ПРЕДИСЛОВИЕРЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая книга представляет собой задачник по специальной и общей теории относительности. Она написана группой активно работающих молодых ученых, имена которых хорошо известны по их работам в области релятивистской астрофизики. Поскольку каждая глава содержит краткое введение и четыре пятых книги посвящены подробному решению задач, то данную книгу можно рассматривать как своеобразный и оригинальный учебник, рассчитанный на тех, кто хотел бы изучить этот важный и сложный раздел современной физики не пассивным, а активным путем.

Специальная теория относительности является основой для всех разделов современной физики. Общая теория относительности в последние годы стала играть важную роль в развитий современной астрофизики. В этом отношении для предлагаемой книги характерна тесная связь рассматриваемых в ней задач с актуальными проблемами астрофизики. Достаточно указать на то, что гл. 16 — 20 посвящены таким проблемам как релятивистская структура звезд, черные дыры, гравитационное излучение, космология и экспериментальная проверка общей теории относительности. Следует также сказать, что только часть задач может рассматриваться как упражнения для изучающих данный раздел физики. Значительное же количество их основано на оригинальных работах последних лет. Поэтому их относительная трудность не должна отпугивать читателя, приступающего к изучению книги. Терпеливый читатель не только изучит предмет, но и войдет в круг вопросов и почувствует особенности задач, решаемых современной теоретической физикой. Характер книги таков, что ее с пользой могут читать не только студенты, изучающие теоретическую физику, но и специалисты, работающие в области теории гравитации и релятивистской астрофизики.

Перевод гл. 1 — 11 (условия и решения задач) выполнен Ю. А. Даниловым, а гл. 12 — 21 (условия и решения задач)— А. П. Бондаревым. В перевод внесены исправления, любезно присланные авторами в июне 1979 г.

Член-корреспондент АН СССР

“，М・ Халатников

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

Эта книга содержит почти 500 задач с решениями по специальной и общей теории относительности, гравитации, релятивистской астрофизике и космологии. При подборе задач мы руководствовались убеждением, что существо названных разделов физики кроется не в возможности строгого аксиоматического построения их и даже не в присущей им внутренней красоте, а скорее в тех результатах, которые позволяет вычислить теория, предсказаниях и моделях явлений, происходящих в реальной Вселенной. Движимые этим убеждением, мы стремились отбирать задачи, формулируемые в общепринятых физических терминах, и пытались по возможности избавлять их содержание от условностей, связанных с выбором обозначений. Мы хотели пробудить любопытство читателей («Интересно, как можно было бы доказать, что ...?》) и избегали задач чисто технического содержания, встречающихся в учебниках, типа «Доказать соотношение (17.4.38)». При отборе решений мы хотели научить читателя разумному подходу к вычислениям, методам и приемам, позволяющим в значительной мере сократить затраты труда, неизбежные при бесхитростном «лобовом» подходе, и в то же время исключить другую опасность — введение чрезмерно сложного, хотя и мощного, формализма для решения простой задачи. Равновесие между этими крайностями оставляет достатсшнн访 простор, и читагель не должен удивляться, если окажется, что его решение использует более узкий (или, наоборот, более широкий) набор вычислительных средств.

Первые пять глав нашей книги посвящены специальной теории относительности и предназначены для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся по любому разделу современной физики, классической механики или электромагнетизму. Материал по главам распределен в порядке постепенного нарастания сложности. Начальный уровень задач приблизительно соответствует уровню, на котором написана книга Тейлора и Уилера [Taylor Е.尸・，Wheeler J. Л., Spacetime Physics (Freeman, 1963)]i), но в каждой главе имеются и трудные, и легкие задачи.

Имеется перевод: Тейлор Э., Уилер Дж, Физика пространства-времени. ~М.: Мир, 197]., —Прим, перев.

Остальная часть книги предназначена для студентов, слушающих курс общей теории относительности и космологии. Отдельные главы посвящены различным аспектам метрической геометрии, эйнштейновской теории гравитации (и некоторым другим теориям), взаимодействию гравитации с другими физическими явлениями и приложениям теории к различным экспериментальным и астрофизическим ситуациям. В последней главе рассматриваются более формальные вопросы. Их приложения не столь непосредственны.

Каждая глава начинается с вводных замечаний, предназначенных главным образом для того, чтобы ввести определения используемых понятий. Эти замечания отнюдь не являются полным или поеледовательным изложением материала, затрагиваемого в главе, но должны помочь тем, кто привык к другим обозначениям. Предполагается, что читатель имеет возможность почерпнуть необходимые сведения в одном из следующих курсов (которые мы основательно использовали в процессе работы над книгой): 1. Misner С. W.t Thorne ^. S, Wheeler J. 4, Gravitation (Freeman, 1973). (Имеется перевод: Мизнер 夕・,Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т. 1 —3, М・：Мир, 1977.)

Weinberg S., Gravitation and Cosmology (Wiley, 1972). (Имеется перевод: Вейнберг С. Гравитация и космология. — М.: Мир, 1975,)

Adler R・，Bazin /И., Schiffer M.t Introduction to General Relativity, 2nd ed. (McGraw-Hill, 1975).

Сильное влияние на нас оказали также следующие учебники и монографии:

Anderson J, £., Principles of Relativity Physics (Academic Press, 1967).

Батыгин В. В., Tоптыгин И. Я. Сборник задач по электродинамике. —М.: Физматгиз, 1962.

Hawking S.吃,Ellis G. F. R, The Large-Scale Structure of Space-Time (Cambridge University Press, 1973).

(Имеется перевод: Хокинг С.л Эллис Дэю. Крупномасштабная структура пространства-времени. — М.: Мир, 1977.)

Ландау Л. Д., Лифшиц Е・ М. Теория поля. — М.： Физматгиз, 1960.

Peebles Р. J. £., Physical Cosmology (Princeton University Press, 1971).

Robertson H. P., Noonan T. W.t Relativity and Cosmology (Saunders, 1968).

Sexi R. U., Urbantke H. K., Gravitation und Kosmologie (Wiener Berichte Ober Gravitationstheorie, 1973).

Ссылки на оригинальную литературу приведены в соответствующих местах решений.

Мы хотели бы выразить свою признательность коллегам, предложившим свои задачи для нашего сборника: Дугласу Эрдли, Чарлзу Мизнеру, Дону Пейджу, Бернарду Шутцу и нашему другу и учителю Кипу С. Торну.

Нам также приятно выразить благодарность Ч. Олкоку, Б. Барруа, Дж. Конуэллу, Г. Френчу, К. Ианкаитису, С. Ковачу и У. Расселлу за ценную помощь, способствовавшую улучшению задач и решений, и Стиву Уилсону за подготовку большинства иллюстраций к этой книге. Мы весьма признательны руководству физического факультета Калифорнийского технологического института за поддержку, оказанную нам во время пребывания в стенах этого учебного заведения. Разумеется, мы несем всю ответственность за ошибки, неизбежные в изданиях такого рода. Мы стремились по возможности избавиться от принципиальных ошибок в задачах и решениях, но заранее приносим извинения за мелкие алгебраические ошибки, которые несомненно обнаружит вдумчивый читатель; мы с благодарностью примем все его замечания.

Л. Лайтман

В. Пресс

Р. Прайс

Пасадена, май 1974Пасадена, май 1974С. Тюкольски

Пасадена, май 1974

Пасадена, май 1974

ОБОЗНАЧЕНИЯ

При выборе обозначений мы стремились не слишком сильно отходить от нескольких различных учебников, в каждом из которых авторы придерживаются своих собственных обозначений, поэтому единой системы обозначений, действующей на протяжении всей книги, у нас не существует. Почти во всех случаях смысл используемых обозначений ясен из контекста. Приводимый ниже список поясняет, в каком смысле обычно следует понимать наиболее часто используемый обозначения и символы.

a,瓦卩，v ...

Греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3 и соответствуют пространственно-временным координатам, компонентам и т. д.

厶/＞々

Латинские индексы принимают значения 1, 2, 3 и соответствуют координатам и т. д. в 3-мерном пространстве

%,•

А

Базисные векторы

(Любая буква, набранная полужирным шрифтом.) Пространственно-временной вектор, тензор или форма

刖，ва₽ ...

3-мерный вектор Компоненты тензора

(Л°, Л1, Л2, Л3) Вектор, заданный своими компонентами

4。, Л)

Вектор, заданный своей временной компонентой и пространственной частью

Единичный вектор или компоненты в ортонорми- рованном репере

d/曲

Обозначение, иногда применяемое для вектора (см. введение в гл. 7)

A(f) о 0

Вектор, действующий на функцию (»= Ла/(а) 1-форма

Тензорное произведение, прямое произведение (например, A(g) В имеет компоненты 4^BV)

Л

Полностью антисимметризованное произведение внешних форм (см. введение в гл. 8)

V

Оператор ковариантного дифференцирования (см. введение в гл. 7). Как и в обычной физике, мы используем также обозначения V х =rot, V2 — оператор Лапласа и т. д.

VA D/dK

Производная по направлению (см. введение в гл. 7) Ковариантная производная вдоль кривой (см. введение в гл. 7)

d

Оператор градиента, например в 1-форме & (см. введение в гл. 8)

Z

□

Производная Ли (см. задачу 8.13)

Символ Кристоффеля (см. введение в гл. 7)

Оператор Даламбера в специальной теории относительности (三 V2 — О?//)

Частная производная

Ковариантная производная (см. введение в гл. 7)

^apy5 &B

R

Тензор Римана (см. введение в гл. 9)

Тензор Риччи (m/?%丫0)

Скаляр Риччи (三 Ra^j, а также скалярный множитель в метрике Робертсона — Уокера

GaB Ссфуб К廿 т

с

Тензор Эйнштейна (см. введение в гл. 9)

Тензор (конформный) Вейля (см. введение в гл. 9)

Тензор внешней кривизны (см. введение в гл. 9)

Собственное время

Скорость света (обычно принимаемая в задачах равной единице)

G

Гравитационная постоянная (обычно принимаемая в задачах равной единице)

и

а

р или Р р или Р 丁尸

F炉

4-скорость

4-ускорение (sdu/dr)

4-импульс

Давление

Тензор энергии-импульса (см. введение в гл. 5)

Тензор электромагнитного поля (см. введение в гл. 4)

川

力MV

Плотность тока (см. введение в гл. 4)

Тензор углового момента (см. задачи 11.1, 11.2)

Метрика Минковского (см. введение в гл. 1)

Возмущения метрики (см. введение в гл. 13)

ц. м.

V, (0

Центр масс

Частота в герцах и циклическая частота в радианах за единицу времени

Y

Лоренцевский фактор = (1 —炉/©)—%, а также обозначение фотона

А&В det

Sp < >

Матрица преобразования Лоренца

Определитель

След

Средняя величина ((£) — средняя энергия)

Скалярная комбинация вектора и 1-формы, например (о, А) (см. введение в гл. 8)

[]

Антисимметризация (см. задачу 3.17), коммутатор (см. введение в гл. 8) или разрыв величины (см. задачу 21.9)

() £0cBy6

Симметризация

Полностью антисимметричный тензор (см. задачу 3.20)

*

Re Q

Символ дуальности (см. задачу 3.25)

Вещественная часть

Телесный угол (например, в JdQ), угловая скорость

рсф 3

Осф <°ap ijk

Проекционный тензор (см. задачи 5.18, 6.6)

Расширение (см. задачу 5.18)

Поперечный сдвиг (см. задачу 5.18)

Вращение (см, задачу 5.18)

Тензор приведенного квадрупольного момента (см. введение в гл. 18)

Hq % 〃◎，R。

2

Постоянная Хаббла

Параметр замедления

Масса, радиус,…Солнца

Величина красного смещения (см. задачу 8.28, введение в гл. 19)

6

Порядок величины

Пропорциональность (например, /^ 〜/2)или параллельность векторов (например, А〜Bj

ЗАДАЧИ

ГЛАВА I

КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Траектория наблюдателя в пространстве-времени называется мировой линией данного наблюдателя. Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с наблюдателем, называется собственным временем наблюдателя т и определяется соотношением

—йт2 = ds2 = — d/2 + d%2 + dy2 + dz*

где /, x, у, г — координаты (Минковского) точек, принадлежащих мировой линии наблюдателя. Здесь и далее, если нет особых оговорок, мы используем систему единиц, в которой скорость света с равна 1.

Векторы 4-скорости и с компонентами (dt/dx, dx/d%, dy/dx, dz/dt) и 4-ускорения amdu/dt с компонентами (d2f/dT2, d2x/dT2, d2y/dt2, d23/dr2) определены на мировой линии. Контравариант- ные компоненты этих и других 4-векторов условимся обозначать аа, аВ, /у, В6 и т. д., где греческий индекс означает любую из 4 компонент /, х, yt z^O, 1, 2, 3. Латинские индексы 力 /, fe,... используются лишь для обозначения пространственных компонент 力，弘z w 1, 2, 3・

Мы будем также придерживаться эйнштейновского правила суммирования, т. е. предполагать, что по любому повторяющемуся буквенному индексу необходимо произвести суммирование, придав ему все допустимые значения. Например,

V = 04

означает вектор, записанный в виде суммы его контравариантных компонент, умноженных на базисные векторы е0 = (1, 0, 0, 0), е(0, 1, 0, 0) и т. д.

Инвариантное скалярное произведение двух 4-векторов в координатах Минковского определяется выражением

А В = — Л°В° + Л1^1 + 氏加 + 隱加.

Его можно представить в виде

где числа Лц, называемые ковариантными компонентами 4-вектора А, заданы соотношениями

aц = ^VAV или /以三1］吃4, а

г—1 0 0 От

L 0 0 0 1J

Векторы называются пространственноподобными, времениподобными или изотропными в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю их скалярный квадрат v v. Векторы 4-скорости всегда времениподобны.

Две лоренцевские системы отсчета могут отличаться либо на относительную 3-скорость и, либо на пространственный поворот, либо на комбинацию относительной скорости и поворота. Если /, х, у, г — координаты в одной системе отсчета, то координаты в другой системе отсчета обычно принято обозначать У,%', р‘，z'・ Во второй системе отсчета (со штрихами) компоненты векторов записывают в виде /м', В、，и т. д., а базисные векторы — как е@，. В лоренцевских системах отсчета базисные векторы и компоненты векторов связаны соотношениями.

V" =ЛЙ Уа (Л^ —матрица, обратная матрице Л^), где Л —матрицы преобразований Лоренца. Особый интерес представляют так называемые «бусты» — преобразования, изменяющие только скорости, но не содержащие пространственных поворотов. Для штрихованной системы отсчета, движущейся со скоростью 0 в направлении оси х исходной системы отсчета, имеем

' ? _Yв 0 0"

0 10'

_ 00 0 1-

Относительную скорость двух систем отсчета иногда параметризуют, вводя величину ^ = Arth Р («параметр быстроты»).

Частица с массой покоя m и 4-скоростью и обладает 4-импульсом р = ти. Если т = 0 (фотоны), то р определяется своими компонентами в системе отсчета любого наблюдателя: р° —энергия фотона, pz = р — 3-импульс фотона.

Задача LL 4-скорость и соответствует 3-скорости и. Выразить:

〃。через |3|,

〃/ (/ = 1, 2, 3) через 或

«° через М,

d/d% через d/dt и

W через 办，

|уI через 〃°.

Задача 1,2. Найти матрицу преобразования Лоренца, состоящего из буста vx в направлении оси х, вслед за которым производится буст vy в направлении оси у. Доказать, что те же бусты, производимые в обратном порядке, порождают другое преобразование Лоренца.

Задача L3. Две системы отсчета движутся с 3-скоростями ?i и %• Доказать, что их относительная скорость удовлетворяет соотношению

2 —(% 一u2尸一(% X 02产

Задача /・4. Тележка катится по длинному столу со скоростью 0・ По первой тележке в том же направлении со скоростью 0 относительно нее катится вторая тележка меньших размеров. По второй тележке в том же направлении со скоростью 0 относительно нее катится третья тележка и т. д. Общее число тележек равно п. Найти скорость vn n-й тележки в системе отсчета, связанной со столом. К чему стремится vn при 8?

Задача /・6・ Пуля, летящая со скоростью у относительно камеры и имеющая в своей системе покоя длину 6, сфотографирована с большого расстояния. За пулей параллельно ее траектории расположен метровый стержень, покоящийся относительно камеры. Направление на камеру составляет угол а с направлением скорости пули. Чему равна кажущаяся длина пули, измеренная по снимку? (Какая часть метрового стержня на снимке будет закрыта пулей?)

Задача /・6・ Тахионами называются гипотетические частицы, скорости которых превышают скорость света. Предположим, что источник тахионов испускает частицы с постоянной скоростью 〃>с в своей системе покоя. Тахионный сигнал послан наблюдателю, покоящемуся относительно источника и находящемуся на расстоянии £ от него. Через какое время можно получить тахионный ответ от наблюдателя? Через какое время придет ответ, если наблюдатель удаляется от источника со скоростью и и в момент

получения сигнала отправляет ответ, находясь от источника на расстоянии L? (Доказать, что при 〃＞口+(1 —炉)％]/? ответ можно получить до отправления сигнала!)

Задача /・7・ Система отсчета S' движется со скоростью о относительно системы отсчета S. Стержень в системе отсчета S' составляет угол 仆'с направлением движения. Какой угол 仆 составляет этот стержень с направлением движения в системе отсчета S?

Задача /・8・ Система отсчета S' движется со скоростью р относительно системы отсчета S. Под углом 心'к направлению движения в системе отсчета S' выпущена пуля со скоростью ?\ Чему равен этот угол 3 в системе отсчета S? Что произойдет, если «пулей» будет фотон?

Задача 19 Предположим, что с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно далеких неподвижных звезд, распределение этих звезд изотропно, т. е. в любом телесном угле dQ он видит dN = ^ (dQ/4n) звезд, где N — общее число звезд, доступных наблюдению.

Предположим далее, что другой наблюдатель (с которым связана система отсчета S') движется с релятивистской скоростью 卩 в направлении ех. Какое распределение звезд увидит второй наблюдатель? Точнее говоря, какова плотность распределения Р (仆'，q/), если число звезд, наблюдаемых в телесном угле dQ' в системе отсчета S', равно 力(®‘，q/)dQ'? Проверить, что

，尸(W, 5)dQ，= N и Р®,(p')f N/4JT при 0f 0 на сфере. Где второй наблюдатель увидит скопление звезд?

Задача 1.10. Доказать, что в специальной теории относительности А = 3'?% + 2%е% ——единичный времениподобный вектор. Доказать, что угол между векторами А и & —невещественный.

Задача 1.1L Два кольца вращаются (Г равными по величине и противоположными по направлению угловыми скоростями со вокруг общего центра. Предположим, что на одном кольце сидит Адам, на другом —Ева и в некоторый момент времени, когда они проезжают друг мимо друга, показания их часов совпадают. Поровнявшись с Адамом, Ева замечает, что его часы идут медленнее. Поэтому она ожидает, что к их следующей встрече ее часы уйдут вперед, а Адам придерживается противоположного мнения. Что произойдет в действительности? Каким образом это согласуется с наблюдениями Адама (или Евы)?

Задача /./2. Введем -мнимую координату w = it. Доказать, что поворот на угол 心 в плоскости 修如(/= 1, 2, 3), где ^ — чисто мнимое число, соответствует чистому лоренцевскому《бусту》в координатах /, %, у, z. Как скорость буста и связана с углом 仆？

Задача 1J3. Доказать, что кривая

% = § г cos cos <р d%, у = , г cos 仆 sincp d儿 г==^г sin^d%, f =, г d 儿

где г, *0* и ф — произвольные функции от %, представляет собой изотропную кривую в специальной теории относительности. При каких условиях эта кривая будет изотропной геодезической?

Задача 1,14, Доказать, что 4-ускорение наблюдателя du^/d% имеет лишь 3 независимые компоненты. Вывести соотношения, связывающие эти 3 компоненты с тремя компонентами обычного ускорения, которое наблюдатель измерил бы ньютоновским акселерометром в своей локальной системе отсчета.

Задача /・/5・ Записать в инвариантном виде величину ускорения, измеренного в системе отсчета наблюдателя.

Задача 1.16* С точки зрения инерциального наблюдателя 6 частица движется с 3-скоростью и и 3-ускорением а. Другой инерциальный наблюдатель 6’ движется с 3-скоростью v относительно наблюдателя 行.Доказать, что измеренные наблюдателем 夕 компоненты ускорения частицы, параллельные и перпендикулярные 3-вектору V, равны

互'互'(1 一哨%(1 —力・Z)3(1 一哨%(1 —力・Z)35ц,5ц,

互'

互'

(1 一哨%

(1 —力・Z)3

(1 一哨%

(1 —力・Z)3

5ц,

5ц,

@‘丄=芒鳥他丄伍X初.

Задача 1.17, Наблюдатель испытывает постоянное ускорение g в направлении х. Зададим для него систему отсчета (/,元，g,之) следующим образом: 1) наблюдатель находится в точке 无=д = =z = 0 и / — собственное время наблюдателя; 2) гиперплоскости одновременных с точки зрения наблюдателя событий совпадают с гиперплоскостями одновременных событий мгновенно сопутствующей ему инерциальной системы отсчета; 3) остальные «наблюдатели со стационарными координатами» (т. е. с неизменяющимися

значениями £, g, 2) движутся так, что они всегда покоятся относительно наблюдателя на гиперплоскостях одновременных событий. При / = 0 наделим все пространственные точки теми индексами, которые они имели бы в мгновенно сопутствующей им инерциальной системе отсчета / = 0, х, у, г.

Указать преобразование координат, переводящее (/, х, у, г) в (f, х, g, z). Доказать, что часы со стационарными координатами при таком преобразовании не могут остаться синхронизованными.

Задала /・/8・ Зеркало движется перпендикулярно своей плоскости со скоростью V. Какой угол с нормалью к зеркалу образует отраженный луч света, если падающий луч составляет с нормалью угол 3? Как меняется при отражении частота света?

Задача 1.19. Зеркало движется параллельно своей плоскости. Доказать, что угол падения фотона равен его углу отражения.

Задача /・20・ Наблюдатель, движущийся с 4-скоростью и, исследует параметры частицы с массой покоя т и 4-импульсом р. Доказать, что:

наблюдатель измеряет энергию Е = — р • и,

с точки зрения наблюдателя, масса покоя частицы равна т2 = — р р,

по измерениям наблюдателя величина импульса частицы составляет I р = [(р ■ и)2 + р ■ р]1/г,

величина измеряемой наблюдателем обычной скорости у равна

4-вектор V с компонентами

У° = 0, W = (dP/df)qacTHua — ОбЫЧНЯЯ СКОрОСТЬ можно представить в виде

Задача 1.2L Ядро железа испускает мессбауэровское у-излу- чение с частотой v0, измеренной в системе покоя ядра. Само ядро движется со скоростью $ относительно некоторого инерциального наблюдателя. Какую частоту измерит этот наблюдатель, когда испущенное ядром у-излучение достигнет его? Ответ выразить через В, v0 и единичный вектор п, направленна访 от наблюдателя к ядру в тот момент, когда по измерениям наблюдателя было испущено у-излучение,

Задача 1.22. К наблюдателю приходит сигнал от источника света, движущегося со скоростью v. В момент испускания света угол между вектором и и прямой, проходящей через наблюдателя и источник света, равен 仆.Как зависит ^ от I у |, если наблюдатель не замечает ни красного смещения, ни смещения к голубому концу спектра?

Задача 1.23. Предположим, что в некоторой инерциальной системе отсчета S фотон обладает 4-импульсом с компонентами

р。= р* = Е, py = pz z= 0.

Существует особый класс преобразований Лоренца (так называемая «малая группа 4-вектора р»), оставляющих инвариантными компоненты 4-вектора р. Примером таких преобразований может служить чистый поворот на угол а в плоскости yz:

100.0100.0о1 о оо1 о оо оо оо - оо - оcos а sinacos а sina—sincecosa_—sincecosa_-Е-Ео_0_-Е-Ео_0_Е 0Е 0

1

0

0

.0

1

0

0

.0

о

1 о о

о

1 о о

о о

о о

о - о

о - о

cos а sina

cos а sina

—since

cosa_

—since

cosa_

-Е-Ео

_0_

-Е-Ео

_0_

Е 0

Е 0

Найти последовательность чистых бустов и чистых поворотов, произведение которых не совпадает с чистым поворотом в плоскости yz, но принадлежит малой группе 4-вектора р.

Задача 1,24, Две гигантские лягушки пойманы, заключены в большой металлический цилиндр и помещены в самолет. Во время полета дверцы багажного отделения случайно раскрылись и цилиндр с лягушками выпал. Почуяв неладное, лягушки попытались выбраться наружу. Они собрались посредине цилиндра и, оттолкнувшись друг от друга, одновременно ударили в днища. Затем, мгновенно оттолкнувшись от «своего» днища, каждая лягушка перелетела, не задев другую, через весь цилиндр и ударила в противоположное днище. Так продолжалось до тех пор, пока цилиндр не ударился о землю. Рассмотреть, как выглядело то, что происходило в цилиндре, из некоторой другой инерциальной системы отсчета, падающей с другой скоростью. В этой системе отсчета лягушки ударяют в днища цилиндра неодновременно, и поэтому цилиндр то рывком развивает скорость, превосходящую его среднюю скорость р, то рывком начинает двигаться со скоростью, меньшей р. Но в некоторой инерциальной системе отсчета цилиндр покоился. Означает ли это, что одна инерциальная система отсчета может двигаться рывками то вперед, то назад относительно другой инерциальной системы отсчета?

Задача 1.25. Пусть JXt Jyt Jz — инфинитезимальные операторы поворотов, определенные так, что 1+"」仆/2 —поворот на малый угол 心 вокруг оси /. Пусть & Ку, Ке — инфинитезимальные операторы буста, определенные так, что 1 + ®о/2 —буст на малую скорость V в направлении оси /. Доказать, что инфинитезимальные операторы J/ и & удовлетворяют соотношениям

[J*, Jyl = 2"名,

[(，凡]= 2/,

UG, Ky] — 2iJz

(а также всем соотношениям, получающимся из этих трех при циклической перестановке индексов). Найти представление группы Лоренца спиновыми матрицами Паули %, ау,仇 и единичной матрицей.

Задача 1.26. Два последовательно выполненных произвольных чистых лоренцевских буста 位 и у2 эквивалентны чистому бусту 不з, после которого производится чистый поворот 仆万，где п — единичный вектор. Выразить величину угла 心 через уг и и2 и доказать, что п 'V3=^0.

Задача 1.27. Доказать, что любое собственное (не содержащее обращения времени и четности) однородное преобразование Лоренца оставляет неподвижным по крайней мере одно изотропное направление.

Задача 1.28* Каково наименьшее число чистых бустов, порождающих произвольное преобразование Лоренца?

(Примечание. Это очень трудная задача!)

ГЛАВА 2

ДИНАМИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

В нашей лабораторной системе отсчета частица с 4-импульсом р обладает полной энергией £* = р° и 3-импульсом р = р\ Если частица имеет ненулевую массу покоя т, то ее 4-импульс р, 4-скорость и и 3-скорость 5 связаны векторным соотношением

p = ff2u = /n(Y，уи), у = (1 — v2)-1^^

в силу чего Е = рт, р = ymv. Скалярный квадрат 4-импульса, инвариантный во всех системах отсчета, имеет вид

Р Р = — £2 + р2 =—加2.

Кинетическая энергия частицы равна Т = Е — т.

Фундаментальный динамический закон для взаимодействия частиц состоит в том, что в любой системе отсчета векторная сумма 4-импульсов всех частиц сохраняется постоянной во времени.

Задача 2.1. (Комптоновское рассеяние.) Фотон с длиной волны X налетает на стационарный электрон (с массой mJ и рассеивается с длиной волны 九'под углом 8. Вывести соотношение

V — Х = (h/me) (1 — cos 5).

Задача 22

Если на фотоне рассеивается заряженная частица, движущаяся со скоростью, близкой к скорости света, то говорят, что фотон претерпевает обратное комптоновское рассеяние. Рассмотреть обратное комптоновское рассеяние в том случае, когда заряженная частица с массой покоя т и полной массой-энергией (относительно лабораторной системы отсчета) Е》加 налетает на фотон с частотой v (hv^ni). Какова максимальная энергия, которую частица может передать фотону?

Космическое пространство заполнено излучением абсолютно черного тела с температурой 3 К. В космических лучах встречаются протоны с энергиями до 1020 эВ. Сколько энергии может передать протон с энергией 1020 эВ фотону с температурой 3 К?

Задача 23 Доказать, что изолированный свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон.

Задача 24 Частица с массой покоя /?“ и скоростью их сталкивается со стационарной частицей с массой покоя т^ которая поглощает налетевшую частицу. Найти массу покоя т и скорость и возникшей в результате столкновения составной системы.

Задача 2.5、В системе покоя нейтрона его Р-распад изотропен, а скорость испущенного электрона “ = 0,77. Какие значения вектора импульса Р электрона в лабораторной системе отсчета возможны, если нейтрон пролетает через лабораторию со скоростью р?

Задача 2.6. Вычислить «достижимую энергию» в двух различных экспериментах по протон-протонному рассеянию. В первом эксперименте, проводимом по традиционной схеме, пучок протонов, ускоренный до 30 ГэВ, падает на мишень (например, из жидкого водорода). Во втором эксперименте каждый из двух отдельных пучков протонов ускоряется до 15 ГэВ, после чего пучки направляются навстречу друг другу. Вычислить полную энергию двух сталкивающихся протонов в каждом эксперименте в системе центра масс. До какой энергии пришлось бы ускорять пучок протонов в эксперименте первого типа, чтобы достичь соответствия с протонами, имеющими в эксперименте со встречными пучками энергию 15 ГэВ в системе центра масс?

Задача 2・7・ Частица с массой покоя т упруго сталкивается со стационарной частицей равной массы. Налетающая частица обладает кинетической энергией То. Какова ее кинетическая энергия после столкновения, если угол рассеяния равен 5?

Задача 2.8. Вычислить пороговую энергию, при которой нуклон ^ претерпевает реакцию

где у — фотон с температурой 3 К. Столкновение фотона с нуклоном центральное, энергия фотона 〜左7,加川=940 МэВ,团額= =140 МэВ. (По-видимому, именно этот эффект приводит к обре« занию спектра космических лучей при пороговой энергии, которую требуется вычислить.)

Задача 2.9. Рассмотрим реакцию л+ + ^-^^+ + Л°. Массы покоя частиц имеют следующие значения:加皿=140 МэВ, тп = = 940 МэВ, тк — 494 МэВ, тА — 1115 МэВ. При какой пороговой кинетической энергии л-мезон рождает К・мезон под углом 90° в лабораторной системе отсчета, в которой нейтрон п покоится?

Задача 2・/0・ Рассмотрим реакцию А-^В + С (с массами частиц mAt тс).

Пусть частица Л покоится в лабораторной системе отсчета. Доказать, что в этой системе отсчета частица В обладает энергией Ев = (т^ц + тв — тс)/2тл.

Атом с массой М, находящийся в состоянии покоя, испускает фотон с энергией hv и переходит в состояние покоя с энергией 府一6. Доказать, что Av< 6. Почему в эффекте Мёссбауэра 加==6?

Частица А распадается, двигаясь в лабораторной системе отсчета. Найти соотношение между углом, под которым испускается частица В, и энергиями частиц Л и В.

Задача 2・〃・ Рассмотрим реакцию 1+2->3 + 4. По определению лабораторной называется система отсчета, в которой R = * 0. Системой центра масс (ц. м.) называется система отсчета, в которой 戸;” +戸§・м・=0 Доказать, что:

e力靠==(加:+矚+ 2m2e0%,

е?• m・=[(廓。器y + 加:-词/2宦。:1J,

Pt №-^m2PjE^,

Г) Yu. M. = (El + 团2)/^полн

(Уц.м. — скорость ц. м. в лабораторной системе отсчета, уц.м, =^

Д) ^Ц.М. = Р 1/(^1 + 加J

3cga乩а 2.12. Рассмотрим упругое столкновение частицы с массой тх со стационарной частицей с массой /н2 V 团「Пусть ^макс — максимальный угол рассеяния частицы тР При нерелятивистских расчетах ^п,&макс = т2/т1. Доказать, что этот результат остается в силе и при релятивистских расчетах.

Задача 2.13.

Двигатели ракеты создают постоянное ускорение 1g (относительно мгновенно сопутствующей ракете инерциальной системы отсчета). Ракета стартует из состояния покоя вблизи поверхности Земли. Как далеко улетит ракета от Земли (расстояние измеряется в земно访 системе отсчета) за 40 земных лет? Как далеко она улетит за 40 лет, измеряемых в системе отсчета, связанной с ракетой?

Вычислить собственное время, которое потребуется пассажирам космического корабля, чтобы удалиться от Земли на рас-

стояние 30 000 св. лет к центру Галактики. Предполагается, что первую половину пути космический корабль разгоняется с ускорением 1g, а вторую половину пути — тормозится с ускорением 1g.

Какая доля начальной массы ракеты может приходиться на полезный груз в п.《6»? Предполагается, что космический корабль обладает идеальными двигателями, способными превращать массу покоя в излучение со 100% эффективностью и выпускать идеально коллимированные пучки фотонов.

Задача 2./4. До какой максимальной энергии может разогнать электроны циклотрон, работающий на постоянной частоте с ускоряющим потенциалом R?

Задача 2.15. Открыто новое поле F^ (xv), сообщающее частице с массой т, находящейся в точке х4, 4-ускорение a^wd〃诔/dt= 二加т产у (Обращаем внимание читателя на то, что 尸* не зависит от 〃"•) Доказать, что существование такого поля противоречит специальной теории относительности.

ГЛАВА 3

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ, ИНВАРИАНТЫ И ТЕНЗОРЫ В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Пространство-время в специальной теории относительности можно описывать при помощи не только «инерциальных» координат, или координат Минковского, но и более общих (криволинейных) координат

川=产(炉)，

где 炉—координаты Минковского, а /и — четыре произвольные функции. Нетрудно показать, что базисные векторы и компоненты векторов в новых координатах связаны с базисными векторами и компонентами векторов в старых координатах соотношениями

%，==

5 =

” -

力:读'

%，=

де旧

Vn =

Иначе говоря, матрица преобразования

"三肘［"

заменяет менее общие матрицы Лоренца (применимые лишь к преобразованиям между двумя системами координат Минковского).

Для общих координат по-прежнему остается в силе соотношение А・В = 41AВ", но соотношение AVL = y\^Av не выполн яется. Каждой системе координат соответствует метрический тензор с компонентами ^ар, такой, что ds2 = ga^d^dx^f в силу чего A^ = g^Av и, следовательно, А • В = g^vA^Bv. Заметим также, что А^ = ^АХ, где ^ — матрица, обратная матрице g^v.

Формально тензор можно определить различными способами. Для наших целей достаточно сказать, что тензор представляет собой геометрический объект, обладающий, подобно вектору, компонентами, численные значения которых различны в разных координатных системах. Тензор обладает 4Л компонентами, где Л — ранг тензора (число «вакантных мест», или индексов, для ком-

понент). Индексы могут быть контравариантными или ковариантными, например: Т味 ^v)Ra^y6r G/. При преобразовании тензоров на каждый индекс «затрачивается» одна матрица:

g^^avav^g!

Тензоры можно «свертывать» (суммируя по одному ковариантному и одному контравариантному индексу) и умножать, образуя прямые произведения, на другие тензоры или на себя. Обе операции порождают новые тензоры:

Qu* = R°\iav, 4fA = G^vBvt F出v = ЛцВу.

Особый случай представляет свертка с метрическим тензором; как и в соотношениях между ковариантными и контравариантными векторами, результат такой свертки принято обозначать тем же символом, что и исходный тензор (например,尸％ =纟丫仪尸皿)・ Тензорное выражение, не содержащее свободных индексов (например, F^A^A^, R^yF^ или АаВ^ ^аР), является скаляром и инвариантом во всех системах отсчета. По аналогии с безындексными обозначениями векторов (А означает вектор Ли) вводятся безындексные обозначения тензоров (Т означает тензор 7肥).в обоих случаях существование ковариантных или контравариантых индексов должно быть ясно из контекста.

В безындексных обозначениях 0 соответствует прямому произведению (например, записывается в виде F 0 А), а свертку Р^Аа принято записывать в виде F-А.

Частные производные мы будем обозначать запятыми: напрн- мер, f>a^df/dxa.

Задача 3/

Два события разделены пространственноподобным интервалом. Доказать, что:

существует лоренцевская система отсчета, в которой они одновременны;.

ни в одной лоренцевской системе отсчета они не происходят в одной и той же точке.

Два события разделены времени подобн ым интервалом. Доказать, что:

существует система отсчета, в которой они происходят в одной и той же точке;

ни в одной лоренцевской системе отсчета они не одновременны.

Задача 32 Найти 4 линейно-независимых изотропных вектора в пространстве Минковского. Можно ли найти 4 изотропных вектора, которые были бы ортогональны?

Задача 3・3. Доказать, что из всех непространственноподобных векторов данному изотропному ненулевому вектору ортогональны лишь кратные ему векторы.

Задача 34 Доказать, что сумма двух векторов может быть пространственноподобной, изотропной или времениподобной независимо от того, являются ли эти два вектора пространственноподобными, изотропными или времениподобными.

Задача 3.5»' Доказать, что площадь поперечного сечения параллельного пучка света инвариантна относительно преобразований Лоренца.

Задача 36 Доказать, что gD"卩 и ^D^ не инвариантны относительно преобразований координат, а сумма £0诔诔 инвариантна. (Тензор D задан своими компонентами。叫)

Задача 3.7. Тензор /7aB антисимметричен по двум своим индексам. Доказать, что

?11。，丫 户ct =-?^а, 6尸*

Задача 38 В системе отсчета с координатами 井 инвариантный линейный элемент имеет вид ds2 = x\a^dxad^. Доказать, что если координаты подвергнуть преобразованию х^т 元诔，то линейный элемент примет вид

由"gjL*脚d炉，

и выразить gqo через частные производные dx^/d元X Доказать также, что если U и V —два произвольных 4-вектора, то

и • V=и” 64aB = U^V^.

Задача 3・9・ Доказать, что определитель метрического тензора g 三 det(g^v) не является скаляром.

Задача 3.10. Доказать, что если А、и Лар — две матрицы, преобразующие компоненты тензора из одной системы координат в другую, то матрица А°\А% также задает некоторое преобразование координат.

Задача 3JL Дан тензор К^^ Можно ли проверить, является ли он прямым произведением даух векторов К0^ = Ла£Р? Можно ли записать ход проверки в безындексных обозначениях?

Задача 3.12, Доказать, что в общем случае тензор второго ранга в n-мерном пространстве нельзя представить в виде прямого произведения двух векторов, но его можно представить в виде суммы нескольких прямых произведений двух векторов.

ЗаЗама 3.13. Геометрический «объект» с двумя индексами, X^v, определен как «прямая сумма» двух векторов: ^^= X^ + Bv. Можно ли считать Х"" тензором? Существует ли закон, позволяющий преобразовывать X в новую систему координат, т. е. получать из 屮？

Задала 3.14. Доказать, что тензор второго ранга F, антисимметричный в одной системе координат (尸诔* =——尸叩),антисимметричен во всех системах координат. Доказать, что контравариант- ные компоненты тензора F также антисимметричны (Fpv =—宀). Доказать также, что симметричность тензора второго ранга инвариантна относительно выбора системы координат.

Задача 3.15. Пусть ЛИу — антисимметричный тензор (力炉 = = — /*")， a S^v ——симметричный тензор (5^ = 5^). Доказать, что 411Vs1Av = 0・ Вывести следующие два тождества, справедливые для произвольного тензора 丫诔丫：

SV&V = 4(VHV_ Н")力宀 MVS"V = 1 (UHV + v^) S~

Забама 3.16.

Сколько независимых компонент существует у тензора Т^^- г-го ранга, не обладающего никакими симметриями, в п-мерном метрическом пространстве?

Сколько независимых компонент существует у тензора 丁耶…， симметричного по s индексам?

Сколько независимых компонент существует у тензора 丁耶…, антисимметричного по а индексам?

Задача 3・/7・ Определим квадратные и круглые скобки, содержащие некоторые наборы индексов, следующим образом:

'(% ар) ~ рГ 2У [% а/н 血 2( — D 'а”1 …％

Суммы берутся по всем перестановкам л чисел 1,2,..., р, а коэффициент (—1)л равен + 1 или — 1 в зависимости от того, четна или нечетна перестановка л. У величины V могут быть и другие индексы, не входящие в число р индексов аъ %,…，а「，но введенные нами скобочные операции действуют лишь на явно выписанные индексы. Индексы 冗卜 л2» * • • > 冗# означают те числа, в кото-

рые переходят 1,2,..., р под действием перестановки л. Например,

(аха2)= у (V + V网仪) или, что то же,

匕觊％ = У ^M-v+^vn)-

Пусть F — антисимметричная, Т — симметричная и V — произвольная величины. Пользуясь приведенными выше определениями, вычиелить в явном виде R山刃,尸山刃，尸(炉)，T[炉]，T(诔*)， %耶叨，T(aB，Y))尸[坤,仆

Вывести следующие формулы:

^((ai ■•a₽))=%%..、)；修阿..,]]=/%...%]；

V(《1 •2尸用..、)=0；修%…m产^…咽=匕%...4%…％，

Пользуясь «скобочными обозначениями», доказать, что из соотношения 尸^ =力“诔一Ли(т следует соотношение 尸仪田 丫 +尸脚心 + 尸皿6==。・(Половина уравнений Максвелла!)

Задача 3.18. Доказать, что для любого тензора X с двумя индексами

Хар = X (呻)+ Х[аВ], где скобки { ) и [ ] означают соответственно симметризацию и антисимметризацию заключенных в них индексов. Доказать также, что в общем случае

Усфу，匕сфу) + У[аВт]・

Задача 3,19. Доказать, что дельта-символ Кронекера 6% —тензор.

Задача 3.20, Доказать, что существует единственный с точностью до умножения на постоянную тензор “師餘 полностью антисимметричный по всем своим 4 индексам. Обычно его выбирают так, что в координатах Минковского е0123 = 1. Каковы компоненты тензора е в общей системе координат с метрикой g^

Задача 3.21. Доказатьt что в локально ортонормированной системе координат

Как выглядит аналогичное соотношение в произвольной системе координат с метрикой g—?

Задача 3・22・ Вычислить

Задача 3.23. Доказать, что для любого тензора Д% ea₽v« А^А^А\А6о = £内入。det|[ Л«₽ 1,

где || Лар J — матрица с компонентами 4aB.

Задача 3.24 Доказать, что четыре вектора u, v, w, х линейно-независимы в том и только том случае, если u/\v/\w/\ Д х У= 0. Доказать также, что произведение и Д vA w Дх четырех линейно-независимых векторов u, v, w, х с точностью до константы совпадает с полностью антисимметричным тензором е. (Произведение и Д V двух векторов по определению равно их антисиммет- ризованному прямому произведению, т. е. иДу = и®у —v®u.)

Задача 3.25. Пусть F — антисимметричный тензор второго ранга с компонентами 尸"Z Построим по F другой антисимметричный тензор второго ранга *F (так называемый тензор, дуальный тензору F), определив его следующим образом:

*F = ^ RgaB尸сф% ® 备.

Доказать, что *(*F) = —F.

Задача 3.26. Доказать, что

%H = -g")呐(紋严V.

Задача 3.27. Тензор 6；'： задан соотношением

「哈・•峭

Доказать, что если число верхних (или нижних) индексов больше 4, то этот тензор тождественно равен нулю.

Задача 3.28. Доказать, что

и обобщить это соотношение на случай тензоров 6f других рангов.

Задача 3.29. Доказать, что если антисимметричный тензор р*В является бивектором (т. е. ра^ = А^ВР1), то

p^^ + р网рб0 + Pa6或Y - 0

(соотношения Плюккера).

Задача 3.30. Определим в 4-пространстве 3-мерный элемент объема на гиперповерхности %a= %a（0 b, е） как 0£产（1/3!） x х e^^ydadbdc [d （х^, /,炉）/。（@, b, с）], где последний множитель представляет собой якобиан 3x3. Вычислить компоненты элемента объема й32ц Для пространственноподобной гиперповерхности х° = const, параметризованной так, что xl = at 炉=九 炉=以

Задача 3.3/. Доказать, что инвариантный собственный элемент объема в 4-мерном пространстве определяется соотношением

dV = （—g户 d&x,

где дифференциал d4x = dx dy dz dt вычислен в системе координат с метрикой g1Av・

Задача 3.32. Доказать, что собственный 3-мерный элемент объема наблюдателя, движущегося с 4-скоростью и, имеет вид и является скалярным инвариантом.

Задача 3.33. Какой вид имеет инвариантный элемент объема Контравариантного импульса d^P в 3-мерном импульсном пространстве? Какой вид имеет инвариантный 3-мерный элемент объема на «массовой оболочке», т. е. при наложении ограничения （—Р・Р）% =/и?

Задача 3.34. По данным наблюдений группа из N частиц занимает в 6-мерном фазовом пространстве объем dxdydzdPxdPy х xdP*, в силу чего плотность частиц 9? в фазовом пространстве определяется соотношением

N = ЭМх dy dz dPxdPydPz.

Доказать, что плотность частиц 况 лоренц-инвариантна, т. е., что все наблюдатели получат для 员 одно и то же числовое значение.

Задача 3«35. Векторное поле /仪（％诔）удовлетворяет уравнению ja,a = °, а его компоненты 尸 на больших расстояниях от начала координат убывают быстрее, чем г2.

Доказать, что величина ^ J°d3x постоянна по времени.

Доказать, что интеграл ^ J°d3x —скаляр, т. е. что

P%3% =网3%，.

ГЛАВА 4

ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В специальной теории относительности электромагнитное поле

описывается антисимметричным тензором электромагнитного поля (тензором Максвелла) 4. В любой лоренцевской системе отсчета

компоненты тензора

тм связаны с

напряженностями электриче-

ского и магнитного

полей £ и В

в этой же

системе отсчета

соотношением

г 0 Е*

—Ех 0

Bz —8"

仪=

—Еу —Bz

0 Вх

0 -

где ц — индекс строки, a v — индекс столбца. Уравнения Максвелла можно представить в виде

F^vtV = 4nJ^t

&в，Y + Fya, В + 尸Ву，а =

где Jw =(p, J) — плотность 4-тока. Сила Лоренца для частицы с зарядом е, 4-импульсом р и 4-скоростью и равна

察=ei

Плотность энергии

目=(e2+中)/8冗，

вектор потока энергии (вектор Пойнтинга)

S = (Е х В)/4л

и 3-мерный тензор напряжений

т〃 = [_ (£<•£/ + ВВ) +1 6" (? + 环)]/ 4л образуют тензор энергии-импульса электромагнитного поля

宀=严％ - I гГ尸аВ&в) / 4л

Задача 4・/・ Найти магнитное поле В от текущего по бесконечной проволоке тока /, используя для этого соответствующие преобразования Лоренца и суперпозицию электрических полей, создаваемых распределенными вдоль бесконечной прямой зарядами.

Задача 4.2. Доказать, что для электрического и магнитного полей величины 环一淨 и Е • В инвариантны относительно замены переменных и преобразований Лоренца. Существуют ли какие- нибудь инварианты, не сводящиеся к алгебраическим комбинациям этих двух инвариантов?

Задача 4・3. В некотором электромагнитном поле электрический вектор Е образует угол ^о с вектором магнитного поля 8, причем угол 心° инвариантен для всех наблюдателей. Чему равен угол 心о?

Задача 4・4・ Доказать, что для электромагнитного поля величина 窗％ — IX |2, где 窗一плотность энергии, a S — вектор Пойн- тинга, лоренц-инвариантна.

Задача 4.5. Доказать, что при （瓦哀+ 仍2一球户方。всегда найдется преобразование Лоренца, переводящее В и Е в параллельные векторы （Е‘ х 8’ = 0）. [Указание. Рассмотреть векторы 3 = а（Ех8） и попытаться подобрать значение параметра а.]

Зада此а 4・6・ Предположим, что Е •月=0, Доказать, что при 炉―£2>о существует преобразование Лоренца, обращающее в нуль электрическое поле （后= 0）, а при В2 — £2 < 0 — преобразование Лоренца, обращающее в нуль магнитное поле （月= 0）. Что можно утверждать, если, кроме того, выполняется условие 中一户=0?

Задача 4.7. Частицы в некоторой системе отсчета обладают зарядами 虫，3-скоростями 济 и движутся по траекториям х — ?/ {/）. Вектор 4-тока обладает компонентами

J。= £濟％_云⑴],尸=£%。哥反一公（切.

Доказать, что его можно представить в виде

尸=£，％64[声_2a田⑺]圖火，

где u^ — 4-скорость ^-й частицы.

2 Заказ ПО

Задача 4・8・ Записав в явном виде компоненты тензора F, доказать, что уравнения

尸叫 Y + &Y，а + Fya, в = °,尸аВ，в == 4冗尸

сводятся к уравнениям Максвелла

V-B = 0, B + Vx£ = 0,年•后= 4np,£-VxB=~4n7.

Задача 4*9・ Доказать, что если F^ — тензор электромагнитного поля, то уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде

F^(v = 0 и *FU[* = o

(* 尸诔V означает тензор, дуальный тензору 尸以” см. задачу 3.25),

Задача 4Л0. Выписав при ц = 0 компоненту уравнения для 4-силы Лоренца

d〃K/dt (е/加)尸呻〃в，

устанавливающую связь между F^v и 七厶 8厶 вывести соотношение dP^[dt = е『・ Е

Задача 4・〃・ Вывести соотношение между dP/dt и векторами Е, В из пространственных компонент уравнения 4-силы Лоренца (Р — пространственная часть 4-вектора Р).

Задача 4.12* Частица с зарядом q и массой 加,пролетая по лаборатории со скоростью и&, попадает в однородное поле 瓦 направленное вдоль оси у. Найти траекторию у(х), по которой частица будет двигаться в дальнейшем.

Задача 4J3. Частица с зарядом q, массой т движется по круговой орбите радиуса R в однородном поле Вег.

Выразить В через R, q, т н угловую частоту s.

Скорость частицы постоянна, поскольку поле В не производит работы над частицей, однако наблюдателю, движущемуся со скоростью §6%, скорость частицы не кажется постоянной. Чему равна компонента 公'4-скорости, измеренная этим наблюдателем?

Вычислить d〃°7dt и тем самым dP°7dt. Объяснить, каким образом может изменяться энергия частицы (поле В не производит работы над частицей).

Задача 4.14, Небольшая пробная частица (с массой т н положительным зарядом 7) обращается по круговой орбите вокруг

«неподвижного» (т. е. очень массивного) тела с положительным зарядом Q. Для удержания частицы на орбите приложено постоянное магнитное поле В, перпендикулярное плоскости орбиты. В инерциальной системе, в которой центральное тело покоится, пробный заряд описывает окружность в плоскости, перпендикулярной полю В, с циклической частотой s. Выразить отношение заряда пробной частицы к ее массе через @, R, В м Q.

Задача 4.15. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля в отсутствие зарядов имеет нулевую дивергенцию (т. е. T，v = 0)・

Задача 4・/6・ Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет нулевой след.

Задача 4.17. Пусть Т^ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Доказать, что

Т%Т% _ 6%((£2 一屋产+(2瓦历»(8冗产

Задача 4.18. Записать закон Ома J = uE в инвариантном виде через Л1, F^v, о, и 以"(4-скорость проводящего элемента).

Задача 4・/9・ Для заряженной частицы вывести из действия j J^A^d&x — m'dt,

где J»1 —4-ток, A[t — 4-вектор потенциала и dr2 ^ — qap d^d^^ выражение для 4-силы Лоренца.

Задача 4.20.

Доказать, что переход к дуальному тензору Ft*F сопровождается преобразованиями £-> —В и В->£.

Доказать, что если тензор F удовлетворяет уравнениям Максвелла для вакуума, то дуальный тензор * F и тензор e*aF = 三 F cos a + 常 F sin а при произвольном a также являются решениями уравнений Максвелла. (Преобразование F->e*aF называется «дуальным поворотом».)

Задача 42/・ Если считать, что эстетика призвана играть немаловажную роль при выводе физических законов, то из соображений симметрии уравнения Максвелла следовало бы записать в виде

f2n=4冗川，

*尸乩Ve=4n/(卩.

Каков физический смысл величины К?

2*

Задача 4.22. В пространстве-времени Минковского существует электромагнитный ток J^ (xv). Доказать, что величина

4吁蓊4吁蓊『山川d4x 一& 河）厂『山川d4x 一& 河）厂

4吁蓊

4吁蓊

『山川d4x 一& 河）厂

『山川d4x 一& 河）厂

где 厂6三尤6_%В, удовлетворяет уравнениям Максвелла. (Начать удобнее с построения функции Грина для уравнения 口4卩= =—4л/^.) Каким запаздывающим граничным условиям соответствует это решение?

Задача 4.23. Вывести уравнение для конвективной скорости изменения со временем магнитного поля, «вмороженного» в идеально проводящую жидкость, выразив ее через расхождение мировых линий, поперечный сдвиг и вращение жидкости. (Определения этих величин даны в задаче 5,18.)

ГЛАВА 5

ВЕЩЕСТВО И ИЗЛУЧЕНИЕ

При правильном описании энергии, импульса и напряжений релятивистской жидкости или поля используют симметричный тензор энергии-импульса Т. В лоренцевской системе отсчета наблюдателя компоненты этого тензора связаны с произведенными наблюдателем измерениями следующим образом:

Т°° — плотность массы-энергии (часто обозначаемая р), уо/ ==р0 — /-я компонента плотности импульса,

—/-я компонента вектора потока энергии,

Q/ — компоненты обычного тензора напряжений (например, Тхх — компонента давления в направлении оси х).

Если тензор энергии-импульса Т^ описывает все поля, жидкости, частицы и т. д., имеющиеся в системе, то полная информация о взаимосвязи между потоком импульса и обменом энергией содержится в уравнениях движения

Tj = 0.

Основные понятия релятивистской термодинамики и гидродинамики, вытекающие иэ этих уравнений, развиты в задачах.

Для удобства последующего изложения в некоторых задачах этой главы используется ковариантное дифференцирование, обозначаемое точкой с запятой. Читатель, не знакомый с ковариантным дифференцированием, может заменить все точки с запятыми просто запятыми (означающими частные производные в координатах Минковского). Кроме того, мы используем символ V. Например, VS означает S。*, V/ соответствует /(а, V Т заменяет прежнее обозначение и т. д.

Задача 5J. Вычислить в инерциальной системе отсчета S ненулевые компоненты тензора энергии-импульса для следующих систем.

Для группы частиц, движущихся относительно системы отсчета S с одной и той же скоростью 0 = 0e*. Плотность массы покоя этих частиц, измеренная в сопутствующей им системе

отсчета, равна р0. Предполагается, что плотность частиц очень велика, и приближенно их можно рассматривать как некую сплошную среду.

Для кольца из N одинаковых частиц с массой т9 вращающегося против часовой стрелки в плоскости ху вокруг неподвижной точки S и описывающего круги радиуса а с угловой частотой со. (Ширина кольца много меньше а.) Силы, удерживающие частицы на орбите, не входят в тензор энергии-импульса. Предполагается, что число N достаточно велико для того, чтобы частицы можно было считать распределенными по кольцу непрерывно.

Для двух колец из частиц, описанных в п, б. Одно кольцо вращается по часовой стрелке, другое — против часовой стрелки; они описывают круги одного и того же радиуса а. Частицы не сталкиваются и не взаимодействуют никаким другим способом.

Задала 52 Какой вид имеет тензор энергии-импульса для газа с собственной (т. е. измеренной в локальной системе покоя газа) плотностью N невзаимодействующих частиц с массой т, если все частицы обладают одинаковой скоросью и, но движутся изотропно? (Задачу требуется решить без предположения о том, что и《с)

Задача 5.3. В системе покоя идеальной жидкости ее тензор энергии-импульса, если его записать через плотность массы-энергии р и давление р, имеет диагональный вид

Найта тензор энергии-импульса элемента объема жидкости с собственной плотностью р, давлением р, движущийся с 4-скоростью U.

Задача 54 Найти тензор энергии-импульса однородного магнитного поля. Чему равен усредненный тензор энергии- импульса, если поле В статично, но «хаотично», т. е. направление поля В изменяется, но так, что поле в среднем остается изотропным?

Задача 5.5. Площадь поперечного сечения стержня равна А, а масса, приходящаяся на единицу его длины, равна ц. Записать тензор энергии-импульса внутри стержня, к которому приложено растягивающее усилие F. (Предполагается, что F равномерно распределено по поперечному сечению стержня.)

Задача 5・6, Веревка с массой на единицу длины 卩 разрывается под действием статической нагрузки F, До какого максимального значения можно довести величину статической нагрузки F, не нарушая 《слабое》условие энергии, согласно которому компонента 沙 тензора энергии-импульса должна быть положительна для всех наблюдателей? Сколь близок стальной трос к этому теоретическому максимуму статической нагрузки?

Задача 5・7・ На концы бесконечно тонкого стержня длины 2а насажены точечные массы т. Центр стержня закреплен неподвижно в лабораторной системе отсчета, а сам стержень вращается вокруг центра с релятивистской угловой скоростью s (последнее означает, что линейная скорость со/ концов стержня сравнима с с). Масса стержня равна нулю. Найти тензор энергии-импульса T^v для стержня и точечных масс.

Задача 5.8. Плоский конденсатор состоит из двух больших пластин площадью Л, перпендикулярных оси % и разделенных небольшим промежутком d. Конденсатор заряжен так, что между его обкладками возникло однородное электрическое поле Е (неоднородностью поля на краях обкладок можно пренебречь). «Электростатическая масса» конденсатора в его системе покоя составляет E2Ad/8n. Доказать, что электростатическая энергия уменьшается, если конденсатор движется в направлении оси х! Учтем теперь, что обкладки конденсатора необходимо удерживать на расстоянии d друг от друга. Предположим, что им не дает сблизиться идеальный газ с собственной плотностью р0. Доказать, что полная энергия конденсатора (электростатическая энергия + энергия газа) возрастает с увеличением скорости движения вдоль оси % точно так же, как энергия материальной точки.

Задача 5・9・ Рассмотрим систему дискретных частиц с зарядом qt и массой т】,взаимодействующих посредством электромагнитных сил. Исходя из явного вида тензора энергии-импульса Plv для частиц, доказать, что полный тензор энергии-импульса 7卩" (системы частицы плюс поле) сохраняется: 7^ = 0.

Задача 5.10, Спектральная интенсивность /v излучения служит мерой интенсивности излучения вблизи частоты v в заданном направлении. По определению она равна потоку энергии, соответствующему единичному интервалу частот вблизи частоты v и приходящемуся на единичный телесный угол. Доказать, что величина /v/v3 лоренц-инвариантна.

Задача 5.11. Излучение, испускаемое звездой, изотропно в ее системе покоя. Светимость звезды (количество световой энергии,

излучаемой в единицу времени) равна L, В некоторый момент времени звезда (по измерениям, произведенным с Земли) находится на расстоянии R и движется со скоростью и, образующей угол 5 с лучом зрения наблюдателя, который следит за звездой с Земли. Выразить поток излучения (количество световой энергии, испускаемой за единицу времени единичной площадкой на поверхности звезды), приходящий к наблюдателю на Земле, через А, и н 9, вычисленные в тот момент, когда излучение было испущено звездой.

Задача 5.12. Сферическая частица с массой т рассеивает все падающее на нее электромагнитное излучение изотропно в своей системе покоя. Пусть Л — эффективное сечение рассеяния частицы. Вывести уравнение движения частицы в постоянном поле излучения с интенсивностью S (энергией, переносимой в единицу времени через единичную площадку) и решить его для случая, когда частица первоначально покоилась (эффектПойнтинга ——Робертсона).

Задача 5./3. Черная сфера, изготовленная из теплопроводящего материала и снабженная термометром, движется со скоростью и через поле излучения абсолютно черного тела с температурой Т(). Что показывает термометр?

Задача 5.14. В электронном газе с температурой Т《т錯［к фотон с энергией Е《加壮 претерпевает столкновения и комптоновское рассеяние. Доказать, что в низшем порядке по £ и Т средняя энергия, теряемая фотонами при столкновениях, имеет вид

〈аё〉=(七/m6)(E -软7).

Задача 5.15. Доказать, что в специальной теории относительности тензор энергии-импульса изолированной физической системы конечной протяженности удовлетворяет тензорной теореме вириала:

,~畋=^ 提 J T°Wd3x.

Задача 5J6. Доказать, что тензор энергии-импульса Т^ обладает времениподобным собственным вектором в том и только в том случае, если физический наблюдатель ни в одном направлении не обнаруживает нескомпенсированного потока энергии. Какой физический смысл имеет собственный вектор тензора энер* гии-импульса?

Задача 5.17,

Рассмотрим напряженную среду, движущуюся со скоростью |и|《1 относительно некоторой инерциальной системы отсчета.

Доказать, что в первом порядке по скорости пространственные компоненты плотности импульса равны

где величины 加论(«инертная масса, приходящаяся на единицу объема》) определяются из соотношений

(т. е. выражаются через компоненты тензора энергии-импульса T^v в системе покоя жидкости). Чему равны 加丿五 для идеальной жидкости?

Рассмотрим изолированное напряженное тело, находящееся в состоянии покоя и в равновесии (Т^.о —0) в лабораторной системе отсчета. Доказать, что полная инертная масса такого тела, определяемая соотношением

MiJ~ \ dx dy dz,по напряженному телу

изотропна и равна массе покоя тела, т. е. доказать, что

Mij = &i\T8dxdydz.

Задача 5.18. Пусть и - 4-скорость жидкости. Доказать, что Vu можно представить в виде

〃а; В =①сф +。耶 + у 存Рсф — &а〃В，

где а —«4-ускорение» жидкости

а(х ~~~ 〃а; в〃°,

■О — «расхождение» мировых линий жидкости

存三 V .U = 〃a；a,

(оар — «2-форма вращения» жидкости, а аар —«тензор сдвига»:

①сф - У(〃а；户"в 一 "В；口尸%ь

осф м y (〃а;卩尸"В +以В；口尸%) - y存尸耶.

Здесь Р означает так называемый проекционный тензор

Рсф MgaB + 〃a"B，

проектирующий векторы на 3-пространство, перпендикулярное 4-вектору и.

Зада4a 5.19. Записать первое начало термодинамики для релятивистской жидкости (т. е. записать закон сохранения массы- энергии для элемента жидкости).

Задала 5.20. Пользуясь уравнениями движения (7从匕* = 0), доказать, что течение идеальной жидкости изэнтропическое.

Задача 5.21. Доказать, что для идеальной жидкости с уравнением состояния р = р (п), где п — плотность барионов, след тензора энергии-импульса Т% отрицателен в том и только в том случае, если

d In р _4_d In 九 V 3 '

Задача 5・22・ Доказать, что в релятивистской идеальной жидкости скорость звука узвук определяется соотношением

唸 yK = ^|s = c°"st，

Доказать также, что при высоких температурах в релятивистском газе с уравнением состояния р~3尸(например, в фотонном газе) %вук.

Задача 523. Скорость звука в жидкости определяется соотношением Узвук =бр/ф Is = const. Доказать, что

唸 ук = Г* 1р/(р + р),

где Гх — показатель адиабаты:

р =dl“ I 1-"д1пл |s = const *

Задача 5.24. Чему равна скорость звука в идеальном ферми- газе при нулевой температуре?

Задача 5.25. В релятивистской аэродинамической трубе поток создают, открывая баллон с идеальным адиабатически сжатым газом. Предположим, что уравнение состояния газа в первом приближении имеет вид р 〜пУ, где у —постоянная, а скорость звука в газе равна а. Какова наибольшая скорость потока имакс в такой трубе? (Гравитационными силами пренебречь. Поток считать изэнтропическим.)

Задача 5.26. Для идеализированного описания потока тепла в жидкости используют 4-вектор потока тепла q с компонентами в системе покоя жидкости ^° = 0, ^ = (энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную

базисному вектору е； в положительном направлении оси /). Какой тензор энергии-импульса соответствует потоку тепла?

Задача 5.27. Пусть s, п, и q означают соответственно энтропию, приходящуюся на один барион, плотность барионов и поток тепла, измеренные в системе покоя жидкости. В этой системе отсчета 4-вектор q чисто пространственный. Пусть S — 4-вектор потока плотности энтропии. Доказать, что

S = 〃su + q/T, где и - 4-скорость системы покоя жидкости.

Задача 5.28. Предположим^ что жидкость обладает некоторой теплопроводностью, описываемой 4-вектором q потока тепла, а в остальном «идеальна». Вычислить локальную скорость производства энтропии V S.

Задача 5.29. Доказать, что в системе, движущейся равномерно ускоренно, условие теплового равновесия имеет вид не Т н const = Г。，а

Т==Тоехр (—£•五，

где х — пространственная часть радиус-вектора события относительно системы отсчета, движущейся с ускорением.

Задача 5・30・ Тензор энергии-импульса для вязкой жидкости имеет вид

Т&В = р〃а/ +рР^ 一 21]0aB — 白存尸&В, где т| и ^ — соответственно первая и вторая вязкости. Величины о*В, S, Р^ определены так же, как в задаче 5.18. Давление и плотность равны р и р. Доказать, что вязкие члены приводят к производству энтропии со скоростью

где Т —температура жидкости. (Указание. Сначала необходимо доказать, что в отсутствие потока тепла Sa； a=[dp/dt + 仆(р + р)]/Т, а затем, продифференцировав соотношение р〃В = — T^uai найти dp/dt.)

Задача 5*31. Тензор энергии-импульса имеет вид

7耶пр"а/ + ррав _ 2Tl内В 一 白心尸耶.

Доказать, что уравнения движения, выведенные из соотношения т%=0,

в нерелятивистском пределе переходят в уравнения Навье — Стокса.

Задача 5.32. Как и в нерелятивистской термодинамике, удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении определяются соотношениями

с© = Т崇 |“’ 爵 |j

Доказать, что для идеального газа Максвелла — Больцмана ср— =с©+ 々,где fe —постоянная Больцмана. Доказать также, что показатель адиабаты

丄 о In /г |s равен отношению удельных теплоемкостей

Y === Ср/с^・

Задача 5.33. Доказать, что если для идеального газа Максвелла ——Больцмана отношение удельных теплоемкостей у в рассматриваемом режиме приближенно можно считать постоянным, to/? = K〃y и при адиабатических условиях р = пг/г + К几丫/(丫一 lj (/( —постоянная, tn — масса частиц газа).

Задача 5.34. Инвариантная функция равновесного распределения релятивистского газа имеет вид

dN —(2/ + l)//i3

и —средняя 4-ско-—-1 в зависимостии —средняя 4-ско-—-1 в зависимостиd^P " ~Г~miexP[-h

и —средняя 4-ско-

—-1 в зависимости

и —средняя 4-ско-

—-1 в зависимости

где J —спин частиц,九一постоянная Планка, рость газа, а параметр е равен 1, 0 или

от того, какой статистике (Бозе — Эйнштейна, Максвелла — Больцмана или Ферми — Дирака) подчиняется газ. Параметр 存 не зависит от Р. Первые два момента функции распределения 91 определяются формулами

Поскольку и — единственный свободный вектор, то эти интегралы должны иметь вид

川=пии, 7屮=(р + р) 〃卩"V + рЕ”

(выписанные соотношения представляют собой не что иное, как определения, даваемые молекулярно-кинетической теорией для величин п, р, р).

Записать п, р и р в виде 1-мерных интегралов.

Вывести соотношение

dp == (р + р)[Т dT + nkTd 仇

Исходя из первого начала термодинамики, доказать, что 々ТО совпадает с химическим потенциалом N = (pjp)//i —Ts.

Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана р — nkT при любой температуре Т.

Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана соотношение р = /г [т + 万(龙Т)] является приближенным и справедливо лишь при kT《加.Вывести точное соотношение для р/n. Во что переходит р/n в пределе при 々Т》т? (Здесь m — масса частицы газа.)

Задача 5.35. Найти зависимость у (Т) отношения удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме от температуры для идеального газа Максвелла — Больцмана.

ГЛАВА 6 МЕТРИКА

Метрическая геометрия — геометрия, определяемая формулой расстояния между двумя бесконечно близкими точками 力$2= —gap dxa dxp, — лежит в основе общей теории относительности и большинства последующих глав этой книги. Разумеется, особо важную роль играет метрика пространства-времени, которую чисто формально можно локально преобразовать в метрику Минковского. Это означает, что для любой точки Р в пространстве- времени существует преобразование координат, в результате которого в точке Р будет выполняться равенство

Sfap = Лар-

Задача 6/

Доказать, что 2-мерное пространство с метрикой

ds?=加一v2du2(1)

представляет собой не что иное, как плоское 2-мерное пространство Минковского, обычно описываемое метрикой

ds2 = d%2 — d/п(2)

Для этого необходимо найти преобразования координат x(vt “) и t(v, и), переводящие метрику (2) в метрику (1).

Доказать, что для свободно движущейся частицы компонента 4-импульса Ри постоянна, а компонента Pv отлична от постоянной.

Задала 62 Доказать, что линейный элемент

由2 — R2 [血2 + sin2 a (d®2 + si口2 仆 d屮2)]

соответствует гиперсфере радиуса R в евклидовом 4-пространстве, т. е. геометрическому месту точек, отстоящих на расстоянии R от некоторой заданной точки.

Задача 6.3& Метрика для поверхности земного шара имеет вид

ds2 = &2 (d%2 COS2%d屮2),

где X — широта, а ф —долгота. Метрика плоской карты мира с прямоугольными координатами хну имеет вид

ds2 =d炉 _(_ 弘/2.

Нас интересует не геометрия карты, а геометрия изображенной на ней поверхности земного шара. Записать метрику земной поверхности в координатах х и у, нанесенных на карту мира: а) в цилиндрической проекции, б) в стереографической проекции.

Задача 64 Проекция Меркатора определяется следующим образом. На карте вводятся прямоугольные координаты (х, у), такие, что любая прямая на карте соответствует линии постоянного азимута (фиксированного положения стрелки компаса) на поверхности земного шара.

Доказать, что в проекции Меркатора точке на поверхности земного шара со сферическими координатами (О, (р) на карте соответствует точка с координатами х = ф, y = lnctg(S/2).

Как записывается метрика земного шара в координатах (招 4)?

Доказать, что, за исключением особых случаев, когда у = 0 или х = const, большим кругам соответствуют трансцендентные кривые shg = asin(% + p).

Задача 6.5. Внешне некоторое пространство выглядит как 3-мерное с координатами х, yf z и метрикой

Доказать, что в действительности оно двумерное, и найти две новые координаты 白 н % в которых линейный элемент принимает вид

£/52 = ^С2 + ^Л2'

Задала 66 Доказать, что свертка вектора V с «проекционным тензором» P = g + u®u проектирует вектор V на 3-пространство, ортогональное вектору 4-скорости и. Если п —единичный времениподобный вектор, то соответствующий ему проекционный оператор имеет вид P = g —n ® п (доказать). Доказать также, что проекционный оператор, ортогональный изотропному вектору, определен неоднозначно.

Задача 67 Доказать, чго при любой функции / конформное преобразование метрики ga^(尤口)柒8 сохраняет все углы. (Как определить углы?) Доказать также, что все изотропные кривые под действием конформного преобразования переходят в изотропные кривые.

Задача 68 Метрику в пространстве скоростей частицы можно ввести, определив расстояние между двумя близкими скоростями как их относительную скорость. Доказать, что эту метрику можно привести к виду

ds2 =政2 + sh2 х (d俨 + sirP " d屮?)，

где величина скорости у = th %,

Задала 69 На многообразии, обладающем топологией 2-сферы, в окрестности точки 行= -^, % = 0 введена метрика

ds2=d®2 + ” 一仆3)2 政2

На многообразии имеется ровно одна точка, которая не является локально плоской, — в этой точке многообразие имеет «коническую» особенность1}. Доказать, что существуют два различных максимальных аналитических продолжения метрики (т. е., что метрику можно продолжить двумя различными способами), удовлетворяющих условию, согласно которому у многообразия существует лишь одна коническая особенность. Это означает, что в локальных координатах метрика не всегда «ухватывает» глобальную структуру многообразия. (Указание. Рассмотреть периодичность координаты %.)

Задача 6.10. Найти наиболее общий вид (пространственно) сферически-симметричной метрики пространства-времени.

D См. также задачу 16.15.— Прим. ред.

ГЛАВА 7

КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Частные производные вектора или тензора по пространственным координатам (например,优* или QaB…憾…，J сами по себе не являются компонентами тензора. Это обстоятельство, а также кр иволи ней ность координат, необязательная в плоском и неизбежная в искривленном пространстве, которую необходимо учитывать, приводят к идее о ковариантном дифференцировании.

Тензор, возникающий при дифференцировании тензора Q с компонентами 0aB…* …，обозначается VQ и имеет компоненты

-rWP-vv...

(для каждого индекса исходного тензора Q имеется по одному «поправочному» члену). Величины Г называются символами Кристоффеля, или коэффициентами (аффинной) связности. В координатном репере они связаны с частными производными метрического тензора соотношениями

「“By =纟冲「呻丫 = Y g""依阳 y + g^Y，В 一 gB” Q

(первое равенство служит определением величины Гмру). Символы Кристоффеля представляют собой наборы чисел, но не являются компонентами тензора (преобразуются не так, как тензор).

Свертка ковариантной производной тензора и вектора и называется производной тензора Q по направлению и:

(VQ) • И三JQ=(2耶…У6•

Если вектор и совпадает с касательной к кривой, на которой введен параметр X, то иногда вместо 〃a = d%°7d入 пишут u = d/d入

Если вектор и совпадает с одним из базисных векторов ей, то ▽uQ принято записывать в виде

Ve^Q^ VaQ.

Базисные векторы еа позволяют представить символы Кристоффеля в виде

VB% н 7%§% ШШ Гцар = е^ • Vp®a*

Оператор ковариантного диффе ре нци рова ни я 7 обладает всеми хорошими свойствами, которые можно ожидать от оператора дифференцирования, за исключением того, что в искривленном пространстве VuVv =И= VvVu (см. гл. 9).

Пусть и —вектор, касательный к некоторой кривой. Мы скажем, что тензор Q параллельно переносится вдоль этой кривой, если

VUQ = 0.

Если параллельно переносится сам касательный вектор и, т. е. если

Vuti = 0

(иначе говоря, если касательно百 вектор «ковариантно постоянен», то кривая называется геодезической — обобщением прямой в плоском пространстве. Если xa (X) — геодезическая (ua = dxa/dX), то компоненты уравнения геодезической имеют вид

0=(Vuu)^ = ^ + «Mr^p.

Параметр 入 дожен быть аффинным вдоль кривой. Для неизотропных кривых это означает, что параметр X должен быть пропорционален собственной длине.

Пусть кривая времениподобна, и — касательный вектор к кривой и а = VuU = Z)u/dr. Говорят, что вектор V переносится вдоль и в смысле Ферми — Уокера, если

VUV = (u ® а —а ® и) • V.

Задача 7・/・ Доказать, что коэффициенты. связности ^仪卩丫 не удовлетворяют закону преобразования тензоров.

Задача 7・2・ Предположим, что в 2-мерном плоском евклидовом пространстве, описываемом полярными координатами 乙亂 геодезическими служат обычные прямые.

Пользуясь тем, что геодезические известны, и уравнением геодезических

d2砂

найтн коэффициенты связности Га^у.

Предположим, что в декартовых координатах 尤,g, связанных с полярными координатами г, 館 как обычно, ковариантная структура задана соотношениями

F*** =「&/==…=0・

Пользуясь законом преобразования коэффициентов связности, вычислить их в полярных координатах г,行，

Исходя из линейного элемента ds2 = d* + r2d®2, на自ти символы Кристоффеля обычным способом — как производные компонент метрического тензора 且卩、,.(Разумеется, символы Кристоффеля, вычисленные всеми тремя способами, должны совпадать.)

Задала 7,3・ Рассмотрим уже знакомое нам метрическое пространство

^32 = £/Г2 + Г2^2.

Написать 2 уравнения, вытекающие из уравнения геодезических, и доказать, что

产患=r0=const,

—первые интегралы этих уравнений.

Пользуясь результатами, полученными в п. ”а”, вывести дифференциальное уравнение первого порядка для г (S) (иначе говоря, исключить параметр s и ввести вместо него параметр О).

Пользуясь тем, что метрическое пространство ds2=dr2 4-г2 d42 является плоским 2-мерным евклидовым пространством, написать общее уравнение прямой в полярных координатах г, О. Проверить, что прямая удовлетворяет уравнению, выведенному в п. „6м.

Задача 7.4. Найти все коэффициенты связности Гару и все времениподобные геодезические для 2-мерной метрики ds2 = =(以2 -由2)/伊.

Задача 7・5・ Доказать, что метрический тензор ковариантно постоянен.

Задача 76 Доказать, что в координатном репере с диагональным метрическим тензором символы Кристоффеля определяются соотношениями

Г%л==О, Г%Г%л==О, Г%]0g泣2Яgм，°"仇]0g泣2Яgм，°"仇

Г%л==О, Г%

Г%л==О, Г%

]0g泣

2Яgм，°"仇

]0g泣

2Яgм，°"仇

Г% = £ (In (I g叩 I)%), 「加= -5(ln(| 痂 J)%).

Здесь n，v，儿 и по повторяющимся индексам суммирование не производится.

Задача 7・7・ Доказать следующие тождества:

gap, у =「сфу+「胧丫；

ga成吗y =一с噎冲,Y；

В) ^₽,у = -Г«^₽-Г₽^к；

Г) g, a = — gg^\ a = g^g^y. a；

Д)F%BH(ln|gM)小(в координатном репере);

е) ^1Т%е) ^1Т%Ж)』a； aЖ)』a； a二一г41T- (g°1Vlg ]%),” (в координатном репере);

е) ^1Т%

е) ^1Т%

Ж)』a； a

Ж)』a； a

—!—(Igl1^ А^) ^ (в координатном репере);

国1/2

А^. р = —^ (I g ^^А^)г р — Г\и/1^ (в координатном репере);

н) 4耶 =*0gг7224aВ)(в координатном репере, если тен

зор 4呻 антисимметричен);

к) □ S - S； ^ a = —^ (I g р/2 ^a₽S, р), a (в координатном репере).

Задача 7.8. Пусть A ^det (/l^v), где А^ — тензор второго ранга. Доказать, что А не скаляр, т. е. что значение 4 изменяется при преобразованиях координат. Поскольку А не скаляр, ковариантную производную нельзя определить как 4&= 4 a* Каким образом следует определить 4 a (через А^ и 4)?'

Задача 7.9. В некоторой заданной точке Р геодезическая времениподобна. Доказать, что она времениподобна в любой своей точке. Аналогичные утверждения справедливы для геодезических, пространственноподобных и изотропных в точке Р.

Задала 7・/0・ Вывести уравнение геодезических, пользуясь определением геодезической как кривой экстремальной длины.

Задала 7.11. Аффинным называется параметр X, при котором уравнение геодезических приводится к виду

d旣ad%B d%Y — p

Доказать, что все аффинные параметры связаны линейными преобразованиями с постоянными коэффициентами.

Задача 7,12. Доказать, что в плоском пространстве-времени закон сохранения для 4-импульса свободно движущейся частицы

можно записать в виде Vpp = O. Доказать также, что частицы с нулевой массой покоя движутся вдоль времениподобных геодезических.

Задача 7J3. Предположим, что координата х1 циклическая, т. е. компоненты метрического тензора g-ap не зависят от х1. Доказать, что если р — импульс свободно движущейся частицы, то компонента рх постоянна вдоль мировой линии частицы.

Задала 7,14. Доказать следующий вариант принципа Ферма, справедливый в общей теории относительности. В любой статической метрике (goy =gal3 о = О) рассмотрим все изотропные кривые, проходящие через две точки пространства / = # и / =力厶 Чтобы добраться из # в 6 вдоль каждой такой изотропной кривой /(/), необходимо затратить определенное координатное время АЛ Доказать, что кривые с экстремальным временем А/ являются изотропными геодезическими пространства-времени.

Задача 7・/5・

Доказать, что геодезические в пространстве скоростей с метрикой, введенной в задаче 6.8, служат траекториями, следуя по которым с переменной скоростью, космический корабль расходует наименьшее количество топлива.

Космический корабль, летящий в межзвездном пространстве со скоростью Ui (относительно Земли), изменяет скорость полета (новая скорость равна Р2) так, чтобы свести до минимума расход топлива. Какова наименьшая скорость космического корабля относительно Земли за время этого маневра?

Задача 7.16. В точке 存工窃。，屮=0 на поверхности 2-сферы ds2 = d^ + sin2 -О с/ф2 вектор А равен е®. Во что перейдет вектор А после параллельного переноса вдоль окружности О = ^? Чему равна величина вектора А?

Задача 7.17. Рассмотрим наблюдателя, движущегося с 4-скоростью и и переносящего с собой 4 базисных вектора % по закону

Каков наиболее общий вид тензора А^, если:

Базисные векторы должны быть ортонормированными?

Должно еще выполняться равенство eg = и (т. е. система отсчета должна совпадать с системой покоя наблюдателя)?

Кроме того, пространственные векторы не должны порождать повороты (т. е. наблюдатель должен видеть, что на свободно падающие частицы не действуют кориолисовы силы)?

Задача 7.18. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если их подвергнуть переносу Ферми ~ Уокера вдоль кривой 甘.

Задача 7.19. Доказать, что перенос Ферми —Уокера вдоль геодезической совпадает с параллельным переносом.

Задача 7,20, Записать следующие выражения в безындекс- ных обозначениях：

а) 〃；山吻б) 1/2 — UW，

в) Tap;yVaWW\г) W^V^vU\

Д)取a； Y0SUB + 取а； \5;山自-иа； р^^; yU\

Задача 7・2/. Доказать, что траектории световых лучей в статическом изотропном пространстве-времени можно описать, введя надлежащим образом подобранный «показатель преломления» п (л/), изменяющийся от одной точки пространства к другой. Как показатель преломления п зависит от компонент метрического тензора gxB? Предположить, что 且邱 имеет вид

ds? = goo dt2 — / (d 后 + dxl + dxl).

Задача 7.22、Пьяный астронавт включает двигатели своего корабля короткими импульсами, «выстреливая» выхлопными газами беспорядочно в разные стороны. По измерениям, произведенным в мгновенно сопутствующей системе отсчета, каждое включение двигателей соответствует бусту на Аи《& Найти распределение вероятности для скорости космического корабля после п включений двигателей, где п — очень большое число. Доказать, что пьяный астронавт разгонит свой корабль до релятивистских скоростей с гораздо меньшей эффективностью, чем его трезвый коллега (неукоснительно следящий за тем, чтобы корабль двигался в одну и ту же сторону): для достижения одной и той же скорости число включений двигателей у пьяного астронавта в среднем будет больше в Зс/Аи раз.

Задача 7.23・

Предположим, что векторное поле к ортогонально семейству гиперповерхностей («гиперповерхностно ортогонально»). Доказать, что тогда 々[因 \Лл] = 0.

Какой геометрический смысл имеет «гиперповерхностно ортогональное» векторное поле, если V] = 0?

Задача 7.24. Доказать, что любая конгруэнция изотропных кривых (т. е. любая ортогональная им гиперповерхность) состоит из изотропных геодезических.

Задача 7.25. Доказать, что вариационный принцип

б J (ga§戈0^°) ds = °

порождает те же геодезические, которые заданы их определяющим свойством

3(gaMa叫% 出=0,

если s —собственная длина (а не произвольно выбранный параметр) и х = dxa/ds. Доказать также, что если у 三(gap尤°^6)明，To

3尸(y)ds=O

порождает одни и те же геодезические при любой монотонной функции 尸(办

ГЛАВА 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (НОВЫЕ ПОНЯТИЯ)

Вектор В связан со своими контравариантными компонентами 8卩 соотношением

В =叫，

где еи — базисные векторы. Ковариантные компоненты 舔 задают тот же вектор, но представляют его как «вектор» другого типа — так называемую 1-форму. (Иногда 1-формы также называют «ковариантными векторами».) Для 1-форм аналог приведенного выше соотношения имеет вид

月=Вийц,

где тильда - означает 1-форму, а 而卩— базисные 1-формы с ковариантными компонентами (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) и т. д. Произвольный тензор Т с компонентами Та^„у& - можно представить в виде

т = Тсф …彼…而а ®6₽0...®еу(х)е6®....

Скалярное произведение двух векторов или двух 1-форм содержит компоненты метрического тензора и обозначается точкой:

А • В = gMv4"8",A- R = gw418V

(здесь ^ — матрица, обратная матрице g^*). Скалярное произведение вектора и 1-формы содержит не компоненты метрического тензора, а лишь суммирование по индексу. Иногда это подчеркивают обозначениями, записывая его в виде

В * А^ (В, А〉三稣/1 叫

Поскольку 〈金林,久〉=6口旷,то базис 6м называется «взаимным» с базисом % Если В и А — 1-формы, соответствующие векторам В и А, то

А • В = А • В = (В, А) = (А, В).

Особенно часто используется 1-форма ^- градиент скалярной функции /. Скалярное произведение этой 1-формы и вектора v

порождает производную функции / по направлению v:

〈窗 V〉= Vv/ = f,aUa.

Базисные векторы еа, соответствующие выбранной системе координат, касательны к координатным линиям. Именно поэтому их иногда обозначают

_ деа=

Аналогичным образом построенные по таким базисным векторам 1-формы являются градиентами координатных поверхностей

Наоборот, поскольку метрику пространства-времени всегда можно локально преобразовать в метрику Минковского, то в каждой точке всегда можно найти ортонормированную систему базисных векторов и 1-форм, не обязательно совпадающих с касательными векторами к координатным линиям и с градиентами к координатным поверхностям. Их принято обозначать е^,金@, где “ указывает на ортонормированность системы. Заметим, что соотношения.

<6а, ер> =6ар, ea-e₽ = grap и ®«.w₽ = g-ap выполняются всегда. Если же базис ортонормированный, то, кроме того, выполняются соотношения

§■«₽ = %₽ И 々6 = 11aB.

Если локальный ортонормированный базис в пространстве-времени свободно падает (т. е. является базисом свободно падающего наблюдателя), то в начале системы отсчета все символы Кристоффеля Г。в? обращаются в нуль.

Коммутатор двух базисных векторных полей

Veae₽ 一 Vepea = [ea, ep]三 ％鼠 eY

тождественно равен нулю (с^ = 0) в том и только в том случае, если еа и ер — касательный векторы к некоторой системе координатных линий (координатный репер). В общем случае (не обязательно координатного репера)

Гцру ^ еи • (VYep) = ~ (g^t Y + g-цу, ₽ * gpy, н + с^у + с^ с^ •

Тензор р-го ранга со всеми ковариантными индексами, полностью антисимметричный по всем индексам, называется р-фор- мой. Полностью антисимметризованное прямое произведение форм обозначается Д.

Понятия производной Ли, переноса Ли и внешнего дифференцирования форм развиты в задачах.

Задача

В пространстве-времени введены координаты ^ с базисными векторами 0/@%仪 и базисными 1-формами dx°\ Вычислить

(Sv®, d/d%。〉，〈貯，д/дх3) (5/5х°) • (5/5%1), 最0。族1, dx®*dx®.

Какому вектору соответствует 1-форма 族工？

Задача 82 Обычный базис в полярных координатах е； =ел> е* = г'^о не является координатным репером. Рассмотреть базис 1-форм й\ взаимный с этим базисом:

〈苏，е^> = 6*/>

Найти функцию /, для которой 而，=呪 н доказать, что не существует функции g, для которой 而&=击.Решить задачу, не налагая на полярные координаты никакой метрики.

Задача 83. Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять в 3-мерном евклидовом пространстве поле 1-форм & для того, чтобы существовала функция /, для которой 6=鋁？

Задача 8・4・ Доказать, что если Qj —р-форма, й2 —//-форма, то &/\凡=(一1 产%А%.

Задача 85 Внешний дифференциал формы й можно определить аксиоматически, задав следующие его свойства:

Если й —р-форма, то dQ — (р+ 1)-форма.

d (Qi + %) = d& + di}?.

Для любой 0-формы / (скаляра) d/ определяется из соотношения 〈席 v〉=%f, которое должно выполняться при любом векторе v.

d (lit Д й3) ~ dQj Д d£}2 + (— 1 )^ йх Д dQ2l где йг--р-форма. [Примечание. При р~0 (/ — скаляр) это соотношение принимает вид dT/12) =d//\12+/dS.]

dd0 = O для любой дифференциальной формы й.

丿[ругое определение исходит из того, что р-форма представляет собой полностью антисимметричный ковариантный тензор

pro ранга и задает внешнюю производную как полностью анти- симметризованную ковариантную производную. Доказать, что оба определения внешнего дифференциала формы эквивалентны.

Задача 8・6・ Рассмотрим 2-форму в n-мерном пространстве: а—/(х1, х2, .,., хл) ^ДЙх2,

Предположим, что в некоторой области этого пространства, содержащей 工1=0,

dot = 0.

Построить 1-форму

「 11

6= %1"(三%1,产%")或 我2

и доказать, что a = d₽.

Задача 8.7・ Компоненты тензора Максвелла &в можно рассматривать как компоненты некоторой 2-формы F. Доказать, что уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде dF = 0, d * F = 0.

Задача 8.8・ В пространстве-времени 3-поверхность называется пространственноподобной, времениподобной или изотропной, если вектор нормали к ней соответственно пространственноподобный, времениподобный или изотропный. Требуется найти три ортогональных (и, следовательно, линейно-независимых) вектора, принадлежащих некоторой 3-поверхности. Доказать, что для пространственноподобной 3-поверхности все векторы будут пространственноподобными ,для времениподобной поверхности два вектора будут пространственноподобными, а один времениподобным и для изотропной поверхности один вектор будет изотропным, а два вектора пространственноподобными.

Задача 8・9 Доказать, что интеграл

俨0儿，

где 尸从——некоторое векторное поле, S — ориентированная 3-мерная гиперповерхность в пространстве-времени, не зависит от параметризации 尤口 = %口(а,力，с) гиперповерхности S. [Определение ^32ц приведено в задаче 3.30.]

Задала 8,10. (Примечание. Эта задача предполагает знакомство с теорией дифференциальных форм Картана, не входящей в большинство курсов по теории относительности. Для решения

последующих задач знать дифференциальные формы не требуется.) На языке дифференциальных форм обобщенную формулу Стокса можно представить в виде

,d心 =，也

К чему сводится эта формула в следующих частных случаях:

Q - 3-мерная ориентированная гиперповерхность,令= ；/d2s无；

Q —4-мерная ориентированная гиперповерхность, ^=/^d3S^;

Q - 3-мерная ориентированная гиперповерхность,令= = F"vd2W貝V, где тензор 尸卩” антисимметричен.

Вывести из обобщенной формулы Стокса известное соотношение_

0讶•近=,(十义用•曲.

Задача 8JL Доказать, что, за исключением самого метрического тензора g и его произведений на себя (например, g®g), не существует других тензоров, образованных из 10 компонент метрического тензора ^а₽ и их 40 первых производных ga£n・

Задача &/2・ Доказать, что:

В координатном репере символ Кристоффеля「耶丫 симметричен по двум последним индексам.

В ортонормированном репере символ Кристоффеля Гару антисимметричен по двум первым индексам.

Задача 8.13. Производной Ли скалярной функции называется производная по направлению

%/=%£

Производную Ли для векторного поля у определим как

НхУ三[х, у]=?хУ-%Х.

Оператор дифференцирования в смысле Ли обладает всеми обычными свойствами оператора дифференцирования и всегда порождает тензор того же ранга, как и дифференцируемый тензор.

Найти производную Ли 1-формы.

Найти производную Ли тензора с компонентами Т"в・

Задача 8.14. Пусть А = d/dX — касательное векторное поле к конгруэнции (семейству кривых) 户二严的,В — некоторое векторное поле. Доказать, что закон переноса ZaB = 0 имеет следующий геометрический смысл: векторы В соединяют точки с равными значениями X, принадлежащие бесконечно близким кривым конгруэнции»

Задача 8.15. Доказать, что дифференцирование в смысле Ли коммутирует с операцией свертки. '

Задача 8.16, Доказать, что

“ и玄 V 玄 V刀 u === “ [u, v]・

Задача 8.17. Производную Ли геометрического объекта ①/[%u(P)] (А означает все тензорные индексы, ^(Р) — координаты точки Р) можно определить следующим образом. Выполним инфинитезимальное точечное преобразование Р()т Рм или в координатной форме %u(Po) =/(Pn)十守(Pn) (поскольку ^ — бесконечно малая величина, ее значение можно вычислять в любой из точек Ро или Pn), Кроме того, произведем инфинитезимальное преобразование координат, придающее координатам точки PN те же численные значения, которые соответствовали точке Ро в исходных координатах:

麼仍n)=抨(p)

После этого положим по определению

冗揑4 (Р°) = lim [Ф» (Р°) — Ф» (Pn)L

Рассмотрев следующие случаи:

Фл — скалярное поле,

Ф^Дц,

①/ = T^t

доказать, что это определение производной Ли эквивалентно определению, данному в задаче 8.13.

Задача 8.18. Вектор v требуется перенести вдоль кривой с касательным вектором и. Что требуется знать для параллельного переноса Ферми — Уокера и переноса Ли: метрику, коэффициенты аффинной связности или векторное поле и (х) вне кривой?

Задача 8.19. В 3-пространстве с метрикой d^^dx^ + dy^ + + dz2 задано векторное поле 炉=(—弘 х, z"), а = const. Некоторый вектор и перенесен в смысле Ли вдоль у из точки А в точку В, а затем параллельно перенесен по тому же маршруту в обратном направлении в точку А. При каком значении а существует вектор ^, не изменяющийся при таком переносе?

Задача 8.20* Найти наиболее общее векторное поле, которое всюду допускает параллельный перенос, перенос Ферми — Уокера и перенос Ли вдоль самого поля.

Задача 8.2L Пусть й —р-форма. Доказать, что Х^ (dQ)= =d (ZxQ)・

Задача 8.22. Векторный анализ в 3-мерных ортогональных криволинейных координатах представляет собой частный случай тензорного анализа с gy = /i：6廿(по повторяющимся индексам суммирование не проводится!), где 財一функции координат, называемые «масштабными множителями». Компоненты векторов часто относят к («физическому») ортонормированному реперу 凉=比(1炉 (по повторяющимся индексам суммирование не производится!). Вывести выражения для:

J) VS,

V х V,.

V-V,_

V2S, где S —скалярное, а V — векторное поле.

Задача 8.23. Вывести выражения для V-А и V х А в сферических координатах.

Задача 8.24. Доказать, что если £11VH 厶明也一 4卩；v, то 尸m"；2=0，

Задача 8.25. В произвольном пространственно-временном многообразии (не обязательно однородном или изотропном) выберем начальную пространственноподобную гиперповерхность S『, зададим на ней произвольную координатную сетку (%匕 ％», %з), выпустим из точек гиперповерхности ортогональные ей геодезические мировые линии и параметризуем их так, что (%* №, %з)= ^ const, %°三f =勿+ % где т — собственное время вдоль каждой мировой линии (гиперповерхность S/ соответствует т = 0). Доказать, что в зт陳 системе координат («гауссовы нормальные координаты») метрика принимает синхронную форму:

ds2 = — dt? * gu dxi d/.

Задача 8.26.

Доказать, что если g冲 и g^ — компоненты двух симметричных тензоров, то_

s^v=r\v-r\v

—компоненты тензора (Г и Г —символы Кристоффеля, построенные из компонент тензоров g и g, как обычно).

Предположим, что тензоры g^ и ggv обладают одними и теми же геодезическими. Доказать, что в этом случае

S%v = S^ipv + 6%,屮卩，

где 1ри — компоненты некоторого вектора.

Задача 8.27. Вычислить коэффициенты связности метрикиds2 = — 0* 或 2 + 6恥 dd + 舟(d/ + sin3 0 加叽(a, p, у— функции, зависящие от г и /)

в ортонормированном репере.

Задача 828* Красное смещение между двумя наблюдателями (с 4-скоростями ид и Ив) можно измерить двумя способами: 1) по энергиям фотонов (4-импульсам р), распространяющихся вдоль изотропных геодезических между двумя наблюдателями (1+之曰 и貝・ 6/Ub・P)； 2) по собственному времени между двумя изотропными геодезическими, определив отдельно Дтд между отправлением двух сигналов одним наблюдателем и отдельно Дт^ между их приходом к другому наблюдателю, т. е. 1 + г = Дтд/Дтв. Доказать, что оба способа эквивалентны.

ГЛАВА 9

КРИВИЗНА

Изучение кривизны основано на рассмотрении в координатном репере тензора кривизны Римана

R%6 м，一 翁 + ГиЛ-Гир₽Рта.

Ковариантные компоненты тензора Римана связаны несколькими соотношениями симметрии:

Rx0y6 = Ry&z0, Ксфуб = — RpayS,

RccBy6 = ^арбу» Ra [6丫6]=。・

Из тензора Римана строится (симметричный) тензор Риччи и скаляр Риччи

R三R%・

Тензор Вейля

。皿乂 = R^3乂^ (g?w%乂 一 gb«&v — g^vR入乂 + g^*R九 J +

+ ^ fevgux 一 g九虑騎”)R

называют также конформным тензором, желая подчеркнуть его инвариантность относительно конформных преобразований. Он обращается в нуль в том и только в том случае, если метрическое пространство конформно-плоское (т. е. переводится конформным преобразованием в пространство Минковского).

Тензор внешней кривизны гиперповерхности, натянутой на базисные векторы д, е/,с единичным вектором нормали п обозначается К, а его компоненты как

Задача 9.L На сфере радиуса а локальную декартову систему координат можно попытаться построить двумя способами: а) из геодезических, б) из (ортогональных) линий постоянной

долготы и широты. Оба способа приводят к отклонениям от хорошей декартовой системы координат (например, сумма углов «прямоугольника», образованного линиями координат, отлична от 2л, а разности длин «параллельных» сторон не равны нулю). Доказать, что эти отклонения по порядку величины сравнимы с отношением (площадь прямоугольника)/^2.

Задача 92 Сколько независимых компонент имеет тензор Римана в n-мерном пространстве?

Задача 9・3・ Математические манипуляции с тензором Римана нередко проводят при помощи ЭВМ. Вместо того чтобы производить вычисления с компонентами R(i, /,財 /), где каждый из индексов t, /,力，/ принимает значения 0, 1,2, 3, и вводить в память машины 44 = 256 компонент тензора, можно воспользоваться симметриями тензора Римана и существенно уменьшить размеры вводимого в машинную память массива. Написать подпрограмму, в которой все компоненты тензора Римана вводятся в машинную память в виде массива, содержащего не более 21 элемента.

Задача 94 Вычислить все не обращающиеся в нуль компоненты тензора Римана %削 & /,財 / =仆，屮)для метрики

ds2 === d (d®2 + sin2 仆 d(p2) 2-сферы.

Задача 9・5・ Найти символы Кристоффеля и компоненты тензора кривизны Римана в 2-мерном пространстве-времени:

ds? = d* — * d〃2.

Задача 96 Ввести систему координат на торе (2-мерной поверхности «бублика» в 3-мерном евклидовом пространстве). Вычислить все компоненты g^, Г^аР и %怜

Задача 9・7. В пространстве с размерностью, меньшей 4, тензор Римана удается записать весьма просто.

Найти тензор Римана в 1-мерном пространстве.

Выразить тензор Римана в 2-мерном пространстве через метрический тензор и скаляр Риччи.

Выразить тензор Римана в 3-мерном пространстве через метрический тензор и скаляр Риччи.

Задача 9*8. Доказать соотношение

2 Va； [vx]三 P(z； vx — Pa; xv ™【'oR°av先

3 Заказ 1 10

и обобщить его для коммутатора вторых производных тензора произвольного ранга…°

Задача 99 Доказать, что вторые производные скалярного поля коммутируют (т. е. S； ар = 5; ра). Для третьих производных S；(cc6)y ВЫЧИСЛИТЬ S；(ар)у И S； а [р<у]*

Задача 9、Ю. Доказать, что для любого тензора второго ранга

4 叫[XV = 4 吗 5

Задача 9.//. Бесконечно малый контур в форме параллелограмма можно задать при помощи дифференциальных перемещений u, V, являющихся сторонами параллелограмма. Вектор А переносится параллельно вдоль этого контура (т. е. перемещается последовательно на u, v, —и, —v). Доказать, что приращение вектора А, вызванное переносом вдоль бесконечно малого параллелограмма, равно

6肥=一个師64%Y战

Задача 9.12. Тензор кривизны Римана можно вычислить при помощи оператора Римана R, определенного соотношением

R (А, В) С — (VAVB — Vb^a ^[а. bi) С.

Доказать, что оператор R в точке Р линеен по аргументам А, В и С и зависит только от их значений s точке А, а не от того, каким образом они изменяются в окрестности точки Р.

Доказать, что

(R(A, B)C)a = Ram<”九В。，

Задача 9.13. На двух «соседних» геодезических аффинные параметры заданы так, что близким точкам соответствует мало отличающиеся значения аффинного параметра X. Пусть wa s dx01/^ ——касательная к одной из геодезических, а п — бесконечно малый вектор, соединяющий точки, соответствующие равным значениям аффинных параметров на двух геодезических. Доказать, что расхождение геодезических удовлетворяет уравнению

与 $ + R"队，6〃％Y〃° = 0.

Задача 9・74・ В подходящим образом выбранной системе координат гравитационное поле Земли приближенно (с точностью до наименьшего, не обращающегося в нуль порядка по М/г) опи-

сывается метрикой

ds2 = —( 1 一 2〃〃) 〃2 + (1 + 2M/r) (d^ + dp? + 虑2), 厂三(炉+乎+步)%,

M — масса Земли (c = G = l).

Предположим, что спутник «Скайлэб» обращается вокруг Земли по круговой экваториальной орбите. Чему равен период его обращения? Космонавт запускает контейнер с мусором на близкую орбиту и наблюдает за движением контейнера относительно «Скайлэба». В некоторый момент времени удаление контейнера от «Скайлэба» описывается вектором

g==炉(контейнер) —炉(Скайлэб),

Пользуясь уравнением для расхождения геодезических, найти компоненты относительного движения f как функции времени.

Задача 9.15. Доказать циклическое тождество

凡С6Y6 + R(x6By + RocyGR =。

и тождества Бианки

^абру^ V + RccSvB； у + ^a6yv; 0 н。・

Задача 9J6. Доказать, что нулевая дивергенция тензора Эйнштейна

G|iv三R^v —2"g现次

(т. е. G%； ц = 0) следует из тождеств Бианки.

Задача 9./7・ Доказать, что обращение в нуль тензора Римана является достаточным условием для того, чтобы пространство-время было пространством Минковского, т. е. для приведения метрического тензора g^v при помощи преобразования координат к виду Т]叩.

Задача 9.18. Пучок света в некоторой точке имеет в попе* речном сечении форму круга. Доказать, что этот пучок света не испытывает растяжения в поперечном направлении (т. е. его поперечное сечение не деформируется в эллипс), если тензор Вейля равен нулю.

Задача 9J9. Вычислить тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну конформно-плоской метрики g^v = е2фт]^, где Ф = Ф (好)一произвольная функция.

Задача 9・20・ Вычислить в ортонормированном репере тензор Римана для метрики

ds2 = — 0“ df2+湃 dr皆 + 仪丫(小?2 + sina v d^),

a, p, v —функции от r, t.

Найти для этой метрики тензор Риччи, скалярную кривизну и тензор Эйнштейна.

Задача 9.21. Рассмотрим тензор Римана, соответствующий плоской гравитационной волне, т. е. /?ар7б = ^ам(и)» те и — «запаздывающее время» (V〃 • V〃 — 0). Найти число независимых компонент такого тензора Римана. При решении задачи не вводить предположения о том, что Каруб удовлетворяет уравнениям поля Эйнштейна.

Задача 9・22・ В некоторый момент времени измерены координатные ускорения (d2xa/dx2) для 〃 близко расположенных пробных частиц. При каком наименьшем значении 〃 по данным измерений удастся восстановить все компоненты П” и при каком все компоненты R%。？

Задача 9・23・ Пусть А и В —два линейно-независимых вектора, касательных в некоторой точке к 2-мерной поверхности в пространстве размерности N2. Величина

К RaW%a4BBYB6

называется римановой кривизной 2-мерной поверхности в этой точке. Доказать, что риманова кривизна К не изменится, если векторы А и В заменить их линейными комбинациями.

Задача 9・24・ Пусть Л — риманова кривизна в некоторой точке на 2-мерной поверхности, определенная в задаче 9.23. Доказать, что если А и В — касательные векторы в этой точке к 2- мерной поверхности, а вектор А подвергнут параллельному переносу по малому контуру, лежащему на 2-мерной поверхности, то изменение угла между векторами А и В по порядку величины будет равно

Д^ = |ЛД2|,

где Д^ — площадь участка 2-мерной поверхности, заключенного внутри контура.

Задача 9.25. Предположим, что в некоторой точке Р риманова кривизна К, определенная в задаче 9.23, не зависит от того, какая 2-мерная поверхность проведена через эту точку. Дока-

зать, что тогда

Асфуб = К (gaygM — ^аб^ру)*

Задача 9.26. Доказать, что если риманова кривизна изотропна, то тензор кривизны Римана можно представить в виде

Ксфуб = К (gotYgM — get第Вт)・

Пользуясь тождествами Бианки, доказать, что в этом случае риманова кривизна К должна быть постоянной (теорема Шура).

Задача 9.27. Доказать, что если тензор Римана можно представить в виде

RaР冲乂 = k (g九词读尤一g儿忠p/v), то пространство конформно-плоское.

Задача 9.28. В точке q на 3-поверхности £ (фиг. 1) касаются 2 кривые: 1) Cs —кривая на 3-поверхности и 2) С — геодезическая 4-мерного пространства, в которое вложена 3-поверхность £•

Фиг. 1.Пусть п — единичный вектор нормали к поверхности £• Вектор 『 = 1/2〃*； в〃В (где и —касательный вектор к Cs) служит мерой скорости, с которой расходятся кривые С и С* Доказать, что скорость расхождения п•自 можно представить в видеФиг. 1.Пусть п — единичный вектор нормали к поверхности £• Вектор 『 = 1/2〃*； в〃В (где и —касательный вектор к Cs) служит мерой скорости, с которой расходятся кривые С и С* Доказать, что скорость расхождения п•自 можно представить в виде

Фиг. 1.

Пусть п — единичный вектор нормали к поверхности £• Вектор 『 = 1/2〃*； в〃В (где и —касательный вектор к Cs) служит мерой скорости, с которой расходятся кривые С и С* Доказать, что скорость расхождения п•自 можно представить в виде

Фиг. 1.

Пусть п — единичный вектор нормали к поверхности £• Вектор 『 = 1/2〃*； в〃В (где и —касательный вектор к Cs) служит мерой скорости, с которой расходятся кривые С и С* Доказать, что скорость расхождения п•自 можно представить в виде

П •自=^ карыаы₽,

гд /<ар — теензор внешней кривизны для £•

Задача 9*29. Найти внешнюю кривизну сечения т = const метрики

d£4 = — du? + а3 (當)[匕丿(％*) d%‘ dN]・

Задача 9.30. Доказать, что внешняя кривизна времениподобной гиперповерхности с единичным вектором нормали п рав・ на —%*品6，где Рар = ^аР — папр — проекционный тензор (проектирующий на эту гиперповерхность).

Задача 9・3/・ Если пренебречь силой тяжести, то потенциальная энергия, обусловленная поверхностным натяжением мыльной пленки, пропорциональна площади пленки. Следовательно, мыльная пленка, натянутая на некоторый контур, в состоянии равновесия принимает форму, соответствующую минимальной площади. Доказать, что отсюда следует равенство нулю «средней кривизны» (К = К9 мыльной пленки в состоянии равновесия.

Задача 9.32* Пусть п —единичная нормаль к гиперповерхности £(п •!!=£, где £ = + 1 для времениподобной и 8 =——1 для пространственноподобной гиперповерхности). В гауссовых нормальных координатах (см. задачу 8.25), построенных на гиперповерхности £, метрика имеет вид

ds2 = 8 dn2+⑶g廿厶‘ dN.

Вывести уравнения Гаусса — Кодацци

⑷R%-⑶鹏,"+ 2 (К/严一 k"严)，

⑷R%zt = & (К第 I / — К», IQ.

Индексы 4 и 3 относятся соответственно к геометрии пространства-времени и геометрии гиперповерхности £, вертикальная черта означает ковариантное дифференцирование по ^gy. компонента тензора Римана, построенная на базисном векторе п, имеет индекс п. Вывести также уравнение для оставшейся компоненты тензора Римана

⑷R%论= 2(k的理+ ктk唳).

Задача 9.33. Пользуясь результатами задачи 9.32, вывести выражения для компонент t4,Gap тензора Эйнштейна в гауссовых нормальных координатах.

Задача 9.34. Собственные значения и собственные векторы тензора внешней кривизны называются главными кривизнами и главными направлениями кривизны. Найти главные кривизны и направления кривизны для следующих поверхностей, погруженных в 3-мерное евклидово пространство:

сферы х2 + //2 + 22=а2,

цилиндра 炉+ 〃2 = *

квадратичной поверхности (вычисления провести только в начале координат) г = х/2 (ах2 4- 2Ьху + су2).

ЗАДАЧИ71

Задача 9.35. Доказать, что если 玄―2・мерная поверхность в плоском 3・пространстве, то ее скалярная кривизна равна

(2)/? =—, Р1Р2

где pi и р2 — главные выглядит аналогичная

радиусы кривизны поверхности £ Как формула для 3-поверхности, погруженной

в плоское 4-пространство?

ГЛАВА Ю

ВЕКТОРЫ КИЛЛИНГА И СИММЕТРИИ

Пусть геометрия обладает симметрией, которая состоит в том, что существует векторное поле 自，обладающее следующим свойством: если любое множество точек сместить на ^ dX (dl — бесконечно малая величина), то все метрические соотношения между точками множества останутся неизменными. Векторное поле 自 называется векторным полем Киллинга рассматриваемой геометрии и удовлетворяет уравнению Киллинга

Е(а; В) N 扌[Еа; В + Ев； а] = О-

Задача ЮЛ. Решив уравнения Киллинга, найти векторные поля Киллинга для 2-сферы

ds* = d 串 + sin* 仆 d(p2.

Задача 10.2. Доказать, что уравнение Киллинга

厶;b + Eb；l。 эквивалентно уравнению

*蛆=。，

где g — метрический тензор. Выяснить геометрический смысл этого утверждения.

Задача Ю.З*

Доказать, что коммутатор двух векторных полей Киллинга является векторным полем Киллинга.

Доказать, что линейная комбинация векторов Киллинга с постоянными коэффициентами является вектором Киллинга.

Задача 10.4. Доказать, что в евклидовом 3-пространстве три вектора Киллинга, описывающие повороты вокруг осей х, у и г, линейно независимы в любой заданной точке, но ни одна линейная комбинация их с постоянными коэффициентами не равна нулю. Доказать, что в силу этого генераторы группы вращений

О (3) порождакл* 2-мерную поверхность, хотя сама группа 3-мернав Объяснить, почему так происходит.

Задача 10.5. Метрика для аксиально симметричной вращающейся звезды допускает 2 вектора Киллинга |(/) и |(ф). Предположим, что других независимых векторов Киллинга не существует. Доказать, что 自⑺ и &叫 коммутируют.

Задача Юб Доказать, что любой вектор Киллинга является решением уравнения

战九:丸+R%^=0.

Найти вариационный принцип, аналогичный принципу Гамильтона, из которого можно вывести это уравнение.

Задача Ю.7. Пусть | — вектор Киллинга. Доказать, что

£; 0ф rY昵卩d，

Задача 10.8. Метрика «стационарна» в том и только в том случае, если она обладает векторным полем Киллинга |, времениподобным на бесконечности («временное» направление задается оператором d/dt). «Статическую» метрику можно определить двумя способами:

как стационарную метрику, инвариантную относительно обращения времени d/dt -^ — d/dt,

как стационарную метрику с гиперповерхностно ортогональным (см. задачу 7.23) направлением d/dt.

Доказать, что оба определения эквивалентны.

Задача Ю.9. В плоском пространстве-времени Минковского найти 10 линейно независимых векторов Киллинга.

Задача 10.10. Доказать, что если 士 (力卩)— векторное поле Киллинга и и —касательный вектор к некоторой геодезической, то скалярное произведение 自• и постоянно вдоль этой геодезической.

Задача ЮЛ. Пусть | —вектор Киллинга, Т —тензор энергии-импульса. Доказать, что

—сохраняющаяся величина, т. е. что

Какой смысл имеет J, когда ^ — времениподобный вектор Кнл・ □ннга?

Задача 10.12. Пусть Т —тензор энергии-импульса, ^ — времениподобный вектор Киллинга. Доказать, что интеграл по пространственноподобной гиперповерхности

b薄d3工

не зависит от выбора пространственноподобной гиперповерхности Е '

Задача 10.13. В плоском пространстве-времени задан тензор энергии-импульса с нулевой дивергенцией.

Т 吗 v = 0,&Фу6 = 0.

Доказать, что в этом случае можно построить 10 глобальных законов сохранения и, следовательно, 10 сохраняющихся величин.

Задача 10.14. Доказать, что если ^ — времениподобный вектор

Киллинга и и = |/1^• II 2 — 4-скорость, то

a = Vuu = y V 1п|^-^|.

Задача Ю.15. В стационарной метрике с времениподобным вектором Киллинга 自 «энергия на бесконечности» Е = ~р ^ пробной частицы с 4-импульсом р сохраняется. Найти минимальное значение, которое может принимать в заданной точке пространства-времени величина f/ц для пробной частицы (ц — масса частицы), и выразить его через норму вектора |.

Задача 10Л6. Доказать, что вектор Киллинга является допустимым решением для векторного потенциала уравнений Максвелла, записанных для пробного поля в пустом пространстве- времени. Какое электромагнитное поле соответствует вектору Киллинга д/д^ в пространстве Минковского?

ГЛАВА И

МОМЕНТ

КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

В эту главу включены задачи из общей теории относительности, связанные с вращением, моментом количества движения, спином и т. д. Все необходимые определения приведены в задачах.

Фиг. 2.Фиг. 2.

Фиг. 2.

Фиг. 2.

Задача ILL В специальной теории относительности частица, находящаяся в точке В пространства-времени с 4-импульсом р, обладает относительно события

А моментом количества движения

J=Ax®p — р® Дх,

где Дх —4-вектор, идущий из события А в событие В (фиг. 2).

Доказать, что для свободно (т. е. без ускорения) движущейся частицы величина J сохраняется, т. е. dJ/dt = O.

Предположим, что в точке В пространства-времени несколько частиц сталкиваются, порождая несколько других частиц. Доказать, что сумма моментов- количества движения частиц относительно события А

до столкновения равна сумме

моментов количества движения частиц относительно события А

после столкновения

(к)(к)У J(k) |после = £ J(k) |до・

(к)

(к)

Задала 〃・2・ Доказать, что：

полный момент количества движения изолированной системы в плоском пространстве

jaBE,d3% (尤 °ТВ° —/Т"。)

——сохраняющийся тензор (Гар , р = 0), но

не инвариантен относительно преобразования координат %Gf %a+0气

Доказать также, что

4-вектор спина

Sa = -^ %的6J的〃6 сохраняется и

инвариантен относительно трансляций. Здесь 〃& — 4-скорость центра масс

/£尸唄一p6%)1/2,

Ра — полный импульс

p"三\0仃叫

Задача 〃・3・ Доказать, что 4-вектор $& внутреннего спина системы ортогонален ее 4-скорости иа.

Задача 〃・4・ Доказать, что гироскоп, к которому не приложены никакие моменты, переносит вектор своего спина по Ферми — Уокеру.

Задача 〃.尻

Момент количества движения вычислен относительно центра масс системы. Доказать, что 尸喝=о.

Доказать, что в этом случае момент количества движения (внутренний момент количества движения) можно найти по вектору спина из соотношения

产%. m). w Sa6= - Еa断6SY〃6.

Задача 〃・6・ Два тела Л и В обладают импульсами Рл и Рв и спинами S貝 и SB. Их центры масс расположены так, что тела сталкиваются. После столкновения тела слипаются, образуя составное тело С со спином Sc. Вычислить Sc через Рл, Рв, S貝 и S^.

Задача 〃・7・ (Томасова прецессия.) Рассмотрим («классический») вращающийся электрон, который, обращаясь по круговой орбите вокруг атомного ядра, переносит свой спиновый момент количества движения S по Ферми — Уокеру. Относительно лабо-

раторной системы отсчета электрон движется по круговой орбите радиуса г в плоскости ху с постоянной угловой скоростью о). Вычислить спин как функцию времени S(f) в лабораторной системе отсчета.

Задача 11.8. На несферическое вращающееся тело в неоднородном гравитационном поле действует момент, вынуждающий 4-вектор внутреннего спина S изменяться со временем. Доказать, что если и — 4-скорость центра масс тела, свободно движущегося вдоль геодезической, то

嘿=8続“。叫府。g，

где ^n — «тензор приведенного квадрупольного момента》

绚=='р (力— ^ r28iJ) d3x

в системе покоя центра масс,

叫 “ =О, а тензор Римана порожден внешними (по отношению к рассматриваемому телу) источниками и предполагается постоянным во всем теле.

Задача 〃.9・ Вычислить период прецессии земной оси, вызванной взаимодействием создаваемых Луной и Солнцем приливных сил с квадрупольным моментом (слегка несферической) Земли.

Задача НЛО. Рассмотрим группу стационарных наблюдателей в стационарном пространстве-времени (т. е. наблюдателей, у которых 4-скорость пропорциональна времениподобному вектору Киллинга g = d/df. Каждый наблюдатель ориентирует свои пространственные базисные векторы так, что они все время f направлены на одних и тех же соседних наблюдателей.

Доказать, что 留е入=0, где еа — базисный вектор стационарного наблюдателя.

Доказать, что скорость изменения компонент любой тензорной величины Q, измеренная стационарным наблюдателем в единицах равна

н -(HgQ) . Что такое ?

Стационарный наблюдатель переносит с собой гироскоп, не прилагая к нему никаких моментов. Доказать, что вектор спина гироскопа прецессирует относительно стационарного наблю-

дателя (эффект Лензе — Тирринга) с угловой скоростью

一2涵，

измеренной в единицах собственного времени.

Доказать, что если пространство-время статично, а не только стационарно, то(о = О.

Задача ПЛ. Гироскоп выведен на круглую орбиту вокруг Земли. К нему не приложены никакие моменты. С какой угловой скоростью прецессирует вектор его спина в системе отсчета, неподвижной относительно далеких звезд («геодезическая прецессия» и «эффект Лензе — Тирринга»).

ГЛАВА ]2

ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ГРАВИТАЦИИ

В этой главе содержатся задачи, в которых рассматриваются физические проявления гравитационных взаимодействий. В большинстве задач используется ньютоновский предел, в котором тяготение описывается скалярным потенциалом U, удовлетворяющим уравнению

▽2〃 = — 4冗р

и создающим гравитационное ускорение

(В литературе иногда используется потенциал Ф s ——U.) В ньютоновской теории приливные силы зависят от 。⑪/。％»。％” этим силам отвечают компоненты &*()тензора Римана в соответствующем пределе уравнения расхождения геодезических в общей теории относительности. В некоторых задачах рассматриваются следствия наличия у квантов гравитационного поля спина, равного 2, а также следствия слабости тяготения по сравнению с другими физическими взаимодействиями.

Задача 12Л. Небольшой спутник обращается с круговой частотой о)по орбите радиусом г вокруг центрального тела с массой т. Покажите, что если известна только круговая частота обращения спутника о), то мы не можем найти по отдельности ни г, ни т, а можем определить лишь эффективную «кеплеровскую плотность» центрального тела Зт/4лг39 получающуюся путем усреднения его массы по сфере радиусом, равным радиусу орбиты. Выразите о)2 через кеплеровскую плотность.

Задала 122 Оцените высоту сизигийных приливов (происходящих во время новолуния или полнолуния, когда Луна и Солнце находятся на одной линии с Землей) и квадратурных приливов (когда направления на Солнце и Луну составляют прямой угол).

Задача 12,3. Если амплитуду земных (упругих) приливов как функцию времени подвергнуть преобразованию Фурье, то в

полученном спектре на определенных частотах будут максимумы. Каковы частоты (или периоды), соответствующие 10 наиболее значительным максимумам?

Задала 12.4. Положение Солнца на небе в принципе можно определить с помощью чувствительного приливного гравиметра. На какой угол отличается положение, определенное этим способом, от измеренного оптическими средствами? Далее, если бы истинное положение Солнца соответствовало его оптически наблюдаемому положению, то на Землю вдоль направления ее движения должна была бы действовать некая сила. Почему? Как бы в этом случае менялся со временем радиус земной орбиты?

Задача 12.5. «Эддингтоновским пределом» светимости звезды заданной массы М называется светимость, при которой всюду внутри звезды направленное наружу световое давление в точности уравновешивается направленной внутрь силой тяготения. Вычислите это значение, (Можно считать, что все вещество звезды состоит из полностью ионизованного водорода.)

Задача 12.6. Показать, что электрон, помещенный в центр откачанного идеально проводящего замкнутого сосуда, находящегося в однородном гравитационном поле, не будет падать под действием сил тяжести. (Под «идеальным проводником» понимается идеально жесткая решетка положительных зарядов, содержащая идеально подвижные электроны проводимости.)

Задача 12.7. Тонкий цилиндрический теплоизолированный сосуд высотой h заполняется воздухом при температуре 300 К, после чего запаивается и помещается на весы на уровне моря. Весы показывают, что вес сосуда с воздухом равен W. Для какого интервала значений 九 вес W будет уменьшаться при постепенном нагревании содержимого сосуда?

Задача 12.8. Определим тензор напряжений, соответствующий ньютоновскому гравитационному потенциалу U, следующим образом:

Покажите, что ньютоновские уравнения движения для испытывающего напряжения вещества с собственной плотностью р0> движущегося со скоростью V, можно записать в виде

Р。栗=一爲(「" + %)，

(Ро“/)』+ (Т" + 勿 + PoU/%),e =0,где tjk — обычный трехмерный тензор напряжений.

Задача 129 Рассмотрим протяженное тело массы М, на которое действует несколько сил F/. Используя принцип эквивалентности гравитационной массы и энергии, покажите, что условие равновесия для этого имеет вид

2片0 一区元/e2)=-附?,

где g —ускорение силы тяжести, а %/ — радиус-векторы, проведенные в точки приложения каждой из сил и измеряемые в локальной лоренцевской системе отсчета.

Задача 12М. Используя результат задачи 12.9, покажите, что уравнение гидростатического равновесия звезды имеет вид 雾=一色蜉(p 十 Р/*,

где М (г) означает «активную» массу, находящуюся внутри оболочки вещества, расположенной на расстоянии г от центра звезды. Отсюда следует, что в сплошной среде плотность «эффективной инертной массы» есть р+р/с?. Обратите внимание, что этот результат не зависит от вида полевых уравнений общей теории относительности.

Задача 12.1L Покажите, что ньютоновское уравнение движения пробной частицы в поле ньютоновского гравитационного потенциала Ф можно записать в виде некоторого уравнения геодезической в 4-мерном пространстве-времени. Вычислите символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана и покажите, что их нельзя вывести из какой-либо метрики.

Задача 12.12. Рассмотрев относительное ускорение различных траекторий семейства траекторий пробных частиц, движущихся в ньютоновском поле тяготения, и сравнив результат с ньютоновским пределом уравнения расхождения геодезических, вывести соотношение

- ^2ф

dxJdx^

между ньютоновским потенциалом и тензором Римана. (Ньютоновская пробная частица испытывает воздействие только силы тяготения; пробная частица в релятивистской теории тяготения движется по геодезической.)

Задача 12.13. Запишите закон всемирного тяготения Ньютона в ковариантном 4-мерном виде, используя в качестве универсальной ньютоновской функции времени некоторое скалярное поле. Покажите, что получающаяся теория не противоречит специальной теории относительности. Покажите также, что в этой теории сигналы могут распространяться со скоростью, превосходящей

скорость света. Является ли такая теория акаузальной, т. е. допускает ли она существование наблюдателей, способных посылать сигналы в свое собственное прошлое?

Задача 12J4* Рассмотрим две частицы с равными массами, одна из которых обладает зарядом д, а другая электрически нейтральна. Частицы помещены в свободно падающий лифт. В лифте существует электрическое поле £, направленное вертикально вверх. Требуется вывести уравнение, описывающее изменение со временем разности высот между частицами и учитывающее как приливные, так и электрические эффекты. Показать, что присутствие обоих этих членов не противоречит принципу эквивалентности.

Задача 12.15, Предположим, что мы открыли новый вид частиц с массой mOt обладающих новым типом заряда, проявляющегося в эксперименте через силовое поле, описываемое классическим законом «обратных квадратов». Пусть некий сосуд содержит идеальный одноатомный газ, состоящий из этих частиц и находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Полный заряд внутри сосуда измеряется по средней силе взаимодействия с пробными частицами вне его, причем оказывается, что величина заряда меняется с температурой по закону

Q 〜Q°(1+6W7 恤).

Чему равен спин нового силового поля?

Задача 12J6. Покажите (нестрого), что поле тяготения является единственным классическим полем, обладающим бесконечным радиусом действия (т. е. квантами с нулевой массой покоя) и спином, равным 2, иначе говоря, что любое другое поле с теми же свойствами точно так же взаимодействовало бы с материальными средами и, следовательно, было бы неотличимо от поля тяготения.

Задача 12.17. Используя «геометризованные единицы длины» (т. е. систему единиц, в которой значения гравитационной постоянной G, скорости света с и постоянной Больцмана k приняты равными единице), выразите в сантиметрах значения следующих величин:九，заряд электрона, отношение е/т для электрона, массу Солнца, светимость Солнца, 300 К, 1 год, 1 В.

Задача 12.18. Сконструируйте «естественные» единицы длины, массы и времени из универсальных физических постоянных 九， G и с.

Задача 12.19. Оцените боровский радиус «гравитационного атома», например для находящейся в низшем энергетическом состоянии системы двух нейтронов, связанных только гравитационным притяжением.

ГЛАВА |3

УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ

Гравитационное поле, описываемое метрикой пространства- времени 且灯，порождается тензором энергии-импульса материи 丁吗 Были предложены различные уравнения поля, связывающие ^ с Т"", но наибольших успехов на сегодняшний день позволили добиться уравнения Эйнштейна, лежащие в основе общей теории относительности:

(1)(1)^p,v м Ryzv 2 g“電R = 8jlTgV>

(1)

(1)

где %у и /? —тензор Риччи и скалярная кривизна, получаемые из метрики gu^ a Guv называется тензором Эйнштейна. Эти уравнения нелинейны, так как левая часть их не является линейной функцией метрики.

В приведенных ниже задачах обсуждаются и другие (не столь удачные) уравнения поля; вообще говоря, если это не оговорено особо, всюду следует исходить из уравнений Эйнштейна.

Уравнения движения T^v;v == 0 следуют из уравнения (1); если желательно, чтобы тензор i удовлетворял еще каким-либо условиям (их называют «энергетическими условиями»), то они должны постулироваться независимо из физических соображений.

Когда гравитационное поле слабое, то геометрия пространства- времени близка к плоской и мы можем записать

g|!V = Лцу + 九吟

где все |九炉|案1・ В этом случае уравнения (1) можно решить приближенно, с точностью до членов первого порядка по %. Ряд задач иллюстрирует применение такой «линеаризованной» теории.

Задача 13J. Попытаемся несколько обобщить уравнения Эйнштейна, записав их в виде

R“v — ag^vR — 8nTp,v»

где а — некоторая безразмерная постоянная. Покажите, что если a^Vs, то такие уравнения поля не согласуются с экспериментом даже в ньютоновском пределе.

Задача 132 В предложенной Нордстремом в 1913 г. метрической теории guv связывается с 7卩旷 посредством уравнений

Сцура = °,

R = *，T 味

где Cuvpa — тензор Вейля. Покажите, что эта теория в ньютоновском пределе и при подходящем выборе х согласуется с ньютоновской теорией тяготения, но не предсказывает эффекта отклонения световых лучей при их прохождении вблизи Солнца. Согласуется ли эта теория с результатами эксперимента Паунда — Ребки, т. е. испытывают ли в ней фотоны красное смещение при движении против поля тяготения вблизи поверхности Земли?

Задача /3.3. В теории тяготения Бранса —Дикке ([1J, т. 3, стр. 315, а также [2], стр. 174 и далее, где приведены уравнения поля этой теории) измеряемая локально гравитационная «постоянная» Ньютона G меняется со временем и от точки к точке. Значение ее на бесконечности равно G» Покажите, что G является постоянной внутри самогравитирующей сферической оболочки массы М и радиуса R Для случая R^GgMd выразите значение G внутри оболочки через М, R н G8 c точностью до членов низшего порядка по (G^M/Rc).

Задача 134 Согласно представлениям релятивистской квантовой механики, пустое пространство содержит виртуальные частицы. Из этого можно было бы заключить, что вакуум должен обладать ненулевым тензором энергии-импульса.

Какой вид должен иметь тензор энергии-импульса вакуума, если не должно существовать выделенной системы отсчета, связанной с вакуумом? Покажите, что возникающий в этом случае член в уравнениях поля можно интерпретировать как эффективную космологическую постоянную.

Предположим, что энергия вакуума обусловлена массой покоя виртуальных протонов или электронов, распределенных равномерно таким образом, что среднее расстояние между ними равно соответствующей комптоновской длине волны. Исключается ли существование такой плотности энергии вакуума наблюдательными фактами?

Я. Б. Зельдович') предложил рассматривать плотность

массы-энергии вакуума как обусловленную только лишь гравитационным взаимодействием «близлежащих» виртуальных частиц (разделенных расстояниями порядка их комптоновской длины волны). Каково в этом случае значение плотности энергии вакуума? Опровергается ли оно наблюдательными фактами?

Задача 13,5. В некоторой локальной области пространства- времени наблюдатель находит, что скалярная кривизна Риччи практически постоянна, т. е. /?^+ 1/а2. Почему должен быть выбран знак《+》？ Если эта область пространства-времени заполнена только электромагнитным полем, то чему равно R?

Задача 13.6. Обычно предполагается, что физически допустимый тензор энергии-импульса T^v должен удовлетворять (слабому) энергетическому условию: Т00^0 для всех физических наблюдателей. Предположим, что у Т@” имеется времениподобный собственный вектор; каким образом в таком случае данный изолированный наблюдатель может проверить, удовлетворяет ли измеряемый им тензор 少 этому условию?

Задача 13,7. «Условие энергодоминантности», налагаемое на W\ требует, чтобы, во-первых, удовлетворялось слабое энергетическое условие (плотность энергии неотрицательна для всех наблюдателей) и, во-вторых, для всех наблюдателей плотность энергии была бы больше или равна модулю 3-вектора плотности потока энергии. Покажите, что утверждение

и • (—- Т)" * и £ О

для всех непространственноподобных векторов и сводится к слабому энергетическому условию при n= 1 и условию энерго доминантности при п = 2. Как обстоит дело при 几 >2? [Мы полагаем (72)w三 TjT(rv и т. д.]

Задача 73.S. Возможно ли подобрать такое распределение материи, являющееся решением уравнений поля Эйнштейна, которое соответствует пустому пространству в направлении к прошлому от некоторой гиперповерхности постоянного времени f = 0, но в направлении к будущему от этой гиперповерхности имеется некоторый ненулевой тензор T^v?

Задача 13.9. Пусть имеется некоторая статическая метрика, создаваемая тензором энергии-импульса идеальной жидкости. Покажите, что вектор 4-скорости жидкости параллелен вектору Киллинга, сопряженному времени.

Задача /3・/0・ Сколько числовых значений необходимо задать в каждой точке гиперповерхности Коши （начальных данных）, чтобы однозначно определить эволюцию метрики от этой гиперповерхности? [Указание, Покажите вначале, что вторые производные по времени от метрики содержатся только в пространственных компонентах тензора Эйнштейна.]

Задача 13.11. Для «почти ньютоновской» метрики

厶2 = —（1 + 2Ф）力 2 + （1-2Ф） 6jkdB dxk

требуется вычислить в первом неисчезающем порядке по Ф компоненты псевдотензора энергии-импульса Ландау——Лифшица /а^л—л （см. [7], 6-е изд., стр. 358）. При этом предполагается, что поле меняется во времени так медленно, что производными Ф по времени можно пренебречь по сравнению с пространственными производными.

Задача /3/2. Калибровочным преобразованием называется инфинитезимальное ксюрдинатное преобразование, переводящее координаты х^ точки Р в новые координаты %м" согласно формуле х了 （尸）=枳，（戶）+那（p）.

Такие преобразования приводят к изменению （в первом порядке по § функционального вида тензоров. Найдите законы калибровочного преобразования для скаляров, а также для компонент векторов и тензоров 2-го ранга. Для линеаризованных возмущений метрики g^v ==%“+& покажите, в частности, что

%”（х）=八叫（х） — 2a（妙,％.

Задача 13.13. Покажите, что в линеаризованной теории компоненты тензора Римана — Кристоффеля суть

RagBw =讶（九＜xw，uB +va —сф —色ф, p,v） •

Продемон стр и руйте также в явном виде, что такой тензор Римана инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям.

Задача 13,14. В линеаризованной теории часто вместо обычного тензора возмущений метрики 九仪§ используется тензор «с обратным следом»

瓦хВ三九ар 2 Псф儿

Покажите, что всегда существует калибровочное преобразование к «лоренцевской калибровке», в которой дивергенция Яар равна нулю. Является ли это калибровочное преобразование единственным?

Задача /3./5. Покажите, что в лоренцевской калибровке (см. задачу 13.14) линеаризованные уравнения поля сводятся к уравнениям

匚|"/v w %л\а。= 16лТ|1V, где 啞一тензор 仆《с обратным следом».

Задача 13.16. В линеаризованной теории плоскую гравитационную волну, распространяющуюся в пустом .пространстве- времени, можно представить в виде действительной части комплексного выражения

小= Re|WM|,

где ЛМу — некоторый постоянный тензор. Покажите, что вектор к должен быть изотропным и что А ортогонально к.

Для отдельного наблюдателя с 4-скоростью и в невозмущенной системе покоя данного наблюдателя (а0 = 1, 〃' = 0) можно определить «поперечно-бесследовую» калибровку (более специальный вид лоренцевской калибровки) следующим образом:

"产 0, h^ — 0.

Найдите калибровочное преобразование, позволяющее прийти к такой калибровке. Остается ли при этом тензор А ортогональным к?

Задача 13.17. Покажите, что в рамках линеаризованной теории между двумя параллельными узкими световыми лучами отсутствует сила гравитационного притяжения.

Задача 13,18. Жесткая сферическая оболочка радиуса R и пренебрежимо малой толщины медленно вращается с постоянной угловой скоростью й по отношению к удаленным инерциальным системам отсчета. Полная масса, равномерно распределенная по оболочке, равна М. Используйте линеаризованные уравнения гравитации для определения со (угловой скорости увлечения инерциальных систем внутри оболочки) с точностью до первого порядка по QR《1. Покажите, что угловая скорость

4 М, Q

—+ 6(Q2A2),

т. e. постоянна всюду внутри оболочки. [Иногда утверждают, что факт постоянства со внутри полости означает, что уравнения Эйнштейна до определенной степени удовлетворяют принципу Маха.]

Задача 13.19, В рамках линеаризованной теории тяготения покажите, что уравнения движения вещества 7炉# = 0 не согласуются с уравнениями поля для возмущений метрики. Покажите также, что это несовпадение будет второго порядка по возмущению метрики, так что в первом порядке им можно пренебречь.

Задача 13.20. Некая гипотетическая частица с отрицательной гравитационной массой — М высвобождается из состояния покоя на расстоянии 2》М от другой фиксированной частицы с положительной массой + М・ Чему равны величина и направление ускорения каждой частицы с точки зрения покоящегося наблюдателя? Рассчитайте траектории движения частиц после того, как они были освобождены, делая при этом любые необходимые разумные допущения.

ГЛАВА 14

ФИЗИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

Эта глава посвящена обобщению законов релятивистской (т. е. согласующейся со специальной теорией относительности) физики, включая сюда гидродинамику, электродинамику и т. д., на искривленное пространство-время. Довольно часто это обобщение заключается попросту в замене обычного частного дифференцирования ковариантным дифференцирова нием по правилу: «запятая переходит в точку с запятой». Например, обобщение уравнений движения состоит в замене уравнения T^vtV = 0 на 7^ = 0； последнее уравнение, включающее точку в запятой, уже учитывает эффекты тяготения.

Задача 14М Выпишите тензор энергии-импульса для отдельной свободной частицы и покажите, что уравнение движения частицы по геодезической вытекает из уравнения T^-v = 0.

Задача 142 Покажите, что условие теплового равновесия статической системы в ньютоновском пределе Т — const заменяется в общей теории относительности условием

Т (—goJ『const, где Т —температура, измеряемая локально покоящимся наблюдателем.

Задача 14.3. Выведите из уравнения T^v;v = 0 общерелятивистское уравнение Эйлера

(Р +р) VuU = — [▽「+ “Up) u] и покажите, что это уравнение обладает правильным ньютоновским пределом.

Задача 144. Выведите обще релятивистское уравнение гидро* статического равновесия

= (P +")募 In (- g00a

и сравните его с соответствующим уравнением ньютоновской теории.

Задача 14.5. Покажите, что ультрарелятивисткая жидкость (уравнение состояния p = ~pj, находящаяся в гидростатическом равновесии в гравитационном поле, не может обладать свободной поверхностью (т. е. поверхностью, на которой р->0).

Задача 146 Два идентичных сосуда, содержащие различные вещества, находятся в однородном статическом гравитационном поле. Плотности массы-энергии для обоих сосудов и их содержимого одинаковы и не зависят от времени, тогда как распределение напряжений (в общем случае анизотропных) различно. Если взвесить эти сосуды на одних и тех же весах, будут ли одинаковы показания весов?

Задача 〃・7・ Пусть и — 4-скорость идеального газа, участвующего в адиабатическом стационарном течении в стационарном гравитационном поле. Используя релятивистское уравнение Бернулли, докажите, что вдоль линий потока

-const-п/(р + р),

где п — плотность числа барионов.

Задача 14.8. Покажите, что релятивистское уравнение Бернулли, использованное в предыдущей задаче, дает правильный ньютоновский предел для медленных движений и слабых гравитационных полей.

Задача 14.9. Рассмотрим движущуюся среду с 4-скоростью и (х) Выберем две произвольные соседние частицы Л и В. Для каждого события вдоль мировой линии Л определим с помощью следующих условий 4-вектор |, который мы назовем «4-векторным расстоянием от В до 4》：1) | — некоторый инфинитезимальный вектор, проведенный от данного события на мировой линии 4 до мировой линии В; 2) временная компонента 自 в ортонормирован- ном базисе, «привязанном» к частице Л, равна нулю, т. е. g® = 0.

Будем называть движение среды «жестким» в том и только в том случае, когда расстояние (^-|)1/2 между двумя соседними частицами среды — к примеру, частицами Л и В в нашем случае — постоянно для всех моментов времени. Покажите, что необходимым и достаточным условием участия среды в жестком движении является выполнение равенств 仃呻=° и 0 = 0, где “卩 и *& — величины, введенные в условии задачи 5.18,

Сколько независимых уравнений соответствует этим условиям? Сколько степеней свободы существует при релятивистском жестком движении?

Задача 14.10. Выведите уравнение Рейчаудхури

票=*a + 2炉 - 202 一 刀2 一 凡圈a*

где О — вторая вязкость для жидкости,(о2 = 1/2^^^ о? = Vs^p^» а обозначения те же, что и в задаче 5.18.

Задача 14.11. В некотором пространстве-времени сплошная среда движется вдоль геодезических с нулевыми значениями первой и второй вязкости (определения первой вязкости %в и второй вязкости 8 см. в задаче 5.18). Покажите, что данное пространство- время обладает времениподобным вектором Киллинга.

Задача 14・12・ Наблюдатель, помещенный в замкнутый ящик (не обязательно находящийся в свободном падении), измеряет пространственные координаты и промежутки времени внутри своего ящика с помощью масштабных линеек и часов. Покажите, что уравнение движения пробной частицы, справедливое с точностью до первого порядка по ее измеренной скорости и《1 н координате имеет вид

dW/成=2 (% х 0 — [(х х 砂 х 研/ + (xx d石/成丫 一

где со — угловая скорость ящика, а —его ускорение и ^^ао —тензор Римана в начале координат.

Задача /4/3・ Пусть тензор энергии-импульса безмассового скалярного поля записан в виде

т^ = (4л)-1(Ф,ЦФА- 4 guvRaM •

Из уравнения 7炉方=0 выведите уравнение движения для этого скалярного поля.

Задача 14.14, Пусть в плоском пространстве-времени уравнение скалярного поля имеет вид

① *" = Р$,

где р^ — плотность «скалярного заряда». Отсюда можно заключить, что в искривленном пространстве-времени это уравнение должно быть заменено на

①;/v==p#(1)

Возможно, однако, обобщенное выражение иного вида:

Rv；v-^RD = ps,(2)

где /? —скаляр Риччи. [Уравнение (2) «конформно-инвариантно», а уравнение (1) —нет.] Противоречит ли, вообще говоря, уравнение (2) сильному принципу эквивалентности? Выясните, каким образом наличие /?-члена влияет на величину силы взаимодействия (〜▽(!)) между двумя частицами, несущими 《скалярный заряд», если предположить, что кривизна R=l/” очень медленно изменяется на расстояниях порядка лабораторных масштабов. Какова была бы величина этих аномальных сил, обусловленных /?-членом, по сравнению с обычными скалярными силами, если бы измерения проводились в обычном лабораторном эксперименте?

Задача 14.15. Покажите, что из уравнений Максвелла

—7 = 4п 川 вытекает

Задача 14.16. Обобщение уравнений Максвелла на искривленное пространство-время с помощью правила «запятая переходит в точку с запятой» (или принципа эквивалентности) не является вполне однозначным. Покажите, что применение этого правила к векторному потенциалу 4" может привести к двум различным видам релятивистского уравнения.

Задача 〃./7c Оцените относительную погрешность, привносимую в уравнения Максвелла (применяемые к какому-то земному процессу с характерной частотой v и размерами Е) за счет того, что нам неизвестно, какого вида члены связи с кривизной могут в них содержаться.

Задача 14J8* Покажите, что, за исключением случая 瓦月=0, однородные уравнения Максвелла 尸叫丫 = 0 вытекают из требования V-T — 0, где Т —тензор энергии-импульса электромагнитного поля, и из того факта, что выводится из выражения для векторного потенциала.

Задача М/« Покажите, что гамильтониан, из которого получаются уравнения движения пробной частицы с зарядом % имеет вид

"=^夕"("и - еЛи)(nv - е4),

где — канонический импульс. (Канонический импульс лц не

совпадает с 4-импульсом частицы * за исключением случаев, когда 4-потенциал 4" равен нулю.)

Задача 14.20. Предположим, что ^ — вектор Киллинга для некоторого решения уравнений Эйнштейна — Максвелла. Выпишите интеграл движения для заряженных пробных частиц. (Допустим, что 必抓=0, где А —4-потенциал.)

Задача 14.21. Покажите, что уравнения Максвелла инвариантны по отношению к «конформному преобразованию»:

gaB f g“B = fgaB»

%В f ExB = Fсф,

где / — произвольная функция координат.

ГЛАВА 15

ГЕОМЕТРИЯ ШВАРЦШИЛЬДА

Геометрией Шварцшильда называется сферически-симметричное статическое решение уравнений поля Эйнштейна в пустоте (7卩丫 = 0). В «координатах кривизны» (таких, что 2лг есть собственная длина периметра 2-мерных «сфер») метрика Шварцшильда имеет вид

由2 = — (1 — 乎)由2 + ( 1 — ^)Т 〃2 + 产(d今2 + Sil?今 d$2).

Иногда угловой элемент записывают сокращенно:

d4 三 d$2 + sin2 9 dq)2.

Постоянная M есть масса источника поля. Если метрика создается сферической звездой, то метрика Шварцшильда справедлива вне звезды, а на ее поверхности гладко сшивается с внутренней метрикой звезды.

Задача 15J. Докажите, что квадрат полного момента количества движения

есть интеграл движения вдоль любой геодезической в метрике Шварцшильда.

Задача /5・2.

Докажите, что в геометрии Шварцшильда все орбиты являются плоскими.

Докажите, что все такие орбиты являются устойчиво плоскими.

Задача 15,3. Частица падает по радиусу на центр метрики Шварцшильда. Чему равна ее направленная к центру координатная скорость (dr!di), измеряемая по собственному времени на бесконечности, при некотором значении радиуса г (в координатах кривизны)? Чему равна локально измеряемая скорость по отношению к неподвижному наблюдателю в точке с тем же значением радиуса?

Задача 154 Выведите уравнения движения (уравнения, связьь вающие /, г и т) для частицы, падающей по радиусу в геометрии Шварцшильда. Рассмотрите три случая: 1) частица высвобождается из состояния покоя при r = R； 2) частица высвобождается из состояния покоя на бесконечности; 3) частица испускается из бесконечности на центр со скоростью %о・

Задача 15,5* Выведите описывающее траекторию (г как функцию ф) дифференциальное уравнение первого порядка для экваториальных орбит в геометрии Шварцшильда.

Задача 15.6. Покажите, что траектории световых лучей в метрике Шварцшильда подчиняются уравнению

=3〃2,

г^и^М/г. аг — радиальная координата Шварцшильда. Обозначьте «прицельный параметр» — минимальное значение г вдоль траектории —через Ь. Каково отклонение фотона, пролетающего мимо сферического гравитирующего тела, в случае М/b ^ 1? Выведите формулу для угла отклонения в первом неисчезающем порядке по (М/Ь).

Задача 15.7.

Для почти-ньютоновской планетной орбиты (т. е. при М"《1) вычислите в низшем порядке по М/г предсказываемое общей теорией относительности смещение периастрия за время одного полного обращения по орбите.

Предположим, что центральная звезда несколько сплюснута или вытянута, так что классический ньютоновский потенциал имеет вид

① ⑺=—М/г — / M/r3t

где Л зависит от величины сплюснутости или вытянутости. Рассчитайте смещение периастрия за время одного обращения по орбите в низшем порядке по Д/г2. (Вычисления являются чисто ньютоновскими.)

Предположим, что сплюснутость Солнца столь велика, что скорость смещения перигелия, обусловленная сплюснутостью, и соответствующая скорость смещения за счет эффектов общей теории относительности одинаковы по величине для орбиты Меркурия. Вычислите скорость смещения перигелия (в дуговых секундах за столетие) за счет каждого из этих эффектов для четырех ближайших к Солнцу планет. (Примечание. Для упрощения вычислений всюду в задаче предположите, что орбиты являются почти круговыми — другими словами, что их эксцентриситет пренебрежимо мал.)

Задача 15.8. Космический корабль, обращающийся вокруг звезды массой М по круговой орбите с длиной окружности 2叫 производит выстрел из лазерной пушки (частота покоя v0). Пушка ориентирована в плоскости орбиты и направлена под углом а (в системе отсчета корабля) к тангенциальному направлению движения наружу от орбиты. Какова частота лазера, измеряемая наблюдателем, покоящимся на бесконечности?

Задача 15.9. Пробная частица с релятивистской скоростью。 пролетает мимо тела массы М, причем прицельный параметр b столь велик, что отклонение *&грав мало. Вычислите *&грав. Пусть теперь в плоском пространстве пробная частица с зарядом е пролетает со скоростью V мимо ядра с зарядом Ze, причем прицельный параметр столь велик, что отклонение кзг мало. Вычислите ■в'электромаг- "ем формула для *&грав отличается от формулы для储ектромаг?

Задача 15.10. Радиокомментатор ведет репортаж о своем падении по радиусу в шварцшильдовскую черную дыру. Перед самым пересечением шварцшильдовского радиуса его частота вещания начинает испытывать сильнейшее красное смещение, описывающееся временной зависимостью вида ехр(— i/const), где f определяется по собственному времени на бесконечности. Зная значение постоянной в экспоненте, определите массу черной дыры.

Задача 15.11. Рассчитайте сечение захвата ультрарелятивист- ских (и->с) и медленно движущихся (и《с) частиц шварцшильдовской черной дырой массы М.

Задача 15.12. Предположим, что некто Джон обращается вокруг нейтронной звезды по круговой орбите со значением радиальной координаты г = 4М. Его приятель Пшер, будучи выстрелен из пушки, находящейся на поверхности нейтронной звезды, в радиальном направлении со скоростью меньше первой космической, встречает по пути Джона, затем достигает максимального удаления и падает обратно, причем ему удается еще раз повидать Джона. Последний к моменту второй встречи успел облететь по своей орбите вокруг нейтронной звезды ровно 10 раз. У Питера и Джона есть одна общая страсть: когда бы они ни встретились, они непременно сверяют часы. В момент их первой встречи на орбите, когда Питер удаляется от звезды, они устанавливают свои часы таким образом, что их показания совпадают. Насколько разойдутся часы, когда Джон и Питер сверят их в следующий раз?

Задача 15.13. Найдите преобразование координат от шварцшильдовских, где

ds2 = — ® 屮 df2 + е2A 山2 + ra d®,

к «изотропным координатам», где

d$2 = — е2ф d於 + е恥("2 + 产d®)・

Примените результаты к конкретному случаю метрики Шварцшильда в пустоте и постройте график, изображающий зависимость между координатами (% г) и (/,尸)，Справедлива ли для площади поверхности 尸=const, t = const формула Л = 4n尸纟？ Постройте «диаграмму погружения» (см. [1], т. 2, стр. 278 и далее) для пространственноподобной гиперповерхности 7 = 0 в случае 0V 之尸V 8.

Задача 15.14.

Покажите, что буст в пространственном направлении е,, вообще говоря, оставляет инвариантными те физические компоненты тензора Римана R”？/, которые «параллельны» бусту. Этот факт аналогичен инвариантности Е? н В, для буста в направлении е*.

Покажите, что в шварцшильдовской геометрии все физические компоненты тензора Римана инвариантны по отношению к бусту в направлении г, но все эти физические компоненты не инвариантны по отношению к бусту в направлении ^ или <р.

Задача 15J5. Покажите, что пространственноподобное сечение V = const (I и I > 1) шварцшильдовской геометрии в координатах Крускала и, и нельзя погрузить в евклидово 3-пространство. Каково общее условие, которому должен удовлетворять наклон dv/du пространственноподобного сечения в шварцшильдовской геометрии, чтобы оно могло быть погружено в евклидово 3-пространство?

Задача /5.Ж Докажите, что метрика

ds"=_"[招『d产+嘗(一炉『松，

о которой можно думать, что она нестационарна, так как метрические коэффициенты зависят от /, на самом деле является статической. Покажите, что в действительности она представляет собой не что иное, как метрику Шварцшильда.

Задача 15J7, Для метрики предыдущей задачи (15.16) покажите, что множество наблюдателей, неподвижных в данной

4 Заказ 1,10

системе координат, соответствует наблюдателям, каждый из которых находится в состоянии свободного падения и обладает нулевой энергией (другими словами, все они падают из бесконечности с нулевой начальной скоростью).

Задача 15.18. Рассмотрим сферически-симметричную аккрецию на шварцшильдовскую черную дыру массы М идеально адиабатического газа с уравнением состояния р = КпУ, где постоянная у удовлетворяет соотношению 4/з^У^Б/з- На бесконечном удалении от черной дыры в радиальном направлении скорость звука в газе равна 生.При каком значении радиуса направленный внутрь поток станет сверхзвуковым? (Дайте ответ с точностью лишь до главного члена разложения по а^/с.)

Задача 15.19. Скалярное поле Ф удовлетворяет уравнению □①=0. Покажите, что в шварцшильдовской геометрии Ф можно разложить по сферическим гармоникам:

6 = r w(r, t)Y/m(fl-, ф),где У/т — сферическая гармоника, а 屮 удовлетворяет уравнению电〃 一(1 一 27И") [(1 — 2М") ^ri.r + V^r)^^ О,

здесь

九⑺三(1 - 2m/r)[絹+ 第斗

Задача 15.20. Покажите, что метрика Шварцшильда является также решением уравнений поля теории тяготения Бранса — Дикке (уравнения поля теории Бранса — Дикке приведены в книге [2] стр. 174).

ГЛАВА 16

СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ СТРОЕНИЯ ЗВЕЗД

Геометрия, порождаемая невращающейся звездой, состоящей из идеальной жидкости, является сферически-симметричной. В пространстве вне звезды она представляет собой шварцшильдовскую геометрию, даже если звезда не является статической: например, испытывает радиальные пульсации или коллапсирует. Для статической звезды внутреннюю метрику можно записать в виде

ds2 = — ©2 ①力2 + (1 — 2m")T+ 户 dQ*

где

г

加=§ 4лг2р dr.о

Градиент давления внутри звезды дается уравнением гидростатического равновесия Оппенгеймера — Волкова:

包=_ (р + p)(加+ 4")dr —r (r — 2/n)*

Здесь р и р — соответственно давление и плотность массы-энергии вещества, удовлетворяющие уравнению состояния

p = p(n, Т),Р = Р(™. Т).Если внутри звезды значение энтропии на один барион s посто-янно, то р зависит только от р: р = р(р)・ Метрическая функция Фопределяется эйнштейновскими уравнениями поля:

黑=吋4欝 н е® = 1 — 2M/R при r = R,

где R —радиус звезды, a M — tn (R) — ее полная масса (та самая масса, которая входит в выражение для внешней шварцшильдовской метрики).

Равновесные модели звезд могут быть неустойчивы по отношению к гравитационному коллапсу; в этом случае необходимо Пользоваться динамическими уравнениями, полученными из эйн- йггейновских уравнений поля и/или из уравнения Т^； v = 0.

Стационарно вращающаяся звезда обладает уже не сфери-

ческой, а всего лишь аксиальной, или цилиндрической, симметрией. Уравнения, описывающие строение аксиально-симметричных звезд, довольно сложны; тем не менее некоторые общие закономерности можно в этом случае найти либо из соображений симметрии, либо же в предположении, что звезда вращается жестким образом.

Задача 16J. Найдите систему базисных векторов (и соответствующий дуальный базис 1 -форм) (см. введение к гл. 8) для ортонормированного репера в сферической геометрии. Считайте, что «ножки» (базисные векторы) репера ориентированы вдоль направлений % г, О н 屮 в системе изотропных координат, где метрика имеет вид

ds2 ==—产①成2 + e2tl(“2 + ffl dQ2)・

Задача 162 Предположим, что наблюдатель, покоящийся в некоторой точке внутри сферической релятивистской звезды, измеряет при помощи обычных лабораторных методов действующую на малый элемент объема V выталкивающую силу FBbITajlK, возникающую за счет радиального градиента давления. Как будет выражаться измеренное им значение FBbiTanK через р, р, m, V и dp [dr? Если наблюдатель приравняет найденную выталкивающую силу равной и противоположно направленной силе тяготения, то каково будет выражение для FrpaB как функции р, р, /и, V и г? В чем эти результаты отличаются от соответствующих ньютоновских результатов?

Задача /6・3. Докажите знаменитую теорему Биркгофа: сфе- рически-симметричное гравитационное поле в пустоте всегда является статическим и всегда представляет собой некоторое решение типа Шварцшильда.

Задача 164 Покажите, что пробные частицы, находящиеся внутри самогравитирующей полой сферы, не испытывают воздействия гравитационных сил.

Задача 1в.5. Покажите, что в теории тяготения Бранса — Дикке (соответствующие уравнения поля приведены в книгах [1], т. 3, стр. 315 или [2], стр. 175) единственным статическим сфе- рически-симметричным решением в пустоте, несингулярным в начале координат, является метрика плоского пространства п и постоянное скалярное поле Ф.

Задача /6・6・ Каким числом алгебраически независимых компонент обладает тензор Т% описывающий некоторую сферически- симметричную конфигурацию?

Задача 16.7. Найдите все четыре компоненты уравнения 7。°； в = 0 дая тензора энергии-импульса, описывающего статическую сферически-симметричную звезду, состоящую из идеальной жидкости.

Задача 16.8. Политропные звезды [звезды, состоящие из вещества с уравнением состояния р = КЗ, где у = 1 + -I (几 называется индексом политропы)] в ньютоновской теории неустойчивы, если ¥<&/з. Рассмотрите влияние малых релятивистских поправок на этот критерий устойчивости. Покажите, что влияние сводится к расширению области неустойчивости на значения у <4/з + е, где £ может зависеть от массы, радиуса и внутреннего строения звезды.

Задача 16.9. Найдите выражения для пределов Чандрасекара и Оппенгеймера — Волкова (верхние предельные значения массы соответственно для белых карликов и нейтронных звезд) в виде размерных комбинаций фундаментальных констант и масс нуклона и электрона. Аналогичным образом выразите предельные радиусы, соответствующие этим предельным массам.

Задача 16.10. Масса т (г), находящаяся в сферической звезде внутри сферы радиуса г, появляется в члене g^, в выражении для линейного элемента

ds2 =—發①出2 +(1 — 2m (г)/г)т dr2 + r2 dE.

Выразите m(r) не зависящим от координат образом — через площадь поверхности и радиальное расстояние между соседними сферическими поверхностями.

Задача 16 JL

Как выглядит шварцшильдовская метрика в «излучательных координатах» Эддингтона — Финкельштейна, получающихся из координат кривизны путем преобразования:

dt^du + (l— 2М/г)т 〃・

Пусть теперь Л1 — функция координаты с нулевым индексом 弘 определенной в п. «а». Покажите, что пространство-время не является пустым, и найдите соответствующий ему тензор ТаР. Дайте физическую интерпретацию этой метрики, называемой иногда метрикой Вайдья, ,

Задача 16J2, Решите систему релятивистских уравнений внутреннего строения звезды для случая статической сферически- симметричной звезды с однородным распределением плотности. Покажите, что масса и радиус звезды удовлетворяют соотношению R/2M >9/8. Какое минимальное значение R/2M может быть достигнуто при одновременном выполнении условия эвергодоми- нантности (см. задачу 13.7)?

Задача 16J3. Статическая сферически-симметричная звезда состоит из ферми-газа, находящегося при нулевой температуре, причем значения энергии Ферми намного больше массы покоя частиц. Покажите, что уравнения внутреннего строения звезды имеют решение 加(г) = 3〃14* Найдите р(г), р(г) и п (г). Покажите также, что, хотя п становится бесконечным при г = 0, число частиц, находящихся внутри сферы любого радиуса, конечно. Постройте диаграмму погружения для 3-поверхности / = const. Сингулярность какого типа имеет место при г = 0?

Задача 16Л4, Рассчитайте поверхностные напряжения в статической самогравитирующей оболочке массы М и радиуса R. Какова собственная поверхностная плотность массы? Сравните выражения для поверхностных напряжений с ньютоновским пределом, когда R^M.

Задача 16.15. Каков наименьший возможный собственный радиус самонесущей сферической оболочки массы М, если вещество, из которого она состоит, удовлетворяет условию энергодоминантности (заметим, что этому условию удовлетворяют все известные до настоящего времени виды вещества)?

Задача 16.16. Чему равно красное смещение, испытываемое на бесконечности излучением, распространяющимся в радиальном направлении от тонкой сферической оболочки, находящейся в статическом равновесии, выраженное через поверхностную плотность Л° 6 и поверхностные напряжения А@ g этой оболочки? Каково будет наибольшее возможное красное смещение, если считать, что выполняется условие энергодоминантности?

Задача 16,17. Покажите, что для жестко вращающейся самогравитирующей звезды, состоящей из идеальной жидкости,

▽Р = (P + 卩)V In 加，

где ^―компонента 4-скорости сплошной среды в канонической координатной системе, выбранной таким образом, что существующие в данной метрике векторы Киллинга суть 瓦力—313t и &屮)= * "0屮.

Задача 16>18. Покажите, что в жестко вращающейся само- гравитирующей звезде, состоящей из идеальной жидкости, поверхности постоянных значений р и р совпадают.

Задача 16,19. Покажите, что поверхность жестко вращающейся звезды с точки зрения наблюдателя, находящегося на бесконечности, задается уравнением

g" + 2g® Q 十 g ①①菱=const,

где Q — угловая скорость вращения.

Задача 16*20, Найдите доплеровское уширение спектральной линии излучения от жестко вращающейся звезды, наблюдаемое астрономом, расположенным на бесконечности в направлении оси вращения звезды. (Доплеровское уширение определяется вариацией значений доплеровского смещения

г = 1

"наблюй

вдоль поверхности звезды.)

Задача 16.21. Выведите общерелятивистский критерий конвективной устойчивости статической равновесной конфигурации идеальной жидкости.

Задача 16.22. Докажите, что для жестко вращающейся конфигурации условия изэнтропичности и постоянства энергии инжекции [(р + p)/(nuQ)] эквивалентны.

Задача 16.23. Рассмотрим стационарную аксиально-симметричную звезду. Соответствующая метрика обладает двумя векторами Киллинга 自⑴ и §((р). Покажите, что

М = -，(27% - 6%т)Р«)&з%

есть масса звезды с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя. Здесь d3Su — элемент объема звезды в некоторый момент времени / (временная координата t выбирается таким образом, что 自(f)= d/if)・ Покажите также, что момент количества движения звезды, измеряемый бесконечно удаленным наблюдателем, можно выразить в виде

J^T^Mds^.

Задача 16.24. Покажите, что интегральное выражение для массы М из предыдущей задачи в случае статической сферической звезды, состоящей из идеальной жидкости, имеет вид

М =，(Р + 3р) ^+^4№ dr.

где Ф и X —метрические функции в координатах кривизны 條产依，grr = e^). Покажите также, что это выражение эквивалентно выражению, получающемуся из уравнений внутреннего строения звезды:

М =，р4лг2 dr.о

Задача 16.25. В случае сферической коллапсирующей звезды мы не можем добиться одновременного выполнения трех довольно привлекательных условий: 1) радиальная координата сопутствует некоторому сферическому слою вещества звезды; 2) временная координата является собственным временем для этого вещества; 3) метрический тензор диагоналей. Докажите, что метрика может одновременно обладать всеми этими тремя свойствами в том и только в том случае, когда давление равно нулю.

Задача 16.26. Если R — сопутствующая координата, то метрику для сферически-симметричной коллапсирующей звезды (см. задачу 16.25) можно записать в виде

ds2 = _ е2Ф d/2 + ^ dR2 + г2 (i, R)d4, где Ф и Л —функции Ruf. Если звезда состоит из идеальней жидкости, то часто оказывается полезным ввести следующие функции:

ms J 4"2ру 找， о

U0户，

F三/2А(尸产

Штрихи здесь означают частное дифференцирование по R, а точки— по Л Функция т имеет смысл массы, находящейся внутри оболочки радиуса R, a U — скорость движения оболочки, измеряемая по собственному времени сопутствующего наблюдателя.

Докажите следующие соотношения:

т = —4лрг2?.

[Указание. Воспользуйтесь первым началом термодинамики (задача 5.19), законом сохранения числа барионов, уравнениями движения и соотношением G^ = 0 для соответствующей компоненты тензора Эйнштейна (задача 9.20).]

F= 1+t/2 -2m".

[Указание. Воспользуйтесь соотношениями 6々=—8лр и G% = 0 (из задачи 9.20).]

Задача 16,27. Для случая коллапсирующей звезды, состоящей из идеальной жидкости, покажите, что как только сферическая массивная оболочка, соответствующая значению сопутствующей радиальной координаты R, сколлапсирует до такой степени, что начнет выполняться неравенство 2加(R, f)!r{R, Z) > 1, то эта оболочка сколлапсирует до г = 0 за конечное собственное время.

Задача 16.28. Для случая сферически-симметричного коллапса в отсутствие давления покажите, что характер падения на центр некоторой сферической оболочки точно так же зависит от величины массы вещества внутри этой оболочки, как характер радиального падения частицы в шварцшильдовской геометрии зависит от массы центрального источника:

d277 dt2 = — M/r2.

Задача 16*29. Для случая сферически-симметричного коллапса в отсутствие давления (см. задачу 16.26) покажите, что т и Г не зависят от времени. Решите получающееся динамическое уравнение

備『-嚟=『(R)T

для трех физически различных случаев: Г2 — 1 больше, меньше или равно нулю.

Задача 16.30. Рассмотрим гравитационный коллапс сфери- чески-симметричной, состоящей из идеальной жидкости звезды с нулевым давлением и равномерно распределенной плотностью (т. е. распределенной равномерно всюду в звезде с точки зрения наблюдателей, сопутствующих движению вещества).

Покажите, что внутренняя метрика в звезде представляет собой локально фридмановское решение с 々= + 1, если звезда начинает коллапсировать из состояния покоя при некотором конечном значении радиуса, с 々 = 0, если звезда коллапсирует из состояния покоя на бесконечности, и с 々=——1, если вещество звезды обладает на бесконечности конечной скоростью.

Из теоремы Биркгофа (см. задачу 16.3) следует, что внешняя метрика представляет собой метрику Шварцшильда. Покажите, что каждая точка поверхности звезды движется вдоль радиальной геодезической шварцшильдовской метрики.

Покажите, что на поверхности звезды метрики Фридмана и Шварцшильда гладко сшиваются друг с другом. [Указание. Необходимо и достаточно показать, что внутренняя (3-мерная!) геометрия поверхности звезды и внешняя кривизна этой поверхности будут одинаковы при измерении как изнутри, так и извне звезды.]

ГЛАВА 17

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

Черной дырой Керра — Ньюмана называется физический объект, описывающийся точным решением уравнений поля Эйнштейна и обладающий массой, моментом количества движения и, вообще говоря (но не в астрофизических случаях), зарядом.

Описывающая это решение метрика имеет в «координатах Буайе — Линдквиста» следующий вид:

^ = -(1-注二9)択一产一Q产屮函+

+ ^ "2 + EdM + 卜2 + 废 + (2Mr_争m) sin2M<p2, где

废 + Q2 VAi2,

Af —масса, Q —заряд, а —момент количества движения на единицу массы и

A三Г2 一 2mГ+a2 + Q2,

W三戸+炉cos2仇

Метрические коэффициент» не зависят от / и ф, так что 自(介= d/d? и 自|叫=6/。屮 суть векторы Киллинг ! Одной из характеристик этого решения являются уравнения орбитального движения пробной частицы, непосредственно вытекающие из вида метрики:

工户=土 (%)忆

£§ = ±(5,

2ф = — (aE — Z.2/sin2 8) + 今 P,

S / = —a (aE sin2 ^― Lz)+ * j" P.

Здесь «точками» обозначены производные по собственному времени или аффинному параметру,

Р = Е (г2 4-а2) — Lza — eQr,

乙三 产一 А [炉n+ (g一 ae)2 + z],

V^=X-cos2 8 [a2 (了 一 £2)+ L^/sin2 О],

Е — сохраняющаяся полная энергия;

Ьг — сохраняющаяся z-компонента момента количества движения;

X — сохраняющаяся величина, связанная с полным моментом количества движения;

卩一масса покоя частицы;

е —заряд частицы.

Шварцшильдовская черная дыра представляет собой частный случай решения Керра — Ньюмана при a = Q = 0. Черная дыра Рейсснера — Нордстрема есть частный случай при а = 0, Q =# 0; она сферически-симметрична. Керровская черная дыра — это частный случай при а=#0, Q = 0. Определяющим свойством черной дыры является наличие горизонта — поверхности, сквозь которую вещество может падать на центр, но от которой ни вещество, ни несущие информацию сигналы не могут уйти на бесконечность. Для случая керровской дыры эта поверхность расположена при г = г+, являющемся значением большего корня уравнения Д = 0. Пределом статичности для вращающейся черной дыры называется поверхность, внутри которой все наблюдатели обязательно увлекаются в орбитальное движение вокруг центра дыры. Для керровского случая предел статичности располагается при r = rQ, являющемся большим корнем уравнения g〃 = 0. Область, расположенная между горизонтом и пределом статичности, называется эргосферой.

Задача 17.1. Покажите, что постоянная Л1 в метрике Керра есть масса системы, а постоянная а — момент количества движения на единицу массы.

Задача /7.2・ Предлагается использовать небольшие (《Л4㊉) черные дыры для превращения в металлолом пришедших в полную негодность автомобилей. Остовы автомобилей должны спрессовываться до аккуратных круглых шариков в процессе частичного коллапса на черную дыру. Оцените, какова должна быть масса находящейся на околоземной орбите черной дыры, пригодной для такого применения. Сколько остовов в час можно переработать подобным способом?

Задача 17.3. Покажите, что после того, как ракетный корабль пересечет гравитационный радиус (горизонт) шварцшильдовской черной дыры, он достигнет точки г = 0 за собственное время т ^ пМ независимо от величины тяги, которую развивают его двигатели.

Задача /7.4. Покажите, что закон Кеплера

4=М〃з

остается в точности справедливым для круговых орбит вокруг шварцшильдовской черной дыры, если г —радиус в координатах кривизны, a Q — угловая частота обращения, измеряемая бесконечно удаленным наблюдателем. Выведите анологичный закон для экваториальных орбит вокруг керровской черной дыры, обладающей удельным моментом количества движения а.

Задача 17.5. Наблюдатель, находящийся на круговой орбите радиусом г вокруг заряженной сферической черной дыры (черная дыра Рейсснера — Нордстрема) с массой М и зарядом Q, измеряет локальные характеристики электрического и магнитного полей. Каковы их напряженности и ориентации?

Задача 17.6. Сопоставляя значения массы, заряда и момента количества движения «классического» электрона, покажите, что он не может быть черной дырой Керра — Ньюмена.

Задача 17.7. Для круговых орбит в экваториальной плоскости керровской черной дыры докажите, что ограниченно устойчивой орбите (случай так называемой краевой устойчивости) соответствует минимум энергии Е и минимум момента количества движения

Задача /7.8・ Некоторый (не обязательно свободно падающий) наблюдатель обращается вокруг керровской черной дыры по орбите, лежащей в экваториальной плоскости ,& = л/2.

Пусть орбита является круговой г— const. Будем называть Q = d^)/dt «угловой скоростью нашего наблюдателя по отношению к некоторому удаленному покоящемуся наблюдателю». Выразите 〃°, иф, и0 и 〃① через Q, г, М ^ а.

Предположим, что эта круговая орбита лежит внутри эргосферы (радиус орбиты расположен вне горизонта при г+, но внутри предела статичности при %). Покажите, что наш наблюдатель не может оставаться в состоянии покоя по отношению к удаленному наблюдателю, или, другими словами, покажите, что угловая скорость й для нашего наблюдателя обязана быть ненулевой.

Если наблюдатель находится в области г_ < г < гн покажите, что он не может оставаться на орбите с постоянным радиусом.

Задача 17.9, Покажите, что внутри эргосферы керровской черной дыры (а значит, вне горизонта!) существуют траектории частиц отрицательной энергии. Покажите, что космический корабль

может увеличить свою полную энергию, если во время прохождения по орбите внутри эргосферы с его борта в черную дыру будет выпущен снаряд.

Задача 17,10. Покажите, что когда пробная частица достигает горизонта керровской черной дыры (г = г+), ее «угловая скорость по отношению к бесконечно удаленному наблюдателю» равна

dt .

Задача 17JL Докажите, что в геометрии Керра существуют «квазикруговые полярные» орбиты, т. е. орбиты с постоянным значением радиальной координаты, попеременно проходящие над северным и южным полюсами. Каков наименьший возможный полярный радиус такой орбиты?

Задача 17,12. Горизонтом Киллинга называется изотропная гиперповерхность (гиперповерхность, нормаль к которой является изотропным вектором), генерируемая вектором Киллинга. Энергоповерхность («предел статичности») определяется как поверхность бесконечного красного смещения по отношению к неподвижным наблюдателям. Покажите, что для статической черной дыры эргоповерхность совпадает с горизонтом Киллинга.

Задача 17.13. Покажите, что площадь поверхности горизонта черной дыры Керра —Ньюмана (т. е. площадь поверхности г = г+, / = const в координатах Буайе—Линдквиста) равна

4n {[М + (m2 - Q2 —*%]2 + 淤}.

Задача 17.14. Исходя из теоремы Хокинга («при соударении двух черных дыр суммарная площадь их поверхности никогда не может уменьшаться»), найдите, чему равна наименьшая масса Л12 шварцшильдовской черной дыры, возникающей в результате столкновения двух керровских черных дыр с равными массами Mlf но с параметрами момента количества движения, имеющими разные знаки:旬=—а?. Если предположить, что | а | ^ М, то какую долю первоначальной массы можно превратить в уходящее излучение? Существуют ли другие процессы соударения незаряженных черных дыр, дающие столь же большой выход энергии?

Задача 17.15. Используя теорему о том, что площадь поверхности черной дыры не может уменьшаться (см. задачу 17.14), докажите, что керровская черная дыра усиливает (а вовсе не поглощает) некоторые моды падающего на нее поля излучения.

Задача 17.16.

Запишите скалярное волновое уравнение QO = 0 в геометрии Керра в координатах Буайе — Линдквиста.

Покажите, что методом разделения переменных это уравнение может быть сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Найдите асимптотический вид Ф при г оо.

Найдите асимптотический вид Ф при г-> г+.

Какое граничное условие для Ф соответствует входящим волнам с точки зрения расположенного на горизонте физического наблюдателя?

Покажите, что для волны вида

Ф = ехр (— tst + i加屮)f (г, О)

энергия выходит из дыры наружу, если О V s/加 V @/(2例厂+). Сравните с результатами задачи 17.15.

Задача 17.17. В черную дыру Рейсснера — Нордстрема с Q2<A12 падают по радиальному направлению заряженные частицы. Покажите, что в дыру никогда нельзя будет ввести заряд, достаточный для того, чтобы начало выполняться соотношение Q^> М2, соответствующее «голой» сингулярности, а не решению типа черной дыры.

Задача 17.18. В геометрии Керра «наблюдателям с нулевым моментом количества движения» соответствует базис 1-форм вида ®? = ® - dg^B『/夜 力而=(gqxp)% 0Ф - з例， 而；—(E/А 户 2", 而金=府 гце ①三一^/qj/gcpcp'

Покажите, что этот базис 1-форм является ортонормиро- ванным.

Найдите дуальные базисные векторы.

4-скорость наблюдателя с нулевым моментом количества движения есть и = е?; покажите, что и обладает нулевым вращением (см. задачу 5.18).

Наблюдатель с нулевым моментом количества движения не является инерциальным наблюдателем; покажите, что его ускорение равно

Задача 17J9. Вычислите гауссовскую кривизну горизонта керровской черной дыры и покажите, что она становится отри-

цательной при а>3%м/2. (Это означает, что при а>3%7И/2 поверхность горизонта не может быть глобально погружена в евклидово 2-пространство.) С помощью теоремы Гаусса — Бонне проверьте, что топологически поверхность горизонта есть 2-сфера.

Задача 17,20. Покажите, что реликтовая (возраста 〜Ю10 лет) вращающаяся черная дыра массой < Ю15 г уже должна была потерять большую часть своего момента количества движения за счет спонтанного квантового излучения фотонов или гравитонов. Какая доля момента количества движения вращающейся черной дыры с массой 144© (〜Ю33 г) была бы потеряна за тот же период?

Задача 17.21, Рассмотрим вакуумную метрику вида

G-y/n/p?(1- у

ds2— — уj(?力纟 + ^2(г №2 + P2^2 + P2 sin2 ^Ф2)；

(1+彳加4)(I-歹m/p)

она является частным решением статической сферически-симмет- ричной задачи в теории тяготения Лайтмана — Ли. Описывает ли приведенная выше метрика черную дыру, и если да, то как свойства такой дыры отличаются от свойств аналогичной дыры в общей теории относительности?

ГЛАВА 18

ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Слабые гравитационные волны описываются линеаризованной теорией (см. гл. 13). Основные уравнения для таких волн, распространяющихся в пустоте, имеют вид

gp/v = Л+lV + ^Ц-V (I 九RV I《1),

h^v M %v ——У 九“a %V»

I I 瓦/V 曰历W“Q = О,

儿"“；а = 0 («лоренцевская калибровка》),论卩о = °,九'% = ° («поперечно-бесследовая калибровка»).

Эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн есть

7力6g=裁6"，切％〉，

где угловые скобки означают усреднение по нескольким длинам волн, a hjk записывается в поперечной калибровке со следом, равным нулю (см. [1], гл. 36.7).

Мощность гравитационного излучения 厶吃 искупаемого почти- ньютоновским, медленно движущимся (и々с) гравитирующим источником, равна

= ^ ^〈 Нм iJk\

где 石左一так называемый «тензор приведенного квадрупольного момента» источника, дающийся выражением

工М = , р (л/以—у б"/*?) d叱

а угловые скобки означают усреднение по нескольким характерным периодам источника.

Задача 18.1. Автомобилист из Массачусетса рассерженно грозит кулаком другому автомобилисту. Какая доля расходуемой им энергии уходит на гравитационное излучение?

Задача 182 Динамическая система с гравитационной связью (например, двойная звезда) обладает массой М и размерами R (рассматривается только порядок величин). Оцените время, необходимое для того, чтобы система испытала ощутимое влияние сил реакции излучения, и сравните полученный характерный масштаб времени с динамическим масштабом времени системы.

Задача 18.3. Для электрического диполя и, соответственно, для исходящего от него излучения имеются три независимые ориентации, соответствующие трем направлениям, вдоль которых может быть направлен диполь. Сколько независимых ориентаций существуют для бесследового тензора квадрупольного момента?

Задача 184. Вычислите мощность гравитационного излучения от тонкого металлического стержня массы М и длины 2, вращающегося с частотой со вокруг симметрично расположенной относительно его концов перпендикулярной к нему оси. Оцените мощность электромагнитного излучения, которое будет возникать за счет незначительного избытка электронов на концах стержня (электроны отталкиваются к концам центробежной силой). Если принять разумные значения для плотности (10 г/см3) и частоты вращения (1 кГц) стержня, то какое излучение — электромагнитное или гравитационное — будет играть более существенную роль в замедлении вращения стержня?

Задача 18.5. Силы реакции излучения, действующие на медленно движущийся (почти-ньютоновский) источник, можно получить, добавляя к ньютоновскому потенциалу потенциал «реакции излучения» вида

①реаки =書撲/也

[Ср. статью Верка (Burke W., Journ. Math. Phys., 12, 402 (1971)) или [1], т. 3, стр. 208]. Здесь J；ft — приведенный квадрупольный момент источника

牙必三,P (勿以-^ 5必产)4/3%

в некоторый данный момент времени. Индекс (5) означает пятую производную по времени. Из этого потенциала выведите выражения для усредненных по времени скоростей потери источником энергии и момента количества движения, записанные через производные от石总.

Задача 78.6・ Две звезды с массами Мг и М?, разделенные расстоянием R, обращаются вокруг общего центра масс по нерелятивистской круговой орбите. В результате торможения грави-

тационным излучением R меняется со временем. Найдите функцию R (/).

Задача 18.7. Две точечные массы тх и т2 движутся по ньютоновской эллиптической орбите с большой полуосью а и эксцентриситетом е. Рассчитайте da/dt и de/dt, обусловленные торможением гравитационным излучением. Покажите, что эллиптическая орбита постепенно приближается к круговой.

Задача 18.8. Плоская гравитационная волна распространяется в почти плоском пустом пространстве-времени вдоль направления х1 (другими словами, возмущения метрики ha^ суть функции только от u = t — x). Найдите в явном виде координатное преобразование, обращающее в нуль все 力耶，за исключением 力23 =方32 и 厶22 =—— 力зз・ Покажите, что те же самые результирующие компоненты можно было бы получить непосредственно, если перейти с помощью проектирования к поперечно-бесследовой калибровке.

Задача 189 Покажите, что генерируемое аксиально-симметричной системой гравитационное излучение не переносит суммарного момента количества движения. (Не используйте предположения о том, что источники обладают слабыми внутренними гравитационными полями.)

Задача 18.10. Определите параметры Стокса для плоской гравитационной волны и покажите, как из трех параметров Стокса можно вычислить степень линейной и круговой поляризации волны, а также ориентацию максимума линейной поляризации.

Задача /8・〃・ Первоначально статический источник приводится в резкое движение, в результате возникает гравитационное излучение. Затем, спустя конечный промежуток времени, источник вновь становится статическим. Удаленный наблюдатель регистрирует гравитационные волны, следя за движением двух свободных частиц, находящихся первоначально в состоянии покоя относительно друг друга. Покажите, что после прохождения гравитационных волн наблюдатель вновь обнаружит частицы в их первоначальных положениях покоящимися относительно друг друга в первом порядке по амплитуде волны.

Задача 18.12. Упругий стержень может использоваться для детектирования гравитационных волн не только на низшей нормальной моде его колебаний (частоты ю0), но также и на гармониках (0д ^п(оо. Какова чувствительность n-й моды по отношению

к нулевой, т. е. как зависит от п отношение максимума квадрата амплитуды смещения к потоку энергии волны? (Предположите, что стержень обладает той же самой постоянной времени механического затухания для всех мод.)

Задача 18.13. Слабая плоская гравитационная волна, распространяющаяся в направлении оси 尤,падает по нормали на цементную плиту. Цемент поглощает из волны энергию Е. Покажите (например, исходя из уравнений движения 7卩'；乜==0), что плита должна также поглощать 尤-составляющую импульса, равную Е, и найдите соотношение между скоростями поглощения энергии и х-составляющей импульса.

Задача 18.14. В предыдущей задаче было показано, что материальные среды должны поглощать составляющую импульса вдоль направления распространения волны. На первый взгляд это кажется несовместимым с представлением о гравитационных волнах как поперечных волнах! Чтобы исследовать данную проблему, построим идеализированную модель поведения молекул цемента из предыдущей задачи. Предположим, что они приходят в гармоническое движение при отклонении от положения равновесия и что существует некоторая сила затухания, обусловленная внутренним трением в цементе. Предположим также, что гравитационная волна является монохроматической и линейно поляризованной. Используя уравнение расхождения геодезических, найдите среднее по времени значение силы (и, следовательно, скорость поглощения импульса), действующей в направлении распространения волны. Покажите, что найденная скорость поглощения импульса равна той же скорости, с которой молекулы поглощают энергию.

Задача 18.15. Слабая плоская гравитационная волна с частотой s и безразмерной амплитудой А проходит через газ частиц, взаимодействующих по типу «твердых шариков»; газ имеет температуру Т. Средняя длина свободного пробега атомов газа равна 2; газ является достаточно разреженным, так что 2》с/(о. Покажите, что за конечный промежуток времени частицы газа будут нагреты до релятивистских температур. Оцените требующееся для этого время. Оцените также расстояние, на котором волна затухает по амплитуде в е раз*

Задача 18.16. Оцените число гравитонов, излучаемых при асимметричном взрыве с энергией Е.

Задача /8・/7・ Сколько примерно тепловых гравитонов излучает 100-ваттная электрическая лампочка за время своего номинального срока службы, равного 1000 часам? Каковы приблизи-

тельно частота волны и число гравитонов, излучаемых лампочкой, когда она падает и разбивается о цементный пол?

Задача 18.18. Дайте подробный расчет времени жизни атома водорода в З^-состоянии по отношению к распаду в ls-состояние за счет механизма гравитационного излучения.

Задача 18.19. Из соображений симметрии очевидно, что поток тепловых гравитонов от сферически-симметричной звезды является изотропным; покажите, что этот факт не противоречит теореме Биркгофа. Какова приблизительно мультипольность 2’ этого потока (для диполя £ = 1 и т. д.) для типичной звезды, например, такой, как наше Солнце?

屮2 = — у Rzozo,屮2 = — у Rzozo,Задача 18.20、Рассмотрим следующие «типы гравитационных волн», соответствующие гравитационной волне, распространяющейся в направлении оси z:

屮2 = — у Rzozo,

屮2 = — у Rzozo,

屮4 = RgOgO — Rxo*O + 2iRxog0,

屮3 = ~2 (— ^^0^0 + iRpOZo),^4 = RyGUQ — Rxoxo — 2zRx0go,

屮3 =歹(RxQzQ — iRgOzo),①22 = (RxQxf) + RyOyO)>

Какие из этих волн являются поперечными?

Спин волны указывает (среди всего прочего) на соотношение между ориентациями различных состояний поляризации. Для скалярной волны (спин 0) параметры волны симметричны относительно направления распространения. Для векторной волны (например, электромагнитной) со спином 1 независимые состояния поляризации повернуты друг относительно друга на 90°; поворот на 180° возвращает нас к исходному состоянию поляризации, меняя только знак. Вообще говоря, для волны со спином s поворот на угол л/s возвращает нас к исходному состоянию поляризации. Какие из перечисленных выше волн обладают спином 0? Спином 1? Спином 2? Какие из них допустимы в общей теории относительности?

Задача 18,21. Нарисуйте картину силового поля для каждого типа волн из предыдущей задачи.

Задача 18.22. Рассмотрим метрику

ds2 = dx2 + dy2 ~dudv-{- 2H (x, g, u) du2.

Какой вид должна иметь функция ", чтобы эта метрика соответствовала сильной плоской гравитационной волне, распространяющейся в пустоте?

ГЛАВА 19

КОСМОЛОГИЯ

Если Вселенная однородна и всюду изотропна, то ее геометрия дается метрикой Робертсона — Уокера

国+阳叫

где 々=+1, 0, ——1 для закрытой, пространственноплоской и открытой модели соответственно. Когда для определения временной зависимости функции R (/) и значения & используются уравнения Эйнштейна, результирующее пространство-время называется моделью Фридмана (иногда, особенно в случае не равной нулю космологической постоянной, ее называют также моделью Леметра). Две первые производные от R (/) в современную эпоху (что обозначается индексом 0) параметризуются с помощью постоянной Хаббла

Но= (dR/dt)/R при R = Ro

и так называемого параметра замедления

qQ = — [(d2R/dt2) R]l(dR/dt)2 при R = R『

Вещество в космологии, вообще говоря, находится в состоянии расширения или сжатия, так что свет, достигший некоторого наблюдателя, обычно уже испытал красное или фиолетовое смещение относительно своего источника. Это смещение описывается величиной z, определяемой формулой

]+ Z 三 М】зл_ _ 九набп ,"ннбл九 нзл

В целом ряде случаев величина z монотонно меняется с расстоянием от наблюдателя, так что иногда говорят просто об «объекте, находящемся на красном смещении z».

Если р и р суть плотность и давление заполняющей Вселенную «гомогенизированной» материи, обладающей массой-энергией, то случай с р》р называют моделью «с преобладанием вещества», а случай р р — моделью «с преобладанием излучения» (или «радиационно-доминированной» моделью).

Из наличия космического фонового микроволнового излучения со спектром, соответствующим излучению абсолютно черного тела при температуре около ЗК, следует, если проделать экстраполяцию «назад во времени», что на ранних стадиях развития фридма- новской модели существовали чрезвычайно высокие температуры (поэтому такая модель называется иногда «горячей моделью» расширяющейся Вселенной, а фоновое излучение — реликтовым). Не исключено, однако, что высокое значение «энтропии на барион», вытекающее из существования фонового излучения, обусловлено какими-то диссипативными процессами, происходившими в течение эволюции нашей Вселенной.

Задача 19.L Покажите, что уравнения ньютоновской гидродинамики и теории тяготения не допускают существования однородной ,изотропной, статической космологической модели (т. е. неизменной во времени Вселенной, однородно заполненной идеальной жидкостью).

Задача 192 Пространство-время не содержит вещества и является всюду изотропным. Докажите, что оно представляет собой плоское пространство Минковского.

Задача 19.3. Некоторый объект испускает чернотельное излучение с температурой Т в собственной покоящейся системе отсчета; мы наблюдаем это излучение при красном смещении г и в телесном угле Q. Чему равен измеряемый нами поток излучения? Что изменится, если красное смещение не является космологическим, а обусловлено доплеровским движением локального объекта?

Задача 19.4. Однородные изотропные пространственные гиперповерхности должны в силу сферической симметрии обладать линейным элементом вида

da2 = a2 [产⑺ “2 + r2dQ2],a = const.

Покажите, что функция /2(г) должна иметь вид (1 — ^г2)-1, где 々 = 0, ±1.

Задача 19.5. Покажите, что метрику Робертсона — Уокера

ds8 = — d产 + 必(0 |д^г + 户(d^2 + sin2 今 dtp2)] можно также переписать в виде

由2 ^ — dt1^R2 ⑴[姒?十 S2 (%) (dM 十 sirp 0 dq)a)J,

или

ds? = R2 (т]) [— dv^ + d%? + £2 (%) (d"2 + sin2 8 dq)2)], где

'sin2x для 々=+1,

£2(%)= Y для』0,,sh2x для 々=—L

Задача 19.6. Покажите, что пространственноподобные 3-поверхности в закрытой изотропной Вселенной обладают трансляционной симметрией, не оставляющей ни одной неподвижной точки. (Обратите внимание, что для двух измерений это неверно: как бы мы ни «причесывали» 2-сферу, все равно останутся два 《хохолка》!)

Задача /9.7・ В расширяющуюся Вселенную Робертсона — Уокера выстреливается пуля, обладающая скоростью 卜上 относительно космологических наблюдателей. Позже, когда Вселенная расширилась в (1+z尸 раз (эта величина называется масштабным фактором), пуля обладает уже другой скоростью У2 относительно космологических наблюдателей. Выразите V2 через V\ и г. Покажите, что в пределе Vx-^c получается формула для красного смещения фотонов.

Задача 19.8. При помощи некоторого явного координатного преобразования покажите, что метрика Робертсона — Уокера является конформно-плоской. Выразите 7?uvap через g^, р, р и 4-скорость вещества 〃叫

Задача /9.9. Покажите, что в метрике Робертсона — Уокера расстояние до объекта dAi определяемое по его видимому угловому размеру, расстояние 或，определяемое по светимости (или фотометрическое расстояние), и расстояние d^, определяемое по собственному движению объекта, связаны соотношениями

(14-г)2с!д = (1 +z) dM = di.

Задача 19.10. Предположим, что астрономам удалось выделить класс объектов с известными значениями абсолютной светимости Предположим далее, что мы измеряем их видимый блеск 2 (или фотометрическое расстояние до этих объектов dL) и красное смещение z. Используя вьтражение для линейного элемента Робертсона — Уокера, выразите £ (или d" как функцию L, z, Но и д()для малых значений г.

Задача /9〃・ Пусть м (/0) — взятая в современную эпоху плотность числа идентичных, привадлежащих к одному (гипоте-

тическому) классу световых или радиоисточников, однородно распределенных во Вселенной.

Покажите, что число таких источников с красными смещениями, меньшими z, определяемое по наблюдениям с Земли в современную эпоху, есть

2传)=号霽z3(l _^z(l+%) + ...).

В данном случае мы пренебрегаем эволюционными эффектами, т. е. считаем, что число источников в единице сопутствующего объема остается постоянным.

Если все источники обладают одной и той же истинной светимостью 厶，покажите, что число источников, для которых поток излучения [в эрг/(с-см2)] превосходит значение S, определяемое по наблюдениям с Земли в современную эпоху, равно

2 (S) =〃 Со)爲)1 -3儿篤厂 +

Задача 19.12. Световой луч распространяется вдоль радиальной линии в метрике Робертсона — Уокера

ds^~dt^ + R^t) y^ + r^d^.

Как координата г связана с аффинным параметром % вдоль траектории луча или, другими словами, чему равно dr/dX?

Задача 19.13. Исходя из требования, чтобы метрика Робертсона —Уокера удовлетворяла уравнениям поля Эйнштейна, выведите динамические уравнения для космологической модели Фридмана, заполненной идеальной жидкостью:

3穴+ 4;nG(p + 3p)R = 0,(1)

RR + 2R2 + 2k-4nG (р-р)/?3 = 0,(2)

Задача 19.14. Покажите, что два дифференциальных уравнения второго порядка из задачи 19.13 эквивалентны уравнениям первого порядка:

您+左=竽pа2,(1)

曷(pR3)=_3pR2.⑵

Задача 19J5. Для фридмановской космологической модели выведите соотношения

讐=需+к,(0

-8nGp=^ + H^l-2q).(2)

Если в модели преобладает вещество (р》р), покажите, что

А = (2?-1)№,(3)

苧= 2д"2.(4)

Если преобладает излучение (р^«}р), покажите, что

^{q-\)H\(5)

苧=/2.(6)

Задача 19.16. Какие уравнения, связывающие р, р и R(f), являются во фридмановской модели следствиями уравнения сохранения энергии, Т%；” = 0?

Задала 19.17. Для фридмановской модели с k =——1 и р = = р = 0 покажите, что линейный элемент имеет вид

ds2 =—成2 + 步[女合 + sh2 % (dM + sin? 8 dj)].

Укажите явный вид координатного преобразования, показывающего, что эта метрика описывает пространство Минковского.

Задача 19.18. Рещите фридмановское уравнение первого порядка

/К \2 8nG 论切=丁p一必

относительно R(f), когда преобладающий вклад в плотность р дает а) вещество и б) излучение. Выразите при этом все параметры современной эпохи через HQ и %.

Задача 19.19. В расширяющуюся фридмановскую Вселенную выстреливается пуля. Покажите, что в случае 々=——1 пуля достигает скорости, равной скорости некоторого космологического наблюдателя, но продолжает при этом находиться на постоянном собственном расстоянии от него. Для случая 々=0 покажите, что пуля опять-таки достигает скорости, равной скорости некоторого космологического наблюдателя, но собственное расстояние между пулей и этим наблюдателем при f->8 становится сколь угодно большим.

Задача 19.20. Рассмотрим замкнутую 伍=1) фридмановскую Вселенную, в которой излучение является преобладающим лишь на протяжении пренебрежимо малой доли всего времени жизни

Вселенной. Сколько раз фотон может «обежать по кругу» эту Вселенную за время от момента ее «рождения» до «смерти»?

Задала 19.2L Пусть идеализированная фридмановская Вселенная 仅= 0), в которой преобладает вещество и которая имеет постоянную Хаббла %, содержит однородно распределенные источники с постоянной светимостью L. Если локальная пространственная плотность числа таких источников в современную эпоху равна п, то какова будет яркость В ночного неба (энергия, приходящая из единичного телесного угла на единицу поверхности приемника в единицу времени)? Если Вселенная является статической и возраст ее бесконечен, то яркость ночного неба должна была бы также быть бесконечной; этот факт носит название парадокса Ольберса.

Задача 19.22. Предположим, что в эпоху рекомбинации водорода (которая, как мы будем считать, имела место при красном смещении z= 1500) параметр замедления ^ = 0,5002. Чему тогда должен быть равен параметр замедления qQ в современную эпоху? Повторите вычисления для q = 0,4998 при г = 1500. (Рассмотрите Вселенную, в которой преобладает вещество.)

Задача 19.23, Замкнутая (々=1) фридмановская Вселенная обладает постоянной Хаббла % и параметром замедления 妳 Будем считать, что в этой Вселенной всегда преобладало вещество.

Чему равен полный собственный объем Вселенной в совер- менную эпоху?

Чему равен полный собственный объем пространства, которое мы «охватываем взором», глядя на небосвод?

Чему равен полный собственный объем пространства, занимаемый 6 настоящее время веществом, которое мы видим, глядя на небосвод?

Задача 19.24. Чему равен видимый угловой размер объекта с собственным диаметром I, наблюдаемого с красным смещением z во фридмановской космологической модели с преобладанием вещества, для которой значения постоянной Хаббла и параметра замедления в настоящее время равны "° и %? (Аналогичные результаты для видимых собственных движений и видимого блеска следуют из задачи 19.9.)

Задача 19.25. В «горячей» фридмановской модели существуют две независимые друг от друга важные эпохи: когда во Вселенной впервые перестает преобладать излучение и она переходит к стадии преобладания вещества (Рвет ^ Рнзл) и когда протоны и электроны начинают рекомбинировать, образуя водород. Оказы-

вается, что в нашей Вселенной эти две эпохи почти полностью налагаются во времени друг на друга. Исходя из этого факта, получите численное значение сохраняющейся энтропии на барион

0 м 4打3/3九，

где Т —температура, а —коэффициент пропорциональности, различный для разных типов излучения, п — плотность числа барионов.

Задача /9.26. Выразите температуру характеристической рекомбинации водорода (т. е. температуру, при которой в условиях термодинамического равновесия степень ионизации составляет 0,5) через значение сохраняющейся энтропии на барион а в горячей модели расширяющейся Вселенной. Дайте числовой ответ для а= 108 и а= 109.

Задача 19,27. В радиационно-доминированной фридмановской космологической модели найдите температуру 7 как функцию собственного космологического времени f для моментов времени, близких к начальной сингулярности. Предположите, что вклад в плотность энергии р дают только фотоны, электроны и позитроны. Как изменится ответ, если включить сюда еще нейтрино и антинейтрино?

Задача 19*28. Фридмановская космологическая модель в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором &, обладает температурой 7\. Преобладающий вклад в плотность дают релятивистские электроны, позитроны, мюоны, фотоны и нейтрино, находящиеся в термодинамическом равновесии. Далее, в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором /?2, мюонные пары уже проаннигилировали, но все остальные частицы по-прежнему остаются релятивистскими и находятся в состоянии равновесия. Выразите температуру Т? через 7\, R^ и &•

Задача /9・29・ При каком из нижеследующих предположений в горячей модели расширяющейся Вселенной образовалось бы меньше Не4, чем это предсказывается «стандартной» моделью? Меньше Н2 (дейтерия)?

Предположим, что плотность числа барионов в теперешней Вселенной больше, чем считается на сегодняшний день.

Предположим, что константа слабого взаимодействия фактически меньше, чем принятая на сегодняшний день.

Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше нейтрино, чем антинейтрино или фотонов.

Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше антинейтрино, чем нейтрино или фотонов.

Предположим, что гравитационная постоянная G меняется в космологических масштабах времени и в прошлом была несколько больше, чем сейчас.

Задача 19.30. Предположим, что Вселенная является изотропной, однородной и пустой; тем не менее, при этом существует тензор энергии-импульса, обусловленный «поляризацией вакуума» и имеющий вид

8冗=Agw

(На прежнем языке это значило бы: существует не равная нулю космологическая постоянная А.) Найдите космологическое решение с R = 0, а также найдите систему координат, в которой это решение было бы статическим. Такая модель называется Вселенной де Ситтера.

Задача 19.31. Вселенная является изотропной, однородной и содержит только не создающую давления пыль; кроме того, ее тензор энергии-импульса, обусловленный поляризацией вакуума, имеет вид

где u^ — поле 4-скоростей вещества. Покажите, что для такой метрики существует статическое решение, но оно неустойчиво. Эта космологическая модель называется Вселенной Эйнштейна.

Задача 19.32. Чему равен собственный объем Вселенной ^нштейна из задачи 19.31, выраженный через плотность пыли р0?

Задача 19.33. Одно время казалось, что наблюдательные данные указывают на необычное скопление значений красного смещения квазаров вблизи z = 2. Одна из попыток объяснить этот факт состояла в предположении, что наша Вселенная представляет собой заполненную пылью космологическую модель с ^ = + 1 и не равной нулю космологической постоянной А, причем значение последней лишь чуть-чуть превосходит соответствующее значение для статической модели Эйнштейна (см. задачу 19.31). Покажите, что в этой модели Вселенная будет расширяться с уменьшающейся скоростью до некоторого радиуса Rmt вблизи которого она будет оставаться в течение длительного времени, продолжая при этом расширяться чрезвычайно медленно, после чего вновь начнет расширяться со скоростью, которая асимптотически стремится к значению Я = (А/3)1/з.

Предположим, что квазары образуются в эпоху, когда радиус почти постоянен. Какое современное значение плотности рвещ предсказывает эта модель? (Считайте, что //0= 10~28 см。)

Задача 19,34, Каково по порядку величины то влияние, которое оказывает наличие космологи чес кой постоянной на небесную механику Солнечной системы, если Л~ 10 57 см/

Задача 19.35. Докажите, что для физически реализуемой идеальной жидкости не существует решения уравнений Эйнштейна, которое было бы однородным, всюду изотропным и статическим. (До открытия Хаббла Эйнштейн считал этот факт доказательством несостоятельности своей теории и, пытаясь исправить положение, ввел в уравнения член с «космологической постоянной».)

Задача 19.36. Докажите, что не существует статических решений уравнений Эйнштейна для жидкости без давления. Не используйте предположения об однородности или изотропии. (Трудность этой задачи зависит от определения «статичности». Более легкий случай: пусть термин «статический» понимается в смысле первого определения «статичности» из задачи 10.8, т. е. как «не зависящий от времени и инвариантный относительно обращения времени». Более трудный случай: используйте второе определение из задачи 10.8.)

Задача 19.37. Докажите, что для идеальной жидкости не существует статических и однородных решений уравнений Эйнштейна. Не используйте предположения об изотропии. (Здесь, как и в задаче 19.36, существует более легкий и более трудный случай в зависимости от использованного определения «статичности».)

Задача 19.38. В космологии обычно используют координаты, сопутствующие галактикам. Пусть (т, W) есть такая система координат, и пусть метрика записана в общем виде

ds2 — — dr2 + 2gowdtd%*+gtjd£d力,

где go? и gtj могут быть функциями от т и W. Покажите, что:

т есть собственное время для некоторой галактики;

собственные расстояния на гиперповерхности с постоянным т завиит от gif,

если gQi и gy не зависят от всех х\ то Вселенная является однородной, но обратное утверждение несправедливо;

если got и 且订 не зависят от т, то(тар = О, 8 = 0，но, вообще говоря, о)а3 0;

Д) если goi = 0 и g“ = /(T)山八炉)，то о“ = 0；

gOit 0 = 0 в том и только в том случае, если галактики движутся по геодезическим;

если(оар W 0, то никаким выбором т в %’ нельзя всюду обратить в нуль goif а это означает, что из условия(оар( 00

следует, что галактики не движутся по геодезическим.

Задача 19.39. Расстояние между двумя соседними галактиками есть

fix® = ^па, где п —единичный, чисто пространственный вектор в покоящейся системе отсчета, связанной с одной из галактик. Покажите, что

где а — тензор сдвига, a -ft —скалярное растяжение, и покажите, что усреднение по всем направлениям па дает

Задача 19.40. Найдите 8,(оар и 。仪6 для конгруэнции галактических мировых линий в космологической модели Робертсона — Уокера. (Определения см. в задаче 5.18.) Проделайте то же самое для анизотропной метрики

ds2 = — d* + e^dx^ + e 2bdy+e2cdz%

где a, b и с —функции только от f, a x, у и z — координаты, сопутствующие галактикам.

Зада4a 19.41. Рассмотрим однородную, анизотропную космологическую модель с метрикой

ds2 =—或 2 +g“ ⑴ d%%N,

где пространственные сечения t = const обладают плоской геометрией. Найдите эволюцию gyt когда эта модель является «гра- витационно-доминированной», т. е. положите в уравнениях поля 7林” равным нулю. Покажите, что в этой модели объем Вселенной уменьшается до нуля линейно по f при /->0 (в радиацион- но-доминированной фридмановской модели эта зависимость имеет вид £%, а в модели с преобладанием вещества переходит в /2).

ГЛАВА 20

ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ПРОВЕРКЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ

В настоящей главе рассматриваются основные понятия, относящиеся к экспериментальной проверке теорий тяготения (отклонение света в гравитационном поле, смещение перигелия и т. п.). Эти вопросы затрагиваются также в ряде задач, помещенных в других разделах книги, а именно: 11.9, 11.11, 12.2— 12.4, 12.6, 12.7, 13.2-13.4, 14.12, 15.6, 15.7.

Задача 20,1. Эксперимент по измерению гравитационного искривления светового луча состоит в следующем: откачанная трубка длиной 2 помещена горизонтально в однородное гравитационное поле, например в поле Земли на уровне моря, причем ^《гземлн, так что неоднородности поля (приливные силы) пренебрежимо малы. Проходящий через трубку лазерный луч под воздействием однородного гравитационного поля отклоняется от горизонтали. Вычислите угол отклонения луча по отношению к оси трубки; ответ выразите через длину трубки 2 и ускорение силы тяжести g. Обсудите возможность проведения такого эксперимента в земной лаборатории.

Задача 202 Вычислите гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца, используя ньютоновскую теорию тяготения и тот факт, что в локальной системе свободно падающего наблюдателя траектории светового луча представляют собой прямые линии. Так как свет все время находится в слабом гравитационном поле, использование ньютоновского приближения кажется вполне оправданным. Почему же полученный результат не согласуется с общерелятивистским результатом?

Задача 20.3. Получите общее выражение для углового отклонения в гравитационном поле Солнца света, приходящего от звезды, которая с точки зрения земного наблюдателя находится Ra угловом расстоянии от Солнца, равном сс. Расстояние от Земли X。Солнца равно R. Не используйте предположения о малости

угла а, но покажите, что в пределе малых а ответ сводится к привычному результату 8а = 4М/Ь (см. задачу 15.6).

Задача 20・4・ Покажите, что учет момента количества движения J Солнца видоизменяет формулу для отклонения света (задача 20,3). Вместо 6屮= 4М/Ь мы будем иметь

火 4M Л 7-п \

где n — единичный вектор в направлении момента количества движения фотонов относительно центра Солнца.

Задача 20.5・ При интерпретации результатов измерений отклонения электромагнитных волн Солнцем необходимо учитывать, что кроме общерелятивистского отклонения существует еще отклонение, зависящее от частоты волн и обусловленное влиянием солнечной короны. Оцените прицельный параметр, для которого общерелятивистский и корональный эффекты дают примерно одинаковый вклад в отклонение электромагнитной волны частоты v. Можно считать, что распределение плотности числа электронов в солнечной короне описывается приближенной формулой

收(儡) = 8,4-6,51g (焉)

для значений r<4R®. Чему численно равно найденное значение прицельного параметра, выраженное в радиусах Солнца, для v= 1000 Мгц?

Задача 20.6. Угол отклонения света, проходящего вблизи Солнца, дается формулой

6 = 1,75"/Ь,

где & —прицельный параметр, выраженный в радиусах Солнца. Разработайте конструкцию тонкой линзы (т. е. выведите формулу для ее толщины как функции радиуса), которая моделировала бы подобные фокусирующие свойства. Если в центре линзы поместить «черную маску» диаметром 8 мм, изображающую солнечный диск, то вы сможете моделировать эксперименты по отклонению света Солнцем, держа линзу на расстоянии вытянутой руки. Считайте, что показатель преломления вещества линзы такой же, как у обычного кронгласа, т. е. п= 1,52.

Задача 207 Вычислите предсказываемое общей теорией относительности смещение перигелия Меркурия, выразив его через большую полуось а и эксцентриситет е орбиты Меркурия и через массу Солнца М.

Задача 20.8. Ньютоновскую теорию тяготения можно модифицировать и сделать ковариантной, если уравнение для силы, действующей на точечную частицу, записать в виде

df^ = -瞰vRv"“，+ "吵必或吃

где Ф ——скалярный потенциал, связанный с тензором энергии- импульса соотношением

ф 州中=4лТ\.

Выясните, согласуется ли эта теория с экспериментом и наблюдениями:

Согласуется ли эта теория с экспериментами Этвеша и Дикке, продемонстрировавшими эквивалентность инертной и пассивной гравитационной массы?

Согласуется ли эта теория с результатами эксперимента Паунда — Ребки по измерению гравитационного красного смещения фотонов у поверхности Земли?

Предсказывает ли эта теория искривление идущего от звезды светового луча вблизи Солнца?

Задача 209 Некий физик намеревается использовать для проверки специальной и общей теории относительности современные атомные часы, характеризующиеся колоссальной точностью. Он размещает различные часы в разных точках поверхности Земли (которая, как предполагается, вращается жестко) и измеряет скорости их хода по отношению к каким-то стандартным часам. Регистрируемые отклонения от номинальной скорости хода обусловлены как доплеровским сдвигом в результате вращения Земли, так и красным смещением под воздействием гравитационного поля Земли. Вычислите наблюдаемое значение скорости хода часов, помещенных в точку с полярными координатами (г, 8), по отношению к произвольно выбранным эталонным часам. Учтите вращательную деформацию поверхности Земли, предполагая, что Земля представляет собой жестко вращающееся тело, состоящее из идеальной жидкости.

6 Заказ ЫО

ГЛАВА 21

РАЗНОЕ

Задачи, собранные в этой главе, посвящены главным образом вариационным методам, тонким оболочкам вещества и спинорам.

Задача 2/・/. Покажите, что

6(-g)*/. = l(-g)*/.gUV6g(tv>

6g*1Vs严也呻gp°.

Задача 212 Пусть L = L(O4, g^J есть плотность лагранжиана для некоторого поля или распределения вещества. Поле описывается переменными Фл, где 4 соответствует произвольным тензорным индексам. Действие записывается в виде

S^L(—g)^d^x.

Введем функциональную производную 6Л/6ФЛ, беря вариацию от ①』f ①』+ 6ф4 и полагая соответствующее приращение S равным

6s = §晶604(一由*也.

Покажите, что если 厶 зависит от Ф" и ее первых частных производных Ф%, то уравнение 6£/6Фл = 0 есть обычное уравнение Эйлера — Лагранжа.

Задача 2/.3. Если L есть плотность лагранжиана из задачи 21.2, то тензор энергии-импульса можно определить с помощыо варьирования &户 в выражении для действия S:

SS = J 8 電炉 6g“v dM 三 ^ § TuvBgk (—g)% d5.

Покажите, что уравнение Т叫v = 0 следует из уравнений движения поля и того факта, что действие S есть скаляр.

Задача 214 Рассмотрим действие вида

S = (16л)門(-g)% Rd5 + J 厶…(-g# &,

Где R —скаляр Риччи, a LBeni содержит метрические коэффициенты gw，но не содержит символов Г (другими словами, символы Г присутствуют ТОЛЬКО В R)・

Рассматривая g^ и Г как независимые переменные поля (такой подход называется методом Палатини), покажите, что уравнение SS = O приводит к уравнениям поля Эйнштейна и обычной формуле, выражающей символы Г через &v. (Мы предполагаем, что Г% = Г%р).

Пусть теперь символы Г суть" обычные символы Кристоффеля, использующиеся для определения ковариантных производных. Покажите, что уравнение 6s = 0 (где теперь уже Srapv he является независимым от Sgap) приводит к уравнениям поля Эйнштейна.

Задача 2/・5・ Плотность лагранжиана для скалярного поля есть

L = — (8л)-1 (Ф；аФ^а+

Найдите соответствующие уравнения движения и вид тензора йнергии-импульса. Проверьте непосредственными вычислениями^ Что дивергенция этого тензора энергии-импульса равна нулю.

Задача 21.6. Плотность лагранжиана электромагнитного поля есть

£ = —(16л)т尸

где 尸网=4通一4；v. Покажите, что уравнения Максвелла

F^^ = О

Получаются путем приравнивания нулю вариации /厶(——g)%d4# Относительно 力屮 Найдите тензор энергии-импульса, исходя из формулы

Tjiv = —2+g^vL,

Покажите, что эквивалентной плотностью лагранжиана является

l= -£&尸一亲14宀

Где тензор W антисимметричен, а W и Ли должны варьироваться независимо.

6*

Задача 2/・7・ Лагранжиан в теории гравитации Бранса —Дикке имеет вид

L = (ФК — (оФ,(16aфТ + 16冗厶 вещ),где Ф —скалярное поле, /? —скаляр кривизны, (о — константасвязи. Варьируя ^ар и Ф, получите уравнения поля из уравнения

6 JL( —g)“d气=0.

Задача 21.8. Поверхностным слоем называется времениподобная 3-поверхность, отделяющая друг от друга две области пространства-времени. В общей теории относительности внутренняя геометрия такой 3-поверхности является вполне определенной, но внешняя кривизна может претерпевать разрыв. Другими словами, вычисляя тензор внешней кривизны К в 4-геометрии с одной и с другой стороны слоя, мы можем прийти к различным результатам. Поверхностная энергия-импульс Sap такого слоя определяется с помощью соотношения

Sap = lim『7当源，

е-*о —е

где п — собственное расстояние, перпендикулярное к 3-поверхности. Выразите «скачок» тензора К через Sap, воспользовавшись уравнениями для начальных значений.

Задача 21.9. Для поверхностного слоя, описываемого гауссовыми нормальными координатами п и W . = 1, 2, 3) (см. решение'задачи 21.8), выведите уравнение движения поверхностного слоя

s'm+[t)]=o.

где квадратные скобки означают «скачок» на поверхности, а вертикальная черточка — ковариантное дифференцирование по отношению к внутренней геометрии 3-поверхности. ' ■

Задача 21J0, Измерения поверхностной плотности тонкой пылевой оболочки в пустом пространстве, проводимые сопутствующим пыли наблюдателем, дают для поверхностной массовой плотности значение о・ Если 4-скорость пыли есть и, покажите, что

[^у] = 8ло (lliUj +у<3> а，，而=一叫，

а+ — а~ = 4лоп,

а+ + а" — О,

где а+ и а** — 4-ускорения, измеряемые соответственно снаружи М изнутри оболочки.

Задача 2/.〃・ Вакуумная метрика вне коллапсирующей сферической пылевой оболочки представляет собой геометрию Шварцшильда

ds2 = 一 ( 1 一券)或2 + ( 1 - ^)-1 d?2 + 产松， а внутри оболочки — плоскую геометрию

曲2 = — d「2 + “2 + ddA.

Очевидно, что радиальные координаты в обеих этих метриках обладают тем свойством, что 4лг2 есть собственная площадь сферических поверхностей г = const и / или Т = const.

Покажите, что для коллапсирующей сферической пылевой оболочки «масса покоя оболочки» р 三 4л/?2 (т) о есть величина постоянная. Здесь о — поверхностная массовая плотность оболочки, а 4л/?2 (т) — площадь поверхности оболочки как функция ее собственного времени. Выведите уравнение движения оболочки

М="[1 + 閲

а затем, проинтегрировав его, найдите (в неявном виде) функцию /?(т) для случая dR/dr = 0 при /? = оо.

Задала 21.12. Найдите мгновенную пространственную метрику, соответствующую произвольному распределению N точечных масс в некоторый момент наступления симметрии (см. [1], т. 1, § 21.10).

Задача 21.13. Предположим, что мы отождествляем 4-векторы

Ua с 2-индексными спинорами UAA，с помощью отображения

(U°, S, и2,。3)_ 2(U°, S, и2,。3)_ 2S-iSS-iSt/2 + №5-U't/2 + №5-U'

(U°, S, и2,。3)_ 2

(U°, S, и2,。3)_ 2

S-iS

S-iS

t/2 + №

5-U'

t/2 + №

5-U'

Что является аналогом метрики Минковского на языке спиноров? Другими словами, требуется найти ^«，日日，,такое, для которого U ・ V =电山呻 6 = Ьаа^ааУ^.

Указание. Воспользуйтесь спинором (е^) =(8ЛВ) = ^ ； ；｝]

Что является в спинорном формализме аналогом преобразований Лоренца?

(Примечание. Используемые здесь и в последующих задачах спинорные обозначения можно найти, например, у Пирани (Trautman A., Pirani F. А. Е.» Bondi Н・，Lectures on General Rela* tivity, Prentice-Hall, 1965.)

Задача 2/・"・ Покажите, что

ел [b8cd] = 0,

^дв = ?(ab)+ у e4Bgcc,

где ^ab — произвольный 2-спинор. (Примечание. Эта и две следующие задачи были предложены Т. Сейновским.)

Задача 2/・/5・ Пусть

Т@Ь = ^АА^ВВ^*

Покажите, что если тензор ТаЬ антисимметричен, то дуальный ему тензор в спинорном представлении имеет вид

* Tab = J，(Тдввм* — тВЛЛ^В*)'

Задача 2/・/6・ Пусть в спинорном представлении

Tg = T АА，ВВ*・

Какой тензор соответствует Твагав^

РЕНЗЕННЯ

ГЛАВА I

Решение /./. и = (у, R), где у s (1 — о*)-'71 = u°=dtjdt. Следовательно,

a) i? = (l—■?)-%,

б)办= (l一■?)-,/，叫

и • и = — 1, поскольку и — 4-скорость, И

а° = [1 + (w1)2 + («а)2 + («3)2]1/в ^ (1 +«Ч)%,

d/dt = (dt/dr) d/dt = (1 •—炉)一弘 d/dt,

A) W = WM = «>(1 + 〃％)-%,

из п. а следует, что 1е| = [1 一(加尸『包

У*

0

(У

0

Y必o"

~У^1у

Y皿

Vx^yVy

O'

0

0

0

1

00

y^xVy

0

0

0

1

0

Y№

0

Уу0

YWg

0

Уу

0

.0.

0

0

L

Lo

0

0 L

Lo

0

0

L

Решение /2 В первом случае произведение преобразований

равно

Изменив порядок преобразований, мы получим другое произведение:

о о о 1 о о 1 о%«^ ^о о FO о о о 1 ^о «^о о 1 о о 力о ъ оо о о 1 о о 1 о%«^ ^о о FO о о о 1 ^о «^о о 1 о о 力о ъ оО'О ОО'О ОУ^у УуУ^х YM

о о о 1 о о 1 о

%

«^ ^о о FO о о о 1 ^о «^о о 1 о о 力о ъ о

о о о 1 о о 1 о

%

«^ ^о о FO о о о 1 ^о «^о о 1 о о 力о ъ о

О'

О О

О'

О О

YMухО

YxY/g yxyyvxvy 也

.ООО

Решение L3. Пусть ut и и2 —4-скорости двух систем отсчета. В системе отсчета 1(1丄=(1, 0), и2 = (у, 历)，где у = (1—炉)-九 Поскольку у = — u^Us, то необходимо лишь вычислить этот скаляр в общей системе отсчета, в которой их = (уъ у^), и2=(у2, 丫纟^纟)：

Y = - u「出=%也-YiT2Vi ^2 = (1-哨-

1 -炉=(ут)т/(1 —兀石认

7户_(1-Uj 攻产一(1 一听)(1一呜)=(内一Ue)2-(U1X uj-(1 一五•砧!(h初—•

(В правильности полученного результата можно убедиться и прямым путем, произведя весьма громоздкие преобразования Лоренца.)

Решение 14 Воспользуемся «параметр быстроты» 心 w Arth и Arth vn = йл = n-ft = nArth p, илиРешение 14 Воспользуемся «параметр быстроты» 心 w Arth и Arth vn = йл = n-ft = nArth p, илитем, что в одном измерении аддитивен. Это означает, чтотем, что в одном измерении аддитивен. Это означает, что

Решение 14 Воспользуемся «параметр быстроты» 心 w Arth и Arth vn = йл = n-ft = nArth p, или

Решение 14 Воспользуемся «параметр быстроты» 心 w Arth и Arth vn = йл = n-ft = nArth p, или

тем, что в одном измерении аддитивен. Это означает, что

тем, что в одном измерении аддитивен. Это означает, что

vn = th (n Arth В)—

=th (in (|^|) * 丿=(нетрудно проверить!)

一 1-【(1-B)/(1+B)W

一阡［(1一0)/(1下倒"

<У-

-加

Зиг. 3・

При /if 8 имеем

[(1 -*Р)/(1 +Р)]л->0 и %-> 1 (к скорости света).

Решение /.5. Традиционный ответ b/丫 относится к измерениям, произведенным одновременно в лабораторной системе отсчета, но фотоны в лабораторной системе отсчета испускаются не одновременно. Они приходят одновременно, в силу чего (см. фиг. 3) фотон 2 должен пройти за дополнительное время путь W cosa, где W — кажущаяся длина пули. Из преобразования Лоренца находим

力=А* = у(Дх‘一§ А/') — у (〃 一§ V cos a), откуда

У == Ыу (1 — pcosa).

Решение 16 Если оба наблюдателя покоятся относительно одной и той же лоренцевской системы отсчета, то (расстояние)=

Фиг. 4.

=(скорость) х (время) и /туда и обратно = 2L/«. Картина несколько усложняется, если один из наблюдателей движется. Координаты движущегося наблюдателя равны

У = у (Е — их),

炉=y(% 一"),

и тахион, испущенный из движущейся системы отсчета по направлению к стационарному наблюдателю, имеет скорость

Поскольку dx，= Y(dx —udf), "=Y(df —odx), то, подставив эти соотношения в dx^df и разрешив получившееся выражение относительно кажущейся скорости в стационарной системе отсчета, получим

—dx/dt = (и — и)/(1 — 〃о).

Наконец, сложим в стационарной системе отсчета время, необходимое тахиону, чтобы дойти «туда» и вернуться «обратно»: /полн = =^туда + ^обратно = L/U + L (1 — UV)/(U — V)== L[l/U + (I — «0/(« —V)]. Нетрудно подсчитать, что 鑑皿＜0 при 〃＞口+(1—吟勺/и.

Чтобы разобраться в последнем результате, полезно воспользоваться фиг. 4.

Решение /・7・ Стержень поворачивается вследствие того, что в направлении оси х длины отрезков сокращаются, а в направлении оси у остаются неизменными. Угол, образуемый стержнем с направлением движения в системе отсчета S, определяется из соотношения ctg^ = Ах/Ду. Вследствие движения

в то время как Д(/ = Д/, в силу чего

ctg-ft—(1 —俨)％ ctg 6'・

Решение /・8・ При движении происходит не только сокращение пространственных, но и растяжение временных интервалов. В системе отсчета S скорость пули равна

V = (Дх/Д/, Ay/Af).

Из формул преобразований для Дх и Д/ находим

力=Дх/Af ==(勿 + р)/(1 + 0%),

а поскольку Ар = Ау[ то

vy ^ №1垃=АК (1 一 ^YWtf + ₽Axz) = и* (1 — 們％/(1 +р%)・Таким образом, направление движения определяется соотношением

tg 9 H и"% = и, (1 - а)%/®#，+ 0) = tg & (1 — 俨片/(1 +阳厶，)・

Изменение направления движения при переходе от системы отсчета S к системе отсчета S' совпадает с точностью до множителя (1 — р2)1/» с результатом, который мы получили бы, если бы воспользовались преобразованиями Галилея, и соответствует «стягиванию» движения к оси х. Для фотона 况 + 碉=1, % = cos 也 поэтому

cos。==cos。==COS # + В 1+BqpsO''COS # + В 1+BqpsO''tg0 =tg0 =tg&(l—0*)% "1+P sec ^*tg&(l—0*)% "1+P sec ^*

cos。==

cos。==

COS # + В 1+BqpsO''

COS # + В 1+BqpsO''

tg0 =

tg0 =

tg&(l—0*)% "1+P sec ^*

tg&(l—0*)% "1+P sec ^*

Решение L9. Если ^ — направление движения фотона от звезды к наблюдателю, то наблюдатель видит звезду под углом 4 = п —®. Закон преобразования направлений, по которым движется фотон, выведен в предыдущей задаче. Из него следует, что в рассматриваемом случае

COS О' —§COS& = ]_0cos67・

Но тогда число звезд d", наблюдаемых в телесном угле dQ, равно

dN = N dQ/4it = (У/4л) 2n d (cos 9)—f鵠*(c°s吁=豆"(11В c爲'产d (cos*).

Поскольку dN = 2nP (^\ (p^dyos^'), то в системе отсчета S' плотность распределения звезд оказывается равной

(，屮) 4П (1 -Р cos ^)2

Проверка. При 0fo плотность распределения звезд Р(0‘，屮')一＞ f n/4Я: = p，也中)，

По сфере— 1

Нетрудно проверить, что половина всех звезд заключена между & = 6 и 8；/, = arccos § V я/2. Следовательно, в системе отсчета S' звезды «скапливаются» в направлении движения. При 0~1 угол 9：厶^[2(1 — §)]%, и «скопление» становится весьма заметным.

Решение 1.10. Длина 4-вектора А равна |А-А[%, а

А А = (3*4 + 2*/&) • (3%鋭十 2|/&)= ==3% ，& + 2e*.% + 2 m6 tt ex^ =—3+2 + 0 = —L

Если 分一угол между векторами А и е/, то

cos 9 =Й* 一 3弘.

|a.aMi "川%

Этому соотношению не удовлетворяет вещественный угол 6.

Решение /.〃・ Из соображений симметрии ясно, что при следующей встрече Адама и Евы показания их часов будут одинаковыми. В этом нетрудно убедиться, рассматривая иитер-

валы собственного времени Адама и Евы в системе координат, связанной с покоящимся инерциальным наблюдателем.

В полярных координатах

—dd = — d/z + dr*+产 dq)2 + dz久(1)

Координаты мгновенно сопутствующей инерциальной системы, связанной с Адамом, (рд =(о/ при постоянных г и з, координаты Евы ф£ = — 3f при постоянных г и з. Следовательно,

dt% = d 碓=dfz (1 — г%)) (2)

и интервалы собственного времени для Адама и Евы совпадают.

Второй метод решения состоит в рассмотрении неинерциаль^ ной системы координат, связанной с Адамом. Поверхности одновременных событий Адам может строить, продолжая ортогональные его мировой линии гиперповерхности, проведенные через равные интервалы его собственного времени. Пусть Тд —собственное время Евы, соответствующее точкам пересечения ее мировой линии с гиперповерхностями Адама. Адам может вычислить 七从 как функцию от Тд. Определим далее 4-вектор w, соединяющий мировые линии Адама и Евы, который ортогонален 4-скорости Адама.

МироваяМироваялиниялинияАдама:Адама:^ = ГГд,х = sin со/ = sin соугд, у = COS (Of = COS (oyrA, г = 0.^ = ГГд,х = sin со/ = sin соугд, у = COS (Of = COS (oyrA, г = 0.(За)(За)

Мировая

Мировая

линия

линия

Адама:

Адама:

^ = ГГд,

х = sin со/ = sin соугд, у = COS (Of = COS (oyrA, г = 0.

^ = ГГд,

х = sin со/ = sin соугд, у = COS (Of = COS (oyrA, г = 0.

(За)

(За)

(36)(36)Мировая линия Евы: “ sinsf sin соугд, у = cos= cos шутд, z = 0

(36)

(36)

(радиус колец принят равным единице). Зная координаты концов, находим компоненты вектора w:

w=m — Х£ = [у(тд — 3), sinsytA + sincoyr^, созшутд — coseryr^, 0],

«д =(Y，＜»V cos шу^д» —(ay sin шутд, 0)

и из условия ортогональности w«4 = 0 получаем

J -3R叫~sin [(оУ (匕+ь)].(4)

У равнение (4) трансцендентно относительно тл (тЕ). Однако нетрудно видеть, что при

sin 2(оутд =s sin 2ю/ = 0,(5)

Т・ е. когда мировые линии Адама и Евы пересекаются, тд«тд.

Решение 1J2. Подставляя w = it, w* = if в формулы преобразования Лоренца

if = y(t — vx)t

f =?(*一叫 получаем

^ =Т(да —ivx),xr =y(x + ivw).

Чтобы преобразование выглядело как поворот

и/ = cos 9酬一sin 9%,

xz = cos 9% + sin 9叫 необходимо положить

sin'b —ivy t

cosd = T，

Поскольку

s inad + cos2d = ya (1 — na) = lt

TO

9 = arcsin (itry) = arctg (历)=+ i Arth v.

Решение 1,13. Вдоль кривой

dx2 + dy2 + dz2 — d/2 = (r2 cos2 9 cos2(p + racos2 9 sin?屮 ++ ra sin2 9 — ra) dX? = id 炉(cos2 9 + sin2 9 — 1) = 0,

поэтому данная кривая изотропна.

Чтобы она была геодезической («прямой»), должно выполняться равенство dz/df = const, а поскольку dz/df = sin@, то угол 9 должен быть постоянным. Из выражения для dy/dt или dx/dt видно, что угол ф также должен быть постоянным. Этим требования, предъявляемые к геодезической, исчерпываются; никаких ограничений на функцию г (%) они не налагают. Но если параметр % должен быть аффинным (т. е. собственным временем), то производная d〃d% должна быть постоянной, и, следовательно, функция г (%) вырождается в постоянную.

Решение 1.14. 4-скорости нормированы так, что 〃位〃《 = —1, поэтому

0 =备(〃"а) = 2筈 ％ = 2а%а.

Это соотношение налагает одно ограничение на компоненты 4-ускорения аа. В мгновенно сопутствующей системе координат % = (—1» ©； в силу наложенного ограничения а° = 0, а компо-

ненты 凉(/=1, 2, 3) произвольны. Ньютоновский акселерометр можно «построить» следующим образом. Попросим наблюдателя выпустить покоящуюся частицу в мгновенно сопутствующей ему системе отсчета и посмотрим, какую скорость d守 наблюдатель приобретает относительно нее за короткий промежуток времени dr, после чего вычислим Зныогонов — ^/^- Разумеется, в действительности частица стационарна в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета, а мы получаем ускорение dW = = ddr относительно нее. Поскольку

то

d〃7 = (l — t^-i^dV + Wd (1 —02)-172.

Но 0 = 0, так как системы отсчета мгновенно сопутствующие, поэтому dW = dW, и мы получаем окончательный результат:

《нагонов =川巫=dulldx = d.

Итак, 3 независимые компоненты 4-ускорения в мгновенно сопутствующей системе отсчета представляют собой не что иное, как 3 ньютоновские ускорения.

Решение 7.75・ Поскольку а・и = 0, то в локальной системе покоя наблюдателя

а =(0, а?),

где а‘ — /-я компонента локально измеренного ускорения. Но тогда квадрат величины ускорения, измеренного в системе покоя наблюдателя, равен

淤==(0, ">(0, а^)=а-а.

Решение 7.76. Из задачи 1.8 известно, что поперечная и продольная компоненты 3-скорости преобразуются по (формулам

а время — по формуле

Переходя к дифференциалам, получаем'

: Y-Mu丄I叩一打1上_ут[("叫)弘丄+。"丄陷丄 (1-也1)十(1一"炉城([一叫产,

U1-VU|(1 一叫尸 (1 -%产，

df =、(dt— v*dx)^ydt(l — E・0) = y 祖(1 — ииц),

" 三0产 a一叫尸 an = "一行.03例.(Ответ) Далее:

-^A-=々i =不线产[(1 -U«II)«± + u®丄aj =

="2。"护 E丄一"(助1a 丄-"丄 @)1 =

=“Мм卅丄-v х (ax и)].(Ответ)

[В последней строке мы воспользовались тем, что axu = (a±+oii) X (力丄 + М)=

=a丄 x щ + 佛 х uj,

и правилом разложения тройного произведения.]

Решение 1.17. Если ускорение направлено по оси х, то координаты 歹 н 2 можно выбрать, положив g = g и z =之.Заметим, что ускорение постоянно вдоль мировых линий:

t = 4shgf+ 5

力= 4chgf+ С

[Это утверждение нетрудно проверить. См. также задачу 2.13.] Если Л, В и С —функции только от 爲 то выписанные выше уравнения мировых линий задают 4-скорость

u=chgfe, + shgfe*,

не зависящую от 工，и, следовательно, определяют семейство мировых линий, параллельных на гиперплоскости f = const. Если, кроме того, В и С постоянны, то 4-скорость и перпендикулярна гиперплоскости df = O (т. е. гиперплоскости t = const являются гиперплоскостями одновременных событий в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчета). Остается лишь правильно выбрать Л (X), В и С:

f = (ff~i + £)sh“，

^^^ + ^) chgf-^i.

Заметим, что для наблюдателя со стационарными координатами элемент собственного времени равен

dr =(或2 - d炉)1总=(1 + g%) *.

Поскольку dt не зависит только от /, то часы не останутся синхронизованными. Их можно согласовать лишь на одной гиперплоскости.

Решение 1.18. Не ограничивая общности, предположим, что зеркало расположено в плоскости ху9 а фотон движется в плоскости gz. Если условиться, что «до» и «после» означают до и после отражения, то в лабораторной системе отсчета 4-импульс фотона равен

рд0 = (£, 0, £ sind, £ cos*®).

Выполнив соответствующее преобразование Лоренца, перейдем в систему отсчета, связанную с зеркалом, в которой

рдо = [у£ (1 -J-V cos ■&), 0, £ sin'О', y£(v4-cos ■&)].

После отражения 4-импульс фотона станет равным

pgse = [?£(】+и cos 9), О, Esin 也-у£ (v + cos d)].

Производя обратное преобразование Лоренца, вернемся в лабораторную систему отсчета и полечим

Рпосле= {噎Е [(1 +。COS 今)+。(О + COS 9)], О,

£ sin 也 та£[ —v(l +vcos 9) — (“ + cos 8)]}.

Итак, окончательный результат сводится к следующему:

COS ^послеCOS ^после(]+炉)cos5+2o 1 4-2ё<:西5+e2(]+炉)cos5+2o 1 4-2ё<:西5+e2l+2v cos^ + v2\ 戶l+2v cos^ + v2\ 戶

COS ^после

COS ^после

(]+炉)cos5+2o 1 4-2ё<:西5+e2

(]+炉)cos5+2o 1 4-2ё<:西5+e2

l+2v cos^ + v2\ 戶

l+2v cos^ + v2\ 戶

Решение /・79・ Пусть £ и Р —энергия и импульс фотона. В системе отсчета, связанной с зеркалом (штрихованная система ОТСЧета), £"пад = £"отр» РX пад = Рх отр» Ру пад — Ру отр* ТребувТСЯ доказать, что в лабораторной системе отсчета 屯=屯 (фиг. 5.) Имеем

tg % _(Р*/Рд)п?д =Р*пад. Ру пад= Рх пад

tg 也(Р—Ру)отрРхотр —Pj отр Р* отр

(здесь мы воспользовались тем, что P[ = PJ. Производя затем над компонентой Рх преобразование Лоренца, получаем

tg 仇=У(Р；+6Е%ад「1

tg 屯 _у(Р； + 6Е')отр —'

Следовательно, в лабораторной системе отсчета, так же как и в системе отсчета, связанной с зеркалом, угол падения равен углу отражения.

Фмг. 5.Решение 人20・ В системе покоя наблюдателяФмг. 5.Решение 人20・ В системе покоя наблюдателя

Фмг. 5.

Решение 人20・ В системе покоя наблюдателя

Фмг. 5.

Решение 人20・ В системе покоя наблюдателя

〃°= 1, их = 0, PQ = — po = Ef d = Pj = P, поэтому инвариантные формулы удобнее всего проверять именно в этой системе:

а) Е = —роа° = —р-и,

б)团2=£2 —|р|2 = —%Р°—Р〃 = —Р・Р,

丄

в) I р I = (^2 - ^ = [(Р • и)2 + Р • р]1/2,

Г)向=唔=[『了=[]+居『

д) в системе покоя

v° = — 〃°— /1 + 1=0,

(—Е)

"=—"-^^ = 0 +曾.

Решение L2L Необходимо рассмотреть три 4-вектора, 4-скорость наблюдателя (лаборатории), илаб = (1, 0), 4-скорость ядра железа, * = (% Y0), где т = (1 —卩•旷匕 и 4-импульс фотона, равный pY = const х(1, — п), поскольку фотон движется по направлению к наблюдателю. Заметим, что 4-импульс фотона изотропен: ру♦ ру〜一1+(—/г)・(一п) = 0. Из решения задачи 1.20

получаем

(Ответ)(Ответ)^набл — Епаб — —илаб * Ру1

(Ответ)

(Ответ)

VHcny« ~ £Fe -«Fe-Pv -Y(l + ₽ «)

Решение 1^2. Из формулы доплеровского смещения (задача 1.21) находим

1 /абл _二(T岁,

v i+Ji '

cos"咿=(1一宇一】,icos件吟斗

Решение 1.23. Произведем произвольный буст в направлении, лежащем в плоскости yzf после чего у фотона могут быть отличные от нуля не только компонента р*, но и компоненты W и р”・ Чистый поворот снова придает системе координат такое положение, в котором в нуль не обращается лишь компонента 产，но ее значение отличается от первоначального. Следовательно, чтобы восстановить первоначальное значение р*, необходимо произвести буст вдоль рх в сторону либо красного, либо голубого конца спектра. Поскольку E2 — p2 = 0t то Е также приобретает свое первоначальное значение. Нетрудно убедиться в том, что произведение перечисленных выше преобразований не сводится к чистому повороту и, следовательно, в общем случае содержит нескомпен- сированный буст. Примером может служить произведение преобразований:

буст вповоротбуст внаправлениив плоскостинаправлениибуст вповоротбуст внаправлениив плоскостинаправлении£ Е о оX£ Е о оXЕ Е о оЕ Е о огде скоростьгде скоростьУУвыбрана так, чтобы онавыбрана так, чтобы онаудовлетворяла соотноудовлетворяла соотношениюшениюоткудаоткудаu=一叫(2一吟.u=一叫(2一吟.

буст вповоротбуст в

направлениив плоскостинаправлении

буст вповоротбуст в

направлениив плоскостинаправлении

£ Е о о

X

£ Е о о

X

Е Е о о

Е Е о о

где скорость

где скорость

У

У

выбрана так, чтобы она

выбрана так, чтобы она

удовлетворяла соотно

удовлетворяла соотно

шению

шению

откуда

откуда

u=一叫(2一吟.

u=一叫(2一吟.

Решение /・24・ Одна инерциальная система отсчета не может двигаться рывками то вперед, то назад относительно другой инерциальной системы отсчета. Кажущийся «парадокс» возникает из молчаливого и ошибочного допущения, что цилиндр остается жестким, когда лягушки ударяют в его днища. Это допущение не может быть верным, поскольку упругие волны, несущие к днищу сигнал о том, что лягушка ударила в другое днище, должны распространяться по стенкам цилиндра' со скоростью, меньшей скорости света. В системе отсчета, связанной со свободно падающим цилиндром, днища цилиндра под ударами лягушек прогибаются наружу. Волны напряжения распространяются от одного днища цилиндра к другому и «не подозревают» о существовании друг друга до тех пор, пока не встречаются посредине стенки цилиндра. Затем волны напряжений расходятся, и каждая волна, достигнув противоположное днище цилиндра, уничтожает действие другой волны, возвращая днище к первоначальной форме. Таким образом, цилиндр пульсирует с некоторой основной частотой. Лягушки, ударяясь время от времени о днища цилиндра, каждый раз изменяют амплитуду и фазу пульсации.

С точки зрения наблюдателя, связанной с другой свободно падающей системой отсчета (например, с точки зрения птиц, смотрящих на цилиндр из мгновенно сопутствующей системы отсчета), цилиндр движется со скоростью §, лягушки ударяют в днища цилиндра не одновременно, пульсации днищ не согласуются по фазе, но общая картина не слишком отличается от нарисованной выше. В частности, центр цилиндра (покоящийся в связанной с цилиндром инерциальной системе отсчета) не будет двигаться рывками то вперед, то назад ни в какой другой инерциальной системе отсчета. На фиг. 6 и 7 наглядно показано, как выглядят события, о которых говорится в задаче, в двух инерциальных системах отсчета.

Решение 1.25. Выведем сначала инфинитезимальные операторы, рассматривая их действие на пространственно-временную функцию /(X, У, Z, /).

Повороты вокруг ОСИ Z：

х' F^X — yb,

у' ^у + х^,

,(1)

(2)(2)〃*', у', г', /')-〃*, у, г, t) = ^[~ydx^xdy\f.

(2)

(2)

Следовательно, поскольку

/3, У\ К У)曰(l + 〃Q/2)f(%, у, z, f), то

厶=—2/ (хду — удх).(3)

Операторы 厶，J# получаются из соотношения (3) при циклической перестановке индексов.

Бусты в направлении оси 2：

z‘ 〜z — ut,t‘ ~t — их,

di

f3, У, Z', /')-〃％, у, z, t} = [—tdt-zd^vf(x, g, z, 6

поэтому

Kz = 2《/^ + z^) н т. д.(4)

Соотношения (3) и (4) позволяют вычислить обычным способом коммутаторы операторов. Например,

Н*, Jy] = — ^[ydz-zdy, zdx-xdj == 4 (хду-удх) = 2tЛ(5)

(аналогичным образом можно найти и все остальные коммутаторы).(аналогичным образом можно найти и все остальные коммутаторы).4) Представление группы Лоренца определяется заданием яв* ного вида матриц, соответствующих генераторам. Спиновые мат-4) Представление группы Лоренца определяется заданием яв* ного вида матриц, соответствующих генераторам. Спиновые мат-рицы Паулирицы Паулиго 1]1 0 нт. А.го 1]1 0 нт. А.

(аналогичным образом можно найти и все остальные коммутаторы).

(аналогичным образом можно найти и все остальные коммутаторы).

4) Представление группы Лоренца определяется заданием яв* ного вида матриц, соответствующих генераторам. Спиновые мат-

4) Представление группы Лоренца определяется заданием яв* ного вида матриц, соответствующих генераторам. Спиновые мат-

рицы Паули

рицы Паули

го 1]

1 0 нт. А.

го 1]

1 0 нт. А.

можно сопоставить операторам 7 и К по следующему правилу:J ~> 0,

Все перестановочные соотношения для 7 и Jt при этом не нарушаются, поскольку [а^, %] = 2йу% и т. д. Матрицы, соответствующие конечным преобразованиям L, мы найдем, заметив, что, например, Л определяется соотношением

dL |%

丽 |z = h， в силу чего

L(^) = exp(i,&Jz/2).

Произвольное конечное преобразование L содержит 6 параметров. В общем случае параметры поворота 9* (рассматриваемые как 3-вектор) отличны от физического угла поворота 也 а параметры буста и* отличны от физической относительной скорости v. Эти подробности несущественны: группа Лоренца полностью -определяется своими генераторами J н К, а ее параметризацию можно варьировать в широких пределах. Бесконечно малое преобразование, соответствующее произвольному конечному преобразованию 厶，имеет вид

6L = 1(^*Л + 爾厶+災乙 + 峻 К* + 嚇 Kg + 咤 К j/2 ===(瘠* 一衣)•刁2.

Положим по определению

彳曰.5第—v*)/2,

g2』/ .彳=~(— g*2 — 2i&第.u* + v2).

{Заметим, что чистые бусты соответствуют вещественным q, а чистые повороты — чисто мнимым 7，) Итак, общее конечное преобразование представимо в виде

L倔,0 = ехpе•⑦=玄(歹.a)В/n!=

= e r/川+£В•3)</"門献=

л—0,2. 4,・・・я в™ 1,3. б» •«•

==chg+(«・？/g)shg・

Здесь мы воспользовались соотношением

伍.⑦.@. 3) = q&e 9)= %%。" = ql

Решение 1.26. Громоздкое решение задачи состоит в том, чтобы перемножить матрицы 4x4, а произведение разложить на повороты и бусты. Более простое решение получится, если воспользоваться построенным в задаче 1.25 представлением группы Лоренца комплексными матрицами 2x2 с определителем, равным 1. Чистому бусту со скоростью % в этом представлении соответствует матрица

L (Е) = ехр (— о；入 2/2) = ch (口：/2) + (总•⑦ sh (v*/2), (la) где л^ —единичный вектор, задающий направление буста, а。：—— параметр, характеризующий величину буста. Чистому повороту В соответствует матрица

L (§1)= ехр (舟第£ J/2) = cos (д*/2) — i(n- a) sin (今*/2), (16) где n задает ось вращения, a •&* характеризует величину поворота.

Для чистых бустов, производимых в одном и том же направлении, величина v* в действительности является параметром быстроты： (и*= Arth и), поскольку аддитивна. Например,

厶(s)厶(и, = е~ °?°丿^-■哨 °/2 = е~(0? + 喈)о/2.

Аналогичным образом можно убедиться в том, что для чистых поворотов, производимых в одном и том же направлении, параметр 9* совпадает с абсолютной величиной угла поворота 9: 0*= |$|.

Пользуясь формулами (1а) и (16), разрешим соотношение

L(v1)L(va)-L(«n)L(v3) (2)

относительно 也 n, v3, выразив эти параметры через 正 и v2. При умножении матриц, стоящих в правой части соотношения (2), удобно воспользоваться тождеством

(А-Ъ)(В-0)= А-В + Ц^хВ)-0.

Поскольку a-матрицы и единичная матрица 2x2 линейно независимы, в соотношении (2) можно приравнять отдельно вещественные и мнимые части коэффициентов при единичной матрице и при а-матрицах. Проделав это, мы получим 2 скалярных и 2 векторных уравнения:

ch 伐 u°ch g说)+sh (y u0sh份说)(良-n2)=

=ch 伐审)cos 悖 ©*), (За)

sin ^у ^ sh ^у uj j (и • ns) = 0,(36)

ch伐引sh佇说)n2 + sh信研)ch8琥)五=

=cos (貝*卜h 伶 叫 ％ + sin 信。*) sh 佇 офпхпз), (Зв) sh 佇引 sh 佇 v?j(П1ХП2) = — sin (； g ch 伕引 и.(Зг)

В общем случае уравнению (36) удовлетворяет

元•五=0,(4)

т. е. результирующий поворот происходит вокруг оси, ортогональной направлению результирующего бу ста.

Пусть у —угол между векторами пх и л2. Умножая скалярно левую и правую часть уравнения (Зг) на вектор л, получаем

-sh(—^^shf—喈)sin у ch

Заметим, что угол поворота 9 (равный введенному выше параметру 9*) может принимать все значения 0《今 v2n, за исключением ■& = л, и что при 办1 =办2(Y = °) угол 9 = 0, и, как и следовало ожидать, нескомпенсированный поворот отсутствует.

Решение 1.27. Взглянув на небо (луч зрения следует по изотропным линиям, вдоль которых распространяются фотоны), космонавт совершает произвольное преобразование Лоренца, а затем снова смотрит на небо. В результате возникает непрерывное отображение неба на себя, а любое непрерывное отображение 2-сферы на себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

Решение 7・28. Из решения 1.25 следует, что любое однородное собственное преобразование Лоренца соответствует комплексной 2x2 матрице L с определителем, равным 1, или комплексному 3-вектору, который мы обозначим, например, Р. Запишем матрицу 2x2 в виде

L(P)^(l+P2)'4 +^р-ъ,где 尸= N・N, а / — единичная матрица, которую мы часто небудем выписывать в явном виде. [В решении 1.25 был использо-ван вектор P==7(shg)/q・] Для чистого буста со скоростью ипроизводимого в направлении л, вектор Р вещественный: Р =

==л sh (*ф/2). Где if=th V — быстрота. Длй чистого поворота на угол 今 вокруг оси л вектор Р чисто мнимый: Р = 1л sin (^/2) и 产 N-L

Произведение двух преобразований Лоренца, задаваемых векторами Р и Q, имеет вид

HQna+pzyG + a+QqzA + iAxQ.

Это следует из вида произведения двух матриц, соответствующих данным преобразованиям Лоренца:

L(P)L^) = [(\+ Р^+Р- а] [(1 + Q2)% + Q 冋= 一

=(1 + 戸匕(叶《Л% + [(1 +户М Q + (1 + QW Р}-^ + +N・Q+ iPxQ-Ъ.

Схема решения сводится к тому, чтобы сначала найти важную отличительную особенность произведения двух чистых бустов (лемма 1), затем вывести критерий для случая, когда произвольное преобразование Лоренца представимо в виде произведения трех бустов (лемма 2), и, наконец, показать, что этот критерий выполним всегда, за исключением случая «винтового поворота на 180°», разложимого в произведение четырех бустов.

ЛЕММА 1. Преобразование Лоренца, задаваемое вектором Р, представимо в виде произведения двух чистых бустов С и D в том и только 6 том случае, если скалярный квадрат Р? вектора Р веществен и положителен.

Доказательство. Если Р —произведение вещественных неизо

тропных векторов С и то

p=CoD = (l + ^)*^0 + (1 + D^ С+ iCxD; (1) 尸=(1+£2)£>2+(1+。2) 0+2(1 +e2)，"1 +。2»工0一C2£>2 * + (^-S)2 = [(l+ О)” (1 + С?)% +^.0]2-1>(2)

>[(1+ 2CD + OQ2)% + 乙 力]2 一 1》(поскольку О + D > 2CD) ^= (1 +| ^-D^l + C D)2^ 1 ^(посколькуCD^= I C- D*|) ^=0.

Наоборот, если скалярный квадрат 卩 веществен и положителен, то Р можно представить в виде _₽ = % +，瓦 где Л • В == 0ji уР —в2>о. Чтобы построить бусты С и П, выберем вектор £,

ортогональный векторам N н В, оставив пока неопределенной величину £2. Положим

3=а4+孟， D = аА —后，(3)

тде а — нормировочная постоянная, которую требуется определить. Из (3) следует

0 =小="/2 + £2, а из (1) —

Х =(1+。)％ 方+(1+02)%Е = (1+Л42 + £2)”2аХ и

В = С х D = 2аЕ х 4

Это построение продолжается до тех пор, пока не будут достигнуты равенства

1=2а(1+а2Л2+£2)Ч(4а)

52 = 4炉£2/2.(46)

Возводя в квадрат обе части равенства (4а) и разрешая его относительно * получаем

а2 = {[(1+ 尸)2 + Л2]1/. — (1 + £2)}/(2/в)・(5а)

Соотношение (5а) позволяет преобразовать равенство (46) к виду В2 = 2£2{[(1 + 尸产 + "]% 一(1 +斤)}・

Возводя обе части последнего равенства в квадрат и упрощая, приходим к уравнению

4 (42一中)£4 一 4В2£2 一加=0,(56)

которое всегда имеет положительный корень £2, поскольку Ла> В2. После того как величина Е? найдена, значение параметра а определяется из соотношения (5а). Лемма 1 полностью доказана.

Попытаемся теперь представить любое преобразование Лоренца Q в виде произведения трех бустов. По лемме 1 это возможно в том и только в том случае, если существует буст С, такой, что скалярный квадрат Ра веществен и положителен, где 戸= ==$•'(—С). Производя преобразования, аналогичные тем, которыми мы воспользовались при выводе соотношения (2), получаем

(1+Р* =(1 + Q2)% (1 +屮 一@・之(6)

Итак, необходимо найти буст С, такой, чтобы величина (l+P?)%, определяемая соотношением (6), была вещественной (вектор © в общем случае комплексный) и (1 + Р2)^»> 1.

Пусть Q = Л + iB (^4 и В — вещественные векторы) и пусть, буст D — некоторая линейная комбинация векторов Я и В.

ЛЕММА 2. Буст С, обладающий требуемыми свойствами, существует в том и только в том случае, если существует буст D, представимый в виде линейной комбинации векторов К и В и такой, чгго

dw(l +QW(1 +О^^Ф.(7).

где величина d вещественна и строго положительна.

Доказательство. Пусть 戸一вектор, ортогональный векторам. Л* и В; скалярный квадрат его 尸2Vl мы определим чуть ниже. Введем новый вектор

^ =(方 + 户)/(1-严)%，

такой, что 14-С2 —(1 +D2)/(1 — F2). Из соотношения (6) находиыь (1 + Р^ = [(1 +Q2)^ (1 +D2)^-^^D] (1 一尸)-%=d(l—戸)-%. Таким образом, скалярный квадрат 尸？ можно выбрать достаточно близким к 1 и тем самым сделать корень (1 +Ра)1/в вещественным и по абсолютной величине большим 1 в том и только в том случае, если величина d вещественна и положительна. Лемма 2* доказана.

Рассмотрим теперь 2 случая.

Случай /. Вектор Я не параллелен вектору 瓦 А2 ^ 0 Ht 中次0.

В этом случае из. соотношения (7) следует

(d+Q-I>)2 = (l+Qa)(l+£>a).

Подставляя @ =才+归，получаем два вещественных уравнения.

(d + 4 •力> -(瓦斤)2 = (1 + 左 一 82) (1 + Q2) ,©a)

(d +万力)后•方=才•月(1+。2).(86).

Решая систему уравнений (8) относительно d +7 -Ри В-S, находим〕 (d + 才•①2 = ^ (1 + 》) {[(1 + 屋一中)2 + 4 (才.初屮* +

+(1+A2一中)},(9a).

G0)2 = T(1 +£>2) {[(1 + А2-В^ + 4 (J- B)a]v« -.

一(1 + 42-冴)卜(96).

Уравнения (9) не определяют 力 и d в явном виде, поскольку их правые части содержат。久 Один из возможных способов их решения состоит в том, чтобы положить 15 = ЬВ, где b — неопределенный коэффициент. При такой подстановке уравнение (96) преобразуется к виду

(2b2加)/(1 + >中)=口 + 肥一中)2 + 4(才•而屮2 一 a + 屋一").(10)

Докажем, что всегда существует вещественное значение Ь, удовлетворяющее уравнению (10). Для этого заметим, что правая часть уравнения (10) больше или равна нулю (очевидно) и, кроме того, меньше 2В2. Последнее утверждение следует из того, что 4 0?.万)2<4"82 =

= (1+Ла+ 82)2 _(1+Л2-В2)а-4В2< V(l+/2+B2)2-(l+/2-B2)2.

Поскольку при 匕2, изменяющемся от 0 до оо, левая часть уравнения (10) принимает значения от 0 до 2Ва, то всегда найдется вещественная постоянная 瓦 при которой выполняется уравнение (10). Итак, это значение Ь удовлетворяет уравнению (96), и, следовательно, уравнение (9а) (при D = bB и подходящим образом выбранном знаке &) определяет положительное значение d. Следовательно, преобразование Лоренца 広 в рассматриваемом случае представимо в виде произведения 3 бустов.

Случай 2. Векторы X и В параллельны (в частности, Л2 = 0 или В』。).

В этом сдучае соотношение (7) становится скалярным, поскольку все векторы коллинеарны:

d = (l+Q2Z(l+Q2)%-QD(11)

Пусть

W = ArshQ = a + ip.

Чтобы величина 屮 была однозначной, наложим ограничение — л/2 V V§Wn/2. Пусть, кроме того,

Ф = ArshD (вещественная величина).

Соотношение (11), записанное в <р и -ф, преобразуется к виду d = ch 伸一ср) = ch (а — <p) cos ₽ —t sh (а —<p) sin p.

Если 0 = 0, то задача решена(Q — чистый буст). Если же р=/=0, то, чтобы величийа d была вещественной, необходимо положить Ф = а (тем сам耳м зафиксировать значение О), т. е. d = cos р.

При р =/= л/2 величина d положительна и Q разлагается в произведение трех бустов. При р = л/2 величина 2 обращается в нуль и преобразование Лоренца 0 не представимо в виде произведения трех бустов.

Случай р = л/2 соответствует Q = sh (а + /л/2) = f ch а, поэтому вектор Q чисто мнимый и Q2 ^ — 1. В этом случае преобразование Лоренца можно назвать «винтовым поворотом на 180。》： оно представляет собой произведение поворота на 180° и буста с быстротой 2a. (В частности, чистый поворот на 180° неразложим в произведении трех бустов.)

Винтовой поворот на 180° представим в виде произведения четырех бустов, поскольку если С — буст и Q — iB с В2^： 1, то преобразование Лоренца

R=^-C = i(B2- 1)% d + i (1 + C2>/z B-Bx С

не является винтовым поворотом на 180°, за исключением того случая, когда вектор С параллелен вектору 亙 Следовательно, К— произведение трех бустов, a Q=R・(—С)— произведение четырех бустов. (Это решение предложено Д. М. Эрдли.)

ГЛАВА 2

Решение 2./. Из закона сохранения 4-импульса следует, чт® Ре + Ру = Р； + Р；・

(Индекс у относится к фотону, штрихами отмечены величины после рассеяния.) Поскольку 4-импульс электрона после рассея* ния не представляет для нас интереса, воспользуемся общеизвест* ным приемом и исключим его:

(Ре + Ру — Р；)2 = РЗ = -М,

или, поскольку Pj = O,

—tt^ + 2Р$ • Ру — 2Р$ • Р； — 2Ру • Р, — — тп*.

В лабораторной системе отсчета

Ре = (%, 0),

Ру = (九/儿 九Ав), ^―единичный 3-вектор в направлении налетающего фотона,

Ру =(Л/Х\ ЛД^о) е0—единичный 3-вектор в направлении испущенного фотона,

поэтому

Ь +产 + WRCOSI・

Умножая на W, получаем

iJ — К = (Л/те) (1 — cos О).

Решение 2・2・

Пусть у означает фотон, а штрихами отмечены велнчиньь после рассеяния. Прежде всего исключим из закона сохранения 4-импульс Р‘：

(Р； + Р‘ 一 PY)2 = Р2 =—",

PY P； = P (PY-P；).

Ясно, что максимальная передача энергии происходит при угле рассеяния 180°. При этом угле рассеяния и | Ру | = £Y последнее соотношение преобразуется к виду

一£石+瓦.再= 一£(J-理+A(网一网)熟

一2£v£y = — E(£丫 — E^j+P (—耳一 £*7),

откуда

口， 0(Е+Р)Е

与=飞+E-P 2 1+加S/4EEJ'

Второе выражение для * мы получим, используя приближенное соотношение

Р =а (£2 —加2卩* ~ £ — ； m2/£, соответствующее принятому нами предположению о том, что Е> >恤.

При температуре 3 К энергия фотона имеет порядок АТ~ ^ЗхЮ-4 эВ. Подставляя в выведенное нами уравнение эту величину, а таже /ппротои = 0,938х 10® эВ, £= 1020 эВ, находим £；〜 ^101в эВ.

Решение 23 По закону сохранения 4-импульса должно было бы выполняться равенство

Ру + Ре = Р%(I)

где pY — импульс фотона, ре — импульс электрона до поглощения или после испускания фотона, а ре— импульс электрона в отсутствие фотона.

Возводя в квадрат правую и левую часть равенства (1), получаем

Ру Ру + 2ре ру + ре ・ре = р； pZ

0 + 2ре・ру —展=—/И：,

Ре*Ру = 0・

Но в системе отсчета, в которой р? = (加，0)и ру =(£, р), последнее соотношение означает, что энергия &)тона должна быть равна нулю, т. е. что фотон не существует. Таким образом, изолированный свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон

Решение 2.4. Если р — 4-импульс составной системы, возникшей при столкновении, и у = (1—*)-%, то

Р = (тМ 砌RD + G^, 0) и

т = (— р • р)% =(加;+ 侬 + 2ym^tn^9

E加1丫 十加в1 + гпз/т1y *

Решение 2.5. Пусть нейтрон движется вдоль оси %・ В своей системе покоя электрон обладает 4-вектором импульса

р，= (£, P'cos也 Psin也 0), E‘н/njl —瞧)一％

(не ограничивая общности, мы ориентировали нашу систему координат так, чтобы вектор 戸 лежал в плоскости ху), причем вектор Р‘ изотропен. В лабораторной системе отсчета 4-импульс Р мы получим, подвергнув 户 преобразованию Лоренца:

Px = y(Pf cos^ + p£z),

Py = Pf sin^, или

Последнее уравнение означает, что в лабораторной системе отсчета конец вектора импульса в импульсном пространстве лежит на эллипсе с центром в течке (ур£\ 0), большой полуосью уР и малой полуосью Р‘. При вычерчивании этого эллипса могут представиться следующие три случая:

Фиг. 8.

Решение 2・6. Пусть Р и Q —4-импульсы сталкивающихся протонов и W — полная энергия в системе центра масс. В этой системе отсчета

⑦= (P0 + Q°)2 = — (P + Q)2, но поскольку это выражение для W2 инвариантно, то его можно вычислять в любой системе отсчета. В эксперименте, проводимом по традиционной схеме, в лабораторной системе отсчета

p =(e,戸)，

Q = (m, 0)»

поэтомупоэтому呼 z =（Е + /и）" — *2 = 2Ет + 2 加8 〜〜2Ет при Е》пг.

поэтому

поэтому

При Е = 30 ГэВ,加= 0,94 ГэВ достижимая энергия составляет W~7,5 ГэВ.

В эксперименте со встречными пучками в лабораторной системе отсчета

p =（e,刀），

Q=（E, -Р）,

поэтому М2 = 4Е* т. е. W = 2£. При £=15 ГэВ достижимая энергия составляет 呼=30 ГэВ. Чтобы достичь W = 30 ГэВ в эксперименте, проводимом по традиционной схеме, потребовалась бы энергия E = UP/2m~480 ГэВ.

Решение 2・7・ Пусть индексы 0 и 1 означают первоначально двигавшуюся и первоначально стационарную частицу. Приравнивая 4-импульсы до и после столкновения, получаем

Pq+Pi = Р『+ Рт,（Ро+Р1 — Р『）2 = Р&,

—ЗМ + 2Po • Pi — 2Ро, • （Р° + PJ = — М・ Подставляя в эти соотношения

Ро =（£, Р）, Е = !П~\-Т^

Рт = （加，0）,Er ~ tn-\- Т\

Р『=（Е1 戸）， 戸•戸=PPr cos 9, находим

—加2 — Em+Ef （E+fh） — PP cos 0 = 0,

T* e'（£2 -加2）% （E‘‘ 一 加2）1/, cos 仆=（E‘ 一 加）（E + m）・

Возводя в квадрат обе части последнего равенства и разлагая на множители разности квадратов, вычисляем кинетическую энергию рассеянной частицы:

（Е —加）（£ + 加）cos2 仆=（£ —加）（E + m）,北（Г + 2加）cos2 0=7 6 + 2加），Г（—岂 cos2 仆 + Tq + 2加）=2 加 Tq cos2 %,2m70 co^ О

6 Заказ 710

Решение 2.8. Из закона сохранения 4-импульса следует, что

Р^ + Pn = Рм + Ря (№ — нуклон, возникающийв результате реакции),(Py + Pn)』(Pm + P兀尸.

В лабораторной системе отсчета (в которой £^ 〜ЗК 〜2,5х X10-10 МэВ)一—

рy = (Eyf pY), ?№ (£^^ Рn).

В системе центра масс при достижении порога реакции

Рдг + Pjt =(恤v+加с, 0), в силу чего

2РY • P^ -加力=-(加n+加Л产，

—2E、En + 2Ру • Pn = — 2fri/^fTijt — m^.

Но Р尸 J, поскольку 加『О, и при центральном столкновении 耳•户n = — P、Pn* поэтому

En + 3为-E# =屮"У 吗=

=2 ，盜券茅■ m3В = 6 X :0" МэВ.

Учитывая, что EN^mN, слагаемое (E% —m%尸/* можно заменить на Итак, £^?^3х 10м МэВ.

Решение 29 Прежде всего запишем закон сохранения 4-им* пульса и исключим из него 4-импульс Л-гиперона:

Ря + Ря=^=Рк + Рл,

р^ = —mKHfn + P^-PQZn —階一ПЙ —加女十+ 2РЯ，Р» — 2РЛ • Рк — 2РЯ • Pr・

В лабораторной системе отсчета

Pji п (Ел, Рл)>

Р» =(加小 0)> Рк = (^к> &), поэтому

—^л 一 У — 加夫一2тпЕп + 2mtiЕк+ZE^Er — 2Р〃 ■ Рк = — %_・

Полагая Ря-Рк = 0 (рассеяние на 90°), находим

_吗一呜一呜一吟+ 2m小K

， gf ・

Таким образом, чтобы энергия £я была минимальна, мы должны (как и следовало ожидать) понизить до минимума EKi поэтому разумно положить Ек = тк：

£ л (пороговая) —2(勺一加к)—吨厂丽一

тп—тк 11152 — 1403940—494

2~ н 2(940—494)2=

= 1149 МэВ.

Следовательно, пороговая кинетическая энергия равна 1149 — — 140=1009 МэВ.

Решение 2,10.

Из закона сохранения 4-импульса следует, что

РК = —侬: = (Ра —Рв)2 =—加％—加力一2Р%・Рв・(1)

В лабораторной системе отсчета Р』=(加同，б), Рв = (£в> 戸в), поэтому — 加若=-加玄一加方--2加aEb, откуда

ев = /n% + m右一加廿2加г

Поскольку mA^Mt mB —0, mc = Л1 — 6, то 口 ,附 2一(附一6)262 一大

品=加=灰—= 8-2лГ<e.

В реальных условиях 加取6, поскольку некоторая доля энергии уходит на отдачу атома М, необходамую для сохранения импульса. В эффекте Мёссбауэра импульс отдачи распределяется между ~ 1023 атомами, поэтому энергия отдачи пренебрежимо мала.

В этом случае Р』= (Е貝，Рд), Рв = (£в,瓦)，и соотношение (1) преобразуется к виду

—m% -加方 + 2£4£^ - 2 (E% -加%)"(E为一加为)% cos 令 n 一 m方.

Решение 2・1L

Полный 4-импульс равен РПОдН = Pi + ₽2 == Рз + Р<- В системе центра масс Рподн =(£；；0™, 0), поэтому

Р力н = — (ЕЮ = (Pi+Р产

Скалярный квадрат полного импульса (Р^ + Р?)" можно вычислить в лабораторной системе отсчета, где Р1==(ЕЪ Р0, Р3 s= (m2> S):

-（風。靠 у = Р； + Р； + 2Р「Р2 =-加；一峭一 2E1S・

6*

Вычислим левую часть равенства

Pi * Рноли = Pi • (Pj. + PJ

в системе центра масс, а правую —в лабораторной системе отсчета:

-普м-■上力靠=一用一g恤=

=一加:一^[(e黑騎2 -端一词，(из n. «a»)

откуда

玲М.=[(晶盡у+用一帽]/2碇靠.

Используя предыдущий результат (п. «б»), получаем

(Р?-м )2 =(£?• м・> -用=衿У -用=

(加；十昂恤产一加；(m.l+ml + 2Eltn2)—侬(Ef—ml) mfPf

V полн/\ иолн丿\ П0ЛН2

и, следовательно, Р?* =加2「工/七^就.

Если и —4-скорость любого наблюдателя, то, как нетрудно проверить, в системе отсчета, связанной с этим наблюдателем (а следовательно, и во всех системах отсчета),

Р(8) W Р + (Р • U) U

——4-импульс, измеренный наблюдателем. Следовательно, 口工匕 определяется соотношением

Рщ)ЛН + (Рполн ' 口儿山)U&M. = °・

Но если 2 наблюдателя обладают 4-скоростями ut и и2, то у = = —Ui • и2 — фактор преобразования Лоренца между двумя системами отсчета, связанными с наблюдателями. (Доказательство. В системе покоя наблюдателя 1 uf-^ = (1, 0)・(у, yv) = — у.) Таким образом, фактор ущм< = — и-иц<м. задает преобразование в систему центра масс. Следовательно,

Рщ)лн * 口十(Рщ)лн * Uq.M.) %」м. •口 = °,

—Erqj1H + ^полнТц. м =。，

Yu.M* = ^полн/^полн*

В нашем случае Е^^Е^т^ поэтому

7ц.М.= (£1 + ^2)/^полн*

Из п. «е» получаем

1 —唯 м. ==(£полн/(^1 + 加2)Р откуда

р

%一[(& +加2)2」虽+叫・

Решение 2・12・ Поскольку в системе центра масс столкновение упругое, то Е；* = Е；； м，, т. е.

Р1 * ЦЦ.М. — Р】'* UU.M.-

(Штрихами обозначены величины после столкновения.) Записав это равенство в лабораторной системе отсчета, получим

-马 + p1 •几』 = - еr +Pi-04" Ho % m.=瓦/(J + 加2), поэтому

P； г Р^Р'озО

_ & + El + % = _£> -|- —£i+ma， или

(1)(1)cos® — Ei'(Ei + m2)— 4%—d

(1)

(1)

C0-方*齊产•

(Последнее соотношение можно было бы вывести и не используя систему центра масс.) Минимальное значение cos О (максимальное значение sin О) можно найти из уравнения dcosO/dEy = 0, разрешив его относительно £「и подставив полученное значение в соотношение (1). Но к тому же ответу мы придем быстрее, рассмотрев точки пересечения графика функции cos О (Е^) с прямой cos О = К, определяемые уравнением

К%Р；(招一硝=E；，(Ei + mJ' -

-2 (f\ + 加 J (£\m2 + m；)Ei，+ 便1m2 + "2；)?. (2)

При минимальном значении cos О прямая cos О1 = /С касается кривой cosO(£\，) и дискриминант уравнения (2), квадратичного по £г, обращается в нуль：

о = — (Е1 + 加2户 К2PmJ + К20(Е1 加 2 + 的)2+《0 履，

или

2 一 (El +生)2加；一(瓦加2 +加?户 _ 喝一加事

и, наконец,

А(旧一侬尸厶

sin ^макс = mjm^

Решение 2.13.

Предположим, что ракета движется вдоль оси х. На 4-скорость и и 4-ускорение а наложены следующие ограничения:

U U = — 1 =—(uQ2 4- (ux)2 (нормировка 4-вектора u),(1)

a ■ u = 0 = — afl^ + axUx (ортогональность 4-вектора а 4-вектору u), ⑵ a ■ a = g2 ——(球)2 + (仪*户 (собственное ускорение равно g).(3)

Из этих соотношений следует

” =а* (多｝(а*)2 [1 - (“*/办)2] = ^,

откуда

a*=g"‘，(4)

” = g〃*. .(5)

Дифференцируя соотношение (4), можно получить дифференциальное уравнение для 〃七

器=^ = g 箒= gM=g2"*，

имеющее решение

〃* =』sh gr + В ch gr.

Поскольку при т = 0 выбраны начальные условия

〃# = 0, dux/dx = gt

то 4-вектор и должен иметь компоненты

их = dx/dx = sh gx9(6)

m = df/dt = chgt [из соотношения (1)].

Из интегралов этих уравнений (учитывая, что % = / = 0 при т = 0) находим

x=『i(ch/-l), / = L(shgr).⑺

В системе единиц с с = 1 в силу числового совпадения ускорение g (= 980 см/с2) оказывается почти в точности равным обратному году (как времени) или обратному световому году (как расстоянию). Таким образом, для интервала времени в 40 лет, измеренных на Земле (/ = 40 лет), из соотношений (7) получаем

т ^ [Arsh 40] лет ^4,38 лет и

х ^ [ch (Arsh 40) — 1] св. лет ^39,01 св. лет. (8)

Для 40 лет, измеренных в ракете (т = 40 лет), из соотношений (7) находим

ха^[сЬ 40— 1] св. лет^=； 1017 св. лет.(9)

Половина расстояния составляет х^ 15000 св. лет. Для преодоления ее потребуется

Arch(15000 + 1) лет^ 10,3 лет.(10)

Вторая половина пути (торможение) полностью аналогична первой (разгону), поэтому полное время равно 20,6 лет.

Пусть М — (переменная) масса покоя ракеты. Изменение энергии ракеты, равное излученной энергии, составляет

d(M“0) = —d/r(11)

Поскольку энергия излучается в виде фотонов, то

НЕнзл = сГРнз』，(12)

а в силу сохранения импульса

dP…dP,(13)

где dP — изменение импульса ракеты. Объединяя соотношения (11) —(13), получаем

d (М〃。) = — dP = — d(Mux)9

(dM) uQ + MduQ^ — (dM) 〃# 一 M dux9dM/M = - d (i? + "*)/(〃。+ 〃〜

откуда

M = mq/(uq + ux)= 〃載-^(14)

[чтобы получить u° (т) и 〃#(t), мы воспользовались соотношениями (6)].

Из п.《6》следует, что для половины путешествия ^х = 30 000. Таким образом, Mi^ — MQ/30 ООО и

Мконечн = Мо/(ЗО ООО)2 ^ ю-»мо.

Решение 2J4. В циклотроне ускоряющий потенциал с фиксированной частотой приложен к зазору между дуантами. Частота подобрана так, чтобы, когда электрон достигает зазора, потенциал всегда имел нужное направление, т. е. она равна циклотронной частоте <оо = еВ/тс, Существование максимальной энергии, до которой циклотрон может ускорять электроны, обусловлено тем, что в действительности электроны движутся по окружностям с «синхротронной частотой» ①=еВ[、тс =①朋/七 (Е — энергия электрона) и, когда электрон разгоняется до релятивистских скоростей, происходит расфазировка: между переменной синхротронной и постоянной циклотронной частотой набегает заметная разность фаз. Наконец, наступает такой момент, когда электрон достигает зазора между дуантами с рассогласованием по фазе с ускоряющим потенциалом на 90° и процесс ускорения обрывается. Количественно это явление можно описать следующим образом. Пусть а — фаза ускоряющего потенциала в момент, когда электрон достигает зазора между дуантами. Проходя зазор, электрон приобретает энергию V cos а, где V — максимальное значение ускоряющего потенциала в электронвольтах. За dN циклов элек-

трон приобретает энергию, удовлетворяющую уравнению

"знергн瑞”ектрона).=譌不=2У COS (р - 3。/)

(множитель 2 в правой части связан с тем, что за каждый цикл электрон проходит щель дважды). Фаза 屮 означает угловое расстояние, пройденное электроном,

Ф = J о d/ = о)о J (т/Е) dtо

=石巨S。加cos=石巨S。加cosf1①。j量由一5‘f1①。j量由一5‘и

=石巨S。加cos

=石巨S。加cos

f1

①。j量由一5‘

f1

①。j量由一5‘

dE ш

h =石 2y cos

где а = 2У(доШ/л. Дифференцируя, получаем

•^^ = —asin 5 J 倍一l)df 牝传—1)==№一(嘗斤%。传-1).

Минус перед квадратным корнем выбран потому, что синус заведомо отрицателен.

Найдем первый интеграл этого уравнения. Пусть q = dE2/dt. Тогда d^E^ldt2 = q dq/dE29 и наше дифференциальное уравнение преобразуется к виду

Новое уравнение можно проинтегрировать с начальным условием д = а при Е = т (т. е. при / = 0):

(@2 — g2)% == о。(Е —加)2.

Энергия электрона возрастает до тех пор, пока q не обратится в нуль. При д = 0

Емакс =加 + Q/g.=加 + (2У 加/冗)明.

Решение 2.15. Если новое поле F не равно тождественно нулю, то при некоторой 4-скорости и произведение а・и должно быть отлично от нуля. Но это противоречит требованию ортого

нальности 4-скорости и 4-ускорения: а • и = уd(u • u)/dr = О,

ГЛАВА 3

Решение 3.1. Наиболее изящное решение этой задачи мы получим, изобразив двумерное пространство-время.

Прежде всего расположим систему координат так, чтобы оба события оказались на оси х и первое событие совместилось с точкой %=/ = 0.

Фиг.Фиг.9.9.

Фиг.

Фиг.

9.

9.

На фиг. 9, а события Д и В разделены пространственноподобным интервалом (Ах, Д/)( а мировой линии светового луча соот-

ветствует пунктирная биссектриса. Ясно, что после преобразования jlopenua, переводящего исходную систему координат (力 ％) в систему координат (f, %') (фиг. 9,6), события Л и В станут одновременными. (Величина лоренцевского буста р =» Д//Ах, Arth(tg 4), где ^ —угол, указанный на фиг. 9, 6, — параметр быстроты.) Поскольку ось ? при помощи преобразования Лоренца нельзя вывести за световой конус (опустить ниже конуса), события Л и В не могут происходить в одной и той же точке пространства.

На фиг. 9, в события А и В разделены времениподобным интервалом. На фиг. 9, г показано, каким преобразованием Лоренца исходную систему координат tt х можно перевести в систему коор- дНнат ?, xz, в которой события Л и В будут происходить в одной и той же точке пространства. Величина буста для этого должна брпь равна а — Дх/ДЛ Поскольку ось 炉 невозможно вывести за световой конус (поднять выше конуса), то события Л и В не могут брпь одновремен ными.

Решение 32 Линейно-независимы, например, следующие 4 изотропных вектора:

% + % ег —в/, е“十％ 电 + 生

Предположим, что существуют 4 взаимно ортогональных изотроп- Нр1х вектора А, В, С, D. Поскольку они л и ней но-независимы, то лрбой вектор можно представить в виде их линейной комбинации:

.V = aA + bB+cC + dD.

HP это означает, что длина любого вектора равна нулю, по- скрльку векторы А, В, С, D изотропны и по предположению взаимно ортогональны. Следовательно, 4 таких вектора не могут существовать.

Решение 3.3. Не ограничивая общности, выберем систему коРРАмнат так, чтобы изотропный вектор V можно было представить в виде V = е^ + е^. Произвольный вектор S допускает разложение

S = Л в/ + Be* 十 Се^+

Скалярное произведение векторов V и S равно

S • V = 4 (е, •咽 + В (е“ • е“) = В — Л,

поэтому если вектор S ортогонален вектору V, то А = В. Но S — прс>странственноподобный вектор, в силу чего 242 VB纟十 О+ D2 H 応+力2 = 0, т. e. C = D = 0. Итак,

S = 4 (e# + е»),

а это означает, что вектор S кратен вектору V.

Решение 34 Рассмотрим плоское пространство Минковского. Тогда х, у, z — пространственноподобные единичные векторы, t — времениподобный единичный вектор, t±z, t± у — изотропные векторы и т. д. В следующей таблице приведены по порядку примеры пространственноподобной, изотропной и времениподобной

суммы.

Пространственноподобный вектор

Изотропный вектор

Времениподобный вектор

Пространственноподобный вектор

х+У

(£+/)+(—2+面 (£+&?) + (—2)

* + (* — t ) 伶 + ?) + (-2金) D + d)

£ + (е?) x + i (ех) + ?

Изотропный вектор

(D+&+2) (£ + ?)+& + ?) {i —£) + (?+金)

&-?)+?

(X - ?) + 2?

(£ + ?) + ?

Времениподобный вектор

Пространственноподобная сумма

Изотропная сумма Времениподобная сумма

(£+」) + (—?) (?+&£)+(—£+或) i + i

Здесь 8 означает любую малую постоянную, например равную 0,1. Если времениподобные векторы должны быть «направлены в будущее», т. е. если для времениподобных векторов и должно выполняться неравенство и -1<0, то не все комбинации двух векторов оказываются допустимыми. (Мы предоставляем читателю убедиться в этом самостоятел ьно.)

Решение 3.5. Пусть к — изотропный вектор, в направлении которого распространяется свет. Некий наблюдатель выбирает малый квадратный элемент пучка, стороны которого образуют векторы А и В — чисто пространственноподобные в системе отсчета, связанной с этим наблюдателем, и ортогональные пучку (А к = = В・к = 0). Кроме того, поскольку А и В —стороны квадрата, то А • В — 0 и площадь элемента равна | А | • | В |.

Другой наблюдатель может безошибочно опознать тот же самый элемент пучка, например, по лучам, образующим углы квадрата, но проводит сечение иначе во времени. В его системе отсчета старые векторы А и В не ортогональны его 4-скорости и, поэтому поперечное сечение пучка не я^яется чисто пространственноподобным. Но при любых постоянных аир векторы

Ал = А+ак, В，= В + §к

порождают тот же элемент пучка, что и векторы А и В (лишь «конец» каждого вектора сдвигается в другую точку вдоль светового луча от прибавления некоторого кратного волнового вектора к). Новый наблюдатель требует, чтобы выполнялись соотношения Az * и = В* • и = 0. Этим требованиям всегда можно удовлетворить, выбрав а — — A -u/k u и 0 = — B-u/k-u (k-u^=0, поскольку к —изотропный, а и —времениподобный вектор). Заметим, что А'，к = В'・к = А'• В'= 0 (так как k-k = O), поэтому векторы А' и В', служащие сторонами сечения, проведенного новым наблюдателем, ортогональны. Площадь нового сечения равна

g‘1止1 =(A'不')1/2&.8)* =次|田|,

т. е. совпадает с площадью сечения, проведенного первым наблюдателем.

Решение 36 Доказать, что сумма £°林卩 неинварнантна, не・

трудно. Пусть О0х = 1, а все остальные компоненты равны нулю. При бусте в направлении оси х

D^ = — ^t ZX£ = — 0y, поэтому

£ D叩=0,но £ />” = — 2ру.

Неинвариантность суммы ^D^ доказывается аналогично.

Под действием преобразования Лоренца А^, как известно, О» = А%АМ。纟，поэтому

£ 班=£ А%3'У = 6鈍=£ 〃，卜|Гм-

и, следовательно, сумма 2。笈 инвариантна.

Решение 37 Поскольку ^ — постоянный тензор, то ПЛ-Ыа\^\ва)=

=尸睜/0。(限％。。)=兄Y, В卢。舞=尸睜^ =-尸呷6严к Последнее равенство следует из антисимметрии тензора 尸耶(немые индексы переобозначены).

Решение 38 Запишем дифференциалы в новых координатах: ds2 = т]ар 山产 dx^ —

=Псф*。^/。工 u) d 元卩(汲 В/。才v) dxv =綜解)*犷.

Если линейный элемент записать в виде ds2^g~d^ dXv, то

Поскольку вектор преобразуется по закону

то

u・v=u°y4u=

=仅噥)(У嘰)加入=网嘴^ • n”=网%。

Решение 39 Под действием преобразования координат х^-> f 工卩(尤期)метрический тензор g^ преобразуется следующим образом:

gjiQ=gaB 殺й 瞪，

и, следовательно, его определитель g переходит в

£ = det(g诵)= det%)de嚅)det 隱卜g[de嚅户.

Поскольку g=#g, то g —не скаляр.

Решение ЗМ. Пусть первой матрице соответствует преобразование координат

产=寸(炉)，(A>dxW),(1)

а второй — преобразование координат

x^ = xtt(xv), (^ = д^1д^).⑵

Составим произведение матриц

0元а а/

Правая часть равенства (3) весьма похожа на частную производную от сложной функции. Это наводит на мысль рассмотреть преобразование координат

戸(%b)=戏[% y (讲)],(4)

которому соответствует матрица преобразования

五2维=壑安.(5)

Она лишь немногим отличается от произведения матриц (3). Нетрудно понять, что в действительности различия между матрицами (3) и (5) несущественны: при вычислении частных производных от сложной функции по ее аргументам безразлично, как обозначены независимые переменные. Таким образом, преобразованию координат (4) соответствует произведение матриц Ag и Ag・

Решение 3.〃・ Выберем произвольный репер. В нем тензору К соответствует матрица 驳叫 Ясно, что К0^ можно представить в виде А^В^ в том и только в том случае, если все столбцы матрицы попарно пропорциональны.

В тензорных обозначениях к аналогичному выводу приводят следующие рассуждения. Тензор К представим в виде

К = А® В

в том и только в том случае, если вектор W = K-v (т. е. Wa = = №电§) имеет одно и то же направление при любом выборе вектора v.

Доказательство. В некоторой системе отсчета выберем 4 базисных вектора е°, е1, ... так, чтобы 呼©* = 6%・8 силу линейности направление вектора W не зависит от выбора вектора v в том и только в том случае, если оно не зависит от 4 базисных векторов 呼.Но тогда

K-e° = X0W, K・d = %W, ・・.， или

Таким образом, наш тензорный критерий эквивалентен попарной пропорциональности столбцов.

Решение 3・/2・ Столбцы (и строки) тензорного произведения двух векторов попарно пропорциональны (см. задачу 3.11). В общем случае тензор второго ранга этим свойством не обладает. Если 猊 (/= 1, 2, ...» n) — базисные векторы (0, 0, …，1, ..., О, 0), где 1 стоит на i-м месте, то п2 тензорных произведений е； ® е； образуют базис в пространстве тензоров второго ранга, поскольку, какую бы строку и какой бы столбец мы ни выбрали, найдется прямое произведение базисных векторов, у которого на пересечении выбранного столбца и выбранной строки стоит 1, а все остальные компоненты равны 0. Суммируя эти произведения с постоянными коэффициентами, мы получаем любой тензор второго ранга. (Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что любой конкретный тензор представим в виде суммы п тензорных произведений.)

Решение 3J3. Геометрический объект Х^” не может быть тензором. Ковариантный тензор второго ранга является функционалом от двух ковариантных тензоров, т. е. величина X^V^y для такого тензора была бы скаляром, в то время как для заданного объекта

X^V^v = (А ・ V) HZ” + (В • W)九

зависит от координат.

Если геометрический объект с двумя индексами в любой системе координат задан соотношением X^v = A^ + Bv, то при переходе от одной системы координат к другой он преобразуется по закону

Но такой закон невозможно представить в виде

X…=瓚%吗

где Т — некоторое преобразование. Это утверждение следует из того, что в любой заданной системе координат 4M и ¥, выбранные различными способами, порождают один и тот же геометрический объект Х^К В частности, A^ + Ct Bv — С в фиксированной системе координат приводят к тому же X* что и Лц, ¥, но геометрические объекты Хм” порождаемые этими двумя выборами векторов, значительно отличаются.

Решение 3・/4. Необходимо лишь преобразовать исходный тензор и проверить получившийся тензор на антисимметрию:

^=ЛЖР = - ЛЖа = - ^а. — Р^

а = gMg**B = - Е06产尸 Ва = - g^F^ =-尸丝

Для разнообразия мы воспользуемся при рассмотрении симметричного тензора другими соображениями. Построим вспомогательный тензор

勿即v = suv —sw,

где S^ — симметричный тензор. Все компоненты ®^^v равны нулю (по предположению о симметричности тензора S^), а поскольку ет^^ —тензор, то они равны нулю во всех системах координат. Следовательно, тензор S^ симметричен во всех системах координат.

Решение 3.Z5. В силу симметрий, указанных в условиях задачи,

но № V — немые индексы, поэтому, переставив их, мы получим 4vs 冲=—4 wS3 = — &*S 叫

Следовательно, /lUvS^v = 0.

Любой тензор V^ можно представить в виде суммы симметричной части

%v 三 4" "|1V + Ууц)

и антисимметричной части

%产4■(%V-%), поэтому

HV&V =办％v + 两43=你v&v = ^ (收一宀)%,沙 Suv =办 vs“v + ^s^ = V^Sgv =；(沙 + yvu) Sg.

Решение 3・/6・

Если тензор r-го ранга в n-мерном пространстве не обладает никакими симметриями, то число его независимых компонент равно

Пусть тензор симметричен по s индексам и лишен симметрии по г —s индексам. Сколькими неэквивалентными способами можно выбрать s индексов из п возможных? Ясно, что это число совпадает с числом способов, которыми можно выбрать s предметов из п с повторениями, т. е. равно

(九+S一l)f/(/i - 1)1 sL

[См., например, Mathews J., Walker R, Mathematical Methods of Physics (W. A. Benjamin, 1965), Sec. 14.3.] Остальные r —s индексов можно выбрать nr~s способами, поэтому число независимых компонент равно

紋t(〃 + s— l)!/(n— 1)! si

Пусть тензор антисимметричен по а индексам и имеет г —а других индексов. Выясним прежде всего, сколькими способами можно выбрать а индексов? Это можно сделать столькими способами, сколькими удастся извлечь а предметов из п без повторений, т. е.

п!/(п —а)! а!

Следовательно, число независимых компонент в этом случае равно

紋-0加/(几一a)lal

Заметим, что при а = п антисимметричные индексы можно выбрать лишь 1 способом. При а>п число возможных способов выбора обращается в 0: все компоненты тензора должны быть нулями!

Решение 3.17.

Уww = 4■仇V - ％), Тм = О,

Р[|1V] ― ^|1V > Т(рлО = Тцл>,

F (hv) = О,

匕呐]=G [ %阿 一 ％тВ + %YC6 —几研 + У уоф — У YftoL

尸[сф. Y1 = § [尸啲 Y + Еуа, 3 + &Y，al・

Если Лцу... 0 — полностью антисимметричный тензор, т. е. если

(—1 严 А%а”。= %...屮

ТО

4% …<М = * £(—1 尸仆аЯр = 4% …оу

Но тензор

4al...а产 ％；., а/

полностью антисимметричен, поэтому

4% - <М = /[% - «РП = П% - а小

Утверждение задачи относительно 匕(％ …哂 доказывается аналогично.

В силу симметричности по индексам в круглых скобках "(%-^ml-ар) = У(%…[amaz].-ap), а в силу антисимметр ичности по индексам в квадратных скобках "(% •♦♦ [a产ml …~) ~ 一"(% …[06„^/) …a/ ，

Следовательно, V = 0.

Антисимметричность по двум индексам нетрудно представить в виде

'眩…设产由]…〜—~2 \У^'" Vm' •' ар — '% …0w^ — aj, поэтому

"[%..“%] -ар]=而](一D" ('% -%攤%/ …%尸一 у…%产У > Но

У %.. %产jtm - • * %pУ % — алтаЯГ • * %尸

в силу чего

/%…网a„J…<ХР] = n%…a产1n…耿卜

По доказанному в п. «а»

尸оф, V +尸В叫 a +尸個В = 3尸以6, v]* Но

尸а§=— 4[а,В],поэтому尸[耶,V] = — 4® BL V],

и по доказанному в п. «б»

4[[а, BL V] = 4% 街叫，

А поскольку

4(Х, ₽, v~ ^а, %В，

ТО

4[а, ЭМ = °・

Решение 3.18. Первая часть утверждения задачи доказывается непосредственно:

Хоф = ^ (Хсф + х昵)+ у (Хсф — Х^а) — Х(аВ)+Х[а卧

Если бы аналогичное соотношение

KxpY =匕 сфт) + Y[apv](1)

выполнялось для тензора третьего ранга, то ура丫 =匕肥Y)+ n昵?] ~ 匕耶Y)一 у[ав?], ^Ya =匕Y昵) nY昵]~匕邮y)十кар?] = %断，⑵

Поскольку в общем случае тензор 几网 не обладает теми свойствами симметрии, которые следуют из соотношения (2), то разложение (1) неверно.

Решение 3.19. Одно решение сводится к доказательству того, что из 6^ и двух векторов можно построить скаляр. Поскольку ЛУВЦ6^ = А • В, то 6 — тензор.

Другое решение сводится к проверке трансформационных свойств дельта-символа Кронекера:

萨 0*0产0戸

(последнее равенство следует из того, что матрицы дх^/дха и дх^/дх^ — взаимно-обратны). Таким образом, 6% преобразуется как тензор.

Решение 3.20. Если ЕаВуб — полностью антисимметричный тензор, то по любой его компоненте (например, по компоненте е0123), переставляя ее индексы, можно восстановить все остальные компоненты с неповторяющимися индексами. Компоненты полностью антисимметричного тензора с повторяющимися индексами равны нулю. Следовательно, тензор %阿5 однозначно определен, если задана его компонента е0123, а это и означает, что полностью антисимметричный тензор 8a即^ единствен с точностью до умножения на постоянную. При обычной, не зависящей от положения индекса нормировке в координатах Минковского

b0123B1023 - fc1032 -, • • • - 1 •

Переходя к другим координатам ^ (ха), получаем

^V^G"^V^G"дха @/。炉 dxfi0y五产請?'萨'дха @/。炉 dxfi0y五产請?'萨'%0Y6= det%0Y6= detГ дха 1[声1•Г дха 1[声1•

^V^G"

^V^G"

дха @/。炉 dxfi

0y五产請?'萨'

дха @/。炉 dxfi

0y五产請?'萨'

%0Y6= det

%0Y6= det

Г дха 1

[声1•

Г дха 1

[声1•

В новых координатах

—0%а о/

det (gw) = det (舞)* det ⑺耶)， поэтому

det (5^/5^) = [— det (givv)]'/， % наконец,

8)1，%'0'=I- det (g)rv')r% %Ла0，

Решение 3・2/・ В ортонормированном репере

e(хвY6 —.n飞6”ПY°n6%ё独V0儿.

В ненулевых компонентах тензора £°^丫° должен обращаться в нуль ровно один из индексов.а, р, у, 6. Поскольку 限=—1 и 叩=1. то преобразование отличается от тождественного лишь одним знаком минус и

%肌6 = 一ёО铀6，

При переходе в другую систему координат это соотношение в силу преобразования, выведенного в решении 3.20 и его очевидного аналога для 摺吗 переходит в соотношение

[-det ^)]-，/, %師6 =-[一det 係J»，萨阿6.

Таким образом, в системе координат с метрикой &^ %网6 н det (g^v)

Решение 3・22. Вычислим этот скаляр в локально ортонор- мированной системе отсчета. Из решения 3.21 известно, что

поэтому

加叩0吸叩° = — _S I egvpff I2 = —2 I e0123 |2>

UVpO

где суммирование проводится по всем перестановкам индексов 0123. Поскольку существует всего 4! — 24 такие перестановки, то 加w0研w° = -24.

Решение 3・23. В ортонормированном репере (с g^ = -qap) должно было бы быть очевидным, что (поскольку е — полностью антисимметричный тензор) операции, производимые в левой части доказываемого тождества, в точности совпадают с операциями, производимыми при вычислении определителя, т. е.

%削6複建幽"=det М計

Переход от набора индексов (0, 1, 2, 3) к произвольному набору (N, V,兀，с) требует введения в правую часть тождества множителя еЦЛ?ха> чтобы учесть минусы, возникающие при перестановках строк.

Докажем, что это тождество выполняется в любых (а не только в ортонормированной) системах координат. Для этого необходимо доказать, что оно тензорное или что det ||Лр|| —скаляр:

det«^;n=deth^#|=

=det J Лр И det J 黑^ |det 叁71 = det || Лр ||.

[Последнее преобразование следует из того, что 0#']0产 и 6卢]3炉— взаимно-обратные матрицы.]

Решение 3.24. Предположим, что au + pv + yw4-Sx = 0, причем не все коэффициенты а, 0，у, 6 равны нулю. Если сс*О, то, умножив эту линейную комбинацию (в смысле операции Д) справа на уДwДx, получим иДvДwДx = 0. Если а = 0, то то же самое произведение мы найдем из члена с отличным от нуля коэффициентом, умножив всю линейную комбинацию справа и слева на недостающие векторы. Наоборот, если векторы u, v, w, х линейно-независимы, то любой вектор представим в виде их линейной комбинации. В частности, так можно представить

4 вектора, образующих ортонормированный базис. Но тогда

о =# е° л ei л е? л S = (%U + P1V+%w +，х)八

A(a2u4-...)A(a3u + -.-)A(®4u + ---)~(uAvAwAx),

поскольку члены, содержащие по крайней мере 2 одинаковых базисных вектора, обращаются в нуль. Следовательно, иДуД ДwЛx=/=0. Поскольку произведение uAvAw^x полностью антисимметрично по всем «индексам» и кратно еоА/А/Лез, то оно может быть только пропорционально тензору е (см. задачи 3.20, 3.21).

Решение 3・25・

*宀=夕…叩耶，(1)

*F"V = У项。小时也叩耶三1%v°*aB =

=4 (加 vAyl］叫1師)尸呻=у 4v^^^F^ =

=^加^,邓，(2)

(* 4) = ^ …住f呻)=-|■…%陨产.(3)

Но

宀аХ一2踹

(это соотношение служит определением символа 3感).Необходимо убедиться в том, что 6規 обладает следующими свойствами;

■ +1, если 九=卩，а = v; 3説=一1, если а="，0=n；

.0 во всех остальных случаях.

Тогда

矚=3琥一5歌 и

(* 尸V) = _ ^ ^р^ = _ ^ (尸V —宀)=—尸V.

Решение 3*26. По определению дуального тензора

常 pa0Y = У^^У

И

*Va3Y^VaPv = W^a3Ye^Y.

Поскольку индексы р, и X отличны от индексов а,卩 или % то

где С — некоторая постоянная. Просуммировав это соотношение по 九 н 卩，использовав ответ задачи 3.22 и то, что 6^ = 4, мы найдем значение постоянной С = —6. Окончательно получаем

*匕砲Y*片即=-66""力=-6V%.

Решение 3・27・ Заметим, что тензор 吃寸 антисимметричен и по верхним, и по нижним индексам. Это утверждение следует из того, что определитель изменяет знак при нечетных перестановках строк или столбцов. Поскольку он антисимметричен по верхним индексам, то среди них не может быть повторяющихся. Если же число верхних индексов более четырех, то среди них непременно найдется по крайней мере один повторяющийся индекс и тензор 6^二：$! должен быть тождественно равен нулю.

Решение 3.28. Индексы 卩,v, к, X должны принимать различные значения из р, а. При заданных р, а индекс 卩 можно положить равным индексу к (тогда индекс v совпадает с индексом А) или положить р, равным X (тогда v совпадет с к). Все остальные комбинации индексов соответствуют нулевым компонентам, поскольку e^tvpCT — полностью антисимметричный тензор. Кроме того, в силу той же антисимметрии при р, = х» v = А возникает минус. Таким образом,

е^^е^ра = С Ж - 6號)三 С6威，

где С —некоторая постоянная. Суммируя по р,, X и v, к, а также используя результаты, доказанные в решении 3.22, получаем, что С = —2 Следовательно,

В общем случае

©Il办t _— K^vLt

pMvXT_ _ a 宙w1

Решение 3.29* Если pa3 = А^В^, то

det 建 Ла Лб =0, 严 BY В6

поскольку первая строка представляет собой линейную комбина- UHk двух остальных строк (первая строка =—1!^ х третья стрбК百 工1/2炉* вторая строка). Раскрывая определитель, получаем соотношение, которое требовалось доказать.

Решение 3.30. При каждом значении 卩 существует 3! перестановок индексов а, р, Y=# 卩，которым соответствуют ненулевые компоненты тензора е. Якобиан изменяет свой знак так же, как и тензор е, поэтому правильный ответ мы получим, взяв по одному элементу, порождающему каждую перестановку, и введя множи* тель 3! в знаменатель:

d3S0==[5 (а, Ь, с)/д (а, b, с)] da db de — da db de, d32i = — [5 (const, b, c)/d (a, b, c)]da dbdc = Of d3S2== — [5(a, const, c)/d(at b, c)]dadbdc^O, d3S3 = — [5 (a, b, const)/。(a, b, c)]da dbdc~0.

Решение 3.31. Пусть координаты с чертой соответствуют ортонормированному реперу с метрикой %v. Тогда dV sd4^= ==det (дХ/дх) d%, поскольку при переходе от одной системы координат к другой элементарный объем умножается на якобиан. Но 一g = — det (gap) = — det ；靄 醬 屯 j = [det (дх/дх)]2 (— det rj), поэтому

(—g)% = det (дх/дх) к, следовательно,

dV = (— g)%d%.

Решение 3.32. В сопутствующей локально ортогональной системе отсчета dW = dx dy dz. Требуется построить инвариантную величину, связанную с элементарным объемом. Начнем с элементарного объема d4P =(——gf/* dx dy dz dt — скаляра в любой системе отсчета. Умножив его на 〃。/〃° = 〃°/(d〃ds), получим

d4P = [(— g)% u° dx dy dz] ds.

Поскольку d^V и ds — инвариантны, то член в скобках также должен быть инвариантным. В сопутствующей ортонормированной системе отсчета он сводится к dxdydz, поэтому

d3V = (— g尸厶 u° dx dy dz.

Решение 3.33. Посколькуконтравариантный вектор импульса 尸06 преобразуется так же, каккоитравариантный вектор перемещений %% то 4-мерный элементарный импульс должен иметь такой вид, как инвариантный элемент 4-объема (задача 3.32), поэтому

d4P - (—g)% dP“ dp» dp” dP・

Элемент 3-объема мы умножим на 6-функцию, сосредоточенную на массовой поверхности, и проинтегрируем по 尸：

d3P = j6 [(— ё^Р^'г - m](— g)% dP* dPv dR dp =

=(-g)*/"P* dpy dR X [ _ M (— ga俨严)i • 2&户『

(здесь мы воспользовались тождеством

,6(/(х))厶=f焉，

где 尤i —нуль функции 力.Преобразуя член в скобках, находимd3P = (— g)% dPx dPv dp?(受}

Заметим, что в локально ортонормированной системе отсчета, сопутствующей частицам в импульсном пространстве, правая часть, как и следует ожидать, упрощается:

(РР =(1рх dpy dP&

Иногда d3P перенормируют, вводя множитель 1/т. В таком виде инвариантный элемент объема пригоден и для частиц с нулевой массой покоя.

Решение 3・34・ Ясно, что число частиц ^ инвариантно. Необходимо доказать, что элемент dx dy dz dP* dpu dpz фазового пространства также инвариантен. Если частицы движутся с 4-скоростью и относительно системы координат xyz, связанной с наблюдателем, то по его измерениям (см. задачу 3.32) они занимают инвариантный элемент 3-объема

d37 = (— g)% 〃° dx dy dz и инвариантный элемент объема в пространстве 3-импульсов {см. задачу 3.33)

d3P = (—g# dPx dpy dp1 伝斗

Поскольку наблюдатель производит измерения в ортонормирован- ной сис1еме отсчета, то —g= 1, 〃° = — u0 и

dx dy dz dPx dpy d卩=d3V d3P.

Инвариантность правой части очевидна.

Решение 3.35.

Выберем 4-объем, ограниченный «крышками» 務，瑤 >х%н «боковыми» гиперповерхностями, находящимися на бесконечном расстоянии от начала координат. По теореме Гаусса

О = \ Ja，a d&R = \ja,adt dxdydz = ^ Ja d32a.

Потоком через боковые поверхности можно пренебречь, поскольку «стенки》объема движутся к бесконечности. Следовательно,

0= \ Jad3Sa+ , </^34尸,Pdxdy dz— , J°dxdydz.

唱XA*5XA

Плоскости x° = const и x°' = const, пересекаясь, образуют две 4-мерные области: I и II. Замкнем эти области на бесконечности пространственными гиперповерхностями и рассмотрим заключенные в них пространства. По теореме Гаусса для области I

0 = ,ja,ad4R = 0= , jod3%— , JQ,d^

】炉"

или

,J°dxdyd2= , J& dx‘ dy' dz、

Ix°a。'

Аналогичный результат мы получим и для области II. Чтобы доказать утверждение задачи, нам останется лишь сложить правые и левые части соотношений, выведенных для области I и II в отдельности.

ГЛАВА 4

Решение 4，Предположим, что проволока совпадает с осью z цилиндрической системы координат и несет заряд с собственной плотностью р0. В системе покоя проволоки J° = po и J = 0. По теореме Гаусса единственная ненулевая компонента тензора электромагнитного поля равна

Е尸=р0Д / 2лг =尸勺

где А — площадь поперечного сечения проволоки. Если проволока движется в положительном направлении оси z со скоростью 0 относительно лабораторной системы отсчета, то преобразование Лоренца Ло,о = у, Л0，г = дает

J" = YPo, Jz = Ртро»

8屮=尸 г =：Лг о F^r == рур0Д/2пг, Е = уроЛ/2ял

(В^ _ «физическая компонента», т. е. компонента, связанная с единичным вектором еф). Если на поле, создаваемое проволокой, наложить поле (создаваемое аналогичной проволокой, которая покоится в лабораторной системе отсчета) с плотностью заряда —ур0, то полная плотность заряда и электрическое поле Е взаимно компенсируются. Ток

/ =，J' dx dy = §Ypo<4

создает только магнитное поле

ВФ = //2лг.

Решение 4・2・ Инвариантность величин В2 —£2 и В-Ё следует' из того, что они равны скалярам:

瓦豆=^ *凡，呻=4电vaj*呻=det (С》

Любой инвариант должен сохранять свое значение при поворотах в 3-пространстве. Следовательно, инварианты можно построить лишь из скаляров 瓦瓦 Е>Е и В -В. Если бы число

независимых инвариантов было равно 3, то, например, величина 耳•耳 была бы инвариантной. Но это невозможно, поскольку В* вообще говоря, изменяется под действием преобразования Лоренца.

Решение 43. В любой системе отсчета угол между электрическим вектором и вектором магнитного поля определяется соотношением

cos爲=瓦瓦|Е||8|・

Но скалярное произведение £• В инвариантно (см. задачу 4.2), а произведение |£||В| неинвариантно. Следовательно, угол 5。 может быть инвариантным в том и только в том случае, если 瓦 8 = 0, т. е. если ^― л/2.

Решение 4・4・ Лоренц-инвариантность величины 宮2 —|S|2 мы докажем, если нам удастся представить ее в виде функции от инвариантов 斤一力 и В:

64л (穿 _ f 产)=(£2 _|_ В^ 一 4 (戸义月)2 =

=［?+ 2£2В2 +中］一 4 ［严中_ (瓦 瓦2］

= e& - 2e2中 + 中 + 4 (瓦而2 =

= (£2 — 82)2+ 4(瓦互产

Решение 4.5. Пусть и = а(£хВ). Тогда

Е'у^ = £* +少 хВ = (1 — аВ2)Е + а(Е•回瓦

BY1 = В-0х£ = (1 - а£2)в + «(£- В) Е.

Случай /. Если Е*В = 0 и |Е| = |8|, то преобразование эквивалентно красному смещению плоской волны и векторы Е п В невозможно сделать параллельными.

Случай 2. Если £-В = 0, но £2=^В2, то, выбрав а — = 1/тах(Е2, В2), обратим в нуль либо Е‘，либо Вг. Тогда 戸х月』0.

Случай 3. Если £.В=#0, то векторы 后'и Вг можно сделать параллельными, выбрав параметр а так, чтобы он удовлетворял соотношению

а2 ［(瓦 В)2 —刑中］=1-а(£2 + В2).

Тогда

S _a (戸х目)a(ехв)队百

Rd 一 1+a2 l(eХb)Р — 1 +必［?b2_ (£*历打 一£2+5£・

Решение 4・6・ Если 七纟一^纟〉。,то, выполнив преобразование Лоренца с v = Ex В/Е2, получим Br = y(B — vxE) = Q. При £2 — В2 < 0 к аналогичному результату приводит преобразование Лоренца с『=—耳义七/中.Если E2~B2 = Qt то I^I^IBI после любого преобразования. Преобразование с v =а(ЕхВ) (см. задачу 4.5) уменьшает величину векторов £ и В на множитель

у(1 — а£2) = 7(1 — и) = [(1 — и)/(1 十明％•

В пределе при и-> 1 величину векторов £ и В можно сделать сколь угодно малой.

Решение 4.7. При интегрировании выражения для 7й воспользуемся соотношением

\ F(т) 6 口一 z。(т)] dr == 5^(т)^ [^~z°(t)] (dt/df)di =F(r [Z])/u° и получим

川=】兽%63后一迎(f)].

Нетрудно видеть, что выражение для временной и пространственных компонент оказываются правильными.

Решение 4・8・ Для решения этой задачи полезно ввести трехмерный полностью антисимметричный тензор е^А (с нормировкой е123= 1). Заметим, что

尸"一则&, Bt = ^e^F注,(uxvy=^kuivk.

Запишем покомпонентно «электрические» уравнения F^vjV = 4nJ^: 尸 В, в = F。) £ =卡・ Е = 4л/° = 4лр, 户В,尸尸乙+户°, о = ^kBkJ 一 EL = ”尸.

Последнее уравнение совпадает с i-й . компонентой векторного уравнения

VxB — E = 4siJ.

Рассмотрим теперь «магнитныех^уравнения. Предположим сначала, что индексы а, р и у соответствуют пространственным компонентам. Пусть a=i, 0 = 2, у = 3・ Тогда

尸 12, 3 + f31, 2 + f23,1 = 8*3+中方+ 81, 1 = V • B = 0.

Пусть теперь а = 0, а р и у соответствуют пространственным компонентам. Тогда

Paid + Fjq* f + Fq, q = E“ + Е/,«+ ^ijk^k =

=^ijk (V X E)k + zijkBk = 0.

Умножая это уравнение на £沙加,получаем

V х £ + В = 0.

Решение 4.9. В задаче 4.8 было показано, что тензорное уравнение

F,v = 0 эквивалентно «электрическим» уравнениям Максвелла (в вакууме). Что касается магнитных уравнений, то

*?吗V = 1 (%冲m),v = I尸耶,产婀=

= 4Fr«P-v]e^, поэтому уравнение 装尸吗v = 0 эквивалентно уравнению

^ар, и + 尸va, 0 十尸В”, а =。・

Решение 4.10. При 卩=0 уравнение для силы Лоренца принимает вид

dP°/dT = 6严勿 士 = e®Wi.

Поскольку dt = d〃丫，то его можно преобразовать следующим образом:

dP^dt^eE%.

Это уравнение отличается от нерелятивистского уравнения лишь тем, что Р° — релятивистская масса-энергия.

Решение 4・〃・ Пространственные компоненты уравнения для силы Лоренца имеют вид

吟=Y * =疗％l = qFiQu0 + 犷％ =外 ® + q^kBfcv/t поэтому

dP/dt = q (戸+&x В).

Решение 4」2. От нуля отличны лишь компоненты Fy = F^ = Е тензора F3 Начальная 4-скорость «а частицы обладает компо-

нентами (у, уи, 0, 0), где у = (1 — и2)-1/». Из уравнений для силы Лоренца

dP^/dr = g严v〃v

при 卩=1 получаем dPx/dx = 0 и, следовательно, ux = yvt т = %/уи.

Уравнения при 卩=0 и 卩=2

学= ^ЕиУ,岁=2Е办

можно объединить в одно уравнение

学=(計%

допускающее решение

ysh[借)Т]

(при интегрировании уравнения мы использовали начальные условия, наложенные на компоненты 4-скорости 〃‘ и 〃#). Интегрируя 〃у по т, подставляя 1=尤/丫。 и используя начальное условие у = 0 при х==0, получаем

学=儂"1ch借時

Решение 4J3・

Из уравнения для силы Лоренца (см. задачу 4.11) следует

(ор — I dp/dt I = qvB,

поэтому

qv q (1 —鸣" Q (1 —(о2/?2)1/й

Компоненты 4-скорости, измеренные в лабораторной системе координат, равны

〃。=(1 —炉R2)-%, цХ^^у^ „ tt)2R2尸/% 〃У = — (0X(1 — (o2R2)-%. Компоненты, измеренные движущимся наблюдателем, мы найдем, выполнив преобразование Лоренца:

〃* = ? («° -5炉)= 7(1 -5例/) (1 -炉必尸A

где Y三(1 -2 2.

Поскольку компонента 〃。‘ не постоянна, энергия с точки зрения движущегося наблюдателя должна возрастать:

dp" 一 d产_ 呻绅壮1右一"dr"— — 71-誣卢.

В своей системе отсчета движущийся наблюдатель измеряет электрическое поле Е, равное ¥' = — уРВ. (В этом нетрудно убедиться, выполнив соответствующее преобразование Лоренца над тензором электромагнитного поля 4.) Следовательно, с точки зрения движущегося наблюдателя энергии частицы (производимая над ней работа) должна изменяться со скоростью

虻=аЕУиУ = —тзу* = _ S“《

dt "(1-3味寸/*(1-3欢2)%♦

Тем самым кажущийся «парадокс» разрешен.

Решение 4,14. Из уравнения для силы Лоренца (задача 4.11) получаем

題=(一俾RB十督江=呜(两.

Поскольку над частицей не совершается работа, то величина

? н (1 -(0 唄 2)-*

постоянна. Подставляя dv/dt = — <a2Rer9 находим

qsRB — qQ/R2 = ma)2R/(l —炉曜)％

и, следовательно, q —(oa

ЙГ 一 (1 — 3R2)% (®8 — Q/R3) •

Решение 4.15. Вид тензора энергии-импульса электромагнитного поля приведен во введении к задачам гл. 4. Взяв его дивергенцию, получим

411TW, у =『，尸а + »尸а,V - 4F^-"=

=尸"a,v 十尸va (尸皿v 一 "va,h=

=尸М/^а,v+y^va (尸3, U + 尸吵 v + 尸“,а).

Пользуясь уравнениями Максвелла для вакуума, заключаем, что FvatV и члены, стоящие в скобках, обращаются в нуль, поэтому T^jv^O. Примечание. Если имеется ток проводимости J, то, как нетрудно проверить, ответ задачи переходит в 7%产一F^J^

Решение 4.16. След тензора энергии-импульса Т^ электромагнитного поля нетрудно вычислить, если сначала Т^ выразить через компоненты тензора Максвелла:

少 =(1/48)口尸V。_ ；旷几产).

Тогда

T% = (1/4n)严尸з一 ；• 4 •尸呻m卜0.

Решение 4/7. Достаточно доказать, что это соотношение выполняется в какой-нибудь одной системе отсчета.

Случай 1. £2 — В2,瓦方=0.

Выберем Е = ее*, В =嗚.Тогда отличными от нуля будут лишь компоненты тензора энергии-импульса 7°° — Т°名=Tzz = е2/4л и, следовательно, Т^аТа v = 0.

Случай 2. (# — В2)3 + (后•方产声 0.__

В решении 4.5 показано, каким образом векторы Е и В можно сделать параллельными. Пусть Е — Еех, В = Ве*・ Тогда отличными от нуля будут лишь компоненты тензора энергии-импульса

Т。。= _「*# = Туу = Тгг = (l/8n) (Е2 + в?),

Т%Г\ _ gnv [£2 + В2]2/(8л)2 = 6% [(炉 一 ¥)2 + 4£2В2]/(8я)2 = =6% [(£2 —中)2 + (2 万 В)2]/(8л)2.

Решение 4・/8・ Если «ц — 4-скорость проводящего элемента, то в системе отсчета, связанной с носителями зарядов, электрическое поле Е в проводящем элементе равно £и = f%uv. Вектор, который в системе покоя носителей заряда равен J, имеет компоненты J^ + u^J^. Следовательно, закон Ома можно записать в виде

J^ + ^Jvuv = aF%uv.

Поскольку это тензорное уравнение, выполняющееся в системе покоя проводящего элемента, оно должно быть справедливо во всех системах отсчета.

Решение 4.19. Из задачи 4.7 известно, что для частицы с зарядом q

J^ (х) =(7 J 64 (х — z [т]) 〃丛 dt, поэтому действие можно записать в виде

f L dr —qf «Мц dx — m\ dr,

а функцию Лагранжа — в виде

l=qu^A^ - /n (-加0〃”6)九

Координаты ", задающие положение частицы, зависят от параметра т, и

dL "—

a(血А//=杯m以.

Из уравнений Эйлера — Лагранжа находим

й(Й) = g”M"^ + m 嚮=款厶=qu^A^.

Следовательно, уравнения движения можно представить в виде

m duKldx = g (力从 ％ - 4从 Q 〃"，

ИЛИ

dpK/dr = qFK^.

Решение 4.20.

) Зная, каким образом тензор Максвелла F^v выражается через Ё и В (см. введение в гл. 4), и используя определение дуального тензора *F (см. задачу 3.25), получаем

呉呐v&l

"0 — в* — * — Ве~

Вх 0Ег — ЕУ

Bv —Ez 0 Ех '

_Вг Еу —Е*0 _

Следовательно, переход 1

J->* F соответствует замене £-> —В и

В^Ё.

) [Примечание. Поскольку * (* F) = —F, то оператор * перехода к дуальному тензору обладает такими же алгебраическими свойствами, как и */, поэтому e*aF можно представить в виде Fcosa + * F sina.] Как показано в задаче 4.9, уравнения Максвелла в отсутствие источников имеют вид

Ясно, что преобразование F->*F оставляет эти уравнения инвариантными, т. е. если F — решение уравнений Максвелла, то и * F — также решение уравнений Максвелла. Так как уравнения линейны, то линейная комбинация, например е*ар, должна также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Заказ НО

Решение 4.21. Поскольку при преобразовании

Е т— В,В —> Е

тензор Максвелла F переходит в дуальный тензор * F, то вектор К можно было бы интерпретировать как «ток проводимости магнитного заряда» （взятый со знаком минус）. Заметим, что в силу двойственности отношения F — *F из уравнения V«B = — 4nK° следует существование магнитных монополей.

Решение 4.22. В 4-мерном евклидовом пространстве, описываемом декартовыми координатами 炉（，= 1,…，4）, рассмотрим функцию 6= \l^（^t Дифференцируя ее, можно доказать непо- средственно, что

V2GMy G2G/<5%'2 = 0

всюду, за исключением, быть может, точки %' = 0.

Если ввести сферические координаты в 4-мерном пространстве x& = U cos 匕 г = U sin У （0《U V 8, О W У W п）, О W8《n,0《屮 v2n,

то G = UA Интеграл \V2Gd&尤 нетрудно записать в этих координатах. Если в качестве объема в четырехмерном пространстве выбрать внутренность некоторой гиперсферы U V U09 то интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по 3-мерной гиперсферической поверхности U — Uo:

Л л 2л

J V?G d4x 7 d“ d© § dtp （芻）Vs sin2 У sin ® = — 4#.

U^Uoooo

Следовательно,

V2G = - 4112b （炉）6 （炉）6 （尤3） 6 （冰），

и 6 можно использовать как функцию Грина при решении 4-мерного уравнения Пуассона 7^ = — 4л/（л/）:

口）у е一炉）2 -

Предположим, что функция / каким-то образом определена при мнимых *• Введем новые переменные * = i%4 н 幻=" 口 = =1, 2, 3） и определим функцию S так, чтобы

f^） = S（x^.

Уравнение

?2ф = -4 泌仰）

при этом перейдет в уравнение

□①= — 4nS (炉,х2, х3, О-

Решение этого уравнения дается приведенным выше интегралом. Произведя в нем замену переменных, получаем

①(三9=费/①(三9=费/S (众 В d3f d?Wv(3 一/)(介一炉)S (众 В d3f d?Wv(3 一/)(介一炉)

①(三9=费/

①(三9=费/

S (众 В d3f d?

Wv(3 一/)(介一炉)

S (众 В d3f d?

Wv(3 一/)(介一炉)

где интегрирование по f производится от i оо до ——i8・ Предположим, что функция источников S (х, /) в уравнении Даламбера определена и не имеет полюсов на вещественной оси f при /V 厶 В комплексной плоскости t определим S при помощи аналитического продолжения. Контур интегрирования С выберем так, как

Фиг. ю.Фиг. ю.

Фиг. ю.

Фиг. ю.

показано на фиг. 10, а. Граничные условия определяются тем как должен деформироваться контур С, чтобы охватить вещественную ось, на которой задано распределение источников S (х, f). Полюсы 1/(х^ —х^) (хи —хи) функции S расположены в точках / = /±|х —х|. Запаздывающие граничные условия соответствуют деформации контура С в контур О, изображенный на фиг. 10, 6. В этом нетрудно убедиться, если воспользоваться приведенным выше результатом для решения уравнения

□ 4 = —4叫.

Мы получим следующее выражение:

/ (*)=打 С'/ (*)=打 С'厶(*) “厶(*) “

/ (*)=打 С'

/ (*)=打 С'

厶(*) “

厶(*) “

Интегрируя по 或，преобразуем его к известному решению в виде

запаздывающего интеграла

/|1 (х, ?) d唳

J|iG，?—役一H|)d唬

Поскольку

d (r^j^/dx^v = - 2 炉(%修一2,

то формальное выражение для тензора электромагнитного поля

сводится к следующему:

a" = 2/w中］=元

f%九］@) dG

Решение 4.23. Поскольку проводимость бесконечна, то сила Лоренца, действующая на носитель заряда, должна быть равна нулю и 巨+J х 后=0. Из уравнения Максвелла Е = — V х Е получаем

^=v X (内х方) =一方(年.二) + (瓦%炉一(丁.可反(1)

Если перейти в мгновенную систему покоя жидкости с и = 0, £ = т (собственное время), то величина у =«= 1, ее первые производные обращаются в нуль, d/dt совпадает с д/дх (т. е. конвективная производная и частная производная равны), и поэтому

dBl/dT = — 8电 j + &v\ / = — BW, / + &и1^.

Поскольку «f,/ —проекция тензора ^, v, перпендикулярная вектору и, то Uij можно представить в виде

Ясно, что свертка этого трехмерного тензора 办，,равна С, и, следовательно, производная вектора В по собственному времени имеет

вид

dB^dr == — 8毋 + В/(з" + о"十 ％ g"8)

=- ^B^ + ia^ + a^Bj.

⑵

В правую часть уравнения (2) можно включить любой аддитивный член, пропорциональный пространственной компоненте 4-скорости (обращающейся в нуль в сопутствующей системе отсчета). Запи-

шем уравнение (2) в виде

dB4dx = -|в^ + (о" + о") В, + /и*.(3)

где функция / пока произвольна. Преобразуем теперь уравнение 《2) в тензорное уравнение. Для этого проделаем следующие операции.

Разрешим индексам пробегать значения от 0 до 3 вместо прежних значений от 1 до 3.

Определим 4-вектор Ва соотношением 3°% = 0, потребовав, чтобы в сопутствующей системе отсчета пространственная часть В совпадала с вектором В.

Заменим обычные производные на ковариантные.

Определим функцию f так, чтобы d (В • u)/dT = 0, т. е. чтобы нормировка вектора В осталась неизменной.

Единственное тензорное уравнение, удовлетворяющее требованиям а —г, имеет вид

D&4dr = иаа^В» 4- (МВ + о«₽) Bp—1 дР«₽В₽,(4)

где а — вектор 4-ускорения, а Рар — проекционный оператор, определенный в задаче 5.18. Ясно, что уравнение (4) тензорное и в сопутствующей ортонормированной системе отсчета переходит в уравнения (3) и (1), т. е. верно во всех системах отсчета.

ГЛАВА 5

Решение 5.1.

В системе покоя частиц единственная ненулевая компонента тензора энергии-импульса равна Т^' = р0. Переходя к системе отсчета, движущейся в направлении оси 尤 со скоростью ——§, получаем ненулевые компоненты

T^=p^t т^^^^, T^=popv,

где у = (1 — Р2) 2. В общем случае, если и — 4-скорость частиц^ то Т = рои ® и.

Пусть окружность, по которой происходит движение, лежит в плоскости ку. Рассмотрим сплошную среду с плотностью массы покоя в точке х = 0, у— а, равной р0, движущуюся со скоростью Р =(оа. В п.《а》мы вычислили компоненты тензора энергии-импульса в течке 尤=0, у = а(7°° =卩疗2 и 丁. &)Если мы рассмотрим материальное кольцо, то все точки кольца эквивалентны, поэтому в полярных координатах ненулевые компоненты тензора 仙V имеют вид

Т°° = PoW, 7 而=р°у2В = 7此 Т^ = р°у2 严

Теперь нам необходимо связать р0 с заданным набором частиц. Если предположить, что число частиц ^ достаточно велико, то дискретные частицы можно приближенно считать непрерывна распределенными по кольцу с плотностью р0~6(г — a)6(z). Поскольку полная энергия частиц должна быть равна、Nm, то

Т002лг dr dz = yNm

и

р0 = Nm6 (г — а) 6(2)/2лаК

Полагая x = rcos(p, z/ = rsin q>, запишем полученные результаты в декартовых координатах:

—Psinq)0COS(p0~

_,Nm6 (炉+妈％ — а) 6 (z) 炉 sin" — pasin<pcos<p 0

石5Jp2cos2q)0 *

„.(симметричные элементы)0_

Если имеется еще одно кольцо, вращающееся в противоположном направлении, то тензор энергии-импульса остается таким же, как в п. «б», а знак 0 =(оа изменяется. Сложив оба тензора, мы получим сумму, в которой линейные по 0 члены взаимно уничтожатся, а члены, квадратичные по 0, удвоятся. В полярных координатах ненулевые компоненты тензора энергии-импульса системы двух колец равны

Т。。= т&$/俨=?Nm6 (г — а) 6 ⑶/па.

Решение 52 В решении 5.1 было показано, что для частиц с 4-скоростью и тензор энергии-импульса пропорционален и ® и. Для изотропного множества частиц с u = ?(i, ип) тензор энергии- импульса равен

Т = х (u ® и), х — некоторая постоянная,

•а усреднение произведено по всем ориентациям вектора п. В силу симметрии внедиагональные компоненты при усреднении обращаются в нуль:

TOi = ху2и〈/?〉=0,

『7 = Y乎*(歩力)-0, i声/.

Для вычисления диагональных (пространственных) компонент заметим, что

(пхпх) -〈№ 渺〉=〈紋及〉

я что

(nХnХ) +〈献献〉+(标标)=〈孔2)= 1, в силу чего

〈»»〉— у, Тц = ху2у2/3.

Поскольку известно, что каждая движущаяся частица обладает энергией /ну, то плотность массы-энергии равна

myN = 7°° = %72 (1) = 乂丫2.

Таким образом, х = mN/у и ненулевые компоненты тензора знер・ гии-импульса равны

Т。。= myN. TH = (tn^Nv2/3) №.

Для фотонов с, my-^Av. Для холодной пыли и = 0, поэтому Т00 — mN — единственная ненулевая компонента.

Решение 5.3. В системе покоя элемента жидкости 〃@=»1. “ = 0, поэтому

Т^ = р^¥ + (р+Р)〃也

Поскольку это тензорное уравнение выполняется в системе покоя элемента жидкости, то оно должно быть верным и в любой другой системе.

Решение 54 Пространственные координаты мы всегда можем выбрать так, чтобы диагонализовать 3-мерный тензор энергии- импульса 7% Из соображений симметрии ясно, что из пространственных направлений выделено лишь то, которое совпадает с направлением вектора 瓦 а выбор двух других ортогональных направлений произволен. Если выбрать В — Вег, то = и Тху = Тхг = Т^г = 0. Поскольку в рассматриваемой задаче поле статично и нет переноса энергии, то 頂=0. Плотность энергии магнитного поля Г00 = В2/8л.

Теперь нам необходимо вычислить «давления» Txxt 7产扌,Т石石. Для этого мы рассмотрим ячейку поля с размерами Ах, Ay, Az и представим себе, что она расширяется адиабатически. (При адиабатическом расширении остается постоянным магнитный поток В АхАу, т. е. число «силовых линий» магнитного поля В в объеме.) Энергия поля, заключенного в ячейке, равна

昌=(В2/8л) Ах Ay Az = (В Ах Az/)2 Аг/8л А% Ад.

Зная энергию, нетрудно найти давления

1 應切 Az а (Дх)1 應切 Az а (Дх)=В2/8л = Т",=В2/8л = Т",1 dgДхД^З^Дг)1 dgДхД^З^Дг)82/8л.82/8л.

1 應切 Az а (Дх)

1 應切 Az а (Дх)

=В2/8л = Т",

=В2/8л = Т",

1 dg

ДхД^З^Дг)

1 dg

ДхД^З^Дг)

82/8л.

82/8л.

Таким образом, тензор энергии-импульса имеет вид

Чтобы найти тензор энергии-импульса хаотического поля, выберем набор ортогональных осей и усредним поля В по направлениям xf у и z. Из доказанного выше ясно, что усреднение даст

丄

3

где В —средняя напряженность поля. Выбрав любые другие ортогональные направления, мы получим тот же результат, потому что блок 3x3, стоящий в левом верхнем углу матрицы Т^ (единичная матрица 3x3), инвариантен относительно поворотов. Следовательно, полученный нами результат совпадает с результатом усреднения по всем направлениям.

Решение 5・5・ Поскольку погонная плотность массы стержня равна 卩,то 7°° =卩/А. В системе покоя стержня поток энергии отсутствует, в силу чего Т" = 0. Выберем ось z вдоль оси стержня. Из соображений симметрии (см. задачу 5.4) ясно, что внедиагональные компоненты тензора энергии-импульса Т吗 Тхг9 Т" (напряжения) должны быть равны нулю. Поскольку растяжение действует вдоль оси z, то Т^ = —户//・ В направлениях осей 尤 и у напряжения не приложены (поэтому в направлениях этих осей нет переноса импульса) и Тхх = Т^ = 0.

Решение 5・6・ Предположим, что к веревке приложена сила, бесконечно малая по сравнению с усилием разрыва 尸.Если Л — площадь поперечного сечения, а ось веревки совпадает с осью z, то компоненты тензора Т в системе покоя стержня можно взять из задачи 5.5. Наблюдатель, движущийся со скоростью и = (у, уи), измерит плотность энергии

т0» = 7a 电$6 =(乎//)［卩-尸咽.

Ясно, что наибольший шанс получить отрицательную компоненту 7°'°' имеет наблюдатель, движущийся в направлении оси z со скоростью ”一＞с Чтобы компонента 7°'°' была положительной, слабое условие энергии требует выполнения неравенства 尸 Vji, задающего верхний предел допустимой нагрузки. В физических единицах для хорошего стального троса это соответствует

与＜皆с2Hpe2 = 7 х Ю13 кГ — Вт/мм2,

в то время как реальное усилие разрыва составляет ^200 кГ — Вт/мм2. Расхождение по порядку величины в 10п 5 раз обусловлено тем, что прочность стали определяется в основном энергией молекулярных связей «1 эВ/атом), а не плотностью всей массы, сосредоточенной главным образом в ядрах (〜5 х 1010 эВ).

Решение 5・7・ Пусть Sz — мгновенная система покоя элемента стержня (фиг. 11). В этой системе покоя отличны от нуля лишь компоненты Т°'" = р, Т^ = р. Переходя при помощи преобразования Лоренца в лабораторную систему отсчета, мы найдем следующие ненулевые компоненты:

Т^ = р, 7" = ?%2р, 700 ^ = ^2^

где Р = <л)г и 丫三(1—02)-’％. в сферических координатах отличны от нуля компоненты

Т" = р, Т榔=丫202「"2, 穴屮=?2рр/Г,Т。。= у2P.

Чтобы найти р (г), воспользуемся радиальной компонентой уравнения движения

0 = 7? * н Т〃”+Т^Г^ + Т-[1п (- g)%], г =

=(7"尸)，/产 一 r Sina ^t^

и получим

(р『2), r = r sin2 仆丫202P.

Поскольку вся масса сосредоточена в материальных точках, плот* ность массы можно представить в виде

р = w6 (г — а) 6 (cos ^) [6 (ф —血)+ 6 (屮一со/ — л)]/г2.

Зная р, можно проинтегрировать уравнение движения с границ* ным условием р = 0 при г>а и получить р. После того как эта

будет проделано, компоненты тензора энергии-импульса (в лабораторной системе отсчета, описываемой координатами /, г, С,(р> окажутся равными

m

1 —

S2@2

6(COS ^) [6 3 — @) + 6 (屮一й)/ — л)] X

6 (г—а)

о

о

（06 （r 一а）一

X

о

о

симметричные члены

о

о

(0恥(f - а)

Решение 5.8. Электростатическое поле для движущегося конденсатора остается равным £, поскольку электрическое поле, параллельное направлению движения, не изменяется. Вследствие лоренцевского сокращения зазор между обкладками движущегося конденсатора равен d/丫，где у^(1 — и2) % Следовательно, движущийся конденсатор обладает электростатической энергией

£Md/8ny V £Md/8n.

Давление газа должно быть по абсолютной величине равно (отрицательному) давлению электрического поля Е, т. е. р==£2/8л. В системе покоя конденсатора ненулевые компоненты тензора энергии-импульса газа равны

7°° = р0, Тхх = 7" = Тгг =尸/8冗，

а полная масса покоя конденсатора —

М = £Md/8n + puAd.

Если конденсатор движется, то плотность энергии газа мы получим, произведя преобразование Лоренца:

Tow = ?2(тоо + 炉7**)= ?2 до + 俨户/8几).

Следовательно, полная энергия движущегося конденсатора равна

宮=E2Ad/8ny + y2 (Ро + ₽2^2/8л) Ad/y =

=(YPo + yE2/8冗[l/y2 + P2])』d = у (ро + Е2/8л) Ad — yM.

Решение 59 Для простоты воспользуемся координатами Минковского. Для частиц тензор энергии-импульса равен

тчаст(X)^^m^ufiy^Ui (а) 64[х-xz(Tf)l dq

и, следовательно,

т 雕Г, V = W 恤 J 〃加;(d/己炉)64 [х 一 Xf (叫)]dq・

Дельта-функция зависит только от х —— х〃 поэтому производную S/dxv можно заменить на —д/д^. Поскольку

碎d/d打= d/d£, то

T凿ст,V= —W色，«Г(d/g) 64[x — Xi(T/)] dx{=

=2 /n； J (duildx^ 64 [x — xz (t/)] d%i

(последнее равенство получено интегрированием по частям).

Для i-й частицы

ntidt^l dy = qiF\ (xf)以

Сопоставляя это уравнение с ответом задачи 4.7, находим

Т拨т, V = W % \ 務齿№ [х - X, &)] d(=

Но из задачи 4.15 известно, что

?^ектромаг,产(4Л尸一露,v = 一 №4， поэтому

(Т'част + 7*электр oMar),v = 0.

Решение 5.10, Рассмотрим бесконечно малое число фотонов dM с небольшим разбросом по частоте и положению, движущихся в узком конусе и проходящих за малый интервал времени через, элементарную площадку. По определению

,—d (знергня)

vГ площадь Т'

d (частота) d (время) d [телесный угол] d поперечного

[^сечения J

Не ограничивая общности, будем считать, что узкий конус, ограничивающий телесный угол d (телесный угол), внутри которого движутся фотоны, вытянут вдоль оси z. Тогда

d (энергия) = /rv dN t

d (телесный угол) = dvx dvy — d (px/E) d (p〃E) = dpx dpy/hN29

d (время) = dz/c = dz,

d (площадь поперечного сечения) = dxdz/,

поэтомупоэтомуd (частота) = d (hv)/h = dpg/h9

поэтому

поэтому

dN№承dx dy dz dpx dpy dpz

Плотность частиц в фазовом пространстве dN/d3%d3p лоренц- инвариантна (см. задачу 3.34). Следовательно, и величина /v/v5 также лоренц-инвариантна.

Решение 5JL Введем в системе отсчета, связанной со звездой, для описания 3-мерного пространства 3-мерные сферические координаты. Тогда тензор энергии-импульса излучения будет

иметь вид

/ Г й ф

-1 1 о о-

а(г, 0, <р) = (〃4”)； ； ： ； •

_о о о 0_

Пусть 2 ——вектор (разумеется, изотропный), ведущий из точки пространства-времени, где был испущен фотон, в точку, где он был воспринят наблюдателем. Если в системе отсчета, связанной со звездой, наблюдатель находится от звезды на расстоянии г, то /° = г,严=п /^ = /ф == 0. В точке пространства-времени, в которой фотон достигает наблюдателя, тензор энергии-импульса можно представить в виде

Т = [£/4л(Изв』)4] 2 g 2,

не зависящем от системы отсчета, где изв — 4-скорость звезды, так что при вычислениях в системе отсчета, связанной со звездой, изв • Ь = —г. Зная выражение для тензора энергии-импульса Т, не зависящее от системы отсчета, нетрудно вычислить поток энергии, приходящий к наблюдателю. Пусть п = (0, Й) —пространственноподобный вектор, направленный в системе покоя наблюдателя к видимому положению звезды, так что £ = (/?,——Rn). Поток энергии, измеренный наблюдателем в своей системе покоя, будет равен

^набл к — 7°仇=Инабл Т-П.

Но в этой системе отсчета

』•£ = (% 丫可・俄，一Rk)= —yR(l+UCOS0)

и, кроме того,

' Инабл = — R И '・П = — R, поэтому

fнаб〃 = L/[4й4 (1 + " cos 0产 R2l

Этот же результат можно получить, используя ло^енц-инвариант- ность величины /v/v3 (см. задачу 5,10).

Решение 5.12. Пусть и — 4-скорость частицы, I — изотропный 4-вектор, вдоль которого распространяется излучение. Частица поглощает поток 4-импульса — SA (и ■ £) £, т. е. тензор энергии- импульса излучения равен тензору T = S2*2, умноженному на эффективное сечение частицы и свернутому с ее 4-скоростью (чтобы получить поток в системе покоя частицы). Минус обусловлен сигнатурой ——Н + +• Временная компонента потока импульса в системе покоя частицы равна 5Л (и*Ь) (и £) и совпадает с погло-

щенной энергией, повторно испущенной частицей в виде излучения в своей системе покоя. Таким образом, окончательное изменение 4-импульса равно

^ = *=-S4[(u」)2 + (u.2)2u].(1)

Это соотношение можно рассматривать как уравнение движения для U.

Чтобы решить уравнение (1), положим Wsu-Ь и умножим уравнение скалярно на 2. Тогда

dW/dx=^ — (SA/m) Г8 и, следовательно,

呼= [(2S/硏п) + К『忆(2)

где К — некоторая постоянная. Будем считать теперь W независимой переменной и, произведя в уравнении (1) подстановку dt = — dWm/SAW3, преобразуем его к виду

(3)(3)и —]

(3)

(3)

Это уравнение имеет интегрирующий множитель \/W и легко интегрируется:

爲($u) =古厶⑷

U =- 工规2 +呼 q,(5)

где q —постоянная интегрирования. Из условий и • 1-W и и • и =——1 следует, что q fc= 1 и q• q = 0. Подставляя W из соотношения (2) в (5) и интегрируя, находим

х = + "^Г @ат + КУ% 2 —~ (2ат + К)1/зц + х0,

где a = SA/m. Если постоянную интегрирования выбрать так, чтобы частица начинала двигаться из начала координат в поле излучения параллельно оси х, то

'=丽(2at + 1# 十芯(2at + 1)% -唠

% =急 3 + 1)% - ~ (2at + 1)% —蟲，

g = 0 ■

2 = 0.

(Приведенное решение заимел вовано из книги [10], стр. 116』118・)

Решение 5J3・ Для находящегося на сфере наблюдателя доплеровское смещение спектра излучения абсолютно черного тела будет различным в разных направлениях. Поскольку для интенсивности излучения черного тела справедливо соотношение

/v/v3 = const(6々*/々丁 — I)-1

и величина /v/v3 лоренц-инвариантна, то доплеровское смещение V приведет к изменению эффективной температуры Т^тТ = =То(”/”о)・

Какое доплеровское смещение измеряет сопутствующий наблюдатель, глядящий под углом О к направлению движения? Ответ на этот вопрос, приводимый во многих курсах теории относительности, нетрудно вывести из инвариантов. Пусть и-4-скорость сферы, и0 — 4-скорость системы покоя излучения и р — 4-импульс фотона в системе единиц, в которой 力=1. Тогда

v = - up, v0 = u0 • р и (1-"2)一明三y = _ uu0.

В системе покоя сферы

и = (1, о), Uo =(Y, — Y0, P = (v, V0,

где n — единичный 3-вектор. Единичный пространственноподобный вектор в направлении и равен

/л %、Uo + («O'U)U

(в этом нетрудно убедиться, подставив компоненты, вычисленные в системе покоя сферы). Аналогичным образом вектор(0, Я) инвариантно можно записать в виде

(О.方)=上5吗

поэтому угол испускания фотона в системе отсчета, связанной со сферой, определяется соотношением

cos0 = (0, Я)-(о,面)=cos0 = (0, Я)-(о,面)=Vo—YvузVo—Yvуз

cos0 = (0, Я)-(о,面)=

cos0 = (0, Я)-(о,面)=

Vo—Yvуз

Vo—Yvуз

Для получения последнего результата мы взяли скалярное произведение 4-векторов, записанных в инвариантной форме, и воспользовались тем, что V =——u p и т. д. Разрешив это соотношение относительно v/v0, найдем

Т _ V _1

— — — у(1 十 ucos/'

Наконец, равновесную температуру мы получим, усреднив температуру Т по всем направлениям (Т (д)4/^ (поскольку количество энергии, излучаемой в единицу времени, равно в состоянии

равновесия количеству энергии, поглощаемой в единицу времени, то по закону Стефана — Больцмана оно пропорционально Т4). Таким образом, cos О 1

/工\4f d(CQS0) =1 1「111

\) ya+ucosM 一 f 丽 lK—(r+v)3 J

'/ cos O=—1

ИГравновесн =〈片〉”=(干(1 + 紋/3))乂7v

Решение 5.14. Пусть 〈АЕ〉— среднее количество энергии, теряемой фотоном при столкновениях. Из условий задачи известно, что £7械2《1 и 77；ис2《1 (в системе единиц с k= 1), поэтому в разложении в двойной ряд

〈АЕ〉= тс2 [aj +а2 (£/т) + а3 (Т/т) +

+ 為(尸/加2)+«5 (ЕТ/М)+ae (T2/w2) + ・・ J

необхс;чшо удерживать лишь первые не обращающиеся в нуль Rif. При Т = £ = 0 ничего не происходит, и поэтому аг — 0.

Т = 0, Е=#0 мы имеем обычное комптоновское рассеяние с сечением

dcr/dQ 〜(1 +cos2 й)

и переданной энергией

aе =(尸/,北)(1 - cos й).

Поскольку сечение рассеяния симметрично относительно направления вперед и назад, то член с cos О при усреднении по углам выпадает и

〈АЕ〉= (£2/т), 7 = 0.

Следовательно, а2 = 0 и a4 = 1. При Е = 0, TR0 фотон обладает нулевой энергией и обращается в вакуум, поэтому a3 = ae = 0.

Наконец, нам понадобится коэффициент а5. Рассмотрим мысленно разреженный поток фотонов (излучение абсолютно черного тела) с температурой, равной температуре газа:

d (число фотонов)/й£ = const х E%-elt.

Подставляя в разложение (1)

а】——Oto — a§：= otg ^^ 0, a《—1

и налагая требование теплового равновесия

f <Л£> E2i"dE = 0, о

получаем

0 = (3T//7i) (4Т+авТ),

или а6 = — 4, что позволяет записать соотношение (1) в окончательном виде:

〈£〉= (£2 — 47Е)1тс? +.

Решение 5.Z5. Воспользуемся для доказательства уравнениями движения(Т"[ = 0)и запишем члены с первыми производными в дивергентном виде, а затем по теореме Гаусса преобразуем дивергенции в интегралы по поверхности, равные нулю вне системы. Обращаясь повторно к уравнениям движения, получаем

г°%0=-穴打。=-= TF・

Умножив затем все члены этих равенств на %3, преобразуем их к виду

(%w7吗,0。=炉/(t^)版 =

=(产m%川)师一 2 (月%,”,倒一尸叫/N)收m =

=(Km 炉也阮 一 2 ^Timttn + xlT^trn} 一 274

Члены с первыми производными можно упростить. Например, 力T加"=(力Г吟m一9鹏诟.

Произведя такое упрощение, проинтегрировав по всему пространству и отбросив все дивергенции, которые можно преобразовать в обращающиеся в нуль интегралы по поверхности, получим

•备 J х^тзх = § [0 — 2 (— Т" — ТЧ) -2Т"]d3x=2 j T"d%

Решение 5.16. Пусть v —• времениподобный собственный вектор:

Т • V = av.

Рассмотрим тензор энергии-импульса, измеренный наблюдателем с 4-скоростью u = ±v/|v|. (Знак выберем так, чтобы вектор и был обращен в будущее.) В системе покоя наблюдателя и = (1, б), а вектор потока энергии (взятый со знаком минус) равен

—S = Т • и = ] ； j Т • V = j: I v = au = (a, 0).

Таким образом, пространственная часть потока энергии равна нулю, a a — измеренная наблюдателем плотность энергии (взятая со знаком минус).

Верно и обратное утверждение: если по измерениям наблюдателя, движущегося g 4-скоростью и, пространственная часть потока энергии равна нулю, то —S = Т ■ и = au при некотором a и и — времениподобный собственный вектор тензора энергии- импульса Т.

Решение 3.17.

Если отбросить члены второго порядка по скорости, то для общего преобразования Лоренца получим

А%* = 1, А% ="厶 А”；’ = &7，.

Если Т^ _ компоненты тензора энергии-импульса в системе покоя жидкости, то 7。"' = 0 и

g/ = т。/ = ^Х^Т^ = ^Л/^Т^ + А%А『“『а = =W7V。' 4- /т/’а =炉(7。'『6^ + T『R.

Для идеальной жидкости Т^ = р и Т『* = р&^, поэтому «инерциальная масса, приходящаяся на единицу объема》, равна

m/k — ^k (р+р).

Поскольку

м〃 = &/ \ т。。dx dy dz +，ТЧ dx dy dz,

то необходимо лишь доказать, что второе слагаемое в правой части равно нулю. Заметим, что 3-дивергенция тензора Тм обращается в нуль:

РЪ = Т^-Т/о,о = О-О и

(xkT^ti =臨％ += Т耽

Из теоремы Гаусса следует

,Т" dx % dz = \ 伊 Т")" dx dg dz =, xkT>W dS,

где S — любая поверхность вне напряженного тела, а п —направление внешней нормали к S. Поскольку интеграл по поверхности равен нулю, то утверждение задачи доказано.

Решение 5.18. Нетрудно видеть, что если воспользоваться определениями 2-формы %§ и тензора(0&§, то остается лишь проверить уравнение

^а;p = 〃00；以p乳6 一 仇〃0"

Для этого удобнее всего вспомнить определение Р^. Однако мы изберем другой, более поучительный подход, спроектировав это уравнение на вектор и и на ортогональное ему подпространство (при помощи тензора Р). Заметим, что

u P = 0, Р Р = Р.

Проекции на подпространство, ортогональное вектору и, и на вектор и имеют соответственно следующий вид:

"а;卢％ = U^P^P^y - аа«рР% = иа-^у - 0

и

Ua；^ = U^P^t^ — % 你/ = о + 0a.

Нетрудно проверить, что оба соотношения правильны. Поскольку проекции уравнения на вектор и и на ортогональное ему подпространство не приводят к противоречию, то и само уравнение непротиворечиво.

Решение 5.19. Если жидкость характеризуется плотностью массы-энергии р, давлением Р, температурой Т и энтропией S, то закон сохранения массы-энергии в элементе объема жидкости V можно представить в виде

d(pV) = —PdV + TdSt

где S — энтропия в объеме У. Это соотношение отличается от нерелятивистского закона сохранения лишь тем, что плотность энергии мы заменили плотностью массы-энергии, поскольку в специальной теории относительности масса не сохраняется. Число барионов сохраняется, и поэтому первое начало термодинамики часто записывают через плотность барионов п и энтропию S, приходящуюся на один барион [У = (число барионов/n) исключается]:

d (р/п) = — Pd(l/n) + Tdst или

dp = (р + Р) dn/n + пТds.

Решение 5.20. Для идеальной жидкости

「2 =(Р + р) 〃电” + рс”，

поэтому в системе покоя жидкости нулевая компонента уравнения движения имеет вид

〃卩 Т?” = Т吗 v = V + Pg% + (戶十 P), v«v«° + + (P +p)[吟V公+公;曲"]-0.

Соотношения

g"”；v0, 〃° == 1 И и。# = 〃&〃％v ==(〃&〃“)；v == 0

позволяют преобразовать уравнение к виду

° =-备 Р +等(尸 +Р)+ (Р +Р)d；v.

Если п — плотность барионов в системе покоя жидкости, то вектор потока барионов пи сохраняется. Следовательно, в системе покоя

(nuv)；v = 0 = 〃,v〃v + nuvlv =罂 + nwv；v.

Если для исключения 〃:~ воспользоваться этим соотношением^ то уравнение движения запишется в виде

dp — (Р+р) dn dt — n dt '

Сравнив его с первым началом термодинамики (см. задачу 5.19), получим

ds/dt = 0.

Следовательно, течение жидкости изэнтропическое.

Решение 5.21. Из первого начала термодинамики, записанного для идеальной жидкости (см. задачу 5.20) с уравнением состояния р = р (п), следует

dpр + Р dn

"р"== ~Р поэтому

d In p/d lnn = (p + P)/p.

Таким образом, p > ЗР в том и только в том случае, если dinp/dInn<4/3. Поскольку для идеальной жидкости

?% = (p + р) "也|1+p8% = —(p + р) + 4Р= 3р一p, то утверждение задачи доказано.

Решение 5.22. Предположим, что звуковая волна представляет собой (изэнтропическое) возмущение в однородной статической жидкости с параметрами р0, PQ и п0. Пусть р「^ и пх —— возмущения, a u^(l, tij) — скорость жидкости в системе покоя невозмущенной жидкости. Члены первого порядка по возмущениям в уравнении Т胧”；” = 0 приводят к соотношениям

при |1 = 0V •刁1 =—噜(Ро + Л)尸；

при |i = 1, 2, 3 dvjdt = — V ^^(р,, + Р^, которые можно объединить в уравнение

d2pjd产一 口p]=0.

Поскольку в изэнтропическом потоке Рх и рг связаны соотношением：

Рг = дР/др\5ръ

то выведенное уравнение переходит в волновое уравнение

P1唸уК с характеристической скоростью %вук・

При уравнении состояния р~ЗР

"Зук = dP/dp == %,

поэтому в сильно релятивистском газе у3вУк ^ З'1^.

Решение 5・23・ Из первого начала термодинамики (см. задачу 5.19) при ds = O следует

dn/dp = n/(p + P).

Пользуясь определением показателя адиабаты [工 и выражением для "；вук из задачи 5.21, получаем

唸ук —dP/dp 「巴匆_ = P

Г1 (ndP)/(Pdn) ^" dp 一 p+戸”

Решение 5.24. При нулевой температуре все энергетические состояния в ферми-газе вплоть до уровня Ферми E = Ef заполнены. Поскольку для фермионов существуют два спиновых состояния, то плотность фермионов в фазовом пространстве равна 2/Я3 и

dn/V = (2/h3) d3p,

p =『F (户+加2)% (2/力3) 4冗炉dp,о

P =『f i/3p2(炉+济尸％(2//?) 4np2dp, 0

где Pf —нмпульс, соответствующий энергии Ферми. Как показано в задаче 5.22, ulByK = dP/dpt откуда

2 dP dP/dPF 1 /Pf¥ 1 /加2\

%вук="3^= dp/dPF =不(存丿一毎卜

Заметим, что для сильно релятивистского ферми-газа иЗВук -> 3-1/,.

Решение 3,25, Релятивистское уравнение Бернулли, выражающее сохранение энергии вдоль линий тока идеальной жидкости (задача 14.7), имеет вид

(1-°2)-% =(万％) X const.

[Уравнение Бернулли следует из уравнений TOv, v = 0, (пиц),ц = 0^ и первого начала термодинамики dp/(P+р) = dn/n.] Поскольку газ начинает вытекать из баллона с нулевой скоростью, то const = =(Р0 + р0)/п0. Верхняя граница для п/(Р + р), задающая верхнюю границу "макс для ”, достигается при Рт0 (и, следовательно, p->m/i), откуда

(1-嗚奇%=4(冷).

Попытаемся выразить правую часть этого равенства через а — скорость звука в газе с параметрами Р。, р0, п0. Постоянная К в уравнении состояния Р = КпУ указывает, какой адиабате соответствует состояние газа. Первое начало термодинамики запишем в виде дифференциального уравнения

dp — Kd+pdn — n *

Интегрируя его (с граничным условием рт加几 при /г —0), получаем

р = /ип + —

Скорость звука а определяется уравнением

Q —dp — dp/dn —т-^уКпУ-1/^ — !) *()

а из первого начала термодинамики получаем

中=蜉(馴患)=m宀)(1/畛⑵

Но уравнение (1) содержит ту же самую комбинацию 丫/⑴丫。Следовательно, уравнение (1) можно разрешить относительно

уК几 л = wa2/[l — "/(у — 1)] и получить

]/ Р° + Ро\ = J

浜 \ —^/ — 1—а2/(Т —1) * откуда

嗚аке = 1 一 [1 一 a2/(Y 一 1)]2.

(Заметим, что в пределе сильно релятивистского газа, для которого — % и 淤f %, “с->L)

Решение 5.26. В системе покоя жидкости лишь компоненты тензора энергии-импульса 7犷=7川=卩 связаны с вектором q. Поскольку в системе покоя жидкости и = (1, 0), то соотношение 7邓=〃甲+典«

выполняется в этой системе отсчета и, следовательно, справедливо в любой другой системе отсчета.

Решение 5.27. В системе покоя жидкости

S° (плотность энтропии) = Л5, S」(поток энтропии) = поток тепла/Т = ^/Т.

Поскольку в системе покоя жидкости д° = 0, 〃°=1, то соотно-

шение S = nsu + q/T выполняется в этой и, следовательно, в любой другой системе отсчета.

Решение 5.28. Тензор энергии-импульса рассматриваемой системы удобно записать в виде

т = тжндк + Ттепл = [(Р + р) u ® и + ^] + [q ® u + u ® q].

Запишем уравнение, выражающее сохранение энергии вдоль линии тока:

0 = (V.T)u = (V. Tjkhuk) • u + (V • Ттепл)-и.(1>

В результате несложных преобразований (см. решение 5.20) первое слагаемое в правой части приводится к виду

—dp/dt + (dzi/dT)(Р + p)/n.

Из первого начала термодинамики следует, что это выражение равно ——пТ ds/d% (см. задачу 5.19). Второе слагаемое равно

(V • Ттеп J • U = (q^ + «V)；

Поскольку 9~& = о (поток тепла пространственноподобен в сопутствующей системе отсчета) и »〃&=:—i, то

0 =(9从節):V = g"： V "北+严"禺 v>

0 =(〃也n)；v = 2""； v 〃北

и второе слагаемое сводится к —q a —V q. После всех преобразований уравнение (1) переходит в уравнение

0 = — пТ ds/dx — q • а — V • q.

Наконец, обращаясь к определению 4-вектора потока плотности энтропии S = nsu + q/T, получаем

V.S = sV *(nu) + n(Vs・u)+戸 V・q —戸・q = ds . 1 _ VT • q q • a VT

Второе слагаемое показывает, что, как и в нерелятивистской термодинамике, тепловой поток производит энтропию из-за наличия температурного градиента. Первое слагаемое означает, что поток тепла производит энтропию в направлении 4-вектора ускорения. Этот эффект «красного смещения» возникает по той причине, что в системе, движущейся с ускорением, постоянная температура не характеризует равновесное состояние: частота фоюнов, идущих «спереди», по мере продвижения их «назад» претерпевает смещение к голубому концу спектра, тем самым создается неском- пенсированный поток тепла.

Решение 5.29. Равновесное состояние достигается, когда прекращается производство энтропии, поэтому соотношение

一 q・a = T・q

должно выполняться для любого потока тепла q (см. задачу 5.28). Оно означает, что а = — V In Т. Решение этого уравнения имеет вид

1пТ = — а- х+const, или

Т = Тоехр (—а -х).

Решение 5.30. Поскольку

то члены, соответствующие потоку энергии, отсутствуют. Следовательно, q = 0 и S == nsu. Таким образом, скорость производства энтропии равна

Sa.,a^(nu^ + n^=n^

[второе равенство получено из закона сохранения числа барионов V *(пи) = 0]. Используя первое начало термодинамики

dT n /十"' dT

и закон сохранения барионов

скорость производства энтропии можно представить в виде

S^TO+WP + P)].

Чтобы выразить правую часть через коэффициенты вязкости, возьмем дивергенцию вектора Тариа:

—(р〃°)； 6 = — ^ — Р。= (7%а)； р = 丁邱忆；в・

Величину Тав〃а；в можно вычислить, используя тензор энергии- импульса для вязкой жидкости и разложение для 〃叫由 приведенное в задаче 5.18. Член Та^а^ обращается в нуль вследствие симметрии, а член T^OaU^ — вследствие того, что 7a口以口 〜〃“・ Остается лишь член

Т^иа- р = [р«а«Р + (р-丛)Р^- 2rl 哂[%в +у« %]= =—2no耶。邓 + 9 (р — 2).

[Здесь мы воспользовались легко проверяемыми соотношениями Е = о, Р* = 0, Р№ = 3]・

Итак,

関+ 0俗+p) = 2恤评。+缈.

Подставляя это соотношение в выведенную выше формулу для Sa:a, получаем требуемое выражение.

Решение 5.31. Как известно, проектирование Тар,р на 〃& приводит к уравнению локального закона сохранения энергии. Чтобы получить уравнение движения жидкости, спроектируем тот же тензор на подпространство, ортогональное вектору 出：

О = р^, р = Р% (р, ₽«а«₽+Р〃а, в/+Р〃％В, ₽4-р,рР«Р+ +рРа^,р-2%^- 2叩耶,р - КВ0Р耶-汐,₽Р«₽ -沙尸吗в).

Воспользуемся следующими тождествами:

Р%〃а = 0,

PYM% 9 =炉,0 +炉出出b =炉，6， 户/耶—P叫

Р%尸咪，В =尸% ("a/), 6 = "Y,呼В,尸%0邮=则

PW₽,₽ =。吗В + wWad% =。叱$ - 〃％a, В0ap =

в результате сироектированные уравнения движения примут вид О = (р+р) uI^+p^P^ 一 2 (rpYB + 沙户叫в +

+ 2wY0祁(外+沙2〃工(1)

В нерелятивистском пределе

W〜叫 p =(^(v2), p = 6(l).

Разлагая /-ю компоненту уравнения (1) в ряд и сохраняя лишь члены порядка ©(№), получаем уравнение

0 = p ("厶+ W小"*)+"j一

-[M"九*+ "/ - 4*6必0。m)[+ (扌/m)J (уравнение Навье— Стокса).

Решение 5・32. Для идеального газа Максвелла — Больцмана

Р = МО)

P/2U(T)・(2)

Уравнение (2) тицу, зависит вистской терм<

означает, что энергия, приходящаяся на одну числишь от температуры. Из первого начала реляти- одинамики

Tds = d (p/n) +pd (1/п)=

следует, что

% =⑷

Запишем урав

нение (1) в дифференциальной форме:

""偿)+ ；""=，"元⑸

тогда уравнен)

не (3) примет вид

Tds = ^ + k) dT-^dp(6)

и мы получим

СрП"^" +'==% + '⑺

Показатель ал

щабаты Г)найдем из уравнения (1):

Г|=4^Н =1+条黑(8)

Из уравнения

(3) мы заключаем, что при s = const

dTр 工 Т ,* Т八

e"后=辰i^7% 一 %)^.(9)

Наконец, поде

：тавляя соотношение (9) в (8), находим

Решение <

5.33* Из задачи 5.32 известно, что т=гг=4^Ь

поэтому если

Y = const, то

р = КЕ.

Для адиабатич записать в вн,

еского процесса первое начало термодинамики можно це

dp =吋"'dn = ^ + K〃y т) d/i,

или

京(>W・

Этому дифференциальному уравнению удовлетворяет функция

Р пР пK/lYTY一丁K/lYTY一丁卜 const.卜 const.

Р п

Р п

K/lYT

Y一丁

K/lYT

Y一丁

卜 const.

卜 const.

Но р/п^т при п->0, поэтому

р = тпр = тпt Кп、十戸t Кп、十戸

р = тп

р = тп

t Кп、十戸

t Кп、十戸

Решение 5.34.

Скалярные интегралы мы получим, вычислив скалярные произведения различных комбинаций 〃《 и векторного и тензорного интегралов для JJ и Т^. Например,

呪0р =£ f4np2dp

胪 J exp[(P2 +加2)%/仃一也-e'

где g = 2J + l. Произведя подстановку P=msh%, получим

ОО

=4ng旅 f sM%ch%d%/ П

—胪]exp (6 chy —8)—J''

где ^ = m/kT, Аналогично

P = y 色必V + g"J TUV = ^ ,猊 _^-y d3p =(户+m)亍

8

二 4Jigzn，f sh4 % 以/9)

—麺—J exp (0 ch % —8) —gl 丿

о

и, наконец,

р-зр=-^а="，猊^

—4咤加4 f sh2 %改г

一胪 J exp (В ch у —9) — 8 .('

Из соотношения (2) следует

л — 4喲加4 f sh4x rfx (P Ch % dT/T + d8) exp (§ ch % — 8)叩 n 3胪 )[exp(Bch%-8)-£]2'

Интегрируя по частям, дифференцируя члены sh3xchx и sh%, получаем

, 4冗且加4 1 f dy [(3sh2 %+4sh《％) § dT/T + 3sh2 у ch % d出

P — -3九3 § Jexp (p ch%—— e*

Подставляя вместо интегралов в правую часть их выражения (1) — (3), находим

dp = (р+р) dT/Т + nkTde.(4)

Из определения химического потенциала ц следует

ф = dp/n + dp/n — (р+р) dn/n2 — sdT — 7ds, но

dp = (р+р) dn/n + nTdst поэтому

dp, = dpm — sdT = dp/n — (p+p) dT/(nT) + ^dT/T, Последнее равенство мы получили, выразив s через р. Сравнивая найденное соотношение с (4), имеем

卩=

При е = 0

号 j sh^-BchXd%

7 一 —,

I sh\chxe~^ch4x

но COОО

j sh* x exp (— ₽ ch x) dx = — j sh3 x exp (— P ch x) 4-

CO

+j j sh3%ch%exp(—0ch%)d%.

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, и р = л^Т.

При е = 0 интегралы ⑴一(3) можно выразить через мода фицированные функции Ганкеля, поскольку

ОО

К"(В) =(2п-1)|| § 姒sY”exp (— P ch x)=0

oo

=請二;* j d%sh2"-&ch%eTch%.

Таким образом, при я = 4ngm3e&h-3

р = атКг (Р)/₽а.р — Зр = атК1 (₽)/Ра.

Для р/л точное выражение имеет следующий вид: р/п = /п[К1(р)/К2(р) + 3/р].

Заметам, что Р->оо при 尼7《т. В этом пределе

К“(В)т 匾厂叫 l+%L+..・], поэтому

Поскольку §f 0, Ki (Р)//(2 (Р)->0 при kT ^ т, то р/п -> З^Т. Уф!

Решение 5.35. Из задачи 5.32 известно, что

Y = (% + 尼)/% = 1 + d£//dT * где

U(T) = m 便工(В)/%(Р) + 3/р}, р = m/kT

(см. задачу 5.34).

Это позволяет нам дать точный ответ на вопрос задачи. Заметим, что при 尼7《т

I/ = /71 3kT/2 и у = 5/3, а при kT^m

U = 3论7 и у = 4/3.

ГЛАВА 6

Решение 6J

По аналогии с полярными координатами введем гиперболические координаты

х = vchu, х2 — Z2 = V2,

/ — ush u, 无/f = cth〃・ Тогда

dx3 = (du ch 〃 + duv sh h)2,

df2 = (du sh 〃 + duv ch u)2,(1)

dx2 —山 2 =加一"diA

Разрешив уравнения (1) относительно d〃 и du, получим dv — dxchu — dt sh u, du = tri (dt ch u — dx sh u), откуда для частицы с единичной массой

Для свободно движущейся частицы х = const + -^- t и обе производные dt/dr, d%/dT постоянны, поэтому

儿=С。1^ 一唠黑 + 喋=COnst.

Для вычисления Pv воспользуемся соотношением

一加2 = Р • Р = g^ (Р J + g^ (Р J = (Р J — (Р JW

и получим

P^ = p%/v2 — m2・

Правая часть этого выражения не постоянна, поскольку в общем случае и изменяется вдоль траектории частицы. Можно показать (см. задачу 7.13 или книгу [1], т. 2, стр. 319), что если какой-нибудь коэффициент метрики не зависит от некоторой координаты (в данном случае от и), то соответствующая этой координате компонента ковариантного импульса (в рассматриваемом случае Pw) сохраняется.

Решение 62 Запишем метрику в 4-мерном евклидовом пространстве:

ds2= dxl + dx| + dxl + dxl(1)

и уравнение гиперсферы радиуса R:

炉+渇+ %* + %：=曰・(2)

По аналогии с 3-мерным случаем введем координаты на гиперсфере:

相=R cos а,

x3 = /?sinacos О,

无2 = R sin а sin О cos <р,(3)

Xi = R sin а sin О sin <р.

Уравнение (2) выполняется автоматически. Дифференцируя координаты (3) с постоянным радиусом R и подставляя в (1), получаем метрику гиперсферы.

Решение 6.3. а) Введем на поверхности цилиндра (фиг. 12) координаты х и у:

х =(р, y = atgZ

Метрика сферы в этих координатах имеет следующий вид:

小2 一 04 犷 Mdx?

Сравнивая с метрикой ds2 = dx2 + dy2, нетрудно заметить, что наименьшему искажению подвергается окрестность линии у = 0, т. е. полоса вблизи экватора.

При стереографической проекции (фиг. 13) рассмотрение несколько облегчается, если ввести обычный полярный угол 仆=90° ——X. Пусть (О, ф) —координаты точки на сфере, а (0°,(р0)— сферические координаты спроектированной точки. Ясно, что(р0 =(р. Расстояние от оси до спроектированной точки равно p = 2atg (仆/2), поэтому удобно ввести координаты

х —р cos — 2а tg у cos <р,

y = psin(p = 2atg^-sin ф.

Нетрудно проверить, что

ds2 — a2 (d炉 + sii? о dtp?) = cos《^№炉 + dy2).

Наименьшему искажению подвергается окрестность северного полюса 9 = 6. Описанная нами проекция называется конформной,

поскольку (^5а)сфеРа =§(^2)карТа, где g — некоторая функция [в рассмотренном случае g = cos'(8/2)]. Конформная проекция сохраняет углы (см. задачу 6.7).

Решение 64

Предположим, что мы передвигаемся по поверхности земного шара вдоль некоторой кривой (р =(р(9)・ Стрелка компаса образует а направлением движения угол 屮,определяемый соотношением

tgip = sin9需.(1)

(Угол 屮 измеряется от оси у по часовой стрелке.) На карте мы получим

集=tg(W + ^) = _ 击.⑵

Из соотношений (1) и (2) следует

дх дх dtp

.л dtp dx/d® @9 十 dS

Sin dG = ~dg/d6 и dydy dtp，

d0十0①疝

尊 Sin3 = _^一*黑.(3)

Поскольку соотношение (3) должно выполняться в рассматриваемой точке при любом значении d^jd^, то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях производной d^/d^ в правой и левой частях, получим

45)6)45)6)a勿西=0,д=д(0),dx/dO = 0, х = х (ф),—sin О ду/д'д = дх/д^.

45)6)

45)6)

Из (4) и (5) следует, что левая часть соотношения (6) зависит только от 8, в то время как правая зависит только от ф, поэтому каждая часть этого соотношения должна быть постоянной, которую мы полагаем равной 1. Таким образом, в проекции Меркатора отображение осуществляется по формулам

* =屮，У = — j "^^ =1п 杜且 ^・(7)

Выберем для удобства радиус равным 1. Тогда

ds2 — d0 + sin2 О 加2 = =sin2-О- (dx2 + dy2)= =sech2 у (d炉 + dy2).(8)

Дуги больших кругов являются геодезическими на 2-сфере. Уравнения геодезических решить нетрудно, поскольку известны два первых интеграла. Пусть точка сверху означает дифференцирование d/ds. Тогда соотношение (8) можно записать в виде

sech2 у (产-J- у2) = 1.(9)

Поскольку х —циклическая координата в метрике (8), то gxxx = =const (см. решение 7.13), т. е.

(sech^y)戈=?(10)

Если ни 戈，ни у не обращаются в нуль, то из уравнений (9) и (10) можно исключить параметр s:

\dx J北2ch2 у *I ，

где 入=l/y. Уравнение (11) легко интегрируется, если положить z = shy Решение его имеет вид

shy = asin(% + B),

где 口 =(入2—1)明,а р —еще одна постоянная интегрирования.

8 Заказ 110

Решение 6・6・ Выяснить, трехмерно ли пространство, мы сможем, вычислив 3-объем, натянутый на dxdydz:

dV = g%dx dy dz =

J闺-信)信)-圈债广

=-(4)(4) 1 ~(4)2 -(4)(11) dxdydz = Q.

-(#)(4)-倩Ж1) 1-(畠2

Поскольку объем dV тождественно равен нулю при любых х, у, z, то эти координаты всегда линейно-зависимы. Следовательно, рассматриваемое нами пространство либо 2-мерное, либо 1-мерное. Одну координату, например z, всегда можно отбросить, положив z = const. Такая операция допустима, поскольку z —«циклическая координата», т. е. коэффициенты метрики не зависят от г. После исключения z остается метрика

ds2=用 + 32 一 假_ 〃 + / dy『.

Она действительно 2-мерная, а не 1-мерная, поскольку

Нетрудно найти преобразование координат (например, ортогона лизуя исходную систему по Граму — Шмидту)

± = ^ 備 x + 給)’

приводящее к метрике dsa = dg2 + dxf (простейшего вида). Более искушенный читатель заметит, что исходную метрику можно представить в виде

信，告'勁信，告'勁gaB = 6a6 —乙几，

信，告'勁

信，告'勁

• Эта метрика• Эта метрикагде Va — евклидов единичный вектор

• Эта метрика

• Эта метрика

проектирует 3-мерное евклидово пространство на 2-мерное подпро

странство, ортогональное вектору V, поэтому существование координат & н % в которых исходная метрика вырождается в метрику 2-мерного плоского пространства, очевидно.

Решение 6・6. Пусть А — произвольный вектор. Требуется проверить, ортогональна ли его проекция Р・А вектору и, т. е.

выполняется ли равенство и・Р・А = 0. Производя несложные преобразования, получаем

и • р • А = 〃а (gap + 〃a〃B)ЛР = МаЛа +(Uaua)件力^ = 〃&4a —你力。=0.

Кроме того, нетрудно видеть, что если А и = 0, то Р-А = А, т. е. вектор А при проектировании не изменяется. Если п — единичный пространственноподобный вектор, то

П • Р • А = » (gaB —%砌小==№』a — (*%)件小==几a』。一ЛрЛ^ = 0.

Вектор, ортогональный вектору п, также не изменяется при проектировании. Предположим теперь, что Р —оператор проектирования на подпространство, ортогональное изотропному вектору к, т. е. что к-Р-А — 0 для всех А. Нетрудно видеть, что Р-[- 十 const х к Q к —оператор, проектирующий на то же самое подпространство (к・к = О), поэтому оператор Р не единствен. (Множество операторов, проектирующих на подпространство, ортогональное изотропному вектору, непусто. В этом легко убедиться, поскольку для любого 4-вектора w оператор Р = g — w ® k/k • w осуществляет проектирование на ортогональное подпространство. Но если w — изотропный вектор» то симметричные проекционные операторы не существуют.)

Решение 67 Пусть А и В —два вектора в метрическом пространстве. Ясно, что угол между А и В должен быть каким-то образом связан со скалярным произведением А-В. Кроме того» угол не должен зависеть от длин векторов А и В. Естественнее всего считать мерой угла выражение А-В/(| А| |В |). В евклидовом пространстве оно совпадает с cos 也 Под действием преобразования gc^f/(对)gaB это выражение переходит в следующее:

АВ — gaB^BSgaB 4 aB°

!|A||B|)=出必必 vgpoBPBD% ^[H^^WW

но функции / сокращаются, поэтому новое выражение не отличается от исходного. Изотропные кривые остаются изотропными, поскольку скалярный квадрат касательного вектора, равный нулю до преобразования, после преобразования также равен нулю:

0 = £』=g(x$吋” f f (炉)^v^v = 0.

Решение 6.8. Относительная скорость ds между двумя скоростями V и v + dv (см. задачу 1.3) определяется соотношением

A2 一 (d呼一(％Х疝户心―-(i一吁-，

при ЭТОМ

(и X d£> == u2(d£> — (и • du)2.

Пусть 9 и ф —полярный и азимутальный углы вектора и (т. е. Uz = ucosO, и# = и sin 9 cos 屮，vy= и sin ^ sin ф). Тогда

(d%A = (du)2 + и2 (dO2 + sin2 9 d(p2), и ^dv =yd(v -u) = vdv, откуда

d© = 7rsF + 告(坦 + sir? 9 d^).

Введем «параметр быстроты» u = thy и запишем метрику в виде ds2 = dX2 + sh2 % (do? + sin2 0d屮2).

Заметим, что при малых и в ньютоновском пределе sh%〜％〜и и пространство скоростей, как и следовало ожидать, плоское.

Решение 69 Если бы вместо (О —®з)коэффициент при dX2 был равен sin2,&, то мы получили бы метрику евклидовой 2-сферы. Приведенная в условиях задачи метрика принадлежит «деформированной» аксиально симметричной 2-сфере, возможно, с особенностями при 仆=0, ±1. Поскольку в условии задачи указано значение 8 = 1/2, то область допустимых значений координаты О можно расширить до Ov^VL Значения 0 = 0 и 0=1 требуют более подробного рассмотрения и необходимы для того, чтобы мы могли ■ установить область допустимых значений координаты % При этих экстремальных значениях О метрика периодична по X, поскольку каждый из двух наборов координат (件=0, X — любое значение) и (у = 1, % — любое значение) задает лишь одну точку.

При 0^0 исходная метрика переходит в следующую:

ds2 ^ d1&2 + 02 i炉.

Если эта вырожденная метрика периодична по X с периодом Р, то длина окружности надлежащим образом проведенного малого круга радиуса АО равна

§(А0) d% = (A”P

Чтобы отсекаемая плоскостью круга «шапочка» не содержала конической особенности, длина окружности должна быть равна 2лД0, т. е. Р = 2л. Но если перейти к 0~ 1, то метрика выродится в метрику

ds2 ~d02 + (仆一 1)2 ⑵2 故2

и условие отсутствия конической особенности будет иметь вид

，2 (Л^) dX = 2л (Л^); О

из него следует, что Р = л. Таким образом, либо Р = 2л и коническая особенность расположена в точке с 0=1, либо Р = л н коническая особенность расположена в точке 0 = 6. Таким образом, многообразие, локально заданное метрикой

ds2 = dO2+(O — O3)^ 咨

допускает два различных глобальных расширения. (Эту задачу предложил Джильберт Миллер.)

Решение 6J0. Геометрический объект обладает той или иной группой симметрии, если его вид не изменяется под действием преобразований группы. Если ^ — бесконечно малое возмущение, то, как нетрудно показать, под действием бесконечно малого преобразования координат %'貝=尤从4-自从 метрика получит приращение

6g|TV = gp/V (%) — §M-V (%) = — gppEP , V — gpvE°,从—^M-V, pF⑴

(см. задачу 13.12). Если метрика сферически симметрична и возмущение вызвано действием группы вращений, то 8gl^ должно обращаться в нуль. Воспользуемся частной реализацией группы вращений на генераторах

自。=0, ^ = 8^,(2)

где £〃• =——df —трн произвольные бесконечно малые постоянные. Подставляя выражения (2) генераторов 自从 в (1) и приравнивая bg^v нулю, получаем

при p, = v = O

goo"£“N = O, или goo,ixf = goojxi, и, следовательно,

goo=goo(x°,产)，

A2 三(%1)2 + (炉产 +(X3)2;за)

при 也=0, v т^О

go声" + g%£%==0,(36)

统尸1\(产，x。)巩‘丿

где Гх — произвольная функция;

при n，0, v=#0

(Зв>(Зв>gik&k,+gifili+gy, filkxh = 0,g“ = I\(戸，Х°)6" + Гз(г2, Х^Х1Х),

(Зв>

(Зв>

где Г2 и Г3 — произвольные функции.

Из соотношений (2) нетрудно видеть, что приведенная выше- система координат (х°, %工,х2, х3) «декартовоподобна». Однако теоретико-групповое определение сферической симметрии не зависит от выбора системы координат, и для того, чтобы найти метрический тензор а* в любой другой системе координат, необходимо лишь подвергнуть метрику, заданную соотношениями (3)» обычным преобразованиям.

ГЛАВА 7

Решение 7,L Пусть заданный базис е^， преобразован так, что еи/ = LP^. Тогда

庐=「7 煦т，= ^（L^p/ex）（厶%4）= ^^^^af^ ^

=厶%，（厶%，分小 + L^T^eJ =

=L'b，（L^a*,xLT 以+ 厶% 厶丁 Y户m*,）

吃 следовательно,

Если бы коэффициенты связности преобразовывались как тензоры, то второе слагаемое в правой части отсутствовало бы.

Решение 72

Рассмотрим сначала линию 9 = 0, r — s, где s — аффинный параметр （длина дуги）. Из уравнения геодезической

0;出/〃2 + 4〃 = 0 получаем

『〃 = Г% = 0・

Для нерадиальных линий запишем уравнение геодезических, используя 8 как новый неаффинный параметр:

"5^"十硒両■而十-JF而丄a6 = U.（1）

Уравнение прямой общего положения имеет вид

rcos （О —а） = &,（2）

где а и R9 — произвольные постоянные. Из этого уравнения и соотношения ds =dr2 + r2d^2 получаем

ds/dOnRo/cosW,

где 2 = 9 —а, откуда в свою очередь следует

需/借'Y = _ 2tg心

Уравнение геодезических можно записать в виде

(3}(3}RF —2 tg 屮而 + 而而 r%B = O.

(3}

(3}

Рассмотрим на геодезической точку 0 = а (т. е.屮=0) и г = /?0. В этой точке уравнение (3) вырождается в более простое уравнение

d2# ru n

■^Г +「％ 仆=。，

из которого мы находим

「喰=0

и [используя уравнение прямой (2)]

r& =一九

Поскольку значения а и /?0 произвольные, полученные выражения для коэффициентов связности остаются справедливыми и в общем случае.

Наконец, рассмотрим произвольную точку на кривой и запишем уравнение геодезической во всей его красе, испол ьзуя уже известные коэффициенты связности Г. Компонента * = г этого уравнения позволит нам получить

Ггг^= 1/Г.

Из уравнения окружности г2 = х2+у2 и соотношения ctgO = %/y получаем матрицу преобразования

, 「cos О sin О

厶“ u = —sin 仆 cos 0

и обратную ей матрицу

^ = г §' = О

u 「cos 仆一г sin У

sin 令 r cos О

(Первую строку обратной матрицы мы получили, например, взяв дифференциал от x = r cos -0- =^dx = dr cos -0- — г sin ^d^.)

Коэффициенты связности Г (см. задачу 7.1) преобразуются по

закону

ra；v =片厶看厶”"丁 + ^L^^

Поскольку в декартовых координатах rpgv = 0, то вклад дает лишь второе слагаемое. Продифференцировав и умножив соответствующие матрицы, мы получим коэффициенты связности в полярных координатах.

Воспользуемся тем, что

4凯=4•产（g“M Y +g“Y，В -g6Y，J

Для метрики ds2 = dr2 + гЧ'д2 от нуля отлична лишь производная goo, г = 2г. Следовательно, коэффициенты связности ^仪^丫 не обращаются в нуль лишь в том случае, если два индекса равны 也 а один индекс равен г:

?30=g"（一g"g^，, = 一Г»

= g°" （4"g 仆仇 г） = у-

Решение 73

Уравнение геодезических имеет вид

嘗+^偿）』,鴉+ 2Г%闺圈"

Используя результаты, полученные в решении 7.2, получаем d2r / d® \2

丝+也） = 0.

ds2 ' r \ ds J \ ds /

Поскольку из метрики следует, что

（d〃ds）2 + г2 （dO/由产=1, то

芻=却嘿］"需+ 2倘偿ь"［需 T備）（黑）］=。，

и, таким образом,

Ro 三 r2 右=const.

Из найденного в п.《а» первого интеграла получаем （為患倘；L

Подставляя d^/ds = RQ/rz （/?0 —некоторая постоянная）, приходим к уравнению

（鼾/R.

Поскольку уравнение прямой （фиг. 14） имеет вид

r = 〃cos（O —а）.

ТО

dr — sin (О — a),7F = cose (S — a)厶，(黑)"十八=D [-券器^ + COS2号二a)]=

—cos4 (C — a) —'

Таким образом, все прямые удовлетворяют уравнению геодези* ческих.

Решение 74* Отличны от нуля лишь производные метриче* ского тензора g%#,/ =——g”，f = — 2//3. Следовательно, в нуль не обращаются лишь коэффициенты связности

Ffff = 1//S, гxxt ~ ^xtx = — Ff## = — 1/热

Чтобы найти геодезические, проще всего воспользоваться их определением как кривых экстремальной длины. Пусть %(/)— геодезическая. Тогда (точка означает дифференцирование d/dty

0 = 6 § (ds2)，/* = 6 J (!-?)*/> А.

Уравнение Эйлера — Лагранжа для отыскания этого экстремума имеет вид

修£—1 = 0.

或L(l一a户」

Оно легко решается, если положить thOw^:

——=const, откуда

(X -X0尸=片十炉.

Таким образом, геодезическими служат гиперболы, асимптотически стремящиеся к световому конусу (фиг. 15).

Решение 7.5* Вычислим ga^ v в координатном репере:

§ар; V = gap, у — §арГ°ау —且^仃戸断—н gaB，y 2「俾а) у =

—gap, V — gaB，Y н 0・

Решение 7.6. В координатном репере

「"啾=彳(gav,入 + gal, v — gvk, a)^06*(D

Если метрика диагональна, то индекс а должен быть равен индексу |л. Но поскольку 卩力旷三入，то в (1) все члены в круглых скобках обращаются в нуль.

Полагая в (1) v = X, находим

п y(g叫A+ 8如儿一g*. a)内"， откуда

Гци = — 3 g4 aS^ = 一 彳 gj a (g|ia 尸=一彳(且班尸 gAA,炉

Здесь мы дважды воспользовались диагональностью метрики [т. е. тем, чтом=g^尸].

Г^цЛ = у feov. х + gaXf Н — gja, a) (ffixa)"1 =

=у值叩尸依叩，仆口 ^|г О11 (I gnu M))・

Полагая в n・ «в» 九=也,получаем

「%=备(出(隔广峭・

Решение 7.7.

gaB，Y n ▽、(еа • Ср) = (Vy%) *ер 4"еа ' (^vep)= Г%^ • ер +「％丫小• еа =

=Г* рау + Г*а^у.

gd = 6J, гац,^Р+г«цгЦр,7 = 0. дацё^% = — ga“, vg"'・

QB, Y = — g^,^^1 = — (「如丫 + P|UY)g^BgAa =

(Здесь мы воспользовались результатом, полученным в п.《а».) г) Для любой матрицы ||^ар |

(In det II gap |l),a = Sp |l gaB 尸 II g“v, a ll, поэтому

(lng),a = Q'Vguv,a

И

腎=^v,a.

Наконец, используя соотношение, доказанное в п. «6》, получаем

g,a = gE"girv, а = — 8§iivg^V, a*

В координатном репере

F%B = 4•炉v (gva, В +gv§, a — gaB, v),

а поскольку два последних члена компенсируются, то raa₽=4-^va,₽.

Заменяя сумму в правой части на g,“g (см. соотношение, выведенное в п. «г»), находим

r°W = у^р^=у(ln I ^\h =(ln I ^ Г/2),р-

guvp^n—g0c% —「%8卜= (полагая в п. «в» § = ? и суммируя)

=—U% —(ln|g| %),收』(по доказанному в п. «д» =—U* V — (In I g ГОл^ = (заменяя немые индексы) 二-8%一依"匕8”依1-乂=

=一矗(产5'%・

Ж）也".。+ 邛建="。+赤（@%）,。染=（3 2

занному в п. «д»）

=蟲（@"也.

Аа^^ = Ла^>р + Г^А^ — Г\рЛхр =

= 矗（""，厂5/■

/% =4% +「%脚 +г%43 =

=4吸Р +「%4呻+ 苏（WГ/DM"= = ^H«₽|gR.p + ra^.

Но в координатном репере Га11р = Га（цр）, поэтому если Л^=Л^М, то последний член обращается в нуль и

4% =許;（@%4吗『к） OS = （S,ag吗0 =矗（I g MS,aga%.

（Здесь мы воспользовались соотношением, доказанным в п. «ж».）

Решение 7・8. При преобразовании координат тензор А^ переходит в тензор

где J = det （д^!дх^） — якобиан преобразования, а верхний индекс Т означает транспонированную матрицу. Мы хотим, чтобы ковариантная производная Л;а преобразовывалась как векторный аналог закона преобразования величины Л （называемой «плотностью веса 2»）, Поскольку ковариантная производная Л：а должна быть линейна по Л, то

4a = 4a + Ka4

где Ка — неопределенные коэффициенты. Найти их мы можем, потребовав, чтобы определитель метрического тензора g имел

нулевую ковариантную производную:

。=g;a = g,a + Kdg = 2§ГРра + Kag

(последнее равенство следует из задачи 7.7). Тогда

Ка = -2Г&.

Обобщение для плотностей веса W (приобретающих под действием преобразования координат множитель Jw) можно получить, рассматривая степени определителя g* Оно имеет вид

偌=一呼г餐.

Решение 7.9・ Геодезическая с касательным вектором и пространственноподобна ,изотропна или времениподобна в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен скалярный квадрат и * и. Но и и сохраняется вдоль геодезической, поскольку уравнение геодезической можно представить в виде Vuu —0, и поэтому

Vu (U'U)=2u-Vuu = 0.

Решение 7・Ю. Длина дуги равна интегралу

Чтобы экстремизировать ее, вычислим вариацию 6，ds = 0・ Из уравнений Эйлера — Лагранжа следует

备(ga₽«a) = 4 g“, P«a«V(О

(при выводе уравнения (1) мы использовали соотношение

{ —R丿

и ввели обозначение三方-)・ Поскольку

石鱼邮〃)=gaB k + k gaM V«° = gaB 右 + ^Uaga^t v,

уравнение (1) преобразуется к виду

&аВ 筈 +«a«V(gaP.V-Tgav.P)= O-⑵

Пользуясь тем, что

^g^, Y = 〃〜Y • 1 (gg Y +ge a)，

и умножая уравнение (2) на 卢，получаем

4^" + 4"d*(gaB, у +gyB, a — gay, 0)〃％丫 =

k + Fg丁丁 =0・(3)

Решение 7・〃・ Определим новую параметризацию кривой функциональным соотношением s = f(A). Тогда производные по s и X будут связаны между собой следующим образом:

d% / 曲， 曲？/ ds F ds% • I 丿 где f』df/d%. В новой параметризации уравнение геодезических запишется в виде

^ . Г dQ m 犷 dxv _

k +产丁+l Pv-dT-dT-0- (2)

Уравнение (2) имело бы «стандартную форму» (а параметр s был бы аффинным), если бы не второй член в левой части. Следовательно, чтобы параметр s был аффинным, вторая производная /" должна быть равна 0, т. е. зависимость между паваметрами s и X должна быть линейной.

Решение 7.12. Компоненты выражения Vpp можно представить в виде

В плоском пространстве-времени всегда можно найти глобальную систему координат (координаты Минковского), в которой все символы Кристоффеля равны нулю. Пользуясь соотношениями (1), закон сохранения 4-импульса (dp/dt = 0) в этой системе координат можно записать в виде

VPp = 0,(2)

но уравнение (2) — тензорное и поэтому должно давать правильное выражение для закона сохранения импульса в любой системе координат. Для частиц с массой вектор импульса пропорционален 4-скорости. Для таких частиц р・р = — /и2, и поэтому геодезические в ремен и подобны.

Решение 7J3・ Пусть X —аффинный параметр, так что ра = =dx°/dA・ Тогда для движения частицы по геодезической имеем

о = (VpP) • q = pl； ара =嚮-р尸al叫

и поэтому

■^ — Р°Р叮(gi = pep。2~gg, 1 = 0.

Решение 7J4. Примем за исходное уравнение геодезических

訴+ 1 BY衣丽=U・

Переходя от аффинного параметра X к координатному времени £ и используя соотношение

0 =成2 + (金了/goo) d/d/,(1)

получаем уравнение

毋遂丄「 d/d/ 「 g^d/d/ . d2f/d” dd ng^而"十丄两/"2"-1/00瀛毎z’+ 価価浴幻*毎：=9

Комбинируя его с временной частью уравнения геодезических

(d2f/“2) —dX^/dt

就/d%)2 =—4

и выражая коэффициенты связности Г через компоненты метрического тензора, преобразуем новое уравнение к виду

d2%* j 1 / I、dxk d%‘ с,с、

紡厶不" +彳(力+ Y亿* - Y牝，力不NF = °，⑵

где yfk = — gjk/g^' Уравнение (2) представляет собой не что иное, как уравнение геодезических с аффинным параметром t на 3-мерном многообразии с метрикой 紡百.Из соотношения (1) ясно, что экстремум функционала ，dt достигается на решениях уравнения (2). Следовательно, принцип Ферма (в обобщенном варианте) выполняется. [См. также Moller С,, The Theory of Relativity (Oxford University Press, 2nd ed., 1972), p. 308.]

Решение 7J5.

а、Геодезическая — это путь между двумя достаточно близкими точками пространства скоростей с минимальной длиной дуги. Но длина дуги в пространстве скоростей представляет собой не что иное, как абсолютную величину небольшого изменения скорости. Поскольку при работе двигателей, необходимой для изменения скорости, ракета расходуег топливо монотонно, то геодезические в пространстве скоростей являются кривыми, вдоль которых расход топлива минимален.

Необходимо найти геодезическую в пространстве скоростей, соединяющую точки V1H У2. Разумеется, можно было бы написать уравнение геодезических для метрики из задачи 6.8, но

такое решение весьма громоздко. Более простое решение мы получим, если воспользуемся соображениями симметрии и заметим, что геодезическая, проходящая через начало координат в пространстве скоростей, имеет вид ^ = q)= const, % = s (где s —— аффинный параметр). Чтобы получить геодезическую более общего положения, рассмотрим эту геодезическую из движущейся системы координат. Поскольку x = Arth V —монотонная функция параметра р = " [где 丫三(1 — Н)-“], то на геодезической можно ввести неаффиннкй параметр p(s). При такой параметризации у = (1 +р2)1/а, и если мы выберем геодезическую в направлении оси х, то

u = W+p2»，Р, о, 0], — OOVPV + 8.

Буст в направлении оси х лишь отображает геодезическую на себя, поэтому необходимо только найти преобразование геодезической под действием буста в перпендикулярном направлении, например в направлении оси у. Под действием буста на величину 卩 в направлении оси у 4-скорость и переходит в 4-скорость

u' = [Y'(i+p2)k р, (1+р2»УВ, 0], (1)

где у = (1 一炉)-%.

4-скорость и' в уравнении (1) можно выразить через соответствующую 3-скорость '

Е/(1 - V2)*/B=pn + (1 +р2)%у§徳 (2)

где п и m — ортогональные единичные векторы, с которыми можно обращаться как с векторами в обычном координатном пространстве. Разрешив соотношение (2) относительно V2, запишем его в виде

Это— уравнение геодезической общего положения в пространстве скоростей. Стоит лишь задать значение 卩(|0|vD н выбрать два ортогональных единичных вектора 元 н7, как мы получим геодезическую, параметризованную переменной р (—oovpV V + 8). Из уравнения (3) видно, что геодезическая общего поло жения в пространстве скоростей представляет собой «прямую» (это отнюдь не свидетельствует о том, что пространство скоростей плоское!).

Могут представиться 2 различных случая (фиг. 16). В случае 1 (либо угол OVyV^ либо угол OV2Vl тупой) наименьшее расстояние между геодезической (прямой), проходящей через Vt и V2, и началом координат О равно либо | Vr |, либо | V2|. В случае 2 (оба угла OVyVг и OV^t острые) наименьшее расстояние между геодезической и началом координат О, как еле-

Фиг. 16.

Решение 7・/・ Вектор А подвергается параллельному переносу вдоль координатной линии 中(т. е， 3 = const), поэтому

0=Л«:ф = Ла,Ф + ГвРфЯР(1)

Поскольку отличны от нуля лишь символы Кристоффеля Г%ф = —sin^cos^ и Гфоф = ^^, то из уравнения (1) получаем

— sin 3 cos 34, = 0,(2)

力.①+ ctg®｛仆=0.(3>

В этой задаче координата 3 остается постоянной (равной 3J. Уравнения (2) и (3) легко решаются. Например, дифференцируя уравнение (2) по <р, находим

力1(₽(₽ = sin 3 cos йДф(ф =——cos2 ^Д°, откуда

Л° = а cos((p cos 8) + 0 sin (<р cos 3), где а и р — постоянные. Из уравнения (2) получаем Лф = — a sin (ф cos ^)/sin ^ + Р cos (ф cos ^)/sin 也 При <p = 0 вектор А совпадает с ей> т. е. Д^= 1, Дф = 0. Следо-

вательно, а= 1, р==0 и

46 = cos((p cos 8),

А^ = — sin (<р cos ^)/sin 3.

При 屮=2冗(после переноса по окружности) вектор А переходит в вектор

А = cos (2л cos 3) % — sin (2л cos ^)/sin 3% =# %, но величина его остается неизменной:

(А • А)2Я = cos2 (2л cos 3) е#-е^>++ sin2 (2л cos ^)/sin2 Ое, • еф = 1 = (А • А)о.

Решение 7.17.

"и (Лар) = "и (еа * ®В)= ("и%) * ®В + ®а，(”(1野)— =40V弱• еэ + 力6丫％ • еа = Лар + 46a.

Тензор А должен быть антисимметричным.

В этом случае закон переноса удобно записать в виде

▽и% = Ларер — (ДуРер ® Су) • ва = — Q • еа,(1)

где Q°y == 4°y ——4-мерный аналог 3-мерной антисимметричной матрицы поворота.

Поскольку вектор и —е0 выделен, разложим Q по и и ортогонально U：

QQB =匕。以6 -我电B+ 3吗(2)

где ①耶工—①吗 3耶〃6 = 0, а компонента 严 еще не определена. Не ограничивая общности, можно считать, что v-и = 0. Из уравнения (1) получаем

где а —4-ускорение наблюдателя. Но из уравнения (2) следует

поэтому v = a и

Q = a®u —и®а + ®.

Тензор (оар обладает лишь тремя независимыми компонентами и является пространственным, поскольку ® и~0. Следовательно, тензор(оар представляет собой чисто пространственный поворот базисных векторов и обращается в нуль, если пространственные векторы остаются неподвижными.

Часто три независимые компоненты тензора ①邮 объединяют в вектор угловой скорости(о (ю-и = 0). Вектор о и тензор 3。° связаны соотношением

(0邱=£a耿%%(Og COa = 一 у 6aM°咻€0卜.

Заметим, что для не вращающейся в пространстве системы координат ((о —0) справедливо соотношение

Vuea = (u ® а — а ® и) • ea.

Любой вектор ва, удовлетворяющий этому соотношению, называется перенесенным по Ферми —Уокеру.

Решение 7・/8・ Пусть х и у— два произвольно выбранных вектора. Подвергнем их переносу Ферми— Уокера

Vux = (u ® а — а ® u) x,

Vuy = (u ® а —а ® u)-y,

где и —касательный вектор к кривой ^, а а — Vuu. Пользуясь правилом дифференцирования скалярного произведения, вычислим изменение скалярного произведения х у вдоль кривой &:

Yu(X • у) = (VuX) -y + x-(Vuy)=

=(а • х) (и • у) - (а • у) (и • х) + (и • х) (а • у) - (а • х) (и • у) = 0.

Следовательно, скалярное произведение любых двух векторов инвариантно относительно переноса Ферми — Уокера.

Решение 7.19. Дифференциальное уравнение переноса Ферми— Уокера имеет вид

Vux = (u ® а —а ® u)-x,

где и — касательный вектор к кривой, а а = Vuu ^Du/dr. Если кривая геодезическая, то она удовлетворяет уравнению геодезических Vuu = 0, и поэтому при переносе Ферми — Уокера любой вектор х преобразуется по закону

Vux = 0,

т. е. перенос Ферми — Уокера вдоль геодезической совпадает с параллельным переносом.

Решение 7.20*

Ua. ₽Wa = (/«； ^UWa = (VtJU). U.

Р/иВ — и%产= VuV — VvU三[U, V].

Ta3.^V^lJy = V*(VuT) - W.

r)唆叩в；戸=睽;в "В;戸)=V(Vuv)W.

Объединяя в выражении, приведенном в условиях задачи,, два первых члена, получаем

mv^Y)：VuW].

Решение 7・27・ Траектории световых лучей можно получить из уравнений Максвелла FQB；b = O в пределе геометрической оптики. С помощью тождества из задачи 7.7(1) эти уравнения, можно представить в виде

，W%“(-g)‘％=o.

Используя пространственно-изотропную диагональную форму метрики и замечая, что Ei^=FQh Bk = ^Ри, преобразуем уравнения к виду

▽ •(еЕ) = 0,

V х (^В) = д (е£)/Й,

где £ =卩=(//§00)1/а. Следовательно, свет распространяется так, как если бы среда обладала эффективным показателем преломления

« =(叩)-% = (goo/疗/*.

Решение 7.22. Для определенности рассмотрим сначала ньютоновский случай. Пусть 尸(и, /г) — вероятность того, что, скорость космического корабля после п импульсных включений двигателей равна и. Выведем для 尸 дифференциальное уравнение. Для этого заметим, что если после n-го включения двигателей космический корабль удалось разогнать до скорости и, то после- (п— 1)-го включения его скорость должна находиться в пространстве скоростей на расстоянии Дп от скорости и. Из соображений симметрии ясно, что все точки сферы радиуса Аи, описанной вокруг и, должны давать одинаковый вклад в Р (и, п), поэтому 尸(и, л) можно приравнять изотропно усредненной по сфере вероятности Р после (п — 1)-го включения двигателей:

Р® n) = {P (^+Af, 〃一1)〉сфера =

=石[Р (и + Аие*, п — 1) + Р (и + Auq, п — 1) + Р® + Аи&,几一1)+ + Р@—Аи鼠，/г—1) + 尸(и — Auq, /г—1) + 尸® —Au«z, m—1)]~ ~P(7, n— l) + (Ay)2 V2P/6. (1)

Следовательно,尸 удовлетворяет дифференциальному уравнению

⑵⑵合等ер

⑵

⑵

дп 6

т. е. обычному уравнению диффузии. Решение этого уравнения, с начальным условием Р (у, 0) = 63(и) имеет вид

⑶，⑶，尸位")=(4门)-* (必02/6)j exp (訐駕).

⑶，

⑶，

Те же самые рассуждения применимы и в случае релятивистской задачи, за исключением того, что сложение скоростей перестает быть линейным: при сложении скоростей приходится обращаться к более сложным релятивистским формулам. Но поскольку Аи《％ в системе отсчета, мгновенно сопутствующей космическому кораблю, собственную скорость А。можно расе матривать как (линейную) аддитивную добавку. Это означает, что в пространстве ■скоростей локально выполняется уравнение диффузии (2). Необходимо лишь учесть, что глобальная метрика релятивистского пространства скоростей отлична от метрики нерелятивистского пространства скоростей. Для этого оператор V3 в уравнении (2) следует понимать как лапласиан в искривленном пространстве скоростей с метрикой (см. задачу 6.8):

^Усобств = d 嗽 + sha 屮(d 而 + sir?仆 d 呢)，(4)

где 屮— параметр быстроты, т. е. thi|)m|不|. Соотношение [см. задачу 7・7(к)>

P;a；a = g"廿产「/.а(5)

я то, что вследствие сферической симметрии

дР дР п позволяет нам записать уравнение

祭=学陽謁仲叫给].(6)

Нетрудно проверить, что его решением служит распределение вероятности

P(v, 也) = (4#)-/"6-"一*為e-(断/4力，(7)

где t = n^v2/6. Оно согласуется с ньютоновским решением (3) яри f《l, 2《1 (на отношение г|)3/4/ никаких ограничений не налагается).

Вероятность того, что значение параметра 电 заключено между 屯 也 W + dx|)[в метрике пространства скоростей (4)], равна 4nsh2x|)P d^ В пределе при f》l, 2> 1 она обладает асимптотикой

«^ 〜(4л)-'А <^■岷/м т+2 — (4冗)一％ ^-г"-小-凯

Существенна лишь экспонента. Из нее следует, что г|)имеет математическое ожидание〈屮〉2 2f и дисперсию А* 〜/2/, поэтому lim Д^/<^> ж0. С увеличением числа включений средняя быстрота f — 8

抬〉возрастает линейно, но среднее приращение скорости за одно

включение составляет До2/3. Трезвый астронавт при каждом включении двигателей увеличивает быстроту на Ду, т. е. в Зс/Аи раза. Удивительно, что пьяный астронавт все же может разогнать- свои корабль до релятивистских скоростей (в ньютоновском случае скорость или быстрота возрастает лишь как 〃*府,а не как п). Причина этого кроется в свойствах преобразований Лоренца: если удаляющийся от вас наблюдатель стреляет, целясь наугад, то вам будет казаться, будто некоторым направлениям он отдает предпочтение перед другими (эффект «фары»).

Решение 7.23.

Если гиперповерхности заданы уравнениями / — const, то k ~ ▽厶施=ЛДц

и, следовательно,

^ц; V = Л, vf, Ц + Л/г Ц； v>⑴

財国滤入]=Л, [v/,让九£ xj + Л2Д [ц； v/, %】•(2)'

Ясно, что первое слагаемое в правой части соотношения (2) равно- нулю. Второе слагаемое также равно нулю, поскольку Д^； v == /, v； ц* Обратное утверждение (о том, что из условия 瓦闺 v也同上 6 следует гиперповерхностная ортогональность векторного поля к) называется теоремой Фробениуса.

Из соотношения (1) видно, что дополнительное условие* 財国 vi=0 эквивалентно существованию такой скалярной функции/» для которой к = V/.

Решение 7.24* Пусть к —вектор, касательный к конгруэнции изотропных кривых. Поскольку вектор к гиперповерхностно ортогонален, то

^а = Л/(а,

где / и Л — некоторые скалярные функции (см. задачу 7.23)尸 а поскольку к — изотропный вектор, то

f,Ja = 0・

Из этих двух соотношений получаем

Ах; 6々° =(色 р/, а + Л/, а； р) Л/* 久

А а; В户 6 = /, в； J 6 = } (/,步可;％ == Ои, следовательно,儿;曲В=(九,В尸0) Aх.

Тем самым уравнение геодезических Vkk~k удовлетворено. Если 砍=盘。/曲，то можно ввести аффинный параметр *=*(%) и.

записать это уравнение в обычном виде: 屮=0,

где fea = dxa/dV.

Решение 7,25. Запишем уравнение Эйлера — Лагранжа в общем виде:

° _d^F dy ду . dF Г d f dt/ ду \]

—dy2 ~ds 存十 dg [ds \ dH 一 dx /J*

Поскольку dy/ds = 0 (s — аффинный параметр) и dF/dy 耍 0, то это уравнение совпадает с уравнением Эйлера — Лагранжа для Ъ^у ds = Q,

ГЛАВА 8

Решение 8.1.

Ключевые соотношения:

〈蹈，d/dx"曰 薛• д)д^ = 6“節(d/d%a), (й/дх₽)=^ар и 欲《.翁=q比 Ответы:

0, goi, g叫 g吗

Вектор gia 0/@*а 三 gi& соответствует 眩，поскольку для любого вектора v

V • gia% =。呢А • gia% =加g^agia =严6厶=炉=〈<K\ V〉.

Решение 82 Нетрудно видеть, что / = г, т. е. d/ = dr> поскольку

<3г, е；〉=〈品 е» = 1,

〈dr； %〉=…〈况 eе〉= 0.

Пусть существует функция g, такая, что dj= 6^. Тогда

0 =〈俺，е；〉=〈矗，e} = dgldr,

=〈击，%)=户磁，eQuLdg/W.

Ясно, что условия dg/dr = 0 и dg/d^ = г несовместимы.

Решение 8・3・ В декартовом координатном репере это условие сводится к равенству о,,/ = оу,入 Оно эквивалентно не зависящему от выбора базиса требованию обращения в нуль ротора поля а (векторного эквивалента поля а).

Решение 84 Выберем базис wlt ..., «дг. Любую р-форму можно представить в виде суммы

где в каждом слагаемом член в скобках содержит ровно р базисных форм. Поскольку внешнее умножение и сложение дифференциальных форм дистрибутивны, то тождество достаточно доказать

для мономиальных р- и д<форм и вычислить, например, произведение

(明 A A2 A …А m) А (而1，А 而2, А ••• a 何，)■

Поскольку внешнее умножение ассоциативно, то скобки можно опустить. Переставляя последовательно дифференциальную форму 蠢I，с формой, стоящей слева от нее, переведем 蠢у на крайнее ■слева место. Каждая перестановка приводит к появлению одного знака минус, поэтому после выполнения всех перестановок возникнет множитель (—1)р. Затем переведем дифференциальную форму ©2* на второе место слева. Это приведет к появлению еще р знаков минус. Продолжая переставлять дифференциальные формы 备，，мы в конце концов дойдем до множителя 蠢炉.Когда эта форма займет д・е место слева, знак изменится pq раз. Тем самым требуемое тождество доказано.

Решение 8.5・ Эквивалентность обоих определений дифференциала р-формы мы докажем, если установим, что в произвольном координатном репере компоненты дифференциальной формы dQ, вычисленные на основе обоих определений, совпадают. Запишем каждое из определений при помощи ковариантной производной. Пусть компоненты формы Q равны

QaB...v = a©p...v](Р индексов).

Тогда компоненты дифференциальной формы dQ равны

^[ар...у;д] = Q[aB…丫,6] — ГС[о^Йер …у)—

一又期c%…也一…一几&為邱"尸r出…似卜(0

(Члены с символами Кристоффеля Г обращаются в нуль, поскольку в координатном репере「財卽]=0・)Обратимся теперь к другому определению:

Q = £2呻…1y 哉“ A dx' A • • • A 也

Па свойству 2 внешнее дифференцирование d не нарушает соглашения о суммировании по повторяющимся индексам» поэтому

dQ = (dQaB...Y)А (認 А 脱° А …А 疏)+

+ Qap... yd的A認A…八淤)(2)

(мы воспользовались здесь свойством 4 при р = 0, поскольку fia3.„v представляет собой скалярную функцию (0-форму)]. Из свойства 1 известно, что для любой 0-формы /

沛=£0", а из свойства 3 следует

@, а/а炉)=〈%第，W>=/.p,

откудаоткуда

откуда

откуда

Второе слагаемое в правой части соотношения （2） обращается в нуль: по свойству 4 его можно разложить в сумму членов* каждый из которых содержит ddx, а по свойству 5 dd% = 0. Следовательно, соотношение （2） преобразуется к виду

dQ — Йар …》6 dx^ Д dx。Д dx^ Д • • • Д dx"

Поскольку dQ есть （р+ 1）-форма （свойство 1） и внешнее произведение антисимметрично, то компоненты dQ равны 0汝3 …л，т. & совпадают с компонентами, заданными соотношением （1）.

Решение 8・6・ Пусть

g=%'%"）源.

L о_

Тогда 8ng加 и

d6 = gj綜a3^ = g1認/\嵌2+以8務/\淤+…

Но]

g.i= "（E%1，炉，…，%"）恋 + "，y'居"，炉，"）dE , _0J L о・

где『 означает производную по первому аргументу. Второе слагаемое в правой части, интегрируя по частям, можно преобразовать следующим образом:

J词@1,炉炉）我=j E霜（認，炉%"）映=

=&（認，X2方）1：一"（即，鸡…，乎）恋，

0 поэтому

gj = & （認，* …，x"）|；=/（* 炉％"）•

Поскольку da = 0, то

Это равенство может выполняться лишь в том случае, если /（8 = =月4=九=・一=3 = °，ПОЭtОМУ

g,8H[*]%（€* 吟…,W）dE =0・

Аналогичным образом доказывается цепочка g,《=g,s =・・・=g,/» = 0. Окончательно получаем

dp = g,idx1Adi2 = /(x1» 炉，…，炉)3^1 a嵌2 = a

Решение 8・7・ Тензору Максвелла соответствует 2-форма

F = F炉繇人族г

лоэтому равенство нулю ее внешнего дифференциала

0 = dF = Fgv( х, Зх^дЗх^Д 3xv

дает уравнения Максвелла

尸Ov;儿］=°。

Аналогично из d*F = O получаем

* 尸［Ал； V］ = 0.

Последние равенства эквивалентны (см. задачу 3.25) следующим: 0 = 82儿。*%6 V = 2 * *尸叫v = - 2尸叫v,

и мы приходим к недостающим уравнениям Максвелла 尸叫v = 0.

Решение 8.8. Построим в произвольной точке 3-поверхности локально ортонормированный базис е?, ej, е*, ej. Если 3-поверхность пространственноподобна, то базис можно выбрать так, чтобы вектор е? совпадал с единичным вектором нормали к ней. Тогда три ортогональных (и, следовательно, линейно-независимых) вектора (ej, е-, ej) будут принадлежать 3-поверхности и, следовательно, будут пространсгвенноподобными. К любому другому ортонормированному базису мы можем перейти, выполнив соответствующее преобразование Лоренца, которое оставляет пространственноподобные векторы пространственноподобными и непространствен ноподобные векторы — непространственноподобными. Следовательно, если 3-поверхность пространственноподобна, то всегда можно выбрать три принадлежащих ей ортонормированных пространственноподобных вектора.

Если 3-поверхность изотропна, то выберем локально ортонормированный базис так, чтобы сумма е* +е* совпадала с нормалью к 3-поверхности. Изотропный вектор ортогонален самому себе, поэтому 3-поверхности принадлежат три ортогональных вектора: пространственноподобные векторы е* и е* и изотропный вектор е?+%・ Наконец, если 3-поверхность времениподобна, то выберем вектор 生 так, чтобы он совпадал с нормалью к поверхно-

сти. Тогда 3-поверхности будут принадлежать времениподобный вектор е? и пространственноцодобные векторы е* и ej. Как и в случае пространственноподобной 3-поверхности, полученные результаты останутся в силе, если на рассмотренный базис подействовать произвольным преобразованием Лоренца.

Решение 8・9・ Запишем элемент объема

d3%(a, b, с) = ^ ^рст ^^f；^ da db de.

Если от параметров а, Ь, с перейти к параметрам а, 0, ?, то

da dR dy.

d (a, P，Y) I

Если параметры (a, p, у) задают ту же ориентацию, что и параметры (а, Ь, с), то якобиан положителен (по определению одинаковой ориентации), поэтому знак абсолютной величины можно отбросить и записать

d0(a, b, e) -4 %р。替督普 需储；严呻即=

=扌加VP。犠鏡哥■ da dp dy =

= ^32ц(а, В,事).

Утверждение задачи доказано.

На языке ди(})ференпиальных форм инвариантность интеграла очевидна, поскольку d32Ml можно рассматривать как 3-форму:

бра == % %vp。踰Л読А族叱

Решение 8,10.

а) Запишем 2-форму *0 и ее дифференциал dd:

令产(PS* = /*y e*/m 絲 /\ 也％

d 令=严,"；ё"加 3i" A 位 1A 名加+产:(deWm) Д^Д 3xm.

Пусть по определению [klm] == + 1,1 если й/m— четная перестановка чисел 1, 2, 3, [fe/m]=——1, если й//п —нечетная перестановка чисел 1, 2, 3, и [klmj = 0 во всех остальных случаях. Тогда

d电5 = d (I g ^\klm\)= \kltn] ^ g," 2?/| g |*a = %切 ^g,"蹈/g.

Таким образом,

d" = 4"(产,” + 4" g，"/g 卜 AM AxnK^lt\^xm ==4^『％( I g "們，” £“" ЗхпДЗхгД 族

Но в 3-мерном пространстве

3%Л a族1 а笹加=I gf/心切d%i /\認/\般3 и 办м8加=26吋

поэтому

d0=产;无I g M位1八底2 A砍3.

Следовательно, в обычных векторных обозначениях обобщенную теорему Стокса можно записать в виде

\ f-dS.

6)0=/^斗产尸笳峥嵌力却入位Y；

d° =彳俨，叫呻V筋+产dep啲)A %1人静人g^v =

=%俨,叫呻Y3^十产4•警%ФУ族人)А薛/\厳В/\盛v =

=%! g l_,/* (I g МУ), % ega 断 3^ /\ 眩 /\ 族 в A &v =

=~ \- (I g I"#), % 811ap 户耶丫 I g м 战》八族т a 环 a 淤=

3!|g 卢

=一Ц- (I g I"俨)4此3! I g M战＞ A筱1A储A淤=

3"g卢〜

=尸;ulg# d^A^A^Adx3.

Таким образом, обобщенную теорему Стокса можно записать в виде§V"|gMd4%=\ 扪炉三口.

Qda

© = Wd0v = W；%vaB^a/\i^,

d© = } d (/^^vap) A 倉01Д 静=

=；I g l-，/, ( I g I" —v) a 6tm^筋 A 認 A 族。，

где дифференциал d%^ выбран так же, как и в п. «6». Но

%va$ dx?lASxaA3x₽ = ellvap(l/6)6^ ЗххДЗхсдЗхт =

= — (1/6) Cgvape^^PeYHot 銘 А 族。/у 錯= =—SuvapeV^Pd^y = 26 爲 dN，

а из задачи 7.7 (и) известно, что

d0= I g 1一冷(I g |^尸>% 那%v 小加=2-% d0,

% наконец,

\戶Vd0v=2 §尸叫vd4・dQQ

Пусть 0 = 4々或* = %・胃2 и поверхность С 2-мерна. Тогда дифференциал dO преобразуется к виду

d。= 4, / 肠/\ dxA = Akj 6^6, dxm А 9хл ==

=~2 %拓 i^^rmn 业加 A d" = (V x ^4)r d2Sr> что и требовалось доказать.

Решение 8・〃・ Предположим, что такой тензор существует. Чему были бы равны его компоненты в произвольно выбранной точке свободно падающей локально ортонормированной системы координат? В этой системе координат все ^а₽.ц равны нулю (поскольку равны нулю все 1\触)и gap = т)ар. Следовательно, наш гипотетический тензор должен был бы быть некоторой алгебраической комбинацией нулевого тензора т)ар и, быть может, 6ар и £呐6 Нетрудно убедиться, что единственная нетривиальная комбинация равна т] ® т] ® с.. ...® т)(6 только «переименовывает» индексы, например, ^“日”❶丫二刀。、, а ®аВ¥б либо обращает соответствующий член в нуль в силу своей антисимметричности, либо опускает индексы). Поскольку мы выбрали пройзвольную точку, то доказанное нами утверждение справедливо во всех точках.

Решение 8.12.

Воспользуемся общим определением символов Кристоффеля Г:

Гцар = % ' ^реа

В координатном репере

1\1耶—Р呻a = % • “в% ™ 咒午)=% • [ер, еа] = О, поскольку векторы координатного репера коммутируют.

В ортонормированном репере

Гцар + 1\ф =包 * Vpea + % •必％ = Vr (% • %) = Vp (Т]^) = 0.

Решение 8.13.

Воспользуемся тем («обычное правило дифференцирования»), что для любого векторного поля v

(1)(1)風〈A, v〉=〈*xA, V)+ (A> Zx, V>.

(1)

(1)

Для компонент 1-формы ZxA получим следующие выражения:

(<S?xA)a s ХкАа — {ХтЛ. %〉=弘〈凡 ％〉—〈А,品％〉=

=^а, в" — (А, (X, %]〉=

= ^af^-^<®V, [^%, 6a]〉= =4,/6一儿〈而"(%%触%6-%В依靠)〉Н

В координатном репере последний член обращается в нуль. Соотношение (1) позволяет записать производную Ли иначе:

(ZxA)a = Q〈A, %〉-〈A, (Vxea-Veax)> = <VxA, ea) + <A, %х〉=

=4;/В+%%4 伊(3)

Коэффициенты связности в действительности не входят в определение производной Ли. Они выпадают, и соотношение (3) переходит в соотношение (2).

Для простоты будем производить вычисления в координатном репере:

然『弘(7、%®而В)=

=(兄7、) % X 而В + 7aB (Zx%) ® 第 十 Gb% 8 (弘硝=

=%比 /0 ® &P — T3•碎,a为 名犷 + G/t Y% ® 而Y =

=(7% /Y - т^,卩 + 7%/, B)ea ® 帆

Производную Ли тензора 7、част0 записывают в ^иде

①口、= 7% /Y — ТМ 煤 + Т^, °.

Как и в п. «а», запятые можно заменить точками с запятой.

Решение 8.14. В точках Ро и /\ рассмотрим два касательных вектора А(Р°) и А(/\) с началом в точке Х = 0 и концом в точке 九=厶^ =行(£). [Примечание. На фиг. 17 приращение параметра АХ выбрано равным 1, поэтому векторы А достаточно велики и «вектор разности» К для наглядности показан преувеличенно большим.] Предположим, что в точке /\ построен вектор В(/\), соединяющий точку /\ с точкой Ро. Вычислим, сколько «не хватает» векторному полю В, чтобы его векторы соединяли точки с равными значениями 九 вдоль конгруэнции А, т. е. вычислим вектор К:

К = [В (尸 J + А (Р。)] — [А (尸 J + В (Р3)]=

=[В (А) - В(р3)]-[А (Р J - А (Р。)]=

=ДТВ\ teY + © (А2В) - ВХАУ> teY + 6 (В2А)=

=[А, В] + ^ (е3), если | А|〜6(e)〜| В|.

Следовательно, в пределе, если векторы А и В бесконечно малы, то

К = [A, B] = ZaB.

Таким образом, вектор К обращается в нуль, если ^дВ — О, т. е. если вектор В «перенесен по Ли» вдоль векторного поля А.

Фиг. 17.

Решение 8.15. Свертку можно рассматривать как умножение на постоянный тензор 6^v (дельта-символ Кронекера). Но производная Ли тензора 6^v равна нулю, что нетрудно доказать в координатном репера:

Zx (6%) = 6%,冰入 + 6% 炉,V-6\хи, Л = 0 十 X", v — %", v = 0・

Следовательно, оператор свертки 6% коммутирует с оператором ”.

Решение 8.16. Если операторное тождество выполняется для скалярных функций и для векторных полей, то оно выполняется и для произвольных тензоров, поскольку действие производной Ли на любые тензоры однозначно определяется ее действием на скаляры и векторы (см. задачу 8.13). Если / — скалярная функция, то

хм 一 ZvZJ = X^vf 一 ①屮J = 口，v] f = £ M W・

Если же w ~ векторное поле, то

ZuZvW - Zv£uW - Z[u, v]W=[u, [v, w]] —[v, [u, w]J — [[u, v], w] = 0.

Равенство нулю последнего выражения (тождество Якоби для коммутаторов) проверяется без труда (например, в этом можно

9 Заказ 110

убедиться, выписав все члены). Таким образом, тождество, приведенное в условии задачи, доказано для скаляров и векторов, а тем самым и для произвольного тензора.

Решение 8J7.

Рассмотрим сначала скалярное поле:

①(Pn)=①(%) + [У (p") 一/(4)]①,卩(a) +…=①(p。)7©小.

Поскольку Ф —скаляр, то ①(尸％) = 0)(尸％) н, следовательно,

Zg =①，配

Так как

戏(Р%) = /(А) = /(Р%) + 1,

то для векторных полей

4 (PQ=(^°7。戏)4(PQ=传力一尹川)4 (P^).

Учитывая, что

AAPn)= MPo)~^.^.

получаем

^ = 4 (4) - 4 (Р“) = 4(Р。) 一 (6ali —守…)(4а (Ро) - 4a忌В)=

Аналогичным образом можно рассмотреть и случай, когда геометрический объект обладает свойствами тензора:

7% (Pz) = 3峭步)@B/@rj т* (p# =

=(卅а +也а)(開v 一此J [小0 (p。)一 7% 丫%П

=『％ (A) -「％ 止丫 一 T^t v + 不毋,а,

Решение &18. Для задания параллельного переноса

"汕l0

необходимо знать лишь коэффициенты аффинной связности Г%. Чтобы задать перенос Ферми — Уокера

Vuv = и (а • V)— а (и • V), а = Vuu,

требуется, кроме того, указать метрику (она необходима для скалярного произведения). Чтобы задать перенос Ли

▽uV — %и =0,

мы должны определить не только касательные векторы вдоль кривой, но и векторное поле вне кривой, поскольку нам необходим градиент и в направлении v, а вектор v, вообще говоря» не ка- сателен к кривой, вдоль которой производится перенос. Хотя

в определение переноса Ли входит оператор V, в действительности оно не зависит от коэффициентов аффинной связности, поскольку вследствие антисимметричности тождества Vuv — Vvu = О все Г исчезают. Ясно, что для задания производной Ли метрика не требуется.

Решение 8.19. Если вектор и по возвращении в точку 4 совпадает с исходным вектором, то его можно продолжить до векторного поля, для которого параллельный перенос из 4 в 8 совпадает с переносом Ли из Л в В. Пусть £ = (〃*,吗〃) Рассмотрим тождество

^uV —VvU —[u, %] = ZuV = — Xvu.(1)

Полагая соответствующие члены в (1) равными нулю, т. е. %и = = Хуи == 0, и замечая, что символы Кристоффеля равны нулю» получаем

Vuv = 0 = uzf\/ = 0,

—= аН#-1 = 0.

Следовательно, вектор и может быть ненулевым (и иметь 炉 *0) лишь в том случае, если

а = 0.(3)

Решение 8・20・ Пусть и (р) — векторное поле, которое требуется найти. Если оно допускает параллельный перенос вдоль самого себя, то Vuu =0. Это не что иное, как уравнение геодезических. Следовательно, и(р) должно быть полем векторов, касательных к конгруэнции геодезических, заполняющей пространство.

Если поле и(р) допускает перенос Ферми —Уокера, то

Vuu = (u® a —a® u)*u,(1)

где а = Vuu. Следовательно,

a = u(au) —a(uu).(2)

Умножив скалярно правую и левую части равенства (2) на и* получим

а • и — и2 (а • и) — (а • и) и2 = 0.

Подставив в (2) а・и = 0, найдем, что и2 =—1 либо а = 0. Пер* вый случай (以2 =——1) означает, что любое поле подходящим образом нормированных 4-скоростей допускает перенос Ферми — Уокера вдоль себя. Второй случай означает, что векторы, касательные к любой конгруэнции геодезических, также допускают параллельный перенос Ферми — Уокера, даже если они не нормированы на —1.

Правилу переноса Ли

0 = ZuU 曰[u, u] удовлетворяет любое векторное поле.

Решение 8・2/・ Рассмотрим 1-форму 0 = 17а £^. Вычислим сначала dZ#：

Zx J%”, &+3, в)跑

d (XSi) = (^t/₽. а + U^, p), v ^ Д ЖР.(1)

Затем вычислим 風(疝)：

dU = (Y族Y Д

Хх (dC)=弘(Ua, Y)欲丫 А族а十Ua仔X⑥Y)八猿а +

+ ua, ^J\X^^=〜

=*T。％ Yt族Y А 8ха + 〃, /} ЗхТ А Зх° +

+ Ua,产,т劣 А 餃'=ZS，т + U^^.y -

-4炉例]dxv A ^-(2)

Переход от предпоследней строки к последней достигается простой заменой индексов. В силу симметричности частных производных и антисимметричности внешнего умножения последний член в скобках, стоящих в правой части соотношения (2), обращается в нуль. Сравнивая соотношения (1) и (2), для 1-форм получаем

d(^xu) = ^x(dlj).

Примененный нами метод доказательства допускает непосредственное обобщение на случай р-форм.

Решение 8.22.〜

(VS)? = й2 . VS = h^x1. VS = hidS/dx1.

Общее выражение для ротора должно иметь следующий вид:

(V X V)' = I g |一 WU4； / = I ^ |~ '1гчЧкУ4, поскольку эго соотношение ковариантно и выполняется в локально плоском (декартовом) координатном репере. (Соответствующие свойства полностью антисимметричного тензора е^А см. в задачах 3.20 и 3.21). В ортонормированном репере

a x V)f= 6 f • (V x V)=九,(V 义 vy =儿(/I也生尸 e"2 (生 У 金)/0/.

Из решения задачи 7.7(ж) получаем

V • V = I g 广 ％ [| g [^V^-^h^ [(&厶九з)材W 2 L・

Из решения задачи 7.7(к) следует, что V2S можно представить в виде

WS = I g |— ％ (! g 1% 矿吃吊％ - (h.h^ [h.h^S^

Решение 8.23. Воспользуемся результатами, полученными в п. 2 и 3 решения 8.22, и применим их к х1 —г, %2 = 9, %3 =屮 и h=l, h = r, /z3 —гsin^. (Для простоты мы будем придерживаться обычных обозначений и опустим знак 人，указывающий ^физические компоненты.) Итак, имеем

V . A = (r2 sin 6)т [г2 sin ^h^A^j =

=(г2 sin 6尸[(产 sin ^ЛДг + (г sin&A^ + rA^t ф], (V x A)’ = (r sin ^)-1 [(sin 64中),分-4仇 ф], (V х A)。= (r sin 6尸[Xr( ^ — (r sin 6/), J (▽xA尸=L1[(Г4分)/一4,,分].

Решение 8.24. Если воспользоваться дифференциальными формами и внешним дифференцированием, то задача становится тривиальной. Из первого соотношения получаем F = dA, поэтому dF = ddA = O (оператор dd любую форму переводит в 0). Величины F[klv: х] представляют собой не что иное, как компоненты дифференциала dF. Тем самым утверждение задачи доказано. Вся «хитрость» состоит в том, что полная антисимметричность, присущая оператору d, «изгоняет» из задачи коэффициенты аффинной связности. «Покомпонентное» доказательство проводится •без особого труда, но более громоздко.

Решение 8.25. В произвольной системе координат

或2 = ga§ dx06 d%B.

Поскольку вдоль любой геодезической xf = const, то вдоль любой геодезической ds2 = g* d产. Но для геодезических ds2 = ——dr2, поэтому равенство gw =—1 выполняется всюду. Пусть еа*— векторы координатного репера и u = d/dx — поле векторов, касательных к геодезическим (т. е. и = е0). Поскольку вектор и ортогонален гиперповерхности S- то при т = 0

и • е? = е。• д = g" = 0 л

d (и ■ e/)/dr = Vu(u-e/) = 0 + u- Vuez = u • ▽*・

Здесь мы воспользовались тем, что кривые геодезические (Vuu = 0), .а % и и образуют координатный репер ([е6 и] =0). Но скаляр-

ное произведение и • Vefu равно нулю» т. е.

U- Ve.U =у Ve/(U-U)= 0,

поэтому ВСЮДУ U9 = gM = 0・

Решение 8.26.

С точки зрения современной дифференциальной геометрии коэффициенты аффинной связности Гк^ и Г%^ позволяют покомпонентно описать действие «механизмов», отображающих два вектора и 1-форму в число, т. е.

(число) = Г%2九〃"0V 三〈2, Vvu),

где ковариантная производная взята по той метрике, в которой вычислены коэффициенты аффинной связности Г. Тензор соответствует «механизму», линейному по всем индексам (т. е. по все湛 его аргументам). Сами по себе коэффициенты аффинной связности Г или Г не являются тензорами, поскольку

/〈2, VvU〉，〈2, Vv(/u)〉= f〈2, Vv u> + <ff, u) Vvf

(для g справедливы аналогичные формулы, в которых операторы V заменены операторами V). Однако если из соотношения для 尸 вычесть соотношение для g, то член〈с, u)(Vv — Vv)/, нарушающий линейность, обращается в нуль, поскольку все ковариантные производные, действуя на скалярную функцию, приводят к одному и тому же результату, т. е. их можно рассматривать как произ* водные по направлению. Следовательно, S% —тензор.

Мы не можем сравнивать уравнения геодезических для £ и g непосредственно,^поскольку они содержат различные аффинные параметры тит. Если / — произвольная функция от т, то в результате замены переменных уравнение геодезических принимает вид

d既儿I 「儿d*1 dxv出出d2T dt n

Чтобы исключить dx/dt, умножим это уравнение на d^ldt и„ антисимметризовав по а и получим

""曾-必若 +(r"v"a - 「%,必)u^ = 0.

где на = d^/dt. Если мировые линии 以“(f) являются геодезическими и для g, и для g, то это уравнение должно выполняться и при замене Г на Г. Вычитая из первого уравнения второе» находим

曲卢% - №产0^)"%也v = 0,

откуда

60t((yS%v -酶3%)^ = 0.

Свернув это тензорное уравнение по а и v, получим

{См. также Eisenhart L. Р., Riemannian Geometry (Princeton University Press, 1962), Sec. 4О.]Х)

Решение 8.27• Вычисление коэффициентов связности в координатном репере приводит к громоздкому решению. Мы воспользуемся методом «1-4)орм вращения» (подробности см. в разделе 14.5 книги [1]). Выберем ортонормированиый репер следующим образом:

曲2=腐2,

&； =epdrf

S^ =eYd^,

©v =eYsindci$.

Ключевыми формулами служат определение 曲仪倉， dw® Н-备6 8 a 而6, 弘 соотношение, задающее связь дифференциальных форм 而 с символами Кристоффеля,

г'щб'=韻 а・

Запишем эти формулы в заданной метрике. Пусть точка означает З/М а штрих —д[дг:

d儡？ =*о/Э/ А 壶=а^-^й^ А &?,(1)

d&^ 二成8注 a %=「8&' А 备'，(2)

dw^ =e呼3/ a解+ e屮出a肪=

= 6"°^* А &^+е-уй; A 出虫(3)

dw4>=：eYV sin 6 宙 А Зф + ^у' sin 窃密 /\ 孤 +

+ е^ cos^2^ А 5ф =е~®沁？ Д 5ф +

+ &-屮В；/\ $G + ctg%TS>8 Д 5ф.(4)

Имеется перевод: Эйаенхарт Л* 〃. Риманова геометрия.—M.I ИЛ, 1948» § 40, —〃р〃川.перев.

力伞力 при помощи тен-можно высказать(5)(6)(7)ни. Аналогичным(8)(9) (10>(Н> (12) (13}(14)(15) (16>力伞力 при помощи тен-можно высказать(5)(6)(7)ни. Аналогичным(8)(9) (10>(Н> (12) (13}(14)(15) (16>

力伞力 при помощи тен-

можно высказать

(5)

(6)

(7)

ни. Аналогичным

(8)

(9) (10>

(Н> (12) (13}

(14)

(15) (16>

力伞力 при помощи тен-

можно высказать

(5)

(6)

(7)

ни. Аналогичным

(8)

(9) (10>

(Н> (12) (13}

(14)

(15) (16>

н0人人

d£)^ = — &匈3 A fi)8 и fo-g = где подъем и опускание индексов производится зора 刀秘并 При а= / получаем

dA?=—&?, /\ &?_&?а/\ &令一而)； Сравнивая это соотношение с соотношением (1), предположение о том, что

£>?； = &，？ = а'е-Вй)? +К1&?»

而 f $ =(*)*₽ ? = K3S屮，

где К】,К2，A"3 —Функции, которые требуется Hai образом из соотношения (2) следует

&' а =е~ар &* +凡犷，

йг ^ — —&" , == Л5&З

&「^ = — & 屮,=Kg&ф ・

Из соотношения (3) получаем

&金,=е~Ву £)%

&8応=一&而6 =此齿&»

а из соотношения (4) —

&6 ?二歹呻出g，

出$ 金 = ctgbgT 而而.

Сравнивая соотношения (5) — (16), находим

б^ = е*ауй^>

&^ 金=-e-干 出8,

^^ = — ctg 6 ет 而g.

Но

「v6心'=而

поэтому от нуля отличны лишь коэффициенты связности

г'зкГ%=「&=гб?б = к, Г ' 8 6 = — Г" ； 6 = Г ' & 而=—Г М $> = — Y'/久 Г"б$ = —「而门=—ctg9e-Y.

Решение 8・2& Примем за исходное соотношение

1 + г = Лтл/Атв.

Чтобы доказать эквивалентность этого и другого способа измерения красного смещения, напомним, что 4-импульс р пропорцио

нален волновому вектору к — градиенту поверхностей постоянной фазы:

k = ▽仇

Поскольку к —изотропный вектор, то

O = k・k = k・V6 = Vk 也

где фаза 8 постоянна вдоль лучей. Рассмотрим два луча, отличающихся по фазе на Д^. Наблюдатель А (фиг. 18) вычисляет

А" следующим образом:

△8 == 8 (т + Дтд) — ^ (т) = (Дтд) Vu>16 = (Дтд) ид • к.

Наблюдатель В вычисляет ту же разность фаз Аб иначе:

△6 = (Атв) ивк

(волновой вектор к взят в точке В). Поскольку наблюдатели А и В получают одну и ту же разность фаз Дй, то

Ат% = (и • к% = (и • р)н阮—(и • к)д — (u・p)j

Тем самым эквивалентность обоих способов измерения красного смещения доказана.

ГЛАВА 9

Решение 9J. Если координатный «прямоугольник» построен из геодезических, то, проведя геодезическую диагональ, его можно разбить на два геодезических треугольника. Угловой избыток треугольника, образованного дугами больших кругов, равен л • [площадь/а2]. Поскольку сумма внутренних углов координатного «прямоугольника» равна сумме внутренних углов двух -треугольников, то угловой избыток координатного «прямоугольника» равен л • [площадь/а2].

Координатный «прямоугольник» из параллелей (линий широты) и меридианов (линий долготы) удобнее всего строить вблизи экватора (фиг. 19). Угловой избыток там равен нулю и AC = BDt ио

CD — Л 5 = аДф — й Дф sin (g —А9)~〃А① ^(AO)* поэтому

CD-АВ 1 A A q 1 ПЛОЩаДЬ

В обоих примерах отклонение от плоскости измеряется кривизной сферы 1/аП

Решение 92 Антисимметричность тензора Римана Ra^ по индексам (а0) и (уб) означает, что существует 2И = п(п —1)/2 способов выбора нетривиальных пар (а₽) и аналогично М способов выбора нетривиальных пар (?8). Поскольку тензор Римана

симметричен относительно перестановки пар индексов (оф) и (уб), то с учетом этого набор индексов офуб можно выбрать 府 W + 1)/2 способами.

Кроме того, тензор Римана облагает циклической симметрией:

/офуб = RccBy。+ R<x6By + RgOB н °*

Симметричность тензора Римана относительно перестановок пар индексов гарантирует, что сумма Лар7б полностью антисимметрична, поэтому условие 4啲6 = 0 нетривиально только в том случае, если все индексы а, 0, у, 6 различны. Число дополнительных условий совпадает с числом сочетаний из п объектов по 4, т. е. =п!/(п — 4)! 4!. (При п<4, когда симметричность тензора Римана относительно перестановок пар индексов не налагает дополнительных ограничений, эта формула дает 0 и поэтому остается верной.) Итак, число независимых компонент тензора Римана равно

уЛ4(М4-1)-п!/(п-4)!4!=п2 (п2-1)/12.

Решение 9.3. Для решения задачи необходимо каким-нибудь способом канонически упорядочить 21 независимую компоненту тензора Римана и каждому набору из 4 индексов /, J, К, L присвоить номер 21. Именно это и выполняет приводимая ниже программа, которая присваивает очередной компоненте тензора Римана R(/, J, к,厶)вычисленное значение R (^), где 1 <21.

READ I, J, К, L

SET SIGN = I

IF I = J OR K = L SET RIEMANN =0 AND RETURN

IF I> J EXCHANGE I, J AND SET SIGN- —1

IF K>L EXCHANGE K, L AND SET SIGN- —SIGN

SET NI = (5*I-I*I)/2 + J

SET N2 = (5*K — K*K)/2 + L

IF NI>N2 EXCHANGE NI, N2

SET N=(13*NI-NI*NI-I2)/2 + N2

SET RIEMANN = R(N)* SIGN RETURN

Решение 94 В 2-мерном пространстве (см. задачу 9.2) существует лишь одна независимая компонента тензора Римана. В качестве нее можно выбрать

Rmp竹屮=g例《°嚥= g仆о {Г'(р(р，竹—Г%р,(р + Г%хГ%(р — Г^фаГ^ф^}.

Поскольку для заданной метрики g分分=戸，g(₽(p = rasin'6, то в нуль не обращаются лишь символы Кристоффеля:

Г%ф = —sin^cos^, Г^ф = ctg ^

и, следовательно,

R 仆(p<hp = г 2 sin2 5 = /?(po(pi^ = R^(p(p 合― R(pi>o(p・

Решение 9.5. В нуль не обращаются только символы Кристоффеля г0иД = V иг*u=「％ =L* поэтому

Rva vu = R""rk =广叫 т 一「"Тш, ы +г"也「乙玄一「"皿口玄^ Н =1 一0+0一 1=0.

Поскольку в 2-мерном пространстве тензор Римана имеет лишь одну независимую компоненту, то Ra^ = 0 и пространство-время плоское (в задаче 6.1 это было доказано при помощи преобразования координат).

Решение 9.6. Из фиг. 20 видно, что два ортогональных бесконечно малых перемещения имеют величину ad^ и (Ь 十 + asinq?)М*, поэтому

ds2 — a2d(pa + (b+а sin ф)2 d^2, или

g^ = (b+a sin9户，g^ =炉，痂①=gm=0.

Не обращающиеся в нуль символы Кристоффеля Г находим по формулам.

Г*% = — а~т (Ь +〃 sin 6) cos 屮，

「％屮=Г%合=a cos ф (b+а sin 屮尸.

Фиг. 20.

В 2-мерном пространстве тензор Римана имеет лишь одну независимую компоненту. Выбрав в качестве нее ₽ф^, по стандартной формуле получим

= asin(p(b + asin ф).

Решение 9・7・

В 1-мерном пространстве тензор Римана может иметь лишь одну компоненту К1Ш. Из симметрий тензора Римана следует, что эта компонента должна быть равна нулю.

В 2-мерном пространстве соотношения симметрии между компонентами тензора Римана в любой системе коорданат можно записать в виде

^ар^б = (ёГау^рб — gaMBy) f •

Но

R = R耶呻=(内必瓦一 ga陪%) f = (4 - 2) f = 2%

поэтому в любой системе координат

RaByb н "2"倉口唔師一ga6S^Y)R*

В 3-мерном пространстве тензор Римана имеет шесть независимых компонент Поскольку шесть независимых компонент тензора Риччи можно представить в виде шести независимых линейных комбинаций компонент тензора Римана, то, обратив эти комбинации, мы выразим независимые компоненты тензора Римана через компоненты тензора Риччи.

Чтобы тензор Римана имел правильные симметрии, должно выполняться соотношение

^HvXa "а (&х&о — gnR^g — Syto^vk +gvoRg) + ° (gggvo — gjiogv%) R・ Коэффициенты a и ft мы найдем, свернув тензор Римана:

R、g = а (З&о — Rw — Rvo+gwR) + 匕(3gw — gvo) R, откуда

a = 1, b = —

Для проверки произведем еще одну свертку:

R = a (R + 37?) + b • 6R = (4 — 3) R.

Решение 9.8. Докажем соотношение для тензора произвольного ранга. Выберем локально плоскую систему координат так, чтобы в некоторой точке все символы Кристоффеля (но не их производные!) обращались в нуль. В этой точке

R'yvx = Г%% v 一 F%» * = 一 2F% [v, x]

(Т“В…М = (Та…6f + Та…。…瑜v + …一 Tg…§•••「％ —…底= =「ос…艮：vx +「а…к+ < • • 一 Та—

Следовательно,

2(7乐.产一)；[死]=-7\.尸・К%^ 一：，，+T(j...0…RZx+・，♦.

Поскольку это соотношение ковариантно, то оно выполняется в любой системе координат.

Решение 9.9・ Вторые производные скаляра можно представить в виде

S；aB = (S,a)；B = S,a0 — 5^оГоар；

это выражение симметрично по а и р.

Чтобы исследовать третьи производные, воспользуемся (как и в задаче 9.8) локально плоскими координатами. В них

S;aBy = (S,aB — *Soraap)jY = $,口肮一$оГ°а6,у = S；(aB)у,

Из этого выражения и из задачи 9.8 мы также получаем

S；a[6y] = "У S；oR%By・

Решение 9.10. Образуем тензор

C%^A^v^Aa^

Пользуясь решением задачи 9.8, запишем его в виде

①% = - a^^ - /gRB吓 V， откуда

C^v = 一 Xav7?%v - 4陷R\uv = — /3Rn + /MR叩=0.

Решение 9・〃. Выберем в исходной точке Р локально плоские координаты. Тогда в точке Р символы Кристоффеля「^尸。, но после перемещения на вектор и

гару =г"0Y 曲 4

Когда мы параллельно переносим вектор А из точки Р на вектор и (фиг. 21), то компоненты вектора А принимают следующие значения:

[А (смещенный на u)]a — Xa 4- Aat^ =

=肥 + /a；W — Гау3Д^Р = Ла.

После параллельного переноса на вектор v компоненты вектора

А становятся равными

[А (смещенный на и, а затем на v)]a =

=4ой + /а；©* - Г^рЛ^уЗ =

=4" 一 Гау3Л^уР = 4ой 一 Г^ &А^и^

В ту же самую точку мы могли бы прийти, обойдя две другие стороны параллелограмма, при этом

[А (смещенный на —v, а затем на — и)]а =

= Ла-Гаур1бЛ^иМ.

Полное приращение вектора А при обходе по замкнутому контуру

Фиг. 21.

равно разности между первым и вторым выражением:

64a = —「%164^%6 +гa洛6小"勿 6 = - Ra^A^u\

Решенае 9.)2.

Рассмотрим сначала линейность по А. Ясно, что

R(A1 + A2, B)C=R(Al B)C+R(A2, В)с.

Кроме того,

▽『а^в — VbV/a — V[fA, в]=

=/VaVb —/VbVa — (▽") %\ —- Vf[A,B] — AVBp(1)

Два «лишних» члена компенсируются, и мы получаем

R(fA, B)C = /R(A, В) С.⑵

Нетрудно доказать, что оператор R (А, В) С в точке Р зависит лишь от значения, принимаемого аргументом А в точке Р, а не от характера изменения А в окрестности точки Р. Пусть / (Р) = 0. Из соотношения (2) следует, что если в точке Р аргумент А оператора R равен нулю, то и сам оператор равен нулю. Пусть Аг и А2 — два векторных поля, совпадающих в точке Р, но отличающихся в каких-нибудь других точках. Из соотношения (1) получаем

r(Al b)c-r(a2> b)c=r(a1-a2, В)С=0.

Тем самым доказано, что оператор R зависит лишь от значения, принимаемого аргументом А в точке Р (по симметрии доказательство распространяется и на аргумент В). Зависимость оператора R от значения, принимаемого аргументом С в точке Р, доказывается аналогично.

Поскольку существенны лишь значения, принимаемые аргументами А, В и С в точке Р, то все три аргумента можно произвольно выбрать ковариантно постоянными в окрестности точки Р. Тогда

(R(A, B)c)a=(vAvBc-vBvAcr =

=2"。(#匕％ 0； а = 2А°ВкСа.足 а].

По доказанному в решении 9.8 это выражение равно

R\KaC^AlBG.

Тем самым утверждение задачи полностью доказано.

Решение 9.13. Пусть 严=尤乩(九,п) —семейство геодезических с аффинным параметром 九(фиг. 22). Параметр п нумерует отдельные геодезические. Вектор, касательный к геодезической, имеет компоненты 〃"三。"/。九，а компоненты бесконечно малого

вектора, соединяющего точки с равными значениями аффинного параметра на соседних кривых, равны

п^ — дх^/дп.

Решение задачи особенно наглядно в абстрактных обозначениях.

Пусть

u = 3献， п = д/дп.

Поскольку частные производные коммутируют, то [и, п] = 0. [В действительности обращение в нуль коммутатора [и, п] служит определением вектора п, соединяющего точки бесконечно близких кривых с одикнаовыми значениями аффинного параметра (см. задачу 8.14).] Воспользуемся оператором Римана (см. задачу 9.12):

R(u, n) u = VuVnu — VnVwu — V[u( n]u ==VuVnu = VuVun

(последнее равенство следует из того, что коммутатор [и, п] обращается в нуль). Записывая полученный результат покомпонентна [см. задачу 9.12 (б)], находим

器 = (VoV0n)a = - Ra肥6小成小.

Решение 9.14. Удобно перейти от декартовой системы про* странственных координат к полярным координатам и записать метрику в виде

ds2 = —(1-2М")成2+(1 + 2М/Г)(dr2 + г2 [d^ + sin2 3 d(p2]).

Для круговой экваториальной орбиты нг = н^ = 0, поэтому

Dur/dx = 0 =以°Т%в〃б =(以оу г% + 色学尸 Ггфф

Символы Кристоффеля вычисляются без труда, и мн находим 炉—(2л/период)2 = М/г3.

Нетрудно видеть, что полученный результат совпадает с результатом, вычисленным в ньютоновском случае. В задаче 9.13 была

выведено уравнение движения для вектора п, соединяющего точки на двух соседних геодезических с одинаковым собственным временем. В этой задаче мы рассматриваем вектор 占，соединяющий точки на двух соседних геодезических с заданным значением координатного времени. Из фиг 23, однако, ясно, что разность векторов п и ^ пропорциональна относительной скорости контейнера с мусором и «Скайлэба», и, следовательно, в низшем порядке ее можно не принимать во внимание.

Поскольку в системе координат 力 %, у, z все символы Крн・

стоффеля имеют порядок M/r2t a d/dx ~ о ~ (М/г)^ г*1, то приближенно можно считать, что

Dd

dtdr 1 dt

я поэтому

Da/dx2 〜心[dt*.

В этом приближении уравнение расхождения геодезических имеет вид

需+а°/о(〃°)"У = О,i = x, у, Z,

•а низшие члены компонент тензора Римана равны

R%o 〜rzoo. / - 口明 0 = 一 у goo, V =^ 他一号3

Если орбиту «Скайлэба» мы условимся описывать параметрическими уравнениями

х = г cos со/, д = г sin

то уравнения движения для вектора Е будут иметь вид f+靖方=0,

|ж +(о笛* = Зсо2 cos со/ (cos(0港* + sin(о轡)，

私 + s 轡=3(d2 sin(o/ (cos s/y + sin(of 守).

Компонента F относительного движения вдоль оси г, очевидно, пропорциональна sinco/, если контейнер с мусором был выброшен при / = 0.

Чтобы найти относительное движение в плоскости ху, введем новые переменные т]1, т)2, определяемые соотношениями

E# = т]1 cos со/ + if sin ®t,守= T]1sin о/ —唄 cos(ot

Уравнения движения в новых координатах запишутся в виде

Я1 + 2(о 巾 2 - 3(0州=0.

Нетрудно найти четыре линейно-независимых решения этих уравнений:

[п1. П2] = [1> Фю/]> [0,1]，[cos®/, 2 sin со/],

[sin со/, ——2 cos со/].

Линейная комбинация решений, соответству юща я контейнеру с мусором, выкинутому при / = 0 (т. е. 夕=守=0 при / = 0),. имеет следующий вид:

三* = / [cos 2(of — 3 + 2 cos со/ + 3cof sin co/] + В [4 sin cof — sin 2co厶, 仔=4 [sin 2со/ + 2 sin st — 3cof cos co/] + В rcos 2со/ + 3 — 4 cos co/].

Постоянные А и В зависят от параллельных осям 尤 и у компонент скорости, с которой выброшен контейнер. Непериодические члены решения связаны с тем, что периоды движения по орбитам «Скайлэба» и контейнера с мусором незначительно отличаются, поэтому зависимость относительного расстояния от времени содержит вековой член.

Решение 9J5. Выберем локально плоские координаты так* чтобы

R@By6 = 2Гар [б, ?]•

В этих координатах

^a[₽v6] = 2「°祖[6,初=2Га[₽в, V].

Поскольку символы Кристоффеля симметричны по нижним индек* сам, то правая часть должна обратиться в нуль, и, опуская первый индекс, получаем

^а [師5] = 0-

Тензор Римана антисимметричен по двум последним индексам, и поэтому это соотношение эквивалентно циклическому тождеству.

Из задачи 9.8 известно, что для любого вектора Ua справедливо соотношение

2U”：卧尸一U°R%b『

Зададим вектор U" в некоторой точке и перенесем его параллельно вдоль геодезической во все точки некоторой ее окрестности. Тогда в выбранной точке t/a； р = 0 при всех ₽. Следовательно,

2U"； [3vj 6 =- u哽@呻Y: б

и

2^а；哂］б］ = 2〃а；［卽6］ = — U°R% ［闻;б］-

Из той же задачи 9.8 известно, что для тензора Ua- р справедливо^ соотношение

2呼0 ［网=-и。；次％6 + 屮 oRa^

Поскольку в выбранной точке (/% р = 0, то

^а； в ［河=о и, следовательно,

U"；［В泡=。・

Направление вектора U& в выбранной точке можно задать произвольно, поэтому

R"。ipv： 6］ = о*

Поскольку тензор Римана антисимметричен по двум последним^ индексам, то это соотношение эквивалентно тождествам Бианки. (Разумеется, тождества Бианки можно вывести более простым,, но громоздким способом, дифференцируя и преобразуя формулу,, выражающую компоненты тензора Римана через символы Кристоффеля. При таком подходе вычисления удобнее всего проводить в локально плоских координатах.)

Решение 9.16. Свертывая тождества Бианки

R为丫5; е + К“Ва% 6 + R"眦;V =0

сначала по а и у, а затем по р и 6, получаем

% 6; £ + R昵 6 + R“B6a; а = 0,R; £ - R久;В — R°v а = 0-

Следовательно, дивергенция тензора Эйнштейна

6%V =伊一^6闽；「*一；旦€

должна обращаться в нуль.

Решение 9.17. Выберем векторы А, В, С, D так, чтобы они были взаимно ортогональными в точке Р и удовлетворяли условиям А■ А = —1, B・B = C・C = D・D = 1. Поскольку пространство- время плоское по Риману, то параллельный перенос по замкнутому контуру не изменяет вектор и в точках, отличных от точки Р, векторы А, В, С, D можно задать при помощи параллельного переноса. Выполнив эту операцию для вектора А, получим

откуда

^Ла дЛр

так что компоненты вектора А можно выбрать в виде Ла==ф>а. Аналогичные соотношения справедливы и для компонент векторов В, С и D. Полученные результаты мы объединим, задав векторы А, В, С, D в виде

A = W 叫 B = W ⑴，C = W ⑶，D = W ⑴

и определив функции Ф(о\ ①⑴，Ф(2\ ①⑶ следующим образом:

W5 = v0U

Поскольку скалярное произведение векторов сохраняется при параллельном переносе, то из соотношения

W® . W")= [W@)• W«)]p = *

мы заключаем, чтомы заключаем, что円器嘿=伊円器嘿=伊

мы заключаем, что

мы заключаем, что

円器嘿=伊

円器嘿=伊

Следовательно, существует преобразование координат 天北=①出)(户)，

переводящее исходную метрику в метрику Минковского.

Решение 9.18. Если тензор Вейля равен нулю, то метрику можно представить в конформно-плоском виде

ds2 =产①欣：二e2tpR叫d砂dxv,

где ф — функция от %叱 Изотропные геодезические df =元。2%，n ■ n= 1

в метрике ds^ остаются изотропными кривыми в метрике ds2. Если удастся доказать, что эти кривые совпадают с геодезическими в метрике ds2, то конус изотропных геодезических при переходе от %力 к ds2 останется конусом и не будет предпочтительного направления сжатия поперечного сечения.

Докажем, что кривые dt= n-dx — геодезические. Для этого необходимо лишь убедиться в том, что для изотропных геодезических

吧=也=0

Заметим, что символы Кристоффеля равны

поэтомупоэтомуpVraY₽ = 2pa(v<pp)pVraY₽ = 2pa(v<pp)Г\о = 11a叫一0 岡YB + 屮,gvu + 0 WuM

поэтому

поэтому

pVraY₽ = 2pa(v<pp)

pVraY₽ = 2pa(v<pp)

и

°=筹+^^-^:+^^-р).

Следовательно, при надлежаще выбранном масштабе по 入 первый член обращается в нуль (dpa/dX = 0) и изотропные прямые в метрике 財 служат изотропными геодезическими в метрике ds2.

Необходимо иметь в виду, что, хотя форма поперечного сечения светового пучка остается неизменной, площадь поперечного сечения, как и все площади, умножается на е2ф. Поскольку функция ср, вообще говоря, анизотропна, то скорость, с которой увеличивается площадь поперечного сечения, зависит от того, в каком направлении распространяется пучок света.

Решение Р./Р. В конформно-плоском пространстве тензор- Вейля равен нулю и компоненты тензора Римана нетрудно вычислить по компонентам тензора Риччи:

R|XV = — (In I g I* ),RV + r®|xv, a + (In I g 产),a F%v — Г^цаГ^р.

Для вычисления нам понадобятся следующие выражения:

raY₽ = — р°=тм + 屮，呼丫 + ф>76ар,га也a =-照中%0 + 2屮,即，「％「％ = бф.иф.з- 2 (V<p)2 加 в，

-g^^4, ln|g|% = 4(p,(In I g |%),аГ%в = — 4 (V(p)2 %₽ + 8中脾方，(lnig|%),vB = 4q)，YB.

Поднятие и опускание индексов в этих выражениях производилось при помощи тензора %丫，например,

ф.a = Ц^ф.д； □屮三严中,叫；a中户三严0"屮心.

Тензор Риччи и скалярная кривизна соответственно равны R"V = — 2<p,nv + 2(p,"(p,v — %V [V* + 2 (V 屮)2], R = R% = 6-2%吗凡m = - 6e-2q)[V2中 + a中产],

а тензор Римана —

欠0耽6 ^ &фу6 + "2 (gayRm — got求By — g$、Ra6 + gfwR”) 一

^ (gauges 一 ga^By) R ==

пу б2ф (%Y^pd 一刀06R肮-聊yR(%6 + 小乐ay) 一

^ 廿屮 Оь/ВЗ — ПабПвЗ R =

=或Ф[паy (ф.pФЛ 一9,优)-Лаб (中,В 中界-中画)一

小丫 (ф,аф,б — 9,a6)+ Лрб(Ф.аф,7 一 0ау) +

+ (▽屮户(―ПауПрб + ПабПру)]-

Решение 9・20. Воспользуемся таким же ортонормированным репером, как в задаче 8.27:

#=6adf, fo^=e₽ Sr, &8 = cyJ&, S^ = ^y sin ^ d$.(1)

В задаче 8.27 мы вычислили шесть 1-форм связности 国$ из соотношений

d&& = — G%&v,亩&G = — Йа ..(2)

Тензор Римана проще всего найти из шести 2-форм кривизны 频G：

巡气 =d 出外+①々/\ 部3,(3)

坨&g=^”%6侬/\辞.(4)

Преимущество этого метода состоит в том, что вычисляются лишь ненулевые компоненты тензора Римана. Подставляя в соотношение (3) вычисленные в решении 8.27 1-формы S, находим 駝% = d (Wed)d/ + 龊-a 岁)+ 品6 a 而匕 + б?6 a / ,=

=[a" + (a，)2 - a©]濟f犷/\位+(b +伊一确)决出加Ag=

=[e-2a (В + «2 — &В) - e-2₽ (a" + a'2 - af)] й^Д 犷(5)

(точка означает d/dt, а штрих — д/дг). Член d* вычислен в координатном репере с учетом того, что dd = O. Остальные 2-формы кривизны имеют следующий вид:

e^^=d(eY a? J0') + 6?；A6^ + ®?«AS^ =

=[e~2a (у + 话 l&V) — «-2%丫] й^Д(5® +

+ e-(a+B)作 у — a，q + 屮一у В) Sr Д S^;(6)

院鹫=d(0"叱sin令而)+凉；л犷而+苏8 A而S而=

= [「&(, -)- у2 — се у) — e^afyf ] ®/\ 而伞 +

+ u(a+B)作7?- azy +У 一 Y单)&/\&市；(7)

関；金 = - d (d-屮 無)+ &%a而% +岁而a6耳=

=卜一2В (у + y 2 _ 旷y，)—味2aB旬 ^^ +

+ e-gB)件屮-a牛+屮一Y串)//\&?;(8)

認6 =一d (e)屮 sin 6 a中)+苏；a而'6 + 东6 Д6^ a =

=[ств (y+ 7，2 一 py)一产叩刘而而A旷+

+e-3+6)(^/ - w+y — y'B)而而/\而£(9)

^=-d(cos 8而)+而3ДG号+潦；A才而=

=(e-2Y + 歹一2卄2 _ e-2by 2)而8 /、而而.(Ю)

Ненулевые компоненты тензора Римана мы найдем из соотношения (4);

= 4

R^^ = R^^ = B,

R?6；3 = R'&/ = _Rr"?3 = _R2f$=c, (ii)

R%产絃% =e， где

A = e-2a(p + ^2-ap)~ e-20(a“ 十 a” 一 a' §'), b = e-2a(Y + Y2 - ay)—e-2%/?-

С = e-(a+B)仲 + % — «"у —眦)，(12)

D = 6~讣-J-/2aУ — 6一2Ру'2,

Е = е-啼-产(у" + У 2 - 0 Y).

Тензор Риччи мы получим, свернув тензор Римана.

Компоненты тензора Риччи равны

R% q А 4*2В,

R% =2С,

吟= А + 2Е,(13>

r\ = ^^=b + d+e,

% = R% =吟=R‘i)=R"= °-

Зная их, находим скалярную кривизну

J^ = ^^=2A + 4B + 2D + 4E.(14)

Тензор Эйнштейна определяется соотношением

叫=叫一в臼

Его компоненты равны

g4 = -(£)+ 2E),

G)= 2С,

gF = — 0 + 28),(15)

G«.=G^ =-(А + В + £),

G“ = G% = G% = G% = G^a = 0.

Решение 9.2L Выберем ортонормированный базис % и построим репер из комплексных изотропных векторов, ориентированный так, чтобы волновой вектор V〃三 к был одним из его базисных векторов:

k = (2)F(e?+e£),1=^2)-*е?—%),

m = (2)—5g+%),

m = (2) 2(%一，用)，

затем рассмотрим компоненты тензора Римана в этом репере, например R旧而=Raw51ams冲 1“ и т. д. Поскольку тензор Римана зависит только от за па здыва ющего времени и в соотношениях (1) от нуля отличны лишь скалярные произведения базисных векторов

—к • I n m •而==1,(2)

то

凡Ь以Р =。，(3)

где индексы (а, 6, с, d) пробегают значения (fe,，，т, л), а индексы (р, д, г, .,.) —значения (々,т,加).Рассмотрим для тензора Римана часть тождеств Бианки

RabOE = 0,(4)

где индекс I соответствует вектору 1 в соотношении (1). Пользуясь соотношением (3), из соотношения (4) получаем

Rab 冷 1 =。,(5)

а объединяя соотношения (3) и (5), с точностью до тривиальной «неволнообразной» постоянной находим

尺。匕財=Rpgab = °*(6)

Следовательно, все отличные от нуля компоненты тензора Римана должны иметь вид Rpig Учитывая симметрии тензора Римана, нетрудно понять, что число независимых компонент равно лишь шести. Эти шесть компонент соответствуют числу степеней свободы наиболее о&цей гравитационной волны в метрической теории гравитации. В эйнштейновской теории гравитационная волна обладает лишь двумя степенями свободы.

Решение 9.22. В локально лоренцевской системе отсчета ускорение любой частицы связано с F^v уравнением для силы Лоренца:

Шесть компонент / удобно представлять себе как векторы £ и В. В сопутствующей системе отсчета частица имеет нулевую скорость и не «ощущает» действия магнитного поля. Измеряя три компоненты ускорения частицы, находим вектор Е. Измеряя в той же системе отсчета ускорение другой частицы, мы можем определить лишь две компоненты вектора В, поскольку его компонента, параллельная направлению движения, не создает ускорения. Следовательно, для измерения всех компонент 尸％ необходимы по крайней мере три частицы.

Предоставляем читателю самостоятельно ответить на вопрос задачи о тензоре Римана, пользуясь уравнением расхождения геодезических:

Решение 9.23. Выберем систему координат, связанную с поверхностью. Пусть на поверхности координаты х1, х2 изменяются, а координаты 炉，х4 постоянны. Из компонент векторов А и В контравариантны лишь компоненты 1 и 2. Следовательно, для нас представляют интерес только компоненты тензора Римана с индексами 1 и 2, но среди них существует лишь одна независимая компонента: /?1212. Отличные от нуля компоненты тензора Римана этого типа связаны между собой соотношениями симметрии, которые можно представить в виде

Rijki~ (gikgu — SnSjk), i, /» 財 2 = 1, 2.

Отсюда непосредственно следует, что в выбранной нами системе координат скалярная кривизна К не зависит от векторов А и В, а поскольку К не зависит и от координат, то тем самым утверждение задачи доказано во всей общности.

Решение 9.24. Разделим внутренность контура (фиг. 24) на бесконечно малые прямоугольники и рассмотрим, как изменяется угол между векторами А и В при параллельном переносе нх по контуру одного такого прямоугольника. Пусть и и v —стороны прямоугольника. Как показано в решениях 9.23 и 9.11, при параллельном переносе по контуру такого прямоугольника вектор А получает приращение:

*4a = — Rag 序〃咿=К (g^pv - gavg0“)建〃"心

-Заметим, что

Аа6Ла = у6(А-А) = 0,лоэтому длина вектора А остается неизменной. Изменение угла ®

между векторами А и В можно вычислить из соотношений Ba6Aa = 6(AaBa) = [A||B|6(cos^) = |A||B|sin^6^ и

炉 64a = К [(В • и) (А ■ V)— (В • V)(А • и)].

Выбрав на поверхности локально плоскую систему координат с и 〜ei, v 〜％, получим

||4||5 8口0501 =k(51隱一出匿)Ug

=K| A X В j uv=K sin O' I A11ВI • (Площадь участка 2-мерной поверхности, заключенного внутри контура).

Итак, при параллельном переносе по контуру бесконечно малого прямоугольника

|6О| = К5Е.

Если рассмотреть контур более общего вида, то приращение вектора А при параллельном переносе вдоль контура будет равно

приращению вектора А при переносе по всем прямоугольникам, на которые разбит этот контур, а площадь заключенной внутри него поверхности равна сумме площадей прямоугольников. Следовательно,

|А0| = КА2.

Решение 9,25. Пусть

取ауРб 三 К (gaBgyb — gct6gBY)一 凡丫眦(D

Заметим, что Way^ обладает теми же симметриями, как и /?aYP6. Если в заданной точке риманова кривизна К не зависит от векторов А и В, то по определению К (задача 9.23) при любых А и В

Wa^AaA^B& = Ot⑵

и, следовательно,

取 ауР§ + 取 B^Y + 取 a6BY + 取 8丫仪6 = °・(3)

Симметрии 取ayes позволяют записать соотношение (3) в виде

取 ауВб = W абур.(4)

При циклической перестановке индексов (丫§6) получаем еще одно соотношение:

^абур ~ И^арбу-(5)

Подставляя соотношения (4) и (5) в циклическое тождество

W “06 + 取 аб 册 В + W арбу = °，(6)

находим

取 OCYM = О,

что и требовалось доказать.

Решение 9.26. Поскольку метрика всегда ковариантно постоянна, то

&即6;九=Ад (gaygM — gabgB J

Подставляя это выражение в тождества Бианки:

。=^?аруб；九 + ^ар%у; б + RaB认；у

и свертывая по а, у и р, 6, получаем

К,к = 0,

т. е. кривизна К постоянная.

Решение 9・27. Свертывая тензор Римана, находим

R=12K

По определению тензор Вейля равен

Слдуи = Rahvk — у （^Xv^HX — glx^HV — gixvRkn + 纟卩乂^九”）十

поэтому

C\|W< = К （ghgux — ^Z|A^vx） — у-ЗЛ （2g 九 vgjuc — ZgAM^vx） +

+ 4*12K（g"g晔 一 ^x^uv） = 0・

Решение 9.2& Поскольку и й = 0, то

〃а （几В〃6）；a=0 =朋；а〃气8 +展〃8；a〃а=

КаВ' + 2п・Е・

Решение 9.29. Метрика имеет вид

ds2 =—川十g『/改dN, где

g"=a2（T）Y±j（x 比）

Нормальный вектор к поверхностям т = const есть п — д/дх. Следовательно,

g = — е/ • Vzn = n - V/e； = Гл；г=—工^吋=~^'gy-

Решение 9,30. По определению производной Ли （задача 8.13） имеем

^прар - ^а0; У几Y + 尸У0几Y: a + 尸aY几Y: 0

=（gaB -几а"）；屮丫 + （gYB -几Y几B）炉;а + （gay -几a%）几X 0 =

=-m（x九В）; Y 九Y + m6； a + 九a; fh⑴

где, производя преобразования, мы воспользовались тем, что

几a =彳（几Y几"）;a = °，

Если е/ — три базисных вектора, принадлежащих гиперповерхности, то с учетом симметричности тензора К/ получаем

К, = — еу • Vfn =—々；/ = —^ （修;/ + %； J（2）

Переходя к общей системе координат （в которой базисные векторы ef и £/ не принадлежат гиперповерхности）, соотношение （2） можно преобразовать к виду

коФ =- y （%；6 + 几 0； Y）尸%尸4,（3）

т. е. записать как проекцию на гиперповерхность симметризоваft- ной ковариантной производной вектора п. Используя явный вид проекционных тензоров 尸丫& в соотношении (3) и сравнивая полученное выражение с соотношением (1), находим

Ксф =^£пРсф・

Решение 9.31. Пусть х3 = 0 — уравнение поверхности, где 炉, х3, х3 — введенные на ней гауссовы нормальные координаты (см. задачу 8.25). Тогда площадь поверхности равна

4 =，g% 或 I dx*

где g — определитель 2-мерной метрики gy на поверхности. Про- варьируем площадь, сместив элементы поверхности на 6х3 по нормали n = d/d%3：

6А =, 6g'% dx1 d炉.

В задаче 21.1 будет доказано, что

6g•*/* = I g%g〃 6gL у g%g"g", 3 fix3.

Поскольку мы ввели гауссовы нормальные координаты, то

^/- - у б//,3»

6Л — — § ^Ktjg4 dx1 dx2 d^.

Площадь 4 минимальна, поэтому 64 = 0 при всех 6х3 и должно выполняться равенство

K = gb&/ = 0.

Решение 9・32. Пусть е^ — координатный репер на гиперповерхности S. Уравнения Гаусса — Кодацци представляют собой тензорные уравнения и выполняются независимо от того, какой репер был использован при их выводе. Векторы ez вместе с вектором п образуют базис в пространстве-времени, поэтому

⑷^=5尸+解例.(1)

Коэффициенты в уравнении (1) можно найти, умножая его ска- лярно на п н е也(п-е^О):

8а" н n.(修V歩/ =⑷％ (п.еy) —еУ .⑷％" = 0 +к扪 阮犷=e也•⑴V珍n⑷I\〃 = B)I\"

Последнее равенство следует из того, что символ Кристоффеля можно вычислить непосредственно по ⑶且勿 С этими коэффициен-

тами уравнение (1) переходит в уравнение Гаусса — Вейнгартена: ⑷%e尸ёк，,n +(3t网.⑵

Тензор Римана можно вычислить по производным от символов Кристоффеля Г; используя оператор кривизны (см. задачу 9.12), можно несколько сократить выкладки:

^аруб = е^ ■ R (%, %) ер,⑶

где

R(%, %) = [%,弘]一еб]・⑷

Запишем уравнение (4) для векторов е； и е*. Последний член в правой части обратится в нуль, поскольку в координатном репере [% е*] = 0, и

⑷％⑷%0 =⑷▽/(瞰曲+⑶Г勺е)=

=£驳/,严一&КигК「ет + ^rmjkjem +

+ 13)Г-/А(^п +(3)Г^/ел).(5)

Переставим индексы / и R в уравнении (5) и вычтем новое уравнение из старого. Мы получим

R (б/, eft) е, = £ (К*% I / — Kij I a) n 4~em [e (KyK^ — «次长尸)+ {^Rmifk\- (6)

Умножая уравнение (6) на n и ел, получаем уравнения Гаусса — Кодацци.'

Компоненты тензора Римана с двумя индексами п можно найти из R (eft, n)n. Поскольку вектор п входит в число базисных векторов координатного репера, то [n, efe] = 0; следовательно, последний член в правой части уравнения (4) обращается в нуль и R ⑸，n)n-t4)V^Vnn 一⑷又⑷Vg

Ho(4)Vnn = 0, ибо n —вектор, касательный к геодезической (гауссовы нормальные координаты), в силу чего

е/ • R (询，n) п = 0 •⑷％ (驳收由)=Км,п - К严％ •▽!!&•

Так как [е, п =0, то

⑷ ％”14)%п = —KJ% откуда

Rtnhn = sR" Ink = Khl’n + К, KjR*

Решение 9.33. Компоненты тензора Римана были вычислены в задаче 9.32. Свертывая, получаем

⑷七=g,”R Am/)=

=(3)R)十£ (g 访 к 机” 4- 2KmК)- К}К),(1)

где KwKi Но /产一gimghsgw (см., например, задачу 21.1), И В гауссовых нормальных координатах —gmsm = 2Kms、поэтому

g% = 2gimg”g = 2Q.

Уравнение (1) теперь можно представить в виде

⑷通=⑶R + е (g*K叭孤+ gijKhj—驳必)= =⑶幻+队犬з-k状).(2)

Для других компонент тензора Риччи получаем

⑷R3 =瓜4太"切=-⑷R”〃 = £(&/ — Ki i»,(3)

⑷R^ = £⑷R%加=噫乂Kt2 + KlmK〉) = £ (驳亦 一 &mK加).(4)

Таким образом, скаляр Риччи равен

⑷ R =⑷/?% + ⑷ R, = e)R + £ (2(〃 一 КмК 加一№),(5}

а компоненты тензора Эйнштейна —

G% =⑷R% - 4 ⑷R = -4 ⑶R +|е(№-協№),(6)'

^ =⑷心/ = e(Kl;-犬小)，(7).

⑷G.=⑷父/一}典⑷/?=

=(3)g，/ + е [К%“ 一 Н/К - 4 g (2К/ - KlmKim - №)].(8)

Приравнивая выражения (6) и (7) ссютветствующим компонентам тензора энергии-импульса, получаем «уравнения с начальными значениями» для гравитационного поля.

Решение 9.34.

Поскольку на сферической поверхности не существует выделенного направления, то в ортонормированном репере тензор внешней кривизны К“ 〜6/у. Таким образом, любой вектор является его собственным вектором. Из определения тензора К как скорости изменения вектора нормали п следует, что собственное значение равно — 1/(радиус сферы) = —1/а.

Подкрепим эти интуитивные соображения вычислениями. Для удобства перейдем к обычным сферическим координатам г, 0, ф. Для сферы они совпадают с гауссовыми нормальными координатами и

ds3 =⑶ g柒 dx' dxk = r2 (d&2 + sin2 О d(p2).

Поскольку

Klj = — Q gijtn = —у g//,r.

10 Заказ 110

ТОТОKi8 =*小=5(一Ki8 =*小=5(一06=嬴 ％ =戸Sim 506=嬴 ％ =戸Sim 5r2 sin2 ^ = — у.r2 sin2 ^ = — у.(О(О

ТО

ТО

Ki8 =*小=5(一

Ki8 =*小=5(一

06=嬴 ％ =戸Sim 5

06=嬴 ％ =戸Sim 5

r2 sin2 ^ = — у.

r2 sin2 ^ = — у.

(О

(О

И на этот раз можно воспользоваться интуитивными соображениями. «Выделены» 2 направления; осевое и по окружности цилиндра. По определению тензора К кривизны (скорости изменения вектора нормали п) по этим направлениям должны быть равны 0 и — 1/а.

Проведем теперь строгий вывод тех же результатов. Цилиндрические координаты совпадают с гауссовыми нормальными координатами, и 2-геометрия определяется метрикой

ds2 = г2 dq^ + d*

Ортонормированные компоненты тензора К запишем в виде 勺6=专(一呉咏)=_^，

Таким образом, вычисления подтверждают правильность решения, найденного из интуитивных соображений.

В декартовых координатах

ds2 = dx2 + dy2 + dz*(3)

а поверхность задана уравнением

f(x, у, г) = 0,(4)

где

f = — % (a# + 2Ьху + с/) + z.(5)

Единичный вектор нормали п определяется формулой

П = V//I V/1 = ~ [ - (ах + by) е* -(Ьх+су) % + (柒)],(6)

где

^ 曰[(ах + by)2 + (bx+су)2 + Ip *(7)

Заметим, что поскольку в начале координат п = ег, то векторы еж и % можно выбрать в качестве базисных векторов, принадлежащих поверхности (в начале координат). Тогда

4 "b с4 "b с场场поскольку в метрике (3) коэффициенты аффинной связности обращаются в нуль. Учитывая, что в начале координат NiX = N у = 09 получаем

4 "b с

4 "b с

场

场

Характеристическое уравнение имеет вид

а — К h

О = det (《/ — Kgij) =(8)

где gy мы найдем, рассматривая сужение метрики (3) на поверхности (5). Поскольку в начале координат dz = 0, то в этой же точке gfy = 6^. Главные кривизны, найденные из уравнения (8), оказываются равными

* с + а . с—аГ.4加 р/2°

Им соответствуют собственные векторы

,——=0,

b с— K±J[y^

Решая уравнения, находим

У ± = (е*+а±е J/0七a±=Y[l±(l+V-2)V2],0 = (1+唱)叫y = (a — c)/2b.

Решение 935. Из уравнения Гаусса — Кодацци (задача 9.32) получаем

2Rm仆=❷晚办+ £ (К/冰严一 KthK/)

Свертывая по /и, / и no r, ft и подставляя {^Rmifk = 0 (3-простран- ство плоское), находим скалярную кривизну

BR = — ZK¥K『 — KfKQ・(1)

В произвольной очке Р на S выберем оси координат так, чтобы они совпадали с главными направлениями кривизны, и условимся считать координатой %’ расстояние от точки Р, измеряемое вдоль ьй оси. Тогда в точке Р (начале координат) ©g^ = 6廿 и тензор кривизны К〃 диагональный, причем на его главной диа-

10*

гонали стоят главные кривизны. Следовательно,

⑵R = t良+青一儲+ ±丹 =爲

где мы положили e = n n= + 1.

Для 3-мерной гиперповерхности Е в плоском 4-пространстве из уравнения (1) получаем

⑴r=—呜+青+青一偿+卡+日1 =

/2.2

=8( —— +\ Plp2 1 РзРз

ГЛАВА ]0

Решение ЮЛ. На 2-сфере задана метрика ds2 = d^ + sin2^d^9 от нуля отличны лишь коэффициенты аффинной связности Г% = Г%^ = ctg О, Г^фф = — sin О cos 仇 Из уравнений Киллин га

U;p + 瓦泌 &，В + &В，а — 2Г%蟲=О получаем

при а = р =(р5ф,ф = —^sin^cos^;(1)

при а==В = О玩о = 0, следовательно,自仆工八屮)； (2)

прн а == О, р =屮 U<₽ + 品用=2 ctg ^Ф.(3)

Подставляя (2) в (1), находим

&ф，(р == —/(ф) sin 3 cos % откуда

&$П一尸(9)sin " cos 0+g ⑼，(4)

где 尸(屮)三 Jfd(p. Подставляя затем (4) и (2) в соотношение (3), преобразуем его к виду

^ + 黑一尸(C0S2 О - Sid 0) = 2 ctg е g - 2 cos* 8尸， или

备+尸(中)=-儒-2 ctg 0g⑼).

Поскольку левая часть зависит только от ф, а правая — только от 3》каждая часть должна быть постоянной:

計"3,(5)

芻 _2ctgeg = — b.(6)

Уравнение (6) имеет интегрирующий множитель

ехр[ — 2 J ctg 9 d"] sin~2 也

поэтому его можно представить в виде

откуда

g") =(bctg ^+с) sin2 й*.(7>

Уравнение (5) легко решается после однократного дифференци* рования:

律+/=&

f = dcos(p + esin ф,F = d sin ①一е cos ф.

[Постоянная интегрирования включена в g(2)・] Подстановка решений в (5), т. е.

—d sin 屮 + с cos 屮 + d sin 屮一c cos 屮=b,показывает, что b = 0. Но тогда из уравнений (2) и (7) получаем^^d cos ф +е sin 屮=『，

5Ф — с sin2 О — sin 9 cos 3 (d sin 屮一с cos 屮)=sin2 Of.Запишем, таким образом, вектор Киллинга наиболее общего вида^

Заметим, что он является линейной комбинацией трех векторов Киллинга:

sin 屮 M + ctg 9 cos <р^, представляющих собой не что иное, как генераторы группы вращений — обычные операторы моментов количества движения L名,и Lyt

Решение 10.2, Утверждение задачи можно доказать непосредственно, если воспользоваться покомпонентной записью уравнений. Другой подход состоит в том, чтобы свернуть Z匿 слева и справа с двумя произвольными векторными полями А и В:

О = А • Z讼• В =第式 А • В) — В • ZgA — А • ZgB =

==▽式 А・В)-В・(^А-Пд)-А・(ПВ-57в9 =

==B.Va§ + A.Vb§ = 2 №6空 з 卽

Поскольку векторные поля А и В выбраны произвольно, величины &(仪；6)должны обратиться в нуль. Геометрический смысл этого утверждения станет ясен, если вспомнить, что производная Ли любой геометрической величины 屮力 представляет собой функциональное изменение этой величины,

6办三9*1淤)一嗝吁(步)，

под действием смещения координат на |, эквивалентное изменению фд при перемещении на | по многообразию. Следовательно, ^сли мы хотим, чтобы производная Ли метрического тензора g вдоль g обратилась в нуль, то геометрия многообразия не должна изменяться при движении в направлении, задаваемом вектором 三, т. е. вектор 自 должен указывать направление симметрии пространства-времени.

Решение ЮЗ

Воспользуемся отношением эквивалентности, доказанным в задаче 10.2. Если и и v —векторы Киллинга, то 必ug = Zvg = 0 и, используя полученное в задаче 8.16 соотношение для 必皿,打, находим

Z[u,v]g = (ZuZv — ZvZu) g = 0.

Следовательно, [u, v] — вектор Киллинга.

Если а и b — постоянные, то

(叫! + bv^ =叫^ + Ь%в

Следовательно, если векторы и и v удовлетворяют уравнению Киллинга, то их линейная комбинация au+bv также удовлетворяет этому уравнению.

Решение 10.4. Тремя векторами Киллинга, описывающими вращения, служат операторы момента количества движения 丿纟= —хду — удх и т. д. (см. задачу 10.1). В точке (х0,如,г0)

Jг~{—%, ^0» 0)>

“(％, 0, — %J

J“ =(o, —4, %),

поэтому 丿尸一[zjy^ Jz — (хо/Уо) Jx и линейные комбинации трех векторов в точке порождают лишь 2-мерное пространство.

Предположим, что при некоторых постоянных а и Ь соотношение

a厶+ 6厶+/2 =。

выполняется во всех точках. Тогда

откуда Jz 〜"что, очевидно, невозможно. Следовательно, на всей сфере линейная оболочка векторов J*, Jy9 Jz представляет собой 3-мерное пространство. Кажущееся противоречие объясняется тем, что 2-сферы 2-мерны, но ориентации 2-сфер 3-мерны （чтобы задать ориентацию 2-сферы, необходимо указать, например, 3 угла Эйлера）.

Решение 10.5. Как показано в задаче 10.3, коммутатор двух векторных полей Киллинга является векторным полем Киллинга. По предположению любой вектор Киллинга можно представить в виде суммы （с постоянными коэффициентами） векторов g⑴ и 自停）： ［自（哂，自3）］=若（叫+塊（力

На бесконечности 自（屮）一> d/d（p и 自《）-> d/d% поэтому коммутатор ［^（ф）, |（/）］->0. Это означает, что постоянные а и & должны быть равны нулю, т. е. что коммутатор векторов Киллинга 自（屮）и g（0 тождественно равен нулю. （Картер ［Carter В., Comm. Math. Phys., 17, 233, （1970）］ доказал, что 隹（叫，自（f）］ = 0 при весьма общих условиях, даже когда существуют другие векторы Киллинга.）

Решение 70・6・ Коммутируя вторые производные любого вектора, получаем

互;％ 一 §л; Av = ^（iaXv^°*

Воспользуемся уравнением Киллинга

占（1； V =&V； |Х

и свернем это тензорное соотношение по ц и X:

1；% + К%&° = — （也/匕

Правая часть обращается в нуль, поскольку в силу уравнения Киллинга ^ц —0, а левая часть совпадает с левой частью уравнения, приведенного в условиях задачи. Вариационный принцип выписывается без труда, если заметить, что тензор &貝；* антисимметричен, так же как и тензор электромагнитного поля F^. Известно, что если F^v представить в виде

^hv = 4；卩—4 貝；v = 4» и — &, v

и проварьировать Ли, то функция Лагранжа "园尸” породит член F^； v. Следовательно, плотность лагранжиана можно взять равной

и вариационный принцип

6 $历|g广厶d&x = 0

даст правильное уравнение. В этом нетрудно убедиться, если записать уравнения Эйлера — Лагранжа для найденного лагранжиана.

Решение 10.7. По определению R^a для любого вектора g выполняется соотношение

Wo; р|х 一 gg; цр = R九ирцЕ*・(О

Добавив к нему еще два соотношения, получающиеся при перестановках индексов, и воспользовавшись циклическим тождеством для тензора Римана

R'wi+R\tup + R'puu ~ °, найдем тождество

0 = Еи; рн — Eg; up + Er; <7p 一 E(i; рст + Ер; цл — Ер;叩・(2)

Для вектора Киллинга оно упрощается и принимает следующий вид:

0 = 5а; рц — %； |хр — £; рв(3)

Подставляя (3) в (1), получаем

£； ри ~ R%pn&*・(4)

Решение 10.8. Прежде всего докажем, что «стационарность» эквивалентна существованию временной координаты, для которой gaB f = 0. Выберем временную координату так, чтобы g = d/dt. Тогда (см. задачи 10.2, 8.3)历處=0, или

gaB，RY + gaYD，B+gBY5，a = 0・

Поскольку 5 = (1, 0, 0, 0), то отсюда следует, что gap^ = O.

Инвариантность относительно обращения времени (определение I) означает, что метрика gap не зависит от / и

g〃 = °-

Эквивалентность обоих определений будет доказана, если мы установим, что равенство g^ = 0 эквивалентно гиперповерхностной ортогональности вектора g = d/dt.

Если g拉=0, то при ау=/

Ba = ga^P=gaZ = 0

и, следовательно, ^ 〜tg т. е. вектор g ортогонален поверхностям / = const.

Если вектор 自 гиперповерхностно ортогонален (см. задачу 7.23), то

瓦а; р&у] = 0・

Пользуясь уравнением Киллинга

В(а: В)= °，преобразуем это соотношение к виду占 а;成丫 + 瓦;сЛв + 糸；Лх = 0.

Свертывая с 5а и используя уравнение Киллинга для преобразования первого и третьего членов, получаем

J (8 в -録 a) F + ；昆訪0 — ｝『，第а = 0,产三自•自，

''(丁2, “;a-(l几);0 = 0.

Следовательно, ^~2^а —градиент, и при некоторой функции h

Еа =己九а・

Поскольку ^ = gtt и & = g* то gar = gff瓦а. Полагая а = 2, получаем 力"=1, или h — t+f^). Выбирая новую временную коор* динату / = /+/(%) находим

g〃，— g"九,/ = g〃%‘, i = 0 и

>’=桨眇=晔=(1, °，°- °)- dxp dt

Таким образом,且邓 по-прежнему не зависит от，.

Решение 10.9. Выберем систему координат, в которой метрика совпадает с метрикой пространства Минковского 刀卩丫 (все символы Кристоффеля равны нулю). В этой метрике уравнение Киллинга для вектора Киллинга | имеет вид

2自(同 % Н 自以," + £,妙=0"(0,

Перечислим линейно-независимые решения уравнения (1) и приведем их классификацию:

Векторы Киллинга, порождающие трансляции:

E『 = aj, t = l,2, 3, 4,(2>

где а/ —постоянные векторы.

Векторы Киллинга, порождающие повороты:

段=0, *皿仆也=1, 2, 3・(3>

Проверка:

Er 3 V)= Е« (/,/) = Хт* (j&i) Am = 8加(产j) Am " ^A (⑺=0*

Векторы Киллинга, порождающие бусты:

— 论=1, 3.(4)

Проверка:

^,v)=ylW+6M]]=o.

Соотношения (2) — (4) задают 10 векторов Киллинга в системе координат, в которой gnv = (—1, 1, 1, 1). В любой другой системе координат компоненты £р для i== 1, 2, ..., 10 можно найти, преобразуя их как векторы.

Решение 10J0. Изменение скалярного произведения и • § вдоль геодезической определяется выражением

Vu(u^) = (Vuu).g + u.(Vu|).

Но Vuu = 0, поскольку и — вектор, касательный к геодезической» з u-Vu^ = 0, так как g —вектор Киллинга. В покомпонентной записи получаем

4 ,匕自=〃"〃咤a; В = 〃"〃%(а；в) Н。，

Следовательно, вдоль геодезической u-g = const.

Решение /0・〃・ Дивергенция вектора J равна

此 и = (丁妙弋 J ц = Т 叫 & + Т^, и = 0 + Т^ 旧=0.

Если 三=d/dt. то на бесконечности, где g00 =—1, J^ = Т% = — Т“. Следовательно, для стационарного наблюдателя J совпадает с вектором потока энергии, но имеет знак минус.

Решение 10.12. Согласно задаче 10.11, подынтегральное выражение 丿仪匕7“6自° представляет собой сохраняющуюся величину: 加;а = 0. Этот результат следует из тождества

尸;a = (|gMJa),a|g|—%

財 теоремы Гаусса:

0 =，*:a I g f/"气=，(I g|""户),d% =勺户 d3 工== "а0£аТМ£а・

Мн предполагаем, что на бесконечности J стремится к нулю достаточно быстро и влиянием краев гиперповерхности можно пренебречь. Следовательно, интеграл, приведенный в условиях задачи, не зависит от выбора пространственноподобной поверхности "・

Решение 10J3. Из задачи 10.11 известно, что для любого вектора Киллинга | вектор J^ = T^v сохраняется, т. е.

北l風一"(@%*)，a = 0.(1)

Из задачи 10.9 мы знаем, что в плоском пространстве-времени существуют 10 линейно-независимых векторов Киллинга 守⑴， i= 1, 2,.・.,10. Им соответствуют 10 сохраняющихся векторов:

/%)三T噴….(2)

Соотношения (1) и (2) позволяют построить 10 глобально сохраняющихся величин:

Q(；) = \lgMJ°a)d% 1=1,2，…，10,(3)

поскольку

噺=，(lgMJ(，)°),od3x = - §(|g #</(/),从以== TlgM«WdF.

Последнее выражение имеет простой физический смысл: это поток вектора J(n через (2-мерную) поверхность, ограничивающую объем, по которому производится интегрирование. Если тензор энергии- импульса Т на больших расстояниях спадает достаточно быстро и объем, по которому производится интегрирование, бесконечен,, то поток обращается в нуль и dQ⑴/成=0. [Другое доказательство использует решение 10.12.]

Векторы Киллинга, порождающие трансляции, приводят к четырем величинам Q, соответствующим сохранению энергии и импульса. Векторы Киллинга, порождающие повороты, позволяют составить три величины Q, соответствующие сохранению момента количества движения. Физический смысл трех величин Q, к которым приводят векторы Киллинга, порождающие бусты, станет ясен, если их записать (например, в плоских декартовых координатах с gv = [x, —Z, 0, 0]) следующим образом:

Q = \ 7'0v^v dx dy dz =

=\ xT^ dx dy dz — t \ TQx dx dy dz =

=%U. м.Мц. M. - /Р*ц. M. = & M. (/. M. — % M」)・

Это не что иное, как компоненты сохраняющегося «первоначального равномерного движения» центра масс (ц. м.) системы. (По определению

%& м. == J хТ°° dx dy dz/\ Т00 dx dy dz.)

Решение 10.14. Компоненты 4-скорости и равны

(знак минус выбран для того, чтобы член в скобках был положителен), поэтому

* -[(_歸Y)%十(一瓦尹)%J(一 “片/工.

Второй член в квадратных скобках обращается в нуль, так как “вР^ = &(т；в)『» = о.

Поскольку Еа；в =——Вр；а, то первый член дает

—瓦;書 一 1 GpM); а _ 1 ri / t t₽H

。a -- 万(旣Y)，- T11口(一 証自 % a，

Решение 10.15, Рассмотрим частицу с массой покоя 卩 и сохраняющейся энергией £ = — р ■ |, где р - 4-импульс, a g — времениподобный вектор Киллинга. Для траекторий, проходящих через заданную точку пространства-времени, допустимы не все значения E/r. Например, если радиус стремится к бесконечности, то должно выполняться неравенство £/ц^ 1. Чтобы найти верхнюк> и нижнюю грани значений £/ц для произвольной точки, построим в этой точке ортонормированный репер. Пусть 4-скорость частицы и обладает компонентами (у, уи), где и — 3-вектор и у = (1 — ^2)—^2, а времениподобный вектор Киллинга | — компонентами (g0,百，где g—3-вектор. Отношение энергии частицы к ее массе покоя определяется выражением

-~- = — 口•自(£) =Y(Wo —0岳)，(1)

где точка означает скалярное произведение в локально евклидовом 3-пространстве. Необходимым (но не достаточным) условием экстремума (задающим верхнюю и нижнюю грани допустимых значений £/ц) служит соотношение

不用=土啕(2)

где v = \v\t 己三隹|. Необходимо различать 2 случая.

Если I — пространственноподобный вектор (например, в эргосфере черной дыры Керра), то ^0<В. В этом случае, как следует из соотношения (1), допустимы любые значения £/ц, т. е. -cо < £/ц < + 8. Эти неравенства дают ответ на вопрос задачи для областей, в которых | ——пространственноподобный вектор. Бесконечные пределы соответствуют и-> 1 с двумя знаками, приведенными в соотношении (2).

Если же I — времениподобный вектор (например, при радиусе, стремящемся к бесконечности), так что 5о>?» то правая часть соотношения (1) всегда положительна и существует конечная нижняя грань значений, принимаемых отношением f/ц. Подставляя

в (1) соотношение (2) с верхним знаком, получаем

宙 + 乎/心)u2 一 2输 0 + 因一Е^) = 0.

Экстремум отношения £/ц мы находим, полагая равным нулю дискриминант этого уравнения, квадратичного по v:

0^(ЕШ(Е/^~^ + Щ

Корень Е/[х = 0 ложный. Отбрасывая его, получаем нижнюю грань отношения £/|л:

(e加)2 =疏一f=一自心

Итак, область допустимых значений £/ц в произвольно выбранной точке для времениподобных векторов 自 зависит от нормы вектора Киллинга в этой точке:

(—6自产 WE/N V+8・

Решение 10.16. Для пробного электромагнитного поля необходимо лишь проверить, что в заданной исходной метрике выполняются уравнения Максвелла. Если векторный потенциал 4“一 вектор Киллинга, то

4匕展=0,

т. е. соблюдено условие Лоренца, и, пользуясь результатом, доказанным в задаче 10.6, и тем, что в пустом пространстве R% = 0, можно записать волновое уравнение

Если в пространстве Минковского введены сферические координаты и А 〜d/d(p, т. е. отлична от нуля лишь компонента векторного потенциала Д(р = const, то 4苏〜г sin 9, или в обычных 3-мерных обозначениях

К= arsin Се而 (а — постоянная). Следовательно,

豆=0 и В = V х 才=2а(cos9目一sin%) = 2ае*.

Это означает, что существует однородное магнитное поле, параллельное оси z. (Эту задачу предложил Роберт М. Вальд.)

ГЛАВА II

Решение ILL

1)^=^®р + Ах®^-|®Ах-р®^1 =

= u®p —р®и=-^-р®р —р®-^-р = О.

Рассмотрим моменты времени непосредственно до столкновения и сразу же после столкновения. Поскольку все частицы при столкновении находятся в одной и той же точке, то

Ах(/г)|до — Ах(й) {после = Ах

(где Дх — смещение в точку столкновения) и, следовательно,

У J (h) 'после = А X 0 £ P(fe) |после — (£ P(h) 'после^ ® Ах =

(А)(А)'⑷/

=Ах 8 £ Рз)卜。一 (£ р(&)%。) 8 Ах = £ J W |“。，

依)\ (А)/(А)

поскольку полный импульс £р(а)при столкновении сохраняется.

(*)

Решение 112

«Плотность момента количества движения» J«By, определяемая соотношением

jaBY = 2%[°TB]Y = Л^Т^ —尤Врх”

удовлетворяет уравнению

jaBY, Y = 6厶7By + хагв" Y 一 6%7s-^t^, 丫 = Т做 一 T^ = 0.

Следовательно, по теореме Гаусса

J^ =，尸断 d3 &

——сохраняющаяся величина.

J&B (х° + а°) = ^(ааТ^ - 口吋叫)4р£у + J«B (х°).

Таким образом, величина Ja^ не инвариантна относительно трансляций (моменты количества движения относительно разных точек различны).

Рассмотрим производную спина по времени:

По доказанному в п. «а» первый член в правой части обращается в нуль. Второй член также равен нулю, поскольку на систему не действуют никакие силы (du6/dt = 0). Следовательно, dSa/d/ = 0.

По доказанному в п. «б»

*В (%。+ a。)=步严 一 jpa + 尸0(%。)， поэтому

Sa (%。+ a。) = 一 ； ％川6 (aap° — a°pa) p6/| P I + Sa (%。).

Поскольку первый член в правой части обращается в нуль (е — полностью антисимметричный тензор, а Р" входит квадратично), то Sa (x° + a0) = Sa (х°).

Решение 11.3, Из определения внутреннего спина Sa, пользуясь полной антисимметричностью тензора в и симметричностью произведений 山吗 получаем

〃"Sa = - у 8呐6 J*〃%a =0.

Решение 〃・4・ Рассмотрим наблюдателя в локальной инерциальной системе отсчета, сопутствующей центру масс гироскопа. Поскольку к гироскопу не приложены никакие моменты, то с точки зрения этого наблюдателя ось спина не прецессирует и поэтому dS/df = O. Но в той же системе отсчета 4-скорость гироскопа равна и = (1, 0), поэтому условие равенства нулю суммарного момента, приложенного к гироскопу, можно записать в виде

VUS ~gu,

где g — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. Величину g мы найдем из соотношения ортогональности S u = 0:

0 = Vu (S • u) ~ (VUS) • и + S • (Vou) = ^11 • u-[-S • а = —g+Sa

Следовательно,

VUS == (S • а) u.

Это соотношение представляет собой не чю иное, как перенос Ферми —Уокера:

VUS = (S • а) u — (S • и) а

при S- и = 0.

Решение 11.5.

а) При вычислении момента количества движения относительно центра масс в системе центра масс следует иметь в виду, что

т. е. начало координат совмещено с центром масс, и \厂＜4%=0,

т. е. суммарный момент количества движения относительно центра масс равен нулю. Таким образом,

J/o =^3х(хгТ00-/Г°) = 0,

или в обозначениях, не зависящих от выбора системы отсчета,

б) По определению 4-вектора спина Se имеем

-^Syu6 = у E^^vaJ^Ui.

Суммируя по у (см. задачи 3.27, 3.28), получаем

-у ^J^u°u& = — J%6〃6 =产 _ S耶.

[В сумме сохраняются лишь члены J&B. По доказанному в п. а J не содержит индекс 3, поскольку умножается на «в-]

Решение 〃・6・ Вычислим сначала полный момент количества движения. Выберем систему центра масс и примем за начало отсчета О столкновение тел А и В. Относительно события О тела А и В обладают лишь внутренним моментом количества движения (см. задачу 11.5), поэюму

/а,6 (О) = s^ + S^^= —濟卽v/Sguv + S優价.л + вЛ В\А А В В )

По закону сохранения момента количества движения выражение, стоящее в правой части, равно J^ (О). Подставляя его в соотношение для вектора спина, получаем

=У %сф俨бит ©吟V + S^ 夕.

Как доказано в задаче 3.28 (см. также задачу 3.27),

Следовательно,

So =—觉X(S 得 v + Sma) 〃九= сд А ВВС

= — SG (u-u)-Sa (u-u) + 〃a(S-u)+ua (S-u).

А А С ВВС A A С HBC

Подставляя (P + P)/|P + P| вместо u, получаем выражение для

А В А В'С

S, которое требовалось найти.

Решение 1L7. Уравнение томасовой прецессии (см. задачу 11.4) имеет вид

•g = u(a・S).

В лабораторной системе отсчета мировая линия частицы описывается уравнениями

х = rcos(о/,y = r sinsf

(s и г —постоянные). Следовательно,

и0 = у, 〃* = 丫" = — sry sin sf, uy = уа)г cos(о/, иг = 09

где 丫三(1 —产硝一%. Ho a = du/dT, поэтому

a。= 0 (у = const), a" = Y"^"，°’ = — Y282r sin sf, az~0 и

S • а = Sxax + S%y ——炉厂丫圖 cos sfS* —(o2ry3 sin s/S%

Таким образом,

(1)(1)⑵⑵⑶⑶dSQ dS。 о / а , =〃(a・Sf(aS,

(1)

(1)

⑵

⑵

⑶

⑶

= Y^^- = 〃* (a • S) = —(ory sin sf (a - S),dsy dsya

H = 3 (a • S) = wry cos s«a • S),

⑷

Введем радиальную и тангенциальную компоненту вектора спина:

S* = Sr cos со/ — S° sin 叫Sp = S' sin sf + S仆 cos cot

Из уравнений (2) и (3) получаем dSr со R = sS6,(5)

*=_3产屮.(6)

Уравнения (5) и (6) можно записать в виде одного уравнения второго порядка и, решив его, найти Sr:

= — 3272sL z=^ Sr — A cos (syf + а),(7)

где Д, а —постоянные. Тангенциальную компоненту спина получим из уравнения (5):

S* = — 丫4 sin ((ду/ + а).(8)

Компоненты вектора спина S в декартовых координатах определим из уравнений (4), (7) и (8):

Sx — A [cos со/ cos (syf + а) + у sin <о/ sin (syZ +а)],(9а)

S^ = 4 [sin sf cos (syf + a) — у cos sf sin (coyf + a)],(96)

Sz = const.

Запишем начальные условия

S* = %(2)-%, Su = 0, Sz = ^■九(9в)

(Мы не рассматриваем здесь квантовомеханический смысл спина электрона, но тем не менее считаем желательным, чтобы выполнялось соотношение $2 = 3方2/4.) Из этих условий следует, что а = 0, 4=力(2)-%=, и соотношения (9) можно представить в виде

S* +/y = 2_‘/喷[g-"Li)®f + j(] _y)sin (绅/)8叫.(10)

Первый член в правой части соотношений (10) и (9в) указывает на прецессию вокруг оси z с угловой скоростью

8томас = (у— l)(d^y V2co,(11)

в то время как второй член в правой части соотношения (10) для электрона в атоме мал (1—丫^ — ■v2j.

Решение 11.8* Воспользуемся для вычислений локально лорен- цевской системой отсчета, сопутствующей центр у масс тела. Рассматривая центр масс как исходную точку в уравнении расхождения геодезических, запишем относительное ускорение элемента

массы в положении хЛ

(1)

Тогда l-я компонента момента, приходящегося на единицу объема, равна— е? ?产'pR? 6 金 6* где р —плотность массы в точке пространства J. Полный момент, представляющий собой не что иное, как производную по времени от внутреннего момента количества движения, имеет вид

= - ％ ? /『6 2 6 § P”d3%(2>

если считать, что тензор Римана R)6 £ 6 приближенно постоянен в пределах тела. Вследствие симметрии произведения е; f ； ^ 5 ^g уравнение (2) эквивалентно уравнению

dS 2

-^-= - %?#2内篁金6，(3)

где

力 2 三 , p(/*2 一 •^戸6?金)d3%.

Если тензор квадрупольного момента /®В определить так, чтобы /аВ〃В = 0, т. е. чтобы в локально сопутствующей системе отсчета он имел лишь пространственные компоненты, то инвариантная тензорная запись уравнения (3) будет иметь вид

蜜=热也齡。必"种。加(4)

Заметим, что в случае сферического тела или тела достаточн малых размеров, когда приближенно выполняется равенство

(Тензор Римана) х (Размеры тела)2 ^ 0, уравнение (4) вырождается в уравнение

OS*/dT = 0・

(См. задачу 11.4 при а = 0.)

Решение 11.9. Воспользуемся двумя системами координат. Пусть XYZ — пространственные координаты локально лоренцев- с кой системы с пространственным началом, совмещенным с центром масс Земли. Плоскость эклиптики совпадает с плоскостью XY. Условимся предполагать, что с точки зрения земного наблюдателя Солнце и Луна движутся в этой плоскости по круговым орбитам. Пусть xyz — пространственные координаты аналогичной

лоренцевской системы отсчета, но с осью г, параллельной моменту количества движения J Земли. Выберем ось х параллельно оси X. Базисные векторы двух систем координат связаны между собой, соотношениями (фиг. 25)

& = ех, еу — cos 中勿—sin ^ezt 统 =sin屮匆 + cos屮ez・

Здесь 屮〜23|■。——угол между J и осью Z, который остается постоянным, если пренебречь небольшой нутацией. Вектор J прецессирует вокруг оси Z с периодом Г, который требуется определить.

Пусть е^ —единичный вектор, направленный на Солнце. Если в системе координат xyz Солнце имеет сферические координаты (г®,令，<ра), а в системе AYZ —сферические координаты (г^, л/2^ 屮◎), т。 …

cos 窃=% • е© =

—(sin 屮匆 + cos q：ez) • (cos <p,ex + sin 屮，匆)=

=sin 屮 sin ф .；

и аналогично

sin 3 sin 屮=q•焉=cos 2 sinq)7),

sin ■O' cos ф = ex • 60 = cos 屮

Из задачи 11.8 известно, что движение вектора собственного момента количества движения Земли J во внешнем гравитационном поле описывается уравнением

где компоненты момента N равны

N1 = — ^ijk^Jm^kQmQf

а тензор приведенного квадрупольного момента определяется шра<

жением

Предположим, что Земля имеет сфероидальную форму с моментом инерции С относительно оси вращения и моментом инерции А •относительно экваториальной оси. Тогда в координатах хуг имеем

С = Jp(x2 + y2)d3x,

Д = J р (х2 4- г2) d% = \ р ®2 + г2) d3x.

Из компонент тензора 乡加 от нуля отличны лишь

2% = — § (С — ％),

乙 % =仇=0 (С — Д), в силу чего

N х = — (С — A) Rzoyo,

Nу = {С — Д) RgQxQt

М = 0・

В слабом поле (в пределе медленных движений)

dz дх1 *dz дх1 *

dz дх1 *

dz дх1 *

где Ф — ньютоновский гравитационный потенциал:

① utDconHUe + ①Луна*

Поскольку

Фсолнце(X, у, Z)=[俨一X：.)2 + (g 一专户 +(2 - 20)2]*，

ТО

@2 ①ЗМ( ;) sin О cos ^ cos ф

даФ I ЗМsin ^ cos ^ sin ф

Следовательно, Мзоме имеет в системе хуг компоненты

Afсолнце = За (С — A) sin 3 cos 3 (sin ф, — cos 屮，0)=

—За (С — A) sin 屮 sin 屮色(cos 屮 sin 屮百，一cos 屮①，0),

где а = М ；'/『3・ Учитывая, что угловая скорость обращения Солнца вокруг Земли во много раз превышает угловую скорость прецессии, которую требуется найти, Л/солнце можно усреднить по орбите Солнца. При усреднении член sin2(p?：. дает г/2, a sinjpv；cos(p^ переходит в 0. Следовательно, из компонент момента ^солнце от нуля отлична лишь компонента

心。3 = ^Солнце =今 & £ 一 /) sin 2 COS 屮.

Аналогичное выражение получается и для усредненного момента, создаваемого Луной (необходимо лишь вместо а взять b 三 財》/尸»). Следовательно, при / —0 в направлении оси X существует момент величиной

N 2(а + Ь) (С ~ A) sin 屮 cos 屮.

Это означает, что за бесконечно малый промежуток времени df вектор J получает приращение dj = Ndt в перпендикулярном направлении и, таким образом, поворачивается вокруг оси Z на” угол

% ― 7 sin ® — J sin '

Период прецессии ~ эю промежуток времени, за который угол 匕 изменяется на 2 л:

т — 2nJ sin i|)

Пусть J = Cs, где со —угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси. Тогда

—3 С — Л cos ф а + Ь "

Подставляя численные значения

С/(С-4) = 305,3,

屮= 23,45。，

(о = 7,292・1О-5 с-\

Л10- 1,989-1О33г,

/•©= 1,496 • 1013см(

М》=7,349 ・ 1023 г,

/•》—3,844 ■ 1010 см, находим

Т = 25 600 лет.

Согласие с данными наблюдений лучше 1%. Некоторую ошибку в вычисления мы внесли, предположив, что для земного наблюдателя Солнце и Луна движутся по круговым орбитам. Кроме того, орбита Луны несколько отклоняется от плоскости эклиптики.

Решение 11.10.

Наблюдатели обладают 4-скоростями и = ^/|^|, где |^| = =(—Е*Е)%・ Следовательно, если учесть, что [£ §] =0, то

Z职6 =①段=[三，u]=[网(一匕./%] 自.

Но поскольку g удовлетворяет уравнению Киллинга &(仪；6)= 0, то 网信吒) = (Н&)； 6守=2&；褚吒6 = 0.

Таким образом, 外e6 0- Кроме того,

Zrc? ~ °, так как векторы ел соединяют точки с равными значениями / на мировой линии любого наблюдателя (см. задачу 8 14).

2)①* =外3展^气® ... ® е^) =

= (^Q« - ₽)ea ® ... ® eg+^-^(^ea)0 ...❷^+… …+ Q"•伞电8®(^eg).

По доказанному в п. 1 в нуль не обращается только первый член в правой части, поэтому

(Zg)联…® =①昌(3…6)=网3 ••• 6)=令3…6

(напомним, что Q& …百一лишь скалярная функция). В единицах собственного времени скорость изменения тензорной величины Q равна

备 Qa …6 = VuQa -^ =y^yV修…8 备 3…自.

В локальной системе покоя наблюдателя уравнение прецессии имеет вид

dSt人人

следующим образом:следующим образом:dSB—х—= U*dt 01dSB—х—= U*dt 01е^Ц53(е^Ц53(где S — вектор спина гироскопа. Но е^；=空/£? = 〃&&^?金？， поэтому 4-мерный вариант уравнения прецессии можно записать

следующим образом:

следующим образом:

dSB

—х—= U*

dt 01

dSB

—х—= U*

dt 01

е^Ц53(

е^Ц53(

или, что то же,

嘗=%0瞰哂.

(1)

Мы хотим вывести уравнение вида (1) и определить

s. Изве-

стно (см. задачу 11.4), что S допускает перенос Ферми ■ т. е.

—Уокера,

VUS = (S • а) и и

(2>

S • и = 0.

Уравнение (2) преобразуется к виду

⑶

WS = (S・WW"/|^2, а из уравнения (3) следует

⑷

S•自=0.

Из (2) получаем

(5)

* = ZgS = %S_Vs£

(6)

Поскольку вектор 匕 выступает как (ненормированная) 4-скорость, то 喈 удобно разложить так же, как Vu (см. задачу 5.18). Так как g — вектор Киллин га, то величина ▽$ антисимметрична, и поэтому ее можно представить в виде

齊=(о + А 区匕一ЕХ А,(7>

где о)— антисимметричная величина, причем о)弋=0. Так как

(喈)y=隙=一自，(若)，

то

Итак, из уравнений (6) и (4) находим

令=—(S・v电火W・W)T + S•若= S・o)(8J

[в первом равенстве мы воспользовались тем, что Vsg = (Vg) S = ——S - V^]. Теперь ш необходимо выразить через некоторый вектор так же, как это сделано в уравнении (1). Чтобы проследить, как изменяется при свертке по тем или иным индексам первоначальный набор индексов, вычисления удобнее вести покомпонентно. Уравнение (7) в подробной записи принимает вид

Еа; В = &сф + /掘一&а』В，

что позволяет нам построить вектор, не зависящий от А:

0三④呻Y厶:В% =(9>

Выразим Sab через В:

З^рО乂8" = - 8耶自Y6常2，

臥Р。毋1 = 一3耶品6歌中

Поскольку(oapgP = 0, отличные от нуля члены встречаются лишь при у = к:

eXpax^SX = 一 2sp仃g乂e小。

Подставляя в уравнение (8), преобразуем его к виду

螟=Sm途=一；S^-B^ (然8尸.

Новое уравнение аналогично уравнению (1) с

3Y =扌炉 &F)T.

В силу соотношения (9) правая часть этого выражения равна ~般吒a； ₽^/2Ua.

Из п. 3 следует, что о)= 0 в том и только в том случае, если B[a； pgaj == 0. Но именно это и есть условие гиперповерхностной ортогональности вектора § (задача 7.23), т. е. статичности метрик (см. задачу 10.8).

Решение ПЛ. Уравнение переноса для спина гироскопа имеет вид

響= (S・a)〃a, S~a = 0.(1)

Локально измеренная производная /-й компоненты (относительно локально лоренцевской системы отсчета) вектора спина по времени равна

-*S尸备(Se?) = ^(S・e?) = s£e? =

=S ■ Г® 7 oea = Г®/ 6 Sa = rz / 0S)•⑵

(в этих преобразованиях мы использовали уравнение (1) и определение символов Кристоффеля). Пользуясь тем, что в ортонор- мированном репере символы Кристоффеля антисимметричны по двум первым индексам, уравнение (2) можно преобразовать к виду dS?

~dr = sikiQkSt,(За)

где

йа s е*//1 По-©б)

Необходимо вычислить символы Кристоффеля Г^^. Метрику на поверхности Земли приближенно можно записать в виде

ds2 = — (1 + 2ф) *+ (1 — 2ф) 6М d%，d 炉一4% d/ 力，(4}

где

Ф== — М〃 = © (е2),

五=要=0伯3)(5>

и J — момент количества движения Земли. Мы проводим вычисления в ньютоновском пределе, где скорости по порядку величины равны & (е), и сохраняем члены порядка е3. У наблюдателя со стационарными координатами в метрике (4) имеется ортонормиро- ванный базис 1-форм:

評=(1 + ф) 2/ 4- 2hf ЗхЛ 而7 = (1 —-ф)肠.(6)

Векторы дуального базиса, определяемые соотношением

〈曲，施〉=%，

имеют вид

е^ = (1 -ф)^. еу = (1 + ф)-£у - 2Л/ d/dt. (7}

Если гироскоп обладает 3-скоростью и〃 связанной с 4-скоростью соотношениями

勿=力〃°, u° = 1 — ф + у и2 (из u-u =—1),(8)

то в системе отсчета стационарного наблюдателя

®7, и〉/〈而* u) = (l — 2ф)ил®7, и〉/〈而* u) = (l — 2ф)ил(9>(9>

®7, и〉/〈而* u) = (l — 2ф)ил

®7, и〉/〈而* u) = (l — 2ф)ил

(9>

(9>

Базисные векторы в ортонорми рова ином репере, сопутствующем гироскопу, получаются из базисных векторов (7) под действием преобразования Лоренца — буста — t»y：

где

А% = у 三 1 + J 吟 А°?三 w『=А?б,

А 厶=8/* + (у — 1) у/v^/v2.(10}

Они оказываются равными

(H>(H>匕6 = (1 —屮 + ^ 炉)d/dl + (1 —屮 + ^ *)炉 d/汝匕

(H>

(H>

e『=[(1 — 3<р + ^ t?) U/- 2/i；j d/di + 回(1 + 屮)+ 千 VjVk^ldxk.

Символы Кристоффеля в ортонормированном репере можно найти по формуле

I А А А = (С А Л. А —I— /? А А А — Л А А А )

M-v а 2 \ U-va 1 p-av vap,/>(〔2)

0А А А = [СЛ . С Л 1 ' в А цV а [V] а*

Подставляя базисные векторы (11) и удерживая члены порядка

0(炉)，находим

+ [%./ -中"以 + У 吃% + 4 标%,， +U/%" +

+ у V/vmVk, m —У ^jV^,t — 0ntp /必-Vmy ⑵勿),m] 3/dxk.

Поскольку

(^/(Зх®) •(№₽)= gap,

TO

[e；, ea]・e》=^ 1 -<p + уo2)oft,z + vkvh/+U/Wft,, + у V/V^,m +

+ Um办％ m + y Vmvk^m,/ —у(斗力)」一 ^тф, m^/k — ^m у ®/办),m・

Следовательно,

回，е3]-е? -[eg, es]-e^ =(1-<p+i^)(ufti/-vAft) +

+ Um (沙或九m 一u/%,m +- U/Uffi,/ (13)

И

[e；, ej] = ^l -2(p + ~炉)％j + ⑦办」一3(pj“ +

+ ^"u：汐倉一2九尼,/+ } UQmD 机 m]d/6/+

+ [中,/6尼勿 + y (%%) J + }少(％%)"]0/@/"{/♦* 月卜 читкуда

Ie?，em•%=0-中+ ^"e)⑵，a-"J)+ 4(屮,/% -9,即力 +

+ 2 (加；"一Л/.а) + %?// — VfV^t-^-

+ yu«(u/恤倉 一 “Ug/ + 办力皿一。户斬 m).(14)

Таким образом, символы Кристоффеля имеют вид

「"6==；(修，％]•%+[»，％]*%—&，％】，е?)

=2 3/% - ф,组/) +九焉/ -九"+麥卜尼-57"一力"^}( 15)

гдегде(16)(16)dvy dvj dvy

где

где

(16)

(16)

元 w 丁 + 0m 痂=一中.，+令

Здесь а означает ускорение, создаваемое неинерциальными силами.

Для движения по геодезическим 立=0. Таким образом,

з

Г;^ = Т (屮"％ - ф. “/)A-hk.i-hj.k(17)

и соотношение (36) можно представить в виде

0 =年义发+ ^%x石.(18)

Если бы а#=0, то в (18) появился бы лишний член 1/2а хи, соответствующий томасовой прецессии.

Член 3/а^фхи называется «геодезической прецессией». Для частицы, движущейся по круговой орбите радиуса г,

сз М、

^геодезич =方(0濟0一％%)，

где

/ М(sin2 仔一sin2 a)1/s

時-一疝旷、

M V/, sin a

% — \ r J sin 3

—компоненты скорости частицы в сферической системе координат, a a — угол наклона плоскости орбиты к полярной оси. В рассматриваемом нами порядке теории возмущений по в не имеет значения, какие индексы мы используем: со знаком *или без него. Геодезическая прецессия по порядку величины составляет

◎геодезнд 〜"l^*)厶告〜8" В ГОД,

где R — радиус Земли. Член, не зависящий от и, называется прецессией Лензе — Тирринга:

Этот член посколькуЭтот член посколькуПосколькуПосколькуможно было бы также получить из задачи 11.10, с точностью до е32自喝можно было бы также получить из задачи 11.10, с точностью до е32自喝ТОТОf=1, m = _(1+2中)，目 = 一2%,Q‘ = 8,尼驚厶也，Q = V义九♦f=1, m = _(1+2中)，目 = 一2%,Q‘ = 8,尼驚厶也，Q = V义九♦ал-т = /(- /+ 0(了;？r)〜备〜0J" в год.

Этот член поскольку

Этот член поскольку

Поскольку

Поскольку

можно было бы также получить из задачи 11.10, с точностью до е3

2自喝

можно было бы также получить из задачи 11.10, с точностью до е3

2自喝

ТО

ТО

f=1, m = _(1+2中)，目 = 一2%,Q‘ = 8,尼驚厶也，Q = V义九♦

f=1, m = _(1+2中)，目 = 一2%,Q‘ = 8,尼驚厶也，Q = V义九♦

Решение 12.L Приравнивая гравитационное ускорение Gm!^ центростремительному ускорению(о2г, мы получаем закон Кеплера:

со = (Gm〃3)2.

Средняя плотность вещества внутри сферы радиуса г есть р =

=3加/4冗叫 Так что ю = (4nGp/3)2. Этот результат означает, в частности, что песчинка будет обращаться вокруг стального шарика вблизи его поверхности примерно с тем же 90-минутным периодом, что и спутник, запущенный на орбиту близ поверхности Земли.'

Решение 122 Пусть высота прилива равна А. Желая получить лишь грубую оценку, примем для простоты, что Солнце и Луна расположены в экватериальной плоскости (фиг, 26). Тогда»

Фиг. 26.Фиг. 26.СолнцеСолнце

Фиг. 26.

Фиг. 26.

Солнце

Солнце

если элшентарный объем воды в океане на широте экватора находится во время прилива в равновесии, то испытываемое им ускорение земной силы тяжести g(r) = — М^/r2 на «высоте» г = =/•㊉+ 九(здесь М^ и Гф — масса и радиус Земли соответственно) уравновешивается приливными ускорениями со стороны Солнца и Луны, отнесенными к центру Земли:

0 = g(e +力)㊉R澀Н цё +Г㊉r需胃.(1)

В это время в пункте, отстоящем по долготе на 90°, наблюдается отлив; соответственно для элементарного объема воды будем иметь

o=g (Г㊉-无)+尸㊉r澀”呪+尸㊉r^帛工⑵

Вычитая одно уравнение из другого, получаем

。=2/lg，(/•㊉)+ /■㊉(R澀Н“ё - ^еолнПе +A箱ia - 就窗).⑶

Отметим, что если бы мы ввели центробежные силы, то в уравнении (3) они бы взаимно сократились. Вычислим теперь компоненты тензора Римана в ньютоновском пределе (см. за：'.ачу 12.12). Нмеем 「心/ 6吵3"”ё

° X * =厅0

力гg1

-[(“ —^Солнце)2 十(Р — ^Солнце)2-1~(2 — 2Солнце)2] 2 -

и аналогичные выражения для других компонент. Для наших

случаев находим

дСолнце ^<1010(■^Солнце = ^Солнце = °,пСолнце АЮП)(УСолнне = ^Солнце ^ °,г)СолнцеАШО(^Солнце = ^Солнце = °,г^Сол нце 代的刘(i/Солнце ^ ^Солнце = 0,дСолнце ^<1010(■^Солнце = ^Солнце = °,пСолнце АЮП)(УСолнне = ^Солнце ^ °,г)СолнцеАШО(^Солнце = ^Солнце = °,г^Сол нце 代的刘(i/Солнце ^ ^Солнце = 0,^/Солнце = R) = М^/Ц,^, -^Солнь-е = R) = — 2 財 @/R3, i/Солнцс = R) = — 2A1®/R3, ^Солнце === R) == М *1 R。•^/Солнце = R) = М^/Ц,^, -^Солнь-е = R) = — 2 財 @/R3, i/Солнцс = R) = — 2A1®/R3, ^Солнце === R) == М *1 R。•

дСолнце ^<1010

(■^Солнце = ^Солнце = °,

пСолнце АЮП)

(УСолнне = ^Солнце ^ °,

г)Солнце

АШО

(^Солнце = ^Солнце = °,

г^Сол нце 代的刘

(i/Солнце ^ ^Солнце = 0,

дСолнце ^<1010

(■^Солнце = ^Солнце = °,

пСолнце АЮП)

(УСолнне = ^Солнце ^ °,

г)Солнце

АШО

(^Солнце = ^Солнце = °,

г^Сол нце 代的刘

(i/Солнце ^ ^Солнце = 0,

^/Солнце = R) = М^/Ц,^, -^Солнь-е = R) = — 2 財 @/R3, i/Солнцс = R) = — 2A1®/R3, ^Солнце === R) == М *1 R。•

^/Солнце = R) = М^/Ц,^, -^Солнь-е = R) = — 2 財 @/R3, i/Солнцс = R) = — 2A1®/R3, ^Солнце === R) == М *1 R。•

и Солнце уравнениеи Солнце уравнениеТогда см.Тогда см.расположены на одной линии, скажем на оси у. (3) даетрасположены на одной линии, скажем на оси у. (3) дает九квадр九квадр

и Солнце уравнение

и Солнце уравнение

Тогда см.

Тогда см.

расположены на одной линии, скажем на оси у. (3) дает

расположены на одной линии, скажем на оси у. (3) дает

九квадр

九квадр

Аналогичные соотношения получаются для гравитационного поля

Луны. Сизигийные приливы наблюдаются, когда Луна

Квадратурные приливы соответствуют случаю, когда Луна расположена, например, на оси у, а Солнце — на оси х. В этом случае

Разумеется, физические значения высоты приливов во многих случаях значительно превосходят наши оценки. Это обусловлено гидродинамическими эффектами — такими, например, как «хлюпанье» воды в мелководных морях 订 вблизи береговых линий сложной конфигурации.

Решение 12,3* С неплохой точностью можно считать, что твердое тело Земли под воздействием при ливообразующей силы, входящей в тензор Римана, деформируется линейно. [Это, однако, неверно для гидродинамических (морских) приливов.] Следовательно, фурье-спектр для земных приливов будет выглядеть так же, как и спектр компонент тензора Римана на поверхности

Земли. Поскольку (по крайней мере в ньютоновском приближении) приливообразующие силы линейно зависят от источников, мы можем рассматривать влияние Луны и Солнца независимо. Гравитационный потенциал, создаваемый массой М, помещенной в точке с геоцентрическими координатами %, у, г, имеет вид

U = M/(xz + y2 + z2)^.

Тогда в ньютоновском пределе компоненты тензора Римана равны 凡0*0 =020/@状=*(誓-1), 凡械=。2。2^ = *(吟)(1)

и т. п. для уу9 zz, у?, xz. В системе отсчета, связанной с вращающейся Землей, видимая орбита Солнца или Луны описывается стандартными соотношениями кеплеровской сферической астрономии (см., например, [1], т. 2, стр. 313):

X = r COS ® + и) COS ф/ —г sin (0 + и) COS 8 • sin <р/,

y = rsin(© + и) cos е • cos "+г cos (0 + и) sin 屮力 (2) z = г sin (© +v) sin e.

Здесь © и e —постоянные, равные соответственно долготе перигея и наклонению орбиты к экваториальной плоскости. Угол 屮2 есть часовой угол для вращающейся Земли:

W4 = 1

т 1 звездные сутки '

г — «радиус-вектор» и и —«истинная аномалия», дающиеся соотношениями

r = a(l —ecos £), cos v = (cos E —e)(l —ecos f)"1,

где a — большая полуось орбиты, e — эксцентриситет, a £ — эксцентрическая аномалия, определяемая из уравнения

Е — esinE = ~t = Qt9

где Т — период обращения по орбите. Оставляя только члены первого порядка малости по эксцентриситету е, после вычисления получаем

£ = QZ + ^sin Qf,

cos £ = cos Qf — e sin2 Qf,

厂8 = 口-8( ] + Зе cos Qf),

cos v = cos 0 + e cos 2Q/ — e.

Теперь, подставляя уравнение (3) в уравнение (2), а получившийся результат в уравнение (1), будем иметь

^/оао = ^- X (постоянные члены + члены, зависящие от времени /). При этом зависящие от времени члены имеют следующий характерный вид:

3 [(3 Ш- 2е 儲)^ + 2嘿)Q©) 2Qf] X'sin2e или

X sine cos" е (：*)叫 или

cos2Ne 儁2 $/

(здесь (黑)означает либо sin, либо cos, а показатель степени mN — любое целое число в промежутке от нуля до т включительно). Это выражение можно разложить по отдельным частотам с помощью последовательного применения тригонометрических тождеств, выражающих произведения синусов и косинусов через суммы членов, зависящих от сумм или разностей частот. В результате мы получаем следующие компоненты:

Угловая частота

Амплитуда (в главном порядке пое)

(I)

2(р

3

彳 COS 8

(П)

Ф

3 .N

工 Sin 8 COS 8

(III)

2Q 土 2ф

(IV)

2R 土 (р

3 .n

彳 Sin £ • COS 8

(V)

2R

у sin2e и —co^^e

(VI)

R ± 2(р

3e cos2Ne

(VII)

Q ± Ф

6e sin e • cos*e

(VIII)

Q

6e 卜in2g или }cos2"e)

(IX)

3R 土 2q>

3

攵"e cos ;v 8

(X)

3Q ± ф

3e sin 8 • cos^s

(XI)

3R

3e sin2 8

Для системы

Земля — Солнце е =

=23°,5, e = 0,017, Q = 2л/1 год

и ф = 2л/(1 звездные сутки); для системы Земля — Луна е = 0,054, 11 Заказ ЛО

Q = 2n/(1 звездный месяц); ф='2л/(1 звездные сутки), а значение е меняется в пределах 23°,5±5° в результате нутации узлов лунной орбиты с периодом 18,6 лет. (Последний факт приводит к дальнейшему расщеплению спектра, которым мы здесь пренебрегаем.) Используя эти значения и учитывая, что величина (財/а*) для лунной орбиты в 2,2 раза больше, чем для солнечной, можно оценить относительную величину перечисленных выше компонент и расположить их в порядке убывания интенсивности:

M(I), M(V), М(Н), М(Ш), S ⑴，S(V), M(1V),

S(II), 5(111), M(VI), M(VII1)...,

где M и S — члены, обусловленные соответственно влиянием Луны и Солнца.

Решение 124 Лаплас был первым, кто осознал тот факт, что эти два положения должны отличаться друг от друга. Оптически наблюдаемое положение Солнца на небосводе смещено за счет конечности скорости света; другими словами, приходящий от Солнца свет испытывает аберрацию на угол 9 = и/с, где и — скорость движения Земли по орбите. Далее, поскольку кулоновское гравитационное поле аберрации не испытывает, то, если бы сила тяготения была направлена в сторону смещенного положения Солнца, существовала бы компонента солнечного ускорения, равная {GM^/r^ (v/c) и направленная вдоль движения Земли. В этом случае энергия Земли должна была бы возрастать со скоростью

d (£/М@) — GM® 睥

Однако, поскольку Е/М@ =—^-GMq/г, мы фактически имели бы дело с потерей энергии, соответствующей увеличению радиуса земной орбиты со скоростью dr/dt = 2v2/c. Если учесть, что 絞= = GM@", это уравнение легко интегрируется:

Для земной орбиты г = 1,5-1013 см, и = 30 км/с, так что 9 〜10*4. Если теперь положить г0 равным, например, радиусу Солнца г0 = =7 • 1010 см, то i —/оя« 1(3-1010 с ^400 лет. Это значительно меньше, чем длительность геологического периода, в течение которого, как известно, радиус земной орбиты не менялся.

Решение 12.5& Световое давление внутри звезды дается формулой

尸изл = (%)

где {/йзл— плотность энергии излучения. Поскольку свет «диффундирует» наружу, многократно участвуя в процессах рассеяния, (/ЙЗЛ удовлетворяет уравнению диффузии, а поток излучения пропорционален градиенту (/изл:

г 3* изл,

где х — коэффициент непрозрачности (мы используем здесь его значение по Томпсону % = 5/® = 0,4 см2/г). Соотношение L = =4冗用，связывающее поток излучения с полной светимостью 上 звезды, дает

“Гизл 4лс「2 '

т. е. выражение для суммарного светового давления на элементарный слой вещества толщиной dr и единичной площадью поверхности. Приравнивая dP^ гравитационной силе, действующей на этот элементарный объем в направлении внутрь звезды, —GMp dr/r2, мы получаем значение эддингтоновского предела: 厶=増=1，38・10З8(急)Зрг/e.

Мы можем также получить этот результат микроскопически, заметив, что поскольку сечение рассеяния пропорционально (l + cos2^) и, следовательно, симметрично относительно направления рассеяния («вперед — назад»), то фотон с импульсом р передает электрону в среднем при каждом соударении импульс р. Если радиальная компонента импульса равна рг, то, хотя энергия фотона равна рс, его вклад в светимость (направленный наружу световой поток) уменьшается в с/и，= р/р「раз. Таким образом, радиальная компонента импульса, переданная одному электрону, находящемуся на расстоянии г от центра звезды, в единицу времени, как раз пропорциональна суммарной светимости в радиальном направлении Z (постоянной для всех значений радиуса):

(импульс)L/ ЙСО \ _ ^т

(времяГ =一而両—X 喜 х1—-—.

эффективноеимпульс,

число фотонов,приходя-

проходящих вщийся на

радиальном на-1 фотон

правлении через единицу площади в единицу времени

Импульс в единицу времени есть не что иное, как сила, и мы приравняем ее направленной внутрь силе тяготения, действующей

11*

на протон, связанный с рассматриваемым электроном:

LaT GM/zip

это приводит нас к тому же результату, что и полученный выше.

Решение 12.6. Пусть д/ и фе — гравитационный и электростатический потенциалы соответственно. Тогда потенциальная энергия электрона равна

①=m(产+约「

где zn и е — масса и заряд электрона, а сила, действующая на электрон, есть

戸=_V①.

В статическом случае не может существовать тангенциальная составляющая этой силы, направленная вдоль проводящей поверхности, и, следовательно, энергия Ф на внутренней поверхности должна быть постоянной. Пусть теперь внутри сосуда отсутствуют как массы (72(рг = 0), так и заряды (V2q)e = 0), так что С①=о Решение уравнения Лапласа V2O = 0 всюду внутри проводящего сосуда, представляющего собой эквипотенциальную поверхность, есть в этом случае Ф = const. Таким образом, если в это поле будет помещен электрон, на него не будут действовать никакие силы. [Примечание. Поскольку электрон помещается в центр сосуда, силами со стороны зеркальных зарядов можно пренебречь из соображений симметрии.]

Решение 12,7. По мере того как содержимое сосуда нагревается, его масса увеличивается пропорционально поступающей энергии в соответствии с формулой с2dAi = 7/2kN dT (коэффициент 7/2 появился потому, что воздух — смесь двухатомных газов; ^ — полное число молекул в сосуде). С другой стороны, центр тяжести массы газа повышается, что приводит к уменьшению веса, так как при этом увеличивается расстояние до центра Земли. Действительно, положение центра тяжести определяется формулой

2ц.т.= j pzdz/^pdz, р = роехр (-等z),следовательно, изменение zu>T> с температурой дается соотношением

^ц.т. k Г / nmgh

где т — средняя масса молекулы воздуха.

Результирующее изменение веса равно, таким образом, 伝等+ m备等•同=

Правая часть равенства становится отрицательной, когда

1-露>咨=。，122.1。弋

Это выполняется для 刀 >6,05 • 10"5, т. е. при h = 2kTx\/mg>218 см.

Решение 12.8. В силу уравнения Пуассона [/^==4лр0 имеем

Т”,广表(U,必,瓦 + U ,/U,在在一U, n/Ut л) = poU,/.

Следовательно, мы можем записать ньютоновское уравнение движения в виде

加, dtjh dU О

Р°^ =-不-Р°% =-荻(Т/+勿)/•(1)

Используем теперь ньютоновское уравнение непрерывности

Фо/^ + (Ро«6),й = О-(2)

Из уравнения (2) и выражения для «конвективной» производной d/df = d[dt + vk dldxk можно получить

ро ^~ = ро (而 + 冲""=(PoU/),f + (P 讷力),瓦， и тогда уравнение (1) можно записать в виде

(Ро5, f + (Т/а + t/k + Р2/办),也=0・

Решение 129 Рассмотрим виртуальное емещение 5; энергия должна быть стационарна по 6. Если мы включим в полную энергию гравитационную потенциальную энергию, соответствующую работе, проделанной приложенными силами или против сил, тогда приращение энергии для каждой отдельной силы будет иметь вид

dEi^—Frb — (dE『)@炉)•森

а приращение энергии за счет перемещения массы объекта равно 4Е = —М?6

Тогда

dEgH=_]冗・8(1—攀)_м?・8

для любого 6 и, следовательно,

Обратите внимание, что, относя гравитационный потенциал к центру тяжести, мы избегаем необходимости включать в рассмотрение гравитационную потенциальную энергию. (Этим замечанием мы обязаны К. Нордтведту.)

Решение 12.10. В предыдущей задаче мы нашли, что

^Fi^-g'Xt/c2) = — Mg.

Если р —давление, a dA — ориентированный элемент поверхности, то F = pdAt и приведенный выше результат приобретает вид

—\р(#)(1 —?• х/с^) dA =^ — Mg, или

—^р йЛ + ^ Pg* ^2 dA= — Mg

для постоянного 反 Теперь, подставляя значения

g~ — ^?r, x = dr^, dA = ±dAery получаем

-A[p(r + dr)-p(r)]er-dr^-er ^ р dA = —Mg= Айгр^-^ откуда следует

Этот результат справедлив в любой теории гравитации, в которой выполняется соотношение Tuv；v = 0 (такие теории называются метрическими), и не зависит от вида уравнений поля. Однако для нахождения массы М (г), определяемой так, чтобы локальное ускорение силы тяжести было равно g = — GM/r2f в каждой теории существуют свои собственные методы и процедуры.

Решение £2・〃・ Выделенной системой координат в ньютоновской теории являются галилеевы пространственные координаты л/ и «универсальное время» t Уравнение движения

也 дФ

можно переписать в 4-мерном виде:

丝=0

d九2十办八d九丿u.

Отсюда непосредственно получаем символы Кристоффеля:

=叔；все остальные raPv равны нулю.

Стандартная формула для компонент тензора Римана дает

R'o^o = —必00瓦=-7^7； все остальные RaM равны нулю.

О仪 дхк

Если предположить, что эти компоненты можно было бы вычислить из какой-то метрики, то тогда мы имели бы

„_ „а _ ^Ф

^/Ofeo = g/aN ОАО ^ gjm ^xm ^ •

Но в этом случае

RqM。= goaR00/在 0 = 0 =/= — R/Mo，

что нарушает свойство антисимметричности тензора 欠邮汕 которым он обладал бы, если бы получался из метрики.

Решение 12.12. Пусть ньютоновские траектории пробных частиц описываются уравнениями

N = N(f, п), где и —параметр, позволяющий отличить одну траекторию семейства от другой. Тогда вектор

f d dxk d ь д " 一дп 一 ~дП dxk = " 苏五

есть вектор, связывающий соседние траектории. Относительное ускорение соседних траекторий равно

где мы использовали уравнение движения @2//。* =——дФ/дх^. Уравнение расхождения геодезических имеет вид '

〃о=1+©(€); 〃 = ©(€); Г«? = ^(е2),〃о=1+©(€); 〃 = ©(€); Г«? = ^(е2),В ньютоновском пределе (скорости 〜е, гравитационные поля ~в2) имеем

〃о=1+©(€); 〃 = ©(€); Г«? = ^(е2),

〃о=1+©(€); 〃 = ©(€); Г«? = ^(е2),

а параметр 孔,связывающий события с одинаковым собственным временем, будет связывать с точностью до 6(e) события с одинаковым координатным временем. Таким образом,

D d I \

石= " + 6(€)

и параметр

需-—R)Q加+方(E).

Тогда в ньютоновском пределе компоненты тензора Римана выражаются через потенциал следующим образом:

必師=就7，

Обратите внимание, что, пока рассматриваемые скорости не приближаются к скорости света, другие компоненты 不伙6 не входят в уравнение относительного движения пробных частиц.

Решение 12.13. Ньютоновское тяготение обладает характерным свойством мгновенного «действия на расстоянии», причем одновременность определяется в ньютоновской теории с помощью срезов поля «универсального времени» Л Мы хотим найти реля- гивистски-инвариантное выражение для гравитационного ускорения в некоторой точке, записанное через распределение плотности вещества Т^ в остальной части Вселенной. Будем считать, что пространство-время всюду обладает метрикой Минковского. Поскольку в искомое выражение должна входить только компонента Т00, мы с самого начала будем использовать свертку тензора Tgv с двумя векторами «универсального времени»:

V/-T - V/ (или locT。叫в)・

Тогда гравитационное ускорение для частицы, находящейся в точке х и взаимодействующей с остальным веществом по закону- «обратных квадратов», будет иметь вид

:=const'

где I — пространственноподобный вектор, соединяющий точки х‘ и х, a dW —элемент собственного объема на срезе с постоянным значением t Это выражение еще не согласуется со специальной теорией относительности, так как вектор а не обязательно будет ортогональным 4-скорости частицы и. Следовательно, мы должны еще ввести некоторый проекционный оператор, после чего и получим окончательный ответ:

arpaB = Gj^?-[l + (uI)u]dV.

Это выражение явным образом согласуется со специальной теорией относительности, поскольку оно, во-первых, содержит в себе только геометрические объекты и, во-вторых, определяет некоторый геометрический объект а (для которого а-и = 0). Согласно этой теории, можно посылать сигналы со скоростью больше скорости света, изменяя распределение масс в какой-го точке. Тогда гравитационное поле будет меняться на поверхностях с постоянным значением t, а поскольку эти поверхности пространственноподобны, то они находятся вне светового конуса для всех наблюдателей. Тем не менее теория не является акаузальной, так как мировая линия каждого наблюдателя времениподобна, a f всегда возрастает в направлений его будущего. Подобным же образом f возрастает вдоль любого светового луча, который посылает наблюдатель. Следовательно, любой сигнал может в крайнем случае связывать события с одинаковыми /, но ни одна последовательность сигналов не в состоянии вернуться к данному наблюдателю в момент времени, предшествующий их испусканию. Эта ситуация диаметрально противоположна случаю тахионов (задача 1.6), которые действительно являются акаузальными. Разница состоит в том, что в рассматриваемой задаче скалярное поле £ уже содержит в себе некую «предгеометрию»: оно расслаивает пространство- время так, что при этом существует определенная универсальная упорядоченность времени, тогда как способ, которым «разрезают» пространство-время тахионы, меняются от наблюдателя к наблюдателю.

Решение 12J4. Будем рассматривать разность высот между частицами как вектор г] = (разность высот) %; тогда относительное ускорение, обусловленное гравитационными силами, равно

R为渺卄质

Поскольку частицы начинают двигаться из состояния покоя, то, если ограничить наблюдения коротким промежутком времени, можно считать, что и^^О, и поэтому

警=一R%0展

Компонента тензора Римана легко вычисляется для случая слабого поля:

Благодаря полю £ расположенная ниже частица будет испытывать вертикальное ускорение

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

Тот факт, что два члена в правой части кажутся вполне сравнимыми по величине, может поначалу вызвать некоторые опасения. Предположим, однако, что протяженность нашей лаборатории в пространстве-времени ограничена размерами А/ 〜L. Тогда к концу эксперимента гравитационные силы изменят разность высот между частицами 刀* на величину

Поскольку YVL,

6Tlz = 6(厶 3).

С другой стороны, изменение разности высот, обусловленное электрическим полем, равно

6Tlz〜一me*厶2 = 6(厶2).

Таким образом, если в достаточной степени ограничить пространствен нов ременные «масштабы» нашего эксперимента, то можно будет пренебречь гравитационными эффектами.

Решение 12J5. Геометрический объект, описывающий заряженную частицу, есть скаляр, вектор, тензор 2-го ранга и т. д. для спина, равного 0, 1, 2 и т. д. соответственно. Так, например, выражения для плотности заряда частицы с зарядом покоя д0, движущейся вдоль мировой линии х^ = zg(т) с 4-скоростью и,

суть:

(для спина 0);(для спина 1);(для спина 2)；(для спина s).(для спина 0);(для спина 1);(для спина 2)；(для спина s).(1)(1)(скаляр) р (к") = %，& [# — 7卩(t)] dr

(для спина 0);

(для спина 1);

(для спина 2)；

(для спина s).

(для спина 0);

(для спина 1);

(для спина 2)；

(для спина s).

(1)

(1)

(вектор) J 诔(％。) = %，〃%4 [xa — z° (т)] dr

(тензор 2-го ранга) T^v (xff)=

=q0 \ 以也气4 [%0—z° (r)] dr

(тензор s-го ранга) T^v--p(xa) =

=% \ 〃也”...以％4 [%。— 2a (т)] dt

Заряд частицы в некотором лабораторном объеме, измеренный по «кулоновской» части силового взаимодействия в лабораторной системе отсчета (л. с. о.), дается выражением

q = ^T0Q - Q d3x ^(—1У \ Та^ - Уи^с'°и^с-0',. .и^°^ d9x.(2)

Подставляя уравнение (1) в уравнение (2), мы находим измеренное

значение заряда отдельной частицы:

q = % \ d3x ^dx(— и ил с о )$ 6《[%*1 — га (т)]

=% , d旣力俘)(一U • ил・с* 6)s М [%о — z。(т)].

Интегрируя 6-функцию с учетом соотношений ц.цл.с.о. = — у н dx/dt= I/7, где у —фактор Лоренца, получаем

夕=犷-1 弋“]+^-и2) для и《с.

Далее, для идеального газа имеем

〈炉〉_ 3kT/mQ.

Таким образом, суммируя заряды всех частиц газа, находим Q=Z=W+*(等)]

и, сравнивая это выражение с температурной зависимостью, приведенной в условии задачи, приходим к выводу, что s = 5.

Решение 12.16. Предположим противное. Пусть существует такое поле со спином 2, отличное от гравитационного. Поскольку оно обладает квантами с нулевой массой покоя, что соответствует бесконечному радиусу действия, уравнения поля должны допускать в качестве решения слабые плоские волны. Далее, так как это поле обладает спином 2, ему должен быть сопоставлен симметричный «зарядовый» тензор J^ со следом, равным нулю. Более того, для слабых полей и малых скоростей взаимодействие между «заряженными» частицами, размеры которых значительно меньше длины волны, должно описываться в основном через соответствующую каждой частице компоненту J°° (т. е. через «кулоновский» предел).

Рассмотрим теперь плоскую волну, падающую на две частицы с зарядами J00 = ^ и 」°° = 02, первоначально находящиеся в одной и той же точке. Под воздействием синусоидальной плоской волны с определенной линейной поляризацией частицы будут участвовать в линейном колебательном (синусоидальном) движении, амплитуда которого прямо пропорциональна заряду и обратно пропорциональна массе частицы. Следовательно, в некоторый момент времени мы можем ввести для нашего поля вектор поляризации (а налог напряженности электрического поля £), определяя его как

Очевидно, что при этом его величина не зависит от числовых значений ^, ?2, ти /и2. Но здесь-то и кроется противоречие! Действительно, так как наше поле обладает спином 2, то при повороте на 180° состояние поляризации должно оставаться неизменным, в то время как при повороте на 180° вектор V переходит в — V, а это значит 京=0. В чем же дело? По-видимому, в нашем предположении, что поле различным образом действует на разные частицы: теперь мы видим, что у нас нет иного выхода, как только положить х± = х2 Для всех зарядов и масс. Это, однако, эквивалентно утверждению о постоянстве отношения заряда к массе для всех частиц: g//n = const; подходящим выбором единиц мы всегда можем добиться, чтобы q = m. Следовательно, в предельном случае слабых полей, или, что то же самое, в приближении плоских волн, мы получаем Jw = Tw, т. е. J°° равно компоненте тензора энергии-импульса, соответствующей плотности массы-энергии. Отсюда в силу требования лоренц-инвариантности мы немедленно получаем J^v = Tuv (мы не имеем права ввести, например, скаляр 力%, так как он не является геометрическим объектом, сопоставляемым спину 2).

Как мы показали, наше «произвольное» поле со спином 2 ассоциируется с Т"”. Следовательно, это самое обычное тяготение (или, если угодно, то самое, чем бы оно ни было, что проявляет себя во всех наших экспериментах как тяготение). (Мы нигде не утверждали, что таким образом мы приходим к общей теории относительности.) Фейнман обратил внимание на то, что в наши рассуждения решающим образом входит предположение о «точечной» частице^ не обладающей собственным вектором поляризации. Это значит, что можно было бы в принципе подобрать такое удовлетворяющее приведенным выше условиям поле, которое действовало бы «негравитационным» образом на отдельные частицы, обладающие спином; при этом, однако, для неполяризованной материальной среды результирующая сила воздействия равнялась бы нулю.

Решение 12.17. В системе единиц СГС имеем

с = 2,998 • IO】。см/с;

с2 = 8,998-1020 эрг/г;

G/濟=0,7425 • 10-28 см/г;

= 2,582,10 4 эл.-стат, ед./г.

(Значение G，A следует из того факта, что в законах Кулона или Ньютона сила равна е2/г2 или G/n2%2.) Следовательно, в гравитационных единицах искомые значения равны:

а）%=%（鄒回=貝（咁•當黑）E/e）卜2,611.10" еm2；

6）1（緋蒜卜甯嘴署离咨Н，381・Меm;

b） ^ 二念［済；黑窑,）］ - 2,042 • 10-

г) М® = -^2^[(г)(см/г)]№ 1,48* iO5 см;

д)厶。=厶”聞团停乂黯需卜1，。7・1产

300К = 300К ^Д [(К)В欝产q ~ 3,42 • 10-63 см;

1 год = (3,21 • 107 • с) \^^] = 9,460 • 1017 см;

1В н(299,8 эл.-сХ. ед. ) G% 伐)=

G%「(арг/эл.-стат. ед.) (эл.-стат. ед./r)]宀 力 299J，L^7^产”

Решение 12.18.

厶* =(力G/或)％ = 1,616 10-33 см, T* =(力G/d)% = 5,391「Он & M* = (力c/G)% = 2,177* 10-5 r.

На существование этих безразмерных комбинаций первым обратил внимание Планк —сразу же после того, как он ввел в употребление свою квантовую постоянную, — и теперь они носят название планковских длины, массы и времени. Эти комбинации определяются единственным образом с точностью до множителей порядка единицы (например, можно вместо 力 использовать А), так как, согласно теории размерностей, существует один и только один способ установить соответствие между тремя разномерными величинами и тремя величинами с заранее выбранной размерностью (иными словами, других «свободных» безразмерных комбинаций не существует).

Решение 12.19, Условие баланса сил дает

Gm%/г』mN2 g ,•

Согласно правилам квантования Бора, радиусы орбит должны удовлетворять условию

2/n(0伶Г?=孔力.

Из этих двух уравнений находим выражение для радиуса

广 = 2m力2/Gm力.

Для низшего энергетического уровня, соответствующего 龍=1, значение радиуса равно

г~2ft2/Gm^ = 6• 1024 см^б-106 св. лет!

ГЛАВА 13

Решение 13.1. Согласно тождествам Бианки, дивергенция тензора Эйнштейна равна нулю.

Поэтому, беря дивергенцию от обеих частей нашего обобщенного уравнения поля, получаем

(} — a) R,诔=влТ/； V

С другой стороны, если сначала свернуть полевые уравнения, а затем продифференцировать их, то найдем

(1 —4a)R,止=8jtT,p，,

откуда следует, что уравнения движения должны иметь вид

Т^\ V = ^Т^

где

万一a

Для жидкости с плотностью р и пренебрежимо малыми давлениями это уравнение в ньютоновском пределе при ц = 0 можно записать следующим образом;

患+Y•脸=噜，

где и —скорость потока жидкости. Если 乂 не равно нулю (т. е. сс 力芍，то последнее уравнение не совпадает с ньютоновским уравнением непрерывности — иначе говоря, уже в ньютоновском приближении мы сталкиваемся с нарушением закона сохранения массы.

Решение 132 Равенство нулю тензора Вейля позволяет нам записать метрику в конформно-плоском виде:

g№ =炉0小"，

где в ньютоновском пределе ср《1 (почти плоское пространство- время). Тогда (см. задачу 9.19) будем иметь

R _ 6V2 屮.

Для нерелятивистских значений компонент тензора энергии- импульса

Т"宀 Т°о^ —р,

и уравнения поля приобретают вид

—бф’аВХаВ = ХТ = — 乂 р.

В ньютоновском пределе производные по времени малы по сравнению с производными по пространственным координата^ (в системе единиц, где с=1), так что мы можем записать

6屮，加〃 =хp.

Для х = 24л это будет обычное уравнение ньютоновской теории для ньютоновского гравитационного потенциала ср. Из решения задачи 12.11 следует, что ньютоновские траектории являются геодезическими в метрике cg^^ —(1 +2屮).Следовательно, в ньютоновском пределе предлагаемая теория согласуется с ньютоновской, а ср играет роль ньютоновского потенциала.

Для метрики массивного объекта, например Солнца, функция ср должна убывать до нуля вдали от объекта, где пространство- время становится плоским. Чтобы заметить, что в данной теории отсутствует отклонение световых лучей, достаточно (см. задачу 9.18) обратить внимание на тот факт, что изотропные геодезические для метрики ^v — e2tpr]gv совпадают с изотропными геодезическими для плоского пространства (g-gv = r]gv)( которые, как известно, не отклоняются в поле массивного объекта. Таким образом, если сравнить в удаленных, асимптотически-плоских областях пространства направления движения фотона до и после его взаимодействия с массивным объектом, отклонения наблюдаться не будет.

Вблизи земной поверхности рассматриваемая метрика имеет вид

ds2 —。20 (z)(—由2 + d%2 + dy2 + dz2).

где координата z соответствует высоте над поверхностью Земли. Для получения правильного значения ускорения свободного падения частиц необходимо, чтобы ф^ —gz. Из уравнения геодезической находим, что энергия фотона, движущегося вертикально вверх, меняется по закону

% = — Г°0гР° = —ф, zP°.

Следовательно, фотон теряет энергию с той же скоростью, что и

частица вещества, и предлагаемая теория согласуется с результатами экспериментов Паунда — Ребки, как, впрочем, оно и должно быть для любой теории, основанной на принципе движения по геодезическим.

Решение 13.3. Для статического случая уравнение скаляра поля в теории Бранса — Дикке имеет вид

28"小

叫=丽祠.⑴

Далее, для сферической оболочки массы М и радиуса R

Т == — рТ == — р_ Мб (г —R) 一4冗户_ Мб (г —R) 一4冗户⑵⑵

Т == — р

Т == — р

_ Мб (г —R) 一4冗户

_ Мб (г —R) 一4冗户

⑵

⑵

так что выражения для потенциала 屮 внутри и вне оболочки суть соответственно

Фт= Ф1> г(За)

中11 =中8+药% ?，r>R,(36)

где(р} и фоо — постоянные. Сшивая(pi и срп при r = R, получаем

中1 =中8十药恒五•(4)

Наконец, из теории Бранса — Дикке нам известно также, как выражается через ф локальная гравитационная «постоянная» [см. Вейнберг, уравнение (9.9.11)]:

°-^(4$£)-(5)

Следовательно, …4 + 2со 1

@8 n 3+2(0限

屮 \ 3+2w /\з+2(о 丿屮[(3+2(d)J

и окончательно

g=%[] _ G鄒(2；j(6)

Это решение справедливо с точностью лишь до членов низшего порядка по М/R, и не только из-за членов, которыми мы пренебрегли, но и потому, что в более высоком порядке нужно было бы учитывать изменения в метрике g诔卄,обусловленные присутствием массы, и использовать в уравнении (1) вместо «плоского» лапласиана, оператор Лапласа в искривленном пространстве.

Решение 13.4. Если не должно существовать выделенной системы отсчета, связанной с вакуумом, то тензор энергии-импульса вакуума должен иметь один и тот же вид в любой лоренцевской системе отсчета. Тензор r]uv выглядит одинаково в любой лоренцевской системе отсчета, так что тензор энергии-импульса вида РвакМ (или, в общих координатах, Рва&З не выделяет ни одну систему. [Единственность можно показать следующим образом: если не существует выделенной системы отсчета, то нет и выделенных векторов и, следовательно, нет выделенных собственных векторов. Это возможно лишь тогда, когда все векторы являются собственными, но если 5个％ =尺匕1 для всех К, то это значит, что S/ должно быть пропорционально 6gv.

Уравнения поля, включающие в качестве источников как тензор материи, так и тензор энергии-импульса вакуума, имеют вид

/?^-у^ = 8л (Тверии + *Рв J

Если сравнить их с полевыми уравнениями, содержащими космологический член

^_|^+ A{V = 8пТ 爲 ернн,

то легко видеть, что мы можем отождествить космологическую постоянную Л с плотностью энергии вакуума, полагая Л = 8лрвак»

Если бы вакуум состоял из частиц с массой т, среднее расстояние между которыми равнялось бы 九〜力/тс, то его плотность энергии была бы порядка /п (/пс/й)3. Соответствующие значения порядка 104 г/см* для электронов и 1017 г/см8 для протонов; оба они несообразно велики.

Если считать, что энергия вакуума обусловлена гравитационным взаимодействием близлежащих частиц (соответствующие энергии имеют порядок величины G-^-^,то эквивалентная плотность массы должна равняться

厂2 (Gm2/X)/X3 = Gm%z/力 *

что дает порядок 10~22 г/см3 для протонов и 10~41 г/см3 для электронов. Средняя плотность вещества в нашей Галактике составляет 10~23 г/см3, так что наличие плотности «протонного» вакуума, равной 10~22 г/см3, привело бы к заметным последствиям вплоть до влияния на динамику Галактики. С другой стороны, плотность «электронного» вакуума, равная 10~41 г/см3, мала даже по сравнению с космологическими плотностями (10~31 г/см3), так что она не проявилась бы ни в каких измеримых эффектах.

Все эти соображения нужно рассматривать лишь как наводящие и в определенной степени изобретенные специально для дан”

ного случая. Из соображений размерности следует, что плотность энергии вакуума должна иметь вид

/П4^3 (G/n2 P*

При этом для п= 1 мы получаем довольно-таки разумные с некоторой точки зрения значения плотности; рассуждение Зельдовича как раз и представляет собой попытку дать физическое обоснование выбору п — 1.

Решение /3・5・ Если свернуть уравнения поля Эйнштейна, мы получим соотношение между следом 711V и скалярной кривизной Риччи:

R = —8л;Ту.

В локально лоренцевской системе отсчета, где тензор Tgv диагоналей,

ТJ = — р + р^ + р^ + Ре,

здесь р#, pyt pz — главные напряжения (численно равные давлению). Для всех известных уравнений состояния рхЗр, поэтому скалярная кривизна Риччи R должна быть положительно определенной, а тензор Т^ — отрицательно определенным.

След тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю (см. задачу 4.16), так что если тензор энергии-импульса в данном объеме пространства-времени имеет чисто' электромагнитную природу, то R==0・

Решение 13,6. Зная компоненты Тар в своей собственной ортонормированной системе, наш наблюдатель может найти для этого тензора четыре собственных значения и четыре собственных вектора: •

ra₽^ = w (1)

Нам известно, что один из собственных векторов времениподобен. Нормируем его таким образом, чтобы 取&麻& = 一1. Если его компоненты равны 峻=(丫，丫吟 выполним преобразование Лоренца со скоростью и」и перейдем к системе отсчета, покоящейся относительно W. В этой системе W^ =(1, 0)и уравнение (1) дает

Т0 0 = —^времеиипод = Р и Т° 亙==0.

Квадратная матрица 3-го порядка Т?务 может быть диагонализо- вана с помощью пространственного поворота, и из уравнения (1) видно, что ее диагональные элементы как раз и представляют Собой остальные собственныё значения ?“ = 〃, где i = 1, 2, 3. Пусть теперь и будет некоторой произвольной 4-скоростью с ком-

понентами 〃檢= (у, у, и') в системе отсчета наблюдателя, для которого тензор 力耶 диагоналей. «Слабое энергетическое условие» требует, чтобы Т^В〃成рЗО, так что

р + У1Р1 + 證 А + УзРз N о,(2)

где скорости 豆/ произвольны, a 办2VL Необходимое и достаточное условие справедливости неравенства (2) гласит:

РАО, р + р/^О,

что может проверить наш наблюдатель после того, как он решил уравнение (1). Случай, когда тензор Т“В не имеет ни одного времениподобного собственного вектора, разобран в книге [6], стр. 102 и далее.

Решение 13.7. Для п = 0 указанное утверждение сводится к u・uv0 и является тривиальным. Для м=1 оно гласит: u-Т• и^О для всех времениподобных и; это как раз и есть слабое энергетическое условие. Для м = 2 мы имеем ус ловие (и Т)- • (u・T)vO, т. е. вектор и Т не должен быгь пространственноподобным. Однако для наблюдателя с 4-скоростью и имеем

и-Т = (—р, [плотность потока энергии]*)

и, согласно условию энергодоминантности,

IрI > I плотности потока энергии],

так что вектор и-Т действительно не является пространственноподобным.

Рассмотрим теперь произвольное число п и утверждение

(—1)2Т・Т …T・uV0.

Поскольку вектор и-Т не является пространственноподобным, это утверждение для любого числа п эквивалентно аналогичному утверждению для п — 2. Но мы показали, что из условия энергодоминантности вытекает справедливость этой формулы для n = 1 и п = 2, т. е. из условия энергодоминантности вытекает справедливость ее для любого п. Из сказанного немедленно следует справедливость и обратного утверждения: любой тензор энергии- импульса, для которого справедлива рассматриваемая формула при п= 1 и п==2, удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в условии энергодоминантности.

Решение 13.8. Да, возможно. Возьмем метрику g^Vt такую, что gRv = 4iv для /<0 (ясно, что это пустое пространство), а для f^O пусть ^gv — произвольно выбранные функции. Единственное требование к этим произвольным функциям, чтобы они были

дважды дифференцируемы и гладко сшивались с соответствующими значениями метрики пустого пространства на гиперповерхности / = 0. Теперь для этой метрики g^ можно вычислить тензор Риччи и его свертку (скалярную кривизну), а затем ввести м。 определению тензор

三(8Л尸(R^v - y gp^R )

Очевидно, что этот тензор симметричен, а в силу свернутых тождеств Бианки дивергенция его равна нулю. Если пространство- время будет заполнено материей, распределение которой описывается этим тензором, то метрика ^v выбранного нами вида будет решением уравнений поля Эйнштейна. (Необходимо заметить, с^нако, что для того, чтобы решение было физически осмысленным, тензор Тц.у должен подчиняться некоторым дальнейшим ограничениям: например, плотность энергии должна быть всюду неотрицательной. Это требование, вообще говоря, не обязательно удовлетворяется в рамках рассмотренной нами процедуры.)

Решение 13.9. Используем уравнение Киллинга g(ct； Р) == 0 и определение статической метрики с помощью условия «стационарности и ортогональности» вектора Киллинга 自 к семейству гиперповерхностей (см. задачу 10.8). Получим

0 = (Eg； в/】)；？=

=у (la; B&Y + % аЕб + 匕伙?Еа)； ?=

=4 (^^ + &%Yp瓦 + &% 褚纯 a),

где мы воспользовались результатом Е因(xb = Ryp(4iEy (из задачи 10.7). Первый член в приведенном выше выражении равен нулю из соображений симметрии, а оставшиеся члены представляют собой компоненты тензора Риччи; таким образом, мы имеем

0 = 1R,【戍田=8冗尹(Тца — y^LaT1)细=

=8Jt『«р + p) 〃入〃值 +y (р-р)^Л[a) ?₽]•

Последний член равен нулю тождественно, откуда следует, что 〃匾]=0, т. е. и параллельно g.

Менее строгое доказательство получается при использовании эквивалентного определения статической метрики с помощью условия «стационарности и обратимости времени» (см. задачу 10.8). В этом случае мы немедленно замечаем: если и не параллельно &,

то TQi=^Q в «системе отсчета с обратимым временем». Отсюда, однако, следует, что G°'#0, а это , несовместимо с условием инвариантности метрики относительно обращения времени.

Решение 13.10. Из тождеств Бианки 仃学以曰0 имеем

%GW — Gvi,t -С^Г^ — GVT%.

Члены в правой части этого тождества не могут содержать третьих производных от метрики по времени, и, таким образом, в Gv0 не могут входить вторые производные по времени. Отсюда следует, что четыре уравнения Gv0 = 8nTv0 играют роль уравнений для начальных данных, или, иначе говоря, связей, налагаемых на данные, задаваемые на гиперповерхности Коши, тогда как G" = 8jiT炉 являются динамическими уравнениями.

Исследование упомянутых выше связей, налагаемых на начальные данные, затруднено ввиду произвола в метрике, связанного с произвольностью выбора координатной системы. Чтобы устранить эту запутанность, мы можем прежде всего выбрать четыре координатных условия, налагаемых на метрику; удобно, например, выбрать в качестве исходных нормальные гауссовы координаты, соответствующие ^Оо = — 1 и ^о； = О. В результате мы будем иметь для шести полевых переменных g“ шесть динамических уравнений G" = 8jiT犷，которые можно разрешить относительно d2gy/dt2r а также четыре уравнения для начальных данных Gv0 = 8nTv0, приводящие к соотношениям между начальными данными gy и dgy/dt на начальной гиперповерхности.

Теперь, чтобы избавиться от членов вида。也//叫 можно продифференцировать по времени четыре уравнения для начальных данных и затем воспользоваться динамическими уравнениями. В результате мы получим четыре новых соотношения между начальными данными. [Легко видеть, что эти новые соотношения должны отличаться от четырех прежних, поскольку dG叫dt = =8口07询/弘 а мы можем выбрать конкретный вид dTv0/dt независимо от любых учитывавшихся ранее связей.]

Итак, мы имеем теперь восемь уравнений, связывающих двенадцать функций gy и dgy/dt на начальной гиперповерхности Коши. Следовательно, на этой гиперповерхности мы можем еще выбрать независимо четыре произвольные функции.

Если рассматривать четыре произвольные функции как начальные данные для двух полевых переменных и их производных по времени на гиперповерхности Коши, тогда общая картина эволюции во времени гравитационного поля будет описываться динамикой двух полей. Именно по этой причине обычно говорят, что гравитационное поле обладает двумя динамическими степенями свободы.

Решение 13JL Компоненты псевдотензора Ландау — Лифшица задаются с помощью довольно-таки устрашающего выражения:

(-g)螂n - Л = (168尸旧吸К乡吗"-乡叫з叫"4-

+ I ^WXv. pSP", V -炉窜冲乡叱 pg” £ 一

-^Wav.P^p^+

+ g儿@P乡吗卩叫p + 1 (2内也m-gap^u) X

X (2gvpgcrt — gcrpgvr)乡”* 九乡P。,』 где 乡耶 三(-g)1/峻

Для рассматриваемой нами метрики

乡。。=一(1一2①)第2(1+2①尸% 乡〃 = (1-40)2)1/2*, ^/ = 0.

Отметим, что все члены в выражении для /аРл-л включают произведение двух производных от 免 и поэтому в первом неисчезающем порядке по Ф выражение для /“В будет содержать произведения первых производных от Ф. Следовательно, при вычислении производных от 乡 нам нужно удержать только члены, пропорциональные Ф /：

乡吗宀4①,L叫宀一 4①①，謂&0.

Если далее сохранить только члены вида 乡°°,厶 то в выражении для /«Вал уцелеют только подчеркнутые члены и мы будем иметь

絆л _ Л = (16#)Т [—g"2>,卢吗 / 十 I (2^g^~^g^^0,卢叫 m].

Отсюда, если положить 产~710cB и 乡吗广=4①，力 легко можно получить

/00л-л = (16n)T [ 一№乡。。,或。。,)44 6的9吗乡。。加]=舒&儉歩力

抑л—л = 0,

仅 л_п = (16л)т[^ (26〃&m - 6%切乡。。"乡。％]=

=(4л 尸(①評,/ -y6z/o. тФ-m).

Обратите внимание, что пространственные компоненты £"л-л совпадают с компонентами тензора напряжений из задачи 12.8.

Решение 13.12. Значение скаляра в некоторой заданной точке не изменяется при калибровочном преобразовании, так что

U(X" (Р)) = 8(X，(Р)) = d (х〃 (Р)-I (Р)),({/'(х")^©"")-丁屮 а.

Для векторного поля имеем

% = 1^ 吸（X'）=（6% -紀 口） （％（X"）-吸,読。）2 ^%便）一了吃口一九,蓝。.

Аналогично для тензорного поля получаем

7/依"）=瑞*器^7編（m）=

=（6% —『,口） （6% - i, v）（nP（X"） - Tap,誌。）~ T1v - r邮配v-Tw也"一 7皿。肥.

Заметим, что

玩 v ==且照己。；у =且財（廿,v + taraav） = gM&°, v + §аГцау И ЧТО

%; v） == ga （u&。, v） + |a （彳 Siiv, a}

Тогда для метрического тензора получим

g】v （х“） == g]v X） — gg, оЕ。— 2go（卩叫 V） = g【v （x"） — 2g（闻 v）= %/v + %v（X ） — 2匕（阳 v）

и окончательно

小（父）=小便）一2必；卄

Поскольку в первом порядке метрика является метрикой Минковского, можно считать, что

%;V）= %, V）+ 6例）■

Решение 13.13. Поскольку символы Кристоффеля

F ос^в =项"（力an以+力硒0 一力B出 a）

имеют порядок малости 瓦 в формуле, выражающей компоненты тензора Римана через Г, можно пренебречь членами, содержащими произведения символов Кристоффеля. В результате будем иметь

Rag即 2 ЯаХ（ f%v, В 一「入呻,v） Q211ag [v, B] =" （% [v, BLu 一 ％ [% 限 a）»

что и требовалось доказать.

При калибровочном преобразовании 力^f 力冲一2自（山峭 и

Rag* f ^^v 一 la[, v, B],世 + £[, % В], a — Ev[,a, BL m，+ 5v[,世,限 a-

Поскольку частные производные коммутируют, добавочные члены взаимно сокращаются и вид тензора Рнмана остается неизменным.

Решение /3・/4・ При калибровочном преобразовании (см： задачу 13.12) возмущения метрики принимают следующий вид:

%0 =九耶一2自(%0).

Если свернуть это равенство, то легко заметить, что при калибровочном преобразовании след (й h/ s Ла^ол) изменяется по формуле

где 守三唄空％・ Тогда закон преобразования для йар имеет вид

成в = %в — ■^НарЛ'=力оф _ 2自(а, р)—уЛар (九一2匕°,а)=

=展0 - еa, 0 - 版 a + па虑о,0

И

成8В =限呢留X =展夕В 一 %,夕。 一 Ев,献В + Ed °, а=

-&сеВ =方耶邝一匚］厶.

Теперь нам нужно только так выбрать четыре функции ^а, чтобы они удовлетворяли обычному волновому уравнению □% = =Лар*

Такое решение всегда можно найти (например, можно взять решение с запаздывающими потенциалами из классической теории электромагнитных волн), но оно, разумеется, не единственное： мы всегда можем добавить к 自仪 любое решение уравнения □ЕапО.

Решение 13,15. В задаче 13.13 мы нашли выражение для линеаризованного тензора Римана; если свернуть его, то можно получить линеаризованный тензор Риччи"

Rpy = ~2 (^va*",世 + 力出о? a, v — □力mv —力,世)

где h = h^. В лоренцевской калибровке из Лар*р = 0 следует 力сф，В = уЛ, а,

так что

Rp1V =少(也以V -力,3)=-2□力时 и, сворачивая еще раз, получаем R = —^口瓦 Следовательно, уравнения поля будут иметь вид

%v —=—尤口小一□力=—§□%，

откуда и находим

匚］%у = —16Э1”у・

Решение 13.16. Чтобы h^ удовлетворяло как условию лоренцевской калибровки (см. задачу 13.14), так и линеаризованным уравнениям поля, мы должны иметь

О = h^ v = Re [г'^Мц^*^ ],

О = %% в’。= Re [— kok°A^kaX ].

Следовательно, 4-вектор к должен быть изотропным и ортогональным А.

В задаче 13.14 приведен закон калибровочного преобразования от Лц¥ к %:

^M-v = ^gv — 2己(》,峭 + Лм-уВа,а*

Ясно, что калибровочное преобразование должно быть таким, чтобы 自 имело вид плоской волны ?*аХ . Положим

金=_ jC/%产, тогда получим

Л ЦЛ? = Л p,v 一 (Cp^v + С*&) +%*①"<х・

Если свернуть это уравнение с 眇，то найдем

4% 护=—胪 q眇+k^ka = О,

так что А остается ортогональным к. Тепер ь мы можем применить к нашему уравнению условие поперечно-бесследовой калибровки (4")世№ = 0 и Лц0 = 0 и в результате получить

0 =(<)j + 2C・k,

О = 4о — (Со 龈 + Си^о) + %10c. к.

Из этих двух уравнений можно найти одно:

0 = Лц0 —(С(Л^ + СцЛо) — у%о^ 俨.

Полагая— 0, будем иметь

C° = (2^)T(4o + %(Z')J)・ пространственные компоненты после этого легко получить из соотношения

0 = Ai^ — (C^i 十 СД))・

Решение 13J7. Для светового луча, движущегося в направлении оси х, ненулевые компоненты Тензора энергии-импульса суть Тоо = Тхх = — ТОх- Из вида линеаризованных уравнений поля

□展底B，y‘y = — 16лТар

и из того факта, что все компоненты 饱卩 представляют собой интегралы типа запаздывающих потенциалов, где под знаком интеграла стоит функция источника, следует, что между решениями должно существовать такое же соотношение, как и между источ

никами:

причем все остальные компоненты равны нулю. Поскольку след % равен нулю, то % =饱趴 и приведенное выше соотношение справедливо также для компонент 力 «без черты».

Для фотона, движущегося в направлении оси * вдоль траектории с аффинным параметром 入，

需=-等嘗％产-寓("。。+ % + 2Г&).

Легко видеть, однако, что правая часть уравнения равна нулю

Г% + Г^оо+ F%* = — у (Лоо,^ + hXXty — 2%х,у) = О,

так что d2y/d%2 = 0 и аналогично 從/小=0. Иначе говоря, фотон будет продолжать свое движение параллельно световому лучу, и, следовательно, два узких световых луча, двигавшихся первоначально параллельно, не будут притягиваться друг к другу в первом порядке по массе-энергии каждого из них. (В действительности, как можно показать, притяжение будет отсутствовать даже в более высоких порядках.)

Решение 13.18. Из линеаризованной теории известно, что в лоренцевской калибровке

□ Лар = —16лТар.

Поскольку распределение источников —а, следовательно, и поле — стационарны, это уравнение сводится к уравнению Пуассона

▽叫сф =-16hT耶.

Чтобы вычислить йоу, нам необходимо знать TQy. Для массивной сферической конфигурации, имеющей плотность массы р и вращающейся (в положительном направлении вокруг оси г) с угловой скоростью Q имеем

Гм =『Ср sin 8 cos(р・

Заметим, что поскольку компонента TQy пропорциональна действительной части сферической гармоники вида Уп (-&,屮)，то же самое будет относиться и к 友少 Следовательно, можно записать

^ = ^ (г) sin ^ cos ф, и уравнение Пуассона примет вид ^[г2^(г)]-擊=16mQp.

Если распределение источников представляет собой сферическую оболочку массы М и радиуса R, то

р = Мб (г — R)/4jiR2

и это уравнение легко интегрируется; в результате получаем функцию

4MQd R для『VR,

3 для r>R.

Следовательно, внутри оболочки

gw〜耳严万оу =—学М } si"仆cos <p.

Из соображений симметрии следует

g/=g%=o = — -уQM份卜itr& и

go(p g；&g筋4QM

ш ==—―，，，"：.=—. —=—,

^ФФL 「sm® 3R

(Яфф)^

Локально инерциальные системы отсчета внутри оболочки будут вращаться относительно удаленных инерциальных систем со скоростью со. Принцип Маха утверждает, что инерциальные свойства пространства-времени зависят от движения удаленного вещества; увлечение инерциальных систем отсчета, несомненно, является именно таким примером влияния вещества на инерциальные свойства пространства-времени. Постоянство со подсказывает нам, что влияние удаленного вещества на инерциальные свойства должно- было бы, по-видимому, описываться законом 1", что означало бы в свою очередь, что инерциальные свойства определяются в основном не близлежащим веществом,— правильнее было бы учитывать влияние всей материи, содержащейся во Вселенной. (Заметим, что, если не считать нескольких идеализированных примеров, подобных только что рассмотренному, никому пока еще не удалось достичь более или менее заметных успехов в «выводе» принципа Маха из уравнений полуобщей теории относительности.)

Решение 73・/9・ Уравнения движения 7V%v = 0 явно калибро- вочно инвариантны; в лоренцевской калибровке, однако (см. за・

дачу 13.15), справедливо соотношение

Г^ = — (16 几尸□加,v = 0,

а не Tgv：v = 0- Tgv；v и T^V1V отличаются на величину порядка 7T. Поскольку же как Т, так и Г порядка Аар, то несовпадающие члены будут второго порядка по отклонению метрики от плоской.

Решение 13.20. Согласно принципу эквивалентности, ускорение тела не зависит от величины его массы, а зависит лишь от других масс, с которыми оно взаимодействует через гравитационное поле. Отсюда следует, что тело с положительной массой притягивает и положительные, и отрицательные массы, а тело с отрицательной массой отталкивает как те, так и другие.

Таким • образом, в нашем случае ускорение отрицательной массы направлено к положительной массе и равно GM/Z2. (Поскольку мы работаем в ньютоновском пределе.) Ускорение положительной массы совпадает с ускорением отрицательной массы как по величине, так и по направлению: обе массы как бы стараются угнаться друг за другом.

Как только мы начинаем рассматривать частицы в движении, проблема усложняется, ибо каждая частица испытывает запаздывающее воздействие поля другой частицы.

Так как по условию задачи М《/, мы будем искать решение с помощью линеаризованной теории, применение которой будет оправданно до тех пор, пока расстояние между частицами, измеренное в сопутствующей системе, связанной с любой из них, будет намного больше М・ Уравнение

□ %、= -16冗73 (1) обладает решением в виде „запаздывающего** интеграла:

%(/, М) = 4『：£!；；)6(，+1 屋 一7 I -/)d3/"・ ⑵

В линеаризованной теории справедлив принцип суперпозиции для Т^； (1. е. и для 力世J каждой частицы. Для частицы массы т, движущейся вдоль мировой линии

/ = #“)， (3) имеем

ТИ¥(/, х) = т^〃曲的(х —z(т))dr = mu^^(x — г (/))/u°, (4) где при интегрировании мы использовали замену dr = d〃〃支

Подставляя формулу (4) в (2), получаем

“ f «и (^) «V (^) 6 (г +1 X -? (Г) I -Z) dt' =g•(5)

Из соображений симметрии ясно, что в это выражение входит зависимость только от одной пространственной координаты — скажем, для определенности, %• Пусть

R(n^\x-z(t/)\ = ^[x^z(t/)l(6)

где в = ±1 для 工逹 z. Тогда

加2 х) = 4寸竺丝寄竺⑺

4-скорость и находим из уравнения движения du^/dx = — Г%в 〃啦°,

или в нашем случае

力?7dr +严〃"〃咿ra，B +力力e一小0,尸)/2 = 0(8)

Легко видеть, что величина йар для 2-й частицы, измеренная в точке нахождения 1-й частицы, используется для определения 〃世 для 1-й частицы, и наоборот. Далее, из соображений симметрии следует

〃y = 〃z=o(9)

для обеих частиц. Выпишем уравнение (8) для 卩=0 и ц = х, используя соотношение й^ = hxx [непосредственно вытекающее из уравнения (7)]:

d〃°/dT = ~ %, о (м°2- 〃**) + %о# и°«* + %*,* 〃*',(10)

dux/dx = у % * (〃" 一 〃*') + /г。巧 0〃°' — %,o〃°〃*.(H)

Найдем теперь производные от Лар, вновь прибегнув к уравнению (7):

гg f 壮(/')6，+ R(f')-f)dJ_ 公 f 〃唠'P + R-t)或'

也0衣j—J 反 ，

где 6’ означает дифференцирование по аргументу 6-функции. Пусть

fd+R(/'),

含=1-电(，)，u =%.

ТогдаТогда^00, 0 = —4m ］岩［^6(f _')］备 d/ ==4m居［贵捐6(/ - /)d/ =

Тогда

Тогда

—4" . 1—叨或'(1—а)/?］，=£_/?(『).(⑵

.Поскольку du^ldf ^т, то в пределах точности до первого порядка по /и нам нет необходимости дифференцировать 〃° н ” в уравнении (12). Таким образом,

啞,0 = 4/П ［(1;：；/?2L3'(⑶

где индекс «запазд» означает значение, взятое в «запаздывающий» момент времени L = Z —RQ. С другой стороны, можно написать для у (f) разложение

у (f) = у (/) + (dv/dt) (/' —/)+...== u(f) + 6(m)

и аналогичное разложение для «°^(1 — v2)-I/2. Далее,

R (片)=& ［% — z (f)］=

=£ ［% — z (f) — и (/)(/'—川 + 6 (m)= =8}-2商 + ""众(f7),

откуда имеем

R (U) (1 —叨)=£ ［尤一z (/)］.

Поскольку ЛОо, о определяется в точке местоположения другой частицы, можно записать

%。=4加 /)；)一(14)

где значения всех величин определяются в один и тот же момент времени t Аналогичным образом получаем

力ОХ, 0=―凉—^00, 0>(15)

力XT, 0 —^-—-^ Л001 0.(16)

Производные по пространственным координатам можно найти,

если заметить, что % входит только в 2? из уравнения (7). Отсюда

方00, * = 8振"4加方00, * = 8振"4加川6 (片 + R-f) * _川6 (片 + R-f) * _=4me=4meи%' (，'+R-f) d力и%' (，'+R-f) d力=——4/ng=——4/ng--4/ng--4/ng= 4me= 4me(1 —£u)R2 丁(1 — eu) dtf ((I—ev) R,(1 —£u)R2 丁(1 — eu) dtf ((I—ev) R,U°8UU°8U,(1-8V)R,(1-8V)RR ' 我唠(f' + R f)或'R ' 我唠(f' + R f)或'(1 —ev) 2/?24запазд(1 —ev) 2/?24запаздRuО 或'dR■守不RuО 或'dR■守不f} ]запаздf} ]запазд4/ne〃Q4/ne〃Q(4-後产・Аналогично(4-後产・Аналогично九о, x — 市九oo, x ,九о, x — 市九oo, x ,(17)(17)(18)(18)

方00, * = 8振"4加

方00, * = 8振"4加

川6 (片 + R-f) * _

川6 (片 + R-f) * _

=4me

=4me

и%' (，'+R-f) d力

и%' (，'+R-f) d力

=——4/ng

=——4/ng

--4/ng

--4/ng

= 4me

= 4me

(1 —£u)R2 丁(1 — eu) dtf ((I—ev) R,

(1 —£u)R2 丁(1 — eu) dtf ((I—ev) R,

U°8U

U°8U

,(1-8V)R

,(1-8V)R

R ' 我唠(f' + R f)或'

R ' 我唠(f' + R f)或'

(1 —ev) 2/?24запазд

(1 —ev) 2/?24запазд

R

uО 或'dR■守不

R

uО 或'dR■守不

f} ]запазд

f} ]запазд

4/ne〃Q

4/ne〃Q

(4-後产・

Аналогично

(4-後产・

Аналогично

九о, x — 市九oo, x ,

九о, x — 市九oo, x ,

(17)

(17)

(18)

(18)

力 00, X •力 00, X •力 *x, X =力 *x, X =

力 00, X •

力 00, X •

力 *x, X =

力 *x, X =

(19)

Отметим, что уравнения (14) —(19) удовлетворяют условию калибровочной инвариантности ^/,„ = 0. Выпишем теперь уравнения движения (10) и (11) для 1-й частицы, полагая 〃° = 丫, 〃” = уи и g = m/(2i —к)久 Примем за 1-ю частицу положительной массы с координатой zx>z^ так что е = + 1, а масса, играющая роль источника в уравнениях (14) —(19), является отрицательной. Будем иметь

dYjdt = — gw% (1 + 唠 + 2gY2 (1+^2)Y汨1 一 4目丫2内丫彻，(20) d(Yi%)/dt = gY2(l +唠 一4g72"渐+ 2帥吭(1 + 喲*].(21)

В такой записи уравнения для dy2/dr2 и d^^^/dx^ обладают точно такими же правыми частями, что и уравнения (20) и (21), отличаясь лишь заменой v2 на "工 и наоборот (знак произведения ет не меняется). Так как % =力 при / = 0, то ^ = v2 для всех /. Следовательно, разность z】—z^ постоянна для всех f, т. е. Zi —Z2 = /・ Наконец, мы можем опустить индексы 1 и 2 в уравнениях (20) и (21) и после некоторых упрощений получить

dy/dx = gv/y,(22)

d(yv)/dx = g/y.(23)

Эти уравнения не являются независимыми, поскольку у = (1 — —y2)-i/2t Отсюда находим, что дифференциальное уравнение движения имеет вид

du/dt = g (1 — v2)2,(24)

откуда

2gx = 〃( 1 —炉)4- Arth 〃(25)

где т==0 при

и = 0. Далее, поскольку

находим

Z2 = ±G-u2)T/2-1]，

(26)

z1 = z2 + l

и аналогично

из

h =丁 = — (1 — u2)-5/2

(27)

получаем

(28)

/= ^[(1—02)一1/2 + 多(1_№)-3/2].

Уравнения (26) и (28) представляют собой параметрические уравнения траекторий, где роль параметра играет и・ Заметим, что, в то время как разность координат частиц остается постоянной, расстояние между ними («собственное расстояние»), измеренное наблюдателем, движущимся вместе с одной из частиц, увеличивается приблизительно как у2. Действительно, предположим, что 1-я частица в некоторый момент времени ^ находится в точке с координатой zv (^) и обладает скоростью и. Преобразование Лоренца к локально сопутствующей инерциальной системе отсчета дает

%' = Y[x - 21(幻一。(方一幻],f = v[/-/1-v{x-z1 (^)}].

Тогда в этих координатах траектория 2-й частицы есть z$(&) где

心 = Y [马(%) - Zj (幻一v (勾一幻],t^y^-t^v {z?⑸)一/(幻}I

Расстояние до 2-й частицы равно — 2$(为= 0). Введем величину

6 = Z2(/2)-z№)・

Из & = 0 следует

% =友+呻，

откуда

仁马佑十咐一马⑷〜

弋出⑷+叩也/財,一厶(幻=

= -l + v2P + ^(m/L).

Решая относительно £ получаем

₽ = 7T=W-

Следовательно,

—z式& = 0) = — у (В — и%) 2 у，

12 Заказ )10

ГЛАВА 14

Решение 14Л. Найдем сначала, какой тензор энергии-импульса соответствует точечной частице. Пусть масса частицы есть т. В мгновенно сопутствующей системе все компоненты Т^1 обращаются в нуль, кроме 7°°, которая дожна иметь вид 6-функции от координат частицы. Поэтому

T炉〜、屛（ха -%a（T）） 〃电%q

个评（一g产也•（1）个评（一g产也•（1）где ха (т) — траектория частицы в пространстве-времени как функция ее собственного времени т. Далее, мы хотим, чтобы величина Т"” преобразовывалась как тензор. Произведение 〃世〃旷 уже преобразовывается как тензор, но 64 (х^ — х^［хУ} не есть скаляр — истинным скаляром является 64 (ха —^(1))(——g)~［/2. Действительно,

个评（一g产也•（1）

个评（一g产也•（1）

1 = скаляр = \ 6《(X。一 ха (т)) dM =

Таким образом, нормируя на массу т, будем иметь

JV* =加 I §4 (%a — %a (T))JV* =加 I §4 (%a — %a (T))〃“〃“（廿（廿dt 三］p〃电vd%dt 三］p〃电vd%⑵⑵

JV* =加 I §4 (%a — %a (T))

JV* =加 I §4 (%a — %a (T))

〃“

〃“

（廿

（廿

dt 三］p〃电vd%

dt 三］p〃电vd%

⑵

⑵

где p включает в себя все члены, за исключением 4-скоростей 〃. Далее,

О = T^\v =，［(puv):^+(pwv)«g；v］厶・(3)

Умножая скалярно на 〃卩,получаем

О =，［ —(P〃v)；v + Р (Vuii) • u］ dt.(4)

Второй член равен нулю, поскольку 4-ускорение \zuu ортогонально 4-скорости. Отсюда следует, что первый член также равен нулю, и поэтому из уравнения (3) находим

0 = J (puv) u^iXdT,

Это означает, что 〃”％ = 0, независимо от того, в какой точке плотность р (6-функция) отлична от нуля, т. е. в каком месте ни находилась бы частица. Но ведь 〃％%==0 и есть уравнение геодезической!

Решение 142 Если система находится в тепловом равновесии, то суммарный поток энергии между любыми двумя элементарными объемами Л и В (фиг. 27), для которых разрешен сбмен энергией, будет равен нулю. Представим себе теперь «световод», соединяющий два таких элементарных объема; по нему может распространяться переносящий тепло поток фотонов. Поскольку и световод, и вся система статичны, энергия фотона при внутреннем отражении в световоде не меняется. Тем не менее между Л и В существует обмен энергией за счет гравитационного красного смещения:

(屉)厶/(如)l(一胱2/(一紛"2.

Воспользуемся теперь тем, что спектральная яркость излучения абсолютно черного тела 瓦(Т貞) в А изменяется за счет красного смещения любой природы таким образом, что в результате снова получается спектр излучения абсолютно черного тела, но только соответствующий другой температуре:

TB = [(hv)B/(hv)A] Тд.

Если при этом сохраняется тепловое равновесие, то именно та

кова должна быть температура окружающей среды в В, чтобы восходящий и нисходящий тепловые потоки в световоде взаимно компенсировались. Итак,

тв^-^П-^2]та

T(-gooW2 = const

в любой точке системы.

Решение 14・3. Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса имеет вид

7VV = (Р + ") 〃也 V + pg叫

и, следовательно, уравнения движения суть

О = Т叫 V = (р + р)；必也 у + (p + p)(^；v«v + 〃切 ％) + р,陪叫

Чтобы получить уравнение Эйлера» спроектируем это уравнение ортогонально и, воспользовавшись проекционным оператором-тен- 12*

зор ОМ

Р&В = 〃а〃в +ga0・

В результате найдем

0 = PW

=0 + 尸冲(Р + Р) 〃忆少 + 0 + р,^Р^ =

=(р + р) 〃&W* + Р.а + Ре/ЛА

т. е. как раз уравнение Эйлера.

Переходя к ньютоновскому пределу (см. решение задачи 14.8), запишем уравнение Эйлера в виде

% (1 + 冗 + Р/Ро)(〃小少 一 ravyuauv)=—外一Uidp/d%,

Подставляя значения u° = 1, uQ = —1, 〃/=斗,будем иметь

Po(dvf/dx + r\j)^- pf/.

Ho

Г°о/ ^― Гоо/ = — у gw, / ^ 屮力

откуда окончательно получим

* =/歹

Решение 74・4・ Уравнение Эйлера для идеальной жидкости имеет вид

(р + р) Vu° = — VP -叫屮・

Из условия наличия гидростатического равновесия следует существование временного вектора Киллинга 自.Согласно задаче 13.9, 4-скорость жидкости должна быть параллельна этому вектору Киллинга, т. е.

(В компонентах такая запись означает, что только там 〃‘= 0, где & = d]dt) Из задачи 10.14 нам известно, что

VuU=|vin|I-||.

Мы знаем также, что dpldt = Qt т. е. 叉卩 〜廃р = 0, и, следовательно,

▽p = -(p + p)Vln|a“〃・ Но

Y = (O/df) • (。/滉)=g(«, так что

后屮,=(_g/&

откуда и следует требуемый результат.

В ньютоновском пределе р<р и ^00- (1+2①)，причем ньютоновский потенциал ①《1. Следовательно,

дрd I 1 /1 ]d①

荻Q-Р诉彳 ln(l+2(D)^-pw

Решение 14.5. Подставляя р =工/恥 в уравнение гидростатического равновесия (см. задачу 14.4)

p.x = (p + p)fln(-^oo)，/!b. получаем

—ln( —goo» = } , у* Интегрирование дает

p = const・(一gQ 2.

Поскольку go。остается конечным, р не может обратиться в нуль, и, следовательно, свободной поверхности не существует.

Решение 14.6. Статическому однородному гравитационному полю соответствует линейный элемент

ds2 =欧"+ £% d?2 + d炉 + 妙，(1)

где величины g“ и gzz зависят только от %. Не обращающиеся в нуль символы Кристоффеля легко вычисляются (см. задачу 7.6). Вес, измеряемый с помощью весов при г = 0, есть W (0), где

呼⑶=\ Т餐 dxdy =^ g№? dxdy.(2)

Мы хотим доказать, что W (0) зависит только от T?'==g〃T" и не зависит от других компонент TF Имеем

0 =%％ = @一‘/(川*7叫，6 + 4即7叫(3)

Положим a==f и проинтегрируем по % н у, воспользовавшись тем фактом, что 且耶 не зависит от 尤，у и /:

0 = ,T"jdxdy+, TtxtXdxdy + ^ Ttytydxdy +

+ \ё\^(\ё\4^ ^dx dy\г + 2Г^г J T^dxdy. (4) Первый член обращается в нуль ввиду того, что Т^ не зависит от времени. Второй и третий члены дают вклады, пропорциональные значениям Ttx и 7内 на границе области интегрирования, которые в свою очередь обращаются в нуль на границах, расположенных вне сосуда. Уравнение (4) можно записать б виде

о = I g L%g# (I g М g" \ Т" d% ®*.(5)

Отсюда следует, что

|g|%g“)Ttzdxdy

не зависит от г. Поэтому если этот член обращав гея в нуль в области выше сосуда, то он равен нулю всюду.

Подставим теперь в уравнение (3) a = z и проинтегрируем по % и у:,

О = 5 dxdy + \ Тгх,х dxdy+ T^,ydxdy +

+1^ Г^' (I ^ i^Sr"dx d^ ^+гг ^ Ttt dx dy+p« $тгг dx dy- (6)

Первый член обращается в нуль по соображениям, изложенным выше, а второй и третий дают вклады, которые зависят от границы области интегрирования и аакже обращаются в нашем случае в нуль. Используя уравнение (2), находим

(\g^W\z= \gtt\'\^T^ dxdy.(7)

Проинтегрируем уравнение (7) от z = 0 до верхней границы сосуда и, воспользовавшись тем, что W !верх = 0, получим выражение верх

呼(о)=国相U弋 £ d2^dXdy\gtl\^T^,(8)

О

зависящее только от компоненты Т??. (Данным решением задачи мы обязаны В. Унру.)

Решение 〃・7・ Поскольку гравитационное поле стационарно, существует временной вектор Киллинга g = d/dZ. Умножим ска- лярно на этот вектор уравнение Эйлера для течения идеального газа (задача 14.3)：

(р + р)自* 又& = — g. Vp — g• uVup.(1)

Но, гак как, согласно уравнению Киллинга, VR антисимметрично,自• Vuu = Vu (g • u) — (Vu§). u = Vu (§ • u).

Кроме того, для стационарного течения

1fzp = 8p]0t = Q

Подставляя u0 = u.g, находим

(р + р)血"dt = и0 dp/du.(2)

Для адиабатического течения идеальной жидкости первое начало термодинамики (см. задачу 5.19) гласит:

dp = (p + p) dn/n.(3)

Из уравнений (2) и (3) имеем

du0 — dnd (p + 夕)

P + p *

откуда следует

"о = const •甫.

Решение 14.8, Ньютоновский предел уравнений релятивистской гидродинамики можно получить, если выбрать глобальную, почти лоренцевскую систему, в которой

Р = Рв(1 + л), Л< 1,

goo = -(1+2T)，I叫《1,

Р/Ро < 1,*《1.

Здесь р0 — птв есть плотность массы покоя (/пв —средняя масса покоя бариона), л— удельная внутренняя энергия, (р — ньютоновский потенциал и v — обычная 3-скорость жидкости. Поскольку

加工(1 一标)一% 〜1 +^02

и

〃о = (— g®)% 〃金~ 1 +у у2 + ф>

уравнение Бернулли принимает вид

„\ _ Const • ”

(十2 '十屮丿-po(l+n + p/p。)， откуда следует

(1 +у^2 + ф)(14-л + Р/Ро) = const и, наконец,

4 у2 + ф + л + Р/Ро = const.

Решение 149

Условие, что 自 есть вектор, связывающий мировые линии соседних частиц, можно записать следующим образом:

历 uR = au,(1)

где а —скалярная функция. В задаче 8.14 функция а равнялась нулю, так как вектор | связывал события с одинаковым собственным временем; сейчас мы найдем а из условия, что |» = =:自・и = 0 вдоль мировых линий:

0 = Vu(l4i) = ^a + u.V^.(2)

Сравним это уравнение с уравнением (1), умноженным скалярно на и:

u-(Vu|-V^u) = —а,

откуда получим, что а = ^-а. (Напомним, что* и • V&u = = %W(u・u) = oj Таким образом, мы имеем

▽詫= Ru +信・а)и.(3)

Условие для жесткого движения Vu (^ • g) = 0 равносильно условию §• Vug==O или в силу уравнения (3) условию

萨涉仅а；в + 〃а碗) = 0・

Поскольку это соотношение должно быть справедливым для всех 自，отсюда вытекает

〃(а；в)+ 〃(/в)= °, % следовательно,

аар + у ^^а0 = И(а; 0) + 〃口。0) = °

(обозначения и определения см. в задаче 5.18). Итак, жесткое движение может иметь место в том и только в том случае, если 0aB =令=0・

Ввиду симметрии о^р = оРа условие 0aB = 0 сводится к 10 уравнениям. Если учесть еще 5 тождеств: 〃仪“产。и「咻邮 = =о^а = 0, то у нас остается 5 независимых уравнений, которые вместе с условием 心=0 дадут в сумме 6 независимых уравнений связей.

Условия существования жесткого движения не налагают ограничений на аа или ①仪久 Каждая из этих характеристик включает в себя по 3 независимые компоненты (в силу соотношений а“ = О и ①ав = — gBa), так что у нас имеется 6 степеней свободы, как и в нерелятивистском жестком движении.

Решение 14.10. Из определения ^ = V • и имеем

案=叫%; В =小唯В=5喩х- %*)=小唸。一/Y”以(1)

Если, однако, воспользоваться результатами задачи 5,18, то получим

“а； 6а/ = (〃％ Р«Р); а - «а；呼艮 а =亦;а -

一e守+ % + ； ©p、_必呻).(3% +丸+g9р0a -a叽)・⑵

Учитывая свойства симметрии о)ар, “в и Рар, а также тот факт, что они ортогональны и, из уравнений (1) и (2) находим

雰=步:a -叫* -吟0% - 3令2 - %〃%В =

=а%,а + 2炉— 2а2— ^ 絆一Нефа%».

Решение /4・〃・ Так как жидкость движется вдоль геоде* зических,

aa = u₽ua：p = 0,

а поскольку в течении отсутствуют первая и вторая вязкости (см. задачу 5.18), то

%В = ^ — 0.

Применяя разложение Vu из задачи 5.18 к нашему случаю, получаем

Но(о антисимметрично, так что 〃(“:в)= 0, и, следовательно, и удовлетворяет уравнению Киллинга.

Решение 14.12. На геометрическом языке процесс установления наблюдателем своей локальной системы координат ха описывается следующим образом. Если и есть 4-скорость центра ящика, направленная вдоль его мировой линии, то наблюдатель выбирает вдоль своей мировой линии вектор е0, такой, что

е0 = и и ea-ep = T]ap.

Далее, из каждой точки Р (т) (т ——собственное время) своей мировой линии он проводит пространственные геодезические, ортогональные и, аффинный параметр для которых есть собственная длина s. Если п — касательный вектор к пространственной геодезической, проходящей через точку Р вблизи мировой линии наблюдателя, то он приписывает точке Р координаты х° = т, xk ^=snk.

Уравнение движения пробной частицы имеет вид

而+丄By苏斬一0，而+丄By苏斬一0，(О(О

而+丄By苏斬一0，

而+丄By苏斬一0，

(О

(О

где мы можем считать, что аффинный параметр X совпадает с собственным временем частицы. 4-скорость частицы есть d^/dK =

=(Y, 丫石)，где у^(1 — v2) 2. Заменим теперь в уравнении (1) d/dX на 2/df, используя соотношение d/dX = yd/dt:

⑵

Подставляя a = 0, будем иметь

iS + r°₽v^f = 0.

Подставляя теперь это соотношение в уравнение (2), для а = / получаем

号+ (一"t。Ву+Г缶)嘗察=0・(3)

С точностью до первого порядка по и уравнение (3) можно записать в виде

粤一 "T% + 1^ + 2m。/=0.⑷

Таким образом,Таким образом,с точностью до первого порядка по х и v имеем

Таким образом,

Таким образом,

成00 I Л — 000 I x = 0oo,场 I # = qfeO I x =0' 丿

Значение символов Кристоффеля при % =0 можно найти, восполь-

зовавшисьзовавшисьрезультатом задачи 7.17;

зовавшись

зовавшись

Г^аоер = Vuea = —”口却，

f卽0 = 一 Q0a mаa卫В一瓏〃a + есф儿"3°，

Поскольку получаемПоскольку получаем〃" =(1, 6),〃" =(一1, 0), 生==(0,a)，3。=(0, 3),

Поскольку получаем

Поскольку получаем

(6)(6)^рао= ^» если 卩==а,г0/0 = - %0 й-a厶

(6)

(6)

Г*/о = —Г fk0 = е川 os3ffl =勿彼⑴叫

0 =警+用噜警=0 +Г凯卅0 =警+用噜警=0 +Г凯卅Значения коэффициентов Кристоффеля с «чисто пространственными» индексами находятся из условия, что координатные линии » = =(т, snk)t где т и и* не зависят от s, суть геодезические. В результате имеем

0 =警+用噜警=0 +Г凯卅

0 =警+用噜警=0 +Г凯卅

Это соотношение справедливо при х = 0 для произвольных и, откуда следует

^ajk = 0.(7)

Найдем производную 『%(),月 из выражения для тензора Римана:

个"6 = 4盹 Y -吗Y, 6 + r%F% - r%PpY.

Получаем

_ F'oo,场=R%o +「减，о — MJ% +『oj%.

При % = 0

「&, 0 = — е/тЗ% o，

F 厶 J% n 0,

^^^ok =Г厶。?"冲 + 旅=

=。/仪内 + ^mjn^n^kml^ 1

откуда

•^― == — aj — d(R俯о ——е/йт^т, О + ajak + ^mjn^^kml^} + ^Jkm^ U* = 的(1 +«• x) — /?^oxA + (xxw оУ — [(xx to)x(o]/4-2(vxa))/.

Первый член в этом выражении соответствует «силе инерции», обусловленной ускорением системы отсчета; коэффициент 1 + а- х учитывает релятивистскую поправку (см. [1], упражнение 37.4). Второй член представляет собой «истинную» гравитационную силу. В приближении слабого поля мы могли бы в духе ньютоновской физики выделить по отдельности вклад от локального ускорения силы тяжести, дФ/dxj, и некое «абсолютное» ускорение аабс, именно 的 + RAM = (а)бс + дФ/dxJ i 7=0 + d^/dxJdxk 匕=停 ~

~ ⑷麻 + ?①/0〃

Члены, в которые входит со, те же, что и в нерелятивистской механике; второй и третий члены суть центробежная сила и сила Кориолиса соответственно.

Решение 14.13. Приравнивая дивергенцию тензора энергии- импульса нулю, имеем

0 = 4лТи\ =①MV① V + ①,ЦФ' V； V — 彳优(2①а; V® “)=

= (%v -Pv;u)①"+ 0),4v

Поскольку вторые ковариантные производные скаляра коммутируют между собой (действительно, Ф(, и；¥] = Ф(,Ц,¥]十①,“"[МАЯ =0), в нашем уравнении остается только второй член и уравнение движения в итоге имеет вид

□①=①,飞=0.

Решение 14,14. В предлагаемом уравнении (2) член i/eR① не зависит от размеров лаборатории точно так же, как и член с р. Следовательно, если мы измеряем поле Ф, то в принципе мы можем измерить и скалярную кривизну Риччи; в этом смысле конформно-инвариантное уравнение (2) находится в противоречии с духом сильного принципа эквивалентности.

Чтобы найти аномальные силы взаимодействия между частицами, обусловленные /^-членом, перейдем к локально лоренцевской системе, в которой одна из частиц неподвижна. Поле Ф, источником которого является эта неподвижная частица с зарядом |ль удовлетворяет уравнению

①"R&D = N2(r)・

Когда мы выписываем это уравнение, то подразумеваем существование некоторой глобальной (или по крайней мере порядка размеров лаборатории) инерциальной системы координат; иначе говоря, мы пренебрегаем тем самым всеми проявлениями кривизны, кроме скалярной кривизны Риччи. Другими словами, мы предполагаем (так оно, впрочем, и есть на самом деле), что эти другие проявления кривизны не нарушают сильный принцип эквивалентности.

Уравнение для Ф имеет решение вида

Ф = — -у-exp {—r/a Мб}, где a = R

откуда сила, действующая на частицу с зарядом ц2, равна

广=同①,产卩串2/产［1 + г/У^а\ exp {— 〃a /6} ^ 2同卩2/产［I +产/12載+方(f3/*］.

Мы видим, что аномальная сила, обусловленная /^-членом и равная приблизительно ц^/^а2, не зависит от расстояния между частицами, а это явно нарушает сильный принцип эквивалентности.

Из уравнений Эйнштейна ясно, что величина скалярной кривизны Риччи порядка плотности массы-энергии и, следовательно, отношение аномальных сил к «обычным» скалярным силам составляет

|2д2^"^Рмасса-энергия产［Р/Р^дерн］ * 1。“，

где『измеряется в сантиметрах. Таким образом, даже если скалярные силы измеряются внутри вещества с ядерными плотностями рЯдерн — 1014 г/см3, то для того, чтобы аномальные силы, обусловленные /^-членом, начали заметно проявлять себя, нам необходимо было бы иметь в распоряжении заполненную таким веществом «лабораторию» довольно-таки внушительных размеров (;•〜100 км и более). В любом же практическом эксперименте влияние этих гипотетических /?-сил было бы ничтожно.

Решение 14.15. Согласно результатам задачи 7.7(и) и уравнениям Максвелла,

4111P =尸吗…』(I g №川)宀

4n此产4n 表(Z g广"产部(I g MD,""

Поскольку тензор F антисимметричен, левая часть должна быть равна нулю.

Решение 14J6. В плоском пространстве-времени имеем

W,v = 4冗此

откудаоткуда-4比\v + 若w，七 " = 45TH.-4比\v + 若w，七 " = 45TH.(1)(1)f乩V = 4, ц 一 4, V>

откуда

откуда

-4比\v + 若w，七 " = 45TH.

-4比\v + 若w，七 " = 45TH.

(1)

(1)

Если мы поменяем во втором члене порядок дифференцирования по ц и V, что можно делать в плоском пространстве-времени, а затем применим правило «запятая переходит в точку с запятой», то получим

—A^-V；v +A^v^^^P. (2)

Если же, с другой стороны, мы применим это правило непосредственно к уравнению (1), то будем иметь

—4禺¥ ；v +/W；%V = 4冗/也

Порядок дифференцирования во втором члене теперь можно изменить лишь вместе с введением члена с кривизной (см. задачу 9.8):

-/国 v；v + 小；V；乩 + R 匕4 冗川.(3)

Уравнения (2) и (3) приводят, вообще говоря, к различным следствиям, которые можно проверить на эксперименте. Тем не менее мы пока что (вплоть до 1975 г.) не располагаем никакими экспериментальными данными, позволяющими сказать, какое из этих уравнений правильно.

Решение 14.17. Для члена связи с кривизной того вида, которой был найден в задаче 14.16, мы имеем (в лоренцевской калибровке, т. е. при условии Л^;(л = 0)

□册+低气3) = 4冗此

где скобки означают, что этот член может как присутствовать, гак и отсутствовать. Поскольку в вакууме тензор Риччи равен нулю, единственная надежда обнаружить присутствие этого члена могла бы быть связана с экспериментами в веществе (например, в стекле). Первый член в уравнении имеет порядок /4叫min (亲 /)]-2. Величина тензора Риччи (как следует из уравнений поля) порядка

Ср/。?0,74 • 10-28 см*—

Следовательно, относительная поправка, вносимая в уравнение вторым членом, равна

6Л*仔，/卜Р/г・см-з)9

Поскольку предполагаетея, что п ространственные масштабы земных процессов не превосходят размеров Земли /〜6・1()8 CMj числовое значение этой поправки для р = 1 составляет (6力"/力以)< < (5 * IO 6)2. Можно, разумеется, изобретать и более хитроумные члены связи с кривизной, например вида №呐喳呐6從 где К— размерная константа. Поскольку, однако, приписать Л какое-либо естественное значение не представляется возможным, то не существует и способа оценить априори величину эффекта, обусловленного подобными членами. Так как рассматриваемые уравнения сходны с уравнением Прока

□ Ли + тЛ^ = 0,

то эксперименты по измерению массы покоя фотона могли бы в принципе дать какие-то ограничения на значение К; к сожалению, пока что эксперименты не дали в этом направлении никаких результатов.

Решение 14.18. Для тензора энергии-импульса электромагнитного поля имеем

4nT"V = _ (尸%产1V + 二一 g"V&6户6),(1)

4лТ 吗 v =-(⑶ a; jav+"jav； у + ^尸邱戶0; и) = 0.(2)

Рассматривая сумму первого и последнего членов в уравнении (2), получаем

—F叫严伶尸啲т + /" = ^l.F^(F^, x + Fw^ Fx^a)= =^ 严Bg"(尸aB; т + Fg; В + 尸仞;a) ~ Fa^^xF% 仆

Если F выводится из выражения для векторного потенциала А обычным образом, то 尸[耶；訂=0, и у нас остается уравнение

О = 4仃％ у = —

Отсюда следует, что Fav;v —0^ за исключением случая, когда детерминант, составленный из коэффициентов F%, сам обращается в нуль. Но det (F^) = -—(£ • В)2, что и требовалось доказать.

Решение 14.19. Заметим сначала, что гамильтониан нормирован таким образом, что обладает размерностью (масса)2; это означает, что уравнения Гамильтона суть

dx"]dk = дН[д%,(1)

dn"d 九——dHjdb,(2)

где X—некоторый аффинный параметр (для частицы массы m он равен т/m, где т — собственное время). Если бы гамильтониан Н был поделен на т, то в уравнениях (1) и (2) можно было бы заменить d/d入 на d/dr; преимущество использования d/d% заключается в том, что d/d* можно использовать также и в случае безмассовых частиц.

Поскольку 4-импульс частицы есть pJ = dx門dk и так как 央” и Дй являются функциями от х°\ а не от 冗遇,уравнение (1) дает

y = gHV (叫一 e/j.(3)

Из уравнения (2) получаем

-^- = — ~^g，а (лц — вЛй) (nv ~ ^Ayj+g^eA^ а (nv — еАу).

Из уравнения (3), однако, следует

符= ^(gW + 〃a)=

=g叩警 + g 期，BPS" + eA% 炉

(здесь мы воспользовались соотношением d/d% = pBd/d%6). Умножая на 产，находим

警+ g"晒炉pU + y产е： ар曲v=/e (儿С -4…)沙・

Перегруппируем теперь производные от 且呻 таким образом, чтобы в результате сконструировать символ Кристоффеля. Поскольку

О = (rt₽V). а = Ct agpv + rtpv. а,

то, умножая на gY\ получаем

g叫an一g"炉叨肮“ Следовательно,

毁 + gaY @叩,В 一 У g时，J 或评=QYe尸叩/A

Так как

ga% OP*" = у 值磔,₽ + gaB，“)卢叫

окончательно имеем

^ + Г^р^е^,

что и является уравнением движения.

Решение /4*20・ Для незаряженной пробной частицы сохра* няющейся величиной является р・£ поэтому можно было бы предположить, что в случае заряженной частицы будет сохра-

няться л・ где л— канонический импульс, равный р + еА (см. задачу 14.19). В справедливости такого предположения, с одной стороны, можно убедиться, например, заметив, что поскольку у нас задан вектор Киллинга 自，то соответственно должна существовать некая циклическая координата. Другими словами, мы можем выбрать координаты таким образом, что гамильтониан Я не будет зависеть от какой-то одной координаты, и тогда сопряженный ей канонический импульс будет сохраняющейся величиной.

С другой стороны, мы можем непосредственно проверить наше предположение, обратившись к уравнению движения

MP = eF・p, из которого следует

vp(3T，§) = (vpP),1 + P, Vpl + ^(VpA)-I + eA-Vp§ =

= е^ - F-p4-0 + ^(VpA)<g--ep-VA^.

Чтобы переписать в другом виде последний член в первой строчке и показать, что второй член обращается в нуль, мы воспользовались уравнением Киллинга. Заметим теперь, что порядок векторных «сомножителей» в скалярных произведениях в первой строчке несуществен, но когда в дело вступает тензор F, обладающий уже двумя «входными каналами» для «ввода» векторов, необходимо обращать внимание на то, в каком порядке должны стоять векторых). Далее, тот факт, что электромагнитное поле допускает наличие циклической координаты, выражается соотношением

О =— Va§.

Переписывая еще раз последний член в выражении для Vp(n-g) с помощью этого соотношения, получаем

▽р(л •自)==您• F • р +线•(VA) • р — ер • (VA) •自==

=е| • F • р — е| • F • р = О,

где мы воспользовались тем фактом, что F есть не что иное, как антисимметризованное выражение для VA. Таким образом, интегралом движения, т е. сохраняющейся величиной вдоль траек* тории частицы, является л •自.

Решение I4.2L Ясно, что четыре уравнения Максвелла

F[а₽, у] = ° н 户[ар, V}

инвариантны по отношению к конформному преобразованию.

Другие четыре уравнения Максвелла имеюг вид

»V；W = IgL* [№ I g #], V = 4冗川.

Поскольку

W=g^g^=fag^gv^=za^v；

EssDet(Eap) = /4g, очевидно, что

|g|%W=| 訂/内V, откуда следует

F^. v = -^Y [| g /%戸V] v = 4л JU = 4ng皿 Ja =

и окончательно

加v；v-如)也

ГЛАВА 15

Решение I5.L Когда частица движется в экваториальной плоскости, квадрат момента количества движения 乙2 =。^. Очевидно, что это сохраняющаяся величина, так как сохраняется (Действительно, | = д/д^ есть вектор Киллинга, и из задачи 10.10 следует, что | • р сохраняется.) Однако в силу сферической симметрии движение всегда происходит в экваториальной плоскости некоторой координатной системы, получающейся из исходной путем поворота. Тогда, если бы мы смогли записать 川 как величину, инвариантную по отношению к поворотам, а затем определить этот инвариант в исходной системе, наша цель была бы достигнута.

В некоторый момент времени, когда радиальная координата частицы равна г, компоненты ковариантной 4-скорости р суть (р6 рг, ро* Р(р)- Рассмотрим теперь «приведенную» 4-скорость р^рнв =(6, о, гр窃,尸夕①),которая получается из ра путем преобразования, не зависящего от 9 и 屮(например, путем проектирования). Тогда, если движение будет происходить в экваториальной плоскости, мы будем иметь р仆=0 и 9 =冗/2, откуда

乙2 = ga%ypHB彌рнв = g①屮产总= Рф — интеграл движения.

Но в общем случае

и = g*« 产 р& + g^r^ =照 + 爲.

Следовательно, эта величина должна сохраняться и в общем случае, что и требовалось доказать.

Решение 152

Воспользовавшись сферической симметрией метрики, ориентируем координатные оси таким образом, чтобы частица при т = 0 имела 9 =冗/2 и 3 = 0. Тогда единственным решением уравнения геодезической

^ (严8)=产 sjn ® cos e©2

является ^ = л/2 для всех т,

Воепольвовавшись интегралом движения La из задачи 15.1, получим

Ж0一為. ⑴

Предположим, что невозмущенная орбита обладает параметрами 9 =冗/2, L = р@ = К・ Пусть частица испытывает возмущение, выводящее ее из плоскости орбиты, т. е.今=冗/2 + 6也 乙=女+ 6L, p(p = K+bpq)・ С точностью до первого порядка по 6L и 6р屮 и до второго порядка по S9 уравнение (1) дает

[嚅『=』【2КМ - 2K”l К? (*)2], откуда

Из этого уравнения видно, что возмущение 69 осциллирует вблизи Ь — п!2 и не растет со временем, т. е. орбиты являются устойчиво плоскими.

Решение /5.3. В случае радиального падения у нас есть два интеграла движения:

uu= 1 и и • d/dt = «0 = — (1—2М〃)淤.

Отсюда получаем

U U — — 1 — — (1 — 2М/г) (м°)2 + (1 — 2М〃)т (勿)2 =

=[—(1- 2М") + (1 -2М/Г)-1 (dr/dt)2](淤)2 =

=[—(1—2М") + (1—2М"尸(d 〃力)2](%)2(1 —2M/r)2.(1)

Решая относительно (d〃力户，находим

(dr/dt^ = (1 一 2M")2 [1-(1- 2M") (〃o)-2]・(2)

Неподвижный наблюдатель измеряет временные интервалы

di ={\-2M/r^dt

и радиальные расстояния

d； = (l — 2М/г)-也 dr, так что измеряемая им скорость есть

詳(1—1М/"呼.(З)

Заметим, что эта локально измеряемая скорость независимо от значения и0 приближается к скорости света по мере того, как г приближается к 2/И.

Решение 15.4. Первые интегралы уравнения движения по геодезической (см. задачу 15.3) суть

откуда получаемn df 巨откуда получаемn df 巨⑴⑴〃о = — Е == const, ^ul+grr («г)3 = — 1,

откуда получаем

n df 巨

откуда получаем

n df 巨

⑴

⑴

"，=乎=_ (巨2 _ 1 + 2М〃)％.(2)

Знак минус перед квадратным корнем в уравнении (2) соответствует частице, падающей на центр.

Случай /• Для этого случая из условия dr/dx == 0 при r = R следует

2 財/R =1一力，

т. е. £■< 1. Тогда уравнение (2) можно записать следующим образом:

"=伊_跑厂(3)

Это уравнение можно п рои нтегрировать в конечном виде. Получим t =(鋪"[2(黄一备厂 + arccos係-1)],⑷

где постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы т = 0 при r = R* Удобно переписать уравнение (4) в параметрическом виде, вводя «параметр циклоиды»

Будем иметь

r = y7?(l +cosт|) (П = 0 при r = R),(5)

t = (^)%(n + sinn)・(6)

Из уравнения (1) следует

По таблице интегралов находим

务=1п :£_j%_tg]j] + 備_ 1)%[п+為e + sinn)],⑺

где постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы /==0 при п = 0, т. е. при r = R. Отметим, что /->оо, когда tg(n/2)f (R)2M — 1#, т. е. когда г~>2М.

Случай 2. В этом случае 巨=1 и уравнение (2) дает

т = _弘品厂 + const,т = _弘品厂 + const,(8)(8)и, посколькумы получаеми, посколькумы получаем力—dtldxdr — dx7dт'力—dtldxdr — dx7dт'4矶貓%+ 2m1П4矶貓%+ 2m1П（血厂j（血厂j+ const.+ const.(9)(9)

т = _弘品厂 + const,

т = _弘品厂 + const,

(8)

(8)

и, поскольку

мы получаем

и, поскольку

мы получаем

力—dtldx

dr — dx7dт'

力—dtldx

dr — dx7dт'

4矶貓%+ 2m1П

4矶貓%+ 2m1П

（血厂j

（血厂j

+ const.

+ const.

(9)

(9)

Случай 3 Аналогично случаю 1 выберем R таким образом, чтобы

^=序一 1=(1_唸尸_ 1 =岳.

Г1 “ОО

Тогда перемена знака R в уравнении (4) дает

Т =I儡)/[2(尹焉广-Aг由僧+1)](10)

Заметим, что т = 0 при г = 0 и т = — 8 при г = 8. Вводя переменную

r)= Arch 伶 + 1), получаем

r = y (chr] — 1) (г = 0 при т| —0),(11)

т=-爲)%(shLn).(12)

Уравнение, соответствующее уравнению (7), имеет вид

金=也[£+i；_cth j _嶋+ 1)"5+爲釉「叫](13)

Заметим, что, когда г изменяется от оо до 2М, f изменяется от — оо до + со.

Решение 15・5, Выберем экваториальную плоскость так, чтобы

■& =冗/2. Тогда 〃°н0. Одним из первых интегралов движения является нормировка 4-скорости, откуда следует

炉。成+g^*+g "n—L(1)

Еще два первых интеграла дают нам векторы Киллинга d/dt и З/Зф：

«ф = £ —const,

〃о = — Ё = const,

где L и Е — соответственно момент количества движения на единицу массы покоя и энергия на единицу массы покоя. Тогда из уравнения (1) получаем

или, подставляя в явном виде метрические коэффициенты, dr/dr=±{[-1+^(1-^-^(^ тТ- ⑶

Из u^^g^L следует

dtp/dt = £/产.

Подставляя это соотношение в уравнение (3), окончательно получаем

](1 _2M/r)『.](1 _2M/r)『.—= ±4/Г—1+£2(1- 2M〃尸-邑

](1 _2M/r)『.

](1 _2M/r)『.

Решение 15.6. Выберем ■& =冗/2 и р° = 0. Если X — некоторый аффинный параметр, такой, для которого

pr = d"dk и pe = &p/dk = Lps то

gr _上

Соотношение р р==0 дает нам уравнение, связывающее рг,"屮 и р°； его можно решить относительно dr/d^\

(dr/d(p)2 = r4(l — 2財〃)[丫(1 — 2М〃尸一l/产],(1)

где у = ро/Рч)= const. Если теперь ввести переменную и = М/г, уравнение (1) примет вид

(公)2 =(1 —2м)[уМ2(1 — 2〃尸亠〃 2]=уЛР —г? + 2〃з；(2)

здесь штрих означает обычное дифференцирование по (р・ Продиф-

ференцировав это уравнение, мы получим весьма простое уравнение 2-го порядка:

(3)(3)u!f + u^=3uz.

(3)

(3)

В предельном случае Af/b《1 за нулевое приближение к решению можно выбрать решение типа «прямой линии» rsin(p = ^ или 〃o = (M/b) sin(p.

Запишем теперь 〃 = 〃q + 〃i + ..・,где 〃工《1, так что уравнение (3) можно приближенно записать так:

〃:+ 〃1^3〃8 = 3 借)飞口2中=^俏?(1 - cos2(p).

Это уравнение можно решить методом подбора; решение имеет видИ (?) sin ф + у (т/ (3 + cos2(p).

Теперь мы можем найти полный угол отклонения, вычисляя значения двух углов, при которых г == оо (и = 0). Эти углы должны удовлетворять уравнению

2sin(p^ — (М/b) (3 + cos 2(р),

откуда получаем

中^ —2(/И/Ь) и (рл=}л + 2(М/й).

Таким образом, полный угол отклонения составляет 4М/Ь.

Решение 15,7.

Уравнение орбиты было получено в задаче 15.5. Если теперь ввести новую переменную u s М/г и два новых параметра е и 4b заменяющих £ и £, то уравнение орбиты можно будет переписать в виде

{duld^)2 + (〃 一 а。)？ 一 e2u§ = 6〃。(" 一 u0)a + 2(〃一 u0)3.

[См. также [1], т. 2, уравнение (25.47) и [2], уравнение (8.4.29).] Члены в правой части представляют собой релятивистские поправки; в ньютоновской теории гравитации правая часть была бы равна нулю.

" = 〃о(1 +е cos ф), где е — эксцентриситет. Заметим теперь, что первый поправочный член имеет вид6〃。 (" 一 询)2 =方(〃絹2)=方(^ e)" = 〃о(1 +е cos ф), где е — эксцентриситет. Заметим теперь, что первый поправочный член имеет вид6〃。 (" 一 询)2 =方(〃絹2)=方(^ e)Нулевым приближением к решению является ньютоновское решение, т. е.

" = 〃о(1 +е cos ф), где е — эксцентриситет. Заметим теперь, что первый поправочный член имеет вид

6〃。 (" 一 询)2 =方(〃絹2)=方(^ e)

" = 〃о(1 +е cos ф), где е — эксцентриситет. Заметим теперь, что первый поправочный член имеет вид

6〃。 (" 一 询)2 =方(〃絹2)=方(^ e)

а второй поправочный член есть (и-и^3

так что мы можем им просто пренебречь! Следовательно, поправки первого порядка можно найти из уравнения

(d〃/d(p)2 +( 1 一 6u0) (и — 〃o)2 == Uqs.

Сделаем теперь замену переменных

屮三(1 — 6〃J%(p, n==〃一 〃о,

тогда уравнение примет вид

(d 〃/dip)2 + Ji2 Hs uoe2/(l — 6u0).

Заметим, что решение периодично по 屮；это значит, что и г периодично по 屮==(1 — 6〃о)'/чр. Следовательно, одна полная орбита соответствует 屮=2冗 или 屮=2冗(1-6財/Г0厂"，поэтому смещение периастрия дается формулой

2л |за одно обращениеГ о

[Другой способ вычисления смещения, более подходящий для случая больших эксцентриситетов, см. в книге Эддингтона [Eddington 4 S., The Mathematical Theory of Relativity (Cambridge University Press, 1922, Sec. 40)】).

Из классических ньютоновских уравнений орбиты получаем

После подстановки потенциала

(D = —М" —АМ, это уравнение принимает вид

Перепишем его следующим образом:

(黑 У + (1-с)(«-"о)2 -争(« - «0)3 = const.

Сравнивая коэффициенты при и2, приходим к выводу, что с = ^ bAujnlL?- Для почти круговых орбит U^mr, поэтому с == =6Л/г§. Из рассмотрения случая 《а》нам известно, что решение

периодично по переменной (1+с)%(р, так что полное угловое отклонение от пери астр ия к периастрию составляет

дф =т г-

(Т广

Отсюда

龙L1=丝.

2n Iза одно обращение 寸

Периастрий совершает опережающее движение в случае сплюснутости звезды А > 0 и отстает, если звезда вытянута 4 Vo.

В системе единиц, где с = С=1, M@=i,5 KM. Для Меркурия ro = O,58-108 км. Так как период орбитального обращения Меркурия составляет 0,241 года, релятивистское смещение перигелия равно

б(р = 0»105 дуговой секунды за одно обращение®=42 дуговым секундам за столетие.

Если бы это смещение было обусловлено сплюснутостью Солнца, мы имели бы для других планет смещение

6<р=(42 сек/столетие) (гМерк/г)2 (Горбиты мерк"орб) =

7_

==(42 сек/столетие) (Гмерк/^)?.

Числовые значения смещений тогда составляли бы

Г Мер к"

Общая теория относитёльности, сек/столетие

Сплюснутость, сек/столетие

Меркурий

1

42

42

Венера

0,536

&8

芻

Земля

0,386

3,9

Марс

0,245

1,25

0,3

Решение 15.8.

Мы будем

решать задачу в

два этапа. Вна-

чале вычислим частоту лазерного излучения, измеренную наблюдателем, покоящимся при значении радиальной координаты

「(《НИР》)，а затем вычислим красное смещение между этим наблюдателем и наблюдателем, покоящимся на бесконечности («НПБ»).

Пусть up — 4-скорость ракеты «Р» и рр — импульс фотона при значении радиальной координаты г. Тогда

"нпр = “нпр * Рр⑴

Если и— собственная относительная скорость ракеты и НПР- наблюдателя, то в системе отсчета ракеты уравнение (1) можно

переписать в виде

vHnP ?v0(l+vcos а)

Vo —*

откуда

”НПР = Y”0 (1 + U cos а),(2)

где у = (1—№)-%. Чтобы вычислить а, вспомним, что на круговых орбитах угловая скорость

at

в точности равна скорости, даваемой третьим законом Кеплера в ньютоновской теории тяготения:

(3)

(см. задачу 17.4). Следовательно,

U = T =U = T =г dtpг dtp(1 ^2М1г^1л 成—|_r (1 -2М")(1 ^2М1г^1л 成—|_r (1 -2М")(4)(4)

U = T =

U = T =

г dtp

г dtp

(1 ^2М1г^1л 成—|_r (1 -2М")

(1 ^2М1г^1л 成—|_r (1 -2М")

(4)

(4)

Тогда наблюдатель на бесконечности будет измерять частоту

^нпб = /П° = vHnp(l — 2М/г)%, или

”нпв = у/ (1 + и cos а) (1 — 2М/г)“, где V определяется уравнением (4).

Решение 15.9.

а) Первый интеграл движения дает нам уравнение (dr/dt)2 + V2(r)^E\(1)

где V определено в задаче 15.11. Если теперь воспользоваться соотношением

d(p/dt ="屮=£/户(2)

后2一（1 2〃）（1+e2〃2）后2一（1 2〃）（1+e2〃2）и ввести новую переменную имМ]г, то можно получить уравне， ние, связывающее и и ср:

后2一（1 2〃）（1+e2〃2）

后2一（1 2〃）（1+e2〃2）

(3)

где 工三 IjM、Продифференцируем уравнение (3) по ср： 2〃％" = —(2〃乙 2 — 2 — 6Z?"2) 〃乞-2,

илиили⑷⑷〃"+ 〃 =戸"+ 3〃2.

или

или

⑷

⑷

Для больших прицельных параметров правая часть уравнения (4) мала. Положим 〃 = 〃()+ eu; в этом случае правая часть уравнения (4) имеет порядок 6(&). Соответствующим образом выбирая

оси 尤 н у, можно добиться, чтобы

= 4 cos ф, А = const.

Подставляя 旬 в уравнение (4), получаем

yw 4- V = L~2 + ЗА2 cos2 ф =Z?2 + ^42(] +cos 2<р).

Решение уравнения (6) имеет вид

и = С— + у А2 — ~^ cos 2<р = L~2 + 24? — /V cos2 <р, откуда следует

и^А cos<р —Л2cos2<р +Z~2 + 2/2.

Асимптоты орбиты даются уравнением 〃 = 0, т. е.

(5)(5)(6)(6)⑺⑺гдегдеВ^ + 2А\4一(" + 4费8)号Bcos 屮=WПоскольку отношение В/А — малая величина, решение ния (8) имеет простой вид:乳/2 — В/А.В^ + 2А\4一(" + 4费8)号Bcos 屮=WПоскольку отношение В/А — малая величина, решение ния (8) имеет простой вид:乳/2 — В/А.(8)(8)уравне-уравне-(9)(9)Л2 cos2 <р —Л cos ф —В = 0,

(5)

(5)

(6)

(6)

⑺

⑺

где

где

В^ + 2А\

4一(" + 4费8)号B

cos 屮=W

Поскольку отношение В/А — малая величина, решение ния (8) имеет простой вид:

乳/2 — В/А.

В^ + 2А\

4一(" + 4费8)号B

cos 屮=W

Поскольку отношение В/А — малая величина, решение ния (8) имеет простой вид:

乳/2 — В/А.

(8)

(8)

уравне-

уравне-

(9)

(9)

следуетДалее,следуетДалее,(11)(⑵(11)(⑵

следует

Далее,

следует

Далее,

(11)

(⑵

(11)

(⑵

Так как обеим асимптотам соответствует одинаковый угол отклонения (для фяь； л/2 и 中《^ —冗/2), то полный угол отклонения составляет

Дф = 2В/А. (10)

Если b — минимальное расстояние, на которое приближается частица к рассеивающему центру, то из определения (5) для Л

4 = М/А

厶=—丽Й5 — = Мз (1—俨)，о M?(l 一炉) 2ЛР _ М2(1 十俨)力= 即I " 庐'= 丽 '

Из

соотношений (10) —(12) окончательно получаем

_2М(1+俨)

□屮гравЬ02.

(13)

б) Дифференциальное уравнение, описывающее запишем следующим образом:

траекторию,

五(myr) = y加f0)2 — / ,

(14a)

туг2(о 三 L = const,

(146)

Z«2

加Y— = £ = const*

(14b)

Из

уравнения (146) имеем

d/dt = (L/myr2) d/d^9

так

что уравнение (14a) принимает вид

(15)

где

w = 1/r. Запишем решение уравнения (15):

(16a)

U — 6 COo Тф 1 厶2-Z20，

fl一万;

(166)

оно

для больших L сводится к выражению

(17)

Наконец, асимптоты даются уравнением

n 1. Ze^E

О — COS(p 1 ^а >

или

bZ眇E

так что полный угол отклонения есть

^Фелектромаг =7~~"

(18)(18)Воспользовавшись соотношениями

(18)

(18)

L2 =L2 =加“学］一出‘加“学］一出‘E = m(l 一宙厂万,

L2 =

L2 =

加“学

］一出‘

加“学

］一出‘

перепишем формулу (18) в виде

^Фэлектромаг^Фэлектромаг2Ze2(l—俨)％2Ze2(l—俨)％(19)(19)Формулы (13) и (19) отличаются друг от друга потому, что гравитационное поле тензорное, а электромагнитное — векторное: эти поля изменяются по-разному при преобразованиях Лоренца, что приводит к различной зависимости угла отклонения от р, когда 0 не мало.Решение 15.10. Для решения этой задачи удобно использовать «излучательные координаты Эддингтона — Финкельштейна»: определим г* посредством соотношения"*/〃 = (1-2m/Г尸，г* = r + 2M In (〃2М — 1) +const,и введем запаздывающую временную координатуu = t — r*.Метрика Шварцшильда в этих координатах записывается в видеФормулы (13) и (19) отличаются друг от друга потому, что гравитационное поле тензорное, а электромагнитное — векторное: эти поля изменяются по-разному при преобразованиях Лоренца, что приводит к различной зависимости угла отклонения от р, когда 0 не мало.Решение 15.10. Для решения этой задачи удобно использовать «излучательные координаты Эддингтона — Финкельштейна»: определим г* посредством соотношения"*/〃 = (1-2m/Г尸，г* = r + 2M In (〃2М — 1) +const,и введем запаздывающую временную координатуu = t — r*.Метрика Шварцшильда в этих координатах записывается в видеds2 = — (1 — 2М/г)力？ — 2d〃 dr + r2dQ2.ds2 = — (1 — 2М/г)力？ — 2d〃 dr + r2dQ2.(1)(1)Полагая ds = 0, мы видим, что в этой метрике фотоны, излучаемые в радиальном направлении от центра, распространяются вдоль линий u== const. Красное смещение вычисляется путем сравнения промежутков времени между приемом и излучением фотонов для различных наблюдателей:Полагая ds = 0, мы видим, что в этой метрике фотоны, излучаемые в радиальном направлении от центра, распространяются вдоль линий u== const. Красное смещение вычисляется путем сравнения промежутков времени между приемом и излучением фотонов для различных наблюдателей:Ag = (А% =。証)8 =(А%виduАизл (Дт)иэл (Ат)изл (Ат)излdx излAg = (А% =。証)8 =(А%виduАизл (Дт)иэл (Ат)изл (Ат)излdx изл⑵⑵Обратите внимание, что мы можем установить соотношение между временными интервалами на бесконечности и временными интервалами в месте нахождения излучателя, воспользовавшись тем фактом, что и = const вдоль траектории световых лучей (фиг. 28). Теперь мы должны найти компоненту du/dx == Vй 4-скорости излучателя U как функцию времени t.Поскольку 〃 н f являются циклическими координатами, то из соотношенийUf == const = — Ё(3)Обратите внимание, что мы можем установить соотношение между временными интервалами на бесконечности и временными интервалами в месте нахождения излучателя, воспользовавшись тем фактом, что и = const вдоль траектории световых лучей (фиг. 28). Теперь мы должны найти компоненту du/dx == Vй 4-скорости излучателя U как функцию времени t.Поскольку 〃 н f являются циклическими координатами, то из соотношенийUf == const = — Ё(3)и U • U = 1 имееми U • U = 1 имеемjj — £ —(或一1 + 2М/гу/лjj — £ —(或一1 + 2М/гу/л(4)(4)

^Фэлектромаг

^Фэлектромаг

2Ze2(l—俨)％

2Ze2(l—俨)％

(19)

(19)

Формулы (13) и (19) отличаются друг от друга потому, что гравитационное поле тензорное, а электромагнитное — векторное: эти поля изменяются по-разному при преобразованиях Лоренца, что приводит к различной зависимости угла отклонения от р, когда 0 не мало.

Решение 15.10. Для решения этой задачи удобно использовать «излучательные координаты Эддингтона — Финкельштейна»: определим г* посредством соотношения

"*/〃 = (1-2m/Г尸，

г* = r + 2M In (〃2М — 1) +const,

и введем запаздывающую временную координату

u = t — r*.

Метрика Шварцшильда в этих координатах записывается в виде

Формулы (13) и (19) отличаются друг от друга потому, что гравитационное поле тензорное, а электромагнитное — векторное: эти поля изменяются по-разному при преобразованиях Лоренца, что приводит к различной зависимости угла отклонения от р, когда 0 не мало.

Решение 15.10. Для решения этой задачи удобно использовать «излучательные координаты Эддингтона — Финкельштейна»: определим г* посредством соотношения

"*/〃 = (1-2m/Г尸，

г* = r + 2M In (〃2М — 1) +const,

и введем запаздывающую временную координату

u = t — r*.

Метрика Шварцшильда в этих координатах записывается в виде

ds2 = — (1 — 2М/г)力？ — 2d〃 dr + r2dQ2.

ds2 = — (1 — 2М/г)力？ — 2d〃 dr + r2dQ2.

(1)

(1)

Полагая ds = 0, мы видим, что в этой метрике фотоны, излучаемые в радиальном направлении от центра, распространяются вдоль линий u== const. Красное смещение вычисляется путем сравнения промежутков времени между приемом и излучением фотонов для различных наблюдателей:

Полагая ds = 0, мы видим, что в этой метрике фотоны, излучаемые в радиальном направлении от центра, распространяются вдоль линий u== const. Красное смещение вычисляется путем сравнения промежутков времени между приемом и излучением фотонов для различных наблюдателей:

Ag = (А% =。証)8 =(А%виdu

Аизл (Дт)иэл (Ат)изл (Ат)излdx изл

Ag = (А% =。証)8 =(А%виdu

Аизл (Дт)иэл (Ат)изл (Ат)излdx изл

⑵

⑵

Обратите внимание, что мы можем установить соотношение между временными интервалами на бесконечности и временными интервалами в месте нахождения излучателя, воспользовавшись тем фактом, что и = const вдоль траектории световых лучей (фиг. 28). Теперь мы должны найти компоненту du/dx == Vй 4-скорости излучателя U как функцию времени t.

Поскольку 〃 н f являются циклическими координатами, то из соотношений

Uf == const = — Ё(3)

Обратите внимание, что мы можем установить соотношение между временными интервалами на бесконечности и временными интервалами в месте нахождения излучателя, воспользовавшись тем фактом, что и = const вдоль траектории световых лучей (фиг. 28). Теперь мы должны найти компоненту du/dx == Vй 4-скорости излучателя U как функцию времени t.

Поскольку 〃 н f являются циклическими координатами, то из соотношений

Uf == const = — Ё(3)

и U • U = 1 имеем

и U • U = 1 имеем

jj — £ —(或一1 + 2М/гу/л

jj — £ —(或一1 + 2М/гу/л

(4)

(4)

Следовательно,

U" guuUa + gur[jr = о + 広 +(序 _ 1 + 2М〃)％ ](1-2М//•尸 (5) и

Ur = gb% + g〃U尸=巨 + [—点一広2 - 1 + ^M/r)1^]=

=—(序 _1+2M〃)％・(6)

Таким образом,

dr —丄——(炉z — 1 + 2M/"% (1 — 2М")_

而-B - 点 +(承一1 +2Л!")*,()

Вблизи г = 2М из уравнения (7) получаем

d— 2 (1 — 2M/r)~ldr — 2 (〃2M — l)~ldr9 〃〜一4Mln(/72M— 1) +const,

1 —2M/r^exp (—〃/4Л1).

Подставляя все эти выражения в уравнение (5), приходим к выводу, что при 2М

ии^е^и/ш.

Наблюдатель, падающий вдаль

Фиг. 28.

Но для наблюдателя, находящегося на фиксированном (и большом расстоянии г), u —const, так что окончательно имеем

Мз"入 8 ~ exp (— 〃4М)・

получаем (1а) (16) (8.4.13)].(2а) (26)получаем (1а) (16) (8.4.13)].(2а) (26)%>нт =厶四%>нт =厶四-(炉一川)%'-(炉一川)%'

получаем (1а) (16) (8.4.13)].

(2а) (26)

получаем (1а) (16) (8.4.13)].

(2а) (26)

%>нт =厶四

%>нт =厶四

-(炉一川)%'

-(炉一川)%'

Решение 15Лк При движении частиц сохраняющимися величинами являются ut = E и иф = £, так что из u u = 1

(dr/dr)2 + V2(r) = £3,V = [(l-2M/r)(l + £2/r2)],/j.

[См. также [1], уравнение (25.15) или ⑵，уравнение

Полагая dV2/dr = 0t мы можем найти максимум V2:

”2 L2 + 36 + (L2 —12) (1 — 12/L2)% 卜 макс =网|

Если для частицы £ > Имакс, то она захватывается. Таким образом, предельное значение L, при котором еще происходит захват, находим, приравнивая

£2 = ^акс⑶

Для больших Е (больших L) уравнение (2а) сводится к уравнению

in 一户+ 36 + (?一⑵(1一6/巧 _ 守 + 9

У макс =5427~，

и уравнение (3) принимает вид

品 нт = 27 炉一9.(4)

Аналогично Лкрит можно ввести критический прицельный параметр &крит, который задается соотношением

где m —масса частицы. Захват происходит для прицельных параметров, удовлетворяющих неравенству Ь < 6крит, Тогда сечение захвата можно записать в виде

илиили(e2 -m2)(Ж二 7)(e2 -m2)(Ж二 7)~甯0十表卜27炉-9)~甯0十表卜27炉-9)лйкрит^27л/И2лйкрит^27л/И2(1+易，(1+易，(5)(5)

или

или

(e2 -m2)(Ж二 7)

(e2 -m2)(Ж二 7)

~甯0十表卜27炉-9)

~甯0十表卜27炉-9)

лйкрит^27л/И2

лйкрит^27л/И2

(1+易，

(1+易，

(5)

(5)

Для £ q 1 (малые значения Р) имеем

и уравнение (3) можно приближенно записать в виде

184-54P2^L2 + (L2-1 2)% 広

—2

Решая это уравнение относительно L с точностью до первого порядка по Р2, находим

ииПрит=16(1+2₽2) + ^(Р4)Прит=16(1+2₽2) + ^(Р4)%ахв = 冗沙工рнт =%ахв = 冗沙工рнт =-2冗ЛР丄крнт(£3 -1)-2冗ЛР丄крнт(£3 -1)16nM216nM2⑹⑹

и

и

Прит=16(1+2₽2) + ^(Р4)

Прит=16(1+2₽2) + ^(Р4)

%ахв = 冗沙工рнт =

%ахв = 冗沙工рнт =

-2冗ЛР丄крнт(£3 -1)

-2冗ЛР丄крнт(£3 -1)

16nM2

16nM2

⑹

⑹

Решение 15.12. Будем считать, что орбита Джона расположена в плоскости з = л/2. Поскольку орбита круговая, то 〃，= 0, и из r-компоненты уравнения геодезической Duf/dx — Q получаем

"/("')2+ %(〃》= °，

и, следовательно, для орбиты Джона

「％ м 1 ~Т^ = 7^= 64М2"「％ м 1 ~Т^ = 7^= 64М2"

「％ м 1 ~Т^ = 7^= 64М2"

「％ м 1 ~Т^ = 7^= 64М2"

Поскольку d(p/df = 1/8М, а между встречами Джон проходит угловое расстояние в 20л радиан, это соответствует промежутку координатного времени, равному

А/= 160л 附.

Из соотношения

g" (办户 + 泰0 g)2 = - 1

для орбиты Джона получаем

"』票=(1-^1L2 = 2.

Следовательно, измеренный Джоном промежуток собственного времени между встречами равен

Атджои =у А/= 80лЛ1 я^251,5Л1.

Для описания траектории Питера мы используем уравнения радиального падения (задача 15.4). Время, в течение которого Питер падает от /? до г = 4М, должно равняться

уД/ = 80лЛ1.

соответствующие интер- мы сможем определить времени для Питера изсоответствующие интер- мы сможем определить времени для Питера изНам необходимо найти значения R и п, валу времени /, равному 80лЛ1, и тогда соответствующий интервал собственного

соответствующие интер- мы сможем определить времени для Питера из

соответствующие интер- мы сможем определить времени для Питера из

уравнения (6) вуравнения (6) врешении задачи 15.4:

уравнения (6) в

уравнения (6) в

(1)(1)Атпитер = 2 (醤厂(П + sin 叫.

(1)

(1)

Уравнения для R и “一это уравнения (7) и (5) из решения задачи 15.4:

40л = In ；—(X — l)'/」tg40л = In ；—(X — l)'/」tg+ (Х-1)%[т]+：Х(什sin”)],⑵+ (Х-1)%[т]+：Х(什sin”)],⑵

40л = In ；—

(X — l)'/」tg

40л = In ；—

(X — l)'/」tg

+ (Х-1)%[т]+：Х(什sin”)],⑵

+ (Х-1)%[т]+：Х(什sin”)],⑵

4^X(1 + cost]), (3) где X wR[2M.

Обратимся теперь к физической интуиции: для Питера путешествие в направлении от звезды занимает довольно значительное время, за которое Джон успевает совершить несколько обращений по орбите. Поэтому и расстояние X должно быть весьма велико, и, следовательно, т]^ л. Поскольку логарифмическая функция меняется медленно, мы пренебрежем логарифмическим членом и напишем приближенно:

40л^Х1/а40л^Х1/а

40л^Х1/а

40л^Х1/а

Отсюда получаем Х'/*^80, т. е. X ^ 18,5. Тогда из уравнения (3) находим l+cosn^0,216 и соответственно т] = 2,47. Более точно,

Т] = 2,46029 и Х=^= 17,91737, откуда

АтПнтер = 468,72М.

Таким образом, по часам Джона пройдет гораздо меньший Й[римерно вдвое) интервал собственного времени, чем по часам итера. Это и понятно: ведь Джон все время находится на ульт- рарелятивнстской орбите, оставаясь в то же время глубоко в гравитационной яме, и оба эти фактора «замедляют» ход его часов, тогда как Питер проводит большую часть этого времени, путешествуя со сравнительно небольшими скоростями не очень глубоко в гравитационной яме (вспомним, что А/2М 〜18).

Решение 15.13, Очевидно, нам необходимо такое преобразование, чтобы

严=6耽产，(la)

镇A dr? =s 62M d尸2.(16)

Используя оба эти условия, мы получаем дифференциальное 13 Заказ ПО

уравнение для『ту), выраженное через известную функцию Л:”еА^.

Оно легко интегрируется, и решение записывается в виде

尸=const • exp [、^ dr),(2a)

”^ =『2/严.(26)

Для шварцшильдовской метрики

公n(1-2例")一%，

и из уравнения (2а) получаем

『=const -expf f—~

откуда

г = г(14-М/2г)2,(3)

если мы выберем постоянную интегрирования так, чтобы г-> 广 при /• +8. Соотношение (3) можно также обратить:

/■ = 2 [г - М ± (г(г - 2Л1))'/.].(4)

Из уравнения (26) имеем

产 у。+財/2».(5)

Отсюда следует, что площадь поверхности сферы с постоянными г и / дается формулой

4= (1 4- Д4/2л)4 Г2 J d^ sin ^ dq> = 4лЛ2 (1 +M/2尸)£(6)

Для построения диаграммы погружения заметим, что 1) согласно уравнению (4), отображение г в г является двузначным и 2). координата 尸 описывает лишь ту область шварцшильдовской герметрии, где г^2М [в уравнении (4)尸 становится комплексным для г <2MJ.

Для построения диаграммы погружения поверхности с постоянными /иг необходимо найти функцию z(r) такую, для которой dsa и d” + dr2 + г2 dq)2 = [1 + (dz/dr)?] dr2 十 r2 d(p3 = =(1一2財"尸办2 +r2d唄

Решение имеет вид

z = [8M (r-2M)y\(7)

Парабола, являющаяся графиком этой функции, изображена на фиг. 29. Поверхность погружения представляет собой параболоид, полупеннн访 путем вращения параболы вокруг оси г.

Решение 15 J4.

Рассмотрим буст в направлении ej. Для параметра скорости W = Arth0 преобразование определяется формулами

明,=А^, = ch 屮， А，м = А\, = sh 屮， откуда

/?АА А А = ЛаА At А% А 久 Rff =

=ch4 屮R?fr + ch?屮 sh2 屮 R?技？ +

+ sh2i|)ch2 屮 Rqr+sM 屮 R 節外—

=(ch4 屮一2 sh?屮 ch2 屮 + sh4 屮)^北汴：=

= (ch2i|)-sh2ij>)2 R}^^ R^^

В геометрии Шварцшильда неисчезающие физические компоненты тензора Римана суть

R?；?尸仆汹=—2/И〃з,

R筒笥=R压統=-R并篙=-Qg笳=m/尸

плюс компоненты, сопряженные перечисленным в силу симметрии. Чтобы показать, что все физические компоненты являются инвариантными по отношению к бусту в радиальном направлении, мы можем непосредственно вычислить в явном виде 20 независимых компонент, подвергшихся бусту. Другой способ состоит в том, чтобы ввести в* шварцшильдовской геометрии векторы

=е?+е；, пне? —е~ ni = e§ +抬«.

Легко видеть, что тензор Рнмана можно представить как сумму 13*

произведений этих векторов:

R = # {— (пД1) (пД1)+(тЛт*) (тДт*)++ Ее[(пДт)(1Лт*) + (1Лт*)(пДт)]}.

Очевидно, что компоненты вектора m инвариантны по отношению к бусту в направлении г с параметром скорости 小 Из соотношений

e* = chi|)e}, —shipe-, и е? = ch “е> — shife?, следует:

[ = е? + е； =е”(е/+е；,), п = е? - е； = е^ (е? + е,》 откуда

Тогда из вида тензора R ясно, что все компоненты инвариантны.

Чтобы убедиться, что такой вывод несправедлив по отношению к бустам в других направлениях, заметим, что для буста в(p-направлении с параметром скорости гр будем иметь

冷，?，沁，=

=sh 2 ch w(a?；? + 禺涧)=

=二(М〃з)sh 屮 ch 屮片 Rf?/

Решение 15.15. В координатах Крускала шварцшильдовская метрика записывается в виде

ds2 = ^^-^^ (—dv2+du2) + r2dQ2f(la)

где

(血■T) е"2М = 〃2 — 02.(]6)

Полагая в выражении (la) v = const и 8 =冗/2 и записывая затем линейный элемент в виде некоторой евклидовой поверхности вращения, будем иметь

^- e-^^ d«2 + г2 d(p2 = [ 1 +(dz/drY] dr^ + r^ dq)a,(2)

ИЛИ

1+傍)；等"〃叫需•

Вычисляя du/dr из уравнения (16), пол у чаем

纟『 = 丝―⑶

‘十、俞,—2M (〃2m-1)//2М十小' '

Чтобы погружение было возможным, z должна быть действительной функцией, т. е. должно выполняться неравенство

(г12М-\)г12м + v^I '

Отсюда следует условие

〃2M N In 緑.

Таким образом, для ；о；＞1 должно существовать минимальное значение г, выделяющие область, внутри которой погружение не удается.

С геометрической точки зрения необходимым условием погружения является выполнение неравенства

Нпернм?р)_2(5)

d (собственный радиус)' '

Рассмотрим теперь общее условие, налагаемое на dv/du. допускающее евклидово погружение. Пусть мы имеем некоторое сечение, описываемое функцией и(〃). Тогда

由2 =乌学е-"2M [ 1 -儒月心+户呢=

冲n一儒川胃嗡声 + …(6)

-\ d我 /一

и погружение допустимо, если

犷叫T黑)嘰?⑺

для любого г.

Решение 15*16. Чтобы избежать гипнотического воздействия привычных координатных обозначений, переобозначим г и следующим образом: r*f z, tfs. Тогда рассматриваемая метрика примет вид

ds* = — d" + 暮[^^『dz2 + [(9/2)M (г -切呼松 (1)

Введем теперь новую координату г, определив ее соотношением г = [у М (г — 3尸『• (2)

[Мы пришли к этой мысли, потому что выражение (1) явно сферически-симметрично, и, следовательно, коэффициент при dQ2 обладает геометрическим смыслом радиуса кривизны.] Введя f

таким образом, получим

-(瑞)" + z = w,(За)

dw~dz~ (魏)"dr.(36)

Подставляя равенства (2) и (3) в выражение (1), будем иметь

ds2 = _(l -号±)以2 + 2(血『dzdr-血d产 + 产dQ2.(4)

Теперь нам хотелось бы попытаться диагонаЛизовать члены с dn2, dz dr и dr2. Введем для этого координату t и функцию 尸(г) согласно определению

z^t + F(r)(5)

и подставим в выражение (4):

ds2 = _ (1 _罕)(力2 + 2 尸 dt dr + 尸 2 dr^ +

+ 2(血广 dr (或 + F")-血"2 + 产 d^.(6)

Выберем теперь F таким образом, чтобы метрика была диагона льна,

…『咨尸=(血厂⑺

При таком выборе Ff линейный элемент (6) принимает вид

由_罕)"一(「驾Т陶w +

+ 2(w)(1

или

ds2 = -(1 一号)由2+(1 一^•厂 沙2 + ddQ2.(8)

Перед нами метрика Шварцшильда в координатах кривизны, которая соответствует, разумеется, статистическому пространству-времени. Исходные координаты (1) называются «координатами Леме- тра». В них временная координата w измеряет собственное время наблюдателей, свободно падающих на центр; каждый такой наблюдатель движется ъдоль линии z = const.

Решение 15.17. В метрике задачи 15.16 для наблюдателя, покоящегося в данной системе координат, справедливо соотношение z = const (см. решение 15 16). Согласно определению (5) из

решения 15.16, это означает, что

d/ = — ¥dr = —•(爲)4(1-挈(1)

где мы использовали также условие (7) из решения 15.16. Из уравнения (1) получаем

@/力)2 = (2М/г)(1—芈「(2)

Сравнивая уравнение (2) с уравнением (2) из решения 15.3 (где для частицы, падающей из состояния покоя на бесконечности, и0 = 1), видим, что наше уравнение (2) соответствует радиально падающей частице, обладающей на бесконечности значением энергии, равным массе покоя.

Решение 15.18, Релятивистское уравнение Бернулли (см. задачу 14.7)

можно записать через собственную радиальную скорость жидкостио = (1 — 2/И") dr/dt

с помощью соотношения между 〃о и dr/dt:

g(»(〃°)2 + g〃(〃')2 = — I-

В результате получим

/]2М)(р + ")2

Если теперь воспользоваться законом сохранения массы покоя(U”|g№),. а=0,

то можно найти (предварительно вновь выразив иг，через о)

у(1 2М"『М. = const 事(3)

(1-№)3

Обратите внимание, что в этом решении мы обозначаем через п плотность массы покоя, а не плотность числа частиц, как обычно:

"здесь Н ^р^обычн*

Теперь было бы желательно выразить 拉 через скорость звука а

с помощью уравнения р = КпУ (ср. решение 5.25):

』加=?《吧_

dp 14-yKnY-i/(Y—1)'

Отсюда следует：

v^=-r^n =^-⑷

и, далее,

"=1лК(，/(у—1))Г •(5)

Если мы хотим найти самосогласованное решение для некоторого постоянного М и некоторого v (г), то соотношения (2), (3) и (5) можно рассматривать как систему уравнений, определяющую М как функцию г и V. Тогда мы сможем найти радиус, при котором течение становится сверхзвуковым, полагая v — a и dM = 0. Сначала мы должны выразить г через а. Используя уравнения (3) и (4) (при и = а), получаем

2М1一（1一炉/（Y一1））2（1一加）%，2М1一（1一炉/（Y一1））2（1一加）%，(6)(6)

2М

1一（1一炉/（Y一1））2（1一加）%，

2М

1一（1一炉/（Y一1））2（1一加）%，

(6)

(6)

工8工8Р + ")П /ооР + ")П /оогде

工8

工8

Р + ")

П /оо

Р + ")

П /оо

Подставляя соотношения (6) и (5) в уравнение (3), будем иметь

启 一m%0_上)[YК(1-：/(Y_1))了 I ⑺

而口一(1一办)(1一成/(Y一1))2Т8f—."丿

Разлагая уравнение (4) в ряд, находим %2 1+е

и затем продолжаем вычцсления с точностью до низшего порядка по а. Из равенства dinм/da^O получаем

” 0匸焉，зн Y，5/3,(8а)

и

岸tЙ2•3-‘/切8, если 7 = 5/3.(86)

Используя уравнения (8) и уравнение(6), окончательно находим, что радиус, при котором течение становится сверхзвуковым, дается формулами

"(^1)證，если ?#5/3, (9a)

ии-37—. если у = 5/3. 救8-37—. если у = 5/3. 救8(96)(96)

и

и

-37—. если у = 5/3. 救8

-37—. если у = 5/3. 救8

(96)

(96)

Решение 15.19. Для диагональной метрики □① имеет вид

□①=V.( V①)=(—g)i [(- g)%产①,el a；⑴

□①=(一 g)-“ [{(- g»g°° ①,。},。+ {(- g)% g〃@J, + + {(-g)%g""①，^，"{(一力吆^①.^j⑵

В шварцшильдовской метрике, записанной в координатах кри

визны.визны.* = —0 一竿1t g〃 = ( —爷* = —0 一竿1t g〃 = ( —爷(3)(3)

визны.

визны.

* = —0 一竿1t g〃 = ( —爷

* = —0 一竿1t g〃 = ( —爷

(3)

(3)

a g今仆 и g①① имеют тог же вид, что и в плоском пространстве. Легко можно обнаружить, что третий и четвертый члены в уравнении (2) имеют тот же вид, что и в плоском пространстве (вместе с «плоским» оператором момента количества движения L2), и, следовагельно, уравнение (2) можно записать следующим образом：

L/, 2M\Tm . I「2/1 2M\m ] . 9①小

□①(1—"7)①,oo+两 J (1 —①⑷

Тогда из уравнений поля □6 = 0 следует:

。=6。。-5("为卜("爷①乙一兄]-笋①• (5)

Предположим, что Ф можно представить в виде

G = ；4(r, t)Y/m^, ср).(6)

Подставляя (6) в уравнение (5), получаем

电 <ю—(1 —%[(1 -笋电丄+ 勿⑺ 2 = 0,(7а)

W勿 6 = (1 [響 + 婚斗 (76)

Решение 15.20. Уравнения поля Бранса — Дикке можно представить в виде

G^ + а (Ф； %, ф； ав) = Т吗(1 q)

□①= Т~,(16)

где каждый член, входящий в 尸诔北 пропорционален производным

от скалярного поля Ф. В пустоте решение уравнения (16) есть

Ф = const.(2)

Подставляя решение (2) в уравнение (1а), находим

G^v = 0,

т. е. уравнения Эйнштейна в пустом пространстве. Следовательно, шварцшильдовская метрика является решением уравнений поля Бранса — Дикке в пустоте, (Статическая сферически-симметричная вакуумная метрика наиболее общего вида в теории Бранса — Дикке содержит два произвольных параметра, соответствующих массе и скалярному заряду. Сферическая черная дыра обладает нулевым скалярным зарядом и описывается решением типа Шварцшильда.)

ГЛАВА 16

Решение 16.1. Поскольку для наблюдателя, неподвижного в системе координат /, г, 0, ф, временная ось направлена вдоль его 4-скорости, то соответствующий базисный вектор должен быть направлен вдоль d]dt и обладать при этом правильной нормировкой. В соответствии с этим выберем в качестве базисного вектора e^ = fd/dtt где величина / должна быть определена из условия нормировки:

Следовательно, / = е-е и

% = е-е索⑴

Все три направления д[д®, d/d屮，д/дг ортогональны d/dt. Выбирая базисные векторы вдоль них и нормируя на единицу точно так же, как и выше, получаем'

e； = e吗，eб = ег厂喘，％ = 6-口上sinO)-鳴. (2)

Базисные векторы, определенные в (1) и (2), образуют ортонор- мированную собственную систему отсчета неподвижного наблюдателя, Дуальные им Г-формы ша находятся из требования

〈&, е^> = 6%⑶

и, как легко видеть, имеют следующий вид:

й>6=с①涼，犷=挟 苏，S^ = ^-r d4, &ф = ^г sin^dqp. (4)

Решение 162 Наблюдатель проводит измерения в своей локальной ортонормированной системе:

е? = ё-①% е； = 6-\, 牟=厂总m ёб = (/•sin 0尸 %;

苏=尹也， s^ = ex dr, 6>8 = rd 也 &$ = r sin "而.

Метрика здесь имеет тот же вид, что и во введении в этой главе, только вместо (1 — 2/п/г)"1 у нас стоит 现 Объем жидкого элемента, измеряемый нашим наблюдателем, равен

V ==苏/У而金/\金而=0厂2se0"八筋八而=eаr2 sin 8公 d8 d屮.

Давление, действующее на противоположные точки вертикальных «стенок» жидкого элемента, одно и то же, но из-за наличия радиального градиента давления верхняя и нижняя 《стенки» испытывают различное давление:

丨 Рверхн - Рнн*н 1==|Р,；®?| = | Р.^-^\-

Следовательно,

I 尸внта』к I = I (Рверх ~ РниЖи) X ПЛОЩЭДЬ ПОВврХНОСТИ 丨= =I р(ге-Х(о^(о^о)^ I = I ptr^~KV |.

Так как выталкивающая сила направлена по радиусу, то

Рвьпалк = е-хр,гУе； = (1 _^『Р.Ле；.

Подставив значение 旦尸 из уравнения Оппенгеймера— Волкова, находим

(p + ")(加 + 4"叩)Уе； FrpaB = — ^выталк = ―'j ・

В ньютоновской теории этот результат имел бы вид

Решение 16.3. Сферически-симметричная метрика может зависеть только от f, df, г, dr и d/ + sin2 9 dqЛ

公2 = —zg f)d 产+ B(r, t)dr^ + 2C{f, 0 dr dt ++ D(r, Qmy + siMO&p)

Выберем в качестве новой радиальной координаты г9 =D2 (г, /). Опуская штрихи, будем иметь

d$2 = —E(r, f)dt2 + F(rt f)d产 +

+ 2G(r, t)drdt + r2(d^ + si^^d^).

Избавимся от G, вводя новую временную координату:

" = //&, /)[Е&, t)dt-G(r, t)dr]f

где Н — интегрирующий множитель, выбранный таким образом, чтобы правая сторона была полным дифференциалом. Метрика тогда принимает стандартный вид (штрихи вновь опущены):

d® =—Q 叭 j 分或 2 + ©2九 vJ) dr2 + r2 (de8 + sir? 0 d(p2).

Из задачи 9.20 вытекает, что тенаор Эйнштейна обладает следующими нетривиальными компонентами:

1 Q 31 Q 3G；； = 2е-^Кг/г + (1 — /2 入)“2, @尸26-2入"， G；； — (е^2Х — 1)/г2 + 2е~2ЛФ>г/г, 龜金=G/ = /2入(①," +①,/ -①"入"+①,"-儿")一

1 Q 3

1 Q 3

-2-2①仇" + 入J一 О Д z).(4)

Чтобы выполнялись уравнения поля в пустоте 0^ = 0, как видно из соотношения ⑵，величина. А не должна зависеть от /. Тогда соотношение (1) принимает вид

2认 dr

1-灰=У

Отсюда находим

efl T厂.⑹

Постоянная интегрирования выбрана равной 2Al из соображений удобства. Теперь соотношения (3) и (4) представляют собой эквивалентные уравнения, определяющие Ф (эти уравнения должны быть эквивалентны в силу тождества 仃台冬自三。). Простейшим образом можно найти Ф, если сложить друг с другом уравнения (1) и (3). Это даст нам

①"=-入尸， откуда

Вводя новую временную координату посредством соотношения "П产《)力，

мы избавляемся от /, и метрика окончательно приобретает вид d$2 = — (1 —挈)或2 + 0 -芈)T dd + " (М2 + SiM 今 d(p«).

Это и есть (статическая) шварцшильдовская метрика.

Примечание, Используемая здесь координата г задается соотношением 4лг2 площадь поверхности сферы, где соответствующие сферы определяются сферической симметрией задачи. Если бы функция г не была монотонной, мы не смогли бы использовать ее в качестве координаты. Тем не менее более подробное рассмотрение этого случая (см. [1], т. 3, стр. 42) показывает, что решения, отличные от шварцшильдовского, отсутствуют.

Решение /6・4・ Из теоремы Биркгофа (см. задачу 16.3) мы знаем, что для сферически-симметричной системы метрика в пустоте представляет собой решение Шварцшильда. Следовательно, внутри самогравитирующей полой сферы пространство описывается метрикой Шварцшильда, но в данном случае точка г = 0 не является сингулярной. Это значит, что масса М (которая фактически является постоянной интегрирования в решении уравнений Эйнштейна) должна быть положена равной нулю, чтобы избежать расходящихся членов в метрике, содержащих М/г. Следовательно, внутри полой сферы метрика является плоской, и поэтому пробные частицы не испытывают воздействия гравитационных сил.

Решение 16.5. Запишем вакуумные уравнения поля для метрики gMV и скалярного поля Ф в теории Бранса — Дикке:

+① Т(①，明 В -gaB□①)，(1)

□①"(2)

Если мы используем стандартный вид статической сферически- симметричной метрики

dsa = — e2u d* + 济 dr2 + r2 d®,

то уравнение □①=0 запишется как

(W-mo)")" = 0・(3)

Общее решение этого уравнения есть

①=а J 三l-dr + 瓦(4)

Вблизи 厂=0 метрические функции е?и и е?' стремятся к единице (вблизи г = 0 метрика близка к метрике Минковского). Следовательно, интеграл в уравнении (4) расходится вблизи г = 0, и Ф вблизи начала координат можно записать так:

Ф^а/г-[-Ь.(5)

Но если а не равно нулю, то правая часть уравнения (1) будет порядка аа/г2. (Этот эффект не обусловлен выбором координат; след правой части порядка аа/г2, поэтому из уравнения (1) вытекает, что скалярная кривизна расходится как а2/га.) Следовательно, чтобы решение было регулярным в начале координат, необходимо, чтобы а равнялось нулю, т. е. Ф должно быть постоянным. Для случая постоянного Ф уравнение (1) сводится к статическим сферически-симметричным уравнениям поля общей теории

относительности в пустоте, а из теоремы Биркгофа известно, что единственным решением этих уравнений, удовлетворяющим условию «хорошего» поведения в г = 0, является

g|TV н Лц-V*

Решение 166 Рассмотрим компоненты 7炉 в любой точке в некотором ортонормированном репере [%, е；, е&, е-]. Из условия сферической симметрии следует, что значения компонент инвариантны по отношению к поворотам:

e^-^cosae^ + sinae^ eA->-sinae^ + cosaeA.

Очевидно, что компоненты Т”，Г» и Т芥 остаются инвариантными при поворотах. Пара компонент (力燄 Т^ преобразуется при поворотах как 2-мерный вектор и, следовательно, не является инвариантной. Поэтому мы приходим к выводу, что 亍冷=丁沁=0 и аналогично 丁幷=Т;& = 0. Единственной 2-мерной матрицей, инвариантной по отношению к поворотам, является матрица, кратная единичной, откуда следует

Таким образом, всего имеется четыре независимых компоненты:

Ttv Ttr' 7" н Т沁= Тц・

Решение 16.7. Стандартный вид метрики для статической сферически-симметричной звезды есть

ds2 = — с?① d/2 + 02A dr2 +，2 dQ2(1)

Легче всего расписать уравнение Та₽； р = 0 в компонентах, если вспомнить, что оно эквивалентно перваму началу термодинамики: dP/d-中案⑵

(см. задачу 5.19) и уравнению Эйлера:

(Р + Р)"а; О* = — Р,а - RВ"①а(3)

(см. задачу 14.3). Для статической звезды обе части уравнения (2) обращаются в нуль тождественно. Единственной ненулевой компонентой и является 加，и из соотношения и и«»—1 задует, что 4? = е—ф・ Поскольку в нуль не обращается только произ-

водная "“，единственной нетривиальной компонентой уравнения (3) будет

—р,г = (р + р) «г；叫В = — (р + Р)Г%р«амР ==—(Р + Р) Г'гМ"' = (р + Р)①".

Решение 16.8. Пусть /и (г) —решение ньютоновских уравнений внутреннего строения политропной звезды:

dm/dr = 4nr2pt(1)

dp/dr =—嘴，(2)

Р = Кр£(3)

Если 丫 = 4/3, звезда находится в безразличном равновесии (обладает нулевым запасом устойчивости)； это видно из того факта, что

ni(r) = m(ar)t

p(r) = a3p(ar),

Р (г) = a4P (ar)

также являются решением системы уравнений (1) — (3), причем им соответствуют те же значения полной массы /п(оо) и коэффициента Л.

Релятивистское уравнение, соответствующее уравнению (1), выглядит точно так же; что же касается заданного уравнения состояния (3), то мы предполагаем, что в релятивистской теории его вид также не меняется. Уравнение (2) в релятивистском случае заменяется на

[см. [2], уравнение (11.1.13) или [1], т. 2, уравнение (23.22)] Поскольку рассматриваемая нами звезда является почти ньютоновской, члены в скобках очень близки к единице. Следовательно, можно найти точное решение уравнения (4), которое будет почти совпадать с решением ньютоновского уравнения (2) [например, подставляя ньютоновское решение в уравнение (4), получая затем малые поправки к р и находя решение методом итераций]. Обозначим это решение через т(г), р(г), р(г). Сконструируем из таких функций «пробное решение»:

质(г) = /й(аг),

p(r) = asp(ar),Р (г) = а% (аг).

Если мы подставим его в систему релятивистских уравнений, то равенство правой и левой сторон в уравнениях (1) и (3) не нарушится, но для уравнения (4) отношение правой части уравнения к левой с точностью до членов низшего порядка будет уже равняться следующей величине:

правая частьлевая частьправая частьлевая часть1+(а—1)[$+4“(а「)з^+^ .1+(а—1)[$+4“(а「)з^+^ .(5)(5)

правая частьлевая часть

правая частьлевая часть

1+(а—1)[$+4“(а「)з^+^ .

1+(а—1)[$+4“(а「)з^+^ .

(5)

(5)

Для a > 1, что соответствует сжатию звезды до меньшего значения радиуса, правая часть больше левой, а это означает, что градиент давления всюду в звезде недостаточен для поддержания равновесного состояния и звезда вынуждена сжиматься до еще меньшего радиуса. Но и этот радиус не будет равновесным, ибо звезда по-прежнему будет оставаться почти ньютоновской, так что предыдущие аргументы вновь окажутся применимыми. Следовательно, состояние с у = 4/3 неустойчиво и область устойчивости должна начинаться с некоторого значения у >4/3 +в.

(1)(1)Решение 16.9, Увеличение массы звезды, состоящей из вырожденного газа, приводит к увеличению плотности вещества до тех пор, пока энергия Ферми частиц газа (электронов в случае белого карлика и нейтронов в случае нейтронной звезды) не достигнет релятивистских значений. Если А — число барионов в звезде, а R — радиус звезды, то 4*ерми-энергия составляет приблизительно (в релятивистской области)

(1)

(1)

⑵⑵(В этом уравнении мы пренебрегли таким не очень существенным фактом, что как в нейтронной звезде, так и в белом карлике на один барион приходится примерно вдвое большее число фермионов, поддерживающих давление.) Гравитационная масса-энергия на фермион равна приблизительно

⑵

⑵

где тв — масса бариона.

Заметим, что как гравитационная энергия, так и энергия сжатия одинаково зависят от R. Следовательно, решающую роль играет знак суммарного коэффициента, стоящего перед R1 Если он положителен, то при добавлении массы радиус будет возрастать, а энергии Ферми начнут становиться нерелятивистскими, в результате чего энергия сжатия будет убывать быстрее RT, и в конце концов при некотором конечном значении R будет достигнуто устойчивое равновесие. Если же коэффициент отри- цателен, то в звезде установится и будет продолжаться режим

коллапса. Таким образом, критическое число барионов, при котором звезда становится неустойчивой, находится путем приравнивая 富G Н富F；

=(备io”.(з)

Уравнение (3) соответствует критической предельной массе

Мкр”т = т/Икрнт~ 2Mo(4)

и предельным значениям радиуса

с 工 ( (те，2)т для белого карлика,

R Крит■〜力°" крнт X \.uн2

I (仇即2尸 для нейтронной звезды, (5,0 • 108 см для белого карлика, [2,7 • 105 см для нейтронной звезды.

Решение 16.10. Пусть в некоторой выбранной точке Р наблюдатель строит сферу S, проходящую через Р и определенную таким образом, чтобы во всех точках на S геометрия была одинаковой. Тогда из выражения для линейного элемента находим, что измеряемая площадь поверхности этой сферы будет равна

А (г) = 4лг2.(1)

Градиент скалярной функции А (г) есть 1-форма, т. е.

7Д (г) = Яд = 8лг dr.(2)

Следовательно,

^AdA= 64 口3 drdr = 64л2г2 (1 — 2т〃)(3)

И加(「)= *(】-%兽).(4)

Решение 16.1L

Шварцшильдовская метрика

ds』一0一举)力2+0 一挈厂"2+产源2 (1) в преобразованных координатах принимает вид

ds2 = _(l -^du2-2du dr + rMQ2.(2)

Мы хотим вычислить компоненты тензора Эйнштейну Gap для случая М^М(и). Проще всего найти символы Кристоффеля из выражения для лагранжевой функции, использованной в за-

даче 7.25 для нахождения геодезических:

£ = —(1 — ^^ ^2 _ 2u? + r2^2 + ra sin2 ^ф2.(3)

Уравнение Эйлера — Лагранжа

證)-勿。⑷

дает нам уравнение геодезической

и — (М/г2)讲 + 用 + г sin2 8炉=0,(5)

откуда мы выписываем не равные нулю символы Кристоффеля:Г%и = — ^ , Гв^ = г, Гвфф = г sin2，&.

Подобным же образом уравнение (4), в котором г заменено на 〃, U и ф, дает нам оставшиеся символы Кристоффеля:

「z =弘 1 一笋_% % = —《一詳)，

「5 = —(l—^rsin?令，「“, = *「％ = ；,

「%> = —sinecose, 「％ = ；, Г% = ctg^.

Их значения совпадают с соответствующими значениями для метрики Шварцшильда, за исключением Ггиц. Из формулы для тензора Риччи [см. [1], т. 1, уравнение (8.516)]

^ав = Г%В, L (In I g |1/а),сф + (In I g Г4), у Гуар — Г^рбГбау видно, что все компоненты R^ имеют те же значения, что и в шварцшильдовской метрике (т. е. нулевые), за исключением

Run = 一 2/И,/г2.

Скалярная кривизна Риччи равна

/?=g"嗯^ = 0, поэтому единственная ненулевая компонента тензора Эйнштейна есть

Gl-2M”，

откуда следует, что

Тиа = — Л4'/4"2

и что все остальные компоненты Т равны нулю. Поскольку вектор kwV〃 [т. е. 比= (1, 0, 0, 0)] является изотропным, тензор энергии-импульса

Т =—悪 k®k

соответствует чистому полю излучения. Таким образом, физическая интерпретация этого решения (называемого метрикой Вайдья) состоит в следующем: перед нами внешняя метрика сферической звезды, масса которой убывает, поскольку энергия уносится излучением.

Решение 16J2. Уравнения внутреннего строения звезды имеют вид [см. [1], т. 2, уравнение (23.5) или [2], раздел 11,1]

ds2 = —е2®"+ (1 _^у%尸 + 产 dQ2,

(1)

Г

m =, 4лг2р dr, 0

⑵

也 = _ (р + Р)(加+4л戸Р)

drг (г — 2/n)，

⑶

t/Ф — m + 4лг3р

〃 一 /■(/■ — 2m)'

⑷

Поскольку величина р постоянна, р = р0, уравнение (2) дает

т = 4лг3р0/3(5)

и

Л4 = 4л/?3р0/3,(6)

где R —раднус, а М — полная масса звезды. Подставив уравнение (5) в уравнение (3), получаем

Г dr

j , . \ / 1 I \1 — (8л/3) л2ро

4几(ро+р) [-g- Ро+")

Проинтегрируем и решим относительно р:

р = (1 -2MN/R3)%_(i —2附/R)%

% 一 3 (1 一 2附/R丿厶一(1 -2m户/R»)% *()

Постоянная интегрирования определяется из требования, чтобы р = 0 при r = R. Величину Ф проще всего найти из уравнения

d ①1

Интегрируя, получаем

濟=const/(p0+p) =|(1-2M/R)% — ^(1 - 2M「2/r叩包(8)

где постоянная интегрирования выбирается с помощью уравнения (7) таким образом, чтобы

еф \r^ = {\-2MlRy^t

т. е. чтобы метрика гладко сшивалась с метрикой Шварцшильда вне звезды..

Таким образом, мы находим однопараметрическое семейство моделей звездной структуры, которое удобно параметризуется, если в качестве параметра выбрать давление в центре звезды:

% = ] 一(1 — 2M/R)%⑼

Давление в центре становится бесконечным, когда з(Т% — 1 = 0,

т. е. предельное значение R/2/И равно %.

Сильное энергетическое условие требует выполнения неравенства рс < р0, т. е. правая часть уравнения (9) должна быть меньше 1. Отсюда получаем ограничение R/2M >4/з*

Решение 16J3. Для релятивистского полностью вырожденного ферми-газа уравнение сосюяния имеет вид р = (%)р, поэтому уравнения внутреннего строения (см. задачу 16.12) записываются следующим образом:

dm/dr = 4лг2р.(2)

Подставляя предполагаемое решение m(r) = 3r/14 в уравнение (2), получаем

р(г) = (3"4)(4 口戸)1;

подставляя затем эти значения р н m в уравнение (1), убеждаемся, что они действительно являются решением системы. Из уравнения состояния находим

p(Г)= (1/14)/(4门产)!

Чтобы определить п (г), воспользуемся формулами для релятивистского ферми-газа (см. задачу 5.24):

J信)4"炉如=嘉坤，(3)

PF

Р 7 Р 係)'к炉 “Р =磊 Pf-(4)

О

Исключая pF (импульс Ферми) из уравнений (3) и (4), получаем

/、8л /4九зр

"(Г)=諫而)•

Подставляя теперь р(г), окончательно находим

(5)(5)/、 К ， 8л /4那 з 1、乂

(5)

(5)

"(Г)=产，K=丽

Полное число частиц внутри сферы радиуса г дается интегралом

Af (г) = ^ и (г) d (собственный объем)=о

⑹⑹=^ п (г) еЛ 4лг2 dr = ^- Kr4z\

⑹

⑹

он остается конечным для всех г. Обратите внимание, что при вычислении интеграла (6) мы использовали соотношение

e*g〃 = (l 一也戶厂=£•

3-геометрия гиперповерхности f = const имеет метрику

⑶ dM = grr "2 + r2 dQ2 — (7/4) dr2 + r2 dQ2.

Очевидно, что в начале координат эта метрика обладает особен* ностью конического типа (фиг. 30), так как радиусу 2-сферы, равному г, соответствует радиус ^小仁 превышающий г.

Уравнение погружения для радиального сечения имеет вид

(3依2 Н(7/) dr^dr^ + dz2, откуда следует

z = ±(3/4)'"

Решение 16.14. В координатах кривизны метрика не может быть непрерывна при пересечении оболочки, так как

g〃 = (l - 2m (г)/г)т,

a m(r) изменяется в точке пересечения оболочки. Поэтому мы будем использовать изотропные координаты, в которых метрика, несмотря ни на что, непрерывна и осуществляется гладкое сшивание метрики пустого пространства внутри оболочки с метрикой,

ds』-

-efdi^+^idr^ + ^dQ2), [(TNT，「＞r，

(i)

昨

费)2("费厂'YR'

(2a)

产=

5 r>R， 幫「〈а

(26)

метрика

характеризующейся наличием массы М вне ее. Эта имеет вид

При сшивании метрики в выражениях (1) и (2) мы воспользовались тем фактом, что по теореме Биркгофа (см. задачу 16.3) геометрия является шварцшильдовской вне оболочки и плоской внутри нее. Кроме того, мы полагаем, что поверхность оболочки расположена на расстоянии, соответствующем значению изотропной радиальной координаты r = R.

Определим далее компоненты интегральных напряжений А^р следующим инвариантным образом:

АR + & а aR + e 人丄 а

(3)(3)А&8 三 lim , Т^р dr == lim , T^^ dr

(3)

(3)

Значения компонент Л можно найти, используя уравнения поля Эйнштейна и замечая при этом, Мто, согласно уравнениям (2) и (3), вклад в них могут давать только те члены С%, которые содержат вторые производные от метрики.

Компоненты ©% для метрики (1) имеют вид (см. задачу 9.20)

G。。〜〜-备 U),(4а)

G，尸〜0,(46)

G% = G%-| e-а(优 + Y〃)計言但书 一 ^(宀，)], где 〜означает, что мы отбрасываем все члены, не включающие вторые производные. Используя формулы (3) и (4), а также эйнштейновские уравнения поля, получаем

R + eа

Л^о — Л°о = — (8n)-1lim £ 产/2 罢(e a) dr 〜一(8л)'1 lim е" хе-»0е-+0

X”)二

и, далее,

(4в)(4в)(5)(5)лОл一附

(4в)

(4в)

(5)

(5)

°一 4jiR2(i+m/2R)3 »

А；；нА〉= 0,

Л«^ = Лфа =_(8n)-4im j j ^ |^ ^ - ^ (е ау,)] dr =

=_(8"尸吧 4 尹/2 修(e a) - e w]I二，

илиилиА*盡(]^£Й)。+ 费)зА*盡(]^£Й)。+ 费)з(6)(6)

или

или

А*盡(]^£Й)。+ 费)з

А*盡(]^£Й)。+ 费)з

(6)

(6)

Чтобы дать правильную интерпретацию уравнений (4) — (6), мы должны помнить, что R — радиус оболочки в изотропных координатах. В координатах кривизны радиус 酰 есть

и, таким равна

образом, собственная поверхностная плотность массы

m 一例仅

4л^2 — 4л/?з (1 + 附/2R 产⑼

凯=R(1+〃/2/?)2,

(7)

В ньютоновском пределе уравнения (4) — (6) дают

a 1-丽，

А% = 0,

A内=謠印

Решение 16.15. Условие энергодоминантности требует, чтобы выполнялось неравенство

(1)(1)|т66]>|т 娥 |.

(1)

(1)

Используя результаты решения 16.14 и интегрируя по тонкой оболочке, мы приходим к неравенству

("凱*/0+紛⑵

где 7? — изотропная радиальная координата. Полагая M/2R=xt получаем 2 —2х>х или XV%, что дает

R > %М・

Соответственно для шварцшильдовской радиальной координаты 期 имеем

+患)2>^М,(3)

что составляет около 1,04 шварцшильдовского радиуса.

Решение /6・/6・ В изотропных координатах (см. задачу 16.14) красное смещение на радиальной бесконечности равно

2 = Г^—-l=(e-V/2)n0Bepx_l =

^поверх( ^оо)поверх

1 + 附/2R[ — MIR

=1 一附标一 1 =1 一附质，

Интегральные плотность массы-энергии и поперечные напряжения равны соответственно

一A亳=趣卜十祭厂，

a标=a% = 袤(舌输)(1 +祭厂

Следовательно, отношение интегральных напряжений к плотности массы-энергии равно

А^а M/4R 1

—^■— — =S "“ i ，= — Z

—AOg 1 —附/2R4

так что красное смещение на бесконечности выражается через эти величины следующим образом:

z = — 4А^/А%.

Если выполняется условие энерго доминантности, то

I Л%|^1А^1 и ZW4.

Решение 16.17. Неисчезающие компоненты 4-скорости жидкости суть 办 и и^ = Qu^ т. е.

ПустьПустьвектором Кил-вектором Кил-u = "'侵+嗯｝疗+ 囁= &«) + %)•

Пусть

Пусть

вектором Кил-

вектором Кил-

Поскольку Q — постоянная, вектор 自 является линга. Согласно задаче 10.14, имеем

Vuu = Vln；|-gp,

где

|自飞|裳П1/%

так как u u = —1. Таким образом, уравнение Эйлера (см. задачу 14.3) для жидкости принимает вид

(р + р) V In (办尸=—Vp — (V(JM)и.

Поскольку р не зависит от / и <р, ясно, что V炉=0. Отсюда имеем (р + р) V In

Решение 16,18. Учтем прежде всего, что dp = (р + р) d In uf (звезда находится в состоянии гидростатического равновесия; см. задачу 16.17). Возьмем затем от обеих частей этого уравнения внешнюю производную и, воспользовавшись соотношением ddp = O, получим

0 = d(p + p)/\dln «z = d (р + р) Д (р + р)-1 dp.

Отсюда вытекает

ФЛ dp = о,

и, следовательно, поверхность р = const совпадает с поверхностью р = const.

Решение 16.19. Поверхность звезды представляет собой поверхность постоянного давления р (так как р = 0). Из задачи 16.18 следует, что она является также поверхностью постоянных значений р и в силу параллельности

dp 〜d〃f поверхностью постоянных значений 〃'・ Но в обозначениях задачи 16.17

("尸=隆七m = ]g"+2出洞+g^认

так что на поверхности звезды

gd+2g 毎 а+гФФй2=const.

Решение 16.20. Пусть р — 4-импульс фотона, а иизл и Uoo — соответственно 4-скорости некоторой излучающей точки на поверхности звезды и наблюдателя на бесконечности. Тогда отношение излученной частоты к наблюдаемой равно

”НЗП Р • иизл к 一

Но для иизл не равны нулю только t・ и <р-компоненты, так что Р и© = р“ + р^ =(1 + R/),

где Q = и*₽/^ — угловая скорость вращения звезды, а г s P^/Pt — прицельный параметр фотона по отношению к оси вращения. Заметим, что рф и р? сохраняются вдоль траектории фотона. Кроме того, p^ = p -Uoo, поскольку 〃' = 1, и, следовательно,

г = (1 + Q/) — 1 ==：—j；1.

風+2^©+^^ I 寫

Так как gtt + 2Qg/(p + й2^фф на поверхности жестко вращающейся звезды есть постоянная (см. задачу 16.19), вариация значений z вдоль поверхности звезды дается формулой

Az =J7.

|g〃 + 2Qgf@+ Q2g(р(р (поверх

Однако все фотоны, достигающие наблюдателя, расположенного в направлении оси вращения звезды, должны обладать компонентой импульса 力=0, а это значит, что / = 0 н, следовательно, А/ = 0. Таким образом, для такого наблюдателя уширение Az = 0.

Решение /6・2/・ Конфигурация идеальной жидкости называется конвективно-устойчивой, если ее масса (т. е. масса покоя плюс энергия) не изменяется при перераспределении барионов. Мы вычислим сначала изменение массы 6М такой конфигурации, обусловленное привнесением из бесконечности 64 барионов.

Пусть некий удаленный астрофизик бросает в нашу конфигурацию кусок вещества, обладающий полной массой-энергией цв6Д + 1Г0, где цв — среднее значение массы покоя барионов и W()— дополнительная энергия, которая должна быть затрачена, чтобы барионы попали внутрь жидкости. Неподвижный наблюдатель с радиальной координатой г ловит эти барионы и дополнительную энергию и измеряет их полную массу-энергию, которая оказывается равной

W^u^e^^A+W^(1)

где е_ф —фактор красного смещения, обусловленный метрикой ds2 =—終①力2 + (1 — 2m/r)-1 dr2 + r2 dQ2.(2)

Используя энергию К, локальный наблюдатель должен нагреть и сжать барионы до состояния, соответствующего локальным термодинамическим условиям, а затем высвободить для них пространство внутри звезды (другими словами, попросту «втиснуть» их туда). Имеем

%*(“°к.усл)=(Р/〃)64(За)

Wву^^обожд = p6V = (р//1) 6Д,(36)

где п — плотность числа барионов. (Заметим по предположению, что звезда уже обладает экстремальным значением полной массы- энергии; поэтому изменением ее энергии, обусловленным тем, что вещество звезды смещается, освобождая место для 64 барионов, и внутри нее устанавливается новая структура, можно пренебречь.) Остающаяся после этих процессов избыточная энергия равна

Wизбыт (/*) — W — ( И^дД ~Ь й^высвобожд )==

=e-е @в64 + 取°) 一 屮 64(4)

Затем локальный наблюдатель превращает долю (1 — еф) от энергии 呼нзбыт в кинетическую энергию, так что он может «швырнуть остатки» наблюдателю на бесконечности, и тому достанется энергия

Гизбыт(оо)=步 1136blт ⑺ б® = цв6Л + Г0- ее ^^ 64(5)

Следовательно, по измерениям наблюдателя на бесконечности масса звезды возрастает на величину ЬМ, равную

6М = еФ”％/ = еФ 鳳 64；(6)

здесь последнее соотношение следует из первого начала термодинамики.

Условие конвективной устойчивости эквивалентно требованию независимости 6Л1 от г:

№ (р + p)/n = const.(7)

Можно легко показать, обратившись к уравнению Эйлера

患(р + р 嚐，(8)

что условие (7) эквивалентно требованию адиабатичности изменений термодинамических переменных вдоль радиуса. Беря производную по г от уравнения (7), получаем

+第+(р+р)絹(9)

Используя уравнение (8), можно переписать уравнение (9) в виде 絹П用"儒居•(1。)

Из этого уравнения ясно, что критерием конвективной устойчивости является изэнтропичность процессов в жидкости.

Решение 16.22. Будем исходить из уравнения Эйлера для жестко вращающейся звезды:

z . х 1 др д\пи小

(р+р)砾й =(1)

Сравним его с условием постоянства энергии инжекции

⑵⑵唸2 const.

⑵

⑵

Возьмем логарифмическую производную от обеих частей уравнения (2) и подставим ее в уравнение (1). Получим

你+р尸器="一嚼，（3）

Уравнение (3) представляет собой запись первого начала термодинамики для изэнтропических систем.

Решение 16.23. Поскольку вне звезды Т% обращается в нуль, мы можем брать объемный интеграл по всему пространству в некоторый момент времени Из уравнений поля следует

8л(Т%-|б%Т)= /?%,

поэтому интегральное выражение для массы есть

/ 三 一,(27% - 6%Т) Bv d3% = — (4n)-i 5 R曦 v d3% =

=(4n)-1 5口；v； v(^" = (8g尸0訥v壮w户.

[Третье равенство следует из решения 10.6; последнее равенство вытекает из теоремы Стокса, см. задачу 8.10 (в).] Если выбрать координаты f, г, О, <р, переходящие на бесконечности в сферические координаты, то будем иметь

0£尸=1 %м ^^ d 窃 й> =产 sin 窃 de 加，

й, следовательно,

訳 v d2%v = 2耳；3 sin 9 dO d(p.

Асимптотический вид метрики есть

ds2 = 一,—鲜)d伊一4J：П2令 d/d(p +

+ (1 + 竽)(加 + /*2卅2 + ^sir^,&d^).

Поскольку единственной ненулевой компонентой 自⑺ является 督=1, имеем

片'乩=已 + rUa=o+W〃 ~—^g“"=м/尸.

Тогда для интеграла / получаем

что и требовалось доказать. Аналогично имеем

S=，ТЛЕ%) d3，u = (8п尸 \ №£(<₽”£"_ (16n)T § RE%) d3%

Поскольку с(32ф = 0, второй член обращается в нуль и

S = — (8л)-1 \ 己闺 ％ V d?斗—0 = — (16л)-1 ф 守;* d25V =

=—(16л)-1ф2|/： rr2sin О dO d(p.

Ho

F 〃 ~ 比，+ F* 泸=0 +『w = g〃「w+g^rp— ^/ф. r + (-^-) J ^ФФ.г = — 3 J sin2 ^/r2,

и, следовательно,

S = (16口尸，6J sin3 0 do d(p = J.

Решение 16.24. В координатах кривизны

Е% = &, и d34 = 6llgMdrd0d(p, поэтому рассматриваемый интеграл равен

/ = _,(2Т%_5\Т)£«)d3Sg = — J ^tt-Т)еф+Мsin d^d^ "・

Но в данном случае

Л = (р + р) 〃勿 / + р6〃 = — р,= —(р + р) + 4р = 3р —р.

Так как в подынтегральном выражении нет функций, зависящих от ^ и ф, интегрирование по углам дает 4л, и, следовательно,

R

/ = ) (р -|- Зр) еф+Мnr2 dr.(1)

о

Воспользуемся методом интегрирования по частям. Поскольку

tn{r) =^4№р dr,(2)

о

имеем

\ реФ+Члг2 йг = теф+х^ — J 团(“+入)‘ dr,(3)

оо

где штрих означает производную по г. Производную р' можно найти из уравнений внутреннего строения звезды, поэтому запн・

июм интеграл

RR

\ Зреф+Члг2 dr = реф+Члг3 |о — ^ 4лг3(реф+х)/ dr. (4) оо

Первый член в правой части уравнения (3) есть m(R) = М, так как /п = 0 при г = 0, а Ф = — X при r = R. Первый член в правой части уравнения (4) равен нулю, так как р = 0 при r — R. Следовательно, 1 = М при условии, что сумма остающихся членов в уравнениях (3) и (4) обращается в нуль. Эта сумма равна

,m(m +九)，dr + ^ ^nr3(peф ^), dr = оо

=,"央+“团0+以+ ^戸历，+ '(*+・)]}.(5)

о

Вспомним теперь, что

е2% = (1 — 2/п/г)'1, откуда

,, (4лг3р — т)人=г(г — 2т)*

Если этот результат и соотношения

=加十4g3p 一丁万一而)，

,_ — (Р + р) W + 4”3p)р 一г (г —2m)

подставить в выражение в фигурных скобках в равенстве (5), то все члены взаимно уничтожатся и интеграл обратится в нуль, что и требовалось.

Решение 16.25. Пусть О,① н радиальная координата R сопутствуют некоторому сферическому слою вещества звезды. Тогда можно записать метрику в виде

ds2 = gff d/2+且次 dR dt+gRR dk 十 ga dt 改 + gRi dR d/ 十 gy dW d/, где /, /==0,屮.Если метрика сферически-симметрична, то для df = dR = O мы должны иметь

ds2 = gy dW dN = r2 (R, f) (dy + sin2 仆 d(p2).

Далее, g~ и g# определяют некоторые векторы в 2-мерном (也 ф)- пространстве, и поэтому в силу изотропии сферических оболочек g^ й gRj должны обращаться в нуль. Наконец, чтобы избавиться от члена gg мы можем ввести новую временную координату Т = ==Т (Л г), не нарушая при этом «условия сопутствования» радиаль-

ной координаты. Тогда получим

ds^grrdT^ + g^d^ + r^R, 7)dA.

Таким образом, мы, вообще говоря, можем добиться одновременно, чтобы координаты были сопутствующими, а метрика — диагональной.

Рассмотрим теперь движение элемента жидкости. Из выражения для 4-скорости жидкости

и = (—g")~% €丁

получаем выражение для ускорения жидаости:

Vuu — е^ ^-^- + («г)2 Гг т j = — у е^ (uT)2gRRgrT,R-

Отсюда следует, что ускорение жидкости равно нулю (а значит, и градиент давления равен нулю) в том и только в том случае, когда grr есть функция только от Т. Но если это так, то мы можем ввести новую временную координату т(Т) с помощью соотношения

dx/dT = (—gnj%・

Но это соотношение означает, что т — собственное время для жидкости! Таким образом, одновременное наличие всех трех принятых свойств возможно тогда и только тогда, когда градиент давления равен нулю; но поскольку давление должно обращаться в нуль на поверхности звезды, равенство нулю градиента давления эквивалентно равенству нулю давления всюду внутри звезды.

Решение /6・26・

а) Первое начало термодинамики (см. задачу 5.19) в сопутствующей системе записывается в виде

= Ар + рп *

где п — плотность числа барионов. Число барионов в сферически слое толщиной dR есть (Алпг2^ dR, так что закон сохранения числа барионов в этом слое имеет вид

d{nr2eA)/dt^0t

откуда следует.

Рассматривая теперь это уравнение совместно с соотношениями

4?& = 0 = ^ е—е-久(尸-/①'-г'А)

(см. задачу 9.20) и

Т% в = 0 = Р‘ + 9 + р)①'， получаем

—"(р + Д)伶 + 勺+ %

Теперь можно подставить найденное соотношение в выражение для т:

/п = 4л J (2г"'р + /*2产р + r2r-р) dR = о

=—4л (2гг7р + 严产р + г"") dR н — 4л J (r2/p)x dR・ оо

Поскольку rVp = 0 при R = 0, имеем

б) Из равенстваб) Из равенстваm = - 4”2"广.m = - 4”2"广.

б) Из равенства

б) Из равенства

m = - 4”2"广.

m = - 4”2"广.

(см. задачу 9.20) получаем

8лрг2 м 1 —尸％-2A + 浒歹2① + 2"е~2①入 + 2rf2A (/•'А‘ 一 Г*).

Воспользуемся теперь равенством

G?食=0，

чтобы исключить А, а также тем фактом, что 8”*/ dR представляет собой полный дифференциал по отношению к R:

8np严产=尸一(尸)3 e-2A +部尸/2①+ 2/7/2①(产一⑪，)+ + 2"丁2А(尸" - Q =上一 /2Ar(Q2 + f ⑺2 е^.

Интегрируя, находим искомое соотношение

2m = г (1 - с-2A g)2 十产£-2①)=厂(i 一「十 у2).

Решение /6・27・ Из решения задачи 16.26 имеем

dr/dx « U,(1)

dm/dx = — 4nr2pU,(2)

U = ^h±[f + (警-唄(3)

Как видно из первых двух уравнений, drldx и dm/dx имеют противоположные знаки; тогда для того, чтобы оболочка прошла от 2m/r V 1 до 2m/r> 1, во время прохождения через r — 2tn должны

14 Заказ 110

выполняться неравенства

Поэтому в уравнении (3) мы выбираем знак минус:

Итак, радиус будет продолжать уменьшаться, пока

0+(学-1)>0,

но если радиус уменьшается, масса должна увеличиваться, что в свою очередь будет приводить к возрастанию члена 偿—1), и в результате коллапс не сможет прекратиться.

Предположим теперь, что оболочка сколлапсировала настолько, что 2m/r — 1 — 8 > 0. Поскольку эта величина продолжает возрастать, приходим к неравенству

山7dt W а*",

т. е. оболочка достигнет г = 0 за собственное время w2m]帥. [Решением этой задачи мы обязаны Дж. Бардину,]

Решение 16^8. Из задачи 16.25 нам известно, что в случае коллапса в отсутствие давления мы можем выбрать ①=0. Из равенств 6&& = 6 (см. задачу 9.20) и Ф = 0 получаем

0 = 2" +1 — 尸ь2A + * = 2" +1 - F + S,

откуда следует (см. задачу 16.26)

歹 d^r М

Решение 16.29. Из динамического уравнения для массы (см・ Задачу 16.26)

т = — 4лр/*2 户=0

непосредственно следует, что масса не зависит от времени; это физически вполне очевидно. Дифференцируя обе части уравнения для Г® из задачи 16.26, получаем

211fl = 2UU+翁 / = 2乂产 + *),

откуда (см. результат задачи 16.28) видно, что Г также не зависит от времени.

Теперь динамическое уравнение для r(R, т) представляет собой простое дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить в параметрическом виде.

Случай а. Г2 — 1 <0.

r=/^(l+cosr|),(la)

т ^ -Л^Ц.(n + Sin л) + F (ft),(16)

(1-Р)у

где F (Ь) — произвольная функция.

Случай б, F — 1 =о.

r^^km^^iby-x^,(2)

где G (Ь) — произвольная функция.

Случай 8. Г2 — 1 >0.

r = ^=r(chn-l).(За)

т = -^ (shn-n) + ^ (项(36)

(С-1)万

где Н (Ь) — произвольная функция.

Заметим, что у нас имеются три свободные функции, т. е. функции, вид которых мы можем задать, исходя из конкретной физической ситуации. Именно, выбирая m(b), мы можем выбрать тем самым конкретное распределение масо в некоторый начальный момент времени и во все последующие моменты.

Выбор «постоянных интегрирования» 尸(b), G(b), H(b) соответствует выбору значения г для каждого элемента жидкости на начальной гиперповерхности, т. е. заданию r(b, f) = 0・

И, наконец» выбор Г2 (Ь) соответствует выбору скорости элемента жидкости на начальной гиперповерхности.

Сравнивая наше уравнение с уравнением для радиальной геодезической, мы видим, что 0—1 можно рассматривать как сохраняющуюся «энергию на бесконечности» жидкой оболочки. Неудивительно поэтому, что решение соответствует трем режимам: в задаче о разлете жидкой оболочки мы можем придать ей скорость меньше параболической, т. е. «второй космической» (случай а), в точности равную параболической (случай б), или превосходящую параболическую (случай 8). Заметим, что вышеприведенные решения симметричны относительно обращения времени, поэтому, например, решение в случае s может описывать падение сферических оболочек на центр (это замечание справедливо также для задач 16.25, 16.26 и 16.30). Обратите внимание на тот факт, что если три свободные функции выбраны неаккуратно, то массивные оболочки могут налететь друг на друга!

14*

Решение 16.30.

Тензор энергии-импульса имеет вид

Тоф = РМх〃В*

Предположения о сферической симметрии и равномерном распределении плотности эквивалентны предположению об однородности и изотропии, так что метрика должна представлять собой решение Фридмана

ds2 = — dr2 + 炉(т) [d%2 + £2(%)佃炉 + sin2 О d(p2)],(1)

где

'sinx, если 也=1,

Е =.

X,если 也=0,

shx， если k =—1.

Поверхности звезды соответствует некоторое постоянное значение «радиальной» координаты % = %о. Из вида линейного элемента (1) следует, что собственный радиус звезды, определяемый по длине периметра, есть /? = а (т) S(Хо). Уравнения поля Эйнштейна (см. задачи 19.16 и 19.18) в отсутствие давления принимают вид

⑵(3)⑵(3)а, т \2论 8лр

⑵

(3)

⑵

(3)

0 /炉十3 '

p〃3 = const.

Уравнение (2) можно переписать в виде

р=备隐)1№]•⑷

Следовательно, если R,t = 0 при любом конечном значении R, то 也 должно быть равно + 1, т. е. р — положительная величина. Наоборот, если 也=——1, то R人 никогда не обращается в нуль. Случай 也=0 соответствует 7?>t->0 при Rf 8.

Из уравнения Эйлера в отсутствие давления следует, что Vuu = 0, т. е. каждый элемент жидкости движется вдоль геодезической. В силу сферической симметрии задачи все геодезические являются радиальными.

Мы выполним сшивание для В=+ 1; для случаев й^О и 也=—1 сшивание проводится аналогично. Для 々=+1 уравнения (2) и (3) дают

(а, г)2 = ^ml а — 1, (5)

где значение постоянной в уравнении (3) было фиксировано тем, что мы положили а равным его максимальному значению: а = =ат = лнакс> когда а т = 0. Уравнение (5) можно проинтегрировать непосредственно в том виде, в котором оно записано； удобно,

однако, ввести временной параметр посредством соотношения dr = a dr).(6)

Из уравнений (5) и (6) получаем

。=m0加(1+8S叫，(7)

T = yam(r)+ sin Т)).(8)

Постоянные интегрирования были выбраны таким образом, чтобы a = ат и т = 0 при т)= 0 и чтобыа= 0 h т=nаm/2 при п=л. Внутренняя 3-геометрия поверхности звезды, измеряемая изнутри ее, находится путем подстановки в выражение (1) значения х = %0:

(3)或2 =—血2 + @2(T)sin2 x0 dQ2 = a2 (刀)(一di|2 + sin2 笈 dQ» (9)

Внешняя метрика имеет вид

10)⑺CM,(p^ (10)⑺CM,(p^ (ds2 = —(1- 2М") d/2 + (1 — 2М/г)т d 户 + 产 dQn

10)⑺CM,(p^ (

10)⑺CM,(p^ (

Радиальная координата поверхности звезды есть f = R(t), а можно найти из уравнения для радиальных геодезических задачу 16.4) по формулам

R = ；R(l+cos п).

т ==т ==(П + sin 喻(П + sin 喻dt(1-2 財/А»%dr = ~Г^Щ~dt(1-2 財/А»%dr = ~Г^Щ~(12)(13)(12)(13)

т ==

т ==

(П + sin 喻

(П + sin 喻

dt(1-2 財/А»%

dr = ~Г^Щ~

dt(1-2 財/А»%

dr = ~Г^Щ~

(12)

(13)

(12)

(13)

мет-(14)мет-(14)卜-^1( 1 + cos r)9) dQn卜-^1( 1 + cos r)9) dQn

мет-

(14)

мет-

(14)

卜-^1( 1 + cos r)9) dQn

卜-^1( 1 + cos r)9) dQn

Таким образом, 3-геометрия поверхности звезды во внешней

рике имеет вид

(1 + cost|)州 +(1 + cost|)州 +⑶由"=一 dir? + ?⑺ dQ2 = _

(1 + cost|)州 +

(1 + cost|)州 +

Сравнивая с уравнением (9), мы видим, что эти 3-геометрии гладко сшиваются друг с другом, если мы отождествим следующие параметры:

凡=小也％0, 2M=amsin3Xo. (15)

Вычислим теперь внешнюю кривизну поверхности К}, измеряемую изнутри звезды. Нормаль к поверхности есть

(16)(16)п = аг^д/дх

(16)

(16)

(вспомним, что n n= 1), а векторы u = d/。％ д/д^ и d/d屮 лежат

на поверхности. Пусть теперь индексы i, / пробегают «значения» 叫 9, ф. Тогда

Ktj 曰一er V/П = — ez • Гл/еа = — 8以「舟=

н — Г/л； = — у (gin,j + gif, л — gnj, <)==—芽矶九办，(17)

поскольку

gin^CT^i^O.

Из вида метрики следует, что

К^ = «Й = К^=К^ = 0,(18)

К^ = К^ sin-2 ® = — ^am(l _|_cos n) sin Хо COS Хо- (19)

Во внешней метрике 4-скорость записывается в виде

и =办叨 + urer.

Нормаль к поверхности

П = n^t +紋立

удовлетворяет соотношениям

П • п = 1 = g“ (")2 + g” (紋尸，(20)

n-u = 0 = "〃, + 紋〃广(21)

Поскольку

口 • 口 =—1 == g"(〃炉 + 旷(〃 J(22)

и

= (g〃)T = — (g")r к — g" = 1 — 2M/G

из приведенных выше уравнений следует：

п‘ = и 八 紋=—%・(23)

Пусть, как и прежде, индексы 厶 / пробегают значения т, ^, ф. Тогда уравнение (17) справедливо также и для внешней метрики, так как

gin = п^е^О.

Уравнение (18) также справедливо во внешней метрике, поскольку ет • ет = и • и ^ — 1, а ет • е^ = ет • еф = е^ • еф = 0.

Следовательно,

К梶==К調 §Й)Т 心=—}(г2),〃= — -L (r2) Пг = Тщ ^

=—R (1 — 2M/R02 = — ^ R (1 + cos 叫(1 - 2M/R庐=

=-yam sin xo cos Xo(l+ cos 叫

где мы использовали уравнения (23), (13), (11) и (15). Таким образом, К犷==К}, и доказательство завершено.

Решение /7・/・ Параметры массы и момента количества движения для асимптотически-плоской метрики можно определить, если найти такую систему координат, в которой данная метрика принимает вид

單 + 吋))，(1)

g。/ = -(4eywSft^ + ^(r-3)).⑵

Тогда постоянные 府 н S左 в разложении как раз и будут массой и моментом количества движения источника (см. [2], гл. 9.4 и [1], гл. 19.3).

Разложение метрики Керра в координатах Буайе — Линдквиста в ряд по степеням г*1 дает нам главные члены разложения вида

ds』—(1一罕 + ...卜於一(1^w0+...)成d<p + + (1 + …)[d『2 +『2 (d 仍 + s ir)9 心 dq?)].

Преобразовывая к декартовым координатам с помощью подстановки

尤三 г sin 9 cos ф, у n г sin 9 sin <р, z se г cos 9, получаем

ds2 н — (1 — -^- + ・・・)df * — ^^- + …)(х dy — у dx) dt +

+ (l+.・・)(d^ + d^+dz9)・(3)

Сравнивая (3) с (1) и (2), немедленно находим 府©М,

S = аЛ1е 艮

Решение 17.2. Пусть до спрессовывания автомобиль характеризуется длиной L и массой т, а после — длиной // и «параметром бугристости» Л (см. фиг. 31); масса черной дыры равна Л1. Предположим также, что величина внутреннего напряжения на единицу массы, которое может выдержать сталь, составляет е (〜0,1 эВ на массу ядра; см. задачу 5.6). Сравнивая силы гра-

(1)⑵(1)⑵Фиг. 31.Фиг. 31.餉％е стаашЛш餉％е стаашЛшДо ашкНоб&шДо ашкНоб&ш

(1)

⑵

(1)

⑵

Фиг. 31.

Фиг. 31.

餉％е стаашЛш

餉％е стаашЛш

До ашкНоб&ш

До ашкНоб&ш

витационного давления с требующимися внутренними напряжениями, получаем следующие «условия спрессовывания»:

условие, необходимое для того, чтобы спрессовывание началось,

условие, необходимое для того, чтобы после спрессовывания бугорки не превосходили Л.

Если учесть, что при переработке на металлолом автомобили обычно спрессовывают до 1/10 их первоначального размера, то

Легко видеть, что эти два неравенства становятся эквивалентными, если h/U = 1/10, что кажется вполне разумным значением. Полагая U 100 см и 10е эрг/г, получаем ц^ 1018 г.

Время, необходимое для спрессовывания остова, определяется временем свободного падения на дыру

(L3/GM^ 〜КН с,

*гак что в час можно переработать порядка 108 остовов.

Решение 17.3. Чтобы ракетный корабль двигался вдоль времениподобной мировой линии, его 4-скорость должна удовлетворять следующему соотношению (получающемуся из шварцшильдовской метрики);

」u.u = (J*闺— (】 —咨】備Xsin? e (鑽.

Внутри горизонта все члены отрицательны, за исключением того,

который содержит (dr7dt户，откуда следует условие

学一心鼾

Мы знаем также (например, из картины коллапса Эддингтона — Финкельштейна или Крускала), что знак dr/dx должен быть отрн- нательным для «направленного в будущее» (т. е. физического) наблюдателя, откуда имеем

х ,/2М厶

〃 V —1 ат

ии=「％ (2М — г)% + М arc cos=「％ (2М — г)% + М arc cos(♦一心5林(♦一心5林

и

и

=「％ (2М — г)% + М arc cos

=「％ (2М — г)% + М arc cos

(♦一心5林

(♦一心5林

Решение 17.4. Мы рассмотрим случай керровской черной дыры, а затем получим шварцшильдовский случай, полагая а = 0. Метрика Керра (в、обычных координатах Буайе — Линдквиста) имеет вид

ds2 = — (1 — 挙)山2 -(4Mar ^^ d«<p + ^ d产 +

+ £dM + 卜2 + 炉 + 2Ma2 ^^) sid ^<p2,(1)

где

Д = г2 —2Л1г + а2,工工严十a2cos9也

Уравнение геодезических есть

dV/dT2 + r%MaM₽ = 0,(2)

но первый член обращается в нуль, поскольку 〃‘ и «ф — единственные неисчезающие компоненты и — являются постоянными. Компоненту г уравнения (2) можно записать в виде

О = Гга^ = (%/成 2 + 2F"屮dfd(p + 1\₽試鹤(击尸(3)

Так как метрические коэффициенты зависят только от г и 9, необходимые нам символы Кристоффеля в экваториальной плоскости 9 = л/2 суть

r m - —у g", /• = m/产，

2ГГ/Ф =—，屮,г = — 2Ма]г，(4)

Учитывая, что Q^d^/dt, из уравнений (3) и (4) получаем

о =叫箒 Т)_ 等Q + *.(5)

Два корня этого квадратного уравнения (соотцетстзующие прямой и обратной орбитам) равны

Q = М%/(士『％ +аМ%)・(6)

Для а==0 получаем уравнение 4 = 〃〃* которое (по случайному совпадению, обусловленному выбором координат) в точности соответствует закону Кеплера в ньютоновской теории тяготения.

Решение 17.5. Метрика Рейсснера — Нордстрема имеет вид

d© = — Adt^ + 4Td产 + 产(da2 + sin3 心d^),

где Д s 1 — 2M/r + С^/r2. Найдем вначале кеплеровскую частоту обращения для круговых орбит Q s d^/dt (точно так же, как в задаче 17.4). В нашем случае имеем

附 Q3

rtt == ―g~g"，广=N F 丸，

2F#(p =-g仰，尸=0,

откуда получаем квадратное уравнение для Q：

a—传-谷)=0.

Частота орбитального обращения равна

a=±借一笏.

Собственная скорость движущегося по орбите наблюдателя по отношению к координатно^покоящемуся наблюдателю есть

(«Шляпками» обозначены ортонормированные компоненты в покоящейся системе отсчета.) В покоящейся системе локально измеряемая напряженность электромагнитного поля обладает только одной компонентой:

Применяя преобразование Лоренца и учитывая обычные соотно- щения для электрического и магнитного полей, получаем, что

в системе отсчета, связанной с наблюдателем на орбите, все компоненты напряженности полей будут равны нулю, за исключением

广 I J r3 r2 r2 — 3Mr+2Q^ J，— v2)_4 6 Q =旦 /_业二 Q：—W% ( и丿У戸戸卜2 — 3Mr + 2Q2丿

Решение 17*6. Удельный момент количества движения а и заряд е черной дыры Керра — Ньюмана с массой М не могут быть произвольно большими: они должны удовлетворять неравенству

с2 I Ge2 Ga. 1、

(здесь мы для ясности включили фундаментальные константы G и с). Неравенство (1) следует из условия существования горизонта, расположенного от центра на расстоянии

3 = М + (М* — е2 — "У.

Если неравенство (1) нарушается, мы имеем дело с «голой син* гулярностью», которая к тому же оказывается акаузальной. Из эксперимента мы знаем, что спин, заряд и масса электрона таковы, что член с 炉 в неравенстве (1) имеет порядок 10~22 см2, член с е2 —порядок 10~в8 см2, а член с т2 — порядок 10~110 см2. Таким образом, неравенство довольно глубоко нарушается и электрон — это не черная дыра.

Решение 17.7. Поскольку у нас имеется три соотношения между компонентами 4-импульса

р.р = —/и*pf = Е,р(р = L,

уравнения орбиты можно свести к виду

(d〃d入)2 = У(Е, L, г),

где X —аффинный параметр, а V — некоторый эффективный потенциал. Условие того, что орбита является круговой, есть равенство нулю d/7d入,т. е.

V(Et L, r) = 0,(1)

『(E, L, r) = 0,(2)

где Vz sdV/дг. По теореме существования неявной функции систему уравнений (1) и (2) можно разрешить относительно

Е — Е (f), L = L(f),

при условии, чтопри условии, чтоdVdVd£FdVfax=/=o.~дЕFdVdVd£FdVfax=/=o.~дЕF(3)(3)

при условии, что

при условии, что

dV

dV

d£

F

dVf

ax

=/=o.

~дЕ

F

dV

dV

d£

F

dVf

ax

=/=o.

~дЕ

F

(3)

(3)

(Это условие в данном случае выполнено.) Тогда dE/dr и dL/dr можно найти с помощью дифференцирования уравнений (1) и (2):

drdE dr ^ dL dr **()

n dVr dVf dE 丄 dVf dL 丄 1/ff4

0 = -аГ==-дЁ-йг + ~дГ-аг + у ■⑸

Рассмотрим теперь некоторую орбиту с『=% и внесем возмущение таким образом, чтобы г = г0 + в. Уравнение возмущенной орбиты есть

(d〃曲)』V (%) + 呼' (г。) +1 8叩"(%) + …，

где V (r0) = 0 и V- (r0) = 0 (условие для невозмущенной круговой орбиты). Тогда устойчивость зависит от У": если орбита устойчива, то потенциал Vf, должен быть отрицательным. Для случая краевой устойчивости мы в дополнение к V =0 и『=0 имеем условие У" = 0, так что единственным решением уравнений (4) и (5) будет dE/dr — О и dL/dr = 0. Из физических соображений ясно, что эти экстремумы суть минимумы.

Решение /7・8・

Из соотношений u-u = — 1 и Cm〃屮/〃° имеем

—1 = goo («°)2+ 2^0ф^°«ф + ^фф (叫2 =

=(〃°户(goo+2agоф+a9g<pj(i)

и, следовательно,

〃" = (— goo 一 2Cgo学一 i2%中)一% где в плоскости 8 =冗/2

—goo=l-2M/r, —g^^Malr, — ^Фч> = — (г3 + a2r + 2Ma2)/r. Остальные компоненты легко найти, выразив их через 小

〃屮=Qrz°,

«о = goo〃° + go<p 〃屮=〃° (goo + Qgo<p),

〃屮=^(xpM° + gq> 屮〃 Q = 〃° (go 屮 + Qg 屮屮)*

Из уравнения (1) имеем

уwg0()+ 2%屮+ i2窜屮屮V0.(2)

Наблюдатель может быть координатно-покоящимся (Q = 0) только там, где ^о •< 0, т. е. в экваториальной плоскости только при г > г0 = 2Л1.

Дискриминант квадратного трехчлена У в неравенстве (2) есть

(gopF - googw =八一2МГ + 炉==(Г —入)(Г -，_).

Он отрицателен в области г_ < г < г+. Если дискриминант У отрицателен, то У имеет один и тот же знак для любых Q, т. е. тот же знак, что и g^. Поскольку величина ^фф положительна, это нарушает неравенство (2), которое предполагает наличие только времениподобных движений и постоянство г. Следовательно, наблюдатель не может оставаться покоящимся при постоянном значении г. Обратите внимание, что при r->r+ Q стремится к

—go<₽/goo=»a/2Mr4

Решение 17.9. Сохраняющаяся энергия частицы есть скалярное гюоизведение 4-импульса на временндй вектор Киллинга &")二方/d/

£н_р •聞 %(1)

Метрика Керра имеет вид

ds2 п — e2v df2 + е 帥(d(p — s dt)2+e^ dr2+濟ч d9n(2)

Контравариантные компоненты 产 равны

(8)(8)иf = —e-一 齐屮u一<^一吗 аЧ><Р二e-n»— 炉仁吗 8" = 6一w1, g^жs/明.

(8)

(8)

Если масса частицы есть 隔 то

—М = р • р = — e~^pj — d、2sptp 屮 +

(e-^ - Л2) р； 4- е^рт+в~^Рд.(4)

Решая квадратное уравнение (4) относительно р^пЕ, получаем

Е н орф + [*"風+产(/*р；+歹网亦+№)]%.(5)

Знак перед квадратным корнем в выражении (б) положителен, так что для частицы, покоящейся на бесконечности, Е = + *. Если Е должно быть отрицательным, то нам необходимо выбрать р屮 со знаком минус и потребовать выполнения неравенства

【©м評而+е2V 依納/ + e~^*pl + 卢)4 < — юрф. (6)

Мы можем найти границу области отрицательных энергий Е, если положим рг = р^ = 0 и устремим к .нулю ц (т. е. будем рассматривать ультрарелятивистские частицы). Это даст нам условие

эквивалентное

gff>0・

Другими словами, орбиты таких частиц должны находиться внутри эргосферы. (Этот результат следует также из задачи 10.15.)

Когда с борта космического корабля выпускается снаряд, из закона сохранения 4-импульса имеем

Рдо = Рпосле + рснаряда •⑺

Умножая скалярно иа временной вектор Киллинга, получаем

ЯДо в -^поеле 4"-^снаряда-(8)

Поскольку космический корабль может войти в эргосферу из бесконечности, имеем £до > р,. Внутри эргосферы он может выпустить снаряд с достаточно большой скоростью (с отрицательным значением рф), так что £Снаряда<0. Тогда из уравнения (7) следует

^"после ^^ Едо，

и корабль отправляется на бесконечность с возросшей полной энергией. Обратите внимание, что, поскольку и траектория космического корабля, и траектория обладающего отрицательной энергией снаряда времениподобны, снаряд можно выпустить с борта корабля с (локально измеренной) скоростью, меньшей с

Решение 17.10. В задаче 17.8 мы видели, что при приближении к горизонту Q->a/27Hr+, когда 9 =冗龙 Чтобы доказать справедливость этого предельного соотношения для любых 9, запишем (в обозначениях задачи 17.9)

pф鹏中%+8学仇av

PC仇+鹏仇Р—叫

При A = 0 (т. e. на горизонте) метрическая функция。一纟屮 остается конечной, но е^ обращается в нуль, так что й = о, и при Д = 0 имеем

Решение /7・〃・ Запишем сначала г- и ^ — компоненты уравнений орбитального движения в геометрии Керра [см., например, [1], уравнение (33.32)]:

(J+a® cos 切 dr/dt» ± V%(1)

(J+а® cos 9) d^/dr «± КУ\(2)

где

Vr 0 [£ (产+〃9)-厶产 一 A Y+(厶一aE)2 + Q],(3)

VlQ — cos29[aa(l 一 £9) +La/sina用，(4)

АмМ —2Mr+〃*

a £, L и Q — интегралы движения. Чтобы орбита проходила через 心=0 и 9=»п, потенциал % должен быть положительным как при 9 = 0, так и при " = п. Согласно уравнению (4), из этого условия следует

lЗ00 Н QAaYl-后‘).

Тогда уравнение (3) принимает вид

Vr - £2 (产+а2)2 — А [г2+炉 + /],(5)

где

/эС-а2(1-Да)>0.

Условия, необходимые для того, чтобы орбита характеризовалась постоянным значением радиальной координаты г, суть 了尸=0 н 4Vr/dr«0 (условие локального экстремума и условие бесконечного сохранения экстремума). Условие, налагаемое на производную, дает

О ■ 2斤 г (N+炉)一 (г 一 М) £а (га + а»)2/Д 一 гА,(в)

где для исключения интеграла движения / мы воспользовались условием 了尸=0 и уравнением (5). Этот результат можно переписать в виде

£З = гда [(产+*(ГЗ _ зm 戸+启 + 炉m)尸.(7)

Для очень больших значений г получаем

e^。一多+…)，

т. е. не что иное, как ньютоновскую энергию связи для круговой орбиты. При уменьшении г изменения Е описываются уравнением (7). Очевидно, что, поскольку числитель неотрицателен, то решение уравнения (7) перестает существовать в единственном случае — когда знаменатель обращается в нуль (обращение знаменателя в бесконечность вне горизонта невозможно). Следовательно, полярные круговые орбиты существуют вплоть до минимального радиуса г, определяемого из уравнения

г8 一 ЗМг2+а2г+а^М =- 0.(8)

Это уравнение легко решается с помощью классической формулы для решений кубического уравнения; минимальный радиус поляр-

ной орбиты равен

г = м{1г = м{13%（1一中）［、（3一承）%）3%（1一中）［、（3一承）%）,2 (3 — 42)%Г 1

г = м{1

г = м{1

3%（1一中）［、（3一承）%）

3%（1一中）［、（3一承）%）

—~~— cos — arccos

丁 3%L з

где & = а/М. Обратите внимание, что в предельном случае 尸 стремится к бесконечности, следовательно, предельным случаем является орбита фотона. Минимальный радиус может иметь значения в интервале г = ЗЛ4 для а —0 до г = (1 +21^) М для а — М.

Решение 77.Z2. Пусть ^ — времениподобный вектор Киллинга, существующий в силу статичности черной дыры. Уравнение Кил- линга гласит:

厶;В = — &В；а,(1)

а требование статичности метрики (см. задачу 10.8) имеет вид

自[а；В&т] = 0・(2)

4-скорость неподвижного наблюдателя параллельна 自,т. е.

u =*/叫(3)

0 = 一看厶.(4)

Для фотона с импульсом р поверхность бесконечного красного смещения определяется условием

0 = (p-U)oo/(p-излучатель=О^^пуцатель,

где мы использовали тот факт, что p g постоянно вдоль геодезической траектории фотона и и нормировано на бесконечности на единицу. Таким образом, эргоповерхность — это поверхность, на которой вектор Киллинга 自 является изотропным. Докажем, теперь, что эргоповерхность и = 0 есть изотропная гиперповерхность, т. е. нормаль к ней является изотропным вектором. С помощью уравнения (1) перепишем уравнение (2) в виде

5а; в&+ “匾一“成а = 0,(5)

а затем умножим скалярно уравнение (5) на 审：

&；в + и」& = 0・(6)

Из уравнения (6) видно, что и,а параллельно & всюду, где и = 0. Но vta есть нормаль к гиперповерхности и = 0, т. е. нормальный вектор является изотропным, что и требовалось доказать.

Это доказательство должно быть изменено в вырожденном слу・ чае и,а = °, поскольку возможно, что и = 0 в конечной области, а не только на гиперповерхности. Подробное исследование показывает, однако, что это не так [см. Carter В.. Journ. Math. Phvs. 10, 70 (1969)].'

Доказанная здесь теорема относится к шварцшильдовской черной дыре, где поверхность г = 2М является одновременно и горизонтом, и поверхностью бесконечного красного смещения для неподвижных наблюдателей (фактически для всех наблюдателей). Примером такого случая, когда эргоповерхность не совпадает с горизонтом, может служить черная дыра Керра.

Решение Г7」3・ На внешнем горизонте (г == г+) метрика с d/= = dr = 0 приобретает вид

ds' = (г：+炉 COS2 е)趾 + (從？:貶W・ Следовательно, площадь поверхности горизонта есть / = § § g% d^d^ — ^ (r® + a2) sin 8 d心 dq = 4л (г： + а3). Поскольку г+ —больший корень уравнения Д = 0, мы имеем

откуда и следует искомый результат.

Решение /7・〃・ Две исходные черные дыры имеют одну и ту же площадь поверхности, так что первоначальная суммарная площадь поверхности (см. результат задачи 17.13, но с Q = 0) есть

4Hs ьн = 16 冗 MJM + (М -。叩]・

Конечная черная дыра является шварцшильдовской, откуда

^конечн = 4л (2442)2 — 16пМ：・

Неравенство Лконечн ^ Лначальн приобретает вид

M^M^ + M^Ml-a^K

Если a = Mlt то M2^MV Полная начальная масса была равна 2М1, так что конечная масса должна равняться по меньшей мере половине этого значения. Итак, согласно теореме Хокинга, до 50% первоначальной массы может быть превращено в уходящее излучение!

Этот процесс является наиболее эффективным среди всех соударений незаряженных черных дыр. Действительно, предположим, что две черные дыры с массами Мх и Л42 и параметрами момента количества движения ах и а2 сливаются и образуют новую черную дыру с массой Mg и параметром момента количества движения ад. Тогда из неравенства ЛК0Нечн ^： ^начальн следует

М\ [Л41 + (М； — а；)'"] + Л42 [Af2 + (М；—喲"]W^М3[М3 + (М1-аП

Наибольший выход энергии получается при равенстве двух частей; более того, для данных значений Мъ Mif 。^ и 的 наименьшая масса М3 (и, следовательно, наибольшее значение излученной энергии) соответствует случаю «з = 0. Аналогично для данного значения М3 при 的匸。наибольшее значение суммы 儿工 + 此 (опять-таки соответствующее наибольшей излученной энергии) достигается при |а1| = |а2| = Л41 = Л42. Поскольку Оз = 0( из сохранения момента количества движения следует, что。1 =—。纟,и мы приходим к ситуации, которая была подробно разобрана выше. Окончательный вывод: в процессе соударения и слияния двух керровских черных дыр может быть излучено не более 50% пер・ воначальной массы.

Решение 17.15. Площадь поверхности Л и «приведенная площадь поверхности» Л керровской черной дыры определяются следующим образом:

Л = 8лЛ = 8л [М2 +— J)%],(1)

или, что то же самое,

А^-2АМ2 + ^^0.(2)

Беря первую вариацию от этого выражения, получаем

(Л - Л4а) 6Л = 2АМШ - J6J.(3)

Левая часть равенства неотрицательна в силу второго закона динамики черных дыр (теорема Хокинга из задачи 17.14). Пусть некоторый частный тип волны обладает зависимостью от и ф вида ехр (—Wco/ + im(p)・ Как скалярные, так и электромагнитные и гравитационные волны удовлетворяют соотношению

6М = *6厶(4)

откуда следует

(2AM-J~^ 6А4>0.(Б)

Для случая усиления волны закон сохранения энергии требует, чтобы масса дыры уменьшалась, т. е. 6М <0; следовательно, второй член в скобках в неравенстве (5) должен быть отрицательным. Это условие можно переписать в виде

?^±-^.V0,(6)

где г+ — координатный радиус горизонта событий. Если учесть, что /и и со могут иметь любой знак, условие переписывается ркончательно в виде

0巨好奇(7)

где ^означает «расположено между». Обратите внимание, что а[2Мг* есть как раз й —«угловая скорость черной дыры» (см. задачу 17.10).

Решение 17.16,

Используя результат задачи 7.7

и соотношение

(—g)% = (г2 + a2 cos2 窃)sin 也 запишем

。=[一中+人由用需一筝一縱+ (為一守翼+ +弘А^①)+詣読(sin0徽. ⑴

Пусть в уравнении (1) зависимость от / и ф имеет вид

Ф (/,乙 也 ф) = L0fdm0R (г) S (心).

Поделив обе части уравнения (1) на Ф, получим

普訳A黯+炉中吧+等=

=詰為《in ®券)+炉炉sin2 6 + %.⑵

Поскольку левая часть (2) есть функция только от г, а правая часть — только от 心,каждая из них должна быть равна некоторой постоянной 4 Следовательно,

工+—4)S = 0(3)

sin 9 d8 \ db) \1 sin2 8

И以A患)+产(户+.冲二響您"土а空一R = 0.(4)

Так как функция S должна быть регулярной при 0 = 0 и " = п, уравнение (3) представляет собой уравнение для собственных значений А. Фактически функция S есть функция типа сферической гармоники; в простейшем случае, когда а(о = О, мы имеем 5 = = P/m(cos心)и 4 ==/(/+1).

Удобно (но не обязательно) ввести «черепашью» координату г*, удовлетворяющую соотношению

dr*/dr^(r2 + a2)/^.

Причина этого названия ясна из того факта, что интервал (г+, оо) в координатах г растягивается до (—оо, оо) в коорди-

натах г*. Тогда уравнение (4) приобретает вид

(5)(5)d2R ] 2гЛ dR t Г а ( аМ? —4財а/тп(о —А4 乔Г 十(# + 叫5 市 +^g^(-炉)2

(5)

(5)

При гт8 получаем приближенное уравнение

решение которогорешение которого0R ,万砲十0R ,万砲十2 dR 2D n r dr*'2 dR 2D n r dr*'R〜F-b±而尸R〜F-b±而尸

решение которого

решение которого

0R ,万砲十

0R ,万砲十

2 dR 2D n r dr*'

2 dR 2D n r dr*'

R〜F-b±而尸

R〜F-b±而尸

соответствует входящим и выходящим волнам, г) При А->0 из уравнения (5) получаем

d®R I「2 2ат(л . a2m2 ] D

时+[8 —^j^ + %q)2f=

и, следовательно,

R 〜《± "s - ms+"\ где

^^а/2Мг^

Поскольку все физические наблюдатели на горизонте связаны друг с другом преобразованиями Лоренца, все они придут к единодушному заключению, представляет ли некоторое частное решение входящие или выходящие волны. Поэтому мы можем вести все вычисления для любого удобного для нас наблюдателя. Выберем некоторого наблюдателя с постоянным г, расположенного в самой непосредственной близости к горизонту, но вне его. Поскольку такой наблюдатель находится внутри эргосферы, он будет увлекаться в движение вокруг центра в положительном направлении по углу 屮 с угловой скоростью

Q = d(p/d/>0,

где Q =(o+ (см. задачу 17.10). Для такого наблюдателя локаль-

на я зависимость от ^ и г решения

(6)(6)ф = cT3@m吃± г (3-热0)+)1s (心)

(6)

(6)

имеет вид

①=6」(<0-mto+) / е± Z (Сй-тсо+) г* eim^ (@),

где мы положили @ =(р —①十力 Следовательно,。―〃必田叫”* соответствует входящим волнам.

Тензор энергии-импульса скалярного поля имеет вид

4лТар = Ф,{аФ*р)— ^gaR I ①，Y①，Y

(Операция комплексного сопряжения необходима, поскольку Ф

представлено в комплексном виде.) Вектор потока энергии естьj8 = - 7耶巴

где g — временной вектор Киллинга d/dt (см. задачу 10.11). Поток энергии, проникающей в горизонт, находится путем интегрирования радиальной компоненты J по 2-поверхности г = г+:

題=,3g『/，dedp.

Поскольку

4лТ/=Ее(Ф,/Ф*^) = Ее(Ф,/Ф*,г*-^±^)=

=①(со — т^ S2 (心)？《『+ , имеем

警=з ® - т©+)甯 j S2 (О) sin 6 d® dp;

величина dE/dt отрицательна, т. е. энергия выходит из-под горизонта наружу в том случае, если со —mco+vO, иначе говоря, если 0<о//и<：(о+, что находится в полном согласии с результатом задачи 17.15.

Решение 17,17, Предположим, что в дыру введены заряд 6Q и энергия 6£. Тогда имеем

б Q — ЛР)= 2Q6Q - 2M6R(1)

Однако не все значения 6Q и 6Е являются допустимыми. Радиальный «эффективный потенциал» для падающей заряженной частицы в метрике Рейсснера — Нордстрема (см. [1], уравнение 33.32) определяется уравнением

戸^ = - {(ME-Q6Qr)a-^^ + Ll + 况)}%,⑵

где E, Lz и X — сохраняющиеся величины, а ц0 — масса покоя частицы. Для частицы, пересекающей при падении в черную дыру горизонт событий, d〃dtv0 на горизонте при г = г+. Так как Д = 0 при г = г+, уравнение (2) принимает вид

号=-(怦-Q6Qr+)wO(3)

и, следовательно, 6£>Q6Q/r+・ Учитывая уравнение (1), имеем

6 (Q2 — 財2)V 26Е(Г+ — М) = 26Г (財2 — Q2)%.(4)

При Q2 fAi2 правая часть стремится к нулю как квадратный корень из (М —Q2), так что никакими последующими добавлениями 6£ нельзя сделать интеграл от левой части положительным.

Решение 17.18.

а)Й>? •国=Ig"一①窜学屮Р/. 3?.I gff -炉g屮学修=

=—(g〃一 82g屮屮)g小

(Мы выбрали знак минус, потому что g〃 —s"屮屮 <0.) В метрике Керра единственным недиагональным членом является g»屮.Построив матрицу, обратную 纟啲 найдем

т. е.

• &f = — 1.

Аналогично можно вычислить другие скалярные произведения и показать, что

Дуальный базис е* определяется с помощью соотношения

ЕслиЕсли侬匸№0翩 и牛=8萨%,侬匸№0翩 и牛=8萨%,

Если

Если

侬匸№0翩 и牛=8萨%,

侬匸№0翩 и牛=8萨%,

то матрица 3鼠 должна быть транспонированной обратной матрицей для Л%. Чтобы найти В из А, мы можем отделить недиагональную (/(р)-часть от диагональной (гО)・частн; тогда из

следуетследует\gtt-^2g^\lft\gtt-^2g^\lft83一 32g屮屮l"|門%产 jLe<₽J83一 32g屮屮l"|門%产 jLe<₽J

следует

следует

\gtt-^2g^\lft

\gtt-^2g^\lft

83一 32g屮屮l"|門

%产 jLe<₽J

83一 32g屮屮l"|門

%产 jLe<₽J

Поскольку (г^)-часть диагональная, обратная матрица для нее находится элементарно:

е； = (A/W)% er, eg = 2」/®.

Поле 4-скоростей свободно от вращения, если 8«8 = 0 (см. задачу 5.18) нлн, что то же самое, если и ортогонально гиперповерхности

(см. задачу 7.23). Быстрее всего можно проверить выполнение этого условия, если воспользоваться базисными 1-формами и эквн-

валентностью 〃庇自 и d期 Тогда условие

以庇萨由=0

будет равносильно условию

^6^Д&^=0.

Ноа

fi>?=：adf, где

a = 1战-2g学学『, = а(г,切， так что

dfi/= а,&/\#+а, © JS/\ 位

d6//\#=0

ввиду того, что 5ХдЗГ=О (здесь Д означает полностью антисим- метризованное прямое произведение).

4-скорость наблюдателя с нулевым моментом количества движения определяется выражением

U = е/ = I g“ 一 ©2§фф Г 芽(е, + зе)

Векторы е» и еф суть векторы Киллинга. Векторное поле е/ +(оеф не является векторным полем Киллинга, так как угловая скорость со не является постоянной. Тем не менее любой конкретный наблюдатель с нулевым моментом количества движения движется вдоль вектора Шиллинга 匕胃貌 + ①/夕(о0 — фиксированная постоянная, которую мы выбираем равной о для радиального расстояния конкретного рассматриваемого нами наблюдателя с нулевым количеством движения). Следовательно, можно воспользоваться результатами задачи 10.14 и получить

a = -i-Vln|g-^| = y ^1п|^ + 2©^ф + ©^от|.

Подставляя g网=—®gw，для(о =(оо окончательно получаем

а= jVlnl^-co2^).

Решение 17.19. Если в метрике Керра в координатах Буайе —— Линдквиста положить / = const и『 =『+, мы получим метрику горизонта

ds2 = (4 +0 cos2 О) d8" + (2Mr+)2 sin2 9 (阵+。2 cos2 心尸 dqA (1)

(При записи метрического коэффициента ^фф мы использовали соотношение г\-{-с^ ^2Мг^г)Гауссова кривизна К 2-поверхно-

сти — это то же самое, что Риманова кривизна из задачи 9.23, где мы вычисляли тензор Римана для 2-мерной метрики. Для наших целей удобно воспользоваться некоторым ортонормированным базисом. Для метрики вида

положими получимположими получимds2 = ^（dx^ + е* （d炉）2（2）

положим

и получим

положим

и получим

6>f = e%d%i, 侬=尹*位2（3）

K = R；GW = Ri2i2eT（a，+J）.（4）

Быстрее всего найти тензор Римана с помощью 1-форм, как в задачах 8.27 и 9.20. Поскольку

（16Д = 0% 傘］д 嵌工=产 1电,2 dx2 Д dx1 = a1（ 26-% 辞 Д 辞，

а выражение для ⑪金 отличается от приведенного только заменой индексов 1 на 2 и наоборот, находим

叫=е f%, 2而 I — L% 田.（5）

（Напомним, что do>a =—吗/\3 и 安g =—而試）Единственная нетривиальная форма кривизны есть

е^ 七=dw1* + 61* Д wa* =

=d （alt 26aLM 貪1 —电,16aLs 貪 2）+ 0 =

=（%, 26aL叫,2 蹈八& - @2, Q-a） 1 族l 八飯з =

Так какТак какg-（ai+as）［（归,16一%）, 1 + （产* 2广） 2］而'a 礎，

Так как

Так как

（6）（6）或證=R话抬辞a&з имеем

（6）

（6）

k = ®貝尸一e-（%+aD ［丝fj） 1 +丝产0）J.

Из уравнения （6） с использованием явного вида метрикиИз уравнения （6） с использованием явного вида метрики炉=令，x2 = ф,炉=令，x2 = ф,находимК = 2Л4 г+находимК = 2Л4 г+哮一За^соза 8（理 + 办COS2切з哮一За^соза 8（理 + 办COS2切з（1）, где⑺（1）, где⑺

Из уравнения （6） с использованием явного вида метрики

Из уравнения （6） с использованием явного вида метрики

炉=令，x2 = ф,

炉=令，x2 = ф,

находим

К = 2Л4 г+

находим

К = 2Л4 г+

哮一За^соза 8（理 + 办COS2切з

哮一За^соза 8（理 + 办COS2切з

（1）, где

⑺

（1）, где

⑺

Обратите внимание, что если г\ — За2 < 0, то кривизна К отрицательна в некотором промежутке значений 心 вблизи полюсов " = 0, л）. Но если кривизна Л отрицательна, то поверхность не может быть глобально погружена в евклидово 3-пространство. Так как

г^М + （М2-^, условие

4 — 3。2Vo

эквивалентно условию

а>3%М/2・

Теорема Гаусса— Бонне гласит:

，К d2s — 2лу,

где х — эйлерова характеристика поверхности (х = 2 для сферы, Х = 0 для тора и т. п.). Поскольку

■ 1

d2s = ® 2 丸 d(p = 2Mr+ sin О dO d(p, имеем 2л л

% = (2门尸 U<p .j (2如+户(匿綜* sin 0 М = О о

=(2m，+户 2 Т 宗筹 dx = (2m，У 2 [砾志而]:=2,

т. е. поверхность горизонта топологически эквивалентна 2*сфере. [Более подробное рассмотрение см. в статье Смарра: Smarr L., Phys. Rev. D7, 289 (1973)].

Решение 17.20. Явление усиления падающего на черную дыру излучения, описанное в задачах 17.15 и 17.16, на квантовомеханическом языке соответствует вынужденному излучению (или отрицательному поглощению). Если нам известна интенсивность вынужденного излучения, то интенсивность спонтанного излучения можно найти следующим образом.

Пусть р — вероятность спонтанного испускания одного кванта на единицу объема фазового пространства. Если число падающих квантов равно ^, то вероятность получения ^+1 испущенных квантов в процессе вынужденного излучения равна (М+1)р, так как интересующие нас кванты (гравитоны, фотоны) являются бозонами. Чтобы упростить рассуждения, предположим, что р^1, тогда мы не должны рассматривать случай излучения более одного дополнительного кванта. Размерность результата не изменилась бы, если бы мы даже отбросили это упрощающее предположение. Математическое ожидание для числа испущенных дополнительных квантов равно

(Д^) = (чйсло дополнительных квантов) хх (вероятность испускания этого числа) = 1 х(А^+ 1)р.

Параметр усиления есть

g 竽=(1+排•(1)

В классическом пределе (№т8)имеем А^р. Сформулированное Ферми «золотое правило квантовой механики》гласит, что интенсивность спонтанного излучения определяется формулой

⑵ df Фазовое'

пространство

Заменим в уравнении (2) р на Л и вспомним, что на «классическом» языке этот эффект описывается в терминах «мод» с «квантовыми числами» / н т, а также частоты со. Следовательно, 嘗〜2 )(3)

Как и во всех задачах о «просачивании» через потенциальный барьер, А резко спадает до нуля для больших значений / нт. Точно так же обстоит дело и в задачах 17.15 и 17.16: А не равно нулю для о)〜1/М в области Асо 〜1/М, где Л1 — масса черной дыры. Поскольку для малых значений / нт параметр усиления А порядка единицы, заменим в уравнении (3) Д на 1 и снимем знак суммирования. Тогда

dN а 1

Чернай дыра будет терять энергию (процесс «квантового испарения» черных дыр!) со скоростью

Отсюда получаем^ что скорость потери момента количества движения есть

dJ m

衣〜石不〜7Г

СледоёаТёльйо, йостояйййя времени для потери момента количе* ства движения равна

七〜J/(dJ/df)〜ЛР(力/М)〜ЛР/力〜(м/1015 г)з Юк» лет.

ТбТдА для М < 1015 г момент количества движения J уже должен был бы практически обратиться в нуль за счет процесса «квантового испарения》. Для М ^ 1033 г доля потерянного за 1010 лет момента количества движения составляет я« 16亠.

Решение 爪21. Для всех статических метрик пространства- времени «поверхность бесконечного красного смещения» (g00 = 0) совпадает с горизонтом (см. задачу 17.12). Следовательно, если рассматриваемая метрика описывает черную дыру, то местополо-

жение поверхности этой дыры должно даваться соотношением goo = 0 нлн, в данном случае, р = г/2, где р = р/т. Теперь мы покажем, что на самом деле поверхность р = 1/2 не содержится в том многообразии, которое является асимптотически плоским при р->оо и, следовательно, не может быть достигнута ни одним из объектов нашей Вселенной.

Из вида метрического коэффициента ^рр следует, что р= 1,5 соответствует поверхности, находящейся на бесконечном собственном радиальном расстоянии от любой точки с р> 1,5. Чтобы показать, что поверхность р—1,5 не является достижимой за любой конечный промежуток собственного времени и, таким образом, не принадлежит к асимптотически плоскому многообразию, достаточно рассмотреть радиальные изотропные геодезические. (Читатель может проверить, что в случае нерадиальных или времениподобных геодезических дело обстоит даже еще хуже.) Имеем

^PP(P₽)2 + g°O(Po)2 = O, или

"p 3 \ 卜 + 1~)

где % —аффинный параметр. Если вспомнить, что р0 — интеграл движения, поскольку метрика стационарна, то из приведенного выше уравнения следует

Так как интеграл в левой части расходится при р = 3/2, поверхность ри*/? удалена на бесконечное аффинное расстояние. При Р^з/2 отсутствуют какие-либо сингулярности, и р является монотонно убывающей координатой для радиально падающих фотонов и частиц. Поэтому поверхность р = %, так же как и поверхность р = з/2, должна находиться вне физического многообразия.

Приведенный выше вывод свидетельствует также о том, что поверхность звезды, коллапсирующей таким образом, чтобы индуцировать рассматриваемую вакуумную метрику, никогда не может достигнуть р == 3/2. Следовательно, для реалистических физических систем данная метрика реализуема только при р > 3/а*

ГЛАВА |8

Решение /8・/・ Искомая мощность гравитационного излучения определяется квадратом третьей производной по времени от квадрупольного момента:

а,G /三、2GM2L^

Мощность = 5^-(5)〜5“.

Соответствующие параметры для среднего массачусетского автомобилиста: масса кулака и предплечья М^2- 103г; длина предплечья 厶 ^50 см; средний период одного «сотрясения» /я^0,2 с. Ведя вычисления в единицах СГС, получаем, что мощность излучения составляет величину порядка 2-10*43 эрг/с.

Чтобы подсчитать полную энергию, расходуемую в этом процессе автомобилистом, воспользуемся тем фактом, что мускулы являются почти полностью неконсервативными, так что на каждое «сотрясение» кулаком уходит энергия, приблизительно равная максимальной кинетической энергии всей движущейся руки；

1£21

Мощность =歹例声• у ^3-108 эрг/с.

Таким образом, «коэффициент полезного действия» этого процесса равен примерно 10~61.

Решение 182 Гравитационная энергия связи системы порядка M^/R, а кинетическая энергия порядка MR門Т%н, где Тднн- некоторое характерное время, описывающее движение системы. Из теоремы вириала известно, что для систем, находящихся в равновесии,

Пии —^3/Л1.

Скорость потери энергии на гравитационное излучение определяется квадратом третьей производной по времени от квадрупольного момента и равна примерно

PGW^M^/T^.

Время, необходимое для того, чтобы реакция излучения заметно повлияла на систему, есть время, необходимое для излучения заметной доли ее энергии в виде гравитационных волн!

a

Pew MR2

Тогда отношение этого «времени гравитационного затухания» к динамическому характерному времени системы будет порядка

Очевидно, что силы реакции гравитационного излучения будут играть существенную роль только в релятивистских компактных системах.

Решение 18.3. Три независимые ориентации диполя соолвет- ствуют трем компонентам некоторого трехмерного вектора. Поскольку квадруполю отвечает трехмерный тензор второго ранга (9 компонент), который является симметричным (3 ограничения) и бесследовьш (1 ограничение), то для него существует 5 независимых «ориентаций». Примером пяти независимых «квадрупольных» тензоров могут служить пять тензоров, у которых все компоненты равны нулю, кроме

/%g = /gx,1XZ = 1 zxt ^ yz — 1 zy

Решение 18.4. Предположим, что стержень расположен в плоскости ху и вращается вокруг оси г. Если 卩一масса на единицу длины стержня, то единственными зависящими от времени компонентами тензора приведенного квадрупольного момента будут

七* =卩cos2®f)・2 j x?dx =岑cos2®f) = ^^cos(2(o/) + const, 衣 9 =—嘗 cos(2 g/)+ const，

ixy = iyx = ^~ sin (2sf), так что

Lw=^ V 方/必＞=墨^(管")〈2cos2 2sf+2sin2 2cof〉=^WM2A

(Обратите внимание, что мы используем систему единиц, где G = с= 11)

Чтобы вычислить избыточный заряд на концах стержня, приравняем электростатическую и центробежную силы:

leVOjoermcoS

где Ф — электростатический потенциал, а е н т — соответственно заряд и масса электрона. Тогда по порядку величины плотность заряда, «индуцированного» центробежными силами, будет равна

р 〜—V2® 〜—(m/e) co2.

Разумеется, это обеднение электронами (плотность р отрицательна!) в основной части стержня будет уравновешено избыточными электронами, «приплюснутыми» к концам стержня. Ясно, что их заряд должен быть равен (т/е) ^/А, где Л — площадь поперечного сечения стержня. В результате стержень превращается в электрический квадруполь с моментом порядка (т/е)х X со2/3Л. Мощность электромагнитного квадрупольного излучения, обусловленного этим «индуцированным» моментом, будет равна по порядку величины квадрату квадрупольного момента, умноженному на с)б, т. е. со10 (m/е)2 ^А2. Тогда отношение электромагнитного затухания к гравитационному затуханию есть

%м3”(加/с)' "42卩加/e)游?

В системе единиц, где G = c=l, (m/e)^0t5- IO-21, р(10 17cM*)~ я«10-2? и со(1 кГц)^у• 10~7, откуда

Lem]LgW 〜10 М

На сей раз верх одержало гравитационное излучение.

Решение 18.5. Сила реакции излучения, действующая на элемент объема источника, есть

dFi =—①,/р d3x.

Скорость, а которой этот элемент объема теряет энергию, равна скорости, с которой силы реакции излучения совершают над ним работу, т. е. v» dFt, где v — скорость элемента объема источника. Тогда для всего источника имеем

^f = - J Ф,炉Р d% =，①(咐"d3x.

Здесь мы использовали теорему Гаусса о дивергенции и, чтобы получить второе равенство, оценили значение интеграла по некоторой поверхности, лежащей вне источника. Уравнение непрерывности гласит:一

V-(Ер) = — dp/@f, и поэтому

# =-^ф>^ = -Т^Я 以％ d% R

=- T 石Х ^住"十｝ % )严р d3%).

Поскольку ^^ = 0, последний член обращается в нуль, и мы получаем

dE/dt=-^^i/k.

Найдем среднее по времени от этого выражения для нескольких периодов колебаний. Так как мы предполагаем, что на протяжении этого промежутка времени вековые изменения параметров источника малы, имеем

тг

借■〈尧用"〉.

Чтобы найти скорость уменьшения момента количества движения, воспользуемся тем фактом, что для некоторого элемента объема источника тормозящий момент сил реакции излучения есть

rxdF = — гх VOp d$% =窜,

а для всего источника

嘗=—е“в § /①,ftp Л = _ е^ , / （V 牙呪絕）р d3x ==-|е"坯跣 J 加"Pd3x = -|^^fm.

Усредняя по времени и интегрируя по частям так же, как и выше, получаем

（先卜一I■即〈右甚加〉.

Решение 18.6. Пусть ть /п2 и гъ г2 суть соответственно массы и расстояния от центра масс для двух звезд, обращающихся вокруг центра масс с угловой частотой ©. Из ньютоновской механики известно, что

г 工加 1 ~ г 2m2" R%

где R^r^r^ а ц —приведенная масса, равная m^n^l{ni1-\-m^t Теперь полную энергию двойной системы можно записать в виде функции от Мэат^ + т^, R и 出

Здесь мы воспользовались также законами Кеплера.

Теперь можно рассчитать мощность, рассеиваемую системой в виде гравитационных волн, если вычислить значение приведенного квадрупольного момента

勿 е , Р (%// — у 产勿)dk

Обратите внимание, что «приводящий член» ^у pr26；fed3x не меняется со временем, и поэтому им можно пренебречь. Направим ось z вдоль оси орбитального обращения, и пусть <р будет азимутальным углом — от оси 尤 до линии, соединяющей обе звезды. Тогда, если не учитывать не зависящие от времени члены, можно записать:

1ХХ —(片砌 + г：%) cos2 ф = ^к也 cos 2<p+const,

ly产—у R% cos 2<p + const,

/xy~ R*卩 sin 2<p.

Поскольку(р =(о/, мы можем прямо продифференцировать трижды по времени эти выражения, а затем взять сумму 羽品卜 и усреднить ее по времени. В результате будем иметь

у <J；*J/fe) = ^ (2(о)б g А飢У (sin2 2M + sin22co/十2 cos2 2©/)=

=у 3哦4炉=^ ^1 = Pgw

Поскольку эта мощность излучается за счет уменьшения энергии орбитального движения, получаем

dE 1 рМ dR п32 Мз炉

Результирующее дифференциальное уравнение

г>3 dR 64 лл2

легко интегрируется и приводит к решению

R& = — (256/5) АРМ + const.

Если обозначить через /0 время, через которое расстояние между звездами уменьшится до нуля в согласии с данной формулой, то получим

必=警也訳佑一小

Время /0 можно найти, если заметить, что при / = 0 расстояние К равно некоторому начальному значению /?нач. Следовательно,

, _ 5R二

% — 256峥•

Решение 18Л. Значения большой полуоси и эксцентриситета орбиты, выраженные через полную энергию орбитального движе-

Фиг. 32.Фиг. 32.

Фиг. 32.

Фиг. 32.

(1)⑵(1)⑵откудаоткуда-山施五-山施五_恤恤de=ЕЁ^ 力_恤恤de=ЕЁ^ 力= S?©雾+2e璃).= S?©雾+2e璃).(3)⑷(3)⑷

(1)⑵

(1)⑵

откуда

откуда

-山施五

-山施五

_恤恤de

=ЕЁ^ 力

_恤恤de

=ЕЁ^ 力

= S?©雾+2e璃).

= S?©雾+2e璃).

(3)

⑷

(3)