Глава 1

Предварительные сведения

Геофизическая гидродинамика

Атмосфера и океан имеют так много общих с точки зрения гидро динамики свойств, что изучение, например, атмосферы часто расширяет наше понимание процессов, происходящих в океане, и наоборот. Опыт показал также, что выявление основополагающих динамических понятий, равно применимых как к атмосфере, так и к океану, служит прекрасной отправной точкой для их изучения. Геофизическая гидродинамика изучает такие фундаментальные динамические процессы, знание которых необходимо для понимания процессов, происходящих в атмосфере и океане. В принципе, конечно, геофизическая гидродинамика имеет дело со всеми существующими в природе движениями жидкости. Пространственные и временные масштабы таких движений я начиная с легкого дуновения мягчайшего бриза и кончая огромными и мощными системами течений в атмосфере и океане, охватывают громадный диапазон. Даже в самой **твердой" Земле происходит внутренняя циркуляция, подобная циркуляция жидкости, с временными масштабами порядка нескольких миллионов лет, которая на поверхности Земли проявляется в виде расширения океанского дна и дрейфа континентов. Все эти явления в принципе могут быть включены в область рассмотрения геофизической гидродинамики. Однако отчасти по историческим причинам эта наука ограничивается в основном изучением динамики крупномасштабных явлений в атмосфере и океане. Именно на больших масштабах наиболее четко проявляется общность характера движений в атмосфере и океане; в то же время величеатвенная природа течений, подобных Гольфстриму в океане и струйным течениям в атмосфере, делает такой выбор эмоционально притягательным и оправданным. Этому ограничению в выборе материала и следует предлагаемое изложение, которое надо, таким образом, рассматривать, как введение в предмет, а не его исчерпывающее описание. В частности, здесь не обсуждаются специально наблюдаемые особенности метеорологических и океанологических явлений, хотя знакомство с реальными фактами и необходимо для правильной формулировки новых гид-

родинамических теорий. Правда,叩емя от времени наше изложение будет касаться описания отдельных явлений с целью объяснить выбор того или иного направления исследования.

Формулируемые принципы основаны главным образом на теоретических представлениях, которые призваны помочь нам понять явления, происходящие в природе. Такие принципы наиболее естественно формулируются в результате изучения модельных задач, целью которого является скорее получение общих качественных закономерностей, чем детальное моделирование конкретного геофизического явления. Геофизическая гидродинамика исторически развивалась по пути последовательного изучения постепенно усложняющихся моделей, при котором каждый последующий этап исследования основывался на интуитивных соображениях, возникающих в результате предшествующего строгого анализа более простых моделей.

Число Россби

Термин "большой масштаб** требует более точного определения. Явления с характерным масштабом, равным пятидесяти километрам, могут считаться мелкомасштабными в случае атмосферы, тогда как движения точно такого же масштаба в океане вполне могли бы рассматриваться как крупномасштабные. Будет ли данное явление рассматри* ваться как крупномасштабное, зависит не только от его характерного масштаба, но и от его динамики.

В этом руководстве крупномасштабными считаются такие движения, на которые существенно влияет вращение Земли. Важной мерой влияния вращения является число Россби, определяемое нами следующим образом. Пусть L есть характерный пространственный масштаб движения.На рис. 1.2.1, например, показана типичная картина волновых возмущений, наблюденных в поле давления в тропосфере. В качестве подходящего пространственного масштаба движения, характеризующего горизонтальные изменения динамических полей, можно выбрать расстояние между максимумом давления и ближайшей ложбиной. Аналогично обозначим через U характерный масштаб горизонтальной скорости движения. Для ситуации, изображенной на рис. 1.2.1, мааитаб L имеет порядок 0(1000 км), а масштаб U - порядок 0(20 м/с) ♦).

Символ (О) будет использоваться здесь в двух совершенно различных смыслах. Утверждение, что функции /(#)и д(н)удовлетворяют соот- нош«энию /(#)= O(g(#)) (в некотором пределе), означает, что /(#)〃(<) ст吃 мится в втом пределе к постоянной величине. Однако символ-0 будет также

Рис. 7.2.7 а. Изолинии постоянного давления (изобары) на уровне, примерно делящем атмосферу на две части одинаковой массы. Изобары очень близки к линиям тока течения (Пальмен и Ньютон, 1969).

Время, требующееся для перемещения на расстояние L жидкой частицы, движущейся со скоростью V, равно L/U. Если этот промер ток времени существенно меньше периода вращашя Земли, то жид-

означать, что значение переменной величины, в нашем случае U, примерно равно величине, стоящей в скобках за этим символом. При этом не подразумеваются какие-либо предельные переходы или приближенные оценки. Из контекста всегда будет ясно, в каком из этих двух смыслов употребляется символ О.

“6 ТО

•2。

• 5。

加。

•200

•^00

•500 * 700 L 1000

июль

НО

Но

曲%a60。

Рис. 7.2.7 б. Полеречное сечение зонального еетра (т.в, дующего вдоль кругов широты)# показываю*

20” 5。

■100

•20。

ю -300 ^500 ■ 700

с L то

6

8

~м^кий максимум- рмт переносу

щее распределение скорости еетра (один узел —50 см/с) (Пальмен и Ньютон, 1969, ло Кочански, 1955).

кость едва ли сможет испытать влияние вращения Земли в течение времени UU. Таким образом, можно предположить, что вращение станет существенным при условии

丄＞ О」

(121)

или, что эквивалентно,

2QL '

(122)

Безразмерный параметр е называется числом РоссбиК Крупномасштабные движения определяются как движения с достаточно большим L, при котором е порядка или меньше единицы» Для Земли Q = 7・3 ・ 10-5С-1, поэтому при принятых выше значениях L и U параметр е = 0,137, и мы можем ожидать, что вращение Земли в данном случае окажется существенным.

Подобные оценки часто должны уточняться. Мы увидим, например, что для движений планетарного масштаба в е на самом деле входит только перпендикулярная земной поверхности компонента угловой скорости вращения Земли. Поэтому применение формулы (1.2,2) может привести к сильному занижению числа Россби для явлений, происходящих в низких широтах. Такие уточнения и ограничения будут указаны позднее.

Заметим, что меньшему горизонтальному масштабу L может соответствовать меньшая характерная скорость, так что соответствующее течение. по-прежнему останется крупномасштабным. Скорости в Гольфстриме равны по порядку 100 см/с. Поскольку, согласно рис, 122, характерный горизонтальный масштаб Гольфстрима имеет порядок О (100 км), соответствующее число Россби равно 0,07. Хотя с использованием локальной нормальной компоненты угловой скорости вращения Земли на широте 30° эта величина и удвоится, такие течения, очевидно, удовлетворяют критерию крупномасштабности движения.

Приведенные выше соображения носят исключительно кинематический характер. Тем не менее даже условие умеренной малости числа Россби приводит к важному динамическому следствию, поскольку малость £ означает, что скорость крупномасштабного движения мала по сравнению со скоростью, создаваемой твердотельным вращением Земли. В первом приближении, та с точностью порядка О(е), атмосфера и океаны вращаются вместе с планетой, подвергаясь малым, но весьма важным возмущениям, которые мы, также вращающиеся вместе с Землей, и называем ветрами и течениями» Поскольку интересующие нас движения представляют собой малые отклонения от твердотельного вращения, при описании таких движений полезно перейти к вращающейся системе координат, кинематически уничтожающей твердотельное вращение. Итак, в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Q, будут наблюдаться только малые отклонения от твердотель-

-.0---- htWH ^£SI3ES KTm + a7b。 ллг—zy □

SCST^VS 3% |л§&92 Beoc^wc WJ較卜

§£

WMSv *woobo-qdbu/Md^

Рис, 1.2.2 a - путь Гопьфстримав построенный по наблюдениям течений на поверхности океана, и 6 — вертикальное сечение поперек Гольфстрима, показывающее характер распределения скорости течения (Фуглистер, 1963).

2-II7

ного вращенияв Так как такая вращающаяся система отсчета не является инерциальной, на жидкость будут действовать хорошо известные псилы инерции", те центробежная сила и важная, более сложной природы,сил а Кориолиса, Мы увидим, что при малом числе Россби сила Кориолиса является одной из самых главных в общем балансе сил。В силу этого геофизически значимые теории крупномасштабных движений в океане и атмосфере должны учитывать силу Кориолиса, что делает возможным существование множества тонких и красивых динамических явлений,

Плотностная стратификация

Неравномерный приток солнечного тепла создает в земной атмосфере и океанах значительные изменения плотности. Этот приток тепла, если не учитывать приливообразующую силу Луны, является единственной причиной всех движений в атмосфере и океане. Важное свойство наблюдаемой стратификации состоит в том, что, будучи ос- редненной по достаточно большому масштабу,она почти всегда оказывается гравитационно устойчивой в том смысле, что более тяжелая жидкость находится под более легкой. Ча рис。L3 J изображен типичный вертикальный профиль плотности в океанев Видно, что, за исключением относительно тонкого однородного слоя у поверхности, в котором вода непрерывно перемешивается под действием ветра, плотность увеличивается с глубинойв На рис, L3.2 показан аналогичный профиль плотности для атмосферы. Из-за сжимаемости воздуха уменьшения плотности с высотой еще недостаточно для гравитационной устойчи-

Р и с. 7.3.7. Типичное распределение плотности с глубиной в океане. Отметим существование узкой области изменения плотности, называемой пикноклином и имеющей толщину, равную примерно 1 км.

Рис. 7.3.2. Распределение плотности с высотой в атмосфере (стандартная атмосфера, NASA, 1962).Рис. 7.3.2. Распределение плотности с высотой в атмосфере (стандартная атмосфера, NASA, 1962).

Рис. 7.3.2. Распределение плотности с высотой в атмосфере (стандартная атмосфера, NASA, 1962).

Рис. 7.3.2. Распределение плотности с высотой в атмосфере (стандартная атмосфера, NASA, 1962).

бости атмосферы, и позже мы обсудим, как ввести необходимое здесь уточнение. Тем не менее плотность в атмосфере уменьшается достаточно быстро, чтобы обеспечить гравитационную устойчивость. Важное следствие устойчивости стратификации состоит в том, что движение, параллельное локальному направлению силы тяжести, подавляется, и это приводит к тому, что крупномасштабные течения оказываются приблизительно горизонтальными。Из дальнейшего будет видно, что из-за вращения Земли между структурой плотности и полем скорости имеется непосредственная и тесная связь.

gW砲2gW砲2(131)(131)Полезная мера эффекта стратификации дается числом Бургера,

gW砲2

gW砲2

(131)

(131)

S =

где Др/р — характерное относительное изменение плотности на вер* калъном масштабе движения D, a g - ускорение силы тяжести» Параметр S может быть также записан в виде отношения двух масштабов длины

где величина.

называется радиусом деформации Россби, Таким образом, параметр S зависит от отношения радиуса деформации к геометрическому масштабу L, но не зависит от масштаба скорости U.

Как и в случае числа Россби, число Бургера на самом деле должно записываться через локальную нормальную компоненту угловой скорости вращения Земли, откуда следует, что в низких широтах при условии неизменности других факторов S будет увеличиваться по сравнению с умеренными широтами.

Другим важным свойством крупномасштабных геофизических движений, связанным с устойчивой стратификацией поля плотности, является несоразмерность горизонтального и вертикального масштабов движения. Глубина океана редко превосходит 6 км, а вертикальный масштаб основных течений обычно намного меньше. В то же время горизонтальный масштаб равен сотням и даже тысячам километров. Аналогично основные атмосферные явления, такие, как круп* номасштабные волны, показанные на рис. 1.2.1, имеют характерный вертикальный масштаб порядка десяти километров, в то время как L равно О (1000 км).

В общем случае крупномасштабные геофизические движения происходят в очень тонком слое жидкости, и при условии большого горизонтального масштаба движения это геометрическое ограничение приводит к тому, что траектории жидких частиц в таких движениях очень слабо отклоняются от горизонтальных поверхностей. Другими словами, отношение

6(1・3・4)

является обычно очень малой величиной.

Уравнения движения в невращаюи|ейся системе координат

В основе геофизической гидродинамики лежит предположение о применимости уравнений движения непрерывной среды для изучения атмосферных и океанских движений. При описании движения обычно используются такие динамические переменные, как плотность р, давление р, вектор скорости и, а также дополнительные термодинамические переменные: температура Т, внутренняя энергия на единицу

массы % удельная энтропия s・ В некоторых случаях в зависимости от физической лрироды жидкости могут потребоваться дополнительные переменные, например соленость. В случаях же, когда можно утфостить термодинамические уравнения состояния, без некоторых термодинамических переменных можно обойтись. Мы ограничимся эй- леровским описанием движения, при котором динамические переменные рассматриваются как функции времени £ и вектора положения г.

В этом разделе мы сформулируем уравнения движения в инерциальной, или невращающейся, системе отсчетав Их вывод можно найти в любом элементарном учебнике по гидродинамике.

Если в жидкой среде отсутствуют источники и стоки массы, то условие сохранения массы записывается в виде уравнены неразрывност

2匕 + V - ри « 0.(1.4.1)

dt

Уравнение неразрывности означает, что скорость локальных изменений плотности балансируется дивергенцией потока массы ри. Уравнение (1.4.1) можно представить в другой форме:

生 + pV・ и =0,(1.4.2)

где

есть полная производная по времени (часто называемая индивидуальной), характеризующая изменение параметра движущейся жидкой частицы.

Второй закон Ньютона для непрерывной среды имеет вид

р 三一VP+pV<p+¥(и),(1.4.4)

dt

(1.4.5)(1.4.5)т.е. произведение массы единицы объема на ускорение равно сумме градиента давления, массовой силы pV(p и силы У, где ф - потенциал, которым описываются консервативные массовые силы (например, сила тяжести). Сила У — в принципе любая неконсервативная сила, однако во всех случаях, которые будут дальше рассматриваться, она представляет собой силу трения в жидкости. Для ньютоновых жидкостей, таких, как вода и воздух,

(1.4.5)

(1.4.5)

5 = uV2u +gv(V •⑴,

где и - коэффициент молекулярной вязкости. Формула (1.4.5) для 5 справедлива, когда коэффициент % являющийся, вообще говоря, функцией термодинамических параметров, считается постоянным в поле движения. Для наших целей это приближение вполне приемлемо.

Особенно спорным является вопрос о том, насколько это представление для У справедливо, если параметры состояния должны описывать только крупномасштабные движения. Уже из самого вида уравнений (1.4Л) и (1.4.4) ясно, что уравнения движения квадратично нелинейнц т.е. содержат произведения динамических переменных. Это означает, что в принципе невозможна простая суперпозиция решений уравнений, иными словами, движения одного пространственного масштаба взаимодействуют с движениями других масштабов. Таким образом, априори существует возможность того, что мелкомасштабные движения, которые не являются предметом нашего исследования, могут тем не менее влиять на крупномасштабные движения. Однако распространенное, но не слишком точное мнение состоит в том, что мелкомасштабные движения, которые спорадически возникают на больших временных масштабах, сглаживают и перемешивают характеристики более крупномасштабных движений при помощи процессов, аналогичных молекулярным диффузионным переносам. Дальнейшее обсуждение этой точки зрения переносится в гл・ 4, но, принимая во внимание возможные в дальнейшем изменения представления для силы 乎,мы будем рассматривать уравнение (1.4.4) в качестве основного уравнения движения, считая представление (1.4.5) одной из моделей силы трения (которая, конечно, точна для лабораторных экспериментов).

Если не считать плотность постоянной (для многих интересных явлений эта идеализация вполне приемлема), то уравнения для импульса и уравнение неразрывности представляют собой незамкнутую систему уравнений. Необходимо поэтому рассматривать первый закон термодинамики; он может быть записан как

(1.4.6)(1.4.6)рК = _рр£р-1 + Арт + х +pQ, dt

(1.4.6)

(1.4.6)

где е - внутренняя энергия единицы массы, Т - температура, А - коэффициент теплопроводности, Q - скорость притока тепла от внешних источников на единицу массы, х 一 приток тепла из-за вязкой диссипации. Во всех обсуждаемых далее случаях изменения внутренней энер-

гии из-за диссипации очень малы и этим членом в (1・4・6> мы будем пренебрегать. Существуют нэкоторые явления, например медленная циркуляция земной мантии, где величина х может быть существенной, но таких проблем в этой книге мы не будем касаться.

Далее удобно ввести термодинамическую функцию состояния s - удельную энтропию. Энтропия связана с другими функциями состояния соотношением

TAs = Де рД

где △§ Ас и 厶(丄-)-произвольные приращения величин «я е и L РР

В частности, 7生=迫+?0上，34.8)

dt dt dt P-

так что уравнение (1.4.6) может быть переписано в виде

т^£ =±v2t + q .(1.4.9)

dt р

Для замыкания системы уравнений необходимы дополнительные термодинамические соотношения, отражающие физическую природу жидкости. В простейшем случае, как, например, для сухого воздуха или чистой воды, они имеют форму

р = р(Р,Т)(L4J0)

И $ =“％Т)(1411)

Принимая во внимание (1ЛЛ1), мы можем переписать (1.4.9) в форме

где используется определение удельной теплоемкости при постоянном давлении

Используя далее термодинамическое соотношение1

篇)(飘,mm

(1.4.14)(1.4.14)перепишем (1.4.12) в следующем виде: с 旦-Za也=±MT + Q, p dt p 或 P

(1.4.14)

(1.4.14)

где a — коэффициент термического расширения* определяемый coot* ношением

(1ЛЛ5)

Например, уравнение состояния сухого воздуха для атмосферы хорошо описывается уравнением идеального газа

(1.4.16)

где R - газовая постоянная для сухого воздуха. Удельная энтропия для такого идеального газа может быть представлена как

s flnT 一 /?йф・(1.4.17)

Коэффициент а в этом случае равен a = 1/Т, и (1,4.14) принимает вид

(1.4.19)(1.4.19)Величина

(1.4.19)

(1.4.19)

где % — постоянное отсчетное давление, называется потенциальной тем

пературой, Заметим, что в отсутствие теплопроводности и внутреннего притока тепла величина в остается постоянной для каждой жидкой частицы. Для чистой воды, в которой эффекты сжимаемости незначительны, часто применимо простое уравнение состояния

Р = Р°(1 -«-"))・(1.4.20)

В случае воды вторым членом в левой части уравнения (1.4.14) также пренебрегают, и уравнение притока тепла или первый закон термодинамики принимает вид

=kV2T + -^ ,(1.4.21)

/ ер

где к - ^4>С 一 коэффициент температуропроводности. С учетом 8№ ношения (1.4.20) в уравнении (1.4.21) температуру можно заменить плотностью

空…2р_也Q.(1・4・22)

dtср

Важно подчеркнуть, что уравнения (1.4.2) и (1.4.22) представляют собой два совершенно разных физических закона: первое уравнение выражает заксж сохранения массы, второе в случае жидкости пр% ближенно выражает закон сохранения энергии.

Для несжимаемой и близких к ней по свойствам жидкостей изменения плотности настолько незначительны, что оказывают пренебрежимо малое влияние на баланс массы, так что уравнение (1.4.2) приближенно может быть записано как

V • и - 0.(1.4.23)

Это не означает, что dp/dt равно нулю. В действительности dp/dt определяется уравнением (1・4・22) и обращается в нуль только в отсутствие теплопроводности и внутренних притоков тепла, т,е, для адиабатического движения. Применимость (1,4.23) в каждом конкретном случае должна быть исследована при помощи анализа порядков отдельных членов уравнения, и мы Ъернемся к этому вопросу в гл. 6, а пока мы можем считать (1.4.23) определением несжимаемости.

Для более сложных жидкостей, таких, как морская вода, где концентрация соли, или соленость, влияет на величину плотности, простое выражение (1.4.20) должно быть заменено более сложным соотношением между плотностью, соленостью, температурой и давлением. Подходящей аппроксимацией является следующая (Брайен и Кокс, 1972):

Р 匸 Р°(1 - 叮(丁 - 7。)+ % (S - So)),(1Л.24)

где S - соленость (грамм/килограмм) воды, а ат и а5 - определяемые эмпирически функции глубины. В таких случаях нам необходимо некоторое дополнительное уравнение, выражающее баланс солености, вида

學-=F(S) ,(1.4.25)

где F(S) описывает источники, стоки и диффузию солености

1 ・5・ Вращающаяся система координат

Мы отмечали ранее, что для описания атмосферных и океанских движений наиболее естественной является вращающаяся с угловой скоростью С система координат (С — угловая скорость вращения Земли). Конечно, сами явления не зависят от выбора системы отсчета, но мы должны иметь в виду, что описание явления зависит от такого выбора. Для наблюдателя во вращающейся системе отсчета предметы, неподвижные в инерциальной системе, будут казаться вращающимися и из-за кривизны их видимых траекторий ускоряющимися. Эта неопределенность разрешается, если вспомнить, что закон движения Ньютона в форме (1.4.4) справедлив только в инерциальной системе отсчета. Мы должны теперь найти надлежащим образом измененную форму уравнений движения, содержащую только величину, непосредственно наблюдаемые во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим сначала вектор А, который имеет постоянную величину и вращается с угловой скоростью С (рис. 1.5.1). Пусть угол меж* ду А и С равен у。За малое время At вектор А повернется на угол ДО = |Qj At, где |q I - величина угловой скорости. Из рис。1.5N очевидно, что малое изменение А равно

A (t + △/) — A(t) =ДА = п| А| sinуЛО + О((Д6)2),(L5.1)

где п - единичный вектор в направлении изменения А； который должен быть перпендикулярным А (так как длина А фиксирована), а также вектору с (по определению вращения). Таким образом,

=}А|вЕу 塞齢I ' dt |axA|=}А|вЕу 塞齢I ' dt |axA|(1.5.2)(1.5.3)(1.5.2)(1.5.3)Q хА

=}А|вЕу 塞齢

I ' dt |axA|

=}А|вЕу 塞齢

I ' dt |axA|

(1.5.2)

(1.5.3)

(1.5.2)

(1.5.3)

[СхА|

В пределе при Дг-> О, г ДА dA lim =

△t->0 At

Рис. Т.5.2. Вектор А в моменты времени t и t+At и его бесконечно малье приращение.

но так как

I СхА| = I Д I [ А| sin у,

(1.5.4)(1.5.4)то окончательно для вектора К фиксированной величины имеем фор

(1.5.4)

(1.5.4)

мулу

dAITdAIT=Q х А •=Q х А •(1.5.5)

dA

IT

dA

IT

=Q х А •

=Q х А •

Наблюдатель, находящийся во вращающейся системе отсчета не увидел бы изменений А, тогда как наблюдатель в невращающейся системе увидел бы изменения А такими, как они даются (1,5,5). Оба наблюдателя видели бы один и тот же вектор А, так как по определению А не зависит от выбора координатной системы, используемой для его описания. Тем не менее их восприятия скорости изменения А значительно различаются. Заметим, однако, что так как

^1L =2А. — =2А. (ЯхА) = 0,(1.5.6)

dt乙

то для обоих наблюдателей величина А не изменяется со временем.

Рассмотрим теперь произвольный вектор В и систему координат, вращающуюся с угловой скоростью fi (рис. 1.5.3). Для простоты пусть система координат будет декартовой с единичными векторами i〔, i? и i3. Вектор В в этой вращающейся системе может быть представлен как

В 二 S111 + В2*2 + ®з*з *(1.5.7)

где

4 = i,・ В,, = I, 2, 3・

(1.5.8)

Рис. 7.5.3. Прямоугольная система координат с базисными векторами

i р i2, i3 и вектор В. Координатная система вращается вокруг указанной оси с угловой скоростью С.

Скорость изменения вектора В со временем для наблюдателя, неподвижного во вращающейся системе отсчета, есть просто

dt R dt ' dt 2 dt 3dt R dt ' dt 2 dt 3(1.5.9)(1.5.9)

dt R dt ' dt 2 dt 3

dt R dt ' dt 2 dt 3

(1.5.9)

(1.5.9)

так как единичные векторы в этой системе постоянны по величине & направлению (индекс R в формуле (1.5.9) будет напоминать нам, что она справедлива для вращающегося наблюдателя), С другой стороны, для невращающегося наблюдателя и компоненты вектора В, и единичные векторы меняются со временем. Скорости изменения скалярных

компоненткомпонент唠)-唠)-В〔，％, 53одинаковы для обоих наблюдателей, так что

компонент

компонент

唠)-

唠)-

dB[n "‘I 口 "J di3

dt 1 dt 2 dt 31 dt 2 dt 乙'

(1.5.Ю)

где индекс I означает скорость изменения для наблюдателя в невра- щающейся, инерциальной системе отсчета. Применение (1.5.5) к каждому из трех единичных векторов дает

di〔di?di3・

В〔 —， + В? — + jBo —— = В〔С х I^ + В? С X I? + В^С X 'з= dtdtdt

=Qx(B1i1 + B2i2 + В£)=С xB,(L5.ll)

(1.5.12)(1.5.12)так что (1.5.10) принимает вид

(1.5.12)

(1.5.12)

—)/ =(—)й + ОхВ

Таким образом, скорость изменения со временем одного и того же вектора В воспринимается различно в невращающейся и вращающейся сисгалах отсчета. Для тсго чтобы 1фавилыю описать скорость изм^шия В в инерциальной, невращающейся системе отсчета, надо к скорости изменения, наблюдаемой во вращающейся системе отсчета, добавить член 2хВ. Заметим, что для наблюдателей в обеих системах отсчета скорость изменения со временем вектора £2 будет одна и та же, так как векторное произведение СхС тождественно равно нулю; таким образом, формула (1.5.12) применима и в тех случаях, когда вектор С меняет свою величину и направление*

Уравнения движения во враи|аюи|ейся системе отсчета

Пусть г - радиус-вектор произвольной жидкой частицы. Согласно формуле (1・5・12), имеем

(—-)/ =(¥)/?+ Схг,(1.6Л)

так что скорость, наблюдаемая в невращающейся системе отсчета, U/ равна (жорости, котсфую видит наблюдатель во вращ^ацейся системе, плюс скорость Дхг, сообщаемая жидкой частице при ее вращении вместе с системой отсчета. Мы можем записать это следующим образом:

uf = uR+ Qxr,(1・6・2)

где Ur называется относительной скоростью. Далее в соответствии с за- к(жом двиитш Ныотона сумма сил, тфиложенных к единице масоц жидкости, равна уск(^)ению в инерциальной системе отсчета, т,е. скорости изменения со временем и, в инерциальной системе отсчета. Применяя (L5.12). к и;, получимм

Наша цель, однако, состоит в том, чтобы описать движение, используя лишь величины, наблюдаемые во вргицающейся системе отсчета. Имея это в виду, перепишем (1・6・3), исключив из неро и^ при помощи (1,6J), Тогда получим

北7 diiR de乙

^"T^h ±( 77")R +-j— x r + a x( J7)r + Cx(Ur +Cxr)=

=()R + 2cx Ur + Q X (a x r) + -~— x r . (1.6.4)

Разность между ускорениями,наблюдаемыми в невращающейся и вращающейся системах отсчета, равна сумме трех членов в правой части выражения (1・6・4)・ Это ускорение Кориолиса 2cx u^, центростремительное ускорение и ускорение, обусловленное изменениями самой скорости вращения.

Последнее из этих слагаемых для большинства океанских и атмосферных 5Шлений можно не учитывать, за исключением тех явлений, чьи временные масштабы чрезвычайно велики. Для наших целей С можно считать постоянной. Центростремительное ускорение может быть выражено чер»эз вектор 上 перпендикулярный оси вращения и напреш- ленный от нее к жидкой частице (рис. 1,6,1). Так как

a х т = С х L

мы имеем

Ох (Яхг5 = - I Я |2rif(1.6.5)

где использовалась формула для тройного векторного произведения

А х (В х С) = (А ・ С)В - (А • В)С .

Отсюда следует, что для центростремительного ускорения может быть введена потенциальная функция % ,

Q х (Qx г) = ' V(pc , где

ф 二 ICE"止=1Сх「『(1.6.6)

°22

Это позволяет нам в соответствии с принципом Даламбера рассматри-

вать вместо центростремительного ускорения некоторую добавочную, отнесенную к единице массы силу с противоположным ускорению (1.6.5) знаком. Эта сила инерции (центробежная сила) имеет потенциалов силу чего под потенциалом вилы в уравнении (1ЛЛ) можно понимать полный потенциал силы

①=中+ % .

Перейдем теперь к ускорению Кориолиса 2Q х и^. Это единственный новый член, явно зависящий от скорости жидкости и приводящий тем самым к изменению структуры уравнений для импульса в равномерно вращающейся системе отсчета; заметим, что учет центробежной силы меняет лишь потенциал внешней силы.

Поскольку пространственные градиенты воспринимаются одинаково во вращающейся и невращающейся системах отсчета, для наблю^ дтелл 6 равномерно вращающейся системе отсчета уравнение для импульса (1.4.4) имеет вид

р[ + 2q х u] = — Vp + р^Ф + 罗，(L6・7j

dt

где u - скорость, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета. Хотя р, ф и их пространственные производные не будут, очевидно, зависеть от системы отсчета, инвариантность формы 3r при переходе от одной системы отсчета к другой имеет место не при любом виде зависимости Уот поля скорости. Для ньютоновой жидкости, для которой справедливо выражение (1,4.5), легко показать, что

貝Ui) = 3(Ur).(1.6.8)

Так как далее движение жидкости будет рассматриваться только во вращающейся системе отсчета, то если специально не оговорено обратное, все динамические переменные будут измеряться во вращающейся системе отсчета.

Если ускорение Кориолиса перенести в правую часть уравнения (1.6.7), оно будет казаться наблюдателю во вращающейся системе отсчета некоторой добавочной силой. Это и есть сила Кориолиса, которая всегда перпендикулярна скорости и, следовательно, не производит работу. Наблюдателю, вращающемуся со скоростью С, представляется, что сила Кориолиса -2а* и стремится отклонить жидкую частицу вправо (рис. 1・6・2)・

Рис. 7,6.2. Соотношение между и. Си отнесенной к единице массы силой Кориолиса -2Сх%

Важно отметить, что полная скорость изменения со временем любой скалярной величины, такой, например, как температура, одна и та же в невращающейся и вращающейся системах отсчета. Таким образом, уравнение сохранения массы (1.4,2) и все термодинамические соотношения от (1,4,6) до (1.4.25) не зависят от выбора системы отсчета и, следовательно, могут непосредственно применяться для описания движения во вращающейся системе координат.

Необходимо подчеркнуть, что хотя полная производная скалярной величины одна и та же в обеих системах отсчета, отдельные ее компоненты не инвариантны, В частности, для любой скалярной величины Р легко показать, что

(也)=(")-(ахг>. ”巴(1.6.9)

dt dt а

^J • VP= (Ur 4- Q X r) • ve(1.6.10)

откуда легко видеть, что

(穿=<4Ч・об”)

dt dt г

Ускорение Кориолиса и число Россби

Сумма сил в правой части уравнения для импульса (167) должна равняться сумме относительного ускорения во вращающейся системе

отсчета и ускорения Кориолиса, умноженных на плотность. Характер этого результирующего ускорения зависит от относительных величин каждого из его слагаемых. Рассмотрев величину отношения обоих ускорений, мы можем дать предварительную оценку важности ускорения Кориолиса, Для этой цели запишем порядок величин каждого из ускорений через характерные масштабы скорости и длины U и L,

Ускорение Кориолиса можно оценить следующим образом:

2Cxu = O(2QU),(1・7・1)

а относительное ускорение

—=0( —(1.7.2) dt 厶'

где в последнем выражении предполагается, что du/dt имеет тот же порадок, что и u - Vu.

Ускорение Кориолиса не зависит от геометрического масштаба и линейно зависит от скорости U・ Величина относительного ускорения уменьшается с увеличением масштаба длины и квадратично зависит от (/• Отношение опюсительного ускорения к ускорению Кориолиса равно числу Россби

(1.7.3) 纹七

Мы упоминали уже в (1.3), что число Россби е мало для крупномасштабных течений. Теперь очевидно, что для таких течений действующие силы создают в основном ускорение Кориолиса. Ускорение, естественно, должно совпадать по направлению с результирующей силой, так что относительная скорость, необходимая для создания ускорения Ко-

2Я хТГ ускорение Кориолиса

О. и относительная

скорость

F приложенная м，а

Рис. т.7.7. Соотношение между силой и скоростью в случае, когда преобладает ускорение Кориолиса.

риолиса, должна быть направлена вправо от приложенной силы, как и показано на рис. 1.7.1. Ускорение Кориолиса преобладает над относительным ускорением для крупномасштабных течений не потому, что оно оказывается большим, а потому, что когда масштаб движения становится большим, слишком ничтожными становятся относительные ускорения. Вспоминая обсуждение кинематики в разд. 1.3, заключаем, что когда временной масштаб движения превышает период вращения Земли, ускорение Кориолиса играет большую, чем относительное ускорение, роль. Гироскопическая тенденция жидких частиц двигаться под прямым углом по отношению к приложенной силе и определяет, по существу, основную особенность геофизической гидродинамики.

Основы

2 .1. Вихрь

В принципе точное решение основных уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями дает всю требуемую информацию относительно любой конкретной проблемы. Однако уравнения движения настолько сложны, что точные решения могут быть найдены лишь в редких случаях, а любой метод построения приближенных решений требует прежде всего понимания общих физических принципов, которым используемые приближения не должны противоречить.

Существует несколько основных положений о движении жидкости# являющихся достаточно общими и полезными и в случае анализа геофизических явлений. Эти положения очень важны, ибо обращают наше внимание на некоторые фундаментальные динамические механизмы» которые часто оказываются замаскированными при изучении конкретных проблем. Важно иметь в виду, что рассматриваемые ниже положения или теоремы являются просто следствиями основных дифференциальных уравнений, справедливыми при выполнении ряда условий, налагаемых на характер движения. Естественно, чем обоснованнее будет априорная гипотеза, тем более сильными будут полученные следствия*

Из производных динамических характеристик особенно важную роль для геофизической гидродинамики играет вектор вихря з, определяемый как ротор поля скорости, т.е.

(2.1.1)(2.1.1)w = V х и«

(2.1.1)

(2.1.1)

В декартовой системе отсчета с координатами (х, у, z) и компонентами скорости и, V, w(pnc. 2.1.1), согласно определению (2.1.1), компоненты вихря имеют следующий вид:

(2.1.2а)(2.1.2а)dw д V 叱 ду дг

(2.1.2а)

(2.1.2а)

3 =У dz3 =У dzdw д хdw д х(2.1*26)(2.1*26)

3 =

У dz

3 =

У dz

dw д х

dw д х

(2.1*26)

(2.1*26)

Рис. 2.7.7. Вихрь в течении со сдвигом.Рис. 2.7.7. Вихрь в течении со сдвигом.dvdvдиди(2.1.2в)(2.1.2в)

Рис. 2.7.7. Вихрь в течении со сдвигом.

Рис. 2.7.7. Вихрь в течении со сдвигом.

dv

dv

ди

ди

(2.1.2в)

(2.1.2в)

Например, указанное на рис. 2.1 J поле скорости с единственной отличной от нуля компонентой скорости v(x) дает вектор вихря, направлен» ный по оси z и имеющий величину dv/dx. Для жидкости, которая вращается как твердое тело с угловой скоростью а。，

(2.1.3)(2.1.3)(2.1.4)(2.1.4)u = Qo х г, а вихрь равен

(2.1.3)

(2.1.3)

(2.1.4)

(2.1.4)

3= 2Q0,

т・е・ просто удвоенной угловой скорости вращения. Р асп рост ранение этого результата на общий случай следует из теоремы Стокса, а имен。 но

(2.1.5)(2.1.5)「厶з・nd4 .fc11・而,

(2.1.5)

(2.1.5)

где интеграл в левой части берется по поверхности А, охватываемой контуром С, п - нормаль к этой поверхности (см. рис. 2.1.2). Используя теорему о среднем, для малого элемента поверхности 64 мы мо жем записать

Рис, 2。九2, Контур, используемый для вывода соотношения между угловой скоростью вращения и вихрем.

где з冷-средний вектор вихря, перпендикулярный к элементарной площадке 64, Ис - средняя касательная скорость на контуре С, имеющем длину / • Если 64 - малый круг радиуса г0> то

так что средний вихрь 3忆 просто равен удвоенной угловой скорости Ис /г0. Важно отметить» что» для того чтобы движение жидкости имело завихренность, совсем не обязательно наличие искривленных траекторий; однонаправленное сдвиговое течение на рис. 2.1.1 является тому иллюстрацией. Вихрь, наблюдаемый в инерциальной, невраща* ющейся системе отсчета, называется абсолютным вихрем wfl и опре» деляется просто как ротор поля скорости, наблюдаемой в невращающей» ся системе отсчета» т.е.

з。= Vx{u+axr}=3+ 2d(2.1.8)

где з- относительный вихръ, т.е. вихрь относительной скорости. Таким образом, абсолютный вихрь любой жидкой частицы представляет собой сумму планетарного вихря 2й и относительного вихря з・ Относительная величина каждого из них может быть предварительно оцене» на следующим образом. Компонента планетарного вихря, перпендикулярная поверхности Земли, равна параметру Кориолиса

f ・ 2Q8in8,(2J.9)

где 6 - широта, на которой находится жидкая частица. Соответствующая оценка вертикальной компоненты относительного вихря дается ха» рактерной величиной скорости, касательной к земной поверхности (горизонтальной скорости), деленной на L, т・е・

Зв = О(Т■卜(2.1.10)

а отношение3rlкf равно

з内U ие

=f^=「一» — ROf(2.1.11)

ffL2otslnesinO0

где Ro определяется как локальное число Россби^ Вне экваториальной зоны sin 8 “0(1), так что для течений с малыми числами Россби относительный вихръ мал по сравнению с планетарным. Непосредственное следствие этого факта состоит в том, что крупномасштабные течения почти никогда не бывают безвихревыми и их завихренность в основном определяется планетщ)ным вихрем.

Так как вихрь определяется как ротор поля скорости, очевидно, д・з= v・(g х и) = 0,(2ЛЛ2а)

V・3a=g・(V х и/ ) = О,(2.L126)

так что вектор вихря бездивергентен. Вихревой линией или вихревой нитью называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором вихря, как показано на рис. 2.1.З. Вихревые нити, соответствующие планетщ)ному вихрю, являются прямыми линиями, параллельными оси вращения. Вихревые нити, связанные с абсолютным течением, отклоняются от этого однородного поля в зависимости от интенсивности относительного движения.

Вихревая трубка (рис. 2.1.4) ограничена поверхностью, состоящей из вихревых нитей, проходящих через замкнутый контур С・ Так как нити изменяют свою ориентацию при переходе от одной точки к другой.

Ри с0 2・7°3・ Вихревая нить.

сечения трубки плоскостями, перпендикулярными оси трубки, будут отличаться друг от друга. Однако по определению во всех точках поверхности трубки вектор вихря не может проникать сквозь поверхность трубки. Далее из того» что wQ бездивергентен, следует, что для произвольного объема Р

ЯГг7 • MarfR = 0.(2.1.13)

Рассмотрим объем интегрирования, представляющий собой часть вихревой трубки, рассеченной по С и С* плоскостями с площадями сечений

4 и 4’ соответственно,как показано на рис. 2.1.5. По теореме о дивергенции

fffpV • wo dv = /Т4 3a • n，4,(2.1.14)

где n - внешняя нормаль поверхности, ограничивающей объем. Так как з«・п равно нулю на цилиндрической поверхности, составленной из вихревых нитей, то из (2.1.13) и (2.L14) следует, что

О = JT/wa n，4 + 3a • (—n^ * )dAt(2J.15)

где - n^ * - внешняя нормаль к поверхности 4； или

/f wa • n^ dA = // wo • n^ r dA •(2.1.16)

4A9

Заметим, что n^ и n .y одинаково ориентированы по отношению к оси

Рис. 2,7.5, Вихрввая трубка, рассеченная двумя плоскостям, с площадям! сечений Л и Л \ используемая для расчета потока вихря через каждую из площадок.

трубки. Определим интенсивность трубки абсолютного вихря, или поток вихря, как

「《 = ffwa • ：n dA^(2.1.17)

Тогда из (2.L16) в силу указанных чисто кинематических рассмотрений следует» что интенсивность вихревой трубки постоянна вдоль ее длины. Следовательно, трубки абсолютного вихря и нити» из которых они состоят, не могут оканчиваться внутри жидкости. Нити относительного вихря определяют трубки относительного вихря, а изложенные соображения» которые также применимы и к бездивергентному вектору з, показывают» что интенсивность трубок относительного вихря также постоянна вдоль их длины и что нити относительного вихря также должны пронизывать жидкость и оканчиваться только на поверхностях» ограничивающих жидкость» или замыкаться сами на себя.

Поток абсолютного вихря Го сквозь поверхность 4 связан с потоком относительного вихря г соотношением

，=П*За • ndA = ffw• псИ + ff 2Й • ndA = Г + П*2c・ п，4・ Лллл

(2.1.18) Так как вектор С постоянен в пространстве, то

Ри с. 2・7.б・ 4几—проекция площадки Л на плоскость перпендикулярную £2.

где 4冷一площадь проекции 4 на плоскость, перпендикулярную С, как показано на рис* 2.1.6. Если рассматривать поле планетарного вихря как однородное поле прямых вихревых нитей» каждая из которых па* раллельна С，то разница между Га и Г тогда пропорциональна числу нитей планетарного вихря, которые проходят сквозь площадь Л» или, что то же самое» числу нитей, которые охвачены контуром С, ограничивающим Л.

2.2. Циркупяц||я

По теореме Стокса поток абсолютного вихря через незамкнутую поверхность Л> ограниченную замкнутой кривой С, равен

「а = ff wo • ndA м fuj ・ cfr・(2.2.1)

лс

Контурный интеграл от 力 по кривой С называется циркуляцией скорости U/ . Аналогично циркуляция относительной скорости равна

力u. dr = //з・ п，4 = Г•(2・2・2)

с л

Таким образом» циркуляция дает другой способ измерения интенсивности вихревой трубки. Рассмотрим теперь скорость изменения циркуляции Г в том случае» когда С - жидкий контур, т.е. контур» который всегда состоит из одних и тех же жидких частиц и который» таким образом» движется вместе с жидкостью:

-：—=—— ф и • dr =—"г +「u • г— (rfг).(2.2.3)

dt d£ сС 办 С "

△ и

Рисс 2。21 Изменение бесконечно малого отрезка, определяемое разницей скоростей на концах этого отрезка.

Последний член формулы (2.2.3) включает скорость изменения диффе* ренциала вектора, соединяющего две соседние жидкие частицы на С. Рассмотрим на контуре С две жидкие частицы, положения которых в пространстве отличаются наДг, как это показано на рис. 2.2.1.

Ясно» что за время dt длина и ориентация вектора Дг изменятся только тогда» когда скорости в точках Ри 0 различны, т.е.

△г(г + Лг) - Лг(г) = (Ли)д «,(2.2.4)

или в пределе при О

dr =血。(2・2・5)

Итак, поскольку С ^жидкая кривая, то изменение dr в единицу времени полностью определяется скоростью движения жидаости. Мы можем теперь переписать (2.2.3) как

勺力и『=0，Г,

так как второй интеграл в правой части представляет собой интеграл по замкнутой кривой от полного дифференциала. Таким образом» скорость изменения относительной циркуляции равна контурному интегралу по С от относительного ускорения. Из (1.6.7) следует, что

= _з(2e x u)dr —9一.dr + 6 dr. (2.2.7)

山 ССРС р

так как контурный интеграл от V6 по замкнутой кривой С обращается в нуль» поскольку потенциал силы ф - однозначная функция.

I

Рис. 2.22 Радиальное течение и, создающее касательную к С и направленную по часовой стрелке сипу Кориолиса и, следовательно, отрицательную (по часовой стрелке) циркуляцию.

В соответствии с (2.2.7) существуют три механизма, которые ответственны за изменения Г, или, иными словами, могут изменить интенсивность трубки относительного вихря во время движения. Это: 1) циркуляция силы Кориолиса, отнесенной к единице массы, 2) циркуляция силы давления, отнесенной к единице масс坤,и 3) циркуляция ¥•

Влияние силы Кориолиса может быть легко проиллюстрировано. Рассмотрим контур С, изображенный на рис. 2・2・2, и пусть С направлен перпендикулярно странице к читателю. Предположим, что вектор относительной скорости на С веаде направлен из области» ограниченной С. Если исключить все другие факторы, то под действием силы Кориолиса все частицы жидкости будут отклоняться вправо, а это в свою очередь будет создавать относительную циркуляцию по контуру С по часовой стрелке» и,согласно (2・2・7), 〃「/〃£ будет отрицательным»

Другой способ представления вклада силы Кориолиса в изменение относительной циркуляции следует из тождества

—(2^Х u)・ dr н — 2c ・(и х dr) н — 2c ・以 ц1dг,(2.2.8)

где % — величина перпендикулярной 方 компоненты скорости» а 门力 _ единичный вектор, параллельный u х dr。 Площадь, ограниченная контуром С, увеличится за время dt на величину

5Л = Jr dl,(2.2.9)

где

dl =气九(2.2.10)

Вектор п^ направлен по нормали к этому дифференциалу площади. Итак, скорость увеличения площади, ограниченной контуром С, в точ-

Риce 2.2.3» Компонента их скорости и, перпендикулярная С9 приводит за время dt к увеличению ограниченной С площади на вели чину u^dr dt для каждого элемента дуги на С.

ке £ находящейся на этой кривой, равна

牙一 64 ="丄'г,(2.2.11)

так что (2・2・8) можно переписать в виде

-(2йхи)- dr = 2Q(Z2.8'}

dt

где 5ЛП - увеличение ограниченной контуром С площади, перпендикулярной С. Интегрирование no dr вдоль С дает

2 С х u dr м - 2c —眩.,(2.2.12)

где Ап - проекция площади, ограниченной контуром С, на плоскость, п^к пендикулярную С ・ Таким образом, при наличии планетарного вихря 2c увеличение площади 4n приводит к уменьшению относительной циркуляции. Поток относительного вихря через площадь, ограниченную контуром С, будет уменьшаться (в отсутствие других эффектов) прямо пропорционально увеличению числа нитей планетарного вихря, охватываемых контуром С・ В примере» показанном на рис. 2・2«3, увеличивается площадь, ограниченная контуром С, захватывается больше нитей планетарного вихря и, следовательно, возникает отрицательная (по часовой стрелке) циркуляция относительной скорости вокруг С. Тот же самый результат достигается, если поверхность не увеличив# ется» а просто поворачивается по направлению к плоскости» перпендикулярной С, так что большее количество нитей планетарного вихря захватывается контуром С.Это явление абсолютно аналогично индукции электрического тока в проволочном контуре» когда последний пере*

мещается в однородном магнитном поле. В нашем случае циркуляция по контуру С индуцируется вследствие его движения в однородном поле планетарного вихря. Это свойство относительного движения увеличивать свою завихренность в силу индукции в поле планетарного вихря особенно важно для крупномасштабных движений, границы которых заключают большое число нитей планетарного вихря, в силу чего для таких движений относительная завихренность почти всегда отлична от нуля.

Значение вклада второго члена в правой части (2.2.7) в скорость изменения относительной циркуляции легче понять» если при помощи теоремы Стокса переписать его следующим образом：

• dr = - /Г V х (—) • n М = 〃_" V』n

(2.2.13)

В том случае» когда поверхности равной плотности и равного давления не совпадают» состояние жидкости называется бароклинным^ Если жидкость бароклинна, то бароклинный вектор ( у р х Vp)/p2 # 0, и относительная циркуляция будет изменяться со временем при условии, что средняя по поверхности 4 нормальная компонента этого вектора отлична от нуля. Для того чтобы проиллюстрировать этот механизм, рассмотрим простой, но типичный пример, изображенный на рис. 2・2・4, где Vp и Vp представляют собой векторы» лежащие в плоскости 4・ В рассматриваемом случае на более легкую жидкость справа дйкзтвует та же сила давления» -Vp, что и на более тяжелую жидкость слева. Более легкая жидкость будет поэтому (в отсутствие других эффектов) подниматься быстрее» чем более тяжелая, в результате чего вокруг С будет возникать в соответствии с (2.2.7) и (2.2.13) циркуляция против часовой стрелки. Если существует хотя бы малейшая тенденция к переносу поля плотности полем скорости» то возникающая циркуляция будет стремиться совместить поверхности равной плот» ности и давления.

Заметим, что если поверхности постоянных р и р совпадают (т.е. жидкость 6叩отропна), то

Р = Р(Р).(2.2.14)

Если это соотношение справедливо на С, то

上 Vp・d『 工 dpФ— =^-tТС Р с Р(Р)上 Vp・d『 工 dpФ— =^-tТС Р с Р(Р)Рис 2.2в4о Генерация завихренности из-за бароклинного эффекта. Несовпадающие друг с другом поверхности постоянных р и р. как показано, стремятся увеличить циркуляцию вдоль С.

上 Vp・d『 工 dp

Ф— =^-tТ

С Р с Р(Р)

上 Vp・d『 工 dp

Ф— =^-tТ

С Р с Р(Р)

(2.2.15)(2.2.15)7 dp— А

(2.2.15)

(2.2.15)

J~ГТ = и，

Р ⑷Р(Р)

поскольку интеграл в (2.2.15) берется по замкнутой кривой.

Последний член в выражении для изменения Г представляет собой контурный интеграл от J по С. Для силы трения произвольного

вида интерпретацию этого члена дать трудно. В случае когда сила У дается выражением (145卜

ф-?—・ dr = V ©(▽ ‘6 ・ dr.(2.2.16)

С Р е

если кинематическую вязкость v =卩/p можно считать постоянной на контуре С. Заметим, что

v^V2u-^r = -иф( V хм) • L,(2.2.17)

СС

так как

V х ( V х u) = V ( V • и) — V%。(2.2.18)

Рассмотрим случай, изображенный на рис. 2.2.5, когда вихрь в окрестности точки Р на С имеет только z-компоненту, со2, а ось % в точке Р направлена по касательной к С. В данном случае

Рис0 2.2.5“ В точке Р вихрь будет диффундилировать е направлении из областив заключенной внутри С, если, как показано, величина вихря увеличивается при движении от С внутрь области.

-v( V х 3"г = — V ・衣'…,〃文，(2.2.19)

так что влияние вязкости должно уменьшать интенсивность вихревой трубки, ограниченной контуром С, на величину, пропорциональную градиенту вихря на этом контуре. Если величина вихря внутри контура С больше, чем снаружи, то интенсивность вихревой трубки будет спадать подобно уменьшению температуры из-за потока тепла из области, обусловленного температурным градиентом на границе. Аналогично, завихренность внутри контура С будет стремиться диффундировать из-за действия вязкости в направлении, противоположном градиенту вихря.

2.3. Теорема Кельвина

Так как,согласно (2.1.19),

= Г + 2QAn,(2・3.1)

то, учитывая (2.2.7) и (2.2.12), получим» что

亞••乙。(2.3.2)

成 cP cP

Если

жидкость на С баротропна и

трение на С отсутствует, то абсолютная циркуляция при движении сохраняется, т.е.

0.(2.3.3)

Это и есть теорема Кельвина, и мы неоднократно будем сталкиваться с ее приложениями. Так как Га представляет собой сумму планетарной и относительной интенсивностей вихревой трубки, то уменьшение одной вызывает соответствующее увеличение другой. Теорема Кельвина показывает, таким образом, что механизм индукции завихренности обусловливает такое взаимное превращение планетарной и относительной завихренностей, при котором интенсивность трубки абсолютного вихря сохраняется. Итак, при движении и деформациях контура С вместе с жидкостью этот контур всегда представляет собой границу трубки абсолютного вихря постоянной интенсивности.

Если поперечное сечение трубки уменьшается, то напряженность интенсивности трубки, т.е. вихрь з。в ней, должен увеличиваться обратно пропорционально площади ее поперечного сечения.

Рассмотрим теперь трубку абсолютного вихря на рис. 2.3.1, которая первоначально обернута цилиндрическим "покрывалом" с четырьмя углами А, 4‘， В и В'・ Так как в первоначальный момент эта поверх-

В

Рис, 2a九 Поверхность BAA *В * ло кромкам которой выбирается контур для доказательства того, что вихревая нить движется вместе с жидкостью.

ность обертывает вихревую трубку, то через поверхность нет потока вихря и циркуляция по замкнутому контуру 4fBfB'f4'f4 должна равняться нулю. Пусть теперь это покрывало двигается вместе с жидкостью. Если теорема Кельвина (2.3.3) применима, то циркуляция по замкнутому контуру должна оставаться равной нулю; иными словами нити абсолютного вихря не могут проникать через покрывало. В пре* деле, когда 4' совпадает с Л, а В* совпадает с В, это означает, что поверхность трубки абсолютного вихря остается совпадающей с "покрывалом" из жидких частиц. Другими словами, если справедлива теорема Келъвина, то вихревая трубка движется вместе с 囂跳дкостъю. В пределе вихревой трубки с бесконечно малым поперечным сечением получаем следующий результат: если справедлива теорема Кельвина, то нити абсолютного вихря остаются всегда жидкими линиями, т.е* если линия однажды представляет собой нить абсолютного вихря, то она всегда остается ею, так что нити абсолютного вихря движутся вместе с жидкостью.

Хотя, как мы видели, могут рассматриваться нити и трубки отно сительного вихря, в силу теоремы Кельвина сохраняется только интенсивность трубки абсолютного вихря и только нити абсолютного вихря совпадают с жидкими линиями.

При наличии вязкости вихревые линии уже не обязаны состоять из одних и тех же жидких частиц, а бароклинные эффекты могут фактически создавать новые вихревые нити.

24 Уравнение вихря

Циркуляция есть скалярная мера завихренности. Так как вихрь

представляет собой вектор, обсуждение свойств циркуляции дает в лучшем случае неполную картину векторной динамики поля вихря. Для исследования векторной природы вихря выведем уравнение для вектора относительного вихря.

Векторное тождество

з х и = (и • V) и — V " " L)(2.4.1)

позволяет переписать уравнение для импульса следующим образом:

—+(2С + з)хи = — ——- Ф — —9— » + • (2.4.2)

dip2P

Для того чтобы получить уравнение для 仆 применим операцию ротора к обеим частям (2・4・2):

_^__ + Vx|(2n + «|xU}=+ V х(А). (2.4.3)

力р2Р

Для любых двух векторов А и В

Vx(AxB) = A(V- В) + (В . V)A-B(V- A)-(A.V)Bt (2.4.4)

так что

V x {(2£2 + 3 x и} == (2C + 3)V ・ и + (u • V)(2Q+ co) — (2C +з) • Vu,

(2.4.5)

поскольку дивергенция вектора w+ 2a равна нулю. Следовательно, (3.4.3) примет шд

学=За • VU-3a(V . U)+包2+ Vx 工，(2.4.6)

р2р

(2.4.7)(2.4.7)где, напоминаем, з =з+ 2d

(2.4.7)

(2.4.7)

Скорость изменения абсолютного вихря движущейся жидкой частицы определяется четырьмя членами в правой части уравнения (2・4・6)・ Последние два члена в правой части (2.4.6) представляют собой бароклинный вектор и ротор силы трения; интерпретация этих источников вихря уже была дана при обсуждении скорости изменения циркуляции. Первые два члена в правой части (2・4・6) заслуживают особого внимания.

Рассмотрим произвольную точку Рв жидкости и выберем локальную дек叩тову систему координат так, чтобы в точке Рось z &>uia касательной к нити абсолютного вихря, проходящей через точку 尸(рис. 2.4.1).

В этой системе координат з。в точке Р есть просто вектор з。Q где к 一 единичный вектор вдоль оси z・ Далее, в точке Р первые два

члена в правой части (2.4.6) могут быть записаны как

.Э . А Л А Л

dv dydv dyма • V и - Wa ( V • U)= За —— lul + fj + М - За к| --— dzдх

dv dy

dv dy

d 却 dw . ^ ди Л * Л

+ -г + — 1 = 13。—— + 13a —卜3。I-—

dy dzdzdzox

Рис. 24 7 Локальная система координат, выбираемая для интерпретации (24Л).

где I и j представляют собой единичные вектсры вдоль, соответственно осей 力 и у. Компоненты относительной скорости по осям i у J и к обозначим через u, V и w«

Рассмотрим теперь скорость изменения пфаллельной оси z компо-- ненты вихря (направление исходного вихря). В соответствии с (2・4・8) изменение z-компоненты вихря дается в отсутствие бароклинности и тре* ния формулой

~7Г~ = - ① L( ^- + -—-),(2-4.9)

т.е. равно произведению исходного абсолютного вихря на конвергенцию вектора скорости в плоскости, перпендикулярной з。• Если конвергенция положительна (ди/дх + dv/Эу < 0), то нити абсолютного вихря будут собираться, становясь ближе друг к другу и увеличивая величину вектора вихря» одновременно уменьшая площадь поперечного сечения локальной вихревой трубки в соответствии с теоремой Кельвина. Действительно» можно показать» что

_±_ + 01也-,(2.4.10)

дхду4 丄〃£

где 4丄 一 дифференциал площади в плоскости х, у； таким образом» (2.4.9) может быть записано с учетом постоянства а как

d «а)z = _(3。)工 气,(2.4.11)

dtА^ dt *

(2.4.11)(2.4.11)ИЛИ dс

(2.4.11)

(2.4.11)

后-(3/4l О,

что, очевидно, эквивалентно теореме Кельвина. Описанный механизм увеличения компоненты вихря в направлении нити известен как механизм растяжения вихревой трубки, так как уменьшение площади попе* речного сечения трубки в почти несжимаемой жидкости может быть достигнуто только за счет вытягивания жидкой трубки вдоль ее длины, так чтобы объем ее сохранялся.

Формула (2.4.8) показывает, что только растяжением трубок дело не ограничивается. Рассмотрим скорость увеличения компоненты вихря в ^направлении, т.е. в направлении, перпендикулярном вихревой нити. В соответствии с (2・4・8) скорость увеличения этой компоненты равна 3ada/dz, так что по прошествии времени △« (рис. 2.4.2)

(△з。％ 九Дх

=tg У，=tg У，(2.4.12)(2.4.12)△£ =

=tg У，

=tg У，

(2.4.12)

(2.4.12)

з a

Рис, 2“42. Вектор вихря в моменты времени t и t + △«- Видно, что вектор «а наклоняется в момент t + Дг на тот же угол у, что и элемент жидкой ли- ниив первоначально параллельный вектору »а.

где △ х — проекция на ось х элемента жидкой линии А/, который первоначально был параллелен з。и имел длину Az. Из-за сдвига поля скорости этот элемент жидкой линии наклоняется на угол 仙(2.4.12) показывает, что возникает параллельная оси х компонента вихря, равная ^компоненте вектора вихря в момент « + △«, который сам наклоняется на тот же угол, что и жидкая линия. Это есть не что иное, как проявление того факта, что нити абсолютного вихря в отсутствие других эффектов двигаются вместе с жидкостью. Аналогичные соображения применимы и к у-направлению.

Таким образом, скорость изменения относительного вихря обусловлена:

I ) генерацией вихря бароклинностью,

П) диффузией из-за трения, j|[) растяжением трубок абсолютного вихря, которое изменяет компоненту вихря, паралл чьную нити, из-за конвергенции вихревых нитей,

IV) наклоном вектора вихря, вызываемым изменением вдоль вихре* вой нити компоненты скорости, перпендикулярной этой нити.

Важно отметить, что если со первоначально равнялся нулю, то изгиб и конвергенция нитей абсолютного вихря из-за относительного движения жидкости в поле планетарного вихря будут в отсутствие других эффектов создавать относительный вихрь*

2.5. Потенциальный вихрь

Уравнение вихря имеет важное значение, поскольку оно описывает изменение вихря с учетом его векторного характера. Однако это уравнение скорее дает описание того, как изменяется вихрь, чем полез» ное для анализа ограничение на это изменение. Теорема Кельвина дает более сильный результат, но она представляет собой интегральную теорему, имеющую дело со скаляром и требующую знания детальной эволюции жидких поверхностей. Кроме того, она справедлива лишь в отсутствие бароклинных эффектов, что существенно ограничивает ее геофизические приложения. Изящное и исключительно полезное уравнение сохр& нения, свободное от упомянутых недостатков, было получено Эртелем (1942). Так как С 一 постоянный вектор, уравнение вихря Q.4.6) может быть записано как

扛二(3 ……(…)+方咨+ VX*.⑵打

Уравнение неразрывности (1.4.2) дает

V . и- - J祖 ，(2.5.2)

рdt

так что ▽• и можно исключить из уравнения (2.5.1) и переписать его в виде

j(-——)■( —-™" • V)и + у р х 丫彳-+( ▽ х 于)—•

Рppp p

(2.5.3)

Рассмотрим теперь некоторую скалярную характеристику жидкой частицы 入,удовлетворяющую уравнению вида

生.屮，(2.5.4)

где 屮一некоторый источник характеристики 入.Например, для атмосферных движений 入 могло бы быть потенциальной температурой е, а 屮 тогда было бы равно правой части ^равнения (1.4.18). Или для жид« кости» уравнение состояния которой может быть аппроксимировано выражением (1.4.20), в качестве 入 можно было бы выбрать плотность, а 屮 в этом случае задавалось бы правой частью (1.4.22). Имеется много и других вариантов, которые могут быть использованы в отдель* ных случаях.

з арз арНетрудно вывести соотношение

з а

р

з а

р

—[(」2—• Vu)] • V 入)

Р

(2.5.5)

которое может быть проверено, если расписать его в компонентах» что предоставляется читателю в качестве упражнения. Умножая уравнение (2.5.3) скалярно на V 入,имеем

▽入4-(亠)=【(3.V)u]・▽入 + У入.｛?Р，£УР，｝+丄・

(2.5.6)• IV x 上｝P(2.5.7)(2.5.6)• IV x 上｝P(2.5.7)打 ppp3p

(2.5.6)

• IV x 上｝

P

(2.5.7)

(2.5.6)

• IV x 上｝

P

(2.5.7)

p

Сложение (2・5・5) и (2・5・6) с учетом (2・5・4) дает

3°Заr VP X VP -, VA

'VAI»屮 + ▽入.L ' ■ - i ] +pPp3 p

Если

1)入 сохраняется в каждой жидкой частице, т.е.屮=0»

2) силой трения можно пренебречь, т.е. ¥ = 0, а также

За) жидкость баротропна, т.е. v р х vp ® О, или

36)入 можно считать зависящей только от р и р, то потенциальный вихрь

нН 上聋@▽入(2.5.8)

Р сохраняется в каждой жидкой частице, т.е.

.0(2.5.9)

Заметим, что скалярная величина П включает в себя компоненту вихря 3。, параллельную градиенту 入.

В указанных выше примерах условие сохранения 入 было эквивалент* но условию адиабатичности движения, однако это требование не является обязательным* Важно отметить, что баротропность жидкости также не является необходимой. Если выполнено условие (36) (т.е. если 入 есть термодинамическая функция и поэтому 入工入(р, р)), то

"V 入■ у V р + '•给• V Р»(2.5.10)

dpop

и скалярное произведение ▽入 на бароклинный вектор V р х Vp равно нулю» Если» однако,бароклинный вектор V р х др сам обращается в нуль, то необязательно ограничивать выбор 入 голько термодинамичео кими функциями; в этом случае допустим более широкий класс характе* ристик 入,причем требуется лишь выполнение условия сохранения 入.

Понятие потенциального вихря настолько важно, что полезно привео ти другой вывод теоремы Эртеля, более ясный с физической точки зрения.

Из приведенных в разд. 2.2 формул следует, что в отсутствие трения

~—• п dA * ff (Up—) . n dA,(2.5.11)

где 4 — площадь произвольной жидкой поверхности, ап — вектор еди« ничной нормали к этой поверхности. Предположим, что контур С» огр^

尸“с。2.5J。Выбор контура, лежащего на поверхности постоянной 兀 для приме» нения теоремы о циркуляции.

чивающий 4, выбран сначала лежащим на поверхности 入=const , как этоп(жазано на рис. 2.5.1. Так как 入 в каждой жидкой частице сохраняется, то поверхность 入=%coctowt вое время из одних и тех же частащ т^. Л = Ло есть жидкая гювфхноаш. и контур d； представляющий собой жидкую лигою, все время лежит на этой гюв^)хноаш・ Если величина 入 зависит лишь от р и р# то вектор Up х V р должен лежать на поверхности постоянной 入，так как, согласно (2.5Л0), этот вектор пертевдикулярен 泌.Таким образом, для выбранного контура С справедлива теорема Кельвина, поскольку правая часть (2.5.11) об卢 щается в нуль

——「/ а。・ п </4 = 0.(2.5.12)

dt4

Соотношение (2.5.12) справедливо для любого момента времени, так как С все время лежит на поверхности постоянной 入• Рассмотрим теперь достаточно малый контур, так чтобы (2.5.12) могло быть записано в виде

£(3。• п 54) » 0,(2.5.13)

где 64 - элемент площади, охваченный контуром С, и «а - средняя величина вихря «а по площади 54 (рис. 2・5・2)・

Для того чтобы найти выражение для 64, рассмотрим массу, содержащуюся в малом цилиндре между двумя поверхностями постоянной 入• Высота такого цилиндра равна 62 и связана с величиной 入 на соседней поверхности соотношением

62 1V 入I = △入.(2.5.14)

Масса цилиндра

6m н p546Z = р54『j鼻“J(2.5.15)

Рис. 2。52 Столбике заключенный между двумя 入-поверхностями Масса этого столбика равна р5/54・

сохраняется, так как граничные поверхности цилиндра представляют собой жидкие поверхности. Следовательно8 (2.5.13) может быть записано как

⑵5.16)

Так как Вти △入 при движении не меняются и

V 入=п| VR ,(2.5.17)

то (2.5.16) принимает вид

(за • -^-) =。，(2.5.18)

р

что эквивалентно (2・5・8) и (2・5・9)・ Таким образом, теорема о сохране* нии потенциального вихря представляет собой просто теорему Кельвина для специально выбранного контура*

В каком смысле П есть мпотенциальный н вихрь? Название кажется не очень удачным, ибо величина П не имеет даже размерности вихря. Однако этот термин в настоящее время уже стал традиционным и в его пользу можно привести следующие соображения. Если П сохраняется при движении жидкой частицы, когда расстояние между двумя соседними 入・гюверхностнми увеличивается, то ▽入 должен уменьшаться, а параллельная V 入 компонента вектора «а /р должна пропорционально увеличиваться, чтобы П оставался постоя im・ Если р меняется не очень сильно, увеличение «а /р сводится к увеличению 3。и, таким образом, можно представить себе, что существует некоторый запас завихренности, связанный с наличием градиента 入，который может расходоваться при удалении 入・11оверхносте{1 друг от друга

из-за действия механизма растяжения вихревых трубок. За исключе* нием вырожденного случая» когда ▽入 всюду перпендикулярен С, удаление 入-поверхностей друг от друга будет создавать относительную завихренность за счет изменения планетарной завихренности.

Трудно переоценить важность теоремы о сохранении потенциального вихра. Как мы увидим, соответствующая формулировка этой теоремы, учитывающая те ограничения, которые накладывает враще* ние на движение, дает основное уравнение для крупномасштабных не* диссипативных движений в атмосфере и океане«

2a Термический ・・т・р

До сих пор мы еще не использовали тот факт» что для рассматривек емых нами движений число Россби мало, т.е. относительный вихрь мал по сравнению с планетарным. Зададимся теперь вопросом о том, какие условия необходимь! для существования таких движений, *1я которых относительный вихрь мал по сравнению с 2С, а временные масштабы велики по сравнению с периодом вращения Земли. Ясно, что какое-то ограничение на характер движения необходимо, иначе один лишь сдвиг поля относительной скорости благодаря эффекту изгиба вихревых трубок будет создавать завихренность со скоростью ~ O^QU/D)^ а это дает временной масштаб изменений относительного вихря порядка периода вращения Земли, что противоречит нашему предположению (и наблюдениям) о большом временном масштабе рассматриваемых движений.

Искомое ограничение может быть получено прямо из уравнения (2・4・6)・ В отсутствие трения и при условии з << 2c это уравнение может быть приближенно записано как

= (2а . V)u — 2a(V・u) + 止江-.(2.6.1)

Далее

т.е. скорость изменения вихря представляет собой сумму локальной и адвективной скоростей изменения. Пфядсис величины первого члена есть О(М), где т 一 характерный временной масштаб движения, порядок вели-

чины второго члена u ・ V з равен wl/L.Так как величина «порядка U/L, то отношение величины левой части уравнения (2.6.1) к величине члена (2С ”)и, или, что то же, 2Q(V • и) [оба они имеют порядок O(2QU/L)]9 равно

綸={(25,『•(2.6.3)

Порядок этого отношения равен порядку большего из двух членов в фигурных скобках выражения (2・6・3)・ Мы видели, что второй член гфед- ставляет собой число Россби; первый член есть также число Россби, в котором используется локальны% а не адвективный временной масштаб.. Если оба масштаба времени велики по сравнению с периодом вращения Земли, т.е. число Россби мало, приближенное уравнение вихря имеет вид

(2а • V )u - 2a(▽• и) = - ▽呻匕,(2.6.4)

pz

что представляет собой условие существования движений с временным масштабом, большим периода вращения Земли. Оно означает, что относительная завихренность, возникающая из-за бароклинности, должна балансироваться изменением относительного вихря, создаваемым растяжением и изгибом вихревых трубок.

Запишем уравнение (2.6.4) в компонентной форме в системе координат, в которой oa> z параллельна d Тогда

/ dp dp dp dp \/「A、

2a dz 丁高37~ ~d7~)'(2・6.5а)

額票一%（書 - 舍），（2儿36）

g（^+*>*备鲁-备 *）•

(2.0.5в)

Первые два из этих уравнений связывают изменения вдоль оси вра* щения компонент скорости, перпендикулярных этой оси, с существующими изменениями плотности. Так как изменения плотности обычно связаны с изменениями температуры, то ветер или течение, описываемые уравнениями (2・6・5а, б) называются термическим ветром. В разд. 2.8 мы вернемся к более детальному обсуждению (2・6・5а, б). Последнее из уравнений (2・6・5в) налагает ограничение на возможную горизонтальную дивергенцию скорости. В разд. 2.8 мы покажем, что члены в правой части (2・6・5в) по порядку величины на самом деле не больше тех членов в уравнении вихря, которыми мы уже пренебрегли как малыми, так что, поступая последовательно^ мы должны записать уравнение (2・6・5в) в виде

(2.6.6)(2.6.6)2Q(也 + _±_ дх ду

(2.6.6)

(2.6.6)

Таким образом, для того чтобы число Россби оставалось малым, движе* ние в плоскости, перпендикулярной С, должно быть бездивергентным.

Теорема Тейлора - Праудмена

Если движение жидкости удовлетворяет тем условиям, при выполнении которых соотношения (265) справедливы, т.е. число Россби мало и трением можно пренебречь, и если 6 дополнение к этому бароклинный вектор тождественно равен нулю, то из (2.6.5) следует, что

du dv 九 3vdz dz Эх +du dv 九 3vdz dz Эх +(2.7.1)(2.7.1)

du dv 九 3v

dz dz Эх +

du dv 九 3v

dz dz Эх +

(2.7.1)

(2.7.1)

Итак, скорость в плоскостях, перпендикулярных к С, не должна з$ висеть от координаты, параллельной d Кроме того, эта скорость должна быть бездивергентной в плоскости, перпендикулярной d Это очень сильное ограничение, означающее, что если жидкая линия однажды была параллельна % то она всегда остается таковой. Это ограничение есть прямое следствие доказанной ранее теоремы, согласно которой в отсутствие бароклинности и трения линии абсолютного вихря должны быть жидкими линиями. Для малых чисел Россби абсолютный вихрь в основном совпадает с планетарным вихрем 2% т.е. с точностью до О(е) нити абсолютного вихря параллельны С и, таким образом, жидкие линии должны быть параллельны d В противном случае будет возникать несбалансированный изгиб нитей абсолютного вихря, что приведет к нарушению условия малости е •

Если жидкость несжимаема, то из уравнения (1.4.23) следует, что

石~ + 寸 к = °，(2.7.2)

и, используя условия (2.7.1)» имеем

空L =0.(2.7.3)

dz

Итак, все три компоненты относительной скорости не зависят от координаты вдоль направления» пгфаллельного оси вращения. В векторной форме это сразу же следует из уравнения (2・6・4)・ Поскольку

V • ц - 0, то

(2С・ V)u = 0・(2.7.4)

Этот результат называется теоремой Тейлора — Праудмена* Из внр& жения (2.7.3) следует, что если wравна нулю на некотором уровне, например на твердой горизонтальной поверхности, то она будет равна нулю для всех z・ Движение будет тогда целиком двумерным и может быть представлено как движение столбиков, каждый из которых ориен* тирован параллельно оси вращения и не меняет эту ориентацию в про* цессе движения. Эти столбики чаще всего называют столбиками Тейлора и реже столбиками Праудмена.

Простейшим примером подобных движений будет медленное относительное движение однородной жидкости (т.е. жидкости постоянной плотности). Движения такого типа, весьма необычные, как это может пок&> заться, можно легко наблюдать в лабораторных экспериментах. Если тело, например сферу или цилиндр, медленно перемещать в однородной жидкости перпендикулярно оси вращения» то жидкость должна обтекать это тело в процессе его движения. Если справедливо уравнение (2.7.4), то движение строго двумерно. Жидкость выше и ниже тела должна вести себя так, как будто некое воображаемое тело, образованное жидкостью, со держащейся в столбике Тейлора, определяемом проекцией тела вдоль оси вращения, двигается в жидкости как твердое тело. Процитируем первоначальную статью Тейлора (1923): "Млея кажется фантастической, но эксперименты показывают, что Действительное движение на самом деле происходит примерно таким любопытным образом**. Это Тейлор продемонстрировал на ряде превосходных примеров простых и элегантных экспериментов, описанных в его статье.

=。［(25先=。［(25先(2.8.3)(2.8.3)РР*0(*0(7?7?(2・8・4)(2・8・4)

=。［(25先

=。［(25先

(2.8.3)

(2.8.3)

Р

Р

*0(

*0(

7?

7?

(2・8・4)

(2・8・4)

Важно отметить, что эта теорема основана на ряде предположений относительно полного уравнения вихря. Отброшенные члены некогда точно не равны нулю, и справедливость теоремы Тейлора 一 Праудмена зависит от относительной величины этих членов, в силу чего следует, вообще говоря, ожидать отклонений от столбообразного движения. Тем не менее тенденция к сильной взаимозависимости движений в ра> личных сечениях, перпендикулярных оск вращения, хорошо видна из уравнения (2・7・4)・

Геострофическое движение

Мы рассмотрели условия, при которых справедливы теорема Тейло ра ■ Праудмена и соотношение термического ветра, являющееся приближенной формой уравнения вихря. Обратимся теперь к уравнению для и* пульса

(2.8.1)(2.8.1)du-Vdf

(2.8.1)

(2.8.1)

—+2Cxu・Lt— ++ —.

atpp

Для величины относительного ускорения имеем оценку

如 диU и

~7Г = -^- +(u・y) u = 0(F—:-^—),(2.8.2)

и отношение ее к величине ускорения Кориолиса 2Cxu = O(2QU)

равно

I du/dt\

где V 一 коэффициент кинематической вязкости. Мы опять сделали допущение, что изменения U характеризуются единственным масштабом длины; в противном случае под 厶 в (2.8 ・4) следует понимать наимень* ший из характерных масштабов длины. Будем основываться в дальней»

шем на оценке (2・8・4)・ Отношение силы трения на единицу массы к ускорению Кориолиса представляет собой безразмерный параметр, на» зываемы丸 числом Экмана Е：

(2.8.5)(2.8.5)vU/L?』и

(2.8.5)

(2.8.5)

2Q[/" * 2步

Если v, например, есть коэффициент молекулярной кинематической вязкости воды (у = 10Т см2 . с"1), то оценкой для Е в случае оке» неких течений с 厶 Ю3 км будет

(2.8.6)(2.8.6)г 10"2 СМ2.С"11П-14

(2.8.6)

(2.8.6)

Е - (10Т cfaOWE)-

Это очень малая величина, и такими силами трения, очевидно, можно пренебрегать для крупномасштабных движений. Важным^однако, является вопрос о том, насколько выражение (1.4.5) справедливо при описгн нии диссипации для крупномасштабных движений и, следсвательно, является ли число Экмана Е 賦стштелыюй мерой эффекта трения. Ограничиваясь рассмотрением лишь крупномасштабных движений и поэтому характеризуя движение единственным масштабом скорости и длины, мы отказываемся тем самым от детального анализа взаимодействия крупномасштабного движения с движениями меньших масштабов и другой динамической природы. Такой подход оказывается вынужденным, поскольку сложности, возникающие при определении взаимодействия движений с сильно различающимися масштабами, непрео* долимы; вопрос о точном рассмотрении задачи со всеми взаимод^ствук> щи ми масштабами даже и не ставится. Вместо этого мы ищем такой приближенный подход, при помощи которого можно было бы по крайней мере качественно описать обмен энергией и импульсом между движениями с интересующими нас масштабами, а также с движениями много меньших масштабов, обычно являющихся турбулентными и кото рые мы не хотим рассматривать непосредственно. Этот вопрос более детально обсуждается в гл. 4. Для целей настоящей главы необходимо лишь отметить, что один из способов оценки диссипативного влияния мелкомасштабных движений заключается в том, чтобы допустить справедливость выражения (2・8・5) в качестве меры этого влияния, но заменить в нем v коэффициентом турбулентной вязкости9 Л, значительно большей величиной, чем v9 предположительно из-за большей эффективности переноса импульса макроскопическими жидкими объемами. Эту в лучшем случае эмпирическую концепцию трудно обосновать, еще

труднее оценить ее справедливость количественно и невозможно доказать строго. В некоторых случаях заведомо неправильно полагать, будто действие мелкомасштабной турбулентности на крупномасштабное движение подобно молекулярному эффекту большей интенсивности. Тем не менее апостериорные оценки 4, обычно трудные и не всегда одно значные, все же дают нам более реалистичную оценку влияния трения и соответственно оценку числа Экмана. Мы отложим теперь более деталь* ное обсуждение этого трудного вопроса и лишь заметим, что согласно наблюдениям, трение достаточно мало, так что и соответствующим образом определенное число Экмана также мало.

Если и число Экмана и число Россби малы, уравнение импульса в первом приближении имеет вид

р2С х u = - Up + р?Ф.(2.8.7)

Рассмотрим уравнение (2,8.7) в приложении к земной атмосфере или океану, т.е. к тонкому слою жидкости на сфере. Поверхность Земли представляет собой эквипотенциальную поверхность (т.е. поверхность постоянного ①)丿 а V Ф равен эффективному гравитационному ускорению д. нормальному к земной поверхности. Пусть u, v и w— скорости, направленные соответственно на восток, север и вертикально вверх, как показано на рис« 2.8.1. Соответствующая система координат г, 0 и ф также показана на рисунке.

(2.8.8а)(2.8.8а)В компонентной форме уравнение (2・8・7) примет вид р[— 2Q vsin 0 + 2Q wcos 0] = —-Ji— — ?P

(2.8.8а)

(2.8.8а)

(2.8.86)(2.8.86)r cos 0 д^ p2Q usin0 * — - 1,

(2.8.86)

(2.8.86)

г др

—р 2Q ucos 0 н ■—— pg.

Полезно разделить поля давления и плотности на две части. В отсутствие относительного движения, т.е. когда и « и *09 из (2・8・8)

следует, что р не должно зависеть от <р и 0 и, таким образом, должно быть лишь функцией от г； в соответствии с уравнением (2・8・8в) плотность также должна быть функцией только от г. Следовательно, можно написать

Р = Ps (г)+р'(г, “ м(2,8.9а)

р =0s (г) + р'(г» 仇 В,(2.8.96)

Q

Рис &&L Сферическая система координат г, 8, q>9 используемая для описания движения с характерным масштабом длины L и глубиной D в окрестности0«

где рв (г) и рв (г) - давление и плотность в состоянии покоя, ар* и р*— отклонения от этого основного состояния, обусловленные существо ванием ветров и течений* Из уравнения (2・8・8в) вытекает

5 м P&K，(2.8.10)

что позволяет переписать систему (2.8.8а, 6, в) в виде

(Р& + р*) [ —2Q vsin.0 + 2Q wifeos в] « ——J —^—>(2.8.11a)

rcosO 即

% + р* )2 Q usin$ м — »

г

ае ，

(2.8.116)

—(р, + р* )2q u cos 0 -—

dp'

%P 伊

(2.8.11b)

Предположим, что U - характерный масштаб горизонтальных скоростей м и ”，L - горизонтальный масштаб изменения полей скорости и давления, а толщина слоя жидкости D - масштаб вертикальных изменений скорости и давления. Так как отношение вертикального и горизонтального масштабов движения мало, то из чисто геометрического рассмотрения траекторий движения жидких частиц следует оценка отношения вертикаль» ной и горизонтальной скоростей

士 u о( _^) .o(-2-)« 1,(2.8.12)

так что поскольку 5 工 D/L 一 малая величина, то вторым членом в квадра ных скобках в левой части (2.8.11а) можно пренебречь*. Так как горизон* тальный масштаб изменения р равен。(厶),то градиенты давления в правых частях (2.8.11а, б) будут порядка p'/厶. Для того чтобы горизонтальный градиент давления был того же порядка, что и ускорение Корио лиса, мы должны считать

р‘ яв 0(p2Q t/厶)，(2.8.13)

что определяет характерный масштаб изменения давления, обусловленного движением. Теперь можно оценить вертикальный градиент давления в уравнении движения по вертикали (2・8・11в), т・е・

dp'Р‘ \ zw 2QULz9 q 1лх

—— 匸 О(―)匸 0(р -)•(2.8.14)

drDи

Вертикальная компонента ускорения Кориолиса равна

p2Q u cos е н 0(p2QU),(2.8.15)

и их отношение будет

告结_=0(_}).6«1,(2.8.16)

dp /or厶

т・е・ с одинаковой степенью точности (5 « 1) кориолисовыми членами, пропорциональными 2Q cos 仇 и в горизонтальном, и в вертикальном уравнениях движения можно пренебречь. Таким образом, и горизонтальное ускорение Кориолиса, обусловленное вертикальным движением, и вертикальное ускорение Кориолиса, обусловленное горизонтальным движением, являются малыми членами порядка 0(5) по сравнению с горизонтальным и вертикальным градаентами давления соответственно.

j Это означает, что с точки зрения динамики существенна лишь нормальная к поверхности Земли компонента угловой скорости вращения QsinB.

•Около экватора членыв пропорциональные 2Qsin0g малы. Эго не оэначаетв что кориописовы чпены9 пропорционапьные 2Q cos09 существенны. Эти члены малы и на экватор% однако другие члены в уравнениях движенинв которыми мы пренебрегали при записи системы (2«&«11ав б9в)0 должны учитываться около экватора»

Из уравнения (2・8・11в) можно определить верхнюю границу величины возмущения плотности, так как ясно, что gp* не может быть больше, чем дрв /дг9 так что

илиР* ~ и \4Q2L2 仞2厶2илиР* ~ и \4Q2L2 仞2厶2(2.8.17)(2.8.18)(2.8.17)(2.8.18)

или

Р* ~ и \4Q2L2 仞2厶2

или

Р* ~ и \4Q2L2 仞2厶2

(2.8.17)

(2.8.18)

(2.8.17)

(2.8.18)

(2.8.19)(2.8.20)(2.8.19)(2.8.20)Параметр 4Q2L2/gD не зависит от интенсивности движения, а зависит только от его геометрических масштабов. Например, для крупномасштабных атмосферных движений, для которых L « 103 км, D 工 10км, 4Q”2/gD равно 0,196. Таким образом, если число Россби мало, то

(2.8.19)

(2.8.20)

(2.8.19)

(2.8.20)

《0(e) « 1, Р

так что

р' « р5 (г)-

Если мы вспомним теперь все проведенные оценки порядков величин, то найдем, что система (2・8・11а, б, в) может быть с достаточной точностью записана в виде

(2.8.21а)

(2.8.216)

(2・8・21в)

где в уравнениях (2・8・21а, б) явно использован тот факт, что р* «Р§・ Гак как р$ не зависит от 屮 и е, то в правых частях уравнений (2.8.21а, б) написаны градиенты полного давления; справедливость уравнения (2・8・21в) следует из уравнения (2.8.10) и приближения (2.8.16).

В уравнениях (2.8.21) введено обозначение

/ = 2q si n0(2・8・22)

Параметр f есть компонента планетарного вихря, нормальная к земной поверхности; эта величина называется параметром Кориолиса.

Тот факт, что и атмосфера и океаны представляют собой тонкие слои жидкости, наводит нас на мысль ввести в качестве вертикальной координаты

г ® г —г(2.8.23)

где г0 представляет собой расстояние от центра Земли до ее поверхности. Поскольку z《0( D), то z « г0; поэтому с точностью до членов порядка O(D/rQ) система (2・8・21а,鸟 в) млжет быть записана как

(2・8・24а)

(2・8・24в)(2・8・24в)(2.8.246)

(2・8・24в)

(2・8・24в)

(2.8.25)(2.8.25)Уравнения (2.8.21а, б) или (2・8・24а, б) представляют собой уравнения импульса, записанные в геострофическом приближении, В этой предельной форме уравнение движения для горизонтальной скорости сводится к соотношению, согласно которому горизонтальный градиент давления (деленный на ps) балансируется горизонтальной компонентой ускорения Кориолиса. Скорость, получаемая из этого соотношения, называется геострофической скоростью» Геострофическое приближение может быть записано в векторной форме

(2.8.25)

(2.8.25)

Wyk* VP,

где к - единичный вектор, перпендикулярный поверхности сферы, а и^ — вектор горизонтальной скорости. Заметим, что уравнения геострофического приближения не дают прямой информации о вертикальной скорости.

Третье уравнение (2.8.24в) вообще не содержит скорости; согласно этому уравнению, вертикальный градиент давления уравновешивается силой плавучести. Это — гидростатическое приближение^ Хотя жидкость

и находится в движении^ однако траектории жидких частиц очень близки к горизонтальным, в силу чего вертикальные ускорения столь малы, что закон Архимеда для покоящейся жидкости оказывается применимым и в случае изучаемых движений. Иными словами^ разница давлений между любыми двумя точками на одной вертикальной линии зависит только от веса столба жидкости (единичного сечения) между этими точками^ как если бы жидкостъ была 6 покое, зютя в действительности она движется.

Следствия геострофического и гидростатического приближений

В гл. 6 будет дан аккуратный вывод геострофического и гидростатического соотношений и будет показано^ что эти соотношения получаются как первое приближение в асимптотическом разложении уравнений движения по малым числам Россби и Экмана. Здесь же, ограничиваясь пока приведенным в предыдущем разделе эвристическим выводом, проанализируем некоторые следствия, которые могут быть получены из этих приближений.

. Геострофическая функция тока

Горизонтальная геострофическая скорость, определяемая (2・8・24а, б), перпендикулярна горизонтальному градиенту давления. Это замечательное свойство геострофического течения» Жидкость двигается вдоль, а не поперек линий постоянного давления (изобар). Именно эта особенность геострофического течения позволяет судить по изобарам на картах погоды о структуре атмосферных течений. В иевра- щающейся жидкости течение обычно происходит в направлении градиента давления. В случае геострофического движения каждая жидкая частица ведет себя как очень маленький вертящийся волчок: толкаемый в некотором направлении силой давления, он движется под прямым углом к этой силе и скорости вращения, как это показано на рис. 2.9J Заметим опять» что из-за малой толщины слоя жидкости (5 « 1) эффективная скорость такого вращения равна Qsin6 « f/2. В северной полусфере, где f > 0, геострофическая скорость такова,, что для наблюдателя, смотрящего вниз по потоку, будет более высокое давление справа. В южной полусфере (f < 0) в подобном же случае более высокое давление будет слева*

Рассмотрим теперь перенос массы некоторым объемом единичной вертикальной длины через кривую & соединяющую точки 0〔 и Q2 на

Риса 2。9。九 Течение 也 вдопь изобар; полный перенос массы между точкам Qi и Q2 зависит пишь от разности р2 一热 и не зависит от вьбора контура с.

изобарах р = р^ и р * р2. Как видно из рис. 2.9.1', такой перенос равен

м *= f к • ps (uH X rfr) - f 伙 хр§11н)・ dr(2*9.1)

QiQi

и с учетом (2・8・24a, б) может быть записан как

[k x(k х Vp)]?2(门 dr

网 J 7• dr / { Vp -k(k . ур)} . —;— м

Qi 'Qif

Q2 V"

dr, (2.9.2)

【Re Vyp представляет собой горизонтальный градиент давления, т.е. градиент давления в плоскости рис. 2.9.1.

Параметр Кориолиса f 工 2Qsine изменяется от нуля до 组 на расстоянии от экватора до полюса, т・& на расстоянии порядка 10000 км* На расстояниях, малых по сравнению с этим, т.е. для крупномасштабных течений, но с горизонтальным масштабом, значительно меньшим расстояния от экватора до полюса [скажем, с L = О (103км)] f метнется весьма незначительно* Большинство океанских и атмосфер^ ных течений удовлетворяет этому условию* Во всяком случае^ если Qi и О? находятся на широтах, расстояние между которыми достаточно мало в указанном смысле, то f в выражении (2・9・2) можно считать постоянным и

“ У2р(3)Р02)

м k . (ps Uy X rfr) - —~7— - —г—

(2.9.3)

Мы видим, что М не зависит от пути интегрирования. Величина p/f, таким образом, есть функция тока для горизонтального потока массы, а так как р$ не зависит от горизонтальных координат, то р/рЛ f ~функ^ ция тока для горизонтальной геострофической скорости.

Если мы разделим уравнение (2.8.24а), скажем, на уравнение (2・8・24в), то получим

Р, rocos6 dp/dzр$ rocos 6

или

/ дг .

(2.9.4)

(2.9.5)

где для перехода от соотношения (2・9・4) к соотношению (2・9・5) был использован тот факт, что р* « р - ps имеет порядок 0(e)； индекс р означает дифференцирование при постоянном давлении^ a z равно высоте поверхности постоянного давления. Аналогично

(2.9.6)

Таким образом, геострофическая скорость может быть выражена и через наклон поверхностей постоянного давления, а именно

uff =

х ( V z) р・

(2.9.7)

Термический ветер

Дифференцирование уравнения (2・8・24а) по г с учетом уравнения (2・8・24в) дает

dzp$ rocos 0 дфp： Hz

XI—& 南 _

rocos 0 дфP$ r0cos S &a

- -L_，^_ fv,(2.9.8)

Ps Hz

которое с учетом (2.9.S) можно переписать как

x( ~^—)p>(2.9.9)

или

/ dz

откуда с точностью до О (е)

или

Нм

dz

Аналогично

& f p %' at p，

В векторной форме

м

~дГ~ ■方k x(vP)p'

g [*>

PrOCOS0 Эф

g

f P r()COS 6

(2.9.10)

(2.9.11)

(2.9.12)

(2.9.13)

так что, согласно уравнениям (2・6・ 5а, 6), увеличение горизонтальной скорости с высотой зависит от горизонтального градиента плотности вдоль поверхности постоянного давления. Если поверхности постоянных плотности и давления совпадают, то геострофическая скорость не долж» на зависеть от высоты, и геострофическое приближение, таким образом, сра^у дает нам теорему Тейлора — Праудмена.

Для атмосферы справедлив закон идеального газа, и поэтому

(2.9.15)(2.9.15)—(V р)Р р( V Г)р 在(V 0)р»

(2.9.15)

(2.9.15)

так что увеличение ветра с высотой может быть легко выражено прямо через горизонтальный градиент температуры или потенциальной темпера* туры вдоль поверхности постоянного давления.

В случае океана отношение членов в правой части (2・9・8) равно

(2.9.16)

где 口 一 вертикальный масштаб изменения плотности

口 工(-ps Hz口 工(-ps Hz(2.9.17)(2.9.17)

口 工(-

ps Hz

口 工(-

ps Hz

(2.9.17)

(2.9.17)

и D -вертикальный масштаб движения. Отношение D/H имеет, следо вательно, порядок Ар§,/р§ , т.е. порядок относительного изменения плотности на вертикальном масштабе движения. Это изменение никогда не превышает величину 0(10*^), так что в случае океана градиенты плотности в уравнениях (2.9.12) и (2.9.13) с превосходной точностью могут рассчитываться вдоль горизонтальных поверхностей.

в. Дивергенция и вихрь геострофического ветра .

Дивергенция геострофической скорости равна, согласно (2.8.24а,б)；

1 д (vcos 0) +roCOS0 w1 д (vcos 0) +roCOS0 w]du-vdf

1 д (vcos 0) +

roCOS0 w

1 д (vcos 0) +

roCOS0 w

rocos0Эф/"г。况

—vcos Q

=一丁丁 ％—• (2.9.18)

Характерная величина каждого из членов в левой части уравнения (2.9.18) есть 0(U/L)9 тогда как члена в правой части 0(1//%). Для движений с горизонтальным масштабом L, таким, что

-L- < 1,(2.9.19)

го

горизонтальная геострофическая скорость в первом приближении без- дивергентна. Аналогичное рассмотрение показывает, что с той же степенью точности вертикальная компонента относительного вихря прямо пропорциональна гори зонт альн о му лапласиану давления.

1dv1Эи 12

locos®а 中г0аер」”

1( 1 _др ( cos е а а、+ _2_‘电 j

7ГГЭе 7 г^со/е

(2.9.20)

. Вырожденный характер геострофического приближения

Геострофическое приближение, приводя к очень простым и изящным соотношениям, играет чрезвычайно важную роль. Коль скоро известно поле давления, то горизонтальные скорости, их вертикальный сдвиг, вертикальная компонента вихря немедленно определяются. Ес» тественно, как ясно из результатов предшествующих разделов, это приближение не работает в окрестности экватора, и мы ожидаем, что в экваториальной области потребуются более сложные динамические модели. Однако даже для высоких широт остается все же неясным важ« ный вопрос о том, как, используя лишь геострофические соотношения, рассчитать поле давления или предсказать его эволюцию во времени. Геострофическое приближение представляет собой диагностическое соотношение, и оно говорит нам лишь, что при медленном изменении поля скорости со временем соответствующее ускорение Кориолиса будет все время балансироваться изменяющимся градиентом давления. Даже если бы мы интересовались динамикой стационарных движений, геострофическое приближение оказалось бы недостаточным, поскольку обычно в этом случае задается лишь информация о движении на границах интересующей нас области, а структура движения внутри области должна рассчитываться.

Информация о движении, содержащаяся в геострофических соотно- шешях9 просто недостаточна для полного определения динамики движения. Любое поле давления может давать разумное поле геострофической скорости при условии малости числа Россби для этого поля^ одна» ко, оставаясь в рамках геострофического приближения,невозможно различить, какое из предполагаемых полей давления будет правильным. Для разрешения этой трудности, очевидно, потребуется рассмотрение более высоких приближений в динамических уравнениях, т・е・ учет влияния малых отклонений от геострофических соотношений. Эти малые отклонения включают в себя члены относительного ускорения порядка числа Россби ц/или силы трения порядка числа Экмана. Таким обра* зом, определение поля движения оказывается зависимым от малых сил, каждая из которых пренебрежимо мала по сравнению с основной силой Кориолиса, что делает эту задачу весьма тонкой и трудной. В основном трудность возникает иэ*за очень точного баланса между градиентом давления и ускорением Кориолиса. Однако вихрь градиента давления тождественно равен нулю, а вихрь ускорения Кориолиса дает дивергенцию геострофической скорости, которая также очень близка к нулю; таким образом, применение операции ротора (или вихря) к уравнениям движения практически уничтожает каждый из этих членов. Следовательно, и вклад градиента давления, и вклад ускорения Кориолиса в баланс вихря не являются столь же определяющими, как это мме・ ет место в случае баланса импульса. Это означает, что тонкий вопрос о построении динамических уравнений более высокого приближения может быть проще всего разрешен путем анализа уравнения вихря или, точнее, путем анализа уравнения потенциального вихря, как будет показано ниже.

Глава 3

Теория мелкой воды безучета вязкости

Введение

В этой главе мы изучим динамику тонкого вращающегося слоя однородной, несжимаемой, невязкой жидкости. Рассматривая такую физическую модель, мы преследуем две цели. Прежде всего эта модель достаточно проста, поэтому и вопросы, связанные с вырождением геострофического приближения^ могут быть исследованы более легко, чем в случае стратифицированной по плотности жидкости, когда наряду с уравнениями движения приходится рассматривать и уравнение термодинамики. Поэтому первая задача этой главы состоит в том, чтобы, последовательно используя геострофическое приближение, показать, как можно построить динамическую модель, пригодную для расчета движений с большими временным и пространственным масштабами. Более того, изложенный здесь метод анализа может быть использотан и в случае стратифицированных жидкостей. Ключевой момент этого анализа состоит в построении схемы последовательных приближений, в которой геострофическое приближение является просто первым шагом.

Вторая задача этой главы состоит в последующем использовании построенной модели для изучения атмосферных и океанских движений. Естественно, заранее не очевидно, что модель, в которой полностью не учитывается влияние стратификации, вообще пригодна для этой цели. На этом этапе просто предлагается некоторая модель для изучения реальной атмосферы или океана9 справедливость которой должна быть проанализирована в дальнейшем. Такой шаг в построении модели всегда в той или иной степени основан на определенной вере» Будет ли он успешным, зависит от интуитивной способности исследователя предвидеть, насколько данная физическая модель отражает основные динамические черты геофизического явления. Выбор модели определяется опытом исследователя, его интуицией и степенью ясности динамических предпосылок. Важно подчеркнуть, что когда модель уже выбрана, то должная проверка ее пригодности может быть получена путем систематического, последовательного и точного анализа всех следствий, из нее вытекающих.

В ряде работ было показано, что модель мелкой воды может пра-

вильно описывать важные стороны атмосферных и океанских движений; поэтому мы можем использовать при наших рассмотрениях глубокие интуитивные соображения первых исследователей* в этой об№ сти. Естественно при этом ожидать, что результаты такой модели будут применимы лишь к анализу тех явлений, которые не зависят существенным образом от стратификации.

Модель мелкой воды

Начнем с рассмотрения слоя жидкости постоянной плотности (рис. 3.2.1). Высота поверхности жидкости относительно отсчетного уровня z = 0 равна Л(х, у, t). Имея в виду приложения к земной атмосфере или океану, будем понимать под объемной силой, имеющей потенциал © вектор д, перпендик у лярны й поверхности z = 0, т.е. направленный в сторону, противоположную вертикальной оси. Ось вращения жидкости совпадает с осью z, т.е. £2 = kQ, так что в данном случае параметр Кориолиса f равняется просто 2Q・ Неподвижное дно задается поверхностью z= As(x,y). Скорость имеет компоненты и, V, и w вдоль осей %, у к z соответственно. Давление на поверхности жидкости может быть задано произвольно, но для наших целей его удобно принять постоянным. Наконец, жидкость предполагается невязкой, то есть в этой главе будут рассматриваться только те движения t для которых вязкость несущественна.

Хотя глубина жидкости 五一五月 изменяется в пространстве и времени, мы предполагаем, что характерное значение глубины может быть выбрано разумным образом, например, как средняя глубина слоя- Обозначим это значение через 0・ Предположим также, что D,

* Эта интуиция особенно ярко проявилась в работах Россби (1939) и Стоммела (1948).

кроме того, равно характерному вертикальному масштабу движения. Подобным же образом предположим наличие характерного горизон тального масштаба движения, который обозначим через L. Основное условие, характеризующее теорию мелкой воды*, состоит в том, что

6= — « 1.(3.2.1)

Таким образом, модель мелкой воды содержит некоторые из важных динамических особенностей атмосферы и океана, описанных в первой главе. Жидкость вращается, так что ускорения Кориолиса могут быть существенными и отношение характерных вертикального и горизонтального масштабов движения мало. Слой жидкости является, однако, плоским, а не сферическим, но мы увидам в разд. 3.17, что этот факт не приводит к существенным затруднениям при приложениях модели* Основной ее недостаток, как указано выше, состоит в пренебрежении плотностной стратификацией, которая существует в реальных атмосфере и океане.

Уравнения теории мелкой воды

В этом разделе мы рассмотрим динамические уравнения, описывающие движения в изучаемой модели. Предположение о несжимаемости и постоянстве плотности сразу же отделяет динамику от термодинамики; при этом уравнение сохранения массы сводится к условию несжимаемости

包 + 生+ 也=0.(3.3.1)

Эх ду dz

Каждый из первых двух членов в уравнении (3.3.1) имеет порядок O(U/L), где U - характерный масштаб горизонтальной скорости. Если W есть масштаб вертикальной скорости, то 犷/D не может быть по порядку величины больше, чем Q(U/L), т.е.

收 0(61/).(3.3.2)

Вертикальная скорость может быть и меньше оценки (3.3.2), если имеет место взаимная компенсация членов ди/дх ndv/dy, так что на самом деле выражение (3.3.2) дает верхнюю границу для 亦.

Оценим теперь порядок членов в уравнении для импульса. Для

невязкой жидкости векторное уравнение (1.6.7) может быть

записано

в проекциях на оси координат следующим образом:

du

г du

+ [ u —-- + дх

du v

办

du + w de

]—fv =

1 Эр

и

и2

UW

p

(3.3.3)

W =

dv

dv .

dv

dv

1 ap

+ u — + V

w

+ fu =—

J

dt

дх

dz

p 办

и

и2 и

2

UW

尸

(3.3.4)

т

■рГ，

dt

dw ■ 4- U 4-

дх

dw V

Эу

dw + w dz

P

dz

W

UW

UW

WW

P

(3.3.5)

D

*

где под каждым членом уравнения записан его порядок величины, выраженный через характерные масштабы. Заметим, что Т - характерный временной масштаб, т.е. надлежащим образом выбранный масштаб временных изменений, а Р- масштаб отклонений поля давления, т.е. полное давление р уже записано в виде

р(*,у,Z, $ ) = - pgz + р(л,y,z,t ),(3.3.6)

где первое слагаемое представляет собой гидростатическое давление в рассматриваемой жидкости. Так как, согласно оценке (3.3.2),

-^ =0(-^-),(3.3.7)

то из уравнений (3・3・3) и (3.3.4) следует, что масштаб давления задается как

(3.3.8)(3.3.8)Р=・рО [ -у- , и,几 1m^,

(3.3.8)

(3.3.8)

где берется максимальный среди трех параметров в квадратных скоб- ках。Оценка (338) выбрана так, чтобы горизонтальный градиент давления играл существенную роль в балансе импульса; в противном случае ускорение потока равнялось бы нулю。Аналогично отношение членов в левой части уравнения (3,3 °5) к вертикальному градиенту давления ограничено величиной

(3=3О9)(3=3О9)），），P/DP/Dдр/дгдр/дгp[W/7, WU/L]^dw/dt

(3=3О9)

(3=3О9)

），

），

P/D

P/D

др/дг

др/дг

откуда с учетом оценки (338)

dw/dt 62(1/T, U/L)g

Р ^7^ = d/л u/l,亡•(3.3.10)

Представляют интерес два случая. Если число Россби U/fL порядка 0(1) или больше, оценка (3.3.10) дает величину отношения порядка 0(62). Если число Россби мало, то это отношение будет величиной порядка О(62[ 1/f Т, U/fLlme), т.е. для малого числа Россби даже меньшей, чем О(62). Так как предполагается, что 62 « 1, то это приводит к тому, что с точностью до величин порядка 0(62) или меньше др/ дх пренебрежимо мал* и полное давление удовлетворяет уравнению

dp

—= -pg+：O(52),(3.3.11)

т.е. оказывается справедливым приближение гидростатики. Заметим опять, что при анализе характерных масштабов вертикальное ускорение нельзя сравнить с ускорением g・ Вертикальное ускорение, которое является малым в соответствии с оценкой (3・3・2), должно сравниваться с вертикальным градиентом давления, возникающим вследствие движения жидкости. Соотношение (3.3.11) можно рассматривать в качестве еще одного определения модели мелкой воды.

Уравнение (3.3.11) можно сразу же проинтегрировать и получить, что

р= - pgz + А(х9у, t).(3.3.12)

Граничное условие

Р(%,У,五)=Ро，

где р0 - постоянная величина, дает

рн-pg/ -Z)+ Ро,(3.3.13)

так что превышение давления над р0 в некоторой точке равно просто весу единичного столба жидкости над этой точкой в данный момент времени.

Заметим далее, что горизонтальный градиент давления не зависит от z, т.е.

簣"，(3.3.14а)

дх

,(3.3.146)

Эу дх

так что горизонтальные ускорения не должны зависеть от z・ Далее,

логично предположить, что и горизонтальные скорости будут не зависящими от z, если они являются таковыми первоначально. Заметим, что и теорема Тейлора — Праудмена, применимая к данной однородной жидкости при малых числах Россби, требует независимости скоростей от z・

Горизонтальные уравнения импульса примут тогда следующий

вид:

du aт +

du即 /dh

(3.3.15а)

歹+

亠 “dh

" 8*…亨小一歹•

(3.3.156)

Условие независимости и и v от г позволяет теперь проинтег{мро вать уравнение (3.3.1) no z к получить

坦(％, ¥,z/) = -z(旦生 + 包* ) + w(x,y /).(3.3.16)

Далее условие отсутствия нормальной компоненты скорости на твердой поверхности z ^ hB требует, чтобы

切(%,У,%曜)=".Поэтому切(%,У,%曜)=".Поэтому(3.3.17)(3.3.17)

切(%,У,%曜)=".

Поэтому

切(%,У,%曜)=".

Поэтому

(3.3.17)

(3.3.17)

向…i 誓 +”* -в （許 + 訝），（3.3.18）

так что

++dvdhn—)+ w —— + v ayЭхdvdhn—)+ w —— + v ayЭх2k.

+

+

dvdhn

—)+ w —— + v ayЭх

dvdhn

—)+ w —— + v ayЭх

Эу

(3.3.19)

Соответствующее кинематическое условие на поверхности z = 4 имеет вид

(3.3.20)(3.3.21)(3.3.20)(3.3.21)dh 日五 d& . w= -— + m + V -~ , Z =五(巧力 t)

(3.3.20)

(3.3.21)

(3.3.20)

(3.3.21)

и с учетом условия (3.3.19) дает

(Л - А») и) + 且一［(Л - AB)v} = 0.

dt Эхв 打6/

Введем полную глубину

Н=五一hg

и перепишем уравнение сохранения массы (3.3.21) в виде

(3・322а)(3・322а)(33226)(33226)~ +(以")+ (vН) = 0,

(3・322а)

(3・322а)

(33226)

(33226)

dt дх

что эквивалентно уравнению

dH гг / ди、 с

丁 ~ + — )= °-

dtдх Эу

Первое из этих уравнений, (3.3.22а), показывает,что если локальная горизонтальная дивергенция полного потока, у • (инЯ), положительна, то она должна компенсироваться локальным уменьшением толщины слоя из-за опускания свободной поверхности. Второе уравнение, (3.3.226), эквивалентное первому, означает, что если перемещаться вместе с жидкостью, то увеличение поперечного сечейия Л столба жидкости со скоростью

(3.3.23)(3.3.23)I dAdu + dv

(3.3.23)

(3.3.23)

4 dtдх Эу

должно сопровождаться уменьшением полной толщины, так что

1 dH Iи объем НА остается1 dH Iи объем НА остается(3.3.24)(3.3.24)постоянным.постоянным.

1 dH I

и объем НА остается

1 dH I

и объем НА остается

(3.3.24)

(3.3.24)

постоянным.

постоянным.

Уравнениями теории мелкой воды являются уравнения (33.15а, б) и (3.3.22а) или эквивалентное уравнение (3.3.226). Заметим, что вследствие условия 6 « 1 уменьшилось число динамических уравнений, число зависимых переменных (за счет исключения w из динамических уравнений) и число независимых переменных (так как z не входит больше в явном виде в динамические уравнения). Оставшиеся переменные и, г и Л являются функциями только х, у и г.

Тот факт, что wecTb простая линейная функция z, приводит к важному следствию. Если использовать уравнение (3.3.226) для исключения ди/дх + dv/dy из выражения для w (3.3 J9). то получим

(3.3.25)(3.3.25)

(3.3.25)

(3.3.25)

что означает

(3.3.26)

Таким образом, функция (z - Ав)/Я сохраняется при движении каждой жидкой частицы. Величина (z -Лв)/Я есть относительная высота

от дна жидкой частицы, изменяющаяся от нуля на дне до единицы на свободной поверхности. Тот факт, что “ и и не зависят от z, означает, что жидкость движется как набор столбиков, ориентированных параллельно оси z・ Условие (3.3.26) просто показывает, что во время растяжения или сжатия каждого столбика относительное положение жидкой частицы в столбике не изменяется.

Сохранение потенциального вихря.

Теория мелкой воды.

Три компоненты относительного вихря в декартовой системе ко ординат имеют вид

dw

八dudw

J dzdie

В данном случае, когда и и v не зависят от z, имеем

=彳 н。(匸)=。(6 — du/7/

3y 二J i— =• 0(— ) = 0(6 —), dxLL

dv duU

吗=Tx _ 1- =。(丁)，

(3.4.1a)

(3.4.16)

(3.4.1b)

(3.4.2a)

(3.4.26)

(3.4.2b)

так что отношение горизонтальных компонент относительного вихря к вертикальной компоненте имеет порядок 0(6). Если исключить Л из уравнений (3.3.15а, б) путем дифференцирования первого уравнения по у, а второго по х, то получим

“. 弘 弘 /r . . du dv

曲三寸亏=《+川^7 +7)，(3・4・3)

где введено обозначение

(3.4.4)

Итак, единственным механизмом изменения относительного вихря при движении жидких столбиков является конвергенция нитей абсолютного вихря. Используя уравнение (3.3.226), можно переписать (3.4.3) в виде

成 _【+f dH(3.4.5)

что выражает тот же результат, но через растяжение вихревой трубки, а именно для dH/dt>0 (растяжение) и при отличном от нуля абсолютном вихре [ + f относительный вихрь《возрастает на величину, пропорциональную проюведению растяжения столбика на абсолютный шх(ь [ + /• За> метим, что [ не может измениться за счет наклона вихревых нитей, так как в теории мелкой воды этот механизм отсутствует из-за столбообразного движения жидаостй-

Так как / - постоянная, уравнение (3.4.5) может быть записано в виде

_Ё_(，±4 = 0.(3.4.6)

Таким образом, при движении каждого жидкого столбика величина

口,=上丄(3.4.7)

s Н

остается постоянной. Если Н увеличивается, то абсолютный (а следовательно, и относительный) вихрь должен возрастать для того, чтобы П5 оставался постоянным в столбике. Заметим, что если [ первоначально равен нулю, то он таковым и останется, если толъко Н будет постоянной; иными словами, относительный вихрь создается растяжением столбика в поле планетарного вихря f • Нетрудно понять, что ns непосредственно связан с общим потенциальным вихрем, определенным формулой (2・5・8 )• Эго следует из того факта, trro, поскольку жидкость баротропна, любая консервативная х^)актеристика жидкости Л может бьпъ использована для определения П- В частности, функция (3.3.26), т. е.

Л 二巴，(3.4.8)

н •

вполне пригодна для этой цели. Так как единственной отличной от нуля компонентой вихря ( с точностью до О (6)) является вертикальная компонента, мы имеем

рpH

р dz НpH

Поскольку р — постоянная, то П5 с точностью до постоянного множителя действительно равен потенциальному вихрю. В значительной степени по историческим причинам в теории мелкой воды принято называть П5 потенциальным вихрем; этого термина мы и будем придерживаться в данной главе.

Интегральные соотношения

Прежде чем перейти к рассмотрению отдельн^1х за^ач, полезно вывести сначала некоторые общие интегральные соотношения, которые будут использоваться в дальнейшем.

Рассмотрим движение жидкого слоя, определяемое уравнениями (3-3-15а, б) и (3.3-22а), в замкнутой области R, ограниченной кривой Со . Далее, пусть R содержит J внутренних "островов", каждый из которых ограничен кривой С -, ； = 1, 2, . . . , /, как показано на рис- 3.5.1. Каждая граница Со, С〕・..,Су твердая и непроницаемая для жидкости, и, следовательно, на каждой границе

□н - Пу = 0,(3.5.1)

где ,. - единичный вектор внешней нормали для каждого контура, а % - горизонтальная скорость, т.е.

% = iu + ju.(3.5.2)

Горизонтальные уравнения для импульса могут быть записаны в векторной форме:

——и,. + V+《+ f № х u^ = —g«九.(3.5.3)

dt H 2

Если уравнение (3.5.3) проинтегрировать по некоторому замкнуто- му контуру С〃 ; = 1, 2, . . . , J, то

0111H ・ dr = -，К + f) (k X uH) • dr,(3.5.4)

J， c.c,

где dr - вектор, касательный к кривой Су в данной точке. Остальные члены уравнения (3.5.3) при интегрировании по замкнутому контуру исчезают- Так как

(И х %)・ dr = к • (% х dr),

Рис. 8.5Л. Контур Со ограничивает занятую жидкостью область Л, содер жащую острова, каждый из которых ограничен кпивой С., / = 1, 2,/ .

подынте^ралънал функция в правой части уравнения (3.5-4) тождественно равна нулю, поскольку, согласно условию (3.5.1), ин параллельна dr на контуре С『Таким образом, циркуляция относительно计 скорости по каждой кривой Cj не зависит от времени, т.е^

-^- ин • dr = 0 ,; = 0, 1,...,丄(3.5.5)

Уравнение (3.4.3) для вихря может быть записано в более компактной форме как

(3.5.6)(3.5.6)-^- + V • [ (5 + f) ин ] = 0. аг

(3.5.6)

(3.5.6)

Если уравнение (3.5.6) проинтегрировать по площади 4 жидкой области R, т.е. по площади, ограниченной Со и всеми контурами Cj, то с учетом соотношения (3.5.1) имеем

—-i^dxdy = + ^€+ Z)uH * nodr + 2 ^(5 +/)ин * n/dr = °，(3・5・7)

8汇 /'CQj*&

так что осредненный по площади 4 относительный вихрь должен быть постоянным во времени. Оставляем читателю показать, что соотношение (3.5.7) следует также непосредственно из (3.5.5 ) и теоремы Стокса.

Аналогично среднее по площади от (3.3.22а) дает соотношение

// hdxdy = 0,(3.5.8)

являющееся просто условием сохранения полной массы жидкости.

Если уравнение (3.5,3) умножить на Н% и использовать уравнение (3.3.226)» то

—I %『+ V •貝 ％Н| 叮口 н • Nh =

dt 2 12

=-&▽ • Hu^h + ^g^ . uh^'(3.5-9)

Исключая второй член в правой части (3.5.9) при помощи уравнения (3.3.22а), получим соотношение

-^-{— |%|2 +• { HuH[hg + - |叮円} ‘(3.5.10)

d t 222

которое, будучи проинтегрированными по площади Л, дает

-А Я^у[~1ил12+ V~J = 0-(3.5.11)

dt 4 Z2

Член (Н/2)|ин| 2 представляет собой умноженную на Н кинетическую энергию единицы площади, т.е. кинетическую энергию столбика жидкости единичного сечения. Вклад а в кинетическую энергию имеет порядок О(б2) и в соотношении (3.5.11)отсутствует. Потенциальная энергия столбика жидкости единичного сечения равна

}gzdz = g" ,(3.5.12)

о .2

где уровень z = 0 выбран произвольно за нулевой отсчетный уровень для потенциальной энергии. Таким образом, соотношение (3.5Л)есть просто закон сохранения суммы кинетической и потенциальной энергии в теории мелкой воды. Полученные интегральные соотношения применимы и тогда, когда жидкость не ограничена, но скорость рав^ на нулю на бесконечности.

3・6・ Движения с малой амплитудой

Первый естественный шаг при анализе новой системы динамических уравнений состоит в изучении движений с малой амплитудой, когда допустима линеаризация уравнений движения. В частности, решения таких уравнений, описьшающие свободные колебания или волны, часто помогают понять фундаментальные механизмы, характерные и для более сложных движений. Кроме того, нам важно найти характерные временные масштабы собственных мод колебаний системы. В этом разделе будет получено основное уравнение для линеаризованных движений.

Пусть толщина жидкого слоя в состоянии покоя равна %(х, у). Тогда в общем случае

н(£ у, £)= %仇 у) + q(x, у, t)(3.6.1)

Условие малости амплитуды означает, что q « % Предположим да* лее, что и и v достаточно малы, так что

(3.6.2)

Линеаризируя уравнения (3.3.15а, б) и (3・3・22а), т-е. пренебрегая

квадратичными относительно динамических переменных 〃，v, q членами, получим

(3.6.3а)

(3 6。36)

(3.6.3b)(3.6.3b)XlL + 坦-(uH0) + (vHQ) = 0- dx办

(3.6.3b)

(3.6.3b)

Введем линеаризованный вектор полного потока U = i U + 忆 где

J叫，J叫，(3.6Л)

J叫，

J叫，

(3・6°5а)(3・6°5а)и перепишем систему уравнений (3.6.3а, б, в) в следующем виде:

(3・6°5а)

(3・6°5а)

」①叫8；'

(3.6.56)

°п +也.+ 也=о.

at дх 办

Комбинируя первые два из написанных уравнений, получим

dtдудхдхду

а,dVзи, .<dVdU>

{i + /г+ i =

dtHxду办дх

…{华_但-也红}.

Эх 办 dy dx

Из этих соотношений следует, что

(3・6.5в)

(3.6.6)

(3.6.7)

(—；+ / ) ( + --~ ) = —、g 丁 У * { %▽□ 1 —

办2分 Эxdt

,он0 闪 a% 旳］ дх dy 办'*

(3.6.8)

Используя уравнения (3.6.5в) и (3.6.8), найдем одно уравнение для переменной q

券+f2R-▽•(C；w1-力(H°，n)= o， где

c： = g%

и введено обозначение для якобиана двух функций

川дА дБдА дВ

j(a9b)-~——

дх ду办 Эх

(3.6.9)

(3.6.10)

(3.6.11)

После определения q скорости и и v могут быть найдены путем решения следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, получа-

ющихся из уравнений (3・6*3а, б)

(3・6・12a)(3.6.126)(3・6・12a)(3.6.126)(т^ + / ) u = — g(^~^*- / ——)，

(3・6・12a)

(3.6.126)

(3・6・12a)

(3.6.126)

dt2dxdtdy

z d2 《2、/\

dt2ЭхЛЭх

Геострофическое движение в линейном приближении

Рассмотрим сначала не зависящие от времени решения уравнений (3.6-9) и (3・6・12а, б). Из двух последних уравнений следует, что

业L,(3.7.1а)

V = A ±L ,(3.7.16)

/ дх

в которых, вспоминая связь между」и давлением, нетрудно узнать геострофические соотношения для горизонтальных движений. В частности, изолинии q представляют собой линии тока стационарного геострофического течения, так как из уравнений (3.7.1а, б) следует, что

“亚 + V 虬=о(3.7.2)

Далее, уравнение (3*6.9) для стационарных движений сводится к уравнению

/(Wo, П ) = 0(3.7.3)

или_,_

Е)н = - ^2L 一 =应)n ,(3.7.4)

dx 0 дН^/ду дг\/ду дх

так что на плоскости х, у линии постоянной невозмущенной глубины % должны совпадать с линиями постоянного q . Так как изолинии q являются линиями тока стационарного геострофического течения, то в линейном приближении геострофическое течение должно быть направлено вдоль линий постоянной глубины, как показано на рис. 3.7.1.

Рис. З.7.Т. Изобаты и линии тока для стаоюнарного, чисто геострофического течения должны совладать, что и показано на рисунке.

Это, конечно, есть прямое следствие уравнения сохранения потенциального вихря (3-4.6), которое для стационарного движения сводится в линейном случае к

uw • У (~ ) = 0.(3.7.5)

Следовательно, если q задано в одной точке каждой изолинии Н。， то оно определено всюду на этой изолинии. Ясно, что если изолинии "о упираются в твердую границу, где нормальная скорость равна нулю, то получающееся в линейном приближении стационарное движение вдоль таких изолиний невозможно. Строго говоря, геострофическое движение, таким образом, возможно лишь при условии, что изолинии % замкнуты или уходят на бесконечность. Заметим, что если % постоянна, то возможно любое геострофическое течение.

Конечно, реальные движения не бывают cmpow геострофическими, и в следующих разделах мы рассмотрим, что происходит, когда не выполняются либо предположение о стационарности, либо предполо жение о линейноети^

Плоские волны в слое жидкости постоянной глубины

Рассмотрим свободные колебания слоя постоянной глубины с горизонтальными размерами, намного превышающими длины волн изучаемых колебаний; такой слой можно рассматривать как бесконечно протяженный по горизонтали. Для постоянной глубины Н。 коэффициенты уравнения (3.6.9) также постоянны, и решения можно искать в виде плоской волны

n = Rer]oe'"x + 叮-6),(3.8.1)

где Re означает действительную часть стоящего после этого символа выражения. Амплитуда колебания равна q 0, а фаза 0 задается соотношением

0 = fcx +ly - ut・(3.8.2)

В данный момент времени фаза (а, следовательно, и возвышение поверхности) будет постоянна на линиях, на которых величина Ах + Zy постоянна; это показано на рис. 3.8-1, где изображены линии постоянной фазы, скажем гребни волны. Характеристики плоской волны постоянны вдоль линий постоянной фазы. Нормаль к линиям постоянной фазы задается волновым вектором

К =VO = iA + jZ.(3.8.3)

Расстояние Л (по нормали) между двумя соседними линиями с одинаковой фазой определяется условием | К | Л = 2-гт, так что длина волны Л связана с волновым числом К = |К| соотношением

” 21 •(3.8.4)

К

Волновое число равно числу колебаний, укладывающихся на единичном отрезке, перпендикулярном гребню.

В любой заданной точке фаза изменяется со временем линейно со скоростью

а =-0,(3.8.51

dt

которая равна числу гребней, проходящих через эту точку в единицу времени. Скорость, с которой фаза распространяется вдоль оси х, определяется условием постоянства 0 при фиксированном у и изменя-

Рис. 3.8 J. Геометрия плоской еолны. Волновой вектор К перпендикулярен линиям постоянной фазы волны.Рис. 3.8 J. Геометрия плоской еолны. Волновой вектор К перпендикулярен линиям постоянной фазы волны.

Рис. 3.8 J. Геометрия плоской еолны. Волновой вектор К перпендикулярен линиям постоянной фазы волны.

Рис. 3.8 J. Геометрия плоской еолны. Волновой вектор К перпендикулярен линиям постоянной фазы волны.

(3.8.6)(3.8.6)ющихся х и t ; при фиксированном у для наблюдателя, двигающегося параллельно оси х со скоростью

(3.8.6)

(3.8.6)

фаза е будет постоянной. Соответственно скорость распространения вдоль оси у равна

(3.8.7)(3.8.7)d^/dt ст

(3.8.7)

(3.8.7)

аё/д? = 7

Фазовая скорость представляет собой скорость распространения фазы в направлении К, т.е. в направлении распространения гребня волны. Величина фазовой скорости в этом случае равна

С = _ J_ _吧=g = и(3.8.8)

一 Ivol at к 优2 +片产

Важно подчеркнуть, что фазовая скорость не удовлетворяет правилам сложения векторов. Фазовая скорость в направлении х не есть

«-компонента фазовой скорости вдоль К. Эта компонента равна стЛ/№, т.е. не совпадает с С . Фазовая скорость в направлении х есть скорость, с которой точка пересечения линии постоянной фазы с осью х перемещается вдоль оси х, и она возрастает при уменьшении проекции К на ось х, т.е.

С =—・(3.8.9а)

X к

Аналогично

с =— .(3.8.96)

Если в уравнение (369) при постоянной величине HQ подставить выражение (3.8.1), то мы получим

ьПо{/2-ь2 + С；к2} = о.(3.8.10)

Если ст 0, т.е. движение нестационарное (иначе сразу применимы результаты раздела (3.7)) и%/ 0 (волна имеет ненулевую амплитуду), то плоская волна (3.8J) будет решением только в том случае, когда ст является определенной функцией от К, удовлетворяющей уравнению

Эта функция ст = ст(К) представляет собой дисперсионное соотношение, которое в данном простом случае имеет вид

и "U(K)= ±{尸+ 戏个}”(3.8.11)

В рассматриваемом случае частота является функцией только абсолютной величины К и не зависит от его направления. Для каждого К существует два свободных колебания, представляющих волны с фазовыми скоростями

f 2

С= ±fc2+(3.8.12)

гребни которых движутся в направлении К и противоположно ему.

Когда нет вращения (f = 0) фаза для всех длин волн перемещается с одинаковой фазовой скоростью (gH^9 равной скорости волн на мелкой воде и известной из классической линейной теории. Наличие вращения увеличивает скорость волны. Кроме того, из соотношения

очевидно, что все свободные волны имеют частоты, большие

чем f, т.е. их периоды меньше полупериода вращения системы координат, и, следовательно, зти волны имеют значительно более высокие частоты, чем те, которые характерны для медленных крупномасштабных, атмосферных и океанских течений.

(3.8.13)(3.8.13)Если q0 = |q0| ^ ф, та решение (3.8.1) может быть записано в виде

(3.8.13)

(3.8.13)

П = I Ло| cos (Ах + Zy —at + ф).

Теперь, иепользуя уравнения (3.6.12а, б), можно получить 〃 и 己 или, что более наглядно,

气I н」殳上 Ceos (kx + ly - at + ф),

I Н I0・8・14)

и. — — Csin (Ах + /у - W + ф)у

где

(3.8.15)

〃丄=["н — и” К],

т.е. иц - скорость частиц в направлении К или перпендикулярно гребням волны, а 勺一скорость частиц вдоль гребней Из выражений (3.8.15) следует, что вектор горизонтальной скорости с течением времени описывает ЭЛЛ14ПС, как это показано на рис. 3.8.2, уравнение ко

торого имеет вид

(3.8Л6)(3.8Л6)22 b2 С2п：

(3.8Л6)

(3.8Л6)

勺 +"丄=if

Конец вектора скорости за один период колебаний обегает эллипс один раз по часовой стрелке. Заметим, чго поскольку ст/f > 1, максимум скорости, параллельной К (т.е. градиенту давления), больше максимума скорости, направленной вдоль линий постоянной фазы q, которые одновременно являются и изобарами. Следовательно, геострофическое приближение для этих волн не выполняется; течение жидкости направлено в основном вдоль градиента давления-

Ui/c^/н.

UJCRH。

Рис, 3.82 Эллипс, описываемый вектором скорости в волнв.

Вихрь в волне равен

г К1Tft]

4. = — КС cos (kx + Zy — ст t + <p)=・ ,

К丄 九 b%

(3.8.17) что прямо следует из линеаризованного уравнения потенциального

вихря (3.4.6), имеющего вид

агаг[5 -丄 п] = о.[5 -丄 п] = о.(3.8.18)(3.8.18)

аг

аг

[5 -丄 п] = о.

[5 -丄 п] = о.

(3.8.18)

(3.8.18)

Для периодического течения отсюда сразу получается выражение (3.8.17). Поскольку при прохождении волны свободная поверхность поднимается и опускается, вихревые трубки растягиваются в поле плане тарного вихря, и это создает* положительный относительный вюфь в гребнях волны и отрицательный во впадинах.

Горизонтальная дивергенция волнового поля также может быть выражена через возвышение волны, а именно

V . U„ = _— -^1- = 0(-^- ),(3.8.19)

н н。at н

иуслооовагельно9 отношение порядков относительного шхря и горизонталь* ной дивергенции равно

▽ ♦ U▽ ♦ UннстстJ— = 0(1) < 1.(3.8.20)

▽ ♦ U

▽ ♦ U

н

н

ст

ст

Чем меньше эта величина, тем больше отклонение течения от геострофического.

Волны Пуанкаре и Кельвина

В этом разделе мы продолжим изучение свободных линейных колебаний тонкого, вращающегося слоя жидкости. Обратим теперь наше внимание на моды, которые появляются в частично ограниченной области 一 канале шириной L, ориентированном вдоль оси х, как показано на рис. 3.9.1. Так как область ограничена по у, то решение q не должно быть в отличие от случая неограниченной во всех направлениях области периодическим по х и у. Вместо этого на каждой из двух стенок канала скорость в направлении у должна равняться нулю, что согласно уравнению (3.6.126), дает

-^3- - f厶=0, у = О, L .(3.9.1)

dydt дх

Глубина Но по-прежнему считается постоянной; основное уравнение для п имеет вид

且{(二 + f2)n -с加 2“} =0.(3.9.2)

at dt20

Будем искать периодические по х и f волновые решэния вида

n = Ren (у)е*'^* -at\(3.9.3)

где q(y) 一 (комплексная ) амплитуда волны, зависящая от у・ Подстав-

Р и с. 391. Бесконемный канал шириной L, вращающийся с угловой скорость» 〃 2.

ляя решение (3.9.3) в уравнение (3.9.2) и граничное условие (3.9.1) получаем для q задачу на собственные значения

i-尸С2~ оi-尸С2~ о-k2} п = О,-k2} п = О,(394)(394)d2q d*d2q d*dy стdy сту = О, L.у = О, L.Общее решение уравнения (3.9.4) имеет видОбщее решение уравнения (3.9.4) имеет вид4 sin ау + В cos ay.4 sin ау + В cos ay.гдеa2 -гдеa2 -~ 2 ，2С1~ 2 ，2С1(395)(396)(3.9.7)(395)(396)(3.9.7)

i-尸

С2~ о

i-尸

С2~ о

-k2} п = О,

-k2} п = О,

(394)

(394)

d2q d*

d2q d*

dy ст

dy ст

у = О, L.

у = О, L.

Общее решение уравнения (3.9.4) имеет вид

Общее решение уравнения (3.9.4) имеет вид

4 sin ау + В cos ay.

4 sin ау + В cos ay.

где

a2 -

где

a2 -

~ 2 ，2

С1

~ 2 ，2

С1

(395)

(396)

(3.9.7)

(395)

(396)

(3.9.7)

Подстановка (3・9工)в граничное условие (3.9.5) дает нам два линейных однородных уравнения для 4 и 8

(3.9.8а)(3.9.8а)аЛ + В = О

(3.9.8а)

(3.9.8а)

4[a cos a L + f-^-sinaL ] + R [ cosaL — asiitoc L] = 0.

ии(3.9.86)

Нетривиальные решения для 4 и В существуют только тогда, когда определитель системы (3.9-8) обращается в нуль. После несложных преобразований получаем соотношение для собственных значений

(ст2 - /2)" 2 _ с»2)sin a L = 0 ・(3.9.9)

Очевидно»имеются три возможности: либо sinaL равен нулю, либо и 2 = f 2, либо, наконец, ст 2 = С20А2. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Уравнение

sin a L = 0(3.9.10)

будет выполняться, если а равно

a = ^ , я = 1, 2, 3, . . . .(3.9.11)

т.е. существует бесконечное число решений. Заметим, однако, что a =厶=0 не является возможным решением. Это решение представля-

ет собой плоскую волну с гребнями, ориентированными параллельно оси у , т.е. волну, не меняющуюся по у・ Хотя такое решение и возможно в невращающейся жидкости, из уравнения (3.6.126) следует, что при дт\/ду н О

”(х, t),(3.9.12)

/ 2 — (У2 Эх

так что V отлична от нуля и не зависит от у и, следовательно, не может обращаться в нуль при у = 0 и у = L, как того требуют граничные условия. Выражение (3.9.11) для собственных значений дает

a2=八一尸.行913)

С21

О или

а = ап = ±{/2 + С^(к2 + ^^)} ，п = 1, 2, 3, . . . . (3.9.14)

Это совпадает с дисперсионным соотношением (3.8Л1) для свободных плоских волн, но с тем важным отличием, что у-компонента волнового вектора принимает теперь дискретные значения n(ir/L). Такие моды называются волнами Пуанкаре.

Наличие решений (3.9.14) с частотами 。 одной и той же величины, но разных знаков означает, что волны Пуанкаре могут распространяться как в положительном, так и отрицательном направлении оси х. Заметим, что частота всегда превосходит f; в самом деле, так как поперечное волновое число равно n(ir/L), n = 1, 2, . . . . , то

a》{尸+—-—产.(3.9.15)

Используя выражения (3.9.8а) и (3.9.14), найдем характеристики движения. Для каждой моды имеем

гпну

п = по L COS-

птт

sin q

гигу

-]cos (Ах — и t + <р).

и = cos

пну

sin ■

— ] cos (Ах - ut + ф).

"о С*

птт

Пл г с C^rrix2 “и и [f + __ ]sin —^- sin ("%- ” + @),

0(3.9.16)

где С* =。/А - фазовая скорость вдоль оси х, q0 - произвольная ампл№ туда, а ф - произвольная фаза волны. Отметим зависимость структуры решения по у от направленной фазовой скорости, т.е. от знака С*.

Второв решение (3.9.9) получается, когда

。* 土 С*.(3.9.17)

Это весьма удивительны" результат, так как он представляет собой не что иное, как дисперсионное соотношение для плоской волны в *е・ вращающейся жидкости, гребни которой параллельны оси у. Очевидноt что это решение дополняет набор мод Пуанкаре, как бы заменяя в нем моду п 口 0, существование которой во вращающемся канале оказалось невозможным. Эта мода есть волна Кельвина, имеющая поистине удивительные свойства.

Рассмотрим решение, распространя ющееся в положительном направлении оси к, т.е. 。 = С%. Тогда

а ' н —J ,(3.9J8)

Со

так что а = ± if /С ° - чисто мпимая величина. Без ограничения общности положим а = ifCQ. Отсюда следует, что возвышение и скорости могут быть записаны в виде

П = Qi""。cos (к[х - Су] + @),(3.9.19а)

u = -2Sre-^/cocoe(A[x-Cot] + <p) = --?-巴，(3.9.196) % °f办

и 口 0(3・9・19в)

Отметим несколько необычных особенностей. Прежде всего поперечная (по отношению к оси канала) скорость тождественно равна нулю. Во-вторых, для течения вдоль оси х строго выполняется георржрттес- кое соотношение, хотя частота, вообще говоря, не мала по сравнению

с f. Динамические уравнения такого движения имеют вид

毋* =■§ 頁^(3.9.20а)

dtдх

上3% 史-,(3.9.206)

atдх

(3.9.20b)(3.9.20b)…且0L.

(3.9.20b)

(3.9.20b)

f ду

Первые два из этих уравнений дают классическое волновое уравнение

(Х9.21)(Х9.21)8% = С2 芻 В = 0 *

(Х9.21)

(Х9.21)

(3.9.22)(3.9.22)из которого сразу получается дисперсионное соотношение (3.9.17). Мы видим, что, для того чтобы уравновесить действие ускорения Ко риолиса, обусловленного компонентой скорости и, создается в соответствии с геострофическим соотношением (3・9・20в) наклон свободной поверхности поперек оси канала. Этот наклон зависит от у экспоненциально, и для наблюдателя, смотрящего в направлении распространения волны, высота волны максимальна справа. Характерный масштаб изменения амплитуды волны поперек оси канала равен

(3.9.22)

(3.9.22)

и не зависит от каких-либо особенностей волнового поля. Этот внутренний масштаб длины называется радиусом деформации Россби и представляет собой расстояние, на котором стремление силы тяжести сделать свободную поверхность не зависящей от у уравновешивается стремлением ускорения Кэриолиса ее деформировать. Заметим, что R т g при / -О, так что волна Кельвина в таком пределе превращается в моду п = 0 описываемых соотношением (3.9.14) волн. Следовательно, волна Кельвина действительно представляет собой первую недостаю* щую моду в наборе волн Пуанкаре. При ст = - CQk9 т.е. для волны Кельвина, распространяющейся в отрицательном направлении оси х, применимы те же самые рассуждения. Амплитуда волны максимальна на стенке у = L и убывает экспоненциально с уменьшением у, так что опять высота волны максимальна справа от наблюдателя, смотрящего по направлению распространения волны. Для существования волны Кельвина необходима по крайней мере одна граница. Экспонен-

циальный характер возрастания вьюоты волны делает невозможным ее существование в неограниченной по всем направлениям области. Заметим также, что для низкочастотных волн Кельвина, для которых ст« ^должно выполняться условие kR « 1, т.е. длина волны в направлении оси х должна намного превосходить характерный поперечный масштаб Л. Эта анизотропия обусловливает негеострофичность уравнения (3.9.20а) даже при малых ст , так как малый (по сравнению с поперечным) продольный градиент давления уравновешивается столь же малой «-компонентой ускорения, а ускорение Кориолиса f 廿,будучи тождественно равным нулю, в этом балансе не участвует. Анализ волны Кельвина показывает, что простое рассмотрение баланса членов в первых двух главах требует уточнения, когда горизонтальные масштаоы движения по х и у не одинаковы*

Третье решение (3.9.9) дает колебания с частотой, равной параметру Кориолиса, называемой также инерционной частотой, т.е. колебания, для которых

и = ±3(3.9.23)

Тогда оператор д2 /dt ? + f? в уравнениях (3.6.12а, б), при обращении которого и и V выражаются через 巾 тождественно равен нулю, и мы должны внимательно исследовать, не является ли этот корень фиктивным. То, что это действительно так, можно увидеть, возвращаясь к первоначальной системе (3.6.3а, б, в). Достаточно рассмотреть случай и = f ・ Если подставить решение (3.9.3) с ст =-( в уравнения (3.6.3а, б), получим

m-2= *标，(3.9.24а)

fu-ifv= -g -S ,(3.9.246)

где J7(y) и v(y) - комплексные амплитуды u и v, т.е.

“ =ReJZei小-九丿，(3.9.25a)

” Re公"以 力丿.(3.9.256)

Заметим, что из уравнений (3.9.24а, б) нельзя выразить и и ? через возвышение 不・ Чтобы эти уравнения были совместны, должно выполняться условие

+ 闹=0(3.9.26)

ИЛИ

П = По 6П = По 6(3.9.27)

П = По 6

П = По 6

С другой стороны, согласно (З.б.Зв), при ст = f

-ifn+ ff0(ii?+ _^L)= о,(3.9.28)

и, используя уравнение (3.9.24а) и выражение (3.9.27), получим

落-方= *(】--^^)= —^-(1 - М&)e-打.

(3.9.29)

Общим решением последнего уравнения является

7= ^е*У -— (1 - ^R2)e-kyt(3.9.30)

2丘%

где % произвольно. Для того чтобы удовлетворить условию v{0) = О, постоянную % нужно выбрать так, чтобы

Р и св а 9.2. Дисперсионные кривые для волн Пуанкаре и Кельвина» показываю» ㈱ совпадение инерционных колебаний u/f = +1 и волны Кельвина лри

5二・ JU (l-^Л2) sbjty.(3.9.31)

Второму условию, Г= 0 при у = 3 невозможно удовлетворить иначе, как положив к = R - 3 что тождественно обращает v в нуль. При этом и n CQk = 3 и при таком волновом числе рассматриваемая волна не отличается от волны Кельвина. Следовательно, колебания с частотой ст» f являются фиктивным корнем уравнения для собственных значений, и полный спектр решений состоит из моды Кельвина, мод Пуанкаре и, конечно, моды ст = 0, которая представляет собой геострофическое течение* На рис. 3.9.2 показаны соответствующие дисперсионные кривые, т.е. графики зависимости частоты от волнового числа.

Волна Россби

Рассмотрим теперь свободные колебания, возможные в канале шириной £, как и в разд. 3.9, с тем единственным важным отличием, что % слабо изменяется в направлении оси у, т.е.

%=仄(1-b)，(3.10.1)

где наклон

s « 1.(3.10.2)

Изолинии % параллельны оси х, и чисто геострофическое движение возможно, если только 廿=0・ Движение жидких столбиков поперек изобат (изолиний %)будет приводить к их растяжению или сжатию, что при наличии вращения создает относительный вихрь. Можно поэтому ожидать появления новой моды движения, существование которой зависит от совместного эффекта вращения и наклона дна.

Решения (3.6.9) по-прежнему ищутся в виде n =-Re行(у)e"俱#一b方).

Уравнение для q(y) теперь будет

L dy2 L dygD0厶

-上_以=0,(3.10.3)

где снова

一 + —— n = 0, у = 0, Le(3.10.4)

ay CT

Величина y/L не превосходит единицу. Поэтому для малых s , т.е. малых изменений глубины, уравнение (3.10.3) с очень хорошей степенью точности может быть записано как

(3.10.5)

Заметим, что мы пренебрегли параметром наклона $ только в тех членах, где он непосредственно сравнивается с величинами, имеющими порядок единицыл Последний член в квадратных скобках в уравнжии (3.10.5) зависит от отношения s /ст и не может быть оценен априори. В самом деле, если а имеет порядок O(s ), то этот член будет 0(1).

Решение (3.10.5) имеет вид

q =・е$〃 " [ Л sin ау + 8 cos осу],(3.1Q.6)

где

а2= 宀 (雜+*)(3.10.7)

Использование граничных условий (3.10.4) дает теперь уравнение для собственных значений:

G 2 - f 2)" 2 一 A2C2)sinaL и 0.(3.10.8)

Важно заметить, что первые два сомножителя здесь те же, что и для случая s =0, т.е. для случая плоского дна. Следовательно, при малом s наклон дна в первом приближении не влияет на моду Кельвина. Корни, соответствующие нулям sinaL, теперь дают

Ь 2 一 一例 ％. - С2 (炉 + _2^_ + £)=0,(3.10.9)

Lb°厶2 C2

где ввиду малости s мы пренебрегаем членом O(s 2/L') по сравнению с п2-^/Ь2Л Как и раньше, п должно быть больше нуля.

Имеется два четко разделяющихся класса решений ст ургшнения (3.10.9). К первому классу относятся частоты, превосходящие /*. В этом случае член с s пренебрежимо мал, и с точностью до Qs ) мы получаем снова моды Пуанкаре, т.е.

戸=厂+ 書 倘+ Y哩)+ 0($),2, ... . (ЗЛО. 10)

L2

так что высокочастотные волны Пуанкаре также по существу не подвер жены влиянию слабого наклона дна.

Важное новое решение, т.е. третий корень кубического уравнения (3.10.9), имеет частоту ст = 0($ ), для которой первый член в (3.10.9) пренебрежимо мал, в то время как второй имеет порядок 0(1). Это приводит к дисперсионному соотношению для топографической волны Россби, т.е.

а = - s(丄),n= 1, 2, ... . (3.10.11)

L k、0LX产1备

Более полное обсуждение волны Россби будет дано в разд. 3.15. Здесь же полезно обсудить некоторые характерные черты динамики этой волны, имея в виду формулировку динамических уравнений для низкочастотных движений. Частота волны Россби достигает максимального значения, когда

при этом

('m3)

так что для малых s частота волны Россби всегда меньше f • Таким образом, волна Россби, для существования которой необходимо, чтобы и s и f были отличны от нуля, представляет собой низкочастотное волновое колебание в смысле, указанном в первой главе, т.е. ее период больше периода вращения системы координат.

Поистине замечательная черта волны Россби состоит в том, что ее фазовая скорость в направлении оси х

С* = U+上•)(3.10.14)

всегда отрицательна. Фаза волны для всех к распространяется так, что наблюдатель, находящийся на гребне волны, видит более тонкий слой жидкости (т.е. с меньшей глубиной %) слева (справа) от себя, если f положительна (отрицательна). Дисперсионные кривые для рассматриваемой задачи показаны на рис. ЗЛОЛ. Заметим, что для больших волновых чисел, т.е. при малых пространственных масштабах, частота волны убывает с увеличением волнового числа в отличие от волн Пуанкаре и Кельвина.

Р * с。3.70.7。 Схематическое изображение дисперсионных кривых для волн Пуанкаре, Кельвина и топографических волн Россби в канале.

С точностью до малых членов порядка O(s) возвышение и скорости для волны Россби даются следующими выраженной:

(3.10.15a)(3.10.15a)♦ Tiny /,、 八、

(3.10.15a)

(3.10.15a)

П =「0 sin ―-— cos (А% —ст t + 叫十 O(s),

nnTnnTHo COS R『COS (H — CT r 4- Ф)4- O(s)j (3.10.156)Ho COS R『COS (H — CT r 4- Ф)4- O(s)j (3.10.156)

nn

T

nn

T

Ho COS R『COS (H — CT r 4- Ф)4- O(s)j (3.10.156)

Ho COS R『COS (H — CT r 4- Ф)4- O(s)j (3.10.156)

v =戶 jtqosin Пу— sin(&x—at + 学)+。($),(3.10.15b)

при выводе которых были использованы (3.6J2), (3・9・8а) и (3.10.6).

Анализ динамики волны Россби

Анализ волны Россби представляет особый интерес, так как эта волна является типичным примером низкочастотных движений. Волны Россби, как мы увидим позднее, играют центральную роль в океанологии и метеорологии, но наша цель здесь состоит в анализе динамики этой волны с точки зрения использования его результатов при построении динамической модели, пригодной для описания низкочастотных движений. Эти движения в первом приближении сжазываются геострофическими, однако требуют для своего определения рассмотрения более высоких приближений в динамических уравнениях.

Из выражений (3.10.15) следует, что с точностью до O(s) (и, следовательно, 0(。〃))движение в волне Россби описывается соотношениями

“=_ JL _±L

粤,(3.11.1)

которые аналогичны соотношениям (3.7.1). То есть, с точностью до величин порядка параметра a/f, который в данном случае играет роль числа Россби, поле скорости, хотя и изменяется со временем, но остается связанным геострофическими соотношениями с полем давления. Тем не менее течение не является строго геострофическим, поскольку в этом случае оно должно было бы происходить вдоль изобат, или9иными словами, v должна была бы обращаться в нуль. Для того чтобы скорость V обращалась в нуль, волновое число к, согласно выражению (3.10.15b), должно быть равно нулю, а тогда и частота в соответствии с дисперсионным ооотюшением (3.10.11) была бы равна нулю. Хотя в первом приближении поле скорости и геострофично, именно малые отклонения от геострофичности порождают волну Россби. Другими словами, именно слабое движение поперек изобат, являющееся, строго говоря, негеострофическим, создает рассматриваемое колебание.

Для малых ст /f

—п«Г2П,(3-11.2)

аг2

так что основное уравнение (3.6.9) при малых s сводится к

焉[g%v'n-陶】Lgf=о,(3.11.3)

<?y дх

где относительно малый член g^/dy}^H0/dy) в квадратных скобках был отброшен, как имеющий порядок 0($). Из (3*11.1) следует

8%v 2rl = %/ (要-当)=ад,(3.11.4)

и это соотношение следует сравнить с (2.9.20). Таким образа, уравнение (3.11.3) с учетом соотношений (3.11.1) может быть записано в виде

导= °*(3.1L5)

сП % 小 dy

Так как движение линейно, то

言厶 ~~H^]a~t[^ ■昔](3.11.6)

и, поскольку Hq не зависит от £,

»君=- ,(3.11.7)

dy dt

так что в пределах точности линейной теории

止■ -(Z + n)] = 0,(3.11.8)

или, пренебрегая квадратичными членами,

；-W- = 0-(3.11.9)

Таким образом, основное уравнение (3.1 L3), определяющее динамику почти геострофического движения (т.е. квази геострофического движения), представляет собой уравнение сохранения потенциального вихря, в которое вместо скоростей и вихря подставляются их значения, рассчитанные по геострофическим соотношениям. Таким образом, по крайней мере для рассматриваемой линейной задачи уравнение потенциального вихря дает основное уравнение, определяющее поле геострофических скоростей. При этом малые отклонения от геостро фичности принимаются во внимание неявно 9 так что отпадает необходимость в их непосредственном вычислении. Мы увидим, что этот результат можно будет обобщить, и трудности, связанные с вырождением

геострофического приближения могут быть разрешены путем систематического использования геострофического приближения совместно с теоремой о потенциальном вихре.

Анализ масштабов для квазигеострофичёских движений в теории мелкой воды

Мы вернемся теперь к полным уравнениям теории мелкой воды (3.3.15а, б) и (3.3.22) и, сосредоточив наще внимание на движениях с временными масштабами, большими f 一工，постараемся вывести нелинейный аналог уравнения кваэигеострофического потенциального вихря, рассматривавшегося в предыдущем разделе, В этом разделе основное уравнение было получено путем анализа определенного решения задачи, В общем случае мы не можем так поступать, так как непонятно, как найти решения более трудной нелинейной задачи. Даже если бы мы нашли такие решения, вопрос о том, как использовать приближения типа геострофических, все равно требовал бы дальнейшего исследования, Дело в том, что продвижение в решении нелинейных, а часто и линейных задач, может быть достигнуто лишь в рамках приближенной геострофической теории, Для построения этой теории необходимо систематическое использование качественных априорных суждений о движении (например, что движение имеет большие временные масштабы) для вывода количесменных правил последовательного расчета характеристик такого движения, При этом мы должны исключить излишние сложности, присущие исходной, более сложной задаче, поскольку она описывает одновременно и высокочастотные движения,

Для систематического изложения важно ввести безразмерные переменные, В первую очередь выберем масштабы L, Т, U и 施，которые характеризуют размер, время, скорость и возвышение свободной поверхности соответственно. Используем эти масштабы для определения безразмерных зависимых и незгшисимых переменных, обозначенных далее штрихами

(/у，二 L/『，у*),

(U9v)二 u(u\ 吟，(3.12,1)

n 二 ^ОП*-

Полезно ввести следующее обозначение:

Н 二 Нд(х9 у ) ^ т\ — D т\ —万в，(3.12.2а)

где

% = D-hB(x9 “(3J2.26)

Как показано на рис. 3.2.1, q есть отклонение свободной поверхности от ее положения в состоянии покоя, а А ^ описывает рельеф дна, то есть отклонения глубины покоящейся 木让：кости Н。от постоянного значения D.

Важным предположением является то, что масштабы L,V и т.д. выбраны достаточно точно, так что величины безразмерных перемен-

ных имеют порядок единицы и порядок величины произведения любой комбинации переменных точно определяется произведением соответствующих масштабов. Если введенные соотношениями (3,12,1) переменные использовать для того, чтобы переписать уравнения (工3J5 a, 6)i, и (3.3.22) в штрихованных переменных, то мы получим

2 电f + u22 电f + u2Т ЭгТ ЭгU dv^F 7гU dv^F 7гLLд х^д х^0d廿'v0d廿'vи / _ g竺迎,'6 L Эх*и / _ g竺迎,'6 L Эх*(3.12.3a)+ f U U 一 — g —"" —'— яL 8寸(3J2.36)(3.12.3a)+ f U U 一 — g —"" —'— яL 8寸(3J2.36)

2 电f + u2

2 电f + u2

Т Эг

Т Эг

U dv^

F 7г

U dv^

F 7г

L

L

д х^

д х^

0d廿'v

0d廿'v

и / _ g竺迎,'6 L Эх*

и / _ g竺迎,'6 L Эх*

(3.12.3a)

+ f U U 一 — g —"" —'— я

L 8寸

(3J2.36)

(3.12.3a)

+ f U U 一 — g —"" —'— я

L 8寸

(3J2.36)

^票屮卜*（『i"京综一山

+卫(D+Mn‘-坛)(£ 十纟匚)£ 0.(3.12.3b)

Ldx

Потребуем теперь, чтобы масштабы времени, длины и скорости рассматриваемых движений удовлетворяли условиям

Е =Е =2<<1, fL2<<1, fL(3.12.4)(3.12.4)

Е =

Е =

2<<1, fL

2<<1, fL

(3.12.4)

(3.12.4)

— << 1.

т fT

В этом случае относительное ускорение в уравнениях (3.12.3) мало по сравнению с ускорением Кориолиса и имеет относительный порядок 0(e) или О(е т). Для того чтобы их и / были отличны от ну- л& градиент давления должен быть достаточно велик, чтобы уравно-

вешивать ускорение Кориолиса, Поэтому выберем параметр ^0 как

N=№-，T1,(3.12.5)

в силу чего (3.12.2а) может быть записано в виде

W=D[l+eli< - —1,(3.12.6)

R2 D

где R - радиус деформации Россби для слоя глубиной D, т.е.

(3.12.7)(3.12.7)宀gD)”・

(3.12.7)

(3.12.7)

Если параметр L/R имеет порядок единицы или меньше, то откло

нение толщины слоя от ее значения в состоянии покоя имеет порядок О (•), Если разделить уравнения для импульса на / U, а уравнение сохранения массы на U / 厶,то с учетом соотношения (3.12.5) получим систему уравнений, записанную в безразмерном виде, а име小

+(3.12.8а)

I дх дудх

Для простоты записи штрихи у безразмерных переменных опущены. До конца этой главы' безразмерные переменные будут употребляться без штрихов, в то время как соответствующие размерные переменные будут обозначаться звездочкой, например и* = ®

Параметр

(3.12.9)

появившийся в уравнении (3.12.8 с), представляет собой квадрат отношения масштаба длины 厶 к радиусу деформации Россби R. Будем

считать

尸=0(1)尸=0(1)(Зо12.10)

尸=0(1)

尸=0(1)

на протяжении всего дальнейшего рассмотрения. Числа Россби е 丁 и е являются мерой отношения локального и адвективного ускорений к ускорению Кориолиса. Нас интересуют случаи, когда к & к & 丁 малы. Отношение локального ускорения к адвективному определяется параметром

亠=丄•(3.12.11)

Е иг

Когда этот параметр велик, уравнения по существу линейны, т.е» локальная производная по времени преобладает над нелинейныкм адвективными членами. Предположим, что скорость U достаточно велика, так что нелинейные члены так же важны, как и локальное ускорение, Иными словами, будем считать, что

—=1,(3.12.12)

т.е. будем рассматривать такие случаи, когда время адвекции L/V имеет тот же порядок, что и временной масштаб локальных изменений, Как мы увидим далее, это предположение не ограничивает общность рассмотрения.

Мы теперь можем перейти к систематическому анализу порядков величин различных членов в уравнениях движения; более того» мы можем найти и соотношения, связывающие члены одного порядка по е. Рассмотрим произвольное решение уравнений (3.12.8 а,б, в); оно будет функцией х, у, г и параметра s, Например, скорость и будет

и = и(х,у, х,е)-(3.12.13)

Мы предположим, что для малых е скорость и может быть разложена в асимптотический рад по е • Поскольку система уравнений (3.12*8) содержит только целые степени е , представляется разумным искать разложение в виде

«*(% У. С,е)二 »0 (% 夕"丿 + €%(% у, t) +е2и2(», у, t) + …，

(3.12.14)

где функции %，勺 и т.д. не зависят от s. Итак, каждая из функций и,廿 и Т) раскладывается в ряд типа (3.12.14) и подставляется затем в уравнения движения^ Поскольку параметр s, будучи малым, произволен и уравнения должны удовлетворяться для произвольно малых

е при всех %, у, г, коэффициенты при одинаковых степенях е должны обращаться в нуль. Ввиду того что е мало, нас интересуют в основном величины и0> 沙。и т)0. Тем не менее, для того чтобы опро делить искомые функции низшего порядка, разложение, вообще говоря, должно быть проведено до членов более высокого порядка.

Члены порядка 0( 1) в системе уравнений (3,12.8 а, б, в) дают

V =也，(3.12.15)

дх

‘По м =

ду

так что в первом приближении скорости будут геострофическими, Отсюда сразу следует, что

九，，竺 二 о.(3.12.16)

дх ду

Уравнение (3.12.8в) ставит нас перед следующим выбором. Если величина hB/D имеет порядок 0( 1), то члены порядка 0( 1) в уравнении (3.12.8b) с учетом (3.12,16) дают

(3.12.17)(3.12.17)

(3.12.17)

(3.12.17)

В этом соотношении мы узнаем условие, согласно которому чисто геострофическое течение должно быть направлено вдоль изобат, Другой, более интересный случай состоит в том, что число Россби и hB/D являются величинами одного порядка, как в случае волны Россби, когда о / f 二 е「имело порядок 0($ )• Иными словами, нас интересуют такие случаи, когда число Россби, оставаясь малым, все же настолько велико, что условие (3.12.17) нарушается и движение существенно отличается от строго геострофического движения, Формально это означает, что

(3.12.18)(3.12.18)整m"),

(3.12.18)

(3.12.18)

где т)в имеет порядок 0(1). Хотя в дальнейшем будет рассматриваться второй случай, мы, однако, увидим, что условие (3.12,17) выполняется в соответствующем предельном случае развитой ниже теории.

Отбрасывая условие (3.12.17), мы оказываемся в уже знакомой ситуации, когда, учитывая только члены порядка 0(.1) в разложении (3,12.14), нельзя определить поля низшего порядка %,%,%• Однако теперь, используя асимптотическое разложение уравнений, мы можем продвинуться вперед по сравнению с тем, что было получено раньше при помощи грубых оценок порядков величин. В этой связи за- пись уравнений задачи в безразмерной форме оказывается очень удобной,

Члены порядка 0(е ) в уравнениях движения дают

а%

а%

OR + OX

。勿

а% -=

1дх

(ЗЛ2.19а)

dt

а%

d% +

"。方+

а% u1 = ;_ оу

(3.12.196)

Fl + dt

而。

д х

加。

,аП8加8

1-«*о-т—«0,

Нхду

dx 办

=0.

(3.12.19b)

Скорости

"1 й Vj

не являются геострофическими. В соответст-

вии с (3,12.19) отклонения этих скоростей от геострофических, опред^ ляемых полем давления порядка 0(a), полностью создаются измени ниями поля геострофических скоростей, имеющих порядок 0(1)“ Горизонтальная дивергенция поля скоростей и】,vt не равна нулю и должна уравновешиваться растяжением жидких столбиков. Для вывода замкнутой системы уравнений, в которую явно входят лишь перемен ные порядка 0( 1), исключим давление из уравнений (3.12.19а,б). В результате получим

生Jhdt dt生Jhdt dtdyдхdyдх+ __L), (3.12.20) ду+ __L), (3.12.20) ду

生Jh

dt dt

生Jh

dt dt

dyдх

dyдх

+ __L), (3.12.20) ду

+ __L), (3.12.20) ду

где

(3.12.21)

Итак, с точностью до О (е) скорость изменения относительного

(3.12.22)(3.12o23)(3.12.22)(3.12o23)где言*+ %与+ "总где言*+ %与+ "总вихря равна конвергенции поля негеострофической скорости, имеющей порядок 0(e). Заметим, что в правой части уравнения (3.12.20) стоит линейное выражение. Это объясняется тем. что, хотя в уравнение вихр? (3.4«3 ) входит конвергенция нитей абсолютного вихря, величина 【* настолько меньше f, что в уравнение вихря первого порядка входит только конвергенция нитей планетарного вихря. Если для вычисления дивёргенции поля скорости.порадка О(е) использовать уравнение (ЗЛ2Л9 в), т.е. исключить 叫/己欠 + 己叫/办 из уравнений (3.12.20) и (3.12.19b), то получим

(3.12.22)

(3.12o23)

(3.12.22)

(3.12o23)

где

言*+ %与+ "总

где

言*+ %与+ "总

или

击{С0 ~ 尸п。 + п8 } = 0.击{С0 ~ 尸п。 + п8 } = 0.(3.12.24)(3.12.24)

击{С0 ~ 尸п。 + п8 } = 0.

击{С0 ~ 尸п。 + п8 } = 0.

(3.12.24)

(3.12.24)

Так как %。％ и [0 связаны с % соотношениями (3J2J5) и (3.12.21), уравнение сохранения (3.12.24) можно записать лишь для одной неизвестной функции % :

(3.12.25)(3.12.25)——g— ][ V2 %-F По + Пн I = О,ду Эх

(3.12.25)

(3.12.25)

что представляет собой нелинейное обобщение уравнения (3.11.3)e

Отметим несколько важных моментов：

Задача определения квазигеострофического движения сводится к одному уравнению для возвышения поверхности т]0, или, что то же самое, для давления*

(П) После нахождения решения т]0 из уравнения (3.12О25) скорости и0 и v0 определяются из геострофических соотношвжй (3.12.15).

(Ш) Если hB/D имеет больший порядок, чем 0(е), то величина к будет значительно больше единицы и (3.12.25) сведется к

что совпадает с условием (3.12.17). Таким образом, условие (3.12. 17) действительно выполняется в предельном случае развитой нами теории.

(IV) Уравнение для т]о представляет собой уравнение сохрани ния величины

(3.12.26)(3.12.26)Пв = Со -尸口。+ ПА

(3.12.26)

(3.12.26)

Рассмотрим формулу для потенциального вихря в размерном Б№ де

(3.12.27)(3.12.27)丄+f =上H+l

(3.12.27)

(3.12.27)

П* ~ЯD 1 + 6 Ft] - 6 т]в

Во втором равенстве введены безразмерные переменные и использована формула (3.12.6). Для малых е

п* ^春(1 + *【)(1 - Е 尸口 + е пр) R春 1 1 + 6(5 - Ft] + Г]В )],

(3.12.28)

так что с точностью до несущественного постоянного слагаемого величина. % представляет собой безразмерный потенциальный вихрь, а (3.12.25) зшляется уравнением квазигеострофического потенциального вихря. Иными словами, уравнение (3.12.25) можно получить из урав. нения потенциального вихря, выразив все его члены через ло при помощи соответствующих геострофических формул; эвристически этот результат был получен при рассмотрении волны Россби в предыдущем разделе.

Поскольку % служит функцией тока для скорости порядка 0(1), введем обозначение

% =屮(％ %)(3.12.29а)

используя которое^ имеем

(3.12.296)

U =迎；(3.12.29В)

° дх

а уравнение (3.12.25) соответственно принимает вид 包+з屮аа屮色ни2屮一f屮+ n6]= 0.(3.12.30)

d， dx dy ду dx

При e /е т << 1 получим уравнение (3.12.30), но без нелинейных членов; с другой стороны, при е 丁/e << 1 в уравнении (3.12.30) будет отсутствовать нестационарный член. Следовательно, пока параметры е и е『малы, уравнение (3.12.30) справедливо при любой величине отношения е 丁/e. Действительно, если это отнсниение считать произвольным; то уравнение (3.12.30) останется неизменным, за исключением того, что перед производной по времени появится другой коэффициент, а именно

Э f е т g .

dt е d，

Помня об этих замечаниях, будем в дальнейшем для простоты записи уравнения (3.12.30) придерживаться первоначального выбора масштабов, при котором е и е 丁 были одинаковыми. При этом необходимые упрощения можно проводить прямо в уравнении (3.12.30).

Выражение для квазигеострофического потенциального вихря представляет собой линейную комбинацию трех членов. Первые два члена в (3.12.26) полностью определяются относительным движением. Первый член представляет собой относительный вихрь, второй описывает вклад в потенциальный вихрь от изменений высоты свободной поверхности. Величина отношения второго члена к первому определяется параметром F, т.е. отношением масштаба движения 厶 к радиусу деформации. Если 厶 мал по сравнению с Я, то на масштабе движения П изменяется незначительно и, следовательно, вклад от растяжения вихревых трубок в потенциальный вихрь также незначителен. Таким образом, если Л >> L, то с точки зрения баланса вихря свободная поверхность не отличается от твердой крышки. Если L >> R, то относительный вихрь не существен и скорость жидкости можно считать горизонтально однородной. Итак, радиус деформации Россби есть мае- штаб, на котором относительный вихръ и возвышение поверхности (растяжение вихревых трубок ) вносят одинаковый вклад в потенциальный вихръ. Оставшийся член в уравнении (3.12.26) представляет

собой потенциальный вихрь 川，обусловленный рельефом дна и не зависящий от движения. В размерном виде

(3.12.31)(3.12.31)电子良

(3.12.31)

(3.12.31)

те т)в характеризует отношение потенциального вихря, обусловленного рельефом дна, к величине относительной завихренности, имеющей порядок 0(V / L). Если 口日 мал и нас интересует баланс потен* циального вихря, то толщину слоя можно считать постоянной. Если

Пв очень велик, то его градиенты настолько велики по сравнению с

градиентами относительного вихря, что применимо соотношение

(Х12.17),и(Х12.17),и«геостро^ичеосое течение будет напршлено вдоль изо

(Х12.17),и

(Х12.17),и

линий »в •

Стационарное квазигеострофическое движение

Если движение не зависит от времени, то уравнедше квазигеостро- фического потенциального вихря сводится к

丿(屮Eg)二 0,(3,13.1)

т.е. якобиан 屮 и потенциального вихря равен нулю. Это означает, что изолинии % и 屮 на плоскости х, у совпадают или что

% = G(屮)，(3.13.2)

где G - произвольная функция 屮.В стационарном течении, где тра* ектории совпадают с линиями тока, потенциальный вихрь должен быть постоянным вдоль линий тока жидкости. Вспоминая, как выражено % через функцию 屮，перепишем (3.13.2) как

у2 屮—尸屮 +“в = G(叫，(3.13.3)

или

▽2屮+ пb = G(屮)+ F屮= k(屮)，(3.13.4)

где К(屮)一также произвольная функция 屮.Таким образом, сумма относительного вихря и потенциального вихря, обусловленного рельефом дна, сохраняется вдоль линий тока. Для стационарного течения растяжение вихревых трубок из-за возмущений свободной поверхности отсутствует; каждая жидкая частица сохраняет свою величину 屮，и потому растяжения вихревых трубок из-за изменений свободной по-

верхности не происходит, соответственно свободную поверхность при исследовании таких движений можно считать плоской. Заметим, что вихревые трубки будут растягиваться, если жидкие частицы будут па ресекать изолинии По•

Если функция 内屮)найдена, то уравнение (3.13.4) определяет соответствующее стационарное течение. Для нахождения К(屮)необходимо задать величину у2%+ т)в в одной точке каждой линии тока.

Инерционные пограничные течения

Для приложения соотношений предыдущего раздела рассмотрим следующую задачу. Предположим, что однородный стационарный поток набегает, как показано на рис. 3.14.1, на стенку, расположенную при х = 0 перпендикулярно изобатам. Невозмущенная толщина слоя жидкости задается в виде

〃 =П/1 _ « . % \(3.14.1)

Таким образом,

% =— У = 5 У 三 В%(3J4.2)

где J - скорость невозмущенного потока на бесконечности. Заметим, что если бы стенки, пересекающей изолинии т)в , не было, то однород. ный поток вдоль % нигде бы не возмущался и каждый жидкий столбик двигался бы вдоль первоначального контура т)в>т.е. движение было бы линейным и строго геострофическим. Наличие барьера изменяет ситуацию, Если теперь поток был бы строго геострофическим повсюду, то, согласно результатам разд. 3.7, скорость везде обращалась бы 6 吆ль. Поэтому в данной задаче движение не будет строго геострофическим по крайней мере вблизи границы, где жидкие столбики должны покидать свои изобаты и перемещаться параллельно стенке. При этом в соответствии с (3.13.4) их относительный вихрь должен измениться, чтобы скомпенсировать изменения 口冃 вдоль линии тока. Основным в данном случае является уравнение (3.13.4), принимающее с учетом (3.14.2) следующий вид:

W屮+ ру 二 к(屮)•(3.14.3)

Вдали от стенки течение однородно и направлено противоположно оси х с безразмерной скоростью, равной единице (поскольку U выбрана в качестве масштаба скорости). Таким образом, на бесконеч-

f У

一 —8-2

Р и с„ &14°1и Параллельный поток вдоль изобат является чисто геострофи« ческим, пока он не лово^зивает в сторону из-за границы при х = 0. Ширина зоны поворота равна р—%•

ности

屮=屮8=（У一几），（3.14.4）

где у0 — произвольная постоянная. Кроме того, на бесконечности V 2 屮 равен нулю и

ру= К（屮 в）,（3.14.5）

или

к（屮8）== в 屮8 + В Уо-（3.14.6）

Так как К （屮）постоянно на линиях тока, соотношение （3.14.6） должно выполняться на всех линиях тока, идущих из бесконечности, при любых х и у. На этих линиях тока тогда

К（屮户0屮+0九.（3J4.7）

К（屮）должна быть линейной функцией от 屮 повсюду （лине% ной функцией от у она будет только на бесконетности）. Так как фуж- ция К（屮）теперь найдена, уравнение （3.14.3） принимает вид

у2屮一 §屮=_ § （у _ у。）.（ЗЛО）

Запишем 屮 в виде

屮=(у一у。 ) + <Р(% %)，(3.14。9)

где § представляет собой отклонение функции тока от ее величины в однородном потоке, вызванное присутствием стенки. Функция § должна удовлетворять уравнению

a" +.e：JL — В<р= 0.(3.14.10а)

Эх2 dy2

Соответствующие граничные условия для § имеют вид

Ф -> 0 при х(3.14.106)

"?二-1 при х = 0.(3.14.10b)

ду

Первое из них следует из условия равенства 屮 ее значению 屮g вдали от границы, а второе представляет собой условие отсутствия нормальной скорости и 二一3屮/Ну на стенке х = 0. Так как § должна быть линейной по у при х = 0, ищем решение в виде

Ф=(…。)Х(“)・(3.14.11)

Функция Х(”)должна удовлетворять уравнению

丄竺<-ВХ=0,(3.14.12)

общим решением которого является

Х= С^-^х + С2е^х.(3.14.13)

Так как X должна быть равной нулю на бесконечности, то С2 =乳 Ио пользуя граничное условие (3.14.10в), находим

仇二-1(3.14.14)

или

<Р=-(У-Уо)еТ ",(3.14Л5)

так что полная функция тока имеет вид

屮=(у - У。)[ 1 — е-В%*]・(3.1416)

Линии тока построенного течения показаны на рис. 3.14.2. Заметим, что застойная точка х = 0, у = у0, где обе компоненты скорости обращаются в нуль, может быть выбрана произвольно. Например, для рассматриваемого невязкого потока мы можем считать,

что жидкость движется в углу, образованном пересечением стенок при х = 0 и у = у0, причем у0 определяется из условия

U =坦上 г О при у = у。.

дх

Для того чтобы получить симметричную задачу, мы можем вы. брать начало координат в точке х = 0, у = у0 , у.е. положить у0 в (3.14.16) равным нулю.

Для очень малых значений р, т.е. в случае, когда потенциальный вихрь, обусловленный рельефом дна, мал, (3.14.16) при х = 0(1) примет вид

屮=в%ух,(3.14.17)

что совпадает с известной формулой для потенциального течения жидкости в углу. Иными словами, В настолько мало, что мал и

создаваемый относительный вихрь и течение оказывается почти безвихревым.

С другой стороны, для больших значений р отклонение скорости от ее постоянного значения вдали от стенки убывает экспоненциально с увеличением расстояния от стенки. При больших В услоЕме (112.17) удерживает жидкие столбики на их первоначальных изобатах (т.е. при первоначальных значениях у ) до тех пор, пока вблизи стенки они не поворачивают в область с меньшей глубиной. Чем больше р, тем дольше справедливо соотношение (3.12.17) и тем ближе жидкий столбик подходит к стенке, прежде чем он покидает свою изобату. Ско- рость, которую он приобретает, двигаясь параллельно стенке,равна

v = iZ. = у^е-^*(3.14.18)

Эх

и растет с ростом у по мере того, как новые линии тока присоединяются к тем, которые уже повернули в сторону положительного направления оси у. Скорость V возрастает также и с увеличением 卩.Полный поток б направлении оси у равен просто у ：

%d” 二义・ (3.14.19) о

(3.14.20)(3.14.20)С ростом В ширина этого течения уменьшается, а скорость увеличивается. Относительный вихрь имеет вид

(3.14.20)

(3.14.20)

=‘ г =— х — В у е Р , Эх ду

так что при движении жидких столбиков вдоль стенки в направлении мелководной области [ равен и противоположен по знаку изменению потенциального вихря, обусловленного рельефом дна.

Узкая область около стенки, где движение жидкости направлено вдоль стенки, представляет собой инерционный (т.е. невязкий) пограничный слой, ширина которого имеет порядок 。(卩一乂)и уменьшается с увеличением градиента потенциального вихря, обусловленного рельефом дна. В размерных единицах эта ширина, ссгласно (X14«2)f

равна6* =「R -%равна6* =「R -%-f(dH0/dy)Hj-f(dH0/dy)Hj(3.14.21)(3.14.21)

равна

6* =「R -%

равна

6* =「R -%

-f(dH0/dy)Hj

-f(dH0/dy)Hj

(3.14.21)

(3.14.21)

Невозмущенная скорость вдали от стенки Градиент потенциального вихря, обусловленного рельефом дна,. умноженный на глубину-

Итак, хотя cuqrno геострофическое течение должно быть направлено вдоль изолиний потенциального вихря, обусловленного рельефом дна, в узкой области инерционного пограничного течения это условие н& рушается и квазигеострофическая теория описывает, как происходит такое движение, оказывающееся геострофическим лишь в первом яр«- ближении^ Локальное число Россби для области пограничного течения есть отношение относительного вихря к 厶 т.е.

Это отношение остается малым для малых s, хотя скорость в инерционном пограничном течении и становится большой по сравнению со скоростью на бесконечности.

Необходимо отметить одно важное обстоятельство. Предположим, что все параметры задачи остаются неизменными, за тем единствен ным исключением9 что s изменяет знак, т.е. жидкость становится глубже с увеличением у. Отсюда следует, что В отрицательно, т.е.

₽ = - | ₽ |,(334.22)

так что (3.14.10 а) теперь примет вид

+^_ + |р|ф = 0.(3.14.23)

5%2 分2

Таким образом, решение задачи вида (3.14Л1) будет таким:

Ф = (у " Уо) I Cj cos {pi ^х + С2 sin|p| ^х].(3.14.24)

В принципе % и С? могут быть выбраны так, чтобы удовлетво рить граничному условию при х = 0, однако оба решения колеблются, а не затухают вдоль оси х, и нельзя найти решение, удовлетворяющее условию ф 0 при % т 8. Таким образом, вместо инерционного пограничного слоя возникает неподвижная волна, которая не затухает на бесконечности. Длина этой волны равна ширине инерционного пограничного слоя, возникающего при той же величине 卩.Итак, можно сформулировать общий вывод о том, что для существования инерционного пограничного течения необходимо, чтобы

kNUgX ▽(，)】＜ °,(3.14.25)

где Ug — вектор скорости вдали от границы, к - вертикальный единичный вектор. Если условие (3,14.25) не выполняется, то вместо по

граничного течения возникают волны, распространяющиеся далеко от границы. Решение рассмотренной задачи ставит ряд требующих своего решения вопросов. Во-первых, почему смена знака s или U^ приводит к радикальному изменению структуры течения? Во-вторых, какова природа возникающей при этом волны? Эти два вопроса взаимосвязаны и естественно подводят нас к обсуждению квазигеострофическо- го волнового движения,

Зо15. Квазигеострофические волны Россби

Мы видели в разд. 3.10» что в слое жидкости переменной толщины в общем случае возможны несколько типов волн малой амплитуды, но геострофические соотношения выполняются только для одного* типа волн — волн Россби. Теперь мы заново исследуем особенности этих волн в рамках квазигеострофической теории.

Рассмотрим сначала волновое движение в неограниченной жидкости. В соответствии с квазигеострофической теорией оно описывается уравнением потенциального виХр% которое с учетом (3.12.25) и (3.12.29) может быть записано в виде

金(▽2w_f屮)+/(屮，T2屮一尸屮)+也士12吃=0.

dfдх ду ду дх

(3.15Л)

Для простоты будем считать Vt]b постоянным вектором; это эквивалентно предположению, что наклон дна примерно постоянен на расстоянии порядка длины волны.

Ищем решение уравнения (3.15.1) в виде плоской волны

屮=4 cos(+ <р),(ЗЛ5.2)

где амплитуда Л и фаза <р 一 действительные постоянные. В этом случае

q2 屮—F 屮二一(炉 + Z2 + F)屮 2(3.15.3)

так что потенциальный вихрь волнового поля есть постоянная, умноженная на 屮.Якобиан 屮 и потенциального вихря этой волны обращается поэтому тождественно в нуль. Таким образом, плоская волна представляет собой точное решение нелинейного уравнения (3.15.1), если удовлетворяется дисперсионное соотношение

ат/ау"апв/ах .(3.15.4)

/ + 22 + F

В случае* когда % = D( 1 — s у), имеем т)в = s У/^ % переходя в (3.15.4) к размерным переменным, получаем

九 =-?^ а = —2 •(3J5.5)

LL 妇+ * + (产/g%)

Эта формула совпадает с дисперсионным соотношением (3J0.11) с тем различием, что в разд. ЗЛО изучались волны в канале и потому I • равнялось там тг/ L, умноженному на целое число. Отметим, что квазигеострофическая теория дает только низкочастотную волну Россби. Более высокочастотные волны, такие, как моды Пуанкаре, оказываются отфильтрованными в силу априорного предположения о квази- геострофическом характере движения, В качестве компенсации мы получили, что волна Россби с конечной амплитудой является точным 呛 шением уравнения вихря (3.15.1), описывающего лишь низкочастотные движения. Общее ограничение движениями малой амплитуды при изучении волновых решений системы уравнений теории мелкой воды может быть тем самым ослаблено по крайней мере для решений вида плоской волны.

Дисперсионное соотношение (3.15.4) может быть записано в виде

CZxVtib)(3.15.6)

К (К2 + F)

где 2 — единичный вертикальный вектор. Такое обозначение введено для того, чтобы избежать путаницы с волновым вектором

К= ki + 力，(3.15.7)

длина которого равна К. Так как

u = Z х V ^ = — (Z х К)Я sin (*% + Zy — и£ + <р),(3.15.8)

то скорость частиц перпендикулярна волновому вектору и направлена параллельно гребням волны, как показано на рис. 3.15.1, Когда волновой вектор перпендикулярен Z х V пя, то есть перпендикулярен изобатам, частота, согласно (3.15.6), равна нулю. В этом случае жидкие столбики движутся вдоль изобат, что, как мы уже видели, является условием см^онарносш движения. Относительный вихрь будет создаваться только тогда, когда жидкие столбики пересекают изобаты, в силу чего происходит растяжение вихревых трубок. Если вектор К параллелен z х V "в，то частота достигает максимального значения, так как жидкие столбики в волне движутся тогда только

Рис. 3。16@1。Направление градиента потенциального вихря параллельно Vt)B* р аслространение фазы плоской волны должно быть таким, чтобы С = (а/Х)(К/к) всегда составляла острый угол с 2 х △%. где Z - единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости %, у вверх.

поперек изобат, что приводит к максимальному растяжению вихревых трубок

Скорость распространения гребней в направлении К задается соотношением

с 噴借)，(3.15.9)

т.е. она равна фазовой скорости, умноженной на волновой вектор К/К единичной длины. Из (3.15.6) следует, что скалярное произв^ цение С и 2 х У “§ имеет вид

С•诊)」(0х^В)・К/К】2(3.15.10)

e• (Z х砲)灯週…

и всегда положительно. Таким образом, независимо от ориентации К фаза волны всегда р^пространяется таким образом, что С соо тавляет острый угол с Z х ▽“&; вместе с тем С и К могут как сов- падать, так и быть противоположными по направлению. Проще говоря, волна распространяется так, что наблюдатель^ движущийся вместе с гребнем волны» всегда видит ббльшие значения обусловленного ре* льефом дна потенциального вихря “§ справа. В отличие от волны Пуанкаре фаза волны Россби всегда распространяется в одном напрев влении, т.е. для заданного К не существует редиений# соответствующих волнам, бегущим как в направлении К, так и в обратном направлении. Наличие градиента потенциального вихр% обусловленного рельефом

дна, выделяет определенное направление в пространстве, гак что пространство не является больше изотропным, и симметрия относительно зеркального отражения теряется.

Без ограничения общности мы можем направить ось у в направлении увеличения потенциального вихря, обусловленного рельефом дна, так что соотношение (3.15.4) будет иметь вид

°~Z.2 + 7 2 + Г *(3.15.11)

где₽ =где₽ =а^в _ _ 1 а%ду е и а уа^в _ _ 1 а%ду е и а у(3.15.12)(3.15.12)Видно, что линии постоянной фазы всегда движутся в отрицательном направлении оси х со скоростьюВидно, что линии постоянной фазы всегда движутся в отрицательном направлении оси х со скоростью(3.15.13а)(3.15.13а)в то время как фазовая скорость в направлении оси ув то время как фазовая скорость в направлении оси уc = ■- b"〃 -У 左2 +/2 + Fc = ■- b"〃 -У 左2 +/2 + F(3.15.136)(3.15.136)может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориекации волнового вектора, т.е. знака к/1 •Для заданного I максимальная (по абсолютной величине ) частота волны Россби равнаможет быть положительной или отрицательной в зависимости от ориекации волнового вектора, т.е. знака к/1 •Для заданного I максимальная (по абсолютной величине ) частота волны Россби равна2（广+户户2（广+户户(3.15.14)(3.15.14)и достигается прии достигается приk= (С +尸)得k= (С +尸)得(3.15.15)(3.15.15)как показано на рис. 3.15.2. Абсолютный максимум достигается при Z = 0 и равенкак показано на рис. 3.15.2. Абсолютный максимум достигается при Z = 0 и равенМ 2尸%Соответствующая размерная длина волны равна入♦ =人工=2 тг—= (2 k) Й, 畔т.е. в 2тг раз больше радиуса деформации Россби.М 2尸%Соответствующая размерная длина волны равна入♦ =人工=2 тг—= (2 k) Й, 畔т.е. в 2тг раз больше радиуса деформации Россби.(3.15.16)(3.15.16)(3.15.17)(3.15.17)

где

₽ =

где

₽ =

а^в _ _ 1 а%ду е и а у

а^в _ _ 1 а%ду е и а у

(3.15.12)

(3.15.12)

Видно, что линии постоянной фазы всегда движутся в отрицательном направлении оси х со скоростью

Видно, что линии постоянной фазы всегда движутся в отрицательном направлении оси х со скоростью

(3.15.13а)

(3.15.13а)

в то время как фазовая скорость в направлении оси у

в то время как фазовая скорость в направлении оси у

c = ■- b"〃 -

У 左2 +/2 + F

c = ■- b"〃 -

У 左2 +/2 + F

(3.15.136)

(3.15.136)

может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориекации волнового вектора, т.е. знака к/1 •

Для заданного I максимальная (по абсолютной величине ) частота волны Россби равна

может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориекации волнового вектора, т.е. знака к/1 •

Для заданного I максимальная (по абсолютной величине ) частота волны Россби равна

2（广+户户

2（广+户户

(3.15.14)

(3.15.14)

и достигается при

и достигается при

k= (С +尸)得

k= (С +尸)得

(3.15.15)

(3.15.15)

как показано на рис. 3.15.2. Абсолютный максимум достигается при Z = 0 и равен

как показано на рис. 3.15.2. Абсолютный максимум достигается при Z = 0 и равен

М 2尸%

Соответствующая размерная длина волны равна

入♦ =人工=2 тг—= (2 k) Й, 畔

т.е. в 2тг раз больше радиуса деформации Россби.

М 2尸%

Соответствующая размерная длина волны равна

入♦ =人工=2 тг—= (2 k) Й, 畔

т.е. в 2тг раз больше радиуса деформации Россби.

(3.15.16)

(3.15.16)

(3.15.17)

(3.15.17)

Рис. 3J52 Частота волны Россби как функция компоненты волнового вектора, параллельной изобатам.

Механизм поддержания волны Россби

Из дисперсионного соотношения ясно, что волна Россби может существовать только при наличии градиента потенциального вихря, обусловленного рельефом дна» Это обстоятельство и дает нам ключ к физическому объяснению рассматриваемых колебаний. Рассмотрим три жидких столбика, первоначально находящихся в состоянии покоя на изолинии потенциального вихря, обусловленного рельефом дна, т.е. на уровне у 二 const. Обозначим их Л, В и С, как показано на рис.

Предположим* что в начальный момент столбик В смещается в поло жителыюм направлении оси 九 которое является также и нагфавлением увеличения потенциального вихря, обусловлетного рельефом 朋& Для сохранения сумм^ного нотариального вюфя потащиальный ЕИ)фь волны ］。一 尸％ должен уменьшиться, чтобы скомпенсировать увеличение обусловлен ного рельефом дна потенциального вихря столбика В в новом положении столбика. Это происходит двумя путями. Во-первых, столбик, движущийся в сторону меньшей глубины, будет уменьшаться по высоте и благодаря сжатию вихревых трубок в поле планетарного вихря в В будет возникать отрицательная относительная завихренность. Во-вторых, при наличии свободной поверхности сжатие столбика при его перемещении будет меньшим, чем при твердой верхней границе, так что в новом положении возвышение % в столбике будет больше^ чем в соседних столбиках. Оба этих эффекта стремятся уменьшить -尸％ и, кроме того, создать направленную по часовой стрелке циркуляцию

А +

+ В

+ С У=Уо

А +

$В

+ С У=Уо

Рис。3J6 J. Положение трех жидких столбиков Л, в и С в три последов^ тельных момента времени. Первоначально столбики расположены на одной изобате при у = const. Стапбик Вымещается кверху, заставляя столбики Л и С двигаться, как показано на рисунке. Завихренность, индуцированная в столбиках 4 и С. создает скорость, возвваицающую столбик В в его началь> ное положение,

жидкости вокруг В9 вызванную во-первых, сосредоточенным отрицав тельным вихрем и, во-вторых, локальным увеличением давления в В (обусловленным локальным увеличением возвышения % ), которое в силу геострофических соотношений будет также создавать цирку, ляцию, направленную по часовой стрелке. Возникшая в жидкости ци[ь куляция будет сдвигать столбик С в сторону ббльших глубин, а столбик А в сторону меньших глубин. В силу приведенных соображений С станет тогда центром циркуляции, направленной против часовой стрелки, а Л - центром циркуляции, направленной по часовой стрелке. Оба этих движения будут стремиться возвратить столбик В в исходное положение; по инерции столбик В проскочит это положение, и колебания будут продолжаться. Приведенное объяснение, разумеется, дает сильно упрощенное представление о движении бесконечного числа жидких столбиков, одновременно участвующих в вихревом “танце”，полное описание которого дается в разд. 3.25. Однако оно выявляет один важ・ ный момент, заключающийся в том, что величина возвращающей силы зависит от интенсивности циркуляции, индуцируемой в соседних части* цах за счет смещения столбика. Рассмотрим столбик бесконечно ма> лого сечения, смещенный на расстояние У, и предположим, что приращение потенциального вихря этого столбика может рассматривать-

ся как точечный вихрь. Тогда приращение обусловленного рельефом дна потенциального вихря 口炉 равное 卩 У, будет индуцировать дви・ жение, функция тока которого удовлетворяет уравнению

у2屮 _ 尸屮=-В у 6(г) ,(3.16.1)

2тгг

где г — расстояние от центра столбика» Заметим, что

一芥 тгр空(Ldrdp = _ру,(3.16.2)

о о 2тгг

так что приращение обусловленного рельефом дна потенциального вихря “в смещенного столбика 卩 У компенсируется равным уменьшением величины，о —尸 ％ потенциального вихря индуцированного движения. Решение уравнения (3.16.1) имеет вид*

Ко"")

^= РУ—,(3.16.3)

2 тг

где Ко — модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда) нулевого порядка.

Индуцированная азимутальная скорость % равна

(3.16.4)(3.16.4)"二詳丁翳叫

(3.16.4)

(3.16.4)

(3.16.5)(3.16.5)и показана на рис. 3.162 Для малых значений 尸％г, т.е. для жидких частиц, заведомо лежащих в пределах радиуса деформации от центра столбика, с учетом асимптотического представления J имеем

(3.16.5)

(3.16.5)

Эта скорость равна азимутальной скорости, индуцируемой точечным вихрем интенсивности -卩 У в невращающейся жидкости. С другой стороны, для больших F^r получаем

(3.16.6)

Если расстояние между столбиками намного превышает радиус деформации, то, как видно из выражения (3,16.6 )9 индуцируемая цир-

См. приложение А в конце атой главы.

戶 “ q 3J62 Азимутальная скорость, индуцируемая точечным вихрем, как функция расстояния от этого вихря. Эта скорость затухает экспоненциально с масштабом, равным радиусу деформации Россби,

куляци% а следовательно, и возвращающий эффект будут очень слабьи Это объясняет зависимость ст от F в формуле (3.15.11), т.е. тот факт, что при фиксированной длине волны убывание радиуса деформации (увеличение F) уменьшает частоту колебаний.

Заметим также, что для очень малых длин волн площадь поперечного сечения каждой смещенной порции жидкости мала, и потому эффект индукции вихря оказывается слабым, так что для очень коротких волн (большое волновое число) частота колебаний становится малой.

р-ППОСКОСТЬ

Волновое решение (3.15.2) и диспераюнное соотношение(3.15.11) изучались Россби (1939) в оов^миенно другом контексте. В прекрасной статье, продемонстрировавшей блестящую интуицию автора, Россби предложил изучать движение однородного слоя жидкости на сфере в качестве простейшей модели для анализа наблюдаемых в зем-

ной атмосфере крупномасштабных волн. Он указал на тот факт (мы отмечали его в гл. 2), что малая толщина атмосферы делает крупномасштабные движения в основном горизонтальными, так что данами- чески существенной оказывается лишь локальная нормальная компонента планетарного вихря f = 2Qsine. Предположим теперь, как это сделал Россби, что при движении жидких столбиков сохраняется потетщиальный вихрь *

(3.17.1) Я

где Я - толщина слоя жидкости.

Следующий важный шаг состоит в понимании того, что поскольку f является функцией широты е , то смещения жидких столбиков поперек широтных кругов будут изменять П, если не возникнут компенсирующие изменения в С или Я, т.е. если не возникнет относительч ное движение. Оценим расстояние, на которое должен сместиться жидкий столбик, чтобы соответствующее изменение f было бы того же порядка, что и его относительный вихрь £• Такая оценка позволит нам решить вопрос о необходимости учета изменения / при анализе рассматриваемых движений. Изменение / при смещении по меридиану на расстояние Y равно

△ г =A—1L у =_L 2QCOS е,(3.17.2)

г Э 0 г оо

где % - радиус Земли.

С использованием характерных масштабов движения £ оценивается следующим образом:

С = 0(亲).(3.17.3)

Отсюда А / будет порядка £ когда

Л = о(е tg0).(3.17.4)

го

Следовательно, в средних широтах, где е = U/f L мало, относительно малые перемещения по широте будут тем не менее вызывать достаточно большие изменения планетарного вихря, оказывающиеся динамически существенными. Россби пошел еще дальше. Пусть масштаб

В этом разделе все переменные размерны.

движения в направлении север — юг достаточно мал, как в (3.17.4), так что геомеяры движежя допускает использование локалыюй декгфтовой системы коорцинаг, причем сферичность Земли учитывается лишь в изменении параметра Кориолиса f с широтой. Для таких движений f может быть в окрестности средней широты 6。 заменена линейной функцией, т.е. для малых У/ге имеем

(3.17.5)(3.17.6 а)(3.17.6 6)(3.17.5)(3.17.6 а)(3.17.6 6)(3J7.7)(3J7.7)f~fo+Bo% %y<<fo, где

(3.17.5)

(3.17.6 а)

(3.17.6 6)

(3.17.5)

(3.17.6 а)

(3.17.6 6)

(3J7.7)

(3J7.7)

/0 = 2Qsin ®о，

cos 90.

О

Если

Н = D+^-hB,

где q — возвышение свободной поверхности, обусловленное движением, а 万в — изменение толщины слоя в состоянии покоя, то рассматривая лишь малые изменения 升 и 儿口，можно записать П в виде

(3J7.8)(3J7.8)% +(%У +fo-^~) + С То六

(3J7.8)

(3J7.8)

П= D

(3.17.9)(3.17.9)Отметим, что переменная часть потенциального вихря, обусловлен ною внешними условиями, равна просто ₽оу + /о^д/D. Таким об» разом, в рамках модели однородного слоя динамический эффект из- мененм параметра Кориолиса с широтой (р 二 эффект) оказываем с冃 эквивалентным динамическому эффекту изменены глубины при постоянном /; иными словами, в уравнении потенциального вихря ₽оу играет ту же роль, что и /0Лв /D. Поэтому все результаты предыдущих разделов, в которых рассматривался слой жидкости с постоянным наклоном дна, могут быть сразу же переформулированы для случая слоя жидкости постоянной глубины на сфере, если считать, что р в выражениях (3J4.3) и (3.15.11) равен

(3.17.9)

(3.17.9)

В = ₽о~，

а оси х и у направлены соответственно на восток и север. Описанная модель, в которой геометрия движения предполагается плоской,

а параметр Кориолиса линейной функцией от у (приближенный учет эффекта сферичности Земли), называется моделью 卩-плоскости. Рассмотренная выше в этой главе модель может быть названа моделью / - плоскости.

Рассуждения этого раздела носили эвристический, интуитивный характер. Детальное обоснование приближения 卩-плоскости будет дано в гл. 6. Тем не менее изложенные в этом разделе соображения по существу правильны, и потому изученная нами модель топографических волн Россби может быть непосредственно переформулирована в простейшую баротропную модель крупномасштабных волн в атмосфв» ре. Кроме того, в гл. 5 будет показано, что рассмотренный в разд. 3.14 инерционный пограничный слой по тем же соображениям имеет непосредственное отношение к изучению сильных океанских течений, таких, как Гольфстрим. Заметим, что, согласно оценке (3.14.21), толщина инерционного пограничного слоя равна 厶卩, что с учетом выражения (3.17.9) дает для ширины течения

(3.17.10)

На 30° с.ш. р0 = 1,9*Ю"13 см-Lc-i, и если скорость теченйя вдали от берега равна 5см/с, то получаемая по формуле (3.17.10) ширина течения равна 50 км, что находится в прекрасном соответствии с наблюдениями. Таким образом, обсужденная в разд, 3.14 модель может рассматриваться в качестве простой модели процесса формирования Гольфстрима, когда океанский поток, движущийся под действием ветров, дующих с востока, наталкивается на барьер, образуемый СевероАмериканским континентом в районе между Флоридой и мысом Гаттерас.

Зо18о Волны Россби на зональном течении

Рассмотрим, как влияет на волну Россби однородный поток вдоль изолиний потенциального вихря, обусловленного внешними условиями. Задавая

^В= ₽У,(3.18.1)

получим, что прямолинейный и параллельный оси 力 поток будет точным решением уравнения потенциального вихря. Имея в виду модель Р -плоскости, будем считать оси х и у направленными соответственно в восточном и с^ерном направлении. Течение вдоль широтных

кругов называется зональным течением. Простейший его пример 屮二 _£у・(3.18.2)

Если U равна + 1, то течение направлено на人восток (западный поток на языке метеорологов) и имеет скорость V, если же » равна -1, то течение направлено на запад (восточный поток) с той же величиной скорости. Безразмерная постоянная U введена для того, чтобы случаи восточного и западного течений рассматривать одновременно.

Посмотрим теперь, может ли волновое возмущение существовать на среднем течении, та положим

(3.18.3)

что после подстановки в уравнение (3.15.1) с учетом выражения

.18.1) дает

"^ + "f ][ V2 Ф — F<p] + А?- [ р + F^] + /(9,v2(p — F(p) = 0.

(3.18.4)

Для решений вида плоской волны

Ф = Л cos (fcx + /у - а «)(3.18.5)

справедливо, как и ранее, соотношение

V2(p - Ftp =-(炉 + 22 +尸)%(3.18.6)

так что нелинейный член в (3.18.4) тождественно обращается в нуль. Следовательно, при любой амплитуде плоская волна будет точным 呛 шением9 если

u =_^— [UR -卩]К2 +尸гдеR2 —2 +%2.u =_^— [UR -卩]К2 +尸гдеR2 —2 +%2.Фазовая скорость в направлении оси 力 равнаФазовая скорость в направлении оси 力 равна=。-噎T =力_ В+мft K2 + FK2 + F=。-噎T =力_ В+мft K2 + FK2 + F(3.18.7)(3.18.8У(3.18.9)(3.18.7)(3.18.8У(3.18.9)

u =_^— [UR -卩]

К2 +尸

где

R2 —2 +%2.

u =_^— [UR -卩]

К2 +尸

где

R2 —2 +%2.

Фазовая скорость в направлении оси 力 равна

Фазовая скорость в направлении оси 力 равна

=。-噎T =力_ В+мft K2 + FK2 + F

=。-噎T =力_ В+мft K2 + FK2 + F

(3.18.7)

(3.18.8У

(3.18.9)

(3.18.7)

(3.18.8У

(3.18.9)

Если f/ = + 1 (западный поток), то Сх положительно при К2 > ₽ и отрицательно при К2 < р. Волна будет неподвижной при

(3.18.10)(3.18.10)К= К, = 3%.

(3.18.10)

(3.18.10)

Если L7=— 1 (восточный поток), то Сх будет отрицательно для всех k и неподвижные волны не существуют. Ясно, что неподвижные волны Россби возможны лишь при условии //р > 0. Если /^р < 0, то неподвижные волны существуют лишь в случае К2 < 0, что означает экспонен* циальный рост или убывание по крайней мере в одном направлении с инкрементом 厂受 Очевиднсуэтот случай невозможен в неограниченной области.

Теперь нам легче понять результаты разд. 3.13, касающиеся вопроса существования стационарных инерционных течений. Там мы видели, что для существования инерционных пограничных течений необходимо выполнение условий t/p < 0, тогда как при 力卩 > 0 реакция потока на границу носила волновой характер. Сейчас ясно, что в последнем случае из-за наличия границы образуется неподвижная волна Россби, тогда как лри 徐 < 0 существование неподвижной волны Россби невозможно и имеет место экспоненциальное убывание. Таким образом, характер стационарного движения (волнообразный или погранслойный) определяется критерием существования неподвижной волны Россби.

В размерных единицах длина неподвижной волны Россби имеет вид

\t = L\= L— = L2^~^= 2тг(-^-)И(3.18.11)

где р0 дается соотношением (3.17.66), т.е. в соответствии с (117.9) мы считаем р безразмерным изменением параметра Кориолиса. Для атмосферы, где типичное значение U итйеет порядок 10 м/с» 入* равна 5400 км, если 卩 0 вычисляется на широте 45°. Сходство этого масштаба с характерным масштабом крупных волн в системе запад* ных ветров и определяет столь большой интерес к волнам Россби. В последующих главах станет ясным, что обсуждаемая здесь модель слишком проста, чтобы давать полное описание структуры волн。Тем не менее, будет показано, что указанные соображения являются первым этапом на пути решения этой проблемы, о чем и свидетельствует оценка (3.18Л )• Для океана из-за меньших значений U формула (3.18.11) дает на той же широте значительно меньший пространственный масштаб. Если, например, U равна 10см/с(т.е. в сто раз меньше, чем в атмосфере),入* = 540 км, или в десять раз меньше атмосферного значения.

Вернемся снова к соотношению (3.18.9) и обсудим следующий ин-

тересный вопрос. Когда нет течения, фазовая скорость волны Россби равна

e宀品m2)

и направлена в сторону отрицательных 力(т.е. на запад), однако, для того чтобы остановить эуу волну, необходимо направленное на восток течение, со скоростью « большей, чем (3.18Л2), а именно с

1r.(3.18.13)

Из выражения (3.18.9) ясно, что среднее течение влияет на волну двояко. Во-первых, это простой доплеровский сдвиг, т.е. простое увеличение фазовой скорости волны из-за движения среды. Во-вторых, в соответствии с (3.18.9) происходит изменение фазовой скорости " носителъно среднего течения в силу замены 卩 на ^ + FU. Иными словами, в присутствии среднего потока в дополнение к простому изменению скорости волны изменяется также и градиент эффективного потенциального вихря, обусловленного окружающей средой. Когда есть среднее течение, но нет волнового движения, безразмерная толщина слоя имеет вид

坛=1 + е 尸 г]。- е т)в = ]+е 尸屮一ет)в 二 1 - е I F У + ₽ } у.

(3.18Л4)

Все дело в том, что в силу геострофического соотношения среднее течение создает наклон свободной поверхности, как показано 吗 {мс. Х18Л. Этот наклон, как следует из (3.18.14), увеличивает при U > О градиент толщины слоя жидкости в направлении оси у и, следовательно, увеличивает градиент потенциального вихря, обусловленного

РИС. 3.78.1. Вид свободной поверхности жидкости в состоянии покоя (•) и в случае однородного течения, направленного от читателя.

окружающей средой. За счет такого увеличения эффективной величины ^ и возрастает частота колебаний, что в свою очередь приводит к увеличению направленной в сторону (щмщггельных х фазовой скорости волн относительно среднего течения. Если радиус деформации Россби больше длины волны, то F << 1 и вызванный течением наклон свободной поверхности на характерном масштабе волн оказывается незначительным. Заметим, что для U < 0 влияние р ослабляется и может совсем исчезнуть, если 6 二-卩 / 尸.

В более общем случае, когда течение неоднородно по у, эффективная величина р будет функцией от у и соответствующая модель может оказаться более сложной. Такого рода вопросы обсуждаются в гл. 7. Тем не менее основная идея остается все же справедливой; динамика распространения волны зависит от градиента полного по тенциального вихря течения, на которое наложена волна»

19. Групповая скорость

Одним из наиболее фундаментальных свойств волны является ее способность переносить энергию на расстояния, большие по сравнению с характерным смещением частиц жидкости в самой волне. Смещение жидкой частицы за период волны равно

z. =0 5.生_),(3.19.1)

и*

где и* 一 характерная скорость жидкости, прямо пропорциональная амплитуде волны, ст* - частотао Отношение 2* к длине волны равно

—= О»(3.19.2)

где О* - фазовая скорость. Волны малой амплитуды характеризуются малыми значениями и* / С*, что эквивалентно условию относительной малости смещения частиц жидкости в волне. Волна в жидкости представляет собой результат совместного действия многих частиц жидкости, испытывающих небольшие, но согласованные на больших пространственных масштабах смещения, за счет чего происходит передача информации на расстояния, которые намного превосходят смещение каждой частицы жидкости, подобно тому как цепочка людей, борющихся с пожаром, может передавать ведра с водой на расстояния, большие по сравнению с радиусом их индивидуального действия.

Рассмотрение плоских волн является Еажным для решения различных вопросов, особенно для выявления основного механизма, поддер-

живающего волновые колебания. 1'ем не менее условие строгой периодичности волны и постоянства ее амплитуды никогда не соблюдается в природе. Плоская волна может рассматриваться как полезное приближенное описание волновой картины, если эта картина медленно меняется в пространстве, однако любой реальный цуг волн имеет начало и конец как во времени, так и в пространстве, т.е. мы обычно наблюдаем волны, распространяющиеся группами или пакетами. Плоская волна с постоянной амплитудой по определению уже занимает все пространство, поэтому изучение вопроса о распространении возмущений в среде требует рассмотрения более сложных волновых полей, для которых сама амплитуда волны меняется в пространстве и времени. Конечно, если более сложные волны локально похожи на плоские, то соотношения, полученные при изучении плоских волн, могут оказаться полезными и при исследовании таких волн.

По-видимому, простейшим примером ограниченного в пространстве волнового возмущения является волновой пакет, задаваемый в виде

屮=Л (х, у, z) cos (Лх + Z у — ст z),(3.19.3)

где Л - медленно меняющаяся функция х, у и £ • Иными словами 丄色L±L<< к,У (3.19.4)

Л Эх4 Ну4 °*

где снова К2 = Л2 + 12： Условия (3.19.4) означают, что на расстоянии порядка длины волны и за время ее периода амплитуда волны может считаться приблизительно постоянной. Схематическое изображение одномерного волнового пакета приведено на рис. 3.19.1. Очевидно, наибольший интерес представляет изучение закона движения огибаю-

Р и с„ ЗЛЭЛо Волновой пакет. Л( х) представляет собой огибающую возмущения с длиной волны 入.

щей пакета, поскольку именно амплитуда огибающей определяет, где сосредоточена энергия волн: там, где размах огибающей мал9 мала и интенсивность волны. Для определения закона распространения огибающей волны найдем те условия, при выполнении которых (3.19.3) будет решением уравнения потенциального вихря. Заметим, что волновой пакет в отличие от чисто плоской волны не является точным решением полного нелинейного уравнения.

Е соответствии с обычным приближением в волновых задачах линеаризуем основное уравнение (3.15.1 )• Потребуем, чтобы

/(屮,у2屮)<<p±L ,(3.19.5)

дх

и рассмотрим снова случай, когда 口口 =卩 у・ Так как все безразмерные переменные пр предположению имеют порядок 0(1). условие (3.19.5) эквивалентно условию

в =吟~ »1(3.19.6)

для топографических волн, или

для волн Pocc&i на сфере. Размерная фазовая скорость волны Рособи имеет порядок 0{sfL) в первом и О(ро L2) во втором случае, где 厶 равно по порядку длине волны. Следовательно, в обоих случаях условие линеаризации имеет вид

» 1.•( 3.19.7)

Неравенство (3.19.7), как мы уже видели, представляет собой и условие малости смещений частиц жидкости. Таким образом, условие р >>1 является фактически условием линейности волнового движения. Итак, линеаризованное уравнение потенциального вихря имеет вид

(3.19.8)(3.19.8)± [у2屮 一 F屮]+ р2±_ = о. d£дх

(3.19.8)

(3.19.8)

Подставляя (3.19.3) в (3.19.8), получим

sin(Ax + Zy-at)[-f а (№ + F) + 卩石} 4 _ 2 (k^L +Z

+ ctV2 Л] + COS (Лх + / у-СТ£ ) [ -(№ + 尸)SL + 2и(к-— + d£ дх

+ 嘗■户唸"+5*] =。(3.19.9)

Поскольку Л - медленно меняющаяся функция х,у и £, то главные члены в коэффициентах при sin(4x + Zy—af) и cos ( А：力 + 2 义一и £) должны по отдельности обращаться в нуль, т.е. если умножить (3.19.9) на Bin(kx + / у - ст f) и затем усреднить по периоду волны, то в пер・ вом приближении получим

а(№ + 尸)+卩左=0,(3.19.10)

что представляет собой просто дисперсионное соотношение для чисто плоской волны, полученное здесь в качестве первого приближения для медленно меняющегося волнового пакета. Следовательно, полученные для плоской волны закономерности, касающиеся распространения фазы, а также соотношение между частотой и волновым вектором непосредственно применимы и к исследуемому волновому пакету. Условие равенства нулю коэффициента при cos (кх ^ I у — a t) в первом приближении дает

8/ _ 2ь / В 84 dtH+F дх

2bz дА

К + F办

=о,

(3.19.11)

или, с учетом (3.19.10),

—++ с

dt ^ дхg，

dd _ft V,

ay

(3.19.12)

где

尹 (К2 + F) 2 ，

р2

«У " (K2+Q2

(3.19.13а)

(3.19.136)

Соотношение (3.19.12) можно записать в векторном виде

(3J9.14)(3J9.14)且L +(С • V )4 = 0. dt *

(3J9.14)

(3J9.14)

Итак, амплитуда 4 постоянна для наблюдателя, движущегося со ско

ростьЮ Cg, или

Л = Л(г - С/),(3.19Л5)

где г - радиус-вектор на плоскости х, у. Таким образом, в первом приближении огибающая волнового пакета движется со скоростью С^, которая называется групповой скоростью и имеет компоненты вдоль осей х и у, определяемые соотношениями (3.19.13 а,б). В отличие от фазовой скорости групповая скорость удовлетворяет обычным пра» вилам проектирования векторов.

Непосредствеьшой проверкой можно убедиться, что из (3.19.10) и (3.19.13 а,б) следуют соотношения

С - Нь

尹认，(3.19.16)

или

g К dk д1

где «к обозначает градиент по волновым числам "丿.Поскольку ст = КС9 где С - фазовая скорость, или скорость продвижения греб* ней в направлении волнового вектора, то

Cg 二 V^ (КС) ^^" С + КУ кС = С + КУ к&(3.19.17)

Следовательно, если фазовая скорость зависит от К, то групповая и фазовая скорости будут отличаться как по величине, так и по ко- правлению. Волны, для которых С 工 С, называются диспергирующие ми; замечательным примером такот волны является волна Россби. Вв» личина Cg для волн Россби отличается от фазовой скорости, а ее направление, как мы увидим, может значительно отличаться от направления волнового вектора К. Огибающая волнового возмущения конечной протяженности будет двигаться с групповой, а не фазовой скоростью, в то время как отдельные гребни, характеризующиеся определенной фазой волны, будут по-прежнему двигаться с фазовой скоростью в направлении К или противоположно ему. Отдельные гребни волны будут, таким образом, двигаться внутри пакета, появляясь на одном его конце, меняя в процессе перемещения величину своей ам> плитуды и исчезая на другом конце пакета, где амплитуда обращается в нуль. Гребни и впадины волны — это лишь проявления волновой

каришны} они исчезают, как улыбки и хмурые взгляды актеров в конце пьесы.

Дифференциальные соотношения (3.19.16), которые определяют групповую скорость через * произ водные ст , представляют собой, как мы увидим из следующих рассуждений, общий результат, выходящий за рамки проведенного здесь конкретного анализа для волны Россби. Рассмотрим некоторое линейное волновое уравнение с постоянными коэффициентами, записанное в виде

(3.19.18)(3.19.18)£艮，三，丄）?=0, d£ дх dy

(3.19.18)

(3.19.18)

где £ - есть полином относительно временных и пространственных производных. Для волны Россби。например,

(3.19Л9)(3.19.20)(3.19Л9)(3.19.20)£=上_ +_^——尸士 +3且 д z dx^ dt ду^ d£ d%

(3.19Л9)

(3.19.20)

(3.19Л9)

(3.19.20)

Если решение в форме

屮=^Ае^кх + 1У-at ^

подставить в ( 3.19.18), то уравнение для Л будет иметь вид

£(_ ia +.L, ii+A, Ц +/_) 4 = 0.(3.19.20а)

d£ дх ду

Если 4 есть медленно меняющаяся функция %,义 и 応 то полином

翼 может быть разложен в ряд Тейлора, что дает

Z)+ [J^_且十 at 丄 +]}4 = o,

d(-io)d£ d(莪)d% 况幫)d义

(3.19.21)

где члены более высокого порядка отброшены. Все члены этого разложения по "малым параметрам" (1 / Л) д А/ dt9 (\/ А) дА / дх и т.д. должны обращаться в нуль по отдельности. Следовательно, в первом приближении

£(一沁，琢：/) = 0.(3.19.22)

Это выражение представляет собой полином, получающийся путем замены в дифференциальном операторе (3.19.18) временной и пространственных производных на частоту и соответствующие волновые числа. В действительности (3.19.22) есть просто дисперсионное соотношение для плоской волны, которое для волны Россби имеет вид

(3.19.10). Для того чтобы следующий член разложения также обращался в нуль, необходимо

卫 _ a£W а” 一 Ра/ 业=о. (3.19.23) (?£ д £/да дхд£/даду

По определению

df/дк _I ди \ Q

(3.19.24)

д^/dl _ / Нь、 一殺麻- -(e,t,

т.е, коэффициенты в (3.19.23) являются производными ст по Л и Z при фиксированном значении £ (в действительности равном нулю). Иными словами, это производные от частоты, являющейся, согласно дисперсионному соотношению (3.19.22) для плоской волны» функцией волновых чисел, так что (3.19J6) представляет собой общую формулу для скорости пакета волн произвольного типа. Итак, для определения движения волнового пакета необходимо знать только дисперсионное соотношение.

Возвращаясь к частному случаю волны Россби, рассмотрим более детально свойства ее групповой скорости. В частности, заметим, что, хотя фазовая скорость в направлении оси % всегда отрицательна, компонента групповой скорости в этом направлении может быть и положительной и отрицательной, как показано на рис. 3.19.2. Пакет, содержащий волны, для которых

#> 〃 + /г,(3.19.25)

будет распространяться в положительном направлении оси % (на еос・ »?叫 если иметь в виду волны Россби на р-плоскости), в то время как длинные вдоль оси % волны, т.е. волновые пакеты, для которых

k2 V /2 + F>(3.19.26)

будут распространяться в отрицательном направлении оси х (к западу на р-плоскости). Волны, для которых справедливо равенство N == % 2 + /г, будут иметь неподвижную огибающую. В каждом случае скорость отдельных гребней будет отличаться от скорости огибающей, а направление движения гребней коротких волн, для которых справедливо (3.19.25), будет противоположно движению огибающей. Мак-

симальная величина С^х при к = 3%(Н +尸)乂 положительна и равна

Мах%=——,(3.19.27)

戶8(e2+月)

в то время как минимальная величина С^х при к = 0 отрицательна и равна

Min С =— ,(3.19.28)

eх 22+尸

т.е. в восемь раз больше максимальной положительной групповой скорости вдоль оси

На рис. 3.19.3 показано отношение групповой скорости к фазовой

в направлении оси х. Заметим, что || Сх | .

Поскольку

J^£2L 二—ILL < 0,(3.19.29)

J К? + 尸

то групповая скорость вдоль оси у (к северу на р-плоскости) всегда направлена противоположно фазовой скорости; например, если гребни движутся на юг, то область волнового возмущения, определяемая границами огибающей, движется на север.

Прежде чем приступать к обсуждению вопроса о переносе энергии волнами Россби, рассмотрим в следующем разделе вывод (3.19.14), основанный на применении метода многих временных масштабов. Читатель, удовлетворенный выводом, сделанным в настоящем разделе, может перейти сразу к разд. 3.21.

Зо20о Метод многих временных масштабов

Применим для исследования вопросов, связанных с медленно меняющимися волновыми полями, более формальный, но часто и более эффективный подход, использующий наличие в рассматриваемом волновом поле двух различных характерных масштабов времени. Это так называемый "быстрый" временной масштаб, т.е. период локальных колебаний, в *течение которого амплитуда колебаний почти не меняется, и nмeдлeнный,, временной масштаб, на протяжении которого амплитуда волнового поля постепенно меняется по мере того, например, как волновой пакет медленно проходит мимо наблюдателя. Для перехода от этих интуитивных рассуждений к вычислительной схеме следует

лишь предположить, что 屮 явно зависит от двух типов переменных

(3.20J)(3.20J)Т= 4, Х=招 у = у,

(3.20J)

(3.20J)

Г = Af,^ = A^, У = А у, А <<1,

где быстрые переменные обозначены тильдой, медленные 一 большими буквами, а А — малый параметр, являющиеся мерой "медленности" временных и пространственных изменений поля» Пусть функция 屮 явно зависит от обоих видов переменных, т.е.

(3.20.2)(3.20.2)Производные 屮вычисляются=a++也，d£arдТd屮+ △工дхдхахd屮一0里+ а а屮d удуНУПроизводные 屮вычисляются=a++也，d£arдТd屮+ △工дхдхахd屮一0里+ а а屮d удуНУ屮=屮（£,%7;4匕7）■屮=屮（£,%7;4匕7）■по обычным правилам:по обычным правилам:(3.20.3)(3.20.3)

(3.20.2)

(3.20.2)

Производные 屮

вычисляются

=a+

+也，

d£

ar

дТ

d屮

+ △工

дх

дх

ах

d屮

一0里

+ а а屮

d у

ду

НУ

Производные 屮

вычисляются

=a+

+也，

d£

ar

дТ

d屮

+ △工

дх

дх

ах

d屮

一0里

+ а а屮

d у

ду

НУ

屮=屮（£,%7;4匕7）■

屮=屮（£,%7;4匕7）■

по обычным правилам:

по обычным правилам:

(3.20.3)

(3.20.3)

#屮衣2#屮衣2*喻彦+寮"*喻彦+寮"(3.20.4)(3.20.4)

#屮

衣2

#屮

衣2

*喻彦+寮"

*喻彦+寮"

(3.20.4)

(3.20.4)

Используя введенные переменные и объединяя члены с одинаковыми степенями △, запишем (3.19.8) следующим образом：

m 屮 Г I 乂 d d2屮_

+炉 5+(7^訪

+包必匕)十0色L]-

dYdydt dX

дТ дХдх дудУ дТ дХ2 8屮

Так как △ 一 малый параметр,屮 может быть представлено в виде

屮二屮° + △屮1 + △?屮2 + ・•・•(3.20.5)

Если подставить разложение (3.20.5) в уравнение (3.20Л )₽ то члены при одинаковых степенях △ должны обращаться в нуль. Члены нулевого порядка малости дают уравнение

丄｛^2_ +^2^_ -尸屮0 I +В吗=0,(3.20.6)

ат дх2 а尸а*

8 которое входят производные только по быстрым переменным У этого уравнения будут, следовательно, решения вида

屮о = Re/( ХУ,?)е〃кМ+ ly-ae) .(3.20.7)

Поскольку оператор в (3.20.6) не зависит от быстрых переменных л, у и Г, то подстановка (3.20.7) в (3.20.6) дает нам уже известное дисперсионное соотношение (3.19.10). Зависимость Л от ^ У и Т пока еще неизвестна. Приравнивая нулю члены порядка △, имеем

一力醬+券一…讶務+

=+(火+尸)［色L 一空生吨 4竺L+F. %jx dT №+f dx K2+F d?

(3.20.8)(3.20.8)* j(庇 + /7-aOf

(3.20.8)

(3.20.8)

где для преобразования правой части использовано выражение

(3.20.7 )• При определении 屮］из (3.20.8) мы сталкиваемся со следующей проблемой. Дело в том, что правая часть (3.20.8) представляет собой плоскую волну, являющуюся решением однородного урав» нения для 屮］;т.е. для фиксированных А м 2 действующая на систему сила осциллирует с частотой свободных колебаний этой сис-

темы. Поэтому по аналогии со случаем резонансного воздействия на незатухающий осциллятор решение для 屮]будет линейно расти по и в этом случае

竺 I = •(△『)=7,(3.20.9)

屮。

так что за время f = О(Д"1) [ для которого Т 匸 0(1)] второй член разложения (3.20.5) станет по порядку величины таким же, как и первый член. Однако именно на временном интервале £ = О (△ 一) мы и хотим описывать эволюцию амплитуды волны, в силу чего разложение (3.20.5) должно быть справедливым как раз для времен такого масштаба. Чтобы выполнить это условие, мы должны удалить член резонансного воздействия из правой части уравнения (3.20.8), положив

ал 2М + р дА 2uZ +В d4 _ ° 犷"№ + /г aF~ "^+F Ту ''

Это соотношение определяет зависимость Л от медленных перемен» ных. Сравнение (3.20.10) с (3.19.11) показывает, что (3.20.10) действительно является уравнением для амплитуды, полученным в предыдущем разделе менее строгим путем.

Главное достоинство метода многих временных масштабов состоит в том, что он последовательно отделяет задачу описания локала ной динамики в пространстве и времени от задачи описания медленных изменений большего масштаба. В рассмотренной нами задаче этот метод лишь углубляет наше понимание приближений, лежащих в основе вывода уравнения (3.19.14). Естественно, что метод многих временных масштабов дает возможность последовательно определять поправки более высоких порядков. Однако значительно более важно то, что этот метод может быть эффективно использован для анализа тех задач, для которых простые эвристические методы не дают нужных результатов, например в случае задачи о нелинейном взаимодействии волн Россби, обсуждаемой б разд. 3.26.

3.21О Энергия и поток энергии в волнах Россби

Если линейное волновое уравнение (3.19.8) умножить на 屮，то после несложных преобразований получим

守空安]+V・i▽粤一心｝ = 0, (3.21.1)

2or2

которое можно рассматривать как уравнение энергии. Кинетическая энергия, отнесенная к единице массы и проинтегрированная по глубине*, имеет в размерных единицах следующий вид:

0(三三)=戶0{(詳)2+(許)2},(3.21.2)

в то время как потенциальная энергия, если принять невозмущенную свободную поверхность за нулевой отсчетный уровень, равна

g/ Z.，Z. = gh = ¥ 尸屮 2,( 3.21.3)

где использованы масштабы, введенные в (3.12.1), (3.12.5) и (3.12.29а). Отношение потенциальной энергии к кинетической имеет поэтому порядок 。(尸)，т.е. зависит от отношения масштаба движения к радиусу деформации. Очевидно, что член в квадратных скобках в (3.21.1) представляет собой безразмерное выражение для суммы кинетической и потенциальной энергии, причем скорость возрастания этой величины со временем равна конвергенции вектора потока энергии

s =_屮▽也一T瞿.(3.21.4)

dt 2

Таким образом, энергия Е(%, 小)удовлетворяет закону сохранения

+ WS = 0.(3.21.5)

Для пакета волн Россби

屮=4 cos (k% + Zy — и £),( 3.21.6)

так что в первом приближении энергия равна

Е 二 * " sin2 ( кх + Zy—и£)+~^ Л 2 cos 2(kx + ly — ^ f),

22

(3.21.7)

где мы пренебрегли относительно малым вкладом пространственных градиентов Л. Таким образом, в любой фиксированной точке энергия Е испытывает быстрые изменения относительно среднего значения с

•)Вертикальная скорость не дает вклада в кинетическую энергию^ так как в теории мелкой воды w= О(6а).

периодом, равным половине периода волны,

£ > = (К2 +尸)&,(3.21.8а)

4 так что

Е = < Е > + jll4 K2 - F) сов 2(кх -^ ly —at) ,(3.21.86)

4

Величина < £ > равна средней за период волны энергии, и именно эту величину и следует считать локальной энергией волнового пакета. Заметим, что < £ > медленно меняется внутри пакета и пропорциональ» на Л2. Вектор потока энергии, как следует из (3.21.4) и (3・21・8)» равен

S 二—Л ^ СТ К COS 2( k% + Z у — 07 ) — i В^— COS 2( к% + 1у —О' t )*

(3.21.9) Среднее за период значение этого вектора равно

S> =— [-стК -史fl.(3.21.10)

22

/ 一 22 一尸/ 一 22 一尸△ В2 M ]- р < г >+ Cg< Е>・(3.21.11)△ В2 M ]- р < г >+ Cg< Е>・(3.21.11)Li ВLi ВИспользуя дисперсионное соотношение (3.15.11) и выражения (3J9J3 ав 6)» запишем это соотношение в виде*〉

/ 一 22 一尸

/ 一 22 一尸

△ В2 M ]- р < г >

+ Cg< Е>・

(3.21.11)

△ В2 M ]- р < г >

+ Cg< Е>・

(3.21.11)

Li В

Li В

S > =

Следовательно, осредненный вектор потока энергии равен энергии волны, умноженной на групповую скорость. Поскольку С^ не измени ется в пространстве, то (3.21.5) после осреднения за период волны примет вид

2 < 耳，+C*V<£> = 0.(3.21.12)

dt g

Энергия волны9 определяемая соотношением (3.21.8), сохраняет- сл и распросаранлетсл вместе с пакетом с групповой скоростью^ Та» ким образом, скорость переноса энергии вообще не связана со скоростью распространения гребней или впадив волны, т.е. с фазовой ско-

：)Более общее рассмотрение вектора s и его физического смысла проводится в разд» 6・§・

ростью. Тот факт, что энергия распространяется с групповой скоростью, непосредственно следует также из полученного ранее результата о распространении огибающей пакета волн с групповой скоростью и предположения об однородности жидкости, в силу которого % К и и не изменяются в пространстве и времени.

Диаграмма распространения энергии

Удобное геометрическое определение направления групповой скорости и, следовательно, потока энергии для заданного волнового вектора было введено Лонге-Хиггинсом (1964)、Предположим, что волна Россби (или волновой пакет) имеет частоту ст. Для любого заданного ст компоненты волнового вектора (店，I) должны удовлетворять диспер* сионному соотношению

依+ /2 + 尸一艮± = Q.(3.22.1)

—СТ

Без ограничения общности к можно считать положительным, так что ст < 0. Из (3.22.1) следует, что

[ft-_L ]а +/2 =Л - F.(3.22.2)

—2ст4ст2

Следовательно, для данного ст возможный волновой вектор должен лежать на окружности в плоскости к, I, центр которой О расположен в точке (р/(-2ст),0), а радиус равен (р2/4ст2 - F)^ (рис. 3.22.1). Так как, согласно (3.15.16), и W В / 2 F% , радиус всегда действителен. Смещение окружности от начала координат определяется минимальным значением волнового числа к, равным

jt = 一 (_1L 一 F)%》Q,(3.22.3)

-2b4 b2

так что окружность может касаться оси I только в предельном случае F = 0, т.е. для очень большого радиуса деформации. Направление вектора К отределяег нафавление распространения фазы волны, которое для волны Россби при А>0 противоположно К Вектор потока энергии, согласно (3.22.11), равен

<S>=&丄 N/2-(M +尸)+汨=

2 依+尸 2k

Рис, 3。22.九 Вектор 0W показывает направление групповой скорости волны Россби с частотой ст и волновым вектором К.

=^_ (~а)[Цк -K2 + F . ) +[/],(3.22.4)

22k

ИЛИ

< S > =-AL(-a) [ 7 (A -〈更))+?Z] =& (一b) ow, 2—2 ст2

(3.22.5)

где OW 一 вектор, направленный из центра окружности в конец волнового вектора К. Так как длина вектора OW равна

|OW| = (-^F)%,(3.22.6)

4戸

то величина потока энергии одинакова для всех волн с одинаковой амплитудой и частотой. Волны, у которых волновой вектор К лежит на полуокружности АРВ, переносят энергию в восточном направлении (в сторону больших л ), а те, у которых волновой вектор лежит на по луокружности 408» — в западном направлении. Первый случай соответствует коротким волнам, второй 一 длинным.

Отражение и условие излучения

Представления о переносе энергии и групповой скорости оказываются полезными при изучении отражения волн Россби от твердой границы. Если иметь в виду приближение р-плоскости, то анализа

Рис. 3。23口九 Падающая и отраженная плоские волны м их представление на диаграмме распространения энергии»Рис. 3。23口九 Падающая и отраженная плоские волны м их представление на диаграмме распространения энергии»

Рис. 3。23口九 Падающая и отраженная плоские волны м их представление на диаграмме распространения энергии»

Рис. 3。23口九 Падающая и отраженная плоские волны м их представление на диаграмме распространения энергии»

руемая задача может непосредственно рассм атриваться как задача об отражении волн Россби от границы океанского бассейна. Обратимся к ситуации, изображенной на рис. 3.23.1, а. Волна Россби (или вол. новой пакет) падает на твердую границу при л = 0; на р-плоскости это будет западной границей океана* Для того чтобы волновой пакет действительно двигался к границе, его групповая скорость должна быть направлена в сторону этой границы, так что энергия пакета должна переноситься в западном направлении. Траектория движения пакета (назовем ее лучом) представляет собой прямую линию в направлении 久• На рисунке направление падения энергии показано жирной стрелкой, обозначенной < S. > ; соответствующий луч обргь зует угол 8j с нормалью к границе. Функция тока падающей волны с частотой ст i и волновым вектором К； может быть представлена в виде

屮i = ReXj е(3.23.1)

Конечно,

(3.23.2)(3.23.2)一В/

(3.23.2)

(3.23.2)

A? +Z? +F

так что вектор К должен лежать на окружности, изображенной на рис. 3.23.1, б, радиус которой равен (В? / 4и；—尸户，а центр расположен рри к = R/—2%. Вспоминая результаты предыдущего раздела, мы видим, что К； есть вектор PWj на плоскости ft, I, где Wi точка на окружности в плоскости А, I, радиус-вектор которой OW^ параллелен < S^ > , Определенный таким образом вектор К； показан также на рис. Х2Х1, о. Гребни волны движутся в направлении, обратном K^, т.е. в юго-западном направлении, а энергия волны перемещается на северо-запад. Падающая волна должна быть длинной, т.е. ее волновой вектор должен лежать в плоскости к, I на дуге АСВ» Из (3.22.2) следует, что при заданных % и %, Z j должно выполняться одно из двух соотношений

—(尸 + 厅)｝弘(3.23.3 а)

-2%4g?

или

А = (_|_ ) +- (F + Z 2)J И.(3.23.36)

Первое из них определяет длинную волну, энергия которой перемещается к границе, второе 一 короткую волну, энергия которой перемещается от гр^ицы. Следовательно, нашему случаю соответствует (3.23.3 а), которое определяет ^компоненту волнового вектора в падающей волне (напомним, что — % — величина положительная).

Наличие стенки будет приводить к образованию отраженной вол*

屮г 二 Re Лг е•(3.2J.4)

Полная функция тока является суммой функций тока падающей и отраженной волн

屮二屮i +屮r・(3.23.5)

Иными словами, эта формула описывает поле функции тока в течение продолжительного времени, необходимого для отражения падающего крупномасштабного пакета от границы. Ясно, что компонента скорости в направлении озн % должна обращаться в нуль при л = 0, т.е.

(3.23.6)(3.23.6)迎=0, х= О, d у

(3.23.6)

(3.23.6)

или・,J ・、

(3.23.7)

Соотношение (3.23.7) справедливо при всех I, только если

q = и” ст,(3.23.8)

так что частота волны при отражении сохраняется., Отсюда сразу следует, что конец волнового вектора отраженной волны должен лежать на той же окружности в плоскости к, 19 что и для падающей волны, поскольку радиус и положение центра этой окружности зависят только от частоты. Кроме того, поскольку (3.23.7) должно быть справедливо для всех у, то

li= lr= l9(3.23.9)

так что проекция волнового вектора на направление, параллельное границе, при отражении сохраняется. Это условие полностью определяет волновой вектор отраженной волны, так как если li = lrt то конец волнового вектора отраженной волны должен находиться в точке Wr (рис.3.23.1/), чтобы поток энергии в отраженной волне мог быть направлен от границы. Поскольку Z^ = 1Г9 то нетрудно показать, что угол вг для луча отраженной волны равен углу % для луча и% дающей волны, так что вектор потока энергии отражается от стенки **упруго", т.е. для энергии и траектории волнового пакета угол отражения равен углу падения» ^.компонента волнового вектора в отраженной волне задается соотношением (3.23.3/). Таким образом, хотя по заданным а и Z и нельзя установить, какой из двух корней к является подходящим, однако условие излучения, согласно которому отраженна волна должна уносить энергию от границы, определяет 丸 Так как Аг > ^ , то длина волнового вектора 8 результате отражения 沙8£・ личиваетсл. Поскольку “二 1Г , то волновой вектор отраженной волны будет составлять меньший по сравнению с падающей волной угол с осью х. Для геострофического движения скорость перпендикулярна волновому вектору, поэтому скорость в отраженной волне будет сос- тавляти меньший по сравнению с падающей волной угол с осью у. Изменение 靑 вследствие отражения равно

% _%• = 2(^--(〃 + 尸)声，(3.23.10)

так что разность кг 一 ％ увеличивается с убыванием частоты. Этот результат сразу следует из рассмотрения дисперсионной кривой, приведенной на рис. 3.23.2.

Р и с0 3°23.2・ ж»комлоненты волнового вектора в ладающей и отраженной волнах равны ki и кт соответственно» При малых частотах разность кт 一 становится большой.

Последнее условие, необходимое для выполнения (3.23.7), имеет вид

Ar = А,(3.23.11)

так что амплитуда поля давления при отражении сохраняется, в то время как фаза изменяется на 180°. Поскольку амплитуда сохраняется, то поля скорости будут пропорциональны волновым числам» т.е.

для падающей волны

= — Re( U ) Л е

% = Re( i / ) 4 е"

а для отраженной волны

ur = Re ( i Z) Л e

% 二—Re (・i A? ) 4

— Of)

叮一S )

i(*rx + /y-at)

(3.23.12)

(3.23.13)

Таким образом, в результате отражения амплитуда х-компоненты скорости (зональная компонента) сохраняется, амплитуда укомпо- ненты увеличивается.

Заметим, что плотность энергии (т.е. энергия, отнесенная к единице площади) в отраженной волне больше, чем в падающей, по-

скольку

(3.23.14)(3.23.14)(3.23.15)(3.23.15)< 4 > = (К? +尸)丨 4/2

(3.23.14)

(3.23.14)

(3.23.15)

(3.23.15)

<%> =(幫 + 尸)|(12=(鴛+尸)|4/2,

£1L >i. к? +尸£1L >i. к? +尸отсюда

£1L >i. к? +尸

£1L >i. к? +尸

< Ег>

< £f >

Вместе с тем мы уже видали, что, согласно (3.22.6), поток энергии < S> одинаков для всех волн с одинаковыми амплитудой и частотой. Отсюда плотность энергии в отраженной волне возрастает, а поток энергии в набегающей и уходящей волнах должен быть одинаковым. Действительно, поскольку

(3.23.16)(3.23.16)

(3.23.16)

(3.23.16)

скорость вдоль луча,или траектории пакета, в отраженной волне меньше, чем в набегающей, и их отношение равно

IC-Jк,?+尸

―J = ,(3.23.17)

I I呼+尸

так что поток энергии при отражении не изменяется. Для очень низкочастотных волн групповая скорость отраженной волны будет очень ма* 』о% так как л>компонента волнового вектора такой волны будет большой.

Так как групповая скорость при отражении уменьшается, отраженный волновой пакет в силу чисто кинематических причин будет несколько сжат по сравнению с падающим, как показано на рис. 3.23.3; отношение их длин равно

一厶г = I CgJ .(3.23.18)

Ширина пакета в направлении, перпендикулярном траектории пакета, при отражении не изменяется. Таким образом, поскольку в силу (3.23.18), (3.23.17) и (3.23.15)

& <= Lr< Ег >,(3.23.19)

Рис. 3.23.3. Траектория пакета при отражении от границы при л= 0. Обрей щает на себя внимание уменьшение длины отраженного пакета вследствие уменьшения групповой скорости при отражении.

Рис. 3。23•儿 Отражение плоокой волны от границы, совпадающей с изолинией потенциального вихря, обусловленного внешними условиями. В этом случае длина волны сохраняется при отражении.

полная энергия в пакете при отражении сохраняется, хотя локально, внутри пакета, движение в отраженной волне более интенсивно, так как при отражении энергия оказывается сосредоточенной в более узкой области, движущейся с меньшей скоростью от границы.

Характер процесса отражения волн Россби, весьма необычный, зависит от ориентации границы. На это ясно указывает особый случай отражения волны от зональной границы, т.е. от границы, п^аллелыюИ оси 力. Метод анализа остается тем же самым, и снова как частота, так и компонента волнового вектора, параллельная границе, т.е, в данном случае k , при отражении сохраняются. Из рис. 3.23.4 видно, что I при этом только меняет знак, так что длина волны, величина групповой скорости и плотность энергии не меняются при отражении в данном особом случае. Даже здесь, однако, проявляется удивительная природа волны Россби, так как ^неискушенный11 наблюдатель, следящий за перемещением гребпей этих двух волн, легко спутал бы падающую и отраженную волны,

За24. Волны Россби, создаваемые начальным возмущением

Волновой пакет, заполненный волной определенной частоты, движется с групповой скоростью, соответствуюпюй волновому вектору этой волны. По определению амплитуда волнового пакета есть медленно меняющаяся функция, и, согласно (3.19.15), ее форма при перемещении пакета не изменяется до тех 口唯 пока пакет не отразится от границы. Законы, определяющие распространение такого пакета, подробно обсуждались в предыдущих разделах, причем для понимания его движения важную роль играет понятие групповой скорости.

Во многих случаях возмущение, хотя и отчетливо волнообразное, не характеризуется даже приближенно одной длиной волны. Вместо этого мы можем иметь последовательность гребней и впадин, расстояние между которыми изменяется в пространстве и во времени. Естественно задаться вопросом о том, какую роль могут играть представления о групповой и фазовой скоростях при описании возмущений, длина волны которых (предполагая, что она может быть разумно определена) изменяется в пространстве и времени. Для изучения этого вопроса рассмотрим конкретный пример, из обсуждения которого ст± нет ясно, что развиваемые ниже идеи имеют достаточно общий характер.

Представим себе квазигеострофическое движение жидкости на р-плоскости в бесконечно длинном канале, ограниченном стенками

f = % +АоУ*

Р х G 3。24九 Канал, в котором распространяется возмущение. Потенциалы» ный вихрь, обусловленный внешними условиями, увеличивается линейно при увеличении у, т.е, можно считать, что параметр Кориолиса линейно возрастает с широтой.

на двух "широтных кругах1* у = 0 и у = 1, как показано на рис. 3.24.1. Жидкость в канале первоначально покоится, а затем при t = 0 ей сообщается возмущение, имеющее произвольную форму, но локализованное в окрестности * = 0. Передача возмущения на большие от 叫 чала координат расстояния представляет собой в случае возмущений малой амплитуды волновой процессу однако характер такого распространения оказывается весьма сложным, поскольку произвольное начальь ное возмущение будет, согласно теореме Фурье, содержать много длин волн. Наличие стенок при у = 0,1 упрощает рассматриваемую задачу за счет того, что в канале энергия может распространяться только вдоль оси 占 Для движений на р-плоскости это означает, что широтная полоса предполагается изолированной от окружающей среды и рассматривается распространение энергии только по долготе.

Для возмущений с малой амплитуд或 оснс^ное уравнение имеет вид

~ " （V2屮一尸屮）+ в '屮.= 0（3.24.1）

d £дх

с граничными условиями

沙=纟屮二 0, у= 0, 1,（3.24.2）

и начальным условием

屮（石 y,Q）二屮о （*, У）・（3.24.3）

Для того чтобы максимально упростить анализ, учитывая при этом наиболее важные особенности задачи, рассмотрим случай, когда

屮о（3 У）=屮〃（*） sinn^y,（3.24.4）

где п — произвольное целое число. Произвольное начальное возмущение может быть представлено в виде суммы Фурье по и возмущений вида (3.24.4 )> и поскольку задача линейная, то результирующее движение в общем случае будет линейной суперпозицией решений с различными п.

Нетрудно проверить, что функция вида

屮=Фя(«» И sin птгу,

автоматически удовлетворяющая граничным условиям (3.24.2 )у является решением задачи, если % (*, 土)удовлетворяет уравнению

-± {也-а2ф„ } + В 也 * 0,(3.24.5)

ас а/ ” Эх

(3.24.6)(3.24.6)(3.24.7)(3.24.7)Фурье*преобразование <рл определяется интегралом 武(а，)=* j ei飞(小)也

(3.24.6)

(3.24.6)

(3.24.7)

(3.24.7)

обратное преобразование задается в виде

Фв(*» О =，扌累-丄 eikx 9n(k, t) dk.

Весьма широкий класс функций на бесконечном интервале может быть представлен, в виде интеграла Фурье (3.24.7) по всем волновым числам к плоских волн, каждая из которых имеет амплитуду 6n(左 £)，А При £ = 0 фурье-преобразование (3«24.4) дает

武（%。）= 4（左）=武（%。）= 4（左）=“ ％»(#)〃％“ ％»(#)〃％(3.24.8)(3.24.8)

武（%。）= 4（左）=

武（%。）= 4（左）=

“ ％»(#)〃％

“ ％»(#)〃％

(3.24.8)

(3.24.8)

Интегрируя по частям соответствующие члены уравнения (3.24*5), получим

7^^—зд хV2 тг7^^—зд хV2 тг/ e-ikx<?ndx=ik^n(k,t) ОО(3.24.9)/ e-ikx<?ndx=ik^n(k,t) ОО(3.24.9)

7^^—зд хV2 тг

7^^—зд хV2 тг

/ e-ikx<?ndx=ik^n(k,t) ОО

(3.24.9)

/ e-ikx<?ndx=ik^n(k,t) ОО

(3.24.9)

и

=一"2 ; ° (瓦 上),

где мы молчаливо использовали предположение о том, что для всех конечных £ функция <рл должна стремиться к нулю при | х | -> «>, что эквивалентно предположению о конечной скорости распространения энергии. С учетом (3.24.9) уравнение (3.24.5) сводится к обыкно венному дифференциальному уравнению для % (этот факт и является истинной причиной введения преобразования Фурье), т.е.

7Г -鬻宀 1K(3.24.10)

Общее решение этого уравнения имеет вид

Ф„(4, г) = Cn(k)e-ia^^,(3.24.11)

где

<т(«) =(3.24.12)

А2 + а 2

В силу начального условия (3«24.&) % (%) должно удовлетворять соот- ношеню»

Сп(к)=Ап(к)(3.24.13)

ИЛИ

$宀"小m。(m.(3.24.14)

Отсюда следует, что

фп(х>г)= 1 Г 4(A)e"AN-°(A*)，B(3.24.15)

V2 тг —8

Таким образом, искомое возмущение состоит из фурье-суперпозиции бесконечного числа плоских волн, кавдая из которых имеет свое волновое число % и частоту а (А), равную в соответствии с (3.24.12) частоте волны Россби для этого волнового числа. Амплитуда Лл( А) каждой такой фурт>е-моды полностью определяется начальным у слови-

ем (3.24.8). Рассмотрим в качестве примера следующее начальное возмущение:

+.(#)=丄 е “""о)，* %.(3.24.16а)

2 %

Возмущение (3.24.16 а) характеризуется масштабом пространственной протяженности *q и пространственным периодом 2 тг / Ао, Если %о 欠。>> 1, то это возмущение будет выглядеть, по крайней мере в н± чальный момент, как волновой пакет. Фурь&*преобразование (3.24.16 а) имеет вид -2

-考(左一坛)/ 4

(”)=J—— (3.24.166)

Если Аохо >> 1, то спектр 4式后)(т.е. распределение амплитуд А^к) по волновым числам %) имеет резкий максимум при А = Ао, Иными словами, медленно меняющийся волновой пакет является суперпозицией волн с волновыми числами, близкими к некоторому среднему волновому числу Л = Ао, как показано на рис. 3.24.2. Характерная ширина спектра 4卩(％) обратно пропорциональна пространственной протяженности х0 , и, таким образом, чем длиннее пакет по *, тем уже спектр по 左 Для очень узкого спектра, соответствующего медлен» но меняющемуся пакету, амплитуда ((%) не равна нулю лишь в близкой окрестности А= Ао , в силу чего вычисление (3.24.15) можно упростить представив с( А) в окрестности %© в виде

u(k) = О (к0) + (-^- )А= ко (к - к0) + ... .(3.24.17)

Ап(')

戶川 с。3。24。2・ Спектр волнового пакета. При увеличении длины пакета «о увепичивается острота спектра.

Отсюда 18"к戸一0(ЛО) f )

ф„(х, t)=-^ 厶4(“(。" X

х ехр( i { * -(.§9.)坛 £ } I % - %0])/二

"修一。(坛)£)8

=-=/ 4(%)X

V2it - °°

X ехр(^ Ь -(察)X ехр(^ Ь -(察)£ } [ & -紀 1) 〃％ =£ } [ & -紀 1) 〃％ =

X ехр(^ Ь -(察)

X ехр(^ Ь -(察)

£ } [ & -紀 1) 〃％ =

£ } [ & -紀 1) 〃％ =

=e "坛"ез %.(#.%1))£3.24.18)

где Фл (х) — форма огибающей в первоначальный момент. Это выра. жение представляет собой выведенную ранее формулу для распространения медленно меняющегося пакета,

В этом разделе мы столкнемся с противоположной ситуацией, когда начальное возмущение резко локализовано по *, так что спектр Лд( А) очень широкий. В этом случае приближенные формулы (3.24.17) и (3,24.18) совершенно неверны, так как при вычислении (3.24.15) необходима суммировать волны в широком диапазоне волновых чисел. Без сколько-нибудь существенного ограничения общности предположим, что начальное возмущение является четной функцией *.

В течение небольшого отрезка времени после возникновения возмущения характер движения будет зависеть от особенностей его первоначальной формы. Поскольку начальное возмущение произвольно, то в решении (3.24.15) для малых £ (которое может быть получено путем разложения в ряд Тейлора по времени) еще не будут проявляться характерные особенности динамики волн. С другой стороны, можно ожидать, что для большого £ энергия будет распределена по области, значительно превосходящей размеры источника* Прошедшее время при этом должно быть достаточно велико, чтобы характерные внутренние особенности распространения волн проявились вполне отчетливо. Поэтому мы будем исследовать асимптотическую форму (3,2^15) при больших з и £• Для этой цели используем метод стационарной фазы. Здесь мы приведем только эвристическое описание метода; бо-

лее строгий вывод читатель может найти в стандартных учебниках厶 Основная идея метода состоит в том, что при £ - «> и фиксированном х/ £ фаза в экспоненте в (3.24.15) является быстро меняющейся функцией %, т.е, для больших £ фаза

0= (<г(А)= t[ (^_) А-а(А)](3.24.19)

очеяь сильно изменяется щж малом увеличении % поскольку

也=tj£_ = t С&].(3.24.20)

d Л д к £d 1

Следовательно, как действительная, так и мнимая части © “ °《&) с ростом £ все быстрее осциллируют, меняя знак, и в конце концов для больших £ вклад в интеграл от каждого значения % компенсируется вкладом от очень близкого значения % для которого фаза в экспоненте изменяется на 180% а амплитуда 4K %), являющаяся плавной функцией к , почти не изменяется. Такая картина будет н& блюдаться во всем диапазоне изменения %, за исключением окрестностей особых точек 勺，где увеличение % не приводит к увеличению % т.е. точек стационарной фазы, где dq/dk обращается в нуль. Для таких к$ имеем

* =也_(儿).(3.24.21)

Таким образом, основной вклад в интеграл (3.24.15) будут да* вать малые окрестности тех значений %, которые удовлетворяют условию (3.24.21 )• Физически это означает, что при t >> 1 основной вклад в <р(х, t) в точке 外дают те волновые компоненты в ио ходном спектре, групповая скорость которых равна х/t. Уравнение (3.24.21) может быть решено относительно А# :

3% (亍)•(3・24・22)

Согласно предположению,屮〃(％) есть четная функция * . Покажем, что в этом случае 4式 А) будет четной функцией % Согласно (3.24.8), имеем

4n； eikx^n(x)dx.(3.24.23)

v2k

Производя замену переменной интегрирования * 二一& получим

4Н)=-磊工 eW(T)" =

(3.24.24)

=速_： L”€*n(f)d f=((砧

где использована четность функций 力(£), т.е,

兴(§) = *〃(一€)•(3.24.25)

Четность функции Лл( А) в свою очередь означает, что (3.24.15) может быть записано в виде интеграла по интервалу U< А< «•

外(所 £)二§^" 7 Ап (A)(cos(b-cy(A)t)l dk =

=/ Л-( A) cos (kx— a(k) t) dk = к 0

心 Re 54(%)e"^-。**)^.(3.24.26)

TT 0

Таким образом, при вычислении (3.24.26) следует рассматривать только положительные значения % , являющиеся решением (3*24.21)，.

В малой окрестности к - ks

0(后)=。(Q + 窦-(/)( j) + 需(储:丁): +...,

(3.24.27)

*)Если 屮陋(先)—нечетная функция х9 то 4/Х) будет также нечетной функцией & и интеграл снова может быть запиеан в форме (3«24.26 )9 где вместо действительной части будет браться мнимая часть. Поскольку любая функция может быть записана в виде суммы четной и нечетной функций, про» веденный здесь анализ непосредственно применим и в общем случае.

так что

kx-a(k)t= % _“％)£】 +[х-咨(勺)*!(*-**)-

_ ^型(А,)-———+... .(3.24.28)

Второй член этого разложения, линейный относительно % — %$, обращается в нуль в силу (3.24.21 )• Таким образом, для больших £ фёр мула (3,24.26) может быть приближенно записана в виде

Q”(巧 £) - Re« J" ^n^s ) ex

)2

xexp(_“"(3)2)“ =

办2 、г 2

=Re>/L_ 4n(勺)e"3-。(匕x 7Г

(3.24.29)

При записи этого выражения мы учли гладкость функции 4虱矶 в силу чего в малом интервале 2 А вокруг 勺 можно с хорошей точностью заменить Лл( А) на Лл( Аж).Будет показано, что окончательная формула для <рл( *, £) не зависит от величины малого интервала А.

Введем переменную

а = (%-3)味 I嘉(勺)丨｝%(3.24.30)

и перепишем (3.24.29) в виде

2"3~。(%丿£)

%(% tMReh 々(％), х

xf expl - i а 2 Sgn —— ( A,) ] da, (3.24.31)

где

(3.24.32)(3.24.32)(3.24.33)(3.24.33)

(3.24.32)

(3.24.32)

(3.24.33)

(3.24.33)

Поскольку а$ т з при £ -* °°, то интеграл б (3.24.31) примет вид

/ ехр{-га2 sgn ；j (勺)}厶=y^L(] — i sgn_^j (%)) ~

=斤 exp(-£— sgn^-^(4e )), 4 a A2

так чтотак что“，£）= 2R"〃（勺）“，£）= 2R"〃（勺）(3.24.34)

так что

так что

“，£）= 2R"〃（勺）

“，£）= 2R"〃（勺）

i(k9x^a(ks')t )e

"翁(勺)1)%- X

x exp (-»— sgn —^ (^ )).

Нетрудно показать по аналогии с выводом (3.24.24), что, по-скольку 4式％) - четная функция А, она должна быть действительной.

Производя суммирование по всем ks > 0₽ являющимся решениями (3.24.21), получим окончательное асимптотическое выражение для

9 虱 ”,£)：

у")"1也(% )1)7у")"1也(% )1)7(3.24.35)(3.24.35)X COS (履 К ~а(勺)X COS (履 К ~а(勺)(/).(/).

у")"1也(% )1)7

у")"1也(% )1)7

(3.24.35)

(3.24.35)

X COS (履 К ~а(勺)

X COS (履 К ~а(勺)

(/).

(/).

Можно показать, что ошибка от замены выражения (3.24.15) выра. жением (3.24.35) имеет порядок 0(厂】).Поэтому точность аппрокси> мации улучшается с ростом времени.

Полученное решение (3.24.35) на первый взгляд имеет вид плоской волны, амплитуда которой медленно убывает со временем как L*. Вообще говоря, это не так, поскольку в силу (3.24.22) ks и, следовательно, ст( Л# ) являются достаточно сложными функциями %/ £ • Тем не менее это первое впечатление по существу правильно, если понимать его должным образом. Изменяющаяся часть фазы волны в осциллирующем сомножителе в % {3.24.35) имеет вид

0(х, £)= А$% — ст(勺)九(3.24.36)

По аналогии с (3.8.3) определим скорость увеличения 0 при увеличении % как локальное волновое число к. Так, введенное А будет уже функцией % и £, поскольку, согласно (3.24.21), ае , . .а。、(勺)dks

j=勺《б (3.24.37)

Волновое число к будет казаться постоянным только наблюдателю, движущемуся от начала координат с групповой скоростью, соопвел* слвующей элюму волновому числу. Покоящийся или движущийся с любой другой скоростью наблюдатель будет видеть колебание, длина волны которого изменяется во времени.

Аналогично локальная частота равна .дк

Ь =-學-=ь(%)-(н-С 啖•(勺(3.24.38а) dtдк dt

Для наблюдателя, движущегося с групповой скоростью, соответствующей волновому числу ks, имеем

а = а(^)(3.24.386)

где и( %) - частота, определяемая волновым числом ks согласно дисперсионному соотношению (3.24.12) для плоских волн. Локальная фазовая скорость (например, скорость продвижения отдельного гребня) равна

(3.24.39)(3.24.39)0(人) ё н—:-

(3.24.39)

(3.24.39)

Так как к постоянно только для наблюдателя, движущегося со ско ростью С/ А$), а С 声 С§ для диспергирующей волны, каковой является волна Россби, то наблюдатель, следующий за определенной дли»

«ом волны, будет видеть скользящие мимо него различные гребни. На. блюдатель же, который хочет перемещаться вместе с определенным гребнем, должен двигаться с локальной скоростью С , отличающейся от С ; такой наблюдатель будет видеть, что длина волны изменяется во ч>§мёни, в силу чего одновременно будет изменяться и фазовая скорость С. Таким образом, наблюдатель, следующий за возмущением определенной длины волны, будет двигаться равномерно с групповой скоростью, в то время как наблюдатель, который хочет двигаться с отдельным гребнем, должен ускоряться и замедляться, так как длина волны, несущей гребень, изменяется во времени. Из (3.24.37) и (3.24.38) получим

дкя

—L + —- = 0.(3.24.40)

d t дх

Поскольку ks — число полных колебаний на единицу длины, а о (勺)- скорость, с которой определенная фаза волны (например ( гребень) проходит мимо фиксированной точки наблюдения, то (3.24.40) означает, что число гребней в qre волн (3.24.35) при распространении возмущения сохраняется, хотя расстояние между гребнями различных длин волн и изменяется во времени (поскольку их фазовая скорость С меняется с длиной волны). Таким образом, несмотря на дисперсию цуга волн〉число гребней в нем сохраняется. Так как ст в зависит от % только через % из (3.24.40) следует, что

出 +｛史细｝吐=0(3.24.41а)

d £ дк д х

И

а°&)+ ｛吧％) ｝史_ = 0“(3.24.41 б)

dt дк а*

Эти соотношения представляют собой математическое выражение упоминавшегося ранее факта, что длины волн и частоты распространяются с групповой скоростью.

Рассмотрим теперь волновую энергию, заключенную между двумя близко расположенными плоскостями при %= % и Пусть каждая точка движется с групповой скоростью, соответствую, щей волновому числу, которое в момент времени £ находится в этой

точке. Если интервал A xs мал, то длина волны внутри него будет почти постоянной, так что для вычисления плотности энергии может быть использовано соотношение (3.21.8). Поскольку амплитуда волны здесь равна

24

у и ши-(3.24.42)у и ши-(3.24.42)то для энергии, заключенной в полосе единичной длины по рины А % п0 %, получим выражение

у и ши-

(3.24.42)

у и ши-

(3.24.42)

(^ + а2)А2(ка) Дх

Е(”, t)=г—.

九2

Точка % в момент времени £ соответствует волновому числу ks, определяемому согласно (3.24.21), так что для одного и того же момента времени интервал между близлежащими точками может быть записан как

△% = $ I I △勺，(3.24.43)

где знак абсолютной величины введен для того, чтобы интервал A xs был положительным в случае положительного приращения А 勺.В пределе при △山$ т 0 полная энергия в бесконечно узкой полосе dxs равна

Е(%, £)<Ч Т“ + а?)片(“储(3.24.44а)

Эта величина поополнна, так как полоса движется от начала координат с постоянным ks, т.е. с групповой скоростью, соответствующей к - А,. В начальный момент времени полная энергия волнового поля равна

厶/dy)2 +爵)2 +尸屮2}=

(3.24.446)(3.24.446)=4- f {(」•)2 +。2(%)2}★

(3.24.446)

(3.24.446)

4 —«jd x

Поскольку, согласно теореме Парсеваля,

7 ф^ = 71 ^n(k)\2dk, _8ОС

J曲)2厶=『Ml句,(％)|2林，

полная энергия в момент времени £ = 0 равна

(3.24.45)(3.24.45)7 "2：空 л2 (k)dk=『E(x) dx. О 2—ОО

(3.24.45)

(3.24.45)

Этот результат вместе с (3.24.44 а) можно интерпретировать следующим образом. В начальный момент времени полная энергия』ок& лизована вблизи начала координат и, согласно (3.24.45), может рассматриваться как бесконечная сумма сгустков энергии, каждый из который соответствует волновому пакету с амплитудой Лл( к) • С течением времени каждый сгусток энергии движется от начала коор» динат с групповой скоростью, соответствующей волновому числу пек кета. Во время движения от начала координат каждый сгусток сохраняет свою частоту и волновое число, но его физическая длина постепенно увеличивается линейно со временем из-за слабого изменения Cg от одного конца сгустка к другому (см.(3.24.43)). Так как энер» гия каждого сгустка постоянна, амплитуда волны должна убывать как £_乂，чтобы скомпенсировать пространственное расползание сгустка. Отдельные гребни скользят из одного сгустка в< другой, поскольку С«(斤)* °(斤$), так что форма цуга волн, составленного из после» довательности сгустков, изменяется во времени.

Сгусток с максимальной групповой скоростью будет обгонять остальные. В конце концов все сгустки будут растягиваться в линию с самым быстрым сгустком впереди и более медленными сзади.

Для волны Россби ks должно удовлетворять соотношению

As - о2 t "(%+。2产As - о2 t "(%+。2产(3.24.46)(3.24.46)

As - о2 t "(%+。2产

As - о2 t "(%+。2产

(3.24.46)

(3.24.46)

Рассмотрение проведенного выше рис. 3.19.2 показывает, что при л> р t/Ъа2 и х< —Р t / а2 решений для ks не существует. Решения возможны только в интервале значений ” (-.р t/a2f р ^/8а2),

尸"с。3。24。3。Волновое число стационарной фазы как функция расстояния от начала координат. Заметим, что для х > о имеется два значения *$ для каждого ха2/р t < 0*125.

соответствующем области, за пределы которой не выходят сгустки с максимальными отрицательной и положительной групповыми скоростями соответственно. Вне этого интервала жидкость в принятом прибли- жении остается невозмущенной. Внутри же этого интервала наблюда* емые волновые числа являются решениями (3.24.46) и показаны на рис. Х24.3. Заметим, что длинные волны, для которых к& < а = =(м2тт2 + Е)% } находятся далеко слева (на западе) от исходного возмущения, в то время как более короткие волны (ks > а) расположены при положительных ” к востоку от исходного возмущения. При

^ t/а2 < х< 0 каждому ” соответствует единственная длина волны, а при х> 0 имеются две длины волны для каждого х : диапазон волн со средними длинами, соответствующими интервалу 1^( ks/а) « ,3 и даапазон коротких волн с {ks/ а) 6・ Волновое возмущение распространяется на запад от начала координат на расстояние в 8 раз большее, чем на восток. Из (3.24.46) следует

1cs -[；1+(1-8/]%где1cs -[；1+(1-8/]%где(3.24.47)(3.24.47)а2歹а2歹(3.24.48)(3.24.48)

1cs -[；1+(1-8/]%

где

1cs -[；1+(1-8/]%

где

(3.24.47)

(3.24.47)

а2歹

а2歹

(3.24.48)

(3.24.48)

Когда ” фиксировано, § уменьшается с увеличением £, и, разлагая квадратный корень в ряд, получаем два решения для больших £：

=1 а

или

(3.24.49)

соответствующие наиболее медленно перемещающимся пакетам. Второе решение справедливо, естественно, только при х> 0. Как для положительных, так и для отрицательных ” первое решение дает вклад в <рп(х, £), равный

cos (ах + Ё-/.,. — —IL2 а 4cos (ах + Ё-/.,. — —IL2 а 4(3.24.50)(3.24.50)

cos (ах + Ё-/.,. — —IL

2 а 4

cos (ах + Ё-/.,. — —IL

2 а 4

(3.24.50)

(3.24.50)

а вклад второго решения при х > 0 равен

Ф(2)= 2乂 4K((宜f)%)(?炉“ cos [ 2(В”£)乂十-Н—].

(3.24.51)

Каждая из этих величин, естественно, зависит от начальных условий, т.е. от формы спектра 4〃( %). Если спектр плоский, т.е. Ап не за-

висит от А, что соответствует предельной локализации начального возмущения по х, то в конечном счете при t -* «> и любом фиксированном ” возмущение будет определяться выражением (3.24.51). В более реалистическом случае, когда Лл( А) -♦ 0 при А -♦ «», основ» ным членом будет (3.24.50 )• При этом возмущение, остающееся позади цуга волн, всегда будет представлять собой колебание с длиной волны 2тг/а , соответствующей равной нулю групповой скорости.

Очевидно, что рассмотренное приближение становится несправедливым при волновых числах, для которых

(3.24.52)(3.24.52)a2b _ aCg3c 2В %(3а2 - N) 赤~ (廿+ а2)3

(3.24.52)

(3.24.52)

т.е. когда знаменатель в (3.24.35) обращается в нуль. Исследование экстремумов С^( А) представляет, несомненно, большой интерес, поскольку они определяют вид возмущений на самом фронте цуга волн, т.е, для сгустков энергии, движущихся с максимальной групповой скоростью. Так как Э2ст /дк2 обращается в нуль для таких сгустков, то из (3.24.43) следует, что расплывание сгустка со временем мало, так что естественно ожидать, что его амплитуда убывает медленнее, чем По этой причине формула (3.24.35) и перестает быть справедливой. Для получения асимптотической формулы в этом случае необходимо вернуться к (3.24.26) и записать фазу в в окрестности максимума групповой скорости (скажем, при к =統)в виде

е= kx-o{k)t = ктх -b(%m)t + [ « -Се(кт)1Ик -k„)-

认 力 2dk2 6

(3.24.53)

Поскольку (d Cg / 8 斤)(&J обращается в нуль, вклад в <рп( х, t) от интервала волновых чисел вокруг кт равен действительной части от

тгтг

тг

тг

xJ-JP "…〃I”)-丁(％ 3〕(3.24.54)

где для больших £ пределы интегрирования, как и раньше, могут быть расширены до ±«>4 Воспользуемся теперь интегральным соотношением

/ cos (ак^ + bk) dk ~ ———- Ai ((За )-% Ь )•(3.24.55)

О(За)%

Здесь Ai(x) — табулированная функция Эйри, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

4*— xAi = 0.(3.24.56)

dx2

График Ai( х) приведен на рис. 3.24.4. Выражая возмущение вблизи переднего края цуга через функцию Эйри Ai, получим

фп(^ с)= 2依二厶辅~cost Amx -aC^tlx

х Aiх Ai" -Cg（婦 上 ） 1色‘（%），/2|%" -Cg（婦 上 ） 1色‘（%），/2|%(3.24.57)(3.24.57)

х Ai

х Ai

" -Cg（婦 上 ） 1色‘（%），/2|%

" -Cg（婦 上 ） 1色‘（%），/2|%

(3.24.57)

(3.24.57)

где

Функция Эйри экспоненциально убывает при положительных значениях аргумента и осциллирует при отрицательных, как показано на

戶 ” с. 3.244. Функция Эйри Ai (х).戶 ” с. 3.244. Функция Эйри Ai (х).

戶 ” с. 3.244. Функция Эйри Ai (х).

戶 ” с. 3.244. Функция Эйри Ai (х).

x=~j3t/a2x=~j3t/a2力7""Г

x=~j3t/a2

x=~j3t/a2

,x=j6t/5a^

4=a

рис. 3.24.5. Схематический рисунок, показ ывающий асимптотическое распределение возмущения при больших t.

риси 3-24-4; это свойство видно сразу из характера уравнения ( 3N&56) для положительных и отрицательных х« Таким образом, впереди точки ” =С^ 斤力)£ возмущение быстро затухает с увеличением расстояния от нее, в то время как позади переднего края возмущение имеет волнообразный характера Поэтому переход от возмущенной к невозмущенной жидкости в окрестности переднего фронта происходит не скачком, а плавно- Поскольку <рЛ(х, £)на переднем фронте волны убывают как L% , то амплитуда там при больших £ будет больше амплитуды цуга волн, если только Ап( Ат) случайно не окажется малойи Качественная картцна цуга волн при больших £, суммирующая полученные результаты, приведена на рис- 3N4S Заметим, что при х > 0 кт = 3 % а, тогда как при х < 0 величина Ат= 0«

3.25. Квазигеострофические нормальные моды в замкнутом бассейне

До сих пор мы рассматривали распространение волн Россби в незамкнутых по крайней мере в одном направлении бассейнах. Подобная идеализация естественна при анализе задач, в которых масштаб во> мущения мал по сравнению с размерами замкнутой области, и потому возмущения должны двигаться долгое время, прежде чем они встретят границу. Однако в замкнутых бассейнах, таких, как океаны, характерный масштаб внешнего воздействия, например ветрового, достаточно велик, так что влияние границы оказывается существенным. В подобных случаях отклик на переменное по времени внешнее воздействие может быть лучше всего описан при помощи нормальных мод колебаний.

Рассмотрим замкнутый бассейн на p-плоскости, как это показано на рис. 3.25.1. Основным уравнением для колебаний малой амплитуды

Рис. 3.25.九 Ограниченный кривой С бассейн, в котором рассматриваются квазигеострофические свободные колебания. Вектор п есть нормаль к С, t — тангенциальный вектор9 i - единичный вектор в направлении оси 幫.

снова является линеаризованное уранение потенциального вихря, а именно

上“2 屮-р*} + в 业=0.(3.25.1)

dtдх

Постановка граничных условий в рассматриваемой задаче требует специального обсуждения. Поскольку вектор скорости порядка 0(1) направлен вдоль лш й тока, условие равенства нулю нормальной компоненты скорости “а границе бассейна удовлетворяется с точностью до 0(£)по числу Россби, если граница С совпадает с линией тока, т.е. если 屮 постоянна на С:

屮=「0 наС,(3.25.2.)

где Го может быть функцией только времени^

Хотя прибавление к 屮 произвольной функции от времени и не влияет на вычисление скоростей, тот факт, что 屮 равняется также и отклонению свободной поверхности % порядка 0(1), означает, что Го определяет глубину жидкости вдоль границы и потому не может быть произвольной. Если 屮 просто синусоидальна вдоль границы (как, например, в случае плоской волны Россби в зональном канале), то условие постошства 屮 означает, что Го « 0. В рассматриваемом случае движение не может быть (и не является в действительности) просто периодическим вдоль границы, и Го должна быть определена.

В разд. 3.5 мы показали, что как следствие равенства нулю нормальной скорости на замкнутой границе

/—• d『 = 0 на С,(3.25.3)

Это условие должно выполняться во всех приближениях по числу Россби. В первом приближении по числу Россби, так как

и。= i〃o + j^o = к х V 屮，(3.25.4)

это условие означает, что

ф(к XV屮)，dr =夕(к х V屮)• t曲工 0,(3.25.5) atat

где t — единичный вектор, касательный к С, ds — элемент дуги контура С. Поскольку

t = к х п ,(3.25.6)

то соотношение (3.25. *3) можно записать в виде

—今(V屮・n)dsH 0。(3.25.7)

dt с

Обращаясь к уравнениям (3.12.19а, б), заметим,что условие (3.25.3) для скоростей порядка 0(1) может быть выведено в предположении, что нормальная к границе области скорость порядка 0(e) обращается в нуль. Отсюда следует, что соотношение (3,25.7), вообще говоря, не зависит от условия постоянства 屮 на границе и потому может быть использовано для определения「°. В разд. 3.5 было получено, однако, еще одно условие, а именно

д

// 屮厶 dy = 0,(*25,8)

которое следует из (3.5.8) в первом приближении по е • Это условие в силу (3.12.19 b) также может быть получено в предположении, что нормальная к границе скорость порядка О (е) обращается в нуль. Являются ли условия (3・25・8),(3・25・7) и (3.25.2) независимыми? Если это так, то мы имеем слишком много условий для определения「°.

Рис. 3.25.2. Значения #& и х^ определяют для каждого у протяженность бвссвйнв вдоль оси *・ Значения у〃 и у£ определяют максимальный интервал изменения ло у.

Рассмотрим интеграл от (3.25Л) по площади 4 бассейна. Преобразуя интеграл от V2^, имеем

——0 (▽屮• и )曲=尸//^« dxdy — В//.?屮 dxdy. (3.25.9)

dt °4 dta 8x

Далее, в силу (3.25.2)

ff^L dxdy = / [屮(#衣* У)- 屮(心 y)]dy= О, (3.25Л0)

где обозначения указаны на рис. 3.25.2. Следовательно, если 屮 постоянна на С, то из условия (3.25.7) следует условие (3.25.8), и наоборот. Таким образом, любое из этих соотношений может быть использовано для определения「°.

Кроме того из (3.25.9) следует, что в пределе при Ft 0, что соответствует бассейну с длиной L, значительно меньшей радиуса деформации, условие (3.25.7) будет автоматически удовлетворяться для любой Гол Этот предел по существу эквивалентен, как мы уже видели, приближению твердой крышки, поскольку изменения во времени

свободной поверхности на контуре в этом пределе не влияют на характер движения. Для простоты рассмотрим сначала этот предельный случай; полученные при его анализе выводы будут полезны при исследовании общего случая.

Итак, предположим, что F = 0, и будем считать % равной нулю. Колебания, имеющие вид

屮(х* у* t) = Ree тЗ ф(х,у )*(3.25*11)

будет решением (3.25.1), если

72ф+21_^£ = 0.(3.25.12)

а Эх

Чтобы исключить первую производную Ф из (3.25.12), представим

Ф в следующем виде:

Ф ■ е ->₽*/2^Ф(х 丿)・(3.25.13)

Подставляя (3.25J3) в (3.25.12), получаем уравнение для ф

▽" + 入"=0,(3.25.14)

где 入2 = р2/4а2 •

Это уравнение англогично уравнению для амплитуды колебания мембраны, и условие ф = Ф = 0 на С означает, что искомое раиение 屮 представляет собой возможные моды колебаний зажатой по краю мембраны.

Рассмотрим, наприм绅* прямоугольный бассейн 0< х^ х0 ,

0《У《力.Любая функция из совокупности

<Р = Фтп sin^- finZLUL，浦=1,3, 3,...,n = 1^3j..., (3.25.15a) & Го

будет удовлетворять граничным условиям и (3.25.14) при условии, что.

а равно соответствующему собственному числу

0=0=Р .(Х25.156)

т 2^{тУ^{пЧу^

Важно отметить, что низшие моды (т.е. моды« соответствующие наименьшим тип) имеют наибольшие частоты, в то время как моды с

меньшими масштабами осциллируют медленнее. Вид каждой моды очень интересен. Функция тока 屮 с точностью до произвольной фазы равна

屮=сов[_А^_ + (TmntLinmir 士 sin тпг 21 •(3.25.16)

2**о %

Она состоит из несущей волны cos (卩#/2amn + amn t), фаза в которой всегда распространяется налево (на запад), модулированной огибающей из синусоидальных функций, обеспечивающих удовлетворение граничных условий. Каждая мода имеет фиксированные и движущиеся узлы, ограничивающие ячейки движения. Каждая ячейка то уменьшается, то увеличивается в размере по мере того, как движущиеся узлы несущей волны приближаются к фиксировованным узлам и затем удаляются от них. Скорость распространения фазы в западном направлении равна

с 一，喩=-₽(3.25.17)

в 2гг2|(т2До)+ (М/у^)}

Это удивительное поведение решения показано на рис. 3.25.3 для низшей моды m = к = 1. Высшие моды имеют дополнительные фиксированные внутренние узлы, и похожую, но более сложную структуру сжимающихся и расширяющихся ячеек вихреобразного движения.

Рис. 3.25.3. Первая нормальная мода в прямоугольномбассеЛ».Застим, что распространение фазы в приведенных картинках происходит в сторону отрицательных *.Рис. 3.25.3. Первая нормальная мода в прямоугольномбассеЛ».Застим, что распространение фазы в приведенных картинках происходит в сторону отрицательных *.

Рис. 3.25.3. Первая нормальная мода в прямоугольномбассеЛ».Застим, что распространение фазы в приведенных картинках происходит в сторону отрицательных *.

Рис. 3.25.3. Первая нормальная мода в прямоугольномбассеЛ».Застим, что распространение фазы в приведенных картинках происходит в сторону отрицательных *.

Рис. 3.25.4. Представление нормальной моды Россби в виде суммы четырех плоских волн на диаграмме распространения энергиио Суммарный поток энергии плоских волн равен нулю.

Каждая нормальная мода может быть представлена в виде четырех плоских волн Россби с волновыми векторами

к= ig ±_2L_) + j(± 竺.)=i& + 〃.(3.25.18)

Легко проверить, что для каждого волнового вектора выполняется дисперсионное соотношение для плоских волн Россби

а = _ 图(3.25.19)

А2+ /2

На рис. 3.25.4 эти четыре плоские волны показаны на дисперсионной диаграмме (для 尸=0); из рассмотрения рисунка сразу становится очевидным, что в каждой точке бассейна сумма всех четырех векторов потока энергии тождественно равна нулю. Таким образом, перенос энергии из одной части бассейна в другую в каждой моде отсутствует, несмотря на распространение фазы с востока на запад*

Нормальные моды для бассейнов других форм имеют аналогичный характер, т.е. они состоят из раетространяющейся на запад несущей волны, модулированной постоянной огибающей, узлы которой фиксированы и определяются решениями уравнения (3.24.14) с равной ну-

лю на границе функцией ф • Для круглого бассейна единичного радиуса« например,

屮mn = c°s(me + a )/m(Anmr )cos(px./2amn + umnt), (3.25.20)

где т н 6 — полярные координаты, Jm — бесселева функция порядка m,

amn - _L ;(3.25.21)

2我М

”m есть n-й нуль /mf т.е.

% 伍nm)二 0，(3.25.22)

и a — произвольный фазовый угол. Фиксированные узлы являются либо окружностями [если Jm (kmnr ) * 0], либо радиальными линиями, на которых соз(жЭ + а) обращается в нуль. Картина рассекается, кроме того, движущимися узлами несущей волны, ориентированными параллельно оси у •

Задача о нормальных модах с не равным нулю 尸 значительно более сложна, и мы, изложив лишь в общих чертах анализ такой задачи, покажем, что эти моды качественно похожи на найденные в случае 尸=0 моды. Во многом изложение здесь следует работе Флёрла(1977 )я который рассчитал нормальные моды для круглого бассейна. Как и раньше, рассмотрим решения в виде

屮=Rp^-i(₽x/2a+at)9(x>y)f(3.25.23)

где ф теперь удовлетворяет уравнению

*+(史一f)片。.(3.25.24)

4a2

Решения (3.25.24), симметричные относительно оси #* могут быть найдены в общем виде

Ф = S фт cosmQJm (Ar ),(3.25.25)

m* о где2

A2= —— - F.(3.25.26)

4。2

Условие (3.25.2) для нормальных мод имеет вид

屮(T= 1) = % 二 y0cos ai»

(3.25.27а)

ИЛИ

Ф* 2 Лп (A)(pm cosmO

Прв О

» _:(р/2а)cos0 /о с

(3.25.27 6)

Величины фт определяются через обычный интеграл Фурье, а именно 2тг

An(人)分f=у。/ 3771義"0/2。9 °^,О

(3.25.28)

где

если m* 0«

1 # если т^ 1.

(3.25.29)

Стандартное интегральное представление функции Бесселя

〃z)

inn/2 7r , a / ef x тве cos nQde

ТГ0

(3.25.30)

позволяет записатьпозволяет записать(3.25.31)(3.25.31)

позволяет записать

позволяет записать

(3.25.31)

(3.25.31)

^m 工 Yoz m

(3.25.28) в виде

Лп(В/勿)

4(人).

Остающееся условие (3.25.7) дает

2тг

0^ f © -:(p/2a)cos0

0

曳（r= i）de-£ /】seeT，（B/2°）c。吗

дг

2仃Эф

Хф(г = l)de=f ^-:(₽/2a)cose — °dr

2а о

ф21r

(т s 1)8е — ' у。f cos OtiO»

2ао

21r口

j —(MMco^eW (

о

2ТГ оо

т= l)dO =/ 2yoW А

О т=О

imJm^/2a)

X

rmJm (入)

х^；(入)cosmee"(B/2⑺co^de.

(3.25.32)

Используя для вычисления интеграла в (3.25.32) соотношение (3.25.30), получим уравнение для собственных значений а:

?%(В/%)/:(人)

g。 ％ Jm (A)

где

匚(入)=2m6)•(3.25.34)

d入

Заметим, что если предположить, что у0 = 0, то все %„ будут равны нулю согласно (3.25.31), за исключением того т^ Mt для которого %仏)обращается в нуль. В этом случае сумма (3.25.33) сводится к одному члену с т = М, не имеющему особенности лишь при 入=В / 2(т, откуда следует, что 尸=0. Таким образом, у0 может быть равно нулю только при F~^ Для 尸 * 0 собственные частоты отличаются от (3.25.21). Однако детальные расчеты Флёрла (1977) показывают, что сдвиг частоты всегда меньше 5% и модовая структура подобна (3.25.20) с той важной разницей, что поверхность жидкости на границе попеременно поднимается и опускается одинаково для всех точек границы.

В табл. 3.25.1 приведен сдвиг частоты для низшей симметричной моды при 尸卢 0* возникающий из-за замены неправильного условия Ф = 0 при т = 1 условием (3.25.27).

Решения (3.25.24), антсимметричные относительно у= 0, могут быть найдены в виде

ф ж SPm 8‘nme/m(入т )•(3.25.35)

m н О

Последующие выкладки аналогичны приведенным с заменой повсюду cosmO на sin mO. Соотношение (3。25。28)» однако, теперь будет иметь

Jm(K)rm^m = y，sinmeei(p/2“cosede 三 0,(3.25.36)

О

(3.25.37 а)(3.25.37 а)так что если 入 удовлетворяет условию

(3.25.37 а)

(3.25.37 а)

/m (入)=仇

Таблица 3°25J

尸

В/2。

а)

6)

0,2

2.435

2,446

0,5

2,481

2,507

1

2,556

2,604

2

2,706

2,790

5

3,146

3,284

10

3.852

3,973

20

5,066

5,078

30

5,976

5,982

50

7,455

7,469

а)Рассчитанные величины при правильном граничном условии (3.25.27) для низшей симметричной моды,

рассчитанные величины при неправильном условии р = Q на границе для низшей симметричной моды (любезно представлены Г. Фперлом).

то все <pm , m / М, могут быть выбраны равными нулю для произвольного у0 , таким образом,

入二мm，

Итак, все моды, антисимметричные относительно у = 0, имеют в точности ту же структуру, что и в случае 尸=0, в то время как частота равна

anm = - —(3.25.37 6)

統+F

н, как мы видам, уменьшается из-за деформации свободной поверхности. Оставляем читателю проверить, что раосматриваемые антисимметричные моды вида

Wue-MBx/za + onsinmejmlkr)(3.25.38)

удовлетворяют соотношению (3.25.7). Антисимметричные моды имеют нулевую амплитуду на границе. Благодаря пространственной анизотропии динамики волн, обусловленной В, только симметричные относи-

тельно у = 0 моды имеют ненулевую амплитуду при г = 1 и условие (3.25.7) позволяет найгн эту амплитуду.

Условие ортогональности для рассматриваемых нормальных мод в случае произвольного 尸 и произвольной формы бассейна непосредственно следует из уравнения для ①=е『°’屮.Рассмотрим две моды фк/ и Фтп,соответствующие частотам ак/ и amn. Далее

d ^КI

аю^.^2фк1 - F^KI ]+ *₽ = о ,(3.25.39а)

Эх в то время как

НФ*

喘 г 2嗚-F唠”]一帀一^ = 0，(3.25.396)

Эх

где звездочка означает комплексное сопряжение. Умножая первое уравнение на Ф*п , а второе на Фк/ и интегрируя разность этих уравнений по площади бассейна, получим

9KL ^)jJ[ VOK/ 7Ф^„ + F% Ф羲]dxdy =

А

=% / 啼” VOK/ . nds ~^п /Фк】 УФ義• nds +

С

+ «PJn . |фк/ ①加ds・(3.25o40)

c

Поскольку ①ki и Фтп постоянны на С, то в силу (3.25.7) правая часть (3.25.40) должна обращаться в нуль, что и дает условие ортогональности

(%1-唠”)Л" 1^К1 -^ФД+ 尸 Фк【％” Uxdy= 0. 35.41)

Если мы выберем 唠鶴 равным ①责^ , т.е. применим (3.25.41) к одной моде, то

аК1 =。疝，(3.2 氏 42}

так что частоты нормальных моп должны быть действительными. В противном случае экспоненциальный множитель е "°‘ приводил бы в отсутствие источника жергии к экспоненциальному росту или затуханию. Действительно, соотношение (3.25.41), записанное для од-

ной моды, представляет собой не что иное, как условие сохранения энергии. Для двух мод с различными частотами этот интеграл должен обращаться в нуль.

Рассмотрим теперь произвольное начальное возмущение

屮(％У» t)= 屮的 у) при t == 0.(3.25.43)

Для всех t > 0 функция 屮 может быть представлена в виде линейной комбинации нормальных мод, а именно

屮(x,y,t) = Z АтпФтп (х, у)е~1°тп1,(3.25.44)

吗П

где от правой части необходимо взять действительную часть. При t = 0

屮(X, % 0) = + (x，y)= Z Атпфтп (х> У)•(3.25.45)

m, п

Отсюда следует, что

И[^п • V屮 + 尸嗚屮(3.25.46)

где Стп — нормировочная постоянная для моды с номерами т, п

Cw=〃U VOmn|2+ F|Omj2]^y.(3.25.47)

Таким образом, Атп полностью определяются проекцией начального условия на каждую нормальную моду рассматриваемого бассейна, и исследуемое движение является просто суммой всех возбужденных нормальных мод.

3・26・ Резонансные взаимодействия

Хотя отдельная плоская волна Россби произвольной амплитуды и является точным решением уравнения квазигеострофического потенциального вихря» для суперпозиции волн Россби это неверно. Не» линейное взаимодействие между волнами, благод睥я которому поле скорости одной волны влияет на адвекцию вихря в другой, приводит к обмену энергией между волнами. Эта нелинейность описывается членом с якобианом в уравнении (ЗЛ5.1). В простейшем случае волн

Россби на р-плоскости уравнение (3.15.1) имеет вид

8屮d у 2屮8屮

I +b— = 0.

办 дхдх

(3.26.1)

Целью настоящего раздела является исследование природы нелинейных взаимодействий в случае р» 1, т.е. когда в первом приближении возможна суперпозиция волн Россби. При р» 1 характерный временной масштаб волны Россби в размерных единицах (% L) 一丨 значительно м^ьше ^емеии адвекции L / U, где U — характерная скорость частиц жидкости в волне. Поэтому для дальнейшего анализа необходимо выразить размерное время t * через новое безразмерное время t

t* = (в。L) т t = — ' t ,(3.26.2)

или

(3.26.3)

О а屮 d ё屮- ▽2屮дх дуО а屮 d ё屮- ▽2屮дх дуТогда уравнение (3.26.1) принимает вид

О а屮 d ё

屮- ▽2屮

дх ду

О а屮 d ё

屮- ▽2屮

дх ду

аI d屮

[V 2屮一尸屮]+ dtd”

(3.26.4)

Нелинейные члены в (3.26.4) имеют порядок О (В-% где р-1 есть отношение характерного временного масштаба для волн Россби к времени адвекции или отношение градиента относительного вихря U “/ L к градаенту планетарного ви)фя р0 • Когда это отношение мало, линейная суперпозиция волн Россби достаточно хорошо описывает движение для не очень больших промежутков времени, но если В ~1 конечно, то нелинейные взаимодействия между волнами делают такое представление невозможным.

При р» 1 представляется естественным искать решение в виде

屮e B)=屮0(k,"7) + 一屮1(/ % *) +

1

+ ™ 屮а (к, у, ») + ••• •(3・26・5)

炉

Подставляя это разложение в (3.26.4) и собирая члены с одинаковыми степенями р~\ получим последовательность уравнений для.屮° ,屮］ и т.д. Члены порядка 0(1) дают следующее уравнение для 屮 ° ：

■ ( V 2 屮0 —尸屮0 ) + i・ 2i = °・(3.26.6)

dtdx

Решение этого уравнения может быть записано в виде суперпозиции волн Россби, т.е.

屮° = W 附 cosGy,(3.26.7)

где число слагаемых формально может быть бесконечным； мы будем рассматривать случай, когда лишь конечное число амплитуд а. отлично от нуля. Фаза каждой волны равна

= kj х + Ij у — Gjt + фу,(3.26.8)

где фу — произвольный фазовый угол м 斗 —частота ;-й волны, связанная с волновым вектором К, = i 勺 + j/, дисперсионным соотношением для линейных волн Россби

勺一 .(3.26.9)

А/ + 7 + F

Таковы результаты линейной теории； нелинейные взаимодействия проявляются лишь при рассмотрении уравнения для 屮〔,имеющего вид

2屮с

X = - ЕЕ ат ап К^(кп lm -%Z“ )sinemsine„.

дуm п

(3.26.10)

После простых преобразований уравнение (3.26.10) может быть пере-

писано как

22 m п22 m пamanaman22闻-К»闻-К»

22 m п

22 m п

aman

aman

2

2

闻-К»

闻-К»

х ^nlm - ^п^^^т^^п = W W ai” В(仆,К”)х m п

X [сое(0т + 0„) - cos (0m - % •)],(3.26.11)

где

В(仆.& ) = L (紘・ K『)Z ・(心 x Kn ),(3.26.12)

4

& Z — единичный вертикальный вектор. Таким образом, в результате взаимодействия m-й и n-й волн в правой части уравнения для 屮〔 появляются осциллирующие члены, фазы колебаний которых равны сумме и разности фазы этих волн; эти члены имеют волновые векторы

Jw Km 士 к”(3.26.13а)

и частоты

wmn 三％I 土 ап*(3.26.136)

Заметам, что две волны» имеющие одинаковые длины волн (寸=厅)， либо параллельные волновые векторы (КтХ К„= 0), не будут взаимодействовать, так как их коэффициент взаимодействия В (勺,К^) равняется нулю. В первом случае вихр> суммы двух волн равен постоянной, умноженной на сумму их функций тока, так что жобиан в (3.26.4) от суммы этих двух волновых полей тоадественно равен нулю. Второй случай соответствует параллельному движошю в одном направлении, для которого нелинейный адвективный член в (3.26.4) также тождественно равен нулю.

Уравнение для 屮〔является линейным уравнением с вынуждающими членами в правой части, поэтому отклик на каждый вынуждающий член может рассматриваться независимо, а результаты суммироваться. Рассмотрим решение этого уравнения с вынуждающим членом amanB(KmfKn)cos(0m + %)• Периодическое вынужденное решение для 屮 1 можно искать в виде

屮 13s 41nmsin(°m+ %)，(3.26.14)

где АХтп определяется из (3.26О11) и равна

-тапВ(Кт>Кп}-тапВ(Кт>Кп}（%* f）（3ё-%«）（%* f）（3ё-%«）(3.26.15)(3.26.15)

-тапВ(Кт>Кп}

-тапВ(Кт>Кп}

（%* f）（3ё-%«）

（%* f）（3ё-%«）

(3.26.15)

(3.26.15)

Здесь % — частота волны Россб% соответствующая волновому вектору

(3.26J6)(3.26J6)Кт，т.е.

(3.26J6)

(3.26J6)

"点二髙7 一 （統+无”）2 +（県+1"）2+f

Ясно, что решение, определяемое соотношениями (3.26.14) и (3.26.15), справедливо, только если вынуждающая частота 3nm не равна частоте колебаний amn свободаой волны Россби с вынуждающим волновым вектором Kmn . В противном случае будет иметь место резонанс, т.е. две волны в результате взаимодействия будут создавать третью волну с волновым вектором и частотой, связанными соответствующим соотношением для свободных линейных колебаний. Такие взаимодействия, для которых (3.26.15) дает бесконечно большой отклик, называются резонансными взаимодействиями. Ясно, что они представляют наибольший интерес, поскольку все нерезонансные взаимодействия будут создавать при больших В "фоновый шум" из вьшужденных волн, амплитуды которых будут малыми по сравнению с амплитудами волн, создаваемых в результате резонансного взаимодействия- В случае резонанса решение (3.26.14) заменяется, как обычно при резонансном воздействии, на решение следующего вида:

屮1 = %im” cos (% + 0n ),(3.26.17)

откуда для 屮 будем иметь

屮=屮0 + (B一g)4附 cos(em + %)=

=屮о + t @ imn 8s (臥 + %)，(3«26Л'8)

т.е. будет наблюдаться медленный рост со временем поправки порядка О(р -1), в результате чего по прошествии времени t = 0(1) или Т= 0(B) первоначальное разложение (3.26.5) становится несправедливым, поскольку второй член в этом разложении становится таким же

большим, как и первый^ Мы должны, таким образом, ответить на два следующих важных вопроса: возможны ли в действительности резонансные взаимодействия и если возможны, то как эволюционируют амплитуды волн за время 了= О (р)? Ответ на первый вопрос совсем не очевиден.

Для того чтобы резонанс имел место, фазы трех плоских волн Россби должны удовлетворять соотношению

_% = 6т+ ©п，(3.26.19)

где знак минус (несущественный, как показывает (3.26.18)) введен для симметрии. Это условие означает, что две волны, m-я и п-я. взаимодействуют таким образом, что образуют фазу % + %，равную фазе ву третьей свободной моды. Вынуждающее воздействие в этом случае находится в фазе с собственной модой колебаний как по пространству, так и по времени, что и вызывает резонанс, т.е. сильный обмен энергией между волнами. Чтобы соотношение

% + Вт + % = °(3.26.20)

было справедливым при всех к, ум», необходимо, чтобы выполнялись следующие три условия:

无,+ km + An = 0,(3.26.21 a)

lj + lm + ln =0，(3.26.216)

bj (号，Zj )+ %, (kmtlm) + cn(kn, ln) = 0.(3.26.21b)

Соотношения (3.26.21) учитывают и случай резонансного воздействия при разности фаз % - % (см. (3.26Л1)) при условии, что Af Z и а могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Первые два условия могут быть проиллюстрированы графически. Как видно из рис. 3.26Л, три волновых вектора должны давать в сумме нуль для того, чтобы образовывать резонансную триаду, в которой любые две волны будут, согласно (3.26.18), возбуждать третью резонансно. Однако кроме этого условия для резонансного взаимодействия необходимо, чтобы три волновых вектора удовлетворяли соотношению (3.26.21 в), или

— + ... % + 勺 =0.(3.26.22)

畸+鳴+F幫+Y + F 号+ Z『 + f

Р“с・ 3.26.7. Триада езаимодейстеующих плоских волн.

Это означает, что набор таких векторов (если они существуют), выделяющих наиболее эффективные вэаимодейтсвия, крайне ограничен. Построение таких триад может быть описано следующим образом. Зафиксируем произвольный волновой вектор, например Ку, Далее Кт ней ходится через Ку и Кл из (8.26.21 а»б). Подставляя это выражение в (3«2& 21 е получим одно уравнение для волновых чисел (Ал. 1п) в зависимости от (乡,纟), определяющее на плоскости % I геометрмеское место концов волновых векторов (если таковые существуют), которые могут резонансно взаимодейсхвовагь с К/. Лонг^Хиггинс и Гилл (1967) деталью исследовали эту сложную алгебраиче( кую задачу и показали, что любой волновой вектор может образовывать резонансную триаду с некоторым семейством волновых векторов. В качестве конкретного простого рримера рассмотрим случай, когда ваь тор Ку направлен на восток, т.е. случай волны Россби# для которой Ку = ；Ау , так что /у = 0. Далее> предположим, что масштаб длины L, пока проиэвольньй, выбран равным радиусу деформации# так что F* 1. Наконец, для простоты рассмотрим случай Ау = 1 (длина волны равна радиусу деформации Россби, умноженному на 2-тт). В этом случае из (3.26. 21 а,б) следует, что

无m * — 1 — % = ■'—无，！щ в ■ 'я 三'•(3.26.23)

Соотношение (3.26.22) примет вид

+ 一 无 = 无 + 1 ,(3.26.24)

A2 + /2+ J (k+ 1)2+ Z2+ 1

что дает уравнение для I в зависимости от А •:

厂 + /“ 产+ (无+ 1)2] + 无 2 (无 + 1)2 + 4А(А+ 1)= 0,(3.26.25)

Р*с・ 3.26.2. Геометрическое место концов вектора 修.могущего резонансно езаимодействоеать с заданным вектором К,. Конец век* тора К^ лежит в точке пересечения эппипсообразной кривой с прямой* проходящей через конец вектора & и точку(%")=(■ 0.50; 0)・

решением которого будет

I * 士｛(1- Зк»皆一(内+ 1/4)俨,(326.26)

где

к ■无+ 丄.(3.26.27)

2

Геометрическое место точек 1(к), удовлетворяющих (3.26.26), показано на рис. 3.262 Концы двух волновых векторов Кп и Кт лежат

на этой кривой в точках ее пересечения с прямой, проходящей через точку А = -1/2. Теперь, после того как мы проверили, что резонансные триады могут быть найдены, мы должны исследовать уравнения, определяющие амплитуды волновой триады. Формула (3.26.18), полученная при помощи разложения (3.26.5), позволяет предположить, что амплитуды резонансно взаимодействующей триады будут изменяться во времени с адвективным временным масштабом. Иными словами, мы должны предююжить, что амплитуды резонансно взаимодействующих волн являются функциями ^'медленной ” переменной t • Итак, функция 屮 ищется в виде следующего ряда:

_1

屮о (%，力 G 0 + — 屮 1 (к，У, t, t) + • • •,(3.26.28)

где каждый член ряда является уже функцией как медленного времени t, так и быстрого t •

Теперь временная производная д/д t в (3.26.4) должна быть заменена на

=•才 + ———(3.26.29)

at dt p dt

в соответствии с соображениями, изложенными в разд. 3.20. Уравнением для 屮о будет по-прежнему (3.26.6), и мы рассмотрим решение, соответствующее одной резонансной триаде

屮о = % cosB] + а2 cos02 + a8cos08 .(3.26.30)

Естественно, при этом предполагается, что условия (3.26.21а, б, в) выполнены, т.е.

储 + 无 2 + m

l + l?十仃=0，(3.26.31)

°Ч(无I，'1)+ °*?(无 2，＜2 )+。8 (无з , / 8 ) = Of

где каждая частота удовлетворяет дисперсионному соотношению для линейных волн. Уравнение для 屮]теперь имеет следующий вид:

н gd屮1

rr (V 2屮1 一尸屮力+=

dtдх

=+ (К? + 尸)COS0! + а2а8 В{К2 . К3 )[сов(е2+ 08 )- dt

-COS(е2 - %)] + (К； + 尸)cos% + @8@ 1B(K〃 KJ X dt

x I cos(e8 + ej — cos(% -%)] + (к； + 尸)cose8 + dt

+ a i@2 B(K「К? )[cos(6i+包)—cos (% -％)].(3.26.32)

Вьшуждающие члены в правой части этого уравнения можно разделить на две группы. Члены вида сов (% - %) (с учетом сделанного выше замечания о выборе знака) являются нерезонансными и лишь порождают гармоническое поле того же типа, что и описываемое формулами (3.26.14), (3.26.15). Отклик на подобные члены имеет малую амплитуду и образует фоновое волновое поле в дополнение к исходной триаде. Каждый из членов вида cos е, или сов (6^+ 0п) является резонансным для каждого из трех волновых векторов триады. До тех пор пока резонансные вынуждающие члены не удалены из правой части (3.26.32), вековые члены типа (3.26Л7) делают разложение (3.26.28)непригодным для времен t =0( 1). Мы хотим, однако, со зфанить справедливость этого представления по крайней мере на таком временном интервале, который, как мы видели> соответствует естественному временному масштабу эволюции волновых амплитуд, обусловленной резонансным нелинейным взаимодействием. Резонансные члены можно удалить, только выбирая da Jdt, da2 /dt и da3 /dt таким образом, чтобы они удовлетворяли уравнениям

da 1

В(К» Kg)

(3.26.33 а)

dt

K^ + F

忆

8（勺，勺）n

(3.26.336)

dt

寸+F

曲8

+ ・・a 1 a 2 = U ,

(3.26.33b)

dt

K； + F

где коэффициент взаимодействия В(0, /) задается соотношением. (3.26.12). Эти уравнения для амплитуд определяют эволюцию триады с

характерным временным масштабом резонансного взаимодействия. Таким образом, резонансные взаимодействия изменяют амплитуды волнового поля порядка 0(1) на величины такого же порядка, что и сами амплитуды, в то время как нерезонансные взаимодейс&твия создают фоновое возмущение порядка 0(0 el).

Волновая эдергия каждого члена триады равна, согласно (3.21.8), а?

Е： = (К? + F), У = 1» 2, 3.(3.26.34)

Если уравнения (3.26.33 а, 6, в) умножить соответственно на

(К： + F)ai (К^ + F)a3 и (К^ + F)%，то, используя (3.26.12) и (3.26.13 а), пол учим

—(Е] + Ед + Е8)= — @1@2@8(В(К?，К&)+ В(К&，К]) + dt

+ В陷,/))= &(3.26.35)

Таким образом, полная энергия триады сохраняется. В первом приближении волны только обмениваются энергией между собой, причем характерное время такого обмена равно адвективному временному масштабу. Этот результат поистине удивителен, поскольку (как мы уже видели) помимо резонансного обмена энергией между членами триады часть энергии, как следует из (3.26.32), переходит к нерезонансным волнам. Однако этот переход настолько слабый и медленный по сравнению с резонансным обменом, что в первсмл приближении при резонансном взаимодействии Сергия сохраняйся.

Из (3.26.33) может быть получен и другой закон сохранения. Потенциальный вихрь каждой волны равен

4 = — (К『+ F)@, cos 6, •(3.26.36)

Средний квадрат потенциального вихря называется потенциальной энстрофией и равен

匕=(К『+尸产 丄 =2 (К? +尸)马・(3.26.37)

''2

Нетрудно показать, что полная экстрофия волн также сохраняется： д

——(乙 + % + %)= °，(3.26.38)

Эти два закона сохранения приводят к чрезвычайно важному следствию. Используя соотношения (3.26.37), получаем, что не только

8

工 Е)н const « 坛，(3.26.39 а)

но и

8

W К『Е, = const и К^ / .(3.26.396)

Следовательно, изменение амплитуды должно происходить таким образом, чтобы средний по энергии квадрат волнового вектора К g

衿⑴衿⑴(Х26.40)

衿⑴

衿⑴

не менялся при движении.

Итак, невозможно, например, чтобы одна волна передавала энергию двум более коротким волнам. Если вследствие нелинейных взаимодействий некоторая энергия передается к большим волновым числам, то какая~то энергия должна передаваться также и к меньшим волновым числам (большим длинам волн), чтобы обеспечить сохрани ние не только Сергии, но и энстрофии. Для триады на рис. 3.26.2, 也априм呐 К； = 0,31, К『=1 и К： = 1,110.

Два закона сохранения могут быть также записаны в виде

1 d/ 1 аЕ2 1 ЭЕ 8 号-К 員 dt К；К； dt 蔣而一 dt

(3.26.41)

Предположим, что К『< к； < к： • Тогда если дЕх /dt < 0, то d% / dt и ЭЕ8 / dt должны быть положительными. Направление передачи энергии показано схематично на рис« 3.26.3.

Рассмотрим случай, когда в начальный момент а 2 значительно больше а 1 или а 8» т.е. предположим, что волна Россби, имеющая сначала постоянную амплитуду %» подвергается в какой-то момент времени малому возмущению» вносимому двумя другими волнами

Рис. 3.28.3. Схематическая диаграмма, показывающая направление лереда» чи энергии от волны с волновым вектором к волнам с большей (К8) и меньшей (К2)длинами волн. Налравпение передачи анергии обратимо.

триады. Будем считать далее

a2 H 从2 + a2(i).a2 « 4，

ai * ai(O> <xt « Л2 f(3.26.42)

fl 8 = а 8 (Of agWdg.

Линеаризируя уравнения (3.26.33), в случае малых a t f а3, а8 имеем

da 1 (t) В (К2/ Ka )

М 丿— 4 2 а 3 ,(3.26.43)

由位； +尸)

《％(£) _ В(КРК2)

=0(…8)，

dt

так что

d2a1 В(К2, K3)B(Kit К2).

I二：8，' - 2J а”…(3.26.44)

(к： +尸)(“ +尸)

Поскольку

8(/, К8}В(Кр 勺)=(匕-K：)(K>©)Z. (KaxMZ х

х(К, хК2 )(3.26.45а)

и

Z.(K2xK8)--Z.(K2xK1)

(3.26.45 б)

в силу условия резонанса, то коэффициент при at в правой части (3.26.44) будет положительным в том и только в том случае, когда

(К『一К：)(К^ ・К笠)〉0.(3.26.46)

Если это условие выполняется, то a〔 и а8 будут экспоненциально расти со скоростью, пропорциональной Л2 » получая энергию от первоначальной волны Россби. Согласно условию (3.26.46), волнах отдающая энергию двум другим членам триадых должна иметь промежуточный между ними масштаб. Экспоненциальный рост, предсказываемый (3.26.44), будет продолжаться до тех пор, пока a t и a8 не станут настолько большими» что линеаризация теряет смысл. Однако мы знаемх что общая энергия триады сохраняется. Для того чтобы исследовать поведение %, аа и а8 для больших временх необходимо тфсжЕггегрфжать систем уравнений (3.26.33). Условия постоянства энергии и экстрофии позволяют исключить любые две амплитуды» выразив их через третью, т.е.

дЗа2а2

{Kf + F)— +(^+ ^)— =Е0-(^?+^)— .

444

(к： + 尸户_^_ + (к； + 尸)2? = ~~ -(к“ F)-—，

(3.26.47)

где % и % определяются начальными значениями волновых амплитуд. Выражая @ 2 и @ 8 иерез a j» получим уравнение для a j в виде

da〔dtda〔dt=С*з t(C2 -aj )(С3 - a?)] w >=С*з t(C2 -aj )(С3 - a?)] w >(3.26.48)(3.26.48)

da〔dt

da〔dt

=С*з t(C2 -aj )(С3 - a?)] w >

=С*з t(C2 -aj )(С3 - a?)] w >

(3.26.48)

(3.26.48)

где постоянные См С2 и С8 находятся по начальным условиям. Периодические решения этого уравнения могут быть выражены через эллиптические функции. Изменение амплитуд со временем показано схематично на рис. 3.26.4. Здесь вас не интересуют детали рассматриваемого процесса, они описаны в уже цитированной работе Лонге- Хиггинса и Гилла (1967 )• Важным для нас является то, что поток

Рис» 3.264 Типичные колебания амплитуд волн, обусловленные резонансными взаимодействиями.

энергии между членами триады колеблется во времени» а его направление, показанное на рис. 3.26.3» обратимо. Энергия сначала передается, скажем, волнам 1 и Зх затем, когда высвобождение энергии, обусловленное неустойчивостью волны 2Х останавливается из-за действия нелинейных эффектов, поток энергии меняет направление на обратное. Такие колебания происходят бесконечно долго, каждый член триады сначала получает, а затем возвращает энергию другим волнам.

Таким образом, хотя отдельная плоская волна Россби и является точным решением^ онах несомненно, неустойчива. Возмущения, образующие резонансную триаду, всегда будут отнимать энергию у волны Россби медленно при больших 卩 и быстрее для волн Россби с большей амплитудой, т.е. при меньших значениях р • Уменьшение энергии первоначальной волны будет продолжаться до тех пор, пока амплитуды других членов триады не станут сравнимыми с ее амплитудой.

Решение линеаризованных уравнений вида плоской волных не учитывающее других членов триады, дает реалистическое описание волнового поля только для времен < 0( р). В конечном счете нелинейные эффекты будут вызывать возрастание амплитуд других волнх имеющихся среди фона возмущений с очень малыми амплитудами, и значительно уменьшать энергию исходной волны. Такая эволюция спектра носит непрерывный характер» но происходит медленно, и точность линейного решения возрастает с увеличением 卩.Тем не ме- неех если только в качестве начального условия не задается единственная волна без возмущений, что нереалистично, волновой спектр будет медленно становиться все более широким и более сложным

под воздействием описанных выше процессов. На каждой этапе этого процесса динамика отдельной волны при р» 1 будет по-прежнему определяться линейной теорией. Нелинейная теория при р » 1 описывает обмен энергией между почти линейными волнами.

Энергия и экстрофия

В предыдущем разделе мы виделих что в нелинейной динамике триады волн Россби весьма существенную роль играют законы сохранения энергии и экстрофии триады. Как мы увидим, то же справедливо и для более широкого класса движенийх а не только для волн Россби с малой амплитудой.

Рассмотрим движение на всей р-плоскости без горизонтальных границ, как и в предыдущем разделе. Если движение на бесконечности отсутствует, то,умножая (3.26.1) на 屮 и интегрируя по всей плоскости, получим

d “「(V屮户 屮‘1

(3.27.1)(3.27.1)ff [+ 尸】d#dy = dt 22

(3.27.1)

(3.27.1)

Это соотношение представляет собой уравнение сохранения энергии.

Если теперь умножить (3.26Л) на V 分屮一尸屮 х то найдем

dt 22 ду дх

+ 2_士也ь?-2)2] -上£ [{(四)2 -『2} +

2 ах ду2 ах ах ду

d d屮d屮

+ 尸屮 2]- в —(— — ).(3.27.2)

ду ду d*

Поскольку движение на бесконечности отсутствует, то интегрирование (3.27.2) по всей плоскости дает

(3.27.3)(3.27.3)А /，[У2屮—Fh>] 2dxdy = 0» dt

(3.27.3)

(3.27.3)

так что потенциальная энстрофия также сохраняется^ Таким образом, полная энергия и знстрофия должны быть постоянными. Если предста-

вить 屮 в виде двойного интеграла Фурье

屮= 2_/ dA / dl e^^ + ^^kk.l),

2тг — ОО ■ 8

то полная энергия может быть выражена через амплитуду Фурье как

(y 屮户 + 尸屮 2°°°° k2 + I2 + F _

E = //[] dxdy = / / (诲(3 Z) x

从2—ОО -ос 2

xB*(3l)dkdl・(3.27.4)

При выводе (3.27.4) было использовано основное тождество Фурье

一/ 屮(y)J(%+Qxdx或'=?(-幻=屮*(圻，(3.27.5)

2 ТГ — oo

где * обозначает комплексное сопряжение. Заметим, что так как

屮(х, У) действительна, то

▼ (-3 4 )=屮 *(3 Z).(3.27.6)

Определим апектральную плотность энергии в пространстве волновых чисел следующим образом：

Е“ =(&*+■/?£-)153)13(3.27.7)

так что (3.27.4) примет вид

/ //,[ dkdl = Е・(3.27.8)

Аналогично интеграл от экстрофии может быть записан через амплитуду Фурье ф (A, Z) как

J/[V 2 屮一尸屮]2dxdy=/ / (月2+户 + 尸)2•回(A, I )\2dkdl =

=/ / {k2 + l2 + F)Ek9ldkdL(3.27.9)

Поскольку как полная энергия, так и полная экстрофия постоянны, то средний по энергии квадрат волнового вектора

(3.27.10)(3.27.10)v2И (k^l^Ekfldkdl

(3.27.10)

(3.27.10)

Л £Л, Z dkdl

также постоянен. Хотя форма энергетического спектра может изменят юя со временем, постоянство К^ означает, что любая передача энергии к меньшим масштабам должна сопровождаться существенной передачей энергии к большим масштабам, где А2 + / 2 меньшех как и в случае триады взаимодействующих волн Россби.

Поскольку экстрофия должна сохраняться х энергия, передаваемая к большим масштабам, должна быть достаточно большойх чтобы компенсировать меньшее значение величины А 2 + / 厶 Отсюда следует, что либо количество энергии, передаваемое большим масштабам, должно быть больше f чем количество энергии, передаваемое меньшим масштабам, либо передача энергии в сторону меньших масштабов (большие К) должна происходить на относительно близкие по спектру расстояния от источника энергии, а передача энергии в сторону больших масштабов (малые К) должна осуществляться на соответственно далекие по спектру расстояния от источника энергии. Из этого условия вытекают важные следствия для квазигеострофичес- ких движенийх так как оно означает, что если энергия первоначально генерировалась в области больших масштабов, то она стремится и остаться в диапазоне таких масштабов.

Заметимх что важный закон сохранения янстрофиих вообще говоря, не справедлив для ограниченных областей, поскольку для таких областей интеграл от членов в правой части (3.27.2) не будет в общем случае обращаться в нуль. Правая часть (3.27.2) может быть записана в виде дивергенции вектора

2 ду2 дх ду

+ j[-2-上(у2 屮-尸屮)2 - в 空.士L(3.27.11)

2 дхду дх

Хотя и можно потребовать, чтобы Q обращался в нуль на бесконечности в случае движения в неограниченной области, его нормальная

компонента не должна обязательно обращаться в нуль на любой конечной границе области. Нарушение условия постоянства суммарной экстрофии означает, что К^» определяемый соотношением (3.27.10), не должен больше быть постоянным. С этим мы уже сталкивались в разделе 3.23» где пакет волн Россби при отражении от границы х - 0 зфанял свао волновую энергию, но при этом увеличивал свое среднее волновое число, и>за чего его энстрофия возрастала.

Приложение к главе 3

Решение уравнения (3.16.1)

(З.А.1)(З.А.1)6 г руб(г) 2ттг

(З.А.1)

(З.А.1)

戶屮，6(,).2ттг戶屮，6(,).2ттг(З.А.2)(З.А.2)может быть наедено следующим образом. Если мы с учетом азимутальной симметрии (З.А.1) введем полярную систему координатх где г есть расстояние от началах то решения (ЗА.1), симметричные относительно начала координат, будут удовлетворять уравнению

戶屮，6(,).2ттг

戶屮，6(,).2ттг

(З.А.2)

(З.А.2)

1 d d屮 г

г drdr

Для всех г 0 правая часть (З.А.2) равна нулю* Общее решение однородного уравнения (З.А.2), справедливое для всех ненулевых 弓 есть

^^AKq{F^t) + BIq (尸务т)・(З.А.З)

Функция Zo экспоненциально возрастает с увеличением г» и» следовательно, В должно быть равно нулю. Интегрирование (З.А.2) на малом интервале, включающем начало координат, дает

,.а屮4° у(з.а.4)

г -*о дт2тт

(3.A.5)(3.A.5)(3.A.6)(3.A.6)Отсюда находим 4

(3.A.5)

(3.A.5)

(3.A.6)

(3.A.6)

4 二 + f

2тт

так что

₽У

屮=——Kq(F^t),

Глава 4

Трение и вязкие течения

В ведение

Тот факт, что, согласно наблюдениям, крупномасштабные волны в атмосфере и в океанах продолжают существовать в течение нескольких дней, позволяет предположить, что силы трения почти везде малы по сравнению с ускорением Кориолиса и градаентом давления. Трение редко нарушает геострофический баланс в первом приближении- Возможно также, что в действительности для многих течений временной масштаб диссипахфш велик по сравнению с временным масштабом адвекции р т.е. силы трения слабы м по сравнению с нелинейным относительным ускорением» Тем не менее трением и соответствующей диссипацией ме* ханической энергии пренебрегать нельзя. В пользу этого утверждения можно привести следующие простые, но важные соображения.

Осредненные по времени течения, т.е. общая циркуляция атмосферы и океанов, создаются благодаря действию разнообразных, по существу, постоянных во времени внешних воздействий. Атмосфера, например, приводится в движение постоянным во времени, но пространственно неод» нородным солнечным нагревом. Этот приток энергии создает механическое движение, т.е* определенная энергия переходит в кинетическую энергию крупномасштабных движений, и если должно поддерживаться установившееся или по крайней мере статистически устойчивое среднее состояние движения, то в конечном счете этот приток энергии должен балансироват ься диссипацией. Эта диссипация и происходит из-за наличия трения. К тому же сила трения сама по себе может быть и вынуждающей силойр как в случае ветровых течений в океане. В самом пеле『 касательное напряжение ветра на поверхности океана является основным фактором, создающим океанскую циркуляцию. Наконец, даже несмотря на то что трение мбжет быть слабым по сравнению с другими силами, его диссипативная природа качественно отличается от консервативно" природы инерционных сил, в силу чего учет трения необходим, особенно при изучении вопросов затухания свободных движений.

Вязкая диссипация возникает в конечном счете иэ-за случайного движения молекул жидкости. В уравнениях движения сплошной среды.

не описывающих случайное движение отдельных молекул жидкости> вводятся в рассмотрение создаваемые вследствие такого движения молекул вязкие силы, причем в соответствии с опытом для многих жидкостей эти вязкие силы могут быть выражены только через коэф* фициент вязкости и макроскопическую скорость, как, например, в представлении (1.4.5). Хотя вязкие силы в конечном счете и должны отвечать за диссипацию кинетической энергии и ее превращение в кинетическую энергию беспорядочного движения молекул (т.е. в тепло), их прямое влияние на крупномасштабное движение, как было показано в разд. 2.8, крайне незначительно. Пространственные размеры крупномасштабных движений слишком велики, чтобы молекулярная вязкость могла непосредственно влиять на баланс сил. И тем не менее приведенные выше соображения свидетельствуют о необходимости учета сил трения.

Проблема состоит, конечно, в том, что крупномасштабные движения не существуют изолированно. Именно по той причине, что молекулярная вязкость так мала, в атмосфере и океанах должен существовать очень широкий спектр турбулентных движений, поддерживаемых в значительной степени за счет энергии самих крупномасштабных течений. Турбулентные флуктуации, имеющиеся в крупномасштабном течении, стремятся посредством различных механических процессов отобрать энергию у этого течения и передать ее движениям более мелких масштабов, для которых действие вязкости уже оказывается существенным. Это представление о каскадной передаче энергии от самых больших масштабов движения к самым малым не является достаточно ясным и строгим. В самом деле, мы уже видели при обсуждении результатов разд. 3.26, что в некоторых случаях каскадная передача энергии должна, по крайней мере частично, идти от малых масштабов к большим. Тем не менее в целом представление об энергетическом каскаде^ по-видимому, правильно и приводит к следующему выводу. Если мы хотим сформулировать математическую задачу, которая описывала бы непосредственно лишь динамику крупномасштабных движений то про» Несс передачи энергии от крупномасштабного движения к мелкомасштабным должен быть выражен исключительно через кинематические характеристики самого крупномасштабного движения. Альтернативой зтому является труднообозримая задача описания в деталях всех мао штабов движения, от самых больших до самых малых. Хотя указанное выражение для вязких сил молекулярного происхождения через ма1фоско пическую скорость и является обнадеживающим примфом, решение проб-

лемы описания турбулентного взаимодействия мелко- и вфупномасиггаб- ных движений находится в значительно менее удовлетвсчмтельном состоянии. На самом деле эта проблема является одно" из самых трудных и неясных в геофижческой гидродинамике* В настоящее время , невидимому, не существует такой теории турбулентности, которая давала бы не очень сложное, но достаточно аккуратное описание эффективной силы трения, обусловленной каскадной передачей энергии турбулентными флуктуациями.

В следующих разделах этой главы мы рассмотрим одно очень гру» бое описание влияния турбулентного каскада на крупномасштабное течение, которое почти полностью аналогично описанию влияния молеку・ лярных движений на среднее движение. Ясно, что такое описание является вынужденным компромиссом, так как рассмотрение только молекулярно" вязкости, действующей на крупномасштабное движение, очень сильно недооценивает роль трения, а аккуратное рассмотрение деталей турбулентных движений оказывается невозможным иэ-за неразрешимости такой задачи.

Турбулентные напряжения Рейнольдса

Будем считать, “го полное поле относительной скорости в жидкости и разделено на две части* Первая часть, которую мы пока обозначим < и должна представлять вфупномасштабное течение, которое мы хотим детально описать. Вторая часть, 吟 представляет турбулентное течаме более мелкого масштаба, которое интересует нас лишь в той степош, в как曲 оно влияет на крупномасштабное течение. Как осуществить такое разделение? Иными словами, как решить вопрос о том, следует ли относить какое-то конкретное движение к осредненному течению или к турбулентному? Для ответа на эти вопросы нужны более точные определи ния. До некоторой степени и* можно определить, предположив, что существует временной интервал, малы" по <рвю^шю с 睥актерным семенем изменения < и > и одновременно достаточно большой по сравнению с характерным временем изменения и；так что среднее от и* на этом интервале обращается в нуль, т.е. для

и « < и > + и*(4.2.1)

среднее от мелкомасштабной скорости

<и' > = &(4.2.2)

Следовательно, операция применения угловых скобок имеет теперь

(4.2.3)(4.2.3)содержательное значение, а именно

(4.2.3)

(4.2.3)

<< и > + и'> " < и >.

Вопрос о том, удастся ли реально найти времена осреднения, доста- точнд большие, чтобы выполнялось (4・2・2), но малые по сравнению с естественными временными масштабами крупномасштабного движения, проблематичен. Здесь мы допускаем, что это возможно.

Рассмотрим теперь уравнения для импульса вдоль осей % у и z для несжимаемой однородной жидкости, вращающейся вокруг оси z・ Используя представление (4.2.1), получим уравнение, например, для ^компоненты импульса

[+ (< u > + u*) ;— + (< v > + v*)"3—+ (< w> + w*) — 1 X

d < P〉dx(4.2.4)d < P〉dx(4.2.4)dtd xdydz 」

d < P〉dx

(4.2.4)

d < P〉dx

(4.2.4)

X (< U > + /) r f(< V > + J) H — p—

丁 № +兀，

「A© 兀-компонента силы вязкости (1.4.5) вдоль оси 笈 Осреднение (4.2.4) дает уравнение для < и >

.d< и> +'< w> •….d< и> +'< w> •…д < и >д< и>^< и>

.d< и> +'< w> •…

.d< и> +'< w> •…

dtdxdy

-f < v> = - -L-纟？，一 + v V 2 < и > --^- < и и > - р дхдх

дуду< W и >9< W и >9(4.2.5)(4.2.5)

ду

ду

< W и >9

< W и >9

(4.2.5)

(4.2.5)

где использовано условие несжимаемости, которое должно выполняться отдельно и для средней, и для флуктуационной скоростей. Все члены уравнения (4・2«5) для < и >, за исключением трех последних в правой части этого уравнения^ выражены через крупномасштабную сксфость и давление. Хотя и', V и w* имеют равные нулю средние, флукгуацисжныйпоток лмпун七 с% квадратичный относительно скоростей, не облзмелъно обращается нуль при осреднении» Здесь имеется полная аналогии с ненулевым по»

током импульса иэ-за случайного теплового движения молекул газа. Например, член

<<V U > SV U > SРР(4.2.6)(4.2.6)

<

<

V U > S

V U > S

Р

Р

(4.2.6)

(4.2.6)

дает средний поток «-компоненты импульса, обусловленный мелкомасштабными движениями, поперек поверхности у 工 const, как показано на рис.4.2.1 • Если поток через у1 превышает поток через у2 и у】> у” то средний импульс между двумя уровняш должен уменьшаться так, чтобы полный им тулье сохранялся, т.е. если

то должно было бы выполняться

d < и >d < и >< О< О(4.2.8)(4.2.8)

d < и >

d < и >

< О

< О

(4.2.8)

(4.2.8)

при условии, что другие эффекты отсутствуют. Из (4.2.5) видно, что для крупномасштабного движения поток импульса, обусловленный мелкомасштабными движениями, эквивалентен действию напряжения』・ Вводя все такие напряжения, запишем осредненные уравнения для крупномасштабного течения в виде

du

+ и

du

du + v

办

du

+ w dz

1dp

-z— +

Pdx

+

1 Р

由工工dx

+

dixy

Эу

+ v V2u,

dv~dT

+

и

dv

+

dv v

+

w 也 + fu =dz

i_ p

亦

(4.2.9a)

1

+ 一 xP

X

加y*

—

+ —т I + v V 2V,

(4.2.96)

dw

dw dw dw

+ U —^— + V ■+ "J - 3C

дх Эу dz

1W1

Pdzp

dx

+

Ри со 也2•厶 Частица жидкости с флуктуационной скоростью v в направлении оси у будет переносить х-компоненту импульса ри* поперек поверхности y1 « const. Результирующий поток иктульса равен р < u*v* >.

_2_ + —I+Vv2w,_2_ + —I+Vv2w,(4.2.9b)(4.2.9b)

_2_ + —I+Vv2w,

_2_ + —I+Vv2w,

(4.2.9b)

(4.2.9b)

где опущены угловые скобки, обозначавшие характеристики крупно* масштабного течения» Подчеркнем, что впредь скорости без штрихов будут соответствовать только крупномасштабному течению. Напряже- ния, появившиеся в уравнениях (4.2.9), равны

\х 匸—Р < Uf и9 >. Туу - —р < V V >9 тгг - —р < £疗 >，

(4.2.10)

Эти напряжения, возникшие в результате осреднения уравнений для импульса, называются напряжениями Рейнольдса. Рейнолвд8вы напряжомя появляются в (4.2.9) только в силу выделения крупномасштабного поля скорости из полного поля скорости. С точки зрения основных законов движения жидкости эти напряжения не связаны ни с каким новым физическим механизмом, они появились вследствие нашего решения сосредоточить все свое внимание на динамике крупномасштабных движений.

Перед нами стоит теперь исключительно сложный вопрос: как выра- зить напряжения Рейнольдса через крупномасштабные сксфости,. так что

бы в уравнения (4・2・9 а, 6, в) входили только крупномасштабные скфости и давление?

Один из наиболее принятых и в то же время наиболее грубых способов решения этого запутанного вопроса основан на том представлении, что турбулентные движения действуют на крупномасштабное течение подобно тому, как молекулярные движения действуют на мшфоскотичео кое течение. Иными словами, предположим, что напряжения Рейнольдса линейным образом зависят от пространственных производных скоростей крупномасштабного течения. Наиболее простые формулы такого типа, которые к тому же сохраняют необходимую симметрию между т% и тух и т.До могут быть записаны в виде

РР2"，黑，斗^弋2"，黑，斗^弋%z о л dm%z о л dm

Р

Р

2"，黑，斗^弋

2"，黑，斗^弋

%z о л dm

%z о л dm

Ley . Ту% н Р 4у( g；・ + ^・)，

хг м %力 н Р 4у*^~ + Р 4H

\z .пy . р 4у-^- + p4H •泞 .(4Ф2.11)

Коэффициенты Л^ и Av называются коэффициентами соответственно горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости. Эти коэффициенты должны быть, вообще говоря, различными. В самом деле, из^за разницы между характерными горизонтальным и вертикальным масштабами крупномасштабно^о течения перемешивание импульса крупномао штабного движения в этих двух направлениях происходит не одинаково. Важно, однако, понимать, что формулы (4.2.11) гипотетичны и их справедливость весьма сомнительна. Хотя они и дают простой способ за^ мыкания системы уравнений для крупномасштабного течения, их априорное обоснование невозможно. Неясным является не только сам вид выражений (4.2.11). Даже если допустить, что для турбулентных напряжений могут быть предложены такие простые формулы, то все же абсолютно непонятным остается вопрос об определении % и 4 y. Посколь* ку турбулентное течение детально не рассматривается, величины 4y

■ 4у не могут быть рассчитаны. Существенный недостаток аналогии с молекулярной вязкостью состоит, кроме того, в том, что % и 4y зависят, вообще говоря, от характера рассматриваемого движения и тем отличаются от коэффициента молекулярной вязкости, который от характера движения не зависит и потому может быть определен эмлфи- чески. Таким образом, формулы (4.2.11) должны рассматриваться как очень грубые и приблизительные. Если все же принять формулы (4.2.11) и в дополнение считать еще А^ и Ау постоянными, то уравне* ния (4・2・9; а, 6, в) приводятся к виду

dvdvdvdv,1др

日£дхдуа*рЭу “

Если Ан av = А, то уравнения (4.2.12) имеют тот же самый вид, что и обычные уравнения Навье - Стокса с эффективной вязкостью v + 4. В этом случае формулы (4.2.11) согласуются с представлением о том, что турбулентные флуктуации создают напряжения» которые можно "параметризовать" простым увеличением коэффициента вязкости по сравнению с его молекулярным значением с тем, чтобы объяснить большую эффективность сглаживания поля крупномасштабных течений, создаваемую переносом импульса жидкими объемами, по сравнению с соответствующим переносом импульса и%за движения молекул. В том случае, когда Аи Ау, аналогия с молекулярной вязкостью становится весьма отдаленной. Вместе с тем вполне можно полагать, что и “ и Ау намного превосходят v, так что впредь при рассмотрении

крупномасштабных течений мы будем пренебрегать чл&оми, проторцио нальными молекулярной вязкости.

Оценки % и 4y в океане и атмосфере резко отличаются друг от друга. Оценки 4 y для атмосферы дают величины порядка 10Б см% около земной поверхности и значительно меньшие значения для свободной атмосферы. Оценки для 4H еще более хюмнительны, но по некоторым данным Ан имеет порядок О(Ю9 см2/с). По оценкам для океана 4 y меняется в диапазоне от 1 см2/с до 103 см2/с, тогда как для 4H столь же грубые оценки дают значения от 10Бсм2/с до Ю8 см2/с.

Учитывая неопределенность, связанную с величинами А^ и 4卩. следует считать по меньшей мере сомнительными такие выводы теории, которые зависят от конкретных значений этих коэффициентов. Вместе с тем при всей ее неудовлетворительности использование п^амег- ризации (4.2.11) часто дает, по крайней мере качественно, разумную картину тех особенностей крупномасштабных движений для анализа которых необходим учет сил трения.

4оЗ. Спой Экмана

Роль трения в геофизической гидродинамике проявляется прежде всего в формировании вязкого слоя у твердой поверхности, перпендикулярной оси вращения. Будет показано, что при условиях, для которых справедлива теорема Тэйлора — Праудмена (разд. 2.7), такие вязкие слои оказывают существенное влияние на динамику течений далеко за пределами тех областей, где вязкость действует непосредственно. Важная роль рассматриваемой области трения» называемой слоем Экмана, иллюстрируется следующим примером*

Рассмотрим движение однородной несжимаемой жидкости, вращающейся с угловой скоростью С・ Твердая стенка при z = 0 перпендикулярна С, и, как показано на рис. 4.3.1, вдали от стенки задан горизонтально однородный поток, имеющий скорость U。 Уравнения движения имеют вид

ди施丄^施丄тн施1 如 乂

弋…I + и+v+ зv г — + A-у x

dt дх ду dzр дх к

” н дх2 ду2

(4.3.1а)

U

付

u=v=0

Яиа 431. Однородное течение со скоростью U над плоскостью z ■ о, на которой компоненты скорости u, v и wдолжны обращаться в нуль. Движение рассматривается относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью Q.

dv dv—+u— +dv dv—+u— +dv и —— + здуdv и —— + здуdv .1 др—+/u=~ —— +dv .1 др—+/u=~ —— +ууa2v+ %(ha2v+ %(hd2v不d2v不(4.3.16)(4.3.16)dwdwdwу ‘・ 1 + U ” '・ ‘ + V "™ " dtдхдуdwdwdwу ‘・ 1 + U ” '・ ‘ + V "™ " dtдхду+ w+ wdwdzdwdz1P1Pdzdz-g +-g +

dv dv

—+u— +

dv dv

—+u— +

dv и —— + з

ду

dv и —— + з

ду

dv .1 др

—+/u=~ —— +

dv .1 др

—+/u=~ —— +

у

у

a2v

+ %(h

a2v

+ %(h

d2v

不

d2v

不

(4.3.16)

(4.3.16)

dwdwdw

у ‘・ 1 + U ” '・ ‘ + V "™ " dtдхду

dwdwdw

у ‘・ 1 + U ” '・ ‘ + V "™ " dtдхду

+ w

+ w

dw

dz

dw

dz

1

P

1

P

dz

dz

-g +

-g +

ди dv dwди dv dwО,О,+"书-+4，聲+齐，…

ди dv dw

ди dv dw

О,

О,

(4M2)

где f = 2Q・ Мы можем расположить ось х параллельно направлению скорости на бесконечности, так что граничное условие при z -* <» есть просто

и = U,

V = 0, z •* 8, w= 0.

Предположим, что на твердой поверхности z « 0 трение аналогично молекулярной вязкости тормозит движение жидкости таким образом, что « нормальная и тангенциальная составляющие ск(фосги обращаются в нуль, т.е.

(4.3.5)(4.3.5)Важным является условие равенства нулю тангенциальных скоростей и и г; постановка этого граничного условия целиком обусловлена учетом сил трени% Плоскопараллельный поток с постоянной скоростью U является точным решением уравнений (4.3.1 а,б,в):

(4.3.5)

(4.3.5)

р/ ду

г = 3= О,

т.е. U удовлетворяет геострофическому соотношению. Наличие трения и связанного с ним условия равенства нулю и и v на твердой стенке приводит к тому, что по крайней мере вблизи стенки течение должно существенно отличаться от геострофического.

Точное решение уравнений (4.3.1 а, б, ь), удовлетворяющее услошям (4.3.3) и (4»3・4)у может быть найдено в виде

и = 〃(z).

V н v(z),(4.3.6)

w* w(z).

Такая форма решения допустима, поскольку ни граничное условие при z ■ 0* ни граничное условие на бесконечности не порождают горизонтальных изменений в поле скорости. Подставляя (4.3.6) в (4«3.2)9 имеем

что с учетом условия равенства нулю зпри z 工 0 означает, что вертикальная скорость равна нулю для всех z, ,т.е«

g(z) м 0.(4.3.8)

С учетом (4.3.6) и (4.3.8) перепишем( 4.3.1 а, б, в)в виде

(4.3.9 а)(4.3.9 а)

(4.3.9 а)

(4.3.9 а)

“1 арg н _ L， •р dzТак как жидкость однородна, то из (4.3.9в) следует, чтоd曲 .d 如 adx dz dy dz“1 арg н _ L， •р dzТак как жидкость однородна, то из (4.3.9в) следует, чтоd曲 .d 如 adx dz dy dz(4.3.9b)(4.3.9b)(4.3.10)(4.3.10)(4.3.11)(4.3.11)

“1 ар

g н _ L， •

р dz

Так как жидкость однородна, то из (4.3.9в) следует, что

d曲 .d 如 a

dx dz dy dz

“1 ар

g н _ L， •

р dz

Так как жидкость однородна, то из (4.3.9в) следует, что

d曲 .d 如 a

dx dz dy dz

(4.3.9b)

(4.3.9b)

(4.3.10)

(4.3.10)

(4.3.11)

(4.3.11)

Таким образом, горизонтальные градиенты давления *£ должны зови» сеть от z・ Далее, так как и и v при z -* «： становятся постоянными, то для очень больших z, используя (433). имеем

(4.3.12)

fU— 2虻.

p 分

知 У 1~г'知 У 1~г'Поскольку горизонтальные градиенты давления не зависят от z. соотношения (4.3.12) должны выполняться для всех z. Таким образом, горизонтальные градиенты давления полностью определяются величиной геострофической скорости U, заданной далеко от границы. Эго позволяет переписать (4.3.9а, б) в виде

知 У 1~г'

知 У 1~г'

(4.3.13)

где переменные с тильдой равны

и представляют собой отклонения от геострофической (жоросш, вызван- нме наличием трения и стенки. В отсутствие трения ⑷=0) ии v должны

о^)ащаться в нуль Важно также отметить,чго если зама<ить4у на коэффициент молекулярной вязкости v9 то уравнения (4.3.13) будут точно стсывагь соответствующую задачу для ламинарного течения жидкости.

Исключая ^ получим уравнение только для 五

(4.3.14)

Общее решение этого уравнения представляет собой сумму четырех линейно независимых решений, а именно

%=%"" ^e+с?如 t> "込+ (?尸+»/% +CefTz/5

(4.3.15) где 4，C2, C3 и C4 - постоянные,! ® y/^9 a 5后 —толщина слоя Экмана, равная

(4.3.16)

Первые два решения, пропорциональные С^ и С2, экспоненциально растут при z _ 8 и становятся неограниченными при больших значениях 工/5以 Для того чтобы решение было ограничено на бесконечности, мы долж* ны положить

С「с2 Ho.(4317)

При этом условия (4・3。3). записываемые для скоростей и и £Г как и » г» 0 при z -*«>,(4.3.18)

автоматически удовлетворяютсяо Следовательно,

u^C3e~{^i}z,^ + C4e"<1 ~Oz/e£,(4.3.19а)

и из (4.3.13) имеем

7=т'СзеТ+“”/бЕ +,С4е-"・т/бЕ.(4.3 Л9б)

При z = 0 v = 0, и ^ —17,

Таким образом,

彳工 Ue^^^ sinz/% , u « ^Ue~z^E cos z/S^. и для полной скорости получим

u = O【l-eT/%c°s z/^L

"</бг

v ^Ue 必 sinz/S^.

(4.3.19г)(4.3.20а)(4.3.206)(4.3.21а)(4.3.216)(4.3.19г)(4.3.20а)(4.3.206)(4.3.21а)(4.3.216)При z •* 8 скорость (% Р) экспоненциально приближается к геострофической скорости (U, 0). Область прямого воздействия сил трения имеет толщину порядка толщины слоя Экмана 6£ , которая увеличив* ется с увеличением 4卩,но уменьшается с увеличением скорости вращения. Чем сильнее вращение, тем уже область прямотх) воздействия сил трения. Для очень йлстро вращающихся жидкостей слой Экмана будет тонкой областью, прижатой к поверхности z « 0. Важно за・ метить, что % не зависит от скорости U。

(4.3.19г)

(4.3.20а)

(4.3.206)

(4.3.21а)

(4.3.216)

(4.3.19г)

(4.3.20а)

(4.3.206)

(4.3.21а)

(4.3.216)

Для понимания механизма формирования слоя Экмана полезно рассмотреть соответствующие уравнения для вихря。Если § и Г)пред* ставляют собой х- и у- компоненты вихря, то в силу независимости скоростей движения от xf у имеем

(4・3°22)

Дифференцирование уравнений (4.3。9a. б) по z сразу же дает соответствующие уравнения для компонент вихря, т.е.

0 = + / -^— +4y^Ц- -(4。3。236)

dz dz2

Последний член в (4Д233f 6) представляет собой диффузию вихря за счет трения, которая, если ей не препятствовать, заполнила бы всю область завихренностью» непрерывно генерируемой из-за торможения потока трением на границе» Члены в уравнениях (4.3023а, б),пропорциональные /, представляют собой генерацию горизонтальных компонент вихря из-за изгиба нитей абсолютного вихря (вертикальную компоненту которого можно считать равной планетарному вихрю /), обусловленного сдвигом гориэжгальн& скорости, как это было сжшсано в разд» 2»4* Таким образом, в слое Экмана создается баланс между диффузией вихря от границ м %з$* 6bw" нитей планетарного вихря. Поскольку скорость и должна уменьшаться от U до нуля при приближении к границе, компонента вихря “°, вследствие чего и “ 0, так как диффузия q должна уравновешиваться изгибом вихревых нитей в направлении оси у, связанным с dv/dz.

На рис. 4.3.2 показаны профили компонент скорости и и v# Вдали от стенки скорость направлена вдоль оси к и совпадает с направлением геострофического течения. При приближении к стенке тормозящий эффект сил трения уменьшает 〃• Однако градиент давления в направлаши оси у не зависит от z и уравновешивается укомпонентой силы Кориолиса лишь на бесконечности. При уменьшении и у-компонента силы Корисциса ослабляется и градиент давления в направлении оси удолжж уравноваиивагь- ся силой трения, что приводит к созданию скс^юсти, направленной от вьюо- кого давления к низкому. Итак, при наличии стенки эффект сил третия нарушает точное геострофическое равновесие и создает течение поперек изобар от высокого давления к низкому. Это означает, что сила давления производит в слое Экмана работу, которая необходима для поддержания слоя Экмана при наличии вязкой диссипации* Работа силы давления в единицу времени 力 в пределах слоя Экмана дается формулой

方=八一 V"^ 血="^—"е ° р-у- (2Av/) %(4.3.24)

и представляет собой количество энергии, которое должно поступать в единицу времени в столбик единичного сечения для поддержания экма- новского слоя。В задаче^ которую мы только что решали, считалось, что энергия геострофического течения поддерживается каким-то способом постоянной. Мы видим теперь, что при наличии вязкого слоя Экмана необходим источник энергии для поддержания геострофического течения.

Рис. 4.3.2. Профили компонент скорости в *кмановском слое; и направлена вдоль「еострофическо「о течения, v - под прямым у「пом к 整・ w. Вертикальная коорцината представляет собой расстояние от твердой поверхности е единицах толщины экмановского слоя 5g.

В противном случае оно будет затухать, поскольку благодаря работе силы давления геострофическое течение снабжает энергией слой Экмана. Геострофический слой жидкости глубины D, движущийся со сюфостью U, обладает кинетической энергией, отнесенной к единице площади» равной

К м Р— D, 2

и снабжает энергией слой Экмана со скоростью 麻.Таким образом, геострофическое течение, если его не поддерживать извне, будет затухать из-за вязкой диссипации за время, которое просто оценивается следующим образом:

Г =( VйГ =( VйD 磔万mD 磔万m(4.3.25)(4.3.25)

Г =( Vй

Г =( Vй

D 磔万m

D 磔万m

(4.3.25)

(4.3.25)

Зто характерное время затухания геострофического течения будет большим по сравнению с периодом вращения Земли, только если

т/ = _£_ .(标/ 产=Е"1/2(4.3.26)

велико. Безразмерное число

Еу = 2 篇一(4.3.27)

есть число Экмана. Мы видели в разд. 2・8, что малость этого параметра была как раз условием, что вязкие силы малы по сравнению с ускорением Кориолиса. Теперь мы видим, что это условие в равной степени может быть интерпретировано и как условие, что силы трения настолько малы, что характерное время затухания т, обусловленное вязкой диссипацией в слое Экмана» велико по сравнению с периодом вращения Земли. Мы будем называть т, которое является мерой эффективности сил тре- ним, характерным временем вязкого затухания (spin-downtime)； вели чина т называется также и характерным временем вязкого установи ления (spin up time), поскольку т равно времени установления стационар* ного режима при наличии сил трения* • Заметим, что это время м@ зави^ см掘 от относительной скорости и зависит лишь от / и 5£.

Другой отличительной чертой слоя Экмана является плавное вращение вектора скорости по мере приближения к стенке. На рис- 4«&3 показан вектор скорости как функция z/% Заметим, что конец вектора скорости при уменьшении z до нуля описывает изящную спираль^ называемую спиралью Экмана. Так как каждый слой жидкости благодаря трению тормозится нижележащим слоем, то скорость верхнего слоя из-за наличия вращения должна поворачиваться вправо от приложенного касательного напряжения. По мере того как это напряжение передается от одного слоя другому, вектор скорости медленно поворачивается и при приближении к твердой поверхности

lim 上一■ 1,(4.3.28)

г-*0 “

так что вектор скорости повернулся на 45° влево от геострофической скорости.

v/Uv/U

v/U

v/U

Pxd 43.3, Вектор скорости в экмановском слое. Конец вектора скорости опи* сывает спираль Э<мана. Величина z/&e， соответствующая каждому вектору, указана на спиральной кривой.

В дальнейшем нам понадобятся два следующих важных результата. Из (4.3.216) следует, что полный поток поперек изобаз равен

(4.3.29)(4.3.29)VE = Wz = -^

(4.3.29)

(4.3.29)

и должен быть направлен влево от геострофической скорости. Касательное напряжение, с которым твердая поверхность действует на жидкость, есть вектор, равный

…р4/ 吧_+j…р4/ 吧_+j▲空一 U(i +i), 电 (4.3.30)▲空一 U(i +i), 电 (4.3.30)

…р4/ 吧_+j

…р4/ 吧_+j

▲空一 U(i +i), 电 (4.3.30)

▲空一 U(i +i), 电 (4.3.30)

тогда как полный поток в слое Экмана> обусловленный силами трения, равен

М = i / udz + j / vdz « 沌—E— (— -i + j),(4331)

£ О 0k

так что

(4.3.32)

где k - единичный вертикальный вектор.

Рис. 4.3.4. Соотношение между экмановским полным потоком М^ и касательным напряжением трения на твердой поверхности. На нижнем рисунке в плане показано направление векторов касательного напряжения, полного потока и геострофической скорости U・ Заметим, что Wb представляет собой полный поток» связанный с отклонением скорости (и, vJtot геострофической скорости (U, 0).

Таким образом, полный поток, обусловленный силами тр^ия, Пф* пендикулярен и направлен вправо по отношению к касательному напря* жению, с которым твердая поверхность действует на жидкость. Этот важный результат совсем не зависит от параметризации турбулентных напряжений^ как показано на рис。434$ Единственными силами» действующими на слой Экмана у целом, являются градиент давления и касательное напряжение трения на нижней твердой границе, так как по определению касательное напряжение трения на верхней границе слоя Экмана отсутствует. Далее, градиент давления точно уравновешивается ускорением Кориолиса, создаваемым геострофической скоростью® Но тогда касательное напряжение трения в среднем должно создавать дополнительное кориолисово ускорение в направлении напря» жения» Это в свою очередь требует, что&1 полный поток, обусловленный силами трения,М£ был перпендикулярен т. Вектор М £ зависит •только от т, но *£ от деталей параметризации турбулентного напря* жения, о чем свидетельствует отсутствие в (4.3.32) каких-либо характеристик структуры слоя Зкмана, например конкретного значения

И для атмосфчхз!, и для океана течение поперек изобар в слое Экмана играет важную роль с точки зрения диссипации кинетической энергии. Как отмечалось в разд. 42 мы не можем ожидать, что детальные предсказания этой простой теории будут применимы к реальным турбулентным океану и атмосфере» Однако оснсюные физические идеи, каса>

ющиеся диссипации, касательного напряжения трения и течения поперек изобар в вязкой области, оказываются достаточно общикм для того, что бы не быть ограниченными рамками рассматриваемой модели» Таким образом, можно ожидать, что нарисованная здесь качественная картина воздействия земной поверхности на геостро4Mче^ое течение в основном правильна.

Природа почти невяэкого течения

В большинстве представляющих интерес случаев 4 y достаточно мало (т.е. Еу《1), и может показаться, что трением вообще можно пренебрегать. Естественно, однако, ожидать^ что условие прилипания на твердых поверхностях справедливо и для произвольно малых, но ненулевых значений 4卩.Поэтам независимо от того, насколько^мало Av,весьма вероятно, что трение должно быть важным около границы. Ъч)обстоятельство непосредственно связано с математической структурой уравне* ний движения. Из (4.3Ла, б, в) видно, что 4y является коэффициентом при старшей производной по z. Если пренебречь членами, пропорциональными 4P, то псрядик уравнений понижается и становится невозможным удовлетворить тому количеству граничных условий^ какое поставлено для первойачальных уравнений. Иными словами, если проо то положить 4у ■ 0, то нельзя рассчитывать на то, что можно будет удовлетворить и кинематическому условию для нормальной скорости, и условию прилипания для тангенциальной скорости. Действительно, в теории невязкой жидкости предыдущей главы требовалось лишь выполнение кинематического условия для скорости, нормальной к границам жидкостио Если все-таки, несмотря на малость 4у»мы потребуем, чтобы выполнялись также и условия прилипания, то необходимые для этого вязкие члены в уравнения х движения можно будет удержать лишь при условии, что скорости будут меняться достаточно быстро в пространстве, по крайней мере вблизи границы. Тогда высшие производные станут настолько больше младших производных, что произведение этих высших производных на их малые коэффициенты будет иметь тот же порядок величины, что и невязкие членьк

Здесь возникает несколько вопросов» Во-первых, насколько верна теория невязкой жидкости, когда &у мал, но не равен нулю? Во-вгорых> как эффекты трения, даже очень малые,могут быть учтены при анализе движения жидкости?

$Оw2产

F# Q 4.4.7. Иллюстрация к анализу течения меящу деумя плоскостями во враща・ ющейся системе. Г радиант давления направлен вдоль оси у.

Для того чтобы придать этим вопросам конкретный смысл, рассмотрим следующий пример. Как и в предыдущем разделе, изучим течение однородной, несжимаемой» вращающейся жидкости, но заключенной теперь между двумя бесконечными твердыми гори зонт альны ми плоскости* ми, расположенными на расстоянии 2D друг от друга, как показано на рис. 44Л. Так же как и в разд. 43, рассмотрим горгажгалыю однородное течение, т.е. течение, которое не зависит от х и у. По тем же причинам, которые привели к (4.3.8), мы можем здесь положить вертикальную скорость травной нулю. Уравнения движения снова принимают вид

-fv- - 1-2L+(4.4.1а)

Р дх дг

加…丄 £Р +Л包.(4.4.16)

и・一(441в)

Р 0Z

加 0加 0-- р/ %.0у-- р/ %.0уКак и раньше, из (441в) следует, что др/дх и др/ду не должны зависеть от г. Кроме того, так как и и v не зависят от х и у, из (4°4・1а, б) следует, что горизонтальные градиенты давления также не должны зависеть от х и у. Таким образом, др/дх и др/ду постоянны и могут быть выбраны произвольно> что физически соответствует некоторому заданному внешнему перепаду давления» Без ограничения общности можно рассмотреть случай, когда давление меняется лишь в направлении оси % т® положить

加 0

加 0

-- р/ %.0у

-- р/ %.0у

(4.4.2а)

(4.4.26)

Второе выражение просто определяет число UQ, имеющее размерность скорости, в качестве меры интенсивности градиента давления. Специально подчеркнем, что это *е геострофическое соотношение, а только определение масштаба. Полезно снова ввести безразмерные переменные» Определим

и =и =(4.4»4а)(4.4»4а)1 +亭_1 +亭_萨萨(4.4.4 6)(4.4.4 6)

и =

и =

(4.4»4а)

(4.4»4а)

1 +亭_

1 +亭_

萨

萨

(4.4.4 6)

(4.4.4 6)

(4.4.3)

宀2.

и0

Тогда уравнения движения примут вид

(4.4.5)(4.4.5)где штрихи у переменных для простоты опущены. Нештрихованные переменные теперь безразмерны, а размерные переменные обозначаются звездочкой. Например, размерные скорости равны

(4.4.5)

(4.4.5)

и аналогично для других переменных» Параметр Еу есть число Экмана, т.е.,

Еу н 2 ,(4.4.6)

причем нас особенно интересует случаи малых Еуо

Соответствующими граничными условиями для (4・4・4а,6) являются условия прилипания

(4-4.7)(4-4.7)U « V а 0. при Z = ± 1,

(4-4.7)

(4-4.7)

которые предполагаются справедливыми независимо от величины Еу. В случае малого Еу можно предположить, что по крайней мере в

Первом приближении членами^ пропорциональными Еу, можно пренеб» речь. Это дает

(4.4.8)

Такие скорости удовлетворяют уравнениям (4.4.4а,б) для произвольного ^у, но не удовлетворяют граничным условиям (4.4.7)о Пренебрежение членами» пропорциональными Еу , понизило порядок дифференциального уравнения, в силу чего приближенное решение (4.4.8) оказывается, вообще говоря, непригодным (но, как мы убедимся потом, имеет непосредственное отношение к искомому решению). Таким образом, указанное приближение, искажающее математическую структуру уравнений, приводит к сингулярному возмущению рассмотренных уравнений и мы должны понять, какова структура решения задачи, удовлвгворяклцего всем граничным условиям, при Еу -+0. К счастью, в данной задаче весьма просто найти точное решение для произвольного Еу. Исключая и из (4.4Ла, б), получаем

+ 4V = 0.(4。4.9)

Так как граничные условия симметричны по 力 нужно рассматривать лишь симметричные решения. Общее симметричное решение для v имеет вид

V = AehAzein Az + 8ch Az сое kz,(4.4.10)

где

— 1/2

左・Ey(4.4.11)

Решение для u получается из (4o4.10) и (4.4.46):

u = 1 + AchAzcoe Az -BehAzein Az.(4.4.12)

Используя (4Л.7), определим 4 и В и после простых вычислений получим для и и V

v =»v =»(4.4.13)(4.4.13)ehk(l — z)einMl + z) + eh A(1 + z)ein Л(1 — z)

v =»

v =»

(4.4.13)

(4.4.13)

coe 2左 + ch 2k

- chA(l - z)cosAQ + z) + chAQ + z) cos Ml - z)

仙 +cos2A + ch2A

Очевидно» что u и и удовлетворяют условию и = и = 0 при z = ± 1. Для очень больших величин Еу, т.а в случае сильного трения, когда А очень мало» разлагая тригонометрические и гиперболические функции в ряды Тейлора по А, из (4.4.13) имеем

и齡左«I — z2) + . • .»

.4(4.4.14)

и*―я— (1 " z2)(5 — z2) + . . ■ «

В размерной форме это решение имеет вид

% I翼)-ТГ—，(4.4.15)

办24 yp

U* = -(->)(D2-<)(5D2-^WaV- '(4.4.16)

Для большого трения, т.е* для больших Ev , течение оказывается направленным в основном вдоль оси у» т.е. противоположно градиенту давления. Скорость и имеет тот же параболический профиль, что и в случае отсутствия вращения; имеется, кроме того, слабая» имеющая порядок О(А2) по сравнению с v компонента скорости течения и> направленная вправо от основного потока и являющаяся следствием относителыю слабой силы Кориолиса. Нас, однако, интересует другой 1файний случай, когда Еу очень мало (А очень большое)» Для этого предельного случая

*1 + z)

chA(l + z) «shfc(l + z) «,(4.4.17)

так что

v = e-%“ +z)sin&(l + z)+e4“T)sin&(l - z),

(44.18)

u « 1 - £从八 +z)cosA(l+ z) - £从《1 "г>сов A(1 一 z).

Заметим, что экспоненциальные члены вида е^г)*)пренебрежимо малы, если только zue очень близко к — I; аналогично и члены вида

е*‘ т) малы, если только z не очень блиэсо к ЬАсимптотическое решение (4.4.18) допускает очень простую интерпретацию. Это решение состоит из однородного геострофического течения в направлении оси х (u » 1) с наложенными на него экмановскими течения\м (см. 43-21а ,б) в пределах тонких слоев Экмана при z 工 1 и z = -1. Например, около z ■ -1, члены типа е』"т> имеют порядок 0("说)и настолько м№1, что здесь

м н 1 - e*，I)со8 ^] + z),

v = 6从八 + z) sinA：(1 + z),(4.4.19)

что представляет собой решение Экмана* Аналогичная картина возникает около z => 1. Схематический вид решения показан на рис» 4>4・2・ Заметим, что

左=2 =(竺匕.(4.4.20)

5£ I m2 丿

Теперь рассмотрим произвольную фиксированную почку z, лежащую вне границы, и исследуем характер решения (4.4.18) при уменьшении Еу。При этом не имеет значения, насколько близко к границе расположена точка z, поскольку для достаточно малой величины Еу эта точка будет расположена we обоих слоев Экмана. Итак> рассмотрим первый предел решения задачи для малых Еу и фиксированном z

z фмкс.

Нетрудно видеть» что результат этого предельного перехода совпадает с приближенным решением (4.4.8). Как мы видим, (4・4・8) дает действительно хорошее приближение к решению задачи для малых Еу вОали

> v(z)> v(z)Рис. 4.4.2.Схематичное распределение u(z) и v(z) в пределе при малом Еу,Рис. 4.4.2.Схематичное распределение u(z) и v(z) в пределе при малом Еу,

> v(z)

> v(z)

Рис. 4.4.2.Схематичное распределение u(z) и v(z) в пределе при малом Еу,

Рис. 4.4.2.Схематичное распределение u(z) и v(z) в пределе при малом Еу,

от границ области. Так как это решение пригодно лишь в*е слоев Экма^ на, то неудивительно, что оно не удовлетворяет условию прилипания для тангенциальной скорости.

Для того чтобы оставаться внутри слоя Экмана при Еу -» 0, необходимо приближаться все ближе и ближе к границе. Например, чтобы осгагпг ся внутри нижнего слоя Экмана на постоянном относительно его толщины расстоянии от границы, необходимо и меть постоянной величину

J - (1 + z)A « (1 + z) 一^ ,(4.4.22)

так что z при 5^/D - 0 гфиближается к нижней границе z » -1, т.е* z ■ -1 + +【厚/D。Существует, таким образом, второй предельный переход (назовем его Hq), определяемый следующим образом:

厶1n2(*)=(『)，(4.4.23)

时。v fin〕

£ фикс.

который описывает поведение решения около z = -1 (рис. 4.4.3). Третий предел, lim3> для которого при Еу ^0 фиксируется величина7n (1 - z)k дает аналогичное описание решения около z = 1, а именно

二3心24)

С фикс.

Какой иЗ этих пределов правилен? Ответ таков: все яф« предельных перехода даш правильные пределы решение в различных обласмх печения.

Так, сингулярный предел limn соответствующий полному гфже^е- жению вязкостью, будет давать правильное решение для внутренней невязкой области. Другие пределы будут давать решения для каждой из вязких областей. Поправка к решению внутри области в этих областях оказывается функцией растянутой переменной, например [• Иными ело вами, в пограничном слое течение является функцией не zjd, а вертикальной координаты, нормированной на очень малую толщину пограничного слоя 5^. Это означает, что при б£ -+ 0 эти ретшшя изменяются в зависимости от физической переменной z# так быстро, что локально вблизи границы силы трения оказываются важными (хотя и Ау - 0).

Рис. 4.4,3. В пределе lin1d точка раслопожена л ри фиксированном ^..Впреде* ле Нт? она находится при фиксированном 2*/6后 и, следовательно, гриближается к границе, если £^ -о.Рис. 4.4,3. В пределе lin1d точка раслопожена л ри фиксированном ^..Впреде* ле Нт? она находится при фиксированном 2*/6后 и, следовательно, гриближается к границе, если £^ -о.

Рис. 4.4,3. В пределе lin1d точка раслопожена л ри фиксированном ^..Впреде* ле Нт? она находится при фиксированном 2*/6后 и, следовательно, гриближается к границе, если £^ -о.

Рис. 4.4,3. В пределе lin1d точка раслопожена л ри фиксированном ^..Впреде* ле Нт? она находится при фиксированном 2*/6后 и, следовательно, гриближается к границе, если £^ -о.

Например, с учетом (4.4.22) имеем

醤®)醤®)(4.4.25)(4.4.26)(4.4.25)(4.4.26)dv dv д^ D dv

醤®)

醤®)

(4.4.25)

(4.4.26)

(4.4.25)

(4.4.26)

так что

t 抄热 D2

° az'а『у 6g

при Еу - 0.

Особая структура найденного решения» проявляющаяся в различных пределах при малом коэффициенте трения, характерна для почти невязких течений. Пока еще неясно» однако, сможем ли мы использовать изученный нами простой пример для построения решения более сложных задач. Основное упрощение в решении задачи было связано с выделением областей с различными соотношениями физических факторов» в каждой из которых решения рассматривались отдельно, а затем согласовывались друг с другом* Последовательная разработка такой идеи составляет основу теории сингулярных возмущений; методы этой теории будут показаны на примере в следующем разделе.

Теория пограничного слоя

Точное решение» описанное в предыдущем разделе, показало, что при Еу « ] можно надеяться, что непосредственный учет вязкости необ-

ходим лишь в пределах узких слоев около границ жидкости. В данном разделе мы увидим» как может быть использована эта идея в более о&цей задаче о влиянии вязкости на квазигеострофическое течение, когда точное решение в явном виде построить не удается.

Чтобы использовать соображения предыдущего раздела» рассмотрим опять движение жидкости между двумя плоскостями, находящимися на расстоянии 2D друг от друга. Пусть нижняя плоскость неподвижна, а верхняя движется со скоростью

и#г « и^(х^ 卢),

(4.5.1)

Звездочки обозначают размерные величины. Поскольку жидкость вязкая, движение вахней границы будет вызывать течение. Так как % и 4T зависят от горизонтальных координат» вряд ли возможно найти в явном виде точное решение задачи. Основные вопросы» стоящие перед нами,таковы： 1) Как вязкое воздействие передается жидкости? 2) Если это воздействие создается благодаря наличию трения» то в каком смысле применима невязкая теория квазигеострофического течения? 3) Каким образом можно рассчитать движение? Рассматриваемая относительно простая задача содержит все те важные элементы, понимание которых необходимо для формулировки более реалистичных океанолопшеских или метеррологических моделей.

Уравнения движения однородной и несжимаемой жидкости имеют вид (4.2.12). Пусть U - характерное значение скоростей и*г и %г； в качестве U можно, например, выбрать максимальную величину скорости на верхней плоскости. Пусть, кроме того, типичный масштаб пфизодгальных изменений 与丁 и 5T имеет порядок O(L). Логично ввести следукицие безреэ- мерные переменные (непомеченные):

а*у*)н L(修 у), z* ■ Dz,

к а) = и他叽 “=и£ “，(4.5.2)

£. ■ (，U ) t,р* п — pgz* + р/ ULpo

Отметим» что z* имеет масштаб, отличный от масиггаба для горизонтальных координат, так как можно ожидать, что вертикальные изменения

имеют характерный масштаб D> а не L。При нахождении масштаба для вертикальной скорости считается, как и в теории мелкой воды^чго в силу ма* лости отношения D/L отношение w*/u* 工 O(D/L). Кроме того, такой выбор предполагает, что все члены уравнения неразрывности имеют один и тот же порядок, т.а в безразм^)ных единицах

Вертикальный поток массы через сечение с площадью O(L2) равен O(w#L2) или O(UDL)； в точности такой же порядок имеет и горизонтальный поток массы через сечение с вертикальным размером D й Г01»13(жталь- ным размером L。Введение масштабов^ согласно (4«5«2)У не связано с какими-либо ограничениями на характер баланса массы»

В качестве масштаба времени выбран временный масштаб адвекции L/V, хотя на этом этапе и трудно сказать, является ли он лучшим мао шгаб(ж1учем х整актерное время вязкого установления. В дальнейшем станет ясно, что этот выбор зависит от отношения

L

т 口 ，(4.5.4)

(/т

и для простоты предположим формально, что

Г - 0(1),(4.5.5)

т.е. что характерное время вязкого установления и время адвекции, каждое из которых велико по сравнению с 尸，имеют один и тот же порядок. Это позволит нам провести анализ, не делая априорных предпол(> жений о том, какие процессы преобладают, вязкие или адвективные. Построенное решение можно будет затем исследовать и для больших и для малых величин г.

Характерный масштаб для давления был выбран в предположении, что градиент давления имеет тот же порядок величины, что и ускорение Кориолиса. Это, как было уже показано, действительно выполняется при условии малости числа Россби.

Используя (4・5・2), запишем уравнения движения в безразмерной форме

.дидидиЭидрЕр

Е( +и—— + V+ W—-4 — V « — — + У I 工 +

atЭхду<9zдх2

(4.5.6а)(4.5.6а)

(4.5.6а)

(4.5.6а)

(4・5・6в) где

UтгUтг一 число Россби,一 число Россби,

Uтг

Uтг

一 число Россби,

一 число Россби,

6 ・-^- — отношение вертикального масштаба к горизонтальному,

24 рУ fD224 рУ fD2-"вертикальное” число Экмана,-"вертикальное” число Экмана,(4.5.7)(4.5.7)

24 р

У fD2

24 р

У fD2

-"вертикальное” число Экмана,

-"вертикальное” число Экмана,

(4.5.7)

(4.5.7)

-"горизонтальное" число Экмана.

Уравнение движения в вертикальном направлении показывает, что при малом 5 можно ожидать выполнения гидростатического соотношоош. В рассматриваемых нами случаях каждый из параметров е < 5, Е^ и Е^ мал, и переход к безразмерным переменным оказывается полезным в том смысле, что позволяет отчетливо оценить относительную важность различных малых физических сил. Каждая из этих сил потенциально может вносить свой вклад в уравнения динамики высоких приближений, рассмотрение которых необходимо иэ-за вырождения геострофического приближения •

В качестве граничных условий имеем

w« 0, z н 0,1,(4・5・8)

U а V ж 0, Z * 0у

(4.5.9) …心亦)

Условие (4・5・8) представляет собой кинематическое условие отсутствия течения через поверхности z = 0J. Это условие может быть удовлетворено и в невязкой жидкости. Условиям же (4・5・9) можно удовлетворить только тогда, когда в жидкости существуют хотя бы малые силы вязкости, и фактически в рассматриваемом случае жидкость приводится в движение именно силами, возникающими благодаря вязкой "тяге" верхней поверхности. Для простоты допустим, что заданная скорость (ur> vr) горизонтально бездивергентна, что эквивалентно условию сохранения площади любой части верхней поверхности.

Постараемся теперь явно учесть малость параметров е, 5, Е^ и %, ибо при произвольных значениях этих параметров сформулирован» ная задача оказывается неимоверно сложной. Каждая зависимая переменная, например и» будет функцией х, у, z и t и е> 69 Е^ и Er> т.е.

и - и(х, у, z, G е> 5, Е?, Е#・(4.5.10)

Для малых значений параметров мы можем разложить и в ряд по этим параметрам, т.е. представить в виде

u e ио(*> У» z» t) + А(е, 5, Еу, Ен)ил (х, у, z, t) + • • • » (4.5.11)

где А - малый параметр, представляющий собой функцию е, 5У Е^ и %。Об этой функции пока ничего не известно, за исключением того, что А должна стремиться к нулю при стремлении е , 5, Ер и Е^ к нулю. Конкретный вид 口叩аметров, по которым строится разложение,, сейчас не важен. Важным является то» что» согласно разложению (4.5.П), % определяется как результат предельного перехода

«о» hmu.(4.5.12)

my, z, и фикс.

Ер, е, 5 , Е“о

Поскольку в этом пределе фиксируется z, а Е? - 0, он должен соответствовать Ит, предыдущего раздела. Таким образом, можно ожидать, что разложение (4.5.11) будет давать подходшее представление решения лишь для внутренней области течения. Мы не можем надеяться на то, что % и % будут удовлетворять условиям (4.5.9) • Тем не менее мы уже видели, что внутренний предел дает правильное описание динамики течений вне пограничных слоев； поэтому проанализируем сначала следствия разложения (4.5.11). Если все переменные разложить в ряды типа (4.5.П)> члены порядка 0(1) уравнений (4.5.6) и (4.5.3) дают для невязкой внутренней области дро

% = - _— ,(4.5.13а)

办

如0

% = F—，(4.5.136)

,(4.5.13в)

0.0.(4.5.14)(4.5.14)duo 扣0 如

0.

0.

(4.5.14)

(4.5.14)

~ЗГ + ~Эу~ + ~зг

Таким образом, для горизонтальной скорости порядка О (1) во внутренней области выполняются геострофическое и гидростатическое соотно- шения. Из уравнения (4.5.13в) следует, что и0 и v0 к тому же не должны зависеть от z, откуда ясно, что % и v0 не могут удовлетворить условию (4.5.9), за исключением случая ur » vr « 0. Если и0 и % из (4.5.13) подставить в (4・5・14)у то мы получим, что

(4.5.15)

т.е. % также не зависит от z・ Итак» мы показали, что для течения по- рядкаО(1 )внутри области справедливы геострофическое и гидростатическое соотношения, а также теорема Тейлора - Праудмена. Вместе с тем уравнения (4.5.13), (4.5.14) не накладывают никаких ограничений на функцию Ро 3s 夕К% >). Из физических соображений ясно, что для определения течения необходим анализ вязких областей около z = 0 и z н 1, ибо без такого анализа в данной задаче невозможно ввести в рассмотрение внешнее воздействие.

Для того чтобы изучить область пограничного слоя около z « О, нам необходим такой способ разложения, скажем и9 для малых Е% который учитывал бы особенность динамики именно вязкого слоя. Иными словами, нам нужно по аналогии с (4.5.12) определить % в пограничном слое при помощи предельного перехода, который учитывал бы важность членов трения при малом Е? . Как мы видели на основании анализа точного решения в предыдущем разделе, можно считать, что* в вязком слое и будет быстро меняющейся функцией z, т.е. функцией, изменения которой достаточно быстры для того, чтобы трение оказывалось важным в локализованной области вблизи границы. Таким образом, в вязком слое и в действительности должна быть функцией растянутой по z координаты; растяжение координаты гарантирует, что новая поъранслойнал координата $ остается величиной порядка 0(1) при бесконечном уменьшении толщины пограничного слон.

Другой способ выражения того же самого факта состоит в предположении, что формулы (45>2), согласно которым динамические поля меняются по z с х^актерным маоитабом D, 6 блз»м слое нев^мы* В вязком слое все характериотики изменяются на значительно меньшем масштабе, и, прежде чем делать приближения в исходных уравнениях, надо нерейш к другим безразмерным переменным с новым вцггикальным масштабом. Какой бы точки зрения ни придерживаться, мы должны ввести новую координату

【=『(4.5.16)

где I — безразмерная толщина пограничного слоя» Размерная толщина равна

l* = DL(4.5.17)

Как найти 2? Единственный способ определить I -это потребовать,что&)1 при преобразовании (4.5.16) члены трения оставались бы важными. Если ввести теперь в (4.5.6) и (4.5.3) новую переменную ? (т^. разс\атривагь любую зависимую переменную как функцию 修 у и《)# то

也 Ерa2 a Ен Э2Ц a2a

(4.5.186)(4.5.186)6?_6?_dw +u- + vdw +u- + vw dw 、+ T~—)=w dw 、+ T~—)=_ 1 др_ 1 дрEp a% 2~2^~ +бEp a% 2~2^~ +бEHEHa2wx( a/ +a2wx( a/ +(9%(9%(4.5.18b)(4.5.18b)dudv1dw ndxдуI 工dudv1dw ndxдуI 工(4.5.18г)(4.5.18г)

(4.5.186)

(4.5.186)

6?_

6?_

dw +u- + v

dw +u- + v

w dw 、

+ T~—)=

w dw 、

+ T~—)=

_ 1 др

_ 1 др

Ep a% 2

~2^~ +б

Ep a% 2

~2^~ +б

EH

EH

a2wx( a/ +

a2wx( a/ +

(9%

(9%

(4.5.18b)

(4.5.18b)

dudv1dw n

dxдуI 工

dudv1dw n

dxдуI 工

(4.5.18г)

(4.5.18г)

(4.5.19)(4.5.19)Для того чтобы вязкий член, пропорциональный Еу9 был по величине того же порядка 0(1), что и ускорение Кориолиса, следует выбрать

(4.5.19)

(4.5.19)

так что

/* 奎 DE声 ® 5^.

Подходящим масштабом толщины, таким образом, является толщина слоя Экмана, хотя решение Экмана (см. разд. 4.3) и не является больше точным решением. Итак, в пограничном слое каждая переменная записывается как

^ ® ^ (修 У» 工，匕 Ер, Е*, £, 6) = Wq(x, у, [,»)+••・，(4* 5*20)

где тильда означает, что представление справедливо в пограничном слое около z » 0. Разложение (4.5.20) по малым параметрам эквивалент-

но пределу lim2 ? т・& пределу при Ер т 0 и фиксированной [ * z/E^ Рассмотрим теперь уравнение неразрывности (4.5.18г). С учетом

(4.5.19) имеем

так 4TQdw/dl не больше, чем О(Е切。Если о»больше, чем 0(E)), то

(4.5.22)

но, поскольку вертикальная скорость обращается в нуль на поверхности z =工=0. функция ш должна тождественно равняться нулю. Для wQ это заведомо неверно [см<. (4.5.15)], так как решение для внутренней области неприменимо вблизи границы. Отсюда следует, что для шнеобходимо ввести новый масштаб Е^ , т.е. в пограничном слое

川(修 У> [, 3 £, Ер, Е% 6)бЕ『叭修 у,工，G £> Ер, Еу, 5)« =Е 职鳥(％ у, ?, t)^...]. (4.5.23)

Таким образом# в пограничном слое отношение вертикального масштаба движения к горизонтальному равно не D/L, a 5^/l；

5е

(4・5・24)(4・5・24)% = О(и—^) .и

(4・5・24)

(4・5・24)

Если и» и, W и ^разложить в ряды по малым е, Е^, Ед и т.д” то величины порядка 0(1) должны удовлетворять следующим уравнениям:

而。 1 <?ч Т— + "К— —ГПГ

0 " ~ + 1^

(4.5.25а)

(4.5.256)(4.5.256)

(4.5.256)

(4.5.256)

<?Ро ] 8叫

办 2(?『

о =—

电

и

(4.5.26)(4.5.26)/o , 疵) 加0弘дх ду

(4.5.26)

(4.5.26)

Итак р при малых по сравнению с единицей числах Россби и Экмана уравнения низшего порядка в пограничном слое совпадают с уравнашями для слоя Экмана в случае горизонтально однородного течения. Масштаб изменений по х и у настолько в^лик по сравнению с х叩акгерным вертикальным масштабом, что горизонтальная неоднородность поля смэрости не проявляется явно в уравнениях динамики низшего порддз Эго одно из наиболее существенных упрощений, получаемых благодаря введению понятия пограничного слоя.

Уравнение (4.5.25в) означает, что ^Q/dx и dpQ/dy не должны зависеть от [, поскольку

0 т0 т毋о毋о而О而О<9 工 <?j дх<9 工 <?j дх(4.5.27)(4.5.27)

0 т

0 т

毋о

毋о

而О

而О

<9 工 <?j дх

<9 工 <?j дх

(4.5.27)

(4.5.27)

Рассмотрим произвольную переменную, например давление Р* Мы имеем два представления для 仍 одно справедливо во внутренней области (р0), другое — в пограничном слое (瓦卜 Если мы выходим из пограничного слоя, то на краю пограничного слоя р° должно гладко сопрягаться с % . Это означает, что % при больших ( должно гладко

переходить в 玲 при малых z, т.е»

(4.5.28)(4.5.28)Нт 备 « Н'т %。

(4.5.28)

(4.5.28)

Z〃 -ню z т8

Прикуп согласования (4.5.28) играет весьма существенную роль, посколь* ку он г^эантирует, что получаемые нами пр(ближенные решения обладают тем же свойством гладкости, которым, как мы ожидаем, обладают решения полных уравнений. Решения могут быть быстро меняющимися, но они должны аналитически гладко переходить одно в другое. Поскольку pQ и ^о не зависят соответственно от z и ^, то для всех ( в пограничном слое

毋Q叽 .* dpQ

F— ■一气(修 y), 力

так что горизонтальный градиент давления в экмановском слое определяется горизонтальным градиентом давления во внутренней области. Используя выражение для давления во внутренней области, запишем (4.5.25 а, б )в виде

1 沌 .、

-—齐亨 + w0 = %(% у).

-豆о =-%о（修У）・-豆о =-%о（修У）・(4.5.30)

-豆о =-%о（修У）・

-豆о =-%о（修У）・

Решение уравнений (4.5.30) должно совпадать с решением для экмайовского слоя, полученным в предыдущих разделах. Удовлетворяя условиям прилипания при z = 0, имеем

‘о н %(修力口一 广‘ cos 口 一 %(修力 e" si《

(4.5.31a)

$戸%(费力口 -e"co8[l + %(* y) ”si呜

или, в векторном виде,

и0 匸 u0(l - е ~^cos 工)+ (к х %) & Tgin工，(4*5.316)

где к — единичный вертикальный вектор. Заметим, что если uQ положительна, то она дает положительный вклад в vQ (течение направлено прошве положено градиенту давления вдоль у). Если же положительна %, то ее вклад в 备 отрицателен, поскольку теперь др0/Эх > 0, и течение, противоположное градиенту давления, должно бьпъ направлено в сторону отрицательных х. Полученные экмановские решения вновь иллюстрируют принцип согласования. Выразим, например, % через внутреннюю переменную

% -必(修力[1 -d cos zE广1 -%(К, y)e ' sinzEpT.

(4.5.32)

Отсюда при фиксированном z и 外 ~ 0» что соответствует внутреннему пределу, имеем

备f %(к,亦

Заметим» что при фиксированном z предел Е； ~ 0 означает, что U т оо, поскольку U - z/E 力 если же зафиксирована !, то Е； ~ О означает, что z ~ О. Таким образом, из принципа согласования (4.528) следует также, что, записав решение для пограничного слоя через внутренние переменные, а решение во внутренней области через погранслойную переменную, мы должны в пределе Е? ~ О получить для обоих решений один и тот же результат, если эти решения гладко переходят одно в другое*, т.е.

lim瓦(z/Ep%)= lim %((Ej).(4.5.33)

z фикс.[ фикс.

E*货。

Обратимся теперь к вычислению вертикальной скорости порядка О(Е^), определяемой уравнением (4.5.26). Хотя эта скорость и мала, но создаваемое ею растяжение вихревых трубок, образованных нитями планетарного вихря, может оказаться существенным в общей динамике пограничного слоя. Поскольку % и 诟 теперь известны, из (4・5<»26) следует, что

h "k + W = F^)「M

(4.5.34) или

1加О阪0r

“0(力力 С) н —寸(-g— — —)e^ (cos? + sin C)+ C(x, y)9

2dy

(4.5.35)

где C(x, у) - произвольная функция x и ya При 工=0 скорость 或 в соответствии с (4.5*8) должна обращаться в нуль. Из этого условия можно определить С(х, у). Итак,

"6(修 y»[)=F" I —弍--_^也-} (1 - ёт (cos [ +sю^)]- (45«36)

Рис. 4.5Л. Вертикальная скорость е экманоеском слое, отнесенная к геострофическому вихрю, как функция расстояния от границы (в единицах %)・

График этой фуныщи приведи на рис. 4.5.1 • Крайне важно заметить, что при J - 8 (т.е* на верхнем крае пограничного слоя)

吃(％ У，8)=二(4.5.37)

2 дх ду 2 й

Таким образом, при наличии внутри области завихренности J0(x, у) порядка 0(1) жидкость с малой вертикальной скоростью порядка О(Е^) накачивается из экмановского слоя во внутреннюю обл есть. Эта вертикальная скорость создается течением в пограничном слое, направленным гпоперекизобар от высокого давления к низкому. Рассмотрим ситуацию, изображенную на ри&・ 4・5・2・ Циклоническая область (т.е. область с по ложительным вихрем ^0 > 0) расположена над плоскостью z = 0. Поскольку течение во внутренней области является геострофическим» дав* ление в центре вихря меньше» чем на его краю. Как мы заметили ранее, при этом возникает течение со скоростью порядка 0(”，направленное под воздействием силы давления к центру вихря* Сходящийся поток массы,согласно (%3・29), имеет порядок скорости, умноженной на толщину слоя, и равен в безразмерных единицах 1 х Е戶 Поскольку дно непроницаемое, жидкость должна подниматься и проникать во

戶* с. 4,5.2t Центр низкого давления (U。＞ о)создает сходящиися поток массы в экмановском слое поперек геострофических линий тока и, следовательно, вертикальный поток во внутреннюю область.

внутреннюю область но всей области вихря шириной порядка 0(1) с вертикальной скоростью порядка 0(Е於).В антициклонической области с более высоким давлением в центре «。＜ 0) жидкие частицы в экмановском слое выталкиваются в радиальном направлении, в силу чего жидкость из вышележащей внутренней области засасывается в пограничный слой.

Принцип согласования применительно к вертикальной скорости означает, что в низшем приближении вертикальная скорость внутри области должна удовлетворять условию

lim w(x9 уt z)= Hm w(x, у,工，2)(4.5.38)

Z тОj Т ОО

или

Таким образом, вертикальная скорость, сообщаемая жидкости на внешней границе экмановского слоя, определяет нижнее граничное условие для течения во внутренней области. Поскольку течение во внутренней области по существу невязкое, это граничное условие ставится для нормальной к границе скорости во внутренней области. Роль тонкого слоя трения сводится, таким образом, к преобразованию заданного граничного условия для тангенциальной скорости в соответствующее условие для нормальной скорости невязкого течения во внутренней области.

Анализ поверхностного слоя Экмана производится аналогичным об- разом. Вводится погранслойная координата

(4.5.40)

Заметим, что при фиксированном 彳 пределу Е 2fo соответствует z т 1，а пределу Е，- 0 при фиксированном z соответствует 工二 + °°・ Если все зависимые переменные записать как функции 修 у н [, а производные по z переписать, используя соотношение

Э1 д1J ~дГЭ1 д1J ~дГто члены порядкаО(1)в (4.5.6) даютто члены порядкаО(1)в (4.5.6) дают0 =-0 =-др0к，др0к，(4.5.41)(4.5.42а)(4.5.426)(4.5.42b)(4.5.41)(4.5.42а)(4.5.426)(4.5.42b)

Э1 д

1J ~дГ

Э1 д

1J ~дГ

то члены порядкаО(1)в (4.5.6) дают

то члены порядкаО(1)в (4.5.6) дают

0 =-

0 =-

др0

к，

др0

к，

(4.5.41)

(4.5.42а)

(4.5.426)

(4.5.42b)

(4.5.41)

(4.5.42а)

(4.5.426)

(4.5.42b)

где крышка означает, что эти переменные относятся к пограничному слою у верхней границы#

Из (4.5.42в) и принципа согласования следует, что горизонтальные градиенты давления в верхнем пограничном слое и во внутренней

области равны межлу соб(Л, поэтов (4.5.^а,б) можно переписать в виде 1力亀

2 п7з + % = %(х, у),

42

(4.5.43)

Решение (4.5.43), котфое уд(»летворяет услсжию гладкости перехода "о и ^о при 工 f 8 к их значениям во внутренней области, имеет вид

u0 = u0(ж,y)+ 6;[e1仇 y)cos t + e2(/ y)sin?L

'о =%(修 y) + e'〔-q(修 у)sin 5 + c2(x, y)cos 5], где % и C2 - произвольные функции x и y0

На верхней границе

uo = ^т^ 力，

% = ut(瑞 у),

(4.5.44)

(4.5.45)

так что

С1 =勺-%,

% =叮-%.

Отсюда следует, что

(4.5.46)

% = "о(修 У)+ е~к"т -"о)со&Г + ①丁 -Uo)sin£], % = %(瑞 У)+ 6一'〔(力-v^cos^ - ®т -u0)8in^].

(4.5.47)

Заметим, что если vT и 以丁 равны нулю, то решение (4547) тождественно (4.5.31). Иными словами» в этом случае структура ждановских слоев около z = 0 и z = 1 одинакова. Снова в любой горизонтальной плоскости существует течение поперек изобар, скорость которого пропорциональна разности между геострофической скоростью и скоростью, заданной на границе.

Уравнение неразрывности здесь цринимает вид *=e3(喪+咅-).(45.48)

Отметим изменение знака по сравнению с (4621)” Формально оно связано со знаком минус в формуле (4.5*41), а физически отражает тот простой факт, что горизонтальная конвергенция жидкости в нижнем экмановском слое должна создавать восходящее движение, в то время как аналогичная конвергенция в верхнем экмановском слое должна приводить к опусканию жидкости во внутреннюю область.

Используя (4°5и47), найдем биз (4548) простым интегрированием.

Учитывая условие равенства йГнулю при [ = 0, получим

w П ―[——(力一%) —— (u Т _%)][] — e；(cos T +

Z дхду

+sin[)].(4.5.49)

Снова при 7 f 8, т.е. на внешнем крае пограничного слоя, существует отличная от нуля вертикальная скорость порядка О(Е，). Принцип согласования для w

lim w(x, у, z) = lim w (x, ” 工)(4.5.50)

Z -*>oC f 8

дает верхнее граничное условие для течения во внутренней области

Ей

"(х, у, 1) = __—[工 т(х, у) — Со(х, у)],(4.5.51)

где С т - вихрь скорости, заданной на верхней границе, а С。一 имеющий порядок 0(1) вихрь скорости течения внутри области. Если 工丁 > Сб, жидкость засасывается из верхней части внутренней области в экмановский слой.

Таким образом, используя в силу относительной малости толщины слоя трения методы теории пограничного слоя, нам удалось существенно упростить рассматриваемую задачу. Во-первых, мы показали, что для произвольного геострофического течения во внутренней области можно удовлетворить условию прилипания для тангенциальной скорости при z = 0 и z = 1. Во-вторых, мы нашли путем анализа вязких погранич-

ных слоев необходимое для анализа течений во внутренней области граничное условие для нормальной компоненты скорости. При Е? « 1 внутренняя область составляет основную массу жидкости, а слои Экмана занимают лишь малую часть ее трлшины. Тем не менее анализ пограничных сло^ играет важную роль в понимании того, как внешние факторы, заданные на поверхности, д^ствуют на движение bq внутренней области. Как для верхней» так и для нижней границ любое различие мевду аофем скорости во внутренней области и вихрем заданной на границе скорости будет приводить к появлению вертикальной скорости порядка О(Е^) на границе течения во внутренней областии Связанное с этим слабое растяжение (или сжатие) вихревых трубок, составленных из нитей планетарного вихря» является основным механизмом, благодаря которому эффекты, связанные с действием трения, могут передаваться во внутреннюю область. Это растяжение вихревых трубок обусловлено силой Кориолиса, однако оно генерируется трением на границе. Степень важности этого эффекта в балансе вихря во внутренней области определяет степень важности сил трения в динамике больших масс жидкости.

Динамика квазигеострофических течений при наличии трения

В предыдущем разделе анализ течения во внутренней области был проведен лишь в низшем приближении. Для величин порядка 0(1) уравнения (4・5・13а, 6, в) являются по существу геострофическим и гидростатическим соотношениями.. Однако для определения течения ю внутренней области необходимо учесть малые негеострофические эффекты- В частности, асимптотическое разложение для скорости (4.5.11) не должно ограничиваться первым членомо Здесь сразу же возникает вопрос о том, какой малый параметр следует использовать в качестве △ в разложении (4.5J1). Такой параметр должен определять отклонение течения от строго геострофического, однако можно назвать несколько различных эффектов, ответственных за это отклонение» Во-первых, это относительное ускорение течения, которое будет создавать негеосгроф!^ ческие скорости порядка 0(e). При анализе квазигеострофической невязкой модели мвшюй воды в гл. 3 этот эффект был единственным негес> строфическим эффектом, в силу чего и параметр △ выбирался однозначно и равнялся е ・ Такой эффект присутствует и здесь, но помимо него имеются еше два. Растяжение вихревых трубок из-за экмановской вертикальной скорости, действуя на нити планетарного вихря, будет создавать изменения относительного вихря порядка 0(Е/). Этот негеострофичес-

кий эффект связан с влиянием трения. Отношение растяжения вихревой трубки за счет экмановской вертикальной скорости к адвекции относительного вихря равно по порядку величины

〕т=(—Т =诉〕т=(—Т =诉(4.6.1)(4.6.1)

〕т=(—Т =诉

〕т=(—Т =诉

(4.6.1)

(4.6.1)

где т — характерное время вязкого установления (см. разд. 43). Будем рассматривать задачу, предполагая, что эффекты, связанные с ускорением и экмановской вертикальной скоростью, играют одинаковую роль; тем самым мы полагаем, что г имеет порядок 0(1). В дальнейшем можно будет исследовать случаи больших или малых значений г. Третьим фактором, ответственным за отклонение от геострофичности, является наличие горизонтальной диффузии импульса во внутренней области. Из (4.5.6) ясно, что соответствующий член имеет порядок О(Е^). Отношение этого вязкого члена к относительному ускорению равно

Е“Е“2 AH 2=~L~ = "ЙГ '2 AH 2=~L~ = "ЙГ '(4.6.2)(4.6.2)

Е“

Е“

2 AH 2

=~L~ = "ЙГ '

2 AH 2

=~L~ = "ЙГ '

(4.6.2)

(4.6.2)

где

ReReULАнULАн

Re

Re

UL

Ан

UL

Ан

-число Рейнольдса для течения во внутренней областия В большинстве случаев, пр едет авляющи х интерес для геофизики, число Рейнольдса достаточно велико. Например, даже довольно большая величина 4* = 10Бм2/с в атмосфере дает значение Re = 102, если U = 10 м/с

является, вообще говоря,является, вообще говоря,и L = 103 км. Следовательно, Е^/€ =Re

является, вообще говоря,

является, вообще говоря,

малым параметром- Тем не менее полное пренебрежение этим членом, описывающим диффузию импульса, привело бы к сингулярному возмущению уравнений (4.5.6а, б) по отношению к переменным х и у. Иными словами» .если бассейн ограничен по горизонтали и на его границе ставится условие прилипания» то члены, описывающие трение, должны играть важную роль вблизи границы бассейна. Поэтому при рассмотрении задачи члены порядка 0(Е*) необходимо сохранить, поскольку локально, вблизи границ бассейна, из-за больших производных по х и у порядок этих членов может увеличиться»»

Таким образом, запишем скорости и давление внутри области в виде

"二"3 力 z, t, e, Ep, EH) = ；0(x, y, z, t, r, Re) + eu ^x, y.

z, t, Tp Re) + ■ • ■,

u = u(x, y, z, t, e. Eg Eff) = v0(x, y, z, G r, Re) +*%(修 у, z, G r. Re) + ♦ о .,

吁碗c, ” z, t, e,后卩 E“)= wQ(x, y, Zp t, r, Re) +

£ %(% 力 z, t, r. Re) + . •-,

» = »(x,力 ％，t，— E?, EH) = p0(x, y, z, t, r. Re) +

+ € Px (л, y, ^ t, г, Яе) +. ..、(4.6.3)

Если подставить это разложение в (4・5・6а, б, в), то члены порядка 0(1) дадут, конечно, (4.5.13а> б,в) и (4.5.14). Отсюда следует, что и0 и v0 не зависят от z, а (4.5.15) показывает, что % также не зависит от глубины* Далее, при z = 0, согласно (4.5.39), имеем в низшем приближении

s(x, у, t)=- —_).(4.6.4)

2 ax ay

Поскольку E, « 1, отсюда следует, что w0 в (4.6.3) должно тождественно равняться нулю для всех z.

++Члены порядка 0(e) уравнений (4.5.6а, б, в) дают

+

+

(4.656)

办1办1(4.6.7)(4.6.7)

办1

办1

(4.6.7)

(4.6.7)

(4.6.5b)

九 1а“ dwy

"^一 +石* = '(4.6.6)

Заметим, что члены wQdu0/dz и u^&uQ/dz отсутствуют в (4.6.5а,б) не только потому, что % м% не зависят от z, но и,что более существенно, поскольку % равна нулю. Если путем перекрестного дифференци* рования по х и у исключить градиент давления из(4.б.5а,6), то получим уравнение вихря

di。 口 йо Mo М 如

———=-ч~ + й。 5「+ % f=一(工‘ + -T-)+

dt 决力Лс ду

1 /鼠 а2 妈

Полная скорость изменения относительного вихря порядка 0(1) определяется растяжением трубок планетарного вихря dwy/dz и горизонтальной диффузией вихря Re"1 ▽ 4。. Поскольку и0, и。 и, следовательно, С о не зависят от z, (4.6.7) можно просто проинтегрировать от z = 0 до

-^— = j(修 у, 1) 一 ％ Ос, у, °)+ "^ V «о*(4・6・8)

Именно на этом этапе становится важным наличие вязких слоев около г=0и2 = 1*14з (4.5.39) и (4.6.3) следует, что

М修 у» 0) = Е ^(х, у, 0) + —— С 0<х* %，)+•••，

2(46.9)

так что

山 1(х, у, Q)= £ “(X, у, t) +•….(4・f J)

Аналогично

叫(修 у, 1) = ——([ т(х, у, t) - ^0(х, у, t)) •(46.1 )

Таким образом, уравнение вихря можно записать в видеТаким образом, уравнение вихря можно записать в видеПоскольку % и v0 геострофичны, (4.6.12) может быть представлено как уравнение для давления %Поскольку % и v0 геострофичны, (4.6.12) может быть представлено как уравнение для давления %

Таким образом, уравнение вихря можно записать в виде

Таким образом, уравнение вихря можно записать в виде

Поскольку % и v0 геострофичны, (4.6.12) может быть представлено как уравнение для давления %

Поскольку % и v0 геострофичны, (4.6.12) может быть представлено как уравнение для давления %

(а弗оа 弗。а、2, 2 工？

+ ^ 叫，(4.6.13)

В областях, удаленных от горизонтальных границ, членом, пропорциональным Re-1, можно пренебречь, так что вне слоев трения у боковых границ уравнение (4.6.13) упрощается:

d2Р。d如。Лдхдудуd2Р。d如。Лдхдуду

d2Р。d如。

Лдхдуду

d2Р。d如。

Лдхдуду

(4.6.14)

Полезно сравнить (4.6.14) с квазигеострофическим уравнением потенциального вихря (3.12.25), полученным в гл.З для слоя невязкой жидкости со свободной поверхностью* Сумма членов -勺。+ qfl в (3.12.25), описывающая соответственно эффекты изменения свободной поверхности и наклона дна, в уравнении (4.6.14) отсутствует.

Это, конечно, следствие того, что в рас см атрив аемой модели горизонтальные граничные поверхности плоские и твердые ( заметим, что в пределе при F т 0 приходим к модели с твердой крышкой). В разд. 4.11 мы увидим, каким образом можно включить в рассмотрение оба этих эффекта при наличии вязкости. Существенное с точки зрения динамики различие между (4.6.14) и (3.12.25) состоит в том, что в правой части (4.6.14) присутствует член, обусловливающий затухание вихря. Для течений во внутренней облает это единственный результат непосредственного влияния экмановских слоев трения, причем степень этого влияния определяется параметром г • Как следует из (4.6.1), г представляет собой отношение адвективного временного масштаба к характерному времени вязкого установления • Если характерный временной масштаб адвекции мал по сравнению со временем

вязкого установления, то эффектом вязкости для периодов времени порядка временного масштаба адвекции можно пренебречь. В линеаризованных волновых задачах, где характерное время адвекции велико по сравнению с периодом волны, соответствующее число Россби, согласно результатам разд. 3.12, на самом деле равно 叮二(f 丁尸，「〃е Т - период волны. В таких случаях в качестве параметра г надо брать

ГТ = _L.(4.6.15)

т

Следовательно, если период волны мал по сравнению с характерным временем вязкого установления, эффектами трения можно пренебрегать Для интервалов времени, малых по сравнению с т, но больших по сравнению с Т・ Поэтому анализ свободных волн в невязкой жидкости,щюве- денный в гл. 3, справедлив к при наличии трения, если оно достаточно мало, так что т » Т・ Таким образом, жидкость ведет себя как невязкая среда, если только т » ( Г, L/F)max.

Вязкое затухание

(4.7.1)(4.7.1)На основании очень простых энергетических рассуждений в разд. 4.3 было показано, что

(4.7.1)

(4.7.1)

есть характерное время затухания геострофического движения из-за действия трения в экмановском слое. Уравнение (4.6.14) позволяет рассмотреть этот вопрос более детально.

Рассмотрим квазигеострофическое движение на плоскости

(4Л2)(4Л2)н,夕.считая, что горизонтальные границы и вынуждающая сила, отсутствуют, т.е. С т н 0.而I Re » 1 уравнение вихря во внутренней области есть просто

(4Л2)

(4Л2)

才一"。.

Теперь рассмотрим циркуляцию Г по замкнутой жидкой кривой С на плоскости х, у. Если область, ограниченная контуром С, не содержит внутри себя дырок или "островов", то

「厶0弘=/и。• dr,(4.7.3)

4 С

где А - площадь, ограниченная кривой С. Скорость изменения г в случае жидкого конура равна

（/Т也。d

k ;力 丁 m "。К（协）•（4.7.4）

Поскольку в низшем приближении геострофическая скорость без- дивергентна, величина d(dA)/dtt которая выражается через геострофическую скорость, тождественно равна нулю:

ddu。 do。

(4.7.5)(4.7.5)"7~(M)=弘(--+ ) = 0.

(4.7.5)

(4.7.5)

Поэтому из (4.7.2) и (4.7.4) следует, что

=-гГ(4・7・6)

или

[「=「(0)Lf[ (4.7.7)

Итак, циркуляция по любому замкнутому контуру, двигающемуся вместе с жидкостью, экспоненциально убывает за характерное время г"1. Со№ ветствующее размерное время равно

(4.7.8)(4.7.8)

(4.7.8)

(4.7.8)

т.е. характерному времени затухания, введенному в разд. 4・3・ Механизм этого вязкого затухания может быть описан несколькими способами. Рассмотрим его сначала с точки зрения баланса вихря • Пусть имеется циклонический вихрь с завихренностью J как показано на рис. 4.7.1. При наличии положительного относительного вихря нижний экмановский слой будет накачивать жидкость снизу вверх и одновременно верхний экмановский слой будет накачивать жидкость сверху вниз. Такие влияние обоих слоев приводит к сжатию трубок планетарного вихря со скоростью -г【°, и этот инерционный эффект обусловливает экспоненциальное убывание вихря внутри области. С другой точки зрения жидкость, засасываемая из двух экмановских слоев, внутри области должна двигаться от центра циклона к его краю.

^J^) циклонический Ьихрь^J^) циклонический Ьихрь

^J^) циклонический Ьихрь

^J^) циклонический Ьихрь

尸“с・4・7・7・ Циклонический вихрь засасывает жидкость иэ верхнего и нижнего споев Экмана, создавая сжатие вихревых трубок и соответствующее уменьшение геострофической относительной завихренности.

Это течение направлено поперек изобар от низкого давления в центре циклона к высокому на его краю, % так как оно происходит во внутренней области, его скорость должна содержать малые негеострофические компоненты % я j • Этот направленный от центра циклона поток массы должен уравновешиваться противоположно направленным потоком массы в экмановских слоях. Поскольку градиент давления внутри области и в экмановских слоях одинаков, скорость уменьшения энергии течения внутри области в точности равна определяемой (4324) величине W с противоположным знаком. Таким образом, малые потери энергии во внутренней области (из-за движения жидких частиц от низкого давления к высюкому) уменьшают кинетическую энергию движения ср скоростью, равной скорости поступления энергии в экмановский слой, где эта энергия диссипирует из-за действия сил трения. Это и дает, в соответствии с приве зш ми в разд. 4.3 соображениями, масштаб времени т, равный хар хтерному времени вязкого затухания.

4』.Стационарное движение

Если течение стационарно и вызывается движением верхней крышки, то (46.14) может быть записано в виде

(°Ро d dpod\2 ,2‘丁、

к 万一丁 р。"" р。-

(4.8.1)

Рассмотрим сначала случай, когда г » 1, т-е. время адвекции велико по сравнению со временем вязкого установления* В этом случае (4.8.1) сводится к линейному уравнению

Г2

Ьо= V Po=F—，(4.8.2)

т.е. вихрь скорости во внутренней области равен половине вихря скорости движения верхней крышки• Это простое соотношение непосредственно следует из (4*6.7), согласно которому растяжение вихревой трубки dw/dz во внутренней области не может быть по порядку величины больше О(е) (напомним, что d[ /Л имеет порядок 0(e)). При Е号》w это условие нарушается, если только скорость накачки жидкости порядка О(Еу) из нижнего экмановского слоя не равна в точности скорости, с которой жидкость засасывается в верхний экмановский слой. Итак, скорость w(x, у, 0) должна равняться скорости w(x, у, 1)»отку- да

«>(% у, 0)=方 Jo(x, у)= ~-^T -?О)= ^，У. 1) (4.8.3)

ИЛИ

Со =瑟一Ст»(4・8・4)

что и совпадает с (4.8.2).

Это соотношение имеет более общий характер, чем может показаться на первый взгляд: подобный результат должен получаться при всех г. Рассмотрим следующую стационарную форму уравнения (4.6.14):

"^-(气(0)+ 豈(”oQ =_r《o - ?-)■(43.5)

Проинтегрируем (4.8.5) по площади Л в плоскости х, у, ограниченной некоторой замкнутой линией тока. Поскольку на линии тока нормальная скорость порядка 0(1) отсутствует, интеграл от левой части (4.8.5) будет тождественно равен нулю. Таким образом,

!aK^A = ~ ^{TdA(4.8.6)

или

© ч0 • rfr = f— © 叮• dr,(4・8・7)

так что в стационарном состоянии циркуляция геострофической скорости вдоль некоторой замкнутой линии тока равна половине циркуляции скорости, заданной на границе (именно эта скорость и вызывает те-

чение). В частном случае аксиально симметричного течения, когда заданная на границе скорость направлена строго по окружностям, генерируемая геострофическая скорость будет также направлена строго по окружностям и равна половине скорости на границе. Таким образом, если

чг = Нг)@，(4.8.8)

где 6 - единичный вектор в азимутальном направлении, а азимутальная скорость Р(г) является произвольной функцией радиуса, то геострофическое течение также строго азимутально и его скорость равна Г(г)/2.

Экмановский спой на наклонной поверхности

В гл* 3 при рассмотрении теории невязкой жидкости было показано, что изменения глубины оказывают сильное влияние на геострофическое движение. Цель настоящего раздела состоит в изучении того, в какой степени результаты такой теории верны при наличии вязкости. Одновременно важно исследовать и влияние вертикальной скорости на внешней границе экмановского слоя при наклонном дне.

Постановка задачи проиллюстрирована рис. 4.9.1. Твердая поверхность наклонена под углом а к оси * и описывается уравнением

z* = ^tga。(4.9.1)

Хотя наклон tga считается здесь постоянным, полученные результаты будут справедливы и в случае, когда радиус кривизны поверхности велик по сравнению с толщиной пограничного слоя.

Рис • 4.9J。Экмановский спой на наклонной поверхности в размерной и безразмерной системах координат.

(4.9.2)(4.9.2)В безразмерных единицах

(4.9.2)

(4.9.2)

Z = #F tga »^tgе,

где tg 0 — наклон поверхности, записанный в безразмерных перемен» »ых. Результаты предыдущих разделов свидетельствуют о том, что структура вязкого пограничного слоя у поверхности определяется равновесием между ускорением Кориолиса и силами вязкости. Нелинейные члены не существенны, пока число Россби намного меньше единицы» Использование этого факта упрощает выкладки> и для описания пограничного слоя мы рассмотрим следующую систему уравнений:

(4.9.36)(4.9.36)о = - Лdzо = - Лdz+心+心а%И^а%И^duдхduдхdv¥dv¥(4,9・4)(4,9・4)

(4.9.36)

(4.9.36)

о = - Л

dz

о = - Л

dz

+心

+心

а%И^

а%И^

du

дх

du

дх

dv¥

dv¥

(4,9・4)

(4,9・4)

с граничными условиями

(4.9・5)(4.9・5)и = V = w= 0 при z = tg仇

(4.9・5)

(4.9・5)

Трение необходимо лишь для того, чтобы обратить скорость, параллельную границе, в нуль на самой границе. Условие на скорость, нормальную к границе, удовлетворяется при рассмотрении движения в рамках теории невязкой жидкости. Для того чтобы силы трения были существенны в общем балансе сил, скорость должна быстро изменяться в направлении, перпендикулярном границе, как схематично показано на рис. 4.9.2 Для описания течения в пограничном слое естественно использовать наклоннуло систему координат, обозначенных штрихами» которая показана на рис. 4.9.1. Зависимые и независимые перемен-

Рис <9,2. тангенциальная к границе скорость быстро меняется в направлении, нормальном к границе.

ные двух координатных систем связаны простыми соотношениями：

х =■ xcos 0 + zsinO, z' z cosO — xsinO и н ucosO + wsin& w и wcos 8 — usin 0,х =■ xcos 0 + zsinO, z' z cosO — xsinO и н ucosO + wsin& w и wcos 8 — usin 0,х = x*cos 0 —z*sin0, z n z'cos 0 + x*sin0, u н u*cos0 —w sin0> w=w сев 0 +『sine,х = x*cos 0 —z*sin0, z n z'cos 0 + x*sin0, u н u*cos0 —w sin0> w=w сев 0 +『sine,(4・9・6)(4・9・6)

х =■ xcos 0 + zsinO, z' z cosO — xsinO и н ucosO + wsin& w и wcos 8 — usin 0,

х =■ xcos 0 + zsinO, z' z cosO — xsinO и н ucosO + wsin& w и wcos 8 — usin 0,

х = x*cos 0 —z*sin0, z n z'cos 0 + x*sin0, u н u*cos0 —w sin0> w=w сев 0 +『sine,

х = x*cos 0 —z*sin0, z n z'cos 0 + x*sin0, u н u*cos0 —w sin0> w=w сев 0 +『sine,

(4・9・6)

(4・9・6)

где v и у одинаковы в обеих системах. Проижодные относительно одной системы координат легко преобразуются в производные относительно другой^например

(4.9.7a)(4.9.7a)du Нм & 丄 Нм ・ с

(4.9.7a)

(4.9.7a)

—4 k COS0 + —— S1H0

dzdzax

a2MН寸2。。5a2MН寸2。。52 дх *5z *2 дх *5z *sin 0c os 0 +sin 0c os 0 +

a2M

Н寸2。。5

a2M

Н寸2。。5

2 дх *5z *

2 дх *5z *

sin 0c os 0 +

sin 0c os 0 +

(4 “9.76) и т.д.

Уравнения (4,9.3a, б, в) в наклонной системе координат примут вид

, cos 0 + sinO + —— (cos20 ^7^+

力2E

+ sin 2e + sin% ^rr^)(u'cose — ц/sine) + 、' x

dx9z*dx 22

x (sin20- sin 20x (sin20- sin 20dxdzdxdz

x (sin20- sin 20

x (sin20- sin 20

dxdz

dxdz

.+ cos 2$ 、 J»)(u cos 0 一ах /

(4.9.8а)(4.9.8а)

(4.9.8а)

(4.9.8а)

一 wzsin0) + 炉 (u'cos 0 — w^sinO),

2 力2

u*cos0 — wrsin；0 =— 包■«- +

2

(cos 20 —v2 + sin2e x

а #“а г*

n2Е斤

sin2 9 ■ -"；- A + —-— (sin20 x

д2

X 175

@2@2

—sin 20 — 7" '. + cos 2。) v +

EH

T"

(4.9.86)

0一备еВё-枭或付丛

Еу

2*

&“

卜 sin2e

а2

дх* dz*

+ sin20 —行)(wrcos 8 + ubine)

+ 52

2

(sin?。

d2

HZ»

-Sin2° ^ +c°s"

苏冃）"

x (w cos 0 + u sinO) + 52—— (м/сos 8 + u*sin0)-2 Ну?

(4.9о8в)

Если умножить (4.9.8a) на cos 0, a (4.9 Лв) на sinO и результаты сложить, то получим

—v cos e к

亦 eУ

а? ~Т

COS 40(1 + В2tg2价(]+ tg2e) X

Ey

Hz'2

(499)

+ (1 — 52)+ (1 — 52)xxд2и*д2и*(4.9 JO)(4.9 JO)i/cos 6 =-*-4. _2_ cos 26(1 + -.；"i/cos 6 =-*-4. _2_ cos 26(1 + -.；"tg^) 1Гtg^) 1Г(4.9.Н)(4.9.Н)

+ (1 — 52)

+ (1 — 52)

x

x

д2и*

д2и*

(4.9 JO)

(4.9 JO)

i/cos 6 =-*-4. _2_ cos 26(1 + -.；"

i/cos 6 =-*-4. _2_ cos 26(1 + -.；"

tg^) 1Г

tg^) 1Г

(4.9.Н)

(4.9.Н)

При выводе (4.9.9) было использовано, что производные по z' значительно больше производных этой же функции по х\а также и то, что в пограничном слое отношение wVu* должно быть порядка / = 1*/口, где /#- малая толщина пограничного слоя (пока неизвестная), D -вертикальный масштаб течения в невязкой области- Умножая (4-9«8а) на sin 0, а (498в) на cos 0 и составляя разность результатов, находим

Еу . Ен г

■' cos 30sin0 (1 + —»-— tg20) x

2Е у

С учетом указанных выше приближений! 4.9.8б)можно записать в виде

Форма уравнения неразрывности не изменяется:

(4.9Л2)(4.9Л2)ди*dvАс'

(4.9Л2)

(4.9Л2)

дх*дуdz'

Введем растянутую погранслойную переменную

где 2 - малый параметр; из (4.9.12) следует, что если и* и.г имеют порядок 0(1),то w*, как мы и предполагали, должна быть порядка 0(Z).После введения погранслойной переменной 工(4.9.10) примет еле-где 2 - малый параметр; из (4.9.12) следует, что если и* и.г имеют порядок 0(1),то w*, как мы и предполагали, должна быть порядка 0(Z).После введения погранслойной переменной 工(4.9.10) примет еле-дующий вид:-Z vein 0дующий вид:-Z vein 0XX如д2и不如д2и不1 -52 EV1 -52 EVcos 30sin0(l + 电_ tg4cos 30sin0(l + 电_ tg4(4.9.13)(4.9.13)

где 2 - малый параметр; из (4.9.12) следует, что если и* и.г имеют порядок 0(1),то w*, как мы и предполагали, должна быть порядка 0(Z).После введения погранслойной переменной 工(4.9.10) примет еле-

где 2 - малый параметр; из (4.9.12) следует, что если и* и.г имеют порядок 0(1),то w*, как мы и предполагали, должна быть порядка 0(Z).После введения погранслойной переменной 工(4.9.10) примет еле-

дующий вид:

-Z vein 0

дующий вид:

-Z vein 0

X

X

如

д2и

不

如

д2и

不

1 -52 EV

1 -52 EV

cos 30sin0(l + 电_ tg4

cos 30sin0(l + 电_ tg4

(4.9.13)

(4.9.13)

Следовательно, если

Еу

"Р

дрдр[считаем, что 出斤/月歩鼠。не очень велико ] ,то в низшем приближении по малому параметру I будем иметь

др

др

(4,9.14)

Е}-^— (1 + 62tg20)хЕ}-^— (1 + 62tg20)х(4.9.15)(4.9.15)та, как обычно, пограничный слой настолько тонок, что изменение давления поперек этого слоя пренебрежимо мало» Таким образом, др/дх* и Эр/力 в (4.9.9) и (4.9.11) в первом приближении не зависят от. 5 и равны своим значениям во внутренней области. Исключая и*иэ двух этих уравнений, получим

Е}

-^— (1 + 62tg20)х

Е}

-^— (1 + 62tg20)х

(4.9.15)

(4.9.15)

—vcов 2 0 = — cos 0 加 + с。}'дх' 厂

X (1 + 与一 tgae)2 卫Ev "/4

Очевидно* что наиболее естественно выбрать I равным

1 =со8е(1 + 色 tg2e)H(i + 64g2/е声.

(4.9.16)

Тогда (4.9.15) примет вид

1 丸4~ df41 丸4~ df4+ V+ V1_3 cos е дх *1_3 cos е дх *(4.9.17)(4.9.17)

1 丸

4~ df4

1 丸

4~ df4

+ V

+ V

1_3 cos е дх *

1_3 cos е дх *

(4.9.17)

(4.9.17)

V =—】— cos еV =—】— cos еОбщее решение (4.9.17), удовлетворяющее условию ограниченности при [-8, имеет вид

V =—】— cos е

V =—】— cos е

(4.9.18)(4.9.18)少厂 +「： (С cos [ + C2sin0, дх

(4.9.18)

(4.9.18)

где q и C2 _ произвольные функции «r и у. Из (4.9」1)теперь следует, что

cos 0 дуcos 0 ду(1 + 52tg20)-(1 + 52tg20)-cos 0cos 01/2 г—е~» (C]sin ( —С2cos[).1/2 г—е~» (C]sin ( —С2cos[).

cos 0 ду

cos 0 ду

(1 + 52tg20)-

(1 + 52tg20)-

cos 0

cos 0

1/2 г

—е~» (C]sin ( —С2cos[).

1/2 г

—е~» (C]sin ( —С2cos[).

Заметим, что решение в пограничном слое является функцией переменной

z'zcos 0 — xsinO

!cose£^(]+5^g2e)%[l +(Ен/Еу)1^Г

(4.9.20)(4.9.20)(4.9.21)(4.9.21)"Е j(l + 62tg20)%[1 + (%/EQtg20]%.

(4.9.20)

(4.9.20)

(4.9.21)

(4.9.21)

Поскольку

1 + 82tg2e = 1 + tg2a = 2—— cos

ro

~F = [6工5 諷l + (%®)tg2。】％ '(4.9.22)

В случае ламинарного движения, когда 4斤=4卩=v,

1 + Ен 20 = 1+в2t 20= _1 _(4.9.23)

Ev "cos2a

так что

z， z cos …嚟土 .(4924)

—=5£(cosa)-H厚(cos a)』

В этом случае толщина пограничного слоя, измеренная по нормали к границе, равна

=(产(4.9.25) (cos a)f cos a

т«е. это обычная толщина экмановского слоя, определенная через компоненту угловой скорости вращения Земли, нормальную к границе, в силу чего параметр Кориолиса равен fcosa。Когда силы трения анизотропны» 19 согласно (4.9.16), по-прежнему имеет порядок 0{Еу)9 но является более сложной функцией Е，/Ер и наклона.

Постоянные С, и С2 в (4.9.18) и (4.9.19) определяются из условия

(4.9.26)(4.9.26)равенства нулю и* и v при [ = 0:

(4.9.26)

(4.9.26)

С2(1+ 62 tg20)叫

Отсюда

,1u =——cos 0,1u =——cos 0考—(1 - gT C os 5)-考—(1 - gT C os 5)-x (1 +尸咕20)一用 eT sin[,x (1 +尸咕20)一用 eT sin[,1 亦 cos 4 йх*(4,9.27a)1 亦 cos 4 йх*(4,9.27a)

,1

u =——

cos 0

,1

u =——

cos 0

考—(1 - gT C os 5)-

考—(1 - gT C os 5)-

x (1 +尸咕20)一用 eT sin[,

x (1 +尸咕20)一用 eT sin[,

1 亦 cos 4 йх*

(4,9.27a)

1 亦 cos 4 йх*

(4,9.27a)

v * —1 雪 (1 —「【cos [) - —^— (1 + g2tg20)H e_5sin{

cosO дх5y

(4.9.276)

Если проинтегрировать уравнение неразрывности

Ни/Ни/~ +券)丿，cw ay~ +券)丿，cw ay(4928)(4928)

Ни/

Ни/

~ +券)丿，

cw ay

~ +券)丿，

cw ay

(4928)

(4928)

то получим

или

w'(N, у, »)-+ 1_ [工.(1 + 62tg20)』+ (4.9.29) Z cos дх &

+ 吐(1 + 52lg20) 1/2 1 8产

Теперь, используя преобразование координат (4.9.6), имеемd2p 2д d2P •九抑 .2fi d2P

—^ - cos ао -—^ -sin 20 —— + sin ° —^ ■

Эх 2dxdzaz

cos 26 ap

поскольку производная др/dz во внутренней области с точностью до 0(5?) равна нулю. Таким образом, скорость ш* на внешнем крае пограничного слоя может быть выражена через производные от геострофической скорости по первоначальным независимым переменным 土,力 z , t.е.

"(% У, 8)= ^_(cos а - — JL),(4.9.30)

/cos а dy

где 2 определяется (4.9.16).

Скорость и/ перпендикулярна границе; скорость 必 создающая растяжение трубки планетарного вихря, параллельна оси вращения и представляет собой скорость в первоначальной системе координат. Из (4.9.6)

w * wcos 0 — u sinO*(4.9*31)

Отсюда верткалънм скорость шна внешнем крае пограничного слоя равна

w « u tg0 + 9 " •' (сos а —— — —— ),(4.9.32)

° 2сos 6ах 方 cos а

где u - скорость во внутренней облаем на краю пограничного слоя.

Первый член в правой части (4332) представляет собой выражение Для вертикальной скорости, возникающей и при отсутствии вязкости из-за подъема жидких частиц, движущихся параллельно наклонной границе. Из рис. 4.9.2 видно, что это имеет место и при учете вязкости, поскольку жидкие частицы, лежащие вне слоя трения, по-прежнему скользят вдоль наклонной границы, не замедляясь трением. Второй член в (4а32) представляет собой дополнительную верткалъную ско* рость, создаваемую накачкой жидкости из экмановского слоя. Введем величину

d xLtga а(4.9.33)

представляющую собой изменение толщины слоя на характерном горизонтальном масштабе L, тогда

tgO = —— tga =—.(4.934)

О D

Следовательно, если изменения толщины имеют порядок 0(1) или меньше, то tga должен быть порядка O(p/L)9 тл. очень малым. Для таких

малых а величина cos а близка к единице. Поэтому (4.932) будет иметь

ЕрдхЕрдх

Ердх

Ердх

(4.9.35)

тз・ мы снова получили, что создаваемая силами трения вертикальная скорость прямо пропорциональна вихрю течения во внутренней области.

Из(4.9.33)и( 4.9.34) следует, что

tge=丄_ а坛

где 卜口 - размерное возвышение нижней границы. Если изменения %/D имеют порядок 0(1), то, как следует из результатов гл. 3, влияние топографии дна столь велико, что жидкие частицы вынуждены двигаться вдоль изобат • Поэтому в динамическом отношении более интересен случай, когда tgO < 1. Если при этом предположить, что %/Ер имеет порядок единицы или меньше, то множитель 1 + (E“/Epjtg2G в (4.935) можно заменить единицей • Делая такое предположение, мы хотим подчеркнуть, что получаемая в результате решения задачи излишне дет ализированная зависимость от топографии, которая в конечном счете обусловлена не имеющей строгого обоснования параметриза* цией сил трения (т.е. отношением Е"Ер),ие должна приниматься всерьез. Поэтому в данном случае разумно представить (4.935) в наиболее простой форме, пренебрегая любыми усложнениями, обусловленными весьма грубым моделированием сил трения4 Итак, запишем (4.9.35) в простой 巾。рме„и

切(打 у, —— ) = и • V ( -р- ) + ——— 工.(4・936)

В этом виде, подчеркивающем проижольность (фиентации поверхности, вертикальная скорость является просто суммой создаваемой наклоном дна скорости, не связанной с действием вязкости, и экмановской скорости, соответствующей горизонтальной поверхности.

Отношение этих двух слагаемых в выражении для вертикальной скорости w на внешнем крае экмановского слоя равно

hBлв

丁 Р»(4.9.37)

что представляет собой отношение подъема дна на длине £ к толщине экмановского слоя 5£. Если %/呢 мало, то изменения глубины жидкости "тонут" в экмановском слое и динамический эффект наклона дна оказывается несущественным. Если %/D велико, то вертикальная скорость, создаваемая изменениями глубины, подавляет слабую экма- новскую накачку жидкости.

Экмановский спой на свободной поверхности

Если верхняя граница жидкого слоя представляет собой не тв叩дую крышку, а свободную поверхность, то соответствующим граничным условием будет условие непрерывности давления и касательного напряжения трения при пересечении этой поверхности. Ясно, что наличие

тонкого слоя трения не меняет условие непрерывности давления, поскольку изменение давления по глубине этого слоя не существенно. Поэтому, как и в гл. 3₽ это условие удовлетворяется благодаря возникновению малых отклонений свободной поверхности от положения покоя, определяемых формулой (3.3.13)» Условие непрерывности касательных напряжений трения, или сил сцепления, на поверхности имеет другой характер; для удовлетворения этому условию, вообще говоря, необходим слой трения.Рассмотрим ситуацию, показанную на рис» 4.10Л. На свободной поверхности слоя жидкости толщиной А приложено касательное напря* жение т*. Предположим, что эта поверхность плоская и стационарная» Для того чтобы касательное напряжение было непрерывно на свободной поверхности, необходимо, согласно (4.2.11), выполнение условиятонкого слоя трения не меняет условие непрерывности давления, поскольку изменение давления по глубине этого слоя не существенно. Поэтому, как и в гл. 3₽ это условие удовлетворяется благодаря возникновению малых отклонений свободной поверхности от положения покоя, определяемых формулой (3.3.13)» Условие непрерывности касательных напряжений трения, или сил сцепления, на поверхности имеет другой характер; для удовлетворения этому условию, вообще говоря, необходим слой трения.Рассмотрим ситуацию, показанную на рис» 4.10Л. На свободной поверхности слоя жидкости толщиной А приложено касательное напря* жение т*. Предположим, что эта поверхность плоская и стационарная» Для того чтобы касательное напряжение было непрерывно на свободной поверхности, необходимо, согласно (4.2.11), выполнение условия九*九*Hz* dv*Hz* dv*+ р 4〃+ р 4〃dw *dw *(4.10Л)(4.10Л)办*办*

тонкого слоя трения не меняет условие непрерывности давления, поскольку изменение давления по глубине этого слоя не существенно. Поэтому, как и в гл. 3₽ это условие удовлетворяется благодаря возникновению малых отклонений свободной поверхности от положения покоя, определяемых формулой (3.3.13)» Условие непрерывности касательных напряжений трения, или сил сцепления, на поверхности имеет другой характер; для удовлетворения этому условию, вообще говоря, необходим слой трения.

Рассмотрим ситуацию, показанную на рис» 4.10Л. На свободной поверхности слоя жидкости толщиной А приложено касательное напря* жение т*. Предположим, что эта поверхность плоская и стационарная» Для того чтобы касательное напряжение было непрерывно на свободной поверхности, необходимо, согласно (4.2.11), выполнение условия

тонкого слоя трения не меняет условие непрерывности давления, поскольку изменение давления по глубине этого слоя не существенно. Поэтому, как и в гл. 3₽ это условие удовлетворяется благодаря возникновению малых отклонений свободной поверхности от положения покоя, определяемых формулой (3.3.13)» Условие непрерывности касательных напряжений трения, или сил сцепления, на поверхности имеет другой характер; для удовлетворения этому условию, вообще говоря, необходим слой трения.

Рассмотрим ситуацию, показанную на рис» 4.10Л. На свободной поверхности слоя жидкости толщиной А приложено касательное напря* жение т*. Предположим, что эта поверхность плоская и стационарная» Для того чтобы касательное напряжение было непрерывно на свободной поверхности, необходимо, согласно (4.2.11), выполнение условия

九*

九*

Hz* dv*

Hz* dv*

+ р 4〃

+ р 4〃

dw *

dw *

(4.10Л)

(4.10Л)

办*

办*

или, 6 безразмерных единицах,

< Пт。)К〉А_ + 52

叫。 Hzдх Iа

СS при Z = 一

"т。 亠 n f D

()T(r)一 加 r2 dw I

Сто» тре^

Рис.4Л0Л..Вязкий слой на свободной поверхности，на которой приложено касательное напряжение т..

где т0 - характерная величина напряжения, [7 и D - характ%ные масштабы горизонтальной скорости и глубины. Поскольку вертикальная скорость значительно меньше горизонтальной, а производные no z в пограничном слое всегда значительно больше производных по х, то членами с шв (4J0.2) вполне можно пренебречь. Как и в разд» 4«5>введемпогран- слойную координату

(4.10J)

7-_ ^ + 2_ ^# 方 2'7-_ ^ + 2_ ^# 方 2'(4.10.46)(4.1 ОЛв)(4.10.46)(4.1 ОЛв)

7-_ ^ + 2_ ^# 方 2'

7-_ ^ + 2_ ^# 方 2'

(4.10.46)

(4.1 ОЛв)

(4.10.46)

(4.1 ОЛв)

Уравнения первого приближения в пограничном слое снова имеют вид

dx

1声

■ "2^- »(4Д0.4a)

где тильда означает, что переменные относятся к верхнему экмановско- му слою. Горизонтальный градиент давления в пограничном слое опять определяется своей величиной во внутренней области, где вязкость жидкости несущественна. Таким образом, общее решение системы (4.104а, б) имеет вид

(4J0S)(4J0S)u = — -г-— +「，(С〕cos J + Qsin(),

(4J0S)

(4J0S)

》= +0-( (-C[ sin j + c2cos j )•

В качестве граничных условий имеем

■产円)т" Л),(4.10.6)

где

а - ilsZL- ,(4.10.7)

仰U

а 6后 есть экмановская толщина D£p；»Используя граничные условия, определим и С2:

(4.10.8)

gT(佇4叫。

Отсюда

и * и + ^5— а [(т"> -т(“))зй1[ + (т(У)+ t(#))cos : L

(4J0.9)

где % и % - геострофические скорости во внутренней области. Вектор скорости

u-iu + 忌(4.10.10)

дается соотношением

* UO +[т (cos^ -sin【)-(k X T)Ccosj + sin；)]»

Z(4J0.11)

Рис.4 10 2. .Направлениети экмановской скорости и£ на поверхности.Рис.4 10 2. .Направлениети экмановской скорости и£ на поверхности.

Рис.4 10 2. .Направлениети экмановской скорости и£ на поверхности.

Рис.4 10 2. .Направлениети экмановской скорости и£ на поверхности.

где к - единичный: вектор в направлении оси z・

В представлении (4」0.11) экмановская скорость в вязком слое, т.е. отклонение скорости в экмановском слое и" от геострофической скорости и” записана в виде суммы перпендикулярной и параллельной т компонент. На поверхности ([ = 0) экмановская скорость 呪 равна

(4.10.12)(4.10.12)吃=u -u0 = ^― [т - (к х т)]

(4.10.12)

(4.10.12)

и, как показано на рис. 4.104,, повернута на угол 45° вправо от приложенного напряжения*- На рис・4・10・3 показаны параллельная и перпендикулярная напряжению т компоненты скорости и£； рис.4.ЮЛ демонстрирует положение вектора и£ в плоскости х, у в зависимости от ^; конец вектора 呪 описывает спираль Экмана»

Полный поток, обусловленный экмановской скоростью в слое

трения, равен

A /Dоо

(4.10.13)(4.10.13)Mf1 = / % dz = J 亚 Е р* 也=f (т х k) Е^ , оо4

(4.10.13)

(4.10.13)

т.е* он точно п^шедцикулярен гфиложенному касательному напряжению» В размерных единицах

М『=UDM £ м DE^ (尸 х k)

или

(4.10.14)

Если / отрицательно, а не положительно, то знаки кориолисовых членов в (4J0-4) изменяются и сила Кориолиса приводит к отклонению 我后 не епраеов а влево относительно приложенного напряжения.

ри с.4л0.3. Профили перпендикулярной и параллельной направлению приложенного касательного напряжения компонент скорости.

Ри с,4 10.4, Жирная сплошная линия показывает спираль, описываемую вектором экмановской скорости при изменении глубины.

что тождественно(4J>32<)* Важно отметить, что величина полного потока М^ в поверхностном слое трения не зависит от коэффициента турбулентной вязкости, а зависит только от приложенного касательного напряжения и параметра Кориолиса» Как уже говорилось в разд» 4*3 этот простой результат объясняется тем, что в слое трения приложенное касательное напряжение уравновешивается средним по слою ускорением Кориолиса» Таким образом, (4 J 0.14) совершенно не зависит от того, как параметризуется турбулентность»

Вертикальная скорость на внешней границе слоя трения находится из уравнения неразрывности» Имеем

赍' * £% ( -~— + -у-)=子 Е? е~5[С7> t)(cos? -sinp

—7 < (к х t)(cos^ +sin[)]・(4.10.15)

Выполняя интегрирование, получим

Еу

耿叫 У, 8)- w(x, у, 0) ■ -а —V - (к X т) ж

то

'行访-к ・е5,(4.10J6)

где

•(4.10.17)

Величина скорости w(x,>, 0) определяется изменением положения верхней границы ・ Если свободная поверхность плоская и движется вверх или вниз, то

齿&, у, 0)- (与).(4.10.18)

Вертикальная скорость во внутренней области на краю пограничного слоя (т*е. скорость жидкости, засасываемой в экмановский слой) определяется в силу принципа согласования» а именно

w(x, у, A/D) - w(x,力 8)w(x, у, A/D) - w(x,力 8)3 A %3 A %

w(x, у, A/D) - w(x,力 8)

w(x, у, A/D) - w(x,力 8)

3 A %

3 A %

Если поверхность Л наклонная, то к правой части (4 JO.19) необходимо по аналогии с результатом разд. 4.9 прибавить член u < V ( h / D ), чтобы учесть дополните льну ю вертикальную скорость, создаваемую за счет движения во внутренней области параллельно свободной поверх* ности (напомним, что этот член для квазигеострофического течения в действительности равен нулю)» Если добавить этот член к (4.10.19), то окончательно получим

m(% у,)D/m(% у,)D/kg.pfUDkg.pfUD(4J0C0)(4J0C0)

m(% у,)

D/

m(% у,)

D/

kg.

pfUD

kg.

pfUD

(4J0C0)

(4J0C0)

В размерных единицах эта формула имеет видВ размерных единицах эта формула имеет вид/、, к(поверх ) = —— + • rot .(dj p/、, к(поверх ) = —— + • rot .(dj p(4.J0.21)(4.J0.21)гдегде

В размерных единицах эта формула имеет вид

В размерных единицах эта формула имеет вид

/、, к

(поверх ) = —— + • rot .(

dj p

/、, к

(поверх ) = —— + • rot .(

dj p

(4.J0.21)

(4.J0.21)

где

где

к • rot * (к • rot * (f 匕*f 匕*

к • rot * (

к • rot * (

f 匕*

f 匕*

(4.10.22)

Таким образом, вертикальная скорость на верхней границе геострофической области равна сумме вертикальной скорости на свобод* ной поверхности, не зависящей от действия сил трения, и скорости, связанной с засасыванием жидкости в верхний эк мановений слой под воздействием приложенного касательного напряжения» Важно снова отметить, что скорость, связанная с накачкой жидкости в верхний экмановский слой, не зависит от того, как мы описываем мелкомасштабную турбулентность. Рассмотрим поле касательного напряжения, показанное на рис. 4J.0,5.Касательное напряжение наплавлено вдоль оси у, а его величина возрастает при увеличении х. Полный экмановский поток в слое трения направлен тогда вдоль оси х и также возрастает с увеличением х. Для сохранения массы жид* кость засасывается в экмановский слой со скоростью, пропорциональной дивергенции полного экмановского потока. Поскольку пос* ледний не зависит от коэффициента турбулентной вязкости, то этим же свойством обладают его дивергенция, и, следовательно, скорость накачки жидкости в экмановский слой.

Me，' f j ] ]a Me

We

Рис,4.10.5 В плоскости x, у касательное напряжение направлено вдоль оси у и возрастает по величине с увеличением х В нижней части рисунка показаны соответствующее возрастание М^ при увеличении 叫 а также скорость жиц- кости, засасываемой в поверхностный спой дпя компенсации дивергенции М^ °

Заметим, что, когда касательное напряжение на поверхности отсутствует, верхний экмановский слой имеет нулевую экмановскую скорость, т.е.поправка к геострофическому течению равна нулю. Геострофическое течение, не зависящее от г, в этом случае само удовлетворяет условию отсутствия сдвигового напряжения.

Уравнение кваэигеострофического потенциального вихря с учетом трения и топографии

Если слой жидкости имеет свободную поверхность и наклонное Дно, то в уравнение вихря будут входить члены, описывающие обуслов* ленное этими эффектами образование вихря из-за соответствующего растяжения вихревых трубок. Рассмотрим уравнение вихря (4»6.7) во внутренней области

Здесь 5 0 - вихрь геострофической скорости, имеющий порядок 0(1), тогда как вертикальная скорость во внутренней области

(4.П2)(4.П2)讪伍，у, z) = Е % ¥ ...

(4.П2)

(4.П2)

Для слоя с наклонной нижней границей справедливо (4*936), так что на нижней поверхности г *八总/0 в низшем приближении по е имеем

w=u°.y-^— + _^_【°.(4.П.З)

С учетом (4.112)

У="о・УПв + А 工。，(4.П.4)

где, как и в гл・3,

強

ааf ж е qB(x, у) ,(4.11.5)

а

а

Е*

(4.Н.6)

Верхняя граница находится при

(4.11.7)(4J1.8)(4.1L9)(4.11.7)(4J1.8)(4.1L9)z = А (玄 У，%，£)

(4.11.7)

(4J1.8)

(4.1L9)

(4.11.7)

(4J1.8)

(4.1L9)

и, согласно результатам разд» 3.12, Z = 1 + Е ^По*

Здесьq0 имеет порядок О⑴ и

На верхней границе выполняется условие (4.1020), так что

w»(x» У» -4-)=尸 受 +( —7777：—)k・rotT。(4.11.10)

Поскольку геострофическое течение порядка О⑴ не зависит от z, (4Л1Л) можно проинтегрировать от z - е q д noz = I+ E Fno. Тогда с учетом (4.11.4) и (4.ПЛО) в низшем приближении по е получим

丁4。一即。+ П8). (y [。+ 不戸。

(4.11.11

или, записывая это уравнение через геострофическую функцию тока 屮，

dt

+ 抑 d Эх Эу

2?一尸w+年)=

Э уох

♦ ( _12 1

pfUDe

к • r6t т — -^— У 2 屮 + ? у 4屮,

(4.11.12)

где

(4.11.13)(4.11.13)ло м 屮,

(4.11.13)

(4.11.13)

【0 = У 2屮，

Наличие трения приводит к появлению в обобщенном уравнении потенциального вихря (4.11.12) трех дополнительных членов. Когда нет трения, правая часть (4.11.12) равна нулю и (4.11.12) сводится к (3.12*25), т・е“ к уравнению сохранения потенциального вихря. Благодаря наличию трения потенциальный вихрь каждого жидкого столбика может изменяться во времени. Ротор приложенного касательного напряжения действует как источник потенциального вихря, а вязкая диссипация в нижнем экмановском слое— как его сток.Наличие слабого [порядка O(Re-i) ] трения во внутренней области приводит к горизонталвдой диффузии вихря, вообще говоря, пренебрежимо малой.

Если движение жидкости рассматривается на р-плоскоети(см. разд. 3.17), то в выражение для пв (потенциального вихря, обусловленного внешними условиями) вводится дополнительное слагаемое, связанное с изменением параметра Кориолиса с широтой и имеющее, согласно (3.14.2) и (3J7.9), вид

У в₽У>У в₽У>(4Л1Л4)(4Л1Л4)

У в₽У>

У в₽У>

(4Л1Л4)

(4Л1Л4)

где % — радиус Земли»

В отсутствие трения геострофическое течение будет, как показано в разд. 3.14, стремиться следовать вдоль изолиний qfi> т・е. для стационарного линейного течения (очень малые е или большие qfi)

/в

•^― =0.(4.11.15)

Учитывая приложенное касательное напряжение, имеем вместо (4.11.15)

% т.

h =読一 if(4.11.16)

т&кже справедливое в случае малых е или больших 口揖 tСогласно (4」1.16), ротор касательного напряжения будет заставлять жидкость двигаться поперек изолиний r|fi, так что внешний приток вихря балан* сируется возрастанием потенциального вихря жидкого столбика при его перемещении в область с большим потенциальным вихрем, обусловленным внешними услсжиями.Из этого следует, что если жидкость движется под воздействием приложенного касательного напряжения при наличии W порядка 0(1), то масштаб скорости должен выбирать» ся исходя из того, чтобы dx\B/dt и член с касательным напряжением имели одинаковый порядок. Например, если qfi определяется (4.11.14), то мы выбираем U таким образом, чтобы

М = ТОT0L

~~ = pfUDi * pU?D ，

ИЛИ

(4J1J7)

При таком выборе п^ и [/ уравнение (4Л1,12) принимает вид

(—-+ -^ 上 - ^^^-) (V 2屮_尸屮 + ву) = 0k.[QtT _

at dx dy dyax v、

—U у 2屮 + Rr—1 у 4屮.(4.11.18)

При больших 0 (т.е.при U « ро£2) уравнение (4.11.18)сводится к

v0 ■ к • rot гv0 ■ к • rot г(4.11.19)

v0 ■ к • rot г

v0 ■ к • rot г

Это соотношение позволяет сразу выразить компоненту скорости в северном направлении (т・е・в направлении, перпендикулярном изолиниям qfi) через ротор приложенного касательного напряжения. Соотношение (4.11.19) называемое соотношением Свердрупа, является краеугольным камнем теории ветровой океанской циркуляции» которая будет детально обсуждаться в гл. 5・

Затухание волны Россби

Если

「В = ₽у>(4.12.1

то однородное уравнение (4»11»11) при т = 0 имеет решение вида плоо койЪолны

屮=4е »(左％ * “У -crt)

с ст, удовлетворяющим дисперсионному соотношению

…_Ё^iK2К2

где

春匸炉+и.

Частота теперь является комплексной величиной» т.е.

仃=%+£%•・

(4.12.2)

(4.12.3)

(4.12.4)

(4.12.5)

Действительная часть (4」2*3) дает частоту волны Россби в невязкой жидкости (二м・ гл. Л ). Отделяя мнимую часть в этом соотношении,

имеем

ь № г К2

(4.12.6)

Итак, ст . всегда отрицательна. Поскольку

(4.12.7)

амплитуда волны экспоненциально затухает. Так как параметр Re ■, вообще говоря, очень велик, то скорость затухания % приближенно можно записать в виде

mю = -声" f-(4/2.8)

Скорость затухания очень мала для волн, длина которых велика по сравнению с радиусом деформации» тогда как более короткие волны имеют большую скорость затухания, о чем свидетельствует рис・ 4.12.1. Когда № значительно больше F, скорость затухания не зависит от длины волны. Отношение скорости затухания к частоте равно

%2 р к

Для волн Россби на p-плоскости, для которых р =ро^2/[/, имеем

%_£ г К?и £ г f Ai ^Россби

V = ~一)，

(4.12.10)

тл.отношение 。^左厂 имеет порядок отношения периода волны Рос* сби ко времени влзкоги затухания

Для того чтобы теория невязкой жидкости, рассмотренная в гл. 3, была вообще справедлива, время вязкого затухания должно быть большим по сравнению с периодом волны Россби. Аналогично, для того чтобы для описания медленных по сравнению с периодом волны Россби процессов можно было использовать теорию невязкой жидкости» тре-

Рис .4.72J. Скорость затухания для волны Россби как функция волнового чнз па К*, r =( gO)*/f — радиУс деформации, т = £ ^6// — характерное время вязцсого затухания, олрвцеленное в разд. 4.3.Рис .4.72J. Скорость затухания для волны Россби как функция волнового чнз па К*, r =( gO)*/f — радиУс деформации, т = £ ^6// — характерное время вязцсого затухания, олрвцеленное в разд. 4.3.

Рис .4.72J. Скорость затухания для волны Россби как функция волнового чнз па К*, r =( gO)*/f — радиУс деформации, т = £ ^6// — характерное время вязцсого затухания, олрвцеленное в разд. 4.3.

Рис .4.72J. Скорость затухания для волны Россби как функция волнового чнз па К*, r =( gO)*/f — радиУс деформации, т = £ ^6// — характерное время вязцсого затухания, олрвцеленное в разд. 4.3.

буется, чтобы время вязкого затухания было намного больше характерных временных масштабов этих процессов. Например, теория невязкого взаимодействия волн справедлива при условии, что адвективный масштаб времени L/U велик по сравнению с периодом волны Россби, но мал по сравнению с временем вязкого затухания. Если время адвекции того же порядка, что и время вязкого затухания, то амплитуды членов взаимодействующей триады волн вместо (32633) удовлет* воряют уравнениям

d^ B(K2t К3)

——_ = ст j (К.,

%8(Кз，()

五一 + -~— аза1 =%(匕)a2，(4.12.11)

da?8(&, &)

—+招~7亍。g=%(/)*

Этот результат легко получить, учитывая трение при выводе полученных в разд» 3.26 соотношений. Повторяя вывод (3.26.35), получим, что

энергия волн будет затухать, поскольку

7Г 俱 + Е2 +Ез)= —尹(爲 |、| 2 + 031 2 + К231aз| 2) < 0.

(4.12.12)

Таким образом, волны в триаде передают друг другу постепенно уменьшающееся количество энергии до тех пор, пока вся энергия волн не диссипирует под воздействием трения. Процесс взаимодействия на этом заканчивается, пока новый источник завихренности не передаст энергию рассматриваемой волновой триаде.

4 ЛЗ .Слои трения у боковых стенок

Для описания движения атмосферы вблизи нижней границы обычно оказывается достаточным построения экмановского слоя или несколько более сложной модели слоя трения. При исследовании динамики океанов или озер, имеющих боковые границы, на которых должно выполняться условие прилипания, в общем случае необходимы слои трения у боковых стенок, структура которых значительно отличается от структуры экмановского слоя -

В качестве примера рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 4.13.1 ・ На поверхности жидкости, заключенной в круглом бассейне радиуса L, действует касательное напряжение т* = тот. Бассейн имеет вертикальные боковые стенки и постоянную глубину D^ Характерные горизонтальный и вертикальный масштабы длины равны L и D. В рассматриваемом случае естественно ввести полярные координаты» Обозначим через г безразмерное радиальное расстояние от центра бассейна, а через е полярный угол, отсчитываемый от оси х, как показано на рис. 4.13.2. Радиальную и тангенциальную компоненты скорое，

Рис. 4.73.7. Цилиндрический бассейн глубины 0 находится под воздействием задан-

hq「q на поверхности азимутального касательного напряжения = tqt.

(4.13.1)(4.13.1)ти обозначим через иг и % соответственно. Согласно геострофическому соотношению в векторной форме

(4.13.1)

(4.13.1)

% = k X V 屮,

формулы ДЛЯ U И U.формулы ДЛЯ U И U.в низшем приближении по е имеют вид

формулы ДЛЯ U И U.

формулы ДЛЯ U И U.

(4J3.2)

Для стационарного течения 屮 должна удовлетворять уравнению (4.11.11), которое в расематриваемом случае записывается как

% 通一也。 t。 ， eз

~ 1Гг ~Г- г "pfUDT к • rot т -—

гдегде(4.13.3)(4.13.4)(4.13.3)(4.13.4)

где

где

(4.13.3)

(4.13.4)

(4.13.3)

(4.13.4)

Предположим, что приложенное касательное напряжение направлено по окружностям и не зависит от©, т.е.

т = т(г)3,(4Л 3.5)

где 6 - единичный вектор в азимутальном направлении. Поскольку приложенное касательное напряжение не зависит от азимута, а динамика пространственно изотропна (qfi = 0), то для описания стационарного течения разумно искать решлие, не зависящее от 0и Если 屮 не зависит от 0, то иг равна нулю и (4」3。3) сводится к

n тое£]

и= 一衣一 к . rot т V 2屮 + ——у4 (4.13.6)

pf UDe2eRe

Хотя г может иметь порядок 0(1), параметр Re в реальных геофизических моделях обычно очень велик. Поэтому вдали от боковых границ последним членом в правой части (4.13.6) можно пренебречь. Итак,для аксиально симметричного движения уравнение (4.13.6) вдали от боковых стенок примет вид

JL L д г °* то ,_ % 1a

'" - г ''''—，… к • rot т 二—'■ - —' ■ г т ・

2е г дг дг pfUDwpfUDw. г дг

(4J3J)

Естественно в качестве масштаба скорости в данном случае ввести

■ и=-

т°

т。

т。

(4.13.8)

pf吗

Р<5£

после чего

(4.13.7)

запишется как

1

а _

Ар2

а

(4.13.9)

г

дгг

дг

Это уравнение можно сразу же проинтегрировать и получить

史…= 2т±)+ — .(4.13.10)

drг

Поскольку скорость должна оставаться конечной при г = 0, произвольная постоянная С должна быть положена равной нулю. Таким образом, геострофические скорости порядка 0(1) равны

% = 2т〈г),

(4J3.11)

ит 二 О.

Итак, во внутренней области течение со скоростями порядка 0(1) строго азимутально, т«е» оно совпадает тго направлению с приложенным касательным напряжением* Размерная азимутальная скорость равна

и*0 = р,2才 I j *(『)•(4J3.12)

Конечно, это решение описывает движение лишь в геострофической области.В верхнем экмансжском слое скорость дается формулой (4 JOJI). В Данном случае

% = %© = 2т(4J3.13)

и

а=(4J3.14)

pfsEu ，

так что поле скорости в верхнем экмановском слое имеет вид

Uo = 2 Т + е Т [т (cos [ —sin[) —(kx т)(сos [ + sing)]・(4.13.15)

Полный поток в экмановском слое, связанный с отклонением скорости от геострофической, дается формулой (4.10.13)

м£ = (т х к)Е^(4.13.16)

и направлен по радиусу от центра бассейна. Заметим, что радиальная скоростъ в верхнем экмановском слое имеет тот же Т1орядок, что и ази^ мутальная геострофическая скорость. Однако, поскольку эта скорость ограничена слоем с безразмерной толщиной порядка О(Е，), радиальный полный поток мал по сравнению с азимутальным полным потоком, который равен

fuodz = 2т = 0(1).(4.13 J 7)

О

В нижнем экмановском слое применима формула (4^Л1б), так что скорость вблизи нижней границы равна

ио 二 2т(1 — е~э cos ) i 2k х те-^ sin^ •(4.13.18)

Азимутальное движение во внутренней области создает в нижнем экмановском слое направленное к центру бассейна (при т > 0) радиальное те»

чение поперек изобар со скоростью порядка 0(1). Полный поток этого радиального течения равен

Е£ / 2{k X т)е Т sin【弘=一 Е" (т х к)(4.13.19)

о

и в точности компенсирует полный поток в радиальном направлении от центра в верхнем экмансжском слое.

Вертикальная скорость жидкости, засасываемой из нижнего экмановско го слоя, согласно (4539) и (4 J3.13), равна

破'仇 0) = ~y~ 工。=-?аГ '「б，(4.13.20)

тогда как для скорости жидкости, накачиваемой в верхний экмановский слой, в данном случае из (4.10.20) имеем

= -—Ер_д_ т(г)

° pfUD r drr dr ⑺

(4」331)

Таким образом, скорость засасывания жидкости из нижнего экмановс- кого слоя в некоторой точке горизонтальной плоскости равна скорости ее накачки в верхний экмановский слой в той же точке.Этот факт следует из того,что w не зависит от z.

Схематично картина циркуляции показана на рис ・ 4」3 3 ・ Касательное напряжение на псжерхности создает экмановский поток порядка О(Еу )

Ug二0⑴Ug二0⑴Рис. 4 ИЗ 3. Схематичеекая картина движения жидкости вне пограничных слоев у боковых стенок. Жидкость циркулирует по окружностям г = coist со скоростью порядка 0(1). Формируется слабое вертикальное движение* обусловленное засасыванием жидкости из нижнего экмановскопо слоя, где она движется к центру вращения, и накачкой жидкости в верхний экмановский слой, где она движется по радиусу от центра.Рис. 4 ИЗ 3. Схематичеекая картина движения жидкости вне пограничных слоев у боковых стенок. Жидкость циркулирует по окружностям г = coist со скоростью порядка 0(1). Формируется слабое вертикальное движение* обусловленное засасыванием жидкости из нижнего экмановскопо слоя, где она движется к центру вращения, и накачкой жидкости в верхний экмановский слой, где она движется по радиусу от центра.

Ug二0⑴

Ug二0⑴

Рис. 4 ИЗ 3. Схематичеекая картина движения жидкости вне пограничных слоев у боковых стенок. Жидкость циркулирует по окружностям г = coist со скоростью порядка 0(1). Формируется слабое вертикальное движение* обусловленное засасыванием жидкости из нижнего экмановскопо слоя, где она движется к центру вращения, и накачкой жидкости в верхний экмановский слой, где она движется по радиусу от центра.

Рис. 4 ИЗ 3. Схематичеекая картина движения жидкости вне пограничных слоев у боковых стенок. Жидкость циркулирует по окружностям г = coist со скоростью порядка 0(1). Формируется слабое вертикальное движение* обусловленное засасыванием жидкости из нижнего экмановскопо слоя, где она движется к центру вращения, и накачкой жидкости в верхний экмановский слой, где она движется по радиусу от центра.

по радиусу от центра, засасывая жидкость с вертикальной скоростью порядка О(Е^) в верхний экмановский слой; это приводит к формированию геострофического азимутального течения со скоростью поряд* ка 0(1), в свою очередь засасывающего именно такое количество жидкости из нижнего экмановского слоя, которое требуется для того, чтобы уравновесить радиальный поток в верхнем экмановском слое.Важно отметить, что для построения этой законченной картины движения не понадобилось рассмотрение пограничного слоя в окрестности боковой стенки бассейна при г = 1 ・ Важно также понимать, что в пределах та» кого пограничного слоя полученное выше решение не справедливо. Если только т(г) случайно не о^)ашается в нуль на краю бассейна, то азимутальное геострофическое течение порядка 0(1) не будет удовлетворять граничному условию прилипания при г 二 1. Кроме того, ясно, что жидкость, поднимающаяся внутри рассматриваемой области под воздействи* ем ротора приложенного касательного напряжения, должна где-нибудь опускаться из верхнего экмановского слоя в нижний для того, чтобы' замкнуть радиальный поток массы •

Из (4 J3 £) видно, что пренебрежение горизонтальной диффузией вихря порядка O(Re-i) представляет собой сингулярное возмущение уравнения вихря. Можно ожидать, что пренебрежение зтим членом справедливо лишь вдали от боковой границы • Вблизи границу бассейна влияние горизонтальной диффузии импульса должно быть существенным для то» го, чтобы обеспечить выполнение граничного условия прилипанияи Будем называть функцию тока 屮,удовлетворяющую (4 J3.7), геострофической функцией тока во внутренней области. Вдали от боковых границ бассейна из (4 J3 J0) получим

屮=屮/ (г) = 2/т(г，Мг,.(4J322)

о

Мы предполагаем, что в окрестности г = 1 функция тока будет меняться достаточно быстро в радиальном направлении, так что член с горизонтальной диффузией в (4.13 £) будет существенным в балансе вихря* Введем растянутую радиальную погранслойную координату

1 — г

《= (4.13^3)

и будем считать, что в пограничном слое

屮(г) + О(Н),(4.1324)

где $(句)-поправка к функции тока во внутренней области, возникающая

и>за учета горизонтального трения. Поскольку 屮/ удовлетворяет (4 J3.7)» то, прдставляя (4J324)в (4」3£)» получим однородное уравнение для $(q)

п 或(型++ JL

0 =_ an2 г 旳)Re/2

(今+ ；舞用—京".(”325)

Поправочная функция 屮 должна стремиться к нулю при q •* «>)чтобы суммарная функция тока (4.1324) гладко переходила в решение для внутренней области • Поскольку, согласно предположению I « 1, то ф 值дет практически равна нулю для всех значений г, отличающихся от г = 1 более чем на величину порядка 0(/ )• Поскольку, согласно (4.13 23), г = 1 - / q, то тем самым в уравнении (4J325) переменную г можно заменить на единицу. Итак, с учетом малости I уравнение (4」325) в первом приближении принимает вид

(43326)(43326)

(43326)

(43326)

Поскольку , согласно (4«6«2),

(4.13 27)(4.13 27)(4.13 28)(4.13 28)Re _" 生

(4.13 27)

(4.13 27)

(4.13 28)

(4.13 28)

Е 2"% Е.

I должна равняться

/ = _А_

чтобы оба члена в уравнении (4.13.26) могли быть одного порядка • Отсюда получаем размерную ширину пограничного слоя

(4」329)

где 5£ есть толщина экмановского слоя на горизонтальной границе.

Масштаб длины 5$ определяется балансом физических сил, характерным для рассматриваемого пограничного слоя. Завихренность, создаваемая у границы из-за обусловленного вязкостью замедления азимутального течения, диффундирует по направлению от границы* Если этому не препятствуют какие-либо другие эффекты, то влияние диффузии за время t* распространится, согласно простому закону диффузии, на расстояние порядка

(4.1330)(4.1330)"* Н (24川*)".

(4.1330)

(4.1330)

Однако за время порядка времени вязкого затухания эта завихренность будет уничтожена из-за действия эффектов накачки и засасывания жидкости на границах экмановских слоев, как это следует из результатов разд. 4.7.Согласно (4.7.8), это время равно

Отсюда расстояние，*, на которое проникает завихренность, обусловленная диффузией, равно, согласно (4-13 30)

• = (“ т>"=• = (“ т>"=S£S£(4.1331)(4.1331)

• = (“ т>"=

• = (“ т>"=

S£

S£

(4.1331)

(4.1331)

что с точностью до постоянного множителя совпадает с (4.13 29)・ Общее решение (4 J326) имеет вид

Q = С1 +e2П+4” + e4「*Q = С1 +e2П+4” + e4「*(4.13 32)(4.13 32)

Q = С1 +e2П+4” + e4「*

Q = С1 +e2П+4” + e4「*

(4.13 32)

(4.13 32)

(4.1333)(4.1333)Для того чтобы G обращалась в нуль при н + «>, постоянные С» С2 и q должны быть равны нулю. Таким образом,

(4.1333)

(4.1333)

屮二屮/ (г) + С4е-П.

При г = 1 (т^. при н = 0) азимутальная скорость должна обращаться в

нуль

=0 = дг

Отсюда

^=^[ (г)-

匣⑴+ С4 .(4.13J4)

дг1

(4J335)

PffCt4.13.4. ЛЛрофиль и^(г) й^шз* боковой границы. Характерная ширина бокового пограничного слоя равна 5s = (2勿〃)气。/生)*.

Поскольку 屮/ (r)ef практически равна нулю для всех г, отличных от единицы, формула (4 J335) может быть переписана в виде

% f4

屮=屮/ (r)(1 一 碎一 eF)=屮/ G) {1 - _^_ 呻[_(1 - г) X

X EV

* -£Й~ ]|.(4.1336)

Аналогично получаем выражение для азимутальной скорости

ие = 2т(г)(1 - е~п) =2т(г)|1 - ехр[(1 - г) _L]}.(4.13 37)

Е И

Eh"2/EJ4

Рис .4 J3 .5 Области пересечения бокового слоя и экмановских слоев заштрихованы. Внутри этих областей справедливы уравнения Экмана цпя пограничных слоев у горизонтальных границ.

Профиль этой скорости приведен на рис. 4.13.4. В отличие от экмановского слоя в боковом пограничном слое скорость монотонно возрастает при движении от границы во внутреннюю область •

Вертикальный боковой пограничный слой у границы г = 1 пересекает верхний и нижний экмановские слои в заштрихованных областях, как показано на рис ・ 4.13 ・5 ・В области пересечения пограничных слоев, например около z=0, поля скорости будут функциями【=z/Е% ц н = =(1 - г)Е? /£^ЛленЫ|Описывающие трение в горизонтальных уравнениях импульса,⑶дут иметь вид

х а2И0х а2И0(4.13.38)(4.13.38)

х а2И0

х а2И0

(4.13.38)

(4.13.38)

т^. в заштрихованной области существенны те члены трения, которые определяют структуру экмановского слоя. Боковой пограничный слой настолько широк, чти при описании движения s верхней и нижней его чостях толщиной О(Е^) оказываются справедливыми обычные экмановские уравнения, как если бы этот слой представлял собой геострофическую область течения^ В частности, и граничные условия (4*5.39) и (4.10.20) будут справедливы для решения внутри этого слоя. Поскольку формула (4」321) по-прежнему справедлива и, согласно (4 J3.36), вертикальная скорость в пределах бокового слоя не меняется с глубиной, то при z=0 мы снова получаем формулу (4.13.20) .Это означает, что экмановский поток в верхнем слое, наталкиваясь на боковую границу,

не ^дет опускаться в пограничном слое шириной 5$ .Таким образом, пограничный слой у боковой стенки, описываемый формулой (4.1337), обеспечивает лишь выполнение условия прилипания. Добавочное условие, состоящее в том, что малый радиальный поток массы у боковой границы должен направляться вниз к придонному экмановскому слою, не выполняется в рассмотренном геострофическом слое.

Для того чтобы удовлетворить условию сохранения массы, необходим дополнительный пограничный слой с шириной, менъшей 5$ . Чтобы динамика этого слоя была другой, уравнения движения низшего порядка для такого слоя должны содержать негеострофические или негидростатические эффекты, поскольку в противном случае вновь будет появляться 5^слой. Обсуждение таких тонких слоев апвеллинга, необходимых Для замыкания малого потока массы порядка О(Е%, будет проведено в разд* 5.12 и 8.3, где негеострофические эффекты описываются с большей подробностью.

Глава 5

Однородные модели ветровой циркуляции океана

Введение

С давних времен при описании процессов в океане подчеркивалось как их разнообразие, так и взаимная связь. Внезапные, резкие изменения и гипнотическое спокойетвие являются отличительными моментами многих морских рассказов. С приходом великой эры мореплавания и географических открытий стало появляться более систематическое описание общей картины океанской циркуляции. Теперь нам ясно, что во всех океанах существует некоторая осредненная по времени картина циркуляции, хотя при наблюдениях она и может восприниматься значительно искаженной из-за наличия интенсивных флуктуаций.

Было бы ошибкой считать даже сейчас, что осредненная по времени картина общей циркуляции известна с большой точностью. Имеются еще существенные пробелы в общем описании океана и имеющихся наблюдениях. Тем не менее основные особенности океанской циркуляции являются общими для всех океанов, и их объяснение представляет собой необычайно интересную и красивую задачу геофизической гидродинамики.

На рис. 5.1.1 схематично показана картина поверхностной циркуляции Мирового океана. Наверное, наиболее поразительной чертой этой картины в каждом из океанов является хорошо выраженная западная интенсификация циркуляции. В северной части Атлантического океана, например, направленная в основном по часовой стрелке циркуляция имеет небольшие скорости от 1 до 10 см/с, за исключением интенсивного и узкого течения Гольфстрим, прижатого к западной границе от Флориды до мыса Гаттерас, где оно поворачивает в открытый океан. Мощь этого течения поистине внушает благоговение. Типичная скорость течения составляет 100 см/с, а ее максимальное значение может быть в два раза больше. Ширина течения однозначно не определена, однако область сильного течения составляет по ширине примерно от 50 до 100 км. Импульс единицы объема жидкости в Гольфстриме ри равен поэтому 0(100 г- см"2 с*1^ что примерно на порядок больше, чем

料2% зачастую слабо вь^)ажемы& фоницы, г лобном образом, между сц^тропичес1сими и тропическими вадами料2% зачастую слабо вь^)ажемы& фоницы, г лобном образом, между сц^тропичес1сими и тропическими вадамибинни между прот^агю^ажиа*а叩адсехмвми течениями или граница между различьями &>d*/M“ массш4и / линии каноереенцци и Зи&ердпции)бинни между прот^агю^ажиа*а叩адсехмвми течениями или граница между различьями &>d*/M“ массш4и / линии каноереенцци и Зи&ердпции)

料2% зачастую слабо вь^)ажемы& фоницы, г лобном образом, между сц^тропичес1сими и тропическими вадами

料2% зачастую слабо вь^)ажемы& фоницы, г лобном образом, между сц^тропичес1сими и тропическими вадами

бинни между прот^агю^ажиа

*а叩адсехмвми течениями или граница между различьями &>d*/M“ массш4и / линии каноереенцци и Зи&ердпции)

бинни между прот^агю^ажиа

*а叩адсехмвми течениями или граница между различьями &>d*/M“ массш4и / линии каноереенцци и Зи&ердпции)

二J"心旣凿e♦24-36'сутки

・♦-■ Э6 J

+ переменнь(е ч^ довольно истой^ы& ^— дстойч^Вые

•<UMewt) устойчивые

срок измерениях и сообщениях судов. Хотя карта скорее схематическая,срок измерениях и сообщениях судов. Хотя карта скорее схематическая,тенсификацию течений в основных океанических круговоротaxftтенсификацию течений в основных океанических круговоротaxft

срок измерениях и сообщениях судов. Хотя карта скорее схематическая,

срок измерениях и сообщениях судов. Хотя карта скорее схематическая,

тенсификацию течений в основных океанических круговоротaxft

тенсификацию течений в основных океанических круговоротaxft

Рис. 5J.7. Картина циркуляции Мирового океана. Эта карта

Дефанта(1961) основана на собранных за длительный

чем точная, она обнаруживает западную ин-

импульс единицы объема в атмосферном струйном течении, хотя скорость последнего в сто раз больше. О грандиозности Гольфстрима говорит также величина его полного расхода. Оценки этого расхода до сих пор различаются, однако типичная оценка величины скорости переноса жидкости через поперечное сечение Гольфстрима имеет порядок 90 млн. м3 воды в секунду. Гольфстрим не уникален. Об отчетливой западной интенсификации океанской циркуляции говорит также существование течения Куросио в Тихом океане, Бразильского течения в южной Атлантике и течения Агульяс вблизи поберэжья восточной Африки.

Особенно поучительное явление наблюдается в Индийском океане, где в зимнее время течение вдоль побережья Африканского рога направлено на юг. В летний период после появления югозападного муссона (обычно в мае) течение меняет направление на противоположное и возникает сильное, направленное на север Сомалийское течение, структура и скорость которого близки к Куросио и Гольфстриму. Удивительная чувствительность Сомалийского течения к смене ветров дает основание предположить, что циркуляция океана связана с действием ветра. Действительно, за исключением важного и своеобразного явления западной интенси(|шкации, картина океанской циркуляции отражает картину ветров, т.е. в экваториальных районах, где дуют пассаты, наблюдаются главным образом течения западного направления, а в средник широтах в области западных ветров*' преобладают течения восточного направления. Хотя различный нагрев поверхности океана и в состоянии создавать движение из-за действия сил плавучести, будет показано 9M. разд. 6.19), что в основном только действующее касательное напряжение ветра может создавать суммарный (проинтегрированный по вертикали) горизонтальный перенос.

В этой главе обсуждаются простые модели общей океанской циркуляции, в которых движение в океане создается исключительно из-за действия ветра, точнее из-за действия касательного напряжения, создаваемого ветром на поверхности океана. В таких моделях плотность считается постоянной, и, следовательно, в них совершенно не рассматриваются динамические эффекты стратификации. Чаше всего в этих моделях не принимаются также во внимание и сложная топография дна океана, и сложные формы границ отдельных океанских бассейнов.

Напомним, чго западные ветры — это ветры, дующие с запада.

Тем не менее исследуемые модели удивительно успешно описывают общую структуру горизонтальной циркуляции, хотя они, конечно, и не претендуют на правильное описание вертикальной структуры течения, зависящей от поля плотности.

Западная интенсификация проявляется в каждом океане, хотя океаны и отличаются особенностями формы, топографии и стратификации (последней в меньшей степени), а также полем касательного напряжения ветра. Это дает основание предположить, что циркуляция в отдельных океанах подчиняется весьма общим и простым законам. Преимущество однородных моделей состоит в том, что они выявляют эти законы наиболее простым способом. Успех таких моделей, во-первых, является хорошим свидетельством того, что они правильно отражают многие важные физические особенности общей циркуляции океана и, во-вторых, означает, что неспособность таких моделей к объяснению ряда явлений, например природы флуктуаций в океане, явно связана с неучетом эффекта стратификации.

Модель однородного океана

В этом разделе математическая модель циркуляции однородного океана будет развита в эвристическом плане, с привлечением результатов систематического анализа масштабов и порядков различных членов в уравнениях, а также детальных расчетов, приведенных в гл. 3 и 4. Этот путь выбран для того, чтобы подчеркнуть простоту физических представлений, лежащих в основе такой модели. Построение модели иллюстрируется рис. 5.2.1. В слое жидкости выделяются в основном три области: тонкий поверхностный экмановский слой, основная толща вод с типичным масштабом D и тонкий придонный слой трения Экмана над наклонным дном. Согласно результатам разд. 4.10, приложенное касательное напряжение ветра непосредственно создает горизонтальный полный поток в верхнем экмановском слое

= — X к,(5.2.1)

Е Pf

где т — касательное напряжение ветра, р - плотность воды, f — параметр Кориолиса, к - единичный вертикальный вектор. В (5.2.1) и во всех последующих формулах этого раздела все переменные размер-

Рис. 5.2.7. а — наиболее важные составные части однородной модели： т — приложенное касательное напряжение; поверхностный слой имеет толщину % « D. Лопный экманоаский поток в поверхностном слое трения равен Me ・ Имеется тонкий придонный слой; hB — переменная глубина, б - аид э плане, ограни ценность океанического бассейна существ енно апияет на ди« намику. Напраапение на север оказывается выделенным из-оа увеличения параметра Кориолиса с широтой0Рис. 5.2.7. а — наиболее важные составные части однородной модели： т — приложенное касательное напряжение; поверхностный слой имеет толщину % « D. Лопный экманоаский поток в поверхностном слое трения равен Me ・ Имеется тонкий придонный слой; hB — переменная глубина, б - аид э плане, ограни ценность океанического бассейна существ енно апияет на ди« намику. Напраапение на север оказывается выделенным из-оа увеличения параметра Кориолиса с широтой0

Рис. 5.2.7. а — наиболее важные составные части однородной модели： т — приложенное касательное напряжение; поверхностный слой имеет толщину % « D. Лопный экманоаский поток в поверхностном слое трения равен Me ・ Имеется тонкий придонный слой; hB — переменная глубина, б - аид э плане, ограни ценность океанического бассейна существ енно апияет на ди« намику. Напраапение на север оказывается выделенным из-оа увеличения параметра Кориолиса с широтой0

Рис. 5.2.7. а — наиболее важные составные части однородной модели： т — приложенное касательное напряжение; поверхностный слой имеет толщину % « D. Лопный экманоаский поток в поверхностном слое трения равен Me ・ Имеется тонкий придонный слой; hB — переменная глубина, б - аид э плане, ограни ценность океанического бассейна существ енно апияет на ди« намику. Напраапение на север оказывается выделенным из-оа увеличения параметра Кориолиса с широтой0

(5.2.2)(5.2.2)н“е. Напомним, чго параметр Кориолиса равен

(5.2.2)

(5.2.2)

f = 2Qsin8,

где 8 — широта.

Внутренняя область расположена между двумя тонкими слоями трения, В предыдущих главах было показано, что при малых числах Россби в первом приближении уравнения импульса сводятся к геострофическим соотношениям, а давление определяется из уравнения вихря. Кроме того, согласно (4.6.7), при малых числах Рэссби вертикальная компонента абсолютного вихря изменяется вследствие (1)

растяжения вихревых трубок, составленных из нитей планетарного вихря, и (2) в общем слабого эффекта горизонтальной диффузии вихря. В размерных единицах это уравнение имеет вид

二一(工 +f) = f ~— + 4H V« •(5.2.3)

Между (5.2.3) и (4.6.7) имеется одно существенное различие. При выводе (4.6.7) f считался постоянным, а в (5.2.3) учитывается изменение параметра Кориолиса с широтой. При эвристическом обсуждении приближения р -плоскости в разд. 3.17 было выяснено, что при рассмотрении движений с масштабами L< O(rQ), где г 0 - радиус Земли, необходимо учитывать градиент планетарного вихря

° dy%

где 0O- центральная широта области. За исключением этого динамически важного эффекта, сферичностью Земли можно пренебрегать. Это интуитивное предположение стр(го обосновывается путем асимптотического анализа в гл. 6. Читатель, интересующийся обоснованием приближения ^плоскости, может временно обратиться к гл. 6, прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению модели.

Экмановский слой на нижней, наклонной поверхности уже обсуждался в разд. 4.9. Обусловленное трением замедление течения создает вертикальную скорость, связанную с накачкой жидкости во (или из) внутреннюю область, в дополнение к вертикальной скорости, создаваемой из-за наклонного движения жидких частиц у дна. Если записать (4.9.36) в размерных единицах, то вертикальная скорость на нижней границе внутренне" области равна

y,hB)= U • ^hB+ ——工.(5.2.5)

Поскольку во внутренней области жидкость однородна и движение геострофично, то и, ” и, следовательно,工 не должны зависеть от z, так что (5.2.3) может быть просто проинтегрировано по толщине облас-

ти геострофического движения. В результате получим

[力 ~ Лв]( -у— + 1y₽о 一 4肝气)=f [^(^ У> D) - "(% У, hB)],

(5.2.6)

где было использовано соотношение

(527)

Для стационарных течений вертикальная скорость жидкости, засасываемой в верхний экмановский слой, полностью определяется дивергенцией экмановского полного потока (см. разд. 4.10), т.е.

"(% 力 D) = V ・ Me

у .( _1Д±_)= k . rot— •(5.2.8)

PfPf

Если использовать (5.2.5) и (5.2.8), то (5.2.6) примет вид

D(1 -21)(-^- + "0。-%唄)

D dt

т %

=f (к • rot$ — u • ^hB)>(5.2.9)

pf 2

Это основное математическое уравнение рассматриваемой здесь простой физической модели. Несмотря на простоту модели, это дифференциальное уравнение,тем не менее,весьма трудно для анализа. Для дальнейших упрощений этого уравнения перейдем к безразмерным переменным. Как обычно, введем характерные масштабы длины, горизонтальной скорости, времени и касательного напряжения L U, L/U, т0 соответственно. Если безразмерные переменные временно обозначить штрихами, то

(х, у) = L(", у'), С = ^「，

(u, и) =U(u, ”'),(u, и) =U(u, ”'),(5.2.10)(5.2.10)…。Т…。ТЗаметим, что в рамках приближения р-плоскости ₽0L'=fо + ЗоУ = %。+~У %(5.2.11)гдеА £г,?「= (ctg%)— = О ( — ) ＜。(1)・(5.2.12)f оr О "сТогда (5.2.9) примет вид(1 一竺)(攻 + ₽u--^-) =' D dtReЗаметим, что в рамках приближения р-плоскости ₽0L'=fо + ЗоУ = %。+~У %(5.2.11)гдеА £г,?「= (ctg%)— = О ( — ) ＜。(1)・(5.2.12)f оr О "сТогда (5.2.9) примет вид(1 一竺)(攻 + ₽u--^-) =' D dtRe)L +『),)L +『),-U • V(—— D-U • V(—— D(5.2.13)(5.2.13)гдегдеRe .匹4HP" —Re .匹4HP" —(5.2.14)(5.2.14)• rot T e• rot T eaWaWdxdxa，a，

(u, и) =U(u, ”'),

(u, и) =U(u, ”'),

(5.2.10)

(5.2.10)

…。Т

…。Т

Заметим, что в рамках приближения р-плоскости ₽0L

'=fо + ЗоУ = %。+~У %(5.2.11)

где

А £г,

?「= (ctg%)— = О ( — ) ＜。(1)・(5.2.12)

f оr О "с

Тогда (5.2.9) примет вид

(1 一竺)(攻 + ₽u--^-) =

' D dtRe

Заметим, что в рамках приближения р-плоскости ₽0L

'=fо + ЗоУ = %。+~У %(5.2.11)

где

А £г,

?「= (ctg%)— = О ( — ) ＜。(1)・(5.2.12)

f оr О "с

Тогда (5.2.9) примет вид

(1 一竺)(攻 + ₽u--^-) =

' D dtRe

)L +『),

)L +『),

-U • V(—— D

-U • V(—— D

(5.2.13)

(5.2.13)

где

где

Re .匹

4H

P" —

Re .匹

4H

P" —

(5.2.14)

(5.2.14)

• rot T e

• rot T e

aW

aW

dx

dx

a，

a，

и где теперь безразмерные переменные записаны без штрихов. Раз-

мерные переменные обозначаются звездочками, т.е.

匕=Uu(5.2.15)

и т.д.

Поскольку для справедливости приближения ^*плоскости необходи

мо, чтобы ^QL/fQ было мало, то (5.2.13) может быть сведено к виду

У唄

—L +餐nrotrT - г 5 - u Vnn +,(5.2.16)

dtpDt/2 zн Re

где r =,

2De

(5.2.17)(5.2.17)hB/D

(5.2.17)

(5.2.17)

Qb

U E =

и использована малость величины 无日/D.

В любой модели реальной океанской циркуляции число Re велико, а г имеет порядок 0(1) или меньше. Если рассматривать реальные наклоны дна, то из-за малости е , величина т\д может быть большой, и поэтому в однородной модели, где скорости не зависят от вертикальной координаты, влияние топографии дна на баланс вихря значительно завышается. Вклад топографии в растяжение вихревых трубок зависит в действительности от величины придонной скорости, которая в океане обычно значительно меньше средней по глубине скорости. В дальнейшем глубина жидкости будет считаться постоянной. Если же необходимо будет рассматривать топографические эффекты, то значение “н，по всей видимости, должно быть уменьшено по сравнению с величиной, рассчитываемой по реальным наклонам дна, и заменено чем- то вроде произведения 灯3 отношение придонной скорости к средней. Аналогичные рассуждения применимы также и к параметру г, который описывает эффект придонного трения. С другой стороны, р очень велико для всех реальных течений открытого океана. Если L равна 103 км, a U порядка 10 см/с, то р = О(Ю2) при р о = 10~13 см"1 • с~1

В открытом океане основным членом в левой части уравнения вихря является член,описывающий увеличение абсолютного вихря из-за движения жидких частиц в северном направлении в поле градиента планетарного вихря. Поэтому приток вихря извне со скоростью rotzT приводит к увеличению абсолютного вихря жидких частиц благодаря их медленному движению к более высоким широтам, где планетарный вихрь имеет большие значения. Из этого следует, что масштаб скорости U должен быть таким, чтобы член с rotzT и p-член балансировались, т.е.

(5.2.18)(5.2.18)T°L"2

(5.2.18)

(5.2.18)

0 = 0 = *" pDt/2и

ИЛИ

PDB °L

Если т равно 1 диц/см2 (типичное значение касательного напряжения ветра), a D = 5 км, то формула (5.2.19) дает величину скорости U, равную 0(0,2 см/с), которая должна рассматриваться как средняя по глубине скорость в открытом океане; отсюда величина полного потока в открытом океане на единицу ширины течения будет О(Ю6 см2/с).

Если D рассматривать как толщину главного термоклина (относительно теплого поверхностного слоя океана, в котором наблюдаются основные крупномасштабные течения), то D имеет порядок 0(1 км), a U — порядок 0(1 см/с).

Выбирая, таким образом, и согласно (5.2.19), окончательно запишем уравнение (5.2.16) в виде

+ ” = rotzT 一 U .— 一丄工 +.(5.2.20)

3 dtP В В He

Поскольку скорость геострофична, то 〃，” к « можно выразить через геострофическую функцию тока 屮：

"=一也， "=迎，｛=叫.(5.2.21)

Для стационарного течения из (5.2.20) получим

■ дх

а ду

(V?屮 + т]?)-告匕 ^ (V?屮 + Пд)1 +

8屮 _ дх

=rot Г — - ▽屮 + —一 • z В₽Re

(5.2.22)

На границе бассейна С нормальная компонента полного потока (интеграл по глубине океана от горизонтальной скорости) должна, конечно, обращаться в нуль. Согласно (5«2.19), геострофический полный поток имеет порядок

pUD=(pUD=(тото

pUD=(

pUD=(

то

то

(т.е. порядок ротора касательного напряжения ветра, деленного на 卩。), в то время как экмановский полный поток в верхнем экмановском слое

равен

МШ£ =0( —),(5 2.23)

так что

М.ЕpUDМ.ЕpUD0(-2_)«Т о0(-2_)«Т о(5.2.24)(5.2.24)

М.Е

pUD

М.Е

pUD

0(-2_)«Т о

0(-2_)«Т о

(5.2.24)

(5.2.24)

Таким образом, с точностью до величин порядка L/r 0 полный поток обусловлен геострофическим течением. Заметим, что полный поток в нижнем экманорском слое имеет порядок лишь 0侬后)・ Таким образом, для равенства нулю нормальной компоненты полного потока на границе бассейна необходимо, чтобы нормальная к границе геострофическая скорость обращалась в нуль. Для стационарного течения это означает, что граница должна быть линией постоянного значения 屮.Если полный поток рассчитывается с точностью до членов более высокого порядка с тем, чтобы учесть эффект экмановского потока, то нормальная компонента скорости течения во внутренней области более высокого порядка не должна обращаться в нуль на границе. Этот интересный

вопрос обсуждается в разд. 5J2. Однако в первом приолижьнии, как мы показали, условие отсутствия нормальной компоненты полного потока на границе бассейна требует постоянства 屮，или

屮=0 на С,(5.2.25)

в то время как условие прилипания требует, чтобы

и •▽屮=0 на С,(5.2.26)

где п - единичный вектор внешней нормали к с.

Если касательное напряжение ветра т известно, то задачу о ветровой циркуляции можно считать полностью сформулированной. В действительности,однако, аккуратное определение напряжения ветра по данным наблюдений за скоростью ветра — задача не столь тривиальная. Не говоря уже о неполноте наших знаний о поле ветра над поверхностью океана, определение связи между скоростью зетра и касательным напряжением само по себе является сложной задачей. Обычно используется следующая эмпирическая формула:

T* = CDpflUa I ufl| ,(5227)

гДе Ра , Ua и. I Ua I - плотность воздуха, вектор скорости ветра и ее величина, измеренные (или экстраполированные) на небольшом расстоянии над поверхностью моря, обычно около 10 м. Эмпирический коэффициент CD называется козффи^шюм 仇％・《леа. Он имеет пцщцок 2 • 10"3, но как и все эмпирические коэффициенты может изменяться (обычно возрастать) с увеличением скорости ветра. Из вида (5.2.27) ясно, что касательное напряжение особенно чувствительно к точности определения скорости ветра, когда последняя велика. Таким образом, Даже в предположении правильности соотношения (5.2.27) трудности, связанные с точным определением Ua при больших значениях этой скорости, делают задачу расчета т. сложной и тонкой.

В настоящей главе мы не будем заниматься вообще этой проблемой. Для теоретического анализа нам необходимо знать лишь наиболее характерные черты поля касательного напряжения ветра. Для рассмотрения основных проблем динамики достаточно иметь в виду, что в целом картина касательнот'О напряжения повтсфяет картину главных вет-

ров. Эти соображения согласуются со сделанным ранее заключением о том, что общая картина циркуляции (например, западная интенсификация) представляется не зависящей от деталей картины ветрового воздействия.

Соотношение Свердрупа

Если дно океана плоское или “日《 р «

(РКе)-1« 1,(5.3.1)

-=« 1,

В L

то в первом приближении уравнение (5.2.20) сводится к

и = го/(5.3.2)

Условия (5.3.1) обычно выполняются для крупномасштабных движений открытого океана, тогда как условие “日《 卩 вытекает из сделанного в разделе (5.2) предположения о незначительной роли топографии из- за относительной малости придонной скорости.

Соотношение (5.3.2) называется соотношением Свердрупа. В разд. 3.12 было показано, что если градиент потенциального вихря, обусловленного внешними условиями, значительно больше градиента относительного вихря, то свободное геострофическое течение должно быть направлено вдоль изолиний потенциального вихря, обусловленного внешними условиями. В данном случае р » 1 как раз и является таким условием, а изолинии потенциального вихря, обусловленного внешними условиям% f/D совпадают с линиями у = const. Поскольку в случае свободного течения т= 0, то, согласно уравнению вихря в открытом океане (5・3・2), скорость ” должна быть равна нулю. Далее, соотношение Свердрупа показывает, что скорость жидких частиц поперек изолиний f определяется внешним притоком вихря, обусловленным ро-

тором касательного напряжения ветра. Когда положительный (отрицательный) ротор касательного напряжения ветра сообщает жидкой частице положительную (отрицательную) завихренность, эта частица должна двигаться на север (юг). При этом нельзя получить никакой информации о течении вдоль изолиний потенциального вихря, обусловленного внешними условиями. Это снова является следствием вырождения геострофического движения^ поскольку пока движение направлено вдоль изолиний потенциального вихря, обусловленного внешними условиями, возможно любое геострофическое течение. Только слабые источники и стоки вихря, которые не учитываются при выводе соотношения Свердрупа, могут определить геострофическое течение, к, согласно (5.3.1), во внутренней области океана эти эффекты пренебрежимо малы.

Если членами порядка О (₽0L//0) в (5・2・9) не пренебрегать, но считать, что неравенства (5・3・1) выполняются, то (5.2.9) может быть приближенно записано в виде

Т*т* (у) ₽0

r = f k • rot= k ° rot — + t* — ♦(5・3・3)

°PfP Pf

Поскольку -T?)/f - экмановский полный поток в северном направле- нии, то (5.3.3) есть просто

%(D”* + М*?)三 В°М「Г = к • rot 2_ .(5.3.4)

р

Таким образом, полный поток 8 северном направлении М]‘) определяется ротором касательного напряжения ветра, и соотношение (5.3.2) есть приближенная форма этого более общего соотношения, справедливая в случае движения на р-плоскости, когда отношение геострофического полного потока Dv* к экмановскому полному потоку в соответствии с (5.2.24) имеет порядок 0(//卩^厶).

Рассмотрим океанский бассейн, ограниченный двумя меридиональными берегами при к = / (у) и к = X屮(у), как показано на рис. 5.3.1. На каждой границе нормальная компонента полного потока должна обращаться в нуль. Это означает, что невязкое течение во внутренней области со скоростями порядка 0(1) должно удовлетворять соотношениям

x-Xw(y)х=ХЕ(У)

Рис. 5ЛЛ. Часть океана, о「ранииенна 科 на востоке и западе береговыми линиями х « Х£(У) и * * ^у(у) соответственно.

ЭХ£

um^F—, х=Хе®),(5.3.5а)

tz = и, х = Х汐(у),(5・3・56)

ду

где и и V - значения геострофических скоростей у самых границ Х£ и X附,но вне вязких пограничных слоев,необходимых для выполнения условий прилипания на берегах. Скорость во внутренней области полностью определяется ротором касательного напряжения ветра. Производная зональной скорости и вдоль оси х находится из уравнения неразрывности, т.е. для геострофического течения имеем

上一也，(5.3.6a)

дх 8》

так что с учетом (5・3・2)

卫 =rotzT .(5.3.66)

Эх ду

Интегрируя последнее соотношение по х, получим

и(х, >)=-/-— rot t(xz,力dx"+ U (у),(5.3.7)

X。办

где нижний предел интегрирования произволен, a U(力-произвольное зональное течение, которое допускается соотношением Свердрупа.

Найдем теперь решение Свердрупа, удовлетворяя граничному условию (5.3.5а) на границе х = )^(у):

-У 包 rotzT(x',y)dx' + U(y)n rotzT (Хе，у) —^ 总 办办

или

Хе(力,НХе

U(y) = / — rotzi (x，,y)dx，+ rotzT (Х£, у)——- х 办办

xEW

/ rotzT(Xх, y)dx\(5・3・8)

分X。

так что (5.3.7) примет вид

* Qa /⑺

U(叫》)=-J — rotzT{xz, у )dx^ + — / rotzT(xz, у )dxz,

X дуду X

Ои

или

НХеи(х,》)= / ——rotzT(x', у )dx* + rotzT(XE, у )* 办ду

(5.3.9) Подставляя полученное решение в граничное условие (5.3.56) для западной границы, получим.

хе(» н .,ах£

и(Х у ) = /—— rotzr(x\y}dx' +「％т<Хе，у) —— к

%⑺办办

=rotzT(Xw, у)(5.3.10)

Для выполнения условия (5.3.10) необходимо, чтобы q/⑺d '%

―― / rotzT(x ,y)dx^— J v(x； y)dx^0.(5.3.11)

办 ％(У)У Xw

Рёшение Свердрупа (5.3.2) и (5.3.9) будет удовлетворять граничным условиям и на восточной и на западной границах, только если полный расход жидкости в южном направлении для этого течения равен нулю. Поскольку такой расход целиком определяется ротором касательного напряжения ветра, то лишь напряжения очень специального вида будут удовлетворять соотношению (5.3.11). Естественно, что поле касательного напряжения может быть задано совершенно произвольно, так что условие (5.3.11) обычно не выполняется. Рассмотрим, например, идеализированное поле касательного напряжения, приведенное на рис. 5.3.2. Это напряжение зональное и является только функцией широты; его можно считать простой моделью поля касательного напряжения, создаваемого западными ветрами в средних широтах и пассатами на юге. Полный свердруповский расход в северном направлении в этом случае равен

/ vix^yjdx^i^ - Xw)rotzT.(5.3.12)

xw

Из рис. 5.3.2 ясно, что расход равен нулю только на широтах yN и ys , где ротор касательного напряжения обращается в нуль, так что условие (5.3.11) очевидным образом не выполняется. Ясно также, что решение Свердрупа в общем случае не обеспечивает сохранение массы в бассейне в целом, так как повсюду свердруповский расход направлен на юг. Этот расход в южном направлении возрастает при изменении у от》n к》м (широте с машжлалыюй абсолютной величиной rotzT)и уменьшается между ум и у5. Хотя соотношение Свердрупа и справедливо, ясно, что его необходимо дополнить. Рассматривая только это соотношение,мы не можем удовлетворить ни граничным условиям на обоих берегах, ни обеспечить сохранение массы в бассейне 6 целом. Отсюда следует, что где-то в бассейне должны существовать области, динамика которых отличается от динамики Свердрупа. Согласно резуль-

татам гл, 4, такие области могут находиться вблизи границ, где в пределах пограничных слоев наблюдается быстрое изменение динамических полей. Како阮 бы ни была природа этих узких пограничных слоев, течение в их пределах должно удовлетворять условию отсутствия нормального потока на границе и иметь полный расход, равный и направленный противоположно полному свердруповскому расходу

J rot2T{xS у )dx\ xw

Таким образом, свердруповское течение, обусловленное исключительно наличием градиента планетарного вихря, необходимо дополнить узкими интенсивными пограничными течениями, динамика которых наряду с ^-эффектом определяется и другими факторами и в пределах которых осуществляется компенсация расходов водьи Общий характер такого заключения означает, что существование интенсивных пограничных течений зависит только от наличия р (т.е・ от сферичности Земли) и ограниченности океанских бассейнов и не зависит как от особенностей формы бассейнов, так и от структуры внешнего воздействия.

Хотя и естественно отождествить узкое компенсирующее течение, наличие которого обус ловлено решением Свердрупа, с западным пограничным течением, необходимо заметить, что, оставаясь в рамках соотношения Свердрупа, невозможно указать, у какого берега будет образовываться такое течение. Рассмотрим, например, показанное на рис. 5・3・2 поле касательного напряжения ветра над океанским бассейном с двумя меридиональными границами X屮 и Х£» не зависящими от у. Решение Свердрупа, удовлетворяющее условию отсутствия нормальной скорости при х = Х£> имеет вид

u = (X _ х) rot е ду

(5・3・13) и = rot Т・

Z

Линии тока для этого решения приведены на рис. 5.3.3(a). Поскольку Х£ - х > 0, то и отрицательна к югу от у ~у^п положительна к северу от у”. Заметим, что хотя направление течений в основном совпадает с направлением касательного напряжения ветра, и может быть направлено и противоположно т, поскольку ум, вообще говоря, не сов-

⑹

(6)

Рис. 5.3.2. а — идеализированное распределение касательного напряжения по широте» которое моделирует воздействие западных ветров в средних широтах и пассатов в низких широтах» 6 - ротор касательного напряжения ветра, приведенного на рис. а. Ротор имеет максимум абсоп югной величины на широте ум. Заметим, что течение Свердрупа всюду между yN и 力 направлено на юг. в — производная по широте у от г%т; эта велишма пропорциональна зональной скорости свердруповского течения. Заметим* что в общем случае 力 не совпадает с у0.

Рис. 5.3.3. а - линии тока свердруповокого течения для распределения касательное*。напряжения ветра, показанное*。слева,« случае. ко「да удовлетворяется условие отсутствия нормальной скорости на восточной границе. Заметим, что для замыкания течения необходим западный пограничный слой, б - пинии тока свердрупског*。течения для то「о же. что и в (а) распределен ния касательное*。напряжения в случае, ко「да удовлетворяется условие от* сутстаия нормальной скорости на западной границе. При таком выборе кеоб* ходимо существование еостоин5P гю「ранииного течения.

ладает с (т.е. и зависит от d2T8 /ду2, а не просто от т^ ). Далее, V всегда отрицательна, и из (5.3.5а) следует, что если решение (5*3.13) для внутренней области справедливо, то узкое компенсирующее течение должно образовываться вблизи западной границы. Однако наш выбор решения Свердрупа, удовлетворяющего условию отсутствия нормальной скорости при х = Х£, ни на чем не основан. Априори столь же верно было бы выбрать U(y) в (5.3.7) таким образом, чтобы условие равенства нулю нормальной скорости удовлетворялось при х = Х^. В этом случае для того же т, что и на рис. 5.3.2, имеем вместо (5.3ЛЗ)

u - (X - х)~「吟％ " ду

(5.3.14)

V ■ rotj .

Компонента скорости v естественно не изменилась, но поскольку

X屮一х《0, направление и изменилось в точности на противоположное по сравнению с (5.3.13). Линии тока* соответствующие (5.3.14), приведены на рис. 5.3.3, 6・ Хотя характер течения и противоречит естественному интуитивному представлению о том, что циркуляция в океане в целом должна совпадать по знаку с ротором касательного напряжения

ветра (т.е. в данном случае должна быть направлена по часовой стрелке), важно понимать, что решение (5*3.14) столь же пригодно, как и (5.3.13), и на основании одного лишь соотношения Свердрупа нельзя предпочесть одно другому. Действительно, как указывалось выше, тот факт, что широты, на которых т 8 K Э2т ^ /ду2 обращаются в нуль, вообще говоря, не совпадают, означает, что для обоих решений (5.3*13) и (5.3.14) течение в некоторых областях направлено против ветра. Свер, руп (1947) пришел к соотношению, которые теперь носит его имя, пытаясь как раз объяснить существование поверхностного противотечения в Тихом океане, которое видно на рис. 5.1.1 на широтах между 5 и 10°N. где это течение направлено против пассатов. Для получения хорошего соответствия между теорией и наблюдениями Свердруп без каких-либо дополнительных оснований выбрал такое течение, которое удовлетворяет граничному условию на восточной границе океана.

Веландер (1959) довел эти идеи до логического завершения и рассчитал, используя теорию Свердрупа и известное в то время поле касательного напряжения ветра, поле полных потоков во всех океанах. Он исходил из того, что течение Свердрупа удовлетворяет условию отсутствия нормальной компоненты полного потока на восточных границах океанов, и показал, где должны существовать западные пограничные течения, чтобы выполнялось условие сохранения массы. Качественное сходство между результатами Веландера, приведенными на рис. 5・3・4, и циркуляцией, изображенной на рис. 5.1 Л, убедительно подтверждает справедливость решения Свердрупа и предположение о том, что именно у западных границ океана располагаются пограничные течения.

Проведенное недавно сравнение (Литмаа, Ниилер и Стоммел, 1977) рассчитанного полного свердруповского расхода в южном направлении в Атлантике с данными наблюдений убедительно подтверждает справедливость теории Свердрупа для открытого океана в количественном отношении. Расчеты для 16°N, 24°N и 32°N дали значения 12, 25 и 27 свердрупов (один свердруп равен Ю6м3/с), тогда как соответствующие величины, полученные из прямых измерений, равны 14,24 и 24 свеодру- па. Согласие удивительно хорошее.

Тем не менее пока эти результаты носят предположительный характер, поскольку априори нельзя обосновать выбор между западной и восточной границами для замыкания течения Свердрупа. Действитель-

.fio&aoaoQQ ю 80¥ 3X3 xxzxcsx (・6S6L ・BdBWHeueg xpooxsofiG coaoaueGO ОХ0РП7ФС&ФС^ ・ql8 ・ m£ 90L H uAdUdeep L) XBlMdudeaoOBOX0d 3ZX7XC8 bsa033x> 3a^x^ dHBeNO O7XXSC «ОХ7О&8 ax X^O&9Q аохлсозоох KiHOHXQHO Sio5^ Ktas&caos фхх$фь SVOQBaaaso "BdE KXSKKasz ouoz^sutoos auou >S8OSDU£S& 0£8&skbbsu.§ .ХЛ5ФЖО 0 кхх$фр SX7XX0&UOC ФЗХ9ЕОП лаке 5ES& с и BUAdBdee。fixssa OZQaES fiAbpoc X3X§C ©XHeueveduoBd •gdM，

но, априори нет оснований полагать, что решение Свердрупа должно удовлетворять условию отсутствия нормальной скорости на какой- тебо определенной границе. Для того чтобы устранить эту неопределенность, свойственную решению Свердрупа, необходимо гораздо более детально исследовать пограничные слои у границ Х£ и Х^ и их влияние на течение во внутренней области. Важно иметь в виду то существенное обстоятельство, что полный расход жидкости, который должен компенсироваться пограничными течениями, равен

мв = / tOtlt(x；y}dx,,(5.3.15)

xw

т.е. не зависит от деталей структуры пограничных течений.

Меридиональные пограничные спои: слой Манка

Вырождение решения Свердрупа указывает на необходимость проведения детального анализа природы возможных пограничных слоев, примыкающих к границам / и Xw , Существование пограничного слоя означает, что локально нарушается динамический баланс, определяемый соотношением Свердрупа, т.е. члены уравнения вкхрл, которые пренебрежимо малы в открытом океане, становятся существенными вблизи границ. Неравенства (5・3・1), оценивающие роль возможных дополнительных вкладов в баланс вкхрл, могут быть представлены в виде отношения различных масштабов длины.

Определим масштабы длины

年d产，

о

где U задается соотношением (5.2.19). Далее, условия (5.3.1) эквивалентны следующему:

厶》% , б”，6s ,(5.4.2)

где L - горизонтальный масштаб движения. Естественно ожидать, что для достаточно узких областей, где масштаб движения имеет тот же порядок, что и один из трех введенных масштабов, соответствующий член уравнения вихря будет иметь тот же порядок, что и член с градиентом планетарного вихря. В зависимости от относительной величины 5; , 5М и 5^ в уравнении вихря окажутся существенными либо инерционные члены, либо горизонтальное трение, либо придонное трение. Зам氏 тим, что каждый из этих масштабов содержит 0 ° в знаменателе, так что наличие Ро определяет не только структуру течений в открытой области океана, но и структуру узких пограничных течений, замыкающих линии тока свердруповского течения.

4ля иллюстрации этих соображений на конкретном примере рассмотрим случай, когда каждая меридиональная граница Хе и Xw не зависит от у (более общий случай может быть описан аналогичным образом). Как и в предыдущем разделе, днп океана будем считать плоским (т)в = 0). Вдали от меридиональных границ функция тока во 6制缈・ ренней области 屮彳 удовлетворяет (5.3.2):

votzT ,(5.4.3) дх

так что

屮/ (叫 У) = / го%"%' + 屮о(У),(5.4.4)

где 屮Ку) - произвольная функция, подлежащая определению.

Рассмотрим возможность образования пограничного слоя на бос・ точной меридиональной границе. Введем растянутую погранслойную координату

Хе -к

入=,(5.4.5)

где I - неизвестный безразмерный масштаб пограничного слоя; тем самым ширина пограничного слоя равна

**(546)(546)

*

*

(546)

(546)

Согласно определению (5.4.5), новая переменная изменяется от 0 до х. В пограничном слое функция тока равна

(5.4.7)(5.4.7)屮=屮В（入，у）。

(5.4.7)

(5.4.7)

Важно отметить, что, поскольку расход пограничного течения не может быть больше расхода течений во внутренней области, величина функции тока в пограничном слое имеет тот же порядок, что и величина функции тока во внутренней области. Если подставить (5.4.6) и (5.4.7) в (5。2。22), то получим

2 J屮В W d”B2*8 入 ду 8 入22 J屮В W d”B2*8 入 ду 8 入2++а—Xа入а—Xа入2*2*ax2ax2L2L2举）》ду举）》дуа%7х~а%7х~—rot^T —L 1—rot^T —L 1^)хL^)хLал2ал22 *2 *5м5м**3+( —<9入23+( —<9入2+ W+ W寸屮b.寸屮b.

2 J屮В W d”B

2*8 入 ду 8 入2

2 J屮В W d”B

2*8 入 ду 8 入2

+

+

а

—X

а入

а

—X

а入

2

*

2

*

ax2

ax2

L2

L2

举）》

ду

举）》

ду

а%7х~

а%7х~

—rot^T —

L 1

—rot^T —

L 1

^)хL

^)хL

ал2

ал2

2 *

2 *

5м

5м

*

*

3+( —

<9入2

3+( —

<9入2

+ W

+ W

寸屮b.

寸屮b.

(5.4.8)

Величина каждого члена уравнения вихря, как и ожидалось, определяется соотношением между шириной пограничного слоя I * и масштабами 5; , 5M к 5§ ・ Для 屮=0(1) (т.е. для пограничного течения, которое может удовлетворять условию отсутствия нормальной скорости на границе и замыкать линии тока свердруповского течения) масштаб 2* должен быть выбран равным максимальному среди 5р 6“ к 5§ ・ Если такой выбор сделан, то соответствующий член будет уравновешивать p-член, а остальные будут малыми и несущественными. Далее, каждый из масштабов 5р 5M и 5s определяется различными независимыми параметрами, поэтому априори возможно любое соотношение между ними. Поскольку 5s и 5M зависят от коэффициентов турбулентного обмена, практически невозможно определить их величины с удовлетворительной точностью. Поэтому каждый из главных вариантов будет рассмотрен отдельно с тем, чтобы определить, в какой степени основные результаты чувствительны к различному соотношению масштабов. Заметим сначала, что независимо от того, выбирается ли 2* равным 5М, 5/ или 5§, прямой вклад ротора касательного напряжения

ветра в динамику пограничного слоя пренебрежимо мал (имеет порядок O(2*/L))・ Ротор касательного напряжения ветра порождает ц^;, а соответствующие пограничные слои образуются для устранения невязок в выполнении функцией 屮/ граничных условий (5.2.25) и (5.2-26).

В первую очередь исследуем следующий случай：

(5.4.9)(5.4.9)бм = е)%Г, 6s.

(5.4.9)

(5.4.9)

口0

Отсюда Q выбирается как

J 5M.(5.4.10)

Далее, величина инерционных членов и придонного трения в (5.4.8) равна соответственно (5; /6乂产 и (6§ /5М), и в первом приближении ими можно пренебречь.

Удобно представить 屮в в виде суммы внутренней функции тока и погранслойной поправочной функции 屮日(入，у ), необходимой для устранения невязки в выполнении граничных условий функцией 屮,：

屮》(人，У)Н屮/ (%y)+95(入，У)•(5.4.11)

Для того чтобы ц^вгладко переходила в 屮彳 при больших 入,функция ф» должна стремиться к нулю при к f g. Если подставить (5.4.11) в (5*4.8) и использовать соотношение

士一里"一些口，(5.4.12)

а 入 L dx L

то в результате члены низшего порядка в (5*4*8) дадут

，旦 + 如=0.(5.4 19)

8入48人

Заметим, что вследствие узости пограничного слоя в выражении описывающем трение, остаются только производные по долготе. Общее решение (5.4.13) имеет вид

-/31

Фа s С. + С/""" + Cqe"〃cos ——入 + C/""^"* 一*—入， 'D 1232R2

(5.4.15)(5.4.15)入=0, состоят в равенст-入=0, состоят в равенст-^^в8 也1? = 7?(Хе，у)+^^в8 也1? = 7?(Хе，у)+дС2(у}дС2(у}办办=0=0(5.4J6)(5.4J6)и условии прилипания u =dx dx 5Mи условии прилипания u =dx dx 5MWbWb8屮8屮—-(Хе , у ) + ~ С2(у) = 0. а* бм—-(Хе , у ) + ~ С2(у) = 0. а* бм

(5.4.15)

(5.4.15)

入=0, состоят в равенст-

入=0, состоят в равенст-

^^в8 也

1? = 7?(Хе，у)+

^^в8 也

1? = 7?(Хе，у)+

дС2(у}

дС2(у}

办

办

=0

=0

(5.4J6)

(5.4J6)

и условии прилипания u =

dx dx 5M

и условии прилипания u =

dx dx 5M

Wb

Wb

8屮

8屮

—-(Хе , у ) + ~ С2(у) = 0. а* бм

—-(Хе , у ) + ~ С2(у) = 0. а* бм

где Ср С2, С3 и С4 - произвольные функции у. Для того чтобы 屮, обращалась в нуль при больших 入，мы должны положить Ср С2 и С3 равными нулю. Таким образом, в пограничном слое у восточной границы бассейна

屮 в(入，У)= ^/(х» У)+ С2е~Л

Граничные условия при х = /, т.е. при ве нулю нормальной скорости

(5.4.17)

Из (5.4J7) следует, что

°2 — •"— (Х£, у) - - — rotzT(X£, у),(5.4J8)

L dxL

так что с точностью до 0(5“/。условие (5.4.16) имеет вид

(5.4J9)(5.4J9)8力

(5.4J9)

(5.4J9)

(%, у ) = 0。 办

Таким образом, решение Свердрупа должно само удовлетворять условию равенства нулю нормальной скорости на восточной границе океана. Зто условие полностью определяет свердруповское течение во внутренней области, так что (5*4*4) может быть записано в виде

(5.4.20)(5.4.20)”(％>)= / rotzTdx'. ХЕ

(5.4.20)

(5.4.20)

Течение, описываемое (5.4.20), соответствует рис. 5.3.3а, а не на рис* 5.3.3, б в рассмотренном выше примере. Граничное условие, ко-

торому удовлетворяет решение Свердрупа, совпадает с условием, использовавшимся Веландером при построении карты изолиний 屮,. Заметим, что именно невозможность существования интенсивного пограничного слоя у восточной границы и определяет вид решения внутри области. Остается проверить, может ли существовать такой слой у западной границы. Такой слой должен существовать, в противном случае нельзя будет устранить невязку в выполнении условия равенства нулю нормальной скорости на границе, поскольку решение во внутренней области теперь известно и зональная скорость на внешней границе западного пограничного слоя равняется

-а а，(5.4 21)

办ХЁ办

Роль восточного пограничного слоя состоит только в том, чтобы сделать возможным выполнение условия прилипания. Это, как свидетельствует рис. 5.4.1, изменяет расход жидкости на очень малую величину порядка О (5“/厶)・ Этот факт также следует из формул (5.4.15) и (5.4*18), объединяя которые, получим

5М、

屮8=屮/(х，У)(Хe，у)e •(5-4.22)

L дх

Таким образом, поправка, вносимая этим слоем в величину расхода во внутренней области, имеет порядок O(5M/L).

Рис. 5.4Л. Пограничный слой у восточной границы, необходимый для выполнения условия прилипаниЯо Такой спой уменьшает расход жидкости в южном направлении на величину, равную площади заштрихованной области и имеющую порядок О(5м/л)о Следовательно, этот эффект пренебрежимо мал по сравнению со свердруповским расходом порядка О(1)о

Пограничный слой у западной границы океана имеет существенно другую структуру. Растянутая погранслойная переменная § здесь определяется как

(5.4.23)(5.4.23)

(5.4.23)

(5.4.23)

(5Л.24)(5Л.24)0 ^bх - ■( 一к北20 ^bх - ■( 一к北27777*2 屮 ВбМ , <?2行日+ (T"获2 +*2 屮 ВбМ , <?2行日+ (T"获2 +

(5Л.24)

(5Л.24)

0 ^b

х - ■( 一

к北2

0 ^b

х - ■( 一

к北2

77

77

*2 屮 ВбМ , <?2

行日+ (T"获2 +

*2 屮 ВбМ , <?2

行日+ (T"获2 +

так что диапазон изменения § равен (0, «). Функция тока в пограничном слое теперь равна

屮В=屮8代，У），

Если подставить (5.4.23) и (5.4.24) в (5・2・22), то вместо (5.4.8) получим

^в办*^в办*a( а~в * z* 雜屮вa?疋 +-77 办 2

^в办*

^в办*

■ —— ' •' ■，，•— )J +=

L2 ду2 d§

(5.4.26)(5.4.26)

(5.4.26)

(5.4.26)

(5.4.25)

В рассматриваемом случае 2* = %, так что в западном пограничном слое адвекция относительного вихря и эффект придонного трения ввиду (5・4・9) пренебрежимо малы. Снова удобно представить 屮日怎 у) в виде

^в =”(％y) + @B(G，y)・

Для того чтобы 屮 в гладко переходила в 屮彳 при больших & необходимо

g 吧了8怎?)=0・(5.4.27)

Если подставить (5.4.26) в (5.4.25), то с учетом

-世=5l — = — rotzT(5,4,28)

df L dx L z

функция 色 удовлет-(5.4.29)функция 色 удовлет-(5.4.29)получим, что с точностью до О[ (5; /5М)2, %/5乂] воряет уравнению

функция 色 удовлет-

(5.4.29)

функция 色 удовлет-

(5.4.29)

奇一蒞

Очевидно, что (5.4.29) отличается от аналогичного уравнения (5.4.13) у восточной границы знаком перед первой производной, т.е. перед членом, описывающим эффект градиента планетарного вихря. В погранслойных уравнениях типа (5.4.13) и (5.4.29) при нечетных производных будут стоять разные знаки ( в частности перед членом, описывающим эффект градиента планетарного вихря). Без р -эффекта уравнение вихря (5.2.22) инвариантно относительно преобразования х -* - х, у - у; учет р-эффекта нарушает эту инвариантность. Потеря инвариантности отражает тот простой факт, что физическое пространство не является динамически изотропным при наличии 0. Увеличение планетарного вихря, обусловленного внешними условиями, в северном направлении априори выделяет это направление в динамическом отношении. Раньше при обсуждении распространения и отражения волн Россби мы уже видели, что наличие градиента планетарного вихря приводит к специфической анизотропии в волновой динамике. Именно эта важная в динамическом отношении анизотропия в уравнении витфя, а не математическое ухищрение, приводит к изменению формы уравнения для западного пограничного слоя.

Решение (5.4.29) имеет вид尸，

^в = ^t^) + ©2®)* + ⑦亦 Г" cos -у G + Сл(у}е^/2 ain-^- 5*

(5.4.30)

Для выполнения условия (5.4.27) необходимо положить &(у) и С2(у) равными нулю； решение для западного пограничного слоя будет тогда иметь вид

屮в(& У)=屮八叫 у) +C3e_?/2cos-^5 + C4e~5/2sin^5-

(5.4.31)

Это решение следует сравнить с (5-4.15). Условие равенства нулю нормальной компоненты скорости и условие прилипания при х = Xw дадут

соответственно

о』办о』办(5.4.32)(5.4.32)О-О-8屮78屮7a#a#(( 储 乃g ) + ^(-г- + —^(( 储 乃g ) + ^(-г- + —^(5.4.33)(5.4.33)

о』办

о』办

(5.4.32)

(5.4.32)

О-

О-

8屮7

8屮7

a#

a#

(( 储 乃g ) + ^(-г- + —^

(( 储 乃g ) + ^(-г- + —^

(5.4.33)

(5.4.33)

(5.4.34)(5.4.34)(5.4.35)(5.4.35)(5.4.36)(5.4.36)

(5.4.34)

(5.4.34)

(5.4.35)

(5.4.35)

(5.4.36)

(5.4.36)

Из (5.4.33) следует, что с точностью до О (%/二)

4 "

в то время как из (5.4.32) получим, что

。3 =-屮1 (Xw, у) + К,

где К - постоянная. Следовательно,

屮в =屮式叫 У)[ 1 - eY/2(cos 乎 с + ^sin 2^_§)] +

+ KeY〃(cos ^^一 £ + -^sia ^^§)・

При х = Хе функция тока равна нулю. Полный расход жидкости в меридиональном направлении должен быть равен нулю:

Хе

(5.4.37)(5.4.37)о= / vdx = /迎^х=2(Хе)_ 屮(Xw).

(5.4.37)

(5.4.37)

Таким образом,屮(％) должна также обращаться в нуль. Условие равенства нулю полного расхода жидкости означает, что пограничное течение возвращает на север тот же объем жидкости, который переносится на юг во внутренней области. Для того чтобы 屮(X,) обращалась в нуль, необходимо положить К равной нулю, так что в западном пограничном слое.

屮в =屮/(叫 у) [1 — eY〃(cos 三§ + ^rsin-^—G)]・ (5.4.38)

С точностью до O(5M/L) скорость в северном направлении в западном пограничном течении равна

(5.4.39)(5.4.39)L .2eY/2"

(5.4.39)

(5.4.39)

% =屮/ (Xjj,，у) (―)^― sin — § •

На рис. 5.4.2 приведены графики ^в и vB как функций §, а на рис. 5.4.3 схематично показано изменение и поперек всего бассейна. Равномерно пригодное приближение для всей области течения получается путем прибавления к внутреннему решению поправочных решений для пограничных слоев у восточной и западной границ, т.е.

屮=屮7 (х, У)[1 - eY/2(cos _2_ § + _^_ 8江-^ O 2 c 2

7—,(5.4.40)

L дх

P 川 с* 5X2 График компоненты скорости в северном направлении в западном пограничном слое» Отметим область противотечения при § > 2тт^зо Кривая, обозначенная 屮в/屮/ . показывает распределение расхода пограничного течения от западной границы до точки §。Сначала наблюдается быстрое увеличение 屮В до области противотечения, а затем 屮в достигает асимптотического значения ^(XW9 у) при § =б・

Р “ с. 5・4・3. Схематичное распределение ” поперек всего бассе№а, показывающее интенсивное возвратное течение вблизи западной границы» слабое течение Свердрупа во внутренней области и область восточного пограничного слоя。

где 入 к § задаются соотношениями (5.4.5) и (5.4.23) соответственно, а 屮/ определяется согласно (5.4.20).

Необходимо отметить несколько важных особенностей западного пограничного течения. Как уже указывалось, в отличие от восточного пограничного слоя западное пограничное течение дает вклад порядка 0(1) в полный расход жидкости. Поскольку расход пограничного течения в точности равен расходу во всей внутренней области, то скорость в северном направлении в пограничном течении должна быть значительно больше скорости во внутренней области, чтобы тот же объем жидкоо ти мог переноситься в узком возвратном течении. Действительно, как следует из (5・4・39), отношение этой скорости к скорости во внутренней области имеет порядок O(L/5M). Таким образом, в данной модели (и, как мы увидим, в общем случае) наличие градиента планетарного вихря определяет и слабое свердруповское течение внутри области, и интенсивное западное пограничное течение, компенсирующее полный сверд- руповский расход; причем в первом приближении соотношение Свердрупа оказывается справедливым внутри области вплоть до восточной границы.

Изученная модель западной интенсификации впервые была рассмотрена Манком (1950). В пограничном слое Манка увеличение относительного вихря жидкой частицы при ее движении на север в западном пограничном течении балансируется горизонтальным диффузионным потоком этого добавочного относительного вихря в направлении западной стенки. Жидкая частица, входящая в западный пограничный слой, имеет пренебрежимо малый относительный вихрь и обладает главным образом планетарным вихрем. При продвижении частицы в пограничном слое на север на расстояние Ау* ее планетарный вихрь увеличивается

на ₽0Душ, и в отсутствие трения ее относительный вихрь §* уменьшится на величину О(₽0Дуж). Силы трения должны, однако, отбирать эту завихренность у жидкой частицы и посредством диффузии отводить избыточный вихрь через боковую стенку, так чтобы жидкая частица могла плавно возвратиться в свердруповскую внутреннюю область, где она должна иметь пренебрежимо малый относительный вихрь.

Следовательно, жидкая частица должна оставаться вблизи стен* ки по крайней мере, в течение характерного времени вязкой диффузии вихря* т.е.

(5Л.41)

△у*△у*гдо 5M - ширина слоя. С другой стороны, это время должно также равняться

△у*

△у*

(5Л.42)

где ив^ = скорость течения в северном направлении. Поскольку 【*

имеет порядок 0{vB /5м),то, для того чтобы силы трения смогли уничтожить этот избыточный относительный вихрь, создаваемый %,

мы должны иметь

(5.4.43)

или

(5.4.44)

что совпадает с (5.4*1).

Решение Манка позволяет построить приведенную на рис. 5.4*4 картину линии тока, которая качественно очень похожа на картину общей

Рис. 5.4.4. Картина линий тока для прямоугольного океана, создаваемая по« казанным слева касательным напряжение ветра а Тихом океане (по Манку, 1950),

циркуляции океана. Однако при детальном сравнении теории и наблюдений оказывается, что приведенное решение не свободно от недостатков, В частности, необходимо, конечно, определить 时 для расчета ширины пограничного течения и сравнения ее с шириной таких течений, как Гольфстрим или Куросио

Однако, как подчеркивалось в разд. 4.1 и 42, именно трудность в однозначном определении численного значения и является слабым местом рассматриваемых вязких турбулентных моделей. Рассмотрим этот вопрос следующим образом. Для справедливости модели Манка вязкие члены должны преобладать над нелинейными» т*е. $м » 6/, или, что то же самое.

(5.4.45)(5.4.45)4H 標-="0・

(5.4.45)

(5.4.45)

Иными словами, число Рейнольдса Res> рассчитанное no U и 0 , должно удовлетворять условию

(5.446)(5.446)5, R% = U — « I.

(5.446)

(5.446)

Если и имеет порядок 0(1 см/с), а & = Ю-13 см"1 с-1, то 4H должен быть намного больше 3 • 106 см2/с, для того чтобы выполнялось

&м » 0 ・ Такая величина для 4*, вероятно, значительно завышена, если считать, что обмен импульсом обусловлен мелкомасштабной турбулентностью, хотя и очень трудно правильно оценить 4 & путем прямых в& блюдений. Однако ширина наблюдаемого пограничного течения в северном направлении легко поддается измерениям. Как следует из рис. 5.4.2, естественным определением ширины течения является расстояние до точки, гдеяш ^~^,/2 имеет первый нуль,т.е. G = ?飞丨心、Это дает размерную ширину течения：

(5.4.47)(5.4.47)

(5.4.47)

(5.4.47)

При указанных величинах ширина течения равна RW# х 120 км. Поскольку для справедливости модели Манка Res должно быть намного меньше единицы, мы должны заключить, что рассматриваемая модель не может описывать наблюдаемые течения, ширина которых меньше 100 км.

Хотя вязкая модель и не в состоянии аккуратно описать определенные особенности пограничного течения, она внутренне непротиворечива. Вязкая модель очень ясно показывает связь между западной интенсификацией и градиентом планетарного вихря. В последующих разделах мы исследуем другие модели, и в каждой из них западная интенсификация будет вызываться, как и в модели Манка, р-эффектом.

Наконец, интересно отметить, что эффект бокового трения в модели Манка создает противотечение на внешнем крае пограничного течения. Наличие противотечения увеличивает полный расход идущего на север течения (т.е. течения между границами х = 0 и х= 6* q)по сравнению с величиной^ требуемой для компенсации расхода течения во внутренней области. Согласно (5.4.39),

/ Ub^x =也(Хц,, У) (1 — ^~n * ) = 1,17 屮I (Xw, у )•

0(5.4.48)

Важно отметить, что именно суммарный расход пограничного течения равен расходу течения во внутренней области, и любое противотечение, обусловленное особенностями динамики пограничного слоя, будет приводить к увеличению расхода идущего на север течения по сравнению с полным свердруповским расходом.

Модель Стоммепа: cnoR обусловленный придонным трением

В этом разделе мы исследуем задачу в случае

(5.5.1)(5.5.2)(5.5.1)(5.5.2)&S »(&М，0)，

(5.5.1)

(5.5.2)

(5.5.1)

(5.5.2)

когда толщина пограничного слоя равна

и эффект придонного экмановского слоя в уравнении вихря преобладает над эффектами адвекции и горизонтального трения. Члены описывающие адвекцию и горизонтальное трение, имеют соответственно порядки (6/ /65 )2 и (&м/% )3 в (5.4.8) и (5.4.25). Однако пренебрежение горизонтальным трением вносит сингулярное возмущение в уравнение вихря, понижая порядок этого дифференциального уравнения по х. Решения уравнения вихря в таком приближении не в состоянии удовлетворить условию прилипания на границе и могут удовлетворить лишь условию отсутствия нормальной скорости на границе, характерному для невязкой жидкости. Для выполнения условия прилипания необходим слой шириной,значительно меньшей &§, в котором под воздействием сил трения скорость течения уменьшается до нуля на границе. Такой тонкий подслой, образующийся внутри слоя %, не может переносить значительную массу жидкости, и поэтому, как мы увидим, течение в 65-слое должно само по себе удовлетворять условию отсутствия нормальной скорости на границе. Этот результат приводит к значительному упрощению исследуемой в данном разделе задачи, поскольку он означает, что на первом этапе задача об общей циркуляции может рассматриваться при условии на нормальную скорость на границе, т.е. такая задача оказывается связанной в первую очередь с балансом массы жидкости.

С учетом (5.5.1) и (5.5.2) уравнение пограничного слоя у восточной границы в первом приближении^ согласно (5・4・8), имеет вид

ал2

ал

=0.

(5.5.3)

Как и раньше запишем 屮 в в виДе СУММЫ функции ^z и погранслой- ной поправочной функции, т.е.

(5.5.4)(5.5.4)(5.5.5)(5.5.5)?В = ?7(Х,У)+<Рв (А，У)，

(5.5.4)

(5.5.4)

(5.5.5)

(5.5.5)

「颱 Фв удовлетворяет уравнению

工0.

ЭЛ

Общее решение (5.5.5) имеет вид

屮 в =4(у) + С2® 入(5.5.6)

Поскольку <рвдолжна стремиться к нулю при Л ->(», то С и С2 должны равняться нулю. Таким образом, из условия отсутствия нормальной скорости при к = Х£ следует

万「"『川=0,(5.5.7)

так что снова приходим к выводу, что свердруповское течение во внутренней области должно удовлетворять граничному условию равенства нулю нормальной скорости на восточной границеСледовательно, (5.4.20) справедливо независимо от того, 5М > &§ или наоборот 5М < б5 . В обоих случаях интенсификация течений должна наблюдаться у западной границы.

Для того чтобы удовлетворить условию прилипания при к = Х『необходимо ввести достаточно узкую область, где существен эффект бокового трения. В модели Манка горизонтальное трение непосредственно балансируется в-эффектом и все граничные условия выполняются при введении одного слоя. В данном случае придонное трение так же велико, как и р -член, ввиду того, что /* = * . Если I* станет меньше 6s , то из (548) следует, что придонное трение будет преобладать над ₽-эффектом, Когда масштаб 2* станет достаточно малым, то и придонное и боковое трение будут преобладать над р-эффектом; эффекты придонного и бокового трения будут уравновешивать друг друга при условии,

чточто(5.5.8)(5.5.8)илиили(5.5.9)(5.5.9)

что

что

(5.5.8)

(5.5.8)

или

или

(5.5.9)

(5.5.9)

L Е；4L Е；4Если использовать определения 5М и 55 , то

L Е；4

L Е；4

(5.5.10)

Такой подслой по существу уже обсуждался в разд. 4.13. Заметим, что 2* не зависит от ро, поскольку динамика этого слоя не зависит от существования градиента планетарного вихря. Если &【//* мало, т.е. если

5, < 65(^.尸4,(5.5.11)

65

(5.5.12)(5.5.12)(5.5ЛЗ)(5.5ЛЗ)то уравнение для этого подслоя, согласно (5.4.8), имеет вид

(5.5.12)

(5.5.12)

(5.5ЛЗ)

(5.5ЛЗ)

где теперь

人二（4一х）!■（户 5 М

Отметим, что уравнение (5.5.12) совпадает с уравнением (4J3.26).

Решение уравнения (5.5.12), переходящее в ^2 при больших Л и удовлетворяющее условию прилипания при х = XF, имеет вид

屮8 =屮/(X，у) - "*(Хе，у)后 е-"Е -")L& ,(5.5.14)

г恥 /* задается (5.5.9). Поправка к свердруповской функции тока, создаваемая этим слоем, пренебрежимо мала, поэтому в динамическом

отношении значение этого слоя для задачи о циркуляции на самом деле невелико. Если (5.5.11) не выполняется, но &§ > &【,то уравнение вихря в этом вязком подслое является нелинейным, и анализ такого подслоя становится значительно более сложным. Важно отметить, однако, что существование такого подслоя, к счастью, не изменяет рассматриваемую задачу об общей циркуляции*

На западной границе выбор Е* = &§ в первом приближении дает

1 + _= 0.(5.5.15) 死2d§

Снова записывая

屮в =屮1(*，у)+9в(§，у)，(5.5.16)

получим

1PB停 У) = С(у)е《，(5.5.17)

так что решение, удовлетворяющее условию равенства нулю нормальной скорости, имеет вид

屮в =Н(х，У)(1 -e-g) I(5.5.18)

И

V = _£_^ (х, у)е~^.(5.5J9)

Снова полный расход жидкости в течении Свердрупа компенсируется западным пограничным течением. В этом случае ширина интенсивного западного течения имеет порядок О (% ), а направленное на юг противотечение отсутствует. Как и в случае слоя Манка, &§ обратно пропорционален Ро, т.е. существование слоя решающим образом зависит от градиента планетарного вихря, благодаря которому создается и свердрупов- ское течение во внутренней области*

Скорость в северном направлении в пограничном течении в L/% раз больше, чем для течения во внутренней области, и, qk следует из (5.5.18), эта скорость не удовлетворяет условию прилипания при х = Х^. Если выполняется (5*5*9), то внутри внешнего слоя шириной &§ существует пограничный слой шиоиной &§(5М/65 )'% , как показано на рис. 5.5.1. Внешний слой поворачивает линии тока таким образом, чтобы удовлетворялось условие равенства нулю нормальной скорости на границе, в то

Рис. 5・5・1・ Схематичный вид западного пограничного течения в случае, когда преобладает придонное трение. Перенос жидкости главным образом осуществляется в широком ^-слое, а подслой шириной 6s(5м/55)^ необходим для выполнения условия прилипания. Большая часть пиний тока не попадает в подслой.Рис. 5・5・1・ Схематичный вид западного пограничного течения в случае, когда преобладает придонное трение. Перенос жидкости главным образом осуществляется в широком ^-слое, а подслой шириной 6s(5м/55)^ необходим для выполнения условия прилипания. Большая часть пиний тока не попадает в подслой.

Рис. 5・5・1・ Схематичный вид западного пограничного течения в случае, когда преобладает придонное трение. Перенос жидкости главным образом осуществляется в широком ^-слое, а подслой шириной 6s(5м/55)^ необходим для выполнения условия прилипания. Большая часть пиний тока не попадает в подслой.

Рис. 5・5・1・ Схематичный вид западного пограничного течения в случае, когда преобладает придонное трение. Перенос жидкости главным образом осуществляется в широком ^-слое, а подслой шириной 6s(5м/55)^ необходим для выполнения условия прилипания. Большая часть пиний тока не попадает в подслой.

время как роль внутреннего слоя состоит в замедлении течения из-за трения вблизи границы с тем, чтобы удовлетворить условию прилипания. Меньшая ширина такого подслоя означает, что в нем функция тока является функцией новой переменной

т] = (х - X )丄(3)" = §(-^-)\(5・5・20)

65 бМ6М

а сама функция тока может быть записана как сумма (5,5.18) и некоторой поправки

屮二屮в =屮(® У)+ ?вСп> У).(5.5.21)

Если (5.5.2), (5520) и (5.5.21) подставить в (5.4.25), то в первом приближении получим

Эт]4 dq2Эт]4 dq2

Эт]4 dq2

Эт]4 dq2

при условии, что выполняется (5.5.11). Решение для фв, которое стремится к нулю для больших имеет вид

嗚=С(у)е —"夕(5.5.23)

так что

▼в =?в«，У)+ Се~〔(5.5.24)

Скорость в северном направлении v дается соотношением

В dx &s d§ 65 &M dqВ dx &s d§ 65 &M dq(5.5.25)(5.5.25)

В dx &s d§ 65 &M dq

В dx &s d§ 65 &M dq

(5.5.25)

(5.5.25)

Таким о®азом, условие равенства нулю и(Хц,) означает, что с точностью до О (% /L)

(5.5.26)(5.5.26)С(у) =(4)%力闷川

(5.5.26)

(5.5.26)

].].или что функция тока в западном пограничном слое равна

].

].

屮=屮8=屮1(修 У)[] _ e-f +( -2L)% ехр(-5( 65

(5.5.27)

На самом деле эта формула для функции тока справедлива в области бассейна от х= Xw вплоть до восточного пограничного слоя. При § 匸 0(1) (5.5.27) переходит в (5。5・18)・ Поправка, вносимая подслоем в (5.5.18), будет существенна только при малых § порядка О((5м/55 )‘4), принцж- ближаши к стенке эта псхфавка резко уменьшает вдольб^юговое течение до нуля, однако в столь узкой области, что это мало влияет на значения функции тока. Скорость в северном направлении в пределах западного пограничного слоя равна

vB = — 4>2 (х, у) [ ©Y — exp (— § ( ——) “ )]•(5.5.28)

6м

Зависимость vB от § показана на рис. 5・5・2, где для сравнения приведено и решение (5.5.19).

Рассмотренная модель с преобладающим влиянием придонного трения по существу описывается тем же уравнением^ что и модель, рассмотренная Стоммелом (1948) в его эпохальной работе по западной интенсификации в океане. Стоммел использовал очень искусствен-

?0,20,40,6 Q8 加

~~*^ подслои |т '4t .

力2 抬z6z8

2p 2Z 2,4

340 Пшва 5

岩=0,2/5

(а) согласно f5 5. f9)

Q) согласно (5.5.28)

Рис, 5.5.2. Компонента скорости в северном направлении в западном пограничном течении s том случае, когда преобладает придонное треииео Кривая а показывает распределение 沙笈.когда не требуется выполнение условия прилила- ния( кривая 6 — распределение ^笈 с учетом вязкого подспояв

ныи закон сопротивления для жидких столбиков, согласно которому движение каждого столбика тормозится из-за действия силы трения, прямо пропорциональной скорости этого столбика. В такой модели в уравнение вихря вводится член, описывающий затухание вихря, который задается тем же выражением, что и эффект придонного экманов- ского слоя в модели, рассмотренной в данном разделе. Используя овою модель, Стоммел первым показал, что западная интенсификация океанской циркуляции обусловлена градиентом планетарного вихря. Мы будем называть 6s -слой слоем Стоммела.

спой Манкаспой Манкабоковое трениебоковое трениевнутренняя областьвнутренняя область厶 Свердрупа d屮J厶 Свердрупа d屮J(5.5.29)(5.5.29)Математически связь между слоями Стоммела и Манка и вязким подслоем схематично может быть проиллюстрирована следующим образом. Если в уравнении вихря пренебречь инерционными эффектами, то мы получим

спой Манка

спой Манка

боковое трение

боковое трение

внутренняя область

внутренняя область

厶 Свердрупа d屮J

厶 Свердрупа d屮J

(5.5.29)

(5.5.29)

донноеградиентротор

трениепланетарного напряжения

вихря ветра

вязкий подслцй слой Стоммела внутренняя область …一 Свердрупа ，

где указано с какими эффектами связаны отдельные члены этого уравнения. При &м > &§ главными являются члены» отмеченные сверху； при- донное трение пренебрежимо мало всюду. При 6 < 6s слой Манка расщепляется на два слоя, слой Стоммела и вязким подслой. В пределах вязкого подслоя и слоя Стоммела дифференциальное уравнение вихря имеет тот же порядок ,что и в слое Манка, Во всех случаях баланс вихря во внутренней области описывается соотношением Свердрупа. Единственно, что меняется при изменениях отношения &§ /&“，это баланс вихря в пограничном слое. Какой бы из членов с изотропным выражением для трения ни преобладал, интенсификация циркуляции является лишь следствием анизотропии уравнения (5.5.29), создаваемой р-эффектом.

Теория инерционного пограничного слоя

Хотя линейные теории, описанные в двух предыдущих разделах, и помогают в понимании основной причины западной интенсификации в океане, они обладают очевидными недостатками. Прежде всего эти теории дают оценки для ширины, скорости и структуры западных пограничных течений, зависящие от коэффициентов турбулентной вязкости и являющиеся поэтому в значительной степени ненадежными. Коэффициенты турбулентной вязкости могут быть определены после решения задачи путем согласования теоретических оценок с наблюдениями. Однако соображения, приведенные в разд. 5.4, показывают тогда, что неучтенные нами нелинейные члены будут играть существенную роль при описании реальных пограничных течений.

Для устранения этих недостатков можно попытаться построить полностью невязкую, нелинейную модель пограничных течений. Привлекательность этого подхода состоит в том, что результаты анализа такой модели не будут зависеть от малоизвестных параметров, кото* рые необходимо подбирать для обеспечения хорошего согласия с наблюдениями. Кроме того, в чисто инерционной теории можно использовать теоремы сохранения для недиссипативных течений, что облегчает анализ нелинейной задачи.

Однако с самого начала должно быть также ясно, что любая чисто инерционная теория океанской циркуляции также глубоко несовершенна, даже если она удовлетворительно описывает некоторые ее особенности. Во-первых, это связано с тем, что трение должно быть где-то важным, чтобы обеспечить диссипацию завихренности, которая постоянно соойцается жидкости извне. Если диссипация вихря пренебрежимо мала во внутренней области [ например, имеет порядок 0（（%九户,6s 九）＞ то она должна играть определенную роль в динамике пограничного течения. Во-вторых, как мы увидим, инерционная теория сама по себе не может ответить на основной вопрос, связанный с западной интенсификацией, а именно: должно ли свердруповское решение удовлетворять граничному условию для нормальной скорости течения и если да, то где. Наконец, ясно, что полное пренебрежение диссипацией вносит сингулярное возмущение в уравнения пограничного слоя, которое приводит к математическим трудностям, отражающим отмеченные выше физические недостатки инерционной теории.

Начнем с изучения природы инерционного пограничного течения у западной границы океана. Обозначим внутреннее решение через 屮【(к, у), на этом этапе оно не может считаться полностью известным, т.е. будем считать, что 屮【задается соотношениями (5.4.3) и (5.4.4).

Инерционная теория требует, чтобы

б/ » % % ,(5.6.1)

так что

Q = 6.厂(5.6.2)

空£3 + 也.=0,

(5.6.3)

ду

9,

(5.6.4)

О ((5M/5/ )3, 55/5, , 5,/L) уравнение (5.4.25)О ((5M/5/ )3, 55/5, , 5,/L) уравнение (5.4.25)dq 办 d&dq 办 d&Далее, с точностью до дает

О ((5M/5/ )3, 55/5, , 5,/L) уравнение (5.4.25)

О ((5M/5/ )3, 55/5, , 5,/L) уравнение (5.4.25)

dq 办 d&

dq 办 d&

где J - якобиан относительно § м у “ Это соотношение представляет собой просто урам!ение сохранения потенциалыюго вихря, который в данном случае является суммой относительного и планетарного вихря. Поскольку в пограничном слое

VB » 冲，

dН(5.6.5)

—» ~ , d*ду

то вихрь равен

г =包.—逗=也=.(5.6.6)

dx ду Эх

Интегрируя уравнение сохранения (564), получим

(5.6.7)(5.6.7)I?8

(5.6.7)

(5.6.7)

ур- + У = G(屮 в)，

где G — произвольная функция 屮^ • Поскольку Движение в погранич- ном слое недиссипативное, то сумма относительного и планетарного вихрей должна быть постоянной на линии тока. Здесь сразу же выявля-

Рис. 5.6.7. Линия тока, входящая в западное инерционное пограничное течение и выходящая из неп При > относительный вихрь жидкого стопбика, входящего в указанную область^ близок к нулю, а его безразмерные абсолютный вихрь равенПри у2 относительный вихрь столбика равен —(у2 - 〃)•

а абсолютный вихрь по-прежнему равен у〔 Столбик не может плавно перейти во внутреннюю область при у2# где относительный вихрь снова близок к нулю, а абсолютный вихрь равен %.

ется одна существенная трудность. Рассмотрим рис. 5.6.1, где показана гипотетическая линия тока, входящая в инерционный слой при у = у〔 и возвращающаяся во внутреннюю область при у = у2.Во внутренней области относительный вихрь пренебрежимо мал по сравнению с планетарным. Таким образом, при у〔 полный вихрь жидкого столбика равен просто у〔 (или р 仍 в размерных единицах). При движении столбика в северном направлении в пограничном течении его полный вихрь сохраняется,так что при у2 он обладает отрицательным относительным вихрем

〕®2)=力-力，(5.6.8)

но его полный вихрь по-прежнему равен у〔. Однако, для того чтобы возвратиться во внутреннюю область, жидкий столбик должен иметь

пренебрежимо малый относительный вихрь, а полный вихрь должен равняться у 2,Ясно, что соотношение (5.6.7) не может быть справедливо вдоль всего пути, и мы сначала докажем, что инерционная теория справедлива лишь для такого ^интервала, для которого «z(xw, ,) направо лена на запад. Иными словами, можно ожидать, что инерционная теория будет справедлива только в южной части пограничного течения, в то время как в северной части течения должна играть решающую роль диссипация, где она уничтожает избыточный относительный вихрь жидких столбиков.

Как и в предыдущих разделах, запишем 屮в в виде суммы функции тока во внутренней области и погранслойной поправки

*в(§» у) = ^/ (*»у) + фв(§»у)-(5.6.9)

Напомним, что(pfi должна удовлетворять условию

lim 9B(F 力=О,(5.6.Ю)

для того чтобы 屮 в гладко переходила в функцию тока внутри области. Рассмотрим (5.6.3) при больших § . Функция фв должна быть мала в этой переходной области от пограничного слоя к внутренней области, т.е. при больших g

Фв « 屮「(5.6/1)

Если подставить (5.6.9) в (5.6.3) и сохранить только линейные относительно фв члены, то с учетом (5.6.11) получим

(5.6J2)(5.6J2)一 丁(％，у) 丁^ + "тг = °， ду”

(5.6J2)

(5.6J2)

г Де отброшены члены вида

西 в а °2ъа§ 办 а—西 в а °2ъа§ 办 а—.б/ ,2 西в а ”也L dg ду дх2.б/ ,2 西в а ”也L dg ду дх2(5613)(5613)

西 в а °2ъа§ 办 а—

西 в а °2ъа§ 办 а—

.б/ ,2 西в а ”也

L dg ду дх2

.б/ ,2 西в а ”也

L dg ду дх2

(5613)

(5613)

поскольку они имеют порядок О((5^L)2). Мы использовали также соотношение

d屮！ /、 d屮！ ,>d屮I5.

一 1Т(х戸)一77(Xw+匸以刃=一石%,川+ 0(^ =

(5.6J4)(5.6J4)(5.6.15)(5.6.15)"г( Xw > у) + О (—).

(5.6J4)

(5.6J4)

(5.6.15)

(5.6.15)

Интегрируя (5.6J2) по § и используя (5.6Л0), получим

8кв

U1(XW> у) W + Фв = °-

Общее решение (5.6.15) будет осциллировать по g для всех у, при которых Uj (Xw, у) > 0. 9ти колебания являются незатухающими, и, следовательно* условию (5.6.10) удовлетворить нельзя. Поэтому необходимым условием существования инерционного пограничного течения при данном у является

ui(№，у) < 0.(5616)

К северу от точки, где 〃【обращается в нуль, чисто инерционное течение существовать не может (Гринспен, 1962). Следовательно, уравнение (567) будет хорошо описывать западное пограничное течение только в его южной части. Пои 匕(Х^ , у ) < 0 экспоненциально затухающее решение уравнения (5.6 J 5) имеет вид

Фв =С(у)ехр( -§[-и, (Х^, у)「*}.(5617)

Поскольку уравнение (5.6J5) справедливо лишь вдали от берега, мы не можем определить С(у) в формуле (5.6J7). Однако (5.6.17) выявляет одно важное обстоятельство. Скорость затухания(pfi обратно пропорциональна 仅不；т.е. при тех у , где и/ мала, мала и ширина инерционного течения. Действительно, из (5.6J7) и определения 6【ясно, что локалъ- ноя ширина инерционного течения равна

пок =(5.6.18)

•о

где U*(у) - значение на границе размерной скорости зонального течения во внутренней области. Если у приближается к точке, где U* обращается в нуль, то 5/пок уменьшается и в конце концов становится меньше ширины вязкого слоя, например слоя Манка, который при U* = 0(1) занимает лишь небольшую часть инерционного слоя. Таким образом, мы снова приходим к выводу о том, что трение является су-

щественным элементом динамики в пограничном слое, когда либо 〃1（Х|у, у） > 0,либо ширина инерционного слоя 5Zлок становится малой по сравнению с 5М или 6s.

Для тех у, пои которых 匕（Х^ , у ） имеет порядок 0（1） и направлена на запад, для нахождения（pfl из （5.6.7） можно использовать метод, описанный в разд. З.М. Для больших §, где 8 2^3/д^ равна нулю,

G（屮В8）= У，（5.6.19а）

в то время как на бесконечности

屮в ос = ^1（ ^w * У）・（5.6.196）

Если обратить （5.6Л9а, б）, io

"屮尸（屮в 8），（5.8.20）

где 屮Ji - функция, обратная ”. Таким образом,

G（屮в 8）=屮7’（屮в 8），（5.6.21а）

но, поскольку G зависит только от 屮 и не зависит явно от положения на плоскости х, у, функциональное соотношение （5,6,21а） должно выполняться на всех линиях тока, начинающихся во внутренней области. Таким образом,

G（屮в）=屮尸（屮В），（5.6.216）

так что （5.6.7） примет вид

+八屮尸（屮8）。（5.6.22）

В общем случае 屮『〔（屮в） является сильно нелинейной функцией 屮r, и решение （5.6.22） в редких случаях может быть получено в аналитическом виде. В простейшем случае, когда

屮 I = у = 1 • у,（5.6.23）

обратная функция 屮丁］ представляет собой просто умножение на 1, так что 屮в удовлетворяет уравнению

решение которого имеет вид

屮B=y[l-eY]，(5.6.25)

т.е. это точно то же решение, которое было найдено в разд. 3.14. Линии тока течения, задаваемого (5.6.25), поэтому те же, что и на рис. 3.14.2. Заметим, что в этом случае асимптотическое, линеаризованное уравнение (5.6.15) тождественно полному уравнению (5.6.22), что может служить некоторым обоснованием тех качественных выводов, которые были получены в результате анализа линеаризованного уравнения.

Структура инерционного пограничного слоя, по существу, не дает возможности определить характер картины.общей циркуляции, например сделать выбор между схемами течений, изображенными на рис. 5.3.3,а и 6. Уравнение (5.6.15) инвариантно относительно преобразования § т - & откуда ср азу следует, что при к = Х^ аналогичное уравнение для поправочной функции в возможном восточном пограничном слое имеет вид

@細B

“I (Хе» у) @入2 + Рв н С»(5626)

Таким образом, если и, (х£, у ) также направлена на запад, то при х = Х£ возможен инерционный пограничный слой. На рис. 5.6.2 снова изображены две схемы течения; области, где возможны инерционные слои, выделены косой штриховкой. Заметим, что на рис. 5.6.2, а инерционный слой возможен в области формирования западного пограничного течения, однако на рис. 562, б он не возможен в юго-восточной области бассейна, где должно было бы формироваться восточное течение. Представляется естественным предположить, что инерционный пограничный слой должен существовать в области формирования пограничного течения, так что схема на рис. 5.6.2,а интуитивно кажется более приемлемой, чем схема на рис. 5.6.2,6. Важно, однако, понимать, что доказать эту гипотезу в рамках чисто инерционной теории нельзя. Без учета диссипации в стационарной задаче невозможно строго показать, что схема на рис. 5.6.2,6 должна быть исключена из рассмотрения. Более детально этот вопрос рассматривается в следующем разделе.

Если считать, что циркуляция во внутренней области определяется, как обычно, формулой (5.4.20), то становится ясным, что инерционная теория дает модель для описания областей формирования западных по-

Рис. 5.6.2. Заштрихованные оОласти на схемах а, 6 показывают возможные районы образования инерционных пограничных слоев в случае схем циркуляции, изображенных на рис. 5.3.3,〃 и 6, Заметим, что в случае (6) инерционный спой возможен в северо-западном углу, где он не нужен, ипи в северо-восточном углу, где течение выходит из предполагаемого пограничного слоя.

граничных течений, свободную от неизвестных параметров. Соответствующая оценка ширины такого течения, не зависящая от неизвестных параметров, дается формулой (5.6.18). Для значений U*(y ) между 1 и 10 см/с формула (5.6.18) дает ширину течений от 30 до 100 км, что является весьма реалистичной оценкой.

Инерционные течения при наличии трения

Хотя инерционная теория и дает ряд полезных результатов, тот факт, что она применима лишь в тех областях, где 〃【< 0, делает невозможным замыкание линий тока свердруповского течения при помощи лишь одного инерционного пограничного слоя, как это было предположительно нарисовано на рис. 5.6.1. В данном разделе, следуя в основном Муру (1963), мы исследуем структуру инерционных пограничных слоев при наличии слабого бокового трения. Снова в случае 6【» 5М, 6s выберем масштаб Z* в (5.4.25) равным 0 и представим 屮冃 в виде

(5.7.1)(5 7 2)(5.7.1)(5 7 2)屮в(& у) =?/(% у) +<Рв(以 у)・ Рассмотрим случай, когда

(5.7.1)

(5 7 2)

(5.7.1)

(5 7 2)

("м » 逅

так что вязкие эффекты обусловлены в основном боковым трением.

Далее, согласно (5.4.25), уравнение пограничного течения, учитывающее эффект трения, имеет вид

西в

d

8也

д^в д^в, а<Рв

+——)(——-)+——=

ду

AG

ду

办d§3dg

1 % 丿 d§4，(5.7.3)

где при выводе использовался тот факт, что d^ /dg имеет порядок 0(0 /L)。 Рассмотрим теперь (5Л.З) в переходной области больших §, где

匕(Xw，У^~^ ■

d§D6Э 4фд

+ —L =(丄)3 ,(5.7.4)

В этой области уравнение (573) может быть линеаризовано таким же способом, что и в разд. 5.6, в результате чего получим

или, поскольку фв стремится к нулю при g f 8〉

、"飞В. бм з ^3<РВ

/ (Xw，У ) —^- + <Рв =( -7—)-773- •

(5.7.5)

Сравнение (575) и (5615) показывает, что из-за учета трения исчезает инвариантность относительно преобразования Решения для фв могут быть найдены в виде

Фв = Сеа^

(5.7.6)

где а удовлетворяет кубическому уравнению

(2L)3a3- и а2-1 = 0. б/

(5.7.7)

При малых % / % решения (5.7.7) могут быть найдены в виде

a = a。+ ( —) a〔 +。■。。б/

(578)

Решение (5.7.7) порядка О(5/ /5М)3 дает масштаб длины, малый по сравнению с5/? и здесь рассматриваться не будет. Если подставить (5.7.8) в (5.7.7) и приравн5ггь члены с одинаковыми степенями малого параметра (5^5； )3, то получим

(5.7.9а)

(5.7.96)(5.7.96)1

(5.7.96)

(5.7.96)

猶(У)2〃；(у)

следовательно,

(5.7.10)(5.7.10)

(5.7.10)

(5.7.10)

Если и; < 0 , то а0 действительно и а3 представляет собой несущественную поправку к характерному масштабу затухания инерционного слоя. Таким образом, в области формирования западного пограничного течения трением, как и предполагалось ранее, можно полностью пренебречь. Рассмотрим теперь случай, когда ^ > 0, т.е. северную часть области. При этом % чисто мнимое, и решение (5.7.6) имеет вид

Фв = С expi [uj"H§]exp( —I — (―^尸〃；％ }),(5.7」】)

2 б/

что представляет собой в соответствии с результатами разд. 3.18 неподвижную волну Россби с размерным волновым числом

(5.7.12)

и длиной волны

入* = 2тг(入* = 2тг((5.7.13)(5.7.13)

入* = 2тг(

入* = 2тг(

(5.7.13)

(5.7.13)

Рис. 5.7 J. Схематимная картина циркуляции, показывающая свердруловскую внутреннюю область^ инерционный пограничный слой в западной области формирования пограничного течения и область затухающих волн Россби в северозападном инерционно»вязком слоео

Эта неподвижная волна Россби, существование которой невозможно в чисто инерционной теории при и7 > 0, медленно затухает из-за трения с характерным масштабом 〃； 6； /端,что в размерных единицах соответствует g3 2

4 八卞)一--.(5714)

мВ。4H

Число колебаний на масштабе затухания имеет поэтому порядок

0((5； /бм)3)- Если 〃[* порядка О (1 см/с), a 4H порядка О(106 см2- с~7),

то /д имеет порядок 0(100 км). Если U^* будет больше или 4H меньше, то и масштаб J будет соответственно больше. Тем не менее он будет малым по сравнению с размерами всего бассейна, так что существование решения (5.7.11) означает, что в северной части бассейна у западной стенки возможно формирование инерционно-вязкого пограничного слоя. С другой стороны, соответствующее (5.7.4) уравнение для восточной стенки дает экспоненци^ьно возрастающие при удалении от стенки решения, так что инерционно-вязкий слой, масштаб затухания в котором опять обратно пропорционален ро, может существовать только у западной стенки. Следовательно, введение даже слабого трения в модель с ₽ -эффектом снова позволяет выбрать схему рис. 5-6.2, а как правильную картину общей циркуляции. Картина циркуляции для 6【> 6乂》6s схематично показана на рис. 5.7.1.

Волны Россби и западная интенсификация океанской циркуляции

В каждой из различных с точки зрения динамики моделей океанской циркуляции получается эффект западной интенсификации, несмотря на значительные различия в описании структуры западного пограничного слоя- Простое физическое объяснение этого может быть получено путем рассмотрения основных свойств волн Россби. Эти волны Осуществляют перенос энергии в квазигеострофическом движении; при этом проявляется сильная пространственная анизотропия, обусловленная градиентом планетарного вихря.

Частота волны Россби в размерных единицах определяется соотношением (3.15.11):

а ,(5.8.1)

m+ ?2 +女一2

где А и Z - компоненты волнового вектора в восточном и северном направлениях, a JR - радиус деформации

!R=竺二，(5.8.2)

f

который для океана глубиной 4 км в средних широтах, где / = Ю-4 с~\ имеет порядок 0(2000 км). Градиент планетарного вихря равен ₽о. Групповая скорость в восточном направлении в соответствии с (3.19.23а) равна

Энергия возмущений с малыми масштабами вдоль оси х (А2 > I2 + Ж2) будет переноситься на восток, а энергия возмущений с большими масштабами вдоль Оси х (А2 < I 2 + JR2) на запад с соответствующими групповыми скоростями.

Теперь предположим, что в некоторый момент времени касательное напряжение ветра генерирует в океане возмущения различных

в этом разделе все переменные размерные, поэтому временно будем обозначать их без звездочек.

масштабов. Мелкомасштабные компоненты будут двигаться к восточной граниде океана, где в соответствии с выводом разд. 3.23 после отражения масштабы вдоль оси х увеличиваются. Крупномасштабные компоненты будут двигаться к западной границе, где при отражении их масштабы вдоль оси х уменьшаются. Западная граница, таким образом, действует как источник возмущений малых масштабов. Это обстоятельство и лежит в основе физического объяснения возникновения имен* но западной интенсификации, обусловленной анизотропным характером переноса энергии волнами Россби.

Используя приведенные соображения, можно получить оценки размера области западной интенсификации. Рассмотрим, например, модель Манка, где боковое трение преобладает над эффектами нелинейной адвекции и придонной диссипации вихря. Характерное время затухания мелкомасштабных (&? » I 2 + JR*2) возмущений, создаваемых западной границей, равно времени вязкой диссипации, т.е.

tD = 0{AHk2r'-(5.8.4)

За это время энергия возмущений распространится на восток на расстояние

'* = Cgx‘D= ‘D l2，(5.8.5)

поскольку для мелкомасштабных волн

С•(5.8.6；

8 А2

В окрестности западной границы будет в основном захватываться энер- г'ия волн с длинами порядка J Для таких волн

&〜/「.(5.8.7)

Объединяя (5.8.4), (5・8・5)и (5.8.7), приходим к оценке

(5.8.8)

(5.8.9)

что совпадает с (5.4Л). В модели Стоммела преобладает диссипация из-за придонного трения, так что в этом случае, согласно (4.7.1)*,

t 2 —f1(5.8.1Q)

С учетом (5.8.5) и (5.8.7) отсюда получаем оценку для

% =,

♦ о

что совпадает с (5・5・2).

В инерционной теории существенна адвекция вихря средним течением; напомним, что,согласно разд. 3.18, среднее течение изменяет частоту и групповую скорость волн Россби. Мелкомасштабные возмущения, генерируемые на западной границе, будут теперь иметь групповую скорость

где 勺-скорость адвекции свердруповским течением. Возмущения с масштабами, для которых С^# < 0, будут захватываться западной границей. Для этого, конечно, требуется, чтобы 乜 < 0, а А было достаточно велико, чтобы групповая скорость Р0/А2 в восточном направлении была достаточно малой и могла компенсироваться натравленным на запад течением Свердрупа. Таким образом, масштабы, меньше

(5.8.13)

будут захватываться западной границей. Эта оценка выявляет также и основную трудность инерционных теорий при 勺 > 0. Коротковолновые компоненты, генерируемые на западной границе, не захватываются здесь, а под действием течения Свердрупа перемещаются в направлении

Множитель 2 в(5.8.10) по сравнению с (4.3.26) появляется потому, что время вязкого установления теперь в два раза больше ввиду того, что на диссипацию вихря влияет только нижний экмановский слой.

внутренней области в виде волн Россби, где они будут медленно затухать под влиянием диссипативных процессов. Если боковое трение является основным диссипативным механизмом и применима оценка (5.8.4), то масштаб, на котором волны Россби длины 广'будут затухать, равен, согласно (5.8.5),

(二——А"4(5.8.14)

Поскольку А ~(&/〃］尸，как это следует из (3J8J1) при 勺 > 0, находим

/* = — ,(5.8.15)

В %

что совпадает с (5.7.14).

Различные теории западного пограничного течения могут быть, таким образом, классифицированы в соответствии с механизмом (вязким, инерционным или инерционно-вязким), предотвращающим проникновение возмущений погранслойного масштаба во внутреннюю область океана от западной границы, где они в основном и генерируются.

Оценки диссипации дпя стационарной циркуляции

Когда западное пограничное течение существенно инерционное, невозможно построить простые аналитические решения, описывающие полную картину циркуляции. Хотя полученные ранее качественные результаты и объясняют характерные особенности исследуемой циркуляции, для построения подробной картины линии тока необходимо численное интегрирование уравнения вихря (5.2.20). Прежде чем анализировать имеющиеся численные расчеты, выведем в этом разделе некоторые интегральные соотношения, которые помогут понять результаты этих сложных вычислений.

В случае стационарной циркуляции в замкнутом бассейне все линии тока должны быть замкнутыми. Рассмотрим произвольную замкнутую линию тока С屮，внутри которой заклкчена область 4屮，как показано на рис о 5.9.1. Для стационарного течения уравнение вихря (5.2.20) может быть записано в виде

U • ▽ {(+ > + 21} = rot т - —5 + (竺)3『【， (5.9Л)

р * L L

Рис. 5.9J. Контур С совпадающий сции( ограничивает площадь 4屮.Рис. 5.9J. Контур С совпадающий сции( ограничивает площадь 4屮.линией тока стационарной циркуля-линией тока стационарной циркуля-

Рис. 5.9J. Контур С совпадающий с

ции( ограничивает площадь 4屮.

Рис. 5.9J. Контур С совпадающий с

ции( ограничивает площадь 4屮.

линией тока стационарной циркуля-

линией тока стационарной циркуля-

где использованы определения (541), Проинтегрируем уравнение

по площади 4屮・ Поскольку поле скорости геострофично, то

6；Пп6；Пр

//и * ▽ { —-— С + у +! dxdy = //Vе [ u(—— С + 夕 +) ] dxdy,

4 屮U 0L 0

(5.9.2)

и, используя теорему о дивергенции, имеем

// и ・▽ { С + У + — ! dxdy = % (u • n ){ —=-$ + У + I d, = О, 4屮U§屮1 В

(5.9.31 поскольку по определению вектор скорости и должен быть параллелен линии тока, п - единичный вектор нормали к контуру C^^dl - элемент дуги этого контура. Следовательно, интеграл от (5.9Л) по площади 4 屮дает

5 T • dl = Г 0 u . dl - ( —)3 (W . n)山， (5.9.4) cL cL C

屮屮屮

где dl - касательный к С屮 вектор, длина которого равна dl. При выводе (5.9.4) использовались следующие тождества теоремы Стокса и теоремы о дивергенции:

JJ TQtztdxdy =

А

屮

С 屮

(5.9.5a)

H^dxdy =

А 屮

夕 u • dl, с屮

(5.9.56)

// V«dxdy =

ф・ nd/ 。

(5в9=5в)

с 屮

Соотношение (5,9.4) означает, что циркуляция касательного напряжения ветра по контуру С^, должна балансироваться диссипацией вихря на С屮，обусловленной придонным трением и диффузией вихря поперек С屮 ° Полный приток вихря извне равен циркуляции т no С屮， а диссипация вихря из-за придонного трения прямо пропорциональна циркуляции скорости по С屮.Важно отметить, что баланс между приложенным напряжением и вязкой диссипацией, выражаемый соотношением (594), должен быть справедлив для всех величин 6〃6s и %/6乂 • Иными словами, адвекция потенциального вихря в силу (5.9.3) не может вообще входить в интегральный баланс вихря. Поэтому трение и должно обязательно участвовать в балансе вихря, и пренебрегать трением нельзя независимо от того, насколько малы силы трения по сравнению с инерционными эффектами.

Во внутренней области каждая из безразмерных переменных имеет порядок 0(1). Из (5.9.4) следует, что поскольку 6s и 5М малы по сравнению с L, то необходимый баланс членов не может быть достигнут на линии тока, которая полностью остается во внутренней области, так как в этом случае

/т • dl =0(1),(5.9.6)

а члены в правой части имеют порядок О(6§/L) и 0((6乂/炉)соответственно. Поэтому каждая линия тока должна проходить через область пограничного слоя, где существенна диссипация вихря, как показано на рис. 5.9.2. Рассмотрим в качестве первого примера модель Манка, когда придонным трением можно пренебречь. В пограничном

Рис. 5.9.2. Если течение во внутренней области описывается соотношением Сеердрула, то каждая линия тока должна проходить через область диссипации еихря и ни одна линия тока не может замкнуться во внутренней области.

слое, согласно (5.4.39),

а градиент вихря

▽【~ К = 0(% £ =。(与)，(5.9.7)

dxбм 5м

так что

(—)3/ V[・ nd/ =0⑴，(5.9.8)

поскольку длина линии тока, находящейся в пределах пограничного слоя, имеет порядок 0(1). Таким образом, диффузия вихря из-за бокового трения в пограничном слое балансируется генерацией вихря касательным напряжением ветра.

В модели Стоммела преобладает придонное трение, и из (5.5.19)

vb =)•

б5

Поскольку все линии тока проходят через западный пограничный слой, то вклад в первый интеграл в правой части (5.9.4) от участка линии тока в слое Стоммела равен

_Ju • dl = fvBdy = 0(1).(5.9.9)

В обоих случаях западный пограничный слой, замыкающий линии тока, способен также диссипировать приток завихренности, создаваемой ветром.

Рассмотрим теперь предельный случай, соответствующий инерционной теории, когда 斗》5М или 6s. Вклад в баланс вихря от диссипации, действующей на течение в инерционном слое, может быть легко оценен, поскольку

(5.9Л0)

? в = °((~)2)*

Таким образом,

-/%办=0(—)<< 1,

'S/(5.9.11)

(X)3 J-— dy = 0((纹)3)<< 1.

L dx5,

Итак, диссипация вихря в инерционном пограничном слое при 斗 >> 6乂 или 6s недостаточна для того, чтобы сбалансировать приток вихря, создаваемый касательным напряжением ветра. Разрешение этого очевидного парадокса содержит ряд тонкостей и представляет определенный интерес. При любых ,4口 幺 0, даже сколь угодно малых, для выполнения условия прилипания внутри инерционного слоя должен существовать вязкий подслой, аналогичный подслою, описанному в разд. 5.5. Однако, поскольку теперь 5; > (6乂，6§), такой подслой должен характеризовать-

ся балансом между горизонтальным трением и нелинейной адвекцией, т.е.

(5.9J2)(5.9J2)

(5.9J2)

(5.9J2)

Безразмерная ширина подслоя 1 может быть оценена следующим образом. В подслое

(包.)3?2( = 0(("(包.)3?2( = 0(("LLLL了专二。了专二。(5.9J3)(5.9J3)

(包.)3?2( = 0(("

(包.)3?2( = 0(("

L

L

L

L

了专二。

了专二。

(5.9J3)

(5.9J3)

в то время как

(上/и . % = (21)2(“匹 + v Л) = О((—)2)vBSB. (5.9.14)

Следовательно, (5.9J 2) означает, что

1&31&3号LvB号LvB(5.9.15)(5.9.15)

1&3

1&3

号LvB

号LvB

(5.9.15)

(5.9.15)

ил^в размерных единицах,

гдегдеб/ 『б/ 『吟吟(5.9.16)(5.9.16)

где

где

б/ 『

б/ 『

吟

吟

(5.9.16)

(5.9.16)

6 4H

-число Рейнольдса в пограничном слое»

Рассмотрим теперь линию тока CQ, совпадающую с границей бассейна. Для этой внешней линии тока соотношение (5.9Л) является балансом вихря для бассейна в целомв Поскольку CQ непосредственно примыкает к границе, она должна пройти через вязкий подслой, и вклад боковой диффузии вихря для этой линии тока с учетом (5.9Л0) и (5.9.15) равен

(亠)3/〃 . n成=0((包)3 3)=0(三上)=0(1),

乙L I2 L3 5, S3 1

'м (5.9.17)

h；/錦 L*|

Рис. 5.9,3. Стационарная картина линий тока, полученная путем анализа диссипации еихряи

и мы видим, что баланс вихря для всего бассейна не нарушается. Таким образом, независимо от того, насколько мала величина Ан, только при учете горизонтальной диффузии вихря возможно существование стационарного решения со сведруповским течением внутри области [когда правая часть (5.9.4) действительно мала во внутренней области]. Пренебрежение боковой диффузией вихря вносит сингулярное возмущение в уравнение вихря, полностью меняющее характер решения, когда нелинейные инерционные члены становятся преобладающими.

Однако не все линии тока будут проходить через подслой (иначе никакого другого западного пограничного слоя и не потребовалось бы). Рассмотрим, как показано на рис. 593, линию тока вне подслоя, которая проходит на север через инерционный слой и возвращается во внутреннюю область, проходя через "волновую” северную инерционно-вязкую область. Мы уже видели» что диссипация вихря в области образования западного пограничного течения не может сбалансировать приток вихря из-за действия касательного напряжения ветра.

Рассмотрим теперь диффузию, которая имеет место в инерционновязкой области в северо-западной части бассейна. В этой области вихрь имеет порядок О (%二/ 与)в безразмерных единицах» так что

(5.9Л8)(5.9Л8)

(5.9Л8)

(5.9Л8)

где Н - длина пути вдоль волнообразной линии тока в инерционно-вязкой области. Длина пути для каждого колебания имеет порядок 0(1), а

число таких колебаний, как следует из (5.7.13) и (5.7.14), равно

I”6；

= J_- =(5.9.19)

/m

Поскольку

"в = О(А，(5920)

величина интеграла в (5.9.18) равна

■^*/№ = 0(1).(5.9.21)

Таким образом, своеобразный эффект волнообразного характера линии тока в инерционно-вязкой области состоит в том, чтобы удлинить время пребывания жидкого столбика в вязкой области настолько, чтобы обеспечить такую диссипацию вихря, которая диктуется уравнением (5.9.4).

Если Лн произвольно положить равным нулю, то даже при наличии придонного трения мы не получим прежней картины циркуляции с внутренней областью, где скорости течения имеют порядок 0(1). Каково же решение в этом случае? Ясно, что скорость во внутренней области должна иметь порядок, большийt чем О (1), для того чтобы мог существовать баланс между притоком вихря и его диссипацией, даже если вынуждающее воздействие, создаваемое ротором касательного напряжения ветра, и имеет порядок 0(1). Подобное явление имеет место в простых механических системах, таких,как пружинный осциллятор, при резонансе, когда частота вынуждающего воздействия совпадает с собственной частотой системы. Амплитуда отклика при этом ограничивается только трением в системе, и если трение мало, то такая амплитуда может быть значительно больше, чем йри нерезонансном воздействии. Это, естественно, приводит к следующему вопросу: существует ли в задаче о циркуляции невязкая свободная мода с нулевой частотой, которая может резонансно возбуждаться в вынужденной задаче, когда 从口 пренебрежимо мало? Этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Свобопные инерционные мопы

Рассмотрим свободные стационарные инерционные движения, возможные в прямоугольном бассейне, показанном на рис. 5.10.1. При

戶"с. 5Л0Л, Замкнутый прямоугольный бассейн, для которого рассчитыва* етсд мода с нулевой частотой.

т н 6乂 = 6§ = 0 уравнение (5.9.1) для океана с плоским дном примет вид

и • ▽[(厂)2工+” =，(5.10.1)

или, что то же самое,

(——)2у2 屮 + У = G(5，(5.10.2)

где 屮—функция тока геострофического движения. Поскольку бассейн замкнутый, все линии тока также замкнуты, так что G(屮)не может быть определена методом, описанным в разд. 5・6, поскольку на любой линии тока течение априори не известно •

Ничто не мешает нам, однако, выбрать

G(屮)=亲(5」0。3)

и рассмотреть получающиеся следствия. Постоянная А2 произвольна» Уравнение (5=10=2) примет теперь вид

5.

А2(-—)2^2^ -屮=-у А2(5=10=4)

с граничными условиями

Гх = 0,

X = I,

屮=const при(5.10.5)

у = 0,

у = 1=

Поскольку (斗 /乙)2 - малый параметр, приближенное решение (5.10.4), удовлетворяющее (5.10.5), может быть найдено методом пограничного слоя. Решение во внутренней области имеет вид

*=力=m2(5.10.6)

и представляет собой однородный поток западного направления. При

х = 0 и х = Z необходимы пограничные слои, для того чтобы обратить нормальную скорость в нуль. Исключая временно из рассмотрения границы при у = 0,1, получим решение (5.10.4) с нулевой нормальной скоростью при х = 0их = / в виде

% = у - (у -yr)[e~xL/biA + e~(l ~ x}L/ZlA], (5.10.7)

屮…屮…-(1 -vjL/6/Л CNe，-(1 -vjL/6/Л CNe，(5.10.8)(5.10.8)где уг - произвольная постоянная. Течение, описываемое (5.10.7), показано на рис. 5.10.2. Поток во внутренней области всюду направлен на запад. При столкновении с западной границей течение при у =ут разделяется на потоки северного и южного направлений. Для возврата жидкости на восток необходимы пограничные слои при у = 0 и у = 1. Для этого к (5.10.7) необходимо добавить решения однородного уравнения (5=10Л) вида

屮…

屮…

-(1 -vjL/6/Л CNe，

-(1 -vjL/6/Л CNe，

(5.10.8)

(5.10.8)

с -yL/б» Л

屮S = % е，

которые и обеспечивают необходимую компенсацию. Полный расход жидкости на восток в северном пограничном слое равен 一 ％ и должен равняться расходу жидкости на север в западном пограничном течении,

Р “ с。5Л0.2. Картина течений, ссютеетствующая инерционной моде вне окрестностей северной и кмсной границ.

(5J0.9)(5J0.9)когда оно достигает северной границы, т.е.

(5J0.9)

(5J0.9)

4/

Аналогично

^ = % ,(5.10.10)

так что полное решение задачи (5.10.4), (5.10.5) для малых (, /L)? имеет вид

Л 2

_(1_%)ь'7'5m+"7'/%.(5.10.11)

Линии тока для этого решения схематично показаны на рис. 5.10.3. Эта свободная мода впервые рассматривалась Фофоновым (1954). Она существенно нелинейна, поскольку строго линейное, геострофическое, стационарное течение имело бы линии тока у = const, что невозможно при наличии стенок при х = 0 или х = 1. Из рис. 5.10.3 ясна необходимость инерционных пограничных течений для замыкания линий тока.

Важно заметить, что амплитуда Л 2 такой моды произвольна.

Рассмотрим теперь эффект слабого придонного трения (6§ « 0), а боковым трением полностью пренебрежем. Диссипация в моде Фофонова, согласно (5.9.4), равна

%%

/и • dl = О(-— v^)9(5J0.12)

поскольку диссипация будет происходить в первую очередь в пограничных течениях с большими скоростями. В этих течениях скорость, согласно (5.10.11), равна (например, в западном пограничном слое)

乂比• =-LA(y-yr)£~xL/5lA = O{ — ) ,(5.10.13)

ах 斗5|

так что

——/и . dl =0(4(二))・(5.10.14)

屮= a?уг

屮二 a?уг

Рис. 5Л0.3. Свободная инерционная мода Фофонова* Заметим, что у выбирается произвольно и может быть смещено на любую широту внутри бассейна.

Отсюда диссипация вихря будет порядка 0(1), если

А = 0(—) » 1.(5.Ю.15)

Можно предположить, таким образом, что при наличии касательного напряжения ветра порядка 0(1) будет иметь место разонанс со свободной модой Фофонова, создающий течение во внутренней области со скоростью порядка О (5, / в§ ), т.е. в 6,/6§ раз больше, чем в теории Свердрупа. Этот резонанс будет наблюдаться, если только 4bB точности равно нулю, иначе при ненулевом Лн будет возникать картина, изображенная на рис. 5.9.3. Эти замечания иллюстрируются численными экспериментами, обсуждаемыми в следующем разделе.

Численные эксперименты

В дополнение к условию малости относительного вихря по сравнению с планетарным вихрем (условие геострофичности движения, когда U/fL « 1) для справедливости теории Свердрупа и линейных теорий западных пограничных течений необходимо более сильное условие малости градиента относительного вихря по сравнению с градиентом планетарного вихря (^/pQL2 « 1). В противном случае нелинейная адвекция становится важным фактором в балансе вихря. В наблюдаемых западных пограничных течениях градиент относительного вихря

имеет тот же порядок, что и 卩。,так что нелинейные эффекты важны. Однако, как показало обсуждение в разд. 5.7 и 5・8, для получения стационарного решения в задачу об общей циркуляции необходимо ввести трение. Это приводит к большим трудностям математического характера, и, хотя указанные выше аналитические результаты позволяют дать качественное описание предполагаемой картины циркуляции, для детального анализа задачи необходимы численные расчеты на ЭВМ. Важно иметь в виду, что, как и при аналитическом подходе, численные расчеты имеют свои ограничения, определяемые соображениями о пространственном разрешении, экономичности и характере получаемой информации. Последнее соображение особенно важно. По своей сути численные решения дают для каждого рассматриваемого случая конкретную картину движения, а не общие соотношения между динамическими переменными. Это полностью аналогично результатам, получаемым в лабораторном эксперименте. В каждом из этих случаев необходима дополнительная информация, на которую можно опираться при физической интерпретации получаемых результатов. Когда численные расчеты проводятся с целью решения соответствующих уравнений движенияt а не сводятся просто к вычислениям по уже полученным при помощи аналитических методов формулам, то такие расчеты обычно называют w&o ленным экспериментом^ Описание техники численных экспериментов и соответствующих вопросов численного анализа выходит за рамки данной книги; ограничимся лишь замечанием о том, что в большинстве случаев соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных решаются путем представления производных конечно- разностными ешпроксимациями различной степени точности. Эти конечно-разностные аппроксимации требуют повторяющихся расчетов динамических переменных на пространственной сетке, расстояние между точками которой должно быть достаточно малым для получения необходимого разрешения. Сетка не может, однако, быть и слишком частой, поскольку вычисления становятся тогда чрезмерно громоздкими и Дорогостоящими. Имеется несколько важных численных экспериментов, дающих решения уравнения вихря (5.2.22). Результаты этих экспериментов следующие.

Брайен (1963) интегрировал уравнение вихря для прямоугольного океанического бассейна с плоским дном в отсутствие придонного тре* ния [г « 0 и qB = 0 в (5222)]・ Масштаб для скорости выбирался в соответствии с оценкой (5.2.19), вычисления проводились в основном при

фиксированной величине

1/1/1,28 • 10-3,1,28 • 10-3,(5.11.1)(5.11.1)

1/

1/

1,28 • 10-3,

1,28 • 10-3,

(5.11.1)

(5.11.1)

а числа Рейнольдса

(5Л1.2)(5Л1.2)Re =匹

(5Л1.2)

(5Л1.2)

варьировались в пределах от 5 до 60. Для Re больше 60 получались только нестационарные решения; здесь они рассматриваться не будут. Поскольку

(5.11.3)(5.11.3)%, Re

(5.11.3)

(5.11.3)

эксперимент проводился в диапазоне значений 斗 /% от 0,56 при Не = 5 до 1,29 при Re = 60.你и 5; /5М = 1,29 пограничный слой, конечно, си-ть- но нелинеен, но трение имеет примерно такой же порядок, что и нелинейные члены. В действительности случай 6乂/6^ « 1 может и не представлять интереса в связи со стационарной задачей, поскольку эксперименты показывают, что в этом случае стационарные решения, несомненно, неустойчивы и не реализуются на практике.

На рис. 5.11.1 показаны рассчитанные Брайеном картины линий тока для четырех различных чисел Рейнольдса, т.е. для четырех значений 斗/6乂・ Напряжение ветра имеет вид

(5.11.4)(5.11.4)rot zt = —siniry.

(5.11.4)

(5.11.4)

На рис. 5.11.1, а показана рассчитанная картина для Re = 5, которая почти не отличается от предсказываемой линейной моделью Манка согласно формуле (5.4.40). С ростом Re влияние нелинейности становится все более очевидным^ пока при Re = 60 характер картины не становится близким к описанному в разд. 5・7・ Северная часть бассейна является местом существования затухающих неподвижных волн Россби, обусловливающих колебания линий тока, где относительный вихрь диссипирует под действием горизонтальной диффузии, как описано в разд. 5・9・ Грубая оценка (5.9.19) числа колебаний линий тока дает N = 2 при Re = 60, что находится в хорошем согласии с картиной на рис. 5.11.1».

а(D

Рис. 5.11J. Линии тока стационарной циркуляции, а - Re = 5, 6 - Re = 20, в - Re = 40, г - Re = 50; все расчеты проведены для в*1 = 1(28 • Ю*3 (Брайен, 19вЗ).

須

линейное

нелинейное

Р ис, 5.77,2, Распределение функции тока по долготе для четырех чисел Рей- нольцса, указанных на рис. 5JL1, изображено пунктирной пиниейв Сплошная кривая представляет собой линейное решение Манка (Брайен, 1963)»

На рис. 5.11.2 показана функция тока в зависимости от х в северной части бассейна. Из рисунка видно возрастание значения 屮 по сравнению с линейным решением при увеличении Re, что связано с увеличением расхода, необходимого для компенсации противотечений, вызываемых нелине№остью. В линейной модели Манка также существует слабое, воэшкаю- щее из-за трения противотечение и, следовательно, имеет место увеличение расхода пограничного течения. В данных расчетах это увеличе* ние расхода обусловлено формированием неподвижных волн Россби в инерционно-вязком слое в северной части бассейна.

Очень интересный численный эксперимент был выполнен Веронисом (1966)・ Он положил Ан н 0 и, таким образом, отказался от постановки условия прилипания на границе прямоугольного бассейна, рассмотрев в качестве механизма диссипации только придонное трение. В этом случае (дно океана снова считалось плоским) соответствующей мерой

нелинейности в области западного пограничного течения является отношение

_L = 2 (5.11.5)

Веройис провел расчеты для значений 5; /б5 в диапазоне от 2 ・ 10"2 ДО 8. Ясно, что при % / 6s = 8 рассматривалось существенно инерционное пограничное течение. Как мы уже отмечали, полное пренебрежение горизонтальным трением вносит сингулярное возмущение в уравнение вихря, особенно сказывающееся на картине общей циркуляции при 5； /б5 » 1. На рис. 5JL3, а показана рассчитанная картина линий

Рис, 5.17.3

Рис. 5J7.3. Линии тока стационарного течения в случае, когда горизонталь- ная диффузия импульса не учитывается и принимается во внимание только лридониое трение: (а) , /% = 2 ・ 10 2 (<J)/б5 =в • 10~2, (в) , /6§ = 1,

(г^ /% = 2. (4)0 /% = 4, (в) 6/ /б§ 工 8 (Веронис, 1966). Изображенные кривые являются изолиниями ч//Ч/шах, которые проведены через интервал 0,2: («) 4%ах = 1341, (6 *тах = 1.8Э6, (в)屮max =〔 329. (°) %ах = 1,797, (Д) (Д)屮max = 3/64； (е) Ч^ах =乌加.

тока для того же по существу распределения касательного напряжения ветра, что и в вычислениях Брайена» В этом случае 6,/6$ = 2 • !0"2, и рассчитанная картина тождественна получающейся из линейной модели Стоммела, которая рассматривалась в разд. 5.5. С возрастанием 5//5s нелинейные эффекты стан(»ятся все более очевидными. Развива* ется асимметрия течения в направлении 1^вер 一 юг, и на рис. 5Л.Зв, Для котсфого 屮max = L84, появляются знакомые колебания линий тока. При дальнейшем увеличении % /^ картина циркуляции существенно меняется (см. соображения, изложенные в разд. 5.9)・ На рис. 5・11・3, d, например, приведены результаты расчетов для 6彳 /б§ = 4. Колебания линий тока исчезли. Вместо этого формируется сильное северное пограничное течение, распространяющееся вдоль всей северной стенки, так что жидкость возвращается во внутреннюю область с восмка» В предельном случае, показанном на рис. 5.П.З, е, когда 5; /в§ = 8, запад-

ная интенсификация циркуляции полностью отсутствует, и картина линий тока очень похожа на свободную моду Фофонова, рассмотренную в разд. 5・10. Ом箪лс塞вме бокового мирения привело х резонансу с модой Фофонова» В линейном решении на рис. 5.11.3, а максимальное значение 屮 равно 1,84, в то время как в резонансном случае оно возрастает почти на порядок и достигает значения 12.81 ・ Это согласуется с оценкой (5.10.15), согласно которой в отсутствие боковоготрения функция тока во внутренней области в отличие от даваемой теорией Свердрупа имеет порядок О (% /6$), когда % » 6s. Отсюда можно по лучить оценку (1,84) х 8 ~ 14,7 для амплитуды моды Фофонова, что находится в хорошем согласии с расчетами. Изложенные очень важные качественные отличия между расчетами Брайена и Верониса прекрасно иллюстрируют эффект сингулярного возмущения уравнения вихря, создаваемого в результате пренебрежения боковым трением.

Экмановская запача об апвеллинге

В задаче о ветровой циркуляции, изложенной в данной главе, в явном виде использовалось приближение р-плоскости. В частности, уравнение вихря рассматривалось в упрощенном виде на протяжении всех предыдущих разделов в силу условия (5.2.12), т. е.

-—.,< 0(1).(5.12.1)

f。

Помимо других следствий, это условие позволяет пренебречь с точностью до O(₽oL/fo) полным потоком в экмановском слое по сравнению с геострофическим полным потоком во внутренней области, так что полные потоки считаются приближенно равными их геострофической компоненте [см. (5.2.24)] Тем не менее, несмотря на малость величины PoL/fo, для большинства океанических круговоротов она имеет порядок О (10"1) и ею нельзя полностью пренебрегать< Заметим, что единственное оправдание того, что мы пренебрегаем членами этого порядка, но сохраняем члены, вообще говоря, меньшего порядка 。陷/1, 6зl3,京儿), состоит в том, что последние члены, являясь чрезвычайно малыми во внутренней области, имеют порядок 0(1) в области пограничного слоя, где масштаб движения L уменьшается и становится равным одному из трех масштабов 5; , 5М, 6§ .

В этом разделе учитываются потоки порядка O(₽oL/fo), создаваемые течениями в экмановском слое. Это вызвано не только желанием усовершенствовать количественно теорию циркуляции; на первый план выходят более фундаментальные вопросы. Полный поток в экмановском слое перпендикулярен напряжению ветра и определяется его локальной величиной. Что будет, например, с полныч потоком в экмановском слое, когда он наталкивается на границу океана? Геострофическое течение определяется дивергенцией экмановского полного потока. Что будет происходить, когда экмановский полный поток является без- Дивергентным? Будет ли в таких случаях течение ограничиваться эк- мановским слоем? И необходимы ли будут западные пограничные течения? Должна ли геострофическая скорость во внутренней области по-прежнему обращаться в нуль на восточной границе океана? Ответы на эти фундаментальные вопросы выходят за рамки возможностей простой модели (5・2・22), однако обобщение такой модели, если не ограничивать его тщательно, может привести к не поддающейся анализу задаче. Для ответа на поставленные выше вопросы мы рассмотрим очень простую модель океана с плоским дном, в которой с самого начала не учитываются нелинейные члены. В дальнейшем станет очевидным в силу простоты полученных результатов, что их применимость не ограничена рамками такой простой модели.

(5.12.2)(5.12.2)Уравнения движения для однородного слоя в размерном виде даются системой (4.3.1а, б, в). Если аппроксимировать параметр Кориолиса около центральной широты 0Q линейной функцией, то

(5.12.2)

(5.12.2)

f = %(】+ U У*)= 'J，1 с

где

fo = 2Qsine。，

2Q cos 0q

Здесь г о 一 радиус Земли, у* - размерная координата в северном направлении. Если использовать U» заданную соотношением (5.2.19), в качестве масштаба горизонтальной скорости, a (D/L) U, L, D, p%U и т0 в качестве масштабов вертикальной скорости, горизонтальной длины, вертикальной длины, горизонтального изменения давления и напряжения ветра, то линеаризованные уравнения движения в безразмерном виде получаются непосредственно из (4.3.1а9 б, б):

ООдх好办др ,дх好办др ,VVа%務dz2а%務dz2Ehd~d 〜+„ —(. —+■‘ ・；；2dx2办2Ehd~d 〜+„ —(. —+■‘ ・；；2dx2办2(5.12.3а)(5.12.3а)52£2252£22),(5.12.36)(5.12.3в)),(5.12.36)(5.12.3в)

О

О

дх

好

办

др ,

дх

好

办

др ,

V

V

а%

務

dz2

а%

務

dz2

Ehd~d 〜

+„ —(. —+■‘ ・；；

2dx2办2

Ehd~d 〜

+„ —(. —+■‘ ・；；

2dx2办2

(5.12.3а)

(5.12.3а)

52£

22

52£

22

),(5.12.36)

(5.12.3в)

),(5.12.36)

(5.12.3в)

а уравнение неразрывности сохряняется в том же виде

(5.124)(5.124)dudv dw с

(5.124)

(5.124)

■ Я| ■■ + ■1 - + ―― = Uv

дх办dz

На верхней границе при z = 1 задано касательное напряжение ветра; согласно результатам разд. 4.10, здесь образуется слой Экмана толщиной 6e，где

(5.12.5)

В результате создается экмановский полный поток, равный в безразмерных единицах

(5.12.6)

где к - единичный вектор в направлении оси z. Поскольку

вертикальная скорость жидкости, накачиваемой в верхний экмановский слой из внутренней области, равна

(5.12.8)

Во внутренней области члены в (5.12.3а, б, в), пропорциональные £н и Еу, пренебрежимо малы, так что

^/ =—， дх

(5J2.9a)

ду

(5.12.96)

(5.12.9b)

где индекс / обозначает давление и скорости во внутренней области. Исключая р[ из (5J2.9a, б), получим с учетом (5.12.4)

az

(5.12.10)

Поскольку u; и u;, согласно (5.12.9в), не зависят от z, (5.12Л0) по z дает

интеграл от

в<Л ~

力=f(u>[(x, у, 1) - W^x, у, 0力

(5.12.11)

Так как, согласно (4.5.39),

Еуd”du,

wi (修 力 0)=-—(—-——)，

2дхду

(5.12.12)

то (5：12・11) с точностью до О(Е^ } принимает вид

и『=f rot _ k,(5.12.13)

или

(5.12.14)(5.12.14)т(х) p0L

(5.12.14)

(5.12.14)

Vj = rotzT + -у;

где ^(*> - компонента т по оси х. Заметим, что (5.12.14) сводится к (5.3.2), если пренебречь членами порядка O(₽oL/f 0). Поскольку полный поток в северном направлении равен сумме геострофического и экмановского потоков, то используя (5・12・6), получим

гоГт.гоГт.(5.12.15)(5.12.15)

гоГт.

гоГт.

(5.12.15)

(5.12.15)

Итак, полный свердруповский поток в северном направлении М^у)равен ротору касательного напряжения ветра и при учете членов порядка O(₽oL/f 0). Из (5.12.9) и (5.12.13) находим, что

厶=-/ 产го%』d« + P(y),厶=-/ 产го%』d« + P(y),(5.12.16)(5.12.16)

厶=-/ 产го%』d« + P(y),

厶=-/ 产го%』d« + P(y),

(5.12.16)

(5.12.16)

где P(y) - произвольная функция, & - координата восточной границы. Геострофическая скорость в восточном направлении поэтому рав

нана1 d丁丁石1 d丁丁石ар(у)办ар(у)办(5.12.17)(5.12.17)

на

на

1 d

丁丁石

1 d

丁丁石

ар(у)

办

ар(у)

办

(5.12.17)

(5.12.17)

Как и раньше, геоакрофическая скорость в восточном направлении содержит произвольную функцию. Заметим, однако, что экмановский полный поток в направлении оси х

~7j~~7j~

~7j~

~7j~

полностью определяется локальным значением компоненты напряжения ветра в направлении оси у ・ Для того чтобы определить Р(у), необходимо изучить поведение экмановского потока, набегающего на восточную границу. Рассмотрим рис. 5.12」・ Экмановский поток М^1 в верхнем слое толщиной EJ набегает на восточную границу, где в соответствии с теорией Экмана он будет не равен нулю, если не равно нулю напряжение ветра вдоль берега т^ЦХ^., у). Тем не менее ис-

Рис. 5.12.1. Напряжение аетра т 屮 направленное а рисунок, создает экма- новский поток м£) к границе, где жидкость должна опускаться. Безразмерная толщина экманоаского слоя равна Е?. а ширина области опускания рав-

тинный поток в верхнем экмановском слое должен обращаться в нуль при # = Х^。Ясно, что в некоторой малой области вблизи границы соотношение (5J2.6) должно нарушаться из-за резкого возрастания вблизи границы тех сил, которые не учитывались при рассмотрении экмановского слоя вдали от границы. Единственными такими членами в (5.12.3а, б, в), величина которых может локально возрастать настолько, чтобы изменять баланс в верхнем экмановском слое, являются члены с горизонтальным трением. Эти члены будут того же порядка в слое Экмана, что и члены с вертикальным трением, если производные по х будут иметь порядок 夯・ %。приводит нас к исследованию уголковой области толщиной Е% и шириной Е捺.Введем погранслойные координаты

(5.12.18)

и запишем каждую из переменных в виде суммы величины во внутренней области и поправки в уголковой области:

吁勺(х, »+%(§, % С)Е^；%

(5.12.19)(5.12.19)津=匕(％，)+ %(§, У, C)EJ%,0й匕后力+ %© " € )£ни ,

(5.12.19)

(5.12.19)

* = &(%，)+ %(§，* 5)(—)^2.

(5.12.20в)(5.12.20в)Масштабы поправочных функций определяются из того условия, что горизонтальный поток в уголковой области должен быть одного порядка с экмановским потоком, т.е. их Е^ 0(1). Из этого условия следует ,что и и и должны здесь иметь порядок О(Е^*)・ Характерный масштаб для wc следует из условия сохранения массы, т・е・ 咏 Е彳 должно быть порядка 0(1), если лоток, набегающий на границу, должен поворачивать вниз в уголковой области. Масштаб поправки к р^ определяется из (5・12・3в) с учетом масштаба для ш Если подставить (5.12.19) в (5.12.3) и сохранить только члены порядка 0(1), то, используя соотношения (5.12.9а, б, в) для переменных во внутренней области, получим

(5.12.20в)

(5.12.20в)

уравнения для uc, vc и

乜：

…=T(7F

務с

+时2

),

(5.12.20а)

,1 J包

也

+ НС

).

(5.12.206)

а% а%

На верхней границе жидкости должно выполняться граничное условие (4.10.1), которое в рассматриваемом случае имеет вид

(5.12,21а)

(5Л2.216)

в то время как значительно ниже уголковой области» дис /д£ и

^vc/dl должны обращаться в нуль. Интегрируя (5.12.20а, б, в,) от С = 0 до【=а, получим

1 叫

1с

一 Т а$2

产，

(5.12.22а)

1 а% _

里Т叫

(5.12.226)

2а§2

^0

где

1儿J

°° U

=/ [/]典.

0 С

(5Л2.23)

Величины Uc и Vc представляют собой проинтегрированные по вертикали скорости в уголковой области. Вследствие того что в этой облао ти dz = -d第，,а и и и в низшем порядке равны ис Е彳％ н 沙心 £ /%, U^ и Vc представляют собой горизонтальные кстлпонентн вектора полного потока в верхней уголковой области. Уравнения (5.12.22а, б) составляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений для этих величин. Поскольку Uc и Vc в силу граничных условий непроте- кания и прилипания должны обращаться в нуль при х = Х£ (т^. при

§ = 0), решение (5.12.22а, б) находится сразу:

(5.12.24)(5.12.24)

(5.12.24)

(5.12.24)

Заметим, что для больших § полные потоки Uc и Vс переходят, как

это и должно быть, в экмановские полные потоки [см。 (5Л2.6)]. Интеграл от (5・12・20в) дает вертикальную скорость жидкости, вытес* няемой из уголковой области и накачиваемой в нижележащую область:

дис

-%( €，У，8)(S у)=

=吐_ 产е 彳‘气[I cos?” + sin『t} +

+ -у—I COS 产sin7”}]・(5.12.25a)

Общий объем жидкости, накачиваемый вниз,

aPL т(у1(*> у)

-/ %(S У，з) d§ = + X；(5.12.256)

равен просто экмановскому потоку в восточном направлении, наталкивающемуся на границу. Итак, в уголковой области экмановский поток поворачивает вниз в прибрежный слой, показанный на рис. 5.12.2; в этом слое скорости и давление будут быстро меняющимися функциями х, однако по z они будут существенно изменяться на масштабе порядка 0(1), как и во внутренней области. Следовательно, преобладающими членами в (5.12.3а, б, в) будут

(5・12・26а)(5.12.266)(5・12・26а)(5.12.266)(5.12.26b)(5.12.26b)

(5・12・26а)

(5.12.266)

(5・12・26а)

(5.12.266)

(5.12.26b)

(5.12.26b)

где индекс В относится к переменным в прибрежном слое, ширину которого теперь необходимо определить. Переменные, описывающие течение во внутренней области, с которыми должны гладко сопрягаться

W=O(Eh/Z)

Рис. 5.72.2・ Схежтм чески й вид вертикальной циркуляции у восточной границы о Поток из верхнего экмановского слоя опускается а прибрежный пограничный слой и выходит во внутреннюю область как геострофическое эональ* ное течение.

переменные с индексом 8, не зависят от z. Предположим на время, что ив и vB также не зависят от z, а потом проверим справедлив в ость этого предположения. Если ив и ив не зависят от z, то, исключая рв из (5.12.26а, б), получим

肮 ~唯 Er d2 dvB Эмв.„ „_

/。dz 2A#? d# 办

Интегрируя (5.12.27) по вертикали, имеем

B°L ~Ен д2 dvR duR

——Up ^ f[wB (x, y, 1) - WB(X, y, 0)] +^ (

f°2 dx2 d# 办

(5.12.28)

При z ^1 wR находится в соответствии с (5.12.19) и (5.12.25):

I P0L~

%(/九 1)= ер不一声農冲(一产6 X

sinfH§ -cos74§J].sinfH§ -cos74§J].cos，” + sinf н§ J 4

sinfH§ -cos74§J].

sinfH§ -cos74§J].

(5.12.29)

С другой стороны, поскольку скорость во внутренней облает имеет порядок 0(1), поток в нижнем экмановском слое, наталкивающийся на границ, имеет порядок только 0(Е%)・ Поэтому вертикальная скорость жидкости, накачиваемой в прибрежный слой из нижней уголковой области, имеет порядок 0(Е,/ Ej ), как показано на рис. 5・12・2, т.е. она мала по сравнению с шв(х, у, 1) и ею можно пренебречь. Далее, в прибрежном слое ив и vB имеют порядок 0(1) (в силу необжщимости силосования со скоростями во внутренней области), так что в (5.12.28) можно пренебречь див/ду по сравнению с dvB/dx. В этом случае (5.12.28) станет обыкновенным дифференциальным уравнением для vBf где член w£”, у, 1) играет роль вынуждающей силы.

Поскольку вынуждающая сила имеет в направлении х масштаб порядка 0(Е^), то решение для ив будет также существенно изменяться на этом масштабе. Но тогда отношение

(5.12.30)(5.12.30)

(5.12.30)

(5.12.30)

и (5.12,28) сводится к виду

° %-% а%2%厶т"),_ j

Г = - £w г- = f 4 [— ( cos / § + sin / 旬 +

ННн НхЗ%/

(5.12.31)(5.12.31)+ +—(sin7”-cos『”)]「7*E

(5.12.31)

(5.12.31)

Интегрируя это выражение один рад по §, получим

務 зB0L2 ( Т (У)cos 干吒務 зB0L2 ( Т (У)cos 干吒—т—тgsin 尹 §)е-户*(5.12.32)gsin 尹 §)е-户*(5.12.32)

務 зB0L

2 ( Т (У)cos 干吒

務 зB0L

2 ( Т (У)cos 干吒

—т

—т

gsin 尹 §)е-户*(5.12.32)

gsin 尹 §)е-户*(5.12.32)

поскольку 8勺日/8§2 должно обращаться в нуль при больших §・ гдепоскольку 8勺日/8§2 должно обращаться в нуль при больших §・ гдеUg является функцией х, а не §・ Но из (5.12.266) имеем а*в 1 務 вB 办 2 %2Ug является функцией х, а не §・ Но из (5.12.266) имеем а*в 1 務 вB 办 2 %2(5.12.33)(5.12.33)Так как ив должно обращаться в нуль при х = Х£ (т.е. при § = 0)у тоТак как ив должно обращаться в нуль при х = Х£ (т.е. при § = 0)у то(5.12.34)(5.12.34)

поскольку 8勺日/8§2 должно обращаться в нуль при больших §・ где

поскольку 8勺日/8§2 должно обращаться в нуль при больших §・ где

Ug является функцией х, а не §・ Но из (5.12.266) имеем а*в 1 務 в

B 办 2 %2

Ug является функцией х, а не §・ Но из (5.12.266) имеем а*в 1 務 в

B 办 2 %2

(5.12.33)

(5.12.33)

Так как ив должно обращаться в нуль при х = Х£ (т.е. при § = 0)у то

Так как ив должно обращаться в нуль при х = Х£ (т.е. при § = 0)у то

(5.12.34)

(5.12.34)

(5.12.35)(5.12.35)Поскольку 勺，Up и рв имеют порядок 0(1), то (5.12.26а) означает, что с точностью до О (Е^)

(5.12.35)

(5.12.35)

Отсюда в силу принципа согласования давление в пограничном слое равно давлению в геострофической области на внешней границе прибрежного пограничного слоя. Согласно результатам предыдущих разделов данной главы, у восточной границы океана не может существовать геострофический пограничный слой, вносящий вблизи берега поправку порядка 0(1) в величину зонального течения во внутренней облаем. Следовательно, зональное течение непосредственно за пределами прибрежного слоя с точностью до величин меньшего, чем 0(1) порядка, равно геострофическому течению во внутренней области. В свою очередь это с учетом (5.12.35) означает, что

d®R d% d"В。'必， 、

(不一％ = о=( —— )f = 8 = -7— (Хе，У)= -：— т 居，у)・

办dy办/0

(5.12.36)

Это условие полностью определяет произвольное зональное течение в (5J2J7), поскольку из (5.12.16) следует

J吧 e（XE，y）.

（5.12.38）

Таким образом, в выражении для зональной геострофической скорости при * = Х^ обращается в нуль только компонента, имеющая порядок 0（1）. Полагая х = Х£ в （5.12.38）, находим

勺（&, у）— —х；— к 1 （Хе，у） = — ^е *（勺，у）・（5.12.39）

Этот геострофический поток равен и направлен противоположно экма- новскому потоку в поверхностном слое вблизи берега. Таким образом, полный зональный поток, т.е. сумма геострофического и экмановского потоке®, при х = Х£ обращается в нуль. После небольших преобразований выражение （5.12.38） может быть переписано в виде

а ХеТ叫X, у）

и/ / rot. тЛс，—： （5.12.40）

Анализ верхней уголковой области у западной границы океана аналогичен анализу для восточной границы. Снова экмановский полный поток, наталкивающийся на берег, отускается вниз в слое шириной Е^ и фо- никает в геострофическую область, как показано на рис. 5・12«3・ Рассмотрим

случай, когда экмановский поток на западной границе направлен на восток, как на рис. 5.12.3. Для компенсации этого потока в уголковой области необходимо, чтобы геострофический поток жидкости проникал р слой апвеллинга при * = X附，так что геострофическая скорость при к = X附 равна

у） =-М* ' у）=-——（5.12.41）

f 「

Однако （5.12.40） показывает, что при * = X附

а Хе .₽0L т,у）（X，у）

"l（X附，у） = -— / rotz тdx — r

Рис. 5J23 Схематический вид циркуляции вблизи западной границы. Поток 喈），создаваемый ветром, направлен от берега. Жидкость в экмановский спой поступает в результате вертикального движения в слое апвеллинга шириной e^ „ Скорость во внутренней области равна Vl （X附，у）. Разница между и】（X附,у） м Mg） представляет собой поток, который должен отклоняться вбок и идти на север в западном пограничном течении шириной &*。Рис. 5J23 Схематический вид циркуляции вблизи западной границы. Поток 喈），создаваемый ветром, направлен от берега. Жидкость в экмановский спой поступает в результате вертикального движения в слое апвеллинга шириной e^ „ Скорость во внутренней области равна Vl （X附，у）. Разница между и】（X附,у） м Mg） представляет собой поток, который должен отклоняться вбок и идти на север в западном пограничном течении шириной &*。

Рис. 5J23 Схематический вид циркуляции вблизи западной границы. Поток 喈），создаваемый ветром, направлен от берега. Жидкость в экмановский спой поступает в результате вертикального движения в слое апвеллинга шириной e^ „ Скорость во внутренней области равна Vl （X附，у）. Разница между и】（X附,у） м Mg） представляет собой поток, который должен отклоняться вбок и идти на север в западном пограничном течении шириной &*。

Рис. 5J23 Схематический вид циркуляции вблизи западной границы. Поток 喈），создаваемый ветром, направлен от берега. Жидкость в экмановский спой поступает в результате вертикального движения в слое апвеллинга шириной e^ „ Скорость во внутренней области равна Vl （X附，у）. Разница между и】（X附,у） м Mg） представляет собой поток, который должен отклоняться вбок и идти на север в западном пограничном течении шириной &*。

Таким образом, имеется различие между величиной геострофической скорости во внутренней области при х = / и тем значением, которое она должно принимать на внешней границе слоя апвеллинга:

（5.12.43）（5.12.43）а Хе

（5.12.43）

（5.12.43）

勺（X附，у） - 〃 （X附，у ） = — / rotzT dx二а%

Этот поток должен, следовательно, поглощаться в западном пограничном p-слое （типа Гольфстрима） и поворачиваться на север. Является ли этот слой слоем Манка, Стоммела или инерционным, в данном случае не существенно. Пограничный р -слой является горизонтально без- дивергентным, поэтому скорости в восточном и северном направлениях удовлетворяют здесь соотношению

办办（5.12.44）

办

办

где индекс W относится к течению в западном пограничном слое. Интегрирование поперек слоя дает

а х宀，

дуду~~/ и附厶=々у (Ху у)—々у (X附 + В*, у)—

ду

ду

(5.12.45)

или

х 附+6*Хе

(5.12.46)(5.12.46)/ vwdx" =/ rotzTdx'f

(5.12.46)

(5.12.46)

^WXw

где постоянная интегрирования положена равной нулю, так чтобы полный расход пограничного течения компенсировал полный расход сверд- руповского течения, определяемый формулой (5.12.15). Заметим, что величина полного расхода западного пограничного течения зависит только от ротора касательного напряжения ветра и совпадает с полученной ранее величиной.

Прежде чем продолжить обсуждение, мы должны на время вернуться к проделанным выкладкам и проверить, действительно ли ив и vB не зависят от z. Исключая рв из (5・12・2ба) и (5・12・26в), получим

产в包岂 К .52—- А^.(5.12.47)

572ax2 az 26x3''

Поскольку wB порядка О(Е^}, а д/дх в слое прибрежного апвеллинга также имеет порядок О(Е~%), то ив и ив> имеющие порядок 0(1), могут считаться не зависящими от z, если

(5.12.48)(5.12.48)илиу в размерных единицах.

(5.12.48)

(5.12.48)

где 5“ — ширина слоя прибрежного апвеллинга：

5u = LE^ = ( —2_)и .(5.12.49)

Условие (5.12. 48) представляет собой знакомое нам условие, согласно которому малость отношения вертикального масштаба движения к горизонтальному обеспечивает справедливость гидростатического приближения.

Для того чтобы проиллюстрировать эти результаты, рассмотрим следующие примеры. Предположим, что касательное напряжение ветра задано в виде

т = тВ(у)* т<» (у)> О,(5Л2Л0)

т；е. оно направлено строго на север и не зависит от долготы. Тогда и rotz т, и rotz — тождественно равны нулю. Полные потоки отсутствуют, т.е. сумма геострофического и экмановского полных потоков тождественно равна нулю. Отсутствует и вертикальное движение во внутренней области: экмановский полный поток бездивергентен. Экма- новский поток (рЬ//о) т(у)/了 в верхнем слое трения направлен на восток. Этот поток переносит жидкость к восточной границе, где она, наталкиваясь на стенку, опускается, и возвращается на запад во внутренней геострофической области, где u/f согласно (5.12.40), равна -(₽Ь//0)т<»/(. Это геострофическое течение полностью поглощается в слое апвеллинга у западной границы, где частицы жидкости поднимаются и проникают в экмановский слой при х = Xw. Пограничные слои, связанные с р -эффектом, отсутствуют, поскольку rotzT равен нулю, и циркуляция жидкости происходит ЛИШЬ В ПЛОСКОСТИ X, z. В частности отсутствует западная интенсификация^оскольку для ее существования необходимо, чтобы rotzT 幺 0.

В качестве второго примера рассмотрим касательное напряжение ветра в виде

т 二 4(*)竹，4 > 0.(5.12.51)

В этом случае касательное напряжение ветра зонально и 匕，согласно (5.12.13), равно нулю. Свердруповский полный поток, согласно (5.12.15),

сводится к направленному на север экмановскому полному потоку

hLhL-Л(х)吧-Л(х)吧

hL

hL

-Л(х)吧

-Л(х)吧

(5.12.52)

Таким образом, вне западного пограничнъго течения меридиональный поток ограничен верхним экмановским слоем, однако, согласно 5.12.46), этот поток будет компенсироваться западным геострофическим пограничным течением, простирающимся до дна океана.

Поскольку 卩。!/% мало, рассмотренные циркуляции, вообще говоря, слабее циркуляций создаваемых ротором касательного напряжения ветра и обсуждавшихся в разд. 5.3. — 5.10. Однако рассмотрение таких циркуляций и слоев апвеллинга необходимо для понимания того, каким образом замыкается круговорот жидкости, вызываемый экмановским потоком. Особенно важно иметь в виду, что геострофическая скорость, нормальная к границам, не должна обязательно обращаться в нуль, если имеет место апвеллинг или даунвеллинг. Нормальная к границе геострофическая скорость должна компенсировать нормальные к берегу экмановские потоки, так чтобы нормальный к границе полный поток обращался в нуль на границе.

Влияние рельефа дна

Если дно океана не плоское, то, согласно (5<9.1), наряду с п)ади- ентом планетарного вихря важную роль можот играть и градиент потенциального вихря г)в，обусловленного изменениями глубины. Линии с постоянными значениями потенциального вихря, обусловленного внешними условиями, которые ранее были линиями постоянного у, будут теперь определяться уравнением

8(% у) ш ₽У + Пд = const ・(5.13.1)

На этих линиях постоянное значение имеет величина f/H, где Н - переменная глубина жидкости.

Соотношение Свердрупа для внутренней области теперь, согласно (5.3.22), примет вид

(В + ) = Р rotzT,(5,I3・2)

aх 办 办 *

илиили▽屮•(VB х к] = ₽rotzi.▽屮•(VB х к] = ₽rotzi.(5.13.3)(5.13.3)Таким образом, ротором касательного напряжения ветра определяется течение, направленное поперек изолиний потенциального вихря В, обусловленного внешними условиями.Введем новые, естественные координатыТаким образом, ротором касательного напряжения ветра определяется течение, направленное поперек изолиний потенциального вихря В, обусловленного внешними условиями.Введем новые, естественные координатые = е(修 у), s = s (х, у) или, наоборотх = х(е, s).е = е(修 у), s = s (х, у) или, наоборотх = х(е, s).(5.13.4)(5.13.4)(5.13.5)(5.13.5)гдедх(Т7^ =1 + ₽"гдедх(Т7^ =1 + ₽"办办dF ^77dF ^77ду(一Итак,办(— дхду(一Итак,办(— дх(5.13.6)(5.13.6))s —厂)s —厂дхдхдхдхдудудхдх% =(—)S / (—)s% =(—)S / (—)s88OB办/ —- = ( ——%， (5.13.7) дх办Эх88OB办/ —- = ( ——%， (5.13.7) дх办Эх

или

или

▽屮•(VB х к] = ₽rotzi.

▽屮•(VB х к] = ₽rotzi.

(5.13.3)

(5.13.3)

Таким образом, ротором касательного напряжения ветра определяется течение, направленное поперек изолиний потенциального вихря В, обусловленного внешними условиями.

Введем новые, естественные координаты

Таким образом, ротором касательного напряжения ветра определяется течение, направленное поперек изолиний потенциального вихря В, обусловленного внешними условиями.

Введем новые, естественные координаты

е = е(修 у), s = s (х, у) или, наоборот

х = х(е, s).

е = е(修 у), s = s (х, у) или, наоборот

х = х(е, s).

(5.13.4)

(5.13.4)

(5.13.5)

(5.13.5)

где

дх

(Т7^ =1 + ₽"

где

дх

(Т7^ =1 + ₽"

办

办

dF ^77

dF ^77

ду

(一

Итак,

办

(— дх

ду

(一

Итак,

办

(— дх

(5.13.6)

(5.13.6)

)s —厂

)s —厂

дхдх

дхдх

ду

ду

дх

дх

% =(—)S / (—)s

% =(—)S / (—)s

88OB办

/ —- = ( ——%， (5.13.7) дх办Эх

88OB办

/ —- = ( ——%， (5.13.7) дх办Эх

та$ что линии постоянного s совпадают в плоскости 修 у, как показано на рис. 5.13.1, с изолиниями В. Соотношения (5J3.6) определяют связь между х, у и 0. В переменных 6 и s соотношение Свердрупа теперь имеет вид

(5.13.8)(5.13.8)d屮

(5.13.8)

(5.13.8)

()$ = rotzT = т(е^).

где rotzi записан в переменных 6 и s. Интегрируя (5.13.8), получим

屮他 S）= /Т（е二 s）曲'+屮o（s）.屮他 S）= /Т（е二 s）曲'+屮o（s）.(5.13.9)(5.13.9)

屮他 S）= /Т（е二 s）曲'+屮o（s）.

屮他 S）= /Т（е二 s）曲'+屮o（s）.

(5.13.9)

(5.13.9)

где 屮0(s) определяет неизвестное геострофическое течение вдоль изолиний в, т.е. изолиний f/Н» Если г)в равно нулю, то х совпадает с

х

Рис. 5J3J. Изолинии f/H определяются уравнением В = const ^ Координата $ вьбрана так, чтобы она была постоянной на изолиниях 瓦 которые, согласно предположению, пересекают восточную границу.

0, a s — с у, и мы возвращаемся к модели океана с плоским дном. Для определения 屮°(s) необходимо исследовать пограничный слой при * = /，где изолинии f/H пересекают восточную границу. Сосредоточим наше внимание на простейшей модели - модели Стоммела, в которой главную роль в динамике пограничного слоя играет придонное трение* Пренебрегая в (5.2.22) нелинейными членами и боковой диффузией, получим

(5.13.10)

В окрестности восточной границы океана положим

屮 н 屮в =屮［(修 у) + %(& у)(5.13.11)

где

“Хе - х)

5

Тогда с точностью до O^s/ Ц имеем

(5.13.12)(5.13.12)

(5.13.12)

(5.13.12)

так что пограничный слой у восточной границы океана воэ^ожен лишь при условии дВ/ду < 0, т.е. только в случае, когда наклон дна доста-

точно велик, чтоЪы изменить знак градиента обусловленного внешними условиями потенциального вихря по сравнению со случаем плоского дна. В противном случае 屮【должно удовлетворять условию отсутствия нормальной скорости на восточной границе* Аналогичный анализ у западной границы показывает, что если дВ/ду > 0, то возможны западное пограничное течение и соответственно западная интенсификация. Таким образом, если дВ/ду(ХЕ, у) > 0, то

屮i= / Т(0\ s)de\(5.13J3)

%(Хе，S)

где % (Хе，s) - значение е на каждой изолинии В, которая пересекает граииб при х = ХЕ.

Рассмотрим, например, случай

Пв=По「5*-Х吟(5.13.14)

так что

凤X, у) = Зу+%厂八*-%)•(5.13.15)

В такой модели глубина океана уменьшается при приближении к западной границе. Соотношения (5.13.6) тогда примут вид

時％ = 1,(5.13.16а)

(也)s =Г"(5.13.166)

После интегрирования (5.13.16а) получим

* = е+ ”($)・(5.13.17а)

Это позволяет проинтегрировать (5-13-166)

у = - ^-「7° + *0<s)- xQ + y^》(5.12.176)

Удобно выбрать 6 равным нулю на западной границе, так что *o(s) = X1y Поскольку Уо(5) в (5.13.176) - произвольная функция,

постоянная на изолиниях В, то выберем

Уо(5)= У +《~e- в(5.13.18)

Таким образом, переменную s можно определить просто как

s =у + ±_е-5*-ХМ,(5.13.19)

3

в то время как

0 = (х -X浦.(5.13.20)

Рассмотрим касательное напряжение ветра, ротор которого равен

rotzT =у2-/，(5.13.21)

Из (5.13.21) видно, что г%т везде отрицателен и обращается в нуль при у = ±/. Поскольку

y = s-±_e-ae,(5.13.22)

В

то (5.13J3) примет вид

也=/[ s2-212i_e~a9 + ^Le-2a9-/2]d0 (5.13.23)

Xe-麻3В

ИЛИ

屮/ =伯2-，2)[0 _{Хе -Хи,}] + 2^-1е-аС -е-а(хЕ ~ Х1УИ +

+ ―— |е~2а9 -e-2atXE-^)|(5.13.24)

В 22a

С учетом (5-13-19) и (5Л3.20) имеем

屮,=(X - Х„)| [ у + 22_e-a(x-Xw)]2 _/2} +

+ 2 上_ { у + 上 е-а(* - Xw" * {е-а(х - Х„,)_ е~а^Е -X"} 一 оф В

(5.13.25)(5.13.25)(5.13.26)(5.13.26)2. ( е"~2a (к -帝} _ e~2d{XE-Xw) j , 2a俨

(5.13.25)

(5.13.25)

(5.13.26)

(5.13.26)

Если г|0 равно нулю, т.е- дно плоское, то

屮I = (к - ХЕ) (у2 - i2)-

Если а(ХЕ - Xw) » 1, то

В?(% у)2г)о—аХ %—2<

屮I 学(x-XE).l——/4 +-^-В(修 у)е " —2^

1ар2аУ

(5.13.27) где

Х= (x-Xw)(5.13.28)

Направленный на юг полный расход жидкости во внутренней области, который должен компенсироваться западным пограничным течением, для любого у равен

282(0, у)2г)0По

屮/ 吃,у) = (/2—) (Хе - Х)0 + —— В (0, у)-——,

Р2ар2ар

так что с точностью до О(а[Х^ 一 ХЕ]) наличие топографии изменяет полный расход в южном направлении на величину

。叫0, y)

屮I ^wf ^)~ ^w ~ Хе) (у2 ~ /2) = (X小—Хе) [—— —у 4 =

2

=(Xw - Х£) [ 2у -у- + 言]•

(5.13.29)

Этот пример показывает, что рельеф дна в открытом океане может существенно изменять полный свердруповский расход и, следовательно, расход западного пограничного течения.

Вообще говоря, хотя учет рельефа дна и меняет картину линий тока, характер динамики остается тем же, что и в случае постоянной

глубины; следует лишь иметь в виду, что роль планетарного вихря f играет теперь потенциальный вихрь //Н.

Звкпю*мтепьные замечания об одноропной модели

Анализ однородной модели океанской циркуляции во многом типичен для задач геофизической гидродинамики. В физическом отношении эта модель очень груба и по самой своей формулировке не дает описания вертикальной структуры океанской циркуляции, которая ввиду геострофичности полностью определяется горизонтальными градиентами плотности. Далее, в такой модели невозможно изучить и влияние нагрева поверхности океана на крупномасштабные океанские движения. При этом, поскольку течения вблизи западной границы нелинейны, движения, создаваемые ветром и нагревом, не могут изучаться раздельно, так как принцип суперпозиции оказывается там неприменимым. Наконец, отсутствие стратификации означает и отсутствие доступной потенциальной энергии, необходимой для роста возмущений типа вихрей, которые будут описаны в гл. 7. Такие возмущения могут существенно влиять на среднее течение благодаря генерации осредненных потоков тепла и импульса, и совершенно не ясно, возможна ли параметризация таких эффектов при помощи обычных коэффициентов турбулентного обмена.

Тем не менее удивительно, насколько успешно и просто однородные модели объясняют общую картину океанской циркуляции и в особенности ее западную интенсификацию. Роль таких важнейших факторов, как ротор касательного напряжения ветра, градиент планетарного вихря, наличие меридиональных границ, в рассмотренных моделях настолько прозрачна и выразительна, что полученные качественные выводы теории вне всякого сомнения отодвигают на второй план недо* статки, связанные с влиянием многих более тонких особенностей тех разнообразных допущений, которые необходимы для математической формулировки модели. Что особенно характерно для геофизической гидро динамики, так это необходимость тщательного и полного анализа физически простых и идеализированных: моделей для получения заслуживающей доверия качественной картины явления.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА 5

ПРЕДИСЛОВИЕ7

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Геофизическая гидродинамика° „. 11

1。2。 Число Россби 12

Плотностная стратификация18

Уравнения движения в невращающейся системе координат . . „ о . . 20

1-5. Вращающаяся система координат26

Уравнения движения во вращающейся системе отсчета29

1-7о Ускорение Кориолиса и число Россби 32

Г пава 2. ОСНОВЫ

2.1. Вихрь35

Циркуляция 41

Теорема Кельвина 47

Уравнение вихря49

Потенциальный вихрь 53

Термический ветер58

Теорема Тейлора - Праудмена60

Геострофическое движение62

Следствия геострофического и гидростатического приближений . . 69

Вырожденный характер геострофического приближения 74

Глава 3. ТЕОРИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ БЕЗ УЧЕТА ВЯЗКОСТИ

Введение76

Модель мелкой воды 77

Уравнение теории мелкой воды78

Сохранение потенциального вихря. Теория мелкой воды 83

3-5. Интегральные соотношения 85

Движения с малой амплитудой 88

3-7. Геострофическое движение в линейном приближении 90

3-8- Плоские волны в слое жидкости постоянной глубины 92

Волны Пуанкаре и Кельвина97

Волна Россби104

3-11. Анализ динамики волны Россби108

Анализ масштабов для квази геострофических движений в теории мелкой водыно

Стационарное квазигвострофическое движение 119

Инерционные пограничные течения120

Кваэигвострофические волны Россби126

Механизм подцержания волны Россби130

Р-плоскость133

Волны Россби на зональном течении 136

Групповая скорость140

Метод многих временных масштабов 148

сНергия и поток энергии в волнах Россби 151

Диаграмма распространения энергии *154

Отражение и условие излучения155

Ролны Россби создаваемые начальным возмущением162

Квази геострофические нормальные моды в замкнутом бассейне . 180

Резонансные взаимодействия 192

Энергия и экстрофия 207

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 3 210

Глава 4. ТРЕНИЕ И ВЯЗКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Введение 211

Турбулентные напряженияРейнольдса213

Слой Э<мана 219

Природа почтиневяэкого течения230

Теория пограничного споя 237

Динамика кваэигвострофических течений при наличии трения . . 254

4-7.Вязкое затухание 259

Стационарное движение 261

Экмановский слой на наклонной поверхности263

Экмановский слой на свободной поверхности273

Уравнение кваэиогеострофического потенциального вихря с учетом трения и топографии 280

Затухание волны Россби 284

Слои трения у боковых стенок287

Гпава 5. ОДНОРОДНЫЕ МОДЕЛИ ВЕТРОВОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКЕАНА

298301298301Введение

298

301

298

301

5-2. Модель однородного океана

Соотношение Свердрупа* 310

5-4. Мерид ионал ьн ые пограничные слои： слой Манка 320

Модель Стомвлла: слой, обусловленный придонным трением . в 0 . 334

5。6, Теория инерционного пограничного слоя 342

Инерционные течения при наличии трения e в о о л , 349

58 Волны Россби и западная интенсификация океанской циркуляции . 363

Оценки диссипации для стационарной циркуляции 356

Свободные инерционные моды363

Численные эксперименты 367

5-12. Экмановская задача об апвеллинге 374

Влияние рельефа дна390

Закпючительнью замечания об однородной модели 396

Глава 6. КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ НА СФЕРЕ

Введение•405

62 Уравнения движения в сферических координатах: введение масштабов 406

Геострофическое приближение: е = 0(— ) « 1415

го

Понятие о статической устойчивости422

Уравнение квазигеострофического потенциального вихря для атмосферных движений синоптического масштаба427

Экмановский слой в ст рати фи ци рованно й жидкости434

Граничные условия для уравнения потенциального вихря： атмосфера437

Уравнение квазигеострофического потенциального вихря для океанских движений синоптического масштаба437

Граничные условия для уравнения потенциального вихря: океаны 441

Уравнение для геострофических движений и доступная потенциальная энергия444

Волны Россби в стратифицированной жидкости453

Нормальные моды волн Россби： уравнение для вертикальной структуры 457

Вынужденные стационарные волны в атмосфере468

Теоремы о взаимодействии волн с зональным течением478

Топографические волны в стратифицированном океане488

Многослойные модели497

Волны Россби в двухслойной модели507

Связь между многослойными и многоуровенными моделями . . . . 510

Геострофическое приближение： е « L/%< 1； соотношение Свердрупа 515

Геострофическое приближение: е « 1, L/% = о（1） 519

Проблема термоклина 526

Гпава 7. ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Введение 543

72 Формулировка задачи о неустойчивости: нелрерывно- стратифицированная модель 546

7；3-Проблема линейной устойчивости:условия неустойчивости .... 555

7-4. Нормальные моды568

Оценки для фазовой скорости и скорости роста 575

7・6“ Бароклинная неустойчивость： основной механизм582

7-7- Модель Иди 588

Модель Чарни и критические слои599

Неустойчивость в двухслойной модели: формулировка616

Нормальные моды в двухслойной модели： необходимые условия неустойчивости622

Бароклинная неустойчивость в двухслойной модели; модель Филлипса627

7-12. Эффекты трения637

Бароклинная неустойчивость незональных течений . 643

Баротропная неустойчивость651

Неустойчивость течений с горизонтальным и вертикальным сдвигами662

Нелинейная теория бароклинной неустойчивости672

Глава 8. АГЕОСТРОФИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

・ Анизотропные масштабы 698

Волны на континентальном шельфе 702

Медленная циркуляция стратифицированной жидкости с учетом диссипации 713

Теория фронтогенеза 734

Экваториальные волны 755

ЛИТЕРАТУРА т

ПР印METHbia УКАЗАТЕЛЬ 798

ББК 22.263.3 П 24

УДК 551.46 + 551.51

Педпоски Дж.

П 24 Геофизическая гидродинамика в 2-х т. Т. 2： Пер. с англ.— М.： Мир, 1984 -416 с,, ил.

В книге, написанной известным американским геофизиком, изложена с единой точки зрения динамика крупномасштвбных явлений в океане и атмосфере. Книга построена на основе курса лекций; в ней детально рассмотрены основные теоретические положения и обсужден ряд важнейших вопросов современной геофи* эики; планетарные волны, океанская циркуляция, проблема термоклина, бароклинная неустойчивость и т.д. Изложение этих проблем проведено четко, с большой полнотой.

Для специалистов по гидродинамике, океанологии, геофизике, метеорологии. Может быть полезна студентам старших кур. сов соответствующих специальностей.

ББК.2'2.253.3532ББК.2'2.253.35321703040000- 16 2/

ББК.2'2.253.3

532

ББК.2'2.253.3

532

П 45 - 84, Ч. 1

041(01)-84

Редакция литературы по космическим исследованиям,астрономии и геофизике

© 1982 by Springer-Ver lag New York Inc. Authorized translation from English language edition published by Springer-Verle^ Berlin- Heidelberg-New York

© Перевод на русский язык, ”Ммр\ 1964

Глава 6

Квазигеострофическое движениестратифицированной жидкостина сфере

Введение

В гл. 1 отмечалось, что изменения плотности, возникающие иэ- за неравномерности нагрева атмосферы и океанов, ответственны за существование циркуляций в этих системах. Так, даже генерация ветровых течений в океане неявно предполагает действие сил плавучести в атмосфере, создающих ветер. Кроме того, устойчивая стратификация в атмосфере и океанах (когда более легкая жидкость располагается над более тяжелой) подавляет вертикальные движения и сильно влияет на динамику. Ясно также из обсуждения в разд. 2.9, что в силу соотношения термического ветра вертикальная структура ветров и течений непосредственно связана с горизонтальными градиентами плотности

В гл. 3 - 5 обсуждалось несколько интересных с точки зрения геофизики явлений в рамках однородных моделей, не учитывающих влияния стратификации. В силу теоремы Тейлора - Праудмена, горизонтальные движения в таких моделях не должны зависеть от глубины. В настоящей главе это ограничение Тейлора - Праудмена снимается иэ-за учета стратификации и бароклинности. Мы будем интересоваться теперь не только соотношением между однородной и стратифицированной моделями одних и тех же явлений (таких, как волны Россби), но также исследуем возможность возникновения новых мод движения, обязанных своим существованием стратификации.

Описание и расчет движений стратифицированной и (особенно в случае атмосферы) сжимаемой вращающейся жидкости являются отнюдь не легкой проблемой. Уопех в ее решении возможен только при максимальном упрощении уравнений движения, так, чтобы они описывали лишь самые существенные черты крупномасштабных движений. Метод упрощения, основанный на сравнительной оценке порядков различных членов в уравнениях (анализ масштабе»)у аналогичен анализу, проведенному в гл. 3, 4, но наличие стратификации вводит новые особенности и требует специального рассмотрения. В то же время невыполнение теоремы Тейлора - Праудмена приводит к исчезновению пря-

мой динамической аналогии между изменениями наклона дна и параметра Кориолиса с широтой. Эта аналогия в значительной степени основывалась на законе сохранения потенциального вихря (Х17.1) для однородной жидкости. Таким образом, теперь становится необходимым, не ограничиваясь этристическими рассуждениями разд. 3.17, использовать анализ масштабов для вывода об^;их квази- геострофических уравнений в пртближении р-плоскости, описывающих движения как однородной, так и стратифицированной жидкости.

Важно иметь в виду» что оценки масштабов» используемые ниже, справедливы только для частного класса движений, а именно крупномасштабных геострофических движений. Эти оценки и полученные результаты не следуют автоматически из уравнений движения. Напро- тмв, при анализе уравнений мы должны систематически исходить из определенного представления о качественной природе рассматриваемых движений, их масштабах и амплитудах. Мы можем рассчитывать, что исходные уравнения помогут установить непротиворечивость наших представлений^ м, если это так, вывести упрощенные уравнения, удовлетворительно описывающие динамику изучаемого движения.

Уравнения движения в сферических координатах:

■ведение масштабов

Геометрия движения, описываемого ниже, схематически изображена на рис. 62Л. Мы рассматриваем движения на сфере радиуса г^. Таким образом у мы с самого начала пренебрегаем малыми отклонениями земной поверхности от сферы. Характерный: вертикальный масштаб движения D предполагается во всех рассматриваемых задачах настолько малым по сравнению с г0, что эффективное ускорение силы тяжести g может считаться постоянным во всем жидком слое. Горизонтальный масштаб L велик в том смысле, как это было указано в разд. 2.1 (т.е. настолько, чтобы число Россби было малым), но мы сначала рассмотрим случай, когда L много меньше %. Причина этого троякая. Во-первых, такое соотношение характерно для многих важных геофизических явлений, изучаемых намм, включая циклоны в атмосфере и мезомасштабчые вихри в океане, и хорошо описывает струк* туру общей циркуляции в обеих системах. Во-вторых, мы ожидаем априори, что справедливость геострофического приближения, на котором основано почти все, изложенное ниже, должна нарушаться в экваториальных областях, где действие силы Кориолиса на горизонтальные течения чрезвычайно слабо. Таким образом» квазигеострофическая тео-

Рис. 6.2.Т. а— изучаемое движение имеет горизонтальный масиггаб L. вертикальный масштаб D и сосредоточено в окрестности широты 60. б— сферическая система координат. Здесь ф - долгота. 6 -широта и г - расстожие от центра Земли; и, vtw - скорости в восточном, северном и вертикальном направлениях.

рия по самой своей природе не может быть глобальной. Наконец, в-третьих, малость £/г0 позволяет значительно упростить уравнения движения и является одним из условий справедливости приближения В -плоскости. Случай, когда L/rQ = 0(1), рассмотрен в разд. 6.21. Используемая сферическая система координат показана на рис. 6・2・1,6・ Положение каждой точки внутри жидкости дается координатами г, 6 м 中，равными соответственно расстоянию от центра Земли, широте и ло л готе. Скорости в восточном, северном и вертикальном направлениях обозначаются через uy v и w. Уравнение неразрывности (1.4.2)

в этих координатах принимает вид

办 + p{ ++]* cos 6)

庚 dr г г cos 0 дё

г cos e

где

j 一 * '+1" — +—'■ ■4- W —

d£ ot г cos 0 Эф r 曲 dr

(6.2.1)(6・22)(6.2.1)(6・22)Уравнения сохранения импульса записываются в форме uw uvс .с с

(6.2.1)

(6・22)

(6.2.1)

(6・22)

11空空рг coe e a©рг coe e a©+生p+生p(6.2.3a)(6.2.3a)г + tg 0 — 2 Q sin 6沙 + 2 Q coeow -

1

1

空

空

рг coe e a©

рг coe e a©

+生

p

+生

p

(6.2.3a)

(6.2.3a)

U2U2"T^ + — dt г"T^ + — dt гdw — u2 + v2dt 「dw — u2 + v2dt 「p , (6.2.36)p (6.2.3b)p , (6.2.36)p (6.2.3b)警甘"+Q),警甘"+Q),(624)(624)

U2

U2

"T^ + — dt г

"T^ + — dt г

dw — u2 + v2

dt 「

dw — u2 + v2

dt 「

p , (6.2.36)

p (6.2.3b)

p , (6.2.36)

p (6.2.3b)

警甘"+Q),

警甘"+Q),

(624)

(624)

tg e + 2q einOu м —

pr 36

- 2Q cosOu = -' ?Р 一 g 4-

P dr

где %,気，耳- компоненты сил трения, действующих на жидкость. Уравнения движения должны быть дополнены термодинамическим уравнением; в случае атмосферы это уравнение (1.4.18), в случае океана- уравнение вида (1.4.22). Таким о齿азом, для атмосферы мы имеем

где 6 - потенциальная температура, т.е.

(6・2・5)(6・2・5)е= т(上-)R/cр

(6・2・5)

(6・2・5)

в то время как р, р и температура Т связаны соотношением

Р = р"，(626)

где Я - газовая постоянная для воздуха. В свою очередь для океана будем использовать упрощенное термодинамическое уравнение

簣= ку/р-卫_Q,(6.2.7)

МСр

где к - коэффициент теплопроводности и а - коэффициент термического расширения. Уравнением состояния служит уравнение (1.4.20).

В уравнениях (6.2.4), (6.2.7) величина Q - мощность внутреннего источника тепла, Ср - теплоемкость при постоянна давлении для воздуха или воды в зависимости от рассматриваемого случая.

Рассмотрим теперь движение (в океане или атмосфере) с горизонтальным пространственным масштабом L и характерным масштабом U горизонтальной скорости. Основное предположение этой главы ссютоит в том, что существует вполне определенный масштаб для горизонтальной скорости (и соответственно масштабы для ее производных) у так что величины различных членов в уравнениях движения можно систематически оценить через этот масштаб. Далее мы будем предполагать, что движение происходит в районе, расположенном в средних широтах в окрестности широты 6О и удаленном от экватора. Удобно ввести новые широтную и долготную координаты л, у следующим образом:

« = Ф г0 cos е0>

义=(6-6。)“.(6，2上)

Переменные л и у имеют размерность длины; однако они являются точными мерами расстояний в всюточном и западном направлениях только на поверхности Земли (при г = г0) и широте, равной центральной широте б。. Хотя в принципе л и у являются просто новыми координатами в зональном и меридиональном направлениях, в которых уравнения движения могут быть записаны без всяких приближений, они введены, очевидно, с тем расчетом, что при малых L/% и О/го они будут декартовыми координатами при построении приближу ния В -плоскости.

Заметим, что

，=г0 cos6q~ >(6・2»9)

Также удобно ввести

(6.2.10)(6.2.11)(6.2.10)(6.2.11)Z = Г —%，

(6.2.10)

(6.2.11)

(6.2.10)

(6.2.11)

откуда

д_ _ д

Существование характерных масштабов используется при введении безразмерных переменных (величины со штрихами)

%=(6.2.12а)

у = Ly(6.2.126)

г = Dz*,(6.2.12b)

t = —— г',(6.2.12г)

где в соответствии с замечанием разд. 3.12 в качестве масштаба времени выбрано характерное время адвекции L/U・ Для компонент горизонтальной скорости имеем

и = (/『，

"(6213)

(6.2.14)(6.2.14)Из геометрических соображений ясно, что если вертикальный и горизонтальный масштабы движения равны D и L соответственно, то характерный наклон траектории жидкой частицы не превышает D/L, так что безразмерную вертикальную скорость естественно определить соотношением

(6.2.14)

(6.2.14)

Характерный масштаб для w может оказаться меньшим, чем DU/L, если другие динамические условия препятствуют вертикальному дви- жению, поэтому величину DU/L правильно рассматривать как верхнюю границу характерных значений w.

Выбор масштабов для давления и плотности более сложен. Если скорости малы (т.е. мало число Россби), то давление слабо отклоняется от своего распределения в отсутствие движения p$(z), определяемого соотношением

=- ps (z)g,=- ps (z)g,(6.2.15)(6.2.15)

=- ps (z)g,

=- ps (z)g,

(6.2.15)

(6.2.15)

к которому сводятся уравнения (6・2・3а, 6, в) в случае u = v = w= 0. Мы можем считать, что р$ (z) и р$ (г) определяют "стандартную” атмосферу или океан, т.е. то основное состояние, на фоне которого воз-

никают возмущения, обусловленные движением. Основное состояние предполагается известным, хотя фактически его определение из общих уравнений требует рассмотрения таких механизмов, как радиационная передача энергии в атмосфере и тл. С другой стороны, р5 и р5 могут быть определены как давление р и плотность р, осредненные по горизонтальным координатам при фиксированном z. Поэтому мы записываем

Р = Ps (z) + 0(% У，Z, t),

(6.2.16)(6.2.16)P = Ps(z)+：4(x, у, Z, t),

(6.2.16)

(6.2.16)

гдеp ир*- изменяющиеся во времени и пространстве отклонения от стандартных значений р$ и р5 . Каковы масштабы для ^и 3? Мы заранее ожидаем, что для интересующих нас движений горизонтальный градиент давления одинаков по порядку величины с силой Кориолиса. Характерное значение силы Кориолиса на широте 6 = 6。дается выражением

p2Qu sin 6好 O(2Q sin 6也 Ups ), в то время как характерная величина градиента давления равна 0/L. Таким образом, мы ожидаему что р =0(ps UfQL)9 где

fo= 2Qsin 00(6.2.17)

есть параметр Кориолиса на "центральнойп широте б。. Отсюда следует, что давление должно записываться в виде

Р - Р(г) ^ PsUfoLP^(6218)

при этом предполагается, что функция р* и ее изменения на расстояниях порядка 0(厶)являются величинами порядка 0(1). Заметим также, что функция р$ в (6.2.18) зависит только от z.

Аналогично мы можем ожидать, что сила плавучести на единицу массыу возникающая из-за возмущения плотности р, будет такого же порядка, что и вертикальный градиент давления, поскольку, согласно наблюдениям, крупномасштабные движения с большой степенью точности удовлетворяют приближению гидростатики. Вертикальный градиент давления, связанный с 备 равен

専=。(書)=0(上力m).,(6.2.19)

dz Dо

откуда (если pg имеет такой же порядок величины) следует

(6.2.20)

Соответственно плотность должна записываться в виде

Р = Ps(z)［】+ cFp'】，(6.2.21)

гдеесть число Рсюсби игдеесть число Рсюсби и(6.2.22)(6.2.22)(6.2.23)(6.2.23)Подставляя (6.2.12) - (6.2.15), (6.2J8) и (6.2.21) в (6・2・3а, 6, в) и деля полученные соотношения на постоянные коэффициенты при членах с давлением, получаемПодставляя (6.2.12) - (6.2.15), (6.2J8) и (6.2.21) в (6・2・3а, 6, в) и деля полученные соотношения на постоянные коэффициенты при членах с давлением, получаем{ ,% + _4— [бцш— uv tg 0 ]} — V * ' + 6w或 г*sin е0— cos ©о%dp 1У*фcos~р*[/%，e + 丄[$vw+ 仆 tg e]| f u 唠丄=df r*sin e@{ ,% + _4— [бцш— uv tg 0 ]} — V * ' + 6w或 г*sin е0— cos ©о%dp 1У*фcos~р*[/%，e + 丄[$vw+ 仆 tg e]| f u 唠丄=df r*sin e@cos e _sin e0(6.2.24a)cos e _sin e0(6.2.24a)(6.2.246)бц COS 6 !(6.2.246)бц COS 6 !(6.2.24b)(6.2.24b)

где

есть число Рсюсби и

где

есть число Рсюсби и

(6.2.22)

(6.2.22)

(6.2.23)

(6.2.23)

Подставляя (6.2.12) - (6.2.15), (6.2J8) и (6.2.21) в (6・2・3а, 6, в) и деля полученные соотношения на постоянные коэффициенты при членах с давлением, получаем

Подставляя (6.2.12) - (6.2.15), (6.2J8) и (6.2.21) в (6・2・3а, 6, в) и деля полученные соотношения на постоянные коэффициенты при членах с давлением, получаем

{ ,% + _4— [бцш— uv tg 0 ]} — V * ' + 6w

或 г*sin е0

— cos ©о%dp 1У*ф

cos~р*[/%，

e + 丄[$vw+ 仆 tg e]| f u 唠丄=df r*sin e@

{ ,% + _4— [бцш— uv tg 0 ]} — V * ' + 6w

或 г*sin е0

— cos ©о%dp 1У*ф

cos~р*[/%，

e + 丄[$vw+ 仆 tg e]| f u 唠丄=df r*sin e@

cos e _

sin e0

(6.2.24a)

cos e _

sin e0

(6.2.24a)

(6.2.246)

бц COS 6 !

(6.2.246)

бц COS 6 !

(6.2.24b)

(6.2.24b)

где

d _ a dt dtd _ a dt dtcos 虱 % d cos e r* 訴cos 虱 % d cos e r* 訴г о + v —г о + v —方+F方+F

d _ a dt dt

d _ a dt dt

cos 虱 % d cos e r* 訴

cos 虱 % d cos e r* 訴

г о + v —

г о + v —

方+F

方+F

(6.2.25a)

(6.2.256)(6.2.256)6=3

(6.2.256)

(6.2.256)

Переменные без штрихов безразмерны; размерные переменные будут впредь обозначаться звездочками, так, что, например； (6.2.12ау б) переходят в соотношения

У» = Ly，

a

Р» = Ps (z) + Ps Uf0Lp,

и т,д. Заметим, в частности, что

—=1 + 6( ) z.(6・2.26)

г ого

Уравнение неразрывности (6.2・1) приводится к виду

g* -37- + О + sFp)【~~ —5— +— + 2w +

厶Ps dz dz「

彳少 % 厶％ cos e0 du 1 n О E

+ a - ■■■ ~ v tg e +，” ■ ‘ ‘a •18so. (6・2・27)

办 r* r*r* cos 6 dx

До этого момента мы пока не использовали никаких приближений. Уравнения были просто приведены к безразмернзлу видуу так что относительная величина каждого члена уравнения измеряется безразмерным множителем, стоящим перед этим членом. Это утверждение есть основное предположение метода анализа масштабов. Теперь можно воспользоваться малсютью параметров е , 6, L/% и F. Здесь необходимо сделать несколько предварите льны х замечаний. Все параметры е, 6, L/% и F незавнснмк, и их относительные величины будут в какой-то степени меняться от явления к явлению. Структура же получаемых приближений будет зависеть от этих относительных величин, в частности от отношения L/e%. Исследование, приеденное ниже, не содержит исчерпывающего анализа всевозможных соотношений между параметрами; будут рассмотрены только те случаи, которые имеют особое значение» При этом метод анализа будет изложен настолько подробно, чтобы читатель смог использовать этот метод для исследования других соотношений между параметрами.

Тригонометрические функции разлагаются в рад в окрестности широты б。，например, с учетом (6・2・8) и (6.2.12):

sin 6 = sin 储 + —— у cos б。一 ( "^~ 户——sin 60 + --.,%го 2

(6.2.28а)

©os© = cos e0 - — у sin e0 - ( "7^)2 cos eo + — »

(6.2.286)

tg乳cos 2 б。tg乳cos 2 б。(6228b)Величина сил трения оценивается следующим образом. Порядок горизонтальной силы трения, например У#е/р#, оценивается через ха- ршстерные значения коэффициентов турбулентного перемешивания, как в гл. 4. Итак,(6228b)Величина сил трения оценивается следующим образом. Порядок горизонтальной силы трения, например У#е/р#, оценивается через ха- ршстерные значения коэффициентов турбулентного перемешивания, как в гл. 4. Итак,兀е兀ер*так что%Р*"огдер*так что%Р*"огде° (ЛН 备'"у ^ >'° (ЛН 备'"у ^ >'6巨，Л6巨，Л2222LL(6.2.29)(6.2.29)(6.2.30)(6.2.30)tg е = tg б。+ -^- у СОВ ~2 0О + ( —^- )2 у2%го

tg乳

cos 2 б。

tg乳

cos 2 б。

(6228b)

Величина сил трения оценивается следующим образом. Порядок горизонтальной силы трения, например У#е/р#, оценивается через ха- ршстерные значения коэффициентов турбулентного перемешивания, как в гл. 4. Итак,

(6228b)

Величина сил трения оценивается следующим образом. Порядок горизонтальной силы трения, например У#е/р#, оценивается через ха- ршстерные значения коэффициентов турбулентного перемешивания, как в гл. 4. Итак,

兀е

兀е

р*

так что

%Р*"о

где

р*

так что

%Р*"о

где

° (ЛН 备'"у ^ >'

° (ЛН 备'"у ^ >'

6巨，Л

6巨，Л

2

2

2

2

L

L

(6.2.29)

(6.2.29)

(6.2.30)

(6.2.30)

Ан

Е у = 2Е у = 2(6.2.31)(6.2.31)foL2 4y 声

Е у = 2

Е у = 2

(6.2.31)

(6.2.31)

суть числа Экмана, связанные с горизонтальным и вертикальным турбулентным переносом импульса на масштабах, меньших O(L) и 0(D) соответственно. Как правило, мы будем пренебрегать членами с трением везде, кроме пограничных слоев: в пограничных слоях должны вводиться другие масштабы с учетом изменения пространственных масштабов.

Наконец, мы определяем

ооcos e0 =(J—曳% de 0=0ocos e0 =(J—曳% de 0=0o(6.2.32)(6.2.32)

о

о

cos e0 =(J—曳

% de 0=0o

cos e0 =(J—曳

% de 0=0o

(6.2.32)

(6.2.32)

как градиент в северном направлении параметра Кориолиса на широте 储・ Заметим, что

~ ctg е0 =。(丄—),гого~ ctg е0 =。(丄—),гого(6.2,33)(6.2,33)так что отношение9山小_ 3白так что отношение9山小_ 3白EEuu=oi_£_ I.=oi_£_ I.(6.2.34)(6.2.34)

~ ctg е0 =。(丄—),гого

~ ctg е0 =。(丄—),гого

(6.2,33)

(6.2,33)

так что отношение

9山小_ 3白

так что отношение

9山小_ 3白

E

E

u

u

=oi_£_ I.

=oi_£_ I.

(6.2.34)

(6.2.34)

Таким образом, в то время как е измеряет отношение относительной завихренности к вертикальной компоненте планетарной завихренности при 0 = 0О, отношение градиента относительной завихренности к градиенту планетарной завихренности измеряется параметром

Р-1- -L = О(е 上).(6,2.35)

Поскольку горизонтальный масштаб для изменения относительной завихренности равен L, а планетарной - %, то из малости б не ел* дует малость U/Р0А2. Параметр е может быть малым, в то же время р -1 может быть большим 9 порядка единицы и малым; в каждом из этих случаев получаются совершенно различные квазигесютрофи- ческие динамические модели.

Приведение к безразмерному виду термодинамических уравнений будет проведено в других разделах.

Геострофическое приближение: е = 0( —)« 1 го

Сначала мы рассмотрим случай, когда

е = 0( _L ) « 1,(6.3.1)

что в силу (6.2.35) эквивалентно соотношению

总 /=0(1).(632)

Такое соотношение между параметрами представляет собой интерес для метеорологии и океанологии. Крупномасштабные волны в западных ветрах в атмосфере характери зуюте я масштабами U = 0(10 м/с), L = О(103 км), к тому же в средних широтах (0 = 0(Ю~4 c-i)и В о = 0(Ю-13 см*1 ♦ с-1). Используя эти значения, находим

£ =0(10-1), В = о(1).

Для мезомасштабных или синоптических вихре", наблюдавшихся в западной Атлантике, U = 0(5 см/с), L = 0(100 км), так что

е =0(5x10-3), в = 0(0,5).

В первом случае, когда характерная глубина D равна примерно 10 км (толщина тропосферы), параметр F равен O(10f, т.е. 0(e); в то же

время для океана, где D порядка 4 км, параметр F много меньше (так как L равен всего 100 км): F= U(0,2x 10-2), та также порядка 0(e). Поэтому при анализе уравнений (6.2.24), (6・2・27) будем в основном ин・ тересоваться случаем

—=O(F) =О(£)・(6.3.3)

Для крупномасштабных атмосферных волн 6 =君=О(Ю-2) = О(е2), в то время как для океанских синоптических движений 6 = О(2хЮ-2) = 0(e).

Это различие, однако, не имеет особого значения для дальнейшего анализа.

Члены с трением оценить труднее из-за отсутствия надежных оценок для коэффициентов 4日 и 4 P. Представляется, однако, правдоподобным (см. гл. 4・5), что в геофизических задачах непосредственное влияние трения оказывается существенным лишь в узких пограничных слоях у границ жидкости. Уравнения, получаемые ниже, справедливы только вне таких слоев, и мы поэтому предполагаем, что

(Ер,后加 < О(е).(6.3.4)

Наконец, заметим, что в силу (6.2.26)

1 = 0() < О(е 2).

Каждая зависимая переменная, например и, удовлетворяющая уравнениям движения, является функцией не только х, у, z и £, но также и безразмерных параметров е , L/r0, F, б и т.д. Для того что&>1 продвинуться в анализе задачи, мы должны использовать малость каждого из этих параметров. Результаты будут зависеть от соотношений между этими параметрами, поэтому при разложении в ряды уравнений и решения мы по необходимости должны выбрать определенные отношения между порядками этих параметров. Мы можем, например, считать, что 6%/L остается величиной порядка единицы при е -► 0. До некоторой степени это подтверждается данными наблюдений, описанными выше; тем не менее такая информация едва ли достаточна для доказательст-

ва того, что при бесконечном уменьшении е величина Z/“ также будет уменьшаться соответствующим образомt в частности линейно. По существу мы должны сделать дополнительное предположение об определенных соотношениях между порядками параметров, строго говоря, не вытекающее из анализа масштабов явления; это предположение позволяет нам выделить именно те физические процессы, которые характерны для изучаемого явления. Так предел е - 0 при условии, что е % / L порядка единицы, выделяет геострофические двкжени% для которых градиенты планетарной и относительной завихренности одинаковы по порядку величины. Понимание физического смысла такого соотношения между е и L/r0 вселяет уверенность в том, что наблюдаемые числовые соотношения между этими параметрами не являются чисто случайными.

Выбрав таким образом соотношения между порядками параметров, мы можем рассматривать каждую переменную как функцию только е , поскольку все остальные параметры выражаются через е известным образом. В силу малости е можно записать, например,

“(%,九 Z, t> Е)я %(%, У» Z, £) + Е U](%, у, z, £) + •・•，

(6.3.5)

где и* н О (1) и не зависят от е • Величины ик неявно зависят от параметров L/r^ , F/ef S/e и т.д., являющихся по предположению вели， чинами порядка единицы. Если теперь представить все зависимые переменные в форме разложений вида (6.3.5) и подставить их в уравнения движения, то коэффициенты при одинаковых степенях е должны балан* сировать друг друга, поскольку е произвольно (хотя и мало), и уравнения должны выполняться для любой степени е • Используя разложения (6・2・28) для тригонометрических функций, находим, что члены порядка 0(1) в разложениях по степеням е уравнений (6.2・24), (6*2.27) имеют вид

vo ■,(6«3・6а)

%・・〈，・,(6.3.66)

1 о

ро ■ *■-— -г- (р* Ро),(6.3.6в)

2-127

ps azps az\w0 Ps ) + …■・ +…■・=0.\w0 Ps ) + …■・ +…■・=0.(6.3.7)(6.3.7)

ps az

ps az

\w0 Ps ) + …■・ +…■・=0.

\w0 Ps ) + …■・ +…■・=0.

(6.3.7)

(6.3.7)

Уравнения (6.3.6a, б) - гесютрофические соотношения. Заметим, что эти уравнения имеют совершенно такой же вид, как геострофические соотношения для двумерного движения на плоскости с декартовыми координатами х, у. Такое сходство связано с применением приближения р-плоскости. Важно, что в соотношениях между и0, v0 и р0 в декартовой системе координат параметр Кориолиса заменяется я о* стоянкой величиной 一 своим значением (0 при 0= 60. Это видно, например, из уравнения (6.3.6а), которое в размерных переменных имеет вид

11%。= ГТ Ps /о%。= ГТ Ps /о?Р*О?Р*О(6.3.8)(6.3.8)

1

1

%。= ГТ Ps /о

%。= ГТ Ps /о

?Р*О

?Р*О

(6.3.8)

(6.3.8)

так что из (6.3.7) следуеттак что из (6.3.7) следуетЭто существенное упрощение приводит к тому, что горизонтальная дивергенция в первом приближении обращается в нуль, поскольку в силу (6.3.6а, б)

так что из (6.3.7) следует

так что из (6.3.7) следует

(&3.10)(&3.10)(6.3岁)

(&3.10)

(&3.10)

---(ps (z)т0) = 0。

Таким образом, p$ w0 не зависит от z, поэтому равенство w0 нулю при некотором z приводит к отсутствию вертикальной скорости при всех z・ Если область движения ограничена сверху или снизу горизонтальной твердой поверхностью, то вертикальная скорость на этой поверхности должна обращаться в нуль. Существование вблизи такой поверхности вязкого пограничного слоя будет приводить в силу (4.5.39) к возникновению малой вертикальной скорости порядка 0(6^ /队 Следовательно, 0(1) обращается в нуль на таких поверхностях и при наличии вязких пограничных слоев. Конечно, мы должны проверить, не может ли влияние стратификации существенно изменить структуру экмановского слоя. В разд. 6.6 мы получим отрицательный ответ на этот вопрос, но здесь для нас важен только тот простой факт, что в силу уравнения неразрывности вертикальная скорость на внешней границе пограничного слоя равна по порядку величины характерной горизонтальной скорости, умноженной на отношение вертикального и горизонтального

масштабов движения в пограничном слое. Таким образом, если толщина пограничного слоя меньше глубины D, то отношение порядков вертикальных скс^хютей в^три и вне пограничного слоя будет малой величиной порядка отношения толщины пограничного слоя к D・ Аналогично, не« плоская твердая поверхность с возвышениями, имеющими характерную величину O(hs)9 будет генерировать вертикальную скорость порядка

w» = o(— и),

или в безразмерном виде w=o(-^L).

Как и в разд. 3.12, мы ограничимся рассмотрением тех случаев, когда

Ав

力・=О(Е ),(6-3.11)

поскольку случай больших значений hB/D можно рассматривать аналогично разд. 3.12 как предельдай случай теории, получаемой ниже.

Используя (6.3.11)^ мы снова приходим к выводу, что 切° должна обращаться в нуль по крайней мере при одном z； тогда в силу (6.3.10) w0= 0.(6.3.12а)

Соответственно разложение для w приводится к виду

w = EWj + =2Wj+ ... ,(6.3.126)

который, что важно отметить, является прямым следствием эффекта вращения или, точнее, геострофического приближения. Геострофическое приближение (6・3・6а, б) приводит к уже известной проблеме геострофического вырождения, т.е. к невозможности определить р01 и0 и % из уравнений первого приближения. Поэтому, как и в гл. 3, необходимо рассматривать члены более высокого порядка (порядка 0(e)) в уравнениях движения. Разлагая тригонометрические функции и используя (6.3.12), находим из (6・2・24а, б)

du。du0L

+ %? J + "°-( —)yctge0 =

=一 tg 8。学，(6.3.13a)

дк EFnd*

dvQa»。Ldp】

— + Un ‘—“ + Vq “ c + U] + и。(— ) У ctg »0 = ~ a •

d£dyfoedy

(6.3.136)

Слагаемые в левых частях (6.3.13% 6), пропортиональные L/r* , возникают из-за изменения параметра Кориолиса с широтой. Присутствие этих слагаемых вытекает из самой идеи приближения р -плоо кости. Аналогичное же слагаемое в правой части (6.3.13а) возникает иэ-за переменности метрического коэффициента cos 8 , связывающего изменения долготы с изменениями длины в зональном направлении. Если tg 力 мал, то этим членом можно пренебречь. В таком случае (6.3.13) сведутся к уравнениям сохранения импульса (для величин порядка О(е )) для плоской Земли с параметрам Кориолиса, линейно меняющимся в меридиональном направлении. Это могло бы служить обоснованием применимости приближения р -плоскости при описании сохранения импульса. Однако предположение о малости tg 60 является слишком сильным9 поскольку справедливость приближения р -плоскости при этом ограничивается узкой областью, прилегающей к экватору, в которой плохо выполняется геострофическое приближение. Поэтому мы приходим к выводу / что модель плоской Земл% в которой сферичность учитывается только изменением параметра (, неприменима для описания баланса импульса во втором приближении по е ・ Мн, однако, должны напомнить, что применимость приближения р -плсюкости требовалась ранее лишь для вывода уравнения вихрлЛ Прежде чем переходить к выводу этого уравнения, полезно выписать второе приближение для уравнения неразрывности (6・2・27), а именно

з* + ~7у~ % 阻呪 + —— у 阻 е0 —-— +

+ --— --- (ре 切]产 0，(К.3.14)

(6.3.15)(6.3.15)Уравнение вихря для

(6.3.15)

(6.3.15)

° d* dy

может быть получено перекрестным дифференцированием (6・3・13а, б) по л и у； используя (6.2.33) и (6.2.12), получаем

(6.3.16)Используя теперь уравнение неразрывности, а также (6.3.6а, 6), находим(6.3.16)Используя теперь уравнение неразрывности, а также (6.3.6а, 6), находим

(6.3.16)

Используя теперь уравнение неразрывности, а также (6.3.6а, 6), находим

(6.3.16)

Используя теперь уравнение неразрывности, а также (6.3.6а, 6), находим

(6.3.17)(6.3.17)"о18

(6.3.17)

(6.3.17)

(So + Ру) (ps wj),

где

% a a a„

—三17 + "。丁 +"。亨•(6・3・18)

Это уравнение 6 точност совпадает с уравнением вихря в первом приближении, получаемым в модели плоской Земли с параметром Кориолиса, линейно зависящим от у・ Заметим, что u0l v0 непосредственно выражаются через р0 в силу "плоского” геострофического приближения (&3・6а, 6), так что

(6.3 Л9)(6.3 Л9)开Роa2Po

(6.3 Л9)

(6.3 Л9)

дх2Ну'

Теория, однако, остается пока незамкнуто", так как 切］не выражена еще через р°・ Это, вообще говоря, требует рассмотрения термодинамического уравнения, т.е. либо (6.2.4), либо-(6.2.7). Такое рассмотрение > приводящее к замкнутой системе уравнений, дается в следующих разделах. Здесь, однако, мы можем сразу вывести уравнение вихря, определяющее движения в однородной жидкости глубины D. Если жидкость однородна, то р$ постоянно и р тождественно равно нулю, откуда с учетом (б.З.бв) следует, что р0 не зависит от z и, следовательно, и。, о。также не должны зависеть от г. Интегрируя (6.3.17) по глубине слоя (т.е. от г = 0 до z « 1), находим, что

厶

j- (J о + Р У)= ^i(z - 1) — Wj (г = 0)(6.3.20)

с точностью до O(Ar/D)・ Примем во внимание, что дно может быть неровным, а верхняя граница представляет собой свободную шжерхность, и учтем при вычислении правой части в (6.3.20) соотношения (4.11.4) и

в результате получаем

■г г* rot Т 一 ,(6.3.21)■г г* rot Т 一 ,(6.3.21)资储+^+叮一小。)=薪計

■г г

* rot Т 一 ,

(6.3.21)

■г г

* rot Т 一 ,

(6.3.21)

где

По = Ро，

и г = £%/е・ Мы удержали здесь слагаемое порядка 0(F), возникающее из-за смещений свободной поверхнсюти, поскольку в случав однородной жидкости условие F« 1 не является необходимым для упрощения уравнения неразрывности, как это имеет место при р# 0. Важно отметить, что уравнение (6.3.21), как показывает его сравнение с (5.2.16)4 является уравнением вихря для однородной жидкости в приближении р -плоскости. Таким образом, с точки зрения динамики геострофических движений геострофическое приближение (6.3.6% б) и уравнение потенциального вихря (6.3.21), определяющие движение в первой приближении, являются в точности уравнениями, описывающими движение на плоскости с линейно меняющимся параметром Кориолиса.

Это справедливо даже в случае, когда tg ео 工 0(1), т.е. когда уравнения сохранения импульса для величин порядка О(е) (6.3.13 б) не совпадают в точности с соответствующими уравнениями в приближении Р -плоскости. Итак, мы показали, что в первом приближении по крайней мере для однородной жидкости влияние сферичности Земли проявляется лишь в изменении параметра Кориолиса ( с широтой. В следующих разделах мы обобщим этот результат на случай стратифицированной жидкости.

Понятие о статической устойчивости

Для завершения вывода квазигеострофических уравнений движения необходимо выразить малую вертикальную скорость £% через геострофические поля и。, vq, Pq. Это тонкий вопрос, и прежде чем переходить к его обсуждению, рассмотрим в этом разделе понятие спит- ческой устойчивости с которой вертикальная скорость тесно связана.

*)Ураенение (6.&21) не содержит слагаемого, пропорционального Re-1, имеющегося е (&216), но ага разница несущестеенна. Такой еяэкий член может быть екпючен е (6.3.21). если предположить, что Е^ 工 О(е),

99⑥⑥：6： z + dz 'V:dz& z：6： z + dz 'V:dz& zp(B)p(B)p(A)p(A)

9

9

⑥

⑥

：6： z + dz 'V

:dz

& z

：6： z + dz 'V

:dz

& z

p(B)

p(B)

p(A)

p(A)

Рис, 6.4・7・ Жидкая частица 4 медленно смещается от уровня z на уровень z + dz. занимаемый элементом В. Во время перемещения частица сохраняет потенциальную температуру. В то же время температура и плотность е частице меняются, поскольку р⑻ / р(4). Эго изменение плотности еместе с разностью р(4) — р(В) создает сипу ппаеучести, дейстеующую на ^ и определяй мую формулой (6.4.7),

Пусть сначала атмосфера находится в состоянии покоя, т.е. в том равновесном состоянии, когда поверхности постоянного давления и плотности совпадают с поверхностями z = const *i Рассмотрим теперь смещение жидкой частицы 4 вверх, на уровень, занимаемый жидкой частицей В (рис. 6.4.1). Пусть перемещение происходит достаточно медленно, так что давление в Л успевает приспособиться к давлению жидкости; для этого достаточно только, чтобы скорость перемещения была малой по сравнению с локальной скоростью звука. В то же время мы считаем скорость смещения достаточно большой, так что изменение теплосодержания за время смещения пренебрежимо мало и можно считать, что перенос частицы 4 на новый уровень осуществляется адиабатически (т.е. при постоянной энтропии). В соответствии с (1.4.18) отсюда следует, что потенциальная температура (1.4.19)

(6.4.1)(6.4.1)е= T(旦)R%

(6.4.1)

(6.4.1)

при перемещении сохраняется. Используя уравнение состояния идеального газа (1.4.16), можно переписать (6.4.1) в виде

РР—(_Р_ Re '—(_Р_ Re '(6.4.2)(6.4.2)

Р

Р

—(_Р_ Re '

—(_Р_ Re '

(6.4.2)

(6.4.2)

где

УУСр 一 суСр 一 су

У

У

Ср 一 су

Ср 一 су

есть отношение теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и плотности соответственно. Для воздуха у ■ 1,4* Плотность частицы 4 на уровне z + dz изменяется на величину

(6.4.3)(6.4.3)

(6.4.3)

(6.4.3)

(6.4.4)(6.4.4)вследствие уменьшения давления, претерпеваемого частицей при пе- ремещенииу так что новая плотность на уровне z dz равна

(6.4.4)

(6.4.4)

у p м

С другой стороны плотность частицы В может быть выражена через невозмущенную плотность Л на уровне / а именно

(6.4.5)(6.4.5)РВ н Р4(*)+ dk

(6.4.5)

(6.4.5)

Таким образом* полное изменение плотности частицы 4 при переме* щении равно

(РЛ+ДрЛ)-Рв = (Х 旦 曲——虫.)叁. (6.4.6)

У р Зм Зг

Это изменение плотности приводит к возникновению возвращающей силы на единицу массы

£(Р{ + Ар{ - Ра) = g ( 1 ‘ =^— ■■里)dz =

РУР jzРJz

=：8 dz.(6.4*7)

Таким образом, если de/Jz > 0, то сила плавучести является возвращающей и статическое состояние устойчиво по отношению к малым вертикальным смещениям у происходящим при постоянной энтропии. Величина (1/0) 88/2% называется статической устойчивостью^ Поскольку возвращающая сила в (6.4.7) пропорциональна смещению, то колебание жидкой частицы около положения равновесия происходит с частотой

(6.4.8)(6.4.8)N =（丄也产

(6.4.8)

(6.4.8)

называемой частотой Брента — Вяйсяля. В общем случае /V является функцией высоты. Далее у в силу (6.4.1)

1 ае _ 1 дт к 1ap1 ае _ 1 дт к 1apи поскольку для сяаническою состояния атмосферы dp

1 ае _ 1 дт к 1ap

1 ае _ 1 дт к 1ap

匸 一 Pg，

dz

то

(6.4.9)(6.4.10)(6.4.9)(6.4.10)(6.4.11)(6.4.11)丄包二丄（更+ _L6 爺 T dz Ср丄包二丄（更+ _L6 爺 T dz СрОтсюда следует, что атмосфера остается статически устойчивой да« же при5Г/Эг< 0. если только - dTfdz9 скорость падения температу

(6.4.9)

(6.4.10)

(6.4.9)

(6.4.10)

(6.4.11)

(6.4.11)

丄包二丄（更+ _L

6 爺 T dz Ср

丄包二丄（更+ _L

6 爺 T dz Ср

Ри с. 6.4・2. а — вертикальное распределение температуры е атмосфере зимой и петом. 6— соотеетстеующее распределение №(г)(Чарни и Дрейзин (1961)).Ри с. 6.4・2. а — вертикальное распределение температуры е атмосфере зимой и петом. 6— соотеетстеующее распределение №(г)(Чарни и Дрейзин (1961)).ры по zf не превосходит g/Cp. На рис. 6.4.2 показаны типичные профили Г(г) и №(z) для летней и зимней атмосфер. В тропосфере, где дТ/dz < 0 ( и где происходят "погодные11 явления)* характерное значе-

Ри с. 6.4・2. а — вертикальное распределение температуры е атмосфере зимой и петом. 6— соотеетстеующее распределение №(г)(Чарни и Дрейзин (1961)).

Ри с. 6.4・2. а — вертикальное распределение температуры е атмосфере зимой и петом. 6— соотеетстеующее распределение №(г)(Чарни и Дрейзин (1961)).

ние N равно О (10~2 с-1); значение ^ резко повышается на границе между тропосферой и стратосферой, на высоте примерно 10 км, вследствие резкого уменьшения в этой области скорости падения температуры (эта верхняя граница тропосферы называется тропопаузой). Поскольку N» /, то колебания с частотой N представляют собой высокочастотные колебания относительно более медленно меняющееся крупно масштабного геострофического движения, и геострофическая теория, ограничивающаяся рассмотрением более интенсивных движений с характерными частотами « /, неприложима для описания этих колебаний. Как мы увидим ниже, наличие N^O сильно затрудняет крупномасштабное вертикальное движение и по существу связывает малую крупномасштабную вертикальную скорость с геострофическими полями %,

В океанах> где изменение объема жидкой частицы, подвергаемой малым перемещениям, пренебрежимо мало, частота Брента — Вяйся-

ля просто выражается через равновесное распределение плотности, а именно*)

(6.4.12)(6.4.12)N=(-g匹忙 р dz

(6.4.12)

(6.4.12)

На рис. 6.4.3 схематически изображен профиль плотности по глубине в океане. Ниже мелкого однородно перемешанного слоя толщиной 0(100 м) плотность резко увеличивается в области пикноклина на глубине примерно 700 м и остается практически постоянной в глубоководной области. Соответственно /V мало у поверхности и на большой глубине и имеет острый максимум порядка 10*3 с-1 в области пикноклина.

Заметим, что для атмосферы

V- = «(Ю-1),(6.4.13)

если D равно 10 км, в то время как для океанов

D dp /V2D

=彳一=0(10-3).(6.4.14)

» С учетом сжимаемости формула для ^ имеет вид

УТА/)%，

где с= c(z) — скорость звука. Вне пикноклина пренебрегать еторьм слагве- мьм в агой формуле, вообще говор% нельзя Прим. ред.

профиль ^(z).

Итак, в атмосфере изменение потенциальной температуры 6 с глубиной хотя и важно, но мало (при этом (D/p) | Hp/dz = 0(1)); в то время как для океанов мало полное изменение плотности с глубиной. Тем не менее стратификация, даже будучи слабой,делает возможным существование устойчивого равновесия жидкости в поле силы тяжести.

Уравнение квазигеострофического потенциального вихря ппя атмосферных движений синоптического масштаба

Вернемся к анализу характерных масштабов для случая В = 0(1), е « 1. Для завершения описания движения необходимо связать функцию 记1 в (6.3.17) с динамическими переменными первого приближения. Рассмотрим сначала движения в атмосфере и проведем соответству ющий анализ характерных масштабов для потенциальной температуры 毗 Поскольку в силу (6.4.2)

In 6 = In р* — In р* + const,(6.5.1)

то из (6.2.18) и (6.2.21) следует

In 6* = ( In ps — In ps ) 4 In (1 + g 启 )—

УУPs / Ps

点2

(6.5.2)

Используя (6.5.2), мы представляем 6* (как мы уже поступали с р*) в виде суммы равновесного распределения 6S (z) и малого отклонения порядка 0住尸)，возникающего вследствие движения, т.е.

е* =q (а ［】+ £尸6(看九 ％ £)l где

(6.5.3)

In %(2)= *」一 In ps (z) — In p$ (z) + const • У

Таким образом, если представить 6 в ваде разложения по степеням £

6 = б。+ в 61 + •«•

(6.5.4)

то в силу (6.5.2)

6q = 一 Po + () Po

У Ps

Используя (6.3.6b) и соотношение

(6.5.5)

dz

следующее из (6.2.15), записанного в размерном виде, находим

. dPo

e0 = —— - Po de

Поскольку из (6.4ЛЗ)

1 如_。

% dz 6S

1

(6.5.8)

詬一=0(10-4= 0(6),

(6.5.7)

то

(6.5.8)

Очевидно, что (6,3.6в) представляет собой гидростатическое соотноше-

шение, справедливое при условии 5 « 鸣 это же соотношение записано в (6,5.8) в более простом виде через отклонение потенциальной температуры 0О.

Подстановка (6.5.3) в (6.2.4) дает следующее безразмерное уравнение

а%dzа%dz(1 + Е尸6)(1 + Е尸6)匹 q匹 q

а%

dz

а%

dz

(1 + Е尸6)

(1 + Е尸6)

匹 q

匹 q

записывается в видезаписывается в видеS(z) =IN}D^3f^GS(z) =IN}D^3f^Gгде параметр стратификациигде параметр стратификации(6.5.13)(6.5.13)

записывается в виде

записывается в виде

S(z) =

I

N}D^

3

f^G

S(z) =

I

N}D^

3

f^G

где параметр стратификации

где параметр стратификации

(6.5.13)

(6.5.13)

(6.5.9)

где Л# - скорость притока тепла к жидкой частице, равная в силу (6.2.4)

К . _Ly2T + Q*.(6.5.10)

р*

Для тропосфера СрТ* = O(gD) = О (200 см2/с2); отсюда (6.5-9) справедливо при значениях К*《O(U%)= 102 см2/с3, если £7= О (10 м/с).

Определим

(6.5.11)

тогда, используя (6.3.12), находим, что в низшем порядке по е (6.5.9)

(6.5.12)

93aMeт*м. что е сипу (6.2.24е) w = 0(e), поэтому гидростати чес кое приближение а случае ппоскоЯ геометрии требует только, чтобы с '6'《1. так что а плоском случае (в.3.ва) остается справедливым при 5 =0(1) и малых е. Эго оботоятепьство имеет практическое применение при лабораторном модепирова* иии атмосферных движений, поскольку е этом случае нет необходимости огр», “ичимться системами с малым отношением вертикального и горизонтального размеров. На офере. однако. (6.3.6а ) справедливо лишь при 5 《1, поскольку только при таком условии можно пренебречь влиянием вертикальной компоненты силы Кориолнса.

является величиной порядка 0(1) и Ns есть частота Брента - Вяйсяля для атмосферы в состоянии равновесия, т.е.

УУD % dzD % dz(6.5.14)(6.5.14)Оператор d^/ dt дается выражением (6.3.18). Для атмосферных движений синоптического масштаба S (z) является величиной порядка 0(1), поскольку 尸 и (1/0S )des /dz равны 0(е )・ Приток тепла К моадт рассматриваться либо как заданный источник в (6.5.12), либо может зависеть от 60 и характеристик движения в первом приближении. В большинстве обсуждаемых ниже задач приток тепла за характерное время адвекции L/U предполагается малым и потому им обычно пренебрегают.Разрешим (6.5.12) относительно wx:Оператор d^/ dt дается выражением (6.3.18). Для атмосферных движений синоптического масштаба S (z) является величиной порядка 0(1), поскольку 尸 и (1/0S )des /dz равны 0(е )・ Приток тепла К моадт рассматриваться либо как заданный источник в (6.5.12), либо может зависеть от 60 и характеристик движения в первом приближении. В большинстве обсуждаемых ниже задач приток тепла за характерное время адвекции L/U предполагается малым и потому им обычно пренебрегают.Разрешим (6.5.12) относительно wx:(6.5.15)(6.5.15)и найдем из (6.3.17) растяжение вихревых трубок, обусловленное 々， т.е.и найдем из (6.3.17) растяжение вихревых трубок, обусловленное 々， т.е.11n 1'。呪 О5УZ)=n 1'。呪 О5УZ)=dzdzЭ60).(6.5.16)办Э60).(6.5.16)办Геострофические соотношения (6・3・6а, б) в комбинации с уравнением гидростатики (6.5.8) дают уравнения термического ветраГеострофические соотношения (6・3・6а, б) в комбинации с уравнением гидростатики (6.5.8) дают уравнения термического ветра(6.5.17)(6.5.17)В силу этих соотношений последнее слагаемое в правой части (6.5.16) обращается в нуль. Таким образом, уравнение вихря (6.3.17) можетВ силу этих соотношений последнее слагаемое в правой части (6.5.16) обращается в нуль. Таким образом, уравнение вихря (6.3.17) может

У

У

D % dz

D % dz

(6.5.14)

(6.5.14)

Оператор d^/ dt дается выражением (6.3.18). Для атмосферных движений синоптического масштаба S (z) является величиной порядка 0(1), поскольку 尸 и (1/0S )des /dz равны 0(е )・ Приток тепла К моадт рассматриваться либо как заданный источник в (6.5.12), либо может зависеть от 60 и характеристик движения в первом приближении. В большинстве обсуждаемых ниже задач приток тепла за характерное время адвекции L/U предполагается малым и потому им обычно пренебрегают.

Разрешим (6.5.12) относительно wx:

Оператор d^/ dt дается выражением (6.3.18). Для атмосферных движений синоптического масштаба S (z) является величиной порядка 0(1), поскольку 尸 и (1/0S )des /dz равны 0(е )・ Приток тепла К моадт рассматриваться либо как заданный источник в (6.5.12), либо может зависеть от 60 и характеристик движения в первом приближении. В большинстве обсуждаемых ниже задач приток тепла за характерное время адвекции L/U предполагается малым и потому им обычно пренебрегают.

Разрешим (6.5.12) относительно wx:

(6.5.15)

(6.5.15)

и найдем из (6.3.17) растяжение вихревых трубок, обусловленное 々， т.е.

и найдем из (6.3.17) растяжение вихревых трубок, обусловленное 々， т.е.

1

1

n 1'。呪 О

5УZ)=

n 1'。呪 О

5УZ)=

dz

dz

Э60

).(6.5.16)

办

Э60

).(6.5.16)

办

Геострофические соотношения (6・3・6а, б) в комбинации с уравнением гидростатики (6.5.8) дают уравнения термического ветра

Геострофические соотношения (6・3・6а, б) в комбинации с уравнением гидростатики (6.5.8) дают уравнения термического ветра

(6.5.17)

(6.5.17)

В силу этих соотношений последнее слагаемое в правой части (6.5.16) обращается в нуль. Таким образом, уравнение вихря (6.3.17) может

В силу этих соотношений последнее слагаемое в правой части (6.5.16) обращается в нуль. Таким образом, уравнение вихря (6.3.17) может

быть записано как

(6.5.18)

и в отсутствие притока тепла превращается в закон сохранения

A [Jo + ₽y + j_ _L (^L. е0)1 = о. (6.5.19)

或Ps dz S

Геострофическое и гидростатическое приближения позволяют нам выразить все зависимые переменные в (6.5.19) через

屮=Ро，(6.5.20)

так что (6.5.19) становится замкнутым уравнением, полностью определяющим движение, а именно

(а _а^L. 一 —)к

а± а» ay 办 а*

" 丄虫+ 2_上(旦包)+ ву] = 0.

* 办2 Ps Fz S dz

(6.5.21)

Сравнение (6.5.21) c (3.12.30) показывает, что (6.5.21) есть обобщение на случай стратифицированной жидкости на сфере уравнения квазигео- строфического потенциального вихря (3.12.30), выведенного для однородной жидкости. Это обобщена станет более ясным, если мы заметим, что S 弘 равно отношению геометрического масштаба L к внутреннему масштабу длины

坛="坛="(g'D 产(g'D 产(6.5.22)(6.5.22)

坛="

坛="

(g'D 产

(g'D 产

(6.5.22)

(6.5.22)

где

6s dz*

есть "уменьшенное" ускорение силы тяжести, т.е. эффективное ускорение силы тяжести для жидких частиц. Масштаб L。 называется внутренним радиусом деформации Россби, или просто радиусом деформации, если из контекста ясно, о чем идет речь. Заметим, что отношение L^ к внешнему радиусу деформации R равно

一土 = (-L- ——- 户« 1.(6.523)

Основное уравнение (6.5.21), описывающее атмосферные движения синоптического масштаба (или более общее (6.5.18)), записано для дав* ления р0. Как только становится известным р0 (или, что то же самое, кр), величины 气，vq, Ро, 6о и q рассчитываются непосредственно по (6.3.6а, 6, в), (6.5.8) и (6.5.15).

Перед обсуждением необходимых граничных условий для уравнения (6.5.21) выясним, как оно связано с теоремой Эрте ля (2.5.8), (2・5・9)・ В случае л = 0 потенциальная температура сохраняется, так что в качестве 入 в (2.5.8) может быть выбрана 6*・ Отсюда размерный потенциальный вихрь равен

П* = з*а" % ,(6.5.24)

Р*

где

з*а =仇 + ВоУ* +(*)&+** + /(П* + fo ctg во)- (6.5.25)

Единичные векторы I j J направлены на восток, север и вверх соответственно, и С*, А и п* представляют собой вертикальную и горизонтальные компоненты относительного вихря. Первый член в (6.5.25) равен вертикальной компоненте (абсолютного) вихря, второй и третий члены - его горизонтальным компонентам (с учетом меридиональной составляющей планетарного вихря). Приводя П* к безразмерному виду, получаем с помощью (6.5.3)

/о/。

П, = [—]{[l + g“)]x

Psd+E^P)

+—— + 叩—+ е5 ctgе0 —

d% дуду

Оператор 〃山* в размерных единицах равен

dU( 88ad

■；="—(二^ + u : I + V - + w — ).

dt*L3：3k办dz

Если оставить только члены порядка О(аа, eF, аЭ0в /〃), то уравнение сохранения

(6528)(6528)

(6528)

(6528)

do d0o dt dz(6.5.29)do d0o dt dz(6.5.29)приводится к виду

do d0o dt dz

(6.5.29)

do d0o dt dz

(6.5.29)

(Л) +

血(р°/%)а&/支

86$ /dz dzp$

или с учетом соотношения (6.5.15), записанного в адиабатической форме, к виду

"о “ с t 1^03^0

Н& + Ву)+丁 Н Н

(6.5.30)

и, наконец, объединяя два последних слагаемых, приходим к уравнению

丁 Ко + В У + ——上.6。)= о,(6.5.31)

戢Ps dz S

которое совпадает с (6.5.19).

Итак, основным уравнением движения синоптического масштаба в атмосфере является уравнение сохранения квазигеострофического потенциального вихря, причем горизонтальные скорости и потенциальная температура определяются через давление с помощью геострофического и гидростатического приближений. Кроме того, может быть йенами зовано приближение р -плоскости, согласно которому единственный эффект сферичности в первом приближении состоит в добавлении к потев- циальному вихрю линейного по у слагаемого, обусловленного планетарным вихрем. В высшей степени важно отметить, что, хотя гориэежталь- ные компоненты относительного вихря значительно превышают его вертикальную составляющую ( в L/D раз)* тем не менее из-за основной стратификации именно вертикальная составляющая относительнот'о вихря входит в уравнение потенциального вихря, оказывая решающее вл№ ние на динамику. Важно также отметить, что геострофическое приближение не требует, чтобы 6"1 (dQs /dz)=。住)или S = 0(1). Еслм S много меньше единицы, то уравнение (6.5.15) просто не определяет %・ Действительно, при S ->0 должно использоваться уравнение потенциалг ного вихря для однородной жидкости. С другой стороны, если S очень

велико (т.е. стратификация очень сильна), то 勺-0, растяжение вихревых нитей по существу исчезает и (6.5.21) сводится к уравнению сохранения абсолютного вихря 50 +₽у.

Наконец, для дальнейших ссылок удобно записать (6.5.21) в размерном виде

x ［【* + ВоУ* +■x ［【* + ВоУ* +■(6.5.32)(6.5.32)С*С*(6.5.33)(6.5.33)(6.5.34)(6.5.34)а2 a2运+需)6p*.а2 a2运+需)6p*.

x ［【* + ВоУ* +■

x ［【* + ВоУ* +■

(6.5.32)

(6.5.32)

С*

С*

(6.5.33)

(6.5.33)

(6.5.34)

(6.5.34)

а2 a2

运+需)6p*.

а2 a2

运+需)6p*.

Снова отметим, что геострофические соотношения (6.5.34) содержат только %, т.е. постоянную часть параметра Кориолиса.

6.6. Экмановский слой в стратифицированной жидкости

В случае однородной жидкости вертикальная скорость, генерируемая на внешней границе экмайовского слоя, играет существенную роль в постановке граничного условия на твердых границах для решения внутри области. В этом разделе мы исследуем влияние стратификации на экмановский слой и в особенности на экмановскую вертикальную скорость.

Будем использовать приближение р-плоскости для уравнений им・ пульса низшего порядка так же, как это делалось в разд. 6.2. Будем предполагать, как и в гл. 4, что в окрестности нижней границы силы

трения с точностью до малых величин могут быть представлены как

3=

-*9 ,

4р d~

Ep daM

Р*%

%小az2

22 '

(6.6.1)

驾

Ay d2v

ev a2V

Ps%

%02 az2

2 dz2

Допустим также, что у поверхности х = 0, т.е. нижней границы атмосферы, существует обычный экмановский слой* Вводя растянутую координату

и записывая все переменные в пограничном слое как функции х, у, С , получаем из (6.2.24 а, б) с точностью до О(е, 6* L /% ) следующие уравнения：

(6.6.2a)(6.6.26)(6.6.2a)(6.6.26)〜痂1 ”%

(6.6.2a)

(6.6.26)

(6.6.2a)

(6.6.26)

dx 2 對 2

-др01 d2v0

"(J N ■ + —

办 280

где тильдой обозначены переменные, описывающие экмановский слой в окрестности z = 0. Уравнения (6.6.2 а, б) совпадают с (4.5.25 а, б), т.е. с уравнениями экмановского слоя для однородной жидкости.

Однако самый важный вопрос заключается в том, остается ли 瓦 не зависящим от [, как в случае однородной жидкости, или изменения плотности приводят к тому, что dpQ / 8[ ~О(1)・ Уравнение неразрывности здесь имеет вид

(6.6.3)(6.6.3)吧一e气吧.+唾

(6.6.3)

(6.6.3)

d£ ' Эх 办

откуда следует, что в экмановском слое w порядка О (EJ). Это позволяет оценить dpQ /80 из уравнения гидростатики, наверняка спра-

ведливого в экмановском слое, где отношение вертикального и гори* зонтадьного масштабов даже меньше, чем во внутренней области. Имеем

(664)(664)=Е р 6。•

(664)

(664)

С другой стороны, из (6.5.12), (6.3.12) следует

60 = 0(^5)= О(_ S)-O(EF _),(6.6.5)

ее

так что

др0S

L = О (Ev _ ).(6.6.6)

Таким образом, при условии

Ev < 0(— )(6.6.7)

/о в пределах экмановского слоя не зависит от глубины и однородная модель экмановского слоя остается справедливой для стратифицированной жидкости. В частности, из (4.5.39) получаем

Еу

М%% 0)= ЕЗ] М九 0)=【0(明 У, 0),

2

откуда на нижней границе -

(6.6.8)(6.6.8)(6.6.9)(6.6.9)W1 (明 У, О) н —L【Q (х,力 0).2е

(6.6.8)

(6.6.8)

(6.6.9)

(6.6.9)

Если дно неровное, то в силу (4.9.36)

% 的力 0) = 工о (0)+ и。・▽(—), 2еeD

где Ав(х, у) — возвышение нижней границы относительно отсчетного уровня z = 0. Это соотношение является граничным условием для

(6.5.21) и (6.5.18); выражая его через *р, получаем с помощью (6.5.12)

dt dz

a2屮 M屮 x( +:

дх ay ay a% 2e

K(x,y, 0) )+— .(6.6.10)

эx2 办2

6.7. Граничные условия для уравнения потенциального вихря: атмосфера

Соотношение (6.6.10) представляет собой граничное условие на поверхности Земли для уравнения квазигеострофического потенциального вихря. Формулировка верхнего граничного условия является более трудной проблемой* Атмосфера не ограничена сверху, хотя обладающие наибольшей энергией движения синоптического масштаба, связанные с ипогодойи, в значительной степени ограничены областью тропосферы. Мы отложим математическую формулировку верхнего граничного условия до разд. 6.12, а здесь укажем только его физический смысл. Для (изучаемых в этой книге) движений либо сама энергия должна стремиться к нулю при больших z, либо, если она остается конечной и ненулевой, поток энергии должен быть направлен вверх.

Урмнмие ммэигеострофического потенциального вихря для океанских движений синоптического масштаба

В случае океанских движений, для которых р = 0(1) и е « 1, уравнение (6.&17), как и в случае атмосферы 9 является уравнением вихря в первом приближении. Однако термодинамическим уравнением для океанских движений является уравнение для плотности (6.2.7), а не (6.2.4). Поскольку из (6.2.21)

Р* и Р*“)(1+ eFp),(6.8.1)

.7) приводится к следующей безразмерной форме:

「dp 3К L

е 尸一+ — —i_(l+ eFp)-- —— ,(6.8.2)

di p$ HzU

где

СрСрQ・Q・

Ср

Ср

Q・

Q・

В океанах поле плотности изменяется от поверхности до дна только на несколько тысячных долей, и поэтому, как показь'^1ет формула (6.4.14),

£_ 吧=2■也=O(10~8)-O(F)-O(e). р$ az* р$ az

Отсюда в первом приближении по е уравнение (6・8・2； приводится к виду

必 гдеК -必 гдеК -О Poо 口…-+ Wj d = ЛО Poо 口…-+ Wj d = ЛН*值 2/gD)foН*值 2/gD)fo(6.8.3)(6.8.4)(6.8.3)(6.8.4)иSиSN”2 —0(1).N”2 —0(1).

必 где

К -

必 где

К -

О Poо 口

…-+ Wj d = Л

О Poо 口

…-+ Wj d = Л

Н*

值 2/gD)fo

Н*

值 2/gD)fo

(6.8.3)

(6.8.4)

(6.8.3)

(6.8.4)

и

S

и

S

N”2 —0(1).

N”2 —0(1).

В этом случае частота Брента — Вяйсяля дается соотношением (6.4.12), т.е.

(6.8.5)

Уравнения (6.8.3) и (6.5.12) удивительно похожи. Поскольку

(1/р$ ) dp”z мало, гидростатическое, приближение (6.3.6 в) сводится к уравнению

，6・8・6)，6・8・6)^ о

，6・8・6)

，6・8・6)

Ро ■"

являющемуся океанским аналогом соотношения (6・5・8)・ Уравнения термического ветра заменяются уравнениями

а%ар。ни。ар。

dz dydz dx

в точности совпадающими с (6.5.17)# если 60 заменить на - р 0. Используя (6.8.3) и (6・8・7) для подсчета слагаемого в (6.3.17), оти* вающего растяжение вихревых трубок, а также малость величины (l/Ps)dPs/dz* получим

，乜o + 刀一—(已)](—).(6.8.8)

dtdz S dz S

В отсутствие притока тепла уравнение (6.8.8) превращается в закон сохранения

—Uo +₽у -——(—)]-о,(6.8.9)

dtdz S

в котором с учетом геострофического и гидростатического прибли* жений все неизвестные могут быть выражены через геострофическую функцию тока

屮■〃),屮■〃),(6.8.10)

屮■〃),

屮■〃),

т.е.

Nаза海а严屮尹屮.a1 a屮

dtdxdydy Эхдх2a"dzS ^dz

(6.8.11)(6.8.11)+ py ] = o .

(6.8.11)

(6.8.11)

Сравнение уравнений (6.8.11) и (6.5.21) показывает, что основное уравнение для океанских синоптических движений получилось в точности таким же, как и для атмосферных движений; единственное дополнительное упрощение состоит в том, что переменность основнзо поля плотности необходимо учитывать только в и叩аметре статической устойчивости S ・ Это удивительное подобие основных уравнений, описывающих движения синоптического масштаба в атмосфере и оке^ нах, чрезвычайно важно, так как оно позволяет выработать в рамках геофизической гидродинамики единый подход для описания и пони* мания синоптических процессов в атмосфере и в океане. В обеих

средах динамика определяется сохранением потенциального вихря, в котором горизсжтальные скорости и термодинамическая переменная рассчитываются с помощью геострофического и гидростатического соотношений и переменность и叩аметра Кориолиса учитывается лишь в виде линейно изменяющегося слагаемого (обусловленного планетарной завихренностью) в выражении для полного потенциального вихря. В обоих уравнениях эффект стратификации описывается параметром S * который может быть представлен как

S=(乜)2 ,

где

Ld

и L - пространственный масштаб движения. Для атмосферы Ld ■ О(108 км), а для океанов LD = 0(100 км). Условие р - 0(1) требует, чтобы L было О (1000 км) в атмосфере и О (100 км) для оке» ан а. Таким образом, и для атмосферных и для океанских движений синоптического масштаба.L ■ 0( LD )• Отсюда следует, что перемен* ная планетарная завихренность* относительная завихренность и часть потенциальной завихренности, обусловленная термодинамикой, явля» ются величинами одного порядка. Действительно, для того чтобы адвекция относительного вихря была связана с термодинамикой, должно выполняться условие S = О (1). При этом важно помнить# что соотношения В・0(1)и S- 0(1) вытекают из наблюдений, а не требуются априори. В принципе синоптические движения в атмосфере или океане могут иметь 卩=0(1) и S малым или большим или S- 0(1) и р* отличным от 0(1). Основные механизмы таких движений требуют специального обсуждения. В этом же пункте мы показали, что какой бы механизм ни создавал синоптические движения в атмосфере и океанах, их динамика описывается в рамках одной и той же квазигеострофи- Ческой теории.

В заключение необходимо отметить, что хотя уравнение вихря является трехмерным дифференциальным уравнением в частных производных (屮 зависит от всех трех пространственных переменных), уравнения (6.5.21) и (6.8.11) имеют по существу двумерный характер. Из-за малости w в эти уравнения явно входит лишь адвекция квази- геострофического потенциального вихря в горизонтальной плоскости.

Граничные условия для уравнения потенциального вихря: океаны

На нижней границе океана, как и в случае атмосферы, применимы условия (6・6・9) и (6«6«10)« Граничное условие на верхней границе, естественно, другое, поскольку величина глубины океана конечна и чрезвычайно реэкий скачок плотности при переходе из океана в атмосферу действует как очень эффективный барьер, препятствуя переносу механической энергии вверх. Как и в разд. 6.6* можно легко показать, что стратификация не оказывает влияния на верхний экмановский слой» Рассмотрим верхнюю границу при z* 加九* ■ о (D). Тогда в наших безразмерных единицах верхнее граничное условие дается соотношением (4.10.18), т.е.

dhт0

•九九*,/D)*—(——)+ k“ rot-r ,(6.9.1)

力°pJqUD

где приложенное на верхней границе касательное напряжение ветра

т* * тот .(6.9.2)

Далее, на верхней границе давление в океане должно равняться внешнему давлению 少*^ . создаваемому атмосферой, т.е.

Рш - ps(z)+ PsUf0Lp~p^a(x,y, t>; z = /i*/D.(6.9.3)

Запишем

九* ■ D(1 + НП)・(6.9.4)

где т](х, yt t) — безразмерное отклонение верхней поверхности от горизонт ального положения и ц - пока неопределенный масштабный множитель. Мы ожидаем, однако, что н будет малым, так что, используя разложение в ряд Тейлора, условие (6.9.3) можно переписать при z ■ i; оставляя только линейные слагаемые первого порядка малости, находим

hMs

р (x,y,-±.)^ps (1)+—— un + …+

* Ddz

+ p s UfgLp (x, у, !) + ••• «= P^a .(6.9.5)

Поскольку

—р s g ,(6.9.6) o az

то отсюда следует, что при z = 1

5] Ma (%, % 1)-二 .(6.9.7)

g°p$gD

Таким образом, естественно выбрать н как

Uf0L

—— - eF .(6.9.8)

gD

Тогда уравнение свободной поверхности записывается в форме

力*Н0(1 + £尸n)，(6。9.9)

где

п = а (х, У, 1,，)+ 匕⑴二上1 .(6.9.10)

PsAjUL

Соответственно важнее граничное условие в первом приближении по е принимает вид

s(x,y, L t)=吗(X,s(x,y, L t)=吗(X,У，1/)«*£尸 *■・・ Ро(*，，，L t) +

s(x,y, L t)=吗(X,

s(x,y, L t)=吗(X,

To+ PjoUDTo+ PjoUDk・ rotT +k・ rotT +g°Psg°Ps生 ”1)-3, 由生 ”1)-3, 由(6.9.11)(6.9.11)или,力1J），尸上или,力1J），尸上++工0— k。 rotT — ep/UD工0— k。 rotT — ep/UD丄UOgDe dt丄UOgDe dt%%(6.9.12)(6.9.12)

To+

PjoUD

To+

PjoUD

k・ rotT +

k・ rotT +

g°Ps

g°Ps

生 ”1)-3, 由

生 ”1)-3, 由

(6.9.11)

(6.9.11)

или,

力1J），尸上

или,

力1J），尸上

+

+

工0— k。 rotT — ep/UD

工0— k。 rotT — ep/UD

丄UO

gDe dt

丄UO

gDe dt

%

%

(6.9.12)

(6.9.12)

Далее, основываясь на предыдущем анализе для атмосферы, можно принять оценку：

% -O(P#aUa/oLa),

где индекс а обозначает величины, относящиеся к атмосф^е. Гори* зонтальный масштаб изменений %口 равен La^O (10 8 км), а не L ■ О (100 км), так что

1%* =C(P*aUa)Л) L = о(]0-8). (6.9.13)

gDw dtp$U gD

Отношение импульса, отнесенного к единице объема атмосферы, к соответствующей величине для океана равно 0(1), т.е. меньшая плотность воздуха компенсируется его большей скоростью. Отсюда еле» дует, что последнее слагаемое в правой части (6.9.12), как и первое, равно 0(F) и может не учитываться» Слагаемое, содержащее ротор касательного напряжения ветра, равно по порядку О(т0 /р$ %и/))厶儿口 (с учетом того факта, что т, как и 乙口，меняется с характерным пространственным масштабом La , а не L). Если т0 -= 1 да/см2, D. 4 км, U- 5 см/с и LJLq. 10"S то параметр

EP/UD %

Этот параметр хотя и мал, но пренебрегать им полностью нельзя. В самом деле, при прохождении более интенсивных атмосферных штормов он может быть равен 0(1). Таким образом, хотя на синоптических масштабах ротор касательного напряжения ветра, вообще говоря, и вносит незначительный вклад в % 儿 следовательно, в баланс потенциальной завихренности, тем не менее имеет смысл учитывать его ради сохранения общности. Таким образом, граничное условие для (6.8.11) при z ■ 1 принимает вид

z^j.-S-^—— )ze j - [―IkorotT. (6.9.14) dt dzPs^DLa

Важно отметить, что смещение свободной поверхности 尸％屮/dt не играет никакой роли в динамике синоптических движений. Иными словами, при рассмотрении квазигеострофической динамики свободная поверхность может быть заменена твердой крышкой. Причин? этого в том, что 尸 мало, в то время как S * 0(1), откуда следует

г(g° 产

Ld = O(L)« R(6.9.15)

/о

Пространственный масштаб движения, равный по порядку величины внутреннему радиусу пеформшщи* оказывается много меньшим масштаба Я, являющегося радиусам деформации свободаой поверхности. В гл. 3 уже отмечалось, что при L « R Свободная поверхность ^действует11 как твердая крышка» Изопикнические поверхности внутри океана деформируются намного легче, чем свободная поверхность, поскольку для их смещений требуется меньшая потенциальная энергия； поэтому при L« R растяжение вихревых трубок, создающее из- мен^ия завихренности на синоптическом масштабе, связано прежде всего с деформацией изопикн, а не свободной поверхности.

На вертикальных боковых границах океана нормальная геострофическая скорость должна обращаться в нуль, т.е.

п х V vp " 0,(6・9・16)

где п горизонтальный единичный вектор, нормальный к периметру бассейна.

Совершенно аналогично выводу уравнения (Х25.7) можно пок^ зать, что интегральное условие

—~ f (V 屮』n)d! к 0(6*9.17)

dt с

должно выполняться на каждом твердом замкнутом граничном контуре С； это условие следует из равенства нулю на твердой границе нормальной компоненты горизонтальной скорости порядка 0(e).

Условия (6.9.16) и (6.9.17) должны удовлетворяться на границе при всех z,

Уравнение для геострофических движений и доступная потенциальная энергия

Уравнение квазигеострофического вихря (6.5.21) или (6.8.11) вместе с соответствующими граничными и начальными условиями представляют собой замкнутую задачу> позволяющую рассчитывать характеристики движения. При этом соотношения, описывающие изменения энергии системы» могут быть получены непосредственно из уравнения потенциального вихря. Заметим» однако» что удовлетворительная интерпретация результатов требует рассмотрения уравнений импульса и термодинамического уравнения. В этом разделе будет выведено уравнение энергии для синоптических движений в ат-

мосфере; аналогичное уравнение для океана получается тривиально простым переопределением некоторых членов и введением упрощений связанных с малостью изменений ps .

Умножая (6.5.21) на—р5кр, находим

」-生[(空.户+ (空户+(2上)2]+ V . S - 0, (6.10.1)

dt 2 dx ду S dz

где вектор S равен

S = l(-Ps 屮； -Ps"0屮h0)+

dxdt 2

. 尹屮Pa2屮

+ М-р；屮 -Ps%屮 п ) + k (). (6.10.2)

dydtS dzdt

Здесь %, %, По даются соотношениями

wowoа屮а屮дуду(6.10.3а)(6.10.3а)

wo

wo

а屮

а屮

ду

ду

(6.10.3а)

(6.10.3а)

(6.10.36)(6.10.3b)(6.10.36)(6.10.3b)尹屮、 + )力2尹屮、 + )力2

(6.10.36)

(6.10.3b)

(6.10.36)

(6.10.3b)

尹屮、 + )

力2

尹屮、 + )

力2

%,дх

@2 屮@2 屮1 d ps d*

d#2 dy2ps dz S dz

Рассмотрим движение в области Я, ограниченной при z ■ 0 твердой границей| на которой выполняется условие (6.6.10). Поскольку для получения (6.10.1) мы предположили К ■ 0 (соответствующее обобщение тривиально)| то умножение (6.6.10) на「專屮 дает

Ps屮”屮 а「с т °屮 м

S dzdt dxdz

一歹"。2一‘TT 宀"一丁Рs"7Q

Боковая граница R может состоять из замкнутых или разомкнутых вертикальных поверхностей. Если рассматривается замкнутая граница| то должны выполняться условия (6.9.16) и (6.9.17). Если же граница разомкнута, то поля, вообще говоря, не определены на всей границе. В случае океанов должны выполняться именно условия (6.9.16) и (6.9.17). Для атмосферы же часто рассматривается широтная полоса» в пределах которой все поля периодичны по х с периодом 2тг( cos60)r0 / L, равным безразмерному расстоянию вокруг Земли на центральной широте е0 . Рассматриваемая полоса« однако, должна быть конечной по у для того, чтобы приближение ₽-плоскости имело смысл; постановка условий на границах широтной полосы у 】《方《уа требует дополнительного обсужд^ия. Идея приближения 俨плоскости неявно предполагает, что динамические процессы, происходящие в широтной полосе в окрестности 60> в определенном смысле замкнуты» т.е. сл&> бо зависят от процессов вне этой полосы. Это неявное предположение математически формулируется через граничные условия

% ■ 0 при 方■力 и у « у2 .(6.10.5)

изолирующие жидкость в широтной полосе у j《у у 3 от жидкости вне этой полосы и эквивалентные условиям (6.9.16), (6.9.17).

Интегрируя (6.10.1) по объему R и прим^яя (6.9.16), (6.9.17) и

на границах Я, находим

fff[( )2 + ()3 + — ()2]dxdydz -

Ht r 2 дх dy S Hz

- Л dxdyl^.—— I 工=工ff dxdy x

A S dzdtT 2e 4

x£_[(fL)2 + (雙 丹z=o，(6.Ю.6)

2 dx 办

где 乞丁 _ верхняя граница области и Л - сечение областиsR плоскостью % У.

Подынтегральное выражение в интеграле в левой части (6*10.6) является положительно определенной скалярной величиной

е-_^_[(^)2 +(^)2+1(^)21 =

2 дх ду S dz

■二一(uq + Vo +「— ).(6.10.7)

2S

Слагаемое Ps (“^ + v® )/2 равно» очевиднО| кинетической яюргии единицы объема жидкости. Вклад вертикальной скорости в кинетическую энергию равен по порядку величины О(6аеа) и» следовательно, пренебрежимо мал. Остаыиееся слагаемое ps 6q / 2 S называется доступной потенциальной энергией, и его физический смысл можно объяснить следующим образом. Рассмотрим атмосферу (или океан) в состоянии покоя с горизонтальными поверхностями постоянных плотности и давления. Потенциальная жергия этого равновесного состояния, в котором отсутствуют горизонтальные изменения р , р и 6| может рассматриваться как минимальное отсчетное значение потенциальной мшргии» поскольку потенциальная жергия этого состояния не может сама по себе переходить в кинетическую ягергию. Рассмотрим теперь возмущенное состояние атмосферы или океана» характеризующееся отклонениями от равновесия. Такое состояние может быть создано перемещением жидких частиц по вертикали на расстояние 8% являющееся функцией % и z#. Тогда возврат щающая сила на единицу объема, действующая на жидкую частицу, равна^огласно (6.4.7),

g неg не(6.10.8)(6.10.8)

g не

g не

(6.10.8)

(6.10.8)

б,*б,*Это вьфажение линейно по 6z# » поэтому приращение потенциальной энергии частицы будет равно

б,*

б,*

(6.10.9)

Вертикальное смещение 5z* можно связать с отклонениями 6 * от

6%=吐 6z* + 0(d).(6.10.10)

Таким образом,Таким образом,

Таким образом,

Таким образом,

так что в первом приближении по е с учетом соотношениятак что в первом приближении по е с учетом соотношениябе—^- = eF60 %имеембе—^- = eF60 %имеем(6.10.12)(6.10.12)(6.10.13)(6.10.13)Таким образомI доступная потенциальная энергия является квадратичной, положительно определенной функцией отклонений 6-поверхностей от их равновесного горизонтального положения. Эго та доля полной потенциальной энергии, которая может превращаться в кинетическую энергию. Итак, полная энергия в квазигеострофическом приближении равна сумме кинетической энергии горизонтального движения и доступной потенциальной энергии. В размерных единицахТаким образомI доступная потенциальная энергия является квадратичной, положительно определенной функцией отклонений 6-поверхностей от их равновесного горизонтального положения. Эго та доля полной потенциальной энергии, которая может превращаться в кинетическую энергию. Итак, полная энергия в квазигеострофическом приближении равна сумме кинетической энергии горизонтального движения и доступной потенциальной энергии. В размерных единицахЕ = [и Я + V 2 +*2N2а в безразмерном видеЕ = [и Я + V 2 +*2N2а в безразмерном видебебе(6.10.14)(6.10.14)Е* Ps / 22К = — — = -• ■ — ( U Q + Vq +U2 2Е* Ps / 22К = — — = -• ■ — ( U Q + Vq +U2 2egpegp(6.10.15)(6.10.15)

так что в первом приближении по е с учетом соотношения

так что в первом приближении по е с учетом соотношения

бе

—^- = eF60 %

имеем

бе

—^- = eF60 %

имеем

(6.10.12)

(6.10.12)

(6.10.13)

(6.10.13)

Таким образомI доступная потенциальная энергия является квадратичной, положительно определенной функцией отклонений 6-поверхностей от их равновесного горизонтального положения. Эго та доля полной потенциальной энергии, которая может превращаться в кинетическую энергию. Итак, полная энергия в квазигеострофическом приближении равна сумме кинетической энергии горизонтального движения и доступной потенциальной энергии. В размерных единицах

Таким образомI доступная потенциальная энергия является квадратичной, положительно определенной функцией отклонений 6-поверхностей от их равновесного горизонтального положения. Эго та доля полной потенциальной энергии, которая может превращаться в кинетическую энергию. Итак, полная энергия в квазигеострофическом приближении равна сумме кинетической энергии горизонтального движения и доступной потенциальной энергии. В размерных единицах

Е = [и Я + V 2 +

*2N2

а в безразмерном виде

Е = [и Я + V 2 +

*2N2

а в безразмерном виде

бе

бе

(6.10.14)

(6.10.14)

Е* Ps / 22

К = — — = -• ■ — ( U Q + Vq +

U2 2

Е* Ps / 22

К = — — = -• ■ — ( U Q + Vq +

U2 2

egp

egp

(6.10.15)

(6.10.15)

Таким образом, согласно уравнению энергии (6.10.6), скорость изменения суммы кинетической и доступной потенциальной энергий в замкнутой области Я зависит от двух слагаемых в правой части. Второе слагаемое, порядка О(Е? /е ), представляет собой диссипацию в придонном экмановском слое и отрицательно определено. Первое слш^емое может быть приведено к виду

ffdxdy(————h = zT = -//dxd，(ps%%)z=z a s azat т лт

(6.10.16)

Если среднее по площади Л от произведения Р。а】 на верхней границе положительно, то заключенная в R жидкость производит работу посредством сил давления, приложенных на поверхности 工丁 ; соответственно знцгия в R будет уменьшаться. Представляя (6.10Л6) в

размерной форме, имеем

士『仃E*dx* dy*dz* = -ff dx* dy#(5p#w#)2 = 2 -

//d%d〃(——5-)Хи о，(6.10.17)

2&2

где

6厶■ % 一 р$ ■ P$fo ULp0 ,

(6.10.18)

% ・DE；

Таким образом» в отсутствие вязкой диссипации и работы» совершаемой на верхней границе, сумма кинетической и доступной потенциальной энергий сохраняется. Работа сил давления на zT будет равна нулю, если либо з】здесь равно нулю, либо в случае 乞丁 - х произведение р$ % % стремится к нулю при z - 8 •

Другое представление энергетического баланса» использующее вектор потока энергии Sf дается уравнением (6.10J). Это представление может быть приведено к форме> имеющей более ясный физический смысл, если использовать следующее тождество:

ЭП0ЭП0d

Ps“0屮+ Ps Vo屮=—(Ps"o屮 口0 ) + dxдудх

нна12*/屮

+ - 9S%屮h0)= -("0屮p$ +%* Ps ) +

办дхдх2дхду

а ,а?屮а?屮.a 屮Ps尹屮

+ ( "0 * Ps + % * Ps ) + - ( +

办дхдуду 2 dz S dzdx

+)- — (u0£)- — (%E). (6J0J9)

S dzdy dxdy

Таким образом,

s p d。％ В屮 2douo

S= M“oE -Ps屮Ps ) +J (u(, E+ Ps 屮)+

dt2dt

4-127

+ к(-И "。“迎).(6.10.20)

S dt

С учетом уравнений второго приближения для импульса (6.3.13 а, б)

S может быть переписан как

L咕屮2

S = "%Е + Р$屮®]+〃0 У ctg 6。+)_ р$ В] +

3办2

.L8p1

+ j Lu。E + р$ 屮(и】+ vQ У ctg^o — ) 一

ddх

tg 60--]+k伉屮/), b0d*tg 60--]+k伉屮/), b0d*(6.10.21)(6.10.21)

tg 60--]+k伉屮/), b0d*

tg 60--]+k伉屮/), b0d*

(6.10.21)

(6.10.21)

где для расчета вертикальной составляющей вектора S было использовано термодинамическое уравнение. Далее, дивергенция вектора

— Pi屮 + р$ 屮у ctge0 -Ps、一)+

дуrQZ2e

+ j [% Е + Ps (р0 + 屯)仇 + 吗)+ 0(е )] +

Е

W

+ k(psp0_).(6.10.23)

Следовательно, с точностью до О (е) вектор потока энергии J равен сумме потока Сергии» обусловленного горизонтальным переносом энергии самим течением, и работы сил давления в единицу времени, производимой жидкой ча стицей над окружающей ее жидкостью. Соответственно

дЕ

"■+ V ・ J = 0.(6・ 10.24)

Относительно формы J необходимо сделать некоторые замечания. Преимущество записи вектора потока энергии в форме (6.10.23) заключается в том, что интерпретация его как суммы адвективного переноса энергии и работы сил давления наиболее понятна и наглядна. Однако дивергенция основной части работы сил давления р0〃о i + a。u°j тождественно равна нулю; поэтому силы давления в первом приближении не совершают работы над жидкими частицами. Отсюда следует, что для правильного определения работы сил давления над жидкими частицами в разложениях для скорости и давления необходимо учитывать члены порядка 0(e). Решение уравнения потенциального вихря, однако, дает только поля порядка 0(1), а 〃 1 и % остаются неизвестными (хотя в принципе они могут быть наущены). Поэтому вектор $* задаваемый формулой (6.10.20 )f обладает очевидным преимуществом при реальных расчетах дивергенции потока энергии. Важно отметить, что S и J »е равны. Они отличаются на некоторый бездивергентный вектор, добавление которого, хотя и не меняет уравнения (6.10.24)» делает тем не менее определение потока энергии заведомо неоднозначным. Иными словами, прибавление к вектору потока энергии любого без дивергентного вектора не влияет ни на наблюдаемые величины, ни на скорости их изменений. Выбор вектора S в качестве определения потока энергии оказывается предпочтительным также и по двум следующим по существу эстетическим причинам. Во-первых, вектор S естественно возникает, если обращаться только к основному уравнении: теории (т.е. к уравнению

потенциального вихря), которое, как уже отмечалось, полностью определяет характеристики движения. Во-вторых, Sf очевидно, является обобщением на случай нелинейного квазигеострофического движения стратифицированной жидкости вектора потока энергии, введенного в разд. 3.21, который, как мы видели, обладап тем приятным свойством! что в пределе движений малой амплитуды сводился к произведению энергии на групповую скорость. Для сохранения этого свойства в качестве вектора потока энергии должен иотользоваться именно вектор S, определяемый соотношением (6.10.20); из (6.10.20) также следует, что эффект нелинейности состоит в замене групповой скорости на сумму групповой скорости и скррости частиц i % + J % .

В заключение отметим, что отношение доступной потенциальной энергии

g М里2!(6.10.25)

2 丁

к кинетической энергии

К = ”®州建)(6.10.26)

2

равно

—= O[(一 )2J.(6.10.27)

к 储+ ^)S Ld

Таким образом, возможна иная интерпретация радиуса деформации Россби Ld как такого горизонтального масштаба движения L, при котором доступная потенциальная энергия одинакова по порядку ве» личины с кинетической жергией. Если L « LD, то К >> & а если L» LD t то S» К・

В ближайших нескольких разделах мы обсудим некоторые приложения квазигеострофической теории в случае В = 0(1), а затем рассмотрим случай В >> 1. В предельном случае ₽« 1 (когда пространственный масштаб движения мал по сравнению с (U/ В。)抬)в уравнениях (6.5.21) и (6.8.11) В полагается равным нулю. В результате получаются уравнения, записанные в так называемом приближении f-плоскости, когда сферичность Земли не играет существенной роли в дина-

мике и учитывается только при вычислении соответствующего постоянного значения параметра Кориолиса /0 °

Волны Россби ■ стратифицированной жидкости

В гл. 3 было показано । что при наличии градаента планетарного вихря в однородной жидкости может существовать необычное волновое движение - волны Россби. В настоящем разделе мы рассмотрим теорию волн Россби в случае стратифицированной жидкости.

Изучим сначала вопрос о существовании волновых решений в неограниченной среде. Такой случай представляет интерес, когда область волнового возмущения находится вдали от границ. Это предположение, будучи ограничивающим* является тем не менее полезным первым шагом в нашем обсуждении. Вдобавок для простоты анализа предположим, что 5(т.е. №) постоянно (на масштабе волны) и величина

= Н т(6.11.1) Ps az

также постоянна (и* конечно^ положительна). Безразмерное число Я равно вертикальному масштабу плотост, деленному на глубину D, Для океанаН очень велико. Для атмосферы параметр Я порядка 0(1) и связан уравнениями состояния идеального газа (6・2・6) и гидростатики (6.2.15) с температурой в состоянии покоя. В наших без- размч)ных единицах

(6.11.2)(6.11.2)dTsgD

(6.11.2)

(6.11.2)

Ts dzRTS

(6.11.3)(6.11.3)и* таким образом* Я является константой для изотермической атмосферы и в случае, когда

(6.11.3)

(6.11.3)

с произвольными константами 5"0 и То ; в обоих случаях Я-1 равно тогда gD/RT0» Хотя в действительности температура в тропосфере линейно уменьшается с увеличением высоты z * предположение о постоянстве Я вполне приемлемо в настоящем разделе. Уравнение по-

тенциального вихря (6.5.21) приводится к виду

(纟+

d屮

dd屮

а , , а 屮

—-)[s -1

dt

дх

ду ду

N屮

尹屮、

d屮c

(6.11.4)

+

_ +

]+ В

dx 2

ду 2

Решение в виде плоской волны

屮=4е "2H cos(Ax + ly +mz—ot)(6.11.5)

есть точное решение (6.11.4)* если

а = 三 ,(6.11.6)

尸 + 尸+ S -1(М+ ]/4"2)

поскольку при этом

dz2dz 8*2 ду2

1

= -(А2 + /3+ +)屮・(6.11.7)

s 4H2s

так что якобиан потенциального вихря и 屮 тождественно обращаются в нуль. Сравнивая дисперсионное соотношение (6.11.6) с дисперсионным соотношением (3.15.11) для волн Россби в однородной жидкости, видим, что они совпадают, если приравнять 尸 в (3.15.11) величине S-i(m2 + 1/4Я2) в (6.11.6). Далее, поскольку мы неявно предположили, что вертикальный масштаб волны много меньше D (и* следовательно, Я), слагаемое (4Я 2)в (6.11.6) может быть опущено, так что

b = - 一 ”.(6.11.8)

Л2 + 尸 +MS-1

Соответствие между (3.5.11) и (6. 11.8) становится более очевидным^ если вспомнить, что

где Я= (gD) w//0 一 радаус деформации свободной поверхности однородной жидкости； в то же время

(6.11.9)(6.11.9)

(6.11.9)

(6.11.9)

где Ld ^ радиус деформации изопикнических поверхностей, так что

(6.11.10)(6.11.10)LP 一 &(D/m) m/п

(6.11.10)

(6.11.10)

Поскольку тесть вертикальное волновое число, величина D/m равна вертикальному расстоянию между двумя узлами волны и* таким образом, величина m2S -1 эквивалентна параметру 尸声 котором ускорение силы тяжести заменено "уменьшенным” ускорением силы тяжести (g/es)aes /dz (или g[- (l/ps)dps /dz] длл океана) и глубина D — вертикальным расстоянием d = D/m・ Вертикальная скорость в волне Россби дается выражением (6.5J5)* или

% =-皿 е "毗 cos (Ах + ly + mz^ at),(6.11.11)

где снова не учитываются величины порядка О((тЯ) - 丨)• Растяжение вихревых трубок в волне равно просто

(6.11.12)(6.11.12)(6.11.13)(6.11.13)&%加2 <9屮

(6.11.12)

(6.11.12)

(6.11.13)

(6.11.13)

dzSdt

так что уравнение вихря (6.3.17) сводится к уравнению

dm2

(工0.-—屮+ B》)= 0. dtS

которое нужно сравнить с (3.12.24). Заметим, что при т® 0 фаза волны не зависит от z* и* если не принимать во внимание множитель е z/ 2H * волна является баротропной. Это следует из того факта, что при т= 0 вертикальная скорость обращается в нуль [см. (6.11.11)1 и соответственно равновесные поверхности равной плотности не возмущаются волновым движением. Траектории жидких частиц в этом случае горизонтальны и силы плавучести в жидкости отсутствуют.

Компоненты групповой скорости в направлениях осей х, у и z равны соответственно выражениям

队炉一(尸+m/5)]

е = ,

g (А2 + / 2 + m2/S)2

с -2雜’—,(6.11.14)

(A2+/2 + m2/S)2

2В Am/ S

Cgz

(Л2 + / 2 + m2/S)2

которые нужно сравнивать с (3.19.13). Заметим, что

(6.11.15)(6.11.15)"т (А2 + /2 + m2/S)2

(6.11.15)

(6.11.15)

< О*

Cgz2M/S

так что вертикальная групповая и фазовая скорости направлены в прошвоположные стороны. Значит, если линии постоянной фазы распространяются вверх (вниз), то энергия в волне распространяется вниз (вверх).

Кинетическая энергия волны* осредненная за ее период, равна

一 / —[(_L)2+ (―!_)2]psdt一 / —[(_L)2+ (―!_)2]psdt2тг о 2 дх2тг о 2 дхдуду

一 / —[(_L)2+ (―!_)2]psdt

一 / —[(_L)2+ (―!_)2]psdt

2тг о 2 дх

2тг о 2 дх

ду

ду

(6.11.16)(6.11.16)= (Л2 + /2)Р5Л2/4,

(6.11.16)

(6.11.16)

в то время как аналогичным образом осредненная доступная потенциальная жергия дается выражением

<&> =二 2га — (—}2dt = ^s — A2^> (6Л1-17) 2тг о 2sdzS

так что полная энергия волны равна

(6.11.18)(6.11.18)Г 。 。 m 42

(6.11.18)

(6.11.18)

< £> = ps (А2+ I2 + ) ；

S 4

при этом величины порядкаО((тЯ)"1) снова не учитываются.

Поток энергии $* определяемый формулой (6.10.2), может быть подсчитан с учетом (6.11.5) и (6.11.14)：

S = l[(u0 + Cgx) < Е> 2сов2ф] +

+ j [ (vo + Cgy)<E> 2 сов2Ф J +(6.11.19)

+ k Cgz < E > 2cos 2 § •

Здесь 屮一фаза волны*

^=kx ^ly ^mz^ at,(6.11.20)

а % и v0 — горизонтальные скорости жидких частиц, т. е.

〃 о н ■ — нА/ sin ф *(6.11.21)

ду

d屮.

и。=—…A sin ф • дх

Фсфмула для потока энергии (6.11.19) показывает^ что к распространению энергии с групповой скоростью добавляется нелинейная адвекция энергии в самой волне. Если, однако* осреднить S за период волны, то нелинейные члены тождественно обратятся в нуль, так что

<S> =Cg< £> ,(6.11.22)

где

Cg = iCgx +jCgy +kCg—(6.11.23)

Из сравнения этих результатов с результатами, полученными в гл. 3 для волн Россби в однородной жидкости, ясно, что понятия, введенные для описания волн Россби в простом случае однородной жидкости* могут быть непосредственно использованы и в физически более сложном случае стратифицированной жидаости.

6.12. Нормальные моды волн Россби: уравнение для вертикальной структуры.

Хотя рассмотренное в предыдущем разделе решение вида плоской волны в неограниченной жидкости и представляет собой полез-

ный пример движения^ обусловленного сохранением потенциального вихря в стратифицированной жидкости на ₽-плоскости, предположение об отсутствии горизонтальных границ является серьезным ограничением. В настоящем разделе мы учтем существование горизонтальных границ. Будут рассматриваться линейные движения малой амплитуды； как мы видели в гл. 3 $ хотя одна плоская волна и удовлетворяет полному нелинейному уравнению* волновой пакет, более точно описывающий реальное волновое поле, этому уравнению не удовлетворяет. Линеаризованная форма уравнения (6.5.21) имеет вид

d r d"屮 戸屮1 <? , Ps &屮、с &屮■, с

—.[—+ .—-+ — —， (—— —) + В] = 0*

dt дх2 ду2 P$ dz S dz дх

(6.12.1)

В случае океана здесь надо просто считать р$ постоянным. Рассмотрим теперь, какие волны Россби возможны в области, безграничной по горизонтали, но ограниченной по вертикали, так что

Q^ z^ zT t(6J2.2)

Для океана мы можем положить zT = 1, в то время как для атмоо феры, неограниченной сверху, zT Пренебрегая диссипацией и неровностями рельефа дна, запишем граничное условие при z = 0 в виде

=0, Z = 0.(6.12.3)

力dz

На верхней границе океана выполняется условие (6.9.14); линеаризуя это условие и предполагая отсутствие касательных напряжений ветра, имеем

屮

=0, z= 1.(6.12.4)

dt dz

В случае атмосферы, где верхняя граница находится на бесконечности, мы должны потребовать конечности энергии при z t или иными словами* чтобы

(6.12.5)(6.12.5)Р§ 屮 2 оставалось конечным при 二 т «» •

(6.12.5)

(6.12.5)

На этом этапе пока непонятно, достаточно ли условия (6.12.5) для определения движения. Ясно, однако* что оно необходимо, а обсуждение вопроса о его достаточности мы пока отложим.

Проверим сначала возможность существования решений с разделяющимися переменными вида

^ = Reei(kx + ry~ot)O(z),(6.12.6)

где функция Ф, описывающая вертикальную структуру решения^ удовлетворяет уравнению

d р- do

f=-入0 •(6.12.7 а) р§ dz S dz

Здесь 入 в силу (6.12.1) дается соотношением

入=-(巴+&2+/2).(6.12.7 б)

ст'

Граничные условия для Ф определяются из (6.12.3) и (6.12.4) или (6.12.5):

—н 0* z к 0f(6« 12*8з)

и для океана

一 =0, z= 1,(6.12.86)

dz

а для атмосферы

Р§ I 创 2 конечно при z -* с» .(6.12.8 в)

Рассмотрим сначала случай океана. Тогда уравнение (6.12.7 а) при условиях (6.12.8at б) представляет собой задачу на собственные значения 入.Поскольку ps й S всегда положительны в интервале (0,1), мы можем быть уверены* что существует бесконечное число собственных решений%(z),n= 1,2,3..., каждому из которых соответствует одно действительное собственное значение Лп , n « 1,2,3... •

Далее после интегрирования по частям легко видеть, что

(6.12.9)(6.12.9)

(6.12.9)

(6.12.9)

/ Ps【е|2 dz о

откуда следует, что все ненулевые 入 положительны. Ясно также* что 入=0 является собственным числом для любых ps (z), S(z), поскольку (6.12.7a)t (6.12.8 а) и (6.12.8 б) удовлетворяются при

入= 0.Ф= 1.(6.12.10 а)

Эта мода является бараяропной. Соответствующее ей поле 屮 и, следовата- льно* горизонтальные скорости не зависят от глубины* а Вфшкальная скстсгь и возмущения плотносга тождественно равны 即лю« Из (6.12.7 б) следует, что для моды с А =-0 частота

₽А

ь = %。- (6.12.106)

А2 + /2

т.е. совпадает с частотой волн Россби в однородной жидкости с твердой крышкой (т.е. при 尸=0). Важно подчеркнуть, что 6叩отропная мода не зависит от деталей структуры ps и S. Таким образом, все результаты, полученные ранее для баротропных волн Россби, справедливы и для баротропной моды в стратифицированной жидкости.

Интегрирование (6.12.7а) при 入*0iiozotzh0aoz=1 дает с учетом граничных условий

/ р^ф( z)dz * 0, “0,(6.12.11)

о

что в силу (6.12.6) означает^ что для решений с ненулевыми 入 проинтегрированный по вертикали горизонтальный перенос массы равен нулю, т.е. для таких мод

11

/ рж u0dz = /Psvodz = 0.(6.12.12)

Эти моды называются бароклинными, поскольку они деформируют поверхности равной плотности, имеют ненулевую вертикальную

скорость и существуют лишь при наличии основной стратификации» В качестве примера рассмотрим простой случай, когда р事 и S постоянны. Тогда

йаФ

=-Л5Ф(6.12.13)

и решение, удовлетворяющее (6.12.8 а), имеет вид

Ф-cos (AS)WZ.(6.12.14)

Условие (6.12.86) дает соотношение для определения собственных значений

sin(AS)He0,(6.12.15)

откуда

、、 ММ

入 u 入外= f ，，… ,n В Of 1| 2« • • • •(6J2.16)

Мода c n= 0 представляет собой описанную вьиие 6叩отропную моду. Для п> 0 решения образуют последовательность

Фп(z) ® cosnnz,几匸1,2,…，(6* 12.17)

каждый член которой соответствует собственному значению Лп, з& даваемому (6.12.16). Нетрудно проверить справедливость (6.12.11)^ а также следующего общего свойства рассматриваемой задачи на собственные значения* Если числа Л п образуют возрастающую последовательность

入о = 0<入 1<入2<入з< •••< Ayj■ 1 <入n< ^n +1 • • • •(6・ 12.18)

то для каждого п> 0 функция Фпимеет в интервале (0,1) на один нуль больше, чем Ф1rl .^, т.е. с ростом номера п моды сильнее ^ко- леблютсяи по z. Если S(z) является более сложной функцией z, то численные значения Ап и структура бароклинных мод Q изменятся, но общий характер их поведения останется тем же. На рис. 6.12.1 показана вертикальная структура первых четырех мод-б叩отропной и трех бароклинных,- рассчитанная Кунду, Алленом и Смитом (1975) по наблюденному распределению №(z) в райне поб印ежьяОрегона. Хотя с количественной точки зрения эти моды существенно отличны от мод в случае постоянного М качественно вертикальная структура соответствующих функций Фп не меняется.

нормализобанх” амплиггк/Л! модынормализобанх” амплиггк/Л! моды^/2^(1/мин)辇t^；俨^/2^(1/мин)辇t^；俨0A0Q500A0Q50^ ^ ^ W^ ^ ^ WР и с. 6.7 2Л. а - Баротропная и три первые бароклинные моды, рассчитанные Кунду, Алленом и Смитом (1975) для 6 — распределен ния М наблюденного на станции Карнейшен вблизи побережья Орегона.

нормализобанх” амплиггк/Л! моды

нормализобанх” амплиггк/Л! моды

^/2^(1/мин)

辇t^；俨

^/2^(1/мин)

辇t^；俨

0A0Q50

0A0Q50

^ ^ ^ W