средой; Аз — слагаемое, определяющее элементар- ный внешний приток энергии через трехмерную границу do? объема d匕 и элементарную работу поверхностных сил. Вид слагаемого Fds в уравнении энергии (2.1) необходимо постулировать дополнительными предположениями, и он может быть установлен с помощью уравнения энергии для электромагнитного- поля, которое в собственной инерциальной системе координат имеет вид
里=-divS*-c我(2.2)
dr
где ®*=(B*・H* + D*・E*)/(8ji) — объемная плотность энергии электромагнитного поля; S* = c(E*XH*)/(4«) —— трехмерный вектор Умова ——Пойнтинга (индекс * означает, что векторы напряженностей электромагнитного поля определены в собствен- ной инерциальной системе координат).
Ниже в рамках специальной теории относительности развивается в усовершенствованном виде теория взаимодействия электромагнитного поля с веществом при наличии конечных деформаций и ускорений сплошной среды. Первоначальный вариант этой теории в рамках ньютоновской механики опубликован в работе: Седов Л. И. О пондеромоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального континуума с учетом конечности деформации //ПММ. — 1965. — Т. 29, вып. 1.—
Легко проверить, что подобно плотности кинетической энергии в ньютоновской механике объемная плотность энергии электромагнитного поля (B* H*4-D* E*)/(8n) зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Для двух различных инерциальных систем координат, когда одна из них движется относительно другой с постоянной трехмерной поступательной скоростью, имеет место неравенство
-^(E*.D*+H*.B*)^= —(E,-D,+H,.B,),
где звездочка указывает, что векторы вычислены в собственной системе координат, а штрих означает, что соответствующие векторы вычислены в другой произвольной инерциальной системе координат, движущейся относительно данной, отмеченной звездочкой
С другой стороны, легко проверить справедливость скалярного равенства
君* =专(Е* • D* + Н* • В *) = ± (尸川一4証 u^HSJ), (2.3) в котором четырехмерный инвариант, стоящий в правой части, дает выражение для плотности энергии электромагнитного поля в любой системе координат. Через uk обозначены компоненты четырехмерной скорости собственной системы координат в данной точке мировой линии.
Формула (2.3) дает определение объемной плотности части энергии электромагнитного поля, обусловленной вводимым тензором энергии-импульса электромагнитного. поля как четырех- мерного скаляра.
Очевидно, что для заданного поля скоростей и сплошной среды плотность энергии электромагнитного поля W, с одной стороны, является четырехмерным инвариантом относительно употребляемых систем координат, а с другой стороны, зависит еще ют поля четырехмерной скорости среды, с которой электромагнитное поле взаимодействует.
Приведенная выше формула (2.3) указывает на то, что в общем случае макроскопические свойства электромагнитного поля, проявляющиеся во взаимодействии поля со средой, определяются не только тензорными характеристиками электромагнитного поля, фигурирующими в уравнениях Максвелла, но и вектором скорости и, являющимся кинематической характеристикой состояния вещества, посредством которого обнаруживается электромагнитное поле.
При отсутствии среды (т. е. в пустоте) при выборе исходной (собственной) инерциальной системы координат, на первый
взгляд, появляется произвол. Этот произвол исключается, если учесть, что введение понятий напряженности электрического и магнитного полей возможно только при помещении в пустоту «пробных» тел, а введение вещества «пробных» тел для наблюдателей позволяет ввести сопутствующие и собственные системы координат.
С помощью уравнения Умова — Пойнтинга энергетическое уравнение (2.2) в собственной системе координат может быть записано в виде
—(L* dV；) = 1 /н* . — — D* .М +
+ j* ・ E*dY： ^cFdVt(2.4)
где j — трехмерный вектор электрического тока, L* = -(1/8 к)(в- Н —D . Е)-лагранжиан электромагнитного по・ ля, dV{——четырехмерный элементарный геометрический объем.
Используя тензорные характеристики электромагнитного поля Fa и 〃", на основании формул § 1 получаем
小=小 Fa 〃九 /£ = с1kFе筋=Qj ,
10 n
где clkFki и — четырехмерный инвариант, представляющий собой джоулево тепло, lk ——компоненты четырехмерного вектора электрического тока, которые в собственной систе- ме координат связаны с компонентами трехмерного вектора электрического тока /а и плотностью свободных электрических зарядов ре равенствами 尸=丄 广，/4 = ре с•
с1 IА ЭЕ \/
Выражение — I Н D ・ ——I также может быть записано с использованием тензорных характеристик электромагнитного поля в виде
丄. 吧)=丄沿刍即， (2.5>
где 屮‘ и А/ — компоненты тензоров электромагнитного поля в сопутствующей системе координат.
В произвольной системе координат уравнение (2.4) принимает вид
d(LdV^ =靑 〃"dxk vfc 尸〃 dV, +
+ 丄 ци 尸 / v.dxk dV4 + /左尸紅 dd dV4 一 Fds dK4.(2.6)
4兀
Нетрудно проверить, что формула (2.6) с учетом равенства d(LdV4) = ^i(Ldxi)dV4 также может быть записана в виде
Fds = 1 〃“ dxk у尼 Ej + ^〃厶 FkS^idxk +
+ /左f*4炉一口・(2汝£). (2.7)
Из формулы (2.7) следует, что выражение для Fds может быть записано в виде
Fds=-办(SL#),
где через S ：* обозначены компоненты тензора энергии-импульса Минковского:
s/=- Т 尸陋 〃м 鋁)•
4冗 I/
Умножая обе части равенства (2.1) на dV^ = */ — £d早或2dTdE4 и подставляя выражение для Eds, •определяемое формулой (2.7), получаем следующее энергетическое равенство:
d[(U + 厶)dV^ = AQ")d匕—Q“ dx1 d匕 +
+ ± H^dx^i FhdV^+ 七FisHZjdWM +
+ lkF"• rf^dV4 + A@dP4・ (2.8)
Дальнейшее преобразование формулы (2.8) проведем с помощью второго начала термодинамики, которое для индивидуального трехмерного объема сплошной среды запишем в виде
pTds = AQ® + AQj + AQ'・(2.9)
Здесь р — плотность массы покоя, s — энтропия, Т — температура (для простоты принимаем, что в рассматриваемых моделях сплошных сред Ths существуют), A@j — приращение джоуле-
ва тепла, AQ' — приращение некомпенсированного тепла, связанного с наличием необратимых явлений.
Очевидно, что уравнение энергии (2.2) для электромагнитного поля тождественно совпадают с уравнением (2.6). Однако замена плотности энергии 昼，содержащей вектор четырехмерной скорости, через инвариант электромагнитного поля L, зависящий только от тензоров электромагнитного поля F и Н и не зависящей от четырехмерной скорости и, сильно упрощает применение уравнения энергии для электромагнитного поля в общей теории и приложениях. С другой стороны, именно это обстоятельство (замена уравнения (2.2) уравнением (2.6)) скрадывает непосредственную физическую термодинамическую сущность плотности лагранжианов, употребляемых в вариационных уравнениях, и их связь с энергетическими характеристиками.
В связи с этим нередко утрачивается явная связь фундаментальных соотношений (законов сохранения) с вариационным принципом, позволяющим составлять замкнутые системы уравнений для определения искомых функций.
Выше уже было указано, что для приращения джоулева тепла справедлива формула
AQj = clk 底,便 dt,
которую с учетом известной формулы Fki=ykAi—\iAk можно написать в виде
AQj =八(* q At — dA^(2.10)
где Ai — компоненты четырехмерного векторного потенциала.
При учете диссипативных эффектов типа вязкости выражение для AQ' можно, в частности, определить формулой вида
AQ，=о%М(2.11)
где <^ — компоненты обобщенного тензора вязких напря- *еннй・
Как следствие формул (2.9) — (2.11) энергетическое равенство (2.8) может быть записано в виде
d[(U + L}dV^^ 1 H^dx^i FisdV^
+ 丄〃加尸〃 у也 dd dl/4 + 1к dx‘ d»4 + ?TdsdV4 — 4兀
—货& v "即4 - H W 办 4 dV, +
+ IkdAk dV4 — Qid^dV^ dwdV^ (2.12)
Далее, полагая, что уравнение (2.12) справедливо не только для действительных, но и для варьированных движений и процессов, и интегрируя уравнение (2.12) по произвольному четырехмерному объему 匕 способом, аналогичным изложенному в § 7 гл. Ш^ получаем следующее базовое вариационное уравнение:
8 [ AorfV4+8IF* + 8U7 = O,(2・13>
где Ao= —— (L + U) — некоторая задаваемая функция кинематических, термодинамических и электродинамических параметров,, а функционал 6 取* для непрерывных движений и процессов определяется формулой
6% =『住""次" 7"订+七Hhi Fif * +
+ /kdAk+pTbs _七lQW/产4,(2.14>
в которой необходимо задать зависимость компонент вектора четырехмерного тока Ik от характеристик электромагнитного поля F и Н (зависимость типа закона Ома), тензорные компонент ты 寸 как функции закона движения и других определяемых параметров модели (соотношения типа соотношений Онзагера) и компоненты вектора Q/.
В вариационном уравнении (2.13) через 6W обозначен функ- ционал
вид которого находится ниже по заданным лагранжиану и функционалу 6 IT* 1.
Для того чтобы из интегрального вариационного уравнения (2.13) можно было получить обе пары тензорных уравнений： Максвелла и возможные обобщения выражений для полной энергии и уравнений состояния, положим
Л = Л0 +V.(2.15)
Как будет показано ниже (см. § 3), добавление слагаемого
£ =丄"〃尸"一丄"〃 □. a,(2.16)
8几4R
1 Как будет показано в § 3, функционал 6W представляет собой поверхностный интеграл по £з — трехмерной границе четырехмерного объема У*.
не влияет на вид уравнений импульсов, так как А'=0 в силу уравнений Максвелла, полученных ниже.
Необходимо дополнительно отметить, что рассматриваемая система сплошная среда — электромагнитное поле неконсервативна даже и в том случае, когда процессы поляризации и на* магничивания обратимы (или в случаях, когда среда вовсе не поляризуется и не намагничивается). Неконсервативность прн наличии электрических токов проводимости в сплошной среде- обусловлена превращением электромагнитной энергии в тепл。, а при наличии намагничивания и поляризации — их возможной необратимостью. Если процессы намагничивания и поляризации необратимы, то иногда, в частности, необратимость может быть- учтена добавлением в подынтегральной функции для 6步* диссипативных членов вида
К* 8尸〃• или 女门 ЗМ%
где К" или к" — специальные постулируемые функции, связанные с механизмом диссипации для различных рассматриваемых твердых или жидких сред.
Система уравнений механики и электродинамики в специальной теории относительности
Система дифференциальных уравнений электродинамики н механики континуума, взаимодействующего с электромагнитным полем, в области непрерывных движений и процессов может быть получена из вариационного уравнения
8 j AdV44-olF* + 5lT=O,(3.1)
где^ гуютность функции Лагранжа А определяется формулой
А =А° + J 〃，7 Fa 一 丄环/ vz8冗4冗
& — некоторая задаваемая функция механических и термодина* мических характеристик сплошной среды и тензорных характеристик электромагнитного поля, которая, вообще говоря, может быть положена равной взятой со знаком минус скалярной плотности полной энергии. Далее рассмотрим довольно общий иллюстративный пример модели сплошной среды, взаимодействующей с электромагнитным полем, полагая, что четырехмерный скаляр Ло есть задаваемая функция следующих аргументов:
М “吊八 s, g〃・，Кв (V),《'(")•(3.2>
К набору аргументов (3.2) дополнительно можно присоединить высшие производные аргументов х/, 尸〃，однако уже набор аргументов (3.2) позволяет сконструировать довольно широкий класс моделей сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, описывающих ряд важных физических эффектов. Ниже будут также рассмотрены еще некоторые возможные наборы аргументов типа набора (3.2) и получены уравнения механики и электродинамики, соответствующие этим наборам аргументов.
Ограничиваясь случаем обратимых процессов поляризации и намагничивания, выражение для функционала 6W*t обоснованное в § 2, возьмем в виде
5IF*= c и‘ Vx 尸" 8井 + ；*尸〃办女一
+ IkdAk + 9T bs — x；k Q,况屮乙. (3.3)
Проведем варьирование первого члена вариационного уравнения (3.1). Учитывая формулу
3 f AdV^ ^ [д^+^k(^xk )]dV,
« полагая, что вариации ОН", dA^, 6S, дРц и 6xz непрерывны и линейно независимы, из вариационного уравнения (3.1) получим в результате связанную систему уравнений Эйлера. Эта система уравнений получается приравниванием нулю коэффициентов при независимых вариациях в объемном интеграле вариационного уравнения (3.1). При этом при вариациях 方”叮 и dAk получают- •ся уравнения Максвелла
Е» = vM/ — V；^/,
(3.4)
Vz 〃既=4nH;
при вариациях 6尸“ —уравнения состояния для электромагнитного поля
丄〃"=——込」+ v f • %。• ) ；(3.5)
8兀dFii 丁 vs I d、s Fii 丿，
при вариации 6s ——формула для температуры Г
при вариациях 6х* — уравнения импульсов, которые с учетом полученных выше уравнений (3.4) — (3.6) можно записать в виде
吗岩+ U总+%F+SL-
一岂 磴心 卜7/^я Y (3.7) dKcJ\^л Fmn/
В формуле (3.7) через
обозначены компоненты тензора энергии-импульса Минковского, а через 尸窑一комбинации символов Кронекера, вид которых для компонент тензора NA любого ранга с любым строением индексов можно установить из формулы
dxs
Кроме уравнений Эйлера (3.4) — (3.7), из вариационного уравнения получается выражение для функционала 6历,которое в области непрерывных движений и процессов может быть записано в виде
6步=J { 9：fe 5V + М” @4・ + "偿 @尸〃 }仆曲з・(3.8)
В силу определения частных вариаций векторов и тензоров последние два слагаемых в подынтегр а льном выражении (3.8) для действительных процессов обращаются в нуль. В подынтегральном выражении (3.8) введены обозначения
嚟=一也考+財+ £ + S,1一*F箱y,
0弓0内
(3.9)
一丄"%M〃N =^2.
4元0办方"
Здесь компоненты тензора 0/* можно истолковать как компо ненты тензора энергии-импульса системы сплошная среда — электромагнитное поле.
Нетрудно проверить, что с учетом формул (3.9) уравнения импульсов могут быть записаны в виде
или
%& = Q/,(З.Ю>
где тензор с компонентами
В』/ +В』/ +(3.11>(3.11>
В』/ +
В』/ +
(3.11>
(3.11>
также может быть истолкован как тензор энергии-импульса системы сплошная среда — электромагнитное поле. При отсутст* вии внешних сил (Qz = O) уравнение импульсов (3.10) имеет дивергентную форму, и в соответствии с принятыми в литературе определениями именно тензор Р = Р 士 э^э^ целесообразно называть суммарным тензором энергии-импульса системы сплошная среда — электромагнитное поле.
Используя полученные в гл. II формулы для вариаций тензорных функций при бесконечно малом преобразовании системы- координат наблюдателя
式=炉+6守，
из условия скалярности лагранжиана А, зависящего от набора аргументов (3.2), следуют тождественно выполняющиеся равенства, которые можно записать в виде
P/_^ = T；?+V, Г2 吊/ (3.12> L Phi J
где через 7片 обозначены компоненты симметричного тензора
疗=疗=2 d (Ао J/ ^― g ) v~g °gR2 d (Ао J/ ^― g ) v~g °gRg〃 •g〃 •(3.13>(3.13>
疗=
疗=
2 d (Ао J/ ^― g ) v~g °gR
2 d (Ао J/ ^― g ) v~g °gR
g〃 •
g〃 •
(3.13>
(3.13>
Из формул (3.12) следует, что при t?=0 и отсутствии среди набора величин (3.2) ковариантных производных тензора 尸盯 справедливо равенство
т. е. компоненты тензора энергии-импульса определяются из« вестной формулой (3.13).
Система уравнений (3.4) —(3.7) образует замкнутую систему дифференциальных уравнений для функций хЦ^л), Л；(хл), "'/(%在),s(xk)t если величины /л, т^ и Qi заданы как функции определяющих параметров модели, а также заданы функции L и U, зависящие от набора определяющих параметров (3.2) и связанные с лагранжианом Л равенством Л=—(L+U). Однако при фиксировании функций L н U эти функции должны тождественно удовлетворять следующему дифференциальному соотношению, вытекающему из определения скаляра L и уравнений (3.5) к
2厶=尸〃(3.14)
"[OFij 5 弧尸〃 J
Модель поляризующейся и намагничивающейся сплошной среды можно построить, выбирая в качестве аргументов лагранжиана Л следующий набор параметров:
4 М7 ,办川〃,S, &в(守)，K°(f),(3.15)
где Мц — компоненты тензора поляризации и намагниченности, связанные с компонентами тензоров электромагнитного поля Л/ и Нц равенством
m/=丄(巳/一斤7).(3.16)
4冗
Прежде чем получить систему уравнений Эйлера для набора аргументов (3.15), преобразуем лагранжиан Л к виду
А = —4 — и+ —Ь R7 户/— ^ F^ ^Af+Mif Vz4/t(3.17)
где четырехмерный скаляр 厶о = ^ 戶〃 Л/〃 =忙”萨*宀 рассматривается как функция аргументов (3.15) и представляет собой добавочную энергию взаимодействия электромагнитного поля с поляризующейся и намагничивающейся
1 Тождественно выполняющееся равенство (3.14), а также некоторые следствия этого равенства подробно обсуждены в работе Л. И. Седова, А. Г. Цыпкина «О построении моделей сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем» (в книге： Седов Л. И. Размышления о науке и об ученых. — М.: Наука, 1980).
средой. Необходимо отметить, что при выборе в качестве определяющих параметров набора аргументов (3.15) добавочный лагранжиан
= * 尸〃 Q —皿4+ М〃 v/Л； (3.18>
lo it4 兀
не обращается в нуль в силу уравнений Эйлера, в отличие от лагранжиана А- определяемого формулой (2.22).
Компоненты тензора 尸叮,входящих в выражение для лагранжиана Л, являются функциями набора аргументов (3.14) и коор- дин ат, в то время как все остальные векторы, тензоры и скаляры зависят только от координат. Полная вариация компонент тензора Л} вычисляется по формуле
此l2宀炉"+腎"+諧3恤"
+託…+噜"+翳3Y+*
где ковариантная производная ^kFц вычисляется при постоянных аргументах (3.15), а вариации компонент тензора поляризации —намагничивания М" и векторного потенциала Ak вычисляются по обычным вариационным формулам
6М〃 «= ОМ” + ^xk ¥八 М〃， 8ЛЛ = дАк + 6戸厂$ 力肌
Полагая, что вариация。尸〃，Л4財 6s, dMij и 6xz непрерывны и линейно независимы, из вариационного уравнения с лагранжианом Л, взятым в виде (3.18), и функционалом 6步*, взятым в виде (3.3), приравниванием к нулю коэффициентов при перечисленных вариациях получим систему уравнений Эйлера. При этом при вариациях дРц и dAk получаются уравнения Максвелла (3.4), при вариациях 6s и Ам“ 一 уравнения состояния
р「= —込， ^—)=0・ (3.19) н ds * дМн Yh I @办 М〃•丿 ' J
Учитывая сделанные предположения относительно аргументов 厶紋 М〃 и F//, нетрудно убедиться, что производные d/d或 д/дМц9 d/dv尼М/ и д!д$ от четырехмерного неравного нулю инварианта
равны нулю, вследствие чего уравнения состояния (3.19) можно записать в виде
7 П包包坦 丄尸也土3 一 y J1.(3.19)
При вариациях 6%，получаются уравнения импульсов, которые можно записать в виде
办 Pik = Q,,(3.20)
где Pjf — компоненты тензора энергии-импульса системы среда —электромагнитное поле, вычисляемые по формуле
p;k=———岩 + uM+ s/fe4-v +
+ S・ Mpq ——尸方心•(3.21)
NhMpq " 0内
В общем случае наборы аргументов л/,尸"，Vk^ib $) Кв и х/, М〃, vft Mv, s, К' задают разные модели. Это непосредственно следует из определения тензора поляризации- намагничивания 乂〃 =丄(尸〃——Нц ), где функция Н〃 зависит
4冗
как от компонент тензора 尸”，так и от его ковариантных производных VfeFq, и, следовательно, ковариантные производные тензоры Mij будут зависеть уже от вторых производных тензора 尸叮.Указанные наборы аргументов при соответствующем задании пар функций Lt U и Lo, U определяют одну и ту же модель континуума, если в наборы аргументов не входят ковариантные производные, и зависимость между компонентами тензоров F^ и Мц — взаимно однозначная. В частности, при этом выражения для тензора энергии-импульса будут одинаковыми, так как при сформулированных условиях выполняется равенство
勻(3.22)
I Fm/I«constdXf |мтя=const。&网 g
в котором последнее слагаемое, стоящее в правой части, обращается в нуль в силу определения лагранжиана (3.17) и уравнений состояния (3.19).
Во всех полученных выше уравнениях подразумевается, что Lq и Uo — задаваемые функции аргументов (3.11). Так как функция Lo определена равенством
то из уравнений состояния для электромагнитного поля (3.19) следует, что задаваемые функции LQ и U должны тождественно удовлетворять равенству
4 = ^ М〃 [4 = ^ М〃 [0(厶+")дМа0(厶+")дМаd(&+。)]dVk^H Jd(&+。)]dVk^H J(3.23)(3.23)
4 = ^ М〃 [
4 = ^ М〃 [
0(厶+")дМа
0(厶+")дМа
d(&+。)]
dVk^H J
d(&+。)]
dVk^H J
(3.23)
(3.23)
имеющему тот же смысл, что и равенство (3.14). Из равенства (3.23) следует, что для набора аргументов (3.15) зависимость •функции Lq+U от аргумента V/^Alij — линейная и в общем случае представляется формулой
4 + и =中(乂 м「S, &, к、+ ^k(MpQ> К* к’)办 м〃, где 屮一произвольная скалярная функция, а тензорная функция 屮‘於 антисимметрична относительно индексов /, /. В число аргументов функции 屮〃尤 могут входить не любые заданные функции АЛ «с, @ лишь те, ковариантные производные которых равны нулю.
Линейный характер зависимости функций LQ и U от аргумента RhMij указывает на то, что набор аргументов (3.15) не позволяет описать такой эффект, как доменная структура ферромагнетиков.
Для описания доменной структуры необходимо, чтобы функции Lq и U зависели от вторых ковариантных производных тензора M(j. В этом случае функции L。 м U могут зависеть от аргумента VkMij квадратичным, а от аргумента ?冷丫々〃打 линейным образом.
Некоторые релятивистские модели сплошных сре沢, взаимодействующих с электромагнитным полем
Исходя из общих уравнений механики и электродинамики (3.4) — (3.7), можно получать конкретные модели сплошных •сред. Для этого необходимо задать 上 н U как функции определяющих параметров с учетом тождества (3.15) и зафиксировать физические законы, характеризующие необратимые процессы для четырехмерного вектора тока /尼(соотношения типа закона Ома) и для компонент тензора т；л (соотношения типа законов вязких напряжений). Кроме этого, конечно, необходимы данные о внешних силах Q/ и физических или геометрических параметрах 汕(У) ик气/)， х ар а ктер и зующих макроскопическую структу- ■ РУ среды.
В частности, получаемая таким путем система соотношений содержит в себе модели нелинейного упругого тела с учетом эффектов поляризации и намагничивания, модели идеальных или
вязких жидкостей или газов и, в частности, модели магнитной гидродинамики и электрогидродинамики, модели ферромагнитных жидкостей и т. д.
Модель проводящей среды. Система уравнений (3.4) — (3.7), описывающая поведение поляризующейся, намагничивающейся и проводящей среды, дает, в частности, модели сред, которые обладают электропроводящими свойствами, но не поляризуются и ме намагничиваются. Модели таких сред можно получать и непосредственно из вариационного уравнения, если положить Fij = Hij・ Очевидно, что при этом число варьируемых параметров сокращается, и из вариационного уравнения получается на одно тензорное уравнение Эйлера меньше, нежели в общем случае (а именно, в этом случае отсутствует уравнение состояния (3.5), связывающее тензорные компоненты 尸〃 и "〃)・ Для получения моделей таких сред необходимо лишь сделать предположение, что функции L и [7 не зависят от градиентов тензора F» Тогда тождество (3.15) принимает вид
и из определения функции L следует, что U не зависит от 尸〃. При данных условиях лагранжиан Л будет иметь вид
A = -U+ . R/尸"-S%・ (4.1)
Сохраняя прежнее выражение для функционала 6 取*, в котором H“ = Fij, из вариационного уравнения при вариациях dFq и дАк получаем уравнения Максвелла. При этом тензор энергии-импульса электромагнитного поля превращается в тензор энергии- импульса Максвелла.
Простейший класс моделей поляризующихся и намагничу вающихся сплошных сред. Простейшая модель поляризующейся и намагчивающебся сплошной среды получается в случае, когда функции L н 0 не зависят от аргумента VaF</. Такая модель (в зависимости от вида задаваемой функции U) может описывать поляризующуюся и намагничивающуюся упругую сплошную среду, а также (при соответствующем задании вида функционала в IF*) сплошные среды с пластическими эффектами.
В случае, когда функции £ и (/ не зависят от аргумента NkFij и, кроме того, функция U не зависит от аргумента 尸〃，из тождества (3.15) следует, что L должна быть квадратичной формой по аргументам 尸叮：
L =L =16 к16 к(4.2)(4.2)
L =
L =
16 к
16 к
(4.2)
(4.2)
где коэффициенты c^kl могут зависеть от %；, s, Кв, К° и удовлетворяют условиям
cW^ckUi=_cnkl^_cHlk л
Задание функции L в виде (4.2) определяет модель поляризующейся и намагничивающейся сплошной среды в случае линейной зависимости между тензорами электромагнитного поля.
В рассматриваемом случае функция U представляет собой объемную плотность полной энергии сплошной среды как при наличии, так и при отсутствии электромагнитного поля, которую можно положить равной
U = pc2 + pU°(£：, s, R* к)
где UQ — массовая плотность внутренней энергии сплошной среды. В этом случае уравнения (3.5) и (3.7) принимают вид
川=cwFkl9(4.3)
% [ 岩 + Ubf + 七/ + S』+
L g
+ -^-FmnFpq 岩 + ^F^Ka\ =Q,・ (4.4) 16兀m・dке」
где.Ptk =где.Ptk =Выражение, стоящее в квадратных скобках в левой части равенства (4.4), представляет собой выражение для суммарного тензора энергии-импульса Р^ системы сплошная среда — электромагнитное поле, вследствие чего уравнения импульсов (4.4) могут быть записаны в виде
где
.Ptk =
где
.Ptk =
必才+u»+^+s/ +
+6+ 鼻尸%心. (4.5)
16 Rd 力дке
Так как лагранжиан Л является четырехмерным скаляром, то выбор в качестве аргументов скалярных функций L и U независимых величин л/,户s s, R", Кс не меняет полученной выше системы уравнений Эйлера. Действительно, записывая добавочный лагранжиан А' в виде
А，=止 № Fn — j-方"v 4
8兀4兀"
и сохраняя прежнее выражение для функционала 6IF* при ли- нейно независимых вариациях。后％ dAk и。户仃，из вариацион- ного уравнения получаем уравнения Максвелла и уравнения состояния, связывающие лагранжевы компоненты векторов и тен- зоров. Полученные уравнения преобразуются к уравнениям (3.4) по формулам преобразования компонент векторов и тензоров.
При вариациях 6%» из вариационного уравнения получаются уравнения импульсов
岩 + 仏+ ^pAkKc ] = q, (46) L 此・ dKA J
Из вариационного уравнения также получается выражение для тензора энергии-импульса для системы сплошная среда — электромагнитное поле
疋" =也"岩+ (厶+"名+ ^ + 当F^KC. (4.7)
Тензор энергии-импульса Pi* задаваемый формулой (4.7), переходит в тензор энергии-импульса Р/“, вычисляемый по формуле (4.5), если учесть, что для рассматриваемо* го набора аргументов функция 丄 задается в виде
где c“k =鼠 Е忠 Е；产“叫 Подставляя выражение (4.8) в фор* мулу (4.7), нетрудно проверить, что тензор энергии-импульса, определяемый формулой (4.7), совпадает с тензором энергии-импульса, задаваемым формулой (4.5).
Если компоненты тензора с^м зависят только от gij, р, М, s и, возможно, еще от других задаваемых скалярных величин, то в этом случае имеет место пространственная изотропия электромагнитных свойств среды, и компоненты тензора представляются формулами
cW=sT[T{8ikg" — gil gik) +
+ I 6 —丄)(g‘* 加 и1 :— g/“ 〃/ и1 +
+ g" uz uk — gil i? uk)・(4.9)
Здесь е и(А ——коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемости, которые могут зависеть от р и s или от р и Г и, возможно, в более общих случаях еще от других переменных или задаваемых постоянных скалярных параметров.
Уравнения состояния (4.3) для коэффициентов с"吗 задаваемых формулами (4.9), в собственной системе координат приводятся к виду
D = вЕ,В = |лН・
При сделанных предположениях выражение для тензора энергии-импульса (4.5) принимает вид
-p(±^+^)i"尸 (碎 一3) +
+S* + R 卜—3 尸"尸'"'uk(— "'"“'(4・ 1°)
где последние два слагаемых в собственной системе координат представляют собой тензор энергии-импульса электромагнитного поля по Абрагаму.
Уравнения импульсов (4.4) при сделанных предположениях о виде функций L и U также могут быть записаны в следующей форме:
V* ["貝'xi + иМ + ** j =
- P (證 + ^ ) 4/ "" m时-W 叫 4-
+ Q/-"S:，一 ^"无g厶[^^"&丿戶‘:u"(M - "心/) ] (4.11)
где слагаемое, стоящее в фигурных скобках, представляет собой релятивистское выражение для суммы электрострикционного и магнитострикционного напряжений. Приведенная система уравнений, в частности, задает модель упругого, возможно, анизотропного по механическим характеристикам, тела. Дальнейшая конкретизация модели связана с заданием вйда скаляров U, 8, 卩，а так^ке компонент тензоров тл как функций определяющих параметров модели.
Релятивистская модель поляризующейся и намагничивающейся жидкости. Частным случаем рассматриваемой выше модели является релятивистская модель изотропной идеальной сжимаемой жидкости. Если положить, что скалярная функция U зависит от аргументов р, u\ s, gij и имеет смысл полной энергии среды, рассчитанной на единицу объема, то по определению можно написать
U = рс? + pUo(p,s), где Uq ——функция массовой плотности дополнительной внутренней энергии среды.
В результате несложных преобразований уравнения импульсов (4.11) приводятся к виду (через р по определению обозначено полное давление в жидкости)
Р ± [ °“/ + g "о"/ ] = % ("硝 + Q，+ Е + М，
16 冗 Qdp e"8冗 и2 ^Р
+ ^]p-/^.〃〃〃q + p2 吟，(4.12)
Рассмотрим более подробно правую часть четырехмерных уравнений импульсов (4.12).
В собственной системе координат полное давление в жидкости можно записать в виде
p=-弘經+絆产p=-弘經+絆产д/加д/加
p=-弘經+絆产
p=-弘經+絆产
д/加
д/加
Оно истолковывается как сумма магнитострикционного, элект- рострикционного и гидродинамического давлений.
Используя представление электромагнитного поля в среде через трехмерные векторные характеристики в собственной системе координат, первые три компоненты четырехмерного вектора N” стоящие в правой части формулы (4.12), для случая покоящейся жидкости можно записать в виде
NaNa£n一14 кс£n一14 кс金3 丫卢吗金3 丫卢吗
Na
Na
£n一14 кс
£n一14 кс
金3 丫卢吗
金3 丫卢吗
где ea0Y — компоненты полностью антисимметричного трехмерного тензора Леви-Чивита.
Учитывая, что в собственной системе координат — = —• > dx дт
и используя отмеченное выше различие у сигнатур метрик четырехмерного псевдоевклидов а пространства и трехмерного евклидова подпространства, можно показать, что сумма 凡+乂 в нерелятивистском приближении совпадает с выражением для компонент вектора объемной пондеромоторной силы, действующей со стороны электромагнитного поля на среду.
Следует отметить, что четвертая компонента вектора М, стоящего в правой части уравнения (4.12), для случая релятивистской жидкости, вообще говоря, отлична от нуля.
Заметим, что в уравнениях (4.12) компоненты четырехмерного вектора N〃 существенно зависящие от частных свойств жидкости через параметры е и ц, можно перенести в левую часть, которую после этой операции можно истолковать как изменение в единицу собственного времени четырехмерного вектора импульса среды, усложненного за счет поляризации и намагничивания. В этом случае вектор с компонентами F, имеет смысл четырехмерного вектора объемной пондеромоторной силы, вычисленной в соответствии с видом тензора энергии-импульса электромагнитного поля по Минковскому. Очевидно, что сам вид уравнений (4.12) не зависит от указанного различия в толкованиях импульса среды.
Модель поляризующейся и намагничивающейся среды можно построить и в случае, когда функции Ао и 17 зависят от следующего набора аргументов:
4 М「“也з s, R* к* (4.13)
В простейшем случае при учете только магнитострикционных и электрострикционных эффектов можно положить, что в набор определяющих параметров (4.13) не входят ковариантные производные тензора М“ и функция U не зависит от аргумента 府叮・ В этом случае эффекты поляризации и намагничивания определяются только функцией Lo, представляющей собой добавочную энергию взаимодействия электромагнитного поля с поляризующейся и намагничивающейся средой, которая является квадра* тичной формой по аргументу М〃：
Ц = ^сГРЯМтпМрг4
Здесь компоненты тензора с?1n囤一задаваемые функции определяющих параметров х；, s и KBt Kct удовлетворяющие равенствам
c『pq = с#*°м _ _ сУ=—
Тогда уравнения состояния для электромагнитного поля принимают вид
尸"==c^kl Mki.
В тех случаях, когда можно положить, что компоненты сТ“р° зависят лишь от плотности среды р, энтропии s и имеет место пространственная изотропия электромагнитных свойств среды, для компонент тензора сТ"明 справедлива формула
£尸困=2 冗[，一(g" gnq — gmq g”) + L步一1
_|!二*(gmp un uq — gnp um uq _|_ gnq 〃加 〃"—gmq 〃〃 〃")
(6-1)(出一1)J
При этом выражение для суммарного тензора энергии-импульса системы сплошная среда — электромагнитное поле принимает вид
''=号"岩 + "” + °" Р" { Uji 年 Mpq W—
-2f—1-^4- —i-^] М1яМ1д U»U»1(8?-UZ^) +
L(e—1)а dp(肘一IF dp」J
+ S』+ 4 冗尹三忆Msl Msnun d 佃一Uiu^ (4.14) (1)(1)
где последние два слагаемых в собственной системе координат совпадают с компонентами тензора энергии-импульса Абрагама. Нетрудно проверить, что тензор энергии-импульса, определяемый формулой (4.14), совпадает с тензором энергии-импульса, вычисляемым по формуле (4.10). Нетрудно также проверить, что релятивистски инвариантное слагаемое, содержащее фигурные скобки, в собственной системе координат (при иа=0 и 〃4=1) представляет собой известное выражение для суммы магнитострикционного и электрострикционного давлений. В связи с формулой (4.14) необходимо отметить, что если среда не поляризуется или не намагничивается, то для перехода от тензора энергии-импульса, определяемого формулой (4.14), к тензору энергии-импульса Максвелла необходимо воспользоваться предельным переходом при условиях, что при £f 1 и ц->1 компоненты тензора М〃 стремятся к нулю. В этих случаях более удобна формула (4.10), в которой сразу можно положить е= 1 или 卩=1 соответственно.
Примеры тензора энергии-импульса электромагнитного» поля
Законы изменения импульса и энергии системы сплошная среда — электромагнитное поле согласно уравнениям § 3 можно записать в виде
VhP/ = Q%(5・1>
где Qi — компоненты четырехмерного вектора сил, внешних по отношению к рассматриваемой системе. В тех случаях, когда? можно принять, что Qi=0, уравнения (5.1) представляют co6ofr законы сохранения импульса и энергии.
В общем случае компоненты тензора энергии-импульса мож- но представить в виде
Р" = — //' + и ^ + 办 G' + и 办 U・(5・2>
Здесь компоненты четырехмерного тензора 叫 компоненты четырехмерных векторов е^ и Gz и четырехмерный скаляр U определяются равенствами
/ =一馬/1力叫/ = 以pm,
(5.3> dijjPmi, U = ит%рт\
г де hj = &—d 〃j.
Из равенств (5.3) следует, что
Uiр* = 〃/卢=0, Ui ef = 0,〃/ G，= 0.
В собственной системе координат четвертые компоненты векторов d и G\ а также четвертый столбец и четвертая строка матрицы компонент тензора 方叮 равны нулю.
В собственной системе координат четырехмерный скаляр U является объемной плотностью полной энергии для системы； сплошная среда — электромагнитное поле, четырехмерный вектор С£» — плотностью потока энергии, четырехмерный вектор ^Gl — плотностью импульса, а пространственные компоненты тензора р〃 一 компонентами трехмерного тензора напряжений.
В электродинамике сплошных сред предметом многочисленных дискуссий является проблема о виде выражения для объемной плотности пондеромоторной силы, действующей со стороны электромагнитного поля на поляризующуюся и намагничивающуюся сплошную среду, т. е. проблема разделения суммарного тензора энергии-импульса Р〃 на сумму тензора энергии-им*
пульса сплошной среды Р（т） и тензора энергии импульса электромагнитного поля Р（/）：
^/ =^）+ ^/）-
В общем случае тензор энергии-импульса сплошной среды^ Р（т）характеризует физические свойства сплошной среды 陈. внутренние взаимодействия в сплошной среде; этот тензор также имеет электромагнитную природу, так как внутренние напряжения в сплошной среде обусловлены микроскопическими взаимодействиями, имеющими электромагнитную природу. Разделение суммарного тензора энергии-импульса Р" на сумму тензоров Р^ и Р{у） связано с разделением общего электромагнитного взаимодействия в системе сплошная среда — электромагнитное поле на объемное и поверхностное взаимодействия. При этом объемное взаимодействие характеризуется четырехмерным; вектором объемной пондеромоторной силы
R=-V 户;%， （5.4），
а поверхностное взаимодействие характеризуется пространственными компонентами тензора Pi，m）, представляющими собой в собственной системе координат взятые со знаком минус компоненты трехмерного тензора внутренних напряжений в сплош* ной среде.
Очевидно, что для данного тензора Р^ тензоры Р；3 и Р派 можно определять различными способами. Это разбиение связано с различными способами разделения одной и той же электромагнитной системы на две взаимодействующие между собой электромагнитные системы, причем выбор того или иного вида тензора Р1^ влечет за собой соответствующее изменение вида тензора Р^. Таким образом, вопрос о виде формул для объемных пондеромоторных сил должен рассматриваться вместе с вопросом о виде тензора энергии-импульса сплошной среды.
Разные авторы выбирают различные формулы для тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Приведем наиболее часто используемые выражения для тензора энергии-импульса» а также выражения для объемных пондеромоторных сил, вычисляемых по виду выбранного тензора энергии-импульса.
Тензор энергии-импульса при отсутствии эффектов поляризации и намагничивания. При отсутствии поляризации и намагниченности в сплошной среде в качестве тензора энергии-импульса электромагнитного поля выбирается симметричный тензор энергии-импульса
М/）=-弘 Fii Fhi - 1 Fmn Fmn ', （5.5% для которого справедливо равенство Р】%）= 0・
В собственной системе координат компоненты тензора энер* гии-импульса (5.5) выражаются через трехмерные векторные характеристики электромагнитного поля по следующим формулам:
Р^=- ^ [6 炉 + 〃а“В + ^.(% + £2) g^ ],
Р4a=> ；(Е х Н)。=萨=丄S*
Р“ =，(Е X H)a = Ga = LS% 4 nс
Рм = ±(Е2 + Н2),
где S。一 компоненты вектора Умова-Пойнтинга. Компоненты трехмерного симметричного тензора 尸凿 обычно называют максвелловским тензором напряжений.
Компоненты четырехмерной объемной пондеромоторной силы Fi =—^kPik(f)для тензора энергии-импульса (5.5) равны
3 = FlkIk.(5.6)
Первые три компоненты четырехмерной силы Fi определяют компоненты трехмерной силы Лоренца, а произведение с& дает выражение для джоулева тепла.
Выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля (5.5) может быть получено из базового вариационного уравнения, если лагранжиан Л взят в виде
ЛЛ
Л
Л
а функционал 6W* имеет вид
Тензор энергии-импульса Минковского. Этот тензор опре деляется формулой
SJ 叫一靑伊"•- - %" i
(5.7)
Тензор Минковского в общем случае (при наличии эффектов поляризации и намагничивания) несимметричен:
и для него, так же как и для тензора энергии-импульса (5.5), выполняется условие
S；f = O.
Компоненты вектора четырехмерной объемной пондеромо- торной силы, соответствующей тензору энергии-импульса Минковского, вычисляются по формуле
f, =…一 -^ (% s "" 一 小丿 v，%).
В собственной системе координат вектор четырехмерной объемной пондеромоторной силы выражается через трехмерные характеристики электромагнитного поля по формуле
F・PcE+'(jXB)+ 止(Da VE。一 Е。VDa +
+ & VH。一〃a V&), ИЛИ
F=PgE+；(jXB)+ у (Pa YEa-Ea VP& +
+ Ma VBa—Ba VM) а приток энергии от электромагнитного поля к сплошной среде —по формуле
叫二一 -i--~(E D + H B)-^-Va (Е X Н)« .8冗 dt4K
В собственной инерциальной системе координат для компонент тензора энергии-им пульс а Минковского справедливы выражения
S^ = — ^ [七。少 +印83+ ^(E・D + H・B)gaB ],
64a =丄(EXH)a -Sa = —S^ , 4几c
5必=—(DXB)a n G1 , 4兀
$м =丄(E ・ D + H B) = W,
где се® — плотность потока энергии,—Ga — плотность импульса с
электромагнитного поля в поляризующейся и намагничивающейся сплошной среде, W ——плотность энергии электромагнитного поля.
Выражение для тензора энергии-импульса электромагнитно* го поля Минковского (5.7) может быть получено из вариационного уравнения, рассмотренного в § 3, если лагранжиан Л взят в виде
16而
а функционал 6W* имеет вид
Тензор энергии-импульса Абрагама. Компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля, согласно гипотезе* Абрагама, в собственной системе координат связаны с компо* нентами тензора энергии-импульса Минковского равенствами
д4я = Ла4 =百 X 百)“ =LS*a=fa = G\
А44 «544.ж^-(Е2 + 力2)= w.
В произвольной системе координат связь между компонента* ми тензоров энергии-импульса Минковского и Абрагама устанавливается равенством
4〃 = S(切 ——-[^ FSk 屈/ Н№ — 〃$ Hsk 屈/ 修”(5.8)
где круглыми скобками обозначена операция симметрирования.
В отличие от тензора энергии-импульса электромагнитного поля Минковского, тензор энергии-импульса Абрагама зависит от кинематической характеристики сплошной среды — вектора четырехмерной скорости.
Тензор Абрагама симметричен и его след отличен от нуля:
4’ 抖 0.
Наряду с наиболее известными тензорами энергии-импульса Минковского и Абрагама можно также использовать и другие тензоры энергии-импульса электромагнитного поля. Один из таких тензоров может быть определен формулой
4
—加〃尼("A Qs — Hh P5)].—加〃尼("A Qs — Hh P5)].(5.9)(5.9)
—加〃尼("A Qs — Hh P5)].
—加〃尼("A Qs — Hh P5)].
(5.9)
(5.9)
Для тензора Р济，так же как и для тензора энергии-импульса Минковского, справедливо равенство
%)= о.
Энергия электромагнитного поля ^ в поляризующейся и намагничивающейся среде определяется релятивистски инвариантным выражением
昼=p& 勿同=—L.(尸" "" - 4 "m5 " j Hks).
16 «
В собственной системе координат энергия 8 выражается через трехмерные векторы электромагнитного поля по той же формуле, что и для тензоров энергии-импульса Минковского и Абрагама, пространственные компоненты тензора энергии-импульса (5.9) совпадают с пространственными компонентами тензора энергии-импульса Минковского, а плотность импульса совпадает с плотностью импульса, определяемой тензором энергии-импульса Абрагама.
Научное издание
СЕДОВ Леонид Иванович
ЦЫПКИН Александр Геннадьевич
ОСНОВЫ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
Заведующий редакцией Л. Л. Русаков Редакторы 4 В. Жуков, А. Г. Мордвинцев Художественный редактор Т. Н. Кольченко Технический редактор С. Я. Шкляр Корректоры О. 4 Бутусова, Я. Д. Храпко
ИБ № 12810
Сдано в набор 21.12.87. Подписано к печати 04.05.89.
Формат 60*90%б・Бумага тип. № 1.
Гарнитура литературная.Печать высокая.
Ус л. печ. 口. 17. Усл. кр.-отт. 17. Уч.-изд. л. 17,04.
Тираж 3450 экз. Заказ № 4787. Ценан 3 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Серпуховская типография
У прполиграфиздата Мособл исполком а
ABS TRACT
General methods are developed in the monograph, of construction of phenomenological models of continuous media with unconvertible processes. The method of obtaining of complete systems equations is introdused, containing Euler*s and also of conditions on the surfaces of strong discontinuities. Special attention is paid to the problem of energy-impulse tensor. A series of particular models is constructed, of continua models, including those of continuous media with magnetization and polarization effects.
CONTENT S
5 75 7Foreword Introduction
5 7
5 7
Chapter I. COORDINATE SYSTEMS AND CONTINUUM KINEMATICS27
§§§§§§§ 15.§ 16.§ 15.§ 16.Coordinates, laws of motionSpace-time in Newton mechanics and Galilei transformationSpace-time in the special theory of relativity. Lorentz transformationsSpace-time in the general theory of relativitySome special coordinate systems in STR and GTROn Gauss — Ostrogradskii formulaEigen golonomic global time for Lagrange coordinate system„Twins* paradoxFourdimentional velocityFourdimentional accelleration. Geodesical lines* eguationDeformation and deformation velocities* tensorsFermi4s coordinates systemFermi-Walker-s tetrade. Eigen tetradeOn the problem of inertial navigation in the inertial coordinate system in STR and in Fermi4s coordinate system in GTROn the problem of inertial navigation in arbitrary coordinate systems in STR and GTROn the basic principles of inertial navigationCoordinates, laws of motionSpace-time in Newton mechanics and Galilei transformationSpace-time in the special theory of relativity. Lorentz transformationsSpace-time in the general theory of relativitySome special coordinate systems in STR and GTROn Gauss — Ostrogradskii formulaEigen golonomic global time for Lagrange coordinate system„Twins* paradoxFourdimentional velocityFourdimentional accelleration. Geodesical lines* eguationDeformation and deformation velocities* tensorsFermi4s coordinates systemFermi-Walker-s tetrade. Eigen tetradeOn the problem of inertial navigation in the inertial coordinate system in STR and in Fermi4s coordinate system in GTROn the problem of inertial navigation in arbitrary coordinate systems in STR and GTROn the basic principles of inertial navigation2731^sss^s2731^sss^s94979497
§§§
§§§
§ 15.
§ 16.
§ 15.
§ 16.
Coordinates, laws of motion
Space-time in Newton mechanics and Galilei transformation
Space-time in the special theory of relativity. Lorentz transformations
Space-time in the general theory of relativity
Some special coordinate systems in STR and GTR
On Gauss — Ostrogradskii formula
Eigen golonomic global time for Lagrange coordinate system
„Twins* paradox
Fourdimentional velocity
Fourdimentional accelleration. Geodesical lines* eguation
Deformation and deformation velocities* tensors
Fermi4s coordinates system
Fermi-Walker-s tetrade. Eigen tetrade
On the problem of inertial navigation in the inertial coordinate system in STR and in Fermi4s coordinate system in GTR
On the problem of inertial navigation in arbitrary coordinate systems in STR and GTR
On the basic principles of inertial navigation
Coordinates, laws of motion
Space-time in Newton mechanics and Galilei transformation
Space-time in the special theory of relativity. Lorentz transformations
Space-time in the general theory of relativity
Some special coordinate systems in STR and GTR
On Gauss — Ostrogradskii formula
Eigen golonomic global time for Lagrange coordinate system
„Twins* paradox
Fourdimentional velocity
Fourdimentional accelleration. Geodesical lines* eguation
Deformation and deformation velocities* tensors
Fermi4s coordinates system
Fermi-Walker-s tetrade. Eigen tetrade
On the problem of inertial navigation in the inertial coordinate system in STR and in Fermi4s coordinate system in GTR
On the problem of inertial navigation in arbitrary coordinate systems in STR and GTR
On the basic principles of inertial navigation
2731^sss^s
2731^sss^s
9497
9497
107108111118123⑵13032107108111118123⑵13032
107108111118123⑵13032
107108111118123⑵13032
Chapter II. VARIATIONS OF SCALAR, VECTOR AND TENSOR FUNCTIONS107
General remarks on variations
Variation of the law of motion
Variation of basic vectors
Variations of vectors and tensors
Some special variations of vectors and tensors
Variations, which preserve invariance of scalar functions
Variation of tensors in GTR
Variation of parametrically defined tensor functions
35374553646773^0009152035374553646773^00091520§§ §§ §§§ §§ §
35374553646773^00091520
35374553646773^00091520
§§ §§ §
§§ §§ §
Chapter III. ON THE METHODS OF CONSTRUCTION OF DINAMICAL AND TERMODINAMICAL THEORIES
Some introductional remarks on modelling
The model of material point
Gravitation and modelling of space and time
Relativistic theory of missile flight
Thermodinamical state parameters
Ths first and the second laws of thsrmodinamics
Variational equation
Euler*s system of equations and state equations for models of continuous media in STR
Euler*s system of equations and state equations for models of continuous media in GTR
Conditions on surfaces of strong discontinuities
Energy-impulse tensors for some special models of continua
Models of plates, shells and pivots
Chapter IV. MODELS OF CONTINUA INTERACTING WITH ELECTROMAGNETIC FIELD
On characteristic parameters of electromagnetizm233
Energy- and variation equations for matter interacting with electromagnetic field242
Mechanics*- and electrodinamics* systems of equations in STR 249
Some relativistic models of continua interacting with electromagnetic field256
Examples of energy-impulse tensor of electromagnetic field264
1 Ниже развиваются теория гравитации и макроскопическая механика применительно к описанию движения твердых и деформируемых тел со сравнительно большими масаами (небесные тела, ракеты, самолеты, корабли и многие-многие другие объекты) в сравнительно больших объемах четырехмерного пространства-времени,
1 Ткачев Л. И. Докторская диссертация, 1944; см. также: Ткачев Л. И. Система инерциальной ориентировки. — М.: МЭИ, 1973.
бер и конических точек на поверхности £3.
1 В частности, здесь в число параметров 卩厶 включается энтропия S.
ки, учитывающие необратимость процессов поляризации и намагничивания (в
частности, эффект гистерезиса), а также возможные необратимые процессы
механического происхождения (типа пластических деформаций), рассмотре
ны в работе: Черный Л. Т. Построение моделей магнитоупругих сплошных
сред с учетом магнитного гистерезиса и пластических деформаций // Науч. тр.
М.: Гастехиздат, 1957.
лж свдов АН ЦЫПКИЙ
ОСНОВЫ
МАКРОС1Ю11ИЧЕСКЖ
ТЕОРИЙ гвшитации
И ЭЛЕКТРСЖАГНЕГИЗМА
Л. И. СЕДОВ, А. Г. ЦЫПКИН
ОСНОВЫ
МАКРОСКОПИЧЕСКИХ
ТЕОРИЙ
ГРАВИТАЦИИ
И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
МОСКВА «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ 1 989
ББК 22.25 С28
УДК 531.5
Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— 272 с. — ISBN 5-02-013805-3.
Развита теория построения моделей, основанная на Использовании базисного вариационного уравнения, получаемого с помощью первого и второго законов термодинамики с учетом термодинамики необратимых процессов. Попутно развита общая оригинальная теория вариаций. Даны методы вывода замкнутых систем уравнений, содержащих уравнения Эйлера, уравнения состояния и условия на поверхностях сильных разрывов. Разработаны общие приемы сведения трехмерных задач к двумерным и одномерным (пластины, оболочки, стержни и т. д.). Построен ряд новых моделей для вещества и полей. .
Для специалистов в области механики сплошных сред, аспирантов и студентов университетов и втузов.
Табл. 1. Ил. 6. Библиогр. 41 назв.
Рецензент.
доктор физико-математических наук，. 7. Черный
1703040000—08388-88053(02)-891703040000—08388-88053(02)-89©Издательство «Наука». ^Главная редакция физико-математической литературы, 1989©Издательство «Наука». ^Главная редакция физико-математической литературы, 1989
1703040000—083
88-88
053(02)-89
1703040000—083
88-88
053(02)-89
©Издательство «Наука». ^Главная редакция физико-математической литературы, 1989
©Издательство «Наука». ^Главная редакция физико-математической литературы, 1989
ISBN 5-02-013805-3