Геометрические идеи в теории поля

Континуальный интеграл и геометрия. Основные величины в квантовой теории поля выражаются через континуальные интегралы (Д) = \ Д (Ф)е/5(ф>£)(Ф). Такой интеграл есть не столько объект, вводимый математическим определением, сколько иероглифическая запись целого круга физических и математических идей; запись эта расшифровывается в зависимости от контекста. Ее компоненты несут следующие значения: Ф — совокупность полей теории, А ——оператор, построенный из этих полей; 5(Ф)— функционал действия, чаще всего 、厶(①)d'x (где L — лагранжиан), или аналогичный интеграл по суперпространству; e*s(8)£)(①)一символ некоторой (возможно, б математическом смысле не существующей) меры на функциональном пространстве полей Ф, подчиненных тем или иным начальным, граничным или асимптотическим условиям.

В применении к реалистическим теориям наиболее последовательно проработана схема теории возмущений и диаграмм, позволяющая придавать смысл континуальным интегралам и вычислять их. В этой схеме Ф принято рассматривать как набор функций на пространстве-времени, снабженных тензорными, спинорными и внутренними индексами; последние преобразуются по некоторому представлению группы внутренних симметрий теории. Поскольку группы симметрий основных взаимодействий калибровочные, задание поля его «функциональными координатами» Дй> 範)и т. п. содержит избыточность, которую надо как-то учитывать, например закреплением калибровки. Кроме того, лагранжиан свободного неабелева калибровочного поля содержит самодействие, учет которого в формализме теории возмущений также калибровочно неинвариантен. В диаграммной технике возникают «духи» Фаддеева — Попова, неопределенности Грибова и пр. (см., например, [1]).

Постепенно распространяется трезвая точка зрения, состоящая в том, что в теориях всех взаимодействий (за исключением, возможно, чисто электромагнитного) классические поля Ф образуют сложное нелинейное функциональное пространство, и вычисление с помощью эвристических приемов квантовополевых

средних по нему должно идти по крайней мере рука об руку с углубленным изучением его геометрической структуры и классических нелинейных динамических уравнений. Есть несколько крупных проблем, где эта точка зрения уже стала влиятельной.

Сильные взаимодействия. Первая и, может быть, самая актуальная задача — сильные взаимодействия и конфайнмент (удержание). Общепризнано, что правильной теорией является калибровочная теория Янга — Миллса с цветными полями глюонов и кварков. Ее трактовка по теории возмущений приводит к весьма правдоподобной картине асимптотической свободы на малых расстояниях. Но идея полноты асимптотических состояний рассеяния, заложенная в формализме теории возмущений в его привычном виде, перестает быть адекватной на адронных расстояниях из-за невылетания цвета. Именно для понимания этого невылетания разрабатывается сложная статистико-геометрическая картина сильных взаимодействий. В работах последних лет на первый план выдвигались различные аспекты ее геометрии: а) туннельные процессы, меняющие топологию вакуума (по цветовым степеням свободы), которые квазиклассически описываются евклидовыми полями с конечным действием, как инстантоны, или бесконечным, как мероны; б) картина глюонных струн, соединяющих кварки, где в качестве эффективных полей теории рассматриваются двумерные поверхности в пространстве-времени ——мировые поверхности струны, с действием Намбу или его вариантами; в) идеология динамики петель и контурного интеграла Вильсона, призванная, в частности, вывести струнную картину из картины Янга — Миллса в фазе кон- файнмента [54—57]. Во всех этих аспектах первостепенную роль играет, во-первых, зачастую весьма нетривиальная уже на уровне кинематики структура классических полей Ф, во-вторых, их классическая же динамика, описываемая вариационным уравнением 6S (Ф) =0. Нетривиальность кинематики усугубляется топологическими (какова топология пространства контуров?) и размерностными (б ^-разложении с числом цветов N f оо) характеристиками новых теорий. Они также заставляют по-новому взглянуть на старые проблемы квантованных полей. Например, какова роль перенормируемости, если мы вообще выходим за рамки теории возмущений? Нет ли какого-то особого смысла в том, что метод, которым тЮфт доказал перенормируемость теории Янга — Миллса с полями Хиггса, был методом размерной регуляризации? Все еще повторяемое студентам объяснение, что перенормируемость нужна для возможности расчетов, практически потеряло смысл. Это свойство превратилось б метатеоретический критерий отбора и оценки лагранжианов, как до него — требования симмет- 3乩 .

Квантовая теория поля и гравитация. Кроме всегда существовавшей внутренней потребности ввести гравитационное взаимодействие в «общий рынок» остальных трех взаимодейст^ вий появилось несколько стимулов попытаться сделать это уже сейчас. В теориях великого объединения было сделано интригующее наблюдение о схождении бегущих констант связи снль、 ного и электрослабого взаимодействия в масштабе энергий Ю15 ГэВ. Лишь четыре порядка отделяют этот масштаб от план- ковского, где становятся существенными эффекты гравитации б элементарных актах взаимодействия [11]. Теория квантового рождения частиц в сильных классических гравитационных полях (эффект Хокингаi см. [2]) и ее возможные космологические следствия — другой повод возобновления интереса к этой фундаментальной задаче. Но уже классическая теория гравитации —общая теория относительности — является нелинейной геометрической теорией искривленных четырехмерных многообразий. Квантовые расчеты с таким ансамблем полей Ф не могут быть банальным квантованием малых колебаний.

Суперсимметрия. Третья и последняя крупная проблема, связанная с геометрией, которой мы здесь коснемся, возникла со взрывным развитием суперсимметрии — супергравитации* Как известно, одной из исходных идей было обнаружение того, что имеется новая математическая структура — преобразования суперсимметрии, которые перемешивают бозонные и фермионные поля [8, 13]. В частности, имеется каноническое расшире* ние группы Пуанкаре — супергруппа Пуанкаре, позволяющая строить свободные суперсимметричные теории по образцу классических, преодолев старые результаты о невозможности объединить пространственно-временные и внутренние степени свободы б одной группе симметрий. Наиболее консервативной линией развития здесь является конструкция суперсимметричных лагранжианов с последующим компонентным анализом для интерпретации суперполя как совокупности классических полей разных спинов. С этой точки зрения суперсимметрия выглядит формальным аппаратом для одновременного угадывания системы основных полей и их констант взаимодействий, связанных настолько жестко, что произволу вообще почти не остается места. В этой точке зрения отражена какая-то часть истины, ибо (при определенных оговорках) суперсимметрия действительно с необходимостью приводит к учету сразу нескольких взаимодействий (включая гравитационные), к постулированию целой совокупности фундаментальных полей и к такому набору констант связи, который влечет удивительное сокращение расходимостей—иногда вплоть до трех петель. Другая сторона медали состоит в том, что при попытке прямолинейного отождествления компонент суперполей с привычными полями феноменологии частиц мы получаем одновременно и избыток полей,

и недостаток их； что феноменология требует понимания механизма нарушения суперсимметрии, который не так-то легко ввести, и наконец, что смысл сокращения расходимостей при явной неадекватности теории возмущений «около нуля» в столь сложной геометрии совершенно неясен. Субъективное мнение автора состоит в том, что идея суперсимметрии несет с собой действительно фундаментальное новое проникновение в природу спиновых и внутренних степеней свободы и их связь с пространственно-временными степенями свободы, но старые привычки интерпретации лагранжева формализма пока мешают увидеть все последствия этого.

Об этом сборнике. Предлагаемый читателю сборник переводов призван дать — в первую очередь молодым физикам и молодым математикам — некоторое представление о задачах и аппарате, которые начали формироваться в квантов.ой теории поля в последние годы. В названии сборника поставлено слово «идеи», а не «методы»: мы хотели подчеркнуть этим, что эта область еще недостаточно созрела, чтобы можно было развивать практические методы решения реалистических задач, скажем теории частиц. Система ценностей, с которой теоретическая физика высоких энергий вошла в последнюю четверть века [И], отличается крайним романтизмом: обсуждаемые сейчас картины «великой пустыни》между 103 и 1015 ГэВ, пространственновременной пены в планковских масштабах, или состояния мира через 10~40 с после Большого взрыва, были бы просто неприличны двадцать лет назад.

Первые две статьи сборника, принадлежащие С. Хокингу, излагают увлекательный проект теории квантовой гравитации, приводящий к картине квантовых флуктуаций топологии пространства-времени, при которых единица эйлеровой характеристики приходится в среднем на планковский объем. Интересно мнение Хокинга о роли евклидова режима б этой экстремальной ситуации, когда переход к нему определенно нельзя оправдать стандартной ссылкой на то, что какие-то вакуумные средние будут аналитическим продолжением функций Швингера. В самом деле, большинство искривленных пространств в ансамбле евклидовых гравитационных полей g^v просто не имеют сечений с метрикой лоренцевой сигнатуры. С математической точки зрения эти две работы Хокинга содержат интересные статистические гипотезы о топологии этого ансамбля и указывают оригинальный путь к изучению многомерной броуновской геометрии.

В статьях Прасада и Гиббонса сделан обзор известных классических решений нелинейных уравнений Янга — Миллса и Эйнштейна, которые принадлежат к инстантонному типу. Заметим, что гравитационные инстантоны — это римановы многообразия, удовлетворяющие обычному уравнению Эйнштейна, а

не автодуальному. (Автодуальные комплексные пространства Эйнштейна ввел Пенроуз под названием «нелинейных гравитонов».) Инстантоны Янга — Миллса, напротив, автодуальны.

Остальные статьи сборника, составляющие несколько больше половины его объема, посвящены суперсимметрии и супергравитации. Из обширной, насчитывающей уже около тысячи работ журнальной литературы выбрано несколько статей разных жанров. Обзоры Феррары и Зумино дают общую ориентацию в истории, физическом смысле и перспективах. Статья Becca считается наиболее удачным первоначальным введением в формализм дифференциальной супергеометрии с выводом простейших уравнений супер-янг-миллсовского типа и анализом простой супергравитации. Наконец, еще три статьи имеют в значительной мере математический характер и посвящены прояснению роли кривизны, кручения, тождеств Бьянки и связей в формализме супергеометрии.

Контуры квантовых суперсимметричных теорий (включая супергравитацию) еще только намечаются. Высказываются надежды, что расширенная N = 8-супергравитация будет первой полной единой теорией. Но даже в этом случае список ее фундаментальных полей может иметь лишь непрямое отношение к спектру элементарных частиц, наблюдаемых при доступных энергиях. Поэтому существенно понимать способы увеличения списка частиц, считываемых с лагранжиана. Кроме обычных связанных состояний, голдстоуновских бозонов и фермионов, сюда относятся также частицеподобные решения («монополи») и включающие их связанные состояния. Это подчеркивает многообразную роль классических уравнений движения и б суперсимметрии.

Существенный прогресс в решении нелинейных уравнений теории поля в последние пятнадцать лет связан с методами обратной задачи теории рассеяния (в основном (1 + 1)-мерные модели) и. твисторного преобразования Пенроуза (автодуальные уравнения Янга — Миллса и Эйнштейна в размерности 4). Общей отправной точкой обоих методов является представление подлежащей изучению нелинейной системы в виде условий интегрируемости вспомогательной линейной системы. После этого свойства нелинейной задачи оказываются закодированными в свойствах соответствующей линейной задачи — ее данных рассеяния, матрице монодромии, либо расслоения горизонтальных сечений (последние в методе Уорда—Атьи). Поэтому заметный интерес представляет выявление того обстоятельства, что многие связи и динамические уравнения в суперсимметрии — супергравитации вводятся как условия интегрируемости или могут быть преобразованы к такому виду. Для ориентации математически настроенного читателя мы вкратце изложим одну геометрическую схему, которая может служить общим

исходным пунктом и для твисторной, и для суперсимметрийной картин.

Обобщенные конформные структуры и связности. Следующая геометрическая структура лежит в основе ряда геометрических конструкций в теории поля. Она служит одновременно для порождения динамических уравнений и связей в суперсимметрии и для конструкции их решений, точнее, редукции этой задачи к построению голоморфных расслоений на многообразиях и супермногообразиях или к задачам деформации в стиле Пенроуза [5, 6]. Эта схема включает следующие понятия.

Пусть М — некоторое многообразие или супермногообразие размерности 拉；мы будем писать также п = по|пь если По — число коммутирующих, a ni — антикоммутирующих координат. Например, в обычной теории Эйнштейна п = 4, а в расширенной супергравитации и = 4|4N. Пусть d— некоторая размерность, меньшая чем и, т. е. d=do|di, di ^ п^ Назовем d-конформной структурой на М задание в каждой точке М некоторого многообразия d-мерных касательных подпространств М в этой точке. Пусть 尸一супермногообразие таких подпространств, 冗：尸—>% — его естественная проекция на М.

Если на М задана d-конформная структура, то d-связность ю на ней называется d-мерное распределение на 尸，т. е. задание такого семейства d-мерннх касательных пространств к 尸，что проекция с помощью л такого пространства из точки у на 尸 в точку х на М совпадает с пространством, которое представлено точкой у.

в. Понятие d-связности на конформной структуре не совпадает с известными определениями, скажем аффинной связности. Можно доказать, что тем не менее при естественных условиях d-связность можно описывать коэффициентами Гдвс (Л, В, С — суперпространственные индексы), которые, однако, подчинены разнообразным условиям симметрии, обращения в нуль определенных компонент и т. п. Эти условия систематически выводятся из геометрических свойств F. Связи в супергравитации (по крайней мере часть их) можно сформулировать как условия интегрируемости одной или нескольких d-связностей, заданных на суперпространстве М.

г. Важные классы d-связностей возникают при искривлении 《плоских» d-связностей. Чтобы ввести это последнее понятие, рассмотрим супергруппу Ли G и три ее подгруппы 〃也 "尸，班, причем Hf содержится в Нм и Hl. Положим далее М = G/H^ F = G/HF, L = G/"l и используем слои естественной проекции FfL для задания одновременно d-структуры на М и интегрируемой d-связности на ней, где d — размерность Hl/Hf, (Чтобы это можно было сделать, нужно, чтобы эти слои имели нуль-мер- ное пересечение со слоями проекции л:尸一> М? точнее, чтобы

отображение F-^L X Л1 было замкнутым вложением супермногообразий.)

Искривлением плоской d・конформной структуры G/HF-^ -> G/Нм называется такое отображение F-^M, которое в каждой точке устроено так же, как соответствующее плоское.

Пусть, например, G = S0(〃，2), n N 2； выберем в пространстве Т фундаментального представления G изотропный (1, 2)- флаг, т. е. нулевой луч, содержащийся в нулевой плоскости. Обозначим через Нм,"工,HF малые группы луча, плоскости и всего флага соответственно. Здесь d = 1, и наша 1-конформная структура на квадрике М = G/HM есть обыкновенная конформная метрика, заданная конусами нулевых направлений в каждой точке. Искривлением плоской 1-конформной структуры будет обычная конформная структура. .

Заметим, что при d = 1 нетривиальных условий интегрируемости нет. При п = 4, d = 2 в комплексном пространстве* времени с конформной структурой можно, однако, определить две разные 2-конформные структуры и связности, отвечающие двум системам нулевых плоскостей в касательном пространстве каждой точки. Интегрируемость 2-связности, отвечающей любой из них, есть условие автодуальности (или антиавтодуальности) конформной метрики, определяющее нелинейные гравитоны Пенроуза.

Опишем более детально несколько основных примеров. Для краткости будем работать лишь с комплексными группами. Чтобы получить вещественные пространства с метрикой лоренцевой или евклидовой сигнатуры, следует перейти к их вещественным формам.

Твисторное преобразование： автодуальный случай. Положим G = SL(4, С), Т = С4 — пространство фундаментального представления G, М = G/HM = F(2, Т) —грасманиан двумерных подпространств в Т;尸=尸(1, 2; Т)— пространство (1, 2) * флагов в Т. Здесь Т — твисторное пространство Пенроуза, М — компактная комплексная модель пространства Минковского; она содержит одновременно вещественное пространство Минковского, пополненное бесконечно удаленным световым конусом, и евклидово сечение S4, пополненное бесконечно удаленной точкой. Обычная конформная структура на М определяется тем, что М допускает вложение в виде квадрики Плюккера в С6-про- странстве бивекторов 7. Плоская 2-конформная структура определяется проекцией 尸=尸(1, 2; T)-^L = F(\, T) = СР3; здесь L — проективное твисторное пространство.

Искривленная 2-конформная структура с интегрируемой 2-конформной связностью на многообразии М — это геометриче* с кое описание комплексного решения уравнений Эйнштейна с космологической константой и антиавтодуальным тензором Вейля. Соответствующие кривые твисторные пространства L

можно строить как деформации областей, заметаемых комплексными прямыми, б СР3 (см. [5, 6]).

Помимо проблематичной роли таких пространств в качестве квантовых нелинейных гравитонов имеется весьма интересная и нетривиальная их интерпретация в общей теории относительности, где они возникают как 捲-пространства [26, 27], связанные с гравитирующей нестационарной изолированной системой. Известно, что при наличии выходящего гравитационного излучения соответствующее пространство хотя и является асимптотически плоским, но его кривизна вдоль нулевых направлений будущего спадает слишком медленно, чтобы можно было определить асимптотическую группу Пуанкаре. Вместо этого можно попытаться охарактеризовать асимптотическое поведение гравитационного поля системой «хороших сечений» комплексифи- цированной будущей нуль-бесконечности С/+. В плоском случае это просто сечения бесконечно удаленного светового конуса конусами конечных точек, так что пространство таких сечений есть пространство Минковского. В асимптотически плоском случае эти сечения характеризуются обращением в нуль асимптотического комплексного шира (shear), и их система представляет собой комплексное автодуальное «^-пространство.

Большей популярностью пользуются евклидовы автодуальные поля Янга—Миллса на R+ в частности два их класса, различающиеся асимптотическими условиями, — инстантоны и монополи. Их описание и обсуждение физического смысла можно найти в статье 3 этого сборника, принадлежащей Прасаду. Уравнение автодуальности 尸卩v = «F^v равносильно интегрируемости связности 力卩 вдоль одной из двух систем нулевых поверхностей в комплексификации R3 и любое его решение кодируется по Атье и Уорду голоморфным векторным расслоением над пространством нулевых поверхностей в 1, которое является некоторой областью в СР* в частности всем СР3 для инстантонов и СР3 — СР】 для монополей. Слоем этого расслоения является пространство горизонтальных сечений векторного расслоения, на котором 4 卩 является связностью.

К моменту, когда был написан обзор Прасада, конструкция всех таких расслоений была проведена алгебро-геометрическими средствами для инстантонов, но для монополей с произвольным топологическим зарядом эта задача оставалась открытой. В самое последнее время б ней произошел решительный сдвиг (см. работы [15—18]). Особенно прояснила структуру St7(2)-монополей работа Н. Хитчина [17]. Оказалось, что анзац Атьи — Уорда (см. статью Прасада), не давший удачных результатов в теории инстантонов, очень хорошо приспособлен для монополей. Дело в том, что настоящим геометрическим параметром в таком анзаце является некоторая алгебраическая кривая в СР3. Для удовлетворения инстантонных граничных условий эти кри-

вые нужно выбирать очень специальным образом, и этот выбор крайне неоднозначен. Напротив, любому монопольному решению уравнения автодуальности такая кривая отвечает вполне однозначно. Именно, фиксируем пространственное сечение & и uR4 H рассмотрим многообразие ориентированных прямых в нем. Параметризуя прямую ее направлением и вектором расстояния до начала, мы без труда, обнаруживаем, что это многообразие есть комплексная алгебраическая поверхность — касательное расслоение к CPL Теперь рассмотрим вдоль каждой прямой связность, отвечающую данному монополю, и построим множество тех прямых, над которыми эта связность допускает горизонтальное сечение, интегрируемое с квадратом. Оно является алгебраической кривой, и соответствующий анзац Атьи — Уорда дает исходный монополь. В работе Нама [18] к задаче конструкции монополей для любой простой компактной группы применяется техника, успешно использованная в теории инстантонов.

Твисторное преобразование: неавтодуальный случай. Здесь по-прежнему G = SL (4, С), М =歹 ⑵ Т),尸=尸(1, 2, 3; T), L = F(l, 3; T). Ha Af эта структура является 1-конформной, что не приводит ни к каким уравнениям типа гравитации. Преобразование Пенроуза можно провести над любым полем Янга — Миллса и получить голоморфное расслоение над областью в L и Срзх Срз = F(l; Т)Х ^(3; Т): Способ закодировать вакуумные уравнения Янга—Миллса в терминах расслоения £工 был предложен независимо в работах Айзенберга, Грина, Яс- скина (см. [5]) и Виттена [22]: выполнимость этих уравнений равносильна возможности продолжить Ее на третью инфинитезимальную окрестность L. Развитие этой идеи привело к установлению того, что динамические уравнения полного лагранжиана Янга — Миллса с массивными фермионами и полями Хиггса допускают аналогичное перекодирование [20]. Недавно эту технику удалось использовать для конструкции новых точных решений классических уравнений.

В работе Виттена [22] содержится также предложение использовать аналогичное суперсимметричное преобразование. В рамках нашей конструкции это выглядит так.

Суперсимметричные ^-конформные структуры. По-прежнему ограничиваясь комплексными супергруппами, рассмотрим два способа вводить фермионные координаты на пространствах предыдущего пункта: они отвечают группам GL(4|N) и 戶⑶ (в обозначениях работы [46] последняя группа есть группа симметрий нечетной антисимметричной формы на С4[4).

Первому способу отвечает пространство суперфлагов М = =尸(2|0, 2|N; C’W). в силу этой реализации на М есть несколько интересных d-конформных структур. Для первой из ник 尸=尸(110, 2[0, 21M 3[N; OW), l" =尸川0, 31N; c4^);

здесь d = 1 \ 2N. Нулевые геодезические приобретают 2N дополнительных фермионных измерений, в силу чего условия интегрируемости вдоль них перестают быть тривиальными и при "=3, 4 в существенном совпадают с суперсимметричными уравнениями Янга — Миллса на М. Обычные вакуумные уравнения Янга — Миллса являются редукциями этой большой системы, отвечающей нулевым значениям всех лишних компонент суперполя. На языке пространства нулевых супер геодезических " это отвечает тому, что Л3 допускает проекцию на третью инфинитезимальную окрестность L.

Еще одна d-конформная структура на М получается с использованием двух проекций: А1->尸(2|0; C4>v) = Ml и М -> 尸(2|N; C4w)= m&. Размерность слоев этих проекций равна 0|2N; таким образом, в каждой точке М заданы два 012MMeр- ных касательных пространства. При N = 1 интегрируемое искривление этой структуры локально равносильно реализации М в качестве кривого вложения в MrX MRi т. е. заданию препотенциала 捲m по Огиевецкому — Сокачеву [28—31] и Зигелю — Гэйтсу. Дополнительное условие интегрируемости нулевых супергеодезических, т. е. 1 |2-конформной структуры, производной от исходной, ведет к условиям на 捲加，связь которых с динамическими уравнениями N= 1 -супергравитации еще подлежит исследованию.

Интегрируемость суперполя Янга — Миллса вдоль этой 012- структуры равносильна положению связей Fa^ = F^ = 0.

Использование группы 戶(3, С) б качестве основной группы суперсимметрии приводит к М = F/(2| 2, С^) (пространство изотропных 212-плоскостей в супервекторном пространстве с нечетной антисимметричной формой) и к 1 ] 1-конформной структуре на М, отвечающей 尸=尸/(1|1, 2|2; С4*4) и L=F/(1 ] 1, C4i4). Можно надеяться, что ее будет легче применить к изучению обычного вакуумного уравнения Янга — Миллса, поскольку геометрия здесь обладает значительным сходством с геометрией автодуальной (несуперсимметричной) ситуации. В применении к самому пространству-времени М эта структура обладает необычными свойствами, поскольку ее нечетные координаты с точки зрения представлений группы Лоренца являются бозонами: они образуют 5А(2)д-триплет и SL(2) /^-синглет. Для введения полуцелых спинов следует использовать суперспинорное расслоение, которое здесь имеет размерность 212: нарушение пространственной четности сказывается в том, что обычные левые и правые спиноры входят в это объединенное расслоение с противоположной 《внутренней》 четностью. Конечно, можно написать соответствующее суперсимметричное уравнение Дирака и т. п. Искривление этой картины приводит к экзотической модели супергравитации с нарушенной пространственной четностью.

О списке литературы. Предлагаемый список литературы для дальнейшего чтения не претендует на полноту ни по какому критерию. Преимущественно отбирались работы последних лет, обзорные, учебные, содержащие свежие результаты или идеи, которые могут оказаться важными. Список разбит на группы, соотносимые с тематикой этой книги, которая в какой-то мере продолжает линию, начатую в книгах [1, 2].

Раздел «Сборники и обзоры» не нуждается в комментариях. В статьях, использующих твисторную технику, представлены следующие темы. В работах [15—18], как уже упоминалось, достигнут существенный прогресс в описании монополей с любым зарядом алгебро-геометрическими средствами. Статьи [19—22] посвящены развитию твисторной техники в разных направлениях—выяснению ее применимости к более общим, чем автодуальность, уравнениям, когомологическим аспектам. Работы [14, 26, 27] посвящены автодуальным пространствам Эйнштейна. В статьях [23—25] поставлена и значительно продвинута задача вычисления однопетле вых поправок на инстантон- ном фоне.

Работы [28—31] содержат систематическое изложение N = 1-супергравитации в наиболее удачной, как сейчас представляется, геометрической форме. В работах [36—41] можно найти описание других подходов. В статьях [32] и [33] пред* лагаются попытки интерпретации следствий из суперсимметрии при доступных сейчас энергиях; статьи [34, 35] посвящены диаграммной технике. Эти работы лишь небольшое добавление к сотням работ по суперсимметрии и супергравитации, цитированным в сборниках и обзорах [3, 4, 8], к которым должен обратиться читатель, чтобы представить себе характер активности в этой области по 1980 г. Математических работ по супердифференциальной геометрии пока немного; статьи [42—48] образуют вполне представительную выборку и могут быть использованы в качестве начальных учебных руководств.

Последние ссылки в списке отсылают к работам по вкратце упомянутым, но не представленным в сборнике темам. В работах [49—53] изложено решение старой проблемы положительности энергии изолированной системы в ОТО. По статьям [54—57] можно познакомиться с динамикой петель.

Я глубоко признателен Л. Б. Окуню и В. И. Огиевецкому за внимание, уделенное этой книге и мне. Первый решил, что такой сборник должен быть издан, и преодолел слабое сопротивление его будущего редактора, а второй фактически отобрал статьи 5—11. Конечно, ответственность за все недостатки издания лежит на мне. Труднее всего предотвратить быстрое старение сборника журнальных статей. Геометрия служит некоторым консервантом для скоропортящейся физики. Математику приятно

сознавать, что геометрические идеи Римана, Эйнштейна, Гер- мйна Вейля и Эли Картана по-прежнему работают в фундаментальной физике.

Ю. И. Манин

ЛИТЕРАТУРА

Сборники и обзоры

L Квантовая теория калибровочных полей: Сб. статей. — М.: Мир, 1977. ■ 2. Черные дыры: С б. статей. — М.: Мир, 1978.

Super gravity, Proc, of the Supergravity Workshop at Stony Brook, 27—29 Sept, 1979, North-Holland, Amsterdam — New York — Oxford, 1979.

Superspace and Super gravity, Proc, of the Nuffield Workshop, Cambridge. June 16 — July 12，1980, Cambridge University Press, 1981.

Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics, Pitman, San Francisco —London — Melbourne, 1979.

Advances in Twistor Theory, Pitman, San Francisco — London — Melbourne, 1979.

Eguchi T., Gilkey P. B., Hanson A. J.，Gravitation, Gauge Theory and Differential Geometry. — Phys. Rep., 1980, v. 66, p. 213.

van Nieuwenheuzen P., Supergravity. — Phys. Rep., 1981, v. 68, p. 189.

Isham C.几 Quantum Gravity — an overview, Preprint ICTP/79-80/36, 1980.

Gell-Mann M.t Closing remarks at the Jerusalem Einstein Centennial Symposium, Preprint TH 2855-CERN, 1980.

Окунь JI. 5, Современные состояние и перспективы физики высоких энергий.—УФН, 1981, т. 134, с. 3.

Переломов Л. М. Решения типа иистаитонов в киральных моделях.— УФН, 1981, т. 134, с. 577.

Огиевецкий В. Я., Мазинческу Л. Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя. — УФН, 1975, т. 117, с. 637.

Teucropui люнопом и инстантоны

Ward R. S., Self-Dual Space-Times with Cosmological Constant. — Comm. Math. Phys., 1980, v. 78, p. 1.

Ward R. S・，Ansatze for Self-Dual Yang-Mills Fields. — Comm. Math. Phys., 1981, v. 80, p. 563.

Corrigan 左，Goddard P., An Monopole solution with 4n—1 Degrees of Freedom. — Comm. Math. Phys., 1981, v. 80, p. 575.

Hitchin N.丄，Monopoles and Geodesics, Preprint Oxford Univ., 1981.

Nahm 呪，All Self-Dual Multimonopoles for Arbitrary Gauge Group, Preprint TH 3172-CERN, 1981.

Eastwood M. G・，Penrose R・，^ells R O. — Comm. Math. Phys., 1981, v. 78, p. 305.

Henkin G. M, Manin У a. /., Twistor description of classical Yang-Mills-Dirac fields. — Phys. Lett., 1980, v. 95B, p. 405.

2L Ferber Л., Supertwistors and conformal supersymmetry. — Nucl. Phys., 1978, v. B132, p. 55,

bitten £., An interpretation of classical Yang-Mills theory. — Phys. Lett., 1978, v. 77B, p. 394.

Belavin А. Д., Fateev V. Л.. Schwartz 4 S., Tyupkin У a. S., Quantum fluctuations of multi-instanton solutions. — Phys. Lett., 1979, v. 83B, p. 317.

Schwartz A. S., Instantons and Fermions in the Field of Instanton.— Cotnm. Math. Phys., 1979, v. 67, p. I,

Schwartz A. S., Instantons and Fermions in the Field of Instanton.— Comm. Math. Phys., 1979, v. 64, p. 233.

Hansen R. O, Newman E.「，Penrose R, Tod К. P., The metric and curvature properties of ^-space. — Proc. Roy. Soc. Lond., 1978, v. A363, p. 445.

Le Brun C.,宓трасе with a cosmological constant, Preprint Oxford, 1981.

Суперсимметрия u супергравитацая

Гольфанд Ю. 4, Лихтман Е. /7., Письма ЖЭТФ, 1971, т. 13, с. 452.

Огиевецкий В. Я., Сокачев Э. С. Простейшая группа супергравитации Эйнштейна.—Ядерная физика, 1980, т. 31, с. 264;

Огиевецкий В. 〃.，Сокачев Э. С. Гравитационное аксиальное суперполе и формализм дифференциальной геометрии. — Ядериая физика, 1980, т. 31, с. 821.

Огиевецкий В. Я., Сокачев Э. С. Нормальная калибровка в супергравитации.—Ядерная физика, 1980, т. 3 2, с. 862.

Огиевецкий В.力.,Сокачев Э. С. Кручение и кривизна в терминах аксиального суперполя. — Ядерная физика, 1980, т. 32，с. 870.

Dlmopoulos S., Georgi H.t Softly broken supersymmetry. Preprint HUTP- 81/A022, 1981.

Weinberg S., Supersymmetry at ordinary energies. I: Masses and conservation laws, Preprint HUTP-81/A047, 1981.

Grisaru 〃： T., Siegel 呪，Super gravity； Part I： Background Field Formalism, Preprint Calt-68-816, 1981.

Tarasov O.匕，Vladimirov A. 4. Three-loop calculations in non-abelian gauge theories, Preprint J1NR E 2-80-483, 1980.

Theory-Mieg /., Morel B., Superalgebras in Exceptional Gravity, Preprint HUMTP 80/B100, 1980.

DlAdda 4, Dauria R・，Ргё P., Regge T.t Geometrical Formulation of Supergravity Theories on Orthosympletic Supergroup Manifolds. — Rivista del Nuovo Cimento, 1980, v. 3, No 6, p. 1.

D'Auria R, Pre P., Regge Г., Graded-Lie-Algebra Cohomology and Supergravity.—Rivista del Nuovo Cimento, 1980, v. 3, No 12, p. 1.

Julia 瓦 Infinite Lie Algebras in Physics, Preprint IPTENS 81/14, 1981.

Schwartz A. £，Are the Field and Space Variables on an Equal Footing? Preprint ITEP-2, 1980.

Gayduk A. V.t Romanov V. M, Schwartz A. S., Supergravity and Field Space Democracy, Preprint ITEP-136, 1980.

Математические аспекты суперсимметрии

Лейтес Д. А. Введение в теорию супермногообразий. — Успехи мат. наук, 1980, т. 35, № 1, с. 3.

Бернштейн И.比 Лейтес Д. А. Интегральные формы и формула Стокса на супермногообразиях. — Функц. анализ и его приложения, 1977, т. 11, № 1, с. 55.

Бернштейн 〃. ".，Лейтес Д. А. Как интегрировать дифференциальные формы на супермиогообразиях. — Функц. анализ и его приложения, 1977, т. 11, № 3, с. 70.

Березин Ф. 4 Супермногообразия, 7-я школа физики ИТЭФ, вып. 1. —М.: Атомиздат, 1980.

Кас V. 6., Lie Superalgebras, Advances in Math., 1977, v. 26, No 1, p. 8.

Кас V. G., Representations of classical Lie superalgebras. — Springer Lecture Notes in Math., 1978, No 676, p. 597.

Ko st ant B., Graded Manifolds, Graded Lie Theory and Prequantization.— Springer Lecture Notes in Math., 1977? No 57a

Положительность массы, динамика петель

Schoen R, У an Sh.-T.t On the Proof of the Positive Mass Conjecture in General Relativity. — Comm. Math. Phys., 1979, v. 65, p. 45.

Schoen R.、Yau Sc.-Г., On the Proof of the Positive Mass Conjecture, II. Preprint Univ. California, 1981.

Schoen R., Yau Sc.-T., The Proof of the Positivity of the Bondi Mass, Preprint Univ. California, 1981.

Witten E, A sjmple Proof of the Positive Energy Theorem, Preprint Princeton, 1981.

Фаддеев Л. Д. Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна, Препринт ЛОМИ Р-8-81, 1981.

Polyakov A. M.t Quantum Geometry of Bosonic Strings. Quantum Geometry of Fermionic Strings. — Phys. Lett, 1981, v. 103B, p. 207; 211.

Макеенко Ю. M., Мигдал А. А. Квантовая хромодинамика как динамика петель. —Ядерная физика, 1980, т. 32, с. 838.

Makeenko Уu. М., Loop Equations in Gauge Theory: Results and Perspectives, Preprint ITEP-66, 1981.

Makeenko Уи. M” Migdal A. 4, Dynamics of loops: Asymptotic freedom and quark confinement, Preprint ITEP-170, 1980.

Fradkin E S., Tseytlin A. 4, Quantization of two-dimensional supergravity and critical dimensions for string models. — Phys. Lett., 1981, v. 106B,

Евклидова квантовая теория гравитации

С. У. Хокинг

Hawking S. W. 1)——in: Recent developments in gravitation, Carges, 1978

Введение

В этих лекциях я намереваюсь описать подход к квантовой теории гравитации, использующий континуальные интегралы в евклидовом режиме, т. е. по положительно определенным метрикам. (Строго говоря, термин «риманов режим» был бы более подходящим, но эпитет 《риманов》порождает нежелательные ассоциации.) Обоснованием для выбора такого режима служит убеждение в том, что в квантовой теории существенную роль играют топологические свойства гравитационных полей. Попытки квантования гравитации без учета топологических возмож^ ностей, простым построением диаграмм Фейнмана, соответ^ ствующих возмущениям в окрестности плоского пространства, не увенчались особым успехом: оказалось, что при таком под^ ходе возникает бесконечная последовательность неопределенных параметров перенормировки. Более благоприятная ситуация складывается в теориях супергравитации: неопределенные параметры перенормировки возникают как будто только в трехпетлевом и старших членах разложения вблизи плоского пространства, но, как я покажу ниже, возмущения топологически нетривиальных метрик приводят к появлению неопределенных параметров даже на уровне однопетлевых членов [1, 27].

Мне кажется, что причина неудач кроется не в самих тео^ риях чистой гравитации или супергравитации, а в некритическом применении к ним теории возмущений. В классической общей теории относительности мы обнаружили, что теория возмущений применима лишь в ограниченных пределах. Черную дыру невозможно описать как возмущение в окрестности плоского пространства. Между тем построение цепочки диаграмм Фейнмана эквивалентно именно такому описанию. На техническом уровне первопричину неприменимости теории возмущений можно усмотреть в том, что «свободная» квадратичная часть действия б общей теории относительности в отличие от теории Янга — Миллса или квантовой электродинамики не ограничивает старшие члены, описывающие «взаимодействие». Свободное

】)University of Cambridge, D.A.M.T.P., Silver Street, Cambridge, England, © Plenum Press

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

действие налагало бы ограничения на такие члены, если бы в действие были введены дополнительные члены, квадратичные по кривизне. Но такого рода добавки изменяют сущность теории и приводят к уравнениям четвертого порядка, тахионам и «дУхам》，хотя, как я покажу, их можно использовать в качестве членов, задающих конформную калибровку.

Должен признаться, что у меня нет готового ответа на вопрос о причинах неприменимости разложения по теории возмущений* Однако, подобно человеку, пытающемуся найти ключ под уличным фонарем только потому, что это — единственное место, где имеется хоть какой-то шанс найти его, я полагаю, что если ответ существует, то он должен быть связан с топологической структурой гравитационного поля. Я выбираю подход, основанный на использовании континуальных интегралов, так как считаю его единственным подходом, пригодным для решения то пологических вопросов* Чтобы взять континуальные интегралы для негравитационных полей в плоском пространстве-времени, обычно ось времени подвергают повороту Вика, заменяя / на —it. При этом пространство Минковского с лоренцевой метрикой (сигнатура ——НН--1-) переходит в евклидово пространство (сигнатура +Н~"I--F)- Такое преобразование принято производить, в частности, потому, что оно улучшает сходимость континуального интеграла. Например, для скалярного поля ф континуальный интеграл в пространстве Минковского имеет вид

Jz)[(p] exp(z7 [ф]), (1.1)

где。[屮]——мера на пространстве всех конфигураций поля ф, а / [ф]——действие поля ф. Для вещественных полей на вещественном пространстве Минковского этот интеграл осциллирует и не сходится. Но если выполнить поворот Вика в евклидово пространство, то континуальный интеграл переходит в интеграл

j/)[(p]exp (— 7[(р]), (1.2)

где 7 [ф]==—〃[屮]——«евклидово» действие поля 屮，вещественное для полей ф, вещественных на евклидовом сечении комп- лексифицированного пространства-времени. Так как действие / обычно положительно определено, сходимость континуального интеграла от всех таких полей улучшится. Продолжив аналитически выражение для него, можно вернуться в пространство Минковского. Это аналитическое продолжение автоматически включает понятия положительной частоты и хронологического упорядочения. Например, пропагатор Фейнмана

<0|Г(р(х)ф(//)|0) . (1.3)

обладает положительной частотой по / = х° ——у* т. е. голоморфен в нижней полуплоскости, при Ref>0, и отрицательной

частотой, т. е. голоморфен в верхней полуплоскости, при Re /<0. Следовательно, этот пропагатор голоморфен на евклидовом пространстве, которое получается при повороте оси времени на 90° по часовой стрелке в комплексной плоскости. А4ожно даже принять точку зрения, согласно которой квантовая теория (а в действительности вся физика) реально определена в евклидовой области и лишь особенности нашего восприятия приводят нас к ее интерпретации в лоренцевом режиме.

Я считаю, что аналогичный евклидов подход следует принять в квантовой теории гравитации и в супергравитации. Ра^ зумеется, недостаточно просто заменить координаты времени мнимыми величинами, так как в общей теории относительности не существует выделенной системы координат времени. Я думаю, что вместо этого континуальные интегралы следует брать по всем положительно определенным метрикам, большинство из которых не допускает сечения с вещественной и лоренцевой метрикой, а затем в случае необходимости переходить к аналитическим продолжениям получившихся континуальных интегралов. Чтобы ограничить континуальный интеграл положительно определенными метриками и исключить интегрирование по метрикам с лоренцевой или ультрагиперболической сигнатурой, по-видимому, следует интегрировать не по компонентам метрики gab, а по компонентам тетрады е“亦 Последнюю можно рассматривать как квадратный корень из метрики:

gab^emaebm. (1-4)

Пространственно-временные индексы а,瓦…поднимаются и опускаются с помощью метрики gab и gm а тетрадные индексы ш, п, ... поднимаются и опускаются с помощью евклидовой метрики 6тл и 6тл, поэтому группой вращений тетрад служит не обычно используемая группа Лоренца SO(l, 3), а группа SO(4) = SU(2)XSU(2)/Z2・

Метрика gab, заданная соотношением (1.4), при произвольных вещественных ej положительно полуопределена и вырождается, если det(eam) = 0. Я считаю, что такие вырожденные метрики необходимо включать в континуальный интеграл. Именно они позволяют совершить непрерывный переход от одной топологии пространства-времени к другой. Ниже я еще вернусь к этому вопросу.

Тетрады существенны и при рассмотрении фермионных полей. Я буду использовать двухкомпонентные спиноры, но в положительно определенной, а не в обычной лоренцевой метрике. В лоренцевом случае мы имеем спиноры 九斗 без штрихов, преобразующиеся по группе SL(2, С), и спиноры 卩火 со штрихами, преобразующиеся по комплексно-сопряженной группе SL(2, С). Операция комплексного сопряжения превращает нештрихованные

спиноры в штрихованные и наоборот, так что 3v — штрихованный спинор. При аналитическом продолжении на положительно определенную метрику спиноры со штрихами и без штрихов преобразуются по независимым группам SU (2) и 历(2). Операция комплексного сопряжения теперь переводит спиноры без штрихов в спиноры без штрихов, спиноры со штрихами в спиноры со штрихами и либо повышает индекс, либо опускает индекс и меняет знак. Величины, комплексно-сопряженные в лоренцевом случае, например спиноры Вейля ^abcd и ^abc^d^ аналитически продолжаются в евклидову область как независимые поля Wabcq и ^abc^d^ Это позволяет иметь метрику, в которой ^abcd ¥= 0, но ^a/bcd==0. Такая метрика конформно автодуальна, т. е.Cabcd = "Cabcd^^-eabefCefcd- Если спинор Риччи Фавс^^ и скаляр кривизны А также равны нулю, то метрика автодуальна: R«阮& = *Rabm

В лоренцевой метрике 4-спинор Дирака *ф можно представить в виде вектора-столбца из двух двухкомпонентных спиноров:

Г：2)・ (L5)

Сопряженному полю @ в этом представлении соответствует вектор-строка:

Q=(im, У)・(1.6)

При переходе в евклидово пространство 4-спинор и сопряженный ему 4-спинор становятся независимыми полями if и $, которые описываются четырьмя независимыми двухкомпонентными спинорами 九а，ХА，, рд/ и рА В лоренцевом пространстве 4-спинор 屮 Майораны можно представить вектором-столбцом:

При переходе в евклидову область спинору Майораны соответствуют два независимых двухкомпонентных спинора р^ и 0( Таким образом, вопреки довольно распространенному утверждению со спинорами Майораны можно работать и в евклидовом режиме.

Действие для гравитационного поля обычно выбирают в виде.

/=击\R(一加/"%・(L7)

Я буду использовать единицы, в которых G — с — h = \. При выполнении поворота Вика в евклидову область элемент объема

(—g)% переходит в —i(g)%・ Следовательно, евклидово действие будет иметь вид

f=^HR(g)'5(1-8)

Но это действие содержит вторые производные метрики, от которых необходимо избавиться интегрированием по частям, чтобы получить действие, квадратичное по первым производным метрики, как и требуется в подходе, основанном на использовании континуальных интегралов. В результате мы получаем поверхностный член, которым часто пренебрегают, хотя он оказывается весьма важным [2, 3]:

7= 一 击\R值)"办一急^他产剧+ a (1.9)

где h ——метрика, индуцированная на границе, К ——след второй квадратичной формы границы той области, по которой вычисляется действие, С — произвольная постоянная, которая может зависеть от метрики h, индуцированной на границе, но не от метрики g внутри области. Если метрика h на границе такова, что граница допускает вложение в плоское пространство, то постоянную С естественно выбрать так, чтобы действие обращалось в нуль, когда g ——плоская метрика. Однако не все метрики й на границе допускают даже локальное вложение в плоское пространство. К тому же существование такой жесткой границы не очень физично. Учитывая это, я перечислю способы, позволяющие исключить поверхностный член и рассматривать только компактные многообразия.

Я буду говорить в основном о евклидовом подходе к чистой гравитации, но эти идеи могут быть распространены и на супер- гравитацию. Например, суперпространство S, вероятно, можно рассматривать как расслоение над пространственно-временным многообразием М (база расслоения) с грасмановым слоем. Координаты 窃儿仔从‘ слоя представляют собой евклидов вариант спинора Майораны. Евклидовы методы впервые (и пока наиболее успешно) были применены к изучению тепловых свойств черных дыр. Поскольку многое на эту тему уже было опубликовано, я лишь кратко перечислю основные идеи и результаты. Затем я изложу содержание еще не опубликованной работы по гравитационному вакууму и закончу описанием объемного канонического ансамбля, служащего удобным инструментом при рассмотрении пенообразной структуры пространства-времени.

Тепловые свойства

Статистическая сумма, или производящий функционал, Z[p] для теплового канонического ансамбля в случае скалярного

поля 屮 в плоском пространстве-времени при температуре Т = =尸 определяется как

z [用=§ ® I ехр (- ря)| 必〉， (2.1) где |фл> ——полный ортонормированный базис состояний для поля <р. Статистическую сумму Z можно представить и в виде континуального интеграла

2[Р] = $П[ф]ехр(-7[ф]), ' (?.2) который берется по всем конфигурациям поля ф, вещественным в евклидовом пространстве. и периодическим с периодом § по евклидовой координате времени (т. е. периодическим по мнимому времени Минковского). Аналогичное представление статистическая сумма допускает и для бозонных полей с высшими спинами, но в случае полей с калибровочными степенями свободы, чтобы исключить нефизические степени свободы, необходимо включить духи Фаддеева — Попова. В аналогичном виде можно представить и статистическую сумму для фермионных полей, хотя в этом случае поля должны быть антипериодическими, т. е. изменять знак на обратный всякий раз, когда евклидова координата времени получает приращение р.

Было бы естественно определить аналогичным образом и статистическую сумму для теплового канонического ансамбля в случае гравитации.

Бесконечный объем тепловых гравитонов с бесконечной массой приводит к возникновению инфракрасных расходимостей. Чтобы избежать их, заключим систему, например, в сферический ящик радиуса го с идеально отражающими стенками. Разумеется, такая изоляция нефизична: невозможно изготовить жесткий ящик с идеально отражающими стенками для электромагнитного излучения, не говоря уже о гравитационном излучении. «Создание» такого ящика приводит к трудностям вблизи стенок, но я пока не буду обращать на них внимание.. Мировая трубка сферического ящика, факторизованного с периодом § по евклидовой координате времени, определяет трехмерное многообразие дМ с топологией S^XS^ и положительно определенной метрикой h—произведением стандартной метрики 2-сферы радиуса го и одномерной метрики на окружности длины р. Статистическая сумма Z[p] для гравитационного поля при температуре Т = и в сферическом ящике задается континуальным интегралом по всем метрикам g на всех многообразиях М, имеющих дМ своей границей и индуцирующих на дМ метрику й.

Можно ожидать или по крайней мере надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики, KOCTaTQRHQ близкие к основной метрике @о, экстремизирующей

действие, т. е. дающей решение классических полевых уравнений с заданными граничными условиями.

Действие можно разложить в ряд Тейлора относительно основной метрики go：

f [g] = / [go] +/2 [go，g] + члены более высокого порядка, (2.?) где g = go + g, а член /2 квадратичен по возмущениям 取 Тогда In Z = —I[go] + In ^ D [g] exp (— 1^ + члены более высокого

порядка. (2.4;

Первый член можно рассматривать как вклад в In Z основной метрики, а второй, «однопетлевой», член ——как вклад тепловых гравитонов на фоне основной метрики. Меру D [用 для однопетлевого члена можно представить в виде

。囿=q fxda“n-%,(2.5)

где р. — нормировочная величина, или регуляризатор, а ал — коэффициенты в разложении возмущения g по собственным функциям эллиптического оператора второго порядка Л, определяющего /2, т. е.

g =(2.6)

где

4 cp/I =九九9典，⑵7)

I2=\gAg(g0)'lldix.(2.8)

Формально однопетлевой член L определяется следующим образом [4]:

L — det (n-20)

(det (卩一2(% + В)))%，(.)

где В — оператор, фиксирующий калибровку, а С — оператор духов. Число собственных значений (W 九)оператора такого типа N(九)допускает асимптотическое разложение

N g=Z Pg"・(2.10)

Л «* 0

Коэффициент Ро пропорционален произведению 4-объема фоновой метрики и числа компонент поля, на которое действует оператор. Коэффициенты Рп при старших членах представляют собой полиномы по метрике, кривизне и ковариантным производным кривизны (эти полиномы Рп имеют степень 2п по производным метрики). Следовательно, однопетлевой член сильно

расходится. Различные схемы регуляризации по существу сводятся к делению на распределение собственных значений, порождаемое членами Ро и Р\. Однако в общем случае, за исключением плоского пространства и нескольких других специальных основных метрик, полный член Р2 отличен от нуля. Это означает, что существует конечное (не обязательно целое) число дополнительных собственных значений, размерность которых не сокращается. Так как каждое доп о л н ительное собственное значение имеет размерность (длина)-2, то его следует разделить на нормирующую величину 卩・ Следовательно, однопетлевой член зависит от 艮 От этой зависимости нельзя избавиться путем переопределения константы связи в исходном действии, но так как она пропорциональна эйлеровой характеристике %, то ее можно включить в топологический член 'k^ где А ——топологическая константа связи, зависящая от масштаба. Ниже я еще вернусь к этому вопросу.

Одна из фоновых метрик, удовлетворяющая граничным условиям для канонического ансамбля, — это плоская метрика на евклидовом пространстве, профактор изованном по некоторому периоду, т. е. на многообразии М с топологией S1 X ^3< При подходящем выборе константы С действие для этой фоновой метрики равно нулю и поэтому не дает вклада в InZ. Однопетлевой член, соответствующий квадратичным флуктуациям относительно основной метрики плоского пространства, приводит к стандартному результату для теплового излучения с двумя состояниями спиральности

16Л3Гд

EZ = f#・ (2.11)

Его можно интерпретировать как статистическую сумму тепловых гравитонов в плоском пространстве. Многопетлевые члены, если бы они имели смысл, что сомнительно, описывали бы эффекты взаимодействия между этими гравитонами.

Метрика Шварцшильда представляет собой еще одно реше* ние, удовлетворяющее заданйым граничным условиям. Эту метрику обычно записывают в виде

ds2==- (1 一察)必2+(1 -字)1公2 + 户加2. (2.12)

Полагая t = —/т, преобразуем ее в положительно определенную метрику при 广 > 2疝 При г = 2М она имеет кажущуюся особенность, аналогичную кажущейся особенности в начале полярных координат, в чем нетрудно убедиться, если ввести новую радиальную координату х = 4М(1—血l【)％, В Новых переменных метрика имеет вид

成2 =(翁)" + (提)"+户加2. (2.13)

Она регулярна в точке х = 0, г = 2М, если т считать угловой переменной, значения которой факторизованы с периодом 8лМ (я использую единицы, в которых G = 1). Многообразие, задаваемое неравенствами %》0, 0《т W 8HM называется евклидовым сечением решения Шварцшильда. Метрика на нем положительно определенная, асимптотически плоская и несингулярная (особая точка кривизны при г == 0 не принадлежит евклидову сечению).

Метрика Шварцшильда удовлетворяет граничным условиям, если

Так как R = 0 для метрики Шварцшильда, то действие определяется только поверхностным членом, что дает [3]

7=4hM2 = j|^.(2.14)

Следовательно, фоновая метрика Шварцшильда вносит в InZ вклад, равный —р2/16л. По определению

Z=Zexp(—BEJ(2.15)

где Еп — энергия n-го состояния гравитационного поля. Таким образом,.

⑹丽EZ. ⑵16)

Подставляя вклад —02/16冗 в InZ от действия фоновой метрики Шварцшильда, получаем

〈0 = * = М.(2.17)

Именно такого результата и следовало ожидать. Можно вычислить также энтропию, определяемую соотношением

S = —Zpz11np“ = В〈£) + 1п2,(2.18)

где рп = Z-i ехр(—pfrt) — вероятность того, что гравитационное поле находится в n-м состоянии. Применительно к фоновой метрике Шварцшильда это дает

S = 43TM2 = } 4(*)

где А — площадь горизонта событий. Это соотношение между внутренней гравитационной энтропией и площадью горизонта событий носит весьма общий характер. Ойо обусловлено комбинацией пвуз дричин; того； что гравитационное действие мае-

штабно неинвариантно (чем и обусловлена его неперенормируе- мость), и того факта, что евклидово сечение решения Шварцшильда обладает топологией S2 X 52, отличающейся от топологии S【XR3 плоского пространства, факторизованного с периодом § [5]. Соотношение (*) не имеет аналогов в квантовой хромодинамике или других теориях с низшими спинами.

Однопетлевой член содержит слагаемое, зависящее от р, вида

号^ In (р₽),

где % = 2 — эйлерова характеристика евклидова сечения решения Шварцшильда. Это слагаемое обусловлено

106% дополнительными собственными значениями, размерности которых не сокращаются при регуляризации. Из этих дополнительных собственных значений три равны нулю и соответствуют трансляционным движениям черной дыры внутри ящика. Они дают вклад InZ, равный 1п(м30зр) с другой стороны, нерелятивистская частица с массой М в ящике объемом V при температуре рт имела бы статистическую сумму, пропорциональную И(р.р~1)Ч Чтобы воспроизвести этот результат, нормирующую величину к, видимо, следует выбрать пропорциональной р-1.

Собственные функции оператора 4 + В можно подразделить на два класса [4]. Во-первых, существуют собственные функции, соответствующие возмущениям метрики g, пропорциональным фоновой метрике go. Они описывают конформные возмущения. Для возмущений в окрестности плоского пространства или любой метрики с R = 0 все собственные значения отрицательны. Следовательно, контур интегрирования конформного множителя необходимо повернуть так, чтобы он расположился параллельно мнимой осн. Остальные собственные функции имеют нулевой след и соответствуют неконформным возмущениям метрики. На плоском пространстве они все положительны, поэтому можно взять за правило интегрировать по вещественным классам конформной эквивалентности метрик. Но для возмущений относительно фоновой метрики Шварцшильда одно из неконформных собственных значений отрицательно [6]. В однопетлевой член это собственное значение входит под знаком квадратного корня, что приводит к появлению в статистической сумме Z множителя /, так что Z становится чисто мнимой. Какой-то неприятности подобного рода от Z следовало ожидать, так как канонический ансамбль для гравитации разрушается из-за того, что гравитационное взаимодействие универсально притягивающее. -

Один из способов выразить это состоит в том, чтобы представить Z в виде преобразования Лапласа плотности состояний 2(E), где N(E)dE — число состояний гравитационного поля в ящике с энергией между Е и Е + dE:

z [В] = j N (Е) exp (- BE) dE.(2.19)

О

Плотность состояний N (Е) при этом задается обратным преобразованием Лапласа:

4-( ОО

%(印=费 J Z[B]exp(BE)dB.(2.20)

Но если вместо Z подставить значение

ехр (-農).

обусловленное действием фоновой метрики, то интеграл не будет сходиться. Чтобы интеграл сходился, контур интегрирования по р в (2.20) необходимо повернуть от мнимой оси. Поскольку статистическая сумма Z — величина чисто мнимая, плотность состояний N(E\ как и следовало ожидать, вещественна, так как микроканонический ансамбль для гравитации вполне определен: черная дыра в ящике может находиться в устойчивом равновесии с тепловым излучением, если фиксирована полная энергия в ящике, но она будет находиться в неустойчивом равновесии, если фиксирована температура ящика, потому что черные дыры обладают отрицательной теплоемкостью [7].

Можно также рассматривать ансамбли, в которых помимо температуры имеются химические потенциалы для углового момента относительно той или иной оси и электрический заряд. Статистическая сумма в таких ансамблях определяется континуальным интегралом, взятым по всем полям, принимающим одни и те же значения в тонках (力 г,也 ф) и 〃 + 単，乙也屮 + + iQ0) на некоторой граничной поверхности в калибровке 40 = =Ф, где' Q ——угловая скорость, а 屮 ——электростатический потенциал. Следуя евклидову подходу, Q н 屮 необходимо выбирать мнимыми, а затем продолжать аналитически статистическую сумму до вещественных значений Q и ф.

Метрика со стационарной фазой в континуальном интеграле для статистической суммы будет евклидовым пространством с точками, профакторизованными с некоторым периодом во вращающейся системе координат, либо евклидовым сечением решения Керра — Ньюмена с мнимым угловым моментом и мнимым электрическим зарядом (в евклидовом режиме мнимый электрический заряд, порождает вещественное поле Fab). Такой

же подход, как к решению Шварцшильда, показывает, что решение Керра — Ньюмена также обладает специфической квантовой гравитационной энтропией, которая равна одной четвертой площади горизонта событий.

Гравитационный вакуум

В теории Янга — Миллса вакуумное состояние с Fab = 0 на пространственно-подобной поверхности можно описывать потенциалами Аа, которые являются чистой калибровкой, т. е. имеют вид

Аа^^даМ (3.1)

где Л — элемент калибровочной группы G. Выбрав в качестве Л единичный элемент на бесконечности или, что эквивалентно, компактифицировав пространственно-подобную поверхность — дополнив ее бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить в 3-сферу, мы получим некоторое отображение S3 в G. В простом случае, когда калибровочная группа G есть SU(2), она топологически представляет собой 3-сферу, поэтому такие отображения можно разбить на классы гомотопической эквивалентности, каждому из которых соответствует вполне определенное целое число п — степень отображения. Таким образом, мы приходим к вырожденному семейству вакуумных состояний, описываемых целым числом п [8]. Амплитуда перехода для туннелирования из начального вакуумного состояния 几】в конечное вакуумное состояние п2 задана континуальным интегралом, взятым по всем полям Янга — Миллса на евклидовом пространстве, убывающим до нуля на большом расстоянии и имеющим число Понтрягина ni ——п2. Действие таких полей ограничено снизу числом

^^ (%i — п2),

в силу чего туннельный переход подавлен..

Аналогичный анализ можно провести и для гравитационного вакуума. Нулевую конфигурацию поля ——плоское пространство —на пространственно-подобной поверхности можно описать различными тетрадными полями, которые можно рассматривать как отображения 3-сферы (пространственно-подобной поверхности, компактифицированной добавлением бесконечно удаленной точки) в группу вращений тетрад 50(4). Так как в эту схему желательно включить и фермионные поля, то необходимо выбирать не обычные тетрады, а спинорные реперы. Они соответствуют отображениям 3-сферы в накрывающую группы SO(4) — группу St/(2)XSU(2). Поскольку каждая группа Sf7(2) топологически эквивалентна 3-сфере, такие отображения подразделяются на гомотопические классы, каждый из которых

однозначно определяется двумя целыми числами (小 m) — степенями отображения 3-сферы на два прямых сомножителя. Таким образом, мы имеем двукратно бесконечный набор вырожденных гравитационных вакуумов. Амплитуда туннельного перехода из начального вакуума (nb g) в конечный вакуум (пг, ^2) определяется континуальным интегралом, взятым по всем асимптотически евклидовым метрикам на параллелизуе- мых многообразиях с эйлеровой характеристикой

X =(%2 - nJ + (恤—mJ + 1

и сигнатурой Хирцебруха -

2

t =@[(%2 — П1)—(恤—恤)].

Асимптотическая евклйдовость означает, что метрика стремится к стандартной евклидовой метрике на R4 вне какой-то компактной области, внутри которой топология отличается от заданной на R& Параллелизуемость означает, что на многообразии можно задать непрерывные тетрадные поля и непрерывные спинорные реперы, а условия на % и т позволяют интерполировать эти поля между полями на начальной и конечной поверхностях. Можно доказать, что если многообразие допускает спиновую структуру, т. е. на нем можно непротиворечивым образом задать спиноры, то оно параллелизуемо [9, 10]. В асимптотически евклидовом случае отсюда следует' также, что сигнатура Хирцебруха кратна 16. Таким образом, гравитационные вакуумы подразделяются на классы, каждый из которых не может туннелировать в любой другой класс и живет в своей полностью изолированной вселенной.

Эйлерову характеристику % и сигнатуру т можно представить в виде следующих интегралов от кривизны:

% = "j^r \ RabcdRefg%%/gh (g)“ d'x + поверхностные члены,

(3.2) т = ^^，Ra&cdR"”e产""(g)" d〃 + поверхностные члены. (3.3)

Поверхностные члены в общем случае имеют довольно сложный вид, но в асимптотически евклидовом случае каждая асимптотически евклидова область дает вклад, равный единице, в % и вклад, равный нулю, в т.

Эйлерова характеристика % определяется соотношением

X = А)— В】+ 4 — & + %(3.4)

р-е число Беттй Вр равно числу независимых замкнутых р-по- верхностей, не являющихся границами некоторой (р + 1)~поверх& ности. Для компактного многообразия Вр равно числу квадратично интегрируемых гармонических р-форм. Для компактного

многообразия Вр = В^р и Во =В4 — 1. Если многообразие односвязно, то В = & = 0, поэтому % ^ 2.

Мне кажется правдоподобным, что следует рассматривать только односвязные многообразия. В этом случае % и т позволяют классифицировать компактные многообразия, допускающие спинорную структуру, с точностью до гомотопии. Высказывалось (Пуанкаре) предположение о том, что % и т позволяют классифицировать многообразия с точностью до гомеоморфизмов. Можно доказать, что для неодносвязных 4-многообразий схемы классификации не существует.

Гармонические 2-формы (поля Максвелла), число которых равно Вг, можно подразделить на автодуальные и антиавтоду- альные 2-формы (число которых равно соответственно 酸 и 8亍)・ Тогда т = В$ —— В不. Сигнатура т также равна 8(п+—п-), где п+ и 〃-——числа нулевых мод безмассовых уравнений Дирака с положительной и отрицательной спиральностью.

В теории Янга — Миллса евклидово пространство Q удобно компактифицировать, дополняя бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить многообразие в S4. Исходную плоскую метрику можно восстановить по метрике на S4 с помощью конформного преобразования, переводящего добавленную точку в бесконечность. Аналогичная процедура применима и в гравитационном случае: асимптотически евклидово многообразие можно конформно компактифицировать, дополнив точкой на бесконечности, но получающееся при этом компактное многообразие не обязательно будет S4, а может быть любым многообразием, допускающим спинорную структуру. Последнее утверждение можно было бы рассматривать как точное определение того, что понимается под асимптотически евклидовым аналогом предложенного Пенроузом определения асимптотически плоского лоренцева многообразия [11]. Начать следует с компактного многообразия, наделенного гладкой положительно определенной метрикой, выбрать некоторую точку z и конформным преобразованием перевести ее в бесконечно удаленную точку. В результате мы получим асимптотически евклидову метрику с эйлеровой характеристикой, на единицу меньшей эйлеровой характеристики компактного многообразия, но с той же сигнатурой.

Амплитуду перехода из начального вакуума в конечный можно представить в виде континуального интеграла, взятого по всем асимптотически евклидовым метрикам на (односвязном) многообразии М с заданными значениями % и т:

Z =〈0一 10+〉= , D® ехр(- /И). (3.5)

Этот континуальный интеграл можно разложить в интеграл по конформным множителям S2, в свою очередь интегрируемый по

конформно эквивалентным классам {е『} тетрад. При конформ- иОм преобразовании.

卷=Q 後，Sab = ^gab(3・6)

действие принимает вид

/ [Qe] == — y^"卜Q2R + 6Q； «Q； bg@") (g)% d^x —^ Q2K(^2d3x+C.

(3.7) Поверхностный член вычисляется по большой сфере в асимптотически евклидовом пространстве, а постоянная С выбирается так/ чтобы исключить из поверхностного члена значение, соответствующее плоскому пространству. Чтобы вычислить интеграл по конформным множителям, необходимо прежде всего иайти конформный множитель(о, равный единице на граничной поверхности и такой, что для метрики gab =唸^力 всюду выполняется равенство R* = 0. Нахождение(о можно рассматривать как своего рода выбор конформной калибровки. Действие метрики g* полностью определяется поверхностным членом. Затем следует проинтегрировать по конформным множителям Q вида 1 + у, где у = 0 отвечает метрике 威 и у обращается в нуль на границе. Так как кинетический член (Vy)2 входит со знаком минус, интегрировать следует по мнимым значениям у [4]. Производя вычисления, получаем

(det (厂 2a)尸 ехр (一 f[g*]) = У н明],(3.8)

где 八= —— □ + gR— конформно инвариантный скалярный оператор. Амплитуда перехода Z определяется после этого интегралом по всем классам конформной эквивалентности тетрад Z=^\D[{e}]Y[{e}].(3.9)

Проделанная процедура может быть описана в терминах кон^ формно компактифицированного многообразия Л? и метрики g. Выберем точку а на Л1 и переведем ее в бесконечность конформным преобразованием

(0(尤)=4欣「1 (尤，之)，(3.10)

где А-1 — функция Грина на компактном многообразии в метрике £ Тогда метрика g* = d金 будет асимптотически евклидовой. с R* = 0.

Пусть (九％ фи)—собственные значения и собственные функции оператора А на (Mt g). Собственная функция(р0, соответствующая наименьшему собственному значению Хо> всюду знакопостоянна, поэтому ее можно использовать в качестве конформного множителя в регулярном конформном преобразовав

нни gf g‘, в результате которого R' всюду оказывается того же знака, что и 入°. Таким образом, если наименьшее собственное значение 九о положительно, то функция Грина Л-1 (х, г) нигде не обращается в нуль. Следовательно, метрика g* не сингулярна. С другой стороны, если наименьшее собственное значение 九о отрицательно, то A”％, z) обращается в нуль и метрика g* сингулярна. Интерпретацию этого факта я приведу немного ниже.

Действие метрики g* (если отбросить член С) имеет вид 八g*] = 6H3AT(z, г).(ЗЛ1)

Разумеется, оно бесконечно, так как при х = z функция Грина расходится, но действие обращается в бесконечность также, если поверхностный член

к (炉"％

вычислить по 3-сфере бесконечного радиуса. Чтобы действие стало конечным, из поверхностного члена необходимо вычесть (бесконечное) значение, принимаемое им на плоском пространстве. В конформно компактифицированной процедуре это соответствует регуляризации функции Грина Afz, z). Правильный результат мы получим с помощью процедуры конформно инвариантной размерной регуляризации с введением дополнительных плоских размерностей. Такая процедура эквивалентна регуляризации с помощью дзета-функции [12, 13] плюс поправочный член R/2883T2.

Гипотеза положит ел ьног о действия [4——6] утверждает, что действие любой регулярной асимптотически евклидовой метрики с R=0 неотрицательно, причем оно равно нулю в том и только в том случае, если метрика плоская. В терминах конформной компактификации эта гипотеза сводится к тому, что функция Грина 尸(乙 z) больше или равна нулю для всех (м, р), на которых оператор А не имеет отрицательных или нулевых собственных значений. Гипотеза положительного действия представляет собой аналог (для размерности, большей на единицу) гипотезы положительной энергии из обычной общей теории относительности (последняя гипотеза теперь доказана [14]).

Функция Грина допускает разложение

А I 3，z) ^ £ 九/I фл(2)фл(2).(3.12)

Регуляризация обращает Л-1 (z, z) в нуль для стандартной метрики на S& При деформации метрики от исходной сферической Наименьшее собственное значение 九о убывает, и функция Грина А-1 (г, z) становится положительной. Если метрика деформи-

руется настолько, что 九о проходит через нуль, то Л-1 (zr z) проходит через бесконечность и становится отрицательной, а конформный множитель Л-1 (х, z) проходит через нулевое значение.

Для получения физической интерпретации полезно сравнить описанную ситуацию с задачей Коши в классической общей теории относительности, которую можно сформулировать следующим образом. Возьмем компактное 3-мерное многообразие S с гладкой метрикой 瓦 Выберем на нем точку z и переведем ее в бесконечность с помощью конформного множителя (о(х)= = 4hA"(x, z), где Аг4 теперь функция Грина для 3-мерного конформно инвариантного оператора. Тогда метрика h* = ^h будет асимптотически плоской и R* = 0. Следовательно, метрика h* удовлетворяет условию симметричной по времени задачи Коши (несимметричная по времени задача Коши допускает аналогичное решение). Масса Арновитта — Дезера — Мизнера определяется регуляризованным значением @hA-i(z, z).

Стандартная метрика на 3-сфере задает начальные данные для плоского пространства. Деформируя метрику Я от исходной сферической метрики, мы получаем начальные данные для симметричной по времени коллапсирующе-взрывающейся гравитационной волны ——волны с положительной энергией или массой. Нарастая, интенсивности волн достигают критического уровня, при котором энергия волны становится столь большой, что она сворачивает начальную поверхность и отсекает ее от бесконечности. Достижение порога соответствует прохождению через нуль собственного значения оператора А. Превысив пороговый уровень интенсивности волн, мы попадаем в новый класс начальных данных, соответствующих черным дырам с видимым горизонтом событий - [15]. Такие начальные данные можно получить из пары (S,用)с неотрицательными собственными значениями, если с помощью конформного множителя(о“)= =4лЛ-1 (х, 21) + 4лЛ-1 (х,乞2)перевести в бесконечность две ТОЧКИ Zi И 22.

Аналогичной процедурой разумно воспользоваться и в квантовой гравитации. Вместо того чтобы для получения асимптотически евклидовой метрики переводить в бесконечность одну точку z компактного многообразия М, на этот раз для получения метрики с п асимптотически евклидовыми областями можно перевести в бесконечность п точек 0, z2> …，2Л. Это можно сделать с помощью конформного множителя

(О (х) = 4n2 "т (%, у) / (a) (g)% dy, (з.⑶

где《ток бесконечности» /(у) определяется соотношением

/&)= £б®, zj (3.14)

Действие метрики g* =(o2g с R* = 0 имеет вид

f[g*] = 6л35；(х)Л->(х, у) / (У) (g)% (g)% 力 3% = 6л37Л-7.

(3.15)

Амплитуда перехода из вакуума в вакуум, или, точнее, из одних вакуумных состояний в другие, соответствующая многообразию Л? с 九 точками, удаленными в бесконечность, представима в виде

z“ = \ D [{е}] (det A)-% exp (- ^J^~4), (3.16) где интеграл берется по всем классам конформной эквивалентности {е} тетрадных полей. Эту амплитуду можно просуммировать по числу и расположению точек, переводимых в бесконечность, и интенсивностям волн, или, что эквивалентно, по всем «токам бесконечности» /. В результате суммирования мы получим множитель (detA-i)%, который сокращается с множителем (det А)-%, возникающим при интегрировании по конформным множителям.

Остается интеграл по классам конформной эквивалентности тетрадных полей. Компоненты е^ тетрады образуют в точке л 16-мерное векторное пространство. Отождествляя тетраду с компонентами ва и тетраду Qea при любом ненулевом Q, т. е. рассматривая классы конформной эквивалентности, мы сводим это векторное пространство к компактному 15-мерному проективному пространству конформных тетрад, факторизованному до 9-мерного компактного пространства конформных метрик по группе тетрадных вращений 50(4). Так как пространство конформных тетрад компактно в каждой точке, на нем можно задать меру, имеющую единичный объем. Тогда континуальный интеграл, взятый по классам конформной эквивалентности тетрадных полей, будет равен единице, в силу чего

£z“ = l. (3.17)

Напрашивается мысль просуммировать также по всем возможным топологиям компактного многообразия 庇 Но я считаю, что в действительности эта операция эффективно выполняется при интегрировании по всем конформным тетрадным полям. Дело в том, что в общем случае существуют трехмерные поверхности, на которых det (國*) = 0 и метрика вырождена. Нулевой вектор матрицы 恵，вообще говоря, не принадлежит поверхности det(e) = O. Это обстоятельство позволяет ввести новые координаты или, что эквивалентно, перейти к другому многообразию с иной топологией, на котором тетрадное поле

и метрика не вырождены. В общем случае существуют также двумерные поверхности, на которых нулевой вектор матрицы е* принадлежит поверхности det(e)=0. Скалярная кривизна R может быть на этих - поверхностях сингулярной, но она остается интегрируемой, поэтому действие определено и на них. Таким образом, интегрирование по всем конформным тетрадным полям или, что эквивалентно, по всем конформным положительно полуопределенным метрикам эффективно включает суммирование по всем топологиям многообразия.

Этот замечательный результат был получен без какой бы то ни было регуляризации, так как расходимости при континуальном интегрировании по конформным множителям в точности компенсируют те расходимости в действии асимптотически евклидовых метрик, от которых обычно приходится избавляться вычитанием значения поверхностного члена для плоского пространства. Соотношение (3.17) можно было бы рассматривать как условие унитарности для гравитации с учетом всех топологических возможностей. Однако такое утверждение носит несколько формальный характер. Более желательно было бы воспользоваться намеченным подходом для вычисления физических амплитуд и вероятностей. Должен признаться, что мне пока не удалось осуществить эту программу, хотя кое-какие смутные идеи на этот счет у меня имеются. По-видимому, большинство конформных метрик (и все метрики со спинорной структурой и ненулевой сигнатурой Хирцебруха т) обладают отрицательными или нулевыми собственными значениями оператора А. Это означает, что метрика g* со стационарным действием в своем конформном классе содержит области, отгороженные от бесконечности. Однако в том же классе конформной эквивалентности существуют и другие метрики, для которых эти области не отгорожены от бесконечности. Им должны соответствовать какие- то физические эффекты, хотя вероятности этих эффектов малы, поскольку области замкнуты в метрике со стационарной фазой. Относительно того, в чем состоят эти эффекты, можно высказать чисто умозрительные догадки. В частности, они могли бы соответствовать виртуальным черным дырам, которые появляются, поглощают одну частицу, испускают частицу другого сорта с тем же зарядом, импульсом и угловым моментом и затем исчезают.

Асимптотически локально евклидовы метрики

При масштабном преобразовании gfl^g (Л— константа) действие преобразуется, как /-＞々2/. Отсюда следует, что действие любой асимптотически евклидовой метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна, должно быть равно нулю, так

как на такой метрике действие достигает экстремума по всем возмущениям, включая растяжения или сжатия. Но гипотеза положительности действия утверждает, что любая асимптотически евклидова метрика с 次=0 обладает положительным или нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том и только в том случае, если метрика плоская. Следовательно, если эта гипотеза верна, не могут существовать нетривиальные асимптотически евклидовы вакуумные гравитационные инстантоны, т. е, полные несингулярные решения вакуумных полевых уравнений. В то же время гипотеза положительности действия отнюдь не исключает возможности существования вакуумных инстантонов, которые являются асимптотически локально евклидовыми (АЛЕ). Иначе говоря, вне некоторой компактной области такие инстантоны стремятся к евклидовой метрике на плоском пространстве, профакторизованном по какой-то дискретной подгруппе G группы 50(4). Первый АЛЕ-инстантон был получен Егучи и Хансоном [16], Этот инстантон асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точка ха отождествлена с точкой —”，и соответствует переходу из начального состояния в его образ при ТР-преобразовании. Несколько новых АЛЕ-инстантонов были получены в явном виде Гиббонсом и мною [17] и в неявном виде Хитчином [18] с помощью твисторной техники Пенроуза [19], Эти инстантоны соответствуют более широким дискретным подгруппам G, и их физический смысл пока не ясен.

Все перечисленные метрики обладают автодуальной или антиавтодуальной кривизной, что позволяет сформулировать обобщенную гипотезу положительности действия: любая асимптотически локально евклидова метрика с R = 0 обладает положительным или нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том и только в том случае, если кривизна автодуальна или антиавтодуальна. В пользу такой гипотезы говорит следующий факт: как нетрудно показать, из всех метрик с R — 0 локальными минимумами действия являются автодуальные или антиавтодуальные метрики. Если обобщенная гипотеза верна, то они же являются глобальными минимумами действия среди АЛЕ-метрик с R = 0, подобно тому как автодуальные или антиавтодуальные инстантоны Янга — Миллса являются глобальными минимумами действия Янга ——Миллса. Поэтому можно ожидать, что метрики, достаточно близкие к автодуальным или антиавтодуальным, дают основной вклад в амплитуды переходов, определяемые граничными условиями.

Особенно интересное приложение эти идеи находят в теориях супергравитации [20]. В автодуальной метрике кривизна, воспринимаемая штрихованными спинорами, равна нулю, поэтому существуют два- независимых ковариантно постоянных

спинора 1厶,и ол,, которые можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения

%。"=1，% =。"(4-i)

В АЛЕ-автодуальной метрике В^ = т и ВГ = 0, поэтому существуют т автодуальных гармонических 2-форм (полей Максвелла), которые являются нормируемыми, т. е. квадратично интегрируемыми, и нет нормируемых антиавтодуальных гармонических 2-форм. Автодуальные гармонические 2-формы можно представить посредством т симметричных спиноров, удовлетворяющих уравнению для спина 1

Умножая на тот или другой ковариантно постоянный спйнор> мы получаем 2т нулевых мод уравнения Майораны для спина 3/2 в калибровке уа^а = 0:

^ЛЛф^вд/==0*(4,3)

где ①爲£ =叫в%,. Ни одна из этих мод не принадлежит К числу чисто калибровочных, т. е. не имеет вида VAA，(pB. Умножая на другой ковариантно постоянный спинор и симметризуя по индексам со штрихами, мы получаем Зт поперечных нулевых' мод с нулевым следом уравнения для возмущений метрики в гармонической калибровке

V ^дд^всв^7 — ^bc)E^deb/c/ 6(4.4)

где'_

Q院ва =叫e畴七"

Не болёе трех таких мод (в зависимости от дискретной груп^ пы G) могут быть чисто калибровочными и отвечать глобальным вращениям инстантонов в асимптотически локально евкли^ довом пространстве. Соотношения между нулевыми модами с различными спинами в действительности представляют собой глобальные преобразования суперсимметрии с ковариантно постоянными спинорными параметрами.,

Действие фонового автодуального АЛЁ-инетантона равно йулю и поэтому не дает вклада в InZ. Однопетлевой член в простой супергравитации можно представить в виде

? det В (det С)%“ С

Z =»(4.5)

(det Е)% (det'丿

где В ——векторный оператор духов, соответствующий выбору калибровки относительно диффеоморфизмов, С — оператор спина 3/2 (он входит в степени 1/2, так как мы имеем дело с полем

Майораны), £ — оператор возмущения метрики в уравнении (4.4), а 尸一суперсимметрийный оператор духов со спином 1/2 (он входит в степени 3/2, так как мы имеем дело с полем Майораны, и при усреднении по суперсимметрийным калибровкам возникает множитель (detF)-% [21]). Кроме того, существуют 6 нераспространяющихся компонент тетрады и 6 не- распространяющихся компонент вспомогательных полей [22, 23], но они взаимно уничтожаются с 12 нераспространяющи- мися духами тетрадных вращений.

Глобальные преобразования суперсимметрии позволяют установить соотношения между ненулевыми модами операторов В, С, £,尸[20]. Кратности таковы, что в однопетлевом члене (4.5) ненулевые собственные значения полностью уничтожаются. Тем самым бесконечномерный однопетлевой континуальный интеграл вырождается в конечномерный интеграл по нулевым модам. Такого рода взаимное уничтожение бозонных и фермионных операторов — одна из наиболее привлекательных особенностей теорий супергравитации. Она позволяет питать надежду, что этим теориям удастся придать некий разумный математический смысл. Вместе с тем необходимо отметить, что на обычном языке диаграмм Фейнмана однопетлевой член (4.5) обладает логарифмической расходимостью, поскольку числитель и знаменатель имеют различное число нулевых мод (доказательство того, что все однопетлевые члены в супергравитации конечны, применимо лишь к топологически тривиальным метрикам). Однопетлевой член вводит параметр м, отражающий вклад меры на нулевых модах. Единого мнения относительно выбора этой меры пока не существует.

Гравитационные нулевые моды оператора £ (их число равно Зт) соответствуют глобальным вращениям, растяжениям и другим автодуальным возмущениям инстантонной метрики. Для их рассмотрения удобно ввести коллективные координаты для ориентации, масштаба и других характеристик инстантона, которые приводят к появлению множителя вида

цЗтрбт-1 dp,

где р — некоторый характерный размер инстантона. Нулевые моды со спином 3/2 оператора С (их число равно 2т) входят в (4.5) в числитель и в отсутствие источников： обращают в нуль амплитуду 2 перехода из вакуума в вакуум. Вклад источников описывают, добавляя член

,&АВА，产%' + 必А，В，U'B') (g)% 也， (4.6)

где поле Майораны со спином 3/2 представлено евклидовыми спинорами фддЛ/ и ^MB^ а ток источников — величинами т] и fj.

Если источники имеются, то амплитуда Z[“，fj] перехода из вакуума в вакуум пропорциональна

11"晶/件*(毋у标， (4.7)

где ФдВЛ/ — 2т нулевых мод с положительной спиральностью и спином 3/2. К амплитуде Z, даваемой выражением (4.7), необходимо прибавить значение Z порядка единицы, возникающее из-за однопетлевой поправки к плоскому евклидову про* странству. Затем вычисляют функциональные производные по Т)в 2т точках, что приводит к 2т-тачечной функции, нарушающей закон сохранения спиральности, т. е. превращающей t частиц с положительной спиральностью в то же число частиц с отрицательной спиральностью. ■

Простейший автодуальный АЛЕ-инстантон — инстантон Егу- чи — Хансона [16] — имеет т= 1. Следовательно, мы получаем изменяющую спиральность двухточечную функцию, которую можно было бы рассматривать как массовый член со спином 3/2 в заданной метрике. Но поскольку инстантон Егучи — Хансона асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точки Xе отождествлены с точками —Xе, то эту же функцию допустимо интерпретировать как четырехточечную функцию на евклидовом пространстве, которая превращает 2 частицы со спинами 3/2 и положительными спиральностями в их ТР-ана” логи — две частицы с отрицательными спиральностями, но с теми же импульсами.

Аналогичная ситуация возникает и в расширенных вариан' тах теорий супергравитации. Единственное отличие состоит в том,что число нулевых мод со спинами 3/2 в этом случае равно 2т^, где N — число полей со спином —3/2. Следовательно, мы получаем 2т^-тoчeчныe амплитуды, изменяющие спиральность. Таким образом, расширенные теории супергравитации охватывают поля со спином 1 и могут включать поля со спином 1/2 и 0. Нулевые моды полей со спинами 1/2 и 0 в автодуальной АЛЕ-инстантонной фоновой метрике отсутствуют. Существуют т нулевых мод со спином 1, но они не входят в однопетлевой член, поскольку их происхождение не связано с потенциалом. Если эти нулевые моды—калибровочные поля (абелевы или иного типа), то их можно квантовать по аналогии с условием Дирака для магнитных монополей.

Пространственно-временная пена

Теперь я вернусь к вопрссу о том, как трактовать классы конформной эквивалентности метрик на компактном многообразии 2Й, обладающие отрицательными или нулевыми собствен-

ными значениями конформно инвариантного оператора А. В этих случаях асимптотически евклидов представитель g* класса конформной эквивалентности, который имеет R* = 0 н является точкой стационарной фазы относительно конформных преобразований, сингулярен и содержит область, обрезанную нулевым конформным множителем. С другой стороны, в этом же классе конформной эквивалентности можно найти компактную метрику g‘ с R'=——4九，где h — положительная константа. Метрику g‘ можно нормировать, потребовав, чтобы ее 4-объем был равен единице.

Значимость метрик g‘ обусловлена тем, что они являются точками стационарной фазы относительно конформных преобразований в объемном каноническом ансамбле, определение которого будет дано ниже. Физическая идея состоит в том, что в квантовой теории гравитации приходится суммировать по ме・ трикам с весьма сложной топологией. Такая «пеноподобная структура» [24] простирается всюду, поэтому пространство- время на самом деле нельзя считать асимптотически евклидовым, хотя такая точка зрения удобна при интерпретации ампли* туд как элементов 5-матрицы.

Чтобы все величины оставались конечными, удобно рассматривать компактные метрики с некоторым заданным большим значением 4-объема V. Это отнюдь не означает, что пространство-время непременно компактно, а представляет собой всего лишь удобный способ введения нормировки, аналогичный периодическим граничным условиям в обычной квантовой механике. Мы хотели бы вычислить плотность тех или иных величин, приходящуюся на единичный объем, а затем перейти к пределу при 7, стремящемся к бесконечности.

Чтобы ограничить 4-объем, добавим к гравитационному дей- етвию член ЛУ/8л, где Л — множитель Лагранжа. Этот дополнительный член имеет такой же вид, как и космологический член, хотя введен по иным мотивам и имеет совершенно иное значение: как показывают наблюдательные данные, любой коо мологический член должен быть настолько малым, что величиной его практически можно пренебречь; в то же время множитель Лагранжа, как мы покажем, дает основной вклад, если он имеет величину порядка единицы в единицах Планка. Составим статистическую сумму Z[A] для того, что я называю объемным каноническим ансамблем [25], взяв континуальный интеграл по всем компактным положительным полуопределейным метрикам:

Z[A]= Jn[е]exp (— 7 [е]) = £ © |exp(— ЛУ/8л)丨 g“>, (5.1)

где действие включено в Л-член. Статистическая сумма есть преобразование Лапласа от N(V)dV ——числа состояний гравн*

тационного поля, заключенных в интервале от V до V -{- dV:

Z[A] = J ^(V) exp (-ЛУ/8л) dV.(5.2)

О

Следовательно, N(V) —обратное преобразование Лапласа:

% ⑺=击"[Л] exp (ЛУ/8л) dA，(5.3)

где контур выбран параллельно мнимой оси Л и справа от осо『 бенности в Z[A] при Л = 0. При таком выборе контура ^ = 0 при Р & 0.

Интеграл (5.1) для Z допускает разложение на интеграл, взятый по конформным множителям Q, принадлежащим одному- классу конформной эквивалентности {е} тетрадных полей:

у [{е}], А]=，。図 exp (-1 [Qe]),(5.4)

от которого в свою очередь берется континуальный интеграл, распространенный на классы конформной эквивалентности:

Z[A.]=\D[{e}]Y[{e}, Л].(5.5)

При конформном преобразовании ё = Qe действие (включая Л-член) переходит в

1[ё] = --^.^ (3QAQ - AQ4)® №.(5.6)

Таким образом, Z[A] можно рассматривать как среднее в Хф4- теории по всем классам конформной эквивалентности метрик» Точкой стационарной фазы в интеграле (5.4) по конформным множителям является метрика —АЛ-1^, в которой R = 4Л, V =九2A-2 и Z =——九2/8лА. Величина h зависит от класса конформной эквивалентности и стационарна на тех классах эквивалентности, для которых g‘ 一 решение уравнений Эйнштейна с Л-членом:

Rab 一 4 Rgab + Ag/ = 0.(5.7)

На компактных многообразиях, таких, как S4, СР2 и §2XS% несколько решений известно в явном виде. Но действительный интерес представляют решения на очень сложных рдаосвязцых многообразиях с большой эйлеровой характеристикой и сигна； турой. Хотя нельзя надеяться, что та^ие метрики удастся прочить в явном виде, действие метрик со сложной топологической

структурой все же удается оценить. Для решения уравнений (5.7) получаем

X = ^-^CabcdCabcd + 4 Л2) ® 也，(5.8)

t = £kCasJCa%)(e)d4%.(5.9)

Комбинируя соотношения (5.8) и (5.9), приходим к неравенству 2% —3|т|>名；(5.10)

равенство имеет место в том и только в том случае, если тензор Вейля автодуален или антиавтодуален.

Нижняя граница величины 九 для решений уравнений (5.7) равна —(24) %冗，т. е. равна значению 九 для стандартной метрики на S& Если t * 6 н если многообразие допускает спинорную структуру, то 九》0. Соотношения (5.8) и (5.9) позволяют ожидать, что при больших эйлеровых характеристиках 九 〜 d%%, где Т《2(3)%л. Эта оценка подтверждается несколькими примерами, построенными Хитчином, из которых следует, что большинство решений заключено в интервале

2%冗 V d V 22л.(5.11)

Можно надеяться, что значение статистической суммы Z[A] удастся получить, разлагая метрику или тетраду в ряд теории возмущений в окрестности каждого решения классических полевых уравнений. При малых Л действия таких решений четко разделены, и мы получаем хорошее «приближение разреженного газа». Но при больших Л флуктуации вокруг одного решения могут изменить топологию и наложиться на флуктуации вокруг другого решения; этот эффект не будет подавлен, поскольку он не увеличивает сколько-нибудь значительно действие. Один из способов, позволяющих избежать наложения флуктуаций, состоит в добавлении к действию члена l^(e)d^x, фиксирующего конформную калибровку, в которой вычислен континуальный интеграл (5.4), взятый по конформным множителям. При этом интеграл для Z принимает следующий вид:

Z [Л] = J Z> [Q] D [е] det аД ехр (- 7 [е, Q]),(5.12)

где

7[е, Q] = - * \ (3QAQ - AQ，— 8ла/?2)(е) d% - 16а/г2 [е0].

(5」3)

Член det аД в (5.12) — дух Фаддеева — Попова, а последний член в (5.13) введен для того, чтобы член, фиксирующий кали-

бровку, обращался в нуль на решении е0. В отличие от действия 、R(e)d4% член ^ R2(e)d4x1 определяющий калибровку, по-види- мому, не остается ограниченным, когда метрика меняет топологию, проходя через вырожденную метрику. Это могло бы ограничить разложение в ряд по теории возмущений топологией того решения, в окрестности которого производится разложение, и воспрепятствовать наложению на разложения в ряд по теории возмущений, производимые в окрестности других реще； ний. Таким образом, обращение члена ^ /?2 (е) d4x в бесконечность могло бы привести к разложению в ряд теории возмущений, которое по крайней мере формально перенормируемо. То обстоятельство, что это был лишь член, задающий калибровку, а не часть самого действия, возможно, позволит избежать некоторых патологий, связанных с такими членами.

Намеченный нами подход не привел пока к каким-либо новым результатам. Тем не менее ничто не мешает оценить обычный однопетлевой член L в окрестности решения с эйлеровой характеристикой %

(5.14)

где V ——проинтегрированная аномалия следа для гравитации [26]:

106% . 73杷

а величина Ло связана с нормировочной константой ц. Таким образом, метрика с эйлеровой характеристикой % дает вклад в 2 вида

(■^)Гехр(Ь%Ат),(5.16)

где b = d2/8m Это дает точку стационарной фазы в обратном преобразовании Лапласа (5.3) для ^( V) при Л = Л5, где

'As = 4心卜士 (联+警丹(5.17)

Сравнивая вклады от метрик с различными %, мы видим, что основной вклад соответствует соотношен!)

-П~Чп(^-) + 6ЛГ1=0.(5.18)

При Ао ~ 1 ему удовлетворяет % 〜V, т. е. на планковский объем приходится одна единица эйлеровой характеристики или один гравитационный инстантон.

ЛИТЕРАТУРА

Perry М Л, Nucl. Phys., В (to be published).

York Л, Phys. Rev. Lett, 28, 1082 (1972).

Gibbons G.步.，Hawking S.步.，Phys. Rev., DI5, 2752 (1977)..

Gibbons G.步.，Hawking S.历.，Perry M. J., Nucl. Phys., В (to be published).

Hawking S. W.f Phys. Rev.,D (to be published).

Page D M, Phys. Rev., D (to be published).

Hawking S. W., Phys. Rev., D13, 191 (1976).

Jackiw R, Rebbl C., Phys. Lett., 67B, 189 (1977).

Geroch R. P., J. Math. Phys., 9, 1739 (1968); 11, 343 (1970).

Isham C.丄，Spinor Fields in Four Dimensional Spacetime, Imperial College preprint, 1978.

Penrose R“ Proc. Roy. Soc., A284, 159 (1965).

Dowker 丄 S., Critchley R.，Phys. Rev., D13, 3224 (1976).

Hawking S.步.，Comm. Math. Phys., 55, 133 (1977).

Yau S. T., Schoen R., Incompressible Minimal Surfaces, Three Dimensional ■ Manifolds with Non-Negative Scalar Curvature, and the Positive Mass Conjecture in General Relativity.

Hawking S.呪，The Event Horizon in: Les Ast res Occlus, ed. B. S. deWitt and С. M. deWitt, Gordon and Breach, 1973.

Eguchi T., Hanson A. Z.f Phys. Lett, 74B, 249 (1978).

Gibbons G.呪，Hawking S.呪，Gravitational Multi-Instantons, D. A. M. T. P. preprint.

Hiichln Nin preparation.

Penrose R, J. Gfen. Rei. and Gravitation, 7, 31 (1976).

Pope C. AZ., Hawking S.步.，Symmetry Breaking by Instantons in Supergravity, D. A. M. T. P. preprint...

Perry M. /., Nucl. Phys., В (to be published).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., The Auxiliary Fields of Supergravity, CERN preprint

Stelle *, West P., Minimal Auxiliary Fields for Supergravity, Imperial Col~ 1 哆e preprint.

wheeler 丄 4, in: Relativity Groups and Topology, Proceedings of the Les Houches Summer School, 1963, ed. by B. S. deWitt and С. M. deWitt, Gordon and Breach, New York, 1964.

Hawking S.步” Spacetime Foam, D. A. M. T. P. preprint.

Gibbons G. IF., Perry M.丄，Quantizing Gravitational Instantons, D. A. M. T. P. preprint.

Duff M. Л, Abstracts of Contributed Papers for GR VII Conferences, Waterloo, Ontario, 1977.

Пространственно-временная пена

С. У. Хокинг

Hawking S.呪 1), Nuclear Phys-, B114, 349 (1978)

Введение

Уилер [1] заметил, что в квантовой теории гравитации на мелкомасштабных расстояниях следует ожидать очень больших флуктуаций метрики и даже топологии пространственно-временного многообразия. Объясняется это тем, что в отличие от действия для полей Янга ——Миллса или электромагнитного действие для гравитационного поля не обладает масштабной инвариантностью. Это означает, что сильные флуктуации метрики на мелкомасштабных расстояниях не обладают очень большим действием, поэтому их вклад в континуальный интеграл не подавлен. Более того, метрика может изменить топологию, даже если действие не возрастает больше, чем на произвольно малую величину. В этом можно убедиться с помощью исчисления Редже [2]. По схеме Редже пространственно-временное многообразие разлагают в симплициальный комплекс. Каждый 4-симплекс считается плоским и определяется длинами ребер (1-симплексов). Однако углы между гранями (2-симплексами) в общем случае таковы, что 4-симплексы невозможно объединить в плоское 4-мерное пространство. Таким образом, существует некое искажение, представимое в виде б-функции, сосредоточенной на гранях. Полное действие имеет вид

-靑-R(g)"-—去24由，

где сумма берется по всем симплексам, 4 — площадь i-ro 2-симплекса, б( — дефект 4-го 2-симплекса, т. е. б( = 2л минус сумма углов между 3-симплексами, примыкающими к i-му 2-симплексу.

Симплициальный комплекс, на котором действие стационарно относительно малых вариаций длин ребер, можно рассматривать как дискретную аппроксимацию гладкого решения уравнений Эйнштейна. Вместе с тем можно считать, что исчисление Редже определяет действие на некотором классе метрик точно, без какой бы то ни было аппроксимации. Такое действие

University of Cambridge, D.A.M.T.P., Silver Street, Cambridge, England.

8

North-Holland Publishing Company

Перевод на русский язык,《Мнр», 1983

остается хорошо определенным и конечным, даже если длины ребер выбраны так, что некоторые симплексы вырождаются в симплексы меньшей размерности. Например, если а, 6, с — длины сторон треугольника (ребра 2-симплекса), то они должны удовлетворять неравенствам а < & + ^ и т. д. Если а > 6 + с, то 2-симплекс вырождается в 1-симплекс. В общем случае симп- лициальный комплекс перестает быть многообразием при вырождении некоторых симплексов в симплексы меньшей размерности, но действие остается вполне определенным. 《Раздув》 некоторые из симплексов так, чтобы они превратились в симплексы большей размерности, можно получить новое многообразие с другой топологией. Раздувая и схлопывая симплексы, мы можем непрерывно переходить от одной метрической топологии к другой, причем действие будет неизменно оставаться конечным. С иной ситуацией мы столнулись бы, если бы гравитационное действие содержало, как предлагали некоторые авторы, члены, квадратичные по кривизне. Однако такого рода дополнительные члены, видимо, обладают весьма нежелательными свойствами [3].

Так мы приходим к картине, которую Уилер назвал《иеной》 и в которой пространство-время на крупномасштабных расстояниях представляется гладким и почти плоским, но на мелкомасштабных расстояниях порядка планковской длины сильно искривлено и наделено всевозможными топологиями. В этой статье я попытаюсь построить математическую схему для описания такой пеноподобной структуры пространства-времени. Я буду использовать подход, основанный на континуальном интеграле, так как, насколько можно судить, только такой подход позволяет справиться с нетривиальными топологиями [4—6]. Чтобы улучшить сходимость континуального интеграла, я буду работать в «евклидовом режиме», т. е. вычислять интеграл по всем положительно определенным метрикам, а полученные результаты в случае необходимости продолжать аналитически в лоренцев режим. Поскольку пена, по-видимому? простирается повсюду, асимптотически евклидовы метрики, т. е. ^метрики, стремящиеся к плоской метрике на R" вне некоторой ограниченной области, непригодны. Чтобы избежать необходимости вводить граничные члены в действие [4] и все же обеспечивать конечные метрики с конечным действием, я буду рассматривать только компактные многообразия. Этим я отнюдь не утверждаю, что реальное пространственно-временное многообразие чепременно должно быть компактным. Рассмотрение компактных многообразий — не более чем удобный прием введения нормировки, аналогичный введению 《ящика》конечных размеров с периодическими условиями на стенках в обычной квантовой механике. Компактные многообразия позволяют вычислять плотность некоторых величин в единичном 4-объеме пространства-

времени, а затем переходить к пределу при 4-объеме 匕 стре* мящемся к бесконечности. Для этого к обычному гравитационному действию—^T、R(g)"d4% удобно добавить член типа источника ЛУ/8л, где Л — множитель Лагранжа. Коэффициент 1/16л выбран из соображений удобства. Этот член имеет такой же вид, как и обычный космологический член, хотя он включен в действие по совершенно иным мотивам и принимает другое значение: как показывают наблюдательные данные, любой космологический член настолько мал, что величиной его почти всегда можно пренебречь, в то время как множитель Лагранжа А дает главный вклад, если он отрицателен и имеет величину порядка 1 в единицах Планка. В некоторых теориях супергравитации [7, 8] члены с А имеют тот же знак, что и у нас, и принимают значения, связанные со значениями констант связи векторных частиц. Поэтому некоторые идеи данной статьи могут найти применение в этих теориях.

Можно надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики вблизи точек стационарной фазы действия, содержащего A-член. Это приводит к рассмотрению положительно определенных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна с A-членом на компактных многообразиях с очень сложными топологиями. При больших значениях эйлеровой характеристики % решения, по-видимому, существуют только при отрицательных А (со знаком, противоположным знаку для S’)， и действие для таких решений имеет величину порядка —%A-i. На интуитивном уровне эту оценку можно интерпретировать как сумму действий % «гравитационных инстантонов», каждый из которых обладает действием порядка А-1. Поскольку вид конформной аномалии известен [9], можно оценить однопетлевые члены. В случае чистой гравитации эти оценки позволяют предположить, что главный вклад в континуальный интеграл дают метрики с эйлеровой характеристикой % порядка 匕 т. е. дающие один инстантон на единицу планковского объема. В случае теорий супергравитации с A-членом удается определить предпочтительное значение для константы связи е.

План настоящей статьи заключается в следующем. В разд. 2 рассматривается топология компактных 4-мерных многообразий. Односвязные многообразия со спинорной структурой, по- видимому, допускают классификацию по эйлеровой характеристике % и сигнатуре т. В разд. 3 вводится объемный канонический ансамбль и определяются статистическая сумма Z[A] и плотность состояний ^(V). В разд. 4 рассматриваются классические решения уравнений Эйнштейна с A-членом. Вычисляются границы и оценки для действия решений с большими значениями эйлеровых характеристик. В разд. 5 приведено разложение континуального интеграла, взятого по всем метрикам, на

интеграл по конформным множителям, который в свою очередь интегрируется по классам конформной эквивалентности метрик. Точками стационарной фазы при первом интегрировании яв‘ ляются метрики с R = const, а при втором интегрировании — классические решения. В разд. 6 вычислена оценка кoнтинyaль^ ного интеграла для Z[A] в однопетлевом приближении. Из нее следует, что главный вклад в число состояний с заданным объемом V дают эйлеровы характеристики % порядка V, т. е. эйлеровы характеристики, соответствующие одному гравитацион* ному инстантону на единицу планковского объема. В разд. 7 рассмотрены теории супергравитации с внутренней симметрией. Континуальный интеграл достигает максимума при некоторых «избранных» значениях е‘ константн связи.

Топология

Существуют 2 топологических инварианта, представимые в виде интегралов от кривизны положительно определенной метрики на 4-мерном ориентируемом компактном многообразии: эйлерова характеристика

% =击 \ /UdRefgA产％"酬(g)" *(2,1)

и сигнатура

Т =姦,RabcdR 叫俨 ef (g)% d气.(2.2)

Эйлерова характеристика равна альтернированной сумме чисел Бетти ；〔 ：' ■ ' ---」

% ~BQ — 8[ + & — 8з + В4.(2.3)

Число Бетти Вр (р-е число Бетти) равно числу независимых гармонических р-форм. Независимые гармонические 2-формы (их число равно В2) можно подразделить на В 一 автодуальных и ВГ антиавтодуальных 2-форм. Сигнатура t равна В^ — ВГ. Кроме того, сигнатура т равна 8(几+ ——и-), где п+ и 枕〜一числа решений безмассового уравнения Дирака с правой и левой спиральностью соответственно. Так как п+ и и- — всегда целые четные числа, то многообразие допускает спинорную структуру только в том случае, если сигнатура t кратна 16 (необходимое, но не достаточное условие). Достаточное условие состоит в том, что число самопересечений любого 2-цикла должно быть четным. Число самопересечений 2-цикла — это число пересечений 2-цикла со слегка смещенной копией самого себя. Точка пересечения учитывается с положительной кратностью +1, если ориентация в касательном пространстве точки пересечения согла-

суется с ориентацией, задаваемой индуцированными ориентациями касательных плоскостей к двум 2-поверхностям.

Для компактного многообразия 8° = 84 = 1 и Bj = 83. Если многообразие односвязно, то 8】=83 = 0. Мне не ясно, нужно ли рассматривать в квантовой теории гравитации неодносвязные многообразия. Имеются следующие аргументы в пользу того, что этого не нужно, делать.

Топологии компактных неодносвязных 4-мерных многообразий невозможно классифицировать, т. е. не существует алгоритма, который позволял бы решать, гомеоморфны ли два таких многообразия. Это утверждение следует из того, что любая конечно порожденная группа может быть фундаментальной группой Jii(M) некоторого компактного 4-мерного многообразия М [10]. Доказано [11], что такие группы не поддаются классификации. Ситуация становится более благоприятной, если ограничиться рассмотрением односвязных компактных 4-мерных многообразий. Действительно, если |т|=#% — 2 и многообразие допускает спинорную структуру, то у и т характеризуют многообразие с точностью до гомотопии [12] (два многообразия М и ^ называются гомотопными, если существуют отображения f: МтN н g: N fM, такие, что композиции fog agof гомотопичны тождественным отображениям на ^ и 7И соответственно). Позво^ ляют ли % и т классифицировать многообразия с точностью до гомеоморфизмов, пока не ясно, но ни контрпримеров, ни доказательства неразрешимости найти не удалось. Не решен и вопрос о том, позволяет ли эйлерова характеристика % классифицировать гомотопический тип многообразия при |т| = % ——2.

Утверждение о необходимости исключить из рассмотрения неодносвязные многообразия только потому, что их невозможно классифицировать, несколько напоминает анекдот о человеке, который искал ключи под фонарным столбом только потому, что там светло и он мог бы их разглядеть. В действительности «классифицируемость» многообразий вряд ли столь существенна, поскольку слишком сложные топологии, вероятно, нужно изучать не точно, а на той или иной статистической основе. Имея неодносвязное многообразие, мы можем «развернуть» его и перейти к односвязному универсальному накрывающему многообразию. При В】=# 0 оно будет некомпактным, но его всегда можно замкнуть или компактифицировать при каком-то большом объеме, лишь незначительно изменив действие на единицу объема. Именно поэтому в большинстве случаев я рассматриваю односвязные многообразия с х = 2 + В2 и В2, равным рангу 冗2(М), т. е. числу гомотопически неэквивалентных отображений 2-сфер в М. В каждом гомотопическом классе найдется гладко погруженная 2-сфера с минимальной поверхностью, но эта 2-сфера может самопересекаться. Такие минимальные сферы во многом аналогичны 2-сферам горизонта черных дыр

с евклидовыми метриками. Вблизи минимальной 2-поверхностя функция Грина периодична по мнимой координате времени, относительно которой метрика почти стационарна. Вдали от минимальной 2-поверхности метрика утрачивает стационарность, и координаты, задаваемые различными минимальными 2-поверхностями, не согласуются между собой. Это приводит к картине пространства-времени, напоминающей «газ》из % — 2 черных дыр или гравитационных инстантонов.

Объемный канонический ансамбль

Статистическая сумма Z [0] для теплового канонического ансамбля поля 屮 при температуре Т = р™1 определяется выражением

Z[B] = Z〈<P“lexp(—B〃)®〉，(3.1)

где сумма берется по полному ортонор мированному базису состояний ⑶小 Ту же статистическую сумму можно представить и в виде континуального интеграла

z用=\о[<р]ехр(—7闸)，(3.2)

где D[(p] — мера на пространстве всех полей гр, / [ф]——евклидово действие поля ср; интеграл берется по всем полям, периодическим с периодом В по евклидовой координате времени. В частности, этим определением можно воспользоваться для вывода энтропии черных дыр [4—6].

Статистическую сумму Z[A] для того, что я называю «объемным каноническим ансамблем», можно ввести следующим образом:

Z阳= 2〈g/exp(—(黑))辰〉，(3-3)

где V — 4-объем, а сумма берется по полному ортонормирован- ному базису состояний |g〉 гравитационного поля. При этом неявно предполагается, что метрика компактна н 4-объем имеет смысл. Таким образом, Z [Л] можно представить в виде континуального интеграла:

Z[A] =，O[g]exp(-?[g]),(3.4)

где D[g] — мера на пространстве всех метрик g,

f囿=一全\依一2A胞)'/"气(3.5)

—евклидово действие гр а вит ационного поля с учетом Л-члена, а континуальный интеграл берется по всем метрикам на всех

компактных многообразиях. Статистическую сумму 7[Л] можно было бы поэтому считать аналогом функционала Z[J]f обычно интерпретируемого как амплитуда сопротивления вакуума при наличии источников J. В рассматриваемом случае такая ннтер~ претация не подходит, так как из-за компактности многообра- зия нет ни начальных, ни конечных асимптотических областей.

Статистическую сумму Z [Л] можно рассматривать как преобразование Лапласа от N(V), где N(V)dV——число состояний гравитационного поля, заключенных в интервале 4-объемов от Удо V+dV:

Z[A]= ^(V)exp(--^) dV.(3.6)

О

Тогда ^(У)—обратное преобразование Лапласа от Z[A]：

+ i со

乂#)=表 S Z[A]exp(4^)dA.(3.7)

—i co

В (3.7) контур интегрирования проходит справа от любой сингулярности функции Z[A], Этим достигается равенство N(V) = =0 при V W 0.

Классические решения

Существует определенное число известных положительно определенных метрик, являющихся решениями уравнений Эйнштейна с A-членом на компактных многообразиях (перечень таких метрик приведен в работах [6, 16]). Не следует ожидать, однако, что нам удастся найти в явном виде решения на многообразиях со сложной топологией. Тем не менее можно получить оценки для действия решений на таких многообразиях.

Будем искать решения уравнения

Rab = kgab・(4-1)

Из соображений размерности следует, что объем V любого такого решения связан с А соотношением

A = — fV-%,(4.2)

где f — константа (положительная или отрицательная), зависящая от топологии и от выбора частного решения, если существует более чем одна топология (что маловероятно). Евклидово действие I (содержащее A-член) определяется выражением

'—8лД *

Нижняя граница константы f равна —(24) %冗,что соответствует значению, принимаемому f на 4-мерной сфере. Верхнюю границу

можно вывести из соотношений (2.1) и (2.2). Для решений уравнения (4.1) эти соотношения имеют вид

% =裝a(4"£严" + 2 差A2)®%现,(4.4)

т =表,CabcL (g)% 力%,(4.5)

где С。”一 тензор Вейля и *Cabcd = -~ ea^fCefcd.Комбинируя соотношения (4.4) и (4.5), получаем неравенство

2% — 31 т I ~2 ；(4・6)

знак равенства достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля автодуален или антиавтодуален, т. е. если Саьса = =士*&bcd・

Из соотношения (4.4) видно, что при больших значениях эйлеровой характеристики справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

а)产 велико,

интеграл J CabcdCabcd (g^12 d4x велик.

В первом случае константа / должна быть положительной (а параметр Л — отрицательным), так как для нее существует нижняя граница, равная — (24)%зт. Во втором случае тензор Вейля должен быть большим. Как и в обычной общей теории относительности, это оказывает фокусирующее действие на геодезические (они сходятся сильнее), аналогичное действию положительного тензора Риччи. Однако между любыми двумя точками в пространстве должна существовать геодезическая минимальной длины, не содержащая сопряженных точек. Следовательно, чтобы кривизна Вейля не сводила геодезические слишком быстро, необходимо ввести отрицательный тензор Риччи или Л-член порядка ——CabcdCabcdUt где L ——характерный масштаб длины порядка U%%~% (число единиц длины, приходящихся на единицу эйлеровой характеристики). Таким образом, можно ожидать, что оба члена в правой части соотношения (4.4) будут сравнимыми по величине, а константа f будет порядка %%%, где d&2(3)% 九

Изложенные выше соображения подкрепляются рядом примеров,, за которые я весьма признателен Н. Хитчину. Нижняя граница d =2 (3),/2л достигается на пространствах постоянной кривизны, которые можно, профакторизовав, превратить в компактные с любой эйлеровой характеристикой и т = 0. Пространства постоянной голоморфной секционной кривизны имеют d = =6%л. Произведения двух 2-мерных пространств постоянной

кривизны имеют d = 2л н т = 0. Для алгебраических гиперповерхностей d = 2%л. Существует целое семейство пространств, являющихся пересечением гиперповерхностей в комплексном проективном пространстве. Им соответствуют значения d, плотные в интервале 2%冗 V d V 2n. Произведения пространств и пространства постоянной кривизны неодносвязны, остальные — односвязны.

Если многообразие допускает кэлерову структуру, то

(4・7)(4・7)心"=с： & 3%,

(4・7)

(4・7)

где cj—первое число Черна, которое всегда целое. По теореме Макса Нетера

%&5с； + 36,(4.8)

npoc/npammSa лослюянной кривизныnpoc/npammSa лослюянной кривизныРис. 1. Зависимость f2 == Д2У от эйлеровой характеристики у Для решений уравнений Эйнштейна на компактных- многообразиях. В заштрихованных областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.Рис. 1. Зависимость f2 == Д2У от эйлеровой характеристики у Для решений уравнений Эйнштейна на компактных- многообразиях. В заштрихованных областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.

npoc/npammSa лослюянной кривизны

npoc/npammSa лослюянной кривизны

Рис. 1. Зависимость f2 == Д2У от эйлеровой характеристики у Для решений уравнений Эйнштейна на компактных- многообразиях. В заштрихованных областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.

Рис. 1. Зависимость f2 == Д2У от эйлеровой характеристики у Для решений уравнений Эйнштейна на компактных- многообразиях. В заштрихованных областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.

поэтому в пределе при больших % выполняется неравенство d>(^)“ 砍，Эти границы и примеры изображены на рис. 1, предложенном Дж. В. Гиббонсом. При малых значениях % существуют такие примеры, как S', СР2 и S2 X S2, с отрицательными значениями Д Переход от отрицательных значений к положительным, по-видимому, происходит в точке КЗ, которая соответствует единственному (с точностью до факторизации) компактному многообразию, допускающему положительно определенную метрику с автодуальной кривизной [17, 18]. По-види- мому, для любого многообразия с %, большим чем 24 (значение, соответствующее точке КЗ), константа / имеет положительное значение.

Интересно также рассмотреть число т модулей этих примеров, или, иначе говоря, число свободных параметров, которые они содержат. Для пространств постоянной кривизны /и=0, но для гиперповерхностей т 〜、同、а для произведений кривых /и = 9%. Все это наводит на мысль, что «большинство» решений заключено в интервале 2%л W d W 2几・

Конформные свойства

При конформном преобразовании gab = Q^gab скаляр Риччи переходит в

^ = 6Й"3ЛЙ,(5.1)

где 4——конформно инвариантный оператор — □ + ^R・ Действие (с Л-членом) преобразуется к виду

г囿=-聂，(3QZQ — ЛЙ4) (g)'/! d^.(5.2)

Следовательно, чтобы вычислить континуальный интеграл для Z[A], пространство положительно полуопределенных метрик g можно разбить на классы конформной эквивалентности {g}. Введем величину У[{§•}, Л], определяемую соотношением

У = , О [Q] ехр (- Лад.(5.3)

Поскольку оператор А входит в (5.2) со знаком минус, контур интегрирования конформного множителя следует повернуть так, чтобы он расположился параллельно мнимой оси [14]. Тогда мы получим Z, интегрируя по классам конформной эквивалентности метрики

Z[A]=W[{g"[{g}, Л].(5.4)

Следовательно, Z — среднее от Хср4-теории по всем классам конформной эквивалентности метрики.

Одна точка стационарной фазы интеграла (5.3) для У возникает при Q = 0. Но действие в этой точке равно нулю независимо от g и Л. Более интересная точка стационарной фазы встречается при А = 4Л. Природа такой точки определяется спектром {九小 屮力 оператора А, где

4р“ = 統屮%・(5・5)

Собственные функции(р„ можно пронормировать так, чтобы выполнялось соотношение

$флфт(^)'/1^ = ба6.(5.6)

Как показано в работе [14], числа отрицательных и .нулевых собственных значений (но не сами значения) оператора А инвариантны относительно регулярного конформного преобразования, т. е. такого, у которого конформный множитель не обращается в нуль. Можно показать, что собственная функция фо, соответствующая наименьшему собственному значению %о, нигде не обращается в нуль. Следовательно, ее можно использовать в качестве конформного множителя в регулярном конформном преобразовании, переводящем R в R, знак которого всюду совпадает со знаком %о- Несколько труднее найти регулярное конформное преобразование в метрику g[ такую, что величина Л =——1/4R' постоянна и 4-объем V = L Я могу доказать, что метрика g' единственна при %0 W 0. Вероятно, g' единственна и при %о》0, но этого я доказать не могу.

Величина Л ——функционал на классе конформной эквивалентности {g}. Она достигает локального минимума, равного —(24) %几，на стандартной метрике на S4 и принимает стационарное значение на каждом решении уравнений Эйнштейна с Л-членом. На каждом таком решении функционал Л равен величине /, введенной в предыдущем разделе. Функционал Л для метрик в исчислении Редже сохраняет все хорошие свойства даже в тех случаях, когда некоторые из симплексов вырождаются в симплексы меньшей размерности. Правдоподобно поэтому, что такие функционалы h можно задать на пространстве Н всех положительно полуопределенных метрик на компактных ориентируемых односвязных многообразиях со всеми возможными топологиями, допускающими спинорную структуру. Таким образом, пространство Н — своего рода бесконечномерное многообразие с «рукавами» и дырами, в числе точек которого содержатся вырожденные (т. е. не положительно определенные) метрики, которые позволяют совершать непрерывный переход

от одной топологии пространственно-временного многообразия к другой.

Следовательно, й можно представлять себе как функцию, заданную на пространстве Н с локальным минимумом на S’ и стационарными точками на решениях, о которых шла речь в предыдущем разделе. Поскольку все эти стационарные точки расположены выше локального минимума, следует ожидать, что они седловые, т. е. что гессиан (матрица вторых производных от К} имеет отрицательные собственные значения, причем число их тем больше, чем больше эйлерова характеристика %. «Скатываясь» из седловой точки, можно попасть, проходя через вырожденные метрики, в другую седловую точку, соответствую』 щую меньшему значению эйлеровой характеристики %. Если предположить, что хит позволяют классифицировать компактные ориентируемые односвязные многообразия со спинорной структурой, и воспользоваться оценками, полученными в предыдущем разделе, то нетрудно прийти к заключению, что число седловых точек при значениях й, меньших некоторого заданного значения h\ или равных /ib конечно. Однако, как показывает пример многообразия S2 X 52, й не имеет нижней границы, за исключением, возможно, областей Н, соответствующих метрикам с эйлеровой характеристикой, большей некоторого значения %i порядка 24 ——значения эйлеровой характеристики для КЗ.

Континуальное интегрирование

Можно надеяться, что интеграл для Z[A], взятый по //, Т. е. по всем положительно полуопределенным метрикам на компактных многообразиях со всеми возможными топологиями, удастся аппроксимировать разложениями в окрестностях точек стационарной фазы, т. е. классических решений. Если параметр Л мал, то по мере удаления от стационарной точки действие претерпевало бы значительные вариации и можно предполагать, что основной вклад в интеграл по траекториям сосредоточен вблизи стационарных точек. Иначе обстояло бы дело при больших Л; в этом случае разложения в ряд по теории возмущений в окрестности различных решений в различных топологиях скорее всего значительно перекрывались бы. Один из способов, возможно позволяющих преодолеть эту трудность, состоит в оценке интеграла (5.3), взятого по конформным множителям, на конкретном представителе g класса конформной эквивалентности {g}, выделенного условием конформной калибровки R = 厶 где I — некоторая функция. Производя усреднение по всем калибровкам I с весовым множителем а = ехр (а，卩(g)'!, d4x^ и вводя соответствующий определитель

Фаддеева — Попова, мы получили бы

Z [А] = \。网 D 囿 det[a'M] exp (- 7 [Q, g]),(6.1)

где■

7= 一 * “3Qz4a — AQ4 - 8mR2)(g)% 壮标一16a尸.(6.2)

Последний член в (6.2) включен для того, чтобы на классическом решении выполнялось равенство 7 = 7. С возможным введением дополнительного члена ^RabRab это приводит к перенормируемому, по крайней мере формально, разложению в ряд по теории возмущений в окрестности классического решения. Члены R2 и R^Rab，фиксирующие калибровку, по-видимому, расходятся, если метрика становится вырожденной, и поэтому могут ограничить каждое разложение в ряд по теории возмущений единственной топологией. Этот подход (так же как и все действия с высшими производными) сталкивается с множеством проблем, поэтому в настоящей статье я буду оценивать Z[A] просто в однопетлевом или в В КБ приближении. Как уже упоминалось, получаемая оценка должна быть разумна при малых Л, но я надеюсь, что она информативна и при Л порядка единицы. Вклад в Z[A] от точки стационарной фазы или классического решения равен

z [Л, ^ = L [Л,灯ехр (~^),(6,3)

где £[Л, %] — однопетлевой член для гравитационных возмущений в окрестности решения. Поведение £ при изменении Л определяется аномалией следа или поведением гравитационных возмущений с Л-членом при масштабных преобразованиях [9];

£ = Л"\

где

Y = К鳥^-^ +嗇л9(犷因=曙+ £

(6.4) Таким образом, у имеет вид а%, где а》106/45. Такое поведение обусловлено тем, что на каждый инстантон приходится a дополнительных мод. Принятая нами картина пены заставляет ожидать, что In L будет пропорционален числу инстантонов %. Поэтому разумно, по-видимому, принять следующую зависимость:

lП(仑尸，(開)

где величина Ло связана с однопетлевым нормирующим множив телем? или регуляризатором 出

Если предположить, что унт позволяют классифицировать топологии и что при заданной эйлеровой характеристике % величина f достигает максимума при т = 0, то вклад в Z[A] от метрик с эйлеровой характеристикой % оказывается порядка z[Л,灯=(*)』ехр(繇)•(6.6)

Чтобы сумма величин Z[A, %] по всем эйлеровым характеристикам X сходилась, параметр Л необходимо выбирать малым и отрицательным. Получающееся выражение для Z [Л] можно продолжить аналитически на положительные значения Л. Выполнив точно обратное преобразование Лапласа от (6.6), мы получим вклад в ^(V) от метрик с эйлеровой характеристикой %:

"(匕 %)=， А产(卓)2 (学勺 прн У > О,(6.7)

、0 при U&0.

Но зависимость от параметров станет более ясной, если обратное преобразование Лапласа вычислить по методу стационарной фазы. В действительности к большей точности не следует и стремиться, так как величина Z[A, %] вычислена лишь в однопетлевом приближении. Точка стационарной фазы в интеграле (3.7) соответствует значению Л

人 =争一(欲 士 (a2%2 + 醬)") .(&8)

Поскольку контур интегрирования должен проходить справа от сингулярности при Л = 0, то квадратный корень следует выбрать со знаком плюс. Поэтому величину Z необходимо продолжить аналитически от отрицательных значений Л, при которых она определена первоначально. Это аналитическое продолжение эквивалентно умножению метрики на мнимый конформный множитель. Такой множитель необходим для сходимости интеграла (5.3), взятого по конформным множителям.

Метод стационарной фазы дает оценку

N (匕 ％) = Z[A$, %]ехр(*).(6.9)

Эйлерова характеристика, дающая основной вклад в ^(V)^ определяется уравнением

"唸® = 0.(6.10)

Интегрируя, получаем

+(6.11)

При Ло > й!2/8л из (6.11) следует As 〜А。，а при Ло < d2/8n имеем А$ 〜——d^/8na In Ло. И в том и в другом случае из (6.8) мы получаем оценку % 〜 eV, где с ——некоторая функция от Ло. Она подкрепляет картину пространственно-временной пены, поскольку ее можно интерпретировать как утверждение, что главный вклад в число состояний дают метрики, в которых на объем с~1 приходится один гравитационный инстантон.

Величину А丁％ можно рассматривать как форм-фактор, обрезающий логарифмически расходящийся однопетлевой член. Однопетлевой или квадратичный по возмущениям член в окрестности классического решения служит хорошим приближением лишь при больших длинах волн, но утрачивает точность при длинах волн, меньших планковской длины. Можно ожидать, что эти короткие волны подвержены сильным флуктуациям топологии, тогда как на расстояниях, превышающих масштаб планковской длины, флуктуации не сказываются сколько-нибудь заметным образрм на топологии. Следовательно, форм-фактор А『％ разумно выбрать порядка планковской длины. Как показывают приведенные выше вычисления, главный вклад дают метрики порядка одного гравитационного инстантона на единицу план- ковского объема. Однако к подобному выводу следует относиться с осторожностью, поскольку рассматриваемая нами ситуация находится на границе применимости ВКБ-приближения. Возможно, следовало бы принять иерархическую картину, в которой эффективная топология пространства-времени зависит от того, при каком увеличении мы рассматриваем картину. При малом увеличении топологии по существу нет, но при большом увеличении, позволяющем различать отрезки, длина которых меньше планковской, появляются все более и более сложные топологии.

В физике элементарных частиц такая картина пространственно-временной пены могла бы привести к предсказаниям, допускающим экспериментальную проверку. Инстантоны можно было бы рассматривать как виртуальные черные дыры, которые появляются и исчезают. Такие частицы, как барионы или мюоны, могут попадать в эти черные дыры и вылетать из них в виде элементарных частиц других разновидностей, создавая тем самым некий механизм барионного и мюонного распада. Амплитуды тех или иных реакций еще предстоит вычислить.

Супергравитация

В теории супергравитации объем пространства-времени не принадлежит к числу суперсимметрийных инвариантов. Это означаетэ что Л-член невозможно ввести как множитель

Лагранжа и получить не зависящие от калибровки величины Z[A] и ^(V). С другой стороны, в расширенных теориях супергравитации, в которых векторные частицы калиброваны внутренней группой симметрии О с константой связи е, эффективный Л-член пропорционален —е2. Этот результат вызвал сильное замешательство, поскольку он означает, что плоское пространство не является классическим решением теории и, следовательно, использование обычного разложения по диаграммам Фейнмана в окрестности плоского пространства незаконно. Однако, как показано в разд. 4, существуют обширные классы решений с эйлеровой характеристикой %, пропорциональной е’р, которые выглядят почти плоскими, если их рассматривать на расстояниях, превышающих е-1. По-видимому, существуют и другие классы классических решений, в которых негравитационные поля отличны от нуля и не связаны преобразованиями суперсимметрии с нулевыми негравитационными полями. Можно ожидать, что эти дополнительные решения связаны с какими-то новыми топологическими инвариантами, характеризующими негравитационные поля и дающими положительные, не зависящие от масштаба вклады в действие. Если бы это было так, то решения, о которых шла речь в разд. 4, могли бы давать главный вклад в статистическую сумму Z, которая зависела бы от е2 и была бы равна полному числу состояний в теории. Континуальный интеграл, взятый по всем негравитационным полям и всем метрикам с эйлеровой характеристикой 力 давал бы Z[e2, %]——число состояний с эйлеровой характеристикой %. В однопетлевом приближении

zd, %]〜(贵尸 eхp (春)， (7.1) при Л = А', где

величина Z[e2t %] достигает максимума. Заметим, что А' не зависит от нормирующей величины Ло и от %, так как показатель у в грубом приближении можно считать пропорциональным %; Z достигает максимальных значений при некоторых выделенных значениях е' константы связи. Трудно устоять перед искушением и не пуститься в спекуляции относительно того, что именно эти дискретные значения е' позволяют понять, почему безразмерные константы связи имеют те значения, которые мы наблюдаем в эксперименте. Однако подобные заключения носят чисто умозрительный характер. Чтобы они стали доказательными, требуется построить расширенную теорию, в которой константы связи были бы динамическими переменными»

ЛИТЕРАТУРА

L _х^ л^ л^L _х^ л^ л^11.12.13.14.15.16.17.18,11.12.13.14.15.16.17.18,Wheeler /. 4., in: Relativity Groups and Topology, eds. B. S. and С. M. De； Witt, Gordan and Breach, New York, 1964.

L _х^ л^ л^

L _х^ л^ л^

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18,

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18,

Regge Nuovo Cimento, 19, 558 (1961).

Stelle Phys. Rev., D16, 953 (1977).

Gibbons G.呪，Hawking S.呪，Phys. Rev. D15^ 2752 (1977)..

Hawking S. IF., Phys. Rev., D. (to be published).

Hawking S. IF. in General Relativity: An Einstein Centennary Survey, Cambridge University Press (to be published), March, 1979.

Freedman D. Z., Das 4, Nucl. Phys., B120, 221 (1977).

Васильев M, Фрад/син E. С. Препринт ФИАН.

Perry M.丄，Nucl. Phys., В (to be published).

Massey IF. F., Algebraic Topology an Introduction, Harbrace College, Mathematical Series (Solomon Bochner and W. G. Lister, Editors), Harcouft, Brace and Worlds Inc. N. Y. (Chicago) San Francisco/Atlanta, (1967).

Markov M, Proc. Inc. Congress of Mathematicians, 1958.

Whitehead /. H. Amer. J. Math., 72, 1 (1952).

Hawking S・ IT, Phys. Rev., D13, 191 (1976).

Gibbons G.呪，Hawking S.呪，Perry M 丄，Nucl. Phys., В (to be published) .

Page D. M, Phys. Rev., D (to be published).

Gibbons G.呪，Hawking S. IF., The Classification of Gravitational Instanton Symmetries, preprint, 1978.

Hitchin M, Journal of Diff. Geo., 9, No. 3, 435 (1974).

У也 S・ Г, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S・，74, 1798 (1971).

Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей Янга—Миллса

М. /С Прасад

Prasad М・ KD, Physica ID (1980), 167—191.

Обзорная статья, посвященная инстантонам и монополям и рассчитанная на тех, кто не знаком с теориями калибровочных полей Янга ——Миллса. Даются уравнения основных полей и их известные решения с краткими физическими мотивировками и минимумом математического аппарата. Особое внимание уделяется еще не решенным проблемам.

Введение

Постепенно формируется убеждение, что четыре фундаментальных физических взаимодействия (гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное) обусловлены калибровочными полями.

L Электромагнитное взаимодействие. Это взаимодействие —— наиболее изученное из всех физических взаимодействий. Калибровочная теория описывает взаимодействие между калибровочными частицами, называемыми фотонами (свет!), и электрически заряженными частицами, такими, как электрон. В сочетании с принципами квантовой механики теория, называемая КЭД (квантовая электродинамика), достигла эффектного успеха в объяснении эксперимента. Например, теоретическое и экспериментальное значения магнитного момента электрона совпадают с точностью до девятого знака!

Слабое взаимодействие. Нобелевская премия по физике 1979 г. была присуждена Глэшоу, Саламу и Вейнбергу за их работу по объединению электромагнитного и слабого взаимодействий посредством калибровочной теории. Часть этой теории, относящаяся к слабому взаимодействию, описывает взаимодействие между еще не наблюдавшимися калибровочными частицами, называемыми промежуточными бозонами, и известными частицами, в частности нейтрино. Хотя эта теория не так надежно обоснована, как электромагнетизм, она достигла значительных успехов в упорядочении экспериментальных данных.

1) Institute for Theoretical Physics, State University of New York, Stony Brook, Long Island, N.Y. 11794, USA.

© North-Holland Publishing Company

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

В частности, она предсказала существование《очарованных》 частиц, которые впоследствии были открыты Рихтером и Тингом (и их сотрудниками), за что они получили в 1976 г. Нобелевскую премию по физике.

Сильное взаимодействие. Калибровочная теория описывает взаимодействие между калибровочными частицами, называемыми 《глюонами》，и сильно взаимодействующими частицами, называемыми адронами (такими, как протоны и нейтроны), которые, по-видимому, состоят из (еще не наблюдавшихся!) 《кварков》.В сочетании с принципами квантовой механики теория, называемая КХД (квантовая хромодинамика), объясняет, почему протоны иа очень малых расстояниях ведут себя так, как будто они состоят из точечных объектов, названных партонами. Важнейшая проблема в КХД — объяснить явления, связанные с большими расстояниями, в частности почему мы не наблюдаем кварки и глюоны как физические объекты. Это — так называемая проблема - удержания (конфайнмента) кварков. Газета «Нью-Йорк тайме» (31 августа 1979 г.) сообщила об экспериментах, которые подтверждают кварк-глюон- ную картину КХД.

Гравитационное взаимодействие. Это взаимодействие известно дольше всех остальных； по общепринятому мнению оно описывается калибровочной теорией, хотя детали еще подлежат выяснению. По иронии судьбы гравитация до сих пор не поддалась объединению с квантовой механикой. Квантование гравнта- ции — одна из самых острых проблем в современной теоретиче- ско立 физике. Еще более грандиозный замысел ——объединение с помощью калибровочной теории всех четырех фундаментальных взаимодействий — создание так называемой теории супергравитации.

Таким образом, очевидно, что. принятие калибровочного поля имеет глубокие корни в физических явлениях. Поэтому физики с крайним изумлением восприняли весть, что понятие калибровочного поля совпадает с геометрическим понятием расслоенного пространства, которое было развито математиками совершенно безотносительно к физической реальности 1).

При этом не только калибровочное поле есть геометрическое понятие, но оказывается еще, что топологическая сложность является важной характеристикой калибровочного поля. Это было понято недавно (в течение последних пяти лет), после открытия магнитного монополя т'Офтом и Поляковым и инстантона Белавиным, Поляковым, Шварцем и Тюпкиным.

Точнее говоря, калибровочные поля суть связности и сечения расслоенных пространств. — Прим. реО.

Физическая интерпретация магнитных монополей очень проста: они могут существовать как физические объекты (как предположил Дирак много лет назад), должны быть устойчивы по отношению к распадам, протяженны (не точечные) и очень тяжелы. Решения в виде магнитных монополей могут также иметь косвенные физические приложения благодаря их специальной роли в теоретических моделях, таких, как КХД, но эти приложения еще не выяснены.

Физический смысл инстантонных решений много тоньше, в частности они очень важны в КХД (некоторые даже думают, что инстантоны могут разрешить проблему удержания кварков!). В настоящее время в физике проявляется огромная активность в этом направлении.

Пионерская работа Янга и Миллса легла краеугольным камнем в основания теоретической физики, где концепция калибровочных полей обусловлена чисто физическими соображениями. Для понимания физики калибровочных полей мы рекомендуем читателю изучить оригинальную статью Янга и Миллса, так как никакой обзор не может сравниться с ясностью изложения авторов. Цель настоящей обзорной статьи — описать для неспециалистов основные аспекты инстантонных и монопольных решений в калибровочной теории Янга ——Миллса. Порядок изложения в обзоре скорее логический, чем исторический, поскольку история открытий, особенно в отношении монопольных решений, чрезвычайно запутана.

Предварительные математические сведения

Цель этого раздела — ввести условные обозначения и дать математические формулы, которые мы будем использовать в наших вычислениях.

Рассмотрим М-мерное пространство с координатами хц = =(尤1,尤 2, •…，尤 м) (индекс ц принимает значения 1, 2, ..., М). Метрика этого пространства задается символом Кронекера 6尸, где

(2.1)(2.1)к = , + 1 прн 卩=v,I 0 при р. #= V,

(2.1)

(2.1)

так что между контравариантными и ковариантными индексами нет различия:尤乩 м 尤卩.В частности, скалярное произведение любых двух М-векторов。以 н 匕以 имеет вид

ар,% == ар,6”6|лу ===。1仇 *4"出6q *4" ■ ■ ■。乂6乂’(2.2)

где мы, как и всюду ниже, пользуемся эйнштейновским правилом суммирования по повторяющимся дважды индексам.

Полностью антисимметричный постоянный тензор е叱，也，…，11M в М-мерном пространстве определим как

(2.3)(2.3)+ 1, если 卩 1,卩2, ♦…，卩м — четная перестановка 1, 2, 3,М,

(2.3)

(2.3)

—1, если 卩［,岷，…，卩м —нечетная перестановка 1, 2, 3,…，Af,

О в остальных случаях.

Для тензора 8 справедливо следующее тождество:Для тензора 8 справедливо следующее тождество:

Для тензора 8 справедливо следующее тождество:

Для тензора 8 справедливо следующее тождество:

где I.. .| обозначает определитель. Таким образом, определитель матрицы Дцу порядка М есть

det Дц-у ^-^-8ир ц2>jiM8，vr v2*1VM4i，1Vl4%，v2 ''' 4м，1VM.

(2.5)

След матрицы 4乩丫 равен

Tr A^V = A^(2.6)

Матрицу с нулевым следом будем называть бесследовой. Для любых двух матриц 4 и В имеем

Тг АВ = Тг 84 det (48) = (det 4) (det В).(2.7)

Эрмитово сопряженную и обратную матрицы для матрицы А будем обозначать Д+ и 4"1 соответственно. Матрица £ является эрмитовой, если L+ = L; она является антиэрмитовой, если £+ =—厶 и унитарной, если L+ = £"•

Дифференцирование по 尤乩 будем обозначать символом ди, так что

电 w-^rH含"'两'"^7)，⑵8)

Для матрицы, зависящей от хц, имеем тождество

Тг (Д-^цД)曰 改1才电 det 4 曰。乩 In det 4(2.9)

Для любых двух матриц 4 и В определим их коммутатор

［4 8］三 48— 54(2-10)

Имеет место простое тождество

(2.11)

где / — единичная матрица 6^. Для доказательства (2.11) заметим, что [7^ц, А]В = дц(ДВ) — Ад^В = (дцЛ)В.

Центральную роль в понимании топологии калибровочных полей для нас будет играть теорема Гаусса (о дивергенции) для интегралов в 儿-мерном пространстве. Пусть Rm — область М-мерного пространства и Кмт—(М—1)-мерное подмножество, которое является границей Rm. Точкам М-мерного пространства можно сопоставить М параметров &, а = 1, 2, …，М. Координаты в этом пространстве задаются параметрически уравнениями

4=/(畐，&,••・，&м)，卩=1, 2, ..., М. (2.12)

Зададим элемент «площади» следующим образом：

дх.,就吟⑵⑶дх.,就吟⑵⑶

дх.,

就吟⑵⑶

дх.,

就吟⑵⑶

где (dMW)wd&dE2 •…d^M・ Теперь теорема Гаусса может быть записана в следующем виде:

J 电厶("*)= J Л ("Т%),⑵ 14)

Rm

где

(dMx) м. dxM,

@MT叫)E (M L)! 电r因…•，丿"S %* ⑵词

Полезно напомнить, что элементы объема в трех- и четырехмерных пространствах равны соответственно

(d?%)』dxi d& d%3 w 产〃广(d2a2),

где 广三(*； + 君 + 爵)% >0, и

(d4x) w % d%2 d%3 〃尤4 三 R3 dR (rf3Q3),(2.16)

где R三(緒 + 塘 +君+ %：)%》0, а телесные углы в случая Л1 = 3 и М — 4 равны

= 4эт и Qg м , (〃з&) = 2玲 (2.17)

Теория калибровочного поля Янга — Миллса: основные понятия и формулы

Алгебры "〃. Представление алгебры Ли — это множество N антиэрмитовых бесследовых матриц 7", а = 1, 2,…，М удовлетворяющих уравнениям

Г, W =产可，(3 1)

где f ——(действительные) структурные константы некоторой компактной группы Ли & Представление Т всегда можно выбрать так, чтобы след Тг(ТаР) был пропорционален 8аЬ, хотя коэффициент пропорциональности может зависеть от представления. Картановское скалярное произведение определяется следующим образом:

〈7。，7〉三 6勺(3.2)

таким образом, оно пропорционально следу произведения матриц Та и 7a

Калибровочные поля. Основные объекты калибровочной теории一 это янг-миллсовские калибровочные потенциалы. Калибровочные потенциалы представляют собой множество векторных полей ＜：(%) (где а — I, 2, ..., N и р, = 1, 2, 3, 4). Матричнозначное векторное поле 4и(х) определяют следующим образом:

A^gTa^(3.3)

где g ——постоянная, называемая калибровочной константой связи. Из матричнозначных калибровочных потенциалов строится матричнозначное калибровочное поле напряженностей

尸jrv 三电4—°”Дх + [Дх‘ Д-v] = [Id^ + Лц, /dy + AJ. (3.4)

Как Дц, так и 尸 11V являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами. В явной компонентной форме F灯三 gT@F翁,где

尸3 =必国-况尚 + gfabcA^.(3.5)

Для нас будут полезны как матричная, так и явная компонент* ная формы калибровочного потенциала и поля напряженностей.

Мы будем применять выражение «статические калибровоч* ные поля» для калибровочных потенциалов, которые не зависят от %击

СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: д4А^(х) = 0 (3.6)

(卩=1, 2, 3, 4).

Слово «статические» используется потому, что лч можно рассматривать как временную координату, а хь х3, %§—как простран，

ственные координаты в полном четырехмерном пространстве (X,尤2,尤3, %4)・

Функционалы действия и энергии. Для калибровочных потенциалов, зависящих от всех четырех евклидовых координат 尤u = (%i，尤2, Хз, х4), мы определим функционал действия

s 三击,(『*)〈尸宀 F^ = 1 J (A)理vF£ > o.(3.7)

Для статических калибровочных полей, которые не зависят от %4, мы определим функционал энергии

е三击，(典)〈尸宀尸2 =百(办)尸統/^0.(3.8)

Калибровочное преобразование. Как функционал действия S, так и функционал энергии Е инварианты относительно следующих преобразований, называемых калибровочными:

&马/4u+广电"(39)

尸尸口•

где U = ека(х^а, а V (х) — N произвольных действительных функций. Если 尸А” обращаются в нуль, то 4Ц есть калибровочное преобразование нуля, иными словами, «чистая калибровка».

ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА; F^^=Q^ A^=U~\U (ЗЛО).

для некоторого U(x).

При действии калибровочного преобразования (3.9) объект d入尸и” преобразуется не так просто, как объект d入尸乩丫* [4入，尸“v]f £/-1{方九尸цу +【4入，尸jxv]}U・ Поэтому определяется «ковариантная» производная

4+ 4，(3.11)

так что коммутатор [%，尸入b ведет себя просто при калибровочных преобразованиях.

Уравнения движения Янга ——Миллса. Физика калибровочных полей определяется функционалами действия S и энергии £. Когда к калибровочной теории применяют принципы квантовой механики, кажется, что задачу невозможно решить точно, поэтому прибегают к различным приближенным схемам. В очень важной приближенной схеме, называемой квазиклассической аппроксимацией, обнаруживается, что важные физические конфигурации определяются локальными минимумами функционалов действия У и энергии Е. Таким образом, в контексте квазиклассической аппроксимации проводится изучение калибровочных полевых конфигураций, которые локально минимизируют 5 и £.

Экстремумы (не обязательно минимумы!) действия S и энергии Е находятся стандартными вариационными вычислениями, которые приводят к следующим уравнениям Эйлера — Лагранжа:

Ах 尸 UV +【4，尸 ixv] = “，F|xvl = °，(3-12)

или в явной компонентной форме

九尸З + g产 M»；v = 0.(3.13)

В калибровочной теории уравнения (3.12) и (3.13) называют уравнениями движения Янга — Миллса. Они являются связанными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных для калибровочного потенциала <£; кажется невероятным, что они могут быть решены точно. Даже если можно найти решения уравнения (3.12), нужно проверить, что они действительно соответствуют локальным минимумам S н Е, а не локальным максимумам в функциональном пространстве — проблема, которая сама по себе является достаточно трудной.

Инстантоны и монополи. За последние пять лет было сделано замечательное открытие, которое заключается в следующем:

Для данных граничных условий, определяемых топологическим зарядом, который принимает целые значения, инстантоны и монополи доставляют абсолютные минимумы функционалам действия S и энергии Е соответственно.

Приведенное выше утверждение неявно предполагает, что S и Е конечны. Топологический заряд q (= 0, 1, 2, ...) разбивает калибровочный потенциал на классы по его поведению на бесконечности (в евклидовом пространстве) таким образом, что никакая непрерывная деформация калибровочного потенциала не может изменить q. В математике такие классы известны как гомотопические.-

Тождество Бьянки. Рассмотрим тождество Якоби для ковариантной производной Рц = ди + Ли

["，[% &D + R, 0, ^11 + [DVf [DK, %]]三 0・(3.14)

Теперь калибровочное поле 尸尸 может быть записано в виде 尸尸=电4 一 "4 + [&,人]=[%, &]•(3.15)

Умножение тождества Якоби (3.14) на полностью антисимметричный тензор вц-vxp дает

[仇.，尸以"]三0, где Fjw0支%”九0尸入0。(3.16)

Тензор *Р^ является дуальным к тензору калибровочного поля 尸 111V. В калибровочной теории тождество (3.16) называют тождеством Бьянки.

Автодуальность. Сравнивая тождество (3.16) с уравнением движения Янга ——Миллса (3.12), мы видим, что любое калибровочное поле, являющееся автодуальным

автоматически удовлетворяет уравнению (3.12). Уравнение (3.17) является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка для калибровочного потенциала А；, поэтому оно много проще, чем уравнение (3.12), которое имеет второй порядок. Мы увидим, что как инстантоны, так и монополи являются решениями уравнения (3.17).

Выбор калибровочной группы SU(2). До сих пор мы не уточняли (ради общности), какова компактная группа Ли 6. Чтобы избежать ненужных усложнений, ниже мы будем рассматривать простейшую группу Ли, а именно SU(2). Существенные особенности инстантонов и монополей лучше всего проявляются в калибровочной теории SU(2). Конечно, можно систематически обобщать результаты калибровочной теории SU⑵ на калибровочную теорию любой компактной группы Ли 6.

Для калибровочной теории SU(2) структурные константы fabc образуют трехвалентный полностью антисимметричный постоянный тензор 8а&с：

группа SU (2): fabc = sabc(a, b, с = 1, 2, 3).(3.18)

Мы будем использовать представление матрицами второго порядка антиэрмитовых бесследовых матриц Та:

产=毋，а=1, 2, 3, 旧дЛМГ, (3.19)

где аа ——матрицы Паули:

Матрицы Паули удовлетворяют следующему уравнению: ^Ь = ЬаЬ + иаЬсвс.(3.21)

Картаново скалярное произведение для представления (3.19) равно:

〈7。，产〉= б^та-2Тг ТаТь.(3.22)

Точное определение инстантонов

Мы начнем с тривиального неравенства

2^г(d4x)-^ {— Тг(尸尸 一*尸 1rу)(&”一*尸内)}^0,(4.1)

из которого следует неравенство

S =蚩卜也){- Тг 时v&v} > 点 \ 3标){-Tr F^}, (4.2)

так как ^^v*^^ = P^vP^ В неравенствах (4.1) и (4.2) знак равенства достигается только для автодуальных калибровочных полей FuV = *尸

(4.3)(4.3)Используя антисимметричность тензора s^xp и свойство следа ТгДВ = ТгВД, можно доказать следующее тождество:

(4.3)

(4.3)

гдегде—Tr F^F^^d^J^

где

где

/ц, ^5S|xVap Tr {/41V尸期g" 4VAet<в卜

Тождество (4.3) позволяет преобразовать интеграл в правой части неравенства (4.2) в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса:

^ J (Л) {- Тг F^F^} = ^г J™ \ d咽/尸 (4.4)

Интеграл в правой части равенства (4.4) берется по сфере

s^ : ХцХи = X1 + Х2 + Хз + Х4 = R、(4.5)

При использовании теоремы Гаусса мы неявно предполагали, что функционал действия S конечен. Это в свою очередь означает, что

нрн Rf 8：尸灯=0 «ЧИСТАЯ КАЛИВРОВКА》今Дх = £/7dlJ/・

(4.6)

Здесь мы использовали равенство (3.10); U — произвольная унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице, так что

и = ”4 (")-沁°片际)，vl + ГГ = 1.(4.7)

Из равенства (4.6) и (4.7) следует

прн R f оо：几=+ ^ 年vas ТГ {(С/'*ад(и-^даи)(U-^)} =(4 8) == + 4 6欧g年 vasM/dvU/ (九у 。) 9У1.(4.9)

Сфера {S* ：尤的！=電 + 君 + 電 + d = N} может быть параметризована тремя параметрами 占“ (а=1, 2, 3); хц = ^^(ga). Используя равенства (2.13) и (2.15) при М = 4, получаем элемент объема в виде

(d %) == "g ^jivap 刁审 &abc (d &)•(4.10)

Подстановка выражений (4.9) и (4.10) в равенство (4.4) дает

=姦般『Ес九儲)(醬)(亲)(附• (4.11)

Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой части равенства (4.11) удовлетворяет следующему гождеству:

(景)(寮)(纂9『=36 det佟备卜

=36 [определитель \ga^ | метрического тензора g^ единичной сферы V^^Vl+VY + V2V2 + И3/3 = 1 ].(4.12)

Следовательно,

症卜也){一 Tr/V&v}=*^ \ (阀 "I而=筝9, (4.13)

q = топологический заряд = 0, 1, 2 ...,

так как, в то время как точка 隽卜 ^, &) пробегает по сфере S^ один раз, вектор Н может пробегать сферу рара = р： + (+ V1 V1 + 户了？+ 户了3= 1 q раз, каждый раз давая вклад в виде 4-мерного телесного угла ^ (rf3g) = 2л2.

Таким образом, используя равенства (4.12) и (4.13), мы устанавливаем следующее неравенство для функционала действия S:

S>~q, е = 0, 1, 2,S>~q, е = 0, 1, 2,(4.14)(4.14)

S>~q, е = 0, 1, 2,

S>~q, е = 0, 1, 2,

(4.14)

(4.14)

Знак равенства достигается только для автодуальных калибровочных полей 尸цу = *FUV. Топологический заряд q в случае инстантонов называется инстантонным числом. Неравенство (4.14) показывает, что для любого данного q автодуальные ка・ либровочные поля доставляют абсолютный минимум функционалу действия S.

Вопрос о достижимости равенства S = (8^/g2)q является динамической, а не топологической проблемой и требует построения явных решений уравнений автодуальности FUv = *FUV. Потребовались огромные усилия как физиков, так и математиков, чтобы получить явные решения уравнений автодуальности 尸 11V = *FUV- Попытки начались с пионерской работы Белавина, Полякова, Шварца и Тюпкина (БПШТ) для g = 1 н достигли высшей точки в работе Атьи, Дринфельда, Хитчина и Манина

(АДХМ) для любого q. АДХМ-конструкция была получена с использованием современной математики ——дифференциальной и алгебраической геометрии, математики, слишком сложной для большинства физиков. Парадоксально, что АДХМ-конструкцию очень трудно получить, но очень просто описать, как мы увидим в разд. 6.

Точное определение монополей

Для монополей калибровочные поля являются статическими, в смысле равенства (3.6). В случае монополей полезно работать с компонентами калибровочного потенциала и напряженностей. Если ввести два векторных поля В* и Е* определяемых следующим образом (а, /г = 1, 2, 3):

以三尸3 = dkAf + g^bcA^^(5.1)

B^ = y ^諸％ = у %，m 佈鶴-dm4； + g^abcAlAQ,(5.2)

то функционал энергии принимает вид

£ = 4 5 (d%)理V尸氤=4 \ (d%)［琰以 + 理以］=(5.3)

=4\q%)［(& _風)(琰一以)］+，(1幻母屋)(5.4) 》、(&"図.(5.5)

Знак равенства в (5.5) достигается только тогда, когда 8* = Е*・ Последнее равенство является в точности уравнением автодуальности F^ = *F^V для статических калибровочных полей.

Подынтегральное выражение в (5.5) может быть приведено к следующему виду:

b之成三0м跳屋)-氏［醜成+ g8a6c4^］三dk (琪朗).(5.6)

Второе тождество в (5.6) следует из статического случая тож、 дества Бьянки (равенство (3.16)).

Тождество (5.6) позволяет преобразовать интеграл в (5.5) в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса

、 (^х)風或=lim ,①2“)比朗，(5.7)

где интеграл в правой части берется по сфере

S"芯在" =芯:+君+姿=产.(5.8)

Используя теорему Гаусса, мы неявно предполагаем функционал энергии Е конечным. Это в свою очередь означает, что при г —8：尸々上=0 «ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА» =>ЛЙ = U^d^J,

(5.9)

при г 8：旗А? + gg“'4t4： = 0.(5.10)

Здесь мы использовали равенства (3.10); U ——любая унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице. Умножая равенство (5.10) на Л? и используя антисимметричность тензора гаьс, получаем д*(Л4Л4) = 0, так что

при г —> оо： &=^-Фа, где ФаФа = 1, с = const^ 0.

(5.И) Конкретная комбинация констант (—c/g) в равенстве (5.11), где g—калибровочная константа связи, выбирается из соображений дальнейшего удобства. Используя (5.11), можно разрешить равенство (5.10) относительно &:

при г f 8： Л^ = - у 8айсФй (孔&) + Фа(4第)(5.12) Подстановка равенства (5.12) в (5.2) дает В工 при г^ оо； ио пользуя (5.11), мы находим

при г—>оо： BkAt~-^zabcZkim^a{di^)b} (дтФс) — ^kimdi{A^n^c).

(5.13)

Сфера {Sr: xkxk = xf + хг + х| = г2} может быть параметризована двумя параметрами Е“ (а =1,2): х* = xft(ga). Используя равенства (2.13) и (2.15) при М = 3, получаем элемент площади d2a* в виде

磔2以)=1 器署 8as т,(5.14)

так что равенство (5.7) принимает вид

J (d3X)B^ = + ^Jhn ,8叫&用嘗需(応).(5.15)

limГ ♦ 8limГ ♦ 8При выводе равенства (5.15) мы использовали обращение теоремы Гаусса

lim

Г ♦ 8

lim

Г ♦ 8

\ (歯比)&klmdl (狼6°) = \ (必)Zklmd^i (ЛтФС) ^ 0.

f若蓍fitf若蓍fitd® дФаd® дФаЛегко проверить, что подынтегральное выражение в правой ча^ сти равенства (5.15) удовлетворяет следующему тождеству:

f若蓍fit

f若蓍fit

d® дФа

d® дФа

=4 [определитель | gab | метрического тензора gab на единичной

(5.17)(5.17)(5.18)(5.18)сфере ФаФа = (ф')2 + (Ф2)2 + (Ф3)2 = 1]. Следовательно, мы имеем

(5.17)

(5.17)

(5.18)

(5.18)

\ (d3x) BtEl = -^Vim^ 5 W “丽=箒％

q = топологический заряд = 0, 1, 2,...,

так как, в то время как точка (&, &) пробегает по сфере S； один раз, вектор Фа пробегает единичную сферу ФаФа = ф®1 十 + Ф Ф +Ф Ф = 1 q раз, давая каждый раз вклад в виде трехмерного телесного угла卜 d2 a = 4л.

Таким образом, используя равенства (5.5) и (5.18), мы устанавливаем следующее неравенство для функционала энергии Е:

Е》餐 д, 9 = 0, 1, 2, .... где 1нпЛМ?==^-. (5.19)

Равенство достигается только для статических автодуальных полей Bl = Е^ Топологический заряд q в случае монополей называется магнитным зарядом. Неравенство (5.19) показывает, что для любого данного q статические автодуальные калибровочные поля доставляют абсолютный минимум функционалу энергии Е.

Вопрос о том, достижимо ли равенство £ = (4лс/§2)^, представляет собой динамическую, а не топологическую проблему и требует построения явных решений уравнений автодуальности Bk = ЕЗ а для нетривиальных решений с，0，д. Решение для магнитного заряда q = 1 было дано Прасадом и Зоммер- фельдом. До сих пор никому не удалось построить явные монопольные решения для магнитного заряда д>1; в действительности не известно, существуют ли вообще такие решения. Мощные методы дифференциальной и алгебраической геометрии, такие полезные для инстантонов, кажутся неприменимыми к монополям. В разд. 7 дается монопольное решение для ^ = 1, а в разд. 8 обсуждаются попытки построения многомонопольных решений для g > 1 】)・

Явные инстантонные решения

Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В первом подразделе мы вводим тензоры т'Офта п 打 П вместе с различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры П н П особенно полезны для построения явных инстантонных решений. Далее мы представляем исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина (БПШТ) для ^ = 1 и обсуждаем различные его особенности. В третьем подразделе мы объясняем анзац Корригана — Фэрли ——тЮфта — Вилчека (К①ТВ), приводящий к инстантонным решениям для произвольного целого q. Здесь же мы описываем различные свойства решения т'Офта, в частности почему оно не является полным решением. Последний подраздел посвящен конструкции Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (АДХМ), которая дает полные инстантонные решения для произвольного q.

Тензоры т^Офта / 川 /

Определим следующие четыре вектора:

_J / при в=4,+_( / при в=4,

0r“fzaa при ц=а=1, 2, 3, “ (―2“ при 卩=q= 1, 2, 3,

(6.1.1)

где / — единичная матрица второго порядка, a 0a — матрицы Паули (3.20). Используя уравнение (3.21), мы находим

O|x 01V ~f~ G、Оц, —^ Оц101V "4~ 01Voiл == 2/6丛”*,(6.1.2)

Тензоры тЮфта п н fj мы определим следующим образом:

加”加”=一扌（％W 一心宜）.=一扌（％W 一心宜）.(6.1.4)(6.1.4)

加”

加”

=一扌（％W 一心宜）.

=一扌（％W 一心宜）.

(6.1.4)

(6.1.4)

Существенное свойство тензоров tj и fj, вытекающее из уравнения (3.21), заключается в том, что они авто- и антиавтодуальны соответственно:

%” =方％1VAi рПл,р = Лцу>(6.1.5)

М = — } %”М%о = —(6.1.6)

Тензоры Пн” и Пн” являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами второго порядка и, таким образом, могут быть записаны как линейные комбинации матриц Паули о":

Пн” м 喉今，Пн” м 篇受， (6.1.7)

где тензоры п；” и П；” имеют только действительные компоненты. Используя уравнение (3.21), тОфт получил ряд очень полезных тождеств, которым подчиняются tj и fj. Вот некоторые из них

小V ="2 麻"a0嘘0，п；У2 班”薦6%0，

(6.1.8)

Пн” u1 — Л^Ц» %” ==—小丛，

(6.1.9)

%*%* ==%1V 加 V === 4餘Ь，

(6.1.10)

П2%а = Ли^Лна = 3Sva,

(6.1.11)

嘘”嘘” ==П；”П；” = 12,

(6.1.12)

Лн^^Э = 6g61V6 一 бцрбуа + S^va0,

(6.1」3)

Ли^Лар = %а6”6 — бцрЙ^а —麻”呻

(6.1.14)

Пкь”Пщ1 == баьбуа + & 而 сП”а>

(6.1.15)

必”加 аOabbvct + %ЬсП”а,

(6.1.16)

%ЬсПц”Псф = МаП”0 一 6』0П”а 一' 6уаП呻 + 61VбПца，

(6.1.17)

ва&сЛи^Лсьр =^ 611ahlv§ — 6呻小口 — 61Vafj呻 + б^рЛил,

(6.1.18)

咄”加v == 0» Ли^Лиа = ПмПн”.

(6.1.19)

Любой антисимметричный тензор Т^ ^——7\丛 может быть

записан как сумма автодуальной и антиавтодуальнои

частей:

7内三一7叩=^-(T\iv + "7z)+4" (72一*7z),

(6.1.20)

ГДе*7g = ^%”a6Ta。.

(6.1.21)

Комбинации (7丛”±*7丛”)могут быть также записаны щим образом:

следу ю-

Тцу ± 7klV =万(6ца6у0 一 б^вбуа 土 snvap) ^ap =

(6.1.22)

PHvapT'ap*

(6.1.23)

Равенство (6.1.23) определяет проектор Р(土)на автодуальную (+) и антиавтодуальную (—) части. Из равенств (6.1.13) и (6.1.14) следует

Pjva6=q П：”П：6，卩丛”^二彳 Лн^Лар* (6.1.24)

Если тензор Т является автодуальным, то

Т^ — *7'kl-v<=> Ли^ЛарТ'ар = 0.(6.1.25)

Умножая равенство (6.1.25) на 曬v и используя равенство (6.1.10), получаем

几” = *7Vv<=> ЛаР^аР = 0.(6.1.26)

Исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина для g = 1

Инстантонное решение БПШТ для q = 1 представляется следующим образом:

/； = ^^^7^^， (х — хо)2 (X — х0)и (х — х0)и)(6.2.1)

где (xo)v и 九——пять свободных параметров, связанных с положением и масштабом инстантона соответственно. Используя равенство (6.1.17), калибровочное поле для (6.2.1) можно записать в виде

尸;V = — n；v "I [(х - £)2 + 炉产；(6.2.2)

в силу (6.1.5) оно, очевидно, является автодуальным. Функционал действия S для поля (6.2.2) легко вычислить и представить в виде

S =簪.(6.2.3)

Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонного решения для д=1, зависящую от пяти параметров. Действительно, с помощью теории деформации можно показать, что если существует SU(2) -инстантонное решение с топологическим зарядом q, то плотность действия (т. е. FfvFf”) должна зависеть по крайней мере от (8g — 3) параметров: 5g параметров определяют положение и масштаб каждого одиночного ^-инстан- тона, 3g набираются из трехпараметрической калибровочной St/(2)-ориентации для каждого из q инстантонов, а глобальные калибровочные SU(2) -преобразования являются несущественными, поэтому вычитается 3} Эти (8g — 3) параметров являются по существу «степенями свободы» инстантонных решений.

Это описание приближенно оправдывается для систем малых инстантонов, далеко отстоящих друг от друга, но теряет смысл для общего ^-ин- стантонного решения. — Прим, ред、

Анзац Корригана — Фэрли — т'Офта — Вилчека (КФТВ) и решение т'Офта

Анзац К①ТВ дается в следующем виде:

4: =一^暇丸 In ①，(6.3.1)

где Ф ——произвольная функция хи. Используя равенство (6.1.17), калибровочное поле для (6.3.1) можно записать в виде

尸a __草 丄[①"%①)_2 (%①)(dQ①)]_

_а 1「(%电①)e(%®94)1 I -а 1，*①、/% ①、

一小。У ф2 J丿(方丿•

(6.3.2)

На этом этапе далеко не очевидно, как поле (632) может быть автодуальным по индексам ц и v. Требование автодуальности поля (6.3.2) в силу (6.1.26) равносильно требованию

П：” 尸 = 0.(6.3*3)

Если использовать равенство (6.1.16), то требование (6.3.3) сводится к простому уравнению для Ф

□ Ф==0 (□曰电电).(6.3.4)

(6.3.5)(6.3.5)Таким образом, если Ф удовлетворяет уравнению (6.3.4), то гарантируется авто дуальность калибровочного поля (6.3.2). тОфт выбрал следующее решение уравнения (6.3.4):

(6.3.5)

(6.3.5)

，厶(％ — X/)2

(6.3.6)(6.3.6)Решение (635) определено только при к ^ Xj (j = \, 2, ..., q). При х->х/ функция Ф становится сингулярной:

(6.3.6)

(6.3.6)

Но особенность (6.3.6) является чисто калибровочным артефактом! Чтобы убедиться в этом, вычислим калибровочный потенциал (6.3.1) в матричной форме вблизи особенности (6.3.6):

(6.3.7)(6.3.7)_2(% 一 同)。

(6.3.7)

(6.3.7)

где

0尸，^^一亦(639)

Сравнивая (6.3.8) с (3.10), мы видим, что Р^ обращается в нуль в особой точке (636), таким образом, эта особенность является чисто калибровочным артефактом, не отражающим никакой физической реальности. Используя уравнение (6.3.4), плотность действия можно привести к следующему виду：

+ y ?第尸:V =-费ж 口口 In ①.(6.3. 10)

Подставляя (6.3.5) в (6.3.10), интегрируя по 4-мерному евклидову пространству и исключая особые точки (6.3.6) из области интегрирования, чтобы можно было применить теорему Гаусса, получим функционал действия

S = *.(6.3.11)

Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонов для произвольного q. Из равенств (6.3.10) и (6.3.5) очевидно, что плотность действия зависит только от 5g параметров, которые можно интерпретировать как параметры положения и масштаба для каждого отдельного ^-инстантона. Так как число параметров меньше чем (8g — 3), решение тОфта не может быть полным инстантонным решением. Полное инстантонное решение реализуется в конструкции Атьи ——Дринфельда — Хит- чина—Манина (АДХМ), которую мы опишем ниже.

Конструкция Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (АДХМ)

Конструкция АДХМ начинается с прямоугольной матрицы М(х) порядка (g-f-l)Xq, составленной из кватернионов. Это значит, что элемент M/左 матрицы М может быть записан в виде матрицы второго порядка

М摘=М％5t.(6.4.1)

Здесь М笈——действительные числа. Матрица М выбирается линейно зависящей от х

М = В — Ск,(6.4.2)

где

С — не зависящие от хц прямоугольные кватернионные матрицы порядка (^ + 1)Х 9(6.4.3)

芯三芯/；.(6.4.4)

Наконец, предполагается, что М (х) удовлетворяет нелинейному требованию

М+(х)М(х)^/?=(6.4.5)

=действительная невырожденная матрица ^-го порядка. (6.4.6)

Чтобы построить автодуальное калибровочное поле, необходимо найти (q + 1)-мерный вектор-столбец ^(x), такой, что

^(х)М(х) = 0,(647)

N+(x)N(x)^L(648)

Линейное уравнение (647) может рассматриваться как q кватернионных условий на д+1 элемент N. Таким образом, решение ^(x) уравнения (6.4.7) всегда может быть найдено, а требование (6.4.8) просто фиксирует его нормировку.

Калибровочный потенциал в конструкции АДХМ определяется следующим образом:

4丛(芯)=2十(芯)电n(芯).(649)

Дифференцирование равенства (6.4.8)

^+ (х) d” (х)= 一 (竈N+ &)) N (x)(6410)

показывает, что 4И в равенстве (6.4.9) является антиэрмитовой бесследовой матрицей второго порядка.

Покажем теперь, что калибровочное поле F^, построенное по калибровочному потенциалу (6.4.9), является явно автодуальнымJ

尸н” = d^v + Ац4” 一3―中)=(6.4.11)

=(电 N+) (dW) + (N+竈 N) (N+%N) — (卩一屮)=(6.4.12)

=(电 N+) {/ 一 AW+}伍 N) 一(卩-V).(6.4.13)

В равенстве (6413) / — единичная матрица (g+ 1)-го порядка. Выражение в фигурных скобках в (6413) является просто проекционным оператором на g-мерное кватернионное подпространство, ортогональное ^. Используя уравнения (6.4.7) и (645), это выражение можно записать в виде матрицы (д+ 1)-го порядка:

/ 一 NN+ = М(х) RT (к) М十(％),(6.4.14)

где R"4 — матрица ^-го порядка, обратная действительной матрице R.

Дифференцирование уравнения (647) дает

(电М+ ⑶)Л1(х) = 一 N+ (电М (х)),(6.4.15)

так что 戶口《V можно записать в виде

%” = N十(电М) RT (女М+)" —(卩一 у) =(6.4.16)

=%“С ｛。試一 & 一 ^R~lo^C+N =(6.4.17)

=-AN+C^^C+N,(6.4.18)

т. e. в силу (6.1.5) калибровочное поле явно автодуально. Переходя от равенства (6.4.17) к равенству (6.4.18), мы использовали тот факт, что R является действительной матрицей, коммутирующей с ац： [R,= 0.

Конструкция АДХМ дает полное (8g — 3)-параметрическое инстантонное решение с действием S = (8л2/§2)^. Доказать это довольно сложно, и мы даем читателю ссылки на литературу для более подробного ознакомления.

Явное монопольное решение для q—1

Для монополей калибровочные поля являются статическими, и для q = 1 принимается анзац

幽=£ 耳 ％(r),相=/б 施;a(r),(7.1)

где h и а — пока произвольные функции 匚 Анзац (7.1) может быть мотивирован асимптотической (при г~>оо) формой равенств (5.11) и (5.12). Тензорные индексы строятся исходя из координат только 3-мерного евклидова пространства х" (а = = 1, 2, 3), так что нет специального направления, т. е. имеет место своего рода «сферическая симметрия》.

Исходя из анзаца (7.1), мы вычисляем векторные поля В* и 碌 определенные в равенствах (5.2) и (5.1):

5* = у 6а* (— ах — -у) + ~~ [а2 + ах — -^-],(7.2)

Ek=Y^ak ["7a九]+ ^^~ [a万+九'一勺, (7-3)

где для любой функции f(r) мы полагаем 产三#(尸)/〃. Таким образом, статические уравнения автодуальности В^ = Е^ принимают вид

(加y =万("一1),(7.4)

"+ 方(a 一；)=出 +鼠一/.(7.5)

Решая уравнение (7.4) относительно А и подставляя решение в уравнение (7.5), получаем

(lnQ)〃 = Q2, Q=；(ra—1).(7.6)

Уравнение (7.6) легко проинтегрировать, что дает

a=；[l±7ir^d' /z = ；-Ccth(Cr + r°), (7.7)

где С и Го — постоянные интегрирования, причем С мы берем положительной.

Потребуем теперь, чтобы А： и 4* были конечны (не сингулярны) во всем 3-мерном евклидовом пространстве. Это вынуждает нас взять Го = 0 и знак минус в первом равенстве (7.7). Таким образом, калибровочные потенциалы

Л? = у^-[1 -CrcthCr],(7.8)

眾=春产^J一品](79)

являются конечными несингулярными решениями статических уравнений автодуальности В? = Е^

Используя равенства (5.5), (5.6) и (5.1), легко проверить, что

成=Е沁磁囁=d^k [4 4打小(7.10)

Следовательно, функционал энергии, связанный с калибровочными потенциалами (7.8) и (7.9), имеет вид

E = ~T\(d3x)dkdk\^[l -Cr cthCr]2}. (7.11)

Так как подынтегральное выражение в (7.11) не имеет особенностей, для нахождения энергии можно использовать теорему Гаусса

(7-12)

Сравнивая это выражение с (5.19), видим, что мы действительно имеем явную реализацию монопольного решения для g= 1.

В настоящее время почти ничего не известно о явных монопольных решениях для g>L Методы алгебраической геометрии, которые привели к конструкции АДХМ в случае инстантонов, по-видимому, здесь неприменимы. В следующем разделе мы описываем попытки использовать преобразования Бэклун- да, которые дают некоторые сведения, но к конкретному решению рассматриваемой проблемы не приводят.

Преобразования Бэклунда для автодуальных калибровочных полей

Этот раздел посвящен преобразованиям Бэклунда для автодуальных калибровочных полей, которые, как сказано выше, хотя и дают некоторые сведения, но к конкретным решениям рассматриваемой проблемы не приводят. Преобразованием Бэклунда (ПБ), которое используется в наших целях, называется любое преобразование, которое порождает локально «новые» решения уравнений автодуальности из 《старых». Поскольку уравнения автодуальности являются сложными нелинейными связанными уравнениями в частных производных, ПБ может быть весьма полезным, если только известны тривиальные решения.

Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе описывается представление Янга автодуальных калибровочных полей, которое является отправной точкой для всех рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи ——Уорда (АУ) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы Атьи — Уорда были предложены как способ образования полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении также имеет серьезные проблемы сингулярности ——черта, которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований.

Пока мы не достигли лучшего понимания глобальных особенностей, порождаемых ПБ (или способов управлять ими), совсем не ясно, каково их значение в описании инстантонов и монополей.,

Представление Янга

автодуальных калибровочных полей

Основная идея Янга — рассмотреть аналитическое продолжение калибровочного потенциала 4@ (в матричной форме) в комплексное пространство, где Xi, х2э х3 и х4 комплексные. Тогда уравнения автодуальности 尸内 = *F^ выполняются в области комплексного пространства, содержащей действительное пространство, где Xi,芯2,芯з и х4 действительные. Рассмотрим теперь четыре новые комплексные переменные 协 歹，z н 2, определенные следующим образом:

72 у == X)+ /芯2， "历"у ^S *1 /芯2，

〃2 2三芯3一改4， V2 2 = x3 + zx4.(8.1.1)

Нетрудно проверить, что уравнения автодуальности F»” = *F^ сводятся к следующим уравнениям:

尸 g = 0，(8.1.2)

尸 92 = 0,(8.1.3)

尸* + %z = 0・(8-1-4)

Уравнения (8.1.2) и (8.1.3) могут быть сразу проинтегрированы, так как они являются чистой калибровкой. В результате имеем

Ay = D~lDy, A2=D~lDz,(8.1.5)

Ag = D~lDg, 42 =万一万，(8.1.6)

где D и D — произвольные комплексные матрицы второго порядка, зависящие от у, у, z и zt с определителем, равным единице (для калибровочной группы SU(2) j; Dy = dyD и т. д.

Для действительных калибровочных полей А^ = — А^ (знак = используется для уравнений, верных только для действительных переменных Xi, х2, х3 и х4) потребуем выполнения условия

方工(с+)т.(8.1.7)

Калибровочные преобразования (3.9) принимают вид

DfDU, D^DU, U+U = I,(8.1.8)

где U — комплексная матрица второго порядка с определителем, равным единице, зависящая от у, у, z п z. При преобразовании (8.1.8) уравнение (8.1.7) остается неизменным.

Определим теперь эрмитову матрицу J следующим образом:

J ^DD~' = DD+.'(8.1.9)

Матрица J обладает очень важным свойством: она инвариантна относительно калибровочного преобразования (8.1.8). Все не обращающиеся в нуль компоненты напряженности выражаются через J в виде

FUv = — D"1 (J"7U) о D (и, и = у, n),(8.1.10)

а остающееся уравнение автодуальности (8.1.4) принимает вид (8.1.11)

Плотность действия в терминах матрицы J имеет вид 9⑺三一；Tг尸网尸“ =-2 тг (尸而0: +尸应心z)=

= -2Tr {(/ -'/,)-(尸/》一 (7-7,)- (J^J^-Y(8.1.12)

Для статических калибровочных полей уравнение (3,6) принимает вид

СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: МИ(Х)=^Л(^) (卩=1, 2, 3, 4),(8.1.13)

так что для статических полей 丿z=/n・ Так как для статических полей Dz =力z, калибровочный потенциал Л? в матричной форме имеет_вид A4=g (oa/2z)朗=(〃“2 ) (4 —4)= (i/V^) X X \D~ XDZ — D~ ^z)- Таким образом, уравнение плотности энергии (7.10) для статических автодуальных полей принимает следующую форму:

/(/) = — dkdk Тг (44) = — @砲 + d/z) Tr(Z;Vz). (8.1.14) Функционалы действия и энергии задаются в виде

S = *, 3气)0(/), e 二*\ (d3x)/(/).(8.1.15)

В заключение этого подраздела заметим, что в выборе / имеется произвол с точностью до преобразований вида

/f "(*, 2)"匂，z), V=V+,(8.1.16)

где Р — произвольная функция у к z. Относительно преобразования (8.1.16) калибровочные потенциалы 4@, а следовательно, и напряженности F^ инвариантны.

Анзац Атьи — Уорда

Конструкция Атьи ——Уорда (АУ) начинается с явной параметризации матрицы /:

Для действительных калибровочных полей А^= — А^ мы требуем, чтобы

Ф = действительная, р = р* (р* 三 комплексное сопряжение р).

(822)

Уравнения автодуальности (8.1.11) принимают вид

□ 1П ① + 9#督叨・=о,(8.2.3)

(^X+C^l^0»(&2・4)

(*)+ (亲1 =a,(825)

□三电电=2 (%d у + d/z)・

Используя уравнения (8.2.3)——(8.2.5), плотность действия (8.1.12) можно привести к следующему виду:

9(0), р, P) = _^gn ①+ 2 [dgdj ( Ф%")—

(8.2.6)

В терминах Ф, р и р анзац КФТВ и решение т'Офта из разд. 6 имеют простой вид

анзац КФТВ: ру = Фз, Pz =—<!>〃 р^ = Фг, рг= — Фу»

решение т30фта: □ Ф = О, Ф = 1 + / 7-~ Jr . (8.2.7)

?(①,р, р) = — У □ □ In ①.

Атья и Уорд называют анзац КФТВ (8.2.7) анзацем 幽i и включают его в иерархию анзацев ^/ (/=2, 3,…)，которая позволяет получить явно Ф, р и р, которые в свою очередь автоматически удовлетворяют уравнениям автодуальности (8.2.3)—— (8.2.5). Для того чтобы построить %/, нам понадобятся некоторые предварительные результаты.

Положительно определенная эрмитова матрица J= DD+ может быть разложена в произведение верхней и нижней (или наоборот) треугольных матриц следующим образом:

J = RR+ = RIRI 匸

R】=、ОR】=、О“审1“审1(8.2.8)(8.2.8)

R】=

、О

R】=

、О

“审

1

“审

1

(8.2.8)

(8.2.8)

Ф = действительная, р = р*, Ф; = действительная, 0/上 р『*.

(8.2.9)

Из (8.2.8) очевидно, что можно выбрать калибровку так, что D = R или D = R『；легко проверить, что в обеих калибровках уравнения автодуальности имеют вид (8.2.3) — (8.2.5) (в случае D = R1 Ф, р, р переходят в ①厶 р厶 0『)・ Из (8.2.8) мы видим, что R-iR/ является унитарной матрицей, так что всегда можно калибровочным преобразованием перейти от R-калнбровкн к R『- калибровке. Таким образом, мы приходим к следующей теореме：

Теорема /. Если (Ф, р, р) удовлетворяют уравнениям (8.2.3) — (8.2.5), то (①4 р;, 0/) также им удовлетворяют и определяются следующим образом:

①'=^г р'=^Ьг р/=ф4^-(8-2-10) Более того, калибровочные потенциалы, построенные из (① Р’，О'), суть калибровочные преобразования потенциалов, построенных из (Ф, р, р), так что

夕(①4 р4 02 =夕(①，Р，Р), (8.2.11) поскольку плотность действия инвариантна относительно калибровочного преобразования. Заметим, что / является дискретным преобразованием, так как двукратное его применение приводит к тождеству (т. е.①〃=①，р" = р, 0" = р).

Теперь мы сформулируем вторую теорему, которую очень легко доказать.

Теорема 2. Если (Ф, р, р) удовлетворяют уравнениям (8.2.3) — (8.2.5), то (①％ р5, р5) также им удовлетворяют и определяются следующим образом:

①B=專，р£ =_糸，Рг =^ 够=% 0?=一枭.

(8.2.12)

В отличие от (8.2.10), для того чтобы найти р5 и р5, нужно решать дифференциальные (а не алгебраические) уравнения. Очень важно заметить, что

рв = — рВ*, (8.2.13)

т. е. нарушается условие действительности уравнения (8.2.2). Более того, примененный дважды оператор В есть тождественный оператор (т. е.①p^' = pz, 0*，=0z и т. д.), и он не изменяет калибровочный потенциал. Следовательно, чтобы использовать оператор В более одного раза, нужно вводить оператор / теоремы 1 между двумя операторами В.

Используя уравнения (8.2.6), (8.2.3) и (8.2.12), можно записать плотность действия от Ф5, р5, р5 в виде

(8.2.14)(8.2.14)не можетне можетопределенопределен9(①в, рВ, рв) = ^(Ф, р, 0) —》口口比①в.

(8.2.14)

(8.2.14)

не может

не может

определен

определен

В общем случае □□【口①^*。，так. что (Ф5, р5, р5) быть калибровочным преобразованием (Ф, р, р).

Анзац АУ 必(/ = 2, 3, ...) может быть теперь следующей цепочкой операторов:

(8.2.15)(8.2.15)/ (8/)彳(BZ)彳(BZ)

(8.2.15)

(8.2.15)

где Xi — анзац КФТВ (8.2.7) и (BZ) означает применение сначала оператора /. а затем оператора 8, введенных в теоремах

1 и 2 соответственно. Используя уравнения (8.2.11) и (8.2.14), находим плотность действия для анзаца %/：

9 (М+1)= 2 {_ 扌 口 □ 1П [(В/户 Ф]},(8.2.16)

где ①一анзац К①ТВ Ф, определенный (8.2.7), а (В/)й обозначает оператор (В/), примененный k раз.

Теперь в силу уравнения (8.2.13) все четные анзацы 魂必、 вообще говоря, не будут удовлетворять условию действительности (8.2.2), в то время как нечетные анзацы %2/+i будут ему удовлетворять.

Гораздо более серьезное следствие уравнения (8.2.13) заключается в следующем. Если явно вычислить плотность действия д(%/) для / > 1, то обнаруживается, что имеется очень много сильных особенностей ——особенностей, которые не являются калибровочными артефактами (как было в случае с решением т'Офта в разд. 6.3). В настоящий момент совсем не ясно, как справиться с такими особенностями и, следовательно, как связан анзац АУ с конструкцией АДХМ, которая, как известно, дает полное инстантонное решение.

Явно калибровочно инвариантное преобразование Бэклунда

Конструкция АУ требует явной параметризации матрицы J и потому нарушает явную калибровочную инвариантность. Недавно было найдено новое преобразование Бэклунда непосредственно в терминах калибровочно инвариантной матрицы J, которое мы здесь опишем.

Пусть J и J' — две эрмитовы матрицы второго порядка, которые удовлетворяют следующим уравнениям:

厂力一广^ =战(厂了)2,(8.3.1)

/J-1 =//-' + ₽;,(8.3.2)

где а и В — действительные постоянные. Если мы применим эрмитово сопряжение к уравнению (8.3.1) и используем (8.3.2), то получим

厂工一广忆濟(厂了%.(8.3.3)

Отсюда следует

(厂4% + (厂工)2 = (/'F)g + (广以， (8.3.4)

так что J и J' являются решениями уравнения автодуальности (8.1.11).

Если / * Г н detJ = +L то det У = —1. Чтобы убедиться в этом, положим Р м Г」-* так что из уравнения (8.3.2) получим 尸2 = 0尸+丄 Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, что 尸［—В + Тг 尸］=/［1 + det 尸］.Если det 尸*—1, то матрица Р пропорциональна единичной, и подходящим выбором масштаба можно получить /'= J, т. е. тривиальное решение уравнений (8.3.1) и (8.3.2). Поэтому для /'=/=/ нужно потребовать, чтобы det 尸=—1 и Тг Р = р.

Однако для SU{2) -калибровочной теории матрицы 7 = DD+ является не только эрмитовой, но и положительно определенной, так что detJ>0. Поскольку detJ'= —1, то невозможно получить SU (2)-калибровочные поля. Эта проблема аналогична уравнению (8.2.13) для конструкции АУ. Как в последней, чтобы получить detj'=l, нужно четное число раз применить к уравнениям (8.3.1) и (8.3.2) преобразование Бэклунда. К сожалению, проблема особенностей, связанная с конструкцией АУ, в новой конструкции, по-видимому, также оказывается неразрешимой.

Мы заканчиваем этот раздел замечанием, что преобразования Беклунда, обсуждавшиеся до сих пор, не являются сильными в том смысле, что из них не следует, что《новые» и《старые» решения уравнений автодуальности удовлетворяются независимо. Так, например, из уравнения (8.3.4) не следует, что (L//+(厂厶)2 = 0 И (/■%)§+(/~'/г)2 = 0. Классическое ПБ в теории солитонов является сильным и весьма полезным для построения солитонных нетривиальных решений из тривиальных (напрцмер, для уравнения Кортевега ——де Фриза и т. д.). Не известно, существует ли сильное ПБ для уравнений автодуальности Янга — Миллса.

9・ Нелокальные законы сохранения для автодуальных калибровочных полей Янга — Миллса

В этом последнем разделе мы строим бесконечное множество нелокальных законов сохранения для автодуальных калибровочных полей, используя явную калибровочную инвариантность формализма разд. 8. Известно, что такие законы сохранения могут быть использованы в контексте солитонов (см. список литературы), и есть надежда, что они прольют свет на скрытые симметрии автодуальных калибровочных полей.

Под законом сохранения мы просто понимаем уравнение вида d^V^ = 0. Строго говоря, так как мы работаем в евклидовом пространстве, такое уравнение следовало бы называть урав*

нением непрерывности. В комплексных координатах разд. 8 имеем

阪乙=dyVg + ddVy + 刃叭 + д^2,(9.1)

так что уравнение автодуальности (8.1.11)

(厂3)0 + (尸/) = 0(9.2)

в действительности является законом сохранения (для статических полей Jz = /5).

Недавно было обнаружено, что из уравнения (9.2) в самом деле можно построить бесконечное множество нелокальных законов сохранения. Построение производится следующим образом. Предположим, что мы уже построили /z-й закон сохранения

(^ + (^ = 0, м》1.(9.3)

Из уравнения (9.3) следует, что существует такая матрица второго порядка (у, у, 2, 2), что

力=为产，厅=一力严，mа1. (9.4)

Тогда (п + 1)-й закон сохранения определяется следующим образом:

(^+1)Ь.+ (^+1))г = 0,(9.5)

卩严= (% + 了也)产，(9.6)

W+D = (dz +厂厶)严，„>0.(9.7)

Доказательство проводится индукцией:心°)= I, затем 7^ = — J^Jy и т. д. Для доказательства (9.5) заметим следующее:

=仇+尸/g)(少外”))+ (%+尸厶)(以(”))=(9.8)

=一(心+L人)次+ (%+厂工)屮=(9.9)

=~[1ду + 尸厶，匝 + /-7г]*т)三(9.10)

s 0.(9.11)

Равенства (9.8) и (9.9) следуют из уравнений (9.2) и (9.4) соответственно, в то время как в равенстве (9.10) мы использовали предположения индукции (9.6) и (9.7). Таким образом, мы построили бесконечное множество нелокальных (так как %(”)一 нелокальная функция U(”))законов сохранения для автодуальных калибровочных полей в терминах эрмитовой и кали- бровочно инвариантной матрицы J. Значение этих законов сохранения еще должно бить исследовано.

Заключение

Короче говоря, явно известны все инстантонные решения, в то время как явное монопольное решение известно лишь в простейшем случае (q=l). Почти ничего не известно о явных многомонопольных решениях, и, следовательно, любые конкретные результаты в этом направлении были бы исключительно важными.

Мы описали два различных преобразования Бэклунда для автодуальных калибровочных полей, которые, как мы надеялись, смогли бы породить явные многомонопольные решения из известных решений. Но из-за глобальных особенностей, которые мы не умеем учитывать, эти надежды не оправдались.

Мы построили также бесконечное множество нелокальных законов сохранения, которые, мы полагаем, смогут пролить свет на скрытые симметрии автодуальных калибровочных полей.

Я благодарю профессора Крэйга Трэйси, вдохновившего меня на написание обзорной статьи по инстантонам и монополям. Эта работа была частично финансирована Национальным научным фондом, грант PHY 79-06376.

ЛИТЕРАТУРА

Для каждого раздела дается соответствующий список литературы н делаются некоторые замечания. Затем подводится итог последним достижениям в области монополей.

Мы будем использовать следующие сокращенные обозначения некоторых часто цитируемых журналов:

SA — Scientific American,

PL — Physics Letters,

NP — Nuclear Physics,

CMP — Communications in Mathematical Physics,

ЖЭТФ — Журнал экспериментальной и теоретической физики,

PR — Physical Review,

PRL — Physical Review Letters,

jMp — Journal of Mathematical Physics.

Раздел 1. Общее введение в калибровочные теории, кварки и глюоны и супергравитацию содержится в следующих работах:

Weinberg £, SA, July 1974, р. 50—54.

Glashow S. L., SA, October 1975, p. 38—50.

Freedman D. 2., P. van Nieuwenhyizen, SA, February 1978, p. 126143. Общее введение в солитоны, инстантоны и монополи содержится в работе

Rebbi С., SA, February 1979, р. 92116.

Раздел 2. Математика этого раздела подробно излагается в нескольких учебниках, из которых следующие два отличаются ясностью изложения:

Satake /. Linear Algebra, Pure and Applied Mathematics, New York, 1975.

Anderson /. L. Principles of Relativity Physics, Academic Press, New York, 1967.

Раздел 5. Калибровочная теория Янга — Миллса

Yang С. М? Mills «・厶 PR, 96, 191 0954),

Раздел 4. Инстантоны

Belavin Л. Л.» Polyakov Л. ЛГ, Schwartz A. S., Гyupkin У〃. S., PL, В59, 85 (1975).

Раздел 5. Монополи

7 Hooft G., NP, В79, 276 (1974).

Поляков А. М Письма ЖЭТФ, 20, 194 (1974); ЖЭТФ, 41, 988 (1975). Монополи, которые изучались в этом обзоре, являются частным случаем монополей т' Офта — Полякова, введенных в работе

Prasad М. Л.» Sommerfield С. М., PRL, 35, 760 (1975).

В этом частном случае четвертая компонента калибровочных потенциалов Янга ——Миллса Л4 становится «полем Хиггса» теории монополей т'Офта — Полякова. Точное определение монополей для этого случая дано в работах

Богомольный Е. Б. Ядерная физика, 24, 449 (1976).

Coleman S., Parke S., Nev ей 4, Sommerfield С. M, PR, DI 5, 544 (1977).

Раздел 5. Тензоры т'Офта Т)и fj вместе с тождествами, которым они удовлетворяют, введены в работе

fHooft G., PR, D14, 3432 (1976).

Исходное инстантонное решение прн q = 1 дается в работе

Belavin 4 Л., Polyakov А. М, Schwartz 4 S., Тyupkin Уu. S., PL, В59, 85 (1975).

Теория деформации, используемая при получении числа параметров, может быть найдена в работах:

Schwartz 4, Pl, 67В, 172 (1977).

Jackiw R, Rebbi C, PL, 67В, 189 (1977).

Brown £., Car lit 2 R, Lee C„ PR, D16, 417 (1977).

Многоиистантонные решения прн q > 1 были впервые построены в рабо* тах

Witten Er PRL, 38, 121 (1977).

Peng С. К, Scientia Sinica XX, 3, 345 (1977).

Анзац КФТВ дается в работах

Corrigan Е., Fairlie D, PL, 67В, 69 (1977).

VHooft G. (неопубликованная работа).

Wilczek Е, in: Quark Confinement and Field Theory, eds. D. Stump and D. Weingarten, Wiley. New York, 1977.

Именно т'Офт отчетливо понял, что аизац КФТВ может дать приемлемые многоиистантонные решения： так, он показал, что особенности, встречающиеся в решении, являются чисто калибровочным артефактом.

Решение тЮфта было обобщено в работах.

Jackiw R, Nohl С, Rebbi G, PR, D15, 1642 (1977).

Конструкция АДХМ дается в работе

Atiyah М.尸.，Hitchin AZ. Л, Drinfield V. G., Manin Уи. /., PL, A65, 185 (1978).

Конструкция АДХМ детально разработана в работах

Christ М, Weinberg Е. /., Stanton М К, PR, D18, 2013 (1978).

Corrigan Е., Fairlie D, Tempelton S., Goddard P., NP, B140, 31 (1978)

Раздел 7. Явное монопольное решение прн д = 1 дается в статье

Prasad М. К., Sommerfield С. М., PRL, 35, 760 (1975).

Раздел S. Преобразования Бэклунда в контексте солитонов можно иайти в обзоре

Scott 4 С, Chu F. У.尸.，McLaughlin D 步•， Proceedings of IEEE (USA), 61, 1443, (1973).

Формулировка Янга автодуальных калибровочных полей приведена в работе

Yang С. М, PRL, 38, 1377 (1977).

Анзац Атьи — Уорда (АУ) введен в работе

Atiyah М 尸.，Ward R S； CMP, 55, 117 (1977).

Анзац АУ детально разработан в работах: •

Corrigan Е, Fairlie D, Yates 员 Goddard P., CMP, 58, 223 (197 8).

Prasad M. K・，PR, D17 3243 (1978) (также обсуждается проблема сингулярности анзаца АУ).

Brihaye У., Fairlie D, Nuyts Л, Yates R, JMP, 19, 2528 (1978). Калибровочная инвариантность преобразования Бэклунда следует из работы

Prasad AL К., Sinha Л., Chau Wang Ling-Lie, PRL, 43, 750 (1979), которая была мотивирована работой

Pohlmeyer К, Universitat Freiburg Preprint 1978.

Попытки построения многомонопольных решений могут быть найдены в работах:

Manton М S., NP, В135, 319 (1978), где используется анзац КФТВ.

Lohe М. 4, NP, В142, 236 (1978), где используется анзац АУ.

Bruce D Л, NP, В142, 253 (1978) (на проблему сингулярности автор указал в предыдущих работах).

Раздел 9. Бесконечное множество нелокальных законов сохранения следует из работы

Prasad Af. К., Sinha 4, Chau Wang Ling-Lie, PL, 87B, 237 (1979) Последние достижения в области монополей. Недавно было показано, что явное монопольное решение при д = 1 имеет только 3 степени свободы, соответствующие его положению в 3-мерном евклидовом пространстве. Строгое доказательство этого может быть найдено в статье

Akhoury R, Jun Л, Goldhaber 4 S., PR, D21, 454 (1980), которая дополняет работу

Adler S. " PR, D19, 2997 (1979).

Если существует явное многомонопольное решение при д > 1, то оно должно иметь (4д ——1) степеней свободы. Доказательство этого результата и его интерпретации могут быть найдены в работе

Feinberg Е Л, PR, D20, 936 (1979).

Гравитационные инстонтоны: обзор()

Г. В. Гиббонс

Gibbons G. Ж), Lecture Notes in Physics, 116 (1979)

Определение /. Гравитационным инстантоном называется полное четырехмерное риманово многообразие (сигнатуры Н--1--1--1-) без особенностей, которое удовлетворяет уравнениям Эйнштейна:

R^ = Xga^

Считается, что гравитационные инстантоны дают основной вклад в континуальный интеграл евклидовой квантовой гравитации [1—6]. Он определяется выражением вида

，e[g]о囿 eXp (一/叫)， ⑴

/ euc — — 7^、R« g d《％ —歳、K Nh dx +м GM

+ * \ A <i■力％ + 费、& “^ аз%. (2) M GM

Здесь Ieuc обозначает евклидово действие некоторого многообразия М с границей ОМ, на которой метрика ^ар индуцирует метрику Л?р, g=detga0, Л = detftaP, Л —след второй фундаментальной формы дМ сЛГ, Ь обозначает граничные условия, которым должны удовлетворять метрики в соответствии с выбором квантовомеханического состояния или матрицы плотности, a O[g] — функционал от метрики, среднее значение, или матричный элемент которого дается выражением (1).

Ниже я буду рассматривать некомпактные многообразия как предел компактных многообразий с границей, когда граница удаляется на бесконечность. (При /?аР = AgaP м А А 0 гра* ни цы нет [31]. При Ra0 = ° многообразие может иметь, самое большее, один «конец» или «бесконечность» (Н. Хитчин, частное

Обзорный доклад, прочитанный на Международной конференции по математической физике в Лозанне в августе 1979 г.

сообщение).) «Интеграл» в (1) взят по всем возможным многообразиям й топологиям, удовлетворяющим условиям Ь. Буквой Ко обозначен поправочный член, который призван обратить в нуль действие любой плоской метрики, удовлетворяющей условиям Ь. Для физических приложений важны следующие три типа граййчйых условий Ь:

I) Асимптотически евклидовы (АЕ), а также асимптотически локально евклидовы (АЛЕ) (более слабый, локальный ва* риант). Такие условия отвечают физике вакуума или нулевой температуры [5, 7, 8].

Асимптотически плоские (АП), а также асимптотически локально плоские (АЛП) (тоже более слабый, локальный вариант). Эти условия отвечают физике конечной температуры ",9].

Компактные без границы. Используются в обсуждении «пространственно-временной пены» [3, 4, 10].

Определение 2. Метрика ^ар называется АЛЕ, если вне ком* пактного подмножества она стремится к плоской метрике на многообразии вида £4/Г. Здесь £4 — плоское евклидово пространство, Г — дискретная подгруппа в 50(4), свободно дейст* вующая на 52. Метрика g^B называется АЕ, если в этом определении Г тождественна.

Определение 3. Метрика ga^ называется АП, если вне ком* пактного множества она стремится к стандартной плоской ме* трике на 51 X-/?3..

Определение 4. Метрика g&B называется АЛП, если вне компактного множества она стремится к метрике вида

ds 金 б?Г2 + 詆 + 产 Q； + (У2),

Где {aj — ЛёвоийвариайтнЫе 1-формы на 53/Г, а Г — группа йзомётрий такой SC/(2)X С^(1)-инвариайтной метрики.

АЁ-инстантоны

Теорема / (Шоун — Яу [И], ср. [8]). Не существует АЕ-ин* кантонов* кроме £4.

Теорема о положительности действия [11] показывает, что Койфбрмно инвариантная часть действия (в смысле [5]) достиг тает абсолютного минимума на £4*

АЛП-инстантоны

Теорема 2 (Хитчин, частное сообщение). Если (М gae) АЛП и имеет нулевую кривизну Риччи, то jii(M) конечна.

Теорема 3 (Хитчин, частное сообщение). Если (М ga0)АЛП и полуплоское (/?呐6 = ± ^ %即状"% 今凡严 0)，то ni(M) =

=Z2 или Z2 X ^2, и фундаментальная группа на бесконечности действует на универсальном накрытии асимптотически правыми сдвигами SU(2) на себе (при 凡方6 = + ^%昵vR"\e) •

Список дискретных подгрупп SU(2) содержит：

Zk : циклическая порядка 左,

£＞；: бинарно диэдральная порядка 4左,

Т*: бинарно тетраэдральная,

О*: бинарно октаэдральная, Z*: бинарно икосаэдральная.

Почти нет сомнения в том, что для всех этих групп существуют полуплоские метрики. Они были явно построены Гиббонсом и Хокингом [7] для Z饱.Затем Хитчин [13] снова разобрал 7й-слу- чай твисторными методами; он построил также D^ метрики (частное сообщение).

В координатах (т, х) метрики Гиббонса — Хокинга можно представить в виде

ds2 = С/т (dt + ® • dx)2 + U dx?,(3)

rot ® = gradt/,(4)

и = £т^тг⑸

В случае А = 1 получается плоское пространство £4;々= 2 отвечает метрике Эгучи ——Хэнсона [5, 8, 14], которая была открыта ранее. Эти АЛЕ-инстантоны с группой Z饱 зависят от 3% — 6 существенных параметров, которые отвечают в точности возможным инфинитезимальным вариациям. Возможно, что они исчерпывают все полуплоские АЛЕ-метрики с Г = Z^ Пэйдж (частное сообщение) нашел, какие отождествления приводят к АЛЕ с Л1 (М) = Z2 н Z2 X ^2. Кроме того, он построил в явном виде скалярную функцию Грина для этих пространств [16]. Атья (частное сообщение) затем дал твисторную конструкцию этих функций Грина методами когомологий пучков.

Любая полуплоская метрика доставляет локальный минимум действия в классе метрик с R = 0. Это дает повод сформулировать следующий аналог теоремы 1:

Гипотеза /. Все АЛЕ-инстантоны полуплоские, а группа Г для их универсальных накрытий содержится в SU(2).

АП-инстантоны

К известным АП-инстантонам относятся: S】＞＜R3 с плоской метрикой, евклидово пространство Шварцшильда и евклидово пространство Керра с мнимым угловым моментом [23].

Теорема 4 (вариант теоремы Израэля [18]). Пусть (М, g^) АП с нулевой кривизной Риччи на R2X 52, обладающее полем векторов Киллинга, ортогональных к гиперповерхности. Тогда gaB является евклидовым пространством Шварцшильда.

А. Лапедес (частное сообщение) указал, что несправедливо аналогичное обобщение теоремы Робинсона [19], относящейся к осесимметричным метрикам на R2 X S2, допускающим еще одно поле векторов Киллинга, не ортогональное к гиперповерхности. Однако, принимая во внимание теоремы типа «черная дыра не имеет волос» (см. обзор [17]), можно высказать следующее предположение:

Гипотеза 2. Не существует АП-инстантонов, кроме плоского пространства, евклидова пространства Шварцшильда и евклидова пространства Керра.

Пространства Шварцшильда и Керра не являются локальными минимумами действия в классе АП-метрик с нулевой скалярной кривизной [32].

АЛП-инстантоны

Если в уравнениях (3) и (4) положить

то получатся АЛП-метрики типа <смульти-Тауб — НУТ》(см. Хокинг [2]). Границей на бесконечности являются циклические линзовые пространства. Вероятно, эти метрики (а также метрики, отвечающие Dk) можно построить твисторными методами. Конструкция функций Грина, данная Пэйджем, применима также в этом случае.

Метрики (3) и (4) исчерпывают класс метрик с автодуальным полем Киллинга (поле № автодуально, если Qb автодуально). Можно также охарактеризовать их как метрики с полем Киллинга, для которых формы связности в «очевидном» базисе автодуальны.

Остальные известные явно АЛП-решения не являются полу- плоскими. Это решения Пэйджа [21] и их обобщения с угловым моментом [22]. Можно поставить вопрос: существуют ли более сложные АЛП-метрики? Ответ, по-видимому, будет отрицательным. На языке работы [23] они должны были бы быть метриками типа «multi-bolt», например «мульти-Шварцшильд». Оказывается, эту возможность можно исключить с помощью аргументов, используемых в физике черных дыр. Таким образом, класс АЛП-метрик кажется несколько более богатым, чем АЛЕ, но не слишком.

Компактные инстантоны

Если компактный инстантон допускает поле Киллинга, то А > 0. Известные примеры исчерпываются следующим списком:

S”

СР2 [24, 25];

S2XS2上5];

CR# 介[26].：

Многообразие 4 неоднородно. Оно является топологической суммой двух экземпляров СР2 с противоположными ориентациями/

Все известные примеры с А = 0 полуплоские:

SlXS{XSlXS{ (плоское);

КЗ с метрикой Яу.-

Метрика Эйнштейна ^ Кэлера на многообразии КЗ известно лишь в силу неявной теоремы Яу, а также приближенно: она реализуется как результат склейки 16 решений Эгучи — Хэнсона [25, 28]. Многообразия ^3 исчерпывают компактные полупло- ские метрики. Возникает соблазн сформулировать следующую； гипотезу:一-

Гипотеза 3. Метрики Яу на КЗ исчерпывают компактные неплоские метрики с нулевой кривизной Риччи.

При А < 0 теорема Яу [27] доставляет обширный класс; примеров, но ни один из них не известен в явном виде, кроме следующих сравнительно явно описываемых пространств:

Пространства постоянной кривизны («анти-де Ситтер» по модулю дискретной группы).• 「一

Пространства постоянной секционной кривизны (поло-： жить А < 0 в метрике СР2 и отфакторизовать по дискретной группе)...：

Произведения двух двумерных пространств постоянной отрицательной кривизны.

Интересный класс пространств Яу составляют комплексные гиперповерхности степени 应》4 в СР3 [30]. При 々=4 это /(3-многообразия.…-

Огромное разнообразие примеров доставляют более сложные алгебраические подмногообразия в СР^. Однако нх числовые характеристики ограничены важными неравенствами： Для' каждого компактного пространства Эйнштейна определим число f формулой”

"0力%、% = -/..:(7卜

Классическое действие 1еис тогда равно

Тензор Вейля удовлетворяет неравенству

из которого следует [29] 2%-3|т|>№2.⑼

Здесь % — эйлерова характеристика, а т — сигнатура. Равенство достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля автодуален. Из него следует

%> 产/12^2,(10)

причем равенство достигается при постоянной кривизне. Если метрика g^e кэлерова, то

Зт = с? — 2сг = с? — 2%,(И)

где с? и С2 — первое и второе числа Чженя. Поэтому для метрик Эйнштейна — Кэл ер а имеем

f = 2ncl(12)

И

心产/6*(13)

причем равенство достигается для автодуального тензора Вейля (т. е. в случае постоянной голоморфной секционной кривизны, как у ”2).

Для алгебраических подмногообразий СРп имеем (Н. Хит- чин, частное сообщение) “

2门2%《产《4几%

Равенство слева достигается для гиперповерхностей (% = = R(R2_8R + 22), t = ^R(R + 2)(R-3)), а справа — для произведений поверхностей постоянной отрицательной кривизны рода gi н g2 (% = 4(1 —gi) (1 — g2), т = 0).

Эти результаты и некоторые качественные соображения побудили Хокинга [4, 10] высказать следующее предположение:

Гипотеза. При растущем % для большинства компактных инстантонов А V 0 м f V%"-

Фридан (частное сообщение), показал, что в классе метрик с постоянной скалярной кривизной все известные компактные инстантоны, за исключением S2 X 52, являются локальными минимумами действия. Для S2X S2 есть в точности одно направление, вдоль которого действие уменьшается.

ЛИТЕРАТУРА

Hawking S 旣，Gibbons G.步.，Phys. Rdv., 13, 2752 (1977).

Hawking $.步.，Phys. Lett, 60A, 81 (1977)..,

Hawking 卜步.，in: General Relativity, edited by S. W. Hawking and W. Israel, C. U. P., 1979._

Яawklng S.呪，Euclidean Quantum Gravity, lectiire, held at the NATQ Summer School at Cargesd 1978, Plenum Press, ed. S. Deser. (Статья 1 данного сборника.) .

Gibbons (?.历.，Perry Mt /,, Pawking S.吋.，NiicL Phys., B138, 141 (1978).

Gibbons G.呼.，Perry M. /., Nucl. Phys., B14^, 90 (1978),

Gibbons G.耽，Hawking S.步.，Phys. Lett, 78B, 430 (1978).

Gibbons G.步” Pope С. M, Comm. Math. Phys., ©6, 267 (1979)；

Gibbons G.忆，Romer H.t Pope C. N., Nucl Phys, (in press).

Hawking S 步.,Nucl. Phys., В144, 349 (1978).

Shoen R., Yau T. S, Phys, Rev. Lett, 42, 547 (1979).

Gibbons G.步.，Hawking 5.呪(unpublished).

Hitchin M, Math. Proc. Camb. Phil. Soc„ 85, 465 (1979).

Eguchi Z, Hanson 4.» Phys. Lett., 47B, 249 (1978).

Belinsky K, Gibbons G.步.，Page D. M, Pope С. M, Phys. Letts., 76 B, 433 (1978).

Page D M, Phys. Lett, (in press).

Carter B., in: General Relativity, edited by S. W. Hawking and W. Israel C. U. P. 1979.

Israel 欣，Phys. Rev., 164, 1776 (1967);

Robinson D. C„ Gen. Rei. Grav., 8, 695 (1977).

Robinson D С.» Phys. Rev. Lett, (to be published).

Tod P., V^ard A. (to be published).

Page П "., Phys. Lett, 78E, 249 (1978).

Gibbons G.步.(to be published).

Gibbons G.呼.，Hawklng S.步.，Commun. Math. Phys, (to be published).

Freund P G. O., Eguchi 7., Phys. Rev. Lett, 37, 1251 (1976).

Gibbons G.步.，Pope С. M, Commun. Math. Phys., 61, 239 (1978).

Page D. M, Phys. Lett, 80B, 55 (1978).

Yau £ T・，Proc. Nat Acad. Sci., 74, 1798 (1971); Asterique, 58 (1978).

Page D. M, Phys. Lett., 79B, 235 (1978).

Hitchin M, J. Diff. Geom., 9, 435, (1974).

Back 4, Forger M” Freund P., Phys. Lett, 77B, 181 (1978).

Milnor 工，Morse Theory, Princeton University Press.

Page D M, Phys. Rev., D18, 2733 (1978).

5. Перспективы теорий супергравитации')

С. Феррара

Ferrara S.), Proc, of GR9, 1982

Представлены некоторые характерные черты супергравитации как единой калибровочной теории всех фундаментальных взаимодействий частиц. Особое внимание уделено структуре мультиплетов массивных и безмассовых представлений расширенной суперсимметрии и их свойствам симметрии.

1, Калибровочные теории — основа единой теории поля

Современные теоретические представления о низкоэнергетических явлениях указывают, по-видимому, на жизнеспособность теории калибровочных полей как схемы для описания всех фундаментальных сил природы. Это справедливо как для даль- нодействующих электромагнитных и гравитационных, так и для короткодействующих слабых и сильных взаимодействий. Если стать на ту точку зрения, что все известные взаимодействия фундаментальных составляющих материи являются калибровочными, то ряд соображений побуждает принять следующий принцип экономии: различные низкоэнергетические симметрии объединяются при энергиях много.больших, чем те, которые нужны сегодня для понимания физики низких энергий. В рамках квантовой теории калибровочных полей возможный сценарий объединения негравитационных взаимодействий дают теории великого объединения (ТВО) [1]. Они включают в одну калибровочную теорию как теорию электрослабых взаимодействий Глэшоу — Вейнберга ——Салама 5^/(2)лХ^(1)эл, так и калибровочную теорию сильных взаимодействий SU(3)C (квантовую хромодинамику). Простейшей ТВО является модель SU(5) Джорджи—Глэшоу [2] с минимальным включением SU⑵ lX X ^(1)элХ5С7(3)с в простую группу. Эта модель, как и любая

другая ТВО (см., например, [3]), должна воспроизводить объединение электромагнитных и слабых взаимодействий при энергиях около 100 ГэВ. Отсюда, согласно ренорм-групповым аргументам, следует, что масштаб великого объединения порядка 1015 ГэВ. В настоящее время ТВО достигли немалых успехов (например, объяснение квантования заряда, предсказание низкоэнергетического угла Вейнберга Qw и установление некоторых связей между кварками и лептонами). Кроме того, ТВО предсказывают новые физические явления, которые могут быть проверены экспериментально, такие, как распад протона и маесы нейтрино (см., например, [4]). Однако ТВО имеют и серьезные недостатки, так как им внутренне присуща проблема иерархий, они не объясняют повторения поколений и тот, последний, но не наименее важный факт, что, хотя объединение симметрий происходит при масштабах, не очень далеких от планковской массы 1019 ГэВ, ТВО полностью пренебрегают гравитацией. Любая попытка сверхобъединения должна включать метрический тензор —гравитационное калибровочное поле. В квантовой теории это поле описывает новый калибровочный квант — гравитон, существующий в двух состояниях со спиральностями X = ±2； Это калибровочное поле связано с локальной симметрией эйнштейновского лагранжиана, т. е. с калибровочной группой Пуанкаре.

Основным мотивом супергравитации [5, 6] является желание найти возможный сценарий для сверхъединой калибровочной теории с планковской массой в качестве масштаба объединения. Ясно, что в любой попытке построить такую теорию объединяющий калибровочный принцип должен содержать в единой алгебраической структуре как пространственно-временные, так и внутренние симметрии. Более того, в действительно единой калибровочной теории все взаимодействия должны иметь чисто геометрическое происхождение, а различия между материаль^- ными и калибровочными полями должны быть почти неуловимыми. Вследствие различных спинов и статистик фундаментальных составляющих материи (фермионов и бозонов) это, по-ви^ димому, приводит к требованию, чтобы объединяющая алгебраическая структура преобразовывала бозоны в фермионы и наоборот. Это достигается с помощью супералгебр Ли или суперсимметрий [7, 8], правило умножения в которых содержит как коммутаторы, так и антикоммутаторы.

Супер гравитация — это синоним динамической теории локальной (калибровочной) суперсимметрии. В суперсимметрии нечетная часть супералгебры Ли (ферми-генераторы) содержит ^ майорановых спинорных генераторов Q^ (а= 1, ..., 4; i = = 1, …，^). Эти генераторы образуют так называемое градуирующее представление четной части супералгебры Ли, содержащей алгебру Пуанкаре и, возможно, алгебру внутренней симметрии, действующей на индекс 厶 Трансформационные свойства

спинорных генераторов имеют вид!)

[Qa> M|iv] — I (^vJa^Qp» [Qa, ^g] = 0,⑴

а нх антикоммутдционные соотношения

{Qt Q^} =^ - 2^Р^! + Zi!^ + Zi!^.⑵

Генераторы Z〃，ZK антисимметричное по индексам i, /, принадлежат центру супер алгебры Ли и по этой причине называются центральными зарядами [9]. Хотя эти генераторы и важны в некоторых моделях, можно согласованно положить их равными нулю в (1) и (2), не нарушая тождеств Якоби. С этого момента мы будем_в основном рассматривать алгебру (1) и (2), в которой Z" = Z订胃 0.

Обращая уравнение (2), получаем соотношение

Р"=г*@%М(3)

которое показывает, что спинорные генераторы являются в некотором смысле кеадратными корнями из трансляций. Из этого соотношения ясно, что если мн построим теорию, инвариантную относительно преобразований суперсимметрии с (антикоммутирующими) параметрами е^ (х), зависящими от координат х^, то ?та теория должна быть также инвариантна относительно о6ще・ координатных преобразований. Обратно, любая общековариантная теория с глобальной суперсимметрией является локально суперсимметричной. При ^ведении локальных преобразований симметрии с параметрами е； (х) можно ожидать появления калибровочного поля, необходимого для локальной суперсиммет- ричнрсти данной теории (по аналогии с введением фотона для расширения глобальной (первого рода) фазовой инвариантности теории Дирака до локальной (второго рода) инвариантности). Ожидаемое калибровочное поле должно преобразовываться относительно суперсимметрии как d显 (+ другие члены) и, следовательно, представляться полем Рариты—Швингера ^а (х). Предполагается, что это фермионное калибровочное поле в отсутствие нарушения суперсимметрии описывает новую безмас- совую частицу со спцральностями X = ±3/2 (гравитино). Наличие нового калибровочного кванта с полуцелым спином и является ключом к супер гр авита ции. Эта гипотетическая частица со спином 3/2 перебрасывает мост между симметрией пространства-времени, калибровочный квант которой имеет спин 2 (гравитон), и внутренними симметриями, калибровочные кванты которых имеют спин 1 (янг-миллсовские векторные бозоны). Бо-

В настоящем обзоре часто используются различные метрические со、 ГЛ^шения в соответствии с цитируемыми оригинальными статьями,

лее того, из структуры мультиплетов безмассовых представлений расширенной (R>1) суперсимметрии (см., например, обзор [10]) следует, что калибровочные частицы со спином 2, 3/2 и 1 могут быть объединены с частицами со спином 1/2 и 0. Таким образом, в теориях супергравитации одновременно достигаются две фундаментальные цели: объединение пространственно-временных и внутренних локальных симметрий в единой калибровочной теории и объединение калибровочных и материальных полей в единое неприводимое представление лежащей в основе группы симметрии.

Супергравитация из первых принципов

Совершенно независимо от программы унификации были приведены и другие доводы в пользу введения супергравитации в физику частиц.

Во-первых, чтобы сделать суперсимметрию локально инвариантной. Это требует одновременно инвариантности относительно общекоординатных преобразований. Локализация суперсимметрии приводит к одному и тому же действию независимо от частного вида использованной математической структуры L5.6J.

Если обобщать калибровочную инвариантность свободного безмассового поля Рариты — Швингера на случай взаимодействия, то супергравитация возникает как единственная возможность непротиворечивого взаимодействия этого поля с остальными полями, преодолевая тем самым старые трудности взаимодействующих полей с высшими спинами [11].

В супергравитации впервые реализуется идея о том, что фермионные поля, обычно ассоциируемые с материей, могут быть истинно калибровочными полями. Это приводит к тонкой взаимосвязи между геометрией пространства-времени и квантовомеханическим понятием спина.

Одной из причин создания супергравитации можно считать попытки построения осмысленной квантовой теории гравитации. Вклады суперсимметричных партнеров гравитона приводят к весьма эффектному улучшению ультрафиолетового поведения по сравнению с эйнштейновской теорией [12]. Предел наших желаний состоит в том, что некоторые варианты супергравитации (в настоящий момент предпочтение отдается максимально расширенной теории с N = @ [13]) приведут к конечной квантовой теории гравитации.

Супергравитация естественным образом оправдывает необходимость квантования гравитации [14]. Действительно, если есть преобразования симметрии, смешивающие метрический тензор с полями других частиц, было бы крайне неразумно квантовать все поля, за исключением метрического тензора. Например,

в простейшей теории супергравитации уже сам факт квантования поля Рариты — Швингера предполагает, что метрический тензор также должен быть квантован.

Имеется несколько изящных формулировок основной теории супергравитации (N = 1) [5, 6]. В формализме первого порядка N = 1 супергравитацию можно рассматривать как теорию Эйнштейна—Картана для безмассовой частицы спина 3/2 с неминимальной заменой 0以一>0以 + $ ①以妙仃册 в лагранжиане Ра* риты — Швингера [6]. Эта замена неминимальна в том смысле, что <?ц + у ^ъ саь не является ковариантной производной, действующей на поле со спином 3/2, а отличается от нее на члены, связанные с кручением, которые необходимы для сохранения калибровочной инвариантности поля Рариты — Швингера. Супергравитация была также построена как калибровочная теория супергрупп Пуанкаре [15] или де Ситтера [16] в пространстве- времени без кручения. Более простой вывод супергравитации требует соответственно более изощренных методов [17, 18]. Один из них основан на понятии суперпространства [17, 19— 21], которое является фактор-пространством супергруппы Пуанкаре по группе Лоренца. В суперпространстве мультиплеты полей описываются одним объектом — суперполем. Несмотря на эти значительные технические усовершенствования, мы хотели бы привести здесь такой вывод супер гр авит а ции, который не требует знания дифференциальной геометрии и теории групп и основан на некоторых очень простых физических рассуждениях. Из теории представлений глобальной суперсимметрии известно, что безмассовая (майоранова) частица со спиральностью X = 士 士3/2 может образовывать супермультиплет с бозоном спиральности 士2 или 士 1. В теории свободных полей оба выбора совершенно равноценны. Первый выбор приводит к мультиплету супергравитации (士2, ±3/2) со свободным лагранжианом

二.3^ = ^эйншт (Auv) — у e^^gYsYv^p^a-⑷

Здесь ^°эйншт (йиу) — линеаризованный эйнштейновский лагранжиан с g^v =刀炉 + 乂九卩屮 Лагранжиан 砂 раздельно инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований

6“v=0/v + &加，6% =电а(5)

и глобального преобразования суперсимметрии

6%V = ©YrWv + ®Yv屮屮/4

(b)

Альтернативный выбор приводит к мультиплету (±3/2, ±1) со свободным лагранжианом

a = - } %』2 - ^ 严叫"Y5Y坦熱.(7)

Лагранжиан 纟】раздельно инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований

6/ = %А, 6必=%<х (%v =电儿一氏&)(8)

и глобального преобразования суперсимметрии

6& =酢"，6% = %tY"严%⑼

Разница между Z^ и Z* соответствующими двум возможным способам включения гравитино в супермультиплет, возникает при попытке обобщить теории, описываемые (4) и (7), на случай полной нелинейной теории. Если е = е (х), т. е. преобразование суперсимметрии локально, то в лагранжиан необходимо ввести новый член 乂屮以仪/以气 имеющий вид произведения поля на ток (х — гравитационная константа связи), причем d^J^x) = 0. Это не что иное, как нетерова связь. Но известно, что при суперпреобразовании спин-векторный ток суперсимметрии переходит в тензор энергии-импульса системы 才叫 Следовательно, связь 乂屮协/以 с необходимостью сопровождается выражением nh^T^^ поэтому анзац (4) является единственно возможным. Окончательная теория, построенная процедурой последовательных приближений по степеням 乂，приводит к следующему лаг- гранжиану супергравитации:

纟§С = — 2^ “一 g R (gj J — 4丸Y5YvDpW(r —

—轰炉［№W)(丸YvWp + 2QvY“％) — 4 (帀л»+У］，(10)

где g'p.v = ^n^va и е^а — тетрада. Лагранжиан Zsg инвариантен относительно следующих (неабелевых) калибровочных преобразований с е = е(х):

Цга = 乂旣 aj,

6% =告0卢+ ； 乂We (2丸Ya电+布aY曲),⑴)

где 0以一обычная ковариантная производная со связностью Кристоффеля. Таким образом, на свободном уровне (х = 0) есть два независимых абелевых преобразования (5) и глобальное (неабелево) преобразование суперсимметрии (6). На взаимодействующем уровне (10) они становятся единым неабелевым

калибровочным преобразованием (11). Заметим, что закон 6屮以=—方以£ (力以=Dr + члены кручения) имеет такую же форму, что и закон калибровочного преобразования янг-миллсовского потенциала 64； = ОиАа = О^А。+ fabcAbA^,. Единственное отличие состоит в том, что в супергравитации спиновая связность s『является нелинейной функцией полей. Наконец, существует весьма изящный вывод [22] лагранжиана супергравитации (10), который не требует даже знания преобразований полей (11) и опирается только на тот факт, что поле гравитино описывает два физических безмассовых состояния со спиральностями ±3/2. Этот вывод прямолинеен и требует лишь знания борцовской амплитуды гравитационного рассеяния двух частиц со спином 3/2. Кроме того, он подчеркивает интерпретацию четырехфермионной связи, присутствующей в (10), как контактного члена той же природы, что и аналогичные члены в обычных теориях Янга — Миллса и в скалярной электродинамике. Рассмотрим одногравитонную амплитуду рассеяния двух частиц со спином 3/2. Волновая функция 屮卩(р) любой внешней линии с импульсом рц удовлетворяет на массовой оболочке (р2屮卩(р)=о) следующим уравнениям:

р"%(р) = о，夕办(P)= PuYU(P)・ (12)

Уравнения (12) сводят число компонент 屮卩(р) к четырем. Чтобы они сводились далее к двум физическим компонентам, матричный элемент S должен обращаться в нуль при подстановке 屮以=ер” где еа ——константный майоранов спинор. Легко проверить. что борновская амплитуда одногравитонного обмена не удовлетворяет этому требованию и что S-матрица обращается в нуль только при добавлении к борновской амплитуде контактного члена из (10). Существует простой довод, показывающий, что этот добавочный член может быть только четырехфермионной связью и что контактные члены с большим числом полей спина 3/2 не достигают цели. Рассмотрим рассеяние п гравитино в древесном приближении. Рассеяние может происходить, в частности, путем обмена гравитино гравитонами (трилинейная связь). В таких диаграммах гравитационная константа связи х всегда появляется в степени 2(п— 1). Предположим теперь, что мн подставили 屮卩(「)=£夕卩,просуммировали все вклады в S- матрицу и убедились, что она не равна нулю. Это означало бы, что в лагранжиан следует добавить выражение типа g2nM (皆屮)％ где дт обозначает /и-кратную производную и опущены лорен- цевы индексы. Простые размерные соображения сильно ограничивают возможный вид таких членов: из кинетической части действия следует, что размерность 屮卩 равна (D——1) /2 в единицах массы, где D — размерность пространства-времени, которую

мы не фиксируем. Тогда размерность константы связи g2n равна[^2/>l = D—n(D — l)—m.

Такие контактные члены должны соответствовать возможным калибровочно неинвариантным членам, у которых g2n ~

Так как [х] = (2 — D)/2, то для совместности необходимо

2(м— 1) —2 2 = D • tt(D — 1) — mt т. e. л 2 — /и.

Для любого D возможно единственное решение m = 0, п = 2. Следовательно, лагранжиан супергравитации в пространстве- времени произвольного числа измерений может содержать контактный член только в виде четырехфермионной связи без производных.

Симметрии расширенных супермультиплетов

В любой суперсимметричной теории частицы и. соответствующие им поля объединяются в супермультиплеты. Супермультиплет полей состоит из набора обычных полей с разными спинами, статистиками и свойствами внутренней симметрии. В этом разделе мы опишем достаточно подробно структуру массивных и безмассовых мультиплетов расширенной Л^-суперсимметрии и их свойства относительно внутренней симметрии. Предполагается, что состояния из этих мультиплетов должны описываться асимптотическими полями суперсимметричных квантовых теорий поля. Согласно Саламу и Стратди [23, 24], для построения супермультиплетов частиц используется вигнеровский метод индуцированных представлений. Положим временно в алгебре суперсимметрии (2) Z" = Z" = 0 (сектор нулевых центральных зарядов). Рассмотрим сначала подалгебру стабильности времениподобного вектора Р^ = (М, 0), где М — масса, общая для всех состояний данного массивного супермультиплета. В представлении Майораны подалгебра стабильности приобретает вид (М=1)

{Qa> <?6} = 6邙6仃,a, Р= I, 4, /, j = 1, ..., M (13)

Антикоммутаторы (13) определяют клиффордову алгебру группы SO(4N). Ее единственное неприводимое представление имеет размерность 22". Оно распадается на два неэквивалентных неприводимых спинорных представления SO(4N) размерности 22N-1. Используя двухкомпонентные вейлевские спиноры, перепишем (13) в следующем виде:.

{Qa, ^} = 6аа6г/> {QL, Q$} = 0, а, В = 1,2.(14)

Qa, Qd удовлетворяют алгебре 2^ ферми-операторов рождения и уничтожения. Рассмотрим клиффордов вакуум Q, определяемый

условием

Q：Q = 0, Va, г.(15)

Над ним можно построить 2?" состояний

Q, 0Q, Q^.Q %•••%◎ О»

Эти состояния классифицируются с помощью оператора спина

^ = 44d[Qi.関，(17)

принадлежащего обертывающей алгебре супералгебры Пуанкаре. Если определить 2Л/-компонентные спиноры:

Qi — Qa для Z=l, ..N; Q； = Q&' =£“‘Qj(18)

для a = ^ + 1, ..., 2M

то (13) и (14) переходят в

{Qa, Qp} = eapQa6, а, В =1,2, a, 6=12M

Qa" = — Q”a = ( _ ； q^,(Qa)*~ Qa&eaPQp. “)

Алгебра (19) явно инвариантна относительно SU(2)Х USp(2N) [25, 26]. ^-мерное векторное представление 50(47/) остается неприводимым при редукции

SO (4N) ->SU ⑵ X USp (2N), 4^ f ⑵ 2N)・(20)

Симплектические генераторы, классифицирующие состояния в (16), имеют вид

А『Т% + * +，(叫一吟)，产二戸[Q* Q&]；(21)

они коммутируют с SU(2)-генераторами (17). Два неприводимых спинорных представления SO(%N), соответствующих двум собственным значениям 士 1 оператора 丫4“+* разлагаются в сумму следующих неприводимых представлений St/(2)X USp(2N)： 22" = W+1, i)+(M2N)+…

・一 +(% —月+ 1J2NX・・・X2MQ + —

…+QJ2NX …Х2М“)・ (22)

Здесь [2^ X -. • X 2^ й — jfe-индексное антисимметричное бес- следовое представление USp(2N). Одно из неприводимых спинорных представлений SO(4N) содержит целые спины (бозоны) разложения (22), а другое — соответственно полуцелые спины (фермионы). St/(2)-спин / пробегает в спинорных представлениях SO (4汇)значения от / = 0 до / = N/2. Рассмотрим для ясности конкретный случай N = 2. В этом примере клиффордо- вой алгебре соответствует группа SO (8) и генераторы Q；, являющиеся векторами относительно SO (8), принадлежат непри-

водимому представлению (2,4) группы SU(2)X USp(4)〜 〜SO(3)XSO(B)uSO(8). Из диаграммы Дынкина для группы О4 [27] следует, что группа 50(8) имеет три неэквивалентных восьмимерных представления 8О, 8, 8[ разлагающиеся относительно 50(3)X50(5) на (2,4), (2,4), (3,1) + (1,5). Таким образом, в фундаментальном массивном супермультиплете расширенной N = 2-суперсимметрии фермионы и бозоны преобразуются относительно SU ⑵ XUSp⑷ как (2, 4) и (3, 1) + (1,5) соответственно.

Можно построить и более общие представления суперсимметрии. Например, можно ослабить условие на клиффордов вакуум 6, предположив, что он принадлежит нетривиальному представлению группы вращений, генерируемой оператором Паули — Любинского—Баргмана, и группы внутренней симметрии. В этом случае общее неприводимое массивное представление расширенной ^суперсимметрии будет определяться несколькими операторами Казимира: суперспином и операторами Казимира внутренней симметрии [23,28]. Используя суперполевой язык, операторы Казимира легко записать в терминах ковариантных производных. Действительно, если во всех предыдущих выражениях заменить операторы Q： на ковариантные производные Da^ то мы получим операторы, коммутирующие с генераторами суперсимметрии, так как {й^ Qp} = 0. Поэтому операторы Казимира, построенные из D^ можно использовать для классификации неприводимых представлений расширенной ^суперсимметрии. В табл. 1 приведены некоторые массивные представления

Таблица 1

Некоторые массивные представления (без центральных зарядов)

5

7

2

3 2

1

1 "2

0

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

]

4

1

4 5㊉1

4 5㊉1

4

5 4

1

3

1

1 6

6 14ф1

14 14㊉6

14

14

4

1

8

27

48

42

5

1

10

44

ПО

165

132

размерностиd = 22”dpразмерностиd = 22”dp(23)(23)расширенной ^суперсимметрии (до ^ = 5 включительно). Мао сивные представления расширенной TV-суперсимметрии имеют

размерности

d = 22”dp

размерности

d = 22”dp

(23)

(23)

где dg — размерность клиффордова вакуума. При наличии цeн^ тральных зарядов массивные представления могут иметь меньшие размерности [29,30]. Рассмотрим несколько примеров. В расширенной суперсимметрии ^ = 2п массивные мультиплеты с* центральными зарядами имеют размерность 22〃+】 вместо 24n и область изменения спинов 0 W / & л/2 вместо 0《 / & л. Эти 2?n+i состояний являются дублетом массивных представлений расширенной n-суперсимметрии без центральных зарядов. Они классифицируются по представлениям внутренней группы ^(1)Х USp(2n) (вместо USp(4/z))・ В табл. 2 приведены некоторые массивные представления с центральными зарядами.

Таблица 2

Некоторые массивные представления (с центральными зарядами). Комплексные представления

3

7

i

1 "2

0

2

1

1 2

1 2 1

2 1

4

1

1 4

4 5㊉1

5

4

6

1

6

14

14

Обратимся теперь к безмассовьш представлениям. В этом случае можно выбрать 尸卩=(1, 0, 0, 1). Подалгебра стабильности Р^ принимает вид

{Q：，弓} = (1 + %)/'，{Q：，Q%} = о- (24)

Из (24) следует, что Q$ = 0, и клиффордова алгебра состоит из ^ операторов рождения и уничтожения. Положив Q； = Q‘ и изменив нормировку Q，в “2 раз, получим

G，可}=也 {Q‘，Q'} = 0・(25)

Если определить теперь вещественный вектор

誓2M

L V2“2」

то (25) становится клиффордовой алгеброй группы S0(2N). Фундаментальный безмассовый мультиплет расширенной ^-cy- нерснмметркн совпадает со спинорным представлением S0(2N) и имеет размерность 2^. Нас будет интересовать разложение S0(2N) относительно U(N), соответствующее включению N + + N = 2N фундаментального представления SU(N) в векторное представление SO(2N). В случае М = 0 внутренняя группа USp(2N)t определенная в (21), сводится фактически к группе U(N) с генераторами

т11 = Г1 + Т/г + / (Т11 - Г7), Tll=\\^, Q/]. (26) t/(l)-генератор Т = — [Q , Q] связан с внутренней спираль* ностью Л = у Q-Qz (Лй = 0) следующим соотношением:

Т = А — ；. (27)

В пространстве, натягиваемом векторами Q, Q'Q, ・・・,Q'】・・. ・・・ Q'左0, ..., спектр Т пробегает значения от —N/4 до N/4. Если определить^спиральность группы Пуанкаре как оператор, преобразующий Qz обратно преобразованию Т, то суперспиральность дается суммой Г + 7; она является оператором Казимира для безмассовых представлений. Для СРТ-самосопряженности данного мультиплета необходимо, чтобы Г + Т = 0, т. е. Г£2 = = N/4Q. В этом случае мультиплет содержит полный набор спиральностей (вместе с противоположными) i/2(N/2 — k)t k = =0, ..., ^, принадлежащих неприводимым представлениям SU(N) вида [^Х А^Х …X №]月・ Если TQ = XQ и 入*N/4, то к мультиплету с суперспиральностью 入一N/4 следует добавить СРТ-сопряженный мультиплет с противоположной суперспиральностью N/4 — X. Это означает, “то FQ‘= (N/2 —入)SY. Заметим, что мультиплет не может быть СРТ- самосопряженным при нечетных ^. Размерность клиффордова вакуума можно увеличить, предположив, что он преобразуется по некоторому неприводимому представлению R киральной группы St/(^).Bэтoм случае СРТ-самосопряженное представление алгебры суперсимметрии получается сложением двух представлений с противоположными суперспиральностями и клиффордовыми вакуумами, преобразующимися соответственно по представлениям 欠 н R группы SU(N). Дублирование представлений необязательно, если суперспиральность равна нулю и если R является самосопряженным представлением группы SU(N). Размерность произвольного представления равна 2"XdimR в случае нулевой суперспиральности и 2"+i X dim R в остальных случаях. Из предыдущих рассуждений следует, что для СРТ-самосопряженного безмассового мультиплета минимальный интервал изменения

спиральностей лежит в пределах от. X = 0 до К = N/4 (или (^ + 1)/4 для нечетных ^).

В табл. 3 и 4 приведены безмассовые мультиплеты с синглетными относительно SU(^) максимальными спиральностями

Таблица 3

Безмассовые представления с максимальной спиральностью 九=1

1

1 2

0

1

1

1

2

1

2

2=21

3

1

3㊉1

3㊉3

4

1

4

38 21^3

Таблица 4

Безмассовые представления с максимальной спиральностью 九=2, SO (8)>класси1фикация

X

2

3

"2

1

1 2

0

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

302183

4

2 = ®

5

1

5

10

10㊉1

5㊉5

6

1

6

15㊉1

20㊉6

15 ㊉ 15

7

1

7㊉1

21㊉7

35 ㊉ 21

35 ㊉ 35，

8

1

8

28

56

35 ㊉ 35

&макс = 1, 2. Отметим, что подгруппа SO(N) группы SU(M) является максимальной внутренней симметрией безмассовых мультиплетов, реализующейся вектороподобно. При расширении SO(N) до SU(N) безмассовые мультиплеты теряют определен-

ную четность, так как данная спиральность и противоположная ей спиральность принадлежат соответственно сопряженным представлениям SU(N). Тем не менее может случиться, что некоторые состояния данного мультиплета принадлежат самосопряженному представлению SU(N)\ для них может быть определено понятие четности. Ясно, что любой неприводимый СРТ- самосопряженный мультиплет не может быть самосопряженным относительно киральной группы SU(M), вращающей состояния вида Q‘i ... Q%Q. Однако, добавив несколько безмассовых мультиплетов, можно получить мультиплет, состояния которого принадлежат самосопряженным представлениям SU(N). Такая ситуация возникает, например, при разложении состояний массивного представления по состояниям с определенной спиральностью [26]. Массивное представление разлагается в сумму неприводимых безмассовых представлений. Состояния с данной спиральностью классифицируются по подгруппе SU(N) группы USp (2N) в соответствии с разложением 2府一＞N + N векторного представления USp(2N) относительно SU(^). В табл. 5 приведено такое разложение для массивного мультиплета расширенной ^ = 4-суперсимметрии с максимальным спином /макс = =2 (фундаментальное представление).

Из предыдущего анализа видно, что область изменения спиральностей в безмассовом представлении меньше, чем в массивном. Причина этого лежит в сокращении размерности клиффор- довой алгебры в «системе покоя», соответствующей в первом случае группе SO(2N), а во втором SO(4N). Безмассовое фундаментальное представление расширенной ^-суперсимметрии есть спинорное представление SO(2N), соответствующее разложению 2N f N + N SO(2^) относительно SU(N). Очевидно, что предыдущее обсуждение может быть обобщено на случай суперсимметрии в пространстве-времени произвольного числа измерений. Например, рассматривая безмассовые представления ^ = 1 -суперсимметрии в десяти измерениях [31], мы находим, что клиффордова алгебра соответствует группе 50(8), как и для массивного случая К = 2 в четырех измерениях. Фундаментальное безмассовое представление соответствует паре неприводимых представлений 50(8), а именно векторному и спинорному представлениям, описывающим векторное поле и спинор Вейля — Майораны в десяти измерениях,. Клиффордова алгебра для безмассовых представлений суперсимметрии ^ = 1 в 11- мерном пространстве-времени [32] эквивалентна клиффордовой алгебре для безмассовых представлений ^ = 8-суперсимметрии или для массивных представлений ^ = 4-суперсимметрии в четырех измерениях.

В заключение рассмотрим еще раз некоторые представления расширенной "-суперсимметрии с центральным зарядом [29,

Таблица 5

Разложение массивного ^==4, /макс = 2 представления на безмассовые представления

Спиральность

Число СОСТОЯНИЙ

Неприводимые безмассовые представлеиня

+2

1(1)

1

8(8)

4

4X1.

+1

28(27+ 1)

6

4X4

6X1

+ т

56 (48 + 8)

4

4X6

6X4

4X1

0

70 (42 + 27+ 1)

1

4X4

6X6

-4X4

1

56 (48 + 8)

4X1

6X4

4X6

4

-1

28 (27 + 1)

6X1

4X4

6

8(8)

4X1

4

-2

МП

1

В скобках указаны представления USp (8).

. Мы видели, что эти представления классифицируются по группе USp(N) и имеют область изменения спина в пределах от 0 до N/4 (^ четное). Их размерность равна 2"+* и, пока речь идет о содержании спиральностей, они совпадают с СРТ- самосопряженными безмассовыми представлениями расширенной ^суперсимметрии. Эти представления можно рассматривать как некоторое специальное вложение USp(N) в SU(N). ^мерное векторное представление SU(N) остается неприводимым при ограничении до USp{N). Применяя вышеизложенный анализ к ^ = 4-суперсимметричным теориям Янга ——Миллса, мы приходим к выводу, что любой не нарушающий суперсимметрию механизм Хиггса с необходимостью приводит к массивным мультиплетам с центральными зарядами, спиновые состояния которых классифицируются по USp(4). Это явление действительно происходит в спонтанно нарушенных расширенных суперсимметричных теориях Янга ——Миллса.

4・ Расширенная супергравитация и физика частиц

Расширенные супергравитации [33] представляют собой калибровочные теории супералгебр Пуанкаре, в которых имеется ^ спинорных майорановых зарядов Q；(i=l, •一, N), yдoвлeт^ воряющих фундаментальным антикоммутационным соотношу ниям (2). Для локализации ^ преобразований суперсимметрии необходимо ввести N полей Рариты — Швингера со спином 3/2, несущих индекс внутренней симметрии L Мультиплеты pacши^ ренной ^-супергравитации (на массовой оболочке) приведены в табл. 4. Поскольку мультиплеты со спиральностями 入 W 2 существуют только при условии N W 8, то имеется весьма ограниченное число теорий чистой супергравитации. Фактически, если единственной константой связи является гравитационная кон* станта, имеется только семь возможных теорий с различным co^ держанием частиц. Впрочем, недавно было показано [34], что разные полевые представления могут привести к неэквивалентным квантовым теориям поля, совпадающим на классическом уровне.

Простейшей расширенной супергравитацией является ^ = 2-теория [35]. Она весьма изящно объединяет теории Maк^ свелла и Эйнштейна. Эйнштейновская мечта об объединении фотонов и гравитонов почти достигается в ^ = 2-супергравита* ции путем добавления к обычной теории Максвелла — Эйнштейна двух гравитино. Гравитино не имеют электрического заряда; тем не менее они взаимодействуют с максвелловским полем за счет неминимальной связи, диктуемой локальной суперсимметрией:

4^就(尸^ + ^Y5庐2)哨ё小(28)

На свободном уровне лагранжиан теории сводится к сумме лагранжианов (4) и (7). Дублет гравитино ^ = 2-теории можно снабдить электрическим зарядом g [36] при условии, что гравитино приобретают《массу》величины g/к и возникает космологический член величины (g/к)?. Расширенные супергравитации имеют очень большой набор симметрий. Локальные симметрии кроме общекоординатных, лоренцевых и суперпреобразований включают также калибровочные симметрии, связанные с векторными полями мультиплета супергравитации. При наличии только гравитационной константы эти последние симметрии связаны [37] с локализацией центральных зарядов, появляющихся в правой части фундаментального антикоммутатора (2). Глобальные симметрии расширенных супергравитаций включают глобальную SO (^) -инвариантность, которая может быть расширена до U(N) [38] с помощью комбинированны^ киральных и дуальных преобразований, обобщающих преобразования дуальности теории Максвелла — Эйнштейна. ^ левосторонних гравитино ^цдобразуют вектор SU(^), в то время как

^(^——1)/2 напряженностей максвелловских полей F^ = —眩 и дуальные им тензоры 户心=у 舱旷卽尸°" преобразуются как антисимметричные тензоры SU(^) второго ранга. Эта комбинированная кирально-дуальная инвариантность оказалась наряду с остальными локальными симметриями существенной для конечности одно- и двухпетлевых квантовых поправок теорий расширенной супергравитации [12]. Важно отметить, что комбинированная кирально-дуальная инвариантность индуцирует новые контактные члены в напряженностях полей гравитино, уже не сводящихся просто к кручению, как это было в случае W = 1. Этот факт показывает, что локальная суперсимметрия имеет гораздо более богатую геометрическую структуру, чем теория гравитации Эйнштейна — Картана.

Структура глобальных симметрий расширенной супергравитации наиболее интересна для ^ ^ 4. В этих случаях мультиплеты супергравитации включают все возможные спиральности от 0 до 2 и содержат скалярные поля (см. табл. 4). При построении ^ = 4-супергравитации было показано [39], что за добавочную глобальную SU (1,1) -инвариантность уравнений движения ответственны два вещественных скалярных поля. Эта симметрия нетривиальным образом комбинирует киральные преобразования на спинорах, дуальные преобразования на напряженностях .векторных полей и проективные преобразования на скалярах. Эти некомпактные глобальные преобразования расширяют глобальную симметрию ^ = 4-супергравитации до SU(4)XSU(1,1). Некоторое время назад Креммер и Жулиа [13, 40] обобщили эти добавочные симметрии N ^ 4-суиергра- витаций, показав, что все эти теории фактически обладают локальной симметрией Н = U(^) (SU(8) для ^ = 8) и глобальной некомпактной симметрией G. Более того, скалярные поля мультиплета супергравитации, образующие антисимметричный тензор SU(N) четвертого ранга, параметризуют пространство смежных классов G/方.Группа Н связана с G в том смысле, что Н изоморфна ее максимальной компактной подгруппе Н ^ Н, Именно это является причиной отсутствия духовых состояний, несмотря на некомпактность полной группы инвариантности уравнений движения. В N = 4-супергравитации G/H = =SU(1,1)/U(1) является двумерным многообразием, что соответствует двум скалярным модам теории.

Обратимся теперь сразу к максимально расширенной ^ = =8-теории. В этом случае G = Е7 и Н = SU(8) [13,40]. 70 скалярных полей параметризуют однородное пространство G/Н размерности 133 — 63 = 70. Группа SU(8), по которой классифицируются состояния, не совпадает ни с ”, ни с А, а является, скорее, их прямой суммой Н ® Н. Локальная SU(8)- группа расширенной N = 8-супергравитации нмеет в качестве

связности Q^b — вспомогательные нераспространяющиеся поля, линеаризованная часть которых билинейна по 70-плету скалярных полей фундаментального мультиплета ^ = 8-теории. Креммер и Жулиа [40] предположили, что эти SU (8)-калибровочные векторные потенциалы могли бы стать динамическими, т. е. в их пропагаторах мог бы возникнуть полюс при нулевой массе по аналогии с явлением, которое действительно имеет место в двумерной СР"-1 нелинейной модели в 1/п разложении [41]. Такое предположение означает по существу, что элементарные поля лагранжиана ^ = 8-супергравитации образуют связанные состояния, мультиплет которых содержит присоединенное представление SU(8). Это наблюдение может оказаться полезным для установления связи между супергравитацией и современной феноменологией частиц. Действительно, предыдущие попытки идентифицировать элементарные частицы физики «низких энергий» с партнерами гравитона по безмассовому мультиплету супергравитации были безуспешны, по существу, по той причине, что расширенная ^супергравитация может включать, самое большее, SO (8)-теорию Янга——Миллса [42]. Векторные частицы фундаментального мультиплета принадлежат в точности присоединенному представлению SO (8). Хотя ранг этой группы равен четырем, она не содержит минимальную калибровочную группу низкоэнергетической физики St/(3)X XSU(2)X U(l)・ Даже если мы попытаемся идентифицировать только точную (вектороподобную) симметрию S U ⑶ X U (1), все равно отсутствуют слишком многие наблюдаемые состояния кварков и лептонов. Но если отбросить эту картину и интерпретировать элементарные поля ^ = 8-супергравитации как «прео- нн》составных состояний, выглядящих элементарными при современных энергиях (кварки, лептоны, векторные бозоны), то локальная киральная SU (8)-симметрия может обеспечить включение всех наблюдаемых состояний. Недавно в очень интересной работе Эллис, Гайяр, Майами и Зумино [43] провели теоретико-групповой анализ содержания частиц в составном без- массовом SU(8) -мультиплете, в котором состояния со спиральностями 九=±1 принадлежат присоединенному представлению SU(8), и пришли к выводу, что этот мультиплет содержит достаточное число спинов 1/2 и 0, чтобы включать все наблюдаемые кварки и лептоны, а также хиггсовские частицы, необходимые для последующих нарушений симметрии от планковской массы до области гигаэлектрон-вольт:

SU (8) -> SU (5) f SU ⑶ X SU (2)2 X U ⑴->SU ⑶ X U ⑴.

Замечательно, что SU(8) оказалась достаточно большой не только для того, чтобы однозначно привести к калибровочной группе SU(5) ТВО, но также предсказать расщепление SU(8) на группу семейств SU (5)XSU(3). Чтобы построить СРТ-само-

сопряженный безмассовый мультиплет с векторными частицами в присоединенном представлении SU(8), Эллис и др. [43] использовали тот факт, что в любой суперсимметричной ^ ^ 4- теории существует мультиплет токов, имеющий такое же число степеней свободы на массовой оболочке, что и расширенный массивный ^-мyльтиплeт [44]. Этот мультиплет содержит следующие спины：

2, (3/2)。，(29) где индекс а пробегает значения От 1 до 2Д/ й состояния с меньшими спинами являются антисимметричными тензорами USp(2N) в соответствии с классификацией, приведенной в разд. 3. В пределе нулевой массы мультиплет (29) разлагается на несколько безмассовых мультиплетов, классифицируемых по представлениям SU(N) в соответствии с разложением 工Nf N + ,№ векторного представления USpQN) относительно SU(N). Например, для случая ^ = 4 имеет место разложение, приведенное в табл. 5. Безмассовый мультиплет, содержащий векторные частицы в присоединенном представлении SU(4), начинается спиральностью +3/2 в векторном представлении SU(4). Сказанное справедливо для всех N W 4・ Эллис и др. [43] предположили, что при N > 4 подходящий' мультиплет также имеет вид

⑶2尸⑴%(1/2尸原]…(中)".(30)

К мультиплету (30) следует добавить СРТ-сопряженные состояния

(中» (吋)分(5)4砌，…，.⑶) Полный набор левосторонних спиральных состояний для ^ = 8 имеет вид

九=干 5/2 : 8,

% 二干2： 28 + 36,

Л = тЗ/2:8 + 5б+168,

% =干 1 ： 63 + 1 + 70 + 378,

% =干 1/2： 8+ 216+ 56+ 504,'

% = 0:28 + 420 + 28 + 420.

Вышеупомянутые авторы сделали радикальное предположение о возможности пренебречь теми представлениями SU(8) в (32), которые получаются суммированием в (30), (31) верхних н нижних индексов (т. е. следами). Для спина 1/2 это представления 8 и 56, а для скалярных полей 28 (28). При таких условиях Эллис и др. пришли к выводу, что максимальной ненару-

шенной подгруппой SU(8) при энергиях ниже массы Планка 1019 ГэВ является SU(5). Максимальное свободное от аномалий подмножество левосторонних состояний со спином 1/2, которое может быть построено из представлений 216 и 504 и которое вектороподобно относительно SU(3)C% ^(1)эл» содержит в точности три семейства представлений (10 + 5) SU(5) плюс набор самосопряженных представлений, которые могут получить большую SU (5)-инвариантную массу порядка 1015 ГэВ. В подходе Эллиса и др. можно наметить альтернативные пути. Следует рассмотреть свободные от аномалий представления для левосторонних состояний со спином 1/2, не пренебрегая представлениями-следами SU(8). Другая возможность, кажущаяся трудновыполнимой, состоит в восстановлении нарушенной симметрии путем использования большего числа мультиплетов, отличных от (30) и (31). Очевидно, что если к (32) добавить достаточное количество безмассовых мультиплетов, то, увеличивая §U(8) до Z7Sp( 16), можно задать суперсимметричную массу любому состоянию. Легко видеть, что это достигается с помощью массивного ^ = 8-мультиплета с максимальным спином /макс = 6. Он слишком велик, но можно было бы рассмотреть промежуточные ситуации, удовлетворяющие ограничениям низкоэнергетической феноменологии. Имеет ли эта программа какое-нибудь решение, покажет будущее.

ЛИТЕРАТУРА

L Pati 丄 С., Salam 4r Phys. Rev. Lett-, 31( 661 (1973); Phys. Rev., D8, 1240 Georgi Я., Glashow S L・，Phys. Rev. Lett., 32, 438 (1974).

Ellis J., Proceedings of the EPS International Conference on High Energy Physics, Geneva, 2, 940 (1979).

Nanopoulos D. V., preprint CERN TH., 2896 (1980), lectures given at the XV Rencontre de Moriond, Les Arcs, March 1980; preprint CERN TH. 2866 (1980); in: Unification of the Fundamental Particle Interactions, eds. S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwenhuizen,. Plenum Press, New York, 1980.

Barbieri K・，preprint CERN TN 2850 (1980), in: Unification of the Fundamental Particle Interactions eds. S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwen- huizen, Plenum Press, New York, 1980.

Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev・，D13, 3214 (1976).

Deser S., Zumino B., Phys. Lett., 62B, 335 (1976).

Голъфанд Ю. Л., Лихтман E P., Письма ЖЭТФ, 13, 452 (1971); Волков Д. В., Акулов В. П„ Phys. Lett, 46В, 109 (1973);

Wess 丄，Zumino В, Nucl. Phys., В70, 39 (1974).

Fayei P., Ferrara S., Phys. Rep., 32, 251 (1977).

Haag R., Lopuszanski J. T., Sohnius M? Nucl. Phys., B88, 257 (1975).

Freedman D. Z., in: Recent Developments in Gravitation, edited by M. Levy and S. Deser, Plenum, New York 1979, p. 549.

Veto G., Zwanziger D, Phys. Rev., 186, 1337 (1969); 188, 2218 (1969).

van Nieuwenhuizen A, Grisaru M. 7\, in: Deeper Pathways in High Energy Physics, Coral Gable§ (ed. A, Perlmutter and L. F. Scott, 1977), p. 233.

de Wit В., Freedman D Z-, Nucl Phys., B130, 105 (1977); Gremmer E, Julia B； Phys. Lett., 80B, 48 (1978); Nucl. Phys., В159, 141 (1979).

buff M.丄，ICTP 79/80/38 talk presented at the Second Oxford Quantum Gravity Conference, April 1980.

Chamseddine A., West P. C., Nucl. Phys., B129, 34 (1977).

MacDowell S. ^., Mansouri E, Phys. Rev. Lett., 38, 139 (1977).

Wess 丄，Zumino B., Phys. Lett, 66B, 361 (1977).

Nieman У., Regge T., Riv. Nuovo Cimento, 1, 1 (1978);

D'Adda A. et al., Riv. Nuovo Cimento, 3, 1 (1980).

Brink L. et al, Phys. Lett, 76B, 417 (1978).

Огиевецкий В., Сокачев 3., Phys. Lett., 79B, 222 (1978).

Siegel 步.，Gates 丄，Nucl. Phys., B147, 77 (1979).

Ferrara S. et al., Nucl. Phys, Bl 17, 333 (1976).

Salam 4, Strathdee 几 Nucl. Phys., B76, 477 (1974); Nucl. Phys. B84, 127 (1975)：

Nahm U7” Nucl. Phys., B135, 149 (1978).

Ferrara S., Zumino A, Phys. Lett., 86B, 279 (1979).

Ferrara S., LNF-80/31 (P), invited talk given at the Second Oxford Quantum Gravity Conference, April 1980.

Дынкин E. 6 Матем. сб., 30 (72), 349 (1952); Труды Моск, матем. об-ва, 1, 39 (1952).

Taylor 丄 G” Nucl. Phys., B169, 484 (1980).

Sohnius M., Nucl. Phys., B138, 109 (1978).

Fayet R, Nucl. Phys., B149, 137 (1979); preprint LPTENS 80/7 (1980), Lec- lures given at the XVII Winter School of Theor. Physics, Karpacz (Poland), February 1980.

Gliozzi E, Scherk 丄，Olive D, Nucl. Phys., B122, 253 (1977);

Brink L., Schwarz 丄 Я., Scherk J” Nucl. Phys., B121, 77 (1977).

Cremmer E, Julia B., Scherk Л, Phys. Lett, 84B, 93 (1979).

van Nieuwenhuizen A, Phys. Rep., 68, 189 (1981).

Duff M. Л, van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 94B, 179 (1980);

Aurilia A., Nicolai H” Townsend P. K・，in: Superspace and Supergravity, eds S. W. Hawking and M. Rocek, Cambridge Univ. Press, (1981), p. 403; Огиевецкий В. Я., Сокачев Э. С- —ЯФ, 32, 1142 (1980).

Ferrara S・,van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett, 3 7, 1669 (1976).

Freedman D. Z.t Das 4., Nucl. Phys.,, B120, 221 (1977);

Фрадкин E С., Васильев M. А. Препринт ФИАН № 197, Москва, 1976.

Ferrara S-, Scherk 丄，Zumino A, Phys. Lett., 66 B, 35 (1977).

Ferrara S・，Scherk Л, Zumino 反,Nucl. Phys., B121, 393 (1977).

Cremmer £., Scherk 丄，Ferrara S, Phys. Lett., 74B, 61 (1978).

Cremmer E in： Unification of the Fundamental Particle Interactions, eds. S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwenhuizen, Plenum Press, New York, 1980.

D'Adda Л., DiVecchia P., Luscher M., Nucl, Phys., B146, 63 (1978); Nucl. Й% B152, 125 (1979);

en E, NucL Phys., B149, 285 (1979).

Gell-Mann M” talk given at the 1977 Washington Meeting of the American Physical Society.

Ellis J, et al., in: Unification of the Fundamental Particle Interactions, eds. S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwenhuizen, Plenum Press, New York, 1980, p. 69；

Ellis 丄，Gaillard M K・，Zumino B., Phys. Lett., 94B, 343 (1980);

Zumino B., in: Proceedings of the XX International Conference on High- Energy Physics, New York, AIP 1981;

Zumino B., in: Superspace and Supergravity, eds S. W. Hawking and M. Ro- cek, Cambridge Univ. Press. 1981, p. 423.

Ferrara S” Zumirw A, NucL Phys., B87, 207 (1975).

Суперсимметрия—супергравитация')

以 Весе

Wess 丄 2), Springer Lecture Notes in Phys., 77, 81 (1978)

Суперсимметрия оказалась удачным понятием в перекорми* руемых лагранжевых теориях поля (см. обзоры по суперсимметрии [1]). В теориях, обладающих суперсимметричной струк* турой, многие расходимости сокращаются. ,

Локализация суперсимметрии приводит к теории, инвариантной относительно общекоординатных преобразований ——в ней гравитон ковариантно связан с материальными полями. Изве* стно, что такие связи в высокой степени неперенормируемы. Суперсимметрия улучшает положение—в специальных случаях в двухпетлевом приближении перенормируемость может быть доказана [2]. Эти примеры показывают, что последнее слово как в квантовой теории поля, так и в теории тяготения еще не сказано. Судя по тому, что известно в - настоящее время, не исключено, что рамки перенормируемой квантовой теории поля могут быть достаточно широкими, чтобы включать теорию тяготения.

Построение моделей супергравитации продолжает оставаться искусством и в то же время тяжелой работой. В этих лекциях я буду придерживаться геометрического подхода, поскольку сейчас он мне кажется самым последовательным, хотя, по техническим приемам, не самым простым и быстрым ([3]; формулировка, совпадающая по существу с приведенной в статьях [3], развита независимо в статье [5]).

План лекций следующий. В первой лекции вводится понятие суперсимметрии. Мы обсуждаем алгебру и ее представления. Будет обсуждена также суперсимметричная модель теории поля, инвариантная относительно дополнительной калибровочной группы St/^).

Во второй лекции мы разовьем методы дифференциальной геометрии, которые позволят нам строить выражения, нова* риантные относительно суперсимметрии, калибровочной группы SU(N) или суперкалибровочных преобразований. Эти нова*

Лекции, прочитанные иа Восьмом международном семинаре по теоретической физике, Саламанка, Испания, 13——19 июня 1977 г.

Institut fur Theoretische Physik, Universitat Karlsruhe, West Germany.

© Springer-Verlag

© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

рианты могут быть использованы для записи ковариантных полевых уравнений и лагранжианов.

В третьей лекции мы изучим, используя эти методы, одну SU (^) -калибровочную суперсимметричную теорию. На этом примере можно ознакомиться с упомянутыми выше техническими приемами.

В последней лекции мы применим развитые методы для по* строения некоторой теории супергравитации.

Лекция 1. Суперсимметрия

Алгебра

Алгебра определяется следующими соотношениями:

[Pm, Рn] == 0> [Pm, Qa]=[Pm, Qd] О,

{Qa，Q^2am^Pm,

{Q“ Q^} = {Q(v QJ 。，

где Pm — оператор 4* им пульс a, Qa — вейлевский спинор, Qa 一 комплексно-сопряженный к нему спинор.

Суперпространство

Мы хотим найти представление этой алгебры дифференциальными операторами. Для этой цели мы определяем суперпространство. Оно состоит из обычного 4*мерного пространства и набора антикоммутирующих переменных 0a, 0a. Элемент этого пространства будет обозначаться через

Zm〜{/，/骋.

Индексные обозначения следующие; латинские строчные буквы (/и) служат для обозначения компонент лоренцева 4*вектора, греческие буквы (ц, ц) — для компонент лоренцева спинора, латинские прописные буквы (М) означают общий суперпространственный индекс.

Генераторы

Определим《конечный》элемент группы:

G (居 е, ё) = exp i{eaQa + 机@4 一 ％mpm}・

Пользуясь формулой Хаусдорфа, находим

G®, I, g)G&, 0, G) = G(x + y-il0e + iQal 8 + 自，© + &)・

Элемент «группы» G®,自,£) индуцирует движение в супер йространстве：

G{y, L £)：{%, е, 6}f {х + у亠徂趙 + 用轟 9 + 自，G + 豆.

Инфинитезимальные генераторы этого движения суть

Q产矗一，九舟券，

что дает представление нашей алгебры.

Ковариантные производные

Представляет интерес изучить касательные《векторные ноля》 к кривым, порожденным элементами группы на суперпростран* стве. Они порождают так называемые ковариантные векторные поля, которые инвариантны по отношению к действию группы. Это означает, что групповые генераторы коммутируют (антиком* мутируют) с векторными полями. Поэтому их нетрудно строить следующим способом. Благодаря закону ассоциативности

(G®,自，|)6(х, 0, 6))G ⑵ Д, Д) = 6(у, L |)(G(x, е, 6)GQ, Д, Д)) эти векторные поля могут быть получены как инфинитезималь* ные преобразования, соответствующие правому умножению на элементы группы

Da =姦,

Эти «ковариантные» производные удовлетворяют соотношениям

{4，Q^h^Av Q^Hf%，Qb} = {4，务} = °’

{% 4} = - 22% ^ •

Введем обозначение

以=0/含

Тетрада

Напишем явное выражение

/ баОО

0J=2%訳6 广О

4 - £8%%,炉也 0- 6д

Введем также обратную матрицу

е“'@幺 м = 6“м, ^^^ = ба%

Мы будем называть ем』 обобщенной тетрадой плоского пространства.

Суперполя

Функции от ZM называются суперполями. В качестве примера рассмотрим вещественное векторное суперполе, для кото* рого

V(xt е, 6)= р+(居 0, ё).

Каждое суперполе нужно понимать как степенной ряд по переменным 9, 0, который автоматически будет полиномом по е, е：

р(%, е, ё)= с(х)+ /0Х(х)-гёх(х)+

+ у09(М(х) + iN (%)) - у ёё (М (х) -z^⑶)一

—0am0wm (%) + Z060A, (х) — у 065m% (%) am0 —

—Z000A (х) + -у GBG<jmdm^ (x) + 0666 (^"П(*)+ } 口 С(х)) •

Закон преобразования поля легко получается из определения

бИ = 6С + 漑％ + …+ 0966 G 6。+ % □ 6С)= (&Q + 詢 V,

где Q, Q — определенные выше дифференциальные операторы. Почленное сравнение дает

6С = i (lx —訳)，

敢=自(М + iN) +。咤(％С + 加 J

鼓=*(М — i^) + |am(%。一5),

6N =自然一/d版)+乳一加+ %0以)，

6M =乳九 + iamdm^ + t(X + id^,

6% = |5„X + Ed版 + 侬/ + 痂 m"

从=自产“9力“一6％)+認， ^ = ldmn(dmvn-dnv^+lD,

Заметим, что компонента высшей степени по 0, 0 изменяется на полную пространственно-временную производную. Следова* тельно, проинтегрированное выражение инвариантно относи* тельно преобразований суперсимметрии. Из определения Q и Q легко видеть, что это всегда справедливо. Произведение супер* полей дает снова суперполе. Это позволит нам конструировать суперсимметричные лагранжианы.

Ковариантные производные могут быть использованы для наложения связей на суперполе; это можно делать так, чтобы избежать уравнений в пространстве хт. Например, скалярное суперполе определяется как комплексное суперполе S, удовлетворяющее условию Z)aS = 0.

Компоненты S + S+ могут быть отождествлены с компонентами 匕 тогда

С = Л + Л*, х = — »也 % = i^, ym = 一 idm (Л — Л*),2=_(尸 + 尸)m = _"f一户"), % = o, 。= 0.

Мы не накладываем ограничений на компоненты скалярного суперполя — поля Л, %, F. Скалярное суперполе мы используем для определения калибровочных преобразований.

Калибровочные теории

Абелев случай. Определим калибровочное преобразование UfP+i(A-A+),万 А = 0, ПА+ = 0*

Компоненты полей ут,九，D преобразуются по закону

Um f Um + dm (4 + 4*),九一＞ 儿 D f D・

Закон преобразования векторного поля Um показывает, что это

преобразование может быть использовано как суперсимметричное обобщение калибровочного преобразования.

Суперполе Wa = DDDaV инвариантно относительно калибровочных преобразований:

DDDa (Л — Л+) = DDDaA = D{D, Da} Л ~ Д5Л = 0.

По определению W^ удовлетворяет соотношениям

%Wa = 0, DaWa-D^ = 0.

Это уменьшает число независимых полей в Wa до

-vmn = dmvn — dnvm,九 и D

Из того, что "% = 0, следует, что выражение WaWа + W^W^ доставляет следующую лагранжеву плотность:

l=一^ Утm 一子入0现 + У Z)2.

Эта лагранжева плотность инвариантна относительно калибровочных преобразований

а также относительно преобразований суперсимметрии

5vmn =疋(дтап — d/m)入 + 正(дтап — 5nam) A,

^ = lamnvmn+lD,

6D = - ^0^0m九 + Еgтот%.

Неабелев случай. Пусть Т%, / = 1,...,厶，——генераторы компактной алгебры Ли;力，Л/ — суперполя.

Определим матричное поле

Р = ММ， Vt = Vh

Л = Т\/Л/, DA/ = 0,

и введем калибровочное преобразование

認 f e-iA.+eVei^

Р->р + *а-а+)+ ....

Калибровочно ковариантная величина может быть определена, как и выше. Положим

W^DDe^D^.

Калибровочно инвариантная величина

Tr (W^ + W^Wa)

дает лагранжеву плотность.

厶=TГ ｛- у УШп - у入。加勿加入+ \04，

где

Утп = dmvn — dnvm + z [ym, y«],纱加入=dmk +»m加，A].

Эта лагранжева плотность калибровочно инвариантна и супер* симметрична. Изложенный способ ее построения не очень си* стематичен — я сделал это намеренно, чтобы было ясно, как был угадан лагранжиан. Надеюсь, что теперь станет легче вое* принять формализм следующей лекции, который позволит дать более последовательное изложение.

Лекция 2. Дифференциальные формы, внешние производные и структурные уравнения

Дифференциальная геометрия — единый формализм, приме* нимый как для общей теории относительности, так и для теории Янга — Миллса [4]. Поэтому следует ожидать, что он окажется полезным и для суперсимметричных калибровочных теорий. Предварительно нужно обобщить аппарат дифференциальной геометрии на пространства Грассмана (суперпространства). Начнем с нескольких определений.

Дифференциальные формы

Элементы пространства обозначаются символами

痹=(尤加，吋，6)

Координаты удовлетворяют коммутационным соотношениям [%、Х“] = [%т, ^] = [Хт,判=0, ｛/户｝ = ｛牝6*｝ = ｛配少｝ = 0,

или короче ZMZN = (—])m(M)"(")z"zM, где т(М) = 0 для векторного индекса М = т и т(М) = 1 для спинорных индек* сов М = ц, 口・ Для дифференциалов dzM мы вводим правила коммутирования

dZMdZN=-(-l)mWnWdZNdzM,

или подробнее

曲以曲"=曲" d”曲以曲"=曲" d”dx^dF = — dxn dxmt

曲以曲"=曲" d”

曲以曲"=曲" d”

dxmd^d^ dxm, d^d^ = d^d^,dxm 臧=-dB^ dxm, d評 d/ = d0'd处

Для любого целого р введем линейное пространство, порожденное базисными элементами

dz%... d2小,

причем произведения обладают описанными коммутационными свойствами. Определим теперь р-форму, как линейную комбинацию этих элементов с коэффициентами, зависящими от z, которые имеют достаточное количество производных. Например, функция f(z) называется 0-формой, dzMfM (з) — 1-формой, d^dz^fNM — 2-формой и т. д. Формы можно умножать: произведение р-формы и д・формы есть (р + g) •而орма. При этом нужно учитывать, что zMdzN = (-1)现n)”m)加"・2叱

Внешние производные

Другой путь получения (р +1)-формы из р-формы — внешнее дифференцирование. Пусть а — некоторая р-форма:

a = dzM1 ... tfeMp^Mp …M[(n)・

Тогда ее дифференциал

derndz" d2：Mp dz*~^~ Lp …％ ⑵

есть (р + 1)-форма. Внешнее дифференцирование обладает свойством dZ = 0 (лемма Пуанкаре) • Верна также и обратная лемма Пуанкаре с некоторыми топологическими ограничениями: из d(o = 0 следует, что о = da

Тетрада

Произвольный базис в пространстве 1-форм на суперпространстве описывается матрицей тетрады

dzMEMA(xt 0, Q)^EA.

Обратная матрица вводится соотношениями

Е^Би^ = ^, EM^EBN = ^.

Структурная группа

Пусть o', /^= 1, ..., У, —набор р-форм, преобразующихся под действием группы Ли:

/ = СгТХ『，

или в матричных обозначениях az = аХ, где Х^ ' = 7《т '(尤,0, 0)— элемент группы Ли,

Первое структурное уравнение

Дифференцируя р-форму а, мы получаем (р + 1)-форму d(/ =『屮/ + Q， do = сир + Q,

где 屮尸——l-форма q)/r = EA^Atrt принимающая значения в алгебре Ли. Потребуем следующего закона преобразования для(pi

^ = X~^X + X~}dXt.

<рТ = XT JcpJXJ + XT J dXJ・

Вследствие этого закона (p + 1)-форма Q преобразуется следующим образом:

QZ = QX, £Г =，Х$。

Доказ ательство:

Q‘ = d(/ - oV = d (oZ) - oX (XT(pX + Г】dX)=

=a dX + duX — crqpX — a dX = (aqp + Q) X — a(pX = QX.

В общей теории относительности 屮 называется формой связности, Q — кручением; в теории Янга — Миллса ср ——янг-милл- совский потенциал, а Q — некоторая ковариантная производная.

Второе структурное уравнение

Продифференцировав 1-форму <р, получим

^ф = фф + Л d^tr =^tl^ir + Ft .

Мы ввели 2-форму 戶 со значениями в алгебре Ли; оказывается, что F преобразуется как тензор:

F' = X-'FX,戶7 = ХТ"」Х/.

Доказательство：.

尸 =dq/ - 9'9'=

=d (Хт(рХ + XT dX) - (X-^X + XT dX) (X~^X + X~1dX) «

=X-^dX + XT dq)X - dX-^X + dX」】 dX - X~^X -

-XT dXXT^X - XT(p dX - К dXX~x dX.

03 X-idX = —dZ-1Z находим_

尸=X7d①X - XTqxpX = X-'FX.

В общей теории относительности 戶一тензор кривизны, в теории Янга — Миллса 戶一поле Янга — Миллса.二

Тождества Бьянки

Может показаться, что, продолжая дифференцировать Q и F, мы получим новые тензорные величины. Но вследствие леммы Пуанкаре dd = 0 мы не найдем новых величин, а только получим соотношения между уже известными. Из dder = 0 следует

dQ + о dtp — daqp = О,

или, используя второе структурное уравнение, dQ = Q(p — aF;

аналогично из ddqp = 0 следует

dF = F(p — qpF.

Случай Янга — Миллса

Применим сначала наш формализм к хорошо известному случаю Янга — Миллса

zM 〜(/), Е^ = дм\

Пространство — плоское пространство Минковского. Структурная группа ——группа Ли, действующая на множестве р-форм, (допускается р = 0), которые преобразуются по некоторому представлению группы Ли в каждой точке х

Х = га(х), А(%)=£Х(%)「，

Z

0rz = аХ.

Матрицы Ti — генераторы группы. То, что форма связности принимает значения в алгебре Ли, означает, что она может быть записана в виде

屮 ^^Пфд» Фп W VпТI»

Поля Vn W — это хорошо известные потенциалы Янга — Миллса. Закон преобразования

^=х-^х + х-чх

сводится в инфинитезимальном варианте к хорошо известному закону преобразования для янг-миллсовских потенциалов

фа — [фл» А] + 工。《人•

Первое структурное уравнение Q = do——спр определяет некоторое тензорное выражение через производные и потенциалы

Янга — Миллса. Это хорошо известная ковариантная производная

= з(含/-门内/)= m(勿”.

Второе структурное уравнение

dtp = ф(р + 尸

определяет тензорное поле 戶 через янг-миллсовский потенциал 屮 и его производные. Это хорошо известное поле Янга — Миллса

F = ~dxadxbFab = dx°储(^^qp6 + 屮期)，Pab =孤"Фь —言 Фа + [фа. Фб]-

Первое тождество。戶= —dQ + Q(p означает, что между производной от ковариантной производной и полем Янга — Миллса есть связь. Оставляя проверку деталей читателю, напишем окончательный результат

(勿m勿м 一勿м勿m)。一 uFmn.

Второе тождество dF= 戶屮一屮戶 означает, что справедливо цик* лическое тождество для ковариантных производных поля Янга — Миллса

暇 F^m + 珏 F„a + 驷mF in = 0.

Общая теория относительности

В этом случае предполагается, что тетрада Е^ является независимой полевой переменной ета (х). Под действием общих преобразований координат (эйнштейновских преобразований)

xfm = xfm(x)

она преобразуется по закону

,a— дхп a

& m — Qx，tn % *

Поэтому форма

e"=出严分/

есть скаляр по отношению к преобразованиям Эйнштейна:

е'°3) = ?“(%)•

Заметим, что форма, получаемая внешним дифференцированием из скаляра, есть снова скаляр.

Структурная группа — это локальные преобразования Лоренца, и тетрада преобразуется по закону

er^(,x} = e^(.x}L^x}..

Индексы (/и), на которые действуют преобразования Эйнштейна, называются мировыми индексами, индексы (а), меняющиеся под действием группы Лоренца в касательном пространстве, называются лоренцевыми индексами. Лоренцевы индексы можно поднимать и опускать с помощью 刀“乙 Посредством тетрады и обратной к ней мировые индексы можно преобразовывать в лоренцевы и наоборот. Этим способом любая тензорная плотность Эйнштейна может быть преобразована в эйнштейновскую скалярную плотность, являющуюся лоренцевым тензором. Его компоненты берутся в системе координат, которая описывается тетрадой.

В качестве формы ст возьмем саму тетраду и используем первое структурное уравнение для определения кручения

dea = eb^ + Qat

dxm dxn ■^疔臨=dxm dx" (e/cpd + g Qwn") •

Кручение Qfl = у dxmdxnQnrt^ — это 2-форма, которая преобразуется как лоренцев вектор, будучи скалярам относительно преобразований Эйнштейна. В теории без кручения (Qnma = 0) первое структурное уравнение можно использовать, чтобы выразить связность 屮力"через тетраду. Действительно, поскольку форма связности принимает значения в алгебре Ли, выражение ф/mn = 2仆附^Ьа антисимметрично ПО п И /И： ^1тп =——ф/nm. Поэтому мы можем разрешить уравнение

6工"(дхп ^та 詼"乙《) = ^mnl — Фпт/

и получить

必m〃 и —扌{е1а^та —乙笛m4« + ^m^^na —

-^m^tfila + 2；Gl2ma -仇"0m/a}。

Второе структурное уравнение определяет тензор кривизны в терминах связности:

d(p == qxp + 戶，戶==$ dxm dxnRnm,

dxm dxn (-^ ^ - ^J) = I dxm d^RmJ, откуда

^mna =^ ^n ^ma — dxm ①" —ФтдСфпс + Фпа Фтс •

Поскольку Rmn ——КОЭффиЦИвНТЫ 2-формы, МЫ получаем Rmnab = =—Rnmab^ Как и выше, Rmnab принимают значения в алгебре Ли по индексам а,瓦 Это означает, что

RmtM^^ ©h ^iaRmnbat

Rmti 幫 I == — Rmn田

В случае отсутствия кручения тензор кривизны может быть выражен через тетраду. Связь с римановой теорией устанавливается введением метрического тензора

8mn == ^па*

Первое тождество

dzl dzm d^ 备 Q" = di dzm dzn ^mNn^ -廿欠“Ю

означает свойство симметрии

凡"+ Rm/+丽Г =

=^mlb^nba + ^In^mb1 + ^nm^lb1 +

+ 六 Q"+六 3 QmJ.

dxdxm

В теории без кручения это в точности циклическое соотношение для Rimn1^ Второе тождество dF = F(f ——屮戸 принимает вид

dxldxm d%“ (嘉 Rm/ + ^Rmlc 一 Rnma^c')=。・

В случае отсутствия кручения это просто хорошо известное тождество Бьянки.

Лекция 3.

Суперсимметричная калибровочная теория

Теперь мы применим методы дифференциальной геометрии к суперпространству. Для того чтобы сделать суперсимметрию более явной, используем для определения плоского пространства обобщенные величины вмл, введенные в первой лекции. Структурной группой опять является группа Ли, действующая на р-формах:

X = ехр {/Л (х, 0, 0)},

л(х, 6, 6)= (居 в, 6)Г/.

Матрицы Ti — генераторы группы

д' = дХ?

Форма связности

ф = dzM(fM (х, е, 6)= ^4(^, е, ё)

принимает значения в алгебре Ли, т. е.

山(招 е, 6)=£ %&, е, б",.

Эти суперполя суть обобщения янг-миллсовских потенциалов. В соответствии с общими правилами можно написать их закон преобразования

^ = X-^X+X^dX,

Первое структурное уравнение определяет ковариантную производную, скажем, 0-формы а:

Q — da — а(р,g/Q/ = eADAar Г 6%‘9小。

Это означает, что выражение

DA(sr — о^мг = (3)Аа)г

снова преобразуется по линейному представлению. Более того, вследствие нашего выбора тетрады Рла есть суперполе, если а — суперполе.

Второе структурное уравнение F = dtp —— 屮屮 показывает, как строить тензорные величины из янг-миллсовских потенциалов. Вычислив это выражение:

dtp = ел d^A + deA^A,

d^A = eBD^A, deA — eBD^A,

<p- ф = ^вФвфд>

получаем для F = y eAeBFBAl FbA = — (— 1)而戶ab формулу

/4 =爲图一(一 i)abD^B + S^(DBe^c(- 1)ь(”叫一

—©В” (^АеМС) ФС (— 1 严—ФвФд + фдфв (— 1 严.

В этом выражении содержатся следующие тензорные величины, используемые для конструирования ковариантных (лоренц-ко- вариантных, суперсимметричных, калибровочно ковариантных)

уравнений:

Fab = 一^ 屮匕 —fr Фа + [Фа，屮/， дх дхи

Faa ^ха Фа — ^афа + [фа> Фа]>

Pad = ^^ 屮也 一 D^a + [фa,9也], 尸呻=a90 +%9a + {9а，тР}) 尸也8 = Dk屮В +d誣也 + {9&98}，

Рай = /)аф<к + /)<кфа + 2£。айфа + {фо)屮&}・

Мы хотим теперь наложить такую совокупность ковариантных связей, которая бы значительно уменьшила число независимых полей, содержащихся в суперполе <рд, не налагая ограничений на их зависимость от координат хл.

Абелев случай

В качестве первого примера я рассматриваю абелев случай. Если мы наложим связь

戶呻-4中6 +0評а = О,

Р^ = D^ + 纬會=°>

та получим, что существуют такие суперполя V, U, что фа — 】Q(xV, ф<к == ZjD&U .

Потенциалы U, V определены с точностью только до скалярного суперполя: замена V -> V 4- S+, где £5S = 0, не меняет ①；то же самое верно для замены

и-^и + Т,方7 = 0.

Следовательно, под действием калибровочных преобразований потенциалы U, V преобразуются следующим образом:

IZfV + A + S+,方S = 0,UfU —А+Т,方=0.

Это дает нужные преобразования

Фа^Фа 一，А1А,9也 f 9也 一 辽%A.

Если* мы дополнительно потребуем выполнения уравнения f邙—0吸+ 0网+ 2 dl。評а = 0,

то фа можно выразить через U, Р:

%=；g产｛厶方思—万認旷｝；

при калибровочных преобразованиях эти поля преобразуются следующим образом:

^a^^a — idaK.

Таким образом, нам удалось выразить суперполе(рл через поля U, V. Величины Fab,户。^,戶《& тоже суть функции от U, У; мы не можем наложить дальнейшие связи, не ограничив зависимость компонент полей U, Р от % (т. е. не написав уравнения поля). Все инварианты могут быть выражены через

叭=DDDa (U + У), 吃=“％ (U + Ю，% = I %%謬伊 ^a=-|%m产%,

Fab=告｛(e。吋严(4% + D^^ + ^aab^ 0M + D^.

Из определения Wai % следует

4k。=0,"孔=0,0%-万m = 0.

Величина Wa очень похожа на калибровочно инвариантное суперполе Wa нашей первой лекции, за исключением того, что U + V не удовлетворяют никакому условию вещественности. В калибровочно инвариантные выражения входит только U + V. Причина этого состоит в том, что U — V зависит от калибровки и может быть полностью убрана выбором последней:

и —Vf и —у — 2А + Т—s+.

Может показаться, что условие вещественности естественно выбрать в виде (р+ =(ра (одно вещественное векторное поле). Но это ведет к соотношению U = V+ и сводит калибровочные преобразования к «подгруппе» Л->—А+, S = 7. Поэтому если мы хотим иметь калибровочную инвариантность с такой группой, что DA = 0, то условие 屮《 =屮^ слишком сильное. Мы мо・ жем ослабить это условие, потребовав, чтобы 屮《 =屮^ с точностью до калибровочных преобразований. Это дает U + V = = (U+P)十,и калибровочная группа ограничена только условием S = Т. Если мы выберем калибровку с U = 0, то останется подгруппа А = S, которая будет калибровочной группой.

Потенциал V = V+, оставшийся в качестве независимого поля, преобразуется по формуле V-> V + S + S+. Кроме того, Wa = Wt- Таким образом, калибровочная теория свелась вточ-

ности к той теории, которая была введена в первой лекции. Соответствующий лагранжиан имеет вид

厶〜wawa +场1听+4.

Прежде чем переходить к неабелеву случаю, я хочу продемонстрировать, как можно прийти к тому же результату, используя тождества Бьянки. В нашем случае тождество Бьянки

db +屮尸一尸9=0 означает, что

еле%с {dcFba + ^сРв а — Рва^с (—1)' "+"} = О,

или в компонентах

DaFcb + D』^ +。匕尸 к = 0, (1) 06尸曲 + &尸66 + Q/бе = °， (2) ^ + ^6 + ^ = 0, (3) 。6戶丫匕 一 D、Fg + Q/уб = 0, (4) D爪匕一D^bb + 5/8 П °， ⑸ 统/6一Q/冲+ Q/m +出*,心=0, ⑹ q6尸w+ DyP^ +а戶6у = 0, ⑺ D^ +0丸8 +4fm+ 2m儲6 + 2% 小《= 0, (8) 瓦/6 +方,68 + 4尸制+ 2"6,/+ 22%尸冲=0. ⑼ d^ + d^f^ + d^f^o. (10)

Если ввести требование 戶呻=戶&8 ='ag = °，т0 из (8) и (9) на、 ходим

尸6 = ^防戸拠，尸з=^淤的叭，

где Wy и % калибровочно инвариантны. Из (6) следует, что

а также

%=/ {(е%弓严(4吃+。№)+(даОьг^(4% + %%)}•

Как мы уже знаем, все калибровочно инвариантные величины могут быть выражены через Wa и W^ Из (4), (5) получаем

Отсюда следует, что ограничения на Wa в точности такие же, какие были получены выше из прямого решения.

Неабелев случай

Потребуем выполнения тех же условий, что и в абелевом случае:

尸"=尸也8 =尸冲=°，

Из равенства Fap = 0, т. е.

4伟 + ^0<Ра — {屮а, фр} = О， получаем

Фа =—戸 QB，

а из равенства / = 0 находим

匈=-勿入宀

Нужный закон преобразования (рл при калибровочных преобразованиях получится, если положить

g-U fe-Tg-U6A

Отсюда можно получить правила преобразования для U, V Pf P + A + S“ …，

Uf U-A + 7+ ....

Из 尸а8 = ° следует, что поле 屮。также может быть выражено через U, V.

Тензорные величины Fa^ 戶皿，Fan суть функции от U, V. Они могут быть выражены через два инварианта %,阮. Это сразу следует из тождеств. Кроме того, из тождеств следует также, что

尊吃=0%=。，

勿0ITa = 观两.

Производные 勿一это полные ковариантные производные, определенные из первого структурного уравнения.

Поскольку Tr(WaWa) калибровочно инвариантен, то

^Тг(KW м "Тг (К。叭)=0,поэтому ТгК^Ка и ТгК&М* могут быть использованы для по-строения суперсимметричных калибровочно инвариантных лаг-ранжианов. Остается ввести условие вещественности, связываю-щее W& с К才，которое сужает калибровочную группу до под-

группы скалярных суперполей А = S. Этого снова можно добиться, потребовав, чтобы /<ра было эрмитовым с точностью до калибровочных преобразований, а также таким закреплением калибровки, при котором U = 6, у+ = V. В такой калибровке инвариант 吼 принимает значение

Wa = DDe-vD^.

Таким образом, мы вывели неабелеву суперсимметричную теорию из общего формализма. Этот метод может быть применен к расширенной суперсимметрии; одно его приложение описано в готовящейся статье Р. Гримма, М. Сониуса и автора.

Лекция 4. Супергравитация

Можно ожидать, что в суперсимметричной калибровочной теории токи суперсимметрии являются источниками полей: тензор энергии-импульса ——источник гравитонов, спин-векторный ток — источник частиц спина 3/2. Следовательно, формулировка супергравитации потребует по меньшей мере одного поля спина 2 и одного поля спина 3/2; такую теорию, действительно, можно построить. Мы разовьем ее с помощью общих методов дифференциальной геометрии.

Обобщенная тетрада Е^ вводится как независимая переменная, так же как и форма связности ①м,幺与 Нашей основной задачей будет нахождение ковариантных уравнений, сводящих число независимых компонент полей Е/ и ①м,1 только к одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Относительно общекоординатных преобразований

dZ，M = d2N 也1rdzN

£ и Ф преобразуются следующим образом;

①,J = £м ①J・

Теперь необходимо выбрать структурную группу, под действием которой форма тетрады dz^E^ = EAn форма связности ФАВ = =血附 Л преобразуются следующим образом:

ЕгА = ЕВХвА^

①'/ =厂/①广乂 J + Х-/ dXDB.

Мы знаем, что Флв принимает значения в алгебре Ли. Чтобы уменьшить, насколько возможно, число независимых полей? мы

выберем наименьшую возможную структурную группу — саму группу Лоренца. Параметры преобразований суть произвольные функции от zM ~(%弋 9氏8口). При таком выборе 8 X 8-матрица Флв содержит только 6 независимых суперполей. Первое и вто・ рое структурные уравнения определяют кручение и кривизну:

аА = аЕА — ЕвФвА,

Форма кривизны также принимает значения в алгебре Ли. Подробнее эти уравнения записываются в виде

Qbc" = (-1)6 {e+m)EcMEBNdNEMA - (- l)cm EBME^dNE/~ ①总+

+ (—1)"%/，

Rde/ = (_1 产e+嘴 J户。电心М) 一(_1 严e+a+c)①e/"J 一

-1 严 ЕоМЕе%ФмаВ + (_ If {а+С}Ф^ФЕС\

Чтобы как-то представить себе характер разыскиваемых нами уравнений, вычислим кручение Q° для плоского пространства: ЕА = еЗ Фдв = 0. Получим

Q°a J = R°B「= 2f 吟"

Все остальные компоненты кручения нулевые. Можно попытаться постулировать эти уравнения и для общего случая:

Р% = %а = 22“а夕

остальные компоненты нулевые. Для нашего выбора структурной группы эти уравнения ковариантны. Можно, однако, показать, что они имеют единственное решение — плоское пространство ЕА = еА, Следовательно, нужно ослабить наши уравнения. Линеаризовав уравнения поля подстановкой

и явно их решив, можно показать, что из уравнений

^аь= Q。；=Q^J=R^ J=^^a=^^a=a

Q：8 = Qf = 22%

следуют только алгебраические соотношения. Это сводит число динамических независимых полей в точности к одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Но можно решить и полные, не- линеаризованные уравнения. Можно рассуждать так. Выберем

специальную калибровку, в которой при 0 = 0 = 0 тетрада и связность принимают вид

0 = 0 = 0,

e； = e；⑺,e^ = -^(X),/广^%g),

e^ = 0, £从a = 6J， £ц也 = 0*

£』=0,£』=0, Е^ = б?,

①m, J =屮也J (%)•

Поля gm% 115mа,屮由^。должны быть отождествлены с обычной тетрадой 4-пространства, полем Рариты — Швингера и связностью соответственно. Уравнения поля определяют высшие члены по степеням 0, 0 в £ и Ф через только что введенные физические поля и через произвольные калибровочные поля, не имеющие физического смысла. Эти методы позволяют вычислить f и Ф за конечное число шагов, поскольку имеется лишь конечное число мономов по 0, 0, отличных от нуля. Но мы не будем здесь этим заниматься, а попытаемся продемонстрировать физическое содержание теории, вытекающее из наших ураВ' нений и тождеств. Уравнение

Qpc& = 0*° = 0

определяет динамику в х-пространстве.

Заметим, что из компонент кручения только QJ, Q«U еще не определены. Равенство их нулю означало бы, что мы имеем дело с плоским пространством. Пусть

Qm/ = £м”£ JQbJ (— 1 严

—кручение с мировыми индексами М, М Из наших уравнений можно получить

Мы видим, что в нашей специальной калибровке

Это связывает кручение в 4-пространстве со спиновой плотностью поля Рариты — Швингера. Далее

QmJ= £/e/0也'，QmJ= £/e/0也'，Qmt^ = E^E„bQb/,Qmt^ = E^E„bQb/,

QmJ= £/e/0也'，

QmJ= £/e/0也'，

Qmt^ = E^E„bQb/,

Qmt^ = E^E„bQb/,

где Qbar нужно выразить через тетраду и связность в силу первого структурного уравнения:

^Л1Л；е = ^MA^NB^B^( — 1)3 =

^EmaEnb {(—1产a+m')瓦M缶bN，0n，Em，° - (-1 严瓦m&n'0n，Em，°- -① В/+(-1 严①/}(-1严=

= (—\)nmdNEM—dMEN^ — Фд<№ + (—1产① ^лЛ

Интересующая нас компонента Q/ равна

QmJ = dnEj 一 дтЕп^ 一 ①m3 + ①伽瓦Кроме того,①咖』/①3 = e广a上

так как ФтАв принимает значения в алгебре Ли. При 0 = 0 = 0 в выбранной нами калибровке получаем

Rm』le=g=O =歹/и/ н *2" (^n^m^ 一 ％办° —办 ^tn^ + W/n 办(/)=

=戈42」一，屮3);

здесь появилась обычная ковариантная производная Dn 4-пространства. В дальнейших выкладках потребуются тождества Бьянки

d£M + RB①J - EBRBA = 0,dR J + RacRcb 一 ①/① J = 0.

Более подробно их можно записать в следующем виде: Ed EbEa{E^^bcd + Т^Т^^ 一 Ra& /} = 0, EcEbEa{Ea^mRbcdf + TabC'Rc，cdF} = 0, где 勿м — ковариантная производная, например

勿М^ = %иА + (—1严产①即勿М°4 = °М〃 —①М, А%8・

В мои намерения не входит выписывать все компоненты этих тождеств — это могло бы не понравиться издателям. Я приведу только те, которые мне пригодятся в этой лекции. Положим соответствующие компоненты кручения равными нулю, получаем

1- 2 3,1- 2 3,Rmv& = 2iab&^Qbda,r呻/ = 0,幻冰阻 / + 勿pRitb,储十 2iac，^Rcfbcd — 0?

1- 2 3,

1- 2 3,

Из (1) следуетИз (1) следует⑷(5⑹ ⑺⑷(5⑹ ⑺凡势。 + & / = o,R总坤也 + & d染=0,

Из (1) следует

Из (1) следует

⑷(5⑹ ⑺

⑷(5⑹ ⑺

』时 5/ 0,

поскольку R/B принимает значения в алгебре Ли, а наша группа Ли — группа Лоренца. Для 0 = 8 = 0 это уравнение в выбранной нами калибровке есть уравнение Рариты — Швингера. В самом деле, при 0 = 9 = 0 из Qmn^ = Еп^Е^ьа^ получаем

孔勺必/ = 0 превращается в

為科唳)仍由@/ - Dn^} = 0.

Это и есть уравнение Рариты — Швингера. Чтобы вывести уравнения Эйнштейна, нам понадобятся следующие соотношения:

Ram『 = 0，(а)

^ab,cd-^ba^(b)

凡岳/ - 0»⑹

(d)

Соотношение (а) следует из тождества (2)； (d) следует из и (1); (с) следует из (d) и (3). Осталось доказать (6). Из мы видим, что ^edYa антисимметричен по в и у, отсюда

^BdYa = eBY^a-

Из 凡靖=0 следует 犬产=0; таким образом, 凡 "a = 0。(е)

Из (6) и свойства R&dca =——R&dac (алгебра Ли) следует

%са = » {%е& J + %е&&J +(0

Мы должны вывести отсюда (Ь). Используем снова тот факт, что А/В принимает значения в алгебре Ли:

&“=号9咿*&液，

и из (е) получаем

(ea^R&dba = 0.

Отсюда, а также из ⑴ и (7) получаем

(0咿)aQV = 0.

Из этого соотношения, свойства Qab^ = — Qba^ и из (7) следует

где Х^ полностью симметричен. Это в свою очередь означает, что

。忠4& + ^d^ca + %Q«d = 0, откуда вытекает (b).

Покажем теперь, как из соотношений (а), (Ь), (с) и (d) получается уравнение Эйнштейна. Имеем

Rmm J =以叫№""г(一 1)叫

Из структурного уравнения находим

Rmna = дпФта — дтФПа — ^та^п^ + ^па^т^

Поэтому при 0 = 0 = 0 мы получаем

^тпа |0»$„о == ^тпа

——обычный тензор кривизны 4-пространства. С другой стороны, Rm“『=EgRcU + Е壊E：r£ + Е优 Ef&馥 +

+ ^nX6? + ^^V>

так как из (а) следует R^ab = 0. При 0 = 0 = 0, используя также (Ь), получаем

综nab = %%；%。1> Т (е；М — em4ne) % б£『 —

Используем теперь матрицу, обратную к тетраде emd, и соотношения Rcdad = 0 (d) и 0%$%/ = ° (7)・ В очевидных обозначениях для 4-пространства

^abf = ^^Rnmc

мы получим уравнение Эйнштейна

%> + iebm^aa^J + 什粛唸吟「= О-

Напомним, что мн уже вывели равенство

歹加。 = I &&崛"(4屮i一 0m必В

Таким образом, мы получили динамические уравнения супергравитации, т. е. уравнение Эйнштейна, уравнение Рариты — Швингера и связь между кручением и плотностью спина в форме, впервые полученной Дезером и Зумино в их статье по су-

пергравитации. Мы достигли этого результата, используя только геометрию суперпространства.

Я хочу поблагодарить Ричарда Гримма за полезные обсуждения и за чтение рукописи.

Обозначения

产=(一1, 1, 1, 1).

80 1 2 3 = 1，

ffma^ = (l, a),严&0 = 口，

amn = l(aman-anam)>dmn = L^a^-d^)t

8明 g也8；812 = - 821 = 1, 811 = 822 = 0,

X° = 8°%> 严=8崛伊浒=严%，%® =/@"，uawa = uawa + uawa + u^.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Zumlno В., Proc. 17th Intern. Conf, on High-Energy Physics., 1974 (Ed. J. R. Smith) (Rutherford Lab., Chilton, Didcot. U. K・，1974), p. 1—254： Salam 4.» Strathdee 几 Phys. Rev., Dll, 521 (1975);

Ferrara S., Rivista Nuovo Cimento, 6, 105 (1976);

Fayet P., Ferrara S., Supersymmetry, Phys. Reports (to be published).

Freedman D. Z., van Nieuwenhulzen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214 (1976);

Deser S., Zumino B., Phys. Lett., 62B, 335 (1976);

Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D14, 912 (1976);

Grisaru M. T., van Nieuwenhuizen P., Vertriaseren 丄 4. M” Phys. Rev. Lett., 37, 1662 (1976);

Breitenloher P., Phys. Lett., 67B, 49 (1977).

Zumino B., Proc. Conf, on Gauge Theories and Modern Field Theory Northeastern Univ., Boston, 1975 (Eds. R. Arnowitt and P. Nath) (MIT Press, Cambridge, Mass., 1976), p. 255;

Wess 丄,Zumino B” Phys. Lett., 66B, 361 (1977).

Flanders H.t Differential Forms, Academic Press, 1963.

Акулов В. 〃.，Волков Д. В., Сорока В. 4., Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 396.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Nath Р., Arnowitt R, Phys. Lett., 56В, 177 (1975).

Arnowitt R, Nath P., Zumino B., Phys. Lett., 56B, 81 (1975).

Amowitt R, Nath P” Phys. Rev. Lett., 36, 1526 (1976); Nucl. Phys., B122, 301 (1977); Phys. Lett., 65B, 73 (1976).

Ferrara S., GUozzl F*、Scherk 几 van Nieuwenhulzen P., Nucl. Phys., В117, 333 (1976).

Ferrara S., Freedman D. Z., van Nieuwenhulzen P., Breitenlohner P., GUoz- 力尸” Scherk Л, Phys. Rev., D15, 1013 (1977).

IL Das 4.» Fishier M_ Rocek Л1, Preprints ITP-SP-77-15 and ITP-SB-77-38, 1977.

Cremmer E, Scherk J., preprint DAMTP 77/7, 1977.

Ferrara S., Scherk 丄，van Nieuwenhulzen P., Phys. Rev. Lett, 37, 1037 (1976).

Freedman D Z., Schwarz 丄 Я., Phys. Rev., D15, 1007 (1977).

Freedman D. Z., Phys. Rev., D. (to be published).

Gliozzi F., Scherk J., Olive D., Phys. Lett., 65B, 282 (1976); Nucl. Phys., B122, 253 (1977).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett,, 66B, 1669 (1976).

Ferrara S” Scherk 丄，Zumino B., Phys. Lett, 66B, 35 (1977).

Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 (1976).

Das 4, Preprint ITP-SB-77-4, (1977).

Gremmer £, Scherk 丄，Algebraic simplifications in supergravity theories, DAMTP preprint, Cambridge, England.

Полное решение тождеств Бьянки при учете супергравитационных связей в суперпространстве

Р* Гримм, И. Весе, 5. Зумино

Grimm R. and Wess 〃)，Zumino В?), Nuclear Phys,, B152, 255 (1979)

Короткое обсуждение суперпространственпой формулировки супергравитации; исследуются тождества Бьянки. Накладываются супергравитационные связи и дается решение тождеств через суперполя и их ковариантные производные.

Введение

Суп ергр а вита ция может быть определена как геометрическая теория в суперпространстве [1—4]. Преимущество такого подхода состоит в том, что имеется математический аппарат дифференциальной геометрии в суперпространстве, с помощью которого могут быть получены мультиплеты, образующие тензоры и тензорные плотности.

В работе [5] было показано, что все мультиплеты, использовавшиеся в компонентном формализме [6, 7], могут быть получены из суперполей, имеющих определенный геометрический смысл. Более того, тензорное исчисление в компонентном формализме есть непосредственное следствие суперполевой природы соответствующих величин. Динамика чистой супер гравитации может быть построена, исходя из лагранжевой плотности в суперпространстве, которая оказывается инвариантным элементом объема. Могут быть сконструированы суперковариантные контрчлены и записаны суперковариантные взаимодействия с полями материи [8].

Геометрическими тензорными величинами являются кривизна и кручение. С помощью этих величин могут быть сформулированы ковариантные уравнения. Есть два различных вида таких уравнений [4]. Уравнения одного вида органичивают число независимых компонентных полей, и из них не следуют какие- либо дифференциальные уравнения в четырехмерном х-про- странстве. Эти уравнения называются суперпространственными

Karlsruhe University, West Germany.

Columbia University, New York, USA.

S

North-Holland Publishing Company Перевод на русский язык, <Мир», 1983

связями. Уравнения второго вида дают полевые уравнения для остающихся независимых компонентных полей. Это обычные полевые уравнения супергравитации [3].

Разумно было бы начать с решения суперпространственных связей. Такой подход применил Зигель; он дал явное выражение связей через суперполя [9]. Это уменьшает число независимых компонентных полей и, следовательно, ведет к линейной зависимости известных тензорных величин — кручения и кривизны. Эти величины могут быть выражены через несколько тензорных суперполей R, Ga^, Wa^ и их комплексно-сопряженные. Более простой способ состоит в решении Тождеств Бьянки при учете связей. Таким способом можно найти явные выражения для кручения ТАВС и кривизны Rabcd через упомянутые выше тензорные поля.

В этой статье мы будем следовать второму подходу и дадим полный анализ тождеств Бьянки с наложенными связями.

Раздел 2 содержит краткое введение в дифференциальную геометрию в суперпространстве и вывод тождеств Бьянки. Тождества Бьянки решаются в разд. 3. Чтобы ближе познакомить читателя с используемой техникой, весьма подробно разбирается несколько примеров. В разд. 4 собраны результаты. Отдельные части этих результатов существенно использовались в работах [4, 5, 8—10], но до сих пор они не были систематизиро- ваньь

Дифференциальная геометрия . в суперпространстве и тождества Бьянки

Дифференциальная геометрия в суперпространстве базируется на понятии суперпространства [11] и, как принято в дифференциальной геометрии, на понятии репера (фильбайна) и связности. Одной из задач дифференциальной геометрии является конструирование из реперов, связностей и их производных таких объектов, которые преобразуются как тензоры при действии общекоординатных преобразований. Важным инструментом таких конструкций являются дифференциальные формы и внешние производные [12].

Элементы пространства обозначим Z” 〜(х7", 0M■, ©口)， где 吋，0д — набор антиком мутирующих переменных. Индексные обозначения обычные: латинские буквы (/п) обозначают лоренцев тензорный индекс, греческие буквы (ц, ц) — лоренцев спинорный индекс, прописные буквы (М) обозначают суперпространственный индекс.

Репер ЕМА(2)связывает мировые индексы (М из середины алфавита) с индексами касательного пространства (Л, из начала алфавита). Предполагается, что репер обратим: ЕмлЕд^ 三

=6м"・ Мы будем использовать следующее правило суммирования:

E/Е J == Е/廃"+ Ем'Е^ + Е маЕ，“ •

Кроме репера мы вводим связность Фмдв(г). Связность принимает значения в алгебре Ли. Это означает, что Ф как матрица с двумя индексами Л и В касательного пространства есть элемент алгебры Ли структурной группы.. В качестве структурной группы мы выберем группу Лоренца, следовательно1),

ФМаЬ= -фМЬа* ФМа0 = ФМ0а* ФМ^=ФМ^吟也吟8①маЬ = - 2%6①м.8 + 2%8①m呻，

Остальные компоненты связности, такие, как ①маа, Фмаа,①ма&, нулевые. Трансформационные свойства при действии общекоординатных преобразований таковы:

б dz" = — dzMd^(2), i>EN^dNl^EMA + l^dMEN\

6/n = 一 e/%B + i»dMEAN,⑵

6备 J = д^мФМАв + lMd^NAB-

В качестве структурной группы выбрана группа Лоренца:

6Ej = EdLj ⑵，

6e/ = 一 〃В⑵品叫⑶

6①mJ =①м/ ⑵ LCB ⑵ 一 "C ⑵ Фмсв — dML^ ⑶.

Матрица LAB подчинена условиям (1), поэтому LAB принимает значения в алгебре Ли.

Связность позволяет определить ковариантные производные2)

^>^А = dMVA + (- 1)т6 УВФМВА,勿涼/4 = %%-①м/〃， 耽尸=Е/0 MН，纺bL = ЕвМ劣mUa・⑷

Мы используем здесь полностью антисимметричный тензор & 严= =—821as [, 812 =—包1 = —1. С помощью этого тензора поднимаются и опускаются спинорные индексы. Векторные индексы поднимаются и опускаются с помощью метричеосого тензора /ь ~ (—1, 1, 1, 1)； a-матрицы суть четыре-векторы о\& 〜(1, <г), (а)аай (1, — а) и%。+ и%“ == — 2n叱 Мы будем часто пользоваться спинорными обозначениями и представлять векторный индекс через два спинорных ——с точкой и без точки:

九6=。'/。嗫 。 _ у ЛЛ-

Знаковый множитель определяется условием: m « 0, когда М — век* торный индекс, гп = 1, когда М — спинорный индекс (то же для 6).

Легко проверить, что если У, UA — тензоры, то 2в，', 2bUa тоже являются тензорами.

Определим теперь тензоры кривизны и кручения. Для этой цели удобно ввести форму, соответствующую реперу, Ел = =dzMEMA, и форму связности Фдб = dz”①乂从口. Кручение определяется через внешнюю производную формы репера:

ТА = ^ ЕСЕВТВСА = dEA + ЕВФВА,(5)

а кривизна — через внешнюю производную формы связности:

R J = 4 EEEDRdeaB = d① J + ФЛСФСВ.⑹

Из определения следует, что Ra®, как матрица с индексами Л, В, принимает значения в алгебре Ли. Нетрудно явно проверить, что кручение ТАВС и кривизна Rabcd являются тензорами по отношению к группе Лоренца касательного пространства. Эти тензоры приводимы, и любая неприводимая часть может независимо использоваться при формулировке ковариантных уравнений.

Упомянутые выше суперпространственные связи имеют вид)

2%，⑺

T^ = Ta^ = Q, Tabc = 0.

Из условия dd = 0 следует, что dTA и dR^B удовлетворяют некоторым тождествам (тождествам Бьянки)

dTA + ТВФВА - EBRBA = 0,⑻

dl^ + R/①厂-① aCRj = 0,⑼

или в более подробной записи

ECEDEE Wdca 一 RedCa + & JTfJ} = 0,(8‘)

ECE%e {勿 eR℃ J + TedfRFCab} = 0.(9‘)

Мы собираемся показать, что эти тождества с учетом связей (7) допускают явное решение. Это решение зависит от суперполей R(z), Ga^(2),诊也的(z) и их ковариантных производных. Знание явной формы ковариантной производной не необходимо для решения; вся нужная информация описывается коммутационным соотношением

［勿4,耽］土 = - Rab.・一TAB^c-(10)

Это соотношение может быть выведено из определения ковариантной производной (4) и из определения кручения (5) и кривизны (6). В этом соотношении обе части рассматриваются как операторы, применяемые к тензорам; точки в (10) означают, что Rabcd находится в соответствующем представлении алгебры Ли. Прежде чем находить решения тождеств (8), нам нужно разложить их в неприводимые (по отношению к группе Лоренца касательного пространства) уравнения. Это дает тридцать уравнений, но некоторые из них являются комплексно-со-

нулюнулюпряженными друг другу, некоторые тождественно равны вследствие связей (7). Остаются следующие тождества:

нулю

нулю

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)(18) (19) (20) (21)(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)(18) (19) (20) (21)R& dya + Rsyaa + Rye 6а 。，

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)

(18) (19) (20) (21)

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17)

(18) (19) (20) (21)

Rgea + R^e 6a = — ^^tt^T^ — 2小旷兀沁，

Ra 叶也=一 2iOdt^efft - 2»%376尼，

Кбеуа + Rye 6а = — 岔丫丁беа —勿6丁yea，

Re"也=收7 fed +纱广ded + 2力6/T fed,

^t^iea + 纱广做=°，

旦Ma = 一 2沁砂67v 一 2»%J6J，

Qca = - 2%фЛсФ + 2沁碗0T&久

Re/也=映7班也+勿打仙也+纱aedd + Td^Tфей + т^Tф d% 2eTeW + 勿"\еа + 岔次© da + Т*‘Т(реа + Т#е"Т(р da 0,

Ra dca + Rea da + ^i^a&^Tde® ^= 0,

耽丁 dca + ^dTcea + 勿乙 da + Ted”T весь + Tde2T феа + TC^Tqpda=O,

(22)(23)(22)(23)Redca + Rdcea + Rceda ^ °・

(22)

(23)

(22)

(23)

Разрешая эти тождества, мы часто будем пользоваться тем, что Rabcd и ТАвс определены через 2-формы и, следовательно, имеют определенные свойства симметрии по индексам Л, В. Кроме того, Rabcd принимает значения в алгебре Ли по С, D.

Решение тождеств Бьянки

Будем решать уравнения (11) — (23). Сначала попробуем разрешить линейные уравнения, а именно те из них, которые не содержат производных. Это уравнения (11), (12), (13), (17), (18), (21) и (23). Начнем с уравнения (17) и перепишем его в спинорных обозначениях

(24)(24)R电&Y弋aXi 一 ^ yV^(1也r66с废

(24)

(24)

T6Y* = ^ y^^сф*

В спинорных обозначениях тот факт, что кривизна принимает значения в алгебре Ли, выражается следующим образом:

Rcdytadt = — 2%ciR 电 Wa + 2%也凡6丫(1 *(25)

где 兄期 и R电网也 симметричны по (у, а) и (у, а) соответственно. Кроме того, они симметричны по (ё, 8) вследствие определения Rabcd как 2-формы. Уравнение (17) принимает вид

气也R也8、5 - Eya凡金也2"(%6厶^^ + %87€了卽).(17 )

Разложим 丁拆加 на части с определенной симметрией по отношению к перестановке индексов — с точкой и без точки по отдельности (подчеркивание указывает на симметрию):

厶№ =空产у(/ +"b迫+ %/处+ %包，(26)

Умножив уравнение (17х) на 8^eav, получим Т^ = 0. Выпишем часть уравнения (17/), симметричную по (у, а)

%R& = 2»(/声加+%/")% + 2» (%6 %叱+%GaQ，

Умножая на ^, получаем 7^ = 0, R^ = — 6/Т^; умножая на &妗，получаем R^^ — ^iT^; следовательно, = 0.

Уравнение (26) приводится к виду (Т 曰一2»R)

T^a = ^2i&^&^(27)

и из (17‘)следует

凡网也=4 (%也8m+空也闕)R.(28)

Уравнения (27) и (28) суть общие решения тождества (17);

они дают также решение тождества (13).

Аналогичный анализ тождеств (12), (18) и их комплексносопряженных дает

^ву$ф —彳 f(8уф(?а^ 38^丫仃哪—ЗввфОу^)»

^8^ = %4 + 8^ %,(29)

G a<x = Сай-

Уравнение (29) дает также решение тождества (11).

Тождество (21) позволяет выразить R&dca через компоненты кручения Г*®：

R&dcCt = I {^а&^Тca^ — ОГдвф^"dc^ — СГсвф^шХ^)»(80)

Тождество (23) — такое же, как в обычной гравитации, его следствия хорошо известны [13]; в спинорных обозначениях ^у^бейай ‘Еуб^еа 爲 м 也—^уб^ййФубеа — ^®V^ ^еаФубйй + 4%6%屯％6吧.

一 — 一 -石1)

Тождество (23) эквивалентно следующим:

屮•У^^==® 竺g,(32 a)

Ха^у^ = eaYA (А вещественно).(326)

Таким образом, тождества без производных разрешены. Теперь будем разрешать линейные тождества, которые содержат производные; это тождества (14) — (16).

Подставляя (27) в (16), найдем

3? = 0・(33)

Решение тождества (14)—более утомительное дело. Компонента кривизны /?беуа с помощью (30) и соотношений алгебры Ли выражается через 丁必®. Поэтому тождество (14) сводится к уравнению, связывающему Та/ и производные Т^еа, которые в свою очередь выражаются через G^b с помощью уравнения (29) . В спинорных обозначениях тензор

может быть разложен на неприводимые части

?выФ = - 2ё3 "场 + Ws + 6ф4\) + 2%/m

В этих уравнениях 犷仪巾 произвольно, т& и тбуф выражаются через производные G. Окончательно получаем

76^也=一2%Y犷蛆一y 弟У(%咨 *6 + %鹿5 Gx^ +

+ ^ % (叱 G^ + 勿 №&),

%加=T "%例 + "仔6)Gas + !Z(%g + %<A) 6Y-

+ i (%产3 + %Aa)勿乜6，(34)

Re6M& = 4%%a8 十貝(e&QeGsa + %«勿《酬)。

Тождество (15) связывает те же компоненты кривизны и кручения. Оно совместно с (34) только в том случае, если

纱^仆=叫R*・-(35)

Мы разрешили все линейные соотношения. Нелинейные тождества (19), (20), (22) либо дают выражение некоторых

компонент кручения и кривизны в виде нелинейных комбинаций ковариантных суперполей G н R, либо могут быть сведены к линейным с использованием коммутаторов ковариантных производных (10). Тождество (19) позволяет выразить х^6й и Ф7б6й в (31) через компоненты кривизны и их производные, которые уже выражены через W, G и R. Например,

"酗=}"一 纱- 劣N；aa + 吗T；№ 一

-岁产曝ea + VT^. (36)

Это выражение уже симметрично по (ё,б). Оно должно быть симметрично также по (у, а), что дает условие

^^ + 4 » (勿е?} + ^eSGeJ = 0.(37)

Здесь мн использовали тот факт, что

^^Gbx +222%阮=(勿6勿纟+勿ё26)R* = 0

вследствие (35), (10) и связей (7). После некоторых алгебраических преобразований мы приходим к результату

Меа = т ^^ + 叱吃好 + ^^ + g%Q +

(38) Соответствующий результат для 巡竺 приведен в разд. 4. Нужно заметить, что % и ф удовлетворяют условиям (32а) и (326), выведенным из тождества (23). Наконец, рассмотрим тождество (20). Выразим кручение через Wt G и R с помощью (34), (29) и (27). Все члены, кроме одного, пропорционального ф^. содержат тензор 8 и обращаются в нуль после симметризации по всем индексам. Это дает условие

Vm = 0- (39)

При выполнении этого условия (20) и (22) у до в летво ряются тождественно. Проверка этого требует длинных вычислений, в которых существенно используются связи (7) и коммутационные соотношения (10).

Результаты

Результаты этой статьи использовались и будут использоваться в работах по супергравитации. Поэтому полезно иметь исчерпывающий список формул, которые могут быть выведены

из связей на суперпространство (7) и тождеств Бьянки (8). Надо заметить, что выражения для компонент тензоров кручения и кривизны, которые мы даем ниже, разрешают также и тождества (9). Компоненты тензора кручения, отличные от нуля, имеют вид

(I)

T^d = N (e6aG8d 一 3办粗曲-3%&),Tdc =~Tcd =1■力 ％，

%ма = - 28終^ - 4 % (弟k科0 + ^G^) +

一+ т % (^JGaV + 纱》Ga6)，

以" = -7/ = %6广〃，6切：，

7Мм也=-2觊历М也一》8S (办设*"? +%网閣)+

+ "2 旬(々6^^ + S$Q・

^ABcd =T ^fif^AB^ - Т (叫龜户 RaB№КлВуб = RaB6y，^AB^ =必8m，^ABcd =T ^fif^AB^ - Т (叫龜户 RaB№КлВуб = RaB6y，^AB^ =必8m，(40)(40)Компоненты тензора кривизны могут быть выражены через те же суперполя. Кривизна принимает значения в алгебре Ли, откуда следует

^ABcd =T ^fif^AB^ - Т (叫龜户 RaB№

КлВуб = RaB6y，

^AB^ =必8m，

^ABcd =T ^fif^AB^ - Т (叫龜户 RaB№

КлВуб = RaB6y，

^AB^ =必8m，

(40)

(40)

Все остальные компоненты тензора кривизны равны нулю. Компоненты тензора кривизны, фигурирующие в (40), имеют следующий вид:

Кбуаа == 4 (вде8уа + Еуе^ба) R >

&褪& = 4 (%%а + %%) R，

^ву4й =凡做=°，

Rgea = &涉а = ~ (евв°а^ + ева°вО»

Rgg = №ма = ~ (%°вй + 气№0，

&с6а = — Rca6a =—万 3c"R叫勺 6а,

RayV 6а ^= Z (&8龈丫(1 + ®8а®уб) 2%G"v +

+т i(%叱+%A)g*+4 / (鼠g+%%)恥

&c8<k =3 — &8^也"“ReyVM，

凡YVM = 4加^犷旷6也+ } "%6@％也+气2q卅,

Rec 6а = — R曲 6а2 GcHRfrvV 6а»

R电代 6а — 4ЕдМбуа + у Z (&y6^&Ga^ + &уа勿gGg),

&c6d === — R曲M c= 2 °с"&у$М，

r 心=(«Л+%%6)纥a「+ап

41色毋+%眼)/ + } i (%眼+ %QJ G*凡^=扛也叽期，

& 睜 в + 6 产力 M&H 6M&，

&4б 麻t = 一 2%6%6 m(i + 2 %隗叶也，

Refi Муа = 2%必 буа — 2%®€ буф

及 6За = - }(2Y取68a + @J听 еат + 28听“6 + ^^ у бе) +

+ ^ + %Aj { - 2RR* + M°a"° + /(勿好 R* + 纱空。R)},

屮 еа§6 - % Йеа 一7(4№冲 + 4№时)+

1 j ^^ + ^GaS + ^Ge, + ^G^ +

i 2 (2“纥1Gsi + ^eGaS + 爹&勿aGv + 爹#>Wa J

Суперполя Wt G ^ R подчинены следующим условиям； 勿 aR = О, S^G^ =勿У，砂％丫0 =勿 yR,

收听呻Y = °，以旷也而=0,

歹薦施 + 4 M^hG% + 284G%) = 0,(III)

⑦а^ам + J i @侬G^ + 纫6eGj = о, G也=0ай» (听арy)* =犷也師， %By полностью симметрично по (а, р, у).

ЛИТЕРАТУРА

Arnowitt R, Nath Р” Phys. Lett., 56В, 117 (1975);

Arnowitt 広，Nath P., Zumino В., Phys. Lett, 56B, 81 (1975).

Акулов В. 77., Волков Д. В., Сорока В. А. — Письма ЖЭТФ, 22, 396 (1975).

Wess 丄，Zumino В., Phys. Lett., 66В, 361 (1977).

Grimm R., Wess Л, Zumino B., Phys. Lett., 73B, 415 (1978).

Wess /., Zumino B., CERN preprint, TH 2553, Phys. Lett., (to be published).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 74B, 333, 404 (1978); Ecole Norm ale preprint LPTENS 78/14.

Stelle K. S” West P. C., Phys. Lett., 74B, 330 (1978); Imperial College pre- 匹int ITCP/77-78/15; Nucl. Phys., Bl 45, 175 (1978).

wess Zumino B., Phys. Lett., 74B, 51 (1978).

Siegel W\ Nucl. Phys., B142, 301 (1978).

Howe P. S., Tucker R.呪，CERN preprint TH 2524, Phys. Lett, (to be published).

Salam 4, Strathdee Л, Nucl. Phys., 76 B, 477 (1974);

Ferrara £, Wess Л, Zumino B., Phys. Lett., 51B, 239 (1974).

Wess 丄，Lecture Notes in Physics 77, p. 87, Springer-Verlag, Berlin.

Penrose R., Ann. of Phys., 10, 171 (I960).

Dragon M, Karlsruhe University preprint, 1978; Zs. Phys., C (to be published).

Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации

". Дрэгон

Dragon М % Zs. f. Phys., Particles and Fields, C2, 29 (1979)

С помощью первых тождеств Бьянкн показано, что в расширенной супергравитации кривизну можно выразить через кручение и его ковариантные производные. Показано, что вторые тождества Бьянки вытекают нз первых. Таким образом, все выражения, содержащие кривизну, могут быть записаны через кручение, которое является фундаментальным геометрическим объектом в супергравитацин.

Введение

Супергравитация может быть сформулирована либо в компонентном формализме [1], либо как геометрическая теория в суперпространстве [2]. Второй подход дает более глубокое понимание, поскольку он может рассматриваться как обобщение идей дифференциальной геометрии в ситуации, когда некоторые из координат антикоммутируют. При изучении свойств супергравитации обнаружился необычный факт: все компоненты кривизны могут быть выражены через кручение и его ковариантные производные.

В этой статье мы покажем, что в расширенной супергравитации кривизна также может быть выражена через кручение и что это общее свойство, не зависящее от ограничений, накладываемых на кручение. Источник этой особенности заложен в свойствах генераторов структурной группы, которые позволяют выразить некоторые циклические суммы через отдельные члены. Используя еще раз это свойство, мы покажем также, что вторые тождества Бьянки не дают новых условий, но выполняются как следствия первых. Этот результат должен значительно упростить проверки уравнений на кручение [5]. Прежде чем доказывать указанный результат, мы разберем технику ковариантного дифференцирования, которая позволяет применять тензорные формулы в тензорном исчислении с наличием грассмановых величин.

Institut fur Theoretische Physik, Universitat Karlsruhe, D-7500, Karlsruhe, Federal Republic of Germany.

g

Spnnger-Verlag

Перевод на русский язык, «Мир», 1983

Тензорное исчисление в суперпространствах

Важное обобщение тензорного исчисления ——тензорное исчисление в суперпространствах — возникает при введении антико ммутирующих (грассмановых) объектов; при этом приходится следить за знаками, появляющимися при перестановке таких переменных. Соотношения (анти)коммутации обычно записываются в виде ZAZB = (— \^WZBZA. где |Л | = 0 для коммутирующих объектов и |ЛI = 1 для спинорных. Можно записывать это в виде Z'ZB = ZBZAt понимая под этим равенством следующее: перестановка всех супериндексов левой части в том порядке, в каком они фигурируют в правой части, дает соответствующий знак, зависящий от четности индексов. Это соглашение позволяет все формулы дифференциальной геометрии рассматривать как формулы геометрии в суперпространстве; перестановка индексов в нужном порядке дает правильный знак. Все это будет подразумеваться во всех дальнейших формулах геометрии суперпространства. Формулы, записанные в явном виде в векторно-спинорном формализме, будут, конечно, содержать эти знаки. Необходимо позаботиться об индексах, по которым производится суммирование: в уравнениях они всегда будут расположены так:

32 nп 2

“£% + ? Е\ + ЕЕ7- (1)

В качестве примера рассмотрим формулу, выражающую антисимметричность кручения:

Тавс = -Твас-,(2)

в векторно-спинорных обозначениях она заменяется на

таьс = - Пас. V = -V- W = + W- (2а)

Заметим, что наше соглашение изменяет определение циклической суммы. Легко показать, что знак, который дает это соглашение, таков, что тензорное преобразование

обладает необходимыми свойствами ассоциативности (оператор левого дифференцирования находится слева от дифференцируе- мЬго объекта). Поэтому наше соглашение превращает формулы обычного тензорного исчисления в суперпространственные формулы. ■

Тензор кривизны

(4)(4)Кривизна определяется через репер и форму связности и существенно зависит от выбора структурной группы, т. е. отношения эквивалентности для гладких реперов. В супергравитации этой группой служит группа Лоренца, действующая одновременно в векторных и спинорных реперах, и некоторая группа внутренней симметрии, преобразующая спинорные реперы. Репер может рассматриваться как локальная система отсчета; в системе координат он задается своими компонентами е/:

(4)

(4)

ел = е/ (z)

При замене координат он преобразуется как тензор по своим мировым индексам:

(=2 (-W ' N=m v厶中!(=2 (-W ' N=m v厶中!^I-(|M I+1AI+I ^|)+|A|.|Лf I d/M^I-(|M I+1AI+I ^|)+|A|.|Лf I d/Mej⑵)⑸ej⑵)⑸

(=2 (-W ' N=m v厶中!

(=2 (-W ' N=m v厶中!

^I-(|M I+1AI+I ^|)+|A|.|Лf I d/M

^I-(|M I+1AI+I ^|)+|A|.|Лf I d/M

ej⑵)⑸

ej⑵)⑸

Под действием структурной группы репер преобразуется как

6еА = — Gj^eBi⑹

где Gab — генератор группы..

В супергравйтации эти генераторы имеют следующий вид. Лоренцевы генераторы суть

(Gз/009аь)』=0(^ab)y^ 6佗’000(Gз/009аь)』=0(^ab)y^ 6佗’000⑺⑺

(Gз/

0

0

9аь)』=

0

(^ab)y^ 6佗’

0

0

0

(Gз/

0

0

9аь)』=

0

(^ab)y^ 6佗’

0

0

0

⑺

⑺

где (Gab)cd =—(т)ас6bd — r\bc8ad)• Генераторы группы внутренней симметрии G； имеют вид

О О О

(G/)c° =

0 6附储0

。0 一心GJ

•(8)

Мы принимаем (G；^)* = —G/ в соответствии с тем, что при сопряжении верхние и нижние индексы внутренней симметрии меняются местами.

Кривизна является 2-формой со значениями в алгебре Ли, поэтому ее компоненты антисимметричны:

(9)(9)^ДВ° = — &В 4%

(9)

(9)

Индекс G пробегает индексы генераторов группы Лоренца и генераторов внутренней симметрии Q. Кручение и кривизна подчинены тождествам Бьянки, первые из которых имеют вид

D{aTbc}d + Т{авеТес^ + R{abc}d =0.(10)

Здесь фигурные скобки означают циклическую сумму по трем заключенным в них индексам, Rab」заменяет Ra^GGcd^ Поскольку многие матричные элементы генераторов равны нулю, оказывается возможным выразить с помощью первого тождества Бьянки кривизну через кручение и его ковариантные производные. Например, выбрав С п D векторными индексами, получим сразу такие выражения для всех спинорных компонент лоренцевой кривизны. Имеем

Ra 仲 С"=-(勿(^7附/ + ^^a.ic + 勿 Na 毋/ + T ^i^T^ +

+ TcaiETE^d + Tc^TEaid). Введем для краткости

歹 abcd =勿{〃 bc}d + T{abeTSc}d*(10

Результирующие выражения для кривизны приведены в конце данного раздела (выражения (12)).

Структура индексов 歹 должна дать возможность читателю проследить, из какого именно тождества Бьянки был выведен результат. Некоторые из результатов для кривизны все еще содержат уравнения для кручения. Например, тот факт, что

Rai6/G/ =з歹呻产伙，

накладывает на кручение условие, заключающееся в том, что правая часть должна быть пропорциональна генератору.

Если результаты для кривизны подставить опять в первые тождества Бьянки, то останутся одни только ограничения на

кручение:

8/ J _ B/d с — — " с ：

RabGlk

R^cd =_夕山吗d,内面七储=-4夕"久』,Rabcd = ^ (歹 abyl" i^cd}^ + 歹 ab^l(Ocd)\),

П = M‘，Rai. b^Ik = J ^"ail^lt^R"'b1GlltI = — у 歹％丫炉,

RaL

-；（产汽歹嗝％ - 击（。\6歹a”6产一（12）

Н十1

（产）广（九血产

+ 夕0 J'm + 夕&hb^\i) >

R”bed = ~ ^^cd^b ^~&ibyhh — “ ； [ (Gd)'f 歹"J% —

-寻T®d)\ (歹*/} + 尸〔E* + 歹"J')， Rj“G J = — ^ 歹J% J + у 歹 aMJ +

+ |(6cd)aV歹у/% J _ I 3加『歹产久.

Вторые тождества Бьянки

Мы выразили кривизну через кручение; осталось выяснить, какие условия накладываются на кручение вторыми тождествами Бьянки

2{aRbc} de + T{abeRfc}萨=0・(13)

Это дифференциальные уравнения второго порядка. Нужно заметить (это проверяется явными выкладками [4]), что в обычной супергравитации вторые тождества Бьянки следуют из первых тождеств Бьянки и уравнения первого порядка

1^А» 勿b]Tcd"= RabJTfd" + Rabdf^cfE —

-Rab 萨Та/勿“ cJ (14)

(коммутатор двух ковариантных производных является преобразованием структурной группы и ковариантной производной).

Мы покажем, что без каких-либо ограничений на кручение и на границу внутренней симметрии второе тождество Бьянки следует из уравнений (10) и (14).

Для этого докажем общую лемму и затем используем свойства генераторов структурной группы. Введем сокращение

Mabcde ：= ^{aRbc} d£ + T{abfRfc)d"(15)

Лемма. Уравнение

^ABCDE — ^BCDJ^ + ^CDABE — ^DABCS = ^(16)

следует из уравнений (10) и (14).

Лемма доказывается непосредственно: нужно собрать члены, содержащие производные циклической суммы R{abc)”，заменить R{abc} " его выражением через кручение, далее использовать (10); вторые производные кручения, возникающие при такой замене, включают только коммутаторы, которые выражаются с помощью (14). После этого все члены сокращаются вследствие (10),

Учтя теперь свойства генераторов структурной группы, мы видим, что из равенства нулю (16) следует равенство нулю Mabcde, что и составляло наше утверждение.

Заметим сначала, что Mabcde имеют структуру генераторов по отношению к последней паре индексов, поэтому Mabcde по определению равно нулю, если последняя пара индексов не имеет той же структуры индексов, что у генератора. При данной структуре индексов Л, В, С легко найти такие индексы D, Е, что циклическая сумма (16) содержит не более двух членов. Например, если Л, В, С — спинорные индексы, то, выбирая D> Е векторными, немедленно получаем

Mi 伸恤" =М，间血" =。，)

血"=。，м“向丝" = 0・

Если Л, В, С содержат не более одного типа спинорных индексов (с точкой или без точки), то выбор D, Е спинорами другого типа и взятие следа дает

m呻"=0, m也制削=0,

^a^iyh =。，M^^hl = 0,(18)

"agj = °， ^abM ~ °，

^abc =^*

Возьмем все индексы спинорными. Заметив, что лоренцева часть обращается в нуль из-за (17), получаем из (16) следующее уравнение для компонент Mai^klt

М 呻严 G/「冷 + M^G^^ = 0. (16a)

Взяв след по вейлевским индексам с точкой, мы видим, что симметричная и антисимметричная части по паре 先,/ обращаются в нуль. Поэтому отсюда следует

Mai^hl = Q, Ма 尸削=0 (19) (второе уравнение получается из таких же рассуждений).

Разберем теперь случай, когда среди Л, В, С имеются один векторный индекс и оба типа спинорных индексов. В качестве О н Е выберем векторные индексы. Тогда из уравнения (16) получаем

= (166)

Таким образом, 此叫仆 симметричен по индексам a, d н антисимметричен по индексам d, а; следовательно, он равен нулю. Это дает

М _/ = М Bi『=м 例沖解=0. (20)

Используя этот результат, возьмем в качестве D н Е спинорные индексы. Из уравнения (16) получаем

mJ^g^ + mJ1 ^0^=0.(1бв)

Те же аргументы, которые привели к (19), показывают, что выполняется равенство

“3 = 0.(21)

Пусть теперь Л, В — векторные индексы, а остальные — спинорные индексы без точки. Используем тот факт, что компоненты М, соответствующие генераторам внутренней симметрии, равны нулю. Уравнение (16) дает

此加厂(“談。6尸+此方6六("以"6尸=0-(16г)

После некоторых алгебраических выкладок получаем

仇+1)(0cde)б.Ма 打产=0,

где и——количество внутренних индексов. Используя также другое следствие (16)

®d)'o Мм：" = 0,(16Д)

получаем

乂血产=0, Mab^hcd = 0.(22)

(Те же аргументы приводят ко второму уравнению.) Это завершает доказательство: тождества Бьянки выполняются вследствие леммы (16), стало быть, они следуют из (10) и (14).

Выводы

Полученные результаты показывают, что кривизна является избыточным объектом в супергравитации. Вместо нее можно использовать кручение и его ковариантные производные. Вторые тождества Бьянки не налагают дополнительных условий на кручение и следуют из первых тождеств Бьянки и уравнения (14). Это нетривиальное утверждение, поскольку, хотя (14) и является частным случаем соотношения

[勿4, ^в] = 一 Rab%g — тт纱L,(23)

из которого следуют тождества Бьянки как тождества Якоби, из самого частного тождества (14) вторые тождества Бьянки, вообще говоря, не следуют (например, в римановой геометрии).

Полученный здесь результат должен облегчить проверку на совместность, которая проводится при введении уравнений,

включающих кручение. Этот результат показывает также, что уравнения движения и связи должны выражаться как условия на кручение в суперпространстве.

ЛИТЕРАТУРА

Deser S., Zumino В” Phys. Lett., 62В, 335 (1976);

Freedman D Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214 (1976);

Breitenlohner P., Phys. Lett., 67B, 49 (1977).

Wess 丄，Zumino B„ Phys. Lett., 66B, 361 (1977); 74B, 51 (1978). Preprint CERN Ref. TH 2553.

Wess 7., Supersymmetry-Supergravity, Lecture Notes in Physics, 77, 81 (1977).

Grimm R., Wess /., Zumino B., Karlsruhe preprint, Okt 1978.

Grimm R., Wess /., Zumino B., Phys. Lett., 73B, 415 (1977).

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей в супергравитации

С. Джеймс Гэйтс !), К. С. Стелл ), П. К・ Вест )

James Gates, Jr., К. S. Stelle, P. C. West, Nuclear Phys., B169, 347 (1980)

В статье сформулированы алгебраические мотивировки появления связей в суперпространственной формулировке супергравитации. Максимальная группа симметрии, возникающая при изучении связей, отождествлена с естественным обобщением группы Вейля в общей теории относительности. Введены в рассмотрение трансформационные свойства геометрических объектов теории относительно действия этой группы. Связи выводятся нз требования сохранения общих свойств представлений плоской суперсимметрии. Кроме того, вводятся алгебраические условия, позволяющие получить в явном виде максимальное число компонент связности и репера.

Введение

Недавно был достигнут существенный прогресс в систематизации весьма сложной алгебраической структуры теорий су пер- гравитации. Это началось с открытия минимального набора вспомогательных полей [1] и последующего развития тензорного исчисления [2].

Вскоре после этого была развита суперполевая теория супергравитации [3—5]. В то время как суперполевой подход включает большое количество информации компонентного подхода и в принципе является наиболее эффективным путем описания теорий супергравитации, исторически так сложилось, что основные результаты вначале были получены в компонентном формализме, а затем воспроизведены в суперпространстве.

Геометрический формализм общей теории относительности легко обобщается на суперпространство. Вводятся понятие общей ковариантности в суперпространстве и группа Лоренца касательного пространства с соответствующими репером Еам и связностями ФЛвс. Однако с условием, чтобы не было компонентных полей со спином выше двух, этот формализм сам по

Dept, of Physics, Harvard University, Cambridge, Mass., USA.

себе оказывается несовместимым. Такая трудность преодолевается введением кинематических связей, при разрешении которых [4] реперы и связности выражаются через меньшее число препотенциалов. С другой стороны, можно начать с теории, содержащей только препотенциалы [6], но тогда затемняется геометрическая структура теории. Развитию суперпространственного подхода в. значительной мере мешала трудность нахождения подходящего набора кинематических связей (ограничений), поскольку не было систематических приемов нахождения связей из теоретико-групповых и алгебраических принципов.

Главная трудность, мешающая завершению систематизации теорий супергравитации, заключается в выявлении основных алгебраических принципов, определяющих выбор кинематических связей. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать последовательный вывод связей в 7V = 1-супергравитации в надежде, что этот вывод удастся легко обобщить на расширенные теории.

При рассмотрении алгебраической структуры различных связей, предлагавшихся для простой супергравитации, было выяснено, что они обладают более широкой симметрией, чем симметрия локальной группы Лоренца и общей ковариантности суперпространства, требуемых суперсимметрией Пуанкаре. Такая более широкая симметрия является суперпространственной формулировкой суперконформной симметрии, которая достигается двумя способами [7, 8]. Эта симметрия полностью согласуется с кинематической природой связей, в результате чего они должны быть в равной мере применимы как к супергравитации Пуанкаре, так и к конформной супергравитации.

В отличие от естественного обобщения общей ковариантности, состоящего в общих преобразованиях координат суперпространства, суперконформные преобразования [7,8] имеют сложную структуру. Они не являются естественным обобщением ковариантности Вейля в общей теории относительности. Это обстоятельство подсказывает подход к алгебраическому разъяснению смысла связей и является отправной точкой настоящей статьи. Мы используем непосредственное обобщение группы Вейля, которое называем супергруппой Вейля. Преобразования супергруппы Вейля включают масштабные преобразования с комплексным скалярным суперполем.

Другой существенный пункт нашего подхода состоит в использовании сохранения вида представлений плоской суперсимметрии. Это обеспечивает возможность ввести взаимодействие этих представлений с супергравитацией или конформной супергравитацией. Мы подробно обсуждаем условия интегрируемости, требуемые для этого сохранения, учитывая также условия обычного типа, которые определяют связности и векторные

компоненты обратного репера и дают возможность придать теории вид формализма второго порядка.

В разд. 2 мы резюмируем имеющиеся в настоящее время сведения о связях. В разд. 3 мы обсуждаем супергруппу Вейля, а в разд. 4 находим условия интегрируемости, требуемые для сохранения вида представлений. В разд. 5 мы классифицируем связи по их трансформационным свойствам относительно супергруппы Вейля, в частности по отношению к приводимости комплексного суперполя, служащего калибровочным параметром этой группы. Мы показываем, что различные наборы ограничений, предлагавшиеся для N = 1-супергравитации соответствуют двум возможным видам калибровки по супергруппе Вейля, которая может быть проведена ковариантно относительно локальной суперсимметрии Пуанкаре. Вместе с результатами работы [5] это объясняет происхождение двух различных наборов вспомогательных полей: минимального набора [1] и неминимального набора [9]. В последнем разделе обсуждаются дальнейшие применения результатов этой статьи.

Предварительные результаты настоящей работы сообщались на рабочем совещании в Стони Брук, проходившем 27—28 сентября 1979 г., и будут опубликованы в Трудах этого совещания [10].

Кинематические связи в суперпространстве

Необходимость наложения кинематических связей на геометрические объекты, характеризующие искривленное суперпространство, возникла из желания избежать в компонентных суперполях, описывающих супергравитацию, спина выше двух. Эти связи обсуждались несколькими авторами [3,4] и были разделены на три типа [11].

Связи, которые делают теорию «формализмом второго порядка». Алгебраически это определяет связность Фмаь и обратный репер с векторным индексом Еам через фундаментальные обратные реперы со спинорными индексами Еам (заметим, что

拳= (£/)*)・

Связи, отражающие возможность существования кираль- ных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии.

Дополнительные связи, оставшиеся без определенной алгебраической интерпретации.

Связи первого типа могут быть выбраны многими способами; мы будем называть их стандартными. Это аналогично специальному выбору вида аффинной связности 1v/ = {2v} в общей теории относительности. Иной выбор стандартных связей может быть осуществлен переопределением полей. Например, можно изменить связность добавлением элементов кручения, являю-

щихся алгебраическими комбинациями других полей. Для определенности выберем следующий набор связей:

Связь

Суперполе, для

выражения

которого служит эта связь

^с=о,

(2.1а)

『а ©)= “

(2.16)

Taj — 0，

(2.1в)

(2.1г)

几鼠一^厶。（評）ь=0 J

:EaM

(2.1д)

и аналогично для комплексно-сопряженных. Примером иного выбора может служить замена связи Таъс = 0 на R&产—о, которая может быть достигнута переопределением Фа&с.

Необходимо заметить, что при задании калибровки на всем касательном пространстве с суперлоренцевой структурой становится невозможным выражение Еам через. Е4 Е^м. Таким образом, геометрия Арновитта — Ната касательного пространства [12] с необходимостью требует большего числа независимых фундаментальных полей, чем найдено в супергравитации.

Связи второго типа дают возможность существования ки- ральных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии [П]), поскольку они являются условиями интегрируемости дифференциальных уравнений, определяющих киральные суперполя. Определяющее условие кирального скалярного супер- поля в искривленном суперпространстве имеет вид

勿 а①=0. (2.2)

Применение другой фермиевской ковариантной производной 父)В я симметризация дают условие интегрируемости

откудаоткуда(2.4а)(2.46)(2.4а)(2.46)0 == {⑦”孙3} Ф = - т€ф'勿弋①一7呻С勿cR(2.3)

откуда

откуда

(2.4а)

(2.46)

(2.4а)

(2.46)

TcJ = 0 j^с = о

и то же для комплексно-сопряженных.

Связи третьего типа тоже могут быть выбраны по-разному, но в отличие от связей первого типа различные варианты выбора не связаны переопределением полей. Было показано [4, 11], что эти различные варианты обусловлены двумя неэк-

Бивалентными наборами вспомогательных полей, которые были введены в супергравитацию.

Один вариант связей третьего типа задается формулами

Ta = Ta『Q(2.5а)

(аналогично для комплексно-сопряженных). Этим завершается набор связей, который, как можно показать с помощью тождеств Бьянки, эквивалентен набору, выбранному Вессом и 3/ мино [3]; он приводит к формулировке супергравитации, использующей минимальное число вспомогательных полей [1].

Другие возможные варианты выбора связей [11] образуют множество, параметризованное числом ^ = — ( ^^；):

扌R + K勿 Y7; + bY7;} = 0,(2.56)

где R = Ra^^ Для конечных значений 扌 все эти варианты ведут к неминимальной структуре вспомогательных полей [9].

Мы подчеркнули, что кинематические связи в супергравитации не зависят от выбора динамической системы. В частности, это означает, что они применяются и к супергравитации Пуанкаре и к конформной супергравитации. Поэтому группа инвариантности связей должна содержать преобразования суперконформной теории. Но тщательное изучение суперконформных преобразований показывает, что требуется специализация вспомогательных полей, используемых в теории. Действительно, имеются две различные версии суперконформной группы в суперпространстве, отличающиеся по их действию на соответствующие вспомогательные поля, ассоциированные с двумя различными вариантами выбора связей третьего типа.

Выбор связей, даваемый уравнениями (2.1а — д), (2.4а, б) и (2.5а), инвариантен относительно киральной конформной группы [7], имеющей в качестве параметра киральное скалярное суперполе. В противоположность этому выбор связей, даваемый уравнениями (2.1а — д), (2.4а, б) и (2.56), инвариантен относительно линейной конформной группы [8], параметром которой служит линейное скалярное суперполе.

Супергруппа Вейля

Существование двух различных версий супер конформной группы в суперпространстве, связанное с двумя возможными ограничениями третьего типа, наводит на мысль о существовании общего формализма локальной суперконформной инвариантности, дающего алгебраическое истолкование этих связей. Необходимость такого общего формализма подсказывается также и контрастом между обычным простым обобщением общей

ковариантности в пространстве до общей ковариантности в суперпространстве и довольно сложным выражением локальной суперконформной инвариантности [7, 8].

Не стремясь уменьшить число компонентных полей в суперполе, параметризующем супер конформную группу, путем наложения с самого начала ограничений на их вид (линейный или киральный), мы будем действовать по прямой аналогии с формулировкой инвариантности Вейля в общей теории относительности. Действие супергруппы Вейля на супергравитационные поля сводится к умножению фундаментальных суперполей (Еам, Ff^) на общее комплексное скалярное суперполе. Чтобы включить локальные киральные преобразования в группу, надо рассмотреть комплексное суперполе. Преобразования (Еа” 国М) имеют вид

Е^^Ё^^е^,(3.1а)

E&M^EitM = eL*E(tM,(3.16)

где L — общее комплексное скалярное суперполе.

Так как связность Фмьс и векторные компоненты репера Еам будут выражены в терминах (国吗 &") в результате разрешения стандартных связей первого типа, их преобразования могут быть просто фиксированы преобразованиями фундаментальных полей. Не вдаваясь в детали зависимости между (Фм&с, Еам) и фундаментальными полями (瓦此瓦")，напишем самые общие преобразования, сохраняющие форму ковариантных производных:

@ = е厶{勿а + % fabcMbc},(3.2а)

^ = e^{s)A+^fMcMbc},(3.26)

專=…諸{ g + 疗g + 加g + 4 fbcdM^}, (3.2b)

где fab = f*ab и fabc =广“c・ Эти преобразования имеют наиболее общий вид, необходимый для учета произвольных преобразований связности (члены с 以况)и векторных компонент репера (члены с faB)- Кроме того, мы имеем, конечно, локальные ло- ренцевы преобразования

6£Л =必喈尸(3.3)

N 州=N 凯.(3.4)

Члены (1аъс, faB) в преобразованиях (3.2) записываются через общий суперполевой параметр L при наложении некоторого частного набора связей первого типа. Для выбора связей пёр- вого типа, описанного в первом разделе, имеются преобразо-

вания супергруппы Вейля вида

观=灰{收 一 $ (%«U + еаб%厶)M價},(3.5а)

办a = #+仃{勿a +黄啕唯名山)0 -

-/«^(勿/)勿8 + ^觴。m"}， (3-56)

где fa&c — сложная функция от 厶,DaL и %『(она не понадобится в дальнейших вычислениях).

Используя тождество

您4,勿в】=-—В’勿с 一 у RABcdM叫(3.6)

легко найти следующие преобразования компонент кручения:

_^c = e2%df-7，

%Y = "{T球-%%Y + 九鼠 + f^ - ^aL - ^叫 L},

_%』…){%」％%%

Ra^cd = e2L {Raficd — 丁邮”爲cd — Ta^fycd — Ta^afacd +

+ 丁邮明明“ + T呻％%cd + %e%ed + %с%3 -

-厂吗(附 0cj — e& (e%“)}，(3.7)

'唯=S ' aB / d »

V = ^{V + 储—4 厶可—％%9，

RaBcdRaBcd="+S {RaBcd — Tc/Lcd — Та^уса — Ta^ff/cd +

RaBcd

RaBcd

+ ТаВ%"%с4 + TaMj&“ — 2jcd — 4%d —

—fashed — f^cefaed}t

Ta： = eLf^ 亿广 + f^ + fb^}广「+

+ ^仞/ё一九尸/｝尸/.

Законы преобразования оставшихся геометрических тензоров нам не потребуются.

Инвариантность связей второго типа в отличие от инвариантности связей первого типа при преобразованиях супергруппы Вейля (они определяют поля (Фм&с, Еам)) не столь очевидна. Однако из равенств (3.7) видно, что набор уравнений Та^ = О и Тав© = 0 инвариантен в совокупности, хотя в отдельности уравнение 7\炉=0, например, не инвариантно. Инвариантность связей второго типа влечет за собой существование киральных суперполей с нулевым супервейлевским весом в конформной

супергравитацин. Инвариантность связей первого и второго типов относительно супергруппы Вейля важна для целей нашей статьи, так как эта супергруппа является максимальной супер- конформной супергруппой симметрий этих связей и послужит ключом к пониманию алгебраического смысла всех связей.

Сохранение вида представлений

Основная идея в алгебраическом осмыслении суперпростран- ственных связей — сохранение вида представлений плоской суперсимметрии при обобщений группы инвариантности до локальной. Сохранение вида представлений в локальном случае является причиной успеха введения членов взаимодействия с использованием нетеровской процедуры, начиная с линеаризованного действия, инвариантного относительно плоской суперсимметрии. Более того, условие сохранения вида представлений автоматически удовлетворяет основному требованию, накладываемому на связи, — чтобы они не содержали уравнений движения. Это требование удовлетворяется, так как если связь содержит уравнение движения, то она должна содержать его и в линеаризованном виде, а в нем существование представлений обеспечивается тем, что линеаризованная теория инвариантна относительно плоской суперсимметрии.

При рассмотрений представлений глобальной суперсимметрии следует помнить, что имеется целое однопараметрическое семейство глобальных суперсимметрий, параметризованное радиусами ассоциированных суперпространств постоянной кривизны, в которых они действуют. Важно сохранить общие черты этого семейства, которое содержит все глобальные разновидности локальной суперсимметрии; это даже важнее сохранения специфичных предельных характеристик бесконечного радиуса или плоской суперсимметрии. Эта предосторожность необходима, так как имеются киральные представления плоской суперсимметрии, отсутствующие в общем ортосимплектическом случае [14].

В частности, для суперполя с внешним лоренцевым индексом типа (р, q) уравнение

勿аФ(Р，力=О

может быть решено в общем ортосимплектическом случае только тогда, когда Ф(р，幻 не содержит индексов без точки, т. е. когда оно имеет лоренцев индекс типа (0, д).

При обобщении глобальной суперсимметрии до локальной необходимо наложить ограничения на геометрические объекты, характеризующие локальное суперпростр а нство, чтобы сохранить вид представлений. В том случае, когда линейное дифференциальное условие накладывается на суперполе с индексом,

а также когда имеется дифференциальное условие второго порядка, приходится принимать во внимание обычные условия на выбор связностей, которые появляются в ковариантных производных. В этих случаях не сразу ясно, как обобщить определяющие условия до локального случая..

Для того чтобы отделить требование сохранения вида представлений от детального выбора связностей, рассмотрим сначала простейшую форму общего скалярного суперполя, а именно киральное скалярное суперполе. Как мы уже объясняли в первом разделе, уравнение

勿 а①=0(4.1)

имеет условия интегрируемости

Та『 = Та/ = 6(4.2)

Поскольку это соображение не использует формулы для связности Фмьс и для обратного репера с векторным индексом Е^, оно должно выполняться при любых заменах этих величин. Это подтверждается уравнениями (3.7), дающими законы преобразования 7仪萨 и 九в" при действии супергруппы Вейля и показывающими, что преобразования компонент кручения этого вида являются просто масштабными преобразованиями и не имеют вкладов от fAbc и ДА

Так как связи второго типа (4.2) независимы от суперполей (Фм&с, Еам), которые определяются связями первого типа, то порядок, в котором накладываются связи первого и второго типов, несуществен. Именно эта независимость от порядка, в котором накладываются связи двух типов, позволяет сделать четкое различие между связями, сохраняющими вид представления, и стандартными связями.

До сих пор мы ограничивались рассмотрением киральной части общего скалярного суперполя. Важно также обеспечить сохранение вида других представлений ортосимплектической группы OSP (1,4). В работе [14] показано, что проекторы для разложения суперполя с лоренцевым индексом (р, q) записываются в виде

р±土 {@然詰出产(4.3)

где m — обратный радиус антидеситтеровского пространства, являющегося пространственным сечением суперпространства постоянной кривизны, на котором определены суперполя. С помощью двух проекторов (4.3) можно написать определяющие дифференциальные условия для разложения суперполя с лоренцевым индексом (р, д). Эти условия имеют следующий вид: линейное

仞а歹-2(1 +q)m}①3 G = 0,(4.4a)

киралъное

｛勿 а" + 2mg｝①3 G = 0.(4.46)

Если суперполе не имеет индексов без точки, то условия (4.46) эквивалентны следующим:

勿а①絞…)=8(4・5)

Киральное скалярное представление — частный случай этого. Для суперполей, содержащих индексы с точкой, два условия (4.4а, б) эквивалентны соответственно условиям

纱1Axe ...)(小..)= 0，(4・6а)

(466)

Напомним, что свободные индексы данного типа (с точкой или без точки) должны быть полностью симметричны в неприводимом представлении.

Рассмотрим теперь локальные аналоги глобальных ортосимп- лектических представлений. Нетрудно проверить, что операторы

(勿。怨一(1 干｛l+2q｝)R/6 1

士 — I (l + 2g)R/3 JI"

удовлетворяют условиям идемпотентности и ортогональности, необходимым для проекторов; здесь

R = 5，(4.8)

вообще говоря, не равен нулю. Для проверки того, что операторы (4.7) являются проекторами, необходимо использовать уравнения

4R = 0,(4.9)

此雜8 = °' RaBv6 = V (%丫年6 + Wpy) R， (4・ 10) являющиеся следствиями принятых нами связей первого и второго типов, получающимися при применении тождеств Бьянки в суперпространстве. Доказательства уравнений (4.9) и (4.10) приведены в приложении. Таким образом, для данных внешних лоренцевых индексов типа (р, q) две компоненты суперполя ①8")определены следующими условиями:

линейным

｛勿а勿° —等(1 + 4)｝①(р, q) = 0,(4.11a)

киралъным

｛勿а" + q 导｝①(P, <7) = 0.(4.116)

Как и в глобальном случае, в применении к суперполю, не имеющему индексов без точки, условие (4.116) эквивалентно следующему:

纥阳曲…)= °・(4J2)

В применении к суперполю, имеющему индексы с точкой, условия (4.11а), (4.116) эквивалентны условиям

歹％В°，(4.13а)

勿《х①в・・・)泅…)= °・(4」36)

Можно проверить, что требование сохранения вида этих высших представлений не накладывает новых связей. Уже принятые связи первого и второго типов достаточны для того, чтобы вывести все условия интегрируемости для уравнений (4.11), (4.12), (4.13) путем соответствующего использования тождеств Бьянки.

Здесь следует сделать замечание относительно причины, по которой при обсуждений сохранения вида представлений можно не ссылаться на связи первого типа. Причина эта состоит в том, что дифференциальные условия второго порядка и линейные дифференциальные условия на суперполя с индексами содержат связность Фдвс. Эта связность фиксируется выбором связей первого типа. Конечно, может быть сделан другой выбор стандартных связей с соответствующим изменением определяющих условий для высших представлений. Тогда эти определяющие условия будут содержать дополнительные члены, такие, как TaN，исчезающие в пределе глобальной симметрии. Этого нужно ожидать, поскольку переопределение полей для связности, соответствую щей другому набору связей первого типа, требует именно таких членов. Связи первого типа, принятые в разд. 1, отличаются тем, что определяющие условия для высших представлений имеют в точности такую же форму, как и в пределе глобальной симметрии 0sp (1,4).

Выбор калибровки по супергруппе Вейля

В предыдущих разделах мы видели, каким образом сохранение вида представлений глобальной суперсимметрии под действием локальной группы приводит к связям второго типа; в то же время связи первого типа суть алгебраические условия, которые могут быть разрешены относительно связности и репера и делают теорию теорией второго порядка. Мы заметили также, что связи первого и второго типов имеют очень большую группу симметрии ——супергруппу Вейля.

Полный набор связей, рассмотренный в разд. 1, кроме связей первого и второго типов содержит дополнительные связи.

Эти дополнительные связи могут быть выбраны двумя различными способами и приводят соответственно к двум различным наборам вспомогательных полей. В данном разделе мы включим эти последние связи в общую картину, развитую в предыдущих двух разделах.

Отправной точкой может служить тот факт, что связи третьего типа не инвариантны относительно супергруппы Вейля. Из работы [8] и уравнений (3.7) получаем

6Та 三 67V = LTa - 2g (2L + Г), (5.1)

6R = 一 6 (g纱1 -告)L. (5.2)

Мы знаем (уравнение (4.9)), что суперполе R кирально, поэтому вариация R должна иметь форму кирального проектора (4.7), действующего на некоторое суперполе. Вариация R, задаваемая уравнением (5.2), имеет как раз требуемую форму. Таким образом, преобразование R зависит только от киральной части параметра супергруппы Вейля.

В противоположность этому неоднородная часть преобразования Та (см, (5.1)) в явном виде содержит ковариантную производную 勿а, поэтому она вообще не зависит от киральной части супервейлевского калибровочного параметра. Другими словами, неоднородная часть преобразования Та зависит только от линейной части супервейлевского параметра.

Эти замечания наводят на мысль, что связи третьего типа (2.5а), (2.56) соответствуют двум частным выборам калибровки по супергруппе Вейля, основанным на разбиении комплексного общего скалярного параметра на неприводимые части. Оба этих пути ковариантны относительно суперсимметрии Пуанкаре. На первый взгляд, однако, при такой интерпретации имеется следующая очевидная трудность. Связь Та = 0 имеет две компоненты, тогда как связи (2.56) — только одну (например, при п = —1 R = 0). Это затруднение устранимо, поскольку можно доказать, пользуясь связями только первого и второго типов, что из тождеств Бьянки следует

勿 口6 + 纱 Ka = о. (5.3) Отсюда

Тв = ^Ь， (5.4)

где Т—некоторое комплексное скалярное суперполе, киральная часть которого несущественна. При внимательном изучении (5.2) мы видим, что вариация Т имеет следующий вид:

6Т = — 2 (2L + L*) + произвольная киральная часть. (5.5)

Используя линейную часть —2(2L + L*), можно выбрать калибровку, в которой Та = 0. Таким образом, связь (2.5а) может

быть рассмотрена как дастннна兄 фиксация супервейлевской калибровки, несмотря на то что она имеет две компоненты.

Следствием фиксации только частичной супер вейлевской калибровки, заданной связью (2.5а), является то, что связи первого и второго типов вместе со связями (2.5а) остаются инвариантными относительно подгруппы супергруппы Вейля, параметром которой служит киральная часть —2(2L + L*), которую мы обозначим S* (^)aS* = 0). Точное выражение для S* может быть записано с помощью кирального проектора Р+©。)(уравнение (4.7)). Преобразование обратного репера относительно остающейся группы инвариантности имеет вид

6旦产=СЕЛ = - (2Г 一 S) ЕЛ (5.6)

где для остающейся группы требуется, чтобы S* = —2(2L + + L*) было киральным. Читатель узнает в (5.6) преобразование, принадлежащее суперконформной группе Хоу и Танкера [7].

Из вида преобразования суперполя R (5.2) ясно, что связь R = 0 дополнительна по отношению к связи Та = 0 в том смысле, что она фиксирует киральную часть супергруппы Вейля. В дальнейшем мы сначала обсудим этот представитель (п = =—1) класса связей (2*56), после чего вернемся к общему классу. Киральная часть суперполевого параметра L может быть использована для того, чтобы найти калибровку, в которой R равно нулю. Тогда остающаяся группа инвариантности связей первых двух типов совместно с R = 0 есть версия суп ер- конформной инвариантности в суперпространстве, параметром которой является S, линейная часть L, т. е.

'勿a勿a5 = 0. (5.7)

Уравнение (5.7) — подходящее условие для того, чтобы сделать S линейным, так как теперь R = 6 Обратный репер преобразуется следующим образом:

6Еам = 5Еам^ (5.8)

Преобразование (5.8) принадлежит суперконформной группе Зигеля [8].

До сих пор мы рассматривали связь (1.56) только для частного значения п = —1. Для понимания происхождения членов 勿аТ® и таТа для других значений п полезно ввести понятие супервейлевской ковариантности. Если мы имеем некоторое поле материи с супер вейлевски м законом преобразования

6Ф = Л(2£ + Г)Ф, (5.9) где % — некоторое число, то можно поставить вопрос: возможно ли построение супервейлевской ковариантной производной для Ф? Возвращаясь к закону преобразования для Та (5.1), мы ви-

дим, что он преобразуется в точности таким способом, что можно построить связность для поля Ф, преобразующегося по (5.9), так что выражение

0①=(勿а + "а)Ф (5.10) супервейлевски ковариантно.

Закон преобразования (5.9) не является наиболее общим среди допускаемых супергруппой Вейля. В общем случае отношение L к L* может быть произвольным в соответствии с отсутствием связи между дилатационным и киральным весами. К сожалению, не имеется простой алгебраической функции кручения и кривизны, которая могла бы быть использована как связность для комбинаций киральных и дилатационных преобразований, независимо от данной в уравнении (5.9). Несмотря на это, в теории существуют объекты, которые, хотя и не являются связностями, но преобразуются через независимые комбинации L и L*. Например, вариация R (5.2) содержит только параметр L. Один из способов рассмотрения таких вопросов включает решение кинематических связей и построение независимой связности с использованием комплексного скалярного поля р [4,8], которое фигурирует в решении. С другой стороны, можно с самого начала ввести независимые суперполевые связности для дилатаций и киральных суперпреобразований Вейля, а затем приступить к нахождению связей первого и второго типов для этого более широкого набора, Это будет сделано в отдельной публикации [15]. Возвращаясь к полям, преобразующимся по (5.9), мы находим, что определение ки- рального поля, ковариантное относительно супергруппы Вейля, записывается теперь в виде

5^6 = 0. (5.11)

Здесь не появляются новые условия интегрируемости, хотя кроме обычной ковариантной производной имеется еще член Та. Это обусловлено тем, что 勿〃0 + ^^Та = 0 как следствие связей первых двух типов и тождеств Бьянки, что уже было отмечено (5.3). Это обстоятельство следует сравнить с сохранением вида неприводимых представлений с внешними лоренцевыми индексами, обсуждавшимся в разд. 4; там требуемые условия интегрируемости также вытекали из связей первого и второго типов и тождеств Бьянки.

Очень важный результат для настоящей работы состоит в том, что только из связей первого и второго типов следует уравнение

ад = 0, (5.12)

которое уже выписывалось выше в (4.9) (доказательство приведено в приложении). Однако с точки зрения этого раздела

не очевидно, что уравнение (5.12) супервейлевски ковариантно; на самом деле оно ковариантно, поскольку может быть выведено из супервейлевски ковариантных связей первого и второго типов. С точки зрения явной супервейлевской ковариантности на равных правах с (5.12) можно использовать уравнения вида

(勿a + Ha)Q = 0,(5.13)

где Q есть сумма R и поправочных членов:

Q^^R + ^Ty+^T^.(5.14)

Ясно, что вместо R = 0 может быть наложена более общая связь

(5.15)(5.15)Q = 0

(5.15)

(5.15)

с соотв етствую щи м различием в форме остающейся супер конформной инвариантности. Используя отождествление, употреблявшееся в разд. 1:

(5.16)(5.16)(九 +1)加+ i)'

(5.16)

(5.16)

мы восстанавливаем общую форму связи (2.56) и суперконформные преобразования, рассмотренные в работе [8].

В статьях [11, 23] обсуждаются суперконформные преобразования в шестимерном пространстве-времени и их отношение к супергравитационным связям.

Заключение

Хотелось бы надеяться, что данный нами вывод связей для N = 1 -супергравитации вскрывает общие алгебраические черты, характерные для всех теорий супергравитации. Основываясь на результатах настоящей работы, мы считаем, что для получения связей в теории расширенной супергравитации может быть предложена следующая программа:

Выбор стандартных связей, с помощью которых можно выразить возможно большее число компонент связностей и реперов.

Нахождение условий интегрируемости, необходимых для сохранения общей структуры представлений плоской суперсимметрии.

Частичное закрепление калибровки на супергруппе Вейля, которое должно быть ковариантно относительно лежащей в основе суперсимметрии Пуанкаре. При этом нужно принимать во внимание приводимость параметров супергруппы Вейля.

Уже сейчас можно наметить некоторые черты, характерные для теорий расширенной супергравитации. Мы вновь подчерки-

ваем важность рассмотрения представлений плоской симметрии. В случае расширенных суперсимметрий необходимо включить центральные заряды. Это легко видеть при применении нашего метода вывода связей к случаю расширенной N = 2-суперсим- метричной теории Янга ——Миллса, для которой связи впервые были получены в работе [16]. Наименьший мультиплет N = 2- суперсимметрии — скалярный гипермультиплет [17], который обладает центральным зарядом [18] и, более того, вообще не существует, если отсутствует центральный заряд [19]. Он описывается суперполем Ф：(хц, 0а；, 0йй), которое является изоспинором относительно SU(2), лоренцевым скаляром и удовлетворяет дифференциальным условиям [19]

+= 0(6.1а)

^й^Ф/ + ^й/Ф/ = 0,(6.1 б)

где

勿＜h и e订纱3 с учетом того, что

(勿/)* =纱h.

Для описания N = 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса мы распространяем обычные суперсимметричные ковариантные производные и делаем их ковариантными в смысле теорий Янга — Миллса〔)：

驷В = 5 EgАв，(6・2)

где Л теперь пробегает 4 бозевских и 8 фермиевских значений, a As принимает значения в алгебре Ли. Однако при наличии калибровочного поля Ав следует соответственно видоизменить определяющие условия (6.1). В калибровочной теории условия интегрируемости могут быть получены следующим образом. Применим еще одну ковариантную производную 分^尼 к янг- миллсовской ковариантной версии (6.1а), симметризуем по (а, В) и затем возьмем циклическую сумму по (i, /,左).Поскольку Ф/ — произвольные функции, нетрудно видеть, что возникающее уравнение может быть удовлетворено только в том случае, когда напряженности поля подчиняются соотношению

尸 JJ +尸 3J = 0・(6.3а)

Аналогично, применяя 必良尼 к янг-миллсовской версии (6.16) и затем производя в точности такую же симметризацию, получаем

尸+尸В® = 0・(6・36)

На необходимость сделать ковариантными определяющие условия неприводимых представлений было указано в работе [20].

Применяя далее ^)в在 к янг-миллсовской версии (6.1а) и 金&左 к янг-миллсовской версии (6.16) (переставляя а и Р), складывая и, наконец, циклически суммируя по (/, /, А), находим

尸出節+尸a他=°， (6.3В)

где

Найденные три условия (6.3) являются связями, сохраняющими вид представления для N = 2-суперсимметричной теории Янга —— Миллса. Интересно отметить, что в этом случае одна из связей, сохраняющих вид представления (б.Зв), содержит одновременно лоренцевы индексы с точкой и без точки. В N= 1-теории соответствующие связи со смешанными индексами стандартны. Но в данном случае векторная компонента калибровочного поля Аа содержится только в следе по (z, /) от F^.. Таким образом, стандартные связи для N = 2-суперсимметричной теории Янга —— Миллса записываются в виде

尸// =0■ (6.4)

Связи (6.3) и (6.4) вместе образуют набор связей для N = =2-суперсимметричной теории Янга ——Миллса, полученный впервые в работе [16]. Следует отметить, что в нашем выводе существенным было рассмотрение в качестве основного представления N = 2-представление с ■ центральным зарядом.

В настоящее время мы обобщаем выводы, приведенные здесь для связей в N = 1-супергравитации я в N = 2-суперсимметрич- ной теории Янга — Миллса, на недавно полученные [21] связи в N = 2-супергравитации. Результаты будут представлены в отдельной публикации.

Мы весьма признательны Ренате Каллош и Мартину Рочеку за содействие, оказанное в ходе многих обсуждений во время выполнения этой работы. Последние два автора хотят выразить благодарность фонду Наффилда и профессору Стивену Хокингу из Кембриджского университета за поддержку и гостеприимство во время Наффилдовского рабочего совещания по квантовой гравитации в июле и августе 1979 г. Мы все рады выразить благодарность организаторам рабочего совещания по супергравитации в Стони Брук, где докладывалась данная работа, и профессорам Ч. Н. Янгу и Питеру ван Нивенхийзену за гостеприимство в Стони Брук.

Приложение

Мы хотим показать с помощью тождеств Бьянки, что из связей первого и второго типов, приведенных в разд. 2, следуют соотношения

Ra賊8 = °， ^аруб = 4 (8ауеРв + ^^ ^> (口 ]) 勿 a" + 勿 Ra = °, ад = 0.

Доказательство проводится аналогично данному в работе [22]. Список связей имеет следующий вид:

几г=北г=詳鼠=?d=?d=

=%『- 2/ 5)唯=%比(/С)W = °-(口⑵

Перепишем последнюю связь в виде

Ta^t + 几佻% = о,(п.3)

где

Т^^Т^^Х-(П.4)

Для полноты напомним тождество Бьянки

Е Wbcd + Rabcd + TabfTfcd} = 0.(П.5)

Л, сциклическая суммас учетом четностииндексов

Рассмотрим теперь отдельные компоненты тождеств Бьянки при условии, что выполнена связь (П.2). Взяв

Л = а, В = р, С = у, D = %

можно доказать, что

鹿睜8 + Т^б8 = °・

(п.6)

Из уравнений (П.З) и

(П.6) следует

^aP^YV = %产8/y，

(П.7)

где

Свертывая уравнение

(П.7), получаем связь между Sa

И Tab"：

Ta三7初"=Sa.

(П..8)

Поскольку мы хотим

найти соотношения, включающие

Ra^co,

мы рассматриваем два тождества Бьянки, содержащие части этого тензора. Тождество Бьянки с

Д = а, 8 =告 С = 6, Р = у

дает уравнение

&限=2/* + 2，几做，(П.9)

где

几期=тЧ叫(叫Ь

С другой стороны, рассматривая тождество Бьянки с

А —а, 8 = а, С = р, D = b, получаем

—^арббхй = 4'%аТвб6й + ‘旭邓兀^心 +

+ %6恥(勿aS〃 + т SaS j + %6恥(gs〃 + 4 SPSX) , (П.10) где

凡師尿丈=Retted (吟М(О)хх*

Используя тот факт, что RaBcd принимает значения в алгебре

Ли, мы можем вывести соотношение

R(iB68yr = — 2%€&фМ + 2ебй/?арбх.(П-11)

Запишем теперь 7的找 в виде

7М阮="卢h7 +办文"5 +"耳峡+

Тогда из уравнения (П.8) следует

”2 = °， RaB8V = — 4，Т”些.(П.12)

Взяв часть уравнения (П.10), симметричную по 6 и х, и используя уравнение (П.11), получаем

%=°，R叫=6汙*•(плз)

Уравнения (П.12) и (П.13) дают

RaBM = 0，(П.14)

^edx^epe^7'-(П.15)

Далее, остающаяся часть уравнения (П.10) дает уравнения

адр + ^5а = 0,(ГМ 6)

Rapyd = 4(%*В6 + %6年丫)R，(П.17)

27? = 24汙 + 3勿6sB _|_ 3.5譚。.(ПЛ 8)

Из уравнений (П.15) и (П.8) следует

绯％+呼'а = 0・(П.19)

Тождество Бьянки с

4：== а, 8 — а, С === р, D ：^= у

дает

дт +1 SpT = о.(п.20)

Применяя 々в к уравнению (П.20) и используя уравнение (П.18), получаем

—g，(40 = 4z — у у-.(П.21)

Применение 勿仪 дает

勿 aR = Q

что и завершает вывод всех требовавшихся результатов.

ЛИТЕРАТУРА

Stelle К. S, West Р. С, Phys. Lett., 74В, 330 (1978);

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P, Phys. Lett., 74B, 333, (1978).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen R, Phys. Lett, 76B, 404 (1978);

Stelle K. S, West P. C„ Phys. Lett, 77B, 376 (1978);

Stelle K. S, West P. C, Nucl. Phys., B145, 175 (1978).

Wess 丄，Zumino B., Phys. Lett., 66B, 361 (1977); Phys. Lett., 74B, 51 (1978);

Brink L., Gell-Mann M., Ramond R, Schwarz H. H., Phys. Lett., 74B, 336 bedding S. 2, Downes-Martin S., Taylor J. G., Ann. Phys. (N. Y.), 175 (1979).

Siegel 吃 Gates S. Л, Nucl. Phys., В149, 77 (1979).

Ogivetskii V., Sokatchev £., Phys. Lett., 79 B, 222 (1978);

The Simplest Group of Einstein Supergravity, Dubna preprint, 1979;

The Gravitational Axial Superfield and the Formalism of Differential Geometry, Dubna preprints, 1979.

Ogievetsky V.» Sokatchev E, Nucl. Phys., В124, 309 (1977);

Siegel 呪，Harvard preprints HUTR-77/A668, November 1977 and HUTP- 77/A080, December 1977.

Howe P. S., Tucker R.呪，Phys. Lett., 80B, 138 (1978).

Siegel 呪，Phys. Lett., B80, 224 (1979).

Breitenlohner P., Phys. Lett., 67B, 49 (1977); Nucl. Phys., В124, 500 (1977);

de Wit 8., Grisaru M. T., Phys. Lett., 74 B, 57 (1978).

Gates S.丄，Stelle K. S., West P. C. in: Proceedings of the Stony Brook Supergravity Workshop Set. 27—28, 1979; North Holland (to be published).

Gates S.丄，Siegel IT., Understanding Constraints in Superspace Formulations of Supergravity, Harvard preprint HUTP-79/A034, June 1979.

Arnowitt R.t Nath Л, Phys. Lett., 56B, 117 (1975).

Brink L., Gell-Mann M., Ramond A, Schwarz 丄，Nucl. Phys., Bl45, 93 (1978).

Ivanov £. Л., Sorin A. S., Superfield Approach to anti de Sitter Suppersymmetry; OSP (1, 4)-Superfields in Chiral Representation, Dubna preprints. 1979.

Stelle R S., West P. C (in preparation).

Grimm R., Sohnius M., ITess 丄，Nucl. Phys., B133, 275 (1978),

Fayet Р, Nucl. Phys., ВИЗ, 135 (1976).

Ferrara S“ Scherk 丄，Zumino В., Nucl. Phys., B121, 393 (1977).

Sohnius M., Nucl. Phys., B13, 109 (1978).

Gates S. L, Shapiro J. Л., Phys. Rev., D18, 2768 (1978).

步ess J. in: Proceedings of the Stony Brook Supergravity Workshop, Sept. 27—28, 1979, North-Holland (to be published);

Breitenhohner Л, Sohnius M., Superfields, Auxiliary Fields and Tensor Calculus for N = 2 Extended Supergravity, Max Planck Institute preprint MPI- PAE/PTh, 43/79.

Grimm R, Wess 丄，Zumino B., A Complete Solution of the Bianchi identities in Superspace, CERN preprint, October 1978;

Brown M., Gates S.丄,Superspace Geometry and N = 1 Nonminimal Supergravity, M. of I. preprint CTP-811, September 1979.

Gates S 丄，Superconformal Transformations and Six-Dimensional Spacetime, Harvard preprint HUTP/79/A030 (to appear in Nucl. Phys. B).

10. Супергравитация и великое объединение)

£ Зумино

Zumino).——in: Superspace and Supergravity, eds S. W. Hawking and M. Rocek, Cambridge Univ. Press, 1981.

Кратко описаны калибровочные теории великого объединения. Обсуждаются возможные пути обобщения этих теорий с включением гравитации, основанные иа идее суперсимметрии.

Теории великого объединения

Низкоэнергетические взаимодействия элементарных частиц успешно описываются в настоящее время так называемой расширенной моделью Глэшоу ——Вейнберга ——Салама (или стандартной моделью). Она представляет собой перенормируемую калибровочную теорию, основанную на группе

SU ⑶ cXSU ⑵ lXU ⑴. (1)

Поскольку группа (1) является произведением трех простых- групп, в теории имеются три калибровочные константы связи. Эти константы меняются с энергией в соответствии с уравнениями ренормгруппы и становятся приблизительно равными при энергиях порядка 1014—1015 ГэВ. Поэтому можно предположить, что в этой области имеет место теория великого объединения (ТВО), основанная на калибровочной группе с единственной константой связи и содержащая низкоэнергетическую группу (1).

Как показали Джорджи и Глэшоу [1], минимальной ТВО соответствует группа SU(5). К этому заключению они пришли следующим образом. Группа (1) имеет ранг 4, поэтому группа ТВО должна иметь по крайней мере ранг 4. В группе (1) 15 левосторонних состояний, образующие семейство (или поколение), находятся в комплексном представлении; естественно предположить, что они будут также в комплексном представлении группы ТВО, что исключает группы без комплексных представлений. Наконец, Джорджи и Глэшоу наложили условие

сокращения аномалий, которое необходимо для перенормируе- мости калибровочной теории. Эти требования привели их к группе ТВО SU(5), в которой 15 левосторонних состояний семейства находятся в приводимом представлении 5 + 1。(Ю соответствует антисимметричному тензору с двумя индексами). Большинство предложенных в настоящее время ТВО основано на группах, содержащих SU(5) (по-видимому, разумны лишь такие группы). В больших группах (типа 50(10) или 皖)все фермионы семейства можно поместить в одно неприводимое представление, однако симметрия этих, групп относительно замены левого на правое затрудняет понимание безмассовости нейтрино (если последние таковы). Еще большие группы позволяют объединить в одном неприводимом представлении различные семейства.

В ТВО имеется ряд феноменологических достижений, которые в значительной степени не зависят от частного вида выбранной группы ТВО. Предположения о едином масштабе унификации для трех низкоэнергетических калибровочных групп и об отсутствии существенно новой физики ниже этого масштаба фиксируют следующее значение угла Вейнберга, параметризующего константы нейтральных токов [2—4]:

sin2 8犷=0,206 土 0,006. (2)

Это значение согласуется со значениями, полученными из анализа современных экспериментальных данных. Кроме того, минимальная ТВО связывает массы кварков и лептонов при энергии 1015 ГэВ. Расчет эффектов нарушения симметрии приводит, например, к согласующемуся с экспериментами значению отношения [3—5J

ть/т^ 3. (3)

По-видимому, можно понять и другие менее успешные массовые формулы. В скором будущем предстоит решающая проверка по крайней мере минимальной ТВО, предсказывающей распад протона со временем жизни

,1Озо±2 лет. ⑷

Но существующие модели великого объединения имеют и ряд недостатков, указывающих на явную неполноту этих моделей. В них содержится слишком много свободных параметров (>20); не фиксируются большинство масс фермионов и углов смешивания, а также константы связи и даже состав полей в хиггсовском секторе. Таким образом, несмотря на наличие единственной калибровочной константы связи, ТВО не являются действительно едиными. Кроме того, в них существует известная проблема «иерархий» [6], которая состоит в огромной разнице (на 12 порядков) между масштабами начального нарушения

ТВО-SU ⑻cXSU⑵zXU(l)ТВО-SU ⑻cXSU⑵zXU(l)⑹⑹

ТВО-SU ⑻cXSU⑵zXU(l)

ТВО-SU ⑻cXSU⑵zXU(l)

⑹

⑹

и окончательного нарушения

SU⑵2义и⑴г и⑴办М. (6)

Это требует подгонки параметров хиггсовского потенциала в каждом порядке теории возмущений. Наконец, самый очевидный дефект великого объединения состоит в пренебрежении гравитацией, которая, как мы знаем, должна становиться важной при энергиях nip ^ 1019 ГэВ, что не намного больше масштаба великого объединения 1014— Ю15 ГэВ.

Естественный путь объединения гравитации с полями меньших спинов предлагается супергравитацией [7——16]. Она является суперсимметричным расширением эйнштейновской гравитации. При разработке этой привлекательной идеи возникает следующая трудность. Максимальная теория супергравитации (т. е. максимальная теория, в супермультиплет которой входят спины не выше 2) — это N = 8-теория (здесь N — число суперсимметрий), которая имеет группу внутренней симметрии 50(8). Группа 50(8) слишком мала, она не содержит низкоэнергетическую группу (1), а фундаментальный супер мультиплет N = =8-теории (содержащий один спин 2, восемь спинов 3/2, 28 векторов, 56 спиноров и 70 скаляров) недостаточно велик, чтобы включать все известные кварки, лептоны и калибровочные поля спина 1 [17].

В принципе есть несколько возможных путей обойти эту трудность. Первый из них основан на том, что группа 50(8) может содержать SU(3)сX ^(1)эл.м, которые, по современным представлениям, являются точными калибровочными симметриями природы. Добавочная группа SU(2)l могла бы возникать чисто динамическим образом, а промежуточные бозоны слабых взаимодействий могли бы быть связанными состояниями фундаментальных полей (в отличие от элементарных полей фотона и глюонов). Для этого необходимо, чтобы 28 векторов фундаментального супермультиплета были калибровочными векторами S0(8). Примечательно, что во всех теориях супергравитации имеется в точности нужное число векторов и притом в нужном представлении, чтобы они стали калибровочными полями S0(N). Для №《4 оказалось возможным ввести для векторных полей калибровочную константу связи g [18——20]. Вследствие суперсимметрии она сопровождается возникновением массы 〜g/乂 у полей спина 3/2 и космологического члена 〜(g/乂2)2. Локализацию SO(N) можно, по-видимому, осуществить и для N = 8-теории, однако результирующая космологическая постоянная непомерно велика, если g порядка единицы. Тем не менее не исключено, что этот нежелательный космологический член сокращается с космологическим членом, генерируемым спонтанным нарушением суперсимметрии [21]. Или же, как полагает Хокинг3 очень большая космологическая постоянная

может приводить к пенистой структуре пространства-времени. На расстояниях больше планковской длины пенистая структура была бы ненаблюдаемой и пространство-время выглядело бы приблизительно плоским. В то же время внутренняя симметрия 50(8) была бы замаскированной и могла бы возникнуть более широкая приближенная эффективная симметрия. Как ни интересна эта точка зрения, трудно увидеть путь ее осуществления. В дальнейшем мы будем полагать, что различные вклады в космологическую постоянную сокращаются и она равна нулю.

Более обещающий в настоящее время подход основан на следующем наблюдении. N = 8-супергравитация (без калибровочной константы связи g) инвариантна не только относительно SO(8), но также относительно глобальной SU(8) (являющейся группой автоморфизмов алгебры суперсимметрии) и даже относительно глобальной £"7(十7), причем E7W} о SU(8) о 50(8). Аналогичная ситуация была замечена ранее в N = 2, 3-теориях [10, 11] и в N = 4-теории [22]. Комплексные преобразования SU(8) реализуются как киральные преобразования на спинорах и как преобразования дуальности на полях спина 1 (которые преобразуют электрические напряженности в магнитные и наоборот). Преобразования (некомпактной) группы £7, не содержащиеся в ее (максимальной компактной) подгруппе SU(8), реализуются нелинейно, причем 70 скалярных полей теории играют роль, аналогичную роли пиона в нелинейной динамике пионов.

Креммер и Жулна [23,24] сформулировали эту ситуацию аналогично известным рассуждениям в СР"-1-модели [25—27]. К 70 физическим скалярным полям они добавили 63 новых скаляра. Теория становится инвариантной относительно локальной группы SU⑻ (которая может быть использована для закрепления введенных скалярных степеней свободы) и глобальной некомпактной группы £7. Обозначим через X* 63 генератора SU(8) и через Уа 70 дополнительных некомпактных генераторов 七7・ Тогда 63 скаляра аг и 70 скаляров Ьа можно объединить в групповой элемент &:

ехр@Х'+ЬаУа) ⑺

(подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Глобальная £7 реализуется на скалярах с помощью группового умножения справа, а локальная St)(8) — групповым умножением слева. Ясно, что локальным SU(8) -преобразованием можно привести (7) к виду с 70 скалярами:

ехр(%уа) (8)

(симметричная калибровка). Если теперь подействовать на (8) ^-преобразованием справа, то форма (8), вообще говоря, не

сохранится, но ее можно восстановить, действуя слева локальным SU(8) -преобразованием с параметрами — функциями скаляров Ьа・ Поэтому результирующее преобразование на Ьа нелинейно, а на остальных полях фундаментального супермультиплета оно реализуется линейно по этим полям, но с параметрами, зависящими от Ь& Преобразования глобальной *U(8), содержащейся в 七了，реализуются на полях линейно. Симметричная калибровка, в которой имеются только физические поля, удобна для описания физического спектра теории, однако общая формулировка обладает большей гибкостью и более полезна в лагранжевом подходе. По аналогии с СРл-1-моделью Креммер и Жулиа ввели нераспространяющиеся калибровочные векторы SU(8), чтобы сделать лагранжиан явно инвариантным относительно локальной группы S^(8). Эти векторы не имеют кинетических членов, уравнения движения для них чисто алгебраические, что позволяет выразить их через остальные поля. Подставляя эти выражения в лагранжиан, мы получим теорию без калибровочных векторов с (неявной) SU(8) -калибровочной инвариантностью. Однако, как ясно из приведенного обсуждения, эта калибровочная инвариантность искусственна: она обусловлена введением 63 чисто калибровочных скалярных степеней свободы @з С другой стороны, глобальные инвариантности SU(8) и f7 являются истинными симметриями уравнений движения.

Аналогия с CPi-моделью была развита Креммером и Жулиа еще дальше. В этой модели в двумерном пространстве-времени показывается с помощью 1/и-разложения, что нераспро- страняющееся /7(1) -калибровочное поле становится динамическим, а его пропагатор получает полюс в й2 = 0. Креммер и Жулиа предположили, что такое же явление может происходить и с SU(8)-калибровочными полями. Иными словами, фундаментальные поля теории, функциями которых являются калибровочные векторы, связываются в частицы нулевой массы. Естественно предположить [28—30], что поля фундаментального супер мульти плета N = 8-супергравитации, связываясь, образуют другой безмассовьш суп ер мул ьти плет, содержащий поля со спином 1 в присоединенном представлении SU(&). Точно так же как группа SU(8) достаточно велика, чтобы включить в себя группу великого объединения, супер мультиплет связанных состояний достаточно велик, чтобы содержать все известные кварки, лептоны, векторы и скаляры.. Таким образом, все поля, рассматриваемые в настоящее время как элементарные, следует считать составными (ранняя попытка в этом направлении сделана в работе [31]).

В двумерной СРП-1-модели в 1/и-разложении происходит и другое интересное явление. Векторное поле (7(1), приобретя полюс в В? = 0, действует как связующая и запирающая сила

между фундаментальными скалярами модели. В результате спектр состоит из связанных состояний этих скаляров и обладает SU(n) -симметрией [32], хотя фундаментальные скаляры принимают значения только в пространстве смежных классов

Cpi=SU(n)/S["l)XU(n- 1)]. (9)

В N = 8-супергравитации фундаментальные скаляры принимают значения в 70-мерном пространстве смежных классов

E7/SU (8). (10)

По аналогии можно ожидать, что связанные состояния образуют одно (или несколько) представлений Е?. Так как эта группа некомпактна, ее унитарные представления бесконечномерны, и следует ожидать, что связанные состояния образуют бесконечный супер мультиплет с произвольно высокими спинами. Заметим, что £7 нелинейно реализуется на конечном супермультиплете фундаментальных полей. Мы предполагаем здесь, что на связанных состояниях она реализуется линейным образом (эта возможность возникла в обсуждениях с У. Бардиным и Э. Рабиновичем).

Можно вообразить себе следующую картину. При энергиях, сравнимых с планковской массой тр (или больших), точны суперсимметрия и локальная внутренняя группа SU(8) (а также, возможно, Е7). Динамика определяется гравитационной постоянной 乂 〜l/mp. При уменьшении энергий до массы великого объединения нарушаются все суперсимметрии, a SU (8) нарушается до группы великого объединения, скажем SU(5). Это спонтанное нарушение симметрии характеризуется вакуумным средним 〈*〉 некоторого скалярного поля. При энергиях порядка массы великого объединения взаимодействия определяются безразмерной константой связи g ~ х<^>, играющей роль калибровочной константы связи ТВО. Сама ТВО возникает как «низкоэнергетическая» эффективная теория, полученная из теории, явно инвариантной при энергиях порядка планковской массы. Тот факт, что эта калибровочная ТВО перенормируема, можно, по-видимому, понять с помощью《теоремы об отщеплении нулевых масс》.

Эта теорема утверждает, что если в данной теории поля имеется большая масса (для определенности, скажем, тР) и если часть полей или состояний остается безмассовой в пределе mpf со, то эти состояния отщепляются в пределе от остальных состояний, а их эффективные взаимодействия перенормируемы (с точностью до неперенормируемых взаимодействий, обратно пропорциональных некоторой степени znp). Теорема об отщеплении нулевых масс отвечает физической интуиции, она может быть доказана в предположении, что исходная теория является хорошо определенной перенормируемой теорией (например, ка-

либровочной теорией) и состояния с нулевой массой соответствуют некоторым полям исходной теории. По-видимому, эту теорему можно доказать также для связанных состояний с нулевой массой. Действительно, если бы их взаимодействия были перенормируемыми, то при вычислении вершинных функций возникали бы расходимости, единственным обрезанием которых может быть обратный размер связанных состояний, который, как мы ожидаем, равен игр. Это привело бы либо к массам порядка тр, либо к нарушению теории возмущений для связанных состояний (этот аргумент мы заимствовали у М. Велтмана). Мы хотим применить теорему к случаю, когда исходной теорией является N = 8-супергравитация, а состояния с нулевой массой составлены из фундаментальных полей (надо признаться, это смелая экстраполяция). Следствие теоремы об отщеплении нулевых масс состоит в том, что состояния с нулевой массой не могут иметь спин выше 1, так как иначе их взаимодействия были бы неперенормируемыми. По той же причине поля со спином 1 должны быть калибровочными, а поля со спином 1/2 должны образовывать набор, свободный от аномалий; скалярные поля могут оставаться в любом количестве. Все поля или состояния, не принадлежащие этому подмножеству с перенормируемыми взаимодействиями, должны исчезать в пределе тр->оо, получая очень большие массы (или, возможно, переставая взаимодействовать).

Составной супермультиплет

В каком супермультиплете содержатся SU(8) -калибровочные поля? Согласно Креммеру и Жулиа, эти составные поля выражаются через билинейные и высшие комбинации фундаментальных скаляров. В симметричной калибровке, где все фундаментальные поля являются физическими, выражения для составных полей совпадают (с точностью до высших нелинейностей) с сохраняющимися токами глобальной SU(8)-симметрии уравнений движения, или, точнее, с той частью этих токов, которая содержит скалярные поля. Несмотря на различия в высших нелинейных членах, можно вообразить себе, что эти составные операторы будут описывать векторные связанные состояния. В таком случае мы хотели бы найти супермультиплет, содержащий токи глобальной SU(8). Отметим, что SU(8)・tokh, входящие в состав какого-либо супер мультиплета, должны содержать вклады от всех фундаментальных полей со спинами до 3/2 включительно (спин 2 является SU(8)-синглетом). Поскольку фундаментальные поля со спином 1 преобразуются относительно SU⑻，в частности, с помощью дуальных вращений, то генераторы SU(8) не могут быть получены как интегралы от временных компонент каких-либо локальных токов;

то же самое верно для генераторов SO (8) подгруппы: эта не- покальность является следствием нулевой массы фундаментальных векторных полей.

Чтобы найти супер мультиплет, включающий SU (8)-токи, рассмотрим сначала суперсимметричные теории с меньшими М Для безмассовой суперсимметричной системы с NW4 H максимальным спином 1 все токи локальны и входят в состав супертокового мультиплета [33,34], содержащего также тензор энергии-импульса и N спин-векторных токов. Если поля этой системы удовлетворяют уравнениям движения, то суперток образует массивный супер мультиплет суперсимметрии с 启 W 4 спинорными зарядами, максимальный спин которого равен 2 и является синглетом, а состояния с меньшими спинами классифицируются по представлениям группы Sp(2n). При устремлении массы к нулю супер мульти плет распадается на несколько без- массовых супермультиплетов, в которых различные спиральности к л ассифицируются по представлениям SU(N). Не представляет труда определить, какой из этих безмассовых супермультиплетов содержит SU(8)-tokh в присоединенном представлении. Он имеет вид, приведенный ниже в (11), (12). Проведенное рассуждение обоснованно для N W 4; можно предположить, что искомый мультиплет имеет тот же самый вид и для ^ = 8..

Следуя этой длинной (и не слишком убедительной) цепочке аргументов, Эллис, Гайяр, Майани и автор [28] пришли к выводу, что подходящий супермультиплет состояний задается следующим образом (Л, В, …=1, 2, …，8):

(3/2尸，⑴%, (1/2)4ве], (0)"(bcd)(-5/2尸；(11)

к этим состояниям следует добавить СРТ-сопряженные состояния

(5/2〃，⑵& (3/2U【вс],・・・•，(一3/2U(12)

(набор 左 антисимметризованных нижних индексов эквивалентен 8 — й антисимметризованным верхним индексам). Этот супермультиплет включает состояния со спином 1 как в присоединенном, так и в других представлениях. Содержащиеся в (12) представления SU ⑻ приведены в табл. 1.

В идеальном случае все нежелательные состояния (т. е. не принадлежащие к подмножеству состояний с нулевой массой и перенормируемыми эффективными взаимодействиями) должны были бы получить массы с помощью суперсимметричного обобщения эффекта Хиггса. Легко видеть, однако, что это нельзя сделать ни SU(5)-инвариантным способом, ни даже SU⑶ X X SU (2)X^(!) -инвариантным способом. Например, массивный спин 5/2 содержит спиральности 5/2, 3/2, 1/2, —1/2, —3/2, —5/2, которые должны принадлежать одному представлению

Таблица /

Спиральные состояния составного мультиплета SU (8) калибровочных векторов

группы симметрии. Ясно, что супермультиплет (11), (12) не содержит всех необходимых спиральностей. Легко убедиться, что для этой цели не подходит ни один из неприводимых су пер мультиплетов и, вероятно, никакое конечное множество су пер мультиплетов. Это еще одно указание на возможную необходимость бесконечного набора состояний. Причина состоит, конечно, в нашем желании остаться с комплексными (киральными) безмас- совыми представлениями. Вообще же очень легко построить конечные наборы безмассовых мультиплетов, которые объединяются в массивные мультиплеты вектороподобным образом; надо просто начать с супер мультиплета с конечной массой и перейти к пределу нулевой массы, в котором он распадается на искомые безмассовые супер мультиплеты.

Как уже отмечалось выше, может потребоваться бесконечный набор неприводимых супер мультиплетов. Это означало бы, что в динамику при энергиях порядка планковской массы вовлечены состояния с произвольно большими спинами, большая часть которых после спонтанного нарушения симметрии приобретает бесконечную массу в пределе шр 〜<р>-> оо. Те же состояния с высокими (>1) спинами, которые, подобно гравитону, останутся безмассовыми, будут иметь неперенормируемые взаимодействия, пропорциональные обратным степеням тр. Схожая ситуация имеет место в дуальных моделях, интерпретируемых как теории гравитации [35], в которых наклон траекторий связан с планковской массой. В пределе оо наклон траекторий стремится к нулю, состояния с нулевой массой отщепляются от массивных и их результирующие взаимодействия имеют вид перенормируемого янг-миллсовского и неперенорми- руемого гравитационного взаимодействий.

Пытаясь извлечь как можно больше свойств ТВО из динамики при энергиях порядка планковской массы и не зная на самом деле ни этой динамики, ни, по-видимому, бесконечного мультиплета, Эллис, Гайяр и автор [30] предположили, что все выживающие низкоэнергетические состояния уже содержатся в единственном супер мульти плете (11), (12). Далее мы искали

максимальный набор состояний со спинами 0, 1/2 и 1, содержащийся в этом супер мульти плете, который может иметь перенормируемые взаимодействия, отбрасывая, однако, те представления Ми(8), которые получаются суммированием верхних и нижних индексов в (11), (12) (следы). С помощью этих (признаться, весьма решительных) упрощений, мы нашли, что предпочтительно нарушение SU (8) до SU(5) (чем до Ми(6) или SU(7)). Для максимального набора левосторонних состояний мы нашли два решения, из которых лишь одно вектороподобно для SU(3)cX 2(1)ал. м・ Это решение имеет три поколения в представлении 5+10 группы SU(5), что находится в соответствии с современными экспериментальными данными (если существует Лкварк).

Чтобы прийти к этим утверждениям, мы заметим сначала, что 63 состояния со спином 1 из табл. 1 можно идентифицировать с St/(8) -калибровочными бозонами. Бесследовые левосторонние мультиплеты со спином 1/2 разлагаются по отношению kSU(5)乂SU(3) следующим образом:

216 = (10,3)+ (5,3)+ (45, 1) + (1, 3) + (5, 1) +

+ (1,6)+ (24, 3) + (5, 8),

504 = (45, 3) + (40, 3)十(24, 1) + (15, 1) + (10, 1)十

+ (10,8)+(l0, 6) + (ТО, 3) + (5, 3) + (5, 3).

Два первых члена являются очевидными кандидатами на роль трех поколений легких фермионов. Скалярный 420-плет разлагается соответственно на

420 = (24, 3) + (5, 3) + (5, 6) + (45, 3) + (40, 1) + (10, 3) + (⑷ + (5, 1) + (10, 1) + (10, 8) + (1, 3).

Мы наблюдаем здесь появление трех скалярных St/(5)-синглетов. Если один из них получит ненулевое вакуумное среднее, то это нарушит SU(8) до SU(5). (В аналогичной редукции SU(8) до St/(7) или SU(6) синглеты отсутствуют.)

Из анализа St/^)-аномалий мы знаем следующее. Эффективная SU(8)-калибровочная теория не может быть сделана свободной от аномалий. Подтеории, основанные на SU(7) или SU(6) и свободные от аномалий, не могут быть сделаны вектороподобными относительно SU(3)сX /7(1)эл,м, если они не являются полностью вектороподобными. С другой стороны, имеется набор фермионов, содержащийся в (216)£ + (504)L, который не имеет SU(б)-аномалий, кирален и вектороподобен относительно SU(3)c X U ⑴?л.開： -

(45 + 45)д + 4 (24)2 + 9(10+ 历)上 + 3 (5 + 写"_

+ 9(1)l + 3(5+10)l,(15)

Этот выбор максимален в том смысле, что он содержит наибольшее число спиральностей без аномалий, которое можно найти в (216)厶 + (504)£. (Имеется и другое подмножество с тем же числом состояний, исключаемое по феноменологическим соображениям, так как оно не вектороподобно относительно SU(3)с.) Заметим, что (15) содержит в точности три семейства в представлении (5十10)丄,что является минимальным числом, согласующимся с наблюдениями, и предпочтительным числом для удовлетворительного вычисления массы- b-кварка. Остаток (15) вектороподобен относительно SU (5) и может получить SU(5) -инвариантную (дираковскую или майороновскую) массу порядка тР, (Содержание (15) слишком велико, чтобы соответствовать какой-либо из вектороподобных свободных от аномалий SU(6)- или SU (7)-подтеорий SU(8)-теории..

Независимо от наличия этого частного набора состояний можно поставить вопрос о том, какими методами можно получить больше информации о ТВО. В нашей картине динамика при энергиях порядка планковской массы вовлекает высшие спины. По-видимому, не существует непротиворечивого классического локального лагранжиана, описывающего взаимодействия полей с высшими спинами. Единственный существующий метод описания таких взаимодействий состоит в использовании амплитуд рассеяния на массовой оболочке (S-матрицы). Нетрудно найти ограничения, накладываемые суперсимметрией на эти амплитуды [36, 27], и кажется возможным сформулировать процесс спонтанного нарушения. На этом пути в принципе можно получить не только групповую структуру ТВО, но также детали взаимодействия, хиггсовский потенциал и связь Юкавы. Возможно, этот подход прольет свет на упомянутую выше проблему иерархий.

Если принять точку зрения, согласно которой высшие спины участвуют в динамике при планковских энергиях, то может показаться естественным ослабление известного условия на число суперсимметрий ^ ^ 8 и допущение в фундаментальном супермультиплете спинов больше 2. Наша точка зрения, состоящая в том, что локальные лагранжианы являются низкоэнергетическими приближениями теории, формулируемой в терминах амплитуд на массовой оболочке, по-видимому, дает нам эту свободу. Тем не менее имеются определенные преимущества в сохранении N = 8-супергравитации ——теории, замечательной своими симметриями и ренормализационными свойствами.

Резюмируя, мы выдвинули предположения, с помощью которых можно было бы перебросить мостик между супергравитацией и теориями великого объединения. Впереди еще много работы, но ситуация не выглядит безнадежной.

Данная статья основана на работе, выполненной совместно с Дж. Эллисом, М. Гайяром и Л. Майани.

ЛИТЕРАТУРА

Georgi Н., Glashow S. £., Phys. Rev. Lett, 32, 438 (1974).

Georgi Я., Quinn H. R., Weinberg S., Phys. Rev. Lett., 33, 451 (1974).

Chanowitz M. S., Ellis 丄，Gaillard M, K., Nucl. Phys., В128, 506 (1977).

Buras A,丄“ a/., Nucl. Phys., В135, 66 (1978).

Nanopoulos D K., Ross D A., Nucl. Phys., В157, 273 (1979).

Gildener E, Phys. Rev., D14, 1667 (1976).

Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214 (1976).

Deser S., Zumino B., Phys. Lett., 62B, 335 (1976).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett., 37, 1669 (1976).

Ferraro, S., Scherk 丄，Zumino B., Phys. Lett., 66B, 35 (1977).

Ferrara S., Scherk 丄，Zumino B., Nucl. Phys., B121, 393 (1977).

Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 (1977).

Das 4, Phys. Rev., D15, 2805 (1977).

Gremmer 左，Scherk 丄，Ferrara S., Phys. Lett, 68B, 234 (1977).

Cremmer E, Scherk /., Nucl. Phys., В127, 259 (1977).

de Wit B., Freedman D. Z., Nucl. Phys., B130t 105 (1977).

Gell-Mann M., Talk at the Washington Meeting of the American Physical Society, 1977.

Freedman D Z., Das 4, Nucl. Phys., B120, 221 (1977).

Freedman D Z., Schwarz 丄 H., Nucl. Phys., В137, 333 (1978).

Cremmer E, Scherk 丄(unpublished).

Deser S., Zumino B., Phys. Rev. Lett., 38, 1433 (1977).

Cremmer E, Scherk J., Ferrara S., Phys. Lett., 74B, 61 (1978).

Cremmer £., Julia B., Phys. Lett, 80B, 48 (1978).

Cremmer £., Julia B., Nucl. Phys., B159, 41 (1979).

d'Adda 4, Di Vecchia P., LUscher M, Nucl. Phys., Bl46, 63 (1978).

d'Adda 4, Di Vecchia P., Luscher M., Nucl. Phys., В152, 125 (1979).

Witten E, Nucl. Phys., B149, 285 (1979).

EUis 丄 et aL ——in: Proceedings of the Europhysics Study Conf, on Unification of Fundamental Interactions, Erice, 1980.

Ellis 丄，in: Proceedings of the First Workshop on Grand Unification, Durham, New Hampshire, 1980.

Ellis 丄，Gaillard M. K., Zumino B., Phys. Lett., 94B, 343 (1980).

Curtright T. £*, Freund P. G. O., in: Supergravity, ed- P. van Nieuwenhuizen and D. Z. Freedman, North-Holland, Ainsterdam, p. 197, 1980.

Haber Ht E, Hinchliffe /., Rabinovici E, Berkeley preprint LBL-10519, 1980.

Ferrara S., Zumino В.» Nucl. Phys., B87, 207 (1975).

Sohnius M.尸.，Phys. Lett., 81B, 8 (1979).

Scherk 丄，Schwarz 丄".，Nucl. Phys., B§1, 118 (1974).

Grisaru M. Г., van Nieuwenhuizen P., Pendleton H, M, Phys. Rev., D15, 996 (1977).

Grisaru Al. T” Pendleton H, M, Nucl. Phys., B124, 81 (1977),

IL Расширенная суперсимметрия и теории расширенной супергравитации

Дж Шерк

丄 Scherk !)—in: Recent Developments in Gravitation, eds. M. Levy and S. Deser, Plenum Publ. Corp., 1979

Введение

Известно, что квантовая теория гравитации, взаимодействующей с полями материи (будь то скалярные, спинорные или векторные поля), неперенормируема уже на однопетлевом уровне [1]. Подобная ситуация существовала в V — Л-теории слабых взаимодействий до появления калибровочных теорий. V ——Л-теория прекрасно работала в древесном приближении, но ввиду размерности константы связи (Gf = 1,01 • 10~5 ГэВ-2) приводила к расходящимся и неперенормируемым результатам уже в одной петле. Точно так же гравитация хорошо описывается классической общей теорией относительности, в то время как квантовая теория ведет к расходимостям (за исключением одной петли для чистой гравитации) [1]. Аналогия с V ——Л-теорией слабых взаимодействий усиливается еще больше, если заметить, что константа связи гравитации тоже размерна (乂 ~ G№/a = 0,8-10~19 ГэВ-1). Возможно, что трудности квантовой гравитации связаны с подходом к ней по теории возмущений. Другой возможный выход состоит в поиске альтернативных теорий гравитации, свободных от расходимостей.

Наиболее умеренными модификациями гравитации, подающими надежды, являются теории расширенной супергравитации [2—10], в которых гравитон входит в состав конечного супермультиплета полей. Этот подход позволяет воплотить в жизнь эйнштейновскую мечту об объединении гравитационного поля с калибровочными, а также со спинорными и скалярными полями. Кроме того, в нем необходимы новые, пока еще не наблюдавшиеся частицы со спином 3/2 (гравитино), которые существенны для сокращения расходимостей и возможной перенор- мируемости. Свойства расширенных супергравитаций значительно улучшены по сравнению с обычной квантовой гравитацией, взаимодействующей с материальными полями. Так, вклады одно* и двухпетлевых диаграмм конечны [11]; впрочем, наличие возможных контрчленов [12] для трех и большего числа

Laboratoire de Physique Theorique de PEcole Normale Superieure, Paris, France.

© Plenum Press

Перевод на русский язык,《Мир», 1983

петель заставляет сомневаться в конечности этих моделей во всех порядках.

Если же теории расширенной супергравитации не приведут нас к перенормируемому варианту квантовой гравитации, то более радикальным изменением могла бы стать модификация эйнштейновской теории на малых расстояниях путем введения фундаментальной длины. Единственным примером такой теории, не нарушающим фундаментальных принципов типа отсутствия духов (частиц с отрицательной нормой вероятности) или тахионов (частиц с мнимыми массами), является модель спиновой струны [13, 14]. В ней гравитон входит в бесконечный мультиплет частиц с растущими массами и спинами. Эта модель не противоречит расширенным супер гравитациям, так как она плавно переходит в последние в пределе нулевой фундаментальной длины [15,16].

Полезный метод конструирования теорий с расширенной суперсимметрией (т. е. теорий с несколькими спинорными зарядами) состоит в размерной редукции теории с простой супер* симметрией (один спинорный заряд) в пространстве-времени большего числа измерений (с дополнительными координатами бозонного типа) [16,17]. Этот метод и его применение к суперсимметрии и супергравитации рассматриваются в первом разделе. Следующий раздел посвящен теориям расширенной супергравитации в 4 измерениях, а именно их классификации, проблеме выбора полевого представления состояний на массовой оболочке, их построению, алгебраическим свойствам и, в частности, забавному антигравитационному эффекту, наблюдаемому в О (2)-теории с массивным скалярным О (2) -мультиплетом [18, 19], общей форме уравнений движения для фермионов, существованию глобальной U (^) -инвариантности в теории O(N)・ супергравитации [18, 6], локализации О ^)-симметрии. Наконец, в последнем разделе мы кратко рассмотрим струнную модель гравитации.

Б. Расширенная суперсимметрия и размерная редукция

а. Общие сведения

Рассмотрим (4 + ^) -мерное пространство-время Минковского с одним временным и 3 + ^ пространственными измерениями и метрикой т]^ = diag(r|... ——).Рассмотрим далее пуанкаре-инвариантную теорию в этом пространстве-времени, например скалярную 入^'.теорию

S =，d^Nx ^у 5aqp^aqp —- Но2?2 — } ^оф4| •(Б.1)

Чтобы сделать такую теорию осмысленной по крайней мере на классическом уровне, мы можем выбрать в качестве N дополнительных пространственных измерений окружности с длинами Li, ..., L" [20]. Это предположение эквивалентно периодическим граничным условиям для поля 力：

(Б.2)

0 [^3+1 + 厶]=0 [/ +J0 [^3+1 + 厶]=0 [/ +JТеперь мы можем разложить 小 в ряд Фурье:Теперь мы можем разложить 小 в ряд Фурье:(Б.З)(Б.З)SS=W*8。屈"*%%•}-=W*8。屈"*%%•}-Т 崎мб";沖{%}-Т 崎мб";沖{%}-(Б.4)(Б.4)(Б.5)(Б.5)где коэффициенты 小屮力(尤@) суть поля, зависящие только от первых четырех координат и удовлетворяющие условию вещественности 3,—%}=${%}• Интегрируя в (Б.1) по дополнительным координатам Хз+z от 0 до Lh мы приходим к следующему результату:

0 [^3+1 + 厶]=0 [/ +J

0 [^3+1 + 厶]=0 [/ +J

Теперь мы можем разложить 小 в ряд Фурье:

Теперь мы можем разложить 小 в ряд Фурье:

(Б.З)

(Б.З)

S

S

=W*8。屈"*%%•}-

=W*8。屈"*%%•}-

Т 崎мб";沖{%}-

Т 崎мб";沖{%}-

(Б.4)

(Б.4)

(Б.5)

(Б.5)

Таким образом, эта теория в частично компактифицированном пространстве-времени содержит бесконечную последовав тельность частиц с возрастающими массами. В теории имеется ^ сохраняющихся абелевых зарядов, принимающих целочисленные значения; масса частиц как функция этих значений дается формулой (Б.5). В случае ^ = 2,卩о = 0 такая формула была получена для частиц и солитонов суперсимметричной калибровочной теории [21—24]. Это наводит на мысль, что электрический и магнитный заряды можно рассматривать как квантованные пятую и шестую компоненты импульса в полной аналогии с исходной идеей Калузы и Клейна [25] для электрического заряда.

Размерная редукция состоит в устремлении Lt к нулю при фиксированном %. При этом только одно поле #{()} = *

сохраняет конечную массу, так что мы получаем обычную Х^>4-теорию в четырех измерениях:

S f Sr =卜號{扌 д^ф - 4•凤2 疔 _ $ у}.(Б.6)

В данном случае редуцированная теория не сохраняет никаких следов своего происхождения. Фактически ее можно было бы получить, прямо полагая, что поле 小[尤"，尤з+J не зависит от дополнительных координат, т. е.

@з+# = 0・

Менее тривиальный пример получится, если начать с действия для максвелловского поля в 4 + -^ измерениях:

S = ~^\di+NxFa^,(Б.7)

где

&§ = &!& 一 d/a・(Б*8)

Перешагивая через промежуточный этап компактификации, мы сразу положим, что поле 24a не зависит от х3+;, и опустим интегрирование по х3+*. Но теперь поле Аа расщепляется на вектор Дц и ^ скаляров: Да = Иц, ^i, * * *, Rv)・ Действие реду* цированной теории имеет вид

SR = -i\^xF^ + 4$^Х 冷瞪本(Б.9)

Действительно, нетривиальные примеры размерной редукции возникают в тех случаях, когда исходное действие инвариантно относительно простой суперсимметрии!) в (4 + ^)-мерном пространстве-времени:

{Qft, ед = (Г%Р«- (Б-Ю)

Здесь лоренцев индекс v пробегает значения от 0 до 3十％; а, 8 — индексы дираковских матриц, удовлетворяющих (4 + ^)- мерной алгебре Клиффорда:

{「а, М}=2тЛ (Б.11)

Неприводимое представление этой алгебры состоит из матриц размерности 2【°/21, существенно зависящей от размерности О = 4 + ^ исходного пространства-времени (скобками обозначена целая часть 0/2).

В большинстве теорий размерная редукция приводит к исчезновению Рз+i в пределе Ljf 0; было бы интересно найти примеры, в которых некоторые из Р3+/ не исчезают и становятся центральными зарядами2). Для простоты мы будем полагать далее, что Р3+； равны нулю.

Представление клиффордовой алгебры всегда можно построить в виде тензорного произведения дираковских матриц 4X4 (7^,у5 или 1) и 2ty/2lX 2^/21-матриц «внутренней симметрии» так, что для 卩=0, 1, 2, 3

Г^ = ун® 1. (Б.12)

Дираковский индекс а становится парой из обычного дираковского индекса а и индекса внутренней симметрии i. После размерной редукции мы получаем из (Б.10) алгебру расширенной суперсимметрии:

{Qg Q,} = 2(Y%m产寸 (Б.13)

Результирующая редуцированная теория инвариантна относительно группы O(^) и М суперсимметрий, где М равно 2【"/2】 с точностью до множителя 1/2 (в зависимости от того, какие условия были наложены на Q. в исходном пространстве-времени). Число М обычно определяют как число майорановских спиноров Qa‘ (I = 1, ..., Af) в 4 измерениях, поэтому для нахождения ранга расширенной суперсимметрии М следует подробно обсудить задачу определения майорановских и вейлевских спиноров в 4 + ^ измерениях.

1) См. обзоры алгебр суперсимметрии [27].

б* Майорановские и вейлевские спиноры в пространстве- времени произвольного числа измерений

В пространстве-времени четного числа измерений D можно ввести матрицу Г°+1, которая а нтиком мути рует со всеми остальными матрицами Дирака Г°, Г1, ..., Г°-1 и выражается через них следующим образом: Г°+1 = л^Г1 ... Г°-1, где п выберем так, чтобы(4+1)2 = 1. Тогда 唄=(—1)(^-2)/2ф(В более общем случае s пространственных и / временных измерений 刀2 =(—l)(s-f)/2) Левые и правые вейлевские спиноры определяются условиями Го+1ф£, r = ±^l, /?. Эти условия совместны с уравнением Дирака только при нулевой массе.

Дираковский спинор содержит 2°分 степеней свободы, а вейлевский —(1/2)

В нечетномерном пространстве-времени вейлевских спиноров не существует. Положим Z) = d+ 1, где d четно. Представление алгебры Клиффорда в (d + 1) измерениях получается добавлением к матрицам Дирака в d измерениях Г°, Г1, ..., Г^-1 матрицы Q+i

Майорановские спиноры существуют только в выделенных пространственно-временных измерениях. Имеет место следующая теорема [15,28]:

Теорема. Майорановское представление Г-матриц, т. е. представление с чисто мнимыми Г-матрицами, существует в том и только том случае, когда число измерений 办=2, 3, 4 по модулю 8. Для такого числа измерений можно определить как массивные, так и безмассовые майорановские спиноры, которые вещественны в майорановском представлении.

Ход доказательства следующий. Так как 1屮 и (—Г^)* (звездочка означает комплексное сопряжение) удовлетворяют одной й той же алгебре Клиффорда и представление на Г-матрицах неприводимо, то существует матрица В, которую можно назвать матрицей комплексного сопряжения, такая, что

Г"* = —犷8T.

Матрица В обладает свойствами инволюции, вследствие чего В и В*-1 пропорциональны друг другу: SB* = el. Масштабным преобразованием В->ХВ легко получить |е]= 1. Далее можно показать, что £ вещественно и поэтому может принимать только два значения:十1 или —1. Значение £ не зависит от частного вида выбранного представления Г-матриц.

Если спинор 屮 удовлетворяет уравнению Дирака

(«% — е&) у" — ли) 2 = 0, ' (Б. 14)

то 8一】屮* подчиняется уравнению Дирака, в котором е заменено на —е. Таким образом, B-屮 соответствует античастице час-

тицы, описываемой спинором 屮.Майорановские спиноры по определению описывают частицы, совпадающие со своими античастицами, что подразумевает е = 0 и 屮=B~^*t Это условие, связывающее вещественную и мнимую части 屮,может быть наложено лишь в определенных случаях. Действительно, из него следует

■ф = Дф.(Б.15)

С другой стороны, ф* = (B-1)*i|) (в результате комплексного сопряжения 屮=так что

屮=8*82=£屮，(Б.16)

а это возможно лишь для е + 1.

Для е = —1, как это имеет место, например, в случае евклидового 4-мерного пространства-времени, необходимо другое определение майорановских спиноров [29].

Для вычисления е(0) нам потребуется сигнатура метрики, имеющая вид Т...—.

Рассмотрим представление, в котором Г-матрицы (анти)эр- митовы:

Г0^ = Г0, Г^ = -Р,(Б. 17)

а следовательно, матрицей эрмитового сопряжения является Г°: WfTN(Б.18)

Теперь мы можем определить матрицу зарядового сопряжения С, которая связывает матрицы Г^ и —Г^г, подчиняющиеся одной и той же алгебре:

В = СГ。.(Б. 19)

Тогда —Г^г ^= СГ^С-1, где индекс Т обозначает, транспонирование.

Вычислим (「")『 двумя различными способами — как (「"*)+ и как(F"+)*:

(1*)+=-⑻尸〃"(炉一t尸，

Г)т =(严)* н 一(BF。) 1(ВГ0)-1.

Отсюда следует, Что В и (В^)^ пропорциональны друг другу и ввиду выбранной нормировки матрица В унитарна: ВВ^ = В^В=1. Поскольку мы знаем, что ВВ* = el, находим

В = еВг,(Б.20)

О = -еС,(Б.21)

так что матрицы В и С либо симметричны, Либо айтисиммет* ричны. Чтобы найти е, подсчитаем двумя различными спосо^

бами число 2D/2 X З^^-независимых антисимметричных матриц (здесь предполагается, что D четно). Очевидно, что оно равно (1/2)・2"2(2〃2_1).

С другой стороны, это число можно найти, введя полный базис пространства таких матриц, построенный из всех антисим- метризованных произведений Г-матриц：

Всего имеется CDn независимых матриц Г<п)-типа. Легко показать, что

СГ(")сТ=(-1)"(-(Б.22)

т. е. матрица СГ(")либо симметрична, либо антисимметрична:

(СГ("))Т = е(_ 1)2сг(").(Б.23)

Число антисимметричных матриц можно сосчитать, введя функцию, равную единице для антисимметричной и равную нулю для симметричной матриц:

"=2 %[1 -е(- 1)*" 'г" 2)]cDn = ^- ^(2d/2 - 1).(Б.24)

п™о

Суммирование проводится элементарно, если заметить, что

(4-и т-2)

(-1)~= - ^〔(！ + 力片 + (1 — 力(一炉].(Б.25)

Окончательно находим &工— V^~ cos弟(D+l). Таким образом, & = +l для D = 2, 4(mod8), e = —1 для D = =0, 6 (mod 8). В случаях 0 = 2, 4 (mod 8) можно, кроме того, показать, что существует чисто мнимое представление Г-матриц, для которого В = 1, С = Iю и майорановский спинор веществен.

В случаях 0 = 0, 6 (mod 8) такого чисто мнимого представления Г-матриц не существует и майорановские спиноры определить нельзя (по крайней мере при данном определении майорановских спиноров; возможны более общие случаи, когда спиноры несут индекс внутренней симметрии и определение майорановских спиноров учитывает эту внутреннюю симметрию) [30].

Перейдем теперь к нечетному числу пространственно-временных измерений Z) = d + 1, где d четно. Существуют ли здесь чисто мнимые представления Г-матриц? В (d+ 1)-мерии Г-мат*

рицы имеют ту же размерность, что и в d-мернн, и задаются следующим образом: 丿

Г°, Г1, ..., Г^-1, 屮=同「。... Г"т.

Здесь в определение Г°-1 введена мнимая единица с целью сделать Г。-】 пространственноподобной. Для d = 2, 4 (mod 8) первые d матриц могут быть выбраны чисто мнимыми. Матрица Г° ... Г"-】 вещественна, и если вещественна п，то существует майорановское представление Г-матриц в (d +1)-мерии и вместе с ним майорановские спиноры. Для этого необходимо 外2 = (—l)d/2-1 = +1; следовательно, %/2 нечетно и D = = 3(mod8) подходит, в то время как D = 5 (mod 8) нет.

Наконец, зададимся вопросом: могут ли существовать без- массовые майорана-вейлевские спиноры? Число измерений D должно быть четным, а условие ф = 屮* — совместным с Г^^ = =屮，т. е. FD+iunr。... Г°-1.должна быть вещественной матрицей. Отсюда 刀2= +1, следовательно, D/2 нечетно и D = 2, 6(mod8). Таким образом майорана-вейлевские спиноры могут быть определены только в О = 2 (mod 8) измерениях.

Эту теорему можно обобщить на случай t временных и s пространственных измерений. Если s + f четно, то чисто мнимое представление Г-матриц и майорановские спиноры существуют при s — f = 0, 2 (mod 8).

В безмассовом случае может быть дано более общее определение майорановских спиноров. Поскольку уравнение Дирака сводится к 池从电屮=0, где а0 = 1,力=F°I", {а‘，”}= 26", то, найдя вещественное представление a-матриц, мы можем определить майорановские спиноры как чисто вещественные [31] (такая ситуация реализуется для D = 6, 8 (mod 8)). В общем случае безмассовые майорановские спиноры, как можно показать, эквивалентны вейлевским; единственный интересный случай (когда спинор может быть и вейлевским, и майорановским) имеет место для D = 2(mod8).

Теперь мы можем определить число М генераторов суперсимметрии, возникающих при размерной редукции алгебры простой суперсимметрии в D измерениях до 4 измерений. Генератор Qu разлагается на М майорановских спинорных генераторов Qa\ каждый из которых представляет две вещественные степени свободы. Сам Q也 представляет 2°/2r степеней свободы, где 广——коэффициент редукции, учитывающий природу спинорного генератора: г = 1 для дираковских спиноров, г = 1/2 для майорановских или вейлевских спиноров, г =1/4 для майо- рана-вейлевских спиноров.

Следовательно, число майорановских спинорных генераторов аягебры расширенной суперсимметрии в 4 измерениях равно М = (1/2)・2【"2] •几

Ниже приведены значения М, соответствующие 4 W°W 12.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Дирак

2

2

4

4

8

8

16

16

32

Майорана

1

—

—

—

—

—

8

8

16

Вейль

1

—

2

—

4

—

8

—

16

Майорана — Вейль

—

—

—

—

—

—

4

—

—

—

—

。⑵

0 (4)

0(5)

0(6)

。⑺

0(8)

В последней строке указана очевидная группа симметрии, возникающая при размерной редукции. Однако действительная группа инвариантности редуцированной теории может быть большей. Так, например, в безмассовых теориях после редукции может возникать суперконформная группа.

Таким образом, 'М быстро растет с увеличением D. Как мы увидим в разд.《в», имеются представления расширенной суперсимметрии с

Jмакс и1 1/2 Д厶只 М ;^ 2,

4акс = 1 ДЛЛМ&4,

'макс == 2 ДЛЯ М & 8・

Таким образом, мультиплеты с /макс = 1/2 и явным массовым членом могут быть получены только из 0 = 4, 5. Мультиплеты с /мак&= 1 (расширенные суперсимметричные теории Янга — Миллса) могут существовать до 0 = 10 для майорана- вейлевских спиноров [32]. Теории супергравитации, в которых /макс = 2, могут существовать до 0 = 11 для майорановских спиноров [32]. При О > 11, по-видимому, нельзя построить суперсимметричные теории со взаимодействием, поскольку уже при О = 12 мы вынуждены вводить частицы со спином 4.

Это алгебраическое рассмотрение является лишь доводом в пользу существования упомянутых теорий. Чтобы убедиться в их существовании, следует их явно построить. Ниже мы приводим два интересных примера: суперсимметричную теорию Янга — Миллса в О = 10 измерениях, которая при размерной редукции соответствует представлению 7И = 4 суперсимметрии с О(6) -инвариантностью, и теорию супергравитации в О= 11 измерениях, приводящую к теории супергравитации с М = 8 спиворными генераторами.

в. Суперсимметричная теория Янга-Миллса в D = 10 измерениях [16]

Для произвольной компактной калибровочной группы G рассмотрим в О = 10 измерениях теорию полей Янга—Миллса, взаимодействующих с майорана-вейлевскими спинорами в присоединенном представлении группы G.

(Б.26)(Б.26)Генераторы X» калибровочной группы G удовлетворяют алгебре [X热 Х〃 = if*/«%«, где структурные константы fklm вещественны и полностью антисимметричны. Определим матрицы

(Б.26)

(Б.26)

九=九次'.

Тогда

6?尸=5ц,Лv — dvA^ + tg [Лц, #vl，%九=电入+ 用.

Действие имеет вид

(Б.27)(Б.27)S = \ d% Tr (_ ； G^ + 4 疋切皿)-

(Б.27)

(Б.27)

Чтобы узнать, может ли такая теория быть инвариантной относительно суперсимметрии, сосчитаем число степеней свободы для бозонов и фермионов. Поскольку и те и другие находятся в присоединенном представлении, групповой индекс можно не принимать во внимание. Каждый векторный бозон на массовой оболочке является чисто поперечным вследствие калибровочной инвариантности и безмассовости и, таким образом, описывается D — 2 = 8 степенями свободы. Каждый майорана-вейлевский спинор также имеет 2D/2 -1/4 = 8 степеней свободы, как и должно быть.

Можно проверить, что действие на самом деле инвариантно относительно преобразований суперсимметрии

бЛц, = /ёГ^Л,(Б.28)

6% = СзО"”®,(Б.29)

где

0^=4[^> rЬ

Доказательство инвариантности действия не очень сложно. При вариации полей возникают два вида выражений. Во-первых, это выражения вида Tr(eWG), возникающие при вариации G^vG^v и кинетического члена спинорных полей. Они взаимно уничтожаются с помощью интегрирования по частям н использования тождества

n捫=^(11"号0一产「(1)_%У呐...吋1『 ，产(в.30)

и тождества Бьянки.

Ml …Лта叨"G叩=0(Б.31)

с учетом свойства майорановских спиноров еГ^% = —ХГре. Второй вид выражений кубичен по фермионам; он возникает при вариации А^ в минимальной связи Д^ со спинорами и оказывается пропорциональным X =力"百F@Aj入“巾入枳 Равенство нулю последнего выражения можно доказать с помощью преобразования Фирца

х = 备储記以儿可т1rlЛ，(Б.32)

в котором использована антисимметричность структурных констант fijk* Под Гл понимаются все антисимметризованные произведения Г-матриц, нормированные так, что Гд2 = ±1» а ГдГл = +L Поскольку 儿 являются вейлевскими спинорами одного типа (правыми или левыми), то в (Б.32) дают вклад лишь Гд = Га, Г^р, r^vpffA, ГцурГ11, ГцГ11, причем вклад двух первых сортов Г-матриц, удваивается за счет двух последних. Для четных d rM，rai...aD/2rli = 0, так что вклад от Г<5)равен нулю. Наконец, равен нулю также и вклад от Г(3), так как

WvpG% =-m1>g)% = + 打"vp%.

Видно, что выражение 入*“р⑶脑 симметрично по /, / и его свертка с 力汴 равна нулю. Окончательный результат преобразования Фирца имеет вид X = —1/2Х = 0.

То же самое действие инвариантно относительно преобразований суперсимметрии для О = 6 и вейлевских спиноров, а также для 0 = 4 и майорановских или вейлевских спиноров [17].

Теперь легко редуцировать теорию от 10 к 4 измерениям и получить максимально расширенную суперсимметричную теорию с /макс W 1 и 4 спинорными генераторами..

Введем 6 вещественных, антисимметричных матриц 4X4, удовлетворяющих алгебре SU(2)XSU(2):

{£,(?}=侬,口} = 一26",

储，的=0,

Н，* = -2е/,(S33)

侬，旳= — 2е^『.

Майорановское представление алгебры Клиффорда в О = 10 измерениях записывается в виде--'-.

т+/=解®(6.34)

/У 0、「6+』Y5矶 0 J

(Р‘ = Bf за исключением случая i = 3, когда р3 = —р3),

ГП = Г°

\Рз и 丿

В этом представлении майорана-вейлевский спинор в 10 изме- /中月、

рениях имеет вид 屮=[ 卜 где й = 1, 2, 3, 4, а 屮总 суть четыре \P3VA/

обычных (О = 4) майорановских спинора.

Опуская всю зависимость от ХЗ+『и переобозначая Л^ = (Лц, /九 Bi), i= 1, 2, 3, мы находим среди дополнительных компонент Дц три скаляра и три псевдоскаляра. Редуцированное действие в О = 4 имеет вид.

Sr=j d〃 Тг { — *^ G^G^ +皆(А%)? +.

+ 4(45产+ ^底Y吗I統+y ^A[(a"喝+川5%若儿&] +

+ 今([4, 4]2 + [ь，当]2 + 2 [4, b/H 卜(Б.35)

Эта теория имеет неминимальные связи типа Юкавы и у, пропорциональные g и g2 соответственно. Потенциал имеет нетривиальные минимумы, так что симметрия 0(6) может быть спонтанно нарушена, если скалярные поля получают ненулевые вакуумные ожидания. Замечательным свойством этой теории является равенство нулю функции Гелл-Манна—Лоу в одно- и двухпетлевом приближениях [33]!). Возникает захватывающее предположение о точной масштабной инвариантности Этой модели.

Помимо суперсимметрии лагранжиан (Б.35) инвариантен относительно глобальных преобразований группы 0(6)〜SU(4):

6/ = О,

认丘=-}目加旷儿了 + 8"%"仆" + m(?祖凡启"

(Б.Зб)

64 = А1/4/ — A/jB/,

6Bi = AiiBj + АцА1，

Где матрицы Л；/, А'“ антисимметричны. Подгруппой SU(4),kom* мутирующей с оператором четности, является просто 0(4).

1) Как было недавно показано, функция Гелл-Манна — Лоу равна нулю Н в трехпетлевом приближении [51*]. — Прим, перев.

Усечением этой теории легко получаются теории для М = 2 н М = 1, обладающие асимптотической свободой.

Модель М = 2, которая может быть также получена из случая 0 = 6 [17], представляет особый интерес как суперсимметричное расширение модели Джорджи — Глэшоу. Она допускает классические решения, являющиеся суперсимметричными обобщениями магнитного монополя и диона. Квантовые поправки к массе монополя обращаются в нуль, по-видимому, во всех порядках [23,24].

г- Теория простой супергравитации в D = 11 измерениях

Как мы видели из алгебраических рассуждений, О= 11 является предельным числом измерений пространства-времени, для которого можно построить супергравитации (/макс = 2). Для явной конструкции [34] нам следует сначала найти поля теории. Среди них, очевидно, должны быть гравитон, описываемый репером У*(%), и майорановский спин-вектор 屮出(尤)：Кроме того, нужно ввести еще одно поле, что можно увидеть из подсчета степеней свободы, описываемых полями.

Поле У"。вследствие общекоординатной и локальной лорен- цевой инвариантностей описывает на массовой оболочке поперечный симметричный бесследовой тензор в D — 2 измерениях. Поэтому оно представляет */2(^ — 2)(力一1)—1 = 2 степени свободы в случае D = 4, но 44 степени свободы в случае /)=11.

Поле 屮出 в плоском пространстве удовлетворяет обобщенному уравнению Рариты — Швингера ГзрО^Вр = 0 с калибровочной инвариантностью Wpf Wp + dp&. Можно показать, что на массовой оболочке (р2 = 0) и после выбора калибровки 丫屮=0 это уравнение сводится к р^^ = 0,户屮口 = 0 [16].

Отсюда видно, что по отношению к индексу 卩屮！i ведет себя как безмассовый вектор А^ и описывает D — 2 степени свободы. Дираковскому индексу соответствует 2〔°/21r степеней свободы. Наконец, следует учесть калибровочное условие 丫屮=0, исключающее степени свободы спинора. Поэтому число степеней свободы, описываемых на массовой оболочке безмассовым полем Рариты — Швингера, равно

(0一3)2以忆 (Б.37)

Для О = 4 и для майорановских или вейлевских спиноров это число равно 2, так что может существовать (и существует) представление суперсимметрии на полях 屮中 VJ; это хорошо известная «обычная» простая теория супергравитации.

Для 0= 11 это число равно 128, и, следовательно, необхо* димы еще 84 бозонные степени свободы. Поскольку мы имеем дело с безмассовыми частицами, поперечные компоненты полей, представляющие физические степени свободы, классифицируют*

ся по группе 0(0 — 2)= 0(9) [32]. Эта группа имеет неприводимое 84-мерное представление, которому соответствует полностью антисимметричный тензор 4” (/, /» й = 1, ..., 9). Действительно, он имеет Сэ = 84 степени свободы. Необходимость этого тензора подсказывается также дуальной спинорной моделью [34].

Для ковариантного описания мы введем полностью антисимметричный безмассовый калибровочный потенциал А^, аналогичный вектор-потенциалу А^ в электромагнетизме, и потребуем, чтобы действие было инвариантно относительно аналогичных абелевых преобразований:

6&vp = d|i&vp + dvEpu + ^p^iiv> (Б.38) где Ejv (尤)干——Ev"(尤)——калибровочный параметр. В кинетическом члене 力炉卩 появится только в виде 4-формы тензора напряженностей ruvpff = 4(3[^vpa], где квадратные скобки [ ] означают антисимметризованную сумму по всем перестановкам индексов, деленную на 4.

Чтобы убедиться в корректности набора полей V^,屮屮 力出^ для простой супергравитации с О = 11 и в том, что, например, 84 скалярных поля вместо /"vp непригодны, мы можем редуцировать эти поля до О = 4. Известно, что мы должны получить теорию супергравитации с 8 спинорными генераторами. Набор состояний М = 8-теории будет построен в следующем разделе. Ниже приведена множественность спинов 2, 3/2, ..., 0, полученных при редукции полей VJ,屮中 4尸"до 力= 4, в сравнении с составом полей М = 8, 0 = 4 расширенной супергравитации.

4|ivp

如

Всего

М=8

2

1

0

0

1

Г

3/2

0

0

8

8

8

1

7

21

0

28

28

%

0

0

56

56

56

0

28

35 + 7

0

70

35 + 35

Мы видим, что наборы состояний согласованы. Но при срав нении двух теорий возникает очевидная проблема: М = 8-теория, которая была построена по теории возмущений до порядка 乂2 включительно, имеет явную О (8) -инвариантность, в то время как теория, полученная редукцией из 0=11 до 0 = 4, имеет

лишь явную О (7) -инвариантность. Обе теории имеют 8 спинор? ных генераторов, так что их существенное различие неправдой подобно. Чтобы связать эти формулировки, нужно провести до： вольно сложные пер еопр ед ел ени я полей!).

Теория строится с помощью обычной нётеровской процедуры, которая оканчивается в порядке 乂2 в действии и порядке 乂 в 3aL конах преобразований. В формализме второго порядка, в котором связность s@Qb явно выражена через VJ и 屮財 мы получаем e =-左" R (叫一惇瑜产叭(s贷)必-

ь 率"r uvpfi i(144)2 七 rai …a&“|ivp г +崔(m鹏叫V + 12代Г、6)(戶呐6 +尸呻加.(B.39)

Преобразования полей имеют вид

OPJ = —/хЕГ气阮 (как и в случае 0 = 4),

6&VP 弋吗帥W(Б.40)

冠尸£6科

где■.

■瓦i = % + } 6V曲Г演办+ -^ (f8%-8F"%a")户呻汕

Величина ®vo& является суперковариантным (т. е. преобра^ зующимся без членов de) обобщением связности ш°уа& и имеет тот 率е вид, что и в случае D == 4：

®vab = ®°va6 + 粤 &「帥a — %Гa^b + %Г 112a). (Б.41)

Она отличается от значения ①,которое получается в формализме первого порядка независимым варьированием ①(и при замене (s +(o)/2 на(о в кинетическом члене поля -ф). Последнее равно

wна& = ®цаЬ - "^-@江以“严1ФВ (в.42)

и не является суперковариантным объектом. Поэтому формализм первого порядка малопригоден в этой модели, за исключением группировки слагаемых таким образом, чтобы все х-члены (четвертого порядка по полям) были спрятаны в ①,①

или 尸цдЛу. Последний объект является суперковариантным обобщением 尸"vp(j и задается формулой

凡vp6 = 41Vp6一3如%包1。(b・43)

Уравнение движения для поля 屮 в этой теории имеет весьма простой вид.

r"vp&2p = o.(Б.44)

Геометрическая интерпретация Д^Р как калибровочного поля этой теории еще не выяснена. В то время как V^ соответствует локализации сдвигов, а ^^ ——суперпреобразований Q% чему соответствует 力宀，не известно.

На массовой оболочке алгебра, как обычно, замыкается, давая общекоординатные преобразования, калибровочные преобразования на 4@vp и преобразования суперсимметрии, зависящие от полей. Было бы интересно найти набор вспомогательных полей, с помощью которых алгебра замыкалась бы без использования уравнений движения.

Размерная редукция довольно сложна, и для сравнения ее результатов с О (8)-теорией нужны переопределения полей [49]. Сравнительно простая ее часть состоит в редукции эйнштейновского действия от 4 + ^ измерений до 4. При этом полагают, что метрика gAB не зависит от дополнительных координат 炉+‘ и параметризуется в виде

girv + 4j#Jg" ^^8ii)Д/g订 Sij丿

При координатных преобразованиях в (3+ /) направлениях с параметрами, не зависящими от х3+\ А^ преобразуются как N абелевых векторных полей:

64/ =电尹.(办

Результат редукции имеет вид

几+№)= %)(det g“)%,(Б.46)

凡+“ = R4 — } ёцр^р^(g%“一g"g‘尼)dpg优 d(jg小(B.47)

где матрица g" обратна к gih а 4-мерные индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики g^. Эта часть действия описывает обычную гравитацию, взаимодействующую с ^ абелевыми векторными полями и ^(^+ 1)/2 скалярами. Она имеет очевидную O(N) -симметрию и в случае g^ = 6门 и ^ = 1 сводится к обычной формулировке Калузы — Клейна [25] эйнштейновской гравитации, взаимодействующей с электромагнетизмом.

Обратимся теперь к рассмотрению теорий расширенной суперсимметрии и супергравитации, прямо сформулированных в

D = 4 измерениях, а не полученных из простых суперсимметричных теорий в (4 + N) измерениях.

Расширенная суперсимметрия и супергравитация в четырех измерениях

Представления расширенной суперсимметрии

Построим сначала безмассовые представления алгебры простой суперсимметрии в О = 4 измерениях:

偏,q} = 2(屮)呻p"(BЛ)

[Qa，M“] = iB%Q6，(В.2)

где Qa — майорановские генераторы. Мы будем использовать следующее представление у матриц:

построенное так, чтопостроенное так, что

построенное так, что

построенное так, что

В этом случае разложение произвольного спинора на лево- и правосторонние части (точечные и бесточечные индексы) имеет форму

и алгебра приобретает вид

&«} = &，◎} = О，(В.З)

@@} = 2(叫6%，(b.4)

где 0V — (1, g.

В этом представлении С = £丫2丫° и майорановский спинор удовлетворяет условию

2 = CyW* =外22*, или

О 1

Это уравнение связывает точечные и бесточечные индексы

屮(*=%N伊(B.6)

Алгебра может быть записана в окончательном виде

{Qa，Q§} = 0>(В.7)

@@}=2(叫p『(В.8)

Отметим, что в (В.8) Qa играют роль операторов уничтожения, a Qa* — операторов рождения.

В случае нулевой массы можно выбрать систему отсчета, в которой 戶卩=(1, 0, 0, 1) |Р], н, поскольку

…= 2(； ；),(В.9)

мы получаем {Q,,Q/} = 0,(В. 10)

设2, Q2*} = {Ql，Q2*} = {Q2, Qi*} = 0, (B.ll) {Q1，Q1*}=4|P|.(B.12)

Оператор Q2 рождает состояния с нулевой нормой, и его не следует учитывать при подсчете физических состояний, имеющих положительную норму. Поэтому нам нужен один оператор рождения Qi. В выбранной системе отсчета оператор спиральности равен М\2- Используя соотношение (В.2) и явное представление у-матриц, легко получить

@,М12】=“1・(В. 13)

Следовательно, Qi переводит состояние со спиральностью 入, определяемое уравнением ТИ12|Х> = Х|Х>, в состояние со спиральностью 入一％. Итак, безмассовое неприводимое представление суперсимметрии содержит два состояния | 入 макс〉, Q1 |^макс> СО спиральностями 入макс,入макс— 1/2. Чтобы ЭТО ПрвД- ставление имело реализацию на полях, необходимо еще добавить к нему СРГ-сопряженные состояния со спиральностями —入 макс,—(入 макс— 1/2).

Таким образом мы получаем хорошо известные мультиплеты N = 1 -суперсимметрии

А, А, В — скалярный мультиплет,

4屮 % ——векторный мультиплет,屮卩，4" — мультиплет с высшим спином 3/2,°卩“,2и — мультиплет супергравитации.

В случае расширенной суперсимметрии имеется следующая алгебра. Обозначим через Tk генераторы группы внутренней симметрии G и введем вместо одного ^ майорановских спиноров,

образующих спинорное представление группы G. Алгебра расширенной суперсимметрии имеет вид

[Qa, T^^KS^qS(В. 14)

{Qa\ Q^^i^Z11,(В」5)

{Qai>Q₽*/} = 2^/(oV)apPv.(В.16)

Z?『являются центральными зарядами, т. е. они коммутируют со всеми генераторамиалгебры. Для массивных представлений

группа G не фиксирована, однако в безмассовом случае Хааг, Лопушанский и Сониус [35] показали, что с необходимостью G — U (N), за исключением случая ^ = 4, в котором возможно как U(4), так и SU (4). В безмассовом случае центральные заряды 之厶 имеющие размерность массы, равны нулю, и не составляет труда найти содержание представления расширенной суперсимметрии ранга М Каждый из ^ операторов QJ (t = = 1,^) рождает состояния с положительной нормой и

уменьшает спиральность на 1/2, поэтому безмассовый неприводимый мультиплет содержит спиральности |入|, |入|——1/2, ... ・・・，|%| —N/2.

Итак, мы видим, что мультиплеты полей материи, содержащие только спины 0 и 1/2, существуют лишь до ^ = 2 включительно. Калибровочные мультиплеты с |%|макс=1 существуют до ^= 4 включительно, наконец, теории супергравитации (I 入 I макс = 2) существуют до ^ = 8 включительно.丿

Действуя операторами QJ на состояние с максимальной спиральностью |%макс〉，мы получаем все состояния неприводимого мультиплета. Так, имеется ^А состояний вида Q/1 ... Q^k | ХмаКс) со спиральностями 入макс —々/2. Представление является самог СОПрЯЖеННЫМ, если, Амнн === Амакс"- N/2 -^ 九макс, Т. е.入макс =N/4. Если же оно не самосопряжено, то к нему следует добавить СРТ-сопряженные состояния вида Q：% •・・ Qi^M 九мнн〉・ Рассмотрим для примера суперсимметричные теории Янга — Миллса:

А

^=^2

"=3

"н4

1

1

1

1

1

1/2

1

2

3+1

4

0

1 + 1

з + з

6

-1/2

1

2

1+3

4

—1

1

1

1

1

Отсюда видно, что имеются всего три существенно разных типа калибровочных теорий, поскольку случаи ^ = 3 и N = 4 имеют одно и то же число полей. Все эти теории построены в явном виде и могут быть получены размерной редукцией из 10- и 6-мерных теорий [16, 17].

Аналогичная таблица для теорий супергравитации (入макс = 2) имеет следующий вид:

к

“К1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

1

1

1

1

1

1

1

3/2

1

2

3

4

5

6

7+1

8

1

1

3

6

10

15+ 1

21 +7

28

1/2

1

4

10+ 1

20 + 6

35 + 21

56

0

1 + 1

5 + 5

15+ 15

35 + 35

70

-1/2

1

4

1 +10

6 + 20

21 +35

56

1

3

6

10

1 + 15

7 + 21

28

—3/2

1

2

3

4

5

6

1+7

8

—2

1

1

1

1

1

1

1

1

Итак, имеется 7 существенно разных теорий супергравитации, поскольку состав ^ = 7- и ^ = 8-теорий идентичен. Все эти теории могут быть построены в явно O(N) -инвариантном виде.

Поля, соответствующие этим состояниям, однозначно фиксируются до ^ = 3 включительно:

N=1 V，-如，

N = 2 九。，2j, % i=l, 2,

N = 3 九 a, 2 J, Д/, %, i=l, 2, 3.

При ^ = 4 возникает некий произвол, связанный с тем, что O(4) = S"2)XS"2). Существуют по крайней мере две теории.

О (4)-теория [5—7] содержит поля 。广，屮』А^ = = ——力卩‘ & j = 1, ..., 4), Л (скаляр), В (псевдоскаляр). SU (4) -теория [8] содержит поля V^,屮『(z = 1, ...,- 4), А^ (n = 1, 2, 3) (векторы), В J (п = 1, 2, 3) (псевдовекторы), 夕(скаляр), В (псевдоскаляр).

В существовании второй теории можно убедиться с помощью следующей цепочки редукции.

Начнем с простой D = 11-мерной супергравитации (。『，屮屮 4决).Редуцируя ее до О = 10, мы получаем расширенную ^ = =2-супергравитацию с полями 0J,力中①，Л^р, 4叩，屮『，/ (»=1, 2; +中 ％ — майорана-вейлевские спиноры). Эту теорию можно редуцировать до простой (N=l) супергравитации в О = 10 измерениях с полями MJ, Д^, Ф,屮中 ％. Редукция последней теории до О = 4 (аналогичная редукции D = 10-мерной теории Янга — Миллса) привела бы к расширенной SU(4)- супер гравитации в 4 измерениях, взаимодействующей с 6 N = =4-векторными мультиплетами указанного выше вида. Эта теория должна обладать явной SU(4)~ О(6)-инвариантностью.

Обе обсуждаемые теории известны во всех деталях и фактически эквивалентны [8] до тех пор, пока группа 0(4) не становится локальной. В этом случае они неэквивалентны [36].

Для случая ^ = 8 простейший набор полей, совместный с О(8)-инвариантностью, имеет вид [9]

3 ^，a^\肝叫建叫围叫

где / = 1, ..., 8 и скобки означают антисимметризацию по всем индексам. Д и В являются соответственно автодуальными и антиавтодуальными по индексам внутренней симметрии полями и представляют по 35 степеней свободы каждое. Эта теория пока известна лишь до порядка 乂2 включительно, но можно надеяться на построение точной теории размерной редукцией D = 11-мерной супер гравитации [49].

При построении этих теорий без применения тензорного исчисления [37] для. N ^ 2 н супер полевых методов [38] (с помощью которых, однако, удалось воспроизвести случаи 而=1, 2, 3), а также теоретико-групповых методов [39] (с их помощью воспроизведены случаи ^ == 1, 2) действие и законы преобразования в расширенных супергравитациях были найдены шаг за шагом по степеням 知(乂一 корень квадратный из ньютоновской константы):

名=纟0 + y名I + Y2名2 +…，

где 2о ——кинетический член полей теории, ковариантизованный подходящим образом относительно локальных лоренцевых и общекоординатных преобразований.

Например, для О (2) -супергравитации

—击 OR (8°) - #Р"呕％Y1A(8°) 2р'—

-^Vg^F^Fva, (В.17)

и задача состоит в нахождении 纟卜 纟2， ... и выражения для законов преобразования, которые в низшем порядке по 乂 имеют вид

0Р叩=一，Y星Y評],6屮j=+ 0户‘+(B. 18)

К счастью, возможный вид неизвестных членов в действии сильно ограничен соображениями размерности и инвариантности [40]. Например, векторные поля появляются только в виде F и 户2, поскольку лагранжиан содержит не более двух производных. Ферми-поля появляются только в четных степенях, и фактически необходимы члены не выше четвертой степени. Интересно, что этот результат справедлив в пространстве-времени любого числа измерений. В D измерениях 乂 имеет размерность —1/2 (D — 2) (в единицах массы). Поля гравитино имеют размерность 1/2 (О—1). Рассмотрим рассеяние % гравитино, обменивающихся в древесном приближении (п— 1) гравитоном, так что амплитуда рассеяния пропорциональна 乂2(—1) Вследствие калибровочной инвариантности S-матрица в древесном приближении должна быть инвариантна относительно замены ец-> f £ц + ар@ (здесь е^ — тензор поляризации гравитино; р^ — импульс гравитино; а ——произвольный спинор). Если это не так, то в-действие следует добавить контактный член вида %2也@"(屮2)巴 Размерность X2« равна [Хгп] = D ——n(D—1)——р； но, с другой стороны,入2也 должна быть пропорциональна 乂2(—1). Таким обра* зом,

^Ч(п - \) ^~ = D - (D - \)п - р, (В.19)

ИЛИ

% = 2 — р・(В.20)

Из этого уравнения выпала размерность пространства-времени, оно имеет единственное нетривиальное решение р = 0, п = 2. Итак, члены четвертого порядка допустимы (и возникают) в действии, в то время как члены вида (ф)6 запрещены. Аналогичный анализ' применим к спинорным полям %*, имеющим туже размерность, что и -ф, и, следовательно, входящим в лагранжиан в степени не выше четвертой. Отсюда следует, что расширенные супер гравитации при N & 3 могут быть построены за конечное число шагов. С другой стороны, скалярные поля, появляющиеся при N 4, приводят к серьезной трудности, поскольку выражение хА, где Л — скалярное поле, безразмерно и, следовательно, в действии и законах преобразований допустимы неполиномиальные функции скалярных полей, разлагаемые в бесконечные ряды по х. Эту трудность можно обойти, вводя в действие и законы преобразований произвольные функции скалярных полей. Требование инвариантности действия относительно

суперсимметрии приводит к системе дифференциальных урав， нений для этих функций. Такая процедура на практике довольно трудна, поскольку она включает большое число неизвестных функций, а выписывание и решение системы уравнений является довольно громоздкой и сложной задачей. К счастью, можно найти упрощающие приемы, которые уменьшают число неизвестных функций.

Таким приемом является, например, сведение к уже извест* ным теориям. Очевидно, что O(7V+ 1)-супергравитация содер， жит как частный случай О (^)-теорию. Например, 0(3)-теория содержит после самосогласованной редукции (при которой поля, приравненные нулю, имеют нулевую вариацию) муль* типлет (2, 3/2) простой супергравитации, взаимодействующий с мультиплетом Максвелла (1, 1/2) [41]. Этот факт был но пользован при конструировании О (3)-супергравитации [4]. Ана* логично 0(4)- и SU(4)-теории содержат как частный случай простую супергравитацию, взаимодействующую со скалярным мультиплетом (%, Л, В). В простой супергравитации такое взаимодействие определяется произвольной функцией [42] G(хЛ, хВ), которая фиксируется требованием инвариантности относительно 0(4)- или SU (4)-суперсимметрии. Например, в 0(4)， теории [7] мы обнаруживаем, что кинетический член полей Л и В действительно неполиномиален:

纟。—1 У (у)一(相)2

R скал — 2 У 口 _ *2 (/2 + В2)]2 •

Здесь несколько обескураживает ограничение области определения полей Л и В: х2(Л2 + В2) & 1.

Другие полезные приемы конструирования расширенных супергравитаций рассматриваются в последующих разделах. Это алгебра расширенной суперсимметрии, простота уравнений движения для фермионов и глобальная U(N) -инвариантность обсуждаемых теорий.

Алгебра расширенной суперсимметрии

Рассмотрим в качестве примера расширенную N = 2-супергравитацию [3] с лагранжианом

2=-^" 0R⑥)一y評攵y5Y以"⑥)2： -

-4 51V产-1 ^1^ (严V _ 結戸V) 7/一

一千de"％%」怖吟产—蹄斗#1(B.22)

где

仄⑹ 2 J =(八 + 4* Ма/°") 2 J‘ (В・23)

戸"=房产吁呼(B.24)

Некоторые члены четвертого порядка в (В.22) исключены путем использования суперковариантной связности ®, которую можно также получить в формализме первого порядка;

6ц。6 =叫砧亿 ")+号(加%2/一

-审jY評0' + 毓‘Y通').(B.25J

Суперпреобразования полей имеют вид

6。J =—汉/丫州 J(В.26)

(это соотношение справедливо для всех расширенных супергравитаций),

°%' = ^ % ⑹ / — V е"严％vYpJ，(В.27)

6& = — /%%/.(В.28)

Закон преобразования поля 屮 имеет простую форму благодаря использованию связности ю и суперковариантного обобщения тензора Максвелла

凡 V = &v + "£"血%/.(B.29)

Алгебру суперсимметрии можно изучать, вычисляя коммутатор двух суперпреобразований [61,62] с параметрами еь е2. При этом обнаруживается, что алгебра замыкается точно на бозонах, в то время как на фермионах—только с помощью уравнений движения [18, 43]. Это общая черта расширенных супергравитаций; набор вспомогательных полей, благодаря которым алгебра точно замыкается, еще предстоит найти 9-

В результате коммутации возникают преобразования двух типов：

преобразования, не зависящие от полей; они не исчезают, даже если поля равны нулю；

преобразования, зависящие от полей; они обращаются в нуль вместе с полями. Этот тип содержит локальные преобразования Лоренца, суперсимметрии и калибровочные преобразования.

1) В настоящее время известны вспомогательные поля для дзух вариантов ^ = 2-супергравитацнн [52 *]. — Прим, перев.

Преобразования, не зависящие от полей, весьма просты и соответствуют структуре алгебры. Они состоят из:

общекоординатного преобразования с параметром g^(x)= =i£z‘Y卩£1'； оно имеет универсальный вид для всех ^ и означает, что антикоммутатор {Q", @鼠} содержит член вида (^)а^8иР^ где ——генератор трансляций;

калибровочного преобразования Дц(х) с параметром, пропорциональным \\/к}д^(&^Е^)^. В случае О(^)-теорий (N》 》2) соответствующее преобразование. имеет вид 64 f ~ ~ (1/")0“豆 1【也2〃 Это означает, что N(N——1)/2 калибровочных полей А^ связаны с N(N——1)/2 операторами центральных зарядов Z".

В случае чистой О (N) -супергравитации заряды Z〃 равны нулю, точно так же как равны нулю заряды в чисто калибровочной теории. Интересная ситуация возникает при взаимодействии О (N) -супергравитации с материальным мультиплетом, имеющим ненулевые центральные заряды. Известны два примера таких мультиплетов, оба из N = 2-суперсимметрии:

векторный калибровочный мультиплет (Лца,入勺(，= 1, 2), S", Ра), который имеет ненулевые топологические центральные заряды для решений типа монополей [24];

скалярный мультиплет (%\ Л\ В') (/ = 1, 2) [44], который имеет ненулевой центральный заряд в массивном случае [18] (центральные заряды имеют размерность массы).. Преобразования глобальной суперсимметрии на этом мультиплете дают

传1，62] ¥ = i^^d^1 + т^^ф1, (В.ЗО)

где 少=匕 А1 или В'. Первый член соответствует обычному сдвигу, а второй — О (2) -вращению мультиплетов $】и ^2. Следовательно, здесь Z" = g^Z, где Z — оператор электрического заряда, собственными векторами которого являются поля ^1 土 士 学2 _ 力士. Как это ни странно, но этот похожий на электрический заряд пропорционален массе.

При переходе к искривленному случаю е становится зависящим от х и скобка [61, 62], вычисленная для действия материальной системы, приводит к ненулевой вариации, пропорциональной дивергенции электрического нетеровского тока, т. е. пропорциональной ml^e\bd^N(x) где

Fn(х) = е" [2zXz^fX Y^K (В.ЗI)

21 = А1 + ^В1. (В.32)

Чтобы скомпенсировать этот член, к действию нужно добавить выражение, пропорциональное хтЛц/^у [18] (так как скобка [6ь 62] на Лц(х) приводит к калибровочному преобразованию с параметром ~ (l/")d卢"(齒))，причем коэффициент пропорциональности определяется только алгеброй. Полное не-

линейное взаимодействие О (2) -супергравитации с этим мультиплетом было найдено Захосом [19].

Рассмотрим диаграммы одночастичного обмена между частицами материального мультиплета. Вследствие обсуждаемого взаимодействия частицы обмениваются не только гравитоном, приводящим в статическом пределе к притягивательной ньютоновской силе ^н^/г2, но также и.безмассовой векторной частицей, приводящей, подобно фотону, к кулоновской силе 3^2/产• В данном случае Ct ~ ±хлп, так что вклады векторного и тензорного обменов между одинаковыми зарядами взаимно уничтожаются, а между противоположными складываются. Это первая модель, в которой антигравитационные эффекты возникают из чисто алгебраических соображений. Чтобы судить о том, может ли антигравитация быть обнаружена экспериментально или она лежит пока в области научной фантастики, необходимо рассмотреть более реалистические модели с учетом эффекта Хиггса.

Взаимное уничтожение вкладов от обменов частицами разных спинов — явление, не новое в теории поля. Так, например, в некоторых моделях сила, с которой взаимодействуют магнитные монополи с одинаковыми зарядами, равна нулю на больших расстояниях [45], в то же время между монополями с противоположными зарядами действует притягивательная ньютоновская сила. В этой же модели электрическое отталкивание между заряженными векторными частицами одного знака сокращается со вкладом от обмена безмассовым скаляром, а притяжение противоположных зарядов удваивается [22]. Таким образом, не вызывает большого удивления возникновение такого эффекта в О (2) -супергравитации, в которой безмассовая векторная частица и гравитон входят в один мультиплет； ■

Уравнения движения фермионов '.

Уравнения движения фермионов в простой и расширенных супергравитациях имеют простой вид, если их записывать с помощью суперковариантных объектов. Поскольку эти уравнения содержат лишь одну производную, их вариация не может включать член вида 5е, поскольку коэффициент при последнем, не имеющий производных, не может быть пропорционален уравнениям движения. По этой причине фермионные уравнения всегда можно записать с помощью чисто суперковариантных объектов. Например, в суперсимметричной теории Максвелла — Эйнштейна, описывающей взаимодействие мультиплетов (2, 3/2) и (1, 1/2), или в О(3)-супергравитации уравнение движения для спина 1 /2 имеет вид у» D^y = 0, где 方以一суперковариантная производная, действующая на %. Ее можно найти, зная вариацию 6左

Аналогично для полей со спином 3/2 屮J по вариации 6ф/ можно определить суперковариантный тензор напряженностей [7], преобразующийся без da

В простой супергравитации (^ = 1) 6фц = (l/x)Z)g(6)e и объект 2、，р = О“$)2р ——Ор (金)屮V суперковариантен. В случае N = 2 6зp‘ = (1/%)/)()"叫 где

О” = 6"4⑹一等 е"严 Yp 凡 v・(В.ЗЗ)

Суперковариантный тензор напряженностей 屮^J имеет вид

^^D^-D^1.(В.34)

С помощью этого тензора уравнения движения для спина 3/2 можно привести к весьма простому виду

eMwpysY"113Vpi = о (N=l, 2). '(В.35)

Суперковариантные тензоры напряженностей можно построить также для N = 3, 4. Тот факт, что фермионные уравнения движения можно записать в суперковариантном виде, полезен для нахождения инвариантных действий этих теорий. Зная в низших приближениях нетеровскую связь, возникающую в уравнениях движения фермионов и в законах преобразований полей, ее суперковариантизуют, а затем находят действие, из которого она следует. Эта процедура была очень полезна для построения 0(4)- и 5[/(4)-моделей.

U(W卜川нвар*антность в расширенных супергравитациях

Согласно теореме Хаага — Лопушанского — Сониуса [35], глобальной группой инвариантности суперсимметричной теории с N спинорными зарядами и безмассовыми частицами должна быть U(N), исключая случай N = 4, в котором ей может быть либо U(4), либо SU(4). Примером последнего варианта является ^ = 4-суперСимметричная теория Янга — Миллса, инвариантная относительно SU(4) (0(6)), но не относительно U(4).

С другой стороны, расширенные супергравитации строятся явно О (^) -инвариантным способом, так что должен существовать способ расширения глобальной О (^) -инвариантности до U(N) [6,18].

Простая супергравитация действительно оказывается инвариантной относительно глобальных U(l) киральных преобразований:

6U卜丁 = 0, 6и1фР. =1 my5%,(B.36)

где А — инфинитезимальная постоянная; N = 2-супергравитация обладает явной О (2) -инвариантностью, которая легко мо-

жет быть расширена киральными преобразованиями до SU(2):叩J = 0, Wj = (C" + dA"№j

叫М。，037)

где С^ =—С£ А『=А", Тг Л — 0. Чтобы расширить SU (2) до U(2), необходимо добавочное (7(1)-преобразование

OuVJrO,鲍仲J =一手Y5a%‘.(B.38)

Оно оставляет инвариантным кинетический член поля *ф, но, как видно из (В.22), для инвариантности нетеровской связи одновременно необходимо преобразование дуальности для Fgv：

MFivv — A&v + •・・•(В.39)

Однако преобразования дуальности требуют осторожного обращения. Рассмотрим, например, свободное максвелловское поле. Полагая 6FuV == AFgv и предполагая, что существует соответ* ствующее преобразование для вектор-потенциала, получаем, что А戶"V = 0以64V — ^бЛц является ротором и, следовательно, @н(А户》”)=—八己以尸以” =0, т. е. поле Лц должно удовлетворять уравнениям движения.

Таким образом, преобразования дуальности оставляют нн， вариантным не действие, но только уравнения движения.

В расширенной О(2)-супергравитации потенциал Л^ в явном Виде це появляется, и векторное уравнение движения имеет вид

Q户=0,•(ВДО)

где Gs =尸炉土 дленн, квадратичные по 巾,и

£>У = 0.(В.41)

Это условие означает, что 戶》” представим в виде ротора. Преобразование-

必严” = aG*(В.42)

очевидно, совместно с (В.41), а небольшие вычисления показывают, что вариация уравнения движения (В40) пропорциональна (В*41).

Все остальные уравнения движения действительно U (2)-инвариантны* Этот факт обобщается на все известные расширенные О{N)-супергравитации, в которых глобальная {/(^-инвариантность реализуется с помощью киральных и дуальных преобразований. Эта инвариантность интенсивно использовалась при построении О (4)-теории, а также в пертурбативном под* ходе к О (8J -супергравитации.

Преобразование дуальности суперковарианта 戶照 имеет весьма простой вид

鲍尸V押:(В.43)

Действие О (2) -супергравитации приобретает более сжатый вид, если оно записано через G^ (тензор, определяющий векторное уравнение движения) и Fgv, причем так, что все члены четвертого порядка включены либо в 仓，либо в 戶：

2 =-击PR⑥)卅飞勺5Y"A⑹ V-

-j VF^- %u/年(戸V - /Y證书屮，(B.44)

В общем случае преобразования, расширяющие O(N) до U(N), включают преобразования дуальности и могут рассматриваться только при условии, что выполнены векторные уравнения движения. Одним исключением является О (2)-теория, в которой 0(2) расширяется до SU(2) без использования преобразований дуальности. Другим исключением является так называемая 51/(4)-теория [8], содержащая поля 7ga, ^f? (i= 1,

,4), 4»叱 8J〃)(n = 1, 2, 3), ^, В, в которой 5[/(4)-инва- риантность реализуется без преобразований дуальности. Выпишем несколько первых членов действия этой теории [8]:

纟=一击乙R⑹一扌評"&九Y"夂 ⑹%‘一

_} 0 (4册就"⑺+"『也"⑺)exp (- 2^)-

-^ VnB (电⑺肥⑺+稣『卧"向)+

+ ^婚炉Y唠財+

+ у Ug”电限夕 + exp (4% 夕)д^В • <5岡 +...,(В.45)

где

4内⑺=d^n^dvA^9 5^9)=电&(“)一“％(“)•(B.46)

На первый взгляд 0(4)- и St/(4)-теории существенно различны, О (4)-теория обладает явной О (4) -инвариантностью, неполиномиальна по полям Л и В, область значений которых ограничена неравенством х2(Л2 + В2) ^ 1. Si7(4)-теория обладает явной SU(4)-инвариантностью, неполиномиальна по ^ и полиномиальна по В; область значений ^ и В не ограничена. В действительности можно показать, что эти теории эквивалентны на классическом уровне в том смысле, что с помощью комбинаций дуальных и киральных преобразований, переопределений ска-

лярных полей уравнения движения обеих теорий могут быть сведены друг к другу. Однако вследствие возможных аномалий не совсем ясно, эквивалентны ли они на квантовом уровне; кроме того, преобразования дуальности для вектор-потенциалов нелокальны.

Аналогичные (и более сложные) преобразования встречаются при нахождении соответствия между О (8)-теорией и размерной редукцией D = 11-супергравитации, также имеющей 8 спинорных зарядов с явной О (7) -инвариантностью [49].,

Удивительный факт, плохо понимаемый до сих пор, состоит в том, что в случае N — 4 U(4) -инвариантность может быть расширена до SU(4)\SU(1,1). В SU(4)-теории имеется скрытая U(l)-инвариантность, перепутывающая сложным образом поля ^ и В: кроме того, имеются два простых преобразования, которые вместе с U(1) генерируют группу SU(1, 1). Это

сдвиг В (х)-> В (х) + Р (Р — константа),(В.47)

масштабное преобразование В (х)->а2В (х) (а — константа),

А?")，В"⑺—аТД/“)， аТВ/"),中 f 中一七旧必(B.48)

В О (4)-теории эти преобразования легко видны на примере кинетического члена скалярных полей

2%2 (1-Z02

где Z = «(Л + /В); 2 инвариантен относительно преобразований

ZfZ』M!，|а2|-|е2|=1.(В.50)

Остается неясным, как обобщить эту инвариантность на случай высших расширенных супергравитаций, особенно О (8)-теории ^ .

д. Расширенные супергравитации е локальной группой

До сих пор мы рассматривали расширенные супергравитации, которые имели лишь одну константу связи х и N(N— 1) /2 абелевых векторных полей А^. Поскольку их число совпадает с числом калибровочных полей группы 0(2), можно попробовать заменить F^ на янг-миллсовский тензор напряженностей* вводя при этом новую константу связи g нулевой размерности [10,36].

I) См. работу Креммера и Жулиа [49]. — Прим, перев.

Например, в О(2)-теории группу 0(2) можно локализовать, заменяя Z)v(®)^p£ на Z)v(®)^pz — g^A^p1. Здесь вектор-потенциал Av входит в действие явно, так что глобальная U(^-инвариантность нарушается до 0("), которая, однако, становится локальной. При этом необходимо добавить к лагранжиану следующие члены:

z=一鲁 倔‘。小」+ ^書匕 (B.51)

состоящие из массового члена для спина 3/2 и космологической постоянной. Знак космологической постоянной фиксирован, он соответствует 0(3, 2)-вселенной де Ситтера. Аналогичная про* цедура для О (3) -супергравитации приводит к красивому объединению теории Эйнштейна и Янга—Миллса. Однако при Этом возникает проблема радиуса вселенной, который очень мал, если только g2 не меньше 10-20! Можно надеяться на сокращение этой космологической постоянной при добавлении материальных полей (это действительно происходит при эффекте Хиггса в случае N= 1 [42]), но трудность состоит, в том, что расширенные супергравитации, взаимодействующие с материальными расширенными мультиплетами, по-видимому, неперенор- мируемы даже на. однопетлевом уровне.

В N = 4-теориях возникают другие проблемы. 0(4)- и 5J7 (4)-теории становятся неэквивалентными при локализации группы SU⑵XSU⑵，приводящей к космологическим постоянным, зависящим от полей [36]:

九。⑷=蚩(1 + i，zZ)

九s“4)= *仁％ exp (2咐 (B.53)

Оба потенциала (—入)не ограничены снизу и не допускают спонтанного нарушения симметрии, а второй даже не имеет локального экстремума. Аналогичные трудности ожидаются при локализации в О (8)-теории. Сама О (8) -супергравитация, по- видимому, не может быть реалистичной теорией, поскольку она слишком узка, чтобы содержать Si7(3)cXSt/(2)X ^(1) в качестве подгруппы калибровочной группы. Она содержит лишь SU(3)cX U(1)X。(1) [46]. Отсюда делается предсказание, что 8 глюонов,而отон н Z° элементарны, а К+ и 片 должны возникать как солитонные возбуждения. Кроме того, теория содержит кварки пяти ароматов, октет нейтральных тяжелых лептонов, электрон и его нейтрино, а мюон, т-лептон и их нейтрино отсутствуют. -

Г. Возможные модификации гравитации на малых расстояниях

В расширенных супергравитациях замечательным образом объединяются эйнштейновская теория гравитации и полевые теории, используемые в физике частиц, т. е, калибровочные теории, дираковская теория электрона и теория Клейна — Гордона для скалярных полей (последние необходимы в калибровочных теориях для механизма Хиггса). Все эти поля содержатся в представлении алгебры расширенной суперсимметрии при N ^ 4、Однако при локализации O(N) появляются некоторые нефизические особенности； кроме того, нет гарантии перенор- мируемости на уровне трех и большего числа петель. Если расширенные супергравитации окажутся действительно неперенор- мируемыми, останется ли надежда на существование конечной теории квантовой гравитации, взаимодействующей с материальными полями?

Быть может, гравитацию (и ее суперсимметричные обобщения) следует изменить на малых расстояниях аналогично тому, как модифицируется на малых расстояниях V — Л-теория, рассматриваемая как приближение модели Вейнберга — Салама. Тогда можно было бы ожидать, что Gn ~ х2 была бы не фундаментальной, а феноменологической постоянной, выражаемой в виде Gm ~ g2/A\ где g — фундаментальная безразмерная константа взаимодействия, А — новый масштаб энергии. На расстояниях wA-i эйнштейновская теория гравитации перестает быть справедливой. В модели Вейнберга — Салама естественным обрезанием А служит масса 117-бозона.

Продолжая в том же направлении, можно ожидать, что обмен гравитоном должен сопровождаться обменом тяжелыми частицамщ которые пока не удалось зарегистрировать (пока еще не зарегистрирован и сам гравитон!). Примерами таких теорий гравитации являются модели типа R + R2, где пропагатор гравитона ведет себя как 1/р4. Они действительно перенормируемы [47], однако массивные частицы, сопровождающие гравитон, являются либо тахионами (ли? V 0), либо духами (отрицательная норма).

Пока известна лишь одна модель, в которой гравитон принадлежит набору полей с нужными свойствами (т, е. не являющимися ни духами, ни тахионами). Это дуальная спинорная модель (или модель спиновой струны) [13, 14]. В ней вместо движения точечных частиц со спином в пространстве-времени Минковского рассматривается движение одномерных объектов (струн), каждая точка которых имеет, кроме того, спиновую степень свободы. Длина струны не фиксирована, она является динамической переменной. Порядок ее величины задается параметром (а')% с размерностью длины; о/ имеет

размерность (масса)-2. Классическое действие струны суперсимметрично в двумерном пространстве, заметаемом струной при движении в пространстве-времени. В классической теории можно показать, что /《а' ЛР, где М — масса струны, a J — ее угловой момент, т. е. чем быстрее вращается струна, тем больше ее масса.

При каноническом квантовании струны ее колебательные моды приводят к бесконечной последовательности частиц, лежащих на прямолинейных траекториях Редже* J и а^Л!2 могут теперь иметь только целые или полу целые значения. Поскольку имеются два типа струн — открытые и замкнутые, — им соответствуют два сектора квантовой теории. Открытые струны могут иметь квантовые числа произвольной группы внутренней симметрии U(N), замкнутые же струны должны быть синглетами U(N)、Все состояния квантованных открытых струн принадлежат присоединенному представлению группы U(N).

Условия совместности лоренц-инвариантности и канонического квантования настолько ограничительны, что модель может существовать только в О = 10-мерном пространстве-времени. Однако 6 дополнительных измерений могут быть компактифицированы [20], как в полевых теориях, описанных в разд. Б (а), так что, если 6 длин 厶卜..,,厶6 достаточно малы, мы не приходим к противоречию с ежедневным опытом.

Свободные квантованные струны можно заставить взаимодействовать, если ввести константу связи g, описывающую разрыв и объединение струн.

Квантовый спектр открытых и замкнутых струн начинается с Л4 == 0. Если а' достаточна мала, то возбужденные состояния, имеющие квадрат массы порядка l/о/, могут быть ненаблюдаемы. Можно показать, что для любого уровня с данной массой числа бозонных и фермионных состояний равны, что является необходимым условием суперсимметричности. Далее, ни одно из этих состояний не является духом. или тахионом. Это следует из наличия в модели бесконечномерной градуированной алгебры Ли калибровочных операторов, с помощью которой исключаются духи.

Интересно изучить классическое взаимодействие безмассо- вых частиц модели в пределе, когда все энергии малы по сравнению с обрезанием 〔/(а，)'%. Классическое взаимодействие описывается древесными диаграммами, известными в явном виде, В пределе, когда 1/(а')% очень велико, с помощью древесных диаграмм можно восстановить феноменологическое действие, из которого они следуют в этом пределе.

Состояниями открытой квантованной струны с нулевой массой является векторная частица и майорана-вейлевский фермион В присоединенном представлении U(N), В пределе o/f 0 они

взаимодействуют в точности согласно D = 10-мерной суперсимметричной теории Янга — Миллса [15, 16] (см. разд. Б (в)).

Состояния замкнутой струны с нулевой массой имеют спин 2, 3/2 и меньше и взаимодействуют согласно D = 10-мерной теории супергравитации [15, 16]. В частности, взаимодействие между частицами со спином 2 описывается эйнштейновским действием [48]. Интересно, что, будучи определенной в плоском пространстве-времени, эта модель естественно приводит к кривизне, так как она содержит гравитоны, взаимодействующие при низких энергиях согласно теории Эйнштейна. .

В этой теории гравитационная и калибровочная константы взаимодействия связаны друг с другом, поскольку единственными параметрами теории являются g, а' н 6 параметров Ль ... ...,Le- В простом случае, когда все L порядка (о/)%, мы находим [48], что <?м ~ "2 〜 g4al так что 1 /ах = Л2 является обрезанием, аналогичным массе 117-бозона в модели Вейнберга —Салама. Более того, g4 (вместо g2) отражает тот замечательный факт, что в этой теории весь гравитационный сектор (замкнутые струны) получается как связанное состояние янг- миллсовского сектора (открытые струны) уже на однопетлевом уровне.

Типичное значение (а')% порядка планковской длины, что действительно привело бы к ненаблюдаемости возбужденных состояний.

Наконец, благодаря параметру обрезания A2=i/a‘ сглаживается взаимодействие частиц при высоких энергиях (малых расстояниях). Например, в эйнштейновской теории гравитации амплитуда рассеяния гравитона на гравитоне при фиксированном угле в системе центра масс растет как £2, где £ ——энергия в с. ц. м., что нарушает унитарность при достаточно больших энергиях. В дуальной спинорной модели эта амплитуда экспоненциально убывает как ехр(—az£2f (0)); мы видим, что 优 подавляет взаимодействие при высоких энергиях. В диаграммах с петлями ультрафиолетовые расходимости отсутствуют, но имеются инфракрасные. Диаграммы с петлями, содержащие только замкнутые струны, конечны по топологическим соображениям, а диаграммы, содержащие открытые струны, приводят к перенормировке а'.

Преимущество струнной модели по сравнению с теориями расширенной супергравитации состоит в том, что она допускает взаимодействие гравитации с калибровочными полями произвольной группы U(N) и не противоречит этим теориям, поскольку при низких энергиях она воспроизводит последние во взаимодействии с суперсимметричной N = 4-теорией Янга — Миллса. Если теории расширенной супергравитации окажутся не полностью перенормируемыми, то струнная модель может стать исходным пунктом конечной теории квантов。虫 гравитации»

ЛИТЕРАТУРА

fHooft G., Veltman AL, Ann. Inst H. Poincare, 20, 69 (1974);

Deser S., Tsao H. S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., DIO, 3337 (1974); van Nieuwenhuizen P., Proceedings of the Marcel Grossman Meeting, 1976, North Holland Co..

Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214 (1976);

Deser C, Zumino A, Phys. Lett., 62B, 335 (1976).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P, Phys. Rev. Lett., 37, 1669 (1976).

Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 (1977);

Ferrara S., Scherk Z., Zumino B., Phys. Lett, 66B, 35 (1977).

Das A., Phys. Rev., D15, 2805 (1977).

Cremmer £., Scherk 几 Ferrara S., Phys. Lett., 68B, 234 (1977).

Cremmer E, Scherk /., Nucl. Phys., B127, 259 (1977).

Cremmer £., Scherk 丄，Ferrara S., Phys. Lett., 74B, 61 (1978).

de Wit A, Freedman D. Z” Nucl. Phys., B130, 105 (1977).

Freedman D Z., Das 4, Nucl. Phys., B120, 221 (1977).

Crisaru M. T., van Nieuwenhuizen P., Vermaseren J. A. AL, Phys. Rev. Lett., 37, 1662 (1976);

Deser S., Kay 工，Stelle K・,Phys. Rev. Lett., 38, 527 (1977);

van Nieuwenhuizen P., Vermaseren 丄 A. AL, Phys. Rev., D16, 298 (1977); van Nieuwenhuizen P., CERN preprint TH 2473, 1978; invited talk at the Orbis Scientiae Coral Gables, 1978.

Deser S” Kay 丄"•，Phys. Lett., 76B, 400 (1978).

Ramond R, Phys. Rev., D3, 2415 (1971);

Neveu 4, Schwarz J. H., Nucl. Phvs., B31, 86 (1971); Phys. Rev., D4, 1109 (1971);'

Neveu 4, Schwarz J. "., Thorn C. A, Phys. Lett., 35B, 521 (1971).

Dual Theory, edited by M. Jacob, North. Holland Co, 1974;

Scherk 丄，Rev. Mod., Phys., 47, 123 (1975).

Gliozzi F., Scherk 丄，Olive D, Phys. Lett., 65B, 282 (1976).

Gliozzi F, Scherk J, Olive D, Nucl. Phys., B122, 253 (1977).

Brink " Schwarz J. Я., Scherk Z., Nucl. Phys., В121, 77 (1977).

Ferrara S., Scherk Z., Zumino B., Nucl. Phys., B121, 293 (1977).

Zachos C K・，Phys. Lett, 76В» 329 (1978).

Cremmer E, Scherk J, Nucl. Phys., В103, 399 (1976).

Богомольный E 5., ЯФ, 24, 861 (1976);

Coleman S., Parke S., Neveu 4, Sommerfield С. M., Phys. Rev., D15} 544 (1977).

Montonen C, Olive D, Phys. Lett., 72 B, 117 (1977).

D'Adda 4, Horsley R., DiVecchia P., Phys. Lett., 76B, 298 (1978).

Witten E, Olive D, Phys. Lett, 78B, 97 (1978).

Kaluza T., Sitzungber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Math.-Phys. KA, 1966 (1921);

Klein O, Zs. Phys., 37, 895 (1926);

Thirring IF., Acta Phys. Austriaca, Supp. IX, 266 (1972).

Coleman S., Mandala Z., Phys. Rev., 159, 1251 (1967).

Zumino A, Proc. 17ih Intern. Sonf. on High Energy Physics, London 1974 (Science Research Council, Didcot, 1974), p. 1—254;

Wess Z., Lecture Notes in Physics (Springer, Berlin 1974), vol. 37, p. 352;

Corwin L, Nieman У., Sternberg S., Rev. Mod. Phys., 47, 573 (1975);

Raifertaigh L. O., Comm. Dublin Inst, for Advanced Studies, Series A., The-

Salam 4, Strathdee 丄，Phys. Rev., Dll, 521 (1975);

or. Phys. Nr. 22, 1975;

Zumino B., Proc. Conf, on Gauge Theories and Modern Field Theory. Boston 1975 (MIT Press, Cambridge, Mass, 1976), p. 225;

Salam A., Strathdee /., ICTP preprint, IC176122 (1976);

Ferrara S” Rivista Nuovo Cim., 6, 105 (1976);

Fayet P., Ferrara S., Phys. Rep., 32, 251 (1977);

Ferrara S., CERN preprint TH 2514, 1978.

Tils Z., Tabelletl zu den Einfachen Lie Groups und ihre Darstellungen, Lecture Notes iri Math., 40 (Springer, 1967).、

Hawking S. IF., Cargese Lecture Notes, 1978.

Sohnius M. E, Nucl. Phys., B138, 109 (1978).

Olive unpublished.

Nahm 呪，Nuci. Phys., B135, 149 (1978).

Jones D. R. Z, Phys. Lett., 72B, 199 (1977);

Poggio £. С.» Pendleton ". .M., Phys. Lett., 72 B, 200 (1977).

Cremmer £., Julia A, Scherk Z., Lett., 76B, 409 (1978).

Haag R., Lopuszanski 丄 T., Sohnius M.t Nucl. Phys., B88, 257 (1975).

Freedman D. Z, Schwarz /. Я., Nucl. Phys., B137, 333 (1978).

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 74B, 333 (1978);

Stelle K. S., West P. C, Phys. Lett., 74B, 330 (1978);

Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 76B, 404 (1978); Ecole Normale Sup .Report LPTENS 78/14, 1978.

Salam 4, Strathdee 丄，Nucl. Phys., B76, 477 (1974);

Ferrara S., Wess 丄，Zumino A, Phys. Lett, B51, 239 (1974);

Wess Л, Zumino A, Phys、Lett., 66B, 361 (1977);

Grimm R, Wess /., Zumino B., Phys. Lett., 74B, 51 (1978);

Brink L., Gell-Mann M, Ramond P., Schwarz 丄 Я., Phys. Lett., 74B, 336 (1978); Caltech, report. 68-649, 178.

MacDowell S.呼.，Man souri Л, Phys. Rev., 38, 739 (1977);

Townsend P. K” van Nieuwenhuizen R, Phys. Lett, B67, 439 (1977);

Nieman У., Regge T., Phys. Lett., B76, 54 (1978).

Ferrara S., Gliozzi E, Scherk /., van Nieuwenhuizen P, Nucl. Phys., B117, 333 (1976).

Ferrara S., Scherk 丄，van Nieuwenhuizen P, Phys. Rev. Lett” 37, 1035 (1976).

Cremmer E, Julia B., Scherk J., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Glrar- dello L, Nucl. Phys., В147, 105 (1979).

Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D14, 912 (1976).

Fayet P., Nucl. Phys., ВШ, 135 (1976).

Manton M S., Nucl. Phys., В126, 525 (1977).

Gell-Mann M, invited paper at the Washington Meeting of Amer. Phys. Soc., April 1977.

Stelle K. S., Phys. Rev.t D16, 4, 953 (1977).

Scherk Z., Schwarz 丄 Я., Nucl. Phvs., B81, 118 (1974); Phys. Lett., 57B,

463 (1975);'

Уопеуа 7\, Nuovo Cim. Lett., 8, 951 (1973); Progr. of Theor. Physics, 51, 1097 (1974);

Schwarz 丄 H、GALT preprint 68-637, 1978； talk presented at Orbis Scien- fiae 1978.

Cremmer E., ЛШа B., Nucl. PHys., B159, 14T (1979).

50*. Sohnius M. Л, Stell K. S・，West P. C, Nucl. Phys., В173, 127 (1980); Phys.

Lett., 92 B, 123 (1980).

51*. Авдеев Л. В., Тарасов О. А, Владимиров А. Л., Phys. Lett., 96В, 94 (1980);

Crisaru AL, Rocek M., Siegel 呼.，Phys. Rev. Lett., 45, 1063 (1980);

Caswell W. E, Zanon D, Phys. Lett, 100B, 152 (1981).

52*. Фрадкин E. С, Васильев M. 4, Lett. Nuovo Cim., 25, 79 (1979); Phys.

Lett., 85B, 47 (1979);

de Wit A, Holten /.屹，Nucl. Phys., B158, 530 (1979); B169, 186 (1980).

Вступительная статья редактора перевода. Ю. И. Манин. Геометрические идеи в теории поля 5

С У. Хокинг. Евклидова квантовая теория гравитации (перевод Ю. А. Данилова) . 19

С. У. Хокинг. Пространственно-временная пена (перевод Ю. А. Данилова) 47

М. К. Прасад. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей Янга — Миллса (перевод В. К- Рогова)64

Г. В. Гиббонс. Гравитационные инстантоны: обзор (перевод Ю. И. Манина) 97

С. Феррара. Перспективы теорий супергравитации (перевод А. С. Гальперина) 104

И. Весе. Суперсимметрия — супергравитация (перевод О. В. Огневец- кого) 125

Р. Гримм, И. Весе, 5. Зумино. Полное решение тождеств Бьянки при учете супергравитационных связей н суперпространстве (перевод О. В. Огиевецкого) 151

Я. Дрэгон. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации (перевод О. В. Огиевецкого) . 162

С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелл, П. К・ Вест. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей в супергравитации (перевод О. , В. Огиевецкого)'.170

5. Зумино. Супер гравитация и великое объединение (перевод А. С. Гальперина)191

Дж Шерк. Расширенная суперсимметрия и теории расширенной супергравитации (перевод А. С. Гальперина)203

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ В ФИЗИКЕ

Сборник статей

Научн. редактор Н. Л. Телес口нн： Мл. научи, редакторы Р. X. Зацепина, Б. И. Цлаф.Художник И. Б. Кравцов. Художественный / редактор Л. Е. Безрученков. Техническийредактор Н. И. Борисова, Корректор Н. Н. Яковлева

ИВ № 3521

Сдано в набор 31.08.82. Подписано к печати 27.04.83.Формат 60X90'/^. Бумага типограф* ская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 7,50 бум. л. Усл. печ. л. 15,0. Уч.-изд. л. 13,94. Усл. кр.-отт. 15,12. Изд. № 2/2590. Тираж 5000 экз. Зак. 378. Цена 1 р. 80 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР»

129820, Москва, И-ПО, ГСП

1 心 Рижский пер., 2

Ленинградская тнпографня № 2 головное предпрнятне ордена Трудового Красного Знаменн Ленинградского объединения «Техническаа книга» нм. Евгенни Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, поли- графнн и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29*

1) Пленарный доклад на 9*й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации, Иена, ГДР, июль 1980 г.

В этом примере результирующая теория《помнит》сигнатуру (4 + ^)-мерной метрики: если бы какие-то из дополнительных измерений были времениподобными, то кинетические члены соответствующих 3, имели бы неправильный знак. Пуанкаре-инвариантность исходной теории в 4 + N измерениях нарушилась до инвариантности относительно произведения группы Пуанкаре в 4 измерениях и O(^), причем А^ является синглетом O(^), а ф[ образуют векторное представление O(N). Группа O(^) является инвариантностью редуцированной теории; компактифицированная теория инвариантна лишь относительно U (1)у. Группа O(^) возникает в пределе L/f 0, в котором остаются только поля, не зависящие от 尤з+t, обеспечивая тем самым инвариантность относительно вращений в N дополнительных измерениях.

G помощью преобразования Лежандра» с珊.в работах [50*]. — Прим, пере^,

Геометрические идеи

в физике

Сборник статей

Перевод с английского под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю. И. МАНИНА

ББК 22.31

Г35

УДК 530.145

С. Хокинг, М. Прасад, Г. Гиббонс, С. Феррара, Й. Весе, Р. Гримм, Б. Зумино, Н. Дрэгон, С. Гэйтс, К. Стелли, П. Вест, Дж. Шерк

Г35 Геометрические идеи в физике: Сб. статей. Пер. с англ./ Под редгЮ. И. Манина.— М.; Мир, 1983.—240 с., илл.

Сборннк статей крупных зарубежных ученых посвящен новым геометрическим подходам в квантовой теории поля — квантовой гравнтацни, суперсимметрии и супергравитации, классическим решениям нелинейных уравнений движения типа инстантонов н монополей.

Сборннк рассчнтан на физиков, специалистов в области теории поля н физики элементарных частиц, н математиков, занимающихся дифференциальной геометрней, днфференциальнымн уравнениями н случайными процессами. Он представляет интерес также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей.

Г 1704020000—225 ..„.ББК 22.31

1041(01)-83 呢530.1

Редакция литературы по физике

Вступительная статья редактора перевода