ДИНАМИКА ПОЛЕЙ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура

Редактор З.Д. АндреенкоХудожественный редактор А. Т. КирьяновОбложка художника KIC. ШлепераТехнический редактор Н. М. ПушкареваКорректор С. В. М а л ы ш е в аОператоры О. В. Канатников а, Л. А. Архангельская

ИБ№723

Набор выполнен в Эне ргоатом из дате на Композере ИБМ-82. Подписано в печать 17.09.85. Т-00022. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная №2. Печать офсетная.Усл.печ. л. 10,69. Усл. кр.-отт. 11,04. Уч.-изд.л. 11,86. Тираж 1460 экз. Заказ 2944. Цена 1р. 40 к.

Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10

Московская типография №9 Союзполиграфпрома при Государственном комитетеСССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли

109033, Москва, Ж-33, Волочаевская ул., 40

[704020000^65]1)51 (01)-85~"[704020000^65]1)51 (01)-85~"Своди, пл. подписных изд. 1985 г.Своди, пл. подписных изд. 1985 г.© Эиергоатом издат, 1985© Эиергоатом издат, 1985

[704020000^65]

1)51 (01)-85~"

[704020000^65]

1)51 (01)-85~"

Своди, пл. подписных изд. 1985 г.

Своди, пл. подписных изд. 1985 г.

© Эиергоатом издат, 1985

© Эиергоатом издат, 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ

Давно прошли те времена, когда теорию гравитации Эйнштейна, основанную на геометризации физических законов, не принимали всерьез или оспаривали. Сегодня большая армия физиков и математиков посвящает этой теории не только свое рабочее время, но и досуг. Теория гравитации в общей теории относительности (ОТО) далеко не исчерпала себя; это — сложная, но стройная и математически прекрасная теория. В последнее время интерес к ОТО Эйнштейна значительно возрос. Это связано не только с замечательными астрофизическими открытиями (например, реликтового космологического фона, пульсаров, квазаров и различных кандидатов в черные дыры). Дело также и в том, что из года в год растет математический уровень физиков-теоретиков. В физике элементарных частиц и квантовых полей уже культивируются методы расслоенных пространств, топологии, современной дифференциальной геометрии. Быстро расширяется круг специалистов, хорошо знающих смежные, важные в принципиальном отношении, разделы физики и готовых адекватно и творчески воспринять идеи ОТО.

Предлагаемая книга — это исследование классических (неквантовых) полей в ОТО — электромагнитного и гравитационного. Оно проводится с упором не на решение соответствующих уравнений, а на анализ общих динамических свойств физических полей. Под динамикой в современной физике понимают очень широкий и постоянно расширяющийся круг проблем, так что мы ограничились небольшим его участком, четко определенным в заглавии книги—динамикой классических полей в ОТО Эйнштейна. Речь идет не просто о методах анализа (их нельзя, конеч< но, обойти стороной, ибо они отражают внутреннюю структуру объектов). В центре внимания — основные закономерности, аналогии и диссонансы. Они вскрываются при описании полей с помощью систем отсчета, выявления симметрий (в том числе — в асимптотической структуре пространственно-временного многообразия), изучении преемственности современной теории по отношению к ее истокам. Эта область неразрывно связана с интересующей нас проблематикой разрешения трудностей в формулировке законов сохранения в ОТО и критического анализа определения энергии гравитационного поля. (В некоторых отношениях книга является продолжением монографии одного из авторов [77], пересекаясь с ней лишь в отдельных местах в 「л. 3.) Подобный анализ неизбежно выливается в очерк современного состояния теории и тенденций ее развития.

Значительная часть книги посвящена констатации и разъяснению установившихся фактов, только еще начинающих входить в монографичес-

3

кую литературу и разбросанных по множеству журнальных статей. Ес-* тественно, что сюда вошли итоговые и текущие результаты наших исследований и работ других авторов (исчерпывающе осветить которые, ко- неино, невозможно). Пришлось в корне переработать этот внешне неоднородный материал. Мы привели его к единообразию (иногда приходилось указывать альтернативные обозначения и подходы) и сконцентрировали вокруг центральной задачи — проблемы описания принципиальной структуры полей в ОТО. Некоторые из наших результатов публикуются здесь впервые.

На протяжении ряда лет авторы изучали и излагали студентам проблемы динамики физических полей. При этом мы учились говорить (и думать) на разных математических языках — от традиционного тензорного анализа и до бескоординатных методов. С каждым новым поступательным шагом развития физической теории становится все яснее, что наши математические методы отнюдь не случайны, что они объективно соответствуют физической реальности. Поэтому мы очень серьезно относимся к выявлению и освоению эффективных методов анализа. Им посвящена большая первая глава книги, которая, однако, не только не может заменить учебника, но и не претендует на полноту: мы стремились дать в ней лишь сводку необходимых идей и соотношений.

До настоящего времени не было книги, которая в достаточной степени объединяла бы указанные взаимно переплетающиеся проблемы и методы теории гравитации. Поэтому мы старались ориентироваться и на широкий круг физиков, и на математиков (как специалистов, так и студентов), заинтересованных в знакомстве с основными физическими следствиями и понятиями, которые возникают при геометризации физики. Конечно, мы не считаем, что наши концепции и вообще установившийся взгляд на вещи являются истиной в последней инстанции, и далеки от стремления внушать читателю благодушное отношение к современной ситуации в этой области науки.

Работа над книгой — многогранный процесс, при котором не только

устанавливается взаимопонимание между авторами, но и выавляютса различия в подходах. Поэтому не будет лишним указать, кто в большей

степени несет ответственность за отдельные разделы. А. П. Ефремов:

2.5, гл. 4. Н. В. Мицкевич: 1.2 一 1.5, 1.8, 2.1 - 2.3, 3.1 - 3.5, 5.3.

А. И. Нестеров: 1.1,1.6,1.7,2.4, 3.6,5.1,5.2,5.4, гл. 6 и 7.

Мы благодарны Ю. С. Владимирову, А. П. Крыловой, С. Н. Курлович,

Л. В. Сабинину, В. А. Степаненко за конструктивную критику и помощь в работе над книгой, а также руководству и сотрудникам кафедр, на

которых мы работаем, за понимание наших интересов и трудностей.

Авторы

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

(+)

—сигнатура

±

产

— многообразие (пространгтво-время)

— изотропная бесконечность будущего (прошлого)

— временная бесконечность будущего (прошлого)

/°

—пространственная бесконечность

тт

—касательное пространство

тзг

—ко касательное пространство

弘

— отображение касательных пространств

屮*

— отображение кокасательных пространств

—тензорное произведение

Л

—внешнее произведение

—дуальное сопряжение (звездочка Ходжа)

F±

—автодуальный (антиавтодуальный) бивектор

严

—базисные 1-формы (ковекторный базис)

ea

—векторный базис

(吃И)= "⑨三〃• V

— свертка (скалярное произведение вектора и ковектора)

и • У

— скалярное произведение векторов и ковекторов

f

— производная Ли по вектору W

— ковариантная производная по вектору X

—производная Ферми—Уокера

и

▽и/

—обобщенная производная Ферми—Уокера

3@0

—форма связности

吟

—форма кривизны

—оператор кривизны

嚥死

= /?入、

—тензор кривизны

—тензор Риччи

^дp _ ("2)g 4"———R「从u

—уравнения Эйнштейна

pa= 5^ татр

b = g — т ® т a x 6 ： = *(аЛТЛЪ) 〃 ▲ у : = —д® и):= ХДР

- проектор на 3-мерное пространство

—З-мерная метрика

~ векторное произведение 3-мернь(х векторов

-—Ь (и, к) — скалярное произведение 3-мерных векторов — вторая фундаментальная форма (внешняя кривизна)

Ga Аа^ 分0

— ускорение системы отсчета

—тензор вращения

—тензор скоростей деформации

Глава 1АНАЛИЗ НА МНОГООБРАЗИЯХ И СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫПРЕОБРАЗОВАНИЙ【6, 156, 38]

Концепция многообразияf на определении которого мы здесь не останавливаемся, обобщает понятие поверхности или кривой в R3. Отметим только, что дифференцируемое многообразие предполагает в каждой своей точке существование касательной плоскости (касательного пространства), причем, как это видно из дальнейшего, касательный вектор определяется внутренним образом. Будем предполагать, что пространство-время обладает гладкой дифференцируемой структурой такого рода.

Касательное пространство. Под касательным вектором ( в точке х W 戒 понимают класс эквивалентности параметризованных кривых, выходящих из х. Две кривые 力:/ 今銘 и у2 : ^ —切，/ = [0, 1] (рис. 1.1) эквивалентны, если их изображения на какой-либо карте эквивалентны. Соотношение эквивалентности определяется тем, что эти кривые соприкасаются в точке х Тогда касательный вектор вх£加 определится как отображение (см. также рис. 1.2)

丿У…)l「0

U — параметр на кривых; Г = 0 в х). Из этого определения следует, что^ в дркальной карте касательный вектор имеет компоненты Va = =欢/dt. Отсюда очевидно эквивалентное определение касательного вектора как дифференциального оператора, а именно:

у — d*@ а _ d

Пример. Сферическая система коош^инат; координатный базис: { Ьг, дд, Э^}. Компоненты вектора V = Vrbr + и Э^ + 丿②屮 равны:

Vr = dr/dt, !/' = dO/dtf V^ = d^/df.

Относительно некоординатного (неголономного) базиса еГ - br, eg = r^d^, % = (r sin6) ХЭ - можно записать разложение вектора V:

V = Vrer ++ и%,

人ал

где Vr = dr/dt,=rdO/dt, V屮=r sm8d屮/dt.

Множество всех векторов, касательных к W в точке х, имеет структуру линейного пространства, не зависящую от выбора локальной карты.

7

Рис. 1.1. Эквивалентность кривых ?[ и KR

72 (существование общей касательной) Рис. 1.2. Действие отображений f и(^

Это линейное пространство называют касательным пространством к Ж вх и обозначают 7\ЛК

Пусть на 統 задана некоторая кривая у (Г) и векторное поле V (р), р £ 加 такое, что в каждой точке кривой касательный вектор к у (г) совпадает с U (р):

dy (t)/dt = V(7(t)).(1.1)

Тогда у (Г) называют интегральной кривой векторного поля V.

Часто динамические системы описывают дифференциальными уравнениями вида (1.1), и, соответственно, интегральные кривые 7 (Г, р) определяют фазовые траектории, а в целом — фазовый поток. Поэтому в окрестности U Э х векторное поле естественным образом определяет локальное отображение ^ f 矶,которое обозначим д^ (х) : ；= у (Г, х). Множество отображений д( образует локальную однопараметрическую группу диффеоморфизмов [6. с. 10; 111, с. 145] (точнее — псевдогруппу. Термин **псевдогруппаг/ означает, что операция умножения является частичной, т. е. %д$ может вывести за пределы окрестности U):

%% = 9t+s; ^ s, t + s ^ f (x).

Говорят, что векторное поле dg /dt = V генерирует эту группу (рис. 1.3).

Т е о р е м а [156, с. 145]. Гладкое векторное поле на компактном многообразии 切 генерирует однопараметрическую группу диффе- оморфизмов 紹：然 一A W .

С л е д с т в и е (см. [156]). Гладкое векторное поле на многообразии 恥 ,равное нулю вне компакта К С Л1 t генерирует однопараметрическую группу диффеоморфизмов ".

Замечание 1. Здесь нельзя отбросить условие компактности. Пример ([6], с. 25): ^7Z =#, х—х . Решение: х=— (г — г。)1 нельзя продолжить неограниченно (рис. 1.4).

Замечание 2. Локальные диффеоморфизмы gf (х) часто обозначают exp (tV) : х f g Jx). Это обозначение проистекает из свойства умножения в группе: 叩 s = %+$• 8

Рис. 1.3. Генерирование локальной однопара* метрической группы диффеоморфизмов векторным полем к = dg，dt

Рис. 1.4. Два решения уравнения х =х2г которые нельзя продолжить неограниченно

Замечание 3. Если задано отображение многообразий 屮：切 f 篦，то оно естественным образом индуцирует отображение касательных пространств 9*: 1\ 说今 %(*)〃 по правилу

В компонентах это равенство перепишется так:

k =翁 k •

Пространственно-временные координаты (』} представляют собой четверку скалярных функций, что проявляется при переходе к новой системе координат, {/〃 } : х'“ =х'〃 (х). При бесконечно малом преобразовании (инфинитезимальность параметра е) следует говорить о векторном поле, связывающем эти координаты и дающем отображение 恥f統：

х，“ = $ + 感从(х) .(1.2)

Если все индексы компонент некоторого тензора Г записать как один коллективный (собирательный) индекс а , то преобразование этих ком* понент при бесконечно малом преобразовании координат (1.2) запишется как

7；Н) = 7а(х) + "al 決'(1.3)

(запятой обозначена частная производная). Равенство (1.3) можно пони* мать и как определение велйчин Та | 二；которые н© зависят от конкретного выбора преобразования (возможные свойства симметрии 产 1r не учитываются!); более того, вся зависимость этих величин от координат идет от Та , так что если записать

AI: = %i1铝，(1.4)

9

то коэффициенты 〃 1°1； будут постоянными (строятся из символов Кронекера). Сказанное справедливо не только для тензоров, но и для тензорных плотностей и некоторых других объектов. Для символов Кристоффеля (т. е. коэффициентов связности в натуральном базисе) в выра* жении типа (1.3) появляется добавочное слагаемое:

(1.5)(1.5)「2分(X’)=Г乙〃仅)+ ёг^〃 1；,7 一虑\小〃 •

(1.5)

(1.5)

При этом величина Г^ | 工 имеет указанную выше структуру.

ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ [156г с. 147; 46г с.130; 215]

Производная Ли £у векторного пола у по векторному полю и опре* деляется как “

(1.6)(1.6)f У =變(Q/)le=O

(1.6)

(1.6)

где отображение 毋 индуцировано локальным диффеоморфизмом q = ехр (—(//). В локальных координатах ｛』｝в окрестности точки ^0

(…)J =d的)*1/(唄幻)=

=va｛^_tM) f, 0 (% (х))=va｛^_tM) f, 0 (% (х))=ya (^t M)f^ 0(Xo)=ya (^t M)f^ 0(Xo)叫° (х)叫° (х)”勺=9т（*о）”勺=9т（*о）

=va｛^_tM) f, 0 (% (х))

=va｛^_tM) f, 0 (% (х))

=ya (^t M)f^ 0(Xo)

=ya (^t M)f^ 0(Xo)

叫° (х)

叫° (х)

”勺=9т（*о）

”勺=9т（*о）

Отсюда после дифференцированиа по Г в точке г = 0 для производной Ли следует выражение

(£ у ) @ = у @/(£ у ) @ = у @/广=〃。广=〃。

(£ у ) @ = у @/

(£ у ) @ = у @/

广=〃。

广=〃。

или символически

(1.7)(1.7)£ у = [и, и ].

(1.7)

(1.7)

Определение (1.6) допускает естественное обобщение на случай произвольного тензорного поля [148].

Эти же соображёМия можно физически наглядно выразить следующим образом. Пусть в некоторой области дано тензорное поле Т, и его значения в двух бесконечно близких точках Р и О хотят сравнить наблюдатели, находящиеся в этих точках. Пусть у них имеется способ передавать численную информацию друг другу и каждый из них может измерить значения компонент поля Г относительно некоторого координатного бази- 10

са в своей точке. Если наблюдатели тождественны, то они должны пользоваться одинаковыми процедурами в своих построениях. Пусть наблю* датель Р получил от наблюдателя О результаты его измерений и построил в своей точке по этим результатам модель тензора Г. Из тождественности наблюдателей следует, что, если обозначить локальные координаты наблюдателя Р через (х"} , а наблюдателя Q - через {х'“ } , будет справедливо соотношение х$〃 = х^. При этом пусть 书 =х§ + 處".Тогда из (1.2) следует xf 三 xg = + 虑".

Назовем разницу между моделью Т (по результатам измерений Q] в точке Р и реальными значениями компонент Т в этой точке производной Ли:

(1.8)

Учитывая бесконечную близость точек Р и Q, имеемУчитывая бесконечную близость точек Р и Q, имеем

Учитывая бесконечную близость точек Р и Q, имеем

Учитывая бесконечную близость точек Р и Q, имеем

Из этих соотношений очевидно, что производная Ли тензора и тензорной плотности сохраняет свойства этих величин, а также что

%£ = £%.(1.10)

При этом неоднородно преобразующийся объект (например, коэффициенты связности) при дифференцировании Ли дает соответствующий однородно преобразующийся объект. Как и всякая дифференциальная операция, производная Ли является линейным отображением, сохраняющим свертку, а также удовлетворяет правилу Лейбница:

£ (S^ Л = (£S)❹ 7 + S®£7. иии

Коммутатор производных Ли по 4 и у в применении к ковекторному полю а (1 -форме а) равен

[£, £ ]а =/?(t/z v)a - d (а [и, и ]) + da [и, и ] = £ а ・

“к[и, v]

В натуральном базисе производная Ли от метрического тензора, символов Кристоффеля и тензора кривизны дает соответственно:В натуральном базисе производная Ли от метрического тензора, символов Кристоффеля и тензора кривизны дает соответственно:++"Хд片;""Хд片;"+ "кХдо戶;р*+ "кХдо戶;р*+ "К叩片；入+ "КаЛ片;^+ "К叩片；入+ "КаЛ片;^(1.11)(1.11)

В натуральном базисе производная Ли от метрического тензора, символов Кристоффеля и тензора кривизны дает соответственно:

В натуральном базисе производная Ли от метрического тензора, символов Кристоффеля и тензора кривизны дает соответственно:

+

+

"Хд片;"

"Хд片;"

+ "кХдо戶;р*

+ "кХдо戶;р*

+ "К叩片；入+ "КаЛ片;^

+ "К叩片；入+ "КаЛ片;^

(1.11)

(1.11)

В том случае, когда £ и = 0, на основании (1.7) говорят, что вектор-

Рис. 1.5. Коммутативность и и и и свобода выбора порядка перемещения вдоль кривых % и уи

ные поля 〃 и к коммутируют. Для таких полей, двигаясь вдоль интегральной кривой %(s) на расстояние s, а затем вдоль %(£)— на расстояние Г, придем в ту же самую точку, как и при обратном порядке движения (рис. 1.5). Поэтому сложно построить систему координат, в которой обе конгруэнции интегральных линий будут одновременно играть роль координатных линий. Для некоммутирующих друг с другом полей построение таких координат невозможно.

Пусть теперь и — временноподобное векторное поле. Выберем систему координат так, чтобы и = О。(это всегда возможно). В этом случае интегральные кривые %(£)поля и совпадут с линиями координаты х° (координатного времени). Тогда, в соответствии с определением (1.6), получим для производной Ли По и от произвольного тензорного поля £ Г = и

= dT/dx°. Поэтому, если трактовать интегральные кривые временноподобного векторного поля как линии времени, производная Ли по этому векторному полю оказывается естественным аналогом производной по времени, имеющей общековариантный смысл.

ФОРМЫ КАРТАНА [111,142,152,48]

Дифференциальные 1-формы (или ковекторы) определяются как линейные функциональ| на векторных полях. Если з — 1-форма, а к — вектор, то отображение вектора и в действительное число является линейной функцией (носящей название свертки) и обозначается как з (к)三 =к (з) =〈 з, 6 . Здесь линейность означает, что

〈з, а〃 + 06 = а〈 з, и〉+ 0〈 з, з〉.

Если {еа } — векторный базис в 厶銘 ,то совокупность 1 -форм {е@ } , определяемых свойством

(1.12)(1.12)6@（咐=〈严ё0〉=脸

(1.12)

(1.12)

образует двойственный базис в линейном пространстве 1-форм {ковек- торный базис}. Отсюда следует, что в каждой точке р наряду с касательным пространством 厶 承 определено также кокасательное (двойственное касательному) пространство 工亂 1-форм. Для натурального (координатного) базиса {8〃 } двойственным является базис {孙}：〈砍从，3〃〉=

Пусть и =『8窃 и з = и^)С. Используя (1.12), найдем выражение для

(1.13)(1.13)свертки через компоненты: 〈з,八=з”@.

(1.13)

(1.13)

Замечание 1. Любая функция f определяет 1-форму df (дифференциал функции) по правилу: (df, и) = uft где а — вектор, понимаемый как линейный дифференциальный оператор. Отсюда в натуральном базисе следует стандартное определение дифференциала в виде df = (8f/8抬 d£.

Замечание 2. Отображение р m -► 7Z индуцирует отображение，： 厶•(砲)<-rg(*)便)гю правилу

〈9*3, к〉=〈 з,屮“〉.

Квадрат 4-интервала на (псевдо) римановом многообразии определяется с помощью базисных 1-форм как ds2 = 9从科“6“，причем метрика записывается в виде g = 9^^ ® 。"，т. е. как симметричный билинейный оператор, отображающий пары векторов в действительные числа:

д® 旷)=⑦从科"® /)а к) = %j/7M

Стандартная связь между векторами (контравариантными векторами) и ковекторами (ковариантными векторами) устанавливается с помощью соотношения

g(Xf И = ^(Y), V/=> g^ =〜.

Антисимметризованное тензорное произведение 10орм приводит к новому понятию внешнего произведения; для базисных 1*форм

/А 6° : = (1 ⑵既❷ 6° -開@ 严).(1.14)

Эти шесть линейно чезависимых величин образуют базис пространства 2-форм (разложение произвольной 2-формы:尸=尸#65\6°). Дальнейшее домножение на 1 -формы с антисимметризацией дает определение р-форм (форм степени р). Базис в пространстве р-форм состоит из р-форм вида 6@1 人 6@2人,,.л 6% Из этого определения следуют свойства симметрии операции внешнего умножения: если deg а = р и deg з = g (deg — степень) ,то

а/4з = (-1)з3 八 a.(1.15)

Внешнее дифференцирование обозначают буквой d; оно переводит р-форму а в (р + 1)-форму da. Его свойства:

U- ^- ^ ^.U- ^- ^ ^.линейность: d(a + 0) = da + d庇 d(Xa) = Ada при 入=const; d(a Л P)=曲A0 + (―1)%/4d0; deg a = p;

U- ^- ^ ^.

U- ^- ^ ^.

dd = 0;

как мы уже видели, для скалярной функции f (0*формы) df пред

ставляет собой обычный дифференциал. В координатном базисе

da = a〃砍"八次"1人...Adx"・(1.16)

Мы будем часто обозначать всю совокупность индексов компонент форм и их базисов с помощью коллективных индексов, так что, напри* мер, выражение (1.16) может быть записано как

血=%, m*m，(1.17)

причем тот факт, что собирательный индекс состоит из данного числа (здесь р) индивидуальных индексов, выражается равенством # а =夕； тогда, например, # (да) = р+ 1.

Пример 1 [ротор). Пусть а = 4 (х, у, z)dx + В (х, у, z}dy + С(х, у, z)血， тогда

da = (Эс/Э/ — Ъв/Ъг) dy 人 dz + (Эд/dz — Эс/Эх) dz 人 dx +

+ (дз/дх — дА/ду) dx Л dy.(1.18)

Пример 2 {дивергенция}. Пусть 3 =Р (% 匕 z) dyAdz + С (х, у, z)dz л dx + + " (х. У, z)d* Л dy. Тогда

d3 = (Эр/Эх + Эо/Э/ + d/?/dzIdxA dy Л dz.

Если сюда подставить Р, Q, R из (1.18), то в соответствии со свойством 3 получим dda, = 0. Так на языке дифференциальных форм выражается хорошо известное соотношение div rota = 0.

Операция дуального сопряжения (звездочка Ходжа) [39] переводит р-форму в (4 — р) >форму (аналогичная операция существует в общем случае /^мерных многообразий и, в частности, в 3*мерном физическом пространстве с учетом систем отсчета). Такое изменение степени формы осуществляется с помощью аксиального тензора Леви-Чивиты, который наряду с метрическим тензором является единственным тождественно* ковариантно постоянным тензором. Рассмотрим 4-мерный случай, когда аксиальный тензор Леви-Чивиты строится с помощью полностью антиси мметричнога четырехиндексного символа Леви-Чивиты %0昧= =£[耽5]； S123 = +1 (его всегда будем обозначать с нижними индексами):

巴哈6 =产^ё邙田宙"5 = _(VG7)€哂5■(LI 9)

Аксиальные тензоры Леви-Чивиты при перемножении дают (才 ％= L) 4产=4产=(-1)4*产=-厶喈

(здесь коллективные индексы строятся лишь из совокупностей полностью антисимметризованных индивидуальных индексов), причем обобщенные символы Кронекера определяются как

入4端心…务…# b = a и обладают свойством Ра^ = А\РЬ

Если исходить из базиса Д.форм 公 := П 人 dx% , то дуально сопряженный ему базис определится как

* Лэ = (ML^E^x1,厶=4 一 4(1.20)

и обратно:

涼=-Z/Ah 加・ dxa •(L21)

Поэтому форму, дуально сопряженную относительно Д-формы, a=aadxa естественно определить как

*а = аа ^dxa = {ML^^E^dx1.(1.22)

Повторное применение дуального сопряжения возвращает к исходной

(1.23)(1.23)ф。二……

(1.23)

(1.23)

Введем теперь Z-форму з: з = oozdxz, R z = Z. Воспользовавшись простым тождеством

看=看=：+ 4)! % 明］，# 力=# g = н.：+ 4)! % 明］，# 力=# g = н.z = а + н,z = а + н,

看=

看=

：+ 4)! % 明］，# 力=# g = н.

：+ 4)! % 明］，# 力=# g = н.

z = а + н,

z = а + н,

легко убедиться, что

(1.24)(1.24)*(0"3) = 1)" ^上3田.

(1.24)

(1.24)

Таким способом можно свертывать формы друг с другом. Запишем, кроме того, некоторые полезные соотношения: элемент 4-обьема выражается как {dx) =dx°123, причем дуальное сопряжение 0«формы дает

* 1 = \П^У公,** 1 = -1, (1.25)

так что

(1.26)(1.26)* (次)=-1/，-g：

(1.26)

(1.26)

Если даны две Д-формы а и 0, то

а Л * Р = А 1аа (ia j—g (次)=0 八* а.

Это равенство подсказывает определение интегральной операции типа скалярного произведения с включением гильбертова пространства

(% 0) = (0, а) = / а 人董 0.

М

Если же deg0 * dega — 1, то скалярное произведение можно проинтегрировать по частям на основании тождества

a 人* * = d(0 Л * a)-厶!0『"Ь"，—0(次)，

так что

(a, d0) = (5а, 0) + / (0Л*а),

если ввести полезное определение

^ь =⑷/8!%；" = Aavb^v.

Здесь #6=8 = 4— 1, причем р — обычный Фмерный индекс, так что # (») = А. Нетрудно видеть, что [39]

5a = -*d*a・(1.27)

Комбинация операций d (типа градиента и ротора) и 5 (типа диверген< ции) приводит к дифференциальному оператору второго порядка, действующему на формы без изменения их степени и аналогичному опера* тору Лапласа или Даламбера; этот оператор называют оператором Де Рама (дерамианом) и обозначают

d6 + 5d = △ = (d + В)?.(1.28)

Форма, которую дерамиан обращает в нуль, называют гармонической, и для нее Ду = 0.

Если форма представляет собой внешний дифференциал другой формы (на единицу меньшей степени), т. е. если з = dat то эту форму з называют точной. Аналогично, если з = 50, то форму з называют коточ- ной (тогда степень 0 на единицу больше степени з). Если с/з = 0, то форму з называют замкнутой; если 5з =0, то форму з называют козамкну- той. Так как справедливы тождества

dd 三 0 и 55 三 0,(1.29)

то всякая точная форма замкнута, а коточная — козамкнута (но, вообще говоря, обратное неверно!).

Т е о р е м а (Ходж [39]) * Если ^2 — компактное многообразие без границы, то в нем любую форму з можно представить как сумму точной, коточной и гармонической форм:

з = da + &0 + %

причем, конечно,

deg3 = dega + 1 二 deg0 — 1 = degy.

Это представление однозначно, и основным носителем информации о свойствах исходной формы з является гармоническая форма 7.

По ходу дела мы уже пользовались следующей важной теоремой.

Теорема Стокса—Г аусса. Если гъмерное многообразие 次 обладает границей Э 範 (размерности л— 1), то / d3 = j з,

м

где з — форма степени с — 7. Граница может быть несвязной, и тогда в правой части равенства существенно учитывать знак (ориентацию) отдельных слагаемых.

При действии на форму производная Ли не меняет ее степени, и опера* ция (1.6) или (1.9) прилагается непосредственно к ковариантным ком- 16

понентам определяющего тензора данной формы. Существенно, что эта операция может быть просто выражена через внешнее дифференцирование и дуальное сопряжение (последнее вместе с внешним умножением на ковектор, соответствующий векторному полю, по которому берется производная Ли, приводит к иногда используемому определению внутреннего произведения (156] /〃з: =〃％磔 …)).Тогда

£з = {iud + 也)з, (1.30а)

что можно записать также как

(1.306)(1.306)£а> = —*((/А* с/з\ 一 d * (и A * з).

(1.306)

(1.306)

Отсюда непосредственно видно, что производная Ли перестановочна с операцией внешнего дифференцирования:

d£ з = di皿3 + ddi心=£4з, ии

если учесть (1.29). Кроме того, эта запись позволяет дать производной Ли простую геометрическую интерпретацию. При бесконечно малом сдвиге формы з вдоль конгруэнции с касательным вектором а/ с точностью до величин первого порядка малости по £ получим

(1.31)(1.31)3(Х + £〃)一 3(х) = € £ 3.

(1.31)

(1.31)

Поэтому, если производная Ли некоторой формы з по отношению к векторному полюй равна нулю (говорят, что форма з инвариантна по отно

шению к этому полю), то данная форма не изменяется при движении вдоль линий с касательным вектором и. Отметим также, что левая часть (1.31) описывает изменение вида компонент определяющего тензора формы з при соответствующем преобразовании координат. Это можно усмотреть из обычных соотношений для преобразований (1.2), (1.3),

так как форма з по определению инвариантна относительно них: з(х) 三 з'&‘). Поэтому из (1.31) для нее непосредственно следует соотношение (1.8).

Далее, если учесть, что форма*4-й степени в четырехмерном простра*

стве-вре!^14 всегда замкнута, при ее отрждествлении с формой з в соотношениях (1.30а) и (1.306) непосредственно приходим к (3.4)—

основному соотношению для вывода теоремы Нетер. При этом лагранжиан удобно выразить на языке внешних форм как 4-форму N (血[ср. с (1.25) ]. Конечно, такое соотношение с самого начала предполагает выполнение стандартных коваринатных свойств лагранжиана как ска>

лярной плотности, что и требуется при выводе теоремы Нетер.

Уравнения структуры Картана [48, 111, 58]. Пусть даны четыре базисные 1>формы 6@. Тогда каждая из Ма будет 2-формой, и ее можно разло

жить по соответствующему базису:

(1.32)(1.32)d6a =18"人вт.

(1.32)

(1.32)

Это равенство содержит в качестве коэффициентов разложения коэффи- 17

циенты связности (лишь в натуральном базисе переходящие в обычные символы Кристоффеля), о которых будет идти речь в § 1.4. Разложение (1.32) следует из правила ковариантного дифференцирования 1ц#орм:

▽/ = -「%°(133)

[ср. с ковариантной производной двойственного базиса (1.39)]. Введя 1-формы связности как

3% = %。，(1.34)

перепишем (1.32) в виде

加a = 一3@0人60.(1.35)

Эти соотношения носят название первых уравнений структуры Картана, хотя бы потому, что на практике они служат для нахождения форм связности [прямой путь их вычисления на основании определения (1.34) и выражения (1.43) часто оказывается сложнее]. Но тогда следует дополнить систему еще уравнениями

dga0 = 3叩 + 3仅，(1.36)

выражающими на языке форм свойство ковариантного постоянства метрики

6°)= °

[при выводе (1.32) и (1.36) полезно учесть также возможный способ записи внешнего дифференциала (1.44) ]. Если теперь на основании определения кривизны (1.45), (1.47) ввести понятие 2-формы кривизны

C% ： = Т雇触е人时

то для нее сразу же вытекают соотношения

Па0 = «3% + з：八 о?伊(1.37)

носящие название вторых уравнений структуры Кар та на и играющие важную роль в конкретных расчетах.

Заметим, что бывает удобно использовать жестко нормированный базис (в котором gaQ = const). В частных случаях это — ортонормирован- ная тетрада и тетрада Ньюмена—Пенроуза (изотропная комплексная тетрада со взаимной нормировкой); относительно последней см. подробнее § 1.8.

Пример. Расчет компонент кривизны для фридмановских космологических моделей. Все три типа таких моделей — сферическую (при к =+1), параболическую U =0) и гиперболическую (Аг = —1) - можно описать с помощью единого вида метрики

</$2 =尸 3^2 一 ах? - s2(d俨 + Sin2^2)),

если взять а = а (刀)， S(X)■ sin( >/7X)/V^

Ортонормированный базис 1-форм тогда задается в виде

6° = ad";統=adX； О2 = aSdO;伊=aS sin 8d 屮.

Из соотношений

d6° = 0; d0l = ~^~8°人 8‘；

do2 = Д n + _£Le】A ®2； aaS

dO3 = 4- 0qa63 +上外八外也旷八®з a 2aSaS

при сравнении с (135) найдем

3工=一、3*1 =一 ^- 6"，%=2,3；

Подставив эти выражения во вторые уравнения структуры Картана (1.37), получим при равнении с определением 2-форм кривизны все компоненты тензора кривизны Римана— Кристоффеля. Для краткости запишем здесь окончательный результат :

С, = $ ^~^ 8。人 8，，『=1,2, 3;С, = $ ^~^ 8。人 8，，『=1,2, 3;

С, = $ ^~^ 8。人 8，，『=1,2, 3;

С, = $ ^~^ 8。人 8，，『=1,2, 3;

ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ [164,163,111,148]

Ковариантная производная ▽“ (в направлении вектора и) отображает произвольный тензор 丁 в тензор той же самой валентности (ранга) и определяется следующими свойствами: ее действие на скалярную функцию f совпадает с действием вектора 〃 как линейного дифференциального оператора:

(1.38а)(1.38а)▽J = "力

(1.38а)

(1.38а)

она является линейной операцией

% 々=а ▽ + flv Па + риу ~ у

(1.386)

(а и 0 - функции) и обладает свойством Лейбница

^U(S ® 71 = (▽/)❷丁 + S ® ▽〃兀

(1.38b)

метрический тензор в римановой геометрии ковариантно постоянен

% = °，

(1.38г)

и выполняется (в римановой геометрии, где отсутствует кручение) тождество

(1.38д)

Наряду с метрикой, вводимой в римановой геометрии на алгебраическом уровне (что позволяет понимать контравариангные и ковариантные компоненты как принадлежащие одному и тому же вектору или тензору), здесь вводим понятие коэффициентов связности 门仅，хаРак~ теризующих операцию переноса тензорных величин и допускающих их сравнение в разных точках при задании конкретного пути между точками. Коэффициенты связаности определяются равенством

▽е『0 = %)

(1.39)

[ср. с (1.33) ]. Тогда

^а(eav^ + ~时0% = T：不了

(1.40)

и часто используемое обозначение ".& можно представить в виде

(1.41)

Отсюда видно, что эта совокупность величин ведет себя как компоненты тензора, хотя ковариантная производная вектора — ▽ з — остается вектором!

Базисные векторы еа, вообще говоря, не коммутируют друг с другом; на основании ( 1.39) и (1.38д) ясно, что

3,咐=、j0 一 ▽喈a =(门便一％0)野=cla^Y

(1.42)

Здесь введены величины С7^- структурные коэффициенты базиса, по

своей природе близкие к структурным константам в теории групп. Если исследуемое пространство обладает свойстеами симметрии (подвиж> ности), описываемыми некоторой группой движений, то для наиболее простого его описания следует выбрать такой базис, структурные коэффициенты которого в максимально возможной степени копируют структурные константы группы движений. Ясно, что в координатном базисе базисные векторы коммутируют (сводясь к частным произвол* 20

ным по независимым координатам), так что в этом случае С%。=0, а коэффициенты связности симметричны по двум нижним индексам (их называют тогда символами Кристоффеля}. Однако в общем случае такой симметрии нет, и решение соотношений (1.38г) и (1.42) [последнее представляет в более удобной форме соотношение (1.38д) ] имеет вид

2r%=g“д严比+ ё声60 一 ё图叩)+

+ СЛ + СЛ -户期(143)

Если в данном базисе метрический тензор обладает постоянными компонентами [примеры: ортонормированный базис, базис Ньюмена- Пенроуза (см. § 1.8) и др.] , то в (1.43) в нуль обращаются все три слагаемых в скобках, и тогда коэффициенты связности называют коэффициентами вращения Риччи (для них имеет место антисимметрия 「&0,二

Отметим, что внешний дифференциал (в применении к любой форме) можно записать как дифференциальный оператор

d =川口2 人三”卩 Л.(1.44)

При конкретных расчетах следует помнить, что (в отличие от прежней формулировки римановой геометрии в компонентах величин) операция набла % действует на компоненты тензоров, как и на скалярные функции, по правилу (1.38а) и лишь на сами тензоры (т. е. фактически на тензорные базисы) — по правилу (1.39) или (как следствие предыдущего) —по (1.40). Читателю предлагается в качестве упражнения получить таким образом равенство (1.32).

Тензор кривизны Римана— Кристоффеля удобно ввести в произволь* ном базисе с помощью линейного дифференциального оператора второго порядка, действующего на тензоры:

斤也 з) = % % - ▽у% - ▽[〃，〃•(145)

Этот оператор обладает свойством Лейбница, присущим операторам первого порядка:

斤(и, и) (S ® Г) = (А (% k)S) ® Т ^ S^ R(uf v}T, причем, так как Я (и, иИ - 0 (f — как обычно, скалярнаА функция), имеет место свойство

R(uf u) (fT)二 fRlu, v}T.

Компоненты тензора кривизны определяются как

""肉5 ="("%，气)限.(1.46)

откуда их просто выразить в виде

'歴=Г% -气嚥7 + 1便Г％ 一「‘肉「喝-%Г%

(1.47)

В координатном базисе [却 dg] = О, так что

(却 ％) = vdrvd6 - ▽a&Q)

и

叫涉力三"•("%，%)6 =唳;厂吃;5•

Кроме того, в координатном базисе удобно пользоваться введенными в соотношения (1.3) и (1.4) величинами для записи ковариантных производных и их коммутирования (на языке компонент тензорных величин) :

%а = %,а+ 〃1/%(1.48)

и

q；6；7 — 〃；);& =叫丹5〃 吟.(L49)

В заключение приведем выражение некоторых свойств кривизны, записанное для форм Картана: алгебраические тождества Риччи

畛八 В = °(1.50)

и дифференциальные тождества Бианки

4叫=% A 叫-3\ a 叫.(1.51)

С помощью форм Картана удобно описывать также конформные преобразования (перенормировку) метрики, выражающуюся в координатном базисе как 亨从〃 =exp(2o)g〃 1r Тогда, считая базисные формы (не координатный базис) перенормируемыми как 6@ = ехр (о) 0at сохраняем для обоих базисов одни и те же (тетрадные) компоненты метрики. Поэтому новые Ъформы связности выражаются как

岔叩=3如+伍0。通一线。)0伊

а 2>формы кривизны перенормируются по правилу

%0 = ^3 + 2(&#[0。)" Л 0а] +

+(V)(自％)0r& 八 О。+ 2(еуо)е^а 八齿^]-

一 2 (%0) (3[00)轴 Л 尹.

Если, пользуясь операцией дуального сопряжения (§ 1.3), ввести четверку 1・форм Риччи

0 =夕囱c=*(6@ Л * e磔)

и записать скалярную кривизну в виде

R - {ва Л - Ra^ = * (8°八 * С邙 А。6；

то можно построить инвариантную относительно конформной перенормировки 2-форму Вейля

屮磔= %0 +(1/2)(% 八斤° -切人％) - (1/6)8% 八％ (1.52)

Определяющий ее тензор, естественно, также инвариантен относительно конформной перенормировки; его называют тензором конформной кривизны Вейля. Кроме обычных алгебраических свойств тензора Римана— Кристоффеля, он обладает равным нулю аналогом тензора Риччи (одна свертка), так что параллельно (1.50) можно записать:

综* 載=0(1.53)

и

综0 人 80 二 0.(1.54)

ГЕОМЕТРИЯ КОНГРУЭНЦИЙ [111# 148,58]

Некоторым монотонным образом параметризуя точки вдоль кривой, можно определить касательный к ней вектор как 〃 = d/d\, iR = d^/dK, причем канонической называют такую параметризацию, чтобы квадрат касательного вектора вдоль кривой не изменялсА. Каноническим парамет- ром вдоль неизотропной кривой является, в частности, / V± ^2 • Если кривая геодезическая, она описывается уравнением

%〃 = 0(1.55)

(при неканоническом параметре 入 справа следует добавить член f (х)и). Иначе это уравнение можно переписать в виде

Du»/dX= 0;必“и" = 0,(1.56)

или

d%/dX = В ⑵ д叫串и%В.(1.57)

Другой важный класс кривых — интегральные кривые пола вектора Киплинга, определяемого уравнением £д =0 или, что то же,

年;" +与叫以=°，(1.58)

Эти уравнения называют уравнениями Киплинга (их исследование см. в [163, 106, 58]). Если в данной области пространства-времени существует киллингоеа конгруэнция, то в ней можно ввести такую систему координат, что колллоненты метрического тензора (в координатном базисе) не будут зависеть от одной из координат (назовем ее ее линии совпадают с линиями киллинговой конгруэнции). Действительно, из уравнений Киллинга (1.58) следует:

" 从吃人 + 9ijl^^ + 九 入,从 =°,

Если направить координатные линии 片 вдоль киллинговой конгруэн-

23

иии, а параметризовать их так, что 与=悔то высказанное утверждение непосредственно реализуется. Пусть в одной области существуют два киллинговых поля, Xй"； тогдЬ возможность достижения независимости компонент метрики сразу от двух координат (в коордитаном базисе) с необходимостью и достаточностью зависит от обращения в нуль коммутатора этих полей.

Конгруэнция в 4-мерном многообразии определяется семейством линий, зависящих от 3 параметров (кроме параметра 入 вдоль самих линий). Рассмотрим сначала только один добавочный параметр М(入，о). Тогда в точках, принадлежащих линиям, определяются два вектора: и = Э/ЭХ и w = а/。。. Независимость параметров 入 и о проявляется в коммутативности частных производных по ним; тогда [и, 吋 三 £ и/= 0. При этом 入 и о можно рассматривать как координаты на 2-мерном многообразии, которое покрывают интегральные линии полей у и и< Если линии и геодезические (1.55), и так как [см. выше и (1.38)]厂卅 〃полу

чаем R (и, w)u = 乙 V^w из определения оператора кривизны. Полученное уравнение называют уравнением девиации геодезических (уравнением Якоби} и записывают в компонентах как

"@0俨％=(02/8入2)疋(1.59)

Перенос вектора вдоль некоторой линии определяется его изменениэм при этом переносе:

Vp-Q -М

Обозначения здесь очевидны. Считается, что вектор и образует поле, т. е. в точке Q, куда его переносим из точки Р, уже имеется некоторое его конкретное значение (忆).Простейшим является параллельный перенос, сохраняющий абсолютное значение вектора и углы между векторами (если переносится более одного вектора). Параллельный перенос определяется уравнением Su =- ▽ jdX и если есть поле вектора и , которое разнесено параллельно вдоль направления и, то У〃旷=0. Однако параллельный перенос — не единственный вид переноса, сохраняющий указанные характеристики. Укажем здесь перенос Ферми—Уокера, при котором

6^ = —[ ▽/ + eu(v •卩/) — с %〃(〃 • и) ]d\, С = и. и. (1.60)

Такой перенос также определен вдоль заданной кривой, причем здесь автоматически сохраняется угол между переносимым вектором и касательным вектором к кривой, так что, в отличие от параллельного переноса, изменение касательного вектора к кривой переноса при переносе Ферми—Уокера тождественно равно нулю. Примем

卩%:=卩(/ +£[(»•▽/)〃一仅 ° и) V/] •(1.61)

Тогда справедливо тождество при действии на скалярную функцию:

откуда ясно, что если %’ и = %尸 w = 0, то (8/8入)(旷• w) = 0, а также если и • и = 0, то и у • V ^к = 0. Обозначим й = vjj. Тогда, используя операцию проектирования на локальное подпространство, ортогональное конгруэнции и,

Ри = g — ей ® и(1.62)

(в случаях, не вызывающих сомнений, будем писать простор), приходим к уравнению типа Якоби (1.59):

7^ V ^и = &(〃 旷)〃 + %(▽ yd) + (и • й}й.(1.63)

Замечание: перенос Ферми—Уокера определен лишь для неизотропных кривых.

Запишем теперь важное соотношение (имеющее характер соглашения):

呪入=£〃№〃 ^ А^^ 九,，…土 1.(1.64)

Здесь все величины справа, кроме и, ортогональны и. Тогда, очевидно, G =й. Пусть тензоры 2 и О описывают соответственно антисимметричную и симметричную части оставшегося выражения. При этом, как легко видеть,

А“ + 啧=%•公=-"% 入%(1.65)

где четверка векторов 6从 представляет собой комбинацию базисных векторов с помощью коэффициентов, изображающих компоненты р:

% =(典-= P(^J.(1.66)

Ясно, чтоЪ^ 6=0. Тогда симметричный тензор D, т. е. тензор скоростей деформации конгруэнции, выражается как

%=^-%(入% =片蜀%0=(1 ⑵少№•(L67)

(Везде, где производная Ли применяется не к тензорам, а непосредственно к их компонентам, эти компоненты следует понимать как координатные.) Со своей стороны, антисимметричный тензор вращения конгруэнции А выражается как

外广-〃・4汽］=微寸拉;。三喉印0a(L68)

Покажем, что равенство этого тензора нулю АвляетсА необходимым и достаточным условием голономности подпространства, (гиперповерхности —точнее, семейства гиперповерхностей), ортогонального конгруэнции и. Возьмем два вектора (не ковектора) " и 員 Пусть они оба ортогональны конгруэнции: " •〃 = § “ = 0, т.е.р(", ) =т? ир (f, ) =f. Выполним перенос Ли сначала одного вектора вдоль другого, а затем наоборот и потребуем, чтобы новый вектор (а это есть £ j) также лежал в

том же подпространстве (условие голономности), т. е. чтобы и • ® 仃 = = 0. Учитывая свойства взятых векторов, имеем

方呼此弔一吟;〃硝% =。・

Это должно быть справедливо для произвольных векторов 17 и J* из подпространства, так что

罐户3 一弔;〃硝% =勿%岗% 〃=。'

что и означает А^ = 0. Этот результат является частным случаем теоремы Фробениуса 竹6, с. 218].

По образцу ковариантной производной Ферми—Уокера введем операцию

V% = %” + е[ (и • у 2 - 3 • 〃)％〃]，(1.69)

обладающую свойствами

胃=”，小=叱9 =噥。=。・

Построим из нее аналог кривизны по обычным правилам:

XX У)二小、吋竣一唄 〃(1.7。)

Легко проверить, что для такой кривизны 斤"(х, y)f = 斤"(х, у) 〃二 0, а также и • (А“(х, у)к) = 0. Кривизна (1.70) связана с проекцией Фмерной кривизны на 3-пространство, ортогональное конгруэнции (вообще говоря, неголономное), соотношением

""(% %” =[畛m»躯总^ £((。/+炉)(% +仆入)一

一 <РдХ + ЛдХ> ^ ^A^})]bK.(1.71)

В случае голономного подпространства (когда А = 0) это соотношение переходит в уравнение Гаусса (1.83).“

Если теперь вернуться к производной v ^从，которую мы использовали при определении тензоров вращения и скоростей деформации (1.65), то построенная с ее помощью кривизна при действии на вектор 〃 [(аналогичная процедура с (1.70) ничего не дает] выражается как

=DP瓜-(吋 + 5 ；内父-2eG%係，(1.72)

где 0〃 一 ковектор, отвечающий вектору дд. Это не полное, а однократно-свернутое выражение. Для нормальной конгруэнции (Ддр = 0) оно переходит в известное уравнение Кодацци (1.84).

На языке форм Картана определение (1.64) можно переписать в виде

du = ей AG + 2А,(1.73)

где G = God。； A = (ШМа^в^Л 8°. Дифференцируя (1.73) внешним образом, получаем

dA = (e/2)tz Л dG — еА Л Gt(1.74)

причем и Ndu = Ъ1N А и и N dA = -ей Л 4 Л G.

Из соотношения (124) следует, что

G = — * (и Л *du](1.75)

и

з = (1/4) * (и Л du} = (1/2) * (и Л 4),(1.76)

где

за = и^А 倣(1.77)

— аксиальный вектор угловой скорости вращения конгруэнции [ср. с определением напряженности магнитного поля (2.14)!] Укажем, кроме того, выражение для 3>мерного ротора ускорения:

G#入0入Л /三dG + 〃八£ G =

=€ * (и Л* (и Л dG)) = —2 * (и Л * dA) = 2 £ А.(1.78)

Это важное соотношение характеризует поведение конгруэнции, и наряду с ним существуют другие дифференциальные тождества, куда входят, в частности, обобщенные уравнения Кодацци (1.72). Бросается в глаза частое возникновение здесь производных Ли; их важную роль можно лишний раз подчеркнуть, приведя простое соотношение £%= G .

Пользуясь приведенными выше тождествами, можно показать, что для нормальной конгруэнции (когда вращение отсутствует) существует интегрирующий множитель, т. е. такая функция N, что d (ЛГ1^) = 0. В области с хорошими топологическими свойствами 1-форма f = ЛГ% не только замкнутая, но и точная, т. е.，=dt (хотя для большинства вы* водов это несущественно). Итак, имеют место свойства нормировки (если ввести g = Nu} f • f = ЛГ2е, j • W = £. Тогда наряду с тривиальным тождеством £ 济=0 выполняется и тождество £ L. = 0, а так как про-

ектор обладает теперь компонентами

南=照一е府夕(1.79)

то и он постоянен при дифференцировании Ли относительно пола £ 产广。•

Дадим теперь инвариантное определение статических и стационарных метрик. Для этого вернемся к векторам Киллинга, обсуждавшимся в начале этого параграфа. Статическими называются такие метрики, для которых существует нормальная киллингова конгруэнция; для стационарных метрик киллингова конгруэнция должна быть ненормальной 27

(т. е. должны отсутствовать гиперповерхности, ей ортогональные). Определив координату Г, конгруэнция линий которой совпадает с киллин* говой конгруэнцией, можно так выбрать масштаб, что W = %. Как мы видели, от координаты Г метрика не зависит (8^9〃〃 = 0). Если конгруэнция г нормальна, то существуют ортогональные ей гиперповерхности, образующие однопараметрическое семейство, и остальные координаты можно расположить в этих гиперповерхностях, т. е. ортогонально лини・ am г. Это значит, что в случае статической метрики путем выбора системы координат можно не только сделать компоненты метрического тензора не зависящими от некоторой координаты (мы назвали ее г), но и обратить в нуль все смешанные компоненты метрического тензора %入({х入} С г = 0). Для стационарной метрики одновременно сделать и то, и другое невозможно. Необходимым и достаточным признаком нормальности конгруэнции в соответствии с (1.76) является выполнение равенства 扌 八若=0 (нормировка вектора W здесь не играет роли). Обычно статические и стационарные метрики связывают с понятием в ре* мени (конгруэнция Г берется временноподобной), однако сказанное выше применимо к любым неизотропным конгруэнциям.

ГЕОМЕТРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим связь между внутренней геометрией гиперповерхностей в пространстве-времени и геометрией пространства-времени 液. Пусть f ：篦 -> 砲—вложение трехмерного многообразия “ в 加.Если д - метрика на т , то отображение f индуцирует на 勿 метрику

Гд ： (f*g}p{X, .и =%(р)(几х, f*y).

Индуцированную метрику называют также первой фундаментальной формой.

Пример (15б]. Пусть f : 71fm задается в локальных координатах в виде (X1,上 *3)f 朋0/2/3)=館,"*2, *3)^д^ 叫=(川)2 一 川)2_(仍2一 — (")2. Тогда индуцированная метрика определяется соотношениями

(Lg)*W, И)=-卅2)2 - (1/3)2； (f・g)*(U, и)=-炉丿一с/3 и3.

Отсюда следует, что форма (f*g)x(U, И) вырождена и поэтому не определяет риманову структуру на % . В этом случае многообразие f (% ) называют изотропным подм ногообраэием в Ж .

Различные возможности вложения можно описать в терминах нормали т к f (“ )，а именно: если g — лоренцева метрика, то индуцированная метрика будет [148]: 1) лоренцевой при g (т, т) < 0; 2) вырожденной при g (т, т) = 0; 3) отрицательно определенной при g (т, т) > 0.

В соответствии с этой классификацией различают временноподобные (1), изотропные (2) и пространственноподобные (3) гиперповерхности.

Пусть Л — пространственноподобная гиперповерхность. Ее можно задать локально уравнением Г (屮)=const, так что dt 卢 0. Отсюда следует, что〈 dt, f *Х〉= 0 для любого вектора ХЕТ" . Если т - вектор 28

единичной нормали, то ему двойственна 1 -форма т = Ndt с условием нормировки= 1 • Очевидно, что f *т = 0. С помощью т на % опре

деляется индуцированная метрика b =д — т ❷ т, поскольку f*b = f*g и §喉0/а = °-

С помощью проектора 南 = 鬼 —与”0 осуществляется расщепление геометрических объектов на нормальную и касательную составляющие:

Л° = / + е%^;/ : = X入内(ср. с (1.79)].

Для того чтобы определить индуцированную связность на 我,заметим, что вектор

з。/ ： = V ^ - д (т, ^ ^}т(1.80)

лежит в касательном пространстве 丁 ％ , если % 必 £ 丁贰 ，и, следовательно, с учетом того, что 3Vb =0 (индуцированная метрика ковариантно постоянна относительно 3V ), этим соотношением определяется индуцированная связность на 〃 . Как легко видеть, (1.80) можно переписать в виде

3g / =卩/ + W • у) т.

Билинейную форму [ср. с (1.67)]

Х(〃 з) = з • V/ или в компонентах

ХМр =(1/2/V) £ Ь^(1.81)

называют второй фундаментальной формой. Она показывает, как деформируется гиперповерхность 〃九)относительно окружающего ее прост- ранства>времени.

В компонентной записи ковариантную производную относительно индуцированной связности будем обозначать вертикальной чертой. Тогда для 3<мерных тензоров имеется следующая связь между ^мерными и ^мерными ковариантными производными:

В1\р =眠."競%, причем

е^\\р =^|р =。，

где е〃〃入=仔Ер冲、—3-мерный тензор Леви<Чивиты.

В терминах индуцированной связности оператор 3-мерной кривизны определяется как

38(d u) = 313% _ з乙 з 乙 一 3?也 "(182)

Связь между тензором внутренней кривизны з#1^ и тензором кривизны №触 устанавливается с помощью уравнений Гаусса [ср. с (1.71)]：

3内0川=吗诵 + Х、Х便-ХадХрг(1.83)

В свою очередь, внешняя кривизна связана с 4-мерным тензором кривизны через уравнения Кодацци:

/〃|а —爲х| 〃 = 一"力/•(1.84)

Используя связь альтернированных ковариантных производных вектора т с тензором кривизны, получаем

"аД邓严/ = WM I X/ - ХДЛ — G川〃 + G^ (1.85)

где G = -(In/V)五=т т^;扌=Nr.

Из этих соотношений следует:

-=3Q + 2-出产/ - %泌3+ x?(1.86)

или

斤=3# + х^& + X2 + ⑵/V) £ X - 2G〃；*(1.87)

Пример. Синхронные координаты. Пусть вложениегиперповерх* ности 2r в пространство-время 然 описывается уравнением t = х° = const и координаты *' являются внутренними. Тогда

ds2 = dt2 + g^dx^dx^.

Отсюда следует, что % =g,/V = 1, а проектор 力=码—片&匕• В соответствии с определением индуцированной метрики Ьц— д.. и б。/ = ЬОо = 0. Так как нормирующий множитель N равен единице, то вектор G =0. Это означает, что система отсчета, естественным образом связанная с синхронной системой координат, определяется геодезической конгруэнцией и время Г совпадает с собственным временем наблюдателя. Производная Ли здесь выглядит очень просто: £= 8?. С учетом специфики синхронных координат 与

x"・=「/x"・=「/(1/2) £ 力三(1/2)切;(1/2) £ 力三(1/2)切;

x"・=「/

x"・=「/

(1/2) £ 力三(1/2)切;

(1/2) £ 力三(1/2)切;

-0〃0 =亏-'謂;

斤=3" + XqX” + X2 + 2 丸

Синхронные координаты являются частным случаем нормальных гауссовых координат (123]. Они сингулярны в том смысле, что нормали к гиперповерхностям & в будущем начнут пересекаться. Это обусловлено фокусирующим дейст* вием уравнений Эйнштейна. В случае, когда нормальная конгруэнция не геодези< 30

ческая (/V # 1), с сечениями % связана кинеметрически инвариантная система отсчета (18, 44].

В предыдущем параграфе была сформулирована теорема Стокса для произвольного многообразия. В случае гиперповерхности “ С Ж интегральные теоремы типа Гаусса—Стокса имеют вид

(1.88)(1.89)(1.88)(1.89)/ Аа. dV = / Aadoa;

(1.88)

(1.89)

(1.88)

(1.89)

/ e〃〃入厶入= J A dx@,

38з “

где U U 71 — 3-мерная область; з U % — 2-мерная поверхность; dV := =* т = d/SOe^^dx^A dW A d8 — инвариантный элемент объема; doa = (1/2!) %讨/ А 曲 — элемент площади. Полезна также связь -д = N2b. В силу того что det6дР =0, последнее соотношение является фактически определением Ь. Кроме того, (х/йГд,^ = (\/ьДа).а, если А — 3-мерный вектор. Действительно, '

(W);a = SW/N、..a =>/^[k；a — A^WnN}^ =

2 + 1 + 1-расщепление пространства>времеии в ли-монадном формализме. Идеи 2 + 1 + 1-расщепления пространства-времени полезны при исследовании многих проблем общей теории относительности, в частности уравнений связи в гамильто

новом описании теории гравитации, гравитационных волн и т. д. Общековариантный подход к 2 + 1 + 1-расщеплению с использованием идей собственно монадного формализма в литературе известен под названием диадного формализма. Полное его описание можно найти в пионерских работах Владимирова (18, 20]. Здесь будет

изложена модификация этого метода, учитывающая идеи ли-монадного подхода (см. § 1.7).

Рассмотрим на % нормальную конгруэнцию, задаваемую единичным вектор

к %，по правилу Pg =6毋,+к %，по правилу Pg =6毋,+%%• Предположение о нор%%• Предположение о норранства, ортогональногоранства, ортогональногоным полем 土. Введем индуцированную метрику локального 2>мерного подпрост

к %，по правилу Pg =6毋,+

к %，по правилу Pg =6毋,+

%%• Предположение о нор

%%• Предположение о нор

ранства, ортогонального

ранства, ортогонального

мальности конгруэнции означает, что двухмерное подпространство можно задать

уравнением 入(*) = const. Определим проектор на 2-мерное подпространство, зада

ваемое этим уравнением, соотношением

吟=成+卅“=成+ 3^1r

где % =氏I?* “ ：=入从 一 нормаль; J :=女卅 и 卅% = -1.

Пусть 3-линии и клиник образуют двупараметрическое семейство кривых, тогда векторные поля 3s" коммутируют: 【3."] = О. Это предположение не является ограничением на геометрию пространства-времени.

Ковариантную производную относительно 2-мерной связности будем обозначать двумя вертикальными чертами. Для 2-мерных тензоров она определяется формулой

Ге81p =乙；必唱吟 31

ПрямоеПрямоевычисление показывает, чтовычисление показывает, что7从"Up -力lip7从"Up -力lip=0.=0.Вложение 2-мерного пространства в 3-мерное определяется с помощью слеВложение 2-мерного пространства в 3-мерное определяется с помощью сле

Прямое

Прямое

вычисление показывает, что

вычисление показывает, что

7从"Up -力lip

7从"Up -力lip

=0.

=0.

Вложение 2-мерного пространства в 3-мерное определяется с помощью сле

Вложение 2-мерного пространства в 3-мерное определяется с помощью сле

дующих уравнений:

2%6 =%就+恥吟-"价（L90）

%就如产/ = r/幻2%〃 - %。" -九^一a/加①91）

3斤=2斤Г（2候）£ 6 - 0 ^ 一 62 +；（1.92）

3"下

/）力-中方=一花3戸口；（193）

здесь

%〃 =（1/钦）纟%加 6 =g""% = "№）纟6

5 = 2: 4 =%；#"； 2 吟=°:气/ = °； 8 口 ：="疗，V 84 .

Дифференцирование Ли вдольДифференцирование Ли вдольвекторных полейвекторных полей2九=。；^也= 2%52九=。；^也= 2%5ta£与ta£与打 3 приводит к соотношениям打 3 приводит к соотношениям

Дифференцирование Ли вдоль

Дифференцирование Ли вдоль

векторных полей

векторных полей

2九=。；^也= 2%5

2九=。；^也= 2%5

ta

£与

ta

£与

打 3 приводит к соотношениям

打 3 приводит к соотношениям

Используя 2 + 1 + 1-расщепление, внешнюю кривизну представляем в виде

%Р = d磽- 2%附一k乎

где%0：=碑=-(1/2M&gгде%0：=碑=-(1/2M&gn £tb /л/) dn £tb /л/) d味味aa£tb嗡£tb嗡=Г向吁=(1/а) £ m к.=Г向吁=(1/а) £ m к.Легко видеть, что тензор 7^ =『"、卩 конформно-инвариантен от носи тель*Легко видеть, что тензор 7^ =『"、卩 конформно-инвариантен от носи тель*но конформных преобразований 2-мерной метрики, причем 五^ естественным образом связаны тензорыно конформных преобразований 2-мерной метрики, причем 五^ естественным образом связаны тензорыС метрикойС метрикой

где

%0：=碑=-(1/2M&g

где

%0：=碑=-(1/2M&g

n £tb /л/) d

n £tb /л/) d

味

味

a

a

£tb

嗡

£tb

嗡

=Г向吁=(1/а) £ m к.

=Г向吁=(1/а) £ m к.

Легко видеть, что тензор 7^ =『"、卩 конформно-инвариантен от носи тель*

Легко видеть, что тензор 7^ =『"、卩 конформно-инвариантен от носи тель*

но конформных преобразований 2-мерной метрики, причем 五^ естественным образом связаны тензоры

но конформных преобразований 2-мерной метрики, причем 五^ естественным образом связаны тензоры

С метрикой

С метрикой

играющие важную роль в проблеме выделения независимых степеней свободы гравитационного поля и анализе энергии собственно гравитационного поля.

32

ЛИМОНАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

Выше мы говорили о системах отсчета, опираясь на интуитивное понимание этого термина. Определим теперь его строго. Как физическое понятие система отсчета объединяет совокупность измерительных средств, которые могут одновременно использоваться наблюдателем и которые связаны с его состоянием движения. Так как наблюдатель всегда локализован в некоторой пространственно-временной области (с астрономической и тем более космологической точки зрения он описывается единственной мировой линией), а исследуемые им объекты занимают, вообще говоря, значительно большие объемы, то для их описания с позиций его системы отсчета последнюю приходится в том или ином смысле распрост* ранять и на эти объемы. Иначе говоря, в некоторой области пространства времени, окружающей мировую линию наблюдателя, следует представить себе такого же рода мировые линии, более или менее аналогичные первой. Степень аналогии контролируется рядом соображений, которые пока несущественны (о некоторых деталях см. § 5.1 и 5.3). Тогда математически система отсчета описывается временноподобной конгруэнцией мировых линий, каждая из которых изображает движение составной части системы отсчета (точки тела отсчета}. Так как любая точка тела отсчета моделирует локализованный физический измерительный прибор, она должна вести себя как материальная точка, и этим диктуется временноподобный характер мировых линий. Эта точка не должна возмущать геометрии пространства- времен и, т. е. она должна быть пробной. Это требование характерно для классической (неквантовой) теории. Как известно [77], учет квантовых принципов требует, чтобы с увеличением точности измерения гравитационного поля неограниченно возрастала масса измеряющего прибора, что приводит к его принципиальной непробности. Однако в классической физике точки тела отсчета могут считаться обладающими исчезающе малыми массами, так что негеодезичность соответствующих мировых линий не требует добавления тензора энергии-импульса-натяжениА (''дви「атели'' для ускорения точек также оказыва< ются пробными).

Итак, с математической точки зрения система отсчета — это временноподобная конгруэнция, построенная (или постулируемая) в данной области пространства-времени. Ей соответствует поле касательного вектора, который может быть повсюду нормирован на единицу и тогда называется монадой (обозначается через т). Теория таких конгруэнций и векторных полей дана в § 1.5, 1.6. Там показано, как определяютсА для таких (и более общих) конгруэнций ускорение G, тензор скоростей деформации D и тензор вращения А. Ускорение системы отсчета влечет за собой возникновение соответствующей силы инерции. Вращение конгруэнции также приводит к инерциальным эффектам (центробежной силе и силе Кориолиса). Эти вопросы освещены в § 2.2, 2.3. Деформация системы отсчета более тесно связана с геометрией рассматриваемого пространственно-временного многообразия, чем предыдущие характеристики, и 3jo особенно явно использовалось до сих пор в космологии. Исторически понятие системы отсчета часто смешивалось прежде с понятием системы координат, что совершенно неправомерно. Однако с конкретной сис-

темой отсчета вполне законно отождествлять определенное фактор-множество систем координат; такой подход называют формализмом хронометрических инвариантов Зельманова [44, 45]; в указанных работах развиты также формализм кинеметрических инвариантов (случай невра- щающихся конгруэнций, когда с системой отсчета связаны семейство гиперповерхностей в пространстве-времени или соответствующее фактормножество систем координат) и монадный формализм. Последний был также независимо развит и другими авторами, а также авторами, сотрудничавшими с А. Л. Зельмановым, но шедшими своими путями (в целом см. работы [54, 154, 70, 78, 81, 18, 133]). В определенном смысле к описанию систем отсчета имеет отношение и тетрадный формализм (см., например, [47, 116, 77, 18]), однако по поводу него следует сделать несколько замечаний. Во-первых, в составе тетрады не обязательно участие временноподобного вектора (например, тетрада Ньюмена—Пенроуза, см. 1.8). Во-вторых, тетрада несет в себе избыточную информацию — добавочные три пространственноподобные направления, ненужные для описания тела отсчета. В-третьих, собственно система отсчета как временноподобная конгруэнция описывается не единственной ортонормирован- ной тетрадой, а фактор-множеством таких тетрад (подобно случаю свази систем отсчета с системами координат).

Предлагаемый ли>монадный формализм [85, 87] содержит как алгебраический аспект описания систем отсчета (общий с монадным формализмом) ,так и дифференциальный аспект, включающий определение обобщенных ковариантных производных (отдельно — по времени), дифференциальных тождеств и теории поля на языке 3 + 1-расщепления. Этот формализм полезен при анализе структуры механических систем и полей в ОТО, при квантовании полей в ОТО и при анализе проблемы гравитационных энергии, импульса и момента импульса.

Произведем 3 + 1-расщепление пространства-времени с помощью сечений Ze : Г (屮)=const. Из результатов § 1.5,1.6 следует, что для нормальной конгруэнции тензор скоростей деформации совпадает с внешней кривизной х〃〃 = %〃 и ускорение равно 4〃 = — (InMg После этого отождествления получаем систему отсчета, естественным образом связанную с сечениями %.

Если в монадном формализме в качестве производной по времени берется производная Ли вдоль единичного вектора т, то в случае глобального 3 + 1-расщепления естественной производной по времени является производная Ли вдоль ненормированного векторного пола ^ = Nr. Это связано с тем, что собственное время наблюдателя может параметризовать гиперповерхности % тогда и только тогда, когда ускорение системы отсчета равно нулю. Введенное дифференцирование предполагает сравнение величин, взятых в одной и той же "тоике'' 3-мерного пространства, но в разные моменты времэни г. Напомним, что 工喝 "%〃〃入 постоянны относительно дифференцирования по времени г;

^f =р=^ = I 佑-忆心)=0.

Чтобы отличить наш подход от собственного монадного и кинеметри- чески-инвариантного подходов, будем называть его ли-монадным, имея

в виду сочетание идей 3 + 1-расщепления, монадного формализма и дифференцирования по "времени" t (через £).

Рассмотрим двупараметрическое семейство кривых 屮=』亿 у) таких, что & = a/8t и " = (8/8〃)£ У/.

Из условия [5,17] = 0 следует, что 夕各％"» = N^q^. Отсюда

产Р片▽与崂％方°)=产Р片▽与崂％方°)=

产Р片▽与崂％方°)=

产Р片▽与崂％方°)=

Это уравнение можно переписать с использованием обобщенной производной Ферми—Уокера (1.69) в виде [см. также (1.61)]

Полученное уравнение описывает девиацию кривых ^-конгруэнции. В правую часть этого уравнения входит только внешнАА кривизна. Уравнение девиации в рассматриваемом случае описывает действие гравитационного поля на тела, покоящиеся относительно системы отсчета, связанной с сечениями %. Следовательно, внешнАА кривизна аналогична электрической составляющей электромагнитного поля. В случае произвольной конгруэнции в уравнении девиации появляются также члены с связанные с движением относительно %. Таким образом, тензор обмерной кривизны аналогичен магнитной составляющей электромагнитного поля, так как для его обнаружения необходимо движение пробных тел относительно системы отсчета.

Перейдем к обсуждению уравнений пола в ли-монадном формализме. С помощью 3 + ЪрасщеплениА интеграл действия можно представить в виде

f 2

/ = / dt /Y d3xt

где W = £ (Д^; 专勺，勺 值)—плотность функции Лагранжа (лагранжиан) ;厶回=4。。^；夕^ 一 обобщенный проектор; А^ - = Д^。夕^夕* Будем предполагать, что среди переменных 4百 отсутствуют величины, описывающие гравитационное поле (уравнения пола дла ОТО рассмот・ рены в § 2.5). Вариация действия определяетсА выражением

Отсюда после выделения дивергенциальных членов и полной произ> водной по времени (производной Ли) получим

1.96)

При выводе этих уравнений, как обычно, считалось, что вариация 弘耳 произвольна внутри области Е х t и равна нулю на границе области. Легко показать, что уравнения (1.96) полностью эквивалентны уравне* ниам пола в 4-мерном симметричном походе.

Замечание. В совокупность величин А^ с коллективным индексом В включены также и объекты пониженной (в ходе проектирования на 与)тензорной валентности, так что общее число величин А^ и Ar в действительности одинаково.

Наиболее ярко преимущество ли-монадного подхода по сравнению с традиционным 4-мерным проявляется при анализе гамильтоновой динамики. Действительно, в этом случае имеем дело с эволюцией системы: полевые переменные задаются на некоторой пространственноподобной гиперповерхности, а уравнения Гамильтона определяют их изменение со временем.

Определим функцию Гамильтона как интеграл по 3-мерной области 2 от плотности функции Гамильтона (гамильтониана)

Н(А^Г в* t} = /号 ix；

Тогда интеграл действия запишется в виде

f 2-

/ = /次 / (諸 £Aё 一号)d3x.

U 2 与

(1.97)

(1.98)

После варьирования

по/

переменным А^, ir получаем уравнения'=-36///6Д§Г(1.99)

где

ные производные.

—z — вариацион*

Замечание. В формуле (1.96), отдавая дань сложившейся в физике традиции, для обозначения вариационной производной использован символ ”* 1бА@ а не % 厶/5勺.

Скобки Пуассона. Пусть на 2^ задан функционал F = F «®, /, t): F = /7 d3x. Здесь

Предположим, что поверхностные интегралы исчезают при удалении границы на бесконечность. С помощью уравнений (1.99) перепишем эту формулу в виде

35〃

£ F = djF + /—=•

W2бтг

где производная df F : = J (，十)/打 учитывает явную зависимость

F от времени. Перепишем полученное соотношение следующим образом:

— скобки Пуассона. Определим скобки Пуассона для любых функционалов F, G, заданных на 或，как

/ З5戶 35G35戶 3&g\

〔巳吁代 / Г &/"(1JO1>

Очевидно, что £ Я = btH (ср. с аналогичными соотношениями в класси* ческой механике).

Применим общие уравнения движения (1.100) к случаям F = 4g и F = тг®. Величины 4g и 諸 можно представить в интегральном виде с

37

помощью 3-мерной 6-функции Дирака:

厶耳(х, t) = f А§ (уf t)5(3)(x - y)d3y;

/(x, t) = /諸(％ t)5(3)(x 一 y}d3y.

Замечание. Трехмерная 5’ 7-функция определяется равенством

/ 5⑶(х - y)d3* = 1, V2U%.

Отсюда для полевых переменных 厶百 и импульсов 諸 получаем муравне- ния движения0:

^勺=[A^f Н];专諸=[/, Т].(1.102)

Это полевые уравнения гамильтоновой динамики, записанные через скобки Пуассона.

Приведем ряд полезных соотношений:

[А^ М t 需不(у)] = Р^5⑶(х-у);

[As W, А^ (и) ] = 0;[я5 Mt ^(у)] = 0.

Пример. Скалярное поле в ли-монадном подходе. Ла> гранжиан нейтрального скалярного поля

W = -( Х/^Т)2) MJ — w°]・

После расщепления производных 9 & “а временное и пространственные направления перепишем его в виде *

*= (\А7/2)[ (1/М)(尹产一9,#' - Д2^2]-

Для гамильтониана

где 打=(\fb/N} £ 9 - плотность импульса поля.

Уравнение поля записывается следующим образом:

£ # -(\/^79马 " =-М9.

Уравнение Гамильтона—Якоби. Рассмотрим интеграл действия как функцию верхнего предела. Будем считать, что эволюция динамической системы происходит в соответствии с полевыми уравнениями. Тогда 38

вариация действия равна:

5/ = / ттВ^а百^ЗхS5/ = / ттВ^а百^ЗхS%’2

5/ = / ттВ^а百^ЗхS

5/ = / ттВ^а百^ЗхS

-S dt S —丄一 6 A ads。.

(1.103)(1.103)Предполагая, что 6Д^| ^^ = 6Д^| ay = °, находим 3Ы /ЬА^ =产.

(1.103)

(1.103)

Аналогичным образом действие можно рассматривать как явную функцию времени. Вариация действия в результате увлечения всех геометрических объектов вдоль векторного поля W определяется выражением

6f/ = / (4炉 t) 一 / (4炉 r 一 出)•

Применяя теорему о среднем, получаем: 6f/ = -H6t + dt f^£A^d3x,

или, с учетом (1.103),

35/ q

6 л / = —HBt + 5t /―― £, A nd x.

Так как / = / «耳 f), то отсюда следует:

Э//ЭГ = -Н(Аде /, Г).

После замены в функции Гамильтона плотности импульса вариационными производными получим уравнение Гамильтона— Я к оби:

Э/35,、

(1.104)(1.104)竺• + H4炉——，t = 0*

(1.104)

(1.104)

ФОРМАЛИЗМ НЬЮМЕНА-ПЕНРОУЗА [91,58,144,149]

При исследовании уравнений Эйнштейна и получении их решений хорошо зарекомендовал себя специальный выбор неголономногс базиса, который вместе с системой специфических обозначений составляет основу формализма Ньюмена—Пенроуза (НП). Этот формализм значительно облегчает многие расчеты в ОТО, доказательство ряда важных теорем о свойствах гравитационных полей. Число доступных источников о формализме НП весьма ограниченно, поэтому дадим здесь его сжатое изложение. Для базиса НП характерна взаимная нормировка тетрадных векторов, такая, что тетрадные компоненты метрического тензора постовн-

ны и имеют вид

g 佰方 ％ = g聞 = g(", 錚)= g叩= (о 1 о о \

(1.105)(1.105)1 о о о \ ООО-1/* 0 0-10/

(1.105)

(1.105)

Ясно, что все базисные векторы изотропны. Это было бы, конечно, невозможно, если бы все они были действительными, так что базис составлен из двух действительных и двух комплексных (взаимно сопряженных) векторов, которые часто обозначают как

ео = к; et = 4;ео = к; et = 4;®2 = т； е3 = т®2 = т； е3 = т(1.106)(1.106)

ео = к; et = 4;

ео = к; et = 4;

®2 = т； е3 = т

®2 = т； е3 = т

(1.106)

(1.106)

(традиционно в этом формализме комплексное сопряжение основных величин записывают с помощью черточки: т =т*). Будем обозначать соответствующие друг другу векторы и ковекторы одинаково; это не приведет к недоразумениям, и следует, например, иметь в виду, что в произвольном координатном базисе в (1.106) к = *%, тогда как в (1.107) к = k^dx^. Тогда для ковекторного базиса

6° =七 外=к; В2 = 一厉； 外=*(1.107)

Справедливы соотношения

9邙= */0 + *0% - 6疗0 - m/a

^^ = 2k 巾仇-2m(am^,

носящие название условий полноты базиса. Кроме того, так как V~F = =i (знак выбран для стандартной ориентации тетрады по отношению к координатным осам) , аксиальный тензор Леви-Чивиты равен Е呻,& = ie呻т& = £°^'°・ Поэтому компоненты дуально с°пряженн°「° 6” вектора (антисимметричного тензора с валентностью, равной 2)

々3 равны:厂0 1々3 равны:厂0 1⑴2)%呻^⑴2)%呻^23 = 一/23,^02 = -i尸3 1；23 = 一/23,^02 = -i尸3 1；(1.108)(1.108)

々3 равны:

厂0 1

々3 равны:

厂0 1

⑴2)%呻^

⑴2)%呻^

23 = 一/23,^02 = -i尸3 1；

23 = 一/23,^02 = -i尸3 1；

(1.108)

(1.108)

^03 = —/12,尸；2 = —*03；

尸:3 = 一，。1，f；1 =_/()2・

Определим автодуальные

(1.109)(1.109)(+)

(1.109)

(1.109)

尸屮：=(1/2) (Fgp - \F^

и антиавтодуальные

(±) 尸*(±) 尸*(±)+ i尸—др*(±)+ i尸—др*Z：= e⑵(尸"+尸血)

(±) 尸*

(±) 尸*

(±)

+ i尸

—др*

(±)

+ i尸

—др*

三0.三0.бивекторы; легко видеть, что они обладают свойством а также что

三0.

三0.

(1.110)

Очевидно, что при комплексном сопряжении в действительном базисе автодуальный бивектор переходит в антиавтодуальный, и наоборот. Так как любой бивектор представим в виде суммы автодуальной и анти- автодуальной его частей, то в силу свойства ортогональности (1.110) его квадрат распадается на сумму квадратов:

(+) ( + )〃〃(-) (-)4〃

(1.111)(1.111)尸 尸〃"=尸 尸 +尸 尸 〃〃ДРДР

(1.111)

(1.111)

Замечательно, что свойство ортогональности (1.110) сохраняет силу, даже если перемножаются два бивектора, не имеющие никакого отношения друг к другу — лишь бы один был автодуальным, а другой — антиавтодуальным. Если 尸从〃 一тензор напряженности электромагнитного поля, то дуальное сопряжение (1.108) меняет местами его электрическую и магнитную составляющие (при этом появляется еще и множитель, по модулю равный единице). Тензор энергии-импульса электромагнитного поля можно представить в виде, симметричном относительно такого перехода' к дуально сопряженному тензору напряженности:

(1.112а)(1.1126)(1.112а)(1.1126)7•” 一(1/87Г)(j 产。+ F；丿芻

(1.112а)

(1.1126)

(1.112а)

(1.1126)

или как (+) (-"а (-) (+)勿 丁2=-(1/4力)(尸㈠尸+九产 )•

Пусть компоненты тензора действительны в некотором действительном базисе. Тогда в базисе НП они будут комплексными, и комплексное сопряжение будет переводить их в исходные компоненты с заменой индекса 2 индексом 3 и наоборот. Отметим, кроме того, что в базисе НП (+ )(-)

у величин F^ и F冲 отличны от нуля лишь по три компоненты:

(+) _(+)

尸尸02 =尸02； 尸2：= 尸31二尸31；

Поэтому, учитывая свойство (1.111), получаем

(1 ⑵九尸“ =2尸/2 - (1 ⑵尸з尸з + компл.сопр..

т. е. равенство, на котором основывается описание бивекторов с помощью 3-мерного комплексного евклидова пространства с метрикой

/010 \/0 10\

严=(1 00( 1。0 ) •(Е4)

0 -1/2/ в \0 0 -2/

Конечно, в этом векторном пространстве можно ввести и декартову метрику. Для этого достаточно произвести преобразование

(斤弓鸟)=(尸1尸2尸3)4(斤弓鸟)=(尸1尸2尸3)4ссАА1 1 о1 1 о(1.116)(1.116)(1.115)

(斤弓鸟)=(尸1尸2尸3)4

(斤弓鸟)=(尸1尸2尸3)4

с

с

А

А

1 1 о

1 1 о

(1.116)

(1.116)

что эквивалентно переходу от базиса НП (1.106) к обычному ортонор- мированному неголономному базису в пространстве-времен и.

Рассматривая векторы (1.106) как линейные дифференциальные операторы, можно ввести следующие стандартные обозначения НП:

е° = к = D： ®1 = Z = △;

02=6=5； ®з = m

Кроме того, в формализме НП коэффициенты связности

g%, ▽ё『0‘ =「70a 二 一г0"

обычно обозначаются как

(1/2) (Г1Оо + Азо) = £；(1/2) (Г101 + Аз】)=Т； '

(1/2) (Г102 +「232)= 0；(1/2) (Гюз +「233)= а；

「200 = R； 「201=7；「202 =。；「203 =Р；Н・"8)

Г1 30 二丁 Г13 1 二〃；「132 =4；「133 =入・

Ввиду комплексности базиса НП и свойств его векторов этим исчерпываются независимые компоненты коэффициентов связности (прочие находятся комплексным сопряжением, при котором индексы 2 и 3 заменяют друг яруга). Коэффициенты связности (1.118) называют спиновыми коэффициентами, так как их просто получить также из спинорного формализма в ОТО (который здесь не затрагивается) .Специфическими обозначениями спинорного формализма также объясняется выбор индексов в формулах (1.119), (1.120), (1.122). Укажем геометрический смысл некоторых спиновых коэффициентов: К и действительная часть £ описывают ускорение (негеодезичность) конгруэнции к; р называют ее комплексным расширением, а О — комплексным сдвигом. С точностью до знака действительная часть р описывает обычное расширение, а мнимая — вращение конгруэнции 氏.Ввиду тех же свойств комплексности независимыми являются толькс три комбинации 1-форм связности, а именно:

3? о 二 к£ + Tk — оТи — pm;

3[з = Я^ + vk — 〃行一入m ;

(1/2)(3io + З2 з)= £Z + 7氏—0m — dm .

Приведем пример нахождения других компонент путем комплексного сопряжения:

「300 =「2 00 =К； З3 0 二 КС + Тк — От — рт.

Десять независимых компонент тензора конформной кривизны Вейля комбинируются в пять комплексных автодуальных компонент (при комплексном сопряжении получаются антиавтодуальные):

С0202 =屮0；CoiO2 =屮 1；с0231 =屮2；

八 一 гст^(1.119)

^0 13 1 二屮3；С1313 =屮4・

При нахождении остальных действительных компонент из (1.119) следует учитывать бесследовость тензора Вейля (в базисе НП)

Содой + б 从〃 о — Q〃〃3 — Q〃〃2 = 0 и тождества Риччи для него

С°123 + &)231 + ^03 12 二 °

(например, ясно, что COi23 二屮2 -屮2)• Тензор Риччи также сводится к меньшему числу комплексных компонент (хотя и не к пяти, так как сюда входят и чисто действительные величины):

Ф00=-(1 ⑵-00,Ф11 = -(1/4)(-01 +-23)；

®22 = —(1/2)斤11, Фо1 = Ф10 = —(1 ⑵斤 02；，(1.120)

Ф1 2 二 Фа 1 二—(1 ⑵斤 12, Фо 2 二 Фа 0 二—(1 ⑵斤 22・

Наконец, упомянем и скалярную кривизну, которую некоторые ав> торы заменяют конструкцией

А = Я/24 = (1/12) (RQl - R23),(1.121)

что вместе с (1.119) и (1.120) полностью определяет все компоненты тензора кривизны Римана—Кристоффеля.

При описании электромагнитного поля его напряженность представляется с помощью трех комплексных компонент (1.113), которые в формализме НП обозначаются как

尸 1 = Фо；尸з 二力 1；尸2 = Фг尸 1 = Фо；尸з 二力 1；尸2 = Фг(1.122)(1.122)

尸 1 = Фо；尸з 二力 1；尸2 = Фг

尸 1 = Фо；尸з 二力 1；尸2 = Фг

(1.122)

(1.122)

(инвариант пола можно получить из (1.111), а компоненты тензора энергии-импульса — из (1.1126). В результате уравнения Эйнштейна с чисто электромагнитными источниками принимают вид

ФаЪ = kj&b， а,Ь = 0,1,2, (1.123)

а вакуумные уравнения Максвелла записываются как

^Ф] —万Фо=(я -2а)Ф()+2рФ[ -х力2；

ОФ2 - 5Ф1=-入力о+ 2яФ1+ (р —2с)Ф2；

5Ф1 - ДФ0=(〃 一2у)Ф0 +2тФ1 -оф?;"・124)

§Ф2 一 ДФ1=-рФо+ 2〃① 1+ (т —20)力2・

Коммутаторы дифференциальных операторов (1.117)

[△, D]=(7 + ¥)0 +(£ +£)△- (т+я)5-(т + 汨5;(1.125а)

[5, D]=伍 + 0 -力О +«△ —(万 + с- 2)5- aS;(1.1256)

[5, △]=-FD + (7■-万一/?)△ + 拉一7 +亍)5 + K;(1.125в)

[8, 5]=(口一 〃)。+ (力一р)Д + (a-0)5+(0-山乱(1.125г)

если учесть соотношения (1.42) и (1.117), содержат сводку структурных коэффициентов изотропного комплексного базиса; например, из (1.25а) видно, что С：。= )+7, С。= £ +忑 и С；? = a - 0.

В формализме НП работа с уравнениями Эйнштейна обычно осуществляется по специфическому стандарту. Вместо того чтобы непосредственно рассматривать систему из 10 уравнений в частных производных второго порядка, здесь за основу принимается система таких уравнений первого порядка, число которых, естественно, больше. Тогда (например, в случае электровакуума) уравнения (1.123) рассматриваются просто как алгебраическая подстановка, а собственно дифференциальными уравнениями будут определения компонент тензора Римана— Кристоффеля (их и называют уравнениями Ньюмена—Пенроуза) и тождества Бианки. Последние (при уже обеспеченных алгебраических свойствах тензора кривизны) гарантируют, что заданный тензор кривизны отвечает некоторой римановой метрике (условия интегрируемости), так что новая сисгема уравнений полностью эквивалентна обычным уравнениям Эйнштейна, хотя совокупность искомых неизвестных величин в ней. конечно, другая. Тем самым подход НП несколько напоминает еще более радикальную ломку традиций Иригом (49] и Макинтошем (68] (работы, продолженные в нашей группе в Университете дружбы народов им. Патриса Лумумбы Эрнандо Кеведо Кубильосом [55]).

Итак, запишем уравнения НП:

80203 • Dp -》к = р? + aa + р (е + е)-

-Мт — к (За + В — тг) + Фоо；

斤0202： Da — 6к = а(р + р + Зе — ?)—

-к(т -亍 + 亙 + 30) + 屮°;

斤0201： Dt — йк = p(f + it) + a(7 4- я) +

+ T(e — 目一к(3т +7)+，i + Ф01；

&2зоз — % 1оз： Оа — бе = а(р 4- е — 2е) +

+ 0万一3。— к入—殴 + 力(£ + Р)+ Фю；

-0102 - 82302：00- 66 =0(a 4- я) +

+ 0 0 —目 + £ (7F —万)一к (从 + 7)+ 屮1;

斤0101 - &230 1 ： 。7 - △£ = a(T + 冇)+ 0 (г + я) 一

—7(€ 4-6) - £(7 + 亍)+ ТЯ - VK 4- Ф2 + Ф11 - А； 斤1330：。入一Втг = р入 + 取 + 开 5 + а —己)一

—Pi< —入(Зе —目 + Ф20；

斤 1320： ^д —6я= рд + а\ + я (я -а +/5)-

-д (е + е) -〃х+ 屮2 + 2Л;

斤13 io： ^^ -Дя= д (я + 7) + 入(而 +т) +

+ я (у ~ у) -р (Зе + е) + Ф3 + Ф21；

斤 133 1： △入-5〃 =-入(д + " + 3丁 一 7)+

+ р (За + 0 + я — 7) — W4;

#2 03 2： М — 5。=。(万 + 0) — о(3а — 3)+

+ т (р -户)+ к (д — Д)-屮1 + Ф01；

斤0123 — &2323： 5а — $0 = 〃р —入。+ ай + 03 -

-2期 + 7 (0 一万)+ e (以-口)一电2 + Ф11 + a；

斤 1 з з 2 ：5入——5д = р (р — р) + я (д — д) +

+ 〃(а +Н)+ 入宙一30) + Ф21 -屮з；

々312： 6v - Дд = д2 + XX + g (у + у)-

一力 fг + М7 — 30 -五)+ Ф22；

斤0121 — &2321：灯—绿=7(Т —互一0) Т 〃Т —

—av — ер — 0 (7 — у — д) +涼+力12；

仇221： 5T — Да =从。+ 入р + т (т + 0 — d) —

一0(3)一节一疝 + Ф02；

斤0213： Ap i Вт = —РД —。入 + т(0 - а —力 +

+ р (у 4- у) + 〃к —屮2 — 2Л;

斤0131 —斤2331：△& — 5丁 = 〃(р + £)—

一入(7 + 0) + a(7 -口)+ 7(3 -彳)一屮3 .

Вместо обычной нумерации уравнений мы здесь предпочли указьь вать слева в начале каждого уравнения, какой комлоненте (или комбинации компонент) тензора кривизны оно отвечает. После этих 18 уравне* ний НП приведем еще 11 уравнений, отвечающих тождествам Бианки. Нумеровать их будем по такому же принципу:

— О2[о2； 3 ] • 5屮О — °屮1 + °Ф(Н — 5Фоо 二

=(4а — тг)屮о — 2 (2р +е)% + ЗкФ2 +

+ 伉 一 2亙一20)Фоо + 2(е + ?)Ф01 +

+ 2оФ1о - 2кФ[1 - кФ02；

-02[02； 1]： △屮。-5屮 1 + 0®02 - 5Фо1 =

=(4Г -川屮0 - 2 (27 +0)业1 + 30屮2 +

+ (2е - 2忑 + р)Ф02 + 2(亓一0)Ф(и +

+ 2(тФ11 — 2кФ[2 一 入％ о；

"13[ 01; 3] ：5屮3 一0屮4 + 562 1 ~ △力2 0 =

=(4е - р)屮4 - 2 (2я + а)屮3 + 3入屮2 +

+ (2)- 2亍 +Ь)Ф2о + 2(7 - а)Ф21 +

+ 2入Ф[ 1 — 2рФ| о — 0^2 2；

一—3 1[23；1]： △屮3 - 5屮4 + 5Ф2 2 - △Ф2 1 =

=(40 — т)屮4 — 2 (2д 4- у) Фз + Зи屮2 +

+ 行一20 - 2а) Ф22 + 2(7 + д) Ф21 +

+ 2入Ф12 - 2z^>ii - РФ2о；

^02[з1； о ] •。屮2一万屮 1 + ДФоо - 5Ф01 + DR八2 =

=—入屮о + 2(тг — а)屮 1 + ЗрФ2 一 2K屮з +

+ (2т + 2亍一口) Фо о — 2 (7 + а) Фо 1 -

-2тФ10 + 2рФ[1 + оФО2；

^3 1(02； 1} •厶屮2 — 5屮3 + О®22 — &®2 1 + △斤/12 =•

=аФ4 + 2 (/? - т) Ф3 - 3〃屮2 + 2〃％ + (万一2е - 2ё) Ф22 +

+ 2(я +0)Ф21 + 2яФ12 - 2从Фг - ХФ2о；

—斤31[o2； 3 ] •。屮3 — 5屮2 — O®2 1 + 6Ф2О — 58/12 =

=—К 屮4 + 2(р — £)屮 3 + ЗяФ2 — 2 入屮1 +

卜(2а — 20 —亓)Ф? о — 2 (万-с) Ф? 1 - 2яФ11 + 2〃Ф【0 + 氐小2 2 ；

^0 2 [ 2 3 ； 1 ] : △屮 1 — & 屮2 — АФ。] + Ьфо2 — 5斤/12 =

="屮0 + 2(7 -从)屮1 - 37•屮2 + 2аФ3 + (不 一 28 + 2a) Ф02 +

+ 2 (д - у) Фо 1 + 2тФ11 - 2рФ12 - рфоо；

储中-(1 ⑵",о： °Ф11 - 5Ф1о -ЗФо1 + ДФоо +

+ DRR = (2)—从 + 27 - Д)Фоо + (я — 2а — 27)Ф01 +

+ (亓一2亙一 2т)Ф1о + 2(р + р)Фц +

+ 0^0 2 + <^2 0 - К®12 - К®2 1；

理从一(1 ⑵",2： 062 - 5Фи - 5Фо2 + △Фо1 +

卜 6/?/8 = (2声一2а + тг — т) Фо 2 + (р + 2р - 2?)Ф12 +

-2 (я — т) Ф11 + (2у — 2Д — д)Ф01 +

•万Фо о -Rio + g>2 1 - К®2 2；

片;从-(32)8,1： ОФ22 - 6Ф2 1 -万Ф12 + АФ11 +

+ △斤/8 = S +万一2е - 2е)Ф22 + (20 + 27r -Т)Ф12 +

+ (20 + 2斤一т)Ф21 — 2(〃 + д)Фц +

+ РФо1 + ^Ф10 -入®20 -入力02・

Последние три уравнения представляют собой дважды свернутые тождества Бианки, что видно и из принятой нумерации.

Конечно, во всех приведенных уравнениях нет ничего нового — это те же самые уравнения, которые были приведены в исходной работе Ньюмена и Пенроуза (91] и которые можно найти во всех других публикациях, излагающих формализм НП (например, в известной монографии о точных решениях уравнений Эйнштейна [58] или в отличной статье Чандрасекара (149]). Однако все эти источники не всегда доступны, и мы сочли нужным записать здесь уравнения в их полном виде. Кроме того, например, у Чандрасекара тождества Бианки даны лишь для случая вакуума (屯/> = 0). К тому же мы пользуемся при получении тензора Риччи правилом свертывания компонент тензора Римана—Кристоффеля, принятым в работах Эйнштейна, Эйзенхарта и др., но не в работах Ландау и Лифшица, Мизнера, Торна и Уилера и др. (У них результат отличается от нашего знаком, что компенси< руется изменением знака в правой части уравнений Эйнштейна.)

Вообще обозначения для величин, используемых в формализме НП, у разных авторов не совпадают. Читатель может по этому поводу обратиться к обзору(169], здесь же мы приведем табличку для пересчета нумерации значений индексов и обо-

47

значения тетрадных векторов (в первой строке даны наши обозначения)：

012 3кtтт

(149][58](149][58]12 3 4£птт

(149]

[58]

(149]

[58]

43 12кtтт

Перед тем как перейти к обсуждению классификации гравитационных полей по Петрову, отметим еще роль формализма НП в аналитических вычислениях в ОТО на ЭВМ. Некоторую информацию об этом применении формализма НП можно почерпнуть в [31, 56] . Вся структура этого формализма очень хорошо приспособлена к машинной алгоритмизации аналитических вычислений в ОТО, хотя, конечно, и тетрадные методы с ортонормированным базисом также используются для этих целей. Применение наряду с определением компонент тензора кривизны тождеств Бианки для решения задач ОТО характерно и в развивающемся теперь направлении, где на основании заданных компонент тензора кривизны (в некотором, заранее не определенном во всех деталях тетрадном базисе) получают метрический тензор (см. [49, 68]). Это направление также с успехом использует аналитические вычисления на ЭВМ.

Алгебраическая классификация гравитационных полей по Петрову представляет собой классификацию возможных типов тензора Вейля. Очевидно, что классификацию гравитационных полей в ОТО невозможно производить, основываясь только на метрическом тензоре или коэффициентах связности; локально все эти объекты не проявляют специфических признаков, по которым была бы возможна классификация. Лишь тензор кривизны (и в дальнейшем - его производные) предоставляют такую возможность. Тензор кривизны разбивается на три неприводимые величины — скалярную кривизну, бесследовую часть тензора Риччи и тензор конформной кривизны Вейля. Скалярная кривизна указывает на три возможности: когда она положительна, равна нулю и отрицательна. Классификация по свойствам тензора Риччи значительно более богата возможностями, однако мы не будем здесь ею заниматься (см., например, [108]). Итак, обратимся к классификации по свойствам тензора Вейля, который удобно описывать с помощью автодуальных величин (1.119), образующих с точки зрения 3-мерного комплексного евклидова векторного пространства с метрикой (1.114) симметричный бесследовый тензор с валентностью, равной 2:

屮2屮42屮3屮2屮42屮32屮12屮34屮22屮12屮34屮2(1.126)(1.126)

屮2

屮4

2屮3

屮2

屮4

2屮3

2屮1

2屮3

4屮2

2屮1

2屮3

4屮2

(1.126)

(1.126)

[его построение очевидно по методу определения 3-мерных индексов в (1.113) ]. Удобнее, однако, пользоваться вместо базиса с метрикой (1.114) обычным 3-мерным декартовым базисом в комплексном век- торном пространстве. Для этого с помощью матрицы А (1.116) комплексные 3-векторы преобразук)т по закону (1.115); матрицу же Вейля (1.126) удобнее сначала привести к виду с одним нижним и одним верх-

ним индексами:

и только тогда получим симметричную и бесследовую [в обычном смысле — в случае (1.126) бесследовость реализовалась лишь с помощью 3-метрики (1.114) ] матрицу для декартова базиса:

С'二 Д'1 IIС^ 112;

В дальнейшем не будем писать штриха у этой матрицы, как и у компонент комплексных 3-векторов в декартовом базисе.

Итак, комплексная матрица Вейля С обладает свойствами

С = С, trC = 0.(1.128)

Классификация таких матриц основывается на исследовании их собственных векторов 尸 и собственных значений 入，вытекающих из уравнения

CF ="(1.129)

(尸一столбец). Собственные значения являются корнями характеристического уравнения det (С —入/ ) = 0, представляющего собой кубическое уравнение с комплексными коэффициентам и для определения X. Согласно известным свойствам матриц, для трех корней 入； detC =入1入2入3 и trC = Xj + 入2 + 入з = 0.

Для полного построения классификации Петрова необходимо знать и свойства собственных векторов F. Для этого учтем прежде всего три важные теоремы, справедливые для комплексных 3-векторов:

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух изотропных векторов является их орюгональносгь. (Такая же теорема справедлива и для векторов 4-мерного действительного псевдориманова пространства.)

В тройке взаимно ортогональных линейно независимых векторов не может быть изотропного вектора. (В псевдорима новом пространстве это не так.)

Два собственных вектора симметричной 3 х 3-матрицы, отвечающих разным собственным значениям, взаимно ортогональны и линейно независимы. (Это характерно и для квантовой механики, где матрицы операторов эрмитовы и, вообще говоря, бесконечномерны.)

Обычный прием при работе с величинами в 3-мерном комплексном пространстве — использование ортонормиррванного /азиса Сгриады). Обозначим его векторы К, L, М (столбцы) : КК = ZL = MM = 1; =LM= =МК = Q.

Полезно также учитывать соотношение

М = ±KxL или М = 士 DjkKjLk,(1.130)

где знак выбирается в зависимости от левого или правого характера тройки векторов триады.

Приступим к построению классификации (см. [125]).

Случай 1. Все собственные значения 入/ разные. Из теорем 3 и 1 тогда вытекает, что соответствующие собственные векторы взаимно ортогональны и неизотропны. Нормируя их, получаем привилегированную триаду. Из ее векторов можно построить матрицу ортогонального преобразования по правилу

(1.131)(1.131)

(1.131)

(1.131)

Применение этой матрицы к векторам и квадратным матрицам

(1.132)(1.132)TF =尸'；ТСТ = С'

(1.132)

(1.132)

соответствует переходу к новому базису, в основу которого и положена данная тетрада (преобразование сводится к повороту). В частности, ее векторы принимают в новом базисе вид

Преобразуя таким образом матрицу Вейля, находим:

(1.133)(1.133)Ь = diag (入力 Х2/ 入з)•

(1.133)

(1.133)

Это канонический вид матрицы Вейля в данном случае. Если все собственные значения отличны от нуля, ранг матрицы равен трем и мы говорим о типе I (в узком смысле). Если же одно из собственных значений равно нулю, то ранг равен двум, и мы говорим о подтипе 8 типа I. Однако тип I не исчерпывается этими двумя подтипами.

Случай 2. Два собственных значения совпадают друг с другом, т. е.入 1 R 入2 =入з (их всегда можно перенумеровать таким образом). На основании предпосланных классификации теорем видно, что один из собственных векторов может быть изотропным (хотя и не обязательно). Во всяком случае, имеется два взаимно ортогональных и линейно независимых собственных вектора. Поэтому рассмотрим два варианта.

Случай 2a. Оба собственных вектора неизотропны. В нормированном виде обозначим их как К и 厶；согласно (1.130), можно единствен- 50

кемLCMМСМкемLCMМСМным образом (с точностью до четности триады) ввести и третий вектор М. Снова произведем преобразование (1.131), (1.132):

кем

LCM

МСМ

кем

LCM

МСМ

/Xi О

L ( 0入 2

\КСМ LCM

Из уравнений для собственных векторов и из бесследовости матрицы Вейля получим каноническую форму матрицы Вейля для случая 2а:

L = diag (入 1,入?，入2)・ (1.134)

Она отличается от (1.133) лишь совпадением значений 入？弘 入з, и мы говорим о вырожденном типе I, или о подтипе D. Ранг матрицы Вейля при "этом остается максимальным (3).

Случай 26. Собственное значение кратностью 1 отвечает неизотропному собственному вектору, а кратностью 2 — изотропному. Первый из них при нормировке дает К. Второй обозначим / (не путать с обычным обозначением для единичной матрицы). Ясно, что можно выбрать базис так, чтобы / =厶 + i/И (с точностью до фазового множителя, которым и будем распоряжаться при переходе к канонической форме матрицы Вейля) .Найдем компоненты матрицы Вейля относительно нового базиса К, L, М. Запишем уравнение для собственных векторов:

откуда затем легко получить^связи между компонентами С'; если к тому же ввести обозначение LCM 才 ia, тооткуда затем легко получить^связи между компонентами С'; если к тому же ввести обозначение LCM 才 ia, тоПреобразуем базис, поворачивая его в "плоскости'' L, М,Преобразуем базис, поворачивая его в "плоскости'' L, М,СК =入iK, Cl 三 CL + \CM 二入2(厶 + i”)，

откуда затем легко получить^связи между компонентами С'; если к тому же ввести обозначение LCM 才 ia, то

откуда затем легко получить^связи между компонентами С'; если к тому же ввести обозначение LCM 才 ia, то

Преобразуем базис, поворачивая его в "плоскости'' L, М,

Преобразуем базис, поворачивая его в "плоскости'' L, М,

когда

0

0

0

cos9

sin(p

\0

—si“

8s9

Введя комплексныйВведя комплексныйугол, для которого exp (2i(p) = а, получим оконча

Введя комплексный

Введя комплексный

тельно

(1.136)(1.136)

(1.136)

(1.136)

Будем говорить об этом варианте как о типе II в узком смысле; ему соответствует матрица Вейля ранга 3 (напомним, что все собственнь(е

значения здесь отличны от 0). Можно было бы подумать, что реализуется и вариант 2в, однако легко убедиться в обратном: предположение о том, что собственное значение кратностью 2 отвечает неизотропному собственному вектору, ведет к противоречию.

Случай 3. Все собственные значения одинаковы и, следовательно, равны 0. Очевидно, что теперь матрица Вейля не может иметь ранг 3. Приходим снова к разным вариантам.

Случай За. Пусть существует неизотропный собственный вектор, который после нормировки можно обозначь.гь К. Дополним его произвольным образом до т^риады и преобразуем с ее помощью мат纱иу Вейля. Так как СК = 0, то КСК = KCL = КСМ = 0. Обозначая а = LCL и i0 = = LCM и учитывая равенство 0 следа матрицы Вейля, находим

Однако ранг матрицы не должен превышать 1, так как в противном случае существовал бы собственный вектор с отличным от нуля собственным значением, а это противоречило бы нашим предположениям. Поэтому должно быть 0 = ± а, где можно ограничиться знаком 〃+〃 (так как всегда можно переменить четность триады). Тем самым мы вновь пришли к матрице вида (1.135), но для Xi =№ = 0・ Поэтому использованное в случае 26 преобразование приводит к каноническому виду матрицы Вейля:

/0 о0\

С〃= [ 01i ) .(1.137)

\ 0 i

Это вырожденный тип II по Петрову, часто называемый типом N.

Случай 36. Существует только изотропный собственный вектор / . Запишем его через векторы триады как / = ^ + i/И. Тогда СК + \СМ = =0, откуда легко полечить свази между компонентами матрицы Вейля, включая соотношение КСК + МСМ = 0, причем LCL 二0 в силу бесе л едо вости матрицы Вейля. Введя обозначения КСК = а и KCL =0, запишем преобразованную матрицу Вейля в виде

Ранг этой матрицы может быть, самое большее, равен 2, так что, сохра- наа его для общности, мы не можем надеяться устранить 0 [иначе ранг снизился бы до единицы, и мы вернулись бы к матрице (1.137) с другой нумерацией координатных осей]. Попытаемся устранить а, т. е. обратить элементы на обеих диагоналях в нуль. Это можно сделать, переходя к 52

которой матрица Вейлякоторой матрица Вейляотносительноотносительнопринимает канонический видпринимает канонический вид

которой матрица Вейля

которой матрица Вейля

относительно

относительно

принимает канонический вид

принимает канонический вид

соответствующий типу III по Петрову.

Случай Зв: матрица Вейля тождественно равна 0 (ранг 0, конформно-плоское пространство-время). При этом, конечно, роль собственного вектора может выполнять любой вектор.

Итоги. При определении типа пространства-времени по Петрову следует прежде всего вычислить в исследуемой точке значения компонент тензора Вейля и построить по ним матрицу Вейля (1.127). Если все компоненты окажутся равными 0, пространство-время в этой точке — конформноплоское (тип 0). Если же ранг матрицы Вейля равен 1, то реализуется тип N (вырожденный тип Н), который часто связывают с **чисто волновыми гравитационны ми полями** и к которому относятся, в частности, плоские бегущие слабые гравитационные волны. Все собственные значения матрицы Вейля при этом равны 0, а система собственных векторов сводится к одному жестко определенному изотропному вектору в комплексном 3-пространстве и всех ему ортогональных (образующих плоскость, проходящую через изотропный собственный вектор) . Если же ранг матрицы Вейля равен 2, то возможны два случая: либо все собственные векторы неизотропны и жестко заданы, либо существует единственный жестко заданный изотропный собственный вектор (в последнем случае все собственные значения равны 0). Первое дает частный случай типа I, когда одно из собственных значений нулевое (мы назвали его типом 8), второе же дает тип III. Остается случай матрицы Вейля ранга 3. Если все собственные значения различны (и поэтому все собственные векторы неизотропны, взаимно ортогональны и заданы жестко), речь 53

идет о типе I в узком смысле. Если все собственные значения отличны от 0, но два из них совпадают друг с другом, то это — либо вырожденный тип I (тип О), либо тип II в узком смысле (невырожденный тип II). Тогда следует обратиться к исследованию собственных векторов. Если кроме одного неизотропного жестко заданного собственного вектора (отвечающего корню кратности 1) существует лишь изотропный (ортогональный первому) жестко заданный собственный вектор, то имеем дело с невырожденным типом II. В противном случае реализуется тип D и второй собственный вектор не задан жестко — фактически это все векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной первому собственному вектору; они собственные для второго собственного значения (кратности 2). Среди них всегда имеется изотропный вектор, но отличие от типа 11 состоит в том, что кроме него тому же собственному значению отвечают и неизотропные собственные векторы. Итак, имеется один нетривиальный случай для ранга матрицы Вейля 0, один — для ранга 1, два — для ран「3 2 и три — для ранга 3. Другие подходы к практическому применению классификации гравитационных полей по Петрову см. в [58].

Конечно, привлечениё типов по Петрову для истолкования гравитационных полей как чисто Волновых или полей статического локализованного источника возможно лишь в исключительных случаях: всякое 〃сме・ шение° разнородных полей и даже суперпозиция однотипных полей с несовпадающими направлениями симметрии приводит к изменению их типа, чаще всего переводя его в алгебраически общий тип I. Однако асимптотически для островной системы источников можно разделить гравитационное поле на наслоение полей с разной скоростью убывания на бесконечности. Этот факт выявлен в "теореме о расщеплении" Сакса [43], согласно которой

R =川厂1 + II"- + II 厂 з + I 尸4 + (1J39)

Здесь у тензора кривизны (так как рассматривается поле вне источников —это тензор Вейля) не записаны индексы, как и у его асимптотических составляющих, которые обозначены символами соответствующих типов по Петрову. Радиальная координата г, по обратным степеням которой кривизна разлагалась в ряд Тейлора, принадлежит координатам Бонди (см. [14] и § 7.6).

Формулировка теоремы Сакса дана несколько неполной, чтобы не увеличивать объем параграфа.

Глава 2ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ГРАВИТАЦИЯ

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В классической (неквантовой) физике известны два взаимодействия —электромагнитное и гравитационное. Остальные выступают здесь в обличье сил, не имеющих отношения к полям, да и электромагнетизм часто маскируется под химические силы и силы ван-дер-Ваальса. Эти два взаимодействия известны человеку с самой зари цивилизации, а гра- 54

витация была ему настолько привычна, что ее (каков парадокс) было даже трудно осознать как взаимодействие. Считалось просто, что тяжелые тела стремятся к геометрическому центру мира, а легкие — бегут от него. В наши дни подобная геометрическая и топологическая трактовка взаимодействий отчасти возродилась: такова геометризация тяготения, несиловой облик принципа Паули и некоторые аспекты поведения кварков. Однако два классических взаимодействия замечательны и тем, как в них проступают параллели (если угодно — гармония) между полями и диссонансы между ними. Анализ этих сторон теории в приближении слабого пола довольно банален (см., хотя бы, [77]). Здесь мы сосредоточим внимание на точных проявлениях этих свойств.

Объединению гравитации и электромагнетизма посвящали усилия виднейшие специалисты, в частности и в особенности Эйнштейн. Мы не будем обсуждать пути такого объединения (тем более, что оно не было удовлетворительно осуществлено), однако вспомним любопытное высказывание Фейнмана: **До сих пор никому не удалось представить тяготение и электричество как два разных проявления одной и той же сущности. Сегодня наши физические теории, законы физики — множество разрозненных частей и обрывков, плохо сочетающихся друг с другом** [140, с. 31]. Конечно, классик квантовой физики несколько утрировал положение, но ясно, что он не был к нему безразличным.

ДВИЖЕНИЕ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ

Чтобы лучше почувствовать аналогию между электромагнетизмом и гравитацией, рассмотрим теперь движение пробных электрически заряженных массивных частиц в этих полах в точной теории. Представление о физических полях, заполняющих области пространства, приходит к нам из экспериментов с пробными ^зарядами**, и это принципиально, а не сводится к историческому экскурсу. Конечно, аналогия не сводится к тождеству и автоматически предполагает определенные различия в деталях и даже в принципах, отражая единство более широкого класса (ведь физические поля называют полами не только потому, что они описываются с помощью геометрических объектов, зависящих от точки пространства-времени).

Замечательно, что уравнения движения пробной массы с электрическим зарядом могут быть в ОТО сведены к простой форме:

и А * d(mu + еА) = 0. (2.1)

Здесь т и е — масса и заряд частицы; 〃 一 ее 4-скорость (записанная как ковектор), А — электромагнитный 4-потенциал. Мы стремимся привести в дальнейшем эти уравнения движения к виду, указывающему на природу тех величин, которые способен открыть эксперимент (и тем самым природа указывает, какие именно величины следует класть в основу теории и где имеет смысл искать аналогию). Несомненно, что потенциал А не есть непосредственно измеряемый объект, но в значительной мере является результатом абстрагирования. Если опыт повзоляет учесть глобальные характеристики системы (прежде всего ее топологические свойства, —мы имеем в виду опыт Бома~Аароноваг требующий также учета

квантовых закономерностей), то описание электромагнитного пола становится невозможно свести к тензору напряженности. Однако в классической теории для пробных частиц, не обладающих характеристиками спина, достаточно осуществить явно операции, указанные в (2.1).

Вводя 1-форму 3-скорости V (и • т =0), можно расщепить у на мона> ду т (взятую здесь как ковектор) и и:

и = ut(T + и).(2.2)

Тогда 4-импульс частицы записывается как

р : = ти = & т + 伊，(2.3)

где 6 — энергия и 夕-3-импульс (ковектор) этой частицы, причем ^•т=0 и f=&3, так что множитель ut в разложении (2.2) удобно представить в форме и? = ё/т (одновременно это есть dt/ds, где dt — интервал физического времени данной системы отсчета, a ds — интервал собственного времени между двумя бесконечно близкими точками на мировой линии расрматриваемой частицы). Тогда в предварительной записи уравнения (2.1) принимают вид

(т + к) A *d(^T + ^+ еА) = 0.(2.4)

Прокомментируем те 6 слагаемых, которые здесь возникли. Прежде всего, заметим, что для любой 1-формы, лежащей в подпространстве, ортогональном т, а не только для импульса, £伊=—*(т a *d 夕}.

7

На основании выражений (1.73) и (1.76) dr = т л G — 2 * (т /\ з). Здесь G — ускорение, аз — угловая скорость вращения системы отсчета. В результате

* (т A *d(g т)) = d& 一(£& )т 一 & G. 7

Определенный недостаток такой записи (коренящийсА в рассмотрении всех ковекторов, включая и и, как полей и соответственно дифференцируемых частным образом по координатам) состоит в появлении градиента энергии пробной частицы. Однако сделанное замечание позволяет с таким недостатком мириться.

Следующая величина имеет электромагнитную природу — это 1-форма электрической напряженности (ортогональная т):

* (т А * dA} = *(7•人* 尸)=Е.

Здесь введена 2-форма электромагнитной напряженности:

尸=(1/2)尸№&入八 6〃： = dA,(2.5)

где было сочтено за благо включить в определение фактор 1/2. Примем теперь во внимание естественное определение 3-мерного векторного произведения двух ковекторов, а и，ортогональных т:

ахь：=*(алтл6).(2.6)

Это 1-форма, лежащая в 3-пространстве системы отсчета. В свою оче-

редь, скалярное произведение в 3・мерном смысле (для величин, лежащих в 3-пространстве) будем писать через

V AG ： = -д (，，G),(2.7)

имея в виду как векторы, так и ковекторы. Тогда

* (и а * da) = * (^ л * (£ А г)) — * (^ л В Л т)=

=V х В + (Е ▲ V)т,

так как 2-форма электромагнитной напряженности распадается Нс части, содержащие по отдельности электрическую напряженность и магнитную индукцию (вместе с тем, это - определение последних):

尸二 £лт + *(8 八 т).(2.8)

Отсюда

Е = * (т /\ * 尸)и 8 = *(7 八尸).(2.9)

Теперь, возвращаясь к неэлектромагнитным величинам, остается записать

(и Л *d (底 т)) = 28 V х u> - (g v a G - v a gr^d S ) 丁 и

W A *d伊)=-(v ▲ £夕)7 + 小(夕一夕* ")0入. (2.10)

Здесь 0入—ковекторный базис, спроектированный на 3-пространство, ортогональное т [см. (1.66)]. Второе слагаемое в (2.10) представляет собой векторное произведение и и 3-мерного ротора 丁 , записанное в общековариантном виде.

Чтобы должным образом осуществить приведение подобных членов, привлечем тождество

V ▲ f 夕=f & - (1/S)伊"夕

которое нетрудно проверить, опираясь на выражение для тензора скоростей деформации системы отсчета (1.67) или £ д〃" = 一2。〃" и ре- 丁

лятивистскую связь между энергией и импульсом частицы S 2— 夕？=- =m2, следующую из определения (2.3). В результате уравнения движения (2.4) распадаются на составляющую, направленную по монаде, и на часть, лежащую в 3-пространстве системы отсчета. Запишем первую в двух видах:

с производной Ли по вектору монады

£ § - V ▲ grad g = (1/3 )伊〃旦。〃"+ v ▲ (eE -(§ G),

где левая часть может быть понята как обобщениесубстанциальной

производной, известной из механики сплошных сред;

с производной Ли по вектору 4-скорости частицы (т. е. вдоль ее мировой линии, что отвечает субстанциальной производной)

£& =丄伊爲+ 丄 у ▲ (еЕ - 8 G).(2.11)

Вторая (трехкомпонентная) составляющая уравнений движения запи-. сывается лишь через производную Ли по монаде:

£> + v；T=eE+evxB—EG + 2&vX3,(2.12)

так как дифференцирование Ли по 4-скорости и выводит из 3-мерного подпространства системы отсчета, и его использование поэтому не отвечает сути задачи. Здесь мы привлекли введенную в гл. 1 дифференциальную операцию ▽； (1.69), приспособленную, естественно, к определению системы отсчета через поле монады т.

В последнем выражении явно просматривается гравитационно-электромагнитная аналогия. Электрической напряженности соответствует ускорение системы отсчета (с обратным знаком, так как ему отвечает относительное ускорение свободной частицы, направленное в противоположную сторону); магнитной индукции соответствует удвоенная угловая скорость вращения системы отсчета. Эти величины будем называть также квазиэлек тричес кой и квазимагни тной напряженностями гравитационного поля. Методика экспериментального определения всех этих характеристик полей очевидна из уравнений (2.12) : не зависящая m скорости движения пробной частицы часть силы распадается на “в： слагаемых, которые можно различать, пользуясь пробными частицами с разными значениями удельного заряда. В них не зависящий от свойств частицы множитель и есть искомая напряженность (электрического или квазиэлектрического гравитационного полей) . Подобным же образом опыт дает возможность, рассматривая дополнительно движение пробных частиц с разными мгновенными скоростями, определять индукцию магнитного поля s напряженность (ее можно называть и индукцией) квази- магнитного гравитационного поля. Левую же часть уравнений (2.12) можно трактовать как субстанциальную производную по времени от 3-импульса электрически заряженной пробной массы. Аналогичная форма уравнений движения была получена в монадном формализме А. Л. Зельмановым [44], однако наша запись отличается тем преимуществом, что в ней каждое слагаемое тензорное и имеет ясный физикогеометрический смысл. В определенной связи с идеями А. Л. Зельманова (еще относящимися главным образом к формализму хронометрических инвариантов) и благодаря стимулирующему влиянию энтузиастов разработки формализмов систем отсчета (в первую очередь В. И. Роди- чева, А. Б. Левашева, О. С. Иваницкой) еще в 1972 г. уравнения такого же типа [но также со слагаемым типа связности, не введенным в операцию (1.69), как это сделано здесь] записаны в группе Ю. С. Владимирова [18, 19].

НАПРЯЖЕННОСТИ, ПОТЕНЦИАЛЫ И ДЕЙСТВИЕ

Из уравнений (2.1) видно, что на уровне потенциалов существует определенная асимметрия между гравитационным и электромагнитным взаимодействия ми: под знаком внешнего дифференциала стоит комбинация электромагнитного 4-потенциала и 4-скорости частицы, тогда как самый левый множитель — это одна только 4-скорость. Роль этого множителя состоит в том, что он осуществляет проектирование ротора (результата действия внешнего дифференцирования) по одному индексу на направление мировой линии частицы (ее собственное время, т. е. физическое время сопутствующей ей системы отсчета) , в результате чего по другому индексу эта величина проектируется в физическое 3-пространство [если величину, стоящую слева в равенстве (2.1), подвергнуть в целом дуальному сопряжению, то получится 1-форма, ортогональная у]. Таким образом, если, проводя рассматриваемую аналогию, толковать и как гравитационный аналог А в скобках в (2.1), то множитель и, стоящий слева, не подпадает под это толкование: уже на уровне динамики частиц гравитация оказывается специфическим, можно сказать, универсальным взаимодействием.

Однако в рамках любой данной системы отсчета (заданной монады т) можно пользоваться любыми временноподобным образом движущимися пробными частицами, так что представляет интерес и сравнение соотношений (2.8) и (1.73), где проявляется та же аналогия, как и в (2.12) . Вновь перепишем эти соотношения:

dA=F =Е + * (Вл т); с/т 二—Ga т + 2 * (з/\ т).

Подобный ход рассуждений наблюдается и у Денена [28].

Построим аналогичные друг другу величины, привлекая (2.9), (1.75) и (1.76) : электрическая и квазиэлектрическая напряженности тогда запишутся в виде

Е = * (т 八* dA); X = *(7 八* ")二-G,(2.13)

а магнитная и квазимагнитная - в виде

8 二* (т A dA); У = * (丁八 с/т)二 2з:(2.14)

Если взять систему отсчета, мгновенно сопутствующую частице, то в ней для собственных значений полей (тХ + е£) СОбств 二 0,「е- можно заключить, что гравитация "имитирует'' другие поля (в нашем примере — электромагнитное) в отношении силы в точности так же, как и в смысле симметричного тензора энергии-импульса. Последнее почерпнуто из истолкования этого тензора Лоренцем [77, 99] : в уравнениях Эйнштейна можно перенести все слагаемые в одну сторону и после деления на эйнштейновскую гравитационную постоянную к получится, что сумма симметричных тензоров энергии-импульса гравитационного поля и его источников (npvrnx полей) всегда равна нулю. Такая параллель между уравнениями поля и уравнениями движения пробных частиц в ОТО - весьма симптоматический факт.

Однако сами по себе напряженности квазиэлектрического и квазимаг- нитного гравитационных полей в силу принципа эквивалентности не могут 59

быть полноценным инструментом для анализа гравитации. Локально нельзя сказать, обусловлены эти напряженности истинным гравитационным полем или они обязаны лишь выбору неинерциальной системы отсчета в плоской области пространства-времени. Подобная ситуация имела бы место в электродинамике, если бы в природе существовали лишь заряженные частицы и притом только с одинаковым удельным зарядом. Поэтому в гравитации, где принципиально для любого объекта удельный гравитационный "заряд" одинаков, наблюдению доступна только относительная напряженность (ее градиенты — неоднородность пространства- времени) .Это видно из уравнения девиации геодезических (1.59) . Если в нем понимать w как вектор относительного расстояния между частицами ("「устота" мировых линий в семействе), X — как собственное время вдоль линий, а 〃 一 как 4-скорость, то справа в (1.59) стоит относительное ускорение пробных частиц, а слева, конечно же, — относительная сила, в состав которой в качестве не зависящих от характеристик частиц (и их движения) множителей входит совокупность величин, которую следует назвать относительной напряженноетью поля; однако это есть тензор кривизны Римана—Кристоффеля! Вспомним тем не менее замечание, сделанное в связи с уравнением девиации кривых ^-конгруэнции (1.95). Там была проведена аналогия между внешней кривизной конгруэнции Хр и электрической напряженностью, что, конечно, следует понимать в смысле относительной напряженности, ''「радиента''. Если бы мы взяли аналогичную величину в электродинамике (например, имея воз

можность проводить измерения лишь с помощью систем частиц с одинаковым удельным зарядом), то это были бы градиенты напряженности 尸从".入.Электромагнитный лагранжиан может быть построен из них с привлечением 4-потенциала Д :

2小俨从 =/＞尸炉+ 2(尸吗^)；〃

(дивергенциальный член не сказывается на уравнениях поля). Конструируя подобный инвариант в случае гравитации, следует брать относительную напряженность ^^^р и потенциал рк^ (он получается, как и в электродинамике Дд, несколько искусственным образом и к тому же неоднозначно):斤" gK^-R. Полученная скалярная кривизна и есть (с точностью до постоянного множителя) гравитационный лагранжиан, из которого следуют уравнения Эйнштейна (их левая часть). Тем самым мы пришли к аналогии между гравитацией и электромагнетизмом на уровне интеграла действия, причем аналогия состоит в единстве основных идей и не может предполагать полного совпадения полей (иначе речь шла бы об их тривиальном тождестве).

Гравитационное взаимодействие универсально в том смысле, что все объекты (по крайней мере классические, т. е. неквантовые) подвержены ему и генерируют гравитационное поле (обладают отличным от нуля тензором энергии-импульса). С другой стороны, все эти объекты характеризуются величинами, зависящими от пространственных и временной координат и преобразующимися определенным образом при преобразованиях этих координат. Говорят, что пространство-время является уни- 60

версальной ‘‘формой" существования материи (в определенном смысле, способом ее существования) . Эти две универсальные сущности — гравитация и пространство-время - относятся к совершенно разным категориям, и мог бы показаться странным вопрос о том, не связаны ликак-то друг с другом их качества универсальности. Однако этот вопрос законен, и ответ на него положителен! Вспомним, например, что из инвариантности интеграла действия, описывающего физическую систему, следует структура тензора энергии-импульса и закон его (ковариантного) сохранения, причем этот тензор является, согласно уравнениям Эйнштейна, источником гравитационного поля и определяет гравитационное взаимодействие. Круг, тем самым, замыкается, и уже представляется совершенно естественным, что гравитационное поле должно описываться геометрическими объектами.

Гравитация： метрика связностькривизнаГравитация： метрика связностькривизнаЯзык, на котором проводится описание любого данного поля, связан с отвечающими ему степенями свободы. Эти степени свободы находят отражение в тех калибровочных преобразованиях, из которых можно получить основные характеристики эюго взаимодействия. Для электромагнетизма специфичны градиентные преобразования 4-потенциала, т. е. инвариантность теории относительно добавления к 1-форме А точной формы (в принципе, достаточно инвариантности относительно добавления замкнутой формы) . В теории гравитации картина богаче: не только метрика, но и связность (или совокупность ускорения, угловой скорости вращения и скоростей деформации системы отсчета) изменяются при преобразованиях, которые можно рассматривать в качестве калибровочных, и только кривизна представляет собой вполне инвариантный объект, аналогичный в этом отношении электромагнитной напряженности. Этот факт отражает не случайный (как в случае электродинамики, где одинаковые удельные заряды — всего лишь довольно неестественное и искусственное предположение о выборе конкретной системы), а фундаментальный характер принципа эквивалентности в природе. Вместо двух "зта・ жей" - потенциала и напряженности — в электродинамике, в гравитации существуют три ''зтажа" — метрика, связность и кривизна, и аналогия между двумя полями осложняется весьма специфическим расщеплением, которое можно наглядно изобразить на схеме:

Гравитация： метрика связность

кривизна

Гравитация： метрика связность

кривизна

Электродинамика:

потенциал —

напряженность -^~^2 ^

(один из авторов этой книги даже предлагал называть метрику субпотенциалом гравитационного поля [77]).

Градиентные преобразования в электродинамике можно использовать весьма любопытным образом: с их помощью потенциал А всегда можно сделать нормированным на +1, —1 или 0 (изотропным) — по желанию! [34]. Действительно, требование такой нормировки равносильно выполнению дифференциального уравнения первого порядка:

(2.15)61(2.15)61д И： А^) + 2д (Д： 4屮)+ g (dg W)= О,

(2.15)

61

(2.15)

61

где правая сторона равенства определяется выбором формировки А = =(а/\/к)a; g (о, о) =е = ± J, 0, а Дх~ исходная 1-форма потенциала до калибровки. Здесь к — эйнштейновская гравитационна^постоянная, введенная для согласования размерностей, а а — безразм^)ная постоянная, которой можно распоряжаться любым образом. Вопрос об интегрируемости таких уравнений решается положительно [112, 1^0].

Взяв, в частности, а = т (монада), получим a2a

Е — — G, В = з,(2.16)

у/к\/к

так что уравнения движения приведутся к виду

(электромагнитное поле уводит частицу с энергетической поверхности в импульсном пространстве).

Конечно, было бы привлекательно уже на уровне конструкции (2.1) получить А = — (m/e)ut но тогда система для нахождения калибровочной функции становится переопределенной. Однако можно сразу же указать одно решение, которое существует всегда. Действительно, есди электромагнитный 4<потенциал откалибровать в виде, пропорциональном монаде, А = — (т/е) т (что всегда возможно, см. выше/, то и = т автоматически будет удовлетворять уравнениям (2.1), хотя, конечно, это лишь частное решение.

В соотношениях ли-монадного формализма отсутствуют слагаемые, обусловленные вращением систем отсчета, так как в ли-монадном подходе существенно использование невращающихся конгруэнций. Поэтому уравнения Максвелла (2.30) - (2.33), которые будут записаны в рамках этого формализма, не отражают всего многообразия физических эффектов взаимодействия электромагнитных полей с силами инерции (пожалуй, вернее было бы сказать: интерференции этих физических факторов) .Чтобы учесть эффекты вращения в электродинамике, следует привести уравнения Максвелла просто в монадной записи, причем в 3-мерной символике, наглядно связываемой с интегральными законами. Для этого предварительно введем операции дивергенции и ритора 3- вектора а : а%а = °, вспомнив выражения для 3-мерных скалярного (2.7) и векторного (2.6) произведений. Дивергенцию естественно задать как

diva :=% ▲。工 а =5а- G а а , (2.18) а ротор — как

rot а : = — * (т A V Г ла) - — * (т л da } . (2.19)

(на обеих операциях вращение системы отсчета не отражается, и они используются без изменений в ли-монадном формализме в § 2.4). Тогда уравнения Максвелла, имеющие в единицах Хевисайда тензорный вид 62

F^p. p =—/ ^, запишутся в 3-мерной форме как

div£ = р - 2з ▲ В;

(rot В ~ £ Е ~ j + Gx В)д=- 2Ev[D^ - (32)。%],(2.20)

а четверка уравнений Максвелла, имеющая смысл условий интегрируе

мости 4-потенциала, F^ . 〃 = 0, запишется как

(2.21)(2.21)div В = 2з ▲ Е, (rot Е + £ В + G х Е)从= =2BV[D^ - (1/2)0%.

(2.21)

(2.21)

Напомним, что использованные здесь операции определяютсА как (1.9), (1.30), (1.27), (1.69), причем берется величина (1.66); так же обозначается и соответствующий ковектор. Следует подчеркнуть, что ввиду отсутствия во вращающейся системе операции дифференцирования Ли, относительно которой проектор вида (1.79) оставался бы постоянным, приходится существенным образом о「раниииваться дифференцированием по времени ковариантных компонент.

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ И НАБЛЮДАЕМЫЕ В ЛИ-МОНАДНОМ ФОРМАЛИЗМЕ

Уравнения Максвелла. Лагранжиан электромагнитного поля с источниками запишем в виде

4m = 一(\/4^4)尸^尸""-曰产仆.(2.22)

Используя 3 + 1-расщепление пространства-времени, перепишем его следующим образом:

аm = Tб⑵回e^ 一 8川从)-户[(MN}pAt + 牛/勺，

(2.23) где £〃 — вектор электрической напряженности; 8〃 一 веклрр магнитной индукции; V~FР 二 J-g宀^ — плотность зарядов; у/^Н — плотность 3-тока (ср. с § 2.3) . Векторы Е и В выражаются через At - А^ и Д- [см. также (2.9)]:

J = -(1//V) (^ 4* + &,口)；(2.24)

8" =一产"/工.⑵25)

Уравнения Максвелла 尸!，二 一/° получаются из вариационного принципа при варьировании интеграла действия

f 2

по переменным At и Д-:

{UVb)(VbEa)|a = р,(2.26)

(1/>/д)£ (у/ЬЕ^ =-е〃〃入(Л/8〃)| 入一曲口.(227)

Оставшиеся уравнения,尸?9。=0, которые, по сути дела, выполняются тождественно и из вариационного принципа не выводятся, имеют вид:

(2.28)(2.28)(1/х/д)£ (у/ЬВ^) =e^(NEv)]X；

(2.28)

(2.28)

(1/>/д) {yfbBh^ = 0.(2.29)

Перепишем систему уравнений Максвелла, введя обозначения дивергенции и рртора:

divE = р;(2.30)

rot В 二(1/<7)专(0Е)+j+ВxG;(2.31)

rotE = (_"VT^)£(V^B)+ ExG;(2.32)

divB = 0.(2.33)

Здесь явно видно влияние системы отсчета. Оно проявляетсА в том, что в правой части уравнений Максвелла возникают эффективные источники, связанные с ускорением системы отсчета. Напомним, что в ли-монадном подходе система отсчета не вращается. Уравнения Максвелла с учетом вращение см. в конце § 2.3.

Гамильтонова формулировка электродинамики. Определим плотность канонического импульса тг, сопряженного А:

必=а*е/"%.

Заметим, что лагранжиан электромагнитного поля не зависит от £ At и, следовательно, яг-импульс, сопряженный At, равен нулю. Это озна* чает, что в электродинамике имеется одно уравнение свази (первичная связь по терминологии Дирака [33 — 36]), и производную £ At нельзя выразить через импульсы.

В соответствии с определением (1.98) для гамильтониана электромагнитного поля получаем выражение

与=^ 亍(卢“-小 У) - At (才以一V?p) +

，V^i^,(2.34)

где 步 ：=л/Б"В и 号 опреде/;гн с точностью до 3-мерной дивергенции. 64

С учетом уравнения связи запишем действие для электромагнитного пола с источниками:

J dt / (тг〃£ А/ + ^ £At-J dt / (тг〃£ А/ + ^ £At-尊 + Mr'Yx.尊 + Mr'Yx.

J dt / (тг〃£ А/ + ^ £At-

J dt / (тг〃£ А/ + ^ £At-

尊 + Mr'Yx.

尊 + Mr'Yx.

Здесь 入—неопределенный множитель Лагранжа. Система уравнений, получающаяся при варьировании действия по переменным At,打‘，А-, 卢，имеет вид

二-(/V/ >Д) “ + Atf 口； £ ?rf = я^д — V^p = 0;二-(/V/ >Д) “ + Atf 口； £ ?rf = я^д — V^p = 0;£ 4 =一入，£曲二一評叫/V8叫入-02£ 4 =一入，£曲二一評叫/V8叫入-02(2.35)(2.36)(2.35)(2.36)

二-(/V/ >Д) “ + Atf 口； £ ?rf = я^д — V^p = 0;

二-(/V/ >Д) “ + Atf 口； £ ?rf = я^д — V^p = 0;

£ 4 =一入，£曲二一評叫/V8叫入-02

£ 4 =一入，£曲二一評叫/V8叫入-02

(2.35)

(2.36)

(2.35)

(2.36)

и описывает электромагнитное поле в гамильтоновом подходе. Обратим внимание на то обстоятельство, что одно из уравнений Максвелла, 畔〃一yfb р = 0, приводит к сохранению первичной свази со временем £ яг = 0. Оно называется уравнением вторичной связи. Уравнение первичной связи я = 0 получается при варьировании по 入.「еометрииеский смысл этой связи прозрачен — она генерирует калибровочные преобразования электромагнитного поля {5, 137].

Подробное обсуждение электродинамики в плоском мире можно найти в работах Андерсона [1] и Фаддеева [137]. Существенным отличием нашего подхода от более ранних является использование ли-монадного формализма, позволяющего описать эволюцию поля в произвольных системах отсчета без вращения.

Уравнения Эйнштейна. Для свободного гравитационного поля действие строится из скалярной кривизны:

(2.37)(2.37)2к/ = / dr / \ЛУ Rd?х.

(2.37)

(2.37)

После исключения полной производной по времени (£ (\/Бх)) и 3-мер- нои дивергенции лагранжиан свободного гравитационного пола записывается в виде

% = 7r^R + Х^Х〃〃 - X2).(2.38)

Отсюда для плотности канонического импульса получаем

№0 = 8 £ /Ь£ ba^ = x/Fjg - *&),(2.39)

соответственно, гамильтониан равен

% =川-^^ 卜〃〃声"-g 7r2)- ^/^зR j.彳2.40)

Для того чтобы получить уравнения поля с источниками, необходимо в интеграл действия добавить лагранжиан негравитационных полей — источников гравитационного поля. Уравнения Эйнштейна G^ = -《Gg получаются при варьировании действия по 3-мерной 匕。0 и 7r°°・ При этом следует учесть, что метрика не только является объектом варьирования, но и определяет геометрическую структуру пространства-времени. Так как все физические величины должны оставаться на той же самой гиперповерхности, то вариация метрики не должна менять параметризацию Sf. Отсюда получаем

брр = 0; Ьт" = -№ 1пЛ/; Вт。= т^б In/V.

Отметим также, что 5£ = £6.

Выпишем уравнения Эйнштейна:

_ 2л/ /1 ,\

£ тг°0 = — —— = —Л/— 2тг：тг70 - тит" -(2.41)

6°° (“户"〃^"#] + а (38。0 _ g『03- +

+ b^G^ - Ga^ + G%。)} 一 к工砲

Уравнения G〃〃#t" = — R丁血宀“ получаются при варьировании действия по функции темпа N и имеют вид

(2.42а)(2.42а)力 + 2K 予从〃т"т" = 0,

(2.42а)

(2.42а)

где + 〃〃 — плотность симметричного тензора энергии-импульса.

Остальные уравнения Эйнштейна получаются из вариационного принципа с подвижными границами. Если при выводе уравнений (2.41) предполагалось, что вариации метрики на 2】и S2 равны нулю, то здесь мы этого уже не предполагаем. Будем считать, что эволюция системы происходит в соответствии с полевыми уравнениями, и вариация метрики не приводит к деформации Е— В этом случае ее можно представить в виде

b电〃 =—£ Ьдр,

где г? — произвольный пространственный вектор. С учетом этих замечаний находим

嚼=-(к/мМ%0・(2.426)

Уравнения связей (2.42а), (2.426) не содержат вторые производные по времени от Ь〃〃 и, следовательно, не определяют эволюцию 3-мерной 66

геометрии. Динамическими уравнениями являются только уравнения (2.41), а появление связей обусловлено инвариантностью уравнений Эйнштейна относительно общих координатных преобразований. Ситуация здесь совершенно аналогична ситуации, возникающей в электродинамике. Вместо одной связи имеется четыре, а калибровочной группой является бесконечнопараметрическая группа координатных преобразований. К сожалению, из-за нелинейности уравнений, связи, в отличие от электродинамики, не удается разрешить. Отсюда возникает необходимость работать с обобщенной гамильтоновой динамикой, учитывающей связи явно.

Задача Коши в общей теории относительности и выделение независимых степеней свободы. В физических теориях, как правило, различают явления, описываемые теорией, и арену, на которой эти события развиваются —например, в специальной теории относительности — пространство Минковского. В общей теории относительности ситуация совершенно иная. С одной стороны, метрика описывает гравитацию, с другой, в силу принципа эквивалентности, она описывает геометрию, т. е. сферу действия гравитации. Отсюда возникают существенные особенности теории: ее нелинейность, инвариантность относительно группы общих координатных преобразований, выступающей в качестве калибровочной группы; наличие связей в формулировке начальных данных и отсутствие единого временного параметра (теория сразу записана в параметризованном виде).

При подстановке задачи Коши в ОТО возникают два вопроса: 1) где задавать начальные данные? 2) какие величины можно задавать произвольно, а какие ими должны определяться?

Один из вариантов обобщенной гамильтоновой динамики состоит в том, чтобы задавать начальные данные на изотропной гиперповерхности [4; 46, с. 84; 145] . Альтернатива этому — задание начальных данных на пространственноподобной гиперповерхности. С физической точки зрения первый путь представляется более приемлемым, но, к сожалению, возникают большие математические трудности, связанные с распространением на этот случай понятия ковариантной производной и кривизны 3-мерного пространства, так как метрика на изотропной гиперповерхности вырождена. Детальное обсуждение проблемы можно найти в работе Сакса [46, с. 84].

Второй подход берет свое начало от основополагающих работ Дирака [33 - 36], Арновитта-Дезера-Мизнера (АДМ) [5] , Швингера [46, с. 67], де Витта [24, 25] • В ли монадном подходе к ОТО задача Коши состоит в том, что задано 3 мерное многообразие ЭТ с определенными начальными данными на нем (3-мерной метрикой 5侬 и внешней кривизной &伙 или Ьар и 7i"Q, а также соответствующими начальными данными для негравитационных полей — источников) и требуется найти 4-мерное многообразие 27Z , вложение f: 71f 矶 и метрику д на Ж .. которая удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и допускается начальными даннм- ми на f (〃)，причем f (П ) есть поверхность Коши для 勿[148].

Проанализируем вопрос о сохранении связей со временем в предположении, что они выполняются на начальной гиперповерхности Zf0.

67

Представим уравнения связей в виде

№:=戸％ = 0; X = /»т『у = 0, где

Х〃〃 =呼" 一(1/2)g〃"R + k严".

Из тождеств Бианки следует, что Х“"； 〃二 0. Отсюда с учетом уравнений поля

(1/7^)£ К/ТХ) + %L = 0;

(1/G7)专(0х") - G“X - Х%^ 二 0.

Эту систему уравнений можно рассматривать как систему обыкновенных уравнений вдоль каждой 斤линии. Для этого достаточно записать ее в нормальной гауссовой системе координат:

^2： ~ ( Vb^) + xf〃 二 °；

(VTXF) - X戈=0.(VTXF) - X戈=0.

(VTXF) - X戈=0.

(VTXF) - X戈=0.

Из единственности и существования решения для этой системы ура в* нений следует, что X = Х万=0, если это условие выполнялось на начальной гиперповерхности %°. Так как уравнения эволюции связей записаны в общековариантном виде^ то полученный результат справедлив в любой системе координат. Окончательный вывод можно сформулировать в виде теоремы, Авляющейся общековариантным обобщением теоремы Сакса [46, с. 93].

Т е о р е м а. Пусть 77 — 3-мерное пространство с отрицательно (положительно) определенной метрикой ba^, а х@д — симметричный тензор, определенный в этом пространстве и подчиняющийся уравнениям связей (2.42). Тогда существует одно 〃 только одно пространство-время, с *" = 0, которое имеет изометричное 〃 3 мерное подпространство с %。 в качестве его в торой фундамен тальной формы.

Хотя переменные ba^,斤°° образуют полную систему данных Коши, они не образуют минимальной системы [46, с. 84, 148] . Из двенадцати величин b磽,яа^ четыре можно исключить с помощью уравнений связей, а из оставшихся восьми четыре можно исключить, наложив координатные условия. Таким образом, остаются четыре динамических уравнения, которые определяют эволюцию системы с двумя степенями свободы [5] . Кроме того, уравнения Эйнштейна перенасыщены информацией: они описывают дважды одну и ту же динамику — один раз с помощью динамических уравнений, другой — через уравнения связей [59] . Действительно, если начальные данные удовлетворяют на поверхности Коши 6₽

уравнениям связей и эволюция геометрии осуществляется в соответствии с уравнениями (2.41), то измененные динамические переменные будут удовлетворять связям при переходе к соседней гиперповерхности. С другой стороны, если они удовлетворяют связям на любой пространственноподобной гиперповерхности, то они с необходимостью удовлетворяют и динамическим уравнениям. Проблема выделения независимых степеней свободы гравитационного поля наиболее трудна при формулировке гамильтоновой динамики. Охарактеризуем вкратце различные точки зрения на эту проблему.

Подход АДМ [5]. В процедуре АДМ 3 + 1<расщепление пространства* времени осуществляется с помощью сечений t = х° = const, где х° — координатное время. Импульсы, канонически сопряженные 3-мерной метрике Ьц, определяются, как обычно, через внешнюю кривизну Х^： тг" = \^Ь(W — 6”Х)• Гамильтониан записывается в виде

勿=/ (Л/Со + Nid'cPx,

где Со — гамильтонова связь; Со = (1/\/S)《"'—(1/2)я2)—、后3斤； d — импульсные связи. С' = 2亦力•

Функции Л/ и М называют функциями темпа (хода) и сдвига соответственно, по сути дела это лагранжевы множители в вариационном принципе. С геометрической точки зрения эти функции определяют, каким образом следует продолжать координатную сетку при переходе от гиперповерхности 力 к Zf + gf : Л/дает связь между собственным и координатным временем 5т = NM Sr^ 他(х) — между пространственными координатами на 2? и Sf +5r，=—Л/^Г, где /V' =

Действие записывается в виде

/ =止 / H，j - NC° - МС； + 2кХ/.(2.43)

Здесь 兑 / — лагранжиан негравитационных полей, а точка означает дифференцирование по координатному времени х°.

Замечание. В ли-монадном формализме производная по времени определяется как £ и связана с производной АДМ соотношением

看力二切 + bij,pNP + 2Л/：о%р,

m・=^о/,扌" =5片 + 5夕"；

кроме того. Л/ = (р°°)Т/2.

Динамические уравнения Эйнштейна получаются при варьировании (2.43) по 3-мерной метрике Ь〃, а связи,— по лагранжевым множителям Л/ и /V； . Варьирование по импульсам тг" приводит к стандартным соот-

69

ношениям между внешней кривизной и производной по времени (производной Ли в направлении 扌)от Ьц (1.81).

Независимые степени свободы в методе АДМ выделяются в несколько этапов.

В предположении асимптотически плоской геометрии уравнения связей разрешаются явно для 4 из 12 переменных (Ь〃， я^). Это осуществляется с помощью разбиения переменных на след, поперечно-бессле- довую и продольную составляющие и использования методов теории возмущения относительно пространства Минковского. Дезер [27] обобщил эту идею на случай произвольной фоновой метрики.

Б. Производится выбор системы координат (наложение координатных условий). Координатные условия АДМ имеют вид я = 0, 力，у = 0. На бесконечности координаты АДМ стремятся к обычным декартовым координатам, функция хода ?У — к 1, а сдвиг 何 一к 0.

Динамические (независимые) степени свободы отождествляются с поперечно-бесследовыми составляющими метрики и импульсов.

Г. Ненулевой гамильтониан получается после выделения независимых переменных через решение гамильтоновой связи.

Для определения энергии системы нет необходимости в разрешении уравнений связей. В гамильтоновой связи содержатся линейно вторые производные 3-мерной метрики (в члене 3Я). Они могут быть выделены в виде дивергенции

仇二[A/VFb%Tb丸/ - bihk)] ^х =

=©\/Tb^^kbjkj - bij,k、dsi ；

dSf

в последнем интеграле предполагается, что N асимптотически стремится к 1. Таким образом, **истинный° гамильтониан получается после выделения дивергенции

卩=Н - Hq = 2кЕ,(2.44)

энергия гравитационного поля определяется как

£ = 県 fyjbb^l(bjk j - bjk'dSL(2.45)

и в точности совпадает с гамильтонианом АДМ, выраженным через зависимые переменные. Таким образом, энергию можно найти с помощью

а гамильтонианом и генератором сдвига по времени является (2.44).

Следует отметить, что выражение (2.45) нековариантно и энергию необходимо вычислять в асимптотически декартовой системе координат.

Подход Кухаржа [59, 60] . В варианте Кухаржа произвол в выборе сечений пространства-времени совмещается с процедурой выделения независимых степеней свободы. Двенадцать величин <Ь『 я7) разбива- 70

ются на три группы (byf я^) f (心 口工， Y), где четыре функции Х‘(х) описывают вложение пространствен ной ги п ерповерхн ости и называются внутренними координатами. Функция Х° = Г (х) определяет ''номер" гиперповерхностиг играя роль времени. Внутренние координаты появляются также и в методе АДМГ но там они фиксируются координатными условиями.

Вторая группа канонических переменных Щ(х) содержит переменные, канонически сопряженные внутренним координатам X%). Переменная По М интерпретируется как плотность гравитационной энергии, а три величины П； (х) — как плотность потока импульса.

Наконец, третья группа состоит из двух пар канонически сопряженных переменных У (х) ={以(х), »"(川},厶=1,2, описывающих не

зависимые степени свободы гравитационного поля. Метод Кухаржа позволяет провести в общем виде разделение переменных и сформулировать такие понятия, как энергия и импульс. Он особенно эффективен, когда пространство-время обладает определенной симметрией, как например в случае с квантованием цилиндрических волн Эйнштейна—Розена.

Дальнейшее развитие этих идей привело Кухаржа к созданию теории гиперпространства [59]. Гиперпространство определяется как бесконечномерное многообразие всех пространственноподобных гиперповерхностей, погруженных в данное риманово пространство-время. Конструктивно гиперпространство вводится следующим образом. Пусть f : f (〃)U U 麓一погружение 3-мерного многообразия 冗 в 4-мерное пространство-время VL . Образ f ( % ) определяет некоторую гиперповерхность в 观 .На самом деле здесь есть еще некоторая неоднозначность, связанная с возможностью пространственных диффеоморфизмов Diff( 〃 ), не нарушающих вложения. Поэтому гиперповерхность f ( % ) определяется как класс эквивалентных вложений f, определенных с точностью до пространственных диффеоморфизмов 屮：

h = {f =fQ^\^p Diff (勿)}.

Все вложения f, описывающие пространственные гиперповерхности в (屈，д) образуют бесконечномерное многообразие & = {f I g (丁，丁)- =€ } , где т — единичная нормаль к гиперповерхности; е = ± 1 (в зависимости от сигнатуры метрики д) . Многообразие & называют пространством погружений.

Гиперпространство Н, состоящее из множества всех гиперповерхностей, определяется как фактор-пространство: Н = S /Diff ( % ). В динамике тензорных полей оно играет ту же роль, что и время в динамике частиц.

Риманова структура пространства-времени индуцирует богатую геометрическую структуру в Н, Так, расщепление (foliation) 統 на пространственные гиперповерхности реализуется как кривая в Н, хотя обратное, конечно, неверно, так как произвольная кривая в Н может соответствовать 3 + 1-расщеплению с пересекающимися гиперповерхностями.

Проекции тензорного поля на нормальное и касательное направления образуют расслоение гипертензоров над гиперповерхностью. Гиперповерхностная динамика изучает, каким образом точка этого поля движется в 71

расслоении при движении базовой точки в гиперпространстве. Полное изложение 从теории можно найти в работах Кухаржа (1976).

Подход Йорка [50 — 52]. Гравитационные степени свободы описываются поперечно-бесследовой частью импульсов, причем

а) данные Коши определяются заданием Ьц и я^ на начальной гиперповерхности. Величины, описывающие скорость и ускорение относительно данного пространственноподобного сечения, не входят в число начальных данных;

Б) для данной 3-геометрии импульсы я^ могут быть ортогонально и ковариантно разложены на поперечно-бесследовую часть, бесследовую часть, определяемую пространственным вектором, и след;

В) скаляр т 二(2/3) b~ 1/2я представляет собой "времяГ', параметризи- рующее гиперповерхности. Он измеряет скорость изменения локального элемента объема dV относительно собственного времени; 〜

Г) независимыми данными авлаютса конформная метрика Ь^ = =ЬГ "Зьд, поперечно-бесследовая часть импульсов 叫丁 (тензорная плотность весом 5/3) и скаляр т. Эти переменные инвариантны относительно конформных преобразований 3-мерной метрики 力 f bgd (9 (х) 〉0). Зависимые данные, определяемые уравнениями связей,— конформный фактор 9 и пространственноподобный вектор И< генерирующий продольную часть импульсов д^:

тт"二 7Т” + м；, + (С/2)тд";

〃〃 =VW + ▽/加• - ^l3}bHVaWa-(2.46)

牙" ：=吟Т；行"b".=0；行=。■

Таким образом, в идеологии Йорка фигурирует класс конформноэквивалентных геометрий.

Рассмотрим, каким образом изменится вид гамильтоновойо связи при конформном преобразовании 3-мерной метрики % = 9%〃. Для символов Кристоффеля

県=% + (2例(5"» + 硝 J•一》％Y,), а для 3-мерной скалярной кривизны —

/?=启Л/ +俗/9“a9，

где К — 3-мерный лапласиан относительно базисной метрики (впервые это уравнение было получено Лихнеровичем [64]). Отличие в знаке от аналогичного выражения у Йорка связано с определением тензора Риччи. С учетом конформного преобразования перепишем гамильтонову связь в виде

次1，7[/./ _ (1 ⑵7r2] +9启 + 8a9=-2к^5p.(2.47)

Здесь р = Тд〃門". Это уравнение определяет конформный фактор 9. Более детальное обсуждение проблемы выделения независимых степе- 72

ней свободы в методе Йорка можно найти в оригинальных работах этого автора, ссылки на которые были приведены выше, а также в [73].

2 + 1 + Ьподмод. Процедура выделения независимых степеней свободы гравитационного поля в рамках 2 + 1 + 1 -подхода к гамильтоновой динамике была предложена в [18,20]. В кинеметрически-инвариантной калибровке уравнения связей расщепляются с помощью единичного простран* ственноподобного векторного поля 2 (развитие этих идей в рамках лимонадного формализма см. в § 1.6). Шесть компонент метрического тензора 户"=—声т" разбивают на совокупность переменных 萨", ln\/S7 館，t\ где 扌,"=2,3;萨” =$国- конформно-инвариантная часть 2・мерной метрики. Независимые степени свободы отождествляют с переменными 亍и канонически сопряженными им импульсами 扌加. В случае плоских и цилиндрических волн конформно-инвариантная часть 2*метрик совпадает с независимыми переменными, полученными в других подходах. Этот путь представляется геометрически изящным и плодотворным. Обсуждение различных калибровок (2 + 2, 2 + 1 + 1 и т. д.) z включая изотропные поверхности и постановку задачи Кении, см. в [4, 18, 32].

2S. ИНВАРИАНТЫ И СИММЕТРИЧНЫЕ 6ЕССЛЕДОВЫЕ ТЕНЗОРЫ

Исследуя проблему излучения в ОТО, Бель [10] и Робинсон по аналогии с электромагнетизмом предложили определение локальной плотности энергии поля тяготения по отношению к единичному вектору, характеризующему временное направление, (монаде) /. Приняв обозначения

X卽 =气也必入，У卽二斤碩卄

N因=一斤曲*凡入(2.48)

они назвали плотностью гравитационной энергии скаляр

丿=(1/4)(询小 卽 + У®У削 + 22削2 卽)，(2.49)

доказав, что при 斤硝电 力 0 всегда У > 0.

Подставляя в (2,49) выражения (2.48), находим, что в пустом прост* ранстве>времени

丿=^Тархриаи^и\р,

где величина Тар\р — тензор суперэнергии Беля—Робинсона [43]:

丁叩м 二(1/8я) (Яд^др &『р" + "а*0〃〃 斤入 *р°")二

=(1/8明斤皿喇〃 + "削川入忆8)%“。产"。4^» 、(2.50)

В выражении (2.50) прослеживается обсуждавшаяся выше аналогия между гравитационным и электромагнитным полями. Действительно,

вспоминая формулу для максвелловского тензора энергии-импульса %0 =_(1/8тг)[尸制户/+ g2尸炉片=

=-(1/4я) [ F^ F^ - (V^g^F^],(2.51)

замечаем ее явное сходство с формулой (250), хотя входящие в эти

выражения величины имеют разную тензорную валентность в свази с тем, что роль напряженности в (2.50) играет тензор кривизны риманова пространства-времени (относительная напряженность).

Подобно тензору энергии-импульса в электромагнетизме, тензор су-

трудно убедиться простым вычислением с типа Ланцоша [62]:трудно убедиться простым вычислением с типа Ланцоша [62]:перэнергии симметричен по всем индексам Т呻冲=丁^цр) и любая его свертка в пустом пространстве-времени равна нулю, %@ “ =0, в чем неиспользованием тождеств

трудно убедиться простым вычислением с типа Ланцоша [62]:

трудно убедиться простым вычислением с типа Ланцоша [62]:

8哂5碎心m = 48哈入噌;

肥叫呐L R丁R\\l R%°Rh「

+ 嘅 Ча戸 W8)%3M^哈g_g%入/.

Наконец, для тензора суперэнергии в вакууме имеет место ковариантный закон сохранения 戸"入°。р = °，являющийся следствием тождеств Бианки и равенства нулю тензора Эйнштейна (и тензора Риччи) в пространстве без источников негравитационных полей (так же ковариантную дивергенцию тензора энергии-импульса Максвелла обращают в нуль вакуумные уравнения электромагнитного поля).

Хорошо известно, что (2.51) является "метрическим'' тензором энергии-импульса электромагнитного поля, т. е. он возникает как результат варьирования максвелловского лагранжиана по метрике V= =-25九e/出9〃〃)，где

Xem 二一(1/167Г)V3?尸”尸"• (2.52)

Лагранжиан типа (2.52) может быть записан и для гравитационного поля, как это делается в квазимаксвелловском подходе к общей теории относительности [77]. Возникает вопрос: нельзя ди из такого квазимакс- велловского лагранжиана вариационным путем прийти к тензору суперэнергии? Как показали Мицкевич и Сидауй [42], это возможно.

Если рассмотреть плотность функции Лагранжа вида [77]

Yg =[户/(4叫吗入 р%зе(д^к%ВЗдР€ +

+ g^gA03 + 2g战产g入з _

- g&g丁*д°з + 4g崎入ЗдРГ , (2.53) то, считая метрику и связность независимыми переменными (метод Па- 74

латини), получим в результате варьирования (2.53) по связности квази-латини), получим в результате варьирования (2.53) по связности квази-

латини), получим в результате варьирования (2.53) по связности квази-

латини), получим в результате варьирования (2.53) по связности квази-

максвелловские уравнения [по существу, уравнения (2.22)]内屮入・窃= =Ядр；入一"№； “，а после взятия вариационной производной по метри

ческому тензору — тождества Ланцоша, выражающие факт равенства

нулю сверток тензора суперэнергии в вакууме. Проварьируем лагранжи< ан (2.53) по метрике повторно. Результатом этого оказывается в точ

ности тензор суперэнергии Беля-Робинсона

7耽"二言"^'館

который, таким образом, также является ''метрическим" тензором (супер) энергии<импульса квазимаксвелловского гравитационного пола.

Запишем выражение для тензора суперэнергии на языке дифференциальных форм. Заметим, что этот метод записи, столь естественный для тензоров, антисимметричных по всем индексам, может быть успешно применен и для вычисления симметричных величин. Для этого необходимо лишь использовать смешанные операции внешнего произведения и дуального сопряжениА (как это было показано на примере тензора Риччи, скалярной кривизны и уравнений Эйнштейна в § 1.4) или внешнего и внутреннего произведений. Например, для электромагнитного поля с помощью вектора монады иа определяется 3-форма плотности 4-вектора энергии-импульса:

Qm =(1/8行)(/ * 尸人尸一/"尸八* 尸).(2.54)

Действительно,

九m 二-(1/4叫尸邓尸侬-"⑷或尸硝尸吗〃入"%=

=T加入 *06 = P€ * %(2.55)

Здесь * % — элемент 3-мерного объема. Легко проверить, что скаляр &ет=/и・^еЕИ ^гФ0Рма ^ет 二〕и % т описывают соответственно плотность энергии и вектор Пойнтинга, а "закон сохранения" (если и — вектор Киллинга) d^em =—戶£(/幻=0 имеет место при удовлетворе* нии уравнений Максвелла в вакууме.

Выражение, аналогичное (2.55) , можно записать и в теории гравитации; здесь соответствующая 3-форма оказывается тензорнозначной:

歹叩=(1/8я)аи *а°入л d入 + iа、А *а°入)=

=7a0入%入* %,

и ее физический смысл далеко не столь очевиден, как в случае электродинамики. Поскольку %卽卩 представляет собой квадратичную конструкцию по тензору кривизны, интерпретируемому как относительная на・ пряженность поля тяготения, то тензор суперэнергии можно истолковать как относительную плотность энергии-импульса вакуумного гравитацион-

75

ного поля. Такая интерпретацияг отличная от точки зрения Беля, подтверждается при исследовании энергетических характеристик поля тяготения в геодезических системах координат [40].

О некоторых свойствах гравитационных полей, например о наличии сингулярных точек, можно судить, исследуя инвариантные характеристики пространства-времени. В теории гравитации Эйнштейна такие инварианты строятся из тензора кривизны и метрического тензора. В отличие от электродинамики Максвелла, где имеются всего две инвариантные характеристики, построенные из напряженности электромагнитного поля 二 F冲F叫 J?二 尸击尸"“，в 4-мерном римановом пространстве- времени ОТО базис система инвариантов состоит из 14 элементов. Приведем здесь явный вид всех инвариантов полной системы; некоторые элементы базиса инвариантов здесь отличаются численными коэффициентами от выписанных з монографии А. 3. Петрова [106] (где также дано доказательство независимости элементов полной системы).

Всего имеется один инвариант 1 -й степени /1 = /?, три инварианта 2-й степени:

/2 = R冲心;/3=斤^入2/4="而入『"""；

пять инвариантов 3-й степени:

%二片%哈〃"〃人产气”№；

/7 二面巾 /8 二 ^PR^TR0T^

три инварианта 4-й степени:

厶。二6产Ч制；

片心/4/"叫

и два инварианта 5-й степени:

八з =心№m"〃 +碎斤冗斤衿"；

=

где

2入％ = 4吟碎矶斤"3吟吟叫叱.

Глава 3

ТЕОРЕМА НЕТЕР И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

ТОЖДЕСТВА НЁТЕР

Дадим вывод основных соотношений теоремы Нётер (ее тождеств) и некоторых следствий из них, играющих важную роль в установлении канонического формализма, законов сохранения и в их обсуждении. Окончательно отношение к проблеме сохраняющихся величин в ОТО выяснится в последующи^ главах, когда мы применим в ней аппарат, связанный с описанием систем отсчета, и учтем асимптотическую структуру пространства времени. Что же касается самой теоремы Нётер, то нас будет интересовать локальная картина (дифференциальные тождества Нётер) ,связанная с общей ковариантностью теории. Это наиболее приближается к так называемой второй теореме Нётер (см. [89, 109, 147, 77] и цитированные там источники), Некоторые уточнения, возникшие в ходе развития теории симметрий пространства-времени ОТО, можно найти в последнем разделе этой главы.

Нас интересуют приложения к теоретической физике. Если говорить на ее языке, то теорема Нётер утверждает, что инвариантности интеграла действия относительно преобразований полевь^х функций при переходах между разными координатными системами соответствуют законы сохранения, причем конкретным группам преобразований отвечает сохранение определенных комплексов физических величин. Объединение этих групп в единое целое объединяет и указанные комплексы, раскрывая их иерархию. Будем подходить к их совокупности "сверху'', начав с общих непрерывных и достаточное число раз дифференцируемых бесконечно малых преобразований координат. Здесь не будем обсуждать собственно калибровочные преобразования, действующие в слоях над многообразием пространства-времени (например, градиентное преобразование) ,хотя они и приводят к ряду любопытных последствий даже в теории энергии (см. [168]).

Законы сохранения делятся на сильные и слабые. Если для их вывода достаточно инвариантности некоторой величины (например, действия), то говорят, что это сильные законы сохранения. Если же сохранение существенным образом учитывает, кроме инвариантности, еще и обязательное выполнение уравнений пола (а в механике — уравнений движения), то соответствующие законы сохранения называют слабыми. Сильные законы сохранения можно получить, исследуя на инвариантность (теорема Нётер) любые инвариантные величины, построенные из полевых функций и их производных, пусть даже никак не связанные с физическими задачами. Поэтому более глубокий смысл имеют слабые законы сохранения, опирающиеся сразу и на математически корректную (инвариантную) формулировку действия, и на реально действующие законы физики (экстремальность действия, уравнения полей).

Кроме излагаемого здесь (см. также [13, 147]), существует и другой подход к теореме Нётер, часто применяемый в классической и кван* товой механике. В этом случае исследуют не инвариантность действия относительно преобразований координат, когда физическая система ос-

тается прежней, а неизменность действия при движении физической сис> темы относительно фиксированных координат. Оба подхода в плоском мире дают одинаковые результаты, так как в них используются одни и те же физические законы, а само плоское пространствовремя однород< но и изотропно. В ОТО, однако, движения физических систем как целого относительно фиксированного пространства не всегда возможны ввиду отсутствия в общем случае максимальной подвижности (изометрии), но локально можно ограничиться касательным пространством, так что ортодоксальная форма теоремы Нетер для плотностных соотношений остается в силе. К ряду тонкостей в этих вопросах мы вернемся позд* нее. Отметим пока лишь, что и преобразования координат и движение физической системы (ее эволюцию) можно рассматривать как частные случаи канонических преобразований (также и в теории пола).

Обратимся к теореме Нетер в случае бесконечно малых преобразований. Канонические координаты — полевые функции — обозначим 4 • При замене координат (см. § 1.2)

X，生=好+济(3.1)

полевые функции преобразуются по закону

54 = &(х‘) - Аа (х),

причем, согласно (1.3),

54 =412以・(3.2)

Заметим, что операция 5 неперестановочна с частным дифференцирова- нием

5(4,£ =(Ь4，,а— 4,萨%

тогда как для упрощения вычислений требуется перестановочность. Не- перестановочность здесь связана с тем, что формально в определении операции fi величины 4； (х‘)и Аа (х) имеют разные аргументы, хотя и относятся к одной и той же точке пространства-времени. Если же их взять в разных точках, но так, чтобы координаты одной точки до преобразования совпадали с координатами другой, взятыми после преобра* зования, то получим производную Ли (1.8), (1.9), коммутирующую с операцией частного дифференцирования (1.10). Определению (1.9) можно придать удобный вид:

£ = /а/ах° — 5 三 Е — 5・(3.3)

Пользуясь формой (1.9) и определением ковариантного дифференцирования (1.48), можно представить £ явно тензорным образом:

£ 4 = 4;演@ - Аа\^т.

что непосредственно выражает одинаковые трансформационные свойства и Д^ , так что 5 (^ аа )=(存4)4101^斗，

Сама Нетер рассматривала инвариантность интегрального функционала. Однако, если считать, что интеграл действия инвариантен при любом выборе области интегрирования и относительно любых (не тождественных на границе области) преобразований, то это эквивалентно выбору лагранжиана в виде скалярной плотности (ограничимся таким случаем, учитывая самостоятельную важность понятия действия). Действительно, при этом подынтегральное выражение * (砍)должно вести себя как аксиальный (преобразующийся со знаковой функцией якобиана) скаляр, ибо сам знак интеграла преобразуется по закону [ /「= / = а а’ = / sgn J ввиду перестановки пределов интегрирования, если J < 0.

С

Так как элемент объема преобразуется по закону (砍‘)=J (сМ , то ввиду аксиальной природы £ (dx) сам лагранжиан должен быть скалярной плотностью с весом +1:

При инфинитезимальных преоб- 4 и поэтому Ь ^ = - Y ^%При инфинитезимальных преоб- 4 и поэтому Ь ^ = - Y ^%£'(『)，=|J| т W (х) (преобразование с модулем якобиана). разованиях (3.1) якобиан равен J =1 + Переходя к производной Ли, получаем

При инфинитезимальных преоб- 4 и поэтому Ь ^ = - Y ^%

При инфинитезимальных преоб- 4 и поэтому Ь ^ = - Y ^%

£ 更一(W 尹)〃 =0(3.4)

代)'

—основное соотношение для вывода теоремы Нётер.

Начав с сильных соотношений, рассмотрим общий случай скалярной плотности, построенной из потенциалов и их первых двух производных:

£ =北(4； 4, а； 2а, а, 0)•

Величина £ £ может быть в первом порядке малости записана как

£义£义---£ 4 +3& (幻---£ 4 +3& (幻8纪8北

£义

£义

---£ 4 +

3& (幻

---£ 4 +

3& (幻

£ 26 a + • £ Дa 84,а 伐)'3/40 传)

Благодаря перестановочности операций £ и да, часть членов можно собрать в стандартную лагранжеву производную Ь* /54 ； попутно обнаруживается удобство в использовании и другого обозначения:

(3.5)

Отметим, что оба слагаемых в (3.4), как и в (3.5), — скалярные плот-

79

ности относительно общих преобразований координат. При учете соотношений (3.2) и (3.3) подстановка в (3.4) выражения (3.5) дает

［診（詩」：）》+

+ 陇“° + 加^2； + 〃眇斗f],a=0，(3.6)

(3.9)(3.9)

(3.9)

(3.9)

Здесь введены следующие обозначения:

в士 н в*ax

";I。一二/小一a"^ 4,。%力

範:= -——4—14,0+ ;4; (3.8)

^Аа, а I。 ^Aa, а,7^Аа, ar^ 1。，0

(3.6), выражающее тот(3.6), выражающее тотДля краткости будем называть соотношение

(3.6), выражающее тот

(3.6), выражающее тот

факт, что лагранжиан является скалярной плотностью, условием инвариантности лагранжиана; это условие включает произвольный бесконеч

но малый вектор 与，который можно исключить, так как лагранжиан должен быть скалярной плотностью относительно всех достаточное число раз дифференцируемых преобразований (3.1). Произвольность вектора 与 означает, что локально в качестве 打，，三吃0 и 扌，0了 берутся любые величины, с тем лишь условием, чтойь! последние две из них

были симметричными по своим нижним индексам.

Чтобы исключить W, продифференцируем явно выражение, стоящее под знаком дивергенции в (3.6), и сгруппируем естественным образом

полученнь{е слагаемые:полученнь{е слагаемые:

полученнь{е слагаемые:

полученнь{е слагаемые:

+ ［加2 +次^0住2 + ［哨+ ?Z能0曜戸〃龍，乙0 = 0-

Используя произвольность 卅 и их отсюда, чтоИспользуя произвольность 卅 и их отсюда, чтопроизводных в точке, заключаемпроизводных в точке, заключаем

Используя произвольность 卅 и их отсюда, что

Используя произвольность 卅 и их отсюда, что

производных в точке, заключаем

производных в точке, заключаем

次'次？^ = °；敬『）+笈t% = 0;次'次？^ = °；敬『）+笈t% = 0;(3.10)(3.10)(3.11)(3.12)(3.11)(3.12)

次'次？^ = °；

敬『）+笈t% = 0;

次'次？^ = °；

敬『）+笈t% = 0;

(3.10)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.11)

(3.12)

(3.13)(3.13)公?①=0.

(3.13)

(3.13)

Круглые скобки Ваха, как обычно, означают симметризацию по всем стоящим в них индексам; тогда в силу определения (3.9)

江(}0)三(1/3) (0 眇 + 超乎 + 〃們)=0.(3.14)

Заметим, однако, что

Отсюда, если подставить определение (3.7) в соотношение (3.10), легко увидеть, что (3.10) выполняется тождественно — независимо от того, является лагранжиан скалярной плотностью или neY. Остальные соотношения (3.11) — (3.13) действительно выражают условие инвариантности лагранжиана; это и есть искомые тождества Нётер. Их можно рассматривать с разных точек зрения — например, принимая в качестве дифференциальных уравнений, решение которых представляет собой лагранжиан X как функцию полевых переменных и их производных, автоматически инвариантную относительно преобразований (3.1) . Нас будет интересовать другой аспект понимания тождеств Нётер, связанный с законами сохранения.

Формально равенство нулю дивергенции (в смысле частного дифференцирования) любой величины — а не только векторной плотности — можно рассматривать как дифференциальный закон сохранения. Соотношение такого вида непосредственно следует из тождеств Нётер (3.11) — (3.13):

若,а = °- (3.15)

Этот сильный закон сохранения играет важную роль в теории псевдотензоров, и хотя, как будет показано ниже, сами псевдотензоры энергии- импульса и момента импульса — не достаточно широко применимые физически осмысленные величины, они представляют собой важный строительный материал теории, и тождество (3.15), которое также будем называть тождеством Нётер, играет существенную роль. Начнем с того, что учтем его в соотношении (3.10) , являющемся тривиальным тождеством; поэтому получающееся соотношение

(3.16)

содержит точно такую же информацию, что и (3.15). Этот результат обладает тем преимуществом, что его можно записать в явно тензорном виде. Воспользуемся для этого свойством тензорной плотности выра

женияАа , т. е. его законом преобразования 6да а

6腸M)=接4口纟一

6Х 厶 06T6*0

ЛД- Дa 0 _ 弘8 g "6лаа °

Тогда, учитывая (1.48), имеем

(3.17)(3.17)

(3.17)

(3.17)

Соотношения (3.16) и (3.17) — сильные, так как они следуют лишь из инвариантности 义 без учета выполнения уравнений поля, т. е. (Ьункция * могла бы и не быть лагранжианом.

ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

Согласно уравнениям Эйнштейна, источником гравитационного пола является тензор энергии-импульса негравитационных полей. Однако определить таким образом этот симметричный тензор было бы непоследовательно, так как он стоял бы особняком от других сохраняющихся величин. Поэтому подойдем к нему со стороны тождеств Нётер в форме (3.17). Тогда факт появления этого же тензора в правой части уравнений Эйнштейна становится важным элементом истолкования их физического смысла.

Для того чтобы наполнить соотношение (3.17) физическим смыслом, учтем уравнения поля и перейдем тем самым к слабому соотношению. Разобьем лагранжиан W » полной системы полей, зависящий от полевых функций Аа и их производных, на две части: лагранжиан гравитационного поля * g и лагранжиан всех других полей W 夕.Предваритель* но разобьем и общую совокупность функций Аа на гравитационные Аа„ и негравитационные 4，, введя новые коллективные индексы: 间=侶力〃}・ Так как отсутствие гравитационного поля локаль< но определяется обращением в нуль тензора кривизны, а не конкретизацией функций 2/ , то лагранжиан негравитационных полей сохраняет зависимость от всех переменных, включая и гравитационные. Напротив, отсутствие других полей означает равенство нулю (с точностью до калибровочных преобразований) всех компонент АдГ. Этим и воспользуемся для разбиения лагранжиана:

^g =厶1%，=o;方= 4 - % (3.18)

Заметим, что, вообще говоря, переменные Aa„t описывающие гравитационное поле, могут и не сводиться к компонентам метрического тензора (например, когда рассматриваются спинорные поля в ОТО); однако чаще всего под Аа^ понимают д〃〃.

(3.19)(3.19)Тогда уравнения негравитационных полей принимают простой вид:

(3.19)

(3.19)

8上/必/三6*"必/ = 0,

(3.20)(3.20)а уравнения гравитационного поля (в ОТО это, конечно, уравнения Эйнштейна) содержат два члена:

(3.20)

(3.20)

6*/6%診鼻 6±g/6Aa“ + 6^f/6A^ =0.

Следует помнить, что при суммировании по повторяющем恤гт коллективному индексу необходимо брать всю совокупность компонент, отвечаю- щую данному типу индекса; это касается, в частности, суммирования в соотношении (3.17). Однако в качестве лагранжиана здесь можно брать не только N— но и ^^ или X ^； в силу (3.19) во всех случаях имеет место слабое равенство

5W5Х

которое в применении к (3.20) дает

5Х5Х弘“弘“%"「(訂 4"H)；L・%"「(訂 4"H)；L・(3.21)(3.21)

5Х

5Х

弘“

弘“

%"「(訂 4"H)；L・

%"「(訂 4"H)；L・

(3.21)

(3.21)

(3.22)(3.23)(3.24)(3.25)(3.22)(3.23)(3.24)(3.25)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Будем теперь понимать под 4“ поле метрического тензора д^ (возможен, более широкий класс случаев, если обобщить операцию ковариантного дифференцирования; существенно лишь, чтобы 4„、仪三 °)； тогда первое слагаемое в (3.21) обращается в нуль, и соотношение сводится к равенству нулю ковариантной дивергенции тензора:

唱厂°-

Так как

If =-”魂-g/匕‘

то сохраняющийся тензор симметричен и равен

〜g др

В ОТО гравитационный лагранжиан записывается в виде

Y = А

(к — эйнштейновская гравитационная постоаннза, к = 8тгу), и для него

Подстановка в уравнения (3.20) с учетом определения (3.24), когда “J f 041rAает стандартную запись уравнений Эйнштейна

严"一(1/2)ga〃& = - к"",(3.26)

где справа стоит симметричный тензор энергии-импульса негравитационных полей (обычно индекс f у него не пишут).

Возвращаясь к определению (3.22), учтем его в выражении (3.7):

吗=7戸X%-Тогда можно записать吗=7戸X%-Тогда можно записать5 W5 WЭХЭХ卷三C* =疗+ 8，где《о = “4,0,0 _〜 0Аа z aa, p卷三C* =疗+ 8，где《о = “4,0,0 _〜 0Аа z aa, p(3.27)(3.28)(3.29)(3.27)(3.28)(3.29)

吗=7戸X%-

Тогда можно записать

吗=7戸X%-

Тогда можно записать

5 W

5 W

ЭХ

ЭХ

卷三C* =疗+ 8，

где

《о = “4,0,0 _〜 0Аа z aa, p

卷三C* =疗+ 8，

где

《о = “4,0,0 _〜 0Аа z aa, p

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

—величина, называемая обычно {каноническим) псевдотензором энергии- импульса (который к тому же несимметричен). Рассматривая 况:как добавку, симметризующую 4 ； (у дополняющую его одновременно до тензорной плотности), можно назвать ^^J спиновой долей энергии-импульса, имея в виду, что для полей,спин которых равен 0,7 / и 俏 тождественно совпадают друг с другом. В свою очередь, величину^7 (3.8) называют плотностью обобщенного спина, так как при соответствующей антисим

метризации и интегрировании она дает в теории вторично квантованных полей стандартные значения их спинов. Величина 訳 ^ (3.9) не имеет аналогов в обычной теории; в ОТО она отлична от нуля лишь для гравитационного поля. Мы будем называть ее плотностью биспина.

ПСЕВДОТЕНЗОРЫ И ИХ КРИТИКА

В этом параграфе дается исторический (хотя и не хронологический) экскурс в псевдотензорное определение энергии-импульса и момента импульса в ОТО. Прототипом такого определения послужило описание этих величин в нерелятивистской физике и в частной теории относительности; будем ссылаться на идеологию последней. Это описание было плодотворным в механике и теории электромагнетизма (как, впрочем, и в теории любых полей и объектов в плоском — максимально однородном — пространстве-времени). С точки зрения теоремы Нетер речь идет о том, что в Фмерном пространстве*времени, наделенном максимальной подвижностью, действует 10-парвметрическая группа изометрии, сводящаяся для плоского

мира к группе Пуанкаре. В этом последнем случае глобально существуют в чистом виде преобразования сдвига (4 параметра — 1 временной и 3 пространственных сдвига) и преобразования поворота (3 пространственных и 3 буста, т.е. гиперболических поворота Лоренца, всего 6 параметров). Не будем касаться здесь более общего случая группы де Ситтера, для которой глобально такая классификация невозможна (сдвиги и повороты неизбежно смешиваются). Со сдвигами теорема Нетер связью вает энергию и импульс, а с поворотами — момент импульса1 (пространственные повороты) и закон центра инерции (бусты). Теорема Нётер указывает структуру плотностей этих величин, плотностей их потоков, а инвариантность лагранжиана по отношению к соответствующим преобразованиям ведет к законам сохранения.

Сдвиг в- направлении декартовой координатной оси номер а описывается (с точностью до инфинитезимального» не зависящего от координат множителя) вектором W к% т.е. 卅 =б£ • Подставим этот вектор в соотношение (3.6), приняв во внимание (3.16):

(理 F+噌Т& + 崂％冷 0), 〃 = 0・ (3.30)

喝+ %纟喝+ %纟0.0.Получим просто «-компоненту тождеств (3.15) : ^ ^ 0 =。・ Соответственно разделению (3.18) усматриваются три возможности. Кроме того, следует учесть равенство (3.28) и уравнения Эйнштейна в форме

喝+ %纟

喝+ %纟

0.

0.

Представляют интерес два случая, когда в дифференциальном законе сохране

ния подния подВ обоихВ обоих(3.31)(3.31)(3.32)(3.32)знаком дивергенции стоят величины

ния под

ния под

В обоих

В обоих

(3.31)

(3.31)

(3.32)

(3.32)

+ 4да - — & а

+九2 =』2・

случаях сохраняется комбинация величин, одна из которых характеризует

гравитационное поле, а другая — прочие поля, но во втором случае эта сумма, цели* ком выражается через чисто гравитационные конструкции, хотя и описывает поведение всей системы. Исторически ей и отдавалось предпочтение всеми авторами. Так как гравитационный лагранжиан, от выбора которого зависит%^ (добавление дивергенциального члена здесь меняет картину в отличие от поведения симметричного тензора энергии-импульса), в разных работах брали по-разному, получали и разные псевдотензоры энергии-импульса (3.32). Но сдвиг — преобразование линейное (вместе с поворотом), поэтому относительно него инвариантен и введенный Эйнштейном нековариантный лагранжиан

(3.33)

не содержащий вторых производных метрического тензора. Они отброшены вместе

Часто применяемый термин ^угловой момент" — неудачный перевод английского angular momentum; вспомним, что momentum означает не момент (было бы просто moment), а импульс. Действительно, мсмент импульса с канонической точки зрения — не что иное, как импульс, сопряженный угловой координате.

с дивергенциальным членом, выделяющимся из общековариантного лагранжиана.

пропорционального скалярной кривизне:

Сладующий из лагранжиана канонический псевдотензор Эйнштейна

-明Ainit-明Ainitа — ^^Einst

-明Ainit

-明Ainit

Einst а =9叫°

дает по правилу (3.32) выражение, частная дивергенция которого обращается в нуль (дифференциальный закон сохранения), что особенно просто выражается как результат антисимметрии соответствующего суперпотенциала по его верхним и* дексам:

(3.34)(3.34)% 曰еА%〉"е券;

(3.34)

(3.34)

н-鼻"宀产g”・н-鼻"宀产g”・(3.35)(3.35)

н-鼻"宀产g”・

н-鼻"宀产g”・

(3.35)

(3.35)

С помощью этого суперпотенциала, пользуясь теоремой Гуасса, легко вычислить интегральную энергию (массу) островной физической системы. Для этого следует брать координаты, в которых вектор 与 = 屯 действительно описывает на больших расстояниях сдвиги, т.е. брать асимптотически декартовы координаты. В противном случае обнаруживается парадокс Бауэра (см. [99, 77 ]) 1 в асимптотически сферических координатах интегральная энергия оказывается бесконечной, даже если расчет ведется для в точности плоского пространстеа'еремени, вообще не содержа* щего никакой энергии!. К этому парадоксу мы еще вернемся в дальнейшем, а пока лишь отметим, что он обнаруживается и для прочих псевдотензоров (кроме, разве что, псевдотензора Пепапетру, если подходить к нему корректным образом).

Общековариантный гравитационный лагранжиан

£ = /?

2K

(3.36)(3.36)непосредственно приводит к другому псевдотензору, найденному первоначально Шрёдингером, а затем, после десятилетий забвения, переоткрытому Н.В. Мицкевичем и Мёллером (они независимо пришли к нему с разных сторон в публикациях, появившихся в 1958 г.)1. Этот псевдотензор ШММ выражается с помощью суперпотенциала соотношением типа (3.34), причем

(3.36)

(3.36)

шмма 一 -^ Воз, £ 一 9uet (J9 °

Запишем здесь для общековариантного лагранжиана также величиныЗапишем здесь для общековариантного лагранжиана также величины(3.37)(3.37)

Запишем здесь для общековариантного лагранжиана также величины

Запишем здесь для общековариантного лагранжиана также величины

(3.37)

(3.37)

1 Соответствующая статья [75] была направлена в ЖЭТФ в 1956「.，но увидела свет лишь в 1958 г. на немецком языке в журнале Annalen der Physik в ГДР.

86

歿窜=?叫,3 - * JT 一曝产明)

Псевдотензор ШММ обладает лучшими трансформационными свойствами, чем леев* дотензор Эйнштейна (парадокс типа Бауэра для него сильно завуалированЬ Отметим одно специфическое свойство псевдотензора ШММ. Если взять стационарное вакуумное гравитационное поле, для которого метрика имеет вид Керра—Шилда, то легко показать, что суперпотенциал ШММ имеет вид градиента

ШММ о

где Н — функция, входящая в метрику Керра-Шилда (д^ 二 5〃〃 一 2 &%£“), так что псевдотензор ШММ отличен от нуля лишь в сингулярной точке для компоненты оо：4 (МММ ^ = — △{Л//К)6 (г ).

外需二占［12叩产一%%)］，€•外需二占［12叩产一%%)］，€•(3.38)(3.38)Широко известен также псевдотензор Ланда у—Лифшица—Фока (ЛЛФ), который, в отличие от указанных выше двух псевдотензоров, имеет два контравариант- ных индекса, по которым он симметричен. Он также может быть выражен через суперпотенциал, построенный исключительно с помощью гравитационных пере* менных [хотя выражает свойства всех присутствующих полей в совокупности, ср. с (3.32)]:

外需二占［12叩产一%%)］，€•

外需二占［12叩产一%%)］，€•

(3.38)

(3.38)

Псевдотензор ЛЛФ также приводит к парадоксу Бауэра, и при анализе островных систем его следует рассматривать в асимптотически декартовых координатах. Существует простая связь между суперпотенциалами Эйнштейна и ЛЛФ:

九，= %*О7需，

Обсуждение некоторых других сторон теории псевдотензора ЛЛФ можно найти в [61] и в [143].

В стороне от только что обсуждавшихся псевдотензоров стоит псевдотензор Папапетру (симметричный, с двумя верхними индексами). Он не следует из общих конструкций одноиндексных сохраняющихся величин (см. § 3.4) при конкретизации векторного поля 与，но может быть построен с помощью строительного материала, предоставляемого тождествами Нётер [77]. Однако его более логично выводить из так называемого двуметрического (биметрического) формализма, не выходя при этом за рамки теории гравитации Эйнштейна (см. § 4.2). Приведем здесь модернизированный вариант нашего старого вывода. Обозначим искомый псевдокак /°. Он должен обладать, прежде всего, двумя свойствами: симметрии =6°@) и сохранения(6°g = О). В отличие от псевдотензора ЛЛФ, в его

конструкцию входит кроме метрического тензора (и его первых — допускаются и вторые — производных) также метрика Минковского. Здесь будем считать, что рассматриваемые координаты — декартовы относительно этой плсюкой метрики. В качестве конструкций, включающих метрический тензор, возьмем плотность биспина, дважды продифференцированную по пространственно-временным координатам. Тогда, используя метод неопределенных коэффициентов, легко прийти (с точностью до постоянного общего множителя) к выражению

押二一假2r"0。十"敢俨-九黑0戒0)，％了，

при подстановке в которое величины (3.37) получается

"° = 士夕明^Т +少叫严一夕叫严- ^О}taiT- (3.39)

Выбор постоянного коэффициента делается из тех соображений, что правая часть (3.39) в приближении слабого гравитационного поля совпадает с левой стороной уравнений Эйнштейна; она линейна по у 咱，так что эти величины удобно выбрать в качестве гравитационных переменных (в частности, условие гармоничности 7导 =О можно трактовать тогда в аналогии с условием Лоренца в электродинамике). В полной теории с учетом нелинейности гравитационного поля выражение (3.39) следует тогда понимать как объединение энергии-импульса негравитационных источников тяготения и собственно гравитационной части энергии>импульсаг которая сводится к нелинейной по % 干 части консервативного тензора Эйнштейна (его плотности). Такой подход выглядит особенно привлекательно, если (для островной системы) можно придать смысл плоскому фону (衣耶).

Псевдотензор Папапетру удобен для определения интегральных значений энергии (массы), импульса, момента* импульса и мультипольных моментов островных систем, особенно если метрика записана в гармонических координатах. Для метрик в форме Керра—Шилда здесь справедливо замечание, сделанное выше для псевдотензора ШММ. Любопытно, что псевдотензор Папапетру не приводит к парадоксу Бауэра, если потребовать, чтобь« асимптотика плоской метрики совпадала с асимптотикой псевдоримановой (физической) метрики; это означает использование для метрики Минковского, вообще говоря, недекартовых координат. Тогда и производные в выражении (3.39) следует брать не частные, но ковариантные относительно метрики Минковского. Ясно, что псевдотензор Папапетру можно представить и с помощью соответствующего суперпотенциала:

/华06二 ,[尸/0Т +夕叫如-7@огЛ - УТ俨]"(3・4S

Если при вычислении энергии и других величин с помощью псевдотензора Папапетру взять координаты, асимптотически декартовы относительно псевдоримановой метрики, но метрику Минковского взять не в асимптотически декартовой форме, то возникнет парадокс типа Бауэра.

Этот парадокс возникает и при использовании в теореме Нётер вместо метрического тензора четверки ортонормированных векторов (тетрады), если ориентировать эти векторы по координатным линиям сферической системы, хотя бы в вычислениях даже были использованы декартовы координаты (чтобы получить правильные результаты, требуется асимптотически декартова калибровка тетрады) .Кроме парадокса Бауэра известны примеры (разобранные Шредингером в 1918「.)，которые накладывают ограничения на применимость псевдотензоров в конкретных вычислениях.

В 1958 г. Мёллер обратился к анализу требований, которым должны удовлетворять псевдотензорi^i энергии-импульса, чтобы им можно было приписывать разумный физический смысл [71, 72]. Тем самым закончился этап развития ОТО, на протяжении которого практически отсутствовала всякая критика определения энергии в этой теории. Такая критика имела место в течение нескольких лет в самом начале существования ОТО (парадокс Бауэра, примеры Шрёдингера, ответы на них Эйнштейна — до 1920 「.)， но затем наступил период получения точных решений уравнений Эйнштейна, анализа гравитационных эффектов, предсказываемых ОТО, и ее приложений к астрофизике, космологии и другим областям науки, так что о

дефектах энергии-импульса на время почти совсем забыли. Мёллер, стремясь критически осмыслить самые основания ОТО, начал с разбора принципа эквивалентности, свойств инертной и тяготеющей массы, роли ускоренных систем отсчета и, наконец, перешел к проблеме энергии. Он сформулировал свои требования к псевдотензорам энергии-им пульса, которые приведем здесь в слегка модифицированном виде [77].

Канонический псевдотензор 弔 в произвольной мировой точке 必)должен быть аффинной тензорной плотностью веса +1, алгебраически зависящей от полевых функций и их первых и вторых производных в (d).

Псевдотензор 9^ должен удовлетворять слабому аффинному (т.е. использующему частную дивергенцию) закону сохранения 0^ ^ = 0.

Компоненты 増 (плотность энергии и ее потока) должны преобразоваться как плотность 4-мерного контравариантного вектора при чисто пространственных преобразованиях координат *" = *''仅“),х'° = х°.

При линейных преобразованиях координат интегральный ''вектор'' энергии- импульса % = J 碌d S 6 должен преобразоваться как свободный 4-вектор, причем он не должен изменяться при преобразованиях, переходящих на больших расстояниях в тождественные, а в остальном произвольных.

В системе центра масс "вектор'' энергии-импульса должен иметь вид {Р^ = (И 0, 0, 0) •

Отличие от первоначальной формулировки Мёллера сводится к тому, что в требовании II речь идет о слабом законе сохранения, а не сильном и что требование V не было выделено Меллером в отдельный пункт, хотя он и выдвигал его. Первые два требования автоматически выполняются на основании теоремы Нетер. Требование III обеспечивает отсутствие парадокса Бауэра, так как теперь (для величин, удовлетворяющих требованиям Меллера) интегральная энергия Pq для любого (в том числе конечного) объема инвариантна относительно чисто пространственных преобразований (не требуется даже ограничиваться островными системами!). Лишь требования IV и V предполагают использование островных моделей. Что касается неизменности 戶@ при асимптотически тождественных, а в конечной области произвольных преобразованиях пространственно-временных координат (требование IV, последняя его часть), то такое предположение просто дополняет первую часть того же требования IV, учитывая неопределенность понятия линейных преобразований (точнее, преобразований Лоренца) внутри островной системы, где пространство- время не плоское. Можно показать, что требование III автоматически выполняется для псевдотензора, следующего из теоремы Нетер, если гравитационный лагранжиан —скалярная плотность относительно произвольных преобразований координат. Поэтому существование парадокса Бауэра для энергии, определенной с помощью псевдотензора Эйнштейна, обусловлено нековариантностью эйнштейновского лагранжиана. В свою очередь, другие аналоги парадокса Бауэра имеют причиной нековариантность лагранжиана относительно соответствующих калибровочных преобразований (например, локальных поворотов тетрадных векторов), когда лагранжиан получается из общековариантного (3'25) отбрасыванием некоторого дивергенциального члена.

Итак, выполнение требования III Мёллера следует из общей ковариантности лагранжиана. Действительно, в этом случае выражение под знаком дивергенции в (3.30) есть плотность контравариантного вектора относительно произвольных преобразований: .

峨F +^<7匕戸崂Т吧兀/="「I吟〜

Здесь векторное none 5 уже никак не связано с новыми преобразованиями коорди* нат, учитывая его ^кторность и произвольность в последнем равенстве, получаем законы преобразования (76]

三寃眇三寃眇设Ml -ЭхД设Ml -ЭхД(3.43)(3.43)

三寃眇

三寃眇

设

Ml -

ЭхД

设

Ml -

ЭхД

(3.43)

(3.43)

Итак, плотность биспима является просто тензорной плотностью с весом +1 и валентностью 4; плотность обобщенного спина образует вместе с ней однородный геометрический объект, а спиновая доля энергии-импульса (или, как легко видеть, также псевдотензор UJMM) образует вместе с ними обеими еще один однородный геометрический объект (ящичная иерархия). Под геометрическим объектом понимаем величину, компоненты которой при преобразованиях координат комби* нируют друг с другом, причем коэффициентам и этих линейных комбинаций служат производные (не только первого порядка) одних координат по другим. Приме* ром объекта может служить, например, совокупность компонент метрического тензора и символов Кристоффелн. Если теперь, как легко видеть, ‘‘хороший" псев* дотензор 碌 преобразуется по закону (3.41) (с точностью до знаков перед вторым и третьим слагаемыми в скобках), то в контексте III требования Мёллера при чисто пространственных преобразованиях координат получим

е泸=м г1―г *

те закон преобразования векторной плотности. Любопытно отметить, что и ве- личина ведет себя при чисто пространственных преобразованиях как векторная плотность. Дальнейшие комментарии читатель может найти в [77].

Казалось бы, возможность удовлетворить требованиям Мёллера решает пробле< му огцэеделения энергии (хотя бы для островных систем). Однако действитель* ное положение несколько сложнее, особенно если к требованиям Мёллера доба> вить новое, VI требование о выполнении принципа соответствия с теорией Ныо*

тона в приближении слабого гравитационного поля для плотности энергии [77]. Возникает вопрос: не порочно ли вдобще стремление использовать для описания плотности энергии-импульса физических систем (с учетом гравитации) в ОТО псевдотенэоры, т.е. двух индексные аффинные тензорные плотности? Мы видели в начале этого параграфа, что к таким величинам приводят преобразования типа сдвига, однако эти преобразования могут быть полноценно определены лишь от иосмтельно декартовых систем координат, которые в искривленном пространстве- времени не существуют. В лучшем случае такие координаты (и соответствующие им сдвиги) могут вводиться асимптотически для островных физических систем. Тем самым из рассмотрения исключались бы космологические модели, а все конкретные примеры приобретали бы в значительной мере академический характер (живем-то мы, все-таки, во Вселенной, асимптотика которой явно космологическая!) .Поэтому следует ли подправлять псевдотензоры, добавляя что-то незначительное к требованиям Мёллера?

Более того, какие величины следует считать более фундаментальным и? Плотности (и соответствующие им дифференциальные законы сохранения) или интегральные величины? Для канонического формализма, для целей квантования важны именно последние. Во всяком случае, интегральные величины должны быть "хорошими^. Что это означает? Если подходить к ним без скидок, то они должны быть скалярами, а не векторами или тензорами. Все последние преобразуются, имея перед своими компонентами коэффициенты, зависящие от точки, т.е. они могут иметь лишь локальный, а не интегральный (глобальный) смысл. Можно, конечно, приписать им локализацию в центре инерции системы, если она островная, но подобная декларация ниоткуда не следует. Итак, интегральные величины по своей природе должны быть скалярными. Нам возразят: в СТО электромагнитному полю приписывается интегральный вектор энергии-импульса. Однако в каком смысле это делается? Если под СТО понимать ее описание только в декартовых координатах, то формально это верно: преобразования Лоренца строго линейны и не привносят зависимости от точки. Однако никто не станет всерьез протестовать против использования в СТО 3-мерных сферических координат, а 8 них компоненты 3-импульса оказываются функцией точки, так как комбинируются из декартовых компонент с помощью коэффициентов, зависящих от координат. Более того, если взять не преобразование уже готовой интегральной величины из декартовь!х координат в сферические, а интегрировать в СТО компоненты плотности электромагнитного импульса прямо в сферической системе, то получится бессмысленная величина (разве что ^компонента сохранит физический смысл, но это будет уже проекция момента импульса).

Итак, на примере злектродинамики в плоском мире видно, что с энергией-импульсом не все ладно, если не потребовать использования строго декартовых координат. Альтернатива этому состоит в том, чтобы ввести базис, направления векторов которого отвечают истинным сдвигам (в плоском мире это выполнимо), а координаты выбирать произвольно, требуя по отношению к этим последним инвариантности интегральных величин. Тогда их плотности должны быть настоящими контра- вариантными векторными плотностями с весом +1. Мы приходим, таким образом, к одноиндексным плотностям сохраниющихся величин, что сразу же заставляет вспомнить выражение в скобках в законе сохранения (3.30).

Подведем итоги, прежде чем перейти к исследованию этих одноиндексных величин. Интегрирование тензорных плотностей не может дать математически (и физически) осмь)сленных величин, кроме скаляров, и тогда тензорная плотность — это контравариантная векторная плотность. Ни псевдотензоры, ни обычный тензор энергии-импульса поэтому не годятся сами по себе для построения интегральных конструкций: необходимо привлечь еще векторное поле (вспомним 自 или систему таких полей, так как требуется найти ряд интегральных величин — в СТО, по крайней мере, все ''компоненть|" энергии-импульса и момента, а также информацию о

центре масс. Преобразование этих "компонент" не связано теперь с преобразованием координат — все они суть* скаляры; речь идет о преобразовании старых "компонент" в новые при переходе от одной системы генераторов преобразований Пуанкаре к другой системе таких генераторов. Мы привыкли в СТО говорить о преобразованиях интегральных величин, так как обычно, работая в декартовых координатах, преобразуем эти координаты соответственно переходам между системами генераторов группы Пуанкаре, хотя координаты можно было бы и не трогать. Эта картина становистя ясной, лишь когда мы разобрались в структуре ОТО с представлениями о системах отсчета в ней и о тетрадных базисах; иначе трудно преодолеть инерцию традиций, связанных с системами координат и их неправомерно универсальным отождествлением с системами отсчета.

Заметим еще, что многие авторы (не будем специально указывать конкретные работы — это пройденный этап) посвящали свои исследования анализу нековариант- ности псевдотензоров и строили системы координат, в которых те или иные их компоненты (иногда и все сразу) обращались в нуль. В этих работах был допущен ряд некорректностей, но основная идея верна: псевдотензоры не могут быть исключительным основанием для описания энергии>импульса в ОТО. Они пригодны (если выйти за рамки островных систем с асимптотически декартовыми координатами) лишь в качестве строительного материала, в состав которого необ< ходимо еще включить плотность обобщенного спина и плотность биспина.

ОДНОИНДЕКСНЫЕ СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ

Как было показано выше, на основании (3.31) и (3.32) псевдотен- зорные величины -勿 ^ вли -勾纟 следует (слабым образом) связывать с энергией-импульсом полной системы полей. Ввиду инвариантности закона сохранения (3.30) (конечно, когда лагранжиан — строго скалярная плотность) в слабом же смысле и — на выбор — для N г или X д введем обозначение:

W)a = _(况*о +統隼匕+〃々叫%,0)・(3.44)

Определенная так 4-компонентная величина является контравариант- ной векторной плотностью с весом +1 при произвольных преобразованиях координат [см. вывод законов (3.41) — (3.43) ]. Здесь видно, что псевдотензор энергии-импульса не играет самостоятельной роли, но используется в качестве строительного материала наряду со спином и биспином. Путем тождественных преобразований сохраняющуюся по закону

仅 % = 0(3.45)

величину 仅° можно привести к виду

=(吃哟 + 2畤0&L т(3.46)

или

仅J例叫。-g〃，叫戚。+十硯出端)尸 (3.47)

(антисимметрия выражения под знаком дивергенции в последнем случае указывает, что его можно строго рассматривать как суперпотенциал в духе фон Фройда; этот суперпотенциал является антисимметричной тензорной плотностью относительно произвольных преобразований) • При выводе выражений (3.46) и (3.47) были использованы тождества Нётер.

В случае лагранжиана * g (3.25), когда существенным образом 勿『° В 0 выражение (3*47) можно 叩ивести к виду

例唄G•砂叫(3.48)

а при учете (3.37) и к виду

初@= (1/к) (^Г7 ^Т- а1)/Т =(1/к) (<=7/7喳此 加川3・49)

Эту же конструкцию (соответственно с точностью до коэффициента 2 и 4) получили иными способами, исходя из идей Мёллера и теоремы Гаусса, Комар [57] и Пирани [107, 26]. В близком направлении проводил исследования Траутман [ 134]. Векторная плотность (3.49) — простейший случай одноиндексной сохраняющейся величины, удовлетворяющей требованиям простоты [в смысле низших производных векторного поля Е и низших степеней входящих в (3.49) величин] единственным образом. Идея одноиндексных сохраняющихся величин впервые возникла в групце Бергмана.

Подчеркнем, что теорема Нётер не приводит автоматически к стандартной величине интегральной энергии и ее плотности для ньютоновского приближения (подробнее см. в [77]). Так, добавление в лагранжиан ди* вергенциального члена меняет, вообще говоря, обе эти величины; то же происходит и при изменении нормировки векторного поля ^・

Поле контравариантного вектора 二 комбинируемого с получаемыми из лагранжиана величинами в (3.44), (3.46) и (3.47), выбирают из соо6ра・ жений, выходящих за рамки собственно теоремы Нётер. В таком каче* стве часто берут поле тетрады или поле монады при соответствующем определении системы отсчета; в первом случае получающуюся четверку величин (нумеруемых с помощью свободного тетрадного индекса) можно понимать как совокупность "компонент'' энергии-импульса, а во втором— как энергию в рассматриваемой системе отсчета. Однако тогда представлялось бы более последовательным перейти и в лагранжиане гравитацион> ного поля от метрического тензора к тетрадным векторам (или, ссютвет- ственно, к монаде и 3*мерной метрике), минимизируя конструкцию лагранжиана в рамках соображений инвариантности путем отбрасывания дивергенциальных членов. Это приводит к иным выражениям, чем (3.49). Более тесная связь со свойствами симметрии пространства-времени достигается, если взять вместо 扌 векторы КилЛинга, что и делается при получении законов сохранения в плоском мире в инерциальных системах 93

отсчета (тогда берется за основу 々一(3.31)) .В ОТО нормировка векторного поля 5 не вполне очевидна, и мы предлагаем для временночюдоб* ного 扌，коллинеарного вектору Киллинга, нормировку ли-монадного формализма (см. § 1.7). Как будет видно из дальнейшего (см. §6.2), такая нормировка приводит к физически осмысленным результатам (см. также § 6.4).

Однако при отсутствии временноподобного вектора Киллинга исполь> зование произвольной тетрады (особенно в космологическом контексте) приводит к тем же трудностям, что и для псевдотензора Эйнштейна (даже для ортонормированной тетрады). Тогда встает вопрос об определении тетрады, наиболее близкой глобально (или в конечной области) к ортореперу декартовой системы координат плоского мира. Эта проблема не решена и может вообще не иметь решения при слишком жесткой постановке в силу объективных свойств псевдо ри манова пространства- времени ОТО. Однако существуют подходы, позволяющие сближать (с некоторым правом) тетраду по ее смыслу с декартовой. Такие квазидекартовы калибровки тетрады могут осуществляться на базе нормальных римановых, фермиевских и оптических координат путем переноса тетрады из некоторой исходной точки на мировой линии, положенной в основу конструкции (^концепция одиночного наблюдателя**, см. § 5.1). Для островной модели возможно обращение этого метода, когда тетрада разносится из асимптотически псевдоевклидовой бесконечности (^концепция антинаблюдателя", см. § 5.3), причем здесь возможны разные варианты, как и в случае одиночного наблюдателя. Такие процедуры не обязательно требуют привлечения тетрады, и в них можно ограничиться величиной, представляющей систему отсчета (в простейшем случае — монадой).

Пирани пришел к выражению вида (3.49), рассматривая именно монаду (в хронометрически инвариантной калибровке). Другое выражение, не сводящееся к (3.49), для такой же монады было предложено еще в 1918 г. Бауэром; с точностью до постоянного множители оно имеет вид

彼a =}20^ 伐吸Т；3)/ (3.50) Любопытно, что в вакууме для невращающихся систем отсчета, как указал Каттанео, оба определения совпадают и дают при ^ = т с точностью до постоянного коэффициента 2 величину

例％ = УН仕 D D^ + G G〃 一丄成々 £b (3.51)

Здесь использованы обозначения, введенные в гл. 1.

Вопрос о конструировании одноиндексных величин, имеющих смысл плотности энергии, рассматривал методом неопределенных коэффициентов Ю.С. Владимиров [18, с. 163]. Как он отметил, в случае энергии возможна однозначная (несмотря на неоднозначность их построения) интерпретация получаемых величин; в случае же импульса и момента 94

такое истолкование затруднительно, так как требуется дать прав до* подобное определение сдвигов и поворотов не локально, а в области. Пути преодоления этих трудностей (включая улучшение понимания энергии) см. в § 3.6 и в последующих главах.

В принципе можно было бы добавлять к ^ любую дивергенцию, которая при повторном дивергировании обращается тождествт<но в нуль, сама по себе достаточно быстро убывая на большом расстоянии (для островной модели). Однако такое расширение "правил игры", если d「o не связывать с разумным изменением лагранжиана, может внести неоправданную путаницу (примеры подобной ситуации можно найти даже в электродинамике Максвелла).

Позднее покажем, что в псевдо римановом пространстве-времени ОТО существует воаможность ввести систему векторных полей & соответствующую в пределе плоского мира генераторам группы Пуанкаре (см. § 3.6). Эта возможность позволяет решить проблему энергии<им> пульса (и момента) в ОТО в рамках одноиндексных величин, связанных с теоремой Нетер. Однако, как говорилось выше, при этом может возникнуть потребность в переопределении лагранжиана путем отбрасывания дивергенциального члена, если тем самым не нарушится его инва・ риантность.

ХРОНОМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЭНЕРГИИ

Анализ был бы недостаточно полным, если бы в него не был включен хронометрически инвариантный подход к энергии в ОТО. Конечно, такой подход представляет в значительной мере исторический интерес, так как обходит стороной проблему импульса и момента импульса, но в том, что касается энергии, он достаточно последователен, тем более, что позволяет примирить с этим кругом проблем тех, кому психологически ближе координатное описание физических величин в ОТО. Заметим, что такое описание при всей своей односторонности и при соответствующих оговорках правомерно и даже может претендовать на достаточную общность, так как со всякой корректно построенной системой отсчета можно связать специфическое (сопутствующее) м ножество систем координат; обратное, однако, неверно.

Формализм хронометрических инвариантов Зельманова (1956) можно рассмат* ривать как специальную взаимную калибровку монады и системы координат, когда линии координатного времени берутся как огибающие векторного поля монады (интегральные кривые этого поля). В результате координатное время имеет автоматически временноподобный характер (в других случаях это не могло быть гарантировано), и вектор монады обладает компонентами

宀干Г 戈：д*.(3.52)

Очевидно, что линии координатного времени остаются без изменения при преобразованиях вида

『° =х，° (x°z /)；(3.53)

xJ = J (х *L(3.54)

откуда следует, что по 3-мерным контравариантным индексам все прежде 4-мерные

95

величины оказываются обычными 3-тензорными величинами относительно (3.53), тогда как по ковариантным индексам, отвечающим координате х°, закон преобразования относительно (3.53) такой же, как у \^оо (ограничимся здесь лишь орто- хронными преобразованиями). Итак, если задан некоторый тензор в 4-мерном пространстве-времени, то из него можно построить некоторую совокупность хронометрически инвариантных и 3-мерно тензорных величин, если брать поочередно всевозможные комбинации компонент этого 4-тензора, поднимая и опуская их индексы и условившись использовать лишь 3-мерные значения коитравариантных индексов, а коешриантные индексы брать всегда равными нулю, причем каждая данная компонента делится на л/д。。столько раз, сколькими ковариантными индексами она обладает. Эти алгебраические условия приводят к стройной системе соотношений {включая и дифференциальные), полностью выражающей всю риманову геометрию и уравнения всех физических полей. Особенно плодотворен такой подход в релятивистской космологии.

В соответствии с этими идеями заменим требование 111 Меллера новым: Ilia — энергия в элементе 3-мерного объема dE = ^adSa должна быть хронометрически инвариантным 3-мерным скаляром.

Такому требованию можно удовлетворить, исходя из гравитационного лагранжиана, являющегося хронометрически инвариантной 3-мерной скалярной плотностью; таким образом,「одитсн как общековариантный лагранжиан (3.25), так и получающиеся из него конструкции, отличающиеся дивергенцией хронометрически инвариантной 3-векторной контравариантной плотности. Дальнейшие рассуждения воспроизводят результаты [83] . Рассмотрим сдвиг во времени, приводящий, согласно теореме Нетер, к сохранению энергии (при соответствующей инвариантности лагранжиана) , как генерируемый векторным полем ^ = 7 с компонентами (3.52). Тогда величина 勿夕"，определяемая (3.44) и последующими соотношениями, являясь в общем случае 4-мерной контравариантной векторной плотностью, становится по своим трансформационным свойствам тождественной произведению хронометрически инвариантного 3 скаляра, умноженного на плотность контрава- риантного 4-вектора. При умножении (с суммированием по индексу) на элемент пространственноподобной гиперпо&ерхности dS^ сохраняется лишь первое свойство, второе же ведет к 4-скалярности, так что искомая величина dE удовлетворяет требованию Illa. Это можно проверить и непосредственным расчетом, основываясь на трансформационных свойствах (3.41) — (3.43). Подставляя компоненты (3.52) вместо 古" в выражения (3.46) и (3.47), легко найти и структуру суперпотенциала для хронометрически инвариантной энергии. Итак, полученная здесь энергия в принципе не зависит от выбора 3-мерной системы координат, но изменлется при переходе между разными системами отсчета (когда, в соответствии с формализмом хронометрических инвариантов, одновременно совершаются переходы к новым конгруэнциям линий координатного времени). Таким образом, устранить гравитационную энергию подходящим выбором системы координат невозможно, если только не выбрать и систему отсчета с дслжным локальным ускорением. Последнее же может трактоваться просто как следствие принципа эквивалентности, т.е. как преимущество, а не порок теории.

Заметим, что с позиций ли-монадного формализма необходимо выбирать не единичную нормировку вектора 扌,что, конечно, можно учесть при сохранении полученного результата. Кроме того, этот результат удается тогда перенести на теорию кинеметрических инвариантов Зельманова [44, 45], что неудивительно, так как ли-монадный формализм общековариантным образом объединяет оба подхода.

КВАЗИГРУППОВОЙ ПОДХОД К ЗАКОНАМ СОХРАНЕНИЯ

В специальной теории относительности в пространстве Минковского естественным образом действует группа преобразований Пуанкаре. Однако попытки ее обобщения на искривленное пространство-время приводят, как правило, к бесконечнопараметрическим группам. Например, при исследовании асимптотической структуры пространства-времени возникают бесконечные группы симметрий — группа Бонди—Метцнера— Сакса, Spi-rpynna и др. (см. гл. 7). Впрочем, уже в плоско好 мире ситуация совершенно аналогична для преобразований от одной произвольно движущейся системы отсчета к другой. В последнее время появились работы, проливающие новый свет на эту проблему. Баталиным [8] (по- видимому, впервые) было введено понятие квазигруппы преобразований. Ее основное отличие от группы заключается в том, что нарушается закон ассоциативности умножения элементов квазигруппы в виде, характерном для групп преобразований. Вместо него выполняется модифицированный закон **ассоциативностим — уместнее сказать, что в квазигруппе преобразований умножение является квазиассоциативным. Баталиным было также показано, что во многом теория групп Ли может быть перенесена с соответствующими изменениями на этот случай.

Простейший пример квазигруппы преобразований возникает в гамильтоновой механике со связями. Если в фазовом пространстве действует группа преобразований, то оказывается, что на поверхностях, удовлетворяющих уравнениям связей (на связях), она индуцирует, вообще говоря, квазигруппу преобразований [8]. Примечательно, что в случаях, когда бесконечная группа Ли задается через AS-систему, т.е. линейную однородную систему дифференциальных уравнений, для которой коммутатор двух векторных полей (решений этой системы) снова есть решение [94] , она является конечнопараметрической квазигруппой.

Развитие геометрии в последние годы выявило глубокую связь между неассоциативными алгебраическими и дифференциально-геометрическими структурами. Так, Л.В. Сабининым [121] было показано, что многообразие с линейной связностью можно рассматривать как- специального вида алгебру (в общем случае неассоциативную) с частичными операциями. В этой конструкции важную роль играют левые геодезические лупы. (Лупы отличаются от групп лишь тем, что операция умножения в них неассоциативна.) Весьма впечатляет то обстоятельство, что неассоциа- тивность является алгебраическим эквивалентом кривизны и кручения.

Квазигруппы преобразований. Пусть р € Ж - некоторая точка на многообразии 初 (здесь 籍 не обязательно пространство-время), задаваемая в локальной карте координатами {х* / = 1, 2, ...,〃. Кроме того, пусть заданы п независимых функций 尸(х, 0), где параметры 6а (а = 1, 2, …，г) существенны, т.е. ранг матрицы "'/^。㊀ равен г. Уравнения xz,= =尸(х, 0) для каждого фиксированного набора параметров {0Э} определяют преобразование точки 夕(х) в точку 夕'(х‘). В силу предположения о независимости функций 户(х, 8) якобиан преобразования отличен от нуля, и, следовательно, существует обратное преобразование У = 8).

В дальнейшем будем предполагать, что функции " (х, G) обладают необходимой степенью гладкости по координатам и параметрам.

Запишем преобразования координат символически в виде

х' = хТв •(3.55)

Множество преобразований {丁&} образует непрерывную квазигруппу преобразований, если

задан закон умножения преобразований:

八户夕=х分仇6'； X)，

причем

炉亿 0; х) = 6‘ и，(0,夕；х)=叫

операция умножения параметров квазиассоциативна:

屮优 9(6', 6"; xTq) ; х)=屮(屮优 8'; x),伊‘；X);

существует обратное преобразование: х = x7g ;

преобразование 70 : хГ0 = ^ (х, 0) - тождественное.

Этими соотношениями определено правое действие квазигруппы на後, аналогично определяется левое действие. Как видно из определения, умножение в квазигруппе, в отличие от группы, зависит от точек многообразия 倣.

厂енераторы инфини тез ималь ных преобразований определяются с помощью соотношений

причем при их коммутировании возникают не структурные константы, а структурные функции

〔吗，「” =曦(х)£・(3.57)

Они удовлетворяют модифицированным тождествам Якоби

(3.58)(3.58)e:b, /% + %a, i"b + 丸4 用 +

(3.58)

(3.58)

+ 唸吟e + 吗a%e * 區c/4e = °'

Эх7新Эх7新=%例入：（仇X）；=%例入：（仇X）；(3.59)(3.59)Теорема [8]. Пусть даны функции R； 〃 ^с, удовлетворяющие уравнениям (3.58); тогда локально квазигруппа преобразований восстанавливается как решение систем дифференциальных уравнений:

Эх7新

Эх7新

=%例入：（仇X）；

=%例入：（仇X）；

(3.59)

(3.59)

М（о） = V ；

+喙仅配2 = 0

(3.60)(3.60)姗8声de 力

(3.60)

(3.60)

入”0, * = % .

Система уравнений (3.59) — аналог уравнений Ли, а система (3.60) — условие ин тег ри руе мости — является аналогом уравнений Маурера— Картана в теории групп Ли.

Дальнейшее рассмотрение ограничим инфинитезимальным вариантом теории. Будем предполагать, что квазигруппа преобразований действует на многообразии Р, имеющем структуру расслоенного пространства, т.е. локально Р =矶又 F. где 勰一база (здесь и ниже 加一пространство- время) ; 尸 — слой. Для наших целей достаточно рассмотреть случай главного квазигруппового расслоения, т.е. когда слой F как многообразие совпадает со структурной квазигруппой О. Пусть { /} — локальные координаты на加 и {，} — локальные координаты на О: а = =0, 1, 2,3; 2 = 1, 2л. Тогда каждая точка р € Р имеет координаты (х, q) = (х“，g £ Q. Слой 尸三 Q* определяется как Qx = 7?一1 (х), где я — каноническая проекция, действующая в локальных координатах естественным образом: л (х, д) =х.

Инфинитезимальная квазигруппа преобразований полностью описывается ее генераторами Г； и структурными функциями С?-:

Г.] = С^р;"

здесь индексы 〃 /, р пробегают полный набор значений (а, 2). Обозначим генераторы, касательные к слою (т.е. вертикальные векторы), 厶a •

La =戏仅，у}"%®,(3.61)

и оставшиеся четыре генератора, действующие на базе,

q = b£(x, у}ЫЬхр + B^(xf у}ЫЪуА.(3.62)

После такого разбиения совокупности генераторов на две группы коммутационные соотношения примут вид:

Для того чтобы коммутатор вертикальных векторных полей, касательных к слою, оставался вертикальным вектором, необходимо потребовать 以8 = 0.

Дальнейшее упрощение ситуации произойдет, если предположить, что С厶 =0. Это условие, естественное в теории обычных расслоений и означающее, что коммутатор генераторов ^трансляций** и ^поворотов** выражается через генераторы трансляций, представляется разумным сохранить и в случае квазигруппового расслоения. Конечно, возможны ситуации, когда это условие не выполняется, но здесь мы их не рассмат* риваем. После сделанных предположений коммутационные соотношения (3.63) приобретают вид:

[%S = М/р + С^/а： (3.64) [75=嗷70； . (3・65) "а '厶8】=С%厶О * ⑶66)

Основное отличие квазигруппового расслоения от группового заключает* ся в зависимости структурных функций от точек слоя, и в этом проявляется неассоциативность умножения элементов структурной квази- Группы. В случае, когда такая зависимость пропадает, квазигруп повое главное расслоение переходит в обычное главное расслоение.

Есть основания считать, что неассоциативность — это мера не только кривизны^ но и взаимодействия. Так, в статистической механике корреляции между случайными величинами, описывающими поведение системы, приводят к неассоциативным (квазигрупповым) структурам. Только в отсутствие каких-либо корреляций, характеризующих физическое взаимодействие в широком смысле, исчезает неассоциативность этих структур.

Квазигруппа афинных преобразований (деформированная группа Ли) • Следуя См ржу [126], введем понятие деформированной группы Ли. Русть G — группа Ли и G，- подгруппа, Gr С G. Предположим, что алгебра Ли подгруппы G' натянута на векторы ХА, А = 1,2,..., п, а векторы Ха, а = с + 1, . . . , Л/ дополняют базис до полного. Структурные константы группы G определяются из соотношений:

[Хд, хв] C^gX。，срАВ = 0;

[Х“Х/ = М/в + *Хб；

t^Xbl = ^bXD + 唸Л・

Говорят, что группа G деформ up ована вне подгруппы G〔 если:

существуют действительные функции 管，определенные на групповом многообразии;

векторы，”& = *+ В：Ха образуют базис касательного пространства в каждой точке группового многообразия;

коммутационные соотношения между 乙 и < такие же, как и в недеформированной группе, т.е. [ХДЛ = ^^в + ^Аа^ь *

100

Рассмотрим группу аффинных преобразований А (4, /?). В этом случае генераторы аффинных поворотов 厶* принадлежат алгебре группы GL (4, Я) и удовлетворяют коммутационным соотношениям

[U，厶:]=用崂一当培， а генераторы трансляций —

3,力=。；因，啞=Y*

Здесь a,bfc = 1,2,3,4.

Смрж [126] исследовал деформацию группы А (4,斤)，в которой происходит деформация подгруппы трансляций 〃 =北 + 或ь厶2，и по" казал, что функции % определяют аффинную связность, т.е. деформация группы аффинных преобразований оказалась эквивалентной переходу от Я4 к многообразию с аффинной связностью.

Пусть d — произвольная система координат: х〃 = *〃俨)，где X9 — канонические координаты на групповом многообразии (в этих координатах генераторы трансляций записываются очень просто, Тд = 8/М ). Тогда

[％,%]=(喟8々3 -理磁山忏人+

+(%%6 - %%> + "*% - 8鼠脸)目(3.67)

где

Рассмотрим некоторое сечение о(х), о £ GL (4, R). В координатах 』оно описывается с помощью матриц gj = 噌彳・ Отсюда после подстановки в (3.67) получаем

[乙，%]=(%% - %% + 唯 8^-8 工%6)厶?-

-(%g) - %g: * 或8羽 一 *8%j)g? 丁入,

и, следовательно, структурные функции 碓〃 и С，“ принимают вид: 4v =勿 8% - Э^ + 8% 啧一 В工ВЗ ;

*=-(%砲-勾瞑+ *唯一 *8%)g).

В свою очередь.

а структурные константы группы GL (4, &), т.е. Сь , в соответствии .d f с общей идеей деформации остаются неизменными .

Пусть gj — тетрадный базис на многообразии, тогда величины 「小=д； %д： + 8 小 g/)

можно понимать как коэффициенты связности в натуральном (коорди* натном) базисе. Структурные функции 呢〃 =厂匕从〃 определяют компоненты тензора кривизны в смешанном базисе, а функции

i w一дP — 〃〃

—компоненты тензора кручения. Таким образом, геометрия деформиро> ванной группы аффинных преобразований эквивалентна геометрии многообразия с аффинной связностью. Кроме того, из сравнения (3.64)— (3.66) с коммутационными соотношениями для деформированной группы аффинных преобразований вытекает, что она является частным случаем квазигруппы преобразований, определенной выше. Результаты Смржа показывают, что при наличии кривизны и кручения происходит естественная деформация генераторов сдвигов с помощью поворотов.

Квазигруппы преобразований и законы сохранения. Общий анализ теоремы Нётер проведен в предыдущих параграфах. Остановимся более подробно на новых моментах, привносимых теорией квазигрупповых преобразований. Как уже было отмечено, квазигруппы преобразований позволяют отделить повороты от сдвигов, правда, сдвиги становятся деформированными, но в этом и проявляется действие кривизны. В свою очередь, выбор сечения в расслоении означает конкретизацию си- системы отсчета в пространстве-времени (если рассматривается расслоение над пространством-временем). Несомненное преимущество квазигруппового подхода к законам сохранения, по сравнению с групповым, состоит в том, что здесь вместо бесконечного числа законов сохранения (наиболее часто встречающаяся и трудная для анализа ситу- циа) получается конечное их число, причем они наполняются физическим содержанием. Что касается конкретного содержания теоремы Нётер, то оно, как легко видеть, не меняется. Если рассматривать преобразования координат и полей, включающие в себя собственно координатные и калибровочные квазигрупповые преобразования, то из требования инвариантности лагранжиана относительно этих преобразований следует конечное число законов сохранения вида Иоа (^ ),@ = О, где 爲 一генераторы инфинитезимальных преобразований. Например, в случае расслоения ортонормированных реперов О (加)генераторы £д [см. (3.61) ] отвечают за инфинитезимальнь1е преобразования Лоренца,

В данном случае коллективный индекс А представляется в виде двойного индекса .

a Ta [см. (3.62) ] порождают инфинитезимальные сдвиги. Отсюда возникает квазигрупповое обобщение группы Пуанкаре, (структура этой квазигруппы детально обсуждается в гл. 5). Заметим, ято квазигруппа Пуанкаре естественным образом связана с системой отсчета одиночного наблюдателя.

Глава 4

ДВУМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

. ПСЕВДОТЕНЗОР ПАПАПЕТРУ

Рассмотрим здесь, главным образом, один из наиболее приемлемых, по нашему мнению, псевдотензоров, характеризующих энергию и импульс гравитационного поля — ''псевдотензор'' Палапетру (термин мпсевдотен- зор" взят в кавычки потому, что он не в полной мере отвечает своему смыслу: при некоторых дополнительных предположениях определенная Папапетру энергетическая характеристика приобретает тензорные свойства) .Однако в интерпретационном физическом плане такие дополниГель- ные предположения выводят за рамки общей теории относительности и возникает весьма сложная задача: описывать динамику и энергию гравитационного поля на базе теории Эйнштейна, но при этом как бы частично отходить от нее, предполагая наличие ''лишних" геометрических объектов. Остановимся на этом подходе подробнее. Из теоремы Нётер известно, что сумма плотности тензора энергии-импульса источника и псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля выражается через "сильно сохраняющуюся" спиновую долю энергии, которая, в свою очередь, есть результат частной дивергенции от плотности геометрического обобщенного спина W% Этим обстоятельством воспользовался Папапетру [98] и с помощью процедуры Белинфанте—Розенфельда построил симметричную сохраняющуюсА величину, имеющую смысл плотности тензора энергии-импульса поля тяготения. При этом автор величины 8“"，будучи неудовлетворенным уже известными трудностями в толковании псевдотензоров, взял за основу традиционный (максвелловский) полевой подход к интерпретации компонент метрического тензора д冲 только как потенциалов гравитационного поля, считая, что само пространство-время плоско и описывается псевдоевклидовой метрикой "〃〃 (в декартовых координатах метрика Минковского). Поэтому в процедуре симметризации спиновой доли энергии Папапетру использовал для поднятия и опускания индексов у естественно возни* кающей в теореме Нётер величины 欽乎 с помощью ““. По существу, вывод 6“" состоял в следующем (см. также [77]).

Определяется симметричная величина

/" =(1⑵[(嚟+»^) ,。产+做貫+呜。)，必叩-

-倒片+加沪)酒叫•(4.1)

103

Плотность обобщенного спина в явном виде получается из ковариантного лагранжиана общей теории относительности по правилу (см. § 3.1).

加加от оот о以8,宀。以8,宀。ЭХАВ, 0 + 848, а, тЭХАВ, 0 + 848, а, тЭХЪАв.а^ЭХЪАв.а^

加

加

от о

от о

以8,宀。

以8,宀。

ЭХ

АВ, 0 + 848, а, т

ЭХ

АВ, 0 + 848, а, т

ЭХ

ЪАв.а^

ЭХ

ЪАв.а^

喏°喏°

喏°

喏°

Подставляя (4.2) в (4.1) г после несложных вычислений находим:

^ = n/2Ю9凿館0 +嵋%/〃 _ ？器0"0嗫%院0"叫・他З)

Величина 6从"по определению симметрична, 8〃" = 0“〃, и тождественно (т.е. "сильно") сохраняется, 6叱 =0, а следовательно, выражается через трехиндексный суперпотенциал

/〃 =(1/k) (*"%脅 +%少酒"0 = / %叫 (4.4)

последнее свойство после определения 4-вектора интегрального импульса Х = J/0 ds°

естественно использовать для интегрирования с помощью теоремы Гаусса.

Дополнительным аргументом в пользу &"" как плотности энергии- импульса может служить также сравнение (4.3) с левой частью уравнений Эйнштейна, записанных в развернутом виде в гл. 2. Эти выражения очень похожи друг на друга, а в приближении слабого поля точно совпадают. В гармонических координатах % 叱=0 приходим к уравнению Даламбера:

口产=2r/“，’

что позволяет отождествить величину, определенную Папапету, с релятивистским тензором энергии-импульса всех полей данной физической системы (включая и гравитационное); в правой части /" кроме тензора энергии-импульса источников тяготения содержатся квадратичные конструкции по первым производным метрики—напряженностям попя 9冲・

также вытекающей из теоремы Нетер для полей, лагранжианы которых содержат вторые производные связности. В этом случае, полагая

严=况粼川。7旣,0产一乃旣伊叫 опять приходим к выражению (4.3).

104

Появление в определении (4.3) евклидовой метрики Папапетру, как уже говорилось, объяснял "'полевой0 направленностью своего подхода, смыкаясь в этом с замечаниями, высказанными Нордстремом вскоре после опубликования общей теории относительности и значительно позже —Розеном, заложившим основы двуметрического формализма в теории гравитации.

ДВУМЕТРИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ РОЗЕНА

кроме метрики 咖〃 еще и метрику плоского мира е^(с геометрической точки зрения) считать этот шаг отобракроме метрики 咖〃 еще и метрику плоского мира е^(с геометрической точки зрения) считать этот шаг отобраПредлагалосьжением рима-Предлагалосьжением рима-В целях определения более удовлетворительных, чем псевдотензоры, энергетических характеристик в теории гравитации Розен [117] предложил чисто формально ввести в каждой точке риманова многообразия

кроме метрики 咖〃 еще и метрику плоского мира е^(с геометрической точки зрения) считать этот шаг отобра

кроме метрики 咖〃 еще и метрику плоского мира е^(с геометрической точки зрения) считать этот шаг отобра

Предлагалосьжением рима-

Предлагалосьжением рима-

нова пространства на плоское с метрикой %〃 (причем соответствующим точкам приписывались одни и те же значения координат) или же при

знать вторую метрику "метрикой сравнения": таким было бы пространство-время в отсутствие источников гравитационного поля (и, естественно, его самого). Автор двуметризма подчеркивал при этом, что вве

дением второй метрики многообразию, исследуемому с помощью 夕 не приписывается никаких новых свойств.

e川"1入一8从吃入e川"1入一8从吃入Важнейший пункт теории Розена состоит в том, что метрика е описывая плоский мир, обязательно должна быть тензором, т.е. не оставаться метрикой Минковского при преобразованиях координат. Тогда после введения ковариантной относительно е从〃 производной и согласованной с ней связности ^а (мы придерживаемся обозначений, принятых в работе Мицкевича [77]), таких что

e川"1入一8从吃入

e川"1入一8从吃入

(4.5)

где 吟q стандартным способом выражается из (4.5) через частные производные е^р ,

#入=г⑵'"。(%吃入+ %人，〃 _ё叭а"，

находим, что разность символов Кристоффеля「匕入 и связности 必入 представляет собой геометрический объект, имеющий смысл связности, и является тензором (в силу одинаковых трансформационных свойств Г и у) по отношению к допустимым преобразованиям координат; эта разность и выражается через е-ковариантные производные римановой метрики:

吗入=「% — 7% = и ⑵ g""% 训入 + g&入I” — 9〃入 |a)•

Поскольку метрика e从力 соответствует плоскому миру, то построенный из нее тензор кривизны тождественно равен нулю, и тензор Римана, и все его свертки выражаются только через метрику g从〃 и величины 吗入.

105

В частности, тензор Риччи имеет вид

^дР = -"；"1a + %t1〃 -吗0呜" + 喘J% • (4.6) Как выяснилось, все соотношения общей теории относительности можно переписать с помощью 口修入 и е-ковариантных производных, что дало Розену основание считать этот формализм, казалось бы, не затрагивающий математических основ теории Эйнштейна, применимым для определения настоящего тензора (его плотности) энергии-импульса гравитационного поля в виде, аналогичном виду псевдотензора Эйнштейна, но с заменой всех "отпреобразуеммх слагаемых** е-ковариантными. Таким образом предлагалось избавиться от парадокса Бауэра. Другим привлекательным аспектом двуметризма представлялась возможность определения ковариантных дополнительных условий, обеспечивающих однозначность функций метрики (число которых превосходит число уравнений Эйнштейна, 4 из которых удовлетворяются в силу тождеств Бианки). Действительно, выражая, например, условие де Дондера-Ланцоша—Фока д〃： = 0 и заменяя в нем частную производную е-ковариантной, получаем по-настоящему ковариантное дополнительное условие для функций метрики % 愕=0, выполняющееся во всех системах координат (хотя выбор самих условий, конечно, по-прежнему произволен).

Трактовка теории гравитации с позиций двуметризма привела к любопытной ситуации. С математической точки зрения ничего не изменилось: всегда выбором е = const от двуметрического формализма можно перейти ко всем (^отношениям общей теории относительности, и уравнения поля остаются, по существу, теми же. Но смысл присутствующих в теории фундаментальных величин качественно изменяется. Теперь само пространство-время (без гравитации) всегда плоско, а на его фоне рассматривается меняющийся потенциал д^р, причем ds2 = д^dx^dx^ не считается больше физическим интервалом. В распоряжении наблюдателя имеется теперь его собственный стандарт 4-мерной длины d о2 = е屮€/卜dW и есть принципиальная возможность на- людать изменение масштаба в гравитационном поле. Как в этой связи отмечал сам автор двуметрического подхода к гравитации [117], в его теории ^меньше относительности", чем в теории Эйнштейна. Так, скорость света (с точки зрения наблюдателя в ①〃)оказывается меньше там, где д Н е чем в плоском мире, т.е. поле тяготения трактуется как неко- т&рая оптическая среда, имеющая отличный от 1 коэффициент преломления. Статическое гравитационное поле приобретает смысл абсолютной системы отсчета; при движении же его относительно наблюдателя (или наоборот) оно ''увлекает'' свет за собой, как это предполагалось в опыте Физо. Движение частиц с ненулевой массой покоя в теории Розера также имеет свои особенности. Наблюдателю приходится измерять зависимость координат пробной частицы по отношению к своему стандарту о, тогда как уравнение геодезических имеет своим параметром ''нефизическую'' величину s. Переход к "нужному'' параметру осуществляется введением

массы в уравнения движения, которые (тождественно!) переписываются в виде

D f dх^ \/ dxa а/

1 + т = 0,(4.7) da do

где D/du — абсолютная е-ковариантная производная; m — собственная масса частицы, выражающаяся через массу той же частицы в отсутствие гравитации mQ по правилу m = mQds/do. Отсюда делается вывод, что, хотя, как и в общей теории относительности, инертная и гравитирующая массы частиц равны, они не обязательно постоянны (поэтому масса явно входит в уравнения движения; в системе отсчета наблюдателя т = /77О (воо^оо) 1 /2 ； в приближении слабого гравитационного поля т =. п?о (1 — в), где ⑴一ньютоновский потенциал).

Необходимость удовлетворения всем известным классическим эффектам теории гравитации потребовала совершенно определенной взаимосвязи между независимыми друг от друга объектами: метрикой ''истин- но「о'' плоского пространства-времени и "физическим потенииапом" поля д〃〃. Как известно, для совпадения результатов теорий Эйнштейна и Розена нужно, чтобы эта взаимосвязь имела смысл предельного перехода g从〃 f е〃“ при стремлении к нулю「равитаи”°нн°话 константы связи (см. о двуметрическом формализме в [77]).

Итак, в своей первоначальной формулировке [117] двуметрическая теория гравитации приводит к тем же предсказаниям, что и теория Эйнштейна, отличаясь от нее только интерпретацией наблюдаемых величин и возможностью введения тензорных энергетических характеристик поля тяготения. Интересно отметить, что е качестве одного из аргументов, выдвинутых автором двуметризма в его пользу, была неудача геометри- зацйи других (не гравитационных) полей. Ведь не может же только гравитация описываться геометрически? Почему она оказывается в выделенном положении по отношению к остальным физическим полям?— удивляется автор и, не находя ответа, предлагает вернуть ^заблудшую овцу в стадо" — отказаться от геометризации тяготения, хотя бы это был и шаг назад.

Кроме того, наличие двух метрик в теории обещало большее число дополнительных скалярных и тензорных величин, что открывало широкие возможности к построению новых физических теорий, отличающихся от теории Эйнштейна не только по интерпретации результатов (следующих из одних и тех же уравнений), но и чисто математически.

Позднее такие теории, естественно, появились и разрабатывались рядом авторов в БО-60-x годах (например, [110, 120, 77, 118]) .Один из интересных вариантов 2-метризма — теория гравитации с минимальной связью [29], трактующая гравитационное поле как независимое тензорное поле, существующее на фоне плоского пространства-времени со своим метрическим тензором — совершенно в духе предложенных Розеном традиционных полевых позиций Максвелла и Нордстрема.

Теория гравитации с минимальной связью заслуживает несколько более пристального внимания в связи с тем, что ее авторы предлагают

интересный путь вывода симметричного тензора энергии-и мпул ьса гравитационного поля.

В работе [29] вводятся две основные величины — метрика плоского мира e^p и ,,физическийм тензорный симметричный гравитационный потенциал %屮 вместе определяющие метрику некоторого эффективного риманова пространства ^^р = д^ (е, Эе, Эде,屮，3屮，bb^p), в котором урав* нения поля вещества можно рассматривать наравне с записью их в мет ри* ке е〃〃 (но в соответствующим образом переформулированном виде)— это так называемый принцип тождественности. Не конкретизируя вида лагранжианов полей тяготения, но задавая их зависимость от метрик вдр и ^^p и потенциалов 屮从〃 и 屮“ (последний - потенциал поля источника) ,авторы выводят закон сохранения суммы симметричных тензоров энергии*импульса гравитационного поля и вещества (в плоском пространстве-времени) ,эквивалентный равенству нулю g ковариантной диверген* ции тензора энергии*импульса источника тяготения:

(4.8)(4.8)^мР * %%)|а =唬 а =。・

(4.8)

(4.8)

Первое равенство в формуле (4.8) и представлет собой математическое выражение принципа тождественности. Заметим, что выражение (4.8) было записано в работе Розена [117], но роль t^ там играет построенный из тензорного продолжения связности несимметричный канонический тензор Эйнштейна).

Требования калибровочной инвариантности теории с минимальной связью и сохранения не определенного пока тензорного тока источника приводят к определению новых переменных гравитационного поля, записываемых через потенциал 屮心 дифференциально — с помощью вторых производных (для кратк&ти обозначим такую связь опера* тором О):

7〃 = 口嘖一外^ 一 ^ti^ ①”e4 =0%丁 где

0* =麻一(1/2)% 哈

Тогда гравитационный лагранжиан в зависимости от f и от е будет равен产

厶。=£ %,入严'"- 4•力，入吸)(49

40H отличается от нелинейной теории Розена [118] только тем, что свертка всех индексов (4.9) осуществляется посредством метрики плоского мира). Шесть независимых уравнений поля, следующих из варьиро* вания (4.9) для шести независимых компонент。入。или «^^ (4 уравнения и 4 компоненты устраняются калибровочным преобразованием), ока- 108

зываются 6-го порядка:

(4.10)(4.10)口2Q 严=-2kJ?

(4.10)

(4.10)

где

(4.11)(4.11)

(4.11)

(4.11)

Этот факт является скорее недостатком теории, чем ее достоинством, так как для определения 36 констант интегрирования, неизбежно появляющихся в общем случае, требуется такое же число начальных и граничных условий, а это в три раза больше, чем в теории Эйнштейна. Однако авторы в дальнейшем ограничиваются случаем причинно-обусловленных решений и, "сокращав" (4.10) на один даламбертиан, после серии калибровочных преобразований переходят к интерпретации f” как физического гравитационного потенциала, определяемого из уравнений

口产=-2k 修；嘴；=0, (4•⑵ где величине 卅"，дифференциально связанной с источником (4.11) по правилу п / "" = jW, придается смысл тензорного тока, сохраняющегося в силу калибровочной инвариантности и сосредоточенного только в веществе.

Как видно из (4.12), уравнения этой теории имеют в точности тот же вид, что и линеаризованные уравнения Эйнштейна с координатными условиями Гильберта. Но если мпотенциалм 厶“ связывать с метрикой 0从〃 линейно, то мы не получим всех классических эффектов ОТО с теми же значениями, что и в теории Эйнштейна, и для удовлетворения необходимого условия соответствия теории с минимальной связью с экспериментом авторы избрали сложную — нелинейную зависимость д^р, е〃“ и

g^ = e叩 + f叩-(1/2)%质+ (1/4)①厶 © + %〃〃小 +

+ Ьзе 冷 pg + 匕吗〃&%]; (4.13)

именно зависимость (4.13) и была названа минимальной связью. Постоянные параметры Ь2, Ь3, 九 определяются из требования совпадения постньютоновских выражений для инертной и гравитационной мзсс статического сферически-симметричного тела. Здесь же требуется конкретизация вида источника, входящего в уравнения (4.12). В нулевом приближении по гравитационному полю авторы предлагают считать 卅"тензором энергии-импульса источника

修%0 = 0)=产.

В результате такого отождествления вместе со специально подобранным условием (4.13) все эффекты движения частиц в гравитационньж

109

полях, предсказываемые и описываемые ОТО, предсказываются и описываются в теории с минимальной связью. Естественным следствием этой теории является известная формула для мощности гравитационного излучения (впервые выведенная в рамках ОТО)

-d&/dt = (”45с5)方 ®4〃，

используемая, в частности, для согласующихся с наблюдениями расчетов потери энергии в двойной системе PSR 1913 + 16, одна из составляющих которой - пульсар.

Теория Эйнштейна вполне удовлетворительно объясняет факт ускорения вращения пульсара вокруг своего компаньона потерями энергии на гравитационное излучение; другие теории приводят к результатам, противоречащим наблюдениям (в том числе и 2-метрическая теория Розена [118], которая предсказывает, показано Виллом [16], увеличение периода взаимного обращения компонентов двойной системы RSR 1913+16).

Авторы теории с минимальной связью подчеркивают принципиальное отличие ее от теории гравитации Эйнштейна. Как и Розен [117], они говорят о том, что в их теории выполняется только специальный принцип относительности, т.е. в ней ^меньше относительности**, чем в теории Эйнштейна, и "при наличии взаимодействия с внешними гравитационными полями скорость света, как и скорость движения любых тел, не является постоянной**. Такого рода заключения, как и в случае оригинальной 2-метрической теории, носят скорее интерпретационный характер. Действительно, абстрагируясь от максвелловской полевой концепции, нетрудно дать и иное толкование теории с минимальной связью. Для этого остановимся на математической стороне этой теории. Легко заметить, что лагранжиан (4.9) представляет собой линейное приближение эйнштейновской функции Лагранжа (без дивергенциальной части):

勺=W23gR/嗡-脸％ (4.14) при линеаризации

9〃〃 = egp + 〃卩 -(1/2)①〃公. (4.15)

Подставляя (4.15) в (4.14), находим

Lg (1/8к| 1-2^%р р + fP^afpVia - W2)©“d"],(4・16) где первое слагаемое преобразуется в полную дивергенцию при условии f"； = 0 (содержащимся и в теории с минимальной связью):

严吃Pf =(严以印 ) - F，P f J ар,и ' .и ар，

т.е. (4.16) в точности эквивалентно (4.9). Варьируя (4.16) и лагранжиан источника по /〃〃，естественно приходим к уравнениям (4.12) — линеаризованным уравнениям Эйнштейна с условием Гильберта. Однако решения этих уравнений описывают лишь ньютоновские эффекты: метрика разложена в ряд с точностью лишь до линейных членов по пере- 110

менным функциям. Добавляя в разложение (4.15) слагаемые с неопределенными коэффициентами, квадратичные по f , можно добиться согласования теории с постньютоновским описанием известных гравитационных эффектов. Можно сказать, что установление такой ^минимальной связи** — первый шаг в итерационной процедуре Гупты [77]— построения лагранжиана теории Эйнштейна последовательным учетом в разложении метрического тензора слагаемых все более высокого порядка по малому параметру. В этом смысле теорию с минимальной связью можно трактовать как несамосогласованное первое приближение общей теории относительности Эйнштейна.

Тем не менее интересным представляется используемый авторами этой теория способ вывода ^метрического** тензора энергии-импульса гравитационного поля 芍"варьированием лагранжиана по метрике плоского пространства времени (которая в теории с минимальной связью Авляется тензором, и поэтому 吋"также обладает тензорными свойствами — это общая черта всех двуметрических теорий). Но так как в качестве лагранжиана взята лишь часть лагранисиана теории Эйнштейна (или его 2-метрического расширения в теории Розена [117]), то и общее выражение для ," получилось довольно громоздким (формулы (7.8) и (7.9) в работе [29]), поэтому его не приводим.

Здесь следует отметить, что получение симметричной величины, отождествляемой с тензором энергии-импульса гравитационного поля (в пространстве-вромени без источника), как результата варьирования лагранжиана дву мет ри ческой теории по метрике сравнения, было предложено раньше Д.Е. Бурланковым [15], исследовавшим с этой точки зрения первоначальный вариант теории Розена. На наш взгляд, результат исследования, изложенного в этой работе, замечателен: мы вновь встречаемся с уже знакомой величиной, но приходим к ней с иных позиций.

ТЕНЗОР ПАПАПЕТРУ И ЕГО СВЯЗЬ С ТЕНЗОРОМ БЕЛЯ-РОБИНСОНА

Прямым вычислением Д.Е. Бурланков [15] продемонстрировал, что если встать на точку зрения двуметризма, не изменяА формул теории Эйнштейна, а лишь тождественно преобразуя их, и не фиксировать с самого начала принадлежность метрики сравнения к плоскому пространству-времени, то результатом варьирования функции Лагранжа вида (4.13), но записанного с помощью двуметрического тензорного продолжения связности, оказывается в точности величина, выведенная Папапетру (4.3):

"〃 =-25Х/5е〃“. (4.17)

Различие состоит лишь в том, что частные производные в (4.3) заме* няются е-ковариантными и поднятие индексов осуществляется метрикой е"“. Таким образом, в данном подходе 8〃" оказывается не псевдотензором, а настоящим тензором.

Если в качестве лагранжиана использовать "полную'' скалярную кривизну, то результат варьирования (4.17) не изменится, так как вариация дивергенциального слагаемого, коммутирующая с е-ковариантной производной, должна исчезать на пределах интегрирования.

Следовательно, в 2-метрическом формализме 6〃" представляет собой ме-метрическийм тензор энергии-импульса и поля тяготения и полей его источников (это мы видели при интерпретации уравнения (4.3) в гармонических координатах и еще увидим при разложении 6〃" в нормальных римановых координатах).

Еще одно свойство, выделяющее 8〃" среди других тензоров (в 2-мет- ризме) или псевдотензоров (в ОТО), состоит в том, что он тесно связан с тензором суперэнергии Беля (см. гл. 2).

Гарецки [21], исследуя разложение псевдотензора Эйнштейна в нормальных римановых координатах, нашел, что коэффициент разложе* ния второго порядка по этим координатам содержит часть компонент тензора Беля—Робинсона.

Аналогичная работа была проделана и с тензором Папапетру [40]. Метрический тензор в нормальных римановых координатах [106]— координатах { уа} , геодезических в 4-меркой точке (в нуле), разлагается в ряд по правилу

д^з 5 = %з -(1/3)咨 £〃зУ“У“-

-(1/3)斤€入34；〃У"?"» + -(-6 -w3入；叫 从 +

+ -у ^^в^Хер6^УРУХУР + …，(4.18)

где символ ''о" над величиной означает, что она вычисляется в начале координат. Записывая частные производные от разложенной в ряд Тейлора плотности контравариантных компонент метрики:

乞%〃多% +跳,吃入外+(1/2)；二〃,入J", выражая их через производные ковариантных компонент, значения которых в начале координаты определяются из (4.18), и подставляя затем их в определение тензора Папапетру (4.3), получаем в нулевом и первом приближениях по координатам

严=弓" + ^。"入，

「де?" — плотность тензора энергии*импульса источника (содержится в тензоре Папапетру!). Вычисления второго приближения довольно сложны, они требуют по крайней мере двукратного применения тождеств Бианки и тождеств типа Ланцоша. Эти вычисления несколько упрощаются для пустого пространства-времени, их результат мы и приводим:

严=-(乙“У 〃入。〃 + G J入/4pw _

- у騎恥九2%入叫力厶=V亍"""々，419) где 戸°丁入川 = 戸丁№, иначе говоря, полностью симметризованный коэффициент при втором порядке в римановых координатах оказывается с точностью до постоянного множителя тензором суперэнергии Беля. Несмотря на трудности в интерпретации тензора Беля—Робинсона, найденная взаимосвязь его с тензором Папапетру представляется не случайной.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРА ПАПАПЕТРУ ДЛЯ КОНКРЕТНЫХ РАСЧЕТОВ

Тензор Папапетру чрезвычайно удобен для расчетов гравитационных энергетических величин Чтобы подтвердить это высказывание, рассмотрим несколько примеров.

Подсчитаем интегральную энергию поля Шварцшильда в однородных координатах:

(1 - ут/2г) с(1 - ут/2г) с(加 + dy2 + &2).(加 + dy2 + &2).

(1 - ут/2г) с

(1 - ут/2г) с

(加 + dy2 + &2).

(加 + dy2 + &2).

Определяя полную энергию как Е = jOQQ d\/, находим с помощью суперпотенциала (4.4):

£ =专'(咪"'^j\idV =~ ^(7°° ' +%〃/)",••(4.20)

Из ds2 вычисляем

= 一。。二也 竺e：二.

/，/•2(1 - Jm/2r)2 I г / г '

Подставляя (4.21) в (4.20), получаем, что г -^ °°z Е = т, т.е. хорошо известный и ожидаемый результат.

Найдем интегральное значение z-компоненты момента импульса поля Керра в ^квазидекартовых** координатах:

df = 勿""2" -7；)；7-，dt +

「+ a z(4.22)

px + ayp у — axz

+ dx + dy + — dz

片 +ap + ap 一

по правилу

厶=/Хб?。— x20lo)dV =

= f [xl (g20,1 - p^0,2) - x2 (g}Qfl - g。厶 1) + 2K

+ 2寸。品-gi。抵)]ds"

где учтено, что определитель метрики в (4.22) равен (—1). Пренебрегая на больших расстояниях параметром а по сравнению с р в знаменате* ле, после несложных вычислений находим нужные производные (компоненты "ротора" д°‘)：

д* 一 g：： = -2?(* + d - 2z?)；

g：； 一 g：： 4 3,mayz/p5； д2Оз-дЗ()2 二-3)maxz勿5,

подставляя которые вместе с 嶼 = px^mBd^dв в выражение для L, получаем L = та.

Тензор Папапетру можно успешно применить и для вычисления энергии слабых гравитационных волн. Покажем, что такую энергетическую, характеристику можно использовать в целях определения в классиче> ской теории численного значения спина гравитационной волны [41]. Подобно тому, как это можно проделать в электродинамике для поляризованной по кругу плоской монохроматической волны, взяв отношение плотностей момента импульса и энергии поля, и получить значение спина фотона (равное, конечно, единице) как коэффициента при обратной круговой частоте (что соответствует квантовому соотношению S/E = 方/) = 1 • з~ I), найдем аналогичное частное для слабой гра

витационной волны с круговой поляризацией, обеспечивающей максимальный перенос спина:

/22 =—尸3 = 2sin3与，/23 = Acosa江

где А = const — амплитуда возмущения метрики;与=Г — х — волновой аргумент. Из тождественно преобразованных уравнений Эйнштейна, левая часть которых точно совпадает с &"" в приближении слабого поля, находим плотность энергии волны

6。。= Е = 3?厶2 / (2“).

Плотность спина определяется с помощью величины

唠=(1/2К) *gм -力产。)[口(/喝- 9吗81'

возникающей в двуметрическом варианте теоремы Нетер [77] как плотность обобщенного спина гравитационного поля. Единственная компонента вектора плотности спина

S4 =哂/\。，

где та — монада, е"“入 Зчиерный символ Леви-Чивиты, равна S = S1 = 114

= з笛 1к, и, составляя спин-энергетическое соотношение \S/E\ = 23一〔， находим, что спин гравитона равен 2Л , в полном согласии с предсказанием квантовой теории.

Глава 5СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ОДИНОЧНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯИ АНТИНАБЛЮДАТЕЛЯ

СИСТЕМА ОТСЧЕТА ОДИНОЧНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ

В начале § 1.7 обсуждались основные представления о системах отсчета; отмечалось, что для их описания требуется задание временноподобных конгруэнций мировых линий. Однако в действительности физические измерения и прием сигналов из окружающего мира производятся в рамках нашей планеты, и для большого числа задач, особенно астрофизических и космологических, все результаты наблюдений определятся одной мировой линией .наблюдателя и положением и мгновенной скоростью источников информации. Эти результаты должны оставаться инвариантными относительно переходов между всеми системами отсчета, включающими мировую линию наблюдателя в число линий конгруэнции точек тела отсчета. Вместе с тем ряд характеристик удаленных объектов приобретает интуитивно более ясный смысл, если сделать некоторый естественный выбор глобальной системы отсчета. Таковы энергия, импульс и особенно момент импульса этих объектов.

На мысль о способе определения такой системы отсчета наводит сама процедура наблюдений. Вдоль мировой линии вместе с наблюдателем переносится его локальный базис (пусть это будет перенос Ферми—Уокера, хотя допустимо и включение вращения, например в случае учета вращения Земли вокруг ее оси). При астрономических и радиоастрономических наблюдениях информация приходит по световому конусу прошлого (по изотропным геодезическим); производя эти наблюдения, наблюдатель как бы распространяет свои представления о базисе по этим геодезическим. Математически для этого естественно воспользоваться параллельным переносом базиса с мировой линии наблюдателя по изотропным геодезическим в прошлое. Такое распространение однозначно осуществимо, пока геодезические не начнут пересекаться. Получающаяся мировая трубка, в которой построена система отсчета, достаточно обширна, если вспомнить, что эффект гравитационной линзы (именно он соответствует пересечению геодезических) был реально обнаружен только в самое последнее время. Построенная таким образом система отсчета может сводиться к одной конгруэнции (тогда нас не будет интересовать и перенос Ферми—Уокера) или содержать информацию о всей тетраде. Последнее желательно в том случае, если требуется указать генераторы пространственных сдвигов и поворотов с точки зрения центрального наблюдателя. Эту систему отсчета называют системой одиночного наблюдателя [86, 80, 78].

В рассмотренном выше случае речь шла об оптическом одиночном наблюдателе (см. также оптические координаты у Синга [123]), однако 115

от центральной мировой линии можно отходить и по пространственноподобным геодезическим, что дает одиночного ферми-наблюдателя (координаты Ферми у Синга). Последний случай приводит к некоторым ограничениям, так как пространственноподобные геодезические, продолжающие нормали к мировой линии, неизбежно пересекаются даже в мире Минковского, если эта линия описывает ускоренное движение. Однако имеет смысл постановка вопроса о соглашении, позволяющем избежать "двойной бухгалтерии" при таких пересечениях. Кроме того, стали привычными рассмотрения, учитывающие горизонты Риндлера для ускоренных наблюдателей, так что читатель едва ли будет обеспокоен сложившейся ситуацией. Постановка задачи с ферми-наблюдателем более близка к представлению о пространственных сдвигах и декартовых системах координат (декартовой калибровке тетрад). Можно думать, что появление горизонтов и ненаблюдаемых областей здесь более серьезно, чем просто перекрытие пространственноподобных геодезических (хотя это, конечно, лишь отражение одно другого).

Итак, система отсчета одиночного наблюдателя в некоторой трубке, окружающей его мировую линию % определяется через разнесение базиса %, заданного на у по тому или иному закону. Наиболее известны и хорошо разработаны две концепции:

фермиевская система отсчета: в этом случае глобальная система отсчета определяется с помощью параллельного переноса базиса по пространственноподобным геодезическим, ортогональным у;

система отсчета оптического наблюдателя: базис разносится по изотропным геодезическим (по конусу прошлого или будущего).

В определении системы отсчета одиночного наблюдателя играют важную роль такие математические конструкции, как экспоненциаль* ное отображение и поля Якоби.

Экспоненциальное отображение [74]. Пусть задана геодезическая Т(t) ： (0,1] f 切 с начальными условиями)(0) = g, d^(0)Л/t = у. Точ ка 7 ⑴ £ ^обозначается expQ (к ) и называется экспонентной касательного вектора. Всю геодезическую можно представить в виде у (Г)= =expg (tn ). Экспоненциальное отображение является двухточечной функцией и определено в достаточно малой окрестности точки д. Под словами "достаточно малой" подразумеваетсяг что точка g может быть соединена с любой точкой р из этой окрестности единственной геодезической. Таким образом, expQ (и ) действует по схеме:

Tq 囱)—觎：(g,廿)f expQ (к ) •

В дальнейшем важную роль будет играть то обстоятельство, что все геодезические, выходящие из q, являются ортогональными траекториями гиперповерхностей (ехр^ (к): д(у, у) = const). Если задать двупараметрическое семейство кривых f (s, t) = exp^ (w(t)), определяющее некоторую 2-мерную поверхность, то последнее утверждение можно переписать в виде

g(»/8s, bf/bt) = 0.

В некоторой окрестности точки q экспоненциальное отображение является 116

Рис. 5.1. Девиация геодезических, определяемая полями Якоби с различными начальными условиями

диффеоморфизмом. Эту окрестность называют нормальной окрестностью точки д. Пусть % — базис в TqW} и р = expQ (х%/; тогда функции / называют нормальными координатами точки р.

Поля Якоби [74]. Поля Якоби связаны с девиацией Геодезических и определяются как решение дифференциального уравнения девиации геодезических (см. также § 1.5):

^uvuV + 斤⑺，〃)〃 =О-

Интуитивно векторное поле " можно представлять как поле векторов, соединяющих бесконечно близкие геодезические у (t)=力(so, t) из двупараметрического семейства кривых f(s, t). Один из возможных способов получения полей Якоби, как видно из этого замечения, состоит в перемещении геодезических. Поскольку уравнение девиации является уравнением второго порядка, то вдоль каждой геодезической существует 2л независимых полей Якоби с начальными условиями "lq и bri/bt |Q . Их можно разбить на два класса:

а)用q = 0, bri/bt\q 力 0; б) t?|q W 0, brilbt\q = 0

(рис. 5.1). В § 5.3 Показано, что поля Якоби с начальными условиями (1) естественным образом определяют повороты, а поля с начальными условиями (2) - сдвиги в искривленном пространстве-времени.

Нормальная система отсчета Ферми. Возможность построения нормальных координат Ферми, обобщающих нормальные римановы координаты [106, 164], связана с теоремой Ферми [141], суть которой состоит в том, что на римановом многообразии для любой наперед заданной кривой у можно ввести координаты в некоторой трубке, окружающей % так, чтобы 9у^^ = S〃 и символы Кристоффеля обращались в нуль「公小 =0. Описание фермиевских нормальных координат, но только для геодезического движения наблюдателя, было впервые дано в [69].

Пусть у (т) — произвольная временноподобная кривая; можно отождествить ее с мировой линией некоторого наблюдателя. Будем считать, что кривая параметризована собственным временем этого наблюдателя. Перенос ортонормированного базиса, определяющего его собственную систему отсчета, осуществляется вдоль 丁 по правилу

^теа = а • % 三 а(，％)， где

a从〃 = G4产-GV + 、3合w；

т = e0 — 4-скорость наблюдателя; G — 4-ускорение; з — угловая скорость*

вращения базиса относительно базиса, переносимого по Ферми—Уокеру. Для любой точки Р существует единственная пространственная геодезическая, ортогональная к 7 соединяющая ее с некоторой точкой & на у. Используя экспоненциальное отображение, запишем геодезическую Р0Р：

p = eхр)⑺(入w，「де 与=а/?入=?"；

入—канонический параметр. Нормальные координаты Ферми Х^ определяются по правилу

Х° = т; X’ =入(5.1)

где 入与=exp-J(T)俨)，и g (|,与)=—1. Как легко видеть, на)(т) базис еа совпадает с натуральным базисом, т.е. % = "ЗХ.

Фермиевские нормальные координаты являются естественным обобщением лоренцевой системы отсчета в СТО на случай искривленного пространства-времени. Размеры мировой трубки, в которой эти координаты регулярны, находятся из условий [90]л

111I吗入/]

Условие 入《 1/|G| определяет область, где геодезические, испущенные из 7 (т) в различные моменты времени, не пересекаются. В области 入《1/|а>| линейная скорость точек не радиальных геодезических не превышает скорости света. В области X < 1/1Л11/2 радиальные геодезические не пересекаются. Наконец, последнее из условий (5.2) определяет область, внутри которой тензор кривизны не меняется существенным образом. Оно связано с ограничением на порядок разложения метрического тензора в нормальных фермиевских координатах.

Из определения (5.1) следует, что внутри мировой трубки выполнится соотношения 噴 #2= 0, причем на мировой линии наблюдателя 端f吟 ’

Для метрического тензора в нормальных координатах Ферми справедливо следующее разложение [84]:

g^ =年“ + 25(得“)/終 + ^v}Pi^^ +

+ 5；&3口 欧 G*X"/ + (1/3)5% 咨切 p 伙*M + 0(*),(5.3)

(5.4)(5.5)(5.4)(5.5)а для коэффициентов связности 吗=一(2/3市以⑺心义+0(*);

(5.4)

(5.5)

(5.4)

(5.5)

%=%+亩%。+ 6” +

+ 蜀壮声^ -吟◎%)* + 0(*). 118

Движение частиц. Движение свободной пробной частицы в собственной системе отсчета фермиевского наблюдателя исследовалось в [90]. В этой работе были получены уравнения движения с точностью до бесконечно малых первого порядка и проанализирован физический смысл различных слагаемых, входящих в уравнения движения. Уравнение геодезической с учетом замены дифференцирования по собственному времени частицы дифференцированием по координатному времени имеет вид

d2XZ(</Х°) 2d2XZ(</Х°) 200

d2XZ

(</Х°) 2

d2XZ

(</Х°) 2

0

0

Выражение в /5.6/-G’ _(GZ)Gl 2(GZ )/2(GZ) (G7 J(b”) J . -2(9Xv)‘ -2(G』X)(3 x v )z[Зх(3XX)]‘-(их X)'Выражение в /5.6/-G’ _(GZ)Gl 2(GZ )/2(GZ) (G7 J(b”) J . -2(9Xv)‘ -2(G』X)(3 x v )z[Зх(3XX)]‘-(их X)'

Выражение в /5.6/

-G’ _(GZ)Gl 2(GZ )/

2(GZ) (G7 J

(b”) J . -2(9Xv)‘ -2(G』X)(3 x v )z

[Зх(3XX)]‘

-(их X)'

Выражение в /5.6/

-G’ _(GZ)Gl 2(GZ )/

2(GZ) (G7 J

(b”) J . -2(9Xv)‘ -2(G』X)(3 x v )z

[Зх(3XX)]‘

-(их X)'

Отсюда, с использованием формул (5.4), (5.5), следует, что

#// 卅尸=-(1 + G ▲XjG’ + 2(G ▲ v)(1 + G^ X)/ +

+ (b^X)/ — 2(1 + G^X)(3 x vY + (3 x(3 x X))' —

-(u X X) J %陋/ - 2%°X” + (2/3) Л..^/ +

+ 2%/0Kz丿 +(2/3)齐 о*/"丿俨 + °*优2),(5.6)

где b: и dG/dr + з x G; u: = dWd т \ v — скорость частицы относительно мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчета. Различные выражения, входящие в эту длинную формулу, интерпретированы ниже [90].

Эффект

Обычные силы инерции

Допплеровская поправка к (1)...

Релятивистская поправка из (СТО)

Поправка к (3) за счет красного смещения

Производная по 7 от поправки (3) к ускорению

Ускорение сил Кориолиса

Поправка к (6) за счет красного смещения

Ускорение центробежных сил ....

Ускорение с учетом зависимости угловой скорости от 7

Гравитационные эффекты ^электри* ческого** типа

И. Поправки СТО к (10)

Гравитационные эффекты ^магнитного** типа

Поправки СТО к （12） g~3卜1^"枝

Гравитационные эффекты ^дважды маг нитного** типа

Оказывается, что связь между тензором кривизны и инерциальными силами появляется только в третьем порядке разложения. Анализ системы отсчета одиночного наблюдателя с привлечением методов современной дифференциальной геометрии см. также в [138,139].

5.2. ОБОБЩЕНИЕ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ

Определим квазигруппу преобразований, обобщающую группу Пуанкаре на произвольное пространство-время. В ее определении существенную роль играют поля Якоби — она порождается ими. Кроме того, как выяснится в дальнейшем, квазигруппа Пуанкаре связана с нормальными координатами и системой отсчета одиночного наблюдателя.

Из § 5.1 следует, что поля Якоби можно получить с помощью вариации геодезически. Более того, справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а [74]. Векторное поле " вдоль геодезической）仞 есть поле Якоби тогда и только тогда, когда оно - инфинитезимальная еа・ риация для 1（т）.

Под инфинитезимальной вариацией понимается бесконечно малая вариация, переводящая у（7）опять в геодезическую.

Рассмотрим нормальную окрестность Vp точки р. Пусть ^ касательный вектор к геодезической, соединяющей произвольную точку р‘ 6 厶 с точкой р. В соответствии с уравнением девиации

▽/‘" + AS, W" = 0（5.7）

вдоль каждой геодезической у （т） построим векторное поле г?, предпо* лагая, что начальные данные "|р и v ^|р одни и те же для всех геодезических, выходящих из точки р. Тем самым в Vp определено векторное поле п« Каждое якобиево поле вдоль заданной геодезической можно получить геодезической вариацией этой геодезической; существует такая вариация

а（＞ т,与）三 а（＞ X）,

где Ха— нормальные координаты с началом в точке р, что

刀=Эа/Э$ и 与=да /дт;

тогда Е 目=0.

Обозначим множество полей Якоби, полученных таким образом,%: пусть % £ J* и г?2 £ Jp, тогда [%,訂=0 и [т?2＜ 目=0. Отсюда с помощью тождеств Якоби легко показать, что и коммутатор 120

【m, 〃2】，习=0. Следовательно, коммутатор двух полей Якоби из Jр снова является полем Якоби, а система уравнений (5.7) образует AS-систему. Система дифференциальных уравнений для векторного поля X называется абстрактной системой определяющих уравнений (AS- системой) ,если она линейна и однородна и если для любых ее решений М и Х2 коммутатор 因，Х2] также есть решение [94]. В силу определения AS-системы ее решения образуют алгебру Ли. Обозначим gJp алгебру, построенную на полях Якоби Jр. Она вообще говоря, бесконечномерна, но с точки зрения квазигрупп преобразований поля Якоби в нашей конструкции образуют конечномерную квазиалгебру.

Найдем размерность квазиалгебры gJp. Она определяется числом независимых начальных данных в точке р и равна 42 + 4, где 4 — число независимых векторных полей в точке р, 42 — число независимых производных в точке р. Отсюда следует, что поля Якоби в окрестности точки р порождают локальную квазигруппу локальных преобразований 厶(猊) f L (次)，где 厶(就) 一расслоение линейных реперов над пространством-временем «Z. Эта квазигруппа представляет собой обобщение группы аффинных преобразований. При этом векторы п с начальными условиями "1° W 0, v『% = 0 「енерируют сдвиги, а векторы с начальными условиями nip = 0, ▽专方卜 W 0 порождают бесконечно малые аффинные повороты. В силу того, что квазиалгебры д% и gJp, где pS р" £ Vp — произвольные точки, изоморфны, инфинитезимальная квазигруппа локальных аффинных преобразований не зависит от выбора точки р — "иентра” нормальной окрестности.

Опишем gJ -квазиалгебру в нормальных координатах X = ^т, где т — канонический параметр вдоль геодезической у (т): у (0) = р и ^ = = а/8т. В нормальной окрестности Vp разложим вектор девиации в ряд

方@ =方@ + Т +-产 + 0(73)(5.8)

“2 dr2

(нуль над величиной означает, что ее значение берется в начале координат) .Не останавливаясь на промежуточных выкладках, запишем связь между производными вектора 1? в начале координат и тензором кривизны:

dri/dT = ▽卢； /京/" = -(2/3)Я (г? r V

При выводе последнего соотношения использовалось то обстоятельство, что т% — вектор девиации. Кроме того, в начале нормальных координат = 0. Поэтому (5.8) перепишем в виде

户=胖 +/不+十方%入*心。+0(*),(5.9)

где 8片—4 х 4-матрица, определяющая значения %/・ Для того что-

121

бы перейти к квазигруппа Пуанкаре, в (5.9) необходимо выделить подгруппу собственных вращений (ортохронную группу Лоренца), т.е. от расслоения линейных реперов 厶(ЗЙ) перейти к расслоению ортонормированных реперов ° 阀.Генераторы квазигруппы Пуанкаре имеют в^д

У =泸 + о?^ + 十"iAo*改入胪 +0(*), (5.10) где J以一матрица инфинитезимальных преобразований Лоренца; 3 =一3 •

В соответствии с выбором начальных условий генераторы сдвигов записываются как

产=泸+ (1/3市勺入产外沪+ 0(*), (5.11) а генераторы поворотов как

т/ =沙厂. (5.12)

(Можно показать, что (5.12) — точное, а не приближенное выражение. Кривизна не влияет на повороты!) В случае равной нулю кривизны (5.11), (5.12) переходят в обычные выражения для генераторов группы Пуанкаре.

Выясним связь квазигруппы Пуанкаре с группой изометрий. Пусть в - вектор Киллинга, тогда £ д р = £「匕入户 0. Отсюда на основа* нии (1.11)心 〃；V -吟д/° s °・ Свернем это уравнение по индексам £ 〃 с вектором &: V|| = 0. Тогда

h6 + 8(6,与)与=0,

т.е. вектор Килл ин га 6 удовлетворяет уравнению девиации вдоль любой геодезической. Следовательно, группа изометрий входит как подгруппа в квазигруппу Пуанкаре. -Последняя является ее естественным обобщением на случай произвольного пространства-времени, когда отсутствует какая-либо подвижность. Анализ инвариантов квазигруппы Пуанкаре приводит к квазилокальным сохраняющимся величинам (см. § 5.4).

Исследуем структуру квазигруппы Пуанкаре в системе отсчета фермиевского наблюдателя. Для фиксированного момента собственного времени т рассмотрим девиацию пространственных геодезических, ортогональных мировой линии наблюдателя. Вектор девиации представляется в виде ряда

/ =泸+学人

入2 + 0（入3）

Наша задача состоит в том, чтобы выразить обыкновенные производные, входящие в это разложение, через ковариантные производные, тен- 122

зор кривизны иП£・ Для ковариантных производных в, начале фермиевских нормальных координат имеем:

气护=d^/dX +弘/匕

涉=d^W +②产口/十2噎寸力炉-

^J；W*・

Отсюда на основании (5.4), (5.5), учитывая, что вектор п удовлетворяет уравнению девиации, получаем：

dV17dx = V#" - C'f#；

/*Л/m = (2/3) R^1mn^imrin + 2#C广 e：任严一 2"№С匕庄

Представим ковариантную производную ▽口 в виде

就П小戸，

где з〃〃 = —з〃* Тогда векторное поле

亡=磋 + (1/3)各勺氏 X%/ +0(*)(5.13)

генерирует пространственные сдвиги, векторное поле

т^ = 5^ - (1 - ^.Х1}^^ +。俨)(5.14)

—сдвиги во времени, а векторное поле

/ = 3Mxp -叫3°«*/(5.15)

порождает бесконечно малые преобразования Лоренца. Пространственные повороты генерируются векторным полем з；Х( Вопрос о генераторах гиперболических поворотов нуждается в более детальном обсуждении. Действительно, из (5.15) можно найти только, каким образом преобразуется координата Л°:

Xю = Х° + (1 - Q0 хВз^".

Поскольку речь идет об инфинитезимальных преобразованияхг то для нахождения зависимости Х''(Х〃) достаточно условия

После несложных вычислений находим

/ = X； + (1 _ ^pXp)^XQ - 6产3。/・

Обратим внимание на то обстоятельство, что во втором порядке кривизна пространства-времени не сказывается на сдвигах во времени. Поправки к 赭 в (5.14) обусловлены неинерциальностью системы отсчета. Они возникают уже в специальной теории относительности при переходе от инерциальных систем отсчета к неинерциальным. Обобщение группы Лоренца на этот случай было проделано в [135], причем она, как можно показать, фактически являетсА квазигруппой преобразова* ний, а не группой.

СИСТЕМА ОТСЧЕТА АНТИНАБЛЮДАТЕЛЯ

Обширный класс задач теории гравитационного поля составляют задачи об островных системах. Им посвящено большое число исследований, в которых делается акцент на асимптотических свойствах геометрии пространства-времени. Один из пу;ей исследования этих свойств - введение на больших расстояниях ("в окрестности бесконечности) специально выбранной системы отсчета. Такие подходы получили название концепции антинаблюдателя [80], в противовес подходу одиночного наблюдателя, обсуждавшемуся в § 5.1.

Как обычно в этом асимптотическом формализме не возникает трудностей, пока отсутствует уходящее на бесконечность излучение. Рассмотрим этот простейший случай. Введем на бесконечности декартов ортонормированный базис (так как для островной системы кривизна убывает на бесконечности достаточно быстро, если нет излучения, то согласованность векторов базиса, взйтых в разных направлениях от центра, не вызывает сомнений). Определим радиальные направления к центру островной системы из бесконечности; в качестве них можно принять направления быстрейшего изменения кривизны (какого-либо из ее инвариантов) на больших расстояниАх. Тогда возникают две возможности :построить пространственноподобные или изотропные радиальные геодезические, начиная от бесконечности. Первый метод приводит к ферми-антинаблюдателю, второй — к оптическому антинаблюдателю. Антинаблюдатель как бы окружает исследуемую физическую систему со всех сторон и одновременно мзаглядываетм в нее, начиная с асимптотики. Это позволяет более непротиворечиво располагать в центре получающейся системы отсчета сингулярность, чем это могло быть (и часто реально производится в вычислениях) в случае одиночного наблюдателя, совмещение которого с сингулярностью, конечно, физически бессмысленно (но математически наиболее просто).

Можно даже еще сильнее сблизить оба диаметрально противоположных подхода, компактифицируя п ространство- в ре ма островной системы (добавляя бесконечно удаленную "тоику"), а затем производя конформную перекалибровку метрики и перенося эту новую точку в начало координат. Ввиду сингулярности якобиана преобразования в этой точке в ней должна быть введена компенсирующая сингулярность конформного множителя, что, однако, не препятствует в дальнейшем обратному корректному переходу к обычным физическим величинам. Тогда мо>;но условно говорить о "покализаиин" интегральных величин, характеризующих островную 124

систему, в бесконечно удаленной точке, а не в ^центре масс" системы. Как и для одиночного наблюдателя, здесь формулируется операция ковариантного интегрирования тензорных величин (только там интеграл приурочен к мировой линии наблюдателя, а здесь — к бесконечности, пространственной для ферми-антинаблюдателя и изотропной для оптического антинаблюдателя). Эта операция сводится к построению скаляров путем локального свертывания с тетрадными векторами данной системы отсчета, затем (тривиального) переноса этих скаляров в точку, к которой приурочен (см. выше) этот интеграл, и, наконец, к суммированию (интегрированию) .Если в конечной точке базис записан в явно декартовой форме, то результат будет и тетрадным и координатным сразу (так обычно бывает в декартовых координатах для антинаблюдателя); в противном случае остается вернуться к координатным компонентам с помощью тетрады в конечной точке. Такая процедура однозначна, коль скоро удается однозначно определить поле тетрады в концепциях одиночного наблю- детеля и антинаблюдателя. Сформулированный метод определяет специфическую связность (родственную тетрадной) и перенос, не зависящий (по своему определению) от пути. Локальный поворот тетрады на бесконечности (для одиночного наблюдателя — на его мировой линии в начальной точке) приводит к глобальному повороту тетрады во всей области определения системы отсчета, что исключает Возникновение парадоксов типа Бауэра.

В качестве простых примеров рассмотрим построение систем: 1) оптического антинаблюдателя в поле Керра и 2) ферми-антинаблюдателя в поле Шварцшильда. За основу для вычисления сохраняющихся величин примем тетрадный подход с лагранжианом гравитационного поля [77]

отличающимся от общековариантного лагранжиана (плотности скалярной кривизны) на дивергенцию. Тогда одноиндексная величина (3.46) определяется плотностью обобщенного спина (3.8), принимающего здесь особенно простой вид, и векторным полем 七 генерирующим с точки зрения антинаблюдателя преобразование, соответствующее рассматриваемому закону сохранения. Легко видеть, что из лагранжиана (5.16) следует

嘴J(G“)W；°M)+ g俗匕川6)陽-

一 g ⑻[№*)%£),(5.17)

причем суперпотенц^ал принимает вид

严=鸣w0*Т =严《(5.18)

Оптический антинаблюдатель в поле Керра. Будем исходить из координат Керра—Шилда для поля Керра [79], для которых в метрику явно входит изотропное геодезическое векторное поле £:

g〃〃 = ”U〃 — 2 例 /〃 •

Интегральные линии этого поля и задают образующие светового конуса, сфокусированного из бесконечности на островной системе Керра. Нетрудно убедиться, что стандартная тетрада, связанная с метрикой Керра [79], переносится вдоль згих образующих параллельно, т.е. задает систему отсчета * оптического антинаблюдателя. При определении энергии (массы) будем пользоваться сдвигами во времени, принимая Ag(0)・Tow

" - (g吗<Л)g& + g<°：川8餡。)免号 号"

(здесь учтено асимптотическое поведение метрики Керра) и

Е = ^/ “x'rsinedGdw = 8nm = т к

в полном соответствии с тем, что и следовало ожидать. Однако для момента импульса искомого результата не получается. Рассматривая асимптотически вектор (это в точности вектор Киллинга)

д(9)= 底 =х8у — у% 七一©(2)"cos9— 9 {^sin^) г sinO b^ как генератор поворотов вокруг оси симметрии z, приходим вместо требуемого значения момента та (ср. с [79]) к значению

初:9 5x'rsgBdGd屮= 告 ma・

Заметим, что и в подходах Комара и Пирани вычисленное значение момента импульса пола Керра не согласуется с истинным, и только псевдотензор Папапетру, учитывающий фоновую метрику при записи поля Керра в. форме Керра—Шилда, дает верные значения сразу и для массы, и для момента импульса.

Ферми*антинаблюдатель в поле Шварцшильда. В этом случае целесообразно опираться на метрику Шварцшильда в однородных координатах [77, 123]. Тетрада, имеющая вид "квадратного корнк" из метрики {д(。)从 = %〃 >/ 卜加 )，автоматически оказывается параллельно перенесенной вдоль линий радиальной координаты, являющихся просгран- ственноподобными геодезическими. Тем самым система отсчета ферми- антинаблюдателя реализована. Укажем здесь явный вид компонент тетрады:'

д；о)= а + 斤"(1 - #)，g'(/)= и + 斤厂％ 8 = im12r.

В этом случае суперпотенциал энергии, вычисленный на основании (5.17) и (5.18) для генератора ^ = д ^, имеет вид [80] /ю = - (2ут/к) (1 + 8) (1〃)，厂

Интегральная энергия при этом равна, как полагается, Е = т, а плотность энергии, вычисляемая как дивергенция суперпотенциала, замечательным 126

образом содержит стандартный ньютоновский вклад (6.53 а):

//0 ,• =m(1 + 斤)b(r) - 7"/(8"4)

Слагаемое с 6-функцией записано здесь лишь ради формальной полноты, так как (хотя сама формула точная, а не асимптотическая) "точка" г = 0 не имеет физико-геометрического смысла, и вместо шварцшильдовской сингулярности естественно представить себе сферическое распределение вещества вокруг начала координат, вне которого и рассматривается гравитационное поле. Дальнейшие примеры можно найти в гл. 6 и 7.

КВАЗИЛОКАЛЬНЫЕ СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ

В последнее время в решении проблемы энергии-импульса (мы имеем в виду весь комплекс вопросов в целом, включая определение момента импульса и близкие вопросы, связанные с асимптотической структурой пространства-времени) наметились определенные сдвиги. Так, Шёном и Яо недавно была доказана теорема о положительности массы в ОТО [170]. Их результат относится к пространству-времени, асимпоти- чески плоскому на пространственной бесконечности, те к случаю изолированных систем. Это одна из наиболее интересных ситуаций, так как здесь можно говорить об энергии, импульсе и моменте импульса системы, а также обсуждать вопросы излучения (анализ этих и связанных с ними вопросов см. в гл. 6 и 7). В изучении асимптотической структуры пространства-времени еще много нерешенных и трудных проблем, решение которых поможет в определении глобальных сохраняющихся величин. Наряду с этим до сих пор остается открытым вопрос о локализации гравитационной энергии. Многочисленные попытки найти подходящее выражение для плотности энергии гравитационного поля до сих пор не увенчались успехом. (В § 6.4 мы вернемся к этой проблеме с точки зрения ньютоновского предела ОТО.) Поскольку для обнаружения гравитационного поля необходимо иметь, как минимум, две пробные частицы (девиация геодезических), то отсюда возникает мнение о нелокализуе- мости гравитационной энергии. Другой аргумент заключается в том, что полная энергия системы определяется, как правило, через интеграл по 2-мерной замкнутой поверхности (при стремлении границы на бесконечность) .

Пенроуз [103] предложил концепцию квазилокальных сохраняющихся величин, определенных через интеграл по 2-мерной замнутой границе 3-мерной конечной области. В этом случае нет необходимости ''ухода" на бесконечность. Квазилокальные сохраняющиеся величины определяют импульс, энергию и момент импульса, содержащиеся в этой области. Они по необходимости должны учитывать вклад всех полей, включая и гравитационное. Один из возможных вариантов формулировки квазилокальных сохраняющихся величин основан на теории твисторов [ 103]. В их определении существенную роль играет пространство 2-мерных твисторов, ассоциированных с 2*мерной сферой, по которой ведется интегрирование. Мы не можем здесь углубляться в детали, так как это требует привлечения слишком многих новых понятий. Отметим только,

что 4-импульс по Пенроузу совпадает с 4-импульсом Бонди—Сакса, а выражение для момента импульса очень близко к определению Тамбу- рино—Виникура [131], но содержит также члены, не входящие в их определение. Дальнейшее обсуждение этих и близких вопросов см. в [67, 132, 157].

Из теоремы Нётер следует сохранение векторной плотности 徹 @ 伐) (3.4力：

^“传)，а = (*；),а = 0-(5.19)

Отсюда возникает определение кеазилокального "импуоьса" Р 伐)через интеграл по 2-мерной границе с топологией сферы S2, ограничивающей 3-мерную область Е :

ат

Р 伐)=J / dSa0 •(5.20)

В зависимости от конкретного геометрического смысла векторного пола, входящего в определение 如° 化)，получаются различные сохраняющиесА величины. Так, если это векторное поле имеет смысл генераторов сдви* гов, то соответствующий закон сохранения будет иметь смысл сохранения составляющих импульса системы. Забегая несколько вперед, заметим, что в § 6.2 с помощью теоремы Нётер сформулированы законы сох ране* ния, в которых все сохраняющиесА величины определяются в /гнаправле* нии" некоторого векторного поля. Они имеют вид законов сохранения энергии (6.19):

当 + $,% = 0

и импульса (6.26):

Отсюда получаются соответствующие интегральные законы сохранения:

£ f^d3x = - J 6°必”(5.21)

W 29S

£ SV Wd3x = -J ^adsa,(5.22)

"32

определяющие изменение энергии и импульса внутри 3-мерной области 2 за счет потоков через границу. Отметим, что величины 号 и * связаны с 圍 с помощью соотношений (использованы обозначения ли-монадного формализма § 1.7):

3=冲@伐)%； d =如"化)；*m)=勿a(")i涼7am)=加"ё).

Тем самым устанавливается соответствие между ли монадными сохраняю* щимися величинами и одноиндексными. При этом видно, что ^ и У до-

128

пускают запись через суперпотенциал / 叱 если учесть градиентный характер векторного поля « и антисимметричность / 好 .

加% =(心a)r

Таким образом, в ли-монадном подходе квазилокальные сохраняющиеся величины возникают естественным образом. Для энергии и импульса, заключенных внутри области Z,

£(Е)= / /aT^^adsr 戶(')= UaT(nHadsT. az az

В тех случаях когда пространство-время допускает группу изометрий, никаких проблем с соответствующими законами сохранения нет. Наличие векторов Киплинга, имеющих ясный геометрический смысл, позволяет придать такой же конкретный смысл и сохраняющимся величинам. Естественным обобщением группы изометрий на случай произвольного пространства-времени является квазигруппа Пуанкаре, порожденная полями Якоби (см. § 5.2). Генераторы этой квазигруппы приводят к законам сохранения вида (5.19) — (5.22). При этом в соответствии с выбором различных генераторов получаются законы сохранения квази- локальных энергии, импульса и момента импульса.

С нашей точки зрения центр тяжести следует перенести с придумывания новых законов сохранения на обобщение группы Пуанкаре на случай искривленного пространства-времени.

Подход к законам сохранения с точки зрения квазигрупп преобразований представляется несколько необычным, но с большой степенью вероятности это единственный возможный путь обобщения группы Пуанкаре, да и не только группы Пуанкаре, а групп любых преобразований, на искривленное пространство*врема. Конструкция квазигруппы, основанной на полях Якоби, допускает обобщение на произвольную физическую систему, лишь бы она была лагранжевой. Дело в том, что любая лагранжева система приводит к полям Якоби. Первая вариация дает уравнения "движеник", а вторая — уравнение девиации (нужно рассматривать двупараметрическое семейство вариаций) [156].

Наши результаты перекликаются с исследованиями Диксона, Палмера, Штройбеля и Шаттнера [30, 97, 150], в работах которых были впервые использованы поля Якоби для определения сохраняющихся величин. Если z (т) определяет мировую линию наблюдателя, то, как было показано Диксоном, общее решение уравнения девиации геодезических, испущенных из z (т), записывается в виде

十(х) = K%(z, х)а"-屮入(4 x)QP (zz х)8 入"

иис начальными условиями 十(z) = А^, “尹(z) = S^. Тензоры K^v H^ выражаются через мировую функцию Синга o(z, х) [123]:

и

и

#"入忆川砲忆x)=-吗；

d入(z, x) = H^v(zf x)(/\(z, X).

Тогда 4-импульс и момент импульса определяются с помощью выра* жений [30]:

№(z, Е): = {Yj%s入；

S%z, Z): = 2jH%cfil/PdSp,

которые, конечно, в общем случае не удовлетворяют законам сохра* нения типа (5.19). Построение сохраняющихсА (в смысле 4-мерной дивергенции) величин осуществляется с помощью процедуры **скелетони- заиии" [30].

Глава 6

ЛИ МОНАДНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА

ЭНЕРГИЯ ОСТРОВНЫХ СИСТЕМ

Энергия определяетсА через интеграл по 3-мерной области, который, как правило, может быть с помощью теоремы Гаусса переведен в ин* теграл по 2-мерной поверхности, окружающей источники. Отсюда следует, что для пространственно замкнутого мира полная энергия равна нулю. По этой причине остановимся на открытых моделях с плоской асимптотикой, так как в этом случае понятие интегральной энергии содержательно.

Уточним понятие асимптотически плоского пространства-времени. Детальный анализ асимптотической структуры пространства-времени проведен в гл. 7. Здесь же достаточна наивная, но в целом верно отражающая суть дела точка зрения, основанная на представлении об асимптотически декартовой системе координат. В такой системе координат 4-мерная метрика и ее производные при 厂 f <» ведут себя как

д〃〃-电〃 =°(%)； ^vta = ОО/r2);吟入=°(1〃2)・ (6.1)

Для 3-мерной метрики Ьц, импульсов /' и функций темпа /V и сдвига /V/ справедлива следующая асимптотика:

bij -、j =0(1")；//=0(1〃2)；

a - 1 = °(%)；(6.2)

N k =0(1/产)；* = 0 (1/T);

= 。e//)； r/ =0(1/户).

Эти условия не ограничивают координатных преобразований х~ = = f〃 (х), в конечной области, но асимптотически функции f" должны

иметь вид [137]

"(х) = А〃夕"+ а" + О (1/г );

%"(х) = А匕 + ОН*);^(6.3)

%旷伙)=О(1/г2 + е), е > О,

где №廿 一матрица преобразований Лоренца; а " — произвольный постоянный вектор. Для инфинитезимальных преобразований метрики и коэффициентов связности (символов Кристоффеля) [см. (1.11)]

Здесь 6“ = J^^ + а";小〃 =А匕—В“/ а" — инфинитези* мальные величины.

Следуя Л.Д. Фаддееву [137], обозначим через G бесконечно-параметрическую группу, порожденную этими преобразованиями. В этой группе есть нормальная подгруппа Go, порожденная преобразованиями вида (6.4), тождественными на пространственной бесконечности. Факторгруппа Р = G/G。 совпадает с группой Пуанкаре. Группа G является группой симметрии действия и уравнений движения, а группа Go — калибровочной группой в асимптотически плоском пространстве- времени. Таким образомг наблюдаемые определяются с точностью до преобразований из группы Go.

Рассмотрим анализ Йорка конформных свойств энергии [95]・ Выра* жение АДМ для энергии (2.45) зависит явно только от внутренней геометрии сечений 2? и неявно — от внешней геометрии я^ (через решение уравнений связей). Сравним энергии, определяемые различны* ми начальными данными, для которых внутренние геометрии соотносятся конформно, Ьц = ^Ъц, Тогда из (2.45) следует, что

£ =与-(4/х)川屮▲ “J или

£ — £о = — (4/х)0 $ 屮4 d；

Отсюда с помощью теоремы Гаусса получаем:

Е - Ео = -(4/х) J &屮不？к.(6.5)

В случае плоской фоновой метрики интегральная энергия

£ = -(4/к) J h^\fbd3x.(6.6)

Таким образом, в определении энергии по Йорку требуется, чтобы пространственная геометрия была асимптотически конформно-плоской. Это более слабое условие, чем требование асимптотически плоской геометрии.

Рассмотрим максимальное сечение %, которое определяется условием я^ = 0, с топологией R3 х У. Предположим, что асимптотически источники отсутствуют. В этом случае 〃" = 0 [см. определение 〃" в (2.46) ] и из (2.46) следует, что Ьд удовлетворяет конформному урав* нению Киллинга

£力 =乙也 + v； Wi = (2/3)(、и4)Ь・.(6.7)

W/

Гамильтонова связь (2.47) принимает вид

84屮=—2к0р ,(6.8)

где 9rl на пространственной бесконечности, и для полной энергии получаем выражение через плотность источников

£ = J С】 yfbpd^x.(6.9)

Легко видеть, что (6.6) переходит в ньютоновское определение гравитационной энергии системы, если учесть асимптотическое поведение 屮：屮 * 1 — (1/2) Ф, где Ф — ньютоновский потенциал;

Е = (1/4я)/ДФб/У .(6.10)

Роль поверхностных интегралов в определении энергии. Впервые наиболее полное исследование роли дивергенций в вариационном принципе было произведено в работах Редже и Тейтельбойма [113]. (Позднее аналогичное исследование было проведено Гиббонсом и Хоукингом.) Их анализ основывался на требовании инвариантности действия относительно группы асимптотических симметрий G, определенной выше. Рассмотрим используемый обычно в ОТО лагранжиан * = \f~-g R. С учетом асимптотических условий (6.1), (6.3)

“* = - £牝=~(^а} а =。(1/г3).

Отсюда после интегрирования (с использованием теоремы Гаусса) вытекает, что 5^/ W 6, т.е. действие не инвариантно относительно преобразований из группы G. Этот вывод справедлив также и для подхода АДМ. Неинвариантность действия в том и другом случаях связана с наличием в 3*мерной кривизне линейных по символам Кристоффеля членов, которые могут быть выделены в виде дивергенции. Отбрасывание дивергенции позволяет перейти к лагранжиану, обеспечивающему инвариантность действия относительно группы асимптотических симметрий.

Найдем изменение функции Гамильтона при варьировании канонических переменных:

—§ dSp G'j" IN 6 bj\k — N k&bij\ -

(6.11)(6.12)(6.11)(6.12)-S dSp 12Nк 帯P + 冲中—Np Ttik)bbjk].

(6.11)

(6.12)

(6.11)

(6.12)

G“*P : = иБ12、(ь*рр + №# 一2或/夕).

Используя асимптотические условия (6.2) и уравнения поля, для вариа* ции действия получаем выражение в виде

(6.13)(6.13)2依/ = -\dt§ dSpG“kP6bij\k •

(6.13)

(6.13)

Правая часть этого уравнения совпадает с (2.45), если предположить, что асимптотически 6力=6〃 一％ На основании этого Редже и Тей- тельбойм делают вывод о необходимости вычитания дивергенции из гамильтониана и полагают

方=& + E{b^t(6.14)

где

£[%•] = §dsCbik,i -，•/»)•(6.15*

Это выражение после деления на 2K совпадает с определением энергии по АДМ.

Таким образом, и анализ Йорка, и анализ Редже и Тейтельбойма приводят к заключению о необходимости вычитания дивергенции (6.15). при определении энергии. Отметим также, что энергия АДМ совпадает с ее выражением через псевдотензор энергии-импульса Ландау*Лифшица.

Основной недостаток энергии АДМ состоит в том, что это выражение явно нековариантно и требует оставаться в классе асимптотически декартовых координат. Можно получить ковариантное выражение для энергии, если предположить, что пространство асимптотически кон- формно*плоское. В этом случае из (6.7) вытекает, что

%%j = - (2/3) bijVa^ =-2Ф6〃；(6.16)

коэффициент 2 введен сюда из соображений удобства. Функция Ф асимп* тотически ведет себя как Ф -* 1 (г -* °°).

Подстэвлаа (6.16) в (6.13) г находим

6/ = 一⑵ K'SdrV^vS 4ds.

Следовательно, для того чтобы действие было инвариантно относительно группы конформных преобразований — группы асимптотических симметрий (доказательство того, что группа конформных преобразований действительно является группой асимптотических симметрий, отложим

133

до гл. 7), необходимо в функцию Гамильтона добавить интеграл вида

Е = (a/к)fd3x\/Ь ДФ = (а/х)Jx/БУФА%,

где коэффициент а определяетсА из требования инвариантности дей* ствия относительно преобразований (6.16) и равен 2.

Окончательно для функции Гамильтона получаем выражение в виде 方=〃 + Е(Ф).

Здесь

2

£(Ф) = — f yfb v^^d^ .(6.17)

К оо

Легко понять, что оно тривиальным образом обобщается на случай произ* вольного расщепления пространства-времени с помощью сечений Sr:

£(Ф) = (2/к) J ^dV •(6.18)

Наше выражение для энергии отличается от выражений АДМ и Йорка (6.5)・ Как выяснится в § 6.3 и 6.4, оно фактически совпадает с определением энергии по Комару—Пирани (см. § 3.4), и тем самым устанавливается связь между энергией АДМ и одноиндексными сохраняю* щимися величинами

62 ТЕОРЕМА НЁТЕР И ЛИ-МОНАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

Лагранжев подход. Применим теорему Нётер в форме, указанной в § 3.1, в рамках ли-монадного формализма. Пусть лагранжиан зависит также и от вторых производных.

W =*（4回，厶瓦忆勺瓦3, £a^）

(такой вид имеет, например, лагранжиан гравитационного поля в лимонадной формулировке). Из требования его инвариантности относительно инфинитезимальных сдвигов вдоль векторного поля | получаем слабый закон сохранения [85, 87]

(6.19)

где 号一гамильтониан (1.98);

(6.20)(6.20)л з^*ах

(6.20)

(6.20)

sa = £4反 + £Д«不

5人瓦a Е аА瓦衣,3与’

-плотность вектора Пойнтинга.

При анализе теоремы Нётер для пространственных сдвигов вдоль векторного пола 吃 д (т?,幻 = 0，приходим к слабому закону сохранения 134

aw

(6.21)

2) 2 (6.

В случае конгруэнции, образующих двупараметрическое семейство кривых, пола п и ^ коммутируют: Ь?, |] = 0 и (6 21) переписывается как

^p仞）+产何），a=0.

(6.23)

Дальнейший анализ будем проводить в предположении, что (п, 51 = 0・

Тождества Нетер для рассматриваемого случая имеют вид

симметричным5*

формализмом, гл. 3):

/ 6X

"si扌 г тРр = 3Й^аРр；

(ср. с

+如

+ З加£Л瓜=。，

呪尸）+九齎%铮；游=。，3%黑ip） = 0

где

.35北

ат

(6.24)

6д^

д合и百

а

7

A；

若分|:

3, a 8*

諸=

嘴

"瓦а 35*

bABta

5

а*

a^瓦力衣

4瓦斤+

ЭХ+ 04瓦瓦不

В основу определения плотности импульса положим требование линейности относительно векторного поля 刀(величина Р (г?) этим свой* ством не обладает). Из этих соображений определим плотность им- пульса в направлении векторного поля 刀 как

祖m)=——ав 0 一骑祖m)=——ав 0 一骑(6.25)(6.25)

祖m)=——ав 0 一骑

祖m)=——ав 0 一骑

(6.25)

(6.25)

(аналогичную конструкцию в механике сплошных сред называют плотностью волнового импульса).

Используя тождества Нетер (6.24) и определение (6.25), перепишем (6.23) в виде

£*m)+7@m)「0,(6.26)

где

"(力=з師 М + р肝級 JV + 23〃*^：入)；(6.27)

3崂 =7 ^ — плотность симметричного тензора энергии*импульса.

Из (6.19), (6.26) получим следующие интегральные законы сохранения:

£= 一 J 片 a ds(6.28)

£j卩句)/* = -j 7@何)ds。. (6.29) 门 dS

Пусть векторы e； образуют пространственный базис на 2一 В этом случае для компонент плотности импульса поля 吃 =財乡，и соответствующие законы сохранения имеют вид (в случае натурального 6ази・ са определяют координатные компоненты плотности импульса поля):

(6.30)(6.31)(6.30)(6.31)£〃 + 2*= 0;

(6.30)

(6.31)

(6.30)

(6.31)

与 z az '

Существенно, что относительно общих координатных преобразований величины » (г?),号，Р (г?) ведут себя как скалярные плотности весом 1, а величины Ja In}, 7a (г? ),6° - как векторные плотности ве- 136

сом 1 (в случае, если лагранжиан — скалярная плотность), и полученные законы сохранения ковариантны. Заметим, что на % переход от одного базиса к другому осуществляется по правилу е； = а*. Тогда для &/ закон преобразования запишется как 夕；= «(^.Линейный характер этого преобразования важен для согласования наших определений и известных в специальной теории относительности.

Гамильтонов подход. Для простоты рассмотрим случай с лагоанжиа- хом, не зависящим от вторых производных,义=У (Ад, А^ * 戸)• Законы сохранения энергии и импульса имеют прежний вид, изменяются только определения величин, входящих в эти законы:

Р(») = //,» -吗，或)"°；(6.32)

然=諸以8 J；

Заметим, что гамильтониан определен с точностью до полной производной по времени (производной Ли) от скалярной плотности и дивергенции от 3-мерной плотности. Это соответствует неоднозначности лагранжиана, допускающего добавление слагаемых вида

仅％ =/〜% ;仇С = q储

Пусть % =当0 + 优%，тогда выражение для плотности вектора Пойн- тинга принимает виа'

б@ =尸—£必.(6.33)

АНАЛИЗ КОНКРЕТНЫХ ПОЛЕЙ

Рассмотрим здесь приложение теоремы Нётер к электромагнитному и гравитационному полям.

Гамильтониан свободного электромагнитного поля равен

号=-kN/2 6%淌+玩肘).

Из (6.32) для плотностей вектора Пойнтинга и импульса поля находим

б@ =-(Л/2/\/?)е 叫吊；(6.34)

尸(加=(1/М) £必° •(6.35)

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в направлении векторного поля 0 = blbu, Тогда

号=一(n/4/?)% 声.

Отсюда с учетом связи между электрическим и магнитным полями в плоской электромагнитной волне

$@ =号/；У W = (1/m)号%га

Законы сохранения энергии и импульса имеют вид [ср. с (6.19), (6.26)]:

修入°)а = °；(6.36)

(#(7?)入@),仪=0,(6.37)

где 入=与 + 6 - изотропный вектор.

Перейдем к гравитационному полю. Так же, как и в электродинамике, можно попытаться выделить среди переменных, описывающих гравитационное поле, динамические переменные, отвечающие за гравитационное излучение (числом 2), и переменные, аналогичные продольным составляющим вектор-потенциала электрического поля и определяющие ° кулоновскую часть" гравитационного поля. Наш анализ динамических характеристик гравитационного поля основан на 2 + 1 + 1 .расщеплении пространства-времени (см.*§ 1.6).

Используя 2 + 1 + 1-расщепление, запишем лагранжиан гравитационного роля Xg =(N/y/^N%/"-大以/"")+ \4^[1/2(产 + rf) + 2p%o +

+ 2df - 2H+ 2df - 2H2g匕 + ⑵\/S") £ (\/?6)].2g匕 + ⑵\/S") £ (\/?6)].Независимые степени свободы будем 2-мерной метрикой = у-1/2 у ми ТГу ：Независимые степени свободы будем 2-мерной метрикой = у-1/2 у ми ТГу ：отождествлять с конформно-инвариантной и канонически сопряженными импульса-отождествлять с конформно-инвариантной и канонически сопряженными импульса-欝樓七％.欝樓七％.

+ 2df - 2H

+ 2df - 2H

2g匕 + ⑵\/S") £ (\/?6)].

2g匕 + ⑵\/S") £ (\/?6)].

Независимые степени свободы будем 2-мерной метрикой = у-1/2 у ми ТГу ：

Независимые степени свободы будем 2-мерной метрикой = у-1/2 у ми ТГу ：

отождествлять с конформно-инвариантной и канонически сопряженными импульса-

отождествлять с конформно-инвариантной и канонически сопряженными импульса-

欝樓七％.

欝樓七％.

С учетом этих определений и основных формул 2 + 1 + 1-расщепления легко увидеть, что гамильтонова и импульсные связи имеют структуру:

号dyn + 丫0 仅)=0；(6.38)

。衣京 忏)+ Yg(x) = &(6.39)

где

^dyn =例/Х/^)(岁"力" + 6""%J +

+ 2x^75°。0-(1/2产"-4%]

Отметим, что 当%〃 дает верные уравнения Сдвижения** только для независимых переменных 亍 и 叮.Из (6.39) следует, что # (亍，叮)описывает плотность импульса гравитационного поля. Действительно, если вычислить плотность импульса гравитационного поля, используя (6.25). для лагранжиана, равного

^dyn =畔"^7др - ^dyn *

то полученное выражение совпадает с ^ из (6.39) • 138

Для того чтобы связать ^dyn с энергией, необходимо применить принцип соответствия с теорией Ньютона. Так, для островных систем из гамильтониана должна получаться полная масса систем ы. Однако 2-мерная кривизна для таких систем ведет себя вдали от источника как =0(1/，？), и, следовательно, интеграл, определяющий массу, расходится. От расходимости можно избавиться с помощью конформного преобразования 2-мерной метрики，屮= е?叫呻 Тогда для 2-мерной кривизны [164]

\Г^ Ft = V7"С" + 2錦)•

Выделяя трехмерную дивергенцию, перепишем это выражение как

2& = б"。呜 +(у^°,р7Po),0 一 ^2°{\n{Nk}] ^•Р.

Отбросив дивергенциальное слагаемое, перейдем к новому гамильтониану:

+ 2у/^^рарр^ -启匕)+ \ЛТ[4[т(л/氏)]/5 - Й] .(6.40)

Поскольку в выборе конформного преобразования 2-мерной метрики имеется произвол (независимые степени- свободы описываются конформно инвариантными величинами) г можно остановиться на одной из калибровок, а именно, будем пред* полагать, что фоновая 2>мерная гедметрия плоская. Этот выбор калибровки всегда возможен, так как все 2-мерные пространства находятся в конформном соответствии [164]. Заметим, что выбор фоновой геометрии аналогичен калибровке вектор-потеициала а электродинамике. Перепишем (6.40) с учетом выбранной фоновой геометрии:

% =*/0)岁 ％〃 + %产 ")+ Зх^T^аР3 +

+ 2exp(-2o)Un(/V幻)/0】7@。一 A^Y(6.41)

Найденный гамильтониан свободен от расходимостей для островной системы, но интегральная энергия равна нулю. В этой ситуации необходимо прибегнуть к принципу соответствия. Вспомним, что даже в классической механике функция Гамильтона совпадает с энергией только после соответствующей перенормировки. (Эта проблема уже обсуждалась в § 6.1.) Чтобы получить гамильтониан, приводящий к правильной интегральной массе для изолированных систем, добавим в (6.41) дивергенцию из (6.18). Тогда гамильтониан примет вид

琴 g =%g + 4х/?АФ・(6.42)

Перейдем к конкретным примерам. Для начала рассмотрим поле Шварцшильда в координатах кривизн

дииатиых сечении

t = const; /V = (1 - Зг)"2.

Выбрав вектор 胪 =科 и, соответственно,女=(1 — “〃厂"？，найдем, что

号 g = 4 V^"/^.

Следующий этап состоит в определении функции Ф и вектора W как решений дифференциального уравнения (6.16). Для них находим 沙=Nr^" и Ф =М С учетом этих соотношений гамильтониан гравитационного поля для решения Шварцшильда запишется как

% = 4>/ьДЛ/, или

% =4V? WG31a.

Отсюда после интегрирования получаем массу источника поля Шварцшильда: £ = (2IK)^^g)i/2Ga] ad3x = {2lK)^^/bGadsa = т・

Это выражение совпадает с определением интегральной массы через одиоиидексиые сохраняющиеся величины типа Комара—Пирани.

Найдем динамические характеристики гравитационного поля, а именно, плотность вектора Пойитинга и плотность импульса. Исходя из формул (6・32), (6.33) и (6.42), получаем:

W иW и£与2£与24£ (yЬ △①)；I (6.43)4£ (yЬ △①)；I (6.43)

W и

W и

£与

2

£与

2

4£ (yЬ △①)；I (6.43)

4£ (yЬ △①)；I (6.43)

М(") =>^г 隔“ + 碑％曲仆•(6.44)

Пусть плоская гравитационная волна распространяется в направлении векторного поля 8 = Э/dt/ = М., где и — параметр вдоль конгруэнции. Предположим, что метри< ка %〃, ^ и К зависят только от запаздывающего времени t—u (волна типа Бонди [73]). В этом случае изотропный вектор 入 =^ + 6 является вектором Киплинга и, как легко видеть,

*从"Н0,

Учитывая это соотношение и то обстоятельство, что в рассматриваемом случае

2# =終。=#从=Ф = ° К 畔"ll〃 = °， находим:

% =(2Л/А/Г)畔％“ ; 6 @ = {2N/y/b)打戸％产.

Отсюда следует, что

£ % + $ 窃/y = °，(6.45)

или

(6.46)

Аналогично для плотности импульса гравитационного поля найдем выражение

У (Г?) = {MN2)^^.(6.47)

Полученные законы сохранения (6.45), (6.46) можно переписать в виде (号入°) а =0;[*(")№】,а = о.

В этой записи прослеживается тесная аналогия с электродинамикой [см. (6.36), (6.37)].

НЬЮТОНОВСКИЙ ПРЕДЕЛ ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА

Классическая формулировка ньютоновской теории тяготения предполагает, что существуют мировое время Г, совокупность галилеевых (декартовых) координат и ньютоновский потенциал 电 удовлетворяющий уравнению Пуассона: ДФ = 4яур・ Свободные частицы под действием сил тяготения движутся в соответствии с уравнением

/х%产=-аФ/8х' (/ = 1,2,3).

Кроме того, определена также процедура измерения: ''идеальные час»' отсчитывают мировое время, а ^идеальные линейки" измеряют длину в галилеевых системах координат.

Геометрическое содержание ньютоновской теории тяготения было вскрыто впервые в работах Картана [53], а затем Траутмана (см. [26]) и др. В этом подходе предполагается, что движение частиц под действием сил тяготения можно рассматривать как геодезическое движение в искривленном пространстве-времени Обсудим геометрические особенности ньютоновского пространства*времени, следуя Кухаржу [60]. Имеются три независимые структуры: пространственная контра вариантная метрика да^ (а, 0 = 0, 1, 2, 3), 3 + 1-расщепление осуществляется с помощью сечений У = const (Т — мировое время); временная метрика /?ар и симметричная связность △ . Эти структуры удовлетворяют следующим постулатам.

Метрика 歹即 вырождена с сигнатурой (0, 1, 1,1). Аналогично временная метрика h а^ вырождена с сигнатурой (1, 0, 0, 0). Отметим, что 力 Q0 =厂 а 厂伊 Зтм Две метрики взаимно ортогональны:岁@°力^。= °・

Б. Связность V совместима с обеими метриками, т.е： Vg = V Л = 0.

Использование идей Картана для исследования ньютоновского предела ОТО с помощью изотропных гиперповерхностей см. в [17].

Тензор кривизны аффинной связности имеет следующие свойства: 力а[0吟皿=0, №/& =0・

Система аксиом А—В дополняется также предположением, что расстояния измеряются ° идеальными линейками", время — ''идеальными часами", а свободные частицы движутся по геодезическим.

Необходимо отметить, что в ньютоновом пространстве-времени нельзя ввести невырожденную пространственно-временную метрику, а можно определить только невырожденную пространственную 3-метрику. Дей* ствительно, в галилеевых системах координат отличны от нуля лишь компоненты Г?о коэффициентов связности. Простые выкладки показывают, что предположение о существовании невырожденной 4-метрики приводит к #氏о/。 W —-о氏£о・ Этот результат противоречит свойствам симметрии тензора Римана. Таким образом, ньютоновская теория тяготения опирается скорее на аффинную, чем на метрическую структуру пространства-времени. Кроме того, как показано ниже, предположение о плоском 3-мерном пространстве (неизбежное в подходе Картана) несовместимо с уравнениями Эйнштейна, так как в этом случае плотность источников гравитационного поля была бы равна нулю.

Имея в виду дальнейший предельный переход к теории Ньютона, предположим, что тензор скоростей деформации х曲 равен нулю. В этом случае из уравнений Гаусса—Кодацци следует, что叩

3斤="一 2%0产/.

Введем следующие обозначения:

丁麻1" = p-5 где

3丁=-卢0%； Р = J〃卅产一

плотность источников гравитационного поля. Тогда уравнения Эйнштейна запишутся в виде

3Я = 2x0, G^〃 = (к/2) (р + 3Г).(6.48)

Отсюда следует, что предположение о плоском 3-мерном пространстве приводит к исчезновению источников гравитационного поля (р = 0). Таким образом, корректный переход к ньютоновскому пределу в ОТО должен осуществляться с учетом ненулевой кривизны 3-мерного пространства —факт, ранее ускользавший от внимания.

Для симметричных во времени начальных данных (从台=。)3-мерная геометрия конформно-плоская [132]. Сделаем конформное преобразование %。= С?%? (соответственно, М° = ^Г2^), где %。- плоская метрика. Для конформно преобразованной скалярной кривизны 3R по- 142

лучаем выражение

3-=4al0｝泸7a-3 - 2⑵4a*％0*0.(6.49)

Здесь вертикальной чертой обозначена ковариантная производная относительно фоновой метрики %伊 Перепишем (6.49) как

з 斤=-4旧3区口 + 2(V|nC)2,(6.50)

где △ — оператор Лапласа относительно метрики Ьа^

(F 1пШ2: = (V InC) ▲ (VER).

Уравнения Эйнштейна с учетом конформного преобразования имеют вид:

р = 一⑵к)£ГзХа + (1/к) (Vine)?,(6.51)

р + ^7 = (2/к) [Aln/V + (V ЕМ2].(6.52)

Проинтегрируем (6.51) по области Е С %:

J [р ——-(V 1пП)2]б/У = -(2/к) / k^ldV.

2 KS

Интеграл в правой части можно перевести в интеграл по границе (2/к),Хс*= (2/к)； v£Ks.

Е8 2

Отсюда следует, что в случае островной системы градиент функции П ведет себя асимптотически как ▼ С ^ 阿〃?，где т — масса источника. При этом видно, что гравиатация оказывает экранирующее действие: масса источника эффективно уменьшается за счет члена — (1/к) (V ln£2)2. Поэтому можно считать, что выражение

w= - (1/к)皿血)2(6.53)

описывает плотность энергии гравитационного поля. В ньютоновском пределе (г -> °°) w переходит в известное выражение [61, с. 433])

w——-—(УФ)2,(6.53а)

8яу

где Ф — ньютоновский потенциал. Заметим, что плотность энергии гравитационного поля связана не с ускорением, как это принято считать, а с конформной частью 3-геометрии (исследование свази между конформной 3>геометрией и ньютоновским пределом см. также в [95]).

Перепишем уравнения (6.51), (6.52) в точном (не асимптотическом) виде:

С・з Ха = - (к/2) (р + w);(6.54)

△ In/V = (к/2) (р + 3Г + 2iv)r(6.55)

143

где

w = - (1/к) (V ln£2)2; w = - (1/к) (V In/V) 2 ,

причем асимптотически w - w. Уравнение (6.54) определяет геометрию 3-пространства (через П). В его правую часть плотность энергии гравитационного пола входит равноправно с плотностью энергии других полей. Это уравнение может рассматриваться как обобщение уравнения Пуассона, учитывающее "кулоновскую часть** гравитационного пола. В свою очередь, уравнение (6.55) есть обобщение уравнения Пуассона, где вклад в источники дает не только плотность энергии гравитационного и негра* витационных полей, но также тензор напряжений. Тензор напряжений 3 t гравитационного поля можно ввести из условия равновесия источников и гравитационного поля 丁丽 += 0 — старая и забытая

идея Лоренца. Он определяет уже 4-мерную геометрию (через /V и С). Конечно, это деление в какой-то мере условно, так как в 4*мерную геометрию дает вклад и плотность энергии гравитационного поля (через £2). Однако на 3-мерную геометрию тензор напряжений гравита* ционного поля и других полей влияния не оказывает. Этот вывод пере* кл и кается с результатами [23], где было показано, что кривизна 3*мер* ного пространства не связана с локальным принципом эквивалентности (в духе лифта Эйнштейна), но зависимость хода часов от гравитационного поля Авляется его прямым следствием. Действительно, собственное время ds = Ndt и ускорение наблюдателя G = — У In/V связаны с нор* мирующим множителем /V. В связи с полученными результатами стано* вится понятным, почему плотность энергии гравитационного поля по Пирани [107], совпадающая с 2% отличается в 2 раза в ньютоновском пределе от wN.

Глава 7

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА ВРЕМЕНИ

ПРИЧИННОСТЬ, ГОРИЗОНТЫ, БЕСКОНЕЧНОСТИ

То обстоятельство, что мы живем в мире с индефинитной метрикой, приводит к совершенно неожиданным следствиям. Во-первых, в пространстве-времени локально определено понятие светового конуса. В соответствии с нашим выбором сигнатуры (+, —, —, —) точки, лежащие внутри светового конуса, отделены от вершины интервалом ds2 > 0, а точки, лежащие вне конуса — интервалом ds2 < 0.

Наличие светового конуса тесно связано также с предельной скоростью распространения сигналов — скоростью света. События (точки на пространственно-временной диаграмме), находящиеся внутри конуса, могут быть связаны причинно-следственной связью с событием в вершине конуса, а события, лежащие вне конуса, не могут. Таким образом, существование светового конуса и предельной скорости распространен ниа сигналов приводит к принципу локальной причинности, в силу которого события могут быть связаны причинно-следственной связью, если

они могут быть соединены временноподобной или изотропной кривой. Поскольку конус является конформно*инвариантным объектом, то изучение причинной структуры сводится фактически к исследованию конформной геометрии многообразия m . Вопросы глобальной причинности достаточно трудны для изложения и за деталями мы отсылаем читателя к книгам Пенроуза [101] и Хокинга и Эллиса [148].

Для исследования структуры бесконечности Пенроузом развита конформная техника. Основная идея заключается в том, чтобы от физического многообразия ОТ (пространства-времени) с помощью конформ- нрго преобразования метрики g = ^д перейти к нефизическому многообразию w с границей 毋,на которой конформный множитель С обращается в нуль. Бесконечность изображается точками границы » и, вместо того чтобы изучать физические пола на бесконечности, изучают их образы вблизи 品. 八

Для пространства Минковского многообразие изображается в виде диаграммы Пенроуза $рис. 7.1). Каждая точка представляет собой 2-сферу, кроме точек /~ /° и точек г = 0 (пунктирная линия); особенность г = 0 — координатная. Граница состоит из пяти кусков

^ =/- U7~U/° 3+ U 广.

Различ№1е куски границы имеют следующий смысл:

2) 7 士 (прошлого). ваются в 3*.2) 7 士 (прошлого). ваются в 3*./ 士一 временная бесконечность будущего (прошлого). Образ временноподобной кривой начинается в /~ и заканчивается в /+.

2) 7 士 (прошлого). ваются в 3*.

2) 7 士 (прошлого). ваются в 3*.

(читается "скрай") — изотропная бесконечность будущего Образы изотропных кривых начинаются в 7 一 и заканчи-

/° — пространственная бесконечность. Образы пространственноподобных кривых начинаются в /° и заканчиваются в /°.

В некоторых случаях части границ 7* и 7* могут быть неизотропными поверхностями. Так, для космологических моделей, описываемых решениями уравнений Эйнштейна с Х-членом, если 入〉0, то 7 — пространственноподобная, а если X < 0, то 7 — временноподобная поверхность [101]. Одно из таких решений с 入 V 0 — это решение де Ситтера второго рода. Пространственноподобный характер <7 тесно связан с наличием горизонта частиц и горизонта событий, к обсуждению которых мы сейчас перейдем (в случае геодезического наблюдателя).

Горизонт частиц [101, 115, 148] возникает, когда J- является пространственноподобной поверхностью (рис. 7.2). Рассмотрим семейство наблюдателей, мировые линии которых пересекают и выберем одного из них. Пусть его мировая линия задается как 7 (т). Как видно из рисунка, для части наблюдателей существует возможность передачи информации в точку Р, но для некоторых этой возможности нет. Наблюдатель в точке Р их еще не видит. По мере продвижения в будущее горизонт частиц расширяется, т.е. все большее число частиц (наблюдателей) можно увидеть.

Если поверхность 7 изотропна, как, например, в пространстве Минковского (см. рис. 7.1), горизонт частиц отсутствует. Действительно, мировые линии частиц начинаются в точке /"и заканчиваются в точке/+, но тогда все они попадают внутрь конуса прошлого с вершиной на у (г).

145

Рис. 7.1. Диаграмма Пенроуза для пространства*времени Минковского

Рис. 7.2. Возникновение горизонта частиц в случае, когда поверхность 7" пространственноподобна:

— световой конус прошлого； 2 — мировая линия частицы, невидимой в точке р; 3 — мировая линия частицы, видимой в точке "； 4 — горизонт частиц в точке р

Горизонт событий [101, 115, 148] появляется, когда，+— пространственноподобная поверхность (рис. 7.3) • Ясно, что изотропный конус прошлого, изображенный на рисунке, разделяет пространство-время на две части, причем события, находящиесА вне этого конуса, недоступны для наблюдения. Таким образом, горизонт событий определяет границу между событиями, которые наблюдатель может когда-либо увидеть, и событиями, которые он никогда не увидит.

Может показаться, что возникновение этих горизонтов происходит в экзотических случаях, но на самом деле уже в пространстве Минковского в системе отсчета ускоренного наблюдателя появляется горизонт собы* тий. На пространственно-временной диаграмме мировые линии наблюдателей, движущихся с постоянным ускорением в пространстве Минковского, изображаются в виде гипербол (рис. 7.4). По этой причине рав* ноускоренное движение иногда называют гиперболическим. В правой полуплоскости (область /) *линии изображают мировые линии наблюдателей, движущихся в положительном направлении оси х, и в левой полуплоскости (область ///) — в отрицательном направлении оси х. Линии постоянного параметра Г определяют события, одновременные в собственной системе отсчета ускоренного наблюдателя. Для этого наблюдателя горизонт событий будущего определяется уравнением

х = t (X = 0,厂=8),

и горизонт событий прошлого — уравнением

х = -Г (X = 0, Г = —8).

В первом случае информация может поступить из области / в область П, а во втором — из области IV в область 〃 но обратное невозможно ни в том

146

Рис. 7.3. Возникновение горизонта событий будущего (прошлого):1 — горизонт событий прошлого; 2 — горизонт событий будущегоРис. 7.3. Возникновение горизонта событий будущего (прошлого):1 — горизонт событий прошлого; 2 — горизонт событий будущегоРис. 7.4. Собственная система отсчета наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве МинковскогоРис. 7.4. Собственная система отсчета наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве МинковскогоРис. 7.5. Возникновение горизонта событий будущего для ускоренного наблюдателя (мировая линия L):

Рис. 7.3. Возникновение горизонта событий будущего (прошлого):

1 — горизонт событий прошлого; 2 — горизонт событий будущего

Рис. 7.3. Возникновение горизонта событий будущего (прошлого):

1 — горизонт событий прошлого; 2 — горизонт событий будущего

Рис. 7.4. Собственная система отсчета наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве Минковского

Рис. 7.4. Собственная система отсчета наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве Минковского

— горизонт событий будущего; Г — мировая линия геодезического наблюдателя; 3 — изотропная поверхности

ни в другом случаях. На диаграмме (рис. 7.5) мировую линию ускоренного наблюдателя можно представить как линию, которая заканчивается в», а не в Л.

В свази с постановкой задачи Коши в общей теории относительности возникают понатиа области Коши, поверхности Коши и горизонта Коши [148].

Область Коши будущего О* (7Z ) определяется как множество точек, для которых непространственноподобные кривые, выходящие из них в прошлое, пересекают данную пространственноподобную гиперповерхность Я (рис. 7.6). Аналогичным образом вводится понятие области Коши прошлого. Если СГ{Л) U О* (訳)=次，то ^называют поверхностью Коши. Таким образом, на поверхности Коши можно задавать начальные данные и, в частности, через решение соответствующих уравнений описать всю эволюцию системы, для которой задаю^я эти данные. Грацу области Коши называют горизонтом Коши Н~.

В случае пространства Минковского пространственноподобнаА поверхность х° = const является поверхностью Коши, но пространственноподобнаА поверхность S, лежащая внутри светового конуса прошлого, таковой не является. Это связано с тем, что нормали к Е (временноподобные векторы) пересекаются в вершине конуса (рис. 7.7). Пример решения, где отсутствуют поверхности Коши — решение в виде

147

Рис. 7.6. Область Коши О* и горизонт Коши Н*Рис. 7.6. Область Коши О* и горизонт Коши Н*Рис. 7.7. Пример поверхности КошиРис. 7.7. Пример поверхности Коши

Рис. 7.6. Область Коши О* и горизонт Коши Н*

Рис. 7.6. Область Коши О* и горизонт Коши Н*

Рис. 7.7. Пример поверхности Коши

Рис. 7.7. Пример поверхности Коши

плоских волн, полученное Пересом:

由2 а 戶成/2 + dudv 一 dy2 -龙2.

Доказательство было проведено Пенроузом [100].

Горизонт Каллинга — поверхность, на которой временноподобное поле векторов Киллинга становится изотропным. С временноподобной кил- линговой конгруэнцией можно связать жесткую систему отсчета, так как тензор скоростей деформации для нее равен нулю. Обычно при этом рассматриваются островные системы, и берется та киллингова конгруэнция, которая вплоть до пространственной бесконечности временноподобна. Тогда можно говорить о наблюдателях (и частицах), покоящихся относительно бесконечно удаленного наблюдателя. Ясно, что на горизонте Киллинга состояние покоя в этой системе становится невозможно (такой "поко〃" свелся бы к движению со скоростью света). Тогда горизонт Киллинга называют также пределом стационарности. Так как любой объект, находящийся на горизонте Киллинга (или под этим горизонтом). движется относительно бесконечно удаленного наблюдателя по крайней мере со скоростью света, то испускаемое этим объетом излучение претерпевает с точки зрения такого наблюдателя бесконечное красное смещение (отсюда еще один термин: поверхность бесконечного красного смещения}. Заметим, что там, где горизонт Киллинга — временноподобная поверхность, частицы могут пересекать ее в обоих направлениях. Напротив, горизонт событий "работает'' как односторонняА мембрана — частицы (и даже свет) могут пересекать его только в одном направлении. В принципе это свойство горизонта событий можно взять за его определение, т.е. определить горизонт событий как предельную поверхность, находясь вблизи которой иастииз еще могут "уйти" на бесконечность.

Познакомимся с некоторыми решениями уравнений Эйнштейна, В ко торых встречаются различные типы горизонтов.

Решение Шварцшильда. Это решение описывает пустое пространство- время вне сферически симметричного распределения вещества. В отличие от пространства Минковского его нельзя покрыть одной координатной сеткой. В случае, когда решение Шварцшильда рассматривается 148

Рис. 7.8. Диаграмма Пенроуза для решения Шварц* шильда:изотропные линии имеют наклон 土 Я/2;厶—мировая линия наблюдателя, попавшего под горизонт событий г =「о и обязательно попадающего также в сингулярность будущего ввиду ее пространственно подобностиРис. 7.8. Диаграмма Пенроуза для решения Шварц* шильда:изотропные линии имеют наклон 土 Я/2;厶—мировая линия наблюдателя, попавшего под горизонт событий г =「о и обязательно попадающего также в сингулярность будущего ввиду ее пространственно подобности

Рис. 7.8. Диаграмма Пенроуза для решения Шварц* шильда:

изотропные линии имеют наклон 土 Я/2;厶—мировая линия наблюдателя, попавшего под горизонт событий г =「о и обязательно попадающего также в сингулярность будущего ввиду ее пространственно подобности

Рис. 7.8. Диаграмма Пенроуза для решения Шварц* шильда:

изотропные линии имеют наклон 土 Я/2;厶—мировая линия наблюдателя, попавшего под горизонт событий г =「о и обязательно попадающего также в сингулярность будущего ввиду ее пространственно подобности

Рис. 7.9. Диаграмма Пенроуза для решения Рейсснера—Нордстрема (при е2 V т?):

7 — горизонт Коши; 2 — горизонт событий; 3 — мировая линия наблюдателя, путешествующего из одной вселенной в другую; линии г =0—сингулярности

как решение для пустого пространства не только для областей, больших некоторого радиуса г。=而(его называют гравитационным радиусом), но и для областей г < rQt получается решение, описывающее простран- ство*время с сингулярностью в точке г = 0. Такое максимальное расширение решения Шварцшильда изображено на диаграмме Пенроуза (рис. 7.8). Из рисунка видно, что имеются две вселенные и две сингулярности. Ситуация аналогична той, которая получается в системе отсчета ускоренного наблюдателя в пространстве Минковского (см. рис. 7.4). Сингулярность носит пространственноподобный характер. Горизонт событий определяется уравнением г == г0* Наблюдатель, попавший под горизонт событий, не может вернуться назад и обречен на падение в сингулярность.

Решение Райсснера—Нордстрема. Это решение описывает пространство- время вне сферически-симметричного электрически заряженного тела. Оно статическое и характеризуется двумя параметрами: зарядом* е и массой т. Если е2 > т2, то метрика неособенна везде, за исключением точки г = 0, и полученное решение описывает случай ''「олой сингулярности**, те черную дыру без горизонта (см. также § 7.2). Конечно, как и в случае решения Шварцшильда, здесь имеется в виду решение, описывающее пространство-время без распределенных источников. В случае е2 < т2 в решении Райсснера—Нордстрема имеется горизонт Коши и горизонт событий (рис. 7.9). Диаграмма Пенроуза для этого решения неограниченно продолжается вверх и вниз, т.е. имеется бесконечный набор областей /, 〃，〃/. В отличие от шварцшильдовской сингулярности, сингулярность в решении Рейсснера—Нордстрема временно-

подобна. Это открывает богатые возможности для **путешествиям в иные миры. Наблюдатель может попасть под горизонт событий, благополучно пролететь мимо сингулярности и ‘‘вынырнуть" в другой вселенной. К несчастью, сообщить о своем подвиге он нам не сумеет, так как свойство односторонней мембраны для горизонта событий остается в силе и здесь. Как видно из рисунка, внешний горизонт — это горизонт событий, а внутренний — горизонт Коши. Для данного решения поверхность бесконечного красного смещения совпадает с горизонтом событий.

Решение Керра. Это одно из наиболее популярных решений. Оно описывает стационарное пространство-время вне массивного вращающегося объекта и представляет собой единственное точное решение для описания пола астрофизических объектов, которые, как правило, вращаются. (Мы здесь не принимаем во внимание решение Керра—Ньюмена, в котором учитывается также и заряд.) Таким образом, решение Керра определяется двумя параметрами: моментом импульса и массой т. Обычно предпочитают иметь дело с моментом импульса, отнесенным к единице массы, и обозначают его буквой а . Как и для решения Райсснера—Нордстрема, возможно существование голой сингулярности, если а2 > т2. Настоящая, неустранимая, сингулярность имеется в начале координат; она не точечная, а кольцевая. В решении Керра присутствуют три горизонта; горизонт Коши, горизонт событий и горизонт Киллинга (предел стационарности). Область между горизонтом Киллинга и горизонтом событий называют эргосферой. Это название связано с тем, что из эргосферы можно извлекать энергию. Действительно, горизонт Киллинга —не односторонняя мембрана, в отличие от горизонта событий, т.е. частицы могут пересекать его в обоих направлениях. В силу того, что под пределом стационарности вектор Киллинга dt становится пространственноподобным, можно найти такие орбиты, двигаясь по которым частицы имеют отрицательную энергию. Пенроуз предложил следующий способ извлечения энергии из черной дыры. Тело залетает в эргосферу и разлетается на два осколка. Один из осколков, имеющий отрицательную энергию, попадает в черную дыру, а другой вылетает за пределы эргосферы и ''уходит" на бесконечность. В силу закона сохранения энергия обломка, вылетевшего из черной дыры, будет больше энергии всего тела до падения в черную дыру. Аналогичным образом можно усилить амплитуду волны, падающей на черную дыру. Диаграмма Пенроуза, описывающая метрику Керра, — практически такая же, как в слууае метрики Райс- снерэ—Нордстрема (см. рис. 7.9). Отличие сводится к тому, что на рис. 7.9 следует добавить по другую сторону от сингулярностей (волнистые линии) области ^отрицательного** пространства в виде стандартных треугольников, обладающих своими бесконечностями (внешне аналогичными тем, которые встречались уже для метрики Минковского). Вход в эти области возможен при движении вне экваториальной плоскости (при 0 W 打⑵，когда удается миновать кольцевую сингулярность решения Керра. Как и для метрики Райсснера—Нордстрема, сингулярности поля Керра также обладают отталкивающим действием, которое здесь проявляется и в отрицательном пространстве (выталкивание в положительную область).

72 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ, ПОЛНОТА, СИНГУЛЯРНОСТИ

Интуитивно ясно, что вопрос о наличии сингулярностей в пространстве- времени сводится к исследованию • областей, где нарушается структура многообразия; появляется бесконечная кривизна, нарушаются условия дифференцируемости. Наличие таких особенностей оценивают по факту неполноты многообразия. Ввиду индефинитного характера метрик в пространстве-времени невозможно ввести метрическую топологию. Отсюда вытекает, что не существует понятия метрической полноты для простран- ства*времени. Для анализа сингулярных точек остается лишь геодезическая полнота (неполнота). Она говорит о том, продолжаема или нет геодезическая до произвольного значения аффинного параметра. О пределе* ние полноты с помощью временноподобных и изотропных геодезических физически хорошо осмыслено, потому что с этими геодезическими можно связать мировые линии пробных частиц (наблюдателей) в первом случае и мировые линии фотонов — во втором. Когда пространство-время геодезически неполно в смысле временноподобных или изотропных геодези* ческих, говорят, что в нем есть сингулярность. Однако существуют при* меры геодезически полного пространства-времени, в котором имеются не продолжаемые временноподобные негеодезические кривые1.

Для исследования вопроса о полноте пространства-времени исполь* зуетсп уравнение девиации. На интуитивном уровне можно считать, что если конгруэнция геодезических начинает фокусироваться, то это озна* чает наличие каких-то "плохих свойств** в области, где происходит фоку* сирование. В общем случае ответить на этот вопрос трудно, поскольку неизвестна структура тензора энергии-импульса. Но оказывается, что для формулировки основных теорем Хоукинга—Пенроуза о наличии сингулярностей в пространстве-времени достаточно выполнения некоторых энергетических условий [148], к обсуждению которых мы сейчас и перейдем.

Слабое энергетическое условие. В каждой точке пространства-времени тензор энергии-импульса удовлетворяет неравенству 7a。戶段 > 0 для любого временноподобного вектора R Физический смысл этого условия прост: оно означает, что в собственной системе отсчета наблюдателя, определяемой конгруэнцией векторного поля 纟 плотность энергии неотрицательна. Это условие представляется разумным, но в некоторых случаях не выполняется, например, в стационарной вселенной Хойла и Нарликара. В ней происходит рождение вещества в таком количестве, чтобы плотность вещества поддерживалась на постоянном уровне. При более сильных ограничениях на тензор энергии-импульса возможность рождения вещества из ничего исключается. К таким рграничениям приводит условие энергодоминантности.

Шмидт [153] ввел понятие Ъ-границы, основанное на расслоении линейных реперов. Это обобщение позволяет решать вопрос о полноте пространства-времени через продолжаемсють любых кривых, а не только геодезических.

Условие энергодоминантности. Для любого временноподобного вектора & %/屮〉0, и вектор %М направлен в будущее, т.е. он непространственноподобен. Это означает, что в сопутствующей системе отсчета плотность энергии неотрицательна и поток энергии направлен в будущее. Условие энергодоминантности можно определить несколько по-иному: оно означает, что давление не превышает плотности энергии.

Сильное энергетическое условие. Для тензора энергии<импульса вы* полняется неравенство

2%片У >笈/，

где Г — след тензора энергии-импульса;与一произвольный временно* подобный вектор. При выполнении этого условия уравнеймя Эйнштейна оказывают фокусирующее действие на конгруэнцию временноподобных или изотропных геодезических. Это означает, что если временноподобные (изотропные) геодезические начали сближаться, то, согласно уравнениям Эйнштейна, при выполнении энергетических условий будет происходить сближение этих кривых и в будущем.

В ньютоновской теории тяготения сжатие вещества в точку возможно лишь в случае строгой сферической симметрии. Малейшее нарушение симметрии приводит к тому, что частицы "проскакивают" мимо друг друга и сингулярность не возникает. В ОТО ситуация иная. В некоторых случаях части%, попавшие под определенную замкнутую поверхность (2-мерную ловушечную поверхность, обычно S?), уже не могут выйти ю-под нее вследствие нелинейности уравнений Эйнштейна. Существование замкнутой ловушечной поверхности 7 , обобщающей понятие шварцшильдовской поверхности (горизонта событий) на случай отсутствия какой-либо симметрии, является важным критерием геодезической неполноты. Ее можно определить как замкнутую (т.е. компактную) 2-мерную поверхность класса С2 (обычно S?), для которой семейства изотропных геодезических, ортогональных к 7 , сходатса. Таким- образом, ло- вушечная поверхность действует как гигантский пылесос. Гравитрцион* ное поле вблизи нее настолько велико, что все, в том числе и свет, затягиваетсА внутрь нее. Пенроуз и Хоукинг (см., например, [148]) доказали теоремы о появлении сингулярностей в ОТО. Основным моментом, необходимым для появления сингулярностей, АвляетсА выпол* нение одного из энергетических условий и наличие ловушечных поверх* мостей в пространстве-времени.

В каких случаях выполняются условия теорем Хоукинга—Пенроуза? Они могут выполняться при гравитационном сжатии (коллапсе) достаточно компактной звезды, имеющей массу около двух солнечных масс. Достаточно заметить, что в природе такая ситуация может реализоваться для нейтронных звезд, имеющих массу порядка нескольких солнечных масс и размеры порядка десятка километров. Из теорем о сингулярности следует, что если такая звезда начнет сжиматься, то этот процесс ничем нельзя остановить. Если в обычной ньютоновской теории тяготениА давление противодействует сжатию, то в эйнштейновской теории ситуация совершенно иная. Оказывается, что давление, входа в пра- 152

Рис. 7.10. Коллапс вещества звезды Е с образованием черной дыры:

7 — направление времени; Не — горизонт событий; С — поверхность Коши; S — сингулярность

вую часть уравнений Эйнштейна (в тензор энергии-импульса), дает положительный вклад в "силь1〃 гравитационного сжатия. И на поздних стадиях коллапса этот вклад намного превышает силы давления. Коллапс сферической звезды изображен на рис. 7.10.

Кроме сингулярностей, связанных в черными дырами, могут быть и сингулярности другого типа, такие как в космологии. Они появляются

в космологических моделях, аналогичных расширяющейся модели Фридмана. Во многих случаях сингулярности такого типа связаны с условием геодезической неполноты, т.е. из, неполноты пространства-времени следует неограниченность физических велйчин в сингулярнь1х точках.

Один из наиболее важных и пока не решенных вопросов состоит в том, какого типа горизонт ассоциируется с сингулярностями различных типов. Как мы видели в предыдущем параграфе, с керровской черной дырой связаны три типа горизонтов: горизонт событий (внешний горизонт), горизонт Коши (внутренний горизонт) и горизонт Киллинга (поверхность бесконечного красного смещения). В свази с этой проблемой Пенроуз выдвинул гипотезу космической цензуры, а именно, что реально существующие сингулярности должны быть окружены горизонтом событий. На физическом языке это означает, что удельный момент импульса черной дыры не должен превышать ее массы. В том случае, когда удельный момент импульса превосходит массу, керровскую сингулярность называют голой сингулярностью. Поэтому гипотезу космической цензуры можно переформулировать как запрет существования голых сингулярностей.

КОНФОРМНАЯ ТРАКТОВКА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Строго математическое описание асимптотически плоского пространства-времени впервые дал Пенроуз [101], используя введенное им понятие конформной бесконечности. Его основная идея состоит в том, чтобы: 1) присоединить к физическому многообразию 加 бесконечно удаленные точки (границу); 2) ^рмпактифицировать 為Z , т.е. перейти к нефизическому многообразию 豉 с помощью конформного преобразования = 622ds2, где функция С исчезает на бесконечности. Если первый

Рис. 7.11. Потери на излучение и различные определения энергии

шаг — общий для всех подходов, то второй может и не совершаться [127] или совершаться частично [105]. После осуществления компактификации физического прост- ранства>времени 孤 его асим・ птотические свойства и сЬизические поля в 矶 можно исследовать, анализируя границу 2 汝 и поведение полей на ней. Для этого необходимо все понатиа сформулировать в конформно-инвариантном виде.

Существуют два режима ухода на бесконечность: а) изотропный — по изотропным геодезическим; б) пространственноподобный. Основное различие между ними связано с тем, что метрика на световом конусе вы・ рождена, а Замерная метрика пространственных сечений — нет. В результате этого возникают разные группы асимптотических симметрий, точное определение которых дано ниже, и, соответственно, в первом случае действует определение энергии-импульса Бонди [14], во втором — АДМ [5, с. 233]. Энергия Бонди определяется как интеграл по изотропной гиперповерхности (конусу будущего), в случае АДМ - как интеграЙ по пространственноподобной гиперповерхности. Оба эти интеграла по теореме Гаусса переводятся в интегралы по границе. Тогда глобальная энергия (например, АДМ), определенная через интеграл по пространственноподобным гиперповерхностям Z], %，остается постоянной. Подсчитать таким способом потери энергии нельзя. Однако определение энергии по Бонди—Саксу через изотропные гиперповерхности Ni иЛ/2 позволяет найти потери на излучение (рис. 7.11).

Группа асимптотических симметрий определяется как группа всех диффеоморфизмов бесконечно удаленных точек, оставляющих инвариантны* ми универсальные (т.е. геометрические) поля на бесконечности — границе многообразия 筋.Так, в электродинамике (СТО) в роли такой группы выступает группа Пуанкаре, а универсальным полем является плоская метрика. Считается, что группа асимптотических симметрий должна быть близка группё Пуанкаре (понятию близости здесь трудно придать точный смысл вследствие произвола в определении конформной структуры), но не может с ней совпадать. Последнее следует хотя бы из того, что векторы Киллинга — генераторы. поворотов и бустов (гиперболических поворотов) — становятсА бесконечно "большими'' на пространственной бесконечности и доминируют над трансляциями.

Конформная структура бесконечности пространства Минковского. Следуя Пенроузу [101], рассмотрим структуру конформной бесконеч* ности пространства Минковского. Пусть “ = х° — г; v = х° + г — запазды・ 154

вающее и опережающее время соответственно;

г2 = (х〔)2 + (х2)2 + (х3)2; х1 = rsindcosw; х? = rsindsin 屮

В этих координатах интервал записывается как

ds2 = dudv — (1/4) (к - u)2d а2.(7.1)

Здесь

da2 = d62 + sin26dd.

Проделаем над (7.1) конформное преобразование:

(7.2)(7.3)(7.2)(7.3)С = (1 + О2)-"? (1 + “2厂"2

(7.2)

(7.3)

(7.2)

(7.3)

dudv(и - и)2do2(1 +/)(1 + /)4(1 + и?) (1 + /)dudv(и - и)2do2(1 +/)(1 + /)4(1 + и?) (1 + /)Тогда

dudv(и - и)2do2

(1 +/)(1 + /)4(1 + и?) (1 + /)

dudv(и - и)2do2

(1 +/)(1 + /)4(1 + и?) (1 + /)

Для того, чтобы приблизить бесконечно удаленные точки, перейдем к координатам р, g: u = tgp; у = tgg;

成2 = dpdq - (1/4) sin2 (p - q'd и2 ・(7.4)

В координатах p, q пространство Минковского занимало область, ограниченную сторонами треугольника:。一 g = 0; р = я/2; q = —я/2 (рис. 7.12). Интервал (7.4) опись炉ает метрические свойства компактного нефизического многообразия 統.Cjporo говоря, из определения 加 следует выбросить вершины — точки Г, /°. Особенности в этих точках координатные и аналогичны особенностям в начале полярных координат.

Они устраняются после замены координат:

7 = (1/2) (р + g); R = q — Р；

(/§2 = dT2 -(1/4) [dM + sin2AdM],(7.5)

где пространственная часть определяет метрику единичной 3-мерной сферы S?.

Конформный мир Минковского представляет собой часть статической вселенной Эйнштейна с топологией S? х 斤，и его удобно изображать на цилиндре, представляющем вселенную Эйнштейна (рис. 7.13). Этот вывод следует непосредственно из (7.5), поскольку (7.5) можно считать метрикой на поверхности цилиндра (J,g = const).

Разберемся в смысле /2 士，/°.

Точка /°. Эта точка определяется условием р = —g = я/2, что соответствует и = —и =8. Отсюда следует, что точка /° описывает пространственную бесконечность: г — конечно; г =8, причем /° изображается точкой, а не поверхностью (рис. 7.13).

Точки /±. Данные точки определяются условием р = —д= ±я/2, что соответствует конечному г и t = ±°°. Таким образом, точки /± определяют временные бесконечности будущего и прошлого.

Точки поверхности 7 _ определяются условиями р = я/2 и g = —я/2 соответственно. В первом случае и = °°, и — конечно; во втором и = °° t

Рис. 7.12. Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского. Все точки — сферы, за исключением / ~ /°, каждая из которых — точкаРис. 7.12. Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского. Все точки — сферы, за исключением / ~ /°, каждая из которых — точка

Рис. 7.12. Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского. Все точки — сферы, за исключением / ~ /°, каждая из которых — точка

Рис. 7.12. Диаграмма Пенроуза для пространства Минковского. Все точки — сферы, за исключением / ~ /°, каждая из которых — точка

Рис. 7.13. Изображение 加 на цилиндре S^ х ", представляющем собой статическую вселенную Эйнштейна (две пространственные координаты, 6,屮,опущены)

V — конечно, т.е. 7± описывает изотропную (светоподобную) бесконечность будущего и прошлого.

Используя стереографическую проекцию сферы на плоскость (рис. 7.14) и осуществляя тем самым конформную компактификацию 2-мерной плоскости, интервал (7.4) можно переписать в виде

成2 = dpdq - siM(p - g)djdf/(1 + if/,(7.6)

где комплексная координата f связана с декартовыми координатами х‘ преобразованием

I , 2T afГ - 1

х1 + ix2 = =- , *з =厂—(7.7)

1 +代1 +代7

и определяет не только точки на плоскости (х, у), но также нумерует точки на сфере S?. Бесконечно удаленной точке f-плоскости соответствует северный полюс на сфере. Координата f связана с обычными полярными координатами S,屮 соотношением

f = exp(ig)ctg— .(7.8)

(7.9)(7.9)Отсюда для угловой части интервала получаем выражение dM = 4d jdf/(1 + 吁)2.

(7.9)

(7.9)

Без потери общности (с дойностью до конформного множителя) можно считать, что метрика на 7~ представляется как

或2 = djd?/(1 + 好)2.(7.10)

156

Рис. 7.14. Стереографическая проекция сферы S? радиусом г из северного полюса Л/ на f-плоскость (х3 = 0)

Конформная структура бесконечности решения Щварцшильда. В координатах кривизн решение Шварцшильда записывается в виде

ds2 =dt2 — — r2 d 庶.(7.11)

\ г /(1 - 厂о")

В качестве запаздывающих и опережающих координат удобно выбрать и - t - г - с1п(г - ，о)； V = t + г + ，()1п(г — /*о)

и изучить конформную структуру этого решения отдельно для запазды* вающего и опережающего времени. В первом случае метрика приобретает вид

成2 = (1 — rQ/r)du2 + 2dudr - r2d о21(7.12)

а во втором

ds2 = (1 — ro^)^2 - 2dvdr - Pd 庶.(7.13)

Выбирая в каждом случае конформный множитель П = г"1 = г, проделаем конформное преобразование над (7.12), (7.13):

# = £22ds2 三俨-"'du? — 2dud? — do?;(7 ⑷

dS? = ^Ids2 =(尸-/•()尸)а» + 2dvd? — dot

Полученная метрика рег/лярна на 7 ± ^ S2 х 8,#о, в отличие от npocq ранства Минковского,庇 не регулярно в точках 7： /°. Сингулярность 厂 связана с наличием в этих точках источника поля Шварцшильда. Сингулярность в /° можно пояснить на примере электродинамики. Пусть заряд локализован в конечной области физического многообразия 似.Силовые лин^и поля уходят на пространственную бесконечность и при переходе к 線 должны сфокусироваться в точке /°. Таким образом, ситуация выглядит так, как будто в /° появился заряд противоположного знака. Силовые линии поля начинаются в точке, где сосредоточен реальный заряд, и заканчиваются в /°. Видимо, такая картина достаточно общая [7].

После предварительного исследования конформной структуры бесконечности пространств Минковского и Шварцшильда можно перейти к более строгому математическому описанию конформной асимптотической структуры. Согласно Пенроузу [101], физическое пространство- время 771 называют асимптотически простым, если:, д достаточно

гладки; 2) функция Q достаточно гладка на всем 说，причем С = 0 и

157

▼产 WO на J (=ЭЙ); 3) каждая изотропная геодезическая в^начинает- ся^и заканчивается на 7 .

Условие (2) определяет направление нормали к 7 , например, для пространства Минковского 8^/8*°1了 = (1, 0, 0, 0). Условие (3) обеспечивает присоединение всей изотропной бесконечности. На самом деле может оказаться, что не все изотропные геодезические уходят на бесконечность. Уже в поле Шварцшильда существуют пространственно ограниченные изотропные геодезические, определяющие круговые орбиты фотонов с радиусом г = (3/2) г0- Чтобы учесть эту возможность, вводят понятие асимптотически простого в слабом смысле пространства-времени, которое кроме конформной бесконечности асимптотически простого пространства-времени может также содержать и другие ''бесконечности".

АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Анализ пространственной бесконечности. Основанный на 3 + 1-подходе, наиболее полно представлен в работе Героча [22]. Чтобы исследовать вопрос о степени близости асимптотической геометрии S-сечений к геометрии евклидова пространства Е31 3-мерному физическому многообразию (〃，厶 X)необходимо с помощью конформного преобразования '磔 = а%а0 “оставить в соответствие нефизическое мн°「°°6разие (龙，b, X)с границей. Как это часто бывает, разобраться в общей ситуации и подсказать путь к решению проблемы помогают примеры. Классический ''про6нь|й шарм ОТО — это решение Шварцшильда. С него и начнем.

Рассмотрим решение Шварцшильда, записанное в координатах кривизн, и выберем естественное 3 + 1-расщепление пространства-времени с помощью сечений г = const. В этом случае

卅=赭，J =心 и A/= (1 - ГоА)1/2«

В силу временной симметрии сечений (% — максимальные сечения) тензор внешней кривизны равен нулю. Из (7.11) для пространет вен ной метрики получаем

d『=(1 -[0"厂%/ +/d02.

Сделаем замену переменных

；=2[г+ (户 _г。"/?]-】

Тогда

乩2 二(^ + *d02)/,4(i -九/4)2(7.15)

В координатах (，，仆，g) пространственной бесконечности (г = °°) соответствует г = 0. После конформного преобразования с ^2 = г 2 (1 - ?о?/4) (7.15) переходите

d? = Ud/2 = dr2 + Pdo2

и определяет метрику плоского 3・мерн%о пространства в сферической системе координат. Отображение 屮：％ ->Л аналогично стереографической 158

проекции плоскости на сферу (см. рис. 7.14). Как обычно, северный полюс соответствует бесконечно удаленной точке.

Исследуем свойства 禿 вблизи границы /°. Как легко видеть, граница многообразия 方，определяемая уравнением ； = 0, представляет собой точку. Таким образом, при конформной компактификации вместо естественной 2-мерной границы 3-мерного многообразия получается 0-мерная граница — точка /°. Немудрено, что при такой редукции размерности в /° возможны всякие неприятности, аналогичные, например, расходимостям в начале полярных координат контравариантных компонент метрического тензора. Первые и вторые производные конформного множителя £2 имеют следующие предельные значения в /°:

С = 0; ?Д2 = 0; 3・％а = 2$〃. (7.16) Для электрической Еа^ = ^ар^^^ и магнитной 8a° = С^^т^ составляющих тензора Вейля в координатах (乞 仇 屮)получаем выражения:

Е)2 = Езз/siMe = — (лq/2)л (1 — г()〃4) •

Отсюда видно, что вблизи пространственной бесконечности компонента Ei 1 расходится как 1/г. Это можно интерпретировать как появление эффективной массы на бесконечности (см. также в § 7.3 аналогичный пример с электродинамикой). Однако следует отметить, что Е^ и 8窃° относятся к физическому многообразию ^ =冗 х у, а так как тензор Вейля не Авляется конформно-инвариантным относительно конформных преобразований 3-мерной метрики, то

Еа& * £呻 и 8a° 工 ％0 * АА

Для того чтобы найти и %仅，рассмотрим нефизическое 4-мерное многообразие 加=〃 х 匸 В этом случае интервал запишется как

ds2 =(一勺)dr2 -成

где 或2 = dx2 + 品2 + 倉.Здесь мы ввели декартовы координаты 伎，》，z) из соображений удобства.人

Выполним 3+ 1-расщепление многообразия^ с помощью сечений t = =const. Поскольку 3-мерное пространство плоское и метрика не зависит от времени, внешняя кривизна и тензор 3-мерной кривизны равны нулю. Тогда, используя формулы связи 4-мерной и 3-мерной кривизн (§ 1.6), получаем:

R,/ =也之/加，分 = ONM

где /V = 1 -【0勿2; △ — лапласиан. Отсюда для электрической части тензора Вейля найдем (магнитная часть вектора Кейля равна нулю):

или, учитывая явную зависимость N от координат,

% =不^7 传"一з科%),%=-у-.

人Д

Следовательно, Ец расходится вблизи начала координат как 1/г. Предел произведения 港"существует в начале координат, но зависит от направления, по которому происходит стремление в точку ： = 0. Это связано, как уже отмечалось, с тем что при конформной компактификации вместо естественной 2-мерной границы появляется Обмерная граница (при компактификации от физического многообразия мы перешли к нефизическому многообразию 勿 с углом, отсюда вытекают все неприятности, связанные с нарушением гладкости многообразия).

Проведенный анализ асимптотической структуры решения Шварцшильда подсказывает, как обобщить понятие асимптотически плоского на пространственной бесконечности Замерного пространства.на произвольный случай.

Определение ([22]; [146], с. 37). Трехмерное многообразие (丸，6, X)является асимптотически плоским на пространственной бесконечности, если существуют нефизическое многообразие П с метрикой Ь, гладкой везде, за исключением одной точки /°г скалярное поле С, гладкое всюду и класса С2 в /°, и диффеоморфизм 屮：勿 f 走-/ °, удовлетворяющие следующим условиям:

Ьа0 = ~^baQ;

в точке /° С = 0.，储代=0,岭 JG 产=若а0 ；

произведение Пх〃〃 ограничено вблизи /°;

электрическая 分0 и магнитная 8a° части тензора Вейля таковы, что а"? Еар и С"?% имеют регулярный зависящий от направления предел в /°.

Здесь символом 3 V обозначена ковариантная производная относительно 3-мерной метрики многообразия 先 ，греческие индексы, как обычно, пробегают значения 0, 1, 2, 3. Под словами ^регулярный зависящий от направления предел" понимается следующее. Тензорное поле Т допускает в точке /° предел, зависящий от направления, если он существует для любой кривой (класса 炉)，выходящей 0з /°, и зависит только от касательного вектора к этой кривой. Регулярность означает, что тензорное поле, полученное предельным переходом, гладко зависит от угловых переменных.

Рис. 7.15. Определение асимптотической структуры пространственной бесконечности сечениями 3-мерного гиперболоида ЯГ

К определению асимптотической структуры Замерного пространства необходимо также добавить требование сохранения ее относительно эволюции 3-геометрии, определяемой уравнениями Эйнштейна. Это означает, что необходимо наложить некоторые ограничения на функцию темпа Л/, отражающие то, что асимптотически пространство остается близким по своим свойствам плоскому пространству.

Геометрия бесконечности [22]. Рассмотрим в касательном пространстве в точке /° множество единичных векторов. В силу положительной определенности метрики конць! этих векторов лежат на сфери^ единичного радиуса. Все геометрические объекты, индуцированные на 无,спроектируем на нормальное и тангенциальные направления к кривым, уходящим в точку /°. Проектор на ортогональное 2-мерное пространство опреде>

ляется как 吶=夕j — £ at ^, где 4 — единичный вектор касательной к соот

ветствующей кривой. Таким образом, осуществляется 2 + 1 + 1-расщепле* ние нефизического многообразиям =允义厂

Теперь можно наметить общую схему исследования асимптотической структуры пространственной бесконечности в 3 + 1-подходе. мПриближе- ние" к бесконечности происходит поэтапно. Сначала осуществляется 3 % 1-расщепление пространства>времени. Затем с помощью отображения в 〃 и дальнейшего 2 + 1 + 1-расщепления 方 определяются геометрические (физические) поля в /° — через предельный переход. При этом важно учесть в качестве весового множителя С", где степень л «определяется из соображений существования регулярного зависящего от направления предела в точке /°. С помощью этого предельного перехода фактически осуществляется проектирование всех объектов на единичную сферу S?. Эта процедура известна в математике под названием раздутие особенности. В нашем случае раздутие особенности в точке /° в основном совершается переходом к сферической системе координат и позволяет исследовать угловую зависимость различных полей вблизи /°.

Итак, для заданного сечения 〃 асимптотическая структура пространственной бесконечности может быть изучена в соответствии с выше приведенной схемой. Но если имеётся другое 3 + 1-расщепление простран- ства>времени 浪=〃 х Т, то как между собой соотносятся их асимптотические структуры? Оказывается, что различные сечения Замерного единичного гиперболоида 江 (рис. 7.15) определяют асимптотические структуры, соответствующие асимптотически разным 3 + Ьрасщеплениям пространства-времени [22]. Вместе с тем гиперболоид 兀 аналогичен 7 — изотропной бесконечности.

Существенным недостатком изложенного выше подхода к исследованию асимптотической структуры пространственной бесконечности Авляет- ся неинвариантность тензора Вейля относительно перенормировки 3-мерной метрики, приводящая, в частности, к значительному усложнению анализов. Кроме того, как это будет ясно из § 7.6, в соответствующей группе асимптотических симметрий отсутствует подгруппа трансляций, а это приводит к невозможности корректного определения момента импульса.

Подход Аштекара—Хансена [7; 146, с. 37]. Подход Аштекара—Хансена является развитием идей Героча в исследовании пространственной бесконечности, но в нем не требуется 3 + 1-разбиение пространства-времени; он существенно 4-мерный.

Определение. Пространство-время (刑 д) называют асимптотически плоским на пространственной бесконечности, если существует пара (办 д} и функция С, гладкая везде, за исключением точки /°, где:

1)血 —класса /】，д — класса 倉。и С — класса С2, причем оо а 0 все они класса С на 加 一厂；

2)时〃 =

в точке /° ^ = 0, ♦卢=0, vg%^ = —2扌从〃 (ср. с определением Героча). Здесь 6° означает, что дифференциальная структура объекта такова, что его производные порядка л + 1 имеют предел в точке /°, зависящий от направления.

Обозначим, как и прежде, через 丸 гиперболоид, образованный единичными пространственными векторами в точке /°. Тогда регулярный зависящий от направления предел (определение см. с. 160) в точке /° можно рассматривать как гладкое отображение тензоров, определенных на 覽，в тензоры в /°. На 巽 определена ковариантная производная3 Vr согласованная с естественной метрикой гиперболоида

力〃〃 =•

Структура гравитационного поля на пространственной бесконечности определяется псевдоэлектрической и псевдомагни гной составляющими тензора Вейля.

= С*0产 7；(7.17)

Са^Р^-(7」8)

Для того чтобы подчеркнуть отличие этого определения от электрической и магнитной частей тензора Вейля, мы ввели приставку “П8вдо"・ (Электрическая и магнитная составляющие тензора Веидя опреде- лаютса через свертку с временноподобным, а не с пространственноподобным единичным вектором.) Тензоры &磔 и ®ар ортогональны вектору единичной нормали к гиперболоиду 龙.С помощью предельного 162

перехода

镰=「册①1 ’華那； 亿19) 抵不=j》6"久0 (7.20)

А А

им ставится в соответствие гладкое тензорное поле 传，毋)， определяющее асимптотически ^гравитационное поле" на 况.Тензоры (&/) — симметричные, бесследовые и удовлетворяют на 江 дифференциальным уравнениям ▽ [& 邑 0] & = °； v [а *0] § = 0. Отсюда, используя симметричность и бесследовость, получаем 十&&@° =。；方仪用破=。’Из определения §ар и 0a° следует, что они ведут себя вблизи /° как 1/г3. Как это показано в § 7.7, тензор & &0 определяет интегральный 4-им- пульс островной системы, а (1/г )4-часть тензора 勿仪6 позволяет найти полный момент импульса. (Определение 7 см. с. J73.)

ПОДХОДЫ СОММЕРСА И ПЕРСИДЕСА

При изучении асимптотической структуры пространства-времени существует большой произвол, связанный с выбором конформного множителя С. С одной стороны, условия на С должны быть достаточно жесткими, чтобы обеспечить сходимость полей на бесконечности, с другой — достаточно слабыми, чтобы включить в рассмотрение наиболее интересные физические ситуации, в том числе и возможность излучения на бесконечности.

Конформная техника хороша для исследования изотропной бесконечности, но в случае пространственной бесконечности ситуация значительно усложняется. Вместо конечной границы имеется единственная особая точка /°, которую в дальнейшем приходится ''раздувать", для того чтобы исследовать физические пола на бесконечности. Кроме того, конформной технике в целом присущи некоторые неприятные стороны - необходимость использования тензоров с пределом в /°, зависящим от направления, ограничения на гладкость асимптотической структуры.

Кроме конформного пополнения многообразия существует еще один способ присоединения границы — проективный. Впервые проективное пополнение для изучения пространственной бесконечности было использовано Соммерсом [127] и далее развито в работах Персидеса [105]. Явным преимуществом проективного подхода по сравнению с конформным является то, что понятие плоской асимптотики формулируется на геометрическом языке, без привлечения уравнений Эйнштейна.

В подходе Соммерса пространственная бесконечность определяется как 3-мерная граница ^ 4-мерного пространства-времени. Каждый пространственно-подобный луч "протыкает"步 в некоторой точке, и, наоборот, каждая точка на * определяет класс, состоящий из параллельных пространственно-подобных лучей. Таким образом, точки границы могут быть отождествлены с единичными пространственноподобными векторами,

163

ежиком торчащими из одной точки (вообще говоря, произвольной) многообразия 加 .Пространство таких векторов образует единичный временноподобный гиперболоид, и метрика на границе определяется метрической структурой этого гиперболоида.

Перейдем к исследованию пространственной бесконечности пространства Минковского (次，》). Пусть х е?П р， 7Яр — внешность конуса с центром в точке Р. Поверхности постоянного радиуса г = (—〃&0犬』)1 /2 определяют 3-мерный временноподобный гиперболоид с центром в точке Р. В 4-мерных сферических координатах (с х, ®, 9) точки на гиперболоиде 笈 имеют координаты (х， 6, 9)・ Определим новую координату S = 1, тогда интервал запишется в виде

ds2 = 一厂%?2 + ?-2d02,(7.21)

где

do? = dx? - ch2x(d62 + s:n20d^2)

—метрика на единичном временноподобном гиперболоиде.

Метрика (7.21) сингулярна на бесконечности (S = 0), и невозможно с помощью конформного преобразования сделать ее регулярной на » . Если (7.21) умножить на Z?, то угловая часть метрики совпадает с метрикой единичного гиперболоида X и будет регулярной на 丛.

С помощью Е-слоения (foliation) осуществляется 3 + 1-расщепление пространства>времени: все геометрические и физические поля проектируются на нормальное и касательное к Z = const направления. Согласно Соммерсу, пространство-время (麓，д) асимптотически плоское, если:

существует проективное замыкание (пополнение) Ж : 加 =MU£ , где £ = S? х Я — граница 孤;一

существует скаляр Е:Е|» = ОиЕ〉Она®2^=Л7*—步，丝一 некоторая окрестность，初* U减；

на 載 выполняются условия: ^2h-> рп7., ЪК.п)

здесь 力从〃—индуцированная метрика на S-слоях;心〃 一метрика единичного гиперболоида 况；К^ - внешняя кривизна S-слоений;

кривые, ортогональные к Z-слоям, достигают границы трансверсально.

Из определения следует, что метрика д асимптотически стремится к 〃：

S〃 = -Е "从，,〃 + Z 2%〃 •(7.22)

(Слова ^асимптотически стремится** означают, что ее тангенциальные составляющие имеют предел, не зависящий от направления.)

Таким образом, при проективном замыкании граница является гладким многообразием, но 4-мерная метрика определена только на ней и не определена вблизи. Отсюда возникают значительные трудности в исследовании асимптотической структуры пространства-времени проективным методом.

164

Персидесу [105] удалось сформулировать подход к изучению асимптотической структуры пространства-времени, сохраняющий все преимущества конформной и проективной техники и свободный от перечисленных выше недостатков. Его основная идея состоит в том, чтобы перенести на случай пространственной бесконечности понятие асимптотической простоты, введенной Пенроузом для изотропной бесконечности.

Рассмотрим метод Персидеса на примере евклидова пространства £■"105]. в сферической системе координат выражение для интервала имеет вид

曲2 = dr2 + / (d 俨 + s\n20d ^). (7.23)

После конформного преобразования р = г (г + 1)"1 все пространство £3 отобразится внутрь сферы единичного радиуса 0 &。< 1. "Точка" р 二 1 представляет собой бесконечность /, которая после преобразования координат р* = 1 — р = (1 +，)т переходит в начало (р* = 0). Вблизи бесконечности р* ведет себя как 1〃. Поэтому выбор координаты з =尸】 переводит / в начало координат и является одним из простейших. В координатах (з, 6,9)(7.23) переписывается как

ds2 = 3Tdо? + ОТ? (de? + siMJdd). (7.24)

Обычная процедура конформной компактификации состоит в переходе к 疫=鑑屋 с % = з‘，что, конечно, приводит к сжатию пространственной бесконечности в точку. Перси дес предлагает ''наполовину'' конформное преобразование с С = з, под действием которого метрика д〃 переходит в

豆/ = diag(3，1, siMd).(7.25)

Таким образом, совершается сжатие поверхности г = const, но бесконечность сжимается не так сильно (не в точку), как в обычном конформном подходе. В (7.25) компонента gt t расходится на /Л а д22 и ^3 регулярны. Компоненты контравариантной метрики j" ==

= diag(3?, 1, sin-20) регулярны на бесконечности, правда, д" обращается в нуль. Ненулевая на бесконечности метрика определяется соотношениями

» = diag [ (1 - з?), 1, sin~20].

Отсюда по стандартным правилам находятся ковариантные компоненты метрического тензора:

?〃• = diag [ (1 一 а>2)~1, 1, sin20].(7.26)

После такого двойногр преобразования получается метрическое нефизическое многообразие 无 с естественной гладкой границей. Хотя предыдущие рассуждения были проделаны в специальной системе координат, можно сформулировать понятие асимптотически простого 3-мерного многообразия в ковариантном виде.

Определение [105]. Трехмерное многообразие 勿(без границы) с положительно определенной метрикой д асимптотически простое (на пространственной бесконечности) тогда и только тогда, когда сущест-

165

> 0, %> 0, %Рис. 7.16. Диаграмма Пенроуза в подходе Персидеса

> 0, %

> 0, %

вуют:人

многообразие ^ с границей 力 и положительно определенной метрикой д класса С в открытой окрестности 6,衣 U I/ U 犬；

О, для которого справедливоО, для которого справедливогладкое скалярное поле С; Cl。一患〉

О, для которого справедливо

О, для которого справедливо

» - 声竺 С, mg 〃 = С~В - ^A9im^n ^\ m^fn' (7・27) Последнее условие заменяет g^ = С%/, возникающее при конформной компактификации. Точно так же, как и в конформном подходе к исследованию асимптотической структуры пространства-времени, в методе Персидеса содержится достаточно большой произвол, связанный с неоднозначным выбором нефизической метрики ?, но он позволяет изучить более широкий класс пространств. Так, решение НУТ не является асимптотически простым в духе Пенроуза, так как изотропная бесконечность имеет топологию S3, а не S2 х 斤，но подходит под определение Персидеса асимптотически простого пространства-времени [66].

Дальнейшее развитие этих идей позволило описать временную, изотропную и пространственную бесконечности с единой точки зрения на чисто геометрическом языке, без привлечения уравнений Эйнштейна [105]. Плоская асимптотика вводится из требования совпадения внутренней геометрии всей границы в целом с внутренней геометрией границы пространства Минковского. Полная граница 器 состоит из пяти несвязных кусков

*= /-ил/~"ил/ + и/*,

где 产—временные бесконечности будущего (прошлого); Л/± — изотропные бесконечности будущего (прошлого); /° — пространственная бесконечность (рис. 7.16).

ГРУППМ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ

При исследовании проблемы энергии-импуд>са в ОТО возникают трудности, связанныя с отсутствием группы Пуанкаре, благодаря которой в СТО удается сформулировать законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. В случае островных систем удается обобщить группу Пуанкаре, точнее выделить ее из полной группы асимптотических симметрий. Однако ситуация здесь не так проста, как может показаться на первый взгляд.

Как уже отмечалось в § 7.3, группа асимптотических симметрий должна быть устроена так, чтобы сохранять асимптотическую структуру пространства-времени. Таким образомг из бесконечной группы координатных преобразований 6^4 необходимо выделить подгруппу G с этими свой- 166

ствами. К сожалению, группа G слишком ^большая0 — бесконечнопараметрическая. Отсюда возникает еще одна проблема: выделение конечнопараметрической группы, которую можно было бы связать с группой Пуанкаре.

Выделим из G преобразования, тождественные на бесконечности. Это преобразования калибровочного типа, асимптотически оставляющие неизменными полевые переменные, и они образуют нормальную подгруппу Go CG [11]. Действительно, если д G G,g()60 и { А} — переменные, описывающие физические поля, то gQA = А. Пусть g6 =gg°d тогда

%а = ggog-% = д『'А = а .

В силу произвольности переменной А отсюда следует, что дд©* £ Go или gGog*1 = Go, но это и означает, что Go является инвариантной подгруппой в G (нормальным делителем).

Если фактор-группа 尸=G/Go изоморфна группе Пуанкаре 尸^ Р, то тем самым задача выделения подгруппы Пуанкаре из общей группы асимптотических симметрий G решена. Теперь можно сформулировать проблему в целом.

Проблема. Дана группа G. Требуется найти такую инвариантную подгруппу Go, чтобы фактор-группа G/G。совпадала (была изоморфной) с группой Пуанкаре.

Если такой подгруппы нет, то невозможно выделить калибровочно инвариантные переменные, т.е. наблюдаемые. Это следует из того обстоятельства, что калибровочные преобразования группы Go соответствуют преобразованиям координат, не меняющим систему отсчета. Естественно предполагать, что группа преобразований от одной системы отсчета к другой должна быть изоморфна группе Пуанкаре. Итак, если из общей группы координатных преобразований не удается выделить группу, изоморфную группе Пуанкаре, то проблема наблюдаемых остается неразрешенной.

Простейший анализ структуры группы асимптотических симметрий для тех случаев, когда мр*но ввести понятие асимптотически декартовых координат, проведен в § 7.1. В этом случае структура группы G достаточно проста и подробно проанализирована в [113, 137].

Группа Бонди—Метцнера—Сакса (ВМС) [14, 122, 101]. Это естественная группа асимтотических симметрий, сохраняющая структуру изотропной бесконечности. Впервые она появилась как группа координатных преобразований, оставляющая неизменной на изотропной бесконечности выделенную систему координат — координаты Бонди.

Рассмотрим группу БМС в пространстве Минковского. В координатах (и, 〃 6, 9), где u = Г — г - запаздывающее время; {г, 6,屮)一обычные сферические координаты; выражение для интервала имеет вид

曲2 = du2 + 2dudr - Pda2.

После конформного преобразования с Г2 = г ~1 =7 интервал перепишется как

ds2 = О,2ds2 = г2du2 + 2dudr 一 do2.

Отсюда на любой гиперповерхности ? = const находим

ds2 = Fd" - do2.

Теперь можно определить метрику на 7 * (f = 0):

儿2 =_成2 = о •而2 + dM = о • dt? + 4dBi7(1 + 代)2(7.28)

[ср. с (7.10)]. Заметим, что в силу произвольности конформного множителя С в знаменателе может быть любая функция \Р (и, f, f) |2.

Группа преобразований 7 * -* 7* (сюда не включаются преобразования Г f —Г,индуцирующие отображения 7* f 7 ~) состоит из преобразований

〃 -flu,工 n； »/a〃 > о, J

переводящих u-сечения на J*, определяемые уравнением и = const, в u-сечения, и преобразований

1> (若 + 0)/(竹 + 6);曲一)0 = 1,(7.30)

осуществляющих конформное преобразование сферы S2 f S?. Таким образом, полная группа преобразований 2* f 7 +, т.е. группа, сохраняющая асимптотическую структуру изотропной бесконечности, состоит из преобразований вида

« f (К + 0)/(府 + 5);〃"，匕弓)，(7.31)

где f (и, С, f) — произвольная функция. Эта группа была проанализирована Ньюменом и Унти [93] и является более широкой, чем группа БМС.

Группа БМС определяется как группа преобразований 7 + -► 7* сохраняющая: а) обычные углы на сфере S2, определяемые (7.28); б) **изо- тропные** углы du/dt Преобразования (7.31), вообще говоря, не сохраняют изотропные углы. Из определения группы БМС следует, что она содержит преобразования вида

L (К + 0)/(内 + 5), (7.32)

и - К • (и + a (fj)), (7.33) где

К©?) = (1 + §f)/(l 若 + О/ + IK + б/)；

a (fr f) — произвольная регулярная функция на S?・ Иногда группу БМС называют группой, сохраняющей сильную конформную геометрию, имея в виду свойства (а), (б).

Как это следует из (7.33), группа БМС — бесконечнопараметрическая и содержит произвольную функцию а (£ f). Бесконечнопараметрическая подгруппа

Г = f； / = и + a (j , 丁) (7.34) называется подгруппой супер трансляций и включает в себя 4-параметри- 168

ческую подгруппу трансляций

а = (А ^ В^ Bf^ Cff)/(1 + ffh (7.35) точнее, преобразования J* f 7 *г индуцированные трансляциями в пространстве Минковского. Обе эти группы являются инвариантными подгруппами группы БМС. Фактор-группа группы БМС по подгруппе су- пертрансляций состоит из конформных преобразований сферы S?今 S? и изоморфна ортохронной группе Лоренца.

Структура группы БМС аналогична структуре группы Пуанкаре, но есть и существенные различия. В случае группы Пуанкаре группа Лоренца определяется как фактор группа этой группы по абелевой подгруппе трансляций, а в случае группы БМС — как фактор-группа по бесконечномерной подгруппе супертнансляций. Последнее обстоятельство является существенным, поскольку с ним связана основная трудность в определении момента импульса для островных систем. Подведем черту под анализом. Вследствие того, что группа Лоренца "сиаит" в группе БМС как фактор-группа, а группа трансляций — как подгруппа, невозможно каноническим образом вложить подгруппу Пуанкаре в группу БМС, те существует бесконечное множество вариантов групп Пуанкаре. Эту же самую мысль можно выразить другими словами； сказав, что группа БМС является полупрямым произведением группы Лоренца 〃 группы супертрансляций.

Хотя невозможно естественным образом выделить из группы БМС группу Пуанкаре, можно, по крайней мере, в случае пространства Минковского, выяснить, какую дополнительную структуру на 7 + сохраняет эта группа. Оказывается, что группа Пуанкаре переводит так называемые хорошие сечения — сечения с асимптотически равным нулю сдвигом ст (ц. f/ f) — снова в хорошие сечения [92]. В пространстве Минковского хорошее сечение изотропной бесконечности будущего определяется как сечение, для которого изотропные геодезические, направленные в прошлое, сфокусируются в одну точку (рис. 7.17).

Рассмотрим конус с вершиной в начале координат и = 0 (конус будущего) .Ясно, что он инвариантен относительно преобразований группы Лоренца, и конгруэнция изотропных геодезических, образующих конус, имеет равный нулю сдвиг. Хорошими сечениями на 7 + называют такие сечения, которые могут быть переведены преобразованиями из группы БМС в сечение у = 0. Это понятие позволяет, во-первых, избавиться от неоднозначности в определении группы Лоренца (как факторгруппы группы БМС), и, вовторых, выделить подгруппу, естественным образом связанную с группой Пуанкаре — изоморфную ей.

Однако в случае асимптотически плоского пространства-времени, отличного от пространства Минковского, ситуация значительно усложняется. Так, например, при наличии излучения на бесконечности не существует генераторов на 7 переводящих хорошие сечения в хорошие. Более того, само понятие хорошего сечения теряет смысл. Это связано с тем, что уходящее на бесконечность излучение асимптотически определяется функцией новостей Л° (иногда называемой функцией информации) Бонди—Сакса [14, 122], Ж = 8。°/8〃. Таким образом, даже если и имелось хорошее сечение на 7 +, то в этом случае оно перейдет в "плохое

Рис. 7.17. Хорошее (。)и плохое (Е) сечение поверхности 7 +

сечение". В общем случае ситуация становится еще более неутешительной, потому что хорошие сечения могут отсутствовать вообще. Действительно, выбор сечений на ?* определяется одним параметром и, тогда как сдвиг а0 — комплексная величина; следовательно, для обращения его в нуль требуется два действительных параметра. Для стационарных пространств это возможно [92], и в этом случае из группы ВМС каноническим образом выделяется подгруппа Пуанкаре как множество преобразований хороших сечений в

хорошие.

переходит в =const:переходит в =const:(7.36)(7.36)Под действием супертрансляций，二 £ / = 〃 + а 售，夕 а0 асимптотический сдвиг , связанный с новым сечением，：

переходит в =const:

переходит в =const:

(7.36)

(7.36)

。'° = а0 ® 仁 f) - Э2а ,

где

3?а: = (1 + 拉)0/冰[(1 + ff)da /df], (7.37)

Решение этого уравнения в случае。'° = и° = 0 дается формулой (7.35) и определяет четырехпараметрическое семейство изотропных поверхностей с равным нулю асимптотическим сдвигом а0. Пересечение этих поверхностей с 7* дает хорошее сечение. Множество всех хороших сечений АвляетсА 4*мерным многообразием и называется Ж -пространством11 точнее, стационарным Л-пространством.

Когда пространство-время не стационарно, хороших сечений, вообще говоря, нет. Ньюмен предложил дальнейшее обобщение стационарных Ж -пространств, состоящее в том, что запаздывающее время и становится комплексной переменной, a f и f считаются независимыми комплексными переменными, т.е. не являются комплексно сопряженными, тем самым осуществляется аналитическое продолжение 3* —二・ Все преды* дущие рассуждения, относящиеся к построению группы ВМС, остаются в силе с заменой соответствующих переменных комплексными. Вместо (7.36) имеется аналитическое продолжение этого уравнения, и можно поставить вопрос о его решении с о'° = 0. Решение этого уравнения, если оно существует, определяет 4-мерное комплексное многообразие и описывает общий случай % -пространств. Различают левые Ж -пространства (соответствующие вакуумным решениям уравнения Эйнштейна с равной нулю

^Термин % -пространство произошел от английского heavens — небеса. Это понятие впервые было введено Ньюменом, основные свойства и библиографию см. в [146,0. 1].

170

автодуальной частью тензора Вейля) и правые 兆-пространства, для которых равна нулю антиавтодуальная часть тензора Вейля. Возможно, с помощью -пространств удастся выделить группу Пуанкаре (вообще говоря, комплексную) из обобщенной группы ВМС.

Алгебра группы БМС. Тамбурино и Виникуром [131] было показано, что генераторы группы БМС удовлетворяют конформному уравнению Киллинга

е(』0)=储如‘ (7.38)

где предполагается, что 与 касателен к J . В случае координат Бонди с метрикой дц из (7.28) это уравнение переписывается как 祸广 證/• В координатах (и, г, в,屮) его общее решение определяется вектором

(7.39)(7.39)£ = (a (d) + J■〃珞8，。，f'(d))‘

(7.39)

(7.39)

причем

产1|8 =(1⑵/犬8；

индексы 4 8 = 2,3 относятся к сферическим координатам, символом || обозначена ковариантная производная относительно 2-мерной метрики 以8 на сфере S? • Для анализа структуры инфинитезимальной группы БМС функцию а 仇 и) из (7ЛЗЗ) разлагают по сферическим гармоникам (для удобства переменные f, f заменены угловыми переменными 6,屮):

а = Z Е 4m%(6,9), Z_m = Z入. (7.40) (% = 0) (m =—力

Пусть x" = d + f^s — бесконечно малые преобразования, генерируемые векторным полем 居；6‘ 一 параметры группы преобразований. Тогда генераторы группы преобразований определяются формулой

Здесь индекс а пробегает значения 1,2,...,〃，где п — размерность группы.

Используя (7.41), определяем из (7.34), (7.40) генераторы супертрансляций

% = 〃т (仇 аа/м；(7 42)

% 二噴—m； % = °，Iml

Обозначим шесть генераторов, определяющих инфинитезимальные преобразования S? — S? и соответствующих инфинитезимальным вращениям

в плоскости （』， х"） пространства Минковского,厶〃〃= 一厶w Так, 厶12 = 8/89；厶о3 = sine * "89 + ucosd 。8/8u.

Генераторы L^ вместе c 々小 образуют базис алгебры группы БМС и удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям [122]:

[厶从入厶75]=刀从5厶〃7 + %）厶〃5 - "从）厶m 一方〃5厶从）；（7 43）

[&”a（仇 9）"刺 =（厶从” -aW{L^）blbu.

Отсюда

U<T 厶例】=CQM LN r ^LQf PD^ 嗚0% •（7.44）

Здесь функции W{L） определяются из уравнения

э（£д/）/эу = L^bf/bu + 勿 а〃а〃

с произвольной функцией f （и）; индексы Qf М, /V относятся к генераторам вращений; Е, F, Ь — к генераторам супертрансляций.

В соответствии с третьей теоремой Ли по алгебре группы БМС можно локально восстановить группу, точнее, ее связную компоненту, так как группа БМС не является локально компактной.

Spi-rpynna [7]. Spi-rpynna появляется в подходе Аштекара и Хансена. Ее название произошло от английского "spatial infinity** — пространственная бесконечность. Напомним, что в этом случае физические поля на пространственной бесконечности описываются через проекции на гиперболоид % в /°. Точки гиперболоида 兄 соответствуют различным направлениям пространственных кривых, попадающих в г.

Пусть。阀 一множество диффеоморфизмов, сохраняющих асимптотическую структуру, и О （次）一его расширение до группы диффеоморфиз* мов на 彻,гладких всюду и класса 倉1 в /°. Пусть G。— подгруппа преобразований, тождественных в /°. В этом случае она является нормальной подгруппой группы О. Фактор-группу G =D/Gq называют Spi-apynnoJ

Следует отметить, что группа D устроена так, что сохраянется не только метрика на X , но также и связность, естественным образом определяемая метрикой гиперболоида h 从 1r

Более строго Spi-rpynna определяется через инфинитезимальную группу （алгебру）. Рассмотрим векторное поле 二 удовлетвоярющее следующим условиям:А 人人

векторное поле 与 допускает расширение 与 на访忑=与 на ^ ） класса 少。b /0;

2l/0 = 0,粵久％ = ° и

где △ — функция класса 倉° и 港=1 в /°.

Spi-rpynna определяется как класс эквивалентности векторных полей f^} С Г (砌,удовлетворяющих условиям 1 и 2. Два векторных поля 8 и & считаются эквивалентными, если 与i = & + Ь(О вблизи /°. Таким образом,人 каждая инфинитезимальная симметрия характеризуется парой (L lim V , где 与—вектор Киллинга на (况，力и lim

./04 определяет "зависящий от направления** вектор.

Структура Spi-группы аналогична структуре группы ВМС. В ней также содержится подгруппа супертрансляций, генераторы которой определяются из условия 2 с функцией 鲁,удовлетворяющей

(7.45)(7.45)粤（6,）=吗+勿a.

(7.45)

(7.45)

где V — ковариантная производная на 覧，определенная через метрику 6 ПР； а — произвольная функция, зависящая от трех параметров, определенная на 江.Подгруппа трансляций выделяется с помощью функций а, удовлетворяющих уравнению

7。寸0/=叫: (746)

или； что эквивалентно, любой функции вида а = 0J°, где j — некоторый вектор в /°; W — вектор единичной нормали к %. Фактор-группа Spi- группы по группе супертрансляций изоморфна группе Лоренца. Однако при всей схожести этих групп имеется существенное отличие, состоящее в том, что в Spi-rpynne произвольная функция зависит от трех параметров, а в группе ВМС — от двух.

В силу наличия в Spi-rpynne подгруппы супертрансляций появляется произвол в выделении группы Лоренца (ситуация аналогична ее выделению из группы ВМС). Возникает естественный вопрос о редукции группы супертрансляций к группе трансляций. Оказывается, что если тензор Вейля имеет асимптотическое поведение

(7.47)(7.47)必叩：=1"а"2£**67e1/23近1/2=0

(7.47)

(7.47)

и следующий (1〃4) порядок магнитной части тензора Вейля допускает предел, зависящий от направления,

脇：=册漑浓》"叩①"脇：=册漑浓》"叩①"(7.48)(7.48)

脇：=册漑浓》"叩①"

脇：=册漑浓》"叩①"

(7.48)

(7.48)

то из Spi-группы каноническим образом выделяется группа Пуанкаре. Условие (7.47) позволяет выделить подгруппу трансляций. Тензорное поле “j содержит информацию о (1/г4) -части тензора Вейля, и с его помощью определяется момент импульса системы (см. § 7.7).

Исследование Spi-группы еще не завершено. Имеется ряд важных вопросов, ответ на которые позволит выяснить связь между этой группой и другими группами асимптотических симметрий. Среди этих вопросов можно отметить следующие.

. Всегда ли многообразие (加,д), асимптотически плоское в смысле Аштекара—Хансена, допускает конформное пополнение, обеспечивающее асимптотическое поведение тензора Вейля, определяемое (7.47), (7.48) ?

. Как устроена группа асимптотических симметрий, сохраняющая структуру изотропной и пространственной бесконечностей одновременно? Можно ли из этой единой группы симметрий выделить "калибровочную часть" и "「руппу Пуанкаре**?

Группы асимптотических симметрий в других подходах. Группа асимптотических симметрий в 3 + 1-подходе к анализу пространственной бесконечности (вариант Героча, см. § 7.4) изоморфна группе Лоренца и не содержит супертрансляций вообще. С точки зрения Spi- группы это связано с тем, что она сохраняет только метрику на двухмерной сфере — сечении единичного гиперболоида X, но не связность. В результате этого нельзя определить момент импульса.

Подход Соммерса [127]. Генераторы инфинитезимальной группы асимптотических симметрий определяются из асимптотических уравнений Киллинга

^(^р) = 6 (7・49) и конформных уравнений Киллинга

©(〃 J) =(М3) 3 ⑺力叫 (7.50) где 6 — ковариантная производная на границей ; /? — метрика на единичном временноподобном гиперболоиде. Уравнение (7.49) дает шесть независимых векторов, определяющих момент импульса, уравнение (7.50) — четыре независимых вектора, приводящих к определению импульса системы. Заметим, что, хотя запись этих уравнений явно 4・мер・ нал, они определены на 3-мерном многообразии — границе пространства- времени. Вследствие однозначного выбора S-сечений группа асимптотических симметрий Соммерса однозначно редуцируется к группе Пуанкаре, и нет никакого произвола, как, например, в Spi-rpynne, содержащей супертрансляции. Псевдоэлектрическая и псевдомагнитная составляющие тензора Вейля расходятся на» , но, если S-1g 叩 и S"2^^ допускают гладкие пределы на ^ , то тогда можно определить момент импульса как интеграл по границе 考 с правильными трансформационными свойствами.

Подход Персидеса [105]. Г руппа асимптотических, симметрий определяется как группа преобразований единичного гиперболоида (X，瓦 9) — (Х‘，&'“')，сохраняющая метрику гиперболоида, которая в специальных координатах имеет вид

&/ = diag ：1, -ch?x, - ch2ysin2(?). (7.51) Эта группа является группой изометрий границы 諺 и может определяться через решение уравнения Киллинга на границе

0呪»(我0) =。，£俨=。・ 亿52)

Здесь 爲—проектор на 2 ; 6 — ковариантная производная относительно метрики единичного гиперболоида. Как и в подходе Соммерса, здесь группа асимптотических симметрий изоморфна группе Лоренца.

7.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Интегральные сохраняющиесА величины определяются через интегралы по 3-мерной области, которые в силу дивергенциального характера подынтегральных выражений переводятся в интегралы по границе. В случае островных систем полный 4-импульс системы, а также момент импульса определяются через интеграл по границе, удаленной на бесконечность. Рассмотрим определение сохраняющихся интегральных величин в различных подходах к анализу асимптотической структуры пространства-времени. Начнем с подхода Аштекара—Хансена.

Подгруппа трансляций из Spi-группы выделяется с помощью функции а, удовлетворяющей на гиперболоиде X уравнению

干不切a =a力^ (7.53)

[ср. с (7.46) ]. Отсюда следует, что 专卢-конформный вектор Киллинга на ｛笈，力).Согласно [7], полный 4-импульс островной системы

嗫d二%8耶收4^/成。 (7.54) где f — постоянный вектор, лежащий в касательном пространстве к точке /°; 尹从〃 =%@〃丿° - 3-мерный тензор Леви-Чивиты. В силу того, что псевдоэлектрическая часть тензора Вейля имеет равный нулю след и V а & а^ = 0, 4-импульс системы сохраняется в том смысле, что интеграл (7.54) не зависит от выбора сечения S?.

Какова связь между (7.54) и известными сохраняющимися величинами типа Комара и 4-импульса АДМ? Оказывается, что 4-импульс изолированной системы (7.54) совпадает с 4-импульсом АДМ и для стационарного асимптотически плоского и пустого на пространственной бесконечности пространства>времени = т^. где 与一вектор в /°г соответствующий Spi-трансляции, ат— масса, определяемая через интеграл Комара (см. § 3.4). Магнитный аналог Р@ нэ существует, поэтому для 为аб интеграл типа (7.54) равен нулю.

Если в определении 4-импульса островной системы есть определенная ясность, то этого нельзя сказать о моменте импульса. Действительно, понятие момента импульса зависит от "иентра" — точки, относительно которой он определяется. В СТО закон изменения момента импульса при замене координатxz^~х^ + а^ имеет вид

МаР = %0 + Р[аа0] * (7 55) где а — вектор трансляции. Таким образом, чтобы получить определение момента импульса с такими свойствами, необходимо иметь 4-параметри- ческое семейство групп Лоренца, определяемое вектором а . Однако Spi-rpynna содержит бесконечное множество групп Лоренца в силу бесконечном ерности группы супертрансляций. И мы снова возвращаемся к уже обсуждавшейся проблеме выделения группы Пуанкаре из Spi-группы.

Информация о моменте импульса содержится в "части" тензора Вейля, убывающей на бесконечности как 1/г4. Так как псевдомагнитная часть

175

тензора Вейля %0 ведет себя как Мг3 при стремлении г к бесконечности, то следующий (1/f 4) порядок тензора Вейля на ЛГ определяется как [см. (7.47), (7.48)]

筛П啲亿56)

Тензорное поле 0a0 — сохраняющееся,

亍/叩=°，(7.57)

и преобразуется относительно Spi-трансляций как

端—0a0 + 2%〃(а&3)'"@・

л

Момент импульса М определяется через интеграл

(7.58)

и преобразуется по закону

統0 - ^а& + Р[а^] *

Здесь 尸аб — произвольный антисимметричный тензор в /°; 0 — векторное киллингово поле на (囂,h ), определяемое как

f - вектор в /°, соответствующий Spi-трансляции а, т.е. а = 4P. Вектор момента импульса S связан с 丸0 соотношением

Sa= Еа^Ь^ ^ •亿59)

где 与仪=(户“Р〃广"2戶&・ Как Sa, так и Ма^ не зависят от выбора сечения S?.

Для стационарного асимптотически пустого и плоского пространства- времени (на пространственной бесконечности), где выполняется (7.57),

Здесь

尸"° = limt〔° 3们

и /к - значение интеграла Комара, соответствующее вращательному вектору Киплинга з.

В случае 3 + 1-подхода к исследованию асимптотической структуры пространства-времени группа асимптотических симметрий изоморфна группе Лоренца и в результате отсутствия группы супертрансляций не- 176

возможно определить момент импульса. Что же касается 4-импульса системы, то он сводится к определению АДМ.

Перейдем к интегральным сохраняющимсА величинам, порожденным группой БМС. Как следует из § 7.6, подгруппа Пуанкаре выделяется однозначно из группы БМС тогда, когда существуют хорошие сечения. В этом случае 4-импульс Бонди—Сакса определяетсА как [14, 103] (обозначения см. в § 1.8)

Ра = -(1/4я) i^ds t(7.60)

где

f = (1, sindcosw, sindsinw, 8sJ); Ф? = liml屮？ f -> oo

определяется из (1.119). В общей ситуации, когда отсутствуют хорошие сечения, в (7.60) необходимо добавить члены, учитывающие асимптотический сдвиг, тогда

ра = (1/4万)/%(0°”一 屮g)ds.(7.61)

Интегрирование в этих формулах идет по сечениям гомеоморфным сфере. Функция^ называется функцией новостей Бонди и определяется из уравнения

Ьа^1Ъи = 一値(7.62)

причем

8Л78и = 嘿，(7.63)

W： = lim гФ4. f f 8

Потери массы на излучение определяются формулой [14, 122]

dm/du = -(1/4я)/Л5г^ < 0.(7.64)

Заметим, что выбор вектора f в (7.60) неоднозначен. Он связан с неоднозначностью выбора функции К (8,屮)[см. (7.33) ], зависящей от трех независимых параметров. Различный Еь;6ор этой функции соответствует различному выбору ^асимптотической временной оси". Трудности в определении момента импульса через группу БМС уже обсуждались в § 7.6, и здесь к этому вопросу возвращаться не будем.

Тамбурино и Виникур [131] предложили обобщение интеграла Комара, позволяющее определить момент импульса через так называемые интегралы зацепления (linkage). Их обобщение состоит в следующем.

. Асимптатмческий вектор Киплинга распространяется внутрь по изотропной гиперповерхности Г, пересекающей 7 * по сечению S+ в соответствии с законом

住(* 0)-(1/2)¥； "吗女0卜=0，(7.65)

где к — "изотропны/" генератор на Г. Это позволяет определить векторное поле на Г через начальные данные, заданные на 2* = Г G 7 и через

177

общее решение асимптотического конформного уравнения Киллин* га (7.38).

Модифицированный интеграл Комара записывается как

气(e) = -(1/167Г)冬伐[* 0]+ 号5女[气团)4%0， (7.66) где Е — сечение на Г;攵〔@严—бивектор нормали к Z с нормировкой 攵$°= 1 (см. формализм Ньюмена—Пенроуза, § 1.8).

. Берется предел S -> S* вдоль Г. Полученное выражение определяет момент импульса системы или ее 4-импульс в зависимости от геометрического смысла соответствующего генератора группы ВМС. Однако проблема редукции группы БМС к группе Пуанкаре в подходе Тамбу- рино*Виникура не разрешается и, соответственно, возникают те же самые трудности в определении момента импульса, что и раньше.

Изучение асимптотических свойств пространства-времени еще далеко от завершения. Как видно из анализа, проведенного в этой главе, существует множество подходов, и до сих пор нет полной ясности в понимании асимптотической структуры пространства-времени. Укажем некоторые проблемы, сформулированные Пенроузом и Аштекаром.

Показать, что если сечение Z изотропной бесконечности будущего 7 + (или прошлого 7~) является пространственноподобной поверхностью, на которой выполнаютса подходящие энергетические условия, то масса, определенная по Бонди—Саксу, на Z неотрицательна [104].

Под подходящими энергетическими условиями здесь имеется в виду одно из наиболее обычных в такой ситуации, а именно, условие энергодоминантности. Аналогичную проблему можно сформулировать для массы, определенной через асимптотически пространственноподобную гиперповерхность в 3 + 1-подходе (масса АДМ). Возможно также любое определение массы через подходящие псевдотензоры при условии корректного определения соответствующей системы координат, т.е. системы координат, которая должным образом асимптотически стремится к декартовой. Может быть, конечно, использована и другая калибровка, совместимая с асимптотической структурой. Пренебрежение этим обстоятельством является источником многочисленных заблуждений и даже порождает мнение о том, что понятие энергии (читай — массы) бессмыо ленно в ОТО.

Имеет ли масса по Бонди—Саксу, определенная через сечение изотропной бесконечности будущего 7 предел при стремлении сечения в прошлое по J *? Если да, то совпадает ли он со значением массы, опреде* ленной на пространственной бесконечности [104] ?

Эта проблема будет, по*видимомуг решена тогда, когда окончательно выяснится связь между группой БМС — группой асимптотических сим* метрий изотропной бесконечности и Spi-группой — группой асимптотических симметрий в подходе Аштекара—Хансена.

Показать, что если справедливо условие энергодоминантности, то 4-импульс по Бонди—Саксу, а также 4-импульс, определенный через пространственную бесконечность, направлены в будущее. При этом предполагается, что пространство-время всюду плоское вблизи про-

странственноподобной гиперповерхности, которая используется для определения интегральных величин [104].

Если нет приходящего и уходящего (на бесконечность) излучений и п ростра нет во- врем а пусто вблизи 7 и (в некотором подходящем смысле) вблизи /°, то стационарно ли оно вблизи J [104] ?

Пусть дан набор многообразий, каждое из которых асимптотически пустое и плоское как на пространственной, так и на изотропной бесконечности. Если игнорировать асимптотическую структуру в точке /°, то группой асимптотических симметрий будет группа БМС. Если игнорировать асимптотическую структуру изотропной бесконечности 7 , то соответствующей группой будет Spi-rpynna. Какова группа асимптотических симметрий, которая сохраняет асимптотическую структуру в обоих режимах? Можно ли получить каноническое разложение этой группы на группу Пуанкаре и калибровочную часть [146, с. 68] ?

Существует ли удовлетворительное определение момента импульса через изотропную бесконечность [146, с. 68] ? Все существующие определения имеют калибровочный (супертранслАционный) произвол.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Андерсон Дж. — В сб.: Гравитация и относительность. М.: Мир, 1965, с. 435— 467:

Антонов В. И(/ Владимиров Ю.С., Ефремов В. Н. — В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 7. М.: Атомиздат, 1976, с. 34 - 44.

Antonov V. I., Efremov V. N., Vladimirov Yu. S. — Gen. Relat. and Gravitation, 1978, gl. 9, p. 9 — 19.

Aragone C., Chela Flores J. — Nuovo cimento, 1975, vol.25B, p. 225 — 241.

Арновитт P., Дезер C., Мизнер 4. — В сб.: Эйнштейновский сборник 1967. М.： Наука, 1967, с. 233 — 286.

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М”： Наука, 1971. 239 с.

Ashtekar A., Hansen R. О. - J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 1542 - 1566.

Batalin I. A. - J. Math. Phys., 1981, vol. 22, p. 1837 - 1850.

Belinfante F. — Physica, 1939, vol. 6, p. 887 — 898.

Bel L. - Compt. rend. (Paris), 1958, vol. 246, p. 3015 — 3018.

Bergmann P. G. - Phys. Rev., 1949, vol. 75, p. 680 — 685.

Bergmann P. G. - Phys. Rev., 1961, vol. 124, p. 274 — 278.

Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей, 3-е изд. М.： Наука, 1976. 479 с.

Bondi Н., van der Burg М., Metzner А. - Proc. Roy. Soc. Lond.r 1962, vol. A269 p. 21 - 52.

Бурланков Д. E. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 44, с. 1941 — 1944.

Will С. М. - Astrophys. J., 197 7, vol. 214, р. 826 - 839.

Winicour J. - J. Math. Phys., 1983, vol. 24, p. 1193 - 1198.

Владимиров Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоиздат, 1982. 256 с.

Владимиров Ю. С., Антонов В. И. Препринт ИТФ-72-137Р. Институт теорет. физики АН УССР, Киев, 1972. 18 c.

Владимиров Ю. С., Ефремов В. Н. — В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 5. М.: Атомиздат, 1974, с. 24 - 33.

Garecki J. - Acta phys. polon, 1973, vol. B4, p. 347 - 351.

Geroch R. — In: Asymptotic structure of space-time. Ed. by F. P. Esposito and L. Witten. N. Y.: Plenum Press, 1977, p. 1 - 105.

Dugdale D. E. - Europ. J. Phys., 1981, vol. 2, p. 48-51.

DeWitt B.S. Dynamical theory of groups and fields. N. Y.; Gordon and Breach, 1965. 246 p.

DeWitt B. S. - Phys. Rev., 1967, vol. 160, p. 1113 - 1148-

Deser S., Ford K. W., eds. Lectures on general relativity. Brandeis 1964 Summer Institute on Theoretical Physics. Englewood Cliffs： Prentice-Hall, 1965, 502 p.

Deser S. — Ann. Inst. Henri Poincare, 1967, vol. 7, p. 149—188.

Денен Г. — В сб.： Эйнштейновский сборник 1969— 1970. М.: Наука, 1970, с. 140- 161.

Денисов В. И.г Логунов А. А. — Теорет. и матем, физ., 1982, т. 50, с. 3 — 7 7.

Dixon W. G. ~ In: Course 67, Int. School of Physics "Enrico Fermi". Ed. by J. Ehlers. Amsterdam： North-Holland, 1979, p. 156-219.

d*lnverno R. A. — In: Proc. 9th Int. Conf. GRG. Ed. by E. Schmutzer. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1983, p. 93 - 113.

d'lnverno R. A., Stachel J. 一 J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 2447 - 2459.

Dirac P. A. M. — Can. J. Math., 1950, vol. 2, p. 129 - 148.

Dirac P. A. M. — Nature, 1951, vol. 168, p. 906 - 907; Proc. Roy. Soc. Lond., 1951, vol. A209, p. 291 - 296.

Dirac P. A. M. — Proc. Roy. Soc. Lond., 1958, vol. A246, p. 333 — 343.

Дирак П. A. M. Лекции по квантовой механике. M.: Msp, 1968. 83 с.

Drechsler W.r Mayer M. E. Fiber bundle techniques in gauge theories. Lecture Notes Phys., vol. 67, Berlin — Heidelberg: Springer-Verlag, 1977, 248 p.

Дубровин Б. A.r Новиков С. П.г Фоменко A. T. Современная геометрия. M.: Наука, 1979. 7 59 с.; 1984. — 343 с

Eguchi Т., Gilkey Р. В” Hanson A. J. — Phys Reports, 1980, vol. 66, р. 213 — 393.

Yefremov А. Р. — Acta phys. Polon., 197 5, vol. B6, p. 667 — 671.

Ефремов А. П^ Мицкевич H. В. — В сб.: Проблемы квантовой физики. М.: УДН им. П. Лумумбы, 1977, с. 32 — 34.

Ефремов А. П. и др. — В кн.: Тезисы докл. Всесоюзн. конф. ^Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации *г. Минск: Б ГУ им. В. И. Ленина, 1976, с. 49 — 51.

Захаров В. Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна. М.: Наука, 1972. 199 с.

Зельманов А. Л. —Докл. АН СССР, 1956, т. 107, с. 815 — 818; 1959, т. 124, с. 1030-1033; 1973, т. 209, с. 822-825; 1976, т. 227, с. 78-81.

Зельманов А. Л. — Труды VI совещания по вопросам космологии. М.: Наука, 1959, с. 144 — 174.

Иваненко Д. Д. (ред.). Гравитация и топология (сборник статей).М.:

Мкр, 1966. 311 с.

Иваницкая О. С. Обобщенные преобразования Лоренца' и их применение. Минск: Наука и техника, 1969. 227 с.

Israel W. — Common. Dublin Inst. Adv. Studies, 1970, Ser. A, N 19, p. 1 —100.

Ihrig E. — J. Math. Phys., 197 5, vol. 16, p. 54 - 55.

York J. W. 一 J. Math. Phys., 1972, vol. 13, p. 125- 131;1973, vol. 14,

p. 456-464.

York J. W. 一 Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 26, p. 1656 - 16 58; 1972, vol. 28, p. 1082-1085.

York J.W., O'Murcljadha N. - Phys. Rev., 1974, vol. D10, p. 428-436.

Cartan E. — Ann. Ecole Norm., 1923, vol. 40, p. 3 25 — 412; 1924, vol. 41, p. 1 — 25.

Cattaneo C. — Rend. mat. e applic., 1961, t. 20, p. 18 — 3 7;1962, t. 21,

p. 373 - 405.

Кеведо Кубильос Э. Дуальное сопряжение и конструирование вакуумных гравитационных полей. Дипломная работа, УДН им. П. Лумумбы, М・,1982, 40 с.

Campbell S. J., Wainwright J. — Gen. Relat. and Gravitation, 1977, vol. 8, p. 987 - 1001.

Komar A. 一 Phys. Rev., 1958, vol. 111, p. 1182 - 1187; 1959, vol. 113, p. 934- 936.

Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер и др. М.: Энергоиздат, 1982. 416 с.

Kuchar К. - J. Math. Phys., 1972, vol. 13, р. 768 — 781; 1976, vol. 17, р. 777 - 791, 792 - 800, 801 - 820; 1976, vol. 18, р. 1589 - 1597.

Kuchar К. - Phys. Rev., 1980, vol. D22, p. 1285 - 1299.

Ландау Л. Д.г Лифшиц E. M. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.

Lanczos С. — Ann. Math., 1938, vol. 39, р. 842 — 850.

Li W. Q., Ni W.-T. - J. Math. Phys., 1979, vol. 20, p. 1473 - 1480.

Lichnerowicz A. — J. math, pures et appl., 1944, vol. 23, p. 37 — 63.

Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation et de relectromagnetisme. Paris: Masson, 1955, XII + 298 p.

Ludwig G. — Gen. Relat. and Gravitation, 1981, vol. 13, p. 291 — 297.

Ludvigsen M., Vickers J.A.G. - J. Phys. A： Math. Gen., 1983, vol. 16, p. 1155- 1168.

McIntosh С. B. G.r Halford W. D. — J. Phys. A: Math. Gen., 1981, vol. 14, p. 2331 - 2338.

Manasse F. K.r Misner C. W. - J. Math. Phys., 1963, vol. 4, p. 735 - 745.

Massa E. — Gen. Relat. and Gravitation, 1974, vol. 5, p. 555 — 57 2, 573—591, 715 - 736.

Miller Ch. - Ann. Phys., 1958, vol. 4, p. 347 -371; 1961, vol. 12, p. 118-133.

Мёллер К. — В сб.: Новейшие проблемы гравитации. М.: Изд-во иностр, лит., 1961, с. 85 — 127.

Мизнер Ч.г ТорА К” Уилер Дж. Гравитация. М.： Мкр, 1977, т. 1,474 с.; т. 2, 525 с.; т. 3, 510с.

Милнор Дж. Теория Морса. М.： Мир, 1965, 185 c.

Mizkjewitsch (Mitski4vic) N. V. - Ann. d. Phys., 1958, Bd. 1, S. 319 - 333.

Мицкевич H. B. — Докл. Болг. АН, 1961, т. 14, с. 439 — 442.

Мицкевич Н. В. Физические поля в ОТО. М.： Наука, 1969. 326 с.

Мицкевич Н. В. — В сб.: Эйнштейновский сборник 1971. М.: Наука, 1972, с. 67 - 87.

Мицкевич Н.В. — В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 7. М・：Атомиздат, 1976, с. 15 — 34.

Мицкевич Н.В., Гарсиа Диас А. А. Препринт ИТФ-71-23Р. Институт теорет. физики АН УССР, Киев, 1971, 14с.

Мицкевич Н. В., Захаров В.Н. - Докл. АН СССР, 1970, т. 195, с. 321 - 324.

Мицкевич Н. В., Калев Д. А. - Докл. Болг. АН, 1975, т. 28, с. 735 - 738.

Мицкевич Н.В., Мухика X. Д. - Докл. АН СССР, 1967, т.176, с. 809- 811.

Мицкевич Н.В., Нестеров А. И. — Изв. вузов. Сер. физ., 1976, № 9, с. 92- 95; 1977, № 3, с. 15-20.

Mitskievic N. V., Nesterov А. I. - Experim. Technik d. Physik, 1981, Bd. 29, S. 333 -335.'

Мицкевич H. В., Рибейро Теодоро M. — Журн. эксперим. и теор. физ., 1969, т. 54, 954 - 962

Нестеров А. И. О законах сохранения в монад ном формализме. Дел. ВИНИТИ №2629-76, 1976. Юс.

Нестеров А. И„ Степаненко В. А. — В кн.: Тезисы докладов 6-й Советской гравитационной конференции. М.: Изд-во УДН им. П. Лумумбы, 1984, с. 39 и 40.

Нётер Э. — В сб.: Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959, с. 604 - 630.

Ni W. T., Zimmerman М. - Phys. Rev., 1978, vol. D17, p. 1473 - 1476.

Newman E. T., Penrose R. - J. Math. Phys., 1962, vol. 3, p. 566 - 577； 1966, vol. 7, p. 863 - 870.

Newman E. T., Penrose R. - Proc. Roy. Soc., Lond., 1968, vol. A305, p. 175- 204.

Newman E. T.r Unti T. - J. Math. Phys., 1962, vol. 3, p. 891 - 901.

Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

O*Murchadha N., York J. - Phys. Rev., 1974, vol. D10, p. 2345 - 23 57.

Palatini A. — Rend. Circolo mat. Palermo, 1919, t. 43, p. 203 — 212.

-97. Palrfier T. N. - Phys. Rev., 1978, vol. D18, p. 4399 -4407.

Papapetrou A. — Proc. Roy. Irish Acad. A, 1948, vol. 52, p. 11 —25.

Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1983. 2-е изд. 336 с.

Penrose R. - Rev. Mod. Phys., 1965, vol. 3 7, p. 215-220.

Пенроуз P. Структура пространства-времени. M.: Мир, 1972, 182 с

Penrose R. — In： Group theory in non-linear problems. Ed. by A. O. Burnt, Boston： Reidel, 1974, p. 1 - 58.

Penrose R. - Proc. Roy. Soc., Lond., 1982, vol. A3 81, p. 53 - 63.

Penrose R. - Ann. Math. Stud., 1982, vol. 102, p. 631 - 668.

Persides S. - J. Math. Phys., 1979, vol. 20, p. 1731 - 1740; 1980, vol. 21, p. 13 5 一 151; 1982, vol. 23, p. 283 - 288, p. 289 - 292.

Петров A. 3. Новые методы в ОТО. М.: Наука, 1966. 496 с.

Pirani F. А. Е. Colloque inter, sur theories relat. de la gravitation (Royau- mont, 1959). Paris: CNRS, 1962, p. 85.

Piebanski J. — Acta phys. polon., 1964, vol. 26, p. 963 — 1020.

Полак Л. С. Вариационные принципы механики. M.: Физматгиз, i9 60. 599 с.

Пугачев Я. И. — Изв. вузов. Сер. физ., 1959, № 6, с. 152 — 161.

Ryan М. P.r Shepley,L. С. Homogeneous relativistic cosmologies. Princeton: Princeton Univ. Press, 1975, XVI < 321 p.

Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостехиздат, 1947. 354 с.

Regge Т., Teitelboim С. — Ann. Phys., 1974, vol. 88, р. 286 — 318.

Retzloff D. G., de Facio B., Dennis P. W. - J. Math. Phys., 1982, vol. 23, p. 96, 105 - 108.

Rindler W. Essential relativity. Revised 2nd edition. N. Y.: Springer-Verlag, 1979, XVI +284p・

Родичев В. И. Tеория тяготения в ортогональном репере. М.: Наука, 1974. 184 с.

Rosen N. — Phys. Rev., 1940, vol. 57, p. 147 — 150, 150 — 153.

Rosen N. — Gen. Relat. and Gravitation, 1973, vol. 4, p. 435 — 447; Lett. Nuovo cimento, 1973, vol. 8, p. 889 — 892.

Rosenfeld L. — Mem. Acad. Roy. Belg., 1940, 1.18, p. 3 — 30.

Rylov Yu. 一 Ann. d. Phys., 1964, Bd. 12, S. 329 - 353.

Сабинин Л. В. - Док л. АН СССР, 1977, т. 233, с. 800 - 803; Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии. В кн.: Кобаяси Ш., Номи дзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981, т. 1, с. 293 — 339.

Sachs R. К. 一 Proc. Roy. Soc., Lond., 1962, vol. A265, p. 463 一 473; vol. A270, p. 103 - 126; Phys. Rev., 1962, vol. 128, p. 2851 - 2864.

Синг Дж. Общая теория относительности. М.: Изд-во иност. лит., 1963. 432 с.

Synge J. L. 一 Coll. Int. CNRS. Paris: CNRS, 1962, p. 75-83.

Synge J. L. - Commun. Dublin Inst. Adv. Studies, 1964, Ser. A, N 15, p. 1- 51.

Smrz P. K. — J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 2085 — 2088.

7. Sommers P. — J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 549 - 554.

Станюкович К. П. Гравитационное поле и элементарные частицы. М.: Наука, 1965. 311 с.

Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. 412 с.

Схоутеи И. А.г Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциаль> ной геометрии. Т. I . М.—Л.: ГОНТИ, 1939, 182 с.; Т. II. М.: Изд-во иностр, лит., 1948, 348 с.

Tamburino L., Winicour J. — Phys. Rev., 1966, vol. 150, p. 1039 — 1053.

Tod К. P. — Proc. Roy. Soc. Lond., 1983, vol. A338, p. 457 — 477.

Thorne K. S., Macdonald D. A. - Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 1982, •vol. 198, p. 339 - 343; Microfiche M. N. 198/1.

Траутман A. — Бюлл. Польской АН, 1956, т. 4, с. 665 — 669, 671 — 674; 1957, т. 5, с. 721 - 724.

Urani J. R.( Kemp М. 一 J. Math. Phys., 1982, vol. 23, p. 227 -230.

Фаддеев Л Л.— Теорет. и матем. физ., 1969, т. 1, с. 1 - 18.

Фаддеев Л. Д. - Успехи физ. наук, 1982, т. 136, с. 435 - 457.

de Facio В., Dennis P.W., Retzloff D. G. - Phys. Rev., 1978, vol. D18, p. 2813— 2820; 1979, vol. D20, p. 570-571.

de Facio B.( Retzloff D. G. - J. Math. Phys., 1980, vol. 21, p. 751 - 752.

Фейнман P. Характер физических законов. M.: Мир, 1968. 232 с.

Ферми Э. Научные труды. Т. I. М.: Наука, 1971. 818 с.

Flanders Н. Differential forms. Lond.: Academic Press, 1963, 203 p.

Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физматгиз, 1961. 563 с.

Фролов В. П. Труды ФИАН СССР, т. 96. М.： Наука, 1977, с. 72- 180.

Froloy V. Р. - Fortschr. Phys., 1978, Bd. 26, S. 455 - 500.

Held A., ed. General relativity and gravitation, vol. 2. N. Y.: Plenum Press, 1980, XVIII +540p.

Hill E. L. - Rev. Mod. Phys., 1951, vol. 23, p. 253 - 260.

Хокинг C.r Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства«времени. М.： Мир, 1977. 431 с.

Chandrasekhar S. — In: General relativity. Edited by S. W. Hawking and W. Israel. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1979, p. 370 — 453.

Schattner R., Streubel M. — Ann. Inst. Henri Poincare, 1981, vol. 34, p. 117— 143.

• Schwinger J. - Phys. Rev., 1963, vol. 160, p. 1113 - 1148.

Slebodzinski W. Exterior forme and their applications. Warszawa: PWN, 1970, 427 p.

Schmidt B. G. — Commun. Math. Phys., 1973, vol. 29, p. 55—59; 1974, vol. 36, p. 73 — 90.

Schmutzer E.r- Relativistische Physik (klassische Theorie). Leipzig: Teubner, 1968, 974 S; Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике. М.: Мир, 1974. 159 с.; Основные принципы классической механики и классической теории поля (канонический аппарат). М.: Мир, 1976. 157 с.

Schmutzer Е. — Ann. d. Phys., 1973, Bd. 29, S. 75 - 95.

Choquet-Bruhat Y.r DeWitt-Morette C., Dillard-Bleick M. Analysis, manifolds and physics. Revised edition. Amsterdam: North-Holland, 1982, XX + 630 p.

Shaw W. T. - Proc. Roy. Soc., Lond., 1983, vol. A390, p. 191 — 215.

Schrodinger E. — Proc. Roy. Irish Acad. A, 1951, vol. 54, p. 79 — 85.

Steeb W.-H.- Zs. Naturforsch., 1978, Bd. 33a, S. 742 - 748.

Штейнград 3. A. - Докл. АН СССР, 1978, т. 243, с. 85 - 88.

Stephani Н. Allgemeine Relativitatstheorie. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1980. 282 S.,

Streubel M., Schattner R. — Ann. Inst. Henri Poincare, 1981, vol. 34, p. 145— 152.

Эйзеихарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М.: 'Изд-во иностр, лит., 1947. 359 с.

Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М.： Изд-во иностр, лит., 1948. 316 с.

Eisenhart L. Р. Non-Riemannian geometry. Providence, Rh. I.; AMS, 1972, VIII + 184 p.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4 томах. М.: Наука, т. I , 1965, 700с.; т. II, 1966, 878с.; т. Ill, 1966, 632 с.; т. IV, 1967, 599с.

Ehlers J. — In: Mathematical problems in theoretical physics. Lecture Notes Phys., vol. 153, Berlin: Springer-Verlag,r 1982, p. 411 — 416.

Eriksen E.r Leinaas J. M. — Phys. Scripts, 1980, vol. 22, p. 199 — 202.

Ernst F. J. — J. Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 489 — 493.

Yau S.T., Schoen P. — Commun. Math. Phys., 1979, vol. 65, p. 45—56； Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 1457-1459.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Основные обозначения 5

Глава 1. Анализ на многообразиях и системы отсчета 7

Векторные поля и однопараметрические группы преобразований

Производная Ли

Формы Картана

Элементы римановой геометрии

Геометрия конгруэнций

Геометрия гиперповерхностей

Ли-монадный формализм

Формализм Ньюмена-Пенроуза

Глава 2. Электромагнетизм и гравитация

Вводные замечания

Движение пробных частиц

Напряженности, потенциалы и действие

Уравнения поля и наблюдаемые в ли-монадном формализме

Инварианты и симметричные бесследовые тензоры

Глава 3. Теорема Нётер и законы сохранения

Тождества Нётер

Тензор энергии-импульса

Псевдотензоры и их критика

Одноиндексные сохраняющиеся величины

Хронометрически инвариантная формулировка энергии

Квазигрупповой подход к законам сохранения

Глава 4. Двуметрический подход к теории гравитации 103

Псевдотензор Папапетру ЮЗ

Двуметрический формализм Розена 105

Тензор Папапетру и его связь с тензором Беля— Робинсона 111

Применение тензора Папапетру для конкретных расчетов 113

Глава 5. Системы отсчета одиночного наблюдателя и аитимаблюдателя 115

Система отсчета одиночного наблюдателя 115

Обобщение группы Пуанкаре 120

Система отсчета антинаблюдателя 124

Квазилокальные сохраняющиеся величины 127

Глава 6. Ли-моиадиый подход к проблеме энергии-импульса 130

Энергия островных систем 130

Теорема Нётер и ли-монадный формализм 134

Анализ конкретных полей 137

Ньютоновский предел теории Эйнштейна 141

Глава 7. Асимптотическая структура пространства-времени 144

Причинность, горизонты, бесконечности 144

Энергетические условия, полнота, сингулярности 151

Конформная трактовка бесконечности 153

Анализ пространственной бесконечности 158

Подходы Соммерса и Персидеса 163

Группы асимптотических симметрий 166

Интегральные законы сохранения 175

Список литературы 179

2d入2

Н.В.Мицкевич9 А.П.Ефремов, ▲. И. Нестеров

"%ОЛЕН

теории относительности

ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ

Н. В. Мицкевич, А.П. Ефремов, ▲. И. Нестеров

ДИНАМИКЛПОЛЕЙ

вобщей теорииотносительности

МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1985

УДК 530.145

Мицкевич Н・ В・,Ефремов А. П., Нестеров А. И. Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура. М.: Эиергоатомиздат, 1985. —184 с., ил.

Посвящена изучению и описанию динамических характеристик гра> актирующих систем в общей теории относительности. Приведен критический анализ законов сохранения динамических величин, рассмотрены различные способы определения энергии и импульса полей как наблюдаемых величин, зависящих от выбора системы отсчета наблюдателя в искривленном пространстве-времени, гравитационно-электромагнитная аналогия, а также описание энергии>импульса в каноническом формализме.

Для научных работников: физиков, математиков.

Ил. 23. Библиогр. 169 наименований.

Рецензент Ю. С. Владимиров

Николай Всеволодович МицкевичАлександр Петрович ЕфремовАлександр Ильич Нестеров