РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

А. А. БАРАНОВ, В. Л. КОЛПАЩИКОВ

РЕЛЯТИВИСТСКАЯТЕРМОМЕХАНИНАСПЛОШНЫХ СРЕД

Под р е д акцией академика АН БССР | А. В. ЛЫКОВА |

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА И ТЕХНИКА»МИНСК 1974

536

Б24

У〃К 53042 : 531.51+532,5+536,7

Баранов А. А., Колпащиков В. Л. Релятивистская термомеханика сплошных сред. Минск, «Наука и техника», 1974, 152 с.

В последнее десятилетие в связи с интенсивным развитием космической физики, теории плазмы, современной астрофизики, теории ускорителей и ряда других отраслей техники большой интерес представляет изучение термомеханики сплошных сред при релятивистских скоростях. Между тем в отечественной литературе слабо освещены последние достижения в этой области, а статьи по указанной теме разбросаны по многочисленным советским и зарубежным журналам.

Данная монография суммирует достижения в указанной области. Она посвящена проблемам релятивистской термомеханики сплошных сред, исследованию поведения вещества в сильных электромагнитных н гравитационных полях, которое требует последовательного рассмотрения релятивистской магнитной гидродинамики, электрогидродинамики и пост-ньютоновской гидродинамики общей теории относительности. В книге приведены решения ряда частных, но важных задач.

Рассчитана на научных сотрудников, физиков-теоретиков, механиков и может быть полезна студентам старших курсов соответствующих специальностей.

Библиография — 1193 названия.

Рецензенты：

доктор физико-математических наук Я- П. Терлецкий,

доктор технических наук П. М. Колесников

ББ0243—118 М316—740243—118 М316—74231—74231—74

Б

Б

0243—118 М316—74

0243—118 М316—74

231—74

231—74

©©

©

©

Издательство «Наука и техника», 1974.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние десятилетия интенсивно проводятся исследования, связанные с изучении поведения и свойств вещества в экстремальных условиях, как например при низких или при высоких температурах, глубоком вакууме или высоком давлении, в сильных электрических или магнитных полях, при гиперзвуковых и релятивистских скоростях, при воздействии слабых (невесомость) или сильных гравитационных полей. Такие физические ситуации приводят к установлению ряда новых важных закономерностей, которые можно использовать в науке и технике.

С развитием исследований по плазме, ускорителям, космической физике, релятивистской астрофизике и радиофизике большое значение приобретают проблемы переноса импульса, энергии и вещества при релятивистских скоростях.

Данная монография суммирует достижения в области релятивистской термомеханики сплошных сред с учетом необратимых процессов.

Наряду с классическими феноменологическими методами вывода основных уравнений гидромеханики и термодинамики в книге уделено внимание новому аксиоматическому подходу к построению определяющих уравнений релятивистской термомеханики сплошных сред, развиваемому школами Трусделла и Эрингена.

Открытия в современной астрономии (квазары, реликтовое излучение, пульсары, нейтронные звезды, коллапсары, «черные дыры») интенсифицировали изучение поведения вещества в сильных гравитационных полях. Результатом этого явилось создание и развитие постньютоновской гидродинамики. В монографии достаточно подробно освещена пост-ньютоновская гидродинамика идеальной, вязкой теплопроводной и заряженной жидкости.

Наряду с феноменологической теорией излагается также микроскопический подход. Приводится моментный вывод уравнений гидродинамики из релятивистского уравнения Больцмана по Грэду — Черникову. Для вывода уравнений гидродинамики слаборелятивистских систем взаимодействующих частиц используется наиболее строгий и последовательный подход Н. Н. Боголюбова.

Краткость изложения отчасти компенсировалась ссылками на обширную библиографию, которая, однако, не претендует на полноту.

В книге приняты следующие сокращения: СТО — специальная теория относительности; ОТО — общая теория относительности; ТЭИ — тензор энергии — импульса; НТМ — нелинейная термомеханика; ОУ — определяющие уравнения.

Латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, 4; греческие 1, 2, 3. По повторяющимся индексам производится суммирование.

В ходе изложения ясно различие между спецреляти- вистским и общерелятивистским случаями. Авторы не стремились к полной унификации обозначений, что обусловлено широким кругом излагаемых вопросов.

Авторы признательны академику АН БССР А. В. Лыкову за внимание и поддержку, а также благодарят профессора Я. П. Терлецкого за полезные советы и замечания и профессора А. Е. Левашева за помощь в составлении приложения.

Глава I

ОБЩИЕ СХЕМЫ ВЫВОДАРЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИСПЛОШНЫХ СРЕД

Аксиоматические методы построенияопределяющих уравнений релятивистской термомеханикисплошных сред

Исследование явлений переноса в сплошных средах может быть проведено в рамках трех феноменологических теорий: термодинамики необратимых процессов [9, 1147, 1159, 1160], термодинамики переноса, основанной на понятии свободной энтропии (Мейкснер), и нелинейной термомеханики (Трусделл, Нолл, Эринген и др.) [55, 56, 82—86], которая в отличие от первых двух теорий описывает нелинейные процессы переноса в самой общей форме для сред различной материальной структуры. Приведем основные понятия и принципы нелинейной термомеханики [55, 56, 85].

Непрерывная материальная среда, называемая телом В, является трехмерным многообразием, элементами которого служат частицы х, имеющие непрерывную массовую плотность во всех точках тела и во все моменты времени. Область, занятая телом, называется его конфигурацией. Движение тела представляет собой временную последовательность конфигураций.

Основными аксиомами термомеханики сплошной среды являются законы баланса массы, количества движения (импульса), момента количества движения (момента импульса) и энергии. Они в интегральной форме записываются следующим образом:

(1.1)

(L2)

* f PW —J phdV— J 昔-dSa >0,* f PW —J phdV— J 昔-dSa >0,(L9)(L9)ВВВВдВдВ

* f PW —J phdV— J 昔-dSa >0,

* f PW —J phdV— J 昔-dSa >0,

(L9)

(L9)

В

В

В

В

дВ

дВ

ВдВ

+ Уp分触出%6^匕（1・3）

8 + ~ %%) " = J «оф% + %) dSa + ВдВ

(1.4)(1.4)+『Р(Ах% + М 匕

(1.4)

(1.4)

где /аР, %, ^а，е, q、А — соответственно тензор напряжений, плотность объемной силы, вектор скорости, плотность внутренней энергии, вектор теплового потока и плотность тепловых источников, а %断一кососимметричный тензор Леви— Чивита.

Постулируя справедливость уравнений (1.1)——(1.4) для всех частей тела В, получаем

Р + р%,а = 0,(1.5)

^а₽,а + Р(% —办)=0,(1.6)

%В = “а，(1・7)

ре =九酬仇а + 0а,а + Р儿(1・8)

Дополнительно введем два скалярных поля: температуру 9 со свойствами 0 > 0, inf 9 = 0 и плотность энтропии Т), удовлетворяющую принципу энтропии в форме неравенства Клаузиуса — Дюгема:

т>0-т>0-(МО)(МО)получаем+ +~ %8, а > 0.получаем+ +~ %8, а > 0.(Ml)(Ml)

т>0-

т>0-

(МО)

(МО)

получаем

+ +~ %8, а > 0.

получаем

+ +~ %8, а > 0.

(Ml)

(Ml)

или в дифференциальной форме pn 一 P力一div

Исключая h из (1.8) и (1.10), Р (п —糸)+ 書 ％碎в，а

Совокупность величин {/«в，^а, е, q, п，0} определяет термомеханический процесс в теле В, причем второй закон термодинамики требует удовлетворения неравенства Клаузиуса — Дюгема (1.11) в каждом процессе, совместимом с законами сохранения (1.5) — (1.8). В любом процессе плотность объемных сил fa и плотность источников тепла Л можно определить из уравнений (1.6), (1.8). Если ввести свободную энергию Гельмгольца

У = 8 —凯 (1.12

то неравенство (1.11) преобразуется к виду

А* (中一°П)+ ^a0, a > 0. (1.13)

Приведенные выше общие соотношения и уравнения термомеханики сплошной среды не являются, однако, достаточными для моделирования поведения конкретной среды. Для представления многообразия материалов в виде определяющих уравнений сформулируем основные принципы построения ОУ.

Принцип причинности. На поведение материала в некоторой точке могут влиять только события, лежащие в прошлом на световом конусе с вершиной в исходной точке.

Принцип локальности. Поведение материала в некоторой точке зависит только от свойств материала в окрестности этой точки. Отметим, что в последнее время рассматриваются также нелокальные теории материального континуума.

Принцип объективности. Определяющие уравнения должны быть ковариантны относительно преобразований группы Лоренца.

Принцип материальной инвариантности. Определяющие уравнения должны быть инвариантны относительно группы симметрии, характеризующей материал в его исходной конфигурации.

Принцип равноприсутствия. Независимая переменная, фигурирующая в одном из определяющих уравнений, должна появляться также во всех остальных определяющих уравнениях, если она не исключается ни одним из перечисленных принципов.

Аксиома допустимости. Определяющие уравнения согласуются с уравнениями баланса (1.5)—— (1.8), законами электромагнетизма, неравенством Клаузиуса —Дюгема.

Общая схема построения релятивистских определяющих уравнений для сред различной материальной конфигурации аналогична изложенной выше [71].

Согласно общей теории относительности, уравнения Эйнштейна имеют вид

G* = xTA (1.14)

Здесь х = const; Tih—4-мерный тензор энергии — импульса; Gih — симметричный 4-мерный тензор, характеризующий геометрию пространства. Для свободного пространства 7'儿=0. Применяя операцию дивергенции к обеим частям уравнения (1.14), получаем

G：^ =冲，(1.15)

咽=居(1.16)

где 尸一4-вектор релятивистской силы. Частным случаем уравнений (1.15), (1.16) являются

G：^ = 0,(1.17)

増=0・(1.18)

Для нахождения Tih и Gih нужно проинтегрировать систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (1.14), (1.18).

Важно подчеркнуть, что топология пространства зависит от термомеханического состояния среды, так как метрический тензор gik по уравнению (1.14) связан с Т汕.

Система уравнений в рассматриваемом случае записывается следующим образом:

D"o + 几0":i = 0,7fL 0,D"o + 几0":i = 0,7fL 0,(L19)(1.20)(1.21)(L19)(1.20)(1.21)

D"o + 几0":i = 0,7fL 0,

D"o + 几0":i = 0,7fL 0,

(L19)

(1.20)

(1.21)

(L19)

(1.20)

(1.21)

где n0 — число частиц системы; гг ——4-скорость, удовлетворяющая условию gm〃‘〃尼=—1； D—дифференциальны й оператор, определяемый соотношением Dd> =办①；八

Тензор энергии — импульса Tlk представляется в виде

Tik = з 办冰 + uiqh + “"—叫(1.22)

где

T%№； q^ = —skTlk и/, ^ = —^k TkiUp

产=—s； sf 7°; s% = 3% + 〃山卜・

Здесь g，一 вектор теплового потока; pi — немеханический вектор импульса; tih — 4-тензор напряжений, удовлетворяющие тождествам

д； = 0, 0% = 0,产〃卜=产〃丸=0.(1.23)

Умножая скалярно уравнение (1.20) на 〃匕 и используя выражение (1.22) и уравнение (1.19), приходим к следующему уравнению энергии

n0De + q「+ 6 D% —产〃〃尼=0・(1.24)

Второй закон термодинамики в релятивистской форме имеет вид

%0 (D%0 一 8г De) — ( %) 8——

—(~^~) D〃i + 81 严〃〃尼》0,(1.25)

где Поо = 〃丁 1W %； П‘ ——4-вектор энтропии.

Если ввести функцию свободной энергии Гельмгольца То по соотношению

屮о = £ —е%о

и использовать условие 加=4* энтропийное неравенство (1.25) преобразуется к ковариантной форме:

—^~j (。屮0 + %Q8)— ("^~卜"i + 8D〃i) +

+ 8-1""〃丸＞0.(1.26)

Неравенство Клаузиуса ——Дюгема накладывает термодинамические ограничения на определяющие функционалы (переменные состояния системы) tih, q% То, Лоо, аргументами которых является деформация, температура

и т. д. Для построения ОУ релятивистских термовязких жидкостей будем пользоваться следующей формой неравенства (1.25):

（鲁卜D七十强助一（喀）+…福心0, （1.27>

где

4h = s【：(，餉)；厶瓦=d (8, / + BDUj).

"0，仇4，4不"广"0，仇4，4不"广(1.28>(1.28>В рассматриваемом случае независимыми переменными определяющих функционалов термовязких жидкостей будут

"0，仇4，4不"广

"0，仇4，4不"广

(1.28>

(1.28>

Вводя множители Лагранжа V, X и р, и учитывая соотношения 毎〃》=0, 2th〃崑= dhu〃h = O, и^+1=0, имеем

屮00 =屮。十m4必々+入回歩+卩(〃*+ 1),(1.29)

где 4fo зависит от всех величин, описывающих состояние системы (1.28).

После подстановки (1.29) в (1.27) и использования закона сохранения частиц получаем

D5 +D5 ++母+也叫++母+也叫+結厶+入4 + 2（ш» +結厶+入4 + 2（ш» +

D5 +

D5 +

+母+也叫+

+母+也叫+

結厶+入4 + 2（ш» +

結厶+入4 + 2（ш» +

По принципу равноприсутствия функционалы tih9 g^ и Поо также зависят от величин (1.28). Так как неравенств во (1.30) должно выполняться для всех независимых процессов, то в силу линейности (1.30) относительно 08,

Р0г , Ddik и Du£ необходимыми и достаточными условиями выполнения неравенства (1.30) будут

%。(b31)

粤^ +入加=0, 0yo +M办=0, 叱ddik

(1.32)

仙 4卜 + 九 4 + 2pu^ + — = 0.

Для определения величин 九,"и 卩 умножим уравнение (1.32) скалярно на 〃广 Тогда получим

入=% 今-,V = иг —王。,2(x =加，^ (1.33)°4ddikдш

и уравнения (1.32) перепишутся в виде

+ н+ н=0,=0,(1.34)(1.34)

+ н

+ н

=0,

=0,

(1.34)

(1.34)

откуда

風 ddik風 ddik必=0.必=0.ди1ди1(1.35)(1.35)

風 ddik

風 ddik

必=0.

必=0.

ди1

ди1

(1.35)

(1.35)

Последние соотношения указывают, какие ограничения налагаются на функцию свободной энергии термодинамическим неравенством. С учетом (1.35) выражение (1.30) преобразуется в общее диссипативное неравенство

8丁严2注一录备>0，(1.36)

где

Dtik = t^ — nsik9(1.37>

几=呢?.(L38)

dnQ

Тензор второго ранга 刀/氾 является диссипативным тензором энергии — напряжения; л — термодинамическое давление. Из соотношения (1.35) заключаем, что функция свободной энергии То, энтропия 刀加 и термодинамическое давление л зависят лишь от % и 8. Определяющие функционалы для Dtik и qh имеют вид

0约=产(%, 0,%不 %),(1.39)

个=火几0, 0,狐，团，%),(L40)

причем функционалы f и q являются непрерывными относительно 几 & и обращаются в нуль при 麻= Gt = O.

Использование принципа независимости свойств материала от системы отсчета приводит к полиномиальной зависимости функционалов 尸 и д» от величин 或拓 &•

Требование линейности определяющих функционалов fik и д» относительно 之氾 и & приводит к следующим релятивистским уравнениям термовязкой жидкости:

^ = М{4 + 2нЛ(1.41)

qi = _^Qi9(1.42)

где 入а(〃о, 8),卩0(%о, 0), х(^о, 0) — соответственно два коэффициента вязкости и коэффициент теплопроводности. Подставляя уравнение (1.41) и (1.42) в диссипативное неравенство (1.36), приходим к квадратичной форме

I，&% 秋 + 2&或 #) + 春 gi^ 今 > 0.(1.43)

Из свойства положительности (1.43) следует

从成成+2&，步》0,(1.44)

Xgth© d》0・(145)

Далее находим

У》0, 3儿+ 2&》0, %>0.(1.46)

Окончательно тензор энергии ——напряжений принимает видt法=(9 +Л)"山々+ ng/—X(衣冰+ Qiuk)—

一九圈S"一2%产.(1.47)

Если пренебречь диссипативными процессами, то для невязкой жидкости уравнение (1.47) будет

т* =侬 + л) 〃山左十 Jtgih — X ®uh + 汆加)・ (1.48)

В случае У = О

Tlk = (g 十冗)6 冰 + ng/. (1.49)

Для определения полей скорости 〃彳 температуры 0, числа частиц По и gih необходимо подставить выражения (1.47), (1.48) в уравнения Т養=0 и проинтегрировать их совместно с уравнениями (1.17) и (1.19). Кроме того, полевые уравнения необходимо дополнить начальными и краевыми условиями.

Если не налагать на определяющие функционалы условий линейности, придем к нелинейным ОУ термовязкой жидкости.

Приведенный вывод ОУ термовязкой и невязкой жидкостей иллюстрирует плодотворность метода нелинейной термомеханики сплошных сред.

Вариационные методы в релятивистскойгидродинамике с учетом диссипативных процессов

В основу построения математических моделей релятивистской термомеханики сплошных сред не только для обратимых процессов, но и с учетом диссипативных процессов могут быть положены вариационные принципы.

Уравнения гидродинамики в ОТО из вариационного принципа выводились Таубом [1058], целая серия исследований по вариационным методам была выполнена Станюковичем [231, 233—236]. В релятивистской магнитной гидродинамике лагранжианы описывались в работе [1053], а также в исследованиях Фока [41], Шёпфа [992, 993, 996], Минкевича и Сокольского [179], Шютца [1064], Седова [210, 214], Бердичевского [107—109], Желноро- вича [143].

Рассмотрим вариационный вывод уравнений для идеальной безвихревой жидкости в ОТО [943]. Плотность лагранжиана возьмем в виде

g=厶 + V~g & (g/"以'+ 從)+ % (P加);山(1 ・50)

где

4 = V- g piR+， a

G= , ® = —Pd + £(P)]・(L51)

16лО

При этом выполняются следующие дополнительные условия:

(p〃i)；i =0,(1.52)

gikumk + c2 = 09(1.53)

представляющие собой законы сохранения массы и обычное условие на 4-скорость.

Все основные уравнения получаются из приравнивания нулю вариации действия

=3 J L^x = 0

(1.54)

относительно переменных giki р, 〃厶 ％, % и имеют

вид

氾2 _ ( 也 dgih \ °g网，

/ » Г \ Og/,r,s / , s,r

(1.55)

氾2

一（計…

(1.56)

(1.57)

也=0,

(1.58)

整=0.

0%

(1.59)

Из уравнения (1.55)—(1.59) следуют уравнения ния Эйнштейна

тяготе-

(1.60)

где тензор энергии — импульса идеальной жидкости определяется выражением

^ik =——V Р”〃收 + gik(^— Р”) •(1-61)

С учетом термодинамического соотношения Tds = de +

+川+川de для изэнтропического движения, когда=

+川

+川

dp

,легко папучить,легко папучить(1.62)(1.62)

,легко папучить

,легко папучить

(1.62)

(1.62)

Из приведенных уравнений вытекает соотношение q = _(“)-ic3 九 2，(1.63)

откуда, вычисляя ускорение = 〃厶尼〃尼,нетрудно наи-

ти релятивистское уравнение Эйлера:

Р (1 + 号 —^~) ~^^ = —Р，》— c~2uiukPf м(1 ・64)

Уравнение (1.64) можно также получить с помощью тождеств Бианки:

7^ = 0.(1.65)

Рассмотрим теперь вариационный вывод уравнений релятивистской термомеханики сплошной среды с учетом Диссипативных процессов [108]. Основным вариационным принципом является следующий [210]:

6 J Adt +制+ 3取* = 0・(1.66)

Лагранжиан А есть функция следующих определяющих

Параметров состояния и движения среды: £ =

М，Vjl，ViVjl，S, KM 沙，где xz — координаты фиксированной криволинейной системы отсчета наблюдателя; ьр — координаты сопутствующей системы; функции %《扒

задают закон движения рассматриваемой среды;(лл—полевые функции, имеющие различную геометрическую или физическую природу (например, характеристики электромагнитного поля или различных внутренних степеней свободы); S—плотность энтропии; К* 厶‘ 一заданные неварьируемые компоненты тензоров в системах наблюдателя и в сопутствующей соответственно, например, описывающие свойства анизотропии среды.

Вариация 6W представляется интегралом по поверхности S, ограничивающей объем V от линейной комбинации вариации функции с аргументами {号，рА ...}, и определяется заданием функции Л. Лагранжиан Л представляет собой функционал в виде суммы интеграла по V и по поверхности S от линейных комбинаций, составленных из вариации 屮{无;，读▲, ...} и вариаций их частных производных. Учет необратимых процессов и внутренних источников энергии осуществляется с помощью 6F*.

Из вариационного принципа (1.66) следуют уравнения движения:

Vj P(A)i = Qi，(1.67)

т + V/ V/ т = Qa，(1.68)

粤一 = —р8・(1.69)

ds

Уравнения состояния среды имеют вид

戌=ViM YA +感UVi M +& VfeVf M)—

-以- 网 ViVs)-夫Vs

-A& + qJ*・ + Q!,(1.70)

2 L 姒/氏7Ms J dxk

+ Q? = % + Q九(1.71)

改=」+ Q£ = P厶a +國，(1.72)

где H — тензор энергии — импульса.

Система уравнений (1.67) — (1.72) полностью описывает поведение сплошной среды. В случае вязкой теплопроводной жидкости с несимметричным тензором энергии —импульса лагранжиан Л зависит от плотности р, энтропии S и несимметричного тензора угловой скорости ◎订.Зададим функционал 6取* в виде

制* = J {pT6S - QjW - у- 〃订 &o〃} dt —

—Г Q俄％ 曲，(1.73)

где 3订 связано c 0订 соотношением 0订=D(o^, a HU = =pa _pii.

Уравнение баланса энтропии будет

pTdS = -uqQi + 金"订 Qi广(174)

Так как всякий тензор второго ранга может быть представлен в виде

Q" = &/ + 办〃 + GW + Q〃勿厶(1.75)

Me S"=唬 yj Qkl\ 〃 = W 〃№呵 Gi =嚷 ％Q% Q=/〃倉匕 из уравнения (1.74) можно получить

pDS =「г 岱订(v* — Qj j) — Vj〃 + GD% —已(Q〃). (1.76)

Выделим в (1.76) источник энтропии п, обусловленный необратимыми процессами

pDS = — V, (「г 〃)十5(1.77)

2 Зак. 895

где

о = 〃 Vj「r + L (S订 + G^^- %》一广 1 口 (Q〃)

(1.78)

Будем считать, что независимые термодинамические потоки SQ T^G^ являются функциями термодинамических сил ▽)『-* ▽)〃厶 Qij. Предполагая линейную связь между потоками и силами, приходим к модели вязкой теплопроводной жидкости

〃 =A^kT^ + В 阳(办〃/ + %),(1.79)

「г (S〃 + GW) = 4/ 办 Г"1 + 4•削(VM + RQ・(1.80)

Вектор G» находится из уравнения (1.80):

LG』勺(4•汴 v*r + 4a (vm - RQ) (1.81)

Феноменологические коэффициенты A^,力订勺 В叫 A^kl характеризуют свойства среды и отражают ее симметрию. В случае изотропной сплошной среды имеем

4%=厶渺，A^k =力J订冰+局严"乙

8阿=阿冲此(1.82)

a订以=%?订沖+也?/冲+ /?"W"+ ^^lil^^-

Из термодинамического неравенства о》0 вытекают следующие ограничения на коэффициенты 厶，论i，Л2，Hi，vi， ”2,夕3， Q：

耳=0, v2 +v3>0, % —%》°，％ + «2 + %)/3》0,

(1.83) v4<0,厶《0,(局+闻2《4v&

Таким образом, приходим к следующей системе определяющих уравнений для тензора вязких напряжений S〃， вектора потока тепла 〃 и вектора количества движения G':

S" = T) (У VW +评办")+卜一^刀

卜"V " +

+ 自 [Y*(V W -爆)-VM(V 拙一

3)],(1.84)

〃 =xy^ vfeT 丄阿 DM,

(1.85)

Gi = 乂1Y法V* 丄 TdDW.

(1.86)

Здесь введены обозначения

Г)= (27 尸他 + %)，：=广”彳 +(W + 环)/3],

(1.87)

& = (27 尸(也一%)》0，" =%，/=今・

Равенство 卩i="i в феноменологических уравнениях (1.85) и (1.86) является релятивистским аналогом соотношений Онзагера. Симметричный тензор вязких напряжений получается из (1.84) при §=0. В случае симметричного тензора Q% вследствие того что H=G* имеем x = "1,卩 1 = 7V4 и при 卩 1 = Y1 〃=0= "(Y*▽打+0加).

Общий случай построения моделей сплошной среды на базе вариационных принципов с учетом необратимых процессов развит в работе Седова [210].

Кинетические методы выводауравнений релятивистской гидродинамики

Кинетические методы вывода уравнений релятивистской термомеханики получили широкое распространение в литературе [32, 54, 79]. При статистическом выводе законов сохранения большинство авторов обычно исходят из релятивистского кинетического уравнения Больцмана. Решение этого уравнения находится либо из обобщенных разложений Чэпмена — Энскога [1167], либо по моментному методу Грэда — Черникова [266, 473, 1148].

По методу Чэпмена — Энскога выводятся релятивистские уравнения вязкой теплопроводной жидкости в работе Масловой [176], в большой серии работ де Гроота с сотрудниками [601—606, 652—654, 755—766].

Моментный метод вывода уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости широко применялся прежде всего в работах Черникова, который проводил также исследования релятивистского кинетического уравнения [259—270]. К этому направлению примыкают также работы Косовского [163], Андерсона [297—298], Марле [815—819].

В настоящее время развиваются и некоторые другие Методы микроскопического вывода уравнений релятивистской гидродинамики. Так, Зубарев [149, 1150] использует для этих целей неравновесный статистический

оператор. Хаким [627] рассматривает релятивистские стохастические процессы. Укажем также на работы Власова и его сотрудников [4, 164—166, 198—200].

Отметим, что статистический вывод уравнений релятивистской гидродинамики проводился для систем, характеризуемых лишь контактным взаимодействием

между частицами.

Наиболее последовательный путь построения уравнений релятивистской гидродинамики состоит в выводе их из гиббсовской релятивистской статистической механики взаимодействующих частиц в рамках ОТО. Однако здесь имеется ряд принципиальных трудностей. В частности, возникает задача построения фазового пространства [279, 659—661, 1041] с учетом кривизны пространства —

времени.

Другая трудность состоит в формулировке динамики

взаимодействующих частиц в ОТО. В настоящее время имеется формулировка Пирагаса с сотрудниками [140, 141], основанная на принципе Фоккера, и формулировка Брежнева [1182], основанная на геометрии Финслера. Обе они, по-видимому, выводят за рамки ОТО.

В работе Павлоцкого [185] был предложен способ

построения ансамбля Гиббса и получена цепочка уравнений Боголюбова в слаборелятивистском приближении, когда учитываются эффекты порядка 彳.Такое прибли

жение оказывается достаточным для решения широкого круга задач. Впоследствии оно было развито в ряде работ [102, 186, 187, 348]. При этом оказалось возможным учесть эффекты запаздывания взаимодействия. Вывод гидродинамики на основании такого подхода дается в гл. III.

Перейдем теперь к выводу уравнений релятивистской гидродинамики с учетом диссипативных процессов по моментному методу Грэда — Черникова [266, 470, 473].

Релятивистское кинетическое уравнение для одноатомного газа имеет вид

/(%, р)А(х, р) = / (х, р),(1.88)

ГДе ‘(”'昨少言—G初"詣；〃”'Амн0Ра〃 столкновений.

Моменты функции распределения газа Л(х, р) и интеГрал столкновений / (%, р) равны

4"G(%) = fp"p)dP,(1.89)

/〃％(%) = ]>"•••#”(%, P)dP.(1.90)

Из уравнения переноса для функции (^ (х), р)л следует уравнение для моментов

口片 〃，•••，G = /3 …，左・(1.91)

Первый момент 4 (%) совпадает с вектором потока частиц газа, второй 力订(％) — с ТЭИ газа.

Можно показать, что нулевой момент 1(х) и первый момент Ik(x) равны нулю и, следовательно,

口川=0, v* = 0.(1.92

Вследствие равенства (р,靑=俏2c2 моменты А(х, р) и /(х, р) обладают важным свойством

gjkBik 口左=m2c2BZ1d (1.93)

В частности, если масса покоя частиц газа равна нулю, то след любого момента равен нулю.

Квадратичная форма /幺卜 ^ 占卜 относительно Е положительно определена. Следовательно, один и только один собственный вектор ТЭИ (4錚=喝)лежит внутри светового конуса, остальные три собственных вектора ортогональны первому и, таким образом, лежат вне светового конуса. Времени-подобный собственный вектор определяет скорость и(х) массы газа в точке х:

^ik^= Н(о)^г»(“，")=1, 〃о>О・(1.94)

Собственное число 卩о положительно, остальные собственные значения 卩(i),读⑵,щз) отрицательны. Скалярная величина 卩(о)С-4 представляет плотность массы газа в точке %. Величина

p (%) = ± е 1н(о)-加2c2/(%)] =e [卩(1)+ 卩(2)+卩(3)1

(1.95

представляет собой среднее гидростатическое давление газа в точке %.

ПоложивПоложив4(%, р)=如* е-(М*)，р)4 л4(%, р)=如* е-(М*)，р)4 л(1.96)(1.96)

Положив

Положив

4(%, р)=如* е-(М*)，р)4 л

4(%, р)=如* е-(М*)，р)4 л

(1.96)

(1.96)

и подставив в (1.92) моменты функции распределения (1.96), приходим к релятивистской гидродинамике идеальной жидкости с ТЭИ

4h= ( “(о) + j uiuk gik (L97)

и с вектором потока числа частиц

At = 〃(%)〃»・(1.98)

Для учета диссипативных процессов, протекающих в газе, необходимо использовать более точное выражение для функции распределения:

4(%, Р) =L(x)+ 嚟旦国 +

i ' 4л 〔 3 丁 /0,九)т

+ ”气冷"氾⑥,б⑴倭⑶I "99) 2(儿九) 5/G Г'

где

"熊)=也君，"沦⑹=也,%嘱一自。啞； (1.100)

出目阳=[5陰。一也mE&U咼1=i宀曲

也卜="i"h gih；戸=VG，九)".(1.101)

Тензоры выражений (1.100) представляют собой релятивистское обобщение полиномов Чебышева — Эрмита.

Можно показать, что аш^ = 0, Ь，〃夕=0, aikUk = 0, aih = =ahi. Пусть вектор щ^х} —скорость массы газа. Это означает, что он должен быть собственным вектором второго момента функции (1.99). Следовательно, имеем а』Ь». Предположим, кроме того, что среднее гидростатическое давление определяется локально равновесной частью (1.96), т. е. нулевым приближением разложения (1.99). Тогда находим hik(iik = O. Таким образом, в рассматриваемом приближении функция распределения газа задается 13 компонентами: четные компоненты вектора 入，(尤),одна скалярная функция а(х), три независи-

мне компоненты 出⑴ и. пять независимых компонент тензора aih(x).

Для определения этих компонент необходимы 13 уравнений для моментов. Нужно сохранить 5 уравнений П.92), которые выражают законы сохранения числа час- 實щ, момента и энергии. Чтобы установить 8 добавочных уравнений, рассмотрим тензор Tih = ^jAjih—Iih. Нетрудно показать, что след его равен нулю. Из этого вытекает, что Tih имеет 9 независимых компонент. С учетом юго, что UiUkTih=0, и пренебрегая более высокими моментами, получаем 8 следующих независимых уравнений:

^u^kj— ~ 九i&) (Vm 麻—吟=О,

(1.102)

%/(打4汴一网) = 0,

которые вместе с уравнениями (1.92) представляют собой релятивистское обобщение 13-моментных уравнений Грэда.

Обратимся теперь непосредственно к выводу релятивистской гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости.

Введем обозначения

Тогда первые моменты функции (1.99) записываются как

Л(х) = оФ, 4(%) = Q0・ + К2 ⑺ *

Y2

A气%)=a①法 h———к3 (?)0叱(1.104)

Y = тс 1V(X,入)=mc2/kGf гДе 9 — температура.

Через Кп (у) обозначена цилиндрическая функция. Приближенное выражение для третьего момента будет 4"尼= =。①"々.С учетом этого получаем

(也也j^-也也"Vn。①砌=

5c5/.°\

^a~T <2(Y)(用Vj% +力E%—, (1.105)

зМnПо①砌=号'吃話丄у-九沁必，（Ll°6）

Проводя ряд вычислений, можно найти интегралы столкновений:

Iik = aD (”仙 +。纵‘)—aBaik9(1.107)

где

В=— [48b (8) — 210У (0) + 302^ (0)];

15

D = — [20fe(0) — 78, (0) + 0V (0)];

b(8)= f S(p)(p2 + /n2c2)合噜 dp； (1.108)

J[2y(p)]3

0

Y (p) = ]/(Oj Mp2 十 病巒・(1.109)

Величина S(p) выражается через дифференциальные сечения центра масс.

После ряда преобразований окончательно находим

/И%5/И%5г .2"

/И%5

/И%5

Кз(?) ^ у А + йл V^i — — hik \^ ,

(1.110)

"需К")[器『*厶"師，

Последние выражения надо подставить в (1.104) и тогда следует, что Дj nAikудовлетворяют уравнениям (1.92), которые представляют собой релятивистские уравнения гидродинамики с учетом диссипативных процессов.

Коэффициент теплопроводности записывается как % = ^jlO^ll

=К2 (у) ^з(Y)Cp, коэффициент первой вязкости т)= T6D

=Кз(у)Кз(» а коэффициент второй вязкости

Е = о.

Приведенные рассуждения следует рассматривать как статистическое обоснование релятивистской гидродинамики с учетом диссипативных процессов в схеме Ландау—Лифшица, изложение которой будет дано в гл. II.

Глава II

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕЛЯТИВИСТСКОЙТЕРМОМЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Вопросы релятивистской гидродинамики и магнитогидродинамики отражены в отечественных монографиях Ландау и Лифшица [14], Станюковича [34], Баума, Каплана и Станюковича [1]. Из зарубежных изданий по релятивистской гидродинамике и термодинамике следует прежде всего указать на книги Толмана [80], Паули [22], Лихнеровича [66, 67], Арзелье [48, 49] и Гюесу [60]. Диапазон современных исследований по релятивистской термомеханике очень велик: от релятивистской вязкости и теплопроводности до сверхтекучести, сверхпроводимости, упругости и реологии.

Идеальная жидкость

Релятивистские уравнения движения некоторой среды в СТО записываются путем приравнивания нулю 4- дивергенции от тензора энергии — импульса этой среды, т. е.

*0.(2.1)

Они представляют собой законы сохранения энергии и импульса физической системы.

〃/ = 0,〃/ = 0,К уравнениям (2.1) необходимо добавить закон сохранения числа частиц [14], который записывается в виде

〃/ = 0,

〃/ = 0,

(2.2)

гДе ^ = пи{ — 4-вектор тока частиц; 〃» — 4-скорость; п — плотность числа частиц в сопутствующей системе отсчета.

Переход от СТО к ОТО в уравнениях движения (2.1), (2.2) обычно осуществляется [68] путем замены частных производных на ковариантные. Так, трансформированные общерелятнвистские уравнения движения

彌=0 (2.3) следуют уже из тождеств Бианки, которым удовлетворяет тензор Эйнштейна Gm = Rth——^Rg/, входящий в уравнения тяготения.

Вопросы о единственности ТЭИ сплошной среды рассматривались Фоком [41], Шехтером [2761, Кучиной [167].

Следуя работе [14], приведем вывод уравнений релятивистской гидродинамики идеальной жидкости. Выражение для ТЭИ в этом случае имеет вид

Tik = з〃勿尼 + pg 叱 (2.4) где w = e^p — тепловая функция； р — давление; е —— внутренняя энергия; gih — метрический тензор.

Уравнения (2.1) с учетом (2.4) можно записать как

Умножая (2.5) на и^ т. е. проектируя его на направлен ние 4-скорости, и учитывая, что

получим

dxk dxk

Переписывая это уравнение в виде

n dxkn dxk

n dxk

n dxk

и учитывая уравнение (2.2), находим

(2.6)

Используя термодинамическое тождество

LdP = Td—fLdP = Td—f

LdP = Td—f

LdP = Td—f

где Т — температура; о — энтропия на единицу собственного объема, получаем

=0,(2.8)

или иначеили иначеdxk \ n /

или иначе

или иначе

(2.9)

В уравнении (2.9) производная берется вдоль мировой линии движения данного элемента жидкости.

(2.10)(2.10)Учитывая уравнение неразрывности (2.2), соотношение (2.9) можно записать также в виде равенства нулю 4-дивергенции потока энтропии 叫：

(2.10)

(2.10)

Уравнения (2.9) или (2.10) описывают адиабатические движения.

Найдем теперь непосредственно релятивистские уравнения движения идеальной жидкости, для чего спроектируем уравнения (2.1) на направление, перпендикулярное 〃小 Такая проекция равна

Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что эта проекция при скалярном умножении на 〃色 дает нуль. Используя теперь выражение (2.4), получаем релятивистское обобщение уравнений Эйлера:

(2.И)(2.И)

(2.И)

(2.И)

Гидродинамические уравнения в сильном гравитационном поле записываются так:

wukUi.k=—哭一％淤 算,(2.12)

dxl dxk

3% =0.(2.13)

Получим условие механического равновесия идеальной жидкости в сильном гравитационном поле [14]. Поскольку в этом случае поле статично и можно выбрать систему отсчета, в которой вещество неподвижно (〃а=о, 〃°=1У—goo), все величины не зависят от времени, смешанные компоненты метрического тензора равны нулю (goa=O), то из пространственных компонент уравнения (2.12) получается

-wr^uQ = —-wr^uQ = —з . °goo _ др

-wr^uQ = —

-wr^uQ = —

goo 办"0产goo 办"0产

goo 办"0产

goo 办"0产

Выражение (2.14) дает искомое условие равновесия.

В нерелятивистском предельном случае з = рс2, —gr00= 2U

=Н и уравнение (2.14) переходит в обычное гидро

статическое уравнение

(2.15)(2.15)VP = —PV〃・

(2.15)

(2.15)

Вязкая теплопроводная жидкостьв схеме Ландау—Лифшица

В настоящее время используется несколько схем описания релятивистской вязкой теплопроводной жидкости. Одной из первых была приведена схема вывода уравнений термогидродинамики ван Данцигом [509, 513]. Феноменологические уравнения движения вязкой теплопроводной жидкости в СТО были выведены Эккартом. В настоя： щее время наиболее употребительны две схемы: Эккарта [531] и Ландау — Лифшица [14]. Сравнение соотношения этих схем проводилось рядом авторов, в частности, Маслова [176], решая релятивистское уравнение Больцмана по методу Чепмена — Энскога [1167], показала, что обе схемы совпадают в первом приближе-

нм.. Марле [818], рассматривая кинетические модели релятивистского газа, нашел, что уравнения Эккарта и Ландау——Лифшица несущественно отличаются друг от друга. В работах Израеля [667, 668] отмечается, что отличие между двумя схемами состоит лишь в выборе систем отсчета.

И наконец, Черников [266] дал микроскопический вывод уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости в схеме Ландау — Лифшица, решая релятивистское уравнение Больцмана методом Грэда [1148].

Уравнения релятивистской гидродинамики в схеме Ландау — Лифшица с учетом диссипативных процессов (вязкость и теплопроводность) сохраняют свой вид (2.1) и (2.2). Однако здесь появляются уже дополнительные слагаемые в ТЭИ и в векторе плотности потока вещества

7氾=叫跟 + Pgik + “，(2.16)

% = 〃％ + %・(2.17)

При этом следует дать более точное определение понятия скорости up Поскольку в релятивистской механике всякий поток энергии в силу соотношения Е = тс2 связан также и с потоками массы, то при наличии теплового потока определение скорости по потоку массы, как это делается в нерелятивистской гидродинамике, теряет физический смысл. Ландау и Лифшиц [14] определяют скорость так, чтобы в собственной системе отсчета любого данного элемента жидкости его импульс был равен нулю, а его энергия выражалась через прочие термодинамические величины теми же формулами, что и при отсутствии диссипативных процессов. Из сказанного следует, что в собственной системе отсчета, где 〃а=0, будут обращаться в нуль компоненты т(х)и тоа, а тогда в этой системе отсчета будет выполняться соотношение

7\U? = 0・(2.18>

В силу тензорного характера соотношение (2.18) будет выполняться в любой системе отсчета.

Так как в собственной системе отсчета компонента 4-вектора потока частиц 緑 должна совпадать с плот-

ностью числа частиц, то аналогично можно получить соотношение

也办=0.(2.19)

Конкретный вид тензора вязких напряжений Xik и вектора потока тепла v； можно определить из второго закона термодинамики о возрастании энтропии.

Путем несложных преобразований с использованием уравнения неразрывности получаем

办—Г 办)+ 卩 + 办(2.20) dxkdх1 vdх1 丁出声 、‘

5 — qT<><>

Здесь |i релятивистский химический потен

циал вещества.

С учетом соотношения (2.19) выражение (2.20) можно переписать как уравнение баланса энтропии

备卜济一广)=£r .弟一予■.需,(2.21) где 4-вектор плотности потока энтропии

6 =0办——导 W.(2.22)

Величины tth и Vi должны линейно выражаться через градиенты скорости и термодинамических величин так, чтобы правая часть (2.21) была положительна (прирост энтропии из-за диссипативных процессов). Из этого условия, а также из соотношений (2.18) и (2.19) однозначно следуют выражения для тензора т^ и вектора Vi [14]：

-с 6^n) -^-(gm + 〃/j(2.23)

+ 〃М

・(2.24)

Здесь % W м % — соответственно коэффициенты первой и второ* вязкости и коэффициент теплопроводности.

Таким образом, уравнения движения вязкой теплопроводной жидкости в СТО в рамках схемы Ландау — Лифшица задаются соотношениями (2.1), (2.2), (2.16), (2.17), (2.23) и (2.24). Переход к уравнениям движения в ОТО можно совершать по Мёллеру [68] заменой везде частных производных ковариантными.

Рассмотрим теперь случай чистой теплопроводности, когда имеется поток энергии, но отсутствует поток вещества, т. е. nua+va=0. Тогда плотность потока энергии с точностью до членов первого порядка малости по градиентам будет

или с учетом термодинамического равенстваили с учетом термодинамического равенстваw而w而поток энергии принимает вид [14]поток энергии принимает вид [14]

или с учетом термодинамического равенства

или с учетом термодинамического равенства

w

而

w

而

поток энергии принимает вид [14]

поток энергии принимает вид [14]

Отсюда вытекает, что в релятивистском случае поток тепла пропорционален не просто градиенту температуры, а определенной комбинации градиентов температуры и давления.

Обратимся теперь к выводу уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости по схеме Эккарта.

Вязкая теплопроводная жидкостьв схеме Эккарта

Уравнения движения в схеме Эккарта следуют нз соотношения

(2.25)(2.25)—М = 0.

(2.25)

(2.25)

Симметричный тензор Tik представляется в виде [531]

7 优=сшО» + Qj 冰 + Qku£ + 渺匕 (2.26) где

w = T 曲""丸；(2.27)

Qi = -s“”7l〃e；(2.28)

wik = s^Tem.(2.29)

sik = gik _u uiuk(2.30)

Нетрудно видеть, что

%s 优=〃为月卜=0.(2.31)

Переходя к нерелятивистскому пределу, можно установить [531], что скаляр w есть плотность энергии, связанная с внутренней энергией е соотношением

w = т(г + а).(2.32)

Вектор Qi связан с вектором теплового потока следующим образом:

gi = &，•(2.33)

Симметричный тензор wih является тензором напряжений. Статистическая интерпретация выражений 侬,qt и wih дана для случая СТО в работе [176], а для случая ОТО в работе [327].

Нетрудно убедиться, что

〃中=0,(2.34)

〃沙沦=0.(2.35)

Умножая уравнение (2.25) скалярно на 〃з после ряда преобразований можно получить первый закон термодинамики

mD& + — [+ Я^щ + wik ^- = 0. (2.36) Здесь производная D равна % 夕丁 .

Рассмотрим жидкость, когда е = е (р, и)・ Предположим, что тензор вязких напряжений

=(2.37)

с гидростатическим давлением 1.

p^—wi(2.38)

является линейной функцией градиентов скоростей -^^ с коэффициентом пропорциональности X (коэффициен- том вязкости). Тогда с учетом соотношений

utpik = 0,戍=О,utpik = 0,戍=О,(2.39)(2.39)

utpik = 0,戍=О,

utpik = 0,戍=О,

(2.39)

(2.39)

вытекающих из (2.37) и (2.38), можно установить, что

"拉=Xc[simskn Г -尸 I L дхп О/а уравнению (2. 36) придать вид"拉=Xc[simskn Г -尸 I L дхп О/а уравнению (2. 36) придать вид2——工s532——工s53团d〃m团d〃m,(2.40),(2.40)Для жидкостиДля жидкостиили иначе吟+*или иначе吟+*m (De + pDv) + ■—m (De + pDv) + ■—+/%~鲁=。.(2.4])+/%~鲁=。.(2.4])имеемDe + pDv = 8Dr),имеемDe + pDv = 8Dr),(2.42)(2.42)д'д'cBcBce2 4ce2 40808++++

"拉=Xc[simskn Г -

尸 I L дхп О/

а уравнению (2. 36) придать вид

"拉=Xc[simskn Г -

尸 I L дхп О/

а уравнению (2. 36) придать вид

2

——工s5

3

2

——工s5

3

团d〃m

团d〃m

,(2.40)

,(2.40)

Для жидкости

Для жидкости

или иначе

吟+*

или иначе

吟+*

m (De + pDv) + ■—

m (De + pDv) + ■—

+/%~鲁=。.(2.4])

+/%~鲁=。.(2.4])

имеем

De + pDv = 8Dr),

имеем

De + pDv = 8Dr),

(2.42)

(2.42)

д'

д'

cB

cB

ce2 4

ce2 4

08

08

+

+

+

+

(2.43)

В силу второго закона термодинамики необходимо, чтобы

mDx} + -^- •(2.44) дх1 с8

Простейшая форма для д* обеспечивающая выполнение неравенства (2.44),есть

д'=—讲["^" + 6°〃，•(2・45)

Выражение (2.45) представляет собой релятивистское обобщение закона Фурье.

Можно показать, что Х>0 и %》0・

Как уже указывалось, б работе Марле [818] приведена связь между основными параметрами, описывающими релятивистскую вязкую теплопроводную жид- Кость в схеме Эккарта и в схеме Ландау — Лифшица.

Зак. 835

Релятивистские уравнениятурбулентного движения

Уравнения турбулентного движения релятивистской жидкости в СТО рассматривались Пеком и Михэмом [899] и Арзелье [314]. Будем следовать последней работе.

dHdHСчитая собственную плотность р0 постоянной, уравнения движения можно записать в виде

dH

dH

(2.46)

匕=匕=Здесь 屮》— массовая сила; tih — тензор напряжений; Н — 4-скорость

匕=

匕=

/ 1—Р2 ? J 1—声'/ ]-俨,丿 If 广

(2.47)

(2.48)(2.48)(2.49)(2.49)Считаем далее жидкость несжимаемой, т. е. %М = О,

(2.48)

(2.48)

(2.49)

(2.49)

или иначе в декартовых координатах

dVx dVy 。匕 dVtdx dy dz dt

С учетом (2.49) уравнение (2.46) можно записать так:

—X = (点—РсУМ) + * (如—РММ) + дхду

十4-(点一 P。匕匕)十 鲁(一 p。忆匕)•(2・50)

dzdt

Положим, как обычно,

% = "к + 5%，• • •，(2.51)

% = "%，吗с = 0(2.52)

Обозначим через Ux 4-скорость среднего предположим, что

唳=%十 Z%,

%=4，Z% = °，…

движения и(2.53)(2.54)движения и(2.53)(2.54)叫 dUy 203дхdydzdt叫 dUy 203дхdydzdt(2.55)(2.55)Тогда, подставив эти соотношения в условие несжимаемости и усредняя их обычным образом, получим

движения и

(2.53)

(2.54)

движения и

(2.53)

(2.54)

叫 dUy 203

дхdydzdt

叫 dUy 203

дхdydzdt

(2.55)

(2.55)

Последнее уравнение означает, что усредненное движение удовлетворяет условию несжимаемости.

Подставляя (2.53), (2.54) в (2.50) и учитывая (2.55), получаем релятивистское уравнение турбулентного движения

—屮优=~^~ &х — PM』％)+ ~^~ &у — P(/kZJ +

+ ■ ^ (jz - PoZ/z) HА (- P(AZJ —

-“4臂+力芻+4醬”警)(2.56)

Из (2.51) — (2.54) следует также, что

Vx = "" + ^邑= 以亠 +Z*"丿 1一俨 了 1-Р2 *

и, следовательно,

Z “*叭・

О конечной скорости распространения теплаи релятивистских преобразованияхтермодинамических величин

Релятивистские преобразования термодинамических параметров были рассмотрены в работах Эйнштейна [533] н Планка [933] вскоре после создания СТО. В этих работах температура То и количество тепла Q。в собственной системе отсчета связываются с величинами Т и Q в

системе наблюдателя, движущегося со скоростью и относительно собственной системы следующим образом:

7 = 7。/下二F，Q = Q。/ 1一俨, (2.57) 0 = vic.

Из формул (2. 57) следует, что температура и количество тепла будут меньше для движущегося наблюдателя по сравнению с покоящимся.

Более полувека эти преобразования ни у кого не вызывали возражений и повторялись почти во всех монографиях и учебниках [22, 68, 80].

Однако в 1963 г. появилась работа Отта [882], в которой утверждалось, что правильными преобразованиями являются соотношения

7=戸%' Q=4=' (2.58)

т. е. температура и количество тепла больше для движущегося наблюдателя, чем для неподвижного.

После этого в 1965 г. Арзелье [303] в своей работе также вывел формулы (2.58). Затем появилось большое количество исследований, в которых предлагались различные схемы преобразования термодинамических параметров, в частности монографии Арзелье [49] и Гюесу [60], а также работа [71].

Согласно Балеску [335], все авторы по предложенным преобразованиям температуры и тепла разделяются на три группы: первая группа предлагает формулы (2.57), вторая——(2.58) и третья группа считает, что Т = Т0. Все авторы сходятся на том, что энтропия dS =

dQ 。

=——есть скаляр и носит инвариантным характер относительно систем отсчета, поскольку она, имея сугубо вероятностный характер, является числом.

При решении вопроса о способах преобразования термодинамических параметров необходимо обращаться к статистической физике. При этом появляются соображения о том, что температура должна носить векторный характер (Терлецкий, Мёллер, Схоутен). Однако выясняется [335], что равновесная статистическая термодинамика не дает однозначного ответа на вопрос о форму-

ле преобразования термодинамических параметров. По- видимому, следует считать, что в рамках равновесной термодинамики законными являются все предложенные формы преобразований температур и количества тепла (96, 335]. Тем не менее нужно отметить, что в литера。 туре встречаются категорические высказывания в пользу того или иного конкретного вида преобразований термодинамических величин.

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых вопросов, касающихся релятивистского уравнения теплопроводности. Как уже отмечалось выше, вопросы релятивистской термодинамики и релятивистского уравнения тепла в СТО рассматривались в работах Эккарта [531], Ландау и Лифшица [14], Клуинтенберга, де Гроота и Мазура [706—710]. Заметим, что обобщение первого и второго законов термодинамики на случай ОТО впервые было дано в серии работ Толмана, подытоженных в его известной книге [80].

Вообще говоря, релятивистское уравнение тепла должно приводить к скорости распространения тепла, меньшей скорости света. Проблема эта, однако, является нетривиальной. В нерелятивистской теории теплопроводности вопрос о конечной скорости переноса тепла и массы для случая капиллярнопористых тел исследовался Лыковым [1154]. Затем он был развит в работах Каттанео [443], Вернотта [1106], Лыкова [16, 797] и других авторов.

Конечной скорости распространения тепла для релятивистского уравнения теплопроводности посвящены исследования Краниса [716, 717], Боилла [383—387] и Рохта [954].

В простейшем случае классическое уравнение теплопроводности получают из закона Фурье для теплового потока

7 ==—九 grad 7(2.59)

и закона сохранения энергии

дТ->

、т= — div д ・(2.60)

dt

Отсюда следует параболическое уравнение теплопроводности

S —=°， MD л ot

приводящее к парадоксу бесконечной скорости раснрост、 ранения тепла. Выход из этого парадокса состоит, на、 пример, в обобщении 产кона Фурье

g 十 t ―^―=—九 grad T, (2.62}

откуда в силу (2.60) следует гиперболическое уравнение теплопроводности, свободное от парадокса бесконечной скорости распространения тепла:

X dt X 0产X dt X 0产(2.63)(2.63)

X dt X 0产

X dt X 0产

(2.63)

(2.63)

Ковариантным обобщением модифицированного закона Фурье является выражение [716]

gt + tcDqi =—九 s： /Т,(2.64)

где

D = «А= Р~^ (备 +記 V).

Отсюда, используя первый закон термодинамики, можно получить модифицированное релятивистское уравнение теплопроводности

mycDT = %{□ + О?} 7 — %myc^D2T. (2.65)

которое в нековариантной форме записывается в виде

c2丿1-№/巒必2

加y1dT Л

.=u

%/1—m/屋或

(号•(2.66)

Можно также рассматривать уравнение типа (2.64) в другой форме:

T + 办 Vi (初‘)=-s 优(闻 7 + ^^.(2.67)

Эта форма близка к уравнению Эккарта. Как показал Боилла [383], именно это уравнение, а не соотношение Краниса (2.64) дает конечную скорость распространения тепла, если только величина А зависит от температуры Т・

Рассмотрим кратко геометрическую теорию уравне- ннй теплопереноса, которая ведет свое начало от работ Пуанкаре [25], Баранкина [347] и Робертсона [949, 1178].

Ограничимся рассмотрением гиперболического уравнения тепла [161, 714]. При некоторых предположениях о теплоемкостях и длинах свободного пробега уравнение (2.63) приобретает вид волнового уравнения

-丁 =炉 A7 Н".-丁 =炉 A7 Н".(2.68)(2.68)

-丁 =炉 A7 Н".

-丁 =炉 A7 Н".

(2.68)

(2.68)

Здесь w — скорость звука; р — плотность тепловых источников. Экспериментальное подтверждение возможности волнового характера переноса тепла изложено в работе [370].

Сопоставим неоднородно нагретую среду с температурой Т(лг, у, z, /), удовлетворяющей уравнению (2.68), с четырехмерным римановым пространством с метрикой вида

由2 =一(1，7产國2 -(*2 + d" + dz2)]. (2.69)

Метрика (2.69) соответствует использованию инварианта ds? = w^dt^ — d%2—dy2 — dz‘ акустической теории относительности [695], в которой в качестве фундаментальной взята скорость звука

d$2 _ " + 妙 + dz*(1+仃户d$2 _ " + 妙 + dz*(1+仃户(2.70)(2.70)Трехмерное риманово подпространство с метрикой вида

d$2 _ " + 妙 + dz*(1+仃户

d$2 _ " + 妙 + dz*(1+仃户

(2.70)

(2.70)

индуцируется в результате проведения измерительных процедур с помощью калиброванного стержня с коэффициентом термического расширения а в трехмерном эвклидовом пространстве, неоднородно нагретом до температуры Т.

Риманово пространство с метрикой (2.69) может быть характеризовано средней кривизной К [27, 43]. Эта кривизна для метрики (2.69) записывается как

(2-71)(2-71)К = * 口

(2-71)

(2-71)

где 口 一 оператор Даламбера для уравнения (2.68).

Воспользовавшись уравнением (2.68), запишем выражение для средней кривизны в окончательном виде:

К =К =арар(2.72)(2.72)

К =

К =

ар

ар

(2.72)

(2.72)

Таким образом, задача переноса тепла для гиперболического уравнения (2.68) приводится к нахождению средней кривизны риманова пространства с метрикой (2.69). Кривизна этого пространства, как следует из (2.72), пропорциональна плотности тепловых источников. Это аналогично тому, как в теории тяготения Эйнштейна масса вещества вызывает искривление пространства.

Релятивистское уравнение диффузии

С точки зрения термодинамики необратимых процессов релятивистская диффузия исследовалась в работах Штюкельберга и Вандерса [1027], Клуитенберга, де Гроота и Мазура [706—710]. Вопросы конечной скорости распространения релятивистской диффузии рассматривались Кранисом [716, 717]. Как известно [1125], классическое уравнение диффузии

дп

противоречит одному из постулатов СТО о конечной скорости распространения сигналов [1149, 1156, 1164].

Рассмотрим, следуя Келли [696], статистический вывод релятивистского уравнения диффузии в СТО, свободного от парадокса бесконечной скорости распространения диффузионного потока.

Уравнение Больцмана в ковариантной форме имеет вид [667]

.=呻S(力.(2.73)

Здесь f(pj, ху) — релятивистская функция распределения, такая, что fd^pd^x есть число частиц в элементе объема фазового пространства d^pd%; 0 =——广一l； полная

л le энергия £ = /Ис?。；巧=(力，у, z, cf)； p~ (%, %, рг, -y^ — соответственно 4-координата и 4-импульс, а релятивистский интеграл столкновений имеет обычную форму

S (f) = J J 的(g，°)dC {f (而尸(而—f (Pj)尸(P力 d3p, pQ

где v — относительная скорость; о — релятивистское сечение упругого рассеяния.

Решение уравнения (2.73) записывается в форме

f = fo(£，丐)+ Paid(£，勺)+ (P23aB — ЗраР" fap 闷 /)•⑵ 74) Далее считается, что

%》|PaLl》|(Р23aB — ЗРаРв)九讣Q・75)

Оператор упругих столкновений представим так: S(f) = S偽)一"/а， где v — частота столкновений.

Подставляя (2.74) в уравнение Больцмана (2.73), получаем уравнение для функции %

誉+V器-[++v卜向=3叫九⑵76)

При выводе (2.76) использовано обозначение

3加肾3加肾

3加肾

3加肾

(2.77>(2.77а)(2.77>(2.77а)< V〉=n~1Jvf0d3p,< V〉=n~1Jvf0d3p,(2.79>(2.79>< v2 ) = tT1 ^ v^f^p,< v2 ) = tT1 ^ v^f^p,⑵80}⑵80}<vS>=n~1JvS(f0)d3p.<vS>=n~1JvS(f0)d3p.(2.81)(2.81)

(2.77>

(2.77а)

(2.77>

(2.77а)

< V〉=n~1Jvf0d3p,

< V〉=n~1Jvf0d3p,

(2.79>

(2.79>

< v2 ) = tT1 ^ v^f^p,

< v2 ) = tT1 ^ v^f^p,

⑵80}

⑵80}

<vS>=n~1JvS(f0)d3p.

<vS>=n~1JvS(f0)d3p.

(2.81)

(2.81)

а также условие нормировки

〃亿 0 = I М3р и условие

JS(%)d3p = 0,

означающее, что упругие столкновения не меняют числа частиц.

Умножая уравнение (2.76) на элемент объема d3p и интегрируя по всем элементам с учетом (2.77), (2.77 а), получаем релятивистское уравнение диффузии

祭鲁一〈vS〉yfB〉廿・(2.78>

Здесь величины < v > ,〈注〉，< vS > означают следующие средние:

Если частота столкновений v постоянна, то имеем

< vS > п = 0(2.82)

и уравнение (2.78) непосредственно переходит в обобщенное релятивистское уравнение диффузии Фика

(2.83)(2.83)

(2.83)

(2.83)

(2.84>(2.84>Здесь коэффициент диффузии определяется как

(2.84>

(2.84>

3v

Можно также показать [696], что скорость распростране- ния процесса диффузии не превосходит у

V 3

Магнитная газодинамикаи электрогидродинамика

Движению релятивистской заряженной жидкости в электромагнитных полях посвящено большое количество работ [1, 66, 67, 922]. Сформулируем вначале общую задачу о движении заряженной проводящей жидкости в сильных электромагнитных и гравитационных полях [66].

Система уравнений Максвелла в ОТО записывается

как

(2.85)

vGh = /fe.(2.86)

Ток Ik в (2.86) определяется законом Ома

/h = g〃h + w‘"加(2.87)

где q — собственная плотность заряда; о — проводимость жидкости.

Выражения для Gm и *(")/ имеют вид

G/ = 〃4 — ukdi —小№%(2.88)

(*/)=唸一〃也一lAmn 〃咿•(2.89)

Векторы %, dh, bk и hk определяются соотношениями

4 ― 〃”"ih，盡=к'Gjh，

(2.90)

bh = 〃” (*H)w hh = % (*G)旧

a П/mn — тензор Леви—Чивита.

В дальнейшем будем рассматривать частный случай> когда

d = Хе, b = рЛ,(2.91)

где диэлектрическая проницаемость 九 и магнитная проницаемость 卩 постоянны.

К уравнениям (2.85) и (2.86) необходимо добавить Уравнения тяготения Эйнштейна

R*^gthR = хТ/•(2-92)

Тензор энергии — импульса 7氾 в (2.92) складывается из ТЭИ идеальной жидкости и ТЭИ электромагнитного поля Eik, так что

7泣=卜也〃h^ gih) +Е加(2.93)

В выражении (2.93) через г обозначена собственная плотность материи, а величина f определяется как f=l+=・(2.94)

Удельная энтальпия i связана с внутренней энергией е соотношением

i = е + &,(2.95)

г

а ТЭИ электромагнитного поля Eih записывается в зиде

% = 4 ёг^т^- Я.Ж- (2.96) 4

Из уравнения (2.92) следуют законы сохранения

▼「泣=0・(2.97)

Уравнение неразрывности в случае адиабатического движения имеет вид

▼(厂%) = 0.(2.98)

Выражение (2.88) можно переписать также следующим образом:

电=—Hih+ 巫口 业宀皿卜-ukumHmi). (2.99)

Решение общей задачи о движении заряженной проводящей жидкости в СТО и тем более в ОТО приводит к значительным трудностям. Поэтому представляет интерес последовательно рассматривать эту задачу в различных приближениях, например магнитогидродинамическом, электрогидродинамическом и т. д.

Остановимся кратко на магнитогидродинамическом случае. В этом приближении проводимость обращается в бесконечность, и для того чтобы электрический ток /

н выражение ое были конечными, необходимо положить электрическое поле е=0. Тогда электромагнитное поле сводится к магнитному полю h и выражения (2.99) и (2.89) переходят в следующие:

Gm= -—(2.100)

(*")*=n("也-"也)，(2.101)

Для тензора Eih можно получить

Ё氾=n[卜№ g，卅一也也],(2.102) где

而2 =—九川〉0

Система уравнений Максвелла в этом случае запишется как

□("仇々—讀的=0,(2.103)

а тензор (2.93) для магнитогидродинамического случая ^ih = (rf + Р l^|2) w А—("^~ ~1^"卩回)gih—卩九Ar (2.104)

Окончательно система уравнений магнитной гидродинамики в ОТО задается соотношениями (2.92), (2.97), (2.98), (2.103) и (2.104). Из этих уравнений, устремляя скорость света к бесконечности, можно получить формулы классической магнитной гидродинамики.

Рассмотрим теперь другое приближение, а именно сформируем уравнения релятивистской электрогидродинамики, представляющей предельный случай задачи о движении заряженной жидкости в ОТО, когда электрические поля намного превосходят магнитные. Отметим здесь, что классическая нерелятивистская электрогазодинамика, являющаяся в известной степени альтернативой магнитной гидродинамики, в настоящее время интенсивно развивается [1145].

В предельном случае сильных электрических полей в Уравнениях Максвелла (2.85), (2.86) и в выражении (2.96) для ТЭИ электромагнитного поля следует оста-

вить лишь компоненты, содержащие электрическое поле е.

Тогда уравнения (2.85) и (2.86) сводятся к системе

V4^mn^) = 0,(2.105)

Vi (〃^—冰3) = -у-北(2.106)

Тензор энергии — импульса (2.93) запишется в виде

7/ =修 + 哨〃四 + (号+子嘀2)gih—M风, (2.107) где

鋁=—е0.

Окончательно система уравнений релятивистской электрогидродинамики задается уравнениями (2.92), (2.97), (2.98), (2.105) — (2.107).

Переходя в этих уравнениях к нерелятивистскому пределу, можно получить уравнения классической электрогидродинамики [1028, 1145].

Диэлектрики и поляризованные среды

Релятивистской теорией диэлектрических, поляризованных и намагниченных сред занимались многие авторы. В рамках термодинамики необратимых процессов эти вопросы изучались в работе Клуитенберга и де Гроота [709]. Уравнения движения диэлектрических сред выводились из вариационного формализма в работах Шёпфа [991, 994]. Диэлектрики и поляризованные среды в релятивистской теории разбирались в работах Брэгга [1169], де Гроота и Сатторпа [592—601], Може и Эрингена [841], Седова [211], Цыпкина [257] и др.

Уравнения движения поляризованных и диэлектрических сред можно излагать по схеме, которая была приведена в параграфе 7. При этом, однако, возникает основная трудность в определении тензора энергии — импульса таких сред. Следует отметить, что единой точки зрения на выбор ТЭИ нет. Первыми были предложены тензор Минковского и тензор Абрагама. Впоследст-

вин ряд авторов предложили другие формы ТЭИ диэлектрических и поляризованных сред.

В дальнейшем изложении будем следовать работам [592—601].

Один из наиболее последовательных методов вывода уравнений движения диэлектрических и поляризованных сред состоит в формулировке микроскопических законов сохранения энергии и импульса системы точечных частиц с последующим переходом к макроскопическим законам сохранения при помощи процедуры ковариантного статистического усреднения.

Таким образом, законы движения рассматриваемых материальных сред можно записать как

“ (р 〃拙 +「产向 + 7V⑴)=0.(2.108)

Первые два слагаемых в соотношениях (2.108) представляют собой материальный ТЭИ, а последний член выражает ТЭИ диэлектрика. Его можно записать как [592]

7?(" = F»M 一 -1 FnjF^ -u^FinH^-

-乂产)研 ^-UiukFnj^ —8),(2.109)

(f1,尸。2,尸。3)=互(尸3,尸31,尸2) _友

("01, "02, ”。3)=方，("23, "31, ”12)=无

Выражение (2.109) отличается от тензора Минковского

7?(f)= FinHnk —十 F^jH咻(2.110)

н от тензора Абрагама

Tik(f)=-FinHnk--1 尸^.，可一冰(吊m〃)一 Hjj叫%.

(2.111)

В собственной системе отсчета для ТЭИ (2.109) нетрудно Получить плотность энергии 7°°⑴，вектор Пойнтинга с产⑴, Плотность импульса L严)(f)и натяжения Максвелла 产⑴：

严⑴=-L (£2 + В2), ТОа=(Е х Х)а ,

产⑴=(£ Xх产,71aB⑴=—户加-严加+

+ 十(豆2+宓)g邮(2.112)

Аналогичным образом можно найти для тензора Минковского (2.110) соотношения

产a=十(粉+ b2),产⑴=(总X另)06,

7ao⑺=(方 Х^)а,「оф⑴=_£арЗ_ВаВР 十

(2.113)(2.113)+ -L.(ED+B^g^

(2.113)

(2.113)

и для тензора Абрагама (2.111)

产⑴=子(粉+百2),严⑴=(去X方)。6,

к0⑴=区X办，T^(f)=——1.(£aD3 +加酬-

一不吟3+一（訪+宙2）gaB一不吟3+一（訪+宙2）gaB(2.114)(2.114)

一不吟3+一（訪+宙2）gaB

一不吟3+一（訪+宙2）gaB

(2.114)

(2.114)

В системе покоя для диэлектрика 4-вектор 0%7\・亍(力 представляет собой пондеромоторную силу.

Отметим также, что тензор де Гроота и Сатторпа (2.109) симметричен для изотропного диэлектрика и не симметричен для анизотропного. Тензор Минковского (2.110) всегда несимметричен, а тензор Абрагама всегда симметричен. Для поляризованной среды из микроскопической теории де Гроот и Сатторп выводят следующий тензор:

7?(" = FinHkn —十 FnjFn^ — c'2uk(FinHn^ —

-HinF^ % + "4%冰办巴j ("加 一 fM) 〃n.(2.115)

В собственной системе отсчета тензор （2.115） приобретает вид

严⑴=十（京 + В2） , Twh =（ЕхН）а ,

7ao（f）=区X由a ,7耶⑺=e^ -加加+

+ （3方+ 十宙2一方.前）g^t （2.116）

Релятивистская теориясверхтекучести и сверхпроводимости

По современным воззрениям [5, 8, 11, 26] нейтронные звезды представляют собой объекты с радиусом около 10 км 才 массой порядка солнечной. Центральная часть нейтронной звезды представляет сверхтекучую и сверхпроводящую нейтронную жидкость, окруженную твердой кристаллической оболочкой, граничащей с плазменной атмосферой. Гра- Ш1тационное поле нейтронной звезды велико, поскольку ее размеры сравнимы с ее гравитационным радиусом rg ==

2GM

=・ Велико также магнитное поле нейтронной звезды

（~ 1016 ас）・

Изучение таких объектов стимулировало появление первых работ по ковариантной формулировке теории сверхтекучести и сверхпроводимости.

В работе де Витта [1133] рассматривается ковариантная теория сверхпроводников в слабом стационарном гравитационном поле и слабом электромагнитном поле. В основе рассмотрения лежит лагранжиан для отдельного электрона

L = —m（— g 曲勿屮/2 + 叫％,（2.H 7）

гДе e, m ——соответственно заряд и масса электрона; At—электромагнитный вектор-потенциал （с=1）. Отсюда обычной процедурой можно получить гамильтониан

"=（g“°goagQB — goo）"2[加2 + g"“ （PY —。4）仇—e&）"2—

f— ga» （Pa —叫）goB —叫，（2.118）

где р — канонический момент.

4949* Зак. 895

49

49

В пределе слабых полей и малых скоростей выражение (2.118) можно переписать

"=(1/2/и)而一办 + 匕(2.119)

где

V = — с/。— 一~ 加九о。，(2.120)

В = вА + /и%,九о —(九01，九02’ 厶оз)，(2.121)

九沮=纟氾—Ли» 貝注=时=diag (—1, 1, 1, 1)・(2.122) Гамильтониан ансамбля свободных электронов внутри сверхпроводника с учетом (2.118) записывается как

"=£ {(l/2m)[；n 一 В "п)『+ у "n)} + у.пг (2.123)

Здесь Рп и хп ——канонические переменные n-го электрона, а потенциал Vint включает в себя электрон-фононное взаимодействие и энергию фононов. Теперь, имея гамильтониан (2.123), можно применить аппарат сверхпроводимости теории Боголюбова, Бардина, Купера, Шриффера.

В работе [892] в качестве ковариантного обобщения классической теории заряженной сверхтекучей жидкости, описываемой уравнениями Лондона

rot —Я,(2.124)

тс

—+ — grad 分=，-互(2.125)

dt 2тс

предлагаются соотношения

%,卜—uk9i =尸沦•(2.126)

В приближении слабых полей и скоростей они совпадают с уравнениями теории де Витта [1133].

В заключение приведем сформулированные методом релятивистской термодинамики необратимых процессов

основные уравнения движения для нормальной и сверхпроводящей компонент жидкости [955]:

DP* = р\ D* = р0, D0 = Oo，(2.127)

DN =褊

Теория упругости и реологические среды

Релятивистская теория упругости возникла в начале нашего века почти одновременно с теорией относительности. Работа Герглотца [651], посвященная этим вопросам, увидела свет в 1911 г. Еще раньше (1909 г.) Борн ввел понятие твердого тела в СТО. Впоследствии эта тема мало привлекала исследователей. Однако в настоящее время интерес к ней сильно возрос под влиянием в первую очередь астрофизики. С обнаружением квазаров, пульсаров и нейтронных звезд [2, 5, 8, 10, 11] появилась возможность существования кристаллического состояния вещества в сильных гравитационных и электромагнитных полях. С другой стороны, работы Вебера (1968 г.) по обнаружению гравитационных волн привели к необходимости изучения электромагнитного взаимодействия с упругой средой в рамках релятивистской теории. В 1959 г. вышла работа Синга [1038] по теории упругости в ОТО, а позднее работа Рейнера [945]. Общерелятивистской теории упругости посвящены исследования Бену [359—366], а тетрадная формулировка релятивистской механики деформируемой среды рассмотрена в работах Подосенова [192—197, 1158, 1159].

Вопросы релятивистской теории упругости излагают- 4я также в трудах Гласа и Виникура [576], Катанео 446, 447], Ламуре-Брус [737, 738, 485], Лоринговена .793, 794], Картера [440—442] и Кучиной [167—169, 153]. Ряд вопросов релятивистской теории упругости изложен в книге Гольденблата [6].

Дадим теперь краткое изложение теории упругости, следуя [576].

Тензор энергии импульса имеет обычную формулу:

Т»к = Р〃№ — Р»а・(2.128)

Здесь 〃± — 4-скорость; р — плотность энергии; Pik является тензором напряжений, который измеряется в локальной си-

尸氾小=0.

(2.129)

Кроме того, выполняются соотношения

"m=1,

(2.130)

Sik = 〃此 + Ym，

(2.131)

причем

=。，

(2.132)

Введем для упругой среды в равновесном

состоянии

вспомогательную пространственную метрику рая удовлетворяет условию ортогональности

Y泳，кото-

%g = 0

(2.133)

и имеет нулевую производную Ли

к"=0・ и

(2.134)

Будем считать, что в равновесном состоянии выполняет-

ся условие Борна и

(2.135)

Тензор деформаций определяется как

限=（匕丸一兔）・

(2.136)

В качестве обобщения закона Гука постулируется, что

тензор напряжении задается соотношением

尸谨=^ik + 4s‘ (耳)j + ^i^lsji-

(2.137)

Здесь Pik一一 тензор напряжений в равновесном состоя-

НИИ.

Адиабатические коэффициенты упругости летворяют следующим условиям симметрии:

Aikn удов-

А 优〃 =A^lik = A^lki.

(2.138)

Отметим, что эффективный упругий тензор 4gl^Pk^ + А*" не удовлетворяет соотношениям симметрии (2.138).

(2.139)(2.139)Для термодинамического описания необходимо добавить еще уравнение состояния. Изменение плотности энергии из-за упругих деформаций определяется, как обычно, из законов сохранения

(2.139)

(2.139)

〃№** = °-

Для полноты описания необходимо добавить еще уравнение тяготения Эйнштейна. Граничное условие на поверхности, когда нормальная компонента напряжений равна нулю, будет —

Pihnk = Q. (2.140)

Уравнение (2.137) хорошо описывает упругие напряжения, если только не учитывать коэффициенты упругости высших порядков.

В механике сплошной среды в настоящее время строятся различные математические модели, описывающие ньютоновские, вязкоупругие, реологические и другие среды. В связи с этим возникла тенденция к обобщению этих моделей на случай СТО и ОТО. Так, вопросам релятивистской теории вязкоупругих сред посвящены работы Рамиреза [939—941] и Може [824]. В 1970 г. вышло исследование Олдройда [879] по формулировке реологических уравнений состояния в ОТО.

В известной степени можно сказать, что этот параграф, посвященный релятивистской теории упругости, и, в частности, работа Рейнера [945] также выводят за рамки простейших уравнений состояния идеальной жидкости и упругой среды, описываемой законом Гука.

Глава III

ПОСТ-НЬЮТОНОВСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА

Анализ движения сплошной среды в ОТО в самом общем случае представляет значительные трудности. Вместе с тем интенсивное развитие релятивистской астрофизики приводит к необходимости учета общерелятивистских гидродинамических эффектов. Поэтому несомненный интерес приобретают приближенные подходы, когда описание ведется на квазиклассическом языке. При этом, естественно, можно учитывать различную степень точности.

В 1965 г. появились обстоятельные исследования Чандрасекара [456, 457] по гидродинамике идеальной жидкости в пост-ньютоновском приближении ОТО. Своими истоками эта гидродинамика восходит еще к работам Фока [41]. В ней учитываются релятивистские эффекты 炉

по скоростям с точностью до членов —, а в потенциалах тяготения до —— •

Впоследствии пост-ньютоновская гидродинамика была использована для решения ряда задач. Чандрасекар [459] применил ее к решению вопросов устойчивости небесных тел относительно радиальных и нерадиальных колебаний. Затем вышли работы Чандрасекара и сотрудников [461—463, 466—468], Пирагаса и сотрудников [188, 189], Волкова [118], посвященные фигурам равновесия небесных объектов с учетом релятивистских эффектов. В статье [97] изучено распространение внутренних гравитационных волн в сильных полях тяготения. В работах [НО, 205] изучалось распространение слабых

возмущений в пост-ньютоновской гидродинамике, а в [204] исследовались ударные волны.

Вопросы взаимодействия различных течений (потенциальных, вихревых и т. д.) рассматривались в работах [247, 271, 273], а ряд вопросов пост-ньютоновского приближения —в [721, 1128, 1129]. Чандрасекаром с сотрудниками было развито второе пост-ньютоновское приближение в гидродинамике [469], а также 2^-приближе- ние [465], когда существенный вклад может давать гравитационное излучение. Равновесие тел с упругими характеристиками среды изучалось в трудах Кучиной и Петровой [167—169, 190, 191]. Построение уравнений пост-ньютоновской гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости дано в работах [98, 586], а пост-ньюто- новская магнитная гидродинамика развита в работе Гринберга [587]. В последнее время делаются попытки использовать пост-ньютоновский подход для проверки ОТО [874, 1127, 1129].

Были выведены также пост-ньютоновские уравнения гидродинамики в различных вариантах скалярно-тензорных теорий гравитации [100, 875, 1127].

Отметим, что работы [101, 103] посвящены гидродинамике в слаборелятивистском приближении, когда учитываются релятивистские эффекты в скоростях с *

точностью до членов —включительно.

Пост-ньютоновская гидродинамикаидеальной жидкости

Рассмотрим кратко основные уравнения пост-ньютоновской гидродинамики идеальной жидкости [457].

Исходной системой уравнений являются уравнения тяготения Эйнштейна

М— -^~g*R ="注(3.1)

н вытекающие из них уравнения движения сплошной сре* Ды в ОТО

鹏=。,(3.2)

где тензор энергии—импульса идеальной жидкости записывается в виде

Tik = wu^ — pgik.(3.3)

Здесь p ——давление; 〃‘ ——4-скорость; gih ——метрический тензор;

w = pc2 + р + рП(3.4)

есть тепловая функция, а П ——плотность внутренней энергии.

Далее используется обычная итерационная процеду- 1 ра, где малым параметром является—, а исходным при

ближением —теория тяготения Ньютона.

Более подробно уравнения гидродинамики и уравнение неразрывности записываются в виде

胃口丄響+窘+ ^?00+ 2举产+ cuх

+ %产+呜M+价7邺=0,(3.5)

7器三= 丁 + 粉十(外。+%)7。。+

+ (2&а + %) Т°а + rl^ = 0,(3.6)

где компоненты тензора энергии — импульса в пост-ньюто- новском приближении равны

Т。。= ре? 1 + / (№ + 2U + 〃)] + од?),

产亠 pj \ +-L(v^+2U + n+ £)]% + о(с・з),

L 炉〈Р /J (3.7)

产=PWB + 脸6 + ~^~ р 卜2 -г 2U + П + -^-^ “в -

метрический тензор

2U 1

g。。= 1 + * + ± (2U + 4(D)十。(с?,

+ 0(L),

(3.8)

4-скорость4-скорость

4-скорость

4-скорость

g“B = —(1 — ^) 6<хв + о(с・4)；

小

u° = 1 +

+。(◎

(3.9)

1 + 3("+"］告+。『);

символы Кристоффеля

го 1 0U м _1 ди

%=击%=击4母+4母+龙2汲06龙2汲06ra 1 dU ,7。。=_ 丁^■ +_4%+丄.dt 2%=3耶-2с3 I dtra 1 dU ,7。。=_ 丁^■ +_4%+丄.dt 2%=3耶-2с3 I dtdtd严 д'，dt J(3.10)RS —2(D) —dtd严 д'，dt J(3.10)RS —2(D) —pa —1величиныpa —1величины8В+景九Y8В+景九Y叫 дхаdU 粛叫 дхаdU 粛2 如г2 如гdU _ 2 GUdU _ 2 GU(З.Н)(З.Н)

%=击

%=击

4母+

4母+

龙2汲06

龙2汲06

ra 1 dU ,

7。。=_ 丁^■ +

_4%+丄.

dt 2

%=3耶-2с3 I dt

ra 1 dU ,

7。。=_ 丁^■ +

_4%+丄.

dt 2

%=3耶-2с3 I dt

dtd严 д'，dt J

(3.10)

RS —2(D) —

dtd严 д'，dt J

(3.10)

RS —2(D) —

pa —1

величины

pa —1

величины

8В+景九Y

8В+景九Y

叫 дха

dU 粛

叫 дха

dU 粛

2 如г

2 如г

dU _ 2 GU

dU _ 2 GU

(З.Н)

(З.Н)

(3.12)(3.13)(3.14)(3.12)(3.13)(3.14)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Потенциалы U,几，Потенциалы U,几，Ф определяются из уравнений

Потенциалы U,几，

Потенциалы U,几，

△U = — 4nGp,

△几=—4nGp%,

△Ф = — 4nGp0,

где

0 — v^ -\- U + ―— 77 -|—^― • —^― •(3.15)

Суперпотенциал у определяется из соотношения

% = —G J р(/, x)\x — x'\dx\(3.16)

или иначе

Здесь

Ue；aB = G f р(/)席3)乌二@竺二@d£・ (3.18)

Окончательно уравнения пост-ньютоновской гидродинамики идеальной жидкости запишутся в виде

*0%)+ 詣 з% 哨 + 备 № + v)

dU4d / 〃 〃、I 4加в I

—+ — P h(%U —UJ H—^-рив+

0%с?dtс?

(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)(3.19)(3.20)(3.21)(3.22),1 效2 dU{дФ \a

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

2c3dtwc2飞 Q 汝 a十d%a 丿，

где

6==p 1 4——^- ^2 + 21/ + Л +

ЗдесьЗдесьУравнение непрерывности запишется как

Здесь

Здесь

К уравнениям (3.19) и (3.21), как обычно, для замыкания системы необходимо добавить уравнение состоя-

ння вещества. Тогда получим полную систему уравнений, описывающих жидкость в пост-ньютоновском приближении.

Из уравнений (3.19) и (3.21), опуская члены порядка 2-, легко получить обычное ньютоновское уравнение не

прерывности

粤 +(Р%)=。(3・23)

dt 0%

и уравнения гидродинамики Эйлера

+ Р • (3.24)

Уравнения (3.19) и (3.21) получены с точностью до членов。(勺)・ Они представляют значительный интерес, когда гидродинамическая скорость и и потенциал поля тяготения U велики. Величина — составляет примерно с?

0,2—0,3 для нейтронных звезд [8, 9] (радиус 〜10 км и плотность 1015 г/см3) или сверхзвезд Хойла ——Фаулера (масса 〜106 他® и плотность порядка солнечной).

Таким образом, учет пост-ньютоновских потенциалов тяготения важен для конкретных объектов типа нейтронных звезд, пульсаров или сверхзвезд.

Вязкая теплопроводная жидкостьв пост-ньютоновской гидродинамике

Излагаемый материал основывается на данных работы Гринберга [586]. Схема вывода уравнений аналогична предыдущей. Однако теперь тензор энергии — импульса берется с учетом диссипативных процессов в теории Эккарта [531]:

Tik=^ + P)^k—PSik—^hik+ vca/ft+ Qtuk + Q^. (3.25)

Du»Du»Жений 0/ = В (心法 + 以;0一Жений 0/ = В (心法 + 以;0一dsdsЗдесь полная энергия e = pc2 + p77, тензор вязких напря-

Du»

Du»

Жений 0/ = В (心法 + 以;0一

Жений 0/ = В (心法 + 以;0一

ds

ds

一 8力注;

скаляр расходимости 6 =

оператор hik =^

ff=gik — 〃/h； вектор теплового потока Q» = -^-考(^^

f

f

;TQ — локальная температура; X, v, 0 — соот・

ветственно коэффициенты теплопроводности, сдвиговой и объемной вязкости.

Из «временной» компоненты (3.2) с учетом (3.25) и некоторых преобразований получаем общерелятивистское уравнение теплопроводности

р「°*=2^ + 3陋—Qa^-Q%(3.26)

где S — плотность удельной энтропии, определяемая со

отношением

T/S = d!7 + pd (~j~)・

Аналогично, взяв «пространственную» компоненту (3.2), запишем общерелятивистское термогидродинамическое уравнение движения

{ре^ + рп+р^^)用=/*д一卽8)一as dxk

一応 «с 鸣 + Q?〃) 一 Qk (①沦 + 屮)一 48Qi,(3.27)

где антисимметричный тензор вращения

Проводя далее стандартную процедуру (подробно этот вопрос описан в работе [586]), получаем уравнения вязкой теплопроводной жидкости в пост-ньютоновском приближении.

Уравнение непрерывности сохраняет свой прежний вид (3.21) с учетом соотношения (3.22).

Пост-ньютоновское уравнение теплопроводности за- 口нснвается как

= V・0vTo) + v嚼啜)+ -у P(v-tO2+-^-X

х产。用+网+ *2叫)+ V (京等)十

+ V•［九北(~^ -VU)j - V • (2^V^o)| +

+ g ［- 20窗0^処 % + (№ + 2U)啕喝)+

+ %黑喷+ 2%普嘴)+ -у %* V •詬^ +

+景V三传（子* + зи） +（十* +小.。

(3.28> где

邮 2 \ дх^办а丿3 Р

Пост-ньютоновские уравнения движения вязкой теплопроводной жидкости записываются в виде

Р 1 + —т- f V2 + 4(/ + 77 + —х

L с? 'Р 3 р

X瞥+*m呻_十阳力邮一

一十［+ 3 - ")警8В + Р ^ 8В + +/口病耶十

v / 加27 (%中v / 加27 (%中++1f

v / 加2

7 (%中

v / 加2

7 (%中

+

+

4—— (P + 4v) С7у«у6ар +

2 \ atat ) оJj2 \ atat ) оJj

2 \ atat ) оJj

2 \ atat ) оJj

+ }* (号)+ 2号像+昆眼斗

(3.29)

нияниярФ = pv2 + pU Н——^- р〃 +рФ = pv2 + pU Н——^- р〃 +Здесь потенциал Ф определяется с учетом соотноше

ния

ния

рФ = pv2 + pU Н——^- р〃 +

рФ = pv2 + pU Н——^- р〃 +

Переходя в выражениях (3.28) и (3.29) к нерелятивистскому пределу, получаем соответственно классиче-

叫陰+"s)〜阿TJ十v [ 4■(醬十察)一叫陰+"s)〜阿TJ十v [ 4■(醬十察)一ское уравнение теплопроводности и уравнения Навье — Стокса:

叫陰+"s)〜阿TJ十v [ 4■(醬十察)一

叫陰+"s)〜阿TJ十v [ 4■(醬十察)一

Уравнения движения (3.28) и (3.29) получены в схеме Эккарта.

Как уже отмечалось, уравнения движения вязкой теплопроводной жидкости в пост-ньютоповском приближении были получены также в работе [98], причем там за основу бралась релятивистская гидродинамика Ландау—Лифшица. Вообще говоря, в первом приближении обе схемы приводят к одинаковым результатам. Исследование областей, в которых проявляются различия схем Эккарта и Ландау—Лифшица, рассмотрены в работах [176,818].

Пост-ньютоновская магнитная гидродинамика

Магнитная гидродинамика в пост-ньютоновском приближении была получена в работе Гринберга [587].

Исходной системой уравнений являются выражения (3.1), (3.2) и уравнения Максвелла

Pihk + Fjk-ti + 尸就；j = о,(3.32)

尸^ = 4Л厶.(3.33)

В этом случае тензор заряженной проводящей жидкости в электромагнитном поле имеет вид

В уравнении (3.33) ток /' определяется релятивистским законом Ома:

Р= — Ре 〃‘ — ceFikuk9(3.35)

где ре ——локальная плотность заряда; ст — электропроводность.

Для получения магнитогидродинамического приближения следует положить

Fао=Еф 尸сф = "оф。Fао=Еф 尸сф = "оф。(3.36)(3.36)

Fао=Еф 尸сф = "оф。

Fао=Еф 尸сф = "оф。

(3.36)

(3.36)

Из соотношения (3.2) можно соответственно найти уравнение энергии и уравнения движения

(рс2 + рП +р)

叫条一叫J,

(3.37)

ds

仆需-圭鹏飓（3.38）

Из приведенных соотношений обычной процедурой можно получить [587] в магнитогидродинамическом приближении уравнения Максвелла

dt

(3.39)

=4冗 & + g ・E) + 号 I pe (十婶 + 3U)—

一前.卜巾

• VX - 5庆—巒E ] +

dt v2/

丄2

Я

V X

•加)制，

4n(E + u X 用十 dt

—Р^1 + 0r 巒 + и)(去 +^ X

Я) , (3.40)

урзвнение

переноса тепла

一备("叩+^3 + 6U)卜总{(VX用X

X(VuXЯ) + ；(V х h) •书 +

2or

+ 2jip3・(VX用——^ G・(vx用，，(3.41)

уравнения движения

Ф + *H + 4U + "十勻愕十

+ VP - P 1 + ^"(2"2+ " + *~^" )卜U -

一 2Р (号 -V^U^+ 十PV (3 .*"一纯)+

— + р—

c2 [ dt dt \ 2 丿」

-价.

4h \ e2 /4n巒

•(VX用]一汽瓦孑+八-二近X用一

一丁=(vx 云)x^+Xwux用 X 否=0. (3.42) 4nle22nle2

Здесь U = {I/a}, потенциал Ф определяется с учетом соот-

1Q1

ношения р0 = рМ + pU + — РП + — р + —Н2. Урав・ 228л

Ненне неразрывности по-прежнему имеет вид (3.21), (3.22).

& Зак. 89565

Переходя в уравнениях (3.40)——(3.42) к нерелятивистскому пределу, получаем классические уравнения Максвелла, уравнение теплопереноса и уравнения Эйлера магнитной гидродинамики:

V・E = 4л 值 + 8・ Е),

Ах"= 4ла (E + vxH)t

(3.43)(3.43)\ dt 丿 6л2а

(3.43)

(3.43)

at4 л

Пост-ньютоновская гидродинамикаскалярно-тензорной теории гравитации

Скалярно-тензорные теории могут объяснить целый ряд явлений в мире нестационарных и взаимодействующих галактик [24] и потому представляют несомненный интерес. В настоящее время они в известной степени конкурируют с теорией тяготения Эйнштейна [44]. Первой была создана скалярно-тензорная теория тяготения Иордана [681], развивающая идеи Дирака (1937 г.) о переменности гравитационного скаляра. Далее скалярно-тензорные теории были развиты Брансом — Дикке [396] и рядом авторов.

Гидродинамический подход к изучению этих теорий только начинается. В работе Нутку [875] была построена пост-ньютоновская гидродинамика в теории Бранса—— Дикке. Здесь, следуя работе [1001, будут приведены уравнения пост-ньютоновской гидродинамики в обобщенной теории Иордана, которая включает в себя как частные случаи пост-ньютоновскую гидродинамику в теории тяготения Эйнштейна и в теории тяготения Бранса —— Дикке, Отметим также, что наиболее общие уравнения гидродинамики должны выводиться из параметризованной пост-ньютоновской теории Вилла [1127].

Метод вывода уравнений и в этом случае остается Прежним. Уравнения тяготения Иордана имеют вид

——2工屮，拜,hW；论，

联ф

□屮 + (n — 1)屮嘤=q £丁 aq)TT・ (3.45)

Ф2 Зт)2 + 2о

Здесь(о, г, — константы теории; ф — скалярное поле.

По аналогии с предыдущим можно получить постньютоновское уравнение неразрывности

(3.46)(3.46)dp* I @(Р*%) 一 ndt 十 dxa -

(3.46)

(3.46)

гдегдер* = рр* = рУравненияУравненияшутся в видешутся в видепост-ньютоновской гидродинамики запипост-ньютоновской гидродинамики запи

где

где

р* = р

р* = р

Уравнения

Уравнения

шутся в виде

шутся в виде

пост-ньютоновской гидродинамики запи

пост-ньютоновской гидродинамики запи

—d(&a) I 。画№)д ГЛdt対д产L \—d(&a) I 。画№)д ГЛdt対д产L \т|2 + 2(о 2n2 +(от|2 + 2(о 2n2 +(о

—d(&a) I 。画№)д ГЛ

dt対д产L \

—d(&a) I 。画№)д ГЛ

dt対д产L \

т|2 + 2(о 2n2 +(о

т|2 + 2(о 2n2 +(о

Зт)2 + 4(о2т]2 +(оЗт)2 + 4(о2т]2 +(о

Зт)2 + 4(о

2т]2 +(о

Зт)2 + 4(о

2т]2 +(о

16т]2 + 4(о d% . 1 @зу

—!!p ———4о

成 2т]2 +(0 dt2c2dt2 dxа

6唄 + 4(0 dU§

d 2t]2 +(o "° 解

Здесь 6 определяется соотношением (3.20), а потенциал Ф* удовлетворяет уравнению (3.14) с учетом того, что

0，=92_±变“2+ 纪土_2”u +4n2 + 2(о4т)2 + 2(о

+丄"+fd土匣.丄.

24n2 + 2(op

На этом мы закончим изложение различных вариантов пост-ньютоновской гидродинамики и обратимся к слаборелятивистскому приближению в гидродинамике.

Слаборелятивистская гидродинамика

Как уже отмечалось, возможны различные приближения при построении гидродинамических уравнений. Если точные уравнения релятивистской гидродинамики инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца, то уравнения пост-ньютоновской гидродинамики инвариантны относительно пост-галилеевских преобразований [464], которые представляют собой группу, занимающую в некотором смысле промежуточное положение между группой преобразований Галилея и группой Лоренца.

Работы Стрельцова [245] и Гайды [119] посвящены так называемой приближенной лоренц-инвариантности, или, другими словами, слаборелятивистским преобразованиям, когда пренебрегают членами более высокого порядка, чем—.

掇

В частности, такого рода преобразования можно записать в виде [245]

%=（/+加/）（1十十俨），

VV(3.48)

V

V

₽

Остановимся на выводе уравнений слаборелятивистской гидродинамики, когда учитываются члены порядка — [ЮЗ]. При этом будем исходить из цепочки уравнений дЛя корреляционных функций слаборелятивистских систем с учетом запаздывания [102, 348]. Уравнение для унарной функции распределения системы заряженных частиц во внешнем гравитационном поле Ньютона выра- ясается

•写* + ^~V°『^~ J j V<h①izVpF2dpp2dg2—

-m^qtU\/PtFx ——J—v%U + Pi卩Pi •

/И2c2 ( L 2.

・ Vp『l + Pl • 6Vg“ +Vpi^2* ｛子 Al — (Pl ”41 +

—~~ P1V<71 + P1P1* V<7i—~~ P1V<71 + P1P1* V<7i2（T・為0）尸2對2如2 一2（T・為0）尸2對2如2 一dq/Pz +dq/Pz +[(v% ① 23。[(v% ① 23。+ PzXqz + 加3% + 呷戒1 • V〃)VpJ %2 —

—~~ P1V<71 + P1P1* V<7i

—~~ P1V<71 + P1P1* V<7i

2（T・為0）尸2對2如2 一

2（T・為0）尸2對2如2 一

dq/Pz +

dq/Pz +

[(v% ① 23。

[(v% ① 23。

• VpNp312)• V〃 + (%色2 • %Np313)• V% +

+ (vgi3・ V%%2匕3)• VpJF〃％dp2dg3dpз| •©49)

Здесь F8—s-частичная функция распределения;①订(厂订)— потенциал взаимодействия заряженных частиц; Тп(г^, рь Р» — потенциал, связанный с учетом запаздывания; %, pf— координата и импульс частицы; % = % — %；加一масса покоя частицы; и =——;V, N — объем и число частиц.

Среднее значение некоторой физической величины ф (д, р, /) °пределим

十f叫%,(3.50)十f叫%,(3.50)J 屮尸i(% P，PdVp

十f叫%,(3.50)

十f叫%,(3.50)

〈屮(％ P, 9〉=—77—

J 尸 1(/ P，0 dVp Rp

где Qp —область интегрирования; dVp = (1 + -^—J*) Xxdp — элемент объема в искривленном импульсном прост-где Qp —область интегрирования; dVp = (1 + -^—J*) Xxdp — элемент объема в искривленном импульсном прост-ранстве; п(^, 0 — плотность числа частиц, а плотность вещества определяется как р = тп. Определим плотность частицы сплошной среды, движущейся со скоростью 〃(д, /), как

где Qp —область интегрирования; dVp = (1 + -^—J*) Xxdp — элемент объема в искривленном импульсном прост-

где Qp —область интегрирования; dVp = (1 + -^—J*) Xxdp — элемент объема в искривленном импульсном прост-

Р = Р° (1 + Т • • (3・51)

Здесь р0 — плотность в сопутствующей системе, а гидродинамическая скорость 〃(％ f) по определению равна

浓";(3.52)

Умножая соотношение (3.49) на ф и интегрируя по Qp, получаем уравнение переноса величины〈屮 $ :

dt\m I

=%〈包一 +人.生〉一dt m0%

-нп (V〃屮・v%① 12)F2dVPidVP2dq2 —

^" J jj 屮(V<n ①12・Vp J —g) X

x Fzdpqpzdq? + 加 J V^ U •(屮V% M二i +

++Vg〃 + %・Vg№iVg〃 + %・Vg№i尸 2Vpe尸 2Vpe-(凸• V<h + 02 • V% + mW依(① 12 +-(凸• V<h + 02 • V% + mW依(① 12 ++ %严)尸屈匕％*(P〈 q)6% • J. +

+

+

Vg〃 + %・Vg№i

Vg〃 + %・Vg№i

尸 2Vpe

尸 2Vpe

-(凸• V<h + 02 • V% + mW依(① 12 +

-(凸• V<h + 02 • V% + mW依(① 12 +

x dprdp2dq2 + ^~ f jjjf ｛［旧尸23 •x dprdp2dq2 + ^~ f jjjf ｛［旧尸23 •

x dprdp2dq2 + ^~ f jjjf ｛［旧尸23 •

x dprdp2dq2 + ^~ f jjjf ｛［旧尸23 •

• \7pNpM -Vp, + (Vg0i2 • %№力屮13)Vq +

+句皿3”№)323)“2］屮｝f3如朗2/2如3叫.(3.53)

Полагая в (3.53)屮=m запишем уравнение неразрыв- 1ЮСТН

—h V<7i(Р〃)= %，(3.54)

где источник массы % имеет чисто релятивистское проис хождение:

Ор = — ? J JJ ^/я^\рУ^ 尸2如1如2對2 +

+ 加2f (%〃• Wi 丿二"^ &dPi —十卜pm〃・V%U +

++PrV^i2F2dpidp2dq2 +PrV^i2F2dpidp2dq2 +

+

+

PrV^i2F2dpidp2dq2 +

PrV^i2F2dpidp2dq2 +

+ * J j『V“％312尸2如山幽2・(3.55)

Подставив теперь в (3.53) 屮=内一m〃，после некоторых преобразований нетрудно получить уравнения гидродинамики в слаборелятивистском приближении

р勺= v・r+pQ・р勺= v・r+pQ・(3.56)(3.56)

р勺= v・r+pQ・

р勺= v・r+pQ・

(3.56)

(3.56)

Здесь тензор напряжений имеет вид

Тн —р <

-击 JJ『VR2Ad力 3-

—~^T j『『(° — m“)伍色2-Vpx /二i)F2dprdp2dr +

++卜券.!1tH"4(仇 f)%+m %/%+

+ 〃U)“2+ 〃U)“2^内 V% + PiPi・V% ①/x^内 V% + PiPi・V% ①/x

+ 〃U)“2

+ 〃U)“2

^内 V% + PiPi・V% ①/x

^内 V% + PiPi・V% ①/x

X F^p^dr + 击 j J J 厂(P — m〃) [} V% ・ V内屮 12 ++ 7% • V%F^dp^dr —

г®①23"2)%[屮12]Xг®①23"2)%[屮12]XX F0P]dp2dq2dp3dqe ,X F0P]dp2dq2dp3dqe ,(3.57)(3.57)

г®①23"2)%[屮12]X

г®①23"2)%[屮12]X

X F0P]dp2dq2dp3dqe ,

X F0P]dp2dq2dp3dqe ,

(3.57)

(3.57)

источник импульса записывается как

pQ = Zq,U + р〈(pi — mu)M,U・RpVm)〉+

/И2c22

一^^ jjj 匾①12 + 81-m矶Vgd2 V…MR] xX F2dVP1dVPidr-Li个Ш""‘①田"‘/耳хX F2dP1dp2drj . V^u + + {—十 j J J E Rl

—((% — P2) V% + 加廿依(① 12 + mU) • % J) Vpx]屮12 —

—[—pjV^i + P1P1 • Va ①12 + (Pl — m〃)x

X ^yV^-Vpi 屮12 + 7凸• 5色2 ]J F2dprdp2dr —

-[击 j j,[T V<h"312 + 7/\.日]屮12] X

X F^dp^r wm —X F^dp^r wm —(vA-v^Vpt^n) x(vA-v^Vpt^n) xX F範p1dp2”dq3dpз\ .X F範p1dp2”dq3dpз\ .(3.58)(3.58)

X F^dp^r wm —

X F^dp^r wm —

(vA-v^Vpt^n) x

(vA-v^Vpt^n) x

X F範p1dp2”dq3dpз\ .

X F範p1dp2”dq3dpз\ .

(3.58)

(3.58)

Наряду с законами сохранения массы и импульса можно получить закон сохранения энергии (в частности, уравнение теплопроводности).

Слаборелятивистские уравнения неразрывности и гидродинамики содержат особенности, связанные с двумя группами релятивистских эффектов: с одной стороны, нелагранжевостью сил взаимодействия, обусловленной как непосредственно релятивистским характером динамики, так и учетом запаздывающего характера взаимодействия, а с другой стороны, искривленностью импульсного пространства.

В частности, релятивистские эффекты приводят к отличающейся от «классической» форме закона сохранения момента импульса поступательного движения сплошной среды. В феноменологических теориях эта особенность, по-видимому, ускользала из поля зрения.

Некоторые приложения пост-ньютоновскойгидродинамики

Пост-ньютоновское приближение гидродинамики привело к ряду важных интересных результатов. Укажем на некоторые из них.

Чандрасекаром [459] были исследованы условия, при которых возникают релятивистские динамические неустойчивости при радиальных и нерадиальных колеба- ннях для небесных объектов, размеры которых сравнимы с их гравитационным радиусом. На основании анализа ^ост-ньютоновского приближения магнитной гидродинамики Седракян [1006] указал возможный механизм воз-

никновения сильных магнитных полей в атмосферах объектов типа нейтронных звезд и пульсаров. В работе Дайсона [528] была высказана идея об усилении роли конвекции в объектах типа нейтронных звезд. Эта идея была полностью подтверждена в работе [1144] путем анализа пост-ньютоновских уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости. Усиление конвективного движения в телах с большим гравитационным потенциалом может приводить к выбросу значительного количества вещества из массивного тела и как следствие к предотвращению коллапса. Выброс заряженного вещества в атмосферу нейтронной звезды приводит к одному из возможных механизмов происхождения электромагнитного излучения пульсаров. Пост-ньютоновская гидродинамика в приближении—, развитая в работе [465], позволя- 炉

ет исследовать гравитационное излучение небесных тел, интерес к которому сильно возрос после экспериментальных работ Вебера.

В работе [100] было указано на возможность проверки космологической теории Иордана—Бранса—Дикке путем изучения распространения акустических колебаний. Можно также проверить теорию тяготения Эйнштейна при помощи учения Куэтта в земных условиях [99].

В связи с тем что по современным воззрениям нейтронная звезда состоит из сверхтекучего сверхпроводящего ядра [5] с внешней кристаллической оболочкой, очень насущными являются вопросы изучения сверхтекучей и сверхпроводящей жидкости в пост-ньютоновской гидродинамике, а также изучение кристаллического состояния вещества.

Глава IV

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

В этой главе будут приведены известные в литературе точные решения уравнений термомеханики. Решения этих уравнений в общерелятивистской гидродинамике, т. е. точные решения уравнений тяготения Эйнштейна, за исключением последнего параграфа, здесь рассматриваться не будут, так как им посвящены монографии Петрова [1157], Ландау и Лифшица [15] и других авторов. Напомним также, что решения уравнений ОТО с учетом диссипативных процессов рассматривались в работах Айтмурзаева [87—89] и Штрёбеля [1022].

Все решения уравнений гидродинамики в СТО условно поделены на одномерные, ударные и звуковые волны и прочие решения.

Одномерные решения

Одной из первых работ, посвященных решению одномерных уравнений релятивистской гидродинамики, была работа Халатникова [255]. Укажем также на работы Станюковича [225—230] по ультрарелятивистскому газу, Скрипкина [223], Джонсона и Мак Ки [679], Елтгра- фа [537]. На первом этапе поиски точных одномерных решений стимулировались гидродинамической теорией множественного образования частиц. Затем эти решения привлекали к себе внимание с целью анализа механизма образования космических лучей при вспышках сверхновых звезд [498].

Основные уравнения для одномерного случая в пренебрежении диссипативными процессами получаются

путем приравнивания нулю 4-дивергенции ТЭИ 679]:

[537,(4.1)[537,(4.1)(4・2)(4・2)Уравнение сохраненияУравнение сохраненияплотности числа частицплотности числа частицзаписы-записы-вается каквается какд г 呻/[ (1一阳1/2д г 呻/[ (1一阳1/2det [ (1—P2)1/2det [ (1—P2)1/2(4.3)(4.3)дх I 1—俨det [ 1 —Р2 J ，

[537,

(4.1)

[537,

(4.1)

(4・2)

(4・2)

Уравнение сохранения

Уравнение сохранения

плотности числа частиц

плотности числа частиц

записы-

записы-

вается как

вается как

д г 呻

/[ (1一阳1/2

д г 呻

/[ (1一阳1/2

det [ (1—P2)1/2

det [ (1—P2)1/2

(4.3)

(4.3)

Здесь p — давление; e — собственная плотность энергии; 0с — гидродинамическая скорость; п — собственная плотность числа частиц.

Используя теорию подобия [537], введем автомодельную переменную 自 и перепишем систему уравнений (4.1) — (4.3) в виде

成(1-Р2丿十⑸d& L 1 一俨」成(1-Р2丿十⑸d& L 1 一俨」d ГР(р + е)"尚 L 1-P2 .d ГР(р + е)"尚 L 1-P2 .+尸阳+尸阳d /俨 P + e'\d自 3一俨丿d /俨 P + e'\d自 3一俨丿О,О,理［(1一阳1/2］十0題［(1一俨产2理［(1一阳1/2］十0題［(1一俨产2причемпричем奥 IdctдЦдх奥 IdctдЦдх(4.4)(4.5)(4.6)(4.4)(4.5)(4.6)(4.7)(4.7)

成(1-Р2丿十⑸d& L 1 一俨」

成(1-Р2丿十⑸d& L 1 一俨」

d ГР(р + е)"尚 L 1-P2 .

d ГР(р + е)"尚 L 1-P2 .

+尸阳

+尸阳

d /俨 P + e'\d自 3一俨丿

d /俨 P + e'\d自 3一俨丿

О,

О,

理［(1一阳1/2］十0題［(1一俨产2

理［(1一阳1/2］十0題［(1一俨产2

причем

причем

奥 IdctдЦдх

奥 IdctдЦдх

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.7)

Поскольку функция F(W) произвольна, а р есть функция 自,то можно положить g = p・ Теперь для решения системы (4.4) — (4.7) необходимо еще записать уравнение состояния.

Если рассмотреть уравнение состояния ультрареля- тивистского или фотонного газа

Р=年，(4.8)

то (4.4) и (4.5) преобразуются к следующемуто (4.4) и (4.5) преобразуются к следующемуCOOTHO'COOTHO'皿енню между величинами皿енню между величинамие(1+Р2/3)；1 一俨.е(1+Р2/3)；1 一俨.е и р:d [8(1/3+ Р2)]_е и р:d [8(1/3+ Р2)]_dP L 1-Р2408]]2dP L 1-Р2408]]2[dp 3(1一俨)которое можно переписать в виде[dp 3(1一俨)которое можно переписать в виде16825"・(1 一俨)216825"・(1 一俨)2(4.10)(4.10)Решением уравнения (4.10) будетРешением уравнения (4.10) будет£ = %£ = %1 + pl-р丿1 + pl-р丿(4.11>(4.11>

то (4.4) и (4.5) преобразуются к следующему

то (4.4) и (4.5) преобразуются к следующему

COOTHO'

COOTHO'

皿енню между величинами

皿енню между величинами

е(1+Р2/3)；

1 一俨.

е(1+Р2/3)；

1 一俨.

е и р:

d [8(1/3+ Р2)]_

е и р:

d [8(1/3+ Р2)]_

dP L 1-Р2

408]]2

dP L 1-Р2

408]]2

[dp 3(1一俨)

которое можно переписать в виде

[dp 3(1一俨)

которое можно переписать в виде

1682

5"・(1 一俨)2

1682

5"・(1 一俨)2

(4.10)

(4.10)

Решением уравнения (4.10) будет

Решением уравнения (4.10) будет

£ = %

£ = %

1 + p

l-р丿

1 + p

l-р丿

(4.11>

(4.11>

Отсюда можно получить —

(4.12)

Общее решение уравнения (4.7) при замене g на р задается соотношением

х = G[F(P)] —rfF(P).х = G[F(P)] —rfF(P).(4.13)(4.13)

х = G[F(P)] —rfF(P).

х = G[F(P)] —rfF(P).

(4.13)

(4.13)

Здесь G(F) —произвольная функция, которая выбирается исходя из физической постановки задачи. Приведенные соотношения могут быть получены методом характеристик [679].

р = ~^~ 佃—пт^*р = ~^~ 佃—пт^*(4.14)(4.14)Аналогичным образом можно рассмотреть уравнение состояния вида

р = ~^~ 佃—пт^*

р = ~^~ 佃—пт^*

(4.14)

(4.14)

В этом случае, выбирая в качестве независимых пере

Менных р и м и вводя обозначение д=, уравнения тс? м

(4.4) — (4.7) можно привести к виду

[俨+ (1+3阳 g]g d f

1 d₽ I

口+（3 +俨）g几

1一俨

1—P2

卜

(4.15)(4.15)(4.16)(4.16)河 玖 /河 玖 /(4.17)(4.17)

(4.15)

(4.15)

(4.16)

(4.16)

河 玖 /

河 玖 /

(4.17)

(4.17)

I d rgn(l+4^)-|^

1一俨小

d ][俨+ (1+3俨)g]九 I d Г n坤 I 1 一俨/ d₽ I (l-p2)1/2

d ГРм(1+4д)1 d Г ₽n

¥ L 1 一俨 J "¥ L(1一阳1/2

Подробный анализ системы уравнений (4.15) — (4.16) приводится в работе [537].

В работах Халатникова [255] и Станюковича [225— 230] задача о точных одномерных движениях ультраре- лятивистского газа сводилась к решению уравнения Римана относительно потенциала %

Здесь величины у = In Т; 〃 = shr)； Т — температура.

Ударные волны

Изучение ударных волн в релятивистской гидродинамике началось с появления классической работы Тауба [1057]. Впоследствии этой теме было посвящено большое количество исследований, как например работы Халатникова, Станюковича, Елтграфа, а также Мак Ки и Колгейта [845], Торна [1074]. В трудах Станюковича [1, 225], Ахиезера, Половина [94], Лихнеровича [66, 781—785] и других авторов изучались релятивистские ударные волны в магнитной гидродинамике. Ударные волны в ОТО исследовались в работах Скрипкина [217], Папапетру и Тредера [890], Седова [214] и др.

Запишем уравнения Рэнкина — Гюгонио для ударной волны [1057]. Уравнения движения выразятся в виде

(4.18)(4.19)(4.18)(4.19)(Р〃‘), i =。，d = о,

(4.18)

(4.19)

(4.18)

(4.19)

где ТЭИ идеальной жидкости

Tik = “ре?办小 _|_ pg注,Tik = “ре?办小 _|_ pg注,(4.20)(4.20)・80L1 +支+下・80L1 +支+下

Tik = “ре?办小 _|_ pg注,

Tik = “ре?办小 _|_ pg注,

(4.20)

(4.20)

・80

L1 +支+下

・80

L1 +支+下

Пусть Пг— нормаль к поверхности разрыва S, тогда из законов сохранения (4.18), (4.19) можно получить соотношения для скачков

[р〃4% = 0, (4.21)

[宀=0，(4.22)

т. е. [f] =3—,2, где значками 1 и 2 обозначены значения функции / соответственно до и после поверхности разрыва.

Выбирая систему координат так, чтобы 几力=6；, получаем из соотношений (4.21) и (4.22)

РМРМР2〃2Р2〃2(1 一硝]/2 - (1 一磅 1/2 -加e2卩1mc^ii2(1_通 и2 = Q _〃犷爲，(1 一硝]/2 - (1 一磅 1/2 -加e2卩1mc^ii2(1_通 и2 = Q _〃犷爲，тс^^тс^^(1—册2(1—册2侬2卩网侬2卩网Уравнение (4.25) можно переписать в видеУравнение (4.25) можно переписать в видеm2c2m2c2厂广％ —P2・厂广％ —P2・Из (4.24) и (4.25) получаемИз (4.24) и (4.25) получаемm2c2 俯一闻=病（%_%）（_^_m2c2 俯一闻=病（%_%）（_^_+上P2+上P2(4.23)(4.24)(4.25)(4.26)(4.27)(4.23)(4.24)(4.25)(4.26)(4.27)

РМ

РМ

Р2〃2

Р2〃2

(1 一硝]/2 - (1 一磅 1/2 -加e2卩1mc^ii2

(1_通 и2 = Q _〃犷爲，

(1 一硝]/2 - (1 一磅 1/2 -加e2卩1mc^ii2

(1_通 и2 = Q _〃犷爲，

тс^^

тс^^

(1—册2

(1—册2

侬2卩网

侬2卩网

Уравнение (4.25) можно переписать в виде

Уравнение (4.25) можно переписать в виде

m2c2

m2c2

厂广％ —P2・

厂广％ —P2・

Из (4.24) и (4.25) получаем

Из (4.24) и (4.25) получаем

m2c2 俯一闻=病（%_%）（_^_

m2c2 俯一闻=病（%_%）（_^_

+上

P2

+上

P2

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

Соотношения (4.23), (4.26) и (4.27) представляют собой релятивистские уравнения Рэнкина ——Гюгонио. Перехо- 口兄 в этих соотношениях к нерелятивистскому пределу, Можно получить выражения для классической ударной аДиабаты.

Рассмотрим теперь, следуя работам Лихнеровича [781—788], ударные волны в релятивистской магнитной гидродинамике.

Из уравнений магнитной релятивистской гидродинамики (см. параграф 7 гл. II) можнополучить систему

уравнений, описывающих ударные волны:

卜办]п. = 0,(4.28)

[叫也=0,(4.29)

[济胪—〃%叮%(=0.(4.30)

Из соотношений (4.28) — (4.30) следуют инвариантности скаляра

a = Q "切 i =广2"他(4.31)

и векторов

Н = т)М —乌-М = %忌-—忌， (4.32)

Wl = а I — + 卩 加?")厶〃;——%” ——|лт)1/ =

］厶抬-%献-卩%原］厶抬-%献-卩%原(4.33)(4.33)

］厶抬-%献-卩%原

］厶抬-%献-卩%原

(4.33)

(4.33)

Здесь использованы обозначения

g=冬十:卩1川2, r)=力/广

Рассмотрим теперь случай тангенциальной ударной волны, когда а = 0・ Тогда имеем при 厶片0 и г2=й=0

%片=%〃；，(4.34)

(% %) ” -卜 N (П2H — Л1^1)=。・(4.35)

Если п 片 0, то % = 士 ％ 必=土〃； и, следовательно,

[办]=0.(4.36)

При т)2 =刀1 имеем из (4.35) выражение для скачка [д]=0・ Непосредственно получаем

仲]=0, [р] = 0,(4.37)

а скачок величины г остается неопределенным.

Если n = °, то получаем из (4.34) % = 0 я в этом случае имеем

"；％ =%;仰=0,九;％ =九;％ = 0,

£~ + ~~ И 时=。，(4・38)

а скачки остальных величин не определены.

Таким же образом исследуется случай нетангенциальной ударной волны [66].

Выпишем теперь систему уравнений для исследования ударных волн в релятивисткой электрогидродинамике [105]. Эта система имеет вид

(4.39)(4.40)(4.41)(4.39)(4.40)(4.41)[rul] ni = 0,n% = 0,

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.39)

(4.40)

(4.41)

Me也—冰a] n.=—时

где ah—4-плотность тока на поверхности разрыва.

Укажем также, что звуковые волны в релятивистской гидродинамике рассматривались в работах Халатникова [255], Станюковича [1, 237], Жумартбаева [145] и других авторов.

В одномерном случае уравнение для распространения звука следует из уравнений (4.1) и (4.2):

/% I 1—02/% I 1—02-鳥(導)"(4.42)-鳥(導)"(4.42)

/% I 1—02

/% I 1—02

-鳥(導)"(4.42)

-鳥(導)"(4.42)

При малой амплитуде звуковой волны можно считать,

что 俨《1 и тогда

(4.43)(4.43)д2р 152е

(4.43)

(4.43)

0尤2 e20产

Другие решения

Работ, посвященных точным решениям уравнений релятивистской гидродинамики для двух- и трехмерного случаев, гораздо меньше, чем для одномерного случая, что, конечно, обусловлено трудностью задачи. В этой

81816. Зак. 895

81

81

области следует отметить работы Франкля [251, 252] по потенциальным движениям. Автомодельные движения исследовались Станюковичем и его сотрудниками [229, 240, 243, 244], Скрипкиным [222] и др., а нелинейные релятивистские волны изучались Сибгатуллиным [216]. Точные решения даны в работах Перрена [903], Паскуа [893], Елтграфа [538], Чиу [477]. Жумартбаев [146] провел групповую классификацию и нашел полный набор инвариантных решений уравнений адиабатического движения среды в релятивистской гидродинамике. Целый ряд точных решений (течение Прандтля—Майера, осесимметричные автомодельные движения и т. д.) приведен в [23]. Некоторые плоские решения релятивистских уравнений Навье ——Стокса были найдены Кантони [428]. Отметим также работу Шикина [278], в которой показана возможность сведения стационарных уравнений релятивистской гидродинамики идеального газа к уравнениям, описывающим нерелятивистское движение некоторого газа. Это, с одной стороны, позволяет легко обобщать нерелятивистские уравнения движения на случай СТО (см., например, [104]), а с другой стороны, позволяет переводить известные точные решения нерелятивистской гидродинамики в решения уравнений релятивистской гидродинамики. Последнему вопросу посвящена и работа Горского [126].

Приведем теперь некоторые точные решения. Релятивистские уравнения движения жидкости с уравнением состояния р = р(е, п) можно записать в виде [538] 3(后产)+(节一嗑(7iS严卜°' Сm)

上+(产尸包(也土也)=0, (4.45) 1一俨丿dr V 1一器丿7丿 а /Р(Р+ 叫,А- /(Р +俨e"v )=空 м〈1 一俨丿「L dr \1 一俨 丿一厂•

(4.46)

Здесь обозначения такие же, как и в первом параграфе этой главы. Индекс v указывает на свойства симметрии потока. Если v=0, то течение плоскопараллельное и г является координатой в направлении потока. Если v= 1,

то поток обладает цилиндрической симметрией и г — расстояние от оси симметрии. Если v=2, то поток имеет сферическую симметрию и г — расстояние от точки симметрии.

Вводя новые переменные 几1 = nr、, ех = erv и рх = prv , уравнения (4.44)—(4.46) можно записать так:

依7)

3(号卜亲卄"…)

d ( P(% +明 _pj_ / Pi + P2^i \ = vPi (449) def I 1 一俨丿“ (l—p2丿 厂•

Ограничиваясь уравнением состояния ультрарелятивист- ской жидкости

Р =三、(4.50)

из приведенных соотношений можно получить два уравнения относительно ei и р как функций г и t:

det \ 1一乎 Г дг \3 1一乎丿' (4.51)

det〈 3 If 厂

,a〜

1 dr [1-俨 丿 3 厂

Уравнения (4.51) и (4.52) могут быть решены методами теории подобия. Случай v=0 был уже исследован в параграфе 1. Случаи v= 1, v=2 можно исследовать аналогичным образом [538].

Покажем теперь, что один класс точных решений Уравнений в частных производных релятивистской гидродинамики может быть найден путем сведения их к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [903].

出(山)=0,

/V "淤—(gik -办"々)0/ = 0,

(4.53)

(4.54)

при этом выполняются соотношения Tik = C^rfu1^ — pg% rTds = c^rdf — dp,

(4.55)

где f = 1 + i/c?, i — энтальпия; r — собственная среды.

плотность

Предположим, что 〃' н s есть функции только 厶 т. е. 歩=办价，s = s(f). Тогда имеем

s'u^i f — 0,

(4.56)

r'fu^J + rufidtf = 0,

(4.57)

也BJ"'々—(gik —加冰)dj 二: 0.

Здесь штрих означает производную по Д Из уравнения (4.56) вытекает

(4.58)

办 0J = 0.

(4.59)

Тогда имеем, согласно (4.56), что либо f = const, либо b=0.

Рассмотрим последний случай. Уравнения (4.58) приводят к соотношению

(4.57) и

(，-1)(〃@f)2 + g^fdj = 0.

Полагая

(4.60)

и вводя функцию

(4.61)

"= ^也法+（屮一1）办/］协力,

(4.62)

Уравнения релятивистской гидродинамики Лихнеровича в случае изэнтропического 歩&s=0 могут быть записаны как

в форме движенияв форме движения

в форме движения

в форме движения

мо*но записать систему дифференциальных уравнений для семейства характеристик, связанную с уравнением (4.60):

—吻 оду30/

которая легко интегрируется.

=翳=山,(4.63) °%з

Рассмотрим теперь решения релятивистских уравнений Навье — Стокса [428]. Исходными являются уравнения схемы Эккарта

Vi (九〃')=0,(4.64)

口 7订=0,(4.65)

где

7" = wu^ -]- ps" + — S〃j + 〃守)一pt*(4.66)

s〃 = gfj + 〃勿 j,(4.67)

го•

pH =履 s%〃 (％〃/ + &〃h)———s"s*/ дкщ .(4.68)

Исследуем задачу о движении вязкой теплопроводной жидкости между двумя пластинами, одна из которых неподвижна, а вторая движется со скоростью и параллельно оси %=/. Расстояние между пластинами равно /. Пусть все величины не зависят от z=x3 и жидкость движется параллельно оси x(u2=u3=0). Ограничимся стационарным случаем, когда dtu = 0, и будем считать, что скорость не зависит от %, т. е. 〃' = 〃'(у).

Вначале разберем случай несжимаемой жидкости при отсутствии тепловых эффектов (夕= 0). Тогда уравнение (4.64) выполняется тождественно, а уравнения (4.65) приводят к системе

(〃工)2。涇 + 〃1〃4 @評=с% {九[("4)2 &% + 〃1〃4 %〃/}, (4.69)

uV "5 + ("4)20逑=也{九[(w1)2 %"4 + "1"4%"1]}. (4.70) Зта система после несложных преобразований сводится к уравнению для скорости 〃=〃】：

(4.71)(4.71)d2“= 0

(4.71)

(4.71)

dy 1 + u2 \dy ]'

которое имеет общее решение

и= sin А (аг/ + Р).(4.72)

Константы а и р в выражении (4.72) определяются из граничных условий: скорость равна нулю при у = 0 н равна V при у=/. После определения скорости и можно найти распределение плотности.

Рассмотрим теперь движение стационарной сжимаемой теплопроводной жидкости. Пусть все величины не зависят от / и хь тепловой поток параллелен оси у (д〔 = = g2=g4=o)и давление р=р(ш, м).

Тогда уравнение неразрывности выполняется то ж дественно, а уравнения движения сводятся к системе

а0 二生生十也_色=0,(4.73)

dw ду дп ду

为 (g2歩)=也｛九[(u4)2 %"1 + "I"4 &"/｝，(474)

。2 (，2"4) = e% ｛九[("1)202"4 + "1"4d2"1]｝・(4.75)

Из двух последних соотношений получаем

夕2〃1 =以[("4)2 &〃 1 + 〃1〃4 &〃/ 十 4(4.76)

g2” =认[("I)? %% + 〃1〃4 &%] + В,(4.77)

где Л и В ——постоянные интегрирования.

Из (4.77) следует уравнение

——д^и — а= О, 1 + 〃2yi + и2

где

= 〃； а=; 匕=

Если тепловой поток таков, что 5 = 0, то уравнение (4.78) сразу же интегрируется:

〃 = tgQiy.(4.79)

В общем случае решение для скорости задается выражением [428]

“ =]/TTF(tgay+P-P/l + tg^/ 80)

1 —Btgay' I •

где постоянные а и 0 определяются из граничных условий.

Космологическая модель вязкой жидкости

В последнее время появилась серия работ по использованию модели вязкой теплопроводной жидкости в космологии. В работе Климека [705] изучена возможность устранения особенностей в космологических моделях Фридмана путем учета внутреннего трения материи. Для этого в ТЭИ материи вводятся члены, содержащие эффекты вязкости.

В работе Неугебауэра и Штрёбеля [868] решаются уравнения тяготения Эйнштейна с метрикой Фридмана для уравнений состояния р = ^е с учетом вязкости и делается вывод о том, что циклы сжатия и расширения Вселенной становятся асимметричными. Большие исследования по выяснению роли вязкости в расширяющихся моделях выполнены Вейнбергом [1121] и Найтингейлом [871].

Рассмотрим влияние объемной вязкости на механизм расширения Вселенной [963]. Из уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости в схеме Ландау—Лифшица можно записать уравнение для потока энтропии:

口加一(卩/7)河；I =

= -^^/Т)^-^/Т)^к.(4.81)

Напомним, что тензор xik имеет вид

Gk = — П [〃и； » + 〃(i 珠)；е阳—

/2 、

—好П J %(gik + UiUh)^

где，

三 4h + 4u・

Рассмотрим однородную изотропную расширяющуюся модель Вселенной с метрикой вида

ds2 =山 2 +。2(° (d 炉 + dy2 + dz2)・(4.82)

Тогда уравнение (4.81) запишется

(歩0)，/炉=(%/7)(0，/0)2,(4.83)

где штрих означает производную по времени t.

Из уравнений движения © учетом 侬= е + р можно получить уравнение для внутренней энергии е:

(炉*/炉 + зр @/q)= 9 貝 а，/。)?.(4.84)

С другой стороны, из уравнений тяготения Эйнштейна вытекает

3@/а) = хе,(4.85)

6q"/q = — х (е + Зр) + 9 延 a7a.(4.86)

Из уравнения (4.86) следует, что вторая вязкость 宫 приводит к возрастанию скорости расширения Вселенной.

Законы сохранения энергии и момента системы в ОТО с учетом гравитационного поля записываются как

［厂二7(а +纱)М = о,(4.87)

где tik — псевдотензор гравитационного поля.

В расширяющейся Вселенной уравнение (4.87) сводится к соотношению

(步卅)，=_他*，(4.88)

которое вместе с уравнением (4.84) означает, что энергия гравитационного поля благодаря второй вязкости превращается во внутреннюю энергию материи.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРОБЛЕМА ИЗМЕРЕНИЙВ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕРМОМЕХАНИКЕ

В соответствии с работами А. Е. Левашева с сотрудниками изложим проблему теории измерений в релятивистской физике, когда необычайно расширяется диапазон измерений физических величин (большие скорости, сильные поля, низкие и высокие температуры и т. д.). Это весьма усложняет задачу измерения, поскольку при- врдит к необходимости учета влияния на эталоны различных дополнительных факторов (ускорений, температур и т. д.) [1185].

Э. Картан [1186] указал на возникшую в ОТО необходимость интерпретировать посредством неоднородной вселенной результаты экспериментов, приведенных в предположении ее однородности. В настоящее время в связи с чрезвычайным расширением масштабов исследований процессов в экстремальных условиях проблема Картана стала особо актуальной и вышла далеко за рамки ОТО.

Как известно [1187], процесс измерения состоит в сравнении путем физического эксперимента данной величины с некоторым ее эталонным значением, принятым за единицу сравнения. Отсюда основное уравнение теории измерения записывается как

Q = 2, (1)

где Q — измеряемая величина; U — единица измерения; g — числовое значение измеряемой величины в принятой единице.

Можно показать [1188], что совокупность физических величин образует одномерное векторное (линейное) пространство с аксиомами равенства, рефлективности, симметричности, транзитивности и с выполнением теоремы Дезарга.

Обычно в уравнениях, описывающих физические процессы, понимаются сами физические величины Q. При

этом, однако, предполагается неизменность эталона (G) или, иначе, базиса измеряемой величины. Однако постоянство этого базиса ниоткуда не следует при широком увеличении диапазона измеряемой величины. Более того, как хорошо известно, в ОТО масштабы (базисы) пространства и времени различны в разных точках гравитационного поля, и мы приходим, таким образом, к полю переменного базиса.

Последовательное рассмотрение, явлений переноса в поле переменного базиса требует привлечения тетрадного метода описания. При этом возникает понятие локальной окрестности физической величины, в которой уравнения поля линейны и тем самым удовлетворяют принципу суперпозиции. Уравнения поля и уравнения движения заданы с точностью до конечных преобразований Лоренца с постоянными коэффициентами [1190].

Таким образом, необходимо учитывать наряду с изменением самой физической величины также изменение ее базиса.

Перейдем к тетрадной формулировке физических уравнений [1189—1191]. В каждой точке пространства — времени вводятся два базиса (две тетрады). Одна определяется выбранной координатной системой, поскольку целесообразно сохранить координатный метод как практически весьма полезный. Вторая тетрада выражает базис изучаемой физической величины. Связь между обоими типами реперов вводится обобщенными коэффициентами Ламе:

旅Ff， ⑵

определяемыми как скалярное произведение координатного и физического базисов. Тогда физический вектор при разложении по координатному базису представляется в виде

и" ==成％ (по 卩 не суммировать). (3)

Запишем обобщенное уравнение линейной связности [1191]

6/ = Z^v ец出宀+广3产d炉，(4)

々 ks k s ks k s

где коэффициенты связности 『々~ и 广2V относятся к базис-

ннм векторам, соответственно координатному и физическо- му・ Коэффициент 广脑 совпадает, например, при необходимости учета температурных влияний на физические величины с температурным коэффициентом расширения а [1185].

Можно показать [1191], что коэффициенты связности принимают вид

小=一6也+ 明产一e",+ 8入%3],(5>

kssskks

где векторы % и 77VH тривектор “w суть физические s kks

величины, определяющие изменения физического базисного вектора — аналоги коэффициента расширения а;。卩~ — фундаментальный тензор используемой координатной системы. Физические величины fr и 匕…】характеризуют лоренцева s ks

шестипараметрическое (гиперболическое и круговое) вращение физической тетрады при инфинитезимальном смещении dx* величина П、— ее деформацию. Следовательно, физи- ческие величины 片，〃卩 и Vp^v] полностью характеризуют s k ks

диссимметрию окрестности точки.

Если рассмотреть уравнение геодезической, то вектор fr представляет собой плотность силы некоторого поля, тривектор V(X|liv] приводит, в частности, к кориолисовой силе инерции, а вектор 77V выражает деформацию базисных

векторов

е° = е° ехр (— J 〃皿)，С = е1 ехр (— f 77皿) (6) О 00111

и, следовательно, например, в гравитационном поле сферической симметрии

Это и приводит к известным трем эффектам ОТО.

Наличие величин /и, 〃卩 и 匕九炉】обусловливает неголо- 々 ks

номность локальных базисных векторов (физических тетрад): при квазипараллельном перенесении тетрады по замкнутому пути она, вообще говоря, не совпадает со своим перво*

начальным состоянием: может испытывать как вращение, так и деформацию:'

D/ = R〔e%%%?°,(8)

论Л Si Sj' '

где R^vs ——тензор Римана—Кристоффеля. Тогда, согласно Э. Картану [1193], для совмещения необходимо осуществить преобразование перемещения, ассоциированное с циклом. Пример такого перемещения — отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца.

Таким образом, изучаемая четырехмерная область пространства—времени с заданным полем физических величин есть расслоенное пространство, слоями которого являются локальные области. Связность слоев определяется векторами связности fv, 〃卩 и тривектором V^v] • Далее необходимо определить «уравнения поля», т. е. уравнения, задающие физические величины f9 П и V. Для этого и служит определение линейной окрестности: в ней искомые уравнения суть соответствующие линейные уравнения для данных физических величин (например, уравнение Пуассона для скалярного гравитационного поля).

2 I Применим рассмотренный меюд физических величин к термодинамике.

Голономное пространство термодинамических функций образует базу некоторого расслоенного пространства. В каждой его точке существует слой, обладающий структурой векторного (линейного) пространства. Между слоями может быть установлена связность, определяемая уравнением (4). Основными величинами, характеризующими каждый слой, примем обратную локальную температуру Тх'= \/kT=w и удельную энтропию x2=s. Следовательно, локально можно исходить из энтропийных диаграмм. Введем два базисных вектора — базисный вектор обратной температуры е〔 и энтропии е2. Существенны два

вектора связности 〃i и 77ь

Допустим, что базисный вектор температуры, вообще говоря, непостоянный, но зависит от температуры. Это означает отличие от нуля вектора 77ь Примем, что рассматриваемые процессы обратимы. Это выразится равенством нулю тензора Римана—Кристоффеля 店21 = 0.(9) 1 Написано профессором А. Е. Левашевым.

Тогда вторым вектором связности, отличным от нуля, является вектор

ВД1п^ l = ^dw, ▽ = )?"磔 (10)

Предположим, в частности, что базисный вектор температуры от нее не зависит. Это основное положение классической термодинамики. Следовательно,

〃工=0, 〃i = — kTt 12〃工=0, 〃i = — kTt 12(И>(И>

〃工=0, 〃i = — kTt 12

〃工=0, 〃i = — kTt 12

(И>

(И>

е. вектор связности П\ пропорционален средней энер- гии в больцмановской статистике:

(12)(12)8 = иП19

(12)

(12)

2

где 乂 ——некоторый коэффициент пропорциональности.

Для коэффициента полезного действия инфинитезимального цикла Карно dr] получаем

网=一,1也=4网=一,1也=4(13>(13>

网=一,1也=4

网=一,1也=4

(13>

(13>

Следовательно, классическую термодинамику можно рассматривать как теории расслоенного пространства «энтропийных диаграмм». Связность слоев определяется вектором связности 〃【=——kT.

2

Будем теперь рассматривать расслоенное пространство термодинамики как более сложное, слоями которого являются рассмотренные выше пространства классической термодинамики, причем от слоя к слою происходит деформация базисного вектора температуры

〃1三a=const. (14}

Из некоторых общих соображений можно показать, чтоа<0.

Тогда при условии равенства нулю тензора Римана— Кристоффеля для коэффициента полезного действия инфинитезимального цикла вместо (13) получаем

dn = —qw叫纟1 =/г]]，gi = —E = a・ (15>

Таким образом, при низких температурах базисный вектор температуры уже не постоянен, что приводит к тепловой теореме Нернста. Для средней энергии частицы как обобщение (12) получается

(16)(16)-8

(16)

(16)

6 ^^ У _ cfhT

Итак, с расширением диапазона изменения физических величин, с появлением релятивистской физики стало целесообразным для определения задач шире использовать в самой теоретической физике учет изменения вдоль пути мер физических величин, аналогично тому как в оптике определяется «оптическая длина». Иначе сказать, частично произвести, заимствуя понятие из метрологии [1187], спецификацию мер физических величин: под спецификацией меры физической величины будем понимать указание, по какому пути она внесена в данную точку и по какому закону мера изменялась вдоль этого пути. Тогда, аналогично эйконалу и квазикоординатам могут появляться интегральные величины, функционалы, измеренные вдоль определенного пути, меняющиеся, вообще говоря, от точки к точке. Обход по замкнутому пути может привести к тензорам Римана—Кристоффеля или кручению и объекту неголономности, отличным от нуля. Необратимые процессы могут выражаться в отличие от уравнения (9) неравенством

R：vs卢。.

В заключение укажем, что изложенный метод физических величин является перспективным при исследовании процессов переноса в сильно неоднородных и анизотропных средах, в континуумах со сложной внутренней структурой (микрополярные жидкости), а также в нелинейных средах. Выход за пределы линейной окрестности при учете обратной связи, т. е. обратного воздействия f, 77 и V на базисные векторы линейных исходных уравнений, приводит к нелинейным уравнениям поля; расширение диапазона изменения физической величины автоматически приводит к полевым функционалам и нелинейным уравнениям.

ЛИТЕРАТУРА

Баум Ф. А., Каплан С. А., Станюкович К. П. Введение в космическую газодинамику. М., 1958.

Бербидж Д ж., Б е р б и д ж М. Квазары. М., 1969.

Бергман П. Г. Введение в теорию относительности. М., 1947.

Власов А. А. Статистические функции распределения. М・，1966.

Гинзбург В. Л. Пульсары. М., 1970.

0. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М., 1969.

Грин А., Адкин с Дж. Большие упругие деформации и Нелинейная механика сплошной среды. М., 1965.

Дайсон Ф., X а а р Д. Нейтронные звезды и пульсары. М., 19713.

Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М., 197>4.

Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астро

Д. Теория тяготения и начала тензорного М.—Л., 1936.Механика сплошныхД. Теория тяготения и начала тензорного М.—Л., 1936.Механика сплошныхфизика. М., 1967.

Д. Теория тяготения и начала тензорного М.—Л., 1936.

Механика сплошных

Д. Теория тяготения и начала тензорного М.—Л., 1936.

Механика сплошных

Зельдович Я. В.» Новиков И. И эволюция звезд. М., 197>1.

Кочин Н. Е. Векторное исчисление исчисления. М., 1965.

Л а г а л л и М. Векторное исчисление.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.

сред. М., 1954.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., 19713.

ЛыковА. В. Теория теплопроводности. М., 1967.

Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник. М., 1972.

Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массо- лереноса. М.—Л., 1963.

М а к-В и т т и Г. К・ Общая теория относительности и космология. М., 1961.

М а к-К о н н е л Д ж. А. Введение в тензорный анализ. М, 19Ш.

Н и гул У. К., Энгельбрехт Ю. К. Нелинейные и лилейные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел- Таллин, 197)2.

Паули В. Теория относительности. М.—Л., 1947.

Плоскопараллельное и осесимметрическое течение газов и Жидкостей. Фрунзе., 1966.

Проблемы современной космогонии. Под ред. В. А. Амбарцумяна. М., 1969.

Пуанкаре А. Гипотеза и наука. М., 19ЮЭ.

Пульсары. Под ред. В. В. Виткевича. М., 1971.

Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный ана・ лиз. М., 1967.

Саакян Г. С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс. М., 1972：.

. Седов Л. И. Механика сплошной среды, т. I, II. М., 197Gl

Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды М., 1962.'

3»1. Синг Д ж. Общая теория относительности. М., I960.

С и н д ж Д. Л. Релятивистский газ. М., 1960.

Сокольников И. С. Тензорный анализ. М., 19711.

Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплощ. ной среды. М., 1956.

Станюкович К. П. Гравитационное поле и элементарные частицы. М., 1965.

3G. С х о у т е н С. Я. Тензорный анализ для физиков. М., 1966.

Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. М., 1966.

Зв. Терлецкий Я. П. Статистическая физика. М., 1970.

Уилер Дж., Гаррисон Б., В а к ано М., Торн К. Теория гравитации и гравитационный коллапс. М., 1967.

Ультрарелятивистская космическая плазма. Препринт ИКИ ПР-51. М., 1971.

. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М„ 1961.

Эддингтон А. Теория относительности. М., 1934.

Э й з е н х а р т Л. П. Риманова геометрия. М., 1948.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 1, т. 2. М 1965

Эйнштейновский сборник 1969—1970. М., 1970.

Эйнштейновский сборник 1971. М., 1972.

Эйнштейновский сборник 1972. М., 1974.

А г z е 1 i е s Н. Fluides relativistes. Principes generaux, equations fondamentales. Paris, 1971.

А г z e 1 i e s H. Thermodynamique relativiste et quantique. Fasc. 1. Etats d'Gquilibre. Transformations quasi-statiques (dites re- versibles). Paris, 1968.

Biot M. A. Variational principles in heat transfer. Oxford, 1972.

С о 11 em a n B. D., Gurtin M. E.. Негга I., Truesdell C. Wave propagation in dissipative materials. Berlin, 1965.

Dautcourt G. Relativistische Astrophysik. Berlin, 1972.

Day W. A. Thermodynamics of simple materials with fading memory. Berlin—New York, 1972.

Ehlers J. Relativistic Kinetic Theory Mimeographed. Varen- na, 1969.

E г i n g e n A. C. Nonlinear theory of continuous media. New York, 1962.

E г i n g e n A. C. Mechanics of Continua. New York, 1967.

Fluides et champ gravitationel en relative generale. Colloq. internal. Centre nat. rech. scie. Paris, 1967, 19—23 Juin, N. 170. Paris, 1969.

F u n d a m. Topics Relativist. Fluid. Meeh, and Magnetohydro- dynam. New York—London, 1963.

G i b b i n g s J. C. Thermomechanics—The Governing Equations. Pergamon Press, 1972.

Guessour A. Thermodynamique relativiste. Paris, 1970.

Halbwachs F. Theories Relativistes de Fluides a Spin. Paris, I960.

Instability at Continuons Systems. Edit, by H. Leipholz. BeJ lin, 1971.

Jordan P. Schwerkraft und Weltall. Braunschweig, 1955.

Kuchowicz B. Nuclear and relativistic astrophysics and nuclidic cosmochemistry 1963—1967, vol. 1, 2, 3, 4. Warsawa, 1968.

Von Laue M. Die Relativitatstheorie. Braunschweig, vol. 1, 1919.

Lichnerowicz A. Relativistic hydrodynamics and magnetohydrodynamics. N. Y., 1967.

Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation et de Pelectromagnetisme. Paris, 1955.

Moller C. The theory of relativity. Oxford, 1952.

Oden J. T. Finite elements of non-linear continua. N. Y., 1972.

Proceeding of the International School of Physics «Enriko Fermi*, vol. 35. New York—London, 1966.

Proceedings of the Symposium on《A critical Review of the Foundations of Relativistic and Classical Thermodynamics». Baltimore, 1970.

Reich e 1 P. Basic motion of relativistic hydromagnetics. New York Univ. 1958.

Relativistic Fluid Dynamics, Edit, by C. Cattaneo. Rome, 1971.

Relativistic fluid mechanics and magnetohydrodynamics. Acad. Press 1963

Relativistic Plasmas. Edit, by O. Buneman, W. B. Pardo. New York—Amsterdam, 1968.

Schmutzer E. Relativische Physik. Leipzig, 1968.

S c h d p f H. G. Four-dimensional covariant kinematics of continuons media. Berlin, 1967.

Statistical Mechanics of Equilibrium and Non-equilibrium. Edit, by J. Meixner. Amsterdam, 1965.

Stewart J. M. Non-equilibrium relativistic kinetic theory. Berlin—Heidelberg—New York, 1971.

Tolman R. G. Relativity, Thermodynamics and Cosmology. Oxford, 1934.

T r e d e r H. J. Gravitatiwe Stosswellen, nichtanalytische Wel- lenldsungen der Einstein'schen Gravitationsgleichungen. Berlin, 1963.

T r u e s d e 11 C. Six lectures on modern natural ohvlosoohv Berlin, 1966.” ♦

Truesdell C. The Elements of Continium Mechanics. Berlin, 1966.

T r u e s d e 1 1 C. Rational thermodynamics, a course of lectures on selected topics. N. Y„ 1969.

Truesdell C., Noll W. The non-linear fields theories of mechanics. Handbuch der Physik, vol. III/3. N. Y., 1966.

Truesdell С., T о u p i n R. A. The Classical Field Theories. Handbuch der Physik, vol. III/I. Berlin, 1960.

Айтмурзаев Т. Метод решения уравнений неустановив- шегося течения газа с учетом диссипативных процессов в общей теории относительности. ДАН СССР, 1957, 113, № 4, 7Ш—702.

Айтмурзаев Т. Одномерное неустановившееся течение газа с учетом диссипативных процессов в ОТО. «Изв. вузов. Физика», 1958, № 3, 82—90.

Айтмурзаев Т. Задача об одномерном неустановившем- ся течении газа с учетом диссипативных процессов в ОТО. «Изв. вузов. Физика», 1960, № 6, 13>—19. *

Аркабаев Н. Одномерные неустановившиеся движения газа с учетом излучения и поглощения света в специальной теории относительности. В сб. «Плоскопараллельное и осесимметрическое течение газов и жидкостей». Фрунзе, 1966, 34—53.

А р ы н о в А. Изэнтропическое установившееся релятивистское звуковое течение газа с осевой симметрией. В сб. «Плоскопараллельное и осесимметрическое течение газов и жидкостей». Фрунзе, 1966, 16—19.

А р ы н о в А. Релятивистское уравнение Чаплыгина. В сб. «Плоскопараллельное и осесимметрическое течение газов и жидкостей». Фрунзе, 1966, 11—15.

А р ы н о в А., Шабалин В. Д. Релятивистское течение Прандтля——Майера. В сб. «Плоскопараллельное и осесимметрическое течение газов и жидкостей». Фрунзе, I960, 20—25.

А х и е з е р И. А., Половин Р. В. К теории релятивистских магнитогидродинамических волн. ЖЭТФ, 1959, 36, № 6, 1845—1852.

Бабецкий В. И. Вариационный принцип и уравнения движения в специальной теории относительности. В сб. «Теория относительности и гравитация». М., 1971, 82——86.

Базаров И. П., Геворкян Э. В. О релятивистском преобразовании теплоты и температуры. «Вестник МГУ, физ.-аст。》» 1972, 13, № 4, 4 88—4190.

Баранов А. А., Берковский Б. М. Внутренние волны в сильном гравитационном поле. В сб. «Конвекция в каналах». Под ред. А. В. Лыкова. Минск, 1971, 183—195.

Баранов А. А. Пост-ньютоновская гидродинамика вязкой теплопроводной жидкости. Тезисы докл. Всесоюзной конференции «Современные проблемы гравитационной конвекции». Минск, 1971.

Баранов А. А. Релятивистские уравнения состояния и постньютоновская гидродинамика. Автореферат канд. дисс. М., 19拒.

Баранов А. А. Пост-ньютоновская гидродинамика в теории Иордана. «Астрофизика», 1973, 9, № 1, 95—918.

Баранов А. А., Бру к-Л е в и н с о н Э. Т. Вывод гидродинамики слаборелятивистских систем из цепочки уравнений Боголюбова. Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума «Новейшие проблемы гравитации». М., 1973, 1Э9.

Баранов А. А., Бру к-Л е в и н с о н Э. Т., П а в л о цк и й И. П., Шеховцева Л. Г. Цепочка уравнений для корреляционных функций слаборелятивистских систем с учетом запаздывания. ДАН БССР, 197®, 17, № 9, 834—804.

Баранов А. А., Бру к-Л е в и н с о н Э. Т. Вывод законов сохранения массы и импульса слаборелятивистских систем взаимодействующих частиц из цепочки уравнений для корреляционных функций. ДАН БССР, 1974, 18, № 8, 703—706.

Баранов А. А., Колпащиков В. Л. О гидродинамике Предводнтелева для больших скоростей. ИФЖ, 197'2, 23, № 8, ^|041—3*60.

Баранов А. А., Колпащиков В. Л. Ударные волны в релятивистской электрогидродинамике. Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума «Новейшие проблемы гравитации». М., 1973,

Беляев С. Т., Б у д к е р Г. И. Релятивистское кинетическое уравнение. ДАН СССР, 195^, 107, № 6, 807—8110.

. Бердичевский В. Л. Построение моделей сплошных сред при помощи вариационного принципа. ПММ, 1966, 30, № 3, 5-10-530.

Бердичевский В. Л. Вариационные методы построения моделей сплошных сред с необратимыми процессами в специальной теории относительности. ПММ, 1966, 30, № 6, 1081—1086.

Бердичевский В. Л. Вариационное уравнение в механике сплошных сред. В сб. «Проблемы механики твердого деформированного тела». Л., 1970, 55—66.

ПО. Берковский Б. М., Садчиков В. И. Распространение малых возмущений в пост-ньютоновской гидродинамике. В сб. «Тезисы докладов Э-й Советской гравитационной конференции, 1972》. Ереван, 197*2, 291—293.

Богородский А. Ф. Фигуры равновесия в общей теории относительности. Сообщение 1. «Вестник Киевского ун-та, астроном.», 197*3, № 15, 52—59.

Ванштейн С. И., Рузмайкин А. А. О релятивистском вихревом движении. Астроном, журн., 1970, 50, № 1, 12—18.

В а р т а к я н Г. А. О тензоре энергии ——импульса идеальной жидкости. «Молодой научный работник, естеств. науки», 1969, № 2 (10), 61—63.

Верешков Г. М., Г р и ш к а н Ю. С. Коллективные процессы в слаборелятивистских процессах. В сб. «Динамика галактик и звездных скоплений». Алма-Ата, 1903, 232—-237.

Вовченко А. П. Об одной гидродинамической аналогии для постулатов специальной теории относительности. Укр. физ. журн., 1971, 16, № 2, 294—302.

Вовченко А. П. Исследование гидродинамической аналогии для некоторых эффектов общей теории относительности. Укр. физ. журн., 19171, 16, № 12, 2036—2042.

В о в ч е н к о А. П. О гидродинамической аналогии для уравнений электродинамики. Укр. физ. журн., 1972, 17, № 7, 1120—11214.

Волков М. С. Фигуры равновесия в пост-ньютоновском приближении общей теории относительности. «Бюллетень ИТА», 12, № 10 (143), 866—869.

Гайда Р. П. Приближенная лоренц-инвариантность в классической механике системы частиц. I, II. Препринты ИТФ—72— 91Р, ИТФ—72—100Р. Киев, 1972.

Гайда Р. П., Ключковский Б. П. К вопросу о построении релятивистской механики систем взаимодействующих частиц. «В1сник Льв1в. ун-ту, сер.巾i3.》，1972, вип. 7 (15), 9—13».

Гинзбург В. Л., Жарков Г. Ф. О сверхтекучести космологического нейтринного поля. Письма ЖЭТФ, 1967, 5, № 8, 275—277.

Г инзбург В. Л., Усов В. В. Об атмосфере магнитны нейтронных звезд (пульсаров). Письма ЖЭТФ, 1§7& 15, 疯W 280—282. ' 工

Г олубятников А. Н. Вариационные условия на разры、 вах гравитационного поля. В сб. «Тезисы докладов %й Советской гравитационной конференции, 1972》. Ереван, 197*2, 42. к

. Гольдман В. М. Некоторые интегралы релятивистской квантовой статистики, XXVI Герценовские чтения. Теор. физ. и астроном. Научн. докл. Л., Ю^З1, 62—63. 、

Гордеев А. Н. О статистическом описании в искривленном пространстве времени. В сб. «Проблемы теории гравитации и элементарных частиц». М., 1966, 215—224.

Горский В. Б. Безвихревые релятивистские течения газа

ДАН СССР, ЮТ2, 207, № 2, 309—ЗИ2. '

Горский В. Б. Уравнения релятивистской магнитной гидр<>* динамики в случае продольного магнитного поля. ДАН СССР, 197^ 215, № 1, 64—67. '

Г у р о в и ч В. Ц. Движение релятивистского газа в OTQ、 В сб. «Проблемы гравитации». Тбилиси, 1965, 6>8—70. *

Гурович В. Ц. Об автомодельном движении релятивист, ского газа в сопутствующей системе координат. ДАН СССР, 196^ 169, № 1, 62—65.

Гурович В. Ц., Станюкович К. П. О применении общих вариационных принципов в релятивистской механике идеальной жидкости. ПММ, 1965, 29, № 1, 18—25.

Г урчумелия А. Д. Статистический учет запаздывания в релятивистских уравнениях Хартри——Фока. Сообщения АН ГрузССР, 67, № 1, 19172, 53—56.

Дель Прадо Сегура X. К. Хронометрически-инвариант- ная формулировка второго начала релятивистской термодинамики» «Вестник МГУ, физ.-астр.», 19Ф0, № 3, 352―364.

1. Дозморов И. М. Жесткие по Сингу системы в теории относительности. «Изв. вузов. Физика», 1973, № 11, 55—60.

Евтушенко С. П. Движение жесткого тела борновскога типа в теории относительности. В сб.: «Тезисы докладов 3-й Совета ской гравитационной конференции, 1972》. Ереван, 19Ф2, 60」62.

Ефимов 3. Ф. Одномерные изэнтропические неустановив* шиеся релятивистские течения газа. «Уч. зап. физ.-мат. фак. Кирг. ун-та》，1957, вып. 4, ч. 2, 85—109.

Ефимов 3. Ф. Релятивистское обобщение метода Римана, В с б. «Материалы 8-й научн. конф, физ.-мат. фак. Кирг. ун-та», Фрунзе, 1959.

Ефимов 3. Ф. О ковариантной производной тензора энергии——импульса релятивистской жидкости. В сб. «Проблемы гр а вита* ции». Тбилиси, 1965, 60—68.

Ефимов 3. Ф. О ковариантной производной тензора энергии ——импульса релятивистской гидродинамики. В сб. «Современные проблемы гравитации, 1905》. Тбилисщ 1967, 318—325.

Ефимов 3. Ф. Уравнения релятивистской гидродинамики. В сб. «Плоскопараллельное и осесимметричное течение газов 族 жидкостей». Фрунзе, 1966, 26—36.

Жданов В. И., П и р а г а с К. А. К проблеме двух тел в теории прямого гравитационного взаимодействия. I. Препринт ИТ①一72—52Р. Киев, 1972

Жданов В. И., П и р а г а с К. А. К проблеме двух тел в прямого гравитационного взаимодействия. II. Препринт 一72—58Р. Киев, 1972.

Желнорович В. А. Об интегральных законах сохранения сплошных сред в общей теории относительности. ДАН СССР, 181, № 1, 50-53.

Ж е л н о р о в и ч В. А. Вариационный принцип и уравнения состояния для сплошных сред. ДАН СССР, 1969, 184, № 1, 55^5 8.

Желнорович В. А. К вопросу об определении энергии—— нМпульса в общей теории относительности. ДАН СССР, 1971, 201, 5, 107 Л 081.

Жумартбаев М. Т. О поглощении звука и ширине ударных волн в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ, 1959, 37, № 4, 1000—1004.

Жумартбаев М. Т. Групповые свойства уравнений адиабатического движения сплошной среды в релятивистской гидродинамике. Журн. прикл. механ. и техн, физ., 1961, № 2, 116^—120.

Зельдович Я. Б. Электромагнитные и гравитационные волны в постоянном магнитном поле. ЖЭТФ, 1973, 65, № 4, ]311—F315.

Зельдович Я. Б., Илларионов А. Ф. Структура ударной волны в плазме с доминирующей ролью излучения. ЖЭТФ, 1978, 6 5, № 4, 1294—1302.

. Зубарев Д. Н. Статистический оператор для неравновесных процессов. ДАН СССР, 1965, 164, № 3, 537—540.

Ибрагимов Н. X. Волновое уравнение в римановом пространстве. В сб. «Динамика сплошной среды», вып. I. Новосибирск, I960, 36—47.

Имшенник В. С., Надеждин Д. К. Нейтринная теплопроводность в коллапсирующих звездах. ЖЭТФ, 1972, 63, № 5, 1548—1561.

К а л и ц и н Никола Ст. Релятивистская механика сплошной среды в некоторой неинерциальной и нерелятивистской системе. «Изв. физ.-мат. с АНЕБ», I960, 8, 187—193.

Каллен Г., Г о р в и ц Дж. Релятивистская термодинамика. У①Н, 1972, 10 7, № 3, 4М502.

К а п л а н С. А., Л у п а н о в Г. А. О релятивистской неустойчивости политропных шаров. Астроном, журн., 1965, 42, № 2, 299—304».

Климишин И. А., Новак А. Ф. Релятивистские нестационарные ударные волны. Циркуляр Астроном, обсерватории Львовского ун-та, 1970, № 44, З1—5.

Коба. Вариационный принцип в нерелятивистской механике жидкости (япон.). Сорюсирон КЭНКЮ, l^b, 9, № 3, 254—259.

Кожанов Т. С. Релятивистский тензор напряжения твердого тела в ОТО. В сб. «Материалы 2-й Научн. конф, молодых ученых АН КазССР». Алма-Ата, 1970, 188—189.

Колбовский Ю. А. О римановой кривизне конформноплоских пространств, заполненных идеальной жидкостью. «Изв. вузов. Физика», 1972, № 1, 111—113.

Колбовский Ю. А. О средней кривизне римановых пространств, заполненных веществом. «Изв. вузов. Физика», 1972, № 8, 侬一111.

Колбовский Ю. А. О римановой кривизне пространств ОТО. Депонент ВИНИТИ per. № 44*34—72 деп. «Изв. вузов Фн/ ка》，19砲 № 11, 160.■ 比

. Колп а щиков В. Л., Баранов А. А. К геометрической теории уравнений теплопереноса. В сб. «Тепло- и массообмен» т о1 Минск, 1972, 557—560.''"

Конторович В. М. Устойчивость ударных волн в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ, 19i&8, 34, № 1, 186—194.'

Некоторые вопросы ковариантной поле. «Вестник МГУ, фнз.-астр.》.Некоторые вопросы ковариантной поле. «Вестник МГУ, фнз.-астр.》.Косовский С. Коэффициенты переноса релятивистского газа. «Вестник ЛГУ», 1971, № 13, 106—111.

Некоторые вопросы ковариантной поле. «Вестник МГУ, фнз.-астр.》.

Некоторые вопросы ковариантной поле. «Вестник МГУ, фнз.-астр.》.

Кузьменков Л. С.

О построении гидродинамики вО построении гидродинамики встатистики в гравитационном 1972, 13, № 1, 28—34.

О построении гидродинамики в

О построении гидродинамики в

Кузьменков Л. С.

теории тяготения на базе ковариантных статистических уравнений. «Вестник МГУ, физ.-астр.», 1972, 13, № 5, 614—616.

Кузьменков Л. С. О связи объемных и поверхностных свойств системы частиц в окрестности пространственно-временной точки кривого пространства. «Вестник МГУ, физ.-астр.», 1973, № 4, 493—496.

Кучина Т. М. Единственность упругого тензора массы. «Изв. вузов. Физика», 1972, № 4, 56—59.

Кучина Т. М. Тензор энергии——импульса упругой среды и условие равновесия внутренних сил в ОТО. В сб. «Тезисы докладов 3-й Советской гравитационной конференции, 1972》. Ереван, 1972, 332—334.

Кучина Т. М. Условие равновесия внутренних сил в ОТО. В сб. «Прикладная и теоретическая физика», вып. 3. Алма-Ата, 1972, 8—14.

Левашев А. Е. К реперной формулировке релятивистской термодинамики. В сб. «Тезисы докладов 3-й Советской гравитационной конференции, 1972》. Ереван, 1972, 95.

Л о х и н В. В. Модели электрически намагничивающихся и поляризующихся сплошных сред в рамках специальной теории относительности. В сб. «Научная конференция. Ин-т механики МГУ. Тезисы докладов». М., 1970, 45.

Л о х и н В. В., Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов. ПММ, 1963, 27, № 3. 393—417.

Луговский В. Б. О релятивистских свойствах колебания неограниченной упругой среды. «Изв. вузов, сер. физ.-мат. наук》， 1971, № 4, 63—69.

Магалинский В. Б. Кинетика малых возмущений пространственно-однородной гравитационной среды. Астроном, журн” 1972, 49, № 5, 1017—1025.

Маслова Н. Б. Некоторые замечания о релятивистском распределении Максвелла. «Вестник ЛГУ», 1962, № 19, 156—159

Маслова Н. Б. О системе уравнений вязкой жидкости в специальной теории относительности. «Вестник ЛГУ», 1963, № 1& вып. 4, 92—111.

Мальцев В. М., Д у ш у т и к Н. К. Многочастичные состояния в релятивистской статистической механике. Препринт ОИЯИ Р2—6137. Дубна, 1971.

Михайлов Ю. Б. Международный коллоквиум по классической и релятивистской механике. «Магнитная гидродинамика», 1969, № 4, 154.

Минкевич А. В., Сокольский А. А. О вариационном формализме в релятивистской динамике консервативной сплошной среды.《Becui АН БССР, сер. ф!з.-мат. навук», 1971, № 2, 70—78.

М о й с е е в С. С. О функции распределения для диссипативных процессов в разреженном релятивистском газе. ЖЭТФ, 1959, 37, № 2, 553—554.

Мойсеев С. С. К структуре ударной волны в релятивистском случае. «Изв. вузов. Физика», № 3, 1960, 158—164.

Мойсеев С. С. О влиянии релятивистских эффектов на кинетику разреженной плазмы. Автореферат канд. дисс. Сибирское отделение АН СССР, 1962.

Мычелкин Э. Г. Ковариантное кинетическое распределение температуры. «Вестник АН КазССР», 1971, № 4, 51—53.

Накадзима Садао. Релятивистская термодинамика. «Нихон бу цу ри гаккайси», 1969, 24, № 12, 802—808.

Павлоцкий И. П. Ансамбль Гиббса и уравнения для корреляционных функций слаборелятивистской системы. ДАН СССР, 1969, 188, № 4, 784—787.

Павлоцкий И. П. Пример слаборелятивистского кинетического уравнения, учитывающего запаздывание взаимодействия. ДАН СССР, 1973, 213, № 4, 812—814.

Павлоцкий И. П., Шеховцева Л. Г. Слаборелятивистское уравнение Больцмана для систем с короткодействующими силами. «Йзв. вузов. Физика», 1974, № 2, 78—82.

Пирагас К. А. О фигурах равновесия идеальной вращающейся жидкости в пост-ньютоновском приближении общей теории относительности. II. Устойчивость форм равновесия. Препринт ИТФ—72. Киев, 1972.

Пирагас К. А., Бондаренко Н. П., Кравцов О. В. Фигуры равновесия идеальной вращающейся жидкости в постньютоновском приближении ОТО. Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума «Новейшие проблемы гравитации». М., 1973, 151.

Петрова Н. М., Кучина Т. М. Тензор массы в общей теории относительности. В сб. «Физика», вып. 1. Алма-Ата, 1970, 11—13.

Петрова Н. М., Кучина Т. М. К вопросу об единственности тензора массы. В сб. «Физика», вып. 5. Алма-Ата, 1971, 58—61.

Подосенов С. А. Тетрадная формулировка динамики изотропной упругой среды в ОТО. «Изв. вузов. Физика», 1970, № 11, 67—73.

Подосенов С. А. Прямолинейное жесткое по Борну движение континуума с постоянным ускорением в сопутствующей тетраде. В сб. «Научные труды ВНИИОФИ», сер. А, вып. 1. М., 1972, 95—104.

Подосенов С. А. Релятивистская динамика упругой среды в ОТО. В сб. «Научные труды ВНИИОФИ», сер. А, вып. 1. М., 1972, 72—82.

П одосенов С. А. Релятивистская кинематика деформируемой среды в СТО. В сб. «Научные труды ВНИИОФИ», сер. А, вып. 1. М., 1972, 61—71.

Подосенов С. А. Релятивистское упругое тело в СТО. В сб. «Научные труды ВНИИОФИ», сер. А, вып. 1. М., 1972, 83—89.

Подосенов С. А. Решение в акустическом приближении уравнений механики деформируемой среды в СТО для одномерного движения. В сб. «Научные труды ВНИИОФИ», сер. А, вып. 1. М., 1972, 90—94.

Подосенов П. Б. О ковариантных степенных и экспоненциальных функциях распределения. «Вестник МГУ, физ.-астр.》, 1970, № 2, 195—199.

Подосенов П. Б. О стационарных распределениях в ковариантной статистике. «Вестник МГУ, физ.-астр.», 1971, 12, № 3, 292—297.

Подосенов П. Б. О релятивистском обобщении формул Оорта—Шварцшильда. «Вестник МГУ, физ.-астр.», 1972, № 3, 324—333.

Половин Р. В. Теорема Цемплена в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ, 1959, 36, № 3, 956.

Прокофьев В. А. Уравнения релятивистской радиационной гидродинамики. ДАН СССР, 1961, 140, № 5.

Р у х а д з е А. А., Рухлин В. Г. Инжекция релятивистского электронного пучка в плазму. ЖЭТФ, 1971, 61, № 1, 177—189.

Садчиков В. И. Некоторые вопросы теории ударных волн в пост-ньютоновской гидродинамике. Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции». Минск, 1971.

Садчиков В. И. Распространение малых возмущений в пост-ньютоновской гидродинамике. В сб. «Тепло- и массоперенос», т. 1. Минск, 1972, 45—49.

Салтанов М. В. До лоренцчнвар!антно1 модел! електро- магн1тно1 г1дродинам1ки. «Доповщ! АН УРСР», 1969, А, № 9, 807—809.

Салтанов Н. В. Некоторые модели электромагнитной гидродинамики. В сб. «Прикладная математика», вып. 3. Иркутск, 1971, 125—150.

Салтанов Н. В., Тк а л и ч Е. Ф., Тк а л и ч В. С. К ло- ренц-инвариантной модели многокомпонентной магнитной гидродинамики. В сб. «Аналитические и качественные методы теории дифференциальных уравнений». Киев, 1972, 247——257.

Седов Л. И К теории построения моделей сплошных сред. «Вестник АН СССР», 1960, № 7, 26—38.

Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. УМН, 1965, 20, № 5, 121—180.

Седов Л. И О пондермоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального континуума с учетом конечности деформаций. ПММ, 1965, 29, № 1, 4—17.

Седов Л. И О тензоре энергии—импульса и макроскопических внутренних взаимодействиях в гравитационном поле и в материальных средах. ДАН СССР, 1965, 164, № 3, 519—522.

Седов Л. И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. ПММ, 1968, 32, № 5, 771—785.

Седов Л. И. Об условиях на сильных разрывах в теории гравитации. ПММ, 1972, 36, № 1, 3—14.

Селиджер Р. Л., У и т е м Г. Б. Вариационные принципы 方 механике сплошной среды. В сб. «Механика», 1969, № 5 (117), 99-123.

Сибгатуллин Н. Р. Нелинейные релятивистские волны в сверхсжатом газе. ДАН СССР, 1969, 187, № 3, 531—534.

Скрипкин В. А. Условия на ударных волнах в ОТО. ДАН СССР, 1958, 123, № 5, 799—802.

Скрипкин В. А. Разрывные центрально-симметричные движения ультрарелятивистского газа в общей теории относительности. ПМТФ, 1960, № 4.

Скрипкин В. А. Релятивистские поправки в задаче о точечном взрыве в идеальной гравитирующей сплошной среде. Астроном, журн., 1960, 37, № 2, 284—296.

Скрипкин В. А. Точечный взрыв в идеальной жидкости в общей теории относительности. ДАН СССР, 1960, 135, № 5.

Скрипкин В. А. Задачи релятивистской гидродинамики с центральной симметрией. Автореферат, канд. дисс. М., 1961.

Скрипкин В. А. Об одном классе автомодельных движений ультрарелятивистского газа. ДАН СССР, 1961, 136, № 4, 791—794.

Скрипкин В. А. Об одном точном решении уравнений одномерной релятивистской гидродинамики со скачком преобразования остаточной массы вещества. ДАН СССР, 1961, 138, № 1.

Скрипкин В. А. Разрывные центрально-симметричные движения ультрарелятивистского газа в общей теории относительности. Астроном, журн., 1961, 38, № 1.

Станюкович К・ П. Некоторые результаты в области релятивистской магнитогазодинамики. ДАН СССР, 1955, 103, № 1, 73—76.

Станюкович К. П. Некоторые стационарные релятивистские движения газа в проводящей среде. ЖЭТФ, 1958, 35, № 3.

Станюкович К. П. Некоторые стационарные релятивистские течения. ДАН СССР, 1958, 119, № 2, 251—254.

Станюкович К- П. Одномерные адиабатические течения ультрарелятивистского газа. ДАН СССР, 1961, 139, № 3, 590—593.

Станюкович К. П. Автомодельные релятивистские движения в случае точечной симметрии. ДАН СССР, 1961, 140, № 1, 77—80.

Станюкович К- П. Адиабатические одномерные движения ультрарелятивистского газа. ЖЭТФ, 1962, 43, № 1, 199—204.

Станюкович К. П. Лагранжиан в релятивистской гидродинамике сплошных сред. ДАН СССР, 1962, 145, № 1, 59—62.

Станюкович К. П. Релятивистское движение среды и переход в излучение. Archiwum Mechaniki Stosowanaj, 1962, 3/4, 14.

Станюкович К. П. Вариационный принцип в общей теории относительности. ДАН СССР, 1963, 153, № 3, 562—565.

Станюкович К. П. Обобщенный вариационный формализм в общей теории относительности. «Вестник МГУ, физ.-астр.》， 1964, № 1.

Станюкович К. П. Лагранжиан сплошной среды в римановом пространстве. ДАН СССР, 1964, 154, № 2, 313—316.

Станюкович К. П. Новый вариационный формализм в общей теории относительности. ДАН СССР, 1964, 158, № 1.

Станюкович К. П. Сферические звуковые волны в римановом пространстве. ДАН СССР, 1968, 181, № 4, 819—822.

Станюкович К. П. Уравнения движения во внутреннем центрально-симметричном поле в общей теории относительности ДАН СССР, 1968, 182, № 2, 326—328.

Станюкович К. П. Движение среды с ультрарелятивист- скими скоростями в общей теории относительности. ДАН СССР, 1969, 185, № 5, 1030—1033.

Станюкович К. П., Айтмурзаев Т., Аркабаев Н. Осесимметричные автомодельные релятивистские движения газа. В сб. «Плоскопараллельное и осесимметрическое движение газов и жидкостей. Фрунзе». 1966, 54—65.

Станюкович К. П., Г ур о в и ч В. Ц. Ультрарелятивист- ский разлет газа в поле гравитации. ДАН СССР, 165, № 4, 1965, 806—808.

Станюкович К. П., Ефимов 3. Ф. Обобщение вариационного метода на криволинейные координаты евклидового пространства. В сб. «Современные проблемы гравитации, 1965》. Тбилиси, 1967, 221—227.

Станюкович К. П., Шаршекеев О. В. Ударные волны в гравитационных полях. В сб. «Проблемы теории гравитации п элементарных частиц». М., 1966, 180 —192.

Станюкович К. П., Шаршекеев О. В., Г уро в ич В. Ц. Автомодельные движения релятивистского газа в общей теории относительности в случае точечной симметрии. ДАН СССР, 1965, № 3, 165, 510—5H3I

Стрельцов В. Н. Нерелятивистскпе преобразования. Препринт ОИЯИ Р2—59136. Дубна, 1971.

. Стрельцов В. Н. К релятивистской термодинамике. Препринт ОИЯИ Р2—6694. Дубна, 1972.

Тиунов Е. А., Ч е р н и н А. Д. Взаимодействие вихревых и потенциальных движений в релятивистской гидродинамике. III. «Астрофизика», 19力 1, 7, № 1, 1611—165.

Финкельштейн А. М. Теория тяготения с переменной гравитационной постоянной. «Бюлл. ИТ А», 1970, 12, № 1, 55—81.

Ф ихтенгольц И. Г. О гравитационных напряжениях. ДАН СССР, 1970, 194, № 3, 553—5 56.

Франкль Ф. И. О гравитационных волнах и движении газа в сильных переменных гравитационных полях. ДАН СССР, 1952, 84, № 1, 51.

Франкль Ф. И. Потенциальные установившиеся релятивистские течения газа. ДАН СССР, 1998, 12 3, № 1, 47—48.

Франкль Ф. И. Изэнтропические релятивистские течения газа. ЖЭТФ, 1956, 31, 490—©2. 一

. Франкль Ф. И. Об одной возможной системе уравнений релятивистской газодинамики с учетом излучения и поглощения света. ДАН СССР, 1959, 127, № 5, 987—989.

Франкль Ф. И., А р ы н о в А. А. Истечение фотонного газа из сосуда через сопло Лаваля. «Уч. зап. Кабардино-Балкарского ун-та», I960, вып. 3, 85.

Халатников И. М. Некоторые вопросы релятивистской гидродинамики. ЖЭТФ, 19154, 27, № 5, 5 29—544.

X о н ь к и н А. Д. Об уравнениях гидродинамики быстрых процессов. ДАН СССР, 1973, 210, № 5, 1033—1035.

Цыпкин А. Г. Изучение поляризующихся и намагничивающихся сплошных сред с помощью вариационного уравнения. ПММ, 1973, 37, № 5.

Ц ы т о в и ч В. Н., Корже иевич И. М. Нелинейное взаимодействие волн в нерелятивистской плазме. «Изв. вузов. Радиофизика», 1968, 11, № 10, 1505」1521.

Черников Н. Больцмана. «Научные 1959, № 1, 168.Черников Н. столкновений к форме 84-87.2621 Черников Н.Черников Н. Больцмана. «Научные 1959, № 1, 168.Черников Н. столкновений к форме 84-87.2621 Черников Н.Черников Н. А. Релягнвистский интеграл столкновений. ДАН СССР, 1957, 114, № 3, 530—53 2.

Черников Н. Больцмана. «Научные 1959, № 1, 168.

Черников Н. столкновений к форме 84-87.

2621 Черников Н.

Черников Н. Больцмана. «Научные 1959, № 1, 168.

Черников Н. столкновений к форме 84-87.

2621 Черников Н.

А. Общая форма кинетического уравнения доклады высшей школы, физ.-мат. науки».

А. Приведение релятивистского интеграла Больцмана. ДАН СССР, 1960, 133, № 1,

А. Релятивистское кинетическое уравнение

и равновесность состояния газа в статическом сферически симметричном гравитационном поле. ДАН СССР, I960, 133, № 2, 330336.

263'. Черников Н. А. Вектор потока и тензор массы релятивистского идеального газа. ДАН СССР, 1962, 144, № 2,⑶14317.

204t. Черников Н. А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле. ДАН СССР, 1962, 144, № 1, 89—92.

Черников Н. А. Релятивистское распределение Максвелла—Больцмана и интегральная форма законов сохранения. ДАН СССР, 1962, 144, № 3, 544—547.

Черников Н. А. Вывод релятивистской гидродинамики из релятивистского кинетического уравнения. Препринт ОИЯИ Р—1364, Дубна, 1963.

Черников Н. А. Кинетическая теория релятивистского газа. Автореферат докт. дисс. Дубна, 1963.

268». Черников Н. А. Кинетическая теория релятивистского газа. В сб. «Проблемы гравитации». Тбилиси, 1965, 711—72.

Черников Н. А. Стохастическое движение релятивистской частицы. Препринт ЙТФ—6<8—44. Киев, 1968.

Черников Н. А. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика. В сб. «Физика элементарных частиц и атомных ядер», 4, № 3, 77/3^-810.

Ч е р н и н А. Д. Взаимодействие вихревых и потенциальных движений в релятивистской гидродинамике. I. «Астрофизика», 1969, 5, № 4, 656—668.

Ч е р н и н А. Д. Турбулентность в изотропной вселенной. «Письма ЖЭТФ», 1970, 11, № 6, 317—319.

3713. Ч е р н и н А. Д., Зйдельман Е. Д. Взаимодействие вих

ревых и потенциальных движений в релятивистской гидродинамике. II. «Астрофизика», 197)1, 7, № 2, 314—3*16.

Шаршекеев О. В. Косые ударные волны в гравитационных полях. В сб.: «Проблемы теории гравитации и элементарных частиц». М., 1966, 193—197'.

Ш е п ф Г. Г. Упругие ударные волны в общей теории относительности. В сб. «Проблемы гравитации». Тбилиси, 1965, 52—53.

Ш e x т е р В. M. Об однозначности тензора массы в теории относительности. «Вестник ЛГУ», 1954, № 11, 99—112.

Ш и к и н И. С. Об интерпретации нестационарной релятивистской гидродинамики в пространстве Минковского. ДАН СССР, 1962, 142, № 3, 564Ц-5'67.

. Ш и к и н И. С. К общей теории стационарных движений в ре- лятивистской^ гидродинамике. ДАН СССР, 1962, 142, № 2, 296—298.

Штрёбель X. О геометрии общерелятивистского пространства состояний частицы. Препринт ИТФ—71—1Э2Р. Киев, 197*1.

АЬ о п у i I. Steady state solution of the relativistic Boltzmann transport equation. Z. angew. Math, und Phys., 1960, 11, No. 3, 169—175.

A b о n у i I. A relativisztikus Boltzmann-eguenlet es stacio- narius megoldasa. Magyar fiz. lolydirat, 1960, 8, No. 1, 13—20.

A b о n у i I. La vittesse la plus probable et Fimpulsion moyen- ne d'un ensemble maxvellien relativiste. С. r. Acad. Sci., 1961, 252, No. 24, 3757—3759. ,

A b о n у i I. Relativisztikus reszeckesokazag legvalosziniibb es atlagos 'unpulzusanak meghatarozaca. Magyar fiz. folydirat, 1961, 9. No. 1, 21—33.

A b о n у i I. Relativisztikus reszeckesokazag legvalosziniibb unpulzuza es legvalosziniibb energiaga, Ma guar fiz. folyoirat, 1962, 10, No. 4, 259—264.

A b о n у i I. Le probleme de Fequation de Boltzmann relativiste. Cahiers Phys., 1964, 18, No. 171—172, 461—470.

A b о n у i I. A relativisztikus Boltzmann-egyenletrol. I. Ma- guar fiz. folyoirat, 1965, 13, No. 4, 367—380.

A b о n у i I. The Grocco-Vazsonyi equation in relativistic hydrodynamics of ideal fluids. Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1967, 23, No. 2, 185—191.

A b о n у i I. Sur la solution de Fequation de Boltzmann reia- tiviste sans collisions en presence de certains champs exterieurs. Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1967, 23, No. 2, 247.

A b о n у i I. Small amplitude waves and weak descontinuities in the relativistic hydrodynamic of an ideal fluid. Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1969, 27, No. 1—4, 269—276.

A b о n у i I. Friedmann and Helmholtz equations for an ideal relativistic fluid. Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1972, 31, No. 4, 385—387.

Ahmed S h a v k у E 1-A г i n у. Generalization of Taub's relativistic Rankine-Huguoniot equations. Doct. Diss. Mish. State Univ., 1967, 113. Diss. Abstr., 1967, B28, No. 2, 699.

Aitken D. M., Israel W. On relativistic irreversible thermodynamics. Res. Participat Coll. Teachers Math., Norman, Okla, 1963, S. 1.

Akama Hachiro. Relativistic Boltzmann equation for plasmas. J. Phys. Soc. Jap., 1970, 28, No. 2, 478—488.

A 1 e x a n i a n M. Covariant black-body and the 3 °K radiation field. Lettere Nuovo Cimento, 1969, 1, No. 2, 75—78.

A1 e x a n i a n M. Relativistic transformation of temperature. Lettere Nuovo Cimento, 1969, 1, No. 3, 617—619.

Alts T., Muller I. Relativistic thermodynamics of simple heat conducting fluids. Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1972, 48, No. 4, 245—273.

Anderson J. L. Relativistic Boltzmann theory and Grad method of moments. Relativity. Proc. Conf. Cincinnatti Ohio, 1969. New York, 1970, 109—124.

Anderson J. L., S p i g e 1 E. A. The moment method in relativistic radiative transfer. Astrophys. J., 1972, 171, No. 1, 127—138.

А г a n о f f S. Equilibrium in special relativity. Nuovo Cimento, 1972, BIO, No. 1, 155—171.

А г g i г о v i с M. Relativistica kineticko temperatura cestice u kretanji. Telekomunikacije, 1971, 20, No. 4, 14—16.

А г n о w i 11 R., Deser S., Misner C. W. Canonical variables for general relativity. Phys. Rev., 1960, 117, No. 6, 1595—1602.

А г z e 1 i e s H. Nouvelles bases pour la thermodynamique rela- tiviste. Nucleus, 1965, 6, No. 4, 250—252.

А г z e 1 i e s H. Transformation relativiste de la temperature et de quelques autres grandeurs thermodynamiques. Nuovo Cimento, 1965, 35, No. 3, 792—804.

А г z e 1 i e s H. Sur le concept de temperature en thermodynamique relativiste et en thermodynamique statistique. Nuovo Cimento, 1965, B40, No. 2, 333—344.

А г z e 1 i e s H. Comment on Dr. Kibble'es article. Nuovo Ci- mento, 1966, B41, No. 1, 81—82.

А г z e 1 i e s H., L a n 1 i g n e 1 A. Sur le concept de temperature en thermodynamique statistique. Nuovo Cimento, 1966, A44, No. I, 270—271.

А г z e 1 i e s H. Note sur la thermodynamique relativiste. Nuovo Cimento, 1967, A47, No. 1, 136—137.

А г z e 1 i e s H. Sur la mecanique relativiste des milieux con- tinus. Nuovo Cimento, 1967, A50, No. 2, 287—292.

А г z e 1 i e s H. Sur Pequation fundamentale (Mecanique des fluides relativiste). С. r. Acad. Sci., 1967, 264, No. 3, A161-A162.

А г z e 1 i e s H. Sur la generalisation relativiste des equations de Weber et de la theorie des tourbilions. С. r. Acad. Sci., 1967, 264, No. 10, 463—465.,

А г z el i e s H. Fluides parfaits relativistes en mouvement permanent. С. r. Acad. Sci., 1967, 264, 767—769.

А г z e 1 i e s H. Propagation des ondes dans les fluides parfaits relativistes. С. r. Acad. Sci., 1967, 264, No. 24, A1083—A1085.

А г z e 1 i e s H. Sur un probleme de magneto-hydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1968, 266, No. 13, A668—A67&

А г z e 1 i e s H. Turbulence relativiste des fluides incompres- sibles equations du mouvement moyen. С. r. Acad. Sci., 1968, 266, No. 17, A883—A884.

А г z e 1 i e s H. Forces de tension dans un fluide en mouvement; retour sur Pequation fondamentale. С. r. Acad. Sci., 1968, 267, No. 2, A134—A136.

А г z e 1 i e s H. Ecoulement permanent unidimensionnel des fluides parfaits relativistes compressibles. С. r. Acad. Sci., 1968, A266, 374—375.

А г z e 1 i e s H. Sur les hypotheses minimales de rhydrodyna- mique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1969, 268, No. 22, A1355—A1356.

А г z e 1 i e s H. Mise en compression d'une barre elastique mobile; application aux milieux continus relativistes. С. r. Acad. Sci., 1969, 268, 1424—1426.

319. А г z e 1 i e s319. А г z e 1 i e sfluides par-fluides par-H. Ecoulement unidimensionnel des

319. А г z e 1 i e s

319. А г z e 1 i e s

fluides par-

fluides par-

faits relativistes compressibles. С. r. Acad. Sci., 1969, 269, No. 3

A159—A161.'

А г z e 1 i e s H. Le concept de courant de chaleur et les deux referentiels fondamentaux de la thermodynamique. С. r. Acad. Sci 1969, 268, No. 16, В1056—В1059.”

А г z e 1 i e s H. La crise actuelle de la thermodynamique. Scien- ta, 1970, IX—X, 552—570.

А г z e 1 i e s H. Sur les fluides parfaits relativistes sans spin； comparison generale des principes et des resultats de deux theories C. r. Acad. Sci., 1970, 270, No. 6, A347—A350.

А г z e 1 i e s H. Equations de transfert et fluides relativistes. C. r. Acad. Sci., 1970, 271, No. 5, A332—A334.

А г z e 1 i e s H. Equations de transfert et fluides relativistes; equation macroscopiques de mouvement. С. r. Acad. Sci., 1970, 271, No. 9, A442—A444.

А г z e 1 i e s H. Sur les concepts de courant de particules et de courant electrique en relativite restreinte. С. r. Acad. Sci., 1972, 274, No. 22, A1594—A1596.

А г z e 1 i e s H. Sur les concepts de force moyenne, de vittesse moyenne et de vittesse d'ensemble pour un ensemble de particule. С. r. Acad. Sci., 1972, 275, No. 11, A537—A539.

Audretsch J. Begriindung des Energie-Impuls-Tensors der allgemeinen Relativitatstheorie auf Grund eines kinetischen Modells der Materie. Z. Naturforsch., 1967, 22a, No. 5, 808—815.

Balazs N. L. On relativistic thermodynamics. Astrophys. J., 1958, 128, No. 2, 398—405.

Balazs N. L., Dawson J. M. On the thermodynamic equilibrium in a gravitational field. Physica, 1965, 31, No. 2, 222—232.

В a 1 e s cu R. A unified formulation of the kinetic equations. Physica, 1968, 38, No. 1, 98—118.

В a 1 e s cu R. Kinetic equations and Lorentz transformation. Physica, 1968, 38, No. 1, 119—132.

В a 1 e s c u R. A covariant formulation of relativistic quantum statistical mechanics. I Phase space description of a relativistic quantum plasma, Acta phys. austrica, 1968, 28, No. 3—4, 336—352.

В a 1 e s c u R. A covariant formulation of relativistic quantum statistical mechanics. II The Liouville equations for a rel. quan. plasma. Acta phys. austrica, 1969, 29, No. 4, 313—328.

В a 1 e s c u R. On relativistic statistical thermodynamics. J. Phys. Soc. Japan, 1969, 26, Suppl. 313—315, Discuss. 315.

В a 1 e s cu R. Relativistic statistical thermodynamics. Physica, 1968, 40, No. 3, 309—338.

В a 1 e s c u R., Baus M., P у 11 e A. On some mathematical aspects of classical relativistic statistical mechanics. Bull. cl. Sci. Acad, roy. Belg., 1967, 53, No. 9, 1043—1069.

В a 1 e s c u R., В г e n i g L. Relativistic covariance of nonequilibrium statistical mechanics. Physica, 1971, 54, No. 4, 504—521.

В a 1 e s c u R., Kotera T. On the covariant formulation of classical relativistic statistical mechanics. Physica, 1967, 33, No. 3, 558—580.

В a 1 e s cu R., Kotera T., Pina E. Lorentz transformations in phase space and in physical space. Physica, 1967, 33, No. 3, 581—594.

В a 1 e s cu R., P a i v a-Veretennicoff I. Correlation pat-

terns for an electro-magnetique field interacting with a relativistic plasma. Bull. Cl. Sci. Acad. roy. Belg., 1971, 57, No. 5, 457—476.

В a n c e 1 D. Sur le probleme de Cauchy pour Fequation rela、 tiviste de la chaleur. С. r. Acad. Sci., 1970, 270, No. 14, A918—A920.

В a n c e 1 D. Sur le probleme de Cauchy pour Pequation de Boltzmann relativiste. C. r. Acad. Sci., 1970, 270, No. 25, A1710—A1712.

В a n c e 1 D. Sur le probleme de Cauchy pour requation de Boltzmann relativiste. С. r. Acad. Sci., 1970, 271, No. 14, A694—A696.

В a n c e 1 D. Sur le plobleme de Cauchy pour liquation de Boltzmann non lineaire en relativite generale. С. r. Acad. Sci., 1972, 274, No. 26, A1967—A1969.

В a n c e 1 D., C h о q u e t-B г u h a t Y. Existence, uniqueness and local stability for the Einstein-Maxwell-Boltzmann system. Com- mun. math, phys., 1973, 33, No. 2, 83—96.

Banerji S., Chanda R. Pulsar glitches and the metastability of the superfluid core. Nature Phys. Sci., 1972, 239, No. 96, 139—140.

В а г a n к i n E. W. Heat flow and no-Euclidean geometry. Amer. math, mounthly, 1942, 49, 4.

Baranov А. А., В г о о k-L е v in s о n E. T., Pavlotsky I. P・，Shekhovtsova L. G. Relativistic BBGKY hierarchy in the c-2 approximation including retardation. Phys. Lett., 1973, A43, No. 5, 417—419.

Barashev P. P. Invariant velocity distribution function under Lorentz-covariant transformation. Phys. Lett., 1973, 44A, No. 7, 537—538.

Bardeen J. M. A re-examination of the post-Newtonian Maclaurin spheroides. Astrophys. J., 1971, 167, No. 3, part I, 425—446.

Barnes A., Suffolk G. C. J. Relativistic kinetic theory of the large-amplitude transverse. Alfven wave. J. Plasma Phys., 1971, 5, No. 3, 315—329.

В a s a n о L., M о г г о A. Collapsed Schwarzschild fields and thermodynamics. Left. Nuovo Cimento, 1973, 6, No. 6, 193—196.

Baum G., P e t h i с к Ch., Pines D. Superfluidity in neutron stars. Nature, 1969, 224, No. 5220, 673—674.

D e Beauregard О. C. Sur les equations fondamentales, classiques, puis relativistes, de la dynamique des milieux continus. J. math., pures et appl., 1944, 23, No. 3, 211—217.

D e Beauregard О. C. Dynamique relativiste des milieux continus. La variation de la masse propre fonction du travail des forces superficielles. J. math, pures et appliquees, 1946, 25, 187—207.

D e Beauregard О. C. Sur la conservation de la masse propre. Sur la notion de fluide parfaits. С. r. Acad. Sci., 1946, 222, 271—273.

D e Beauregard О. C. Interessantes questions soulevees par H. Arzelies dans «fluides relativistes». Ann. Inst H. Poincare, 1972, A16, No. 2, 103—117.

Beck F. Der Energie-Impulstensor in der phanomelogischen Theorie der Supraleitung. Z. Phys., 1953, 134, No. 3, 334—345.

В e n n о u n J. F. Etude des varietes caracteristique des equations de Felasticite en relativite generale. Bol. Univ. Parana. Fis. Teor. 1963, No. 6, 26.

В e n n о u n J. F. Sur les equations d'un milieu materiel en re- btivite generale. С. r. Acad. Sci., 1964, 258, No. 1, 94—97.

В e n n о u n J. F. Su г les representations hydrodynamique et thermodynamique des milieux elastiques en relativite generale. C r Acad. Sci., 1964, 259, No. 21, 3705—3708.'二

В e n n о u n J. E. Etude de la representation des milieux con> tinus en relativite generale. Mimeographie. Paris, 1964.-

В e n n о u n J. F. Etude des milieux continus elastiques et thermodynamiques en relativite generale. Ann. Inst H. Poincare, 1965 A3 No. 1, 41—110.'

В e n n о u n J. F. Sur Finteraction entre le champ electro- magnetique et le milieu elastique polarisable en theorie de la gravitation. Definition de Fenergie electromagnetique dans la matiere. С г Acad. Sci., 1968, 267, No. 6, A278—A281.*

В e n n о u n J. F. Sur I'interaction entre le champ electromagnetique et le milien elastique polarisable en theorie de la gravitation. Etude des ondes electromagnetique dans la matiere. С. r. Acad. Sci., 1968, 267, No. 7, A297—A300.

В e n n о u n J. F. Sur Finteraction locale entre le champ electromagnetique et le milieu elastique polarisable en theorie de la gravitation. Acta Phys. Polon., 1968, 34, No. 3, 469—510.

Bergmann P. G. On relativistic thermodynamics. Phys. Rev., 1941, 59, 928.

Bergmann P. G. Generalized statistical mechanics. Phys. Rev., 1951, 84, 1026.

Bertman B., Guyer R. A. Comment on the article «Finite speed of propagation in heat conduction, diffusion and viscous shear motion» by H. D. Weymann; Weymann H. D. Reply to comments by Bertman and Gueyr. Amer. J. Phys., 1969, 37, No. 2, 231—232.

Bertman B., S a n d i f о г d D. J. Second sound in solid helium. Sci. Amer., 1970, 222, No. 5, 92—101.

В e г t о 11 i B. Relativistic plasma in a strong magnetic field. Collog. int. CNRS., 1970, No. 184, 251—262.

Bhattaachurya S. On certain hydrodynamical considerations of an imperfect fluid in a general relativistic field. Nuovo Cimen- to, 1956, 4, No. 2, 501-502.

Bialynicki-Birula I. Canonical formulation of relativistic hydrodynamics. Repts. Math. Phys., 1973, 4, No. 2, 139—151.

В i с a к J. A. A note on relativistic heat engines. Lettere Nuovo Cimento, 1969, 1, No. 5, 302—304.

В i c h t e 1 e г I\. Beitrage zur relativistischen kinetischen Gas- theorie. These. Hamburg, 1965.

В i c h t e 1 e г К. On the Cauchy problem of the relativistic Boltzmann equation. Communs. Math. Phys., 1967, 155, No. 5, 352—364.

В i s n о v a t y-K о g a n G. S., R u z m a к i n A. A. On the generation of magnetic field in rotating relativistic objects. Astron, and Astrophys., 1972, 17, No. 2, 243—245.

В 1 a n к f i e 1 d J., Me V i 11 i e G. C. Einstein's equations and classical hydrodynamics. Arch. Ration Meeh. Analysis, 1959, 2, No. 4, 337—354.

В1 u d m a n S. A. Stability of general-relativistic poly tropes Astrophys. J., 1973, 183, No. 2, 637—648.

В 1 u d m a n S. A. Simple calculation of critical parameters of neutron stars. Astrophys. J., 1973, 183, No. 2, 649—656.

В о e d a M. Nonveaux schemas hydrodynamiques classiques et

telativiste pour une particule sans spin. С. r. Acad. Sci., 1969, 268, No. 18, Bl 160—Bl 163.

D e Boer P. CT. Velocity modulation of a relativistic electron beam. J. Appl. Phys., 1964, 35, No. 10, 2789—2792.

В о i 11 a t G. On the propogation of heat. Lettere Nuovo Ci- mento, 1969, 1, No. 4, 256—258.

В о i 11 a t G. A relativistic exceptional wave propogating heat. Lettere Nuovo Cimento, 1969, 1, No. 5, 738—740.

В о i 11 a t G. Equation of state of relativistic thermodynamical incompressible fluid. Lettere Nuovo Cimento, 1969, 2, No. 6, 275—278.

В о i 11 a t G. Relativistic thermodynamic fluid. Lettere Nuovo Cimento, 1970, 3, No. 16, 521—525.

В о i 11 a t G. Dispersion relations for hyperbolic heat equations. Lettere Nuovo Cimento, 1972, 5, No. 18, 1117—1120.

Boillat G., Ruggeri T. Soluzioni lineari per la propaga- zione del calore in fluidodinamica relativistica. Atti. Acad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. fis., mat e natur., 1971 (1972), 51, No. 6, 511—514.

Bors A. Note on the temperature of a gas moving at relativistic speed. Proc. Phys. Soc., 1965, 86, 1141.

Boulanger Ph., Mayne G. Tenseur impulsion-energie d'un continu soumis a des effets thermiques et electro-magnetiques. Bull. cl. sci. Acad, roy Belg., 1971, 57, No. 7, 872—890.

Boulanger P., Mayne G. Etude theoretique de Finter- action d'un champ electromagnetique et d'un continu non conducteur polarisable et magnetisable. С. r. Acad. Sci., 1972, 274, No. 7, A591—A594.

Boyer R. H. Rotating fluid masses in general relativity. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1965, 61, No. 2, 527—530.

Boyer R. H., Lindquist R. W. A variational principle for a rotating relativistic fluid. Phys. Lett., 1966, 20, No. 5, 504—506.

В о у 1 i n g J. B. An axiomatic approach to classical thermodynamics. Proc. Roy. Soc., 1972, A329, No. 1576, 35—70.

Bragg L. E. Relativistically dynamic elastic . dielectrics. J. Math. Phys., 1970, 11, No. 1, 318—338.

Brans C., Dicke R. H. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev., 1961, 124, No. 3, 925—935.

Bray M. Congruence particulieres en magnetohydrodynamique. С. r. Acad. Sci., 1974, 278, No. 9, A645—A647.

В г e s s a n A. Cinematica dei sistemi continu in relativila generale. Ann. Mat. pure et appl., 1963, 62, 99—148.

В г e s s a n A. Termo-magneto-fluido-dinamica in relativita generale. Gas perfetti. Riv. Mat Univ. Parma, 1963, 4, 57—81.

В г e s s a n A. Termodinamica e magneto-visco-elasticita con deformazioni finite in relativita generale. Rend. Seminar mat. Univ. Padova, 1964, 34, No. 1, 1—73.

В г e s s a n A. Una teoria di relativita generale includente, oltre alFelectromagnetismo a alia termodinamica, le equazioni constitutive dei material! ereditari. Sistemazione acciomatica. Rend. Seminar Mat. Univ. Padova, 1964, 34, No. 1, 74—109.

В г e s s a n A. On relativistic thermodynamics. Nuovo Cimen- to, 1967, B48, No. 2, 201—222.

В г e s s a n A. Sui sistemi continui nel caso asimmetrico. Ann. mat. pura, appl., 1968, 64.

В г e s s a n A. De questioni direlativita generale. Ann. Mat pura, appl., 1972, 94, 177—200, 201—216.

Bressan A. On the principles of material indifference and local equivalence. Meccanica, 1972, 7, No. 1, 3—12.

В г e v i к I. Relativistic thermodynamics. Nat.-fys. medd. Kyi danske vid. selskab., 1967, 36, No. 3.

В г e v i к I. Some aspects of the relativistic statistical thermodynamics of non-interacting particles. Nuovo Cimento, 1969, B63, No 1 150—164. '

В г e v i к I. Electromagnetic energy-momentum tensor within material media. Phys. Lett., 1970, A31, No. 2, 50—51.

В г e v i к I., S u h о n e n E. Some aspects of the relativistic coherence theory of black-body radiation within transparent medium. Nuovo Cimento, 1969, 60B, No. 1, 141.

D e Broglie L. Sur la variance relativiste de la temperature. Cahiers de Physique, Janvier, 1948, 1.

De Broglie L. Sur 1a transformation relativiste de la quantique de chaleur et de la temperature et la thermodynamique ca- chee des particules. С. r. Acad. Sci., 1966, AB262, No. 19, В1235— В1238. —

D e В T о g 1 i e L. Sur la formule Q=QoYl—協 et les bases de la mecanique ondulatoire. С. r. Acad. Sci., 1969, 263, No. 25, B1351—B1354.

D e Broglie L Sur la transformation relativiste ae la quantate de chaleur et de la temperature et la thermodynamique cachee des particules. Rev. roumaine Phys., I960, 11, No. 9—10, 773—776.

D e Broglie L. Sur la dynamique du corps a masse propre variable et la formule de transfoimation relativiste de la chaleur. C. r. Acad. Sci., 1967, 264, No. 16, Bl 173—В1175.

D e Broglie L. Sur Fequation AW=AQ+AE en thermodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1967, 265, No. 8, B437—B439.

De Broglie L. Sur les discussions relatives a la formule Q=Qo}l—P2 et la definition de la pression en thermodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1967, 265, No. 10, B589—B591.

D e Broglie L. La thermodynamique relativiste et la thermodynamique cachee des particules. Internal. J. Theor. Phys., 1968, 1, No. 1, 1—24.

De В г о g 1 i e L. Sur les discussions relatives a la formule Q=Qo¥l—俨 et la definition de pression en thermodynamique relativiste. Bull. Inst. Politech. Iasi, 1968, 14, No. 1—2, 155.

D e Broglie L. Thermodynamique relativiste et mechanique ondulatoire. Ann. Inst. H. Poincare, 1968, A9, No. 2, 89—108.

В г о t a s A. Sur la transformation relativiste de fenergie des corps etendus. С. r. Acad. Sci., 1967, 265, No. 8, A244—A247.

В г о t a s A. Sur la transformation relativiste du travail et de la chaleur. С. r. Acad. Sci., 1967, 265, No. 14, A401—A404.

В г о t a s A. Le transfert de la chaleur et la non-invariance relativiste des pressions. Le formalisme invariant de la mecanique non adiabatique des milien continus. Portug. Phys. , 1967—1968, 5, No. 1—2, 3. .

Brownell D. H., J r., Callaway J. Ferromagnetic transi-

tion in superdense matter and neutron stars. Nuovo Cimento, 1969, 協60, No. 1, 169—188.

В г u h a t Y. Fluides relativiste de conductibilite infinie. Astronaut acta, 1960, 6, No. 6, 354—365.

Butler D. S., G r i b b e n R. J. Relativistic formulation for non-linear waves in a non-uniform plasma. J. Plasma Phys., 1968, 2, No. 2, 257—281.

Callen H., Horwitz G. Relativistic thermodynamics. Amer. J. Phys., 1971, 39, No. 8, 938—947.

Cannon J. T., Jordan T. F. A. No-interaction theorem in classical relativistic Hamiltonian particle dynamics. J. Math. Phys., 1964, 5, No. 3, 299—307.

C a n t о n i V. Some plane solutions of the relativistic Navier- Stokes equation. Mechanica, 1967, 6, No. 2, 75—79.

C a n u t о V. Electrical conductivity and conductive opacity of relativistic electron gas. Astrophys. J., 1970, 159, No. 2, 1, 641—652.

C a n u t о V., C h i t г e S. M. Solidification of neutron matter. Phys. Rev. Lett., 1973, 30, No. 20, 999—1002.

C a n u t о V., C h i t r e S. M. Solid core in neutron stars. Nature, Phys. Sci., 1973, 243, No. 126, 63—65.

C a n u t о V., Kumar S., Lee H. J. Origin of strong mag- netis field. Nature, Phys. Sci., 1972, 235, No. 53, 7.

С а г i c a t о G. Sur. Ie probleme de Cauchy pour les equations de la relativite generale dans les schemas materials fluide parfait et materiere pure. Ann. Inst. H. Poincare, 1968, A9, No. 3, 283—301.

С а г i n i G. Dinamica relativistica di materia disgregate con apporto di calore. Rend. Inst, lombardo Acad, scie e lettere, 1968, A102, No. 2, 289—301.

С а г i n i G. Sui fondamenti della fluidodinamica relativistica. Ann. mat. pura. ed appl., 1970, 84, 245—261.

Carr W. J., Jr. Possibility of a relativistic explanation for stellar magnetic fields. Phys. Rev., 1965, 140, No. IB, 236—238.

С а г г a s s i M. Heat and «fictitious» forces in variable rest mass relativistic dynamics. Meccanica, 1971, 6, No. 2, 80—806.

Carrassi M., Morro A. A modified Navier-Stokes equation and its consequences on sound dispersion. Nuovo Cimento, 1972, 9B, No. 2, 321—343.

С а г s t о i u J. Gravitation dans un milien cristalin. С. r. Acad. Sci., 1970, 270, No. 14, A291—A294.

Carter B. Elastic perturbation theory in general relativity and variation principle for a rotating solid star. Commun. Math. Phys., 1973, 30, No. 4, 261—286.

Carter B. Speed of sound in a high-pressure generabrela- tivistic solid. Phys. Rev., 1973, 7D, No. 6, 1590—1593.

Carter B., Quintana H. Foundations of general relativistic high-pressure elasticity theory. Proc. Roy. Soc., 1972, A331, No. 1584, 57—83.

Cattaneo C. Sur une forme de requation de la chaleur eliminaut le paradoxe d'une propagation instantance. С. r. Acad. Sci., 1958, 247, No. 4, 431—433.

Cattaneo C. A conjecture on the energy momentum tensor of a nonviscous relativistic fluid. Atti Accad. naz. Lincei. Rend, cl. sci. fis., mat. e natur., 1969.

Cattaneo C. Sur une conjecture concernant le tenseur

dWnergie et impulsion d'un fluide relativiste non visqueux. Colloq inf CNRS, 1970, No. 184, 213—220. 匚

Cattaneo C. Essain d'une theorie relativiste de Felasticitp C. r. Acad. Sci., 1971, 272, No. 21, A1421—A1424. *

Cattaneo C. Equations relativistes des petits mouvements adiabatiques d'un corps elastique. С. r. Acad. Sci., 1971, 273, No 12 A533—A536. •'

Cavalieri G., S a 1 g a c e 11 i G. Revision of the relativistic dynamics with variables rest mass and application to relativistic thermodynamics. Nuovo Cimento, 1969, 42A, 722—754.

C i s s о к о M. Ondes de detonation en magnetohydrodynami- que relativiste. С. r. Acad. Sci., 1971, 273, No. 1, A54—A57.

C i s s о к о M. Oudes de detonation en magnetohydrodynami- que relativiste. Ann. Inst. H. Poincare, 1972, Al7, No. 1, 43—57.

C i s s о к о M. Etude hydrodynamique of thermodynamique d'un fluide anisotrope relativiste. С. r. Acad. Sci., 1974, 278, No. 6, A463—A466.

C i s s о к о M. Ondes et discontinuites in magnetohydrodyna- mique anisotrope relativiste. С. r. Acad. Sci., 1974, 278, No. 9, A641—A644.

Ciubotariw C. D., Gottlieb J. The relativistic magnetohydrodynamics of a rotating plasma. Physica, 1973, 63, No. 2, 393—403.

Chandrasekhar S. Dynamical instability of gaseous masses approaching the Schwarzschild limit in general relativity. Phys. Rev. Lett., 1964, 12, No. 4, 114—116.

Chandrasekhar S. The dynamical instability of gaseous masses approaching the Schwarzschild limit in general rdativity. Astrophys. J., 1964, 140, No. 2, 417—433.

Chandrashar S. Post-Newtonian equations of hydrodyna- miquecs and the stability of gaseous masses in general relativity. Phys. Rev. Lett., 1965, 14, No. 8, 241—244.

Chandrasekhar S. The post-Newtonian equations of hydrodynamics in general relativity. Astrophys., J., 1965, 142, No. 4, 1488—1512.

Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. I. The Maclaurin spheroids and the virial theorem. Astrophys. J., 1965, 142, No. 4, 1513—1518.

Chandrasekhar S. The stability of gaseous masses for radial and non-radial oscillations in the post-Newtonian approximation of general relativity. Astrophys. J., 1965, 142, No. 4, 1519— 1540.

Chandrasekhar S. Conservation laws in general relativity and in the post-Newtonian approximation. Astrophys. J., 1969, 158, No. 1, 45—54.

Chandrasekhar S. The oscillations of a rotating gaseous mass in the post-Newtonian approximation in general relativity. Quanta, edit, by F. G. O. Freund, C. J. Goebel, Y. Nambu, Univ. Chicago. Press, Chicago—London, 1970, 182—195.

Cha ndrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. V. The deformed figures of the Maclaurin spheroides. Astrophys. J., 1971, 167, No. 3, 447—453.

Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. VI. The deformed figures of the Jacobi ellipsoids. Astrophys. J., 1971, 167, N。. 3, 455—463.

Chandrasekhar S., Contopoulos G. On a post-Gali- Jean transformation appropriate to the post-Newtonian theory of Einstein, Infeld and Hoffmann. Proc. Roy. Soc., 1967, A298, No. 1453, [23—⑷.

Chandrasekhar S., Esposito F. The 21/2-post-Newto- Rian equations of hydrodynamics and radiation reaction in general relativity. Astrophys. J., 1970, 160, No. 1, 153—179.

Chandrasekhar S., Friedman J. L. On the stability of axisymmetric systems to axisymmetric perturbations in general relativity. I. Astrophys. J., 1972, 175, No. 2, 375—405.

Chandrasekhar S., Friedman J. L. On the stability of axisymmetric system to axisymmetric perturbations in general relativity. IV. Alowance for gravitational radiation in odd-parity mode. Astrophys. J., 1973, 181, No. 3, 481—495.

Chandrasekhar S., Friedman J. L. On a criterion for the occurence of a Dedeking-like point of bifurcation along a sequence at axisymmetric system. I. Relativistic theory of uniformly rotating configuration. Astrophys. J., 1973, 185, No. 1, 1—18.

Chandrasekhar S., Nut к u Y. The second post-Newtonian equations of hyrodynamics in general relativity. Astrophys. J., 1969, 158, No. 1, 55-79.'

Chernikov N. A. Derivation of the equation of relativistic hydrodynamics form the relativistic transport equations. Phys. Lett., 1963, 5, No. 2, 115—117.

Chernikov N. A. The relativistic gas in the gravitational field. Acta Phys, polon., 1963, 23, No. 5, 629—645.

Chernikov N. A. Equilibrium distribution of the relativistic gas. Acta Phys. Polon., 1964, 26, No. 6, 1069—1092.

Chernikov N. A. Microscopic foundation of relativistic hydrodynamics. Acta Phys. Polon., 1965, 27, No. 3, 465—489.

Cha nmuga m G., O'C о n n e 11 R. F., Rajagopal A. K. Superfluidity in neutron stars. Phys. Lett., 1972, A39, No. 4, 285—286.

Cheorghiev Ch., I g n a t M. Sui moti rigidi nei mezzi con- tinui. Atti semin mat e. fis. Univ. Modena., 1972, 21, No. 1, 37—61.

C h e г n i n A. D. Turbulence in the hot Universe. Nature, 1970, 226, No. 5244, 440—441.

Chiu H. H. Class of asymptotic solutions of relativistic gas. Phys. Fluids, 1970, 13, No. 8, 1978—1983.

Chiu H. H. Fluid dynamics of relativistic gases. 9th Int Symp. Space Technol. and Sci. Tokyo, 1971. Abstrs. pap. Tokyo, ]97 ] 34

Chiu H. H. Relativistic gasdynamics. Phys. Fluids, 1973, 16, No. 6, 825—830.

Chiu Hon g-Y e e, C a n u t о V. Properties of high-density matter in intense magnetic fields. Phys. Rev. Lett, 1968, 21, No. 2, 110—113.

Choquet-Bruhat Y. Theoremes d'existance en mecanique des fluides relativistes. Bull. Soc., Math. France, 1958, 86, 155—175.

Choquet-Bruhat Y. Espace-temps einsteiniens generaux, chocs gravitationnels. Ann. Inst. H. Poincare. Sec A, 1968, 8, No. 4.

Choquet-Bruhat Y. Theoremes d'existence pour les equations des fluides charges relativistes. Colloq. internat. Centre nat. rech sci. Paris, 1967, 1969, No. 170, 103—115. *

Choquet-Bruhat Y. Existence and uniqueness for the Einstein-Maxwell-Liouville system. Гравитация. Киев, 1*972, 23」鹵.

Choquet-Bruhat Y., Lamoureu х-В г о usse L. Sur les equations de felasticite relativiste. С. r. Acad. Sci., 1973, 276, No. 19 A1317—A1320. ‘

Clark G. L. The mechanics of continuous matter in the relativity theory. Proc. Roy. Soc. Edinburg, 1949, A62, 434.

Clark G. L. Note on the problem of a rotating mass of perfect fluid in relativity mechanics. Proc. Roy. Soc., 1950, A201, 510.

Clark J. M., Chao N.-C. The crystallization of neutronic matter. Nature Phys. Sci., 1972, 236, No. 64, 37—39.

С 1 a u s e г E. Moto disingolarita e bicaratte-ristiche in campi spazio-temporali. Rend. Inst. Lombardo Sci. e lettere. Sci. mat. fis.» chim. e. geol., 1961, A95, No. 2, 390—397.

Clem mow P. C., Willson A. J. A relativistic form of Boltzmann's transport equation in the absence of collisions. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1957, 53, 222.

Coburn N. The method of characteristics for perfect compressible fluids in general relativity and non-steady Newtonian mechanics. J. Math. Meeh., 1958, 7, No. 4, 449—481.

Coburn N. Intrisic form of the characteristics relations for a perfect compressible fluid in general relativity and non steady Newtonian mechanics. J. Math. Meeh., 1960, 9, No. 3, 421—437.

Coburn N. Discontinuity relations for charged compressible, relativistic fluids. J. Math, and Meeh., 1961, 10, No. 3, 361—391.

Coburn N. The Cauchy problem and entropy in charged compressible relativistic self, inductive fluids. Fundamen. topics relativiste fluid. Meeh, and magnetohydrodynam. New York, London, Acad. Press., 1963, 43—60.

Coburn N. Gravitational characteristic waves in relativistic equilibrium fluids. Colloq. internat. Centre nat. rech. sci. Paris, 1967s 1969, No. 170, 131—145.

Cocke W. J. A maximum entrophy principle in general relativity and the stability of fluid spheres. Ann. Inst. H. Poincare, 1965, 2, No. 4, sect. A, 283—306.

Cocke W. J. Gravitational collapse and relativistic magnetohydrodynamics. Phys. Rev., 1966, 145, No. 4, 1000—1004.

Colgate S. A., Johnson M. A. Hydrodynamical origin of cosmic rays. Phys. Rev. Lett., 1960, 5, No. 6, 235—238.

Colgate S. A., M с к e e Ch. R., Blevins B. Relativistic shock propagation and search for electromagnetic pulses from supernovae. Astrophys. J., 1972, 173, No. 2, L87—L91.

Colgate S. A., Chen Y. H. Shock waves on neutron star cores. Astrophys. and space Sci., 1972, 17, No. 2, 325—329.

Coll B. Fronts de combustion en hydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1971, 273, No. 16, A749.

Coll B. Vittesse et existence des fronts de combustion en magnetohydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1972, 273, No. 23, A1671—A1674.

D e Conder T., Dupont Y. Theorie relativiste de I'elasti- cite et de relectromagnestriction. Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci., 1932, 18, 680, 782; 1933, 19, 370.

Cook J. L. Solutions of the relativistic two-body problem. 1. Classical mechanics. Aust J. Phys., 1972, 25, 2, 117—139; II. Quantum mechanics, 141—165.

Cuibotariu C. D. Isometric motion in relativistic magnetohydrodynamics. Phys. Lett., 1972, 40A, No. 5, 369—370.

Cuibotariu C. D., Gottlieb J. The relativistic magnetohydrodynamics of a rotating plasma. Physica, 1973, 63, 393—403.

Currie D. G. Interaction contra classical relativistic Hamiltonian particle mechanics. J. Math. Phys., 1963, 4, No. 12, 1470—1488.

Curtis A. R. The velocity of sound in general relativity with a discussion of the problem of the fluid spheres with constant velocity of sound. Proc. Roy. Soc., 1950, A200, 248.

Van D a n t z i g D. On relativistic thermodynamics. Konig Ned. Acad, van Wetens., 1939, 42, No. 6—10, 601—607.

Van Dantzig D. On relativistic gas theory. Nederl. Acad. Wetensch. Proc., Amsterdam, 1939, 42, No. 6—10, 608—625.

Van Dantzig D. On the phemenological thermodynamics of moving media. Physica, 1939, 6, No. 8, 673—703.

Van Dantzig D. Stress tensor and particle density in special relativity theory. Nature (Suppl.), 1939, 143, No. 3628, 855—856.

Van Dantzig D. On the thermo-hydrodynamics of perfectly perfect fluid. Nederl. Acad. Wetesch., Proc., 1940, 43, 387—402.

Dautcourt G. Matter and gravitational shock waves in general relativity. Arch. Ration Meeh, and Analysis., 1963, 13, No. 1, 55—58.

D e f г i s e P. Mecanique des milieux continus et geometries de space-temps. Bull. Soc. math. Belg., 1971, 23, No. 4, 377—388.

Demchenko V. V., E 1-S i г a g у N. M. Hydrodynamic theory of the stability of a selfJocussing relativistic beam. Plasma Physics, 1974, 16, No. 3, 303—315.

Deutsch R. V., Balan L. The propagation of the Alfven waves in nonhomogeneous systems in the relativistic magnetohydrodynamics. Bull. Inst politehn. Iasi, 1968, 14, No. 1—2, 175—178.

Detweiler S. L., I p s e г J. R. A variational principle and a stability criterion for. the nonradial modes of pulsation of stellar models in general relativity. Astrophys. J., 1973, 185, No. 2, 685—707.

Dicke R. H. Mach's principle and invariance under transformation of units. Phys. Rev., 1962, 125, No. 6, 2163—2167.

Dirac P. A. M. The theory of gravitation in Hamiltonian form. Proc. Roy. Soc., 1958, A246, No. 1246, 333—343.

Dolan P. On Mark's variational principle. Acta Ph vs. Polon, 1966, 30, No. 4, 617—628.”

D e D о n d e г T. Extension de la gravifique einsteinienne a la thermodynamique. С. r. Acad. Sci., 1928, 186, 1599.

D e D о n d e г T. La thermodynamique relativiste des syste- mes electromagnetique en mouvement. C. r. Acad. Sci., 1928, 187, 28.

D г о z-V i n c e n t P. Hamiltonian systems in relativistic dynamics Nuovo cimento, 1972, 12B, No. 1, 1—10.

D u b 1 e у R. M. Lorentz-invariant Markov processes in relativistic phase space. Arkiv. mat, 1966, 6, No. 3, 241—268.

D u b 1 е у R. M. Asymptotic of some relativistic Markov processes (four-velocities/galactis recession). Proc. Nat. Acad. Sci USA 1973, 70, No. 12, 3551—3555.'

Durand E. Sur la dynamique relativiste des millieux conti- nus. J. Math, pures et appliquees, 1946, 25, No. 3, 179—185.

Dyson F. J. Vulcano theory of palsars. Nature, 1969, 223 No. 5205, 486—487.'

Eberly J. H. Temperature transformations a «practical» choice. Nuovo Cimento, 1967, B48, No. 1, 167—170.

Eberly J. H., Ku j a wa ski A. Relativistic statistical me* chanics and blackbody radiation. Phys. Rev., 1968, 155, No. 1, 10.

Eckart C. The thermodynamics of irreversible processes. III. Relativistic theory of the simple fluid. Phys. Rev., 1940, 58, No. 10 919—924.'

E d e 1 e n D. G. B. Relativistic surface dynamics of an isolated world tube of perfect fluid. Proc. Nat. Acad. Sci., 1963, 50, 469.

Einstein A. Jahrb. Raiact Electr., 1907, 4, 411—462.

Ehlers J. Strenge Lossungen der Feldgleichungen der allge- meinen Relativitatstheorie. IV. Beitrage zur relativistischen Mechanik Kontinuierlicher Medien. Abhandl Math-naturwiss. KI. Acad. Wiss. und Liter., 1961, No. 11.

Ehlers J. Relativistic hydrodynamics and its relation to interior solutions of the gravitational field equations. Recent, deve- lopm. gen. relativity. Warszawa, PWN, Oxford—London—Paris Pergamon Press, 1962, 201—207.

Eisenhart L. P. Space time continua of perfect fluids in general relativity. Trans. Am. Math. Soc., 1924, 26, 205—220.

E 11 g г о t h P. G. Similarity analysis for relativistic flow in one dimension. Phys. Fluids, 1971, 14, No. 12, 2631—2635.

E 11 g г о t h P. G. Nonplanar relativistic flow. Phys. Fluids, 1972, 15, No. 12. 2140—2144.

Engels Е.» S а г 1 e t W. General solution and invariants for a class of lagrangian equations governed by a velocity-dependent potential energy. J. Phys. A.: Math., Nucl., Gen., 1973, 6A, No. 6.

E г i n g e n А. С., К a f a d а г С. B. Relativistic theory of microelectromagnetism. J. Math. Phys., 1970, 11, No. 6, 1984—1991.

Esposito F. P. Absorption of gravitational energy by a viscous compressible fluid. Astrophys. J., 1971, 165, No. 1, 165—170.

Esposito F. P. Interaction of gravitational radiation with an inviscid fluid in simple motion. Astrophys. J., 1971, 168, No. 3, p. I.

Esposito F. P. Absorption of gravitational energy by a conducting fluid in the presence of magnetic fields. Astrophys. J., 1972, 173, No. 2. 423—430.

F а с к e г e 11 E. Relativistic stellar dynamics. Astrophys. J., 1968, 153, No. 2, 643—660.

F а с к e г e 11 E. Relativistic spherically symmetric star clusters. V. A relativistic version of Plummers model. Astrophys. J., 1971, 165, No. 3, 489—493.

Fagundes H., Z i m e г m a n A. H. The two-body problem in the Lorents-covariant theory of gravitation. Nuovo Cimento, 1971, 3B, No. 1, 60—66.

F а г g u e D. Forme differentielle invariante dans un mouve- merit d'un fluide charge relativiste. С. r. Acad. Sci., 1971, 278, No. 19, A873—A876.

F a u 1 к e s M. C. Non-state fluid spheres in general relativity. Progr. Theoret. Phys., 1969, 42. No. 5, 1139—1142.

D e Felice F. A relativistic effect in pulsating fluid spheres Nuovo Cimento, 1969, 63B, No. 2, 649—660.

Finlayson B. A. Existence of variational principles for the Navier-Stokes equation. Phys. Fluids, 1972, 15, No. 6, 963—967.

Forester D. A. A note on neutral stability against convection in general relativity. Month. Notic Roy Astron. Soc., 1971, 151, No. 2, 157—159.*

F о u г e s-B г u h a t Y. Theoreme d'existence en mecanique des fluides relativistes. Bull. Soc. Math. France, 1958, 86, No. 2, 155—175.

F о u г e s-B г u h a t Y. Conditions de continuite et equations de choc. С. r. Acad. Sci., 1959, 248. No. 12, 1782—1784.

F о u г e s-B r u h a t Y. Fluides charges de conductivite infinie. С. r. Acad. Sci., 1959, 248, No. 18, 2558—2560.

F о u г e s-B г u h a t Y. Mecanique des fluides relativistes. Ca- hiers phys., 1959, 13, No. Ill, 463—468.

F о u г e s-B г u h a t Y. Les fluides charges en relativite generate. Colloq. internat Centre nat. rech. scent., 1962, No. 91, 157—163.

F о u г e s-B г u h a t Y. Mecanique des fluides relativistes. Applications equations non linearies. Phys, theor. Paris, 1962, 43—48.

F г e m 1 i n J. H. Does a moving body appear cool Nature, 1967, 213, No. 5073, 277.

Friedrichs К. O. A limiting process leading to the equations of relativistic and nonrelativistic fluid dynamics. Colloq. int CNRS, 1970. No. 184, 177—188.

Fritsch G. Relativistische Thermodynamik. Phys, unserer Zeit, 1972, 3, No. 4, 97.

F г о n s d a 1 C. Relativistic Kepler problem. Phys. Rev., 1971, 3D, No. 6, 1299—1302.

Fujita T., T s u n e t о T. The Ginsburg-Landau equation for 3p2 pairing. Superfluidity in neutron stars. Prog. Theor. Phys., 1972, 48, No. 3, 766—782.

Fu г u t s u K. Energy-momentum tensor of electromagnetic field in moving dispersive media and instability. Relativistic formulation. J. Radio Res. Labs., 1968, 15, No. 80—81, 219—243.

G a 1-0 г В. Space dynamics and the foundations of classical and relativistic thermodynamics. Isr. J. Technol., 1969, 7, No. 1-2, 61—72.

Gamba A. Relativistic transformation of thermodynamical quantaties (Beware of Jacobians). Nuovo Cimento, 1965, 37, No. 4, 1792—1794.

Gamba A. Remarks to the preceding letter by Kibble. Nuovo Cimento, 1966, B41, No. 1, 79—80.

Gamba A. Physical quantaties indifferent reference systems according to relativity. Am. J. Phys., 1967, 35, No. 2, 83.

Garrod C. Covariant Hamiltonian dynamics with interactions. Phys. Rev., 1968, 167, No. 5, 1143—1145.

Georgiou A. A relativistic form of statistical thermodynamics. Int. J. Theor. Phys., 1970, 3. No. 1, 41—45.

Georgiou A. Special relativity and thermodynamics. Proc. Cambr. Philos. Soc., 1969, 66, No. 2, 423—432.

G e г о c h R. P., Hegyi. Relativistic equations of state. Nature, 1967, 215, 501.

G iere A. C. Relativistic hydrodynamical waves and r「oud velocity. J. Math. Phys., 1966, 7, No. 9, 1648—1656.'

G i 1 a i n C h. Mecanique analytique des fluides relativistes C. r. Acad. Sic., 1971, 274, No. И, A929—A932.

Gilbert C. Statistical systems of particle in the expanding universe. Quart. Journ. Math. Oxford Ser., 1952, 3. 161.

Gilson J. G. Statistical relativistic particle. J. Appl. Proba- bil., 1967, 4, No. 2, 389.

Glass E. N., W i n i co u г J. Elastic general relativistic systems. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 12, 1934—1940.

Gold L. Wave-mechanical approach to relativistic thermodynamics. Nuovo Cimento, 1964, 33, No. 1, 178—183.

Gomes Ruy. A noca a de corp о rigido em relatividade restrita. Gaz. mat., 1954, 15, No. 58, 9—11.

D e G о 11 a 1 Ph. Kinetic equations for a non uniforme relativistic electron gas. Bull. cl. Sci. Acad. Roy Belg., 1966. 52, No. 9, 1094—1117.

D e G о 11 a 1 Ph., Prigongine I. Relativistic effects in statistical hydrodynamics. Physica, 1965, 31, 677—687.

Gottlieb J., Koch A. Relativistic treatment of media with electromagnetic anisotropy. An. Sti. Univ. Iasi., 1972, sec. 18, No. 2, 113—122.

G г a s s i n i R. Sull equazione bi evoluzione nella cinematica relativita dei sistemi continui in relativita generale. Ric. mat., 1971, 20, No. 2, 241—252.

Greco A. On the exceptional waves in relativistic magnetohydrodynamics (MHDR). Atti. Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Math, e natur., 1972, 52, No. 4, 507—512.

Greenberg P. J. Propagation equations for the set of natural geometrical invariants in relativistic hydrodynamics. J. Math. Anal, and Appl., 1970, 29. No. 3, 647—667.

Greenberg P. J. The general theory of space-like congruences with an application to vorticity in relativistic hydrodynamics. J. Math. Anal, and Appl., 1970, 30, No. 1, 128—143.

Greenberg P. J. The post-Newtonian equations of hydrodynamics for a thermally conducting, viscous compressible fluid in general relativity. Astrophys. J., 1971, 164, No. 3, 569—587.

Greenberg P. J. The post-Newtonian equations of magneto- hydrodynamics in general relativity. Astrophys. J., 1971, 164, No. 3, 589—601.

G г i о 1 i A. C. Sur una derivata interessante la theoria relati- vistica dei material! non semplici. Rend. Semin, mat. Univ. Padova, 1971, 45, 183—197.

G г 0 n F. The asynohronous formulation of relativistic statics and thermodynamics. Nuovo Cimento, 1973, 17B. No. 1, 141—165.

D e Groot S. R. Relativistic Boltzmann theory. Acta phys. austr., 1973, SuppL, No. 10, 529—561.

D e Groot S. R. Relativistische kinetische Theorie von Trans- porterscheinungen. Z. Phys., 1973, 262, No. 4, 349—358.

D e G г о о t S. R., d e Suttorp L. G. The relativistic energymomentum tensor in a dielectric. Phys. Lett., 1966, 21, No. 3, 297—298.

D e Groot S. R., de Suttorp L. G. The relativistic energy- momentum tensor in polarized media. Phys. Lett., 1967 A24, No. 7, 385—387.'

D e Groot S. R., de Suttorp L. G. On the uniqueness of the relativistic energy-momentum tensor in polarized media. Phys. Lett., 1967, A25, No. 2, 103—104.

D e G г о о t S. R., d e Suttorp L. G. The relativistic energy- momentum tensor in polarized media. I. The atomic energy-momentum conservation laws. Physica, 1967, 37, No. 2, 284—296.

D e GrootS. R., de Suttorp L. G. The relativistic energy- momentum tensor in polarized media. II. The angular momentum laws and the symmetry of the energy-momentum tensor. Physica, 1967, 37, No. 2, 297—308.

D e Groot S. R., Suttorp L. G. The relativistic energy- momentum tensor in polarized media. III. Statistical theory of the energy-momentum laws. Physica, 1968, 39, No. 1, 28—40.

D e Groot S. R., Suttorp L. G. The relativistic energymomentum tensor in polarized media. IV. The macroscopic material energy-momentum tensor. Physica, 1968, 39, No. 1, 41—60.

D e Groot S. R., Suttorp L. G. The relativistic energymomentum tensor in polarized media. V. Statistical thermodynamics of electromagnetic phenomena. Physica, 1968, 39, No. 1, 61—76.

D e Groot S. R., Suttorp L. G. The relativistic energymomentum tensor in polarized media. VI. The difference between the energy-momentum tensor in the presence and in the absence of external fields. Physica, 1968, 39, No. 1, 77—83.

D e Groot S. R., Suttorp L. G. The relativistic energymomentum tensor in polarized media. VII. Discussion of the results in connexion with previous work. Physica, 1968, 39, No. 1, 84—93.

D e Groot S. R., Weert van G G., H erm e n s W. Th., Leeuwen van W. A. Relativistic Onsager relations in kinetic gas theory. Phys. Lett., 1968, 26A, No. 8, 345.

D e Groot S. R., Weert van C. G., H e г m e n s W. Th., Leeuwen van W. A. Relativistic entropy law for a gas mixture outside equilibrium. Phys. Lett., 1968, 26A, No. 9, 439

D e Groot S. R., van Weert C. G., Hermens W. Th., van Leeuwen W. A. On relativistic kinetic gas theory. I. The second low for a gas mixture outside equilibrium. Physica, 1968, 40* No. 2, 257—276.

De Groot S. R., van Weert C. G., Hermens W. Th. and van Leeuwen W. A. On relativistic kinetic gas theory. II. Reciprocal relations between transport phenomena Phvsica, 1969, 40, No. 4, 581—593. • *

De Groot S. R., van Weert C. G., Hermens W. Th., van Leeuwen W. A. On relativistic kinetic gas theory. III. The non-relativistic limits and its range of validity. Physica, 1969, 42, 309.

Grosjean P. V. Theorie symplectique du fluide parfait re- lativiste. Bull. Soc. roy. sci. Liege. 1972, 41, No. 1・2, 31—39.

Grot R. A. Relativistic theory of the propagation of wave fronts in nonlinear elastic materials. Internat J. Engng. Sci., 1968, 6, No. 5, 295—307.

Grot R. A. Relativistic continuum theory for the interaction at electromagnetic fields with deformable bodies. J. Math. Phys., 1970, 11, No. 1, 109—113.

Grot R. A„ Er in gen A. C. Relativistic continuum mecha-

nics. Part II. Electromagnetic interactions with matter. Intern. J. Engno Sci., 1966, 4, No. 6, 639-670.* %

Grot R. A., E г i n g e n A. C. Relativistic continuum mechanics. Part I. Mechanics and thermodynamics. Intern. J. Engng Sci 1966, 4. No. 6, 611—638.”

Guerra F., Ruggiero P. New interpretation of the Euclidean—Markov field in the framework of physical Minkowski Space* time. Phys. Rev. Lett., 1973, 31, No. 16, 1022—1025.

Guessous A. Sur la fonction de distribution relativiste d'un gaz parfait en equilibre et la definition cinetique de la temperature

С. r. Acad. Sci., 1965, 260, No. 26, 68И—6814.

Guessous A. Sur la transformation relativiste de la temperature. С. r. Acad. Sci., 1965, 261, 1182.

Guessous A. Recherches sur la thermodynamique relativiste. Thise Doct. sci. phys. Fac. sci. Univ. Paris, 1967 (1968), 99p.

Guichelaar J., van Leeuwen W. A., de Groot S. R. On relativistic kinetic gas theory. VII. The propagation and absorption of sound. Physica, 1972, 59, 97.

Guichelaar J. Van Leeuwen W. A., de Groot S. R. Sound dispersion and absorption derived from relativistic kinetic theory. Phys. Lett., 1973, A43, No. 4, 323—324.

Haar D., Wergeland H. Thermodynamics and statistical mechanics in the special theory of relativity. Physics Reports. A review Section of Physic Letters (Sec. C), 1971, IC, No. 2.

Habeger С. C. The second law of thermodynamics and special relativity. Ann. of Phys. (USA), 1972, 72, No. 1, 1—28.

Hakim R. Quelques methodes en mecanique statistique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1965, 260, No. 11, 2997—3000.

Hakim R. Sur les equations de Vlasov d'un plasma relativiste. С. r. Acad. Sci., 1965, 260, No. 14, 3861.

Hakim R. Remarks on relativistic statistical mechanics. I. J.

Math. Phys.. 1967, 8, No. 6, 1315—1344.

Hakim R. Remarks on relativistic statistical mechanics. II. Hierarchies for the reduced densities. J. Math. Phys., 1967, 8, No. 7, 1379—1400.

Hakim R. Relativistic perfect gas in an external force field. Phys. Rev., 1967, 162, No. 1, 128.

Hakim R. Sur la mecanique statistique relativiste. Ann. Inst. Henri Poincare. 1967, sect. A, 6, No. 3, 225―244.

Hakim R. Relativistic scalar plasma. Phys. Rev., 1968, 106, 75—81.

Hakim R. Relativistic stochastic processes. J. Math. Phys

1968, 9, No. 11, 1805—1818.'

Hakim R., Mangeney A. Relativistic kinetic equations including radiation effects. I. Vlasov approximation. J. Math. Phys., 1968, 9, No. 1, 116—130.

Hakim R., Mangeney A. Remarks on relativistic thermodynamics. Lettere Nuovo Cimento, 1969, 1, No. 9, 429—435.

Hakim R., V i 1 a i n C. The applications of relativistic kinetic theory to cosmological models-some observational consequences. Astron, and Astrophys., 1973, 25, No. 2, 211—217.

Halbwachs F. Modele de fluide relativiste decrivant les ondes du corpuscule de spin %. J. Phys, et radium, 1956, 17. No. 12, 867—868.

Halbwachs F., H i 11 i о n P., V i g i e г J. P. Quadratic lagrangians in relativistic hydrodynamics. Nuovo Cimento, 1959, IX, 6, 882—883.

Halbwachs F., L о ch a к G., V i g i e г J. Decomposition en fonction de variables dynamique du tenseur d^nergie-impulsion de fluides relativistes dotes de moment cinetique interne. С. r. Acad. Sci., 1955, 241, No. 11, 692—695.

Halbwachs F., V i g i e г J. P. Lagrangien d'une masse fluide relativiste libre. C. r. Acad. Sci., 1959, 248, 1124—1126.

H a m e e n-A n 11 i 1 a K. A., S u h о n e n E. Radiative viscosity in relativistic medium. Ann. Acad. Sci. Fennicae, 1971, Ser. A., VI Physica, No. 359, 16 pp.

H a m i t у V. H. Relativistic thermodynamics. Phys. Rev., 1969, 187, No. 5, 1745—1753.

O'H anion J., Tam K -K. Scalar hydrodynamics and gravitation. Canad. J. Phys., 1969, 47, No. 8, 853—858.

Harris E. G. Relativistic magnetohydrodynamics. Phys. Rev., 1957, 108, No. 6, 1357—1360.

Harrison E. R. Origin of magnetic field in the early universe. Phys. Rev. Lett., 1973, 30, No. 5, 188—190.

Hartle J. B., Sharp D. H. Variational principle for the hydrostatic equilibrium of a relativistic rotating fluid. Phys. Rev. Lett, 1965, 15, No. 24, 909—911.

Havas P. The connection between conservation laws and laws of motion in affine spaces. J. Math. Phys., 1964, 5, No. 3, 373—378.

Hazlehurst J., Sargent w. L. W. Hydrodynamics in a radiation field — a covariant treatment. Astrophys. J., 1959, 130, No. 1, 276—285.

H e i n Z. C. Das d'AIembertische Prinzip in der Kontinuumsme- chanik. Acta Meehanica, 1970, 10, No. 1-2, 111—129.

Heintzmann H , Grewing M. Neutron star magnetism. Z. Physik, 1972, 250, No. 3/254—262.

Heintzmann H., Hillebrandt W., Krotscheck E., Ku n d t W. Neutron star corequakes and crustquakes. Ann. of Phys., 1973, 81, No. 2, 625—641.

Henin F. Liouville equation for a relativistic charged particle. Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg., 1963, 49, No. 4, 395—410.

Henin F. Liouville equation for a relativistic charged particle. Physica, 1963. 29, No. 12, 1233—1265.

Henriksen R. N., Rayburn D. R. Relativistic stellar wind theory: near zone solutions. Month. Notic. Roy. Astron. Soc., 1971, 152, No. 3, 323—333.

Henry J., P о 1 о m b о N. Lorentz transform of the work done by a uniforme pressure. Nuovo Cimento, 1973, B13, No. I> 101—113.

Henri G. R., F e d u n i a к R. B., Silver J. E., Peterson M. A. Distribution of blackbody radiation in a moving frame of reference. Phys. Rev., 1968, 176, No. 5, 1451.

H e г g 1 о t z G. Uber die Meehanik des deformierbaren K6r- pers von Standpunkte der Relativitatstheorie. Ann. der Physik, 1911, 36, 493—533.

H e г m e n s W. Th. Relativistic kinetic theory of chemical reactions and other transport phenomena, part I. General discussion. Proc. Kon. ned. akad. Wetensch, 1971, B74, No. 4, 376—397.

Н е г m e n s W. Th. Relativistic kinetic theory of chemical reac* tions and other transport phenomena, part II, III. Proc. Kon. ned akad. Wetensch., 1971, B74, No. 5, 461—481.

H ermen s W. Th., van Leeuwen W. A., van Wee г t C. G., de Groot S. R. On relativistic kinetic gas theory. VIII. Reciprocal relations for a reactive mixture. Physica, 1972, 60, No 2 472—487.''

Hill R. N. Canonical formulation of relativistic mechanics. J Math. Phys.. 1967, 8, No. 9, 1756—1773.

H i 11 i о n P. Transformation relativiste des grandeurs thermo* dynamiques. С. r. Acad. Sci., 1966, 263, No. 25, В1358—В1361.

H о г w a t h J. I. Die geometrische Struktur des relativistischen Phasenraumes. «Wiss. Z. Friedrich-Schiller-Univ. Jena. Math.-natur- wiss. Reihe», 1966, 15, No. 1, 149—160.

H о г w a t h J. I. Zero-point kinetic energy of relativistic fer> mion gases. Acta Phys, et chem. Szeged, 1967, 13, No. 1-2, 3—19.

H о г w a t h J. I. On the hyper-geometrization of relativistic phase-space formalism. I. Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1968, 24, No. 2-3； 205—223. *

Horwath J. I. On the hyper-geometrization of relativistic phase-space formalism. II. Acta Phys. Acad Scient. Hung., 1968, 24, No. 4, 347—371.

Horwath J. I. On the hyper-geometrization of relativistic phase-space formalism. III. Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1968, 25, No. 1, 1—15.

Horwitz G. Discussion on the paper： «Rest trames in relativistic thermodynamics» by V. H. Hamity-Author's reply. Phys. Rev., 1971, 4D, No. 12, 3812—3813.

Horwitz G., Katz J. Thermodynamics of relativistic rotating perfect fluids. Ann. Phys., 1973, 76, No. 2, 301—332.

I p s e г J. R., Thorne K. S. Relativistic spherically symmetric star clusteurs. 1. Stability theory for radial perturbations. Astrophys. J., 1968, 154. No. 1, 251—270.

I.-S h i n L i n. On the entropy supplying classical and a relativistic fluid. Archive for Rational Mechanics and Analysis., 1973, 50, No. 2, 111—117.

Israel W. Relativistic theory of shock waves. Proc. Roy. Soc..

1960, A259, No. 1296, 129—143.

I s г a e 1 W. Relativistic kinetic theory of a simple gas. J. Math.

Phys., 1963, 4, No. 9, 1163—1181.

Israel W., Vardalas I. N. Transport coefficients of a relativistic quantum gas. Lett. Nuovo Cim., 1970, 4, No. 19, 887—892.

I to H. Variational principle in hydrodynamics. Prog. Theor.

Phys.. 1953, 9, No. 2, 117—131.

1 1 d H. Remarks on variational principle for an inviscid, perfect, magnetized plasma. Prog. Theor. Phys., 1972, 48, No. 5, 1442— 1450.

Ivanov A. A., Istomin I. N., Kozorovitsky L. L., Rusanov V. D. Collisionless heat wave. (The wave of replacement). Phys. Lett., 1970, 33A, No. 8, 509—510.

Jackson J. C. Relativistic hydrodynamics and gravitational instability. Proc. Roy. Soc., 1972, A328, No. 1575, 561—565.

Jackson J. C. The oscillations of relativistic fluid masses.

Lett. Nuovo Cim., 1972, 4, No. 11, 494—496.

Jankewicz C. Das Variationsprinzip der relativistische Hydrodynamik. Acta Physik. Polon., 1959, 18, No. 1, 7—13.

Jankiewicz G. Вариационный принцип для идеальной жидкости с электромагнитным и гравитационным взаимодействием частиц. Zesz. nauk. Univ, wroctawski, 1959, 13, No. 3, 105—109.

Jankiewicz G. Вывод уравнений движения и непрерывности из уравнений поля идеальной жидкости, частицы которой взаимодействуют электромагнитными и гравитационными силами. Zesz. nauk Univ., wroclawski, 1959, 13, No. 3, 111—117.

Jaunzemis W. Differential geometry and continuum mechanics. Tensor, 1972, 25, 188.

Jenkins J. T. A theory of magnetic fluids. Archive for rational mechanics and analysis., 1972. 46, No. 1, 42.

Johnson M. H., McKee Ch. F. Relativistic hydrodynamics in one dimensions. Phys. Rev., 1971, 3D, No. 4, 858—863.

Relativity, heat and «fictitious forces». Nuovo Cimento., 1968, 57B, No. 2, 307.

Jordan P. Zum gegenwartigen Stand der Diracschen kosmo- logischen Hypothesen. Zeitsch. Phys., 1959, 157, No. 1, 112—121.

Jordan T. F. Hamiltonians in relativistic classical particle mechanics. Phys. Rev., 1968, 166, No. 5, 1308—1316.

De Jouvenel F., Quemada D. Interaction matiere-rayone- ment: description statistique semi-relativiste. Equations fondamenta- les. С. r. Acad. Sci., 1967, 264, No. 11, B833—B835.

J u 11 n e г F. Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeits- verteilung in der Relativitatstheorie. Ann. der Phys., 1911, 34, 856—882.

J u 11 n e г F. Die Dinamik eines bewegten Gases in der Relativitatstheorie. Ann. der Phys., 1911, 35, 145.

К a f a d а г С. B. The dynamical problem for a rigid body in special relativity. Ann der Physik, 1973, 29, No. 4, 325—340.

К a f a d а г С. В., E г i n g e n A. C. Micropolar media. I. The classical theory. Int J. Engng. Sci., 1971, 9, No. 3, 271—305.

К a f a d а г С. В., E г i n g e n A. C. Micropolar media. II. The relativistic theory. Inst. J. Eng. Sci., 1971, 9, No. 3, 307—329.

Kalman G. Liouville-equation in relativistic dynamics. Nuovo Cimento, 1962, 23, No. 5, 908—909.

Van К a m p e n N. G. Relativistic thermodynamics of moving systems. Phys. Rev., 1968, 173, No. 1, 295—301.

Van К a m p e n N. G. Lorentz invariarlce of the distribution in phase space. Physica, 1969, 43, No. 2, 244—262.

Van К a m p e n N. G. Relativistic thermodynamics. J. Phys. Soc. Japan, 1969, 26, Suppl. 316—321.

Van KampenN. G. A model for relativistic heat conduction. Physica, 1970, 46, 315.

Kaplan S. A., Tsytovich V. N. Relativistic plasma and pulsar emission mechanism. Nature, Phvs. Sci., 1973, 241, No. Ill, 122—124.”

К а г К. C. Relativity in the acoustical world. Indian J. Theor. Phys.. 1970, 18, No. 1, 1—11.

Kelly Don C. Diffusion: a relativistic appraisal. Amer. J. Phys., 1968, 36, No. 7, 585—591.

Kelly Don C. Electrical and thermal conductivities of a relativistic degenerate plasma. Astrophys. J., 1973, 179, No. 2, 599—606.

Kerner E. H. Remarks on the nature of relativistic particle orbits. J. Math. Phys., 1968, 9, No. 2, 222—232.

Kibble T. W. B. Relativistic transformation laws for thermodynamic variables. Nuovo Cimento, 1966, B41, No. 1, 72—78.

Kibble T. W. B. Comment of the remarks of Gamba. Nuovo Cimento, 1966, B41, No. 1, 83.

Kibble T. W. B. Remarks on the comments of Dr. Arzelies. Nuovo Cimento, 1966, B41, No. 1, 84—85.

Kihara T., Sakai K. Fluid dynamics for cosmology. Pubis. Astron. Soc. Jap., 1970, 22, No. 1, 1—12.

Klein O. On the thermodynamical equilibrium of fluids in gravitational fluids. Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 531.

К1 e m m о w P. C., Willson A. J. A relativistic form of Boltzmann's transport equation in the absence of collisons. Proc. Cam* bridge Philos. Soc., 1957, 53, No. 1, 222—225.

Klimek Z. О pewnej metodzie usuwania osobliwoski w mo~ delach kosmologicznych Friedmanna Postepy Astronomic, 1971, 19, No. 2, 165—171. ^

Kluitenberg G. A., d e Groot S. R., Mazur P. Relativistic thermodynamics of irreversible processes I (Heat conduction, diffusion viscous flow and chemical reactions; formal part). Physica, 1953, 19,'No. 8, 689—704.

Kluitenberg G. A., d e Groot S. R., Mazur P. Relativistic thermodynamics of irreversible processes II (Heat conduction and diffusion; physical part). Physica, 1953, 19, No. 11, 1079—1091.

Kluitenberg G. A., d e Groot S. R., Mazur P. Relativistic thermodynamics of irreversible processes III. (System without polarization and magnetization in an electromagnetic field). Physica, 1954, 20, No. 4, 199—209.

Kluitenberg G. A., d e Groot S. R. Relativistic thermodynamics of irreversible processes IV (Systems with polarization and magnetization in an electromagnetic fields). Physica, 1955, 21, No. 3, 148—168.

Kluitenberg G. A., d e G г о ot S. R. Relativistic thermodynamics of irreversible processes V (The energy；momentum tensor of the macroscopic eletcromagnetic field, the macroscopic forces acting on the matter and the first and second laws of thermodynamics). Phy- sica, 1955, 21, No. 3, 169—192.

Koba Z. Variation principle in relativistic hydrodynamics. Prog. Theor. Phys., 1955, 14, No. 5, 488—490.

Koch P. A. Relativistic Shock structure. Phys. Rev., 1965, 140, No. 4A, 1161—1165.

Koch A., Gottlieb J. Observations sur le traitement rela- tiviste des milieux anisotropes. С. r. Acad. Sci., 1972, 275, No. 21, B777—B779.

Kolpashchikov V. L., Baranov A. A. To geometrized theory of hyperbolic heat conduction equation. Intern. J. Heat and Mass Transfer, 1972. 15, No. 6, 1283—1284.

Kondo M., Sofue Y., Unno W. Thermal instability in the expanding universe. Prog. Theor. Phys. Suppl., 1971, No. 49, 120—147.

К r a n у s M. Relativistic hydrodynamics with irreversible thermodynamics without the paradox of infinite velocity heat conduction. Nuovo Cimento, 1966, B42, No. 1, 51—70.

К r a n у s M. General-relativistic thermodynamics with finite

transport velocity of interaction in matter. Nuovo Cimento, 1967, B50, No. 1, 48—64..

К r a n у s M. Non-truncated relativistic Chernicov-Grad 13-mo- ment equations as an approach to nonstationary thermodynamics. Phys. Lett., 1970, 33A, No. 2, 77—78.

К r a n у s M. Kinetic derivation of nonstationary general relativistic thermodynamics. Nuovo Cimento, 1972, B8. No. 2, 417—441.

К г a n у s M. Phase and signal velocities of waves in dissipative media. Special relativistic theory. Arch. Ration Meeh, and Anal., 1972, 48, No. 4, 274—301.

К r e f e t z E. A variational principle governing the equilibrium of a uniformly rotating configuration in the past-Newtonian approximation. Astrophys. J., 1966, 143, No. 3, 1004—1007.

К r i z a n J. E. Relativistic corrections in statistical mechanics for a system of charged particles. Doct. dis. Lehigh Univ., 1962, 77 pp. Ref. «Dissert. Abstrs.», 1963, 23, No. 9, 3427.

К г i z a n J. E., Havas P. Relativistic corrections in the statistical mechanics of interacting particles. Phys. Rev., 1962, 128, No. 1, 2916—2924.

Kroneker E., Seeger A. Das Einstein Tensor in der Kon- tinuumsmechanik, Phys. Verhandl, 1959, No. 1—3, 10—11.

Krotscheck E. Syperfluidity in neutron matter. Z. Phys., 1972, 251, No. 2, 135—140.

Krzywoblocki M. Z. v. Relativistic fluid dynamics in a non-vacuum regime. Int. J. Theor. Phys., 1969, 2, No. 2, 161—187.

Krzywobiocki M. Z. v. Lorentz invariants in relativistic fluid dynamics and thermodynamics in non-vacuo. Astrophys. and Space. Sci., 1970, 9, No. 2, 298—303.

Kuchar K. Transformation of heat in relativistic thermodynamics. Acta Phys. Polon.. 1969, 35, No. 3, 331—357.

Kuchowicz B. General relativistic fluid spheres. III. A simultaneous solving of two equations. Acta Phys. Pol., 1970, Bl, No. 4, 437—446.

Kuchowicz B. Radial pulsations and dynamical instability of relativistic spheres. Lett. Nuov. Cim., 1973, 7, No. 9, 341—344.

Kulhanek J. On the hamiltonian formalism in spacetime. Nuov. Cimento, 1960, 16, No. 6, 1092—1097.

Kurlandzki J., R о g u 1 a D. Relativistic invariance and causality in the theory of continues media. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Techn., 1971, 19, No. 2, 91—99.

Kursunoglu B. Relativistic plasma. Nucl. Fusion, 1961, 1, 213.

Lambermont J., L e b о n G. On a generalization of the Gibbs equation for heat conduction. Phys. Lett., 1973, 42A, No. 7, 499—500.

Lamia E. Uber die Hydrodynamik des Relativitatsprinzip. Dissertation, Berlin, 1911.

Lamia E. Uber die Hydrodynamik des Relativitatsprinzip. Ann. der Physik, 1912, 37, 772—796.

Lamoureu х-В г о u s s e L. Solides elastiques dans un espace-temps statique de la relativite generale. С. r. Acad. Sci., 1969, 268, No. 11, A625—A628.丄

Lamoureu x-B rousse L. Mouvement perturbe oscillatoire

d'un solide relativiste. Ondes materielles. С. r. Acad. Sci., 1971 979

No. 21, A1425—A1428.' 4

Landsberg P. T. Does a moving body appear cool? Natum

1966, 212, No. 5062, 571—572.%

Landsberg. P. T. Special relativistic thermodynamics Proc. Phys. Soc., 1966, 89, No. 4, 1007—1016.

Landsberg P. T. Does a moving body appear cool? Nature, 1967, 214, No. 5091, 903—904.

Landsberg P. T. Thermodynamics inequalities in special relativity. Ann. Phys. (USA), 1972, 70, No. 1, 1—9.

Landsberg P. T., D u n n i n g-D a vies J. Ideal relativistic Bose condensation. Phys. Rev., 1965, 138, No. 4A, 1049—1052.

Landsberg P. T., Johns K. A. A relativistic generalization of thermodynamics. Nuovo Cimento, 1967, B52, No. 1, 28—44.

Landsberg P. T., Johns K. A. Energy flux from the 3°K radiation. Nature, 1968, 220, No. 5172, 1120.

LandsbergP. T., Johns K. A. The problem of moving thermometers. Proc. Roy. Soc., 1968, A306, No. 1487, 477—486.

Landsberg P. T., Johns K. A. Work and heat in special relativity. J. Phys. Soc. Japan, 1969, 26, Suppl. 310—312. Discuss. 312.

Landsberg P. T., Johns K. A. Ensemble versus time average probabilities in relativistic statistical mechanics. Pure and Appl. Chem, 1970, 22, No. 3-4, 487—492.

Landsberg P. T., S a s 1 a w W. С., H a g gett A. J. On the adiabatic expansion of a relativistic gas. Month. Notic. Roy. Astron. Soc., 1971, 154, No. 3, P7—P8.

L a n 1 i g n e 1 A. Theorie quantique relativiste des gaz parfaits de Fermi et de Bose. Acta Phys. Polon., 1968, 34, No. 5, 895—912.

Laue M. V. Le Chatelier-Braunsches Prinzip und Relativitats- theorie. Z. Phys., 1954, 137, No. 1, 113—116.

Leaf B. The continuum in special relativity. I. Phys. Rev., 1951, 84, No. 2, 345—350.

Leaf B. The continuum in special relativity. II. Phys. Rev., 1953, 90, No. 6, 1090—1101.

Lee E. P. Dynamical friction in the post-newtonian approximation of general relativity. Astrophys. J., 1969, 155, No. 2, part 1, 687—695.

Van Leeuwen W. A. On the relativistic kinetic theory of transport processes. I. Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch., 1971, B74, No. 2, 122—133.

Van Leeuwen W. A. On the relativistic kinetic theory of transport phenomena. Ila. Proc. Kon Ned. Akad. Wetensch., 1971, B74, No. 2, 134—149.

Van Leeuwen W. A. On the relativistic kinetic theory of transport phenomena. lib. Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch., 1971, B74, No. 2, 150—155.

Van Leeuwen W. A. On relativistic kinetic theory of transport phenomena. III. Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch., 1971, B74, No. 3, 269—275..

Van Leeuwen W. A. On the relativistic kinetic theory oi transport phenomena. IV. Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch., 1971, B7% No. 3, 276—293.一

Van Leeuwen W. A., de Groot S. R. On relativistic kr netic gas theory. IV. The linearized transport equation and its soiw

tion for a mixture of relativistic maxwellian molecules. Physica, 1971, 51, No. 1, 1—15.

Van Leeuwen W. A., de Groot S. R. On relativistic kinetic gas theory. V. The coefficient of heat conductivity and thermal diffusion for a binary mixture of relativistic maxwellian molecules. Phy- 6ica, 1971, 51, No. 1, 16—31.

Van Leeuwen W. A., de Groot S. R. On relativistic gas theory. VI. The viscosity for a gas of maxwellian molecules. Physica, 1971, 51, No. 1, 32.

Van Leeuwen W. A., d e Groot S. R. Transport coefficients of a neutrino gas. Lett. Nuovo. Cim., 1973, 6, No. 12, 470—472.

Van Leeuwen W. А., К 0 x A. J., d e Groot S. R. Kinetic theory of transport coefficients of a relativistic binary mixture. Phys. Lett., 1974, 47A, No. 1, 31—33.

Van Leeuwen W. A., Polak P. H., de Groot S. R. Transport coefficients calculated by means of a relativistic extension of Enskog's method. Phys. Lett., 1971, 37A, No. 4, 323—324.

Va n Leeuwen W. A., Polak P. H., de Groot S. R. On the relativistic kinetic gas theory. IX. Transport coefficients for systems of particles with arbitrary interaction. Physica, 1973, 63, No. 1, 65—94.

Lerche I. Quasilinear theory of resonant diffusion in a magnetoactive, relativistic plasma. Phys. Fluids, 1968, 11, No. 8, 1720—1727.

Lev y-L e b 1 0 n d J. M. Relativistic system of particles in gravitational interaction. Phys. Rev., 1970, ID, No. 6, 1837—1840.

L i a n g E. P. T. Velocity-dominated singulirities in irrotational hydrodynamic cosmological models. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 3, 386—393.

L i a n i s G. The formulation of constitutive equations in continuum relativistic physics. Nuovo Cimento, 1970, B66, No. 2, 239—259.

L i a n i s G. The general form of constitutive equations in relativistic physics. Nuovo Cimento, 1973, B14, No. 1, 57—103.

L i a n i s G. Formulation and application of relativistic constitutive equations for deformable electromagnetic materials. Nuovo Ci- mento, 1973, B16, No. 1, 1—43.

L i a n i s G., В 1 a t z P. J. On the relativistic simple shear of a slab of neo-kookean material. Intern. J. Eng. Sci., 1969, 7, 539—554.

L i a n i s G., Rivlin R. S. Relativistic equations of balance in continuum mechanics. Arch. Ration. Meeh, and Anal., 1972, 48, No. 1, 64-82.

Lichnerowicz A. Sur un theoreme d'hydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1940, 211, 117—119.

Lichnerowicz A. Sur Finvariant integral de rhydrodyna- mique relativiste. Ann. Sci. EcoIe. Norm. Suppl. 3, 1941, 58. No. 4, 285—304.

L ichnero w icz A. Sur les equations de fhydrodynamique des fluides visqueux et la notion de fluide incompressible en relativite generalisee. C. r. Acad. Sci., 1944, 219, 270—272.

Lichnerowicz A. Theoremes d'existence et d'unicitS pour un fluide thermodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1965, 260. No. 12, 3291—3295.

Lichnerowicz A. Etude mathematique des equation de la magn^tohydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1965, 260, 4449— 4453.

Lichnerowicz A. Etude mathematique des fluides thermo-

dynamiques relativistes. Communs. Math. Phys., 1966, 1, No 5 328—373. * '

Lichnerowicz A. Sur les ondes de choc en magnetohydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1966, 262, 153—154.

Lichnerowicz A. Ondes de choc et hypoteses de compressL bilite en magnetohydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1968 266, No. 17, A888—A893. '

Lichnerowicz A. Ondes de choc et ondes en magnetohydrodynamique relativistes. «Colloq. internat. CNRS, Paris, 1967» 1969, No. 170, 25—41. '

Lichnerowicz A. Magnetohydrodynamique relativiste et ondes de choc. «Actes Congr. int. mathematiciens, 1970, t. 3》.Paris 1971, 47—56.

Lichnerowicz A. Ondes de choc en magnetohydrodynamique relativistes. «Colloq. intern. CNRS», 1970, No. 184, 61—71.

Lichnerowicz A. Sur les ondes de choc gravitationnelles. С. r. Acad. Sci., 1971, 273, No. 12, A528—A532.

Lichnerowicz A. Shock waves in relativistic magnetohydrodynamics. Гравитация. Киев, Ю72, 147—156.

Lichnerowicz A. Ondes de choc gravitationnelles et ele- ctromagnetiques. С. r. Acad. Sci., 1973, 276, No. 20, A1385—A1389.

Lichnerowicz A., M а г г о t R. Proprietes statistiques des ensembls de particules en relativite restreinte. С. r. Acad. Sci., 1940, 210, p. 759—761.

L i n d h a r d J. Temperature in special relativity. Physica, 1968, 38, No. 4, 635—640.

Lindquist R. W. Relativistic transport theory. Ann. Phys. (USA), 1966, 37, No. 3, 487—518.

Lopuszanski J. Relativisierung der Theorie der stochasti- schen Prozesse. Acta Phys. Polon., 1953, 12, No. 2, 87—99.

De Loringhoven L. Equations de base d'un theorie de Felasticite dans Fespace de Riemann et leur liaison avec les equations d'Einstein. С. r. Acad. Sci„ 1966, AB262, No. 5, A219—A222.

D e Loringhoven L. Les tenseurs de deformation et d'influence d'une theorie de felasticite dans Fespace de Riemann et les equation fondamentales d'une theorie generalisee des structures elasti- ques. C. r. Acad. Sci., 1968, 266, No. 19, A1021—A1023.

Lozupone V. Una forma delPequazione del transporto di Boltzmann per particelle relativistiche. Ricerca scient., 1964, Parte 1964, 7, No. 3, 683—694.

Lucquiand J. C. Sur le hypotheses de compressibilite d'un flu：de relativiste. С. r. Acad. Sci., 1970, 217, No. 21, A1089—A1092.

L u i к о v A. V. Application of irreversible thermodynamical methods to investigations of heat and mass transfer. Int. J. Heat Mass Transfer., 1966, 8, No. 2, 139—152.

Lukacevic I. Sur le mouvement irrotationnel des fluides parfaits charges en relativite generale. Pubis. Inst, math., 1957, 7, 51—54.

Lukacevic I. Ondes d'Alfen et perturbations des tenseurs de courbure en relativite generale. «Матем. весн.》，1969, 6, No. 4, 365—372.

Lukacevic I. Chocs et ondes rotatoires de la magnetohydrodynamique relativieste. Ann. Inst. M. Poincare, 1971, A14, No. 3卜 219—248.

Luke S. K-, Szamosi G. On the general relativistic Boltz* mann equation. Nuovo Cimento, 1970, B70, No. 1, 100—120.

M. a d о г e J. The absorption of gravitational radiation by a dissipative fluid. Communs. Math. Phys., 1973, 30, No. 4, 335—340.

M a h j о u b B. Etude des rayons associes aux ondes de compression d'un fluide relativiste conductuer de la chaleur d'apres le schemes de Landau et Lifchitz. С. r. Acad. Sci., 1968, 267, No. 18, A668—A671.

M a h j о u b B. Etude mathematique du systeme d'equations re- gissant revolution d'un fluide relativiste conducteur de chaleur. С. r. Acad. Sci., 1969, 268, No. 23, A1440—A1442.

M a h j о u b B. Systeme devolution d'un fluide relativiste conducteur de chaleur. Ann. Inst. H. Poincare, 1971, A14, No. 2, 113—137.

M a h j о u b B. Propriete des rayons associes aux ondes hydro- dynamiques d'un fluide relativiste conducteur de chaleur. Ann. Inst H. Poincare, 1971, A14, No. 3, 205—218.

M a h j о u b B. Systeme devolution d'un fluide relativiste conducteur de chaleur d'apres le schema d'Eckart. Ann. Inst. H. Poincare, 1971, 15, No. 12, 153—168.

Manassah J. T. Pion condensation and the Meisner effect in superdense neutron stars. Physic Letters., 1973, 45A, No. 5, 375—376.

Mann A., Weiner R. M. Superfluidity of hadromic Matter. Nuovo Cimento, 1972, 10A, No. 4, 625—640.

Marie C. Sur Festablissement des equations de Fhydrodyna- mique des fluides relativistes dissipatifs. I. ^equation de Boltzmann relativiste. II. Methodes de resolution approchee de fequation de Boltzmann relativiste. Ann. Inst. H. Poincare, 1969, 10A, No. 1.

Marchal R. Formules de transformation relativistes en thermodynamique. Entropie, 1966, No. 10, 11—14.

Marchal R. fequation d*etat des gaz parfaits et la for- mule de Mayer en relativite restreinte. С. r. Acad. Sci., 1966, 263, No. 15, A529—A532.

Marchal R. Sur les formules de transformation de la chaleur et de la temperature en relativite restreinte. С. r. Acad. Sci., 1966, AB262, No. 17, 982—984.

Marchal R. Formules de transformation relativistes en thermodynamique. Entropie, 1967, No. 15, 9—12.

Marie Ch. Expression du tenseur d^mpulsion-energie d'un gaz visqueux conducteur de la chaleur en relativite generale. C. r. Acad. Sci., 1965, 260, No. 24, 6300—6302.

Marie Ch. Modele cinetique pour retablissement des lois de la conduction de la chaleur et de la viscosite en theorie de la relativite. С. r. Acad. Sci, 1965, 260, No. 25, 6539—6541.

Marie Ch. Modele cinetique pour un gaz relativiste a deux constituants. С. r. Acad. Sci., 1966, 262, No. 1, A100—A103.

Marie Ch. Relations entre deux descriptions macroscopiques d'un gaz relativiste visqueux conducteur de la chaleur. С. r. Acad. Sci., 1966, 262, No. 25, A1431—A1433.

Marie Ch. Sur fetablissement des equations de Fhydrodyna- mique relativiste. Ann. Inst. H. Poincare, 1969, 10, 67—194.

Mason D. P. Infinite conductivity in general relativistic magnetohydrodynamics. J. Phys. A. Gen. Phys., 1972, 5A, No. 10, L91—L92.

Mathews W. G. The hydromagnetic free expansion of「 lativistic gas. Astrophys. J., 1971, 165, No. 1, part I, 147—164. ° -

M a t z n e г R. A., Misner C. W. Dissipative effects in the expansion of the Universe. I. Astrophys. J., 1972, 171, No. 3, 415—432

M a t z n e г R. A. Dissipative effects in the expansion of [he Universe. II. Component model for neutrino dissipation of anisotropy in the early universe. Astrophys. J., 1972, 171, No. 3, 433—448. '

M a u g i n G. Un modele viscoelastique en relativite generale С. r. Acad. Sci., 1971, 272, No. 22, A1482—A1484. '

M a u g i n G. Etude des deformations d'un milieu continu magnetiquement sature, employant la notion d'espace de Finsler. С. r Acad. Sci., 1971, 273, No. 11, A474—A476. *

M a u g i n G. finegalite de Clausius-Duhem pour des milieux continus relativistes. C. r. Acad. Sci., 1971, 273, No. 21, A1010—A1012.

M a u g i n G. Magnetized deformable media in general relativity. Ann. int. H. Poincare, 1971, A15, No. 4, 275—302.

M a u g i n G. Sur la transformation de Clebsch et rhydrodyna- mique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1972, 274, No. 2, A218—A220.

M a u g i n G. Sur la transformation de Clebsch et la magneto hydrodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1972, 274, No. 7, A602— A604.

M a u g i n G. Sur une possible definition du principle ^indifference materielle en relativite generale. С. r. Acad. Sci., 1972, 275, No. 4, A319—A322.

M a u g in G. Sur quelques applications du principle d^ndiffe- rence materielle en relativite. С. r. Acad. Sci., 1972, 275, No. 5, A349— A352.

M a u g i n G. Sur Faxiome du voisinage et la dependence fonctionnelle des lois de comportement en mecanique relativiste des millieux continus. С. r. Acad. Sci., 1972, 275, No. 7, A405—A408.

M a u g i n G. Relativistic theory of magnetoelastic interactions. I. J. Phys. A: Gen. Phys., 1972, 5A, No. 6, 786—802.

M a u g i n G. Relativistic theory of magnetoelastic interactions. II. Constitutive theory. J. Phys. A: Math., Nucl., and Gen. Phys., 1973, 6A, No. 3, 306—321.

M a u g i n G. Harmonic oscillations of elastic continua and detection of gravitational waves. Gen. Relat and Gravit., 1973, 4, No. 3, 241—272.

M a u g i n G. Sur les notions de fluide visqueux, de solide elastique et de conduction de chaleur en relativite. С. r. Acad. Sci., 1973, 276, No. 14, A1027—A1030.

M a u g i n G. Constitutive equations for heat conduction in general relativity. J. Phys. A: Math., Nucl. and Gen. Phys., 1974, 7, No. 4, 465—484.

M a u g i n G. Sur le gradient relativiste de temperature. С. r. Acad. Sci., 1974, 278, No. 3, A185—A188.

M a u g i n G., E г i n g e n A. C. Deformable magnetically saturated media. I. Field equations. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 2, 143—155.

M a u g i n G., Eringen A. C. Deformable magnetically saturated media. II: Constitutive theory. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 9, 1334—1347.

M a u g i n G., Eringen A. C. Polarized elastic materials

with electronic spin — a relativistic approach. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 11, 1777—1788.

M a u g i n G., E г i n g e n A. C. Relativistic continua with directors. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 11, 1788—1797.

Marx G. Relativistikus hidrodinamika. Ma guar fiz. folyoirat., 1957, 5, No. 2, 91—104.

M с I n t о s h С. B. G. Cosmological models with n-fluids. Bull. Austral. Math. Soc., 1971, 4, No. 1, 141—142.

McKee C. R., Colgate S. A. Relativistic shock hydrodynamics. Astrophys. J., 1973, 181, No. 3, 903—938.

M e г c h e s I. Equations of conservation in relativistic magnetohydrodynamics. Ann. Sti. Univ. Iasi., 1971, sec. lb, 17, No. 1, 1—6.

M e г c h e s I. MaxwelFs equations in relativistic magnetohydrodynamics. Phys. Letters, 1971, A34, No. 2, 132.

M u 1 к u t a t E. Zur Instabilitats des Universums: Eine Be- merkung zur Boltzmann-Statistik un expandierenden spharischen Weltmodel. Astron. Machr., 1938, 266, 41.

Misner Ch. W. Neutrino viscosity and the isotropy of primordial blackbody radiation. Phys. Rev. Lett., 1967, 19, No. 9, 533—535.

Misner Ch. W. Transport processes in the primordial fireball. Nature, 1967, 214, No. 5083, 40—41.

Misner Ch. W. Relativistic fluids in cosmology. «Colloq. internal. CNRS. Paris, 1967», 1969, No. 170, 155—157.

Misra P., Roy К. C. Dielectric function of generate plasma at relativistic temperature. Indian J. Phys., 1970, 44, No. 7, 399—404.

Moller C. Relativistic thermodynamics (A strange incident in the hystory of physics). Mat.-fys. medd. Kgl. danske vid. Selskab., 1967, 36, No. 1.

Moller C. Gibbs statistical mechanics in the theory of relativity. Mat.-fys. medd. Kgl. danske vid. Selskab, 1968, 36, No. 16.

Moller C. Thermodynamics in the theory of relativity. Wiss. Z. F.-Schiller Univ. Jena. Math.-naturwiss. Reihe, 1968, 17, No. 2, 191—193.

Moller C. The thermodynamical potentiales in the theory of relativity and their statistical interpretation. Mat.-fys. medd. Kgl. danske Vid. selskab, 1969, 37, No. 4.

Moller C. Force and work in the theory of relativity. Phys, norv., 1971, 5, No. 3-4, 297—302.

Muller I. Toward relativistic thermodynamics. Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 1960, 34, No. 4, 259—282.

Muller I. A new systematic approach to non-equilibrium thermodynamics. Pure and Appl. Chem., 1970, 22, No. 3-4, 335—342.

Munn M. W. A variational principle for magnetoelastic rotating stars in general relativity. Astrophys. J., 1973, 181, No. 3. 957—976.，，'

Nakajima S. On relativistic statistical thermodynamics. Techn. Rept. ISSR, 1968, A, No. 333.

N a г i a i H. Hydrodynamical equations for a collapsing object with spherical symmetry in terms of the scalar-tensor theory of gravity. Prog. Theor. Phys., 1972, 47, No. 3, 832—844.

N а г i b о 1 i G. A. Alfven wave in relativistic gas. Tensor, 1969, No. 2, 161—166.

N a v e z J. Note sur les oscillations radiales du mo dele com-

pressible homogene relativiste. Bull. Soc. Roy., Sci. Liege, 1966, 35, No. 11-12, 711—726.

Newburgh R. G. Remarks on the comments of Prof. Arze- lies. Nuovo Cimento, 1969, 61B, No. 2, 208.

Neugebauer G. Fiir relativistischen Thermodynamik irre- versibler Prozesse in ponderablen Stoffen. Wiss. Z. Friedrich-Schiller- Univ., Jena. Math.-naturwiss Reihe, 1964, 13, No. 2, 209—212.

Neugebauer G. Zu den Grundbeziehungen der allgemein- relativistischen Thermodynamik. Wiss Z. Friedrich-Schiller-Univ.-Jena. Math.-naturwiss, Reihe, 1966, 15, No. 1, 161—165.

Neugebauer G., Strobel H. Der Einflup isotroper irre- versibler Prozesse auf das Friedmansche kosmologische Modell. Wiss Z. Friedrich-Schiller-Univ.-Jena, Math.-naturwiss, Reihe 1969, 18, No. 1, 175—180.

N i W e i-T о u. Theoretical frame works for testing relativistic gravity. IV. A compendium of metric theories of gravity and their post-Newtonian limits. Astrophys. J., 1972, 176, No. 3, 769—796.

N i W e i-T о u. Relativistic stellar stability: an emperical approach. Astrophys. J., 1973, 181, No. 3, 939—956.

Nightingale J. D. Independent investigations concerning bulk viscosity in relativistic homogeneous isotropic cosmologies. Astrophys. J., 1973, 185, No. 1, 105—114.

Nitsch J. First and zero sound in neutron matter. Z. Physik, 1972, 251, No. 2, 141—151.

Noerdlinger P. D. A moving body must «appear» cool. Nature, 1967, 213, No. 5081, 1117—1118.

N о г d t v e d t K・，Jr. Post-Newtonian metric for a general class of scalar-tensor gravitational theories and observational consequences. Astrophys. J., 1970, 161, No. 3, 1059—1067.

N u t к u Y. The post-Newtonian equations of hydrodynamics in the Brans-Dicke theory. Astrophys. J., 1969, 155, No. 3, part I, 999—1007.

Occhionero F. Normal radial vibrations in dead-cold, fully generate stars and the general-relativistic dynamical instability. Atti Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. Sci. Fis., Mat e hatur., 1968 (1969), ser. 1, 9, No. 4, 105—131.

Occhionero F., D em i a n s к i M. Electric fields in rotating magnetic relativistic stars. Phys. Rev. Lett, 1969, 23, No. 19, 1128-1130.

Ogura K. Extension d'un theoreme de Liouville an champ de gravitation. С. r. Acad. Sci., 1921, 173, 766.

01 d г о у d J. G. Equations of state of continuous matter in general relativity. Proc. Roy. Soc., 1970, A316, No. 1524, 1—28.

Olson D. W., Sachs R. K. The production of vorticity an expanding, self-gravitating fluid. Astrophys. J., 1973, 185, No. 1,

Ostgaard. Neutron star matter superfluidity and superconductivity. Z. Physik, 1971, 243, No. 1, 79—91.

011 H. Lorentz-Transformation der Warme und der Tempe- ratur. Z. Physik, 1963, 175, No. 1, 70—104.

Pachner J., Teshima R. A method for numerical integration of time-dependent Einstein equations. Canad. J. Phys., 1973, 51, No. 7, 743—750.

P a c h n е г J. Rotating incoherent matter in general relativity. Canad. J. Phys., 1973, 51, No. 4, 477—490.

Palmer R. G., T о s a 11 i E., Anderson P. W. Are neutron star cores pion condensates or quantum crystals? Nature Phys. Sci., 1973, 245, No. 147, 119—120.“

P а г i z e t J. Etude geometrique des discontinuites en relativite generale. Application au schema fluid parfait. С. r. Acad. Sci., 1963, 256, No. 25, 5287—5290.

P а г i z e t J. Contribution a fetude des ondes et ondes de choc en relativite generale. Ann. Scient. Univ. Besancon. Mec. et phys. theor., 1965, No. 5, 3—63.

P а г i z e t J. Contribution a Fetude des ondes et des ondes de choc en relativite generale. These Doct. Sci. math. Fac. Sci. Univ. Paris, 1965.

Papapetrou A. Ondes de choc et symetric spherique en relativite generale. С. r. Scad. Sci., 1963, 257, No. 18, 2616—2619.

Papapetrou A., T г e d e г H. Shock waves in general relativity. Recent developm. gen. relativity. Warszawa, 1967, 351—360.

P a p i n i G. Superconducting and normal matels in a timedependent gravitational field. Lett. Nuovo Cimento, 1970, 4, No. 14, 663—666.

P a p i n i G., M i к e t i n a с M. J. On a fully covariant theory of charged superfluids. Lett. Nuovo Cimento, 1972, 5, No. 15, 981—984.

P a s q u a M. Alcune soluzioni a simmetria cilindrica della equazione relativistica di Navier-Stokes. Atti. Accad. naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. fis., mat. e natur., 1972 (1973), 53, No. 1-2, 127—132.

P a t h г i a R. K. A note on the (relativistic) statistical mechanics of an assembly in mass-motion. Proc. Nat Inst. Sci., India, 1955, A21, No. 5, 331—337.

P a t h г i a R. K. On the (relativistic) statistical thermodynamics of an assembly in mass-motion. Proc. Nat. Inst. Sci., India, 1957, A23, No. 3, 168—177.

P a t h г i a R. K. Lorentz transformation of thermodynamic quanta ties. Proc. Phys. Soc., 1966, 88, No. 4, 791—799.

P a t h г i a R. K. Lorentz transformation of thermodynamic quantaties. II. Proc. Phys. Soc., 1967, 91, No. 1, 1—17.

Pearson J. M., S a u n i e г G. Nuclean ferromagnetism in neutron stars calculated with relativistic forces. Phys. Rev. Lett., 1970, 24, No. 7, 325—327.

Peck С. С., M e e c h a m W. C. Relativistic isotropic turbulence. Bull. Am. Phys. Soc., 1958 (2), 3, No. 28, 361.

Pegoraro F. On the SO(3) XSO(3) symmetry in hydrodynamical problems. Atti della Accad. Naz. de Lincei Rendiconti, 1971, 70, No. 1, 73—79.

Penn S. Comment on «Thermodynamics and classical relativity». Am. J. Phys., 1967, 35, No. 8, 780.

Penney R. Note on relativistic thermodynamics. Nuovo Ci- mento, 1966, A43, No. 4, 911—918.

Perrin H. Sur une classe de solutions des equations de Fhyd- rodynamique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1968, 266, No. 17, A894—A896.

Perrin H. Ondes simples en magnetohydrodynamiques relativistes. С. r. Acad. Sci., 1968, 267, No. 1, A53—A56.

Petit J.-P. Une methode de resolution de Fequation de Vlasov. Application a une theorie globale, non-lineaire, de la rotation

galactique et de la structure spirale galactique. С. r. Acad. Sci 1979 275, No. 20, B755—B758.'

P f а г г J. Magnetic properties of neutron matter. Z. Phvsik 1972, 251, No. 2, 152—158.'

Pham Mau Quan. Thermodynamique d'un fluide relativiste Semin theor. phys. (Semin L. de Broglie). Fac. sci. Paris, 1954/1955 24, No. 3, 1—19.'

Pham Mau Quan. Thermodynamique d'un fluide relativiste. С. r. Acad. Sci., 1953, 236, No. 24, 2299—2301.

Pham Mau Quan. Le probleme de Cauchy pour un fluide parfait thermodynamique. С. r. Acad. Sci., 1953, 237, No. 1, 22—24.

Pham Mau Quan. Mouvements permanents d'un fluide parfait thermodynamique. C. r. Acad. Sci., 1954, 238, No. 3, 324—327.

PhamMau Quan. Les equations du champ pour un schema fluidechamp electromagnetique. С. r. Acad. Sci., 1955, 240, No. 6, 598—600.

PhamMau Quan. Le probleme de Cauchy relatif a un schema fluide-champ electromagnetique. С. r. Acad. Sci., 1955, 240, No. 7, 733—735.

Pham Mau Quan. Sur une theorie relativiste de fluides thermodynamique. Ann. mat. pura ed appl., 1955, 38, 121—204.

Pham Mau Quan. Etude electromagnetique et thermodynamique d'un fluide relativiste charge. J. Rational mech. and analysis., 1956, 5, No. 3, 473—538.

Pham Mau Quan. Inductions electromagnetiques en relativite generale. Arch. Rat. Mech. Anal., 1957, 1. 54—79.

Pham Mau Quan. Thermodynamique d'un fluide relativiste.

Atti sesto congr. unione mat. ital., Tenuto Napoli, 11-16 sett., 1959. Roma, Cremonese, 1960, 445—447.

Pham Mau Quan. Thermodynamique d'un fluide relativiste.

Boll. Unione mat. ital., 1960, 15, No. 2, 105—118.

Pham Mau Quan. Magnetohydrodynamique relativiste.

Ann. Inst H. Poincare, 1965, 2, 151—165.

Pham Mau Quan. Thermodynamique relativiste. С. r. Acad.

Sci., 1965, 261, No. 16, 3049—3052.

Pham Mau Quan. Aspect geometrique de Pequation de Boltzmann relativiste. С. r. Acad. Sci., 1966, 263, No. 2, A106—A109.

Pham Mau Quan. Fluides charges de conductivite finie.

Colloq. intern CNRS, 1967. Paris, 1969, No. 170, 117—129.

Pham Mau Quan. Sur les equations des fluides charges inductifs en relativite generale. Rend, mat., 1969, 2, No. 1-2, 197—233.

Pham Mau Quan. Ondes et discontinuites en magnetohydrodynamique relativiste. Colloq. int. CNRS, 1970, No. 184, 45—59.

P i c h 0 n G. Les varietes caracteristiques des fluides visqueux en relativite generale. С. r. Acad. Sci., 1963, 256, 1675—1677.

P i c h oxi G. Etude relativiste des fluides visqueux et charges.

Ann. Inst H. Poincare, 1965, 7, 21—85.

P i c h 0 n G. Les ondes elastiques dans les milieux charges.

С. r. Acad. Sci., 1965, 260, No. 12, 3299—3302.

P i c h 0 n G. Theoremes d'existence pour les equations de milieux elastique isotropes. С. r. Acad. Sci., 1965, 261, No. 23, 4999—5002.

P i c h 0 n G. Theoremes d'existence pour les equations de milieux elastiques. J. Math, pures et appl., 1966, 45, No. 4, 395—409.

P ichon G. Sur Voperateur integral de requation de Boltz-

mann relativiste linearisee. C. r. Acad. Sci., 1969, 269, No. 25, A1233—A1235.

P i c h о n G. Probleme de Cauchy pour Fequation de Boltzmann relativiste linearisee. Colloq. int. CNRS, 1970, No. 184, 135—144.

P i c h о n G. Problemes mathematiques de Pequation Boltzmann relativiste. Communs. Math. Phys., 1970, 19, No. 3, 189—203.

Pina E., В a 1 e s c u R. Some aspects of relativistic statistical mechanics. Acta phys. austriaca., 1968, 28, No. 3-4, 309—319.

Planck M. Zur Dynamik bewegter systeme. Ann. der Phys., 1908, 26, 1.

Pines D., S h a h a m J. Microquakes and macroquakes on neutron stars. Nature Phys. Sci., 1972, 235, No. 55, 43—49.

Polak P. H., van Leeuwen W. A., d e Groot S. R. On relativistic kinetic gas theory. X. Transport coefficients in the intermediate relativistic regime. Values for special models. Physica, 1973, 66, No. 3, 455—473.

Power E. A., Wheeler J. A. Thermal Geons. Rev. Mod. Phys., 1957, 29, 480.

Prentice A. J. R. Dispersion relations in relativistic Vlasov plasmes. Phys. Fluides, 1968, 11, No. 5, 1036—1044.

Racine Ch. Le probleme relativiste d'une masse en rotation. С. r. Acad. Sci., 1963, 257, No. 15, 2081—2082.

Ramirez G. A. A relativistic theory for viscoelastic solids. Doc. diss. Purdue Univ., 1966, 180 pp. Diss. Abstr., 1967, B2 7, No. 7, 2387.

Ramirez G. A., L i a n i s G. Relativistic kinematics of deformable continua. Acta mech., 1968, 6, No. 4, 326—343.

Ramirez G. A., L i a n i s G. Relativistic kinematics of deformable continua. II. Acta mech., 1969, 7, No. 1, 58—71.

R a у J. R. A note on the Lagrangian density for fluid systems in general relativity. Acta Phys. Polon., 1966, 30, No. 3, 481—484.

Ray J. R. Lagrangian density for perfect fluids in general relativity. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 10, 1451—1453.

R a у J. R. A note on the Lagrangian density for fluid systems in general relativity. Acta Phys. Polon., 1973, B4, No. 1, 151—152.

Rayner С. B. Elasticity in general relativity. Proc. Roy. Soc., 1963, A272, No. 1348, 44—53.

Redding J. L. Temperature of a moving body. Nature, 1967, 215, No. 5106, 1160—1161.

R e v z e n M. Gauge-invariant statistical physics. Phys. Rev. Lett., 1969, 22, N.o 23, 1239—1240.

Richardson R. W. Ginsburg-Landau theory of anisotropic superfluid neutron-star matter. Phys. Rev., 1972, 5D, No. 8, 1883—1896.

Robertson H. P. The geometries of the thermal and gravitational fields. Amer. Math. Mounthly, 1950, 57, No. 4, 232—245.

Robinson D. C., W i n i с о u г J. Energy of gravitational shock waves. J. Math. Phys., 1972, 13, No. 9, 1435—1441.

R о gu 1 a D. Variational principle for material coordinates as dependent variables. Applications in relativistic continuum mechanics. Bull. Acad. pol. sci., Ser. sci. techn., 1970, 18, No. 10, 781—785.

R о h г 1 i c h F. True and apparent transformations classical electrons and relativistic thermodynamics. Nuovo Cimento, 1966, B45, No. 1, 76-83.

Romano A. Sul gradiente relativito di deformazione in rela- tivita generale. Rend. Accad. Sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. lett. ed arti Napoli, 1969 (1970), 336—347.

Roth R. Sur les fluides parfaits thermodynamiques en relati- vite generale. C. R. Acad. Sci., 1970, 270, No. 19, A1297—A1300.

R о t h e n F. Application de la theorie relativiste des phenome* nes irrersibles a la phenomenologie de la superconductivite. Helv. Phys Acta, 1968, 41, No. 5, 591—606.

Roy D. A. A special solution in viscous fluid motion. The minuteo of proceedings. Royal Irech. Acad., 9 May, 1960.

R о у S. R., S i n g h P. N. A non-static elastic fluid distribution conformal to flat-space time. J. Phys. A: Math, Nucl. and Genen., 1974, 7A, No. 4, 452—454.

Ruderman M. A. Crystalization and torsional oscillations of superdense stars. Nature, 1968, 218, No. 5147, 1128—1129.

Ruderman M. A. Neutron starquakes and pulsar periods. Nature, 1969, 223, No. 5206, 597—598.

Ruderman M. A. Superdense matter in stars. J. Phys., 1969. 30, No. 11-12, Suppl., 152—160.

Ruderman M. A., Sutherland P. G. Possible origin of magnetic fields in neutron stars and magnetic white dwarfs. Nature Phys. Sci., 1973, 246, No. 154, 93.

Saini G. L. Method of characteristic for self-gravitating ani- sentropic relativistics compressible fluides. J Math, and Meeh., 1961, 10, No. 2, 223—231.

Sakai K. On the increase in entrophy in an expanding unverse. Prog. Theor. Phys., 1971, 46, No. 4, 1292—12293.

D e Sales L. A. C. finvariance relativiste de 1'entropie et la loi de transformation de la chaleur. Port. Phys., 1973, 8, No. 3-4, 191—197.

S a 1 i e N. Bestimmung des relativistischen Energie-impulsten- sors eines Cosseratkontinuums durch Mitteilung fiber ein System sich starr bewegen der Teilchen. Wiss Z. F.-Schitler Univ. Jena. Math, natur. R„ 1972, 21, No. 1, 77—84.

S a 1 p e t e г E. E. Solid state astrophysics. Methods and problems of theoretical physics, Amsterdam, 1970, 75—82.

Salt D. Action principles for elastic solid and the perfect liquid in general relativity. T. Phys. A. Gen. Phys., 1971, 4A, No. 4, 501—507.

Salzman G., Taub A. H. Born-type rigid motion in relativity. Phys. Rev., 1954, 95, No. 6, 1659—1669.

Sarma Sipra Sen. The propagation of relativistic thermomagnetoelastic waves. Pure and Appl. Geophys., 1971, 86, No. 3, 28—35.

S a s 1 a w W. C. Gravithermodynamics. III. Phenomenological non-equilibrium theory and finite-time fluctuations. Mon. Not. R. astr. Soc., 1970, 147, No. 3, 253—278 [I, II, 1968, 141, 1; 1969, 143, 437].

Sauter F. Zur Lorentz-Invarianten Formulierung der Kano- nischen Beweguns gleichungen in der Punctmechanik. Z. Phys., 1959, 156, 275—286.

S с а г g 1 e J. D. On relativistic magnetohydrodynamics. Astro- ph\ s. J„ 151, No. 2, 791—795. .

Scheidegger A. E., К г о t к о v R. V. Relativistic statistical thermodynamics. Phys. Rev., 1953, 89, No. 5, 1096—1100.

Scheurer P. В. Structure relativiste et quantique de la thermodynamique. С. r. Seances Soc. Phys, et hist natur. Geneve, 1972 (1973), 7, No. 2-3, 89—96.

S c h ey H. M. Expanding wave-fronts in special relativity: a сотри ter- genera ted film. Am. J. Phys., 1969, 37, 514—519.

Schiff D. Crystallization density of cold dense neutron matter. Nature Phys. Sci., 1973, 243, No. 130, 130—133.

S c h 1 о m к a T. Zur relativistischen Energetik und Thermody- namik. Physik Verhandl., 1952, 44.

S c h 1 о m к a T. Zur Lorentzinvariant der Warme und der ab- soluten Temperatur. Physik Verhandl., 1953, No. 4, 161.

S c h 1 о m к a T. Zur Lorentzinvariant jeder nicht-kinetischen vollstandigen Energieart Phys. Verhandl., 1954, 55.

Schmid L. A. Relativistic isentropic flow of electron gas. Bull. Am. Phys. Soc., 1965, 10.

Schmid L. A. Scalar formulation of ideal charged gas flow. Phys. Fluids, 1966, 9, No. 1, 102.

Schmid L. A. Heat transfer in relativistic charged fluid flow. Nuovo Cimento, 1967, 47B, No. 1, 1.

Schmid L. A. Larmor and Helmholtz theorems of relativistic charged fluid flow. Nuovo Cimento, 1967, B52? No. 2, 288—312.

Schmid L. A. Hamilton-Jacobi equation for relativistic char*- ged fluid flow. Nuovo Cimento, 1967, 52B, 313—337.

Schmid L. A. Variational formulation of relativistic fluid thermodynamics. Pure and Appl. Chem., 1970, 22, No. 3-4, 493—500.

Schmutzer E. Zu den Grundlagen der allgemein relativistischen Kontinuumsmechanik und Termodynamik. Ann. Phvs. (DDR), 1964, 14, No. 1-2, 56—70.“

Schmutzer E. Schema der relativistischen Termodynamik. Wiss. Z. Univ. Rostock. Math.-naturwiss. Reihe, 1965, 14, No. 3-4, 325—328.

Schmutzer E. Zur Mechanik zweier Punktladungen bei Beriicksichtigung der Retardierung. Z. Naturforschung, 1965, 20a, No. 5, 647—649.

Schmutzer E. Uber einige Grundbegriffe def allgemein- relativistischen Kontinuumsmechanik und ihre Bedeutung fiir grund- satzliche Deutungsfragen der Allgemeinen Relativitatstheorie. Wiss. Z. F.-Schiller. Univ. Jena Math.-natur.Reihe, 1968, 17, No. 2, 199—203.

S c h о p f H. G. Das Haupsachsenproblem des Energie-Imptils- tensor und seine Physucalische Bedeutung. Wiss. Z. E. M. Arndt-Univ. Greifwald, 1956—1957, 6, No. 3-4, 217—222.

S c h 6 p f H. G. Zur Relativitatstheorie der Dielektrika. Ann. Phys., 1962, 9, No. 5-6, 301—312.

S c h 6 p f H. G. Variationsprinzipien fiir konservative Systeme in der relativischen Kontinuumsmechanik. Ann. Univ. Scient. Budapest, sec. geol., 1963 (1964), 7, 47—51.

S c h 6 p f H. G. Algemein relativistischen Prinzipien der Kontinuumsmechanik. Ann. der Phys., 1964, 12, No. 7-8, 377—395.

S c h 6 p f H. G. Bewegte anisotrope Dielektrika in relativisti- sche Sicht. Ann. Phys. (DDR), 1964, 13, No. 1-2, 41—52.

S c h 6 p f H. G. Beitrage zur allgemeinen Relativitatstheorie der phanamenologischen Materie. Ann. Phys. (DDR), 1964, 13, No. 1-2, 95—96.

S c h d p f H. G. Die Lagrangeschen Koordinaten als Feldvariab- le in der allgemeinen relativistischen Kontinuumsmechanik. Ann der Phys., 1964, 14, 121—124.

S c h 6 p f H. G. Clebsch-Transformation in der allgemeinen Relativitatstheorie. Acta phys. Acad. Scient. Hung., 1964, 17, No. 1-2 41—55.'

S c h d p f H. G. Вариационный принцип для консервативных систем в релятивистской механике континуумов (венгр.). Fiz. Szem- le, 1964, 14, No. 1, 26—27.

S c h 6 p f H. G. Elastische Stosswellen im Rahmen der allgemeinen Relativitatstheorie. Ann. der Physik., 1965, 15, 348—356.

S c h 6 p f H. G. Grundbergriffe der allgemein relativistischen Magnetohydrodynamik fur ideale Leiter. Ann. Phys. (DDR), 1965, 16, No. 3-4, 114—121.

S c h d p f H. G. Four-dimensional covariant kinematics of continuous matter. Sitz. Ber. D. A. W. Berlin, KI. Math. u. Techn., 1967, Heft 3.

Schucking E. L., Spiegel F. A. Thermodynamics and cosmology. Comment Astrophys. and Space Phys., 1970, 2, No. 3, 121—125.

Schutz B. F., J r. Perfect fluid in general relativity： velocity potentials and a variational principle. Phys. Rev., 1970, 2D, No. 12, 2762—2773.

' Schutz B. F. Hamiltonian theory of a relativistic perfect fluid. Phys. Rev., 1971, 4D, No. 12, 3559—3566.

S c h w a b 1 F. Hydrodynamische Anregungen des Ferromag- nete. Acta phys. austr., 1970, 32, No. 1, 11—34.

Sedrakian D. M. Battery effects in neutron stars. Nature, 1970, 228, No. 5276, 1074—1076.

S e g u n F. H. A post-Newtonian study of differentially rotating polytropes. Astrophys. J., 1973, 179, No. 1, 289—308.

Seliger R. L., W h i t h a m G. B. Variational principles in continuum mechanics. Proc. Roy. Soc., 1968, A305, No. 1480, 1—25.

S h i k i n I. S. Relativistic effects for magnetohydrodynamics waves. Ann. Inst. H. Poincare, 1969, All, No. 4, 343—372.

S h i k i n I. S. Relativistic effects for magnetohydrodynamics waves. Colloq. int. CNRS, 1970, No. 184, 93—122.

Signore M. Sur les condition supplementaires en theorie cinetique relativiste. С. r. Acad. Sci., 1972, 274, No. 14, Al 131—1134.

Simons S. On the differential equation for heat conduction. Transp. Theory and statist. Phys., 1972, 2? No. 2, 117—128.

Soderholm L. The transformation properties of momentum and energy of the heat supplied to an elastic system in a process according to special rellativistic thermodynamics. Nuovo Cimento, 1968, B57, No. 1, 173—182.

Soderholm L. A principle of objectivity for relativistic continuum mechanics. Archive Rat. Meeh. Analysis, 1970, 39, No. 2, 89—107.

Soderholm L. Some remarks on relativistic thermodynamics. Phys. Scr., 1970, 2, No. 45, 139—144.

Soderholm L. On relativistic motions isometric with respect to a particle. Phys, scr., 1971, 4, No. 1-2, 7—10.

S о u г i a u J.-M. Definition covariante des equilibres thermo- dynamiques. Nuovo Cimento Suppl., 1960, 4, No. 1, 203—216.

S р у г о u N., D i о n у s i о u D. Post-Newtonian integrals of motion. Astrophys. J., 1973, 183, No. 1, 265—274.

Staruszkiewicz A. Relativistic transformation laws for thermodynamical variables with application to the classical electron theory. Nuovo Cimento, 1966, A45, No. 3, 684—688.

Staruszkiewicz A. Relativistic transformation of thermodynamical quantaties. Acta Phys. Polon., 1966, 29, No. 2, 249—251.

Stewart J. M., Ellis G. F. R. Solution of Einstein's equations for a fluid which exibit local rotational symmetry. J. Math. Phys., 1968, 9, No. 7, 1072—1082.

Strobel H. Innere Kugelsymmetrische Losung der Einstein- schen Feldgleichungen mit Warmestrom. Wiss. Zeitschr. F. Schiller Univ. Jena. Mat.-natur. Reihe, 1968, 17, No. 2, 195—198.

Strobel H. Phanomenologischen Anzatze der allgemein relativistischen Thermodynamik mit Beriicksichtigung von Relaxation- serschenungen. Wiss. Z. Friedricr Schiller-Univ. Jena. Math.-natur. Reihe, 1969, 18, No. 1, 205—208.

Stueckelberg E. C. G. Thermodynamique dans un continu, riemannien par domines et theoreme sur le nombre de dimensions （d《3） de fespace. Helv. Phys. Acta, 1953, 26, No. 3-4, 417—420.

Stueckelberg E. C. G. Thermodynamics, relativity and sound velocity. Helv. Phys. Acta, 1962, 35, 324—326.

Stueckelberg E. C. G. Relativistic thermodynamics. III. Velocity of elastic waves and related problems. Helv. phys. acta. 1962, 35, No. 7-8, 568—591.

Stueckelberg E. C. G., Wanders G. Thermodinamique en relativite generale. Helv. phys. acta, 1953, 26, No. 3-4, 307—316.

Stuetzer О. M. Magnetohydrodynamics and electrohydrodynamics. Physics of Fluids, 1962, 5, No. 5, 534—544.

Sudbury A. W. A necessary and sufficient condition for the collisionless stability of a stellar system in the post-Newtonian approximation. Month. Notic. Roy. Astron. Soc., 1970, 147, No. 2, 187—199.

Suhonen E. On the energy transfer by material particles and radiation in a general relativistic gas. Mat.-fys. medd. Kgl. danske vid. selskab., 1968, 36, No. 13, 22.

Suhonen E. Conductive transfer in relativistic medium. Ann. Acad. Sci. Fennicae, 1971, A, v. VI, No. 356.

Suryanarayan E. R. On the geometry of the vorticity tensor and the vorticity vector in the relativistic hydrodynamics. Am. Math. Soc., 1961, 8, No. 5, 424.

Suryanarayan E. R. The geometry of fluid flow in relativity. Diss. Abstr., 1962, 22, No. 7, 2409.

Sutcliffe W. G. Lorentz transformations of thermodynamique quantaties. Nuovo Cimento, 1965, 39, No. 2, 683.

Synge J. L. The energy tensor of a continuous medium. Trans. Roy. Soc. Canada, 1934, III, 28, 127—171.

Synge J. L. Relativistic hydrodynamics. Proc. London Math. Soc., 1937, 43, 376—416.

S у n g e J. L. Relativistically rigid surfaces. Studies Math, and Meeh. New York, Acad. Press, Inc., 1954, 217—226..

Synge J. L. A theory of elasticity in general relativity. Math. Zts., 1959, 72, 82—87.

Synge J. L. A theory of elasticity in general relativity Phys

Abstr., 1960, 63, No. 748, 349.'

Synge J. L. The escape of photons from gravitationally intense stars. Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1966, 131, No 4 463—466.'

Synge J. L. Riemannian metric in Gibbsian phase-space Proc. Roy. Soc., 1970, A319, No. 1538, 307—317.

S z a m о s i G. Variational principle in thermodynamics. Found Phys., 1973, 3, No. 2, 241—246.

Tabensky R., Taub A. H. Plane symmetric self-gravitating fluids with pressure equal to energy density. Comm. math. Phys., 1973, 29, No. 1, 61—77.

Taff L. G. A relativistic transformation for temperatur('_ Phys. Lett., 1968, A27, No. 9, 605—606.

Takabayasi T. Relativistic hydrodynamics equivalent to th、

Dirac equation. Prog. Theor. Phys., 1955, 13, No. 2, 222—224.

Takabayasi T. Relativistic hydrodynamics of the Dirac matter. I. General theory. Suppl. Progr. Theoret. Phys., 1957, No. 4, 80.

Takabayasi T. On general theory of relativistic hydrodynamics with intrinsic angular momentum. Сорюсирон КЭНКЮ, 1937, 14, No. 3, 304—319.

Takatsuka T. Superfluid state in neutron star matter. III. Tensor coupling effect in 3P2 energy gap. Prog. Theor. Phys., 1972, 47, No. 3, 1062—1064.

Takatsuka T. Energy gap in neutron star matter. Prog. Theor. Phys., 1972, 48, No. 5, 1517—1533.

Tam K.-K. Relativistic scalar hydrodynamics. Canad. J. Phys., 1967, 45, No. 3, 1415—1417.

Tam K.-K. On the thermodynamics of a relativistic scalar fluid. Canad. J. Phys., 1968, 46, No. 19, 2226—2228.

Tam K.-K. The relativistic Boltzman equation and the moment equations for a classical scalar fluid. Prog. Theor. Phys., 1969, 42, No. 4, 775—780.

Tam K.-K., O*H anion J. Relativistic magnetohydrodynamics of a gravitating fluid. Nuovo Cimento, 1969, B62, No. 2, 351—359.

Tam K.-K., O'Hanion J., Ku en-Ta n K. Radiation damping of relativistic plasma oscillation. Nuovo Cimento, 1969, 43B, 241—249.

T a m a g a к i R. Superfluid state in neutron star matter. I Generalized Bogoliubov transformation and existence of 3P2 gap at high density. Prog. Theor. Phys., 1970, 44, No. 4.

Taub A. H. Relativistic Rankine-Hugoniot equations. Bull. Am. J. Phys., 1948, 23, 34.

Taub A. H. Relativistic Rankine-Hugoniot equations. Phys. Rev., 1948, 74, No. 3, 328—334.

Taub A. H. General relativistic variational principle for per feet fluids. Phys. Rev., 1954, 94, No. 6, 1468—1470.

Taub A. H. Isentropic hydrodynamics in plane symmetric space-times. Phys. Rev., 1956, 103, No. 2, 454—467.

Taub A. H. Approximate solutions of the Einstein equations for isentropic motion of plane symmetric distributions of perfect fluids. Phys. Rev, 1957, 107, No. 3, 884—900.

Taub A. H. Singular hypersurfaces in general relativity. Ш'- nois Journ. Math., 1957, 1, No. 3, 370—388.

T a u b A. H. On circulation in relativistic hydrodynamics. Arch. Ration Meeh. Analysis, 1959, 3, No. 4, 312—324.

Taub A. H. On spherically symmetric distributions of incompressible fluids. Recent development gen. relativity. Warszawa, 1962.

Taub A. H. Hydrodynamics and general relativity. Fundam. Topics Relativist. Fluid. Meeh, and Magnetohydrodynam. N. Y., 1963.

Taub A. H. Stability of fluid motions and variational principles. Colloq. internat. CNRS, Paris, 1967; 1969, No. 170, 57—70.

Taub A. H. Variational principles and relativistic magnetohydrodynamics. Colloq. int. CNRS, 1970, No. 184, 189—200.

Taub A. H. General relativistic shock waves in fluids for which pressure equals energy density. Commun. Math. Phys., 1973, 29, No. 1, 79—88.

Tauber G. E., Weinberg J. W. Internal state of a gravitating gas. Phys. Rev., 1961, 122, No. 4, 1342—1365.

Taylor N. W. A simplified form of the relativistic electromagnetic equations. Australian J. Sci., Res., 1952, A5, 423.

Thomas L. H. General relativity and particle dynamics. Phys. Rev., 1958, 112, No. 6, 2129—2134.

Thomas P. Variational principles of a basis for approximation method in general relativistic hydrodynamics. Bull, of Amer. Phys. Soc., 1970, 15, No. 7, 882.

Thomas T. Y. The perfect relativistic gas. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1964, 51, No. 3, 363—367.

Thorne K. S. The general-relativistic theory of stellar structure and dynamics. Proc. Internat. School. Phys. E. Fermi, vol. 35, 1965. New York, 1966, 166—280.

Thorne K. S. Relativistic shock: the Taub adiabat. Astrophys. J., 1973, 179, No. 3, 897—907.

Thorne K. S., W i 11 С. M. Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. I. Foundations. Astrophys. J., 1971, 163, No. 3.

Todeschini B. Condizionidi incomprimibilita per fluidi re- lativistici thermodynamici ideali. Rend. Inst, lombardo Accad. sci. let- tere., 1969, Al03, No. 3, 554—556.

Todeschini B. Small-perturbation theory of steady plane relativistic flows. Meccanica, 1970, 5, No. 1, 17—21.

Tolman R. C. On the extension of thermodynamics to general relativity. Proc. Nat. Acad. USA, 1928, 14, 268.

Tolman R. C. Further remarks on the second law of thermodynamics in general relativity. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1928, 14.

Tolman R. C. On the use of the energy-momentum principle in general relativity. Phys. Rev., 1930, 35, 875.

Tolman R. C. On the use of the entropy principle in general relativity. Phys. Rev., 1930, 35, 896.

Tolman R. C. On the weight of heat and thermal equilibrium in general relativity. Phys. Rev., 1930, 35, 904.

Tolman R. C. On the problem of the entropy of the universe as a whole. Phys. Rev., 1931, 37, 1639.

Tolman R. C. Possibilities in relativistic thermodynamics for irreversible processes without exhaustion of free energy. Phys. Rev., 1932, 39, 320.

Tolman R. C. Thermodynamics and relativity. Bull. Amer. Math. Soc., 1933, 39, 49.

Tolman R. C. Thermal equilibrium in a gravitational field Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1935, 21, 321.

Tolman R. C., Robertson H. P. On the interpretation of heat in relativistic thermodynamics. Phys. Rev., 1933, 43： 564—568.

T о о p e г R. F. General relativistic polytropic fluid spheres Astrophys. J., 1964, 140, No. 2, 434—459.

T о о p e г R. F. Stability of massive stars in general relativity. Astrophys.. J., 1964, 140, No. 2, 811—814.

Touschek B. Covariant thermodynamics. Lab. naz. Frascati (Rept), 1967, No. 60.

Touschek B. Covariant statistical mechanics. Nuovo Cimen- to, 1968, B58, No. 1, 295—307.

Touschek B. Covariant statistical mechanics. Lab. naz. Frascati (Rept), 1968, No. 31.

Treciokas R., Ellis G. F. R. Isotropic solutions of the Einstein-Boltzmann equations. Commun. Math. Phys., 1971, 23, No. 1.

T г e d e г H. J. Die relativistische Thermodynamik des Universums und die 3 °Kelvin Strahlung. Forsch. und Fortschr., 1967, 41, No. 5, 132—134.

T г e d e г H. J. Die allgemein-kovariante, relativistische Verall- gemeinerung des Helmholtzschen Wirbelsatzez. Gerlands. Beitr. Geophys., 1969, 78, No. 6, 436-442.

T г e d e г H. J. Zur allgemein-relativistischen und kovarianten Integralform der Helmholtzschen Wirbetheoreme. Gerlands. Beitr. Geophys., 1970, 79, No. 1, 1—4.

T г i b u s M. Generalizing the meaning of《Heat》. Int. J. Heat Mass Transfer, 1968, 11, No. 1, 9—14.

Truitt R. W. Compressible relativistic flow. Phys. Fluids, 1968, 11, No. 10, 2089—2094.

T г u s de 11 C. La crise actuelle dans la theorie cinetique des gaz. J. Math, pures et appl., 1958, 37, No. 2, 103—118.

T у a b j i S. F. B. Equations of motion for continuous matter of special relativity in the Lagrange variables. Nature, 1953, 172, No. 4390, 1147—1148.

T у к о d i R. J. Thermodynamics and classical relativity. Am. J. Phys., 1967, 35, No. 3, 250.

V e n i n i C. Sul moto relativistico dei fluidi viscosi. Inst, lombardo R. C., 1968, A102, No. 1, 26—36.

V e n i n i C. Proprieta* dei fluidi viscosi in relativita* generale. Rend. Inst, lombardo. Accad. Sci. e lettere, 1968, A102, No. 3.

V e n i n i C. Sui fluidi viscosi relativistici non barotropici. Rend. Inst, lombardo Accad. sci. e lettere, 1968, A102, No. 5, 875—884.

V e n i n i C. Sul moto irrotazionale dei fluidi perfetti in relativita. Rend. Inst, lombardo Accad. sci e lettere, 1969, A103, No. 4.

Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue de Fequa- tion de la chaleur. С. r. Acad. Sci., 1958, 246, No. 22, 3154—3155.

V i g n о n B. L'equation de Boltzmann en relativite. С. r. Acad. Sci., 1966, AB262, No. 13, A759—A798.

V i g n о n B. Une methode de resolution approchee de Fequa- tion de Boltzmann relativiste. Ann. Inst. Poincare, 1969, Sect. A, 10, No. 1, 31—66.

V i g n on B. Sur Futilasation d'un principe varotionnel dans Fetude de Pequation de Boltzmann relativiste. С. r. Acad. Sci., 1971, 273, No. 25, A1331—A1334.

V1 i e g e r J., E m i d S. On the relativistic dynamics of polarized systems. II. Simplification of Moller equation of motion and the energy-momentum tensor. Physica, 1969, 41, No. 2, 368—378.

V1 i e g e r J., E m i d S. On the relativistic dynamics of polarized systems. III. The case of atoms and molecules with electric and magnetic dipole moments and electric quadropole moments. Physica, 1969, 42, No. 1, 12—30.

Wagner G. Zur relativistischen Kontinuumsmechanik. Wiss Z. Friedriech-Schiller-Univ. Jeana. Math.-naturwiss. Reihe, 1964, 13, No. 2, 241—243. .

Walker A. G. The Boltzmann equation in general relativity. Proc. Edinburgh Math. Soc., 1936, 4, 238.

Watson К. M., В 1 u dm a n S. A., Rosenbluth M. N. Statistical mechanics of relativistic stream. Phys. Fluids, 1960, 3, No. 5, 741.

Van W e e г t C. G. On the relativistic kinetic theory of particles with a magnetic dipole moment in an external electromagnetic field. I. The relativistic transfer equation for a simple gas of magnetic dipole particles. Proc. Kon. ned. akad. Wetensch., 1970, B73, No. 4.

Van Weert C. G. On the relativistic kinetic theory of particles with a magnetic dipole moment in an external electromagnetic field. II. Conservation laws and equilibrium properties for a gas mixture of magnetic. Proc. Kon. ned. akad. Wetensch., 1970, B73, No. 4.

Van Weert C. G., de Jagher P. C., de Groot S. P. On relativistic kinetic gas theory. XI. Volume viscosity in a model consisting of particles with excited states. Physica, 1973, 66, No. 3.

Wei-Cha u-C h i n. Relativistic hydrodynamics for a charged viscous fluid. Phys. Rev., 1959, 113, No. 6, 1414.

Wei-Cha u-C h i n. Relativistic hydrodynamics for a charged no viscous fluid. Phys. Fluids, 1960, 3, 323. I bid 4, 666 (Errata).

W e i b e 1 E. S. L'Gquation de Vlasov dans la theorie Speciale de la relativite. Plasma Physics, 1967, 9, 665.

Weinberg S. Entropy generation and survival of protogalaxies in an expanding universe. Astrophys. J., 1971, 168, No. 2.

Wergeland H. On the recent discussions about a relativistic formulation on thermodynamics and statistical mechanics. Arkiv. fys. semin. Trondheim, 1969, No. 4.

Wergeland H. Relativistic statistical mechanics. Phys. Norveg., 1969, 3, No. 3, 211.

W e г 1 e J. A simple representation for relativistic many-par- ticle systems. Nucl. Phys., 1963, 44, No. 4, 579—587.

W e у m a n n H. D. Finite speed of propagation in heat conduction, diffusion and viscous shear motion. Amer. J. Phys., 1967, 35, No. 6, 488—496.

Weyssenhoff J., Raabe A. Relativistic dynamics of spinfluids and spin-particles. Acta Phys. Polon., 1947, 1948, 9, 19—25.

Will С. M. Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. II. Parametrized post-Newtonian hydrodynamics and the Nordt- vedt effect Astrophys. J., 1971, 163, No. 3, 611—628.

Will С. M. Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. III. Conservation laws. Lorentz invariance and values of the PPN parameters. Astrophys. J., 1971, 169, No. 1, 125—140.

Will С. M., Nordtvedt K・，Jr. Conservation laws and pre-

ferred frames in relativistic gravity. I. Preferred-frame theories and an extended PPN formalism. Astrophys. J., 1972, 177, No. 3, 757—r774.

Williams I. P. Temperature of a moving body. Nature, 1967, 213, No. 5081, 1118.

Williams I. P. Does a moving body appear cooler? Nature, 1967, 214, No. 5093, 1105—1106.

Wilson S. J. An iterative scheme of solution for the problem of relativistic incompressible fluid sphere. Pubis. Astron. Soc. Japan, 1969, 21, No. 1, 21—24.

De Witt B. S. Superconductors and gravitational drag. Phys. Rev. Lett., 1966, 16, No. 24, 1092—1093.

Wolter H. Zum Begriff der Warme in der Relativitatstheo- rie. Physik Verhandl, 1954, 54.

Woodcock H. W., Havas P. Approximately relativistic Lagrangians for classical interacting point particles. Phys. Rev., 1972, 6D, No. 12, 3422—3444.

Wundheiler A. W. Irreversible systems, entropy and Riemann spaces. Proc. Nat Acad. Sci. USA, 1954, 40, No. 9, 844—848.

Y a d a v a 11 i S. A note on the relativistic Boltzmann equation and some applications. J. Franklin Inst, 1961, 271, 368.

Y о d z i s P. On the kinetic approach to many-body problems in general relativity. Int. J. Theor. Phys., 1970, 3, No. 4, 331—336.

Y о d z i s P. Some general relations in relativistic magnetohydrodynamics. Phys. Rev., 1971, 3D, No. 12, 2941—2945.

Yuen C. K. Comment on the «Relativistic thermodynamics» by H. Callen and G. Horwitz. Amer. J. Phys., 1972, 40, No. 8, 1184.

Z eu 1 i T. Sul movimento di fluidi veloci. Atti. Semin, mat. fis. Univ. Modena, 1951—1952, VI, 3—15.

Z u m i n о B. Some questions of relativistic hydrodynamics. Phys. Rev., 1957, 108, No. 5, 1116—1121.

Ax и e 3 ep И. А., Чудновский E. M. Флуктуации в неравновесной релятивистской плазме. Укр. физ. журн., 1972, 17, № 4.

Берковский Б. М., Баранов А. А. Естественная конвекция в сильных гравитационных полях. ИФЖ, 1971, 21, № 1.

Бортников П. Б., Р у б а ш е в Ю. С. Электрогазодина ми- ка. М., 19Ф2.

Г о г о с о в В. В., Ш и к и н И. С. Некоторые вопросы релятивистской магнитной гидродинамики. В сб. «Вопросы магнитной гидродинамики», вып. 4. Рига, 1964, 5—13.

Д е Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М., 1964.

Г р э д Г. О кинетической теории разреженных газов. В сб. «Механика». М., 1052, № 4, 71—97; № 5, 61—96.

Давыдов Б. И. Об уравнении диффузии с точки зрения молекулярных скоростей. ДАН СССР, 1935, 2, № 7, 47*4—476.

Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М., 1971.

Климонтович Ю. Л. Релятивистские кинетические уравнения для плазмы. I. ЖЭТФ, 1959, 37, № 9, 735.

Колесников С. М., Станюкович К. П. Нестационарные адиабатические центрально-симметрические движения мп тер и и б ОТО. ПММ, 1965, 29, № 4, 7U723.

Кучина Т. М. Тензор массы упругой среды в ОТО. Автореферат канд. дисс. Алма-Ата, 1972.

Лыков А. В. Теплопроводность и диффузия. М.—Л.» 1941.

Маслова Н. Б. Релятивистские интегральные кинетические уравнения. «Вестник ЛГУ», I960, № 7.

Монин А. С. О диффузии с конечной скоростью. «Изв. АН СССР, геофиз. сер.», 1958, № 2, 234—248.

Петров А. 3. Новые методы в теории относительности. М., 19G6.

Подосенов С. А. Релятивистская механика деформируемой среды в тетрадной формулировке. Автореферат канд. дисс. М., 19^1.

Подосенов С. А. Тетрадная формулировка движения упругой среды в СТО.《Изв. вузов. Физика», 19170, № 4, 45—51.

Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М., 1964.

Станюкович К. П. Цилиндрические и плоские магнито гидродинамические волны. ЖЭТФ, 1959, 3 6, № 6, 17 82—17)87：

Т х о а В. Н., Воронцов В. И., Л е в а ш ев А. Е. К ^-ко

вариантной формулировке релятивистской электродинамики материальных сред. В сб. «Гравитация и теория относительности». Под ред. А. 3. Петрова. Казань, 19711, № & 126^—131.

Тхоа Н. В., Левашев А. Е. К локальным У-преобразо- ваниям в электродинамике неоднородных и ускоренных сред. В сб. «Гравитация и теория относительности», вып. 8. Под ред. А. 3. Петрова. Казань, 19Z1, 136—И1.

Фок В. А. Решение проблемы теории диффузии. В сб. «Труды ГОИ», т. 4, вып. 34*. Л., 1926, 1—31.

Г165. Франкль Ф. И. Избранные труды. М., 19713».

Ц и ц е й к а Ш., Ч и у л и. Статистические коллективы в общей теории относительности. Rev. Phys. Acad. RPR, 1*967, 2, № 1, 5—10.

Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., 1960.

Ш и к и н И. С. Римановские волны в релятивистской магнитной гидродинамике. ДАН СССР, 19641, 15 9, № 6, 1^40—1242.

Bragg L. Е. Relativistically dynamic elastic dielectrics. J. Math. Phys., 1970, 11, № 1, 318—338.

Ebert R., G r 6 b e 1 R. Carnot cycles in general relativity. Gen. Relat. and Gravit., 1973, 4, No. 5, 375—386.

Kluitenberg G. A. Relativistic thermadynamics of irreversible processes. Leiden, 1954.

L a m e a u Y. Solutions fondamentales des equations de Max- welle dans l^space-temps de Schwarzschild et dans les modeles cosmo- logiques isotropes. C. R. Acad. Sci., 1966, 262, No. 1, A106—A109.

Hakim R. Contribution a I'etude de la mechanique statistique relativiste et de quelques applications. These Doct. Sci., Phys. Paris, 1966.

La magnetohydrodynamique classique et relativiste. Paris, CNRS, No. 184, 1970.

M a u g i n G. A. Relativistic theory of magnetoelastic interactions. III. Isotropic media. J. Phys. A: Math., Nucl. and Gen., 1973, 6A, No. 11, 1647—1666.

P i c h о n G. Etude relativiste de fluides visqueux et charges. These Doct. Sc. Paris, 1964, Gathier-Villas, 1965.

Proceedings of the international conference on thermodynamics. Editor P. T. Landsberg, Pure and Applied Chemistry, 1970, 22, No. 3-4.

Robertson H. P., Noonan T. W. Relativity and Cosmology. Philadelphian, 1968.

S h а г a M. M., Anand S. P. S. On rotating isothermal configurations in the post-Newtonian approximation of general relativity. Astrophys. and Space Sci., 1973, 24, No. 1, 117—126.

Yang С. H., Clark J. W. Thermodynamics critical field at superconducting neutron star. Lett. Nuovo Cimento, 1972, 4, No. 14, 1969, 972.

Hoffmann F., Teller E. Phys. Rev., 1950, 76, 692—703.

Г182. Брежнев В. С. Контактная теория тяготения точечных масс. Проблемы теории гравитации. В сб. «Труды ВНИИОФИ». М., 1972.

Скрипкин В. А. Алгебраические интегралы для автомодельных движений идеальной среды в релятивистском случае. ДАН СССР, 1959, 12 7, № 2, 28Ф—289.

4. Янкевич Ч. Доказательство единственности гидродинамического тензора масс во внешнем поле тяготения. Bull. Acad, polon. sci. Ser. sci. math, astron, et phys., 1962, 10, № 5, 299—304.

Левашев A. E., Иваницкая О. С. Величины, не приведенные к нормальной системе отсчета и значение работ Н. А. Умова по теории относительности. В сб. «Труды Физ.-техн. ин-та АН УзССР», т. III, 1950, 20—31.

С а г t a n Е. L'enseign. Math., 1924—1925, 24, 5.

Маликов М. Ф. Основы метрологии. М., 1949.

Левашев А. Е. К теории измерений в тетрадной формулировке общей теории относительности. В сб. «Методологические проблемы теории измерений». Киев, 1966, 70——93.

Левашев А. Е., Иваницкая О. С. Acta Phys. Polon., 1963, 23, 647.

Иваницкая О. С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применения. Минск, 1969.

Левашев А. С. Картанова проблема и векторы связности в теории относительности. Гравитация. Киев, 1972, 129——146.

Левашев А. Е., Ушаков Е. А. Эквивалентный силовой функционал в расслоенном пространстве теории относительности. «Весц1 АН 6ССР》，сер. ф1з.-мат. навук, 1973, № 5, 85—91.

К а р т а н Э. Геометрия римановых пространств. М.—Л., 1936.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава I. Общие схемы вывода релятивистских уравнений

механики сплошных сред 5

1. Аксиоматические методы построения определяющих уравнений релятивистской термомеханики сплошных сред (5). 2. Вариационные методы в релятивистской гидродинамике с учетом диссипатизных процессов (13).

3. Кинетические методы вывода уравнений релятивистскойгидродинамики (19).

Глава II. Математические модели релятивистской термомеханики сплошных сред25

1. Идеальная жидкость (25). 2. Вязкая теплопроводная жидкость в схеме Ландау—Лифшица (28). 3. Вязкая теплопроводная жидкость в схеме Эккарта (31). 4. Релятивистские уравнения турбулентного движения (34).

5. О конечной скорости распространения тепла и релятивистских преобразованиях термодинамических величин (35). 6. Релятивистское уравнение диффузии (40). 7. Магнитная газодинамика и электрогидродинамика (43).

8. Диэлектрики и поляризованные среды (46). 9. Релятивистская теория сверхтекучести и сверхпроводимости (49). 10. Теория упругости и реологические среды (51).

Глава III. Пост-ньютоновская гидродинамика ....54

1. Пост-ньютоновская гидродинамика идеальной жидкости (55). 2. Вязкая теплопроводная жидкость в пост-нью- тоновской гидродинамике (59). 3. Пост-ньютоновская магнитная гидродинамика (63). 4. Пост-ньютоновская гидродинамика скалярно-тензорной теории гравитации (66).

5. Слаборелятивистская гидродинамика (68). 6. Некоторые приложения пост-ньютоновской гидродинамики (73).

Глава IV. Точные решения уравнений релятивистской гидродинамики 75

1. Одномерные решения (75). 2. Ударные волны (78).

3. Другие решения (81). 4. Космологическая модель вяз-кой жидкости (87).

Приложение. Проблема измерений в релятивистской тер

момеханике 89

Литература95

Баранов А. А., Колпащиков В. Л.

Б24 Релятивистская термомеханика сплошных сред. Под ред. [А. В. ЛыковаI Мн., «Наука и техника», 1974.

~152 с.

Поведение вещества в сильных электромагнитных и гравитационных полях требует последовательного рассмотрения магнитной гидродинамики, релятивистской электрогидродинамики и пост-ньютоновской гидродинамики общей теории относительности. В книге изложены проблемы релятивистской механики сплошных сред, приведены решения ряда частных, но важных задач. Список лит.: 95—150 (1193 назв.).

0243—118M8U740243—118M8U74231—74231—74536536

0243—118

M8U74

0243—118

M8U74

231—74

231—74

536

536

Артур Александрович Баранов, Виктор Леонидович Колпащиков.РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД. Редак-тор Г. В. Малахова. Обложка Б. А. Сусленкова. Художест-венный редактор Л. И. Усачев. Технический редактор Г. И. Я к у-•б о в с к а я. Корректор И. Б. Т к а ч у к. Печатается по постановлениюРИСО АН БССР. АТ 03330. Сдано в набор 18.VII-74 г. Подписано в пе-чать 12.XI-74 г. Бумага тип. № 1. Формат 84Х1О8%2. Печ. л. 4,75. Усл.леч. л. 7,98. Уч.-изд. л. 8,1. Изд. зак. 112. Тип. зак. 895. Тираж 1000 экз.Цена 82 коп. Издательство «Наука и техника». Минск, Ленинскийпроспект, 68. Типография имени Франциска (Георгия) Скорины изда-тельства «Наука и техника» АН БССР и Госкомитета СМ БССР по де-.лам издательств, полиграфии и книжной торговли. Минск, Ленинскийпроспект, 68.

А. А. БАРАНОВ, В. Л. КОЛПАЩИКОВ