Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
SPINORS AND SPACE-TIME
Volume 1TWO-SPINOR CALCULUSAND RELATIVISTIC FIELDS
ROGER PENROSE
Rouse Ball Professor of Mathematics, University of OxfordWOLFGANG RINDLER
Professor of Physics, University of Texas at Dallas
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
Р. Пенроуз, В.Риндлер
СПИНОРЫ
и пространство-время
два-спинорное исчислениеи релятивистскиеполя
Перевод с английскогод-ра физ.-мат. наук Д. В. Гальцоваи канд. физ.-мат, наук В. И. Хлебникова
Москва《Мнр» 1987
ББК 22.31 П25
УДК 533.9.01
Пенроуз Р., Риндлер В.
П25 Спиноры и пространство-время.Два-спи-
норное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ.— ММир, 1987. — 528 е.» ил.
Первый том фундаментальной монографии известного английского ученого Пенроуза н известного американского ученого Рнндлера, в которой впервые в мировой литературе с единых позиций излагается широкий круг вопросов, связанных со спинорными методами в теоретической физике. Авторы излагают 2-спиноряое исчисление, наделяя спинорной структурой само физическое пространство-время, причем понимают это как более глубокий уровень описания, нежели обычный подход, использующий мировые тензоры.
Для. физнков-теоретнков широкого профиля (не только работающих в области релятивистской фнзнкн и физики элементарных частиц) н математиков, а также аспирантов н студентов соответствующих специальностей.
ББК 22.31ББК 22.31П 1704020000 "111 59-87, ч.1
ББК 22.31
ББК 22.31
041(01) — 87'
Редакция литературы /го физике и астрономии
© Cambridge University Press 1984 This book was originally published in the English language by Cambridge University Press of Cambridge, England. Reprinted with corrections 1986
© перевод на русский язык, «Мир», 1987
Предисловие переводчиков
Профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз — один из авторов монографии «Спиноры и пространство-время», перевод первого тома которой предлагается вниманию читателя, ве нуждается в особом представлении нашей аудитории Фундаментальный вклад Пенроуза в теоретическую физику закреплен прочно вошедшими в научный лексикон терминами «диаграмма Пенроуза» (конформная диаграмма для геодезически полных моделей пространства-времени), «процесс Пенроуза» (способ извлечения энергии вращения из стационарной черной дыры)*, «теоремы Хокинга ——Пенроуза» о сингулярностях, возникающих в ходе гравитационного коллапса, «преобразование Радона — Пенроуза» [1] и, наконец «формализм Ньюмена — Пенроуза» — один из наиболее мощных методов современной общей теории относительности. Ряд работ Р. Пенроуза, преимущественно обзорного характера, имеющих прямое отношение к тематике данной книги, переведен на русский язык [2—8].
Другой автор монографии — профессор Техасского университета Вольфганг Риндлер ——также пользуется заслуженной известностью среди гравнтационистов. Метрика Риндлера применяется во многих исследованиях по классической и квантовой теории гравитации, а представления о «риндлеровском вакууме》 и «риндлеровских частицах» в последнее время вошли в круг основных понятий квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени [9].
Таким образом, перед нами первый том фундаментальной монографии двух крупных зарубежных ученых, в которой впервые в мировой литературе с единых позиций излагается широкий круг вопросов, связанных со спинорными и твисторными методами в теоретической физике.
Центральное место в первом томе монографии занимает по-
1) Том 2 («Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства- времени*) намечается к выпуску на русском языке в 1988 г.
нятие комплексного спинорного объекта, обладающего тем свойством, что при повороте на 360° он не возвращается в исходное состояние, но переходит в себя лишь при дополнительном вращении на такой же угол. Со времени открытия Дираком знаменитого уравнения, носящего его имя, и осознания того, что частицы с полуцелым спином наиболее естественно описываются с помощью спинорных полей, последние вошли в физику в полном равноправии с тензорными полями различного ранга, Однако описание самого пространства-времени, его причинной структуры и геометрии традиционно ассоциируется с использованием тензорного анализа. Новаторство авторов книги заключается в том, что они наделяют спинорной структурой само физическое пространство-время, понимая это в некоторой степени как более глубокий уровень описания. Наличие спинорной структуры приводит к появлению добавочных степеней свободы пространства-времени, которые не могут быть описаны в рамках обычного подхода, использующего мировые тензоры. Существование таких степеней свободы в полной мере проявляется в квантовой теории.
Простейший из спинорных объектов — двухкомпонентный комплексный спин-вектор — имеет своим геометрическим образом в пространстве-времени «изотропный флаг», определяемый заданием некоторого изотропного направления (флагштока) и прикрепленной к нему изотропной двумерной полуплоскости (полотнища флага). Тем самым спинорная структура пространства-времени естественным образом приводит к изотропной тензорной структуре, определяемой четверкой линейно независимых комплексных векторов — изотропной тетрадой Ньюмена — Пенроуза. Последовательное применение идеи изотропной тетрады привело, как известно, к построению формализма Ньюмена — Пенроуза, активно использовавшегося в шестидесятых ——первой половине семидесятых годов для поиска новых точных решений уравнений Эйнштейна [10——12]. Плодотворность этого метода в общей теории относительности связана с тем, что двухкомпонентные спиноры и ассоциируемые с ними изотропные векторы тесно связаны с главными изотропными направлениями гравитационных полей и тем самым с их внутренними алгебраическими симметриями. Этим же объясняется и эффективность метода изотропной тетрады при исследовании негравитационных безмассовых полей на фоне метрик алгебраически специальных типов по классификации Петрова. На базе метода спиновых коэффициентов был сформулирован получивший широкое распространение так называемый метод Тьюкольского, с помощью которого был получен целый ряд изящных результатов в новой области математической физики ——теории черных дыр. В рамках этого метода удалось построить исчерпывающую теорию
возмущений черных дыр полями с разным спином, включая электромагнитные и гравитационные возмущения, массивное и безмассовое поле со спином 1/2, массивное векторное поле и др. [13, 14]. Эти исследования непосредственно примыкают к квантовой теории микроскопических черных дыр.
Выделенная, с точки зрения спинорной структуры, роль изотропных направлений в пространстве-времени обусловливает особую простоту описания на спинорном языке безмассовых полей, распространяющихся вдоль таких направлений. Опорной точкой теории служит интегральная, формула, связывающая значение поля (описываемого симметричным спинором произвольного ранга) .в пространстве-времени с «начальным» значением этого поля на световом конусе. При таком описании для полей с любым спином не возникает «лишних» компонент и связей ——трудность, с которой приходится сталкиваться в стандартной теории поля, формулируемой на тензорном языке. Развитие этих представлений привело Пенроуза к концепции «точной системы полей» (exact set of fields), характеризующийся тем, что задание минимального числа данных (без связей) на световом конусе полностью определяет поведение системы всюду в пространстве-времени (а при включении в эту систему гравитационного поля и саму структуру пространства-времени). При таком подходе удалось описать и распространение массивных полей, а также системы полей с нетривиальным взаимодействием, хотя в этих случаях аппарат становится менее изящным и, по мнению самих авторов, в данной формулировке малопригодным для практических вычислений. Однако сама возможность описания систем взаимодействующих полей с разными спинами без связей представляет принципиальный интерес.
В последнее время в литературе, посвященной вопросам общей теории относительности, получила широкое распространение система безындексных обозначений, в которой под векторами и тензорами понимаются линейные операторы, действующие в соответствующим образом построенных пространствах [15, 16]. Модификацией этой системы является используемый в книге метод абстрактных индексов. Символом с абстрактным индексом обозначается соответствующий оператор, причем индекс служит частью символа данной величины и не принимает численных значений. Преимуществом такой системы записи является большая «узнаваемость» объекта. Численные значения данной величины с абстрактным индексом являются коэффициентами разложения этой величины по базису объектов той же природы. Последовательное применение языка абстрактных индексов приводит к тому, что на первый план выступают алгебраические соотношения между величинами, вводимыми в теории. Это порождает тенденцию к формулировке основных
аксиом теории на алгебраическом языке, хотя используемые структуры фактически имеют геометрическое происхождение. В таком подходе, например, «удлиненная» производная в электромагнитной теории или ковариантная производная в теории Янга — Миллса и общей теории относительности являются более «элементарными» операторами, нежели обычная частная производная; последняя возникает лишь после выбора калибровки. Особый интерес в этом отношении представляет данная в книге трактовка теории полей Янга — Миллса.
Следует отметить, что книга Р. Пенроуза и В. Риндлера^ адресованная физикам, написана на весьма высоком уровне математической строгости, что придает неповторимый колорит элегантности и законченности всему повествованию в целом. Нечасто в книгах подобного рода можно встретить живое, непринужденное содружество истинно глубоких физических идей и формальных математических рассуждений, взаимно дополняющих и обогащающих друг друга. Вместе с тем указанная особенность изложения создает известный терминологический барьер, требуя от читателя определенной предварительной подготовки как в области математики, так и физики. Хотя, как подчеркивают авторы, знакомство с теорией спиноров для восприятия книги не требуется, совершенно необходимым является свободное владение начальными курсами линейной алгебры, дифференциальной геометрии 'и математического анализа; весьма желательно также знакомство с римановой геометрией и тензорным анализом, например в рамках книги [17]; читатель должен быть также предварительно введен в круг основных понятий специальной и общей теории относительности [18, 19] и современной теории поля, включая теорию калибровочных полей [20]. Но даже хорошо подготовленному читателю придется приложить немало усилий, чтобы освоить книгу целиком. Зато, прочитав ее, он несомненно будет обогащен целым рядом глубоких и подчас неожиданных идей как физического, так и математического характера.
Предисловие и гл. 1—3 перевел В. И. Хлебников, гл. 4, 5 и приложение переведены Д, В, Гальцовым.
Д. В. Гальцов, В. И. Хлебников
ЛИТЕРАТУРА
Манин ТО. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука, 1984.
Пенроуз Р Структура пространства-времени. М.： Мир, 1972.
Пенроуз Р. Конформная трактовка бесконечности. В сб.: Гравитация и топология.—М.: Мир, 1966, с. 152.
Пенроуз Р. Твисторная программа. В сб.: Твисторы и калибровочные поля. М.: Мир, 1983, с. 13.
Пенроуз Р・,Уорд Р. С. Твисторы в плоском и искривленном пространстве- времени. Там же, с. 78.
Пенроуз Р・，Мак-Каллум М. А. X. Теория твисторов: подход к квантованию полей в пространстве-времени. Там же, с. 131.
Пенроуз Р. Нелинейные гравитоны и искривленная теория твисторов. Там же, с. 225.
S. Иствуд М. Дж., Пенроуз Р” Уэллс P. O. Теория когомологий и безмассо- вые поля. Там же, с. 250.
Биррелл Я., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве- 呼еменн. — М.： Мир, 1984.
Фролов В. П. Метод Ньюмена 一 Пенроуза в общей теории относительности. В сб.: Труды ФИАН СССР им. П. Н. Лебедева, т. 96. — М.: Наука» 1977, с. 72.
Алексеев Г. А., Хлебников В. И. Формализм Ньюмена — Пенроуза и его применение в общей теории относительности. — ЭЧАЯ, 1978, т. 9, вып. 5. с. 1070.
Крамер Д., Штефани X., Херльт 3., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. — М.: Эиергоиздат, 1982.
Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. — М.： Мир, 1986.
Гальцов Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. — М.: МГУ, 1986.
Берке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М: Мир, 1985.
Мизнер 4., Торн К” Уилер Дж. Гравитация. В 3-х томах. — М.: Мир, 1977.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.— М.： Наука, 1967.
Ландау Л. 4, Лифшиц £. М. Теория поля. — М.： Наука, 1973.
Хокинг С., Эллис Дж. Крупиомасштабная структура пространства-времени. —М.: Мир, 1977.
Хуанг К. Кварки, лептоны и калибровочные поля. — М.: Мир, 1985.
Введение
Пространство-время, в котором мы живем, с очень высокой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырехмерное многообразие, наделенное гладкой лоренцевой метрикой эйнштейновской специальной или общей теории относительности* Наиболее употребительным формализмом для математического описания многообразий и их метрик является, как известно» тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Случайно или нет, но именно для четырехмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует другой формализм, во многих отношениях более удобный. Это 2-спинорный формализм. Прошло уже около 70 лет, как Картан впервые ввел общее понятие спинора, и более 50 лет, как Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в релятивистской физике, а ван дер Верден разработал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обозначений—однако до сих пор 2-спинорное исчисление все еще сравнительно непривычно.
Мы писали данную книгу с целью более активного внедрения упомянутых выше идей в практику научных исследований. В ней подробно развивается 2-спинорное исчисление, причем от читателя не требуется предварительного знакомства с этим предметом. Мы показываем, что 2-спинорное исчисление может трактоваться либо как полезное дополнение к более привычному исчислению мировых тензоров, либо как практическая альтернатива последнему. Здесь мы ограничимся рассмотрением исключительно 2-спиноров, а не 4-слиноров, которые стали более привычными объектами для физиков-теоретиков. Дело в том「 что только на основе 2-спиноров можно получить практическук> альтернативу общепринятому векторному и тензорному исчислению, поскольку 2-спиноры представляют собой более простые элементы, из которых легко могут быть построены как 4-спиноры, так и мировые тензоры.
Спинорное исчисление позволяет исследовать более глубокий уровень структуры пространства-времени, чем общепринятое исчисление мировых тензоров. Подход, основанный на мировых тензорах, менее изящен по сравнению с 2-спинорным, наталкивается на трудности с описанием некоторых тонких свойств пространства-времени, существенных в квантовой механике, и к тому же (что немаловажно) приводит иногда к чрезвычайно громоздким математическим выкладкам. (Преимущество тензорного исчисления ——в его универсальной применимости к многообразиям произвольной размерности, а не в возможности описывать конкретный тип многообразий — пространство-время.)
Фактически любые вычисления, проведенные с применением мировых тензоров, могут быть по некоторому простому правилу полностью переписаны в 2-спинорной форме. В известном смысле справедливо и обратное утверждение (позже в настоящей книге мы представим исчерпывающее описание таких переходов) ,хотя тензорные аналоги простых спинорных вычислений могут оказаться крайне сложными. Указанная фактическая эквивалентность обоих подходов может привести некоторых скептиков к мысли о «ненужности» спиноров. Мы надеемся, однако, что наша книга поможет убедить читателя в том, что, с одной стороны, многие результаты, полученные для пространства-времени на основе спинорного подхода, могли бы остаться неоткрытыми, если бы в нашем распоряжении были одни лишь тензорные методы анализа, и с другой ——имеется целый ряд свойств пространства-времени, логические предпосылки существования которых и взаимосвязь друг с другом были бы полностью замаскированы тензорным описанием.
В определенном смысле 2-спинорное исчисление проще,« чем исчисление мировых тензоров. Основная причина здесь заключается в том, что базисное спиновое пространство является комплексным двумерным, а не действительным четырехмерным. Работать с двумя измерениями легче, чем с четырьмя, да к тому же комплексные алгебра и геометрия обладают целым рядом простых, элегантных и универсальных свойств, отсутствующих в действительных алгебре и геометрии.
Кроме того, спиноры, по-видимому, имеют глубокую связь с комплексными величинами в квантовой механике!)- Несмотря на то что в данной книге мы не будем заниматься квантовой
I) Точка зрения, согласно которой геометрия пространства-времени, так же как и квантовая теория, может быть построена на основе комплексной, а не действительной структуры, получила дальнейшее развитие в теории тви- сторов. Этой теории наряду с некоторыми другими вопросами посвящен второй том нашего труда: <Спнноры и пространство-время. Том. 2. Спинорные % твисторные методы в геометрии прост^анства^времени». (Издательство Кембриджского университета, 1984.) [См. примечание на с. 5. — Прим, перев.]
механикой как таковой, многие из излагаемых в ней методов представляют большую ценность для квантовой теории. Хотя обсуждение наше будет полностью классическим, рассматриваемый формализм может быть без особых затруднений перенесен на квантовую (квантово-теоретико-полевую) проблематику.
Наша книга содержит первое (насколько нам известно) в литературе подробное изложение геометрии пространства-времени на основе 2-спинорного формализма. В ней есть также элементы нового и в других отношениях. Один из них — систематическое и последовательное использование метода абстрактных индексов в тензорном и спинорном исчислении. Мы надеемся, что читателя-пуриста со склонностью к дифференциальной геометрии, случайно полиставшего книгу, не оттолкнет обилие в ней бесчисленных индексов. За редким исключением жирных прямых индексов), мы не используем индексы в обычном смысле, они выступают у нас в роли абстрактных меток безотносительно к какому-либо базису или системе координат. Использование абстрактных индексов приводит к ряду упрощений по сравнению с общепринятыми методами рассмотрения. Более того, применение абстрактных индексных обозначений оказывается весьма существен-ным условием ясного представления необходимых операций. (В приложении мы излагаем в общих чертах другую, эквивалентную данной, диаграммную систему обозначений, которая весьма полезна в «неофициальных» расчетах.)
Далее, в этой книге предлагается, по-видимому, новый подход к некоторым другим вопросам. Мы даем явное геометрическое представление не только 2-спиноров самих по себе, но также различных алгебраических операций над ними и соответствующей топологии. Приводим множество лемм, полезных как для спинорной, так и для общей тензорной алгебры. Впервые даем исчерпывающее изложение метода спиновых коэффициентов (не обязательно нормированных) с использованием модифицированных спин- и буст-взвешенных операторов В н р вместе с их конформно-инвариантными модификациями &г и Вводим общее понятие конформной инвариантности, а также предлагаем подход к электромагнитному полю и полю Янга — Миллса, использующий операторы с абстрактными индексами (надеемся, что не совсем изящная форма поля Янга — Миллса при таком подходе компенсируется полнотой нашего описания). Мы полагаем, что рассмотрение сферических гармоник (со спиновым весом) на основе спинорного формализма представлено здесь впервые. Наше представление точных совокупностей по-
лей как систем, которые распространяются определенным образом от произвольно выбранных начальных данных на световом конусе, не было раньше дано в монографической литературе. Также не встречалась в книгах соответствующая явная интегральная спинорная формула (обобщенная формула Кирхгофа—Дадемара) для безмассовых свободных полей, выраженных через упомянутые начальные данные. По-видимому, впервые здесь читатель найдет и развитую нами теорию взаимодействующих полей Максвелла и Дирака, которая построена на основе сумм интегралов, описываемых посредством зигзагообразных и ветвящихся изотропных путей.
История создания книги восходит к весне 1962 г., когда один из нас (Р. П.) проводил семинары по новой тогда теме «2-спи- норный формализм в общей теории относительности», а другой (В. Р.) вел конспекты на семинарах и все больше и больше приходил к убеждению, что они могли бы послужить основой для написания книги. Размноженный набросок первых глав был роздан коллегам в то же лето. В последующие годы дальнейшая работа то возобновлялась, то приостанавливалась по мере того как «росла» сама тема. Наконец, в течение последних трех лет мн, объединив усилия, переписали все заново и почти удвоили полный объем материала, так что к настоящему моменту работа, надеемся, полностью завершена. В стиле книги мы постарались отразить неформальную и неторопливую атмосферу первоначальных семинаров, ясно излагая исходные посылки, не чураясь эвристических доказательств некоторых необходимых математических результатов, а иногда уклоняясь от основной темы и позволяя себе отступления. Конечно, существуют значительно более быстрые и более целенаправленные пути достижения требуемых результатов, но мы предпочли неторопливый темп, отчасти чтобы облегчить усвоение материала читателями, работающими самостоятельно, а отчасти чтобы подчеркнуть практическую значимость излагаемого предмета. Однако нашу весьма длинную рукопись оказалось возможным естественным образом разделить на два тома, которые могут быть прочитаны независимо. Основное содержание тома 1 кратко изложено во вводном разделе к тому 2. Ссылки первого тома на главы 6—9 относятся ко второму тому.
Мы хотели бы выразить благодарность огромному количеству людей. Назовем здесь имена тех, чей конкретный вклад быстрее всего приходит на ум, ясно сознавая, что за 20 лет, в течение которых писалась книга, некоторые имена забылись. Мы благодарны за различные виды помощи Н. Батакису, К. Бичтелеру, Р. Ботту, Н. Бакдалу. С. Чандрасекару, Ю. Элерсу, JI. Эренпрайсу, Р. Герочу, С. Хокингу, А. Хелду, Н. Хит- чину, Дж. Изенбергу, Б. Джеффрису, С. Мак-Лейну, Т. Ньюме-
ну, Д. Пейджу, Ф. Пирани, А. Робинсону, Р. Саксу, Э. Шюкингу, У. Шоу. Т. Ширафудзи, П. Зекерешу, П. Тоду, Н. В уд хаузу и особенно Д. Шаме за его постоянную неослабевающую поддержку. Мы благодарим также М. Фирца за его замечание, которое нашло отражение в примечании на стр. 384. Особенно тепло мы благодарим Юдит Даниэльс за ее поддержку и обстоятельную проработку нашей рукописи в то время, когда работа проходила через трудный этап. Мы также весьма обязаны Цзю Шен Цзюн за ее решающее содействие в деле составления библиографического указателя и в другой работе с нашей книгой. Наконец, мы благодарим тех, кого не можем точно вспомнить, и приносим им свои извинения.
1984
Роджер Пенроуз
Вольфганг Риндлер
1
Геометрия мировых векторови спин-векторов
Векторное пространство Минковского
В данной главе мы остановимся на геометрии пространства мировых векторов. Такое пространство - называется векторным пространством Минковского. Оно представляет собой множество «векторов положения» в пространстве-времени специальной теории относительности, исходящих из некоторого события, произвольно выбранного в качестве начала отсчета. В искривленном пространстве-времени общей теории относительности векторные пространства Минковского реализуются как касательные пространства в точках (событиях) пространства-времени. Другим примером служат пространства, заметаемые 4-скоростями или 4-мо'ментами.
Векторное пространство Минковского есть четырехмерное векторное пространство V над нолем R действительных чисел» причем на V заданы ориентация, (билинейное) скалярное произведение с сигнатурой (Н) и временная ориентация. (Ниже мы кратко остановимся на значении этих терминов.) Таким образом, как и в случае всякого векторного пространства, мы располагаем операциями сложения и умножения на скаляры, удовлетворяющими соотношениям
u + v=v + ut u +(y + w)^(u + v)+ wf
a(U + V) = aU + a^f (a + b)U = aU + bUf (Ll.l> a(bU)^(ab)Ut \U=Ut 0I7 = 0V = ：0
при всех U, Vt W V, a, b R. Здесь 0 есть нейтральный элемент относительно сложения. Как обычно, мы понимаем под —U величину (—1) U и принимаем обычные соглашения о скобках и знаках минус, например t7 + V — W = (U -j- V)-|- + (—W) и т. д.
Четырехмерность пространства V эквивалентна существованию базиса, состоящего из четырех линейно независимых векторов % х,弘.2W V. Иными словами, всякий вектор U^V
можно единственным образом представить в виде
U = UQt + О* + U2y + Uz,(1.1.2)
где U°, UL и?, 。3已 R — так называемые координаты. Из всех элементов векторного пространства Минковского только элемент 0 имеет все координаты, равные нулю. Всякий другой базис в пространстве V также должен содержать четыре элемента, и любая совокупность четырех линейно независимых элементов, принадлежащих V, составляет базис. Мы будем часто называть базис в пространстве V тетрадой и обозначать тетраду (% *, у, z) через g“ имея в виду, что
f = go，* = g[, у == g^t z = g3.(1.1.3)
В таких обозначениях выражение (1.1.2) приобретает вид
U = U°go + Sgi + U2g2 + Ug3 = Ogh (1.1.4)
Здесь и далее мы пользуемся правилом суммирования Эйнштейна: подразумевается суммирование по всякому численному индексу, который встречается в одном члене дважды: один раз вверху, а другой внизу. Индексы в виде жирных прямых строчных букв латинского алфавита a, i,呪，ар а и т. д. будут всегда пробегать четыре значения 0, 1, 2, 3. Впоследствии мн будем также пользоваться численными индексами в виде жи{)ных прямых заглавных букв латинского алфавита A, I, Ao, Ai, А и т. д.; такие индексы будут принимать только два значения 0 и 1. К ним будет также применяться правило суммирования Эйнштейна.
Рассмотрим два базиса в пространстве V, скажем (gQi g〔, g2, g3)H (g6, gf，gQ，g力Заметим, что мы употребляем систему меченых индексов, при которой сами индексы, а не буквы, к которым они относятся (различные буквы могут отвечать различным базисам и т. д.), получают определенные отличительные метки («шляпки» и пр.). Таким образом, индексы типа а, а, а и т. д. в той же мере не связаны между собой численно, как и а, Ь, с. Подобная система обозначений поначалу может показаться читателю неизящной, но ее преимущества станут видны позже. Итак, всякий вектор g^ первого базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов g] второго базиса:'
gi=g『gi +gjgi + g[£gq + gjgm = gjgr (Ll・5)
Шестнадцать чисел gj образуют действительную невырожденную матрицу размерности 4X4. Таким образом, величина
det(gj『)一 отлична от нуля; если она положительна, то мы говорим, что тетрады gt и g「 имеют одинаковую ориентацию, а если отрицательна — противоположную. Отметим, что отношение между тетрадами, характеризуемое словами «одинаковая ориентация», есть отношение эквивалентности. Действительно, если gfngT’gj’ т0 (gf‘) н (g『) представляют собой обратные матрицы,j поэтому их определители имеют одинаковый знак; если g] = gjgj и g〔 = gQfgj, ТО матрица (g『) равна произведению (gj) на (gj) и, следовательно, имеет положительный определитель при условии, что определители обеих матриц (g『)н (g^) положительны. Итак, тетрады распадаются на два не связанных друг с другом класса эквивалентности. Мы будем называть тетрады одного класса собственными, а другого —— несобственными. Именно это разделение и придает пространству V его ориентацию.
Операция скалярного произведения на V ставит в соответствие каждой паре векторов U, У из V некоторое действительное число, обозначаемое через UV При этом выполняются соотношения
U・V = y・U, (aU)-V = a(U-V)t
(U + V)-W = U-W + V-W, . °丄6)
выражающие симметрию и билинейность операции скалярного произведения. Мы также потребуем, чтобы скалярное произведение имело сигнатуру (Н). Это означает, что существует такая тетрада (t, х, у, z), для которой
f • f = 1, Х・Х = у ・" = N・N=—1,(1.1.7)
t • x = t • у = t '« = x* y = x^z — y*z = Q,(1.1.8)
Если в соответствии co схемой (1.1.3) обозначить эту тетраду через gj, то мы сможем переписать (1.1.7) и (1.1.8) в следующей краткой форме:
g「gj = n屮 (1.1.9)
где (“打)—матрица, которая
/
имеет вид
I 000、
(»1ц) = (пч) = 1
° -1°° .(1.1.10)
00-10 I
000.-1 丿
Вариант записи “" с поднятыми индексами потребуется впоследствии для единства обозначений.) Тетраду, удовлетворяющую условию (1.1.9), мы будем называть тетрадой Минковского. Хорошо известно (теорема Сильвестра об «инерции сигнатуры»), что в произвольном заданном векторном пространстве над полем действительных чисел число положительных произведений векторов самих на себя (1.1:7) не зависит от выбора ортогональной тетрады (или «n-ады» в n-мерном случае), т. е. тетрады, удовлетворяющей соотношениям (1.1.8).
Задавшись произвольной тетрадой Минковского g~ мы можем в соответствии с (1.1.4) представить любой вектор U ^ V в виде соответствующего ему набора координат Минковского U’； в этом случае скалярное произведение может быть записано следующим образом:
и • у = (dg) • (А&) = и W，(g广 gj)=
=и1У\} = u°v° -u'v1- U2V2 - U3V3. (1.1.11> Заметим, что U・gj = U%・ Таким образом,
U° = U-gQ, U = -U・gi，U2=-U-g2, U3 = -U-g3. (1.1.12)
Частным случаем сжалярного произведения является лорен- цева норма
II иII = U • U = и&№и = ({/。)2 - (0)2 - (02)2 - 03)2. (1J J3> Полезно отметить, что скалярное произведение может быть выражено через лоренцеву норму:
17-V=4{||l/ + V||-[| 1711-ЦУЦ}.(1.1.14>
Вектор U w V называется:
времениподобным, если |[ 171| > 0, пространственноподобным, если [| 171] < 0,(1.1.15)
изотропным, если ||17Ц = 0.
Вектор U является причинным (т. е. времениподобным или изотропным), если его координаты Минковского удовлетворяют условию
(t/°)2>(иу + 02产 + (из 凡(1.1.16)
в котором равенство относится к случаю изотропного U. Если оба вектора U и V причинны, то, применяя последовательно (1.1.16) и неравенство Шварца, получаем
W叩。I > {(S)2 + (1/2)2 +03)2产2 {俨)2 + (f2)2 +例)2严 >
> 0h +u2户+03户.(1.1.17)
Следовательно, если исключить случаи, когда оба вектора изотропны и пропорциональны один другому или один из них нулевой (единственные случаи, когда оба неравенства сводятся к равенствам), то знак произведения К У в силу (1.1.11) будет тот же самый, что и произведения 。°卩°. Отсюда, в частности, вытекает, что никакие два причинных вектора не могут быть взаимно ортогональными, если только они не изотропны и не пропорциональны один другому.
Как следствие мы получаем, что причинные векторы распадаются на два несвязанных класса, обладающих следующим свойством: скалярное произведение любых двух непропорциональных один другому векторов одного и того же класса положительно, а скалярное произведение непропорциональных векторов из разных классов отрицательно. Эти два класса различаются знаком величины U°, причем класс с положительной величиной 。° содержит времениподобный тетрадный вектор f = g“ Задать временную ориентацию пространства V — значит назвать элементы одного из этих классов направленными & будущее, а элементы другого — направленными в прошлое. Мы будем часто называть направленный в будущее времениподобный (изотропный, причинный) вектор просто времениподобным (изотропным, причинным) вектором будущего. Если f — времениподобный вектор будущего, то тетрада Минковского (% х у, z) называется ортохронной. Будучи отнесенными к ортохронной тетраде Минковского, причинные векторы будущего суть такие векторы, для которых просто U° > 0. Несмотря на то что нулевой вектор изотропен, он не является ни изотропным вектором будущего, ни изотропным вектором прошлого. Вектор, противоположный любому причинному вектору будущего, есть причинный вектор прошлого.
Задание пространственной ориентации пространства V состоит в приписании трем пространственноподобным векторам каждой тетрады Минковского «правого» или «левого» характера. Это задание может быть осуществлено на основе ориентации и временной ориентации пространства V. А именно, триада (х,弘 z) называется правой, если тетрада Минковского (f,x,y, z) является либо одновременно собственной и ортохронной, либо не обладает ни тем, ни другим свойством. В противном случае триада (%, у, z) является левой. Тетрада Минковского, являющаяся одновременно собственной и ортохронной, называется ограниченной. Любыми двумя из свойств — ориентации, временной ориентации и пространственной ориентации пространства V ——определяется третье, причем, если какие-либо два свойства меняются на противоположные, третье должно оставаться неизменным. Производя указанный выбор двух свойств для пространства-времени, в котором мы живем, более предпочтитель-
но, по-видимому, начать с выбора триады (х,弘 z) и назвать ее правой или левой* в соответствии с хорошо известным критерием, используемым физиками и основанным на форме кисти руки, которой пишет большинство людей). Подобным же образом в статистической физике однозначно определяется будущее состояние системы.
Пространство-время Минковского
Мы уже отмечали, что векторное пространство Минковского V можно рассматривать как пространство векторов положений точек (событий) относительно некоторого произвольно выбранного начала отсчета. Такие точки образуют пространство-время Минковского М・ Это пространство-время является ареной действия специальной теории относительности. Все его точки равноправны, и, в частности, оно не имеет выделенного начала: пространство М инвариантно относительно трансляций, т, е. представляет собой аффинное пространство. Взаимосвязь между М н V может быть охарактеризована отображением
vec ： М ХМ-> V, (1.1.18) при котором
vec (Р, Q) + vec (Q, R) = vec (P, R), (1.1 Л 9>
откуда vec(P, P) = 0 и vec(P, Q) = —vec(Q, P). Мы можем рассматривать vec(P, Q) как вектор положения точки Q относительно Р, PQwV, где Р, Q wM Очевидно, что V посредством отображения (1.1.18) индуцирует норму в М, называемую здесь квадратом интервала Ф и определенную для каждой пары тоиекР, QwM：
①(Р，Q) ：=||vec(P, Q)||. (1.1.20)
Стандартное введение координат на 甌 M—R" (где R есть пространство четверок действительных чисел) состоит из выбора начала отсчета О е М и выбора тетрады Минковского gi = OQi при Qo, Qi, Q2, Q3^M・ После этого координатами Р°, Р* Р2, Р произвольной точки PwM будут координаты вектора ОР относительно gi, Т・.е. ОР = Р‘0・ Из (1.1.19) посред-
ством замены Q на О мы получаем следующее выражение для координат вектора PR относительно &:
(竦= *-Р, (1.1.21}
откуда ясно видна независимость координат от выбора начала отсчета. Подстановка выражений (1.1.21) и (1.1.20) в (1.1.13> дает
Ф (Р, Q) = (Q°-Р°)2 — (Q1 — р)2 一 (Q2 一 р2)2 一 (Q3 一 рз)2. (1 L22>
Линейное преобразование V в себя, сохраняющее лоренцеву норму н, следовательно, в силу (1,1.14), также скалярное произведение, называется (активным) преобразованием Лоренца^ Если такое преобразование сохраняет и ориентацию, и временную ориентацию пространства V, то оно называется ограниченным преобразованием Лоренца. Очевидно, что (ограниченные) преобразования Лоренца образуют группу; она называется (ограниченной) группой Лоренца. Аналогично преобразование М в себя, сохраняющее квадрат интервала (здесь не требуется никакого предположения о линейности), называется (активным) преобразованием Пуанкаре. Любое такое преобразование индуцирует лоренцево преобразование на V и также может быть соответствующим образом классифицировано как ограниченное или неограниченное. Опять же очевидно, что ограниченные преобразования Пуанкаре образуют группу!).
Любой физический эксперимент в пространстве-времени Мин- конского (где протекает наша практическая деятельность) мо・ жет быть подвергнут преобразованию Пуанкаре — т. е. повороту в пространстве, смещению в пространстве и времени н прямолинейному равномерному движению — без изменения его существенных результатов. На этом положении, которое может быть- установлено независимо от координат или других правил фи- зики, основана специальная теория относительности.
Замена координат
В данной книге преобразования Лоренца и Пуанкаре, если не сделано оговорок, будут пониматься как активные преобразования. Но иногда бывает полезно рассмотреть «пассивные» преобразования Лоренца (и Пуанкаре). Они представляют со* бой преобразования координатного пространства R4, т. е. пере-
Заметим, что мы используем здесь термин «группа Лоренца» только для шестипараметрической однородной группы на векторном пространстве Минковского, тогда как соответствующую десятипараметрическую неоднородную- группу на простраистве*времеии Минковского называем группой Пуанкаре^
ТОТОU — Ulg^ = Uigl = U^g^g^U — Ulg^ = Uigl = U^g^g^
ТО
ТО
U — Ulg^ = Uigl = U^g^g^
U — Ulg^ = Uigl = U^g^g^
определение координат V (или М). Любая тетрада Минковского g| в пространстве V (или тетрада 匾 и начало отсчета О в пространстве М) для всякого вектора U в У(или U ~ОР в М). определяет четверку координат U' по правилу U = 5gi・ Замена этой опорной тетрады g( *—>gf в V (или тетрады и начала отсчета в М) индуцирует замену координат V (М). Получающееся при этом соответствие
G : и — U?
宀 八宀 (L1.23)
(или и1^->и1 + № при постоянном К1)
называется пассивным преобразованием Лоренца (Пункаре). Оно называется ограниченным, если может порождаться дёумя ограниченными тетрадами Минковского g, и g^. Ради краткости сосредоточим сейчас внимание на преобразованиях Лоренца; очевидные обобщения легко распространяются на преобразования Пуанкаре.
Если упомянутые две опорные тетрады связаны между собой соотношением
(1.1.24)
я, следовательно, пассивное преобразование (1 1.23) в явном виде записывается следующим образом:
и^ = и^,(1.1.25)
откуда ясно видна его линейность. Это преобразование полностью определяется матрицей '
Даже активное преобразование Лоренца часто бывает удобно описывать посредством координат (Это несколько дезориентирует, поскольку активное преобразование Лоренца существует независимо от всех координат, тогда как пассивное преобразование Лоренца независимо от координат не существует.) Итак, при заданном активном преобразовании Лоренца 厶：U *—> V мы можем как вектор U, так и его отображение V отнести к одной {произвольной) тетраде Минковского g?, которая, в свою очередь, может быть получена как результат действия преобразования L на тетраду gj, в соответствии с (1.1.24). Поскольку в силу предполагаемой линейности преобразования 丄 выражение вектора V через g? должно быть идентично выражению вектора U через gj, мы имеем из (1.1 25) (см. также рис. 1.1)
(1.1.26)(1.1.26)и? = у%3
(1.1.26)
(1.1.26)
Рис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор U в точке О в мировой вектор V в точке б. Если оно также переводит тетраду 敏 в точке О в тетраду g^ в точке б, то координаты U' вектора U относиРис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор U в точке О в мировой вектор V в точке б. Если оно также переводит тетраду 敏 в точке О в тетраду g^ в точке б, то координаты U' вектора U относи
Рис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор U в точке О в мировой вектор V в точке б. Если оно также переводит тетраду 敏 в точке О в тетраду g^ в точке б, то координаты U' вектора U относи
Рис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор U в точке О в мировой вектор V в точке б. Если оно также переводит тетраду 敏 в точке О в тетраду g^ в точке б, то координаты U' вектора U относи
тельно gi будут такими же, как и координаты V' вектора V относительно 灯(т. е. и = М). Следовательно, (обратное) пассивное преобразование^ порождаемое соответствием {g? в О} i~> {g, в О}, переводит исходные координаты Ul(=VT) вектора U в исходные координаты V1 вектора V.
где в виде исключения из общего правила мы предполагаем суммирование ло паре различных индексов j и j. Отсюда вытекает следующая явная форма преобразования:
、 V? = IPL^, (1.1.27}
(Lp) = (gJ)T・ (1.Ь28>
Таким образом, активное преобразование Лоренца 厶 переводящее g] в g], по своему действию на координаты вектора фор* мально эквивалентно пассивному преобразованию Лоренца G-\ порождаемому переходом от опорной тетрады g? к g「
Если L — ограниченное преобразование Лоренца, то оно, очевидно, переводит ограниченную тетраду Минковского в ограниченную тетраду Минковского и, следовательно, соответствующее пассивное преобразование G также ограниченно. Пусть, наоборот, G — ограниченное преобразование; предположим, что оно порождается ограниченными тетрадами gi и gf ・ Тогда соответствующее преобразование £ сохраняет нормы, произведения и ориентацию, поскольку фактически оно сохраняет координаты; таким образом, L — ограниченное преобразование. Для того чтобы 厶 сохраняло скалярные произведения» необходима потребовать теперь [с учетом формул (1.1.11) и (1.1.27), где опущены шляпки] выполнение соотношения
(1.1.29)(1.1.29)^iiL^L^ = Tjkk
(1.1.29)
(1.1.29)
Рассматривая (1.1.29) как матричное уравнение, мы заклю* •чаем, что det(“)= 士 1. Условие ограниченности преобразования £ оказывается следующим:
det(LiO=b L0°>0..(1.1.30)
В силу формулы (1.1.28) те же самые условия применимы к матрице пассивного ограниченного преобразования Лоренца. Ясно, ято эти условия могут быть также выведены непосредственно из определений
nijg?,ffT，&n?j-> det(gfi)=l, g^° > 0.(1.1.31)
Изотропные направленияи спиновые преобразования
В § 1 мы рассмотрели общепринятое представление мирового вектора U через координаты Минковского. Проанализируем теперь другой способ представления мировых векторов с помощью координат. Мы получим, в частности, координатное описание светового конуса (т. е. множества изотропных векторов) в комплексных числах. Это приведет нас к понятию спин-вектора.
Чтобы избавиться от ненужных индексов, мы пишем 7, X, У, Z вместо координат £/°, S, », U3 вектора U относительно ограниченной тетрады Минковского (f, х, yt z):
U = Tt + Xx + Yy + Zz.(1.2.1)
Координаты изотропных векторов удовлетворяют условию
r2-j2-y2-Z2 = 0.(1.2.2)
Зачастую мы будем рассматривать именно изотропные направления, исходящие, скажем, из начала отсчета О пространства-времени (Минковского). Заметим, что векторы 士匕 будут ,считаться имеющими разные (а именно противоположные) направления. Абстрактное пространство, элементами которого являются изотропные направления будущего (прошлого), мы будем обозначать через 0+ (夕一).Эти два пространства в произвольно заданной системе координат (Т, X,匕 Z) могут быть представлены пересечениями S+ (S") светового конуса (1.2.2) -будущего (прошлого) с гиперплоскостями 7=1 (Т = —1). В евклидовом (X, У, Z)-пространстве Т = 1 (Т =—1) упомянутое пересечение S+(S~) представляет собой сферу, описываемую уравнением 4)
炉 + 员+ 炉=1(1.2.3)
Строчными буквами 局 у, z мы обоэначаем координаты на S+ и Si
Рис. 1.2. Абстрактная сфера 歹一 естественным образом представляет небесную сферу наблюдателя, тогда как сечение S- или его проекция на S дает- более конкретную (хотя и несколько менее инвариантную) реализацию.
(рис. 1.2). Ясно, что направление любого вектора (1.2.1), проходящего через О (независимо от того, изотропный он или нет), если он не лежит в гиперплоскости Г = 0, может быть представлено точкой гиперплоскости Т = 1 или Т =——1. Направление вектора U, выходящего из начала отсчета, изображается, на соответствующей гиперплоскости точкой (Х/\ Т\, У/|7|, Z/\T\), Внутренняя часть сферы S~ изображает множество времениподобных направлений прошлого, а внутренняя часть S+ ——множество времениподобных направлений будущего. Части гиперплоскостей вне этих сфер изображают пространственноподобные- направления.
Остановимся на физическом истолковании пересечений S- и S+. Представим себе наблюдателя, расположенного в событии О пространства-времени. Лучи света, проходящие через его глаз, соответствуют теперь изотропным прямым линиям, проходящим через О, а направления прошлого упомянутых линий образуют поле зрения наблюдателя. Это и есть пространство 夕一，изображаемое сферой S~. Фактически S~ представляет собой точный геометрический образ того, что наблюдатель действительно «видит» при условии, что он неподвижен относитель но системы отсчета (^ х, у, г), т. е. его мировая скорость есть f. В самом деле, наблюдатель может считать себя постоянно находящимся в центре некой единичной сферы S (его сферы зрения) ,на которую он отображает все, что видит в любой момент времени. Прямые, идущие из его глаза к этим точкам изображения на S, представляют собой проекции мировых линий при-
^
Рис. 1.3. Стереографическая проекция сферы S+ на аргандову плоскость.
ходящих лучей на его мгновенное пространство Т = 0. Следовательно, эти изображения конгруэнтны с изображениями на S" (ср. рис. 1.2) и мы можем назвать 夕-или S~ небесной сферой точки О. Отображение изотропных направлений прошлого, выпущенных из О, в точки сферы S~ мы будем называть небесным отображением. Поскольку всякий изотропный вектор £, указывающий в прошлое, единственным (и инвариантным) образом связан с некоторым изотропным вектором, указывающим в будущее (а именно, с вектором —£), поле зрения наблюдателя представляется также сферой S+. Это представление можно назвать антинебесным отображением. Соответствие между S* и S" — это просто соответствие (х, у, z)—►(—х, —g, —z), т. e. диаметрально противоположное отображение при наложении одной сферы на другую. Такое отображение изменяет ориентацию сферы на противоположную: например, касательный вектор на сфере S-, вращающийся по часовой стрелке, если смотреть из центра, вращается против часовой стрелки на сфере S+.
Сферу S+ (или S-) можно естественным образом рассматривать как риманову сферу аргандовой плоскости (плоскости Арганда — Бесселя — Гаусса); эта сфера является хорошо известным представлением комплексных чисел, включающим бесконечность. Обычные свойства аргандовой плоскости и ее римановой сферы отражают многие геометрические свойства векторного пространства Минковского V. В частности, ограниченное преобразование Лоренца на V оказывается однозначно определяемым по результату своего воздействия на риманову сферу (и тем самым на изотропные направления). Более того, как мы увидим в § 4, спин-векторы допускают прямую геометрическую интерпретацию на римановой сфере.
Мы можем заменить координаты х, у, z на S+ одним комплексным числом, полученным на основе «стереографического» соответствия между сферой и плоскостью (рис. 1.3). Возьмем плоскость S с уравнением 2 = 0 в евклидовом 3-пространстве Г = 1 и отобразим точки сферы S+ на эту плоскость путем про-
ектирования из северного') полюса ^(l, 0, 0, 1) Пусть- Р(1,х, у, z)S+ и P^l, Х\ У\ 0) — соответственные точки на S+ и S. Далее, обозначим через Д и В конечные точки перпендикуляров, опущенных из точки Р на СР и CN, Помечая точки на Е одним комплексным параметром
g = X + i~(1.2.4}
имеем
* +切=九&(1・2.5>
где
, СА NP NB 1
" =k =而=被=1 - %
Следовательно, параметр g следующим образом выражается через координаты (1, х, у, z) точки Р:
L 1 -zL 1 -z(1,2.6)
L 1 -z
L 1 -z
Чтобы получить обратное соотношение, исключим сначала х и ^ из (1.2.6) на основании (1.2.3):
^ = Ц^ = ^-(127).
Решая (1.2.7) относительно г и подставляя полученное выражение в (1.2.6), получаем .
竟 + 1 ' ” i«E+l) '«+1 '竟 + 1 ' ” i«E+l) '«+1 '(1.2.8>(1.2.8>
竟 + 1 ' ” i«E+l) '«+1 '
竟 + 1 ' ” i«E+l) '«+1 '
(1.2.8>
(1.2.8>
Алегебраические выражения (1.2.6) и (1,2.8) устанавливают стандартное стереографическое- соответствие между аргандовой плоскостью 匕 и единичной сферой в (х, у, z)-пространстве с центром в точке (0, 0, 0). Это соответствие одно-однозначно^ если мы считаем ^ = оо одной《точкой》，добавленной к аргандо- вой плоскости, и связываем эту точку с северным полюсом сферы. Таким образом, сфера S+ дает стандартную реализацию^ аргандовой плоскости g с добавленной точкой ^ = оо； она пред ставляет собой риманову сферу g.
Мн выбираем северный, а не южный полюс, поскольку это согласуется； с большей частью литературы, тесно связанной с излагаемой нами теорией： спиноров, а также потому, что сделанный выбор приводит к правовинтовому вращению полотнища флага спин-вектора при положительном изменении фазы (см. § 4； гл 3, § 2). Отметим, однако, что в результате такого выбора мы приписываем сфере S+, наблюдаемой извне, такую ориентацию, которая противоположна ориентации плоскости Е, рассматриваемой сверху.В отношении определений гл. 4, § 14 и 15 это приводит к тому, что g оказывается анти го* ломорфной координатой на S+ (и голоморфной координатой на S-) (рнс. 4.2» 4.6).
Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация соотношения С・е‘，ctgB/2, которое ставит в соответствие сферическим полярным координатам 6, @ комплексную стереографическую координату 口 (Угол CPW равен углу при южном полюсе, который стягивается отрезком PN, поскольку оба эти угла дополнительна углу PNC.)
В качестве альтернативного выбора координат на S+ мы можем применить обычные сферические полярные координаты, связанные с х, у, z соотношениями
х — sin Q cos 农 у = sin 0 sin 农 2 = cos 8. (1.2.9)
Выражение для g в координатах (0,力)находится путем подстановки (1.2.9) в (1.2.6):
g = e*ctg*(1.2.10)
Его можно также вывести, пользуясь рис. 1.4, на основании простой тригонометрии.
Формулы (1.2.6) — (1.2.8) и (1.2.10) применимы к антинебес- ному отображению
Световой конус будущего ->S+f £•
Нас будут интересовать также соответствующие формулы для небесного отображения, при котором всякое изотропное направление, выходящее из точки О, представляется типичным событием прошлого —(l,x,g,z), а не событием будущего +(1,х,y,z). Если потребовать, чтобы точка комплексной плоскости ± в обоих
случаях представляла одну и ту же изотропную прямую, то она должна соответствовать на сферах S+ и S~ диаметрально противоположным точкам 土 (х, y,z). Следовательно, искомые формулы получаются из (1.2.6) — (1.2.8) и (1.2.10) путем преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально им противоположные: (х, у, z) — — (х, у, г), или, что эквивалентно, (8, ^) н-> (л — 0, л + ^). В частности, выражение (1.2.10) приобретает вид
g= —d+tg^.(1.2.11)
(Заметим, что действие преобразования, переводящего точки на сфере в диаметрально нм противоположные, таково: g^*^ —• l/t・) Приведенное выше соответствие между множеством изотропных направлений будущего (прошлого), исходящих из точки О, и комплексной плоскостью g могло бы быть получено более прямым путем, чем на основе стереографической проекции. Чтобы реализовать указанное прямое соответствие (рис. 1.5), разрежем пространство переменных (Т, X, У, Z) изотропной гиперплоскостью П, уравнение которой имеет вид
T-Z = l,(1.2.12)
а не пространствениоподобной гиперплоскостью 7=1. Рассмотрим изотропную прямую, проходящую через точку О и пересекающую сферу S+ в точке 户= (1, х,弘 z). Ясно» что эта прямая содержит точку
принадлежащую гиперплоскости П. Теперь «х-я» и «и・а》координаты точки Q будут такими:■
X=告，联士，
причем
как в (1.2.4), (1.2.6), и, следовательно,占 получается путем простого ортогонального проектирования П на S. В исключительном случае g = 8 (z = 1) изотропная прямая, проходящая через точку О, параллельна гиперплоскости П и, таким образом, не пересекает П ни в какой конечной точке.
Рис. 1.5 поясняет геометрическую связь между нашими двумя различными построениями. Пусть, как и раньше, N = = (1, 0, 0, 1) — северный полюс сферы S+. Далее, пусть OQP — рассматриваемая прямая линия с 户 wS+ и Q е П. Обозначим через Р‘ ортогональную проекцию точки Q на плоскость £
Рис. 1.5. Стереографическая проекция Pi—>Р‘ и соответствия Pi—>Q и q I__> p'. («Параболическое» сечение конуса плоскостью П имеет ту же самую внутреннюю евклидову метрику, что и плоскость S — аргандова плоскость координаты 白.)
(Т= 1, Z = 0)・ Тогда направление QP' будет направлением (1:0:0:1), т. е. тем же самым, что и направление ON. Следовательно, точки Р, Q, О, N компланарны, а точка Р лежит на определяемой ими плоскости, поскольку она принадлежит прямой OQ. Однако точки R, Р, N также лежат на гиперплоскости Т=1. Следовательно, они коллинеарны】)，и поэтому точка Р‘ является стереографической проекцией точки Р (из S+ на S с точкой ^ в качестве полюса). Таким образом, искомая эквивалентность установлена геометрически.
Преобразования Лоренца и спиновые преобразования
Чтобы не пользоваться бесконечной координатой (g = 8) для точки (1, 0, 0, 1) на северном полюсе сферы S+, иногда бывает удобно метить точки на S+ не одним комплексным числом С, а парой (g, л) комплексных чисел (не равных нулю одновременно), подчиненных условию
白==*/$(1.2.13)
Они представляют собой проективные (однородные) комплексные координаты, так что при произвольном отличном от нуля
1) В пространстве четырех измерений персечение плоскости (два линейных уравнения) с гиперплоскостью (одно линейное уравнение) представляет собой прямую линию..
комплексном числе 厶 пары (Е, “)и (Ц, Хт]) изображают одну и ту же точку на S+. В этих координатах дополнительная точка на бесконечности g = оо задается конечной меткой, например (1, 0). Таким образом, мы рассматриваем теперь S+ как реализацию некоторой комплексной проективной прямой. Выражения (1.2.8), переписанные в этих комплексных однородных координатах, принимают вид
Заметим,что %, у н z являются однородными функциями нулевой степени относительно 三,“ н потому инвариантны при изменении масштаба 自，斗
Напомним, что роль точки Р(1, х, у, z) на S+ состояла просто в том, что она представляла некоторое изотропное направление, исходящее из начала О. При желании мы могли бы выбрать любую другую точку на прямой ОР, и она представляла бы то же самое изотропное направление. В частности, мы могли бы выбрать точку R на ОР с координатами (Т, X, У, Z), пол^ ценными из координат точки Р умножением на 磔+тй)/<2 Такое умножение исключает знаменатели в (1.2.14). (Множитель I// введен для удобства в дальнейшем.) Теперь вектор K：=OR имеет координаты
т = (U + “а， X = ^г (丽 + 喧)，
1 一 (1215) y =石彳(Bn -值)， z = x^r (医一nn)-
Однако в отличие от точки Р точка R зависит от изменения масштаба (|, п), описываемого действительным числом 尸巨 R, т. е. (Е, n)f (「Е, г”), хотя она и не зависит от фазы «масштабного преобразования» (I, ")-> ©晦 e'°n), 8eR. Таким образом, положение точки R не является функцией одной лишь координаты С, хотя направление OQ зависит только от 尊
Теперь из (1.2.15) легко видеть, что всякое комплексное линейное преобразование 自 н “ приводит к действительному линейному преобразованию (Т, X, У, 2) [задаваемому в явном виде формулой (1.2.24), приводимой ниже]. Поскольку изотропные векторы заметают все пространство V, линейное преобразование изотропных векторов порождает линейное преобразование V, формально задаваемое тем же самым уравнением [а именно (1.2.24)] на общие координаты (Т, X, У/Z). При таком преобразовании свойство (1.2.2)будет сохраняться. Таким образом, мы получаем преобразование Лоренца, дополненное.
возможно, растяжением. Во всяком случае, изотропные направления, исходящие из точки О, будут теми же самыми, что и при лоренцевом преобразовании, поскольку растяжения не меняют направлений.
Рассмотрим теперь комплексные линейные (несингулярные) преобразования координат 匕 н п：
| f £ =硅+ b%п(~^" = тЕ + М
(1.2.16)(1.2.16)Здесь а, р, V и 6 — произвольные комплексные числа, удовлетворяющие единственному условию аб—卩丫#=0 (регулярность). Преобразования (1.2.16), будучи записанными для g, приобретают вид!)
(1.2.16)
(1.2.16)
(1.2.17)
Без потери общности для преобразования величины g мы можем нормировать (1.2.16) условием ^унимодуляркости»
аб — By = L
(1.2.18)(1.2.18)Преобразования (1.2.16) [или (1.2.17)], удовлетворяющие условию (1.2.18), называются спиновыми преобразованиями в случае, когда величина 与 связана с изотропными векторами Минковского соотношениями (1.2.13) и (1.2.15). Заметим, что из этих соотношений вытекает равенство
(1.2.18)
(1.2.18)
(1,2.19)
А:=(у ?) det А = LА:=(у ?) det А = L(1.2.20)(1.2.20)В том же самом случае определим спин-матрицу А:
А:=(у ?) det А = L
А:=(у ?) det А = L
(1.2.20)
(1.2.20)
Последнее условие представляет собой просто условие нормировки (1.2.18). Преобразования (1.2.16), будучи записаны через А, принимают вид
(1.2.21)
Из (1.2.21) видно, что композиция двух последовательных спиновых преобразований снова есть спиновое преобразование: спин-матрица композиции двух преобразований равна произве-
') Дробно-линейное преобразование такого вида является фактически наиболее общим глобальным голоморфным (т. е. комплексным аналитичес( им, или, иными словами, конформным и сохраняющим ориентацию) преобразованием римановой сферы в себя.
дению спин-матриц преобразований-сомножителей. Кроме того, каждая спин-матрица А имеет обратную спин-матрицу
А-」(_：(а
Таким образом, спиновые преобразования образуют группу, которую мы будем называть группой SL (2, С).
Заметим, что две спин-матрицы А и —А отвечают одному и тому же преобразованию сферы g, несмотря на то, что они определяют различные спиновые преобразования. Предположим, наоборот, что А и В — спин-матрицы, определяющие одно и то же преобразование сферы 皆 Тогда спин-матрица В-1А определяет тождественное преобразование сферы ；• В силу (1.2.17) это означает, что р=у = О, а = 6. Из нормировки (1.2.18) вытекает, что a = S = ±l. Таким образом, ВТА = ±1 (матрица тождественного преобразования) и, следовательно, А = ±В. Поэтому спиновое преобразование определяется результатом своего действия на риманову сферу & единственным образом с точностью до знака.
Проанализируем действие спинового преобразования (1.2.21) на координаты (Т, £ У, Z). Заметим, что равенства (1.2.15) могут быть перегруппированы и переписаны в виде
V2 \л - и /一// \睢哂/\ Л /
Отсюда видно, что спиновое преобразование (1.2.21) действует следующим образом:
(T + Z X + iQ ( T + Z 文+ 吟
)А\(1.2.24))А\(1.2.24)=А=АT + Z X + iYX-iY T-Z
)А\(1.2.24)
)А\(1.2.24)
=А
=А
где A* — матрица, полученная из А путем комплексного сопряжения и транспонирования. Как было отмечено ранее, преобразование (1.2.24) является линейным преобразованием координат (Г, X, У, Z); оно действительное [поскольку эрмитовость при (1.2.24) не нарушается] и, кроме того, сохраняет условие 力2 — jp — уг —々2 = о Заметим также, что в случае произвольного (т. е. не обязательно изотропного) мирового вектора
U = Tt + Xx + Yy + Z«(1.2.25>
спин-матрица А продолжает определять преобразование U, удовлетворяющее условию (1.2.24). Это преобразование не
2 Зак. 1142
только линейно и действительно, но и сохраняет выражение Т?——X? — У2 ——Z2 инвариантным. Указанная инвариантность имеет место потом% что это выражение представляет собой в точности определитель матрицы, стоящей слева в формуле (1.2.24), а определитель матрицы, стоящей в формуле (1.2.24) справа, равен просто этому выражению, умноженному на det A det А*, т. е. на 1 [формулы (1.2.20)]. Таким образом, соотношением (1.2.24) определяется преобразование Лоренца. Как преобразование координат (7； X, У, Z) оно может быть записано в явной форме
fi =
/ аа+₽Р+уу+66 аР+Ра+уб+бу i (ар—Ра+vd—бу) аёё—傩+丫丫一68、 I ау+уа+рд+б? а8+6亘+卩号+丫8 1 (аб—ба+уЗ—₽v) ар+у&—0б——б8 | I 1(丫&-叫+6日一卩8) i (6а -аб + YP-py) аб+ба -₽y_yP * (уа—а^—₽б—б? I 'aa+вВ—丫〒一68 а₽+Ра—y^—бу i (аВ——В&+6р——у8) аа—Р₽—yy+W 丿
(1.2.26)
В действительности преобразование (1.2.26) должно быть ограниченным преобразованием Лоренца. Это вытекает из следующих утверждений: 1) преобразование Лоренца, непрерывно переходящее в тождественное преобразование, должно быть ограниченным, поскольку непрерывным лоренцевым поворотом нельзя перевести положительную временную ось, лежащую внутри светового конуса будущего, внутрь светового конуса прошлого, т. е. осуществить инверсию пространства; 2) очевидно, что преобразование (1.2.24) непрерывно переходит в тождественное преобразование, если" спин-матрица А непрерывно переходит в единичную матрицу; 3) как и всякая спин-матрица, матрица А непрерывно переходит в единичную матрицу. Для доказательства последнего утверждения рассмотрим матрицу В :=Х1 +(1—X)А. Она сингулярна самое большее при двух значениях %, и мы можем рассмотреть путь в комплексной %-пло- скости от 0 до 1, обходящий эти значения. Тогда (det В)~1/2В определит непрерывную последовательность спиновых преобразований А в I или —I. [Последнее имеет место для такого пути, когда (det В)~1/2 изменяется от 1 до —1, например если А = —I. Но —I непрерывно переходит в I, скажем, при спиновом преоб-
разовании diag(eie, е-16), 0《8《冗,и, таким образом, утверждение 3 доказано.]
Теперь мы представим конструктивное доказательство того, что, наоборот, всякое ограниченное преобразование Лоренца выражается в виде (1.2.24), где А — некоторая спин-матрица. Тогда мы установим следующий фундаментальный результат: Предложение
Всякое спиновое преобразование соответствует [в силу (1.2.24)] единственному ограниченному преобразованию Лоренца; обратно, всякое ограниченное преобразование Лоренца соответ с теует двум и только двум спиновым преобразованиям, из которых одно противоположно другому. (1.2.27)
Обратная часть данного утверждения тривиально следует из одного общего свойства групп Ли. А именно подгруппа группы Лоренца, фигурирующая в (1.2.24), должна иметь полную размерность, равную шести. Это вытекает из того, что спин- матрицы образуют действительную шестимерную (т. е. комплексную трехмерную) систему и что только дискретное множество спин-матриц (а именно две спин-матрицы) отвечает произвольно заданному преобразованию Лоренца. Эта полномерная подгруппа должна содержать полностью связную компоненту группы Лоренца, включающую тождественное преобразование.
Полезно, однако, дать другой вывод обратной части утверждения (1.2.27), состоящий в явном построении спин-матриц, соответствующих некоему основному преобразованию Лоренца, из которого может быть образована вся группа. К таким основным преобразованиям относятся пространственные вращения и «бу- стн》(т. е. чистые преобразования скорости), описываемые хорошо известными соотношениями
彳=(1 — u2)t/2(t + uz), X = Xt Р = У, Z = (l-M)t/2(z+”),
(1.2.28>
где v — параметр скорости. Всякое ограниченное (активное) преобразование Лоренца может быть составлено из собственного пространственного вращения, буста в направлении оси г н, наконец, второго пространственного вращения. Посмотрим, как такое преобразование характеризуется своим действием на тетраду Минковского. Выберем первое вращение таким образом, чтобы оно переводило вектор z в пространственно-временную плоскость, содержащую как начальное, так и конечное направления L Затем буст (1.2.28) придаст вектору t его окончательное направление, а второе вращение используется для надлежащей
ориентации векторов х, у a z. Таким образом, нам остается по казать, что пространственные вращения и г-бусты могут быть получены из спинюых преобразований. Рассмотрим сначала вращения и установим следующий результат:
Предложение 一
Всякое унитарное спиновое преобразование соответствует единственному собственному вращению сферы S+; обратно, всякое собственное вращение сферы S+ соответствует двум и только двум унитарным ' спиновым преобразованиям, из которых ддно прогивоположно другому. [Унитарным спиновым преобразованием называется такое, которое задается унитарной спин-магницей: А-1 = А*.]
-. (1.2.29)
Прежде всего посмотрим более внимательно, каков геометрический смысл наших преобразований. Преобразования Лоренца считаются здесь активными. Сферы S+ н S* рассматриваются как часть координатной системы и не принимают участия в преобразовании, так что при смещении всякого изотропного направления будущего (прошлого) сдвигается и его представление на S+ (S-). К примеру, вращение (х, y,z), оставляющее t инвариантным, соответствует вращению изображения на S+ (S-), которое можно условно назвать «вращением сферы» S+ (S~)・ Плоскость Е тоже является частью координатной структуры и остается неизменной, тогда как изображения на ней изотропных прямых g сдвигаются. Здесь тоже мы можем говорить о «движениях» плоскости S. (Конечно, S+, S" и S инвариантны не более чем различные координатные гиперплоскости: лежащие в них векторы в общем случае выйдут за их пределы nocjlfe осуществления преобразования Лоренца.) Важно помнить, что, хотя мы имеем здесь дело с представлением только изотропных направлений пространства V, преобразованиями этих направлений однозначно определяется преобразование всех векторов пространства V.
.Из (1.2.24) теперь ясно, что переменная Г инвариантна при унитарном спиновом преобразовании, поскольку ее след (= 2Т) всегда инвариантен при унитарных преобразованиях. [С равным успехом мы можем сослаться на инвариантность выражения 孑Е + пП， представляющего собой эрмитову норму пары (Е, “).] Ограниченные преобразования Лоренца, при которых переменная Т инвариантна, есть просто собственные вращения сферы S+ (поскольку они оставляют инвариантным X2 + У2 + Z2), что и требовалось доказать. Чтобы в явном виде продемонстрировать обратное утверждение, заметам сначала» что всякое собственное
вращение (х, у, 2)ь->(#‘，у', z‘)сферы S+ может быть составлено из последовательных вращений вокруг осей У н Z. Действительно, триада (х\ 旷,z‘) определяется полярными координатами О, В оси z‘ относительно (х, у, z) и углом 屯 образованным плоскостями л\ X и 局，(Указанные три угла по существу представляют собой хорошо известные углы Эйлера в механике [80, 7].) Таким образом, требуемое преобразование будет достигаться вращением на угол 中 вокр声 вектора z, затем вращением на угол 0 вокруг первоначального вектора у и, наконец, вращением на угол 屮 вокруг первоначального вектора z. Покажем, как эти элементарные вращения могут быть представлены унитарными спиновыми преобразованиями. Отсюда будет следовать, что всякое собственное вращение сферы S+ может быть представлено указанным образом, поскольку произведение унитарных матриц есть унитарная матрица.
Очевидно, что вращение сферы S+ вокруг оси z на угол 屮 возникает из вращения аргандовой плоскости относительно начала на угол ф. Такое вращение задается соотношением
Е = е%(1.2.30)
т. е. спиновыми преобразованиями;
Далее, мы утверждаем, что вращение сферы S： на угол 0 вокруг оси у задается следующими унитарными спиновыми преобразованиями:.
d)=土广曜-si嘰)广)
I \ sin 0/2 cos 8/2 八 n 丿
Поскольку преобразования (1.2.32) унитарны, они несомненно представляют некоторое вращение. Более того, поскольку разность 斷一喧 так же как и сумма St+ ПЛ инвариантна, из (1.2.14) вытекает, что «/-координаты точек на S+ инвариантны при (1.2.32). Следовательно, рассматриваемое вращение происходит вокруг оси у. Наконец, преобразование (1.2.32) переводит точку (1, 0, 0, 1) в точку (1, sin G, 0, cos 0), так что угол поворота действительно равен 9. (Путем подобных же рассуждений можно показать, что унитарные спиновые преобразования
土 (cos, is广)(1233) 丿 \ 1 sin x/2 cosx/2 八 n 丿
отвечают вращению на угол % вокруг оси х.) Тем самым предложение (1.2.29) доказано. Для ссылок мы выпишем результирующую спин-матрицу, отвечающую (общему) вращению с углами Эйлера 仇 гр:
® S—叨/2g—i (ф + 1р)/2® S—叨/2g—i (ф + 1р)/2(1.2.34>(1.2.34>(cos^e9+W"2 — sin
® S—叨/2
g—i (ф + 1р)/2
® S—叨/2
g—i (ф + 1р)/2
(1.2.34>
(1.2.34>
\sin ■|~е-м®Т"2 cos
Элементы этой матрицы фактически задаются параметрами вращения Кэли — Клейна, известными из механики [80].
В дополнение к доказательству предложения (1.2.27) покажем, что всякий г-буст (1.2.28) может быть получен из спинового преобразования. Для этого перепишем (1.2.28) в виде
f + Z = да (Т + Z), f -Z = w-(T -Z), Х = Х, Г = У, (1.2.35>
гдегде1 + О./21 — и丿1 + О./21 — и丿(1.2.36>(1.2.36>
где
где
1 + О./2
1 — и丿
1 + О./2
1 — и丿
(1.2.36>
(1.2.36>
(Здесь w — релятивистский доплеровский множитель, причем lnw = Arth v есть «быстрота», соответствующая параметру скорости V *).) На основании (1.2.24) мы тотчас же заключаем, что преобразования (1.2.35) выполняются при спиновом преобра
зованиизовании(A±(丁 農)()(A±(丁 農)()(1.2.37>(1.2.37>
зовании
зовании
(A±(丁 農)()
(A±(丁 農)()
(1.2.37>
(1.2.37>
или, если рассматривать аргандову плоскость g, при обычном растяжении.
t = wg.(1.2.38)
Таким образом, предложение (1.2.27) доказано.
Заметим, наконец, что всякий чистый буст (оставляющий инвариантными две гиперплоскости, ортогональные вектору /, т. е. Х = 0, У = 0 в приведенных выше обозначениях) соответствует положительно (или отрицательно) определенной эрмитовой спин-матрице и наоборот. В справедливости этого соответствия мы убеждаемся на том основании, что z-буст (1.2.37), является чистым бустом, а чтобы получить буст в любом другом направлении, нам достаточно совместить это направление с г-направ- лением, применить z-буст и вернуть это направление в исход-
яое положение. Такой процедуре отвечает спин-матрица А-1 В А, где А — требуемое вращение, а В есть z-буст; на основе элементарной теории матриц заключаем, что А* В А продолжает оставаться положительно (отрицательно) определенной эрмитовой матрицей. Обратно, всякая положительно (отрицательно) определенная эрмитова матрица В может быть диагонализована при помощи унитарной матрицы А： АВА™ == diag(a, 6), причем последняя должна иметь вид ±diag(UJ1/2, w~^)= ±В, поскольку сохраняются условия эрмитовости, де^)инитности и равенства определителя единице. Следовательно, В имеет вид 土А-】ВА и наше утверждение доказано.
Из сказанного ранее нетрудно видеть, что всякое ограниченное преобразование Лоренца L представимо в виде однозначно определенной композиции одного буста и одного собственного пространственного вращения, а также композиции упомянутых здесь преобразований, взятых в иной последовательности. Чтобы убедиться в этом, мы должны просто задать пространственное направление w ортогональным направлению t и лежащим в плоскости, содержащей первоначальный и конечный векторы f, применить «w-буст», переводящий вектор f в его конечное положение, и затем путем пространственного поворота надлежащим образом переориентировать х, д, г1). Очевидно, что если мы выполним указанные преобразования в обратной последовательности, то получим расщепление преобразования LT Опять с учетом сказанного выше читатель узнает в этом результате следствие математической теоремы о том, что всякая несингулярная комплексная матрица однозначным образом представима в виде произведения унитарной матрицы и положительно определенной эрмитовой матрицы и наоборот.
Связь с кватернионами .
В заключение данного параграфа скажем несколько слов о кватернионах. Тем самым мы внесем большую ясность в наши результаты по спин-матрицам, связанные с вращениями. Дело в том, что спин-матричное представление собственных вращений эквивалентно их более известному представлению с помощью кватернионов. Положим
(1.2.39)
Для этих матриц справедлива следующая таблица пройзве* дений:'
(1.2.40)(1.2.40)
(1.2.40)
(1.2.40)
которая определяет I, if j и к как элементарные кватернионы* Общий кватернион будет представляться матрицей
/ а + id — с + ib、
A = Ia+ib + jc + kd = Q + b а —(124l>
где a, bt ct d^ R. Сумма н. произведение двух кватернионов получаются просто как матричная сумма и матричное произведение. Как и раньше, А* определяется посредством соответствующей матричной операции, и мы напишем.
А* = la — (id + jc + kd)・(1.2.42)
Матрица А в формуле (1.2.41) будет унитарной спин-матрицей» если она унимодулярная и унитарная. Однако из (1.2.41) вытекает, что
det А =出 + 尸 + d + 認(1.2.43)
АА* ==I(a2 + " + с2 + 徜，(1.2.44)
так что оба условия выполняются, если кватернион имеет единичную 《норму》：
^ (А):=出 + " + с2 + d2 = 1.(1.2.45)
Таким образом, единичные кватернионы могут быть представлены унитарными спин-матрицами. Частными примерами единичных кватернионов являются элементарные кватернионы I, i> j, к. Мы видим из (1.2.31) — (1.2.33) и (1.2.39), что i, j и к определяют соответственно вращения на угол л относительно осей X, У н Z.
Если записать
А = kz+ ib + jc + kd = 〃 + V(1246}
и считать
V =(瓦 ％ d)
вектором с компонентами (А с, d) относительно некоторого базиса и если аналогично А‘ = 1а‘-Р ... =a‘ + v‘，то, как не-
трудно убедиться, выполняются соотношения
А + А' = а 十 а' + V + v',
АА' = аа' —v・ v' + a'v + av' + vXv',
где векторные суммы и произведения обычным образом выражаются через компоненты. Отсюда с очевидностью вытекает, что правильное уравнение для кватернионов» включающее суммы и произведения, остается правильным после применения преобразования вращения к «векторным» компонентам (b, с, d)> (力「cld') и т. д.; действительно, «векторная» часть уравнения будет при таких преобразованиях форм-инвариантной. -
Мы видели, что некоторые кватернионы могут представляться спин-матрицами. В этом смысле они могут рассматриваться как преобразования. Однако кватернионы играют двоякую роль в теории — они могут также выступать в качестве «трансформан- дов», т. е. три-векторов, подвергающихся преобразованиям. Как мы видели в (1.2.24), иногда бывает полезно образовать из компонент (Т, Л, У, Z) четыре-вектора определенную эрмитову матрицу. В частном случае, когда Г = 0, она может быть идентифицирована с «векторным* кватернионом Q [формула (1.2.41)] после умножения ее на 八)：
Q = (iX + y -iZ J = iX + jy + kZ・ (1.2.48)
Тогда соотношение (1224) перепишется следующим образом:
Q = AQA*.(1.2.49)
Из спин-матричной интерпретации этого равенства мы видим, что всякий единичный кватернион А будет (в соответствии с этим равенством) отвечать определенному собственному пространственному повороту Виктора Q. Ясно, что наиболее общий единичный кватернион может быть записан в виде
А = I cos -у + (i/ + Jw + kn) sin -^ = cos -|- + v sin -у, (1253)
где v = (Z, m, п) и Z2 + m2 + n2 = 1. Мы утверждаем, что такой кватернион А осуществляет вращение на угол 屮 вокруг вектора V. Для доказательства следует просто заметить, что (1.2.49) есть кватернионное равенство, а потому не изменяется при изменении (кватернионного) векторного базиса; повернем указанный базис таким образом, чтобы вектор v приобрел вид (0, 1, 0). Тогда мы сразу же получим результат, эквивалентный равен-
Никакая «хитрость> подобного рода не позволяет связать полный четыре-вектор (Т, X, У, Z) с действительными кватернионами.
ству (1.2.32), причем кватернион А будет приведен к спин-ма- трице, которая реализует вращение на угол 屮 относительно оси 弘 а вектор v будет приведен к упомянутой оси. Следствием этого является важное утверждение, что всякий собственный пространственный поворот (единичный кватернион) есть вращение относительно некоторой оси v на некоторый угол 屮.
Записав (1.2.50) в виде матрицы
/ cos 等 + in sin 等 (一加+ i/) sin 等、
A=：，(1.2.51)
\ (m + iZ) sin -уcos 等一也 si口年丿
мы получим наиболее общую унитарную спнн-матрицу с ясными трансформационными свойствами. Заметим, между прочим, что А изменяет знак при замене 屮 * 屮 + 2л.
Несмотря на то что унитарные спин-мэтрицы и единичные кватернионы представляют собой по существу одно и то же^ в общем случае между спин-матрицами и кватернионами не су-, ществует такой тесной взаимосвязи. Дело в том, что кватернионы связаны с положительно определенными квадратичными формами [формула (1.2.45)j, тогда как спин-матрица и преобразования Лоренца х ар а ктер изуются лоренцевой сигнатурой (+, —, —, —). Конечно, указанную трудность можно обойти путем введения «кватернионов» с надлежащими комплексными коэффициентами. Подобные объекты не будут обладать фундаментальным свойством действительных кватернионов, т. е. не- будут образовывать алгебру с делением. Тем не менее простое использование кватернионных обозначений [особенно (1.2.47)] может привести к значительным упрощениям некоторых выкладок с общими спин-матрицами (см., например, [55]).
§ 3. Некоторые свойства преобразований Лоренца
Многие хорошо известные свойства вращений и преобразований Лоренца можно просто вывести, исходя из соответствия между ограниченной группой Лоренца и группой спиновых пре* образований. Покажем, как это делается.
Очевидно, что в случае унитарности спинового преобразования (1.2.16) соотношение (1.2.17) дает
Е= ；^ + ? .(L3.D
Неподвижные (т. е. удовлетворяющие условию Е = 0 точки задаются уравнением
Y?+ (Е —a)G+ Y = 0.
Ясно, что если С — один из корней этого квадратного уравнения, то —1/Е есть его другой корень. Следовательно, неподвижные точки имеют вид & — 1僞 соответствующий диаметрально противоположным точкам на сфере S+ [формула (1.2.11) ]. Это является еще одним доказательством того положения, что всякое вращение сферы эквивалентно вращению вокруг некоторой одной оси.
Окружность на сфере S+ определяется как пересечение сферы S+ с некоторой плоскостью в евклидовом 3-пространстве 7=1, задаваемой действительным линейным уравнением IX + mY + ^- nZ = р (р2 V 庐 + 加2 + 门2). Подставив сюда (1.2.8), получим (при условии р#=п) уравнение вида Й — х$ — xg + хй = г2 (г > 0, х — комплексное), т. е. [С — х[ = г. Это — уравнение окружности в аргандовой плоскости с центром в точке 乳 и радиусом г. Когда р — п (т. е. когда исходная окружность проходит через северный полюс на сфере S+), мы получаем уравнение прямой на аргандовой плоскости. Итак, мы установили хорошо известный факт, что в случае стереографической проекции окружности на сфере переходят в окружности или прямые на плоскости и наоборот, поскольку приведенные выше рассуждения обратимы.
В предыдущем параграфе мы показали, что всякое спиновое преобразование может быть составлено из преобразований, которые либо порождают вращение сферы S+, либо сводятся к простым растяжениям аргандовой плоскости. Ясно, что первый тип преобразований сохраняет окружности на S\ тогда как второй сохраняет окружности или прямые на аргандовой плоскости. Из проведенных выше рассуждений вытекает, что всякое спиновое преобразование приводит к преобразованию на S+, переводящему окружности в окружности |это хорошо известнее свойство дробно-линейных преобразований (1.2.17) римановой сферы, которое легко доказывается прямым путем].
Всякое преобразование, сохраняющее окружности, должно быть конформным преобразованием (т. е. преобразованием, сохраняющим углы). Это утверждение основано на том, что бесконечно малые окружности должны преобразовываться в бесконечно малые окружности, а не в эллипсы. Обратно, мы можем прямым путем убедиться в конформном характере стереографической проекции, заметив, что квадрат интервала da2 на сфере связан с квадратом интервала dgd£ на аргандовой плоскости соотношением .
dM = d#2 + d小 + 證2 =諧 d：2 (1.3.2) вытекающим из (1.2.8). Конформный же характер дробно-линейного преобразования может быть установлен на основе того
простого факта, что оно является голоморфным (т. е. комплексным аналитическим)*) преобразованием; действительно, в последнем случае из $ = f (S) вытекает d| = f‘ (g) dg. Очевидно, что как следствие из всего этого преобразование Лоренца порождает изотропное расширение и вращение окрестности каждой точки на сфере S+.
Следствиями описанных выше свойств конформности и сохранения окружностей являются хорошо известные, но вместе с тем вызывающие удивление спецрелятивистские эффекты, называемые иногда эффектами «ненаблюдаемости лоренцева сокращения». Рассмотрим наблюдателя в точке О. Как отмечалось ранее, его поле зрения, или небесная сфера, может быть в соответствии с нашей договоренностью представлено римановой сферой S-. Всякий луч света, входящий в его глаз, можно для удобства представить изотропной прямой, проходящей через точку 02 и, следовательно, единственной точкой на его небесной сфере S- (небесное отображение). Сфера S- связана с S+ отображением, переводящим каждую точку в диаметрально ей противоположную. Таким образом, всякое ограниченное преобразование Лоренца на V порождает конформное отображение небесной сферы на себя, сохраняющее окружности. Из свойства конформности вытекает, что объект, рассматриваемый заданным наблюдателем под небольшим углом, будет иметь ту же самую форму для любого другого наблюдателя, мгновенно совпадающего с первым, хотя бы он и двигался относительно первого наблюдателя с некоторой скоростью [178]. Для двух таких наблюдателей в общем случае будут разными только видимый угловой размер и направление. Более того, из свойства сохранения окружностей вытекает, что если один инерциальный наблюда-
Обратно, всякое локальное собственное (т. е. сохраняющее ориентацию) конформное преобразование римановой сферы отвечает голоморфному отображению С. [Данное утверждение справедливо вследствие того, что конформность означает dfg。北для некоторого комплексного а, т. е. (dx 十 + idg, = a(dx + idg), откуда вытекают условия Коши — Рнмана d兄/@н = =Re (а) = ду/ду, —дх/ду = 1т(а) = ду/дх, а значит, и голоморфность.1 Поскольку лишь глобальные голоморфные отображения римановой сферы на себя являются дробно-лннейными преобразованиями, только собственные глобальные конформные отображения 0+ (понимаемого через S+) на себя суть отображения, порождаемые спиновыми преобразованиями. Таким образом, группа собственных конформных преобразований 歹 + на себя является ограниченной группой Лоренца. Следовательно, существенная структура сферы S+ задается не ч^м иным, как ее конформной структурой и ориентацией.
В самом деле, всякая 2-поверхность Т с топологией сферы S2 н с (положительно определенной) конформной структурой по своим метрическим свой* ствам конформно-эквивалентна сфере (скажем, S+). Таким образом, собственные конформные преобразования поверхности Г в себя также образуют группу, изоморфную ограниченной группе Лоренца. Мы воспользуемся этим результатом в гл. 9 [формула (9.6.31)].
тель воспринимает очертания объекта любых размеров как окружность, то и все инерциальные наблюдатели, мгновенно совпадающие с первым, будут воспринимать очертания этого объекта как окружность (или, в частном случае, «прямолинейные» очертания, отвечающие большому кругу на небесной сфере, который кажется «прямой» линией). В-.частности, очертания равномерно движущихся сфер, несмотря на лоренцево сокращение, для всех наблюдателей представляют собой окружности [133]. ■ ' ■
Дробно-линейное преобразование римановой сферы полностью определяется заданием произвольных трех разделенных точек на сфере как образов произвольных' других трех разделенных точек на этой сфере. Этот хорошо известный факт является простым следствием (1.2.17). (Преобразование определяется тремя комплексными отношениями а: Р : v : 6, которые, в свою очередь, задаются тремя комплексными уравнениями.) Мы получаем, что всякое ограниченное преобразование Лоренца полностью определяется заданием (различных) отображений трех различных разделенных изотропных направлений. (Таким образом, путем выбора только своей скорости и ориентации наблюдатель может добиться, чтобы любые три звезды оказались в трех наперед заданных точках на его небесной сфере.)
Далее, всякое дробио-линейное преобразование (1.2.17), а ие только частный случай (1.3.1) (не считая тождественного преобразования), допускает две и только две неподвижные точки, которые могут совпадать на римановой сфере; это следует из соотношения (1.2.17), если положить в нем $ = $ и решить получившееся квадратное уравнение. Стало быть, всякое (нетривиальное) преобразование Лоренца оставляет неизменными два и только два (возможно совпадающих) изотропных направления 1).
Частные случаи преобразования Лоренца,выделенные по характеру его действия на S+
Проанализируем структуру лоренцевых преобразований в свете только что полученных выводов. Сначала рассмотрим случай, когда упомянутые два неподвижных изотропных направления отличаются друг от друга. Канонический вид для такого преобразования Лоренца можно получить, выбрав нашу систему тетрад Минковского таким образом, чтобы векторы £ н z ле*
I) В самом деле, в силу теоремы из топологии всякое непрерывное отображение сферы на себя, сохраняющее ориеитацню, должно обладать по меньшей мере одной неподвижной точкой, а при «правильном» подсчете — двумя и только двумя неподвижными точками, поскольку эйлерова характеристика сферы равна двум. Ср. с обсуждением вопроса об «отпечатках пальцев» в гл. 8, § 7.
Рис. 1.6. Поворот на сфере S+.Рис. 1.6. Поворот на сфере S+.Рис 1.7. Буст на сфере S+.Рис 1.7. Буст на сфере S+.
Рис. 1.6. Поворот на сфере S+.
Рис. 1.6. Поворот на сфере S+.
Рис 1.7. Буст на сфере S+.
Рис 1.7. Буст на сфере S+.
Рис. 1£・ Четыре-винт на сфере S+.
жали в 2-плоскости, натянутой на эти изотропные направления. Тогда последняя должна иметь компоненты (1,0, 0, 土 1), откуда заключаем, что неподвижные точки совпадают с северным и южным полюсами сферы S+ (^ = оо, 0). Наиболее общее дробно-линейное преобразование (1.2.17), сохраняющее оба полюса инвариантными, имеет вид
己=碇叱， (1.3.3)
где ш и 屮一действительные числа. Это преобразование представляет собой произведение (в любом порядке) вращения на угол 屮 вокруг оси г и буста вдоль оси z с быстротой ^ = In ш (рис. 1.6, 1.7, 1.8). В координатах Минковского (1.2.15) имеем
X = Х cos 屮一У sin 屮，F == X sin 屮 + У cos 也
~(1.3.4)
Z = Zche + Tsh«, T = Zsh0 + Tch6
Это — преобразование, которое Синг [175, стр. 86] называет «четыре-винтом».
Мы уже видели, что чистые бусты в направлении z соответствуют растяжению £ =⑪扌 аргандовой плоскости. Если рассматривать небесное отображение (S~) в сферических полярных координатах на небесной сфере [формула (1.2.11)], то это приводит к аберрационной формуле для приходящих световых
лучей:
.0. 0
(1.3.5)(1.3.5)tg方=出垃3，
(1.3.5)
(1.3.5)
5= (нт) •
Здесь V = —и есть скорость в направлении 3 = 0 наблюдателя, измеряющего угол 0, по отношению к наблюдателю, измеряющему угол 0. (Поскольку наши преобразования активные, мы должны представлять себе остальную Вселенную движущейся со скоростью ——V = и в направлении оси г.) Мы видим, что наблюдателю, движущемуся с высокой скоростью по направлению к звезде Р, все прочие звезды кажутся все более и более группирующимися вокруг Р по мере роста его скорости.
Далее, рассмотрим преобразования Лоренца, для которых упомянутые два неподвижных изотропных направления совпадают. Такие преобразования называются изотропными вращениями. Без потери общности мы можем выбрать неподвижное изотропное направление так, чтобы оно соответствовало северному полюсу сферы S+. Таким образом, точка U = 8 должна быть единственной неподвижной точкой дробно-линейного преобразования (1.2.17), так что
?=?+₽， (1.3.6)
где В ——некоторое комплексное число. Преобразование (1.3.6) представляет собой просто сдвиг на аргандовой плоскости. (Дробно-линейное преобразование аргандовой плоскости, для которого точка J = 8 неподвижна, должно иметь вид Е = а^ + 0, но при а#= 1 оно имеет еще и конечную неподвижную точку.) Спиновые преобразования, приводящие к (1.3.6), имеют вид
0(; X) Е
Без потери общности мы можем положить, скажем, р = ia, где а — действительное число. Тогда в координатах Минковского получим .
Х = Х, Y^Y + a(T — Z),
3 = Z + ay + ^a2(7-Z), t = Т + aY + ^-а2(Т - Z). "38)
Рис. 1.9. Изотропное вращение на сфере S+.
Заметим, что изотропный вектор 之 + 力 инвариантен полностью, а не только по направлению.
Чтобы наглядно представить описанное изотропное вращение римановой сферы, мы приводим рис. 1.9. Жесткий сдвиг арган- довой плоскости приводит к преобразованию римановой сферы, смещающему точки по окружностям, которые проходят через северный полюс, касаясь в нем направления оси у. При приближении к северному полюсу смещения становятся все меньше и меньше, оставляя северный полюс единственной неподвижной точкой.
Как уже говорилось, наиболее общее дробно-линейное преобразование, для которого точка g = 8 неподвижна, имеет вид 已=就+6・ Оно может быть разложено на сдвиг, вращение и растяжение аргандовой плоскости (в любой последовательности). Таким образом, наиболее общее ограниченное преобразование Лоренца, сохраняющее инвариантным заданное изотропное направление К (скажем, в плоскости z и f), есть произведение изотропного вращения относительно К, пространственного вращения относительно z и z-буста. Первые два из перечисленных преобразований оставляют инвариантным весь вектор К, последнее — лишь его направление.
Отметим, что как преобразования Лоренца, сохраняющие инвариантными два заданных изотропных направления, так и изотропные вращения, сохраняющие инвариантным одно заданное изотропное направление, образуют двумерную абелеву подгруппу группы Лоренца. В первом случае мы имеем дело с аддитив* ной группой по комплексному числу，+ Ь|)(модуль 2ш), а во втором ——с аддитивной группой по р. Эти группы неизоморфны, поскольку они имеют разную топологию (S1 X R и R2 соответственно) .Действительно, все числа ^ + i^ + 2зйп (п= ...» —1, О, 1, 2, ...) приводят к одному и тому же преобразованию, тогда как при разных § все изотропные вращения различны.
Двойные отношения изотропных направлений
Имея в виду будущее применение (в гл. 8 тома 2), мы завершим данный параграф изложением некоторых довольно специфических результатов для двойных отношений.
Хорошо известно (и это нетрудно проверить), что двойное отношение
" =依生0，3 =晋:-若佬=&(139)
четырех точек &,匸2, Сз,匕4 аргандовой плоскости инвариантно относительно дробно-линейных преобразований. В однородных координатах имеем ■
（和% 一 鼠巾）（e曲2 - Кn3）'（和% 一 鼠巾）（e曲2 - Кn3）'(1.3.10)(1.3.10)
（和% 一 鼠巾）（e曲2 - Кn3）'
（和% 一 鼠巾）（e曲2 - Кn3）'
(1.3.10)
(1.3.10)
Теперь легко видеть, что
{а, р, Y，д} = {р, а, д, у} = {»，а, В} = {，》Р，а). (1.3.11)
Следовательно, может быть не больше шести различных значений двойного отношения четырех точек, взятых во всевозможных последовательностях, и эти значения таковы:
Когда совпадают две и только две из величин & величина у вырождается в 1, 0 или оо. При тройном и четырехкратном совпадении отношение % становится неопределенным.
Двойное отношение, четырех действительных изотропных направлений определяется двойным отношением (Г.3.9) четырех соответствующих точек аргандовой плоскости. Легко видеть [это устанавливается путем перемены местами величин ^ и т) в формуле (1.3.10)], что
{1/а, 1/Р，1/Y，1/6} = {а, ₽> Y，6} = {-а, —0, -» -6}, (1.3.13) и, следовательно, небесное и антинебесное отображение дают двойные отношения, комплексно-сопряженные друг другу, поскольку отображения заданных изотропных направлений на сферы S+ и S~ суть —1Д и 匕 соответственно.
Зная любые три из несовпадающих комплексных чисел 玩 広 彳з,扌4 и приписывая произвольное значение двойному отношению (1.3.9), можно однозначно определить четвертое число (считая 8 одним числом). Как следствие получаем, что любые четыре различных изотропных направления (точки на S+) путем подходящего ограниченного преобразования Лоренца (дробно-линейного преобразования) могут быть переведены в любые другие четыре изотропных направления (точки), имеющие то же
самое двойное отношение; в справедливости данного утверждения убеждаемся на том основании, что любые три из изотропных направлений могут быть указанным образом отображены на любые другие три несовпадающих изотропных направления^ после чего четвертое направление однозначно определится инвариантным двойным отношением.
Если двойное отношение (1.3.9)——действительная величина, то все четыре рассматриваемые точки лежат на одной окружности (или коллинеарны) в аргандовой плоскости. Это эквивалентно утверждению, что четыре соответствующие точки на римановой сфере лежат на одной окружности и, следовательно, компланарны. Итак, для того чтобы четыре изотропные линии принадлежали одной действительной гиперплоскости
aT + bX + cY + dZ^ О,
должно быть действительным их двойное отношение. Частный случай ——гармоническое семейство, двойное отношение для которого равно ——1, 2 или 1/2. Одно гармоническое семейство в аргандовой плоскости задается вершинами квадрата 1, i,——1» —i; следовательно, эти же точки на экваторе римановой сферы соответствуют семейству гармонических изотропных направлений. В силу сказанного выше всякие четыре гармонических изотропных направления могут быть преобр-азованы в указанные гармонические изотропные направления путем соответствующего ограниченного преобразования Лоренца. '
Интерес представляет также эквиангармоническое семейство, обладающее еще большей внутренней симметрией. В этом случае двойное отношение равно ——<о или ——о>2, причем о> =仪面色 Путем подходящего ограниченного преобразования Лоренца четыре такие точки на римановой сфере могут быть переведены в вершины правильного тетраэдра. Это следует из того, что при всех 入 семейство точек 0,儿 Ахо, 1<о2 является эквиангармониче- ским на плоскости, а при некотором подходящем действительном 入 оно, очевидно, проектируется в вершины правильного тетраэдра.
Геометрический смысл двойного отношения можно пояснить следующим образом)*
Рассмотрим произвольные четыре несовпадающих действительных изотропных вектора А, В, С, D и обозначим символом [АВ] плоскость, задаваемую векторами А и В. Пусть С — единственная времениподобная плоскость, содержащая по одному вектору из [АВ] и [CD] и по одному перпендикуляру к [АВ] и [СО]. Для удобства вычислений предположим, что Q есть плоскость векторов z и f н что А ос (1, р, д, г), В ос (1, р\ /, /)• Единственные содержащиеся в Q векторы, нормальные к векторам А и В, есть (г, 0, 0, 1) и (「', 0, 0, 1) соответственно; следовательно, / =匚 Если [АВ\ содержит вектор из Q, то (pl д') 0c ос(р, д). Поскольку Л и В — изотропные и несовпадающие векторы, получаем A(x(lt р, qt г), В ос (1,——р,——д, г)； аналогичный вывод справедлив для векторов С и D* Следовательно, каждая из рассматриваемых нами пар на римановой сфере представлена парой точек, имеющих одну и ту же широту, но расположенных на противоположных меридианах. Имеется только одно ограниченное преобразование Лоренца, которое осуществляет перевод А ^—>С, В t—> D и сохраняет плоскость Q (а тем самым ее изотропные направления, соответствующие северному и южному полюсам). Очевидно, что таким преобразованием является вращение (1.2.30) вокруг оси z, выполненное после буста (1.2.38) вдоль оси 2：
£ =…%千%(1.3 14>
где «з*-= оу и р = ^+ i^p. Если а, ₽ — точки комплексной плоскости, соответствующие векторам А, В, то ₽ = —а; далее, если 7，6 соответствуют векторам С, D, то 6 = — у и у = е* Следовательно,•
%={а，Y，3 6}=二；* =伪2^・(1315)
Величину
р = 6 + ii|)= 2Arth V%(1.3.16)
можно назвать комплексным углом между действительными плоскостями [力Ь] и [CD], и мы видим, что эта величина сдно- значно определяется двойным отношением {а у, р, 6} с точностью до знака и модуля in, зависящего от способа перевода векторов друг в друга (А 一 С, В^ D или иначе). Геометрический смысл комплексного угла заключается в том, что пло скости [力Ь] и [СР] «различаются» лоренцевым преобразованием, состоящим из вращения на угол гр относительно плоскости й и буста с быстротой 力 в плоскости Q, причем Q есть однозначно определенная «нормаль» к плоскостям [АВ], [CD] в указанном выше смысле.
Изотропные флаги и спин-векторы
Задача данного параграфа состоит в том, чтобы подвести читателя к геометрическому понятию спин-вектора (спинора простейшего типа). На этом понятии будет покоиться геометрическое содержание спинорной алгебры, которая будет формально развита в последующих главах. Геометрическая интерпретация элементарных алгебраических операций между спин-векторами будет дана в § 5. .
Наша цель заключается в том, чтобы найти некоторую гео* метрическую структуру в векторном пространстве Минковского V (оно будет у нас геометрическим изображением спин-вектора к), для которой пара комплексных чисел (Е, “)，введенная в § 2, могла бы служить координатным представлением. Мы уже видели, как связать направленный в будущее изотропный вектор К с (I, т]), если задана координатная система Минковского, Пара 頂 л) служит координатами вектора К; однако эти координаты являются для К избыточными, поскольку фазовое пре* образование 5»—> ei0|, "ь~>е*" оставляет К неизменным [формула (1.2.15)]. Мы хотим связать с (В, л) более богатую геометрическую структуру, при которой избыточность сводится к единственной (существенной) неопределенности в знаке. Такой структурой фактически будет «изотропный флаг》(т. е. предыдущий изотропный вектор К、представляющий Е н “ с точностью до фазы) вместе с «полотнищем флага», т. е. изотропной полу- плоскостью, прикрепленной к К н представляющей фазу *). Но если фазовый угол изменяется на 0, то флаг поворачивается на 20, что приводит к упомянутой выше неопределенности в знаке. Она не может быть исключена никакой локальной или канонической интерпретацией в V; этот вопрос мы рассмотрим позже в данном параграфе.
Существенное требование к любому геометрическому изображению пары чисел (В, Л)состоит в том, чтобы оно не зависело от используемых координат. Если пара (I，fj) получена из (Е，п) путем спинового преобразования, соответствующего [согласно формуле (1.2.24)] некоторому пассивному лоренцеву преобразованию координат Минковского, то абстрактный спин-вектор х> представленный парой 隽，п), должен оставаться неизменным, как и его геометрическое представление. Таким образом, если пара (I, т]) задает геометрическое представление спин-вектора х в первой системе координат Минковского, то пара 隹，П> должна задавать точно такую же. структуру во второй системе.
Мы не рассматриваем других возможных вариантов, когда взаимосвязь спинора с его геометрическим представлением может быть установлена путем пространственного (или временного) отражения [169].
Заметим, что здесь мы имеем дело с инвариантностью относительно пассивных преобразований. В последующих двух параграфах мы займемся изучением 2——1-локального изоморфизма между спиновой группой SL (2, С) и ограниченной группой Лоренца, рассматривая группы как активные; однако в соответствии с замечаниями, сделанными в конце § 1, тот же самый изоморфизм сохраняет силу и в случае пассивных преобразований, так что после внесения соответствующих изменений частные результаты будут справедливы для пассивных преобразований.
Рассмотрение на сфере 9+
Для начала покажем, как получить геометрическое изображение пары комплексных чисел 侑 “)в, пространстве изотропных направлений будущего 夕+, а затем мы сделаем это в пространстве V. Как и раньше, пометим точки сферы 夕 + комплексными числами С =自/т] (С = 8 при ” = 0). Покажем, что не только отношение Е：% но также g и л по отдельности (с точностью до общего знака) можно естественным образом представить, выбрав в дополнение к изотропному направлению Р (помеченному числом g) один действительный вектор L, касатель* ный к 夕+ в точке Р (рис. 1.10). Чтобы охватить пространство производных действительных функций на сфере В+ (которая представляет собой образ аргандовой плоскости), нам нужны действительная и мнимая части производной d/dg. Теперь действительный вектор L на g+ (кроме особой точки g = 8, в которой координату W следует заменить другой координатой, например 1Д) может быть представлен линейным дифференциальным оператором!)
L = Kd/d^+ld/dl(1.4.1>
с коэффициентами X и X, выбранными так, чтобы он был действительным. Потребуем, чтобы величина 入 выражалась через S и Т)таким образом, чтобы после осуществления (пассивного} спинового преобразования
g=唠 + 阿，元 = YЕ + 6т), e=策齧, (L4.2， выполнялось равенство
入乌+冗乌=入包+入乌，(1.4.3>
弘 死 弘 at
1) Дифференциальный оператор — это обычное представление вектора, которое все шире применяется в дифференциальной геометрии. Оно автоматически вводит в рассмотрение все трансформационные свойства. Это представление будет играть важную роль в гл. 4. .
Рис. 1.10. Представление спин-вектора парой бесконечно близких друг к другу точек на сфере 夕+, или, что эквивалентно, изотропным флагом.Рис. 1.10. Представление спин-вектора парой бесконечно близких друг к другу точек на сфере 夕+, или, что эквивалентно, изотропным флагом.
Рис. 1.10. Представление спин-вектора парой бесконечно близких друг к другу точек на сфере 夕+, или, что эквивалентно, изотропным флагом.
Рис. 1.10. Представление спин-вектора парой бесконечно близких друг к другу точек на сфере 夕+, или, что эквивалентно, изотропным флагом.
где А выражается через и f) точно так же, как 九 через и т(. Из (1.4.2) получаем
｝題=№ +旷2身=*『总｝題=№ +旷2身=*『总a L ! а (丫匕 + 6) — Y 位匕 + В)
｝題=№ +旷2身=*『总
｝題=№ +旷2身=*『总
存_( (YC + 6)2
(1.4.4)
поскольку в силу равенства (1.2.18) мы имеем аб — Ру = 1. Подставив выражение (1.4.4) в (1.4.3), найдем
加2三九倘(1.4.5)
откуда заключаем, что мы должны выбрать 入 равным величине г}~2 с неким численным множителем. Для удобства в дальнейшем выберем А- = — (1/“2)т)т, что даст нам
L = - * (『嗫+『詛， (146)
Обратно, если мн знаем L в точке Р (как оператор), то с точностью до общего знака знаем пару (|, л). Это видно из выражения (1.4.6): зная L и сравнивая коэффициенты, мы можем найти п2, а зная Р, мы знаем £ Таким образом, мы можем найти ¥, Вп и г]?, а еледовательно, и 士 (Е, ”)•.
Рассуждая, как и ранее, можно найти L несколько другим путем. Пусть по-прежнему Р — точка сферы 夕+, помеченная числом С, а Р' — другая точка сферы 夕+, приближающаяся к Р по гладкой кривой на 夕十.Предельное напраёление РР‘ определяется положением точки Р‘ относительно Р, когда Р' очень близка к Р. Запишем комплексное число, помечающее точку Р‘, в виде
Когда точка Р‘ близка к точке Р, s ——малая положительная величина, кзадратом которой можно пренебречь. Простые выкладки типа (1.4.4) показывают, что выражение (1.4,7) инвариантно
(1.4.8>(1.4.8>при спиновом преобразовании (1.4.2), если выполняется условие
(1.4.8>
(1.4.8>
Если «задать» произвольную величину е > 0, то точками Р н Р‘ определяются С и “一？. Следовательно (как и раньше), точками Р н Р，определяется пара 土(W, л) (причем 匕=8 может рассматриваться как предельный случай). Требуемая пара «соседних точек» Р, Р‘ на 夕+ задает ту же самую ситуацию, что и точка Р вместе с касательным вектором L в Р (рис. 1.10). При* чина этого заключается в том, что
(1.4.9>(1.4.9>L = lim丄讃.
(1.4.9>
(1.4.9>
U 6
В справедливости формулы (1.4.9) можно убедиться, заметив^ что для любой функции，(& £) мы имеем
吧注(»一 斤)} = I史{ур« -出，Е -血)一售，ё)]}=
в силу выражения (1.4.6))-
Рассмотрение в пространстве V
Касательный вектор L в абстрактном пространстве 夕+ соответствует касательному вектору 丄 в координатно-зависимом представлении S+ сферы 尹.Операторное выражение для (ко-
■ординатно-зависимого) вектора L формально то же самое, что и выражение (1.4,6) для (координатно-независимого) вектора L:
L 一方（丁*+『靑）Т 方I」。）
где £* представляют собой компоненты 9 вектора L в координатах ха пространства V. Различие возникает благодаря тому, что мы рассматриваем д/д^ и д/д^ в (1.4.10) как операторы, действующие на функции, определенные на V, а не на О+, причем на координаты налагаются два дополнительных условия, выделяющих подпространство S+ пространства V (скажем. 7=l=X2+y2 + Z2).
Для ссылок в дальнейшем вычислим компоненты £а в явном виде, используя (1.2.8):
*。=1, K + i*。=1, K + i-i (厘+ i)-i (厘+ i)(1.4.11)(1.4.11)
*。=1, K + i
*。=1, K + i
-i (厘+ i)
-i (厘+ i)
(1.4.11)
(1.4.11)
откуда
也=0 ON = 1 一 a 。/=1 + &d炉= 2t
^Г=，京*1)2，М= i 就+ 1尸 З'и 欣+尸'
(1412)
и поскольку в силу (1.4.10) выполняется равенство
(1.4.13)(1.4.13)
(1.4.13)
(1.4.13)
мн имеем
L° = 0,L° = 0,少廿七产一干一干—“云（&Е + пП）2少廿七产一干一干—“云（&Е + пП）2
L° = 0,
L° = 0,
少廿七产一干一干
—“云（&Е + пП）2
少廿七产一干一干
—“云（&Е + пП）2
(1.4.14)(1.4.14)L2 = g2 一 !2+哦一可e3 = 一"云(刖+丽)
(1.4.14)
(1.4.14)
仮"厲+丽)2 '(龍+m)2
Отсюда можно вычислить норму (очевидно, пространственноподобного) вектора L [формула (1.1.13)]:
Ш = ЬЛ^=7^'U4.15)
так что L является единичным вектором в том и только в том случае, когда К [изотропный вектор, соответствующий паре Е, т] в силу (1.2.15)] задает точку Р непосредственно' на S+ (т. е. Х° — 7 = 1). Фактически «длина» (—RL||)匕？ вектора L изме-
i) Следуя установившейся традиции, впредь именуем координаты вектора
-«компонентами».
няется обратно пропорционально протяженности2Цвектора К» т. е. обратно пропорционально отношению К.к ОР [формулы (1,2.14) и (1.2.15)]. Мы будем писать
К = (-||£||)-1/2Л, (1.4.16>
где k — вектор, определяющий точку на S+. Отметим также следующее. В то время как определение (1.4.10) для L, казалось бы, должно приводить к трудностям при Т] = 0, U = 8, нм (1.4.14) мы видим, что на самом деле трудности здесь не возникают, поскольку при т] = 0 вектор L все-таки является хорошо определенным. ~
Если (陰，т|) и (j,不)связаны между собой (пассивным) спиновым преобразованием и мы вычисляем /Л относительно двух соответствующих координатных систем Минковского [используя (1.4.14)], то оказывается, что в общем случае они не связаны между собой преобразованием Лоренца. (Это явствует,, например, из того, что вектор L, касательный к S+, должен быть ортогонален координатной оси /, а ортогональность в общем случае не сохраняется при лоренцевом преобразовании.) Тем не менее плоскость П, натянутая на векторы К и 1, является инвариантной, т. е. координатно-независимой, н, таким образом, она задает геометрическую структуру в пространстве V. Это станет понятным, если мы вспомним, что L соответствует касательному вектору в 夕 + и тем самым двум бесконечно близким изотропным* направлениям, одно из которых К. Плоскость, натянутая на эти изотропные направления, очевидно, есть П.
Плоскость П теперь задается семейством векторов
aK + bL (a, 6eR) . (1；4.17>
и, следовательно, обладает требуемой инвариантностью. Чтобы придать смысл направлению вектора 厶 наложим условие
6>0. (1.4.18>
Оно превращает (1.4.17) в полуплоскость, скажем П, ограниченную вектором К. Эта полуплоскость и представляет собой искомый флаг. Вместе с К она определяет (自，т]) с точностью* до знака. Действительно, зная К, мы знаем | и л с точностью до общего фазового множителя, а зная направление вектора L, мы
')Термин «протяженность» часто будет употребляться для изотропных векторов, поскольку их «длина» всегда равна нулю. Протяженность изотропного вектора не может быть инвариантно охарактеризована одним числом^. Изотропные векторы разных направлений нельзя сравнивать по нх протяженностям. Отношение же протяженностей изотропных векторов одного и того же направления имеет смысл: оно в точности равно отношению векторов.
можем получить фазу т] (и тем самым |) из (1.4.6). Заметим, что вектор L пространственноподобен и ортогонален вектору К (будучи касательным к S+, он имеет нулевую временную компоненту, а его пространственная часть, очевидно, ортогнальна пространственной части вектора К). Следовательно, полуплоскость П представляет собой одну половину изотропной 2-плоскости {см. следующий параграф), т. е. она касательна к световому конусу. Она должна касаться светового конуса вдоль линии, проходящей через К. Мы будем называть П и К изотропным -флагом или просто флагом. Вектор К будет называться флагштоком, его направление — направлением флагштока, а полу* плоскость П ——полотнищем флага.
Сделаем короткое отступление, чтобы напомнить читателю некоторые общие свойства изотропных плоскостей. Произвольная действительная плоскость
aU + bVf (1.4,19)
натянутая на два 4-вектора U н Vt содержит ие больше двух действительных изотропных направлений, которые задаются соотношением
阳 U Н + " ]| у А + 2曲U • У = 0. (1.4.20)
Если эти изотропные направления совпадают, плоскость называется изотропной. Пусть в этом случае U — единственное изотропное направление иа такой плоскости; тогда (1.4.20) показывает, что на этой плоскости не существует никакого другого изотропного направления только в том случае, когда U-V = 0, т. е. всякий другой вектор V на этой плоскости должен быть ортогонален вектору U* А поскольку никакие два разных причинных направления не могут быть ортогональны [ср. с утверждением после неравенства (1.1.17)], всякий такой вектор V должен быть пространственноподобным. Угол 0 между двумя изотропными плоскостями с общим изотропным вектором, скажем U, может быть определен как угол между любыми двумя неизотропными векторами, по одному в каждой плоскости; действительно, предполагая, что У и 巾—два таких вектора, получим {aU + bV) • (cU + dIF) = biV-W н, следовательно, cos0 = =土，W/(IIMillW||)一1/2 независимо от a, b, c, d. В качестве интересного следствия мы получаем, что любое поперечное сечение 7 светового конуса в V, даже если это сечение светового конуса искривленной гиперповерхностью, конформно-эквивалентно всем другим сечениям (н, следовательно, сечению S+), соответствующие точки которых лежат на одной и той же образующей светового конуса (рис. 1.11). Данное следствие можно доказать разными способами и, в частности, рассмотрев бесконечно малый треугольник, который получается при пересечении трех задан-
Рис. 1.11. Сечения изотропного конуса отображаются конформно друг на друга образующими конуса. Такое отображение наделяет сферу 9+ конформной структурой. Метрики на сфере возникают в пересечениях с пространственноподобными гиперплоскостями. Метрики различных единичных сфер на сфере- 9+, совместимые с ее конформной структурой, отвечают различным единичным； времениподобным векторам (т. е. векторам, нормальным к гиперплоскости)., ных близлежащих образующих светового конуса произвольной- гиперплоскостью. Поскольку близлежащие образующие принадлежат одной изотропной плоскости, наш предыдущий результат позволяет заключить, что все такие бесконечно малые треугольники будут подобны, чем и доказывается указанное следствие. Нам уже встречалось проявление этого следствия при рассмотрении гиперплоскости (1.2.12).
Рассмотрим более подробно вопрос о геометрической интерпретации «величин» вектора £. Мы не можем приписать большого смысла норме l|L||, поскольку это придало бы нежелательный смысл метрике S+. (Как мы видели выше, условие l|L|| =- =—1 означает, что точка Р вектораk=赤лежит на S+.) Mbt должны рассматривать вектор L в точке Р как «связанный» с началом О. Таким образом, если мы заменим точку Р некоторой другой точкой R на ОР, лежащей в направлении будущего от точки О, то одновременно мы должны умножить £ на OR/ОР (см. рис. 1.10). Итак, вектор L в точке Р «эквивалентен» вектору (OR/OP)L в точке R. Мы можем выбрать R таким образом, чтобы вектор (OR/OP)L стал единичным вектором *). Тогда мы получим OR = К, поскольку наш выбор означает К = =(—ИL||)~1/2 ОР, т. е. то же самое, что и (1.4.16). Таким обра-
Точнее говоря, мы должны допустить, что 丄 может также содержать^ слагаемые, кратные К. Но это не влияет на норму, поскольку вектор К изотропен и ортогонален вектору L
•зом, величина вектора 丄 просто характеризует местомахождение вектора К (в направлении ОР). Мы можем наглядно представить это с помощью Р н Р‘ следующим образом. Рассмотрим близлежащие изотропные линии 6戶 и ОР'. Определим место- .нахождение точки R на ОР, продолжив прямую ОР до тех пор» пока расстояние между близлежащими линиями не Станет равно е. Заметим, что чем «ближе» друг к другу ОР и OPJ тем больше будет протяженность OR.
Присваивание флагам меток (Е, л) не зависит специфически ■от выбора координатной системы Минковского на V. (Некоторые другие типы координатных систем могли бы даже привести к более простым формулам, чем те, которыми пользовались мы.) Приписывание пары (Е, т]) изотропному флагу может бнть осуществлено более прямым путем, если ввести спиновую систему отсчета. Тогда координатная система на V не будет иметь значения. По существу, спиновая система отсчета определена, коль скоро известны флаги, соответствующие парам (1,0) и (0, 1), но имеется еще одна небольшая трудность, связанная с неопределенностью в знаке. Она отпадает, если ввести понятие спин-вектора. Этим мы сейчас и займемся. Подробности необходимых геометрических операций будут даны в § 6.
Спин-вектор .
Чтобы уяснить себе переход от флага к спин-вектору, мы должны вникнуть в природу знаконеопределенности в представлении изотропного флага парой (占，л). С этой целью рассмотрим действие на изотропный флаг преобразований вида ,
俱 n)f 值，九П) (1.4.21)
где % — некоторое отличное от нуля комплексное число. Такие преобразования оставляют направление флагштока инвариантным, hq могут изменять протяженность флагштока или направление полотнища флага. Положим
九= 2°, (1.4.22)
где г, 8 三 R и г > 0. Тогда в частном случае 0=0 (т. е. при действительном 入)преобразование (1.4.21) не вносит изменения в полотнище флага, а протяженность флагштока увеличивается, лриобретая мнбжитель г2; в то же время, если г = 1 (т, е. модуль числа 入 равен единице), то преобразование (1.4.21) не влияет на флагшток, но полотнище флага поворачивается на угол 20 в положительном направлении. Проще это можно пояснить, рассмотрев две бесконечно близкие разделенные точки Р и Р' на S+. Пусть Р задается координатой t, а Р‘ ——координатой
? — 2-1/2ет]~2. В результате преобразования (1.4.21) мы имеем т)->Хт], откуда гр胃|~>г-2е-2gli-2. Поскольку протяженность •флагштока изменяется обратно пропроционально бесконечно малому разделению РР, первая часть нашего утверждения доказана. Вторая же часть явствует из того, что, как мы помним, сфера S+ получена из аргандовой плоскости 匕 в результате конформной стереографической проекции.
Рассмотрим непрерывное вращение (自,л) (^^ е10т]), где 6 изменяется от 0 до л. В конце мы.получаем
怎") — (一 *，—叫， (1.4.23)
но флаг возвращается к своему исходному положению, причем полотнище флага поворачивается на угол 2л (т. е. делает один полный оборот вокруг флагштока). Если продолжить вращение, так что 9 будет далее изменяться от л; до 2л, то мы опять получим исходную пару (g, “). Таким образом, чтобы вернуть (£“)к исходному положению, необходим поворот полотнища флага на угол 4л. Это показывает, что полное локальное геометрическое представление пары (|, т]) в пространстве V с учетом ее глобального знака невозможно. Всякая локальная структура в пространстве Минковского V, которую мы могли бы связать с изотропным флагом, тоже будет вращаться на угол 2л и, следовательно, возвращаться к своему исходному положению при преобразовании. (1.4.23). Чтобы это было яснее, заме* тим сначала, что для всякой конкретной пары (|, “) мы можем осуществить изменение (I, л) — ©空，е10т]) путем спинового преобразования, соответствующего одному вращению, при котором направление флагштока является инвариантным изотропным направлением. [Для простоты можно выбрать(I, л)=(0> 1)н-> +(0, е'0) и выполнить преобразование (1.2.31).] Поскольку € изменяется непрерывно от 0 до л, спиновое преобразование тоже изменяется непрерывно (при условии, что ось вращения фиксирована) и в конце концов оказывается преобразованием ——1. Соответствующие преобразования Лоренца также изменяются непрерывно, но оканчиваются тождественным преобразованием Лоренца. Таким образом, любая геометрическая структура на V возвращалась бы в результате поворота в свое первоначальное положение, несмотря на то, что пара (Е, “) переходит в результате поворота в пару (—自，一n).
Коль скоро, как мы установили, полное локальное геометрическое представление в V невозможно, становится яснее, как нам быть. В основном нам нужно расширить понятие геометрий в пространстве V, так чтобы «геометрическими» можно было ■считать и такие величины, которые не возвращаются в свое исходное положение при повороте вокруг некоторой оси на угол 2л; но они должны возвращаться в свое исходное положение
при повороте на угол 4л. Такие величины мы будем называть спинорными объектами. Спин-вектор отличается от изотропного флага только тем, что он представляет собой спинорный объект, и всякому изотропному флагу соответствуют два и только два спин-вектора. Следующий параграф посвящен развитию этих представлений.
Спинорные объекты и спиновая структура
Для более точного определения спинорного объекта мы должны сначала рассмотреть некоторые свойства обычных поворотов. Многообразие собственных поворотов в евклидовом- 3-пространстве обозначается символам 50(3). Многообразием 50(3) можно также пользоваться для представления различных ориентаций 9 объекта в пространстве. Если одну из таких ориентаций назвать «исходной» ориентацией и представить ее тождественным элементом многообразия 50(3), то всякий другой элемент будет представлять ориентацию, получающуюся на исходной посредством упомянутого поворота.
Всякий поворот определяется некой осью k и правовинтовым вращением на некий угол 0. Следовательно, он может быть представлен вектором длины 0 в направлении оси Л. Поскольку мы можем рассматривать только интервал 0 & 8 V л, всякая точка многообразия SO ⑶ соответствует точке замкнутого шара В радиусом л. Но это соответствие не однозначно, поскольку поворот относительно Л на угол л представляет собой то же самое, что и поворот относительно ——Л на угол л. Идентифицировав противоположные точки границы S шара 8, мы получим пространство 8, представляющее повороты единственным и непрерывным образом (иными словами, близкие точки простран* ства 8 представляют незначительно различающиеся повороты).
Нас интересует топология и особенно вопрос о связности пространства В. Пространство называется односвязным, если всякий замкнутый контур в нем может быть непрерывно стянут в точку. (Это условие выполняется, очевидно, для всего евклидового пространства, для обычной сферической поверхности и для евклидова 3-пространства с одной удаленной точкой. Оно не выполняется для поверхности тора, для окружности, для евклидового 3-пространства с одной удаленной замкнутой кри* вой и для евклидова 2-пространства с одной удаленной точкой.) Односвязный характер пространства иначе выражается следующим образом: если с】и с? — две незамкнутые кривые, соединяющие две точки этого пространства, то кривая с】 может быть непрерывно деформирована в кривую С2・
Не следует путать с использованным нами ранее значением («левая» и «правая») слова «ориентация».
Рис. 1.12. Пространство 50(3) представляет собой замкнутый 3-шар, противоположные точки на границе которого идентифицированы. Путем непрерывной деформации кривой в 50(3) можно устранить-пары ее пересечений с границей.
Пространство 8 не является односвязным. Замкнутые контуры в В распадаются на два несвязанных класса I и II соответственно тому, имеют они нечетное или четное число «пересечений» с границей S. Пересечение происходит, когда кривая достигает S и повторяется на диаметрально противоположном конце (в чем убеждаемся посредством идентификации точек). К классу I относятся, например, все диаметры шара 8. К классу II относятся все внутренние контуры и, в частности, «тривиальные» контуры, состоящие из одной точки. Ни один контур класса I не может быть непрерывной деформацией переведен в какой-либо контур класса II, поскольку точки пересечения с S могут возникать и исчезать только парами. Но все контуры класса I могут быть непрерывной деформацией переведены друг в друга {), и аналогичное утверждение справедливо для контуров класса П. В справедливости этого убеждаемся на том основании, что пересечения с S могут быть исключены попарно (на рис. 1.12 показано, каким образом это делается, по этапам), а внутренние контуры, равно как и контуры, пересекающие границу однократно, очевидно, могут быть деформированы один в другой.
Рассмотрим теперь непрерывный поворот объекта в евклидовом 3-пространстве, приводящий этот объект к его исходной ориентации. Такой поворот соответствует замкнутому контуру в многообразии S0(3) (а следовательно, и в пространстве 5), который может относиться либо к классу I, либо к классу II. Очевидно, что в случае простого вращения на угол 2л мы получим контур класса I, тогда как вращение на 4л дает контур класса II. Из сказанного ранее ясно, что вращение на 2л (где должно учитываться полное движение, а не только начальная и конечная ориентации) нельзя непрерывным образом деформировать в тривиальное движение, отвечающее отсутствию вращения, тогда как вращение на 4л ——можно. Этот вывод был бы
1) Одно из правил для таких деформаций состоит в том, что различные части контура могут проходить друг сквозь друга. Поэтому вопрос об «узлах» «е возникает.
отнюдь не очевидным без проведенного выше рассмотрения с шаром 8.
Существует много способов проиллюстировать этот результат. Один из путей осуществления непрерывной деформации вращения на 4л в тривиальное вращение, отвечающее отсутствию вращения, заключается в следующем (по X. Вейлю). Рассмотрим пару прямых конусов с равными полууглами а в пространстве, причем один из конусов закреплен, а другой свободно катится по закрепленному таким образом, что их вершины остаются совмещенными. Начнем с очень малого а и прокатим подвижный конус один раз вокруг закрепленного так, что подвижный конус выполнит вращение на 4л. Будем постепенно увеличивать а от 0 до л/2. При каждом фиксированном а мы имеем замкнутое движение, поскольку подвижный конус оборачивается один раз вокруг закрепленного. Но когда а приближается к л/2, конусы становятся почти плоскими, а движение превращается в простое касание. Таким образом, при а = л/2 мы получаем «тривиальный» контур в SO(3) и вращение на угол 4л непрерывно деформируется в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя.
В хорошо известной дираковской головоломке с ножницами (рис. 1.13) шнурок продевается через одно кольцо ножниц, пропускается за одной стойкой спинки стула, продевается через другое кольцо ножниц, пропускается за другой стойкой спинки стула, а затем его концы связывают. Ножницы поворачивают на угол 4л относительно их оси симметрии, и предлагается распутать шнурок, не вращая ножниц и не двигая стул. То обстоятельство, что такая задача может быть решена для 4л, но не для 2л 1), является следствием, описанных выше свойств многообразия SO(3). Решение становится тривиально простым, если четыре отрезка шнурка (который нужен только для того, чтобы запутать суть дела) представить себе приклеенными (произвольным образом) к ленте, зацепленной за стул: скрутка ленты на 4л будет распутана, если средней частью ленты обвести один раз вокруг ее свободного конца. Это решение дает также другой способ непрерывного деформирования вращения на 4л в тривиальное вращение, отвечающее состоянию покоя. Если принять, что ножницы могут свободно скользить вдоль ленты, то каждый участок ленты во время раскручивания даст замкнутую траекторию в конфигурационном пространстве ножниц. Первый приведет к вращению на 4л, последний ——к тривиальному вращению, отвечающему состоянию покоя.
i) Строго говоря, доказательство того, что рассматриваемая задача не может быть решена для 2л, требует более глубокого топологического анализа [127].
Рис. 1.13. Дираковская головоломка с ножницами: поверните ножницы на 720°, после чего распутайте шнурок, не двигая стул и не поворачивая ножницы. С лентой это сделать проще.
Связность пространства 8 можно также рассматривать, исследуя «незамкнутые» кривые, соединяющие точку Р с точкой Q. Снова (для фиксированных Р и Q) эти кривые распадаются на два класса I и II соответственно нечетному или четному числу их пересечений с S. И снова всякая кривая одного класса может быть непрерывно деформирована в любую другую кривую того же самого класса, но не может быть непрерывной деформацией переведена ни в какую кривую другого класса. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Однако здесь имеется небольшое отличие, связанное с тем, что между этими двумя классами нельзя провести существенного топологического разграничения. (В случае замкнутых контуров разграничение между классами I и II является существенным топологическим разграничением: все контуры класса II и только класса II могут быть стянуты в точку.) Такая ситуация возникает потому, что с точки зрения топологии пространства В конкретное местоположение поверхности S не имеет значения; к примеру, мы можем полагать, что шар В расположен вне S,
3 Зак. 1142
и затем перемещать S в одном радиальном направлении наружу и в противоположном радиальном направлении внутрь. Если кривая, соединяющая точки Р н Q, пересекает S в исходном положении один раз, то она вообще не будет пересекать S в конечном положении. Заметим, что две кривые, соединяющие точки Р м Q, принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда первая со второй, следующей за ней в обратном направлении, образуют замкнутый контур класса II.
Если говорить об исходном евклидовом 3-пространстве, то точки Р н Q соответствуют двум ориентациям 乡 н Q одного объекта, а путь из точки Р в точку Q в пространстве 8 отвечает непрерывному движению, начинающемуся с ориентацией 乡 и заканчивающемуся с ориентацией Q. Как мы видим, имеется два существенно различных класса непрерывных движений от 乡 к Q. Движения каждого класса могут быть непрерывным образом деформированы одно в другое, но не могут быть деформированы в какое-либо движение другого класса. Тем не менее нет внутреннего свойства, позволяющего отличить один класс от другого.
Рассмотренная выше особенность топологии многообразия SO(3) связана с его фундаментальной группой (или первой гомотопической группой) Л1(5О(3)) (грубо говоря, группой топологически эквивалентных контуров в нашем смысле). Здесь эта группа имеет два и только два элемента, так что n；i(SO(3)) = =Z2 (группа целых чисел с модулем 2).
Универсальные накрывающие пространства
Важное значение имеет понятие универсального накрывающего пространства 7 для связного (но не обязательно односвязного) топологического пространства Т. Выберем базовую точку О в Т н рассмотрим пути в Т из точки О в некоторую другую точку X. Могут быть несколько различных классов путей из О в X, которые обладают следующим свойством: всякий путь одного класса может быть непрерывным образом деформирован в любой другой путь того же самого класса, но не может быть непрерывной деформацией переведен ни в какой путь другого класса. Чтобы построить пространство 7, мы как бы приписываем точке X столько разных «индивидуальностей», сколько имеется упомянутых выше различных классов. Точнее говоря, элементами пространства Т явл亢юте凡 эти различные классы, связанные с точкой X, когда она пробегает все пространство 7 при фиксированной точке О. Свойства непрерывности пространства Т определяются очевидным путем на основе свойств непрерывности пространства Г. Нетрудно видеть, что Т односвязно
и — как топологическое пространство — совершенно не зависит от выбора точки О. Если пространство Т односвязно, то Т идентично пространству Т.
К примеру, возьмем в качестве Т окружность, точки которой обычным образом помечены координатой 0 с модулем периодичности 2л. Неэквивалентные пути из точки О (базовая точка) в точку 0 различаются числом обходов окружности. Очевидно, что пространство Т параметризовано координатой 0 без эквивалентного модуля 2л, т. е. с топологической точки зрения Т представляет собой действительную линию. Подобным же образом, если Г ——бесконечный цилиндр, параметризованный координатами z и 9 с модулем 2л, то Т представляет собой полную плоскость, параметризованную координатой z и неограниченным углом 0. Следовательно, переходя от Т к 7, мы максимально «развертываем» пространство Т, и точно так же мы можем рассматривать ситуацию в общем случае.
Рассмотрим, в частности, пространство *0(3). Для каждой точки этого пространства имеются два и только два класса, так что универсальное накрывающее пространство S0(3) представляет собой двукратный разворот пространства S0(3). Конкретная реализация пространства S0(3) уже по существу была получена нами в § 2, а именно пространство SU⑵，состоящее из унимодулярных унитарных матриц размерности 2Х2〔). Соответствие, упомянутое в предложении (1.2.29), устанавливает как раз требуемое соотношение типа 1—2 между пространствами S0(3) и SU(2). Точно так же предложение (1.2.27) устанавливает соотношение между ограниченной группой Лоренца 0£(1, 3) и ее (двукратным) универсальным накрывающим пространством SL(2, С), состоящим из спин-матриц. То обстоятельство, что топология пространства 0|(1. 3) не сложнее топологий пространства S0(3), вытекает из одного свойства ограниченных преобразований Лоренца, установленного в § 3: всякое такое преобразование можно однозначно представить в виде произведения вращения и буста. Топология буста «тривиальна» (она представляет собой топологию евклидова пространства R8, длины которого в соответствующих направлениях являются отображениями параметров быстроты), так что топологические, свойства пространства 0+(1, 3) по существу те же самые (за исключением размерности), что и топологические свойства про*
О Из скаааииого о свойствах кватернионов в § 2 явствует, что топология пространства SU(2) та же самая, что и топология пространства единичных кватернионов. Она характеризуется 3-сферой S& (с точки зрения топологии —аамкнутым 3-шаром, граница которого отождествлена с одной точкой), являющейся, очевидно, односвязнод.
8 (7)SL(Z,C)
Рис. 1.14. Соотношение 1—2 между ограниченной группой Лоренца и пространством sl(2,
странства SO(S)). Соотношение типа 1—2 между 0+ (1> 3) и SL (2, С) изображено на рис. 1.14.
Рассмотрим теперь какую-либо геометрическую структуру (например, твердое тело, флаг и т, д.) в евклидовом 3-пространстве £, поостранстве-времени или векторном пространстве Минковского V. Обозначим через 皆 пространство ориентаций Q рассматриваемой структуры. Мы уже показали, как построить сспинорный» аналог Qi для Q при условии, что пространство 皆 обладает двукратным универсальным накрывающим пространством 杳 и что два разных образа Q% Q?w 杳 одного элемента Q三皆 меняются местами в результате применения к Q непрерывного вращения на 2л. К примеру, если Q — ориентации твердого (асимметричного) тела в £3, то 皆 обладает топологией пространства S0(3), и мы видим, что пространство SO(3) имеет требуемые свойства, В общем случае элементы пространства @ могут быть изображены в виде обычных геометрических структур в пространстве (-времени), с тем лишь отличием, что вращение на 2л вокруг любой оси (или произвольное другое движение, непрерывно переводимое в данное) будет переводить нашу структуру в несколько иную структуру, а для возвращения этой структуры в ее исходное положение требуется еще одно вращение на угол 2л. Элементы пространства 京 будут тогда спинорными объектами!). Они представляют собой требуемые спинорные аналоги исходных ориентаций Q.
Определение спин-вектора
Теперь мы в состоянии дать геометрическое определение спин-вектора. Будем считать, что Q — изотропные флаги в V а ^ — пространство изотропных флагов. Нам нужно убедиться в том, что пространство @ на самом деле обладает требуемыми топологическим и свойствами. Поскольку оно четырехмерно, оно не может быть топологически эквивалентно пространству SO(3) (трехмерному) или 0+ (1, 3) (шестимерному). Тем не менее, как и в случае с 0+ (1, 3), существенная часть топологии рассматриваемого пространства является той же самой, Что и пространства S0(3)・ [Имеем 皆 &S0(3)><R и, следовательно, 冗](沙=22・]Чтобы убедиться в этом, можно рассматривать 5+-представление. Всякий элемент Q пространства 份 представ- 力яется точкой Р на S+ н ненулевым касательным вектором 丄 к S+ в точке Р. Непрерывным (но не инвариантным) образом можно связать с Q декартову систему отсчета, если выбрать ось г направленной от начала отсчета в точку Р, ось х ——параллельно i, а ось у таким образом, чтобы она дополняла систему отсчета. Такая система отсчета однозначно соответствует точкам пространства S0(3). Единственный свободный параметр, характеризующий Q, есть ||L||, и этот параметр представляет собой положительное действительное число и является топологически тривиальным, откуда вытекает, что 皆 обладает требуемыми свойствами. 〜
Итак, элементы пространства 京 представляют собой спинорные изотропные флаги, отождествленные нами с (ненулевыми) спин-векторами V. Всякий изотропный флаг Q задает два связанных с ним спин-вектора к и —к. Непрерывное вращение на угол 2л будет переводить к в —х, а поскольку после повторения этого вращения —х возвращается обратно в х, мы пишем
как и положено в принятой системе обозначений. Вдобавок существует единственный нулевой спин-вектор^ записываемый символом 0, который не отвечает какому-либо флагу. Нулевой спин-
принципе возможны также и на макроскопическом уровне. Теоретический прибор (несколько идеализированный) этих авторов позволяет разделить волно* вые функции большого числа электронов между двумя- контейнерами Д и В, которые соединяются д服г с другом при определенной относительной ориентации. Когда части Я и В соединены, из Л в В течет ток, но если их разъединить, повернуть В относительно Л на угол 2л и вновь соединить с Л, то ток течет из В в Л. Первоначальное направление тока нз 4 в В восстанавливается после дополнительного поворота на 2тс. Соответствующий эффект в масштабах одиночных нейтронов в разделенном пучке действительно наблюдался экспериментально [15, ig 155, 191].
вектор связан с нулевым мировым вектором, выполняющим для первого роль «флагштока», а «полотнище флага» не определено.
Пару (&*и) можно в самом деле рассматривать как компоненты спин-вектор а к. Спиновые преобразования» примененные к (g,т|), будут соответствовать активным движениям, преобразующим к относительно пространства V. Непрерывное вращение х на угол 2д соответствует последовательности спиновых преобразований, действующих на (自乳)и приводящих к (——自 ——п). Таким образом, пара (——邑——哨 фактически будет представлять собой компоненты спин-вектора ——х как того и требует принятая система обозначений.
Спинорная структура
Прежде чем приняться за подробное обсуждение основных операций над спин-векторами, кратко остановимся на том, каким образом приведенные выше соображения проявляются на глобальной топологии общего искривленного пространственновременного многообразия 成.Топология, с которой мы имели дело до сих пор» базировалась на локальных рассмотрениях в пространстве-времени. (К примеру, мы рассматривали топологию пространства изотропных флагов в одной пр остр а нственно- временной точке.) Вместе с тем некоторые пространственно-временные многообразия сами по себе имеют нетривиальную (т. е. неевклидову) топологию, которая должна рассматриваться вместе с локальными топологическими свойствами. Действительно, возникает вопрос, какие ограничения должны быть наложены на многообразие для того, чтобы оно допускало существование глобально определенных объектов типа спин-векторов.
На данном этапе мы не будем углубляться в точное определение пространственно-временного многообразия; отметим лишь, что его локальная структура задается структурой пространства Минковского (т. е. оно имеет лоренцеву метрику) и оно является обычным (т. е. хаусдорфовым, паракомпактным, связным) 4-многообразием класса С00 (определение этих понятий будет дано в гл. 4).
Рассмотрим пространство 笋，каждая точка которого представляет изотропный флаг в точке пространства Л. Такое пространство называется пучком изотропных флагов пространства Л (рис. 1.15; ср. гл. 5, § 4). Оно представляет собой 8-мерное пространство, поскольку пространство Ж само по себе четырехмерно, а пространство 歹р изотропных флагов в произвольной выбранной точке Р многообразия 成 (ранее обозначавшееся через 份)также четырехмерно. Изотропные флаги в точке Р понимаются как объекты в касательном пространстве (гл. 4) в точке Р, являющемся векторным пространством Минковского.
III
Рис. 1.15. Пучок изотропных флагов 歹 на 4 н его двукратное накрывающее пространство — пучок спин-векторов 歹〔
Таким образом, для самого существования пространства 尹 требуются два глобальных ограничения на 風、Во-первых, изотропные флаги связаны только с одним из двух световых полуконусов в касательном пространстве в точке Р, а именно с тем полуконусом, который указывает в будущее. Поэтому необходимо иметь возможность на всем многообразии М сделать согласованный непрерывный выбор световых полуконусов. Другими словами,
Многообразие Ж должно быть ориентируемым во времени. (1.5.1)
Во-вторых, для алгебры спин-векторов требуется выбор пространственно-временной ориентации в каждой точке, поскольку умножение на 紋е должно приводить к вращению изотропных флагов в определенном направлении. То, что это требует пространственно-временной, а не пространственной ориентации, следует из того обстоятельства, что положительное вращение изотропных флагов наделяет положительной ориентацией сферу S+ и, соответственно, отрицательной ориентацией сферу S~ (§ 2, 4; гл. 3, § 2). Следовательно, необходимо иметь возможность на всем многообразии Ж сделать согласованный непрерывный вы-
бор пространственно-временной ориентации. Таким образом. Многообразие Л должно быть ориентируемым
8 пространстве и времени. (1.5.2)
Но если мы хотим перейти от понятия изотропного флага к понятию спин-вектора, указанных двух глобальных ограничений на Л недостаточно. Многообразие Ж должно также допускать возможность определения на нем спиновой структуры'), т. е., грубо говоря, предписания, позволяющего проследить за знаком спин-вектора не только в том случае, когда мы поворачиваем его в фиксированной точке многообразия 風 но также в том случае, когда мы перемещаем его от точки к точке в пределах М. Если многообразие 成 топологически простое, то указанная спиновая структура существует и единственна. Но если М топологически нетривиально, то оно может как допускать, так и не допускать согласованную спиновую структуру, причем в случае, когда спиновая структура существует, она может быть единственной или нет. В общем случае оказывается, что [с учетом (1.5.1) и (1.5.2)] условия, обеспечивающие существование и единственность спиновой структуры многообразия 质，зависят только от его топологии и не зависят от вида его (лоренцевой) метрики. Вскоре мы сформулируем [формулы (1.5.4), (1.5.6)] требуемое точное топологическое условие на 质.
В соответствии со сказанным ранее потребуем, чтобы пространство 尹 обладало соответствующим двукратным накрывающим пространством ^, которое фактически будет пространством спин-векторов иа 应.(В отличие от универсального накрывающего пространства общее накрывающее пространство должно удовлетворять лишь условию связности и должно отображаться на исходное пространство таким образом, чтобы сохранялась локальная топология, а обратное отображение точки представляло собой дискретную последовательность точек.) Пространство 夕'должно быть «соответствующим» 口 смысле редукции к 夕戸一универсальному накрывающему пространству пространства 夕戸 над произвольной точкой Р многообразия W. Можно было бы предположить, что универсальное накрывающее пространство 夾 для 歹 будет удовлетворять этому условию естественным образом (т. е. 歹'=宝)，но, поскольку полный «разворот» пространства ST включает также разворот многообразия 風、это условие может и не реализоваться. Более того,
Вопрос о существовании спиновой структуры на многообразии “ отличается от вопроса о существовании некоторых (например, ненулевых) спинорных полей на /. Последний аналогичен вопросу о том, существует ли ненулевое векторное поле на 2-сфере. Но в отсутствие спиновой структуры само понятие глобального спинорного поля лишено смысла.
ситуация оказывается еще сложнее. Мы увидим, что фактически возможны два несколько иных препятствия существованию 夕 Первое из них не связано с вопросом о том, является или нет многообразие Л односвязным, а второе возникает только в случае неодносвязного Ж.
В самом деле, рассмотрим замкнутые контуры на 歹 и нх проекции на ”. Проекция нз 歹 в 成 отображает всякий флаг в точке Р на точку Р; таким образом, всякое пространство STp целиком отображается в единственную точку Р (см. рис. 1.15). Произвольный путь в 歹 проектируется на некоторый путь в /; очевидно, что замкнутый контур в 夕 проектируется на замкнутый контур в М. Всякий путь в 尹 соответствует такому движению, которое перемещает изотропный флаг в 质 н которое, наконец, возвращает этот флаг (в случае замкнутого пути) в его исходное состояние. Проекция простд описывает движение базовой точки в Ж.
Контур в 尹,лежащий полностью в 歹р при некотором фиксированном Р, проектируется на «тривиальный» контур (точку Р) в Л, Как мы уже видели раньше, существуют два и только два класса (I и II) замкнутых контуров в STp. Препятствие первого тнНа, которое может возникать в случае нетривиальной топологии многообразия 成,связано с тем, что указанные два класса могут слиться в один, представляющий собой класс I несжимаемых контуров в произвольном 歹р, который после деформирования в пределах 歹 может вернуться в 歹р как класс II сжимаемых контуров. В таком случае спин-векторы на 质 не могли бы существовать. Действительно, предположим, что они существуют, и рассмотрим контур 入 класса I на заданном пространстве 夕р, задаваемый просто вращением полотнища флага для некоторого заданного изотропного флага на угол 2л, которое таким образом переводит соответствующий спин-вектор х в —х. Всякий замкнутый контур в 尹，в который может быть непрерывно преобразован контур А, непрерывным образом переводит ненулевой спин-вектор в ему противоположный. Но если К может быть непрерывным образом превращен в единственную точку на 夕,то соответствующий спин-вектор должен быть равен своему противоположному. Следовательно, многообразие Л не допускает введения спин-вектора.
Предположим теперь, что препятствие первого типа отсутствует. Тогда в случае многообразия 成,содержащего несжимаемый контур у, т. е. в случае неодносвязного Л, может возникнуть препятствие второго типа. Если изотропный флаг, перемещаемый по контуру R возвращается в свое исходное положение Р, то соответствующий спин-вектор к должен вернуться либо к своему исходному значению, либо к —к. Таким образом, мы должны выбрать одну из этих двух возможностей. Если кон-
тур y таков, что никакой кратный контур ту (т. е. у, пройденный m раз) не сжимается в одну точку, то равным образом может реализоваться каждая из упомянутых возможностей, но они приводят к разным спиновым структурам на Л (предполагается, что спиновая структура не исключается другими контурами). В этом случае две альтернативы будут входить в определение спин-вектора. Выбором, сделанным для некоторого у, определяется выбор для всех контуров в 歹,которые могут быть спроектированы на у или деформированы в у на J?.
Предположим далее, что контур 丫 таков, что некоторый нечетный кратный контур ту может быть сжат в точку на Тогда для любого контура 九 в 歹，проектирующегося на R контур 加九 деформируем на 尹 в контур на одном 歹р в соответствии с деформацией контура ту на J? в точку Р. Если этот последний контур на 尹戸 принадлежит классу I, то по непрерывности спин-вектор к, взятый вблизи /л儿 должен переходить в ——к; если классу II — то спин-вектор х должен переходить в х. Поскольку /и нечетно, этим условием фиксируется X как переводящее к в —к или к соответственно, без неопределенности.
Наконец, может оказаться, что в то время как все нечетные кратные контуры у несжимаемы, некоторые (наименьшие) четные кратные контуры 2孔丫 могут быть сжаты в точку. Тогда должно быть одно из двух. Либо все соответствующие контуры 2孔九 на 尹 при деформации контура 2几丫 в точку Р на 次 переходят в контуры класса II на 歹р, либо некоторые из них (и тогда фактически все) переходят в контуры класса I. В первом случае, по непрерывности, спин-вектор к при перемещении по 2лу должен переходить в самого себя. Следовательно, приемлема каждая из двух возможностей 乂 »—> 士 к для однократного прохождения контура X, и мы приходим, как и раньше, к двум возможным спиновым структурам на 風 (если только спиновая структура не исключается другими контурами). Предположим, однако, что контур 2пХ переходит в контур класса I на 歹р, откуда следует требование — х по контуру 2九入.Тогда ни одна из двух возможностей 箕 >-^ 土 乂 вблизи Л не приемлема, и в этом состоит препятствие второго типа для того, чтобы 应 допускало спиновую структуру. В отличие от препятствия первого типа, препятствие второго типа может возникать лишь тогда, когда 龙 неодносвязно, и (также в отличие от первого типа) оно, очевидно, пропадает, если мы переходим к универсальному накрывающему пространству Ж.
Можно построить примеры моделей пространства-времени [140, с. 155; 76, 77, 92], в которых возникает одно или другое из упомянутых выше препятствий, но которые тем не менее удовлетворяют условиям (1.5.1) и (1.5.2) и не кажутся физически бео смысленными по каким-либо другим своим признакам. Факти-
чески мы имеем здесь дело с проявлением более общего положения, справедливого для многообразий произвольной размерности. Существует топологический инвариант, называемый вторым классом w2 Штиффеля — Уитни, равенство которого нулю в случае ориентируемого !) многообразия Л является необходимым и достаточным условием для утверждения
Многообразие Л имеет спиновую структуру, (1.5.3) т. е. для существования общих (но все же двузначно определенных) спинорных объектов на Я [114, 109, 115]. Условие д = 0 может быть строго сформулировано следующим образом:
Условие
На произвольной замкнутой 2-поверхности 俨 многообразия Л (размерности п^З) существует система л — 1 непрерывных по・ лей касательных векторов к /, линейно независимых 8 каждой точке 2-поверхности 俨.Если многообразие Ж ориентируемо (что фактически выражается условием 91 = 0), то мы можем заменить число п—1 числом п.(1.5.4)
Мы покажем, что если условие (1.5.4) выполняется для пространственно-временного многообразия Л, удовлетворяющего условиям (1.5.1) и (1.5.2) (т. е. когда п = 4), то не может существовать ни одного из упомянутых выше препятствий.
Рассмотрим предварительно группу вращений SO ⑷ (представляющую собой компоненту группы вращений в четырехмерном евклидовом пространстве, связанную с тождественным преобразованием) и покажем, что подобно случаю SO(3) замкнутые пути в SO(4) распадаются на два класса I и II (несжимаемые и сжимаемые), такие, что двойной путь класса I есть путь класса И [т. е. Л1 (SO(4)) = Z2]. (Фактически то же самое справедливо для SO(n) при всех n^3t но этот более общий результат нам здесь не потребуется.) Вспомним кватернионы из § 2 и заметим, что любой элемент группы SO (4) можно получить как результат действия на единичный кватернион д：
01~* q = aqb,(1.5.5)
где а и Ь ——фиксированные единичные кватернионы. [Это следует из того, что q^ =qq* есть 4-мерная евклидова норма, а при указанном действии получается полная размерность группы SO (4), равная 6.] Мы имеем неоднозначность
(л> Ь) = (— а, — b),
Ориентируемость для а-многообразня определяется точно так же, как и ориентируемость для пространства-времени, о которой идет речь здесь (и говорилось в § 1).
Рис. 1.16. Отображение на R4 изотропного конуса будущего и изотропного флага непрерывным образом дает однозначно определенную систему ABCD, которая является правой и ортонормированной относительно евклидовой метрики пространства
но если ее не принимать в расчет, то пара (а, 6) однозначно определяется элементом группы SO(4), представляемым ею.
Далее, предположим, что для 4-мерного пространственно-временного многообразия Ж выполнены условие (1.5.4) и условия ориентируемости (1.5.1), (1.5.2). Представим себе, что касательное пространство !) Тр в каждой точке Р замкнутой 2-поверхности ? в 及 линейно отображается на R4 таким образом, что четыре линейно независимых вектора в точке Р при условии (L5.4) отображаются, соответственно, в четыре координатных базисных вектора в R4 [иными словами, мы рассматриваем четыре векторных поля, фигурирующие в условии (1.5.4) как координатные оси в каждой точке поверхности 为.Световой конус будущего в точке Р будет отображаться на полуконус К+ в R4 (рис. 1.16). Одна из главных полуосей полуконуса К+ (с точки зрения обычной евклидовой геометрии пространства R4) будет изображением А в R4 направленного в будущее времениподобного вектора в Тр (а именно ось, лежащая внутри К+). При перемещении точки Р по 夕 вектор AwR’ движется непрерывно с Р. Рассмотрим теперь изотропный флаг в точке Р. Его образом в R4 будет《флаг», флагшток которого указывает направление образующей полуконуса К+, а полотнище является касательным к К+. Пусть В — проекция этого флагштока, орто-
гональная оси Л (относительно евклидовой метрики пространства R4). Проекция полотнища флага, ортогональная оси А, содержит только одно направление С, перпендикулярное вектору В (и А). Выберем вектор D таким образом, чтобы он дополнял векторы 4, 3 и С до правой тетрады, и, наконец, нормируем все векторы А, В, С, D так, чтобы они были единичными (в метрике пространства R4). Таким образом, мы непрерывным путем приписали каждому изотропному флагу в произвольной точке поверхности М т. е. каждой точке пространства 歹 над М ортонормированную правую систему отсчета ABCD. Заметим, что достигнутое соответствие обладает следующим свойством: если изотропный флаг описывает путь класса I [или II] с фиксированной точкой Р, то соответствующая система ABCD выполняет непрерывное вращение в SO(4) класса I [или II]. (Нужно рассмотреть вращение полотнища флага на угол 2л, а затем сделать заключение по непрерывности.)
Проанализируем теперь два типа возможных препятствий существованию спиноров в пространственно-временнбм многообразии 風、ориентируемом в пространстве и времени. В случае сливающихся классов I и II, когда контур X в 炉р, соответствующий вращению на 2л, деформируется на 歹в одну точку, его проекция на 质 образует замкнутую поверхность ,, к которой может быть применено условие (1.5.4). Если на 夕 существуют упоминаемые в (1.5.4) системы векторов, то мы можем непрерывно описать ориентацию нашего флага, пользуясь системой ABCD в R< как указано выше. Всякое положение контура в 歹 соответствует тогда непрерывному движению системы ABCD в R4; исходное — вращению на 2л, а конечное (непрерывное с исходным)—отсутствию вращения, что невозможно. Таким образом, если для Ж выполняется условие (1.5.4), то контур 九 в 尹 не может быть стянут в точку в 歹,так что препятствие данного типа не может возникнуть.
Подобными же рассуждениями исключается вторая возможная причина отсутствия спиновой структуры ——несогласованность переноса флага после 2п оборотов по контуру у, т. е. двух оборотов по контуру т| =孔у. По предположению, контур 2孔丫 = =2г| должен быть сжимаем в одну точку Р на ^. В процессе такого сжатия он образует замкнутую поверхность в Л、«приваренную» к одному контуру 斗 Мы можем применить к этой поверхности условие (1.5.4) и, как и раньше, воспользоваться системой ABCD в R4 для отображения флагов, перемещаемых по контуру 2“ на разных стадиях деформации его в точку. Рассматриваемое препятствие теперь возникает в том случае, если контур 2J в 歹，где R проектируется на т], деформируем в контур класса I в 歹р. Однако флаг, перемещаемый по контуру 2c в h, представляется двойным движением системы ABCD 乩 следова-
телмо, контуром класса II в SO(4). Если бы конечный контур в "р приналежал классу I, то исходный контур в SO(4) класса II был бы непрерывно деформируем в путь класса I в SO(4), что невозможно, и, таким образом, это препятствие также не может возникнуть.
В случае когда имеются все три свойства (1.5.1) — (1.5.3), мы будем пользоваться более определенным термином спинорная структура (вместо общего термина спиновая структура). Таким образом, если Л имеет спинорную структуру, то на 4 существует спинорная система (основанная на изотропных флагах и спин-векторах), о которой говорится в данной книге. Другими словами, существует определенное выше пространство h'・ Если многообразие 風 односвязно, то 歹'будет фактически пространством 尹.(В каждом пространстве 歹р путь между двумя точками, представляющими единственную точку в 歹р, соответствует, как мы видели, вращению на 2л; это гарантирует выполнение того же свойства и для 家•)
Но даже если многообразие 应 обладает спинорной структурой, указанная структура в общем случае неоднозначна, если Ж неодносвязно. В этом случае 歹'=#歹.(Действительно, пространство 尹'должно «развертывать» каждый контур класса I в каждом 尹р н больше никаких других контуров; пространство 玄 же развертывало бы также контуры, отвечающие несжимаемым контурам на 成.)Фактически тогда существует 2й различных спинорных структур, где k ——число «независимых» контуров в 風、никакой нечетный кратный из которых не может быть сжат в точку.
Спинорная структура для некомпактных моделейпространства-времени
Мы завершим данный параграф упоминанием без доказательства очень простого критерия для 质,устанавливающего существование спинорной структуры в случае, когда многообразие Ж некомпактно (т. е., грубо говоря, «незамкнуто»). Фактически некомпактность следует из очень «разумного» физического требования, состоящего в том, что многообразие 4 не должно содержать замкнутых времениподобных кривых [11] (см. также [140; 84, с. 189]).
Теорема [76]
Если Ж — некомпактное пространство-время, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы оно имело спинорную структуру, является существование четырех непрерывных векторных полей на 质，образующих тетраду Минковского 8 касательном пространстве в каждой точке многообразия W. (1.5.6)
Достаточность условия (1.5.6) самоочевидна. В еам®м деле, из непрерывности тетрад Минковского вытекает, что в соответствии с требованиями (1.5.1) и (1.5.2) пространство-время Ж является ориентируемым во времени и в пространстве ——и без потери общности мы можем полагать, что все тетрады Минковского ограничены. Выбирая фиксированное абстрактное («ограниченное») координатное пространство Минковского (играющее роль пространства R4 в вышеприведенном рассмотрении, но сейчас рассмотрение проще), мы можем отнести к нему каждый изотропный флаг в 质，используя флаговое представление в локальной тетраде Минковского в соответствии с (1,5.6). Это дает нам возможность сохранить четность числа вращений на угол 2л, выполняемых произвольным изотропным флагом на 風、так что спиновая структура гарантирована, как и в (1.5.4).
Заметим, что для неодносвязного пространства-времени выбор спинорной структуры фиксирован, как только выбрано поле тетрад Минковского в соответствии с (1.5.6), причем обычно указанный выбор топологически неоднозначен. Но даже для односвязного многобразия Л может иметь место топологическая неоднозначность поля тетрад Минковского. Полезным примером здесь может служить статическая вселенная Эйнштейна (она будет более подробно рассмотрена в гл. 9, § 2, 5), для которой Ж имеет топологию S3X R (R соответствует временному направлению). Здесь 3-система в произвольной точке S3 может, например, быть переведена в непрерывное поле 3-систем над S3 либо путем правой трансляции [задаваемой преобразованиями S3 в себя, определяемыми кватернионными преобразованиями (1.5.5) специального вида g *~^ g = gb], либо путем левой трансляции (задаваемой преборазованиями специального вида q q = aq). Они являются топологически неэквивалентными даже в том случае, когда порождают одну и ту же (единственную) спиновую структуру.
Как мы уже отмечали, предположение о некомпактности пространства-времени Ж, фигурирующее в теореме (1.5.6), является весьма естественным с физической точки зрения. Имеются также весьма веские основания думать, что физическое пространство- время действительно должно обладать глобальной спинорной структурой. Как сильное указание на ориентируемость во времени можно рассматривать временною асимметрию статистической физики, которая на умеренно локальном уровне, по-види- мому, задает временною ориентацию во всех точках физического пространства-времени. Подобным же образом ориентируемость в пространстве могла бы следовать из (по-видимому, универсальной) отражательной асимметрии слабых взаимодействий (Р-нецнвариантности) и №раснада (СР-деинвариантности),
очевидно, задающих естественную ориентацию пространства повсюду в пространстве-времени (см. примечание на стр. 20). Наконец, существование спинорных полей в физике, по^види- мому, указывает на то, что физическое пространство-время должно обладать спиновой структурой (см. примечание на стр. 68, 69). Следовательно, физические соображения в силу теоремы (1.5.6) требуют, по-видимому, существования глобально определенных полей ограниченных тетрад Минковского.
§ 6. Геометрическая интерпретация спинорных операций
Как мы уже видели, всякий изотропный флаг в векторном пространстве Минковского V задает пару спинорных объектов, а именно (ненулевые) спин-векторы к и —к. Пользуясь координатной системой Минковского, припишем спин-вектору х две комплексные компоненты (g, т|). Напишем
& = Х°, Т| = X1.
Аналогично, если ❾——некоторый другой спин-вектор, мы можем обозначить его компоненты через (®°, ш1) и т. д. Нас будут интересовать операции над спин-векторами, имеющие геометрический (и, следовательно, координатно-независимый) смысл. Однако мы видели в § 4, что произвольное пассивное преобразование Лоренца (т. е. изменение координатной системы Минковского) соотвествует некоторому спиновому преобразованию компонент (自 т|). Таким образом, операции над спин-векторами, будучи записаны как соотношения между компонентами, должны быть инвариантными относительно (пассивных) спиновых преобразований.
Пусть S* — спиновое пространство, т. е. пространство спин- векторов, а С. — поле комплексных чисел. Мы будем рассматривать следующие три основные операции на S'：
Умножение на скаляр: Ст- е・ при заданных X е С и х е @* мы имеем Хх е ®';(1.6.1)
Сложение: S* Х®*-**®*» т. е. при заданных х, о ^ S' имеем х + ®е@";(1.6.2)
Внутреннее произведение: S* X ©*->С> т. е. при заданных х, имеем {к, ®) еС.(1.6.3)
ОТНОСИ- эти триОТНОСИ- эти три4-566 6 64-566 6 6Представляя каждый спин-вектор его компонентами тельно некоторой заданной системы отсчета, определим операции соответствующими формулами:
ОТНОСИ- эти три
ОТНОСИ- эти три
4-56
6 6 6
4-56
6 6 6
Л(х°, х1) = (Лх°, Лх1),
(х°,力)+ (®°, ш1) = (х° + о0, X1 + ш1)»
{(н° 羹1), (<о°, со】)} = х0®1 — х1®0.
Первые две из этих формул, очевидно, инвариантны при спиновом преобразовании
ввиду его линейности, трудно установить:ввиду его линейности, трудно установить:%50f _ /дб%50f _ /дбв бв бх° ®° х1 со1х° ®° х1 со1Инвариантность третьей формулы не-
ввиду его линейности, трудно установить:
ввиду его линейности, трудно установить:
%50f _ /дб
%50f _ /дб
в б
в б
х° ®° х1 со1
х° ®° х1 со1
поскольку aS —卩丫 = 1.
Следующие соотношения являются непосредственными следствиями определений (1.6.4) — (1.6.6):
%（卩乂）=（九卩）К，
(1.6.8)
lx = X,
(1.6.9)
0* = 0,
(1.6.10)
(—l)x = —x,
(1.6.11)
(Л + и) X =仏 X)+ (цх),
(1.5.12)
к + (D = (D + 乂，
(1.6.13)
(x н- ®) н- т = x + (® 4- т),
(1.6.14)
Л (х -j- ®) = (Лх) + (九 ®),
(1.6.15)
{% ©} = — {明 х),
(1.6.16)
Л {х, о} = {1х, ®}>
(L6.17)
{乂 +(0, т} = {х, т} + {®, т}・
(1.6.18)
Более того, из разложения Лапласа по последней
строке опре-
делителя
т1 х1 со1 =0 (А = 0, 1)
ТА ХА ОА
вытекает равенство
{х,叫 т + {❿，"х + {% х}® = 0.
Частным случаем (1.6.16) является соотношение {х, к} — 0*
(1.6.19)
(1.6.20)
Рассматривая (1.6.8) — (1.6.15) как аксиомы^ (не являющиеся независимыми), мы приходим к выводу, что есть векторное пространство над С. В соответствии с (1.6.16) — (1.6.18) внутреннее произведение является кососимметричной билинейной формой на ®*- Соотношение (1.6.19) вместе с условием
{х, ®>) #= 0 для некоторых х,❾巨 W (1.6.21)
означает, что рассматриваемое векторное пространство двумерно. Действительно, если 尤 н <а удовлетворяют условию (1.6.21), то ни один из них не является кратным другому [в силу (1.6.20) и (1.6.17)], так что размерность векторного пространства не меньше двух; далее, (1.6.19) дает рецепт для представления произвольного спин-вектора т в виде линейной комбинации двух спин-векторов х и о.
Используя определение внутреннего произведения, нетрудно получить общую формулу для спин-вектора, выраженного через его компоненты. Выберем произвольную пару спин-векторов о и I (омикрон и йота), нормированных таким образом, что их внутреннее произведение равно единице:
{о, i} = 1 == — {i, о). (1.6.22)
Будем называть пару о, i спиновой системой отсчета. Компоненты произвольного спин-вектора 尤 в указанной спиновой системе отсчета таковы J)-
• х° = {х, i}, *1 = — {х, о). (1.6.23)
Таким образом, из (1.6.19), (1.6.22) и (1.6.16) получаем
尤=х°о + хЧ. (1.6.24)
Компоненты спин-вектора о равны (1, 0), а компоненты спин- вектора I равны (0, 1). Если теперь исходить из выражений (1.6.24) и (1.6.22), то мы можем непосредственно вывести формулы (1.6.4) — (1.6.6) для умножения на скаляр, сложения и внутреннего произведения. Пассивное спиновое преобразование (1.6.7) реализуется в том случае, когда одна спиновая система отсчета о, i заменяется другой спиновой системой отсчета о,(.. Спиновая система отсчета, дающая представление спин-векторов компонентами (|, п) в соответствии с § 2 и 4, следующим образом получается (рис. 1.17) из данной тетрады Минковского (/, х, g, z) [ср. с формулами (1.2.15), (1.4.14)]: флагшток спин- вектора о равен (中)/"声, а полотнище флага отходит от этой
I) Выражение (1.6.23) выглядит несколько более естественно, если перейти к «опущенным индексамж, которые будут введены позднее. Так, мы будем мметв хр = —х\ %] = к0.
Рис. 1.17. Стандартная связь между спиновой системой отсчета o,i и (ограниченной) тетрадой Минковского 力 力，yt n.
линии в__направлении 尤；флагшток спин-вектор a l равен (f —Z)/右, а полотнище флага отходит от этой линии в направлении —х； относительные знаки спин-векторов определяются тем, что о переводится в i непрерывным вращением в положительном направлении на угол л вокруг оси у (и, следовательно, такое же вращение переводит i в —о).
Геометрический смысл внутреннего произведения
В заключение данной главы остановимся на геометрической интерпретации трех основных операций над спин-векторами. (Читатели, в меньшей степени интересующиеся указанной геометрией, могут переходить прямо к гл. 2.) С первой операцией, а именно умножением на скаляр, мы уже имели дело в § 4. Напомним сделанные выводы. Чтобы получить спин-вектор Хх из х, нужно, не изменяя направления флагштока, умножить протяженность флагштока на XX, а полотнище флага повернуть в положительном направлении на угол 2arg*.
Далее рассмотрим внутреннее произведение (поскольку оно оказывается значительно проще, чем сложение). Для начала заметим, что модуль внутреннего произведения {х, <а) равен пространственноподобному интервалу между оконечностями соответствующих флагштоков, умноженному на 2Tz Действительно,- если К — флагшток спин-вектора х, a W ——флагшток
спин-вектора со, то, используя координаты, как и в § 2, напишем
\\K-W\\ = {(К。ч- КЗ) 一 (Г0 + »з)} {(К。一《3) 一 (Г° - Г3)} 一
一 {(К + К?) - (Г + ir2)} {(^ - i№) - (10 - 1Г2)}=
=2 (х°х° 一(о°(о°) (х1%1 — Md) — 2 (x°xl —(0。$)(紹乂。一 co1©0)=
=—2 (必W — х1©0) (х0©1 — х1©0) — —21 {x, co} I2.(1.6.25)
Остается дать интерпретацию величине arg{x> ®). Проще всего это сделать с помощью сферы S+. Пусть точка Р на S+ н касательный вектор L к S+ в точке Р представляют ±х, как и в § 4. Пусть, аналогично Q н М представляют 土со. Выберем Р'= = Р，(в), Q，='Q，(b) на S+ так, чтобы выполнялись соотношения
N
Рис. 1.19. Для любой окружности на сфере S+, проходящей через точки Р и Q, сумма углов, которые она образует с векторами L п М, одна и та же.
и поэтому величина 2 arg{x, ®) равна сумме углов, образуемых векторами 丄。н Mq с вектором PoQo， взятой со знаком минус. Поскольку стереографическая проекция обладает свойством конформности, упомянутые углы равны соответственным углам на сфере S+ (несмотря на то что каждый из- этих углов имеет обратный знак, поскольку проектирование изменяет ориентацию поверхности на противоположную). Прямая линия PoQo (ориентированная в направлении PoQo) является теперь проекцией ориентированной окружности c = NPQ (где ^ — северный полюс сферы 5+). Таким образом, 2 arg{x, w) (mod 2л) есть сумма двух углов (измеряемых в положительном направлении), которые образованы векторами 丄 н М с с. Этим величина arg{x, ®} определяется геометрически с точностью до возможной добавки л. Следовательно, мы имеем геометрическое определение величины ±{尤,со}. Из инвариантности {х, со) вытекает, что точка N должна быть несущественной в рассматриваемом построении. В самом деле, элементарные геометрические рассуждения (рис. 1.19) показывают, что сумма указанных углов будет одной и той же при любой выбранной ориентации окружности с на S+, проходящей через две точки Р н Q.
Чтобы получить правильный знак внутреннего произведения {х, ®>), необходимо рассматривать L н М как спинорные объекты, а не просто касательные векторы к S+. Представим себе теперь, что вектор 丄 перемещается непрерывно вдоль с в направлении от Р к Q, все время образуя один и тот же угол с с. Когда вектор £ достигает точки Q, мы растягиваем (или сжимаем) его, так чтобы его длина сравнялась с длиной вектора М, а затем поворачиваем L н М на одинаковые углы в противопо-
ложных направлениях (оставляя их касательными к S+) до совпадения. Угол (измеряемый в положительном направлении), который образуют совпадающие теперь векторы L н М с с, н дает требуемое значение arg{x,(о}. Суть такого построения в следующем. Хотя в точке Q имеются два возможных направления, вдоль которых в конце концов совмещаются рассматриваемые векторы, (а значит, и соответствующие флаги), только одно из этих направлений отвечает совпадению спинорных объектов, представляемых векторами L и М (совпадению соответствующих спин-векторов). Именно такое совпадение мы и должны выбирать. Итак, мы дали геометрическое определение величины {х, ©} с учетом ее знака.
Из непрерывности рассмотренного построения вытекает, что получающееся значение arg{尤,s} (mod 2л) не зависит от выбора окружности с, проходящей через Р и Q. Тот же самый угол получится и в том случае, если вместо того, чтобы перемещать вектор £ в прямом направлении от Р к Q, перемещать вектор М в обратном направлении '(против ориентации с) от Q к Р, а затем поворачивать L н М в точке Р. Но если мы перемещаем L нз Q в Р вдоль с в направлении ориентации окружности с, то мы получаем значение внутреннего произведения с противоположным знаком. (Дело в том, что перемещение вектора М по всему контуру с от точки Р до той же точки Р привело бы к изменению знака спинорного объекта, поскольку такое перемещение соответствует лишь одному полному обороту указанного объекта.) Так как это эквивалентно перемене ролей точек Р и Q и векторов L и М, мы тем самым показали, что {х,(о} = =—{©» х}, как и требовалось. Наконец, утверждение о том, что в вышеприведенном построении мы выбрали правильный знак величины {х,❾}, следует из анализа специального случая {о, i} = 1.
Возможно, что геометрическое определение внутреннего произведения {招 со}, построенное на основе столь разнородных понятий, покажется читателю несколько несовершенным: действительно, модуль определен с помощью 4-геометрии, а аргумент — с помощью S+. Поэтому мы покажем, что модуль также может быть непосредственно интерпретирован следующим образом с использованием сферы S+:
e'叫仁帀严•可''e'叫仁帀严•可''(1.6.31)(1.6.31)
e'叫仁帀严•可''
e'叫仁帀严•可''
(1.6.31)
(1.6.31)
где \L\—евклидова длина, равная (—1|£||)1/2,вектора L.Чтобы убедиться в справедливости выражения (1.6.31), заметим сначала, что оно представляет собой просто выражение (1.6.25) в случае, когда концы обоих флагштоков лежат на S+, так что
冗 + Zctrg (% «*)(mod 2л)
Рис. 1.20. Интерпретация величины arg {х, ®} на основе 4-геометрии.
|£|=1=|М|.Вобщем случае мы просто умножаем флагштоки [с учетом (1.6.17)] на скаляры |L|-i/2 и |M|-i/2 соответственно [ср. с формулой (1.4.16)]. Отметим, что выражение (1.6.30) есть предельный случай выражения (1.6.31), когда S+ ——плоскость.
Дадим также интерпретацию величины arg{x, ®} в рамках 4-геометрии. Пусть о — пространственноподобная 2-плоскость, проходящая через точку О и являющаяся ортогональным дополнением времениподобной 2-плоскости, натянутой на два флагштока. Пусть U и V — единичные векторы пересечений плоскости о с соответствующими полотнищами флагов спин-векторов х и ш (рис. 1.20). Тогда угол между U и Vt измеряемый соответствующим образом, оказывается равным л + 2 arg{x, ®} (mod 2л). Чтобы определить направление, в котором должен измеряться этот угол, а также определить знак величины {х, <а}, рассмотрим пространственный поворот (направление фиксированной временной оси / выбрано вдоль суммы флагштоков) относительно прямой р в плоскости а, делящей угол между U н V пополам. Если такой поворот непрерывно продолжить до л, то в зависимости от направления, в котором происходит вращение, 尤 переходит в(о или в —(о. (В самом деле, U переходит в V, а флагштоки переходят один в другой.) Выберем направление таким образом, чтобы спин-вектор х переходил в <й. Тем, что этот поворот происходит в положительном направлении относительно прямой р, определяется ориентация прямой р. Угол, который вектор U составляет с положительным направлением прямой р (указанный угол измеряется в направлении, задаваемом положительным вращением полотнища флага спин-вектора 乂 относительно своего флагштока), будет тогда в точности равен arg{x,叫—(л/2) (mod 2л),
Чтобы убедиться в справедливости приведенного выше предписания, рассмотрим систему отсчета Минковского с временной осью f и соответствующей римановой сферой S+. Точки Р и Q, изображающие флагштоки, представляют собой теперь диаметрально противоположные точки на сфере; векторы С/ и V только положительными множителями отличаются от векторов L и Mt перенесенных в центр. Искомый результат вытекает из простого геометрического рассмотрения.
Геометрическая интерпретация сложения
Геометрическая интерпретация суммы двух спин-векторов в действительности неявно содержится в геометрической интерпретации внутреннего произведения. В самом деле, соотношение
х + ® = * (1.6.32) очевидно, эквивалентно соотношению
{忆 р} + {®，Р} = {% Р}, (1.6.33)
справедливому при всех р R ®*. Подобным же образом мы могли бы рассматривать произвольную линейную комбинацию вместо простой суммы в (1,6.32). Поскольку пространство 6, двумерно, равенство (1.6.33) достаточно рассмотреть лишь для двух не пропорциональных друг другу спиноров р. В качестве указанных спиноров мы можем выбрать сами спин-векторы ю и 乂 [если они не пропорциональны друг другу; в противном случае сложение (1.6.32) сводится по существу к умножению на скаляр]. Таким образом, равенство (1.6.32) эквивалентно равенству
{т,叫={х, е>) = — {т, х}. (1.6.34)
Взяв модуль величин (1.6.34), мы видим, что в силу интерпретации внутреннего произведения пространственные интервалы между концами флагштоков ®, х и ®> + х должны быть равны друг другу. Другими словами, концы флагштоков суть вершины равностороннего треугольника в пространстве-времени. Что касается полотнищ флагов, то на основе соотношений (1.6.34) получаем
2 arg {т> ®}x=2arg {х, e>} = 2arg {т,尤}=九. (1.6.35)
Рассмотрим представление с использованием сферы S+. Пусть Р, Q, R — точки на S+, отвечающие направлениям соответствующих флагштоков спин-векторов н,叫 т, и пусть £, М, ^ — касательные векторы к S+ в точках Р, Q, R, дополняющие представление флагов, определяемых спин-векторами х,❾,т. В силу выполненного нами ранее построения величины 2arg{x,(о} на S+
Рис. 1.21. Построение суммы двух спин-векторов с использованием сферы S+ [формулы (1.6.36) и (1.6.37]. Все обозначенные углы равны 入/2.
углы, которые образуют векторы 2HMe ориентированной окружностью с, проходящей через точки Р, Q н R, должны давать в сумме X. В силу (1.6.35) то же самое справедливо для L н М н для 2 HL. Следовательно, углы, которые каждый из векторов Ly М и N образует с с, должны быть равны друг другу, причем фактически они равны либо (1/2)*, либо (1/2)%；л (mod 2л) в зависимости от выбора ориентации с. Таким образом, в пространстве-времени полотнища флагов спин-векторов 尤,(о и х + ® должны быть одинаково наклонены к окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника с вершинами в концах флагштоков (а следовательно, и к самому треугольнику).
То обстоятельство, что рассматриваемая конфигурация флагов совершенно симметрична по z, ® и х + ®, не должно нас удивлять. Флаги сами по себе не определяют знаков спин-векторов, так что конфигурация флагов для w + ®> = t является той же самой, что и для симметричного соотношения z + ® + + т = 0. Более того, оба эти соотношения неотличимы от 尤一® = ±т, если мы смотрим только на флаги. Таким образом, если флаги спин-векторов х и(о заданы, то приведенный выше способ построения флага суммы х + ® не будет фиксировать его однозначным образом, поскольку при таком способе построения его нельзя будет отличить от флага разности х ——(о. Но, как мы сейчас увидим, эти два флага являются единственно возможными в рамках нашего построения.
Вернемся к представлению на S+ (рис. 1.21). Предположим, что Р, Q, L н М заданы, и попытаемся построить R ^ N. Построим сначала окружность с как единственную окружность на
S+, проходящую через Р н Q таким образом, что каждый из векторов L и М составляет угол (1/2)Х с с [формула (1.6.35)]. Чтобы определить местоположение точки R на с, воспользуемся формулой (1.6.31) и применим ее к (1.6.34)
1 = 4^" I = 2M 謂М|"2 / 2IN 謂 Мр/2 =北皆/2 • " 636)
Согласно хорошо известной теореме, геометрическое место точек в евклидовом 3-пространстве, для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек постоянно, есть сфера. Таким образом, равенство (1.6.36) означает, что точка R лежит на некоторой сфере, задаваемой точками J? и Q и векторами L и М Эта сфера пересекает:) окружность С в двух точках R, R'. Поскольку точки 户 м Q отделены друг от друга сферой, точки R к R' разделяют Р и Q на окружности с (в действительности гармонически). Теперь одна из точек R, R' (скажем, R) будет соответствовать сумме 尤；®, а другая (скажем, R') — разности к —(о. Чтобы иметь возможность выбрать, которая из точек пересечения есть R и которая есть R1 мы должны рассматривать L, М и N как спинорные объекты, а не просто как касательные векторы к S+. Переместим непрерывно £ нз Р в Q по дуге с, сохраняя постоянным угол, который он образует с с (=(1/2)九). При перемещении вектора Ь в точку Q он растягивается в |Л1 |/|L| раз, так что L и М совпадают как векторы. Если они тогда совпадают и как спинорные объекты, то R лежит между исходными £ н М на дуге рассматриваемой окружности с, а R' — на оставшейся части этой окружности. Если же они тогда не совпадают как спинорные объекты, то именно R' лежит между исходным L и М на с, а /?——на оставшейся части окружности с
Определив местоположение точки R на S+, мы можем задать \N\ соотношением
I N |,/2 = | 去号 JI N У =務 IL 产，(1.6.37)
тогда как направление вектора N фиксировано условием, что он составляет угол (1/2)Х с окружностью с. Наконец, как спинорный объект вектор N определен таким образом, что выполняется следующее условие: если его непрерывно перемещать по окружности с до первой из точек Р или Q, сохраняя постоянным угол, который он образует с окружностью с, а затем растянуть до совпадения его как вектора с вектором L или М (в зависимости от ситуации), то указанное совпадение должно также быть совпадением спинорных объектов (рис. 1.21).
Пересечение сферы с S+ есть, очевидно, окружность. Это видно из равенства (1.6.36).
Рис. 1.22. Два спнн-вектора н их сумма, представленная в аргандовой плоскости относительно специальной системы, приводящей к симметрии (1.6.38).Рис. 1.22. Два спнн-вектора н их сумма, представленная в аргандовой плоскости относительно специальной системы, приводящей к симметрии (1.6.38).Рис. 1.23. Представление в аргандовой плоскости относительно системы, приводящей к симметрии (1.6.39).Рис. 1.23. Представление в аргандовой плоскости относительно системы, приводящей к симметрии (1.6.39).
Рис. 1.22. Два спнн-вектора н их сумма, представленная в аргандовой плоскости относительно специальной системы, приводящей к симметрии (1.6.38).
Рис. 1.22. Два спнн-вектора н их сумма, представленная в аргандовой плоскости относительно специальной системы, приводящей к симметрии (1.6.38).
Рис. 1.23. Представление в аргандовой плоскости относительно системы, приводящей к симметрии (1.6.39).
Рис. 1.23. Представление в аргандовой плоскости относительно системы, приводящей к симметрии (1.6.39).
Имеются две специальные системы отсчета Минковского, удобные для наглядного представления всего изложенного выше. Поскольку мы можем выбрать произвольные три точки сферы S+ в произвольных трех (отличающихся друг от друга) заранее заданных положениях (§ 3) путем надлежащего выбора системы отсчета, выберем точки Р, Q н R таким образом, чтобы они были равноудалены друг от друга и находились на экваторе сферы S+. Тогда они будут вершинами равностороннего треугольника. Векторы Lt М и N имеют теперь одинаковую длину и одинаковым образом наклонены к окружности PQR. Из симметрии ясно, что поворот на 2л/3 вокруг оси, перпендикулярной PQR, переведет рассматриваемую конфигурацию саму в себя. При этом мы будем также иметь
хн-> —(о, ®н->х + ®, х + ©I—>х (1.6.38)
(или наоборот), что устанавливается указанным выше способом определения знаков спинорных объектов (рис. 1.22). Нетрудно видеть, что преобразование (1.6.38) получается как результат (однозначно определенного) спинового преобразования. Фактически мы можем воспользоваться этим, чтобы установить правильность указанного выше предписания для знаков.
С другой стороны, мы можем выбрать нашу ось f таким образом, что четыре точки Р, R〈 Q, R будут равноудалены друг от друга и расположены на экваторе сферы S+, образуя вершины квадрата. А именно, предпишем определенные положения точкам A, Q м R; тогда ввиду симметрии точка R' займет положение, диаметрально противоположное точке R, поскольку PR n QPt откуда |L| = |兩|, так что PR' = QR'. Теперь вращение на л/4 вокруг оси, перпендикулярной PQR, приводит к пре-
образованию (рис. 1.23)
X(乂 — ®)>❾ »—> —7=7 (❾ + х),"2X(乂 — ®)>❾ »—> —7=7 (❾ + х),"2春(® + %)f %春(® + %)f %(1.6.39)(1.6.39)
X(乂 — ®)>
❾ »—> —7=7 (❾ + х),"2
X(乂 — ®)>
❾ »—> —7=7 (❾ + х),"2
春(® + %)f %
春(® + %)f %
(1.6.39)
(1.6.39)
которое опять может быть получено посредством однозначно определенного спинового преобразования. Множитель 1/“2 возникает благодаря тому, что теперь |iV| = (l/2) |£| (i. е. благодаря тому, что /-значение флагштока для х +(о в 2 раза больше, чем для х).
То обстоятельство, что мы получили геометрические описания всех трех основных спинорных операций, открывает путь для последовательного полностью геометрического определения основной алгебры спин-векторов. Остается лишь геометрическая проверка основных свойств (1.6.8) — (1.6.19). Мы не будем на ней здесь останавливаться, а просто оставим в качестве упражнения для заинтересованного читателя. Некоторые из упомянутых свойств проверяются тривиально, а проверка других довольно утомительна, если действовать напрямую. Отметим, что равенство (1.6.19) почти прямо вытекает из приведенных выше построений для внутреннего произведения и для сложения. Указанное равенство полезно при проверке некоторых других свойств.
2
Метод абстрактных индексови спинорная алгебра
Обоснование метода абстрактных индексов
В гл. 1 мы ввели понятие спин-вектора и выяснили, что его по существу можно представить как изотропный флаг в векторном пространстве Минковского, но с дополнительным свойством: при повороте на 2л вокруг любой оси он возвращается не в исходное состояние, а в состояние с другим спин-вектором, ассоциированным с тем же самым изотропным флагом, но «отрицательным» по отношению к исходному спин-вектору. Спин-век- торы образуют двумерное комплексное векторное пространство» так называемое спиновое пространство, на котором определено еще и кососимметричное внутреннее произведение. Опираясь на представление о пространстве-времени, всем операциям можно дать явно геометрическую, лоренц-инвариантную интерпретацию.
Чуть позднее (в § 5) мы изложим алгебру спиноров. Основная идея, которой мы будем при этом руководствоваться, состоит в том, что спиноры могут быть построены на основе представления о спиновом пространстве, подобно тому как тензоры строятся на основе представления о векторном пространстве. В результате выяснится (гл. 3, § 1), что алгебра мировых тензоров в пространстве-времени содержится в спинорной алгебре. Таким образом, спиновое пространство в известном смысле более фундаментально, чем пространство мировых векторов. С концептуальной точки зрения весьма ценно, что спиновое пространство имеет четкую геометрическую пространственно-временную интерпретацию, поскольку это позволяет избежать излишней абстрактности, затемняющей понятие спинора. Хотя в этой и последующих главах мы будем описывать спиноры и спинорные операции в основном в рамках алгебраического подхода, тем не менее каждый такой объект и каждая такая операция имеют глубокий геометрический смысл при пространственно-временном подходе.
Однако наше алгебраическое описание никоим образом не будет опираться на геометрическую интерпретацию. Наши рассуждения могут быть логически независимыми от геометриче-
ской подоплеки, изложенной в гл. 1. Для описания интересующих нас структур мы воспользуемся алгебраическими формулировками, что фактически позволяет пересмотреть всю логику рассуждений. Мы могли бы определить простр анственно-времен- н^ю геометрию, исходя из геометрических структур, которые предстоит построить, и, как только будет ухвачена основная идея, все это покажется весьма простым и естественным. Так что в конечном итоге мы сможем счесть алгебраические правила, определяющие спинорную систему, более первичными, нежели (довольно сложные) явно геометрические построения гл. 1. Наш алгебраический подход охватит даже понятие спинорного объекта. Так что при строгом изложении спинорной алгебры вовсе нет необходимости основываться на приведенных в гл. 1 геометрии и топологии. В общем мы увидим, что геометрические построения будут иметь главным образом концептуальное значение, а для подробных выкладок будет необходим алгебраический метод.
Спинорная алгебра, которую мы намерены построить, будет содержать два разных типа обобщений развитой в гл. 1, § 5 концепции спинового пространства. Прежде всего, оказывается удобным рассматривать не просто спин-вектор в одной-един- ственной точке пространства-времени!), а спин-векторные поля. Это обобщение подобно переходу от понятия вектора в точке к понятию векторного поля. Над мировыми векторами в уединенной точке пространства-времени можно производить операции сложения, умножения на скаляр и скалярного произведения. Такие векторы образуют векторное пространство Минковского, называемое касательным пространством в точке над кольцом скаляров в этой точке с делением). Над векторными полями можно производить точно такие же операции. Например, при сложении двух векторных полей мы, чтобы получить результирующее векторное поле, просто суммируем два вектора в каждой точке. При умножении на скаляр, когда векторное поле нужно умножить на скалярное, значение скалярного поля в каждой точке умножается на вектор в этой точке. Знакомые нам законы (1.1.1), справедливые в векторном пространстве, остаются в силе для векторных и скалярных полей. Здесь возникает только одно новое свойство: скалярные поля образуют лишь коммутативное кольцо с единицей, но не кольцо с делением. (Например, если ft и k ——два бесконечно дифференцируемых скалярных поля, то
может оказаться, что й не равно нулю только в области, где k всюду равно нулю. Тогда hk = 0, но ни й, ни k не должны быть равны нулю, так что существуют делители нуля. Во всяком случае ясно, что если Л = 0 в любой точке, то Л-1 существовать не может.) В силу этого свойства говорят, что векторные поля образуют не векторное пространство, а систему, которую называют модулем над кольцом скалярных полей [89, 112].
Аналогично, обобщая концепцию спинового пространства — двумерного векторного пространства над кольцом комплексных чисел с делением — мы вводим понятие модуля спин-векторных полей. Тогда скаляры должны быть комплексными скалярными полями, удовлетворяющими определенным требованиям гладкости. Спин-векторным полем определяется в каждой точке пространства-времени изотропный флаг. Изотропный флаг в точке — это некоторая структура в касательном пространстве в этой точке. Такое касательное пространство является векторным пространством Минковского мировых векторов в данной точке. Кроме того, там должны выполняться определенные условия гладкости, чтобы изотропный флаг мог изменяться от точки к точке. И наконец, должны удовлетворяться определенные топологические требования, вытекающие из глобальной непротиворечивости понятия спинорного объекта. Все это будет подразумеваться в аксиомах той конкретной системы, которую мы собираемся построить. По существу наше первое обобщение включает в себя переход от векторного пространства над кольцом с делением к модулю над кольцом.
Второе обобщение содержит переход от «унивалентных» объектов (спин-векторов) к «поливалентным» объектам (спинорам). Это обобщение строится подобно тому, как от понятия обычного вектора переходят к понятию тензора. Процедура построения совершенно одинакова вне зависимости от того, исходим ли мы из (спин-) векторов в одной точке, или из (спин-) векторных полей. В общем мы не будем сильно вдаваться в подробности по поводу типа системы, с которой имеем дело. Мы сможем значительно развить второе обобщение еще до того как начнем вникать в подробности первого.
Классическая тензорная алгебра
Попытаемся мотивировать наш подход, припоминая основные операции классической тензорной алгебры, имеющей дело с упорядоченными наборами
£：：、 (2.1.1) где каждый' индекс а, • • •, у, р, ..., т принимает значения 1, 2,・..,п (рассматривается пространство размерности п). Для определенности можно представить, что (2.1,1) — это упорядо-
ченный набор действительных (или комплексных) чисел. Или же это мог бы быть,, скажем, набор функций п переменных. Однако, как будет следовать из дальнейшего, набор (2.1.1) представляет собой не сам тензор, а лишь множество тензорных компонент. Более того, в общем случае для тензоров вовсе не обязателен именно такой способ глобального описания.
Допустимы следующие операции. Пусть даны два таких набора Лр .；.' I и В；二：；，у которых одинаковое число верхних индексов и одинаковое число нижних. Тогда можно сложить соответствующие элементы, в результате чего получится сумма:
A；-^B；-A^C；Zl(2.1.2)
Пусть даны два набора 4；二：:и D；：二;без каких-либо ограничений на число индексов. Тогда каждый элемент одного набора можно умножить на каждый отдельный элемент другого, в результате чего получится (тензорное) произведение:
用二刀:：? = Ё；：二处::二(2.1.3)
Пусть дан любой набор Гр；；；^> у которого имеется как минимум один верхний и как минимум один нижний индекс. Тогда мсжно образовать свертку:
尸；：：：★ = G；：：R(2.1.4)
В этой формуле для повторяющегося символа X имеет место правило суммирования, согласно которому каждый элемент получающегося набора является суммой п членов исходного набора. И наконец, пусть дан упорядоченный набор 4；二：;с р верхними и q нижними индексами. Тогда в результате всевозможных перестановок и переименований как верхних, так и нижних индексов можно получить p\q\ (вообще говоря) различных упорядоченных наборов. Из заданного упорядоченного набора можно получить, например, такие:
— 4p°v *岬? _/e*/9 1 R、
Элемента этих наборов, конечно же, совершенно те же самые, что и элементы исходного, но упорядочены они иным образом.
В чем же заключается особое значение именно этих четырех операций? Ответ состоит в том, что они коммутируют с законом преобразования компонент тензора. Так, если проанализировать замену всякого упорядоченного набора новым в соответствии со схемой
心二試…bT? (2.1.6)
(правило суммирования!), где матрицы '； и Гр состоят из элементов того же типа, что и набор (2.1.1) (т. е. являются дей-
ствительными числами) и каждая из этих матриц обратна другой:
/；" = 6；(=Т露)，(2.1.7)
то можно показать, что любое из соотношений (2.1.2)——(2.1.5) остается неизменным.
В частном случае упорядоченного набора только с одним верхним индексом можно считать замену (2.1.6)
У%(2.1.8)
переопределением компонент вектора V при изменении базиса 】). Точно так же можно считать замену (2.1.6) переопределением компонент тензора при изменении базиса, приводящем к (2.1.8). Но каков истинный смысл этого абстрактного объекта, который мы назвали «тензором»? Существует несколько различных способов определения тензора. Они выявятся по мере нашего продвижения вперед. Но в данном контексте, раз уж у нас есть представление о том, что такое вектор V, можно дать следующее наиболее прямое определение тензора А: тензор А — это правило, которое позволяет всякому выбору базиса рассматриваемого пространства векторов поставить в соответствие набор компонент (2.1.1). Причем это правило таково, что всякий раз, когда один базис заменяется другим, получающийся набор компонент заменяется новым набором с соответствии со схемой (2.1.6); здесь Гр определяется из (2.1.7), а матрица f； такова, что (2.1.8) дает изменение компонент вектора при изменении данного базиса). Непротиворечивость этого определения следует из групповых свойств матриц /• Так, если А, Е2 н /«— трансформационные матрицы, соответствующие в указанном порядке замене первого базиса вторым, замене второго базиса третьим, и, наконец, замене первого базиса третьим, то имеет место соотношение /%；=?：• Есл^ТМ Г? и 片 ——соответствующие обратные матрицы, тоТ；7£ =，:. Это гарантирует, что при изменении базиса, проведенном в два этапа, получающийся набор компонент будет таким же, как в случае замены базиса, проведенной сразу. Раз закон преобразования компонент тензора коммутирует с операциями сложения, умножения, свертки
и перестановки индексов в применении к упорядоченным наборам, то эти операции применимы не только к компонентам тензора, но и к нему самому.
Говорят, что тензор 4 имеет валентность [；]，если в (2.1.1) есть р верхних индексов и q нижних. Верхние индексы называются контравариантными, а нижние ——ковариантными (полное число индексов р + д иногда называют рангом тензора 4； мы предпочитаем термин полная валентность.) Всякий тензор валентности g j естественным образом ассоциирован с единственным вектором, а именно с таким, компоненты которого (в произвольном базисе) идентичны компонентам тензора. Можно было бы просто идентифицировать тензоры валентности [ ° ] с векторами, если бы наше частное определение тензора не приводило при этом к логическому замкнутому кругу. (Одна из трудностей, связанных с этим определением, заключается в том, что базис уже есть множество векторов!) Будем называть тензор валентности [ ° ] контравариантным вектором. Тензор ва
ГО]
лентности ] это тоже некая разновидность вектора. Договоримся называть такой вектор ковариантным или ковекто-
「Р ]
ром!). При любой валентности ^ J существует особый тензор О, компоненты которого равны нулю в любом базисе. Кроме 「1 1
того, существует специальный тензор 6 валентности I〔 ，компоненты которого в любом базисе дают символ Кронекера
(2.1.9)(2.1.9)(1, если а = Р,“ —t 0, если а #： ₽.
(2.1.9)
(2.1.9)
ТензорТензорвалентностивалентности[о][о]называется скаляром.называется скаляром.
Тензор
Тензор
валентности
валентности
[о]
[о]
называется скаляром.
называется скаляром.
1) Коитравариантное векторное поле на многообразии можно представлять себе как поле «стрелок» на этом многообразии (стрелки выходят из одной точки и оканчиваются в некоторой соседней точке, определяя《поток》на многообразии). Ковекторным же полем определяется поле ориентированных гиперплоскостей, с каждой из которых связывается некоторое значение «интенсивности». В случае градиента скаляра гиперплоскости касаются гиперповерхностей уровня этого скаляра, а «интенсивность» определяет скорость его нарастания.
Бескоординатная тензорная алгебра
С логической точки зрения данное выше определение тензора вполне удовлетворительно (хотя имеются ситуации, в которых это определение использовать нельзя). Однако с концептуальной точки зрения в этом определении слишком большое значение придается базису и компонентам. Возникает впечатление, будто понятие тензора неразрывно связано с понятием векторного базиса (или координатной системы). Это ведет к представлению, будто для подробных расчетов на тензорном языке обычно требуется введение базиса, а сами расчеты могут быть выполнены только с помощью тензорных компонент. Но это впечатление ошибочно. Современное алгебраическое определение тензора (во всех его обличьях) избегает каких-либо ссылок на базисы или координатные системы*. (Понятие тензора остается в силе даже в тех случаях, когда базисы или системы координат не существуют в том смысле, в котором мы их привыкли понимать.) Основной упор в этой книге делается как раз на алгебраическое бескоординатное описание рассматриваемых объектов, поскольку у нас возникло впечатление, что» например, в случае спинорного анализа, наметилась тенденция придавать слишком большое значение кажущейся необходимости координатных базисов.
В то же время, если вернуться к подробным тензорным расчетам, то окажется, что современный алгебраический подход к тензорам, в той форме, в которой он обычно излагается, обладает рядом определенных недостатков. Причина кроется в основном в обозначениях. Когда вычисления выполняются в тензорных компонентах, классические индексные обозначения тензоров вместе с правилом суммирования Эйнштейна являются основой очень мощной и универсальной техники, техники, практичность которой в значительной мере опирается на возможность раздельного обращения с индивидуальными индексами. А при обычном абстрактном алгебраическом подходе никаких индексов нет, так что большая часть этой универсальности утрачивается. Поэтому при использовании такого более абстрактного подхода поступают иногда следующим образом. Когда становятся необходимыми подробные расчеты, на некоторое время возвращаются к описанию с помощью компонент, а затем, лишь в конце вычислений, переписывают полученные соотношения так, чтобы они связывали абстрактные тензоры.
Чтобы более четко представлять себе трудности, возникающие при абстрактном подходе, посмотрим, как можно было бы оперировать тензорами А, В, С, ... алгебраически, напрямую» не обращаясь ни к какой форме индексных обозначений. Наша первая операция, а именно сложение, не представляет трудностей. Если А и В — два тензора одинаковой валентности
[ J, то можно образовать сумму
А + В = С(2.1.10)
той же валентности [«」， причем компоненты этих тензоров будут связаны соотношением (2.1.2). Для каждой валентности [；J имеет место структура абелевой группы, определяемая операцией сложения, а именно (все тензоры в четырех следующих строчках имеют одинаковую валентность 卜 J丿：
4 + b = b+А,(2.1.11)
(A + B) + C = A + (B + Cl(2.1.12)
существует тензор 0, такой, что 0 + А = А, (2.1.13) для каждого тензора 4 существует тензор — 4 такой, что 4 + (—4) = 0.(2.1.14)
Точно так же никаких серьезных проблем не представляет и тензорное произведение. Если А имеет валентность [ g J， а D — валентность [ $ ] то можно образовать произведение
AD = E(2.1Л5)
валентности [^十^」‘ компоненты которого связаны соотношением (2.1.3). Операция тензорного умножения позволяет поставить в соответствие полной системе тензоров структуру (некоммутативной) полугруппы:'
(АВ)С = А(ВС).(2.1.16)
(В общем случае АВ #= ВА, поскольку, хотя набор компонент у АВ и ВА один и тот же, но порядок их расположения различен.) Умножение дистрибутивно относительно сложения:
Л (В + С) = АВ + АС,(2.1.17)
(В + С)А = ВА + С А,(2.1.18)
где £ и С имеют одинаковую валентность.
Операция свертывания, компонентная форма которой определяется формулой (2,1.4), опять же не представляет сущест-
венных проблем. Если тензор г имеет валентность 卜十]}
формулой (2.1.4)]формулой (2.1.4)]^F=Gt^F=Gt(2.1.19)(2.1.19)обозначая операцию свертывания символом 穹,получим [ср. с
формулой (2.1.4)]
формулой (2.1.4)]
^F=Gt
^F=Gt
(2.1.19)
(2.1.19)
где G представляет собой тензор валентности . Операция свертывания связана со сложением и умножением двумя правилами:
(2.1.20)(2.1.21)(2.1.20)(2.1.21)^(А+В) = ^А+^В,^(EF) = WF,
(2.1.20)
(2.1.21)
(2.1.20)
(2.1.21)
где 4 и В имеют одинаковые валентности, а валентность тензора 户 положительна и в верхней, и в нижней позициях.
В то же время вроде бы безобидная, но важная четвертая операция перестановки индексов представляет в данном подходе очень серьезную проблему. Она необходима, чтобы выражать симметрии тензоров; частный случай этой операции нужен, чтобы выразить связь между АВ и В4; она требуется еще и в связи с определенной нами предпоследней операцией свертывания 穹， а именно в сочетании с ней для образования произвольной свертки (когда свертываются не обязательно последние индексы). Конечно, можно придумать специальные безындексные обозначения, позволяющие справиться с определенными простыми тензорными соотношениями такого типа, но в смысле общности, прозрачности и гибкости такие обозначения сильно проигрывают в сравнении с первоначальными индексными обозначениями, в особенности когда приходится иметь дело с выражениями произвольной сложности. (Представляется, что единственной альтернативой индексным обозначениям, позволяющей сохранить все положительные качества последней, является некоторая форма диаграммных обозначений [38, 141, 179]. Некоторые замечания по этому поводу можно найти в приложении. К сожалению, воспроизведение этих обозначений типографским способом наталкивается на серьезные трудности, так что они, по-видимому, годятся в основном для неофициальных вычислений, не предназначенных для опубликования.)
Смирившись с этим фактом, легче понять, что следует делать дальше. Тензорные индексные обозначения должны быть сохранены. Однако это вовсе не означает отказ от нашего идеала — от подхода, совершенно не зависящего от базиса. Преимущества, которые дают абстрактный алгебраический и компонентный методы, не являются взаимоисключающими. В подходе, который мы намерены использовать в следующем параграфе, бун嵌 со-
хранена исключительная гибкость индексных обозначений. При этом изложение будет с самого начала бескоординатным. Ключ к этому формализму ——осознание того факта, что индекс не обязательно означает множество пробегаемых им целых чисел (например, 1, 2, ..., п). Скорее следовало бы считать тензорный индекс просто меткой, единственное назначение которой ——нести информацию о типе рассматриваемого тензора и об операциях, которым подвергается тензор. Расчеты можно выполнять, пользуясь величинами с индексами, в точности как в классической тензорной алгебре, но при этом смысл символов будет совершенно иным. Каждый символ с индексами будет описывать весь тензор целиком, причем без привлечения, явного или косвенного, системы координат или базиса. Как этого добиться, мы узнаем из следующего параграфа.
Формализм абстрактных индексови тензорная алгебра
В этом формализме, скажем, символ № означает не набор и компонент (У* V2, ..., Vя), а единственный элемент некоторого абстрактного векторного пространства или модуля. Конечно, иногда бывает удобно выбрать определенный базис и записать в нем вектор У"・ Но при этом должен использоваться другой тип буквы-индекса: индексы, обозначающие компоненты тензора, будут печататься прямым жирным шрифтом. Так символ V* будет обозначать набор компонент (Н, ..., Vn). Индексы, напечатанные прямым жирным шрифтом, будут использоваться обычным образом, но в общем случае мы будем стремиться их избегать. Присутствие в рассматриваемом выражении индексов, напечатанных жирным шрифтом, может указывать на два следующих обстоятельства. Во-первых, это будет означать, что в дополнение ко всем тензорам или скалярным, присутствующим в некотором выражении явно, в него косвенным образом введен (по возможности произвольный) базис. Во-вторых, такие индексы будут подчиняться правилу суммирования Эйнштейна [ср. с формулой (1.1.4)]. В применении же к индексам, напечатанным светлым курсивом, правило суммирования в том виде, в котором его обычно принято понимать, было бы бессмысленным. Однако свертывание (как и другие тензорные операции) для абстрактных тензоров будет определено. Мы должны определить безбазисные операции так, чтобы они вобрали в себя знакомые правила манипулирования тензорными компонентами.
Существует, однако, одно малоприятное свойство, которое проявляется с самого начала и к которому следует привыкнуть.
В классической тензорной алгебре, где используются обычные обозначения, часто рассматриваются выражения вроде VnVf или v«^ _ uav\ Если мн захотим перенести это на язык абстрактных индексов, т. е. записать У“УВ и НиВ — V₽U^^ то в дополнение к У01 нам понадобится объект М, причем оба они должны символизировать один и тот же вектор V. Ясно, что Уа и Н должны быть различными объектами, ибо, если справедливы равенства Vn = V₽ и Ua = U^, то мы придем к равенству VaU^ — ]/%“ — VaU^ — VaU^ = 0. Кроме того, равенство Н = = W должно было бы отображать несостоятельное классическое выражение Р° = У°・ Поэтому с любым вектором V должен быть ассоциирован бесконечный набор разных копий Р\ У匕 У\ ..., У%, . -., Va\ - -. (поскольку следует допускать выражения произвольной протяженности). Таким образом, полный модуль 6\ к которому относится V, должен допускать бесчисленное множество своих совершенно отдельных копий. Будем обозначать их символами®0, 旣 Модули должны быть канонически изоморфны друг другу и модулю ®\ причем V ^ 5' соответствует V” 三守 и V』&° и т. д. Таким образом, aV + bU = W в том и только в том случае, если + bU” = 1Га и если аУв + bU& = I，и т. д., где а и 6 — элементы кольца скаляров ©.
Необходимость бесконечного числа отдельных математических объектов для описания чего-то на самом деле единственного, без сомнения, выглядит довольно неестественно. И тем не менее к этому следует привыкнуть. Но возможна и несколько иная точка зрения на эту ситуацию, которая может показаться не столь неестественной. Согласно такой точке зрения, множество абстрактных меток
^ = {сс, 0, у, ・.・，со, (Xq, 00，..., а” (2.2.1)
имеет только организующее значение. Это множество должно удовлетворять единственному требованию — быть бесконечным. Векторы и векторные поля, с которыми нам приходится все время иметь дело, образуют модуль 6二 Элементы всевозможных множеств -5й, 0% &则，.・・—это просто элементы из S'X^7, где, например &Л — это ®* X {1з}- Иначе говоря, И^ — это пара (V, Ез) с V ^ S' и *з w 2. Следовательно, всякий абстрактный индекс вроде |3 является просто своего рода «адресной» меткой для «занесения» вектора V в «ячейку памяти |3».
Аксиоматический подход.
Попытаемся подойти к правилам, которым должна удовлетворять наша система, с более формальной точки зрения. Формулируя аксиомы, нужно стараться не связывать себя с какой- нибудь одной частной интерпретацией. В то же время предлагаемая степень общности будет вполне достаточной для исследования всех интересующих нас систем, да и во многих других ситуациях.
Прежде всего из аксиом для системы скаляров ® следует, что это коммутативное кольцо с единицей. Иными словами, на 0 существуют операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:
Аксиомы
а + 6 = 6 + а
а + 3 + с) = (а + 力)+ с
ab = ba
a(bc) = (ab)c
а ® + с) = а力 + ас для всех а,瓦 с 三 &
Существует такой нулевой элемент Uw<3, что 0 + а = а для всех а 三&
Существует такой единичный элемент 1三6, что 1а = а для всех а е S
Для всякого aw& существует такой аддитивный элемент — а е S, обратный % а, что а + (—а) = 0.(2.2.2)
В общем случае отсутствуют мультипликативные обратные элементы. (Например, как уже упоминалось ранее, скалярные поля на многообразии могут иметь делители нуля.) Если же у скалярного поля есть мультипликативный обратный элемент, то он единственный. Аддитивный обратный элемент всегда единствен. То же самое можно сказать о нулевом и единичном элементах.
Итак, нам потребуется бесконечное множество меток 纟.Договоримся обозначать элементы множества 纟 как в формуле (2.2.1). Выберем из 纟 элемент а. Тогда система 0a будет ©-модулем; другими словами, операция сложения, определенная на и операция умножения на скаляр, определенная с помощью отображения из 0 X 0“ в ©а, удовлетворяют следующим аксиомам:
Аксиомы
Ua + Va=Va + Ua
炉+ (尸+肥)=(炉+尸)十眈
a(Ua + Va) = aUa + aVa
(a + &) Ua = aUa + bUa
(ab)Ua = a(bUa)
Wa = Ua
(2.2.3)(2.2.3)oua = ova
(2.2.3)
(2.2.3)
для всех a, & e © и всех 0°, Va> ITa w 邑°. Единственный нулевой вектор 0Va записывается как 0а, или чаще просто 0. Всякий элемент /а ^ ®а имеет аддитивный обратный элемент (——1) Va, так как Иа + (—1) Va = (1 + (—1)) Va = 0Р° = 0. Однако принято писать —У” вместо (—1) и 一 вместо 〃“ + (—1) Va. [В действительности аксиома I является следствием аксиом II——VII. Для доказательства этого достаточно один раз развернуть (1 + 1) (U& + V") с помощью аксиомы III и один раз с помощью аксиомы IV, приравнять получившиеся выражения и, воспользовавшись существованием аддитивных обратных элементов, исключить лишние U" и 2. Аналогично можно показать, что аксиома I в (2.2.2) является следствием всех остальных аксиом (2.2.2).]
Теперь выберем другую метку В 巨纟 Определим систему ®В так, чтобы она была канонически изоморфна системе ©а, в силу чего С/В+М соответствует и^+Н, а a V^ соответствует а Н, где С/В 巨 0В соответствует U0t 巨 0", а V。巨®В соответствует 恤 е ©а. Таким образом, для системы 0В имеют место те же правила (2.2.3), что и для ©а (за исключением того, что 0 всюду следует заменить на а). Точно так же для у, б,…，Ь> … ...е^ определим ®v, ®6, ...» ®^\ В любом верном уравнении, где появляется метка а (но не 0) можно всюду заменить а на р, и при этом получится новое верное уравнение. Аналогичный результат справедлив и для любых других пар элементов множества 2. Элементы всякой системы ®а> &', &% •••
называются тензорами валентностиназываются тензорами валентноститензорытензорывалентностивалентности[о].[о].[;]•[;]•Элементы модуля © —Элементы модуля © —
называются тензорами валентности
называются тензорами валентности
тензоры
тензоры
валентности
валентности
[о].
[о].
[;]•
[;]•
Элементы модуля © —
Элементы модуля © —
Для определения тензоров валентности [ j J рассмотрим модули, дуальные по отношению к ®а, &", •・・(так называемые ©-дуальные модули). Модуль ©а> дуальный по отношению к ®а, определяется как набор всех ©-линейных отображений ©а на ®. Другими словами, всякий элемент Qa ^ ©а является отображением Qa : ©а ©, таким что
Qa(Ua+lO=Qa(Ua)+Qa(H),(2.2.4)
Qa(wa) = aQa(Y)(2.2.5)
для всех U\ VaеSa и всех а е®. Таким образом, два элемента Q〜,R〜三 t£~ равны по определению, если для всякого элемента Va из 0a элементы Qa(Va) и Ra(Va) — один и тот же элемент из ®. Как правило, мы будем опускать скобки и писать просто Q&V4 Кроме того, иногда мы будем писать VaQa. Эта операция называется скалярным произведением.
Определим сложение пар элементов из 0a и умножение элементов из ®а на элементы множества © следующим образом:
(Qa + Ra) Va = QU。+ &，,(2.2.6)
(aQa) Иа = а((?аИ-(227)
Так, формула (2.2.6), например, означает, что Qa + Ra опреде- ляся^л как такой элемент из ©а, действие которого на каждый ya s ga задается правой частью равенства (2.2.6) / При наличии этих операций ®а является ©-модулем, ибо семь аксиом (2.2,3) удовлетворяются элементами из 0a (что не сложно проверить). Нулевой элемент множества 0a записывается как 0а, или просто 0 и определяется соотношением 0aVa = 0 для всех Н W ©а.
Аналогичным образом определим множество ©в как дуальное по отношению к ®, множество ©Y как дуальное к ®Y и т. д. Вследствие канонического изоморфизма между ©a, 0В； .,, существует изоморфизм и между ©а, ®р, ... . Так, элемент Qa 三 ©а соответствует элементам Qp 巨 线，Qv w ®Y> •・•，Q& w 三6必,•・•, причем для всякого Г06 выполняются равенства
Qa/a = QpH₽ = Q/v =...= Q*广=…•(2.2.8)
(Заметим, что до сих пор мы не можем писать выражения типа 0aРВ, так как элементы из 0a не действуют на элементы из ©₽.) Как и раньше, в любом верном уравнении, в котором встречается только один индекс, его всюду можно заменить любым другим, и при этом снова получится верное уравнение.
На этой стадии изложения вполне уместен вопрос: симметрична ли взаимосвязь между ©а и ©а? Другими словами, действительно ли ©а дуально по отношению к ©а? Из (2.2.6) и (2.2.7) следует, что любой элемент Va е ©а определяет ©-линейное отображение из ©а в ©, задаваемое соотношением Va(Qa) := QaVa. Однако не очевидно, что все ©-линейные отображения могут возникать именно таким путем. К тому же нет уверенности, что знание отображения позволяет однозначно фиксировать Va, или (что эквивалентно), что из условий 呼&巨®06 и WaQa = 0 для всех Q&w 0a обязательно следует равенство Wa = 0. В действительности, если ©а ——общий модуль над общим коммутативным кольцом © с единицей, то ни одно из этих нужных нам свойств может не оказаться верным !). В то же время все те модули, с которыми мы имеем дело здесь, обладают тем свойством, что модуль ©а естественно изоморфен модулю, дуальному ®а, а значит, и отождествим с ним. Такой модуль называется рефлексивным. Позднее, когда можно будет говорить о существовании конечного базиса для ©а, рефлексивная природа модуля 0a может рассматриваться как некое следствие. Ну, а сейчас мы будем просто предполагать, что модуль ©а рефлексивный. Фактически же мы вскоре наложим на ©а более сильное ограничение, а именно будем считать, что модуль ©а вполне рефлексивный (это понятие мы определим чуть позднее). Причем это свойство опять возникнет как следствие существования конечного базиса. Может оказаться, что вводимая здесь система обозначений представляет реальный интерес лишь в случае вполне рефлексивных модулей. ,
Тензоры
Определим теперь тензоры произвольной валентности [ «」 Фактически мы дадим два различных определения, следствием чего будут два разных понятия тензора. Условием того, что эти два понятия совпадают, и фиксируется ©а как вполне рефлек-
】)Например, пусть ® — это функции класса С°° на многообразии, тогда как Sa — (контравариантные) векторные поля класса С°. Тогда множество &а‘ дуальное по отношению к 名°， содержит только нулевой элемент, поскольку не существует других ковекторных полей, которые, действуя на произвольное векторное поле класса С°, всегда давали бы скалярное поле класса С°°. Таким образом, QaVa = Qa^a (== 0) для всех U°, Y 已它。，Qa v €a даже когда U"*V"・ С другой стороны, если 0 ——кольцо констант на многообразии, а Sa — контравариантные векторные поля класса С , то ®а содержит различные формы (с компактным носителем), компоненты которых представляют собой обобщенные функции, и дуальное 0a множество оказывается намного большим, чем ®°.
сивный модуль. В § 3 мы продемонстрируем эквивалентность между этими двумя определениями и определением (2.1.6) в случае, когда предполагается существование конечного базиса. Первое бескоординатное определение тензора (будем называть его тензором типа I) опирается на понятие полилинейного отображения. Возможно, это наиболее естественное продолжение того, что мы делали раньше. Выберем два любых конечных непересекающихся подмножества множества меток 纟 скажем {а, р, ..., 6} и {九,...,v} с р и q элементами, соответственно. Теперь определим тензор 力；?：.％^ ^валентности ［；］) как S-no- лилинейное отображение:
Лх₽：：；6：®аХ®₽Х ... Х<56Х@ХХ ... X®v^S. (2.2.9) Это означает, что всякому набору QaE&a， R^ ^ ®р> 丁6 三 ®б, 0 三 &", ..., Wv w Sv тензор 成2：%° типа I ставит в соответствие скаляр
Л^.-.-v (Qa. /?р, ...» Тб, 0，…，^V)e®.(2.2.10)
причем эта функция ©-линейна отдельно по каждой переменной, т. е.
&?二 %' (aQa，• • •) = @力氏；%° (Qq,♦
…，4册.：Р(.・・，а!Т) = а4毁*)(2.2.11)
для всех а е © и
禮.工6 (Ва + А • • •) = 4双.4 (За，…)+ 4已：「(ба，…)
(2.2.12)
с соответствующими свойствами для каждой из оставшихся переменных /?в, . М・ Будем писать (2.2.10) просто как
&b：・TQqRb ••• TV/31 ・••犷”®€・(2.2.13)
Множество всех ' таких тензоров &2：Г обозначим через ◎紀二Н Заметим, что это определение в случае 统 совпадает с уже данным, а в случае © тривиально совпадает с определением скаляра. В случае же &° это определение благодаря предполагаемой рефлексивности по сути дела снова дает исходный модуль &上
Перейдем ко второму бескоординатному определению тензора—к определению тензора типа II. Снова выберем два непересекающихся конечных подмножества множества 2, скажем {а, р, ..., 6} и {X, ..., v}, лишь бы оба не оказались пустыми.
Рассмотрим все формальные выражения, представляющие собой конечные (коммутативно-ассоциативные) суммы формальных (коммутативно-ассоциативных) произведений элементов, по одному из каждого набора &°, &\®v. Та
кого рода выражение можно записать в виде
8紀：.喫=玄小拉…也…N、.(2.2.14)
: = 1
Однако не все такие формальные выражения следует считать различными, даже если формально они различны. Критерием эквивалентности двух таких выражений является возможность обращения одного в другое с помощью соотношений вида
(^4-У5)Ср ... ^ = ^ ... £* + rV ... £т (2.2.15) И
(q^) KV ... Е^ = Хг (qY') (? ... Е\ (2.2.16)
где, конечно, же, можно снова воспользоваться коммутативной и ассоциативной природой сумм и произведений. Формальные выражения (22,14) вместе с указанным отношением эквивалентности и есть тензоры типа II〔).
Любым тензором типа II определяется тензор типа I, если задать полилинейное отображение в следующей форме:
威".「QaRRp ••• T6UK ... IT =
=S GqJ(加 Q... 0%)(厶0)…仿声).(2217)
Ясно, что правая часть этого соотношения принадлежит © [суммы и произведения здесь являются обычными операциями (2.2.2), определенными на ®, а в круглые скобки заключены скалярные произведения (2.2.8)]. Этим, очевидно, определяется ©-полилинейное отображение. К тому же из (2.2.4) — (2.1.7) следует, что два любых таких выражения, которые можно считать эквивалентными в силу либо равенства (2.2.15), либо равенства (2.2.16), либо ассоциативной и коммутативной природы сумм и произведений, приводят к такому же полилинейному отображению. Таким образом, любому тензору типа II соответствует единственный тензор типа I.
В то же время не ясно, можно ли получить таким путем все тензоры типа I и приводят ли два произвольных различных [неэквивалентных в смысле (2.2.15) и (2.2.16)] тензора типа II к двум различным же тензорам типа I. И в самом деле, в случае общего (рефлексивного) модуля ® не имеет места ни одно из этих весьма желательных свойств. Однако впредь мы будем предполагать, что модуль ©а вполне рефлексивный. Это означает, во-первых, что всякий тензор типа I при таком подходе возникает из тензора типа II, а во-вторых, что он возникает (при этом подходе) именно из одного тензора типа II. В то же время наше предположение, что модуль ©а вполне рефли<сив- ный, означает эквивалентность обоих типов тензоров. Как мы увидим в дальнейшем, для того, чтобы модуль ©а был вполне рефлексивным, достаточно (но отнюдь не необходимо) существования конечного базиса для ©а.
Отметим, что рефлексивные модули являются частью вполне рефлексивных модулей. Элементы множества ©а, если их рассматривать как тензоры типа I, следовало бы на самом деле отнести не непосредственно к исходному модулю ©а, а к дуальному ©а. Но элементы исходного модуля ©а и есть тензоры типа II. Поэтому, для того, чтобы эти два типа тензоров согласовывались друг с другом, модуль 0a должен бы!ь рефлексивным.■
Критерий эквивалентности формальных выражений (2.2.14), установленный для тензоров типа II, оказывается не очень удобным при попытках его непосредственного использования, в особенности если возникает необходимость в доказательстве неэквивалентности двух выражений, относящихся к типу II. Предположение, что модуль ©а — вполне рефлексивный, позволяет дать альтернативный и простой критерий эквивалентности двух выражений типа (2.2.14). Именно： два таких выражения эквивалентны в том и только в том случае, если для всякого набора QaW&a，冷至练Г6е <56, ir^^, ....旷*三<5" две соответствующие правые части равенств (2.2.17) равны между собой.
Тензорные операции
Теперь займемся тензорными операциями сложения, тензорного умножения, замены индексов и свертывания. Сложение — это отображение ®а v X 毆二：—> ©X 二：9> определенное для каждой пары непересекающихся подмножеств (а, ...» 6) и (九,...,V)множества В, а сумма 4%：二v + 8f：二 v может быть определена очевидным образом на основе любого из наших определений тензора. Если воспользоваться определением тензора типа I, то сумма — это не что иное, как полилинейное ото-
бражение ®а X …X ®v -^ ®> значение которого представляет собой сумму отображений, определенных тензорами А二 и В：；：. В случае же определения тензора типа II нужно просто представить каждый тензор 4二 и 8.二 в виде (2.2.14) и формально сложить эти две формальные суммы. Ясно, что эти определения эквивалентны друг другу и что сумма — это то же самое, что уже было определено в случаях ©, ©а и ©а. Кроме того,
娥…+ 戲二=8f二+(2.2.18)
42二+ (威:二+ 源二)=(&二+ &：) +以：:(2219)
Тензорное умножение — это отображение &之二 $Х ◎].：：% — f&.二$%：：：$, определенное для каждой четверки непересекаю- щихся подмножеств (а,..., б), (X,..., v), (р,..., т),(力，...，叫 множества 纟.Произведение 力；二'汨大二％ снова может быть определено очевидным способом на основе любого определения тензора. Если использовать определение тензора типа I, то можно определить произведение как полилинейное отображение ©аX ••• X®*f ®, значение которого является произведением отображений, определяемых тензорами 4二.и £>：：：• (Причина, по которой требуется отсутствие пересечений множеств индексов в случае умножения, а также в случае сложения, заключается, в данном контексте, в том, что в противном случае мы не сможем получить полилинейное отображение.) Если же воспользоваться определением тензора типа II, то для определения тензорного произведения мы просто формально перемножим соответствующие формальные суммы (2.2.14) и применим распределительный закон. Из (2.2.17) следует, что эти два определения эквивалентны друг другу. Исходя из любого определения, легко получить соотношения !)
娥:二。丁二=D^ ：：：4； ：：：,(2.2.20)
/ ：：：(图::总：：：)=(& 二齿二)& ：：：,(2.2.21)
(& 二 + 戲：：：)& ：：： = Al ：二&：二 + B° ：：：D$ ••二.(2.2.22)
Отметим, что обозначения, используемые в формальной сумме формальных произведений (2.2.14), согласуются с вышепри- ■ I) То обстоятельство, что тензорное произведение коммутативно в смысле равенства (2.2.20), оказывается весьма приятной особенностью применения метода абстрактных индексов к тензорной алгебре. В стандартном алгебраическом «безындексном» формализме тензорные произведения некоммутативны: А ® D D ® А; к гому же бывает довольно трудно выразить взаимосвязь между выражениями А ® D и D ® А. При нашем же способе обозначений неком- мутативность тензорных произведений зцпмсывается р виде A^y'D '' =Л
веденными обозначениями. Иными словами, (2.2.14) можно рассматривать как сумму только что определенных тензорных произведений. Это опять же немедленно следует из любого определения.
Частным случаем тензорного произведения является операция умножения тензора на скаляр. При этом мы приходим к операции умножения на скаляр, определенной на каждом множестве 燄二中 Вместе с операцией сложения она сообщает всякому множеству &£：二； структуру ^-модуля [ср. с формулой (2.2.3)}, ибо выполнение необходимых для этого требований, дополнительных к (2.2.18)——(2.2.22), а именно
、：：： = /：：：(2.2.23)
и
0&：：： = 0&：：：(2.2.24)
очевидно. Далее мы будем обозначать 0&：：：$ через 0£：：：3 а чаще даже просто через 0. Заметим, что
4£：：：0$：：： = 0七二琴二，4宏：+ 0工：：： = &：：：•(2.2.25)
В случаях ©, ©а и ©а операция умножения на скаляр согла
суется с предыдущими определениями.
Замена индексов — это отображение ®Т：：： 9 f 6^ 二：$, определенное на каждом ®：：： и индуцированное просто некоторой перестановкой элементов в множестве меток 纟(при этом число элементов в наборах л, ..., т и а, ..., б, а также в наборах 屮，・・.，屮 н 九，• • •，V должно быть одинаковым, но подмножества {а, ..., 6, X, ...» v} и {死，•••，％ 6,屮} не должны быть непересекающимися). Сама по себе эта операция совершенно тривиальна: любое соотношение имеет в той же мере справедливый аналог, полученный переименованием индексов. Очевидно, что любая замена индексов коммутирует с опера
циями сложения и тензорного умножения.
В частном случае, когда операция замены индексов сводится лишь к перестановкам внутри подмножеств ..., б и , v, мы приходим к отображению &£：：： 9fg七二 v, которое в дальнейшем будем называть перестановкой индексов!). Применяя
I) В перестановке индексов у символа 毁：：：：нет необходимости, поскольку обозначаемое им множество инвариантно по отношению к этой операции. Просто есть пара неупорядоченных множеств {а, ...» 6) и {к, ..., v}, фиксирующих ®л V- 口ля всякого же тензорного символа 4工二：порядок индексов существен. Так ®$ *.\^а = ®^.'.уб н°, рообще говоря, А?：：：?。*
(^-свертка — это отображение 6；：：：焉->&Т二：$,(^-свертка — это отображение 6；：：：焉->&Т二：$,операцию перестановки индексов в сочетании с операцией сложения, можно определить операции симметризации и антисимметризации. Пусть, например, дано Ла& w &呻；тогда можно определить другой элемент Вар = Лра е ®ар. Теперь симметричную и антисимметричную части элемента А&В можно записать как 1/2 (Аар + ^ра) и 1/2 (Лар — Лра), соответственно. Таким образом, в сочетании, к примеру, со сложением операция замены индексов перестает быть тривиальной.
(^-свертка — это отображение 6；：：：焉->&Т二：$,
(^-свертка — это отображение 6；：：：焉->&Т二：$,
Далее,
определенное для всякой пары непересекающихся подмножеств {а, ...» S} и {X, ...» v} множества 纟，таких, что элементы 三 и т| множества 2 не относятся ни к одному из этих подмножеств. Здесь следует воспользоваться определением тензора типа II〔)• Пусть -
服:嚼=^小…》力名..• NVP^e酸二箫.(2.2.26) Тогда (：)-свертку тензора 4二：можно определить как
&.。：.• 9£ = £ &的小…小么…儿三戰:v. (2.2.27) i-1 .
Если скаляр Рс〃‘ «встроить» в один из оставшихся векторов данного произведения, то получится выражение требуемой формы (2.2.14). Причем из (2.2.16) следует, что не важно, в какой именно вектор он будет《встроен». Теперь остается только показать, что любые два выражения типа (2.2.26), эквивалентные в смысле равенств (2.2.15) и (2.2.16), приводят к эквивалентным же) выражениям типа (2.2.27). Легко убедиться, что это
Причина, по которой мы не можем использовать определение полилинейного отображения непосредственно для определения свертки, заключается в том, что такое определение позволило бы ввести операцию свертывания даже в тех системах (ие вполне рефлексивных), где ее быть ие может. Например, если 它° — бесконечномерное векторное пространство над кольцом с делением 色 то дельта-символ Кронекера 6? существовал бы как билинейное отображение (2.2.41). Однако, для 6； не существовало бы свертки, поскольку (в силу размерности пространства) 6： =
на самом деле имеет место, обратившись опять к (2.2.15) и (2.2.16) и воспользовавшись (где требуется) линейностью операции скалярного произведения.
Совершенно не важно, занимают ли свертываемые индексы именно последние места в верхнем и нижнем множествах индексов тензора 4二二 Операция свертывания одинаково хорошо применена вне зависимости от того, где расположены выбранные для свертывания индексы. (Например, можно было бы определить: 8肥:J = 川 二需 тогда %к7Y =力之二沿.)Кроме того, согласно (2.2.8), в качестве《немого» индекса Z в формуле (2.2.27) с равным успехом можно было бы использовать любой другой элемент множества 2 (скажем т| или Е), который не обязательно присутствует среди а, ...» б, X, ..., v. Таким образом
&：：壊= &：•<=••• . (2.2.28)
Более того, из этого определения ясно, что не имеет значения и порядок, в котором выполняются две последовательные свертки. Так что можно безбоязненно писать &：：：溫 для (^)・свер
тки тензоратки тензора&二殿 или для&二殿 или для-свертки тензора 力上二澀.-свертки тензора 力上二澀.К тому жеК тому жепрямо из определения следует, что (^-сверткапрямо из определения следует, что (^-свертка
тки тензора
тки тензора
&二殿 или для
&二殿 или для
-свертки тензора 力上二澀.
-свертки тензора 力上二澀.
К тому же
К тому же
прямо из определения следует, что (^-свертка
прямо из определения следует, что (^-свертка
коммутируеткоммутируетсо сложением:со сложением:
коммутирует
коммутирует
со сложением:
со сложением:
если *.•.T=8七:卷+ c七:.嚼，то &：：：* =或：•崂+ e紀:法
(2.2.29)
и, в определенном смысле, с умножением:
если &：.•嚏::嚼=成二：必仁嚼,то川：：.囈=威：二必:：：：晶
(2.2.30)
частным случаем чего является умножение на скаляр:
ёели 心:鹏=元::矗то心:，=力以二規.(2.2.31) Кроме того, (：)・свертка коммутирует с любой операцией замены индексов, не затрагивающей g или 巾 И наконец, очевидно, что любая операция замены индексов, примененная к двум индексам, которые впоследствии свертываются, не влияет на результат свертки.
Отметим, что все эти тензорные операции позволяют строить тензорные выражения (с индексами), которые совершенно ана*
МЕТОД АБСТРАКТНЫХ ИНДЕКСОВ И СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 115 логичны выражениям классической тензорной алгебры, но теперь снабженные индексами символы обозначают сами тензоры, а не множества компонент тензора, безотносительно к тому, введен ли базис или какая-нибудь иная система координат. Мы можем сказать, к какому множеству &二:относится тот или иной тензор, просто проанализировав его индексы. Как и в классических тензорных обозначениях, повторяющиеся индексы всегда встречаются попарно ——один нижний и один верхний. Индексы, оставшиеся без пары, позволяют определить тип тензора, т. е. множество ©；；：, к которому он относится. Именно по этой причине мы часто будем опускать указания, к какому множеству ©；：； относится данный тензор ——информацию об этом несут сами индексы.
Следует, однако, заметить, что существуют определенные выражения, которые можно записывать, пользуясь подобными обозначениями, но которые не соответствуют каким-либо выражениям, принятым в классической тензорной алгебре. Простейший пример такого рода ——произведение UalQaY”)тензора U。на скаляр QaVa. Использование скобок обязательно, поскольку
。«(^片)*^^)片， (2.2.32) но при наличии скобок такие обозначения непротиворечивы (как это было бы при классической интерпретации). Однако во избежание недоразумений мы будем записывать такие выражения в форме, более близкой к используемой при классическом подходе. Так, соотношение (2.2.32) можно переписать в форме
I7aQpV₽ *。七旷\ (2.2.33)
которая во всяком случае более экономна. В то же время запись (QaVa)2 более компактна, нежели Qa^QQ^P久 и абсолютно правильна.
Тензорное умножение с последующей сверткой (или свертками) индексов, принадлежащих двум сомножителям, иногда рассматривается как одна операция, называемая свернутым (или внутренним) произведением или, иногда, трансвекцией. Таким образом, мы приходим к произведению (тензорному или внутреннему), определенному для двух любых тензоров, но только при условии, что среди двух наборов верхних индексов, как и среди двух наборов нижних индексов, нет ни одной буквы, принадлежащей обоим верхним или обоим нижним наборам. Например, если 碟§ 巨®龈 и B^y е ®y%> то произведение 福侖嘲 будет свернутым произведением, которое является элементом множества ⑥^*・ Свернутое произведение коммутативно и дистрибутивно относительно операции сложе-
ния. Но что касается ассоциативного закона, то здесь следует быть внимательным, в особенности когда рассматривается свернутое произведение трех или большего числа тензоров. Если ни один из индексов не появляется больше двух раз (один раз в верхнем наборе и один раз в нижнем), то никаких проблем не возникает и произведение ассоциативно. В противном случае возникает неопределенность вроде той, что уже встречалась нам в соотношении (2.2.32). Например, в общем случае
(4綸國)N + 礪о (國N).(2.2.34)
Мы можем (и, как правило, стараемся) убрать скобки, заменив два индекса ? внутри скобок (в обеих частях рассматриваемого соотношения) какой-нибудь другой буквой, скажем L как в соотношении (2233).
Отметим, что обозначение, использованное в формуле (2.2.13) для полилинейного отображения, определяемого тензором, согласуется с этим обозначением для свернутых произведений. Это легко показать, если обратиться к (2.2.17): операцию тензорного умножения 8二:на Qn> ...,呼"можно при желании выполнить в первую очередь, а операцию свертки во вторую. Таким образом, полилинейное отображение, определяемое тензором, есть частный случай многократного свернутого произведения.
Некоторые полезные свойствавполне рефлексивных модулей ©*
Условие того, что модуль 0a ——вполне рефлексивный, имеет множество важных и полезных следствий. Прежде всего сформулируем Предложение
Модуль, дуальный ^-модулю ®；：：：\ можно идентифицировать с ®ц：；；у, причем требуемое скалярное произведение будет представлять собой свернутое произведение.(2.2.35)
Доказательство. Очевидно, что любым элементом Q% ：二；w 三&2二：;определяется S-линейное отображение из€：：二$ в & [поскольку в силу формул (2.2.20) — (2.2.22), (2.2.29) и (2.2.30) мы имеем Q?；：：：(。七二十 了七二)=Q^：：：U七二十&：：W£：：： и 或二.("£ ：：：) = a(Qa 二U£：：)]. Остается показать, что всякое S-линейное отображение из &£：二)в€ получается именно таким путем с помощью элемента множества &2：：：；, являющегося единственным. Для этого обратимся к формуле (2.2.14), определяющей элементы множества &；二：%； иными словами, пред-
ставим эти элементы в виде сумм тензорных произведений векторов. Любое S-линейное отображение из &£：：：¥ в S можно таким образом определить через его воздействие на те элементы множества 毂二3, которые оказываются тензорными произведениями векторов. Такое воздействие, конечно, должно быть ©-полилинейным отображением из &°Х • • • X®YX®xX- • • …X® в &• А к такому полилинейному отображению мы приходим с помощью единственного тензора Q?；二:；w 艺二\, что и дает требуемый результат..
При формулировке утверждений общего характера, касающихся тензоров, часто бывает полезно уметь компоновать тот или иной набор индексов в единое целое и записывать их как один собирательный индекс. Для таких собирательных индексов мы будем, как правило, использовать рукописные буквы. При желании можно компоновать вмерте верхние и нижние индексы и писать вместо них один собирательный. Например, нам могло бы понадобиться скомпоновать вместе один верхний индекс р и два нижних индекса 0 и т] и записать их как один верхний собирательный индекс *. Эту операцию мы запишем как 垓=р0*т)*, где звездочка указывает, что помеченный ею индекс находится в положении, противоположном положению индекса 弘 Тогда элемент Qpen, принадлежащий, скажем, множеству Spen> можно обозначить через Q“ = Q% (Для непротиворечивости обозначений становится необходимым чередование индексов с пробелами; см. ниже К：二•)Элемент U^\ принадлежащий множеству 瑰\ теперь запишется как U* = U：，И вообще, W^^ — это элемент /J1"#叫 принадлежащий ⑥霏叫 Операция свертки применима также и к собирательным индексам. Так, W^^Q^ означает /(/亠01^。^. Если 9S = a*X|iv — еще один собирательный индекс, то это выражение можно переписать в виде W^^Q^. Мы будем, как правило, избегать использования собирательных индексов, которые в неявном виде содержат один из свертываемых индексов. Например, символ мог бы обозначать элемент /?死巾 принадлежащий множеству 呼，однако свертка в нем скрыта из-за выбранного способа обозначений. Таким образом, если в одном выражении содержится набор собирательных и обычных индексов, то будет предполагаться (в отсутствие четко сформулированного утверждения или соглашения об обратном), что могут повторяться только те индексы, которые записаны в явном виде.
В предложении (2.2.35) можно положить 垓=a ... у” … ...v*. Тогда из этого предложения следует, что для любого собирательного индекса 以 модуль, дуальный модулю &", может
быть идентифицирован с ®с・ Три нижеследующих предложения обобщают этот результат.
Предложение
Множество всех ^-билинейных отображений из &厘 X &色 в S может быть идентифицировано с &乩國一с ото- брожениями, которые получаются с помощью свернутого произведения.(2.2.36)
Доказательство' Доказательство аналогично проведенному в (2.2.35). Любой элемент Р★务三佇弘％ осуществляет такое ©-билинейное отображение, результатом которого для всяких Хле@л и Y^g^ будет Р〃*Х”У*. [Заметим, что Рл^Л+ X^YS =
I2
Р灰林“У务+ Р厘族賓У务и戶灰务(аХ节У% = аР*國X* J; и аналогично для Y^]. Чтобы показать, что всякое такое ©-билинейное отображение возникает именно этим путем из единственного 匕?％, можно представить X* н У窩 в виде сумм тензорных произведений векторов. Билинейное отображение определяется единственным образом через его воздействие на такие тензорные произведения векторов. Результатом этого воздействия будет ©-полилинейное отображение векторов. Таким образом, Р^ единственным образом определяется как тензор типа I.
Предложение:
Множество всех ^-линейных отображений из ®л в 6% может быть идентифицировано с &力,причем отображения здесь достигаются с помощью свернутого произведения(2.2.37)
Доказательство: Любой элемент Q、 осуществляет ©-линейное отображение из &'" в ⑥％, причем образом элемента Х^ будет qLx'・ Наоборот, предположим, что имеется ©-линейное отображение из®* в ⑥*. Обозначим образ элемента X* при таком отображении через U*. Тогда, для Z%w&囂 отображение, которое переводит пару(X', Z”)в U%Z%, является S-билинейным отображением из 伤了Х&落 в &. В результате мы на основании предложения (2.2.36) (при @ = £*) получим единственный элемент Q、w ©л с qLx^Z% = U*Z 甯 для всех Z落三®%, так что Q *Х и U — один и тот же элемент модуля, дуального модулю &鎔. Следовательно, Q*必Х* = С/*, как и требовалось, и это отображение характеризует элемент Q*届 единственным образом.
Следующее предложение содержит предложения (2.2.35)— (2.2.37) как частные случаи:
Предложение:
Множество всех ^-полилинейных отображений изX &劣 X • ••义齿勖 6может быть
идентифицировано с модулем ©^... д, причем отображения достигаются с помощью свернутого произведения.(2.2.38)
Доказательство: Доказательство сводится просто к многократному использованию предложения (2.2.37). Если фиксировать элементы 8%, ... , О^, то мы будем иметь дело с ©-линейными отображениями из &' в ®ж, которые, согласно (2.2.37), фактически представляют собой элементы модуля ©л- Позволив теперь элементам В®, ..., D勁 изменяться, мы обнаружим, что ©-полилинейное отображение из ®ЛХ®^ X • * -®"21 в ©^ эквивалентно ©-полилинейному отображению из S^ X - - • Х©^ в&^、Повторяя эту процедуру для буквы М, заменяемой последовательно буквами 阕,...勿,мы и получим требуемый результат.
В предложении (2.2.38) есть одна сторона, на которой имеет смысл остановиться подробнее. Поскольку никакие два различных элемента из &詳.一励 не дают одно и то же отображение, мы имеем:
Если для всех W^, Z勁 е&勁 выпол
няется равенство А ，兑… 励 IF ...Z = В
x 取"…Z? т。4、…勘= 8、...&.(2.2.39)
В частном случае:
Если для всех К” w ... , Z^ е &勁 выполняется равенство Ажл ^W^ ... Za = 0, то 4*腿…& = 0. (2.2.40)
Особенно полезен тензор 6g, носящий название дельта-символа Кронекера (формула (2.1.9) ]• В абстрактной форме его можно определить множеством различных способов. Например, отображение из ©а X ©^ в ©, которое паре (Х°\ ZQ ставит в соответствие скалярное произведение XaZa, явно ©-билинейно, а значит, осуществляется некоторым тензором, который можно обозначить через 6^, Тогда 6g формально определяется соотношением
dU% = A-aZo.(2.2.41)
Тензор 6g еще можно определить как такой элемент модуля ®а, который осуществляет отображение из Sp в S, ставя в соответствие всякому элементу Ур w ®р скаляр У$, т. е.
够件=冲. (2.2.42)
[Оба определения дают один и тот же тензор 6?, так как соотношение (2.2.41) есть частный случай равенства (2.2.42).] И еще, отображение из 0^ в ©а, которым устанавливается канонический изоморфизм между этими множествами, тривиально ©-линейно, а значит, снова осуществляется тензором б£:
6^B = Za・ (2.2.43)
[Очевидно, что это та же самая кронекеровская дельта 艰 ибо из (2.2.43) непосредственно следует (2.2.41).] Или мы могли бы использовать дуальный вариант соотношения (2.2.43). В самом деле, тензор 6纟 осуществляет отображение из ©а в ©₽, которым задается канонический изоморфизм
礁 Х° = ХВ・ (2,2.44)
Разумеется, такой же тензор 6а осуществляет и многие другие ©-линейные отображения, которые являются следствиями предыдущих; например, отображения ®рЛ -> S^; &°" -> SM; &?-> &^, которые выражаются соотношениями
^и^ = и^,成片^ =卜叫 獨Г皆=№『. (2.2.45)
[Эти выражения немедленно следуют из (2.2.42) (—2.2.44), поскольку их можно свернуть с произвольным Q%, а затем вычеркнуть ненужное в соответствии с (2.2.39).]
Включение одной тензорной системы в другую
В процедуре использования собирательных индексов есть один момент, который в дальнейшем будет иметь для нас важное значение. Мы установили, что с собирательными индексами можно обращаться точно так же, как с исходными индексами- метками а, р, ... . [Необходимость чередования в собирательных индексах меток а*, р*,…с пробелами в противоположном (верхнем или нижнем) ряду можно легко устранить, если ввести соответствующее правило; скажем, можно было бы договориться, что первыми всегда должны идти все верхние индексы, а за ними все нижние.] Если дана произвольная тензорная ал-
гебра рассматриваемого типа, то мы можем построить новую тензорную алгебру («включенную» в данную), множество меток 2庚 которой состоит из подходящим образом сгруппированных подмножеств множества 纟.Например, можно было бы положить 垓= сфу\ 垓0 = %瓦丫；，必i = %8M，... , и использовать ①走= (*,垓°,垓],・..)в качестве нового множества меток. Теперь рассмотрим тензорную систему *), построенную из & и &庚 способом, в точности аналогичным тому методу, которым из © и 0х была построена исходная система. Например, согласно (2.2.35), модуль, дуальный модулю &'「есть ©л- Легко убедиться, что каждое из определений тензоров I и II типов ведет к тензорам высшей валентности, являющимся элементами множеств &券二 2P [в частности, см. для сравнения (2238)]. Следовательно, эта система вполне рефлексивна и действительно включена в исходную. Тензорные операции в новой системе в точности такие же, как в исходной. Их можно корректно записать только с помощью допустимой системы собирательных индексов. (Все эти замечания, конечно, не зависят от сделанного выше конкретного выбора расстановки индексов 垓=ар^*.)
Если бы мы рассмотрели одновременно различные типы группировок (например, = а₽*, ^ = уде, &0 = %眛 盲产 =Y060e0, •・・), то пришли бы к тензорным системам несколько более общего типа, в которых имеется более одного множества меток. [В рассматриваемом примере 2乩=(加,垓о,垓],...)и 爲=(鼠 ^о, *1，•••)•] Правила для тензорной системы с более чем одним множеством меток в основном такие же, как для системы, обладающей только одним множеством меток. Един
ственное различие связано с тем, что замены индексов допустимы только для элементов одного и того же множества меток. У двух множеств меток нет общих элементов, так что невозможно выполнить операцию свертки для индексов двух различных типов.
Тензорная система с более чем одним множеством меток могла бы возникнуть сама собой, если бы мы с самого начала рассматривали одновременно несколько различных ©-модулей (причем кольцо скаляров © в каждом случае одно и то же). Можно было бы обозначить исходные модули через ®Q, Sa\ &“", ... и определить следующие множества меток: 2 — (а, В, • •. , %,….)，2 — (а , 0 , • • • » %,・••) и т. д.
I) В более распространенной терминологии это тензоры, соответствующие ©-модулю 弓®#* ® @®'* в записи с использованием абстрактных индексов [89, 112].
Определения (ощих множеств &.二 можно было бы дать по аналогии с вышеизложенным. Так как мы не предполагаем существования канонического изоморфизма ни между Sa и Sa > ни между &" и Sv и т. д., то, как уже отмечалось, нельзя будет выполнить операцию замены индексов для индексов с разными числами различающих их штрихов. Если отвлечься от этого нового момента, то в остальном тензорная алгебра строится в полной аналогии с предыдущим. Такого рода системы важны для нас потому, что спинорная алгебра, к которой мы перейдем в § 5 и которой мы будем заниматься в оставшейся части книги, является системой именно такого типа. Спинорная система строится из двух модулей ®л и ®л» которые не связаны друг с другом «алгебраически», но которые связаны («неалгебраическим») отношением комплексного сопряжения.
§ 3. Базисы
В данном параграфе нас будут интересовать следствия, к которым приводит введение базиса в модуль 0a. Пока что на протяжении второй главы мы воздерживались от какого бы то ни было использования базисов. Отчасти это было сделано с тем, чтобы подчеркнуть, что изложение тензорной алгебры совершенно не нуждается во введении координат (несмотря на наличие индексов). Но, кроме того, это придает изложенному значительно большую общность (хотя бы в смысле формы), чем была бы, предположи мы существование конечного базиса, поскольку существует много вполне рефлексивных модулей, для которых базисы отсутствуют.
Конечный базис в ©а есть некий набор элементов 齡，£,…，Sn е Sa, таких, что любой элемент Va^ ©a имеет однозначное разложение
Уа = v'^ + У26г + ... + Vn6S. (2.3.1)
Скаляры V1,...,卩拒三 6 называются компонентами элемента Va в этом базисе. Если модуль ©а обладает конечным базисом,
то всякий другой базис в ©а должен иметь то же самое число п своих элементов. Данное утверждение вытекает из того, что
существование «-элементного базиса в 0a означает, что
содержит некоторый ненулевой антисимметричный эле
мент, тогдамент, тогдакак 露 “ (й > 0) содержит только нулевой
мент, тогда
мент, тогда
антисимметричный элемент. (Мы пользуемся определением модуля ©... типа I, и нам не нужно делать предположение, что этот модуль вполне рефлексивен.) Это может послужить для
определения п независимо от базиса *). Для доказательства данного свойства рассмотрим антисимметричный 力％а〃+£ [Это означает, что А.., меняет знак при перемене местами любых двух индексов ai (гл. 3 § 3).] Тогда
4.•山…a了…X 'X ‘ = 04.•山…a了…X 'X ‘ = 0(2.3.2)(2.3.2)
4.•山…a了…X 'X ‘ = 0
4.•山…a了…X 'X ‘ = 0
(2.3.2)
(2.3.2)
0…W1Un ... Wn0…W1Un ... Wn(2.3.4)(2.3.4)
0…W1
Un ... Wn
0…W1
Un ... Wn
(2.3.4)
(2.3.4)
для произвольного Х°\ поскольку перемена местами немых индексов ai, а/ изменяет знак. Рассмотрим полилинейное отображение, задаваемое произведением
仆……2D (233)
Разлагая каждое из Ra,, ... , Ц7"+也 по базису (2.3.1) и пере
множая их, мы видим, что каждый член содержит по крайней
мере один повторяющийся базисный элемент и поэтому в силу
.3.2) равен нулю. Таким образом, Л... = 0. В то же время мы можем определить ненулевой антисимметричный элемент
(альтернирующий тензор) соотношением
где U* . 一 , t/厶 ——компоненты элемента U* в базисе 芹,•・•, 6片 и т. д. Ясно, что это приводит к требуемому антисимметричному полилинейному отображению. Отметим также, что еа а *6, ибо если С/° = 6；^= ?^, то результатом отображения
будет единичный скаляр. Целое число п мы называем размерностью ©-модуля 0a.
Если ©а ——набор касательных векторов в одной точке многообразия, то ©а представляет собой конечномерное векторное пространство (касательное пространство в рассматриваемой точке) и базис существует. Но когда под ©а понимаются непрерывные векторные поля на л-мерном многообразии, базис зачастую не существует. Происходит это потому, что базис теперь означает набор п векторных полей, линейно независимых в каждой точке многообразия. Ясно, что в простом случае обычной
')Более того, если допустить /I = со для случая, когда существуют анти- Г 01
симметричные элементы произвольно большой валентности [«」， то этим свойством определяется л для произвольного модуля независимо от существования базиса. В общем случае мы можем рассматривать п как размерность модуля 0а・
сферической 2-поверхности (S?) такой базис построить невозможно. По хорошо известной теореме о неподвижной точке каждое из двух векторных полей на поверхности должно обращаться в некоторой точке в нуль, так что два соответствующих вектора должны там стать линейно зависимыми. То «-многообразие, которое действительно обладает п векторными полями, линейно независимыми в каждой точке, называется параллели- зуемым. Таким образом, модуль касательных векторных полей обладает базисом в том и только в том случае, когда многообразие параллелизуемо. Как было отмечено в гл. 1, в конце § 5, 3-сфера (S3) является (возможно, несколько неожиданно) па- раллелизуемой J)» а 4-сфера (S’) таковой не является. (Более того, . оказывается, что всякое ориентируемое 3-многообразие должно быть параллелизуемым, тогда как многие ориентируемые 4-многообразия не являются параллелизуемыми.) В силу (1.5.6,) все модели пространства-времени, глобально обладающего тем типом спинорной структуры, о котором идет здесь речь, и являющегося к тому же некомпактным (это требование существенно с физической точки зрения, поскольку компактные модели пространства-времени содержат замкнутые времениподобные кривые), параллелизуемы [76]. Таким образом, если 0a есть модуль векторных полей на пространстве-времени, то имеются физические основания полагать, что ©а имеет базис (в данном случае л = 4) 9- Более того, проводя в применении к модулю спин-векторных полей на пространстве-времени те же самые рассуждения [формула (1.5.6)], мы приходим к выводу, что существует и глобальный спинорный базис (здесь п = 2).
Напомним, что точки сферы S& могут быть представлены единичными кватернионами q и что всевозможные правые вращения, задаваемые преобразованием g I~> qb при всевозможных фиксированных выборах единичного кватерниона Ь, будут переводить систему в некоторой заданной точке до, принадлежащей сфере S* однозначно и непрерывно в систему во всевозможных других точках сферы S3. (Если до ь-> г, то это однозначно достигается таким правым вращением, для которого Ъ = ^д"^Г') Аналогичное рассуждение, в котором вместо кватернионов используются числа Кэли, применимо и в случае сферы S7. Доказательство того, что сфера S" является параллелизуемым многообразием в том и только в том случае, когда п = 1» 3, 7, представлено в работе ,[53, стр. 522]. Заметим, что существование глобального базиса для векторных полей является более слабым требованием, чем существование глобальной координатной системы [формула 4.1.33)]. Последнее очевидно из анализа параллелизуемости сферы S^ (и S^).
Правда, мы не можем принять аргументированного предположения о существовании глобального голономного базиса, который был бы естественным образом связан с координатной системой так, чтобы базисные векторы (0/8*а) были направлены вдоль координатных линий. Однако мы можем противопоставить этому то обстоятельство, что наш базис может быть выбран ортонормироваиным всюду, причем один вектор всюду времениподобен и направлен в будущее (ср. также с тем, что говорится на стр. 249).
Таким образом, глобальное существование базиса в тех случаях, которые представляют для нас сейчас интерес, может рассматриваться как разумное физическое требование.
Даже если нас интересуют многообразия, не являющиеся параллелизуемыми, то рассуждение о базисах будет небесполезным, поскольку оно может быть проведено локально (т. е. в некоторой координатной карте). Конечно, следует быть осторожными с выводами о глобальной природе, полученными на основе таких рассуждений. В § 4 мы увидим, что независимо от того, является или не является многообразие параллелизуе- мым (но при условии паракомпактности, являющемся излишним предположением в случае пространства-времени [76, 97]) модуль Селекторных полей над С°°-скалярными полями все же вполне рефлексивен.
Компоненты в базисе
Предположим, далее, что в @а существует базис 6；,・・・,6®- Мы можем воспользоваться жирными буквами, пробегающими, как обычно, значения 1, 2, .... п и принять для таких индексов соглашение о суммировании. Таким образом, для элементов базиса может быть принято единое обозначение 6：(6°е 咫°), а формула (2.3,1), выражающая вектор 仆 через его компоненты 卜“(三 S) в этом базисе, может быть записана в виде
V^=V^ (2.3.5)
[Между символами индексов а и а в этом выражении никакой взаимосвязи не существует. С равным успехом мы могли бы записать (2.3.5) в виде 片=卜％；・]
Сопоставим базису 6： из Sa дуальный ему базис 6；, 6^,... .・.,6々三 Sa. По определению базис 6a осуществляет отображение из Sa в S, которое ставит в соответствие вектору Va его a-ю компоненту Vе в базисе 6?» ・・• , 6f:
6^а=Г. (2.3.6)
Вследствие единственности и линейности разложения (2.3.1) соотношение (2.3.6) действительно определяет линейное отображение (для каждого a = 1, 2, ..., п) из ©а в © и таким образом дает хорошо определенный элемент множества ©а. Полагая, что каждый из 6®, ... , 6： по очереди есть Va, получаем
6虢=唸 (2.3.7)
где б₽ есть (n X п)-матрица элементов множества ©, представляющих собой единичный скаляр, если a = р, и нулевой скаляр в противном случае (дельта-символ Кронекера). .
Покажем теперь, что п элементов 6а из ®а образуют базис в ©а. Мы должны установить, что всякий элемент Qa из ©а имеет единственное разложение в виде линейной комбинации величин 6a- Для данного Qa определим
Qa=(QX)6l(2.3.8)
Тогда для каждого Va имеем
以片=Q浦6217a = QpS₽6»(y«6a)二 QpS₽S£y« = (^虑丿=
= Qey₽ = Qaya.(2.3.9)
Поскольку элементы Qa и Qa, действуя на произвольный элемент множества ©а, дают один и тот же скаляр, то Qa = Qa・ Таким образом, равенство (2.3.8) утверждает, что вектор Qa может быть представлен в виде линейной комбинации величин 6J
Qa = QX. (2.3.10) где
Q产 Qb* (2.3.11)
Чтобы показать, что данное разложение единственно, предположим, что элемент Qa может быть представлен в виде (2.3.10), гдеQp не обязательно задается выражением (2.3.11). Образовав скалярное произведение вектора (2.3.10) с д« и воспользовавшись равенством (2.3.7), мы получим Q d? = Qp6aS? = Q(j6£ = Qa, т. е. снова равенство (2.3.11). Требуемая единственность установлена.
Заметим, что компоненты вектора Qa в дуальном базисе получаются путем взятия скалярных произведений с элементами исходного базиса. Это аналогично тому, что компоненты вектора Va в исходном базисе получались путем взятия скалярных произведений с элементами дуального базиса. Заметим, далее, что
Qaya = QaVX = Qer (2.3.12)
в силу (2.3.5) и (2.3.11), так что скалярное произведение, выраженное через компоненты, имеет обычный вид.
До сих пор в данном параграфе мы не пользовались свойством модулей быть вполне рефлексивными, т. е. эквивалентностью тензоров типа I и типа II. Рассмотрим теперь компоненты тензоров общего вида и, как следствие, покажем, что свойство модулей быть вполне рефлексивными сохраняется независимо от базиса.
Если &：二 У — общий тензор типа I, то мы можем применить данное полилинейное отображение к элементам базиса и определить компоненты этого тензора:
&••：：: = & 二 X ... 6^ ... £• (2.3.13)
Соотношение (2.3ЛЗ) обобщает равенства (2.3.6) и (2.3.11). Называя такую совокупность 4；：二: тензором типа III относительно базиса 6： (это определение носит предварительный характер; более строгое определение будет дано в § 4), мы видим, что для заданного базиса ба формула (2.3.13) задает отображение (I-* III), которое каждому тензору типа I ставит в соот ветствие единственный тензор типа III. Кроме того, из каждой такой совокупности &二：：мы можем образовать тензор типа II как сумму тензорных произведений
&二7 = &二：£ …芻抬...6：, (2.3.14)
что обобщает равенства (2.3.5) и (2.3.10). Итак, мы располагаем отображением (III -> II), которое ставит в соответствие каждому тензору типа III единственный тензор типа II. Наконец, у нас уже есть стандартная схема (2.2.17)—независимая от свойства модулей быть вполне рефлексивными или существования базисов — которая ставит в соответствие каждому тензору типа II единственный тензор типа I. Чтобы установить эквивалентность всех трех типов тензоров (и тем самым свойство модулей быть вполне рефлексивными), убедимся, что все три циклические перестановки рассматриваемых отображений
I —Ш-* Il L Шт Н-> 1Ш, П->1->111->11
приводят к тождеству. Чтобы проверить первую из выписанных здесь циклических перестановок, начнем с тензора типа I &：二之 и применим последовательно формулы (2.3.13), (2.3.14) и (2.2.17), считая заключительное полилинейное отображение в формуле (2.2.17) содержащим свертки с Qa, ..., Sv, U% ・・• 一 •，庇” получим
[(*.「；£ ...б：)6«°...唸]Qa,…旷=
=4a.. \£ ... 6：Q«... IT = 4上• Wa . • •呼* (2.3.15)
в силу формул (2.3.11), (2.3.6) и затем (2.3.10), (2.3.5). Чтобы убедиться в том, что вторая циклическая перестановка приводит к тождеству, начнем с совокупности Л®/.\ и применим к ней формулу (2.3.14), а затем (2.2.17) вслед за (2.3.13). Применяя (2.2.17) вслед за (2.3.13), мы просто замещаем элементами базиса 6；,・・.,б«элементы Qa» ，一, 眩* на которые действует
полилинейное отображение, и получаем величину
(心E...d)心…必(心E...d)心…必(2.3.16)(2.3.16)
(心E...d)心…必
(心E...d)心…必
(2.3.16)
(2.3.16)
представляющую собой в силу равенства (2.3.7) исходную совокупность 力上;q・ Наконец, чтобы убедиться в том, что к тождеству приводит и третья циклическая перестановка, мы начнем с тензора типа II и применим (2.2.17) вслед за (2.3.13) (как и раньше), а затем (2.3.14); получим
[(£ а . . . Gv)k . . . 6：М . . . &尸
=[£ Г ... jvd 6^ ... 8；0= f Fao... ^Vo (2.3.17) L i=1Ji«l
в силу формул (2.3.10), (2.3.5), затем (2.3.7), а затем снова (2.3.10), (2.3.5). Таким образом, когда существует базис, свойство модулей быть вполне рефлексивными установлено: общий тензор с валентностью [ j (типа I или II) находится в однооднозначном соответствии со своей совокупностью 渺+0 компонент (тип III) в силу взаимно-обратных соотношений (2,3.13) и (2.3.14).
Заметим, что "+° тензоров
峻…踹・・・6：(2.3.18)
образуют базис bGJJ 二：工 поскольку каждый элемент модул*я ©xJJ.' V имеет в силу формулы (2.3.14) единственное разложение в виде линейной комбинации тензоров (2.3.18). Следовательно, ©-модуль @；：二斗 имеет размерность М+К Говорят, что частный базис (2.3.18) в ⑥机二 У индуцируется базисом 6： в ©а.
Если определить тензор 破 已 磽 как
砾=區总(2.3.19)
то формулы (2.3.10), (2.3.11), (2.3.5) и (2.3.6) дадут
Qa = Q^t 尸=，册・(2.3.20)
Возвращаясь к (2.243) и (2.2.44), мы видим, что каждое из этих соотношений говорит о том, что величина б£, определенная формулой (2.3.19), является фактически той же самой, что 必
величина 6а, определенная формулами (2.2.41) — (2.2.44) независимо от базиса. Возвращаясь теперь к этому первоначальному определению величины 碌，не зависящему от базиса, мы можем утверждать, что равенства (2.3.19) и (2.3.7) вместе являются необходимым и достаточным условием для того, чтобы набор 6： был базисом в ©а (с дуальным базисом 6々)・ Действительно, равенство (2.3.19) [совместно с (2.3.20)] показывает, что Va представляет собой линейную комбинацию величин 6?, поскольку (2.3.7) устанавливает, что указанные компоненты однозначно задаются равенством (2.3.6). [Формальное сходство между формулами (2.3.7) и (2.3.19) не должно вводить нас в заблуждение: в равенстве (2.3.7) объединяется п2 скалярных уравнений, тогда как (2.3.19) представляет собой одно тензорное уравнение. Несмотря на то, что различные величины 6?, 6«, 6&, 6? с формальной точки зрения ведут себя очень похожим образом, в концептуальном отношении они сильно различаются]. Заслуживает быть отмеченным способ получения (2.3.14) с помощью соотношения
Ai：：： J =，4比Г蜀禺6扌...曲 (2.3.21)
[полученного повторным применением (2.3.20)] и подстановки выражения (2.3.19) для каждого 6.
Свяжем тензоры типа III, рассмотренные здесь, с тензорами, о которых говорилось в § 1. Определение тензора, использованное в § 1, основано на трансформационных свойствах при изменении базиса. Рассмотрим два базиса в ®а, а именно 6р ... , 6； и 6^, ... , 6；. Базис, дуальный базису 8^> есть 6：; он удовлетворяет соотношению 6° 6^ =6}, где 6| — опять обычный дельта-символ Кронекера. В соответствии с нашей системой обозначений в случае, когда компоненты берутся относительно базиса 6^ или 8®, индексы компонент должны нести крышку, но опорные символы, к которым относятся указанные индексы, остаются без изменения. Таким образом, Иа = У：6： и т. д. Это правило остается в силе и в том случае, когда мы рассматриваем компоненты элементов одного базиса относительно другого. Таким путем мы получаем две (n X п)-матрицы скаляров, задаваемых равенствами
心=端，6?=歌.(2.3.22)
Величины 6^ и 6® отвечают, соответственно, величинам ； и Т* входящим в формулы (2.1.6) — (2.1.8). (Использование здесь символов Кронекера не должно нас смущать: такие символы
рассматриваются как обычные дельта-символы Кронекера только в том случае, когда оба жирных ^ндекса относятся к одному и тому же типу.) Матрицы 6^ и д* по существу являются обратными друг другу (06； =6； 6：埠=稣)，в чем нетрудно убедиться. Действительно, для каждого вектора Va компоненты У® относительно базиса 6^ связаны с компонентами Уа относительно базиса da соотношениями
炉=у%§ = Г6%2 = Гб；, (2.3.23)
которые можно сравнить с отображением (2.1.8). Аналогичным образом компоненты общего тензора &二：Х относительно базиса 6? могут быть связаны с компонентами этого же тензора относительно 6； соотношением
点三П父二晚…*奘…m. (2.3.24) [Чтобы получить это соотношение, мы просто «вставляем» элементы базиса 心，6： в (2.3.14).] Оно представляет собой не что иное, как закон преобразования (2.1.6) компонент тензора. Таким образом, независимо от существования базиса определение тензора, данное в § 1, действительно согласуется с определениями, использованными здесь. [Несмотря на то, что интерпретация и на этот раз другая, равенство (2.3.24) формально напоминает равенства (2.3.13), (2.3.14) и (2.3.21). Во всех этих случаях дельта-символ заменяет один индекс другим.]
В компонентном представлении операции сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертки имеют такой же вид, как и в представлении абстрактных тензоров, за тем исключением, что все индексы теперь жирные. Таким образом, компоненты. суммы &：：：¥+В；二寸 в базисе 6： равны &：：：： + + В； ：：： J； компоненты тензорного произведения & 二:把＞；：：：$ равны Д1：：： W'.：：t； компоненты 川二\士.九 равны 疋广二и компоненты 戚二悠 равны & 二頂. Все приведенные утверждения являются прямыми следствиями определений и согласуются с операциями § 1. Таким образом, полная ал* гебра абстрактных тензоров идентична алгебре совокупностей тензорных компонент； единственное различие здесь заключается В' интерпретации соответствующих величин. Может показаться, что одно лишь различие в интерпретации ——недостаточное оправдание для использования в индексах букв из двух алфавитов. Но в гл. 4 мы увидим, что когда вводится дифференцирование^ то сходство исчезает и упомянутые два типа индексов
ведут себя совершенно различно. То, что имело характер чисто концептуальных различий в случае тензорной алгебры, естественным образом приводит к существенным формальным отличиям в тензорном или спинорном исчислении.
Свойство модуля S' быть вполнерефлексивным на многообразии
При условии, что на(5, существует конечный базис, свойство ®' быть вполне рефлексивным установлено в § 3. Но, как мы уже видели, для векторных полей на многообразии (например, на S2) базис может и не существовать. Поскольку свойство модуля S' быть вполне рефлексивным является важным и общим, мы посвятим данный параграф обсуждению этого свойства в случае произвольного (хаусдорфова паракомпактного) многообразия 陵,на котором 1) условия дифференцируемости для скаляров © — понимаемых как поля комплексных чисел — являются существенно неограниченными (скажем, С°, С, ... или С°°, но не 3), с тем чтобы было обеспечено «отделение единицы» [формула (2.4.4) ниже] и 2) в S' существует локальный базис. (Читатель, которого удовлетворяют соображения физического характера в пользу существования базиса, может перейти к § 5.)
Выше в данной главе мы имели дело с алгебраическими рассмотрениями, которые касались лишь алгебры тензоров, образованных из модуля S'. Свойства «множества точек» Л、на котором можно определить ©, и даже само существование такого множества точек не обсуждались. В гл. 4, где вводятся дифференциальные операторы, нам необходимо более детально исследовать множество Ж. Однако здесь мы будем заниматься только лишь двумя указанными выше свойствами множества Л как «многообразия», которые позволят нам установить свойство модуля &• быть вполне рефлексивным в духе этой главы» а именно алгебраически.
Чтобы дать алгебраическое определение «тензоров, определенных локально» на 風、нам необходимо определение тензоров, ограниченных некоторым (открытым) подмножеством множества 儿 «окрестностью» интересующей нас точки !)- Рассмотрим произвольный элемент f 三 0 н открытое множество 歹 и 4r то・ чек множества 風、для которых / ^= 0. Определим отношение f-эквивалентности тензоров следующим образом:
т£：：：旧戰(2.4.1)
при необходимом и достаточном условии.
fTV.：^ = fWl：：；l(2.4.2)
означающем равенство тензорных полей, «ограниченных на 笋》. Заметим, что без потери общности мы можем полагать f неотрицательной величиной» поскольку равенство (2.4.2) выполняется в том и только в том случае, когда выполняется равенство (2.4.2), умноженное на f.
Пусть теперь символ ©° ；；.'•?(/) обозначает множество классов /-эквивалентности (2.4.1). Нетрудно убедиться, что при обычном определении сумм и произведений ©(f) является коммутативным кольцом с единицей (т. е. произведение класса /-эквивалентности элементов а е © на класс /-эквивалентности элементов 方 w 0 есть класс /-эквивалентности элементов ab\ если а = с и b ^ dt то мы имеем fab = fcb = cfb = cfd = fcdt откуда ab 三 cd в т. д.). Кроме того, как нетрудно убедиться ')> ®а(/) есть модуль над ©(/).
Единственным новым свойством ©-модуля S*, которое мы должны потребовать (и для наличия которого мы выше ввели условия 1 и 2), является следующее.
Свойство (2.4.3)
Существует конечный набор неотрицательных элементов О 1m
以,% ....北三必,таких что
О 1m
« + «++м=1,(2.4.4)
〃 таких, что существует базис для каждого модуля
咫°(M)(i = 0, 1,/и).
Посмотрим сначала, почему это свойство могло бы иметь место в случае произвольного (хаусдорфова паракомпактного) многообразия Л、на котором скаляры © и (векторные или спинорные) поля ®" относятся, скажем, к классу С°°. Для каждого i область, где 〃决 0, представляет собой открытое множество ^iCZ^ и ввиду равенства (2.4.4) можно заключить, что ука-
Однако (при。次歹 *4) модуль ®(f) не будет тем же самым, что и модуль комплекснозначиых С00-скалярных полей на множестве 歹，рассматриваемом как подмногообразие множества 4, а будет его подмодулем. Такая ситуация имеет место потому, что последний модуль включает также скалярные поля, которые непрерывно не продолжаются на 4. Аналогичное замечание ОТНОСИТСЯ НК®； ::; J (/)•
занные множества покрывают Л\ и и …и =風(2.4.5)
Наоборот, если существует произвольное конечное покрытие множества Л открытыми множествами 以о, ...以用,такое, что каждое 也i может быть определено отличным от нуля и неот
рицательным у е S, то справедливо равенство (2.4.4). Действительно, определив
о 1m
V = v + V + ... + v9(2.4.6)
получим Р > 0 всюду на 乩；поэтому существует 尸 и мы можем удовлетворить требованию (2.4.4), положив
2 = рТ；.(2.4.7)
Такая система величин 以 на 废 называется разбиением единицы.
Чтобы получить на Ж требуемое покрытие (2.4,5), проведем следующее построение. Выберем триангуляцию множества Ж такую, чтобы звезда каждой вершины (т. е. объединение всех n-симплексов, проходящих через эту вершину) обладала следующим свойством: для полей, ограниченных на внутренней части звезды, существует базис. Выберем теперь непрерывно ограниченную открытую окрестность каждой вершины (т. е. координатный шар), достаточно малую для того, чтобы все указанные окрестности были отделены друг от друга и каждая находилась в пределах звезды рассматриваемой вершины. Если 0 содержит С°°-поля, то из существования «колоколообразных функций» (4.1.5) вытекает, что каждая выбранная окрестность может быть определена посредством неравной нулю неотрицательной функции Д Очевидно, что мы можем сложить все эти о
функции, получив, скажем, о, и затем задать объединение % оо
всех этих окрестностей условием и 声 0, причем о》0. На ©а будет существовать базис, ограниченный в свою очередь на каждой окрестности. Рассматривая все указанные базисы вместе, получим базис в@а(с).
Части ребер триангуляции, не лежащие в 勿о, образуют несвязную систему замкнутых сегментов, которая может быть покрыта открытым множеством 叫,снова представляющим собой объединение несвязных открытых множеств (с непрерывными ограничениями), причем каждое такое множество покрывает сегмент ребра и лежит в звезде этого ребра (т. е. в объединении n-симплексов, проходящих через рассматриваемое ребро. Опять же мы можем добиться того, чтобы множество 也i определялось
11
условием и*0 для некоторой функции о》0, и базис в 咫01 (и) будет существовать.
Части граней (2-симплексов), не содержащиеся в -^oU %> будут несвязны и, как и раньше, мы можем покрыть их системой отделенных друг от друга открытых множеств, объединение которых образует ^2- Как и раньше, мы можем добиться того, 22
чтобы множество % определялось условием и#=0, причем。>0, и базис в Sa (и) будет существовать. Части 3-симплексов, не
содержащиеся в 也qU 也1UW2, опять будут несвязны, и процесс продолжается до тех пор, пока не будут покрыты п-сим- плексы. Продолжая рассуждения, получаем обоснование свойства (2.4.3) (с т = п, размерности многообразия 陵),поскольку ясно, что в силу (2.4.7) ®aG) = @aG).
Воспользовавшись (2.4.3), мы можем теперь доказать, что свойство ©а быть вполне рефлексивным опирается на рассуждения § 3, где предполагалось существование базиса в Sa. Для этой цели дадим сначала более полное определение тензоров типа III [формула (2.3.13)], являющееся по существу «классическим» определением. Рассмотрим произвольный модуль Sa(«) и определим его базис и дуальный базис классами эквивалентности величин
(2.4.8)(2.4.8)七и к,
(2.4.8)
(2.4.8)
(2・4・9) 凰 Рас-(2.4.10)(2・4・9) 凰 Рас-(2.4.10)соответственно. (Если рассматривать многообразие /\ то они могли бы быть базисом и дуальным базисом внутри 也「но произвольными вне %)• Имеем
(2・4・9) 凰 Рас-
(2.4.10)
(2・4・9) 凰 Рас-
(2.4.10)
udada = U да»
(Суммирования по i нет.) Для каждой валентности смотрим совокупности
友：：：2祖
(где число индексов а, ...» у равно р, а число индексов X,...
..t# V равно д), классы u-эквивалентности которых определяют произвольные множества 紋+^ элементов из S(u). Рассмотрим также соответствующие тензоры типа II
右二 J :联...6融...也 (2.4.11)
[ср. с величинами (2.3.14), элементами модуля ®i.7.'v(u/J- Для каждого j вместо i мы тоже можем рассматривать еовокупности вида (2.4.10) и тензоры вида (2.4 11). Чтобы две такие совокупности (2.4.10) были совместимы^ мы потребуем, чтобы закон (2.3.24) классического тензорного преобразования выполнялся в «области перекрывания»:
上友:::：=uuh::: A ...(2.4.12)
где
8； =(i, j=0, 1,, m).(2413,
(В связи с наличием п + 1 одновременных координатных систем мы здесь не пользуемся обычной системой обозначений для индексов компонент в различных системах.) Условия совместности (2.4.12) гарантируют, что в области перекрывания соответствующие тензоры (2.4.11) удовлетворяют соотношению
»加：：：)=£友••门 (2.4.14)
[формулы (2.4,11), (2.4.9)]. Тензор типа III состоит из одной совокупности (2.4.10) 渺+。элементов из каждого модуля ®(«)®(и), причем эти совокупности связаны одна с дру
гой соотношением (2.4.12).
— Чтобы показать эквивалентность этих трех типов тензоров (при заданном базисе), опят瓦 как н в § 3, рассмотрим три отображения (Пь->1), (It—>III), (III>—>П), первое из которых приписывает каждому тензору типа II единственный тензор типа I, и т. д.; затем мы показываем, что каждая из трех циклических перестановок указанных отображений дает тождество. Отображения, с которыми мы имеем дело сейчас, тесно связаны с отображениями § 3. Отображение (Пь-> I) в действи тельности то же самое, а именно задаваемое формулой (2.2 17). Чтобы определить отображение (Ii—» III), мы должны лишь конкретизировать для каждого модуля ®(и) компоненты поли-
i
линейного отображения 4；：：：： стандартным путем [формула (2.3.13)]“
尢二7 =燈：：厩…^乱••；：,(2.4.16)
причем класс u-эквивалентности независим (ввиду полилинейности) от частного представителя (2.4.8) базиса и дуального Оазиса в &°(〃)・[Это можно показать, взяв произведение вели-
чины (2.4.15) с〃н заменив и каждым базисным элементом по очереди.] Ясно, что условие совместности (2.4.12) выполняется [в силу (2.4.9)], и, таким образом, мы имеем единственный тензор типа III. Определим затем отображение (III i—> П). Как и в случае (2.4.11), пусть каждой совокупностью &：：：： определяется соответствующее отображение Af：：：X； положим
О 0m m
&：：： ? = 〃&二 ^+.^+uAl：：：l(2.4.16)
Поскольку каждая совокупность (2.4.11) представляет собой линейную сумму тензорных произведений, как в (2.4.16), тензор типа II тем самым определен. Все три необходимые отображения теперь конкретизированы.
Утверждение, что отображение I *—> III н-> п н-> I приводит к тождеству на множестве тензоров типа I, фактически получается так же, как и в (2.3.15), за исключением того, что теперь в исходном выражении появляется сумма £Uo〃(*・.)・ Для каждого i разложим векторы Q^,・•・,IF* на их компоненты QaWv относительно базисов в ^^。(么)，・・・,冬”°(〃), замечая, что
Ка = К£ пает 咻Q = 〃Qq,(2.4.17)
uWa = uWak дает 沁『=£犷上(2.4.18)
Используя на заключительном шаге (2.4.4), мы получаем то же самое окончательное выражение, что и в (2.3.15), которое нужно было доказать. Аналогично, цепочка отображений II >—> I »—> н-*Ш1—>Цприводит к тождеству на тензорах типа II, что устанавливается путем таких же рассуждений, как и в (2.3.17), за исключением использования суммы ^^и(,..). Чтобы получить нужный результат, мы применяем формулы (2.4.17), (2.4.18), (2.4.9) и, наконец, (2.4.4).
Эквивалентность тензоров типов I и II и, следовательно, свойство модуля ©* быть вполне рефлексивным теперь установлены. Тем не менее представляет интерес продемонстрировать, что цепочка III»—>П * [ >~^ III также дает тождество на тензорах типа III, что говорит о том, что «классическое» определение тензоров типа III эквивалентно двум другим. Фактически закон (2.4.12) «классического» тензорного преобразования до сих пор существенно не использовался. Без него же отобра-
жение III»—> II все еще дает нам тензор типа II, но в форме взвешенной суммы тензоров типа III, которые теперь различны в каждой «области перекрывания». Цепочка III»—> II i—> I н->П1 привела бы нас опять к этой взвешенной сумме вместо того, чтобы дать тождество на типе III. Но если предположить выполнение равенства (2.4.12), то данная цепочка тоже даст тождество, поскольку при каждом i выполняется равенство
в силу формул (2.4.12), (2.4.13) и (2.4.4). Таким образом, мы установили полную эквивалентность рассматриваемых трех типов тензоров,
Спинорная алгебра
Для построения спинорной алгебры мы будем пользоваться теорией, рассмотренной в предыдущих параграфах, применяя ее к случаю базисного модуля ©' состоящего из С°°-спин-вектор- ных полей на пространственно-временном .многообразии. Нас также будет интересовать случай, когда ®* состоит из спин- векторных полей в одной точке пространства-времени, так что 咫.становится спиновым пространством в этой точке. Во втором случае кольцо скаляров © представляет собой кольцо комплексных чисел с делением. В первом случае оно является кольцом С°°-комплексных скалярных полей.
Напомним, что имеются три основные алгебраические операции, которые можно совершать над спин-векторами. Это умножение на скаляр [формулы (1,6.1) и (1.6.4)], сложение [формулы (1.6.2) и (1.6.5)] и антисимметричное внутреннее произведение [формулы (1.6.3) и (1.6.6)]. Указанные операции могут выполняться над спин-векторами в произвольной одной точке (так что спин-векторы относятся к одному и тому же векторному пространству Минковского, а именно касательному пространству в этой точке), причем в этом случае выполняются свойства (1.6.8)——(1.6.19). (Эти свойства означают, в частности, что спиновое пространство есть комплексное двумерное векторное пространство.) Мы можем расширить эти операции таким образом, чтобы они применялись к спин-векторным полям на пространстве-времени, просто применяя их к спин-векторам в каждой точке отдельно. Тогда свойства (1.6.8) — (1.6.19) для спин-векторных полей будут сохраняться. Из свойств (1.6.8)—— (1.6.15) теперь вытекает, что ®' является модулем над комплексными скалярами ®. Таким образом, вводя систему меток
2(4 В, С, ... , Z,力°, Bq> • • • > 4，♦ •・)(2.5.1)
мы можем применять теорию, развитую в § 2, и получать канонически изоморфные копии модуля ®\ обозначаемые через 64 ®в, • •Всякий спин-вектор (спин-вектор- ное поле) 乂三⑥* будет иметь образы В w ", хв е ©3,….Как и раньше, мы можем определить дуальные этим ©-модулям модули ©л» ®в> …，®а> … и, следовательно» общие множества вида Sxs, ... , ®в,・・•,&§：：：£, на основе полилинейных отображений (т. е. как классы эквивалентности формальных сумм тензорных произведений.) Рассуждениями § 4 устанавливается, что модуль 0』вполне рефлексивен. Элементы общих множеств ®s и называются спинорами. Однако такие спиноры не являются наиболее общими. Определение общего спинора мы скоро введем. Но сначала исследуем свойства этих частных спиноров.
в-спиноры
Свойства (1.6.16) — (1.6.18) задают внутреннее произведение как (антисимметричное) ©-билинейное отображение из ®* X ®： в ©, так что должен существовать единственный элемент 8лв е ®дв, такой, что
{х,叫=е^дХ^со5 = — {❾，х},(2,5.2)
для всех х» <ow&* причем влв — антисимметричный спинор： 8«в =—电4・(2.5.3)
Величина енз является важным объектом спинорной алгебры. Она играет роль, в чем-то аналогичную роли метрического тензора в декартовой (или римановой) теории тензоров, дднако имеются и важные отличия, связанные с антисимметрией»
Для начала отметим, что еав устанавливает каноническое отображение (фактически изоморфизм) между модулями ©4> &, ... и дуальными модулями ©д, ©в,:
№ _ 乂6 = хлелв.(2.5.4)
(Иными словами, элемент модуля, дуального модулю ©\ отвечающий спин-вектору *, есть {х, }). Для элемента модуля 04 и соответствующего ему элемента модуля ®" будет использоваться один и тот же опорный символ. Таким образом (по аналогии с классическим римановым, тензорным анализом), мы можем рассматривать еде как оператор, «опускающий индекс» спин-вектора 比』в формуле (2.5.4). Утверждение, что отображение (2.5.4) является изоморфизмом, а не просто некоторым гомоморфизмом модулей (не одно-однозначным), следует из компонентной формы (1.6.6) внутреннего произведения:
■ {х,叫=比°® — Md(2.5.5)
(здесь, как и в гл. 1, используется координатная система для спин-векторов в каждой точке); в силу формул (2.5.2) и ⑵5.4) имеем
{х,叫=хв®в = хв®в = Хо®° + к®*(2.5.6)
где х0, xi ——компоненты 1) спинора хв, связанные с компонентами спинора Xs соотношениями
Xq == 比1 х( ^― х^,(2.5・7)
одно-однозначная природа которых очевидна. Таким образом, должно существовать (и быть ©-линейным) обратное отображение из ®s в @4 н должен быть элемент ^'三©4" [формула (2.2.37)], который реализует это обратное отображение:
к" = ел^хд,(2・5.8)
Тот факт, что отображения (2.5.4) и (2.5.8) являются обратными друг другу, может быть выражен равенствами
8438cB === 6д> еЛВ8лс = бс(2.5.9)
(где рассматриваются отображения @л--► SB^-.SC и SB --> ®л-> т б соответственно), причем символами дл и 6с обозначен канонический изоморфизм между @л и Sc и между 6^ и Sc, соответственно [формулы (2.2.43) и (2.2.44)]. Но далее мы не будем применять символа 6朱 предпочитая ему 8ЛВ (или
6л = едВ = — g%・(2.5.10)
Фактически мы рассматриваем левую часть первого равенства в формуле (2.5.9) как действие на едв спинора ecs, «поднимающего» его второй индекс, и аналогично рассматриваем левую часть второго равенства, в соответствии с правилами поднятия и опускания индексов (2.5.4) и (2.5.8). Мн можем понимать едв либо как еде с поднятым вторым индексом [первое равенство (2.5.9)], либо как 8ЛВ с опущенным первым индексом [второе равенство (2.5.9)], Комбинируя указанные две интерпретации спинора е謔 мы видим, что е'в есть спинор ед в, у которого оба индекса подняты, как это и явствует из обозначений. Одним из следствий этого является антисимметрия
g4B = -gB4・(2.5.11)
Соотношение ed = —8n также выражает антисимметрию e^s и g/s. Оно подчеркивает к тому же необходимость оставлять
Напомним, что индексы наших спинорных компонент пробегают значения 0, I или О', 1‘, как потребуется в дальнейшем), а ие 1, 2. Эти индексы визуально напоминают используемые нами для базиса символы о и ц
пробелы в рядах спинорных индексов. Для каждого нижнего индекса должно быть свободное место вверху, чтобы его можно было однозначно поднять, а для каждого верхнего индекса должно быть место внизу, на которое его можно было бы однозначно опустить.'
Объединяя различные наши соотношения, получаем
едввсв = — гАВгвс = евлевс = — евлвсв = %с = — всл,(2.5.12)
^а^вА = ^в,喊％/ =啖".(2.5ЛЗ)
Ввиду антисимметрии величин 8 мы должны быть внимательными при поднимании и опускании индексов, чтобы правильный индекс у символа 8 понимать как полученный в результате свертки. Таким образом,
喊4 = SAB^B = 一 ^^,(2.5.14)
喊 в = ^А^ав = — zba^A^(2.5.15)
Мы можем связать соотношения (2.5.14) и (2.5.15) с (2.5.13) спинорной «пилой»:
% •• 4 ••• 4 = —X 4 … л -(2.5.16)
Знак минус и здесь появляется как следствие антисимметрии спинора е. Один из способов запомнить расстановку знаков в равенствах (2.5.14) и (2.5.15) — просто запомнить знаки в равенстве (2.5Л0) и воспользоваться упомянутой «пилой».
Как и в формуле (2.5.6), можно записать внутреннее произ
ведение:
｛叫 叫=х^®^ — ^~ х^©д*(2.5.17)
Окончательное соотношение (1.6.19) имеет теперь вид
хд®лтв + ®лтлхв + т4K*е>в = 0.(2.5Л8)
Другим способом это может быть выражено как
(办 в%" + £вс〃° + ^ca^bd) ^а^с = 0(2.5.19)
для всех х, ю, т； следовательно [формула (2.2.40)],
Елв%° + sbc^ad + еслев^ =。・(2.5.20)
Опуская индекс D, получаем важное эквивалентное тождество eABeCD + ^BC^AD + ^СА^ВО ~。・(2.5.21)
Подняв же индекс С в формуле (2.5.20), получим
%%в° — eBcexD = ^ab^d-(2.5.22)
ОтсюдаОтсюда*ЙМВ — 6^34 = е^С^АВ.*ЙМВ — 6^34 = е^С^АВ.(2.5.23)(2.5.23)
Отсюда
Отсюда
*ЙМВ — 6^34 = е^С^АВ.
*ЙМВ — 6^34 = е^С^АВ.
(2.5.23)
(2.5.23)
[получается путем свертки обеих частей равенства (2.5.22) с ^сп]. Таким образом, если спинор ^^в кососимметричен по индексам А, В (巾图^ =-打ва)> т0
+@4В =£ ^ЯСС®4В-+@4В =£ ^ЯСС®4В-(2.5.24)(2.5.24)
+@4В =£ ^ЯСС®4В-
+@4В =£ ^ЯСС®4В-
(2.5.24)
(2.5.24)
[Очевидно, что полученное соотношение применимо и в том случае, когда индексы А, В не являются смежными; к примеру, если спинор + 修力留в, кососимметричен по Д, В, мы можем ввести
спинор ^^лв :=巾《4留в& и применить к нему формулу (2.5.24) J Отметим, что частным случаем равенства (2.5.24) является пропорциональность всех антисимметричных элементов модуля ©дв спинору 8дв. Отметим, что мы можем поднять индексы А, В в формулах (2.5.23) и (2.5.24) и получить указанные результаты в другой форме. Отметим также, что ^^-свертка (2.5.20) дает
&/ = 2 = —е%・&/ = 2 = —е%・(2.5.25)(2.5.25)
&/ = 2 = —е%・
&/ = 2 = —е%・
(2.5.25)
(2.5.25)
[В силу равенства (2.5.10) данным соотношением выражается двумерность спинового пространства.]
Комплексное сопряжение
Спинорная алгебра, которой мы занимались до сих пор, сама по себе полна, но она не совсем удовлетворительна с точки зрения физики. Мы хотим, чтобы в нашу спинорную алгебру была включена алгебра мировых векторов и мировых тензоров. Это невозможно в рамках развитой теории. Основную причину такого положения вещей можно усмотреть в формуле (1,2.15) для компонент мирового вектора, выраженных через компоненты спин-вектора: в нее должны входить комплексно сопряженные компоненты спин-вектора. Таким образом, для включения мировых векторов наша спинорная алгебра должна содержать операцию комплексного сопряжения. Мы должны располагать возможностью применять эту операцию к произвольному элементу модуля &. Однако результатом такого применения не может быть другой элемент того же модуля. Действительно, если бы это было так, то элементы модуля 6' должны были бы обладать свойством действительности, Тогда одни элементы модуля 例 были бы действительными, а другие ——чисто мнимыми (например, спин-вектор, равный своему комплексно сопряженному со знаком плюс или минус). В этом случае разные элементы
модуля 0 были бы не равноправны, вследствие чего лоренц- ковариантность алгебраических операций оказалась бы нарушенной. (Мы видели в гл. 1, § 4, что два произвольных спин- вектора в одной точке могут быть переведены один в другой путем преобразования Лоренца.) Таким образом, объект, комплексно-сопряженный элементу хл ®А, должен быть объектом нового типа. Обозначим операцию комплексного сопряжения чертой и запишем —
万=又无已®1' (2.5.26)
для спинора, комплексно-сопряженного!) спинору хА. Метка Af может рассматриваться как комплексно-сопряженная метке А. Следовательно, в дополнение к множеству меток 2 (2.5.1) мы имеем другое множество Sr меток, комплексно-сопряженных меткам множества 2,
2' = (&, В- С「・・・，Z', 4,反，・・・，4,・••)・ (2.5.27)
Множество(5"' рассматривается как комплексно-сопряженное множеству Операции сложения и умножения на скаляр в множестве &" определяются требованием
九％4 + 卩(о" = тл <=>Ххл/ + 户而"'=大勺 (2.5.28)
где X, ц ^ @, а X, ц — величины, комплексно-сопряженные величинам 入，卩 в обычном смысле. Нетрудно убедиться [формула (2.2.3)], что множество &"' будет в этом случае также ©-модулем (поскольку алгебра комплексных скаляров операцией комплексного сопряжения переводится сама в себя), и модуль &*' будет антиизоморфным модулю ^, причем указанный антиизоморфизм выражается соотношением (2.5.28). Как и в (2.5.26), обратное отображение из ⑥”’ в ®л также обозначается чертой над всем символом; таким образом, мы имеем
誣=TД 九力1 + ц®л =入又"，+户而丝 (2.5.29)
Воспользуемся обоими ©-модулями &* и &"' дл兄 того, чтобы образовать нашу спинорную систему способом, указанным в конце § 2. В дополнение к ©-модулям ®В, ®С,
@^\ ..каждый из которых канонически изоморфен модулю ®А, мы будем располагать ©-модулями &' , ®С\ &', •・
®ш\ ..., каждый из которых канонически изоморфен модулю &4' и канонически антиизоморфен модуле @А. При любом X^S элемент, комплексно-сопряженный элементу Vх 巨 0х, есть Vх'巨 Sx\ т. е. комплексное сопряжение соответствующим образом коммутирует с перестановкой индексов. Всякое множество •'・ будет иметь дуальный S-модуль &『• Каноническим антиизоморфизмом между &* и g* индуцируется канонический антиизоморфизм_между &х и Szs при котором элемент тх отвечает элементу т^ = тхч определенному соотношением
大X，又 * = TхYХ， (2.5.30)
причем черта в правой части означает обычное комплексное сопряжение скаляров. Имеем
九aх +卩вх =2ах+ 口Bх,我=e片 (2.5.31)
[в силу формул (2.1.28) и (2.1.29)] как выражение указанного антиизоморфизма.
Общий спинор “J..n…* валентности I $J, определим как S-полилинейное отображение из@л X - - • Х®о X Х^Х • X^r^X^lX • Х^ Х^ X Х©^в®, или, что то же самое, как классы эквивалентности формальных сумм и формальных произведений. Мы можем, повторив рассуждения § 4 с небольшими усложнениями в обозначениях, установить, что свойство модуля быть вполне рефлексивным сохраняется не только для модуля 0力,но и для обоих модулей(54 ®л\ взятых вместе. Подмножества {Д,D}, {L, N} множества 咬
и подмножества {Р‘，•••，A'},(U* ...» Wf} множества Sf (соответствующих кардинальных чисел р, г, g, s) все отделены друг от друга. (Множества 2 и 2‘, очевидно, во всех случаях отделены друг от друга.) Одна и та же буква может фигурировать и в нештрихованном, и в штрихованном варианте. К примеру, допустимым является спинор Фдвд^' (не содержащий никакой свертки). Множество спиноров х^... у/...… …обозначается символом "
Как и в § 2, определены следующие четыре операции: сложение, тензорное произведение, замена индексов и свертка. Но теперь у нас есть и новая операция, а именно комплексное сопряжение, индуцируемое антиизоморфизмом между &* и &"'・ Чтобы найти спинор, комплексно-сопряженный спинору ^l... ufA'"p/ '"> используя определение полилинейного отображения, возьмем величину, комплексно-сопряженную результату отображения, и заменим каждое из множеств ®л> …，&"，… соответствующйм к&мплексно-сопряженным множеством©45 • • •»
•・ р…g(§£：£：：： как полилинейное отобра-•・ р…g(§£：£：：： как полилинейное отобра-AfAfмент 在，.. жениемент 在，.. жение®", • ••・ Яено, что ©писанная процедура определит нам эле
•・ р…g(§£：£：：： как полилинейное отобра-
•・ р…g(§£：£：：： как полилинейное отобра-
Af
Af
мент 在，.. жение
мент 在，.. жение
(2.5.32)
где длинной чертой обозначено обычное комплексное сопряжение скаляра.
Подведем итог сказанному о различных спинорных операциях и их основных свойствах. Сложение приписывает структуру абелевой группы всякому множеству спиноров &雇(скажем, ^ = А ••. О' ... G* ... Г* ...). Тензорное произведение есть отображение из ©л Х®^ в @《齎 для каждой пары спинорных множеств @4，®^, где 城 н 爲 не содержат общих индексных меток (метки Л, 4‘, В, В',.・• все рассматриваются как различные, а метки Л и Л* или В' и 8餐 и т. д. — как дуальные). Оно коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Частным случаем тензорного произведения, когда одно из спинорных множеств есть ©, является умножение на скаляр. Эта последняя операция вместе с операцией сложения приписывает структуру ©-модуля всякому спинорному множеству 后雇. Замена индексов индуцируется в том случае, когда к двум наборам меток 宅 н 2’ применяются какие-либо отдельные перестановки. Таким образом, мы можем заменить один набор не- штрихованных меток другим набором нештрихованных меток и один набор штрихованных меток другим набором штрихованных меток, но мы не можем заменить штрихованные метки нештрихованными и нештрихованные — штрихованными. Справедливость любого уравнения не нарушается, если всюду в этом уравнении совершена операция замены индексов. Операция (у} свертки отображает каждое множество S/л в ©л («^ — произвольная собирательная индексная метка, не включающая X или У). Далее, (?)・свертка, скажем, величины Фхгл записывается как 屮底犬* или 屮4丿 или ^Mz, где Z — произвольная не- штрихованная метка, не содержащаяся в 糜；I у 1-свертка выражения 屮/丿 + 力仙犬 есть 屮雇』+ 6,丿，а ( у ^-свертка выражения %留屮必，есть %留屮雇J (° е・ свертка коммутирует со сложением и обычным путем с тензорным произведением); -свертка
выражения 彌廿"равна (；｝свертке выражения Q^v^x и записывается как 貶и』* (свертки коммутируют с другими свертками); (у ^-свертка выражения 也“。』приводит к тому же самому результату, что и операция замены индекса 加一＞ 加山
примененная к 也,产примененная к 也,产У J-свертка выражения 2,』приводит
примененная к 也,产
примененная к 也,产
к тому же самому результату, что и I „ 1-свертка спинора 电J (т. е. свертка соответствующим образом коммутирует с операцией замены индекса). Существует также операция I ^, 1-свертки, удовлетворяющая соответствующим правилам. Кроме того, (； ^-свертка спинора 鼠?尸* равна (；｝свертке
спинора 鼠*」"и обе операции записываются как 鼠犬，尸* или Е｛х‘уХ'У и т. д. Наконец, комплексное сопряжение представляет собой отображение из каждого множества ©л в соответствующее множество ©л7» причем если 加=4 ... Dz... G* .../*..., то 加‘ =4’ ・・・ D ・・.G"・・・ J* ・•・.Величина n^, комплексносопряженная величине п“, записывается как »,” и в случае скаляров соответствует обычному определению комплексного сопряжения. Когда операция комплексного сопряжения применяется дважды, исходный спинор восстанавливается: П《 = П,
(инволютивное свойство). Имеем 期雇 + 詳三 П#+Е#； Р%#=П，戈好；
далее,笃雇。есть результат замены индекса 城'f 加：，выполненной в 办,；наконец, флхх = фЛ/ХЛ (т. е. комплексное сопряжение коммутирует со сложением, тензорным произведением и соответствующим образом с заменой индекса и сверткой).
Поскольку замена штрихованных индексов нештрихованными (и наоборот) не допустима, относительный порядок следования штрихованных и нештрихованных индексов внутри символа одного спинора не имеет значения. Иногда бывает удобно, пользуясь этим, перемещать штрихованные и нештрихованные индексы без изменения смысла всего символа. Такая операция может быть произведена независимо от того, находятся индексы в верхнем или в нижнем положении. Следовательно, если один из индексов штрихованный, а другой ——нештрихованный, то допустимо располагать эти индексы прямо один над другим.
К примеру,
…bQ = Флл%^ =也％Q/，=吸鍔，旷408，(2.5.33)
Для элемента елве©лв существует комплексно-сопряженный ему элемент ®а'в'巨 &4'в'・ Принято опускать черту и записывать этот элемент просто как е^'в'，(Мн можем не считать это как нарушение принятых обозначений. Символ ёд^* по-прежнему правильно обозначает величину елв. Мы просто ввели новый символ Bvb‘ 一 на что мы всегда имеем право при условии, что это не приводит к разночтениям ——который тоже означает елв.) Изоморфизм между 0х и ©в, осуществляемый элементом 8лв, индуцирует теперь через операцию комплексного сопряжения изоморфизм между @" и &^9 осуществляемый элементом ^в* Фактически это означает, что 以％' вместе со своим обратным е*з'(=У' = &^) может использоваться как оператор опускания и поднимания штрихованных индексов. Соответствующие формулы во всем1 идентичны формулам (2.5.8) —(2.5.16), кроме того, что содержащиеся в них индексы — штрихованные. Таким образом, в частности,
ев^ = — %в， М"' = — е"8',(2.5.34)
У&4 喏 в/' = %%，^^ = ^B/r(2.5.35)
%% = ^fB，^Bf = — %% 由"％(2.5.36)
比哈=产"‘因廿=一包5炉"(2.5.37)
и (свойство «пилы»)
%…4' = — %•*• 4’…* . (2.5.38)
Кроме Wro, справедливы все соотношения, комплексно-сопряженные Соотношениям (2.5.18)—(2.5.25), что приводит к соответствующим вариантам формул с штрихованными индексами.
Правило, позволяющее определить, является или не является символ X；;; с индексами допустимым спинорным символом, такое же, как и в том случае, когда им<еется только один исходный модуль, а именно: верхние индексы должны быть различными (как мы уже подчеркивали ранее, метки А, А\ В, В' все считаются различными) и нижние индексы должны быть различными. Символ х；* представляет элемент того спинорного множества ©；；；, для которого последовательности верхних и нижних индексов те же самые, что и для 匕二，но в этих последовательностях дважды повторяющиеся (свернутые) верхние и нижние индексы опущены.
Спинорные базисы
В гл. 1 [формула (1.6.22)] было введено понятие спиновой системы отсчета. Такая система отсчета представляет собой пару спин-векторов о, t, нормированных условием {о, i} = 1. В силу формулы (2.5.17) это условие мы можем теперь записать в виде
олИ=1,(2.5.39)
или, что эквивалентно,
jo" = — 1.(2.5.40)
Ввиду антисимметрии внутреннего произведения мы имеем также
олоА = 0 = 1дИ.(2.5.41)
Пусть 乂力已®土 Мы видели [формула (1.6.24)], что вследствие тождества (1.6.19) [т. & (2.5.18)] условие нормировки (2.5.39) означает, что
В = х°ол + 乂％4(2.5.42)
где
х° = — 1дХ4, х = ОдХл.(2.5.43)
Более того, любая пара х°, х1 м®, для которой выполняется равенство (2.5.42), должна задаваться формулой (2.5.43), что следует из соотношений (2.5.39) — (2.5.41) после свертки обеих частей равенства (2.5.42) с од и 以・
Таким образом, существованием и единственностью соотношения (2.5.42) устанавливается, что пара ол, 1Л образует базис в ®А. Условие нормировки (2.5.39) само по себе является достаточным для того, чтобы сделать указанный вывод, как мы только что видели. Если мы воспользуемся результатами по параллелизуемости, упомянутыми выше в § 3 [см. также формулу (1.5.6)] (предполагая некомпактность пространства-времени), то можем получить, что поле спиновой системы отсчета существует глобально, так что условие о^И = 1 действительно может выполняться для некоторых ол, 1Л е ®А. Очевидно, что если нас интересуют спиноры в одной точке или спиноры в некотором достаточно малом открытом подмножестве пространства-времени, то мы можем предполагать наличие спиновой системы отсчета ^. И только когда мы рассматриваем топологическую структуру пространства-времени как целого, глобальное существование спиновой системы отсчета может оказаться под вопросом.
Часто бывает удобно (как в § 3) применять единый символ €а* для обозначения базиса в ©А. [Использование буквы «е», а не《6》, согласуется с равенством (2.5.10).] Тогда мы можем положить
еол = ол; е/ =(А (2.5.44)
Компоненты спинора едв относительно данного базиса равны
6ав едв8АЛ®вВ = ( — % ° )(2.5.45)
гдегде% = елвол1в = оЛ1л,% = елвол1в = оЛ1л,(2.5.46)(2.5.46)
где
где
% = елвол1в = оЛ1л,
% = елвол1в = оЛ1л,
(2.5.46)
(2.5.46)
Таким образом, условие, эквивалентное условию нормировки (2.5.39) для спиновой системы отсчета, заключается в том, что компоненты еАВ величины &дв должны образовывать обычный символ Леви-Чивиты. Очевидно, что любой базис нетрудно преобразовать в спиновую систему отсчета, если оставить 8ол без изменения, а в/ заменить величиной х"1е1л- Более общий спинорный базис, для которого величина % не обязана быть единицей, будет называться здесь диадой.
Дуальный базис елА должен удовлетворять соотношению
(2.5.47)(2.5.47)
(2.5.47)
(2.5.47)
(так что едв есть фактически кронекеровскйй дельта-символ 6^)% Компоненты еАВ величины е”в должны удовлетворять соотношению еАВесв = есА [формула (2.5.12)]; таким образом, для общей диады
еАВ = (_х-> о(2548)
Сравнивая (2.5.47) с (2.5.39) — (2.5.41), мы видим, что если базис является спиновой системой отсчета, то
^а = — М> е/ = Од-(2-5.49)
В общем случае
〃° =—旷％，^а\ = ^{^(2.5.50)
Это согласуется с формулой (2.5.43) для компонент хА = хАелА спинора хл в некой спиновой системе отсчета. Компоненты
«о = «дол» %1 = хл1л(2.5.51)
спинора хд в данной спиновой системе отсчета связаны в этом случае с компонентами спинора хА формулой (2.5.7), т. е.
«0= — 4,= х°.(2.5.52)
Заметим, что для некой спиновой системы отсчета
бод = Од = — ело, еи = 1Л == — еЛ1,
еол = И = — ело,е1Л = —ол= — е 叫(厶3力引
Далее, формулы е<в = ^8^/%% едв =едвеААевВ» едВ==8дА8АВ могут быть представлены в виде
g48 _ о&В 一 iAoBt 8ЛВ = ОЛ1В — 1ЛОВ, 8лв = 0$F 一 1д0В (2.5.54) в спиновой системе отсчета оА, 1Л; а в произвольном базисе е”в = X-1 (о&в — "), %в = %(ол1в — 1лов), ej =。炉—1лов.
(2.5.55)
Единственное требование, которому должны удовлетворять ол, И е ©А, чтобы они образовывали базис в ®-4 (не обязательно спиновую систему отсчета), заключается в том, что они должны быть линейно-независимы во всех точках, т. е. ни в одной из точек один из спиноров не должен быть кратен другому. Другим путем это можно выразить так: величина х = Од1л [формула (2.5.46)] не должна нигде обращаться в нуль (т. е. существует %-i). Действительно, если ол, 1Л образуют базис, то компоненты спинора 8лв в произвольной точке не могут все обращаться в нуль (поскольку спинор 8дв нигде не обращается в нуль), а потому из (2.5.45) следует х =# 0 в произвольной точке. Обратно, из (2.5.41) очевидно, что величина % = о^И должна обращаться в нуль в каждой точке, в которой один из спиноров оЗ tA кратен другому. Мы можем установить следующий тесно связанный с нашими рассуждениями результат:
Предложение
Условие алрл = 0 в некоторой точке является необходимым и достаточным для того, чтобы ал, рл 8 этой точке получались друг из друга путем умножения на скаляр ^,(2.5.56)
Следовательно, во всякой точке, в которой ал =0=/= РЗ скаляр адРл обращается в нуль при необходимом и достаточном условии, что направления флагштоков спиноров аА и ₽л совпадают.
Это пример результата, который неудобно формулировать, пользуясь просто свойствами модуля 例 спин-векторных полей и не упоминая точек. Действительно, если ал обращается в нуль в одной области, а Рл обращается в нуль в другой области, но алрл = 0 всюду, то ни ал, ни Рл не является произведением другого на элемент из ®. В то же время спинор Ха" + 卩0" обращается в нуль при некоторых 儿 卩 w 0, причем 久次 0 吸阳 но этого недостаточно, чтобы заключить, что а^Р' = 0, поскольку может существовать область, всюду в которой и X, н ц равны нулю.
При заданном базисе едА в <5А наиболее естественно выбрать в качестве базиса в &'' базис, состоящий из элементов, комплексно-сопряженных элементам еАл; именно так мы всегда и будем делать. Предположим, что едл — спиновая система отсчета и что пара оА, И .задана формулой (2.5.44). Можно написать
(2.5.57)(2.5.57)04，=6力，=oл = gqM； (4, = (4, =7^ = g]м；
(2.5.57)
(2.5.57)
где, как и раньше, в случае ^в1 мы ввели новые символы о" и 伍‘，чтобы уменьшить число черточек в выражениях. (Иногда бывает целесообразно опускать индексы при записи некоторых выражений. В таких случаях черточки следует восстановить,) Дуальный базис еЛ/А，связан с 8厶，"соотношением
едЛвдЛ = еАЛ (2.5.58)
и мы имееми мы имеем以月=_l£,%/'=0h以月=_l£,%/'=0h(2.5.59)(2.5.59)
и мы имеем
и мы имеем
以月=_l£,%/'=0h
以月=_l£,%/'=0h
(2.5.59)
(2.5.59)
Отметим, что (в случае спиновой системы отсчета)
(2.5.60)(2.5.61)(2.5.60)(2.5.61)Оа^А = 1 = — 1ЛЮЛ/.Оа^А = 1 = — 1ЛЮЛ/.%，В' = (_；；) = №%*(；；)，
(2.5.60)
(2.5.61)
(2.5.60)
(2.5.61)
Оа^А = 1 = — 1ЛЮЛ/.
Оа^А = 1 = — 1ЛЮЛ/.
Компоненты произвольно заданного спинора %^丿：二彳二：полу- чаются путем свертывания с элементами базиса (не обязательно нормированного):
…К …—％0・・・К…J电"'BG • ' • ек * ' '~・D・Q/J
Восстановление спинора по его компонентам осуществляется при помощи формулы
%GL.. К …—W... K...fcA * e * eDz ，* ••・・ X * ' ' ' 1厶・53 丿
Как и в общем случае с тензорами, все операции сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертывания коммутируют с операцией взятия компонент. Операция комплексного сопряжения также коммутирует с операцией взятия компонент, т. е.
唸二.%'：：：=霜二*二(2.5.64)
(напомним: базис в g'' выбран так, что он комплексно-сопряжен базису в 0х), причем черта в левой части равенства означает, что1 комплексное сопряжение применяется к каждому скаляру последовательности, а черта справа — что операция комп-
лексного сопряжения применяется к спинору самому по себе до вычисления его компонент. Из равенства (2.5.64) мы видим, что в соотношениях для компонент спинора, содержащих черту сопряжения над всем символом (и только в этих соотношениях) необходимо считать, что А = А', В = В' и т. д. численно. Следовательно, важно избегать употребления сразу обоих индексов А н А' или обоих индексов В и В' н т. д. под знаком черты сопряжения. Однако в силу равенства (2.5.64), вообще говоря, можно, обходиться без символов с чертой сопряжения над индексами I).
Компоненты произвольного спинора, содержащего только нижние индексы, могут быть получены путем умножения на о", 1Л, о"', I”' для каждого численного индекса 0, 1, О', Г соответственно, так что это нетрудно запомнить. Например:
也)11付=^abcd'e'^b^d'ob，• (2.5.65)
В случае спинора, содержащего некоторые верхние индексы, мн можем вспомнить, что при наличии спиновой системы отсчета выполняются равенства
(2.5.66)(2.5.66)
(2.5.66)
(2.5.66)
после чего применить (2.5.65).
Посмотрим, наконец, как компоненты спинора преобразуются при изменении базиса [формулы (2.3.22) — (2.3.24)]. Пусть еАА и е^л — два базиса в ®л. Далее, пусть £幺厶 и е^ — соответствующие дуальные базисы и пусть 幺严，5* и 抬儿 елЛ 一 соответственно комплексно-сопряженные базисы и комплексносопряженные дуальные базисы. Введем матрицы
вАл = %%/， ехА =毁仆/, (2.5.67)
еА/^ =纟人甸**，ву,А = е^л，ел,А，. (2.5.68) Мы видим, что матрицы %" и ejA обратны друг другу, тогда как 8а’"' н 8*а‘ суть матрицы, комплексно-сопряженные ука-
1) Например, мы имеем иАВ' = йл в = йРА и d" = Y" = Y竺 Но запись 〃аа' = @аа будет дезориентировать, так как, скажем, W壬/叫 поэтому мы пишем %ав •= wBA\ откуда получаем верное выражение 〃"' = ulQ\
занным двум матрицам. Свернем теперь (2.5.63) с соответствующим базисом eq", дуальным базисом е^* или базисом, комплексно-сопряженным по отношению к данным. Получим
у А ... D' ♦ ♦ ♦ —— “А . ♦・ Dz • • >0 A q D‘ a G' с К /О К АО、 '&…R …К ...A • • • “А • • • Б^ * * * к • • • ' {/・Q・QY 丿
Соотношение (2.5.69) задает закон преобразования компонент спинора при преобразовании одного произвольного базиса в другой. Обычно нас интересует только тот случай, когда оба базиса образуют спиновые системы отсчета. В этом случае каждая из матриц еАВ и ejg совпадает с символом Леви-Чивиты [формула (2.5.45) при % = 1], и мы получаем
1 = €6f = еАье7А8?в = det (ехА), (2.5.70)
откуда вытекает, что комплексная матрица ejA является унимо- дулярной. Таким образом, она представляет собой спин-матрицу, и, следовательно, то же относится к матрицам еА^, ерА и %,*. Соотношение (2.5,69) дает теперь обычную форму закона преобразования для компонент спинора.
3
Спиноры и мировые тензоры
§ 1・ Мировые тензоры как спиноры
В данном параграфе мы покажем, что мировые тензоры и, в частности, мировые векторы могут рассматриваться как частные случаи спиноров. Тем самым алгебра мировых тензоров окажется включенной в спинорную алгебру, рассмотренную в гл. 2, § 5. Указанное включение одного типа спинорной алгебры в другой представляет собой частный случай процедуры, описанной в гл. 2, в конце § 2. Соответственно этому индексные метки включенной системы представляют собой собирательные индексы, построенные из определенных групп меток исходной системы, объединенных вместе. В том частном случае, которым мы здесь будем заниматься, метки мировых тензоров будут образовывать пары спинорных меток, одна из которых нештрихованная, а другая — штрихованная. Это видно из формул (1.2.15) и (1.2.23), выражающих компоненты мирового вектора через компоненты спин-вектора. Компоненты мирового вектора билинейны по компонентам спин-вектора и по комплексно-сопряженным компонентам спин-вектора.
Определим набор меток мирового тензора
т {а, Ь, с,• • •» а” ♦••},(3.1.1)
исходя из спинорных наборов меток 2, Sf [формулы (2.5.1), (2.5.27)], где
а = ЛЛ7, Ь = ВВ\ с = СС\ ... z = ZZ',
% ==力。力о，• • •, а〔 = 4力[,♦・.•(3.1.2)
Тогда, к примеру, мы сможем пометить спинор (2.5.33) следующими различными способами:
联%&Q =屮%&Q =屮%Q =屮"4Q =也中鼠(3.1.3)
Мы «е принимаем здесь правила (обычного в общем случае собирательных индексов), гласящего, что собирательные индексы должны включать индексы одного сорта, встречающиеся в выражении. Действительно, принцип группировки весьма опреде-
не может,свернутых(3.1.4)не может,свернутых(3.1.4)ленен, так что никакой неоднозначности возникнуть К примеру, каждое из последующих эквивалентных выражений
не может,свернутых
(3.1.4)
не может,свернутых
(3.1.4)
也笃&Q =巾4"『=也%Q =屮4"九及
может применяться с одинаковым успехом, и опять-таки
М备尸=%' = W/6 = — 吋％ = 一 吋％у.(ЗЛ.5)
Некоторые спиноры могут быть полностью помечены элемен тами из 加：
A p...r —%PP…RR，— ％P・・・R卩…RJ 9・12丿
Они принадлежат спинорным наборам S, 6@, Sb, ..., Sa, •・• 剪?。，・・・，где 守=gA", Sb = ® BF一 ・•，也=Saas...,蜕?』
L叫叫
=®x х。 ，• Такие спинорные наборы играют особую роль, поскольку при операции комплексного сопряжения они переводятся сами в себя. Мы будем называть элемеитха，" ^>... f из такого набора комплексным мировым тензором. Таким образом, операция комплексного сопряжения для такого спинора
—— ^AfA ... DfD—
(3.1.7)(3.1.7)— *РР …RR' — ЛPfP ...RfR —
(3.1.7)
(3.1.7)
—%PP...RR，— ％*
приводит к другому спинору того *е самого вида. Некоторые комплексные мировые тензоры в действительности будут инвариантными относительно операции комплексного сопряжения; они будут называться действительными мировыми тензорами, или просто мировыми тензорами. (В дальнейшем мы кратко остановимся на вопросе обоснования данной терминологии.) Таким образом, действительный мировой тензор удовлетворяет соотношению
严…％…尸产…J"(3・L8)
Обозначим подмножества @, Sa®x, ..., &片二:，•…состоящие из действительных мировых тензоров, символами 2,堂%・•， ・・・,支х, ••・,汇；二：,соответственно !). (Множество £ представляет собой кольцо действительных скалярных полей на пространстве-времени, или кольцо действительных чисел с деле-
В общепринятой терминологии (см. примечание на 121) комплексные мировые тензоры возникают здесь как тензоры на ©-модуле S ㊁⑥&‘, а действительные мировые тензоры ——как тензоры на ^-модуле своих эрмитовых элементов. Мы говорим здесь «действительный», а не «эрмитов», поскольку тензорное произведение в абстрактных индексах коммутативно. ,
нием, если мы рассматриваем спиноры в одной точке.) Система (2, 2а,支"，•••,支;二：，•…)является тензорной системой, возникающей, как говорилось в гл. 2, § 2, из S-модуля £а. Каждый модуль J；：； представляет собой тогда некоторый S-модуль, а вся система является замкнутой относительно тензорных операций сложения, тензорного произведения, замены индексов и свертывания. Элементы модуля Ja (или £ь и т. д.) называются (действительными) мировыми векторами.
Если ввести действительные мировые тензоры
Sab = елв8л*в/>(3.1.9а)
g/ = g广〃戶，(3.1.96)
gab = zAB^B^(3.L9B)
то в силу свойств (2.5.3), (2.5.9), (2.5.11), (2.5.25) и (2.5.34) будем иметь
gab = gba，gJg叫 gab产=g£ ga 虑 °’= 4. (3.1.10)
Из (2.5.13) и (2.5.35) вытекают равенства
Х^а = ^bSai ^а = ^bg^(3.1.11)
а поэтому ge* играет роль дельта-символа Кронекера. (Мн предпочитаем использовать здесь символ gab вместо 唸 поскольку он согласуется с обозначением gab, а также позволяет избежать возможных недоразумений при введении базисных систем отсчета.) Далее, из (2.5.14), (2.5.15), (2.5.36) и (2.5.37) вытекают равенства
户=%®虑叱 ％% = ^bgab9(3.1.12)
а поэтому gw и 产 играют формально ту же самую роль, что и метричеосий тензор и обратный ему тензор с нижними и верхними тензорными индексами. И действительно» ниже мн отождествим введенные выше gw и gab с метрическим тензором и обратным ему тензором.
При обычном способе описания пространства-времени Л (как в гл. 1) сначала задаются мировые векторы и мировые тензоры. Метрика вводится как особый мировой тензор, определяющий «геометрик» пространства-времени Л. и только после этого дается определение спинора. Более того, чтобы определение спинора было глобально непротиворечивым, пространство- время 4 должно удовлетворять некоторым глобальным топологическим требованиям Цгл. 1, § 5). В этом случае спиноры можно интерпретировать в рамках довольно сложной пространственно- временндй геометрии, хотя при такой интерпретации и остается неопределенность в общем знаке. Мы можем спросить себя: дей-
ствительно ли природа столь сложна? Ведь спинорные поля — это, несомненно, часть природы, описываемой современной физической теорией.
Оказывается, что сложность в значительной степени обусловлена тензорным методом. Если рассматривать (что мы и будем делать в данной книге) спин-векторы как более фундаментальные объекты, чем мировые векторы, как, быть может, нечто более изначальное, нежели сама пространственно-временная структура, из чего эта частная структура может быть выведена, то указанная сложность в значительной степени исчезает. Действительно, если исходить из спиноров, то мы не получим неопределенности в знаке (поскольку знаки являются частью заданной структуры, а не то, что еще предстоит определить). Получающееся пространство-время автоматически оказывается ориентированным в пространстве и времени и наделенным спиновой структурой (эти его свойства представляются весьма желательными в свете многочисленных экспериментальных данных, см. гл. 1, конец § 5). Даже размерность и сигнатура пространства-времени выступают как «следствия» рассматриваемого нами конкретного спинорного формализма. Сама по себе спинорная алгебра отличается определенной простотой. Сложности, возникают, по-видимому, тогда, когда мы пытаемся интерпретировать спинорные операции на основе представления о пространстве-времени. С хорошими примерами этого мы встретимся в § 4.
Спиновые системы отсчета и связанные с ними тетрады
Здесь мы не будем вникать в дифференциальные или глобальные свойства таких систем (спинорные производные отложим до гл. 4). Предметом нашего рассмотрения будет локальная алгебраическая структура, порождаемая наличием спинорной системы. Чтобы непосредственно увидеть, что «мировые векторы», возникающие при таком подходе, являются согласованными («изоморфными») с обычными мировыми векторами, возникающими в теории относительности, введем спиновую систему отсчета оА, tA со стандартной нормировкой
ол1л = 1.(3.1.13)
От^^д^^^отропную тетраду!) мировых векторов /в, па, /и、 та соотношениями
1а = О”О% 也0 =ma =(А% та = 1лод/.(3.1.14)
1) Понятие изотропной тетрады играет важную роль в геометрии Минковского. См., например, [103, 123, 161, 183, стр. 57].
По отношению к нашей метрике gab все перечисленные векторы изотропны:
Г1а = 〃％@ = mame = nfma = 0.(3.1.15)
[Кпримеру, nfma = (о&")(。从以，)=олол1л\л^0; формула (2.5,41)]. q ттар
'ГЧ=1，mama = - 1(3.1.16)
[например, m°me = (ол1л，)(1дол-) = (оА1л) (И од<) = (—1)X(1)=—1]> тогда как другие скалярные произведения равны нулю:
1аша = /в/па = паша = пагпа == 0.(3.1」7)
Очевидно, что мировые векторы /а и па действительны,
1а = 1а,胪=亢*(3.1.18)
a ma и ma комплексно сопряжены.
Изотропная тетрада /а,叫 ma, ma образует базис над © в е。，причем дуальный базис имеет вид 〃@, /а, —me> —me. Из (3.1.15) — (3.1.17) вытекает выражение
gа =也/+ /"-也川一忆血"(3.1.19)
[являющееся прямым следствием (2.5.55) и (3.1.9); см. формулу (2.3.19) и последующие]. Данный базис в ©а представляет собой базис, индуцируемый базисом о* d в 例[формула (2.3.18)].
Чтобы получить базис (над 支)в N из оА и 此 нам нужны действительные мировые векторы. Поэтому me и та следует разбить на действительную и мнимую части. Удобно также образовать линейные комбинации векторов /п и М; напишем
产=-(六 + na)= x°=-^(ma + me) = Уа = -^ (加。—m°)= 弍=表中一*=产=-(六 + na)= x°=-^(ma + me) = Уа = -^ (加。—m°)= 弍=表中一*=丄V2丄？而者丄V2丄？而者(0404，+ 1А1Л/),(0%4 + l"o"),(0404，+ 1А1Л/),(0%4 + l"o"),(3.1.20)(3.1.20)
产=-(六 + na)= x°=-^(ma + me) = Уа = -^ (加。—m°)= 弍=表中一*=
产=-(六 + na)= x°=-^(ma + me) = Уа = -^ (加。—m°)= 弍=表中一*=
丄V2丄？而者
丄V2丄？而者
(0404，+ 1А1Л/),
(0%4 + l"o"),
(0404，+ 1А1Л/),
(0%4 + l"o"),
(3.1.20)
(3.1.20)
Обратные соотношения имеют вид)
丄V2丄V2丄V2，V2-=--六 а« a ^丄V2丄V2丄V2，V2-=--六 а« a ^(3.1.21)(3.1.21)(ta + za) = О%% (片一书=1&% (x«-i^) = oM； (X。+ ig。) = i Vй.
丄V2丄V2丄V2，V2-=--六 а« a ^
丄V2丄V2丄V2，V2-=--六 а« a ^
(3.1.21)
(3.1.21)
Из (3.1.15) —(3.1.17) и (3.1.19) вытекают соотношения ортогональности
广%а =产％ =尸％ = хауа = yaza = 2°%@ = 0(3.1.22)
и нормировки
尸厶=1, хаха = уауа == — L (3.1.23)
(3.1.24)(3.1.24)Далее, (3.1.19) приводит к
(3.1.24)
(3.1.24)
ga = ff — *а/ —勿十—ZeZ
Выписанные соотношения означают, что векторы 片 ха, уа, 2a действительно образуют базис над 支 в £@, причем дуальный базис имеет вид fa, —xa, —у% —厶・ По существу соотношения (3.1.22) и (3.1.23) идентичны условиям (1.1.7) *и (1.1.8) для тетрады Минковского. Положим
go。=产，gj = %@, gT = у° * g3“ = z@ (3.1.25)
gj = -4・ (3.1.26)gj = -4・ (3.1.26)и для дуальных величин
gj = -4・ (3.1.26)
gj = -4・ (3.1.26)
g^ = ta> ёа = — "a，g/= — ％，
Тогда компоненты тензоров gab. 8ab и gab в базисе gj и дуальном базисе g/ в силу формул (3.1,22), (3.1.23) будут иметь
Следовательно, в каждой точке у нас есть стандартное представление множества £“ как векторного пространства Минковского, отнесенного к тетраде Минковского.
Заметим, что мы можем определить временную и пространственную ориентацию пространства Xй, приняв дополнительное цредположение, что тетрада Минковского (3.1.20) — ограниченная (ср. гл. 1, § 1). (В § 2 мы будем использовать несколько отличный и более «инвариантный» подход.) Мы видели в гл. 2, в конце § 5, что замена одной спиновой системы отсчета ол, iA другой, будучи произведена в одной точке, является результатом некоторого спинового преобразования, непрерывного с тождественным спиновым преобразованием. Это показывает, что получающиеся тетрады (З.Д.20) все непрерывно переходят одна в другую — действительно, они связаны в каждой точке соответствующим ограниченным преобразованием Лоренца ~ поэтому получающиеся ориентации пространства £а являются внутренними ориентациями, не зависящими от выбора ол, 1Л.
Пусть Ка е 支叱 Тогда в построенном выше базисе имеем
к* = К*а° =片乎 + к¥ + KV + К%°, (3.1.28) где
№ = К%, К1 = — К%, К2= —к。％, К8 = -К%・ (3.1.29) Поскольку теперь К" = К、" w ④” мы можем также отнести К° к спинорному базису 才=0", eJ = iA
Г=^г^ = ЛлолЧ Y'oW + к4%4 + К" fd =
=k(юr +кW展+ 麼ma + k"而上 (3.1.30) Сравнивая это с выражением (3.1.28) и воспользовавшись формулой (3.1.20), мы получаем после приравнивания коэффициентов при /в, .... та
/Г + ^3 H + iK2、—(不°' №、6lN — i№ 不-№ 丿=[№ k"丿 (3l31)
Заметим, что сигнатура метрики получается автоматически в виде (+, —,—,—).Если бы мы захотели получить для пространственно-временной Метрики сигнатуру (—, +, +, +), то мы должны были бы.пользоваться определением gab = — ^ав^а'в" Однако это привело бы к трудностям в обозначениях для операций поднятия и опускания спинорных индексов..、
Действием группы Лоренца на пространство Ь можно преобразовать произйольный заданный изотропный вектор будущего в произвольный другой. Таким образом, если К。оказался изотропным вектором будущего, то подобно вектору 1а (или ла) выше [формула (3.1.14)] он представляет собой произведение некоторого спинора, скажем хА, со своим комплексно сопряженным, так что Ка имеет вид
不 = m仰丝(3.1.32)
Отсюда, положив
^ = х°, п =(3.1.33)
получим
不°'=霜，К〃' =断，К^ =咕，К"' = пП， (3.1.34) а поэтому равенство (3.1,31) переписывается в виде
где введены обозначения
Т = К°, Х = К* У = №, Z = /f8・(3.1.36)
Соотношение (3.1.35) в точности совпадает с равенством (1.2.23), которое лежало в основе рассмотрения, проведенного в гл. 1. Отсюда вытекает, что если мн исходим из пространства- времени % и его метрики gab и если Л удовлетворяет глобальным условиям, позволяющим строить спиноры, как мы делали это в гл. 1, то метрика g@b, получающаяся из алгебры этих спиноров по формулам (3.1.9), будет той же самой» что и первоначальная метрика gab-
Символы Инфельда — ван дер Вердена
Заметим, что мы позволили себе использовать базис в ®а, отличающийся от индуцируемого нашим базисом в & [формула (2.3.18)]. Часто бывает удобно воспользоваться указанным произволом. Одна такая возможность возникает, когда мы вводим в явном виде действительную координатную систему (炉) в Л. Тогда зачастую удобно выбрать координатный базис d/dxQ, ...» д/дх? для модуля касательного векторного поля к Я. т. е. для модуля 忠。・ В общем случае такой базис не будет иметь никакой связи с произвольным базисом в &. Таким образом, представляет интерес одновременное рассмотрение базисов в £а (или ®@) и в ®\ которые полностью независимы один от другого.
Пусть 8人々 влА — базис и дуальный базис в 例 н пусть, далее, gj и ёа — независимые базис и дуальный базис в £а. Тогда
произвольный мировой тензор можно выразить через компоненты относительно gj или, рассматривая его как %лл, сс?'…『через компоненты относительно едЛ. Взаимосвязь между этими двумя наборами компонент выражается с помощью символов Инфельда — ван дер Вердена, определяемых следующим образом:
(3.1.37)(3.1.37)8产：二孔。%",^вАА-=8АЛеА^ав-
(3.1.37)
(3.1.37)
Отметим, что свертывание осуществляется по индексам а и Л4Л, а по индексам а и АА' свертывания нет. Таким образом, каждое уравнение (3.1.37) эквивалентно 16 скалярным уравнениям. Подчеркнем, что в соответствии с нашими правилами свертывание осуществляется только: а) по идентичным индексам всех типов (например» Bj, &\ D^, Е/, £*дА) и б) по абстракт^ ному собирательному индексу и одной из его неявных составных частей (например, F@G4 FaGAHAf). Мы можем рассматривать символы Инфельда — ван дер Вердена просто как «дельта-тензор» Кронекера gj, у которого каждый из индексов относится к своему (отличному от другого) типу базиса. Из (3.1.37) получаются формулы
%а ... с** - f = %АА<... CC^D，•• PF，^AA，S^g^ ...廃"，(3.1.38)
%AA，...CC，DD'…FF'-yU …％AA，a …gcC&DD'…g『F', (3.1.39)
которые представляют собой в точности частные случаи формулы (2.3.24).
Поскольку мы выбрали g：巨 2е, этот базис является действительным н
gJB' = g^A^A = ffaBA»(3.1.40)
а это означает, что всякая матрица ^*> ・・・， ftAr эрмитова. [Заметим, что в соответствии с соглашением, сформулированным после уравнения (2.5.64), мн избегаем пользоваться двойным индексом АА‘ под чертой комплексного сопряжения в соотношении (3.1.40) и полагаем численно А = А‘，В = В'.] Аналогично, каждая из матриц gAB/°, ・・•, gAr3 эрмитова. Отсюда вытекает, что если 儿 『••」一произвольный действительный мировой тензор, то его спинорные (диадные) компоненты 】)
1) В литературе часто проводится различие между спинорными и диад- ными компонентами [1231，Однако ввиду применения абстрактных меток для используемых нами спиноров здесь в т^ком различении нет необходимости.
6 Зак. Ц4^
должны образовывать эрмитов набор в том смысле, что
%ap，...cr，№W Тра, ... r” •"•(3.1.41)
Условие «действительности» спинора^ х - ==% / •, в общем случае не имеет смысла, поскольку правая и левая его части относятся к несравнимым спинорным модулям (например, ®л и ®*)・ Но в случае спиноров, имеющих валентность типа I ^ , это условие имеет смысл и приобретает важное значение. Напомним, что по определению
поэтому, если
=(3丄42)
то мы получаем
戈 C，D.."B …=%C，D.d ….(3-1.43)
Имеется определенная несогласованность в двух терминологиях, касающихся спинора, который удовлетворяет совершенно эквивалентным условиям (3.1.41) (с действительным ^аа), (3.1.42) и (3.1.43). В то время как из (3.1.41) и (3.1.42) вытекает, что спинор %ud "8 …следует называть «эрмитовым», из (3.1.43) и уже устоявшейся терминологии для мировых тензоров вытекает, что Qd "з …следует называть «действительным». Мы принимаем здесь тот вариант, который представляется нам логически компромиссным, И говорим, ЧТО спинор %c，D ・."В …ар* 附以тоб, а термин «действительный» оставляем для соответствующих элементов %“，…厶力‘… самосопряженных множеств €傀；：：：=®之：；удовлетворяющих равенству (3.L7), т. е.
(3.1.44)
Таким образом, «действительный» означает «равный своему комплексно сопряженному».
Основное уравнение, которому удовлетворяют символы Ин- фельда — ван дер Вердена, представляет собой покомпонентную запись фундаментального соотношения (3.1.9а), т. е.
8аь = ВАвеА，в&АА%вв'，(3.1.45)
(3.1.46)(3.1.46)иди, что эквивалентно
(3.1.46)
(3.1.46)
g雜ar尸&J = 8авеa,Вм
Эквивалентность равенств (3.1.45) и (3.1.46) устанавливается на основе соотношений
«aAAW = ga* gAA，&BB' = ЛЛ. (3.1.47)
Другое уравнение, которое часто используется вместо (3.1.45) благодаря его связи с уравнением для дираковских у-матриц в антикоммутативной «алгебре Клиффорда»)» записывается следующим образом:
«aAvffbBA，+ «ЬАА^аВА，= " еА®^Ь- ⑶ 1 厶盼
Оно получается из (3.1.45), потому что если прибавить к (3.1.45) то же самое уравнение, в котором поменять местами а и Ь, то получится антисимметричное по А и В выражение, свернутое с еАв. Производя затем умножение на 8CD и воспользовавшись (2.5.22), мы сможем перенести нештрихованное s в другую часть уравнения. Это приводит к (3.1.48). Обратно, исходя из (3.1.48) и сворачивая затем с 1/2吸，мы снова получим (3.1.45).
Если воспользоваться стандартной тетрадой Минковского 出，**，* 2% отнесенной к спиновой системе отсчета о", И [формула (3.1.20)], и принять для gaa определения (3.1.25), а для g0a — определения (3.1.26), то мы получим
屮Н方(；；) = gAB,。，产П方(：；) = gAB丿,
g2Al矗У o) — gAB'% 8зАВ「木(I _；) = “， (3.L49)
как нетрудно видеть из сравнения (3.1.31) с К*/'=内"・ Матрицы (3.1.49), если не обращать внимания на множитель 2-1/2, представляют собой знакомые нам спиновые матрицы Паули и единичную матрицу.
лагаялагаяИногда бывает удобно рассматривать базис g@“ в ®а, который обладает тем свойством, что не все его элементы действительны. Такая ситуация может возникать в случае координат^ ного базиса, если используются комплексные координаты в про-
лагая
лагая
8产‘=(:о) = ^ g产=(0 1)=^AB^(o ；) = gAB，2，g3AB =(； o)=8产‘=(:о) = ^ g产=(0 1)=^AB^(o ；) = gAB，2，g3AB =(； o)=страистве-времеии “ Другим примером может служить изотропная тетрада goa = ^а> g「=九％ gz^Hm* g3a = /па; тогда мы имеем:
8产‘=(:о) = ^ g产=(0 1)=^AB^(o ；) = gAB，2，g3AB =(； o)=
8产‘=(:о) = ^ g产=(0 1)=^AB^(o ；) = gAB，2，g3AB =(； o)=
(3.1.50) 8^
Поскольку не все векторы g^ теперь действительны, не все матрицы g0Ar» .・・， ^зАВ должны быть эрмитовыми. В общем случае комплексного базиса gaa в Sa выполняются, как и раньше, все соотношения (3.1.37)—(3.1.48), кроме условия эр- митовости (3.1.40).
Изотропные флагии комплексные изотропные векторы
Выше всякий раз, когда мы хотели интерпретировать спинор (или спинорную операцию) на основе представления о пространстве-времени, мы должны были полагаться на подробное геометрическое рассмотрение, проведенное в гл. .1. Но мы можем выбрать и другой путь рассуждений, основанный на предположении об абстрактном существовании спиноров, образующих алгебру, описанную в гл. 2, § 5. Содержащиеся среди этих спиноров действительные спиноры (§ 1) идентифицируются с мировыми тензорами. Представляется небезынтересным, что при использовании спинорной алгебры можно очень быстро получить геометрическую интерпретацию спин-вектора как изотропного флага на основе упомянутых выше мировых тензоров. Приводимое ниже рассмотрение представляет собой частный случай общего метода интерпретации спиноров на основе мировых тензоров, который будет изложен в § 4.
В дальнейшем предположим для простоты рассуждений, что наборы ©；；； состоят из спиноров, взятых только в одной точке Р £ 4, так что © ^ С< и S4 представляет собой двумерное векторное пространство. Пустьг
力^三®4(3.2.1)
Тогда наиболее простым мировым тензором, который может быть построен из одного лишь спинора хА, будет мировой вектор 不 ="皱勺(3.2.2)
Действительность вектора К@ очевидна; также очевидным является утверждение об изотропности вектора ^, поскольку
ДаЛа = к^к^ = I 乂▲/ F = 0.(3.2.3)
По существу, всякий действительный изотропный мировой вектор имеет либо вид (3.2.2), либо】)вид
优=一z—.(3.2.4)
Этот вывод следует из утверждения о том, что произвольный комплексный мировой вектор %。является изотропным, а именно2)
Х°Ха = 0，(325)
в том и только в том случае, если он представим в виде
婿=州空工(3.2.6)
Действительно, принимая (3.2.6), имеем 乂飞*=甘戈％ если вектор ха действителен. Свертка с 鼠 дает (鼠х*)У = 0. а поэтому в силу (2.5.56) спинор |л должен отличаться множителем от 5 (за исключением случая хА =0). Таким образом, %4 =夕乂4诃*, где q должно быть действительным. Если ^ > 0, мы введем q"A в х4 H получим (3.2.2). Если g V 0, мн введем (—g)U2 и, соответственно, получим (3.2.4). (Если д=0* то мы получаем оба из рассматриваемых выше соотношений.)
Обратно, заметим, что уравнение (3.2.5) может быть переписано в спинорной форме
皿 М'%в* = 0，(327)
левая часть которой представляет собой удвоенный определитель матрицы %аа，(в компонентах: 2严'％屮一2严‘必。).Равенство этого определителя нулю означает, что ранг матрицы %аа‘ меньше 2, т. е. Y* есть тензорное произведение вида (326) двух спин-векторов. (В произвольной заданной спиновой системе отсчета доказанное в компонентах утверждение, очевидно, справедливо. Следовательно, оно справедливо независимо от спиновой системы отсчета.)
Заметим, далее, что наличие спинорной системы порождает абсолютное различие двух изотройных конусов в рассматриваемой точке Р. Действительно, мы можем определить направленные в будущее и направленные в прошлое изотропные векторы как такие, для которых, соответственно выполняется условие (3.2.2) или (3.2.4) (хА ^ 0). Отсюда ясно, что скалярное
Усложнение, которое возникло бы, если бы мы попытались распространить наши рассуждения на спинорные поля, заключается в следующем. Для заданного изотропного векторного поля № в одних областях простраиства- времеин могло бы выполняться соотношение (3.2.2), а в других — соотношение (3.2.4), так что ни одно из указанных соотношений не могло бы выполняться глобально (Для этого поде № должно было бы обращаться в нуль в некоторых областях.)
*) Существует и другая возможность, см. ниже формулу (3.2.25).
произведение двух направленных в будущее изотропных векторов или двух направленных в прошлое изотропных векторов должно быть положительным (либо равным нулю, если они пропорциональны) ,а скалярное произведение двух изотропных векторов, относящихся к различным классам, должно быть отрицательным (либо равным нулю, если они пропорциональны), как это и требуется (гл. 1, § 1). [Указанный выбор согласован с тем, что вектор ta из (3.1.20) является направленным в будущее.] Таким образом, если мы переходим к рассмотрению спинорных полей на 4, то глобальное требование (1.5.1) (выполнение для J? условия ориентируемости во времени) должно выполняться.
Соотношение (3.2.2) показывает, что произвольным отличным от нуля спин-вектором единственным образом определяется направленный в будущее изотропный вектор, который мы называем его флагштоком. При этом, однако, много различных спин- векторов имеют один и тот же флагшток, поскольку мирозой вектор Ка [формула (3.2.2)] допускает свободу преобразований
хА —®£%4(3.2.8)
Чтобы получить более полную тензорную реализацию спинора хл, чем реализация, которая дается формулой (3.2.2), мы можем образовать из хА <квадрат» хАхв. Затем, для того ^тобы штрихованных индексов получилось столько же, сколько и нештрихованных, мы умножим наш «квадрат» на еА^; указанная процедура приведет к комплексному мировому тензору. Чтобы получить из этого комплексного мирового тензора действительный мировой тензор, мы добавим к нему его комплексно-сопряженный:
Рл = v.AvPzKB，+ И^Й^.(3.2.9)
При этом будем иметь
Р04 =戸必==—Р 吗(3.2.10)
Далее, тензор РаЬ «простой», т. е. он представим в виде
pQ = K°d-lK)(3211)
где Le — произвольный векторх) вида
1 = 乂3£ + t能"(3.2.12)
причем
“&電& 0 1.(3.2.13)
1) Определенный таким образом вектор Le ——ие совсем тот же самый, что L из гл. 1, § 4, но ои выполняет аналогичную функцию. Мы можем провести здесь наши рассуждения по образцу рассуждений в гл. 1, § 4 если под £* понимать 2々0包0p)厶
Чтобы убедиться в справедливости соотношения (3.2.11), заме- тим, что, поскольку хд, г4 образуют спиновую систему отсчета, из (2.5.54) вытекает
е^ = хЛтв — тАхв.(3.2.14)
Теперь (3.2.11) получается в результате подстановки (3.2.14) в (3.2.9).
Вектор La обладает следующими свойствами: он действительный, пространственноподобный с длиной “2 и ортогональный вектору.
La = Le,厶也窓=一 2, К%, = 0.(3.2.15)
Он задается тензором РаЬ с точностью до вектора, равного произведению К& на действительное число. В самом деле, при
Ут，у + а”(3216)
[преобразование вектора т4, оставляющее (3.2.13) инвариантным] имеем
1 т 1 + g + а) К°・(3.2.17)
Векторы, отличающиеся от таких векторов La умножением на положительное число, лежат на (двумерной) полуплоскости, проходящей через начало отсчета векторного пространства Минковского £汽 которое (ввиду того что вектор L° ортогонален изотропному вектору К°) является касательным к световому конусу в Ха, причем указанное касание осуществляется вдоль линии, образуемой векторами, отличающимися от К。умножением на число (рис. 3.1). Эта полуплоскость есть полотнище флага спинора хЛ. (Легко проверить согласованность приведенного по- строения с построением, выполненным в гл. 1, § 4.)
Фазовое преобразование (3.2.8) может рассматриваться, как преобразование, отвечающее повороту полотнища флага вокруг флагштока на угол 20. Действительно, полагая
Ма = iZF' - М5ё%(3.2.18)
мы видим, что
Leos20 + Ма Sin 20 = (d吃A) (d皖4) + (e-i呪A)(еТ8历4)•(3.2.19)
Таким образом, в результате преобразования (3.2.8) [которое, чтобы сохранить (3.2.13), должно быть дополнено преобразованием тл н-> е-ютл] вектор Iе, поворачиваясь в (La, Ма)-плоског сти на угол 20, переходит в вектор (3.2.19). Заметим также, что в результате преобразования хл ь—> 6хЛ (с т t—>fe",TA,. fe > 0) флагшток умножается на Л2, а полотнище флага остается неизменным.
Рис. 3.1. Изотропный флаг, представляющий спинор хл, и его связь с векторами К® и Дя.
Небезынтересно отметить, что это дает нам прямой способ получить конформную структуру пространства 夕+ изотропных направлений будущего, выпущенных из начала отсчета в £а. Произвольный слин-вектор хл определяет точку ^ пространства 9+ (направление флагштока), а также касательное направление L к 夕 + в К (направление полотнища флага). Два касательных направления L и Lz в одной и той же точке /С, принадлежащей G+, могут быть заданы, соответственно, спин-векторами к" и 6停乂4 при некотором 0. Угол между L и Lz получится тогда равным 20. Располагая инвариантным понятием угла на 赤, мы тем самым имеем инвариантно определенную конформную структуру для 9+. (Конечно, построения гл. 1 также достигают этой цели, но здесь конформная структура возникает непосредственно из интерпретации спин-векторов.)
Упомянутая конформная структура дает также инвариантно определенную ориентацию пространства 9+ и, следовательно, пространства-времени Z. В справедливости сделанного утверждения можно убедиться следующим образом. Мы можем определить направление правой ориентации на 夕+ просто постулировав, что при вращении полотнища флага е^нА в этом направлении 0 возрастает [см. замечания перед формулой (1.5.2)]. (Данное определение согласуется с тем, что тетрада ха, yat za из (3.1.20) является правой.) Заметим опять-таки, что переход к спинорному полю приводит к глобальному ограничению на пространство-время 4, а именно, в дополнение к ориентируемости во времени, Ж должно быть ориентируемым в пространстве. Следовательно, как топологическое многообразие пространство-
время Ж должно быть ориентируемым в пространстве и во времени) [формула (1.5.2)].
Заметим, что каждое из соотношений (3.2.2) и (3.2.9) инвариантно относительно преобразования
y41> 一 Y4.(3.2.20)
Если это преобразование осуществляется непрерывным образом за счет изменения 0 от 0 до л в е^х", то полотнище флага совершает один полный оборот на угол 2л и возвращается в свое исходное состояние, поскольку, очевидно, хЛ является спинорным объектом (гл. 1, § 5). Таким образом, переход к спинорным полям также приписывает пространству-времени спинорную структуру [формула (1.5.3)]. Следовательно, наш алгебраический подход, будучи применен к спинорным полям (как это будет в гл. 4), требует, чтобы пространство-время 应 обладало спинорной структурой (гл. 1, § 5).
Свойства комплексных изотропных векторов
Вернемся к представлению (3.2.6) произвольного отличного от нуля комплексного изотропного вектора парой спин-векторов. Прежде всего заметим, что для заданного вектора %。разложение у*1 = хл^л，однозначно с точностью до преобразований
/f W1, l'f 厂七".(3.2.21)
Действительно, если 乂空* = rW, то свертка с 卜/ даст цлхА = 0, так что в силу (2.5.56) спин-векторы хА и цЛ должны быть пропорциональны друг другу. Аналогично этому, должны быть пропорциональны 自▲' и v4\ Отсюда вытекает, что комплексный изотропный вектор %° определяет упорядоченную пару действительных изотропных направлений (не обязательно различных), т. е. двух точек сферы S+, а именно тех точек, которые задаются флагштоками хЛ и 自"',соответственно. Вектор 干，комплексно-сопряженный вектору %а, определяет ту же самую пару изотропных направлений (точек сферы S+), но в обратном порядке (х° = |АхА，)- Эти два изотропных направления совпадают тогда и только тогда, когда %° отличается от действительного вектора комплексным множителем. Обратно, данная упорядоченная пара действительных изотропных направлений в достаточно общем случае определяет комплексный вектор ха с точностью до пропорциональности.
Некоторые свойства комплексных изотропных векторов могут быть легко получены из (3.2.6). К примеру, если два комплексных изотропных вектора %* фа ортогональны,
3匸0,(3.2.22)
то это означает, что %。н 旷 могут быть одновременно представлены в виде %。= 乂幺匕4； -фа = ha^9 либо одновременно представлены в виде %。==乂空％ ^а = %^\ Отсюда вытекает, что если %* 帽 У — три комплексных изотропных вектора, ортогональные друг другу, то они должны быть линейно зависимы. Действительно, все они должны одновременно представляться либо в виде
^^HA^t ^ = ^； 严=Y竺 4; (3.2.23)
либо в виде комплексно-сопряженных выражений. Без ограничения общности положим, что справедливы выражения (3.2.23). Ввиду двумерности спинового пространства должно иметь место линейное соотношение 厶自"+ 卩n* + vj" = 0, в котором среди % 卩,V есть отличные от нуля. Итак, в силу (3.2.23)
+ М° + ”3。= 0. .
Но допустим, что каждый из комплексных изотропных векторов 2a и фа ортогонален комплексному изотропному вектору Ха, а -фа и ^а не ортогональны друг другу. Тогда указанные векторы должны либо иметь вид
%"= Y组* *0 = % ％% e。=9空"， (3224) либо представляться комплексно-сопряженными выражениями. Отсюда вытекает, что существует единственный комплексный изотропный вектор 0а, ортогональный каждому из векторов 2a н В& н удовлетворяющий условию 0аха =力°屮°・ Действительно, предполагая без потери общности, что выполняется именно условие (3.2.24), мы можем положить 0е = — &Ax^t единственность чего устанавливается просто.
Линейное множество комплексных изотропных векторов вида хв = 乂怨*, где спинор хА фиксирован, а спинор У может изменяться, дает способ представления спин-вектора хА (с точностью до пропорциональности) в рамках комплексного подхода. В некоторых случаях (например, в некоторых разделах теории твисторов, см. гл. 6, § 2; гл. 7, § 3 и 4; гл. 9, § 3) бывает существенно проводить исследование в комплексных величинах, не вводя понятия действительности или комплексного сопряжения. В таких случаях представление спин-вектора линейным множеством комплексных изотропных векторов становится более удобным, чем представление его одним (действительным) изотропным вектором, а именно его флагштоком, поскольку последний способ описания нуждается в понятии комплексного сопряжения. В то же время, в указанных случаях мог бы быть полезным комплексный изотропный бивектор 乂4乂庁8*6'・ Мы не задаемся здесь целью развивать эту мысль дальше, за исключением одного: ее связи со структурой комплексифицированной 2-сферы.
Выше мы видели, что всякое комплексное изотропное направление может быть представлено упорядоченной парой точек на сфере S+ — с топологической точки зрения 2-сфере S2. Если мы не хотим вводить понятие действительности, то (поскольку совпадение упомянутых двух точек означает действительность изотропного направления) на самом деле мы должны рассматривать такие две точки, каждая из которых лежит на отдельной сфере S2. Таким образом, пространство комплексных изотропных направлений в точке имеет структуру топологического произведения S2 X S2. Точки первой сферы S2 суть спин-векторы хл с точностью до пропорциональности, а точки второй сферы S2 суть сопряженные спин-векторы 自从'с точностью до пропорциональности, причем упомянутые спин-векторк задают требуемые изотропные направления посредством соотношения хй = х'Е^二 Поскольку действительные изотропные направления в точке образуют конформную сферу /、мы можем сказать, что комплексные изотропные направления образуют комплексифициро- ванную сферу. Проведенные выше рассуждения показывают, что указанная комплексифицированная сфера обладает структурой S2 X 52. Когда точка одной из сфер S2 фиксирована, а другая может изменяться, мы получаем с точностью до пропорциональности одно из рассмотренных выше линейных множеств (связанное с хА или с 自*'), называемое генератором. Таким образом, комплексифицированная сфера задается двумя системами таких генераторов 9* Описание такого сорта, по существу, составляет основу общего геометрического рассмотрения спиноров в n-мерном случае. Однако мы не будем сейчас в него вдаваться.
Эрмитово-изотропные векторы
Завершим данный параграф кратким рассмотрением другого типа комплексных «изотропных» векторов, а именно комплексных векторов ув, удовлетворяющих условию
Y工=0.(3.2.25)
Выбрав произвольное действительное число 0, напишем
ya = ^(Ua + iVa)t(3.2.26)
где Ua и Н действительны. Подставляя (3.2.26) в (3.2.25), получаем
UaUa + VaVa = 0.(3.2.27)
1) Данное утверждение перестает казаться удивительным, если мы вспомним, что в комплексифицированном случае не существует различия между сферой и гиперболоидом. Хорошо известно, что одиопоЛостный гиперболоид порождается двумя системами прямых линий.
Таким образом, реализуется одна из двух возможностей: либо оба вектора Ua и Н изотропны, либо один из них пространственноподобен, а другой ——времениподобен. Пусть вектор Ua времениподобен при 0=0. Тогда вектор Ua при 8 = л/2 (равный Vе при 0 = 0) должен быть пространственноподобным. Поскольку при изменении 0 вектор Ua изменяется непрерывным образом, вектор Ua должен быть изотропным при некотором значении 0, лежащем между 0 и л/2. Таким образом, вектор Va также изотропен при том же 'самом значении 0. Выбирая соответствующим образом одно из значений 0, 0 + л/2, 0 + л или 0 + Зл/2, мы можем добиться, чтобы оба вектора Ua п Vй ъ представлении (3.2.26) были изотропными и направленными в будущее. Указанное представление вектора у будет теперь однозначным во всех случаях, кроме тех, когда Ua или Va равен нулю или когда оба вектора являются изотропными и пропорциональными друг другу. В последнем случае мы вновь можем добиться однозначности (полагая уа ^Щ, заменив (3.2.26) выражением
Y。=洲u\(3.2.28)
где вектор Ua является изотропным, действительным и направленным в будущее. После этого спинорное представление вектора у", который изотропен в смысле равенства (3.2.25) (при 丫症=# 0) запишется в виде
丫症=ею (а^ал，+ i俨В*), алрА * 0,(3.2.29)
или
Y0 =0迎紀4(3.2.30)
в упомянутых выше двух случаях, соответственно.
Операции симметризации и антисимметризации
Важная роль в тензорной и спинорной алгебре принадлежит двум операциям ——симметризации и антисимметризации. Однако оказывается, что в силу двумерности спинового пространства последняя операция для спинорной алгебры полностью отсутствует. Тем не менее полезно будет обсудить сначала коротко упомянутые две операции в рамках более общих тензорных систем. Для начала нам будет нужно в дополнение к предполагаемой глобальной рефлексивности, которая не будет использоваться до формулы (3.3.22), только одно условие на модуль ©•» которое формулируется следующим образом: кольцо ® должно содержать подкольцо, изоморфное кольцу рациональных чисел. После формулы (3.3.23) мы сосредоточим наше внимание на случае, когда существует (обычно двумерный) базис.
Договоримся считать, что круглые и квадратные скобки, окружающие некоторую группу индексов, обозначают, соответственно, симметризацию и антисимметризацию (называемую иногда кососимметризацией) по рассматриваемой группе индексов. Таким образом, мы имеем
%◎ (ар) 0 = *2Г (%3aBQ + %3BaQ)，
"0(呻Y)0 = "3(" (^<^apv^ + 2邳аY0 + 中步GyaQ + 屮0(1Y时 +
+ 匕усф0 + ^^уЗаа)(3.3.2)
(3.3.3)(3.3.3)и так далее. Запишем также•
(3.3.3)
(3.3.3)
必*【呻]Q = *2Г (%步a0Q — %3BaC)，
и так далее. Аналогичные соотношения справедливы и для верхних индексов.
В тех случаях, когда требуется опустить некоторые индексы в процедуре симметризации или антисимметризации, будет использоваться вертикальная черта с обоих сторон той группы индексов, которая должна быть опущена. (При этом для индексов, находящихся в противоположном положении, вертикальные черточки не требуются.) Например:
丸 е、2=^(丸 в% +九“7)，(335)
g[a I BY 1 MM =丄(gaPvXu — 8侬Y<XH + gMyiia 一 0呻丫此 + guPvaX — #网儿@).
(3.3.6)
Допустимо даже писать
8(a I В WM I 闺 3=丄(旷阿机 + guPyXa — gapXVH — gUPXva) (3 3 7)
и так далее.
Некоторые свойства операций симметризации и антисимметризации немедленно вытекают из определений. К таким свойствам относятся следующие.
Если к некоторому числу индексов применена операция симметризации, и если следующая за ней другая операция симметризации применяется к тем же самым (и, возможно, дополнительным) индексам, то первую симметризацию можно игнорировать. К примеру, если %皿= %(%)* т0 ^(^)= 11«(^)- Это
может быть записано в виде Па((№)▽)= "(!仇м)・ Тот же самый результат справедлив и для операции антисимметризации. Таким образом,
% (а …(у …е)…4)Q R %3(а …у …е …4)Q(3.3.8)
И
%3[а …[у …8]…tflQU %3[а …丫 …e …W Q*(3.3.9)
Если некоторое число индексов подвергнуто симметризации, и если к двум или большему числу этих индексов (а также, возможно, дополнительным индексам) применяется последующая операция антисимметризации, то в итоге получается выражение, равное нулю. Например, если laX|AV = T|a(Mi)v, то 紹皿尸。，Аналогичное справедливо и в том случае, когда операции симметризации и антисимметризации меняются местами. Таким образом, полагая, что число индексов у, ..., е больше двух, получаем
%# [а …(у ……^(a …[у …制…R)Q = °，(3.3.10)
В общем случае утверждение о том, что операции симметризации и антисимметризации коммутируют друг с другом, неверно. Однако две такие операции безусловно коммутируют, если они действуют на совершенно различные индексы. К примеру, мы можем образовывать однозначно определенные выражения типа 屮(啲丫仇川・ Но запись типа 丸耽仇)岡 недопустима, поскольку в этом случае было бы не ясно, какая из операций должна применяться вначале — симметризация или антисимметризация. Аналогичное утверждение, конечно же, справедливо и для верхних индексов. Как и в формуле (3.3.5), операции симметризации и антисимметризации к верхним и нижним индексам применяются независимо, например:
严Л『=I (eW-e₽Av + 0°1AY - %м).(3.3.11)
Нам представляется также возможность применять операции симметризации и антисимметризации к собирательным индексам, например: 〔
%# [*第21系=芽(%＜第I第2% - %/留2妣图》 (3312)
Указанное замечание распространяется, однако, лишь на те индексы в скобках, которые имеют одинаковую валентность. Совпадение валентностей символически может изображаться посредством использования для индексов одних и тех же опорных букв. Если, к примеру, ^ = а и 图=冲，то (3.3.12) записывается следующим образом:
必隔",]用=^%、黑J 一4"飞*黑了・(3。3/3)
Говорят, что некоторый тензор (или спинор) является [анти] симметричным по группе (возможно, собирательных) индексов, если он не изменяется в результате применения к указанным индексам операции [анти] симметризации. Таким образом, если
% …入…V …一^... (X... V)... “ ^... К .-.V...—电..僞…▽]・・•'
то мы говорим, что тензор %…儿…丫… и тензор 屮...％…*…， соответственно, симметричен и антисимметричен по X ... v. Заметим, что в соответствии с приведенным выше замечанием результат произвольной [анти]' симметризации автоматически [анти] симметричен. Например, тензор 9alP(xv，nv) симметричен по X, jx, V и антисимметричен по £ у. Некоторый тензор является симметричным по группе индексов в том и только в том случае, если он не изменяется при перемене местами индексов из любой пары данной группы. Аналогично, тензор является антисимметричным по некоторой группе индексов в том и только в том случае, если он меняет свой знак при перемене местами индексов из любой пары данной группы.
Укажем удобное обозначение для подпространства ®：：：, состоящего из элементов с определенным типом симметрии. Мы будем применять по отношению к самому символу ◎二 то же самое соглашение о круглых и квадратных скобках, которое порождало желаемую симметрию в применении к элементам €：：：• В частности, пространства симметричных и антисимметричных элементов из 叁 …丫 обозначаются, соответственно, символами 后g・・・Y)И S(a...Yi. К примеру, мы имеем:
%/мЛ留風 w ⑥増將产，е том и только в том случае, если %//产妣=%/&久产数 (3.3.14)
Если некоторый тензор [анти] симметричен по двум частично перекрывающимся группам индексов, то он [анти] симметричен и по объединению- этих двух групп индексов. Таким образом,
”(3.3.15)司…’(3.3.16)”(3.3.15)司…’(3.3.16)еС{〃 a …у ...е …(а …у)
”(3.3.15)
司…’(3.3.16)
”(3.3.15)
司…’(3.3.16)
И
ЕСЛИ Ф... а ... у... е... = "Ф... [а у]... е...=巾…а …[
‘°电..а…Y...&…—电…丫…е]...'
Это следует из того, что всякая перестановка может быть представлена как произведение перестановок одних лишь соседних
индексов. Кроме того, если тензор симметричен по некоторой группе индексов, частично перекрывающейся с другой группой индексов, по которой он антисимметричен, то такой тензор равен нулю. Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, достаточно рассмотреть тензор 自八入出屮 симметричный по X,卩 и кососимметричный по щ v. Имеем:
^ЛЛду — %gv ——匕仙喇 一 —^<<v>U —昊vAji — Jaw — — ^Xajiv*
(3.3.17)
Таким образом, данный тензор равен самому себе со знаком минус, а поэтому должен быть равен нулю.
Если [анти] симметричная группа индексов некоторого тензора свёртывается с другой группой индексов, то вторая группа индексов может быть [анти] симметризована, и при этом результат нашего свертывания не изменится:
Ме... т)₽ -'=必(р... т)е -①=必р...俨…、(33.18)
必[р... d•••t = Xxlp...』…寸=%“Р... ?•••、(3.3.19)
Приведенные результаты несложно доказать путем развертывания одной из [анти] симметризаций в среднем члене в соответствии с (3.3.1) — (3.3.4) с последующим переобозначением немых индексов. Вызывая [анти] симметрию оставшихся индексов, мы можем сделать все члены этой суммы одинаковыми. Для группы из ^ индексов существует ^! членов, что компенсируется наличием ^I в знаменателе в формулах (3.3.1) — (3.3.4). Одним из следствий только что описанного результата является то, что пара симметричных индексов, свернутая с парой антисимметричных индексов, приводит в итоге к выражению, равному нулю. Итак,
储阿尸= 0 = %xZ 叫 (3.3.20)
Заметим, что для произвольного 乂仪三色。тензор Х«Х^ ...Xе симметричен по % В，…，6. Следовательно,
丸3..6犬尸…犬==生入./中…Xt (3.3.21)
Отсюда вытекает, что имеет место «достаточная» часть следующего предложения:
Предложение
匕afj...6犬严... Х® = 0 для всех Ха w 守
8 том 〃 только в том случае* если ^л(а_ б) = 0. (3.3.22) Чтобы продемонстрировать справедливость «необходимой» части, положим
犬Пh+心.
Полагая, что число индексов а, В， ..., 6 равно N, получаем 久瞰...в^₽ • • • Х° = £ер... "У ... Y +
+ ^я^ …6)ZM …H + …2“ …e)z«Z₽ …Z°.
Если левая часть равна нулю при всех Х°\ то каждый коэффициент при V в правой части должен обращаться в нуль. (Для доказательства данного утверждения достаточно тех условий, которые наложены нами на кольцо ®, а именно, что ® содержит подкольцо, изоморфное кольцу рациональных чисел. Действительно, если по очереди выбивать Л —0, 1, ...» Л/, то мы получим, что в правой части N + 1 линейно-независимых комбинаций коэффициентов равны нулю. Рассматривая рациональные линейные комбинации,, мы заключим, что каждый коэффициент в отдельности должен быть равен нулю.) В частности, должно быть равно нулю выражение 力修如。...^^ . -. У6. Поскольку оно равно нулю для всех Za, то 力彳他^... ^ ・・・ У° = 0・ Так как последнее выражение должно быть равно нулю при всех Уа, мы можем повторить приведенные выше рассуждения и получить, наконец,力賓価6 …б)= °，что и требуется. Ясно, что (3.3.22) будет справедливо также и в том случае, если а, В, ..,, 6 заменить собирательными индексами одной и той же валентности.
Из (3.3.22) следует также, что
Функцией 力# (X)曰力拠.бХа ・ * ・ Х° однозначно определяется тензор 力修依.・・ 6户(3.3.23)
поскольку разница между двумя такими функциями равна нулю в том и только в том случае, если разность между соответствующими симметричными тензорами равна нулю.
Конкретные результаты для спиноров и мировых тензоров
Все результаты, полученные до сих пор, не были связаны с размерностью модуля ©а. Однако ввиду того, что спиновое пространство имеет только два измерения, существуют конкретные упрощения, имеющие место в случае введенной нами спинорной системы. Указанные упрощения имеют в своей основе следующее утверждение: всякий спинор, антисимметричный по трем или более индексам (штрихованным или нештрихованным) 9 должен быть равен нулю. Отсюда вытекает, что для каждого °*pqr или 令wpq#k справедливы соотношения
°* t₽QM = °*£ [р〃《]=仇(3.3,24)
[Ясно, что в силу равенства (3.3.9) мы не теряем общности рассуждений, рассматривая только три индекса.] Чтобы убедиться в справедливости равенств (3.3.24), рассмотрим компоненты в произвольной спиновой системе отсчета и заметим, что из трех численных спинорных индексов по крайней мере два должны быть равны друг другу. Можно также рассматривать анализируемое утверждение как частный случай утверждения, установленного ранее, после формулы (2.3.1).
Заметим, что частный случай равенств (3.3.24)
£【4в%] d = 0(3.3.25)
снова приводит к тождеству (2.5.21), рассмотренному ранее. По существу, равенства (3.3.24) являются следствием формулы (2.5.21) и формулы, комплексно-сопряженной ей. Чтобы убедиться в этом, мы можем применить эквивалентное соотношение (2.5.24) к 厩 ipqr] двумя способами, сначала воспользовавшись антисимметрией по QR, а затем антисимметрией по PQ. Таким образом получим
®Л [PQR1 =彳匕[PST\qST&QK =工匕(PST]BS"pQ・(3.3.26)
После свертки с e'Q имеем 0л [pst\^st = 0, откуда в силу (3.3.26) вытекает 0л 画出=0, что и требовалось.
В случае «-мерных тензоров в ®а существует п-элементный базис ба； запишем тождество, соответствующее равенствам (3.3.24), а именно
Хл[аоа,...ап] = °-(3.3.27)
Существует также соотношение, отвечающее формуле (2.5.24). Чтобы записать его, определим тензоры eaj... an и ea, *" a», компоненты которых в заданном базисе имеют вид
气…％ = £‘ ％ =h или —1，или 0(3.3.28)
в зависимости от того, является аь ・・•, ал четной перестановкой чисел 1, ... ,п, нечетной перестановкой чисел 1, ..., м, или вообще не является перестановкой чисел 1, •・.,п. [Такое определение согласуется с формулой (2.3.4).] Величины (3.3.28) называются символами Леви-Чивиты. Имеем
加哨…6既=8%…％》..％,(3.3.29)
что устанавливается путем сравнения компонент, стоящих в левой и правой частях. Следовательно, если тензор 屮修气…“乃 косо*
симметричен по %, •一, ая, то
%「.. ％ =必％ а然,• • •限】=(тгЪа,... а户…％) 8₽, ₽„•
(3.3.30)
Отсюда вытекает [как и в случае (2.5.24)], что любой набор п антисимметричных индексов может быть «расщеплен» с помощью в-тензоров.
В частном случае @а,... ап (т. е. когда 城 отсутствует) полученный результат показывает, что все полностью антисимметричные элементы модуля ©а,... аЛ пропорциональны друг другу. (То же самое утверждение имеет место в случае ⑥%'“®1".) В общем случае нет причины выделять один из них, выбор тензора eaj... ап произвольно зависит от конкретного выбора базиса 心 в ©а. Однако существование внутреннего произведения для спиноров однозначно выделяет конкретный спинор 8ав [соответствующий базис для которого (3.3.28) играет роль спиновой системы отсчета]. Аналогично, наличие мирового метрического тензора gab и ориентации служит для выделения конкретных антисимметричных элементов еаьса ^ ^аьса и 勿阮^ 三飮°叫 назы. ваемых в расчетах альтернирующими тензорами. Однако, имея в виду наш общий подход, ставящий целью построить мировой тензор на основе спинорного формализма, мы будем предпочитать, прежде всего, определение тензора еаьса на основе спинора едв, а именно
eabcd ：= ^A(^BI^ArD^BfCf — ^8ДО8ВССДлС,еВ,Лл， (3.3.31)
Такой тензор еаьса представляет собой действительный тензор, поскольку комплексное сопряжение меняет местами два члена в правой части и заменяет i на —i. Он кососимметричен по a и Ь, поскольку
ebacd = ^ZBCZAI^BfD^AfCr — ^В^АС^В^А^ = — Gabcd^ (3.3.32)
и аналогично кососимметричен по с, d. Посмотрим, наконец, что будет при перемене местами 6 и с. С использованием в-тожде- ства (2.5.21) и тождества, комплексно-сопряженного ему, напишем
^abcd + ^acbd —
=i GaC^BD — СДВеСО)SAfD^BfC^ ~ i%D%C (%卩电。一 24szecD)h h i (%D®BC)%力&。一 ^AI^BC (匕少&©) ^ °*,(3.3.33)
Отсюда вытекает, что тензор еаьса, являющийся, таким образом, кососимметричным по каждой из частично перекрывающихся пар @b, Ьс и cd. является полностью кососимметричным по
А с, d:
eabcd = '[abed]，(3334)
Мировой тензор е°"“ получается，из еаьсл обычным путем, т. е. путем поднятия индексов с помощью метрики gab. Поскольку такая процедура отвечает поднятию спинорных индексов, мы имеем
W = {zACzBD^D^ — ^ADzBC^C^D^(3.3.35)
Используя (2.5.12) и (2.5.25), получаем из (3.3.31), (3.3.35)
eabedeabcd = -24.(3.3.36)
Введем ограниченную тетраду Минковского 阮症=产，gj = ха, g： = y°, g3® = 2a. По крайней мере локально это будет соответствовать спиновой системе отсчета еол = ол, в/ —И ввиду (3.1.20). Имеем
^0123 = ©abed产屮广^ ='
=一7(喙83园"唱& 一 ^АО^ВСgА^ВФ^ X
X(ОЛОД/ + 1&") (о"8 + 1ВОВ9 (ocic/ — 1СОС，) (oDoD# — |/\»)=
=_$(—1一 1 — 1 _1)=I.(3.3.37)
Поднимая индексы [с использованием формулы (3.1.27)], получаем
尹 W—L(3.3.38)
Таким образом,
«abed = 24g仲窜&乜盟矶 8 = - 24%x 必庐“(3-3.39)
e06cd = — 24go【Qgi&g2cg3心=—2^ахьус^.(3.3.40)
Если мы имеем (3.3.36), то вычисление (3.3.37) необходимо лишь для определения знака элемента ^0123, поскольку соотношение (3.3.36) может быть представлено в виде '
-24 = eabcdepqrsgapgbqgcrgds =
=(%123)2 24 det @b) = -24 (e0I23)2.(3.3.41)
Элемент 伙》2з оказывается положительным по той причине, что 代，Xй, у0, ?0 — собственная тетрада. Если бы мы выбрали несобственную тетраду, то получили бы е012з V 0. Для собственной тетрады Минковского именно тензоры ©abed и e'^cd представляют
собой символы Леви-Чивиты, тогда как для несобственной тетрады символами Леви-Чивиты являются тензоры — e&bcd и eabcd.
Из (3.3.29) получаем
久加也“” =-24g』gb&&"(3.3.42)
Соответствующим образом свертывая один верхний и один нижний индекс (либо осуществляя прямую покомпонентную проверку) ,получаем
еаъс^рчгл ^ - 6g』gi10gJ】，
eab^e^^-^Pg^,(3.3.43)
eabcd6pbcd = — 6gJ
и (3.3.36). Тензор
eabd = ^^B^A^B^ — ^АЪВЪ^'ЪВ^ (3.3.44)
будет играть соотношениебудет играть соотношениеОтметим(3.3.45)Отметим(3.3.45)важную роль в следующем параграфе.
будет играть соотношение
будет играть соотношение
Отметим
(3.3.45)
Отметим
(3.3.45)
е“"％/д = — 4g』g/i,
вытекающее из выражений (3.3.43) и непосредственно из
(3.3.44). Заметим также, что для произвольного тензора 儿d
eabCd^cd = ^AA^BB户 D"Hcc’D» = (^ABfBAf^BArAB^*(3.3.46)
Разложение на симметричные спиноры
В заключение данного параграфа продемонстрируем то важное положение, что любой спинор в определенном смысле может быть выражен. через совокупность спиноров, каждый из которых полностью симметричен по всем нештрихованным индексам и полностью симметричен по всем штрихованным индексам.
Начнем иллюстрацию нашей процедуры разложения в слу- f 0 01 чае общего спинора Фа в, имеющего валентность I ? °} Имеем
*АВ = 3(АВ) + ^[АВ] = % + 呢43，(3.3.47)
где
бдв = ^(дв) и % = £ %'•(3.3.48)
ввиду (2.5.23). Ясно, что спинор 0ав симметричен, и то же самое касается спинора X (последнее тривиально, поскольку % не имеет индексов). Информация, содержащаяся в 勿/ распределяется между упомянутыми выше двумя симметричными спино-
рами. [Если говорить о компонентах, то имеются четыре независимые величины ，ав・ Указанная информация разделяется между тремя независимыми величинами 0оо = %о，801 = 810 = =万(％1 + %0)，911 = ^11 И одним скаляром Л = (1/2) (^01 — ^ю)-1
Вернемся теперь к общему случаю. Условимся ставить тильду 〜между двумя спинорами в том случае, если их разность представима в виде суммы членов, каждый из которых является тензорным произведением е-спиноров и спиноров, валентность которых ниже, чем у исходных спиноров. Ясно, что тильда 〜 обозначает отношение эквивалентности. Прежде всего заметим, что соотношение
§qab …戶 ~ 6q(ah …л(3.3.49)
справедливо для всякого Oqab …尸 Имеем
中Q(AB ... F> = ；(§QA(BC …戶)+ *QB (AC …F) +
+ 6qc(abd …戶)+ …+6qfgah...b))，(3.3.50)
где число индексов 4, В,...,戶 равно г, так что правая часть содержит г членов. Рассмотрим разность между первым и произвольным другим из этих членов, например:
^QA{BCD ... Л — 6qC(ABD ...尸)=—2q6qX(BXD ... F) (3.3.51)
ввиду (2.5.23). Производя подстановку из аналогичных уравнений для всех членов после первого в правую часть равенства (3.3.50), находим
*Q(AB …F)~ ^QA{BC …F)・(3352)
Повторяя эти рассуждения, получаем
6q(AB ...户)~ 6qA(H …F) ~ 6qAB(C …戶)~ …
• • • ~ *QAB …DBF}~ *QAB …F、(3.3.53)
откуда следует (3.3.49).
Очевидно, что имеет место также и результат, получающийся из (3.3.49) после замены индексов А, В. ..,, F штрихованными индексами. Таким образом, проводя наши рассуждения один раз для нештрихованных индексов и еще один раз для штрихованных индексов, мы убедимся в том, что произвольный спинор %л 尸р ….5/отличается от своей симметричной частиц …尸)俨，…s0 на сумму тензорных произведений е-спиноров и спиноров более низкой валентности. То же самое утверждение справедливо и
для указанных спиноров более низкой валентности, и так далее. Таким образом, мы доказали следующее
Предложение:
Всякий спинор Ха …ft …我 равен сумме симметричного спинора %4.../?)(р.. so “ тензорных произведений г-спиноров и симметричных спиноров более низкой валентности.(3.3.54)
(Мы называем некоторый спинор симметричным, если, будучи записан только с нижними или только с верхними индексами, он является симметричным по всем своим нештрихованным и штрихованным индексам.)
Проиллюстрируем это двумя примерами. Напишем
Хдвс = ^{АВС} — ^SAB^ (DC) 一 У 84G^D (DB) 一 万 ^BC^A^D (3355) и
“BA仔=®(ДВ) (А^ВО — У 8ABece («Вх) — £ ^В^АВ^ Cz +
+ тедввл,в,е%%,.(3.3.56)
Если у нас есть спинор, содержащий как верхние, так н нижние индексы, то ясно, что мы можем просто опустить все его индексы, а затем продолжать наши рассуждения. В связи с этим заметим, что симметричный спинор после поднятия некоторых его индексов принимает следующий вид:
Предложение:
Спинор Фл …рр …su，... m’f，.・• н， является симметричным тогда и только тогда, когда спинор 巾玄二二旅尸二二苦 симметричен по каждой из своих четырех групп индексов,
屮月…DFf ... Hf —屮(A …D)(卢...ЯО »
а всякая свертка по одной паре индексов равна нулю, для чего достаточно условий
噢"::上为二影=0，唠.:黑1.：：* = 0・(3-3.57)
Причина этого содержится в формуле (2.5.23): равенство нулю свертки, когда верхний индекс опущен» означает равенство нулю кососимметричной части, т. е. симметрию по двум соответствующим индексам.■-
Неприводимость
Симметричные спиноры (в точке) интересны тем, что они неприводимы при преобразованиях из спиновой группы SL(2, С). Несмотря на то, что мы не будем подробно заниматься вопросами неприводимости тензоров, спиноров и т. д” несколько общих замечаний здесь не помешают. Допустим, мы хотим представить группу 9 линейными преобразованиями векторного пространства 8, которое в таком случае будет называться пространством представления. Если пространство 8 можно рассматривать как прямую сумму:
沿=沿1㊉3，
где 81 *0, 8г¥=0, такую, что преобразования, представляющие группу 9, переводят элементы подпространства 91 в самих себя (неважно, что делается с элементами подпространства 5Э2), то говорят, что данное представление приводимо; в противном случае оно неприводимо. (Элементы пространства представления 53 также называются [не]приводимыми относительно преобразований группы 9, если представление группы 9 на 53 обладает указанным свойством.) Если 8 можно записать в виде конечной (или бесконечной) суммы
沿二甥㊉・..㊉队，
а преобразования действуют неприводимым образом на каждом подпростр анстве 8^ раздельно» то данное представление называется вполне приводимым.
Займемся теперь группой ограниченных преобразований Лоренца О+(1> 3)и ее двукратным покрытием — спиновой группой SL (2, С). Для указанных групп можно показать [120], что произвольное конечномерное представление (т. е・ представление на конечномерном векторном пространстве 8) является вполне приводимым и что всякое неприводимое представление может быть реализовано как преобразования, действующие (т. е. всякое неприводимое представление линейно изоморфно преобразованиям, действующим) на некоторый симметричный спинор (в точке!)) и порождаемые (порождаемым) спиновым преобразованием Ui^'a%，Следовательно, симметричные спиноры неприводимы относительно преобразований этих групп. Если §а …сп …产— некоторый симметричный спинор, то упомянутые преобразовав
В отличие от приводимого здесь рассмотрения, условия симметрии, налагаемые на спиноры 6 точке, для представлений группы Пуанкаре не являются достаточными. Пространство представления группы Пуанкаре состоит из полей, удовлетворяющих различным уравнениям поля, например, уравнениям Максвелла»
ния имеют следующий вид:
打…8,・・・b f f А&…％°%А • */绅Aq…C@D； 尸# т. е.
где 加=4)・・•尸，б。= 4)•…尸(• Рассмотрим теперь матрицы компонент тензора Т#"°，т. е. матрицы %"“••・ %"%」"…(J°)‘
瑞嚅г??瑞嚅г??но только с надлежащим исключением компонент, приводящих к одинаковым членам; например, произведение /(六片产)64cB； может быть разложено следующим образом:
瑞嚅г??
瑞嚅г??
с*р01 т" 400 ioort*p01 ml 1 厶01/012T?； Г}}с*р01 т" 400 ioort*p01 ml 1 厶01/012T?； Г}}
с*р01 т" 400 ioo
rt*p01 ml 1 厶01/01
2T?； Г}}
с*р01 т" 400 ioo
rt*p01 ml 1 厶01/01
2T?； Г}}
и в общем случае идентичные строки и столбцы в ^- и 7-матрицах могут быть опущены, а оставшиеся строки в Г-матрице умножаются на число появлений ^-членов, на которые они действуют (II, 21, 31, 213! и т. д.)- После этого Т-матрицы дают неприводимые матричные представления указанных групп. Таким образом, произвольное конечномерное представление группы 0+ (1, 3) или SL(2, С) имеет пространство представления, являющееся прямой суммой пространств симметричных спиноров (в точке). Выражения спиноров через симметричные спиноры, полученные нами ранее в данном параграфе (формула (3355)], по существу представляют собой примеры расщепления пространства на свои неприводимые части (поскольку каждая из таких частей преобразуется при спиновых преобразованиях в себя). Однако это и не единственный, и не самый общий способ образовывать прямую сумму. С формальной точки зрения можно также связать воедино спиноры с различной структурой индексов, как это сделано, например, в случае дираковских спиноров или твисторов (т. 2, приложение; гл. 6, § 1), когда пара 巾从,у% рассматривается как единый четырехкомпонентный объект ^, и мы можем написать Чга = ФЛФхЛл.
Существует и другой способ выражения того факта, что симметричные спиноры в точке обладают свойством неприводимости. Такие спиноры в определенном смысле насыщены симметрией: если налагаются какие-либо дополнительные соотношения симметрии, то либо не происходит потери информации, либо цы получаем выражение, равное нулю. Тди;ая ситуация, возможно, оказывается более прозрачной в случае тензоров.
Очевидно, что всякий полностью симметричный или полностью антисимметричный тензор неприводим и в этом смысле «насыщен». Но то же самое справедливо и по отношению к тензору с симметриями типа симметрий тензора Римана [формулы (4.3.53) —(4.3.56)]:
Rabcd ^ R[ab\ led] = Rcdab> Ra \bcd] 。・
К примеру, дополнительная симметризация
Rd (ab\ с =: Sabcd
《не приводит к потере информации», поскольку
■^"Sa \Ьс\ d == Rcbad・
Но R\abc] d == Ra(bcd)= 0 и т. д. Здесь мы имеем пример симметрии, отвечающей схеме Юнга.
В теории схем Юнга [2031 (см. также [194]) неприводимые тензоры строятся (и классифицируются) следующим образом. Сначала налагают условие симметрии по некоторой группе индексов, а затем полученный тензор «насыщают» антисимметрией. Применение всех последующих операций (анти) симметризации либо не приводит к потере информации, либо дает нуль. В качестве примера симметрии, отвечающей схеме Юнга, запишем для случая разделения 8 на (4, 3, 1):
и определим
Смысл последнего символа заключается в том, что мы сначала производим симметризацию по индексам &упС，ВВа, а затем — антисимметризацию по ерб, 丫6, П&* (Мы записываем наборы симметризованных индексов в порядке их длины.) Теперь тензор Sa е «полностью насыщен» симметриями и неприводим. К примеру, тензор Рнмана характеризуется в точности следующей симметрией, отвечающей схеме Юнга (хотя это и не сразу очевидно):
电冉
Однако схемы не дают однозначную реализацию всех неприводимых симметрий. Например, тензор Papv = Qa^y + <*>QpYa + ®2QYap (где co = е2'л；3) обладает «симметрией» Pvap = 3「啲 и неприводим; то же самое относится к тензору M|aB] [уб| — М|у611aBp однако ни один из этих тензоров не имеет симметрии, отвечающей схеме Юнга, но вместе с тем тензор 卩(啲丫 имеет си?л- метрию, отвечающую схеме оф, у и на основании ее сам тензор ^apv может быть переписан в виде (3/2PaPv = Р(аЧ) у + ©^(^)а + ®2Л(уа) р). «экви- валетном» схеме. В том же самом смысле второй тензор эквивалентен схеме с симметрией ар, у, д в явном обозначении. Произвольный неприводимый тен-
sop в этом смысле эквивалентен тензору с симметрией, отвечающей схеме Юнга.
Можно дать элегантный вывод ,[71, НО] числа независимых компонент произвольного объекта с симметрией, отвечающей схеме Юнга. Нарисуем две таблицы, состоящие из квадратов в соответствии с видом набора симме- тризованных индексов — например, для Sa д — следующим образом:
n% + 1% + 2n + 3n - 1nn + 1九一2n% + 1% + 2n + 3n - 1nn + 1九一2
n
% + 1
% + 2
n + 3
n - 1
n
n + 1
九一2
n
% + 1
% + 2
n + 3
n - 1
n
n + 1
九一2
В первой таблице на главной диагонали стоит л (размерность векторного пространства ⑨а)， на последующих диагоналях внизу стоят %—1, п ——2 и т. п., а на последующих диагоналях сверху стоят л + 1, п + 2 и т. д. На второй таблице в каждом квадрате стоит число, равное числу квадратов справа плюс число квадратов снизу плюс единица. Образуем произведение всех чисел первой таблицы н произведение всех чисел второй таблицы, а также разделим первое на последнее: результат будет равен искомому числу компонент. В случае тензора КабМ такая процедура почти мгновенно дает (1/12)紋(献一 _ 1).
Полезно отметить, что схема Юнга может быть с равным успехом образована следующим образом: сначала антнсимметризуем столбцы индексов, а затем симметрнзуем строки. С точки зрения описанных двух способов построения одинаковые схемы не равны, а «эквивалентны». Таким образом, для применения описанного выше метода определения числа независимых компонент это соглашение несущественно.
Указанные два альтернативных типа неприводимого тензора находят удобную интерпретацию как «коэффициенты» двух различных видов «форм». Рассмотрим сначала тензор с симметрией, отвечающей схеме Юнга последнего вида, т. е. она симметрична, а не антисимметрична по своим соответствую щим группам индексов. Например, такой тензор 「авуб/пе мог бы быть получен путем нового применения «горизонтальных» симметризаций в вышеприведенном определении тензора S^ …е：
(Последующие вертикальные аитиснмметризации привели бы снова к ненулевому кратному теизму S...) В силу положения (3.3.23) информация, содержащаяся в тензоре Г..., является той же самой, что и информация, содержащаяся в полиномиальной функции (или «форме»)
Г(Xе. F 2е) = ГартвеЕп^^^У®^0^.
С учетом равенства (33321) мы можем 口州епнсать ее в виде.
Г(Г*, У®, 2a)»Sepv4etTieZerfjr»JrCrPr0reZe»
= Sa0T6ecM8fWQMQneRJs(paf»T,Q<*”a),
где вторая форма вытекает из антисимметрии тенаора S..., причем
P<*Bv _ X【ayBzV】，Q«P ■ Х®У叫 J?° - Ха.
Функция S «простых* кососимметричных тензоров [ср. с формулой (3.5.30) ниже] указанного (иерархического) вида дает нам альтернативную полиномиальную форму, отвечающую приведенной выше.
Тот факт, что функция 7 может быть переписана с использованием указанных кососимметричных пронзведеннЁ, может быть выражен функциональным соотношением
Г(Х°, Уа, Z°) = Т(X。，уа + ХХ« 2а + рХ。+ vya|
(для всех Л, 口, V)или дифференциальным уравнением
片紀…。紀…。紀。'
где выражения для частных производных допускают (если это необходимо) очевидное понимание в духе абстрактных индексов. На основе формулы (3.3.22) заключаем, что выписанные дифференциальные уравнения эквивалентны следующему условию: если какая-либо из горизонтальных симметрий в правой части выражения
%We50 0 看
расширена включением еще одного индекса внизу таблицы, то получающийся тензор равен нулю (например,「呻(他匕期 8 = 0). Данное условие является (необходимым и) достаточным для того, чтобы тензор ^а... 0 " симметричный по соответствующим группам индексов (т. е. горизонтальные симметрии предполагаются заданными) — обладал симметрией, отвечающей схеме Юнга. (Таким образом, в этом выражается наличие «скрытых» вертикальных антисимметрий.) Соответствующее утверждение останется справедливым для тензора S- также и в том случае, если «симметрию» и «антисимметрию») надлежащим образом поменять местами.
Одним из преимуществ теории 2-слиноров является то, что в соответствии со сказанным ранее в данном параграфе нам следует рассматривать только симметрии, но не антисимметрии, так что в теории схем Юнга нет необходимости.
Когда говорят просто о неприводимости тензора безотносительно к конкретной группе, то под рассматриваемой группой понимают группу всех линейных преобразований GL(n,C). Но если соответствующая группа является некоторой подгруппой группы GL(nt С), то возможны последующие разложения тензора. В случае группы Лоренца метрический тензор gab и обратный ему тензор gab суть инвариантные объекты, а потому возможны «обобщенные симметрии», для которых эти объекты используются с целью «разложить» тензор на меньшие части, причем последние не могут бнть получены посредством наложения обычных симметрий. Важным примером служит разложение тензора Римана на три его части [тензор Вейля Cabcdt скаляр Риччи R и бесследовуй часть тензора Риччи R«b — (l/4)g«bR; гл. 4, § 6 и 8], неприводимые относительно группы Лоренца; эти части возникают из требования, в дополнение к симметриям в обычном смысле, определенных условий на «след», таких, как
gacCabcd = 0. Если же группа Лоренца еще больше конкретизирована до ограниченной группы Лоренца, то возникают дополнительные инвариантные объекты, а именно еаьса и enbcd. Указанные обобщенные симметрии могут оказаться в высшей степени сложными. Тем самым переход к спинорному описанию приведет к существенному упрощению.
О разложении тензора Римана с использованием спиноров говорится в гл. 4, § 6. Здесь мы рассмотрим кратко значительно более простую задачу, а именно прямой перевод симметричного спинора с равным числом нештрихованных и штрихованных индексов в тензор:
露匕... f—^AB ... FA^ ...尸'=6储3 ...戶)CA'BJ・・ F')・(3 3.58)
Очевидно, что тензор 6必…『симметричен по своим тензорным индексам и имеет след, равный нулю:
統.."=九A...力(3.3.59)
此，…严。.(3.3.60)
Обратно, из (3.3.59) вытекает равенство
£AB^AAfBBfC ... f = ^AB^BB^AAfc ... f = ~ ^^ДВ^Д^ …f(3・3 61)
и, следовательно, левая часть равенства (3.3.61) кососимметрична по AfBf. Однако в силу равенства (3.3.60) ее последующая свертка с е'® должна давать нуль; следовательно, она равна нулю, откуда вытекает, что спинор §ав …fab …р симметричен по АВ. Аналогично, он симметричен по ВС и т. д., и также по А'8‘ и т. д. Следовательно, он полностью симметричен. Отсюда вытекает, что условия (3.3.59) и (3.3.60) для тензора полностью эквивалентны симметрии (и тем самым неприводимости) спинора. Отметим также, что путем изложенных рассуждений легко установить число независимых комплексных компонент комплексного тензора 力“...尸 подчиненного условиям (3.3.59) и (3360)1). Оно равно (г + I)2, когда тензор 丸…『имеет г тен・ зорных индексов, поскольку очевидно, что спинор §а …fa，…т имеет столько же независимых компонент. (Набор А ... F может не содержать ни одного нуля, содержать один нуль и т, д. вплоть до 广 нулей; таким образом, он может принимать г + 1 «значений»; аналогичное рассуждение применимо к А'….) Указанный результат не так просто получить без спинорного
представления. Более того, попутно мы доказали следующее предложение.
Предложение:
Если спинор 屮4...(；产・・.№ симметричен и имеет
[0 01
валентность I I, то число его независимых Lp«」
(комплексных) компонент равно (р+ 1)(^+ 1).(3.3.62)
Тензорное представление спинорных операций
Из способа построения алгебры мировых тензоров следует, что всякая операция на тензорах может рассматриваться как спинорная операция. Различие между двумя подходами чисто формальное и состоит в замене каждого тензорного индекса парой спинорных индексов. Таким образом, действия над тензорами могут рассматриваться как частный случай действий над спинорами определенного вида. Специфика тензорных операций в том, что в них на всем протяжении можно иметь дело только с парами спинорных индексов, причем каждая пара содержит один штрихованный и один нештрихованный индекс. Может показаться, что спинорная алгебра гораздо богаче, чем обычная тензорная алгебра, так как существует большое число спинорных операций, не имеющих на первый взгляд тензорных аналогов, например свертка двух спинорных индексов или перестановка пары спинорных индексов. В данном параграфе мы покажем, что такие операции, возникающие в спинорном формализме, на самом деле тоже имеют тензорные аналоги. Всякая алгебраическая спинорная операция и всякое алгебраическое спинорное уравнение имеют тензорные представления, по крайней мере е точностью до знака. Преимущество спинорного формализма не в том, что ои допускает более широкий класс операций, а в том, что в спинорном формализме усматриваются различные операции, которые в тензорном представлении выглядят исключительно сложно и потому тензорным формализмом не выявляются. Интересно, что некоторые из этих, казалось бы, «неесте- ственныхэ в тензорном представлении операций в действительности часто используются в физических приложениях. Другой важный момент — то, что линейному спинорному уравнению часто соответствует нелинейное тензорное уравнение.
Обращение знака следа тензора
Прежде чем говорить об общем случае, остановимся на нескольких частных примерах. Рассмотрим произвольный симметричный (возможно, комплексный) мировой тензор валент-
пости [ 2」：
「ab = Tba・(3.4.1)
В спинорной форме равенство (3.4.1) принимает вид
Т дде& = Твв^а^(3.4.2)
что можно переписать как
Гдв^а = у (Tabw* + Tabbs，) + у (Тадву — Гавв，*)・ (3.4.3)
Выражение в первых скобках симметрично по Л7, Вл и в силу равенства (3.4.2) симметрично также по Л, В; второе слагаемое кососимметрично по Л, В и в силу равенства (3.4.2) также по Д\ В'・ Двукратное применение формулы (2.5.23) к выражению во вторых скобках дает
^ab ~ ^AA!BW = ^ABAfBf + eAB8A,B,T,(3.4.4)
где
SABAfBf = т(АВ) (£炉)=Т(АВ) AfBf = ТАВ ("В》(3.4.5)
х = ^Тсссс' = \т^.(3.4.6)
[Разложение (3.4.4) есть частный случай разложения, полученного в § 3, см. формулу (3.3.56).] Можно переписать (3.4.4) как
Таь = ^аЬ + gabx.(3.4.7)
Тензор Tab действителен тогда и только тогда, когда действительны т и Sab. Тензор Sab9 очевидно, симметричен и след его равен нулю:
S/ = 0(3.4.8)
(вследствие симметрии по Л, В или по 4‘, Bf), Мы называем Sab бесследовой частью тензора Та^ Из (3.4.7) и (3.4.6) получаем
Sab = Tab-\Tfgab.(3.4.9)
Теперь можно рассмотреть операцию обращения знака следа, т. е. перехода к тензору, след которого имеет знак, противоположный знаку следа заданного тензора Таь*
户яЬ ：= Tab — 4" Т『gab*(3410)
Действительно, имеем
(3.4.11)(3.4.11)f：=-T：
(3.4.11)
(3.4.11)
и в спинорной форме
『ab = ^ABAfBf = S总дд，& — 8ABe«/•(3.4.12)
Сравнивая это с (3.4.4), мы видим, что
^аЬУ T：gg — ЗвАХ = ^ВАА^ = ^ABBfAt9(3413)
Следовательно, в спинорном представлении тензора Таъ операция обращения знака следа реализуется перестановкой спинорных индексов Л и В или, что эквивалентно, перестановкой индексов Af и В\
Дуальное преобразование
Теперь рассмотрим произвольный антисимметричный (воз- Г01
можно, комплексный) мировой тензор валентности | ?」，нногка называемый бивектором：
Fab=-Fba・(3.4.14)
В спинорной форме
Faa^bb^ = — Рвв^аач(3.4.15)
откуда следует представление
]1
Faba^b^ = у (Faba,b, — Fabb^ + 万｛Fabb^ — Fbab^ .(3.4.16)
В силу формулы (2523) мы имеем
Fab = ^AAfBBf =电4В6 А竹 + еАВ^А^(3.4.17)
где!).
^ДВ = ^(АВ> ^^2 ^АВС,С，1 2衣中=巾伍评)=万 ^СрAfBf*(3.4.18)
Отметим, что спиноры 力从^ и фл,5 оба симметричны ввиду равенства (3,4.15). Заметим также, что если спиноры ^АВ и 4д^ произвольны (но симметричны), то соответствующий тензор Fab, согласно выражению (3.4.17), должен быть кососимметричным по а, 6. Из (3.4.17) находим
户《г» = Fab Ав = ^AfB/SAB + "«в电 в・(3.4.19)
В литературе часто используется величина S^d (= 5(лв)1с41), для которой ФАВ = SA^dFcd и фЛ/5- = SA,BfdPcd. В наших обозначениях ее, очевидно, можно записать н виде 5月产=(1/2)2t^%日)％°少.
Таким образом, операция Fab\-^Fab соответствует перестановка спиноров 2衣夕 и 6«в，・ Следовательно, если тензор Fab действ и телен, мы имеем 巾*日，=6*配 и
£ь =打日力你 + Еав*а‘в‘・(3.4.20
И наоборот, из возможности такого представления следует действительность тензора 尸@儿 Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие [в силу первого из равенств (3.4.18) и выражения (3.4.20)] между действительными бивекторами Fab и симметричными спинорами ^дв. Важный пример такого соответствия дает тензор электромагнитного поля Максвелла (гл. 5, § 1). [В компонентном представлении шесть действительных величин 尸(и,尸02,尸03,尸 12,尸is,尸28 несут ту же информацию, что и три комплексные величины ^оо, Boi, ^и. Связь между ними дается формулами (5.1.59) и (5.1.62).]
По определению дуальный образ *Fab (не обязательно действительного) бивектора Раъ есть
*Fabl=^eabMFcd = ^ea£Fc“(3.4.21)
Таким образом, применяя формулу (3.3.44) к тензору (3.4.17), получаем
*^ab = *^ABArBf =—仲4日％ 岁 + 电評《в〃(3.4.22)
•尸4ВА» = iF^BB次=一 i^baa^(3.4.23)
Мы видим, что дуальному отображению в спинорном формализме отвечает перестановка пары спинорных индексов с последующим умножением на 土i. Из этих формул [а также из (3.345)] следует, что дважды дуальный бивектор равен первоначальному со знаком минус:
"%ь=—凡力(3.4.24)
Разумеется, можно определить дуальное отображение на любой паре индексов, по которым тензор кососимметричен. Например, если Gab^ = 6[аь\ 必 то можно определить *6必厘 как
*Оа&Л ：= "^ ^a^Gcd^(3.4.25)
В этой связи полезна следующая лемма (индекс W заменен индексом С图)：
*G[abc] л = 0 <=> *Q^ai» == 0・(3.4.26)
Для доказательства мы сначала заметим, что [формула (3.3.43)]
G\abc\ L S^S^gc^p^ = - TeabcdePqrdGPqrX =
= -^ea^PPd^,(3.4.27)
а также .
*G。%* = ；ea"G”a№ = ~eabedG]acd]留.(3.4.28)
Можно ввести операции дуального отображения на одном или трех индексах. Пусть /ал —— произвольный тензор, а К*с需— тензор, кососимметричный по а, &, с; тогда мы определяем
(3.4.29)
*Ka% —~q e*c“Kbc&鼾
(3.4.30)
Легко показать так же, как это сделано выше, что
^/а<Ai«<, ^Kabc39 == Kabe彌
(3.4.31)
и (с заменой 加 на d野 н 留 на dS))
fJ\abcd\ Г == Y Cab cd J J 皆,
(3.4.32)
K\abcd\ 切=^ €abcd^K^S>*
Используя (3.3.31), мы получаем следующие спинорные формы записи для (3.4.29) и (3.4,30):
*Jabc状=^AC^B^BA^ ~ 〃ВС%'С乙8”
#Ka冒=у K.ABfBAfBB，
(3.4.33)
(3.4.34)
Возвращаясь к тензору Fab、рассмотрим два случая:
(3.4.35)(3.4.35)L "戶 аь = — *м，П. *F аь = iFab・
(3.4.35)
(3.4.35)
В первом случае мы говорим, что тензор 尸аь антисамодуален, а во втором — тензор самодуален. Ввиду (3.4.23), эти условия эквивалентны следующим:
I. F АВА，В，= F В AAfQf = — FabB"
IL FaBKB，0 — Рва^Вг = FaB&M
Компактно это можно записать так:
(3.4.37)(3.4.37)I* Fabab = Ллв) [А^ВЪ
(3.4.37)
(3.4.37)
Ненулевой самодуальный или антисамодуальный бивектор обязательно комплексный. Очевидно, что величина, комплексно-сопряженная самодуальному бивектору, будет антисамодуальной, и наоборот. Если Fab ——произвольный комплексный бивектор, то тензор
~Fab ：= т (仆 + Г%)=如5в， (3.4.38)
будет актисамодуальным, а тензор
+% ：= т (仆-i*%) = %в5(3.4.39)
будет самодуальным *). Следовательно, всякий бивектор Fab (однозначно) представляется в виде суммы антисамодуального и самодуального бивекторов:
&& = -%&++%&；(3.4.40)
кроме того, если Fab ——действительный бивектор, то эти слагаемые комплексно сопряжены друг другу. Альтернативные необходимые и достаточные условия того, чтобы бивектор Fab был (I) антисамодуалъным или (II) самодуальным, имеют вид (I) фл<в, = 0, (П) ^лв = 0, соответственно. При этом
L РаЬ~ ^А^АГВ^е — 八
и. РаЬ=чв^( °
Дуальный поворот Fab н-> ^Fab определяется следующим об* разом:
^Fab := Fab cos 0 + *Fab sin 9 = -^аЬе-й + +尸如此 (3.4.42)
В силу определений (3.4.38) и (3.4.39) получаем
^^аь ~ L’冲月6%,加 + е‘*評《в八(3*4.43)
Таким образом, в общем случае, операция 尸^—^期尸砒 соответствует операциям Фдв'^^^ав и Фд^ * ^^агв^ т- & переходу ~Fab ~Fab^ и ^Fab и-> ^Fab^. Если бивектор Fab действителен, то преобразованию "в f 丁‘冲厶^ отвечает ото-
1) Выбор именно такой терминологии оправдывается тем, что фотон с положительной спиральностью описывается (положительно-частотным) комплексным полем Максвелла +尸。財 которое самодуально, а фотои с отрицательной спиральностью — антисамодуалъным полем 一尸口加
бражение Fab '^Fab (т. е. отображение 'Fab •—> ~Fabe-f0)- Заметим, что бивектор *Fab есть частный случай бивектора ^Fab при 0 = л/2.
Существует ряд свойств (анти) самодуальных бивекторов, которые легко усматривается в спинорном представлении, но которые далеко не столь очевидны в тензорнрм формализме. Если ~Fab — произвольный антисамодуальный бивектор, а +Gab ——произвольный самодуальный бивектор, то, например,
-Fah + Gab = Q,(3.4.44)
‘工"=+g厂凡,(3.4.45)
Уравнение (3.4.44) легко проверить, используя как тензорный, так и спинорный подход, но уравнение (3.4.45) гораздо проще получить, используя спиноры. Обе части этого уравнения равны просто
6acY«g(3.4.46)
где 工产如坛冲 н +°аб = ^авУа-в» Очевидно также, что существует взаимно однозначное соответствие между величиной (3.4.46) и тензором
F ； Gcd = ^авУсФ^А^сй*(3.4.47)
Чтобы перейти от (3.4.46) к (3447), достаточно умножить (3.4.46) на — %/)电，0 (= — gg), а затем переставить В с С н 4’ с DL Таким образом, от сверток в уравнении (3.4.45) можно перейти к тензорному произведению (3.4.47), а затем выделить тензоры ~Fab и ^Gab с точностью до множителя. В тензорном же представлении эти перестановки индексов отнюдь не являются простыми операциями. Мы вскоре сформулируем общий метод представления таких спинорных операций на тензорах. Для решения задачи, сформулированной выше, можно использовать проекционный («unscrambler») оператор Робинсона:
О血产：={ g Jg&" + »J，} { g Jg/ - т e/ } (3.4.48)
С помощью спиноров нетрудно показать, что
'Fab^Gcd = Dabc/q-F^Grtt.(3.4.49)
Пример, имеющий отношение к равенству (3.4.45) — доказательство эквивалентности различных представлений для электромагнитного тензора энергии-импульса [формула (5.2.3)] которое проводится гораздо проще в спинорном формализме, чем в тензорном.
Общий метод перехода к тензорам
Выше мы видели, что в случае симметричного тензора Таъ перестановка спинорных индексов 4, В приводит к обращению знака следа. В случае же кососимметричного тензора Fab перестановка 4, В приводит к дуальному тензору, умноженному
Г01
на i. В случае произвольного тензора Наь валентности ^ следует рассматривать комбинированное отображение, так как, записывая
Н АА，ВВ，= н (ab) + Я [ab],(3.4.50)
мы имеем
Н BA^ABf = H{ab) + ^H\ab\t(3.4.51)
НАВ，В А' = Н cab) — Т"[аЭ].(3.4.52)
Выполняя эти операции в явном виде, получаем
НВАА^ = 4 (Hab + Hba - H：gab + ie*"喙(3.4.53)
Habb'A! = у (Hg + НЬа - H^gab - leahcdHcd).(3.4.54)
Замечательно, что эти сложные тензорные выражения соответствуют очень простой спинорной операции, а именно перестановке двух индексов.
Для дальнейших ссылок мы приведем также следующие формулы:
(3.4.55)
"旧济―"(AS) ("S') + ”[AB| 依伪！ ~ ^(AB* (4ЛВ0 + T ^АЕ^^В^CCfCC *
(3.4.56)
Мы можем переписать (3.4.53) и (3.4.54), пользуясь определенными тензорными операторами. Положим
Z产=^bV^ = т (gJg/ + g/gj 一 gabgcd + ie。严)•
(3.4.57)
Тогда
Я BAAfBr — и abdHcd и Наввга, = U^Hcd* (3.4.58)
Отметим, что
0%j产，(3.4.59)
UbZ = “' = Ua俨.(3.4.60)
Таким образом, можно, например, написать
цвмв，= UcdabHcd, Навв'а^ = UbadHcd(3.4.61)
и т. д. Выполняя эту операцию повторно, можно представить перестановку любых спинорных индексов некоторого мирового тензора полностью в тензорной форме. Этот результат можно рассматривать как следствие того, что произвольная перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок пар индексов (транспозиций). Рассмотрим, например, тензор Qgcd = Qaa'bb’cc'dd'， Чтобы найти тензорное выражение для Qcabdd^b^^a^ можно рассмотреть следующую цепочку транспозиций:
QABCDAfBfCfDf >—> QBACDAfBfCfDf >—> QcABDAfBfCfDf Ь-> QcABDABGA%
(3.4.62) Таким образом,
QCABDD，B，C，A，= Qamc&U 哂哂力产崎а 产&.(3.4.63)
Ясно, что заданную перестановку индексов можно представить в виде последовательных транспозиций разными способами, и при этом мы получим различные, но эквивалентные выражения вида (3.4.63). Доказательство этой эквивалентности в тензорном формализме может выглядеть очень сложно. Возьмем простой пример. Поскольку перестановка пары нештрихованных индексов всегда коммутирует с перестановкой пары штрихованных индексов, должно выполняться тождество
UabdxUx/{ = йЬсхТиаЛ(3.4.64)
Оно справедливо, так как после свертки с произвольным тензором Rdef обе части равенства должны давать Rb^ac^cb^ Однако прямое доказательство тождества (3.4.64) не столь просто.
Если мы рассмотрим различные представления некоторой перестановки, включающей только нештрихованные спинорные индексы, в виде цепочки транспозиций, то получим ряд соотношений, которым удовлетворяет тензор Uabcd- Например, перестановка АВС ^ САВ может быть представлена как АВС ^ ВАС-^- САВ^ или АВС-^АСВ-^САВ, или АВССВА САВ. что дает
UK3 = U£Ux：i= UbrU^f. (3.4.65)
Очевидно, что с учетом равенства (3.4.60) каждое из этих равенств в действительности эквивалентно тождеству (3.4.64). Если учесть соотношение
% 产〃/f=g/g3， (3.4.66)
которое выражает тот факт, что замена АВ^ ВА^ АВ приводит к тождественной перестановке индексов, то все тождества для тензора Uabcdt которые можно получить указанным мето- дом9 сводятся к уже найденным тождествам ). Мы не приводим подробное доказательство этого утверждения. Оно сводится к доказательству того, что все представления заданной перестановки в виде цепочки транспозиций переводятся друг в друга с помощью преобразований, рассмотренных выше.
Теперь перейдем к задаче представления спинора общего вида %, в форме мирового тензора. Вначале предположим, что все индексы находятся в нижней позиции. (Очевидно, что это не меняет информации, содержащейся в у#・) Если спинор у国=Х# ев，一；尸，имеет одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов, то для перехода к эквивалентному мировому тензору нам потребуется самое большее произвести замену индексов. При необходимости получающийся комплексный мировой тензор можно рассматривать как два действительных мировых тензора, а именно его действительную и мнимую части. Разумеется, существуют различные замены индексов, приводящие к комплексному мировому тензору, например:
XxBCD'E俨*%ЛВСА'В。，ИЛИ ^АВСВ^АР "”" Xrbdb任》， (3.4.67)
Однако с учетом изложенного выше ясно, что все такие мировые тензоры эквивалентны и преобразуются друг в друга путем чисто тензорных операций. Так что при общем анализе не существенно, какой из набора эквивалентных тензоров будет выбран. На практике же этот выбор обычно диктуется соображениями удобства.
Далее предположим, что спинор хл = хл £В 尸，имеет четное полное число индексов, хотя числа штрихованных и нештрихованных индексов могут быть неодинаковыми. Мы называем такой спинор четным. В этом случае мы строим тензорное произведение спинора у* с достаточным числом е-спино-
ров, чтобы полное число штрихованных и нештрихованных индексов было одинаковым. (При этом новый спинор несет ту же информацию, что и исходный.) После такого умножения мы возвращаемся к задаче, которая обсуждалась выше, что позволяет получить комплексный мировой тензор (или два действительных мировых тензора), которым представляется спинор %л. Как и прежде, может быть несколько эквивалентных тензорных представлений. Результат будет тем же и в том случае, если мы возьмем в качестве множителей избыточное число е-спиноров, поскольку эти избыточные спиноры с помощью замены индексов можно сгруппировать в пары вида 8pQep/Q,. В тензорном представлении такая пара есть просто gp屮 Тензор, содержащий такой множитель, несет ту же информацию, что и тензор без него.
Наконец, предположим, что спинор &=% …ев，…р не' четный, т. е. имеет нечетное полное число индексов. Для него не существует полного тензорного аналога, поскольку это — чисто спинорный объект. (Напомним, что любое тензорное произведение нечетного числа спин-векторов или сопряженных спин-векторов в фиксированной точке изменяет знак при непрерывном активном повороте вокруг этой точки на 2л, поскольку при этом меняет знак каждый из сомножителей; спинор у兑 есть сумма таких тензорных произведений, а значит, обладает этим свойством.) Таким образом, мы можем рассчитывать найти требуемое тензорное представление лишь с точностью до знака. Учитывая это, мы можем применить прием, указанный выше, к четному спинору Х*|Х#2， которым спинор определяется с точностью до знака. Можно сказать, что процедура тензорного представления спин-вектора, изложенная в § 2 по существу основана на этом методе. Выбирая в качестве исходного объекта спин-вектор хл, мы «квадрируем» его, чтобы получить четный спинор хдхв. Умножение на ел,в, приводит к комплексному мировому тензору 况产в%① так, как это описано выше. Чтобы получить геометрическое представление этого объекта, мы берем (удвоенную) действительную часть и получаем РАВ = хлх5 £^в^ + гА^^в^ что соответствует тензору (3.2.9) с опущенными индексами. Нет необходимости рассматривать также мнимую часть тензора 乂厶况^^从①，，поскольку она совпадает с одной второй тензора *Раь9 дуального тензору Раь・ Геометрическая интерпретация величины —*₽п& не существенно отличается от интерпретации тензора Раь, поскольку этот тензор изображает изотропный флаг с тем .же флагштоком, что и хл, но полотнище флага повернуто в положительном направлении на л/2 (т. е. соответствует полотнищу флага спин-вектора eim/’x^). Комплекс-
ный бивектор хлхв8л,в, есть просто антисамодуальная !) часть тензора Раь, т. е. тензор -Pg.
Далее, рассмотрим различные тензорные аналоги спинорных операций. Выше была рассмотрена перестановка спинорных индексов общего вида. Легко проанализировать операцию комплексного сопряжения: тензор, эквивалентный спинору, комплексно-сопряженному данному, есть величина, комплексно-сопряженная тензору, эквивалентному данному спинору. Аналогично, умножение четного (нечетного) спинора на скаляр соответствует умножению эквивалентного тензора на тот же скаляр (квадрат скаляра).
Операции тензорного произведения спиноров отвечает, в сущности, тензорное произведение соответствующих тензоров. Проиллюстрируем нетривиальность этих утверждений на примерах. Пусть мы имеем два четных спинора фдв и ^ав©». Эквивалентные комплексные мировые тензоры имеют вид РаЬ = флввл,в, и Qam = *аазс足вс* Как указано выше, тензорное произведение “aKd旧尸 может быть представлено тензором Rabc = ^AB^CArBfCf Очевидно, что тензор Rabe не совпадает с тензорным произведением тензоров Раь и Qabc- Однако путем перестановки спинорных индексов в тензоре PabQcde (т. е. ряда последовательных сверток с величинами U……)мы можем преобразовать его к виду ^AB^CA^C^DESDfE^ ЧТ0 СОВПЗДает С Rabcgde，В ЭТОМ СМЫСЛе Rabe и PabQcde тензорно-эквивалентны.
В качестве второго примера рассмотрим тензорное произведение четного спинора 《力^ с нечетным спинором, скажем Мы переходим к Ра&, как в предыдущем примере, и пусть ХаЬ = 5а5в8д/в,. Тензорное представление тензорного произведения фдвВс принимает вид (ФАВ?С) (^n£?f) ^B^cfD^r- Оно квадратично по ^ав9 а также по 3, тогда как тензорное произведение PabXcd линейно по и квадратично по 姒.Таким образом, эти две величины нельзя рассматривать как «тензорно-эквивалентные» в указанном смысле. Тензорному же произведению спиноров можно сопоставить тензор PabPcdXef-
В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда 鼠 и К/ те же, что в предыдущем примере, и фиксируем второй нечетный спинор, скажем 山灰巾，Для которого Yabcd = f\AA,Blf\BC4^cD. Тензорное произведение тензоров Xab^cdef квадратично и по % и по Tjcc,D/; следовательно, его нельзя считать «тензорно-эквива-
I) Величины Раь, *Раь и ~Раь оказываются изотропными тензорами. Смысл этого утверждения объясняется в § 5 [формула (3.5.28) 1. Поэтому комплексный бивектор -Раь есть антисамодуалъный изотропный бивектор; это означает, что он представим в виде "幺乂^啓/^日乙 Следовательно, существует Жная СРЯЗЬ между такнмн бивекторами н спин-векторами,
лентным» в указанном смысле тензору, представляющему тензорное произведение спиноров lA^cc,Df, поскольку это четный спинор и его не следует квадрировать для получения эквивалентного тензора. Но если 厶 и ЦССФ> известны лишь с точностью до знака и отсутствует информация об их относительном знаке, то четный спинор lA^cc,Df также определен с точностью до знака. В этом случае мы можем рассчитывать найти тензорное представление спинора &а%со лишь с точностью до знака. Следовательно, в лучшем случае мы можем найти тензор, эквивалентный квадрату (鼠加《&)(昆1!/)。，》)，который будет тензорно-эквивалентен прямому произведению XabYCdef-
Несколько иная ситуация возникает в том случае, когда мы имеем ряд нечетных спиноров, относительные знаки которых известны. Тогда знание тензора эквивалентного каждому из них, оказывается недостаточным. Дополнительно требуется найти тензоры эквивалентные тензорным произведениям различных нечетных спиноров. При этом задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, становится неопределенной. Однако, здесь следует иметь в виду, что если известны тензоры 自厘П留，П阕〔П毋？ и %®, то известен и тензор &/& (поскольку известно произведение TUE 妣&
Перейдем теперь к операции сложения спиноров. Если оба спинора четные, то из линейности операции сложения (считая, что тензорные эквиваленты получены одним и тем же способом), мы получаем, что тензор, эквивалентный сумме, есть сумма тензоров, эквивалентных слагаемым. Ситуация не столь проста в случае нечетных спиноров. Пусть U и ти — нечетные спиноры. Посмотрим, как можно выразить сумму
昊+ % =鼠 (3.4.68)
через квадраты спиноров 自流,口尢 и J・ Если спиноры Е“, п厘 и g厘 известны лишь с точностю до знака, то четыре уравнения
& ±以±^=° (3.4.69)
(где знаки варьируются независимо) неразличимы. Рассмотрим тензорное произведение этих четырех уравнений, симметризо- ванное по своим собирательным индексам:
е(办+1V,+競)(к+必,一昊)х
х (К - %, + U) (U - U —，旬)=0. (3.4.70)
Из (3.5.15) следует, что левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда в каждой точке один из множителей обращается в нуль. (Может оказаться, что в разных точках обращаются в
нуль разные множители, но эту возможность мы здесь рассматривать не будем.) После перемножения (3.4.70) получаем
££££ + П*』*几f久t《+ 4必C*K*6凰—2%“iKn“』*«)一
-2q*]4<2昊3寸必)一 2温昊2鼠战4)= 0, (3.4.71)
что, очевидно, можно выразить через тензорные квадраты спиноров ^л, т)л и С的 Таким образом, тензорный эквивалент равенства (3.4.68) для нечетных спиноров можно получить, подставив в (3.4.71) тензоры, эквивалентные произведениям ^^^ ^л^л» и 號石А
Если же относительный знак спиноров 鼠 и % известен, а также найдены тензоры, эквивалентные произведениям Е#Е& %』必 и Ji%/ то задала существенно упрощается, поскольку в этом случае можно непосредственно квадрировать равенство (3.4.68), а затем перейти к тензорам.
Наконец, рассмотрим операцию свертки. Вследствие формулы (2.5.23) свертка есть просто антисимметризация с последующим отделением множителя (1/2)е/у. Таким образом, имея тензорный аналог операции перестановки индексов и сложения, мы можем получить тензорный аналог свертки. Однако проще найти тензорное представление свертки непосредственно используя тензор Uabcd определенный в формуле (3.4.57). Поскольку U*% = елвесое^с8в^\ имеем
中0X4%足АВ =中QcdUa%. (3.4.72)
Итак, мы показали, что (если не считать неопределенности в знаке для нечетных спиноров) всякий спинор и всякая спинорная операция имеет тензорный аналог. Одновременно мы показали, что тензорные аналоги простых спинорных операций могут выглядеть очень сложно. Поэтому на практике при вычислении тензорных эквивалентов спинорных выражений иногда оказывается проще не использовать общую теорию, а найти требуемые соотношения прямым вычислением. Однако для подобных вычислений не существует общего рецепта. Переход к тензорам часто оказывается исключительно громоздкой процедурой. Дополнительные сложности возникают при переходе к,тен- зорным аналогам производных от спиноров. Этот случай мы рассмотрим в гл. 4, § 4.
Простые свойства тензоров и спиноров в точке
В данном параграфе мы рассмотрим ряд полезных соотношений, которые выполняются для спиноров (или тензоров) в фиксированной точке пространства. Другими словами, эти со-
отношения могут нарушаться в случае спинорных полей (хотя в действительности они могут нарушаться лишь для полей специального вида). То, что точка пространства считается фиксированной, мы выразим в виде следующего условия: © есть коль* цо комплексных чисел с делением. [Свойства вплоть до (3.5.17) включительно имеют место и в том случае» когда 0 есть произвольное коммутативное кольцо с делением и нулевой характеристикой, а также в том случае, исключая (3.5.15), когда @ имеет произвольную характеристику, отличную от 2.]
Предложение
Если V厘屮毋=0, то либо 屮# = 0, либо % = 0, (3.5.1)
Доказательство: Поскольку ® есть кольцо с делением, условие (&'“м)(П屬6岛)=0 означает, что 产屮必=0 или п*岛=°・ Это имеет место для всех J” w €", т^ 至◎毋，откуда и следует наше утверждение*
Предложение•
ее3 储6劣=%/舒* 0, то巾# n欢厘，中尸乂一%
для некоторого к w @, отличного от нуля(3.5.2)
Доказательство: Поскольку #% 干 0, можно выбрать Т так» что X := ф^ Ф 0. мы имеем 中М6盛%=緬8盛丝 поэтому *А== = х%л, где х = Х"10^. Очевидно, что х =/= 0, поскольку 巾弘* * 0. Далее 0 = 2〃#图-緬% =緬(х% - %), но хл，0, откуда «毋=覚一8留 в силу предложения (3.5.1).
Предложение
反4"储图%团=%4①%**0，Т0 t^ = %%,
%s> = YgP” Хла = алРй» %m = Ygb для некоторых
а“，В® Yg，Р®(3.5.3)
Доказательство: Поскольку 力&寥娱 0, можно выбрать 守 и п& так, что а,：=葬产也勁 * о- мн имеем 也"⑨大=(%元团n&) (eg0?^)； следовательно, полагая а〃 =九"4%〃勁п^ и ₽л = ^^^, получаем фля = алР^. Аналогично 力夕团=NgV» для некоторых 卩卜,v&. Таким образом, ХлЛя = ^«^^ Рй и в случае предложения (3.5.2) 3 =宀^ и %毋=乂7%踐 Для некоторого хе®. Достаточно положить ps = xv^ и 丫# = %一网，чтобы получить требуемый результат.
Представляют интерес различные частные случаи предложения (3.5.3). Например, если 纱=觎 хл^ = фЛЛ и 力戸=8“， то (3.5.3) дает
〃з Ъя, =е^ = ЪЛя *° следует
Ъ« = алРя» е^ = ¥уРя для некоторых а《，踪，丫卜・
(3.5.4)
Более специальный результат имеет вид
〃з 电局创巾“拂,=^Л^^. * ° следует
屮《阕=覆4卩毋 для некоторых ал> В密. (3.5.5)
Если множество индексов, отвечающих символу 勿，пусто, мы имеем
"3 电《# = %〃％ * о следует
Ъя = Хл?я> %к =旗九 для ^которого 焉.(3.5.6)
Действительно, так как р仞 будет в этом случае (ненулевым) скаляром, в (3.5.3) можно положить C^npiiB毋. Дальнейшее упрощение получается в том случае, когда множество индексов, отвечающих символу 纵 также пусто. При этом мы снова получаем соотношение (3.5.2). Если фиксировать “ =鳳 电^匸％犬 и 力d = 8# в (3.5.2), то мы получим соотношение, которое является специальным случаем соотношения (3.5.4):
〃з %办6吊| = 0 следует: либо Фл = х^
для некоторого хе®, либо ^л = 0.(3.5.7)
Предложение
Следующие три условия на 入厘国夕 эквивалентные
. 入弘毋空q имеет вид р么毋для всякого % w ⑨病
.卜肃 можно представить либо как 覆厘力阕% либо как 8留。卩小
(3.5.8)
Доказательство: Заметим, что условие II можно переписать в виде
从С1爲“%е旧产+人.驟?'、小心一九€幽"入4曲F 一儿《曲F *必禺，“ =°.
059)
Теперь предположим, что выполняется условие I. Тогда получаем соотношение
入*1机Q%R#h产％ = Р《&*必旗2，(3・5・10)
которое симметрично по 纲，％. Таким образом,
(因叫句眼%%, = 0・(3・5.11)
Это справедливо для всех 自q w €q н в силу формулы (3.3.23) мы получаем соотношение II. Пусть теперь выполнено условие II. Тогда равенство (3.5.11) справедливо для любого 坛 w®q. Оно аналогично соотношению, приведенному в предложении (3.5.3), при储雳=%/图唯q =久岛=以用=匕阕(皆=m勿=用), откуда следует условие I. Таким образом, условия I и II эквивалентны. Очевидно, что из условия III следует I. Пусть теперь выполняется условие I, и 九誡嚼%q = P)阕，'/% = = Л・ Поскольку условие II при этом также выполняется, можно свернуть (3.5.9) с 自q^q что приводит к соотношению
(Ps0办一р厘卩公(鼠尸* 一頂册图J =。"(3.5.12)
Вследствие предложения (3.5.1) должен обращаться в нуль один из множителей. Если это первый множитель, то часть выражения
小隐3%，(3513)
кососимметричная по 加卜 j^2» должна обращаться в нуль» если же равен нулю второй множитель, то должна обращаться в нуль часть этого выражения, кососимметричная по 毋卜 图2・ При заданном Eq величины % П〃只 которых выполняются оба эти условия, образуют линейное пространство. Поскольку объединение этих линейных пространств есть @, то одно из них должно совпадать с %; следовательно, выражение (3.5.13) либо кососимметрично по a】，j^2 для всех % 曰 鶴，либо кососимметрично по 例" 留2 @4咒 всех nqw€q・ То же справедливо для 自q・ Таким образом, выражение
77,(3514)
либо симметрично по 加卜 j^2, либо симметрично по 毋卜 ^2- Тогда условие III следует из утверждения (3.5.4).
Предложение
условие屮⑺…川部％+]…川+s『=° означает,
что либо *Ф(/ …/『=0, либо $(厘]…4)。= 0・(3.5.15)
Доказательство*. Это следует непосредственно из предложений (3.3.22) и (3.5.1), примененных к выражению *｛〔...弘夕毋自'】・•・ • • •产打 л 喈^+1 • • •产+s.
Все результаты, перечисленные выше, справедливы для пространства любой размерности. Существует однако, несколько специальных результатов, существенно использующих двумерность спинового пространства. Например, так как из (2.5.23) следует, что свертка спиноров эквивалентна антисимметризации, из (3.5.4) имеем
Если *ф/毋，©&禺耍 °，то 〃з равенства 屮/8&禺=0 следует, что фв = %% %в = Y;Bb
для некоторого рв.(3.5.16)
Если множество 皆 пусто, то в (3.5.16) можно положить %* =» =у"4%； тогда имеем
Если к 啜 0，то из Р^енства 屮誡日九^ = о следует,
что 屮誡5 =标入8 для некоторого 縊.(3.5.17)
Еще более частное утверждение (2.5.56) получается, когда множество а также пусто. •'
Главные изотропные направления
Если учесть не только двумерность спинового пространства, но и тот факт, что кольцо комплексных чисел с делением © алгебраически замкнуто, то справедливо следующее предложение: Предложение
Если бдв …L = 6(AB …L) ¥= 0, то
•中АВ…£ = ЩА^В…必
для некоторых, ал, 0А，..・，Ад W ®4*
Это разложение единственно с точностью до численных коэффициентов при множителях и порядка множителей.(3.5.18)
Доказательство: Выберем спиновую систему отсчета о4, И, такую, что 0 六 ^п... 1 = ^лв...小4科...(Л.
[Очевидно, что это возможно в силу предложения (3.3.22).] Пусть элемент ^Л е ®л имеет компоненты Е°=1, H = z. Тогда если 加в …l имеет а индексов, то
Фав..(Ла1в • - • gL = ^oo.,.o + «2^ю...о+ • •・
+ 2"力"…1 =(5 + 2a1)(00 + 201)• • • (*D + 2%) (3.5Л9)
в силу «фундаментальной теоремы алгебры», причем каждый из п множителей определяется однозначно с точностью до quo Лённого коэффициента и порядкового номера. Рассматривая величины «а> Ва,・.•，九а как компоненты спиноров ад,卩小•・・》九小 мы получаем
(а。+ 2%) = (хаР = сиУ и т. д.; следовательно,
М...工守守.一/=(口4守)(в就6)...(打計).(3-5.20) Таким образом,
{^дв...два(дРв ... А/У&в ... gL = 0 (3.5.21) для любого элемента ^л, нормированного так, что g° = 1. Вследствие однородности уравнения (3.5.21) по 各 эта нормировка оказывается несущественной, а потому уравнение (3.5.21) справедливо для всех Е". В таком случае требуемый результат следует из предложения (3,3.22).
Представление симметричного спинора 加…工*0 в виде симметризованного произведения одноиндексных спиноров ад, ..., Хд называется его каноническим разложением. При этом ал, Хд называются главными спинорами. Всякий спинор, пропорциональный главному, тоже является главным спинором. Направления флагштоков, соответствующих различным главным' спинорам, называются главными изотропными направлениями (ГИН), а соответствующие изотропные векторы называются главными изотропными векторами. Таким образом, всякое ГИН есть класс эквивалентности (относительно умножения на число) главных спиноров. Симметричным спинором 加…工 (，0) с 九 индексами однозначно определяется неупорядоченное множество ГИН, причем некоторые из них могут совпадать друг с другом. Мн говорим, что главный спинор (ГИН) имеет кратность k (k-кратно), если он отвечает множителю кратности k в произведении (3.5.19) и, следовательно, встречается k раз в каноническом разложении. Сумма кратностей ГИН всегда равна п.
Любой ненулевой симметричный спинор 力▲…& определяется своими ГИН с точностью до комплексного множителя. Для любого заданного множества ГИН с предписанными кратностями такой спинор всегда существует. Отметим, что симметричные п；индексные спиноры имеют п + 1 комплексных (т. е. 2п + 2 действительных) степеней свободы, поскольку они имеют п + 1 независимых компонент 力加…о, ^ю...о> • • •, ^и ... ь Это согласуется с тем, что всякое ГИН определяется одним комплексным числом (например 早欢)；это дает п комплексных параметров для всех изотропных направлений, и, кроме того, требуется еще один комплексный параметр ——общий численный множитель в 加…厶・
Из (3.5.20) мы видим, что при ^ #= 0 равенство
小48…廣空6…/=0(3.5.22)
выполняется в том и только в том случае, если 匕从——главный спинор [формула (2.5.56)]. Рассмотрим случай кратного ГИН* Пусть ад есть ^-кратный главный спинор:
Фав... db... £ = а(дав ... а/)т)в •. •入丄)，(3.5.23)
так что ад повторяется k раз в правой части и ни один из спиноров па, ХА не пропорционален ад. Тогда выполняя симметризацию в (3.5.23) явно и сворачивая с произведением 仪£ ・・• а1, содержащим п—论 сомножителей а, получаем
中 ав …de …т* ... а^ = ха дав •・・ ар, (3.5.24) где
к =刃噴■矶(n^) ... (Md)干 0.(3.5.25)
Если же мы свернем обе части； равенства (3.5.23) с произведением п — ^-|- 1 сомножителей а, то в результате, очевидно, получим нуль. Таким образом, справедливо следующее предложение:'
Предложение
Необходимое и достаточное условие того, что 自幺 f 0 будет k-кратным главным спинором для ненулевого симметричного спинора флв.^и состоит в том^ что выражение
中А…gh…2驴...*
равно нулю, если свертка содержит /г —左 + 1 множителей I, и отлично от нуля、если число множителей 三 на единицу меньше.(3.5.26)
В качестве следствия получаем:
Предложение
Если У，0, 6*...c = e^...Q)〃
У...匕*°小彳…CDE...q=0，т。существует спинор 屮:…с，такой^ что
力：…CDE …G = W(A ... C&D&E瓦)・(3.5.27)
Данное предложение прямо следует из (3.5.26), если перейти к фиксированному базису и заменить 趣 индексами, принимающими численные значения.
Мы будем называть симметричный спинор изотропным, если все его ГИН совпадают. Приведем критерий изотропности.
Предложение
Симметричный спинор 中ав …l будет изотропным 6 том и только в том случае^ если выполняется условие
^.，产…" = 0・(3.5.28)
Необходимость этого условия очевидна. Чтобы установить его достаточность, выберем спинор п氏…厶 так, чтобы выполнялось условие
Тогда наше условие дает
Ъв...Зл = о；
но в силу утверждения (3.5.27) это означает, что существует скаляр 屮，такой, что
力4…L^崎4…証)，
откуда следует достаточность.
Отметим, что в случае двухиндексного симметричного спинора фдв = а(Арв)мы получаем прямым вычислением
VabV^ = —у (ад₽Л)2 •(3.5.29)
Отсюда следует альтернативный критерий изотропности: равенство нулю произведения 屮力^屮从气
Иногда полезно использовать понятие ГИН или главных спиноров даже в том случае, когда ^л L = 0. По определению считаем, что всякий ненулевой спинор 士力 можно считать главным спинором для такого 力..“ а роль его ГИН играют все изотропные направления. (В этом смысле нулевой спинор не является изотропным.)
Отметим, что не существует простого аналога утверждения (3.5.18), которое позволяет классифицировать спиноры 中…по кратностям их ГИН, для симметричных спиноров, содержащих как штрихованные, так и нештрихованные индексы. Схема, позволяющая провести классификацию таких спиноров, будет рассмотрена в гл. 8, § 7・
Простота кососимметричных тензоров
В заключении данного параграфа укажем один полезный результат для антисимметричных тензоров в произвольном п-мерном векторном пространстве ©а, который устанавливает свойства, аналогичные свойствам симметричных объектов.
Предложение
Если тензор 尸呻…q кососимметричен по всем р индексам^ то
尸[ар •.. /а] т .. • ш ^。^^ 尸呻・・• Q == @[аЬб • • • %] для Нв*
которых аа> &р. • • • Гр.(3.5.30)
(Тензор 尸…，представимый в виде такого кососимметричного произведения векторов, называется простым.) Необходимость этого условия показывается непосредственно: достаточно выразить второй множитель 尸…через аф 瓦，…，а затем учесть, что каждое слагаемое в сумме должно обращаться в нуль вследствие равенства @似・・• г^а^ = 0 и т. д. Чтобы установить достаточность, заметим, во-первых, что указанное условие можно переписать в виде
尸аВ •・•••• <о = Р尸е 世…，叫 т •••帆(3.5.31)
В справедливости этого соотношения легко убедиться, выполнив антисимметризацию в первоначальном выражении явно и отделив слагаемые, в которых индекс g содержится в первом сомножителе 尸Свертка обеих частей равенства (3.5,31) с маит приводит к обращению в нуль левой его части, откуда следует, что (р — 1)-индексный тензор
М中…о
удовлетворяет тому же условию, что и сам тензор F..,. Теперь предположим, что достаточность условия (3.5.30) для (р — 1)- индексных тензоров уже доказана (в случае р — 1 = 1 доказательство тривиально); тогда мы заключаем, что это справедливо и для p-индексных тензоров. Таким образом, по предположению, при 〃。次 0 имеем
"吓'邙…0 = 6电。 • ■ Qi
для некоторых &р,・・•, гр. Теперь выберем 〃◎ и Gt.-® так, чтобы выполнялось условие
0/ ：=ц> * 0,
и свернем обе части равенства (3.5.31) с uaGT">m. Это дает требуемое соотношение
/**аЗ ... р !== Л|а^ V • • - Го|» где
da — ^-Ffii.. wG'" ®.
Таким образом, мы получаем доказательство по индукции.
Легко видеть, что условие, сформулированное в предложении (3530), эквивалентно равенству
F м% ・.s = 0,(3.5.32)
где тензор *F -- (который имеет м —р индексов, если тензор Е.. имел р индексов) определяется так же, как в (3.4.30) и (3.4.21), соотношением
"f6。= ^-86 …0*. v/?a У.(3.5.33)
[В “-мерном пространстве «альтернирующий» тензор в- ■ имеет п индексов, отличен от нуля и кососимметричен, см. формулу (2.3.4).] Поскольку равенство (3.5.32) симметрично относительно *F- ■• и F .. (с точностью до несущественного расположения индексов), мы имеем следующее предложение:
Предложение
Тензор Fa v является простым при том 以 только при том условии, что простым является дуальный ему тензор *FA- °.(3.5.34)
Соотношения (3.5.30) — (3.5.34) справедливы в пространстве л измерений для кососимметричных тензоров с произвольным числом индексов (^п). Но для нас особенно важным будет случай бивектора FOb в четырехмерном пространстве. В этом случае можно сформулировать дополнительные критерии простоты.
Предложение
В четырехмерном пространстве бивектор Fab будет простым тогда 以 только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
F\a^Fcd\ =0; П. Fab*Fa& = 0; III. det (尸切=0・(3.5.35)
Доказательство. Легко видеть, что
(3.5.36)(3.5.36)P'^ibFa[ d ^^ K|ab尸cd| = Q^abcd
(3.5.36)
(3.5.36)
для некоторого скаляра g и антисимметричного единичного тензора т).. ■• Первое из этих тождеств совместно с предложением (3.5.30) позволяет доказать утверждение I. Сворачивая второе тождество в (3.5.36) с &аЬса при r\abca^abcd =# 0, мы получаем условие II. Его можно проверить и непосредственно, переходя к специальной системе координат. Последнее условие III получается с помощью хорошо известной теоремы, утверждающей, что определитель кососимметричной матрицы есть полный квадрат. Действительно, в нашем случае
det (尸揃=^(凡 JY6产.(3.5.37)
Следовательно, условие III эквивалентно условию П, чем и завершается доказательство нашего предложения.
Отметим, что предложение (3.5.30) справедливо только для тензоров в фиксированной точке пространства и нарушается в случае тензорных полей. Замечательно простым примером может служить бивектор в евклидовом пространстве, который в декартовой системе координат х,弘 z имеет компоненты.
. 0z 一厂
尸 аь й - N0
- у — х 0 -
Он дуален радиус-вектору ra = (х,у, z) и является простым в каждой точке в силу предложения (3.5.34), поскольку объект г®, очевидно, прост. Но из равенства (3.5.32) следует, что raFab = 0. Тогда из Fab = U[aVb] следовало бы, что raUa = =г°У0 = 0, т. е. векторы Ua и VQ должны быть ортогональны вектору * Это означает, что на сфере постоянного радиуса Ua и 匕 задают нигде не обращающиеся в нуль касательные векторные поля. Но из топологии (теорема о «неподвижной точке*) мн знаем, что такие поля не существуют. Отсюда явствует, что теорема нарушается даже в произвольно малой окрестности начала координат.
Следует помнить, что и все другие результаты, перечисленные в данном параграфе, могут нарушаться при переходе от тензоров в точке к тензорным полям.
§ 6. Преобразования Лоренца
В качестве приложения результатов, полученных выше, мы рассмотрим структуру преобразований Лоренца. Наш подход будет несколько иным, нежели в гл. 1, § 2 и 3. Некоторые свойства преобразований Лоренца будут установлены заново, что
поможет лучше понять связь между этими двумя точками зрения.
В частности, мы дадим прямое доказательство ключевого результата гл. 1, § 2 — предложения (1.2.27), которое гласит, что всякому ограниченному преобразованию Лоренца L*: Р° —旷卜 соответствуют два и только два спиновых преобразования 士 Тав :自a f 土т)в, и наоборот. Однако мы пойдем дальше и рассмотрим не только собственные, но также несобственные преобразования Лоренца. (Так же, как в § 5, мн будем рассматривать спиноры и тензоры только в фиксированной точке пространства. Таким образом, © и JJ будут соответственно кольцами комплексных и действительных чисел с делением.)
В наших обозначениях указанные активные преобразования записываются в виде
QVa = Wb9 Tjl =唄・(3.6.1)
Здесь мы требуем выполнения условий 厶广曰堂』и ТАВЕб^в. Искомая связь между этими преобразованиями получается из требования, чтобы при действии на любой вектор Va w 忠° оба они давали один и тот же результат, причем спиновая форма записи преобразования вектора имеет вид
T^Ta^V^ = WBBf.(3.6.2)
Так как элементы LJ и 丁内丁厘 отвечают одному и тому же отображению из 定° в 富°, должно выполняться соотношение
Ь^ = Т/Т^\(3.6.3)
Следовательно, мы должны показать, что если Lab есть ограниченное преобразование Лоренца, то оно всегда «расщепляется» согласно формуле (3.6.3), где Тав есть спиновое преобразование, определенное с точностью до знака; и наоборот, если ТАВ есть спиновое преобразование, то Lab в (3.6.3) всегда соответствует ограниченному преобразованию Лоренца. Запись (3.6.3) в компонентах по отношению к стандартным системам координат приведена в формуле (1.2.26).
Для того чтобы матрица Lab отвечала преобразованию Лоренца, она должна быть действительной и оставлять метрику инвариантной:
EJ = LJ,(3.6.4)
gab = L：LMd・(3.6.5)
Она будет ограниченной тогда и только тогда, когда она принадлежит тому же непрерывному семейству, что и матрица тождественного преобразования gab-
[Линейное отображение между векторными пространствами @" и & всегда можно записать в виде P^aXa = Y^t т. е. отображение 卩纟：守-> ®в есть умножение на матрицу; см. формулу (2.2.37). Это отображение индуцирует линейное преобразование
Рр ： ©а-*@в， удовлетворяющее условию Ра Р% =加=р£р* а значит, линейное преобразование Ра ... Ру P# ... Р\ ： Sp："? f 晚二:$・ Если 4；：：：工》"^ 虚二；,то мы имеем Р± ・・• Р； Р* …・ ...Р%雷二?=瓦二:$; или, что эквивалентно, Ра • •. Р；4；二：7 = —尸力• • • Lt D# .., *
Таким образом, X：：； — инвариант отображения Р2 в том (и только в том) случае, если 普••• Р；/片二：К = Р% -.. Р?《二*・] Чтобы матрица Тав отвечала спиновому преобразованию, она
должна иметь единичный детерминант. Это можно записать в виде
%1产/%3(3.6.6)
так как правая часть кососимметрична по Л, В и, следовательно, пропорциональна едв, согласно формуле (2.5.23), причем коэффициент пропорциональности имеет вид
I T^T^CD^ = det (Т 丹(3.6,7)
Это же соотношение можно получить, рассматривая соотношение (3.6.6) в компонентной записи [формула (2.5.70)]. Условие (3.6.6) означает, что 8-спинор не изменяется при спиновых преобразованиях.，
Пусть задано спиновое преобразование 丁患 а преобразование Z/ определено соотношением (3.6.3). Очевидно, что Lab действительно и удовлетворяет соотношению
8аъ ~ £458*5, = T^TbdTa^ TqP^^^, = L^Lbdgcd, (3.6.8)
так что Lab есть преобразование Лоренца. Более того, преобразование Lab ограничено, поскольку Тав можно непрерывно деформировать до тождественного спинового преобразования 】) Е^в； следовательно, Lab также непрерывно деформируется до £户/‘ = ёа — тождественного преобразования Лоренца. Далее мы покажем, что всякое преобразование LJ, представимое в виде (3.6.3), ограничено.
1) См. замечание III после формулы (1226).
Пусть, наоборот, Lab есть заданное преобразование Лоренца. Оно сохраняет метрику и, следовательно, переводит изотропные векторы в изотропные. В действительности оно переводит в себя множество комплексных изотропных тензоров, так как в силу равенства (3.6.5) мы имеем gabx°^ = (L^') (Lb%b) gcd независимо от того, комплексный или действительный вектор %°. Из (3.2.6) заключаем, что любой комплексный изотропный вектор Xе представим в виде 乂纯勺 Таким образом,
LAAfBB^AlA，= ^.(3.6.9)
Это равенство выполняется независимо от выбора хл и |4\ Следовательно, на основании предложения (3.5.8) можно получить для L.^^^ одно из следующих представлений:
%J炉м =旷紹严н』н 1园严.(3.6.10)
Это должно выполняться для всех хл. Более того, для всех хл должно выполняться одно и то же из двух соотношений (3.6.10). В противном случае в силу непрерывности при некотором ненулевом значении хл должны были бы иметь место оба соотношения, и тогда из (3.5.6) мы умели бы LMtBB，^A = ^^^в\ откуда LAA,BBf (хлрл?) ^ 0 в нарушение требования несингулярности преобразования L3; то, что преобразования Лоренца не могут быть сингулярными, следует прямо из (3.6.5) [ср. с формулой (3.6.19) ниже]. С учетом предложения (3.5.8) из (3.6.10) заключаем, что L^产卧 можно представить одним из следующих способов:
L%/%% IL 吃嵋，III. ^W> IV・F%严(3.611)
Можно отбросить I, поскольку тогда LMBB，(ij)Bi|5B/) — 0, a а также IV, так как в этом случае LaJ"⑸侖力匸。；в обоих случаях преобразование LA^Bf было бы сингулярным.
Остаются возможности II и III. В обоих этих случаях условие действительности преобразования Lab (3.6.4) дает
又%謂=8靓丸口/"』П小/卜/‘(3.6.12)
соответственно. Таким образом, в силу предложения (3.5.2) имеем
孫= О0%,酰=<хТ猾；Ц4= Р^ДВ» 箝尸=旷％4尸，(3.6.13)
откуда следует, что а и 0 должны быть действительными. Включив множитель |а|1/2 в определение величины 8% а |р 产一
в определение величины 加气 мы получим в зависимости от того, будет ли положительным или отрицательным а в случае П, а 8 в случае Ш, четыре возможных варианта:
LaA』“ =± 8笃&"，(3.6.14)
Laa/BB，= 土 中а^а尸.(3.6.15)
Подставляя это в (3.6.5), находим что det (0ВА/)(= =(1/2)е^А^с^ и det(力b)( =(i/2)6J%%4c%d) 口。модулю равны единице. Если мы нормируем эти детерминанты так, что будут выполняться условия
det®B«)=l, det(^/) = 1(3.6.16)
(фазовый множитель включен в 0% или 6J), то в каждом случае в (3.6.14) и (3.6.15) получим 0ВЛ, и 力广 с точностью до знака соответственно.
Сворачивая каждое из выражений (3.6.14) и (3.6.15) с изотропным вектором х4хл/, направленным в будущее, мы видим, что результирующий вектор направлен в будущее в том и только в том случае, если в этих выражениях выбран знак плюс [формулы (3.2.2) и (324)]. Таким образом, знак плюс отвечает ортохронным преобразованиям Лоренца. Преобразования со знаком минус включают обращение времени. Чтобы выяснить, какое из преобразований (3.6.14) и (3.6.15) является собственным, достаточно рассмотреть действие преобразования Lab на антисимметричный единичный тензор еаьс^ [Тетрада Минковского будет собственной или несобственной в зависимости от знака в правой части равенства еаьс^^Ус^ = ±1, ср. с формулой (3.3.37); таким образом, тензор еаьса определяет ориентацию векторного пространства Минковского.] Имеем
^= 士 厶典配SMms = 士 det (丄/) eabcd,(3.6.17)
где знак плюс отвечает тому и только тому случаю, когда LJ есть собственное преобразование. Подставляя (3.6.14) и (3.6.15) в (3.6.17) и используя определение (3.3.31) и эквивалентную форму записи условий (3.6.16)
%，& =力户％，％处 8лв =中 А°*в%са(3.6.18)
мы находим, что вариант (3.6.15) с любым знаком отвечает собственному преобразованию, а вариант (3.6,14) с любым знаком—несобственному. Следовательно, ограниченным преобразованием Лоренца отвечает вариант (3.6.15) со знаком плюс. Полагая Тав = ^дв» получаем требуемое представление (3.6.3).
Его можно также получить, заметив, что преобразования (3.6.14) нельзя непрерывно деформировать до тождественного преобразования Лоренца 84日£«斤. Действительно, любоб непрерывный путь в пространстве матриц, начинающийся с 厶仙日® вида (3.6.14) и оканчивающийся в ^^г^^ приводит в некоторой точке к матрице, удовлетворяющей одновременно как условию (3.614), так и условию (3.6.15). В силу предложения (3.5.3) матрица 厶从/囱 тогда представима в виде прямого произведения четырех одноиндексных спиноров, а значит, сингулярна. Ограниченные матрицы Lab (т. е. матрицы, которые путем непрерывной деформации переводятся в единичную матрицу) и матрицы обратного знака образуют класс собственных преобразований Лоренца. Следовательно, они имеют вид (3.6.15).
Можно рассмотреть структуру преобразования Лоренца в свете найденного нами спинорного представления. Заметим, что, поднимая индекс b и опуская индекс d в выражении (3.6.5), мы получаем LacLbc = gj, откуда следует, что матрица обратная матрице LJ, имеет вид
〃=厶上(3.6.19)
Применяя ту же процедуру к (3.6.18), получаем
吃婚=一 〃尸，力"% = 一 %3(3.6.20)
откуда следует, что обращение отображений 崂：⑥"一*^® и 力人^:色幺―дн дается соотношениями
宓=—弟'，3/ = —У京(3.6.21)
Несобственные преобразования‘
Сначала рассмотрим несобственные преобразования Лоренца. Они могут быть записаны в виде (3.6.14), и, следовательно, такие преобразования характеризуются величиной в|\ удовлетворяющей условиям (3.6.16), т. е. комплексным мировым век” тором% = 8^' длины д/2：.
0®0fl = 2(3.6.22)
[поскольку условие (3.6.16) дает (\/2)^ваЪва^ = П* Соотношение между 0а и преобразованием Лоренца Lab в спинорном представлении следует из (3.6.14):
Lab = 士 ^ва^ав^(3.6.23)
Поскольку правая часть есть дроизве^^^е р=8вВд, в котором индексы Л и В переставлены, можно ис11Ьльзовать теорию § 4, чтобы получить тензорную форму записи этого выражения:
Lab = ± ^^JJаЬ^4»(3.6.24)
где иаьса — оператор (3.4.57). Раскрывая полностью выражение (3.6.24), получаем
土 Lab = в(а0ь)— ^ 且/范 + — %加肃呼 *(3.6.25)
как общее выражение для несобственного преобразования Лоренца. в котором вектор в° должен удовлетворять только условию (3.6.22). Знак плюс в формуле (3.6.25) соответствует орто- хронным преобразованиям Lab.
Особый интерес представляют инволютивные несобственные преобразования Лоренца, т. е. совпадающие со своими обратными, поскольку оии отвечают отражениям пространства-времени относительно линий или гиперплоскостей. В этом случае с учетом равенства (3.6.19) условие справедливости равенства
L4b=厶/ принимает вид
Ьай = Lba.(3.6.26)
Отсюда на основании (3.6.23) заключаем, что преобразование Lab инволютивно тогда и только тогда, когда вектор 0а пропорционален вектору 6а. Ввиду нормировки (3.6.22) это означает одно из двух:
Либо 0д — действительный и времениподобный вектор,
(3.6.27)
Либо i6fl — действительный и времениподобный вектор.
Тогда (3.6.25) принимает вид
± Lab = 2几％ — gq"匕，(3.6.28)
где 丿。一действительный единичный вектор^ который равен 2-1/20а в случае I и i2-1/20a в случае II.
Ортохронным преобразованиям по-прежнему отвечает знак плюс в формуле (3.6.28). Если У°—времениподобный вектор, то орто- хронное преобразование LJ есть «отражение пространства относительно точки» или, более корректно, отражение относительно времениподобной прямой. Неортохронное преобразование есть отражение относительно ортогональной гиперплоскости. Если вектор Vе пространственноподобен, то ортохронное преобразование Lab есть «отражение пространства относительно плоскости» или, более корректно, относительно времениподобной гиперпло-
скости. Неортохронное преобразование есть отражение относительно ортогональной пространственноподобной прямой. .Следует отметить, что два разных вектора 士口 приводят к одному и тому же преобразованию 厶以匕，поскольку знак в спинорном преобразовании л8 =8彳£* не определяется заданием действия Lab на векторах. Однако во времениподобном случае существует инвариантное различие между векторами Va и —叱 поскольку первый из них направлен в будущее, а второй в прошлое.
Собственные преобразования
Теперь перейдем к собственные преобразованиям Лоренца. Они задаются формулой (3.6.15):
Lab = 士 В АВ 中 AW(3.6.29)
где ФаВ — спиновое преобразование, удовлетворяющее условию (3.6.18) и условию
0ав¥в = 2.(3.6.30)
Выделим симметричную и антисимметричную части
величины
勿8：
Фав = “дв + фдв，
(3.6.31)
где
Фав = Wba・
(3.6.32)
Подставляя
(3.6.31) в (3.6.30), получаем
у? — V2= 1,
(3.6.33)
где
V2 ：=—貝двМ.
(3.6.34)
Таким образом, с точностью до знака в определении у (эта неопределенность исчезает только при v = ±i) спиновое преобразование 屮斗'однозначно определяется произвольным симметричным спинором фдв.
Если подставить (3.6.31) в (3.6.29), то мы получим для Lab разложение
士 L0b = pgab + Fab + Tabt(3.6.35)
где ", Fab и Tab действительны и определяются следующим образом:
Р = НН，Fab = ^а^В + 卜04&&ДВ，
Tab =屮ДвОа仲，(3.6.36)
причем тензор Таь симметричен и имеет нулевой след, а тензор Fab кососиммегричен. Тензор Fab так же связан с тензором
(2л)-〔рТао, как тензор напряженности электромагнитного поля с тензором энергии-импульса того же поля [формула (5.2.4)]. Этого достаточно, чтобы обеспечивалась форма (3.6.36), а отсюда следует, что преобразование Ьаь, записанное в виде (3.6.35), пропорционально собственному преобразованию Лоренца. Если, кроме того, det(Lab)= 1 {что эквивалентно нормировке (3.6.33) 1, то LJ есть собственное преобразование Лоренца, причем ортохронное, если в (3.6.35) выбран знак плюс и р > 0.
В силу предложения (3.5.18) ^ав можно записать в виде симметризованного произведения одноиндексных спиноров, скажем
^АВ=^В + 04%，(3.6.37)
так что с учетом определения (3.6.34) можно положить
V =(Хдрл.(3.6.38)
Имеем адРв — авР^ = уедв, а потому при условии v ^= 0 из (3.6.31) следует выражение
Зв = (1 + ^) адРв + (1 一 ^) В4aB.(3.6.39)
Если же V = 0, то ад и 0в пропорциональны друг другу и можно положить ₽д =(1/2)^ал, откуда
6ав = елв + S/%，(3.6.40)
Отметим, что в обоих случаях (3.6.39) и (3.6.40) величина см есть собственный спинор спинора ^дв в том смысле, что произведение 中аВ^в пропорционально ад：
力 J% =(卩 + V)%,(3.6.41)
причем соответствующее собственное значение равно 卩 + v [= 1 в случае (3.6.40) ]. Если выполняется (3.6.39), то 也 также есть собственный спинор спинора ^в, отвечающий собственному значению ц —V. Если справедливо выражение (3.6.40), то единственным собственным спинором спинора 勿(с точностью до численного множителя) будет ^а； другими словами, два главных направления спинора Фав совпадают друг < другом. Таким образом, ясно, что ГИН спинора фдв совпадают с главными направлениями спинора 勿 в.
Это можно показать, не используя каноническое разложение спинора ^ав. Легко видеть, что при заданном ал спинор $ав можно представить в одной из форм (3.6.39) и (3.6.40), поскольку из равенства ^safl = ga4 следует, что (勿® —— 気力外仪^匸 =0. Тогда в силу утверждения (3.5.17) мы имеем 力^口 一己£力6 = =Y4as для некоторого уд. Если спинор уд пропорционален спинору ад, то мы приходим к случаю (3.6.40). В противном случае
выражаем елв через ал и ул и получаем представление (3.6.39), в котором величина уд пропорциональна ₽л-
Собственные спиноры спинового преобразования важны потому, что направления их флагштоков есть изотропные направления, инвариантные относительно соответствующих преобразований Лоренца. Из (3.6.29) и (3.6.41) имеем
W = lH + v|2t/e,(3.6.42)
где Uq — изотропный вектор, который определяется соотношением
Ua := алад/.(3.6.43)
Если два изотропных инвариантных направления не совпадают друг с другом, можно выбрать спиновую систему отсчета так, чтобы ее флагштоки совпадали с этими направлениями, т. е.
以：=%, ол : = — у-1Рд.(3.6.44)
Тогда матрица спинового преобразования принимает следующий вид:
= ("U(/v)T)(3645)
[где в силу равенства (3.6.33) мы имеем ц — v = (ц +v)-1]. Сравнение с формулами (1.2.31) и (1.2.37) показывает, что это есть «вращение вокруг оси г на угол р», если “ +v = ехр(й|з/2), где 屮 ——действительно; если же 卩 + v = (1 — v) ~1/4(1 + u)1/4f где 。——действительно, то это будет «буст в направлении оси г со скоростью ”； в общем случае это — «четырехмерный поворот относительно оси z》[формула (1.3.4)].
Когда два инвариантных изотропных направления совпадают, мы имеем изотропный поворот. Тогда можно выбрать спиновую систему отсчета так:
14 :=a/，(3.6.46)
а ол произвольно. В этом случае матрица спинового преобразования (3.6.40) принимает вид
= (；-；)•(3.6.47)
(При необходимости можно выбрать масштаб м = ал так, чтобы выполнялось равенство —占=L) Сравнивая (3.6.47) с (1.3.7), мы убеждаемся, что это есть «изотропное вращение вокруг оси г*. Отметим, что собственное значение оператора @а равно единице. Таким образом, изотропное вращение оставляет инвариантным и флагшток, и полотнище флага любого спинора,
направление флагштока которого совпадает с инвариантным изотропным направлением.
Особый интерес представляют собственные инволютивные преобразования Лоренца, поскольку они отвечают отражениям относительно 2-плоскостей в пространстве-времени. Применяя условие инволютивности Lab = Lba [формула (3.6.26)] к выра* жению (3.6.35), получаем, что Fab = 0, откуда либо ^>ав = О, либо 卩=0. Случай ^лв = 0 не интересен, поскольку тогда спинор Фав сводится к ±едв. Таким образом, общее инволютивное преобразование Лоренца записывается в виде
±L/ = ^ = V^B，. (3.6.48) где, как отмечалось выше (и подробнее будет показано в гл. 5, § 2), бесследовый симметричный тензор Таь имеет вид электромагнитного тензора энергии-импульса. Выбор знака плюс в (3.6.48) приводит к ортохронному преобразованию LJ, которое можно охарактеризовать как «отражение пространства относительно прямой линии» или, более корректно, отражение относительно времениподобной 2-плоскости. Неортохронное преобразование Lab отвечает отражению относительно пространственноподобной 2-плоскости. Упомянутая времениподобная 2-плоскость натянута на инвариантные изотропные направления (т. е. на флагштоки спиноров ал и рл), а пространственноподобная плоскость является её ортогональным дополнением.
Поскольку м = 0, формула (3.6.33) дает v2 = —1. Таким образом, в силу определения (3.6.34) имеем det(p4B)= 1 = = det(243) Отметим, что, как и в формуле (3,6.20), отсюда вытекает равенство .
办期с = %в. (3.6.49)
Иногда оказывается удобным изображать элемент 2-плоскости с помощью симметричного спинора, такого, как фдв. Если элемент 2-плоскости не является изотропным [т. е. v * 0 в формуле (3.6.34), так что направления флагштоков спиноров а4 и 俨 не совпадают], то удобно выбрать нормировку (3.6.49) или
巾何产с = — е/・• (3.6.50)
Точно так же элемент ортогонального дополнения к гиперплоскости можно изображать с помощью эрмитова спинора 0дв^ (= 0двО> используя нормировку
勿卩胪0* = ± е/・ (3.6.51)
Величины типа 巾从"и 0^B оказываются очень удобными для описания локальной геометрии в окрестности выбранной точки,
поскольку их «матричные произведения» соответствуют простым геометрическим операциям, а именно последовательным отражениям относительно прямых, плоскостей и т. д. Указанные нормировки означают, что квадраты этих матриц равны тождественному оператору вд или ед/ со знаком плюс или минус.
Инфинитезимальные преобразования
Мы закончим данный параграф кратким описанием инфинитезимальных спиновых преобразований и ассоциированных с ними преобразований Лоренца. Хорошо известно, что инфинитезимальным преобразованиям Лоренца отвечают двухиндекс- ные антисимметричные тензоры. Это можно получить следующим образом. Пусть Lab(K) — однопараметрическое свойство преобразований Лоренца, гладко зависящих от параметра X, причем значению % = 0 отвечает тождественное преобразование
^ь(0) = §Д(3.6.52)
Инфинитезимальное преобразование Лоренца SJ, отвечающее этому семейству, имеет вид
SJ：=|4"Q 矶.(3653)
Вычислив с учетом формул (3.6.52) и (3.6.53) производную по Z выражения (3.6.5)
ёаь = LJ (九)Lb (X) &曲
(3.6.54)
мы получим
о = Sjg/g“ + g^S/gcd,
(3.6.55)
откуда
Sab — —Sba
(3.6.56)
Чтобы восстановить конечное преобразование Лоренца из бесконечно малого, выполним «экспоненцирование». По определению
exp (Р*)： = 6* + Р/ + 4" Р/Р J +(3.6.57)
Тогда, если
PjQ* = QjP：(3.6.58)
то формально получаем〔)
exp(Pj)exp.(QY°) = exp(Pa° + Q『)・(3.6.59)
I) Как нетрудно показать, ряд (3.6.57) всегда сходится и равенство (3.6.59) всегда выполняется, есдм выполняется равенство (3.6.58) [93].
Далее, для любого заданного кососимметричного тензора Sab определим
L： := exp(Sj),(3.6.60)
что дает'
厶 0&5/ = exp (Sj) gcd exp(S/) = exp (Sj) exp (SJ) geb = =exp (Sj) exp (—S/) geb = exp(S/ — SJ) geb = =ёаёеЪ = gab・(3.6.61)
Таким образом, Lab есть преобразование Лоренца.
Аналогично, рассматривая гладкое однопараметрическое семейство спиновых преобразований 力"(К), для которых
^В(0) = елв,(3.6.62)
можно определить инфинитезимальное спиновое преобразование алв соотношением
。/：=陽川矶(3.6.63)
Дифференцируя обе части равенства
= 6а° (九)6н" 3) %d(3.6.64)
[формула (3.6.6)], получаем
о == СГдС8в бел "Ь ^а^^в ccd = ^ав — ^ва； (3.6.65) следовательно, матрица адв симметрична. Если, наоборот, задана некоторая симметричная матрица gab, то, полагая
，/ :— ехр (алв),(3.6.66)
получаем
^a^cd^ = ехр (алс) eCDexp (aBD) = ехр(адс) ехр (—о%) &ев =
=ехр (алс) ехр (—%*) е£В = ^а^ев = елв-(3.6.67)
[При переходе ко второй строке использовано соотношение ^сй^в"^^^^ —仃日‘办。(—%с) = °"J (一Opq) (—^%) = (—<^вр) X X (―1q)(―内匕)=(―dp)(—1q)(—KJeebL Таким образом, 夕力"есть спиновое преобразование.
Чтобы найти соотношение между инфинитезимальным преобразованием Лоренца и инфинитезимальным спиновым преобразованием, рассмотрим производную по X выражения
Lab (簿=6ав (九)0«& (簿.(3.6.68)
8 S«. 1142
Получаем
Soft = ^AB^AfBf + 8дв6«В乙(3.6.69)
[Ср. с формулой (3.4.20).] Наоборот, пусть Sab и “в связаны соотношением (3.6.69) или, что эквивалентно, соотношением
■ S『=er J®/产 + 办％«" •(3.6.70)
Поскольку слагаемые в его правой части «коммутируют», переходя к экспонентам левой и правой частей и используя равенство (3.6.59), получаем требуемое соотношение
了 = “手 J'，(3.6.71)
где Lab — величина (3.6.60), а ^лв ——величина (3.6.66).
Выразим 力в через алв. Для этого положим
Р2 ：= 4•以в。叫(3.6.72)
Тогда
^ав^с^ = Р%4С，(3.6.73)
так что
『储)『京)=-8/(3.6.74)
(временно считаем, что р*0)・ Произведение р""'%' формально ведет себя как《i》，а потому имеем
ехр (цр"1^5) = едВ cos 卩 + р_1алв sin ц. (3.6.75) Полагая *
X := АР"4,(3.6.76)
получаем
ехр(Халв) = елв cos (р九)+ ад^р"1 sin (р*) =: ^лв (X). (3.6.77)
Если заменить произведение р"1 sin(p%) его. предельным значением при pf 0, а именно величиной %, то можно воспользоваться выражением (3.6.77) и в случае р = 0:
ехр а。/) = е/ + алвХ = #/ 3).(3.6.78)
Таким образом, имеем
В/ =力/⑴匸 е/ cos р + алвр-' sin р. (3.6.79)
[Отметим, что cosp и р*1 sin р — четные функции и, следовательно, не зависят от выбора знака величины р в формуле (3.6.72).] Соответствующее преобразование Лоренца Lab нам даст формула (3.6.35), если подставить в (3.6.36) фдв ^ стдвр-1 sin р и ц = cos р. Случай р = 0 [т. е. (3.6.78)] соответствует изотропным вращениям 仲ормулы (3.6.40) и (3.6.47)].
4
Дифференцирование и кривизна
§ 1- Многообразия
^ В гл. 2 и 3 мы не интересовались деталями структуры модуля ®* спин-векторных полей. Хотя в гл. 3, § 1 возникла необходимость связать структуру модуля с понятием мирового вектора, существенное свойство мировых векторов ——то, что они принадлежат пространствам, касательным к пространству-времени 4 — не использовалось.
Но результаты предыдущих глав. приложимы и к таким задачам, которые существенно отличаются от рассматриваемых в данной книге. Мы проиллюстрируем эту разницу на примере, взятом из теории элементарных частиц. Рассмотрим «пространство изотопического спина». В соответствии с названием оно имеет (поверхностное) сходство со спиновым пространством. Обычные спиновые состояния нуклона могут быть представлены как линейные комбинации двух состояний, скажем «спин вверх» и «спин вниз», с комплексными коэффициентами. Точно гак же состояния изотопического спина нуклона являются линейными комбинациями двух состояний «протон» и «нейтрон* с комплексными коэффициентами. Несмотря на формальное сходство, между этими ситуациями существует принципиальное различие. Оно состоит в том, что различные направления в спиновом пространстве ассоциируются с направлениями в пространстве-времени, т. е. важны соотношения между соседними точками, тогда как направления в изотопическом пространстве не связаны с подобной структурой.
Можно также привести математические примеры, в которых элементы базиса модуля ассоциируются с соотношением между соседними точками, но эта связь имеет иную природу. Рассмотрим четырехмерное действительное многообразие, которое является двумерной комплексной «поверхностью*. Касательное пространство в каждой точке содержит два комплексных направления и имеет структуру, идентичную структуре спинового пространства. Однако эта конструкция существенно отличается от той, которую мы будем рассматривать ниже. Соответствие меж-
ду спиновым пространством и направлениями в многообразии должно быть установлено через посредство пространства мировых векторов. Как мы увидим, формальным следствием этого является то обстоятельство, что оператор дифференцирования имеет два спинорных индекса, а не один.
Как же выразить соотношения между соседними точками пространства-времени? Для этого нам следует уточнить понятие касательного вектора или поля касательных векторов. Мы определим векторы как производные по направлению, действующие на скаляры на многообразии (ср. формулу (1.4.1)]. Следовательно, вектор «направлен» так же, как производная, характеризующая быстроту изменения скаляра. Эти производные по направлению полностью характеризуются своими формальными свойствами — свойствами отображений системы скалярных полей, которая содержит всю информацию, необходимую для определения структуры многообразия 质 и системы касательных векторов на нем.
Поскольку скалярные поля играют фундаментальную роль в нашем методе, да и сами координаты системы можно мыслить как множество скалярных полей, представляется удобным установить аксиомы, определяющие многообразие исключительно на основе свойств скалярных полей. Для большей общности мы проведем рассуждения в форме, пригодной для любого «-мерного (хаусдорфова, паракомпактного, связного) многообразия. Это не приводит к дополнительным усложнениям. Только в § 4 мы перейдем к специальному случаю пространства-времени Ж. В данном параграфе рассуждения первоначально будут проведены в случае действительных С°°-скалярных полей. Для обозначения системы таких полей мы пользуемся (как прежде) буквой X. Система комплексных С°°-скалярных полей в свою очередь может быть определена через 5 (как £ ® i£).
Мы рассматриваем Л как абстрактное множество точек, структура которого определяется непустым множеством 5, каждый элемент которого fw£ (называемый скаляром) есть отображение
f ： R・
Специальный выбор элементов множества 支 позволит полностью охарактеризовать Z как дифференцируемое многообразие при наличии достаточно полного набора аксиом для 支.Возникающая на 胤 дифференцируемая структура оказывается такой, что каждый элемент множества Т является фактически С^гкалярным полем. Наш выбор аксиом основан на системе аксиом, представленной в работе [31] (см. также [128]). Она полностью эквивалентна обычному определению многообразия, данному, например, в монографиях [84, 91, 102, 104].
В качестве первой мы выбираем следующую аксиому:
Аксиома
Если %,府，• • •> fr ^ 2 « если F: R，f R есть любая С^-действительнозначная функция г действительных переменных, то функция F(fy f2> •・・•力)[рас~ сматриваемая как функция на 風、г. е・ F (Д,... …，f，P = F(fi(Р)，…，L*(P))，Р已嵐 тоже есть элемент множества 2.(4.1.2)
Отметим, в частности, что, поскольку любая константа есть С°°-функция, любое отображение (4.1.1), которое сопоставляет каждой точке множества Л одно и то же число 幺 т. е. любое постоянное отображение^ будет элементом множества 5. Этот элемент £ мы обозначаем той же буквой А. Подмножество множества £, состоящее из всех постоянных отображений, мы будем обозначать через Я. Очевидно, что Э? есть кольцо, изоморфное пространству R. Поскольку сложение и умножение принадлежат классу С°°-отображений: R?f R, в соответствии с аксиомой (4.1.2) мы заключаем, что множество 宅 наделено операциями сложения и умножения, определенными следующим образом:
(f+g)(p) := f(p) + g(p),
<fg)(p) := f(p)g(p)()
для всех Р ^ Л. Следовательно, в £ введена структура коммутативного кольца 0 с единицей [формула (2.1.22)], причем О, 1 w Э? и 支・ Очевидно, что 支 также есть векторное пространство над Я. Вместе взятые, эти свойства наделяют £ структурой коммутативной алгебры над 91.
Для формулировки двух следующих аксиом нам потребуется понятие окрестности точки Р ^Л. Мы определяем 5-окрестность точки Р как множество точек «Ж, в которых f *0 для некоторого f 三支，такого, что f(P)=#O. (Напомним, что эта процедура использовалась в гл. 2, § 4.) Очевидно, что пересечение двух 5-окрестностей тоже будет 5-окрестностью, так как если множество 弘 определено с помощью функции f*0, а множество F — с помощью функции g=/=0, то множество 砲 Г|У определено посредством элемента fg =/= 0.
Мы приписываем множеству Л топологию, генерируемую системой 5-окрестностей. Таким образом» подмножество множества Ж будет открытым при том и только том условии, что оно
1) Оказывается, что 4 может быть полностью и однозначно восстановлено по заданной структуре кольца в £. .
является объединением S-окрестностей !). Можно показать, что в этой топологии
Всякий элемент множества ? есть непрерывная функция на Л.(4.1.4)
т. е< прообраз открытого интервала в R при отображении каждым элементом множества 支 есть открытое множество в Л. Для доказательства (4.1.4) возьмем открытый интервал а V % V > b (где а V Ь) н определим С°°-«колоколообразную» функцию
в а ь (%)=в а ь (%)=0 при х^а или bV%,
в а ь (%)=
в а ь (%)=
exp J _」(—)) приа<х<6. 心用
При любом отображении прообраз интервала a<Zx<.b есть открытое множество, определенное так, что 0^ Batb(f)^^ чем и доказывается наше утверждение.
Следующая аксиома наделяет действительнозначные функции на 4 принадлежащие множеству 心 свойством «локалв ности». (Мы полагаем, что С°°-гладкость есть одно такое локальное ограничение.)
Аксиома、
Если g：质->R и если для всякой точки Р^ Л существуют Z-окрестность 弘 точки Р и элемент f 三更，который согласуется с g в ^U, то g^Z.
(4.1.6)
Отметим, что эту аксиому можно сформулировать иначе: если g: Jt f R и если для всякой точки Ре/ существуют Л, f 曰应, удовлетворяющие условиям 无(Р)0, ^f = Eg, то g ^ £.
Наконец, нам потребуется аксиома» определяющая Л как «локально n-мерное евклидово» многообразие. Здесь п—фиксированное целое число.
Аксиома
Для всякой точки Ре/ существуют ^-окрест- ность 纵 и п элементов х1, •・•,力"曰宅，таких, что: 1) для двух данных точек множества 發 по край* ней мере один из элементов х® принимает различи ные значения 8 этих точках и 2) всякий элемент f 曰堂 может быть приставлен в 也 как С^-функ,- цня от %i, ♦ ♦ * •(4.1.7)
Скаляры %* %彳..,%* введенные в (4.1.7), назовем локальными координатами в окрестности точки Р. Множество 以 назовем локальной координатной окрестностью, а пару (也，х1)— локальной координатной системой. (Такая терминология, в соответствии с которой координаты оказываются частным случаем скалярных полей, несколько расходится с их классическим определением. Однако она вполне логична в свете современных исследований, в которых векторы, тензоры, скаляры и т. д. определяются не классическим способом, основанным на преобразованиях координат.) Свойство 1 в аксиоме (4.1.7) означает, что величины х° могут служить метками точек в 以.Благодаря (4.1.4) это отображение непрерывно и сопоставляет различным точкам различные координатные метки. Свойство 2 в (4.1.7) [вместе с (4.1.2) при г = п] означает, что х° есть несингуляр^ ная координатная система1) в 以,поскольку, будучи ограниченными на % элементы множества £ в точности совпадают с теми элементами, которые представимы С^-функциями координат л^.. Если ввести координатную систему *\ которая покрывает другую 5-окрестность 电 в соответствии с (4.1.7), то на пересечении ^П^ каждая система координат должна быть представима как набор С°°-гладких функций от другой. Это обеспечивает связь между нашим определением многообразия и более привычным, использующим - перекрывающиеся координатные карты.
Нетрудно даже доказать эквивалентность этих двух определений. Из аксиом (4.1.2), (4.1.6) и (4.1.7) следует, что локальные координаты системы (發，*") из (4.1.7) содержат покрытие Я таким набором координатных окрестностей, который удовле-' творяет всем стандартным требованиям. И наоборот, если на основе стандартного определения задано хаусдорфово многообразие 4 то мы можем определить Т как множество, содержащее лишь те действительнозначные функции на Л、которые могут быть представлены как С°°-функции координат. Тогда 冢 удовлетворяет трем аксиомам (4.1.2), (4.1.6), (4.1.7) и М будет многообразием в соответствии с нашим определением.
Из нашего определения топологии многообразия Л и аксио・ мы'(4.1・6) следует, что
9 Для формулировки аксиомы (4.1.7) пригодны не всякие локальные координаты. Рассмотрим, например, плоскость, в которой введены обычные полярные координаты г, 0. Они покрывают часть плоскости, отвечающую неравенствам г > 0, 0 •< Э < 2я. Однако координата 0 не может быть продолжена до Сто- (илн даже С0-) функции на всем множестве ”， откуда 0^Х,. игэти специальные локальные координаты не принадлежат классу координат, указанному в аксиоме (4.1.7). Это справедливо даже для области О < 0 < л, поскольку функция г = (х2 + у?) "2 не может быть продолжена как С"-скаляр в начало координат, так что г 啓雷，
風 есть хаусдорфово топологическое пространство.
Это означает, что для любой пары различных точек Р, Re4 может быть найдена такая пара неперекрывающихся 2-окрестностей, каждый член которой содержит лишь одну из точек. Чтобы установить это свойство, нам достаточно найти функцию h&Zt принимающую различные значения р и г в точках Ри/? соответственно. Действительно, положив д=(1/2)|р — г|, можно получить непересекающиеся Т-окрестности, выбирая Bp_q,p+q(k), Br^qt r+q(h)三支 для Р и R соответственно. Для доказательства существования функции й мы используем аксиому (4.1.6). Тогда R либо принадлежит множеству % либо нет, В первом случае в качестве h можно выбрать ту координату 尤°， которая принимает в точках Р и R различные значения. Во втором случае в качестве й можно выбрать функцию, определяющую 也：она отлична от нуля на ^ и обращается в нуль всюду вне ”
Естественно считать, что топология многообразия имеет счетный базис (в данном случае это предположение эквивалентно паракомпактности [59, 106]). Мы сформулируем это в следующем виде:
Аксиома
Существует счетный набор ^-окрестностей, такой^ что всякая Z-окрестность может быть представлена в виде объединения элементов этого набора,
(4.1.8)
Это предположение становится избыточным, как только на многообразии введена метрика (или связность) [59]), но для наших целей оно полезно, поскольку гарантирует, что многообразие не «патологично» и к нему приложимы результаты гл. 2, § 4 (обусловливающие полную рефлексивность системы ©•)• Аксиома (4.1.8) может быть сформулирована иначе: Ж может быть покрыто счетным набором координатных окрестностей.
Следующее обычное предположение о структуре пространственно-временного многообразия устанавливает
Аксиома
质 связно.(4.1.9)
Это означает, что Ж не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств. В приложении к £ это условие можно сформулировать следующим образом: если f, gw£ и если fg = O, то f(P) = 0 = g(P) для некоторой точки Pw 4r. Эта аксиома выбрана тоже в целях удобства. С учетом указанных ограничений на топологию множества J? мн в дальнейшем будем пользоваться термином «окрестность» вместо t-окрестность.
Векторные поля
Теперь мы можем ввести понятие (контравариантного) векторного поля V (или поля касательных векторов) на 应.Определим У как отображение
У £,(4.1.10)
обладающее следующими тремя свойствами:
V (й) == 0, если 々巨釈，
V(f + g) = V(f)^V(g)9 если f, gw心 (4.1.11) 3) V(fg) = fV(g) + gV(f\ если 力 8三鼠
Такое отображение назовем дифференцированием на £, где £ рассматривается как алгебра над 9?・ Множество всех таких отображений мы будем обозначать символом 支.Вскоре мы установим связь с определением множества £\ данным ранее.
Пусть мы имеем отображение W： $->$, такое, что в любой локальной координатной системе (勿，Xе) действие W может быть представлено в виде!)
W(f) = M(4-1.12)
дх
где
Г1^2, .... WneZ.(4.1.13)
Тогда W удовлетворяет всем трем соотношениям (4.1.11) и, следовательно, будет дифференцированием. Мы можем записать (4.1.12) в виде
W = wa^.(4.1」4)
дх
где подразумевается, что операторы действуют на скалярные поля. В другой локальной системе координат (咐,уа) мы будем иметь
W^W^^.(4.1.15)
дуа
Если 也 н / перекрываются, то на пересечении ^П^ должно выполняться соотношение
W^d/dy^ = Wnd/dx.(4.1.16)
D Поясним смысл символа д/дха. Хотя функция f, строго говоря, есть функция точки Р многообразия Jt и не задана явно как $ункци咒 переменных 尸，％2, …，％”，точка Р сама может рассматриваться как функция переменных л1, ...» л" благодаря координатам, введенным в 也.Вследствие пункта 2 аксиомы (4.1.7) функцию / в этом случае можно рассматривать как С*-функцню переменных * …，炉.
Таким образом,.
w^ = w^d^ldx, 丁二犷立炉历内 (4.1.17)
Рассматривая^Wa и Wu как компоненты вектора W в координатах хи и уа соответственно, мы приходим к стандартному классическому определению контравариантного вектора. Следовательно, любой классический контравариантный вектор однозначно соответствует отображению w； £->心 которое в произвольной локальной системе координат представимо в виде линейной комбинации операторов частных производных по этим координатам. Более того, любое такое отображение есть пример дифференцирования на 曳.Следующий результат (4.1.18) устанавливает справедливость обратного утверждения. С учетом этого мы получаем полную эквивалентность между понятиями дифференцирований на S, линейных дифференциальных операторов на 支(или производных по направлению) и классического контравариантного вектора.
Предложение
Если У w ЗЛ то 8 любой локальной координатной системе ^U, %") вектор V имеет вид V = Vadld^ для некоторых 丿,...» У"三宮.(4.1.18)
Доказательство. Если мы сможем установить, что в каждой точке множества 勿 вектор V имеет вид 片d/d%\ то отсюда будет следовать, что 片 三 汇 Действительно, в 纵 мы имеем
片=片学=Y当=y (炉)三支， (4.1.19)
поскольку координаты № сами являются С°°-скалярами (ха е 2). Теперь фиксируем точку Xw% с координатами X1, ...» Хл, Пусть 勿一координатный n-диск (N—不尸+ ... + (xn—Хп)2 < < р2, где р выбрано столь малым, что ^с^. Возьмем произвольную точку 户三勿 с координатами х1, .. ；, хп. Тогда точки с координатами Xя + tx —tXa (О W f V 1) также принадлежат 昜・ Пусть f — некоторый элемент множества £, Имеем f(N吟=〃不，・・・，Х") +
1.
+ \ %/ (Н + /R - *X" + 及"-fX")dg О.
7(片Г) +
+(炉一犬)上式x」//一%,…)由，(4.1.20)
где
h(Gх") = 3〃а, хп). (4.1.21)
Таким образом, мы получили выражение вида
f (Р*") = f (XГ) +(Ха - Г) ga (У, . . . , ХП\
(4.1.22)
причем в точке X имеем
g。(X‘，…,不)=[券L*(4丄23)
Действуя оператором V на (4.1.22), получаем с учетом (4.1.11)
V (f) = О + V (ха) g. + (х- - Г) V (я，),(4.1.24)
где точка X считается фиксированной, а х" — координаты бегущей точки Р, в которой мы хотим вычислить V. Пусть теперь Р = Х. Используя (4.1.23) и полагая Vя = V (JT). получаем в точке X
卩吁丿書，(4.1.25)
Эта же формула справедлива для всякого f е $ и для всякой точки X® 包,чем и завершается доказательство нашего утвер・ ждения.
Из предложения (4.1.18) прямо вытекает следующее свойство дифференцирования:
Если %：R"f R принадлежит классу С°° u flf ・*・
…，/,三亀т。 у (九仇％))= 2备y伉)■
，1(4.1.26)
Свойствами (4.1.11) исчерпываются все частные случаи утверждения (4.1.26). Таким образом, утверждение (4.1.26) эквивалентно утверждению (4.1.11), Более того, положив % = *' мы сразу же воспроизведем (4.1.18).
Определение дифференцирования на S даёт нам изящный алгебраический способ характеризовать касательное векторное поле на Jt・ Нам потребуется также определение касательного вектора в данной точке Р 三風 Предварительно мы введем отношение эквивалентности между дифференцированиями, полагая вектор U эквивалентным вектору V в том и только в том случае, когда U(f) н V(f), будучи вычислены в точке Р, дают одно и то же действительное число для всякого f е М Этот класс эквивалентности, обозначаемый символом V[P] и выражаемый
словами «V в Р》，называется касательным вектором в точке Р, принадлежащим векторному полю V. Имеем
U[P] = V[P] 8 том и только 8 том случае,
'когда {U(f)}(P) = {V(f)}{P)
для всех f w 支.(4.1.27)
Рассматривая локальные координаты в окрестности точки Р, мы имеем U[P] = V[P] в том и только в том случае, когда Uadf/dxtt — V'df/dx в точке Р для всякого f 三 £, т. е. Ua (Р) = Уа (Р). Таким образом, значения 九 компонент вектора У в точке Р, а именно Vе (Р), могут рассматриваться как компоненты вектора У в координатах х： Поскольку это просто набор действительных чисел, касательные векторы в точке Р образуют векторное пространство над R размерности /г, называемое касательным пространством к Jt в точке Р. Это пространство будем обозначать символом 堂'[Р]. Иногда для его обозначения мы будем пользоваться символом S?, который означает также множество касательных векторных полей. Это будет специально указано или явствовать из контекста. В аналогичной ситуации — когда мы рассматриваем одну точку или несущественно, рассматриваются ли векторы в точке или векторные поля — мы используем символ Т вместо T[P] = R.
Иногда оказывается полезным альтернативное определение касательного вектора в точке Q как отображения W[P) :R, обладающего свойствами (4.1.11) и одним дополнительным свойством： если функции f, g принадлежат £ и совпадают, по всей окрестности точки Q, то W[Q] (f)= W[Q] (g). Считая, что в предложении (4.1.18) точка X совпадает с точкой Q, и повторяя его доказательство, можно показать эквивалентность этого определения предыдущему.
Аналогично вводится понятие векторного поля на (достаточно «хорошем») подмножестве 9 многообразия Л. Так же как в случае единственной точки, можно ввести отношение эквива* лентности между дифференцированиями, считая, что дифференцирование U эквивалентно дифференцированию У в том и только в том случае, если t7(f)= V(f) в каждой точке подмножества 9 для любого f w £• Мы обозначаем этот класс эквивалентности символом У[^\ (=У[^]) и будем говорить о нем, как о части векторного поля Ut которая лежит на В. Обозначим через 堂* [В] множество векторных полей, лежащих на В, а через Т[^]——скалярные поля, ограниченные на 乡 (т. е.《』е・ 水ащиена》5).
Мы определяем сумму двух данных дифференцирований следующим образом:
(17 + V)(f) :=。(/) + 口(力 для всех fw£・ (4.1.28)
Очевидно, что 17 + V е ?*. Мы можем также определить умножение дифференцирования U 三堂.на скаляр Л е 2 по правилу
(hU)(f) := hU(f) для всех / 已巨 (4.1.29)
Ясно, что и в этом случае hU w 堂二 Легко видеть, что в некоторой координатной системе a-я компонента суммы U + У равна Utt + Vе, a hU° ——компоненты произведения MJ. Более того, очевидно, что относительно операций (4.1.28) и (4.1.29) пространство 堂.образует модуль над £. Аналогичные утверждения относятся к S* [Р],宽[Р] и 賓• [В], £[В]・ Рассуждения гл. 2, § 4 позволяют заключить, что модуль 堂.вполне рефлексивен.
Действительные и комплексные тензоры
Теперь мы можем использовать теорию, изложенную в гл. 2, § 2. Введем множество меток 9 = {а, р, …，а。，...} и образуем канонически изоморфные копии £а, S, ... модуля 2Л Затем введем дуальные величины 岂仪，支р, ... и, наконец, множества 支* 二』. Аналогичная конструкция возникает для величины 2* [Р], приводя к 支i：：：，P], а также для 支」0], приводя к 鋭二之因
Можно также построить комплексные тензоры как элементы множеств S?：：. ^ (или &£ 二幫Р], или 設二；[9]), где каждый элемент C；：：：Jw&f：二У есть выражение вида
欧：：：『& ：二 ％ + i& 二弋，(4.1.30)
причем &：：：】成二У三疏二R а величина i есть постоянный скаляр, удовлетворяющий условию
i2 = -l・(4.1.31)
Элементы множества © есть отображения 无： 4т С, где 八 = =f + ig (f, gw 意)принимает значения 八(Р)= f(P)+ig(P)・ Следующие формулы наделяют © структурой кольца: (f + ig)-j- + (р + ig) = (f+ p)+i(g+g), (f + ig) (P + i<7)= (fp - gq) + + i(fq + gp)(P，q 三 支).Элементы множества 0 есть отображения Z: ©->©, где Z = U 十 № (17, У w £) а образ при отображении Z определяется по формуле Z(f + ig) = Z(f)+iZ(g) = =U(f)— V(g)+ iU(g)+ iV(f). Эти формулы удовлетворяют требованиям определения (4.1.11) для слуиая, когда дифференцирование действует на комплексные скаляры f + ig. Множество © есть модуль над ©. Нетрудно видеть, что общий вид ®х ：：； ^, полученный отсюда так же, как в гл. 2, § 2, приводит к элементам вида (4.1.30). Всюду в этом параграфе мы стре-
мимся иметь дело с множествами 支二，а не О二：.Однако должно быть ясно, что наши результаты верны не только для действительных, но и для комплексных тензоров.
В отличие от того, что говорилось вообще в гл. 2, § 2, мы имеем теперь дополнительную структуру, а именно интерпретацию элементов множества 史.(или ©*) как дифференцирований на алгебре скаляров. В этом можно видеть связующее звено между элементами базисного модуля и «соотношением между соседними точками», которое мы упоминали в начале параграфа. Дополнительная структура приводит нас к изучению определенных операций дифференцирования, таких, как градиент скаляра, производная Ли, внешняя производная, и некоторых других. Первую из них мы рассмотрим ниже, а обсуждение остальных отложим до § 2, где будет введено понятие связности. Оно позволит получить единую трактовку этих операций.
Градиент скаляра
Для заданного скаляра f 已 £ определим его градиент, иногда называемый его дифференциалом, как элемент df модуля 交"，дуального модулю 廿：
df(V) := V(f).(4.1.32)
То, что это есть линейное отображение из 堂.в 5, следует из (4.1.28) и (4.1.29): мы имеем df (gV) = (gV) (f) = gV (f) = gdf (V) и df(U + P) = (U + y)(f) = U(f) + P(f) = df(S + df(P)・
Связь между современным понятием дифференциала и классическим понятием «инфинитезимально малого элемента» может показаться не совсем очевидной, но она проявляется в трансформационных свойствах величины «dx®» при замене координат. Выберем локальную координатную систему (%炉). Тогда [формулы (4.1.12) и (4.1.18)] величины
£■，•••，(4Л,33)
образуют базис в 宣[%], ференциалы координат х\образуют базис в 宣[%], ференциалы координат х\Элементы дуального базиса суть диф- .хл
образуют базис в 宣[%], ференциалы координат х\
образуют базис в 宣[%], ференциалы координат х\
(4.1.34)
поскольку в силу определения (4.1.32)
"'(*") = "^(")п ”(4.L35)
При переходе к новым координатам уа получаем
дд
д
д
Так как соотношение (4.1.35) не зависит от выбора координат, мы имеем
dM =県也\(4.1.37)
что формально совпадает с законом преобразования классических дифференциалов.
Чтобы оправдать применение термина «градиент» для df, вычислим его компоненты в системе координат х°* Поскольку df есть элемент множества 堂"[^], эти компоненты можно вычислить, взяв скалярные произведения с элементами базиса 宕 似];искомые величины таковы:
毋(轰)=备(4.L38)
где использовано (4.1.32). Таким образом, определение «дифференциала»> данное здесь, совпадает с классическим определением «градиента». Через свои компоненты величина df выражается следующим образом:
df=•(4.1.39) дх
что есть просто другое представление формально справедливого классического выражения (4.1.37).
Поскольку мы хотим использовать обозначения, включающие абстрактные индексы, обозначение в виде «дифференциала» для ковариантных векторов оказывается не вполне подходящим. Для обозначения оператора градиента, действующего на скаляры, мы будем использовать символ Va. Тогда Vaf есть канонический образ при отображении df из 掣*. Поскольку компоненты V06 должны быть каноническим образом дифференцирования V в 2/\ можно переписать (4.1.32) в виде УКа/=У(，)・ Другими словами,
Vi%，(4.1.40)
причем оператор действует на скаляры. Обозначение (4.1.40) согласуется с тем, которое обычно используется для производной по направлению.
Мы видели в (4.1.38), что компоненты df в координатах *" равны дЦдх. Поэтому последние величины являются компонентами YJ вектора Vj и мы можем написать
=(4.1.41)
при условии, что операторы действуют на скаляры.
Из (4.1.11) мы окэнчательно получаем
V«^ — 0, т. е. dk = 0,(4.1.42)
если А е W и
a(f+ g) = vj +Yag, Т. е. d(f + g) = df + dgt (4.143) VMfg) = Wag + gVj, т・ е. d(fg) = fdg^gdf9 (4.1.44) если /, gw®.
§ 2・ Ковариантная производная
Мы видели в (4.1.32), что можно дать определение градиента скаляра, имеющее инвариантный смысл и зависящее лишь от дифференциальной структуры многообразия Л (и даже только от алгебраической структуры множества £). В то же время не существует такого же однозначного инвариантного определения понятия градиента вектора Уа w £a, а также тензора любой валентности, кроме [о]. Однако на Л можно ввести дополнительную структуру, которая является операцией градиента на векторах и может быть однозначно продолжена на все тензорные поля на 風、Эта структура называется связностью, а операция, которая ее определяет, — ковариантным дифференцированием. Как упоминалось в § 1, существуют определенные операторы» включающие дифференцирование (производная Ли, внешняя производная и др.), которые не требуют наличия связности на Jt. Тем не менее будет полезно обсудить и эти операции в связи с ковариантными производными, вместо того чтобы рассматривать их независимо.
Оператор ковариантной производной может быть определен как отображение
% ：涉 f 唸(4.2.1)
удовлетворяющее двум требованиям!):
Ya (U° +，) = %疗 + Va，(4.2.2)
для всех U°,，三^ и
^f^) = f^-i-U\af(4.2.3)
для всех U° w Т* f w £, где Vaf есть обычный градиент 厶 определенный в § 1 [формулы (4.1.32), (4.1.40)]. Элементы VaU^ 巨 曰 Sa» 我夕“三碇 и т. д. определяются на “。° подстановкой
В современных учебниках [84] определение ковариантной производной содержит три, а не два требования. В нашем случае экономия достигается благодаря использованию абстрактных индексов.
индексов. В нашем формализме такая подстановка возможна в любой формуле.
Определение оператора Va таково, что он однозначно продолжается на ковариантные векторы как отображение
▽а ： % f 汽呻，(4.2.4)
где Vcc^p есть S-линейное отображение из 意。в % [формула (2.2.37)], определенное следующим образом:
•(Ya&)^ = Ya(4A°)-&YJ°・(4.2.5)
Доказательство его 2-линейности следует из (4.1.43) и (4.2.2), а также из (4.1.44) и (4.2.3). Отметим, что такое определение отображения 厂必口 прямо следует из требования, чтобы производная от АрУВ удовлетворяла правилу Лейбница.
Мы имеем
Va (& + 纬)=Ya& + Va^p>(426)
% (MJ = %& + &%/(427)
в силу формул (4.2.5), (4.1.43), (4.144).
Далее, рассмотрим общий тензор Т°；；； *. Если потребовать, чтобы правило Лейбница удовлетворялось для производной от Тк7.'ЛАа...Суик ••・ IF* то мы приходим к следующему соотношению:
(vpn::<)4 …Суик... wv=vp(n：：：^a ... JU* ...旷)一 -Гх：：^(?рДа) ...cyu\..wv- ...n：：：Ua-..cvc/\..(vpn.
(4.2.8) Им определяется %「紀二』как отображение (нетрудно убедиться, что оно будет S-линейным) из 支&〉< ... X 宅” в % [формула (2.2.38)]. Таким образом, любой оператор Va, удовлетворяющий условиям (4.2.1) — (4.2.3), однозначно продолжается до
%：跋二 Ут 毀:：％(4.2.9)
наложением единственного требования, чтобы его действие на свертки типа Tj：；： ?Да ••• С^к •・・犷” удовлетворяло пра< вилу Лейбница. (Легко также установить, что в случае Yp ：支° f 2p мы возвращаемся к первоначальному определению.)
Преобразуя обе части каждого из двух следующих равенств по правилу (4.2.8), непосредственно убеждаемся в том, что
Vp (Гл + S/) = % 彌 + VpS 必(4.2.10)
Vp(T*R^) = T《Vp^9 +R^VpT/・ (4,2.11)
Ясно также, что
Операция Vp коммутирует с подстановкой любого индекса, кроме р.(4.2.12)
Чтобы доказать коммутативность операции Vp с операцией свертки (исключая свертку по р), мы можем, во-первых, представить Т：二 как сумму прямых произведений векторов [формула (2.2.14) ], а затем, используя линейность соотношения (4.2.10), применить правило Лейбница (4.2.11) к каждому из выражений Vpr：：：?：：： И Vp(г；：： а.：：). Используя формулы (4.2.11) и (4.2.5), получаем разложение Лейбница для Vp (X°Dt) и для ур(ХсР0). Непосредственно проверяется, что (：)・свертка первого выражения равна второму. Таким образом, (:}свертка выражения УрТ：：：；：：： равна У「(Т： ；：：：), что и требовалось доказать:
dJ(Vpr：：：?：：：) = Vp7'：：：S：：：.(4.2ЛЗ)
Свойства (4.1.10), (4.2.1), (4.2.11) и (4.2.13) часто используются для аксиоматического введения ковариантной производной.
Кручение и кривизна
Все свойства оператора Vp, установленные выше, формально совпадают со свойствами «координатного оператора градиента» д/дхР. Существенно новым свойством является то, что операторы Vp не обязательно коммутируют друг с другом. Для его исследования положим
% ：= VaVp-VpV« = 2v[aVW.(4214)
Заметим что
А 呻(4& + В&) = Aap Ал + Аа₽В&,(4215)
в силу формулы (4210), а также
А 呻(А&С$) = 4. А 啤С* + ОхАдрЛл(4.2.16)
в силу формулы (4.2.11), так как перекрестные слагаемые (Va^HVpCi) и (V^Ci) (УрЛл) взаимно уничтожаются.
Теперь рассмотрим Аа", где f — любой скаляр. Если Х0^ есть произвольный элемент множества З；06) то в силу формул (4.1.42), (4.2.15) и (4.2.16) получаем
х 呻 & 脚=0，(4.2.17)
Aa₽ (f + g) = XM&M + X^Aapff., (4.2.18)
X% (fg) = fX^Aapg + gX%J, (4.2.19)
для всех 左 w亂 f, gw£ Таким образом, из (4.1.11) следует, что Ха₽Да^ есть оператор дифференцирования» откуда с помощью (4.1.40) получаем
X 呻 Д„в = уУ%,(4.2.20)
где Уу — некоторый определенный элемент множества £「и операторы действуют на скаляры. Отображение из 5^6 в .£v, которое сопоставляет У「всякому Ха₽ по правилу (4.2.20), очевидно, является st-линейным. [Если имеет место (4.220) и Z邺厶呻= =犷％ то (ГР + Z。。) Aap = (rv+ IT) Vv(pre) M = (2) %]• Из (2.2.37) следует, что это отображение осуществляется тензором Та/ w Jap- Его называют тензором кручения：
М = Х%『・(4.2.21)
Подставив это в 4.2.20, мы получим 炉&$ = X^TaJ% (на скалярах). Поскольку это справедливо для любого XaBw£«B, имеем
AaPf = rapYVYf(4.2.22)
для всех fe $. Заметим, что ввиду антисимметрии оператора Аар [формула (4.2.14)] тензор кручения антисимметричен по нижним индексам:
几/ = 一7叩上(4223)
Если Тар7 = 0, то оператор % называется симметричной («без кручениям) ковариантной производной.
Далее рассмотрим действие оператора АаВ иа вектор. Если кручение отлично от нуля, то гораздо проще работать с оператором
Дар ：= &в — Тa^N屮(4.2.24)
поскольку
Да3Г = 0(4.2.25)
для всех f 三心 Тогда соотношение (4.2.16)
дар (ЛяСг) = Л^ДарСг + &%° 力区(4.2.26)
[формула (4.2.11)] сводится к равенству
Дар (f А®) =，％£•»,(4.2.27)
(4228)(4228)если Сг есть скаляр f. С учетом формул (4.2Л5) и (4.2.10) получаем
(4228)
(4228)
Дар (4^5 + В&) = Да/л) + Да^В^.
Из формул (4.2.27) н (4.2.28), примененных к элементам множества 值(т. е. при 勿=у孝),мы видим, что отображение Лав：炉-*2：鼠 0tlpедепенноекак
尸 f % 旷 *(4.2.29)
оказывается S-линейным. Следовательно, оно осуществляется с помощью тензора R^ w 唸屮 называемого тензором кривизны
凡旷6 =：%〃?•(4.2.30)
Подставляя сюда выражение для да^, получаем
(VaV3 - VBV« - %Y)L = Ra^6v\ (4.2.31)
В силу равенства (4.2.26) имеем 以”(46小)=0. Отсюда и из соотношения (4.2.26) следует ^ДарЛу ——力6以ав，，Подставляя сюда (4.2.30), находим
%，y =-年6Y%，(4.2.32)
Чтобы вычислить действие оператора дар на произвольный тензор 〃夂二:；，мы можем разложить его на сумму прямых произведений векторов [формула (2.2.14)], а затем, используя «правило Лейбница», вычислить действие оператора Дав на каждое слагаемое. В результате получаем (обобщенное) тождество Риччи:
(Va?0 - муа - TaB，Y)"貝:；=以呻必二：=g眦也也::+…
・• • + RaB J斤月二：v° — Ra^J 斤t：女—• • • 一 RaB】斤£ 二：:•(4233)
Заметим, что благодаря антисимметрии оператора дар [формулы (4.2.23) и (4.2.24) ], мы имеем
Кав^ = — Кв”"(4.2.34)
Мы получим дальнейшие тождества (Бианки), устанавливающие свойства симметрии тензора /?аруб, выбрав в (4.2.32) 4Y = Wf. Для простоты мы проведем явный расчет лишь для случая, когда кручение равно нулю. В этом случае мы имеем
SVtaVpiVyf = — /?a3Y6Vef.(4.2.35)
Выполняя антисимметризацию по а, р, у и используя (3.3.9), получаем
一 у /?【呻丫]州6f — V|[aV0|VY]f = VfaVpVylf —
==У[аУ|вУти/ === ^ ViaT pyi^Vdf == 0,(4.2.36)
К сожалению, не существует общего соглашения о знаке и расстановке индексов этого тензора. В литературе встречаются почти все возможные варианты.
где учтено, что кручение равно нулю. Поскольку V6f принимает любые значения в произвольно выбранной точке, мы имеем во всякой точке
R[呻 d = o.(4.2.37)
С учетом (4.2.34) это переписывается в виде
^呻丫6 + Rbv? + Rw3 = 0.(4.2.38)
Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными. Результат имеет вид
Rfopyl' + V[aT 制卩 + А 呻噌 Y1 р" — °・(4.2.39)
Далее, разложим V[aVpVY]V6 [как в формуле (4.2.36)] двумя разными способами. В первом случае используем антисимметрию по a, Р и тождество (4.2.33), в котором тензор Н… полагаем равным VyH. Во втором случае используем антисимметрию по р, у и формулу (4.2.31). Мы вновь выполним явный расчет лишь для нулевого кручения. В этом случае мы имеем
2V(|aV₽|Vvl^ = Пав I р |Ч|^Р - R(a#VpL，(4240)
2VlM界汕陵=Via 依胱,pW") = Rev I p|eVajVp + VpV[a/?3Y1(Л (4.2.41)
Вычитая одно выражение из другого, с учетом (4.2.37) получаем тождество Бианки:
V(J?₽Yjpa = O.(4242)
Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными (приложение, рис. П.9). Результат таков:
V(a/?0Y1 Р‘ + Т|呻°Ry) 6р° = 0.(4.2.43)
Вскоре мы рассмотрим альтернативный метод получения тождеств (4239) и (4.2.43) [формулы (4.2.52) и далее].
Вариация оператора производной
Теперь предположим, что мы имеем другой оператор ковариантного дифференцирования Va : 5Р -* Т?, для которого также выполняются соотношения (4.2.2) и (4.2.3). Рассмотрим разность между этим оператором и Va. Для отображения
(Va-Va)：3：₽->4(4.2.44)
выполняется условие (Va — Va) (f/₽+ K3)=(Va — Va)i/3+(Va—Va) d ввиду (4.2.2). Справедливо также соотношение (Да — Va) (fU^)= =f (Va — Va) U°, которое следует из условия (423) и из того,
что рассматриваемые операторы должны совпадать на скалярах?
Vaf = Va/(4.2.45)
[формула (4,1.40)]. Следовательно, отображение (4.2.44) S-линейно и в силу (2.2.37) имеем
& —%)и° = <?<Л/У 一 (4.2.46) для некоторого Qa，w 颯.И наоборот, если задан произвольный тензор Qae。 и оператор ковариантной производной Va, то любой оператор Va, определенный как в (4246), тоже будет оператором ковариантной производной.
Поскольку (Va — Va) (А^(/Р) = 0 в силу равенства (4.2.45), из (4.2.5) получаем
(Va - Va) ЛвQajAy.(4.2.47)
Далее, любой тензор 斤：二：У есть сумма прямых произведений векторов, а потому из правила Лейбница и условия линейности следует, что
(Vp- Vp) 4；二? = Qpa %?：：? + ... + QbfHt ：：： y-
-Q^HV：：.X- ... -Q^Hi：：：X.(4.2.48)
Пусть 兀J и 友呼J — тензор кручения и тензор кривизны, соот* ветственно определенные с помощью оператора Vp- Имеем f^VVYf = Ta^yf = 2V|a%jf = 2VlaVpjf =
=2V|aVp]f 一 2Q|呻 1vVyf = {ГаЗУ — 2Q[a0]Y} Vvf>(4249)
откуда
ta^ = TapV — Qab + QBa* T・ e. Taj — 丁呻丫 =—2Q(ap|V. (4.2.50) Вычисление тензора RapY6 проводится аналогично с использованием величины 2V|aV；ye. но выглядит несколько сложнее. Результат имеет вид
瓦做6 = RaBv' — T^Q^ + 2V[aQ向 v6 + 2Q[a IP I&I yp. (4.2.51)
Особый интерес представляет случай, когда Qapv = (l/2) fapv; тензор QaB? теперь антисимметричен, и из (4250) следует, что Vp будет симметричным оператором. Таким образом, мы имеем каноническое правил。】)，сопоставляющее любому оператору ко-
При наличии метрики существует другое «каноническое» правило вы* числения однозначно определенного снмметричого оператора [удовлетворяющего требованию (4,3.46)], которое может оказаться более предпочтительным (см. также § 7).
вариантной производной V® оператор симметричной ковариантной производной Vp. Имеем
RaBy'n Ra" + ¥[аГ9J^ 1" 丁0【『隔丫 1" Тар^Гру^• (4.2.52)
Эту формулу можно использовать для альтернативного получения тождеств (4.2.39) и (4.2.43). Мы просто подставляем 攵仪^丫。 (и %) в более простые формулы (4.2.37) и (4.2.42), которые справедливы в случае нулевого кручения. Результат совпадает с (4.2.39) и (4.2.43) соответственно.
Пока что мы ничего не говорили о существовании оператора ковариантной производной на данном многообразии К Можно доказать [102] v что связность существует глобально на любом многообразии, которое, как в нашем случае, допускает топологию со счетным базисом. Если найдена одна связность, то все другие получаются из нее с помощью произвольных элементов (?а6” Е 宮工卩 так, как это описано выше. Нам не потребуются более глубокие теоремы существования, поскольку мы предположили, что Л допускает введение физической метрики, а метрика (любой сигнатуры) однозначно определяет симметричную связность [формула (4.3.47)].
Производная по координатам
Чтобы облегчить вычисления» иногда удобно ввести «произвольные» связности, которые не связаны ни с какой дополнительной структурой на Ж. Как мы сейчас увидим, локально существует много подобных связностей. Полезный пример — связность, обусловленная определением «производной по координатам» в некоторой координатной системе. В рамках нашего подхода существует два способа определить понятие ковариантной производной. Самый простой из них состоит в том, чтобы выразить все тензорные величины через их компоненты в некоторой координатной системе, а затем рассматривать наборы частных производных этих компонент по координатам £・ В результате получаем множество скалярных полей, или, что эквивалентно, множество функций координат х°・ Обычно так поступают, если требуется провести явные вычисления. Другой способ — восстановить тензорные величины, исходя из заданного набора скалярных полей, которые рассматриваются как компоненты тензоров в данной координатной системе. Тогда производная по координатам позволит переходить от одних тензоров к другим или, говоря кратко, будет задавать связность на многообразии Л. Однако эта связность зависит от выбора координат и различные координатные системы будут приводить к разным связностям.
Проанализируем данный вопрос более детально. Рассмотрим локальную координатную систему (以，*°). Для вычисления компонент тензора мы используем координатный базис в 出. (иногда называемый «естественным» базнсом), который определен формулой (4.L33):
瓦=备, % =万^г ・ (4.2.53)
Дуальный базис (4.1.34) таков:
" = dN, ・・・, 8n = dxn.(4.2.54)
Канонические образы векторов 8aeS* и 3°胃走 в 宮以^堂“ соответственно есть 6士 и 6а-Таким образом, приняв обозначение Va для d [формула (4.1.40)], мы можем переписать (4.2.54) в виде
(4.2.55)(4.2.55)da = Vox".
(4.2.55)
(4.2.55)
Тогда можно считать, что 6： определяется через величину ба равенством 6之赭= 6；・
Компоненты тензора "；：：：] в этой системе координат принимают вид
Я：：：：； = Я；：：：Х-- - 6滋 …硯(4.2.56)
где использована формула (2.3.13). Частные производные по хр записываются в виде
(4.2.57)
Множество скаляров (4.2.57) соответствует первому из двух определений производной по координатам, о которых говорилось выше. Чтобы получить второе определение, мы, используя стандартную процедуру (2.3.14), сконструируем тензор, компоненты которого совпадают с (4.2.57). Этот тензор может быть записан в виде
dp"k： J ：= (£ 〃士 ： ： ：) 6龄：...t>^...内(4.2.58) Оператор dp определяет отображение из 2：?：：： J в 電£：：：%, которое, очевидно, обладает всеми свойствами оператора ковариантной производной. Но, вообще говоря, этот оператор не имеет инвариантного смысла, поскольку определение оператора dp связано со специальной!) системой координат х°. Тем не менее оператор др иногда оказывается полезным, поскольку
I) Однако любые другие координаты у。，выражающиеся через ха линейно с постоянными коэффициентами (т. е. такие, что ду а/длр есть кои- станты), приводят к тому же самому оператору 0.・
он обладает особенно простыми свойствами в силу коммутативности частных производных й/^ дх^ = д2/дх^ дха. Таким образом, мы имеем
0/в = %%(4259)
Поэтому кручение и кривизна, определяемые оператором %, равны нулю. (Можно даже показать [49], что любой оператор ковариантной производной, для которого равны нулю и кривизна и кручение, локально представим в виде оператора частной производной в некоторой системе координат ха.)
Оператор да особенно просто выражается через свои компоненты в системе координат ха. Рассмотрим теперь несколько более сложную формулу для компонент заданного оператора ковариантной производной Va. Для большей общности мы будем рассматривать базис 6； в 定“ н дуальный ему базис 6； в 更必 который не обязательно совпадает с естественным базисом. Если выбранный базис можно преобразовать в естественный, перейдя к некоторой координатной системе, то его называют голоном- ным^ а в противном случае — неголономным 1). Таким образом, наши рассуждения включают случай неголономного базиса. Многообразия, допускающие введение глобального неголономного базиса, встречаются гораздо чаще, чем такие, которые допускают глобально определенный голономный базис. (Например, сфера S, см. примечания на с. 92, 93.)
Нам потребуются компоненты производных базисных элементов. Определим символы связности2) следующим образом: r«₽v:=eJVa63|„(4.2.60)
где У。 означает 6：Уа・ Поскольку dvp принимает постоянные значения 0 и 1, мы имеем 0 = Vudp = V« (dpdp) =dgVa6p + 6pV«6?- Отсюда следует
几J=一饵％册%(4.2.61)
Теперь рассмотрим компоненты (Va7p)д® ковариантной производной вектора，：兀丿匕 Имеем
(m)眼 =6版.(6"y)=幽 W +宀版做=
=+ UT"(4.2.62)
1) Локальное условие голономности базиса имеет вид р„бр] = 0, где []—скобка Ли, определяемая ниже в формулах (4.3.2) и (4.3.26). Отметим, что оператор производной 3。 также можно определить в неголономном базисе, используя формулы (4.2.58) н (4.2.56); такой оператор имеет ненулевое кручение, но нулевую кривизну.
в силу определения (4.2.60). Аналогично для компонент 0MJ 6：6； ковариантной производной ?аЛр имеем
(Мр) £國=6 吼(МА)=嶼必 4 + А^Ъ^ н
=УаАр — ЛуГору(4263)
в силу равенства (4,2.61), Для компонент ковариантной производной произвольного тензора 斤七二:получаем
(v#kR)6?d：... 6国2... 6：=宽…6：v₽(e"...心氏:二炒n
…+ "；：：： W - "士二辑广-... — "；：：： *ГрЛ (4.2.64)
В специальном случае, когда 6： «сть координатный базис (при VaXe = да), в соответствии с (4.1.41) оператор V» может быть записан в виде д[д炉,если он действует на скаляры. В этом случае часть тензора「呻I кососимметричная по а и В, определяет компоненты кручения, поскольку
2n“Г п 26^У/笳=2d[Ldp]VpVaXT ='
=2da6pV[3Va] 0 4V 匸 6：鹤T3aVVy^V = TрЛ(4265)
Таким образом, тензор Га/ симметричен по а и 0, если кручение равно нулю. В то же время для общего неголономного случая не существует определенного соотношения между Г[喇丫 и кручением. В самом деле, в общем случае нет способа вычислить тензор кручения, зная только скалярные поля Горт. Требуется дополнительная информация, например явное выражение для этих величин через некоторые скаляры №・
Предположим на время, что связность симметрична» но Г«₽т -— величины общего вида (неголономные). Мы можем вычислить компоненты тензора кривизны по формуле
^ = ^^а-^^(4.2.66)
[формула (4.2.31)]. Получаем
у &" = 6湖战 VgV。必=6?dSdgvip {必就 IW}=
』У(рГ a]?+ Г[а|а| Jw J — Про「Г」・(4.2.67)
Из (4.2.31) следует, что учет кручения приведет к появлению в правой части дополнительного слагаемого
--5-rP0vrv*.(4.2.68).
Если же кручение отсутствует и выбран координатный базис (4253), то мы получаем привычную классическую формулу
8"T一号+5一皿8"T一号+5一皿(4.2.69)(4.2.69)
8"T一号+5一皿
8"T一号+5一皿
(4.2.69)
(4.2.69)
Существует другой способ получения этих формул в случае голономного (координатного) базиса. Он основан на соотношении (4.2.51), в котором положено Vp = @仍 а действие этого оператора вычисляется по формуле (4.2.58). Сравнивая (4.2.62) с разложением (4.2.46) по компонентам, находим
QJ=-JL (4270)
Мы имеем &」= 0, а потому, выписывая компоненты (4251) и подставляя в эти выражения (4.2.70), получаем требуемую формулу для R”y (для любого кручения).
Аналогично выражение (4.2.56) для T&J через кососимметричную часть тензора Гв/ в координатном базисе получается вычислением компонент (4.2.50), где следует положить 九『=0・
Иногда в формулах, содержащих производные по координатам, удобно.перейти к обозначениям с абстрактными индексами (т. е. принять второе определение производной по координатам из двух упомянутых выше). Преимущества таких обозначений проявляются при вычислении компонент ковариантной производной. Если в первом случае мы явно должны указывать базис 6, то во втором случае в тех же формулах этого не требуется. Так, например, фундаментальное уравнение (4.2.62) в координатном базисе
(VaY) 6：“ =奈 + 丿 Т J， (4.2.71)
можно переписать, пользуясь абстрактными индексами, в виде
Va^P =九炉 + PTaJ，(4.2.72)
где ГОуР — тензор, определяемый следующим образом:
Г J ：= Г「6；品碎=6泞欣・(4.2.73)
Разумеется, так же как др> тензор Га/ зависит от выбранной системы координат ^« Тем не менее это действительно тензор (в том же смысле, в каком х3 есть скаляр). Фактически при tp==dp мы имеем「&•/ = —Qa3 [формула (4.2.70)] и равенство (4.2.72) становится частным случаем соотношения (4.2.46).
Подчеркнем, что величины, имеющие смысл координат, такие» как х®, и компоненты тензора, такие, как 483b в нашем подходе являются скалярами по определению (в том смыслеа что
они являются элементами множества £)• В классическом подходе это не так. Классически скаляры определяются как инварианты преобразований координат. Например, в классических обозначениях компоненты V/r обычно записываются в виде ，4爲 а, но отдельно взятая компонента Лз вектора А^ не может рассматриваться как скаляр ^. Нельзя заменить Лр на в 4； & и получить 虫 « = дф/дха для Аз； <» поскольку ковариантная производная действует не на отдельные компоненты, а на тензор в целом. С этой точки зрения обозначение А^ « нелогично и может привести к ошибкам в вычислениях. (Обозначение же 4卩，& для производной по координатам вполне логично: «,а» действует на отдельные компоненты.) Наш подход и соответствующие обозначения, принятые в книге, позволяют обойти эти неоднозначности. Если мы пишем ?2^з, то действительно подразумеваем дАз/дх2 (в координатном базисе). Компоненты с а = 2, Р = 3 в классическом выражении для Лр, 0 должны записываться в виде ^з?2Лр, что отличается от 厂2力3 слагаемым — Лр72&з =— —&「弘. Абстрактный индекс В, разумеется, не может принимать численные значения.
§ 3. Производные, не зависящие от связности
Одно из преимуществ введения связности на многообразии в том, что она позволяет сделать операцию дифференцирования алгоритмичной. Операции, которые определены независимо от связности, образуют своего рода особый «зверинец». Тем не менее некоторые из них очень важны. Мы сначала перечислим несколько известных операций, не зависящих от связности, а затем обсудим наиболее важные из них подробнее.
риантной производной Vp：V[p^4a... у!»(4.3.1)иа7аУ^ 一 丿PaU。；(4.3.2)£Ht：.之：=丿乜”；:二：-Hf:：^aya -... - "；: ：%俨 ++ H 七：：、z№ + …+ 般:二配啖(4.3.3)"不(％ …ap-ly 8ctp …ap+g-1) — дв"(% …々Ту 4% …ap+g-l) если Ла,-ар = 4(а2，"ар).н8% …％ = В(% ••%)；(4.3.4)"不冋…ар-ly 8°p…ap+0-U + (_1严,8Р 1al …%тy 4%…Qp+gT],риантной производной Vp：V[p^4a... у!»(4.3.1)иа7аУ^ 一 丿PaU。；(4.3.2)£Ht：.之：=丿乜”；:二：-Hf:：^aya -... - "；: ：%俨 ++ H 七：：、z№ + …+ 般:二配啖(4.3.3)"不(％ …ap-ly 8ctp …ap+g-1) — дв"(% …々Ту 4% …ap+g-l) если Ла,-ар = 4(а2，"ар).н8% …％ = В(% ••%)；(4.3.4)"不冋…ар-ly 8°p…ap+0-U + (_1严,8Р 1al …%тy 4%…Qp+gT],Все нижеследующие выражения (4.3.1) — (4.3.6) [а также (4.3.45)] не зависят от выбора оператора симметричной кова
риантной производной Vp：
V[p^4a... у!»(4.3.1)
иа7аУ^ 一 丿PaU。；(4.3.2)
£Ht：.之：=丿乜”；:二：-Hf:：^aya -... - "；: ：%俨 +
+ H 七：：、z№ + …+ 般:二配啖(4.3.3)
"不(％ …ap-ly 8ctp …ap+g-1) — дв"(% …々Ту 4% …ap+g-l) если Ла,-ар = 4(а2，"ар).
н8% …％ = В(% ••%)；(4.3.4)
"不冋…ар-ly 8°p…ap+0-U + (_1严,8Р 1al …%тy 4%…Qp+gT],
риантной производной Vp：
V[p^4a... у!»(4.3.1)
иа7аУ^ 一 丿PaU。；(4.3.2)
£Ht：.之：=丿乜”；:二：-Hf:：^aya -... - "；: ：%俨 +
+ H 七：：、z№ + …+ 般:二配啖(4.3.3)
"不(％ …ap-ly 8ctp …ap+g-1) — дв"(% …々Ту 4% …ap+g-l) если Ла,-ар = 4(а2，"ар).
н8% …％ = В(% ••%)；(4.3.4)
"不冋…ар-ly 8°p…ap+0-U + (_1严,8Р 1al …%тy 4%…Qp+gT],
если小…，= /%••%】и 8%-% = »%…％】；(435)
(Ур%% ・♦•%)%・. ％] —(V招儿…％)猾…,]+
+p福[%…aja卢版…%] - 0國口2…%У比鸡…5
если端[…ар = *% …а/ и 母]…％ = 3储…у(436)
Инвариантность каждого из этих выражений при изменении симметричного оператора связности Vp показывается непосредственно с помощью правил, изложенных ранее. Вычисляя разность между данным выражением и его аналогом, содержащим Vp> мы получаем на основании формулы (4.2.48) сумму слагаемых, содержащих QaB^, которые обращаются в нуль в каждом случае ввиду симметрии
QaJ = Qpa*(4.3.7)
выражающей тот факт, что оба тензора Va и Va не содержат кручения [формула (4.2.50)].
Выражения (4.3.1) — (4.3.6) имеют то преимущество, что они приобретают особенно простой вид при переходе к компонентам. В любой координатной системе вместо операторов Vp можно использовать %. При переходе к компонентам они просто заменяются на д/дхр.
Внешнее дифференцирование
Исследуем подробнее выражение (4.3.1). Имеем
У[р4а …旬—V(p^a …у] = Q[pa“A| 6 | …у] + ♦ ♦ • + Qu»*/4a.・・] 6 = 0,
(4.3.8)
так как в силу равенства (4.3.7) обращается в нуль каждое слагаемое. Не зависящая от связности операция (4.3.1) служит основой замкнутой системы внешнего исчисления дифференциальных форм Картана. Базисные объекты этой системы исчисления—антисимметричные ковариантные тензоры. Ее операции столь просты, что в индексах нет необходимости и они, как правило, даже бесполезны.
Соответствие между обозначениями Картана и нашими устанавливается на основе правила отбрасывания индексов, которое формулируется следующим образом. Выберем фиксированный бесконечный подкласс индексов-меток, скажем,
ip ь，Ц> * • •(4.3.9)
в качестве тех индексов, которые мы собираемся отбрасывать. Отбрасываться могут только нижние индексы, причем они долж-
ны быть расположены в естественном порядке, начиная с ц» Если мы хотим буквально воспроизвести систему исчисления Картана, то должны работать только с антисимметричными тензорами с нижиими индексами и,心，・•・* ч>・ Такой тензор мы называем р-формой и пишем *)
А:=АА:=А屮2屮2(4.3.10)(4.3.10)
А:=А
А:=А
屮2
屮2
(4.3.10)
(4.3.10)
При этом 0-формы есть просто скаляры, а 1-формы отвечают векторам. В соответствии с (3.3.30) каждая л-форма есть скаляр, умноженный на в” …％; в силу (3.3.27) всякая р-форма при р> п равна нулю.
Иногда рассматривают тензорнозначные р-формы, и тогда оказываются полезными следующие обозначения:
h*…va…":="г看…H…^а…h*…va…":="г看…H…^а…(4.3.11)(4.3.11)
h*…va…":="г看…H…^а…
h*…va…":="г看…H…^а…
(4.3.11)
(4.3.11)
где Н«г — тензор, антисимметричный по и,物,••., ip. Строго говоря, при этом мы выходим за рамки системы внешнего исчисления.
На множестве дифференциальных форм вводится три операции, а именно: сложение, внешнее произведение и внешняя производная. Сложение р-формы с ^-формой допускается только при условии " = 0・ (Иногда строят системы внешнего - исчисления, допускающие суммы с р 工 д. См. также т. 2, приложение.) Сумма двух р-форм 4Hb есть тоже р-форма, определенная следующим образом:
А + В:= 4,…” + 8、…％・ (4.3.12)
Внешнее произведение р-формы А на 力форму С есть (p + q)^ форма А Л С. По определению
АДС := Л(ц... ipCtp+1 …ip+加 (4.3.13)
Внешняя производная р-формы А есть (р+ 1)-форма dA, которая в случае симметричной связности определяется следующим образом:
ЛА := ^^Ai2,., ip+1] (4.3.14)
и, как мы видели, не зависит от выбора Vp. Заметим, что при р =0 это определение согласуется с определением скаляра, данным в (4.1.32). Если операторы действуют на скаляры, факти-
】)Более привычное обозначение «4х» вводится в формулах (4,3.19) и &3.22) ниже.
чески можно писать d^Vtr Справедливы следующие соотношения:,
I. А + В = В + А\
И. (Л + В) + С — А + (В + С);
АД(В + (?) = АЛВ + АЛС;
4 八 5н(—1 严b А А, если А есть "-форма, а В
есть iy-форма;
(АЛВ)ЛС = АЛ(ВЛС);(4.3.15)
d(A + B) = dA + dB-
d(A Д B)==dA Л В + (—1)₽-АД db, если Л есть
"•форма;
d(dA)aO・
Подразумевается, что складываемые формы имеют одинаковую валентность. В справедливости каждого из этих соотношений можно убедиться непосредственно, исходя из определений (4.2.12) — (4.2.14). Например, проверим выполнение соотношения V :
(А Л В) Л с = 4[…5…]C...L 4…в…<?../ =
=4[…瓦.С・・п-ЛА (В А С).(4.3.16)
Чтобы проверить соотношение VIII, выберем какой-нибудь конкретный оператор Vp, скажем оператор др, для которого кривизна и кручение равны нулю. (Данное условие может выполняться лишь локально, но нам этого достаточно.) Имеем
d(d4) = &m4…" П &0/…]=。&0.]4 …]=0, (4.3.17)
поскольку 4a0例=°・ Этот результат иногда называют леммой Пуанкаре, а иногда ——обратной леммой Пуанкаре [более глубокий результат состоит в том» что локально из равенства dX = =0 следует равенство X = dA для некоторого А; см. формулу (6.5.27)]. Внешняя производная обобщает понятие ротора. Хорошо известные формулы векторного анализа div rot V = 0 и rot grad^ = O можно рассматривать как частные случаи леммы Пуанкаре.
В координатном базисе можно написать
4 = 4“ … > 匸 4% …,，：• • • 6； у 4、…(ip6[； • • ♦ й^], (4.3.18)
где компоненты А%...% образуют антисимметричный тензор. Используя соотношение
6* = У(]£ ■ d^t(4.3.19)
можно переписать (4.3.18) в виде дифференциальной формы
A = Aai... apdx^ Д •••八厶，・(4.3.20)
(Логичнее было бы писать символ «八》также между Л... и первым dx, но умножение на скаляр, хотя и является частным случаем внешнего произведения, обычно записывается без такого символа.)
Отметим, что в литературе для компонент р-формы часто применяется обозначение
а、…％ ：= "I 力、…ар,(4.3.21)
а не 4% … 歌 Такое обозначение проще только в том случае, если не используется правило суммирования по повторяющимся индексам. В этом случае выражение (4.3.20) записывается в виде.
4= Z 统…A ■ • • A dxap. (4.3.22) at < ... < Pp P
Определение, принятое здесь, совместно с обозначением антисимметризации квадратными скобками автоматически учитывает численные множители, неизбежно возникающие в обозначениях вида (4.3.22). В наших обозначениях компоненты внешнего произведения и внешней производной записываются в виде
仆[…屮&叶1 …<Хр+д] И @* 儿2 …ар+1]・(4.3.23)
Одно из наиболее важных приложений дифференциальных форм основано на фундаментальной теореме внешнего исчисления 9. Если 乡 есть ориентируемая р-мерная поверхность в ориентируемом 風 то мы определяем интеграл р-формы А по ^ следующим образом:
\ А = \ 4а[…&卩 d% 1 Д ♦ • • A d% р = \。1 …* dx A * • • A d尤* =up! ^ Л1 ...pdx1 Д ... A 厶「= "I \ (…(\ 4 …pdR)…)dxp
(4.3.24)
для всякой поверхности 夕,представимой в некоторых координатах набором уравнений 尤口十】=...=хп = 0. Если это не так в целом, то подобное представление возможно для отдельных
кусков поверхности 乡 и весь интеграл представляется в виде суммы интегралов по отдельным кускам. Такое представление не зависит от специального выбора координат. Фундаментальная теорема внешнего исчисления утверждает, что
^dA = А,(4.3.25)
где Q есть компактная (р + 1)-мерная поверхность с границей dQ.
Скобки Ли и производные Ли
Перейдем теперь к (4.3.2), второй операции в нашем списке операций, не зависящих от связности. Она называется скобкой Ли и содержится во всех последующих операциях (4.3.3)—— (4.3.6) списка. Более глубокая точка зрения на эту операцию* состоит в следующем. Пусть U и V ——дифференцирования на алгебре £• Отображение W: £f Т, определенное с помощью коммутатора
W=[U9 V]: = UoV-VoU9(4.3.26}
т. е. как
W(f)^U(V(f))~V(U(f)\(4.3.27)
также является дифференцированием. [Соотношения I и II в (4,1.11), очевидно, выполняются. В справедливости условия III нетрудно убедиться непосредственно.] Пусть Vo ——некоторый оператор ковариантной производной. Выразим 济口 через U。и Va. Имеем
W\f = UP。(，▼") 一 V\(U\af)=
=YutwJ + u° (% Y) vj -炉，必 Vaf —片(％U°) Vpf =
=(。乜丿° —宀” + UaVyTa/) vj. (4.3.28)
Таким образом,
у = up,，- vX^^ + и V「aJ；(4.3.29}
это выражение сводится к (4.3.2), если оператор Va симметричен [и, кстати, показывает, как следует модифицировать (4.3.2} при наличии кручения].
Скобка Ли удовлетворяет соотношениям, выполняющимся для всех коммутаторов, а именно:
[и, V] = - k S，[U, у + X] = [и, V] + [£Л X],
[Ut [V, X]] + [V, [X, S] + [X, [U, V]] = 0;(4.3.30}
второе из этих соотношений называют тождеством Якоби. Скобка Ли играет важную роль в современной дифференциальной
9 Зак. 1142
геометрии. Причина этого в том, что коммутатор ковариантных производных по направлению
V： = Х^а(4.3.31)
X
(не обязательно действующих на скаляры) содержит скобку Ли. Повторяя по существу вычисления, проведенные в (4.3.28), мы получаем [формула (4.2.24)]
VV-VV = V + Х"В %0(4.3.32)
XY YX [X, У]
и [в силу (4.2.31) J
(VV-VV - V) Z6 = Ra^6XaY&Z\ (4.3.33) ХУ YX [X, У]
Третья не зависящая от связности операция нашего списка (4.3.3) называется производной Ли тензора Н*：Г вдоль вектора V. Эта операция строится следующим образом. Мы определяем
£Х := [V, X](4.3.34)
как производную Ли ковариантного вектора X вдоль V. Производная Ли скаляра / будет просто производной по направлению вектора V：
£f ：=V(f) = rVpf.(4.3.35)
Тогда производная Ли ковариантного вектора определяется из (4.3.34) и (4.3.35), если потребовать, чтобы правило Лейбница выполнялось для производной Ли от ЛаХа：
£ (ЛаХа) ^A^LX^ + X^IA^ •(4.3.36)
УVV
Отсюда следует, что
$ 4 =片％4 + А^У<(4.3.37)
где мы считаем оператор Vp симметричным. Аналогично, чтобы получить (4.3.3), достаточно потребовать, чтобы производная Ли от "f：二：Х ... ZvAa .. * Cv удовлетворяла правилу Лейбница. Другой способ состоит в том, чтобы разложить "£：：：% на сумму прямых произведений векторов, а затем воспользоваться свойством линейности и -правилом Лейбница при дифференцировании каждого слагаемого. Это однозначно приводит к (4.3.3) при
условии, что Vp — симметричный оператор. Как нетрудно убедиться, коммутатор производных Ли удовлетворяет соотношению
££—££=£UV VU [U, V]££—££=£UV VU [U, V](4.3.38}(4.3.38}
££—££=£
UV VU [U, V]
££—££=£
UV VU [U, V]
(4.3.38}
(4.3.38}
Геометрический смысл производной Ли в том, что она изображает инфинитезимальный перенос тензора 〃£：：：% вдоль интегральных кривых V в ^. Результат конечного переноса имеет вид ехр(〃£)//七二 \ где и — параметр вдоль кривой. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в монографиях [33, 84].
Последние три операции нашего списка (4.3.4) — (4.3.6) не столь важны, как три предыдущие. Здесь мы укажем лишь на специальный случай выражения (4.3.6):
4%公-4也Л +或又理一4汐0心 (4。3.39}
Это выражение играет существенную роль в теории комплексных многообразий.
Риманова геометрия
Рассмотрим следствия введения метрики на 及.Метрика Г01
есть симметричный тензор валентности ] ? ]，обозначаемый через gaB, который по определению не сингулярен, т. е. существует обратный тензор g* такой, что
8耶8仆=6%.(4.3.40>
Мы имеем
ga° = g"，SaB = ёца-(4-3.41>
Пусть V^ ——произвольный контравариантный вектор, a Vp ——симметричный оператор. Тогда производная Ли gaB вдоль 仆 равна
匕飞碑丫 + g“VW" + g^Va.(4.3.42)
Повторная внешняя производная от Vaga& равна %年限叩)一%(丿*收)=
=厂飞毎叩 + ga^Va -丿^碧呻-gay^Va. (4.3.43>
Оба эти выражения не зависят от связности. Складывая их, получаем
2g邓%片 + Y (Vag^ + %g呻-必8")；(4.3.44>
свертка этого выражения с (l/2)gB。дает
% Y +片{ ^ g°° (VagpY + %g呻-VpgaY) } ,(4.3.45》
что также не должно зависеть от связности. Предположим, что симметричный оператор Vp удовлетворяет требованию
VpgaB = 0・(4.3.46)
Этим условием однозначно определяется оператор Vp. Действительно, выражение (4.3.45) не зависит от связности, следовательно, в нем можно заменить Vo на 〃：
VYV° = о* + 丿{ ^g“ (。崎Y +。晟0 -纬g“)}, (4.3.47) где dp — произвольный симметричный оператор; в частности, это может быть оператор «производной по координатам», ассоциированный с локальными координатами Xй. Если перейти к компонентам, то выражение (4.3.47) имеет привычный классический вид ковариантной производной, записанной через символы Кристоффеля.
И наоборот, можно доказать, что существует симметричная связность Vp, удовлетворяющая требованию (4.3.46). Мы определяем (локально) выражением (4.3.47), Тогда мы имеем равенство вида (4.2.46), где dv = Vv и
QyJ = -т^°©却丫 + %8呻-”g“)・(4.3.48)
Таким образом, в силу формул (4.2.48), (4.3.40) и (4.3.41) имеем
VpgaB = 4g 呻 + QpaV gvB + QpJgav =。。8珅 + 2Qp <а%8 Y =
=勿呻-(%gp)P + 勿铎)一 <Ma)P)= °-(4349)
Симметричный оператор Vp, однозначно определяемый тензором ga& будем называть ковариантной производной Кристоффеля. (Мы доказали, что она существует локально, но локальное существование вместе с единственностью означает глобальное существование.)
С помощью метрики индексы можно поднимать и опускать стандартным образом (гл. 3, § 1) (т. е. gaB устанавливает канонический изоморфизм между £а и £р). Поскольку gas «ко- вариантно постоянна», Vpga6=°，операция поднятия и опускания индексов коммутирует с %. То есть
▽电“。=驳速。в том и только в том случае, когда Ур" = Кр/・(4.3.50)
Наконец, вычислим кривизну, определяемую ковариантной производной Кристоффеля. Если опустить последний индекс в R^»
то получим тензор Римана (—Кристоффеля)
R 呻 уб = RaBY*gjL6・(4.3.51)
(При принятом нами расположении индексов наше определение тензора Римана отличается знаком от определения, принятого в литературе. Его обычно используют в связи со спинорными разложениями.)
Действуя коммутатором производных на g^, мы получаем в силу формул (4.3.46) и (4.2.33) и с учетом равенства нулю кручения
О =九哈丫6 = - ^а^ёоб - Rapjgy。= _ 2R呻(阿(4.3.52)
т. e. тензор Ra^ антисимметричен по у и 6. Из (4.2.34) следует, что он также антисимметричен по а н В; таким образом,
R 呐6 = R[a₽i w&i・(4.3.53)
Используя (4.2.38), получаем
^呻丫6 + ^руаб + 欠丫呻6 == °・(4.3.54)
Из этих соотношений следует, что
2/?ару6 = R呻у6 + ^раду Н 一 %叫6 — %邛6 -凡6*一&部У =
=一 кY0ба - 心川a一凡Y60 - кбаY0 = Rwg + &6呼=2火Y加炉
(4.3.55)
Стало быть, тензор RcsByg обладает также симметрией относительно перестановки пар индексов:
R«₽t6 = Rwa§・(4.3.56)
[Заметим, что для вывода равенства (4.3.56) достаточно использовать тождество &的6=^股6丫 вместо (4.3.53).] Ввиду симметрий (4.3.53) и (4.3.54) [а следовательно, и (4.3.56)] полное число независимых компонент тензора /?呻时 в каждой точке оказывается равным (1/12)九2(〃？ — 1) (см. стр. 187).
Тензор
Ra。：= R3J(4.3.57)
называется тензором Риччи. В силу равенства (4.3.56) (и симметричности метрики) имеем
Rafi = Лра*(4.3.58)
Тензор Риччи имеет (l/2)n(n+ 1) независимых компонент R&. в каждой точке. Скалярная кривизна дается выражением
А(4.3.59)
Переписав тождества Бианки (4.2.42) в виде
Va/?pvpa + Vp/?vapa + Vy^appa =。(4.3.60)
и свернув их с ^ар^°, мы получаем важное соотношение 即仅邺一^心呼)=0.(4.3.61)
В четырехмерном пространстве-времени это соотношение служит основой полевых уравнений Эйнштейна.
§ 4. Дифференцирование спиноров
Теперь мы применим результаты, полученные в § 1—3, в том случае, когда Jt есть четырехмерное пространство-время】)，а также расширим определение ковариантной производной так, чтобы этот оператор действовал на спинорные поля. Мы обнаружим, что производная Кристоффеля, введенная в § 3, канонически продолжается на спинорные поля. Это и неудивительно, поскольку спиноры допускают естественную геометрическую трактовку на основе тензорных объектов (с точностью до знака, но эта неоднозначность не приводит к каким-либо трудностям при изучении дифференциальных свойств). Однако мы стремимся рассматривать спиноры как величины» более фундаментальные, чем мировые тензоры. В гл. 3, § 1 мы показали, каким образом мировые тензоры можно рассматривать как специальные случаи спиноров. При таком подходе нам потребуется также отождествить мировые векторы с касательными векторами к пространству-времени Л. Следовательно, поля мировых векторов нужно отождествить с дифференцированиями на алгебре £ гладких С°°-действительных скалярных полей на Л. Здесь мы рискуем впасть в логический круг, поскольку поля мировых векторов строятся двумя разными способами. Но мы избежим
】)Сейчас принято обозначать пространство-время не одним символом Jt, как у нас здесь, а двумя — (4, g) или (X %日)，где JT — многообразие, а g или gajj) 一 метрика. В чистой математике такие обозначения, может быть, и целесообразны, поскольку введение метрики по важности стоит на втором месте после выбора многообразия, но для пространства-времени заведомо предполагается существование (по крайней мере. конформной) физической метрики. Отметим, что, хотя наша запись Р w 4, строго говоря, есть неправильное использование обозначений, так как, если под 4 понимается пара (4,g), запись Р w" означает, что Р = & или Р = g, нарушение смысла не больше, чем в обычной записи Р w 4), где 4)— многообразие. Ведь многообразие есть не множество точек, а множество множеств, отображений и т. до описывающих топологию или дифференцируемую структуру (или оба эти свойства), так что запись Р е 厶衝 строго говоря,材е означает, что Р — точка многообразия 4о, а означает, что она —одна из этих структур!
логических противоречий, положив, что пространство 更.полей мировых векторов 17, V,…есть пространство дифференцирований на алгебре 宅，тогда как всякое пространство £а, £ь, ..., содержащее элементы Ua9Va, ... или U% Р, ..., должно отождествляться с 支А"'，更""',... в соответствии со сказанным в гл. 3, § 1.
В гл. 3, § 1 отмечалось, что существует два логически различающихся подхода к спинорной алгебре на 4: конструктивный и аксиоматический. Мы следовали конструктивному подходу в гл. 1. Четырехмерное пространство-время Л считалось заданным. На нем фиксирована сигнатура (+), гладкая
метрика, и предполагается, что многообразие в целом обладает следующими тремя свойствами: ориентируемостью во времени (1.5.1), ориентируемостью (1.5.2) и наличием спиновой структуры (1.5.3). Тогда спин-векторы можно определить геометра- чески (с точностью до несущественного общего знака пространства ②斗，если Л односвязно; если же оно многосвязно, то определение спин-векторов может содержать глобальные неоднозначности, зависящие от ряда дискретных параметров, см. гл. 1, § 5). Чтобы охарактеризовать элементы базисного модуля ©л, нам потребуется понятие С°°-гладкости для спин-векторного поля. Существует несколько эквивалентных способов дать такую локальную характеристику. Например, в односвязной окрестности всякой данной точки многообразия Ж можно выбрать С°°-си- стему ограниченных ортонормированных тетрад касательных векторов. В этом базисе спин-вектор хл характеризуется своими компонентами х°, х1 (см. гл. 1). Затем мы потребуем, чтобы х°, х1 были гладкими функциями класса С00 во всякой такой окрестности, т. е. чтобы они были локальными комплексными скалярными полями. В то же время во всякой такой окрестности можно использовать спинорный базис о*, И, определенный с помощью поля тетрад (знаки фиксируются по непрерывности), и постулировать, что они принадлежат классу С06, так что хл = =х°ол + хЧл принадлежит классу С00 в той же окрестности, если только х° и к1 принадлежат этому классу. Понятие С°°-глад- кости, очевидно, не зависит от специального выбора ортонорми- рованной тетрады; следовательно, оно характеризует геометрические величины, образующие @л. Определив таким образом базисный модуль ©л, который, очевидно, будет модулем над кольцом С°°-комплексных скалярных полей ©, вполне рефлексивным в силу сказанного в гл. 2, § 4, мы строим 弱二£ как в гл. 2, § 5. Элементы множества 5° по определению есть действительные элементы множества б"'; очевидно, что они находятся во взаимнооднозначном соответствии с касательными векторами 5"» поскольку установлено локальное соответствие между тетрадой касательных векторов и спинорным базисом.
Можно также встать на аксиоматическую точку зрения. Тогда мы просто постулируем алгебраические требования к спинорной системе. Пространственно-временная структура, т. е. метрика, сигнатура, топологические требования, должна выводиться из этого набора постулатов. Конструктивный подход можно рассматривать как оправдание аксиом, выбранных для спинорной системы, поскольку они должны выполняться в любом пространстве-времени, в котором допустим конструктивный подход. В то же время существование спинорной алгебры можно рассматривать как более 《глубокую》 причину возникающей пространственно-временной структуры. Именно этому подходу мы будем в основном следовать. Таким образом, мы постулируем существование спинорной алгебры, следуя изложенному в гл. 2, § 5, а затем требуем, чтобы структуры 更 и 2^ = 3^、' были изоморфны соответственно скалярным полям 宅 и их дифференцированиям 5* на 風、определенным в соответствии с аксиомами § 1.,
Требуемый изоморфизм между J' и 2а = 2ЛЛ，сопоставляет каждому дифференцированию U 曰更.единственный элемент UAA，— иа^ 2а, и наоборот. (С учетом такого канонического изоморфизма не будет ошибкой называть Ua, М,…также полями мировых векторов на J?.) Мы используем символ V。 (или, что эквивалентно, 7дл/) для обозначения этого изоморфизма, т. е. отображение Va： Ua^^U будет записываться в виде
UY = U・(4.4.1>
Эти операторы действуют на действительные скаляры; следовательно, Ua\a есть отображение из 2； в 5. Можно расширить область определения этого оператора, включив в нее комплексные скаляры © = 5： ф t£, что приводит к отображению из © в 0
и Y (f + ig) ：= и (f) + iU (g) =: U (f + ig)； f, g 曰乳(4.4.2>
Далее можно определить
(d + ip) v/ ：= и 仇)+ iV (ft)； Ле®. (4.4.3>
Следовательно, для любого данного 力三 ® мы имеем отображение из ©а в ©, определенное как Wa Wa^ah (где Wa е ®а). Очевидно, что оно ©-линейно; стало быть, для Ле© мы имеем элемент
У/i w ®а.(4.4.4>
(4.4.5)(4.4.5)Из (4.4.2) и (4.4.3) следует, что Wa^ah = Wa^ah, откуда
(4.4.5)
(4.4.5)
Va^ == Уа儿
В частности, если 九三 £, то VJz Е 宴* Используя свойства дифференцирования, можно показать, что
V/ = 0, % (g + /I) = %g + %儿 Va (gQ = gVa也 + 也Vag, (4.4.6)
где k еЭ1ф/91 и g, fteS.
Далее, мы желаем расширить определение оператора Va, задавая его действие на произвольный спинор. Мы будем следовать изложенному в § 2, Оператор спинорной ковариантной производной мы определяем как отображение
^а.^в^вАА，г(4.4.7)
удовлетворяющее требованиям
% (Н + 喂)=Vai + 〃喂，,(4.4.8)
Va (隹B) = WaF + lVj(4.4.9)
для всех ±в,刀8三@8, /е®； определение оператора Уа/ дано выше. Разумеется, мы можем написать ?44z вместо Va и использовать подстановку индексов, например 十启右認° =入沁 и т. д. Такую возможность мы будем всегда подразумевать. [Однако следует помнить, что VaE# есть не подстановка индексов в Va?B, а (Л }свертка, а именно 以代勺 см. замечания после формулы (3.1.37).]
Мы расширим Va до отображения из ©в в ®дв^ потребовав, чтобы производная свертки ав^в удовлетворяла правилу Лейбница
(Va«B)1 = Va(30) — ％%驴・(4410)
Левая часть этого равенства определяет Vflas как отображение из SB в @4# в силу формул (4.4.6), (4.4.8) и (4.4.9); очевидно, что оно ©-линейно. С учетом (4.4.6) нетрудно убедиться, что соотношения
%(%+%) = %% + %%(4.4.11)
% (f 3)= /Va«B + %У J(4.4.12)
имеют место для всех aB, рв е SB, / е(5. Определим действие % на @' и на % с помощью отображений из SB* в ®〃，а также из 6& в Sxazbz соответственно, как комплексное сопряжение:
Va?B'=蒞,Va®B^ =于再-(4.4.13)
Из выражения, комплексно-сопряженного выражению (4.4.10), м формулу (4.4,5) непосредственно следует, что правило Лейб-
ница также применимо к свертке «)в名％ Более того, очевидно^ что в силу формул (4.4.8), (4.4.9), (4.4.11) — (4.4.13) для V/'' и Уа®в‘ имеют место линейность и правило Лейбница.
Теперь мы в состоянии определить действие Va на спинор общего вида %夕…尸р …s'. Как и в соотношении (4.2.8), мы просто требуем, чтобы правило Лейбница имело место для сверток вида Ув …F’P …$ X рв ・・・力尸Лр ・・• и,’; тогда соотношением
(%%BS')0B ... BFp ... %，= % (%B ... J …S'pB • • •啕一
~^B... F,P"'S (^O₽B) ••• °S'~ …一 ％B …尸尸…S pB …(％%，)
(4.4.14>
VflXB f，p …s' определяется как S-мультилинейное отображение из Ss X • • • X®r X®p X • • • X ®s，в ⑨厶片.Таким образом, для всякого множества спиноров ⑨力：：：》оператор Vfl определяет отображение
%：&：：：*"* ⑥公而t. /%：&：：：*"* ⑥公而t. /(4.4.15>(4.4.15>
%：&：：：*"* ⑥公而t. /
%：&：：：*"* ⑥公而t. /
(4.4.15>
(4.4.15>
(4.4.16>(4.4.16>Va(^ + Х^) = %1^ + % 屯，Va(^ + Х^) = %1^ + % 屯，Аналогично соотношениям (4,2,10) — (4.2.13) выполняются равенства
(4.4.16>
(4.4.16>
Va(^ + Х^) = %1^ + % 屯，
Va(^ + Х^) = %1^ + % 屯，
% (2 励 е&) = 2 励 ％е 歹 + %У?Ь・(4・4」7>
Оператор Vfl обладает также свойством
Va коммутирует с подстановкой любых индексов, не содержащей А или 4，・(4.4.18)
Далее, Va коммутирует со сверткой (не содержащей 4 или 4‘)；
(44.19)(44.19)У(%曳…Р…) = В.Р
(44.19)
(44.19)
gp，Q'. Q，...…° …)=VL. Р，……
Из (4.4.13) следует, что Va коммутирует с операцией комплексного сопряжения:
可"=%的.(4.4.20)
^Формально это означает, что Va ——действительный оператор: Va == Va-)
В частном случае действительных мировых векторов Ub = ==USB， е Jb оператором Va определяется тензор ковариантной производной Ub >—> VaUbt удовлетворяющий условию Va (Ub + +Vb) = Aflf/& + VflV&, Vfl (fUb) = f^aUb + Ubyaf в согласии с формулами (4.2.2) и (4.2.3). Обобщение такого Va на случай дей-
ствительных мировых тензоров, очевидно, согласуется с определением, данным выше, поскольку требования (4.2.10) — (4.2.13), которыми оно определяется однозначно, удовлетворяются в силу свойств (4.4.16) — (4.4.20).
Единственность
Перейдем к вопросу о единственности оператора спинорной ковариантной производной, удовлетворяющего указанным требованиям. Обозначим через V и Vfl два таких оператора и рассмотрим отображение
(Va-Va)：SS->®4^-(4.4.21)
Тогда [аналогично отображению (4.2.44)] это отображение будет ©-линейным в силу соотношений (4.4.8) и (4.4.9) и того, что операторы Va и Va при действии на скаляры совпадают:
ej = Vj・(4.4.22)
Таким образом, существует элемент Qa^eP е ©двл*» такой, что
Wc = ?дд^с + ”£8%в.(4.4.23)
Поскольку (Va — Va) (ав1в) = 0 в силу равенства (4.4.22), мы имеем с учетом (4.4.23)
Va4z<xb = У44s — вдл'в^с*(4.4.24)
Выполнив комплексное сопряжение в (4.4.23) и (4.4.24), получим一
^а^ = ^а^ + 苏 аУ 严，(4.4.25)
名片心夕=Уаа 心歹—^аа^в^^с^(4.4.26)
Следовательно, для произвольного спинора
VakXb …丁…° = J …S' 一…S' —
-W%b S' + WzB... / • • S' + …田A，J'%B ...尸• X'・
(4.4.27)
Теперь рассмотрим специальный случай, когда %••'' есть мировой вектор Ub. Получаем
(Va 一 ％)ивв*=eaCBuCBf + &d"BC，=
=(戛 c%c" + Gac，B'%B)U" = Qac»Uc, (4.4.28) где_
Qa? = ”4 C%d + 0ллс^есв(4.4.29)
есть величина, определенная аналогично соответствующей вели* чине в формуле (4.2.46). Ввиду (4.2.50) разность двух тензоров кручения Таьс и 兀产，определенных операторами Vfl и Vfl соответственно [причем (VaVb — VbVa)f = Tabc^cf, и аналогична для Va], Дается формулой
Tab- rd = Qba'- Qd(4.4.30>
с величиной Qabc из формулы (4.4.29).
Далее, рассмотрим производную от едв. Имеем
(Va — Va) 8ВС = — ^AAfBD^DC — ^A^C^BD = — ^AAfBC + ^AA'CB*
(4.4.31)
Если потребовать, чтобы при действии операторов Va и Va спинор вдв был ковариантно постоянным, т. е. выполнялись условия
Va83c = 0，(4.4.32}
VaB^c = 0»(4.4.33)
то тензор Qaa^c Должен быть симметричным по В, С:
^AAfBC = влд'св-(4.4.34)
Поскольку в силу формулы (4.4.29) мы имеем
Qabc = вдд^вс^с7 ~h вдд^в'с^вс»(4.4.35)
из равенства (4.4.34) следует антисимметрия
Qabc = — Qacb-(4.4.36>
[Более прямое доказательство антисимметрии таково:
0 = (Va — Va) g&c === ~~ Qab gdc — Qac Sbd ^^ — Qabc — Qacb’ 『Ae КС； пользованы формулы (4.4.32), (4.4,33) и равенство gbc = zBCz^cA Если оператор Va симметричен, а оператор влв ковариантна постоянен по отношению к va и Va, то кручение ТаЬс оператора Va дается выражением
Т abc = Qabc — Qbac
—^А'АВС^В'С + ^АА'В'С^ВС 一 ^BfBACeA'Cf — ®EBZ'C'4c・ (4.4.37)
Это выражение используется в теории Эйнштейна — Картана — Шьямы — Киббла (§ 7).
Теперь мы можем показать, что существует единственный оператор Va, для которого тензор е^в ковариантно постоянен [формула (4.4.32)], а кручение Таьс равно нулю, т. е.
▽а“/ = %у/ для всех f(4.4.38》
В самом деле, второе требование означает (в тех же предположениях для оператора Vfl), что тензор Qabc симметричен по а и Ь [формула (4.4.30)], а первое — что он кососимметричен по b и С [формула (4.4.36)]. Таким образом, из формулы (3.3.17) следует, что Qabc = 0. Отделив часть, симметричную по В и С, и используя (4.4.34), мы получаем условие единственности ^а^вс = °，что и требовалось.
В следующей главе мы будем рассматривать заряженные поля и конформные преобразования. В связи с этим предетав ляет интерес вопрос о неоднозначности оператора Va, удовлетворяющего только одному из двух указанных требований, а именно требованию равенства нулю кручения [формула (4.4.38)], нс не удовлетворяющего требованию ковариантного постоянства тензора вдв. Если оба оператора Va и Va симметричны (т. е. если их кручения олинакоры)» то в силу формулы (4.4.29) и симметрии Qffic=Oeec> которая следует иг формулы (4.4.30), мы имеем
^BfC^AfABC + вве^ЛЛ'В'С = ^А'С^В'ВАС + 办匕❷^么七乙(4.4.39)
Симметризуя по Д, В, С и сворачивая с е"； получаем
0дх мвс) = 0.(4.4.40)
Вспомнив формулу (3.3.49), получим, что Qa^abc имеет вид
^А'АВС = ^А'А^ВС + Рд^вдс + ^СеЛВ« (4.4.41)
На основании тождества (2.5.20) можно переписать последнее слагаемое в виде ^д/Л8СВ + v^BeAC, что дает нам соотношение
^А'АВС = Аа]电 с + ^AfB^AC*(4.4.42)
Теперь, если мы симметризуем (4.4.39) по Л, С и по 4‘，С, то после подстановки (4.4.42) получим
一电，(с，А 的优％)в — &# <с，А 的(лсс)в = °，(4.4.43)
откуда при использовании формулы ^3.5.15) или сворачивайир с e&cQec вытекает равенство
Аа“ + 冗4片=°・(4444)
Следовательно, Аа — чисто мнимый вектор, скажем Aa = illa, где Па ——действительный вектор. Аналогично, симметризуя (4.4.39) по Л, Сх и по Bz, G, после подстановки (4.4.42) получаем
—cs 旧丫岗⑷厘^昧=—电(c^*a)(B^co *•(4.4.45)
Путем рассуждений, аналогичных предыдущим, находим
L*一力4 = 0，(4.4.46)
т. е. Ya ——действительный вектор. Соберем полученные соотношения вместе：
"片評=e4心/+l,霹/；儿，-三％(4.4.47)
Эта формула дает полное решение задачи, так как, подставив (4.4.47) в (4.4.39), мы найдем, что это соотношение выполняется тождественно. Как мы увидим в (5.6.14), величина Ya возникает в связи с преобразованием ковариантной производной при конформном изменении масштаба. Величина Па исторически ассоциировалась с вектором электром агн итного потенциала |95]. Но мы дадим иное истолкование этого вектора в гл. 5, § 1.
Конструкции, основанные на производной Кристоффеля
Будем далее предполагать, что оператор Va симметричен [формула (4.4.38)], тензор е^в ковариантно постоянен относительно Va [формула (4.4.32)]. Существует единственный оператор Va, удовлетворяющий этим условиям. Кроме того, операция поднятия и опускания индексов коммутирует с Vfl. То есть
V^q — ^а^в при том и только том условии, что
VaXsB =屯才・；(4.4.48)
Конечно, мы должны показать, что существует оператор с такими свойствами. Это доказательство можно провести разными способами (например, пользуясь достаточно сложными явными формулами § 5). Один из способов состоит в том, чтобы, используя результаты § 2 и 3 [формула (4.3.45)], установить существование оператора Кристоффеля Va, для которого определено действие на действительные мировые тензоры, удовлетворяющее равенствам (4.2.10) -(4.2.13), кручение которого равно сулю и для которого метрика gab = £4584^，ковариантно постоянна: Vagbc == 0. Затем мы должны расширить область определения Va так, чтобы включить спиноры.
Для этого мы должны сначала включить в область определения оператора Vo комплексные мировые векторы, что легко достигается путем определения ,
%(〃励+ iG^) = V/且+0G如 H^ G^e^. (4.4.49)
Составной индекс 砂 должен (на этой стадии) лишь содержать одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов в нижней и верхней позициях; никаких дополнительных ограничений не требуется. (Например, тензор 7а^пв,вс/ может быть найден из Va"『 подстановкой индексов.)
Рассмотрим выражение
^а (Вв₽в，) - Рв^а (&вав，) - ^Va (авфв，). (4.4.50)
Оно вполне определено, поскольку оператор Vfl действует только на комплексные мировые векторы или на скаляры. Кроме того, как легко убедиться, выражение (4.4.50) S-линейно по и"' и по 0В' [для этого достаточно использовать формулы (4.2.2), (4.2.3)]. Таким образом, для каждого 守 выражением (4.4.50) определяется S-линейное отображение из SB，Х®с，в Sas с помощью свертки с элементом 仇％с®⑨Zc (где Ваввлс зависит от Вв)> при этом выражение (4.4.50) можно представить в виде 8J&cP”pC'・ Отметим, что тензор (4.4.50) антисимметричен относительно перестановки 認 и Рв\ Это означает, что тензор GaBBfc кососимметричен по В'С* так что его можно представить в виде е『вс = ®а%вс，где 力。^ есть функция аргумента 守.Запишем vfl5B = 1/2^ав; тогда выражение (4.4.50) равно
2(电守)5小叫(4.4.51)
Мы хотим убедиться в том, что отображение 広：6£->@3 определенное как 自夕 ^_> vfl^B, удовлетворяет требованиям Va (守 + T]B) = VaBB + «аП® И va (僧)=泣守 _|_ F廟.Для этого достаточно подставить £口 十 п" я 传"вместо |в в (4.4.50). Таким образом, оператором Va определяется оператор спиновой ковариантной производной.
Как нетрудно убедиться» ^а&вс = 0« Действительно,
.(VaeBc)守严=Va (евсВв,Пс)—电渭眩П。— eBci1cV0^B- (4.4.52)
Умножим обе части равенства на 2汕匕也昨°' и воспользуемся соотношением
2wc心呻 e仇Т)С =堀(心配% (严产)+ 8B<c^C/Va (n%E')一
-y\cVa(^c^Cf)(4.4.53)
[которое есть просто равенство выражений (4.4.51) и (4.4.50)], а также соответствующим соотношением для 28B*c^as/pcVa|B. Нам потребуются также соотношения
xf^CVa 低％炉)+ IQS'% ^C^) _ Vfl (n* 唯％炉)=
=T1%B'Va (守 6。+ &¥'% (不。8)(4.4.54)
Va (?Bnc8BcaB，₽c VcO — 8вс8вс% 倂 nCaB'pC)=
=|Bnc«B，₽c V0 (езс%。)=皆■nCaB'pC'Vag加=0.(4.4.55)
С учетом этих соотношений формула (4.4.52) дает
®а%с)РпС =。(4456)：
для всех 自8, ^с, откуда следует наше утверждение VaSsc = 0. Аналогично формуле (4.3.50) можно показать, что оператор спинорной ковариантной производной коммутирует с операцией поднятия и опускания спинорных индексов. Следовательно, выражение (4.4.50) с заменой Va на Va тоже должно равняться выражению (4.4.51). Вычисляя разность этих двух форм записи выражения (4.4.50), получаем
ав^а - Va)(尹рв) _ pB，(va - Va)(gBaB，) = 0.
Поскольку каждый из операторов Va и Va дает тензор при действии на элементы ©ь, предыдущее равенство означает, что
^B'Qacc^3^ Р° = BeQcI''&%К
где Qacb дается формулой (4.2.46). Следовательно, тензор QaccfBBf симметричен по С, В'・ Из действительности тензора Qacb (каждый из операторов Va, Va отображает действительные мировые тензоры в действительные мировые тензоры) следует, что тензор Qacc^ тоже симметричен по С и В. Отсюда заключаем, что тензор Qacb симметричен по с и 6. Но тензор &с(=%с%”)ковариантно постоянен при действии каждого из операторов Va, Va (так как VaeB^ = VaeBc = 0)* Следовательно, в силу равенства (4.4.36) тензор Qacb. будет кососимметричным по с и 6, а значит, Qacb = 0. Отсюда следует тождественность операторов Va и Va как операторов, действующих на тензоры (попутно мы показали, что кручение оператора Va должно быть равно нулю). Стало быть, можно написать Va：= Va, где операторы действуют на произвольный спинор. Тем самым мы показали однозначность определения оператора спинорной ковариантной производной, обладающего свойством (4.4.48).
Тензорная запись спинорных дифференциальных уравнений
В заключение данного параграфа мы еще раз вернемся к тому» что говорилось в гл. 3, § 4 о переходе к тензорной форме записи алгебраических спинорных операторов. Теперь мы можем рассмотреть вопрос о преобразовании производных от спиноров, а следовательно, спинорных дифференциальных уравнений. (Решение обратной задачи — преобразования тензорных производных и дифференциальных уравнений к" спинорному виду——не представляет труда.) Мы покажем, что в принципе всякое спинорное дифференциальное уравнение тмеет эквивалентную тензорную форму (которая, правда, может быть очень сложной), определяемую с точностью до знака. Поскольку тензорные уравнения часто содержат квадраты соответствующих спиноров, может случиться, что в многосвязных областях про-
странства-времени существуют глобальные решения тензорных уравнений и в то же время не существует непротиворечивого способа фиксировать знак в решениях спинорных уравнений. Поэтому тензорные и спинорные уравнения могут быть эквивалентными локально, но неэквивалентными глобально.
Наиболее естественно спинорные дифференциальные уравнения возникают в квантовой теории. Основываясь на теории представлений групп, требованиях лоренцевой инвариантности и принципе суперпозиции, полагают, что основные уравнения для свободных частиц должны быть линейными спинорными уравнениями. Однако в тензорной форме они часто принимают нелинейный вид. Таким образом, попытка рассматривать тензорные уравнения и тензоры, входящие в них, как фундаментальные, противоречит стандартному линейному формализму квантовой теории. Тем не менее возможность перехода от спиноров к тензорам в дифференциальных уравнениях — полезный теоретический результат.
Прежде чем рассматривать общую методику перехода, мы остановимся на двух важных примерах — уравнении Дирака — Вейля для нейтрино}) и уравнении Дирака для электрона. Предварительно мы докажем две леммы, справедливые для произвольного спинора 勺а. Первая есть тождество
”(打筛)+ &ав 中 с『р§с = 2 令雨 Qb，(4.4.57)
которое сразу же доказывается разложением первого слагаемого в левой части и заменой второго) величиной ——2%仇心办 Вторая лемма формулируется следующим образом: если Fab есть антисамодуальный изотропный бивектор, соответствующий спинору 勿：
Fab = ВаВв&а2(4.4.58)
н Мр — вспомогательный вектор, такой, что
М产打巾,(4.4.59)
то
FaNpF± = FaMp.(4.4.60)
Под «нейтрино* мы здесь понимаем безмассовую незаряженную частицу со спином 1/2, которая описывается полем, удовлетворяющим уравнению Дирака — Вейля. Для наших целей несущественно, что физические нейтрино могут иметь массу, отличную от нуля. ,
Доказательство вновь основано на правиле Лейбница:
Левая часть =打力日办七，％ 仲W) %#'=
=ВаВсЕаСвУр，^ = Правая часть.
Тогда уравнение Дирака — Вейля можно записать в виде [44, 48, 193]
^aa^a = 0-(4.4.61)
Чтобы преобразовать его к тензорному виду, мы сначала введем еще один вспомогательный вектор
a = 3戸8品产，(4.4.62>
равенство нулю которого эквивалентно выполнению уравнения Дирака — Вейля, за исключением, может быть, областей, в которых 冉=0 (учитывая гладкость 勿，мы продолжим R。на такие области по непрерывности). Далее, в тождестве (4.4.57) мы поднимем индекс В, заменим р на Ь, выполняя тем самым свертку по В) затем умножим все выражение на %尸；в результате получим чисто тензорное уравнение
^bF/ + Ma = 2Ra.(4.4.63)
Поскольку уравнение Дирака — Вейля эквивалентно условию Ra = 0, мы заключаем, что оно эквивалентно тензорному урав* нению
Vd 戶『 + Мс = 0.(4.4.64>
Требуется еще исключить вспомогательный вектор Ма. Для этого и была доказана вторая лемма. Таким образом, умножая (4.4.64) на Fab и учитывая (4.4.60), мы, наконец, получаем
Fat^dF^ + FadVc 戶广=0.(4.4.65а)
Разумеется, из (4.4.58) следует, что дополнительно бивектор 尸а> удовлетворяет условиям ,
Fab = — Fba，Fa—Fab，&/也=0,(4.4.656>
т. е. он должен быть кососимметричным, антисамодуальным и изотропным.
Система тензорных уравнений (4.4.65а) и (4.4.656) эквива* лентна уравнению Дирака — Вейля. Очевидно, что его струк* тура гораздо сложнее структуры первоначального спинорного уравнения; в частности, оно нелинейно.
Уравнение Дирака можно записать в форме двух связанных двух ком понентн ых спинорных уравнений ) |44, 95, 185]:
(4.4.66)(4.4.66)^А =欧А，^А' = ”4,
(4.4.66)
(4.4.66)
где 卩—действительная константа (卩=2~"2团力7). Заменяя А на В в первом из уравнений и умножая на 屮斗，мы видим, что оно эквивалентно уравнению
BaQbaRB =—卩铸%4 (4.4.67)
(всюду, кроме, может быть, областей, где ^д =0). Левая часть равенства (4.4.67) совпадает с вектором &, определенным в формуле (4.4.62). Вводя вектор
Са = Ыл' (4.4.68)
и используя (4,4.63), мы видим, что уравнение (4.4.67), а вместе с ним и первое из уравнений (4.4.66) эквивалентны уравнению
ЪРа+Ма = -^Са.(4.4.69)
Вполне аналогично показывается, что второе из уравнений (4.4.66) эквивалентно уравнению
VQ/ + MA-2心(4.4.70)
(Yp)a^ = Ypa' = “2(Yp)a^ = Ypa' = “208р”8р08р”8реРАеР/0еРАеР/0где Gab и Na связаны с Хл так, как Fab и Ма связаны с 力小・
(Yp)a^ = Ypa' = “2
(Yp)a^ = Ypa' = “2
0
8р”8р
0
8р”8р
еРАеР/
0
еРАеР/
0
где a = Л Ф Л\ р = В 缶 В1 Путем прямых вычислений нетрудно убедиться, пто выполняются соотношения Клиффорда — Дирака "
VpYq + YqYj, = - 2gp Jт. e. Vp/YqpV + 丫“*%鼠=* - 2^pqdav
(см. примечание на стр. J 63). Преимущество 2-спинорных обозначений в том, что у-матрнцы в теории не возникают, а следовательно, отсутствуют и сложнее тождества для 丫・ матриц/
Используя (4.4.60) и его %л-аналог, мы исключаем вспомогательные векторы Ма и Na из этих уравнений, получая (сложные связанные нелинейные) тензорные дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению Дирака:
(4.4.71>(4.4.71>FaNdF 广 + Pad^c^tf = — 2gFflfrCc,GaNdG? + Go^JcGE — — 2цОаьСс.
(4.4.71>
(4.4.71>
Их, разумеется, следует дополнить двумя наборами алгебраических условий: (4.4.656) и аналогично для G“・ Бивекторы 尸а& и Gab алгебраически независимы, но Са есть «вторичный» вектор, определяемый по F。 и G^ с точностью до знака. Действительно,
ОаХа'ОвХв'=中 А^Се&С'ХсавРсв，
…C£b = F：G心(4.4.72)
Рассуждения» представленные выше, заимствованы из работы [196]. Однако в этой работе окончательный результат сформулирован несколько искусственно в виде суммы (4.4.69) и уравнения, комплексно-сопряженного уравнению (4.4 70).
Далее мн кратко рассмотрим общий случай. Производные четных спиноров (четное число индексов) не вносят дополнительных трудностей (см. гл. 3, конец § 4). Производные одно- индексных спиноров, содержащие свертку по этому индексу, определяются яналогитно тому, как это сделано для уравнения Дирака — Вейля, Возможность греобразования спинорны/ дифференциальных уравнений, содержащих производные от нечетных спиноров, основана на использовании тождества
(4.4.73>(4.4.73>
(4.4.73>
(4.4.73>
Чтобы преобразовать спинорное уравнение первого порядка, следует умножить его на соответствующее число нечетных спиноров. Затем нужно, используя (4.4.73), выразить продифференцированные нечетные спиноры через эквивалентные производные тензоры Окончательно переход к тензорной форме записи осуществляется помощью техники, изложенной в гл. 3, в конце § 4.
Преобразование уравнений второго порядка основано на обобщении тождества (4.4.73). Например,
2,必产VpVg,#3 -6鼻▽P57@ ©必产3) + »NR@y» -
-产“% (产中总)一2产%"产"©必-
一2小"М抻風入内加+ 2*凡7p*"Vg6%,(4.4.74)
и аналогично для высших порядков.
§ 5, Дифференцирование спинорных компонент
В § 4 мы дали абстрактное определение операции ковариантного дифференцирования спинора, не зависящее от выбора базиса. Теперь мы изучим действие соответствующего оператора на компоненты спинора. Явные выражения, которые мы полу* чим, можно будет использовать для альтернативного доказательства существования оператора Vfl, действующего на спиноры и удовлетворяющего свойствам (4.4.7) — (4.4.20). В дальнейшем всюд} (кроме § 7) оператор 一 считается симметричным.
Пусть 8ал = (оА, 1Л) есть спинорная диада (не обязательна нормированная), а елА ——ей дуальная. Введем также комплексносопряженный базис н дуальный ему базис &4卢'.Пусть 乂、三64 имеет компоненты хА = хАелА; используя обозначения
запишем компоненты величины Уа^м" в виде
外”‘嘈忆产=8BBVAA，(XC8CB) =
= %%『％№ + /YVaa&b = Vaa" + кЛ，(45〔> где
Yaa^cB := EJVM J =(45・2>
поскольку 8лв8сЛ = есв совпадает с дельта-символом Кронекера» имеем Уа%в = °・ Заметим, что
0ААJ (= Va，aJ') = е『％坛"=-У% 哆(4・5.3> Отнесем вАЛ к спиновой системе отсчета, г・ е・ положим о&а = 1, так что
в этом случае мы имеем симметрию
Yaa，bc = Yaa，cb，(4・5.5>
поскольку
0 = Уаа/с = %，(％&№)=勿 Ма 阳4 -
—ЕвКаа7®% = Yaa^c — Yaa^b-
(Напомним, что спинорные индексы можно поднимать и опускать независимо от действия оператора V.) В этом случае величины Уда вс образуют 12 независимых комплексных 吁нее/ в каждой точке. Они называются спиновыми коэффициентами и
находят широкое приложение в практических вычислениях [25, 26, 30, 103, 123, 126, 129].
Если не предполагается нормировка (4.5.4), то симметрия (4.5.5) нарушается и мы имеем 16 независимых комплексных 'чисел уАА/вс в каждой точке. Иногда полезно сохранить такой произвол в выборе базиса, и, поскольку конечные формулы в этом случае не намного сложнее, мы будем чаще всего записывать уравнения в этом более общем виде. За величинами у сохраняется название «спиновые коэффициенты». Полагая
Х = ол1А,(4.5.6)
мы имеем аналогично формуле (2.5.45)
8вс = евАес4 = (_^J)(457)
вместо (4.5.4), где базис, дуальный к (о* И), имеет вид ел° = =—Х~ и» в^1 — х~~1оА, как в формуле (2.5.50). Повторяя вычисления (4.5.5) с (4 5.7) вместо (4.5.4), получаем
Yaa^bc — Yaakb = "аа&с = %с% Уаа% (4・5・8) т. е.
Yaazoi Yaa」o = Qa%(4・5・9)
Эквивалентно
Yaa<bB = 2X"1Vaa^.(4.5.10)
Важно отметить, что, хотя в спиновой системе отсчета (т. е. при X = 1) операция поднятия и опускания индексов коммутирует с дифференцированием, в общем случае (х ф const) это не так. Например,
2аа，…м “ = Vaa，匕.м…9 曳.м …=
= %#.. м…+ 6..М …%-Vaa，%，“
屮AA，...=外状…—屮AA，…M，=
= «аа 吏.m，T...m「5Vaa，R
Далее, ззяв ковариантный спин-вектор 卩& находим компо- яепты величины ^аа^в*
%&」％也仆8 = Vaa，％ г NcYaa，bC (4.5.12)
путем вычислений, аналогичных выкладкам (4.5.1). Выпапняя комплексное сопряжение в (4.5.1) и (4.5 12), получаем соответ-
ствующие формулы для штрихованных спин-векторов 3" и J，： 以4%强炉4^产二%#' + 产以 А，j，(4513> %"%'% 尸匕u£# = Vaa& — UcRaa J ・(4.5.14)
Для спинора общего вида 巾紀二気:二 имеем
J% . • • 8КЛ • • - %%：：：就::=%幡二記二 +
+ Л：：/..Ла<+ •••+%：•£%『+
…一%二土.Yaa，J-…-時二=九，尸-・...(4.5.15.
Эта формула проверяется непосредственно^ вычислением компо^ нент в разложении величины 弘4，(屮：：.二弋 8BqB • • •色后；* ・・♦)，
Выражения для спиновых коэффициентов
При вычислениях удобно ввести для каждой из 16 величин свое обозначение. Стандартные (несколько модифицированные) обозначения даны в следующей таблице:
Ж
00
01
10
11
00Л
е
一k
—т'
y'
КУ
а
—Р
-У
g
or
Р
-a
—Р‘
а，
1Г
Y
一 T
一/
或
(4.5.16)
Yaa，b° =
(Мы используем стандартный выбор знаков для х,・..,т, хотя его нельзя считать вполне удачным.) Преимущества введения штрихованных индексов в том, что при замене
ол i—^* iiA, 1Л ь—> ioA, о" 1» — hA\A ь-> io4 (4.5.17)
(которая сохраняет соотношение 0“ = %) штрихованные и не- штрихованные величины меняются местами. Если обозначить эту операцию штрихом, то два последовательных штриха оставляют спиновые коэффициенты неизменными, а знак диады меняется на противоположный. Очевидно, что эта операция коммутирует с комплексным сопряжением, так что 入'может означать
и (入)'и (V). Операция «штрих» коммутирует также со сложением и умножением. Для дальнейшего [формула (4.5.19)] полезны следующие соотношения:
(六)‘ =nat (m” = /па,(血少=外，(們'=广.(4.5.18)
51вные выражения для спиновых коэффициентов через базисные спиноры ст4, И представлены в формуле-таблице (4.5.21). Они получены с помощью (4.5.16) и (4.5.2). В формуле-таблице (4522) даны их выражения через (ненормированную) изотропную тетраду .
/а — о%勺 ma = «Иг4', ma = 1лол\ na = iA"; (4519)
этот выбор отличается от (3.1.14) нормировкой
广也a = %*=一 m0位a■广也a = %*=一 m0位a■(4.5.20)(4.5.20)
广也a = %*=一 m0位a■
广也a = %*=一 m0位a■
(4.5.20)
(4.5.20)
Вторая таблица получается из первой после подстановки вместо 1а и т. д. величин ол и И с последующим использованием соотношений (4.5.24) и (4.5.25). Отметим, что в формализме спиновых коэффициентов роль «вектора» оператора ковариантной производной играют четыре 《скалярных》оператора VAA (так называемые внутренние производные вдоль направлений тетрады), для которых ниже, в формуле (4.5.23), вводятся специальные символы (ранее мы часто обозначали оператор Dr символом А)
К
8
Y'
。'q。4
1ЛОо^
—ол01л
-^Dia
р а
а
₽
В' а'
У р'
= х-1 X
О”6'°А
0'6。4
内о4 1460A
-0也"
■一0制以
-1也以
一 tX6l4
т
V
Xх
QADfoA
tADfoA
一。绚'以
—MQ'h
(4.5.21)
= х_1х-1Х
maDla у (n° Dla + m° Dma + x£>X)
У (Г £>”а+加а Dma+i,以)ma Dna
tna64a у (na6fla + n^^ma + хб'х)
у (^Па+т^та+^г)济Wf1a
fna Ыа у (" Ыа + ma дта + % д%)
—(/а дпа + tha 6ma + x бу) ma 6na
maDrla 1 {naDrla + maDfma + W>^
^(l^na+m^ma+iP^) та^па
(4.5.22)
где i)где i)(4.5.23>(4.5.23>
где i)
где i)
(4.5.23>
(4.5.23>
О ：= voo/ = 0Л0Л/7дд/ — 1а^а = D,6 ：= %1‘ = O&'V4f = m，a = ，6’ ：= У](/ = 1*0, Ya% =血°% = 8,DZ ：= У[『=^A ^AAf = WflVa = D'・
Соотношения, позволяющие убедиться в правильности выражения (4522), получаются применением правила Лейбница к производным в равенствах ^вв^а = Vbbz (олол<), и т. д.:
т°^вв〃а = XO^Vbb^ (= 一 1°^вв，та，
涧Рвв~ = xHVbb^H (= — rtaVBS^a)>
几勺 вв(а + тГвв^а + ^ввХ = 2 时 “УввПд,
/aVBB-«a + ^ввта + NbbX = 2xoAVBBa4,
NbbM = i'VbbS —。勺88乙片・(4.5.25У
Заметим, что тетрада 广，mat fnat na определяет только модуль % [формула (4.5.20)], следовательно, величины а, 6* у н & определены неоднозначно, если не накладывать дополнительные- требования, скажем, фиксировать % действительным.
Мы приведем некоторые полезные формулы, эквивалентные формуле-таблице (4.5.21), а также комплексно-сопряженные вы-
ражения
DoA = во4 — «1Л,DM = у\А — т'о4
62 = аол — pi4,6В = рВ — и'о4
6о, = роЛ 一 П1л,ОМ =ссВ — р'о4(4.5.26>
и
DfoA = уол — пЛ, ОЧл = вЧ4 — хЛоЛ
Do" = 0о"—欣勺 £)S = qB' — Fo", 6сИ' = Go" — 01勺6l" = B‘i"' — Уо",
6,о4 = Ro# — а1л\ OL" = %々—po",(卜
D^^ = у°Л —认'，/У(Л = г\А，—又'о 丝
Напомним, что для спиновых коэффициентов и производных по направлению операции, обозначаемые символами «черта» и «штрих», коммутируют. Из (3.1.14), (4.5.26) и (4.5.27) мы те-
В соответствий с прежним обозначением (4.1.14) мы могли бы писать-
перь получаем
Dla = (е + ё) /а — йта—乂后@, Dma = (е + 歹)та — хЧа — хм®,
&°=(В+@) la—pnia—othat 6/n@ = (В + К) ma ——dfla 一 ама, 力广=(a+B) /а-б/па—р/й* 6恤。=佃+醍)ma-^la-^at 。'广=(丫+访广一初^^^(у+ё^) /па—й^—тпа,
““с (4.5.28)
Dtna=(y'-\-е) fna—r 1а^йп t Dna=(^+^) п^—^та—^т , 4历°=((/+@)濟一р‘广一0紋，6na=(a/+₽,) na—pfma—d,tha1 &用。=®+ B)后a一『六一加a, 6/a=(y + a)几a一/疗-0仿в /У血°=(&'+?) ma—xz/a—тма» D,na=(y'+yf) na—Tfma—Tina.
'Заметим, что некоторые из этих соотношений являются следствием остальных в силу равенств (4.5.18). Сокращенные обозначения для (4.5.26) — (4.5.28) будут приведены в § 12 |фор- •мулы (4.12.28) и далее].
Обычно в приложениях спинорный базис нормируется «%=1)； тогда выражения (4.5.22) несколько упрощаются и вследствие симметрии (4.5.5) мы имеем a = —В； е = —,'. Величины —匕一『 一pl —xz часто обозначают также символами л,儿 ц, V. Такнм образом, имеем в этом случае
Уаагвс =
ВС
00
10 или 01
11
00 10 01' llz
况 р о т
s = — Y， a = — В，
В Y
霏=-T 九=—『 卩=—Р， V =—.々
(4.5.29)
Почти всем (нормированным) спиновым коэффициентам в подходящих условиях можно дать наглядное геометрическое представление в терминах конгруэнций кривых, к которым касатель- ин флагштоки спиноров oz и i/k. Но мы это отложим до гл. 7 (§ 1).
Связь между символами Инфельиа — ван дер Вердена〃 символами Кристоффеля
Иногда возникает необходимость записать величины, содержащие оператор Va, в произвольном тензорном базисе g『 (В частном случае координатного базиса мы имеем Va == 5/Эха 盯ри действии на скаляры.) Для этого мы просто преобразуем
▽аа，в Ум используя символы Инфельда ——ван дер Вердена ЯаАА/ [формула (3.1.37)]：
Va = Яааа Даа,,(4.5.30»
Введем величины уаВс
Уавс： =УааЛаа，；(4.5.3»
тогда из (4.5.1) получаем
^aOeBBVaxfl = VaxB + xcYaCB(4.5.32>
для компонент величины VaY°, где а относится к тензорному базису, а В к диаде. Аналогично из (4.5.12) получаем
g^ %% = Va% - NcYaBС(4.5.33%
для соответствующих компонент величины VaUe.
В общем случае для компонент У</Ф紀二 &：：： относительно тензорного базиса и диады мы имеем из (4.5.15)
%% 二 К： + 崂二宙二 YaB°B + …+ 啸二 K.：k j + •••
...—状…Y %__*...e'…丫，к；_ …(4534〉
тно ... К 'анH ... коfaK' 尸
Для величины, содержащей и спинорные и тензорные индексы, например 0вс, иногда требуется получить компоненты ковариантной производной Va0Bc, в которых аис относятся к тензорному базису, а В к диаде. В этом случае мы имеем [с учетом: выражения (4.2.60)]
&а&%в VAC = va0Bc - eD<=VaB» + 0веГаес, (4.5.35>
в чем нетрудно убедиться, вычислив компоненты разложения производной ^(^肥в也广).
Заметим, что выражение (4.5.35) можно получить, рассматривая 0/ как 0ВСС，и используя (4.5.34), а затем возвращаясь к тензорным компонентам с помощью символов Инфельда — ван дер Вердена (3.1.37). В этом случае вместо одного слагаемого, пропорционального Г, мы получили бы два слагаемых^ пропорциональных у и у- Производная при этом будет записываться в виде Va0Bcc\ что отличается от Va0Bc слагаемым, содержащим производные от 8尸，Следовательно, должно суще^ ствовать соотношение, связывающее у, Г и производные от gtGC/^
Это соотношение получается следующим образом:
ГсЬа = gJ VcgJ = gJ Vcgb"" = ёа Vc (ЯьАА，еАЛ8А^)='
=gJ %&A，" VcgbAA，+ SaS^k' (%，" Y/a a + ”" ％%，"‘) = =g^J VcffbAA，+ 8вВ，а%В%№ьАА‘ (以，"％以"+ 以"％%*')•
(4.5.36) Упрощая правую часть, получаем
ёГ§^^ = GA/%gbBB' + eA,BYcA» + еАВусАв； (4.5.37)
Свертка по А' и В' дает с учетом формулы (4.5.10) требуемое соотношение:
YcaB = т ГеАА^ВА，- eAB%-' VCX - 4- gAA，b %狐"'・(4.5.38)
В (обычном) случае нормированного спинорного базиса слагаемое, пропорциональное %, равно нулю. До конца данного лараграфа мы предполагаем это условие выполненным. Если дополнительно предположим, что тензоры отнесены к координатному базису, то на основании формул (4.2.70) и (4.3.48) мы получим
ГсаЬ = 4"gbd (Vagcd + %gad - Vdgac), (4.5.39)
-т. e. Г оказываются обычными символами Кристоффеля и
Z&d = R (gcDD'gdDm) = 2 [Vag"W] gd) DD， (4540) [так как при % = 1 в выражениях, стоящих за оператором Va, диадные индексы можно поднимать и опускать, см. формулу (4.5.11).]. Теперь мы можем выразить спиновые коэффициенты через символы Инфельда — ван дер Вердена и их производные по координатам. Подставляя (4.5.40) в (4.5.39), получаем в явном виде
ГасЬ = Т С** (&DD，VagJA + gdDD，^ё^ +
+ g^^ + gdDD VcgaDD，- gЛ00^^ - gcDA %8)吟.
(4.5.41) Переходя от индексов a, b к AA\ BB‘，сворачивая по А', В，и подставляя результат в (4.5.38), где индекс В опущен, получаем (при у = 1)
YcAB =彳 ^BA d (gcDA 弘人£产'+ VcgdA* —
—%gcAA，— g'AA，gcDA 弘且)")+ T VaA^cB* 一
-Т^аАА^авА；(4.5.42)
откуда окончательно (в случае нормированной спиновой системы отсчета и координатного базиса для тензоров)
YcGAB = Т ^ВА d (^AA^dCC ~Ь VCC/gdAA/ — gCcc VdgcAA/ —
—s\^ ^d^acc) + T ^Ccc ^AA^cBA —彳 ^AA^ ^СС^авА *
(4.5.43)
(Можно получить аналогичную формулу, содержащую производные символов Инфельда — ван дер Вердена, тензорный индекс которых поднят.) Эта формула позволяет найти спиновые коэффициенты как функции координат ха, если заданы функции gaBfi/ (ха). В § 13, где речь идет о дифференциальных формах, мы дадим альтернативный метод вычисления этих величин (а также другие методы, пригодные для практических расчетов).
Заметим, что если 16 величин g^w произвольно заданы как функции координат (что эквивалентно заданию 16 действительных функций в силу их эрмитовости), то они позволяют определить метрический тензор (по формуле gab = 8广*8『8甸厶8乂 X %в》 а также нормированную изотропную тетраду (с компонентами ，a = ga% ^а = ^а°* > % = g”) т- е- фактически СПИновую систему отсчета. Теперь можно явно выразить компоненты ковариантной производной спиноров (или тензоров) через компоненты (в спиновом, тетрадном или смешанном базисе). Величина Yaa’bg даваемая выражением (4.5.43), единственна ло построению. Это служит иллюстрацией к тому, что (как показано в последнем параграфе) действие оператора ковариантной производной на спинор определяется однозначно требованиями, чтобы величина еАВ была ковариантно постоянной и кручение было равно нулю. Отметим, что эти свойства позволили определить форму (4.5 39) символов Кристоффеля и симметрию (4.5.5) коэффициентов Yaazbc "4]・
Спиноры кривизны
В § 2 мы видели, как понятие ковариантного дифференцирования тензоров приводит к определению тензора кривизны Rabcd, Таким образом, можно ожидать, что существует спинорный аналог тензора Rabcd для ковариантных производных от спиноров. Можно было бы развить теорию спинорной кривизны, оставаясь в рамках спинорного формализма, но этот путь оказывается достаточно сложным. Мы будем следовать более простой процедуре: возьмем Rabcd вместе с его алгебраическими и дифферен-
циальными свойствами из тензорной теории и отсюда получим свойства спинорной кривизны..
Для начала мы разобьем спйнор
Raa/BB,CC/DD, = Rabcd
на более простые части, а именно на спиноры, которые полностью симметричны по всем штрихованным и всем нештрихованным индексам. Аналогичные вычисления проводились в гл. 3, § 3 [формулы (3.3.47) и далее ]. Здесь мн воспользуемся более прямым методом, позволяющим к тому же получить некоторые полезные соотношения на промежуточной стадии редукции.
То, что спинор Rabcd кососимметричен по ab, позволяет использовать разложение (3.4.17); это дает
Rabcd = У RaX'『с产А冰 + У ^XAfXBfc^AB，
Учитывая антисимметрию по cd, получаем
Rabcd n ^■ABCDZA,B/ZC^D, + ^АВСФ^А^В^СО +
+ ①"6，CQ 6ДВеС/Р/ + Xa&uq,%^%»(4.6.1}
где
Xabcd = Т Rat в его • ①才 во» =彳 R^jtb ус7 d^ (4・6.2>
Спиноры (4.6.2) называют спинорами кривизны. В силу действительности спинора Rabcd соотношения (4.6.1) содержат также комплексно сопряженные величины [формула (3.4.20)]. Из свойств антисимметрии спинора Rabcd получаем следующие очевидные свойства симметрии [формула (34.18)]:
XabCD = Х(АВ) (CD)> ①幺6СО =①G4B) ©»)・(4.6.3}
Симметрия Rabcd = Rcaab относительно перестановки пар индексов приводит к соотношениям
Xabcd = Xcdab,①Авс。= Фавсф^(4.6.4}
Второе из них означает, что Фдд^вв соответствует действительному тензору ①叫 а из второго равенства (4.6.3) получаем, что след тензора Фаь равен нулю:'
①力 АВЕ，=①ab =① ab，① а" = 0・(4.6.5>
Отметим также, что из свойств симметрии (4.6.3) и (4.6.4) спинора Xabcd следует равенство.
.(4.6.6》.(4.6.6》X#(ес『=0.
.(4.6.6》
.(4.6.6》
287287дифференцирование и кривизна
287
287
Прежде чем перейти к спннорно访 форме циклического тождества для Rabcd, рассмотрим его различные «дуальные» представления. Выполняя дуальные преобразования над одной или двумя парами индексов, по которым тензор кососимметричен, можно построить три разные тензора, которые мы также запишем в спинорном виде [формула (3.4 23)]:
R*abcd =-^ GcdPQRabpq = ^Ra^BB^D^DC^
*Rabcd = у ^abPQRpqcd = XRaB^B^CC^DD^(4.6.7)
*R*abcd = } eabPqecdSRpqrs = — Rab^A^CD^DC^
Очевидно, что все они наследуют свойства антисимметрии тензора Rabcd (Rabcd = R\ab\ [cd])- Кроме того, как нетрудно убедиться, тензор *R\bM симметричен относительно перестановки пар индексов:
R*abcd= R cdab(4.6.8)
и удовлетворяет циклическому тождеству
*R*agcdl = 0.(4・6.9)
Отметим также свойство
* Rabcd = R*ЗаЬ*(4.6.10)
Для удобства ссылок мы объединим (4.6.1) й соответствующие формулы, получающиеся из (4.6.7), в виде следующей схемы, где X, Ф, Ф, X временно изображают слагаемые в выражении (4.6.1):——
A*cd = X +(D + 6 +冗
RZs = — ix + i①一而 + iX,(4611)
* Rabcd = — iX — i① + i① + iX •
*R*ab” = -X + <K + B —£
аналогично(4.6.12)аналогично(4.6.12)Определим дуальные повороты тензора Римана формуле (3.4.42):
аналогично
(4.6.12)
аналогично
(4.6.12)
^^'ahcd =: Rabcd COS Н + R abed $咕 0»
® Rabcd = Rabcd COS 0 + 'Rabcd sE 0.
Аналогично формуле (3.4.43) мы получаем из (4.6.11)
(4.6J3)(4.6J3)R^abcd = е-^Х + е'еФ + е-'еФ + d 眨，^Rabcd = e-i°X + e -m ① + e^① + 频元
(4.6J3)
(4.6J3)
Теперь мы готовы представить в спинорной форме последнее тождество для тензора Римана R[abc]a = 0 или эквивалентное ему тождество R。麻由=0- Необходимые вычисления упрощаются, если заметить, что в силу формулы (3.4.26) равенство Ra ：bcd] = 0 эквивалентно равенству
R1 产=0，(4.6.14)
а равенство R[abc]d = 0 эквивалентно равенству
*Rabbc = ^.(4.6.15)
Между прочим, теперь видно, что тензор ^Rabcd удовлетворяет циклическому тождеству *R\abc\ d = 0 только в особых случаях: необходимое и достаточное условие для этого имеет вид **R°%c=0, т. е. —R叫с = 0, что означает равенство нулю тензора Риччи. Данное замечание относится и к R^abcd- В то же время ^Rabcd всегда удовлетворяет циклическому тождеству, поскольку = —*Ra%c =0.
Чтобы получить спинорную форму циклического тождества, мы подставляем (4.6.11) в (4.6.14). С учетом свойств симметрии Фдвс^ получаем, что равенство (4.6.14) эквивалентно соотношению—
^ABBC^AfCf ~с^лс(4.6.16)
Поднимая индексы С н С' и выполняя свертку с индексами А и получаем
Л = Л,(4.6.17)
где
л ： = ^Хавав,(4.6.18)
причем множитель 1/6 введен для удобства. Тогда [формула (2.5.24)]
Хав1 = ЗА/с，(4.6.19)
поскольку симметрия (4.6.4) означает, что тензор Хавсв кососимметричен по Л С. Поэтому условие (4.6.16) является следствием равенства (4.6.17). Мы заключаем, что равенство (4.6.17) эквивалентно циклическому тождеству для тензора Римана, если считать известными свойства симметрии тензоров Xabcd и Флвс^- (Отметим, что при записи в компонентах циклическое тождество сводится к одному алгебраическому уравнению /?012з + R1203 + Аасиз = 0; поэтому неудивительно, что в спинорной форме оно принимает вид одного действительного уравнения.) Итак, мы имеем спинорные эквиваленты для всех свойств симметрии тензора Rabcd： (4.6.3), (4.6.4) и (4.6.17).
Далее, мы вычислим тензор Риччи Нас = Rabe в спинорной форме. Из (4.6.1) получаем
&$ = 6Ледвел,в, — ^авагв^(4.6.20)
что можно также записать в виде
Лаь = 6Л^-2ФвЬ.(4.6.2D
Отсюда с учетом формулы (4.6.5) мы получаем выражения для скалярной кривизны R =&/
R = 24A,(4.6.22)
и для бесследовой части тензора Риччи
V 4 RgM = —2①.вАВ = ~^(^^
Имея в виду это соотношение, Фавсг!у иногда называют спинором Риччи. Тензор Эйнштейна Gab [тензор Риччи, обращенный по следу, см. в формуле (3.4.10)] принимает вид
Gab = %Ь =凡8 一 "2 Rgab = ^ABfABf = — ^ZAB^ArBr ^ABAfB^
(4.6.24)
ИЛИ
Gab = —6Agab — 2d)№(4.6.25)
Заметим, что
RUhGs(4.6.26>
Это соотношение следует из (4.6.11), поскольку переход от Rabcd к *R*abcd эквивалентен замене Х—>—X, а это в свою очередь эквивалентно замене А—>—А и [в силу (4.6.20) и (4.6.24)1 замене Rab Gab.
Уравнения Эйнштейна
Мы считаем, что пространство-время дцисывается уравнениями Эйнштейна, которые для вакуума имеют вид
Rab^^(4.6.27)
Разделяя (4.6.20) на симметричную и антисимметричную части по АВ, видим, что уравнение (4.6.27) эквивалентно двум спинорным уравнениям
ФаЬ = Фава^ = 0» А = 0,(4.6.28У
С учетом космологического члена уравнения Эйнштейна в вакууме принимают вид
Rab =九 gab，
10 Зак. 1142
где 九一космологическая постоянная, Эквивалентное спинорное уравнение таково:
Фаь == Фавагвг = 0, А =(4.6.29)
В общем случае при наличии источников полевые уравнения с космологическим членом имеют вид
Gab + 九 gab = —8^Tabl(4.6.30)
где 丫 一 ньютоновская гравитационная постоянная, скорость света (как всегда!) равна единице, а Таь — тензор энергии-импульса источников; это уравнение преобразуется к виду
фа6 + (ЗА — 办)gab = 4叩如(4.6,31)
т. e.
Фаб = 4лу (Tab-^T^gab), A = | луГ? +1 Л. (4.6.32)
Равенство спинора Л нулю, как в (4628), означает, что спинор ХАbcd симметричен по В и D [формула (4.6.19)]; следо* вательно, он также симметричен по %В и CD、а значит — по всем индексам. Замечательно то обстоятельство, что именно при, казалось бы, произвольной размерности четыре и сигнатуре (Н) нашего пространства-времени, при которых выпол
няются вакуумные уравнения Эйнштейна Rab == 0, кривизна полностью характеризуется таким простым и физически естественным объектом, как полностью симметричный спинор с четырьмя индексами. В гл. 8 мы увидим, что это приводит к очень простой схеме классификации кривизны. (Например, если бы сигнатура была (+Н), то классификация стала бы гораздо более сложной, поскольку тогда потребовались бы два действительных симметричных спинора с четырьмя индексами для описания кривизны; усложнение было бы связано с этой действительностью, поскольку алгебра на комплексном поле значительно проще.]
Из (4.6.11) мы заключаем, что при ①abod =。(как в случае Rab == 0) мы всегда имеем
*R* 品 d = — Rabcd，*Rabcd = R*a 加 d(4.6.33)
и, следовательно, ввиду (4.6.10) Rabca и Rabca симметричны, относительно перестановки пар. индексов. Если дополнительно Л = 0, то они имеют все симметрии спинора Rat)(d (в том числе и циклическое тождество), так как в этом случае Rab = 0).,
В общем случае (Л =# 0) можно выделить симметричную часть величины Xabcd следующим образом [здесь учитываются
симметрии (4.6.3), (4.6.4) и соотношение (2.5.24)]:
Xabcd = "§■ (Xabcd + Xacdb 十 X^dbc)十"з (^abcd — ^acbd) + + }(XabCD 一 ^ADCb) = X(ABCQ) + gEBcX^E% + ^^BD^AEC^•
(4.6.34>(4.6.34>С учетом равенства (4.6.19) получаем
(4.6.34>
(4.6.34>
XabCD R 也4BCD + A i^AC^BD + %№вС)，
гдегде^ABCD : = X{ABCD) = Xa (BCD)-^ABCD : = X{ABCD) = Xa (BCD)-(4.6.35}(4.6.35}
где
где
^ABCD : = X{ABCD) = Xa (BCD)-
^ABCD : = X{ABCD) = Xa (BCD)-
(4.6.35}
(4.6.35}
Спинор ^abcd играет очень важную роль в теории. Мы называем его гравитационным спинором, поскольку он представляет локальные степени свободы гравитационного поля: это та часть спинора Rabcdt которая остается в отсутствие материи (если 九= 0). По причинам, о которых будет сказано в § 8, эту величину называют также конформным спинором Вейля.
Три спинора Фдвсп^Флвс^ и Л совместно определяют спинор Rabw Вместе с ^A^cfDf они образуют множество вполне симметричных спиноров, по которым раскладывается спинор Rabcd- Разложение производится в соответствии со схемой формулы (3.3.47) и следующих за ней формул.
Подстановка выражения (4.6.34) в (4.6.1) показывает, что спинор Rabcd равен выражению вида (4.6.1) с заменой XAbcd на ^abcd плюс член, пропорциональный Л, а именно:
А(8厶或6口 + £4>евс)Е«в攸ю + компл. сопр. (4.6.36)
Разложение множителя в скобках с учетом е-тождества [фор^ мула (2.5.21)1
^Bf^CfDf + ^d^b^ —о 0
преобразует это в
A (Sac*BD + 8幺。％。)(办七用炉小—8Aoy*ве) + КОМПЛ. сопр.»
т・е.т・е.2A （厶e电济4七&力，2A （厶e电济4七&力，—eXD8BC8X/D/eBzcO,—eXD8BC8X/D/eBzcO,(4.6.37>(4.6.37>
т・е.
т・е.
2A （厶e电济4七&力，
2A （厶e电济4七&力，
—eXD8BC8X/D/eBzcO,
—eXD8BC8X/D/eBzcO,
(4.6.37>
(4.6.37>
Таким образом, имеем
^abcd = ^ ABClfiAfB,e'CfD, + ^ ^B^^^A^CD + ① ABC'D 羯住％D +
+ ① *5(2%6%少 + 2A (еле8в0ел,с,ев,d/ -%D电取力足日心)6
(4.6.38)
Путем несколько иных преобразований первое слагаемое 6 выражении (4.6.36) приводится к альтернативной форме
2A (^ACQBDeAfB^Cfiy + ^AB^CD^A^D^B^)^(4.6.39)
или
2A (^A^B^AB^CD + eAfB^CfD^ADeBc)*(4.6.40)
Однако в таком представлении в отличие от (4.6.37) свойства симметрии спинора Rabca не столь очевидны.
всеми свойствами симметрии спинора &ь“：С abed• = ^ ABCD^A^^C^ + ^А^СФ^АВ^СО9(4.6.41)^abed -~^АВСГ^АГВ^С^(4.6.42)*%(〃 ：=▽£夕。3羯B%a(4.6.43)^abed• = ^ABaD^A^CD + ^A^CD^AB^^(4.6.44)всеми свойствами симметрии спинора &ь“：С abed• = ^ ABCD^A^^C^ + ^А^СФ^АВ^СО9(4.6.41)^abed -~^АВСГ^АГВ^С^(4.6.42)*%(〃 ：=▽£夕。3羯B%a(4.6.43)^abed• = ^ABaD^A^CD + ^A^CD^AB^^(4.6.44)Введем тензоры [формулы (3.4.38), (3.4.39)], обладающие
всеми свойствами симметрии спинора &ь“：
С abed• = ^ ABCD^A^^C^ + ^А^СФ^АВ^СО9(4.6.41)
^abed -~^АВСГ^АГВ^С^(4.6.42)
*%(〃 ：=▽£夕。3羯B%a(4.6.43)
^abed• = ^ABaD^A^CD + ^A^CD^AB^^(4.6.44)
всеми свойствами симметрии спинора &ь“：
С abed• = ^ ABCD^A^^C^ + ^А^СФ^АВ^СО9(4.6.41)
^abed -~^АВСГ^АГВ^С^(4.6.42)
*%(〃 ：=▽£夕。3羯B%a(4.6.43)
^abed• = ^ABaD^A^CD + ^A^CD^AB^^(4.6.44)
SabCd ： = eACeBDAfC^B^iy ~ ZAl^BC^AfD^BfCf = ^^a [C8d\ b' (4645)
Первый, четвертый и пятый из этих тензоров действительны. Разложение (4.6.38) тензора &ьм на неприводимые части (см. гл. 3, § 3) эквивалентно разложению на действительные составляющие
Robed = С abed + Eabcd + 2Ag06cd(4.6.46)
н разложению на комплексные составляющие
Rabcd = ^Cabcd + +Cabcd + Eabcd + 2Ag06cd.(4.6.47)
Тензоры -С.., +C.., E... и g・“ принадлежат пространствам 0(2,0)力(0,2), D(l, 1), D(0,0), в которых реализуются неприводимые представления группы Лоренца [точнее, группы SL(2C)]; цифрами в скобках указаны половинные числа индексов симметричных спиноров (см. гл. 3, § 9).」
Спинорная формулировка теории Эйнштейна —Картана—Шьямы—Киббла
рией Эйнштейна, а рассмотрим лишь ее спинорную формулировку. В теории ЭКШК — в отличие от единых теорий поля — пространство-время описывается действительной симметричной метрикой gab, что позволяет использовать наш формализм 2-спиноров. Ее отличие от общей теории относительности состоит в природе оператора ковариантной производной Va. Условие ковариантного постоянства метрики сохраняется:
У/% = 0，(4.7.1)
однако тензор кручения Таъс отличен от нуля, так что [формула (4.2.22)]
— VbVa) f = Га/ ▽小(4.7.2)
Кручение пространства-времени выражается через спиновую плотность материи Sabc следующим образом:
Т J = —8可(S『+ g^Sb^).(4.7.3)
где Sabc удовлетворяет условию
SJ = fA(474)
а у, как прежде, — ньютоновская гравитационная постоянная. Из (473) получаем
7/ = 4可5/.(4.7.5)
Следовательно, (4.7.3) можно обратить:
Т 卅 + 2g[』Tb]諸=一8吋5".(4.7.6)
Это уравнение рассматривают совместно с полевыми уравнениями Эйнштейна
Rab — У ga* = —8吋£侬(4.7.7)
(тензор энергии-импульса мы обозначили через Еаь9 поскольку символом Таъс обозначено кручение). Здесь Rab—(вообще говоря, несимметричный) тензор Риччи!) (и R = ₽аа), определенный как
Rab RacR(4.7.8)
а тензор кривизны Rabcd определяется по Va в соответствии с (4.2.32). Из (4.7.1) и рассуждений § 2 следует, что сохраняется свойство симметрии
Rabcd = R[ab] [cd],(4・7・9)
I) В наших обозначениях порядок индексов тензора Ка» обратен принятому в большинстве работ, цитированных выше.
но теперь'
R|abc『=—VlaTbcl" — Т^Тс]^,(4.7.10)
а потому перестановочная симметрия Rabcd = Rcdab нарушается, что является причиной нарушения симметрии тензора Rab、Отсюда следует, что тензор энергии-импульса тоже не будет симметричным [формула (4.7.7)]. Из (4.7.10) следует «закон сохранения спина》：
VcSaJ - ТА^ = ЕЬа - ЕаЬ.(4.7.11)
Чтобы получить спинорное представление спиновой плотности,, мы воспользуемся равенством (4.7.4) и введем спинор
以В"'：=$5^,/"' =0^严'，(4.7.12)
так что
Sa^ = аАВСС+ @46严 ％в・(4713}
Кручение выражается через этот спинор довольно громоздкой формулой
^аЬс = —4"Y {°ABCC^AfBf 一。CABA用ВС + ^ВСАВ^А^ +
+ ^А^В^С^АВ — ^С^В^ВС +，85“В%с}・(4.7.14)
Однако эквивалентная информация содержится в тензоре Qabc^ который можно использовать в соответствии с (4.2.46) для перехода от Va к стандартному оператору производной Кристоффеля Va：
^aU^^ + Q^(4.7.15)
где Va — оператор, удовлетворяющий требованию (4.7.1), но имеющий нулевое кручение. Как и в (4.4.37), имеем
ТаЬс-^(4・7・16>
в силу (4.2.50) или (4,4.30). Более того, из (4.7.1) и аналогичного уравнения для оператора с тильдой получаем
Qabc = — Qacb-(4・7」7>
Последними двумя равенствами Qabc однозначно определяется в виде
Qabc = Та [йс] — 4 ТЬса-(4.7.18>
К сожалению, переход в (4.7.11) к оператору Va за счет использования тензора Qabc не приводит к уравнению, содержащему только дивергенцию величины Sat>c>
В спинорном формализме роль Qabc играет величина ОАА^С [формула (4.4.23)], симметрия которой ©дд^вс = ©дд^в следует из того, что тензоры ед в и вдв ковариантно постоянны, как это было показано в формулах (4.4.32) — (4.4.34). Напомним соотношение между Q и 0, полученное в (4.4.35):
Qabc = “тГВсЕбС + ”/рвс%с・(4.7.19)
Подставив (4.7.14) и (4.7.19) в (4.7.18), получим после некоторых преобразований исключительно простое сооотношение
^AAfBC = 8"丫。厶(СВ) Af'(4.7.20)
Его можно получить непосредственно из (4.4.37). На основании равенства (4.7.20) можно связать стандартный тензор Римана — Кристоффеля Rabe% стандартный (симметричный) тензор Риччи Каъ и т. д. с тензорами Rabca, Rab и т. д., используя (4.2.51). Отметим также, что (4.7.20) можно переписать в виде
^АВС^= 8^ (®С^ {АВ. с ^”'(мв) •(4.7.21)
Спиноры могут эффективно использоваться и при изучении тензора кривизны Rated более общего типа, чем тот, который рассматривался здесь. Кососимметричная часть тензора Риччи Rab может быть представлена, как в (3.4.20), с помощью спинора Sab = 2(л5). Остальная информация, содержащаяся в Rabca, может быть выражена через соответствующий «спинор Вейля» Wabcd = ^(двсо) и две комплексные величины Фдвд^в^ = Ф( дй)(д^в) и Л. При Таьс = О спинор Sab обращается в нуль, а остальные спиноры совпадают со стандартными величинами, определенными в § 6. Здесь не будем на этом останавливаться (см. [145]).
Тензор Вейля и тензор Беля — Робинсона
Тензор Cabcd [формула (4.6.41)] называют конформным тензором Вейля (поэтому ^Vabcd часто называют конформным спинором Вейля). Он дает конформно-инвариантную часть- тензора кривизны. [Мы увидим в (6.8.5), что Саьса 一 инвариант конформных преобразований; в (6.9.23) мы покажем, что равенство нулю этого тензора есть необходимое и достаточное условие того, чтобы пространство было кусочно конформно-плоским.] Если метрика удовлетворяет полевым уравнениям Эйнштейна (без космологического члена), ТО Rabcd СВОДИТСЯ К Cabcd в вакууме. Отметим, что «тензор Риччи», построенный по G“d, равен нулю:
С“ = 0・(4.8.1)
Отсюда и из того, что Cabcd обладает симметриями тензора Rabat и отличается от Rabcd слагаемыми, содержащими тензор РрГччи и скаляр кривизны [формулы (4,6.41) и (4.6.38)], получаем следующее выражение:
Ca；d = Ra^ - 2R^gb^ + }RgJ&fL (4.8.2)
[Вид разных слагаемых этого выражения определяется требованиями симметрии, а численные коэффициенты —2 и 1/3 вытекают из соотношения Cadb^^O).] Заметим, что в силу формулы (4.6.33)
Gbcd = С abed9(4・8・3)
Пусть ^Cabcd и ^Cabcd будут самодуальная и антисамодуальная части тензора Cabcd формулы (3.4.35), (4.6.42), (4.6.43). Ввиду равенства (4.8.3) не требуется проводить различие между левыми и правыми самодуальными и антисамоудальными величи* нами. Тогда
Cabcd — +^abcd + ''^abedf '(4・8・4>
—Cabcd == i'Cabcd，*~Cabcd = — l^Cabcd- (4・8・5)
Одно из наиболее существенных упрощений, к которым приво* Дит спинорный формализм в теории относительности — то, что ОЧеНЬ ВаЖНОМу, НО НеСКОЛЬКО ГРОМОЗДКОМУ ТенЗОру Cabcd сопо* ^тавляется простой объект — полностью симметричный спинор 屮4всо・ Как упоминалось выше, это приводит к очень прозрачной классификационной схеме для тензора кривизны. В гл. 8 мы подробно проанализируем структуру тензора Саъс^ Здесь же отметим лишь несколько алгебраических свойств этого тензора и укажем их связь с так называемым тензором Беля — Робинсона. Эти примеры иллюстрируют возможности спинорного подхода.
Рассмотрим два произвольных тензора Mabcd и Nabcd, обла* дающих всеми симметриями тензора Cabcat т. е. имеющими вид (4.6.41), где 明seo ——вполне симметричный спинор. Тогда мы имеем два соотношения, аналогичных формулам (3.4.44) и (3.4.45):
-MbNcdpq = 0,(4.8.6)
-М/鼠 *汽叩西=+N/b"M叩м(487>
Доказательство равенства (4.8.6) проводится непосредственно и вполне аналогично доказательству равенства (3.4.44), а ра-
веяство (4.8.7) доказывается аналогично равенству (3.4.45): действительно, если мы положим
^abcd = N^cAiB8cОУ,
+^abcd ~ ^A^C^AB^CD1
то обе части равенства (4.8.7) будут просто равны .
^abcd^a^c^*(4.8.8)
{Как и в предыдущем случае, прямое тензорное доказательство равенства (4.8.7) не тривиально.] Вновь каждой из сверток определяется прямое произведение этих тензоров и, следовательно, определяется каждый тензор в отдельности с точностью до множителя. (Эти результаты принадлежат И. Робинсону.)
Переходя в (4.8.7) к тензору Вейля, мы получаем так называемый тензор Беля — Робинсона Tabcd：
^abcd ： = ^ab ^^cpdq =十。// 一％“ = ^ABCD^AfBfCrl^(4・8・9)
Альтернативное выражение для Таьса через действительные тензоры имеет вид
詳加 d = 4 (WCcpaq + *C/r X^).(4.8.10)
В его справедливости легко убедиться, если воспользоваться СООТНОШеНИЯМИ CaMdz==+Cabcd+ С abed，С abed ^= i (* С abedCabcA”
Свойства симметрии тензора Таьса совершенно невозможно усмотреть из тензорного выражения, но они очевидны при спинорной форме записи (4.8.9). Так, мы сразу видим, что Tabcd — вполне симметричный тензор со следом, равным нулю:
Тabed = Т(abed}»(4.8.11)
ТааЬе = 0.(4.8.12)
Из этих двух выражений следует даже, что
TAAfBBfCC,DD, = Т(ДВСО)(А^СФ^
[см. то, что говорится после формулы (3.3.61)]. То, что Таа加即ест» «факторизуется* согласно формуле (4.8.9), эквивалентно соотношению
ГABCDAfBfCfD^rEFGHEW3W = ГABCDE^Q^TEFGHAfBfCfDf (4.8.13)
[формула (3.5.5)]. Таким образом, используя методы гл. 3, § 4, мы можем получить квадратичное тензорное тождество, которому удовлетворяет тензор Таьс^ Оно имеет достаточно сложный вид, но его приведенная форма, содержащая лишь часть
информации, которую несет соотношение (4.8.13), таково:、
TabeeTabCf^ ^ TabcdTabcdge,.(4.8.14)
Для доказательства этого равенства заметим, что его левая часть должна быть пропорциональна gj, так как в силу формулы (2.5.24) мы имеем
屮4ВСЕ4MBe尸 ng 屮4ВС。屮"BC%ef，
а левая часть этого равенства, очевидно, кососимметрична по EF (это легко показать, применив «пилу Пенроуза» к индексам Л, В, С). Тогда вид общего множителя получается после свертки по е и
Другое свойство тензора Tabcd — инвариантность при дуальных вращениях тензора Саьса [формула (4.6.12)]:
С abed 1 ~*'"Cabcd = Qbcd COS 8 + ^abed ^^ 6 = ^ " ^abed H- ^+^abcd*
(4.8.15)
Это эквивалентно замене
Vabcd f e-^ABCDf(4.8.16>
при которой Tabcd, очевидно, не меняется.
Спинорный формализм позволяет легко сформулировать подходящий критерий единственности тензора Tabcd. Например, с точностью до множителя, это ——единственный четырехиндексный тензор, квадратичный по Саьса9 который является инвариантом дуальных вращений тензора Саьса. Или, с точностью до множителя, это ——единственный вполне симметричный тензор (положительной валентности), квадратичный по Саьс^ Чтобы убедиться в справедливости данных утверждений, достаточно проанализировать возможный вид спинорных Слагаемых в правой части равенства (4.8.9).
Можно указать свойства положительной определенности, ко* торые также являются прямыми следствиями спинорного представления тензора Беля — Робинсона (4.8.9). Мы обсудим их ниже [формулы (5.2.14), (5.2.15)].
Спинорное представление коммутаторов
Поскольку риманов тензор кривизны Rabcd возникает при действии коммутатора производных V。на векторы и тензоры» аналогичная связь должна иметь место для спиноров кривизны. Это действительно так. Применим разложение (3.4.20) к коммутатору Ааь, определенному в (4.2.14):
△ад = 2%а%1 = % 斤口 АВ + гАВ^АгВ^(4.9.1)
где
口 АВ = Уг(/в)" ‘ “& = %《戸夕)"•(4.9.2)
Заметим, что оператор □川日，комплексно сопряжен оператору □лв в том смысле, что для любого спинора у百 выполняется равенство
口4仲必П口4后毎)=口效皆(4.9.3)
(формула (4.4.20) ]. Из (4.2.15) и (4.2.16) имеем
口^ (以 + 甸=口^線 + 口 а8%，(494)
口4B (%»в)=虫勿口авХ& + 友口аве*(4.9.5)
я аналогично для □«夕.Чтобы вычислить действие операторов □ 4в и Ол^ на спинор, скажем, хл, мы сначала построим самодуальный изотропный бивектор
kab = Y也В&A'炉.(4.9.6)
Затем из тождества Риччи [без кручения, формула (4233)] получаем
La^^Rab^d^Rab^e.
(То, что kab — комплексный бивектор, несущественно.) Теперь подставляем (4.9.6) в это соотношение и используем равенство (4.2.16) (которое пригодно не только для тензоров, но и для спиноров):
YCEC'D，Aab>cD + Х°£С'°'АаЬ>сС =
=RabEE^E^EfDf + RabEE^C^CfE\ т. е.
2г9^с^а^ = 一 Rab^，cc%E%D + &哀'2/产・
Заменив тензор Римана соответствующим спинором из (4 6.1) и сокращая 2е^/£,/ в обеих частях равенства, получим
"込。/")= {% 仔 Х$Вуe + гаВ^ AfBfEC} Y")产.
Пусть %с ¥= 0; тогда, применив предложение (3.5.15) при г=» =s — 1 к разности левой и правой частей этого уравнения, по* лучаем'
^АВ^С = ^А^В^АВЕ0 + ^AB^AfBfEC}(4.9.7)
что при симметризации и антисимметризации ho AB дает два уравнения
ОАВ^С = Хавесие,仇 ° = ^в'е0^-(4.9.8)
Соответствующие формулы для штрихованных спин-векторов получаются из (4.9.7) и (4.9.8) путем комплексного сопряжения и применения соотношения (4.9.3) (для большей общности мы также заменяем %°' на тс/)；
\ьТ^ = {&АВ^AfBfE,C，+ ^В^ABEfC/} Л(4.9.9)
口 А/С‘ = Фав^Е\ 口£户卩=又a"F・(4.9.10>
Опустив индекс С (или С), мы также получим
□лв«с = — Хавсеие, 口 £”с = — Фа^се^е» (4・9•⑴
□лв^с7 = — Фавс^^ “伪飞，=—先皆1%・(4.9.12>
Чтобы вычислить действие операторов Олв и □$伪，на многоиндексные спиноры, например 6С^Р^ представляем ^с^р> в виде суммы прямых произведений спин-векторов и используем свойства (4.9.4) и (4.9.5). Например,
口лдВС J'w = 口幺» (2acpDY^dF/) = £ (₽dy£V Одв «с +
+ aVVDxB₽D + ^^ QabY^ + ^^П^Л
что с учетом формул для □%/© и т. д. дает*
口 45*。*% = Х^^^ « Х^^ +
+ Фав^с^^-① ^尸磔°。&0 (4.9.13)
Общий случай рассматривается по этому образцу. Выполнив комплексное сопряжение, применив формулу (4.9.3) и заменив @c‘q#f на，c‘Y戶 мы получаем соответствующую формулу
Oa^^d^f =戈a%У中"0rBp -х4，’S巾е'<d尸 +
+ ① 4®qE 严 i& — ФА^С/Л (4.9.14)
Можно подставить (4；6；34) в эти формулы и получить, напри* мер, из (4.9.11)
口 а/с = — Wxb/md — А (вдс^в + евс^л)> (4.9.15) что также можно переписать в виде
□ (а№с) = 一 W^hc% 办，(4.9.16)
О ав^в = — ЗАхд.(4.9.17}
Отсюда путем комплексного сопряжения можно получить дру* гие формулы:
□(д^сО =—匕 д<Рт。'，^л^^ = — ЗЛтл/. (4.9,18)
Для спиноров кривизны можно получить выражение, аналогичное формуле (4.2.66), подставив всс вместо х^ в (4.9.11):
^ABCD к 8DcOaB8CC». . _ 1л.
小(4.9.19)
^A^CD = eDC^AfB^C ；
первое из этих соотношений можно представить в виде двух равенств [формулы (4.6.34) и (4.6.35)]:
^ABCD = &DC^(ABeC^9А = g &АС口 '"生色(4.9.20)
Спинорные формулы данного параграфа выглядят гораздо сложнее тензорных формул, из которых они получены. Тем не менее операторы Va часто встречаются в комбинации, входящей в 口幺6 и □幺勿，.В этом случае предыдущие формулы могут оказаться особенно ценными. Некоторые приложения будут даны в гл. 5, § 11; см. также формулу (5.8.1) и многочисленные приложения в т. 2.
Спинорная форма тождеств Бианки
Напомним, что оператор ковариантной производной согласован с тензором кривизны, если выполняются тождества Бианки (4.2.42). Перепишем их в спинорном виде. С учетом формулы (3.4.26) тождества Бианки
У[о&с]*№(4.10.1)
переписываются в виде эквивалентного соотношения
P*Ra 加d = 0・(4.10.2)
Подставляя сюда соответствующее выражение (4.6.11), получаем.
一 ^C^D^B^ABCD — ^CD^B^ABC^ +
+ 饱卩》% ^CDArBr + 也 сМ^ХA，B5y = °・
Отделив симметричную и кососимметричную части по C*D\ мы получим, что это соотношение эквивалентно равенству
У^Х幺 8CD = v£① 8W(4.10.3)
и его комплексно-сопряженному. Таким образом, соотношение (4.10.3) будет спинорной формой записи тождеств Бианки.
Это соотношение можно получить аналогично соотношению (4,2.42) как условие согласования кривизны и коммутатора, введенное в § 9. Для этого удобно воспользоваться тождеством ел(%/%“© — &^сел^^с^ 一
-Увеdеё/"*^+ % 储踞分*%*^0，(4 Л 0.4)
которое доказывается на основании 8-тождества (2.5.20), запи* санного в виде
ел= гАВг^ + -у ^da^bc*(4.10.5)
Сворачивая (4.10.4) с
^аа^вв^сс^б
и используя (4.9.2) и (4.9.8), получаем
к。(V^XgQc* — V^ ① в℃*)=。；
ввиду произвольности хс отсюда следует (4.10.3).
На основании (4.6.34) можно переписать (4.10.3), используя ^ABCD И Л：
^в^двсо = ^в ^CDAfBf — 2ев(cVDJ В<Л.(4.10.6)
Иногда полезно представить это соотношение в виде двух неприводимых, разделив симметричную и антисимметричную части по ВС. Заметим, что оно уже симметрично по CD Получаем
V 务屮 >188 =片① CD)4B，(4.10.7)
а также после свертки с кососимметричной частью
^ca^cda^ + 3Vdb，A = 0.(4.10.8)
Из (4.6.24) следует, что последнее уравнение есть спинорная форма важного соотношения для тензора Эйнштейна ——равенства нулю его дивергенции: ?℃аь = 0.
Если выполняются вакуумные полевые уравнения Эйнштейна [с Л-членом, формула (4.6.29)], то мы имеем ФлвсЛпЛ = 0» Л = = (1/6) А; тогда первое уравнение Бианки (4.10.7) принимает вид.
В"屮48CD = 0・(4.10.9)
Зт。«полевое уравнение» совместно с полевыми уравнениями Эйнштейна
^ABCfDf = 0»А = ^■厶(4.10.10)
описывает распространение кривизны в вакууме. В частности, уравнение (4.10.9), включающее информацию, содержащуюся в (4.16.10), в известном смысле аналогично настоящему полевому уравнению. Важно, что оио формально совпадает с полевым уравнением для безмассовой (масса покоя равна нулю) частицы со спином 2 (в нашем случае это «гравитон»). С этой точки зрения мы подробнее обсудим его в гл. 5, § 7. Здесь мы отметим одно простое следствие этого уравнения: тензор Беля ——Робин-
сона (4.8.9) имеет нулевую дивергенцию:.
^Tabcd = ^&10.I1)
В присутствии метрики, когда уравнения Эйнштейна (4.6.31) содержат тензор энергии-импульса Таь. соотношение (4.10.7) принимает вид
^ABCD = 4叩協办 4,в，，(4.10•⑵
так что производную от Таъ можно рассматривать как источник гравитационного спинорного поля 屮月
Спиноры кривизны и спиновые коэффициенты
В данном параграфе мы возвращаемся к компонентной записи, введенной в § 5, и показываем, как компоненты спиноров кривизны могут быть выражены через спиновые коэффициенты Ybcaa и внутренние производные VAA- Для начала мы вычислим коммутатор внутренних производных. При этом мы воспользуемся результатами, полученными ранее для скобок Ли. Напомним [формулы (4.3.26) и (4.3.29) при нулевом кручении ], что для скаляра /
W. V] / = {Up^pVq - V^pUq} V?A (4.11.1)
Теперь рассмотрим выражение
Заменив Up и Vp в (4.11.1) величинами еАрев/р， и %Q%,Q', получим
|VAB. VCD/]f = {Vab，(%Qy) — 弘“ GaQ%，Q')} V/⑷ 1L2)
Выполняя в скобках { } дифференцирование по правилу Лейбница, учитывая (4.5.2) и объединяя этот множитель с производной Vq, получаем
[▽ав" Vbd，]『=
=(Yab,cQ^qd, — YcdrQVqb + Rab»Q Vb« — %i/b 户 Vaq，) f・(4.11.3)
В силу формул (4.3.32) и (4.2.24) (в отсутствие кручения) наше предыдущее уравнение (4.9.7), будучи свернуто с XaYbt эквивалентно равенству
(VV -VV- у) м = XaYb {гА'В'ХАВЕр + 办в①*в1} хв. (4.11.4)
Положим в этом равенстве.
а затем свернем с eFF. Первое слагаемое слева принимает вид
^^AB^CD^E^ н ®fF^ABz(YcD"EQ8QF) = Пв^СУе' + Ycd'E^YaB^；
второе отличается от него только перестановкой АВ' и CD'・ Так как Vixy]*" по определению есть оператор в левой части (4.11.3), действующий на 乂尸 вместо 厶 для преобразования третьего слагаемого в левой части равенства (4.11.4) мы повторим вычисления, приведшие нас к (4.11.3). Но теперь операторы действуют на &£戶,а следовательно, каждая внутренняя производная (с новым множителем ^尸尸)дает 丫 . EF, и мы получаем
YabzcQYqd<eF — Ycd,aQYqbzeF + ¥ab»QYcq，eF — %itb，Q Yaq，e‘
для этого слагаемого. В правую часть равенства (4.11.4) мы подставляем выражение (4.6.34) и переходим к диадным компонентам. Окончательно имеем
Vab，Ycd6 — VcfrYABE’ = Yab^Ycd^ — Усо^е^ав^ +
+ YaBX^Yqd^ — Ycd^^Yqb^ + ^AB'iyQ YcQ'E’ — Vcd’B'Q Yaq’e' +
+ eB/D,®FQ^ACEQ + %廿(&AE%F + ^А&е) A + 8дс8 ^EQB^D7* (4・ I L5)
Это выражение тоже можно получить непосредственно из (4.9.7), перейдя к компонентам и используя формулы (4.5.1) и т・ д. всюду, где требуется. Вычисления вполне аналогичны приведенным выше, но несколько длиннее.
Соотношения (4.11.3) и (4.11.5) представляют собой фундаментальные уравнения формализма спиновых коэффициентов. Они выглядят сложно, но при переходе к специальному базису несколько упрощаются. Мы будем пользоваться стандартными обозначениями, введенными в (4.5.16) и (4.5.23) для спиновых коэффициентов и операторов внутренних производных. Для ди- адных компонент спиноров Вейля и Риччи ^abcd н ①xbc'd' мы введем следующие обозначения:
% ：= %т 泗&00，中 1 ：= %т 掰0001， % ：= У』％ш，% ：=订仪，Ш1， П:=ххЛ,Фоо ：= ©ХХЙ/ Фо1 ：=①ООО，’ Фю ：= Фок/О* ①II ：=①010Т ①20 *=①11(/(/ ①21 ：=① 110Т% ：= %т 泗&00，中 1 ：= %т 掰0001， % ：= У』％ш，% ：=订仪，Ш1， П:=ххЛ,Фоо ：= ©ХХЙ/ Фо1 ：=①ООО，’ Фю ：= Фок/О* ①II ：=①010Т ①20 *=①11(/(/ ①21 ：=① 110Т屮2：=%Т 卢00s屮2：=%Т 卢00s①02 ：=①001Т，①12 :=①ОН"'，①22：=①Н1Т・①02 ：=①001Т，①12 :=①ОН"'，①22：=①Н1Т・(4.11.6)(4.11.7)(4.11.6)(4.11.7)
% ：= %т 泗&00，中 1 ：= %т 掰0001， % ：= У』％ш，% ：=订仪，Ш1， П:=ххЛ,
Фоо ：= ©ХХЙ/ Фо1 ：=①ООО，’ Фю ：= Фок/О* ①II ：=①010Т ①20 *=①11(/(/ ①21 ：=① 110Т
% ：= %т 泗&00，中 1 ：= %т 掰0001， % ：= У』％ш，% ：=订仪，Ш1， П:=ххЛ,
Фоо ：= ©ХХЙ/ Фо1 ：=①ООО，’ Фю ：= Фок/О* ①II ：=①010Т ①20 *=①11(/(/ ①21 ：=① 110Т
屮2：=%Т 卢00s
屮2：=%Т 卢00s
①02 ：=①001Т，
①12 :=①ОН"'，
①22：=①Н1Т・
①02 ：=①001Т，
①12 :=①ОН"'，
①22：=①Н1Т・
(4.11.6)
(4.11.7)
(4.11.6)
(4.11.7)
На основании формул (4.6.41), (4.6.20), (4.5.20) и (4.11.7) выразим эти величины через изотропную тетраду:
% = X-'z-'Cab^W,照=X-li~lCabcdiamblCnd, 屮2 = %Т『Са&紹 к/й%, ^^K-^Cabcd^m^, (4.11.9)
^. = ^^1^^^9 Фоо = — ^ Rabi* Фо2 =^ Rab⑶"^， Фц = — ^Rabla^ + ЗИ, ① 20 = — у Лаь^в/й\ ① 22 = — у Rab^1^ •
Фо1 = ""У Rab产£
① 10 = 一 ^"Rab 广歴，
① 12=一^/?研加"步，(4.11.10)
Ф21 = — У Ra向％",
При использовании этих величин перестановочные соотношения (4Л 1.3) принимают вид
D'D — DD' =
=(Y + Y) D —(Y‘ + Y‘)。一 (т — F) 6’ + (т‘ 一 т)б,
bD06 == (р + 五 + 彳)D + xD‘ — об' — (g—д' + р) 6,
MT-ZT』(4.11.11)
= х,Р + (т + рЛ + а，)^，-о,6/-(ё/ + у + р,)б.
33一m‘=
=(p‘ 一 0‘) D — (p — p) C — (a‘ 十 &) 6, + (a + a7) 6.
Аналогично уравнения (4.11.5) записываются в виде
Qp — dzx = р2 + aa — йт — х (/ 4- 2a + р — В')+р (&+©)+①皿，(а) £)'р' — dzx =
=p'2 + a& - Нт' - W (т + 2a' + В' - 0) + р'(8’ + У) + Ф22, (а') Da-dx = a(p-p + v，-Y，+ 2@-%(т+?+&-а'+2В)+，()，(б) DV-dV =
= a/(P，+ p，+ Y-Y + 2”)一х'(т‘ + 元 + 鼠一а + 2父)+ 叫，(6‘) Dt — Cx = р (т — ?) + о (b — т') + т & + e) —
一Х8 + 2Y一% + % + %1，(в)
DV — Dx' = р，(т7 —可 + </ (F — т) + т' (р + 8‘)—
-x,(Y，+ 2Y,-8)+ ^3 + O21, (вЭ
3)'II-U① + 気+ (A + A)/ +
+ (厶 + 力),3 - (Л - i),» -(2 -1)，д 一，"-?" = ,3(7 -人(7
⑺ V -"① + "小 + (,A + ,A) A +
+ (& + а) 3 一(1一，土)d一(2 一，丄)G 一,h 一 产% = 3,(7 - 人(!
(/)"小 + ,03 - g,A + (@ + ,2) / +
+ (力+0)内一(司 十 用Q 一(月+ /)" =内0 - ,g
(X) '£小 + d,?一,@A + (,2 + 2)人 +
+ (A + 月)& — (G + 1) ,0 — В + ①产=»z(7 — A,S
3) "小 + (疋 + 2),3 -
-(A + ,0)< + (户— 3-),0-(小-ф л = ,8/9 - #。
(H)'ljh+(» + ,i)3-
-(6 + 0) @ +(g一,2)0 - (A - ,d) % = 3Q - @(7
(,£)©0)一a+户+龙)声+
+ (A + 盘 + /),» - 2a - /乃 +0产-,必=户"-用 ⑹ <0,ф-(Л + » + Й)з +
+ (/ + a + d) n — od — *■« + ,дх — dj = »G — з,9
(,*) ，01ф — (J + ◎ + ④ / —
一(/ + 2 + d)司 + oyo + ,此一，0x 一 d,丄=,A,g -用(J
(ж)^-(i + ^ + ^A —
—(А + ,2 + /) g + zp» + a乃—0产—，必=g — @Q
(/9) 力4 - гд - (О + 户)，丄-
-(,4 + /) / + 产% -• *,2一,00 + 0,d =,29•一，&/
(Э) *П5 —编一(,@ + n) 1 —
—(A + A) d -|— z%x — xx — /0。+ ,0d ---丄,Q —~ d,0
(小)'огФ + (? + 3- /力户-
-(0 + 用),1 + 廿产 + 諸 + R。一，0d •- = ,0(7 -,2,9 g ，гоо +(3 + ,3一必)0 一
一(月 + g) 1 + 乃为 + R + 也。一,d 一 = d,a - " V) *,гФ + ел — (й - ,°г + ») ,о —
-(川 + ,2) R + (d - d) zx + (月-,d) ： = ,0? - ,d〃
О) ，10Ф + 'Л —(刃一％ + ,@)Q —
—(G + 2)d + (,d — ,0) % + (0 — d)丄=0,9 — g
&В — 6а = рр，— о(/ — act + 阿 + а (В — a‘)十 丫(0 — P)+
+ &(p‘一0') +4f2 — ① н—П» (м)
W - 6d = pp‘ _00‘-优五' + 0G + a' (0' — a) +
+ Y‘ © — P‘) + ez (p — p) + T2 —① u — П. (м‘)
(4.11.12)
Как нетрудно видеть, уравнения (4.11.12) разбиваются на пары, в каждой из которых одно уравнение связано с другим подстановкой (4.5.17) (операция 《штрих》). При этом необходимо иметь в виду правило подстановки индексов, которое следует из определений (4.11.6) и (4.11.8):
屮г <~> 屮s: 0 -*—>4> 1 <“А 3, 2 2,
①^ *> ①価：0 2, 1 ■*-> 1, (4.11.13)
Уравнения (4.11.12) несколько упрощаются, если диада нормирована так, что X ™ 1. При этом [формула (4.5.29)] следует отождествить a =—弘 е =—у7. Пары (з), (з7) и (к), (к7) отождествляются с парами (*'), (ж) и (н‘), (и) соответственно, а (л) и (м) отождествляются с их штрихованными формами. Таким образом, двенадцать пар уравнений сводятся к восьми таким парам и двум уравнениям, которые переходят в себя при действии операции «штрих».
Уравнения (4.11.11) и (4.11.12) особенно полезны, когда некоторые из спиновых коэффициентов равны нулю (например, в силу симметрии конкретной задачи). В этом случае они существенно упрощаются. В § 12 будет рассмотрена другая методика, которая приводит к упрощениям без дополнительной специализации коэффициентов. Тождества Бианки и уравнения Максвелла, выраженные через спиновые коэффициенты, также широко используются в литературе. Мы рассмотрим их в конце § 12, где сможем воспользоваться преимуществами модифицированного формализма спиновых коэффициентов.
Модифицированный формализм спиновых коэффициентов
В § 5 и 11 时& ввели формализм спиновых коэффициентов. Так же как любой формализм, использующий переход к компонентам тензорных величин, он имеет то преимущество, что оперирует толькб со скалярами. Это удобно при численных расчетах, а также [в том случае, когда нас интересует явный вид компонент тензора как функций координат. Однако спиновые коэффициенты Дают дополнительное преимущество," будучи комплексными величинами. Каждый спиновый коэффициент несет ту же информацию, что и два действительных числа, с чем
связана существенная экономия в обозначениях. Требуется только двенадцать таких величин, а не 24 эквивалентных действительных функции, которые возникают в формализме орто* нормированных тетрад, или 40 независимых символов Кристоф* феля в случае обычного координатного подхода. Разумеется» формализм, оперирующий с компонентами, наиболее эффективен в том случае, когда удается ввести базис, естественным образом связанный с физикой или геометрией задачи. Еслк имеется времениподобное векторное поле (например, касательное поле к линиям тока жидкости), то удобно выбрать его в качестве одного из базисных векторов тетрады. Если же в задаче имеется изотропный вектор (при изучении распространения волн), то в качестве одного из векторов тетрады удобно взять этот вектор. Далее, его можно рассматривать как флагшток одного из спиноров диады в формализме спиновых коэффициентов.
Однако во всех указанных случаях остается большой произвол в выборе' системы отсчвта.忘旳里нм связано то, что многие величины, участвующие в расчетах, не имеют прямого геометрического или физического смысла. По своей природе они являются «калибровочными величинами» и преобразуются по определенному закону при переходе к новому базису в рамках произвола, допускаемого задачей. Как правило, присутствие большого числа таких «калибровочных величии» сильно обесценивает формализм — особенно если закон преобразования этих величин достаточно сложен. Одно из больших преимуществ ковариантного подхода в том, что мы обходим проблему калибровочного произвола, а возникающие формулы допускают прозрачную геометрическую или физическую интерпретацию. В та・ ких задачах, которые требуют явного вычисления функций координат, ковариантный подход не всегда удобен. В то же время полная фиксация базиса тоже может оказаться нежелательной. Иногда удается найти компромиссное решение — частично ковариантный формализм.
В случае спиновых коэффициентов имеются два типа калибровочного произвола. Во-первых, может встретиться задача» в которой выделено одно изотропное направление. В частности, это бывает при изучении геометрии в терминах изотропных поверхностей!) (или волновых фронтов). Диздный спинор оА можно выбрать вдоль этого направления, а второй спинор диады V4 остается произвольным. В этом случае существует частично ковариантный формализм [142]. Однако сформулировать его так, чтобы он был пригоден в общем случае, удается лишь
1) Гиперповерхность, нормаль к которой изотропна (гл. 7, § 1; гл. 5, § 12).
ценой больших усложнений. Мы не станем рассматривать его здесь, но некоторые величины, возникающие в рамках такого подхода, мы будем использовать ниже [гл. 7, § 1; формула (5.12.12)]. Второй тип калибровочного произвола в рамках спиновых коэффициентов встречается, когда фиксированы два изотропных направления, но плоскости флагов или протяженности флагштоков соответствующих спиноров диады не фиксированы. Такая ситуация возникает, например, при изучении геометрии пространственноподобной двумерной поверхности (§ 14). Существуют два изотропных направления, ортогональных поверхности- в каждой ее точке. Удобно выбрать флагштоки 04 Hd в этих направлениях. Конечно, имеется много других задач, в которых выделены два изотропных направления в каждой точке. Модифицированный метод спиновых коэффициентов, который мы рассмотрим в данной главе, идеально подходит для решения таких задач [78] (см. также [70, 85—87, 171, 172]). Более того, он настолько близок к стандартному формализму спиновых коэффициентов, что прй желании может использоваться вместо него» а полученные формулы могут рассматриваться как сокращенная запись формул для обычных спиновых коэффициентов. Мы увидим, что по большей части модифицированные выражения замечательно упрощаются по сравнению с их аналогами в стан* дартном формализме и в то же время достаточно близки к ннм> чтобы без труда выполнялся обратный переход. Поэтому там^ где это удобно, мы не выписываем формулы для спиновых коэффициентов, а приводим их модифицированные выражения.
Взвешенные скаляры
Мы предполагаем, что в каждой точке пространства-времени Л фиксированы два ориентированных в будущее изотропных направления. Пусть оА и 1Л — пара спинорных полей на ”，флагштоки которых совпадают с этими направлениями. Так же как в (4.5.6), мы полагаем
必科=%・(4Л2.1)
Наиболее общее преобразование диады, оставляющее изотропные направления инвариантными, таково:
(И1*%о41*1>阳4(4.12.2)
где * и 卜一произвольные (нигде не обращающиеся в нуль) комплексные скалярные поля. При преобразовании (4.12.2) имеем
%|А%・(4.12.3)
Если принято обычное условие нормировки у= 1, то оно сохраняется указанными преобразованиями при дополнительном условии
ц = %т.(4.12.4)
Нам удобнее не фиксировать условие (4.12.4), считая X и и независимыми величинами. При необходимости же переход к {4.12.4) и нормировке х = 1 не представляет труда. В случае изотропной тетрады
广=0人計， 加хпе/ 一е，^ =(/6%/1a=向*(4.12.5)
преобразование (4.2.12) имеет вид
尸 i> 九入尸，та kfimat血@ 1>口入府\卩рл\ (4.12.6)
причем 1апа =хх =一main^
Если х = 1 и выполнено условие (4.12.4), то можно положить
где R и 0 — действительные числа; тогда (4.12.6) принимает вид лоренцева поворота:
广—Rla,ne f R~lna(4.12.7)
в сочетании с пространственным вращением
小0 出 m。.(4.12.8)
Таким образом, мы имеем двумерный «калибровочный произвол» в каждой точке, а именно двухпараметрическую подгруппу группы Лоренца, которая сохраняет два изотропных направления, определяемых векторами /а и па. Эта «калибровочная группа», как видно из (4.12.2) и (4.12.4), совпадает с группой умножения на комплексные числа. В более общем случае, когда не предполагается выполнение условия (4.12.4), калибровочная группа оказывается прямым произведением таких мультипликативных групп.
Основные величины в нашем формализме — скаляры (а иногда тензооы или спиноры) ^„ассоциированные с (необязательно нормированной)' диадоё。久此 Преобразование диады (4.12.2) индуцирует следующий закон преобразования этих величин:
■ п ■九"尸卩Г4、(4.12.9)
Такую величину мы называем (взвешенной) величиной типа {г\г\ /7 *} Если (не) все четыре числа, характеризующие тип данной величины, равны нулю, то мы будем говорить о ней, как о величине (не) нулевого типа. В- специальном случае (4.12.4) фиксируются только два числа-
р = / — г, д = У — t(4.12.10)
%： {2, -1; 1, 0), р : {1, о； 1, 0}, /：{-!, 2; 0, 1}, р'：{0, 1； 0, 1},%： {2, -1; 1, 0), р : {1, о； 1, 0}, /：{-!, 2; 0, 1}, р'：{0, 1； 0, 1},а ： {2, —1; 0, 1}, т : {1, 0; 0, 1}, 『：{一1, 2; 1, 0}, т'：{0, 1； 1, 0).а ： {2, —1; 0, 1}, т : {1, 0; 0, 1}, 『：{一1, 2; 1, 0}, т'：{0, 1； 1, 0).(4.12.13>(4.12.13>
%： {2, -1; 1, 0), р : {1, о； 1, 0}, /：{-!, 2; 0, 1}, р'：{0, 1； 0, 1},
%： {2, -1; 1, 0), р : {1, о； 1, 0}, /：{-!, 2; 0, 1}, р'：{0, 1； 0, 1},
а ： {2, —1; 0, 1}, т : {1, 0; 0, 1}, 『：{一1, 2; 1, 0}, т'：{0, 1； 1, 0).
а ： {2, —1; 0, 1}, т : {1, 0; 0, 1}, 『：{一1, 2; 1, 0}, т'：{0, 1； 1, 0).
(4.12.13>
(4.12.13>
и мы говорим, что т( имеет тип {р, «}, или, что эквивалентно> спиновый вес (1/2) (р — q) и бустовый вес (1/2) (р + q). Анало- гичная терминология применима в общем случае, когда снимается ограничение (4.12.4). Мы иногда будем говорить, что т> есть {尸,г; f, /}-скаляр или {р, q}-скаляр.
Если говорить точнее I), то взвешенный скаляр п определяется как функция, сопоставляющая каждой паре спинорных полей (о4, И) комплексное скалярное поле ^(。^, И). Функция 州 называется взвешенной величиной, если преобразованием диады по закону (4.12.2) индуцируется следующее преобразование- функции п：
П (ЛоА, p.iA)=九"炉 口「口％ (oA, J).
Отметим, что o', qa\ l4 и(A можно рассматривать как спиноры типа {1, 0; 0, 0}, {0, 0; 1, 0}, {0, 1; 0, 0} и {0, 0; 0, 1} соответственно, а /“, /п“, /й@, па как векторы типа {1, 0; 1, 0}尸 {1, 0; 0, 1), {0, 1; 1, 0} и {0, 1; 0, 1} соответственно.
Теперь можно разделить спиновые коэффициенты на два класса в зависимости от того, являются ли они взвешенными величинами или нет. Оказывается, что спиновые коэффициенты в первом и последнем столбцах формулы-таблицы (4.5.21), а именно х, р, <У, т, р‘，а', т7, являются такими величинами, тогда как 8, а, В, у, в', а', В'，Т，— нет. Проиллюстрируем это двумя примерами:
g .-* (лoли1a)-1 (九。4)(口14)'仇。8)▼44，808)=炉u7口0, (4.12.11} но
р Н-^ (Лол1Х1л)_，(Аол)(Ц1л，) (Ц1в) 7лл-(^ов) = Лцр + Ц6Л. (4.12.12
Ниже указан типНиже указан типвзвешенных спиновых коэффициентов:
Ниже указан тип
Ниже указан тип
Отметим также, что
X есть {1, 1; 0, 0}-скаляр.(4.12.14"
Для специалистов по теории векторных расслоений (гл. 5, § 4) отметим, что，，г; У, 0-скаляр является (гладким) сечением некоторого комплексного линейного расслоения _над 虜.Это расслоение можно записать % виде 彌尸 ® 彌丿 ® 彌鼠'® 國т где 统 и 理—расслоения спин-векторов, флаги которых направлены вдоль Iе и па соответственно, а 京修 ^, — комплексно-сопряженные расслоения. (Например, если 匕—величина типа (—1, 0; 0, 0}, то go* есть сечение расслоения ^0> будучи обыкновенным спии-векторным полем без веса.)
Любое заданное на пространстве-времени спинорное или тензорное поле характеризуется набором скаляров («компонент»), имеющих различные веса. Их можно представить в виде сверток спинора с определенными комбинациями элементов базиса о4, f, о", И* или тензора с определенными комбинациями 2", /л", 耳* па. При желании тензорное поле можно рассматривать как спинорное, но соответствующее множество скаляров будет тем же независимо от способа вычисления. Это следует из определения (4.12.5) изотропной тетрады на основе диады.
Очевидно, что произведение {г\ г;匕 /}-скаляра и {% и; 〃‘，и}-скаляра будет {/ + и\ г + и; ，+〃', f + 〃}-скаляром. В то же время складывать можно лишь скаляры одного веса; вес суммы равен весу слагаемых.
Взвешенные дифференциальные операторы б и р.
Далее, включим в наш формализм дифференциальные операторы. К сожалению, операторы (4.5.23), входящие в формализм спиновых коэффициентов, не подходят для этой цели, поскольку, действуя на скаляр ненулевого типа, они, вообще говоря, дают скаляр неопределенного типа. Поэтому мы модифицируем операторы (4.5.23), добавив слагаемые, содержащие спиновые коэффициенты, причем спиновые коэффициенты неопределенного типа (е, а, В，у; в', К 弘 у'). Мы《изымаем их из свободного обращения», объединяя с дифференциальными операторами (которые также не являются величинами определенного типа) так, чтобы получить взвешенные дифференциальные операторы. Для скаляра (тензора, спинора) т] типа « г; f, /} мы определяем О
»*П = (D — Г‘2 一，Y' _ /百一川')Л»
S =(6 厅―后 一吁 (4.12.15)
pF = (// — /у — № ——演)巾
Эти комбинации выбраны так, что при замене (4.12.2) слагаемые, включающие производные от Л и ц, взаимно уничтожаются:
(4.12.16)(4.12.16)3一大产+区'了父+气%6т)f Л^^'н^'й^т).р% — /炉了+*+£%
(4.12.16)
(4.12.16)
I) Здесь у и б — фонетические символы английского языка для глухого и звонкого звука <th». Онн произносятся как <thorn> н <eth> соответ
ственно.
Из этих формул следует, что операторы имеют следующий тип:
(4.12.17>(4.12.17>Р：{1, 0; 1, 0}, 6：{1, 0; 0, 1},6'：{0,Т; 1, 0}, »'：{0, 1; О, 1}.
(4.12.17>
(4.12.17>
(Утверждение, что дифференциальный оператор имеет тип {uz, и; 〃'，〃}, означает, что, действуя на скаляр (или спинор, или тензор) типа {г\ г;匕 /}, он дает величину типа {/ + % 厂+ и; ，+ 〃', / + «}.) В специальном случае %= 1 мы имеем 8 = —уЛ и а = —6', так что, вводя обозначения р=产—г и q = f — £尸 как в (4.12.10), мы можем написать
»Т] = (D + PY，+ 妤')Т),Р'т] = (О — PY-妤)П，.. fO.
М = (6 — Р0 + gB ) 4^ П = (в + рВ — gB) 4
Используя определения (4.12.15), нетрудно убедиться в том, что операторы р, 6, d' и р‘ аддитивны и прц действии на произведения удовлетворяют правилу Лейбница..
Эти величины можно определить иначе, используя векторные операторы нулевого веса (действующие на величину типа {/, г^ 4)
©ЛЛ7 干 У/4‘ + X"1 (^О^ЛЛ^В — ^^AAf^3 + h"VuW — ^^^АА^В^
(4.12.1»
Тогда,,
р = ©оу, Г = 8]],,6 = 83,, б = 01О/.(4.12.20〉
Отметим, что
& = I % Г2 (^ + Пар - тб -历/).(4.12.21>
Используя (4.12.19), ле₽кедоказать, что
(4.12.22>(4J2.23A(4.12.22>(4J2.23A”4% = 0，
(4.12.22>
(4J2.23A
(4.12.22>
(4J2.23A
откуда
伙=0, д% = 0, д，х = о, р'% = 0・
Восемь спиновых коэффициентов х, о, р, т; х\ о', р', т\ величина X и четыре дифференциальных оператора 礼 4 М 6’ образуют базисные величины в нашем формализме. Кроме того, существуют операции комплексного сопряжения и введенная 庄 (4.15.17) операция подстановки, обозначаемая штрихом. Они обе переводят взвешенные величины во взвешенные. Операция- «штрнх» инволютивна с точностью до знака: если п — величина- типа {匕 г;匕 0, то
(d)' = (-l『+(4.12.2分
(Для всех скалярных величин, определенных в данном параграфе, комбинация / +，一г — f в действительности четна, так：
что этот произвол не играет роли в случае скаляров.) Введение этой операции не только сокращает наполовину число необходимых греческих букв, но также уменьшает вдвое число уравнений, как мы уже отмечали по поводу формулы (4.11.12).
В дополнение к введенным базисным элементам самосогласованная система исчисления включает тетрадные компоненты различных тензорных полей (например, тензора электромагнитного поля или тензора Римана) и набор диадных компонент различных спинорных полей. Веса различных спинорных компонент тензора Римана таковы [формулы (4.11.6) — (4.11.8)]: 屮 г ：{3 — г, г 一 1; 1, 1}, П * {!, 1; 1, 1},①〃 ：{2 — г, г; 2 — /, /},
(4.12.25) Кроме того, различные компоненты
瓦 t = % ... d ... а …к …匕，• •严…2：…''(4.12.26)
•симметричного спинора |л. м, валентности
являются величинами типа {/, г; /\ /}. Соответствующие компоненты производных ОТ 自А …м，имеют вид
+ "自一“ + /呜,什] +付原亠1,(0А…/…)6耳…К…=盛一 +产呜+一十
++「陶,f+1 + ZG&, f-l，
+Г0带_1.f +「翦,i+1 + Ф%г. JI，
(ОЛ . . . l^ . . •^ ^A ... к …=诡八才 +，飞/■+], Г 十
+ fy£i, f + /'瑞」+1 + 屈'厶 Jl・
Эти соотношения легко выводятся из формул
рОА = — Х1л,
pd — — tzoa,
рол ==
—Х1Л\
pS __
-元‘0",
доА = — atA,
dd =
—p'o'.
дол =
—01%
6la，=
一g‘0勺
—犷，(4.12.28)
dzoA = — piA
dY =
—azoA,
6’о"=
d'l"=
一”‘，
M)A = — Т1л,
pB =
pi'==
一五3
W =
—хол»
которые в свою очередь получаются из формул (4.5.26), (4.5.27) и (4.12.15). Отметим, что использование операторов Р, 4 6’ и р‘ вместо D, б, 6’ и Df соответственно приводит к тому, что в выражениях (4.5.26) и (4.5.27) исключаются все первые слагаемые неопределенного типа. Аналогично используя (4.12.28), легка убедиться в том, что переход к новым операторам в уравнениях (4.5.28) приводит к исчезновению всех слагаемых неопределенного типа (в скобках) в правых частях.
Комплексное сопряжение переводит величину (или операцию) типа {r\ г; f, f} в величину типа *) {?, F; У, г). Учитывая это замечание, а также полагая, что выполняются соотношения
Рп = »П， 6п = 6»,(4.12.29》
мы находим [формулы (4.12.15) и (4.12.18)]
р = »,)/ = Г 力= 6',6 = 6.(4.12.30)»
Операция «штрих» превращает величину (или операцию} типа {У, г; f, f} в величину типа {г, г7;厶 f'}. Отметим, что
(»叫‘ = »'т/,(А，)' = РП‘ = 6'т/, (б^/ = dT]z. (4.12.31》
Модифицированные уравнения
Перепишем уравнения (4.11.12) для спиновых коэффициентов, пользуясь операторами (4.11.15). В результате спиновые* коэффициенты в, а, р, у; е\ а', р\ yz исключаются из уравнений^ поскольку онн входят в определение модифицированных дифференциальных операторов. Из уравнений (4.11.12а)——(4.11.12еХ мы получаем соответственно
хи- \)z \|/ \у \|/ \и/ (а(б(вт(дехи- \)z \|/ \у \|/ \и/ (а(б(вт(де(4.12.32>(4.12.32>pp — 6 乂 = p2 + GG — XT — TZX + Фдо，
хи- \)z \|/ \у \|/ \и/ (а(б(вт(де
хи- \)z \|/ \у \|/ \и/ (а(б(вт(де
(4.12.32>
(4.12.32>
»О —现=(р + 0) О —(電 + 竹乂 + К，
А — pzX = (т — ^) Р + (t — f) о + 屮1 + ①01， др-6、= (р-0)т + д' — р')х — К +①°], 6т — pZa = — p'o — 67P + 電2 + 乂才 + Фо2， р'р — дЧ = р0‘ + о『—тт — XXх — % — 2П.
Используя операцию《штрих», мы получаем из этих уравнений» еще шесть уравнений, эквивалентных уравнениям (4.11.12а)—
1) Обычно в приложениях г', г, /', t принимают целые значения, так что 产==г' и т. д. Однако формализм имеет смысл (при х — 1 и р ==尸一rt q = f — f), если p и q — произвольные комплексные числа, для которых р — q есть целое. См., нанрнмер, [120],
<4.11.12е). Остальные уравнения (4.11.12) содержат производные от спиновых коэффициентов, которые не являются взвешенными величинами. Следовательно, в нашем формализме оии не могут быть записаны в виде, аналогичном (4.12.32). Вместо этого их следует рассматривать как уравнения для коммутаторов дифференциальных операторов 仄 у', д и dz. Считая» что коммутаторы действуют на {f, г; f, /}-скаляр 北 (где р =产—г, 4 = f — /), получаем;
»р — К, = 0 — i) 6 + « — р)力一р(XX，一 тт7 + % + Фц—П)—
-q (х,必一定 + 吼 + Фц - П),(4.12.33)
р6 一冲=06 +06' —〒午一X»' — р (p‘" — T'O + ^1)-
—g (亍毎—0 tz + Oqi),(4.12.34)
d6, — 6 气=(pz — P‘)》+(P — 0)»' + P(PP‘ — co' + %—Ф и — П)—
—q (卩卩'—33’ + 屮2 — Фц — П).(4.12.35)
Остальные коммутаторы получаются из (4.12.34) путем операции комплексного сопряжения, операции «штрих» или обеих названных операций. Отметим, что тип скаляра л явно входит в правую часть этих уравнений. Поэтому при вычислении действия указанных операций следует быть осторожным, учитывая, что тип скаляра п'，Ч и ^ не совпадает с типом скаляра ". При действии операции «штрих» тип {/, г; У, f} переходит в {г, /; 力 У}, так что р принимает значение —р, a q — значение —q; при сопряжении тип {/, г; f, /} переходит в {У, /; /, г} (если считать, что / и т. д. — действительные числа), так что р переходит в g н наоборот; прн действии обеих операций тип {г- г; f, f} переходит в {f, f; г, /}, т. е. р принимает значение —% з q — значение —р.
Рассмотренные уравнения для коммутаторов — это случай, когда модифицированный формализм приводит к более сложным •соотношениям, чем первоначальный формализм спиновых коэффициентов. Такова, по-видимому, плата за существенные формальные упрощения в остальных уравнениях. Следует, однако, помнить, что коммутаторы несут информацию, проистекающую из двух разных мест в формализме спиновых коэффициентов. Кроме того, мы имеем преимущество геометрического истолкования коммутаторов в модифицированном формализме: дополнительные слагаемые, которые возникают при р*0 или ? =#= О, иногда можно интерпретировать, связывая их с кривизной подмногообразий в пространстве-времени. В случае коммутатора (4.12.35) мы увидим это явно в формуле (4.14.20) ниже.
Полные тождества Бианки (4.10.6) выглядят достаточно
сложно в формализме спиновых коэффициентов, но замечательно упрощаются в модифицированном формализме, и мы приводим только эту форму их записи. Для получения требуемых уравнений достаточно взять компоненты тензора (4.10.6) и использовать формулу (4.12.27). Получаем
#% — б'% — рФо1 + М)оо = — т7% + 4P4r I — Зх% +
+ 孑'①оо — 2рФ()1 — 2о ①[° + 2хФц + 论①oz，(4.12.36)
，屮2 - 6'屮[-6‘①(h + Р‘Ф(ю + 2»n = </%-2Tz% + зpт2一2*% +
+ р,Фоо — 2 大①°] — 2тФ(0 + 2P ① и + 万①⑪，(4,12.37)
VK - 6纯2 - 叫 + 6①20 - 26‘口 = 2(/用-3т‘% + 2p% 一執一
—2р,Фю + 2т'Ф]1 + 可①20 — 20 ① 21 + 又①22，(4.12.38)
#% — 6'% б'Ф?] + р'Фго = + 3『％ 一 4т7% + Р屮4 — 2хлФ10 + + 2(у,фц + 0’① 20 — 2tФ?] + оФзг»(4.12.39)
р① н + pUoo — 6Ф[0 — 6zO01 + 3»П = (p‘ + 0‘)①oo +
+ 2 (p + p)① u — (Y + 2t) Ф0| — (2т + F) Ф10 — «Фи —
一 乂①21 +。①20 + G①02，(4.12.40)
，①12 + N ①tn — 6Ri —^Фог + ЗдН = (р‘ + 2р9 Ф01 +
+ (2р + р)① 12 — а + 号①02 工 2 (т + F) Фи — Н①00 —
一 乂①22 + о①21 + 亍'①ю，(4.12*41)
а также уравнения, получающиеся отсюда с помощью операции (4.5.17). Уравнения (4.12.40) и (4.12.41) эквивалентны свернутым тождествам Бианкн (4.10.8). [Вообще говоря, уравнения вида (4.12.40) и (4.12.41) выражают «закон сохранения» для произвольного симметричного тензора с двумя индексами.]
Если пространство-время описывается вакуумными уравнениями Эйнштейна, то П и все Ф в уравнениях (4.12.32)— (4.12.35) равны нулю; и наоборот, эти уравнения с П и Ф, равными нулю, характеризуют вакуумные решения уравнения Эйнштейна и могут использоваться для нахождения таких решений. Тождества Бианки (4.12.36) — (4.12.39) в этом случае замечательно упрощаются; в частности, уравнения (4.12.40) и (4.12.41) удовлетворяются тождественно. Уравнения (4.12.36) — (4.12.39) а этом случае замечательно упрощаются; в частности, уравнения (4.12.40) и (4.12.41) удовлетворяются тождественно. Уравнения (4.12.36) — (4.12.39) при П = 0 и ①“ =0 будут частным случаем уравнения (4.10.9)——полевого уравнения для частицы с нулевой массой покоя [см. формулу (5.7.2) ниже]:
где <рл £ = ф{Л L). В самом деле, полагая、
^r = ^o...b I I ^^Х-Г: {га —Г> Г； 0,0} (г = 0п), (4.12.43)
п—г г
мы получаем в силу формул (4.12.27)
Рбг — 6%_1 = (Г — 1) О*а2 — С%г_] + 5 — Г + 1)р办一
—(/г —(г=1, •…叫(4.12.44)
а также их штрихованные варианты. [Множитель %-1х в опре* делении величин 呼(4.11.6) здесь не играет роли ввиду равенств (4.12.23).] Как мы увидим в гл. 5, § 1, уравнения Максвелла в пустом пространстве также являются частным случаем уравне* ния (4.12.42), а следовательно, могут быть записаны в форме (4.12.44) при п = 2. Определенный интерес представляет запись конформно-инвариантного волнового уравнения (□ + R/6)qp = О (гл. 6, § 8) в модифицированном формализме спиновых коэффи* циентов, которая получается из соотношения
□ := %Р ^ 2 (р今一力d — 0* — pp + 而 + т6‘)
на {0, 0; 0, ^-скалярах(4.12.45)
и твисторного уравнения (гл. 6, § 1) V4H шв> = 0 (где со° = =—ШЛ1д, ш1 = шлол):
х(о° = рш1, а(о° = дш1, 6'со° = а'со* pz(d° = х^1,
рш° + рш9 =力亦 + Y* 6s。+ тш° = Г® + p%L (4.12.46}
Формализм спиновых коэффициентов допускает дополнительную симметрию, которая впервые была обнаружена Саксом [162, 163]. Рассмотрим операцию, обозначаемую символом (*} «звездочка》：
ол н-> ол,L4 к-> И, о"Н">|Л, ьд/ н-> — М, (4」2・47>
так что
(ол)* = о4,(©* = М, (о*)* =此 (М) = - °勺 (4.12.48>
(六)* = М,(卅『=一 1\ (历少=/Л (的* =一历上(4.12.49>
Эта операция не изменяет % и х:
X* = х> (х)* = %X* = х> (х)* = %(4.12.50>(4.12.50>
X* = х> (х)* = %
X* = х> (х)* = %
(4.12.50>
(4.12.50>
и соответственно соотношения ортогональности для тетрады (4.5.20). Очевидно, что операция (*) не коммутирует с комплексным сопряжением. Однако в случае действительных р н g мьг имеем
(限广=(-1『Т],(哨・ = (-1)。(疗，牙=(一严。(可г，(4.12.5D
где т| — скаляр типа {р, д}. Если т| — скаляр типа {/, г;广，/}, то л* ——скаляр типа {「'，г; f}.
(4.12.52)(4.12.52)Из формул (4.5.21), (4.12.20), 4.11.6), (4.11.7) и (4.11.8) соответственно получаем х* = а, а* = 一 х, р* = т, т* =——р, xz* = — o', </* = К р" = — т\ т'*=р‘， 又* = — ах, а* = — xz, р* = €‘，个* = 0‘， xz* = а,
(4.12.52)
(4.12.52)
Vх* —讯 pz* = — T, tz* = — p;
(4.12.53)(4.12.53)(4.12.54)(4.12.54)p* = d, d* = — p,旷=—dz, 6'* = p‘，4V =屮0，屮j=屮卜 屮2‘=屮2，屮3* =屮3，屮4* =匕；我”=可4，可J = 一千3，弘* =可2，
(4.12.53)
(4.12.53)
(4.12.54)
(4.12.54)
忆* =可0；
(4.12.55)(4.12.55)①00 ^ ①02’①01 ==一①01， ①02 ===①00，
(4.12.55)
(4.12.55)
Фю =①⑵ ①11 =-①11，①12 ^1:①10，①20 ^①22，
①2「=—①21，①22* =包。，П* = 11.
Операция «звездочка» переводит уравнения в нашем списке (4.12.32) друг в друга, то же происходит с уравнениями (4.12.36)——(4.12.41), а также с уравнениями для коммутаторов (4.12.33)——(4.12.35). Эту операцию совместно с операцией «ттрнх》 можно использовать для упрощения процедуры получения уравнений, а также для проверки уравнений, полученных другим способом.
Метод Картана
В конце § 5 мы сформулировали метод вычисления символов Кристоффеля, спиновых коэффициентов и ъ д. с помощью символов Инфельда ——ван-дер-Вердена gaAA, а в § 11 и 12 по- казалн. как спиновые коэффициенты можно использовать для вычисления кривизны. Однако формула (4.5.43), в которой спиновые коэффициенты выражаются через R，", выглядит громоздко и сложна для практических расчетов. Иногда бывает полезен другой метод [123]. Он состоит в том, чтобы рассматривать уравнения для коммутаторов внутренних производных (4.11.3) или (4.11.11), считая, что операторы действуют на компоненты метрического тензора. Метод связывает спиновые коэф- •фициенты с производными от компонент метрического тензора и удобен в том случае, если удается подобрать систему координат для базиса изотропных тетрад, расположенного подходящим образом. Мы также изложим другой метод, связывающий спинорную технику с весьма эффективной картановой системой
исчисления дифференциальных форм и подвижного репера Кар* тана. Эти методы не только элегантны по форме, но и часто упрощают практические расчеты.
Напомним, что в § 3 мы показали, что между исчислением дифференциальных форм и тензорным исчислением, использующим абстрактные индексы, существует связь, которая устанавливается с помощью правила отбрасывания индексов. В соответствии с этим правилом абстрактные индексы и, /2» »з， .. • (именно в этом порядке при о = Zi/ь »2 = /必 и т. д.) канонически приписываются дифференциальным формам, а в стандартных обозначениях Картана эти индексы следует опустить. Таким образом, комплексная р-форма j на 4 есть полностью антисимметричный тензор
8 = %・・・％三®生…精.(4」3・1)
(Очевидно, что 6 = 0 при р》5). Мы используем эти же обозначения для тензорно-значных и вообще спинорно-значных р-форм [формула (4.3.11)]. Далее под р-формой мы будем подразумевать спинорно-значную р-форму, если нет дополнительных уточнений. При записи компонент р-формы нижние индексы /ь .・・, ip, по которым форма кососимметрична, должны выписываться сразу за коренным символом, а остальные тензорные или спинорные индексы ——справа от них. Например:
心...=九...lpA州;::•％] A... Г(4.13.2)
есть типичная р-форма. Мы часто будем собирать все индексы, кроме 厶 в коллективный индекс 加 или 例 н т. &; тогда р-форма (4.13.2) может быть записана в виде 屮"=屮九… 产.Стандартный символ внешнего произведения《угол» также используется для спинорно-значных форм. По определению
步А °"=九产 (4」з・з)
отсюда прямо следует, что для р-формы 8* и 「формы 8糸 выполняется соотношение
* 八时=(-Ip。时 А 力名(4.13.4)
Внешнее ковариантное дифференцирование (<(1-дифференцирование») определяется равенством
时〃 =%幻.й+「(4.13.5)
и дает (р +1)-форму прн действии на р-форму. Отметим, что индекс оператора V, входящий в определение производной, специфически связан с 1ь ..., 1р, в отличие от коллективного индекса. Отметим также, что в отличие от действия на обычные (скалярно-значные) р-формы (4.3.14) эта операция, вообще го-
воря, зависит от связности; чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай р = 0. Если 0~ есть р-форма, то в силу уравнения VII в формуле (4.3.15) мы имеем
d (04 а 8%)= (d^) а 8留 + (—Ip6总 a d*.(4.13.6)
Из формул (4.3.19) и (4.3.20) следует, что если введены локальные координаты х°, ...» х3, то различные (дуальные) базисные формы могут быть записаны в виде
“а = g“3 d*a 八 dxb = g^g^,
d*a д dxb Д dxc = g^g^g^,(4.13.7)
dx° Д dx1 Д dx" Д dx3 = g^g^g^g^, так что
* = %「..％%аЛд …'/\dA>,(4.13.8)
где компоненты с индексами i отнесены к координатному базису.
Вообще говоря, повторное d-дифференцирование не дает нуль (как в случае скалярнозначных форм); например, мы имеем для векторнозначной р-формы У°
A2Vа = ^ „ fМ =
11 % *8*р+2|2 [屮2【"[% …％+2屮
匸 QJ/\H=V&A&a,(4.13.9)
где использованы формулы (4.2.33) и (4.2.37), а также принято обычное обозначение!) для 2-формы кривизны
QJ：=4rM(4.13.10)
Из (4.13.10) и из того, что г-символы — константы, мы получаем (как в § 9) для р-формы ^л, коэффициенты которой принимают значения в пространстве спин-векторов,
d& = %ЕЕ …％+/ = ¥ Л Q/,(4.13.11)
где ЯВЛ есть 2-форма, определяемая равенством
Явл ：= 4- QBC^C，.(4.13.12)
Очевидно, что мы имеем
Qj = Qb% J' + 屯，£в"，(4.13.13)
Q/ = 0, т. е* Q^b =。8力・(4.13.14)
Для согласованности с остальными обозначениями мы располагаем верхний индекс в Rqm" нестандартным образом.
И Зак. 1142
Формулы (4.13.9) и (4.13.11) можно обычным образом обобщить на формы высшей спинорной валентности, например:
d2^4 вс = Л^ вс A Q&" —^ ес А %* — ^ ве А ЦЛ (4.13.15)
Напомним операторы дуального преобразования (3.4.21), (3.4.29), (3.4.30) н определим для р-форм дуальные им формы
X” (0-форма): °x" = esgd (4@орма),
М (1-форма): %"ие®/*产(3-форма), (р“ (2-форма): *<Р^=}е&/Е广(2-форма), (4.13.16) 8“ (3-форма): #8“=«|~еУ帆产(1-форма), ц^ (4-форма): %* =古 е代'％“『(0@орма)・
Отметим, что повторное действие оператора дуального преобразования на р-форму переводит ее в нее же с множителем (—1)Р+】 [формулы (3.4.24), (3.4.31), (4.6.11)]. Далее, в силу формул (4.6.2) и (4.6.34) имеем
Q^B + FQ^B = 8//X/JMB = ®// {t/J2AB + А(8厶制赤 + 时疋勿状)},
(4.13.17)
Q$8 i*%B = ^^ц/^дв'(4.13.18)
Следовательно, различные спинорные кривизны просто связаны с Ядв.
Предположим, что выбран некоторый тензорный базис gb* необязательно совпадающий с координатным базисом, использовавшимся в (4.13.7). Дуальный базис ga образует систему 1-форм; для них мы используем стандартные обозначения
0а ：= gJ.0а ：= gJ.(4.13.19)
0а ：= gJ.
0а ：= gJ.
Тогда d-производная от этих форм имеет вид
d8a = V[/igt21a — —FbJgUgi j _ _rbca0b д 0C, (4.13.20)
где Гьса — величины (4.2.60). Величины 0 анти коммутируют в силу соотношения (4.13.6), а потому уравнение
d0a + Г[Ьс]а0Ь А 8° = 0(4.13.21)
может служить определением величин Г(ьс]а- Обозначения для 1-форм связности
обычны во всем, кроме расположения верхнего индекса (см. примечание на стр. 321). Поэтому можно переписать (4.13.20) в виде
d8a = М Asj・(4.13.23)
Из уравнения Vagbc = 0 получаем
Vagbc = ГаЬ^ес + Гас^Ье = 2Га (Ьс) •(4-13.24)
Следовательно, если предположить фиксированную нормировку для элементов тензорного базиса (4.13.19), например ^аь =const, так что
dgab = O,(4.13.25)
то мы получим
Г abc = —г acb •(4.13.26)
[Данное условие отвечает выбору «подвижного репера» Кар- тана, или, что эквивалентно, условию, чтобы Г были коэффициентами вращения Риччи. Эти соотношения следует сравнить с (4.4.36) и (4.5.5).] Тогда можно найти Гаьс из (4.13.21), так как из (4.13.26) следует, что
「abc =Г[дЬ]с — Г[Ьс1а — Г[ас]Ь・(4.13.27)
В практических? расчетах часто бывает проще не подставлять решения (4.13.21) в (4.13.27), а угадать или получить другим способом набор величин Гаьс> удовлетворяющий условиям (4.13.21) и (4.13.26). Ниже мы проиллюстрируем этот расчет в формализме спиновых коэффициентов. Для вычисления кривизны заметим, что
dg『=环忠广=F&J = %*(4.13.28)
а также в силу формулы (4.13.9) (при р = 0) и (4.13.6)
QJ = g，Qj = d'g』=dsj =
=d (①*：) = g^d^A — ®ab Л dg『・ (4.13.29)
Таким образом, компоненты 2-формы кривизны можно вычислить, пользуясь выражением
Q； = d«ac —(dab Д(dbc(4.13.30)
[которое можно прямо связать с выражением (4.2.67); при этом нестандартный знак в формуле (4.13.30) обусловлен нестандартным расположением верхнего индекса в тензоре кривизны].
и*
Связь со спиновыми коэффициентами
Рассмотрим теперь связь исчисления Картана с методом спиновых коэффициентов. Тензорный базис gj теперь следует рассматривать как возникающий из диады елА, которую мы будем для простоты считать нормированной (% = 1). Таким образом, начиная с (4.13.19) и далее, мы можем заменить каждый тетрадный индекс а, Ь и т. д. соответствующей парой диадных индексов АА‘, ВВ‘ и т. д. Для базисных 1-форм мы имеем
6^ = ^\(4.13.31)
Введем обозначения
000 =п, 0°'=—加，М"=—加，011 =1(4.13.32)
(для согласования со стандартными обозначениями для изотропной тетрады). Систематическое использование диадных индексов освобождает символы а, Ь,…，которые можно использовать, например, в качестве координатных индексов. Тогда равенство (4.13.31) можно переписать в виде (в координатном тензорном базисе)
eAAZ=^aAA/dxa,(4.13.33)
откуда следует, что компоненты 1-форм 0АА есть просто символы Инфельда — ван дер Вердена [формула (3.1.37)].
Теперь метрика ds? = gab dxa dxb co《старыми» дифференциалами координат может быть переписана на основе формулы (3.1.45) с использованием символов Инфельда — ван дер Вердена:
ds2 = 8АввА^ЯаАА ЯьВВ d%a dJ =
=2 (ga°"d£) (gb"d%b) _ 2 (ga"'*) (gfdJ), (4.13.34) что с учетом равенств (4.13.32) можно переписать в виде
ds2 = 2 In — 2mm,(4.13.35)
где In означает 厶а* и т. д., a ds2 означает g“〃.
Для вычисления спиновых коэффициентов Yaa^ можно использовать (обязательно единственное) решение уравнения (4.13.20) в записи с диадными индексами
d0AA，+ Гвв，сс，АА'евв‘ А ©8' = о.(4.13.36)
Если тензорный базис получается из базиса диад и, следовательно, gu = const, то из (4.5.37) мы имеем
а из (4.5.5) следует, что
Ybbzac = Ybb，ca・(4.13.38)
Таким образом, величины Гаьс обладают требуемой антисимметрией (4.13.26). Можно переписать (4.13.36) и (4.13.37) в виде I)
•^-[agb]= — \YAAzB 8bz + ?АА” ％ 丿 g[a gb] • (4.13.39)
Совместно с (4.13.38) это дает систему уравнений для коэффициентов у, решение которой следует угадать или последовательно вычислить с использованием (4.13.27) или (4,5.43).
Если же мы напишем
<*>ВС = Y 6ВС = YAAqC^AA；(4.13.40)
так что
<®ВВ户=<®ВС8В,С + ®В/С 8вС(4.13.41)
и
<ОвВ = 0,(4.13.42)
то (4.13.36) можно переписать в виде
d0AA，= - (в>вА Л 0ВА，4-®в^А，Л 0AB)•(4.13.43)
Взяв компоненты этого уравнения, мы получим систему
dl = ~{l Лт(₽，+ а，+ т) + 1Лт(а/ + т + ₽Э+ 一 *
+1 Д п(—у' — ул) + т Д т(р — р) — т Д пй — т Д п*},
dm = {1 Д т (—в‘ — у — pz) — 1 Д тУ +1 A n (F — © +
+ т Л т (—а' — &) + т А п(р + у' + 6) + т 八 па},
(4.13.44)
dn == — {I Л т必 + 1 Д mH + 1 Л п (y + Y)+ т Л т (р7 — р7) + + т Л п (—а — V — В) + т /\ п (—а + 彳一§)},
которая позволяет найти (единственное) решение для спиновых коэффициентов. Отметим, что ввиду нормировки % = 1 спиновые коэффициенты удовлетворяют дополнительным условиям g = —а, у7 = —е [ср. формулы (4.5.29)]. Отметим также, что первое и последнее уравнения преобразуются друг в друга при помощи операции «штрих», а среднее уравнение переходит в себя при совместном действии этой операции и комплексного сопряжения.
】)Напоминаем, что числовую пару АА' нельзя приравнивать индексу а.
Итак, если задана метрика g^dx^d^, то ее всегда можно представить в виде (4.13.35), разумеется, разными путями； из которых одни более, а другие менее удобны; затем мы 叩吃 ставляем dl, dm, dn в виде линейных комбинаций 1 A m, 1 Д m и т. д. и» сравнивая полученные выражения с (4.13.44), находим спиновые коэффициенты. Если спиновые коэффициенты известны, то спиноры кривизны можно вычислить по формулам (4.13.30), (4.13.17) и (4.13.18), хотя на этой стадии может оказаться более экономным использование формул (4.11.12) или (4.12,32).
Приложение к двумерным поверхностям
Модифицированный формализм спиновых коэффициентов, введенный в § 12, особенно полезен при изучении двумерных пространственноподобных поверхностей. Одна из причин этого в том, что любой пространственноподобный элемент 69 2-поверхности однозначно выделяет два изотропных направления в каждой точке, а именно направления, ортогональные элементу 69, но длина изотропного вектора вдоль этих направлений остается произвольной. Выбор ориентации элемента S^ (при заданной пространственной и временной ориентации многообразия Л) эквивалентен упорядочению изотропных направлений. Мы условимся выбирать направления флагштоков спиноров ол и И так, чтобы элемент 60 принадлежал локальной (Xя, ^-плоскости !) с ее обычной ориентацией. Аналогичный выбор использовался в гл. 3 [формулы (3.1.20) и (3.1.21)]. Таким образом, пространственная проекция вектора /а (ось времени направлена вдоль /а + па) совпадает с положительным направлением нормали к элементу 60 в 3-пространстве (а именно с направлением вектора Z@, т. е. /а — %°). Пространственная проекция № совпадает с отрицательной нормалью к элементу 69 в 3-пространстве (а именно с направлением —Z。, т. е.九。—/й) (рис. 4.1). Нормировка спинорного базиса не играет здесь никакой роли. «Калибровочное» преобразование ол ь->Хол, И ь-> ^f очевидно, оставляет ориентацию элемента 69 неизменной (хотя приводит к изменению пространственной проекции). Однако операция «штрих» приводит к обращению ориентации элемента 6夕 [см. текст после формулы (4.5.17)].
Модифицированный формализм спиновых коэффициентов применйм и к изучению времениподобных 2-поверхностей. То, что любой времениподобный элемент 2-поверхности 69* выделяет два изотропных направления, есть даже более наглядный
Для удобства в дальнейшем мы используем символы Х・，У*, Z・，Т* вместо символов хи( ^а» га, /а в формуле (3.1.20).
Пространственная проекция сектора 尸 (палоокителмал пормст к цементу S^)Пространственная проекция сектора 尸 (палоокителмал пормст к цементу S^)Пр0cm血 нсЕвенАоподобкз汉3・川4叫,содержаи^ий апемент 方夕Пр0cm血 нсЕвенАоподобкз汉3・川4叫,содержаи^ий апемент 方夕Рис. 4.1. Геометрическое соотношение между спиновой системой отсчета и ориентированным элементом поверхности 60.Рис. 4.1. Геометрическое соотношение между спиновой системой отсчета и ориентированным элементом поверхности 60.Пространственная прош夾з вегтю~—
Пространственная проекция сектора 尸 (палоокителмал пормст к цементу S^)
Пространственная проекция сектора 尸 (палоокителмал пормст к цементу S^)
Пр0cm血 нсЕвенАоподобкз汉
3・川4叫,содержаи^ий апемент 方夕
Пр0cm血 нсЕвенАоподобкз汉
3・川4叫,содержаи^ий апемент 方夕
Рис. 4.1. Геометрическое соотношение между спиновой системой отсчета и ориентированным элементом поверхности 60.
Рис. 4.1. Геометрическое соотношение между спиновой системой отсчета и ориентированным элементом поверхности 60.
ра па(шприцотепмая нормаль л элементу 齡)
факт, чем в предыдущем случае: это те направления, вдоль которых элемент 6尹 пересекает изотропный конус. Теперь векторы 也 и па образуют базис для касательной плоскости к элементу 6歹，тогда как элемент 69 принадлежал ортогональному дополнению к этой плоскости, а соответствующий базис был образован векторами 优° и 科 Мы не станем детально рассматривать времениподобный случай, поскольку наиболее важные приложения связаны с пространственноподобными 2-поверхностями. Однако из наших формул легко получить соответствую- щйе результаты для времениподобного случая, используя операцию «звездочка» Сакса [формулы (4.12.47) — (4.12.55)]. При этой операции пары (/й, па) и 士 (/и。，—та) меняются местами. Лишь некоторые глобальные результаты для пространственноподобных 2-поверхностей (например, те, что мы получим при изучении сферических гармоник) не имеют аналогов для времениподобных поверхностей. Например, такая поверхность не может иметь топологию двумерной сферы. Из существования фиксированной пары изотропных направлений в каждой точке следует, что любая ориентированная компактная времениподобная 2-поверхйость имеет топологию тора, а неориентируемая — топологию бутылки Клейна.
Одно из преимуществ модифицированного метода спиновых коэффициентов по сравнению с обычным в том, что он применим глобально к любой пространственноподобной 2-поверхности & независимо от ее топологии. Если бы мы работали в рамках обычного формализма, изложенного в § 11, то мы должны были бы выбрать в каждой точке поверхности 9 специальное касательное направление, соответствующее условию Re(M) = _ 2~</2х« [которое в совокупности с 6夕 затем фиксировало бы
Im(ma) = —2~i/2ya] Если, в частности,俨 имеет топологию двумерной сферы, такой выбор нельзя осуществить непрерывно на всей поверхности, так как при этом возникают сингулярные точки, в которых наше описание неприменимо. (Разумеется, эта трудность присуща любому координатному описанию и методу подвижного репера, а не только методу спиновых коэффициентов.)
В модифицированном формализме не требуется фиксировать векторы та и указанная трудность не возникает. Однако проблема не столь проста. Можно думать, что хотя модифицированный формализм инвариантен относительно изменения фаз векторов mat тем не менее определенный выбор должен быть сделан и, поскольку любой выбор приводит к появлению сингулярностей, проблема остается. Однако эти соображения ошибочны. Можно рассмотреть покрытие поверхности 9 набором открытых множеств, в каждом из которых выбрано гладкое поле векторов та. Поскольку формализм инвариантен относительно преобразований, возникающих на пересечении этих множеств, он просто 《не заметит» этих преобразований. Этой идее можно дать строгое математическое обоснование на языке теории расслоений (гл. 5, § 4), но здесь мы не станем заниматься подобным обоснованием. Конечно, если мы хотим иметь явное координатное представление векторов та, то, действительно, определенный выбор должен быть сделан с учетом топологии поверхности 夕・ Однако такие явные описания не являются необходимой составной частью «чистого» модифицированного формализма, поскольку они нарушают требования инвариантности В следующем параграфе (в связи со сферическими гармониками) мы увидим примеры того, как возможность явного локального описания согласуется с глобальной применимостью общего формализма.
Особенно важную роль при изучении пространственноподобных 2-поверхностей играет коммутатор (4.12.35)
力 一 dzd = (0‘ 一 Р‘) А +(Р — 0)»' + "(РР‘ 一 с『+ 屮2 — Фц — П)—
—q (00‘ 一 aaz + % — Фц— П), (4.14.1)
действующий на скалярную величину типа {/, г; f, f}, где р = =/ — г, q = t‘ — f [см. текст после формулы (4.12.9)]. Формула (4.14.1) применима в том случае, когда диада (о4, И) не сосредоточена на поверхности 9, а определена в некоторой ее окрестности. С учетом предыдущих замечаний можно также рассма-
Согласно теории расслоений, явный выбор векторов т° соответствует выбору (локального) сечения, тогда как применимость формализма в целом соответствует существованию самого расслоения с заданным полем связно* стей.
тривать поле элементов 2-поверхности №, распределенных в окрестности поверхности 夕 Отметим, однако, что в левую часть равенства (4.14.1) входят лишь операторы 6 и 6‘，действие которых определено на самой поверхности 乡.Поэтому формула (4.14.1) относится лишь к внутренним свойствам поверхности 9, и, следовательно, результат не зависит от выбора поля диад (оА, tA) или поля элементов 69 в окрестности поверхности О・ Операторы же )> и，，фигурирующие в правой части равенства (4.14.1), определены в окрестности поверхности 夕,и результат их действия зависит от этого выбора. Действительно, поскольку р н У действуют вдоль независимых направления (которые служат базисом для 69 только в начале координат), их коэффициенты р‘ ——р‘ и р — 0 должны независимо обращаться 8 нуль. Таким образом, мы имеем
Предложение
Если изотропные векторы la и па ортогональны пространственноподобной 2-поверхности 0, то обе величины р 儿 р‘ действительны на 0・(4.14.2)
[В гл. 7, формулы (7.1.48), (7.1.58), (7.1.60), мы заново выведем этот результат и обсудим его геометрический смысл.] Применяя операцию «звездочка» к предыдущим формулам, мы получаем
Предложение
Если изотропные векторы la и па касательно к времениподобной 2-поверхности 乡*, то т = т7 на 乡*.
(4.14.3)
Внутренние величины на 9
Чтобы объяснить смысл остальных слагаемых в правой части равенства (4.14.1), мы сначала покажем, что при действии операторов 6 и 6’ на величины, бустовый вес которых равен нулю, так что
р = —q、(4.14.4)
получаются две компоненты ковариантной производной на 乡. Для простоты будем предполагать, что (о* И) есть спинорный базис, т. е. что
%=1・(4.14.5)
Тогда тензор
который удовлетворяет условиям
S/SJ = SJ =歹=S'(4.14.7)
Sj/Пь н 佃，s/% = me>(4.14.8)
а также условию
Sa% = Sa/ = 0,(4.14.9)
действует как проекционный оператор на касательное пространство к поверхности 俨 в каждой ее точке, а тензор Sab играет роль отрицательно определенного метрического тензора поверхности 乡.Если Va — произвольный вектор в фиксированной точке поверхности 9, то
Р&(4.14.10)
есть его проекция на 9, равная Vя в том и только в том случае, когда этот вектор касателен к поверхности 乡.Тогда ковариант* ная производная вектора Vе на 9 совпадает с проекцией вектора V& Vе на 9, т. е.
SAbW^ =： MY(4.14.11)
[в этом можно убедиться непосредственно, используя свойства ковариантной производной (4.2.2) и (4.2.3), равенство нулю кручения и условие (4.3.46) в применении к касательным векторам поверхности 9].
Полагая, что Va — величины типа {р, q} = {0, 0}, и замечая, что тогда из (4.12.15) следуют равенства .6 = 3 и а = д\ получаем, что компоненты величины (4.14.11) по отношению к та и равны
m£M, ma6Va, m/片，m^Va. (4.14.12)
Векторы ть и ifib в (4.14.12) коммутируют с 6 н % поскольку из (4.12.28) следуют равенства
6ща = —и% — d"a，^а = —0% — Р% (4.14.13)
и комплексно-сопряженные равенства, тогда как
M = 0 =屮，(4.14.14)
ибо вектор Н касателен к поверхности 乡.Следовательно, компоненты (4.14.12) величины АьН равны
的，dfj, 6'% 6'%(4.14.15)
где п и П — величины типа ±{1, —1}, которые определяются равенствами
П = Мата. п =片％.(4.14.16)
(В случае действительных Vй нмеем 口 =年)
Аналогично находятся компоненты производной А儲 от любой тензорной величины типа {0, 0} на 夕
d • • • f
которая касательна к Z
Т d …f 一 о «и с ^Q.d《J九do …％ /4 14 17、
Они имеют вид
61b б%。，・・・，6%, 6%,(4.14.18)
где Пи, •••, Л* — различные компоненты тензора Та... / "*f по отношению к та и та. Отметим, что все величины 小，…，m имеют тип {р, —р}, где р принимает все положительные и отрицательные значения, по модулю не превышающие полной валентности тензора 丁…二 чем и доказывается утверждение (4.14.4). (См. также [79].)
Взяв величину п из формулы (4.14.16), так что р = —q = l, и действуя на нее оператором (4.14.1), получаем
(好一力3" = 一(/( + 后"(4.14.19)
где
К = ш/-%-рр，+(1)и +А.(4.14.20)
(Поскольку теперь % = L имеем П = Л.) Из равенства (4.14.19) следует
Предложение
К + К есть гауссова кривизна поверхности 夕.
(4.14.21) Действительно,
(66 — 6气)力=6 (matnc^Va)-力(mam%Va)=
=忆川济(ДЛ 一 Мь)片，(4.14.22)
а в силу формулы (4.2.30) коммутатор в правой части дает кривизну 2-пространства:
(%& — ДА) Va = k (SmSJ — ScdSba) Vd9 (4.14.23)
где 论—гауссова кривизна поверхности 乡.Подставляя (4.14.23) в (4.14.22), получаем А = К+К, что и требовалось доказать. [Легко убедиться, что в случае единичной сферы К + R = 1, см. формулу (4.15.14) ниже.]
Мы видим, что действие операторов 6 н 6’ на величины нулевого бустового веса (т. е. величины типа {р, —р}) на поверхности 夕 выражается через величины, характеризующие внутреннюю геометрию поверхности 9. При этом индексы вообще не
появляются, а тензорный характер рассматриваемых величин определяется их спиновым весом
s х £(р —4)= Р・ (4.14.24)
В случае двумерных поверхностей это исчисление фактически есть аналог развитого нами 2-компонентного спинорного исчисления в пространстве-времени. Как указывается в приложении к т. 2, «редуцированные спиноры» в 2*・мерном пространстве имеют 2—1 компонент. Здесь п = 1 и, следовательно, мы имеем однокомпонентные объекты. Таким образом, «нештрихованный» 1-компонентный спинор на 歹 есть скаляр типа {1/2, —1/2} (т. е. s = l/2), тогда как «штрихованный» однокомпонентный спинор на 9 есть скаляр типа {—1/2, 1/2} (т. е. s = —1/2). Тензоры высшей валентности (т. е. с большими спиновыми весами) получаются как произведения таких базисных «спиноров». [В гл. 6 и гл. 9, § 3 и 4, в связи с теорией твисторов мы увидим, что представляет интерес также теория четырехкомпонентных «редуцированных спиноров» в шестимерном пространстве (п = 3).]
Голоморфные координаты
Операторы 6 л 6’ естественно возникают в комплексном анализе. Предположим, что Е — локальная голоморфная координата на 9; иначе говоря, | есть комплексная координата, определенная на открытом подмножестве g'ug н такая, что в любой точке Qw9‘ поворот 1-формы d& в касательном пространстве на прямой угол в положительном направлении дает ——iZj. Можно сказать еще и так, что (рис. 4.2) линии Re| = const ортогональны линиям Im а = const в каждой точке и направление увели〕 чения Im g получается положительным поворотом направления, в котором возрастает Re g. Наиболее известна голоморфная координата Е = % + Ц/ на плоскости Арганда. Напомним также, что, согласно теории конформного отображения, любая голоморфная функция такой координаты Е тоже является голоморфной координатой на этой плоскости. Если риманова сфера S4 ориентирована так, что нормаль к ней направлена наружу, то величина, комплексно-сопряженная к g в формуле (1.2.6), дает пример голоморфной координаты на S+ a g будет голоморфной координатой, если нормаль направлена внутрь (рис. 1.3)/В случае «небесной сферы» определенной в гл. 1, § 2, справедливо обратное соответствие.
Определение голоморфной координаты Е на 9 эквивалентно утверждению, что d| отличается лишь комплексным множителем от дифференциальной формы 血煮(ограниченной на 9) в каждой точке подмножества 歹，поскольку из (3.1.21) получаем
Рис. 4.2. Голоморфная координата Е на поверхности 0.
^^fha = Xa + \Ya, а поворот на прямой угол в положительном направлении дает Уа + i(—Хй) = —i2〃2沂内 Далее, dE на поверхности 9 имеет компоненты 厶疋 Если они пропорциональны 饱, то выполняется условие ina^a^ = 0. Принимая, что комплексная координата Е имеет тип {0, 0}, и вводя термин «антиголоморф- ная координата» для величины, комплексно-сопряженной голоморфной координате, мы имеем)
Предложение
Е есть голоморфная (антиголоморфная) координата на поверхности 0 8 том и только том случае, если 糞=0 [能= 0].(4.14.25)
Отметим, что обращение ориентации поверхности 9 приводит к взаимной перестановке голоморфных и антиголоморфных координат. Отметим также, что из (4.14.25) прямо следует
Предложение
Любая голоморфная функция голоморфной {анти- голоморфной) координаты на 9 есть также голоморфная (антиголоморфная) координата на ^.
(4.14.26)
Имеется еще один способ ввести понятие голоморфной координаты. Пусть Е и Е — координаты на 夕；тогда координата g будет голоморфной, если оператор S при действии на скаляры типа {0, 0} пропорционален оператору d/泥
б = Рд/д1 (на скалярах типа {0, 0}),(4.14.27)
где Р — величина типа {1, —1}. Оператор_(4.14.27) есть, конечно, просто 6 = %у・ Обозначая через тит 1-формы т^ и 历八， соответственно, мы имеем (линейные отображения векторов) m(6) = 0, G(6) = —l,前(备) = 1, d| (^-) = 0, (4.14.28) откуда на 9
m = —pT(jg, m = —Р"М|.(4.14.29)
Напомним, что Sab есть индуцированный метрический тензор на 9. Для этой метрики можно пользоваться обычным «дифференциальным» обозначением ds2; тогда, понимая под стоящими рядом дифференциалами симметричные тензорные произведения форм, можно на основании формулы (4.14.29) переписать (4.14.6) в виде
ds2 = -2mm = 一 -^Ш- = -2SSdgdt,(4.14.30)
рр
где S — скаляр, определяемый равенством [формула (4.14,27)]
ST = P =庞.(4.14.31)
Отметим, что S — величина типа {—1, 1}. Обе величины Р н S «голоморфны» в том смысле, что
6。= 0, £S = 0・(4.14.32)
Эти равенства следуют из (4.14.31); действительно,
6'Р = 6’优=ddz| = 0,
поскольку коммутатор (4.14.1) равен нулю. Имеем также
XS =力 К = _рт力 р = о.
Мы увидим в формуле (4.15.116) ниже, что конкретные представления величин Р и S не обязательно «выглядят» голоморфными в обычном смысле слова.
Можно использовать Р (или S) для того, чтобы некоторый {s,——s}-скаляр п превратить в {0, 0}-скаляр, а затем на основании равенств (4.14.32) и выражения, сопряженного выражению (4.14.27), получить формулу для 6，：
仃=戸片亠(p-s*.(4.14.33)
Выполнив аналогичную процедуру для л, после комплексного сопряжения получим
М =尸戸-s g р©.(4.14.34)
Вскоре мы увидим, что формулы (4.14.33) и (4.14.34) находят применение при выводе явных представлений ^.
Попутно отметим, что второе из равенств (4.14.31) и выражение (4,14.34) при подстановке в (4.14.19) после простых выкладок дают следующее выражение для гауссовой кривизны поверхности 9:
К + К = РР-^\п(РР).(4.14.35)
Заметим, что в эту формулу входит только модуль величины Р. Это не удивительно, поскольку величина Р имеет ненулевой спиновый вес (%ну』ев呼 бюстовый вес) и при масштабных преобразованиях оА ь-> ХоА, i^h-^X"^ изменяется лишь ее аргумент (но не модуль). В явных представлениях обычно удобно выбирать та так, чтобы величина Р была положительна. Записывая 21/2та = Ха — iy* мы видим, что это выполняется при условиях
Вектор Xй направлен вдоль Im (Е) = const, когда
Re(E) возрастает.(4.14.36)
Вектор У° направлен вдоль Re (g) = const, когда Im(E) возрастает.
Это приводит к некоторым упрощениям в формулах (4.14.33) — (4.14.35), но выводит нас за рамки модифицированного метода спиновых коэффициентов, поскольку ша теперь определяется выбором Е・
Внешние величины
До сих пор мы рассматривали только действительную часть величины К в выражении (4.14.20). Мнимая часть К появится в формуле (4.14.1) только при условии, что величина, на которую действует этот коммутатор, имеет ненулевой бустовый вес, т. е. р 千—g. Такие величины не являются внутренними для поверхности 乡.Исследовать этот случай можно, повторив предыдущие рассуждения, когда оператор (4.14.1) действует на величины
% = У %，屯 к Р”，(4.14.37)
а не на величины (4.14,16). Чтобы 巾 и 巾 не обращались в нуль одновременно, вектор Н должен иметь составляющие, перпендикулярные поверхности 9; можно положить, что Va лежит в плоскости, натянутой на векторы /а и ла, так что он определяется
величинами 印 (тип {1, 1}) и % (тип {—1, —1}). Вместо (4.14.11) мы можем рассмотреть величину
S^S^b^, (4.14.38) где
М/ = ga - S/ = lanb + nalb (4.14.39)
есть проекционный оператор, ортогональный оператору SJ, т. е. оператор проектирования на направление, перпендикулярное поверхности 乡.Теперь VaSab = Vb и (ненулевые) компоненты величины (4.14.38) относительно изотропной тетрады принимают вид
6%, 6小，6%1，力恥 (4.14.43)
вместо (4.14.15). Получающаяся формула, аналогичная формуле (4.14.22), отличается от нее заменой та на /а или %, а также тем, что действие операторов Д определено как в (4.14.38). Эта операция состоит в переносе векторов, перпендикулярных поверхности 9, вдоль 9, тогда как ранее переносились векторы, касательные к 夕.Вместо сомножителя —(К + К), входившего в правую часть соотношения (4.14.19), мы теперь имеем —— (K —— R) ДЛЯ Т]1 И +(К—К) ДЛЯ Т|2・
Таким образом, мнимая часть величины К есть внешняя кривизна, связанная с переносом вдоль 夕 векторов, перпендикулярных 9. Напомним, что гауссову кривизну можно мыслить как меру поворота касательного пространства при его параллельном переносе вдоль малой петли на 9. Аналогично мы имеем лоренцев поворот ортогонального пространства при переносе вдоль той же петли. Действительная часть величины 2K служит мерой первого поворота, а мнимая часть — второго. Будем называть К комплексной кривизной поверхности 9.
Попутно отметим, что кривизна К может быть представлена в виде суммы двух слагаемых
— % и ①и + А —рр‘， (4.14.41) из которых первое имеет простые трансформационные свойства при масштабных преобразованиях [т. 2, формулы (5.6.28) и (6.8.4)], а второе действительно. Одним из следствий этого любопытного факта является то, что внешняя (т. е. мнимая) часть кривизны по существу есть конформный инвариант (соответствующие определения см. в гл. 5, § 6).
Продолжая обсуждение свойств кривизны, мы напомним теорему Гаусса — Бонне, утверждающую, что в случае замкнутой поверхности 俨 рода') g поверхностный интеграл от гауссовой
Напомним, что род замкнутой, ориентируемой 2-поверхности есть, грубо говоря, число ее 《ручек». Таким образом, для сферы S? мы имеем g = 0, для тора g = 1, а для обычного «кренделя» g == 3.
кривизны по 9 равен 4л(1 —g). Поэтому в нашем случае имеем §低 + 京)?=4k(1一g，(4.14.42)
где 夕一элемент площади поверхности (2-форма на 9). Из нашего обсуждения свойств величины К —丧 можно заключить, что
§(К — ^В = 0.(4.14.43)
Это следует из того, что бусты la^-rla, г^^~>г-хг^, г > 0 образуют топологически тривиальную 1-параметрическую группу. Интеграл i § (К — К)夕 по ограниченной области в 夕 есть мера полного поворота при обходе границы этой области. Если граница стягивается в точку, полный буст равен нулю в противоположность евклидову вращению, когда полный поворот может быть пропорционален 2л. Комбинируя (4.14.42) и (4.14.43), получаем
§K9 = 2ji(l-g).(4.14.44)
С учетом замечаний, сделанных после формулы (4.14.41), можно показать, что величина
ф (аУ — W2) ^ действительна,(4.14.45)
являясь, кроме того (как показывается в гл. 5, § 6), конформно инвариантной величиной, ассоциированной с произвольной замкнутой пространственноподобной 2-поверхностью, вложенной в пространство-время. Этот результат играет важную роль в определении массы, введенном Бонди и Саксом (гл. 9, § 9).
Связь с внешним исчислением
Здесь мы покажем, как аппарат внешнего исчисления на 俨 (§ 3) согласуется с нашим формализмом в теории 2-поверхностей. Пусть
u%d 尤 °：— ot/j(4.14.46)
будет 1-форма на 嵐 Для нас существенно лишь ее ограничение на М т, е. мы будем рассматривать только две компоненты
00y = %/п* сч(у = aamat(4.14.47)
которые имеют тип {1, —1} и {—1, 1}, соответственно. Если а — действительная величина, то вся существенная информация содержится в скаляре типа {1, —1}
а := Ощ，(4.14.48)
[не путать со спиновым коэффициентом а в формуле (4.5.16)1], поскольку а«у будет тогда комплексно-сопряженной величиной. Условие, чтобы величина а (действительная или комплексная) была внешней производной
a = dv(4.14.49)
скалярной величины v типа {0, 0}, может быть записано в виде
= ацу = dzv(4.14.50)
или, если V и а — действительные величины, просто как
a = dv.(4.14.51)
Теперь предположим, что 0 есть 2-форма
в =隘dx“ Ad? =仙丛*(4.14.52)
他匕=—阮)・ Для нас существенно лишь ограничение ее на 忆 т. е. единственная компонента (типа {0, 0})
} i0 := В(и，к/= — Bum，=，切°血".(4.14.53)
Отметим, что В ——действительная величина, если действительна величина р. В самом деле, в силу формулы (3.1.20) мы имеем
6 = 2＞以呼上■(4.14.54)
Условие, чтобы величина В была внешней производной
P = da(4.14.55)
некоторой 1-формы а, таково:
Реб = Via®&]*(4.14.56)
Чтобы получить ограничение этого соотношения на ^, мы проектируем его на та и 而°:
i0 = 2®w = dcto — dz(ioi/,(4.14.57)
где использованы равенства (4.14,13). Слагаемые, содержащие р и р‘, выпадают в силу предложения (4.14.2). В случае действительной величины а это принимает вид
В = 21т(6а)(4.14.58)
Отметим, что если а = dv (v — величина типа {0, 0}), то молено подставить (4.14.50) в (4,14.57) и это дает 0 = da = O, как и
должно быть [соотношение VIII в формуле (4.13.15)], либо операторы 6 и $' перестановочны в силу соотношения (4.14.1).
Фундаментальную теорему (4.3.25) внешнего исчисления
можно использовать на 9 двояко. Во-первых:
(4.14.59)
где Г — компактная область на ^ с границей 6Г; во-вторых:
5 dv = V (/?) — V (Q),5 dv = V (/?) — V (Q),(4.14.60)(4.14.60)причем интеграл слева берется вдоль произвольной кривой у (в области определения переменной v), соединяющей точки Q и /?. В последнем случае мы можем ввести голоморфные координаты Е в окрестности у и переписать интеграл в видепричем интеграл слева берется вдоль произвольной кривой у (в области определения переменной v), соединяющей точки Q и /?. В последнем случае мы можем ввести голоморфные координаты Е в окрестности у и переписать интеграл в виде\ 击=)(矍延 + 贵 d£)= “Sdvdg + 引vd£).(4.14.61)где использованы соотношения (4.14.27) и (4.14.31). В частно-\ 击=)(矍延 + 贵 d£)= “Sdvdg + 引vd£).(4.14.61)где использованы соотношения (4.14.27) и (4.14.31). В частно-сти, если координата v голоморфна (б\ = 0)» (4.14.60) принимает вид，Sdvdg = V (Л) — V (Q)・Qсти, если координата v голоморфна (б\ = 0)» (4.14.60) принимает вид，Sdvdg = V (Л) — V (Q)・Qвыражениевыражение(4.14.62)(4.14.62)Из (4.14.61) мы заключаем, полагая Q = R, что 勺(S6vdg +豆％d£) = 0Из (4.14.61) мы заключаем, полагая Q = R, что 勺(S6vdg +豆％d£) = 0(4.14.63)(4.14.63)для замкнутого контура у н, в частности,Sdvd§ = 0, если v голоморфна.VДвумерный интеграл в левой части равенства жет быть переписан с использованием элемента верхности 乡.Для начала заметим, чтодля замкнутого контура у н, в частности,Sdvd§ = 0, если v голоморфна.VДвумерный интеграл в левой части равенства жет быть переписан с использованием элемента верхности 乡.Для начала заметим, что(4.14.64)(4.14.64)(4.14.59) мо- площади 2(4.14.59) мо- площади 2夕:=(大久%。)Д (Уь(1лй) = ^- (m + т) Л у— (т — т) = im Л т»(4.14.65)夕:=(大久%。)Д (Уь(1лй) = ^- (m + т) Л у— (т — т) = im Л т»(4.14.65)
5 dv = V (/?) — V (Q),
5 dv = V (/?) — V (Q),
(4.14.60)
(4.14.60)
причем интеграл слева берется вдоль произвольной кривой у (в области определения переменной v), соединяющей точки Q и /?. В последнем случае мы можем ввести голоморфные координаты Е в окрестности у и переписать интеграл в виде
причем интеграл слева берется вдоль произвольной кривой у (в области определения переменной v), соединяющей точки Q и /?. В последнем случае мы можем ввести голоморфные координаты Е в окрестности у и переписать интеграл в виде
\ 击=)(矍延 + 贵 d£)= “Sdvdg + 引vd£).(4.14.61)
где использованы соотношения (4.14.27) и (4.14.31). В частно-
\ 击=)(矍延 + 贵 d£)= “Sdvdg + 引vd£).(4.14.61)
где использованы соотношения (4.14.27) и (4.14.31). В частно-
сти, если координата v голоморфна (б\ = 0)» (4.14.60) принимает вид
，Sdvdg = V (Л) — V (Q)・
Q
сти, если координата v голоморфна (б\ = 0)» (4.14.60) принимает вид
，Sdvdg = V (Л) — V (Q)・
Q
выражение
выражение
(4.14.62)
(4.14.62)
Из (4.14.61) мы заключаем, полагая Q = R, что 勺(S6vdg +豆％d£) = 0
Из (4.14.61) мы заключаем, полагая Q = R, что 勺(S6vdg +豆％d£) = 0
(4.14.63)
(4.14.63)
для замкнутого контура у н, в частности,
Sdvd§ = 0, если v голоморфна.
V
Двумерный интеграл в левой части равенства жет быть переписан с использованием элемента верхности 乡.Для начала заметим, что
для замкнутого контура у н, в частности,
Sdvd§ = 0, если v голоморфна.
V
Двумерный интеграл в левой части равенства жет быть переписан с использованием элемента верхности 乡.Для начала заметим, что
(4.14.64)
(4.14.64)
(4.14.59) мо- площади 2
(4.14.59) мо- площади 2
夕:=(大久%。)Д (Уь(1лй) = ^- (m + т) Л у— (т — т) = im Л т»
(4.14.65)
夕:=(大久%。)Д (Уь(1лй) = ^- (m + т) Л у— (т — т) = im Л т»
(4.14.65)
где т = т“==/Па(1%а, как прежде. Следовательно, если величина 0 определена как в (4.14.52) и (4.14.53), мы имеем
,В = \ “"％“ 八 dW = 2 , %ь • /namdm A m = i ^ pin A m = ^ ^t г гггг
(4.14.66)
где учтено, что в силу формулы (4.14.6)
При ограничении на ^ : &ха = S^A^ = — fr^m ^ nfm. (4.14.67)
В то же время соотношение (4.14.66) можно непосредственно получить на основании формулы (4,14.54). Подставляя (4.14.57) в (4.14.59), получаем ■
or aror ar卜 i б'аоу — i даюО 夕=§ <x = § (aoySd& + ait/Sdt), (4.14.68)
or ar
or ar
г
где E — голоморфная координата в некоторой окрестности области <5Г. Поскольку компоненты ощ，и。屮 независимы, имеем
,id，c@ = §aSdEГ,id，c@ = §aSdEГ(4.14.69)(4.14.69)
,id，c@ = §aSdE
Г
,id，c@ = §aSdE
Г
(4.14.69)
(4.14.69)
для произвольного скаляра а типа {1, —1} на 乡.
В частности, из (4.14.69) (и комплексно-сопряженного выражения) следует, что если 6 — замкнутая поверхность, то
§&ag = 0, §6財=0(4.14.70)
(a — скаляр типа {1, —1} и a — скаляр типа {—1, 1}), откуда получаем следующие полезные формулы интегрирования по частям:、
§ %6飞力=-§ П6'%忆 § 戈6п?=-§ 祁戈夕， (4.14.71)
。5?9
где суммарный тип у н “ равен {1, —1}, ах и fj— {——1, 1}.
Об изотропной гиперповерхности
Пространственноподобные 2-поверхности играют важную роль в связи с фундаментальной теоремой внешнего исчисления в трех измерениях, а именно
(4.14.72)
где В есть 2-форма, а £ — компактная 3-поверхность с пространственноподобной границей ОЕ, В наиболее интересных при-
Рис. 4.3. Допустимый выбор поля спиновых систем отсчета на изотропной гиперповерхности 用 для формулы (4.14.72).
ложениях теоремы (4.14.72) Е есть часть изотропной гиперповерхности, т. е. 3-поверхности 片,нормали к которой есть изотропные векторы па. Мы исследуем такие гиперповерхности подробнее в т. 2 (гл. 7, § 1, 2; см. также т. 1, гл. 5, § 11 и 12). Здесь мы только отметим, что векторы, касательные к 我、образуют пространство, ортогональное вектору па, и, следовательно, сам вектор па принадлежит этому пространству. Более того, любой элемент 2-поверхности в Л9, ортогональный изотропному вектору па, должен быть обязательно пространственноподобным, если только он не содержит сам вектор * В последнем случае он будет изотропным： Ситуация, которую мы рассматриваем, изображена на рис. 4.3, где ОЕ состоит из двух замкнутых пространственноподобных 2-поверхностей 夕 и 屮：
0e =g一?. (4.14.73)
Мы выбираем спиновую систему отсчета (о4, И) или, точнее, класс эквивалентности (оА, d) ~(МИ, Lv*) так, чтобы флагшток спинора И был направлен по нормали к Л9 (и, следовательно, был касательным к Л®), что неявно подразумевалось при выборе буквы «п» для обозначения этой нормали. Также считаем, Что касательное пространства к夕 н 9v на ОЕ натянуты на векторы /и。 и 沂°; выбор /и°, та ——плоскостей во внутренней части поверхности £ — произволен, если не считать требования, чтобы они образовывали гладкое семейство (касательное к 片), удовлетворяющее условию гладкого сшивания с заданным вы-
бором плоскостей на граничных поверхностях夕 и ?'・ Для этого достаточно потребовать, чтобы плоскости были касательными к семейству пространственноподобных 2-поверхностей на 片，которое гладко интерполирует между 夕 и ?'• Однако допустим более общий случай, когда внутренние элементы площади 69 локально не «интегрируются> в 2-поверхность (т. е. не образуют расслоение).
Разумеется, мы могли также выбрать флагшток спинора о" (а не 1Л) направленным по нормали (т. е. касательным) к ”・ Наш выбор связан с обозначениями, используемыми далее (гл. 5, § 12; гл. 9, § 10). Применяя операцию «штрих> к формулам (4.14.74) — (4.14.94), выводимым ниже, мы получим формулы, соответствующие такому выбору. Однако следует помнить, что это повлечет за собой изменение некоторых знаков, поскольку ориентации поверхностей 9 口 ？' будут обращены [формула (4.14.73)]./
Для наших целей важны коммутаторы, включающие б, 6’ и /, которые проводят к операторам, действующим в касательном направлении к 片.Таким образом, мы имеем соотношение (4.14.1), а также соотношение [формула (4.12.34)]
р'6 —坤'=р'6 + 才力一тр‘ 一文'》+ р (и/ — р'т + Ф12) +
+ q (0我一тУ + 可J(4.14.74)
и комплексно-сопряженное соотношение. Отметим, что отсюда не следует равенство р=0 (поскольку это есть условие того, что элементарные площадки 6? интегрируются в 2-поверхности), хотя по-прежнему справедливо равенство
рх = 0-(4.14.75)
так как коэффициент при р в соотношении (4.14.1) обращается в нуль. По тем же причинам (4.14.74) дает
/ = 0;(4.14.76)
это означает (как мы увидим в гл. 7, § 1), что интегральные кривые поля па — геодезические. Эти интегральные кривые мы будем называть образующими поверхности N、
Существенные компоненты величины 0 в формуле (4.14.72) таковы:
роки7» Вину，$Р = В(н”・(4.14.77)
В то же время любая 3-форма
Y = YabcdY A d/ A dx° == Y，M(4.14.78)
(丫。乩=Yiabc])，ограниченная на 4, имеет единственную существенную компоненту
*§Г := YoKKHir»(4.14.79)
Уравнение
V==d₽,(4.14.80)
ограниченное на ”，после простых преобразований принимает вид
Зуогкну = (6 — 6 Ртг — (6‘ 一 т) роиг + (Р‘ — 2р‘) pony (4.14.81)
Отметим также, что уравнение
₽ = da,(4.14.82)
ограниченное на ”, является обобщением равенства (4.14.57) и содержит компоненту air 1-формы a
2рои(и = баи — 6zaor + (р 一 р) ащ
2pioqy = о'а(л，一 (，一 р') ctio? + (力—т) а”，，(4.14.83)
2Poi 力，=G'ctia — (F — p‘) ctoy + (6 — т) air
[как нетрудно убедиться, выражение (4.14.81) дает нуль при подстановке в него выражений (4.14.83), в соответствии с тож^ деством d2 = 0].
Специализация фундаментальной теоремы внешнего исчисления для случая, представленного на рис. 4.3, получается подстановкой (4.14.81) и (4.14.83) в (4.14.72). Но более простое и более удобное выражение получается отделением самодуальной и антисамодуальной частей величины 0 [формула (3.4.17)]:
В =： 0/2也 +〃/q, Piabj = O, Р[а^/] = 0, (4.14.84)
и введением следующих величин:
На *= 2{рлвьв,麻：=—2审*8儿“・(4.14.85)
Переход к 园 н 口独 не приводит к потере существенной информации, поскольку произвол в выборе 悶廿 и “в，(при заданных 卩力 и 口") состоит в добавлении величин, пропорциональных tAiB и 1а4в5 соответственно, что отвечает добавлению к В слагаемых, равных нулю на 4・ Фактически мы имеем в(m仲=$(同+ 丽)，pю4т =^"因, Bos，= %口г，(4.14.86)
а потому выражение (4.14.81) дает с учетом (4.14.79)
丫 = (У — 2р!(网 + 诃)—(6 — т)固—(力—т) М・(4.14.87)
В приложениях формулы (4.14.72) нам понадобится интерпретировать интегралы по 3-поверхности с использованием введенных величин. Для этого рассмотрим гладкую параметризацию каждой образующей поверхности 4 с помощью параметра и, согласованного с выбором п" так, что выполняется соотнот шение
n^au = U (#=0). (4.14.88)
“ ：i m Д m А 1 — U^^ A du.Из (4.14.79) следует, что，Y = , Yu一歹 A d"= , Y".“ ：i m Д m А 1 — U^^ A du.Из (4.14.79) следует, что，Y = , Yu一歹 A d"= , Y".В конкретных представлениях изотропной тетрады можно положить U = 1, но здесь мы примем, что U есть скаляр типа {—1, —1}. Из (4.14.88) следует, что d〃(三V“〃)отличается от U1 слагаемыми, пропорциональными шит. Поэтому для изотропного элемента «объема> поверхности 4 мы получаем 3-форму типа {1, 1}:
“ ：i m Д m А 1 — U^^ A du.
Из (4.14.79) следует, что
，Y = , Yu一歹 A d"= , Y".
“ ：i m Д m А 1 — U^^ A du.
Из (4.14.79) следует, что
，Y = , Yu一歹 A d"= , Y".
(4.14.89)
2222(4.14.90)
22
22
Если мы теперь подставим (4.14.80) и (4.14.66) ^4.14.72) и (4Д4.73), то получимЕсли мы теперь подставим (4.14.80) и (4.14.66) ^4.14.72) и (4Д4.73), то получимв (4.14.90),
Если мы теперь подставим (4.14.80) и (4.14.66) ^4.14.72) и (4Д4.73), то получим
Если мы теперь подставим (4.14.80) и (4.14.66) ^4.14.72) и (4Д4.73), то получим
(4.14.91)
\ ｛（'一2p‘）阳一（6 一 T）因｝ 4 = §同?一§同0\ ｛（'一2p‘）阳一（6 一 T）因｝ 4 = §同?一§同0где у —та же величина, что и в (4.14.87) (величина типа {—1,—1}), а величины 卩 выбраны как в (4.14.86). Можно разделить это выражение на два — одно для рц, а другое для 口人，； если 0 ——действительная величина, то они будут комплексно сопряжены. Записывая ^-уравнение, мы получаем е использованием {0,0}-скаляра р« и {—2,0}-скаляра 卩i
\ ｛（'一2p‘）阳一（6 一 T）因｝ 4 = §同?一§同0
\ ｛（'一2p‘）阳一（6 一 T）因｝ 4 = §同?一§同0
(4.14.92)
и соответствующее комплексно-сопряженное соотношение для 玩 Отметим, что если, в частности,
0/ — 2р) Ио = (6 — т)固，(4Л4.93)
то мы имеем《закон сохранения>
§ 1109s=§№ 夕.(4.14.94)
Эти соотношения будут весьма важны для нас далее (гл. 5, § 12; гл. 9* § 9).
Сферические гармоники со спиновым весом
В качестве важного приложения изложенной теории 2-поверхностей рассмотрим случай, когда поверхность 夕 есть обычная 2-сфера в пространстве Минковского М- Покажем, как на основе полученных результатов строится теория сферических гармоник со спиновым весом. В дальнейшем будем полагать, что (оА, И) — нормированный спинорный базис [формула (4.14.5)]. Пусть точка 0еМ будет центром сферы 例 а Та — направленный в будущее времениподобный единичный вектор (постоянный в М), который ортогонален йространственноподоб- ной 3-плоскости, содержащей 2-сферу 夕.Пусть Q 二точка общего положения в 夕，а ха — компоненты вектора OQ, направленного в эту точку. Представим 夕 как пересечение светового конуса будущего 2 (вершина L) со световым конусом прошлого Л9 (вершина N), рис. 4.4. Поскольку элемент 6夕 в Q ортогонален образующим световых конусов 交 н ”，наш спинорный базис определяется выражениями
(LQ)a = w/a,(诚)а = 〃п。，(4.15.1)
где о — величина типа {——1, ——1}, а « — величина типа {1, 1}. Считая радиус сферы равным R, получаем из равенства
诡=而+厢=近+质 соотношения
(4.15.2)(4.15.2)ха = RTa — ипа = —RT" + vla =
(4.15.2)
(4.15.2)
=RT —〃I I = —R7 + ио о ,
так как времениподобные расстояния LO и ON оба должны быть равны радиусу R. Из равенства (4.15.2) имеем
unavla = (RT“ 一 xa)(RTa + %)=露 + 戸， откуда
〃u = 2R2.(4.15.3)
Поскольку xaTa ：
=0, свертка равенства R
(4.15.2) с Та дает
R
(4.15.4)
丁力4儿1T儿
"0*'
а свертка его с
S以，дае?
丁力力 Од1лл = 0.
■ (4.15.5)
Следовательно^
о =—耳 Т м
(4.15.6)
Рис. 4.4. Обычная сфера 俨 в пространстве Минковского может быть представлена в виде пересечения двух световых конусов 纟 н Л®. [Геометрия для формулы (4.15.2).]
и аналогично
(4.15.7)
Использование о4 как ^координат» на 歹
Рассмотрим теперь величину типа {0, 0} на 9, обозначенную через Tq (где 0 — «собирательный» индекс). Можно принять новую точку зрения и считать fa функцией!) комплексносопряженных спиноров о и о (рассматриваемых как вспомогательные «координаты» на 歹)・ Используя цепное правило, получаем из формул (4.15.2), (4.15.4), (4.15.7) и (2.5.54) для операторов, действующих на fa» выражение
д дх d _ d (сю%"') с 萨=力£= 加厂v尸
=(-%以С0%"0" + иедвОВ )?ь =
=и («-до5 + елв) Vbo^ = uoxVi(r.(4.15.8)
Это согласуется с общепринятыми обозначениями： f (J) — голоморфная функция комплексной перемерной Е, a f (亭 Е) —общая функция переменной g, т. е. функция от ReR) и Itn(g).
'[Смысл частных производных по абстрактным индексам здесь очевиден (см. с. 188): при необходимости всегда можно отнести компоненты к постоянной спиновой системе отсчета (6± t4)— такая система отсчета будет рассмотрена в конце данного параграфа—и вернуться к обозначениям с абстрактными индексами.]
Если же % есть величина типа {р, «}* где р м g — неположительные целые числа, то
есть величина типа {0, 0} и к ней применима формула (4.15.8). Записывая Уо в (4.15.8) как 6’ н используя (4.12.28), получаем
о •・• о о о — ро .. • о еА о •・• о 打=
=ио"……^^^Iq + uppc/“ ・♦ • </屮。"’…Jo^fq ++ издо"…0"严…0"产%4%.
Подставляя 8д° = oxi° — ио6 [формула (2.5.54)] в это соотношение, находим из него
р = —и' 0 = 0.(4.15.9)
Следовательно, при действии на fq этот оператор сводится к
виду
-^- = v°a^ — Р'-а-(4.15.10)
Требуя, чтобы для 6’ выполнялось правило Лейбница, легко получаем, что соотношение (4.15.10) применимо к любой величине типа {р, q} на В, где р, q — произвольные целые или даже дробные числа. (В отсутствие специальных оговорок будем считать р и q целыми или полуцелыми.) Выражение, комплексносопряженное с выражением (4.16.10), имеет вид
= voa^ — pi”. (4.15.11)
Любая величина типа {р,,} на 9 может быть представлена либо как функция спиноров о', о , либо как функция спиноров 1Л> 1Л> причем связь между двумя представлениями получается из (4.15.6), (4.15.7) и (4.15.4). Повторяя предыдущие рассуждения с заменой о , о на t , i , получаем
p'hQL </=0,p'hQL </=0,(4.15.12)(4.15.13)(4.15.12)(4.15.13)
p'hQL </=0,
p'hQL </=0,
(4.15.12)
(4.15.13)
(4.15.12)
(4.15.13)
Мы можем убедиться в справедливости этих соотношений с помощью (4.14.20) и (4.14.21). Замечая, что слагаемые 4f2,①“ Л, входящие в кривизну 4-пространства, равны нулю, получаем
K = -pp' = 〃Tt>T = 4"R-2 (4.15.14)
[с учетом формулы (4.15.3)]; следовательно, гауссова кривизна К + Я поверхности О равна Rf как это и должно быть в случае обычной сферы радиусом R.
Каждое из соотношений (4.15.10), (4.15.11) и (4.15.13) может быть записано в компонентах, что дает
I新=一T0中=无？°4武=k？1"中'
(4.15/5)
(4.15.16)
ONF—LB ° XL—-'對・(4.15.17)
В частности, отметим, что операторы, входящие в (4.15.17), есть эйлеровы однородные операторы. Таким образом, имеем:
Если fq — величина типа {р, д}, то она будет однородной функцией переменных оЛ, о" соответственно степени р it q, а также однородной функцией переменных И и I” соответственно степени —р и —д・
(4.15.18)
Конформные движения поверхности 歹
Существует замечательный способ реинтерпретации величин типа {р, q}, рассматриваемых как функции на ?• Поскольку спинор ол можно представить как (отмеченный) изотропный флаг в точке L, то f^ эффективно является функцией этого изотропного флага. Флагшток (а . именно вектор /“) определяет точку на конусе 2. Если мыслить 厉 как функцию спиноров о", о'> то достаточно рассматривать только конус В и полностью игнорировать Л3, Вместо обычной сферы мы имеем абстрактную сферу, рассматриваемую как пространство образующих конуса 名 Напомним, что такай подход к сфере Римана был принят в гл. 1, § 2. Он целесдо^разен и при изучении конформных преобразований поверхности. St Если в ” рассматриваются активные преобразования Лоренца, оставляющие точку
^
Рис. 4.5. Конформное преобразование метрики на 歹 возникает в результате переноса 9 вдоль образующих конуса 纟(или Л°) к сеченню 夕.
L неподвижной, то на сфере индуцируются конформные преобразования. Если преобразование Лоренца сводится к вращению, то вершина ^ конуса 彳 остается неподвижной; но в общем случае это не так. Конус 2 (но не Л°) отображается на себя, поэтому 9 как пространство образующих конуса 2 тоже отображается на себя. Следовательно, преобразования Лоренца, оставляющие вершину L неподвижной, индуцируют конформные отображения поверхности g на себя.
В соответствии с этой точкой зрения величина
w=-L(p + q) (4.15.19)
есть конформный вес функции f (для простоты мы предполагаем, что f — взвешенный скаляр). Напомним, что в гл. 1, § 4, рис. 1.11, с. 59) мы ввели различные метрики на абстрактной конформной сфере, каждая из которых соответствует заданной конформной структуре и получается выбором различных сечений 3 конуса Е (рис. 4.5). Если 歹 лежит в пространственноподобной гиперплоскости, то возникает стандартная метрика на сфере, а в остальных случаях мы имеем более общую метрику. Рассмотрим определенную образующую конуса 纟 и предположим, что сечение 炉 пересекает ее в точке, положение которой определяется вектором Q", исходящим из вершины L. Сдвинем 夕 так, чтобы этот вектор принял вид 论Q° (ft > 0). Индуцированный метрический тензор в таком сечении подвергнется масштабному преобразованию с множителем 央 на этой образую-
щей, т. е. линейный размер возрастет пропорционально k. Спинор оА приобретет множитель 炉父，так что если функция f (o'， о4) имеет показатели однородности р и ^, то она приобретает множитель Л(1/2) t₽+4). Это оправдывает терминологию, принятую для (4.15.19) (ср. гл. 5, § 6). Отметим, что конформный вес w и спиновый вес s = (1/2) (р — q) [см. текст после формулы (4.12.10)] совместно определяют тип {р, «} (и наоборот):
p = w-^ sf q = w — s; s = ~(p — q)9 w = -^-(p + q)>
(4.15.20)
В то же время если рассматривать f как функцию спиноров *Д 1Л > то 9 имеет смысл пространства образующих конуса Л9 и конформные движения на 夕 индуцируются преобразованиями Лоренца, оставляющими неподвижной точку ^ (при этом ” переходит в себя). Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, мы получим, что конформный вес функции f равен
ш7 |"(Р + 9)・(4.15.21)
Следовательно, мы имеем
р = —М 十 s, g == —и/ — s.(4.15.22)
Чтобы понять, как это согласуется с (4.15.19) и (4.15.20), заметим, что метрика на абстрактной конформной сфере теперь дается сечением 歹 конуса Л9, а соответствие между образующими конусов 2 н 斤，которое возникает при перемещении точки Q вдоль 夕,содержит антиподальное отображение. (См. рис. 4.5; образующим конуса 纟 можно сопоставить образующие конуса Л9 с помощью трансляции на М переводящей L в М) Таким образом, преобразования Лоренца, действующие на М (из соображений симметрии выберем их так, чтобы точка О оставалась неподвижной), индуцируют различные отображения на абстрактной сфере в зависимости от того, рассматривается ли она как пространство образующих конуса 4 или конуса 2. Различие возникает из-за того, что эти два представления связаны антиподальным отображением. (Хотя конусы В и 4 изменяются при таком отображении, абстрактные пространства направлений и образующих отображаются каждое на себя.)
Отметим, что понятие конформного веса существенно отличается от обсуждавшихся здесь весов р н д; подробнее об этом говорится в гл. 5, § 6. Однако в данном параграфе мы будем использовать величины s н 5 как характеристику, альтернативную понятию типа, и говорить о величине типа {р, «} как о величине типа [s, ш]. При этом подразумевается, что в качестве
переменных выбраны спиноры о, так что
{"，ч} — \^-(Р — Я\ 4"S + q)] =【s，w] = {w + st w — si- (4.15.23)
Вернемся к соотношениям (4.15.15) и (4.15.16) для 6 и б'・ Отметим, что последняя строчка каждого из этих соотношений содержит только о . о Iтолько I , I J. Используя эти выражения, мы можем оставаться в рамках описания на основе спиноров о , о [или I , I J и считать операторы определенными в пространстве образующих конуса В [или 斤].Операторы 6 и % вообще говоря, не являются конформио-иивариантными на 9, поскольку явно содержат вектор Т",
Однако оказывается, что для каждого данного спинового веса s существует конформный вес 叫 определяющий степень оператора 6 или 6’ так, что эти степени оказываются конформными инвариантами [52, 133]. Мы используем описание на основе спиноров о , ол и предполагаем, что f имеет тип {р, д}, где р > 0. Тогда
矗…备『.(4・15・24)
есть величина типа {0, q), а потому действие на иее эйлерова однородного оператора о^д/доА дает нуль [формула (4.15.17)]:
Поскольку выражение {•・.} симметрично по АВ …D, из (3.5.27) следует, что
■^д "^в" • • • dQD『=°幺8 • • • gdS(4・15.25)
p+i
для некоторого скаляра g и, очевидно, g есть величина типа {—р ——2, g}. Выполняя повторно свертку последнего равенства с R^TaoA^ (и замечая, что эта величина коммутирует с d/doE)t мы получаем с учетом формул (4.15.16) и (4.15.17)
dP+'f^v-P-'g,(4.15.26)
Первоначально эта формула [или (4.15.30)] появилась без и [133]; введение этого множителя дает возможность непосредственно использовать модифицированный формализм. (Если нормировать од так, что и = 1, то 夕= 9.)
Здесь имеет смысл привести ряд различных элементарных соотношений между величинами, определенными выше. Они пря-
мо следуют из формул (4.12.28), (4.15.9), (4.15.4), (4.15.6) и (4.15.7):
6о‘= 0, 6o" = uf, di" = — 〃То", 6伍'=0, (4.15.27) 6'o4 = uTi4 б'о* = 0,力0 = 0,力I*'= 〃т()4'
du == 0, do — 0, 6u = 0» 6'q = 0;(4.15.28)
еще одно соотношение следует из формулы (4.14.1):
(6力一力① f = 一 sR飞(4.15.29)
где f — произвольный {р, ^}-скаляр и s = (1/2) (р — q).
В силу четвертого из равенств (4.15.28) мы можем переписать (4.15.26) в виде
g =(用产厅.(4.15.30)
Отметим, что в (4.15.25) не входят величины iAix，и Га. Следовательно, соотношение между f (тип {р, ^}) и g (тип {—р—q—2, g}) в виде (4.15.30) лоренц-инвариантно. Частным случаем равенства (4.15.26) является лоренц-инвариантное уравнение 十p+if = O и аналогично 己什厅二。[ср. с формулой (4.15.32) ниже].
Поскольку ограниченные лоренцевы преобразования» оставляющие неподвижной точку L, могут быть отождествлены с конформными движениями поверхности В, сохраняющими ориентацию, это свойство инвариантности можно интерпретировать как конформную инвариантность операции, введенной в (4Д5.30), Но это не та общая локальная конформная инвариантность, которую мы будем подробно рассматривать в гл. 5, § 6. Если допустить произвольные масштабные преобразования метрики, отвечающие здесь переходу от ? к произвольному сечению 方 конуса Е, то индуцированная метрика такого сечения не обязательно совпадает с внутренней метрикой сферы. При этом соотношение (4.15.30), вообще говоря, не выполняется (если не считать случая р = 0), поскольку оператор d‘ определен на основе внутренних величин на 6 (т. е. оп|)еделен по отношению к вектору п", локально ортогональному к 行).Формула (4Л5.30) остается справедливой для специального случая, когда 方 есть метрическая сфера. Эта ситуация реализуется, если 夕 есть пересечение Z с пространственноподобной гиперплоскостью (см. рис; 1.11). В этом случае путем преобразований Лоренца можно повернуть нормаль к гиперплоскости в направлении вектора Taf а затем свойство инвариантности доказывается так же, как это сделано выше.
Предположим теперь, что д№ (р произвольно). Рассуждая так же, как и ранее, в комплексно-сопряженном случае, можно показать, что существует {р,——^―2}-скаляр 九，удовлетворяющий соотношениям
—* • • • —% / =。幺0方 й,(4.15.31)
/г(и6严匕(4.15.32)
Если р》0 и g №, то можно применить формулу (4.15.30) к Л, что дает
j = 9夕产力(4.15.33}
для некоторого скаляра j типа {—р — 2, —q — 2}. Точно так же можно применить формулу (4.15.32) к g н получить для того 宛е скаляра j выражение
j = (u6)q+】g.(4.15.34>
Этот результат немедленно следует из формул (4.15.25) и (4.15.31), если учесть коммутативность операторов 5/5ол и d/doA\ Таким образом, получаем
戸&Р+1 =仪+守+立(4.15.35>
[Этот же результат можно получить прямо из соотношения (4.15.29), но вычисления при этом оказываются более громозд* кими.] В действительности, поскольку умцржение на подходящую степень величины и переводит тип / из {р + 6, ? + ^} » {р, д}, в соотношении (4.15.35) существенно только значение разности р — q. Поэтому можно получить гораздо более общее соотношение [133]
^6fbt = ^f(4.15.36)
для любых а и Ь, таких, что b — a = 2s, где s — спиновый вес функции f.
Можно повторить рассуждения, приводящие к (4.15.26) и т. д., используя описание с помощью величины 1Л, i"'・ Если F —величина типа {р, д}, то при р & 0 находим.
-р+1
G = (〃d)i+”，(4.15.38>
12 Зак. 1142
где О — величина типа {—р — 2, g}. Точно так же, если д《0, находим•
言…謂■戸= 14,…ip ",(4.15.39)
*}力=("夕)7+1尸,，■(4.15.40)
где , Н — величина типа {р, —q — 2}. Легко показать, что эти результаты в точности совпадают с полученными ранее. Для этого достаточно выразить р и ^ через спиновый вес s и конформный бес ш/пользуясь формулами (4.15.20). Мы видим, что в формулу (4.15.32) входит оператор 己加一叶* действующий на величину ：со спиновым весом s и конформным весом ш》一& а из (4J5.22) мы находим, что в формулу (4.15.38) входит оператор 6酬一$+1, действующей на величину со спиновым весом s и конформным весом wf ^ —s. Появление и в (4.15.38) вместо и в (4.15.32) связано с различным действием масштабных преобразований, индуцированных -преобразованиями Лоренца в этих двух случаях, как это отмечалось выше, а также тем, что w заменяется на -wz. Соответствие между (4.15,30) и (4.15.40) устанавливается вполне аналогично. *…~
Особый интерес для нас будут представлять однородные полиномы (мы снова возвращаемся к описанию на основе спиноров ол,..о^).
f = 3 …и〃р" •・・ о^о^ 。叫 (4.15.41)
где f - есть константа, которую без ограничения общности можно считать симметричной. Иногда мы будем использовать в М обозначение S建 для подсистемы Элементов ®л [векторное пространство над С = S =91; см. замечания после формулы (4.1.2)}, которые постоянны на всем пространствеМ. Принимая также скобочные обозначения, введенные в формуле (3.3.14), можно записать условие на f…в виде •. . ;
力……夕м $(А…Q) GEJ•产卜 (4.15.42)
Очевидно, что f имеет тип {р, д}, т. е. [& w] = [(l/2) (р — g), (Т/2)： (/? + «)]• При ограниченных преобразованиях Лоренца, оставляющих неподвижной точку L (т. е. таких, какие и должны быть при конформных движениях поверхности В), эти полиномы преобразуются по (р + 1X(? 4- 1)-мерному комплексному пред-
ставлению. Такие представления реализуются в пространстве симметричных «неприводимых» спиноров (гл. 3, § 5).» играющих теперь новую роль!)-
Вращения поверхности 夕
Рассмотрим теперь специальный тип преобразований ——вращения, оставляющие точки L, ^ и направление Та неподвижными. Пусть 广 имеет вид (4.15.41); мы находим, что (Р+ 1)(9+ 1)-мерное пространство распадается на прямую сумму пространств, каждое из которых переходит в себя при вращениях. Размерности этих, пространств таковы:'
I р — qj + 1,丨 Р — g 丨 + 3, I I + 5,…
■ * *) " + g — 1 > p + q+ L(4.15.43}
Это можно показать следующим образом. Выразим о"' через И, пользуясь выражением, комплексно-сопряженным выражению (4.15.6),
0* =夫?汽4,(4.15.4g
и подставим это в (4.15.21). Поскольку Та [а значит, и “； формула (4.15.4)} есть инвариант вращений, это ——инвариантная процедура. Удерживая явную зависимость от и, чтобы сохранить инвариантность относительно масштабных преобразований спиновой системы отсчета, мы получаем выражение вида
f = 12”а …DE …日(И …OD1£ ... Iя, (4.15.45) где
出…z)e…н WS(4…D)(£...Н)-(4.15.46)
、一 V—/ ч—V—^
Величина /л... я не полностью симметрична. Следуя процедуре гл. 3, § 3, ее можно разложить на вполне симметричные части с различным числом индексов:
Ца... de Н)» /л(в ... d^f...切，Iab(c...dBo …切 (4.15.47} и т. д. до тех пор, пока одна из первоначальных групп индексов не будет исчерпана. Мы получаем симметричные нештрихован*
Фактически общая теория представлений группы Лоренца может быть сформулирована с использованием скалярных функций / типа {р, g} =» —[s, да], где 2s = р — q есть целое число, а 您一произвольное комплексное. Конечномерные неприводимые представления возникают, если f — полином вида (4.15.41). Унитарные представления (обязательно бесконечномерные) возникают, если 酬 + I есть чисто мнимая величина или если s = 0 » —2《5《0 [26, 120]. (См. также примечание на стр. 362).
ные спиноры, имеющие р + ?, р +Я — 2“ + g — 4, ...» \р — q\ индексов и, соответственно, р + ^ + 1, р + g — 1, p+g — 3, ...,|р — g|+l независимых компонент. Вводя для различных вполне симметричных спиноров в (4.15.47) обозначения
оt2
以…DE…Н, /в…D尸…Н, fc…QG…Н И Т. Д.,
соответственно, находим» что спинор 以…М…"(для удобства вторая группа индексов записана вверху) может быть представлен в виде линейной комбинации величин
；4.../…"，£%../…R е(汽b%..d)°…”'нт. д. (4.15.48)
Подставляя это в (4.15.45), мы комбинации слагаемыхПодставляя это в (4.15.45), мы комбинации слагаемыхполучаем f в виде линейнойполучаем f в виде линейной
Подставляя это в (4.15.45), мы комбинации слагаемых
Подставляя это в (4.15.45), мы комбинации слагаемых
получаем f в виде линейной
получаем f в виде линейной
о оf = 〃汽4 …DE ... ЯО4 ・・• O”E .・・ l",f = u<?/b„.df...hob …0%尸・・・ Iя, 22f = «^C... D" ...ffOC ...屮0 •…科 и T・瓦о оf = 〃汽4 …DE ... ЯО4 ・・• O”E .・・ l",f = u<?/b„.df...hob …0%尸・・・ Iя, 22f = «^C... D" ...ffOC ...屮0 •…科 и T・瓦(4.15,49)(4.15,49)Слагаемые, содержащие e, равны нулю, поскольку ^。人科：^. Фактически оказывается, чтоСлагаемые, содержащие e, равны нулю, поскольку ^。人科：^. Фактически оказывается, чтоI pq / 丄 р(р — 1) q (g — D j T S + g) / 十 2 (p + g二»(p + g — 2〃(“一g| + i) mIn—(1 + max (p, q))/ 一min (p, q,гу (p + g — 2r+ l)!p!g!f乙 Ip — Г)!普一г)! r! (p + g — Г + 1)1г»0I pq / 丄 р(р — 1) q (g — D j T S + g) / 十 2 (p + g二»(p + g — 2〃(“一g| + i) mIn—(1 + max (p, q))/ 一min (p, q,гу (p + g — 2r+ l)!p!g!f乙 Ip — Г)!普一г)! r! (p + g — Г + 1)1г»0
о о
f = 〃汽4 …DE ... ЯО4 ・・• O”E .・・ l",
f = u<?/b„.df...hob …0%尸・・・ Iя, 22
f = «^C... D" ...ffOC ...屮0 •…科 и T・瓦
о о
f = 〃汽4 …DE ... ЯО4 ・・• O”E .・・ l",
f = u<?/b„.df...hob …0%尸・・・ Iя, 22
f = «^C... D" ...ffOC ...屮0 •…科 и T・瓦
(4.15,49)
(4.15,49)
Слагаемые, содержащие e, равны нулю, поскольку ^。人科：^. Фактически оказывается, что
Слагаемые, содержащие e, равны нулю, поскольку ^。人科：^. Фактически оказывается, что
I pq / 丄 р(р — 1) q (g — D j T S + g) / 十 2 (p + g二»(p + g — 2〃
(“一g| + i) mIn—
(1 + max (p, q))/ 一
min (p, q,г
у (p + g — 2r+ l)!p!g!f
乙 Ip — Г)!普一г)! r! (p + g — Г + 1)1
г»0
I pq / 丄 р(р — 1) q (g — D j T S + g) / 十 2 (p + g二»(p + g — 2〃
(“一g| + i) mIn—
(1 + max (p, q))/ 一
min (p, q,г
у (p + g — 2r+ l)!p!g!f
乙 Ip — Г)!普一г)! r! (p + g — Г + 1)1
г»0
min (a g=2 r=Qmin (a g=2 r=QОС)/p + g-「+1) *ОС)/p + g-「+1) *(4.15.50)(4.15.50)
min (a g
=2 r=Q
min (a g
=2 r=Q
ОС)/
p + g-「+1) *
ОС)/
p + g-「+1) *
(4.15.50)
(4.15.50)
При желании коэффициенты f в формуле (4.15.49) можно переписать в первоначальном виде (4.15.41) (т. е. используя спиноры ол. о" на основании формулы (4.15.7). Они образуют части функции f, неприводимые относительно вращений, как это указывалось ранее. Онн также служат базисом инвариантных подпространств функций со спиновым весом на 夕，имеющих, соответственно, размерности р + «+1, р + «—1, p + g —3,..・ ♦ I"——夕1+1> как утверждалось в формуле (4.15.43).
Чтобы определить, к какому из подпространств принадлежит заданная функция этого вида, скажем
h = *h.A …de …н№ ... о%" ... Iя, (4.15.51)
нам требуется установить свойство, определяющее возможные представления функции (4.15.51), в которых величина йд...я вполне симметрична:
Па…de…н wS(4…я)・(4.15.52)
Пусть число индексов величины Ад ...я равно 2/, где / ——целое или полуцелое, так что мы имеем в выражении (4.15.51) j + s индексов A t.. D и j — s индексов Е ... Н. Отметим, что j — целое в том и только том случае, если s — целое, и что
0<|s|</.
Теперь рассмотрим действие оператора 6 на (4.15.51). Из (4.15.27) и (4.15.28) получаем
6力=—(/ — s) Uq~XhA ... def ... hoa ••・ oDo£ iF ... iH. (4.15.53)
/+$+1 i-s-i
Действуя оператором & на это выражение, с учетом формул (4.15.27), (4.15.28) и (4.15.3) находим
efdh = - (/ + s + 1) (/ - s) У Л-2А.(4.15.54)
Таким образом, h — собственная функция оператора 6'6, отвечающая собственному значению
一 0 十 S + 1) (j — s) *R-2 = [s(S + 1)—川 + l)]；R-2.(4 15 55)
Из соотношения (4.15.29) следует, что й является также собственной функцией оператора
^h = -(j-s+ l)(i+s)-jR~2h,(4.15.56)
отвечающей собственному значению
-(/-«+ D(/ + s)7^-2 = [s(s-1)-/(/+ 1)]|/?-2- (4.15.57)
Эти собственные значения позволяют определить и s и /, поскольку s непосредственно вычисляется из коммутатора (4.15.29), а /(/ + 1) определяется из (4.15.55), что позволяет найти /, ибо / ^ 0, При каждом заданном значении спинового веса s мы называем собственные функции (4.15.49) оператора 6'6 спиновыми сферическими гармониками 】).Мы рассматри-
В литературе [79, 124] этот термин обычно используют для функций, получающихся после дальнейшей редукции по отношению к специально выбранному базису в V [ср. с формулой (4.15.93)].
вали только полиномиальные выражения вида (4.15.41). Можно показать, что любая (непрерывная) спиновая функция на 犷 может быть представлена в виде (бесконечной) суммы таких полиномов, так что спиновые сферические гармоники, определенные здесь, образуют в действительности полную систему. (Случай s = 6 рассмотрен в работе [36] ； полнота при s #= О может быть доказана из условия полноты при s = 0.)
Уравнения, линейные по d
Из выражения (4.15.53) мы видим, что если 儿一произвольная спиновая сферическая гармоника, у которой / = s, то бй = =0, Справедливо также обратное:
Предложение
Если f —— произвольная гладкая {р, д}-функция на 9, mo 6f = 0 [или 6» = 0] на всей поверхности 9 в том и только том случае, когда f — спиновая сферическая гармоника с / = s [или / = — s] (s = (l/2)(p — g))・(4.15.58>
Доказательство. Если считать полноту полиномиальных гармоник установленной, то доказательство следует прямо из (4.15.54). Мы приведем другое доказательство, использующее результаты из комплексного анализа, и покажем, что решения уравнения % = 0 должны быть полиномами указанного вида. Рассмотрим функцию % = 〃-% для которой д = 0. В силу соотношений (4.15.17) мы имеем од/ dfQ/doA，= 0. Предположим, что 可=0. Тогда в силу равенств (4Д5.15) мы имеем также M'dfo/do" = 0* а значит, dfQ/doA，= 0. Следовательно, fo есть голоморфная функция переменной ол. Она также является однородной, степени 2§ (=р) и определена на всей поверхности В. Но однородная голоморфная функция, определенная на всем пространстве С?» есть полином [81]. Отсюда следует, что fo — полином и, следовательно, / имеет требуемый вид
f — d. . О0..
Аналогичные рассуждения проводятся для уравнения df = 0 с учетом комплексного сопряжения.
В качестве следствия предложения (4.15.58) (так как не существует спиновых сферических гармоник при / < 0) получаем Предложение
Если функция f, определенная на ?, имеет отрицательный [положительный] спиновый вес, то из равенства 6f = 0 [или d'f = 0] следует равенство f = 0.(4.15.59)
гармоник оказываетсягармоник оказывается(4.15.60)(4.15.60)二： При. изучении спиновых сферических полезной следующая таблица:
гармоник оказывается
гармоник оказывается
(4.15.60)
(4.15.60)
*011*0111
*0
1
1
*0
1
1
33364445555333644455556622
3336
444
5555
3336
444
5555
6
6
6666
S =…-2 -1 о. 4 1 4" 2 4
Числа в этой треугольной таблице (которая продолжается вниз неограниченно) представляют собой комплексные размерности различных пространств спиновых сферических гармоник [формула (4.15.43) и далее]. Каждое из этих пространств характеризуется значениями s й /, указанными а таблице. Отсутствие цифры означает, что размерность соответствующего пространства равна нулю. Действие оператора б эквивалентно смещению вправо по s на один шаг, а оператора 3’ ——влево. (Из изложенного., выше следует, что величина / при этом не изменяется.) Если в результате такого смещения мы выходим за границу таблицы, то это означает, что действие операторов du" дает нуль. Ответим, чт*о размерность пространства изменяется'только прй переходе,через край таблицы.
Во внутренней части таблицы операторы б й д^ обратимы, так как в силу формул (4.15.54) и (4.15:56) овд обратны" друг другу с точностью до множителя. На правом склоне треугольника оператор 6 аннигилирует одно из пространств, и то же справедливо для d‘ на левом склоне.
При пересечении левого склона слева направо с помощью оператора 3 мы переходим от пространства нулевой размерности к пространству конечной размерности, отличной -от нуля? Это отвечает ситуации, когда уравнения . ‘
6f = g」 (4.15.61)
неразрешимы. Например, если g имеет спин<жуй цес s = —1/2 и содержит слагаемое с j = 1/2, то не существует функции 厶
удовлетворяющей уравнению (4.15.61). В самом деле, пусть функция g принадлежит пространству размерности 2 и расположена в столбце s =——1/2; тогда функция f должна находиться в столбце s =——3/2 и может принадлежать только простран* ствам размерности 4, 6, ... . При действии оператора 6 на такую функцию мы не можем получить величину с / = 1/2, чтобы перейти к соответствующему двумерному пространству. Но если функция g не содержит слагаемого с / = 1 /2, то уравнение (4.15.61) разрешимо. Из таблицы (4.15.60) явствует, что это решение единственно, поскольку 6 не аннигилирует нетривиальные пространства с s = —3/2.
Ситуация изменяется, если спиновый вес равен, скажем, 3/2“ Достаточно взглянуть на таблицу (4.15.60), чтобы понять, что уравнение (4.15.61) всегда разрешимо. Теперь функция g лежит в столбце s = 3/2, соответствующие пространства имеют размерности 4, 6, ..., для всех таких чисел существуют пространства, отвечающие значению s = 1/2. Особый случай представляет собой двумерное пространство, которое аннигилируется оператором б. В этом случае уравнение (4.15.61) интегрируется неоднозначно, и благодаря этому произволу мы в точности получаем двумерное пространство с / = 1/2.
Отметим также [60, 118, 121, 132], хотя в дальнейшем это не будет использоваться, что для оператора В имеется единственный обобщенный обратный оператор б+, удовлетворяющий условиям
66% =，『6承=д+,дд+ = 6『，d+d = д+д.
Действие этого оператора определено на всех пространствах в (4.15.60), кроме расположенных на левом склоне нашей таблицы; в этом случае обратный оператор равен нулю. Аналогично можно определить 6，十,и при этом получим
&十=6+
(как обычно, подразумевается, что 6十/ ：=d+f). Используя оператор 6十,общее решение уравнения (4.15.61) можно записать в виде
f=『g + (l-6%)/I,
где функция h имеет правильный спиновый вес, а в остальном произвольна. Условие разрешимости имеет вид (1 — 66十)纟=0・
Конформные свойства гармоник
Таблица (4.15.60) пригодна и для изучения конформных свойств величин типа {р, q} на 夕.Предположим, что конформный вес w =(1/2) (р + q) удовлетворяет неравенству
@》[s|,(4.15.62)
(4.15.63)(4.15.63)т. е. что допустимые значения w таковы:
(4.15.63)
(4.15.63)
丨s I，I s 1+ 1»丨s I + 2,・・・・
Мы используем описание с помощью спиноров ол, о" и считаем, что преобразования Лоренца оставляют неподвижной точку Тогда показатели однородности р, g неотрицательны и мы имеем конечномерные пространства полиномов (4.15.41), инвариантных относительно конформных движений поверхности ?. Эти пространства, как мы видели выше, распадаются на подпространства спиновых сферических гармоник, которые инвариантны относительно вращений» но при нетривиальных конформных движениях преобразуются друг через друга. Фиксируем в (4.15.60) точку (s, /), в которой j =叫 и рассмотрим множество точек в s-столбце, начиная с этой точки и выше. При конформных движениях поверхности 夕 эти пространства преобразуются друг через друга и не дают вклада в закон преобразования других пространств в том же столбце. Попутно отметим, что (единственные) степени операторов 6 и д7, при которых они становятся конформными инвариантами [а именно 6皿-$+1 и формулы (4.15.30) и (4.15.33)], в точности аннигилируют рассматриваемые пространства. Остальные пространства в s-столбце при общих конформных движениях поверхности 夕 дают вклад в закон преобразования всех пространств столбца. Специальные значения весов з, отвечающие допустимым значениям j при заданном s, выделены тем, что они характеризуют конечномерные представления ограниченной группы Лоренца, соответствующие спиновым весам s в пространстве симметричных спиноров валентности [/ J где 2s = р — q. Это пространство, естественно, связано со структурой 9.
При указанных значениях w не существует других лоренц- инвариантных подпространств в множестве [s, w] -функций на 9. Однако возможна дуальная ситуация, когда w принимает одно из значений
—丨s| — 2, —IsI — 3, —|s| —4,….(4.15.64)
Эта последовательность переходит в (4.15.63) при замене Mi> —з —2・ Можно показать, что точки таблицы (4.15.60)
изображают в точности те пространства спиновых сферических гармоник, элементы которых при действии общих конформных движений поверхности ^ не приобретают аддитивных добавок. Так, например, утверждение, что все неприводимые части функции f равны нулю [при w из набора (4.15.64)], конформно-инвариантно. Эти неприводимые части имеют вид
/ =(少6)'1侬一1^ для некоторой величины g типа .
，恤+1，5-1],(4.15.65)
или, что эквивалентно,
f =(v^)~s^w~} g для некоторой величины g типа
[—5—1, —s— 1],(4.15.66)
что явствует из таблицы (4.15.60). Как отмечалось в формуле (4.15.30) и далее, операции (4.15.65) и (4.15.66) конформноинвариантны. Отсюда следует наше утверждение, что функции такого вида преобразуются друг через друга при конформных движениях поверхности 9〔).
Отношение дуальности, о котором говорилось выше, можно рассматривать как следствие конформно-инвариантного эрмитова скалярного произведения [s, ^]-скаляров j и [s,——w — 2]- скаляров Л на поверхности В (или, что эквивалентно, [s,侬]・ и [—s,——w — 2]-скаляров, если мы предпочитаем не использовать операцию комплексного сопряжения и определить голоморфное, а не эрмитово скалярное произведение), а именно,
a,力：=嘉g右+史，(4.15.67)
где 贞 есть 2-форма площади поверхности на 0 (рис. 4.5). Выбирая эту форму в виде 9 = йп /\т [как в формуле (4.14.65)], мы имеем
夕=厂29(4.1568)
[здесь мы придерживаемся описания на основе спиноров о; при использовании спиноров t в формуле (4.15.67) мы положили бы 力=〃歹].
I) В действительности [s, wj-скаляры этого вида преобразуются по бесконечномерному неприводимому представлению, ограниченной группы Лоренца (см. примечание на стр. 355). Если вес w не связан с s одним из этих соотношений (вес w может оказаться комплексным) то .пространство [s, w]- екаляров 8 целом преобразуется по бесконечномерному неприводимому представлению ограниченной группы Лоренца [75, стр. 138, 147, 120].
Заметим, что на 0 выполняется соотношение
乡=im Д ш = itna dxa Д m& d/ =
=i^A°Afd (voxoA，) A oBiB<d (ио%®') = iM。" do"'八 os do%
откуда
炉=iox- doA，Л。8 do"(4.15.69)
(из этого представления сразу следует, что 小 не зависит от И или и)・ Поскольку при масштабных преобразованиях величина & ведет себя как величина типа [0, 2], подынтегральное выражение в формуле (4,15.67) и сам интеграл конформно-инвариантны. Конформные веса (4.15.63) и (4.15.64) дуальны в том смысле, что скалярное произведение между соответствующими функциями конформно-инвариантно.'
Предположим теперь, что функция f [отвечающая значению w из набора (4.15.64)] имеет вид (4.15.65). Тогда
体力=*强(u旷3Tg9 = *$g(一u旷3』9=〈爲g〉，
где
,在=(一诵‘广吁%；
здесь для интегрирования по частям было использовано второе равенство формулы (4.14.71). Далее, Л == 0 в том и только в том случае, если й принадлежит подпространству [s,——w ——2] -скаляров, которое аннигилируется оператором (办己')'^®-】. Оно натянуто на конечномерные пространства сферических гармоник, которые преобразуются друг через друга при конформных движениях поверхности 0, как говорилось выше. Следовательно, любой такой элемент h ортогонален функции f. Поскольку функция g в наших формулах произвольна, мы видим, что указанные функции f ——это 8 точности [s, t^] -скаляры, ортогональные всем 卜，——5 ——2J-скалярам Л. Таким образом, конформная инвариантность пространства функций f обусловлена конформной инвариантностью ft-пространстра (при 左= 0), и наоборот.
Ортогональность гармоник
Скалярное произведение (4.15.67) тоже играет важную роль, когда нас интересуют только вращения, но не конформные свойства поверхности 夕.В этом случае значения «конформных» весов h и f не существенны и мы можем вернуться к нашей первоначальной точке зрения, считая, что функции определены в той， ках поверхности 0 (а не на сечении ^) по отношению к локаль-
ной спиновой системе отсчета о* d. Полный бустовый вес подынтегрального выражения должен быть равен нулю, а спиновые веса функций fug должны быть одинаковы. Считая, что f есть величина типа {р, д}, a ft —типа {—д,—р}, мы определяем
&"〉= £$ 好乡. (4.15.70>
Выражения (4.15.70) и (4.15.67) согласуются друг с другом и оба являются частными случаями скалярного произведения
他力=费 阿(т)С/2^(4.15.7D
где h и f таковы, что произведение 历f есть величина типа {с, с} [формула (4.15.3)].
Как нетрудно убедиться, скалярное произведение (4.15.71) (при тех значениях весов, при которых оно определено) обладает следующими стандартными свойствами:
〈九，f〉=(f,九〉，
(4.15.72)
伉力 > 0, если f * 0,
(4.15.73)
〈九，v> = ^(A. f>=M о.
(4.15.74>
&, f+g〉=5, f〉+伪，g〉，.
(4.15.75}
e +財 0=<л, f) + (k,力，
(4.15.76}
&,扌〉= -&% /〉，
(4.15.77)
值6力=(6瓦/〉.
(4.15.78)
Кроме того, мы имеем следующее:
Предложение
Если f и h — спиновые сферические гармоники^ имеющие одинаковые спиновые веса s и разные значения /, то (Л, /) = 0.(4.15.79)
Доказательство. Это по существу обычное свойство собственных функций операторов. Если мы обозначим через / и j соответ* ственно значения / функций f н 也，то, используя формулы (4.15.54) и (4.15.55) дважды, а также (4.15.77) и (4.15.78), по* лучим
〈瓦 b = (s(s +1)^/(/+ 1)1 <Л-力扌〉=
2R2/Д/Л/ л e_ Is(s + 0 7 (7 + 1)1 /и 飘
=[$($+1) 7 (/ + a 9 °''力-飞(…)一〃"1)]①')
откуда <Л, f> = 0, если / #= J.
Теперь мы явно вычислим〈九，/〉для пары спиновых сферических гармоник, отвечающих одному и тому же значению /, когда й и f — спиновые гармоники типа {—% —р} и {р, д} соответственно. Можно написать
f =取力4…de…kо"…0D科…/,(4.15.80)
/+S/7
h=W-phA...DE...KoA 。°产...J(4.15.81)
f+s /-s
при /д...K，Лд...№ S(4... к” где для симметрии введена величина
步="? =詣=(寿)(4.15.82)
(Отметим, что значение W = 1 соответствует выбору стандартной нормировки, в которой Та = 2~1/2(/а + «а)*| Выполняя комплексное сопряжение в (4.15.81), используя (4.15,44) и выражение, комплексно-сопряженное выражению (4.15.7), получаем
h = W~4-Ha...de...kia ... 1%Е …(Л (4.15.83)
где
打…к = (—I)—2忌,...к，т£ …т£.(4.15.84)
С учетом этих соотношений имеем
<Й. Л = •^辞 X $ Н"...卢…"产…%к X
XI、...屮0氏・・・ох-Ол・・・od^b .・./0・(4.15.85)
Поскольку Н..г и 六“…постоянны, их можно вынести за знак интеграла, который затем вычисляется с помощью следующей леммы:
Лемма
ол0 ... ок01л Iх^ = т^трМ)(Л ・・・疚人)・(4.15.86)
Интеграл вычисляется явно с помощью формул (4.15.96) и (4.15.123), приведенных ниже. Лемму можно доказать, не вычисляя интеграл. Для этого заметим, что левая часть равенства (4.15.86) инвариантна относительно вращений сферы 0, а потому инвариантна и правая часть. Следовательно, она должна быть сконструирована из величин Тдл，с помощью спинорных операций и численных констант. Исключение штрихованных ин-
дексов в Таа! с помощью соотношения
以《严' = ^sj(4.15.87)
(Га ——единичный времениподобный вектор) приводит к тому, что Та выпадает/ а оставшееся слагаемое пропорционально правой части равенства (4.15.86). Наконец, численная константа получается после вычисления следа в левой и правой части с учетом того, что …
$0 = 4kR2,(4.15.88)
а след ел<л ... ej равен рангу матрицы &а(а ...眩代(т. е. размерности пространства S4"' L равной г + 1). Это следует из условия идемпотентности
840 …£кJ»£a/A …吹户=£幺№ ••・£«*
и того, что след идемпотентной матрицы равен ее рангу.
Подстановка (4.15.86) в (4.15.85) дает
也9=卷聆打…卅…"尸…7…k，(4.15.89)
Выписывая симметризацию явно и замечая, что симметрии величин На...к и /л...к приводят.к тому, что Н.,,а„/-° -= = 0 = f gмн, наконец, получаем искомую формулу для скалярного произведения:
=2'唠怨%■經历*…k?" • 一 7'力…k・(4-15.90)
Ортонормированный базис для спиновых функций
Свойство ортогон ал ьности можно использовать для построения полного ортонормированного базиса для спиновых скалярных функций на 乡.В литературе [79, 124] элементы этого базиса обозначают символами $Yj, m. Мы будем называть эти функции базисными спиновыми гармониками. Они, однако, зависят от (произвольного) выбора базиса ^для^ SA. Мы фиксируем постоянней спинорный базис едА = (ол, И), для которого
Г*=%(646А' +W),(4.15.91)
,Т®Р = 0,产=宕,Т®Р = 0,产=宕(4.15.92)(4.15.92)так что
,Т®Р = 0,产=宕
,Т®Р = 0,产=宕
(4.15.92)
(4.15.92)
и определяем. 一
.._ Z(j, m)A,,.FG...к = о(а • • • 6FtG ... tx)* . (4.15.93)
/—m
Тогда для каждого фиксированного j и переменного т (такого, что —/ WmWj, я /士/и принимает целые значения) величины (4.15.93), очевидно, образуют базис в 3(д... х)« Кроме того, они ортогональны (но не ортонормированы) в. том смысле, что
Z (/, mf)Af .t.KfTa …T眨(/, т)А ...к = 6加加，Z (/, mf)Af .t.KfTa …T眨(/, т)А ...к = 6加加，(/ — m)l (/ + /и)!(/ — m)l (/ + /и)!⑵)12/•(4.15.94)⑵)12/•(4.15.94)Компоненты величины (4.15.93) в первоначальном (непостоянном) спинорном базисе ад4 можно вычислить непосредственно, выписывая симметризованное выражение, чта дает величины типа {s, —s):Компоненты величины (4.15.93) в первоначальном (непостоянном) спинорном базисе ад4 можно вычислить непосредственно, выписывая симметризованное выражение, чта дает величины типа {s, —s):N/, m =犷 Z (j, /и)。о 1... 1= /+S /-s 眩7Z(j,欣卜…CD…K” ... ocXiD・・・lEN/, m =犷 Z (j, /и)。о 1... 1= /+S /-s 眩7Z(j,欣卜…CD…K” ... ocXiD・・・lE7+77+7岸7岸7=旷2=旷2(/ + 向！ 0 一加)[(j + 6)!(/ - s)l(/口-卅5w+5-&+6-$(/ + 向！ 0 一加)[(j + 6)!(/ - s)l(/口-卅5w+5-&+6-$(2 力! rl(j — т —г)Щ + s — r)【(r + m — s)!*(4.15.95)(2 力! rl(j — т —г)Щ + s — r)【(r + m — s)!*(4.15.95)где суммирование распространяется на все целые значения г,удовлетворяющие неравенству (0, s — m)^ г ^ min(j—m,/+s)(； ：) = (%) =(彌為).(515.96)где суммирование распространяется на все целые значения г,удовлетворяющие неравенству (0, s — m)^ г ^ min(j—m,/+s)(； ：) = (%) =(彌為).(515.96)Матрица в (4.15.96) должна быть унимодулярной, и при W — 1 еще и унитарной, поскольку она представляет (пассивное) спиновое преобразование, которое при W = 1 есть пространственный поворот одного спинового базиса относительно другого [формула (1.2.29)]. Выражения (4.15.95) с точностью до нормировочного множителя совпадают с базисными спиновыми сферическими гармониками sYjt m. Для вычисления нормировочного множителя заметим, что в силу формул (4.15.90) и (4.15.94) мы имеемМатрица в (4.15.96) должна быть унимодулярной, и при W — 1 еще и унитарной, поскольку она представляет (пассивное) спиновое преобразование, которое при W = 1 есть пространственный поворот одного спинового базиса относительно другого [формула (1.2.29)]. Выражения (4.15.95) с точностью до нормировочного множителя совпадают с базисными спиновыми сферическими гармониками sYjt m. Для вычисления нормировочного множителя заметим, что в силу формул (4.15.90) и (4.15.94) мы имеем"У；*)】"' Z(/, mU...^Ta ...TkZ(j, /п)4...к ="У；*)】"' Z(/, mU...^Ta ...TkZ(j, /п)4...к = (/ + $)!(/— $)1(/+/и)! (/-mH (/ + $)!(/— $)1(/+/и)! (/-mH⑵+ 1)!⑵)1⑵+ 1)!⑵)1(4.15.97)(4.15.97)
Z (/, mf)Af .t.KfTa …T眨(/, т)А ...к = 6加加，
Z (/, mf)Af .t.KfTa …T眨(/, т)А ...к = 6加加，
(/ — m)l (/ + /и)!
(/ — m)l (/ + /и)!
⑵)12/•
(4.15.94)
⑵)12/•
(4.15.94)
Компоненты величины (4.15.93) в первоначальном (непостоянном) спинорном базисе ад4 можно вычислить непосредственно, выписывая симметризованное выражение, чта дает величины типа {s, —s):
Компоненты величины (4.15.93) в первоначальном (непостоянном) спинорном базисе ад4 можно вычислить непосредственно, выписывая симметризованное выражение, чта дает величины типа {s, —s):
N/, m =犷 Z (j, /и)。о 1... 1= /+S /-s 眩7Z(j,欣卜…CD…K” ... ocXiD・・・lE
N/, m =犷 Z (j, /и)。о 1... 1= /+S /-s 眩7Z(j,欣卜…CD…K” ... ocXiD・・・lE
7+7
7+7
岸7
岸7
=旷2
=旷2
(/ + 向！ 0 一加)[(j + 6)!(/ - s)l(/口-卅5w+5-&+6-$
(/ + 向！ 0 一加)[(j + 6)!(/ - s)l(/口-卅5w+5-&+6-$
(2 力! rl(j — т —г)Щ + s — r)【(r + m — s)!*
(4.15.95)
(2 力! rl(j — т —г)Щ + s — r)【(r + m — s)!*
(4.15.95)
где суммирование распространяется на все целые значения г,удовлетворяющие неравенству (0, s — m)^ г ^ min(j—m,/+s)
(； ：) = (%) =(彌為).(515.96)
где суммирование распространяется на все целые значения г,удовлетворяющие неравенству (0, s — m)^ г ^ min(j—m,/+s)
(； ：) = (%) =(彌為).(515.96)
Матрица в (4.15.96) должна быть унимодулярной, и при W — 1 еще и унитарной, поскольку она представляет (пассивное) спиновое преобразование, которое при W = 1 есть пространственный поворот одного спинового базиса относительно другого [формула (1.2.29)]. Выражения (4.15.95) с точностью до нормировочного множителя совпадают с базисными спиновыми сферическими гармониками sYjt m. Для вычисления нормировочного множителя заметим, что в силу формул (4.15.90) и (4.15.94) мы имеем
Матрица в (4.15.96) должна быть унимодулярной, и при W — 1 еще и унитарной, поскольку она представляет (пассивное) спиновое преобразование, которое при W = 1 есть пространственный поворот одного спинового базиса относительно другого [формула (1.2.29)]. Выражения (4.15.95) с точностью до нормировочного множителя совпадают с базисными спиновыми сферическими гармониками sYjt m. Для вычисления нормировочного множителя заметим, что в силу формул (4.15.90) и (4.15.94) мы имеем
"У；*)】"' Z(/, mU...^Ta ...TkZ(j, /п)4...к =
"У；*)】"' Z(/, mU...^Ta ...TkZ(j, /п)4...к =
(/ + $)!(/— $)1(/+/и)! (/-mH
(/ + $)!(/— $)1(/+/и)! (/-mH
⑵+ 1)!⑵)1
⑵+ 1)!⑵)1
(4.15.97)
(4.15.97)
(4.15.98)(4.15.98)Таким образом, мы получаем величину типа {s, —s} у7 人 / 一 -彳2/+；)1 ⑵)1
(4.15.98)
(4.15.98)
s^/.m —f i； &5m、41t(/ + s)!(j-s)!(/ + m)[(j-m)!
(где множитель (—l)/+m(4n)~1/2 введен для согласования со стандартными обозначениями, принятыми в литературе) [164]). При каждом значении s эти функции ортонормированы:
4л〈§匕缶勺 J/, m) = &ljf^mtnf» (4.15.99)
Хотя sYf, т ——стандартные базисные спиновые сферические гармоники, для практических целей обычно удобнее функции sZ『，m.
Из симметрии выражений (4.15.95) и (4.15.97) следуют интересные соотношения взаимности):
(4.15.100)
а также другие полезные соотношения:j
$Z/, m 1 ~^ ^sZft —m “ sYit m^~^s^h -m
№“(； Di'(:I)'(4.15.101)
/a p\ /哪a/W\
“P〃Q (176Y/j(4」5」°2)
последние две формулы получаются при действии операции «штрих» на спиновые системы отсчета (64 И) и (ол, М)соот. ветственно. Кроме того, поскольку
& =步6, MB = -Y， (4.15.103)
как следствие унитарности (после подходящего масштабного преобразования) и унимодулярности матрицы (4.15.96) мы получаем из (4.15.95), что
J7^ = (—l尸+s_Z, * u 7^； = (-l)w+^sy/t _m. (4.15.104) Отметим, что действие операторов 6 н 6’ на эти величины легко вычисляется из (4.15.95) с учетом (4.15.27) и (4.15.28) (где
б и б7 дают нуль при действии на константы о4, d): 6sZimS=~(^)s+lZ'-m, 6sZ^ = (毋)_円皿(4J5.105) откуда-
_/(j + s+l)(j-S)；/2 у
.К(4.15.106)
* у— f (j — s + 1) (/ + s)、 у
° s1— I2R2丿 s-lz /• w
Существует некоторое расхождение между определением “ данным здесь, и тем, которое ранее использовалось Ньюменом и Пенроузом [124]. Чтобы согласовать эти два определения, следует положить
R = 1/ “芽；(4.15.107)
тогда выбор поверхности 0 в виде единичной сферы приводит к разнице в “2 раз. Имеется также различие в знаке, которое возникает потому, что мы используем на 9 отрицательно определенную метрику (индуцированную пространством-временем, в которое вложена сфера), тогда как Ньюмен и Пенроуз [124] использовали положительно определенную метрику. Наконец, принятая здесь естественная связь между спиновой системой отсчета и ориентацией поверхности 9 (см. начало § 14), а также определение координаты С [формулы (1.2.10) и (1.2.13)] как антиголоморфной^ что означает выбор отрицательной ориентации на 9, эффективно приводит к перестановке операторов б и У. Поэтому спиновые веса, определенные здесь, противоположны по знаку спиновым весам, использовавшимся в работе [124]. Подобный выбор оказывается удачным, поскольку (гл. 9, § 7, 9) такое определение спинового веса соответствует определению спиральности уходящего излучения со знаком плюс (а не минус).
Явные координатные представления
В заключение данной главы мы выпишем явные координатные представления для 6 и sYj,m, Для этого мы введем конкретные координаты на поверхности 9 и выберем подходящим образом спиновую систему отсчета в каждой ее точке, воспользовавшись масштабным произволом в модифицированном формализме спиновых коэффициентов. Удобно согласовать оба выбора, фиксируя координаты на 9 так, чтобы они были канонически связаны со спиновой системой отсчета (6", 1Л). Если предположить, что система отсчета (64 С") отвечает выбору декартовых
координат (Е, х, у, г) в пространстве Минковского МТ (см. гл. 1 и 3), а начало координат (0, 0, 0, 0) совпадает с центром О сферы 仇 то ,
Точка N имеет координаты (R, 0, 0 ,0), а точка L — координаты (—R, 0, 0 ,0); тогда 9 определяется уравнением
/ + 货 + ” = &2, /==0.(4.15.109)
Мы рассмотрим две разные координатные системы на 9: сферическую систему (0,力)，для которой
х = RsinB sin ^», y = Rsin9 sin ^, z = Rcos& (4.15.110)
а метрика имеет вид'
(4.15.111)(4.15.111)ds2 = 一戸(de2 + sin20 d*2),
(4.15.111)
(4.15.111)
и комплексную систему (g, £), для которой [формула (1.2.8) J
Л = ^ ^T^" z = ^4 (4」5」⑵
(4.15.113)(4.15.113)где [формула (1210)]
(4.15.113)
(4.15.113)
4 = е ctg 彳,
и для метрики получаем
ds2 =ds2 =4R2d 匕 df 成 十 1)24R2d 匕 df 成 十 1)2(4.15.114)(4.15.114)
ds2 =
ds2 =
4R2d 匕 df 成 十 1)2
4R2d 匕 df 成 十 1)2
(4.15.114)
(4.15.114)
Сначала рассмотрим комплексную систему координат. Как отмечалось выше (см. также гл. 1, § 2), есть антиголоморфная координата на 9 (со стандартной ориентацией); поэтому можно положить
g = t (4.15.115)
где координата Е определена так, как в § 14. Тогда формула (4.14.31) дает Р ==庞・ Векторы та определены, как в формуле (4.14,36), требованием Р > 6. Сравнивая метрические формы (4.14,30) и (4.15.114), получаем
Направление флага спинора оА~ ^направление Re т 1m * 8nsiНаправление флага спинора оА~ ^направление Re т 1m * 8nsiСтереографическая проекции ареры 庐 43 северного полюса ял плоскость Арганда с координатами (к,夕)
Направление флага спинора оА~ ^направление Re т 1m * 8nsi
Направление флага спинора оА~ ^направление Re т 1m * 8nsi
Рис. 4.6. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т для комплексных сте-реографических координат (С, Е).
如=无方他+ .1）1专（m+成n），如=无方他+ .1）1专（m+成n），的=志^他+小+S击假+ 1广叫.的=志^他+小+S击假+ 1广叫.(4.15.117)(4.15.117)что после подстановки в (4.14.33) дает явное представление для операторов “ 6‘，действующих на величину Т)типа {s, —s}:
如=无方他+ .1）1专（m+成n），
如=无方他+ .1）1专（m+成n），
的=志^他+小+S击假+ 1广叫.
的=志^他+小+S击假+ 1广叫.
(4.15.117)
(4.15.117)
Выбор векторов ma, ясен из рис. 4.6, откуда видно, что полотнище флага спинора оЛ [т. е. направление вектора Re(ma)] расположено вдоль направления Im (^) = const, Re(g) возрастает. Вспоминая подробные геометрические построения гл.』(для полотнищ флагов гл. 1, § 4, спинорные скалярные произведения и т. д.), из рис. 4.6 заключаем, что
(4.15.118)(4.15.118)
(4.15.118)
(4.15.118)
выборомвыбором犷=1,犷=1,т. е. 〃 = d = R“2・т. е. 〃 = d = R“2・(4.15.119)(4.15.119)(с точностью до произвольного общего знака), где действительный масштаб о", И (т. е. длины векторов 及,ла) фиксирован
выбором
выбором
犷=1,
犷=1,
т. е. 〃 = d = R“2・
т. е. 〃 = d = R“2・
(4.15.119)
(4.15.119)
Подставив это в (4.15.95) и (4.15.98), мы найдем 必,团 и 5У/, m как функции координат.
Наконец, рассмотрим сферическую систему координат, для которой справедливо соотношение
g = lntg"|- + 冲.g = lntg"|- + 冲.(4.15.120)(4.15.120)
g = lntg"|- + 冲.
g = lntg"|- + 冲.
(4.15.120)
(4.15.120)
Рис. 4.7. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т для сферических координат (0, 0).Рис. 4.7. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т для сферических координат (0, 0).Стереоерсирауеская пррепцил сферы У из северного полюса на плоскость Арганда с ко叩Зинстами (*г,夕)Стереоерсирауеская пррепцил сферы У из северного полюса на плоскость Арганда с ко叩Зинстами (*г,夕)
Рис. 4.7. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т для сферических координат (0, 0).
Рис. 4.7. Выбор спиновой системы отсчета и векторов т для сферических координат (0, 0).
Стереоерсирауеская пррепцил сферы У из северного полюса на плоскость Арганда с ко叩Зинстами (*г,夕)
Стереоерсирауеская пррепцил сферы У из северного полюса на плоскость Арганда с ко叩Зинстами (*г,夕)
лучимлучим(т. е. Е = —lntg£)・ Сравнив формулы (4.14.30) и (4.15.111) с учетом (4.14.36), так что Р > 0, после простых выкладок по
лучим
лучим
(4.15.121)(4.15.121)V2
(4.15.121)
(4.15.121)
R sin 8 •
Подставляя это в (4.14.33), получаем для т) типа {s, —s}
(4.15.122)(4.15.122)5= r^ sid8("^8也8 de )(®n $8)")’
(4.15.122)
(4.15.122)
仃=訂F si「e (得 + 杀备)((side) n).
Выбор векторов ma проиллюстрирован на рис. 4.7, из которого следует, что полотнище флага спинора ол [т. е. направление вектора Re(ma)] указывает вниз вдоль меридианов ^ = const. С точностью до знака для а, ・・・,6 мы теперь получаем
(4.15.123)(4.15.123)
(4.15.123)
(4.15.123)
Вновь можно фиксировать длину векторов-/*1, па, полагая 呼=1, как в (4.15.119). Подстановка в (4.15.95) и (4.15.98) позволяет явно вычислить $Z/, m и 5У/, m в системе координат (6, «)• В частном случае s =0 такие вычисления приводят к сферическим гармоникам Лежандра.
5
Поля в пространстве-времени
Электромагнитное полеи обобщенный оператор производной
Гравитационное и электромагнитное поля имеют много общего. Это особенно ясно обнаруживается в спинорной формулировке, в которой каждое из этих полей представляется симметричным спинором: спинором фдв в электромагнитном случае (формула 3.4,20)] и спинором 明ве в гравитационном [формула (4.6.41)). Как будет видно далее, «полевые уравнения без источников» [под которыми в гравитационном случае мы подразумеваем уравнения (4.10.9), а не вакуумные уравнения Эйнштейна (4.10,10)] почти одинаковы в обоих случаях. Эта аналогия продолжается и далее в том, что в обоих случаях все полевые величины могут быть выражены через коммутатор производных. В гравитационном случае это — ковариантные производные [формулы (4.2.30) и (4.2.24), (4.9.15), (4.9.16)]. Чтобы представить электромагнитное поле таким же образом, необходимо изменить определение ковариантной производной. В квантовой теории в плоском пространстве-времени это обычно осуществляется добавлением к обычной производной, которую мы временно обозначим через @“，4-вектора ①а электромагнитного потенциала с коэффициентом —ie, где е — заряд поля, на которое действует производная. Таким образом, действие обобщенной ковариантной производной
V。：= да 一1еФд (5.1.1} зависит от заряда, и потому нужно указать заряд каждого нз полей системы.
В квантовой теории заряженная частица описывается волновой функцией, которая и есть заряженное поле. (Например, ди* раковское поле электрона есть пара заряженных спин-векторов, имеющих одинаковый заряд, см. формулу (4.4.66) и работу [35].) Взаимодействие этих заряженных полей с максвелловским полем вводится путем замены оператора да в соответствующих полевых уравнениях оператором (5.1.1).
Теперь нетрудно показать, что максвелловское поле 尸аь, представляющее собой ротор потенциала Фа, получается в ре-
зультате действия коммутатора ViaVftj на поле 8我 с зарядом е: iV[Wb№” = ев"&а ① м = ｝硝"尸》 (5.1.2)
Поскольку мы хотнм рассматривать электромагнитное и гравитационное поля совместно, вводимые операторы должны действовать в искривленном пространстве-времени. Следовательно, нужно заменить оператор да в формуле (5.1,1) оператором обычной («элементарной») ковариантной производной [в результате чего в правой части равенства (5.1.1) появятся члены, зависящие от тензора кривизны, см. формулу (5.L34) ниже].
Но в выражение (5.1.1) явно входит потенциал, а именно этого мы хотим избежать, так как значению потенциала в какой-либо точке нельзя приписать физического смысла. Это аналогично тому, что символы связности Гаьс не имеют прямого физического смысла в теории гравитации. Подобно ситуации с элементарной ковариантной производной, которая может быть введена путем добавления Г-членов к частной производной и последующего исключения операторов д/дхл как не являющихся необходимыми в теории, в случае заряженных полей ковариантная производная Va, действующая на заряженные поля, может служить лишь исходным объектом, но в последующем развитии теории должна быть исключена как калибровочно-зависимая величина, не имеющая физического смысла. В обоих случаях физически существенным объектом, который задают эти величины, является некий оператор, который мы в общем случае будем обозначать символом V«. Наша цель, как и в случае элементарной ковариантной производной, построить такой аппарат, в котором все величины имели бы ясный физический или геометрический смысл. Поэтому в данной главе мы будем рассматривать свойства оператора Va общего вида с формально алгебраической точки зрения, как это мы делали в гл. 4, § 2 для чисто гравитационного случая. В соответствии с этим мы будем избегать использования электромагнитных потенциалов и оператора да. (Хотя так же, как и величины Г и производные 5/5ха, их можно ввести при желании для большего удобства.) Свойствами оператора Va, задаваемыми аксиоматически, определяются свойства тензора Fab в соотношении (5.1.2) (обобщенного на случай искривленного пространства-времени), точно так же, как свойствами элементарной коварйантной производной определяются свойства тензора кривизны [формула (4.2.31)]. Эти •свойства тензора Fab позволяют отождествить его с тензором максвелловского поля. .
Заряженные поля
Для осуществления намеченной программы необходимо начать с обобщения модуля ®л (С°°-гладких спинорных полей) г введенного в гл. 2, которым ограничивались наши построения до сих пор. Теперь необходимо для каждого значения заряда иметь отдельный экземпляр спинорного модуля $", причем производная Va должна действовать различным образом в каждом из них. Поэтому введем заряженные модули
S, &,笏^：：£，：：：，…(5.1.3У
(для каждого заряда е) С°°-гладких заряженных спинорных полей. Первоначально введенная система (гл.. 2, § 5) будет соответствовать отсутствию заряда е = 0. Заряд поля е в принципе может быть выбран равным любому действительному (возможно, и комплексному) числу, но по ряду причин мы ограничимся целыми кратными некоторого ненулевого действительного числа е, элементарного заряда. Таким образом, е будет принимать значения 0, ±е, ±2е, ±3е,
Существенным в дальнейших рассуждениях будет то, что элементы модуля ® при некотором е*0 не принимают численных значений в точках Р многообразия Л. Всякий модуль @[PJ представляет собой абстрактное одномерное аддитивное комплексное векторное пространство, имеющее нулевой элемент, но не обладающее канонически определенным единичным элементом. Отсутствует также и канонически определенная связь между ® [Р] в двух разных точках (однако С°°-гладкая связь между соседними S [Р] обеспечивается каждым элементом модуля ®")・ Тем не менее, так же как 4-вектор можно задать четырьмя числовыми скалярами, выбрав некоторый базис, так и элементы модуля®[Р], например, можно задать числовыми скалярами, выбрав некоторую «калибровку» (см. ниже). ,
Некоторые другие свойства незаряженных полей также не имеют осмысленного аналога в случае заряженных полей. Например, условие действительности (в точке) для заряженного скалярного или тензорного поля должно означать, что разность этого поля и комплексно-сопряженного ему равна нулю. Однако сопряженное поле имеет заряд противоположного знака, и, согласно постулатам, к которым мы сейчас перейдем, его нельзя вычесть из исходного. По близкой^ причине заряженный спин- вектор хл не может быть представлен обычным образом в виде флага при отличном от нуля заряде, так как при этом в внра-
жении (3.2.9) пришлось бы складывать величины, относящиеся к противоположным зарядам.
Что касается алгебраических свойств модуля @", то мы потребуем, чтобы ко всем элементам заряженных модулей (5.1.3) можно было применять операции сложения, тензорного умножения, свертки, замены индексов и комплексного сопряжения, как и ранее, в соответствии с общими алгебраическими правилами, приведенными в гл. 2, § 5, но со следующими оговорками:
Два заряженных спинорных поля можно складывать 8 том и только 8 том случае, если их заряды равны] сумма имеет тот же заряду что и составляющие. (5.1.4)
Тензорное произведение двух заряженных спинорных полей имеет смысл при любых значениях зарядов; заряд произведения полей равен сумме зарядов каждого из мих. (5.1.5)
К заряженным спинорным полям может применяться операция свертки без изменения значения заряда. (5.1.6)
К заряженным спинорным полям также может применяться без изменения величины заряда операция замены индексов. (5.1.7)
При комплексном сопряжении заряженного спинорного поля изменяется знак заряда *). (5.1.8)
Необходимость этих дополнительных постулатов становится ясной, если рассмотреть действие оператора (5.1.1) (где да — элементарная ковариантная производная) на суммы, произведения и т. д. и потребовать выполнения обычного условия аддитивности и правил Лейбница (4.4.16), (4.4.17). Дополнительно мы потребуем, чтобы оператор Va сохранял заряд спинорного поля, на которое он действует, т. е. осуществлял отображение
7а：®л-><5? (5.1.9)
для каждого заряда е и любого собирательного индекса 糜,и чтобы этот оператор коммутировал с операциями замены индексов, свертки и комплексного сопряжения, как и в случае (4.4.18) — (4.4.20). Такой оператор ta фактически однозначно и
Если рассматриваются комплексные значения зарядов, то комплексносопряженное поле будет иметь комплексно-сопряженный заряд со знаком минус.
непротиворечиво определен своим действием на незаряженные поля (для которых в силу принятых аксиом он будет элементарной ковариантной производной), коль скоро было задано свойство
(5.1.!0>
Действительно, если aw邑*三爭(гдеа всюду отлично or нуля, а и ——целое число), то в силу правил Лейбница и адди-
тивности будем иметь})
(5.1.11>(5.1.11>Va^ = а"% (сГ"
(5.1.11>
(5.1.11>
где поле。一"” имеет нулевой заряд н, следовательно, в силу сделанных предположений его производная известна, так же как и производная от а. Требования, которые должны выполняться в силу (5.1Л0), сводятся к следующему:
Va(« + ₽) = Va<x+Va₽,/ е 、 (5.1.12>
% (入a) = %%a + ay/, (a, 0W®,入三&丿.
Подчеркнем, что, поскольку величины елв, еАВ, елв определены как принадлежащие незаряженным модулям полей, оператор Va действует на них как элементарная ковариантная производная и дает нуль).
Электромагнитный потенциал
Посмотрим теперь, как можно найти потенциал Фа и оператор да, зная оператор Va. Аналогично выбору координатного базиса здесь нужно выбрать некоторое произвольное, всюду от-
D Если ае® нигде не обращается в нуль, то поле а"1 является единствен- ннм элементом модуля 飯 таким, что произведение aa-1, принадлежащее- модулю 9 в силу (5.1.5), равно единице, а под a~n понимается (а-1)"1- Следует отметить, что существование глобально не обращающегося в нуль заряженного скалярного поля эквивалентно отсутствию «дырок» в пространстве- времени, имеющих отличный от нуля эффективный магнитный заряд [201]. Это условие обычно считается «фнзнческим>; в данном параграфе его можно ослабить, рассматривая кусочное покрытие многообразия /, такое, что в каждой из областей существует некоторое а ^ 0.
личное от нуля поле a w(5. Тогда можно по определению ввести потенциал
Фа ：= М2а)т%а,(5-1.13)
который, очевидно, будет представлять собой незаряженное поле, поскольку оператор Va сохраняет заряд. Соответствующий оператор да можно тогда определить его действием на спинор U* зарядом е = пг:
必* := anVa(a-V).(5.1.14)
так что в силу выражения (5.1.11) имеем
▽排“ = @—ie ① а)У(5.1.15)
[ср. с формулой (5.1.1)]. Из последнего уравнения можно (полагая е =0) видеть, что оператор да действует на 屮" так же, как Va действует на незаряженный спинор 中叱 т. е. как элементарная ковариантная производная. Оператор да играет роль, аналогичную роли координатной произврдной в стандартной теории. Он удовлетворяет требованию аддитивности и правилу Лейбница. В плоском пространстве-времени даже в присутствии электромагнитного поля мы имеем
дадь = дьда.(5.1.16)
Это непосредственно следует из сказанного после формулы (5.1.15) или из определения (5.1.14) и того, что оператор Va в этом определении действует на незаряженные поля, а значит, операторы ；V коммутируют [формула (4259)]. В искривленном пространстве-времени оператор д^адь\ содержит часть, связанную с кривизной, но не имеет электромагнитной части.
Если поле а выбрано так, что выполняется условие
-' aa == 1, as S,'(5.1.17)
тб мы будем называть а калибровочной функцией. [Если первоначально условие (5.1.17) не выполняется, то его выполнения можно добиться путем замены a »-^ a (act)~1/2 ： aa есть положительное незаряженное скалярное поле, еслй поле, ос нигде не обращается в нуль, а потому величина (aa)~1/2 хорошо определена.] Для любой калибровочной функции а будем иметь
0 = Va(a&) = aVa5 + aVfla, т. e. a"1?#^ = —a"1?^;
следовательно, поле Фд действительно:
一 飞。 =e。..(5.1.18)
Точно так же можно показать, что при любом выборе калибровочной функции а оператор да действителен в том смысле, что
^F=d麻.(5.1.19>
Это следует из определения (5,1.14), свойства (5丄8), соотношения а= а-1 и действительности оператора ул:
。帥"=а"% (厂“屮*) = сГ"% (a"2“) = да^.
Калибровочная функция а осуществляет отображение любого заряженного поля (с зарядом е = пе) в незаряженное полесогласно правилу Ч
*—『*，(5.1.20>
так что, например, по отношению к некоторому базису могут быть найдены численные значения, (Напомним, что заряэюенные, скалярные поля не имеют канонических численных значений.) Таким образом, чтобы указать компоненты заряженных нолей尸 необходимо выбрать и базис, и калибровочную функцию. Нетрудно убедиться, что действие оператора да переходит в дейст* вие оператора Va при отображении (5:1.20).
При замене калибровочной функции а новой калибровочной функцией о/ незаряженное поле, в которое 3“ отображается по закону (5.1.20), претерпевает калибровочное преобразование
а~ЧЛ f а，-"* 据=总"° (a"n^)>(5.1.21>
где 0 ——действительный незаряженный скаляр, определенный (возможно, только локально) соотношением
е1е = a/a ,(5.1.22>
и мы соответственно этому будем иметь
①4 f ①:=苏 Yaa'=圭 e%a (ae-ie) = Фа + -^- Vo0, (5.1.23>
а также
〃У 一 (da-iev*)*".(5.i.24>
Заметим, что соотношение (5.1.23) имеет обычный вид калибровочного преобразования в электромагнитной теории.
Следует отметить, что в обоих (электромагнитном и гравитационном) случаях имеются «калибровочные преобразования второго рода». Это такие преобразования калибровочной функции, которые не изменяют соответствующего оператора £
а I) Такой изоморфизм a:后^ i—> ◎” называют тривиализацией.
В электромагнитном случае они, очевидно, таковы: ат*а = = е10а, где 0 — действительная постоянная [если опустить условие действительности, то изменится лишь нормировка (5.1.17) функции а, но ни одно из нижеследующих соотношений]. В гравитационном случае эти преобразования являются линейными неоднородными преобразованиями координат ха *—> Льахь + Ва, где Льа и Ва — действительные постоянные матрицы, причем det(』b&)，=0・ В некоторых случаях имеет смысл потребовать, чтобы матрица Дьа была матрицей собственного преобразования Лоренца. Тогда выбор «калибровки» %* (т. е. выбор координат) будет соответствовать отображению пространства-времени Л в пространство Минковского, симметрии которого сохраняются при данном изменении калибровки. Процедура такого типа применяется в «лоренц-ковариантной» формулировке общей теории относительности.
Максвелловский тензор поля
Рассмотрим теперь коммутатор
Дд& = YNb 一 VfcVa = 2V[aVb]・(5.1.25)
Будем предполагать, что кручение отсутствует, т. е. для незаряженного скалярного поля у 三 0 выполняется условие
Аа6у = 0.(5.1.26)
Предположим, что 0 =/= а е S.屮三®, где е = пе, и а нигде не •обращается в нуль. Тогда существует у е S, такое, что
yart = *ф・(5.1.27)
Из принятых аксиом, как и в случае (4.2.15), (4.2.16), следует, что оператор А^ь удовлетворяет требованиям аддитивности и правилу Лейбница, а потому \аъ^п = па^-^дьа для любого натурального 〃.Таким образом, в силу формул (5.1.26) и (5.1.27) ■имеем'
九Y(1*也0声=ааь也
т. е.
n^a^^ab^ — ^ab^*
(5.1.28)
Если положить
口i a
%ь ：= ^ &№
(5.1.29)
то будем иметь
i&b2 = e%b“.
(5.1.30)
Соотношение (5.1.30) показывает, что в противоположность определению (5.1.13), в определении (5.1.29) не существен выбор калибровочной функции а. Будем называть Раъ максвелловским тензором или тензором электромагнитного поля〔) (ассоциируемым с оператором %).
Если w 0* есть некоторое произвольное заряженное спинорное поле, то справедливо следующее предложение:
Предложение
Величина ^аь^ отличается от результата действия коммутатора на незаряженное поле 屮' лишь дополнительным членом —ieFabW 涎.(5.1.31)
Это утверждение можно также записать в виде формулы
%屮"=2д[адь1^ - ieFab^,(5.1.32)
в которой первое слагаемое в правой части ковариантно, хотя сами операторы да зависят от калибровки. Для доказательства достаточно заметить, что если У 已 то в силу правила Лейбница мы имеем
Даь (а~ЧЛ) = -па-п-^\аЬа + a-nNab^
м, следовательно,
&&У = а”&& (а~ЧЛ) -ieFab^.(5.1.33)
Поскольку поле сГ"* незаряженное, величина А°& (сГ飞产) представляет собой коммутатор элементарных ковариантных производных. Обратившись к соотношению (4.2.33) или к {4.9.1) и (49.13), мы получаем наше утверждение. Например {формула (4.2.32)]:
&評 с = —Rab^d — ^Fal^c-(5.1.34)
Исследуем теперь некоторые свойства тензора 尸аь. Прежде всего, из определения (5.1.29) явствует, что этот тензор кососимметричен;
尸 а/>= —Fba，(5.1.35)
I) Если рассматриваемая область пространства-времени не односвязна, то равенство Fab = 0 может выполняться всюду, хотя оператор V。 нетривиален в том смысле, что не существует заряженного скалярного поля а, для которого 7аа = 0, иначе: при любом выборе потенциала он где-то отличен от нуля [2]. .
н, поскольку оператор Va «сохраняет заряд», представляет собой незаряженное поле. Далее, так как Ф е ® для всякого 屮胃 в
е $ (е — действительно), в силу соотношения (5.1.30) имеемm諦=话尸а諦.
Выполнив комплексное сопряжение с учетом действительности обобщенной ковариантной производной Va = Va, сопоставив полученное равенство с (5.1.30), находим
Раь — Р ab，
т. е. поле Fab действительно. Наконец» путем выкладок, аналогичных выкладкам (4240), которые приводили к тождествам
Бианки, для 屮已 0 получим
V(aVbVcj^ = VtaVlbYc]!^ =^~ ^V[a (尸be仲)=
=-~ e^yaFbc}^2^P\bc^af^>
Но в то же время [формула (5.1.34)]
VgVbVc伸=V[[aVb]VcJ^ =Y Rab/VdW^~ 尸依闷c№
Если вычесть эти выражения одно из другого, учесть (4.2.37) и разделить на i(e/2)2, то мы получим
V[a 尸 Ьс] = 0.(5.1.36}
Альтернативный вывод этого уравнения опирается на соотношение между Фа и Fab при определенном выборе калибровочной функции а. Взяв ротор от Фа：
У[а①Ь] = ^r(Vlaa) (Vb](X)+ 专 V[aV6]<X = ^Fab
[формулы (5.1.13), (5.1.29)], находим
尸ab = %6 - %①a.(5.1.37>
Уравнение (5.1.36) теперь непосредственно вытекает из (5.L37), будучи одним из частных случаев тождества d2=0 для внешних производных [равенство VIII в формуле (4.3.15)].
Соотношение (5.1.37), разумеется, то же самое, что и обычное соотношение между тензором поля и 4-потенциалом в тео* рии Максвелла. Оно означает, что если 尸“ =0, то (по крайней мере локально) потенциал Фа можно представить в виде градиента Oa = Va*, где у — действительное незаряженное поле. [В общем случае этого сделать нельзя, хотя на первый взгляд может показаться, что формулой (5.1.13) потенциал Фа опреде-
ляется в такой форме; дело в том,, что для заряженного поля а не существует незаряженного скалярного поля вида «1п а», ковариантная производная Ът которого давала бы a-iV«a.J Если два различающихся потенциала Фа и Фа удовлетворяют требованию (5.1.37), то V以(6；】十 Фы) 2 0 й; следовательно, разность Фа — Фа (по крайнец мере^локально) есть градиент ①:—①a = = Е~1^а8? где 0 — действительное и незаряженное поле. Таким образом, в силу соотношений (5.L23) и (5.1.22) существует (локально) некоторая калибровочная функция а', приводящая к любому наперед заданному потенциалу, который удовлетворяет требованию (5.1.37).
Уравнение (5.1.36) представляет собой первую «половину» уравнений Максвелла. Если определить вектор тока заряда Ja (в гауссовых единицах) соотношением
VaFa6 = W,(5.1.38)
То оно будет второй половиной. (Эти два уравнения лежат в основе классической теории Максвелла.) Заметим, что вектор J。 имеет нулевой заряд. [В этом нет парадокса, как могло бы показаться:丿乌一это «ток», содержащий заряженные поля и комплексно-сопряженные им поля в билинейных комбинациях; см. формулу (5.10.16) ниже.] .
Спинор электромагнитного поля ，
Поскольку тензор Fab действителен и антисимметричен, для него возможно разложение вида [формула (3.4.20)]
'「"f曲=01网刃，+办疝/T8:(5.1.39)
где фдв ——спинор электромагнитного поля, причем'
,.Фдв = <Р(дв)= -уFabc •(5.1.40)
Как было ранее объяснено в гл. 3, § 4, тензоры ~Fab — фдВед<в^ и +Раь~еАвФл^ представляют собой антисамодуальную и самодуальную части максвелловского поля. , Аналогично тому, как в разложениях операторов “в，口品斤 [формула (4.9.13)] появились спиноры кривизны, дополнительно возникает спинор элёктрбмагнитного поля в случае заряженных ： полей (даже скалярных). Например, для 屮曰0 [формула (4.9：1)] имеем ”
□ ab^ = -2~6 &帥=^E Fab^ = ~~^AB^ (5.1.41)
и аналогично[
□a化绅三—哧*8呻.,,,]л, _ (5.L.42)
Если *三0叱 то возникают добавки —i 纯《У (или —iequeZ*) к соответствующим разложениям для незаряженных полей □ав*： (или □£вМ“)・ Действительно, свертывая (5.1.33) с (1/2) J®, немедленно получаем
□/в2' = ^Оав (а"ЧЛ) 一 i哂вМ(5.1.43)
чем и доказывается наше утверждение. [Аналогичный результат для n4zB^ получается свертыванием (5.1.33) с (1/2)еЛЙ，1 В частности, мы имеем
口 a評"=Xabcd^c - i 绅力評"，(5.1.44)
OAfB^D = ^^^^ — i%A ①呻"・(5.1.45)
Спинорная форма соотношения (5.1.37) такова:
Флв ~ ^дх(дФв)>(5.1.46)
что непосредственно видно из (5.1.39). Иначе это соотношение можно получить прямо из (5.1.13), используя (5.1.41).
На потенциал Фв часто налагается (обычно в плоском пространстве-времени) калибровочное условие Лоренца ])
V。①а = 0・(5.1.47)
С учетом определения (5.1.13) это эквивалентно наложению следующего условия на калибровочную функцию а:
= (У%) (%а)・(5.1.48)
При выполнении данного условия соотношение (5.1.46) сводится к виду,
Флв = Va〃① 3，(5.1.49)
поскольку слагаемое в правой части, кососимметричное по АВ, теперь обращается в нуль.
Вектор тока (5.1.38) в спинорной форме имеет вид
V”％”B + v'B'@"'b，= 4л/<(5.1.50)
Однако уравнение (5.1.36) эквивалентно уравнению V。*尸。匕=0 [формула (3426)], а следовательно, поскольку Fa =—i(p咦""'+ + \г^в [формула (3.4.22)], соотношению
V <р в = V ф 夕・(5.1.51)
1) Это Л. Лоренц [111J, а не Г. Лорентц! (См. работу (I95J.) (Согласно установившейся в последнее время 1радиции, обе эти фамилии в данной книге транскрибируются одинаково. ― Прим, перев,)
Полная система уравнений Максвелла (5.1.50) и (5.1.51) теперь может быть представлена в виде одного уравнения
^A，\AB = 2nJAA，
(5.1.52)
вместе с условием действительности тока
(5.1.53)
Уравнение непрерывности
va/a=o
(5.1.54)
является следствием уравнений (5.1.52) или (5.1.38), так как члены, пропорциональные кривизне, взаимно уничтожаются. Например, из (5.1.52) находим [формулы (4.9.2), (4.9.13), (4.6.19)1
-2打%广=Vaa^V4 в(рлВ = 口力曰9'"=
=Xabq%QE + XAB/^Aq = ЗА (收产 + еаэ(Р，= 0.
[Это соотношение просто выводится с использованием дифференциальных форм. Действительно, если 尸：=尸川2 и J :=〃，то уравнения (5.1.38) и (5.1.54) принимают вид d*尸=(4/3) л+j и d+J == 0, причем последнее вытекает из первого в силу равенства d2 = 0; подробнее см. в формулах (5.9.5) — (5.9.13) и (4.3.17).] Комбинируя (5.1.46) с (5.1.52), получаем
▽в"' у" °Ф》=2л/л，.(5.1.55)
Если принять калибровочное условие Лоренца в виде (5.1.49), то можно представить величину (5.1.55) таким образом:
2/4'=崂Г'В①4 =潸严в①旣欧+ VC/| ВФ^ =
=□*"①2 + ｝产'门8，产厩,=
=-ФЛЛ，СС^ФСС，+ ЗАФЛЛ，+ g ▽卡①“
[формулы (4.9.14) и (4.6.19)], и, следовательно [формула (4.6.21)],
4 冗尸=% J<D° + R* ①'・(5.1.56)
(Данное конкретное соотношение в тензорном виде выводится несколько проще.)
Отметим, что если ”=0, то уравнение (5.1.52) принимает вид
УЛЛ，ФЛВ = 0;(5.1.57)
это спинорный вариант полной системы уравнений Максвелла без источников ^\aFbc\ =0, VaFa" = 0. Аналогия между (5.1.57)
13 Зак. 1142
и спинорной формой (4.10.3) тождеств Бианки (для случая вакуума) поразительна. Действительно, как будет показано в § 7, уравнение (5.1.57) есть частный случай уравнений (5.7.2) для свободных безмассовых полей, относящийся к спину, равному единице.
Связь с 3-векторами электрического〃 магнитного полей
В заключение данного параграфа приведем некоторые элементарные соотношения теории Максвелла в спинорной форме. Если выбрать в пространстве Минковского стандартную тетраду ", x°,ya, № то компоненты тензора Fab ио определению будут следующим образом связаны с компонентами электрического и магнитного 3-векторных полей £ и В:
"0
一E[
旦 0
一&
Ез- в2
—旦
&
0
—В]
.(5.1.58)
.一品
—殳
0 .
В стандартной спиновой системе отсчета, связанной с рассматриваемой тетрадой Минковского, находим, применяя схему перехода (3.1.38), (3.1.39), (3.1.49), из выражения (5.1.40)
Фоо =(尸31 + 尸tn -i尸32 — iR)2)= } (& 一 g2)，
◎n = g-(-尸 оз - i 尸 12)=^~e3，(5.1.59)
Фи = Ц~ (尸31 —尸3 + 1^*32 — 1^02)=^"(& + i°2)，
гдегдеС = Е — iB.С = Е — iB.(5.1.60)(5.1.60)
где
где
С = Е — iB.
С = Е — iB.
(5.1.60)
(5.1.60)
И обратно, если положить [формула (4.12.43)]
(5.1.61)(5.1.61)Фо = Ф00»Ф1 = Ф01»ф2 = (рц,
(5.1.61)
(5.1.61)
ф0 ^ 小 J'。'，Ф1 ^^ ф0лЕ»@2 := @1'1'，
то из выражения (5.1.39) найдем
~0 (фо —屮2 + @0 — фг) (Wo + 1ф2 — i@0 — i@2)(―2(Pj — 2@J 一
丄 (—фо + ф2 — Фо + фг) 0 (2i(Pi — 2i@i) (—фо — q)2 — фо — фг)
2(—i(Po一 iq)2 + *фо + *фх) (—2iq)i + 2i@i) 0 (is —(фо — ^Фг + 1фо)'
(2фз + 2ф1) (фо + Фа + фо + @2)(—加2 + i*Po + i@2 — i$o) 0
Комплексные поля 尸口料 удовлетворяющие уравнениям Максвелла без источников, играют роль волновых функций отдельных фотонов. По этой причине, а также по ряду других причин, представляет интерес включить в наше изложение вкратце и этот более общий случай. Вместо соотношений (5.1.39) и (5.1.40) теперь будем иметь
Раь = ФавВа^в- + елафд/в/,(5.1.63)
Фав = } Fabc© * ^AfBf = 3 F(^а® ,(5.1.64)
где <рлв, фл^в теперь следует рассматривать как независимые спинорные поля. Формула (5.1.62) с определениями (5.1.61) остается справедливой, если всюду заменить @ на @, формула (5.1.59) остается без изменений, а соответствующая формула для ф получается заменой i на —i в формулах (5.1.59) и (5.1.60).*
Дуальный тензор поля •尸аь [формула (3.4.21)], соответствующий тензору (5.1.58), как легко видеть, записывается так:
~0
―吕
—昆！
一华
Bl
0
_е3
鸟
*Fab =
Ез
0
.(5.1.65)
■A
—^2
吕
0 .
Теперь два скалярных инварианта, ассоциируемых с произвольным электромагнитным полем 尸血 а именно скаляры
Р==4 尸М而= -4-*F£F叫 Q =十尸"尸叫(5.1.66) которые, возможно, более привычны в виде
Р =中一严，Q = 2£ • 5,(5.L67)
можно получить непосредственно из определений (5.1.66) и (5.1.58), (5.1.65). В спинорной форме, воспользовавшись формулами (3.4.38) и (2.5.9), будем иметь
К ：= ^АВ = 4 -尸а「产=4-兄广产=P + iQ・(5.1.68)
В случае действительного поля Fab величины Р н Q явно действительны и потому составляют действительную и мнимую части одного спинорного инварианта К. Если же поле Е»ь комплексно, то по аналогии с (5.1.68) определим инвариант
欠：=®А，в，1 = -LFab4ab = P-iQ (5.1.69)
(заметим, что R = К, если поле действительно) так, что
Р = (К + К)/2, Q = (К - k)/2i. (5.1.70)
Если Р = Q = 0, то поле изотропно, т. е. главные изотропные направления спинора флв (а также ^в^ совпадают. Это непосредственно вытекает из соотношения (3.5.29).
Если Q=0 и Р=/=0, то можно сказать (в случае действительного поля), что поле либо чисто электрическое, либо чисто магнитное в зависимости от того, Р V 0 или Р > 0. Оправдание этой терминологии состоит в том, что в этих случаях можно найти преобразования Лоренца (в действительности их бесконечно много), которые «уничтожают» магнитное или электрическое поле. Для этого достаточно, например, применить буст со скоростью "2(ЕХ5) в первом случае и со скоростью В~2(£ X В) во втором. Ниже мы увидим, что в тех случаях, когда одно из полей Е или В таким образом устранено, два главных изотропных направления спинора флв указывают противоположные направления на римановой сфере.
Заметим также, что равенство Q = 0 представляет собой необходимое и достаточное условие простоты тензора 尸аь [формулы (3.5.30) и (3.5.35)].
Дальнейшие сведения, касающиеся структуры электромагнитного поля, будут даны в гл. 8, § 5.
Уравнения Эйнштейна — Максвеллав спинорной форме
Рассмотрим далее спинорную форму связанной системы «электровакуумных» уравнений Эйнштейна ——Максвелла, т. е. полевых уравнений общей теории относительности с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в качестве единственного источника. Сначала нужно построить спинорный эквивалент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Это действительный симметричный тензор Таъ. квадратичный по электромагнитному полю 凡匕 и удовлетворяющий уравнению
У% = 0 (5.2.1)
при условии выполнения уравнений Максвелла без источников. Существует одно очевидное выражение в спинорном формализме, удовлетворяющее этим свойствам, а именно
ТаЬ = ^ФдвфА^В7 > (5.2.2)
где 论一действительная и положительная постоянная (в силу требований положительной определенности, о которых будет сказано ниже). Тензор, заданный соотношением (5.2.2), действителен, симметричен, квадратичен по флл и, следовательно, по
Fab и удовлетворяет уравнению (5.2.1) в силу равенства (5.1.57). Напомним, что тензор Беля — Робинсона (4,8.9) удовлетворяет подобному же уравнению (4.10.11) по аналогичной причине [формула (4.10.9)).
Стандартные тензорные выражения для максвелловского тензора энергии-импульса таковы:
Tab = £ (； ga/cL" - PacF^}=-电{FacF^ + "F^F"
(5.2.3)
Подстановка выражения (5.1.39) в любое из них действительно приводит к уравнению (5.2.2) с k =(2冗尸：
Т 必=土 屮 ав@«в(6.2.4)
Заметим, что второе равенство в формуле (5.2.3) вполне аналогично тензорному соотношению (4.8.10) между тензором Беля — Робинсона и тензором Вейля. Далее, тензор Таь инвариантен относительно дуальных поворотов электромагнитного поля (3.4.42^, так как они соответствуют преобразованию фд> >
е'1(рлв. Это свойство инвариантности менее очевидно из тензорного выражения (6.2.3). Тензор Та» также имеет нулевой след:
Г/ = 0,(5.2.5)
что вытекает из выражения (5.2.4). Как инвариантность относительно дуальных поворотов, так и равенство нулю следа являются также свойствами тензора Беля ——Робинсона [формулы (4.8.16) и (4.8.12)]. Понятно, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля Tab был открыт гораздо раньше, чем тензор Беля — Робинсона Таьс^ С помощью тензорных методов тензор Tabcd как аналог тензора Таь было найти труднее. Только в спинорной формулировке они выглядят одинаково просто.
Подставляя выражение (5.2.4) в уравнения Эйнштейна вида (4.6,32) и учитывая, что теперь Тйа = 0, получаем
Флвд^ = Зуфдвфд/в/, А к % 九，(5.2.6)
что вместе с уравнениями Максвелла без источников (5.1.67) составляет спинорную форму уравнений Эйнштейна — Максвелла (обычно полагают 1 = 0). Подстановка же выражения (5.2.4) в (4.10.12) дает
Vb^xbcd = 2yV(B [фсо>фл^]«
0 2Y[©*京唯<Р8)+ Ф(cD嘲@4停]■
Второй член справа равен нулю в силу равенства (5.1.57); кррме того, простые рассуждения [формула (5.7.16) ниже! показывают, что симметризация в первом слагаемом справа является излишней. Поэтому тождество Бианки принимает вид
^b^abcd = 2丫@4咱必 <Pcd-(5.2.7)
Попутно заметим, что следующая модификация тензора Беля ——Робинсона для уравнений Эйнштейна — Максвелла, хотя и не является полностью симметричной, имеет нулевую дивергенцию:
Tabcd = ^ ABCD^ а^е^ - 2YV6£>@4評/@4力'+
+ 6yVo (A^ |ф(дв¥с)D@| 6，S — Аф(ДВвс)D力(4炉eg zr；
Tabed == TEbe} d， T°acd 。’ ^^abed ==
Свойства положительной определенности максвелловского тензора энергии-импульса,
Тензор Tab обладает важным свойством положительной определенности. Заметим, что для любой пары спиноров цА, v4 с соответствующими изотропными векторами
Ма = Л', М* = V 气" имеем
TabMaNb =去 I Флвц^в I2 > 0,(5.2.8)
т. е. это неравенство выполняется для любой пары направленных в будущее изотропных векторов. Поскольку любой времениподобный или изотропный вектор, направленный в будущее (причинный вектор), есть сумма двух таких изотропных векторов, в силу соотношения (5.2.8) получаем следующее предложение.
Предложение
Для любой пары направленных в будущее причинных векторов U。, Va выполняется соотношение
Та^ауь>^.(5.2.9)
Его можно сформулировать в несколько иной форме:
Предложение
Для любого направленного в будущее причинного вектора 丫或 выполняются соотношения
УаТ^ТЬсУс^О, VaTabVb^0.(5.2 ЛО)
Поскольку соотношение (5.2.9) означает, что вектор VaTab имеет неотрицательное скалярное произведение со всеми направленными в будущее причинными векторами, он и сам является причинным [первое соотношение в формуле (5.2.10)], если вектор Н обладает этим свойством [второе соотношение в формуле (5.2.10)]. Условие (5.2.9) [или (5.2.10)] иногда называют условием энергодоминантности. Если Va — вектор 4-скорости некоторого наблюдателя, то TabVb есть соответствующий 4-вектор Пойнтинга с компонентами (энергия, 3-вектор Пойнтинга). Таким образом, в предложении (5.2.9) утверждается, что скорость потока энергии, задаваемого вектором Пойнтинга, не может превышать скорости света.
Заметим, что ослабленная форма приведенного выше энергетического условия
TabVaVb > О (5.2.11)
(называемая иногда слабым энергетическим условием) означает, что плотность энергии, измеренная некоторым наблюдателем (Too), должна быть неотрицательно определенной функцией его 4-скорости Vй (которая для него является компонентой метрики go°)・ Представляет интерес исследовать геометрическое место точек, задаваемое уравнением
TabVaVb = 0. (5.2.12)
Выберем сначала в качестве Н изотропный вектор № = =”*皆"，0. Согласно формуле (5.2.8), произведение Таь№№ обращается в нуль тогда и только тогда, когда
^abvavb = 0,
а это имеет место [формула (3.5.22)], если флагшток спинора vA указывает в одном из двух (возможно, совпадающих) главных изотропных направлений поля фдв (предполагается, что 屮才8*0)・ Это будут единственные причинные векторы Va, для которых выполняется равенство (5.2.12). В самом деле, если вектор М времениподобен и направлен в будущее, можно было бы найти направленный в будущее изотропный вектор Ма, который не был бы главным изотропным вектором поля флв, и представить Р° в виде линейной комбинации вектора Ма и другого изотропного вектора. Подставив такое разложение в (5.2.12), мы получили бы сумму неотрицательных [в силу предложения (5.2.9)] членов, из которых по крайней мере один (а именно ТаьМаМь)) был бы строго положителен； Поэтому мы приходим к следующему заключению.
Предложение
Соотношения
TabVaVb = 0, PWa》0; r=#o
выполняются тогда 〃 только тогда, когда Va есть главный изотропный вектор поля флв. (5.2.13)
Аналогичные выводы справедливы для тензора Беля ——Робинсона:
Предложение
ТabcdSaUbVcWd ^ 0 для всех направленных 8 буду
щее причинных вектороз S* U", Vat Wa.(5.2.14)
Предложение
TabcdVaVbVcVd = O, ГКа>0, г*о
тогда и только тогда, когда Va ——главный изотроп
ный вектор поля Тлвсп.(5.2.15)
Доказательство в точности повторяет соответствующее доказательство для электромагнитного случая. Главные изотропные направления поля Wabcd, как будет видно из дальнейшего, играют ключевую роль в классификации алгебраических типов тензора Вейля (гл. 8).
В гл. 4, § 8 отмечалось [формула (4.8.13) ], что тензор Беля—Робинсона удовлетворяет квадратичному тождеству (помимо условий симметрии и бесследовости), хотя явное тензорное выражение для него не было найдено. В случае электромагнитного тензора энергии-импульса имеем
Т ABAfBfT С0О» = ТАВСвТ CDAfB4(5.2.16)
что непосредственно вытекает из равенства (5.2.4). Тензорная форма этого соотношения в теории Максвелла хорошо известна. Ее можно получить из (5.2.16), последовательно применяя (2.5.23):
т(5.2.17)
Условия Райнича
Как было показано в предыдущем параграфе, максвелловский тензор энергии-импульса Таь действителен, симметричен и имеет следующие свойства:
Tj = 0；
IL Та/с" ~ gac；
TabUaVb > о
для любой пары направленных в будущее причин^ ных векторов(5.3.1)
Все они автоматически следуют из спинорного представления Tab = ^ФлвфА'в^ (формула (5.2.2)] с учетом равенства флв = =9(力6)и действительности и положительности коэффициента 论. Верно и обратное: для любого действительного симметричного тензора Таь. обладающего свойствами (5.3.1) в любой заданной точке, существует соответствующая спинорная форма в этой точке и существуют действительные кососимметричные решения Fab уравнения (5.2.3); более того, все такие решения получаются друг из друга с помощью дуальных поворотов [формула (3.4.42)]. Этот результат впервые был установлен Райничем, и требования (5.3.1) получили название условий Райнича. Позже результат был заново открыт Мизнером и Уилером [117] и лег в основу развитой ими «геометродинамики». Разумеется, чтобы допускать интерпретацию тензора электромагнитного поля, тензор Fab должен удовлетворять уравнениям Максвелла, и потому должны быть наложены некоторые дальнейшие (дифференциальные) ограничения на тензор 九ь, чтобы он мог быть тензором энергии-импульса реального электромагнитного поля. Эти условия (для неизотропных полей) также были впервые разработаны Райничем, а затем вновь открыты Мизнером и Уилером [117]. По-видимому, можно утверждать, что эта теория наиболее просто выглядит в спинорном формализме, в котором впервые ее представил Виттен [198]; наше изложение ниже несколько отличается от его формулировки.
Пусть задан действительный симметричный тензор Т«ь, обладающий свойствами (5.3.1). Возвращаясь к соотношениям (3.4.4)——(3.4.6), нетрудно видеть, что в силу свойства I [формула (5.3.1)] справедливо равенство
Тава’в’ = Т(ав} {а^ (5.3.2)
Соотношение II [формула (5.3.1)] в спинорной форме имеет вид
TAAfBBfTBB‘ eq ~ еДС®4/С,*
Отсюда, применяя формулу (2.5.23), получаем
тАА^тАА^сс，&ACQAfC^BDeсс，&ACQAfC^BDeВ'»В'»и, следовательно»и, следовательно»外相的制%」0.外相的制%」0.(6.3.8)(6.3.8)
тАА^
тАА^
сс，&ACQAfC^BDe
сс，&ACQAfC^BDe
В'»
В'»
и, следовательно»
и, следовательно»
外相的制%」0.
外相的制%」0.
(6.3.8)
(6.3.8)
Используя свойства симметрии (5.3.2) для перестановки 4cB и С с D и производя переобозначение индексов Д ь->В, Ci—>Д
получаем
鑑揩词留=0.(5.3.4)
Складывая это равенство с (5.3.3) и раскрывая некоторые симметризации, находим
Т御冲т挤 с，)= о,(5.3.5)
где введены обозначения ^ = АВ ^ ^ — CD. Воспользовавшись вновь свойством симметрии (5.3.2) и переобозначив индексы, из (5.3.5) получаем
T^(BT^ = Q.(5.3.6)
Складывая с (5.3.5) и повторяя операции, приведшие к (535), найдем
тМ'Т 胃=0,(5.3.7)
где 加'=4力1 皆‘ =CD'. Это эквивалентно равенству
Т乩疹丁皆皆，=Т^Т^.(5.3.8)
Выберем теперь произвольный отличный от нуля спинор X' и умножим обе части равенства__(5.3.8) на Х*Х‘； это приводит (в областях, в которых Т“Х'Х‘ =/= 0) к соотношению
т^ = ^^Х^-1 Т 風灰% f(5.3.9)
которое, благодаря действительности тензора Таь имеет требуемый вид
Гдвл^в7 =论屮力與《&(5.3.10)
во всякой точке1), где k ——действительный скаляр [формула (3.5.5)]. Последнее из условий Райнича [III в формуле (5.3.1)] означает, что любой такой скаляр 山，заданный соотношениями (5.3.10) и (5.3.9), положителен. Поэтому можно нормировать поле флв так, чтобы выполнялось равенство 々=1/2л, как в формуле (5.2.4). Тензор Fab, введенный соотношением (5.1.39), автоматически удовлетворяет условию (5.2.3), и тем самым установлено существование решения (5.2.3) во всякой точке. Очевидно, что это решение не единственно, поскольку преобразование флв^—>е~шфлв (0 — действительно) оставляет (5.2.4) без изменений И соответствует дуальному повороту Fat^^^Pab [формулы (3.4.42), (&4.43)j・ В то же время ясно, что это единственный произвол, который допускает соотношение (5.3.10) во всякой
】)На этом этапе возможность выбора всюду непрерывного сдинорного поля 屮46 не гарантируется.
точке [формула (3.5.2)]. Таким образом, алгебраическая часть теории Райнича доказана.
Прежде чем переходить к дифференциальной части этой теории, посмотрим, каков смысл величины, характеризующей электромагнитное поле, которую Мизнер и Уилер называют комп- лексией (complexion). Как мы видели выше, все полевые тензоры Fab, имеющие одинаковый тензор энергии-импульса Таь, отличаются друг от друга дуальным поворотом в каждой точке. Во всех таких классах, кроме случая К = 0 (изотропное поле), существуют два и только два поля, различающиеся лишь знаком, которые являются «чисто электрическими», т. е. имеют инварианты Р V О, Q = 0 [см. текст после формулы (5.1.70)]. Действительно, пусть Fab ——любое поле из выбранного класса, <рдв — соответствующий ему спинор и К：=——©一纟旧长。——инвариант (Ко действительно и положительно). Тогда поле Раь = =土(-8)尸"будет описываться спинором 0°屮若协 и при любом выборе знака мы имеем e2i0X = —Ко, что отвечает чисто электрическому полю в соответствии с определением (5.1.68). Очевидно, что Fab = ±(Q}Pab. У гол 0, заданный с точностью до целого кратного л, и называют комплексией поля 尸a力；это угол, на который нужно совершить дуальный поворот, чтобы превратить ±Раь в Fab (дуальный угол). Этот параметр становится неопределенным, лишь когда поле изотропно. Но в общем случае поле Fab становится изотропным на некоторой двумерной поверхности (поскольку уравнение К = 0 соответствует двум действительным уравнениям в четырехмерном пространстве). Таким образом, тензор Таь «общего вида», удовлетворяющий условиям (5.3.1), также будет давать Tc(iTcd = 0 на некой двумерной поверхности, на которой дуальный угол становится неопределенным. Может оказаться, что область пространства-времени, из которой удалена рассматриваемая поверхность, не является односвязной: двумерная поверхность как раз является многообразием нужного для этого числа измерений в четырехмерном пространстве. Выбрав некоторую замкнутую кривую вокруг такой 2-поверхности, можно непрерывным образом превратить 匕》в —Pm, так что постоянный глобальный выбор знака поля Раь становится невозможным. Эта трудность возникает еще до того, как мы переходим к рассмотрению полевых уравнений Райнича. Поэтому, чтобы продвинуться дальше, мы будем предполагать, что рассматривается такая область пространства-времени, в которой поле Раь может быть задано имеющим постоянный знак. Более того, будем предполагать, что поле Раь можно выбрать гладким—что само по себе не следует из предположения о гладкости поля Tab, если существуют области, в которых Таь обращается в нуль.
Дифференциальное условие Райнича.
Предположим теперь, что в соответствии с этими допущениями задан тензор энергии-импульса Таь, удовлетворяющий условиям Райнича (5.3.1). Тогда в каждой точке интересующей нас области имеется гладкий тензор Раь чисто электрического типа, которому соответствует тензор энергии-импульса 兀瓦 Поставим вопрос: можно ли найти тензор ПОЛЯ 凡b =⑼Раь при неком действительном 0, который удовлетворял бы уравнениям Максвелла и в силу этого представлял бы собой максвелловское поле, имеющее тензор энергии-импульса TaR Если %дв — симметричный спинор, соответствующий тензору Раь, причем % = = (1/2)хлвХлв < 0, то спинор e-i%B будет соответствовать тензору Fab. Применяя уравнения Максвелла (5.1.57) к этому спинору, получаем
Vxa^ (е-10хлв) == e~I0VAA<%AB — 16一'%""以力€ = 0.
Сокращая экспоненциальный множитель, умножая на увс и используя (2.5.23), найдем далее
%вс^аа^в 一 ЬсУса^й = 0,(5.3.11)
что после некоторого преобразования индексов дает
Vxa^0 — ^~ Хдв^са^с =： S^a,(5.3.12)
где S4az — спинор, задаваемый этим равенством. Поскольку 0 — действительная величина, Saa^ —— действительный вектор. Наша задача теперь сводится к отысканию тензорного эквивалента спинора Saa^ и решению уравнения (5.3.12) относительно 0.
Прибегнем к явному построению. Продифференцировав обе части равенства (5.2.4), заменив в нем флв на %д& выполнив однократную свертку и положив 论=1/2л, получим один член в правой части, имеющий вид Saa<
^Т^3, = k^^Ac^ + 紘”乜 сМ'8'・(5.3.13)
Продолжая построение далее, умножим (5.3.13) на (5.2.4) с % вместо qp, заменив индекс Л на D：
ТйАгВВ^АСгТААВВ = 2 月 2欢DBV^Ca"" + 资4^Ia*bNac£B'= =2 注 2y2§Da + fe2xVnca>(5.3.14)
где также использовано условие действительности %. Последнее слагаемое в формуле (5.3.14) можно исключить, сделав комплексное сопряжение, переобозначив индексы и вычтя получен*
ное равенство из (5.3.14); действуя таким путем, получаем
(5.3.15)(5.3.15)^\^?^SDCf = ТDA^BB^ACfTAA ВВ —TACfBB^DATAA ВВ ==ieAAfDC^PP，WTBB^WTAA'BB',
(5.3.15)
(5.3.15)
где при переходе ко второй строке использовано соотношение (3.3.46): дуализация дает разность двух членов, различающихся положением пар индексов АС' и ОА\ как в предыдущей строке. Используя соотношение
W = TabTab,
получающееся из (5.1,68) и (5.2.2), можно перейти к тензорному представлению (5.3.15) (с очевидной заменой индексов):
Sc =Sc =Tab®Tab®(5.3.16)(5.3.16)
Sc =
Sc =
Tab®
Tab®
(5.3.16)
(5.3.16)
Дифференциальное условие для Таь теперь получается путем подстановки выражения (5.3.16) в условие интегрируемости уравнения (5.3.12):
VbSfl-VaS6 = 0, (5.3.17)
которое должно выполняться, поскольку 0 — скаляр. Если это условие выполняется, то дуальный угол 0 определяется уравнениями (5.3.12) и (5,3.16) с точностью до аддитивной постоянной.
Анализ следствий из уравнений Максвелла в областях, содержащих поверхности, на которых поле изотропно (или нулевое), и в неодносвязных областях выходит за рамки нашего изложения. Заметим, однако, что алгебраическая часть этой теории одинаково применима и к неизотропным, и к изотропным полям.
Векторные расслоения
В своей книге мы все время подчеркиваем ту мысль, что алгебраические соотношения, которым удовлетворяют различные типы полей, составляют основу теории (алгебра абстрактных индексов и формальные правила для оператора V), тогда как геометрическая интерпретация этих объектов и операций вторична. Но в то же время часто бывает полезно иметь геометрическую картину, и в гл. 1 была принята именно такая геометрическая точка зрения на сами спиноры. Там мы останавливались, правда, не углубляясь в детали, на понятии векторных расслоений (гл. 1, § 5), которые используются при переходе от локального к глобальному описанию. Поскольку удается дать достаточно полную локально-геометрическую картину пространства спин-векторов, там мы могли до известной степени избегать описания с помощью расслоений. Однако в случае заряженных
полей электромагнитной теории и тем более в случае 《мульта- заряженных» полей теории Янга — Миллса, к которой мы намереваемся перейти, геометрическое содержание теории трудно будет понять без обращения к теории расслоений. Поэтому здесь будет дано краткое изложение основных понятий этой теории.
Начнем с очень простого понятия графика функции. Рассмотрим действительнозначную функцию одной действительной переменной f: Ri»R. Обычно график некой функции f строят, как показано на рис. 5.1, проводя горизонтальную ось 尤，вертикальную ось у и вычерчивая геометрическое место точек у = ==ПV). Предположим, однако, что мы имеем дело с «функциями» другого сорта, «значения» которых не просто числа и не обязательно сопоставимы при разных значениях аргумента х. Хорошим примером такой функции может служить функция, значениями которой являются касательные векторы в многообразии, т. е. эта функция — векторное поле. Таким образом, вместо оси к на рис. 5.1, изображающей R, мы будем представлять себе некоторое многообразие Л、называемое базой (для определенности будем говорить о сфере S2). Вместо оси у нам нужно что-то изображающее касательное пространство в типичной точке многообразия М. Но поскольку касательные пространства в любых двух не совпадающих точках многообразия Л, вообще говоря, не находятся в каноническом соответствии одно другому, их следует представлять себе не как тождественные, а лишь как изоморфные пространства, называемые слоями, один слой для каждой точки Л. Слой, соответствующий точке Р ^Л. называется слоем над Р. Если график функции f: R»~>R лежит просто в прямом произведении пространств R 义 R, то теперь наш график принадлежит более сложному пространству, называемому (в рассматриваемом примере) касательным расслоением 7(废)многообразия 〃 Векторное поле на 废 можно представить графиком, который называется сечением расслоения Т(Л} (рис. 5.2).
Касательное расслоение представляет собой лишь один (очень важный) пример векторного расслоения, в котором слои
Рис. 52・ Касательное расслоение многообразия 4 и одно из его сечений, представляющее векторное поле на *、
являются касательными пространствами в различных точках многообразия Л (и конечно, понятие расслоенных пространств приложимо и к пространствам базы, отличным от рассматриваемого нами пространства-времени). Другой пример — тензорные и спинорные расслоения; здеср сечениями являются элементы модуля 宮"или 0" при некотором фиксированном 垓,т. е. все тензорные или спинорные поля, которые мы рассматривали до сих пор: их свойства можно было бы изложить, пользуясь теорией расслоенных пространств. Векторные расслоения над М можно построить, выбирая в качестве слоев любые действительные или комплексные конечномерные векторные пространства (которые могут быть совершенно независимыми от касательного пространства к 废 н от ассоциированных с ним спинорных пространств—например, пространство изотопического спина, обсуждавшееся в начале гл. 4, и «пространства цвета», часто рассматриваемые в современной физике элементарных частиц). Пространства в различных точках должны быть все изоморфны друг другу при одном важном дополнительном предположении: если говорить нестрого, эти векторные пространства должны «гладко соединяться» друг с другом (так, чтобы имело смысл говорить о «гладком» сечении). Таким образом, хотя нам и не требуется знать, какие элементы в различных слоях соответствуют друг другу, мы должны знать, какие элементы в соседних слоях «мало отличимы» друг от друга. В действительности каждая точка многообразия 应 должна принадлежать некоторой открытой окрестности 也 и 质,такой, что часть расслоенного пространства над 弘 гладко эквивалентна прямому произведению пространств, тогда как все расслоенное пространство может и не быть прямым произведением пространств. Пример такого нетривиального расслоения см. на рис. 5.3 ниже.
Определение векторных расслоений,
Наша цель — введение такой абстрактной тензорной алгебры, которая была бы пригодна в случае расслоенных пространств. Для этого необходимо ввести индексы расслоения (обозначаемые заглавными греческими буквами) дополнительно к обычным пространственно-временным (и спинорным) индексам. Мы построим систему 宮①(или ©ф), элементы которой описывают (С°°) гладкое сечение расслоения. Дадим вначале определения в координатном описании, справедливом локально на 風、применяя в соответствии с общими соглашениями гл. 2 заглавные греческие буквы жирного шрифта, расположенные справа.,Далее процедура непосредственно приводит нас к глобальной и не зависящей от координат системе абстрактных индексов. (Близкий подход был недавно предложен в работе [9].)
Нам потребуется более формальное определение векторного расслоения [18]. Пусть задано (хаусдорфово, паракомпактное, С°°) многообразие М\ тогда действительным (комплексным) ^-мерным векторным расслоением над Ж называется многообразие 呪 снабженное С°°-отображением
П:留->4(5.4.1)
(понимаемым как проекция, сжимающая каждый слой в точку многообразия 废 «под» ним), таким, что
П~1 (Р) есть действительное (или комплексное) векторное пространство размерности k для всякой точки Р е Л、(5.4.2)
Далее, определяя сечение 九 слоев П-1 (^) для всякого открытого множества % и 肩 как отображение класса С°°
A：% f 口Т(次)，.(5.4.3)
такое, что И。入 есть единица на % потребуем, чтобы существовало покрытие многообразия Ж семейством открытых множеств ｛弦卜质=U %, таким, что
i Ii
Для всякого ^ существует базис 8ф = 8Ь ..., 8А
сечений ГР"%),(5.4.4)
с помощью которого сечение X слоев Г!"4 繼° однозначно представимо в виде (без суммирования по i)
； = i!Sa>,(5・4・5)
где X =#,・・•，九 w 宮(％) [нли S (^i)]- Сложение двух сечений и умножение их на скалярные поля определяется очевидным образом в соответствии с линейной структурой слоев. Условие (5.4.4) означает, что в определенном смысле многообразие 留 локально имеет структуру прямого произведения (локально b废).
Любое глобальное сечение X расслоения пространства 留 будет обладать тем свойством, что его ограничение на любое открытое множество 勿и质 совпадает с сечением слоев П~1(%). Однако если 0耍％干凰 могут существовать сечения ГН例)， которые не являются ограничениями глобальных сечений 留，а именно те, которые из-за плохой дифференцируемости на границе IF4 (的 не могут быть продолжены за нее. Мы будем требовать существования модуля сечений, расширяемых над 以. Пусть 似 задается некоторым элементом fw6, f 耍 0. Тогда, как и в гл. 1, § 1, требуемые расширяемые сечения могут быть представлены как классы эквивалентности сечений расслоения пространства 留，таких, что X g, если fX = fg. Пусть 勿一открытое множество в 电 а 勿'一«чуть меньшее» открытое множество, для которого 勿'(замыкание 以'в 质)и%; тогда ограничение на 以'любого сечения над 以 также является ограничением на W некоторого глобального сечения (поскольку такое глобальное сечение может гладко спадать до нуля между 勿‘ н % н затем быть нулевым вне 的.В частности, базис 8ф над 叫 в (5.4.4) ограничивается до базиса 8ф над «чуть меньшими множеством 勿：,причем каждый из элементов &；,6； расширяется до некоторого глобального поперечного сечения. Любое покрытие 他 1} многообразия Л можно таким путем «слегка уменьшить» до покрытия {明}, такого, что初:u崛
Путем таких же рассуждений, как и в гл. 2 § 4, можно показать, что существует конечное покрытие 他i} многообразия Л и разбиение единицы 〃已逗 такое, что 〃 > 0 и £ 〃 = 1, где 勿i определяется условием « =# 0, причем базис 8ф можно теперь выбрать расширяемым до глобальных сечений. Стало быть, если 九 есть произвольное (глобальное) сечение многообразия 图，мы будем иметь элементы 九❸三電(или ©) (компоненты А в базисе 5ф), для которых
Таким образом, суммируя, получаем.
х = S «Аф8ф.(5.4.6)
Из изложенного в гл. 2, § 4 следует, что сечения многообразия 彌 образуют полностью рефлексивный модуль над 5： (или ©). Теперь мы введем прописные буквы греческого алфавита Ф, W, ... в качестве абстрактных индексов, помечающих эти сечения, и обозначим модуль и его изоморфные копии через £ф, £田 (или ©ф,②田,・..)• Тогда соотношение (5.4.5) можно переписать в виде
产=产醴巨更①(или gо)(5.4.7)
в случаях, когда существует глобальный базис 6ф для сечений. Если же базиса нет, то в силу формулы (5.4.6) имеем
Н=ЕЗЛ^.(5.4.8)
i
Модуль £ф (или бф) сечений расслоения дает возможность охарактеризовать многообразие 例 как расслоение над Ж с точностью до изоморфизма: по определению два расслоения над Ж рассматриваются как изоморфные тогда и только тогда, когда соответствующие модули сечений изоморфны как модули над S (или®).
Отметим, что %ф (с абстрактным индексом) просто обозначает полное сечение и не требует выражения через координатные области. Это еще одна иллюстрация удобства применения абстрактных индексов: вычисления с ними автоматически приобретают глобальную значимость..
Явное построение расслоений
Чтобы явно построить векторное расслоение 彌 над 成,рассмотрим покрытие многообразия Л открытыми множествами 弘h 勿2, ..., над каждым из которых расслоение есть просто прямое произведение °U\ X R^ (или °U\ X C.fe), причем базисные сечения (5.4.4) имеют вид
31X(1，о, ...» 0), %Х(0, 1，о, .... 0),弘Х(о, ・・•，0, I).
Поскольку всякая точка многообразия Л лежит хотя бы в одном множестве 必亏 всякая точка многообразия 0 лежит по крайней мере в одном множестве °U\ X R点(или ^iX С?). Но некоторые точки многообразия Ж могут лежать в двух или более множествах 或“ и тогда необходимо задать явные преобразования, характеризующие склейку. Итак, если Р е Ws П 必厶 то пара
(R y)w%XR (или ^| X С?) и пара(R /wZjXR (или 勿j X СУ) будут представлять один и тот же элемент расслоения тогда и только тогда, когда
i U 1
y^L(P)y (без суммирования),(5.4.9)
где для всякой пары i, j и для всякой точки 尸 справедливо утверждение
L(P)^GL(k, R) (или GL% С)),(5.4.10)
где L (Р) — матрица, С°°-гладко зависящая от Р, a GL ——группа неособых k X ^-матриц. Для непротиворечивости нужно предположить, что
L 仍) =(L(P)丿，(5.4.11)
и для всякого пересечения ^i Л ^j П % выполняется равенство
L (尸)L (尸)=L (尸)(без суммирования). (5,4.12)
Семейство матриц (5.4.10), удовлетворяющих условиям (5.4.11) и (5.4.12), служит для определения расслоения.
На практике бывает удобно объединить склейку слоев со склейкой самого многообразия. Тогда различные 弘i можно задать как карты на ^ с координатами для хе %
^ = ^, хп е Rrt,(5.4.13)
а для всякого пересечения % A^j определить преобразования координат. Матрицы L являются С^-гладкими функциями этих координат, и соотношения (5.4.9), (5.4.11) и (5.4.12) заменяются соотношениями
； = £(%)},(5.4.14)
£&) = (£(%))-：(5.4•⑸
L(х“) L (х“) = L(£), (без суммирования). (5.4.16)
Нетривиальность понятия векторного расслоения (в противоположность простому прямому произведению) связана с тем, что слои могут обладать симметриями (т. е. нетривиальными автоморфизмами). Это, например, очевидно в случае касательных пространств к точкам сферы S2, поскольку такие пространства переходят в себя при поворотах. Но даже если слои одномерны (и действительны), такие симметрии могут быть. Пусть, например, каждый слой есть одномерное действительное вектор-
Рис. 5.3. Лист Мебиуса как одномерное векторное расслоение над SL
ное пространство 匕 не обладающее дополнительной структурой. Тогда единственным каноническим элементом пространства Т* будет нулевой элемент, а все остальные его элементы равноправны. Автоморфизмы пространства У задаются выбором произвольного ненулевого элемента rw R и отображения пространства У в себя по правилу у^> гу, где у ^Т . Чтобы на простом примере показать, каким образом это может привести к нетривиальному векторному расслоению, рассмотрим лист Мебиуса (рис. 5.3). Здесь пространство базы 次 представляет собой окружность S】，а слои 沙* ——одномерные действительные векторные пространства. Выберем для Л две карты
12
и 必2 с координатами1, 1) для и 尤曰(一1, 1)
для 勿2； в области перекрытия Wi f] Q%2(=箔 U 犷)имеем х = =х — 1, если —1 < х < 0, 0 < х < 1 (область 绚，и имеем 212
х — х + 1, если 0 < х < 1, —1 < х < 0 (область Ж). В качестве координаты в слоях выберем у w R, полагая
12 f — 1 в
12
Поскольку 衫 н 犷 не пересекаются, ясно, что L является отображением класса С00. Заметим, что векторное расслоение в виде листа Мебиуса топологически отлично от прямого произведения пространств S】XR: ориентация слоя меняет свое направление на противоположное в результате обхода вдоль окружности S1. Необходимо привлечь автоморфизм пространства Т\ состоящий в умножении на отрицательное число, и поэтому существенно, что слои не являются каноническими копиями пространства R, не допускающего таких автоморфизмов. Можно также проиллюстрировать различие между цилиндром S〔 X R, рассматри-
ваемым как расслоение над S* и векторным расслоением Мебиуса, сравнив сечения: по топологическим причинам любое сечение расслоения Мебиуса должно где-то становиться нулевым, чего, очевидно, нет в случае цилиндра..
Можно предложить другой способ деформировать расслоение Si X R. Чтобы построить расслоение Мебиуса, пришлось привлечь симметрию —у векторного пространства У・ Посмотрим, как можно было бы использовать симметрию типа у—>2р. Предположим, что мы построили расслоение над S】и ввели на нем координаты в точности, как в случае листа Мебиуса, но теперь положим
12 f 1 в ЖL = f 2 в Г.
Теперь, если обойти один раз окружность S* мы обнаружим растяжение 犷'в 2 раза (или сжатие при обходе в обратном направлении). Однако если применить критерий эквивалентности расслоений, который был сформулирован выше, то мы найдем, что наша «растянутая лента» не отличается от S' X R. Действительно, можно найти семейство ненулевых С°°-гладких сечений
1 1 1 о 1 2 1
(которое постепенно вводит множитель 2 при прохождении окружности S1), и это семейство можно отобразить на постоянные сечения у — а цилиндрического расслоения S1 X R.
Иногда имеет смысл естественным образом ввести дополнительную структуру в векторное расслоение % которая позволила бы отличить упомянутую растянутую ленту от цилиндра. Это — структура, позволяющая охарактеризовать некоторые сечения как локально-постоянные (или «горизонтальные»). В случае цилиндра S】X R локально-постоянные сечения существуют как глобальные. В случае же растянутой ленты, если сечения выдерживают локальное постоянство, мы получим расхождение в 2 раза, обойдя один раз окружность S1; лишь нулевое сечение всюду локально-постоянно.
Связности в расслоенных пространствах
Чтобы придать точный смысл понятию локального постоянства сечения, необходимо ввести «связность» в расслоении SS. Прежде всего заметим, что оператор градиента %, действующий на скалярные функции на многообразии Ж, всегда существует (по определению многообразия). Точно так же, как его можно расширить на пространство касательных векторов (тензоров я
спиноров), что приводит к понятию «связности в многообразии'», возможно расширение и на другие типы сечений расслоения (и соответствующие им тензоры), приводящее к понятию «связности в расслоении». Если определены оба расширения одновременно, то такой оператор можно применять и к объектам со смешанными тензорными, спинорными и абстрактными индексами сечений. Рассмотрим кривую у в J? с касательным векторным полем X. Если на многообразии Ж задана связность, то касательное векторное поле Z называется постоянным (или параллельно-переносимым) вдоль у, если действие на него оператора Ух = Х°У& дает нуль. Точно так же сечение X будет локально-постоянным, если действие на него оператора Vx дает нуль. Как правило, оператор Va, действующий на сечения пространства 冤 будет некоммутативным (если только базовое пространство Ж не одномерно), что приводит к понятию кривизны. Тогда неинтегрируемость, иллюстрируемая растяжением полосы на глобальном уровне, может проявиться также на инфинитезимальном уровне при обходе по малой петле в базовом пространстве. Допустим, что задан оператор градиента %; тогда связность в расслоении расширяет его область определения до сечений в соответствии с требованиями
va： гф-> г® (илы ®Ф->®„),(5.4.17)
% аФ + ЦФ) = VaA® + Va*,(5.4.18) ■
% (" 0)=广叫 + %产，/ег (или ®Ф). (5.4.19)
Это определение далее обычным образом можно расширить на тензоры в сечениях, т. е. на объекты, характеризующиеся несколькими заглавными греческими индексами. Оператор V* по- прежнему определяется как XQVa. Тогда можно ввести оператор Паь, определяемый соотношением
W — VV—V =xay%ab(5.4.20)
XY Y X [X, У]
[формула (4.3.32)], поскольку левая часть этого равенства билинейна по Х« и Уа. Тем самым мы определяем кривизну в расслоении Кам/^Е 蹣b[Q (или S^I 2)：
даДФ=： Kab^^(5.4.21)
[формула (4.2.30)]. Если кручение отсутствует (как в случаях, представляющих для нас наибольший интерес), то мы имеем гакже
JU = Mb ：= VaVb - VbYa，(5.4.22)
так что
Ка2Ф『=(VaVft - VWa)产・，(5.4.23)
О других свойствах кривизны в расслоении, включая ее описание в спинорном формализме, речь пойдет в конце § 5. Заметим, что Каь^ сводится к тензору Римана Rabf, если 例一касательное расслоение и используется связность Кристоффеля в нем.
Об использовании формализма абстрактных индексов в контексте векторных расслоений можно было бы сказать гораздо больше. Здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями. Прежде всего отметим, что, как и в рассуждениях гл. 4, § 2, переход от одной связности в расслоении Va к другой связности Va описывается элементом Qae* 告 2дф (или ®дф), причем
&-%”：=QaJ 严 (5-4.24)
и имеет место формула, аналогичная формуле (4.2.51), для изменения кривизны в расслоении. Зависимость общих выражений от выбора связности в расслоении можно исследовать с помощью соотношения (5.4.24) и его обобщений, аналогичных формуле (4.2.48).
dF „dF „< Связность в расслоении существенна также, если рассматриваются поля на самом пространстве 毋(что иногда весьма целесообразно), даже в простейшем случае скалярного поля на 例. Действительно, пусть 尸一такое скалярное поле. Тогда 尸 есть функция не только точек Р ^ ^, но и «координат в слое» g①三 е £Ф[Р] {или ©Ф[Р]). Тогда внешняя производная (градиент) dF функции F будет состоять из двух частей, а именно
dF „
dF „
(5425)
Первая вычисляется в фиксированной точке 尸 при варьировании координат уф, что представляется естественной производной внутри каждого векторного слоя, тогда как вторая рассматривается при «постоянном» уф. Вторая величина имеет инвариантный смысл, только если определена связность в расслоении. Если же этого не сделать, то невозможно инвариантным образом расщепить df на две части типа (5.4.25) (хотя первая часть сама по себе инвариантна всегда). Аналогичные, но более сложные замечания можно сделать применительно к высшим производным. Заметим, что если функция 尸 аналитична в окрестности нулевого сечения 例,то ее можно представить в виде
гдегде尸=/+储尸+ *ь9„+
где
где
f e里, fg>巨堂@， fф^告定(8)' • • •
(или ©, ©ф, ...), так что функция 尸 может быть представлена в виде бесконечной последовательности тензоров в расслоении (厶 /ф, /ф 6 ...). Тогда мы найдем, что вклады типа (5.4.25) будут иметь вид &, /вФ, ...) и (Vaf, Va/ф ...), соответственно.
Поля Янга — Миллса
Познакомившись с основными свойствами векторных расслоений, мы можем теперь сделать определенные обобщения в теории электромагнитного поля, развитой в § 1. Электромагнитное поле представляет собой простейший тип калибровочного поля, которое соответствует группе。⑴，поскольку калибровочное преобразование (5.1.21) осуществляется путем умножения на скалярные поля единичного модуля, т. е. на поля элементов группы Ли [/(1). Аналогичные теории можно построить для других групп Ли; соответствующие аналоги максвелловского поля называются полями Янга ——Миллса [202]. Считается, что они имеют отношение к взаимодействиям элементарных частиц.
В данном параграфе будет показано, что формализм абстрактных индексов позволяет естественным образом описывать поля Янга — Миллса. При этом формулы иногда оказываются более громоздкими, нежели в обычном подходе, но наша цель не в том, чтобы заменить последний, а в том, чтобы показать, как поля Янга ——Миллса вписываются в общую схему формализма абстрактных индексов. Это имеет важное концептуальное значение, а в некоторых случаях и помогает в вычислениях (см. также [9]).
Математически теория полей Янга ——Миллса тесно связана с понятием векторных расслоений и связностей в таких расслоениях. Заряженные скалярные поля (элементы пространства б) электромагнитной теории могут рассматриваться как сечения векторного расслоения, слоями которого являются одномерные комплексные векторные пространства (расслоение комплексных прямых), и тогда связность Vfl, определяемая формулой (5.1.9), есть не что иное как связность в таком расслоении. Обобщение на поля Янга — Миллса состоит в том, чтобы рассматривать в качестве слоев абстрактные векторные пространства общего вида F* (не имеющие прямого отношения к касательным пространствам для многообразия Л или соответствующим спинорным пространствам); сечения получающегося расслоенного пространства 例 являются заряженными полями теории Янга — Миллса, представляющими собой пространственно-временные скаляры (т. е. не имеющими пространственно-временных индексов), а элементы некоторой непрерывной группы симметрии векторного пространства F* описывают калибровочные преобразования. .
Будем использовать заглавные буквы греческого алфавита в качестве абстрактных индексов, помечающих элементы векторных пространств F' q 沙① a F^ = . •., а также модулей ⑨& в ⑨4f q ... поперечных сечений пространства 毋. Если 为.一л-мерное векторное пространство, то элемент 入① модуля ©ф может быть локально описан л скалярными полями 入* ... ...,кп^®, но ни одно из таких представлений не будет каноническим. ,Таким образом, чтобы сопоставить компоненты № (локально) заряженному полю теории Янга ——Миллса (ЯМ), необходимо произвольно выбрать некоторый гладкий базис для пространства У в каждой точке многообразия 風、который, хотя бы локально, мог бы служить базисом для заряженных полей в теории ЯМ,6^ = (б^, ,.., бп), так что 九①=%Фбф. Модули ®ф, ⑥叫 •…,®е/.7л, ••• определяются с помощью ®ф стандартным образом; можно также ввести спинорньте 夕 тензорные) индексы, что приводит к модулям ⑨足匸若二‘匕二：旷,где теперь все типы индексов обозначены рукописными буквами 城，毋,.,.・
Структура пространства У; связность Янга — Миллса
Векторное пространство 力.может быть либо действительным (и в этом случае компонентные поля 九°， отвечающие полю %◎, можно выбрать действительными), либо комплексным. В действительном случае для обозначения модуля ЯМ-заряженных полей 入① мы будем пользоваться символом £ф, а не ®ф, поскольку это в самом деле S-модуль (имеющий в качестве коэффициентов действительные скалярные поля), а не ©-модуль (имеющий комплексные поля в качестве коэффициентов). Тем не менее и в действительном случае можно ввести комплексифи- кацию @ф = £ф ® iS0, представляющую собой ©-модуль; при этом компонентные поля М элемента 胧 м ©ф будут принадлежать модулю 0. Иногда удобно вводить комплексный базис 吟wtg①и в действительном пространстве У； тогда компоненты Аф могут быть комплексными, даже если 入①曰岂①.Аналогичное положение имеет место при выборе изотропной тетрады /а, та, гпау па е ©а для описания элементов пространства £а, т. е. пространства действительных касательных векторов.
Тензорная алгебра (•••,支*, ...) или (•••, &£ •••) удовлетворяет правилам § 4, а также гл. 2. Следовательно, суммы, произведения, свертки и перестановки индексов можно образовывать как обычно, а в случае @" можно ввести также операцию комплексного сопряжения, которая переводит ©ф в антиизо- морфную систему & с новым индексом Ф‘. В случае действительного пространства У комплексное сопряжение также мож-
но применять к комплексификации (・•，, ®л, •••) действительной тензорной системы, но здесь мы будем иметь Фл = Ф, причем действительными являются тензоры, инвариантные по отношению к комплексному сопряжению. (Это аналогично тому, что латинские индексы пространственно-временных тензоров не изменяются при комплексном сопряжении, тогда как спинорные индексы становятся штрихованными или нештрихованными.)
Пространство 为'обычно обладает некоторой дополнительной структурой, характеризующейся тем, что определенная группа Ли @, действующая как группа линейных преобразований на 力* эту структуру сохраняет. Так, например, Р' может быть трехмерным действительным векторным пространством, a 歹一 ортогональной группой 0(3), действующей на #' стандартным образом. В этом случае будет существовать элемент g①屮 三 Тф^, положительно определенный (纟迎卩①片 > 0, если Гф =/=0) и симметричный (g[①切 =0), который инвариантен относительно преобразований группы g. Обратно, группа 0 характеризуется тем, что оставляет инвариантным элемент g①中,будучи наиболее широкой линейной группой на 力' обладающей этим свойством. Аналогично, группа g = SO(3) будет характеризоваться тем, что оставляет инвариантной пару элементов g①史 w 先①审， %nq 三宅公中出 где go中 определено как и выше, а 0 耍 еф屮口 = = е〔Ф屮q]・ В качестве другого примера можно рассмотреть группу @, включающую, помимо преобразований группы 0(3), масштабные преобразования, если потребовать, чтобы инвариантным оставалось произведение g64fg厶口 w 更^^, где ^4Q — величина, обратная g①①(т. е. g①①且中。= 6^). В случае, когда У — комплексное векторное пространство, можно ввести эрмитову структуру на У. Так, например, возникает группа 夕=0(孔), если положительно определенная эрмитова билинейная форма hwV^ (> 0 если t/6 =雇#0, 磕，= %，0>) на 夕❿X夕% где 夕①'—• комплексно-сопряженное к 片①)задана как инвариантная, или, что эквивалентно, задан инвариантный изоморфизм U^»—> Лфф^ф' между t/в и пространством 片①，дуальным к У Если принять последнюю точку зрения, то удобно отождествить 片1*' с 犷① и таким образом избавиться от штрихованных индексов (что мы и сделаем в т. 2 в несколько ином контексте, а именно в теории твисторов; см. гл. 6, в особенности § 9).
В частном случае электродинамики мы имеем g = U⑴ и 片一одномерное комплексное эрмитово пространство. Здесь использовать обозначения формализма абстрактных индексов не имеет особого смысла. Всякое пространство @^ 二* одномерно, его элементы симметричны по всем индексам, так что переста-
новка индексов ничего не изменяет. Свертка не ведет к потере информации, а поэтому пространство 5 …лг канонически эквивалентно пространству ©ь.,7 л и т. д. (поскольку всякий элемент первого можно свернуть по индексам А и Y без потери информации), и поэтому любой такой модуль^анонически эквивалентен одной из систем © (заряд нуль), @ 1 “ (заряд ле) или ②*t …叱 п (заряд —ns). Наконец, в силу существования эрмитовой структуры на У можно отождествить © с Sv, так что комплексное сопряжение лишь изменяет знак заряда и не вносит ничего нового. Таким образом, все пространства ®в..7д оказываются канонически эквивалентными друг другу при любом заданном значении заряда ns (где л есть число верхних нештрихованных индексов минус число нижних нештрихованных индексов минус число верхних штрихованных индексов плюс число нижних штрихованных индексов) и неэквивалентными при разных значениях заряда. Более общее пространство обладающее также спинорными индексами, получается в результате образования произведений с определенными выше «заряженными скалярами», что приводит к заряженной тензорной алгебре типа рассмотренной в § 1.
До сих пор в случае пространства 产_и группы g общего вида нам было достаточно задать соответствующую абстрактную тензорную алгебру для заряженных полей ЯМ. Само поле Янга — Миллса можно выразить через связность (или представить в виде связности) в расслоении пространства 缴 определенную в соответствии с формулами (5.4.17) — (5.4.19). Эта связность может быть затем распространена на случай ЯМ-заряжен- ного модуля общего вида ®л тем же путем, что и в гл. 4, § 2, а также в гл. 5, § 1, причем в случае комплексного У
(5.5.1)
Но дополнительно к требованиям (5.4.17) — (5.4.19) мы потребуем, чтобы оператор Va сохранял (при параллельном переносе, задаваемом им, векторбв расслоения 九❿)структуру слоев Z\ характеризуемую группой #• Если группа g определена как наиболее широкая группа, оставляющая инвариантной набор «канонических» элементов модулей ⑨^二啜(например, §ФТ и 已❿正^ или йТТо рассмотренные выше), то од叩 из способов сделать это состоит в наложении требования, чтобн действие оператора Va на величины из данного набора давало нуль. Однако, пожалуй, было бы более естественно сформулировать это дополнительное условие для оператора Va на основе самб* груд-
пы 夕，вместо того, чтобы апеллировать к элементам модулей
ьу высшей валентности. С этой целью мы введем понятие калибровки и калибровочных преобразований на 5：4f (или ⑨中)・ Предположим, что группа g задана как явная группа матриц q, действующих на Rn (или С.я), где 孔——размерность пространства Т\ Структура пространства 户 может быть задана в виде совокупности линейных отображений из 力.в Rrt (или Crt), всякая пара которых связана некоторым преобразованием q группы g. Всякое такое линейное отображение можно понимать как задание допустимой координатной системы в пространстве У, что соответствует определенному выбору базиса в 阴二 Используя формализм абстрактных индексов, будем обозначать такой стандартный базис символом
(XJ =(覆占・・・，(Xj) w ут；(5.5.2)
преобразование от этого базиса к другому а會① выражается соотношением
а^ = д^а^9 матрица (夕审哑)w9・(5.5.3)
(Здесь мы используем символ а*®, а не 6*卍,как ранее, чтобы подчеркнуть, что теперь выбран стандартней базис, а также чтобы обратить внимание на то, что эта процедура обобщает введение скалярного поля а в электромагнитном случае.) Набор стандартных базисов (5.5.2), связанных между собой преобразованием (5.5.3), дает еще один способ охарактеризовать структуру, вводимую на 力\ группой 乡・
Рассмотрим теперь поля таких стандартных базисов, т. е. наборы п линейно-независимых сечений пространства 阕.Соотношения (5.5.2) и (5.5.3) в каждой точке остаются справедливыми, но теперь
а^^ м (или ⑥申)，否屮 w 2 (или @)(5.5.4)
для всех W = 1, 2,・・・,п. Такой набор полей а▼里 называется калибровкой для Sw (или бт); матрица д$‘ задает калибровочное преобразование. Калибровка всегда существует в локальном смысле, однако по топологическим причинам может и не существовать глобально. Задание глобальной калибровки имеет своим результатом то, что на математическом языке называется тривиализацией расслоения 毋.
Оператор Va будет сохранять эту структуру на W если при параллельном переносе один допустимый базис переходит в другой допустимый базис. Поэтому мы подробнее рассмотрим операцию параллельного переноса, что понадобится нам и здесь, и далее. Пусть у — некоторая гладкая кривая в многообразии 4.
имеющая ta в качестве касательного вектора, отвечающего выбору гладкого параметра 〃 на у (т. е. вектор /а нормирован так, что taMau = 1). Некоторое (тензорное, спинорное ЯМ-заряжен- ное) поле называется параллельно переносимым вдоль у, если действие на него оператора ta^a дает нуль. Обозначим через ехр(и^Уа) оператор, действие которого на поле 九理，заданное вдоль кривой у, дает новое поле
У = ехр("Ч)/, (5.5 5) тоже заданное вдоль кривой у, такое, что значение поля ^理 в точке Р (скажем, при значении параметра ио) получается из значения %理 в точке Q (с параметром 〃о+и) параллельным переносом назад вдоль у из Q в Р. Эта операция хорошо определена во всех точках кривой % для которых существуют точки кривой у, соответствующие увеличению параметра и0 на и. Ее мэжно также применять к полям на 成,если у принадлежит гладкой конгруэнции кривых с параметризацией, изменяющейся гладким образом. Как мы увидим далее, если Ж, у, ta и Ал аналитичны и величина |и| достаточно мала, выражение (5.5.5) можно переписать в виде, который подсказывается принятым обозначением этого оператора [формула (5.11.6)]:
产=产+ "Y产+3%(鹏产)+.... (5.5.6)
где знак равенства следует понимать в смысле параллельного переноса вдоль кривой у. Однако для наших целей достаточно ограничиться первыми двумя членами, и требование аналитичности налагать не обязательно.
exp ("y)%r=g J 9) a Jexp ("y)%r=g J 9) a J(5.5.7)(5.5.7)В свете сказанного выше оператор Va сохраняет структуру пространства У, если
exp ("y)%r=g J 9) a J
exp ("y)%r=g J 9) a J
(5.5.7)
(5.5.7)
для некоторой матрицы q； из g, которая гладким образом стремится к единичной матрице при uf 0. Разделив (5.5.6) на и и перейдя к пределу при uf 0 (т. е. сохраняя члены только первого порядка по и), находим
гдегде^^^=卩屮®—«л»^^^=卩屮®—«л»(5.5.8)(5.5.8)(5.5.9)(5.5.9)
где
где
^^^=卩屮®—«л»
^^^=卩屮®—«л»
(5.5.8)
(5.5.8)
(5.5.9)
(5.5.9)
Матрица (卩屮❷)принадлежит не группе g, но алгебре 〃瓦 城 (этой группы), на основании которой элементы g (достаточно близкие к единице) можно восстановить путем экспоненцииро-
вания. Вводя 覆中* W&屮(一屮=1, •••, п) как величины, дуальные a卡酬：
а^а/ =峙；а Jaj = 6：,(5.5.10)
мы получаем требуемое условие для оператора Va в виде Матрица (%中❷%%，年 W(5.5.11)
для всех 产 и a11r▼・
Потенциал Янга — Миллса и метрика
Теперь можно ввести [в близкой аналогии с определением (5.1.13)] потенциалы Янга — Миллса как
RJ = ial-Qa 丿.(5.5.12)
Множитель i введен здесь для удобства в (часто встречающемся) случае группы g унитарных (или псевдоунитарных) матриц. Действительно, тогда матрица ①。「 оказывается эрмитовой в смысле равенства
0^ = 0^.(5.5.13)
Здесь принято соглашение, что действие комплексного сопряжения приводит к перемещению нижнего числового индекса 4r в верхнее положение и наоборот, например:
a,里=d中* — a屮",g$" -斤m (5.5.14)
так что условие унитарности для д.* приобретает вид 4%9/=%・(5.5.15)
Умножая выражение (5.5.3) на комплексно сопряженную величину и свертывая по индексу 中，мы приходим к выводу, что величина
,^f：=a^ = h^(5.5.16)
не зависит от выбора стандартного базиса. Повторив эти выкладки применительно к соотношению (5.5.7), найдем, что h^ переходит в себя при параллельном переносе. Следовательно, V 驚 ww = o,(5.5.⑺
что с учетом определяющего условия (5.5.16) дает
久勺户^十&a屮&久屮-0,(5518)
Свертывая обе части этого равенства с 。屮,*覆『и используя соотношение (5.5.12), приходим к соотношению (5.5.13), что и требовалось.
Мы можем воспользоваться величиной Л^7 (янг-миллсовской эрмитовой метрикой), а также соответствующей обратной матрицей 也中正,=(211f①讶屮,呼,чтобы избавиться от штрихованных ЯAVиндексов в случае, если 夕一группа унитарных матриц. Например, если произвести подстановку ,
九8，中"i> 九84rA = gz"靜"h&№ (5.5.19)
то мы получим эквивалентное ЯМ-заряженное поле. Принимая это соглашение, нужно помнить, что в результате комплексного сопряжения унитарные ЯМ-индексы могут переходить в противоположное положение, а не приобретать штрих (ср. также с обозначениями в твисторной теории, т. 2).
Калибровочные величины а^ и а^.^ (вместе с комплексносопряженными, если необходимо) дают возможность приписывать компонентные значения любому ЯМ-заряженному полю; например, компоненты поля 入в屮 будут такими:
V = V%^- (5.5.20)
Та же процедура может применяться ко всем ЯМ-заряженным спинорным полям, приводя к набору компонентных спинорных полей, в точной аналогии с операцией (5ЛЛ1) в электромагнитном случае. Если помимо этого задан спинорный (или тензорный) базис (совершенно независимо от выбора а), то можно также перейти к компонентам этих спинорных полей, так что окончательно все будет выражено через скалярные функции.
Если компонентные поля взяты по отношению к двум различным калибровочным функциям, то компонентные поля будут связаны преобразованием
А『f %? = V 當°rQ， (5.5.21)
как это следует из формулы (5.5.3) и двух соответствующих вариантов формулы (5.5.20), где г — матрица (wg), обратная матрице q.
При выбранной калибровке сс哑① можно ввести дифференциальный оператор А© коммутирующий сам с собой в плоском пространстве-времени (а также в искривленном пространстве- времени, если он действует на ЯМ-заряженные скаляры) по аналогии с определением (5.1.14). Например,
"九丁兑=%吃£q九J疹 (5.5.22)
(в унитарном случае), если ^ не содержит ЯМ-индексов. Можно также написать выражение, аналогичное выражению (5.1.15),
но в него войдет довольно неестественное сочетание (зависящего от калибровки) потенциала с (калибровочно-инвариантными) абстрактными ЯМ-индексами. Поэтому мы предпочитаем написать соответствующее выражение, в которое входят только численные индексы ЯМ, так что все величины являются зависящими от калибровки. Например, имеем (при *, не содержащем ЯМ- индексов),
J),(5.5.23)
развертывая правую часть этого равенства и свертывая обе части с 喈=。淌 чтобы получить компонентную запись, находим из (5.5.12)
%%/ (%%謂")=VA^ + iR❷"广理一叫JY吃(5524)
Заметим, что под действием калибровочного преобразования (5.5.21) потенциал (5.5.12) будет претерпевать преобразование
Фа/ f Фа/ = Rj/%w + ir/Naq^, (5.5.25)
которое совместно с преобразованием (5.5.21) сохраняет вид соотношения (5.5.24).
Тензор поля Янга ——Миллса
Предположим теперь, что кручение отсутствует (т. е. можно использовать оператор да& в качестве оператора Аа&), рассмотрим коммутатор Mb. Имеем
^ab^ = ДаЬ (”%, = 2蜉%〃严0w=
=-21Н%(Ф61 J%") = - i呻。6,(5.5.26)
где
尸ab J ：= 2。善 J ⑨аФ“ J + Ф^Л /)(5.5.27)
есть тензор поля Янга ——Миллса (здесь принято очевидно допустимое соглашение о том, что ЯМ-индексы и пространственновременные индексы можно переставлять друг с другом). Соответствующие компонентные поля определяются соотношением
I 尸如'=^ г + ①&%% Z •(5528)
Если свернуть обе части этого равенства с произвольной парой векторов Mv* то каждый член в правой части станет матрицей, принадлежащей алгебре Ли 垓.Это вытекает из формул (5.5.11), (5.5.12) и из того, что квадратичный член есть коммутатор эле-
ментов *. Таким образом, что справедливо и для левой части, т е. для компонент тензора поля Янга — Миллса.
Из записи (5.5.26) следует, что тензор Fab^ не зависит от выбора калибровки а^^. Поэтому соответствующие компонентные поля претерпевают стандартное калибровочное преобразование
尸аб f Pat^ =尸a/r「gZ・(5329)
Заметим, что в противоположность электромагнитному случаю, тензор поля Янга — Миллса является ЯМ-заряженным объектом. Из соотношения (5.5.26) следует также, что
^аЬ^Т = ^e^ab^'(5.5.30)
и, например,
嶋YJd =此“勺产 + iWYA^ 一叽/Y J"・(5531)
Мы имеем
Fab^ = -Fba^9(5.5.32)
и, если группа g образована унитарными матрицами, то
Fab&Pf ：= Fadf^r = FabW®(5.5.33)
Далее, из (5.5.26) [аналогично (5.1.36)] следует соотношение
V^e^^O-.(5.5.34)
Таким образом, как и в максвелловском случае, первая «по ловнна》полевых уравнений автоматически вытекает из развитого формализма. Вторая же «половина» уравнений Янга — .Миллса (без источников) имеет вид
丁几6 戸=0,(5.5.35)
и, как и в максвелловском случае, это условие следует наложить. Можно также ввести отличную от нуля правую часть в уравнении (5.5.35), которая будет представлять собой янг-милл- совский ток.
Спинорная трактовка
Спинорные выражения для поля Янга ——Миллса получаются непосредственно. Имеем
^аЬв^ = ^ABB^^A^f + ЪАВ^АГВ^ >(5.5.36)
где
山8 J Ф(ДВ> 84rH 万 ^АВС^ 8①’
Vy 屮=丄尸е 卍
14 Зак, 1142
В унитарном случае (5.5.33) будем иметь
尸 аЬ8Р =以ЕбЧ^А 仔 + ZAB^AfB^f^(5.5.38)
где
Фдввт7 = Флвв 仆w(5.5.39)
Применяя операторы 口%卩,口从‘日‘，как и в (4.9.13), получаем
口 48% 屮=认評4в1，DAfBf^ = ^e^AfBf^，
где, как и обычно, действие каждого из этих операторов на мультииндексный объект выражается суммой членов, возникающих в результате его действия на каждый индекс в отдельности.
Спинорная форма соотношения (5.5.28) представляет собой два соотношения
以8 J = %他①务J +①(А皤J
必B・* = V4(*①霸❷" +①А- («①备J
которые в унитарном случае являются комплексно-сопряженными друг к другу [формула (5.1.46)]. Спинорная форма уравнения (5.5.34) такова [формула (5.1.51)]:
^дХРдве^ = У产%4‘е6‘(5.5.42)
что следует из (5.5.41). Независимое уравнение поля Янга — Миллса (5.5.35) принимает вид [формула (5.1.50)]
^Фдвв^ + ^^^в^ = &(5.5.43)
а вместе два уравнения (5.5.42) и (5.5.43) эквивалентны одному уравнению
^Фдв©^ = 0 = 7д %а，е，811r.(5.5.44)
В унитарном случае (5.5.33) эти уравнения являются комплексно-сопряженными друг к другу.
В унитарном случае можно по аналогии с тензором энергии- импульса электромагнитного поля (5.2.4) ввести тензор энергии- импульса поля Янга — Миллса
^аЬ~ ~2я 屮力В8%«в，%，(5.5.45)
который обладает обычными свойствами, требующимися от источника в уравнениях Эйнштейна,
ТаЬ = 7оЬ Г[аЫ = 0,(5.5.46)
а также, как вытекает из (5.5.44) и равенства Хд^е = Флв^еу> свойством
V%ft = 0.(5.5.47)
Он также удовлетворяет условию равенства нулю следа, характеризующему безмассовое поле:
TJ = O,(5.5.48)
Особый интерес, в частности в связи с определенными взаимосвязями с теорией твисторов (см. т. 2, гл. 6, конец § 10), представляет класс полей Янга ——Миллса, являющихся самодуаль- ными и антисамодуальными, Самодуальная часть поля Янга — Миллса такова:
*%总=^ав^в^ 9(5.5.49)
а антисамодуальиая имеет вид
尸 。/ П ^^^^^Л(5.8.50)
(Эти поля самодуальны и антисамодуальны в обычном смысле термина, т. е. только по отношению к пространственно-временным индексам.) Самодуальное поле Янга — Миллса удовлетворяет условию фдве^ = 0, а антисамодуальное — условию 攵*в6 = 0・ Заметим, что уравнение поля Янга — Миллса (5.5.43) или, что эквивалентно» (5.5.35) автоматически вытекает из (5.5.42) или, соответственно, из (5.5.34) в случае самодуаль- ных или антисамодуальных полей. Это обстоятельство существенно при выполнении конструкции Уорда для таких полей (гл・ 6, § 10).
Конформные изменения масштаба
В данном в гл. 1 геометрическом описании спин-векторов существенно использовалась структура световых конусов пространственно-временного многообразия Л. Роль самой метрики (которая приводила к такой структуре) была не столь фундаментальной. В действительности можно ввести спиноры, задавая лишь конформную структуру в многообразии 4, т. е. приписывая смысл лишь классам эквивалентности метрик, которые могут быть получены из некоторой заданной метрики gab пут* конформного изменения масштаба
ёаЬ^ЙаЬ = ^ёаЬ>(5.6.1)
где R — произвольное скалярное поле (Rw 宅),всюду положительное (Q > 0). Заметим, что это преобразование не осущест-
вляет преобразования точек. Информация, заключающаяся в конформной структуре, и есть в точности структура световых конусов. (Очевидно, что две конформно-эквивалентные метрики имеют одинаковые изотропные направления; обратно, две метрики с сигнатурой Минковского, имеющие одинаковые действительные изотропные направления； должны быть связаны конформным преобразованием; см., например, [158], формулы (6.4) — (6.8).) С физической точки зрения структура световых конусов ——более первичная структура, чем сама метрика. Ее например, вполне достаточно для исследования вопроса о причинной связи между событиями. В данном параграфе мы изучим конформную структуру более детально.
В гл. 1 была дана геометрическая интерпретация спин-век- тора хА в точке Р告成(с точностью до знака) как изотропного флага. Такое построение опирается на геометрию светового конуса (в касательном пространстве к 4) в точке Р. Конформная метрика действительно нужна, чтобы можно было дать определение спиноров. Однако все построение не зависит от выбора масштабной функции, ассоциируемого с некоторой заданной метрикой gab- Масштаб проявляется в каноническом соотношении между модулем S4 и дуальным ему модулем @л, т. е. в (кососимметричной) структуре внутреннего произведения на ©л, задаваемой величиной а#® Напомним, что в гл. 1, § 6 [формула (1.6.25) и далее] внутреннее произведение {х, т}=хлт^елв двух спин-векторов было определено чисто геометрически, на основе геометрии светового конуса. Аргумент внутреннего произведения был определен исключительно с использованием величин конформной геометрии (углов, стереографических проекций и т. п.), а модуль внутреннего произведения вводился с помощью понятия длины. Таким образом, внутреннее произведение {х, т} должно быть инвариантным относительно конформного изменения масштаба (5.6.1), тогда как модуль | {х, т} | может изменяться. Следовательно, если мы хотим сохранить нашу геометрическую интерпретацию, мы можем допустить изменение величины едв при конформном изменении масштаба, но не более, нежели умножение на некоторое действительное число!)- Поэтому, чтобы сохранить соотношение (3.1.9) ^Лв = ъав^в^ мы должны потребовать, чтобы преобразование (5.6.1) сопровождалось заменой
如一如=@^。 (5.6.2)
.1) Правда, слегка изменив интерпретацию, мы могли бы модифицировать (5.6.2) на случай комплексной функции Q, заменив величину Q2 в формуле (5.6.1) величиной RQ. Это естественным образом приводит к возникновению кручения в 4 как отмечалось в работе [145] (см. также примечание на с. 424).
Единственная альтернатива этому выбору, а именно, ёлв = =—Ябдв, не годится, так как она нарушает непрерывность при единичном преобразовании.
В обычном компонентном, описании (в заданной спиновой системе отсчета) имеем вАв = (0» 1, —1, 0), и эти величины не должны подвергаться преобразованию типа (5.6,2), которое относится к величинам с абстрактными индексами. Такое соглашение позволяет существенно упростить формулы преобразования при конформном изменении масштаба. Тем самым использование метода абстрактных индексов приводит к естественному развитию теории в направлении, которое нельзя было бы предвидеть, опираясь на компонентный подход, что в результате дает определенные преимущества. Задание преобразования (5.6.2) еще оставляет некоторую свободу при введении спинорных компонент. Рассмотрим три возможности. Пусть задана диада оА, И, нормированная по отношению к величине ел в, т. е. оЧвгАв = 1 [формула (2.5.39)], иначе говоря выбрана некоторая спиновая система отсчета. Тогда компоненты величины* вдв в этом базисе имеют стандартный вид еАВ = (0, 1, —1, 0). Если при конформном преобразовании масштаба положить бА = о4, fA = 4 то эти величины перестанут быть нормированными по отношению к новому спинору 如.Действительно, мы будем иметь ол1вёдв = £J, так что еАВ ="(0» Q, — Q，0). (Всюду подразумевается, что компоненты величин со шляпками берутся по отношению к 6矗нсу со шляпками.) В таком случае диада о£ И более не образует спиновой системы отсчету. Мы имеем ол = =—ёлво5 ==—йедвов = йол и аналогично 以=6小 а потому в данном базисе ®ав =(о, q, — fl, 0), Вторая возможность заключается во введении новой диады согласно соотношениям ол = О"|/2ол, %4 = Q~"2i4 Эта диада остается нормированной и мы имеем eoi = L а поэтом) ^ав = 8ав; для нее также имеем 訳= 0/204, 〃=，/2以；следовательно, ё01 = 1 н 6Ав = &ав Однако часто бывает удобнее сделать третий, асимметричный выбор: оА = й^о4, И = И. В этом случае ол = ол и и = Qu. Новая диада тоже остается нормированной, так что ёАВ = вАВ и вАВ = вАв. Такой выбор часто оказывается полезным, если одному из полей од (или И) необходимо отдать предпочтение, как, например, при обсуждении понятия конформной бесконечности в т. 2, в особенности в гл. 9, § 7 (см. также [140]).
Величины типа дельта-символа Кронекера gg, aj %戸 должны оставаться неизменными:
((5.6.3)((5.6.3)
((5.6.3)
((5.6.3)
поскольку они осуществляют перестановки индексов между различными множествами 好二，или, иначе, поскольку они удовлетворяют соотношениям вида gabgbc = ga [формулы (3.1.11) и (2.5.13)]. Мы должны также иметь
%甘^Q办g，， y = RTJ",6""=R""+4'(5.6.4)
в силу соотношений комплексного сопряжения и операций обращения, которыми эти величины связаны с ёлв. По аналогичным причинам
gab = QTgab.(5.6.5)
Одним из следствий вышеприведенных соотношений является то, что важная операция поднятия и опускания индексов тензора или спинора не коммутирует с конформным изменением масштаба. Поэтому необходимо пояснять, с помощью каких из величин g и е данный индекс поднимается или опускается. Мы будем придерживаться соглашения, что индексы любого объекта со шляпкой поднимаются и опускаются операторами 倉 или ё; для объектов без шляпки соответствующие операции производятся умножением на g или е.
Конформные плотности
Как отмечалось выше, спин-вектор х4 имеет определенный геометрический смысл (флаг и флагшток), совершенно не зависящий от масштаба. Спин-ковектор сол также имеет определенный геометрический смысл, хотя в этом случае интерпретация не является столь прямой (см., например, примечание на стр. 98 о геометрической интерпретации флагштока Wa = со欣筋 отвечающего спинору s^.) С точки зрения конформной структуры спинор соа нельзя связать с соответствующим спин-векто- ром s', ибо такое соотношение будет выполняться лишь с точностью до множителя. Естественный путь к интерпретации сод возникает из рассмотрения отображения 乂4*~*84乂' для спин- вектор а X4.
Предположим, что некоторый спин-вектор х4 задан геометрически и потому не зависит от изменения масштаба:
女 4 = хА.(5.6.6)
Тогда для ассоциируемого с ним спин-ковектора будем иметь
Йд = %в# = Й8ВЛХВ = ЙХд.(5.6.7)
Следовательно, дхл есть конформная плотность веса 1, т. е. величина, которая при конформном изменении масштаба (5.6.1) умножается на RL
Обратно, пусть задан фиксированный спин-ковектор ®л, т. е.
麻=О%.(5.6.8)
Тогда
&4 =仓4"&日=QT/"g)b = Q-1(oA,(5.6.9)
что представляет собой конформную плотность веса ——1.
В общем случае удобно иметь дело с конформными плотностями произвольного веса. Будем говорить, что величина 8“ является конформной плотностью веса 应,если при конформном изменении масштаба (5.6.1) она преобразуется согласно соотношению
у=а电"(5.6.10)
Можно рассматривать конформные плотности как функции не только точек многообразия 应，но и некоторой выбранной метрики gab Ч- Обычно k — целое или полуцелое число. Заметим, что величины 统力办中勿в，^从"，е""‘，g" имеют конформные веса 2, 1, 1, —1, —1, —2 соответственно. Следовательно, если спинорный индекс некоторой величины 8：二 поднимается, ее конформный вес уменьшается на единицу; если же индекс опускается —конформный вес увеличивается на единицу (ср. величины ед в и У"). Аналогично, при поднятии тензорного индекса конформный вес уменьшается на 2, а при опускании тензорного индекса — конформный вес увеличивается на 2.
Преобразование оператора Vfl
В данном параграфе мы подробнее остановимся на вопросе о конформной инвариантности. Система полей и полевых уравнений будет называться конформно-инвариантной, если всем полевым величинам можно приписать конформные веса таким образом, чтобы уравнения поля оставались неизмененными и после конформного изменения масштаба2). Предварительно нам не-
Если угодно, мы можем рассматривать конформную плотность как поле, заданное не на самом многообразии ”，а на 5・мерном многообразии, представляющем собой расслоение над Л, слоями которого являются одномерные пространства возможных масштабных факторов в каждой точке. Конформная плотность есть поле, заданное на этом расслоении, изменяющееся от слоя к слою в соответствии с равенством (5.6.10).
Теория в плоском пространстве-времени, инвариантная относительно группы Пуанкаре, а также теория, конформно-инвариантная в указанном смысле, будут также инвариантными относительно 15-параметрической конформной группы. Это связано с тем, что движения, ассоциируемые с группой Пуанкаре, становятся конформными движениями по отношению к преобразованной метрике. Этих конформных движений достаточно, чтобы породить полную конформную группу. Данный вопрос будет подробнее рассмотрен в т. 2 (гл. 9, § 2). Однако понятие конформной инвариантности в указанном выше смысле еще шире: оно применимо также к искривленному пространству-времени.
обходимо рассмотреть поведение оператора ковариантной производной при конформном изменении масштаба. Так как величины gab и &4в изменяются при этом преобразовании, их ковариантное постоянство до изменения масштаба будет приводить к иному условию для оператора Va после изменения масштаба. ^Таким образом, нам понадобятся два разных оператора Va и &а, для которых
VflB^jg = 0, Va®BC = ®*(5.6.11)
Будем предполагать, что в обоих случаях кручение отсутствует. На основании результатов гл. 4, § 4 находим [формулы (4.4.22), (4.4.23)]
0J = V/, 履 с = Va?c + &в 空 в，(5.6.12)
где [формула (4.4.47)]
®авс = 1Паевс -|- ^л/в8дс, Па, L w 2^・(5.6.13)
Далее, из (5.6.11) и (4.4.27) мы имеем
О = Va^BC === Va (ЙВзс) = Vq (R^bc) — ^aB^^^DC — ^aC^^^BD аея
=eBC (VqR — Q&』)=®вс (VaQ 一 2iQHa — 口丫 J
откуда
Q-VaQ = Ya4-2infl.
Но поскольку поле Q действительно, Пд = 0, а потому
Y。= R-%Q = Va In Q(5.6.14)
Подставляя эти значения Ha, 丫。сначала в (5.6.13), а затем в (4.4.27), для спинора общего вида Хв…卩'…‘ *'* будем иметь О
г? а*РS' ... _о *уР • • • S'... Y *уР • • • S'... -*Y* уР • • ♦ S' • • •-
V44%…产…一弘"%8…尸…工BA^A……… 1AF^j3 小…
—…+疗丫хА砒:証二+ ••• +%尸丫以脸，二 + 一・(5.6.15)
Отметим следующее важное обстоятельство: если спинор 廟二：凯:：является заряженным полем, то все проведенные рассуждения остаются без изменений. Более того, если спинор %^ 二:畏;二 имеет дополнительные янг-миллсовские индексы, это также не меняет выражения (5.6.15) и в нем не появляются какие-либо дополнительные члены.
Заметим, что если не пытаться выводить полученные выше соотношения, а ограничиться лишь проверкой их справедливостей, то можно частично опустить выкладки, приводящие к формуле (5.6.12) с учетом формулы (4.4.47). Достаточно убедиться в том, что равенство ^AAfBD = ^ваг^а° совместно с выра^ жением (5.6.14) ведет к уравнениям (5.6.11), причем в согласии с этим определением кручение, ассоциируемое с оператором Vfl, равно нулю.
Отметим также, что соотношение (5.6.15) имеет место и в геометрии Вейля [192]; при этом на величину 丫擅 налагается лишь условие действительности, и она не обязана быть градиентом некоторой функции. В геометрии Вейля задана конформная структура (и, следовательно, спиноры), но нет выделенной метрики. Там имеется оператор ковариантной производной V% но его действие на метрику не обязательно дает нуль. Оператор Vfl определяет обычным образом параллельный перенос и позволяет проводить сравнение длин в разных точках. Однако такое сравнение зависит от пути, т. е. не является интегрируемой операцией. Если произвольно ввести некоторую метрику gab. совместимую с конформной структурой, то найдем, что соответствующий кристоффелев оператор производной Vfl будет связан с оператором Вейля Va соотношением (5.6.15). Такой оператор 丫擅 <про- нзволен» в том смысле, что для заданной метрики gab любой выбор Ye 三 Ta приводит к соответствующей единственной связности Вейля Va.
В качестве частного случая выражения (5.6.15) выведем закон преобразования ковариантной производной тензора при конформном изменении масштаба. Рассмотрим сначала случай ко- вектора %:
VOV& = Naa>VBB' = NAA'Vbb> — Твл/Улв/ — TAB'VBA'=
=%几一丫M - 丫М + gj"；(5.6.16)
здесь мы просто применили соотношение (3.4.13) к двум последним слагаемым в первой строке. Чтобы перейти к общему случаю, введем тензор'
QabC-^aSbiC-Sa^c-(5.6.17)
Тогда можно переписать выражение (5.6.16) в виде
^аУь = %九一QabVc(5.6.18)
откуда находим [формулы (4.2.46) и (4247)]
京h = ^aub + Qjue(5.b. 19)
и в общем случае [формула (4248)]
"屹什 QK 坤:：『+ …+Qad”?：：：夕 + …
-Q J%.・x —Q J 屹:••泰(5620)
Эти формулы справедливы не только в случае незаряженных полей, но и в случае заряженных. Заметим, что тензорная форма (5.6.20) преобразования оператора Vfl более сложна, нежели спинорная (5.6.15), поскольку каждый Q-член фактически представляет собой три члена (5.6.17). Поэтому доказательства конформной инвариантности оказываются более простыми в спинорном формализме, нежели в тензорном.
Простой вывод преобразования кривизны при конформном изменении масштаба будет дан в гл. 6, § 8, а здесь мы приведем лишь основные соотношения [формулы (6.8.24), (6.8.25), (G.8.4)]
ФдВА^В^ =①从В"¥ — А (Д^ВОА («丫В。В»
£22a=a+ ；f丫。+十г几，
Последнее соотношение означает, что поле Тдвсо является конформно-инвариантным. Более того, как мы увидим в гл. 6, § 9, условие 4f48CD = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы многообразие Ж было (кусочно) конформно-плоским.
Поведение спиновых коэффициентов при конформномизменении масштаба
Приведем формулы, описывающие преобразование спиновых коэффициентов при конформном изменении масштаба. Сначала выпишем преобразования спиновых коэффициентов (4.5.21) при растяжении диады общего вида
ол = ОШ0+1ол,二=瞰'+£,(5.6.21)
что означает также
下= £}%", ?X = QV, ^ = £2映+3'+%.(5.6.22)
Для удобства введем обозначение
со = In Q,(5.6.23)
так что [формула (5.6.14)1
О® = 丫以，6(o = Y()r，6旬=丫1小，Pz© = Тц*. (5.6.24)
Тогда, применяя (5.6.15) к определениям (4.5.21) и вводя обозначение = 2, находим
北6 VГ6也訳dО'全V у北6 VГ6也訳dО'全V у
北
6 V
Г
6
也訳
d
О'
全
V у
北
6 V
Г
6
也訳
d
О'
全
V у
%s2
[e + (叫 + 1) D(o]S
(Y‘ + Wi D(o)工
T‘ — dz(o
(р — Deo) W
a + 也6'(0
6’ + (侬 1 + 1) 6&
『£T
aS
P + Wo + 1) 6s
a' + 叫 6(o
(pz-Da)£T
t — 6s
（Y + 侬（ДУ（о） £一1
[e' +(3i+ l)D'<o]£T
ML
(5.6.25)
Особый интерес представляют четыре частных случая формулы (5.6.21)
Од = о^> 1д = 1д； ол = £2 %", J = R Y; ^ = Q %
ол = Оол, 1Л = Й1Л; о =о,1 =i ; % —Q%,
^ = Q%4, m = Q1/2m; 1 = RT2o4, 1 = qT"； (5.6.26)
% = %>
Од = Од, tA = Й1д； О =Q О , I =1；% = %,
в которых соотношение {5.6.25) имеет следующий вид:
8 + -у D(0
y'
—~ D(o
Y — 6'(0
р — D©
а — — длш
у
+ -^ 6&
丁
а
Р + »加
а'
——ба)
р — Dz©
т — дш
у —玄 D'co
+抄3
к，
III: £2_，Х
8 + Do a
P + d(o Y
Y p — D(o a т — 6(0
У
P' + дЪ a，
2’ + D“
o，
0’ 一 D'o
X
т' — Msт' — MsIV:IV:■ qT 乂Q-2eQ~YQT (t‘一6'(o)R 2 (p—Dco)QT (a-，<o)2T (0，+"a>)『Qi。Q-1PR-Mp‘ 一 D'oqT (t—6(0)Y — D'(oe‘ + D'a)■ qT 乂Q-2eQ~YQT (t‘一6'(o)R 2 (p—Dco)QT (a-，<o)2T (0，+"a>)『Qi。Q-1PR-Mp‘ 一 D'oqT (t—6(0)Y — D'(oe‘ + D'a)(5627)(5627)
т' — Ms
т' — Ms
IV:
IV:
■ qT 乂
Q-2e
Q~Y
QT (t‘一6'(o)
R 2 (p—Dco)
QT (a-，<o)
2T (0，+"a>)
『
Qi。
Q-1P
R-M
p‘ 一 D'o
qT (t—6(0)
Y — D'(o
e‘ + D'a)
■ qT 乂
Q-2e
Q~Y
QT (t‘一6'(o)
R 2 (p—Dco)
QT (a-，<o)
2T (0，+"a>)
『
Qi。
Q-1P
R-M
p‘ 一 D'o
qT (t—6(0)
Y — D'(o
e‘ + D'a)
(5627)
(5627)
Простота случаев I и II довольно обманчива, так как условие нормировки % = 1 оказывается неинвариантным (т. е. преобразования изменения масштаба нельзя применять к спиновым системам отсчета). В случаях III и IV можно положить % = =% = 1, и тогда два средних столбца спиновых коэффициентов становятся противоположными по знаку [формула (4.5.29)]. Заметим, что «очевидный» выбор III, сохраняющий нормировку, приводит к несколько более сложным формулам, чем асимметричный выбор IV. Последний представляет больший интерес и удобен, например, при анализе асимптотического поведения гравитационного и других безмассовых полей (гл. 9, § 7). Можно также отметить, что случай обратного выбора IVF =以，бА = =ол описывается формулами (5.6.27) IV с заменой всех штрихованных величин нештрихованными и наоборот (при %' = х, £У = (ол = со).
Заметим [на основании соотношения (5.6.25)], что при любом выборе преобразований
Величины х, а, х‘, и' суть конформные плотности
веса 眺一со” 2©о，3<0[ —%, 2叫，соответственно, (5.6.28)
а также
Величина т —元'и мнимые части величин р, pl е, £‘, Y，Y’ являются конформными плотностями беса, соответственно,价 + ①卜 2соо, 2(0]r 2g)o, 2coh 2%, 2®1( (5.6.29) и, кроме того, при определенных масштабных преобразованиях некоторым из величин е, а, р, у, е', К 弘 V также могут быть приданы подобные свойства.
конформно-инвариантные операторы 6 % »
В заключение данного параграфа покажем, каким образом можно усовершенствовать модифицированный формализм спиновых коэффициентов, развитый в гл. 4, § 12, с тем чтобы сделать соответствующие операции конформно-инвариантными. Напомним, что при («калибровочном») преобразовании диады (4.12.2)
°А *—> ^°Д» Ол Ь-> Лол； 1Л I—> Ц1Л, 科〜》“!？(5.6.30)
скалярная величина т) типа {r\ г; f, f} изменяется [согласно определению (4.12.9)] следующим образом:
ПI—> /炉 J@%・(5.6.31)
Теперь предположим, что величина п обладает также конформным весом w и, следовательно, при конформном преобразовании диады (5.6.21) изменяется так:
fj = £2wT|.(5.6.32)
[Данное преобразование коммутирует с преобразованием (5.6.31).] Тогда можно ввести новые модифицированные операторы р и б, действие которых на такие дважды взвешенные скаляры определяется соотношениями
% = » + [ну — г' (% + 1) — г吗一，(％ + 1)—価 J Р，
% = Р' + 彼一 г'% _ Г (吗 + 1) — tfW0 _ / (吗+ 1)]р'，但
dy = d + [w — r (叫 + 1) — rw{ — t Wq — / @1 + 1)] *
% =夕 + [w — »% — /■(吗 + 1) — Г (% + 1) — f%] t'・.
Непосредственным вычислением можно убедиться в том, что
竭=%办=а®*?*%
丿、二(5.6.34)
МП = 3歹办=rw+侬 +妣 дт|,恥=%仁产叫Eg
т. е. операторы р&, »?, 6&, 6? являются конформно-взвешенными с весами 2侬必 2g+ % wo+ ^i соответственно [в смысле определений (4.12.17) с необходимыми изменениями ]. Они также являются и «калибровочно»-взвешенными операторами тех же самых типов (4.12.17), что и операторы 儿 р「б, / соответственно.
Заметим, что в соответствии с этими определениями операторы Р& и »】,вообще говоря, не являются действительными, а операторы 6& и 6? не являются комплексно-сопряженными друг к другу!) в противоположность операторам (4.12.30). При желании можно было бы иметь д型о с действительными операторами (1/2)(%+%), 32)(»； +彩)и комплексно-сопряженной парой (1/2)(% + %), (1/2)0& + %)・ Это было бы немного сложнее, но в принципе давало бы эквивалентную формулировку, поскольку разности Р& —»[，屯货—6] и т.д. просто выражаются через конформно-взвешенные величины р — р и т — У [формула (5.6.29)], представляющие собой «допустимые» элементы данного исчисления. «Изъятию из обращения», однако, подлежат величины р + р и 七 + 乎，не являющиеся конформновзвешенными, равно как и р и т в отдельности [см. текст перед формулой (4.12.15)].
Как мы видели в формуле (5.6.22), величина % имеет конформный вес @о + ®1 + 1; поэтому в силу формул (5.6.33) и (4.12.23) имеем
»球=彩%=加%=%%=8 (5.6.35)
Если нормировка % не изменяется (например, когда од, И представляют собой спиновые системы отсчета до и после изменения масштаба), мы имеем 如о + оц + 1 = 0. Тогда, вводя обозначения "=产一г и g = f — f, как в формуле (4.12.10), упростим выражения (5.6.33) следующим образом:
^^^ + [^ + (Р + Ч)^^ ^ — ^ + [^ — (р + <7)%]р\ 加=6 +[图+ p/- 0%]% % 0" + 网一0% + 051)匕(5・6・36)
С помощью этих операторов можно упростить различные конформно-инвариантные уравнения, записанные в модифицированном формализме спиновых коэффициентов. Заметим для будущего, что уравнения для свободных безмассовых полей, при-
I) Однако в случае комплексных R можно определить операторы так, что »g = р&, 8片=ду, если они действуют на величины с обобщенным конформным весом, выражающимся двумя числами, причем эти числа суть степени, в которые возводятся величины R н Q' в результате изменения мае» штаба (см. примечания на стр. 420 и 424).
веденные в этом формализме в формуле (4.12.44) (к более подробному обсуждению которых мы обратимся в следующем параграфе), могут быть представлены в форме (r = 1, ..., п)
Мг~ б/гт = (Г - 1)『6г-2 ~(П — Г)峭+1，
%外—»：#г-1 = (，一 1) Х%г-2 — (к —，)叶г+1，''
а твисторное уравнение (4.12.46) принимает вид
д^(о° = aW, 6g亦=а©0,
р^(о° = х7©1, р；®1 = хаД(5.6,38)
%<о。= р^®\ »№ н 6】®L
В этих уравнениях величины фА £ и соА выбраны имеющими конформный вес —1 и 0 соответственно. Получающиеся значения з для различных компонент 力门 ®" зависят от выбора wQ и wi в формуле (5.6.21), но это не приводит к различию в определениях, поскольку коэффициенты в дополнительных членах в точности компенсируются изменением 5。и шь
Заметим также, что если выбрать 2-форму 0 и 3-форму у имеющими нулевой конформный вес, то уравнение для внешней производной Y = d§ [формула (4.14.80)], как следует из соотношения (4.14.81), может быть записано в виде
3丫01"巾1，н %р[му — 6gpQ[，u，+ %Po[，w(5.6.39)
а уравнение (4.14.92) принимает форму
§ {»；% —力卜J # _ §卜产_ §卜0歹・(6.6.40)
Дальнейшие применения этих операторов можно найти в гл. 5, § 12; гл. 9, § 8 и 9.
Безмассовые поля
Обратимся к рассмотрению важного класса спинорных уравнений, являющихся конформно-инвариантными: уравнениям для безмассовых свободных полей со спином (1/2)п, где п — положительное целое число. Пусть спинор «дд …厶 имеет л индексов и симметричен:*
^AB,..L = ^(AB...Ly(571)
Тогда уравнение для без массового свободного поля со спином м/2 запишется в виде
Комплексно-сопряженное уравнение (л индексов)
^ааЪа/в/ …и = О, В#方…и = Q(AfBf ...l^ (5.7.3) также описывает безмассовое свободное поле со спином м/2. Если этими полями представляются волновые функции квантовых частиц в пространстве М, то обычно налагается условие положительной частотности, состоящее в требовании, чтобы в их фурье-разложениях присутствовали только члены вида » где ра — вектор, направленный в будущее, а 公一координаты точки (см. также гл. 6, § 10). Тогда решения (5.7.2) описывают левополяризованные безмассовые частицы (спиральность ——九/2): а решения (5.7.3) — правополяризованные (спиральность +几/2) [45, 66, 67, 137, 146].
Напомним, что тождества Бианки имеют именно такую форму в пустом пространстве, причем роль поля 九 играет поле Wabcd [формула (4.10.9)]. Поэтому их можно рассматривать как <полевые уравнения со спином 2 в искривленном пространстве- времени»; их тесная связь с уравнениями Эйнштейна уже отмечалась [см. замечание после формулы (4.10.10)]. Уравнения Максвелла без источников (5.1.57) тоже имеют такой вид, причем роль поля 力…(спин 1) играет поле фдв. Уравнение Дирака —— Вейля для нейтрино (4.4.61) также попадает в эту категорию, причем ^... = Уд (спин 1/2), а именно УАЛ^Л = 0.
Спин 2: Гравитационные возмущения
Уравнение (5.7.2) в случае спина 2 представляет интерес и в пространстве Минковского М [67] как спинорный вариант <калибровочно-инвариантной> формы вакуумных уравнений Эйнштейна в пределе слабого поля [т. е. линеаризованной эйнштейновской теории, называемой иногда быстрым приближением (《fast approximation»)]. Представим себе гладкое однопараметрическое семейство пространств-времен, удовлетворяющих вакуумным уравнениям Эйнштейна, такое, что значению параметра и = 0 соответствует пространство М. При всяком фиксированном значении и мы имеем спинорное поле 4fascd на таком многообразии, удовлетворяющее уравнению У"4''屮abcd = 0・ Поскольку это поле гладко стремится к нулю при «->0, можно ожидать, что величина u-^abcd имеет предел Babcd при «->0, т. е. в пространстве Минковского, где эта величина удовлетворяет уравнению (5.7.2) для плоского пространства-времени. Такую процедуру действительно можно провести, но обычно линеаризованную теорию Эйнштейна формулируют, рассматривая действительное симметричное тензорное поле («потенциалов») hab ^ ^tab} на М, описывающее отклонение первого порядка метрики пространства-времени от плоской метрики [gab (и)=
==gab + uhab + О (и2), ГДв ПО Предположению gab = gab(0) есть метрика плоского пространства-времени]. Вычисление кривизны (в первом порядке по 〃) приводит к следующему результату:
К abed :=也(u~l^abcd (%Н2V 也 V][也)] 即(5.7.4)
где Va — оператор производной в плоском пространстве-времени, обладающий свойством коммутативности.
Очевидно, что кривизна Кем обладает симметриями тензора Римаиа
К abed == К [cd} [ab]» K\abc] d === °，(5.7.5)
и уравнения Эйнштейна (4.6.30) принимают вид
К/ - ^ ggKM" = — 8луЕ8,(5.7.6)
где Еаь — линеаризованный тензор энергии-импульса Та&・ В отсутствие источников величина Kabcd удовлетворяет уравнению
К$ = 0.(5.7.7)
а потому совпадает с тензором Вейля в первом порядке Нт(〃一i&“d(〃))и может быть представлена в виде [формула (4.6.41)]—
Kabcd = §ABCD&A 汨唁 ЬВ + ^A^^D^AB^CDf(5.7.8)
где 中abcd = lim (u-^abcd (〃))есть полностью симметричный спинор. Очевидным образом тензор Kabcd удовлетворяет тождествам Бианки
%aKbc] de = °，(5.7.9)
которые в случае (5.7.7) эквивалентны [формула (4.10.9)] уравнению
VA4Vabcd = 0.(5.7.10)
Следовательно, если 中abcd рассматривается как безмассовое поле, то полевые уравнения (5.7.10) соответствуют тождествам Бианки для тензора Kabcd, а его симметрия выражается соотно-? шениями (5.7.5) и (5.7.7), включающими уравнения Эйнштейна. С физической точки зрения поле флвсо имеет более важное значение, нежели Лаь, поскольку величины %ь определены с точностью до <калибровочных преобразований». Последние индуцируются «бесконечно малыми преобразованиями координат» и имеют вид
% — % — 2V席&)при некотором 协 (5.7.11)
Но тензор Каъсл инвариантен относительно таких преобразований, и то же самое относится к тензору Babcd. Можно считать уравнение (5.7.10) калибровочно-инвариантным уравнением для слабого гравитационного поля. Тензорный вариант этого уравнения с учетом свойств симметрии тензора ^abcd представляет собой систему уравнений (5.7.5), (5.7.7) и (5.7.9).
Действительно, условие (5.7.9) [а в отсутствие источников условие (5.7.10)] является достаточным для того, чтобы тензор Kabcd вида (5.7.8) можно было выразить в форме (5.7.4) через некоторый симметричный тензор 儿瓦 Кроме того, для пустых областей вне области локализации источников достаточность условия (5.7.10) является глобальной, если только обращается в нуль некоторый набор из 10 интегралов [160, 181] (см. также гл. 6, § 4).
Независимо от того, имеются ли источники гравитационного поля, всегда выполняется соотношение
^ABCD = 4 KiABCD) A'B'C'D厘А'В'еС'О,
что с учетом равенства (5.7.4) дает соотношение между hab и
ABCD =豆 V^Vfl 九CD) 4咽九(5.7.12)
При наличии источников, описываемых тензором энергии-импульса Еаь в пределе слабого поля, обобщение уравнения (5.7.10) имеет вид [формула (4.10.12)]
▼”^8 = 4луУ^£сп)『'•(5.7.13)
Полевое уравнение, которому удовлетворяет тензор hab9 может быть записано в виде
—16吋旦匕=□儿瓦一2^ИЬ}С + ga^hcdу
==口 Лдд/дд, — ^AB^^ ^CAW Ув«ус%5M/У， где □ = VaVe и
ЕоЬ =九3 — ^ ga^ q hAB^ q 龜*А『
[формула (3.4.13)]; оно сводится к виду
口儿8=* - 16ЛY筑匕
при выполнении калибровочного условия де Дондера
У%л ■ 0，т. е. У43%必=0.
В этой калибровке в отсутствие источников можно опустить в формуле (5.7.12) скобки, обозначающие симметризацию (по-
скольку симметрия по AD и ВС следует из равенства V^C] x/DB/ = 0. а симметрия по 4В следует в вакуумном случае из равенства ПЛдь = 0); при наличии же источников можно написать
中 авз = Т 吟W% 一 *з" "Y%(вес)»Е；*
Как будет видно из дальнейшего, конформная инвариантность линеаризованной теории слабого гравитационного поля в отсутствие источников [т. е. формула (5.7.10)] наиболее очевидна при ее формулировке с использованием поля 中abcd. Одиако это нетрудно, разумеется, показать и рассматривая поле hab.
Важное обобщение формулы (5.7.4), относящейся к плоскому пространству, можно получить, рассматривая возмущения некоторого неплоского пространства-времени 4 в предположении, что как Л, так и возмущение удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна. Тогда мы будем иметь некоторое фиксированное ненулевое поле 电＜scd фона и некоторое переменное поле Фа BCD, описывающее возмущения. Однако поле 勿68 не будет «калибровочно-инвариантным» в том смысле, что если поле 无擅也 из которого оно получается, претерпевает преобразование (5.7.11), то поле 中abcd, вообще говоря, будет изменяться. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что это связано с неопределенностью в том, какая точка пространства-времени Ж соответствует той или иной точке в возмущенном пространстве. Поскольку тензор ^abcd описывает разность возмущенной кривизны и ноля Wabcd, эта неопределенность будет сказываться на получающемся значении Фавси во всех случаях, когда 4fabcd*0・ Кроме того, уравнение для свободного безмассового поля (5.7.10) в общем случае не выполняется. Для описания возмущений необходимо использовать в явном виде потенциалы ha^ Тогда (вакуумные) полевые уравнения будут иметь вид
%▽% 加一VOVA° - VaVcV + VjVcV = о,(6.7.14)
где величины hab определены с точностью до калибровочных преобразований (5.7.11), и вместо (5.7.12) и (5.7.10) мы будем иметь, соответственно,
*4BCD = Е У削告力8) А® + 7 ^^ABCD(5・7 J 5)
и также
М“4В8 = Тh^NBB^RSCD-外(“胪破，一
-多у股(В”а8%d产
Под действием преобразования (5.7.11) поле флвсй изменяется так:
§ABCD *** ^ABCD —守*%' (A^BCD) £ — 24f七(ДВС^D) Fzf
(Эти соотношения заимствованы из работы [37].)
Конформная инвариантность
Чтобы установить конформную инвариантность уравнения (5.7.2), мы представим его в несколько иной форме, которая будет удобна и в дальнейшем. Оно эквивалентно уравнению [формула (2524)]
^М^АВ ... L = ^МЧМ^Л)В... £
и, следовательно, уравнению [формула (3.3.15)]
УМ，М§АВ …L = Vm(mBab …£)•(5.7.16)
Выберем теперь величину ^лв >£ так, чтобы она была конформной плотностью веса ——1, т. е. выполнялось равенство
fAB...L = ^AB...L-(5.7•⑺
Тогда в силу формулы (5.6.15)
^м^ав 丄=R&m，m(Q |*дв …工)=
~^MrM^AB...L — 丫 M，M§AB …L — Ym，A§MB …L 一 …■"丫 M%3aB …M‘
(5.7.18)
где мы воспользовались частным случаем (при г = —1) полезного соотношения
Q-rVeQr = rYa,(5.7.19)
непосредственно вытекающего из (5.6.14). Теперь заметим, что правая часть равенства (5.7.18) без первого слагаемого всегда симметрична по МАВ ... L. Следовательно, при необходимом и достаточном условии (5.7.16) левая часть равенства будет симметрична по индексам МАВ ... L. Но это означает, что уравнение (5.7.16) является конформно-инвариантным. Для последующих ссылок приведем другую форму этого утверждения, которая получается в результате свертки обеих частей равенства (5.7.18) С £“М：
产毛в.」= мУ%.“(5720)
§ 8・ Условия совместности
Для уравнения (5.7.2) в искривленном пространстве-времени имеется алгебраическое условие совместности [21, 23, 151] при л > 2, а в случае заряженных полей Ф- в присутствии электромагнитного поля имеется такое условие при л > 1 [67]. Чтобы найти эти условия, подействуем оператором 寸日片 на уравнение (5.7.2), предполагая, что поле 屮从^...工 имеет заряд е; тогда с помощью формулы (5.1.44) найдем
О = ^АА'^АВС …厶=V毋L «АВС... L = 口 "В 储 ВС …L =
=-ieq)AB中АВС^^А^МВС...£-ХАВМв*4мс...L-
—ХАвм*авм …l ―…—^ABMl,^abc ...м-(5.8.1)
Первые два члена, содержащие X, равны нулю, так как %л(вм)д = о [формула (4.6.6)]. Кроме того, поскольку в силу формулы (4.6.35) мы имеем Х^^с — ^^с, из этих выкладок следует, что при м》2 выполняется соотношение
(〃 -2)打 вм «с... №「в” = - ^аУавс .」•(5.8.2)
Данное соотношение представляет собой алгебраическое условие, связывающее поле с конформной кривизной ^двсл при п>2 и с электромагнитным полем фдв, если е*0 при n > 1.
В силу этих алгебраических условий уравнение поля (5.7.2) оказывается неудовлетворительным, когда эти условия не пусты. Укажем отдельные возможные случаи. Первый случай — когда пространство-время имеет метрику Минковского, а электромагнитное поле отсутствует или заряд поля 屮从 丄 равен нулю; уравнение поля (5.7.2) удовлетворительно в том смысле, что все комплекснозначные решения волнового уравнения (или действительные решения уравнений Максвелла без источников) являются допустимыми. Это покажет анализ, который будет проведен в § 10 и И. В качестве второго случая рассмотрим искривленное пространство-время, которое является (локально) конформным пространству Минковского, т. е. для которого можно найти конформное преобразование масштаба (локально), сводящее метрику к метрике Минковского. В этом случае также (по- прежнему в предположении, что вфдв = 0) уравнение (5.7.2) удовлетворительно, так как благодаря его конформной инвариантности построение решения сводится к построению решения в пространстве М・[Действительно, Wabcd обращается в нуль в конформно-плоском пространстве, так что соотношение (5.8.2) становится пустым, если правая часть равна нулю.] В качестве третьего случая предположим, что пространство-время не является конформно-плоским, но вфдв = 0. Конформный спинор
Вейля теперь будет отличен от нуля [формула (6.9.23)], а по- гому условие совместности (5.8.2) необходимо также учитывать. В случаях 九= 1, 2 (поле нейтрино и максвелловское поле) по-прежнему нет никаких ограничений (кроме, может быть, глобальных проблем) и поля определены так же хорошо, как и в пространстве М. Но при м > 2 условие (5.8.2) оказывается весьма сильно ограничивающим. Например, как показали Белл и Шекере [13], в «алгебраически общем» вакуумном пространстве-времени [имеющем разные гравитационные главные изотропные направления; см. текст после формулы (3.5.21), а также гл. 7, § 3 и гл. 8, § 1] при п = 4 существует не более двух линейно-независимых решений уравнения (5.7.2), и, вообще говоря, допустимы лить решения, кратные ^Vabcd-
Все это относится к случаю, когда нас интересуют решения уравнения (5.7.2) в заданном пространстве-времени 4. Разумеется, ситуация будет существенно иной для (полных) вакуумных уравнений Эйнштейна. Если понимать под *••• в уравнении (5.7.2) вейлевский спинор Тдвсд, то условие (5.8.2) принимает ВИД
^двм (cWd)4BM = О
и фактически не является ограничением, поскольку автоматически выполняется для любого симметричного спинора Yabcd； действительно, если применить справило пилы» к трем сверткам, то левая часть лишь приобретет знак минус.
Условие совместности (5.8.2) при наличии заряда е и электромагнитного поля флв менее интересно, поскольку безмассо- вые заряженные поля не существуют в природе. Должны, по-ви- димому, возникать трудности с электромагнитными взаимодействиями, когда спин больше 1/2 (n > 1). Но такая же ситуация (существование алгебраических ограничений) имеет место и в случае массивных заряженных полей [67]. Кроме того, аналогичные трудности возникают при наличии гравитации (кривизны) в случае спина, превышающего 1 (л > 2) [21].
Тензор энергии-импульса
Трудности, отмеченные выше, перекликаются с проблемами» возникающими при попытках построения для безмассовых полей с более высокими спинами физически содержательных выражений для тензоров энергии-импульса (симметричных и имеющих нулевую дивергенцию), играющих роль источников Таъ в гравитационном случае, а также векторов тока Ja в электромагнитном случае, которые должны стоять в правой части соответствующих уравнений поля. Выше было показано [формула (5.2.4)], как построить тензор Таъ в случае безмассового поля
со спином 1. В случае поля Дирака ——Вейля со спином 1/2 имеем
^ab~ 々 ”(Кв)«% —风4必，)xvb)»(583)
а в случае массивного (дираковского) поля со спином 1/2 [формула (4.4.66)] тензор энергии-импульса имеет вид
Т&ь =岑(33即一^А^ьФа + 中вР点В，一 Фв^аФв —
—兀Nb%£ + %Н%匕一5CBVaXBz + ХвУ品)，
где 论 ——действительная постоянная. (Такие поля ие являются классическими. Это относится ко всем полям с полуцелым спином, к которым приложим принцип запрета Паули (см., например, [16]). Следовательно, выражение (5.8.3) должно применяться лишь в квантовой теории поля *). С этим связано отсутствие положительной определенности величины TabVaVbt где Va — времениподобный вектор.)
Эти тензоры, очевидно, симметричны, а тензор (5.8.3) имеет и нулевой след Taa = 0, поскольку соотношение (5.7.16) указывает на его симметрию по индексам АВ и А'В'. Условие равенства нулю дивергенции УаТаь = 0 также выполняется, хотя в случае искривленного пространства-времени это и не столь очевидно. При его проверке существенно сокращение членов, содержащих тензор кривизны, который возникает при перестановке производных. Для тензора (5.8.3) этот результат можно получить из следующего тождества, которое нам понадобится также в т. 2:
V*%，(朮8)н ^в^еУа^а 一 у У«вУЗ同 +
+ ЗА%» 矗—力日 *j腐4(584)
[Оно вытекает из формулы (4.9.7), если воспользоваться тождеством (2.5.23) в форме Saab = 5два — SJaJ Если ^ = va, то члены с производными в правой части исчезают и симметризация по АВ в левой части может быть опущена. Если применить оператор 口 к тензору (5.8.3), то возникнет член, содержащий (5.8.4), который сокращается с сопряженным ему. Искомый результат отсюда следует непосредственно.
Случай спина 0 требует особого рассмотрения, которое лучше отложить до гл. 6, § 8. Здесь мы приведем лишь выражения для тензора энергии-импульса
%==^川3州84"
В классической теории поля с полуцелым спином следует считать принадлежащими алгебре Грассмана (антикоммутирующими).— Прим, перд§.
поля, удовлетворяющего уравнению □◊ = () (6 действительно), а также для тензора
ТаЪ=^^А{А^в^ - 3匕Ш，％И时 + Ф^АВА^ в случае конформно-инвариантного уравнения (口+^R)3Ho [формулы (6.8.30) — (6.8.37)]; подробнее см. [140]-
Однако в случаях спина 3/2, 2, ... «е существует выражения для Tab, имеющего перечисленные свойства симметрии и нулевую дивергенцию, которое зависело бы квадратично от локальных полевых величин 力& …厂 В этом нетрудно убедиться, рассматривая различные возможные члены, квадратичные или билинейные ПО 6а …丄 И 匕…D и ИХ производным. Поле 屮4…£ имеет избыток индексов, который, как оказывается, невозможно ликвидировать с помощью сверток. Взятие производных от За …丄 также не разрешает этой трудности. Чтобы построить Tab, нам пришлось бы прибегнуть к интегрированию ^л L. Выражения для Tab, построенные с помощью потенциалов поля За д, действительно существуют. Но они непригодны для общей теории относительности, поскольку в эйнштейновские уравнения поля входят локальные значения тензора Таъ\ а не проинтегрированные выражения для полной энергии. Такие локальные выражения зависели бы от калибровки потенциалов и, следовательно, не имели бы определенного физического смысла. В случае самого гравитационного поля локальный тензор энергии- импульса не существует. Но в нем и нет необходимости, поскольку гравитационное поле не дает вклада в правую часть уравнений Эйнштейна. Вместо этого гравитационная энергия фигурирует как нелокальная величина (гл. 9, § 9 и 10).
Хотя случай заряженных полей с нулевой массой менее интересен с физической точки зрения, не мешает заметить, что для таких полей оказывается невозможным построить локальный вектор тока по образцу выражений (5.10.16) и (5.10.21) при тех же значениях спина, при которых имеют место трудности с соотношением совместности (5.8.2). Если бы поле нейтрино было заряженным, то соответствующий вектор тока был бы пропорционален v^v^. Но для полей с большими спинами локальные (калибровочно-инвариантные) выражения построить невозможно.
Совместные системы полей с высшими спинами
При определенных условиях можно построить совместные уравнения для безмассовых полей с большими спинами, взаимодействующих с гравитационным или электромагнитным полем.
Однако они уже не будут описываться простыми калибровочноинвариантными спинорами, удовлетворяющими некоторым полевым уравнениям, подобным уравнению (5.7.2). Например, мы видели, как построить уравнения поля со спином 2 на фоне пространства-времени 虜,удовлетворяющего вакуумным уравнениям Эйнштейна, рассматривая возмущения метрики пространства- времени, которые тоже удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна. При этом вместо калибровочно-инвариантной величины 中abcd мы описываем поле потенциалами hab е £(а&)удовлетворяющими условию (5.7.14) в качестве полевого уравнения. Две такие величины hab считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они связаны между собой преобразованием вида (5.7.11); затем мы вводим спинор ^abcd, определяемый соотношением (5.7.15). Но если мы будем рассматривать это как теорию безмассового поля со спином 2 на фоне заданного вакуумного пространства-времени, мы все же столкнемся с трудностью, заключающейся в отсутствие калибровочно-инвариантного локального тензора энергии-импульса..
Ситуация, возможно, несколько более удовлетворительна в случае безмассового поля со спином 3/2. Одним из побочных результатов теории суперсимметрии [43, 72] является доказательство того, что существует связанная система уравнений для без- массовых полей со спином 3/2 и гравитационного поля. Поле со спином 3/2 можно задать потенциалом
^авсг = ®(дв)а
[хотя оно обычно описывается «майорановским 4-спннор-тензо- ром》(Хдь.Хдг)» поскольку свойства симметрии потенциала *авс‘ более сложны], удовлетворяющим уравнению
Vxx，Xabcz = °-
В пространстве Минковского М это означало бы, что <поле»^авс = ▽¥ %вса
удовлетворяет уравнению для безмассовых полей (5.7.2), но в искривленном пространстве-времени есть поправочные члены, включающие потенциал Хав с，и кривизну. Тензор энергии-импульса с точностью до дивергенции пропорционален выражению ^авсХа^0 — Xabc^aW
плюс квадратичные по % члены, связанные с кручением (гл. 4, § 2) и пропорциональные разности
%cAA 次 c?b - %С8日次e*衣
(Полная теория супергравитации инвариантна относительно калибровочных преобразований, включающих как гравитационное
поле, так и поле со спином 3/2: метрика приобретает добавку, пропорциональную %лв ^в^ + ^(а^в)а^ а поле со спином 3/2 — добавку Vac^ причем «поле со спином 1/2》, определяющее выбор калибровки, удовлетворяет уравнению V'*藏=0. Поле со спином 3/2 обладает также определенными свойствами антикоммутативности, которые тоже необходимы для совместности полевых уравнений. Форма уравнений для Хавс^ которая приведена выше, отвечает ограничению такими калибровочными преобразованиями, которые не нарушают симметрии по индексам АВ [5].)
Возможны также, по-видимому, и другие специальные системы совместных уравнений [23, 24, 50].
Конформная инвариантность различных полевых величин
Напомним, что тензоры энергии-импульса полей Максвелла и Дирака ——Вейля являются бесследовыми. Это свойство, как и можно было ожидать, тесно связано с конформной инвариантностью. Рассмотрим бесследовый симметричный тензор общего вида
ТаЬ = Т АВА^ = Т (АВ) («86
имеющий нулевую дивергенцию:
V“7/ = 0・(5.9.1)
Поскольку тензор Таь квадратичен по полям, можно предположить, что он является конформной плотностью веса —2:
fa^Q-Чь-(5.9.2)
При таком предположении уравнение (5.9.1) действительно будет конформно-инвариантным, поскольку в силу формулы (5.5 Л 5)
^fab = qV* (q-^J = У% - ^aTab- хаа'тава^-
—^ва'тааа'в' — ^a'I'ab^b' — ^Ав'Т АВ а'а，=
=0- 2ТаТаЬ + ХаТаЬ-о+ YaTab-0 = 0.
Аналогичные (но несколько более короткие) вычисления показывают, что условие обращения в нуль дивергенции вектора тока Vй/а = 0 также является конформно-инвариантным, если
Ja = Q-2Ja.(5.9.3)
Это можно показать и другим путем. Например, в координатном базисе справедливо классическое выражение [166]
V/ =(一犷"2{{(一犷广}，(5.9.4)
где g = det (gab)・ Применив к нему преобразование (5.6.1) при фиксированных координатах, найдем g = R^g, так что выражение в фигурных скобках в (5.9.4) имеет конформный вес 0, если /& имеет конформный вес —4 [что согласуется с (5.9.3)]. Поэтому все выражение есть конформная плотность (веса —4), а это означает, что равенство его нулю является конформноинвариантным свойством.
Существует также способ доказательства этого утверждения, не зависящий от координат. Заметим, что дуальной к Ja будет 3-форма
(5,9.5)
в обозначениях формул (3.4.29) и (4.3.10) применительно к 4 измерениям, как в гл. 4, § 13 (латинские индексы!). Следовательно, с учетом формул (4.3.14) и (3.4.32) имеем
d’J = %『4加& =—彳(V 丿 °) etM^ •(596)
Это означает, что внешняя производная от +/ есть просто дн・ вергенция тока Ja. Поскольку, согласно формуле (3.3.31),
2abed ==。'自咖外(5.9.7)
с учетом формул (5.9.3) и (5.9.5) будем иметь +/ =+/. Значит, dV — d+/, так как внешняя производная не зависит от выбора ковариантной производной. Таким образом,
как и ранее. .
Выражения ^аТаъ и Ve/a являются частными случаями более общей системы конформно-инвариантных выражений, которая будет рассмотрена в т. 2 [формула (6.7.33)].
Обратимся теперь к доказательству конформной инвариантности уравнений Максвелла. Это можно сделать различными способами. Уравнения без источников имеют вид [формула (5.1.52)] ^аа^ав = ° и, как мы уже показали [формула (5.7.17)], являются конформно-инвариантными, если
фдв = й-1фдв> т・ е. ф4й = £2"3<рлв, ( 5,9.8)
откуда с учетом (5.1.39) получаем
Раь = Р^ Fab^Q-iFab.(5.9.9)
Если имеются источники поля, то уравнения (5.1.62) приобре
тают вид
Принимая во внимание (5.7.20) и (5.9.3), мы видим, что обе части этого равенства представляют собой конформную плотность веса —3; тем самым требуемое свойство инвариантности доказано.
Убедиться в конформной инвариантности уравнений Максвелла можно также с помощью формализма § 1. Определение тензора Fab, основанное на соотношениях (5.1.13) и (5.1.37), не изменяется при конформном изменении масштаба и является совместным с соотношениями (5.9.9). Следовательно, первая половина уравнений Максвелла (5.1.36) инвариантна относительно этого преобразования. В доказательство инвариантности второй половины уравнений. Максвелла (5.1.38) данный формализм не вносит ничего нового, и мы возвращаемся к приведенным выше рассуждениям. Заметим, что выбор конформного веса для Fab, естественным образом вытекающий из теории заряженных полей, совпадает с тем, который необходим для обеспечения конформной инвариантности уравнений Максвелла. Такой вывод не является безусловным, поскольку инвариантность уравнений Максвелла не обязательно означает, что связь Fab с заряженными полями должна быть конформно-инвариантной. В случае (линеаризованного) гравитационного поля подобное совпадение не имеет места.
Можно также воспользоваться для записи уравнений Максвелла дифференциальными формами и таким путем еще раз продемонстрировать их конформную инвариантность. Полагая
Ф ：= Ф/Р f：=尸"力，*f：=*几右， (5.9.11) в силу формул (4.3.14) и (5.1.37) будем иметь
(5.9.12)
Последовательно применяя соотношения (4.3.14), (3.4.27), (5.1.38), (5.9.5), находим
d*尸=%，Н闯=4气wY尸° =書叫J =苧V.
Уравнения Максвелла (5.1.38) оказываются эквивалентными второму из соотношений
dF = 0, d*F = ^±J,(5.9.13)
тогда как первое непосредственно воспроизводит уравнений Максвелла первой группы (5.1.36). Как мы уже зкаем. из (5.1.13) вытекает, что Ф == Ф, откуда в силу равенства (5.9.12)
имеем 々=F и, следовательно *F = Т; тогда, выбрав +7 =+/ [что соответствует равенству (5.9.3)], найдем, что все уравнения (5.9.13) [а также (5.9.12)] являются соотношениями между* величинами нулевого конформного веса и потому конформно-инвариантны. [Несмотря на то, что в уравнения (5.9.13) метрика, казалось бы, не входит, фактически это не так, поскольку в соотношение между F и *F входит конформная метрика.]
Интересно отметить, что условие калибровки Лоренца
V "①0 = 0
[формула (5.1.47)], имеющее форму уравнения (5.1.54) (которое вытекает из уравнений Максвелла), конформно-инвариантно, если величине Фй (как и току /а) приписать конформный вес —2. Но это не тот вес, который придает конформную инвариантность соотношению (5.1.37). Поэтому максвелловскую теорию 8 калибровке Лоренца следует рассматривать как не являющуюся конформно-инвариантной теорией.
Точные системы полей〔)
В данном параграфе будет показано,.как построить общую схему рассмотрения систем взаимодействующих полей в плоском или искривленном пространстве-времени, т. е. в общей теории относительности. Гравитационное- поле будет описываться спинором Тдвсо, который в рамках общего рассмотрения будет трактоваться на равных основаниях с другими полями. Главную роль в наших построениях будет играть понятие точной системы взаимодействующих полей [136, 139]. Имея такую точную систему, можно быть уверенным, что поля будут распространяться в пространстве-времени в соответствии с общими физическими принципайй； в общей теории относительности они к тому же порождают структуру пространства-времени. Подходящая форма задания начальных условий, как будет показано с разных точек зрения в § 11 и 12, опирается на представление о характеристических (т. е. изотропных) начальных гиперповерхностях. В случае точной системы полей начальные данные полны и не「 избыточны (без связей), а поэтому подсчет степеней свободы не представляет затруднений. Упрощения и унификация, возникающие в настоящей формулировке, являются прямым резуль-
В оригинале: «Exact sets of fields». Это понятие, введенное Пенроузом, тесно связано со спинорным подходом к описанию полей и не имеет общепринятого аналога в стандартной теории поля. Содержание данного понятия раскрывается в тексте что же касается предлагаемого русского эквивалента термина, то он представляет собой почти буквальный перевод указанного английского выражения и только.——Лрим. перев.
татом использования двухкомпонентных спиноров. Соответствующая же тензорная формулировка оказывается крайне сложной.
Рассмотрим систему полей
噱 К：*'，力版.•* 齋(5.10.1) в которой каждый спинор симметричен по всем нештрихованным, а также по всем штрихованным индексам. Любое из двух множеств индексов и оба они могут быть пустыми. (Выбор в качестве штрихованных контравариантных индексов, а в качестве нештрихованных ковариантных продиктован лишь соображениями удобства обозначений.) Как было показано в гл. 3, § 3, любой спинор можно представить с помощью символов 8 и спиноров, которые подобно спинорам (5.10.1) полностью симметричны по штрихованным, а также нештрихованным индексам.. Стало быть, любая конечная система взаимодействующих локально лоренц-ковариантных (конечнокомпонентных) полей может быть представлена в виде системы (5.10.1).
Предположим, что поля (5.10.1) подчиняются некоторой системе ковариантных дифференциальных уравнений, содержащей оператор Va. Тогда система (5.10.1) будет называться точной системой полей, если в произвольной точке Р выполняются следующие два условия:
все симметризованные производные
•咯'…г2屮?二嘗r •國/二£力…(5.10.2)
[включая дифференцирование «нуль раз» полей (5.10.1)] независимы, т. е. могут независимо принимать произвольные) значения в точке Р;
все несимметризованные производные
уf'…Y3崂二，#'‘…' V：…取就二電’…(5.10.3)
определены в точке Р значениями симметризованных производных (5.10.2) в этой точке посредством дифференциальных соотношений, которым удовлетворяют поля.
Когда мы говорим, что спиноры (5.10.2) независимы, то имеем в виду отсутствие алгебраических (спинорных) соотношений, которые связывали бы эти спиноры, а также спиноры, комплексно-сопряженные им. В то же время спиноры (5.10.3) должны выражаться через спиноры (5.10.2) и спиноры, комплексно-со-
пряженные нм, алгебраическими (спинорными) соотношениями.
Точная система (5.10.1) будет называться инвариантной, если соотношения, которыми спиноры (5.10.3) выражаются через спиноры (5.10.2), не зависят от точки Р и являются локально лоренц-ковариантными [т. е. величины (5.10.3) представляются в виде определенных спинорных комбинаций символов 8 и спиноров (5.10.2) без привлечения каких-либо дополнительных величин, кроме скалярных постоянных].
Свободные безмассовые поля
Как простой пример точной инвариантной системы рассмотрим безмассовое свободное поле со спином п/2 > 0 в пространстве Минковского М・ Такое поле представляется одним симметричным спинором бдв …£ и [формула (5.7.2)] подчиняется полевому уравнению
^Ab...l^- (5.10.4)
Согласно формуле (5.7.16), это уравнение эквивалентно условию симметрии V济“…l = ?贲力4 …卄 Рассмотрим теперь величину «岑…L* Операторы V^ и У济 здесь коммутируют, а потому данное выражение будет симметричным по индексам NA ... L, как и по индексам МА …L; следовательно, V#'哪6a...l = Y瑞啖@А...“・ Снмметрня no NfMr также следует из коммутативности операторов. Повторяя эти рассуждения для высших производных, в общем случае будем иметь
唠哨…^电…L臟^'… 吋必.心 (5.10.5)
Таким образом, условие《6》выполняется (тривиально), как и условие инвариантности. Поскольку соотношение (5.10.4) линейно, а производные коммутируют, все алгебраические соотношения, которым удовлетворяют производные (5,10.5) в точке Р, должны быть линейными. Такие соотношения с необходимостью будут возникать в виде линейных операций с индексами в (5.10.5) вследствие инвариантного характера уравнения (5.10.4). Но соотношение (5.10.5) выражает полную симметрию, а поэтому никакие другие соотношения не должны возникать. Таким образом, условие «а» тоже выполняется и, следовательно, величины 中ав …l образуют инвариантную точную систему полей.
Рассмотренный пример охватывает максвелловское поле (п = 2), нейтринное поле Дирака — Вейля (n = 1) и линеаризованное эйнштейновское гравитационное поле (п = 4) в пространстве Минковского М (§ 7). Случай п = 0 также следует отнести сюда, но в этом случае вместо уравнения (5.10.4) мы должны
иметь волновое уравнение второго порядка (уравнение Даламбера) в пространстве М.
□6 ：=、А民NА 后=о.(5.10.6)
Это уравнение можно переписать в виде
^в^ = ^(5.10.7)
причем из симметрии по АВ следует (благодаря коммутативности производных) симметрия по индексам 4’占'・ Таким образом, величина VfVf ^ симметрична по индексам АВ и AfB\ т. е. y£%0 = Vg'%沖. Следовательно, в силу тех же соображений, что и выше, мы имеем
«'%'・・• V肿=V<fvf ...嘱冲 (5.10.8)
и поле В образует инвариантную точную систему.
Возможно следующее обобщение (довольно тривиальное) уравнения для безмассового поля.
Пусть поле 6д/.； / симметрично и удовлетворяет одновременно условиям в пространстве М
В冲北二弟=0； ^ppqa^：b “ = °・(5.10.9)
Тогда путем рассуждений, аналогичных проведенным выше, можно показать, что
片'…吗然'二£=呻 …吗'吃.•甯
и, значит, величины 8二： образуют инвариантную точную систему полей. Но это не дает по сущест^ ничего^ нового, так как имеется соотношение喚務.■.“F =吟啼:.・£ выр ажающее равенство нулю ротора, откуда (по крайней мере локально) следует, что &二 можно представить в виде
Благодаря симметрии поле^ &二 вгличины % ；：； также удовлетворяют уравнениям (5.10.9). Повторяя рассуждения до тех пор, пока не будет исчерпан тот или иной набор индексов, приходим к следующему выводу.
Предложение
Если выполняются соотношения (5.10.9), го поле QaX'e s®(дД7е? представляет собой п-ю производную некоторого свободного безмассового поля. (5.10.10)
Электромагнитные источники.
(5.10.11)(5.10.11)Рассмотрим теперь поле Максвелла с источниками. Вместо уравнения (5.10.4) (при 孔=2) будем иметь [формула (5.9.10)]
(5.10.11)
(5.10.11)
^ллФдв = 2л/в，
где величины J\^ = JAA^ описывают заданный вектор тока.
(5.10.12)(5.10.12)удовлетворяющий уравнению непрерывности
(5.10.12)
(5.10.12)
V“A，= 0.
Вместо соотношения (5.10.5) теперь имеем
眩％ = V施В)- 丁 ％ s嗚(5.10.13)
^'喚4产時喀％ -等 WC，D^B- +
+ 尊啥& 筋，｝ - 1■嘴｛%）©喲（5.10.14）
и т. д. для высших производных: несимметризованная r-я производная отличается от симметризованной членом, линейным по (г—1)-м производным от //• Это свойство, а также вытекающий отсюда вывод, что поля qua образуют точную систему, до
казываются так же, как и в случае отсутствия источников, с тем существенным изменением, что при перестановке пары индексов теперь будут появляться члены, зависящие от J/, поскольку мы заменили уравнение (5.10.4) уравнением с источником (5.10.11).
Однако теперь поля фдв сами по себе, очевидно, не образуют инвариантной точной системы, поскольку в соотношениях (5.10.13) и (5.10.14) появляются дополнительнее величины /£• Правда, можно рассматривать /£ как динамическое поле, но и тогда <рдВ и /£ вместе не будут в свете сделанных определений образовывать точную систему. Действительно, z соотношение (5.10.12) фиксирует лишь часть величины V"* кососимметричную по индексам AfBf и АВ. Часть же, симме* тричная по 4В и кососимметричная по А^^ например, остается неопределенной. Чтобы получить точную систему полей, необходимо наложить дополнительные условия на /#・ Это можно
сделать разными способами,, ляет задание в качестве J/сделать разными способами,, ляет задание в качестве J/но наибольший интерес представ- вектора тока некоторого физиче
сделать разными способами,, ляет задание в качестве J/
сделать разными способами,, ляет задание в качестве J/
ского поля (или полей), скажем, дираковского или поля Шредингера —Клейна — Гордона.
Рассмотрим вначале случай дираковского поля. В двухкомпонентном спинорном формализме (4.4.66) поле Дирака пред-
15 Зак. 1142
ставляется в виде совокупности двух спиноров 屮从 и у"', удовлетворяющих системе уравнений
V'4‘必=卩％” VAA^ =—卩必，-(5.10.15) где N = /n/力 “2, m — масса, а Й — постоянная Планка, деленная на 2л. В отсутствие электромагнитного взаимодействия можно принять, что операторы V коммутируют. Нетрудно убедиться в том, что Фа и %*' вместе образуют точную систему полей. Кроме того, если ввести электромагнитное взаимодействие посредством определения (5.1.1), так чтобы 屮厶 и у"' имели один и тот же заряд е, и определить дираковский вектор тока
厅=轰а力4'+“*),(5.Ю.16)
где q — заряд е с некоторым положительным коэффициентом, точное значение которого зависит от соглашения о нормировке дираковской волновой функции (например, обычный выбор нормировки дает g = 2jte), то уравненйя Максвелла (5.10.11) принимают ВИД•
yAAf^AB = q^Af + ^f)(5.10J7)
и поля 也4, %" и(рлв вместе, будут образовывать инвариантную точную систему полей. Это можно показать точно так же, как и выше, с тем усложнением, что изменение порядка производных теперь будет сопровождаться появлением членов, содержащих <рлв и У# [формула (5.1.43)]. Например：
V鈍4 =階!5司一^卩电疗，(5-10.18)
Y眦纯L 瓚喀％「у i瞰％ у%) +
+ ieeB e {д也中d一Фв(e2a)}十
+ у ^В，С，^А + 4 Н8д (CVB)(B，XC，). (5-10.19)
Аналогично рассматривается случай поля Шредингера — Клейна — Гордона 0, но теперь вместо соотношений (5.10.15) и (5.10.17) имеем [формула (5,10.6)]
■(口+2 陷 8 = 0,.(5.10.20)
а вектор тока будет пропорционален разности i0Va0 — i0Va0, так что-
m@心于4(取節一通吗'* ：:(5-10.21)
Снова поля 0, @4в вместе образуют инвариантную точную систему.
Существует другой способ описания заряженных полей, требующий явного введения электромагнитного потенциала ①彳> понимаемого как новое поле. При таком подходе вместо V£> будет стоять оператор, обозначенный в формулах (5.1.1) и (5.1.14) через dg； он действует на заряженные поля так, как если бы они были незаряженными, и коммутирует сам с собой. Если сохранить для производной, понимаемой в указа^ом смысле^ тот же символ ?д, то электромагнитное взаимодействие будет вводиться заменой этого оператора оператором V*' —— ie①条 В результате в уравнениях (5.10.15) и (5.10.20) появится величина ①才 в качестве нового поля. Чтобы получить точную систему полей, нам придется наложить дополнительное условие на Ф^, например условие Лоренца V分①£ = 0・ Tor4a [формула (5.1.49)] будем иметь Флв = ^аа^в- Мы также имеем [формула (5.1.18) ] Флл, = ФЛЛ/» откуда = — 7ЛЛ/Ф^\ Используя эти соотношения, нетрудно показать, что поля 2$, Хл\ Флв» ①£ образуют инвариантную точную систему; то же самое относится к полям 0» флв,①
Этот второй подход, пожалуй, немного проще в концептуальном отношении, нежели использование соотношений (5.10.15) с некоммутативными операторами V, и он удобен во многих задачах. Однако в духе принятой нами общей идеологии более последовательно было бы «е вводить явно в рассмотрение зависящие от выбора калибровки величины, такие, как Фа. В случае электродинамики калибровочно-инвариантный формализм действительно приводит к более простым [например, (5.10.19)] формулам, нежели метод явного введения Фй. Более того, теории в искривленном пространстве-времени, по-видимому, удается развить в рамках данного формализма только благодаря существованию калибровочно-инвариантного способа описания (т. е. описания, не зависящего от выбора конкретной системы корр* динат).
Рассмотрим вначале систему полей в заданном римановом фоновом пространстве-времени. Величины ^Vabcd^ ^abc'd' и 人 связанные с тензором кривизны (гл. 4, § 6), и их производные считаются заданными в произвольной точке О. Эти величины входят в перестановочные соотношения для V [формулы (4.9.7) и (4.6.34)]. Некоторые точные системы полей, обладающие этим- свойством в плоском пространстве-времени, могут быть перенесены в искривленное пространство-время просто путем учета добавочных членов [формулы (4.9.13) и (4.9.14)], возникающих лри перестановках индексов. Например, в случае максвеллов-
ского поля вместо соотношения (5.10.5) будем иметь
晖%Qs =喈啥如什ё沙川七仙％一'
—Т ^С {ABX^D} X + ЗА%(力屮48)—万％ (D①/С ° ①8) X(5」0*2) и т. д. и величины <рдв будут образовывать точную систему полей. Но она, очевидно, уже не будет инвариантной. Лишь в пространстве де Ситтера (или Минковского), когда А есть заданная постоянная, а ^abcd = ^ и ①*^‘ = " эта система будет инвариантной. Уравнения Максвелла — Дирака можно переписать в искривленном пространстве-времени аналогичным образом; мы снова будем иметь точную систему полей. Уравнение же для безмассовых полей (5.7.2) при п^З уже не будет в том виде, в котором оно записано, приводить к точной системе полей ©ав …и если только заданное пространство не является конформно-плоским, поскольку условие совместности (5.8.2) показывает, что не все величины Мв …厶 независимы при отличном от нуля Wabcd- -
Гравитация
В общей теории относительности как таковой ситуация несколько иная. Здесь величины, связанные с тензором кривизны, следует рассматривать как полевые переменные. Степени свободы гравитационного поля описываются конформным спинором Тдвсо. Величины ①豬'и Л выражаются непосредственно через материальные поля и, возможно, через космологическую постоянную X посредством соответствующих тензоров энергии-импульса Tab [формула (4.6.30)]:
4лу744’ВВ‘ = ^ABAfBf "I" (ЗА — у Л^ 84584g (5」0.23) В частности, уравнения Эйнштейна — Максвелла (с космологической постоянной X) будут иметь вид [формула (5.2.6)]
①聚=2уфлвфл，в，, А = 4" 3(5.10.24)
а тождества Бианки [формула (5.2.7)] станут такими:
^AAf^ABCD = 一 2y@*b“Pcd・(5.10.25)
Ниже будет показано, что вместе с уравнениями Максвелла без источников (5.1.57) и перестановочными соотношениями (4.9.13) и (4.9.14) равенства (5.10.24) и (5.10.25) ведут к условиям, означающим, что величины 4fAscq, фдв образуют инвариантную точную систему полей. Существуют и многие другие источники гр а-
витационного поля, которые вместе c%bcd образуют инвариантные точные системы.
Рассмотоим вначале уравнения Эйнштейна для пустого пространства (с космологическим членом или без него)： Покажем, что в этом случае сами величины Тдвсо образуют инвариантную точную систему полей. Для доказательства этого нам потребуются вакуумные тождества Бианки (4.10.9)
V^%bcd = 0> или гЕ^АВСО = 0(5.10.26)
и тождества Риччи, отвечающие равенству
^ab^ = ZAfB^ АВЕ^^可北斗化叫/电, (5」°・27)
(формула (4.9.7) с учетом формул (4.6.29) и (4.6.34)] и сопряженному ему равенству
厶4戸° п &4В‘4&УУ — "з ^AB^^B^*(5」0.28)
Их можно представить в форме
е&9 {▽% 吟 + V各％ } 4 = ^QHAB^З- {"о^НА + *Н%4}，
5s {ТС + V穹吟} У = 0，(5.10.29)
/н ^н + V^} хл = 0,(5.10.30)
名оН {V*吟+ W^ F = 2 W‘PqhQ' - A俨产尸+/内Р‘}.
Рассмотрим теперь спиноры
^ABCD' W^BCZT Vg V^ ^Гд^со* • ■ ■ •(5.10.31)
Путем дифференцирования уравнений (5.10.26) получим набор тождеств, из которых следуют алгебраические соотношения между спинорами (5.10.31):
е"(需• • • Vq У^г?дВСд) = 0.(5.10.32)
Это условие равенства нулю части спинора 晖’…^h^abcd^ кососимметричной по индексам Н, Л, ничего не говорит о части, симметричной по Н, А. Далее, соотношения (5.10.29) связывают выражение
%6 (W …V 舌吟…V% 屮 4HCD)+ %S(V； • — V 斉吟'…^K^ABCd) с производными от 4f{вс。более низкого порядка, а соотношения (5.10.30) связывают выражение
名°' (▽£ …V^ 吟…V%q$BCD)+ 8°"(Ув • • •吟V各…^^abcd)
с производными низшего порядка от Ч^двсо. Эти соотношения также касаются лишь частей спинора Vg УрР^вса кососимметричных по паре штрихованных или паре нештрихованных индексов. Таким образом, все алгебраические соотношения [вытекающие из соотношений (5.10.26), (5.10.29) и (5.10.30)], которые связывают спиноры (5.10.31) и спиноры, комплексно-со* пряженные им, относятся лишь к частям спинора V^ • • • • •• VQPabcd， кососимметричным хотя бы по одной паре индексов. Они не налагают никаких ограничений на части, полностью симметричные по всем штрихованным и по всем нештрихованным индексам. [Другие соотношения можно было бы получить^ разлагая кососимметричные части спинора У?…^уУдва> двумя различными способами. Однако все такие соотношения ведут к соотношению (5.10.32), которое является единственным условием совместности.] Следовательно» все спиноры
ABCD^ 1 ABCDE —V(e*abcd)' * ABCDEF V(£ VF U ABCD)f ' * * (5.10.33) и спиноры, комплексно-сопряженные им, алгебраически независимы и потому могут быть заданы произвольно (если не касаться вопроса о сходимости, см, примечание на Стр. 446) в любой выбранной точке 尸.
Остается показать, что, наоборот, все спиноры (5.10.31) можно вывести алгебраически из спиноров (5.10.33) и спиноров^ комплексно-сопряженных им. Воспользуемся методом математической индукции. Нам нужно выразить спинор V；・・• W屮abcd через Уавсве …/'…" и производные от Vabcd более низ- когр порядка, предполагая по индукции, что эти последние уже выражены алгебраически через симметризованные производные Тлв 0₽/" ^ и комплексно-сопряженные им. Если сложить все спиноры, получаемые из V；…^^abcd всевозможными перестановками индексов ?',…，Н н А, В, С,仅 Е,・..，К, то мы получим 屮аз …£ …" с некоторым, коэффициентом. Следовательно, если удастся, доказать, что всякий из получаемых таким путем спиноров отличается от V/ VP^abcd слагаемыми, содержащими лишь производные от ^abcd более низкого порядка^ то мы и придем к желаемому результату. Тем самым будет уста* новлено, что спинор ^е^к^авсо отличается от 4r^ 丁'…‘‘ некоторым слагаемым, построенным из производных от Wabcd низшего порядка.
Любые два спинора, получаемые путем такой перестановки индексов из величины
—•- ■ - Уе •' * Vk ^лвсо»
будут называться эквивалентными (эквивалентность обозначается тильдой ~), если они отличаются друг от друга слагаемым, построенным из производных от ^авсо более низкого порядка. Такое соотношение, очевидно, будет отношением эквивалентности. Требуется доказать, что все полученные таким путем спиноры эквивалентны друг другу. Поскольку•
W'喝-1 NZ%W，{^评'+ vr^'} + .
■+|wsr{vrvf + vfvn
(5.10.30),(5.10.30),[формула (4.9.1)], имеем, применяя соотношения (5.10.29)
(5.10.30),
(5.10.30),
• • ^ABCD*• • ^ABCD*…V^Vy « « • ^ABCD ~ …V纟 V$
• • ^ABCD*
• • ^ABCD*
Следовательно, любая перестановка символов V%' приводит к эквивалентному спинору. (Любая перестановка может быть представлена в виде произведения перестановок соседних элементов.) Это значит, что любая перестановка индексов 尸‘，...
V' может быть проведена в выражении V；…V^^^p при условии, что выполняется аналогичная перестановка индексов Е, ..., К н она дает эквивалентный спинор. Остается показать, что индексы Е,…，К, 4 В, С, D можно переставлять независимо, снова получая эквивалентный спинор. Симметрия спинора Тлвсо дает возможность переставлять индексы Л, В, С, D. Далее, из уравнения (5.10.32) следует, что в выражении V^ . - • ^^^AqCD можно переставлять индексы ^, А. Кроме того,
…V；・・•眼”九cd ~…V左• • • Vf ^abcd ~
~ ……屮увсг? ~V纟…Vk ^ybcd^
т. e. индекс Л можно переставлять с любым другим нештрихованным индексом, получая эквивалентный спинор. Отсюда следует, что можно переставлять любую пару нештрихованных индексов, поскольку
''• ▽$••・▽『…屮 AECD ~V$V纟 * " ' ^YBCD ~
~ ・• • V$ • . • V纟• • • ^WBCD ~ • • • V$ …•厂6 ' ' • ^ABCD'
Следовательно, все спиноры экбивалентны, и наше утверждение доказано.'..：
Поля Эйнштейна — Максвелла」
Описанный метод можно.распространить на тот случай, когда в рассматриваемом пространстве-времени имеется электромагнитное поле. Спиноры .
ABCDE... G - ■V(E - • • VG г ABCD}
определяются так же, как и ранее, а спиноры Фав» 屮лес"， ^авс!^^^ вводимые для описания электромагнитного поля, определяются аналогичным соотношением
ФаВе…/…" = X：… 啥屮働，
Повторяя рассуждения, проведенные выше, можно показать, что все спиноры Фдв> Флвср» …，屮дзет ^abcd^^ …и спиноры, комплексно-сопряженные нм, алгебраически независимы. Вместо соотношения (5.10.26) будем иметь на основании формул (5.1.57) и (5.2.7) (соотношения в соответствующих единицах) еС^ФЛВ=о, -ъва^авсо=гуф^^^фде，
Первое из них выражает симметрию производной^е^ав
по индексам Е, 4, а второе выражает кососимметричную по индексам G, Л часть величины
через производные ^ав не выше того же порядка. Они не налагают условий на симметризованные производные от флв и Wabcd. То же относится и к выражениям, заменяющим выражения (5.10.29) и (5.10.30) и отличающимся от них лишь тем, что второе из соотношений (5.10.29) переходит в равенство
%s，｛%'* + 吗'吟｝ T" = 4Y屮。口 声 q,tQ，
[формула (5.2.6)], а первое из соотношений (5,10.30)—в равенство
2w｛吟吟 + ▽鉀圻 4 = 4y@R'S@abYB.
Доказательство того, что несимметризо&анные производные можно выразить алгебраически через симметризованные произ
водные и комплексно-сопряженные выражения, полностью аналогично доказательству, проведенному в случае чистой гравитации. Производная ▽£ ・・• ^е^ав отличается от 屮彳^ …е» …『
слагаемым, построенным из производных от 屮力月 и ^abcd более низкого порядка, тогда как производная У^ ・・• V^^^g^ отличается от 屮｛seas … 尸 …口 слагаемым, построенным из про
изводных от q)4B того же порядка и меньших порядков и из производных от Wabcd более низкого порядка. Следовательно, мы можем построить производные V；屮月日， V^^^, VfVQ】屮斗^» ▽£▽£'屮45Cd・.j в заданном порядке из симметризованных производных. Этим и завершается доказательство.
Другие примеры
В качестве других примеров точных систем полей можно привести «свободные» поля Янга — Миллса, удовлетворяющие уравнениям (5.5.40) и (5.5.44) для различных групп симметрии, а также поля Янга — Миллса с подходящими источниками. Они попадают в класс полей, удовлетворяющих требованиям, которыми были определены точные системы в начале данного параграфа, при условии, что янг-миллсовские индексы рассматриваются как абстрактные индексы, не участвующие в симметризациях в формуле (5.10.2). Если же вводятся базис и янг-миллсовские потенциалы, то необходимо наложить калибровочные условия, чтобы получить точную систему полей. Ситуация аналогична случаю электромагнитного поля, где также необходимо дополнительное условие типа калибровочного условия Лоренца, чтобы сделать физическим закон распространения потенциалов при калибровочно-неинвариантном способе описания.
Наконец, некоторые наборы полей, которые сами по себе не составляют точной системы, могут быть дополнены до таковой включением определенных комбинаций производных от полей в качестве новых полей. Довольно тривиальным примером может служить уравнение Фока ——Фейнмана ——Гелл-Манна - для частицы со спином 1/2 в пространстве МинковскогоМ [63, 69]. Это поле описывается одним двухкомпонентным спинором “》 который в присутствии электромагнитного поля подчиняется уравнению
(□ + 2М)屮4 = - 2НдВфв-(5.10.34)
Само по себе (при флв = 0) и вместе с фдв поле “ не образует точной системы. Но если добавить поле Xxz = ^~}Vaa ^a (р-= ==»:/力“2), то мы вернемся к уравнению Дирака (5.10.15), так как в силу формулы (5.1.43) имеем
М以=-Ц?Лд/ХЛ，= ^АА^В = 口 АВ*В + 呉厶戸口屮“妒=
-— ie①48屮8 一 □以
и, следовательно, поля 屮斗,％"' (и ①斗^) образуют точную систему.
В какой-то мере аналогичен этому случай уравнения Дирака (—Фирца) [45, 65], описывающего свободную частицу со спином п/2 ^ 1 в пространстве М, почти эквивалентного уравнению Рариты — Швингера [154] и обобщающего уравнения Даф- фина — Кеммера и т. д. [35]. Предположим, что электромагнитное и другие взаимодействия отсутст^ют Поле описывается двумя симметричными спинорами 屮£•：：'/，若.二£ с валентно-
「0 Pl ГО р+И стями, соответственно, |_д+]()『 |_д О J« удовлетво* ряющими полевым уравнениям
(5Л0.351
Здесь, как и ранее,力卩 “2 — масса, а спин поля равен 九/2 = = (1/2) (р + g + 1). Заметим, что симметрия обоих спиноров 屮：：％：：： и уравнения (5.10.35) обеспечивают выполнение двух «дополнительных условий»
V帥?咒.•『=0，^唬？方『=0-(5.10.36)
Как и ранее, мы имеем также соотношения
(□ + 2ц2Х：：^ = 0, (□ +2陷曙二 g = 0 (5.10.37>
(поэтому параметр /и =力卩〃2 действительно представляет собой массу). Мы можем, как и в случае уравнения Фока — Фейнмана —■ Гелл-Манна, рассматривать в качестве независимого лишь поле 屮二：(например) и воспользоваться первым из соотношений (5.10.35) для нахождения 汇二• Если выполнено первое из равенств (5.10.36), то мы получим у： с нужными свойствами симметрии; при этом второе из соотношений (5.10.35) ока- жется следствием первого из уравнений (5.10.37).
Два поля ф^.'/о * %；.二^， не образуют точной системы полей (как и одно поле 电二).Однако нетрудно дополнить систему введением 九——1 новых спиноров (каждый из которых симметричен по всем индексам), различающихся числом штрихованных и нештрихованных индексов: в естественном расположении эти п + 1 спиноров образуют последовательность спиноров, каждый из которых получается из предыдущего дифференцированием со сверткой по одному индексу. Вместе эти спиноры образуют инвариантную точную систему. Например, щ)и п = 2 имеем инвариантную точную систему полей 屮再^, у爲 己配配，удовлетворяющих уравнениям
^AAf^AB =卩%3寸"嗯=xf,
v W =-嘅，办纪繕=-叫，(5」0.38)
Но если попытаться включить электромагнетизм (при и ^ 2) или гравитацию (при 孔》3), то ситуация усложнится из-за условий совместности Фирца [67] и Бухдала [21], с которыми мы встретились в безмассовом случае [формула (5.8.2)]. В том виде, в котором они записаны, уравнения (5.10.35) несовместны с уравнением (5.1.43) (при п ^ 2) и с уравнением (4.9.13) (при
л ^ 3). Рассмотренные рядом авторов уравнения, модифицированные с целью устранения противоречий, выходят за рамки нашей книги, и мы отсылаем читателя к литературе, цитированной здесь и в § 8. '
§ 11. Начальные данные на световом конусе
В § 10 были описаны основные.известные физические поля, включая гравитационное, в форме точных систем полей. Взаимодействия между полями могут описываться либо «полевыми уравнениями», такими, как (5.10.15), (5.10.17) и (5.10.25), либо «перестановочными соотношениями» для операторов [формулы (5.1.44) и (5.1.45)] (при таком подходе тождества Бианки считаются уравнениями поля). Формализм в целом удобнее строить, пользуясь полевыми величинами, а не потенциалами, зависящими от выбора калибровки. Тогда потенциал электромагнитного поля Фй может вообще нигде не фигурировать в явной форме, как и гравитационные потенциалы (т. е. выражения для g^ в заданном координатном базисе). В настоящем параграфе такая «геометрическая точка зрения» развивается дальше. Если все производные (5.10.3) в некоторой задайной точке О известны, то, предположив аналитичность всех интересующих нас величин, мы можем двигаться от одного события к другому и вычислять поля (5.10.1) и их производные (5.10.3) в любой точке (событии) пространства-времени, пользуясь степенными разложениями («теоремой Тейлора»). Это дает возможность исследовать пространство-время способом, который по крайней мере в принципе полностью независим от выбора координат. Правда, это, вообще говоря, не очень удобно на практике, но возможно, что усовершенствования технической стороны метода приведут к упрощениям.
В то же время данный метод приводит к важному заключению относительно условий, налагаемых на точные системы полей, и именно на этом мы и хотим здесь остановиться. Оказывается, что, как производные (5.10.3) позволяют «перемещаться» по пространству-времени, так и симметризованные производные {5.10.2) дают возможность «перемещать» по световому конусу с вершиной в событии О ту компоненту каждого поля, которая связана с изотропным направлением на конусе [136]. Условие «а》точности системы полей означает, что для всякого поля эта компонента может быть задана произвольно на световом конусе е вершиной в точке О, тогда как условие《6》говорит о том,, что, зная эту функцию, мы можем вычислить поля всюду) в про-
странстве-времени. Таким образом, мы приходим к формулировке начальной задачи, в которой начальные данные произвольны (т. е. не содержат связей) на световом конусе. Здесь будет рассмотрен лишь простейший случай, когда все величины обладают необходимыми аналитическими свойствами. Результат, вероятно, имеет и более широкую область применимости, однако его доказательство в отсутствие предположения об аналитичности гораздо сложнее. При этом возникают вопросы об областях причинной связи, соотношениях когерентности, устойчивости и т. д., которые не удается решить развиваемыми здесь методами. Полное исследование увело бы нас слишком далеко от наших ближайших целей, тогда как сравнительно простого доказательства, основанного на аналитичности, вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать важную роль понятия точной системы полей.
《РяО Тейлорам на многообразии Л
Будем предполагать, что пространство-время Ж представляет собой аналитическое многообразие с аналитической метрикой gab. Оператор Va также должен быть аналитичным (т. е.> действуя на аналитическую функцию, давать снова аналитическую функцию). Разумеется, если Va представляет собой обычную производную Кристоффеля, то его аналитичность автоматически следует из аналитичности метрики gab- Здесь мы будем предполагать также существование электромагнитных полей^ включая их в определение оператора Va применительно к заряженным полям. Тогда требование аналитичности оператора Va означает, что электромагнитное поле (как и гравитационное) должно описываться аналитическими функциями. Других взаимодействий, кроме электромагнитного и гравитационного, здесь мы предполагать не будем (хотя включение полей Янга—Миллса не сильно усложнило бы рассуждения). Для простоты будем также предполагать кручение отсутствующим. Кручение неявно повлияло бы на определение геодезических в <<, и мы предпо* читаем не рассматривать здесь этого усложнения.
Пусть у — гладкая кривая в Л, и пусть ta ——касательный вектор, заданный в каждой точке кривой у. Предположим, что для некоторого поля 8二：выполняется условие
/40：：； = 0 (5.11.1>
в каждой точке кривой у. Тогда будем говорить, что поле &二 постоянно вдоль кривой у (по отношению к оператору Va) и записывать
[0：：：]p^[O：：：]Q (5.11.2)
для двух точек Р н Q, лежащих на кривой у. Если коммутаторы операторов V отличны от нуля, то определение (5.11.2) понятия «равенства» будет, вообще говоря, зависеть от выбора кривой Y, соединяющей интересующие нас точки. [Если у ——замкнутая кривая, начинающаяся и оканчивающаяся в одной точке Р (=Q), то запись (5.11.2), вообще говоря, не означает, что начальное и конечное поля в точке Р равны в обычном смысле слова. В случае бесконечно малой петли их различие непосредственно определяется коммутатором операторов V.]
Если само векторное поле ia может быть выбрано постоянным вдоль кривой V, т. е. •'
尸%/ = 0,(5.11.3)
то у — геодезическая в Л. Пусть и — действительный параметр на геодезической r масштаб которого выбран так, что
%и=1・(5.11.4)
(Тогда и — аффинный параметр на кривой у; величины "но следует рассматривать как «незаряженные».) Фиксируем точку О е <<, и пусть у — некоторая геодезическая, проходящая через точку О, причем и = 0 в этой точке. Тогда можно задать положение некоторой точки X многообразия Л по отношению к точке О вектором
ха = и/а,(5.11.5)
где и — значение параметра в точке X. [Из равенств (5.11.3) и (5.11.4) сразу видно, что (5.11.5) не зависит от нормировки вектора ". Если /а<—>^/а, то величина k должна быть постоянной вдоль V, чтобы сохранялось равенство (5.11.3), а значит и<~>^-Ь.] Следовательно, мы можем сказать, что ха — вектор положения 9 точки X относительно точки О. Если у пробегает всевозможные геодезические, проходящие через О, то компоненты ха вектора ха по отношению к некоторому базису, выбранному в точке О, задают систему нормальных координат с началом в точке О. Это означает, что направление ха есть направление геодезической у, проведенной из точки。в точку X, а его длина (или «протяженность», если ха ——изотропный вектор) равна длине отрезка v от О до X. [Это прямо следует из формул (5.11.3) — (5.11.5).]
Пусть поле фл аналитично в точке О; тогда для некоторой точки X, не слишком удаленной от О и лежащей на геодезиче-
Строго говоря, такое определение однозначно лишь в случае близких точек X н О. В противном случае из-за фокусировки и пересечения геодезических может оказаться, что имеется более одного «вектора положения» точки X относительно О (а иногда нет нн одного).
ской у, будем иметь
仲叫х工伸吗。 + ^ W評吗。+ 穿俾小帥叫。 + •..=
=[exp (xflVa)屮吗5(5.11.6)
Чтобы в этом убедиться [175], заметим, что если『一параметр, ассоциируемый с бегущей точкой X’ между О к X на % то величина
ехр ((о —М =屮惚 +(° 二 1；匕 VaM +
+ "^^VaW+(5.11.7)
вычисленная в точке X', будет постоянна вдоль кривой у в силу условий (5.11.1), (5.11.3) и (5.11.4) (здесь о ——постоянная величина, a vf удовлетворяет условию "十偉『=1). Равномерная сходимость разложения (5.11.7) в случае точек X, достаточно близких к точке О, неявно заложена в предполагаемых аналитических свойствах используемых величин, но мы здесь не будем вникать в этот вопрос. При t/ = 0 и М = ” мы получаем соответственно правую и левую части равенства (5.11.6).
《Р兄d Тейлорам на световом конусе ”
Соотношение (5.11.6) указывает, каким образом, зная все несимметризованные производные (5.10.3) системы полей в точке О, можно вычислить поля во всех остальных точках (не слишком далеких от О на первом шаге; в «удаленные» точки можно попасть, сделав несколько шагов). Предположим теперь что
崂二嘗=嘅:噹)(5.11.8)
и выясним роль симметризованных производных (5.10.2). Рассмотрим точки X, лежащие на световом конусе ” с вершиной в точке О. Тогда у будет изотропной геодезической, а 伊一изотропным вектором, который, следовательно, будет иметь вид
广=守取(5.11.9)
(если выбрать вектор 尸,направленный в будущее). Для заданной изотропной геодезической у мн выберем Е" постоянным (и незаряженным) вдоль у. Тогда, умножив (5.11.6) на*空 ^ ...
^1р^ • • • tsz(в силу постоянства F вдоль у можно недвусмысленно записывать произведения 己 снаружи скобок), будем
иметь.
自/…自明，…gs，［唠二g］x 2 y …^^pz • • • ^ ［岐二:£ ］。-
［7 У …自吒"Ер/ …ts^T7 ［^F 哂.'.'.'/ ］。+
+言y.• .自空戈明，…%，&鼠，［V；V%崂二R］。一 •…(5・11J0)
Благодаря симметрии произведений Н •…&吒р，• • •糸，в этом соотношении фактически участвуют именно симметризованные производные ［V能…V彳唠'.二裔)］。［формула (3.3.23)］. Заданием этих всех симметризованных производных в точке О определи： ется величина
屮=У ... &е£"・…£"［屮а…ер，…s，］x (5」LI 1)
вдоль любой изотропной геодезической, проходящей через О, и, следовательно, всюду на Л3.
Комплексное число 2 будем называть изотропным значением f) поля 屮"в точке X на ”. Если определенным образом выбрать Е" для всех изотропных направлений в точке О (например, положив |° = 1 в точке О, чем исключается лишь образующая |° = 0), то мы можем рассматривать 2 как скалярную функцию, определенную на световом конусе с вершиной в точке О, причем заданную симметризованными производными поля ^А в точке О, хотя, точнее, 2 есть взвешенная функция, как в гл. 4, § 12, в чем мы вскоре убедимся. Обратно, значениями 屮 на 4 определяются значения симметризованных производных. В самом деле, световой конус ” можно параметризовать действительным параметром и (у = 0 в вершине) и комплексным отношением 自=VA° в О, т. е. комплексным параметром 自=自* если выбрать &° = L Коэффициент при (—v)r в формуле (5.11.10) будет равен”
y…識F舞P,… yr 品…嚼崂.:計。,(5.11.12)
!) В оригинале «null datum»; этот же термин во множественном числе («null data») далее переводится как «изотропные данные». Предлагаемый перевод формы единственного числа не передает смыслового оттенка слова «data», ассоциируемого с применением этого термина в задаче Коши. В действительности null data используются как «начальные данные» на изотроп^ ной гиперповерхности, определяющие решение волнового уравнения всюду в пространстве-времени (слово «начальные» применительно к значениям на световом конусе можно, разумеется, понимать лишь условно). Подчеркнем, что «изотропное значение» 2 поля р* есть не просто значение поля 2'疼 на изотропной гиперповерхности, но свертка *ф* с соответствующей комбинацией спиноров 1А и Ер,. — Прим, перев.
е. при каждом значении величины & он будет определяться величиной 屮.Но поведение произведения (5.11.12) при преобразовании У i> 健％ также известно: это произведение умножается на 絃+「％9+匚 Следовательно, коэффициент (5.11.12) определяется величиной 屮 как функцией переменных &' и &р，・ Поскольку вели* чины ^л и ^алгебраически независимы, выражением (5.11.12), которое является полиномом по Е°, EL to’Er， будут однозначно определяться коэффициенты [V^ . •. V施;.二¥]。・・
Физический смысл определения точной системы полей теперь становится более прозрачным. Условие《6》в определении точной системы полей 巾才,・••, %v гарантирует, что их изотропными значениями 屮...% на световом конусе 4 эти поля задаются всюду в пространстве-времени 点.Условием «а》обеспечивается возможность независимого выбора начальных данных на 优 т. е. отсутствие связей. Таким образом, для любой точной системы полей изотропные данные представляют собой полную неизбыточную систему начальных значений на световом конусе с вершиной в произвольной заданной точке.
Подсчет степеней свободы
Теперь мы можем найти число степеней свободы полей. Для этого вспомним общее положение для задач с начальными данными: на характеристической (т. е. изотропной) начальной гиперповерхности требуется задать вдвое меньше действительных чисел в каждой точке, нежели в случае пространственно-подобной гиперповерхности [40, 82, 156]. В рассматриваемом случае мы имеем дело с начальными данными на гиперповерхности которая (по крайней мере не слишком далеко от точки О и вне самой точки О) является гладкой изотропной гиперповерхностью. Следовательно, число действительных величин, которые нужно задать в каждой точке в качестве начальных данных на 4, должно быть вдвое меньше, чем в случае обычной пространственно-подобной гиперповерхности. Мы будем иметь одно комплексное значение (т. е. два действительных) в каждой точке гиперповерхности ” для каждого из полей (5.10.1), принадлежащих точной системе. Это верно, если на поле не налагается условие эрмитовости (в таком случае оно имеет одинаковое число штрихованных и нештрихованных индексов). В случае эрмитова поля изотр&нное значение должно быть действительным. Таким образом, число «степеней свободы» системы полей, определяемое как половина числа действительных переменных, необходимых для задания начальных значений на пространственноподобной гиперповерхности, равно удвоенному числу неэрмитовых полей в системе (5.10.1) плюс число эрмитовых полей.
Проверим это на известных примерах. В случае свободных уравнений Максвелла в заданном фоновом пространстве-времени имеем единственное поле флв, так что число степеней свободы равно двум. (В обычном «пространственноподобном» описании это число получается как половина числа, равного шести степеням свободы для£ и В минус два условия связей div£=0, div В = 0.) В случае дираковского поля имеем два спинора 屮4，%" в системе (5.10.1), что соответствует четырем степеням свободы. (В обычном формализме имеем четыре комплексные компоненты одного дираковского 4-спинора, т. е. восемь действительных чисел в каждой точке пространственноподобной гиперповерхности.) В случае действительного скалярного поля (Шредингера ——Клейна — Гордона или Даламбера) имеем одно эрмитово поле и потому одну степень свободы. (В обычном формализме в качестве начальных данных нужно задать поле и его первую производную по времени, т. е. два числа в каждой точке.) В случае полей с большими спинами в формализме Дирака—Фирца (5.10.35) требуется всего 九+ 1 неэрмитовых спиноров [формула (5.10.38)], чтобы иметь точную систему полей, а потому число степеней свободы будет равно л + 1. (В обычном формализме это число возникает иным путем [35, стр. 121].) Наконец, в случае общей теории относительности сразу видим, что число степеней свободы гравитационного поля равно двум, поскольку это поле определяется единственным неэрмитовым спинором Тлвсх). (В обычном формализме к этому результату прийти сложнее, поскольку имеется много избыточных переменных и связей, которые нужно учитывать [8, 20].)
Регулярность в точке О
Мы не будем касаться более сложных вопросов, связанных, скажем, с отказом от требования аналитичности или с заменой светового конуса ” характеристической (т. е. изотропной) гиперповерхностью более общего вида. Можно было бы, например, ожидать, что заданием изотропных начальных значений на верхней половине ”+ светового конуса ” будут определяться поля внутри ” + (по крайней мере не слишком далеко от точки О). Но для ответа на эти вопросы изложенных методов недостаточно. В § 12 будут получены некоторые формулы, используя которые, можно попытаться прояснить подобные технические проблемы для определенных типов полей. Здесь же мы коснемся единственной довольно общей проблемы такого рода — о поведении изотропных данных в вершине О светового конуса Л9. Поскольку О — сингулярная точка на Л9, остается неясным, какого рода условиям гладкости должны удовлетворять функции, описывающие изотропные начальные данные в этой точке.
觴 4(5.11.13>觴 4(5.11.13>В данной связи нужно учитывать характер зависимости 屮 от 自"в несингулярной точке светового конуса %. При преобразовании
觴 4(5.11.13>
觴 4(5.11.13>
имеем
屮一入唄0也(5.11.14)
т. е. в терминологии гл. 4, § 13 величина 屮 представляет собой скаляр типа {р, д}, если выбирается спиновая система отсчета в каждой точке конуса “，такая, что
。4 =y..(5.11.15)
(В каждой точке X светового конуса 4 спинор Н определен, разумеется, с точностью до коэффициента пропорциональности, так как он соответствует касательной к образующей конуса 4, проходящей через точку X.) Напомним, что целое или полуце- лое число
s =(5.11.16)
есть спиновый вес величины *ф.
Рассмотрим теперь {р, ^}-скаляр 屮，заданный на конусе Н, но вне связи с полным пространством-временем Л, В качестве определения аналитичности функции 屮 можно принять существование разложения вида
[% 丄 X 广…1Ер …lsfXaiX°2 . . . Xan^^^ S a a » n=0* * n
(5.11.17)
сходящегося в некоторой окрестности точки О в случае изотропного вектора %° =曉怨叫 заданного в точке О, где 屮⑺… 一 постоянные, определенные в точке О. Мы имеем р спиноров W", ..., Е* м g спиноров £戸‘，...,£s'， что приводит к величине чр, являющейся, как и требуется, скаляром типа {р, д}. Ясно, что функция 屮，заданная формулами (5.11.10) и (5.11.11), будет в этом смысле аналитичной. [Поскольку 屮——скаляр, указание пути у в формуле (5.11.17) существенно лишь в случае заряженных полей. Но можно и в этом случае не считаться с ним, если выбрать электромагнитный потенциал в виде аналитической функции, опять-таки в смысле равенства (5.11.17).]
Рассмотрим характер регулярности функции 屮 в вершине О> определяемый разложением (5.11,17). Для этого будем считать касательное пространство в точке О пространством Минковского М из гл. 4, § 15, а вершину О ——точкой L. Полагая, как в формуле (5.11.15),(И=" так что ха = voAoA\ 广=片находим, qTQ
п-й член в сумме (5.11.17) будет иметь вид (4.15.41). Из того, что говорилось в связи с формулами (4.15.43) — (4.15.57), следует, что (по отношению к произвольно выбранной временной оси 7偉 в точке О) /г-й член (коэффициент при vn) есть линейная комбинация сферических гармоник со спиновым весом s; причем
/ = |s|, lsl+1, lsl + 2n + ^(p + q).(5.11.18)
Посмотрим, что это означает в случае р = g = 0. Тогда в степенном разложении функции 屮 коэффициент при vn будет содержать обычные сферические гармоники только порядков 0,- 1, … ...,п. Это можно сопоставить с поведением аналитической функции переменных х,协 z в обычном евклидовом 3-пространстве, представленной в сферических координатах г, 0,外 В этом случае коэффициент при гп будет содержать сферические гармоники лишь порядка n, п — 2, п — 4, ..., 1 (л нечетно) или п, я — 2, ..., 0 (п четно). Можно сказать, что аналитическая {0, 0} -функция 2 на 游 несет вдвое больше информации, чем обычная аналитическая скалярная функция в евклидовом 3-пространстве. Это можно понимать как одно из «объяснений» уменьшения в 2 раза числа функций, задающих начальные условия на изотропной гиперповерхности Л3, по сравнению с начальными условиями, которые нужно задать на пространственноподобной гиперповерхности, поскольку каждая функция на Л9 «стоит двух». Это, однако, еще далеко от полного объяснения.
Небезынтересно отметить любопытное свойство нулей функции ф на Л3 в случае s * 0. В типичном случае будем иметь т линий таких нулей, входящих в вершину О, причем
丨 р — g I & /п《р + д.(5.11.19)
Отчасти это вытекает из топологических рассуждений, а отчасти——из анализа, который будет дан в гл. 8, § 8.
Геометрия светового конуса №
В случае гравитации изотропное значение функции 4f играет особую роль. Здесь мы лишь кратко коснемся этого вопроса. Более полное обсуждение будет основано на геометрии, которая будет введена в гл. 7. Выберем комплексный изотропный вектор та, ортогональный вектору /а, действительной частью которого (пространственноподобной, длины 2-1/2) вместе с вектором /а определяется полотнище флага ^=0” в каждой точке конуса 4. В обычных обозначениях формализма изотропной тетрады (3 1.14) имеём pwfa. Таким образом, тетрадный вектор /я указывает одно из изотропных направлений внутри ” (и ортогона-
лен конусу ”)，а действительная и мнимая части вектора та касательны к % в пространственноподобных направлениях, причем эти три вектора определяют касательные пространства к Л3. Оставшийся тетрадный вектор па указывает направление, выходящее из %• Тогда можно написать [формулы (4.11.6) и (4.11.9)]
У = ^^IP^abcd = % = lamblcmdCabcd. (5.11.20>
В гл. 7, § 2 будет пояснено, что 屮 описывает «чисто астигматическую» часть геодезического отклонения [138, 150, 161] изотропных геодезических на Л3. Если присутствует материя, описываемая тензором энергии-импульса Таь, то можно написать с учетом формул (5.10.23) и (4.6.25)
ф = ^lA^ABA^ = - ^Rabl^ = 4луТаЬ1а1ь. (5.11.21)
Следовательно, Ф характеризует «анастигматическую» часть геодезического отклонения. Оказывается, что в случае рассматриваемых здесь материальных полей величина Ф непосредственно определяется изотропными данными для этих материальных полей (в том числе, возможно, и производной в направлении вектора /°). В частности, в силу формулы (5.10.24) для уравнений Эйнштейна ——Максвелла имеем Ф = 2уфф, где ф ——изотропное значение поля Максвелла. Таким образом, мы видим, что в общей теории относительности геометрия светового конуса Л3 сама по себе определяется изотропными данными всех присутствующих полей.
В частном случае вакуумных уравнений Эйнштейна можно пойти дальше. Задание внутренней геометрии 4 тогда почти эквивалентно заданию изотропного значения 4r. (Правда, здесь имеется тонкость, связанная с тем, что внутренняя метрика на Jf имеет определитель, равный нулю, но это не опасно [142].) Таким образом, можно сказать, что геометрия вакуумного про-- странства-времени М (которое аналитично) локально определяется внутренней геометрией светового конуса в любой заданной точке (событии) в ”
.Характеристическая начальная задача для общей теории относительности также изучалась в случае пары пересекающихся изотропных гиперповерхностей ЛЛ, #2 [41, 163]. В духе настоящего подхода, в котором гравитационные данные на ” определяются изотропным значением ▽ (а не сдвигом и, см. гл. 7, § 1, 2, или внутренней метрикой), нам нужно было бы задать 4r на каждой из гиперповерхностей Л3】и Л%. Но, кроме того, оказываются необходимыми данные на ^\ П ”2, имеющие форму р, р‘，5『(если флагштоки спиноров о", И указывают
в направлениях образующих ”【и #2, соответственно), и дополнительно к внутренней метрике на ”if]”2 должна быть введена комплексная кривизна К, определенная выражением (4.14.20). Мы не будем углубляться здесь в эти вопросы далее-
§ 12. Явные полевые интегралы
Существуют интегральные выражения, которые позволяют выразить поля явно через изотропные данные, когда (изотропная) гиперповерхность на которой задаются начальные данные, не обязательно представляет собой световой конус. Прототипом этих выражений служит интегральная формула Кирхгофа —Дадемара для безмассового скалярного поля, удовлетворяющего уравнению Даламбера в пространстве-времени Минковского М. Эта формула допускает естественное обобщение на безмассовые поля с любым спином. В данном параграфе мы выведем эту общую формулу сначала для М, а затем покажем〉 как ее применить к случаю конформно-плоского пространства- времени. Ниже будет указано, каким образом повторное применение этой формулы позволяет получить соответствующее выражение для некоторых точных систем взаимодействующих полей в М, а именно для (классической) системы Максвелла —— Дирака.
Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара
Пусть Р — некоторая точка в М, и предположим, что световой конус 皆 с вершиной в точке Р имеет с Л3 гладкое пересечение 歹(рис. 5.4), лежащее либо в прошлом, либо в будущем от точки Р. Пусть Q — типичная точка пересечения В; рассмотрим спиноры У н т|/ в точке Q, флагштоки которых указывают вдоль образующих 4 м 皆，соответственно, так что они ортогональны пересечению В в точке Q. Пусть 歹・есть элемент поверхности 夕 (2-форма) около точки Q [формула (4.14.65)]. Предположим^ что спиноры нормированы условием
山守=1・(5.12.1>
Если написать
(旗尸= f』fj4,(5.12.2)
то действительное число г будет мерой протяженности отрезка QP; оно положительно или отрицательно в зависимости от того, лежит ли точка Q на световом конусе прошлого или будущего точки Р.
中нс. 5.4. Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара (5.12.6) выражает без- массовое поле в точке Р в виде интеграла по пересечению 俨 гиперповерхностей 夕 н ” от выражения, определяемого изотропным значением поля на Л°.
Рассмотрим теперь 力总 乙—безмассовое свободное поле •со спином м/2 > 0:
6а…L = 6(4…厶户胃А А'中АВ…L = °(5・12・3)
млн с нулевым спином:
(□+“)6 = О(5.12.4)
{член (1/6)/? = 4А существен в случае искривленного пространства-времени] в некоторой окрестности X соединения 俨 с Р (т. е. области, заметаемой изотропными отрезками QP). Построим изотропное значение для 力力…七 на Л9 в точке Q:
电：=公..曾 …七(5.12.5)
Мы хотим показать, что этой величиной, а также ее производной в изотропном направлении на Л9 в области 俨 определяется поле в точке Р [136]:
力bL (°)Н击§加s…现学忆 (5.12.6)
тде М — конформно-инвариантная модифицированная форма (5.6.33) спинового, оператора » (4.12.15), причем спиновая система отсчета определена так:
“ =1# =—"久(5.12.7)
Будем считать,что ол, И имеют конформные веса —1, 0 соответственно {случай IV в формуле (5.6.26)], хотя допустим и другой выбор. Поскольку поле 力 есть {п, 0}-скаляр конформного веса —п— 1 [формула (5.7.17)}, имеем при действии на Ф
р& = р — (м + 1) р = D - М8 — (& + 1) р, (5.12.8> где、’
。=史吒"％・(5.12.9)
Образующие светового конуса Л3 являются геодезическими при следующем условии:
D氧=е氧(5.12.10)
[формула (5.11.3), а также (7.1.8)]. В гл. 7, § 1 будет показано, что изотропные гиперповерхности всегда порождаются изотропными геодезическими. Здесь же мы просто включим это условие в наши предположения относительно характера гиперповерхности Таким образом,
先 ：=守0鼠=0,(5.12.11}
откуда [формулы (7.1.16) и (7.1.17)]
&空&Vb見=0晶，У/%& = °晶.(5. %. 12}
Хотя величина о непосредственно не входит в выражение (5.12.6), она появится в обобщенных выражениях (5.12.50) и (5.12.54) ниже. Позже мы убедимся также в том [формулы- (7.1.58) и (7.1.61)], что для изотропных гиперповерхностей выполняется равенство
Р = р,(5.12.13)
хотя по существу мы уже установили это в формуле (4.14.2).
Доказательство основной формулы
После этих предварительных замечаний мы готовы приступить к доказательству формулы (5.12.6). Проведем его в два этапа. Сначала покажем, что для любых двух гладких сечений 俨 н 0’ гиперповерхности 仔(рис. 5.5), для которых выполнупотся соотношения (5.12.3) и (5.12.4) в некоторой окрестности Ж части ^ гиперповерхности 份 между 俨 и В〔 лежащей в М, интеграл (5.12.6) по 俨 равен аналогичному интегралу по 俨'.[За* метим,* что любое гладкое поперечное сечение 俨'гиперповерхности 诊 возникает как пересечение 皆 изотропной гиперповерхностью 4. Действительно, Л® есть просто поверхность, заметаемая изотропными геодезическими («лучами»)., отличными от
Рис. 5・5・ К доказательству равенства интегралов по ^ и ^х с привлечением основной теоремы внешнего исчисления.
образующих гиперповерхности 從 входящими в 俨'ортогонально (гл. 4, § 14; гл. 7, § 1).] Второй этап состоит в доказательстве того, что выражение (5.12.6) справедливо в предельном случае, когда 俨'стягивается в бесконечно малую сферу около точки Р・ Тем самым формула (5.12.6) будет доказана в общем виде [125].
Для доказательства первого утверждения воспользуемся вариантом (4.14.92)—(4.14.94) основной теоремы внешнего исчисления, приведенной в гл. 4, конец § 14, в которой используются спин- (и бует-) взвешенные скаляры. Сначала перепишем формулу (5.12.6) с использованием взвешенных скаляров, для чего выберем произвольно спинор о/w S" [формула (4.15.42)] в введем {—1, 0}-скаляр
8 = 8/"4= - 84总=8°.(5.12.14)
Тогда формулу (5.12.6) можно переписать так:
^в •■■^AB...L = -^^nr~1^-(512.15)
ф
Чтобы применить соотношения (4.14.93) и (4.14.94), которые нам нужны в комплексно-сопряженной форме, необходимо также ввести {0, —2}-скаляр ць который совместно с {0, 0}-скаляром
Ну = s"r 一％6(5.12.16)
удовлетворяет соотношению (4.14.93) в сопряженной форме:
А := (р‘ 一 2р)阿 一 (6‘ 一 t)阳，=0.(5.12.17)
Здесь величины 阿 и 世丁 являются компонентами спинора 世总: типа {0, —1}.
Оказывается, что соотношение (5.12.17) будет выполняться если положить
ц^ = ш^г"1 (д^ — (л + 1)七6 + 曲宓)，(5.12.18>
где ^1 = ^юо... о в соответствии со стандартными обозначениями формулы (4Д2.43) (которые позволяют также написать ^ =^ = ^« = ^00...о н % = 6ио...о)・ Чтобы в этом убедиться, представим уравнение (5.12.3) в виде семейства уравнений (4,12.44> и соответствующего штрихованного семейства (4.12.44)'. Здесь (при м > 1) нам нужны лишь первые два из уравнений (4.12.44) и лишь последнее из уравнений (4.12.44)/, которые имеют следующий вид, соответственно:
В := р% — б%。+ т*о — ftp#[ = 0,
С := р% — 6'6卜 + 2t*i — (n — l)p% = 0*(5.12.19>
£ := 6*1 — »'% + р'% + 仇一1)时 2 — %七心=0»
где учтено, что х = 0 [формула (5.12.11)], а также равенства ^ = xz = 0,(5.12・20>
справедливое, поскольку 皆一световой конус в М [формулы (4.14.76) и (4.15.12)]. Аналогично формуле (5.12.13) имеем
р' = р‘，(522»
а из формулы (4.15.12) получаем
р' = ；.(5.12.22}
[Сопоставление равенств (4.15.2) и (5.12.2) показывает, что- и = г} Из формул (5.12.22), (4.12.32а,) и (4.12.32^) (при』= =а7 = Ф22 =①21 = % = 0) сразу следует, что vL = P’l； т.
р7 = — р7,(5.12.23)
67 = 0,(5.12.2©
где г — скаляр типа {—1, —1). Кроме того, соотношение (4.11.28) дает рМ = — х7ол = 0 и ЙИ =—『(/ = 0, откуда в силу определения (5.12.14) следует равенство
D‘o> = 0 = д^.(5.12.25》
Теперь мы можем проверить выполнение равенства (5.12.17)» рассматривая комбинацию
^~пгА — (6 — “ 一 У) 8 —仇一1) аС + (р — пр — р) £; (5.12.26〉
можно показать, что в данной ситуации она тождественно равна нулю. Это устанавливается прямым, хотя и несколько громоздким вычислением с использованием уравнений (4.12.32az, б, в, г, е‘)модифицированного формализма спиновых коэффициентов •совместно с перестановочными соотношениями (4.12.35) и (4.12.33) применительно к % (тип {п, 0}) и (4.12.34) применительно к 巾 (тип {и — 2, 0}) с учетом соотношений (5.12.20)—— (5.12.25) и равенств
% = К = % = 0・ (5.12.27)
Из равенства нулю комбинации (5.12.26) и равенств В = С = = Е = 0 находим А = 0, что и требовалось доказать. (Случаи л = 0, 1 аналогичны и даже проще.) Таким образом, интеграл в формуле (5.12.15) не зависит от специального выбора поперечного сечения 夕 гиперповерхности 紀 т. е. первое утверждение доказано. , . '
Рассмотрим теперь поперечное сечение %, которое получается как пересечение гиперповерхности 宙 с пространственноподобной гиперплоскостью, проходящей вблизи точки Р (в прошлом или в будущем). Пусть % нмеет радиус |б| (и выберем 6 > 0 или V 0 в зависимости от того, лежит ли 夕^ в прошлом или в будущем по отношению к событию Р).Тогда [гл.4, § 15, _в частности формулы (4.15.3), (4.15.9) и (4.15Л2)] находим
ргТ = рр，= —^6「 (5.12.28)
и, следовательно, каждая из величин |р| и |р，| расходится как О(|6|~1) при 6fo. Поскольку поле $ав_.£ является гладким в точке Р и площадь поверхности 空 имеет порядок О(62), вклады членов D^ и —пе^ в р@6 [формула (5.12,8)] обращаются в нуль в этом пределе и остается- единственный член —(п + 1 )р^. Поэтому интеграл (5.12.6) принимает вид
®А…®，"^г § 4^)“А・・・時4…廿冲Aq…占& (5,12.29)
В рассматриваемом пределе можно вынести 力风_& за знак интеграла, взяв значение поля в точке Р. Далее используем лемму (4.15.86) при R = 6 с учетом определения (5.12.7), что позволяет установить требуемое согласие с формулой (5.12.15), Мно・ жители -(ол ...①丄 можно сократить в oQeux частях равенства, поскольку величина о/ произвольна [формула (3.3.23)]. Таким «образом, формула (5.12.6) доказана.
Конформно-плоское пространство-время
Все изложенное почти без изменений переносится на случай,, когда вместо 馳 мы имеем некоторое конформно-плоское пространство-время М. Мы можем предположить, что подходящим.： выбором конформного множителя Q метрика в окрестности светового конуса 诊 может быть приведена к плоской метрике в соответствующей окрестности светового конуса в пространстве Минковского М. Но необходима осторожность при интерпретации параметра г. Это относится к уравнениям (5.12.23) и. (5.12.24). Первое из них позволяет интерпретировать г как яркостный параметр на 份 [17, 162]. В общем случае равенст во (5,12.22) не имеет места, но это равенство и не требуется, чюбы доказать равенство нулю комбинации (5.12.26) [оно лишь упрощает вывод равенства (5.12.23) в случае пространства Минковского М. При конформном изменении масштаба величина г ведет себя следующим образом ):
f = Q(P)QTr, (5.12.3»
где Q(P)—значение конформного множителя в точке Р [а С = =Q(Q) в соответствии со стандартными обозначениями § 6].- Причина, по которой конформным множителем в точке Р определяется поведение величины г при конформном изменении масштаба, заключается в том, что соотношение (5.12.23) само по себе не определяет значения г, а лишь фиксирует 广 с точностью； до общего масштабного множителя для каждой нз образующих конуса 仔 в отдельности. Масштабный множитель определяется требованием, чтобы в случае точки Q, близкой к Р, вектор положения точки Q относительно точки Р был равен ——ri'i、'. Эта величина при конформном изменении масштаба ведет себя как. расстояние, а поскольку произведение 俨俨’выбрано инвариантным относительно этого преобразования, величина г тоже ведет- себя как расстояние в точке 户,т. е. умножается на Q(P). Второй множитель А"4 обеспечивает согласие с формулами (5.12.23)- и (5.6.27,1V), где мы приняли значения (5.6.26, IV) [см. пояснение после формулы (5.12.7)]. Масштабное поведение величины^ з определяется соотношением
а = q(o, (5.12.31).
совместимым с сохранением равенства (5.12.25). Действительно^ в формуле (5.12.15) можно заменить величину з" более общим скаляром Г типа {—/г, 0} (конформного веса /г), удовлетворяю-
щим уравнениям
р^Г = 0 = б^.Г, т- е. рТ = О, б'Г = О. (5.12.32)
Для этого достаточно взять линейные комбинации выражений вида (5.12.15) с разными сИ・ Из сказанного в гл. 4, § 15 следует, что если ^ — сфера, то величины Г будут спиновыми сферическими гармониками с / = —s == п/2 [см. предложение (4.15.58)]. В общем случае величины Г являются некоторым обобщением спиновых сферических гармоник для •俨• В случае предельно малых сфер 俨© величины Г* стремятся к стандартным спиновым сферическим гармоникам для 俨©・
Этим указывается путь приписания интегралам (5.12.6) некоторого смысла — на основе выражения (5.12.15) или более общего выражения — (5.12.15) с заменой величины шп величиной Г, удовлетворяющей условиям (5.12.32). Непосредственно пользоваться формулой (5.12.6) затруднительно из-за необходимости интегрирования спинорной величины по ^ в отсутствие какого- либо естественного параллелизма, введенного на 俨.Один из способов преодоления этой трудности состоит в привязке подынтегрального выражения в точке Р・ Такая процедура однозначна ■благодаря инвариантности подынтегрального выражения в формуле (5.12.6) относительно спинового и бустового растяжений
晶 1>入乳，(5.12.33)
а также относительно конформного изменения масштаба
Пд — QM 士4 i 氧；(5・ 12.34)
в последнем случае выполняется соотношение (5.12.30), мы имеем 俨 i> Q夕 и »抻£2一"一％力 в соответствии с преобразованием (5.6.34). (При желании можно, изменив масштаб спинора т)л, осуществить его параллельный перенос вдоль образующих светового конуса 野 и связать тем самым величины в точке Q с величинами в точке Р.) Далее интегрирование можно выполнить в касательном пространстве в точке Р н [в силу формулы (5.12.30)] результат будет представлять собой конформную плотность веса —1.
Отметим, что хотя при выводе соотношений (5.12.23) и (5.12.24) из соотношения (5.12.22) было использовано равенство Ф22 = Ф21 = 0, справедливость формулы (5.12.6) не зависит от того, являются ли эти или какие-либо другие компоненты спинора Риччи равными нулю. Достаточно предположить выполнение соотношений (5.12.23) и (5.12.24), а для этого не требуется равенство (5.12.22). Обращение же в нуль компонент (5.12.27) спинора Вейля существенно для доказательства. Более того, как следствие соотношений (5.12.23) и (5.12.24) остальные
компоненты спинора Вейля Уз и 4% тоже должны быть равны нулю, так что нам фактически необходимо равенство
叩 4bcd = 0 (5.12.35)
на 份.Любопытно, однако, что условие (5.12.13) не потребовалось при доказательстве справедливости равенства (5.12.17) в области 野 между 俨 м В' (хотя оно неявно используется на В и俨')・
Конформная инвариантность спинора 明всо отмечаласьв§6 (и будет доказана в гл. 6, § 8). Небезынтересно отметить, что оператор [из формулы (5.6.33)], фигурирующий в формуле (5.12.6) [и (5.12.16)], не единственный используемый здесь конформно-инвариантный оператор. В формуле (5.12.18) фактически используется связанный с последним конформно-инвариантный оператор 6/ поскольку соотношение (5.12.18) можно переписать в виде
N「= gA*t (d# + na^J. (5.12.36)
Отсюда видно, что gf есть конформная плотность веса —1 (так как величины а, г,外 а и ^] являются конформными плотностями весов, соответственно, 1, —1,——п— 1, —2 и —и) в дополнение к плотности No’， имеющей конформный вес ——2. Поэтому можно переписать соотношение (5.12.17) в конформноинвариантном виде
4 ：=%Ny — 6*y = 0, (5.12.37) указывающем на то, что 4 — конформная плотность веса —2 (см. также замечание в конце § 6). Конформная инвариантность величин Цо' или цу также становится явной из следующей формы записи:
Hmz = — ^пг~Цмамм^9 (5.12.38)
где (число индексов А, ...» L равно п)
% = &' • ■ • &空* &^м『6а …厶—(孔+ 1)力4…〃сДи)‘ (5.12.39) поскольку комбинация (5.12.39) конформных плотностей ^А L и |л веса, соответственно, —1 и 0, как легко видеть из (5.6.15), будет конформной плотностью веса —м — 2 (дополнительно к преобразованию аи н-> Лп+2ай при 氧 1>觴”)・
Отношение к задаче с начальными условиямина пространственно-подобной гиперповерхности '
Заметим, что гиперповерхности “ выше отводилась довольно незначительная роль. Фактически она служила лишь для задания определенного поперечного сечения 夕 гиперповерхности 從 Коль скоро такое поперечное сечение выбрано, направление флагштока спинора F фиксировано вдоль единственного изотропного направления, ортогонального 俨,не лежащего в 份.Это направление не только служит для выделения определенной компоненты поля ^л...£ на 夕,которая используется (в случае ненулевого спина) в качестве изотропного значения поля 6, но и определяет направление действия производной р, а сходимостью этих изотропных направлений определяется спиновый коэффициент р. Таким образом, формула (5.12.6) применима в том случае, когда начальные данные относятся к пространственного- добной (или даже времениподобной) гиперповерхности 非.Более того, первоначальное выражение, написанное Кирхгофом [99] для скалярного поля ^, удовлетворяющего уравнению Даламбера, было дано пространственно-подобной гиперповерхности 宓,на которой задавались поле и его нормальная производная. Рассматриваемое интегральное выражение требует задания как этой нормальной производной, так и тангенциальной производной 6 на поверхности, и обе объединяются фактически в величину 。力 производной в направлении флагштока |л. Это направление таково, что совместно с направлением флагштока спинора М образует 2-плоскость, содержащую нормаль к 鑑.
Рис. 5.6. В случае простраиственноподобной начальной гиперповерхности компонента поля, входящая в подынтегральное выражение в формуле (5.12.6), изменяется при изменении положения точки Р в противоположность случаю изотропной начальной гиперповерхности.
В выражении, построенном Дадемаром [40], используется изотропная гиперповерхность Jf、но теперь флагшток |л указывает в направлении нормали, которое также тангенциально к поверхности 声，так что дополнительной «нормальной производной» уже не требуется. Кроме того, при перемещении точки Р и фиксированном положении Q, так что вектор QP остается изотропным (рис. 5.6), флагшток &》изменяет свое направление в случае 箔，но н-е изменяет его в случае 力3. Таким образом, форма интеграла Дадемара [по существу формула (5.12.6) при л = 0] значительно более экономна, чем форма Кирхгофа. В случае больших спинов [136] экономия еще более выражена: в задаче с гиперповерхностью 4 необходима лишь одна (комплексная) компонента поля и полностью отсутствуют связи (спин >1/2).
Фоновые поля 1)
Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара (5.12.6) может также применяться в несколько иных ситуациях. Например, можно предположить, что Л^- плоское или конформно-плоское пространство-время и что (этого достаточно для первой части доказательства) уравнение поля (5.12^) или (5.12.4) выполняется лишь в некоторой окрестности Ж части 诊 гиперповерхности 份，которая связывает два ее поперечных сечения 俨 н W (как показано на рис. 5.5). Представим себе, например, ситуацию, когда мировая трубка источников поля ^л # £ пронизывает область 毋，как показано на рис. 5.7. Интеграл (5.12.6) еще можно вычислить осмысленным образом, что дает, скажем, спинор Фа …厶 в точке Р. В общем случае спинор 屮从…丄 не будет совпадать с 力从…厶 в точке Р. Действительно, если точка Р лежит на мировой линии точечного источника, то спинор 6』...厶 вовсе не будет определен. Но спинор 必…工 не будет зависеть от положения сечения В до тех пор, пока 俨 можно непрерывно перемещать по любой области 穹，не пересекающей источников (и других областей, где спинор ^л _ L не определен). Мы можем рассматривать ^а l как фоновое поле в точке/, причем вклад источников, окруженных поверхностью 忆 удален. В зависимости от того, лежит ли 俨 на световом конусе прошлого или будущего события Р, можно назвать поле 电^ …工 запаздывающим или опережающим фоновым полем в точке Р.
Рис. 5.7. В случае поверхности, окружающей мировую трубку источников, обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара дает фоновое поле в точке Р.
Такой подход целесообразен, например, в классической электродинамике при анализе силы Лоренца, приложенной к точечному заряду. Некоторое представление о фоновом поле здесь необходимо, поскольку полное поле стремится к бесконечности в точке нахождения заряда. В стандартной процедуре Дирака [47] используется фоновое поле, равное полусумме определенных нами выше запаздывающего и опережающего фоновых полей. Однако в учебниках чаще прибегают к «перенормировке», позволяющей устранить расходящуюся часть полного поля в точке нахождения заряда. Подход, указанный нами выше, ведет к тому же результату [184], но более прямо: никакие расходящиеся выражения вообще не возникают ни на какой стадии вычислений.
Есть еще одно, более необычное приложение такого подхода—когда сама точка Р не существует (или может становиться в определенном смысле сингулярной точкой пространства-времени). Если пространство-время 慮 асимптотически плоское (но не конформно-плоское), то обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара фактически может применяться и тогда, когда 份 пол-
ностью лежит на бесконечности. В этом случае мы получаем так называемые константы Ньюмена ——Пенроуза для безмассового поля со спином м/2, о чем будет сказано в гл. 9, § 10.
Поля, соответствующие произвольным изотропным данным
Чтобы оправдать термин «фоновое поле», мы покажем, что поле, построенное согласно формуле (5.12.6) с произвольным изотропным значением 力 на изотропной начальной гиперповерхности действительно удовлетворяет соответствующим полевым уравнениям (5.12.3) или (5.12.4) при варьировании точки Р・ Это будет означать, что опережающее и запаздывающее фоновые поля (так, как они были определены) оба автоматически являются свободными безмассовыми полями.
Наше исследование справедливостй формулы (5.12.6) даже было бы не совсем полным без такого доказательства. Мы установили лишь условие согласованности, которое должно, выполняться для любого безмассового свободного поля. Но мы еще не доказали, что при произвольном изотропном значении формула (5.12.6) всегда дает такое поле. Это приводит к трудностям, если мы требуем, чтобы построенное поле было гладким на самой начальной изотропной гиперповерхности Л3. Дело в том, что обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара вырождается в тех точках, где 2-поверхность 夕 стягивается в отрезок образующей поверхности ”， начинающийся в точке Р и кончающийся в сингулярной точке Л3 (рис. 5.8). Если не позаботиться об условиях согласованности, которые должны выполняться в определенных сингулярных точках такого типа на 斤 (а при п ^ 2 нам в сингулярных «точках пересечения» Л®, вообще говоря, будут необходимы даже дополнительные компоненты поля】))，то мы можем получить поле 6а …工，которое не будет гладким на ”. Напомним, что из сказанного в конце § 11 следует, что если “一световой конус, то изотропное значение должно иметь определенное поведение в вершине, чтобы поле было аналитично.. Еслй же начальное значение не ' обладает этим общим типом поведения, то вычисленное по формуле (5.12.6) поле будет иметь сингулярности на Л3, хотя и не будет иметь их внутри Л3. ” 、
Вопрос о регулярности поля на Л9 выходит за рамки нашей книги. Здесь мы только покажем, лто достаточно дале^Ь Рт Л3 (т. е. «внутри» Л3) поле действительно удовлетворяет уравне-
1) Обобщение формулы (5.12.6), необходимое для корректного обращения с такими точками пересечения (например, в случае, когда 4 расщепляется на две пересекающиеся изотропные гиперповерхности), рассматривается в работе [136].
16 Зак. 1142'
Син喇арность гиперповерхности JfСин喇арность гиперповерхности JfРис. 5.8. Когда точка Р приближается к %, 2-поверхность 9 вырождается в отрезок образующей светового конуса 片.Рис. 5.8. Когда точка Р приближается к %, 2-поверхность 9 вырождается в отрезок образующей светового конуса 片.Рис. 5.9. К соотношению (5.12.41).Рис. 5.9. К соотношению (5.12.41).
Син喇арность гиперповерхности Jf
Син喇арность гиперповерхности Jf
Рис. 5.8. Когда точка Р приближается к %, 2-поверхность 9 вырождается в отрезок образующей светового конуса 片.
Рис. 5.8. Когда точка Р приближается к %, 2-поверхность 9 вырождается в отрезок образующей светового конуса 片.
Рис. 5.9. К соотношению (5.12.41).
Рис. 5.9. К соотношению (5.12.41).
ниям (5.12.3) или (5,12.4). В явной форме вычисления будут проведены для пространства М. Результат для конформно-плоского пространства-времени Л можно получить путем конформного изменения масштаба. Пусть О — произвольно фиксированное начало координат в пространстве М, ad — вектор положения точки Р относительно начала О. Для удобства выберем спинор 『постоянным вдоль любой образующей v гиперповерхности 4 и свяжем с ним аффинный (т. е. линейный) параметр о (рис. 5.9). Тогда, если Я ——точка на образующей v, в которой V = 0, a Q — типичная точка на v с параметром 〃，то мы имеем (而 0 = и1『'・(5.12Л0>
Обозначив вектор, характеризующий положение точки Я, через ”，напишем (см. рис. 5.9)
公=加 + 嗎力驴 + луЧИ'(5.12.41>
(где спинор т|' можно рассматривать как величину, постоянную вдоль QP). При фиксированном положении образующей v и меняющемся положении точки Р величины V, г и т|л будут функциями переменной ха (5Л постоянно). Поэтому дифференцирование выражения (5.12.41) по х& дает
еВзз歓景+ П屮条+”需+ В需.
(5.12・42>
Свертывая обе части этого равенства с мМ，получаем ■^-=т|вП55(5.12.43)
а свертка с 氧鼠‘ дает
~^ = 1в|в/,(5.12.44)
поскольку из равенства 氢п" = —1, следует, что
氧需=о・.(5.12.45)
Далее, если свернуть выражение (5.12.42) с т|д|д* и воспользоваться равенством (5.12.45), получим
±11 = _1пвЬ^.(5.12.46)
дх° г
Из соотношения (5.12.43) следует, что любая величина 也 заданная на V, удовлетворяет уравнению
Д- = ПвПв^(5.12.47)
дх°
[формулы (5.12.9), (5.12.10); здесь е = 0, так как спинор 守 постоянен вдоль v]. Следовательно, на основании (4.11.12а) получаем
言"{»№} ={* — S + 1) Р@}=
=T|BTjBz {方6 — (n+ 1) pD@ — S + l)(p2 + era)，}.(5.12.48)
Кроме того, имеем (проще всего это получить, исходя из интерпретации параметра р как «конвергенции», гл. 7 § 1)
乡=x\B^\BfD9^ = — 2рт)вПв 夕. (5.12.49}
Таким образом, применяя оператор д/дхт к выражению (5.12.6) (и учитывая, что в случае величины, заданной в точке Р, этот оператор сводится к Vm), получим, используя соотношения (5.12.44) и (5.12.46) — (5.12.49), 哨也…厶(p)=
=表 \ [；加…Мм亏м' {沙一仇 + 3) pD^+(n+l)(p2—ста)力}— р
-S1^L^A …時m?'{毋-(«+ 1)P外卜(5.12.50>
(в пространстве Минковского М). Данное выражение очевидным образом симметрично по индексам 4, … L, М, что указывает на выполнение уравнения (5.12.3) при п > 0. В случае
м = 0 нужно еще раз продифференцировать выражение (5.12.50), чтобы убедиться в выполнении уравнения (5.12.4).
Этим завершается доказательство того, что формула (5.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле в пространстве М при произвольном выборе изотропных данных на “ если точка Р лежит в области, для которой 皆 поперечно пересекается с Jf по гладкой замкнутой поверхности (в действительности, с необходимостью имеющей топологию сферы S?). В частности, этот вывод относится и к запаздывающему и опережающему фоновым полям, о которых говорилось выше. Отметим, что из-за наличия производной в формулах (5.12.6) и (5.12,8) при переходе от изотропного значения поля к самому полю одна степень дифференцируемости может быть утрачена. Но если 力 и 4 относятся к классу С°°, то к тому же классу будет относиться и полученное поле (во внутренней области). Даже в случае, когда 力 или 4 недостаточно гладкие, чтобы давать гладкое поле, уравнения (5.12.3) или (5.12.4) все-таки будут выполняться для надлежащим образом определенных обобщенных функций [73].
Приведенное доказательство было в какой-то мере излишне подробным, поскольку точный вид выражения (5.12.48) не нужен для демонстрации требуемой симметрии выражения (5.12.50). Однако формула (5.12.50) представляет интерес сама по себе, так как дает прямое интегральное выражение для производной от безмассовога свободного поля. Действительно» поле
"…lm』V馳*…厶 (5.12.51)
само образует точную систему, удовлетворяющую полевым уравнениям
Vnm 儈:」м = 0，В"螺厶“а。(5-12.52)
[ср. с формулой (5.10.10)], и можно рассматривать выражение (5.12.50) как аналог формулы (5.12.6) для поля 0^' м. Однако заметим, что теперь изотропное значение поля будет таким:
8 = 0“(5.12.53)
тогда как в выражении (5.12.50) величина 力 фигурирует и без оператора производной. Таким образом, чтобы получить "二 м， полностью исходя из Соответствующего изотропного значения, необходимо вначале проинтегрировать 0 вдоль образующих “ прежде чем мы сможем воспользоваться формулой (5.12.50). Фактически это означает, что для поля 9夕；..м не выполняется принцип Гюйгенса, по крайней мере в той строгой форме, в которой он справедлив для За …& Принцип Гюйгенса, выражаемый формулой (5,12.6), состоит в том, что поле В*…工 полностью определяется своим язотрапным значением ； (и его про-
изводной) в точках, лежащих на световом конусе с вершиной в точке наблюдения; что же касается поля 8夕: 册,то оно в какой-то мере зависит и от соответствующих изотропных значений внутри конуса.
Для полноты приведем также обобщение формулы (5.12.50) для ^-й производной от выражения (5.12.6) в М:
七©(J+ /)%，麻3+i ?仁二工 111；-!,) *
X 可 м ... »R%s，… 即，{»+№ 一 仇 + 2/ + 1) р» 6 十 / (n + /) X 'X (р2 - 06) £>/-1处夕.(5.12.54)
Поля 8 смысле обобщенных функций
Возможно и другое доказательство того, что формула (5.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле, доказательство, основанное на несколько иных представлениях. Мы можем рассматривать функцию Р&В на N как линейную суперпозицию d-функций Дирака. Всякой такой б-функции в»#6， имеющей носитель в отдельной точке R на 4, отвечает [формула (5.12.6)] обобщенная полевая функция с носителем на световом конусе с вершиной в R. [Ясно, что формула (5.12.6) дает ненулевое значение поля, только если вектор RP изотропен.] Если мы убе： димся в том, что эта обобщенная полевая функция удовлетворяет уравнениям свободного безмассового поля, то в силу их линейности мы докажем, что величина, определяемая формулой (5.12.6), удовлетворяет этим уравнениям и в общем случае. Такие решения (5.12.3) или (5.12.4) в смысле обобщенных функций можно также использовать при построении аналогов представления (5.12.6) для различных связанных систем взаимодействующих полей. Здесь мы кратко остановимся на таком подходе, не претендуя на полноту или строгость. (По поводу обобщенных функций на многообразиях см. работу [73].)
Прежде всего нам нужно уточнить некоторые свойства ряда обобщенных полевых функций. Введем скалярную «ступенчатую функцию».
{
+ 1, если ха времениподобен, направлен в будущее.
—1, если ха времениподобен, направлен в прошлое, О, если х@ пространственноподобен.
(5.12.55)
Можно также положить До = 1/2 (или —1/2) на световом конусе будущего (прошлого) с вершиной в точке О (причем До==О в точке О), однако это не играет существенной роли. Заметим, что функция Ао инвариантна относительно ортохронных преобразований Лоренца. Из определения этой функции следует, что ее градиент должен быть направлен вдоль вектора ха:
%& = %&(5.12.56)
(где Va = д/дха), причем Ai — некоторая обобщенная функция. Носителем функции Ai является световой конус в начале координат; она представляет собой б-функцию на конусе с «амплитудой», обратно пропорциональной протяженности вектора ха. Из обычного соотношения для 6-функции иб(и) = 0 получаем
О = хаха^ = xaVaAo»(5.12.57)
что также следует из того, что «ступенька» Of 1 или —1 ->0 постоянна вдоль любой образующей светового конуса и, значит, оператор x“Va производной вдоль этого направления, действуя на функцию До, дает нуль.
Из соображений лоренц-инвариантности аналогичным образом находим
Va% r0a2，(5.12.58)
причем Д2 — некоторая обобщенная функция тоже со световым конусом в качестве носителя, но пропорциональная производной от б-функции. Продолжая так же далее, получим последовательность обобщенных функций Аз, А《,...» заданную соотношением
VaA/ = xflA/+1 (/ = 0, 1,2, ・.・)•(5.12.59)
Иногда оказывается удобным ввести также С^-скаляр
A_/ =备(^必*0)"% 优= 1,2,…)；(5.12.60)
тогда соотношение (5.12.59) будет справедливо при всех целых /.
Теперь можно доказать следующее предложение.
Предложение.
xaxaA/+i = — 2/А/ (/ = ...» — 2, — I, 0, 1,2, .. •).
(5.12.61)
Доказательство. При / < 0 это прямо следует из определения (5.12.60). При / ^ 0 подействуем на обе части равенства (5.12.61) оператором Уь, подставим выражение (5.12.59) и сократим на Хь. Получим такое же соотношение, но с заменой /
на / + 1. Поскольку для случая / = 0 ранее было установлено равенство (5.12.57), доказательство следует по индукции.
В качестве следствия из предложения (5.12.61) можно получить
□А1 = 0,(5.12.62)
где'
□△i =厂竺扯1 = V° (хаА2) = 4A2 +*^а-^аДз = (4 — 4) А? = 0.
В следующем предложении обобщается предложение (5.12.61) в случаях / = 1, 2::
Предложение.
Пусть спиноры ал, ₽л> Y” изменяются непрерывно^ тогда
.。修厶1 + 0丈厶2 = 0, ес』〃 выполняются необходимые и достаточные условия 07 = 0, УьВ* = %&а“ при хаха = 0;
. сиА] + 0修厶2 + 丫庚Аз = 0, если выполняются необходимые и
достаточные условия 丫” = 0,=VkcY%=%(闷с)0% +
+ 万g“B厘—х&хсал при хаха = 0.(5.12.63)
Доказательство. Мы можем опустить всюду индекс 垓,по которому выражения диагональны. Из равенства aAi + М2 = 0 после умножения на хаха на основании предложения (5.12.61) находим —2PAi = 0; следовательно, р = 0 на конусе. Дифференцируя соотношение РД1 =0, получаем AiV^P + x*pA2 = 0, так что (V&p — x&a)Ai =0» откуда V&P = х&а на конусе. Аналогично, умножая обе части равенства 叫 + рД2 + уАз = 0 на ХаХ° и используя предложение (5.12.61), находим рА】+ 2уД2 = 0; поэтому в силу предложения (5.12.63,1) имеем у = 0 и Уьу = = (1/2)х&р на конусе. Дифференцируя обе части соотношения (V&y — (1/2)х&Р)Д1 = 0, получаем■
(VbVcY — ^Sbc^ 一^■修УсВ) & + (%cWY — 4"%/сВ)& =0・
Дифференцируя обе части равенства pAi + 2уДз = 0, с учетом равенства а& + 0% + ?Аз = 0 находим
(/“У — 4 /*сВ)厶2 =(修/a — -i- *с%0)&, откуда
(办％丫 一 }g加В — #gVc)B + xbxca) & = 0,
чем и доказывается искомое соотношение. Обратив рассуждения, нетрудно доказать достаточность.
Как записано в формуле (5.12.62), обобщенная функция 飯 удовлетворяет волновому уравнению Даламбера. Аналогичное
Рис. 5.10. К соотношениям (5.12.64) и (5.12.65).
решение уравнений безмассового свободного поля со спином и/2 можно записать в виде
т)А … 也 &，(5.12.64}
n
где для некоторой изотропной прямой v, проходящей через начало координат спинор Ял имеет направление флагштока вдоль образующих световых конусов с вершинами Q на v (рис. 5*i0); спинор лл нормирован вместе с 自厶 условием трЕ" = 1 [как в формуле (5.12.1)], где р ——постоянный спинор с флагштоком вдоль V； спинор т|л не определен на v и на изотропной гиперпло- скости 史 проходящей через v. Радиус-вектор ха точки Р имеет вид OQ + QP т・ е.
ха —+ гг|'У •(5.12.65)
Это совпадает с (5.12.41) при fia = 0; все соотношения (5.1243) — (5.12.47) выполняются, как и прежде. Далее, на све* товом конусе с вершиной в точке О мы имеем и = 0, а поэтому
必1 = 0.(5.12.66)
Кроме того,
хаха = 2rv,(5.12.67)
что после подстановки в (5.12.61) дает
必/+1 = —/% (/=..., -1,0, 1,2, ...),(5 12.68}
откуда в силу формул (5.12.59) и (5.12.65) при всех целых / получаем
%& = ЕаП«&+1 — у 史力 £△/♦(5.12.69)
Заметим, что здесь мы не рассматриваем область 尸=0, т. е. прямую V, или, точнее, всю изотропную гиперплоскость 0й). Дифференцируя (5.12.64) с использованием (5.12.46) и (5.12.69)» далее находим
Умм’ ("А •・・ T|lA1) = f 4 ・•・ ТЦ/ПмПм'А?印厶…〃占М)*М'А1,
(5.12.70>
и значит, уравнения свободного безмассового поля выполняются вне гиперплоскости 乡. Аналогичные рассуждения показывают, что выражение
г^Ца ・・・ т|ьД/(5.12.71)
при всех целых / также удовлетворяет уравнениям свободного безмассового поля вне 乡.
Напомним, что «амплитуда» 6-функции Д1 убывает как r~L Таким образом, в обобщенной формуле Кирхгофа — Дадемара (5.12.6) выражается то обстоятельство, что поле ^д... е есть линейная суперпозиция полей, каждое из которых имеет носителем световой конус с вершиной в некоторой точке R гиперповерхности 力.Каждый такой вклад имеет вид (5.12.64) с началом, смещенным в точку R, образующей v, проходящей через R, и изотропным значением Р&6 в точке R. Когда точка R пробегает “ эти вклады суммируются, давая полное поле 加…l・ Таким образом, доказательство того, что (5.12.64) есть безмассовое свободное поле, эквивалентно доказательству, что формула (5.12.6) всегда дает такое поле. (И действительно» проведенные рассуждения весьма близки к первоначальному доказательству.)
Определенные тонкости возникают прн попытке распространить эти соотношения на 俨.Во-первых (в связи с явлением Грина, см. гл. 9, § 4), оказывается, что спинор М должен приобретать скачком множитель i при пересечении гиперплоскости 俨.Во-вторых, появятся источники на самой прямой V, если только их ие уничтожить, например с помощью специальна подобранной системы полей того же типа, что и (6.12.64), но в других точках прямой V. Эти вопросы несколько прояснятся в гл. 9, § 2 и 4, но они выходят за рамки нашей книги. ‘
Поле Дирака
Изложенный подход удобен при рассмотрении определенных точных систем взаимодействующих полей. Мы увидим, что в случае таких полей каждое из них можно представить в виде линейной комбинации вкладов типа (5.12.64), но не обязательно с центрами, расположенными на 力.Грубо говоря, различные волны могут претерпевать рассеяние друг на друге, в результате чего возникают новые волны, исходящие из области, внутренней для N. Полное взаимодействующее поле можно представлять себе составленным из частей, каждая из которых распространяется вдоль изотропных линий как безмассовое свободное поле, но многократно испытывает рассеяние в точках внутренней области. Новым моментом в нашем подходе является то, что между актами рассеяния распространение поля происходит исключительно вдоль изотропных линий. Это достигается путем разбиения системы полей на части, для которых можно использовать интеграл (5.12.6), понимая под 4 совокупность частей световых конусов, являющихся носителями вкладов типа (5.12.64), на которых поле испытало рассеяние.
Для большей ясности начнем с очень простого примера. Рассмотрим свободное уравнение Дирака в форме (5.10.15)
△% 屮厶=УдХд/ =卩屮4，(5.12.72)
где 卩=2-1/2力-%, понимая эту систему как описывающую пару взаимодействующих полей 中力 и хд/. Прежде всего заме- о о 1 ним систему (5.12.72) бесконечным набором полей фд» %/‘， ®4, 122
Хд, *4，％&‘，•••，удовлетворяющих условиям
V务屮4 =。，V散* = a(5. 12.73)
^а^а =卩 ％科 ^ХЛ/ = Ц ФА Q = 1，2,・・・)・(5.12.74)
Этот бесконечный набор образует точную систему, и решение первоначального уравнения Дирака (5.12.72) можно записать в виде рядов (предполагая их сходимость)
X厶(5.12.75)
Действительно, если задана начальная изотропная гиперповерхность 4, например световой конус будущего точки О, то мы можем взять в качестве изотропных данных для нашей системы полей следующее:
1122300
0 ^— *ф ^" % =^ 2 ^= % ^= 2 —" • • • ； 2 ^^ 2，% —~ %*(5.12・7б)
где 屮 и % — заданные изотропные значения пары дираковских спиноров *а, з Тогда ряды (5.12.75) дают искомое решение уравнений (5.12.72) для этих изотропных данных.
Применим предлагаемый метод для решения уравнений о о
(5.12.73) и (5.12,74) с такими условиями. Поскольку *фд и %« — безмассовые свободные поля, можно воспользоваться методами,
О и
изложенными ранее: поля Wa и %衣 в некоторой точке Р, лежащей в будущем по отношению к точке О, можно выразить непосредственно через их изотропные значения tp и х по формуле (5.12.6) (и комплексно-сопряженной к ней). Изотропные значения величин Р'^, Р&%в некоторой точке Ri на Л3 входят через вкла- о о
ды в и %4 с носителем на световом конусе будущего для
точки R】. Каждый из них далее порождает вклады в 屮力， и т. д.
Рассмотрим случай, когда р丁* есть б-функция на 4 в точке Ri, причем % = 0. В соответствии с изложенным выше
оо
必=mA1(1)，%* = 0；(5.12.77)
здесь и далее используется обозначение А/(В) для функции А/ с началом координат, смещенным в точку /?*. Следующий шаг
состоит в решении уравнения (5.12.74) д』я%4， а именно уравнения
V£工，=m*n1)・(5.12.78)
Поскольку для поля %£ изотропное значение равно нулю, потребуем, чтобы решение уравнения (5.12.78) обращалось в нуль на 4 (всюду, кроме точки R, а также в будущем от R на образующей, проходящей через Ri). В силу формул (5.12.44) и (5.12.69) такое решение имеет вид
%/f =-卩尸一1Е厶’А0(1).⑸12.79)
Действительно, как нетрудно видеть, решение (5.12.74) для всех остальных полей определяется формулами
2//П/„2/2/ + 1
必=Д— Mа T ⑴，^а = 0,
(5.12.80)
2/2/4-1/ |\/+1q2/+1_
%£ = 0, Хa，=дГ一冉*A一/(1) (/ = 0, 1> 2,...)
Тем. формулы (5.12.44), (5.12.46) и (5.12.69)]. Подста&ив (5.12.80) в (5.12.75) и использовав (5.12.60) с учетом (5.12.41), выразим вклад в дираковское поле, даваемый б-функцией, вхо-
дящей в »歹屮 в точке Ri, через функции Бесселя. Точно так же можно выразить через функции Бесселя вклад, даваемый 6-функцией, входящей в РгХ в точке Ri・ Эти два выражения можно также объединить в полное решение уравнения Дирака с заданными изотропными данными Ь&2 и р^% на #•
Однако не это в действительности является целью наших рассуждений. Идея состоит в том, чтобы использовать световой конус будущего точки Ri в качестве гиперповерхности начала
У2 3、
ных данных дляхдЛи далее повторить процесс для丿.
Изотропное значение для %* на этом световом конусе таково:
1А，х^' = ЦГ-1,(5.12.81)
где мы воспользовались формулой (5.12.79). [Поскольку нас интересует значение м на световом конусе в будущем, мы можем положить Ао(1 )= 1.] Оператор Рг в данном случае имеет вид
|7 + ^(5.12.82)
поскольку, как в формуле (4.15.9), в качестве р мы имеем —r~L Применяя оператор (5.12.82) к (5.12.81), получаем
■■ иг"2(5.12.83)
в качестве р^%. Таким образом, пользуясь формулой (5.12.6),
мы можем представить %4 в некоторой точке Р в будущем от 爲 в виде интеграла от (5.12.83) по пересечению светового конуса прошлого точки Р со световым конусом будущего точки Ai. Пусть ^2 —типичная точка на этом пересечении. Тогда векторы R1R2 и R2P，так же как и ORi，будут изотропными векторами, направленными в будущее (рис. 5.11), и мы можем написать
(说尸Н璃空",(京)a = e%*, (@)a = sH，.(5.12.84)
Для удобства в дальнейшем можно опустить нормировку (5.12Л) и написать
пД" = 21，Зп" = &・(5.12.85)
Собрав вместе эти результаты и обозначив элемент 2-поверхности около точки Ri через В〃 мы будем иметь
加(Р) = —у \ ( W~工£ "у—歹冷/屮(Ri)) A dgA 夕，(5.12.86)
Рис. 5.11. К соотношениям (5.12.84) и (5.12.86). (Первое «рассеяние на массе» в случае дираковского поля.)Рис. 5.11. К соотношениям (5.12.84) и (5.12.86). (Первое «рассеяние на массе» в случае дираковского поля.)
Рис. 5.11. К соотношениям (5.12.84) и (5.12.86). (Первое «рассеяние на массе» в случае дираковского поля.)
Рис. 5.11. К соотношениям (5.12.84) и (5.12.86). (Первое «рассеяние на массе» в случае дираковского поля.)
где введены z-множители с тем, чтобы подынтегральное выражение было инвариантным при растяжении спиноров У,唄 и G', и где интегрирование ведется по 5-мерному пространству 方12 всех изотропных «зигзагов» рассмотренного типа, которые соединяют точки О и Р (точки О и Р фиксированы, а ОР — времениподобный вектор, направленный в будущее).
Для удобства перепишем выражение (5.12.86) с использованием дифференциальных форм,
竄「啜武 &2 = - RAG， (5.12.87) ИЛИ
/=^А/,宓2 =总7，(5.12.88)
где 皆2 и Л®1 — инвариантные 3-формы объема на световом конусе прошлого точки Р и световом конусе будущего точки О, соответственно [174, стр. 7; 175], a Xi — подходящая инвариантная 2-форма на пространстве пар изотропных направлений (или двумерных плоскостей) в точке &- Заметим, что
qt^ + 厂刀两"+ 义空"=const, (5.12.89)
так что, если фиксировать спиноры F и ? (позволив точке Ri двигаться вдоль фиксированного луча, проходящего через О, а точке Q — вдоль фиксированного луча, проходящего через Р), мы получим, продифференцировав (5.12.89) и свернув с тцМ次，
zxz{Aq= — г2г2 ds, ^(5.12.90)
(5.12.91)(5.12.91)откуда следует, что
(5.12.91)
(5.12.91)
.Jg5! A <^2 = Л9! A J$f2 =： ^12.
[При выводе равенства (5.12.91) достаточно рассматривать фиксированные спиноры р и ?л, поскольку допустимые движения точек Ri и /?2 порождаются фиксированными спинорами 也 1 вместе с другими величинами, дифференциалы которых образуют нулевые внешние произведения с %\ и %・]Теперь можно переписать (5.12.86) в виде
力吁提上空沪力吁提上空沪(5.12.92>(5.12.92>
力吁提上空沪
力吁提上空沪
(5.12.92>
(5.12.92>
где
■ф⑴：=д卜代=^* (в точке R).(5.12.93)
Далее можно повторить весь процесс: представим %£ в виде линейной суперпозиции б-образных вкладов, содержащих Ai(0)> причем точка Р теперь лежит в будущем от R2, и используем световой конус будущего точки & как начальную гиперповерх- 2
ность для 屮4・ Результатом будет выражение
2S (Р)=2S (Р)=2⑴/能⑵NJ 1222r 23對2⑴/能⑵NJ 1222r 23對(5.12.94)(5.12.94)
2
S (Р)=
2
S (Р)=
2⑴/能⑵
NJ 1222r 23對
2⑴/能⑵
NJ 1222r 23對
(5.12.94)
(5.12.94)
где введена 7-форма
«^123 '、=机\ Д缁А野з =片1八％2 A皆3 = # 1 A斤2八方3’
(5.12.9"
представляющая собой естественный элемент объема в пространстве изотропных «зигзагов»
Ro := О, R” R2，R3* R& := Р；
через Xi обозначены 2-формы (аналогичные 2-формам Х\ и 勿2> введенным ранее), определяющие инвариантные элементы объема в пространствах пар изотропных направлений в точках Р^ a ^(+i и 皆j—1 ——инвариантные элементы 3-объема, соответственно, на световых конусах будущего и прошлого точек R. Кроме того, мы полагаем
(京中)。=：〃 i^4A，(5.12.96)
(рис. 5.12) и
z^Ia Т<(5.12.97)
Общая схема теперь ясна. Подставив полученные выражения в( 5.12.75) мы будем иметь для поля 巾幺 в конечной точке
Рнс. 5.12. К соотношениям (5.12.96) и (5.12.94). (Второе «рассеяние иа массе> в случае дираковского поля.)
выражение в виде двух бесконечных рядов, первый из которых, содержит изотропное значение 屮 и интегрируется по пространству изотропных «зигзагов» с четным числом сегментов, а второй содержит поле % и интегрируется по пространству изотропных зигзагов с нечетным числом сегментов. Результат для %л имеет аналогичную форму, но с соответствующими заменами входящих величин. Разумеется, такая схема не предлагается для практических вычислений, но эти рассуждения имеют эври* стическое значение (особенно в связи с твисторным формализмом, который будет введен в т. 2, гл. 6, поскольку описание» основанное на использовании изотропных путей, будет играть в нем особую роль (см. также [64]).
Уравнения Максвелла — Дирака
В заключение кратко остановимся на теории системы полей Максвелла и Дирака в рамках развиваемого подхода. Уравнения полей в лоренцевой калибровке имеют вид [фдв = ^ва, q и* е — действительные постоянные, причем можно выбрать нормировку так, что q — 2ле; см. текст после формулы (5.10.16)]
▽%Ф4В = 2ire (*R* + 5U 灰 а) (== Va фд^вО* (5.12.98}
Vax^b =Фав, Уаа^Фв^ = фд^в»(5.12.99〉
(V% - kФ%) S = HXaz>(7a - 1вФа) Zaz =卩2儿(5.12.100>
Как и раньше, мы заменяем эту конечную точную систему полей бесконечной, для которой далее решение находится путем последовательного применения формулы (5.12.6). При этом мы не
отделяем Фй от ^ав, а рассматриваем «комплексифицированный» вариант соотношения (5.12.99), заменяя ^AfBf независимой величиной фл^, с тем чтобы это соотношение оставалось справедливым во всех порядках. [Необходимость такой комплексифика- ции связана с тем, что в высших порядках правая часть равенства (5.12.98) перестает быть действительной, см. формулу (5.12.112) ниже.] Таким образом, мы будем иметь триплеты \(рдв, Фа, ©々в’丿,\флв» Фй, фд^в<Л ...» связанные на каждом шаге комплексифицированным вариантом соотношений (5.12.99).
О 1
Связь потенциалов ①@,①@, • • • всех порядков с полями фиксируется требованием равенства нулю всех изотропных данных
о /о
В «нулевом приближении» имеем поля ^ав [причем @4，в，= о \ о о
= W"B“ 屮 и %*, удовлетворяющие уравнениям свободных безмассовых полей
ооо
V加4В = " У%《4 =。，УдХд< = 0,(5.12.101)
и действительный потенциал Фй (= Фа), удовлетворяющий уравнению
^Ф| = Фдв-(5.12.102)
(Хотя потенциал «нулевого порядка» действителен, как мы увидим далее, для потенциалов «высших порядков», это свойство сохранить не удается.) Решения уравнений (5.12.101), соответствующие заданным изотропным данным, определяются, как и ранее, формулой (5.12.6), и чтобы перейти к следующему шагу, удобно снова представить эти поля в виде линейных суперпозиций 6-образных вкладов, привязанных к точкам на световом о
конусе будущего 4 точки О. Для Фдв имеем вклад
2「2 加 Пв&(1$(1)(5.12.103)
о _.
(где т|д^А = zi н Ф (1) = q~2d (?3ф)/^? в точке R по аналогии с (5.12.93)], относящийся к точке RiW”. Для соответствующего
вклада в потенциал Фвв^ подчиняющийся уравнению ^(5.12.102). получим решение'
гГ1зГ1г-1(гГ1Ыв^)(1) + гГ1Мв^(1))До(1) (5.12.104)
(с нулевым начальным значением на 4)，
Рис. 5.13. К соотношениям (5.12.107) и (5.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, 6 — рассеяние.)Рис. 5.13. К соотношениям (5.12.107) и (5.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, 6 — рассеяние.)
Рис. 5.13. К соотношениям (5.12.107) и (5.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, 6 — рассеяние.)
Рис. 5.13. К соотношениям (5.12.107) и (5.12.108). (Рассеяние дираковского поля полем Максвелла; а — сдвиг фазы, 6 — рассеяние.)
В противоположность случаю свободного поля Дирака, ко- горый мы рассматривали выше, поля «высших порядков» в случае системы Максвелла ” Дирака не возникают в виде линейной последовательности, и их следовало бы нумеровать тройными, а не целочисленными индексами. Но поскольку мы хотим здесь лишь привести общие построения, не разрабатывая их детально, мы не будем прибегать к такой индексации. Поэтому числа над полевыми символами будут указывать лишь, в какой очередности мы рассматриваем эти поля.
нияа такжеМы уженияа такжеМы ужеНа следующем шаге вместо (5.12.100) будем иметь уравне-
ния
а также
Мы уже
ния
а также
Мы уже
101 о
У胃也=»%£，▽£%« = Р-Фд,(5.12.105)
?0020 0
^А = ig%办，厂散标=iM>f%£・(5.12.106)
видели, как следует обращаться с уравнениями
(5.12.105). Далее, чтобы решить первое из уравнений (5.12.106), оо
выразим Фдв через б-образные вклады вида (5.12.103), а ^а — через вклады вида
1о
卷一乜&(2)2(2),(5.12.107)
где приняты обозначения, указанные на рис. 5.13, и 22 = J认 (При этом мы не требуем, чтобы точка R? лежала на 力；поэтому решения остаются справедливыми и в том случае» когда 屮力 заменяется величинами более высокого порядка.) Свертывая должным образом (5.12.104) hi (5.12.107), получаем правую
17 Зак. 1142
часть первого равенства (5.12.106). Решение этого уравнения 2
дает Фа в виде
U^ (2)^(1) + ^0(2)^(1).(5.12.108)
Первое слагаемое в выражении (5.12,108) есть «сдвиг фазы» поля, распространяющегося из точки R? при прохождении области действия потенциала, создаваемого в 及i； оно соответствует рис. 5.13, а; второе слагаемое описывает истинное рассеяние (рис. 5.13,5). Мы получаем изотропное значение амплитуды Va рассеяния на начальной гиперповерхности, состоящей из частей световых конусов с вершинами в точках & и R〉、которые лежат в будущем от их пересечения. Фактически изотропное значение на данной части конуса Ri равно нулю, а поэтому вклад в поле в точке Р в виде интеграла (5.12.6) дает соответствующее значение на конусе /?2. Конфигурации, которые нужно проинтегрировать, показаны на рис. 5.13,6. Вычисления довольно просты, но мы здесь их опустим.
Необходимо также исследовать уравнения, следующие из соотношения (5.12,98). Они имеют вид
1。34斗235
V%Wa8 == q^^Ar — Vx @A&, V*屮A8 = g%A灰A = ?A $X^M (5.12.109)
23
Рассмотрим первое из них, считая поля ^А и 屮力 состоящими из 6-образных вкладов, отвечающих точкам /?2 и 7?з, соответственно, не обязательно лежащим на 斤・ Тогда найдем источник в первом из уравнений (5.12.109) в виде выражения
(22-%m1 ⑵)伉一儲公⑶)，(5.12.110)
умноженного на соответствующие изотропные значения 23
*ф(2), $(3}・ Положив
& = П虑"，％з = Za®'，^i= Лд?л» (5.12.Ill) где О", ?, 3< т]л — спиноры, флаги которых показаны на рис. 5.14, найдем решение Фдв, соответствующее источнику (5.12.110), в виде
ти%АК2)&ДЗ)・(5.12.112)
4
Это представление ^показывает, что поле фдв в точке Р возникает из вкладов, ассоциируемых с конфигурациями, показанными на рис. 5.14.•
Рис. 5.11 К соотношениям (5.12.110) и (5.12.112), (Поле Максвелла, создаваемое дираковским током.)
Поскольку выражение (5.12.110) не является действительным, поле Фд^'С^ фд^вО будет равно, соответственно,
⑵ \(3).(5.12.113)
Вместо соотношений (5.12.99) мы имеем равенства 4444
^дд^в — Фдв» Уи疝务=@｛毋(5.12.114)
правые части которых даются формулами (5.12.112) и (5.12.113), соответственно. Отсюда дляФа находим выражение
5類…з的。⑵А。(3)・612.U5)
Принятые здесь обозначения те же, что и раньше, а именно赢)。 = MI'=(@咒 麻片=Q”F =(扇)。，
(5.12.116)
(Wa = ГзьУУ，(Wa = r^^(5.12.117)
(рис. 5.15), причем шесть точек R2， ••・， Z?6> а также точка Р (в которой вычисляется потенциал) лежат в одной 2-плоскости.
При проверке того, что выражения (5.12.115), (5.12.112) и (5.12.113) вместе удовлетворяют уравнениям (5.12.114) [а также того, что выражения (5.12.110), (5.12Д 12) и (5.12.113) вместе удовлетворяют первому из уравнений (5.12.109)], нужно учесть, что если смещать точку Р, не меняя положения точек
>",- A
R2 и Кз (и спиноров 1, еА), то вектор R3R4 —R2R4 остается постоянным, а векторы R3& + R^P и RM + &Р отличаются от радиус-вектора точки Р численным коэффициентом. Необходимые соотношения получаются путем использования явных
Рис. 5.15. К соотношениям (5.12.115) и (5.12.117). (Максвелловский потенциал, создаваемый дираковским током.)
выражений (5.12.116) и (5.12.117) и дифференцирования. В частности, находим, что выражения
厶心户危，К ：= &砒處4 — Г2422G4»*(5.12.118)
остаются постоянными. Потенциал (5.12.115) в области, где поля свободны (т. е. общей области будущего световых конусов в точках Rz и /?з), оказывается градиентом комплексного скаляра
Х*)= const-尧(*). (5.12.119)
Наконец, необходимо выяснить, как потенциал (5.12.115) влияет на рассеяние двух составляющих дираковского поля. Для этого будем действовать так же, как и в случае потенциала 7
Чтобы найти “，подставим в первое равенство (5.12.106) выражение, подобное (5.12.108), с заменой R2 на % (и Ri, скажем, на R3)； при этом два слагаемых будут содержать тройные произведения Д1(7)Ай(2)Д0(3) и &)(7)&)(2)&)(3), соответственно. Правая часть дается выражением вида (5.12.115) (с заданными R2 н /?з)> свернутым с выражением вида (5.12.107) (с заменой R2 на Z??), и представляет собой поле ^а в предшествующем порядке, испущенное в точке /?7. Как и прежде, первый член дает лишь «сдвиг фазы» и представляется диаграммой типа рис. 5.16,а (или такой же диаграммой с переставленными R2 и Аз). Рассеяние описывается вторым членом и изображается диаграммой рис. 5.16,6 (или той же диаграммой с переставлен-' ными R2 и /?з).
Чтобы найти полное поле Максвелла — Дирака, нужно сложить бесконечное число членов, каждый из которых представляет собой интеграл по конечномерному компактному простран-
Рис* 5.16. Геометрия рассеяния поля Дирака дираковским током через посредство максвелловского потенциала; а — сдвиг фазы, 6 — рассеяние.
ству ветвящихся изотропных «зигзагов» } начинающихся в точках на “ где заданы изотропные данные, и оканчивающихся в точке Р, которое получается при надлежащем комбинировании рассмотренных выше конфигураций. Каждый интеграл обязательно конечен, однако сложность членов возрастает с ростом порядка. Мы не рассматриваем здесь ни детали построения таких выражений, ни вопрос о сходимости ряда. Эти проблемы требуют дальнейшего исследования.
Одной из тем, которым посвящен т. 2, будет техника теории твисторов. Мы увидим, в частности, что твисторы дают прямое и изящное представление изотропных путей в М, и перевод изложенного здесь формализма на язык твисторов кажется нам интересным, а возможно и имеющим более глубокий смысл, упражнением. Было бы интересным также развить нашу теорию далее (с использованием твисторов или без них) до полной формулировки квантовой электродинамики (см., например, [16]).
Диаграммы, возникающие в нашем подходе, во многих отношениях аналогичны диаграммам Фейнмана. Однако необычным является то, что здесь мы имеем дело лишь с изотропными пространственно-временными интервалами даже в случае массивных полей. Тот взгляд, что изотропные интервалы играют более фундаментальную роль, нежели пространственноподобные или времениподобные, хорошо вяжется с общей мыслью, на которой мы прямо или косвенно делаем упор в своей книге, что 2-спиноры — более фундаментальные объекты при описании структуры пространства-времени, нежели векторы и тензоры.
1) В оригинале «forked null zig-zags».「Прим, перев.
Приложение
Диаграммная система записи
Одной из проблем, встречающейся каждому, кто работает с тензорами, спинорами и подобными им величинами, является проблема записи различных соотношений. Формулы перегружены многочисленными мелкими индексами, причем каждая буква, используемая в данном выражении, сама по себе не существенна, а значение имеет лишь соответствие между символами, стоящими в различных местах. Конечно, эта особенность обозначений характерна и для многих других типов выражений, встречающихся в математике: например, в интеграле
厶(%) =，U In g dg
у ——《немая》переменная и буква х не имеет особого значения для выражения в целом. Однако в сложных тензорных выражениях может встретиться очень много таких 《не имеющих смысла» символов. Это в особенностй относится ко многим предварительным вычислениям, которые (вполне справедливо) обычно не публикуются. Индексы становятся все мельче и мельче, так что они едва различимы один от другого. Вместе с тем взаимоотношение между положениями отдельных индексов, которое именно и является важным, порой трудно понять без тщательного разбора такого выражения.
Один из путей обхода этой трудности с обозначениями, часто предлагавшийся, состоит в том, чтобы использовать некие безын- дексные обозначения для определенных операций (например, сверток или антисимметризованных произведений), а к ним сводить и другие представляющие интерес операции. Примером может служить известная трехмерная векторная алгебра, содержащая скалярные и векторные произведения. Другим примером может служить грассманово (или картаново) исчисление кососимметричных форм (гл. 4, § 3, 13). Но пределы применимости такой записи тензорных и сгшнорных соотношений, вообще говоря, довольно ограничены, а кроме того, теряется прозрачность
основных правил тензорной (спинорной) алгебры. Ниже описывается другая, диаграммная, система записи [141, 38, 39]. В ней индексы как таковые не используются, однако сохраняется ясный смысл основных правил действий с ними. Эта система записи оказалась очень полезной на практике, так как она сильно упрощает вид сложных тензорных или спинорных уравнений, делая .понятными с первого, взгляда взаимоотношения между входящими в'них величинами. К сожалению, эта система записи, по-видимому, пригодна лишь для предварительных расчетов, поскольку диаграммы не могут быть набраны обычными типографскими средствами.*
Сначала мы опишем общую схему представления тензорных формул согласно этой системе. Затем следуют некоторые специальные предписания для спиноров, хотя возможны вариации в отдельных случаях. Основная идея состоит в том, чтобы представлять свертку не. парой одинаковых букв, стоящих в разных местах в данном выражении, а линией, соединяющей соответствующие места в символах, изображающих тензор. При этом каждый член превращается в некоторую диаграмму.
Чтобы предельно упростить такие диаграммы, произведения тензоров или спиноров можно изображать, не только располагая соответствующие символы по горизонтали,- но используя также вертикальное или косое расположение. (Непротиворечивость такой записи гарантируется законами коммутативности и ассоциативности умножения.) Индексы, по которым свертка не производится, изображаются линиями со свободными концами; верхние (контравариантные) индексы можно изображать линиями, обрывающимися в верхней части диаграммы (《руки》)， а нижние (ковариантные)——линиями, обрывающимися в нижней части диаграммы (《ноги》). Перестановка индексов представляется перекрещиванием линий. Сложение и вычитание, как правило, удобно，записывать с помощью обычных символов плюс и минус между диаграммами. Чтобы разобраться, какие линии индексов соответствуют друг другу в сумме, достаточно представить себе диаграммы, изображающие отдельные слагаемые, наложенными друг на друга. Пример приведен на рис. П. 1.
Очень характерны диаграммы, изображающие дельта-символы Кронекера и выражения, построенные из дельта-символов. Символ Кронекера изображается просто линией (не прикрепляющейся ни к какому символу тензора или спинора), проводимой примерно в вертикальном направлении. В таком представлении заложены правила .二 ~
6瓢=% A/l = Ap, 8嘲=加,、 поскольку для записи левых частей достаточно продолжить уже имеющиеся линии. Операторы перестановки получают естествен-
架 %-啰为Н货工蝙l架 %-啰为Н货工蝙l
架 %-啰为Н货工蝙l
架 %-啰为Н货工蝙l
Рис. ПЛ. Диаграммное изображение тензорного равенства.
ное изображение в виде пересекающихся прямых (<диаграммы Эйткена» [6]). Чтобы получить произведение двух перестановок, достаточно поместить одну диаграмму над другой, соединить соответствующие линии, а затем распрямить их (рнс. П.2). Таким путем изображается произведение вида
喩⑴…咐⑺吟%产唸⑴…唸⑺，
где р и q — перестановки 1, 2,…，r, a qp — их произведение. Перестановка является четной или нечетной в зависимости от того, имеет ли диаграмма четное или нечетное число простых пересечений.
Операторы симметризации и антисимметризации представляются в виде сумм и разностей таких выражений. Удобно иметь специальные символы для обозначения этих операций, вместо того чтобы записывать суммы в явном виде. Совокупность г
嘴::既囁殄嘴喻嘴噫一 x I及'评：#•明聘嘴嘴彎泣-*>豆'
聯::MQ史炉明擊整唄哨唯聯::MQ史炉明擊整唄哨唯
聯::MQ史炉明擊整唄哨唯
聯::MQ史炉明擊整唄哨唯
Рнс. П.2. Операторы перестановок как произведения дельта-символов Кро*некера.
++
罩艺…僻4麻爲П乎…畢f卄三+
~= 11 + Х，卅=111 +义+ K+XI+X + IX， 卄・11-Х，卅=lll + M+K-XI-X-IX・
Рис. П.3, Симметризаторы и антисимметриэаторы.
вертикальных прямых, перечеркнутых одной волнистой линией, будет изображать сумму всех перестановок с теми же концами (рис. П.З). Таким образом, это r\ X оператор симметризации. Аналогично, если вместо волнистой линии проведена горизонтальная прямая линия, диаграмма будет означать rl X оператор антисимметризации. Это есть сумма всех четных перестановок минус сумма всех нечетных перестановок, обычно записываемая как <обобщенный символ Кронекера*
Чтобы изобразить симметричную часть тензора с г индексами, перечеркиваем соответствующие индексные линии волнистой чертой и делим получившееся выражение на г!. (При желании множитель г! можно включить в определение соответствующего символа. Форма, выбранная здесь, дает некоторые преимущества при разложении диаграмм на составные части.) На рис. П.4 изображены некоторые простые тождества, существенные при вычислениях с диаграммами. Размерность пространства предполагается равной д. Иногда необходимо выражать симметрию или антисимметрию выражения по отдельным группам индексов (см. стр. 174). В этом случае волнистая или прямая горизонтальная линия должна проводиться только между группами, без пересечения с линиями внутри группы (рис. П.5). Удобное обозначение для полностью антисимметричных единичных тензоров — горизонтальная прямая, из которой исходит д вертикальных прямых (рис. П.6). В ковариантном случае вертикальные прямые идут вниз, а в контравариантном — вверх.
Если задан (симметричный, невырожденный) метрический тензор gaB, то его удобно представлять в виде крокетных ворот, как показано на рис. П.7. Это дельта-символ Кронекера, но
；1Ht=4Hb АИ=川卅卡
Симметричней! /—ч — 7 /1 Кососш>1метрична^ ^―-i _ J_ i
часть дыагрсьммы %^ — "%^ 4amь диаграммы 斤^一 p? ^^
в=1М+И+Ш+，,，+）й = В
fi= ВНЙ+肝F椒=幅一關国 ppn+1
6：=〃-~* и=〃，0Цн4=（"+р）||^，0fM巾叩^^‘ "HM=0,
Рис. П.4. Некоторые свойства симметрнзующего и антисимметризующего тен
зоров.
^изогнутый», а обратный тензор 尸。удобно представить тем же символом в перевернутом виде. Тогда соотношение ^pg70 = й^ просто будет изображаться 《выпрямлением》линии дельта-символа Кронекера. Наличие метрики gaB фактически превращает систему тензоров в «декартову», для которой не имеет смысла различать верхние и нижние индексы, т. е.《рукн》и «ноги» на диаграммах. Линии индексов могут выходить теперь в произвольном направлении, и внутренние линии даже не обязательно изображать вертикальными прямыми. Если же метрика не задана, то, напротив, целесообразно изображать индексы вертикальными линиями, чтобы иметь возможность четкого разграничения между ковариантными и контравариантными индексами. Можно также помечать линии стрелками, но это требует больше времени на вычерчивание диаграммы.
Ковариантную производную удобно обозначать, обводя дифференцируемое выражение кружком, к которому прикрепляется идущая вниз внешняя линия, изображающая индекс производной. Это иллюстрируется на рис, П.8, где также приведены диа-
*=111ГЖ^ «1Ы11Н111-Ж>
^HF = 1Н1ЖЖ-^11-Ж-11^
4货卜тНН+ННЬ W=HFW*
Рис. П.5. Групповые симметризаторы и антисимметризаторы, некоторые про-стые свойства. '".
£°4%宀川 ]],£°4%宀川 ]],严,а^.а1TM^^^严,а^.а1TM^^^Ш--Н>Ш--Н>九九^=::♦ |卜屮卜』*■1=(-m"项俳*^=::♦ |卜屮卜』*■1=(-m"项俳*
£°4%宀川 ]],
£°4%宀川 ]],
严,а^.а1TM^^^
严,а^.а1TM^^^
Ш--Н>
Ш--Н>
九
九
^=::♦ |卜屮卜』*■1=(-m"项俳*
^=::♦ |卜屮卜』*■1=(-m"项俳*
Рис. П.6. Альтернирующий тензор и его свойства.
граммные изображения тензоров, кручения и кривизны. На рис. П.9 с целью демонстрации компактности такой записи дается прямой вывод тождеств Бианки при наличии кручения. На рис. П.10 изображены свойства тензора Римана в стандартной (псевдо) римановой геометрии (включая симметрию, отвечающую схеме Юнга, стр. 186).
Для спиноров возможны различные обозначения, в которых, однако, должно проводиться четкое различие между штрихо-
Ковариантная производнаяКовариантная производнаяКручение „ 泣％一学%步研qfКручение „ 泣％一学%步研qf
Ковариантная производная
Ковариантная производная
Кручение „ 泣％一学%步研qf
Кручение „ 泣％一学%步研qf
Правило Лейбница.
%修V价取％+%Q沙
(%%一2屮炉宀产…囈-西=夕(目=内
3…以厶由一帚•
Производная 加人 .
工卜亂厶抬
Симметрия Биати
W+^W+WW*°
Тождество Бианки
%R川产的崗=。 2
Рис. П.8. Изображение ковариантной производной в виде кружка; кривизна, кручение.,
для 9cexдля 9cexRaBcdRaBcd
для 9cex
для 9cex
RaBcd
RaBcd
Вычитая 〃 исполмул симметрию Бианки, и тождество Рачч% находим
Рис. П.9. Доказательство тождества Биаики при наличии кручения с помощью диаграмм.
甯二命价。'介唸=@，綸田鶏囁:生匐二优
Рис. П.10. Тензор Римана и его основные свойства.
Ла //,% …纵1衣不,加…Ла //,% …纵1衣不,加…戶,p,户一戶,p,户一
Ла //,% …
纵1衣不,加…
Ла //,% …
纵1衣不,加…
戶,p,户一
戶,p,户一
Рис. П.11. Спин-векторы; дуальные и комплексио-сопряжеиные величины.
AB B'AfI/, М •AB B'AfI/, М •-%盘Н炉="5九历一入5^=九4 = £引入_8-%盘Н炉="5九历一入5^=九4 = £引入_8鼻产Н对田砍屮鼻产Н对田砍屮一无叱5 =%f =旣4一无叱5 =%f =旣4一夕=/ =仅，一小户=4-弋=\=A' - jA=氏•一夕=/ =仅，一小户=4-弋=\=A' - jA=氏•
AB B'Af
I/, М •
AB B'Af
I/, М •
-%盘Н炉="5九历一入5^=九4 = £引入_8
-%盘Н炉="5九历一入5^=九4 = £引入_8
鼻产Н对田砍屮
鼻产Н对田砍屮
一无叱5 =%f =旣4
一无叱5 =%f =旣4
一夕=/ =仅，一小户=4
-弋=\=A' - jA=氏•
一夕=/ =仅，一小户=4
-弋=\=A' - jA=氏•
ABC E'D'
及"江 0ABCPR及"江 0ABCPR~余CBA D'E'~余CBA D'E'тото
及"江 0ABCPR
及"江 0ABCPR
~余
CBA D'E'
~余
CBA D'E'
то
то
X = XT卜# Q =-2 也妆=-("+2*л^,тождествоД\=/\А + /\, W=VV + \/・
Рис. П.12, е-спиноры и их основные свойства. Важен порядок следования индексов. Как видно из последнего блока диаграмм, нет нужды строго следить за наклоном линий, если это не приводит к путанице. (С помощью е-тожде- ства можно приводить выражения к виду, в котором они не будут содержать пересекающихся линий.)
Ра^ввЕв ^^Ра^ввЕв ^^
Ра^ввЕв ^^
Ра^ввЕв ^^
ДИАГРАММНАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ6"
Xabcd f帘叫，2分，％缈2籽=备絲'
帘号容=紡，帘号容=紡，愈弓愈，.脩=玄焉*愈弓愈，.脩=玄焉*併= -%，,併= -%，,齐=帘一人/ •齐=帘一人/ •R毗d f储*z +DCBA Д№Р'R毗d f储*z +DCBA Д№Р'4〃恥+兪+余Z =+除+余宀历能%心4〃恥+兪+余Z =+除+余宀历能%心
帘号容=紡，
帘号容=紡，
愈弓愈，.脩=玄焉*
愈弓愈，.脩=玄焉*
併= -%，,
併= -%，,
齐=帘一人/ •
齐=帘一人/ •
R毗d f储*z +
DCBA Д№Р'
R毗d f储*z +
DCBA Д№Р'
4〃恥+兪+余Z =
+除+余宀历能%心
4〃恥+兪+余Z =
+除+余宀历能%心
Рис. П.14. Спиноры, описывающие крнвнзн』.
Спинорные тпождесшва Риччи
病=麻+А扁，病=麻+А扁，Тождество Бианки筱+球二險，Тождество Бианки筱+球二險，峨.綸 +腐=倉。 励;嗡，峨.綸 +腐=倉。 励;嗡，，会…，会…
病=麻+А扁，
病=麻+А扁，
Тождество Бианки
筱+球二險，
Тождество Бианки
筱+球二險，
峨.綸 +腐=倉。 励;嗡，
峨.綸 +腐=倉。 励;嗡，
，会…
，会…
Рис. П.15. Спинорные тождества Риччн и Бианки.
ванными и нештрихованными индексами, например с помощью линий, проводимых под разными углами к вертикали (рис. П.11), или с помощью двух цветов. На практике, правда, в этом зачастую нет необходимости, так как обычно нештрихованные индексы располагаются слева в каждом выражении, а штрихованные справа, и можно использовать одинаковые линии индексов, не боясь путаницы. Тензорные индексы всегда можно представить в виде пары спинорных индексов, т. е. изобразить парой линий. Комплексное сопряжение удобно рассматривать как отражение в вертикальной плоскости. Отсюда следует требование.
/, % =琢稀 ^^ a n 賤'ftj н ул •/, % =琢稀 ^^ a n 賤'ftj н ул •
/, % =琢稀 ^^ a n 賤'ftj н ул •
/, % =琢稀 ^^ a n 賤'ftj н ул •
повернуть диаграммыLz ла 909, чтобыL босстановитповернуть диаграммыLz ла 909, чтобыL босстановитZ" =(g<%・)；九不 а/ха>Г*,兀4 w**T^ = Г •
повернуть диаграммы
Lz ла 909, чтобы
L босстановит
повернуть диаграммы
Lz ла 909, чтобы
L босстановит
M=(%“j；入人"*^ Mw>?^ а= У厶 ， означения,принятые
，П= ГТ=П т U = LL= U •
Рис. П.16. Диаграммные обозначения для твисторной теории.
чтобы линии, изображающие индексы АВ ... D, следовали в порядке, противоположном порядку следования линий, изображающих индексы 4Р …/У в представлении спинора 巾48・・.D*B‘・.・ о‘・ Если такой спинор соответствует действительному тензору %ь …d, то его изображение в соответствии с указанным требованием будет право-левосимметричным. Для согласования нужно также условиться, чтобы упорядочение концевых точек «нештрихованных рук» и <штрихованных ног> было тем же, что и порядок следования индексов в буквенном выражении, а для «штрихованных рук» и <нештрихованных ног» — противоположным (рнс. П.12). Описанные выше (рис. П.6) обозначения для операции альтернирования можно применять и для е-спиноров, но удобнее пользоваться символами, изображенными на рис. П.12, которые приводят к более компактной записи и делают легче запоминающимся довольно неуклюжее правило поднятия и опускания спинорных индексов.
На рис. ПЛЗ показаны обозначения для спинорных ковариантных производных, а на рис. П.14 предложены символы для спиноров, описывающих кривизну. Тождества Риччи и Бианки изображены на рис. П.15.
В отдельных случаях может оказаться удобным отклониться от предлагаемых правил» которые лишь указывают принцип построения. Например, в теории твисторов, к которой мы обратимся в т. 2, комплексное сопряжение соответствует перестановке верхних и нижних индексов, а потому его удобнее рассматривать как отражение в горизонтальной плоскости. Если имеются и спинорные, и твисторные индексы, то иногда удобнее проводить линии спинорных индексов горизонтально, а не вертикально. Возможные диаграммы показаны на рис. П.16,
Литература
Agrawala К К., Belinfante 丄 6. Graphical formulation of recoupling theory for any compact group. Ann. Phys. (N. Y.), 49, 130—170 (1968).
Aharonov У, Bohm D. Significance of electromagnetic Potentials in the quantum tehory. Phys. Rev., 115, 485—491 (1959).
Aharonov У., Susskind L ObservabJity of the signe change of spinors under 2n rotations. Phys. Rev., 158, 1237—1238 (1967).
Ahlfors L. V., Sarto L. Riemann Surfaces, Princeton University Press. Princeton, 1960
Aichelburg P. C., Urbantke H. K, Necessary and sufficient conditions for trivial solutions in supergravity. Gen. Rei. Grav., 13, 817—828 (1981).
Aitken A. C, Determinants and Matrices, 6th edn., Oliver & Boyd, Edinburgh, 1949
ArnoVd V /. Mathematical Method of Classical Mechanics. Springer, New York, 1978. [См. также Арнольд В. И. Математические методы классической механики —М.: Наука, 1974.]
Arnowitt R., Deser S., Misner C.犷.The dynamics of general relativity, in: Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, New York, 1962 [Имеется перевод: Арновитт 尸.，Дизер С., Миснер К. В. Динамика общей теории относительности. В сб. Эйнштейновский сборник, 1967.— М.: Наука, 1967, с. 233.]
Ashtekar 4, Horowitz G. Г., Magnon-Ashtekar 4 A generalization of tensor calculus and its applications to physics. Gen. Rei. Grav., 14, 411——428 (1982).
Bade 渺 厶.，Jehle H, An introduction to spinors. Rev. Mod. Phys., 25, 714—728 (1953).
Bass R.団” bitten L. Remarks on cosmological models. Rev. Mod. Phys., 29, 452—453 (1957).■
Bel L. Introduction d'un tenseur du quatrieme ordre. Comptes Rend., 248, 1297-1300 (1959).
Bell P., Szekeres P. Some properties of higher spin rest-mass zero fields in general relativity. Int. J. Theor. Phys., 6. 111—121 (1972).
Bergmann. P. G. Two-component spinors in general relativity. Phys. Rev., 107, 624—629 (1957).
Bernstein/. Spin precession during interferometry of fermions and the phase factor associated with rotations through 2n radians. Phys. Rev. Lett., 1S. 1102—1103 (1967).
Bjorken 丄 D , Drell S. D Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, Neq York, 1964. [Имеется перевод: Бъёркен Дж. Д., Дрелл С Д. Релятивистская квантовая теория, т. 1, т. 2.——М.: Наука, 1978.]
Bondi Н., van der Burg Af. 6.丄，Metzner A.屹 К Gravitational waves in general relativity. VII. Waves from axisymmetric isolated systems. Proc. Roy. Soc. London, A269, 21 —52 (1962).
Bott R, Mather J. Topics in topology and differential geometry, in: Battelle Rencontres, eds. С. M DeWitt. J. A. Wheeler, Benjamin, New York, 1968.
Brauer R., Weyl H, Spinons in n dimensions. Am. J. Math., 57, 425—449 (1935).
Bruhat У. The Cauchy problem, in: Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, New York, 1962.
Buchdahl H. A. On the compatibility of relativistic wave equations for particles of higher spin- in the presence of a gravitational field. Nuovo Cim., 10, 96—103 (1958).
Buchdahl H. A. On extended conformal transformations of spinors and spinor equations Nuovo Cim., 11, 496—506 (1959)
Buchdahl H. 4 On the compatibility of relativistic wave equations in Rie； mann spaces. Nuovo Cim., 25, 486—496 (1962).
24 Buchdahl H. A Ditto П; III. J. Phys., A15, 1—5; 1057—1062 (1982).
Campbell S. /,, Wainwright 丄 Algebraic computing and the Newman — Penrose formalism in general relativity. Gen. Rei. Grav., 8, 987—1001 (1977).
Carmeli M. Group theory and general relativity, McGraw-Hill, New York, 1977
Cartan E. Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multipli- cite plane. Bull. Soc. Math. France, 41, 53—96 (1913).
Cartan E Sur les variates a connexion affine et la theorie de la relativite g€n€ralis6e I, I (suite), II. Ann. Ec. Norm. Sup., 40, 325—412 (1923); 41, 1—25 (1924). 42, 17—88 (1925).
Cartan E. The Theory of Spinors, Hermann, Paris, 1966. [Имеется перевод предыдущего издания： Картан Э. Теория спиноров. — М.： ИЛ, 1947.]
Chandrasekhar S. An introduction to the theory of Kerr metric and its perturbations, in: General Relativity: An Einstein Centenary Survey, eds S. W. Hawking W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, 1979
Chevalley C. Theory of Groups, Princeton University Press, Princeton. 1946. [Имеется перевод: Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1. — М.： ИЛ, 1948: Т. 2, 3 —М・：ИЛ, 1958.1
Chevolku С. The Algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press, New York. 1954.
Choquet-Bruhat У., DeWitf-Morette C., Dillard-Blelck M. Analysis, Manifolds and Phv^'cs. ^orth-Bollnnd. Amsterdam, 1Q77.
Christenson /. Я.. Cronin 丄 W., Fitch У. L, Tur lay R Evidence for the 2л decay of the K° meson. Phys. Rev. Lett, !3, 138—140 (1964).
35 Corson E M Introduction to Tensors. Spinors and Relativistic Wave Equations. Bhekie Glasgow. 1953.
36 Courant R Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vo-1. 1. Interscience Publishers, New t York. 1965. [Имеется перевод предыдущего издания: Курант Р,, Гильберт.Д. Методы математической физики, т. 1. — Гостехиздат, 1957]•
Curtis G. Е T^istor Theory and the Collision of Plane Fronted Tmpul- -sive Gravitation^! Waves D. Phil, thesis, University of Oxford, 1975.
Cvitanovic P. Group theory for Fevnman diagrams in non-abelian gauge theories. Phvs. Rev.. D14, 1536—1553 (1976).
Cvitanovic P Kennedy A. D. Spinors in Negative Dimensions, Phys. Scrip- ta、26. 5—14 (1982).
d*Adhetvar R Sur une equation aux dSriv&s partlelles du type hyoerboli- que. Etude de Vinteefrale pr^s d'une fronti^re caracteristique. Rend. Circ. Matem. Palermo. 20, 142—159 (1905)..
Dnrmots G. Led Equations de la gravitation Einstelnienne. Memorial des science MathAmatiques, Fascicule XXV. Gauthier-Villars. Paris, 1927.
Debever R La super-fenergie en relativity g€n6rale. Bull. Soc. Math, Bel- fflque, 10, 112—147 (1958).
ueser S., Zumino B. Consistent supergravity. Phys. Lett., 62B, 335337 0976).
Dirac P. A. M The quantum theory of the electron. Proc. Roy. Soc., Al 17, 610-624; ditto, Part II, ibid. A118, 351-361 (1976).
Dirac P. 4 M Relativistic wave equations. Proc. Roy. Soc. London, A155 447—459 (1936).
Dirac P. A. M. Wave equations in conformal space. Ann. Math., 37, 429 442 (1936).
Dirac P. A M. La thfeorie de「electron et du champ 6elctromagn6tique. Ann de Flnst H. Poincarfe. 9, 13—49 (1939).
Dirac P. 4. M・ Pretty mathematics. Int J. Theor. Phys., 21, 603-~605 (1982).
Dodson С. Г. /.. Poston Г. Tensor Geometry, Pitman, London, 1977.
Dowker 丄 S., Dowker У. P. Interaction of massless particles of arbirarv spin. Proc. Roy Soc., A294, 175—194 (1966).
Duff G. F. D. Partial Differential Equations, Oxford University Press, London, 1956.
Eastwood M, G., Tod К P. Edth — a differential operator on the sphere. Math. Proc. Camb. PhiL Soc., 92. 317—330 (1982).
Eckmann B. Continuous solutions of linear equations — some exceptional dimensions in topology, in: Battelle Rencontres, eds. С. M. DeWitt, J. A Wheeler, Benjamin, New York, 1968.
Ehlers /. The geometry of the (modified) GH — formalism. Commun. Math. Phys., 37, 327-329 (1974).
Ehlers Rindler 耽，Robinson /. Quaternions, bivectors and the Lorentz group. in: Perspective in Geometry and Relativity, ed. B. Hoffmann, Indiana Univ Press. Bloomington, Ind., 1966.'
Eistein 4r Die Grundlage der allgemeinen RelativitStstheorie. Ann. Phys” 49, 769—822 (1916) translated as The Foundation of the general theory of relativity, in: Einstein et al., 1923. (Имеется перевод: Эйнштейн 4. Основы общей теории отиосительностн. В сб.: Принцип относительности.— ГТТИ, 1935; см. также： Эйнштейн 4. Собрание научных трудов, т. 1.— М.: Наука, 1965, с. 452.]
Einstein 4 r Lorentz Н. 4., Weyl Я., Minkowski Н. The Principle of Relativity, Methuen and Co., republshed by Dover, 1923.
Einstein 4., Mayer M Semivektoren und Spinoren. Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 522—550 (1932). [Имеется перевод: Эйнштейн А., Майер В. Полу векторы и спиноры. В кн.: Эйнштейн 4. Собрание научных трудов, т. 3. — М」Наука, 1966, с. 535]
Engelking R Outline of General Topology, North-Holland & PWN, Amsterdam, 1968.
Exton A R. Newman 艮 Г., Penrose R. Conserved quatities in the Einstein —Maxwell theory J. Math. Phys., 10, 1566™1570 (1969).
Ferrara S., Zumino B. Supergauge invariant Yang — Mills theories. Nucl. Phys., B79, 413—421 (1974).
Ferrara S., Zumino 8., wess J. Supergauge multiplets and superHelds. Phys. Lett., 51B, 239—241 (1974)..
Feynman A P, Gell-Mann M. Theory of the Fermi anteraction. Phys. Rev (2), 109, 193-198 (1958).
Feynman R. P., Hibbs A, R Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965, pp. 34—6. [Имеется перевод： Фейнман P” Хиббс А Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968.1
Fierz М Uber die Relativltische Theorie Kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin. Helv. Phys. Acta, 12, 3—37 (1938).
Fierz М. Ober den Drehimpuls von Teilchen mit Ruhemasse null und belie- bigem Spin. Helv. Phys Acta, 13, 45一60 (1940)
Fierz M, Pauli W. On relativistic wave equations for particles of arbirary spin in an electromagnetic field. Ргбс. Roy Soc. London, A173, 211—232 (1939)■
Flanders H. Differential Forms, Academic Press, New York, 1963.
Fock V A. Die Eigenzelt in der Klassischen und in der Quantenmechanik. Physik. Z. Sowjetunion, 12, 4СИ—425 (1937).
Fordy 4. P. Zero-Rest-Mass Fields in an Algebraically Special Curved Space-Time. Gen. Rei. Grav., 8, 227—243 (1977).
Frame 丄 £, Robinson G. de B., Thrall R. Af. The hook graph of the symmetric group. Can. J. Math., 6, 316—324 (1954).
Freedman 0. Z., van Nieuatenhuizen P., Ferrara S. Progress toward a theo- q of supergravity. Phys. Rev., D13, 32143218 (1976).
Friedlander E G. The wave equation on a curved space-time. Cambridge Monographs on Mathematical Physics 2, Cambridge University Press, Cambridge, 1975-
Garaner M The Ambidextrous Universe, Allen Lane» The Penguin Press, London. 1967.
Gel'fand /. M.t Graev M. /., Vilenkin M Ya. Generalized Functions, Vol. 5: Integral Geometry and Representation Theory, Academic Press, New York, 1966. [См. также Гельфанд И. Af., Граев Af. Я., Виленкин Я. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений обобщенные функции, вып. 5). — М.: Физматгиз, 1962.]
Geroch R Spinor structure of space-time in general relativity I. J. Math Phys., 9, 1739—1744 (1968).
Geroch R. Spinor structure of space-time in general relativity П. J. Math. Phys., 11,343—348 (1970).
Geroch R., Held 4., Penrose R. A space-time calculus based on pairs of null directions. J. Math. Phys., 14, 874—881 (1973).
Goldberg /. M, Macfarlane A. /., Newman E. T., Rohrlich F., Sudarshan E. C. G. Spin-s Spherical Harmonics and eth. J. Math. Phys., 8, 2155—2161 (1967).
Goldstein H. Classical Mechanics, 2nd ednt Addison-Wesley, Reading. Mase., 1967. [Имеется перевод предыдущего издания: Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975.]
Gunning R. С Lectures on Riemann Surfaces. Princeton University Press, Princeton, 1966.
Hadamard 丄 Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Dover, New York, 1952.
Hansen R O., Janis 4. /., Newman E.工，Porter 丄 R, Winicour /. Tensors, spinors and functions on the sphere. Gen Rei. Grav., 7, 687—693 (1976).
Hawking S.渺.，Ellis G. E R. The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, Cambridge, 1973. [Имеется перевод: Xo~ кинг С., Эллис Дж, Крупномасштабная структура пространства-времени.-М.： Мир( 1977.]
Held 4 A. formalism for the investigation of algebraically special metrics I. Com. Math. Phys., 37. 311—326 (1974).
Held 4 Ditto II. Com. Math Phys, 44,211—222 (1975).
Held 4., Voorhees В. H. Some zero rest mass test fields in general relativity. Int. J. Theor Phys., 10, 179—187 (1974).
Hermann R. Differential Geometry and the Calculus of Variations, Academic Press, New York, 1968.
Her st ein I. M Topics in Algebra, Blaisdell, New York, 1964.
Hehl F 步.，von der Heyde P., Kerlick G. D.. Nestev 丄 Af. General relatfi-
vity with spin and torsion: foundation and prospects. Rev. Mod. Phys., 48, 393—416 (1976)
Hicks M 丄 Notes on Differential Geometry, Van Nastrand, Princeton, 1965.
Hitchin N. Compact four-dimensional Einstein Manifolds. J. Diff. Geom., 9. 435-441 (1974).
Hochschild G. The Structure of Lie Groups, Holden-Day, San Francisco, 1965
Hughston L P” Ward R £ (eds.). Advances in Twistor Theory. Research Notes in Mathematics, 37. Pitman, San Francisco, 1979.
Infeld L., van der Waerden A L. Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitastheorie. Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. Physik.-math. KL, 9, 380—401 (193).
Jordan P., Ehlers J., Sachs R. Beitrage zur Theorie der reinen Gravitations- strahlung. Akad. Wiss. u. Lit. in Mainz, Math.-Naturwiss, KI. I960, Ne. I (1961).
Kelley J. L. General Topology, Van Nostrand, New York, 1955.
Kibble T.吃 В Lorentz invariance and the gravitational field. J. Math. Phys., 2, 212—221 (1961)
Kirchhoff G. Zur Theorie der Lichtstrahlen. Sitz. Вег. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 641—669 (1882).
Klein Л. G, Opai G. /. Observability of 2л rotations: A proposed experi-
■ merit. Phys. Rev., Dll, 523—528 (1975)
Klein E The Mathematical Theory of the Top, Scribners, New York, Chapter 5, 1897.
Kobayashi S„ Nomizu К Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, In- terscienct Publishers, London, 1963. [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Но- мидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. 1. — М.： Наука, 1981.]
Kramer D., Siephani //., MacCallum М, Herli Е. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. VEB Deutscher Wisenschaften. Berlin, 1980 [Имеется перевод: Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. Точные решения уравнений Эйнштейна.——М.： Энергоиздат, 1982.]
Lang S. Differentiable manifolds, Addison Wesley, Reading, Mass., 1972.
Laporte О.» Uhlenbeck G. E. Application of Spinor Analysis to the Maxwell and Dirac Equations. Phys. Rev., 37, 1380—1552 (1931).
Lee 工 D., Oehtne R.、Yang C. N. Remark on Possible Noninvariance under Time Reversal and Charge Conjugation. Phys Rev., 106, 340—345 (1957).
Lee T. D, Vang С. M Question of Parity Conservation 'n Weak Interactions. Phys R“，104. ?54—258 (1956).
Lefschetz S. Introduction to Topology, Princeton University Press, Princeton, 1949,
Lichnerowicz A. Topics on Space-Time, in： Battelle Rencontres, 1967 Lectures in Mathematics and Physics, eds. С. M DeWitt, J. A. Wheeler, Benjamin, New York. 1968.
Littlewood D. £ The Theory of Group Characters, Clarendon Press, Oxford, 1950.
Lorenz L. On the identity of the vibrations.of light with electrical currents Phil. Mag., 34, 287—301 (1867), translated from Ann. Phys. Chem., 131, 243 (1867), translated from Oversigt over det K, Danske Vidensk. Selsk. Forhandl^ 1, 26 (1867).
Mac Lane S., Birkhofl G Algebra, Macmillan, New York, 1967.
McLena^han R G. An exphlicit determination of the empty space-times on wh把h the wave equation satisfies Huygens principle. Proc. Camb. Phil. Soc., 65, 139—155 (1969).
Milnor 丄 Spin Structures on Manifolds. Enseign, Math., 9, 198—203 (1963).
Milnor 丄 IF, Stasheff / D Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies No. 76. Princeton University Press, Princeton, 1974. [Имеется пере-
вод: Милнор 〃寫・，Сташев Дж Характеристйчёские классы. — М.: Мир, 1979.1
Minkowski Н. Space and Time. Address delivered at the 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, at Cologne； 21 September, 1908, translated in: Einstein et aL 1923.
Misner C.呪，Wheeler 丄 A. Classical Physics1 as Geometry; Gravitation, Electromagnetism, Unquantized Charge and Mass as Properties of Curved Empty Space. Ann. of Phys., 2, 525—603 (1957). .[Имеется перевод: 'Мизнер 4.t Уилер Дж. Классическая физика как геометрия. Гравитация, электромагнетизм, неквантованные заряд и масса как свойства искривленного пустого пространства. В дополнениях к кн.: Уилер Дж. Гравитаций, ней； трино и Вселенная. — М.: ИЛ, 1962, с. 217.].
Moore Е Н. On the Reciprocal of the General Algebraic Matrix (abstract). Bull. Amer. Math. Soc.» 26, 394—395 (1920).
Morrow /., Kodaira K. Complex Manifolds, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1971..
Naimark M A. Linear Representations of the Lorentz Group, Pergairion, Oxford, 1964. [См. также Наймарк M. А, Лни^йные представления группы Лоренца. — М.： Физматгиз, 1958.]
Nashed М Z. (ed.). Generalized Inverses and Applications. Academic Press, New York, 1976.、
Nelson E. Tensor Analysis, Princeton University Press and University of Tokyo Press, Princeton, New Jersey, 1967.
Newman E. T., Penrose R 4n approach to gravitation by a method of spin coefficients. J. Math. Phys., 3, 566—578; Errata: ditto. Ibid., 4, 998 (1962).
Newman E. T., Penrose R Note on the Bondi — Metzner — Sachs group. J.
Math Phys., 7, 863—870 (1966).,
Newman E. T.( Penrose R. New conservation laws for zero, rest-mass fieldis in asymptotically flat' space-time. Proc. Roy. Soc., A305, 175—204 (1968).
Newman E. 7., Unti T.忆 /. Behaviour of asymptotically- flat empty spaces. J. Math. Phys., 3, 891—901 (1962)..
Newman M H. A. On a string problem of Dirac. Journ. Lond. Math. Soc., 17, 173—177 (1942).
Nomizu K. Lie Groups and Differential Geometry. The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1956. [Имеется перевод: Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.： Мир, 1972.]
Papapetrou A. Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Com= pany, Dordrecht, 1974.
Pauli 呪 Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Z. Phys., 43, 601—625 (1927).
Payne W. T. Elementary spinor theory. Am. J. Phys., 20, 253—262 (1952).
Penrose R A generalised inverse for matrices. Proc. Camb. Phil. Soe., 51, 406-413 (1955).
Penrose、R. The apparent shape of a relativistically moving sphere. Proc； Camb. Phil. Soc., 55, 137—139 (1959).
Penrose R.」A Spinor Approach to General Relativity. Ann. Phys. (New York), 10, 171—201 (I960).
Penrose R General Relativity in Spinor Form, in: Les Theories Relativistes de la Gravitation, eds. A. Lichnerowicz and M. A, Tonnelat, CNRS, Paris, 1962.
-136. Penrose R. Null hypersurface initial data for classical fields of arbitrary spin and for general relativity, in: Aerospace Research Laboratories Report 63—56 (P. G. Bergmann) reprinted (1980) in: Gen. Rei. Grav., 12f 225— .264 (1963).
Penrose R. Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour. Proc. Roy. Soc. London, A284, 159—2凿(1965).
Penrose R. General -Re! ativistlic Energy Flux and Elementary Optics, ibid., 259—274 (1966).
Penrose R. An Analysis of the Structure of Space-time, Adam Prize Essay, Cambridge University, 1966.
Penrose R. Structure of space-time, in: Battelle Rencontres, 1967 Lectures in Mathematics and Physics» eds. С. M. DeWitt, J. A. Wheeler, Benjamin, New York, 1968. .[Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства- времени. •—M.： Мнр, 1972.].
Penrose R Application of Negative Dimensional Tensons, in: Combinatorial Mathematrcs and its Applications, ed. D. J. A. Welch, Academic Press, London, 1971.
Penrose R. The Geometry of impulsive gravitational waves, in: General Relativity, Papera in Honour of J. L Synge., ed. L. O^Raifeartaigh, Clarendon Press, Oxford, 1972.
Penrose R. Spinor classification of energy tensors, Gravitatsiya, Nauk. dumkat Kiev, 203, 1972.
Penrose R Relativistic Symmetry Groups, in： Group Theory in Non-Linear Problems, ed. A. O. Barut, Reidel, Dordrecht, 1974, p. 1—58.
Penrose R. Spinors and torsion in general relativity. Fourd. Phys., 13, 325—340 (1983).
Penrose R, MacCallum At A. H. Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time. Phys. Rep., 6, 241—316 (1972). [Имеется перевод: Пенроуз P” Мак-Каллум Af. 4. К В сб.: Твисторы и калибровочные поля/Под ред. В. В. Жаринова. — М.: Мир, 1983, с. 131.]
Penrose R. Twistor Theory, its aims and achievements, in: Quantum Gravity: an Oxford Symposium, eds. C. J. Isham, R. Penrose, D. W. Sciama, Clarendon Press, Oxford, 1975.
Penrose &., Ward R S Twistors for flat and curved space-time, in: General Relativity and Gravitation, One Hundred Years after the Birth of Albert Einstein, Vol. II, ed； A. Held, Plenum Press, New York, 1980. [Имеется перевод в сб.: Твисторы н калибровочные поля/Под ред. В. В. Жаринова. —М.: Мир, 1983, с. 78.]
Pirani Е 4 Е Introduction to gravitational radiation theory, in [184], p. 249.
Pirani 戶.4. £., Schild A. Geometrical and physical interpretation of the Weyl conformal curvature tensor. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 9, 543—547 (1961).
Piebanski 7. The «vectorial» optics of fields with arbitrary spin, resbmass zero. Acta Polon., 27, 361-393 (1965).
Proca 4. Sur un article de M. E. Whittaker, intitule «Les relations entre le calcul tensoriel et le calcul des spineurs>. J. Phys, et radium, 8, 363— 365 (193人
Ralnich G. У. Electrodynamics in the general relativity theory. Trans. Am. Math. Soc„ 27, 106—136 (1925).
Rartta M, Schwinger /. On a theory of particles with half-integral spin. Phys. Rev., 60t 61 (1941).”
Rauch Я., Zeilinger 4, Badurek G., Wilfing 4., Bauspiess 忆，Bonse U. Verifi^ailion of ccmerent spinor rotation of fermions. Phys. Lett, A54, 425— 427 (1975).
Riesz M., L'IntSgrale de Riemann — Liouville et le problSme de Cauchy. Acta Math., 81, 1—223 (1949).
Kindler 明 Essential Relativity: Special, General and Cosmological (Second edition), Springer-Verlag, New York, 1977.
Rindler IF. Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford, 1982.
Rutherford D. E. Substitutional Analysis, Edinburgh University Press, Edinburgh, 1948.
Sachs R, Bergmann P. G. Structure of particles in linearized gravitational theory. Phys. Rev., 112, 674—680 (1958).
Sachs R. Gravitational waves in general relativity. VI. The outgoing radiation condition. Proc. Roy. Soc. London, A264, 309—338 (1961).
Sacks R.氏 Gravitational waves in general relativity. VIII. Waves in asymptotically flat space-time. Proc. Roy. Soc. London, A270, 103—126 (1962).
Sachs R. K. On the characteristic initial value problem in gravitational theory. J. Math. Phy®., 3, 908—914 (1962).
Schiff L. /. Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1955. [Имеется перевод: Шифф Л. Квантовая механика. — М.： Мир, 1983, с. 78.1
Schild Я. Lectures on general relativity theory, in: Relativity Theory and Astrophysics, I. Relativity and Cosmology, ed. J. Ehlers, Amer. Math. Soc. Providence, 1967.
SchrGdinger E. Space-time structure, Cambridge University Press, Cambridge, 1950.
Sciama D.呪 On the analogy between charge and epin in general relativity, in: Recent Developments in General Relativity, Pergamon & PWN, Oxford, 1962.
Sommerfeld A. Uber die Klein*schen Parameter % B, y, 6 und ihre Bedeu- tung fiir din Dirac-,Theorie. Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien., 145, 639—650 (1936).
Staruszkiewicz A. On two kinds of spinors. Acta Physica Polonica» B7, 557—565 (1976).
Stellmacher K. L Geometrische Deutung konforminvarianter Eigenschaften des Riemannschen Raumes. Math. Annalen, 123, 34—52 (1951).
Stewart 丄 M. Hertz — Bromwich — Debye — Whittaker — Penrose potentials in general relativity. Proc. Roy. Soc. London, A367, 527—538 (1979).
Stewart /. M., Walker M. Perturbations of space-times in general relativity. Proc. Roy. Soc. London, A341, 49—74 (1974).
Synge J. L, Relativity: The Special Theory* North-Hollad Publisching Co., London, 1955.
Synge L. L. The Relativistic Gas. North-Holland, Amsterdam, 1957.
Synge J. L. Relativity: The General Theory, North-Holland, Amsterdam,
•1960. [Имеется перевод: Синг Дж. Л. Общая теория относительности.—
М.: ИЛ, 1963.1
Szekeres Р. Spaces conformal to a class of spaces in general relativity. Proc. Roy. Soc., A274, 206—212 (1963).
Taub A. 〃.，Veblen O. Projective differentiation of spinors. Nat. Acad. Sc. Proc., 20, 85—92 (1934).
Terrell 丄 Invisibility of the Lorentz contraction. Phys. Rev., 116, 1041— 1045 (1959).
7 Hooft G., Veltman M Diagrammar, CERN preprint 73—9. CERN, Geneva, 1973, unpublished.
. Tod К P. The singularities of 誨-space. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., to appear (1983).
Trautman A. Conservation laws in general relativity, in: Gravitatron: An Introduction to Current Research^ ea. L. Witten, Wiley, New York, 1962.
Trautman A. On the Einstein — Cartan equations. I—IV. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 20, 185—190; 503—506; 895—896 (1972); 21, 345—346 (1973).
Trautman 4., Pirani F. A. £., Bondi H. Lectures on General relativity, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965.
Unruh 毗 G. Self force on charged particles, Proc. Roy. Soc. London, A348, 447—465 (1976).
85., v#n der Waerden 8. L. Spinoranalyse. Nachr. Akad. Wiss. Getting. Math.- Physik KL 100-109 (1929).
Veblen 0. Geometry of Two-Component Spinors. Proc. Nat. Acad. Sei,、⑶ 462—474 (1933).
. Veblen 0. Geometry of Four-Component Spinors. Proc. Nat Acad. Sci., 19, 503—517 (1933).
. Veblen O. Spinors. Science, 80, 415—419 (1934).
. Veblen 0., Neumann /. Geometry of Complex Domains. Mimeographed notes, issued by the Institute for Advanced Study Princeton (reissued 1955), 1936.
Wells R. 0. Differential analysts in complex manifolds, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1973. [Имеется перевод： Уэллс P. О Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1976.].
]. Werner S. 4., Colella Р., Overhauser А.沥？ Eagen С. F. Observation of the Phase Shift of a Neutron Due to Precession in a Magnetic Field. Phys Rev. Lett, 35. 1053—1055 (1975).
. Weyl H. Gravitation and Electricity (translated from «Gravitation und Electrizitat», Sit/. Ber Preuss. Akad. Wiss. 1918, 465—480), in: The Principle of Relativity, by A. Einstein, H. A. Lorentz. H. Weyl, H. Minkovski. Methuen and Co. (republished by Dover), 1923.
Weyl H Elektron und Gravitation I. Z. Phys., 56, 330—352 (1929).
^eyl H The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Methuen, London.. П31. p. 358
W5 Whittaker E T. The History of the Theories of Aether and Electricity, Longman, London, 1910.
Whittaker E 7. On the Relations of the Tensor-calculus to the Spinor-calculus Proc. Roy. Soc. London, A158, 38—46 (1937).,
bitten L Invariants of General Relativity and the Classification of Spaces. Phys. Rev., 113 357—362 (1959),
Witten L. A geometric theory of the electromagnetic and gravitational fields. In: Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. L. Witten, Wiley, New York [962.
W〃 C. .$,, Ambler E., Hayward R, Hoppes D, Hudson R. Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay Phys. Rev., 105, 1413—1415; Further Experiments on p Decay of Polarized Nuclei. Phys. Rev, 106, 1361—1363 (1957)..'
W〃 T. T., Yang C. N. Phenomenological analysis of violation, of CP invariance in decay of K° and K°. Phys. Lett, 13t 380—385 (1964).
沥〃 T. 7\, Yang С M Dirac monopole without strings； monopole harmonics. Nucl. Phys., В107, 365—380 (1976)
Yang С. M, Mills R. Conservation of Isotop:c Spin and Gau^e Invariance. Phys. Rev, 96, 191—195 (1954).
Young A. On quantitative substitutional analysis I. Proc. Lond. Math Soc., 33,97—146 (1900).
Предметно-именной указатель
А ароноа 68
Аберрации формула 47
Абстрактных индексов метод 12, 93
Антнснмметрнзация 113, 173
— диаграммное представление 505
Аргандова плоскость 26
Аффинный параметр 461
База накрытия 398
Базнс в локальном сечении расслоения 400
—дуальный 125, 135, 160 '
—индуцированный 157
—координатный 160, 163, 238, 248, 282
—ортонормированный для спиновых функций 366
—постоянный спинорный 366
—пространства V 15
—спинорный 329
Безмассовые поля 431
Бивочтор 192
—(анти)самодуальный изотропный 201
—комплексный изотропный 170
Бианки тождество 244, 245
—диаграммное представление 508, 509
—спинорная форма 301, 316
Бонди — Сакса определение массы 337
Буст 35, 38
—w 39
Бустовый вес 311
Вейля геометрия 425
—спинор 476
—тензор 188
Вектор:
времениподобный, пространственноподобный 18
изотропный 18, 165
комплексный 169, 216
ковариантный 98 контравариаитный 98 мировой 15
Векторное поле как модуль над кольцом скалярных полей 95
касательное 235
Векторное расслоение 397
Взвешенный скаляр 472
Виттен 393
Вращение 36
—изотропное 47
Грин 256
Грина явление 489
Группа:
абелева 100. 144
вращений SO(4) 75
-SO⑶ 62、
конформная 423
Лоренца 21
неособых 饱 X А-матрнц 403
(псевдо)унитарных матриц 414
би ⑵ как накрывающее пространство 67
фундаментальная (первая гомотопическая) 66
Гюйгенса принцип 484
Дадемар 13. 479
Даффина — Каммера уравнение 457
Двойное отношение си. Отображение дробно-лииейное
〃е Дондера калибровочное условие 434
Диаграммная система записи 101, 502
Днада 148
Дирака — Вейля уравнение для нейтрино
432, 447
Дирака вектор тока 450
—гамма-матрицы 163, 275
—головоломка с ножницами 64
—0-функция 485
—уравнение для электрона 273, 275
Дирака — Фирца уравнение 457
Дифференциал 238
Дифференцирование абстрактное 233
—ковариантное 240. См, также Ковариантная производная
Доплеровский множитель 38 .
Дуальный поворот 195
Изотропные данные 463
Изотропный поворот 47, 48, 222. 226
—вигзаг 493
Инвариант 215
Индекс：
абстрактный 102, 161, 251, 421, 457
собирательный 117, 153, 177, 346
тензорный 102
Янга — Миллса 415
Инфель&а — Ван дер Вардена символ
282 319
Гармоническое семейство 50
Гаусс 256
Гаусса — Бонне теорема 336
Гиперповерхность начальных данных 492
Главные спиноры, изотропные направле
ния, и&отропные векторы 208
Kfacnad 20, 79
Калибровка 308, 310, 378, 412, 451
Калибровочные величины 308
—преобразования 379, 412, 433
Каноническое разложение спинора 208
Картан 219,嶠 2Б6
308, 819,308, 819,
308, 819,
308, 819,
Картана исчисление дифференциальных форм 253, 319
—подвижного репера 319
—связь со спиновыми коэффициентами 324
Кватернион 39
—векторный 41
—единичный 41
—иа многообразии 419
Келман 256
Кирхгофа — Дадемара формула 13, 469
Клейна бутылка 32/
Класс эквивалентности путей 66
—тетрад 17
Ковариантная производная 240
—симметричная 243, 252
—спниорная 265
г — единственность 268
существование 247, 260
Кольцо:…
коммутативное с единицей 229.
констант иа многообразии 呻】、… ： скалярных полей 154• 厂.
скаляров с делением 94 скаляров с еднннией 94 Коммутативная алгебра 229
Коммутатор: в модцфицированиом методе спиновых коэффициентов 316, 328, 342
в теории ЭКШК 292
в теории 8хеа Миллса 416 ковариантных производных 242 на двумерной поверхности 328, 331 иа двумерной сфере 352 иа изотропной гиперповерхности 342 снинорная форма 298
Комплексифицированная сфера 171
Комплексня (тензора напряжеииости электромагнитного поля) 395
Комплексный угол 51
Конформная бесконечность 421
—инвариантность 436
—плотность веса А 423
—структура:
сферы «7*59
сферы S* 44
Конформно-внварнаитная система полей
423
Конформно-плоское многообразие 426
Конформное изменение масштаба 419
—преобразование кривизны 426
Конформные движения поверхности 348
Конформный вес 350. 423, 429
Координаты:
вектора 16
голоморфные 332
проективные комплексные 30
Космологическая постоянная 390
Кратность главного спинора, главного нзотррпиого иаправлеиня 208
Кривизна:
в расслоении 406
гауссова 331. 337
—комплексная 336
скалярная 261
Кристоффеля символы 260，284, 407, 460
Кронекера д*снмвол абстрактный 119, 155,
421
—диаграмммое представлеине 505
Кручение см. Тензор
Кэли — Клейна параметры 88
Леви — Чивиты символ 148, 152, 178, 181
Лежандра сферические гармоника 372
Лейбница правило 241, 258. 265. 281, 313, 376
—диаграммное представление 509
〃“ алгебра 413
—группа 410
—производная тензора 258
———диаграммное представление 608
—скобка 249, 257, 303
Лоренца группа 21
—калибровочное условие 384» 44д, 451. 457, 496
—преобразование 21
——инволютивное 219
——инфиинтезнм альное спиновое 224
——ограниченное 21
——пассивное 22
——(не) собственное 217
—спиновое 30* 1S9, 214
—сила 480
Лорентц Г. 384
Майодэ^нсвскя# >апяЯор；441
Магнитный заряд 377*
Максвелла уравнения 318
Математическая индукция 464
Метрика 259
—диаграммное представление 507
—поля Янга — Миллса 416
Мёбиуса лист 404
Мизнер 393, 395
Мировой вектор 155
—тензор действительный 154, 161
—тензор комплексный 154
Многообразие 70, 227
—аналитическое 413. 460
—связное, хаусдорфово, оаракомнактное 70, 131, 228, 232, 400
Модифицированный метод спиновых коэффициентов ск Спиновые коэффициенты
Модуль: аксиомы 105 антиизоморфный 142 вполне рефлексивный 107, 110, 126. 138 дуальный 106, 116 заряженный 375 рефлексивный 107, 237 сечений расслоения 402 спин-векториых оолей 227, 375
Модуля базнс 122
—голоиомный, иеголономный 249
—индуцированный 128
—координатный (естественный) 238, 248
—размерность 123
Нейтрон 69, 227
Норма лоренцева 18
Нормальные координаты 461
Ньюмена — Пенроуза формализм б
Обобщенная функция 484
Образующие (светового конуса) 342, 471
Однородные операторы Эйлера 348
Окрестность (£ -окрестность) 229, 232
Оператор：
буст-взвешеиный 12
действительный 266 дифференциальный 53 «калибровочно-взвешенный» 430 спнн-вэвешенный 12
Ориентация:
во времени 19, 169
пространственная 19, 159
тетрады 17
физического простраиства-времеяи 20
Остроградский 266 Отображение;
аиткнебесиое 26. 28, 49 дробно-лииейиое 32, 49 —геометрический смысл 60
«звездочка» Сакса 327 конформное 43 —собственное 44 небесное 26
-линейное 117
@>-полилииейное 117 стереографическое 27
Параллелизуемость сфер 124
Параметр скорости 35
—яркости 475
Пенроуза диаграмма 6
—пнла 298
—процесс 5
Перестановка индексов 112
Планка постоянная 450
Поверхность: временцподобн ая 326, 478 изотропная 308 пространственноподобная 326, 478
Покрытие (конечное) 133, 400
Поле: векторное ковариантное, коитраварнаит- ное 98'
действительных чисел 18 Шредингера — Клейна — Гордона 449 Эйнштейна — Максвелла 455 электромагнитное 12, 377,
Янга — Миллса 12, 408, 457 —(анти)самодуальиое 419
Полотнище флага 6, 58. 167 Полугруппа 100 Правило отбрасывания индексов 253, 320 Представление：
вполне 1фиводимое 184 группы Лоренца 184. 292, 356, 361. 362 матричное 185 приводимое 184
Группы 0(4) 368
Произведение: внешнее 256 —внутреннее 80, 115-
скалярное 17.
тензорное 100. 144
Про*8водиая: виешняи р-формы 254
6HBЯ" 28" направлений тетрады
по направлению 288, 234. 239, 281 (яе)снмметризоваиная 459, 462 Пространство:
векторное над полем действительных чисел 15
Ситтера 451 касательное 236 Мшисовскмо 16, 20, 345, 380. 437, 469 мировых векторов 15 некомпактное 78 односвязиое 62 увяверсальное накрывающее 66
Прямая:
изотропная 29
проективная комплексная 31
Пуанкаре группа 21
—преобразование 21
——пассивное 22
Радона — Пенроуза преобразование 6
Разбиение единицы 133
Раритм — Швингера ураввевие 457
Расслоение: касательное 398 спииориое 399 тензорное 399 .
Риндлера вакуум S
—метрика 5■
—частицы 5
Риччи тензор 261. 293
бесследовая часть 188
—обобщенное тождество 244 Робинсон 4 50 Робинсона проекционный оператор 198 Род поверхности 336
Свернутое произведение 115
Свертка 96, 101, 113 Световой конус 24,. 34S, 459, 462 —будущего 76 —геометрия 467. 468 —начальные данные 469 —сечен<е 24 Связность 240'
—в расслоении 405 Сеченне (расслоения) 398 —гладкое 399 Сигнатура 15, 17 Симметризация 113 Синг 46.
Скалярное произведение 17
Слой 398
Спин-вектор 24. 26. 52, 55, 74
—диаграммы 809
—заряженный 373, 375
—ковариантный 278
—нулевой 69
Спни-матрица 32, 1S2
Спниовая структура 72
——существование и единственность 72 Спиновое преобразование 32, 80 унитарное 36 —пространство 80 Спиновые коэффициенты 12, 277 — модифицированные 309 Спиновые сферические гармоники 367 —конформные свойства 361 Спиновые матрицы Паули 163 Спиновый вес ЗИ. 3&0, 353, 466 Спинор 138 —гравитационный 291*
—действительный 162.
—кривизны 286 —общего вида 143.
—электрон агнитного поля 383
—Эрмитов 162
Спинорная алгебра 253, 264
Спинорная пила 140, 146
Спииориая структура 78
Спинорное исчисление 2. 10
Спинорные (днадяые) компоненты 161
Спинорный объект 68 Стереографическая проекция см. Отобра* жеяие
Стокс 266
Сфера: двумерная в пространстве Минковского 345 комплексная 171 небесная 25, 44 риманова 26
Сусскинд 68
Твисториая 1-форма 477
Твнсгориый интеграл 477
Тензор： альтернирующие 123, 179, 212
—диаграммное представление 507 (анти)самодуальный 194, 292, 296, 419 антисимметричный 122, 176
—дуальный 192, 212
Беля — Робинсона 295, 302
—в теории ЗПкттеИпа — Максвелла 389
—в теории электромагнитного ноля 381 бескоордииатное определение
—тип 1 108
—тип II 108
-тип III 127
бесследовая часть 191
изотропный 201 ковариантный 98 конформный Вейля 295, 297, 389 кривизны 244
—компоненты 251
—диаграммное представление 509
поля электромагнитиого 381
— Янга — Миллса 416
простой 188, 211'
—условие 388
Риуана(— Кристоффеля) 261» 295
—диаграммное представление 509
Риччи 261, 295
эиергии-импульса поля 439
—Дирака — Вейля 439
— электромагнитного 389
—Янга — Миллса 418
Тензорная алгебра 95
Тетрада 16, 308
—изотропная 15. 164
—Минковского 18, 158
ограниченная 19, 159
——ортохронная 19
—(не)собственная 17, 180
Топологическое пространство 232
Топология буста 67
—пространства единичных кватернионов 67
Точная система полей 7, 44s
—инвариантная 447, 458
—физический смысл 464
Трансвекция 115. См. также Внутреннее произведение. Свернутое произведение
Транспозиция 198
Триада правая, левая 19
Тьюкольского метод 6
Уилер 393, 395
Условия Райнича 392
—совместности Фирца, БухдаЛа 458
Флаг изотропный 6, 58, 70
— и снин вектор 60, 419
Флага плоскость 58. 60, 61, 77, 167
Флагшток 58, 60, 61. 77
Фоновые поля 479, 481
—запаздывающие, опережающие 479
Форма дифференциальная 253
—дуальная 322
—кривизны 321
—спииорио-эначная 320
—тензорно-значная 254, 320
Фундаментальная теорема внешнего исчисления 256
Функция колоколообразная 133, 230
Хокинга — Пенроуза теоремы В
Циклическое тождество 288
Четыре-винт 46, 222
Штифеля — Уитни гомотопический класс 75
Эйнштейна Вселенная 79
—Картона — Шьямы — Киббла теория 268. 292
—Максвелла уравнения 388, 452, 455
—правило суммирования 16
—уравнения 229, 290, 293, 302, 317, 452
——линеаризованные 432, 447,
Эйткена диаграммы 504
Эквигармоиическое семейство 50
Юнга схема 186
Якоби тождество 257
Оглавление
Предисловие переводчиков :
Введение . J
Геометрия мировых векторов и спин-векторов 15
Векторное пространство Минковского15
Изотропные направления и спиновые преобразования24
Некоторые свойства преобразований Лоренца42
Изотропные флаги и спин-векторы 52
Спинорные объекты и спиновая структура 62
Геометрическая интерпретация спинорных операций80
Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра . 93
Обоснование метода абстрактных индексов93
Формализм абстрактных индексов и тензорная алгебра . . . . 102
Базисы 122
Свойство модуля ©' быть вполне рефлексивным на многообразии 131
Спинорная алгебра 137
Спиноры и мировые тензоры .. 153
Мировые тензоры как спиноры153
Изотропные флаги и комплексные изотропные векторы164
Операции симметризации и антисимметризации172
Тензорное представление спинорных операций190
Простые свойства тензоров и спиноров в точке203
Преобразования Лоренца213
227227702275 258137965245678 999000124222222 222333333702275 258137965245678 999000124222222 222333333Дифференцирование и кривизна
227
227
702275 258137965
245678 999000124
222222 222333333
702275 258137965
245678 999000124
222222 222333333
Многообразия
Ковариантная производная
Производные, не зависящие от связности
Дифференцирование спиноров
Дифференцирование спинорных компонент
Спиноры кривизны
Спинорная формулировка теории Эйнштейна ——Картана ——Шья- мы — Киббла
Тензор Вейля и тензор Беля ——Робинсона
Спинорное представление коммутаторов
■ § 10. Спинорная форма тождеств Бианки
Спиноры кривизны и спиновые коэффициенты
Модифицированный формализм спиновых коэффициентов ...
:§ 13. Метод Картана
,§ 14. Приложение к двумерным поверхностям
Сферические гармоники со спиновым весом
Поля в пространстве-времени•..・?73
Электромагнитное поле и обобщенныйоператорпроизводной•.373
Уравнения Эйнштейна — Максвеллавспинорнойформе ....388
Условия Райнича392
Векторные расслоения397
$5.Поля Янга — Миллса408
Конформные изменения масштаба419
Безмассовые поля431
Условия совместности437
(
9. Конформная инвариантность различных полевых величин . . . 442
Точные системы полей445
Начальные данные на световом конусе459
Явные полевые интегралы469
Приложение. Диаграммная система записи502
Литература514
Предметно-именной указатель523
Монография
Роджер Пенроуз, Вольфганг РнндлерСПИНОРЫ И ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ.ДВА-СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОЛЯ
Научи, редактор Е. С. Кураискнй. Редактор Р. X. Зацепина.Художник В. Б. Прищепа. Художественный редактор Н. М. Иванов.Технический редактор Е. С. Потапеикова. Корректор Е. В. Морозова
ИБ № 5999
Сдано в набор 01.07.86. Подписано к печати 09Л2.87. Формат 60X90*/ie. Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная; Печать высокая. Объем 16,50 бум. л. Уел. печ. л. 33,00. Усл. кр.-отт. 33.00. Уч.-изд. л. 39,14. Изд. № 2/4762. Тираже 5000 экз. Зак. Mtf^ Цена 4 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»129820. Москва. И-110. ГСП. 1-fl Рижский, пер* 2.
Отпечатано с матриц Ленинградской типографии № 3 головного предпрнятяя ордша Трудового Красного Знамени Ленинградского объедниения «Техническая книга» н* Вв- гении Соколовой Союаполиграфпрома при Государственном комитете СССР по деяам издательств, ноли графин и книжной торговли. 19Ш2> Леиннгр*д, Л-82, ИзмайлойИй лрослект, 29, в Леяявпмдсхой типография № 4 ордера Трудового Красного Знммшн Ленинградского объединения «Техническая кйига» им. Евгении Соколовой Союяфя- графорома при Государственном комитете СССР по делам издательств, шмшгр^фв* и гамжиой торговля. 191126, Ленинград, Соцвалмстическая ул., М. / ©
тельно одновременного отражения пространства и-замены частиц античасти
2) Несмотря на то что с точки зрения обычной геометрии, а также повседневной практики понятие спинорного объекта может показаться весьма
9 Точное определение такого пространства будет дано в гл. 4, § 1.
1) Точный смысл термина <пространство-время> здесь не важен; см., однако, гл. 1, § 5; гл. 3, § 2; гл. 4, § 1.
1) Обозначения в формуле (2.1.8) немного не соответствуют нашим общим правилам, касающимся «пассивного» преобразования [формула (1.1.25)1, но это не должно приводить к путанице.
[98] (см. также [90, 182]). В этой теории тензор кручения связывают с определенным тензорным выражением, описывающим вклад спиновой плотности материи. Мы не станем обсуждать физическую значимость этой теории или сравнивать ее с тео*
—1) (л — 2). Соответствующий тензор Вейля 一 тоже инвариант конформных
преобразований. При 门享 4 равенство его нулю является необходимым и до*
статочным условием того, чтобы пространство было конформно-плоским.
более прозрачный геометрический смысл.
f = Q(P)Qr, приведенной в работе [125], обусловлено различием в предпо^
ложениях о конформных свойствах лл. ，