ПРЕДИСЛОВИЕ

Проблема движения является одной из основных проблем в общей теории относительности (ОТО).Главное в ней - уравнения движения и их последующее исследование. Существует ряд известных методов получения уравнений движения тел из уравнений гравитационного подя： метод Эйнштейна- Инфельда- Гоффмана (метод EIH) /1 /, первый метод Фока /2/, метод Инфелвда /3 4 второй метод Фока /4/. Методы Е1Н и Инфельда позволяют найти уравнения движения точечных масс, тогда как методы Фока дают возможность вывести уравнения движения протяженных масс (тел), позволяют учесть внутреннюю структуру и форму тел н особенно важны при рассмотрении вопроса о собственном вращении тел в ОТО.

По мере развития проблемы движения возникли крупные школы по выводу и исследованию уравнений, движения (Эйнштейна - Инфельда, Фока и др・)・ Результаты, полученные школой Эйнштейна - Инфельда, подытожены в книге Инфель^ да и . Плебаньского /3 /. Более поздние достижения в исследованиях этой школы отражены в монографииРяб ушко

/5/. Результаты школы Фока наложены в его книге /4/. В качестве примера последующего развития исследований этой школы можно указать на работы Петровой /6, 7/, монографию Брумберга /8/ и на ряд других работ /9-11 /.

Таким образом, к настоящему времени имеются основы механики общей теорнн относ иг епьиостй, или механики теории гравитации Эйнштейна (ТГЭ), состоящей из механики точечных масс и механики тел.

Предлагаемая монография посвящена исследованию акт у аль ных вопросов механики тел ТГЭ： проблеме обоснования релятивистских уравнений поступательного и вращател ног о движений, дальнейшему развитию методов исследовании 曲口ан мрчаинки тел ТГЭ И др.

К настоящему времени в ОГО существует ряд релятивистских уравнений поступательного и вращательного движений, полученных разными авторами при помощи различных методов. К сожалению, среди этих уравнений нет двух одинаковых. Эго не вызывало особых беспокойств, пока не встал реально вопрос о практическом их использовании. ОТО в наши дни является не только теоретическим фундаментом релятивистской небесной механики, но и рабочей теорией, применение которой необходимо для расчета движения небесных тел, что в конечном счете обусловлено резким по- выпюнием точности астрономическнк измерений. Теперь речь идет не только о задаче Шварцшильда, как это было ранее. Необходимо привлечь более сложные модельные задачи ОГО для изучения движения Луны, разраб отки реляггивистской ге ори и вращения Земли, исследования астрономических систем отсчета на основе ОТО и др. Таким образом, астроно- мак^-практикам и специалистам по астродинамике ныне тре* б уюте я хорошо обоснованные релятивистские уравнения поступательного и вращательного движений макроскопических тел с учетом их внутренней структуры и собственного вращения.

В механике ТГЭ применяются методы классической небесной механики. Однако традиционные методы не всегда позволяют успешно исследовать задачи механики ТГЭ. Так, например, до сих пор не решена до конца одна из основных модельных задач ре л ят ивис тс кой небесной механики - задача двух вращающихся тел с учетом их внутренней структуры В этой связи возникает вопрос о поиске более эффективных подходов с учетом специфики механики ТГЭ.

Назрела также не обход имоегь заново осмыслить и йэ- лож ить сами основы механики г ел ТГЭ, чго в свою очередь послужило одним из немаловажных стимулов для написания этой работы.

Автор выражает глубокую благодарность академику АН ВССР Ф.И.Федорову за ценные советы и замечания и Э.Я.Вилькэвиском^М.С.Омарову, Л.М.Чечину за неоднократ- нь色 обсуждения.

Глава 1

МЕТРИКА ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МЕХАНИКИ ТЕЛ ТГЭ

§ 1. Вывод метрики первого приближения

Рассмотрим процесс получения Фоком в работе /4, с.265/ метрики первого приближения для островного распределения масс. Он исходит иэ системы уравнений:

к"^丈仅=一XT川，(1.1)

翡(方6)=。，川二0儿2,九(1.2)

где (1.1) - уравнения Эйшцтейна> а (1.2)- условия гармоничности. (Здесь и далее мы будем придерживаться обоэ- начений Фока /4Л) Причем постоянная ЭС вначале считается неопределенной. Первое приближение Фок строит таким образом, что решает одновременно две задачи： определение метрики в первом приближении и нахождение постоянной эе ・ С этой целью (1.1) записывается в вцде

—"Н睜焉十「M'G=-*(YqUT) а.з)

и вводятся предположения： 1) на больших расстояниях разности дМ"-(9*')в н их первые и вторые производные стремятся к нулю как а~‘ и, след о ваге ль но? можно отбросить второй член левой части (1.3); 2) метрика квазиста- ционарна; 3 ) возможна замена множителяq 沙 при члене

со второй производной от b/ве тричес кого те нзора в (1.3) его псевдоевклиловым значением. При таких допущениях (L3) примет вид广

34)

В качестве компонент тензора массы Т* в этом приближении берутся:.

C2T°=J), С2T°JpVi , С2T" = о ,(1.5)

где р - плотность массы； V» - компоненты скорости; t , К =1,2,3. Тогда (1.4)запишется в виде следующей системы уравнений ：

9“二-音 Р •

9“=-發 QVi ,(L,6)

9‘к = -?ер》\к .

Теперь определяется постоянная Э€ . Для этого применяется принцип соответствия.

Запишем интервал в ньютоновом приближении ds2= d—2U)期- dx"dx：- dx^ ,(1.7)

где U - ньютонов потенциал.

Составим

0。。_ 4 十也

(1.8)

Применим оператор Лапласа к обеим частям этого

выраже-

ния. Т огда

△ 9°° = * aU .

(1.9)

Согласно ньютоновской теории тяготения,

△ и = - 4 згу?.

(1.10)

Подставляя это в (1.9), имеем

4聲=-毁9 •

(1Д1)

Сравнивая (1.11) с первым из уравнений системы

(1.6),

находим

У *

(1」2)

Зная эго, запишем второе уравнение системы (1.6) в виде

А心

46*гу

(1.13)

Введем вс по могательную функцию U(, уравнению

удовлетворяющую

и получим

△ U с =

-4汗吁V» ,

(1.14)

При этом

9。' =

纟.

(1.15)

и、= х

(1.16)

Такую функцию Фок называет по аналогии с электродинамикой вектор-потенциалом тяготения.

Далее,

А 9“

89rx

2 r ,

(1.17)

卢=

-s- P

(1.18)

Напомним, что

у <£吵二(1.19)

Итак, определены все контравариантные составляющие метрического тензора^ Ковариантные же составляющие выглядят как

9。。= c、2U , 9。『含5. 9й=一("患月К •("2。)

Таким образом, метрика первого приближения Фока имеет вид /4,0.271/

dS?= (С“- 2U)dl?- (4 + *^*)(dx： + dx： + dx；)十

+ *(U4d人 + %山「 U少 d〃)&七.(1.21)

Относительно (1.21) можно сделать следующие замечания /11, с.6; 12. с.8/:

В 9。。 компоненте метрического тензора отсутствует релятивистская добавка, тогда как такие добавки имеются в q^о< •

Если применить (1.21) к планетной задаче, то не получится правильное выражение для смещения перигелия.

Для островной системы |Jd上工 &心+ dx； + dx：・

иметь та-к 9оо・ с(1.22)иметь та-к 9оо・ с(1.22)Tо есть релятивистская поправка к ^оо должна кой же порядок^ как и поправка к д^к-

иметь та-

к 9оо・ с

(1.22)

иметь та-

к 9оо・ с

(1.22)

Учитывая эти замечания», определим поправку этой целью составим уравнение относительно

Со。 4 亠 2U

9工己+ В ，

где 中 -неизвестная пока функция. Тогда при сохранении

предположения о квааистационарности метрики имеем

R。。整吋。一絹AU.含(需1.S3)

Соответствующее уравнение Эйнштейна будет

内嘖_響(丁。。. $ q。° T),(i・24)

где /4, с.324/

炉丁。。=5>14+ 击(+7-U)],

C«TOi-pVi ,(1.25)

С"'к=,Х%-Р1у

(здесь П - упругая энергия единицы массы, % - трехмерный тензор напряжений).

В расематриваемом приближении

Т = Р-芸 ^DU-n)+雲 .(1.26)

丁f9%*山脸 Gv‘+n-u)-吿 1.(丄.27)

1'еперь (1.24)запишется в виде

击№ 。一絹A U -轰(就)2 Ip十

+ 与(京2 + 。-1)-^ 1 .(1.28)

Отсюда с учетом (1.22) для неизвестной функции 中 получим уравнение

△ СФ-2О2) ^-&^а lpllv^n-U)-?KK А ,(1.29)

решение которого будет

52U"F%W也闯脸爵.2。)

Соответствующая g°° ковариантная компонента

9。。= CJ2U + 汽罡=C°- 2U + 袈-

Таким образом, метрика первого приближения Фока приобретает окончательный вид /4, 11/,

d+= $2U+智一絹$a豎仁£匕迎а"屈匸

+ "j^* ( U« dX［、()2.山2 + Ujdj ) d七•(1.32 )

Эту метрику мы будем рассматривать как метрику первого приближения механики тел ТГЭ. Отсюда видно, что уже первое приближение в теории гравитации Эйнштейна приводит к учету нелиней юсти поля, искривления трехмерного пространства, внутренней структуры н векторного гравитационного поля, связанного с вращением. Тогда как теория гравитации Ньютона с интервалом

ds2=gJ2U)cld- dx： - Ах： - dx： (1.33)

основана на допущениях линейности гравитационного поля, евклидов ост и трехмерного пространства и отсутствия поля сил, связанного с вращением.

Проверим теперь метрику (1.32)на примере ряда хоро- шо известных задач механики ТГЭ.

§ 2. Задача о движении в центральном поле

Обычно эта задача решается на основе метрики Шварц- шнльда путем интегрирования уравнений геодезической лин

нии /13/ или уравнения Гамильтона - Якоби /14/. Здесь она будет рассмотрена на базе метрики (1.32) в представг- лении векторов М (момент импульса), А(вектор Лапласа) и методом усреднения /11, с.8; 15, с.11/.

Запишем метрику первого приближения (1.32), которая в данном случае принимает вид

dS匕(C—2U+ 咎)館-Q + 碧)W ,(2.1)

“1^，(2.2)

где m。 - масса центрального тела. Интеграл, зависящий от внутренней структуры в (1.32), пока опущен, поскольку вопрос о роли внутренней структуры будет обсуждаться в главе 4.

В ньютоновом приближении для частицы с массой m метрика (2.1) дает кеплеровское движение по эллипсу где р - параметр； Q - эксцентриситет;屮-полярный угол.

Введем декартову систему координат X , у , Z , связанную с орбитальной полярной системой Z,W соотношениями

Х'=2С。△屮，y'=2Mnw > N‘ = O(2.4)

и с ортами i/ , j ：交',образующими правую тройку. Направим 1? к перигелию, ：' вдоль линии параметра J), а / вдоль перпендикуляра к плоскости орбиты.

Далее, в нерелятивистском приближении сохраняются момент импульса

М - L^ Р ］(2.5)

н вектор Лапласа /16, с.427/л

不二［$而］一w^ ,a=Х"。。、(2.6)

совпадающие по направлению с ортами 正'н tz . Переходя к релятивистскому приближению можно в ос п ольз оватьс я ©eie- т эрам и М н А в качестве переменных, описывающих дви- ж「нна (пек горные эле ме нты). Т огда

Ю

(2.7)(2.8)из уравнений(2.9) требуемом при-(2.7)(2.8)из уравнений(2.9) требуемом при-(2.14)(2.15)(2.16) оказыва(2.14)(2.15)(2.16) оказыва

(2.7)

(2.8)

из уравнений

(2.9) требуемом при-

(2.7)

(2.8)

из уравнений

(2.9) требуемом при-

(2.14)

(2.15)

(2.16) оказыва

(2.14)

(2.15)

(2.16) оказыва

M =［亡门十 ［工0］,

А =得府］+陪诃1 -Xmm。金国).

Производные 1Hp будем подставлять Гамильтона

电=黯 • m一騁.

Определим гамильтониан Н , для чего в ближе ни и из (2.1) находим

ds " c 也《一^^ + 1P"加::号＜L).(2.10)

Тогда лагранжиан имеет вид

L=-mc靠=.mJ+m(U+*)一氏®2儿「"八.⑵1工)

Обобщенный импульс±

0=等=d+1^)m声.(2▲2)

И, наконец, гамильтониан

Н=寸務-L= mcJ贽-mU+券U+5Uv"十”4 )=

曳 P' к mU 3UpL P'

me +而-mh 京-«^^r -赤m . ⑵ 13)

Подставляя (2.13) в (2.9), получим

m eh 2m^c2，

一 P a?2m© e迁•

Теперь (2.7) запишется как

м = °・寸

Таким образом, вектор М сохраняется и движение

ется плоским.г

Что касается вектора А , го он, если учесть (2.8) и (2.L6), изменяется во времени согласно уравнению

需即…mm。总任)•⑵⑺

При ЭТОМ

dt \^ / mz m?， тс” 2т%Л2

Tn С22m% с* Z* •(2.18)

Учитывая (2.15 ) и (2.18 ), перепишем (2.17 )：

惠:哈闻汨+焉闻而+輩里+

I Xm<> p，己—%m・lRmF)E _ Mm・pd(ES)胃,(2.19)

万пйс"?c2 2K2 mi с? 2多

где 可 一 оператор。/aW ・

(2.20) несложных(2.21)(2.22)(2.20) несложных(2.21)(2.22)Упростим правую часть этого уравнения, используя не- релятивистс кий закон сохранения энергии

(2.20) несложных

(2.21)

(2.22)

(2.20) несложных

(2.21)

(2.22)

где CL - большая полуось эллипса. Тогда после выкладок (2.19) запишется как

翌=一贄GtE7U)噜

ИЛИf

& A _ (4E+ 6ml)) г I \ м т dT — rn c2L V U M 3.

Эти уравнейия имеют довольно прост ой и наглядный вид, в

чем и заключаете я одно из преимуществ использования векторных элементов Н , N . Из (2.22)видно, что положение перигелия кеплеровского эллипса (2.3) не остается постоянным во времени. Оно изменяется, причем довольно медленно, наза множителя 1/с? в правой части (2.22).

Уравнение (2.21) можно представить и в виде

强二器 lv U МЪ ^2 [vU2fi]强二器 lv U МЪ ^2 [vU2fi](2.23)(2.23)

强二器 lv U МЪ ^2 [vU2fi]

强二器 lv U МЪ ^2 [vU2fi]

(2.23)

(2.23)

iuih

乖^（靖十定）需

Здесь

(2.24)

(2.29)(2.30)(2.31)(2.32) вокруг орб»-(2.29)(2.30)(2.31)(2.32) вокруг орб»-

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32) вокруг орб»-

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32) вокруг орб»-

可2 = -^-= соеw；‘+ Q，nW ;：(2■25)

Интересуясь вековым ходом изменения А , усредним правую часть (2.21) по периоду Т обращения частицы. Для этого мы должны найти средние значени я

^=4注",栗W*d± •⑵26) оО

Они легко вычисляются, если воспользоваться не релятивист

ским законом сохранения момэнта количества движения

М …7 ・(227)

Отсюда находим$

d±= "^ &W.(2.28)

Поэтому в (2.26)можно перейти от интегрирования по +

к интегрированию по 屮.Тогда

干 m R & dw _犷eq

К тм J 2 MTp I •

Таким образом, (2.21) приобретает вид

城=显3吐\ 3

d± Tp ca L j J , где

吼=兽="‘，A = Аел= xtnmoQ Xх .

Из (2.31) видно, что вектор 又 прецессирует гального момента М с угловой скоростью

一巨艺ХПЪ g(2.33)

оставаясь не изменным по величине. Другими словами, вектор А вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью

т.е.

(2.34)орбиты описывать (2.33 ) получим(2.35)Т будет равно(2.36)(2.34)орбиты описывать (2.33 ) получим(2.35)Т будет равно(2.36)建=Id门

(2.34)

орбиты описывать (2.33 ) получим

(2.35)

Т будет равно

(2.36)

(2.34)

орбиты описывать (2.33 ) получим

(2.35)

Т будет равно

(2.36)

Если положение вектора А в плоскости полярными координатами А и q , то из

dq / n n X бТУГПо 一 6讦》m， ^ = (эсА См /- тр с* - *га«-е，)с& *

Изменение полярного угла q за период

厶9 = a(4-d〉c”-

Эго есть известная формула смещения перигелия /13/. Следовательно, метрика первого приближения (1.32) правильно объясняет вопрос о смещении перигелия._^

В заключение заметим, что уравнение (厶2工)для А можно проинтегрировать и не прибегая к процедуре усреднения. Тогда получим

a 二 a「警版+号国 )曲诔十嗓* 6“2 , (2.37 ) 9=9」綜(2E +卡)4 …醤®+啜).(2.38)

Отсюда видно, что А изменяется периодически, a g совершает как периодическое, так и эволюционное движение%

§ 3. Задача Лензе- Тирринга н принцип суперп озиции релятивистских эффектов

Задача о финитном движении материальной частицы в поле вращающегося массивнво шара была впервые исследована Лензе и Тиррингом /14, с.426/. Мы рассмотрим ее на основе метрики (1.32). Итак,

ctd=(ct2U 备l/)d¥-U+^U)(dx：*dx：+dxA

С^ ^^Кл + игс1Хя + UjdXj ) dt ・(3.1)

Определим U { . причем сделаем это для системы более обшей, чем шар, а именно для системы тел, движущихся стационарно в некоторой области. Тогда

(3.2)(3.2)М皿，/XZ

(3.2)

(3.2)

(3.3)(3.4)(3.5)(3,6)(3.7)(3.3)(3.4)(3.5)(3,6)(3.7)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3,6)

(3.7)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3,6)

(3.7)

где Eg - радиус-вектор тел, образующих систему.

Имея в виду> что

I*魂IY ?斗 … ，

(W*)% =十壷^旧乞)十普山国％], перепишем (3.2)：

0 н善哀秆总++無户$&迁)+ +%■ m& [^ [寸8賑]].

Усредним это выражение по времени. Тогда

U = - f^r l^ ^ol = |-lv^ Sel , где введено обозначение

§「干通・m汶a для момента количества движения системы.

Теперь составим лагранжиан расематриваемой задачи l=-mc^^~ .(3.8)

Для этого из (3.1) находим

dS = C“G一%^ + 1屮一声"；"+4包”)(3.9)

Подставляя (3.9)в (3.8), имеем

L=-mc%m3+ 手)-指(『mW-8必)). О.ю)

Импульс

$嚼=3*型护)Е縱U •(3.11)

Гамильтониан

Н=*鶴-L = ec，+ *-eU +盡(uJwv2+%4)+

■^^ <^U)= tnc2+

+ "吵(3 12)

Составим уравнения движения. Согласно (2.7) ” (2.8),

『庄6] +击货]-XmmgG)

Далее, находим.

^一睁^嘿翁.瑞，翳一倉蛋6b, 据)=g需一鳥)炒一备1，工g口.

(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)Подставляя (3.15) 一 (3.17) в (3.13) и (3.14), имеем

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

學急瓜南，(3.18)

韭П一加I:^4丘而卜鴇底工卜嚼瓜軋(3.19)

Усредним (3.18) и (ЗД9) по ньютоновскому эллипсу. В работе /14, с.426/ указывается, что усреднение удобно произвести с помощью параметрического представления зависимости Ч от времени при. движении по эллиптической орбите в виде

z = а « хе 84 Y ),+=^ДК-е 从叮)・(3.20)

Схематическое изображение направлений векторных элементов в случае задачи Ленэе - Тирринга

(3.21)(3.21)Например:

(3.21)

(3.21)

五3 一〒!后一 ^^ Q <а-0з〈)2.

Для вычисления этого н подобных ему интегралов пользуем ся общей формулой /17, с.397/

，г _ 1a- Qcdf)n** -，”)1^眦%*(3. 22)

где 纵 - полиномы Лежавдра. Причем

优 1X)=4 , 0ОО = Х ,筑(X)=±Q3>xZ-A),

g(x)*Q5x3-3)C ),叉ОО=|Л55х4-5°х/* ・.・(3.23)

(3.24)(3.24)Учитывая формулу (3.22),находим

(3.24)

(3.24)

7_ С 五з 一 as-e”"?

В этом параграфе усреднение проводится еще более простым способом, основанным на использовании не релятивистского закона сохранения момента количества движения. Снова рассмотрим среднее от 4 /%* . Т от да с учетом (2.3) и

(2.27)имеем

==+ QCO5屮)dW .+ QCO5屮)dW .(3.25)(3.25)工=!Д祖=生弋冬 2$ Т J 7? ТМ)?

=

=

+ QCO5屮)dW .

+ QCO5屮)dW .

(3.25)

(3.25)

оо

Этот интеграл очень простой^ для его вычисления нет необходимости в какой-то специальной формуле типа (3,22). Та- ким образом,

* ="犬心么霞-(3.26)

Чтобы (3.26)совпало с (3.24), вспомним, что, согласно кеплеровой задаче /18, с.51),

TM=2m# , f = 9Га В , S- ^/^г р=аСА-е*), (3.27) где ? - площадь орбиты； 8- малая полуось эллипса. Тогда 标皆詣с = “3 J е*#笈.(3・28)

Из предыдущего параграфа нам известно, что

(3.29)(3.30)(3.29)(3.30)一歩。，

(3.29)

(3.30)

(3.29)

(3.30)

Z4一 2"5-”产2

Далее, находим

行=肃)庐—Fl t-a4y-s)»2 丄.(3.31)

(3.32)(3.33)(3.34)(3.32)(3.33)(3.34)Учитывая эти средние значения, уравнения движения (3.18) и (3.19) представим в виде

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

辭立 aX1 •

Здесь введены угловые скорости

- daYA-l)% '

^г ^етг 1^ М- 2(Se-5С^Лм)?м)1,(3・35)

где So - собственный угловой момент шара (системы тел). Вместо двух величин 口” н Йд можно рассматривать об

щую угловую скорость

Л « ЛА(3.36)

и переписать (3.32) и (3.33) в виде

(3.37)(3.38)(3.37)(3.38)彝=［兔脑.

(3.37)

(3.38)

(3.37)

(3.38)

Отсюда следует, что векторы М и А меняются не по величине, а по направлению. Вектор М прецессирует вокруг S© с угловой скоростью (3.34). Вектор *е А участвует сразу в двух движениях: в прецессии вокруг S。 с угловой скоро

стью (3.34) и во вращении в плоскости орбиты с угловой

「к ср ОСТ ью

(3.39)(3.40)(3.39)(3.40)a 9 = c%$；-q”％ l^4-M- 6eM(.S.eM)]

(3.39)

(3.40)

(3.39)

(3.40)

Согласно (3,27), сЛав(Д-е”Зк IpTM )

тогда

К — ^ Шо к j29rxm(S。QG 万 (3 41) 3%=不7^ 一y9TMT •

Первый член в правой части этого выражения совпадает с угловой скоростью в шварцШильдовой задаче (2.33 ), а вто* рой член является поправкой, обусловленной вращением центрального тела.

Как видно из (3.35), релятивистские эффекты, связанные с неньютоновостгэю центрального поля и собственным вращением тела, суперпонируют. Таким образом, ^можио изучать независимо друг от друга эти эффекты (принцип суперповинип).

В заключение заметим, что С связана с производными по времени от углов Эйлера 3 , q и i , которые определяют ориентацию подвижной системы координат X； У \ и7 относительно неподвижной системы X , У , X (с ортами Г，1 и ). Тогда /T9, с.165/

f 网=$3j i爲+勺迄，.(3・42)

где Q^ — единичный вектор линю узлов, которая образуется пересечением плоскостей XУ н Х’у'.

Если ось 2 направить по g@ , то, сравнивая (3.42) и (3.35), получаем

(3.43)(3.44)(3.45)(3.43)(3.44)(3.45)(3.46)(3.46)氐一 2*So 、 i = o,

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.46)

Изменение q за один период равно _ 人с _ бэг»т・一《2k『m 《欧3”)

Аналогично

= 015.呼)Мm,(3.47)

В случае, когда 可。t t Си , т.е. если движение пробного тела происходит в экваториальной плоскости центрального гела, можно найти абсолютное смещение перигелия за период Т /20, с. 35/：

л аб^ггио 8万丫е S。

△2аьс 一 7+^=&十2研-G U"2) Md •(3.48)

§ 4. Задача Скроцкого

Влияние гравитационного поля вращающегося центрального тела на распространение света было рассмотрено Скроцким в работе /21 /. При этом решались уравнения Максвелла для плоской электромагнитной волны методом, развитым Рытовым /22, 23 /. Поскольку пространственные масштабы в задачах астрономического характера (Огромны по сравнению с длинами электромагнитных волн, то коэффициенты, входящие в уравнения, оказываются чрезвычайно медленно изменяющимися функциями координат. Поэтому обычно ограничиваются приближением геометрической оптики.

Метод Рытова позволяет определить не только ход лучей, но и изменение характера поляризации волны вдоль луча. Скроцкий отмечает： гПри распространении плоской волны вблизи вращающегося массивного гвла траектория луча, вообще говоря, не является плоской кривой, а испытывает кручение в сторону вращения тела. При этом имеет место поворот плоскости поляризации, пропорциональный моменту импульса вращающегося тела. Замечательно, что плоскость поляризации лучей, исходящих из полюсов вращающегося тела и распространяющихся вдоль оси вращения, также поворачивается на некоторый угол в сторону вращения тела" /21, с. 73/.

Переходим к изложению этой задачи на основе метрики (1.32). Учитывая, что в рассматриваемом случае мы имееь! дело с быстрым движением ( сг >^ U , с? ~ vz)> метрику (1.32) можно брать в виде

dS^ ^W)d^-^^)^/^^Ui .(4・工)

Уравнения Максвелла в гаком стационарном поле тяго

тения формально совпадают с видом этих уравнений в материальных средах /14, с.329/：

限 U=-击笃,АаД=0,(42)

z尻"善碧，^^ -.

Здесь векторы электрической и магнитной индукций равны соответственно

5)= LE - t^ 41 ,屯=/0 + [@К] ,(4.3)

訂，人旅’犷一^丸(4.4)

Посколькуоасс матривае мый процесс является периодическим (3 =СК, К - волновой вектор), то (4.2) можно переписать следующим образом:

rzolE =-{КЗ口 +1託]),

"1h(八邑己-[§訂).(4.5)

Следуя Рытову, решение этой системы ищем в ваде

二 电*5,%衣)Ак<Р<Х,У,2) Н*х,у?г) -1кФСХД2；

•(4.6)

Далее, разложим функции Е* и Н” в ряд по степеням 普 :

E* = EoTW+…，/匚汇喰口」….(4,7)

Подставляя (4.7)б (4.5), получим в нулевом приближении следующую с ист ему уравнений для определения Е. и Н.：

-[e中-专，二]亠闵汇=0,,、

(4.8)

/Z/E」[守中④汇]=0.

Эта система линейных однородных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, т.е.

（守中-弓）"-e/m =0.（4.9）

Мы получили обобщенное уравнение эйконала

i 守中一q =危7冠，（4」。）

где 6 - единичный вектор в направлении распространения волны в данной точке. Теперь система （4.8）запишется как

/ +L3汇1 = 0 .（4.口）

Решение （4.11） можно записать в форме

е°7П+ U ,汇,「4.吧）

где * н （г - некоторые произвольные функции; R н В - единичные векторы главной нормали и бинормали к лучу, которые совместно с вектором в образуют ортогональный репер. Уравнения первого приближения, из которых можно определить & н Q，таковы:

［e中一3,汇］十花不比=-io+汇*加■［办，口口，（413） 一（/^/汇十ES中@二］二亠。L已+蕊［九，已］.

Учитывая （4.10）, имеем

［0 口门点1 = 一"^^（"。+"。1 ^A 办.口 J ）,

т // i（4.14）

-］4 ［飪门=玩^（Л戍E。f森八0E，l］）.

Условие разрешимости （4.14）состоит в ортогоцальности их правых частей к каждому из линейно независимых решений транспонированной однородной системы. Из этих условий

следует важное соотношение

j （^h *iot и + g”ot 6〉=、е V ）屮 >（4.15）

屮二 олс*д -^,（4.16）

где 屮 f угол между главной нормалью и вектором Е..

с#75/с#75/В ди（|）ферА1ЩиальлН0Й .геометрии доказано тождество /21,

с#75/

с#75/

而廿t 冇 + Ku±E = ^ + enol e ,(4.17)

где p. - радиус кручения луча. Подставляя (4.17) в (4.15) и имея в виду, что (己 С )=2/3S(dS - элемент длины дуги, отсчитываемый вдоль кривой), получим уравнение

—-=丄 + + 3Twt е .(4.18)

dS Р。 2

Это выражение и есть закон поворота плоскости поляризации электромагнит ной волны при ее распространении в поле тяготения сферического вращающегося массивного тела. Для лучей света, идущих от полюса вдоль оси вращения, поворот плоскости поляризации равен углу

где R - радиус; S. - угловой момент центрального тела. При распространении волны в направлении» параллельном осн вращения тела, луч света испытывает не только эйнштейновское искривление, но и закручивается в сторону

(4.20)(4.20)вращения тела на угол

(4.20)

(4.20)

где 7a — кратчайшее расстояние от тела до траектории

светового луча. Псворот плоскости поляризации с учетом кручения будет

△WeH"!^ •(4.21)

i матери-тела /11 /.i матери-тела /11 /.(5.1)(5.1)(5. 2)(5.3)(5.4)(5. 2)(5.3)(5.4)импульс. Тогдаимпульс. Тогда

i матери-тела /11 /.

i матери-тела /11 /.

(5.1)

(5.1)

(5. 2)

(5.3)

(5.4)

(5. 2)

(5.3)

(5.4)

импульс. Тогда

импульс. Тогда

Глава 2

О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТГЭ f f

§ 5. Применение векторных элементов М и А в случае инфинитных движений

В предыдущей главе векторные элементы М н А при

менялись в исследовании финитных движений. Здесь они ис-

пользуются для рассмотрения инфинитных движений альной частицы в поле вращающегося центрального ■ Исходим из мэтрики (3.1)

dS2=CC^ZU. ^- )dt J G + 相)QdX" dx：. dxj )十

+ *(a‘X《* UzdKj UjdXj ) cl+ ・

При этом лагранжиан будет иметь вид

…露一冲曙3u宵亚,

И мпульс

乎丸二呼4♦絹)一鲁U

1 沛- a 2U;f 2Uv2-8&A2U2・

Энергия'

£ — V 好 l — m(?-2mU+ ^(2mU'+4m(UV))

Чтобы составить гамипьтоннан, выразим энергию черезЧтобы составить гамипьтоннан, выразим энергию черезav /7^(5^^

Чтобы составить гамипьтоннан, выразим энергию через

Чтобы составить гамипьтоннан, выразим энергию через

4賞普心m2心得W.需3力,（5.5） что в рассматриваемом приближении эквивалентно

+ 十 2mliU'+8m”（U寸）.（5.6）

a-得） G+營）

Гамильтониан《

H= l《-^Jm%，十3 咎）P%“ 2m"U% 8m2（Ui）]工

*h一 絹）m%4 + "召）pY] "+啥 + "现^ .（5.7） Составим уравнения движения для векторов:

矗唔№1-骋皿Л , A = xmm°Q .（6.8）

Тогда.

用匸色中3*t%E,（5・9）

К=色"]+[1用〕7m叽鸣部•（5.10）

Находим

电工蕤丑安曲卞十&U ,（5.川

餘費中1噌屮嚟一鵠（啕.g2）

Подставляй （8Д1） и （6.12） в （8.9） и （3.10）, получим

卜飴鸣爲1,Т （5.13）

"贤（苗*U）BU而+謠底4照弯&Ml（5.14）

Если 户食 подставить в （5.14）на н^релятивистского закона сохранении энергии

a & заменить на тс2, то уравнение (5.13) и (5.14) совпадут с соответствующими уравнениями задачи Лензе - Тирринга.

Переходим к исследованию уравнений (5.13 ) и (5.14) в случае инфинигш>1х движений.

Положим S。=О, Vе» 0 , т.е. рассмотрим случай быстрых частиц. При этом (5.13) и (5.14)запишутся как

М = 0 ,(5.16)

山畿1孔而=竺』' ［位工］.(5・17)

Усредним (5.17) по некоторому характерному времени Т,

тогда 丁

тг=患工％%］，(5-18)

где Q - эксцентриситет гиперболы. Отсюда видно, что вектор X вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью

а Т£е м ・

Подставим в (5.19) выражния

£=鍔爵, 2=mcA(5・2О)

где С1 - действительная полуось гиперболы. Тогда для угла

поворота вектора А получим выражение

4總U备時' (5.21) в котором 北口 一 прицельное расстояние. Эта формула справедлива также и для светового луча.

Выражение (5.21) можно вывести и не прибегая к процедуре усреднения. Для этого перепишем (5.17)следующим образом:

雷= ^^^' A "5W+回不卜8屮)・(5・22)

чЗлрсь использовано соотношение

М= т2?3 .(5・23)

Как видно из (5.22), вектор А вращается в плоскости орбиты с угловой скоростью

兔第喳3屮.g⑸24)

Отсюда农

A 9=［凡a&屮=*^^ •(5：25)

Таким образом, мы снова получили выражение (5.21).

Рассмотрим общий случай, когда g。* о • Из уравнения (5.13) следует, что орбита пробного тела прецессирует вокруг 寸。с угловой скоростью

友=S(5.26)

Величина М при этом остается неизменной.

Из (5.13) можно извлечь и другие выводы. Для этого осуществим его интегрирование. Мы не будем здесь прибегать к Процедуре усреднения. Направим ось Z вдоль вектора §о・ Тогда (5.13) в компонентах запишется как

幣一%мУ,誉=0川一押=0.(5.27)

Последнее уравнение дает

(5.28)(5.29)(5.30)(5.28)(5.29)(5.30)Мгcons'.

(5.28)

(5.29)

(5.30)

(5.28)

(5.29)

(5.30)

Из первых двух уравнений вытекает соотношение

^ (Mx + iMy)= id畐(М* + \Му)•

Интегрируя это выражение, имеем

Мх - Мэ 8。( 'Ам# + 3。)》

Му = МэQtn(|aMdi+g。)*

если М$ - проекция вектора 而 на экваториальную плоскость; 3。 - начальная фаза вращения вектора /э. Если от постоянной 6。 перейти к привычной нам из небесной механики долготе восходящего угла 3 , to (5.30) прибретет вид

№户卢世卜兀批 +》），Му^МефуР）, мН；,（5.31）

Данным решением уравнения (5.13) можно воспользоваться для нахождения явного вида уравнен^ траектории. Действительно, мы знаем, что

麻=[吃 6] , Е 而)нО.(5.32)

Подставляя сюда (5.31 )# получим

X М3 Atn(JaMdU5)-у Мэсо^(^ц dk 3) + 己 М；'。・(5,33)

Если Л м* 0 , то это есть уравнение плсюкости, т・е. уравнение одной из поверхностей, на которой лежит траектория.

Введем сферические координаты %, 9 ，屮：

Х = 2с0о。соьЧ> $ У=?соь@ 心 in屮.理=2 心 ln&(5.34)

и перепишем в них (5.33). Тогда

%°= *^^ &'"('Т"м&七 *)•(5.35)

Введя понятие уг^а наклона орбиты t , Т.е. угла между векторами М и 丸.запишем

М3二 MCni , M； = M8©i(5.36)

и представим (5.35)в виде

+9 8 = %1'公1n 3一 \am"Т ^^ •(5.37)

Вспомним теперь, что в нерелйТЯв№1ском приближении

между переменными % н Z существует связь /18, с.45/:

七=f / d2 FT 十 ажеЛ ・(5.38)

)傭 QE，mU)-

Воспользуемся этим выражением для исключения времени из (5.37). Тогда получим

%®=№№Е 貳*:甫)(5.39)

Эго выражение является одним из уравнений траектории или, другими словами, уравнением одной йэ поверхностей, на которой лежит траектория. Следует заметить, что (5.39) не Является уравнением плоскости.

Перепишем (5,39), введя обозначение

§⑺=自十豆%〈、 dji -=г*.(5.40)

ТогдаMS

% 8 八q I 4in，?- 孔2) ) .(5・41)

Аналогичным образом можно было бы получить и второе уравнение траектории, если проинтегрировать (5.14) и воспользоваться соотношением

(可I)工±-Xmm.2 .(5.42)

Однако мы на ©том останавливаться не будем, а интересующее нас второе уравнение траектории будет получено дальше довольно просто - на основе мэТоДа Гамильтона - Якоби.

В эаключейие дадим Ше одну запись соотношения (5.42). Для этого введем обозначения

(5.43) которые являются соответственно бкс卑нтриснтётом и параметром орбиты. Теперь (6.42)приобретает вид

屯餐 Р/«* QS9W )%(544)

где 屮-угол мэжду декгоракш ^ и 7 .

в 6. Движение в поле вращающегося тела и уравнение Гамильтона* Яж^бя

Одним из самых дффехтившх Мвтодбв рассмотрения задач механики теории тяготений Эйнштейна йвляется метод Гамильтона - Якоби, заямствоваавый из классической механику

Уравнение Гамильтона^ЯкобН для пробного тела во внешнем гравитационном поле имеет вид

q川包2包虫,h(6.1)

где m - инвариантная масса пробного тела. Решение этого уравнения в случае задачи о движении в центральном поле приведено в работе /14/. Интегр иров ан не и подробное исследование (6,1) для задачи о движении в поле врашакхцегося

центрального тела, основанное на метрике первого приближения (1. 21), осуществлено в нашей работе /24/. На разделение переменных в (6.1) для метрики Керра указано Каргером /14, с.417/. Здесь мы рассмотрим уравнение (6.1) в связи с метрикой первого приближения (1.32) и применительно к задаче。движении в поле вращающегося центрального тела.

Запишем явный вид уравнения (6.1) в нашем случае.

Это можно сделать двояко： подставляя в (6.1) значения д*' из (1.15), (1,18) и (1.22) или исходя из соотношения (5.5)с п оде та вле иными в него классическими выражениями с 0sт 2s

2=一^ ， p=肃-(6，2)

Для интереса выберем второй путь. Запишем (5.5):

9。。及а一嗚)pj好(GU)= mH .(6.3)

Учитывая (6.2), получим нужное нам уравнение Гамильтона -Якоби

辞蒙)M书)(徐汴^鸣|)!1 = m&(6.4)

В сферической системе координат вектор-потендиал

и= 4 t V Y，§0 ] = ^1 соое • в^ ,(6.5)

если 3 屮 一единичный вектор в направлении координатной линии (Р . Тогда в этой системе уравнение (6.4) будет иметь вид

寸。篇产中[(絵)y,原):』爲办

+ 需需符=32.(6.6)

Здесь ввелены обозначения

咨)，6 =峥. (6.7)

Полный интеграл уравнения (6.6)ищем в виде

§594* )=-Е1+6Ч> + S5。)，(6.8)

где 6 - неизвестная постоянная； ЬС^ ,& ) - неизвестная функция. Подставляя (6.8) в (6.6), имеем

9吨農八驾罗)*&(嗯产)、

+ 上 亠 бе ”y(6.9)

S <1,® ) =» 口(8) + R (Л)S <1,® ) =» 口(8) + R (Л)(6.10)(6.11)(6.10)(6.11)В этом уравнении переменные разделяются, если положить

S <1,® ) =» 口(8) + R (Л)

S <1,® ) =» 口(8) + R (Л)

(6.10)

(6.11)

(6.10)

(6.11)

（9。。炉- m纪）。1Ц缺）-务 y（9。。炉- m纪）。1Ц缺）-务 yТогда вместо (6.9) получим систему

（9。。炉- m纪）。1Ц缺）-务 y

（9。。炉- m纪）。1Ц缺）-务 y

в которой <Х - новая неизвестная постоянная. Отсюда нахо

диме 5_,

，吁 备 de『(6.12)

Rc^)= $/(TeA^V^^d^ ,(6.13)

*Z・

где 7。一 некоторое начальное расстояние. Теперь

SSQT」)=-e七 + 6w+ *一為as

Это решение с одержит необходимое число произвольных постоянных (к (6. 14) можно добавить аддитивную постоянную) и9 следовательно, является полным интегралом /25/

рассматриваемото уравнения Гамильтона - Якоби.

Решение канонической системы Гамильтона есть /19, с.4О2/

Hl，嘉可2Hl，嘉可2G S 万反G S 万反где 04，«2，户$ - произвольные постоянные, нения дифференцированиягде 04，«2，户$ - произвольные постоянные, нения дифференцирования(6.15)После выпол-(6.15)После выпол-

Hl，嘉可2

Hl，嘉可2

G S 万反

G S 万反

где 04，«2，户$ - произвольные постоянные, нения дифференцирования

где 04，«2，户$ - произвольные постоянные, нения дифференцирования

(6.15)

После выпол-

(6.15)

После выпол-

+ +久=["9。。&5/）号一皆.笛г "，（6.16）

h= 1"匸嘉二）.斤£5；：£翁遲貫，（6J7

S/c“e 仙； %也 片屮TmS?）而壮7M闻一曙;（618）

Компоненты импульса”•

%= /оГИ，）2T - 0^=叫f ,（6.19） %=h一^?工員岁g,"3 ,（6，2。）

p^^= 6= е^0^Go^ae （S— 8。%°）・（6.21）

Шесть произвольных постоянных

&，6 30c 3 f4»,— 9 多（6.22）

называют каноническими элементами Якоби или просто элементами Якоби /16, с<46Э/.

Уравнений （6.17） н （6.18） определяют тракторию, причем, как это видно из （6,18）, она является не плоской, а пространствеиной кривой. Рассмотрим （6.18）более подробно. Вычислим интеграл

I望^&…如郎伟7） （6.23） и преобразуем

].庭也二m3e忆笹一陪=

7零及7^^"= \3*•（6.24）

七кt。

Здесь мы вое пользовались формулами (5.26), (5,38) и (6.17). Подставляя (6.23 ) и (6.24) в (6.18), получим

Н 二^ aЗ (w一力-) .(6.25)

Сравнивая это выражение с (5.36) и (5.37), находим 瘠？匸％' ,6="3i,(6.26)

6HMm э XnM y 戶马二占•

где 4,6 - кеплеровы элементы орбиты (угол наклона и долгота восходящего узла).

Таким образом, (6.25)приобретает вид

±00= ±9 '♦ А%П (屮一 Ь - \ Л и ell ) .(6.27 )

Мы снова пришли к выводу о г ом, что в случае движения пробного тела в поле вращакмцегося центрального тела о(эбита пробного тела прецессирует с угловой скоростью

Лм вокруг вектора & о , а угол наклона при этом остается постоянным.

Придадим уравнению (6. 27) другой вид. Введем обозначениеt.

3G)= К+\凡乂&七,$c±)=S1m ,(6.28)

которое указывает на изменение (вращение) долготы восходящего узла во времени. Тогда

*tq8=七qi Aitl 匚屮-扌辻)).(6.29 )

Рассмотрим уравнение (6.29) в случае 1=質仅・ При этом имеем .t

•(6.30)

Здесь для простоты положено 3=0.

Выражение (6.30) можно толковать как формулу для угла, на который закручивается траектория пробного тела при его движении в поле вращающегося центрального тела. Применим (6.30) к инфинитному движению. Для преобразования подинтегрального выражения в (6,30) воспользуемся нерелятивистскими формулами

M/dw=Md±，2 = r^^・(6.31)

(6.32)(6.33)(6.32)(6.33)Torna ",

(6.32)

(6.33)

(6.32)

(6.33)

MpMpc?

Если учесть, что

М = т%7п , рха<е2-н) , е»4 , 2『а。，

где V。 - начальная скорость; 2n — прицельное расстояние, то имеем

(6.34)

Для светового луча (6.34) приобретает вид

W=工炉 士 .(6.35)

Этот результат полностью согласуется с формулой Скроцко-

/6.36//6.36/(6.17).(6.17).(6.37)(6.37)го (4.20), полученной на основе метода Рытова. Кручение траектории Д1# с.31; 26», с.17/

/6.36/

/6.36/

(6.17).

(6.17).

(6.37)

(6.37)

где d Q - элемент траектории.

Изучим теперь другое уравнение траектории - Если сделать подстановку

Ain 8H а1и\ AinW .

с о} е d 8с о} е d 8то

с о} е d 8

с о} е d 8

)k 6户?此8七."з?麺赤睛\* (6.38)

Во втором интеграле в (6.17) под интегральную функцию

разложим в ряд по степеням 2T :

(父。厂一 m%2) L= 2 m e + ^ * ^ 9^什m。

(6.39)

Здесь 乜,一 гравитационный радиус центрального тела, Е — нерелятивистская энергия, причем считалось, что в этом приближении

(6.40)(6.40)2=тс'+Е・

(6.40)

(6.40)

Тогда]」務。托lNJ)/-*综^Тогда]」務。托lNJ)/-*综^

Тогда

]」務。托lNJ)/-*综^

Тогда

]」務。托lNJ)/-*综^

=U 瀛 + 旨 + em%m..4mE%)+^^-军一臂;

В случае, когда Е=。，^тот интеграл приобретает вид

^(2&館叽+ 4^3号式心封(?^(2&館叽+ 4^3号式心封(?&6.4N) 号)&6.4N) 号)

^(2&館叽+ 4^3号式心封(?

^(2&館叽+ 4^3号式心封(?

&6.4N) 号)

&6.4N) 号)

Релятивистские поправки в первых двух скобках под корне г i сказываются на не представляющем особого интереса /14 / изменении связи между энергией И моментом частицы и параметрами его ньютоновой орбиты. Изменение же коэффнци ента при 亡 а приводит к более существеиному эффекту- к систематическому (вековому) смещению перигелия орбиты (если начальная орбита является эллипсом).

Вычислим (6.42) для случая финнтного движеция (Е <0 ). Введем обозначения /27, с .57/

А=2т1Е|-目 ,2s = 2rxm*rn<,-4E]E I%® , с= A|mV^ , ^ot c>Ot ^Лоо t(6H3) при этом (6. 42)запишется как

Если ввести обозначения

и выбрать

2。

то имеем вместо

=Р 4 2)т

(6.44) выражение

、-т-===^^ОЯСМП …二J

J： А，経-W У

2

0cdz

2q °

Теперь уравнение (6» 17) приобретает вид ( 6=0)

(6.45)

(6.46)

(6.47)

(6.48)

Поскольку постоянная 夕幺 характеризует начало отсчета угла,то выберем ее# не нарушая общности рассуждений,

равной

(6.49)

Тогда вместо (6.48)имеем

2np Q4- £JbinQvj^4-i)y4»p(4-eco^^f\ (в. 50) Это есть уравнение эллипса, вращающегося в собственной плоскости (оно аналогично розеточной траектории Зоммер- фельда /3 2/). Как видно из (6.50),

%mtn= ?о=р(4*е)т , 2т“ = р«-е)тПоворот перигелия при одном обороте частицы по су △屮 определим следующим образом：%mtn= ?о=р(4*е)т , 2т“ = р«-е)тПоворот перигелия при одном обороте частицы по су △屮 определим следующим образом：(6. 51)(6. 51)ЭЛЛИП-ЭЛЛИП-t)W=2»,屮=等=2才号=2万十Оге юдаt)W=2»,屮=等=2才号=2万十Оге юда6犷产п^т：6犷产п^т：Сб. 52)Сб. 52)、6才了叉加，力广 a屮=-^-、6才了叉加，力广 a屮=-^-6*丫 Eqd，е" 16*丫 Eqd，е" 1(6.53)(6.53)

%mtn= ?о=р(4*е)т , 2т“ = р«-е)т

Поворот перигелия при одном обороте частицы по су △屮 определим следующим образом：

%mtn= ?о=р(4*е)т , 2т“ = р«-е)т

Поворот перигелия при одном обороте частицы по су △屮 определим следующим образом：

(6. 51)

(6. 51)

ЭЛЛИП-

ЭЛЛИП-

t)W=2»,屮=等=2才号=2万十

Оге юда

t)W=2»,屮=等=2才号=2万十

Оге юда

6犷产п^т：

6犷产п^т：

Сб. 52)

Сб. 52)

、6才了叉加，力广 a屮=-^-

、6才了叉加，力广 a屮=-^-

6*丫 Eq

d，е" 1

6*丫 Eq

d，е" 1

(6.53)

(6.53)

Мы получили известную формулу для смете ни я пери^лия орбиты (2.36)в случае задачи Шварцшильда.

Если 8^0, то (6.41) имеет вид

(6.54)(6.54)

(6.54)

(6.54)

Это эллиптический интеграл. Для уяснения качественного характера вклада от собственного вращения центрального тела произведем разложение (6.54) по степеням параметра

Ь и ограничимся в нем первой степенью 6 . Тогда

G2mlEl+2m2lb踪)％(б・55)G2mlEl+2m2lb踪)％(б・55)

G2mlEl+2m2lb踪)％(б・55)

G2mlEl+2m2lb踪)％(б・55)

Преобразуем втор曲 интеграл:

С 2lm6"sY- ch=е丄f.宁J仏=

&2m(jE1.mU)-啜1% 為^嚼З為)

G) .(6.56)

Учитывая (6,47), (6.55) и (6.56), имеем вместо (6.17)

уравнениер

(6.57)(6.57)#2 =屮一 ^ 3tslп、3-—爲一夕 J+) или

(6.57)

(6.57)

2 二夕(J- Ccc^Q'jiV -fi^^))

Применение методов дифференциальной геометрии к изучению задачи о движении в поле вращающегося тела

В случае задачи о движении в поле вращающегося центрального тела, как это видно из предыдущего изложения, мы сталкиваемся с новым эффектом - эффектом кручения траектории частицы (или светового луча). В частном случае, когда угол наклона орбиты <«Т/2 $ формула для кручання получена нами в § 6 и имеет вид (6.36)

伏=伏=Теперь определимТеперь определим(7.1)S姜.(7.1)S姜.2y S g VC2^ * кручение в общем случае, когда

伏=

伏=

Теперь определим

Теперь определим

(7.1)

S姜.

(7.1)

S姜.

Для этого воспользуемся методами дифференциальной гео

метрии /11/. В дифференциальной геокетрии одна из формул Френе записывается как /28, 30/

一强=+i.一 ”・2)

чтогдечтогдегде g - единичный вектор бинормали； П - единичный вектор нормали； dS - элемент траектории. Далее, известно,

что

где

что

где

рии). Из (7.2)следует,疆牙乙 dsрии). Из (7.2)следует,疆牙乙 ds_ П=【КЗ] ,(7.3)

рии). Из (7.2)следует,疆牙乙 ds

рии). Из (7.2)следует,疆牙乙 ds

(7.4)(7.4)ЭЕ сводится в об- dg/ds.ЭЕ сводится в об- dg/ds.О - единичный вектор касательной к кривой (траекто

(7.4)

(7.4)

ЭЕ сводится в об- dg/ds.

ЭЕ сводится в об- dg/ds.

Таким образом, определение вручения щем случае к нахождению производной

Прежде чем переходить к установлению этой производ

ной, вспомним ситуацию, которая существует в кеплеровой задаче. В этом случае единичные векторы Q , К , &

определяются как __ т

^^ 7 ' ^ 噜应],Н= *(7.5)

Что касается соотношений (7.2) и (7.4), то они соогвет-

сгвенно равны т

疆=。＞ "О*(7.6)

В интересующей нас задаче о движении пробного тела в поле вращающегося центрального тела мы будем изучаемое движем

ние рассматривать как возмущенное кеплерово движение, опираясь на малость релятивистских возмущений по сравнению с ньютоновой силой притяжения.

Тогда мы можем к выражению для бинормали из (7.5) применить метод вариации произвольных постоянных. Поэт о- MYТ * Т

步%㈢)，(7.7)

(7.8)(7.9)(7.10)(7.11)(7.8)(7.9)(7.10)(7.11)С другой стороны, согласно (5.13), в случае движения частицы в поле вращающегося центрального тела справедливо уравнение _

(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

di С”.

Отсюда, как известно, вытекает соотношение

М匸const ・

Теперь (7.7) примет вид

d土 LA Lb. ь」 ИЛИт

得М爲，区E].

Подставляя (7.11) в (7.4), имеем, наконец, для кручения в общем случае формулу

"=^^5 “"•)•<7.12)

Угол кручения

Wa §Э€(15>=舒借(試)<ц.(7.13)

Следовательно, поставленная задача решена. Далее, выражение (7.12), когда N tt So,переходит в (7.1). Если частица совершает двюкение в экваториальной плоскости центрального тела (3丄弓。)，гом■0.

В заключение Отметим, что выражение (7.13) как частный случай с одержит формулу для угла кручения светового луча (4.20), полученную Скроцким. Более того, общее выражение (7.13) получено гораздо проще, чем формула Скроцкого.

О собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела

До сих пор мы изучали вопрос о поступательном движении частицы во внешнем гравитационном поле. Чго же можно сказать о ее вращательном движении, если рассматривать частицу как пробное тело? Обычный подход для ответа на этот вопрос заключается в следующем. Из ура^-

нений поля получают релятивистские уравнения вращательно- 「о движения специальным методом (например одним из методов Фока). Эти уравнения затем приближенно интегрируются путем привлечения каких-то специальных мате магических методов.

Возникает вопрос： необходима ли подобная процедура, когда речь идет о собственном вращении пробного тела, движущегося в стационарном поле вращающегося центрального тела?

Для того чтобы высказать какое-то суждение по этому вопросу, обратимся к выражению для импульса пробного тела в поле вращающегося центральна。гела в виде (3.11), которое можно использовать в случае медленных скоростей;

Р = g+^^^)昆咎口 .(81)

Разрешим эго выражение относительно скорости

咁:)^ + ^ .(8.2)

Поскольку мы рассматриваем вопрос в приближении С~?, то с такой же точностью можем в первом члене правой части данного выражения заменить V’ на рК/т&・ Тогда (8.2)примет вид

V = U-^^)^ + ^U .(8.3)

Если теперь считать независимыми переменными (канонически сопряженными), определяющими состояние пробного тела, W н р , то скорость пробного тела (8.3) будет уже функцией этих независимых переменных (функцией состояния)

V0q《嶼吏史)箱m⑴(8.4)

Подставляя сюда выражение UE〉 из (3.6), получим

▽0 2心2Ё^Д)^+點回西(9.5)

Обращает на себя внимание сходство этого выражения с полем скоростей твердшло тела в некоторый момент времени

卫=必十［Wt ©凡.)1,(8.6)

где Е.» Z I радиус-вектор и скорость центра инерции； Е — радиус-вектор произвольно выбранной точки твердого тела. При этом вихрь скорости твердого тела определяется соотношением /28/

го!以=2厶—(8.7)

Мы можем по аналогии с этим найти вихрь от вектора (8.5) и полученный рез^шьтат попытаться связать с угловой скоростью пробного тела. В пользу такого соображения можно привести также и следующий аргумент. Если иметь дело с полем скоростей жидкости, то, как можно доказать /28, с.170/, 1 /2 tot V будет угловой скоростью вращения бесконечно малого объема, окружающего точку " в предположении, что в расематриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отверделФ Этот аргумент кажется для нас достаточно убедительным9 чтобы предположить, что вопрос о собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела, решается с помощью формулы /11, 70/

&3 sx *ut V ・(8.8)

Подставляя сюда (8.4)или (8.5), находим выражение для угловой скорости пробного тела

峦片 I^J+ 轰 utU(&9)

ИЛИ—T

员=专^^ 良爲卜£°S)-"。)，(8.10)

где М - орбитальный момент； 吼-единичный вектор в направлении 屯・

Такой же результат получается и Нрн интегрировании уравнений вращательного движения, как это показано в § 30.

8 9. Об одной оптико-механической аналогии в механике тел ТГЭ

В предыдущих параграфах этой главы мы рассматривали поступательное движение отдельно от вращательного движе- н ия. Теперь изучим их совместно в случае задачи о движении- пробного тела в поле вращающегося массивного тела, причем наше рассмотрение в значительной степени будет окрашено ццеямн дифференциальной геометрн工 Оказывается, что релятивистские эффекты (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации эле ктр омагн иг ной волны и т.д.) легче всего изучать с помощью методов дифференциальной геометрии. Дело в том, что известные формулы Фре не

6 КП #

п = ^е € - ке ,(9.1)

t- эе п ,

где к 一 кривизна, а точка означает дифференцирование по длине дуги d/cls , в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой /29, с.149/. Если теперь представить (9.1) в виде /ЗО# с.174/

、_(9・2)

П =［力 R、， 守二［ЗЕ］, где4

石=筱 3 4 К & ,(9.3)

го кинематический смысл формул Френе становится вполне ясным. Они показывают, что при каждом данном значении S сопровождающий трехгранник вращается как твердое у^ло с вектором мгновенной угловой скорости (9.3), причем Скорость берется по отношению к проходимому по кривой пути S (который играет, таким образом, роль времени).

В общем случае, когда мы расемагриваем совместно Как поступательное, так и вращательное движение пробного

тела, его общее движение будет складываться из вращения (9.3) и из собственного вращения (8.8). Таким образом, вектор мгновенной угловой скорости общего движения имеет видт

& * * 屯十 кЕ 十击％>tV •(9.4)

Поскольку последний член в правой части (9.4)уже пропорционален с~* , то мы можем множитель Л/v в этом члене ввести под знак ротора. Тогда

融0 沁 3 +Ке + 七"/ 3 .(9.5)

Определим компоненту этого вектора в направлении 3 :

30 = X + +任2。上也).(9.6)

Введя обозначение

3「整，(9.7)

приводим (9.0)к виду

it = *(3 20七 2 )・(9.8)

Это означает> что плоскость пробного тела, перпендикулярная к направлению 3 , вращается с угловой скоростью (9.8)・ Следует отмеггигь совпадение <9.8)с формулой Скродкого ( 4.18)для поворота плоскости поляризации плоской электромапгитной волны.

Таким образом , мн имеем дело с новым примером оптика* механической аналогии, присущей именно механике теп (протяженных масс) ТГЭ.

§ 1О. Применение теории кваэипериодических 口вижений к исследованию задач механики ТГЭ

Теория квазипериодйческих движений существенным образом опирается на метод адиабатических инвариантов. Последний заключается в том, что при медленном изменении параметров (入)системы^ ее энергия Е будет вести себя как некоторая функция от 入 .Зависимость t от Л можно представить в виде некоторой с охра н яклце Йс я комби-

нации из Е и Л . Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют ад иаб ат ячеек им инвариантом /18, с.193 /. Производные ог энергии по адиабатическому инварианту дают соответствующие частоты движения.

Найдем, например, адиабатические инварианты Шварцшильдов ой задачи (о движении в центральном поле). Они определяются теоремой Эренфеста /27# с. 56/, согласно которой при бесконечно медленном изменении параметров периодического движения распространенная на один период величина действия

3工=§ Pl cl%，= const(10.1)

называется адиабатическим инвариантом и остается величиной постоянной. Здесь Р, - обобщенный импульс, q；- обобщенная координата.

В случае задачи Шварцшильда (см. (6.19 )# (6.20), (6.21))

3<F= § P@dw ^ 25rp9 = 2万М 9(10.2)

з尸 § p$de=。,(Ю.з)

3亡抄出3 §Jy-E甘心式dz .(10.4)

Круговой интеграл (10.4) означает, что его следует взять в пределах от 2A ди Тя со знаком плюс перед корнем (匕 >0 ) и от ?2 до 2，со знаком минус ( R<0 ), т.е.

%= 2*еУ(д"1_т2)-.(10.5)

Имея в виду (6.39) и (6.43), перепишем (10.5) в виде

4 巾-А + *專 сЬ.а。®

Этет интеграл легко вычисляется и равен /27, с.60/

4=2w(^=^-元).(工。.7)

Еглп подставить значения А, В, С из (6.43) , то получим

广依什2m旧％V2mlE|-耳'广依什2m旧％V2mlE|-耳'M，- ^mV2?；M，- ^mV2?；(10.8)(10.8)(10.9)(10.9)

广依什2m旧％

V2mlE|-耳'

广依什2m旧％

V2mlE|-耳'

M，- ^mV2?；

M，- ^mV2?；

(10.8)

(10.8)

(10.9)

(10.9)

Это уже есть соотношение, связывающее энергию с адиабатическими инвариантами.

Отсюда легко усмотреть, что в случае шварцш ил вдовой задачи частоты движения

za"za"3 = ^"Е^3 = ^"Е^(10.10)(10.10)

za"

za"

3 = ^"Е^

3 = ^"Е^

(10.10)

(10.10)

虹癱T虹癱Tт.е.т.е.(10.11)(10.11)не равны между собой. В случае классической механики (10.9)примет вид

虹癱T

虹癱T

т.е.

т.е.

(10.11)

(10.11)

(IO. 12)

Таким образом9 в случае центрального поля снимается частотное вырождение кеплеровой задачи. Найдем теперь адиабатические инварианты задачи о движении в поле вращающегося массивного телей Снова воспользуемся выражениями (6.19) 一 (6.21). Тогда

%=§ Pjw = §6dL‘ = 2б6 ,(10.13)

где 6 является 卫 — составляющей момента количества движения М пробного тела,.

%=$Rde= §/m、J^а e汕一鴉" .(10.14)

где t - угол наклона орбиты. Применив подстановку

£(n6=qint лхhU ,(10.15)

преобразуем этот интеграл /31, с.354/ к виду

* 2w6网7n七瑞=叫一：* 2w6网7n七瑞=叫一：eg，eg，《-atn't Qin%《-atn't Qin%)J心)J心

* 2w6网7n七瑞=叫一：

* 2w6网7n七瑞=叫一：

eg，

eg，

《-atn't Qin%

《-atn't Qin%

)J心

)J心

(10.16)

Третий адиабатический инвариант

=2“-А +譬' -—号г' &? ,(10.17)

где положено

Q = 2 86£ = 2.60 me* .(10.18)

Данный интеграл можно вычислить! опираясь на некоторые результаты работы /32, с.533/. При этом получаем

口口 2M幷-汇-・(1OJ.9)

Имея в виду (6.43) и (1О；18), перепииюм это выражение следующим образом:

工二X史®"2呼q 一 屮从尸＞ 0 2；

2机尊 V 4贞2 尸一

一г1713加2呢口▼(10.20)

Полученное выражение обобщает (10.9) на случай, когда центральное тело имеет собственное вращение. Частоты движения

5嚙。3尸統"й紀(1。.2工)

отличаются от шварцшильдовыхи с одержат поправки, свя

занные с вращением центрального тела.

Глава 3

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ИХ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ И ВРАЩЕНИЯ

Начало механики протяженных масс (тел) ТГЭ заложено в классической работе Фока /2/, где он сформулировал свой первый метод получения ураввений движения из уравнений поля9 основанный на использовании так называемого условия гармоничности. Если в методе Э^шитейна- Инфе льда - Гоффмана (метод EIH) /1/ исходят из уравнений тяготения, где правая часть равна нулю, и получают уравнения движения для точечных особенностей пол% то характерными чертами метода Фока являются, с одной стороны, рассмотрение тензора массы, определяемого параллельно с потенциалами тяготения, с другой - использование условия гармоничности. При этом уравнения движения получают из условий гармоничности.

Впоследствии Инфельд показал /3/, что выкладки при использовании метода EIH становятся несравненно проще, если с самого начала ввести тензор массы с дираковскими дельта-функциями, соответствующими точечным особенностям (метод Инфельда). Таким образом, можно усмотреть влияние метода Фока на ElH-мето/ъ

Работа Фока /2/ завершается выводом ньютоновых уравнений поступательного движения из уравнений поля. Выводу релятивистских уравнений поступательного движения тел, не имеющих собственного вращения,была посвящена работа Петровой /33/. Эта работа была использована Фоком /4, с.504/ в статье об интегралах центра инерции /34/.

Тем же методом Кашкаров /35/ получает ньютоновы уравнения вращательного движения из уравнений поля. Фихтенгольц /36/ привел уравнения движения, полученные Петровой, к лагранжевой форме и вывел отсюда интегралы движения. Папапетру /37/ независимо от Петровой продолжил работу Фока /2/ и вывел ре ля т ивистск ие уравнения движения для сферически симметричных невращающихся масс.

Ряд новых результатов содержится в известной монографии Фока /4/. В частности, здесь изложен его второй метод получения уравнений движения из уравнений поля, основанный на равенстве нулю расходимости тензора массы • С помощью этого метода выведены ре л я т ивис тс к ие уравнения поступательного движения системы N тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения, а также с оответствующая им функция Лагранжа. Релятивистские уравнения вращательного движения Фоком не выводились.

В работе /6/ Айтикеева и Петрова получили первым методом Фока релятивистские уравнения поступательного н вращательного движения системы сферически симметричных вращающихся тел. Далее, Петрова /38/ предприняла попытку привести уравнения пdctупательного движения к лагранжэво- му виду. Обратим внимание на разную степень точности 叫- водов релятивистских уравнений в работах /4/ н 76/・ В работе Фока уравнения движения соответствуют лагранжиану L〜mc^@/c'）（RQ）, тогда как у Айтикеевой и Петровой - L~ mC（U/c'）（R%'）. Здесь q - некоторая скорости, характеризующая порядок скоростей системы тел, R - длина, характеризующая линейные размеры тел# а » - величина порядка расетояния между ннмн.

Интересно отметить, что аналспичная ситуация （прибли- зительно в то же самое время） существовала также в исследованиях Инфе льда и его последователей. Де йс тв ительно, в работе /3 / была получена релятивистская функция Лагранжа системы вращающихся точечных масс с учетом членов, линейных относительно собственного момента вращения, tdl па как Рябушко /39/ были учтены члены, квадратичные от нс

скгельно собственного момента н одинаковые с ними по

порядку выражения.

Таким образрм, становится ясно, что следует поставить

©опрос о релятивистских уравнениях поступательного движения системы вращающихся тел произвольной формы и соответствующей функции Лагранжа с точностью L~m, * 今 . Тогда эти уравнения движения н функциа Лагранжа явились бы естественным обобщением предыдущих результатов и были бы наиболее общими соотношениями, которые можно поло жить в основу механики тел (протяженных масс) ТГЭ. Эта задача была решена в нашей, работе /9/ и позднее в работе Брумберга /8/ на основе второго метода Фока. Мы исходили из работы Фока /4/ и продолжили его вычисления с уче

том релятивистских члёнов второго порядка относительно ^ ・ Приведем некоторые результаты работы /9/,

9 11. Интегральная форма релятивистских уравнений поступательного движения. Преобразования Фока

В монографии /4/ Фоком получена интегральная форма релятивистских уравнений поступательного движения системы тел произвольней формы с учетом их внутренней структуры и вращения, т.е. рассмотрен достаточно общий случай* Для одного из тел, на!фимер дла тела "о/, эти уравнения имеют вид

證!{"出* %(¥・nru力畤吋标屮通 Мr賑心叫箫"X)，， (口小

&a

где р - плотность массы; V《 характеризует распределен нне скорости внутри тела и имеет вид

V「&{十 3限(Л,-%) .(11.2)

причем з« - трехмерный антисимметричный генэор угловой скорости Тела ( a ). Для составляющих этого тензора, опустив значок ( a ), можно написать

(А)£>н й)4,3,4= 3 艮 ,心41,= 3予•(11,3 )

Далее, в выражении (11.1)： р - изотропное давление; 口 - упругая энергия единицы массы;

6=?+号(斐v^+R-u)十奖 , (11.4) где U — ньютонов потенциал; U《— векторный потенциал； U - обобщенный ньютонов потенциал. Эти потенциалы определяются уравнениями

△ U=-43ryp .(11.5)

А也=一依不户外，(11.6)

△U丄自^"^Н 一4"，6(丄L7)

Следуя Фоку, подвергнем уравнения (11.1) некоторым преобразованиям. Рассмотрим первый член правой части (11,1), разбивая потенциал U* на два слагаемых

и*= и：十 u*u,,и*= и：十 u*u,,в которых 心 происходит от массы т^ от остальных масс. Тогда будем иметьв которых 心 происходит от массы т^ от остальных масс. Тогда будем иметь(11.8) а产一

и*= и：十 u*u,,

и*= и：十 u*u,,

в которых 心 происходит от массы т^ от остальных масс. Тогда будем иметь

в которых 心 происходит от массы т^ от остальных масс. Тогда будем иметь

(11.9)

В ньютоновом приближении первый член справа равняется нулю, поскольку есть равнодействующая внутренних гравитационных сил. В релятивистском же приближении, когда уравнение Пуассона заменяется уравнением (11.7), это уже бу-

П9т не так вследствие запаэдыванияь

Подставляя в расе мат ри вае мый интеграл величину Ц*а

кз уравнения

А n：一春4^=气6 ,(Л0)

с праврпливого внутри массы ( а ), и учитывая, что интеграл dt чиена, годержашего оператор Лапласа, равен нулю, полу

чим

I證6山）=^5車［雅井也? .（1L11）

В сипу присутствия малого множителя перед интегралом, мы можем в правой части (11.11) заменить величину U< ньютоновым потенциалом Uq , после чего формула (11.11) запишется в виде

[嚣61)L小詛需豁⑷儿(…2) Введя величину

W」鲁「的*代川广.(11.13)

связанную с И。соотношением

А%н% ,(II.丄4)

можно преобразовать интеграл в правой части уравнения (11.12)и записать его в виде

関 6М=^>緜(时(11.15)

Последнюю формулу можно было бы вывести и более npst- мым путем, подставив в интеграл слева приближенное значение уравнения (11. Ю). Таким образом, первый член правой части (11.1) можно представить как

開6曲）可髄йх★綜卜输d* . （56）

Сделаем еще одно пре образование. Введем функцию

WR/lTxb[(11.17)

представляющую соб曲 решение уравнения

AW=U(11.18)

с ньютоновым потенциалом U . При сравнении (11.13) с- (11.17) очевидно, что

W=ZM(11Д9)

подобно тому, как ньютонов потенциал есть сумма потенциалов отдельных масс

иу 认『.(11.20)

Разложение ньютонова потенциала на два слагаемых

и<?)« и°Е)+и\*),(11.21)

где Ua происходит от массы т^ ("внутренний"), a U’"- от остальных масс (гвнешнийг)# соответствует разложение

Wh w」W《2 ・(11.22)

Используя указанное разложение9 вместо (11.16)можно написать

愕;6山)，［需6(吗耨諾^

+•(口・23)

Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (11.15), по отношению к совокупности всех рассматриваемых масс, мы приходим к формуле

(11.24)(11.24)

(11.24)

(11.24)

откуда следует, что

三｛，*6屮1^隔叫。皿5)

Рассмотрим теперь последний член правой части уравнения (11.1)Разделяя векгор-потенциап Оч на "внутренний" и "внешний"：

Uk=U…,g26)

заключаем, чго в силу уравнения Пуассона (11.6)будем и моть

\夕匕四¥ (dx)，0(11.27)

Поэтому последив член в (11.1) равен

При этом

卜儿四(山广=0 .(11.29)

€•»)9 X 4

Мы рассмотрели все члены правой части (11.1). Перенеся налево последний член правей части (11.23), который иMeet вид производной по времени, уравнениям движения

придадим вид

舒 n£z ,(11.30)

где

RL !{?% Н ' ^( * V~ 口 ’ 5U)卜好、二

*pu「鵠卜dx\

%L P訪(dx>* - ^J±S諾“一

■4j”K 乐 Ux)‘(11.32)

В сипу соотношений (11.25) и (11.29) имеем

§ R=0 ,(и.зз)

следовательно,

Т、* 三 Р； = consl・(11.34)

Величину Ra можно по аналогии с ньютоновой механикой толковать как составляющую количества движения массы ( Л ). Тогда величина 匕, будет составляющей сипыу действующей на эту массу. Такое толкование, вполне естествен ное в ньютоновом приближении, является здесь, впрочем, не-

сколько искусственным, поскольку количество движения Bt зависИт, согласно (11.31), не только от внутренней

структуры тела и его скорости, но и от потенциалов (J , U, н W ・

Выделим в выражении (11.31) для %，члены, зависящие только от внутршней структуры. Внутри массы ( а ) величины 认а и Иа{ удовлетворяют уравнениям

Д И а = - 4этур , A Uai«-4oT^pV{ (11.35) из которых следует равенство

Jpviu^dxf = Jpuaiax?(11.36)

Используя это равенство, мы можем написать выражение для 匕《в виде

%I = j {"1 + 春吸(貝2+ 口-认")+ MpV「

-li Jp U『g 卜概Г炉(1L37) Здесь первый интеграл зависит только от движения и от внутренней структуры тела ( а ), тогда как остальные три - еще и от потенциалов внешнего попа. т.е. от взаимодействия тепа ( а ) с другими телами. Вычислением этих интегралов мы займемся в следующем параграфе,

В заключение приведем значения некоторых интегралов, характеризующих внутреннюю структуру тела /4/.

Начнем с интегралов, зависящ№ от моментов инерции

К；' = Jp ^^^Щ-^)^^(11.38)

а

и от угловой скорости. Обозначим через П 口 потенциал центробежных сил

П^ Y з必 Qjjx「a丿内-匕)(11.39)

и рассмотрим интеграл

工=[pa*“x 户(ii.4o)

Мы Имеем, очевидно,

так что Т. есть кинетическая энергия вращения тела (а )・ Рассмотрим теперь моменты первого порядка с весовой функцией рП., т.е. величины

X \pnjX「CU(d6(1L42)

При помощи обозначений

п：； = JpCXraj^-a^-opidx?(11.43)

можно написать

Tal«y 3々 3“-(11.44)

Эти выражения равны нулю, если тело имеет три плоскости

симметрии.

Интеграл「

(11.45)(11.45)&・7&хр

(11.45)

(11.45)

представляет энергию взаимного притяжения частиц, составляющих тело (взятую с обратным знаком), а

еa「；[p аи「%)d厅(11.46)

моменты первого порядка* Используя уравнение Пуассона

(11.35), можно представить величину &■ как

(11.47)

Аналогично могут быть преобразованы и моменты

Введя

величины

(/ad U. ^CX^-a-)(.dr?

(11.48)

=乎虽人У10d人广一 ITT

АХк•

(11.49)

где

Q；：=»yadL），，

(11.50)

мы можем

вместо (11.47) и (11.48)

напНсать

(11.51)

в(11.52)

Эти интегралы представляют собой частные случаи более общих

味；=為\ k： ’

(11.53)

(11.54)

Следовательнр,

J=》r , J=B；二・

(11.55)

Интеграл

3 \ p (加户=Eg-2T.,

(11.56)

аналог ично

(11.57)

где&

%Т（В：工 7：，）.

(11.58)

Далее,

(11.59)

卜1^"厂%)3W=£7%昌工.(11.60)

Вычисление количества движения в приближении

В предыдущем параграфе уравнения движения представг- лены в виде

^^=Fd4 .(12 1)

где количество движения %，и сила %之 выражены интегралами (11.31) и (11,32). Нам надлежит вычислить эти интегралы и выразить их через параметры, характеризующие движение тел как целых в релятивистском приближении с учетом членов, пропорциональных RVb、

Для вычисления На вое пользуемо я п ре дет авле ние м этой величины в виде (11.37). Выделяя в этой формуле члены, соответствующие собственному количеству движения, и члены, происходящие от взаимодействия, напишем

\「( P<u )… + 0)2 ,(12.2)

(Rl)sBcd= '"，4户+昂y^咿寸…

+ P”d J - ^ \?|^ ㈠尸，(12.3)

6a6"

Вычислим сначала интегралы, входящие в (12.3 ). Первый из них дает количество движения в ньютоновом приближении и равен

§§气(打)、m6&「(12.5)

При нахождении второго интеграла будем иметь в виду соотношение /4/

夕 П - Р 以@ 十 Р = ? ◎ а ,夕 П - Р 以@ 十 Р = ? ◎ а ,(12.6)(12.6)

夕 П - Р 以@ 十 Р = ? ◎ а ,

夕 П - Р 以@ 十 Р = ? ◎ а ,

(12.6)

(12.6)

а также формулу

拉2=4&~a«Q；Z “「％)+ ◎，，(12.7)

которая следует из (11.2). Второй интеграл равен ]?气(疗+%)(山)、扑恨记)电 * 2匸逅+ ^^^К^. - 2^Twi ,(12.8)

если воспользоваться обозначениями (11.38), (11.40) и (11.41). Последний интеграл в (12.3) может быть преобразован к виду

7f論[火:^产上 BE)

Применяя затем формулы (11.59) и (11.60), получим

』豬ТхРук唠小嚟寸嚟В*： 92.1。)

Собирая все три интеграла вместе и вводя обозначения

С =0九+ /凰璀-毗，（12.1工）

失？二 2（亭，%+3；：入厂4: B）,L,（12.12）

для "сибстванной"насти количества движения получим выражение

(以彳)8*58 = m/[ + 吉 Gm01a2)

(12.3)(12.3)

(12.3)

(12.3)

ЗйеСь первый член представляет, как уже отмечалось, ньютоново выражение для количества движения. Второй

член дает известную из механики материальной точки к нему добавку. Последнее слагаемое можно толковать на основе понятия о тензоре эффективной массы (матрица коэффициентов при составляющих скорости в выражении для составляющих количества движения).

Если мы положим

К=£&чЛ； + К) + 幺三(七恨 g)J

* 我黑衩d + 式&} ,(12.14)

то, очевидно, будем иметь

爲5&•(12.15)

Этим уравнением величина К определяется с точностью до функции, не зависящей от &а ・ Мы добавим в (12.4) члены £ Та для того, чтобы в нерелят ив истоком приближении величина К переходила в обычное выражение для кинетической энергии системы тел.

Переходим к вычислению той части количества движения, которая завис иг от взаимодействия. Прежде всего оценим порядок величины этой части. Нетрудно видеть, что все грн члена в (12.4) имеют один и тог же порядок, а именно

0\ %…=。(Е W〉•(12.16)

При вычислении интегралов (12.4) мы сохраним помимо главных членов также и члены порядка М/р? по от ноше нию к главным.

Для вычисления интегралов с требуемой точностью в выражении ньютонов ого потенциала

U邕=г,音京(12.17) кроме главного надо сохранить еще один член. Тогца

U⑦一鼻 Т?^\ +花引•(12.18)

В выражении

峻)中 V"： '^霖(12.19)

лля вектор-потенциала следует сохранить кроме главного #ше три члена. Вычисляя (12.19), находим

+ 歹 F 丫3戸ЗХк ЗТе «- Е； (12.20)

Маконец, функция

W；2)=員打К网月伙dx疗(12.21)

G требуемой точностью равна

Ms сохранили здесь помимо главного еще два члена, чтобы обеспечить надлежащую точность в выражении для производной от W'")по времени.

Полет являя в первый из интегралов (12.4)разложе ние

11\4)в ряд Тейлора вблизи точки Хк = аи ：

嘿二瞄……鸣粤力

十恭（XkjQQOl %）（3人?A）；十恭（XkjQQOl %）（3人?A）；(12.23)(12.23)

十恭（XkjQQOl %）（3人?A）；

十恭（XkjQQOl %）（3人?A）；

(12.23)

(12.23)

будем иметь

3卜冷и C?）（jx），= 3小a:頂丸+

+З若:鑑紹7九十^"卩:久詰热/

+ & 3仃 Jjy \石八次 /л .（12.24）

Сюда нужно подставить выражение для ньютонова потенциала внешних масс из (12.18). Тогда получится

з Jp匕 U；w＞《cub = z' ?：?¥：-友 t +

V HF 3尸%而；百百

Y万貝恨工…工）〜疝前京百+

У 5仆Me；『3

Аналогично вычисляется второй интеграл в (12.4). Мы

имеем《а

M?U；5f 啰嶷怜,(12.26) а

н после подстановки выражения (12.20) для U；

2%窗…2%窗…

2%窗…

2%窗…

一工 2ymet 3川3clya & e let - Г) • (12.27)

Наконец, последний интеграл в (12.4)равен

Rg>f(粽"獻研3

Дифференцируя (12.22) по времени, получаем

用巾陪用巾陪4 V з・洛ак4 V з・洛ак

用巾陪

用巾陪

4 V з・洛ак

4 V з・洛ак

一吊噥4僦-嘉№縊•

(12.29)

Величина 匕幺 имеет, согласно работе /4/, значение

簟二哨噴』3；*；?.(12.30)

铲I/* aX你一铲I/* aX你一Дифференцируя (12.29) по координате, получаем

铲I/* aX你一

铲I/* aX你一

严寸必小iK 2A 鸣 2k严寸必小iK 2A 鸣 2k-丄\lm i zK-El * 4 T T吟xMk荻后f"

严寸必小iK 2A 鸣 2k

严寸必小iK 2A 鸣 2k

-G； x ％ 叽吗2%2h42”Uj 2X05*12 ^^

% следовательно,12.31)

эг

кЭа{Эак

la-U-

-旧点? ^Д+吊m噥+叫耍）У

X& I 吐El . 工厂^1111_.(12 32)

Эа^аакЭае\2 g 丫巾臬叫 За^а.Эа^а^()

Согласно (12.4), сумма выражений (12.25). (12.27) и

(12.32)9 деленная йа СаВведем две функции丄二办二八阳6恤▼

，дает зичнну ( *)в3aHM

X

la- @1

久n,屮№）論J

十Y"爵），"

人=运£巾同：7

т：撓丿G""B

-小承心-打黑設）（人一他）蟲金®

噴?巾风军，第言:)-

Тогда нетрудно проверить, что

0)…二規 + 孤•8.35)

Имея в виду оценки

3~± 13~mR&, 口〜м#,(12.36)

нетрудно заключить, что функции К, и 入 вычислены с точностью до членов ~ mU(q£/c*)(^D)Для полного количества движения имеем

PsL蕤gkk)・(12.37)

Вычисление силы

Переходим к вычислению силы (11.32):

* = №蹈疗-磊解dxk誨翡加.(13.1)

При этом для потенциалов W н U< достаточна точность формул (12.20)и (12.22). Переходим к определению U*. Как видно из (11,7)» потенциал U отличается от нью- тонового U с учетом двух поправок: поправки на запаздывание и поправки, происходящей от замены ? на 6 . Таким образом,

U* : U 噢装 + н^0У ,(丄3.2)

где

%" 7,!牆"(S3) a W определяется согласно (11Ф17). Теперь из (11.4) находим разность

б~9 = ^ GР“"У口 У ^^ 十％р) 一 ^?U .(13.4)

Первый член зависит от внутренней структуры тела ( а ) н от его скорости, а второй 一 также н от внешнего потенциала. Имея это в виду# приступим к вычислению U/

Напомним сначала, что ecnz использовать (12.6) и (12.7), то

§(1рУ%уП -рМ. + Зр曲)"=誉 Е.&： + f с ,(13.5)

где

k= 3(“а「2р)сх『，(13^6)

и для момента первого порядка

k|p^j>n 寸人+")50)(&)3=3&察)：：工，/13.7) где

X"『("以+2p)0「2)g心(13.8)

а также

\0р丿十pR-plk 十Зр)ОЧ-а■乂L-RQQdx〉，

=专 &： J：； + 5 "吋：扌：；+ ¥qY ,(13.9)

где

XkL \ ^^W^^v^t)^ . (13.10) a

Имея в виду формулы (11.40), (11.42), (11.56) и (11.57), запишем

¥」* 2」* 丁…(13.11)

飞广，「3丁"1 .(13.12)

Иля вычисления {.ке введем в рассмотрение следующие и»тегрш1ы:

TuL JpQo.^i-ctiX^K-a^xdx)^ (13.13)

z'pQxLQCQfK-QQcdxP ・(13,14)

(13.15)(13.15)Прн этом (13.13) можно представить и следующим образом:

(13.15)

(13.15)

丨04「2 3ns 3” Jnity , rue введено обозначение

□；；L =，夕 3「a■乂XL%)(k%)a「QC(dxP. (13.16)

Интеграл (13.14) вычисляется по формуле

qpCiKkajcdx卢寸…-标ё，(工3,7) в которой

勺宀二-5 \^K^^^C^i ^C at^xT С^в (13.18)

Поэтому вместо (13.10)можно написать

М =勺2十粤Fk・(13-19)

Учитывая формулы (13.5), (13.7) и (13.9), приближенно получаем

[@？丛? 0 一у(+ Зр)'粽=@也葭+h)盒十

十（也嚟手：十加）§i^■+ g &：喀+

+ 5&s 3；? D；二 +Далее t1JP us飞凡]+ 5&s 3；? D；二 +Далее t1JP us飞凡]"丿万^^7&庇耳I"丿万^^7&庇耳I(13.20)(13.20)二 - M Eq UE)二 - M Eq UE)任31任31

+ 5&s 3；? D；二 +

Далее t

1JP us飞凡]

+ 5&s 3；? D；二 +

Далее t

1JP us飞凡]

"丿万^^7&庇耳I

"丿万^^7&庇耳I

(13.20)

(13.20)

二 - M Eq UE)

二 - M Eq UE)

任31

任31

2d、餐 \己＜1 / ut ЭХиЗХе ^-51 cNks、》％

*'謬 巖.含■排寫』g端））* 高斗^耨r^’25由），

■（盡7氏｝备+ ^篇鼻'諸!）心泰 高I

一乐（F譏乃界諡；高• 221）

Теперь

+ Х叫工ё )^^ j^+人｝^7+

*3^（3%铀к %「bg而尺曲+*3^（3%铀к %「bg而尺曲+VaiVaiм近一洋м近一洋

*3^（3%铀к %「bg而尺曲+

*3^（3%铀к %「bg而尺曲+

Vai

Vai

м近一洋

м近一洋

~^^^

67

+，％哈啜+hj

2人2 A

也一迫

(13.22)

В выражение (13.1) входит не весь потенциал U , а та его часть, которая происходит от внешних масс. Она равна•

U =U 十 d%W +%•一(13.23)

При этом и'" и W"'известны из § 12; что же касается Ugo,, го из (13.22) находим

U；：；=訂'｛加国"百器V км疋%

+±F⑶鳳*啜爵鶴工卜

x，-'i . у 丁х巾「一） q」）a 4 立一乔- 2d t\；瓜巾,Jq 2Ху2^ё \习一石

注7R: %；*3 k型心 G志鼠\ •

(13,24)

Поэтому выражение для силы (13.1) будет иметь вид

J 7嚟%X）т嚼叫ё嘅加*

卜

^卜務9'一謀瞄I

Q(13.25)

Первый интеграл является ньютоновым выражением для силы и вычислен в работе /2/. Он равен

(13.26)(13.26)

(13.26)

(13.26)

где

*若｛解е（m3就為詛（13.27）

есть ньютонова потенциальная энергия системы тел. С требуемой точностью второй интеграл имеет вид

小x" 歹，%%*他 I.a3.28)

Третий интеграл

一也eg更)一丄) T-⑴叱))

…(13.29)

где за U можно взять выражение (12.1^). Теперь сложим (13.28) с (13.29) и пpивPDe^f эту сумму к виду производной по а；.

Если в (L3.29)можно положить % = сц до аиффер^нн пирования, то в (13.28) этого, вообще говора, делать

6"

нельзя. Дело в том, что здесь некоторые из членов в О») сами зависят от а； , а именно

U%)= Е韜十 N：；aa：aa,磊丁(13.30)

1'де многоточием обозначены члены, не зависящие от а > ・ Вследствие этого обетоятельегва мы остановимся на выражении (13 .28) несколько подробнее. Действительно, приведение (13.28) к виду производной ot《q)а<сдедует начать утке с преобразования самого потенциала U*<>5 к виду

喝=^ у(1 m武-mbu%) + h)訖十

一磅？ 9*箱？队成飽)(13.31)

в котopом введено обозначение

Uod严号豆WT ，(13・32)

т.е. мы имеем дело с главным членом ньютонова потенциала (12.18). Далее, подставим (13.31) в (13.28) и выполним соответствующие выкладки. Тогда

!霑3鼻晋m意^5

嗚岩？⑺嵐吸嗚岩？⑺嵐吸3而3而

嗚岩？⑺嵐吸

嗚岩？⑺嵐吸

3而

3而

嗫猾削工*k硯心G仆A

XXуу3%氐川2c2卜*网,福\5Л\3%氐川2c2卜*网,福\5Л\

X

X

у

у

3%氐川2c2卜*网,福\5Л\

3%氐川2c2卜*网,福\5Л\

啧今弋G小Q鳥;备• S3)

Это выражение окончательно приводился к виду производной по Cl, , если воспользоваться следующей формулой, справедливой для подчеркнутых в (13.33) членов:

专门编，皆忆詁J一表fm鳥，仁許а%专门编，皆忆詁J一表fm鳥，仁許а%

专门编，皆忆詁J一表fm鳥，仁許а%

专门编，皆忆詁J一表fm鳥，仁許а%

Lq Эа Эа. ЙЛ1/ A^c %或筋入矶、RK"丿.

x(13.34)

1'еперь можно составить сумму выражений (13.28) и

(13.29) й представить ее в виде производной по Ц^:

中网吧旧“）黯，+符鸥式:，

+к%й詞 而％}-不泰¥±m応體Г）"

脸4巾疟誹中::謠Ie詛一 鳴志F噥謠^$獨扌+施佳（釈屯 +晒‘嗇喷；噓5备詣）也哂*

+l）回餐（R*A気懿喘一

Остается написать правую часть равенства (13.35) теперь уже в виде производной от симметричного относительно “а" н 8" выражения. Этого можно достичь, учитывая следующее；

嗑器&比5e+ 0+&"№《叫Wv需， (13.36)

泰｛響33展工)誌+E》入囈*十

з黑工;&”5*-5%)］締,=舞,(13.37)

+费f3齧*匚h)謠^謳4总经。心 +工)门唸看^1\ ^^^ %; *

г窣…"證整磊"

二轰去为"人4票:+ 3 上碟r； + m)+ a* I

+ me 6遺喷+>as礎事上J ) +贫(5口熱)

Р；(Ж%)］謠^备=疆，(13.38)

^T^U^a)^T^U^a)乐暖^；a鬻丹二乐暖^；a鬻丹二-ДШич^-ДШич^'亠)2 * f m(г 例瓜工了 a a4 la \'亠)2 * f m(г 例瓜工了 a a4 la \斗斗

^T^U^a)

^T^U^a)

乐暖^；a鬻丹二

乐暖^；a鬻丹二

-ДШич^

-ДШич^

'亠)2 * f m(г 例瓜工了 a a4 la \

'亠)2 * f m(г 例瓜工了 a a4 la \

斗

斗

十乱秒名^设工志匸/)+Е

④譏jy窜譌*設^囁-02

где Lq , L& , 3 nW - новые функции. На самом деле, соотношение (13.35) представится через симметричные функции L、，〔2 , J н W следующим образом:

(13.40)(13.40)

(13.40)

(13.40)

Переходим к рассмотрению в выражении для силы (13.25) тех интегралов, которые включают функцию U/ :

却絲町』靑端沟亠畢鶏

= -±!”j^^T“x"（13.41）

Это выражение можно вычислить с помощью (12.31). Тогда имеем

-"И叫^Ж""=-^ 卜0+鳴（X宀））х

t 2 /%纵沐叫弘t 2 /%纵沐叫弘4 七 3sk ах《ахрх$2Хк4 七 3sk ах《ахрх$2Хк

t 2 /%纵沐叫弘

t 2 /%纵沐叫弘

4 七 3sk ах《ахрх$2Хк

4 七 3sk ах《ахрх$2Хк

ти貴，識йк总黑ти貴，識йк总黑旷任* ] 即疯麻旷任* ] 即疯麻

ти貴，識йк总黑

ти貴，識йк总黑

旷任* ] 即疯麻

旷任* ] 即疯麻

如"=泰志＞ ”m。也誤r龈浊同『

-厶削工&｝藹設+默总im£&% +

畜「%以a*一乐「畜「%以a*一乐「С<Л） （a）n（«）4/ qC‘>4x4j *，+若声丄「С<Л） （a）n（«）4/ qC‘>4x4j *，+若声丄「

畜「%以a*一乐「

畜「%以a*一乐「

С<Л） （a）n（«）4/ qC‘>

4x4j *，+若声丄「

С<Л） （a）n（«）4/ qC‘>

4x4j *，+若声丄「

"凸+位屮m//讨丽市 .（13.42）

Ис пользуя соотношения /4/

丈；3^军+3農咲',（13.43）

我:=3；： :J：：； + 碟唸 + 備X： ,（13.44）

преобразуем （13.42）к виду

ТУ，蕊W嗡嗡噜.皿5）

в котором

L尸击ахмее°к設瞌'（丄3.46）

（a；g）*

L「圭卩®上；5八扌3^; ,（13.47）

二=^i £x （mJ：+ 叫嚷）碣 Г（m*M吧;*

^Z)^аз.®

Вычнслнм последний интеграл в (13.25). Произведя соответствующие выкл£щки9 имеем

(13.49)(13.49)4°"（JQ- '* I aL，？旨

(13.49)

(13.49)

一厘叫板” D-寂十狐十忒，

гдегде1"-^丸卢ЕвLag1"-^丸卢ЕвLagg JcK31g JcK31(13.50)(13.50)

где

где

1"-^丸卢ЕвLag

1"-^丸卢ЕвLag

g JcK31

g JcK31

(13.50)

(13.50)

.(13.51)

匸=T £"& hm 黑+mK3 -23：；嚟噥常+

+mh般或+ m上E：；碣3^^ 詣 y3.52)

Таким образом, если собрать все интегралы вместе, то выражение для силы (13.25) приобретет следующий конечный вид

aw2сцaw2сц一急（仆b人）»一急（仆b人）»

aw

2сц

aw

2сц

一急（仆b人）»

一急（仆b人）»

鳴，L2 十 L4* L,)*mТ L5 v). 3 3.53)

§ 14. Релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольйой формы с учетом их внутренней структуры

Н вращения в приближении m #4%*)(片/炉)

Обратимся к выражениям (13.53) и (12.37)для силы и количества движения и сравним их между собой. Вначале введем обозначения

①4=-打G K(hm」kmg)^^，(14.1)

(ссП)

①尸^gХ出北也噴)+《心也旧需(丄4.3)

Следует отметить, что эти величины входят со знаком минус в выражения (13.36), (13.37)и (13.38) для 1《, Lj и к?・ Теперь можно показать, что справедливо равенство

Lq + L/ /十 L「Lr L」&&百=(*a%一r-%%(14.4)

仆一而L *Q；"或抓渺声сцаоТg“)•

+ 乎 Z X 幻"5w J产 U 2%2入 iS-tl *(14.5)

Доказательство этого равенства мы здесь проводить не будем в силу громоздкости соответствующих вычислений.

(14.6)(14.6)Если учесть (14.4), выражение для сипы (13.53) пре образуется к виду

(14.6)

(14.6)

冗l訪(к弋У ?-%-%7).

Выражения количества движения (12.37) можно записать следующим образом：

匕=紀(k + kL к) (14.7)

Наконец, введя функцию

1"=k」55个中一?一号-%7 .(14.8)

мы можем написать вместо (14.6) н (14.7) равенства

匕广翁 >J=* .(14.9)

Это означает, что уравнения движения (11.30)

аг= Fa；(14.10)

можно написать в лагранжевой форме

-翡=0・(14.11)

dt Эа^

Функция L есть искомая функция Лагранжа(;истемы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с точностью Е%'(《/с兽)(R?/D') •

В заключение выпишем еще раз функции К , К 人，Kt , <Р н 屮.Согласно формулам (12.14), (12.33), (12.34), (13.27) и (13.39), они имеют вид

hgGma&FR^gggTzS&pa} , (14.12)

к「乐&т。恤+%（m*；:*m卩；：）§^^卜

(1 4.13)(1 4.13)/ ?dl - 8dt^-t>81A p 凄向&

(1 4.13)

(1 4.13)

\ la- Bl2人加К

）（如「厶幻一

- ％3以膿一*К；誥）（3小4%）鼠止］ ，

十 厶£，｛m Jj* + g%：；）飞凤6；］一

3」2 而方 ^7^^ '（14.14）

）*<

0T鼠豁加券皿聽，m.2 8八）

屮П忌［门店諾2口.《詈中+ 十*［?叫（?^1r ^^^^t-^^^+ '？'m«（g需/ b^t 誼1,号石）】+

4c1 L< “ Эа^а^ % ld-Ei '

«人2 0акЭае 总矶・

§ 15. Релятивистская функция Лагранжа системы сферически симметричных вращающихся тел

Посмотрим, чему равна общая функция Лагранжа (14.8)

в случае сферически симметричных однородных масс с вращением. Для этого рассмотрим последовательно функции к, к「 кя，к>. ф » ^ .% •% •也

Чтобы получить функцию к《з： ) из фо殷упы (14.12). вспомним, что величины Та , Z «^ и 2 £ , согласно формулам (11.41), (12.11) н (12.12), имеют вид

%=备心谨吟，(15.1)

4к e(21\+&a)diK+a)ti ^SkJ4»-biu ,(15.2)

m* 2就工」吟:y 蜀b:工.(15.3)

Для сферически симметричных и однородных масс находнм 3： = $Р(〃- %)“-%)&力=入3以,(15・4)

嘅=$九队,(15.5)

Т* =-J 3纓 3；) 3 jyi = O,(15.6)

J「。，(15.7)

Тз о •(15.8)

Скаляр J■ в формуле (15.4) равен

За=争 IP")24d2=4^*：,(15.9)

О

где R“ - радиус тела У. Тензор момента инерции в механике, как известно, описывается выражением

Н：'= I?"；九 7*ХС"х 尸口 К,(15.10)

где

^а -亏 HqRq ・(15.11 )

Сравнивая (15.11) с (15.9), имеем

入=IX .(15」2)

ЬЗеличина

^iJpUaCdx)^!-^^(15.13)

есть энергия взаимного притяжения частиц, составляющих тело (взятая с обратным знаком). Учитывая формулы (15.4) - (15.13 )# запишем вместо (15.1) - 0.5.3)

L = %3：3：,(丄 5・14)

黑匸(学£「^3：3：)3«-4"3：3：‘工，(工5.15)

Z；'=o .(15.16)

Тогда искомая функция

产*em同+二)+笳g也闻屮:D(15.17)

Из (14.13), имея в виду формулу (15.4). получим для функции к'；" следующее выражение:

=青 £ X ［叽m” ^ (m3 + m J@) △ 1* (a九)=青 £ X ［叽m” ^ (m3 + m J@) △ 1* (a九)- 8 %2，十3 6： . i展瓜"IId-fl品而就- 8 %2，十3 6： . i展瓜"IId-fl品而就la- Ella- El(15.18)(15.18)Для вычисленияДля вычислениячае в общей формуле соответственно равнычае в общей формуле соответственно равныК z учтем, что в нашем слу- (14.14) величины 」我，J^f ? J*К z учтем, что в нашем слу- (14.14) величины 」我，J^f ? J*тa)_ 、9) 口⑺屮 J$k — 3$j J$x 十 3skтa)_ 、9) 口⑺屮 J$k — 3$j J$x 十 3skОО

=青 £ X ［叽m” ^ (m3 + m J@) △ 1* (a九)

=青 £ X ［叽m” ^ (m3 + m J@) △ 1* (a九)

- 8 %2，十3 6： . i展瓜"IId-fl品而就

- 8 %2，十3 6： . i展瓜"IId-fl品而就

la- El

la- El

(15.18)

(15.18)

Для вычисления

Для вычисления

чае в общей формуле соответственно равны

чае в общей формуле соответственно равны

К z учтем, что в нашем слу- (14.14) величины 」我，J^f ? J*

К z учтем, что в нашем слу- (14.14) величины 」我，J^f ? J*

тa)_ 、9) 口⑺屮 J$k — 3$j J$x 十 3sk

тa)_ 、9) 口⑺屮 J$k — 3$j J$x 十 3sk

О

О

(15.20)(15.21)(15.20)(15.21)扌:;=［「%『№「外）0（厂外）d心0 , *；=呜霏+皮黑；+ 3：凯3。.

(15.20)

(15.21)

(15.20)

(15.21)

Поэтому (14.14)приобретает вид

不疑/[m闻3*&г4/m/"w 8M«喘点.(15.22)

9； 8)

Функци яравна

心叱一丄工 ） 口 ⑺⑻似口-fl 心- 4e；&»43“3q加曲倣出*

(15.23)(15.23)(15.24)(14.1) и(15.24)(14.1) и+告£ Га工落总試初髙•

(15.23)

(15.23)

(15.24)

(14.1) и

(15.24)

(14.1) и

Согласно формуле (14.15).

Функции Фл и %■ если исходить из

с о от ветст ве ннно нмеб вид

一中：6=七gY国恨巾mJ^Jj ,(15.25)

-Q =0 ,(15.26)

где f а определяется формулой (13.11).

Определим теперь функцию Ф^1 ・ Для этого в формуле (14.3 ) нужно знать значения величин £« е для сферически симметричных однородных масс. Эти величины в силу (13,10) и (13.19) равны

*^akt ~ j^P^a+2p)(XK-aK)(4Xe-fttXdx) = ^(^ 拿Tq，k ,(15.27) где T/x н ^agK в свою очередь выражаются формулами (13.13) и (13.18). Расчеты показывают, что в нашем случае

兀 Сх =靑 В： R： (2Q：方仅-Q：),(15.28)

lз一轰户：k九0 .(15.29)

На основании этих формул и значения (14.3) получаем

-暇"鼻中(М；3；3：＞Т +

+ m е R：工幻觀)^b,"^Ti •( 15.зо)

Подвергая эго выражение дальнейшему преобразованию, находим

+ ^g 刃［4市)1出，(15.31) rueS^= 3：员a — собственный угловой момент тела "а".

Остается определить Ч7＜，СФ)・ Как видно из общей

формулы (14.16), в случае сферических однородных масс Функция

卜严抬［?m觴'蟲*血(¥鬻)卜

Асг If」矶&|戸丿 ％ %aRb@L

(15,32)

Итак, если учесть формулы (15.17), (15.18), (15.22)Итак, если учесть формулы (15.17), (15.18), (15.22)• М A CUK, CTV^J А ж* j *Схх 4 D v^J U у (VIJJ 1X31 \ **• ^―^ .丄 ，丿, \ 亠 1MЛ .丄 1aBД / । \ «Л« 4aBJ .,

Итак, если учесть формулы (15.17), (15.18), (15.22)

Итак, если учесть формулы (15.17), (15.18), (15.22)

(15.23), (15.24), (15.26), (15.30), (15.31) и (15.3 2),

релятивистская функция Лагранжа для системы сферически симметричных однородных масс с собственным вращением имеет вид

悭口个曰广科暇吟仁 （15.33）

8 16. Функция Лагранжа системы двух сферических масс (%«“) с собственным вращением

Мы имеем

К'.‘;*m•五‘+ та+т「^瑞m冋吋2*a也),(16.1)

(16.2)(16.2)зу m@m& 才&

(16.2)

(16.2)

К5 &

m；）二左（凤刃后n善]）,m；）二左（凤刃后n善]）,(16.4)(16.5)(16.6)(16.4)(16.5)(16.6)心‘Н壷[(5m6+4%е)*]a,(16.3)

m；）二左（凤刃后n善]）,

m；）二左（凤刃后n善]）,

(16.4)

(16.5)

(16.6)

(16.4)

(16.5)

(16.6)

一味已备旧％十学扫必一味已备旧％十学扫必一 №叽吗饰

一味已备旧％十学扫必

一味已备旧％十学扫必

-^^[^^,（J67）

屮%気（m乌8贵）M年队*八 3）

Собирая все эти выражения# получим

一務歐丁费改点》",*第*

+专（氐两［涧法+麼十^ ^A+1^＜）^

十芸慣（底订4可）+器（"區利）1；

1Ърегруппировывая соответствующие члены, имеем

++^^S^l_^l(.h Л)—% 如出^^S^l_^l(.h Л)—% 如出VV

+

+

^^S^l_^l(.h Л)—% 如出

^^S^l_^l(.h Л)—% 如出

V

V

十崇（黑*竄阖♦备［6唸十4巾无）咽a

+ ^2热丽丽总+諧邮艰+鵠唧爲睨 (16.10)

В этом выражении условие Ma«VHg использовано постольку, посколырг при выводе формул (16.1) - (16.3) было положено 久=0 . а также отброшены члены, пропорциональные отношению П1о_/т《 в (16.8).

Замечание по поводу релятивистской функции Лагранжа (14.8)

Как говорилось выше, релятивистская функция Лагранжа (丄 4.8) была получена в нашей работе /9/. Позднре в монографии /8/ Брумберг также рассмотрел вопрос d релятивистских уравнениях поступательного движения и соответствующей функции Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с той же точностью и тем же методом, что и в нашей работе /9/. Выпишем полученную им функцию Лагранжа

e=『+m:十К；十к；- Ф-曲-%'-牛;-屮丄儿(17.1)

в которой

鹏(如发t')+箱皿(叫2却J心r],(17.2)

k；抬^飞躋3艾，気-8&讣

[mw*兀（沁mi館）-

一也般兀（为m一*）]紀寻気+

t- ^-СтЗтЗ(а* т^^З^ )^^^ }(17.4)

К尸凳&广｛[ 4 （m。"廿М卩：：）（3%人8С上）+

十Q 团8公曰口 丄说 <'&Q，'n）* q И1а й）ти х

* L» G 忆 4。")】^^,]^]十 Е (m工У В工к

^чда^^ （176）

哈範『限肝屮+心纣力為

県-拉Пм（ЯКЗ-тМ：：Е‘唸"j^，（17. 8）

*气4门心不T）♦

十噴（亓寸）皿（或+点+

+小（元：+撒1爲5；志*（17-9）

*一 2c2g4上0二乔+ "G"1(Jm +

*展）费孤1^ + +（砲::+ %展*

，認或飞%й]+者NT"性%也恨.

+孑m, m,吸謠石+十恨叫£ 最北 +千m皿，1品*J）（瓦mh-dl +

"一蟲号g%或:©,"一蟲号g%或:©,产T丄кна《3а；位一由产T丄кна《3а；位一由

"一蟲号g%或:©,

"一蟲号g%或:©,

产T丄кна《3а；位一由

产T丄кна《3а；位一由

^」公 Jmn Э0кЭа|Э0тЭС1п •(17.11)

Интересно сопоставить наши результаты с результатами Брумберга. Для этого дост ат очно сравнить функц им Лагранжа (14.8) п (17.1). Во-первых, оказывается, что к и

М‘ совпадают между собой, ибо член Гw в V/ нес广 шест вен при рассмотрении пос тупательног о Движения ( он зависит только от угловых скоростей! ) и может быть опхтден.

Во- вторьгх,

(17J2)(17J2)к+忆=к； 4 к 2 十 к：.

(17J2)

(17J2)

"吟90一

中=中:R=我，，2=中；，华广①；，屮=屮'，(17.13)

если учесть, что между некоторыми выражениями нашей работы и работы Брумберга существуют соотношения

%*d"丈丄()

И наконец, к子=一入’，(17.15)

если вспомнить известные условия /4/

&：)= 2$：零.(17.16)

Такнм образом,

L= С .(17.17)

Это означает: уравнения поступательного движения, найденные в двух рассматриваемых нами работах, полностью совпадают.

Расхождения в релятивистских функциях Лагранжа поступательного движения для системы двух сферических вращающихся тел

В следующей главе мы расемогрим задачу двух тел в механике ТГЭ с учетом Их внутренней структуры и вращения, Поэтому здесь сравним нашу функцию Лагранжа с соответствующей функцией, полученной Брумбергом, и в случае системы двух сферически симметричных тел. Тогда наша функция Лагранжа (15.30) приобретает вид

\““(18.1)

где

匕殺1%a；+T|1 +纟1鈿*3 +狂:汰4》 (18⑵

К产暴У [m皿* 4(人工+ m卩力△] *

' 瓜Tl t к*цаа J

k厂?? J£g 5( Qq 82(1历%血4

(18.5)(18.6)(18.5)(18.6)亠组u”n费 4

(18.5)

(18.6)

(18.5)

(18.6)

c * n *'3*25 位3]

•■••**「"―丄 r 二 d 1•

eН一訳丁小明a^ ,（1&7） R=然? 5«©3； &%;; 5R：3 誣鬻）x 耦黑吃（丽）’囁唸吶备

（18.8）

屮彩[E冷喷沁乌矶許Д "8.9)

В выражении (18.8) было использовано операторное соотношение

(底打瓜計)=(蓑*阳底力.(18.10)

Выпишем теперь функцию Лагранжа, полученную Брум- бергом /8/ для двух сферических вращающихся тел. Она имеет вид

{ = x'十m； +k；+k；一屮」《.吟屮4 , (18.11) где

心忌仙芥+阳J4挺Ua(时* №：，+式片半不讨工(认乔1 ,(18.12) К胃膿侬♦用一沱3-嘿普W 《=試*{丸工*j*"'""] ■

-叫工或[£&冗-П]} ,(18.14)

uf X mj/mja [京 &匕力位-&t) ](18.15)

中产70篩吊卩｛&mJ：域7秸磊1 +

"品5喘■(広R時D噥位可倒1)1合,

(18.18)

*.2(?氏計®мат>…口彳3］，

人一 e2血巾3 2W 南下『1.

Проведем сравнение (18.1) с (18.11). При этом

к=/ .(18.21)

ибо, согласно (15.15 ),

拉黑a乩=&3工冠+屮归骨痂先

=(I £й + Т 13： )d J#工(而《之尸，(18.22)

где

9’ =§(yu*£n + p)(dx)3 =

(18.23)(18.23)二 Jpa.(dx)3 二兀

(18.23)

(18.23)

Так как “

(18.24)(18.25)(18.26)(18.27)(18.24)(18.25)(18.26)(18.27)2气 Эак - %3l~~ld-g[3

(18.24)

(18.25)

(18.26)

(18.27)

(18.24)

(18.25)

(18.26)

(18.27)

A 科九书. 2bbe 6S<i・eD(argJ

TO

K、=K； + K； •

Далее, ибо

公::ckdj盡詣•「(Л①式-"1誌A ~住乔(认[3@^.^]).*28)

Аналогично

①=屮'・(18.29)

Чго касается 戈 и Ф^ , мы должны сравнить [^ и 》3.」.+ f • Оказывается, что эти выраження не совпадают. Величина J& была вычислена Фоком /4/ и, согласно (13.11), равна

¥a = ^ 丁《+号£<* ,(18.30)

а у Брумберга /8/

3 3： 3」4Т「* J(.18.31)

Следовательно,①,и 中; лля сферических врашаквдихся масс разные. Такой результат, на нервь員 взгляа» кажется непонятным, ибо, как показано 冃 § 17, выражения 中《 и

中; совпадают в общем случае. Действительно, когда мы рассматриваем тела произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения, согласно （17.14）,

fь3t‘" + w叽 41>2'p也）'.（18.32） а

Объяснение заключается в том, что Фок и Брумберг по- разиому вычисляют интеграл по объему от давления в правой части （18.32）. Интегрируя по частям и учитывая, что давление Р обращается в нуль вне массы, получим

J P（dx），T 做~气）殺 з?・（18.33）

Чтобы дальше вычислять этот интеграл, надо обратиться к уравнениям внутреннего движения, т.е. мы должны сделать предположение относительно внутренней структуры рассматриваемого тела. У Фока /4/ уравнения внутреннего движения имеют вид

9[需+ 忆%a「咽嘅，（1834）

ГЯег 照dx，）3

近金"（18.35）

есть ^внутренний* потенциал тяготения массы 恨・ Если ввести также потенциал центробежной силы

а с 4 3；：嚟a]a°a丁、）>

то в рассмотрении Фока давление

Р = р（2% - П） .（18.36）

Подставляя ®Р/ах《 из （18.34）в （18.33）, Фок находит

$р«）、$ “冷т. з（丄8.37）

и Для Та получаетсх! выражение （18.30）, Формула

（18.37） показывает: когда тело вращается, то среднее

давление внутри него меньше, чем при отсутствии вращения,

что н следовало ожидать.

Брумберг же предполагает тело абсолютно твердым и считает, что давление внутри него приближенно удовлетворя

ет уравнению

9鶴二旣 *(18.38)

Для интеграла по объему от давления он получает выражение

[pCdx/н孑 б。・(18.39)

При этом

*6 в 4 Т.十 I； С。・(18.40)

Следовательно, Брумберг фактически пренебрегает вторым слагаемым в правой части (18.37). Это кажется не совсем бесспорным, ибо аналогичное слагаемое удерживается им в правой части соотношения (18.40). В нашей работе мы будем придерживаться фоковских предположений относительно внутренней структуры тел.

Различаются между собой 屮§ и Ф^ ・ У нас при Ф^ козффиннент равен 2/7, а у Брумберга при 中; коэффициент получается 15/56. Расхождение связано с вычислением

Кк」ЗТ：： + 出，(18.41)

где

Т：： н * 06<VaQ(KL%)cdx)，(18.42)

К； * S G?& +/ П^5р Хх^а^сх^в^сДх? . (18.43)

Функция 9、 Брумберга получится, если в (18.41) положить 丈；=0 .(18.44)

Действительно, при таком условии для двух сферических тел (17.9)дает

二亲喘時時］)喟時個前1高，(18.45)

т・е・ мы получили выражение Брумберга (18.18 )•

Здесь необходимо отметить, что условие (18.44), которым пользуется Брумберг, для нас неприемлемо, посколь-* ку мы придерживаемся предположения Фока. В самом деле,

¥：；7(9限+2p)5-偌乂2%№*匹

=Т'? + 2< Рик-акЖс-аеМ*)', (18.46)

если иметь в виду (18.36). Здесь первый член в правой части - то же самое, что и первый член в правой части (18.41), и никак не нуль. Что касается интеграла

S P(x«c-aK)<Xeat)C<ix)7f(18.47)

то он не вычислялся ни Фоком, ни Брумберговл, У Фока (18.47) выпадает просто иэ-эа приближения. Брумберг же вводит его# но, однако, не вычисляет в силу принятого им допущения о внутренней структуре. Этот интеграл был нами вычислен /9/ и равен

№仁%)(*叫"小显仁式：=±沙：R%一WТ：；1 “(18.48)

где учтено равенство (15.29). Тогда (18.46) зепишетая 幺аK.,

储二打小十京хт.у. ."a®

Вот то условие, которое мы должны использовать вместо условия Брумберга (18.44)и которое объясняет кеэффици*- енг 2/7 в нашем 中§ ・

Далее, расе мотрим 屮 н 屮' ・ Так как

А \а・М = 2|ПЛГ\(18.50)

tq (18.9) можно записать в виде w=2号位一証[人45沖噜需4,(18.51) которое совпадает с 屮.Остается сравнить К》н 入 Имея в виду тождество

—————加《、》

n (Q 厂 ％)&а「^е)Ьи+(ач-^)Б4е^((1еВ^ ^J\

3[0 }9*・&)(+一8d+兀4(口『&)単，』。十次，9Г4)9「心

-ICTKF*

(18.52)(18.52)

(18.52)

(18.52)

убеждаемся в том, что первое слагаемое в К 多 обращается в нуль. Можно показать ❸то и более простым путем:

з а) а”五…] _м»гдg、

“ * Зсца% Мк асц~ а {『丁

х Т^；赤心=^Sjlv XlMlV)\a JgD・(18.53)

Учитывая (18.53), запишем (18.5) в виде

(18.54)

Преобразуем выражение (18.54) с помощью (18.24). Тогда

y编%｛心闻■"可嚼硒｝y编%｛心闻■"可嚼硒｝・(18.55)・(18.55)

y编%｛心闻■"可嚼硒｝

y编%｛心闻■"可嚼硒｝

・(18.55)

・(18.55)

Итак,,

К? = -А .(18.56)

Отметим, что (18.54) принимает и такой вид:

h3 =备(1混1[$引)^^•(18.57)

Подводя итог, можно сказать： для двух сферических вращающихся тел наша функция Лагранжа (18.1) отличается от полученной Брумбергом (18.11) коэффициентами соответственно при 叭 и 會 .а также при % и ①；, чго связано с более полным учетом нами внутренней структуры тела.

В заключение проведем сравнение нашего лагранжиана* (18. 1) с функцией Лагранжа для двух точечных масс, полученной Ряб ушко /40/ методом Инфельда Для этого перепишем (18.1) в следующем удобном для сравнения ввде:

L=K.K、+K/Kj・4>・a.弓・屮,(18.58)

где

ь强m風+г气长吗(4*就"也"，(18.59)

k^i[ns+4（mje+叫工）人]（对七7航）+

丄00

*"）詣7%忆办&&一"*^）,

(18.60)

г啧（瓜力区产］）詣~ ,

(18.62)

Фе —

皿也

(18.63)

(18.64)

w‘击产加。叱的g叫)+^^4. (18.66)

Здесь, согласно (15Д5) и (18.30),

£：=售 S 313：凤■ n同 3："‘ ,(18.67)

?а = -Г^« * f ^-« .(18.68)

Величина

呪=口：订.=2”员。 .(1Н.69)

Запишем функцию Лагранжа, полученную Ряб ушко:

гдегдеL= L。+Lg + Lb ,(1&7。)

где

где

1OJ

L尸痣П&尸噎а屮朴"翁詳产勺就

NgSOtU*mJ （18.72）

》17修 」—2久an'，

匕=*叭叫｛d衣-2力位守詣\计

+ （成力［39聶］）一《浊最）限寻法!［0+

+ 1•（击麻詛g価計而詬讣

£ 大2 с4 ”, си X*

(18.73)(18.73)+ 标" *而 8 + 2?^ ,

(18.73)

(18.73)

& 龟，6* - удельные собственные моменты, Cq,C,- постоянные величины, определяющие энергию собственного вращения тел а и о .

Теперь сравним функции Лагранжа (18.58) и (18.70).

У Рябушко отсутствует слагаемое 二

唸(m3+hA)A^|^ , а&74)

которое входит в К« ； отличаются коэффициенты в①〉

от коэффициентов при соответствующих членах в (18,70).

Отсутствие (18.74) легко объясняется тем, что в методе Инфельда рассмагриваются точечные массы и (18.74) для них равно нулю. Чго касается огличия коэффициентов в гспин-спиновыхг членах, то, по-видимому, оно имеет более серьезный характер. Коэффициенты же при гспин-орбитальных* членах обоих лагранжианов полностью совпадают.

Глава 4

ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ

С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ И СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ

В релятивистской теории тяготения задача двух тел в наипростейшей постановке 一 движение частицы в центрально-симметричном поле одного центра - была впервые рассмотрена в классической работе Эйнштейна /41 /. В результате этого исследования было установлено, что ньютоновский эллипс частицы претерпевает очень медленное вращение, причем плоскость орбиты сохраняется. Заметим, что уравнения движения интегрпровались Эйнштейном приближенно.

Общее решение задачи о движении в дентрально-симме- тричном поле одного центра содержится в работе Хагихара /42, с.98/, в которой уравнения геодезической линии интегрируются при помощи эллиптических функций ВейерштраСса.

Более элементарное исследование уравнения релятивистской орбиты, выполненное при помощи эллиптических интегралов в форме Лежандра, а также классификация орбит в центрально-симметричном поле Шварцшильда рассмотрены в работе /42/. Свойства траекторий в этом поле изучались в трудах /43, 44, 45 /. Задача дйух тел сравнимых масс без собственное вращения впервые исследована Робертсоном /14, с.434/. Он показал, чго при заданных размерах и форме орбиты относительного движения смещение перигелия такое же, каким оно было при движении одного тела в поле неподвижного центра с массой m«+m& . Фок допол- нил： при ф^тнитнпм лви}кении ньютонов центр тяжести колеб-

легся около своего среднего положения. Орбита относительного движения является при строгом рассмотрении не прецессирующим эллипсом, а прецессирующей кривой более сложного вида, хотя и мало отличающейся от эллипса /4/.

Следующая по сложности задача： определить систематическое ("вековое") смещение орбиты частицы, движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего, была рассмотрена Лензе и Тиррингом /14, с.426/. Ими найдено, что вековые релятивистские эффекты имеются в движении линии апсид и линии узлов, а таюке в моменте прохождения через перигей, тогда как в большой полуоси, эксцентриситете и наклонности вековые изменения отсутствуют. Говоря другими словами9 имеется как дополнительное смещение перигелия орбиты, так и вековое вращение ее плоскости вокруг направления оси тела (последний эффект отсутствует, если плоскость орбиты совпадает с экваториальной плоскостью тела). Эти результаты в свое время широко дискутировались Гинзбургом /46/ в связи с искусственными спутниками.

Интегрированию уравнения Гамильтона - Якоби, а также нахождению и исследованию уравнений траектории была посвящена наша работа /24/. В качестве метрики здесь была взята метрика первого приближения. На разделение переменных в ураднении Гамильтона 一 Якоби для метрики Керра указывалось Картером /14, с.417/.

Задача двух Тел - центральная проблема механики Эйнштейна, как и механики Ньютона. Наиболее общей постанов^ кой ее на современном ©тапе*развития проблемы движения является задача двух тел конечных размеров, произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения в приближении лагранжиана L~ mC《/c*)g祖Перечисленным требованиям удовлетворяет фушшия Лаграюка (14.8), полученная в § 14.

В настоящей главе мы рассмотрим задачу о движении двух сферических тел конечных размеров с учетом их внутренней структуры и вращения в приближении лагранжиана L~m展⑷/e叭汕to”. Начало в изучении этого вопроса было положено Ряб ушко /47, 48/, который исходил из урав-

нений движения для точечных масс со "спином", полученных методом Инфельда. Далее, он расематривался в наших работах /9, 49/ исходя из лагранжиана для конечных масс, полученного методом Фока. Наши исследования были продолжены и уточнены Курмакаевым /50/.

Обсуждаемая задача наиболее полно рассмотрена в монографии Брумберга /8 /. В перечисленных работах и в более позднЛ монографии Ряб ушко /5/ был достигнут определенный прогресс. Вместе с тем в изучении данной проблемы остается еще много неисследованного (учет внутренней структуры, нелинейности по £ о , инфинитный случай движения и т.д.). Необходимо также уточнить отдельные результаты и устранить определенные недостатки выше указанных работ.

С этой целью мы продолжим дальнейшее изучение задачи о движении двух сферических тел конечных размеров с учетом их внутренней структуры и вращения /64, 65/.

. Функция Лагранжа

Наше рассмотрение можно основывать на функциях Лагранжа (18.58)или (Ifi.lO); в последней было использова- йо условие m.4A Е. ♦ Мы воспользуемся (16.10), дополнив ее условнямн

R*«R. . R，仇 ~%57・(19Д)

Отбрасывая члены, пропорциональные R+ , и вводя новые обозначения (Ш<° Ж ,m『m., Cl = 7), имеем

шс* + *mv*. T+M；mY"+Gs»)v*- 寸禽晒.陪山奈味电心一患少 + 矗([(我寸 +4 mSe),V ± 1 v )$崎11對1) A

*鵠展泡正由乂 •(19・2)

Введем малые параметры

9。既 , "。中；•(19.3)

Тогда (19.2)отличается от функции Лагранжа (18.58) для сравнимых масс отсутствием членову пропордиональных 叮 и 3^ • Сохранение членов в первой степени 5 позволяет учесть внутреннюю структуру. Исследуем лагранжиан (19.2). Если в начальный момент времени пробное тело m не имеет собственного вращения (Й =О). то (19.2) приобретет вид

+м е.囁)-貶卜符0酶田*

*鵲词收*1)(19.4)

Пренебрегая в этом выражении внутренней структурой массы m, получим

md + * a+意+用G嗡+总一

一懿)+響妈喝W)+繳磁M眼徜)屮・5) Перепишем выражение (19.5), 毕едя снова ньютонов потенциал U и вектор-потенциал U 1

8鲁，u畤吊F,(19.6)

Тогда

L=-m(?+*("為)+ mU(4+^i* ~^y -

107

需，и,需，и,一儡"向）•（巩9）一儡"向）•（巩9）

需，и,

需，и,

一儡"向）•（巩9）

一儡"向）•（巩9）

%）一褪而）-鼻（瓜刊u）（19-7）

или|a

L = 一 m с” к 進+ m U (.i* 言i 中

一爲《")一^ё02△").(19-8)

где М - орбитальный момент.

Если сравнить (19.7) с лагранжианом (3.9), Исполь

зованным нами в первых двух главах, то легко видеть, что они отличаются учетом в (19.7) членов

Это связано с тем, что в главах 1 и 2 мы исходили лзЭто связано с тем, что в главах 1 и 2 мы исходили лз

Это связано с тем, что в главах 1 и 2 мы исходили лз

Это связано с тем, что в главах 1 и 2 мы исходили лз

метрики первого приближения был опущен интеграл

А(*С. П- U)■ Ркк

Фока (1.32), в которой

(&'户•(19.10)

Теперь приведем значение интеграла (19.10), используя результаты § 13. Согласно (工3.2О)>

грЧ£уЧп^区 +

(19.11)(19.11)忠臣必z

(19.11)

(19.11)

十 A 2 ax/* 2•

Здесь, следуя Фоку /4/, положено, что тензор напряжений Р41d внутри тела сводится к изотропному давлению Р ：

Р《к=- P^iK .(19.12)

Что касается ；.,打 и 5©#€ » т。они определяются формулами (13.11), (13,12) и (13,19).

Для сферического вращающегося тела, имея в виду фор-

мулы (11.58), (15#6), (15.8) (15.13), (15.14), (15.27), (15.28) и (15.29), получим

=(19.13)

t。=工汴3T。「0,(19.14)

KokL М +*5 =""^XM：R.，i+

+壹 D： R：(2 3： 4「3；%:)=

где R. - радиус; 30 - момент инерции относительно оси; 正。・ U・ В® - угловой момент шара. Тогда интеграл

.11) примет вид

Учитывая тождество (18.10), запишем

§(?‘(1Y2 + П7)'+讣，)^^ =

(м.)12-2 I

Следовательно, метрика первого приближения Фока (1.32) для вращающегося шара примет одну из следующих форм:

* (S.V £ )} d『-G+缘)(dx：+ d 心+dxj) +

+ * ("dx、+ 1)«)(2+ изс|% )d^ ,(19.18)

в сферической системе координат /66, с.20/ 一

d $Q [J-2U《+ ^i) + ^ и'- ^；；芸 gco?e)] ad

一《十 ^乂必+岗提&也即評')+ 个^Mn'8dvdl (19.19)

в векторной записи 亠

d/={c2-2U (Д + "^；)+ *『* y^^^)}心

Y1+患)d” +专3航)d+,(19.20)

где U н U определяются формулами (19,6). Если теперь так же, как в ^ 3, воспользоваться соотношением

L = f С 舒,(19.21)

то мы получим в точности (19.7).

В заключение заметим, что наша функция (19.2)отличается от аналогичной функции работ Ряб ушко, Абдильдина, Курмакаева и Брумберга учетом членов, квадратичных по Q Н S。，а также членов, зависящих от внутренней структуры. Ради точности следует сказать, что в работах Рябутпко обычно учитывается член, квадратичный по S。,

однако коэффициент у этого члена отличается (см. 8 18) от коэффициента соответствующего члена (19.2). Таким образом, (19.2)обобщает и уточняет функции Лагранжа пред шее гвующ их работ, и? пользованные при р асе мртрении задачи двух вращающихся тел. После такого обсуждения функции Лагранжа (19.2), которая является исходной в этой главе, вернемся к нашей непосредственной теме - задаче двух г ел.

Уравнения движения

Запишем уравнения движения расематриваеМЬй нами задачи в представлении векторов м и А , что удобно для применения асимптотических методов нелинейной механики, поскольку налицо разделение переменных на быстрые и медленные. Последнее обстоятельство как раз и является характерной особенностью тех задач, для анализа которых применяются асимптогические методы исследования /51 /.

Итак, следуя методике, использованной в б 2, 3 и 5, составим.

fiwt^Pl *lt?] ,(20.1)

.(20.2)

常沁M呼曹.負书…}.

.乐（为庙+姦［Gm5 ♦4m&）畤1 .（2。・3）

Гамгйпьтониан

V Нm~+前十磊iU${^/6展）為 一乐 GB）碗）喏U +WY）sUf叫一

-詰？ 0ё叽§ ^^^^^}-^ Q*][居 ¥ 1). 一親隔底禮1).(20.4)

Производные

亢=翡弋t* *為Р*鶴*强1烏* +方片g$"一詰3[0Пg+4点.)&专](,20.5)

3=一患:mvU * 3需.强』]mN・

一^?[ *3" *4 m& )]* J^i g0碣 + 4m$.M"一爵辞:后論出冶一 一訪店气底+爵后力g工足，36) где введено обозначение W* = E* 7^Л* •(257)

Подставляя (20.5) и (20.6)в (20.1) и (20.2), получаем интересующие нас уравнения движения:

次М^代0[矶+幾瓜而1+i^W "飽一

一詣区々)謂1-詣@骯衣、 ,(20.8)

I也E+6mU +瑞Т.+})+《Ж»^^ +

+壶釵)w［砌1也&)AU出订* 爲酊］+縱闵1+瞭丽+牆" d机讷一焉设0)［餉W®仅川》 陋沁*(5*г)［1ю +屈办评叩］十

Усреднение уравнений движения

Точное интегрирование (20.8) и (20.9) затруднительно. Поэтому к ним применим хорошо разработанные методы приближенного решения дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Особенно эффективными являются асимптотические методы нелинейной механики, которые уже использовались нами в 8 2, 3 и 5.

Дифференциальные уравнения первого приближения асимптотического метода получаются осреднением правых частей уравнений (20.8) и (20.9) для медленных переменных по быстрым переменным, к тому же при осреднении подставляются кеплеровы (невозмущенные) значения переменных.

Переходим к с ост авлению уравнений первого приближения. 立 1есь полезными являются формулы кеплерова цвижения /16/:

z=Cacgw)" ， Е =忆(8&з，+4ns ；z),

мх= уmamap = йni2moaG-ег), VUm^G, (21.1)

У=^£а,п%¥ +(c8w + q＞门，МТ=2атта8 .

где 7 » 屮 一полярные орбитальные координаты; 玄‘，V, j'- орты орбитальной декартовой системы координат, причем Q' направлена в сторону перигелия. Теперь нетрудно

видеть, что правые части уравнений движения (20.8) и

по существу зависят только от одной переменной

屮 ,которая в свою очередь является функцией времени t・ Поскольку мы, следуя методике^примененной в § 2,3, собираемся усреднить правые части (20.8) и (20.9) по време

ни, то полезно заметить, что для любого члена правых частей (20.8) и (20.9) справедливо равенство

*卜⑴也=мy員dw=f^.№摭= =盡！ №財.(21.2)

Таким образом, усреднение по 七 сводится к усреднению по Y с весовой функцией №/а 5 ・ В процессе усреднения приходится также пользоваться формулой (3.21)

"" ］（4+086w严，"聲）吟"" ］（4+086w严，"聲）吟(21.3)(21.3)

"" ］（4+086w严，"聲）吟

"" ］（4+086w严，"聲）吟

(21.3)

(21.3)

В качестве примера расе мотрим среднее от некоторых ч^генов правых частей (20.8) н (20.9).

^r(sv)lc3v]二詰^ J^v)[i5v]dt =

二击 tW<SV)V1 =?(21.4)

Таким образом, мы ^должны найти среднее

(Sv)v =2зго№ !(S4Mli% t-4<ПЧ><CWV+e)M

KSRmSzO…)4Z)(…丽飞 3・5) ye Sq , $2 - проекции собственного момента пробного тела S на направления N' , [' . Далее, мы должны вычислигь интегралы

25r23Гt^

f An'” dWГAnwCfigw+e〉《屮 «cooA+eBdw

)C+2cgW)2' J а+2зМ&')U+ecgwN (21.6)

ооо

Рассмотрим первый из них. С помощью формулы

л1пгФ= <4』|j«+e3AW" &(4+eco4W)2

приводим его к сумме интегралов вида (21.3);

已包包j也 二(仆丄_dФ_ +

JQA+eco4V)a ' X丿 Jq+ecgW)”

и^есо4ч>) d 1 *

Согласно (21.3),

dW 二 2ДГ ,, Q« + emw) 一".酔’'

2»

Q (仆 Q C0Z>W)2&*)Jk 囲

(21.7)(21.7)(21.8)(21.8)(21.9)(21.10)(21.9)(21.10)Подставляя эти результаты в(21.8), имеем

(21.7)

(21.7)

(21.8)

(21.8)

(21.9)

(21.10)

(21.9)

(21.10)

2Я

(21.11)(21.11)f МИ2^с1Ф

(21.11)

(21.11)

总y8厶W产

Геперь вычислим второй интеграл в (21.6)；

(更吧W竺巴@ dw = 0(21.12)

J (4+ есобФ)1

в силу нечетности подынтегральной функции.

Рассмотрим третий из интегралов (21.6)：

291 ,2

(21.13)

扌5+ ecoaW)，

Подставпяя сюда

(21.14)(21.14)(соьчЧе)2= ^{G+es“ + 2@4)«*езб“).д4

(21.14)

(21.14)

и имея в виду (21.9) и (21.10), получим

t3十必W」2w+2(dT)!a+ew屮产e2Лt3十必W」2w+2(dT)!a+ew屮产e2ЛГ dwГ dw«+&&>△屮«+&&>△屮大足可就疝:翁"戸):大足可就疝:翁"戸):2爪4+hb (21.15)2爪4+hb (21.15)

t3十必W」2w+2(dT)

!a+ew屮产e

2Л

t3十必W」2w+2(dT)

!a+ew屮产e

2Л

Г dw

Г dw

«+&&>△屮

«+&&>△屮

大足可就疝:翁"戸):

大足可就疝:翁"戸):

2爪

4+hb (21.15)

2爪

4+hb (21.15)

Подставляя (21.11) и (21.15) в (21.5), находим

丽=⑺軀施備'吋•⑵」6)

С'лелэвэгельно, искомое среднее (21.4) будет равно

^2 (R)[砌=2c气乐又Г3"

(21.17)(21.18)(21.19)(21.17)(21.18)(21.19)(21.23)(21.23)

(21.17)

(21.18)

(21.19)

(21.17)

(21.18)

(21.19)

(21.23)

(21.23)

--

-詩8航e5。]=?

Чтобы найти эго среднее, достаточно вычислить

где S》-проекция вектора S* на направление 爻'.Подставляя (21. 19) в (21.18), получим

-券丽嵐=端igoH詼)唸).9.2。)

^(Sv)lv[cov]]=?(21.21)

Для вычисления (21.21) воспользуемся равенством ($v)[v[cov]l = <sv)v2w-<sv)Cvt3)v .(21.22)

Го есть мы должны найги средние

v2v(37)7汀)戸=?

2*

+ 2卜卜^^8碎）:

2М3е2М3е

2М3е

2М3е

（21.24）

При этом полезной оказывается за^на

М=自.（21.25）

Переходим к вычислению _ 夂一

3"心w=丽、a皿oW产Г （21.26）

где J* - момент инерции пробного тела относительно оси вращения.

（亦？）'V = ^jj + Q：求n"W 丁+ 2й\ЗК\j屮（84w +

~2c0《5厶»пчКс。△屮干e〉斗〜3幺（coaW + e） %], где 3彳, % - проекции 力 на направления 寸，不 Подставляя только четную часть этой функции в （21.26）,

имеем2 事

" ~ 2 3*m3 厶八,、；心附 QN+e"W +

К v）3v）v=^^咎&，而/k +

2fXz＞，n W（CSW+Q）dW + △ j "典竺氏。〉d上）—?

S「Y 4 2V7r2A ）&3力 J ⑵ 27）

Далее,

j謂空言dw =碧(2d 2戸),(2丄З)

$ (4+ QBbW)EV '

、争今冬(2a9肝+22 )(21.29)

0

В силу этого (21.27) запишется как

(J 力 g?W=a^*£ ｛(2- С' 2 戸乂 2%<Г +

ц-^Ю-^-^^-ге-^Л7^)^?] (21.3。)

Преобразуем выражение (21.30)с помощью простых равенств:

е'= (4+)k F)(4-"。е") * 2f е ・2卜*二 &J«.qZ ),

(21.31)

Тогда

丽苏產码爲前｛2必戸

. (d+2后3：*(4 才｝.(21.32)

Теперь, зная (21.24) и (21.32), запишем искомое сред-* нее (21.21) в виде

右蒜而部*京麻旧而｛吟员一

1 19

(21.33)(21.33)(21.34)(21.34)5.5.島&力后”而=?島&力后”而=?(21.35)(21.35)

(21.33)

(21.33)

(21.34)

(21.34)

5.

5.

島&力后”而=?

島&力后”而=?

(21.35)

(21.35)

昂万[23自匕3自+8+2|^)心Лq

4*(.i??Liui№l=-4-^v)[v[(5vn •

Чтобы вычислить (21.35 ), достаточно найти 2虱

"气)(聯)*:e? !$式8з)代国网尿

=為[°3瓦+ S：S")*+ (S：s " * $："广]产.36)

где % , S“- проекции вектора So на направления У

C&tn?5C&tn?5%” CS*?)[P[?S,11 =

C&tn?5

C&tn?5

2"

“4i м*腮谓*-

^^^я^^^^^^•(21.37)

Приведенных примеров и формул (3.28), (3.29) и (3.32) вполне достаточно для того, чтобы полностью осуществить усреднение правых частей (20.8) и (20.9) по явно содержащемуся времени 七 /52/. Тогда усредненные уравнения движения (20,8)и (20.9) будут иметь вид

M*M*2（?m2c2（3m.0，）2（?m2c2（3m.0，）[3 （S《Y + h* $2 4）] *[3 （S《Y + h* $2 4）] *

M*

M*

2（?m2c2（3m.0，）

2（?m2c2（3m.0，）

[3 （S《Y + h* $2 4）] *

[3 （S《Y + h* $2 4）] *

十贏2 {2廓]+赛区沁一!•(眠" " “5。3门-"j"、*。苍M)[Z* £]},(21.38)

j5s2M А(Л^Ь^-со^ч гл^-i

a=俞寿研毒¥十価府丽戸|『

2QRm%2《+N)" А)aGpmd 炉心

［唸七款?-肃辱广，3)"［唸七款?-肃辱广，3)"

［唸七款?-肃辱广，3)"

［唸七款?-肃辱广，3)"

+咨旦沁膿阿）嗡阿屮衿阳, 丁（21,39）

где Си - единичный вектор в направлении Й , совпадающий с {?'・

Эти уравнения можно привести к виду

肝=-硏灰Ем+【％м1,（"4。）

= 17^縉春F^"' *〔6'1 ,（2L41）

3 которых

%2agm”5+不才）'传 制丿

+磁｛20沪肃恥*"/飞沁｝

К — Qasz-gsQM 3z（ms）4+

'a 4agm2c2«+尺” * 2q&m2c2（Л+/Г^7）

吟m+ 吟с?*»。2m ° 2vA。

十$«口） +青a的（冷斗一謐?伸》

*舒击）,@乓.）喩（WM）廟））

（21.43）

Полуюте иные уравнения движения можно подвергнуть /аль не计山ему преобразованию. Вместо угловых скоростей Лк и 52 д введем общую для обоих уравнений （21.40） и （21 41 ） угловую скорость

f А 2а?т%2《+Л^）- 4Qgd«+h%z）2

("E)Зут* 卜

2qBmYM+he^) Y匸d‘' аЕтсЛ

+贏｛2芸等-詣6点学)®学+

+糸(市仔)(哈市) - •^良(2 W & ) *規а M)+

Тогда уравнения (21.40) и (21,41) запишутся как

强=《*^^；a+^/TF)2 X +• (21,46)

Предварительные замечания относительно уравнений первого приближения

Из уравнений первого приближения (21.38) и (21.39) как частныё случаи получаются уравнения первого приближения ранних работ Рябушко /5, 48/, Абдилвдина /9,49/, Курмакаева /50/ и Брумберга /8/. Действительно, обратимся к уравнению (21.38). Опустим в нем первый член правой части и заменим S* на S , Тогда

-•|-(^м S)【S<»Qm"1 - "2"^.^м)1^>6м1У (22.1 )

В работ ах Рябушко, например в /5/, лается выражение

« =儿+${2瓜心+箫［前》

一豕③辞J强3G［时』、（22.2）

где Ми - ньютоново значение М ； Q.мм - единичный вектор в направлении Вн ；屮=Н±,а и - так назы

ваемое среднее движение, которое определяется выражением /16/

n=^ = ^^j .（22.3）

Соотношение Ряб ушко （22.2）является следствием нашего уравнения （22.1）, если проинтегрировать его по времени при условии, что правая часть （22.1） постоянна,и вместо вектора И подставить его ньютоновское значение 讯. Такое допущение вполне приемлемо при изучении движения за некоторый ограниченный промежуток времени. Однако как эволюционное уравнение （22.1） является более подхр- дяшим, чем （22.2）. Общая идеология асимптотического метода требует рассмотрения （22.1） как уравнения первого приближения для определения Й , причем М считается переменной во в ре мени не только в левой, но и в правой части （22.1）・

3 нашей работе /49 / приведено уравнение

-《总旌6/，訳“（色可以）｝.（22.4）

Оно полностью совпадает с （22.1） в сипу наличия тождеств

八眠］+ 6式氤国引）=（踹）回GRP除工（22.5）

Обратимся теперь к уравнению （21^9）. Если в нем опустнгь первые три члена и заменить S” на 5 , то будем иметь

吗 md l J a"小 l@S•十s- — ^S^

M）+ “s°E）汀謠飙2府・）+

*醤e*‘Wg” "//叮｝ 0"・(22.6)

Пре образуем (22.6), используя простые равенства

[МА]= Ат岳(аУ-е"彳,М^х而т。？，

8mm. /^一 .鹤IT””"〉？‘8mm. /^一 .鹤IT””"〉？‘(22.7)(22.7)к виду才一 4 /3Gmj" А = Ft Paoк виду才一 4 /3Gmj" А = Ft Pao3sm.严3sm.严2ma7〃(l・e"£2ma7〃(l・e"£（噂，（噂，

8mm. /^一 .

鹤IT””"〉？‘

8mm. /^一 .

鹤IT””"〉？‘

(22.7)

(22.7)

к виду

才一 4 /3Gmj" А = Ft Pao

к виду

才一 4 /3Gmj" А = Ft Pao

3sm.严

3sm.严

2ma7〃(l・e"£

2ma7〃(l・e"£

（噂，

（噂，

+当）广爲騎l徐黔…

「5 Cm.严薪d"（仆3户「5 Cm.严薪d"（仆3户［津.）7-加岂'）《*）*［津.）7-加岂'）《*）*

「5 Cm.严

薪d"（仆3户

「5 Cm.严

薪d"（仆3户

［津.）7-加岂'）《*）*

［津.）7-加岂'）《*）*

十（挙邑子））八式阳收制+ G口）花）双1}.

（22.8）

Полученное выражение совпадает с уравнением, которое приводится в работе Курмакаева /50/ и монографии Брумбер- га /8 /.—

Следует заметить, что вектор А для рассмотрения задачи двух вращающихся тел впервые был применен в нашей работе /49/.

Из наших уравнений (21.45) и (21.46) можно получить следующую изящную форму уравнений движения (22.4) и (22.8)：

普匸近2，* =［诵， (229)

где

J-aBpml 十 aBpdV。2m ° 2m2、人叫

+ EmQ +舒腿）5力｝-設祖2由力屮

+1!^@g)十^&甘。)一々任而)运。6)} (22.10)

2m z 2M

Если (22,4) и (22.8) выглядят не связанными друг с другом, то (22.9) выявляет их общую структуру и глубокую внутреннюю связь.

Несмотря на достоинства формы, в которой записаны уравнения (21.45) и (21.46), они имеют один несомненный недостаток, который, правда, сразу не бросается в глаза: смешение кеплеровых элементов а , Q с векторными элементами 箱， А в праЕ^ых частях этих урав- неннй. Проще говоря, имеется ненужнее обилие элементов (^, р , Q , М , Д ), определякхцих орбиту.

Преобразование уравнений первого приближения (21.45) и (21.46)

Начнем с замечания, что из (21.45)и(21.46)немедленно следует интеграл движения

М U- = сопА ・(23.1)

Действительно, из (21.45) и (21.46) видно, что

HT - 2dpm2c2a+仁5)‘

（23.2）

(23.3)

dL J 2 a2 m2炉a十月事)2•

Тогда

弧_ 呼m

(23.4)

ZT Ц2)4 *

Поскольку

4 =丿 q , v=ymme ,

(23.5)

то (23.4) запишется как

dM ode

▽一(…з•

(23.6)

Отсюда уже получается (23.1). Таким образом,

постоянная

в правой части (23.1.) есть адиабатический инвариант рас-

с маг решаемой нами задачи. Обозначим ее

М° = мн-е£)т“ .(23.7)

Так как

m 二m3m。01(4-外)=你 VCK^?) ,(23.8)

ТО Г 3 尸 88 Ts я

Ml.(23.9)

В конечном счете адиабатический инвариант М。 связан с ^нерелятивИстской,х энергией

（23.10）

2G 2М： •

Из （23.9） следует, что большая полуось орбиты не эволюционирует, сохраняя в среднем постоянное значение.

Можно также записать

б s 0 - -цГ）Vt ,A=V&-莘 У'.（23.11）

Выражения （23.7） и （23.10） указывают на то, что М。 является максимальным значением М при данной энергии Е・

Благодаря найденному инварианту можно уменьшить на единицу число независимых переменных в уравнениях первого приближения. В качестве такой перемэиной мы берем А. Тогда （21.45） и^（21.46） будут содержать только переменные М и Сд , а также адиабатический инвариант М「 Следовательно,

弟一牆綺

患腺蹤‘黑器曲3

"二 ZMMJM + MoA?一 2Ж4Ж ' M \ 4

+ k。2m、

一肃6 G ?）4“福.））,患4到@二）｝-

■総 电腿。曠侬呜鹃嗑吗霁

Преобразуем XI • В силу очевидного тождества 今區+醤8-言風牆）屮⑶（唸））+

**他*）*・）｝-需8阳）.誥@»

+{"®S)-+{"®S)-肃6』№・研肃6』№・研=詣■击｛2（鹉）=詣■击｛2（鹉）.講（%+ 9）一.講（%+ 9）一

+{"®S)-

+{"®S)-

肃6』№・研

肃6』№・研

=詣■击｛2（鹉）

=詣■击｛2（鹉）

.講（%+ 9）一

.講（%+ 9）一

一春（白口）邑2｝（23.15）

она принимает вид

К— P*s「3&)v%产(网3) 也

N-WjmoO\?M Fm： (M“ c「RQ

+%)+帀市 ^^fi^^wv^^

+ ^4而S)+ "7e。)一爲人^m乂^小)} (23.16)

I акое существенное упроще и не, достигнутое с помощью введения производной по векторному элементу М , подсказывает возможность еще больше упростить (23.16).

Применяя оператор 2 / 2 « более полно, чем мы это пылали до сих пор, запишем

В 詣協mЗм) у 3硼%金(讯飞明.

тММСмзтММСмз[2侬.）十箫G2 +[2侬.）十箫G2 +

тММСмз

тММСмз

[2侬.）十箫G2 +

[2侬.）十箫G2 +

十今ё喧)一詣日力邑2"，(23.17)

где 3* - момент инерции пробного тела относительно оси. Введя новую функцию

懇+^炽叫）書（吟

十彳(百£ ) _ -1- (fa)©")]}(23.18)

приводим (23.17)к виду

Таким образом, итогом проведенных в этом параграфе преобразований являются уравнения первого приближения

аМ_ 03/2(М「М)а(23.20)

А+ -2c2М<М?М) % 坟М］，

百0八，(232)

где У2 определяется формулой (23.19). Следует заметить, что в этих уравнениях величины И и Мо имеют размерность действия, а * является безразмерной.

§ 24. Пертурбационная функция и среднее от нее

Запишем исходную функцию Лагранжа нашей задачи

(19.2)в виде

где

I =表{千+居+号)广一今&储酬”

十信产+M * ^)"" 一嘤十^a5*。*+

+ 4mg)居m)4k西门区刊)*}3.2)

гак называемая возмущающая или г^ртурбационная функция /8, 16/.

Гамильтониан задачи (20.4) можно представить как "二 Еe 〜亲 ，言一 mU +m,(24.3)

1'де

7 {/虑-焉旨乂吁 + 急 EU+GjDmU 一喂} 一乐 X 心(3也3+4m？)吟”)-*(^出面电＞

一皴(広？n^M).⑵⑷

Причем, как это и должно было быть /18/, Н‘=- С ,(24.5)

Находим среднее ог пертурбационной функции и . Вначале вычисляем

4+豎)V、0")w。，(24.7)

-e (覩)⑺)=価就而声 ^5 0*),( 24 ")

（纠'*W）mu -+

厶МТТЛ

зму'т： 4（纟 £、xmm・ （24.9）

TmU =一 如广 m：（24.10）

22aB ，

一"^i （式咪E + 4芸）五1寸）诰g门医時卜

+ |^（^M）+ y（.^*^）-^~;^*M）＜.^.M）}

（24.11）

Теперь среднее от пертурбационной функции запишется как

[${'需+，吗+总・+]）誓-

w^^7^^s 闷"^Г~

В векторных элементах она имеет видВ векторных элементах она имеет видЗги V十而ёЗги V十而ё為i"醤@）.為i"醤@）.

В векторных элементах она имеет вид

В векторных элементах она имеет вид

Зги V

十而ё

Зги V

十而ё

為i"醤@）.

為i"醤@）.

詛久底砒

（24.12）

-Щ&)(击@Р打立圭&d'"『Н

ке至）-蒜&'）冰（24.13）

Сравнивая это выражение с функцией П в предыдущем параграфе, убеждаемся, что между ними имеется много общего. Более того, с помощью L можно формулу （23.19） для угловой скорости Л представить в виде

迎，（24」4）

или а -乎

五=爵•（24.15）

Такнм образом, в уравнениях первого приближения （23.20）/（23.21） 汽 будет определяться вполне понятной физической величиной Ц\

dM = g№尸（m内）

(25.1)

(25.2)

(25.3)

1. Поскольку Мо-М >0, то аМЛН > Q , если SAW1<Ot

и наоборот. Так как, согласно (23.7),

dM —dQ

^-一砂^ ’(254)

то знак dQ/cH совпадет co знаком S, Q> dMAH = 0 ,

если Sq =o, CO? =O или S《=O,公？ #°，или $№，

厶豆 《О, или М@=М , т.е. когда 2 =О.

2. Уравнение (25.1) допускает интегрирование. Действительно, введя обозначение

久一 SqQz V上(25.5)

户- 2c*M：， имеем

農 * 2 Rh(J- * ) = con6 +y*(25.6)

или

J ｛一 d + 2 友《〃^公)-conA 沙+ .

（25.7）

Полагая

2n G-厶- q' ) JkQ，、

(25.8)

полечим рмесго (25.7) в глубоком прибл иже ни и

выражение

(25.9)

где Q. - значение э коде нт р ис иге та в начальном

времени.

3 . Из (23.1) и (23.5) следует

м*+ -^ 二 М：匸，v ,

- средняя от квадрата скорости.

Если ввести "вектор состояния*^

то в фазовом пространстве векторов М и тора 胃 описывает эллипс

(25.10)(25.11)(25.12) конец век-(25.13)(25.10)(25.11)(25.12) конец век-(25.13)Из (25.2) и (25.3) следует, что орбита и жестко связанная с ней орбитальная система координат X’y'z' вращаются как твердое тело вокруг закрепленной точки с угловой скоростью

(25.10)

(25.11)

(25.12) конец век-

(25.13)

(25.10)

(25.11)

(25.12) конец век-

(25.13)

ТТшдм^G*

十3怎）+十3怎）+3卅百.公* ［定+也

十3怎）+

十3怎）+

M>Mf? mN"d' ° 2m

一赤 6"）点*5"） Y 0Mg}- 嗨婀喏阿中鸡/您噂现

где 爲 -единичный вектор, совпадающий с ^z и могущий быть использованным как единичный вектор вектор-параметра

户=户厶.

Имея в виду, что

包$L j S尸負段衣力1）©尼岡Ji厶4）网Z （25.15） 书以十包*在金（m;m）网）-（颯）£ ,（25.16） преобразуем выражение （25」4） к виду

4 ММ<М+М。）*с"

一訳爲ТГ®決"/7砒Е

+需I" + m.md褪.*含3 -蟲圆口 *）* 君2讣舸^賑."一洽彊M呢）*

+ 許^（龍）+4s礼）一詣（5中）（；*）｝（25.17）

Из (25.2) и (25.14) вытекает, что вектор Q = прецессирует с угловой скоростью

見L 2mL震匕心引+哂）十

十昂宼? {2芬醤U - ^S^ ^^ "I

(25.18)

В (25.18) член

(25.19)(25.19)RLT 2 话丿& — ■ 2yS。

(25.19)

(25.19)

J'M=也M3M：d 一 ^5^7?^

есть прецессия Лензе - Тирринга (3.34).

Если в (25.18) опустить первое слагаемое, то получим

&%№М① *。2m、2M*&%№М① *。2m、2M*(25.20)(25.20)

&%№М① *。2m、2M*

&%№М① *。2m、2M*

(25.20)

(25.20)

Это 一 прецессия, найденная Ряб ушко при исследовании заца- чи двух вращающихся тел (см. (22.2))・

Формулу (25.20) можно представить также в виде

Н = й^ 栽{2 瓜R + ^ 丽一 一恭区解«p)}33

В случае, когда в начальный момент времени cg>6ctr「『 1пчй ремонт пробного тела 8=0 , то из (25.18) имеем …6m(Mg? а I

%丫 二 K^I? I ° 一7m. К?— 5 )—

(?"a・展)"2 1 ° 7m。M ~J

(25.22)

Следовательно, при учете в Л ^ поправки, про порцион ал tr- ной S： , возникает зависимость угловой скорости прецес

угол меж-и угла- ориента- относи-угол меж-и угла- ориента- относи-сии от угла наклона орбиты i (в данном случае ду векторами М н S@ )・ _

угол меж-

и угла- ориента- относи-

угол меж-

и угла- ориента- относи-

Найдем связь между угловой скор остью Я ми Эйлера 5 , 2 H * , которые определяют нню подвижной системы координат Xх , У z , z/

тельно некоторой специальной системы координат Х<, 乂, N《 так, как мы это делали в конце § 3, т.е. согласно

формуле (3.42)：

汽二 S3<+iG + g'z’ ・(25.23)

Перепишем (25.17) с учетом (25.18). Тогда

⑥=硒默声《犷）"ёШ）a眾一

М^М?с2 m.M5M：dl ' 2mМ^М?с2 m.M5M：dl ' 2mSW)十SW)十

М^М?с2 m.M5M：dl ' 2m

М^М?с2 m.M5M：dl ' 2m

SW)十

SW)十

8 = ”М ,i = о8 = ”М ,i = о

8 = ”М ,i = о

8 = ”М ,i = о

*{<5噺）-肃（以"）*"）}.（25.24）

Направляя ось 2《 по См и учитывая то обстоятельство, что 3工，совпадает по направлению с М , имеем

(25.25)

(25.26)

3HN3HNУ — —4МКМ+М.У 1十 Rm：3 + т°м%：&У — —4МКМ+М.У 1十 Rm：3 + т°м%：&xx

3HN

3HN

У — —4МКМ+М.У 1十 Rm：3 + т°м%：&

У — —4МКМ+М.У 1十 Rm：3 + т°м%：&

x

x

3唸"箫4恥+婚办款®响®"»

(25.27)

Так как Qg является единичным вектором, направленным по линии узлов к восходящему узлу орбиты, введем также единичный вектор 己勺,перпендикулярный к лнщш узлов в плоскости орбиты и образующий вместе с вм и

Qy правую подвижную тройку единичных фекторов 各 — Gq » 电“ Единичные векторы 書 и 3f связаны с 备 и 3口 формулами ：

^4 匸 С" 9 Q& + 4%g Qq、%=М吗 0尹門百・(25.28)

Подставляя (25.28)в (25.27), имеем

・и*у2((3；・ 3：)342q— 253'求г2в )

q_4 M・(м+м•产 с1+

++3m俨川火т3m俨川火т3时^4м.м，м”3时^4м.м，м”{2F&){2F&)十十

+

+

3m俨川火т

3m俨川火т

3时^4м.м，м”

3时^4м.м，м”

{2F&)

{2F&)

十

十

許-(MS )+黑*0 一肃(汽底百)} ；25.29 )

где 3q и COj - проекции сЗ на направлении Q? н J. т В случае, когда совпадут направления векторов Z5 , М и So , мы можем найти смещение перигелия за период Т ：

Эго выражение является обобщением формулы （3.48）.

Обращает на себя внимание чередование знаков слагаемых в （25.30） в зависимости от того, в как ей степени сюда входит собственный угловой момент._

В заключение заметим, что угловая скорость П , кде это видно из （25.24）, лежит в плоскости векторов 立达 и М , напоминая в этом отношении угловую скорость гре标ранннка Френе （9.3）, которая лежит в плоскости, образуемой векторами ?у и 8 .

§ 26. Другие формы уравнений первого приближения

Можно найти и другие формы уравнений первого приближения （23.20） и （23.21）, которые окажутся полезными при изучении задачи двух вращающихся тел. _

Исходим из среднего значения гамильтониана Н > которое нетрудно получить из （24.3） и （24.13） в виде

R=Q髭+爲+ 4｛（瑞-与一于枭*

3+^Г（^）У 叫）〉

3md

丽

十部好・味非

十打分弦）-言T氐"m）UM）"（26J）

Теперь запишем уравнения первого приближен и я в так называемых элементах Делоне /16, 51 / М。, М , М= R , q и 3 ・ Здесь ^ и 3 - углы Эйлера （или аргу喈нт перигея и долгота восходящего узла）, а что касается 匕 ,то она является новой переменной, причем "бнстрой" переменной, которая связана с кеплеровым элементом Т （ Т - момент прохождения через перигей） соотношением

1= К（ *-弋）,（26.2）

где К - среднее движение.

В элементах Делоне Н запишется как

f J黑樓$^н-

手一果2）口^^）"4尹

+川产”尸+ ±（%8" 一耽状怨/]-患^* 十离И2ygГ求H岀№一

-d Мм： s#）十—• s Jm?m；「Ain 力-

-5v Jm”-M:з5 十 S2.m^） +^"（6*S.）-

~~ 2И1（S* JM‘M；' Ain》—Sy [м^М； cx>43 十

+ S；MJ&№-M：aK5 -5：№*5K+S：mJ

（26.3） где

60s 二 Qj^CgaK + cOу*6in 5 ,

（26.4）

3» —T~-Atnb +f 亠 CO© 8t 七 Q J{-阻 ・

В данных выражениях S* ,…，S：，….M* ,汾丑- проекции векторов $ ,§ , Pi н 力 на оси непсд

вижной системы координат хУ£ с ортами <，彳,7 .

Напомним, что в этой системе

G^=CO△方 t+ &\пК§, Gg = -36i〃inEX + С04*еоА$4*

（26.5）

+ Хн%Е * %=山；4以》i-Avvlt S3》戸 5； ^ > емА.=М〔/М • Из（26.3） ввдно, что Н не зависит от переменной、.

Поэтому будет иметь место интеграл движения

М。= СОЦ*（26・ 6）

Составим производную

二 у £ц32（м°-м）（26.7）

旳—%мХм 尸 m）W•

Сравнивая （26.7） с （25.1）, получим

dM _ А 口（26.8）

нт—^Г ・

Рассмотрим производную

&R _w（0）国-36） _ V2（Л而） м （乩 3 х 而二 4M・СМ+М・）^ — 2ММ：（М.+М）立 W^W "/

* ^? ■启m* В [2国百"絵仄而）+ g言（g*"）g。前）1, （26.9）

где

礼=Mx； + М“ •（26.10）

Введем теперь специальную систему координат X《,У,, 丸 и направим ось £《 вдоль вектора

"m= 2мmиЕ№（Тт 43十公2%）十

Тогда в этой систем© производная

(26.9) примет вид

8口一户(他5广3.£) т 3mС

而-4м°(м.+м№ 乂№帀

змЗ

ПМ：М& с?

[26.乱

芒⑧)+k舒)-京&7)w)l

(26.12)

Сравнивая (26.12) с (25.27), находим

(26.13)

Таким образом, (26.8) и (26.13) образуют автономную ка

ноническую систему.

Аналогично можно было бы искать н уравнения для переменных М^ и S , однако на этом мы останавливаться не будем.

.Действи-.Действи-(2G.14)(26.15)(2G.14)(26.15)Уравнения первого приближения (23.20) имеют особенно простой вид в элементах 当, Е。 н 巨秋・ Действительно, составим производные

.Действи-

.Действи-

(2G.14)

(26.15)

(2G.14)

(26.15)

a@A2M.QM『M〉i

ЭН _ J _ 屮S.M H 战戸 3, = 2M“UM)

祖J S — 小屮 I . 3m。X a£网一巨入^w也'。-^「

嗫爲 E )S*-詣 g*/ )q26.16)

Тогда уравнение (23.20)запишется в виде

堂=REj+EGU/j. (26.17)

Обращает на себя внимание симметричность правой ^части выражения (26.17) относительно элементов Сд , 邑) и ем ・ Заметим также, что оно для своей записи требует знания только Н •

Если переписать(23.20)с учетом (25.18), то имеем

迎二一且% V*W.M)3 + Y(26•工8) d+ 2M：d)i 4 L

Детально сравнивая (26.18) e (26.17), находим

碧:(A /).(瓦邑),(26.19；

麻二一令［Y五总尼依总居+瓦1 96.2。)

Из (26.19) ясно, что величина М сохраняется, г.е. является адиабатическим инвариантом, если

(五HQ.(五君)=0.(26.21)

Так может быть^при следующих условиях:一

ЛА =。，％=。，т.е. Н не зависит от 6д и %;

_2)Са и 豆工 или просто R перпендикулярно к % и J ・ Эти условия дополняют те, которые мы перечислили в § 25 при обсуждении вопроса о сохранении величи - ны М・

Далее, в силу существования равенства (25.10) выражение (26.21 ) является также и условием сохранения величины А.

О собственном вращении

До сих пор мы обсуждали вопрос о поступательном дви~ женин пробного тела. Что можно сказать о его вращательном дг ижении?

Анализ начнем с определения вращательного импульса или собственного углового момента пробного тела S . Для этого у нас есть возможность определить S по ана- 'логии с поступательным импульсом р = Э1/ЭУ как

^=霑.（27.1）

аз

Тогда, беря векторную производную по ЬО от лагранжиана （19.2）, имеем

W = 誥十瑞）击一

-^Г 務庙‘M+^^“十 2"*1 ・S''?）

Здесь использована формула （13.11）, согласно которой

（27.3）（27.3）?=2А，

（27.3）

（27.3）

Интересно отметить , что вращательный импульс （обобщенный вращательный импульс）S содержит не только

член, пропорциональный £3 , но и члены, пропорциональные

寸，屮，Go h 2 ,映云

皿 GM*钾）.（27.4）

В этом отношений есть определеннее сходство с поступательным нм^льсом С ・ Согласно （20.3）, поступательный импульс р также содержит не только член, пропорциональный у t но и члены, пропорциональные Q ДS4 1 h匸己

Если в начальный момент времени 3亡。,то из （27.2）

следует, что

W “观"心⑴.（27.5）

Получается так, как будто возникает индуцированное враше ние с угловой скоростью

^UH^^ ^^v" Y MU ・（27,6）

Выражение (27.6)с точностью до знака совпадает с (8.9), подтверждая, таким образом, Иден, изложенные в § 8.

Как же теперь найти форму уравнений для изменения вектора g во времени? Для того, чтобы разобраться в этом вопросе, выпишем исходный гамильтониан рассматриваемой нами задачи двух тал：

、悬+鼠iU一击{ё5式A^)i

g？乂3于)+粉u+G.十幻eU-

一吟'} - m" c；《g^.s 十 4Ms.行^] p j -

-* (鸣司S.彳纣А 枭(«工]区方扌]卜7・7)

Преобразуем (27.7)к виду

g旧叫十^^^《%5"4)巾)+•

+ Д (Ard U ) - §也a C^s.v]£S.v ^1) (27.8)

7м。СЛ4^

где использованы формулы (19.6) и (19.13)：

口 =乳吗，灯，"察十打.ЗВ)

Для нахождения формы уравнений для М обратимся к выражению (23.20). Оно имеет вид

病。體以十［豆м.病。體以十［豆м.(27.10)(27.10)

病。體以十［豆м.

病。體以十［豆м.

(27.10)

(27.10)

(27.11)(27.11)Теперь следует заметить, что такому же уравнению удовлетворяет любой вектор с одним закрепленным концом /53, с.174/. Слецэвательно, мы можем записать.

(27.11)

(27.11)

Остается определить d$〃+ и 又二.В этом пункте можно также провести аналогию между Й и S и воспользоваться результатами, полученными при изучении вектора 而 • Де йствиге льно, поскольку гамильтониан (27.8)явно не зависит от вращательных координат, можно положить

(27.12)

Что касается Ji§ , то по аналогии с ( 24.15) запишем

(27.13)

где Н есть релятивистская поправка в (27.9).

К этим результатам можно прийти и исходя из найденного нами уравнения (26.17)

躋=［员@”1%辱］十0ДЛ・(27.14)

Считая, что данная формула уравнений применима и для S ,

имеем

(27.15)

где

己 вместо己 вместо

己 вместо

己 вместо

В силу сохранения абсолютного значения

уравнений (27. 15)и (27.18) можем записать также

.(27. 17)

Явное выражение Ля при данном гамильтониане (27.8) будетт

电工碧…"+気)詣+統(^Е

+瓷^" * 屮口 •(27-18)

Опуская первый член, который не вносит вклада в уравнение (27.17), получим

迎噎空上+红* h《ки.(27.19)

Наконец,т

五"I =圆計-(27.20)

Таким образом, (27.17) приобретает вид

d「2丁d2м323

+紅"口打工[配3L (27.21)

Любопытно отметить, что уравнение (27. 21) допускает и следующую запись：

BW]・(27.22)

Сравним результаты этого параграфа с аналогичными результатами, приведенными в книге Ландау и Лифшица/14/ и в монографии Ерумберга /8/. В работе /14, с.436/ для шарового волчка, совершающего орбитальное движение в гравитационном ноле, вращающегося вокруг оси центрального мла, приводится следующее уравнение, полученное Шиффом:

芻=［R： E 1 ,(27. 23)

в котором положено

U = П* 占(27.24)

措:=就隆叫+金{允(代)*好.(27.25)

Уравнение (27.25) по внешнему виду совпадает с полученным нами уравнением (27.21). Фактически же (27.23) является частным случаем (27.21), если в выражении (27.2) для S пренебречь релятивистскими членами и в выражении (27.19)для 网;Р опустить первый член.

В монографии Брумберга /8, с.311/ получено уравнение вращательного движения. Оно применительно к нашей задаче имеет вид

尊二［3m1,(27.26)

где呆

s = 。"g+^+絹)五* * ［扛尸［3力］一

一，，咚L三"二一^ G；f S)-2,，. ) 1 .(27.27)

Сравнивая эти выражения с (27.2 ) и (27.22), убеждаемся, что наши результаты и результаты Брумберга совпадают, хотя они получены на основе разных подходов. Такой вывод станет еще более очевидным, если (27. 2) представить в виде

-—м - 2>1«1U }(27.28)

Небольшое различие между первыми членами в правых частях (27.27) н (27.28) обусловлено различием в предположении относительно внутренней структуры тела, принятой в нашей работе и у Брумберга.

В заключение несколько слов об ос редне нном уравнении вращательного движения пробного тела. Его можно также получить исходя из L и Ч . Действительно, имея в виду (26.1) и (27.9), запишем

2 器"Г(学ГY-T溫酬"

+5識0喏豳中0А/吗吸

Напомним, что, согласно (20.7),

$*= W 十约 &(27.30)

7*

Тогда

W = 1^=《+ 誤力％ - ^hfco(^ J 亙 *

吧呻汨4断H&啊吧呻汨4断H&啊(27.31)(27.31)

吧呻汨4断H&啊

吧呻汨4断H&啊

(27.31)

(27.31)

Осредненное уравнение вращательного движения запишется какт

礬=国照］,(27.32)

где

Т(吟小出［許^

十#g。一套(S.£)0陷］.十#g。一套(S.£)0陷］.(27.33)(27.33)

十#g。一套(S.£)0陷］.

十#g。一套(S.£)0陷］.

(27.33)

(27.33)

Брумберг /8, с.132/ для осредненное угловой ст и прецессии гироскопа дает формулуБрумберг /8, с.132/ для осредненное угловой ст и прецессии гироскопа дает формулудпр ЗХ附，П 3 + X。［3j3®3o)е“］JJ =击^^)J ~2e2m仔6户方дпр ЗХ附，П 3 + X。［3j3®3o)е“］JJ =击^^)J ~2e2m仔6户方скоро-(27.34)скоро-(27.34)Где П - среднее движение. Чтобы сравнить это выражение с нашим (27.33), перепишем последнее в кеплеровых элементам Имея в виду, чтоГде П - среднее движение. Чтобы сравнить это выражение с нашим (27.33), перепишем последнее в кеплеровых элементам Имея в виду, что

Брумберг /8, с.132/ для осредненное угловой ст и прецессии гироскопа дает формулу

Брумберг /8, с.132/ для осредненное угловой ст и прецессии гироскопа дает формулу

дпр ЗХ附，П 3 + X。［3j3®3o)е“］

JJ =击^^)J ~2e2m仔6户方

дпр ЗХ附，П 3 + X。［3j3®3o)е“］

JJ =击^^)J ~2e2m仔6户方

скоро-

(27.34)

скоро-

(27.34)

Где П - среднее движение. Чтобы сравнить это выражение с нашим (27.33), перепишем последнее в кеплеровых элементам Имея в виду, что

Где П - среднее движение. Чтобы сравнить это выражение с нашим (27.33), перепишем последнее в кеплеровых элементам Имея в виду, что

М. (М.+м) а (% “y‘丿'М. (М.+м) а (% “y‘丿'(27.35)(27.35)

М. (М.+м) а (% “y‘丿'

М. (М.+м) а (% “y‘丿'

(27.35)

(27.35)

也审M: ~(人少〃 > 財

получим вместо (27.33) формулу

耻Р=肃諸市a*踢宀^疹)

十君陪解沁"請己也1 •(27.36)

Теперь видно, чго второе слагаемое выражения (27.36) в точности совпадает с формулой (27.34). Первое слагаемое в правой части (27.36) является попр^кой^. Отметим, что у нас^ 汽：？ пр о порц ио н ал ьно не только 0.^ , но и

W Н Ор .

Обращает также на себя внимание структурное сходство между вгоць1м членом (27.36) и угловой скоростью (3.35) вектора 4 в задаче Лензе-Тирринга:

写ёй4^ 傍融&-戒氐 £))}(27.37)

Похоже на то, что существует некоторое общее правило, согласно которому любая Л в задаче двух вращающихся тел записывается в виде разложения

Й- Q.)运十(…)邑+J)4*5e"..)工.(27.38)

Далее,

"+° =万WyWZ' 6「3耳(芸耳)),(27.39)

где вектор-потенциал

3［中J5日崑】 .(27ЛО)

Из (27.40) ясно, что векгор-потенциал создается собственным моментом центрального тела S« .

Представим себе теперь вектор-потенциал, создаваем мый орбитальным моментом М ・ Определим его по аналогии с (27.40) и обозначим как

Ом^ 品精=^IML 97.4 Г огдат

/ =-2乂吵，EK

С помощью (27.39) и (27.42) придадим угловым скоростям (27.36) и (27.37) еще и следующий вид：

0＞向冷)2 (甌电+碎两“+

+ 表 (- ^^ "+ % + 2s七U ) ,(27.43 )

^K~'ci^~^'Vi^^ •'•^^^) ・(27.47)

Как видим, 1to七 I兀 и V± U являются общими структурными элементами каждого из выражений (27.43) и (27.44). Поскольку первое слагаемое в (27.37) есть угловая скорость шварцшильдовского вращения, то, как это видно из (27.44厶 она оказывается обусловленной вектор~потециаломU н , т.е. векторным гравитационным

полем, создаваемым орбитальным моментом И .

Глава 5

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСХОЖДЕНИЙ

В РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Одним из неясных моментов в проблеме движения является вопрос о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными разными методами: первым и вторым методами Фока, а также методом Инфе льда /63 /.

История вопроса

В Х959 г. Ай тике ев ой и Петров ой /6/ было найдено первым методом Фока релятивистское уравнение вращательного движения сферически симметричных тел в приближении лагранжиана т С^(^/С ) «^ . Найденное ими уравнение имеет вид /6, с.227/

◎。书唸［欝卩gm风4卄

-2(6- 8 )(G)a，Хг %) +(%-2%)(&,а“ )］+

nW)

十］j品【2 源(&/%%) + 2&E)血,*%)+

十 2(匕-匕)cg, a - e ’j"^^』'"-''，^-%*%)* 式乙/0] *^^[2回工 4乂n戸8)-2(34)Х

”3 - &,[乙瓦])-g1a-812[启.3,母1

-嘻¥’島5g声办成，ML 3)

где уА - скорость центра инерции тела； За ~ угловая

скорость вращения;

(28.2)(28.2)з^у^ , зГЦр/аг

(28.2)

(28.2)

-моменты инерции второго и четвертого поряцка. Знак последнего члена в (28.1) берется согласно работе Петровой /54, с.201 /.

Аналогичное уравнение, но только с помощью второго метода Фока было выведено Брумбергом в 1968 г. Оно записывается /8, с. 259/ так：

(28.3)

где

& = 2工订•十左［2］齿。&L工应上""工0%

? JKK 9 Ак" 3 kkFJ C2；l]於前

x(6订Q + -~y- [3a-4€,Q4]) + 言^位产位办

GglIq-бг

①袁‘{偽回/r口+ +磊^也+噜落旧匸则+ *耨^@4成)回工认1}+^(端而心.(28.4) Здесь

1=4 产折，工=^"*切(28.5) -моменты второго и че гвертого порядка.

В одинаковых обозначениях уравнения Айтикеевой н Петровой (28.1) и Брумберга (28.4)могут быть представ* лены соответственно как

工成=^^口^^" [Sq 国 一8,5 芸-AVft)-2 口-Z " *(Д0k-% ) +Л-2Уе)(5в工-0 )1 + j**fl叭户')*

x[a-l# iSg] -@-E)G-Q,p4 瓦 1) - •|д%-Е『[е&т

，鵰（如）^办鳥

x [源回 E%%）』G-R）（盡需 X） * （W-刃）*

（28.6）

。泣吟&办E山门十享У^^ ”

* [Д 同己 5玄-衣）_ 2 0s） ®,*-Vg ） +

-V a2% ）（忌,d - A ）1+ 7^?[+师公 1 * +产£/成一几爾小磊" "成工/+啤柴口&或n*

Jala®6 |

*（?7匕叫）+（Q-g）（5 /а/ ）+（%%）（% 声 &）-

.豁(鏡，3心声讣讎山 x(d』凡一而)* (d-W)(力*.,%-%)+&1-%)(%亦7)-

~)(5，К")4 . (22.7)

Здесь

3*=| gz*dU・(28・8)

Оба эти уравнения вращательного движения не согласуются между собой, чго вменено Брумбергом /8, с.261/. Таким образом, мы как бы не имеем до сих пор общепринят того (стандартного) релятивисте кого уравнения вращательного движения, полученного в рамках методов Фока. Такое положение не может быть признано удовлетворительным и требует дальнейшего исследования.

Сделаем еще несколько дополнительных замечаний касательно различия между (28.6)и (28.7).

В правой части (28.6)первые три члена имеют порян док 暗("2乂我/3) ,а члены с чегвяртого по седьмой- 帆&松)("為с восьмого по одиннадцатый - Ж^ ^*-^* А в (28.7)первый член имеет порядок m**或со второго по четвертый -М$《寸/dXR/p), с пятого по девятый - m收心期) и с десятого по семнадцатый -Щс^ ^ ~* . Так что между рассматриваемыми уравнениями имеются различия даже относительно порядка отдельных членов. Например, в (28.6)отсугствуег член

打：(丸N)RGj ,(28.9)

который является главным по порядку величины в (28.7). Отсутствуют также члены

T1；(丄［К 1 +上史当王吻45办了 A・il) (28 10)

не зависящие от угловых ci)росте办 тел； нет членов ±鋁■底 G 北川)+&i)&Z)+&Z)K ，迎才分粽"E)("a；(28.3 не совпадают коэффицие(ггы первого н седьмого слагаемых (28.7) с соответствующими членами (28.6).

Следует заметить, что в более поздней работе Варламовой и Петровой /55# с.18/ были найдены в рамках пер вого метода Фока члены, не зависящие от угловых скоростей тел：

Однако это выражение все равно отличается от (28.10) коэффициентами и знаками,

В монографии Рябушко /5, с.49/, вышедшей в 1979「& дано следующее релятивистское уравнение вращательного движения точечных масс, полученное методом Инфе льда: 駅^ F『概飞*%"

+ Е（办「6：也）d出港2『）.

[6：6户2力.5：7心2证）]（幻,戸+

-回虱QGV装骯幻宀

*瓦虱丸)小］7当XM")｝产83) где 6 — удельный по массе собственный угловой момент; W^CeS— Qu образуют ортонормированный базис декар- товой системы координат; 6、6g6J 162门飞 знак (〜)означает, что величины М.н б'х берутся с релятивистскими поправками.@

Эго уравнение, согласно /5, с.55/, находится в пол

ном соответствии с аналогичными уравнениями вращательного движения, полученными другими авторами в рамках метода EIH. Так что (28.13) можно рассматривать как сгаадаргное, твердо установленное уравнение. Характерной чертой данного уравнения вращательного движения тела “ Cl" является пропорциональность всех его членов собственному угловому моменту импульса S：i.6 产 (угловой скорости 3。) того же тела " а "・ Если, сравнить (28.13) с уравнениями (28.6) и (28.7), полученными на основе методов Фока, то, согласно Рябушко, ” имеем принципиально противоположное следе зне: если в начальный момент времени сферически симметричное тело не вращается, то оно не будет вращаться и в после-

дующие моменты времени. Другими словами, в носленьютв- новом приближении вращение остальных сферически симме^ ричных тел и поступательное движение всех тел системы не может вовлечь во вращение сферически симметричное тело ” а “，если оно не вращалось" /5, с.55/.

Таким образом, существует расхождение между всеми тремя релятивистскими уравнениями вращательного движения (28.6), (28,7) и (28ДЗ). В данной главе мы продолжим изучение этого вопроса и попытаемся внести в него некоторую ясность.

Устранение расхождений в релятивистских уравнениях вращательного движения, полученных методами Фока

Обратимся снова к уравнениям Айтикеевой и Петровой (28.6)и Брумберга (28.7). Выясним теперь не различие, а то общее, что их объединяет. С этой целью выпишем (28.6) и (28.7) применительно к сис те ме из двух тел, когда тело " а " пробное, а тело " & " массивное. Тогда (28.6)будет выглядеть как

瓦=^ Ь^^定区力+营声(魂)■甥^(砌), *^*齿式扌;)+争"扌4)+寻三3&)一

-^^^ 五 G 7)0力8 )•+(2 矶)Е 厶 J -

一凄炳一承(就晒一紀河瞥1 •

Испольдуя тождество

（zq）Rg］rZ ［以心力上自工％5］） =1=зП（7й）«）,（29.2）

перепишем это уравнение в виде

瓦鹏｛誉大切+寿玄减）一緩汽也h

+嚼E®刁（应）+M"面牟+次码滋刘+

(29.3)(29.3)・掣冲"5

(29.3)

(29.3)

Теперь приведем уравнение (28.7)；

^i^ny^-^^^-

+专｛争w密刃十賢入玄^）一堂文г或）十

2$

哥е丽-誑力亭悶"呀

■ 2p^ （他）E泡*粤学同（"）+

+木成内+弘成5丿一等（"〃*）7・（29.4）

Сравнивая (29.3) с (29.4), видим, что члены в фигурных скобках полностью совпадают, а последний член в (29 .3) отличается от подобного члена в (29.4)только численным коэффициентом.

Таким образом, мы можем сделать вывод： релятивистское уравнение вращательного движения Айтикеевой и Петровой (29. 3) содержится в релятивистском уравнении вращательного движения Брумберга (29.4). Уравнение (29.4), не отвергая (29.3) принципиально, содержит ряд дополнительных членов, которых нет в (29.3).

Теперь более подробно остановимся на этих дополнительных членах и выясним их физический смысл. Подвергнем преобразованиям уравнения (29.3) и (29.4), Используя формулы

0『轰К泪，％唸瓜刃，

(29.5)

где U. и U§ -^векгор-погенциалы, создаваемые угловыми моментами S. и S. . Тогда (29.3) а (29.4) запишутся соответственно как

鳥"+京^)认+今皿放寸n尚%帀加

Z 2 c

:血力［^1,(29.6)

囂а+太，營位嚷［〃“吻•*》，〃一

212%

+ 9*%z(上£"乞瓦7 .(29.7)

W*Z$C2

В § ментаВ § мента2727мь, вве“н вектор-потенциал орбитального мо-мь, вве“н вектор-потенциал орбитального мо-ПоэтомуПоэтомуL =六1"7L =六1"7(29.8)(29.8)(29.9)(29.9)Заметим также, что«В. )Ev(3j= trv Evto.11 瓦］,^ MU. Nj=務(?3.)「W达7 ・Учитывая (29.9), (29.工0) и (29.11), можно (29,6)и (29.7)придать видЗаметим также, что«В. )Ev(3j= trv Evto.11 瓦］,^ MU. Nj=務(?3.)「W达7 ・Учитывая (29.9), (29.工0) и (29.11), можно (29,6)и (29.7)придать вид(29.10)(29.10)(29.11)(29.11)уравнениямуравнениям

В § мента

В § мента

27

27

мь, вве“н вектор-потенциал орбитального мо-

мь, вве“н вектор-потенциал орбитального мо-

Поэтому

Поэтому

L =六1"7

L =六1"7

(29.8)

(29.8)

(29.9)

(29.9)

Заметим также, что

«В. )Ev(3j= trv Evto.11 瓦］,

^ MU. Nj=務(?3.)「W达7 ・

Учитывая (29.9), (29.工0) и (29.11), можно (29,6)и (29.7)придать вид

Заметим также, что

«В. )Ev(3j= trv Evto.11 瓦］,

^ MU. Nj=務(?3.)「W达7 ・

Учитывая (29.9), (29.工0) и (29.11), можно (29,6)и (29.7)придать вид

(29.10)

(29.10)

(29.11)

(29.11)

уравнениям

уравнениям

氯。啮+")"嘘w血切噫

“誥瓜也欣7電岳以"К鋁%〃现 (29.12) 玄｛d嘴*当欣唬［江乖刀-貝也* 十髪羽2如舞乙勿:-券飙履办 信良物京7,尧普'/〃* 2近7 **""&7&工

Q(29.13)

Следовательно, дополнительные члены, которыми отличаются уравнёния Брумберга (29.13) от уравнения Айтикеевой н Петровой (29.12), сводятся к учету %d UM и f£ 必 в левой части (29.13 ), а также L可"乙” в правой его части. Из общих соображений и из структуры (29.13 ) ясно, что эти выражения, если войдут в левую часть (29.12), то должны входить и в правую часть, и наоборот. Они являются как бы структурными элементами уравнения вращательного движения. Уравнение Айтикеевой и Петров ой следует дополнить упомянутыми членами, и тем самым должен быть устранен вопрос о расхождениях в релятивистских уравнениях вращательного движения, полученных первым и вторым методами Фока. С этой целью в работе /56/ нами был повторен вывод релятивистского уравнения вращательного движения первым методом Фока для системы сферически симметричных вращающихся тел. С самого начала мы пользовались структурной формулой для тензора массы

e，『；户"3-广?»%•(29.141

где f - инвариантная плотность массы; “ - четырехмерная скорость элемента объема, a Rq - тензор напряжения. В результате получено релятивистское уравнение вращательного движения в интегральной форме (в обозначениях главы 3 ) /56, с.66/

(29.15)

где

s：： = 〃(&y・)Cj-的”乡)&7(〃)， (29.16) 'а

собственный момент вращения тела "а"

G⑸/辞口施)电令剖吊蘇，(29.]7)

Q4匸у З及广%减一 %一%? ujfk/一 7厂嗝］U,零回Q端%喝］翳

-誉曲y）石卄嗚”：T （W4:方

一吟尧）步:售（3%）（喏吟а"‘丿一

-罟出吟 亦d"丿竹％丿"卜学%-*何吟 梏d»d&君庁忌)费7""：29.18)

Уравнение (29»15)полностмо совпадает /56, 57/ с соответствующим урдвнен>«ем Брумберга, найденным вторым мэтодом Фока /8, cf2S3/. Тем самым устраняются имевшие место до сих пор расхождения между уравнениями вращательного дВйжен“ выведенными первым и вторым методами Фока.

В заключение, мведя обозначение

Eb工*К +共+当)2+扫"也力7 + 十 N^q一击％以一^^Tg >，) /%сJ4 с

мы снова запишем уравнение Брумберга (29.13 ) в виде

强=工运？С ,(29.20)

которое и будем рассматривать как стандартное релятивистское уравнение, получаемое методами Фока.

Об уравнении вращательного движония, полученном методом Инфельда

То, что уровнение (28.13), полученное методом Ин- фельда, отличается от аналогичных ураганений (28.6) и (28.7), полученных методами Фока, отмечалось выше. В этом параграфе рассмотрим и другие вопросы: насколько эти уравнения отличаются друг от друга； чти между ними общего; иэ-за чего происходят расхождения между ними и т.д.

Для ответа на поставленные вопросы обратимся к уравнению Ряб ушко (28.13), написанному в векторной форме для двух тел, когда тело " см " пробное, а тело ' 6" массивное. Оно имеет вид 祟&

广尹里Г以芸7嚷%*2m7.(3Q 1)

Для сравнения выпишем снова уравнение Брумберга (29.13 ). м大依姓.妙)或+а夕広加*к

+潦广^应工7唠舞^["以s*厶击〃〃无?落7.

C°(30.2)

Здесь мы учли, что для пробного тела "а"

.(3Q.3)

Нетрудно видеть, что в этих двух уравнениях имеется общая часть, более того, уравнение (30.1) практически содержится в уравнении (30.2), ибо в (30.1)

S. ~♦(30.4)

Далее, следует от метить, что в этих уравне ниях по- разному определяется вращательный импульс» В случае (30.2)или (N9.2O) вращательный импульс пробного тела дается выражением (29,19) или как канонический импульс

М 寻(ЗО・6)

При этом g. содержит как члены, пропорциональные 以， так и члены без В.. В случае же (30.1) вращательный импульс удовлетворяет условию (30.4). Поэтому из (30.1) получается /5, с.55/, что

^^н。.(30.6)

если в начальный момент времени 瓦-О. Из уравнения же (29.12)следует.

祭= М£*/〃，В。」)

что означает: вопреки (30.6)вращение тела * ，・ приводит во вращение пробное тело, '。” /6, с.227/. Далее из (30.7)имеем интеграл движения

где3*Здесь 聆-где3*Здесь 聆-(30.8)(30.9)2 . Если(30.8)(30.9)2 . ЕслиQ. н 专 а± 〃< 一 J"d ,^ х(А- 1^£^1)начальное значение радиус-вектора

где

3*

Здесь 聆-

где

3*

Здесь 聆-

(30.8)

(30.9)

2 . Если

(30.8)

(30.9)

2 . Если

орбита пробного тела лежит в экваториальной плоскости центрального тела * в г, го (30,8)запишется как

或(〃Н击S4 (彳一 0丿 ,(30.10)

Отсюда следует, что собственное вращение пробного тела, движущегося по эллиптической орбите, происходит неравномерно и периодично, а в случае круговой орбиты оно отсутствует. Если усреднить (30.10)по ньютонову эллипсу, то имеем彳

少:“=备 S« С V аЗ"・е')"а ) . (30.11) Формулы (30.10) и (30.11) были получены в работах /9, с.77; 58, с.92/.

Если пользоваться уравнением Брумберга (30.2), то получится вместо (30.8) интеграл движения

£5「.Л^》/a♦袤r/0♦g/.(3o.i2)

В заключение можно сказать, что вопрос об определении вращательного импульса и другие вопросы, связанные с уравнением вращательного движения, требуют дальнейшего изучения. При этом должны быть учтены и соображения! излагаемые в работах, основанных на иных подходах к проблеме движения тел в ОТО, чем в методах Фока и Инфвльда /71, 72/.

Глава в

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ, ЗАРЯДА, МАГНИТНОГО МОМЕНТА И СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ

Релягивистакие уравнения движения системь! заряженных, магнитных и вращающихся точечных масс получены на основе метода Инфельда в работах Рябушко /5, 39/. В этой главе будут выведены реляткв献ТСКИ9 уравнения поступательного и вращательного движений системы конечных масс произвольной формы с учетом внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения вторым методом Фока /60-62/*

Уравнения поступательного движения в интегральной форме

Исходим из уравнений гравитации и атктродинамики /4# с.22О/

r"2 *产R，・暗Г*.(31.1)

В"н 九(31.2)

F」=忆小j%4・*(31.3)

где F.* - тензор электромагнитного толя； % - оператор ковариантного д»1фференцирования； П“-4— вектор тока, 4.4-потенциал электромагнитного поля. Как рбычно, греческие индексы пробегают значения О#1,2,Зг а лагйнские -

1,2.3. Уравнения поступательного движения выводятся из интегральных соотношений /4, с.384/

/3 %厂"(%)%0■①14)

Решение уравнений поля ищется в гармонической системе координат

紛行产Н。・(31.5)

Начальные члены разложений компонент метрического тензора имеют вид /4, с.328 /

9“ …4餐门 gu")*...,

4»i ш |iUi +(З1.в)

Тензор энергии-импульса /4, с.150/

т*"= М留% 厶£附",(31.7)

где Мм* - тензор масс; £得匕 тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

Далее /4, с. 149, 325/,

(?м"НуУ,0唸g心П7)］一公p仅%?..»(31.8)

e"仁专9产屮4&彩戶产.mg

Здесь, как и в главе 3, 夕-плотность массы; П - упругая энергия единицы массы; р.^ - тензор напряжений. Потенциал Л< и тензор электромегнетного поля 匕$свя- заны с об ычными потенциалами ф , А и напряженностями

электрического и магнитного полей Е и VA следующим образом：

4*= G с屮，Л ) , 4 = (- с Г 丿， (31.Ю)

о ■ с Е《• с Е^ ■ с Ер

сЕ«。нг - Hi

(31.11)

и Ei ■ Н)0Н«

、С JRjl-Hi。丿

Уравнения гравитационного поля (см. (11.5)*- (11.7))

дают

A U =- 4才工р ,

(31.12)

(31.13)

△ U,- ^; ^ PГ =-4亂q"7"♦5-,(31.14)

где U - ньютонов потенциал; U「вектор-потенциал грГави- тационного поля, a U* - обобщенный ньютонов потенциал. При получении приближенных уравнений электродинамики считаем, чго разложение Лф по степеням а/С начинается с величин второго порядка, а потенциал Л - с величин третьего порядка ( ， - порядок скоростей тел). Комбинируя уравнения Максвелла (31.2) с условиями Лоренца

V^ Я* « О(31.15)

н соотношением /4, с.208/

(%以一%%)/ = -"；么"，(3丄」6)

получим удобные для определения Д уравнения：

% Ca*=，"+「"R“aA.(31.17)

Напомним, что, х

尸一咽百力，(31.18)

где R *• плотность заряда.

Для наших целей достаточно положить

)%《"/厶輕九(31.19)

屮二年" .(31.20)

Здесь ，♦一 обычный трехмерный ток. Тогда из (31.17) находим аналогичные (31,12) - (31.14) уравнения：

4AH ・ Ак?、?(31.21)

〃…好"，3.22)

4八*辦匸黄認銓m"Z5,з23)

где 4工«Хе совпадаем с обучцым кулоновским потенциалом 9 ； 4# - обобценный кулоИовсшА потенциал, который помимо А включает и релятивистские добавки. Уйм тьпвая> <гго

1m“+m・"*6制户・g(,y%外"4卷,(31 24)

广大^「行(旣J(31.25)

разделим (31,14)на два уравнения：

AU； - ^i%^f j 5rs(31.26)

A U； н - &7гк 6g ・A U； н - &7гк 6g ・(31.27)(31.27)

A U； н - &7гк 6g ・

A U； н - &7гк 6g ・

(31.27)

(31.27)

При этом

U * ■ U； + U. .(31.28)

Потенциал 〃. вычислялся в главе 3 и равен, согласно (13.2),'в

U9 二 U*R3P，(31.29)

где 川 н %2 являются решениями уравнений

A W в U ,(31.30)

А%“ ・・4门";/>) .(31.31)

Аналогично запишем

八个^奉""，，(31.32)

д 1^4 ,(З1.зз)

也“=*(黎绘-厶以З.34)

Теперь расходимости генэара массы и тензора электромагнитного поля запишутся как

9Q* 喙M)』g) +

+ 6縹唸礬)・含(嶽鳴儿,З

l^E** （黎*芻%备绘紛十

器十器十e夕修◎Хуe夕修◎Ху(32.1)(32.2)(32.1)(32.2)

器十

器十

e夕修◎Ху

e夕修◎Ху

(32.1)

(32.2)

(32.1)

(32.2)

+ & О 0<彳力(31.3б>

а 匕 эх-

При выводе (31.6； использовалось уравнение /4, с. 222/

W П s 产“" .(31.37)

Подставляя (31,35) и (31.36) в (31.4), получим ура в* нения поступательного движения тела " а * в интегральной форме

-髡底啖傷星芻，“絵•紛

(31.38)

Обращает на себя внимание симметричность правой части этого уравнения относительно гравитационных и элек- тромагн1ггных потенциалов.

§ 3 2. Преобразование уравнений поступательного движения, полученных в интегральной форме

С помощью уравнения неразрывности

也也=О=Ои закона сохранения заряда

也

也

=О

=О

преобразуем (31.38) к обычной форме уравнений дв!<жения

(32.3)

При этом количество движения

中.)=/・" у

(32.4)

где

р；”м JG，“）№），

(32.5)

G：a）。尸”譬d宀〃心）一备%仁

-含尸Q-±F券^ >

(32.6)

展空/g： "貝心，

(32.7)

(32.8)

Здесь значком " . " отмечены величины, относящиеся к гравитационному полю, а значком * в * * к алекгромагнит- ному (по этим значкам далее суммирование отсутствует).

ДеА：твуюшая на Теп。сила

99(32.9)

9

9

屮7嘿吁袈考整7

一Mf 喰 ^^ )^^一Mf 喰 ^^ )^^(32.10)(32.10)

一Mf 喰 ^^ )^^

一Mf 喰 ^^ )^^

(32.10)

(32.10)

X X эх** 八 3九・，Напомним, что "J - гравитационный потенциал,обуо-X X эх** 八 3九・，Напомним, что "J - гравитационный потенциал,обуо-(32.11)(32.12)(32.11)(32.12)ловленный электромагнитным полем, а через 彳；“ обозна* Чена величина

X X эх** 八 3九・，

Напомним, что "J - гравитационный потенциал,обуо-

X X эх** 八 3九・，

Напомним, что "J - гравитационный потенциал,обуо-

(32.11)

(32.12)

(32.11)

(32.12)

，2 °，“-?/〃，(32.13)

удощютворяющая уравнению

4/匕=& UaJUJ-aUU)). (32.14) Если функции U . W % U,.・,S，/ , 储 И /； разложить на внутреннюю и внешнюю части (так жеякак мы это делали в б 11):

4M"3-a二八4-/’%^必・.匕"),4M"3-a二八4-/’%^必・.匕"),(32.15)(32.15)Unu.+u"； w*%+/・；4•户〃”“ *4“，

4M"3-a二八4-/’%^必・.匕"),

4M"3-a二八4-/’%^必・.匕"),

(32.15)

(32.15)

то общий вклад в силу (32.9)от внутренних частей обра* тиггся в н>ль. МатематичесКое доказательство этого обстоятельства для членов, содержащих величины % . 〃.« И

«• ■ уже приведено в 9 11. Для членов же с %■ ， If.».* ‘，и A.s оно дается аналогично. Заметим толькО| что физически это обусловлено равновесием сил, действующих внутри телец Поэтому в (32.9)будут учитываться только внешние функции

и。？ и?, ^ м“： и；：； , 4“： 〃е (32.16)

В силу замкнутости расематриваемой системьт имеем

ERCa，,«0 .£《±0 .(32.17)

Что касается F："”, то, выполняя интегрирование по

частям и учитывая уравнения (31.27) и (32.14)для U： и А%8, можно привести (32.12) к виду

『"唸*)｛唸з將аa一a謝aU+

+ UaA|^J -嗡& -A轡aAJM, (32.18)

Отсюда видно, что

(32.19)

Таким образом, для системы тел равнодействуюшая всех сил равна нулю：

号 Г“=0.(32.20)

т.е. для рассматриваемой динамической системы выполняется закон сохранения количества хшИжения

£ Р：7 8tu+ .(32.2')

Разлагая в (32.18)потенциалы А и I/ на "внутреи- иие* и гвнешние* части, получим

不"味眦躋＜1踹仙落

W岁换喷华囁可A書)(dx上(32.22)

181

Отсюда видно, что для вычисления F："” нет необходимости в нахождении релятивистских поправок U： и 4〃| к ньютонои^кому потенциалу U н к кулоновскому потенциалу А. Тогда уравнения поступательного двюкения (ЗГ；38)приобретают вид

笈｛卜г[4《& ， М 3U)1- t кy含加

向務.山丿，♦^弟｝,厶儿

』嘿，察切締白嘴

鸿飞然金澀磯沁3

Приведение уравнений движения (31.38) или (3 2.23) к дифференциальной форме связано с вычислением &■' и F：*' . а также выражением этих величин через параметры, характеризующие движения тел как целых. При этом интегралы (32.5)и (3 2»Ю) были уже вычислены нами в главе 3, а что касается интегралов (32.7), (32,11) и (3 2.12), то для их вычисленш! необходимо ввести ряд новых интегральньи выражений. ОнИ будут определять характе* ристики тела, связанные с его внутренней структурой, зарядом, электрическим н магнитным моментами. На этом и на приведении уравнений поступательного движения к дифференциальной форме мы останавливаться не будем ввиду громоздкости и отсылаем читателя к нашей работе /60/.

8 33. Уравнения вращательного движения

Урар рння вращательного движения выводятся из интегральных соотношений /4, с.387/.

〃 /"(4，一%)4丁少一(7"-%>)%7"砲/亦»0 . (33.1)

Отсюда, учитывая результаты § 32, нетрудно получить релятивистские уравнения вращательного движения в интегральной форме /62/

(33.2)

(33.3)(33.3)где собственный момент вращения тела * а

(33.3)

(33.3)

S『* 匸 $4" * Sf* /

причем

S:：‘ = m:/m87宀局315九(33.4)

Далее, моменг силы

QF・ + Q” + qW(33.6)

где

Q“" f М "%「"「。吗 J( "* %：，

十炽P）№-a噜；（左（^）2 J

一譬/aw•丿鼠。父"％7（務厂以

*d - %）®："九-山丁加）伫0一4"%

-纟 8-明）（％ 5** - q^ 8** ）（¥ 寸 5 U“））+

+纟（4•加国-a*乙I）⑦"。（厶・%）少匚分以./7♦

♦V最〃片啓勿戸皿）

Выражение （33.7） отличается от соответствующего вы* раження в работе /8# с.263/ тем, что тензор трехмерных напряжений р（“ це предполагается равным

■ ра к •（зз・8）

Для момента силы, имеющего электромагнитное происхождение, находим

Q‘；T7bMa「%〉ii7* "「% 務卩，" "至/（3%%・ "i%，74吗譬"…笈 -a・』电卩為，吉《伉・》広）/丝ё

弋也储L%）（A“ 黔〃心#弋也储L%）（A“ 黔〃心#（33.9）（33.9）

弋也储L%）（A“ 黔〃心#

弋也储L%）（A“ 黔〃心#

（33.9）

（33.9）

Момент силы, учитывающий как гравитационное, так и электромагнитное взаимодействиэ, равен

Q“ 二К ^（^i~ ^P^nic** ^иГ^м^ ^wiKp^A ~^^ 1 + 十我"复7/4莊）也）l表¥¥（厶f）九一 -"…Q%］（P/晚明噁.纱霊）（厶）3十

+ &m"［（3%）及1<.8*4）%门+ &m"［（3%）及1<.8*4）%门限嗯十限嗯十加曦7f噁）a）：加曦7f噁）a）：（33.10）（33.10）

+ &m"［（3%）及1<.8*4）%门

+ &m"［（3%）及1<.8*4）%门

限嗯十

限嗯十

加曦7f噁）a）：

加曦7f噁）a）：

（33.10）

（33.10）

На вычислении ннтегродов, входащих 口（33.2）, и тем самым на определении явного ^НДД уравнений вращательного движения мы останавли^аться не будем в орлу нК громоздкости. Это сделано в наших работах /61M 62/.

Таким образом, метод фока позволяет получить наиболее общие уравнения движения механики тел ТГЭ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем некоторые итог% В работе обсуждена релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с точностью [~ 巾弋（《/金）（円"戸 она найдена с помощью второго метода Фока и является достаточно общей и наиболее обоснованной на сегодняшний день функцией Лагранжа механики тел ТГЭ. Подробный анализ этой функции с рассмотрением различных частных случаев, ее сравнение с функциями Лагранжа, полу- ченшми Брумбергом и Ряб ушко, и ряд других исследований позволили дать обоснование релятивистских уравнений поступательного движения тел в ОТО.

Внесена определенная ясность в вопрос о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движем ния, выводимыми тремя методами: первым и вторым методами Фока, а также методом Инфе льда /63 /. Показано, что среди обсуждаемых в работе релятивистских уравнений вращательного движения наиболее общим является уравнение, полученное Брумбергом} в вопросе о собственном вращении тел метод Фока приводит к более полным результатам, чем метод Инфе льда.

Обсужден вопрос о методах решения задач механики тел ТГЭ. Изложено применение векторных элементов Й и X к описанию движения тел в ряде модельных задач механики ТГЭ, а затем - методы усреднения, Рытова, Гамильтона - Якоби, а ди аб ат ичес к их инвариантов и их приложение в п робле- ма движения тел в ОТО.

Рассмотрена идея о применении гидр од инамичес к ой аналогии для исследования модельных задач механики ТГЭ; установлено, что вопрос о собственном вращении пробного тела.

движущегося в гравитационном поле вращающегося центрального тела, решается с помощью простой гидродинамической формулы 3=} xok q .Таким образом, можно также говорить н о методе гидродинамической аналогии в исследовании задач механики тел ТГЭ /67, 70/.

В работе показано, что изучение многих релятивистских эффектсв (искривление и кручение траектории,вращение плоско Стн поляризации плоской электромагнитной волны и др.) значительно упрощается при ио пользовании методов дифф еренци- альной геометрии. Это связано с тем, что известные формулы Френе в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства прос^ранствеиной кривой. Добавим также, что такой подход позволяет обнаружить новую специфическую огтгико-механическую аналогию, присущую именно механике тел ТГЭ： вращение плоокосги поляризации плоской электромагнитной волнМ (света) в поле вращающегося центрального тела можно рассматривать как аналог вращательного движения пробнрго тела # зтом же поле, вокруг касательной к траектории. Все ❷то говорит □ том, нТо катоды дифференциальной геометрин должны найти далв恥办шее широкое применение 早 проблеме движения тел в ОГО.

Наконец, следует отмэтнть адипатическую теорию движений тел в ОТО, р£рвитую а монографии на примере задачи двух вршнающихсяг тел с учетом их внутренней структуры /в4, 6S/. Она 4«1Ляв^с« своеобразным синтезом применения векторных эдементав для описания движений, асимптотических методов теории неЛндаЙньж колебаний и кет ода адиабатиадских инвар найтов. Благодаря адиаба^жеской теории уравнения двнженш аадачй двух вращающихся тел с учетом 瞅 внутренней итрукгурм при^дятсй к слелутадему простому виду:

碧Н賢小［门由，

Здесь Q. , бд - единичное векторов направлении векторных элементов И и Л s Д= ^д- ,где口 7о%2- усредненное значение гамильтониана； М・ -адиабатический инвариант рассматриваемой нами задачи.

Название гадиабатическая теория движения* обусловлено тем, что, во-первых, выражения « и А пропорцио

нальны С~‘，что указывает на адиабатический характер изменений исследуемой физической системы; во-вторых, соотношение <г£иЭН/эЙ напомниает известные формулы для частот в методе адиабатических инвариантов; в-третьих, адиабатический инвариант М. играет существенную роль % процессе представления уравнений движения в элементах

М н 7 .

В заключение эаметиму что в монографии не рассматривались такие важные вопросы проблемы движения тел в ОТО, как теория систем отсчета, устойчивость движения, движение переменных масс и др. По этим вопросам мы отсылаем читателя к работе Нирагаса /69/ и к монографиям Владимирова /68/, Ряб ушко /5/ и Закирова /73 /.

ЛИТЕРАТУРА

Эйнштейн А., Инфельд Л., Гоффман Б. Гравитационные уравнения и проблема движения//Эйнштейн А. Собр. науч, трудов. М・,1966. Т.2. С.45О-513.

Фок В.А. О движении конечных масс в общёй теории относительносги//ЖЭТф. 1939. Т. 9. С.З75-410.

Инфельд «И.. Плебаньский Е. Движение и релятивизм. М・,1962. 204 с.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М., 1961. 563 с.

Рябушко А.П. Движение тел в общей теории относительности. Мннск, 1979. 24Q с.

Айтикеева З.А., Петрова Н・М・ О системе сферически симметричных тел в общей теории от нос ите льнсюти И Исследование процессов переноса* Вопросы теории относительности. Алма-Атец 1959. С.209-229.

Петрова Н.М” Санд ина И. Б. К вопросу о мвтоде «получения уравнений движения в общей Теьрнн относительно- сти//Фиэика< Алма-Ата,工970. Выл. 1. СД4-10.

Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика^ М., 1972. 382 с.

Абдильдин ММ. Некоторые выводы из теории тяготения Эйнштейна для космогонии планетной системы: Диз. ••• канд. физ.-мат.наук. Лм 1965. 97 с.

Абдильдин М.Мм Пушкарев О.А.# Юнусов А.А. Релятивистская функция Лагранжа системы вращающихся тел произвольной формы, имеющих заряды и магннтньте моменты// Тр. астрофиз.ин-та АН КазССР. 1973. Т.2О. С.1О4-1О8.

Абдильдин М^М.Анализ некоторых задач механики теории

тяготения Эйцштейна//Проблема движения в теории гравкта- ции Эйнштейна. Алма-Ата, 1981. С.3-41.

Абдильдин М»М・, Юиусов А.А. Анализ метрики первого приближения по Фоку в ОТО//Зопросы теории относительности. Алма-Ата, 1979. С.5-11.

Бергман 1Ъ Введение в теорию относительности М・,1947. 380 с.

Ландау Л.Д, Лифшиц Е・М. Теория поля. М・,1973. 400 с.

Абдидьдцн М»Мм Юнусов А*А・ Ращенне задачи о движении в центрально-симмотрHhhqм гравитационном поле в ОТО на основе метрики первого приближения Фока и в представлении вектороэ № и Д //Вопросы теории отно- сигельностн. Алма-А『％ 1970. СД1-15.

Дубошин Г.Н. Небесиая механика. Основные адцачи и методы. М” 1968. 799 с,

Градштейн М・С・, Рыжим НМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М” 1962, 1094 с.

Ландау ДДЧ Лвфшиц &М4 Механика« М・,1973. 207 с.

Одьковский И<И. Курс теор*НЧ^ск°* механики для физиков. М.» 丄9?4. 66。с.

Иваннцкаи 0.С. Лоредаэ» базис и гравитационные эффекты в эйншгейповсА теории гжГотения^ Минск, 1979. 334 с.

СкроцкиЙ Г .В. О днндаии оцш тяжеХтн на распространение сввта//ДоАл# АН СССР. 1@В?# ТД14. С*73-76.

Рытов С.М. О перехода аг ванного* # геометрической оптике//Докл# АН СССР.工93 8. ТДв» С.263-266.

Рытов С*М. М。風ymtpgaHHM молебания и волны// Тр・ ФИАН. 1940. Т・^. вып< 工・ СЛ1-133.

АбдипьдИй ММ Дв2к@н峭 в поле тяи«?стн вращаю^ шегося масснвнсго тела и уранине Гамильтона** Якоби// Вестн.ЛГУф Сер. физ^ КИМ. 1964,№ 2?, вьш. 1，

С •工 55-157.

Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М- 1969. Ч.2, 332 с.

Абдильдин М.М. Применение методов дифференциальной геометрии для решения задач механики теории тяготения Эйнштейна//Вопросы теории относительности. Алма-Ата, 1979. С.15-18.

Соколов ДА., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1974. 391 с.

Кочин Н・Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М” 1965. 426 с.

Сокольников И.С. Тензорный анализ» М., 1971. 373 с.

Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Мм 1956. 419 с.

Парс Л. Аналитическая динамика, М., 1971. бЗЭс.

Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М・, 1956. Т.1. 591 с.

Петрова Н.М. Об уравнении движения и тензоре материи для системы конечных масс в общей те ори и относительности//ЖЭТФ. 1949. Т.19. С.989-999.

Фок В.А. Об интегралах движения центра инерции двух конечных масс в общей теории относительности//Дохл. АН СССР. 1941, Т.32. С.28-304

Кашкаров В.П* Об уравнениях движения системы конечных масс в теории тяготения Эйнштейна//ЖЭТФ.

1954. Т.2 7. С.563-57О.

Фихтенгольц ММ Лагранжева форма уравнений : движения во втором приближении теории тяготения Эйншгей- на//ЖЭТФ. 1950. Т.2О. С.233-242.

Рарарetrou A. Equations of motion in Ci-eneral Relativity//Proc.Roy.Soc.l951.A64.P.57—72.

Петрова Н.М. Релятивистские уравнения вращения в форме уравнений Лагранж&〃Исследования процессов переноса. Вопросы теории относительности Алма-Ата, 1960. Вып. 2. С.147-15О.

Рябушко А.П. Об уравнениях движения вращающихся тел, обладающих зарядами и магнитными моментами, в обшей теории от нос ительнос г и // Изв. вузов. Физика. 1961.

№ 6. С.3-13.

Ряб ушко А<П. Интегралы уравнений движения системы - вращающихся тел в общей теории от нос иге льност и // Изв. АН БССР, Сер.фиа.-магематических наук. 1971. №3. С.7О-78*

Эйнштейн А. Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории от нос ительности//Эйнцггейн 儿 Собр. науч, трудов. М., 196 6. ТД. С.439-447.

Богородский А.Ф. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии, Кнев, 1962. 193 с.

Галкин С.Л. Движение частиц в центрально-симметричном статическом поле в общей теории относительности// Изв. вузов. @нзнк& 1963. № 3. С,54-62.

Пирагас К.А” Кривенко О.П. Некоторые вопросы качественной теории геодезических линий в поле тяготеющего центра. Киев, 1971, 26 с. (Препринт/Инетитут теоретической физики АН УССР: 71 -

Зельдович Я#БО Новиков И.Д* Строение и эволюция Вселенной. М・，1975. 735 с.

Гинзбург В «Л. Экспериментальная проверка общей теории относительности //Эйнштейн и современная физика, М., 1956, С.93-139.

Рябушко А.П., Фишер И.З, О движении вращающихг- ся масс в общей теории от носительности//ЖЭТФ, 1058, Т.34. С.1189-.1194.

Рябушко А・П・ О двюкеннн тел, несущих на себе заряды а обладающих собственным вращением и магнитными моментами! в общеб теории относитещ>нсюги//Из&. вузов. Физика< 1962.曲 1. С.88-97,

Абдильдин М<М・ Некоторые следствия из теории тяготения Эйнштейна для космогониц солнечной системы// Вестн. ЛГУ. Сер. физ.- хим< 1964. № 22. С.19-26.

Курмакаев ЗХ К вопросу о задаче двух вращаю* щихся сферически симметричных тел в ОТО/ХАстроирми ж урн. 1966. T.43.C.1O2S-1O29.

Белецкий В.В. О|вр&и о движении космических тел. Мм 1970. 43Q сг

Боголюбов Н.Н., Митропольский ЮЙА. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М・『1974. 503 с.

Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. М“ 1963. 411 с.

Петрова Н.М. О законах сохранения для системы вращающихся тел в общей теории от носительнсюти //Исследование процессов переноса. Вопросы теории относительности. Алма-Ата, 195 9. С. 192-208.

Петрова Н.М., Варламова А.Н. О возникновении вращения в релятивистской системе сферически симметричных тел//Физика. Алма-Ата, 1970. Вып. 1. С.16-19,

Абдильдин М.М., Омаров М.С. К вопросу о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока//Проблема движения в теории гравитации Эйнштейна. Алма-Ата, 1981. С.42-69.

Абдильдин М.М., Омаров М.С. О расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного дви же- ния, полученными первым н вторым методами Фока в ОГО： Тезисы докп. V Советской гравитационной конф. М., 1981. С.89.

Абдильдин М.М., Юнусов А.А., Сакибаев О. О собственном вращении тел в теории тяготения Эйнштейна// Тр. астрофиз. ин-та АН КазССР. 1971. Т.17. С.91-93,

Ряб ушко А.П. Релятивистские уравнения движения заряженных магнитных вращающихся тел//Изв, АН БССР. Сер. фиэ.-матрмагических наук. 1972. № 1・ С.86-98.

Абдильдин М.М., Пушкарев ОТАМ Юнусов А.А. Уравнения поступательного движения небесных тел проиэ- вольной формы, имеющие заряды И магнитные моменты в общей теории относительности//Динамика галактик и звездных скоплений. Алма-Ата. 1973. С.210-231.

Пушкарев О.А., Абдильдин MJ4. Уравнения вращательного движения системы тел произвольной формы, имекь- тих заряды и магнитные моменты во втором приближении ОТО//Тр・ астрофиз. ин-та АН КазССР. 1976. Т.28. С.9СТОЗ.

Пушкарев О.А., Абдильдин М.М. Уравнения вращательного движения системы сферически симметричных тел, имеющих заряды и магнитные моменты, в общей теории

отнгхзительности//Динамика галактик и звездных скоплений. Алма-Ата, 19 73. С.242-25О.

Абдильдин М.М・ Исследование расхождений в релян тивистских уравнениях вращательного движения//Вопросы теории поля, Алма-Ата, 1985. С.3-20.

Абдильдин М.М. Задача двух тел с учетом их внутренней структуры и собственного вращения //Современные теоретические и э кс пер и ме нтальные проблемы теории относительности и гравитации： Тезисы докл. VI Советской гравитационной конф.М.. 1984. С. 248-250.

Абдильдин MJ4. Уравнения движения задачи двух тел с учетом внутренней структуры и собственного вращения в О ГО// Динамическая эволюция звездных систем..1984. Т・43. С.12О124.

Абдильдин М.М. О метрике вращающегося жидкого шара//Вопросы теории поля. Алма-Ата, 1985. С.20-25.

Абдильдин М.М, О некоторых актуальных вопросах проблемы движения тел в ОТ О//Сов реме иные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации： Тезисы докл. YI Советской гравитационной конф^М., 1984. С.247-248.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гра- витадии. М., 1982. 256 с.

Пират ас К.А. Вопросы устойчив сюти движения и методы качественного анализа в релятивистской теории гравитации： Дис. ...докт.физ.-мат.наук. Киев, 1973. 289с.

Абдильдин М.М. Об одном применении гидродинамической а нал от'ии в общей теории относ ительности//Динами- ка галактических систем и теория гравитации. Алма-Ата, 1987. Т.47. С.113-114.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М., 1977. Т.1,2,3.

Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М・,1985. 296 с.

Закиров У.Н. Механика релятивистских космических пОлегов М・,1984. 152 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

ГПава 1. МЕТРИКА ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МЕХАНИКИ ТЕЛ ТГЭ 5

Вывод метрики первого приближения 5

Задача о движении в центральном поле 9

Задача Лензе - Тирринга и принцип суперпозиции релятивистских эффекте 14

в 4. Задача Скроцкого 20

Глава 2. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТГЭ 24

Применение ъекторных элементов М и А в случае инфинитных движений 24

Движение в поле вращающегося тела и уравнение Гамильтона - Якоби 29

При мнение методов дифференциальной геометрии к изучению задачи о движении в поле вращающегося тела 37

8.0 собственном в ращен ни пробного

гела, движущегося в поле вращающегося центрального тела 39

9. Об одной оптико-механической аналогии в механике тел ТГЭ 42

Ю. Применение теории квази периодических движений к исследованию задач механики ТГЭ 43

Глава 3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ИХ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ И ВРАЩЕНИЯ 47

1. Интегральная форма релятивистских уравнений поступательного движения ・ Пре образования Фока 49

12. Вычисление количества движения

в приближении 时/f)8力*) 57

13. Вычисление силы 64

14. Релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуру 亶 и вращения в приближении暗$578

§ 15. Релят ивистская функция Лагранжа системы сферически симметричных вращающихся тел.. 81

16. Функция Лагранжа системы двух сферических масс (т. «《 Е .) с собственным вращением 85

7. Замечание по поводу релят ивисгской функции Лагранжа (14.8) 87

Расхождения в релятивистских функциях Лагранжа поступательного движения для системы двух сферических вращающихся тел 91

Глава 4. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ С УЧЕТОМ ВНУТРЕН-НЕЙ СТРУКТУРЫ И СОБСТВЕННОГОВРАЩЕНИЯ 104

Функция Лагранжа 106

Уравнения движения 111

Усреднение уравнений движения ...113

Предварительные замечания относительно уравнений гврвого приближения 123

Преобразование уравнений первого приближения (21. 45) и (21. 46)127

Пертурбационная функция и с ре я-「

нее от нее 131

Исследование уравнений первого приближения 134

Другие формы уравнений первого приближения 141

О собственном вращении 146

Глава 5. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСХОЖДЕНИЙ В РЕ- ЛЯТИВИСТОСИХ УРАВНЕНИЯХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 156

8 28. История вопроса 156

Устранение расхождений в релятивистских уравнениях вращательного движения, полученных методами Фока 163

Об уравнении вращательного двин

жения. полученном методом Инфе льда 170

Глава 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ, ЗАРЯДА, МАГНИТНОГО МОМЕНТА И СОБСТВЕН^

НОГО ВРАЩЕНИЯ 173

Уравнения поступательного движения в интегральной форме173

g 3 2. Преобразование уравнений поступательного движения, полученнных

винтегральной форме 178

Уравнения вращательного движения 183

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 186

ЛИТЕРАТУРА 189

Мейрхан Мубаракович А б ди льдин

МЕХАНИКА ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА

Утверждено к печати Ученым советом Астрофизического института

Академии наук Казахской ССР

Зав.редакцией Н.Л.Селиванова

Редактор Л.В. Бондаренко

Оформление художника Ю.А.Чеховского

ИБ № 2194

Подписано в печать 20.01.88, УГ 11015

Формат 60x84-^/16. Бум.тип. № 1

Печать офсетная. Усл.-п. л. 11,63

Усл. кр.-отт. 11,75. Уч.-изд.л. 10,36

Тираж 520. Заказ 63. Цена 2 р. 10 к. в обл.

2 р. 90 к. в ст. № 7.

Издательство "Hayg" Казахской ССР 480100, Алма-Ата, ул.Пушкина, 111/113 Типография издательства "Неука" Казахской ССР 480021, Алма-Ата, ул.Шевечнко, 2 8

Новые книгииздательства 'Наука" Казахской ССР

1988 год

Фил ос офия

Современные методологически е проблемы теории относительности и гравитации /Под ред. А. Н. Ньюанб&ева, Л.М. Чечинси 8 л. 1 р. 30 к.

Цена указана орие нтировочно.

Заказы предприятий, организаций и учреждений направляются в облкниготорги (по месту жительства) или в управления (объединения ) книжной торговли союзных республик, не имеющих областного деления^

Иногородние читатели направляют заказы в магазин •Книга - почтой* по адресу: 480096, Алма-Ата, ул« Baft- закова, 190, "Книга — почтой *.

§ 25. Исследование уравнений первого приближения

т

ММ АБДИЛЬДИН

МЕХАНИКА

ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА

АКАДЕМИЯ НАУК КАЗАХСКОЙ ССРАСТРОФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

М. М. АБДИЛЬДИН

МЕХАНИКА

ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИЭЙНШТЕЙНА

Издательство «НАУКА» Казахской ССРАЛМА-АТА 1988

УДК 530.12:531.51

Абдильднн М.М, Механика теории гравитации Эйнштейна.- Алма-Ата： Наука, 1988. - 199 с.

Основной задачей является изложение проблемы движения тел в общей теории относительности, т.е. механики теории гравитации Эйнштейна, с учетом последних достижений в этой области. Рассмотрены вопрос о расхождениях между релятивистскими уравнениями движения, новые методы исследования задач ОГО, оптик о-механическая и гидродинамическая аналогии в механике ОТО, задача двух тел с учетом их внутренней структуры и вращения и др.

Большое внимание уделено методам Фока, позволяющим учесть влияние внутренней структуры, вращения и формы тел на их движение.

Книга рассчитана на физиков и астрономов, аспирантов и студентов старших курсов университетов.

Библиогр. 73 назв. Ил.1.

Ответственный редакторчле н-корресп онде нт Академии наук К азССРТ. Б.Омаров

Рецензентыдоктора физ ико- мате мат ячеек их наукИ.Л .Генкин, В.П.Кашкаров

а 170402000003 2

4О7(ОЙТ^8““

(СуИздательство "Наука

ISBN5-628-ООО2 7-2Казахской ССР, 1988