Предисловие

В течение трех последних десятилетий в физике и технике быстро развивается новая область, имеющая предметом исследования массовые явления в самом общем смысле слова, с математическим аппаратом — теорией случайных функций. Развитие этой новой области математики, начало которой было положено в 30-х годах нашего столетия, в большинстве случаев, как станет ясно из дальнейшего, непосредственно диктуется необходимостью решения конкретных прикладных задач.

Теория случайных функций к настоящему времени получила настолько широкое распространение, что трудно даже просто перечислить различные случаи ее применения. Достаточно будет упомянуть только о самых важных из них, чтобы стало ясным ее большое значение. Среди них нельзя не поставить на первое место проблему исследования флуктуационных процессов в радиоприемных и электронных устройствах с целью выделения полезного сигнала на фоне случайных шумов или самую общую проблему передачи м обработки информации с ее многочисленными аспектами.

ЧАСТЬ I

Элементы теориислучайных функций

ГЛАВА I

Некоторые сведения из теории вероятностей

§ 1. Случайные величины и функции распределения

В теории вероятностей случайной называется такая величина, которая в результате проведенного опыта при определенных условиях может принять только одно из ряда возможных числовых значений, причем заранее нельзя предсказать, какое именно из этих значений. Однако предварительно может быть известна область возможных числовых значений этой величины. Например, при метании кости заранее известно, что появится одна из шести цифр; при измерении температуры воз~ духа будут получены значения температуры, колеблющиеся около средней температуры в точке измерения, и т. п. В первом случае имеем дискретную, а во втором — непрерывную случайную величину. Для того чтобы получить представление ° статистических закономерностях случайных величин, этих све- дени访 недостаточно, необходимо еще знать и вероятность данных

значений. В связи с этим в теории вероятностей введено понятие функции распределения. Это понятие служит математическим выражением закона, согласно которому каждому интервалу возможных значений непрерывной случайной величины (или каждому возможному ее значению в случае дискретной случайной величины) сопоставлена вероятность ее попадания в этот интервал (или принимать эти значения). Пусть х — произвольное действительное число, g ——случайная величина. Рассмотрим событие g Vx, состоящее в том, что случайная величина g примет значение меньше х. Вероятность этого события общепринято обозначать Р (g < х). Очевидно, она является функцией х. Полагаем

尸(х) = Р(Е<х).(1.1)

Функция F (х) и называется интегральной функцией распределения. Случайная величина g считается известной, если дана ее функция распределения Р(х).

По определению Р(х) имеет следующие основные свойства. Прежде всего так как F(x)——вероятность, то ее значения заключены в пределах

。《尸(*)《1.(1.2)

Интегральный закон распределения Р(х) представляет собой монотонно неубывающую функцию *, т. е. если %2 > 也 то и 尸(*2)> F (-V1). Действительно, пусть имеем два события Е V *с и Xf^g <%2, причем Xi <%2. Очевидно, что эти два события взаимно несовместимы в том смысле, что они не могут осуществиться одновременно. В совокупности они эквивалентны одному событию Е V %2・ По известной теореме сложения вероятностей [7] вероятность эквивалентного события Е <х2 будет

Р(Е<Х2)= Р(Е<х】или л*! <£ <х2)== P(E<xJ+P(~《E<X2)，

откуда следует

Р(Х1《Е<Х2)= Р(Е<Х2)—「(§<&) =尸(*2)—尸(х)(1-3)

Другими словами, вероятность попадания случайной величины g в полузакрытый интервал (%ь 犬2)равна приращению функции F (х) в том же интервале. Так как левая часть (1.3) всегда неотрицательна, то имеет место неравенство

尸(Х・2)> 尸(Х1).(1.4)

В теории вероятностей обычно рассматриваются только такие случайные величины, возможные значения которых конечны. При этом условии вероятность неравенства EVx произвольно близка к единице при достаточно большом х и произвольно

14

близка к нулю при достаточно большом по абсолютной величине отрицательном х. На основании этого и доказанного выше свойства монотонности F(x) можно записать

尸(一8)= lirn 尸(х) = 0,尸(8)= lim 尸(х) = 1. (1.5) * f 一 8 * f 8

Для дискретной случайной величины функция распределения F(x)——дискретная функция, и она изменяется для значений х, которые являются возможными значениями g, причем между двумя соседними значениями х F (x)=const. Вследствие этого график F(x) в данном случае представляет собой ступенчатую кривую.

В случае непрерывной случайной величины F(x)——дифференцируемая функция. Ее производная

/ (х)=尸(х) = lim £(<+*=已⑺ (1.6) называется дифференциальной функцией распределения или (более часто) плотностью распределения в еро я т - ностей (плотностью вероятности). Согласно (1.3), функцию / (х) можно записать еще в виде

/ (Х) = lim 斗垓, (1.7)

откуда становится ясным смысл второго названия.

Из (1.7) следует, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка относительно Ах произведение

/ (х) Ах Р (х & Е < х + Ах)(1.8)

выражает собой вероятность попадания величины g в интервал (х, %+Дх). Имея в виду (1.3), проинтегрируем (1.6) в пределах от а до 6

ь

J/(x)dx = Fe)—尸(а) = Р(аКЕ<6).(1.9)

Из геометрической интерпретации определенного интеграла следует, что вероятность P(〃W W V b) графически может быть представлена в виде криволинейной трапеции, образованной отрезком ab, ординатами на концах этого отрезка и сверху ограниченной кривой f (х). Поскольку 尸(х) неубывающая функция, то

/(х)>0.(1-10)

Если в (1.9) положить а— — 8, 6 =十8 и принять во внимание (1.3), то легко получить

J /(X)dx = 6(8)—尸(一 8)=1.(1.11)

Пример 1. Равномерное распределение. Так называется закон распределения, при котором плотность /(х) в интервале (а, Ь) принимает 'постоянное значение, а вне его равна нулю (рис. 1). По определению f(%)=c. Так как, согласно (1.11), площадь прямоугольника, построенного на отрезкеПример 1. Равномерное распределение. Так называется закон распределения, при котором плотность /(х) в интервале (а, Ь) принимает 'постоянное значение, а вне его равна нулю (рис. 1). По определению f(%)=c. Так как, согласно (1.11), площадь прямоугольника, построенного на отрезкеРис. 2. Функция F(尤)при равномерном распределении.Рис. 2. Функция F(尤)при равномерном распределении.Согласно (1.12),Согласно (1.12),万二у а ос方О *<а, %〉力.万二у а ос方О *<а, %〉力.(L13)(L13)尸（％） =尸（％） =* 一 ab--0* 一 ab--0а <х <； 6а <х <； 6ООх〉方х〉方(1.14)(1.14)

Пример 1. Равномерное распределение. Так называется закон распределения, при котором плотность /(х) в интервале (а, Ь) принимает 'постоянное значение, а вне его равна нулю (рис. 1). По определению f(%)=c. Так как, согласно (1.11), площадь прямоугольника, построенного на отрезке

Пример 1. Равномерное распределение. Так называется закон распределения, при котором плотность /(х) в интервале (а, Ь) принимает 'постоянное значение, а вне его равна нулю (рис. 1). По определению f(%)=c. Так как, согласно (1.11), площадь прямоугольника, построенного на отрезке

Рис. 2. Функция F(尤)при равномерном распределении.

Рис. 2. Функция F(尤)при равномерном распределении.

Согласно (1.12),

Согласно (1.12),

万二у а ос方

О *<а, %〉力.

万二у а ос方

О *<а, %〉力.

(L13)

(L13)

尸（％） =

尸（％） =

* 一 a

b--0

* 一 a

b--0

а <х <； 6

а <х <； 6

О

О

х〉方

х〉方

(1.14)

(1.14)

Последнее означает, что площадь под кривой f (х) равна единице. При а= — 8, b=x из (1.9) имеем еще

尸(х) = Р(ЕО) = Р(—8<Е<х)= J f(x)dx. (1.12)

Рис. 1. Функция f(х) при равно-мерном распределении.

ab (рис. 1), должна быть равна единице, то из этого следует, что

При м.е р 2. Нормальное распределение

(1.15)

(1.16)(1.16)которое называется еще гауссовым или ра с пр еде лением Гаусса. При х=а функция f(x) имеет максимум

(1.16)

(1.16)

九акс = /^・

Кроме того, при | х | -► оо /(%)-►(). Вид кривой существенно зависит от величины параметра о (рис. 3).

Легко проверить, что /(х), заданная выражением (1.15), удовлетворяет (1.11). Интегральная функция распределения в этом случае, согласно (1.12), будет

尸 ® = 71Wi 厂厘"х = ；+Ф(丁)' °」7)

гдегдеф（〃）= тЫ 丁 以ф（〃）= тЫ 丁 以(1-18)(1-18)

где

где

ф（〃）= тЫ 丁 以

ф（〃）= тЫ 丁 以

(1-18)

(1-18)

есть известная функция Гаусса (интеграл ошибок).

В ряде случаев результаты наблюдений над случайными явлениями представляют собой не одно число, а два, три или

■к)■к)параметра о.параметра о.Рис. 4. К геометрической интерпретации двумерной случайной величины.Рис. 4. К геометрической интерпретации двумерной случайной величины.

■к)

■к)

параметра о.

параметра о.

Рис. 4. К геометрической интерпретации двумерной случайной величины.

Рис. 4. К геометрической интерпретации двумерной случайной величины.

вообще и чисел gi, &, •…,Е?» Эти числа мы можем рассматривать как составляющие многомерной случайной величины

『佃鹏,…飞).(1-19)

Удобно еще в самом начале дать одну геометрическую интерпретацию этих величин. Так величины 三力 ±2, . . . , gn независимо от их природы будем рассматривать как координаты одной случайной точки n-мерного эвклидова пространства, или как компоненты n-мерного случайного вектора 自 Это дает нам возможность использовать наглядное геометрическое представление. Рассмотрим здесь только двумерные случайные величины. Примером такой величины может служить случайный вектор на плоскости с компонентами (gi,三2)・ Примем, что двумерная случайная величина Е=(&, &， задана, если известна ее двумерная функция распределения

尸(X" Х2)= Р(Е1О1，匿＜犬2)・(1-20)

Эта функция выражает вероятность одновременного осуществления событий & Ос и 爱 V& или, геометрически, вероятность попадания конца вектора 自=® &) в заштрихованную область на рис. 4.

Поскольку & V —оо и & V —8 — невозможные события, a &V8 и &V8 по терминологии теории вероятностей ——

2 Заказ № 854 17

НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА

им. Горького

МГУ

моно-(1.21)(1.2Г)моно-(1.21)(1.2Г)(1.22)(1.22)события достоверные и, кроме того, функция F(xt, J тонна, то подобно (1.5) запишем:

моно-

(1.21)

(1.2Г)

моно-

(1.21)

(1.2Г)

(1.22)

(1.22)

尸(X], — 8)=尸(一8, Хо) = О,尸(8, 8)= 1.

Помимо этого, очевидно, что

尸(X], cg)= p(В1<%1 И ё2 V 8)=「稿0])=尸(/)， 尸(со,x2)=尸(x2)。

Составим отношение

Р(%1 4 Е1<*1 +А%1 Н *2 М &2<%2 十 А%2) А*】А%2'

Если при Axff 0 и Дх2-^0 имеется предел, то он обозначается f (xi, %2) и называется двумерной плотностью распределения вероятностей и, согласно (1.20),

"修，&)= 5守・g3)

Аналогично (1.8) f(%i, xz)dxidx2 выражает собой вероятность точки М находиться в пределах элементарной площадки dxtdxz с координатами (犬厶 х2)- Тогда вероятность точки М находиться в произвольной области S будет равна двойному интегралу

P(7W^s)= J f/(x「х2) dxx dx2.(1.24)

Очевидно, что ,(%з %2)》0・ Функция 尸(犬厶 犬2) выражается через f(%i, %2)также посредством двойного интеграла

尸(X], %2)= j J /(х；，x；)dx；dx；. (1.25)

Отсюда при х±=х2=оо с учетом (1.21) получаем

f J x2)dX]dx2=1・(1.26)

Если известна двумерная плотность распределения ，(％厶 犬2), то нетрудно получить соответствующие одномерные плотности случайных величин & и 畳.Действительно, из (1.21) и (1.25) при х2—сю имеем

尸(xj= I ( /(х； x；)dx；dx；.

Дифференцируя по 也，находим

f (xt) = J f (Xj, x2) dx2 и аналогично

/ (犬2)= J f (-^i > X》dx、.

(1.27)(1.28)(1.27)(1.28)尸（修，x2）=尸（XJ尸（x2）■尸（修，x2）=尸（XJ尸（x2）■(1.29)(1.29)Случайные величины & и & называют независимыми, если события & Vxt и & V“2 независимы. По теореме умножения вероятностей вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Тогда из (1.20) непосредственно вытекает, что в случае независимых случайных величин имеет место соотношение

(1.27)

(1.28)

(1.27)

(1.28)

尸（修，x2）=尸（XJ尸（x2）■

尸（修，x2）=尸（XJ尸（x2）■

(1.29)

(1.29)

Справедливо и обратное утверждение: если для F (хь %2р выполняется (1.29), то случайные величины независимы. Дифференцируя (1.29) с учетом (1.6) и (1.23), находим

/(X] , %2)= f (-^i) f (尤2)，(1.30)

В качестве примера рассмотрим двумерное нормальное распределение

/ (Х|, %2)=- е — А,

J ' I' 27 2kOjO2 /1 — г2

+ &2 Л(1.31)

°2

Отсюда и из (1.27) получаем

(м -ом

и аналогичное выражение f (хг)- Следовательно, если двумерная случайная величина &, &) имеет нормальное распределение, то каждая из величин 三厶三2 в отдельности также имеет нормальное распределение. При г=0 функция f (%i,犬2), заданная выражением (1.31), удовлетворяет условию (1.30). Поэтому параметр г характеризует зависимость случайных величин. Смысл этого параметра мы разъясним подробнее в следующем параграфе. -

§ 2, Числовые характеристики случайных величин

С точки зрения теории вероятностей, для того чтобы задать случайную величину, необходимо, как следует из предыдущего, знать совокупность ее возможных знаиенн访(нлн интервал, в котором эти значения заключены в случае непрерывной слу- qa而но访 величины) и соответствующие им вероятности. Другими словами, необходимо знать ее функцию распределения. Однако на практике часто трудно установить вид этой функции, и не всегда в этом есть необходимость. Достаточно для случайной величины знать только некоторые ее средние характеристики. Наиболее простая из них ——среднее значение случайной величины (ее математическое ожидание), которое определяется выражением

W= J xf (х)dx. (2.1)

Однако среднее значение g дает представление лишь о центре, около которого группируются различные значения g. Поэтому одна величина g недостаточна для полной характеристики случайной величины g. В тех случаях, когда необходимо охарактеризовать случайную величину более полно, используют м о м е и т ьт распределения, или статистические моменты различного порядка:

源= J (х) dx, (2.2)

舔 н J (х — b^k f (x)dx. (2.3)

Первый из них называется начальным, а второй ——центральным моментами ^-того порядка. При g=0 Ь^=В^ Очевидно, Во= 1, Bi=0, а 力 1=以 Центральный момент второго порядка

当= J (х — %产/(х)dx (2.4) называется дисперсией случайной величины и обозначается о, а о= ¥ В2 носит название среднего квадрати-

ческо г о отклонения. Пульсация, или отклонение случайной величины от среднего значения, представляет собой разность У = ± — &• Раскрывая скобки в (2.4), получаем

当二匕2一居.(2.5)

Подобным образом из (2.3) при 左=3, 4,…находим:

Зз = 6з — З6也十2咏 国=b& 一 46也+ 6户尻-3公，

舔= £(—1)匕(2.6)

Обратные формулы имеют вид:

% = 1，

仇=%，•

力2 h & 十瓦，

% =自一3仇优+店，

力4 =居一4%83 + 6力汨2+ 发 и t. д.(2.7)

Здесь и далее предположим, что интегралы (2.2) — (2.4) абсолютно сходящиеся, т. е. существует интеграл

j I屮(x)l/(x)dx, •

где(р(х)—соответствующая функция в (2.2) — (2.4). В противном случае результаты не имели бы определенного физического смыста, так как значение интеграла

ь

/ ^{x)f(x}dx

при а—^ 8 и Ь—>8 зависело бы от скорости, с которой каждая в отдельности величина а и й стремится соответственно к ——8 И 8.

На практике наиболее часто удовлетворяются определением среднего значения и дисперсии исследуемой случайной величины. Чем большее количество моментов высокого порядка нам известно, тем лучше определена (в статистическом смысле) данная величина. В предельном случае знание бесконечного множества моментов равносильно знанию функции распределения, которая полностью определяет случайную величину.

Пример. Среднее значение, дисперсия и моменты более высоких порядков при нормальном распределении. В (1.15) полагаем h— l/o)^2 и Л(х ——а)=“. Тогда

Е= Д_ (产- С с( ye'~y^dy.

"J” J用 J

' -8' - 8—8

Первый из этих интегралов (интеграл Пуассона) равен К^й, а второй (вследствие нечетности подынтегральной функции) — нулю. В результате этого получаем

Е = а.(2.8)

Аналогично доказывается, что

统=а2.(2.9)

Последние две формулы поясняют смысл параметров а и и в (1.15): а -— среднее значение случайной величины, а о2 ——ее дисперсия.

Теперь докажем, что все четные центральные моменты более высоких порядков выражаются через о2, а все нечетные равны нулю. В самом деле, согласно определению (2.4),

6々=^_ J (х — ар с —蜉 I* —峪2dx = 4= J уке~угdy.

Отсюда непосредственно следует:

约i = ° 5=1, 2 …)，(2.Ю)

B2也=^^ 产。"办 5=1,2 …).(2.11)

После многократного интегрирования по частям легко установить, чте j y2" 办,(2.12)

тде

(2п — 1)!! =(9П _ 1)(2п — 3) ... 3 • 1.(2.12‘)

■Окончательно для четных центральных моментов получаем

В2п=С2п-\)\\^.(2.13)

Выпишем несколько первых четных моментов:

В4 = Зо4; Вб=15о6； В8=К)5о8 и т. д.(2.14)

Полученный результат показывает, что случайную величину, распределенную по нормальному закону, можно считать полностью определенной, если известно ее среднее значение 自 и дисперсия о2.

Нормальный закон распределения слуиа访нь【х величин занимает особое место в теории вероятностей и ее приложениях. Когда не требуется большая точность, то с помощью этого закона можно аппроксимировать много опытных кривых, которые по своей форме приближаются к нормальной кривой. Важным

признаком последней является ее симметричность, аналитически выраженная в виде B2n-t=0. Если для некоторой опытной кривой Ез干0, то это ——прямое указание на ее асимметричность. Так как величина Ез имеет размерность случайной величины в третье访 степени, то для получения безразмерной числовой характеристики асимметричности кривой вводится так назнваемн访 коэффициент асимметрии

s = &阀2. (2.15)

При нормальном распределении В3=0 и, следовательно, S = S В приложениях и особенно в статистической теории турбулентного движения, как это будет показано в дальне访тем, кривая распределения вероятностей! для разности скоростей в двух

Рис. 5. Плотность распределения вероятности при S V 0.Рис. 5. Плотность распределения вероятности при S V 0.Рис. 6. Плотность распределения вероятности при S > 0.Рис. 6. Плотность распределения вероятности при S > 0.

Рис. 5. Плотность распределения вероятности при S V 0.

Рис. 5. Плотность распределения вероятности при S V 0.

Рис. 6. Плотность распределения вероятности при S > 0.

Рис. 6. Плотность распределения вероятности при S > 0.

точках одномодальна (рис. 5 и 6). При S <0 (рис. 5) наклон кривой неодинаков: слева от максимума ——пологн访，а справа —— более крутой. Эта особенность криво访 распределения объясняется тем, что сумма кубов отрицательных отклонений Е，=Е ——W превышает по абсолютной величине сумму кубов положительных отклонений, т. е. Ез <0, а вместе с этим и S <0. Обратный вид имеет кривая распределения при S>0 (рис. 6).

Перейдем теперь к числовым характеристикам многомерных случайных величин. Рассмотрим вначале двумерную случайную величину g=(gb &)• Числовые характеристики для каждой отдельной случайной! величины & н & могут быть рассчитаны по формулам, полученным выше. Если при этом известна только двумерная плотность распределения, то соответствующие одномерные плотности можно определить по (1.27) и (1.28).

Пусть нам необходимо вычислить центральнн访 момент 6冷 для случайной величины &, если известна только двумерная плотность распределения /(хь 咽.По определению

舔=J (х】一&产/(&)dx「

Если заменить здесь f(%i) по (1.27), то можно получить

Bk = J J (xt — Bi)ft / (х,, x^dx^x^. (2.16)

При k= 1 (Ei=0) находим

已= J J xj(x「x2) dxx dx2.(2.17)

При k=2 получаем дисперсию, выраженную через f(%i, %2),

。；=J J (Xj —T,)2/(Xj, x2)dxx dx2.(2.18)

Аналогичные формулы можно написать и для ±2. В случае нормального распределения, если в (2.16)——(2.18) f(xi,犬2) заменим по (1.31), получим gi = ai, g2 = пг, s = Oi и О2 = 6・ Эти формулы разъясняют смысл четырех из пяти параметров, входящих в нормальный закон распределения. Смысл г будет разъяснен ниже.

Ранее было показано, что для независимых случайных величин двумерная плотность распределения f(xi, %2)=fi(Xi)f2(X2). Однако определение，(％厶 х2) и вообще n-мерных функций распределения в практических приложениях теории вероятностей задача трудная и часто неразрешимая. Поэтому желательно было бы получить другой критерий, который характеризует зависимость случайных величин & н & н может быть легко определен по данным наблюдений. В качестве такого критерия можно использовать смешанный момент второго порядка

В I? — J J (*i Ег) (*2 母)/(X], *2)dX[ dx? '==

=.j J X]*2『(X1，x^dXi dx2 — B1I2 = ^1^2 — ^1?2.(2.19)

Иногда 6i2 обозначают символом cov(gi, &)• Очевидно, что 512=^21- При независимых случайных величинах имеет место соотношение

В12= J X/(X])〃X1 J ^2/2 (Х2)^Х2 — ^1^2 = о. (2.20)

Так как 6銓 имеет размерность квадрата случайной величины (или произведения случайных величин 畳 н & в случае, если они

(2.21)(2.21)различной размерности), то для получения безразмерной характеристики связи между ними вводится коэффициент корреляции

(2.21)

(2.21)

Очевидно, что 7?僧 заключено в пределах ——1 W 火经 W 1- Теперь покажем, что R=土 1 в случае, когда Ei и 三2 связаны линейной зависимостью. Запишем соотношение

新邑= — 土 —.

°2

Тогда

% = 2(1 ± 旦2))0,

откуда немедленно следует | 总2丨 W 1. Равенство здесь возможно

только при о^=0. Однако дисперсия случайной величины равна нулю только тогда, когда она постоянна, т. е.

曾土…

откуда следует

% = 土爭1 + const.(2.22)

При независимых случайных величинах Т?12=0, однако обратное утверждение неверно. Так, например, случайные величины Ei=cosE и ±2=sin£, где g ——случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,2л), зависимы, поскольку ^2 = Т 1—Е；・ Однако для этих величин коэффициент корреляции R12 равен нулю, так как

Ei 勾 cos Е sin Е = 3 sin 2Е = 0.

Вследствие этого, если для двух случайных величин Т?12=0, то такие величины называют некоррелированными. Таким образом, независимые случайные величины будут некоррелированными, но не наоборот. Выполнение условия T?i2=0 требует, чтобы Bi2=0. Для осуществления последнего условия достаточно, чтобы кривая распределения вероятностей в плоскости %i%2 была симметрична по отношению к некоторой прямой %i=&, или х2 — ^2- Тогда интеграл (2.19) равен нулю.

Вычислим смешанна访 момент 6空 при нормальном распределении (1.31)

吕2 = 2M ；Т^ 上 L~ - а^х2-а^е-А("%)dX1dx2.

После замены переменных по формулам

получим

炉 8 炉

В12 = J 守红 2 dv ^ е 丁4〃 +

+ 二产2 纟:一厂2 J 〃e 2 du ^ ve 2 dp = n6.(2.23)

Сравнивая найденный результат с (2.21), заключаем, что r=Rm Это соотношение выясняет смысл последнего, пятого, параметра в формуле (1.31), выражающей двумерное нормальное распределение.

Полученные результаты обобщаются на n-мерные случайные величины [7].

§ 3. Многомерные случайные величины со сферической симметрией

Возьмем непрерывную многомерную случайную величину (Eh 己2,...,占汽),которую для наглядности будем рассматривать как лг-мернн访 случайный вектор. Условимся, что этот вектор имеет сферическую симметрию относительно начала координатной системы, если вероятность конца вектора находиться в малой окрестности точки М(х^ .. ., х賈)зависит только от величины объема dv этой окрестности и от расстояния г=ОМ от начала координат [2]. Следовательно, многомерная плотность распределения зависит только от г, т. е.

/(Х|,尤2,…，/)=屮0)，

「=(宕十必++х力/2.

Здесь видно, что f(xt, %2, .. ., хя)—четная функция и, кроме того, она симметрична относительно своих аргументов. Вследствие этого

& = 0; bkk =总=君 (尼=1, /г);

bik = 0 при i =f= k.(3.2)

Эти равенства выражают самые элементарные свойства случайных векторов со сферической! снмметрне!к

Многомерная плотность "м, . .. , хп) подобно (1.26) удовлетворяет условию

J J / (Xi，・…,*〃) dxv . . . dxn = 1.(3.3)

Введем n-мерные сферические координаты:

Xx=r COS 中 1(0 & % & 冗)，

*2 = 「 Sin 中 1 COS 中2 (° 4中2 《 冗)，

xn_j - = rsin ¥1 sin 中2 • • • cos %т (0 & 中也一1 < 2冗),

£ = r sin 中 1 sin 中2 • • • sin%—i (0&r).(3.4)

Отсюда следует

拜+墙++岗=产.(3.5)

Легко установить, что якобиан преобразования имеет вид 證"二訂J = r"TQ9, 小)，.(3.6)

где

Q (中1，•…，?„_!)= sin^cptsin»-3^ . . . sin2 ?n_3sincpn_2. (3.7>

Имея в виду (3.1), вместо (3.3) получим

JdQ『r"-W(r)dr=l,(3.8)

а о

где dQ = Qdqi ... d(pn-i, a Q — область интегрирования по угловым переменным.

Для того чтобы вычислить первый интеграл в (3.8), рассмотрим интеграл

/= J …• J е 2 '} dx, . . . dxn. (3.9)

Очевидно, что

=(厂乐)".(3.10)

С другой стороны, переходя в (3.9) к сферическим координатам, получаем

6-詳_” JdQ = £Tr 图 JdQ.6-詳_” JdQ = £Tr 图 JdQ.(З.И)(З.И)

6-詳_” JdQ = £Tr 图 JdQ.

6-詳_” JdQ = £Tr 图 JdQ.

(З.И)

(З.И)

После сравнения двух последних формул находим

sn = J dQsn = J dQ2i/2Г(п/2)'2i/2Г(п/2)'(3.12)(3.12)

sn = J dQ

sn = J dQ

2i/2

Г(п/2)'

2i/2

Г(п/2)'

(3.12)

(3.12)

Геометрически sn представляется в виде поверхности сферы единичного радиуса в n-мерном пространстве. Действительно, при п—3 $з=4九

Итак, функция 屮(г) удовлетворяет условию

2 d/2 г鼻2rL 屮(r)dl，2 d/2 г鼻2rL 屮(r)dl，(3.13)(3.13)

2 d/2 г

鼻2rL 屮(r)dl，

2 d/2 г

鼻2rL 屮(r)dl，

(3.13)

(3.13)

соответствующему уравнению (3.3). Вычислим одномерную плотность распределения'

f k (хл)— J • - • J 屮(l x； + …X —CO_•• 8

Л — 1

(3.14)(3.14)^^ d*[ . . . dx卜 一[dx丸+i . . . dx〃.

(3.14)

(3.14)

Отсюда непосредственно следует, что при всех значениях k имеем fk(xh) =f(%а), т. е. случайные величины распределены одинаково и дисперсии их тоже одинаковы. Используя последнее обстоятельство, запишем

* 蹙=〃产=J J (宕 + +x打x fe = 1— co— co

x ф (К-^1+ ...十 x^) dX] . . . dxn.

Отсюда получаемо2Отсюда получаемо2（「叶1屮（r）dr.+ 1）0（「叶1屮（r）dr.+ 1）0(3.15)(3.15)

Отсюда получаем

о2

Отсюда получаем

о2

（「叶1屮（r）dr.

+ 1）0

（「叶1屮（r）dr.

+ 1）0

(3.15)

(3.15)

Выражение (3.14) легко привести к виду [2]

л 一 1

Г -2-)°

а после подстановки х2 + rz=s и х2=и получить

一史 _" -3

/(r«)= 六一J 中 J S)(s - "尸 ds. (3.16)

При данной функции f(x) уравнение (3.16) представляет собой интегральное уравнение относительно 屮(厂)，так что многомерная плотность распределения вероятностей случайного вектора со сферической симметрией однозначно определяется одномерной плотностью.

Остановимся теперь на вопросе, при каких условиях компоненты &, &, ..., Еп случайного вектора g со сферической симметрией независимы.

Как было показано ранее, для этого необходимо

/ (Xj, x2, . . . , Хл) = f ] (%!)/2 (*2)• • • f п(X)

Однако 几(*) = /(4)н /(X], ..., х„) = ф (|/Лх?+ ...十х，， так что

Дифференцируя последнее равенство по 川，находим

噜_学=/(/)…/(х*Т)端也"2 …/(X)

получаемполучаемоткуда после деления на 犬友屮(厂)=%hf(%i) ... f(xn)

получаем

получаем

[k = 1,砂[k = 1,砂1 叫(厂)=15(/)

[k = 1,砂

[k = 1,砂

гф (厂) dr — xkf (xfe) dxk

Следовательно,

一7^7~/ (х J 二-const

*J(S)dxh八力丿

или

〃4)=аМ

Итак, рассматриваемые случайные величины независимы только в случае нормального распределения.

Некоторые другие свойства случайных величин со сферической симметрией содержатся в оригинальной работе Блоха [2].

§ 4. Функциональные преобразования случайных величин

В приложениях наряду со случайными величинами становится необходимым рассматривать и функции от них. Основная задача, которая возникает при этом, заключается в том, чтобы по данному закону преобразования случайной величины определить закон преобразования различных статистических характеристик. Начнем с одномерного случая распределения непрерыв' ной случайно访 величины.

Пусть случайная величина g с интегральной функцией распределения R(x) преобразуется в случайную величину л=^(&)» которая имеет функцию распределения Ф(^). Рассмотрим вначале как преобразуются функции распределения, а затем и другие статистические характеристики. Предполагаем, что функция g(x) непрерывна, монотонна и дифференцируема, а случайные величины Е н 刀 связаны однозначно и обратимо, т. е. существует однозначная функция 九(刀)=以 Значения, которые принимает случайная величина 刀，обозначим у, а значения & — через х. Ранее было показано, что

X

尸(х) = Р(Е<х)= J /(л)dx.(4.1)

Функция распределения Ф(^) =Р(т] <^) случайной величины 刀 будет иметь различный вид в зависимости от того, будет ли функция g(x) монотонно возрастающей или монотонно убывающей функцией. Действительно, неравенство 刀 Vy, в случае g(x) —монотонно возрастающей функции, равносильно неравенству EV〃(y), в противном случае Е>^(у). Тогда при возрастающей функции g(x)

л (у)

①(y) = PS<y) = RE< 似 У))= J f{x)dx = F[h(y)\ (4.2) и при убывающей функции g(x)

①(y) = P(“ <У)= Р(〃(У)СЕ <8)= j f(x)dx=^Л (У)

8缉)

= J / (л) dx — J f(x)dx=A — F{h (у)].(4.3)

В общем случае

①(y) = P(g(E)<y)= J f(x)dx, (4.4)

где интеграл распространяется на весь отрезок х, для которого g(x)Vy. Поскольку было сделано предположение, что g(x) дифференцируемая функция, то Ф(^) также будет дифференцируемой. Тогда плотность вероятности(р(^) примет вид

中9 =需=士尸(Х)器，(4.5)

где x—h(y). Знак плюс (+) соответствует возрастающей функции ^(х), в случае убывающей функции следует брать знак минус (—). Формулу (4.5) можно еще записать в виде

¥(У)= /[%У)11〃(У)1・(4-6)

Последнему равенству можно дать простое геометрическое истолкование. В самом деле, из однозначности функции h(y) следует: если х & Е V к + dx，то н у & 刀 V у + dy и, наоборот, из второго неравенства следует первое. Это означает, что вероят- ности осуществления данных неравенств одинаковы. Но этим вероятностям соответствуют площади S< и Sy (рис. 7), которые с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно dx и dy выражаются так:

^х = f (-^) Sy = cp«y)dy.

Приравнивая их, получаем

(4-7)(4-7)乎(y) = /(K)|d»dy|, что равносильно (4.6).

(4-7)

(4-7)

Рис. 7. Функциональные преобразования одной случайной величины.Рис. 7. Функциональные преобразования одной случайной величины.

Рис. 7. Функциональные преобразования одной случайной величины.

Рис. 7. Функциональные преобразования одной случайной величины.

Пример 1. Линейно преобразованные случайные величины

可=g (Е)=喈 + 6, причем Е =力(у)=；(笃—6).

Согласно (4.6),

Пример 2. Дано “=F・ Отсюда Е=г)%. Так как g(*)=x3 — возрастающая функция, то, согласно (4.2),

®(у) = а(%у),Ф(у)=』у-2.з/(у^).

Случай убывающей функции g(R) проиллюстрируем преобразованием “ = =『з (цЛИ £=/23)=“т/з)Тогда, согласно (4.6), имеем

¥(У)=%У 4‘з『(уТ/з).

Если одному значению у соответствуют два или больше значений х (л/ %2, ...), т. е. функция h (^)=х многозначна, то (Q7) можно обобщить путем прибавления в правой части

слагаемых такого же вида, соответствующих различным значениям х,

中(y)= /(同符| + /囱若什…(4.8)

Пример 3. Даио 刀寸?. При tj >( каждому его значению соответствуют два значения g; gi= ^ и & = —Н}. Тогда по (4.8) находим

屮（У）=屮（У）=(4.9)(4.9)ОУ<0

屮（У）=

屮（У）=

(4.9)

(4.9)

^7у [/(ГЛ + /(- 1ЛГ)1 у>。

До сих пор мы рассматривали только одну случайную величину. Пусть теперь заданы: две случайные' величины * и &,

Рнс. 8. К геометрической интерпретации замены переменных в (4.12).Рнс. 8. К геометрической интерпретации замены переменных в (4.12).

Рнс. 8. К геометрической интерпретации замены переменных в (4.12).

Рнс. 8. К геометрической интерпретации замены переменных в (4.12).

двумерная плотность распределения вероятностей этих величин и закон, по которому эти случайные величины преобразуются в случайные величины t]i и т]2：

% = gi (А, У»

小=g2圈，У-(4.Ю)

Требуется найти плотность распределения(p(^i, ^2). Предположим также, что обратное преобразование

S = % (小,n2),

% =⑧(%，切2)(4J1)

однозначно. Двумерная интегральная функция распределения, согласно (1.20) и (1.24), будет иметь вид

①(у】,儿)=夕(gi 匾，^2)V У1 ‘ & 隔，^2)V У2)=

= J J а：2)dxxdx2.(4.12)

gi < У1

№< Уа

Если в подынтегральной функции в (4.12) заменить переменные по (4.11), то область интегрирования преобразуется в квадрат (рис. 8), а (4.12) примет вид

0 (Ль 力2)I 0(〃ДТ 恋 d@,0 (Ль 力2)I 0(〃ДТ 恋 d@,(4.13)(4.13)У1 У2

0 (Ль 力2)I 0(〃ДТ 恋 d@,

0 (Ль 力2)I 0(〃ДТ 恋 d@,

(4.13)

(4.13)

①(У1，%)= J j / ［力1(〃,©),色(〃“)1

где

Q =Q =(4.14)(4.14)。（五1，〃2） ©（%力。（五1，〃2） ©（%力Рнс. 9. Функциональные преобразования двумерной случайной величины.Рнс. 9. Функциональные преобразования двумерной случайной величины.

Q =

Q =

(4.14)

(4.14)

。（五1，〃2） ©（%力

。（五1，〃2） ©（%力

Рнс. 9. Функциональные преобразования двумерной случайной величины.

Рнс. 9. Функциональные преобразования двумерной случайной величины.

есть якобиан преобразования (4.11), а и и и― переменные интегрирования. Дифференцируя (4.13), получим

中(У1，У2)= /［加(У1，儿)，海(У1，У・2)1 卜黑::芻•(4.15)

Этому результату можно также дать простое геометрическое истолкование. Исходя из того, что обратное преобразование (4.11) однозначно, следует, что каждой точке 4(ти, т］2)соответствует" только одна точка B(^i, ^2) и наоборот. Следовательно, вероятность точки Л находиться в области dS равна вероятности точки В находиться в области ds. Эти вероятности соответственно равны объемам цилиндров, изображенных на рис. 9, т. е. 八=乙，или

屮(у「儿)d5 = /(修，x^ds.(4.16)

Имея в виду, что отношение элементарных площадей ds/dS при переходе от переменных (尤厶 х2) к переменным (у& ^2) равно якобиану преобразования, получим (4.15).

3 Заказ № 85433

Если переменным у\ и уг соответствуют два бесконечных ряда значений хц, Х12, xia, ... и Х21, Х22, хгз, .. ., то формула (4.15) обобщается, если в правой ее части прибавить члены такого же вида, соответствующие парам значений (хц, Х21), (*12, -^22)j • • • »

?(У1，У2)= /(Л11> &1)「广含:；；? | +

十/"⑵"通胃器器+（4.17）

Пример 4. При переходе от декартовых координат (皂，^2) случайной точки М к полярным (Г]ь т)2)имеем

ij = 11 cos 可2,e2 =/ sin 72.

Обратное преобразованием имеет вид

们="隙十欧，可2= arctg等,

где для arctg х взято главное значение. Якобиан преобразования будет

0 =0 =6（*1，*2）「口d（P「力 一 36（*1，*2）「口d（P「力 一 3

0 =

0 =

6（*1，*2）「口

d（P「力 一 3

6（*1，*2）「口

d（P「力 一 3

и тогда на основании (4.17) получаем

中(р，屮)=р/(р cos 屮，р sin Ф) (р〉о, о《屮《2-).

Рассмотрим теперь частный случай преобразования двумер* ной случайной величины

刀i = Ei；可2 =g2佃，У-(4.18)

Обратное преобразование будет

E[ = vj[； 8 =力2 (勿 ‘ ％)*(4.19)

Теперь формула (4.15) приобретает вид

禺「(4・20)

где xi=yu 尤2=厶2(^力 ^2). Для одномерной плотности распределения ф(^2)> если ПОЛОЖИМ У1 = £, получим

8 I謚8 I謚? (%)=? (%)=_ dz_ (4.21) & J，五2 J, У2)1 J

8 I謚

8 I謚

? (%)=

? (%)=

Эта формула позволяет определить функцию распределения случайной величины n2=g(&, &), если известна двумерная плотность распределения f (xi, х2) случайных величин &, g2- Как частный случай из формулы (4.21) можно получить функцию 34

^ярппеделения суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин:

°g2.

1)1)刀=&+&2； тогда = 1, а Х2—у —— 尤1； на основании

1)

1)

получаем

(4.22)(4.22)г Т(У)= J /R，У — z)dz;

(4.22)

(4.22)

т] = & —自2； аналогично предыдущему случаю находим

屮(У)= ) 〃2, y + z)虑；(4.23)

n = W& здесь = xi, a 犬2=勿&; следовательно,

中(у)= f /3, у/z)奇；(4.24)

1)=&/自2； подобно третьему случаю получаем

屮(у)= F /(2, zy) 12 1dz.(4.25)

В каждом конкретном случае задания функции f(%i, х2), выполняя интегрирование по формулам (4.21) — (4.25), находим 屮(У) • Так, например, для нормального распределения (1.31) (при r=Ri2=0 и 仪1 =仪2=0) одномерная плотность распределения (р(у) частного 爱/己2 на основании (4.25) имеет вид

М 而鵲?у・(4・26)

Последняя формула носит название распределения Коши. Интересно отметить, что нечетные моменты Bzk+i этого распределения равнн нулю, а четные не существуют, так как

I 十“公 ах = оо.

Формулы (4.22) —(4.25) дают возможность легко находить числовые характеристики суммы, разности, произведения и частного двух случайных величин. Для этого необходимо плот- ^ость распределения (р(^) подставить в формулы (2.2) — (2.4). 1ак, например,

&士 冬 = 1 ± 7,乐=2以・(4.27)

В случае произведения двух независимых случайных величин имеем &&=&&, а если 皂 или 区 равна нулю, то дисперсию произведения i] = W走2 легко получить в виде

(4.28)(4.28)胃=力陰

(4.28)

(4.28)

§ 5- Некоторые обобщения

Комплексные случайные величины

Поскольку в дальнейшем изложении будут использованы и комплексные случайные величины, дадим в этом параграфе их определение и некоторые правила вычисления их статистических характеристик. Необходимо, однако, отметить, что на практике имеют дело исключительно с действительными случайными величинами.

Пусть & н & две действительные случайные величины, а i = V——1. Комплексная случайная величина С определяется равенством

匸=ё[十庆2.(5.1)

Это равенство можно рассматривать одновременно как линейное преобразование величин & и ® Тогда

J (修+五2)/(长1，x2)厶/x2 = 日 +店2・(5.2)

Если совместно использовать (5.2) и (4.27), то легко показать, что среднее значение суммы комплексных величин равно сумме средних значений слагаемых.'

Дисперсией комплексной случайной величины 自 называется величина

匕一&2.(5.3)

Но поскольку‘

k 二矶2 = I 偽+电)- (它 + 底)f=G1 - 好У + 但一К)2, получаем

w=0:+ ^.(5.4)

Отсюда следует, что дисперсия комплексной случайной величины 工 равна сумме дисперсий действительной и мнимой частей. Как и в случае действительных случайных величин, дисперсия комплексной случайной величины существенно положительна.

Возьмем теперь две комплексные случайные величины 甘 и "=Hi+i“2, причем взаимно сопряженную величину 刀 обозначим т]*. Запишем также отклонения рассматриваемых случай- 36

ных величин C' = W——工 и 刀*'=刀* ——т]*. Смешанный момент второго порядка, по определению, имеет вид

5s =^\(5.5)

или

8s= (£ + 爾)(%；—力]；)=&% + &电 +»(屋刁；—Ei亦).(5.6)

Ес」"в (5.5) поменять множители местами, то легко получить

8研=Т/匚* = Efi + & 小 一 » (&切 1 + &*)*(5.7)

Из равенств (5.5) и (5.7) следует, что

В：% = Bg(5.8)

Аналогично вводится и коэффициент корреляции

Bs = *，(5・9)

для которого также в силе равенство 衣匕句=/?^. Распространяя полученные результаты и на п-мерные комплексные случайные величины, заключаем, что элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично главной диагонали, суть комплексно сопряженные величины.

Доказанные в предыдущем параграфе свойства среднего значения и дисперсии суммы действительных случайных величин сохраняются и для комплексных величин. Читатель легко может проверить справедливость этого утверждения.

Понятие «сходимости» в теории вероятностей

Согласно обычному математическому определению, ряд с общим членом ап сходится к пределу а, если для произвольно заданного е> 0 существует такое число М что при 九> ^ выполняется неравенство | ап ——a I V е. Если ап ——случайная величина, то мы не можем с уверенностью утверждать, что последнее неравенство будет выполнено. Поэтому в теории вероятностей становится необходимым определить понятие «сходимости», исходя из других положений.

Сходимость по вероятности. Пусть задан ряд случайных величин *,&,..., g% ... н постоянная величина а. Есен при произвольном е > О

lim Р (I ^rt — а I > е) = 0,(5.10)

нлн, что то же самое

Нт 夕(|& —а] 0)=1,

то говорят, что этот ряд случайных величин сходится по вероятности к а. Это означает, что вероятность события 丨自九一a I >е близка к нулю, когда п достаточно велико. Коротко это можно записать так:

"宀 а.(5.11)

В общем случае пределом может быть случайная величина & тогда вместо (5.10) будем иметь

rtlimP(|^-^|>£) = 0 &sE).(5.12)

С ходимость в среднем квадратическом. Утверждаем, что ряд случайных величин 自厶.…，己乳，...сходится в среднем квадратическом к постоянной величине а, если

Нт 匕一口俨=0.(5.13)

Коротко это записывается так:

l.Lm. Е〃 = а.(5.14)

В общем случае

Li.m. Е% = Е.(5.15)

Теперь мы можем доказать, что достаточным условием сходимости ряда случайных величин &, &,，••,陰％ ... но вероятности является его сходимость в среднем квадратическом. Для доказательства используем известное неравенство Чебышева [7, 16]

Р(|Е —引》e)W『¥，(5.16)

где о ——дисперсия случайной величины. Из этого неравенства следует, что*

Р(Е —a|》s) = P(G — a|2》e2)w%/ — a|2.(5/7)

Отсюда при п-> оо в силу (5.13) получаем 畠尸 а, что и требовалось доказать. Практически наибольший интерес представляет случай, когда a=g. При этом достаточным условием сходимости по вероятности служит стремление к нулю дисперсии

0：=(己熊 ~ Е)2fo при п-> оо. Когда пределом ряда является случайная величина Е, то доказанное утверждение гласит, что из сходимости ряда, образованного из моментов второго порядка случайной величины &】=Е, к нулю следует, что ряд

岂，区，彰，сходится по вероятности к случайной вели- 片не'& Обратное утверждение неверно. В этом легко убедиться на следующем примере. Пусть ряд случайных величин с общим членом & имеет распределение Коши

/л (х) = ~^~ .1 + 成*2 - (5.18)

При п->оо 卜(к)-> 6 (х), где б (х) так называемая дельта-функция. С другой стороны, всякую постоянную величину а можно рассматривать как случайную с плотностью распределения f(x)= ^(x — a) [24]. Следовательно, ряд случайных величин с плотностью распределения (5.18) сходится по вероятности к нулю. В то же время очевидно, что

1[?^厶=。， (5.19)

на основании чего заключаем, что ряд 直，区，…，氐 не сходится в среднем квадратическом.

В дальнейшем, когда возникнет речь о сходимости случайных величин, всегда будет пониматься сходимость в среднем квадратическом, из которой, как было показано выше, вытекает и сходимость по вероятности. В случае необходимости использования третьего вида сходимости будет сделана специальная оговорка.

§ 6. Характеристическая функция

моменты для плотностей распределения f(х) 屮(х)—четная функция), которые четности функции(р(х).Естественно поставитьмоменты для плотностей распределения f(х) 屮(х)—четная функция), которые четности функции(р(х).Естественно поставитьКак было показано ранее, статистические моменты различного порядка представляют собой важные статистические характеристики случайных величин. Однако они имеют и существенный недостаток ——не определяют однозначно функцию распределения. В этом легко убедиться, если сравнить нечетные

моменты для плотностей распределения f(х) 屮(х)—четная функция), которые четности функции(р(х).

Естественно поставить

моменты для плотностей распределения f(х) 屮(х)—четная функция), которые четности функции(р(х).

Естественно поставить

оказываютсяоказываютсяf(x)+^(x) (где равными из-за

оказываются

оказываются

вопрос: если статистические моменты существуют, то можно ли построить такую функцию, из которой “осле выполнения над нею определенных операций можно полу- "нт^ те же самые моменты и в то же время между ней и функ- Мнен распределения будет однозначное соответствие. Оказывается, как мы увидим из дальнейшего, ответ на этот вопрос :*ет бвпъ дан положительный, причем можно наметить раз- изЧНЫе ПУТИ построения такой функции. Рассмотрим здесь один

Пусть дана случайная величина 以 Среднее значение комплексной случайной величины T]=exp(tsg) называется характеристической функцией и обозначается

0 (s)= exp (£威),(6.1)

или

A(s)=，/ (л) eisx dx.(6*2)

Поскольку I eisx I — 1, данный интеграл сходится при всяком действительном значении параметра s и при любой функции f (х). Следовательно, характеристическая функция может быть построена для всякой случайной величины. Эта функция обладает следующими свойствами, которые делают ее удобной характеристикой случайных величин.

Из (6.2) непосредственно следует 一

Н(0) = 1 и |®(s)|《l (— оо <Сs<С оо). (6.3)

Кроме того, эта функция равномерно непрерывная [8],

Если 刀=成十 В, где а и b — постоянные величины, то

日円(s) = Н 己(as) eibs.(6.4)

Действительно,

0т；(s) = exp(iSTj) = exp [is (成 + 匕)]=o'" exp (isa^ — е'*®Маз).

Отсюда следует, что при а=0 (т. е. T]=const) 0n(s) = eibs； прп В=0 H^s) =®£as), а при fe—0 и а= — 1 (я=—£) ®t(s)= =®式一s)=0* (s), где 0* (s) — взаимно сопряженная величина

0 (s). При а = 1/о и Ь——W/o можно получить из (6.4) и характеристическую функцию нормированного отклонения『=——-—.

Если случайные величины * н 蚤 независимы (или более общо — некоррелированы), то характеристическая функция суммы л = &1 + &2 равна произведению характеристических функций слагаемых:

©^(s) = ехр [»$代1 + 殳)]=exp (tsEJ exp (濕2)=®i(s)@2(s)・ (6.5* В общем случае

仇⑸= 61(S)®2(S)@3(S)露(s)・(6.6)

При одинаковом распределении случайных величин 0ft(s)=6(s) и тогда

%(s) = F(s).(6.7)

Это свойство характеристических функций особенно удобно при исследовании суммы взаимно независимых случайных* вели- 40

так как характеристическая функция суммы получается просто путем перемножения характеристических функций слагаемых. 。

При независимых и одинаково распределенных случайных ввчн'ннах, имеющих характеристическую функцию 0(s), характеристическая функция разности т)= & —& будет

〜(s) = |O(s)|2, (6.8)

т е квадрат модуля 0 (s) равен характеристической функции разности & ——&• Действительно, из свойства 2 вытекает ®_%(s) = —0(—s) =0* (s), а из свойства 3 следует 0tl(s)= =0. (s)0_* (s) =0(s)0*(s) = 10(s) 12, что и требовалось дока

зать.

Как видно из (6.2), характеристическая функция 0 (s) яв- пяется преобразованием Фурье функции f (х). Обратное преобразование [40] определяет плотность распределения f (х) по заданной характеристической функции

(6.9)(6.9)/ (л) = £^ f Н (s) ем* ds.

(6.9)

(6.9)

Для интегральной функции распределения из (1.12) и (6.9) получим

1?1 —

尸(х)—尸(0) =負 J —®(s)ds.(6.10)

(6-11)(6-11)Если n=g(E), то, согласно определению (6.1), имеем “(s)= J / (л) ем^(v) dx,I

(6-11)

(6-11)

J. После рассмотрения предыдущих свойств характеристиче- ск°й функции, естественно, возникает вопрос, всякая ли функция может быть характеристической функцией какой-то случайной величины. Ответ на этот вопрос дает теорема Бохнера—Хинчина, согласно которой, для того чтобы непрерывная функция 0(s) бьща характеристической (при условии, что 0(0) =1), необхоДиМо и достаточно, чтобы эта функция была положительно определена. Вследствие важности понятия «положительно опре- Делейной функции», а также вследствие того, что это понятие снова встретится нам в следующих параграфах, поясним его смысл.

^°ворят, что непрерывная функция 0 (s) от действительного Ргумента s положительно определена в интервале —оо V s V

8’ если для произвольных действительных чисел Si, S2, ..., sn

и комплексных чисел 之厶之2, ..., г„ при целом числе п выполняется неравенство

S Н (Sj — s&) %涼》о.(6.12)

Здесь z* — взаимно сопряженная величина.

Аналогично (6.1) вводится и характеристическая функция п-мерной случайной величины

H(S|, S?Sj 二 ехр(工 s&&*丿，(6.13)

где Sl s2, .... sn — действительные числа. Последняя формула может быть записана еще так:

(T(S|, S2,…，s“)= J . . . \ eS +…+ s“%)x

X / (-^i' ■ ■ •, x„)rfX[ . . . dxn.(6.14)

Определенная таким образом функция имеет следующие свойства:

Функция 日⑸，$2, …，s?J равномерно непрерывная во всем пространстве —оо V s& V оо (/г = 1, п) и, кроме того, удовлетворяет условиям:

8(0, 0,…，0) = 1,

IG)(S[, s，2, . . ., sJI & 1,

H (一 Sj, — s2, . . ., — s„) = 6*(S[, s2, sj,

8(s「S2，….，s0 = @(bi，s2, . . ., sk, 0, 0, . . ., 0). (6.15)

Если 11^=0^ + fek (左=L и), to

6%(S], s2, . . ., s„) = t)5(a1S1, . . ., %s“)(6.16)

где ah и bk ——действительные величины. Очевидно, что (6.16) служит обобщением (6.4).

Если случайные величины взаимно независимы, то из (1.43) и (6.14) получаем

®(S[, So, * • • j s〃)^^ 仇 ®)出62)•… 仇(s)(6.17)

При Si=S2=-. . = s/n как это следует из (6.14), найдем характеристическую функцию суммы случайных величин %=& + + ^2 + ■ ■ • + &п в виде

6式s) = H(s, s,…，s).(6.18)

Зта формула обобщает (6.6) для случая зависимых величин. Если же эти величины независимы, то из (6.17) и (6.18) непосредственно вытекает (6.7). При п = ^с^^ легко находим

(6.19)(6.19)Н円(s)—— Н(GS, с/, . . ., %s).

(6.19)

(6.19)

Формула (6.14) показывает, что 0(si, S2, .. ., sn) является л-кратным преобразованием Фурье функции f (尤九 х2, ..., xn). Следовательно, характеристическая функция однозначно определяет плотность распределения вероятностей, а последняя получается из нее посредством обратного преобразования

/ (Xj» • • • » %) = (2冗)也 X

s/0-i("T…+%%)厶].・.d%・(6.20)

Рассмотрим несколько примеров определения характеристической функции для одномерных и многомерных случайных величин.

Пример 1. Дана『住)=~^—, т. е. случайная величина 自 равномерно распределена в интервале (—。，а). Характеристическая функция имеет вид

е (S) = f -1- eisx dx = • sl”s'， Jas

Пример 2. Случайная величина g нормально распределена по закону (1.15). Ее характеристическая функция будет такой:

8 .(х —а 户

6 (s)=——[ c 2b d*.

Используя формулу [36]

8一 一月(？一 h 2

J °—凤产―Hs-C/〃 = J^/寿 °▲,

получаем

(6.21)(6.21)ias~ —

(6.21)

(6.21)

6 (S) =C 2 .

口енн^Рнмер 3. Дана функция плотности п-мерного нормального распреде-

/5,…,/)=-i?^_p。1 …% ， 0/5,…,/)=-i?^_p。1 …% ， 0苏 Е DihI,々=1苏 Е DihI,々=1（"1一。1）（办一％）（"1一。1）（办一％）叩在叩在(6.22)(6.22)

/5,…,/)=-i?^_p

。1 …% ， 0

/5,…,/)=-i?^_p

。1 …% ， 0

苏 Е Dih

I,々=1

苏 Е Dih

I,々=1

（"1一。1）（办一％）

（"1一。1）（办一％）

叩在

叩在

(6.22)

(6.22)

где

13 …Пп

Q= 「21 I •••厂2冷(6.23)

Г/Л гл2 …• 1

a rik~rkh I Пь I ^ 1, Dik — адъюнкта элемента пь. Если 门丸=口 пр» Z 市色，то D/ft=0, D = Dkh~ 1 и вместо (6.22) имеем

7 5,…，*〃)=(2")二"L exp [L У(6.24)

В этом случае случайные величины независимы. Подставляя (6.22) в (6.14), получаемВ этом случае случайные величины независимы. Подставляя (6.22) в (6.14), получаем(SX)(SX)£ Dm k, 1~\£ Dm k, 1~\（*尼一0尼）（力一勿）（*尼一0尼）（力一勿）12D12Dd*i …dxn.d*i …dxn.

В этом случае случайные величины независимы. Подставляя (6.22) в (6.14), получаем

В этом случае случайные величины независимы. Подставляя (6.22) в (6.14), получаем

(SX)

(SX)

£ Dm k, 1~\

£ Dm k, 1~\

（*尼一0尼）（力一勿）

（*尼一0尼）（力一勿）

1

2D

1

2D

d*i …dxn.

d*i …dxn.

жению видажению видаРешение этих интегралов, подробно изложенное в [35], приводит к выра

жению вида

жению вида

(625)(625)в(51一一 , 5〃) =ехр ff Vaftsft^± 8悶s走力),

(625)

(625)

где Bki ——центральные моменты второго порядка. Отсюда следует, что п-мерное нормальное распределение полностью определено, если заданы средние значения а& и корреляционные моменты Вь/. В случае 0^=0 (Л= 1, п) получаем

9 (»,…，srt) = exp (J- S bkisksi j •(6.26)

Если, кроме того, случайные величины независимы, то Ь^=0 при к 卡 I, a b/1h = 0h2, и (6.26) принимает вид

(627)(627)

(627)

(627)

Последняя формула находится в согласии с формулой (6.6).

Определение статистических моментов с помощью характеристических функций

Определение начальных и центральных моментов, когда известна функция распределения, связано с большим количеством вычислений. Если же известна характеристическая функция, то вычисление моментов может стать значительно более легкой задачей. Действительно, если разложить показательную функцию 44

(6.1) в ряд и использовать уравнение (4.27), то можно получить

(7.1)(7.1)®(s)=产=£2、t 小k=0'向=0'

(7.1)

(7.1)

Однако ^~bh (где bk ——начальные моменты) и (7.1) можно переписать так:

6(9Пt与".(7 ⑵

k =0”

С другой стороны, разлагая функцию 0(s) в ряд Маклорена, имеем

®(s)= £ 3岬0)s&(7.3)

Теперь, сравнивая (7.2) и (7.3), находим

bk =L々8⑷(0)=l(需)_0•(7.4)

Последнюю формулу можно получить и другим способом. Дифференцируя (6.2)左 раз по s, найдем

@ 肉(S)= * J #/(尤)

откуда

6 伊)(0)=济 J xkf{x)dx,

uto равносильно (7.4).

Центральные моменты произвольного порядка (если они существуют) легко могут быть выражены через производные характеристической функции. В самом деле, формально (6.2) можно записать в виде

®(s)eT“s= j els{x ~a)f{x}dx.

「貝е а = а Если продифференцировать это равенство k раз no s, ^ложить s=0 и иметь в виду уравнение (2.4), то можно полу-

Bk = rk 先。一"叫⑸•(7.5)

_ as」s=Q

Рассмотрим теперь сумму случайных величин 4 = & + 出， когда Ei н 鱼 независимы. С помощью (7.4) легко находим:

仇=瓦1 +d2，

力2 =b21 + 2仇1仇2 +b22，

% ="31 + 3% 力 I? + 3ьи/^ + %2，(7.6)

Здесь и в следующей системе равенств первый индекс обозначает порядок момента, а второй — номер слагаемого 值 или ^2), к которому он относится. Буквами с одним индексом Ь& и В& обозначены моменты суммы т] = gt -|- ^. Аналогично из (7.5) получаем：

82 = &1 + 月22，

& = ^31 + &2'

& = ^41 + 6&1&2 + 旦2’(7*7)

Эти выражения показывают, что для суммы независимых случайных величин среднее значение 瓦，дисперсия & и центральный момент Вз обладают свойством аддитивности, а моменты суммы более высоких порядков выражаются через моменты слагаемых посредством более сложных формул. Этот недостаток данных статистических характеристик делает их неудобными для исследования суммы случайных величин.

Однако вид уравнения (6.5) показывает, что если вместо 0 (s) введем функцию

屮(s) = lnH(s),(7.8)

то получим формулу более симметричного вида

屮i+2(s}=S(s)+ 屮2(s).(7.9)

Вследствие свойственной ей аддитивности функция W(s) более удобная характеристика. В (7.8) под In 0 (s) подразумевается главное значение логарифма. Иначе говоря, функция W(s) определена только для таких значений параметра s, для которых 0 (s)=#0 в окрестности точки s=0, а при s=6 In 1=0. Эти условия определяют функцию W(s) однозначно.

Разложим 屮(s) в ряд Маклорена

中(s) = t 营屮⑷(O)S&(7.10)

и обозначим

S^=»-竺肉(0).(7.11)

Величина S^ носит название семиинварианта случай' ной величины * Из уравнений (7.9) и (7.11) видно, что эта 46

функция также обладает свойством аддитивности, т. е. если e=a 十扇，Tо

5々,1+2 = S^i + S/^.(7.12)

Сравнение (7.12) с (7.6) и (7.7) показывает, что новая величина значительно удобнее в качестве статистической характеристики, так как при суммировании независимых случайных величин семиинвариант произвольного порядка суммы равен сумме семиинвариантов слагаемых.

Ряд (7.10) можно записать в виде

中(9=士鲁(左汽(7.13)

k =0'

Подставляя (7.2) и (7.13) в (7.8) и выполняя элементарные преобразования, получаем:

S2 — b2~ b： = J,.

S3 = % — 3b[力2+2Ь： и т. д.(7.14)

и, наоборот,

仇=S], 力2 = S2 + s?,

b^ = S3 -]- 3SjS2 -]- 5? и т. д.(7.15)

Если в (7.14) выразим начальные моменты через центральные с помощью уравнения (2.7), то получим:

S4 = В4 — 3&, S5 — В-—10В2Вг и т. д. (7.16)

Первые две формулы (7.14) показывают, что для произвольного распределения семиинвариант первого порядка равен среднему значению, а семиинвариант второго порядка — дисперсии случайной величины. Так, согласно (6.21) и (7.8), при нормальном распределении

屮(s) =，as —｝用2(7.17)

н в самом деле Si = a, а 5г=о2. Кроме того, имеем

S尼=0 при 左》3,(7.18)

поскольку 屮但)(s)=0 при ^ ^ 3. Из этого делаем вывод, что при нормальном распределении семиинварианты третьего и более высоких порядков равны нулю. Справедливо и обратное утверждение.

Если известен семиинвариант произвольного порядка, то можно восстановить функцию распределения, поскольку в данном случае известен ряд (7.10) и, следовательно, известна характеристическая функция.

В заключение для иллюстрации изложенной теории вычислим моменты нормально распределенной случайной величины 三 и ее квадрата 貝=旣

Пример 1. Прн нормальном распределении ®(§) имеет вид (6.21).

Подставим это выражение в (7.5) н получим

% = i% = i(7.19)(7.19)

% = i

% = i

(7.19)

(7.19)

а при k — 2n——1а при k — 2n——1f2«a2« 2«n!f2«a2« 2«n!Однако dk - dsk G

а при k — 2n——1

а при k — 2n——1

f2«a2« 2«n!

f2«a2« 2«n!

Для k — ^n

Если подставим два последних выражения в (7.19), то получим

(7.20)(7.20)星“К号券b2也=(2入-1)!!02叱82nТ三0,

(7.20)

(7.20)

т. е. тот же результат, что и в § 2.

Пример 2. Пусть t)= F, где Е — нормальная случайная величина, для которой Е=0, а дисперсия равна о?. Согласно (4.9) и (1.15), плотность распределения величины т] будет

1

Тогда для 9(§), опуская промежуточные выкладки, получим

у ку

или еще

е (S) = V (竺TILL 2*а2* (is)&F QB)!!

近=2以！ X；加;I"盘.近=2以！ X；加;I"盘.Сравнивая последнее выражение с (7.2), находим

近=2以！ X；加;I"盘.

近=2以！ X；加;I"盘.

Изложенный метод легко обобщается и на п-мерные случайные величины [25]. Подобным образом доказывается [22], что

^М =廉篇=月12然4 + %% +名他3 (7.21) и

月彥=5г£з#56 + ^12^35^46 + ^12^36^45 Ч~ ^13^24^56 +

+ ^13^25^46 + ^13^26^45 + ^14^23^56 + ^14^25^36 +

+ ^14^26^35 + 殳5%旦6 + ^15^24^36 + ^15^26*^34 +

■4" ^16^23^45 Ч~ ^16^24^35 Н~ ^16^25^34 Н Т•以.(7.22)

Связь (7.21) между моментами четвертого и второго порядков при нормальном распределении играет исключительно важную роль в статистической теории турбулентного движения, и во второй части книги эта связь будет использована неоднократно.

4 Заказ № 854

ГЛАВА II

Случайные процессы

§ 1. Определение случайной функции одной переменной Распределение вероятностей случайной функции

Классическая теория вероятностей изучает такие случайные величины, значения которых не зависят от времени или какого- либо другого параметра. Однако развитие физики привело к необходимости изучать и случайные величины, которые зависят от группы параметров, наиболее часто от одного —времени. Следовательно, до сих пор при наблюдениях процесса, основного объекта изучения в классической теории вероятностей, результаты одной серии опытов, проведенных при определенном комплексе условий, представляются одной совокупностью случайных величин *,&,•••, Еп, не изменяющихся во времени. Теперь эти результаты представляются новой совокупностью Е⑴(£), E(2)(f),己5)(£) случайных величин, зависящих от вре

мени. Функции 於&)(£)(力=1,九)определяют собой закон изменения данных наблюдений во времени. Все эти функции отличаются друг от друга, хотя комплекс условий при проведении наблюдений один и тот же.

Рис. 11. Реализации случайной функции 5(0-Рис. 11. Реализации случайной функции 5(0-Итак, непрерывные случайные величины, при каждом измерении которых получаем одну функцию времени 8也)(£), различную для разных измерений, проведенных при одних и тех же условиях, носят название случайных функций времени. Для фиксированного момента времени £=厶 случайная функция 宫同(左) (力=1,九) представляет собой случайную величину в обычном понимании. Следовательно, случайными будут те функции, значения которых при заданной величине аргумента являются случайными величинами. Физические процессы, результаты наблюдений над которыми представляются случайными функциями, называются случайными, или стохастическими процессами.

Рис. 11. Реализации случайной функции 5(0-

Рис. 11. Реализации случайной функции 5(0-

Рис. 10. Примеры случайной функциивремени.

1 — температура, 2 — скорость ветра, 3 —вертикальная компонента скорости.

Можно привести много примеров случайных процессов. Общеизвестен и наиболее важен из них пример с «электрическими шумами》в радиоприемных устройствах [4]. Причинами этих шумов являются как случайные пульсации количества электронов, проходящих через электронные лампы в единицу времени, так и рассеивание радиоволн на турбулентных неоднородностях атмосферы. Под влиянием этих факторов напряжение на концах данного проводника и сила тока в нем ——случайные Функции времени. Другим типичным примером случайной функ- инн может служить скорость в фиксированной точке турбулент- Н"。потока ( например, скорость ветра в атмосфере) или температура и давление, которые непрерывно пульсируют (рис. 10).

Если при одних и тех же условиях провести серию измерений Данного случайного процесса, то можно получить ряд кривых, которые, хотя качественно и схожи между собой, в деталях от- ^ичаются друг от друга. Эти кривые соответствуют различным фактическим (реальным) функциям 守)(£), Е@)(£),於叫«),

0Topне носят название реализаций случайной функции ^(0-

Последняя же определяется как совокупность своих реализаций. Случайность здесь состоит в том, что вид каждой реализации Е(幻(£) изменяется от одного наблюдения к другому случайным образом (рис. 11).

Подобно тому как случайная величина считается известной, когда дано распределение вероятностей ее значений, так и случайная функция будет полностью определена, если известно распределение вероятностей осуществления ее различных реализаций. Прежде чем рассмотреть этот вопрос, остановимся еще на одном определении случайной функции. Это определение состоит в том, что случайная функция g(£) задается посредством аналитического выражения, которое содержит один или несколько параметров, являющихся случайными величинами. Наиболее часто в качестве такого выражения используют тригонометрический многочлен

(0 = 2 &cos“ + 5Sin“)， (1.1)

где Wv и п* ——случайные величины в обычном понимании с известным распределением. Тогда реализация ^h}(t) представляется в виде

Е°)(£) = ? (cos + v]? sin . (1.2)

Совокупность коэффициентов 个 и г^ определяет случайные величины gv и T]v в (1.1). Однако более полно и близко к интуитивному представлению о случайных функциях, возникающему на практике, первое определение. .

Из всего этого становится ясным, что понятие случайной функции не вмещается в рамки классической теории вероятностей и вследствие этого ее математический аппарат не может быть использован для изучения случайных функций. В разработке основ теории случайных функций в 30-х годах нашего столетия первое место принадлежит московской школе теории вероятностей и, в частности, работам советских математиков Е. Е. Слуцкого, А. Я. Хинчина [31] и А. Н. Колмогорова [12]. В последние тридцать лет были достигнуты значительные успехи в разработке теории как в чисто математическом аспекте, так и в связи с приложениями ее в радиотехнике и электронике, автоматическом регулировании, теории турбулентности и др.

Начнем изложение теории случайных функций в объеме, необходимом для этой книги, с определения понятия «закон распределения» случайной функции £(£).

При статистическом изучении случайных процессов поставим себе целью исследование не отдельных реализаций 己(同(f) 52

случайной функции, а свойств всего множества реализаций с помощью подходящих статистических характеристик. Наиболее важной такой характеристикой является функция распределения вероятностей 乳£).

Как было показано выше, при фиксированном t=h значение случайной функции 蚤=它(友)есть обычная случайная величина. Интегральная функция распределения этой величины, согласно (I, 1.1), имеет вид1

尸 1(*1，幻=p稿 V" = P(E(幻<内) (1.3} и, следовательно, кроме Xi, зависит от 厶.Здесь понятие вероятности имеет следующий смысл.

Пусть из т реализаций случайной функции 自(£) п в момент времени t=h принимают значения, меньшие *з Опыт показывает, что при неограниченном увеличении п отношение т/п устойчиво и колеблется около одного постоянного числа, которое назовем вероятностью. Если 吊(紀 厶)имеет частную производную по 几 то функция .

/1(~，幻=設尸1(*1，Л) (L4>

называется одномерной плотностью распределения. Из последних двух формул следует

P(Xi<E(/i)WXi+dxJ = /i(Xi，t^dxx. (1.5>

Для задач, в которых значения случайной функции в различные моменты времени рассматриваются изолированно одно от другого, одномерная плотность распределения (1.4)——достаточная характеристика случайного процесса. Однако она определяет процесс статически и не дает представления о развитии его- во времени. Случайный процесс в динамике своего развития характеризуется многомерной функцией распределения. Наиболее простая из них — двумерная — определяется равенством

尸2(Х[, £]； *2，%2)= Р (Е (±1)V %1 ； E(/2)V*2),(1 -6)'

а двумерная плотность распределения будет

/2(*1，Л ； *2，±2)= а*1 族^ 尸2 (*1 ' А； Х2，±2).(1・7>

Очевидно, что

/2(*1，Л» &, tjf 2〈х?、%; л?】，/J.(L8)；

Интегральная функция F для случайных функций будет обозначаться,. 晋。мв написания аргумента, еще и постановкой соответствующего индекса. Последнее делается для удобства при сокращении записи и для отличии от совместной функции распределения многомерных случайных функций.

Кроме того, поскольку Р 化（厶）V xt;己（编 W 8）= P （g （幻 < V Al）,

F2（X” 匕；8, /2）^1 （-^11 *1）（1-9）

для всякого Xi,厶 и /г- Отсюда аналогично выводу （I, 1.27） получаем

/]（X] , /1） = j』2（Х1‘ Л »看2）4占.（1.1。）

Вообще для п-мерной функции распределения имеем

F〃（X]，厶；….；к〃，G = Р（Е（幻《*1, • • •, Е&）《xj（1.11）

и соответственно для плотности распределения

/”（&, G： ..&,幻=严尸"（*：••//• А"（1.12）

Помимо этого, многомерная плотность распределения симметрична по отношению к парам аргументов （х<,厶）и （х>,匕）. Все же функции %,，2, ... , fn характеризуют случайный процесс более полно. Если известна, например, функция fn, то можно определить и все остальные функции с меньшим номером. Однако n-мерная плотность ——не исчерпывающая характеристика ■случайного процесса, так как при ней остаются неизвестными •функции с большими номерами. Можно показать, что бесконечный ряд fi, полностью определяет статистические свойства случайного процесса, но практически этот ряд никогда не бывает известным.

Однако существуют такие случайные функции, которые полностью определяются заданием fn при конечном п. Примером подобных функций могут служить такие случайные функции, значения которых при £=£з R, • • • , tn — независимые случайные величины. Тогда n-мерная плотность имеет вид

fп（Xi, А； • • • ； х小 ％ = /\（Х[‘ fJ/1 （-^2，*2）…• /1（&,力）（L13） и, следовательно, функция Е（£） полностью определена, если известна fi （х, /）• В качестве примера случайного процесса, который успешно определяется заданием двумерной плотности распределения, можно указать на нормальный процесс. К этому мы •еще вернемся в § 8.

§ 2. Статистические моменты. Автокорреляционная функция

Как мы видели в предыдущем параграфе, многомерный закон распределения вероятностей достаточно полно характеризует случайную функцию, а бесконечный ряд /1,位，，з, •…——ее исчер- ■54

пывающая характеристика в самом общем случае. Однако на практике нет ни возможности найти эти ряды, даже при конечных п, ни необходимости в этом, так как для практических целей свойства случайных процессов достаточно полно описываются статистическими моментами различного порядка. И здесь аналогия со случайными величинами налицо.

Для определения статистических моментов посредством применения операции осреднения к случайным функциям необхо* димо предварительно отметить, что возможны два метода осреднения. Первый из них состоит в том, что для фиксированного момента времени £=友 осреднение производится по всей совокупности реализаций случайной функции 自(f). Естественно, в этом случае осредненная величина зависит от времени f как от параметра. Другой способ заключается в том, что одна фиксированная реализация g幻(£) осредняется во времени. Более часто при теоретических исследованиях привлекается первый метод, который еще называется статистическим осреднением; на практике же применяется второй метод. Соотношение между этими методами для некоторого специального класса случайных процессов мы рассмотрим в § 4. Упомянем здесь только, что' средние величины, образованные обоими методами, для наиболее часто встречающихся на практике случайных функций совпадают. Однако в последующем изложении операцию осреднения мы будем понимать как статистическое осреднение.

Аналогично случайным величинам введем здесь для случайных функций начальные и центральные моменты /?-того порядка:

么 OHW； 4(£)=lK/)— a(f)F・ (2.1>

где о (t) = bi (i) = ^ (0 ——среднее значение случайной функции^ около которого группируются ее реализации. При 力=2 получаем дисперсию

。2(?)=[Е(/)一a(?)产.(2.2)，

Для начальных 匕冗(£) и центральных В在(£) моментов сохраняют силу выражения (I, 2.6) и (I, 2.7). Эти моменты, подобноодномерным функциям распределения (1.3) и (1.4), характеризуют случайный процесс статически, так как образуются они Д~】я фиксированного момента времени. Для того чтобы дать- представление о динамике процесса, введем моменты, образованные для различных значений аргумента f, в частности, для Лвух значений ti и R. Из этих моментов наибольшее значение- имеет центральный момент

8(A，切=门幻子侑)=

ОО ОО

=! J [Х1 -"(幻][& —ag2)]/2(Х1，厶；x2/2)公"国工2.(2.3>

который получил название автокорреляционной функции случайного процесса. Как и ранее, ^ (0 = ? (О —己⑴ означает пульсацию (отклонение) случайной функции от 自(£). В дальнейшем 8(厶，勿) будем называть корреляционной функцией. Это понятие ——основное в теории случайных процессов. В большинстве практических случаев среднее значение а (£) и корреляционная функция В (6, /2) достаточно полно описывают свойства случайного процесса. Теория, которая ограничивается использованием только этих двух статистических моментов, носит название корреляционной теории случайных процессов1.

Из определения 8(厶，％) посредством (2.3) вытекают некоторые элементарные свойства корреляционной функции.

Корреляционная функция симметрична относительно 厶 и 勿 B(G，t.^ = B(t^ Л).(2.4)

Геометрически это означает, что поверхность z—B (х, у) симметрична относительно плоскости, проходящей через ось z и биссектрису координатного угла хоу.

Из (2.3) и (2.2) получаем

В 仏 £) = g(£).(2.5)

•Следовательно, если известна корреляционная функция, то она •определяет и дисперсию случайного процесса.

При &——fif 8 статистическая связь между 乳厶) и Е«2)стремится к нулю и тогда при %——£i-> 8 имеем

В (Л，f2) — О (ИО =0).(2.6)

Другие свойства корреляционной функции рассмотрим в § 5. Часто вместо В (6, %) используют нормированную корреляционную функцию

А仏’。凿北)，(2.7)

называемую, как и для случайных величин, коэффициентом кор^ реляции.

§ 3. Двумерный случайный процесс. Взаимная корреляционная функция

В приложениях часто становится необходимым рассматривать одновременно два случайных процесса и исследовать зависимость между ними. Как и для случайных величин, можно

Понятия случайного процесса и случайной функции мы отождествляем.

в этом случае определить двумерный процесс с компонентами, представляющими отдельные процессы. Примером трехмерного случайного процесса может служить вектор скорости ветра и（£） в данной точке в турбулентной атмосфере с компонентами 以（6，卩 «） и w ⑴,представляющими собой случайные функции. Пренебрегая здесь вертикальной компонентой, получаем пример двумерного процесса. Представляет также интерес совместное рассмотрение и изучение корреляции между давлением и температурой, давлением и скоростью в данном турбулентном потоке и т. п. При прогнозе погоды температура, ветер, влажность и давление, рассматриваемые как случайные процессы, более или менее зависят друг от друга. И вообще на практике встречается много примеров подобных зависимостей, вследствие чего необходимо понятия предыдущего параграфа расширить таким образом, чтобы теория охватывала и эти случаи.

Возьмем случайные процессы & （£） и 区（£）. Совместная дву- мерная функция распределения определяется так:

尸 12（X1,厶；X2、/2） = p （$! （^1）＜С -^1 ； %（/2）V&）,.（3.D

а совместная плотность распределения будет

/12 （*1，*1； *2，*2）=石^族^尸 12（X] , Л » /,切， （3.2）

Здесь двойные индексы обозначают совместные распределения^ Из предыдущего вытекает;

/1（Х[, ±1）= /12（Х1，厶；8, /2）,

/1（х?, *2）= /12（8, £]； х2, 士2）・（3.3）

На практике вместо совместных функций распределения но пользуют смешанные статистические моменты, из которых наи* большее значение имеет момент

吕2 （%，/2）=回（幻一生（厶）]国《2）一a2（幻I，（3.4）

называемый взаимной корреляционной функцией случайных процессов &（£） и & （£）. Термин «взаимная» в подобных случаях мы будем употреблять всегда для того, чтобы не спутать с автокорреляционной функцией, о сокращенном наименовании которой было условлено выше. Вместо момента b12（友，编часто вводится временной коэффициент корреляции

r2佑，为）=*；：；；*，（3。5）

гДе о：（幻 и и^ （编一дисперсии случайных функций 蚤（£） и 区（£）.

Из определения （3.4） взаимной корреляционной функции вьь текают некоторые ее элементарные свойства.

Взаимная корреляционная функция несимметрична относительно Л и однако

^12 (Л > ±2)= 821(*2’ Л)*(3.6)

Симметрия имеется только при £1=色=£, т. е. 8眨(么 £)= = Bzi (t 0.

Если случайные процессы независимы, то имеет место

В12(*1，，2)= &(£[)" (±2)= Е1 (幻 &(%) ~ 0?(3.7)

поскольку 自'(£)=0. Обратное утверждение, как мы уже знаем, в общем случае неверно. Вследствие этого, если взаимная кор* реляционная функция равна нулю, то случайные процессы назы* вают некоррелированными. Если &(£) м 区⑴ по своему физическому смыслу должны находиться в статистической зависимости между собой (например, составляющие скорости ветра в данной точке), то можно считать, что при 勿——fi-> 8 эта зависимость будет затухать и в пределе возымеет силу (3.7).

Взаимная корреляционная функция по своему абсолютному значению не превосходит средней геометрической величины корреляционных функций двух случайных процессов, т. е.

I 吕2 (厶’*2)I《U& (£], ±1)5? (±2，±2)， или1

I ^12 (^1> ±2)I《。1 (幻。2 (*2)・ (3.8)

Сравнивая последнее с (3.5). находим |Ri2(fi, £2) I W 1.

Приведенный выше пример скорости ветра в данной точке в турбулентной атмосфере вызывает необходимость рассмотрения совместного распределения трех случайных функций 蚤(£) (t = l, 2, 3). Но поскольку в теории турбулентности применяется почти исключительно корреляционная теория случайных процессов, представляет интерес определение двумерной совместной плотности распределения по заданной трехмерной. Очевидно, последнее можно сделать по формуле

X?, %； Х3, £3)^X3 (3.9)X?, %； Х3, £3)^X3 (3.9)/12 (-^11 *1； &, *2)= J /123(X” *1；

X?, %； Х3, £3)^X3 (3.9)

X?, %； Х3, £3)^X3 (3.9)

и аналогично для /\з и，аз・ После этого по (3.4) определяем и взаимные корреляционные функции, которых в данном случае девять. Они образуют корреляционный тензор В订(必 友)(t, j— =1, 2, 3) с матрицей

(3-10)

Доказательство см. в [25].

в которой элементы по главной диагонали представляют собой корреляционные функции составляющих &(£) = 〃(£),区(£)=八£) и Ез(£)=5(£). При 厶=/2=£ элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали. В этом случае B^(t. t) называется тензором турбулентных напряжений Рейнольдса, который будет подробно рассмотрен во второй части книги.

Взаимная и автокорреляционная функции позволяют выразить корреляционную функцию суммы нескольких случайных функций. Например, если

k(z) = Ei (e) + 电(£)，

то, как легко установить,

8"М (厶,£2)=竺(Л) В g2)= 8"(厶,切 + &2 (厶，£2)+

+ 821(九 ±2)+ 42(%.£2).(3-n)

Если 自：(£) и W； (£)——независимые случайные процессы, то 8眨= =&1=0 и тогда получаем

8可可(£1，±2)= 311(九 ±2)+ 42(厶，/)•(3.12)

Пpи £1=友=£ находим

4")=唄e) +圖九(3.13)

Эти формулы непосредственно обобщаются и для большего чи- спа слагаемых.

В заключение рассмотрим комплексную случайную функцию

匸(±) = Е1 (£) + %«)•(3.14)

Согласно (I, 5.5), можно записать корреляционную функцию в виде

8(九幻=('(幻(*‘(幻，

где L (f)——взаимно сопряженная величина 匚(£) Подставляя сюда (3.14), получим

，(九 £2)= 811(*1，*2)+ 822(£1，±2)+ " ［修1 (厶,*2)一吕2 (*1，*2)|， Очевидно, что

8佑，幻二岁(6幻.

Для взаимной корреляционной функции двух комплексных случайных функций 备館)и 迄(£) имеем

и ещеи ещеВ12 (*1，±2)= ^1 (Л) ^2 (^2)

и еще

и еще

^12 (Л » *2)= 812 (±2，*1)・

§ 4. Стационарность и эргодичность случайных процессов

В современной теории случайных процессов важное место занимает класс стационарных случайных функций. Последними называют такие случайные функции, многомерные распределения вероятностей которых инвариантны относительно изменения начала отсчета времени, т. е.

f п (%1 ‘ *1 ； • • • ； Хц ‘ G == f п (%1 ‘ ^1 + К • • • ； ^п' tn + О* (4.1)

Отсюда последовательно получаем следующие соотношения:

1) /1(X1’ Л) — /1 (-^i» 匕 + =)•

Поскольку т произвольно, выбираем т=——h* Тогда

/(Xi，^i)= /1 (-^i)>(4・2)

т. е. одномерная плотность распределения не зависит от времени. Следовательно,

Ё(0= J х/\(х, f)dx= J х/i (?с) dx — a = const.(4.3)

/2(*1，*1；工2，^2)= Уг (^1， "1 + Р；々'^2 ~Ь Т)'

При т=—fi

/2(X1，*1；工2‘ 垃=^ fX\>。；工2，*2 ~ *1)，(4.4)

т. е. двумерная плотность распределения зависит только от разности ^2-—fi, но не от начала отсчета времени. Аналогично (4.3) получаем:

8 (%，*2)— 8 (幻 F (幻=8 (±2 — Л)'

s2(/) = B(0) = const.(4.5)

/з(%1，匕；*2，»2； *3，£з)==/з(*1‘。； *2，±2 — *1； &，片一*J И Т. Д.

Иначе говоря, при стационарных случайных процессах статистические моменты, полученные для одного и того же момента времени f, суть постоянные величины, а моменты, полученные для двух значений времени /1 и /2, зависят только от разности &——/i н т. д. '

Определение стационарности, данное в (4.1), налагает слишком много ограничительных условий на случайные процессы, и на практике трудно даже проверить, выполняются ли эти условия. Поскольку корреляционная теория ограничивается использованием только одномерных и двумерных распределений, то 60

в рамках такой теории стационарными считаются те процессы, для которых средние значения и дисперсии постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности 修一h. Эти условия определяют так называемую стационарность в широком смысле, нли в смысле Хинчина. В дальнейшем, когда будет идти речь о стационарности, мы будем иметь в виду именно стационарность в широком смысле, без специальной оговорки в каждом случае.

Строго стационарные случайные процессы, удовлетворяющие определению (4.1), стационарны и в широком смысле, но не наоборот, так что эти два определения стационарности не тождественны. Однако существует один класс случайных функций —— нормальные случайные процессы, которые полностью определяются заданием корреляционной функции В (т), вследствие чего для них понятия стационарности в строгом и широком смысле совпадают.

Простой пример стационарного процесса получаем при рассмотрении функции 乳f)=&cos st + &sin st, где 备 и ^2 — случайные величины, для которых &=&=0, ^ = ^ = с2 и ^igz=O. В этом случае

В(/и ^2)= f2 cos 10 (^2 ~ Л)- (4.6)

Случайный процесс 己(£)=期£ нестационарен, так как

夕(А，切=汇e也.

Если W(f)——стационарная случайная функция, f(f)——неслучайная (детерминированная) функция, то функция 期(方)= = f(DE(6 будет нестационарной случайной функцией, так как П ") = f (£)Е (£). Класс стационарных случайных процессов, хотя н имеет большое значение для приложений, не исчерпывает всех процессов, встречающихся на практике.

Из условия стационарности (4.1) следует также, что всякое перемещение начала отсчета по оси времени преобразует совокупность реализаций случайной функции в саму себя таким образом, что ее статистические характеристики не изменяются. Наоборот, если такая совокупность инвариантна в указанном выше смысле, то это означает, что случайный процесс стационарен. Все это возможно только в том случае, если физические усло- вня, при которых осуществляются реализации, остаются постоянными.

Так, например, компоненты скорости в данной точке турбулентного потока, или же температура в той же точке, будут стационарными случайными функциями времени, если причины, которые порождают данный процесс, не изменяются во времени, Т・ е. если турбулентность установившаяся. В действительности, последнее условие при достаточно большом интервале времени

наблюдения не выполняется, но в этом нет необходимости. Достаточно, чтобы это условие сохранялось в течение промежутка времени большего, чем продолжительность времени наблюде-- ния т, но соизмеримого с последним, так чтобы можно было не учитывать переходные процессы. Вследствие этого рассматриваемые в наших приложениях случайные процессы всегда считаем стационарными без специального подчеркивания этого обстоятельства. В частности, пульсации скорости ветра и температуры, в атмосфере представляют собой стационарные случайные функции для интервалов времени в несколько минут.

На практике условия стационарности можно проверить непосредственно, вычислив среднее значение для разных моментов- времени, дисперсию и корреляционную функцию. Если первые две характеристики постоянны, а В = В (т), то процесс стационарен.

Стационарные случайные процессы обладают замечательной особенностью, получившей название эргодического свойства, которая заключается в том, что статистическая характеристика случайного процесса, полученная путем осреднения множества реализаций этого случайного процесса в данный момент времени, с вероятностью, произвольно близкой к единице, равна характеристике, полученной путем осреднения по достаточнодлительному интервалу времени одной единственной реализации. Это свойство объясняется тем, что различные реализации имеют одни и те же свойства или, другими словами, данная реализация с течением времени испытывает в среднем такие же изменения, какие испытывает произвольная другая реализация этой же совокупности. Характерно, что это указанное свойство* сохраняет силу при некоторых очень общих и на практике почти всегда выполняющихся условиях. Докажем соответствующую «эргодическую теорему》по отношению к средним значениям1 случайной функции.

Пусть задана стационарная случайная функция W(f). Обозначим

г

(4.7) О

При стационарном случайном процессе среднее во времени зна* чение 己丁 является случайной величиной (а не случайной функцией) ,зависящей от интервала осреднения Т, но не от t、Действительно, из предыдущего следует

^(/)-5(，) = Нт 3 fE(/ + t)dT — fE(，+ t)dt =

丁 f 8[бб_

Полное доказательство см. в [25].

T+f'

=lim jE(x)dx— J $ (x) dx =0.

Эргодическая теорема гласит, что если в интервале (0, оо) имеет место предел

lim J В (т) б/т = 0,(4.8)

Tf 8 о

то случайная величина 己丁 сходится по вероятности к Е=“，т. е.

lim Р(|百一〃| >е)=0,(4.9)

Tf 8'/

или еще более кратко 己牙弋".Для доказательства этой теоремы достаточно показать, что 己牙 сходится в среднем квадратическом к а, т. е. существует предел

lim(I% —а|)=0.(4ЛО)

У f 8

Составим разность

ЕT一 л= ; j [Е(幻一a] dt、,

которую возведем в квадрат и осредним:

修一of = f J] [Е(幻一a]代(切一a]dtxdt2 =о о

Г гТу

= ^^Bi\t2-tx\)dtxdt^^^B^d>zd^ (4.11) О оо о

где т=&— ^i и Ti=fe + G. Обозначим

/(q) = j5(p)dt(4.12)

О

и произведем оценку этого интеграла. Согласно (4.8), при произвольном б/2>0 существует такое То, что при h>To имеем I /(Ti) I 0~^~тз С другой стороны, так как R(t) 0 1, а 6(0) = =о{ то В (т) W °2 и, следовательно, | / (ti) | V a2ri при ti 0 То. Имея в виду эти неравенства, напишем

Jj8(T)d"q《『/(q)|dqV整外+ 扌(72一砲 <孑72

при Т>У2оТо/у6. Подставляя эти оценки в (4.11), окончательно получим

修—“ О при(4.13)

Поскольку 6——произвольная величина, то первое неравенство (4.13) равносильно (4.10), что и доказывает теорему.

Условие (4.8) выполняется, если В(т)->0 при т-> оо или, что все равно, если сходится интеграл

j 8 (t) Л.

О

Последнее условие на практике почти всегда выполняется.

Доказанная теорема служит обобщением закона больших чисел [7] и имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Согласно этой теореме, два способа осреднения ——по статистической совокупности и во времени по одной реализации —— эквивалентны. Следовательно, в рамках корреляционной теории достаточно исследовать только одну единственную реализацию и по ней вычислить интересующие нас характеристики процесса. В действительности на практике располагают именно одной реализацией, и только эргодическое свойство позволяет сравнить теоретические и опытные результаты, поскольку в теории используются статистические средние, а на практике определяют средние во времени.

Согласно эргодической теореме,

-丽=『"(/)= lim 3 f ⑻(/)d/,(4.14)

Tf ОО，g

8g)毋6(+)=lim产⑺约 a + Dd/. (4.15)

86

При конечном интервале осреднения, но все еще достаточно большом, из (4.11) следует формула

% = 4~ § R (т)dx = ^оГ ^ В ^ dx'(4」6)

Величина т0 называется «временным масштабом корреляции» и физический смысл ее состоит в том, что при т > то величины 乳£) и Е« + т) могут считаться независимыми. Как видно, т。 равно половине площади под кривой R(t).

В заключение выпишем формулу» имеющую важное значение для практических приложений,

U = ；=(4.17)

Об

§ 5. Основные свойства автокорреляционной и взаимно корреляционной функций при стационарных случайных процессах

В § 2 были рассмотрены некоторые элементарные свойства корреляционных функций, вытекающие непосредственно из их определения. Здесь мы продолжим изучение их свойств, но только для стационарных случайных процессов.

Как уже нам известно, характерным свойством корреляционной функции является ее зависимость только от разности т= =^2 — 6. Из условия стационарности следует также, что су2 (0 = ==о2 (0) и “(f) = a(。) при произвольном £ Условие симметрии (2.5) теперь приобретает вид

笈⑹=8(— т).(5.1)

Кроме того, еще можно записать

8(0) = о2>0 и В(8)=0・(5.2)

Корреляционная функция имеет максимум в точке т=0. Действительно, из того, что

]Е'« + т)±8«)]2 = д2 (£ + 爾 土 28 (Т) + 产 «)=

= 2[В(0)±В(т)]>0, следует

18(叫《8(0) = ~(5.3)

Типичная форма кривой 6 (т) при стационарном процессе представлена на рис. 12. Однако не всякая В (т) монотонно стремится к нулю при т-> оо. Например, корреляционная

5 Заказ № 854ГК

функция пульсаций ветра, вызывающих болтанку самолетов, приближенно представляется в виде [Ш, 178]

5(叫= 8(0)6 —В cos阮(5.4)

и, следовательно, монотонно к нулю не стремится.

Другое замечательное свойство корреляционной функции состоит в том, что она положительно определена, т. е. для произвольных п действительных чисел оч, аг» .…，ап и произвольных

Рис. 12. Корреляционная кривая Рис. 13. К геометрической интер-В (т) для стационарного случай-претаинн (5.11).кого процесса.Рис. 12. Корреляционная кривая Рис. 13. К геометрической интер-В (т) для стационарного случай-претаинн (5.11).кого процесса.

Рис. 12. Корреляционная кривая Рис. 13. К геометрической интер-

В (т) для стационарного случай-претаинн (5.11).

кого процесса.

Рис. 12. Корреляционная кривая Рис. 13. К геометрической интер-

В (т) для стационарного случай-претаинн (5.11).

кого процесса.

действительных ть т2, . .. , тп (могут быть целыми) справедливо неравенство

2 В(TZ — Tft) aflk > 0,(5.5)

k = 1

которое вытекает из следующего:

плV~n

? 8(U -。々)&@卜匚，与(R)Е (入)/以=，Е (%) 4j ^ S

fe = 1i, k~l_i — 1

Верно и обратное утверждение: всякая положительно определенная функция действительной переменной может быть корреляционной функцией какого-либо стационарного процесса.

Случайная функция 自(f) называется непрерывной в точке t, если при произвольном е > 0 существует такая величина б, что при т 之 6 имеет место неравенство

(H(+)T(W<o,(5.6)

или в обозначениях § 5 гл. I

LLm.E«+t)二Е()(3.7)

Справедлива следующая теорема: корреляционная функция непрерывной случайной функции ^(/) также непрерывна. Сохра- 66

няет силу и обратное утверждение: из непрерывности 5(т) следует непрерывность в статистическом смысле и 占(/). Первое утверждение очевидно; для доказательства второго исходим из равенства

(I —Р)Т (/)匣=2 [8(0) — 8(叫.(5.8)

По условию корреляционная функция 6(т) непрерывна при всяком т, для чего, как известно, необходимо, чтобы она была непрерывна и при т=0 [59]. Вследствие этого правая часть (5.8) может сделаться как угодно малой при достаточно малом т. Это доказывает непрерывность как отклонения Е'(£), так и самой случайной функции J(f).

Однако важно отметить, что это определение непрерывности в статистическом смысле некоторой случайной функции допускает возможность для отдельной реализации иметь разрывы в обычном смысле. Пусть, например,占(/)—такая случайная функция, которая в независимые один от другого случайные моменты времени скачкообразно принимает свои значения, а в промежутках между ними сохраняет постоянные значения, представляющие собой независимые случайные величины с нулевыми средними значениями и одинаковой дисперсией су2. Можно показать [35, 25], что корреляционная функция в данном примере имеет вид

fi(T)= fi(0)e^a|T|(5.9)

и, следовательно, она непрерывна, а процесс стационарен. Отсюда, согласно указанной теореме, вытекает, что случайная функция непрерывна в статистическом смысле, а временной график ее представляет собой ступенчатую кривую.

Рассмотрим теперь свойства временной корреляционной функции двумерного случайного процесса. Прежде всего для стационарности в широком смысле двумерного случайного процесса недостаточно, чтобы его составляющие Wi(f) и &(£) каждая в отдельности была стационарна в том же смысле, помимо этого, необходимо еще, чтобы они были стационарно с в я - 3 а н ы. Последнее означает, что не только автокорреляционные, но и взаимные корреляционные функции должны зависеть от 为 一 fi, т. е.

&2 (厶,£2)= &2 (/2 一 Л),(5.10)

Теперь условие (3.6) записывается в виде

512(т：)^в21(—т).(5.11)

Кривая B2i (т) представляет собой зеркальное отражение кри- в°и В12(т) (рис. 13).

5*

§ 6. Дифференцирование случайных функций

Нам уже неоднократно встречались знакомые понятия, которые в теории вероятностей и в теории случайных функций нуждаются в новых определениях. Так обстоит дело и с понятием производной от случайной функции. Определение производной, которое нам известно из теории неслучайных функций, в данном случае непригодно, как неприменимо и обычное понятие сходимости.

В теории случайных функций 己(方)называется производной функции ё(0 в точке г, если случайная величина—^ сходится в среднем квадратическом к 乳£) при Д/->0, т. е., если

坦 °(『("覺了 =о,(&])

или, что все равно,

ё(0 = % «) = l.i.m. "±驾—⑴.(6.2)

Поскольку производная в данном случае получается из линейной комбинации случайной величины и предельного перехода, то операции осреднения и дифференцирования можно поменять местами и записать

方 Е(/) = *Е(> или Е(/) = Е(/) =а«).(6.3)

Следовательно, среднее значение производной равно производной от среднего значения. При стационарном случайном про

цессе a=const и 乳f) =0.

Определим теперь корреляционную функцию производной g(0

"П咽1 (厶，‘2)= F (%)Bl (幻=& (Л) & (/2)*

Поменяв здесь местами операции осреднения п дифференцирования, получим

冬川(小幻=禹忘mm = 謐叮8佑，%)•(64)

При стационарном случайном процессе В (6,力)зависит только от разности x=h——G- В этом случае

矶认=—d\dx\ 蜀壮芍=+ d/dt(6.5)

и из (6.4) получаем

B^.w= -= - 8" ")•(6.6)

Итак, при стационарном случайном процессе корреляционная функция производной £(/) равна второй производной по т корреляционной функции 6(т), взятой с обратным знаком. Можно показать [35], что необходимым и достаточным условием существования производной W(f) является существование непрерывной второй производной от 6(z). Однако для непрерывности второй производной 5"(т) при всяком т достаточно, чтобы она была непрерывна при т=0. Отсюда вытекает, что для дифференцируемости стационарной случайной функции Е(£) при всяком t достаточно, чтобы она была дифференцируема в одной гочке.

Однако можно указать и более наглядные условия существования производной случайной функции. Так, например, для этого необходимо наличие статистической связи между случайными величинами 乳£十厶/) и 己(f) при достаточно малом At В противном случае (при отсутствии связи) можно утверждать, что с вероятностью, равной единице, случайная функция разрывна и, следовательно, не имеет производной.

Кроме того, для существования производной наличие только статистической связи недостаточно, необходимо еще, чтобы производная от В(т) была равна нулю в точке т=0

ВЛ (0) = 0.(6.7)

Для доказательства положим в (6.6) т=0 и получим

胃,=一8〃(0).(6.8)

Отсюда, поскольку о^ > 0, заключаем, что 5〃(0) <0. Последнее неравенство выполняется, еслн при т=0 функция 6(工)имеет максимум, т. е. если Bz (0) =0. Как видно из уравнения (5.3) и рис. 12, 5(т) имеет именно такой вид и, следовательно, в этом случае условие (6.8) выполняется и производная существует.

Теперь докажем обратное: если 乳/) существует, то Вг (0) =0. В самом деле, можно записать

* HWTO = Е«)『(/+р)二『《#(+) • Отсюда следует

8'(°)=；足用⑼2 = 4■雾=°・(6-9)

поскольку o2=：const На основании этого можем заключить: СЛи производная не существует, то условие (6.7) не выполняется,

69

и наоборот, если В'(0)关0, производной не существует. Стационарные случайные процессы с корреляционной функцией вида (5.9) не имеют производных, поскольку в этом случае ВЛ (0)=^0.

В статистической теории турбулентного движения и в некоторых других приложениях часто ради простоты аппроксимируют корреляционную функцию изучаемого процесса формулой вида (5.9), одновременно с этим требуя и существования производных до известного порядка. Доказанная теорема показывает, что эти два требования несовместимы. Если, например, изучаются турбулентные пульсации скорости ветра 〃 или температуры воздуха Т в данной точке атмосферы, которые вследствие трения и теплопроводности представляют собой сглаженные турбулентные неоднородности, то случайные функции 〃(£) и Т(£) будут непрерывными и дифференцируемыми. Отсюда вытекает, что корреляционные функции в этом случае не могут иметь вида (5.9). Но тем не менее формулу (5.9) можно использовать и в данном случае, если изменить ее таким образом, чтобы она отличалась только в малой окрестности точки т=0 и, кроме того, удовлетворяла условию (6.7). Например, [III, 169]

где константы а и b специально подобраны так, что 8’(0)=0.

Примером корреляционной функции дифференцируемого случайного процесса служит формула вида

3(»3(0)е(6.11)

которая часто используется в теории турбулентности. Иногда в теории применяется и формула

3(р) =3(р) =(6.12)(6.12)

3(р) =

3(р) =

(6.12)

(6.12)

где Кп (х) — функция Бесселя второго рода от чисто мнимого аргумента.

Рассуждая аналогично, можно отыскать условие существования второй производной

斗2 (%)=£") Н Т・ Д-

Нетрудно показать, что корреляционная функция n-й производной имеет вид

《) = (—1)"爲8(0(6」3)

Определим теперь взаимную корреляционную функцию случайной функции W) и ее производной 乳£). Имеем

及“«) = Е'(£)^(t^^ = Г (0条Е' (£ + т)=

=尹 0 Н+)= -£ F ⑺ У (+) = ® О (6-14) откуда следует, что временная корреляционная функция случайнОй функции g(Z) и ее производной ^(t) равна первой производной из В (т). Учитывая (6.7), можно записать (6.14) в виде

及胃(6= 0,(6.15)

т. е. случайная функция и ее производная в один и тот же момент не коррелированы между собой. Из этого обстоятельства вытекает, что совместная функция распределения ^(t) и 己(£) равна произведению одномерных функций.

Аналогично выводится взаимная корреляционная функция п-ного порядка

8=7 d) - Е' (О 券 Е' (£ + ；) = 8⑺(<).(6.16)

§ 7. Интегрирование случайных функций

Понятие интеграла в обыкновенном, римановом, смысле неприменимо к случайным функциям по тем же причинам, что и обычное понятие производной. Тем не менее аналогия в определении сохраняется.

Пусть случайная функция 貝£) и неслучайная функция s(f) определены в промежутке (а,匕)，который разделен на части a = foVGV . .. <tk=b. Говорим, что случайная функция Е«) интегрируема в промежутке (а, Ь) с весом s(f), если существует такая случайная величина п，что имеет место предел

-/；= l.i.m. ^«(^)Ц^)^.(7.1)

T，「na п называется интегралом случайной функции 己(£) с весом s(£) в промежутке (а, Ь) и обозначается

P = J s(Z)E(Z)〃(7.2)

Согласно данному определению, интеграл от случайной функции представляет собой предел в среднем квадратическом соответствующей суммы. Несобственный интеграл от 自(£) при а=——оо и Ь = оо определяется как предел (7.2). По аналогии вводится и понятие стохастического интеграла Стилтьеса

(7.3)(7.3)^ = \s(t)di(t).

(7.3)

(7.3)

а

Для приложений во второй части книги имеет значение интегральное преобразование случайной функции 自(£) следующего вида:

(7-4)

В отличие от предшествующего случая в результате такого преобразования получаем новую случайную функцию п (£), и наша основная задача состоит в том, чтобы определить статистические характеристики этой функции по известным характеристикам kf).

Если Е«)—стационарная функция, то r)(f) тоже стационарна. Действительно, вследствие линейности (7.1) имеем

(7-5)(7-5)

(7-5)

(7-5)

Вычитая (7.5) из (7.4), получаем

d «)=I s (q) e' & — %)仆

Перемножив последнее выражение почленно на

d (/ + О = J s (q) F (/ — 4 + p) d“，

находим после осреднения

3呐｛)=行(£)"'(£ + 叫=J ] «^^«(^^К — q + OdqdQ，(7.6)

откуда при т—0 получаем

a2a2N s (q) s (q) 5 (q — “)dq dq• a a

a2

a2

Формулы (7.5), (7.6) и (7.7) выражают собой закон, по которому определяются статистические характеристики, когда случайная функция 乳£) преобразуется по закону (7.4).

Из предыдущего видно, что из условия интегрируемости случайной функции 乳£) следует существование интегралов (7.5) и (7.6). Другими словами, существование последних есть необходимое условие интегрируемости ^(0- Однако этого условия и достаточно, так как из него вытекает и существование (7.4). Для доказательства (его мы здесь не приводим) используется вре~ менная корреляционная функция, которую легко получить, если умножить (7.4) на ^(f+т) и осреднить,

8j (т) = Е(/ + т) »!(/)= ) s(q)5(t + q)dq. (7.8)

Среди интегральных преобразований вида (7.4) особое место в приложениях занимает интеграл с пределами о=0 и Ь = оо

笃(/) = fs(QE(/ —q)dq,(7.9)

который известен как интеграл Дюамеля.^С этим интегралом мы еще встретимся при изучении инерции метеорологических приборов в турбулентной атмосфере и при движении тяжелых частиц в турбулентном потоке. Соответствующие выражения для статистических характеристик получаются из (7.5) — (7.7) при &=0 и Ь = оо.

До сих пор ничего не говорилось о виде весовой функции s(t). Очевидно, требования предъявляемые к ней, должны исходить из того, что соответствующие интегралы должны быть сходящимися. Рассмотрим несколько примеров, наиболее часто встречающихся в приложениях, для которых

]s(c)dc=l.(7«10)

о

Пример 1. Дана весовая функция

S (t) = ~(7.11)

Из (7.5) при а=0 in b— со н из (7.10) немедленно получаем

=(7.12)

Для корреляционног! функции!, согласно (7.6), находим выражение

8 8G 十 &

%可")=▲}]"t，' 3(q -& + T)"口 応2，

в котором можно выполнить одно интегрирование, если произвести замену переменных по формулам”

% + & = / % —电=с〃.% + & = / % —电=с〃.(7.13)(7.13)

% + & = / % —电=с〃.

% + & = / % —电=с〃.

(7.13)

(7.13)

Новая область интегрирования S заштрихована на рис. 14, а якобиан преобразования будет

@(口，咬)1 =丄

0(1,门 I 2 *

После интегрирования получаем

Рис. 14. Область интегрирования при преобразовании (7.13).Рис. 14. Область интегрирования при преобразовании (7.13).g6(T+T")犬.g6(T+T")犬.и т=0 находим дисперсиюи т=0 находим дисперсиюJr(+2 QJr(+2 Q4 = ^-]ва)е Т'Г，4.(7.14)4 = ^-]ва)е Т'Г，4.(7.14)Поскольку I В(т) I V 8(0), получаем следствиеПоскольку I В(т) I V 8(0), получаем следствиеСдц сху2У¥Сдц сху2У¥= a2_LL-^dx = a2.= a2_LL-^dx = a2.И вообще, если функция s⑴ удовлетворяет (7」0), то всегда имеем《＜曜 независимо от вида s(t).И вообще, если функция s⑴ удовлетворяет (7」0), то всегда имеем《＜曜 независимо от вида s(t).

Рис. 14. Область интегрирования при преобразовании (7.13).

Рис. 14. Область интегрирования при преобразовании (7.13).

g6(T+T")犬.

g6(T+T")犬.

и т=0 находим дисперсию

и т=0 находим дисперсию

Jr(+2 Q

Jr(+2 Q

4 = ^-]ва)е Т'Г，4.(7.14)

4 = ^-]ва)е Т'Г，4.(7.14)

Поскольку I В(т) I V 8(0), получаем следствие

Поскольку I В(т) I V 8(0), получаем следствие

Сдц сху2У¥

Сдц сху2У¥

= a2_LL-^dx = a2.

= a2_LL-^dx = a2.

И вообще, если функция s⑴ удовлетворяет (7」0), то всегда имеем《＜曜 независимо от вида s(t).

И вообще, если функция s⑴ удовлетворяет (7」0), то всегда имеем《＜曜 независимо от вида s(t).

Пример 2. ВесоваяПример 2. Весоваяфункция имеет видфункция имеет вид

Пример 2. Весовая

Пример 2. Весовая

функция имеет вид

функция имеет вид

s О =“•

Проведя преобразования, аналогичные первому примеру, получим:

%（吁 ±『（1 +君8 а Т。〃）修,%（吁 ±『（1 +君8 а Т。〃）修,

%（吁 ±『（1 +君8 а Т。〃）修,

%（吁 ±『（1 +君8 а Т。〃）修,

В заключение отметим, что в интегральных преобразованиях вида

可«) = J s(q)E(£ —q)厶 1

случайная функция т)(£) нестационарна, несмотря на то, что Е(£) стационарна. Действительно, проводя осреднение, получим

оо

т. е. среднее значение зависит от времени.

Подобные преобразования встречаются при изучении переходных процессов в линейных электрических и механических системах [15, 16] и др. Частным случаем приведенного выше преобразования служит неопределенный интеграл от случайной функции

4«) = ) E(p)dt.

До сих пор мы интересовались определением статистических характеристик интегральных преобразований случайных функций типа (7.2). Рассмотрим теперь вкратце задачу нахождения оптимальных формул численных квадратур таких функций. Без ограничения общности возьмем интеграл

(7.15)

О

Аппроксимируем этот интеграл линейной комбинацией значений функции в п точках интервала (0,1)

^=t"d)(7.16)

и потребуем, чтобы средний (в статистическом смысле) квадрат разности между точным значением п и вычисленной по (7.16) величиной п

£ = (" — ")2(7.17)

был минимальным. Подставляя предыдущие выражения для п и в (7.17), получим

л /(п I

т?夕必A(z —川)一2： а]>(И-Л|)^ +

1

+(7-18)

о о

「Не введены обозначения: е=£/В(0), R(i}~B(t)/B(0).

В такой постановке сформулированная задача представляет не только математический интерес, но имеет и большое значение для практики, например, метеорологии [105]. Как отмечается в [Ю5], возможны следующие три варианта задачи.

Схема равноотстоящих ординат, задаваемых, как и в известной формуле Ньютона——Котеса, формулой

g 仁； (/= 1Гп).(7.19)

Веса ра определяются минимизацией величины е (7.18).

Схема равных нормированных весов

r=；口，(7.20)

а абсциссы ta по-прежнему определяются минимизацией е (7.18).

Общая схема, когда задается только п, а ^а и р(х находятся путем минимизации величины е.

Рассмотрим здесь только первый вариант. Удобно при этом считать, что £о=О, a tn=l. Тогда (7.19) записывается в виде

力=2 (i=UT加.(7.19х)

Теперь вместо (7.18) будем иметь

R{\t — t\)dtdz.R{\t — t\)dtdz.)^ +)^ +(7.21)(7.21)

R{\t — t\)dtdz.

R{\t — t\)dtdz.

)^ +

)^ +

(7.21)

(7.21)

Из условия минимума дв/дрг=0 получаем 九+1 уравнений для определения pz

£ R円0=印)・(7.22)

Для того чтобы довести вычисления до конца, примем

К«) = е—Е,(7.23)

после чего система (7.22) принимает вид

—1п

二 PjqE + Pi+ Е= }(2 — д’一g"f) G =币)，

/ = оQ+l

(7.24)

где

g = e 方= "(；).(7：25)

Решение этой системы

Pi = PL 4_4h^ , 乩=方 :工：0 = 1，九一1), (7.26) или с учетом (7.25)

A)= % = }th~^-, p^—ih (2=1,%—1).(7.26‘)

Подставляя (7.26) и (7.19) в (7.16), получаем следующую формулу численного интегрирования стационарной случайной функции:

卜(£) ^th 負卜。)+ 2Е (；) + 2Е 後)+

+ …十2Е(^-) + Е ⑴].(7.27)

По своему виду (7.27) напоминает известную формулу трапеций. Подстановкой (7.26，) в (7.21) может быть найдена и среднеквадратическая ошибка аппрексимации.

§ 8. Случайный процесс при нормальном законе распределения

В приложениях важное место занимают случайные процессы с нормальным законом распределения. Случайный процесс Е(£) называется нормальным, или Гауссовым, если n-мерная плотность случайных величин 乳厶)，乳编，Е(%) выражается Функцией вида

九"1 ,厶；. . •；大门，北)—

= 资S^xp (一方 e什^个斗(8.1)

Где ак и и^ ——соответственно среднее значение и дисперсия случайных величин ^(^)(月=1,九)，D ——детерминант с элементами №k=B(3 九)/仿5七，a Q话一адъюнкта элемента 凡也.Если

77

нормальный случайный процесс и стационарен, то а^ = а и о^ = о и вместо (8.1) имеем

/п (*1，О' *2 '七1 ； • • • i ^п ' % —1) ~

二(*/ exp 一^^鼻几(七一а)(%-а) ， (8.2) где тЛ = I ^+1 —— 厶|, a Dik = Dik(^k)- Вследствие стационарности Rkk=Rkk(O) = L а остальные члены корреляционной матрицы симметричны относительно главной диагонали. Первые две функции распределения при а = 0, как это вытекает из (8.2), имеют вид:

九(л) = —exp (-犬侬2), (8.3)

一 . 、 [1一"2(⑴一1-2 「君+ 君一2/?e)占*2] 九(为，大2，叫 — ^^ exp 2g2 (1 — *2 (0) •(&4)

Формулы (8.1), (8.2) показывают, что нормальный случайный процесс полностью определен, т. е. n-мерная плотность распределения его известна, если известна его корреляционная функция. При этом если последняя зависит только от т=^2 ——fi, то 厶 зависит только от т. Таким образом, при нормальном случайном процессе понятия стационарности в строгом и широком смысле слова эквивалентны. Совпадают также понятия независимости и некоррелированности случайных функций. Если взаимная корреляционная функция двух нормальных случайных процессов равна нулю, то можно сделать заключение о независимости этих процессов, что в общем случае неверно. Как увидим далее, производная нормального случайного процесса также имеет нормальное распределение. Тогда, согласно (6.15) и предыдущему утверждению, нормальный случайный процесс 己(£) и производная g(f) в совпадающие моменты времени независимы.

Рассмотрим теперь, как преобразуется закон распределения нормального случайного процесса при дифференцировании и интегрировании. Вначале выясним связь между функциями распределения случайного процесса 己(£) и его производной g(Z). Для этого необходимо сперва найти функцию распределения разности Д^_g(^+x)——己(£), а затем отношения Д^/т при Tf 0. Согласно (I, 4.23), имеем

中备(у，■)= } /?(z； y + z，p)dz =

f8 炉+yZ

g 绮(1 G) f 与用/

Где R=R(t). Поскольку известен интеграл [36]

то после несложных преобразований находим

中(У，О =。2tlM~ eXf)[~ 4c2(； — /?)] •(8・5)

Отсюда следует, что разность А^ также нормально распределена и ее дисперсия будет о^ — 2о2(1——R). В этом случае предел

Л1 (0~^ (0 — l.i.m. Л^/т, если таковой существует, также имеет т = 0

нормальный закон распределения. Дисперсия производной определяется так:

.о 1 > о1.2з2 11 — (т) ]/о а*

名=hm 吟一 =lim 豆-丿-•(8.6)

Разлагая R(z) в ряд*

"(力=1 十m，(0)+等*(。)+ .…(8.6)

при условии R'(0) —0 из (8.6) получим о^ = — o2Rr,(0), что находится в согласии с общей формулой (6.8).

К выводу о том, что производная нормального случайного процесса также подчиняется нормальному закону, можно прийти и из более общих соображений. Как мы уже видели, образование производной сводится к составлению некоторой линейной комбинации случайных величин Е«+т) и 乳£) и последующему предельному переходу. Однако, согласно [7, 16, 25], произвольная линейная комбинация нормальных случайных величин также распределена нормально. Поскольку последнее свойство принадлежит только нормальному закону, сохранение закона распределения при дифференцировании имеет место только для нормальных случайных функций. Ввиду того, что 宫(£) и E(f) независимы (см. (6.15)), совместная плотность распределения их равна произведению одномерных плотностей и, следовательно, также нормальна. Подчиняется нормальному закону и такое совместное распределение 乳£),乳£),貝方+七)и ^(^+т) [24]. Таким образом, вплоть до момента четвертого порядка

&(G= Е (庚(/)Е (+)《(+) ® = 0)

применима формула (I, 7.25). Имея в виду (6.6), (6.14) и (6.15), легко получить

当(0=方飞)+ 3{)3"(。).当(0=方飞)+ 3{)3"(。).(8-7)79(8-7)79

当(0=方飞)+ 3{)3"(。).

当(0=方飞)+ 3{)3"(。).

(8-7)

79

(8-7)

79

Физическая природа многих изучаемых случайных процессов, протекающих в условиях независимого действия большого количества причин, позволяет рассматривать их как нормальные или квазинормальные. Так, например, с помощью центральной предельной теоремы можно показать, что флуктуационные шумы в электронных устройствах представляют собой нормальные случайные процессы [16]. Скорость жидкости в произвольной точке турбулентного потока ——результат действия большого количества случайных вихрей ——также нормальный процесс. Существуют методы непосредственного измерения плотности распределения скорости в данной точке потока [II, 1]. Резуль

х /— 2х /— 2Рис. 15. Плотность распределения вероятностей 〃卜/ — экспериментальные данные, 2 — нормальное распределение.Рис. 15. Плотность распределения вероятностей 〃卜/ — экспериментальные данные, 2 — нормальное распределение.таты измерений Таунсенда, представленные на рис. 15, подтверждают с большой точностью теоретический вывод о нормальном законе распределения скорости. Для коэффициента асимметрии он получил нулевое значение (с колебаниями в пределах ошибок измерений), а для эксцесса —0,1 4-0. Это один из первых экспериментальных результатов, характеризующих природу турбулентности.

х /— 2

х /— 2

Рис. 15. Плотность распределения вероятностей 〃卜

/ — экспериментальные данные, 2 — нормальное распределение.

Рис. 15. Плотность распределения вероятностей 〃卜

/ — экспериментальные данные, 2 — нормальное распределение.

Значение случайного процесса с нормальным законом распределения для теории и приложе-

ний увеличивается в силу справедливости следующей теоремы [22]: распределение вероятностей произвольного случайного процесса, имеющего среднее значение и корреляционную функцию, может аппроксимироваться нормальным законом с точностью до момента второго порядка.

§ 9. Гармонический анализ случайных процессов

Еще в начале данной главы упоминалось о том, что одним из способов задания случайной функции служит представление ее посредством тригонометрического полинома вида (1.1). Когда частота кратна некоторой основной частоте, можно написать ряд

Е (Q = ± 鷗 cos 版М + 加 sin k^t)^(9.1)

где 屍 и Па ——случайные величины, для которых предполагаются такие распределения, что с вероятностью, равной единице, ряд (9.1) сходится. Формулу (9.1) можно записать еще в таком виде:

Е(/)= S JCOS (阮М +(9.2)

Найдем условия, при которых случайная функция 己(Е), заданная (9.1) или (9.2), будет стационарной в широком смысле. Прежде всего для этого необходимо, чтобы 尿=刀在=0. Далее составим произведение

Е (乙)Е ⑷=n © cos 々叫 + % sin 々叫)丫 & cos mo% +к〃

+ 加 Sin 研/) = i (E总 CoS 炫应 1 COS 〃。比2 +ft, w

十 E^% cos k^tx sin /UM? + %£? sin A)Acos『加見？ +*

+ G% sin力3匕sin以卄2)，(9.3)

Отсюда видно, что для зависимости корреляционной функции только от разности 勿一厶 необходимо выполнение условий:

^л^n = %% = °； %Е力=。(々力九)，

场=嗝=^.(9.4)

Итак, для стационарности функции g(/) вида (9.1) нужно, чтобы случайные величины ^ и 刀在 обладали нулевым средним значением, одинаковой дисперсией и были взаимно некоррели- рованы. Последнее условие выполняется, если эти величины независимы. При указанных условиях можно выписать корреляционную функцию В(/ь /г) в виде

5 (А，＜2)= Щ ^(cos/им】 cos 次必 + sin зП] sin 次比2)=со'

=f cos /го (/2 — A).(9.5)

Следовательно, корреляционная функция 4(匕——6) =В(т)— Функция периодическая с той же частотой з, но она не зависит От фазы(рп в (9.2). При т=0 получаем выражение для дисперсии

胃=S е(9.6)

Естественно поставить вопрос, достаточно ли выполнения условий (9.4), чтобы случайная величина (9.1) была стационарна и в строгом смысле. Ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Можно показать [25], что помимо выполнения указанных условий для стационарности в строгом смысле необходимо, чтобы случайные величины 三也 и q女 имели нормальное распределение.

В теоретических исследованиях даже в тех случаях, когда изучаются реальные случайные процессы, приведенные выше формулы удобно записывать в комплексной форме. Так, например, при условии, что С在——некоррелированные (£在£：=0) комплексные случайные величины с нулевым средним значением, можно написать в комплексном виде

E(/)W"。(9-7)

Для корреляционной функции получаем

3(0 = *W，(9.8)

что при т = 0 дает

4(。) = ?宕 < 8 •(9.9)

§ 10. Обобщенный гармонический анализ.

Спектральные разложения

Случайные процессы с дискретным спектром, которые мы рассматривали в предыдущем параграфе, хотя и составляют важный класс случайных процессов, все же не исчерпывают их многообразия. Однако значение этого класса процессов увеличивается вследствие того, что любой случайный процесс с непрерывным спектром в интервале (0, Т )может быть аппроксимирован приближенно формулой вида (9.1). Более того, оказалось что произвольный стационарный случайный процесс можно рассматривать как предел ряда случайных процессов вида (9.1) или (9.7). Точнее, можно доказать, что в интервале ——Т W t & Т для стационарного случайного процесса Е(Е) справедливо разложение

Е(/)= l.i.m. £(10.1)

" f 8 左二]

Эта формула показывает, что для увеличения точности аппроксимации Е(Е) линейной комбинацией гармонических колебаний необходимо увеличить число и гармоник и уменьшить разность 3ft — з在一i между соседними частотами спектра. Оказалось также [38], что при таком предельном переходе Е«) можно представить в виде стохастического интеграла Фурье—Стилтьеса

乳/)= j e^dZ^,(10.2)

где Z ((о)——случайная функция со следующими свойствами [38]:

Z((o)=0 при любом значении з;

[Z(叫 + Аз) — Z (wj)] [Z(吗 + 厶吗)一Z(oj2)] =0 , т. e. функция Z ((o) имеет некоррелированные приращения на неперекрывающих друг друга интервалах.

Если Е«) —вещественный процесс, то вместо (10.2) имеем

Е(£)= [ cos ^tdZx (ю) -|- j sin wMZ2 (оз),(10.3)

бо

где Zi((o) и 工2(3)—действительные случайные функции с перечисленными выше свойствами и, кроме того,

[a4(7)p=T^W・(Ю-4)

Здесь AZ((o) обозначает приращение Z((o).

Представление функции 乳Е) в виде (10.2), (10.3) с указанными свойствами функции Z((o) носит название спектрального разложения. На доказательстве возможности такого разложения, которое содержится, например, в [38], мы здесь не останавливаемся. Отметим только, что в практически интересных случаях функция Z((o) недифференцируема, так что без использования интеграла Фурье——Стилтьеса обойтись нельзя. Это обстоятельство будет разъяснено ниже.

Если спектр случайного процесса Е(Е) сосредоточен в дискретном множестве точек o)i,(02, . . . , то на основании свойства интеграла Стилтьеса [27] находим, что спектральное разложе- нне (10.2) сводится к суперпозиции гармонических колебаний, г е. к (9.7). В общем случае разложение (10.2) может содер- *ать как периодические колебания, так и вторую часть, обеспечивающую существование «непрерывного спектра»,

К/) = ；%е“" + f elntdZ^).(10.5)

83836岑

83

83

Дифференцируя формально (10.2), получаем

寅/)二 j i^atdZ^)寅/)二 j i^atdZ^)(10.6)(10.6)

寅/)二 j i^atdZ^)

寅/)二 j i^atdZ^)

(10.6)

(10.6)

и по аналогии записываеми по аналогии записываем

и по аналогии записываем

и по аналогии записываем

[i^e^dZ 侬).[i^e^dZ 侬).(W.7)(W.7)

[i^e^dZ 侬).

[i^e^dZ 侬).

(W.7)

(W.7)

Впрочем, (10.6) легко доказывается, если с помощью (10.2)Впрочем, (10.6) легко доказывается, если с помощью (10.2)составить отношение переход при А2—>0.составить отношение переход при А2—>0.Е«+АЕ)-М)Е«+АЕ)-М)Д/Д/и осуществить предельныйи осуществить предельныйНайдем теперь корреляционную цесса, представленного (10.2).Найдем теперь корреляционную цесса, представленного (10.2).функцию случайного про-функцию случайного про-СоставивСоставивЕ(Е)Е*(£+т), получим после его осредненияЕ(Е)Е*(£+т), получим после его осредненияпроизведениепроизведение

Впрочем, (10.6) легко доказывается, если с помощью (10.2)

Впрочем, (10.6) легко доказывается, если с помощью (10.2)

составить отношение переход при А2—>0.

составить отношение переход при А2—>0.

Е«+АЕ)-М)

Е«+АЕ)-М)

Д/

Д/

и осуществить предельный

и осуществить предельный

Найдем теперь корреляционную цесса, представленного (10.2).

Найдем теперь корреляционную цесса, представленного (10.2).

функцию случайного про-

функцию случайного про-

Составив

Составив

Е(Е)Е*(£+т), получим после его осреднения

Е(Е)Е*(£+т), получим после его осреднения

произведение

произведение

Выражение (10.8)—одна из фундаментальных формул спектральной теории случайных процессов. Функция 尸((0) называется спектральной фу н кцией стационарного случайного процесса g(Z). Ее приращение AF связано с приращением AZ функции Z(s) так:

^F = \KZ^.(10.9)

Полагая в (10.8) т=0, получим

5(0) =5(0) =dF (co)=尸(00)—尸(—8)V 8,(10.10)

5(0) =

5(0) =

т. е. спектральная функция 尸(со) ограничена.

Если В (т) достаточно быстро стремится к нулю при т—> ± оо, так что имеет место неравенство

f 15(明洪<8,(10.11)

то ее можно представить в виде интеграла Фурье

3«)= J ^f(^d^.(10.12)

Сравнивая последнюю формулу с (10.8), находим

尸 3)= < /(3)d&)н』н /3)=尸3).(10.13)

Функция，(з) в (10.13) носит название спектральной плотности случайного процесса §(/). Согласно (10.10), эта функция неотрицательна

/(<о)>О.(10.14)

Функции F((o) и f (оз) по своим свойствам полностью соответствуют интегральной и дифференциальной функциям распределения вероятностей 尸(犬)и f(x). И здесь применение f ((о) позволит избежать использования интеграла Стилтьеса. В практически интересных случаях последнее всегда возможно, так как (10.11) выполняется, а функция ,(з) существует и непрерывна. Тогда при малом Д(о, согласно (10.9), |AZ|2〜Аз, а само приращение \Z имеет порядок У Аз. Это показывает, что функция Z((o) недифференцируема и, следовательно, не может быть представлена в виде (10.13).

С помощью обратного преобразования Фурье из (10.12) получаем

/®)=受 j е iwxB^dt. (Го.15>

Поскольку для вещественных случайных процессов В(т) = =В(—т), то и f((o)=f(—з). Вследствие этого (10.12) можно записать в виде

в^в^т dmт dm% наоборот.% наоборот./ (Iо) cos(咻成)/ (Iо) cos(咻成)гдегдеdF. 12/ (w) при ⑴》0./13) — ds — I 0 при со < 0.dF. 12/ (w) при ⑴》0./13) — ds — I 0 при со < 0.(10.16}(10.17>(10.18)(10.16}(10.17>(10.18)

в^

в^

т dm

т dm

% наоборот.

% наоборот.

/ (Iо) cos(咻成)

/ (Iо) cos(咻成)

где

где

dF. 12/ (w) при ⑴》0.

/13) — ds — I 0 при со < 0.

dF. 12/ (w) при ⑴》0.

/13) — ds — I 0 при со < 0.

(10.16}

(10.17>

(10.18)

(10.16}

(10.17>

(10.18)

Формула (10.16) впервые была получена А. Я. Хинчиным [31]. Вывод соотношений (10.8) и (10.16), который приведен выше, нельзя считать их доказательством, так как при этом мы исходили из разложения (10.2), для доказательства которого было использовано соотношение (10.8). Последнее соотношение следует из того, что корреляционная функция В (т) положительно определена и как таковая может быть представлена в виде (10.8). Это доказывается в известной теореме Бохнера—— Хинчина \ причем исторически первоначально была доказана формула (10.8), а затем выведено разложение (10.2).

Выше уже упоминалось о том, что во многих приложениях величина ^(t) служит мерой энергии процесса. Однако

3(о)=恥=f dFx (со),(10.19)

б

откуда следует, что 6(з) определяет распределение энергии процесса в частотном спектре. Используя условие (10.11), можем написать соотношение

в (0) = {/] (з) ds,(10.20)

из-за которого "(со) называется еще спектральной плотностью энергии, или просто плотностью энергии. Наоборот, спектральная плотность в точке(о=0 будет

九(0) = 3『3("厶(10.21)

б

и тогда, согласно (10.11), ft (0) < оо.

Используя (10.6), находим, что корреляционную функцию производной 1(E) =§(/) можно представить в виде

纥巾 «)=弘/)门/ + 0= J ^^mdF^.(10.22)

Однако эта формула получается и непосредственно из (10.8) после двухкратного дифференцирования по т, согласно (6.6). Вводя спектральную функцию 尸刀((о) по формуле

4т©=[м%(з),(10.23)

после приравнивания (10.23) и (10.22) находим

尸“(з)= J 32 d尸(з)(10.24)

Если f(3)=F，(3) существует, то существует и f刀(з), которая при этом равна

Д (Ш) = «у (о).(10.25)

Последние две формулы, очевидно, имеют смысл при условии

(<^dF (ю) < оо,

которое вытекает из необходимости для спектральной функции 尸(з) быть ограниченной (10.10). Это условие, согласно (10.8), равносильно существованию В"(0), а в случае выполнения последнего——существованию и производной Е(£). Аналогичное условие существования n-ой производной Пп(Е) =4九)«) выражается так:

< з'2" d尸(со) < оо ,

а корреляционная функция представляется в виде

Bq 汽(с) = J w2nehuT dF (w).

Найдем теперь спектральное разложение случайной функции

“(/)=卜《)&(/ —т)厶.(10.27)

Формально это разложение можно получить, если заменить здесь 乳Е — т) по формуле (10.2),

“(/)= f 尸 g(3)dZ(3),(Ю.28>

где

g(w) = J 3(x)e^l^dxa

при условии1

J |g(3)|2"(s)< 8.

Последнее условие равносильно существованию интеграла (7.7).

Если в (10.27) а=0,匕=8 и s(t) задано выражением (7.11), то

(1029)

а

8СО

"(/)=尢〕—少以=J -~^^dZ (co). (10.30>

” [ако" же результат получим, если будем исходить [38] из соответст- >ющ曲 суммы, пределом которой служит интеграл (10.27).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Дано В(т) —В(0)е-а 'Х1 . Согласно (10.15), находим

p d二十p d二十… В(。)f…+ j e-^+^ о… В(。)f…+ j e-^+^ о(10.31)(10.31)

p d二十

p d二十

… В(。)f…

+ j e-^+^ о

… В(。)f…

+ j e-^+^ о

(10.31)

(10.31)

При ct〉3. т. е.» когда корреляция между g(£) и ±〃十工)очень быстро зату-При ct〉3. т. е.» когда корреляция между g(£) и ±〃十工)очень быстро зату-8(°)хает, f(o))~f (О)^^т-, т.8(°)хает, f(o))~f (О)^^т-, т.е. в широком ингервале вблизи начала коорди-е. в широком ингервале вблизи начала коорди-Рис. 16. Спектральная плотность (10.31).Рис. 16. Спектральная плотность (10.31).и ат спектральная плотность почти постоянна и равна f (0). Оказывается, Что в этом случае стационарный случайный процесс §(/) имеет «белый спектр» (по аналогии со спектром белого света в оптике). Конечно, процесс, при котором f(со) =/о для всех частот со, не может существовать, так как в противном случае его полная энергия (10.19) была бы бесконечно велика.и ат спектральная плотность почти постоянна и равна f (0). Оказывается, Что в этом случае стационарный случайный процесс §(/) имеет «белый спектр» (по аналогии со спектром белого света в оптике). Конечно, процесс, при котором f(со) =/о для всех частот со, не может существовать, так как в противном случае его полная энергия (10.19) была бы бесконечно велика.Пример 2. Пусть Е (т) задано(5.4). ТогдаПример 2. Пусть Е (т) задано(5.4). Тогдас ,、 В (0) С л —а I т I —/(ОТ с ,/(3)=―四一J eCOS ^ dxс ,、 В (0) С л —а I т I —/(ОТ с ,/(3)=―四一J eCOS ^ dxaB (0)32 + 桃aB (0)32 + 桃

При ct〉3. т. е.» когда корреляция между g(£) и ±〃十工)очень быстро зату-

При ct〉3. т. е.» когда корреляция между g(£) и ±〃十工)очень быстро зату-

8(°)

хает, f(o))~f (О)^^т-, т.

8(°)

хает, f(o))~f (О)^^т-, т.

е. в широком ингервале вблизи начала коорди-

е. в широком ингервале вблизи начала коорди-

Рис. 16. Спектральная плотность (10.31).

Рис. 16. Спектральная плотность (10.31).

и ат спектральная плотность почти постоянна и равна f (0). Оказывается, Что в этом случае стационарный случайный процесс §(/) имеет «белый спектр» (по аналогии со спектром белого света в оптике). Конечно, процесс, при котором f(со) =/о для всех частот со, не может существовать, так как в противном случае его полная энергия (10.19) была бы бесконечно велика.

и ат спектральная плотность почти постоянна и равна f (0). Оказывается, Что в этом случае стационарный случайный процесс §(/) имеет «белый спектр» (по аналогии со спектром белого света в оптике). Конечно, процесс, при котором f(со) =/о для всех частот со, не может существовать, так как в противном случае его полная энергия (10.19) была бы бесконечно велика.

Пример 2. Пусть Е (т) задано

(5.4). Тогда

Пример 2. Пусть Е (т) задано

(5.4). Тогда

с ,、 В (0) С л —а I т I —/(ОТ с ,/(3)=―四一J eCOS ^ dx

с ,、 В (0) С л —а I т I —/(ОТ с ,/(3)=―四一J eCOS ^ dx

aB (0)32 + 桃

aB (0)32 + 桃

"=或 + 32； a =n2一 32."=或 + 32； a =n2一 32.(10.32)(10.32)

"=或 + 32； a =n2一 32.

"=或 + 32； a =n2一 32.

(10.32)

(10.32)

Пример 3. Для корреляционной функции гауссова типа (6.11) имеем

У(ы)^4^- f ^а^-1^ dx =-^а•(10.33)

",2

Пример 4. Для корреляционной функции вида (6.12) получим [II, 159] /("X^'^^^-Mi + E 旷(10.34)

Пример 5. Пусть В(т) =о2 cos со«т. Очевидно, эта функция не удовлетворяет условию (10.11) абсолютной интегрируемости, однако понятие спектральной плотности можно распространить и на этот случай, если использовать б-функцию.

Применяя известную формулу

cos tx 成,cos tx 成,

cos tx 成,

cos tx 成,

получаем

力（з）

2产 7, G2

—I cos 3u cos co产 du = ""

В(3 + 3]) + 6(S — 3])].

(10.35)

В этом случае спектр состоит из двух дискретных линий с бесконечной интенсивностью при частоте 土®. Если корреляционная функция имеет вид (9.5), то легко получить

« q2

(10.36)(10.36)/1 (со) = : ^^ [6 (3 + 3А)+ 方(3 - 3々)].

(10.36)

(10.36)

В случае двух стационарно связанных случайных процессов 蚤(Е) и &2(Е) с корреляционной функцией В12(т) по аналогии с (10.12) и (10.15) можно записать

&2«)= J el"zf^)d^ и /12 3)=Е j ^1^ B^[x)d^

—8—8(10.37)

Однако, в силу свойства (5.11), взаимная спектральная плотность &2(з) в общем случае является комплексной функцией. Действительно,

/12(0)) =^/12(0)) =^J ^12 (*t) cos сот dxJ ^12 (*t) cos сот dx2匸2匸J B12 (*t) sin wt Jt,J B12 (*t) sin wt Jt,

/12(0)) =^

/12(0)) =^

J ^12 (*t) cos сот dx

J ^12 (*t) cos сот dx

2匸

2匸

J B12 (*t) sin wt Jt,

J B12 (*t) sin wt Jt,

илигдеилигде

или

где

или

где

/12 (°0 =夕 12 (t0) + 2Q12 (叫(10.38)

p12 (co) = Re [/12 (o))] = ~ J 512(G)COS orc d*C,

8・

Qi2(3)= Im[/i2(3)] = — ■^7 J 812(c) sin oxdt (10.39)

соответственно четная и нечетная действительные функции. Тогда, согласно (10.37) и (10.38),

^12(Т)= J [夕]2 (со) COS ЮТ — Q]2 3)Sin ок] d® =

=2 J [R2 (①)cos ©с — Q12 3) sE wt] d^.(10.40)

0

При т=0 получаем взаимную дисперсию

^12 (0) = J /12侬)或)=J P12 (to)rftD = J Re[/i2 3)]ds・ —co--co- co

(10.41)

Например, если 邑=足"(/), а Ви (т) = 5П (0) еНапример, если 邑=足"(/), а Ви (т) = 5П (0) еат2ат2,ТО,ТО

Например, если 邑=足"(/), а Ви (т) = 5П (0) е

Например, если 邑=足"(/), а Ви (т) = 5П (0) е

ат2

ат2

,ТО

,ТО

吕2 к) = £ 吕 1 к) = — 2а Вц (0) те - G ,

/12 (з)=沁九 к〉) = 4^ 询)е 一 亚

^i2 (0)-0.

Отметим, что формулу (10.38) можно представить также в виде

/12('4) = IJ[/12('4) = IJ[оо&2 (G + &1 (七)2&2 (G + &1 (七)2cos 叭 + i %g ygcos 叭 + i %g ygsin вс dx.sin вс dx.

/12('4) = IJ[

/12('4) = IJ[

о

о

&2 (G + &1 (七)

2

&2 (G + &1 (七)

2

cos 叭 + i %g yg

cos 叭 + i %g yg

sin вс dx.

sin вс dx.

(10.42)

Случайные процессы co стационарным приращением. Структурные функции

Большинство случайных процессов, встречающихся на практике, относится к стационарным процессам в определенном ранее смысле. Некоторая часть случайных процессов приближенно может считаться стационарной для малых интервалов времени т=/2—fi (так называемые квазистационарные процессы). Так, например, скорость ветра в данной точке турбулентной атмосферы для малых промежутков времени, в течение которых средняя скорость остается почти постоянной, представляет собой приближенно стационарную функцию времени. Это справедливо и для других метеорологических элементов. Однако, если рассматриваемые промежутки времени велики, средние величины претерпевают значительные изменения, и условия стационарности нарушаются.

Существуют случайные процессы, которые стационарны не в обычном, а в другом, широком смысле. Из этих процессов наиболее важны процессы со стационарными приращениями, т. е. случайные процессы Е(£), для которых стационарны в обычном смысле их приращения

(И-1)(И-1)工乳/)=к+)т«),

(И-1)

(И-1)

а не сами процессы Е«). 90

Найдем корреляционную функцию Вд для приращения Дт^ (/). По определению

EG 芍)侑).(H.2)

С помощью тождества

2(a-b) (c~-d) = (a~d^ + (b-c^-(a~c^-(b-df(11.3)

преобразуем (11.2), предварительно подставив в него (11.1), к виду

(Л，切=W { [Е(/| + 0 — Е(/2)|2 + ING — Е (为+ 叫2 -

-|E(/|+0 — E(/2+ 喇2 -代(幻 T 西F I-(11.4)

Для того чтобы Вд(/1, ^)* зависела только от разности 友一九， как это требует условие стационарности, необходимо, чтобы так называемые структурные функции

04，勿"代闯7(/川2， (11.5)

фигурирующие в (11.4), тоже зависели только от ——/. Согласно второму условию стационарности приращения, а именно △/(£) =ccnst, необходимо, чтобы среднее значение случайной функции Е(£) линейно зависело от времени. Последнее условие значительно расширяет класс реальных процессов, входящих в рамки изложенной теории. Так, например, с существенно лучшим приближением средняя скорость ветра и средняя температура воздуха для значительно более широких промежутков времени могут рассматриваться как линейно изменяющиеся во времени функции, и следовательно, эти метеорологические элементы можно отнести к классу случайных функций со стационарными приращениями в данных интервалах времени.

Если предположение о стационарности приращения первого порядка не соответствует действительности, то допускают, что оно выполняется для приращений белее высокого порядка

Структурная функция

〃(；)= |Ц/ + т)-Ц/)]2〃(；)= |Ц/ + т)-Ц/)]2(И-6)91(И-6)91

〃(；)= |Ц/ + т)-Ц/)]2

〃(；)= |Ц/ + т)-Ц/)]2

(И-6)

91

(И-6)

91

впервые введена для случайных полей в работах Колмогорова по статистической теории турбулентного движения [II, 13; II, 14]. Эта функция служит основной характеристикой случайных процессов со стационарными приращениями. Очевидно, всякий стационарный процесс в то же время является и процессом со стационарными приращениями, так что наряду с корреляционной функцией 3(т) его можно характеризовать и структурной функцией 。⑴.При этом

£){) = /(+)-2M(c) + W) = 2 [8(0) — 1s⑼，(11.7)

так как вследствие стационарности о2(^+т) =^2(/) =В(0). Поскольку в(т)->0 при Tf 8, то

О(8 厂 23(0) = 2А(11.8)

Кроме того, £)(0) =0, а также £)(т) =D(——т). Если структурная функция известна при всех значениях т, то корреляционная функция связана с ней следующим образом:

B(0i(0) — }£)(<)=；[D(8)—。⑼.(11.9)

8(0 + 30(0=3(0).8(0 + 30(0=3(0).Однако, если вид формулы Q(t) известен только для ограниченного интервала значений т, то однозначное определение В (т) невозможно. Из (11.7) также следует

8(0 + 30(0=3(0).

8(0 + 30(0=3(0).

Рис. 17. Связь между структурной и корреляционной функциями.Геометрически эта связь между

функциями представлена на рис. 17.

Использование структурной функции О(т), вместо корреляционной, при стационарных случайных процессах во многих случаях оказывается более удобным ——например, в тех случаях, когда нас интересуют не абсолютные значения величин изучаемого случайного процесса, а только разности их в различные моменты времени. С другой стороны, определение структурной функции О(т) по эмпирическим данным связано с меньшими ошибками, поскольку случайные большие отклонения оказывают большее влияние при вычислении корреляционной функции 3(т).

Как было сказано выше, всякий стационарный процесс в то

же время является процессом и со стационарными приращениями. Однако обратное утверждение неверно. Существуют слу-

чайные процессы со стационарными приращениями, причем сами процессы не стационарны. Примером последних служит координата Е(£) одной броуновой частицы при одномерном движении.

Пусть в момент /=0 частица находится в начале прямой, по которой она движется. Совершенно ясно, что дисперсия 仔«) со временем неограниченно увеличивается, и данный процесс Е(£) вследствие этого не может быть стационарным. Однако совокупность отдельных отрезков прямой, проходимых частицей за равные интервалы времени (путь частицы), т. е. совокупность приращений Е(£), представляет собой ряд стационарных случайных величин. Одновременно скорость этой частицы представляет собой стационарный случайный процесс. Последнее обстоятельство навчдит на мысль (и нетрудно убедиться в ее справедливости), что производная Е(£) данного случайного процесса со стационарными приращениями, если она существует, со своей стороны представляет собой стационарный процесс. Наоборот, неопределенный интеграл от стационарного случайного процесса всегда будет процессом со стационарными приращениями.

В заключение параграфа приведем пример. Поскольку корреляционную функцию В (т) можно записать в виде (10.16)

В (т) = j / (<»)) COS WT 或)，

с помощью (11.7) получаем

Л) {) = 2 j (1 — cos ют) / (W)4/lO.(11.10)

Если теперь положить для примера

。⑺二炉俨 (o<w<2),(11.11)

то

/3)=А|з「тт, 4 =-弓"^十】)sin^. (11.12) Д〃я самого стационарного процесса со случайными приращениями имеем

Е (/) = А (0) + J (1 一 续吟 dZ (叫，

где 占(0) —случайная величина.

§ 12. Определение корреляционной функции по опытным данным Только в небольшой части случайных процессов, встречающихся в практической деятельности, корреляционная функция н тем самым спектральная плотность могут быть определены из чисто теоретических соображений. Наиболее часто эти характеристики приходится определять по экспериментальным данным, представляющим собой отдельные отсчеты или непрерывную запись величин изучаемого случайного процесса в течение определенного промежутка времени. Для произвольных случайных процессов эта работа трудная и не совсем надежная. Однако, как мы видели выше, наиболее часто встречающиеся на практике

Рис. 18. К преобразованию интегралов (12.1) и (12.2).Рис. 18. К преобразованию интегралов (12.1) и (12.2).случайные процессы обладают свойствами стационарности и эргодичности. Последнее свойство дает возможность (см. формулы (4.14) и (4.15)) определить среднее значение и корреляционную функцию процесса только по одной реализации (записи) вместо использования целой совокупности реализаций. Указанные формулы будут исходными в данном параграфе.

Рис. 18. К преобразованию интегралов (12.1) и (12.2).

Рис. 18. К преобразованию интегралов (12.1) и (12.2).

Пусть промежуток времени наблюдения Т достаточно велик, так что можно приближенно записать:

(12.1)(12.1)(12.2)(12.2)aТ M E ⑺； j ^(1)(/) dt.

(12.1)

(12.1)

(12.2)

(12.2)

о

豆t⑴⑴£⑴《 + с)〃

При вычислении этих интегралов заменим их конечными суммами, для чего разделим интервал Т (рис. 18) на N достаточно малых подынтервалов 八丁=77户 таким образом, чтобы в каждом из них функция Е(')(£) могла считаться приблизительно постоянной. Тогда записанные выше интегралы представляются в виде

I纤(々А) 1I纤(々А) 1оа дляоа для(/ + c)df = limN f 8(/ + c)df = limN f 8Т "Т "「⑴仅a?"'⑴伊А?+ 0,「⑴仅a?"'⑴伊А?+ 0,самого среднего значениясамого среднего значенияи корреляционной функциии корреляционной функцииВт (т) получаются выражения:Вт (т) получаются выражения:/V-1 v/V-1 vЕ⑴3jЕ⑴3j(12.3)(12.3)

I纤(々А) 1

I纤(々А) 1

о

а для

о

а для

(/ + c)df = lim

N f 8

(/ + c)df = lim

N f 8

Т "

Т "

「⑴仅a?"'⑴伊А?+ 0,

「⑴仅a?"'⑴伊А?+ 0,

самого среднего значения

самого среднего значения

и корреляционной функции

и корреляционной функции

Вт (т) получаются выражения:

Вт (т) получаются выражения:

/V

-1 v

/V

-1 v

Е⑴3j

Е⑴3j

(12.3)

(12.3)

л

BA^-i^ Е'⑴(公雜'⑴(々＞ + 6(12.4)

При целочисленных значениях аргумента /, т. е. если 乳£) случайная последовательность, расчетные формулы принимают более простой вид:

e}(t),(12.5)

豆Г © ~ ^рт Z &'⑴(/"""(/ + «)•(12.6)

Определение средних значений и корреляционных функций по указанным формулам связано с большой вычислительной работой из-за многократного выполнения операций умножения и сложения. Это недостаток данного метода. Для ускорения вычислительного процесса разработаны специальные устройства, подробно описанные в [39].

Свойство стационарных случайных процессов быть одновременно и процессами со стационарными приращениями, как уже неоднократно упоминалось выше, позволяет там, где это удобно, использовать структурную функцию вместо корреляционной, так как переход осуществляется по формулам (11.7) или (11.8). Определение же структурной функции 力(т) по опытным данным производится быстрее и с меньшими ошибками следующим образом.

По результатам наблюдений составляют разности '工自= =Е(£+т) — Е(£) для различных интервалов т. Затем строят кривые частоты этих разностей (на оси абсцисс графика наносят изменения 八工自 за время т, а на оси ординат ——число случаев Иг, в которых наблюдались изменения 八工自 в соответствующих пределах). По этим кривым находят структурную функцию

£)(0= О5、心々(3)2，(12.7)

где %=£九3 После определения величины D (т) для нескольких значений т ее аппроксимируют линейной, степенной или какой- 刀ибо Другой функцией. На практике удобнее вместо среднего из квадратов приращений А^Е находить среднюю абсолютную велиЧИнУ 丨厶七丨，которая более устойчива, чем (八否产 Две последние величины пропорциональны одна другой:

。(弋)=O^ = H|3Jf)2,(12.8)

причем коэффициент пропорциональности 左 имеет порядок единицы и зависит от закона распределения вероятностей

95

приращения А£ При нормальном распределении k = —==г 1,57. Для распределений, отличающихся от нормального, k можно определить приближенно посредством анализа опытных кривых

распределения. .

Существует и второй, косвенный метод определения корреляционной функции, опирающийся на спектральное разложение (10.2) случайного процесса Е(£). В этом методе используют так называемые фильтры, с помощью которых выделяют спектральные составляющие в (10.2), соответствующие различным

частотам спектра.

рые при подаче на их вход гармоничерые при подаче на их вход гармоничеОсобенно большое распространение имеют электрические фильтры, представляющие собой специальные устройства, кото

рые при подаче на их вход гармониче

рые при подаче на их вход гармониче

Рис. 19. Экспериментальная проверка (10.16) по данным Тейлора./ — данные наблюдений, 2 — вычисленные по (10.16).Рис. 19. Экспериментальная проверка (10.16) по данным Тейлора./ — данные наблюдений, 2 — вычисленные по (10.16).ских колебаний в виде пульсирующего тока и напряжения пропускают колебания только с частотой w<w0, w>^0 или Wi<w<u；2 и задерживают все остальные колебания. Эти фильтры получили название соответственно низкочастотных, высокочастотных или полосовых.

Рис. 19. Экспериментальная проверка (10.16) по данным Тейлора.

/ — данные наблюдений, 2 — вычисленные по (10.16).

Рис. 19. Экспериментальная проверка (10.16) по данным Тейлора.

/ — данные наблюдений, 2 — вычисленные по (10.16).

Если изучаемый реальный процесс g(/) преобразовать в пульсирующие электрический ток и напряжение, подаваемые

на вход низкочастотного фильтра, пропускающего колебания только с частотой меньше д», а на выходе включить ваттметр для измерения энергии, то наблюденные отсчеты ваттметра будут точно

давать значения функции Fx (о). Изменяя со, получим вид всей кривой F] (со), а затем посредством дифференцирования определим и плотность распределения fi((u). Корреляционную функцию В(т) после этого легко определить по (10.1.6). На практике измерение F] (со) и fi(a)) с помощью фильтров оказывается зна

чительно более простым делом, нежели непосредственное их

определение по первому методу.

В заключение упомянем, что одновременное определение корреляционной функции 6(т) двумя методами дало возможность проверить (10.16) опытным путем. Проверка показала, что формула (10.16) подтверждается с большой точностью. Это следует также и из рис. 19, где представлены опытные данные Дж. Тейлора [II, 89]. На этом рисунке Е(х)——турбулентные пульсации скорости в направлении оси аэродинамической трубы, в которой проводились измерения. Приведены значения корреляционной 兩ункиун 3(У), определенные первым методом по записям 占(尤), и значения В(у), рассчитанные по формуле

(10.16) с помощью ральной плотности.(10.16) с помощью ральной плотности.предварительно найденной из опыта спект- Как видно, совпадение получилось хорошим.

(10.16) с помощью ральной плотности.

(10.16) с помощью ральной плотности.

§ 13. Влияние конечности интервала осреднения

Для получения статистических характеристик какого-либо стационарного случайного процесса g(/) необходимо, чтобы запись мгновенных значений велась в течение очень большого интервала времени при неизменных внешних условиях. Тогда на основании эргодической теоремы статистическое осреднение (по большому набору записей, полученных при одинаковых условиях) можно заменить осреднением по времени в пределах одной записи.

Однако на практике интервал осреднения (наблюдения) всегда конечен. Поэтому приходится пользоваться сериями записей на небольшом интервале длиной Т и, получив значения статистических характеристик путем интегрирования по / от 0 до Т для каждой записи, проводить затем осреднение по ансамблю. В такой постановке в разных вариантах задачу решали Огура [177], Бютнер [12*], Ариель [1*] и др. Изложим коротко этот вопрос, следуя в основном Огура.

Пусть |(0 ——стационарная случайная функция. Согласно (4-7),

口专 jE(+Jdq.(13.1)

О

Тогда пульсация относительно этой средней величины будет

力(/ + g=k/ + g一;代(/ + 厶 + /2)也.(13.2)

о

Д里 корреляционной функции, вычисленной по выборке длиной Т, имеем выражение

8roe) = }J %(/ + /])&(/ + /]+ c)d/「О

Осредненная по всем элементам выборки корреляционная функция* на основе эргодической теоремы, будет

晒-^^dt })七(/ + 幻负/ +厶+。)义.(13.3) а + 8 о l о

Заказ № 854О7

Если теперь подставить (13.2) в (13.3), то после ряда преобразований с учетом того, что В(т)——четная функция своего аргумента, получим

际=成(；)一一Ю'(7' -厶)|厶⑵+ 。) + B8(/]-p)|dJ О

(13.4) где

B8«) = ：lim 4 f ^(z)S，(z + ")^^ Г^)МЧ^)(13.5)

A f 8 71 g

есть истинная корреляционная функция, E，(f)=E(f) — 3， 3 — истинное среднее значение.

Формула (13.4) показывает, что даже при неограниченном увеличении числа реализаций эргодического случайного процесса g(/) рассчитанная корреляционная функция Зт(т) будет отличаться от истинной ^^(т). Она будет зависеть от длины интервала Т. В то же время структурная функция, согласно (13.2), будет

ВД^ =岳(/ +6— &；(/)『=К(/ + ；)-&'(/)|2 = 2(*(13.6)

т. е. не зависит от Г.

Смысл формулы (13.4) станет яснее, если В^ (т) представим в виде (10.16)

Тогда

Вт (с) = j /loo (з)оВт (с) = j /loo (з)о(13.7)(13.7)

Вт (с) = j /loo (з)о

Вт (с) = j /loo (з)о

(13.7)

(13.7)

Отсюда следует, что пульсации с частотой со V при наблюдении в течение конечного интервала Т исключаются, а вклад в корреляционную функцию вносят лишь те пульсации, для 2л которых со >.

При т=0 из (13.7) получаем дисперсию измеряемой величины в зависимости от времени осреднения

8 Г …37 1

ГSin?万

W)=^ = ]九⑺ —成＞，(13・8)

или в другой форме

т

°'2 (7)二=% (0)—备 f (т -幻 Вд (幻必.(138)

о

Формулы (13.4)——(13.8) получены в предположении, что набор реализации, каждая из которых длится время Г, сколь угодно велик. Однако на практике число реализаций ограничено, что обусловлено трудностями сохранения неизменных внешних условий и трудоемкостью обработки данных наблюдений. Поэтому возникает вопрос о точности рассчитываемых характеристик. Естественно в качестве меры точности расчета, например корреляционной функции, принять дисперсию случайной величины Зт(т)

ИЛИ

。2(叫h磨(叫一瓦研.(13.9)

Таким образом, задача сводится к вычислению величины 用⑴.Но, согласно предыдущему,

^^ = 4rjJ&(/ + /J&(/ + G + O&(/ + /2)Xо о

Дальнейшее вычисление возможно лишь в случае гауссового случайного процесса, когда четвертые моменты выражаются через вторые по формуле (I, 7.21). Дисперсия структурной функции DT (т) вычисляется значительно проще [12*], поскольку справедливо соотношение (13.6).

Если корреляционная функция стационарного случайного процесса ^(/) известна, то спектральную плотность можно вычислить по формуле (10.17). Например, в случае корреляцион- 号。н функции простого экспоненциального типа (7.23) с учетом (10.31)получаем

丿I丿—冗a2 T со2 •

На практике по формулеНа практике по формулеВ(0)В(0)спектральная функция всегда рассчитывается

На практике по формуле

На практике по формуле

В(0)

В(0)

т

fT (to) = ； j ^-ctT cos о)т dx =

心]з2 {а + е ат (® sin и)Т — а COS ⑪丁)}.

Разность

А/ (З) = / 3) - а (З)=竿 “cos 詳*7(1310)

дает величину искажения f (з) за счет конечности интервала интегрирования. Эта разность уменьшается с ростом 7\ имея разный знак и величину при различных частотах. Конкретные примеры проанализированы подробно в [2*].

ГЛАВА III

Случайные поля

§ 1. Некоторые вспомогательные сведения

В различных областях физики изучается непрерывное распределение в пространстве и времени физических величин, таких, как температура, скорость, плотность, давление, электрический потенциал и др. При заданных конкретных условиях в каждой точке пространства и в каждый момент времени имеется только одно значение данной величины. Такое пространственновременное распределение получило название поля физической величины.

Для описания различных явлений и процессов вводится некоторая координатная система и изучаемое явление характеризуется одним или несколькими числами. Так, например, в данной точке потока жидкости каждая из трех характеристик давление, плотность и температура — определяется только од- ннм числом, одинаковым во всех координатных системах. Такие величины получили название скалярных. Векторными называются величины, характеризующиеся тремя числами (компонентами), которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по специальным законам [33]. Приме- Р°м векторной величины может служить скорость.

Наряду со скалярными и векторными величинами в фиЗике используются величины более сложной природы, которые

характеризуются количеством чисел белее трех; они получили название тензорных, а определяющие их системы чисел были названы тензорами. При переходе от одной координатной системы к другой компоненты тензоров преобразуются также по специальным законам [33], которые имеют более сложный характер, чем для векторных величин. В дальнейшем мы принимаем пространство трехмерным. Тогда в прямоугольной системе координат тензорные величины задаются 3" числами (в и-мерном пространстве их число равно /г"), образующими компоненты (составляющие) тензора. Число А определяет ранг тензора. Скалярные и векторные величины можно рассматривать как тензоры соответственно нулевого и первого рангов. Тензоры второго ранга имеют 32=9 компонент. Если А и В ——два вектора, то их произведение Qij=AiBj будет тензором второго ранга. Таким же тензором будет и производная Pij=dAi/dxj вектора А по координатам или внутреннее произведение /?笛=力^4卜

Векторы и тензоры не инвариантны по отношению к преобразованиям координатной системы, однако определенные функции от их составляющих обладают свойством инвариантности. Для вектора таким свойством служит его длина, равная корню квадратному из суммы квадратов его составляющих, для тензора Q?j ——его след

Q» = Qii + Q22 + Q33- (1-1)

Очевидно, что P" = divA. Здесь необходимо высказать одно очень важное правило тензорного суммирования, которое значительно упрощает запись формул, а именно: суммирование осуществляется только по повторяющимся индексам. Все отступления от этого правила будут оговорены.

Тензор называется симметричным, если Qij = Q)i, и антисимметричным, если Q?j=——Qjt. Отсюда следует, что симметричный тензор имеет шесть различных составляющих: Qh*Q22方Q33 и Q12=Q21, Q23=Q32, Q13=Qsi, 3 НТИСИММетрИЧ- ный ——три (элементы по главной диагонали нули, поскольку Qu=—Qu и т. д.).

Если в любой координатной системе Q?j=O при i*j, a Qn = = Q22=Qs3=1, то тензор называется единичным и обозначается 6订(символ Кронекера — по имени немецкого математика Л. Кронекера, который первым ввел этот символ в 1866 г.). Ясно, что 6曾 ——симметричный тензор, его след

"“ =1 + 1 + 1 = 3 (1.2)

(Ьц = п в n-мерном пространстве).

Как известно [33], всякий тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.

102

В дальнейшем мы еще встретимся с такими же тензорами третьего и четвертого рангов, имеющими вид Qt浊 и Qi^m. В общем случае первый из них имеет 27, а второй ——81 составляющую. Когда такие тензоры симметричны относительно некоторой группы индексов, число отличающихся друг от друга составляющих уменьшается, а эти группы отделяются запятой. Например, символ Qi), к обозначает, что данный тензор симметричен по индексам i, j; подобно этому имеем: Qi^m. Q订，儿切，Q订，儿=4*j区丸, Qi^^^AiAjAkB.n и т. д.

Тензоры Qijh и Qijkm называют антисимметричными относительно произвольной пары индексов, если имеют место соотношения Qijk^—Qjik и т. д., Qijkm = —Qjikm и т. д. Очевидно, что все составляющие таких тензоров с двумя одинаковыми индексами равны нулю, а отличаются от нуля только те составляющие, индексы которых отличаются друг от друга.

Посредством конечного числа перестановок расположение индексов может быть сведено к естественной последовательности 1, 2, 3 или 1, 2, 3, 4. Возьмем, например, антисимметричный тензор Qijk и обозначим основную его составляющую Qi23^. через д. Тогда любая из 27 составляющих этого тензора будет равна д, 0 или ——q. Аналитически это можно выразить так：

Qijk = SM， (L3)

где £订& равны 0, ——1 или 1, если соответственно: 1) среди индексов i, j, k имеются равные между собой, 2) для приведения индексов к ряду 1, 2, 3 необходимо нечетное число перестановок или 3) для той же цели необходимо четное число перестановок. Например, £123=£231 = £312= L а £321=Е213=£132= — L Кроме того, легко проверить, что если величина Ah — вектор, то 月？j = — ^ijhAk ——антисимметричный тензор второго ранга.

Из-за своих трансформационных свойств величина £订也 получила название единичного псевдотензора третьего ранга.

Произведение £”m£j@q, очевидно, будет истинным тензором шестого ранга, вследствие чего этот тензор можно выразить в виде суммы произведений составляющих единичного тензора

^ilm^jpq == “I卢工P“mq + %p"lq"mj ~И "i/z/m/j ^iplq^mp —

—%力户 г* — %^Д«/* (L4)

В случае, если индексы в двух множителях совпадают, получаем:

(1.5)(1.5)岂〃〃戶£jwi〃 = 2<)jj,%pni%pm = (^imjjf = 3 ! = 6*Зти формулы будут использованы в дальнейшем.

(1.5)

(1.5)

Для того чтобы величина Qijk в (1.3) была истинным тензором, необходимо изменение знака скалярной величины q при ее зеркальном отражении. Если такое условие выполнено, то такие величины называют псевдоскалярными. Обыкновенные (полярные) векторы изменяют свой знак при зеркальном изменении координатной системы. Однако векторное произведение двух полярных векторов инвариантно по отношению к такому преобразованию координатной системы. Поэтому такое векторное произведение получило название псевдовектора, или аксиального (осевого) вектора Ч Так, если С= [АВ], то С；=

= 拓 где Cjh—AjBh — AkBj. Псевдовектор & и антисимметричный тензор.Cj/i называют дуальными друг другу. Аналогично можно составить и дуальные тензоры и скаляры.

По своей физической сущности псевдовеличины не отличаются от истинных, абсолютных величин. Но, как мы видели выше, или их значение, или их- направление, или обе эти величины вместе связаны с некоторым условным обозначением. Так, скалярное произведение вектора и псевдовектора образует псевдоскаляр. Точно такое произведение трех векторов, дающее объем параллелепипеда, построенного на них, также представляет собой псевдоскаляр. Это непосредственно вытекает из предшествующего утверждения.

Псевдовекторами, как видно из предыдущего, будут вектор [АВ], rot А, угловая скорость вращения твердого тела и др. Тензорное произведение вектора и псевдовектора образует псевдотензор и т. д.

§ 2. Скалярные и векторные случайные поля. Случайные функции от нескольких переменных

Все непрерывные поля, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, имеют то общее свойство, что значения соответствующих величин в любой точке поля могут быть предсказаны на основании условий физической задачи. Однако развитие физики и, в частности, учения о турбулентности привело к необходимости изучения нового класса полей ——случайных полей- Количественно последние характеризуются функцией g(x, f), называемой сл уч ай ной функцией в точке с радиусом-вектором х и в момент времени

Легко проверить, что 6^£^卫=0.

Совершенно ясно, что понятие случайного поля, которое мы только что ввели, представляет собой обобщение понятия случайного процесса, для которого единственной переменной было время. Как и ранее, выражение «случайная функция координат (х, £)》понимаем в том смысле, что во всякой точке (х, t) четырехмерное пространственно-временное значение Е(х, £) является случайной величиной и, следовательно, не может быть точно предсказано. В то же время значения 占(х, t) подчинены некоторому вероятностному закону. Назовем реализацией случайного поля В(х» /) функции Е⑴(х, /),..., g<n)(x, f), которые получаются в результате выполнения серии наблюдений случайного поля при одинаковых условиях. Неограниченное увеличение числа наблюдений приводит к установлению некоторого распределения вероятностей для W(x, t). Поэтому случайную функцию g(x, 0 считаем заданной, если известно ее распределение вероятностей.

Пусть Е(х, /)——скалярное случайное поле, т. е. такое поле, которое определяется только одной случайной величиной. Например, поле температуры в данном турбулентном потоке представляет собой скалярное случайное поле. Поскольку в предыдущей главе были подробно изучены свойства случайной функции от одной переменной (времени £), в наших дальнейших рассуждениях примем для простоты / форсированным и рассмотрим 乳х) только в зависимости от пространственных координат (Х1, х2, Хз)-

Полагаем, что для функции Е(х) распределение вероятностей задано, если для произвольного конечного множества точек Xi, х2, ..., хп, принадлежащих области R， в которой определена функция g(x), дан метод построения и-мерной функции распределения вероятностей Fn для случайных величин Е(Х1)Е(Хп)：

尸л (〃1，北2，％)== =V(E(xJV%, Цх2)<«2, . . ., Цхп)<«„).(2.1)

Если частные производные F„ по 红i,..., 〃打 существуют, то Функция

D (22)

называется плотностью распределения.

Рассмотрим теперь случайные векторые поля, т. е. такие поля, которые в трехмерном пространстве определяются тремя случай- ннми величинами. Поскольку нас интересуют векторные поля в п-мерном пространстве (наиболее часто в трехмерном или Двумерном ——случайное поле на плоскости), можно выбрать одну постоянную координатную систему для всей области /?з-

В этой системе составляющие случайного векторного поля “(х) в точке х； обозначим

期!)= 丫1(X)/以, (2.3)

где /а — составляющие единичного координатного вектора (сс= 1, 2, 3). Векторное случайное поле здесь обозначено символом т), а символ Е(х) сохранен только для скалярного поля.

Утверждаем, что для векторного случайного поля п(х) задано распределение вероятностей, если для произвольного конечного множества точек х» £ Аз (t=L и) определен метод построения Зи-мерной функции распределения случайных величин 刀а(Х1),刀а(Х2), Па(x?J (сс= 1, 2, 3). Конечно, необходимо также, чтобы эта функция удовлетворяла требованиям, предъявляемым к функциям распределения.

В заключение параграфа следует сказать, что случайные скалярные и векторные поля находят применение прежде всего в статистической теории турбулентности, физические проблемы которой привели к развитию и нового раздела теории случайных функций. Особенно большое значение имеет класс однородных и изотропных случайных полей ——аналог класса стационарных случайных процессов. В последнее время были введены и так называемые «обобщенные случайные поля» [41]——аналог «обобщенных случайных процессов» [6].

§ 3. Статистические моменты

Полное описание случайного поля было бы возможно осуществить путем построения всех конечномерных распределений вероятностей этого поля в различных точках пространства. Однако, как и в предыдущих двух главах, вместо этих распределений рассмотрим соответствующие статистические моменты——средние произведения значений поля (или функций от них) в различных точках. Назовем эти моменты пространственными в отличие от пространственно-временных моментов, которые определяются как средние произведения значений поля в различных точках и в разные моменты времени.

Рассмотрим вначале статистические моменты одного случайного скалярного поля Е(х). Без уменьшения общности в последующих рассуждениях полагаем

Е(х) = 0 при х£/?з・ (3.1)

В противном случае достаточно взять отклонение Е'(х) = 106

=g (x)——g (x), для которого (3.1) справедливо. Если Е(х】),..., g(x龍)—значения Е(х) в п существенно различных точках, а 々1,. • •，左气—п чисел, то выражение

或)二l&，…，X"尸不 m?气x2)一•氏(X") (3.2) определяет статистические моменты n-го типа и /?-того порядка, Где k—ki + .. . + kn, Следовательно, число точек, для которых соответствующие числа kb .. . , kn отличаются от нуля, определяет тип момента, а сумма этих чисел ——его порядок. Из определения следует, что тип момента не может превышать его порядка, т. е. n^k. Назовем (3.2) n-точечным моментом /г-того порядка. В приложениях почти повсеместно используют двухточечные моменты различного порядка, но в данной главе для полноты изложения рассмотрим моменты и более высоких порядков.

Как видно из (3.2), моменты являются функциями точек Xi,…，хп. Одноточечные и двухточечные моменты второго порядка определяются соотношениями

6(х) = F(X)и 6(X1，X2)= W(xJE向, (3.3)

а В (xi, х2) называется корреляционной функцией случайного скалярного поля. И вообще n-точечный момент n-го порядка имеет вид

8(X], Х2,.…Х„) = E(xJE(X2). . .”(Х“) . (3.4)

Всегда будем полагать, что случайное поле непрерывно в среднем квадратическом, т. е. . ,

lim |Е(Х]) — Е(х)|2 =0.

При этом предположении статистические моменты (3.2)— также непрерывные функции аргументов хо (сс=1, и). Это утверждение доказывается таким же способом, как и для случайных процессов. И здесь из непрерывности моментов вытекает стохастическая непрерывность поля, однако в общем случае непрерывность поля в обычном смысле из этого не следует.

Определение статистических моментов векторных случайных поле询 осуществляется методами, подобными использованным Для случайных процессов. Здесь также без уменьшения общности считаем

^ (х) = 0 при х£/?з・ (3.5)

При составлении моментов необходимо иметь в виду следую- 见^巳 Любая из составляющих случайного вектора / (х) может Участвовать в качестве множителя в выражении момента ^-того п°рядка. Поэтому имеется 3" различных момента ^-го порядка, соответствующих конфигурации из и точек. Как известно,

107

каждый из этих А векторов, образующих .статистический момент, при перемене координатной системы преобразуется как тензор первого ранга. Операция осреднения не изменяет этого свойства, поскольку она линейна. Тогда все 3& различных момента fe-того порядка образуют в эвклидовом пространстве тензор /?~тогс ранга. Вследствие этого в общем случае можно написать

叫(xj q(X?) • . • % (х左)=民/…р (Xi, x2, . . ., xj. (3.6)

Тензор B(* ^ (xi, xn) зависит от числа точек м, которые среди точек xi, х2, . .., x/t (м w k) различаются между собой. Из сказанного ясно, что тензор (3.6) будет симметричен относительно тех индексов, соответствующие составляющие которого относятся к одной и той же точке. В (3.6) индексы принимают значения 1, 2 и 3. В согласии с общей формулой двухточечные моменты второго, третьего и четвертого порядков представляют

собой тензоры вида:

%(х. X，)=s(x)“(x'),(3.7)

5/ * (х, х‘)= 口(x)q (x) 7]ft (xz),(3.8)

&j, hm (X・ X)= 口 (Х)“(Х)%(Х>%(7),(3.9)

Bi海 m(X, X') = ^7(XhJl^ro(3.10)

Тензоры (3.8) — (3.10) симметричны по отношению к группам индексов, отделенных запятой. Согласно сказанному выше, количество индексов определяет ранг тензора, а количество групп индексов — его тип. Напомним еще раз, что суммирование осуществляется по повторяющимся индексам. Например,

练(х，x) = q* + 寸2% + 飞％,(З.П)

期= П(х) и т/=п(х)(3.12)

Последнее обозначение в дальнейшем будет постоянно использоваться. Тензорные моменты (3.7)—(3.10), как это будет показано далее, наиболее часто встречаются в приложениях, особенно первый и второй.

В последующем изложении мы везде предполагаем, что рассматриваемые скалярные и векторные случайные поля бесконечно дифференцируемы по координатам. В связи с этим представляет интерес рассмотрение момента вида

口(Х[) dXxjg (X)^旧(*з)• • •寸卩(X。，(3.13)

который мы еще встретим в приложениях. Если точка х2 отличается от всех остальных точек Xi, х3, . .., х&, то вследствие того, 108

чтО операции осреднения и дифференцирования можно поменять местами, вместо (3.13) имеем

° (Мд 硼・・P(X1，Х2,…，Xft).(3.14)

Однородные и изотропные случайные поля

Как уже упоминалось выше, для приложений исключительно большое значение имеет класс однородных и изотропных случайных полей.

Случайное скалярное поле Е(х) с заданной конечномерной плотностью распределения вероятностей в точках х& х2, . . ., хп

/(ЕМ), E(xJ,…，Е(х〃))(4.1)

называется статистически однородным, если эта плотность инвариантна по отношению к сдвигу (параллельному переносу) системы точек

/〃(Е(Х|),…，Цх„)) = /„^(х；), .... Е(х；)),(4.2)

где*

Ха == Ха + У (а := 1,厶)，(4.3)

a у= (yi, ^2, уз)——вектор, определяющий величину и направление переноса. Если условие инвариантности (4.2) имеет силу только для вектора у, параллельного заданной оси или плоскости, то говорим, что случайное поле Е(х) однородно только в направлении данной оси или в данной плоскости. При этом, следуя введенной выше терминологии для случайных процессов, такое поле необходимо называть «однородным в строгом смысле». Поскольку в приложениях наряду с корреляционными функциями используются и моменты третьего и четвертого порядков, условия однородности всегда понимаются в строгом смысле без специальной оговорки в каждом данном случае.

Случайные поля, однородные в строгом смысле, будут однородными и в широком смысле. Согласно (4.2), для корреляционной функции однородного скалярного поля имеем В (х, х') = =В(х + у, х‘+ у) или, выбирая у=——х‘, получаем

6(х, Х/) = 5(Х, — х).(4.4)

Очевидно, понятие однородного случайного поля на прямой совпадает с понятием стационарного случайного процесса. Трехточечный момент имеет вид

8(х, X，х") = 8(х，—х, х" — х) и т. д. (4.5)

109

Случайное скалярное поле g(x) называется статистически однородным и изотропным, если оно однородно в указанном выше смысле, а распределения вероятностей инвариантны по отношению к произвольному вращению системы точек как твердого тела (без деформации) и при зеркальном отражении этой системы относительно произвольной плоскости. Иначе, статистические моменты зависят от конфигурации системы точек, для которых они образованы, но не от положения системы в пространстве. Так, например, корреляционная функция (4.4) зависит только от расстояния между двумя точками, но не от ориентации в пространстве прямой, которая их соединяет, т. е.

5(X，一 х) = 8 (г), г = I М — х I.(4.6)

Конечно, данное случайное поле может быть однородным и не изотропным. Примером такого поля может служить скалярное поле с корреляционной функцией

5(х' — х) = 5 [а (хг — х) + ₽ (у' — у)+ 了佟一z)].

Вспомним, что корреляционная функция зависит еще и от времени, т. е. В —В (г, /). Если g=g(x, t) и g' = E(x‘，*) и предполагается однородность и во времени (стационарность) 7 то вместо (3.6) для пространственно-временной корреляционной функции получают

В=^ В (г, т),弋=|廿一〃，(4.7)

а поле в таком случае называют однородным, изотропным и стационарным.

Случайное векторное поле т)(х) именуется статистически однородным и изотропным, если распределения вероятностей его компонент в произвольном конечном множестве точек xb Х2, . . ., хп инвариантны относительно преобразования вида (4.3) при одновременном вращении и зеркальном отражении (полная группа движения) как данной системы точек, так и самой координатной системы (движение твердого тела).

Часто условие однородности и изотропности формулируется по-другому: если координатная система жестко связана с системой точек, то распределения вероятностей инвариантны относительно произвольного параллельного переноса, вращения н зеркального отражения системы координат. Из этого определения следует, что статистические моменты вида (3.6) зависят только от взаимного расположения и точек, а не от положения всей системы точек в пространстве.

Однако система и точек может быть задана с помощью п— 1 пространственных векторов, которыми могут быть, например, ра-

диусы-векторы точек х2, х3, . . ., хг( относительно точки х4. Если зти и—1 пространственных векторов рассматривать как один 3(п——1)-мерный вектор R, то (3.6) можно записать в виде

fii*!..p(R) = ^7---P(xi- Х2，. . ., х„). (4.8)

Тензор, определенный данным равенством, назовем однородным и изотропным. Если это условие сохраняет силу только при 2W 九 W% и 2&左 WN, то такое случайное поле можно рассматривать как приближенно изотропное [II, 47], или квазиизо-

с вопросом о существовании преобразования Фурьебудет идти речь в дальнейшем) для тензора (4.8)с вопросом о существовании преобразования Фурьебудет идти речь в дальнейшем) для тензора (4.8)тропное.

с вопросом о существовании преобразования Фурьебудет идти речь в дальнейшем) для тензора (4.8)

с вопросом о существовании преобразования Фурьебудет идти речь в дальнейшем) для тензора (4.8)

22Рис. 20. Конфигурация точек хь х2, . .., хп в пространстве.Рис. 20. Конфигурация точек хь х2, . .., хп в пространстве.В связи (о котором на последний налагается условие абсолютной интегрируемости, т. е. интеграл вида

2

2

Рис. 20. Конфигурация точек хь х2, . .., хп в пространстве.

Рис. 20. Конфигурация точек хь х2, . .., хп в пространстве.

J|B<?.p(R)|dR(4.9)

низкого ранга, образованных из величин ns (xi), Л; (х2), - - -» Лр (х&) таким способом, что составленная разность стремится к нулю при | R|->oo. Для такого редунизкого ранга, образованных из величин ns (xi), Л; (х2), - - -» Лр (х&) таким способом, что составленная разность стремится к нулю при | R|->oo. Для такого редусуществует. Это условие выполняется при 々 W 3, если п (х)=() при х £ /?з, и нарушается в противном случае, а также и при ^>3. В последнем случае вместо тензора (4.8) необходимо взять разность между ним и различными произведениями тензоров более

низкого ранга, образованных из величин ns (xi), Л; (х2), - - -» Лр (х&) таким способом, что составленная разность стремится к нулю при | R|->oo. Для такого реду

низкого ранга, образованных из величин ns (xi), Л; (х2), - - -» Лр (х&) таким способом, что составленная разность стремится к нулю при | R|->oo. Для такого реду

цированного тензора, называемого кумулянтом, интеграл (4.9) —сходящийся.

Пространственная производная (3.14) для изотропного тензора определяется из зависимости R от х2. Если 3(п——1)-мерный вектор R состоит из и——1 векторов, представленных на рис. 20, то

d —. д^^7= 0(r% ；0 (X2)qd —. д^^7= 0(r% ；0 (X2)q/РТЬ；； Гт=Х,“ — Х/РТЬ；； Гт=Х,“ — Х

d —. д

^^7= 0(r% ；0 (X2)q

d —. д

^^7= 0(r% ；0 (X2)q

/РТЬ；； Гт=Х,“ — Х

/РТЬ；； Гт=Х,“ — Х

д0（帀д0（帀Очевидно, производнаяОчевидно, производная(4.Ю)

д

0（帀

д

0（帀

Очевидно, производная

Очевидно, производная

В* p(R) будет тензором 归+ 1

RaHra, если индекс q не встречается между индексами I, j, ... ,р. ^ противном случае производная будет тензором k——1 ранга, вообще при выполнении первого условия всякое дифференцирование тензора (4.8) прибавляет единицу к его рангу.

Условие однородности и изотропности тензора (4.8) приводит к РЯДУ ограничений для его составляющих. Так, например, если

все точки совпадают (Х1 = хг=хз^.. . = хп), то при ^ = 2т——1 имеем

8凰「J 三 0.(4.11)

Действительно, так как все составляющие вектора т)(х) взяты в одной и той же точке, единственным тензором (инвариантным относительно полной группы движения), посредством которого можно выразить 嘴吁，будет единичный тензор 6afi. Однако из него одного невозможно образовать симметричный тензор нечетного ранга, и следовательно, (4.11) имеет силу. При 々=2/п отличаются от нуля только те составляющие тензора В(2т> , в которых составляющие случайного вектора т)(х) встречаются в четной степени. Из сказанного, в частности, следует, что для однородного и изотропного случайного векторного поля справедливы соотношения:

% ==切2 = Рз =。，(4.1?)

刁1斗2 =刁 1“з = Ра^зн °，

喑=呢=嗡=守=喘，

где

寸=* + 呢 + %(4.13)

есть полная дисперсия случайного вектора т)(х). Корреляционный тензор Bij (0)=т]гЛ； в этом случае можно представить в виде

5〃(0)="芍=嚇 J,(4.14)

и он постоянен во всем пространстве. Аналогично

吕拉◎=“勺%三。Н т. д.(4.15)

При образовании смешанных моментов для использования указанных выше упрощений, вытекающих из условия однородности и изотропности для тензоров, необходимо предположить, кроме того, что составляющие поля однородно и изотропно связаны таким образом, что их совместные распределения вероятностей инвариантны относительно полной группы движения.

Для приложений рассматриваемых статистических методов в метеорологии большое значение имеет понятие «статистически однородного поля на сфере», введенное Обуховым [20]. Действительно, атмосферные процессы масштаба общей циркуляции охватывают значительные части земной поверхности (с размерами порядка радиуса Земли) и при их изучении нельзя не учитывать сферичность земного шара. Обухов доказал основ-

ную теорему для случайных полей такого типа, которая приводится ниже без доказательства.

Пусть М — произвольная точка на сфере К с географическими координатами (屮，入).Вместо широты ср удобнее ввести переменную 6=90° ——ср. Случайное скалярное поле ^(Л1), определенное на сфере К, называется статистически однородным, если закон распределения вероятностей значений поля в точках ЛЬ, Мг, . - - , Мл не изменяется при замене этой системы точек другой, которая получается из первой с помощью произвольного вращения без деформации около центра сферы. Если 奧 М)=0, то

В(М„ M・2)= E(M)E(M)

зависит только от углового расстояния 6 между точками М^ и М2. Поскольку корреляционная функция четная, более удобно эту зависимость записать в виде

8 (Л1[, Л/?)=石(cos 6)..

Здесь возникает вопрос, какие функции вида В (cos 6) могут быть корреляционными для некоторого случайного статистически однородного поля на сфере. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: для того чтобы функция В (cos 6) была корреляционной функцией случайного статистически однородного поля на сфере, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде ряда по полиномам Лежандра

В (cos 6) = £ bnPn (cos б),(4.16)

где Ьп 0, а

Л, (г) —(г2 - 1)п, z = cos0

И

碎=:底，(4.17)

権=。

т- е. ряд из коэффициентов % сходится и сумма его равна дисперсии случайного поля.

Нормальные случайные поля

Для полного описания свойств случайных скалярных и векторных полей необходимо знать статистические моменты более высоких порядков. Здесь, как и для случайных процессов, существует один важный класс полей — нормальные

1131138 Заказ № 854

113

113

случайные поля, полное изучение которых возможно осуществить в рамках корреляционной теории, т. е. с помощью использования моментов только первого и второго порядков.

Говорят, что случайное скалярное поле Е(х) нормально, если плотность распределения вероятностей его значений в точках Xi, х2, . . ., х„ является функцией вида (II, 8.2). Совершенно ана

логично определяется и векторное случайное поле с нормальным законом распределения. Соответствующие плотности распределения могут быть построены, если известны корреляционная функция поля g(x) и корреляционный тензор

% (Г) =“(х)7]/(х + г).

Если только п-мерная плотность распределения известна, можно определить и характеристическую функцию, а следовательно, и 十($1, $2, .. . , S,?), которая аналогична (I, 7.8). Тогда семиинвариантом ^-того порядка называется тензор

——J, . . . ,]/г 1、

—I 丿 Lds I dsjdsp卜 1 =显=•••=% = o' I ')

Число 幺 равное количеству индексов г, /,..., р, определяет ранг тензора (5.1). Отсюда получаем:

S〃(x, хг) = Ви (х, х)(5.2)

S』/,丸(х, х') = Bjj,况(х, х‘)，(5.3)

%^(Х, Х)= 5,/^(Х, Х')—[%(Х, X')%m(X, Х‘)十

+ Bik(х, x')5m(x, х') + 5®(х, Х‘)石掀(X, X')].(5.4)

Легко доказать, что подобно (I, 7.18) тензорные семиинварианты (5.1) начиная с третьего ранга и выше при нормальном распределении тождественно равны нулю. Если, кроме того, векторное поле однородно и изотропно, то предыдущие три равенства приобретают вид:

S〃(r) = 5“r), 8〃》(г)三 О,

5/, km (г)=瓦 / (。)斗,“ (。)+ Bik (г) Bjm (г) + Bim (г) Bjk (г).(5.5)

Последняя формула находит широкое применение в статистической теории турбулентности.

Общий вид тензорных статистических моментов1

Как мы уже видели, в наиболее общем случае статистические моменты данного случайного векторного поля представляют собой тензоры ^-того ранга, имеющие вид (3.6). Дополнительные

Изложение данного параграфа следует рассуждениям Бэтчелора [II. Ь гл. III, § 3].

114

ограничительные условия, налагаемые на поле, влекут за собой новые условия симметрии тензоров. Особый интерес представляют для нас условия однородности и изотропности, так как в приложениях мы будем рассматривать исключительно такие поля. Однако даже без этих специальных условий вид статистического ■момента В^ 中 не может быть произвольным, так как он должен обладать трансформационными свойствами тензора.

Однородный и изотропный тензор

В^\..р= 5/；?..р(г, s, . . .)(6.1)

может быть представлен в виде суммы точно таких же тензоров такого же ранга или, как еще говорится, может быть записан в составляющих. Метод подобного представления тензоров в наиболее общем случае дан Робертсоном [II, 84]. Кратко изложим этот метод.

Возьмем k единичных векторов (количество индексов у тен

зора (6.1) или, что все равно, его ранг) а, Ь, . .., h, определяющих столько же направлений в пространстве, и рассмотрим осредненное произведение

В (г, s, . . ., а, . . ., h)二=〃也j (xj 匕兴/(X?) . . . h戸p (x丸)= a*」• • • %関L.pk s, ...). (6.2)

Очевидно, В (г, s, . . ., a7 . . .) представляет собой скаляр, зависящий от и— 1 числа векторов г, s, .. . и k векторов а, Ь, . . ., h и инвариантный относительно вращения и зеркального отражения без деформации системы, образованной векторами а, Ь,..., h, г, s, ... Задача состоит в определении вида В* (г, s,...) при условии, что (6.2) удовлетворено.

Согласно теории Робертсона, инвариантная векторная функция B(r, s, . . . , а, Ь, .. .) может быть выражена через основные инварианты (по отношению к указанным выше операциям) векторов а, Ь, . .., г, s, .. К таким инвариантам относятся следующие величины.

Скалярные произведения, образованные из различных пар векторов ah, a^i, а/?, Ь"з .…广，©,….Сюда не входят квад- ратн единичных векторов, так как они равны единице. Поскольку скалярное произведение векторов выражается через произведение модулей на косинус угла между ними, инвариантность В (г, s, . . .) означает, что эта функция зависит только от величины векторов и углов между ними.

Тройные векторные произведения £?/а?力尹弘 которые выра- *ают собой объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, также инвариантны при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не сводятся к вращению, т. е. зеркального отражения. Следовательно, это не изотропная форма

и В от нее не может зависеть. Тройное произведение иногда называют квазиизотропным.

Произведение двух таких квазиизотропных форм, или квадрат одной из них в свою очередь образует изотропную форму и обладает необходимыми свойствами, однако они выражаются через основные инварианты ——скалярные произведения atbi, а^Гг. .-. . t г2, s2, . .., н, по существу, не дают ничего нового.

Следовательно, скаляр В может зависеть только от первой группы инвариантов

fi(r, s, . . ., а, Ь, . . .) = В(ар^ 生〃，r*R, • •.,产，s2, ...). (6.3)

Но, как видно из (6.2), В ——линейная функция относительно составляющих каждого из векторов а, Ь, .. . и однородная /?-той степениJ. Из этого следует, что В можно представить в виде суммы известного количества членов вида

А(产，s2, r^, . . .yiatr^bjS^fd^ …， (6.4) где Л (г2, s2, г?*,...) —— произвольная функция указанных аргументов, а единичные векторы встречаются только по одному разу в скалярных произведениях, образованных из векторов одной и той же группы или двух групп. Подставляя такое выражение для В в левую часть (6.2), находим, что тензор В" 〃 должен иметь вид

^..p(r, s, . . -) = 2Д(г2, s2, 3/, . . .)3科,“ ...(6.5) Слагаемые в этой сумме представляют собой выражения, в которых индексы г, j, к, т, ... встречаются или только для векторов г, s, . . . как индексы их составляющих, или в виде пар в произведениях единичного тензора 6ар на самого себя, или, наконец, в выражениях смешанного типа.

До сих пор наши рассуждения имели слишком общий характер и иллюстрировали метод, предложенный Робертсоном, с принципиальной стороны. В приложениях почти исключительно используют только двухточечные моменты, и следовательно, тензоры произвольного ранга будут зависеть только от вектора г= =х'——х. Для этого частного и практически наиболее важного

случая из (6.5) получаем:

旦(г) = АоГ/,(6.6)

3〃(г) = 43/ + 5В/,(6.7)

8小(г) = A2rirjrk + B#&j 十 C2r丿％ + D^rfi^,(6.8)

Bijkm (r) = A3rirjrkrm + B^r^ + С3Г”％ +

+ 0^^,^4 + 品"冉a + F^r^^ 十 0^,^^ +

十H曲小浊十请加+ Кз"к •(6・9)

Функция /(хь *2, -. -, Хт) называется однородной т-й степени, если f (入,入尤2，• • •'入*m) 入团/ (*i, -^2» • • • »

Все коэффициенты в этих формулах ——четные скалярные функции расстояния г— I г|. Выражения (6.6) —(6.9) дают наиболее общий вид тензорных моментов до четвертого ранга включительно. Однако эти выражения могут быть упрощены при наличии симметрии относительно некоторых индексов. Так, например, тензор 5仃，&(г) симметричен по г, /, так что если в (6.8) эти индексы поменять местами, то выражение само не изменится. Последнее, как видно, возможно, если 以=5 и тогда

% Л (г) = А"八 + B*&j 十 С2(Г0jk 十哨 J(6.10)

Для тензора четвертого ранга (6.9) может быть два случая: 1. Симметрия по двум индексам

В/, Ь» (Г) = ^^Г^т + 6з (К% + %〉£)+ Сз *% + 3/%) + + &当/% + ^з (rj-r^.k + r/^ + rirm\k 十 3田加).(6.11)

. Симметрия по трем индексам

瓦网 m (Г) = ^rftrm + 旦("Am + rf^ + rir^jn^-, + C4 (»“％ 十 Г/ЛА + "譌力 + А ⑷％斗 ^in?ik + %%J (6-12)

Итак, тензорные моменты первого, второго и третьего рангов определяются соответственно одной, двумя или тремя скалярными функциями, а моменты четвертого ранга — пятью или четырьмя. Функции Ai (г). Bi (г), ... называют еще определяющими скалярами тензоров. Как следует из (5.5), для нормальных случайных полей определяющие скаляры тензорных моментов четвертого ранга выражаются через скаляры основного корреляционного тензора (6.7).

В приложениях также встречаются тензоры второго ранга, образованные из разнородных величин. Например,

坛 а (г) = Е(х)” (х)%・(х)(6.13)

Этот тензор изотропен, симметричен по г, / и, следовательно, может быть также представлен в виде (6.7)

绕,“ б = А ⑺力 + В S) %厂(6.14)

Структура и некоторые общие свойства тензорных моментов

Вначале рассмотрим корреляционный тензор 8订(г). По самому определению (5.4) и условию-изотропности имеем

%(「) = %(-「)•(7・1)

117

(7.2)(7.3)(7.4)(7.2)(7.3)(7.4)если в нем положить i=j. По повторяющимся индексам в (7.4) суммировать нельзя !Как мы видели в предыдущем параграфе, тензор Bij (г) определяется двумя скалярными функциями 4 (г) п В[(『). Оказывается, что при специальном выборе системы координат эти функции могут быть выражены через другие скалярные функции, имеющие определенный физический смысл. Выберем точку х за начало координатной системы, а ось хх=х направим через вторую точку х' = х+г (рис. 21). Две другие оси х^—у и хг=г выберем произвольно в плоскости, пересли в нем положить i=j. По повторяющимся индексам в (7.4) суммировать нельзя !Как мы видели в предыдущем параграфе, тензор Bij (г) определяется двумя скалярными функциями 4 (г) п В[(『). Оказывается, что при специальном выборе системы координат эти функции могут быть выражены через другие скалярные функции, имеющие определенный физический смысл. Выберем точку х за начало координатной системы, а ось хх=х направим через вторую точку х' = х+г (рис. 21). Две другие оси х^—у и хг=г выберем произвольно в плоскости, пер七七成成^彳，^彳，石 х2石 х2XXH? tРис. 21. Структура моментоввторого порядка.H? tРис. 21. Структура моментоввторого порядка.

(7.2)

(7.3)

(7.4)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

если в нем положить i=j. По повторяющимся индексам в (7.4) суммировать нельзя !

Как мы видели в предыдущем параграфе, тензор Bij (г) определяется двумя скалярными функциями 4 (г) п В[(『). Оказывается, что при специальном выборе системы координат эти функции могут быть выражены через другие скалярные функции, имеющие определенный физический смысл. Выберем точку х за начало координатной системы, а ось хх=х направим через вторую точку х' = х+г (рис. 21). Две другие оси х^—у и хг=г выберем произвольно в плоскости, пер

если в нем положить i=j. По повторяющимся индексам в (7.4) суммировать нельзя !

Как мы видели в предыдущем параграфе, тензор Bij (г) определяется двумя скалярными функциями 4 (г) п В[(『). Оказывается, что при специальном выборе системы координат эти функции могут быть выражены через другие скалярные функции, имеющие определенный физический смысл. Выберем точку х за начало координатной системы, а ось хх=х направим через вторую точку х' = х+г (рис. 21). Две другие оси х^—у и хг=г выберем произвольно в плоскости, пер

七

七

成

成

^彳，

^彳，

石 х2

石 х2

X

X

H? t

Рис. 21. Структура моментоввторого порядка.

H? t

Рис. 21. Структура моментоввторого порядка.

Затем из непрерывности случайного поля 口 (х) следует 卅。^(х)[芍(х + г + s)-勺(х 十 г)] = О,

или, что все равно,

I Пт^ \BLj (г + s) - % (г)] = О,

т. е. корреляционный тензор непрерывен. Кроме того, Ви^)^ВМ

что непосредственно вытекает из неравенства Шварца % (Г) & Rx)崂(x + r)]' 2 _ 广当(0)5〃 (0),

пендикулярной оси %. При таком специально подобранном направлении осей составляющие вектора г будут равны (门=几「2= = гз=0). Соответственно этому для составляющих 启订(г) с помощью (6.7) получаем:

512="21 =。； ^11 ^0；殳2 =533 关 °。 (7.5)

Скалярная функция Ви (г) называется продольной корреляционной функцией и обозначается Вц (г), а функция Впп (г) = 822 (г) = Взз (г) называется поперечной корреляционной функцией. Из определения следует

3〃(г)="(х)4(х + г)； 5“"(г)= %(х)%(х + г).(7.6)

где 口 н 加 ——проекции вектора ?] соответственно на прямую, сое-

диняющую две точки, и на перпендикуляр к этой прямой. При 『1 = г и「2=гз=()имеем

вц(г) = ^^)-^-3,^： 5”, (г) = 8 (г).(7.7)

Отметим здесь, что последние равенства можно получить и без изложенных геометрических представлений, а исходя только из общей теории, развитой в предшествующем параграфе. Пусть гО=г/г и п ——единичные векторы по прямой, соединяющей точки, и по нормали к ней. Тогда, согласно (6.2),

в и (г) - пг°ви (г); Bnn(r)^ tiiHjB^ (г).(7.8)

Если здесь заменим 8订(г) по (6.7) и выполним умножение, то получим точно (7.7). Затем определяем функции

4 (г) = 3 ® (г) - 5”“(г)1；田(г)=纥〃 (г)

и подставляем их в (6.7). После этого получаем,

% (Г) = = %(8〃 一约“)％ + 8/予(7.9)

В таком Карманом. (4.13) ), такВ таком Карманом. (4.13) ), таквиде корреляционный тензор впервые был записанвиде корреляционный тензор впервые был записанВследствиеВследствиеизотропностиизотропностичточто_ —1 _П； = *=飞-喏(см-_ —1 _П； = *=飞-喏(см-1 -5〃 (0) = Вт (0) = з 喘.1 -5〃 (0) = Вт (0) = з 喘.(7-10)(7-10)

В таком Карманом. (4.13) ), так

В таком Карманом. (4.13) ), так

виде корреляционный тензор впервые был записан

виде корреляционный тензор впервые был записан

Вследствие

Вследствие

изотропности

изотропности

что

что

_ —1 _

П； = *=飞-喏(см-

_ —1 _

П； = *=飞-喏(см-

1 -

5〃 (0) = Вт (0) = з 喘.

1 -

5〃 (0) = Вт (0) = з 喘.

(7-10)

(7-10)

Вместо Вц и Впп часто вводят нормированные корреляционные функции

& ⑺=^(о); Rm &)= в；； ；о； •(7.11 >

Некоторые общие свойства нормированных функций вытекают непосредственно из общих свойств тензора В仃(г), рассмотренного выше. Так,凡(0)=露九(0) = 1, a R“r)Wl, Rnn(r)^\. Поскольку корреляционные функции четные и при г=() имеют максимумы, то в случае существования производных R； (0) R(n (0) в окрестности точки г=0 имеем:

凡(力=1+等A"(0)产+ 0(吗

凡“(r)=1十+凡八。)产十0俨).(7.12)

Если обозначить

(7/3)119(7/3)119* = — 1 /咫(0);延=—1 停；“ (0),

(7/3)

119

(7/3)

119

то формулы (7.12) принимают вид:

(7.14)(7.14)А"(гК1—飙； 兄„(г)о1—力，

(7.14)

(7.14)

NA1/人2

где 入 1 и 入2 ——линейные масштабы.

Обратимся теперь к рассмотрению тензора третьего ранга (6.10). Если положить н = г, Г2=『з=°, то легко установить, что в нашей специальной системе координат эти тензоры имеют пять отличающихся от нуля составляющих, из которых три независимы. Введем для этих составляющих обозначения:

工24 IВ^=^ 迎四—JX,小 Bnnltr)4 >Д^— • .*- %】，/ Х2也 ▲I弓「也咧巨一FРис. 22. Структура моментовтретьего порядка.工24 IВ^=^ 迎四—JX,小 Bnnltr)4 >Д^— • .*- %】，/ Х2也 ▲I弓「也咧巨一FРис. 22. Структура моментовтретьего порядка.^11, 1 ~ 石〃2；^22. 1 = ^33. 1 = В nd；

工2

4 I

В^=^ 迎四—JX,

小 Bnnltr)

4 >Д^— • .*- %】

，/ Х2

也 ▲

I

弓「也咧巨一F

Рис. 22. Структура моментовтретьего порядка.

工2

4 I

В^=^ 迎四—JX,

小 Bnnltr)

4 >Д^— • .*- %】

，/ Х2

也 ▲

I

弓「也咧巨一F

Рис. 22. Структура моментовтретьего порядка.

В]2,2 = В[з,з = В[м.(7.15)

Исходя из общей формулы и рис. 22, находим, что эти функции определяются следующим образом:

Blu^-WBljk^ == *(х)-%(х + г),纥,и (г) = 〃//!%&) == *(х) ” (х + г),

В 1т (г) = Г^njnk^ij, А (г)=

= s(x)% (Х) %(х + г). (7.16)

Новые функции (7.16) связаны с определяющими скалярами Лг (г),

В2(г) и Сг(г) из (6.10) посредством уравненийВ2(г) и Сг(г) из (6.10) посредством уравненийВ in = г'4 十 г (^2 十 2c2),

В2(г) и Сг(г) из (6.10) посредством уравнений

В2(г) и Сг(г) из (6.10) посредством уравнений

Bnni 二「В* В 1tm = rC?,(7.17)

которые легко получить, если (6.10) подставить в (7.16) и выполнить умножение. Из (7.17) определяем функции

А (г) = ±(&" — Впп1 ~ 2吕加)，

в2m = ； В®; С2(г)=^в1пп,

подставляем в (6.10) и получаем

%, £ (r) = % (当" 一 B1mi - 23如)Г,八十

А-^г^1 + ^^1к + г^.

(7.18)

(7.19)(7.19)Из определения тензора 5仃•& и условия изотропности имеем

(7.19)

(7.19)

(7.20)(7.20)Btj、々(一г) = 一 В/ й О или, что все равно,

(7.20)

(7.20)

Соотношение (7.19) показывает,

нечетные, если <2 (г),口2(「)

тельно, разложение Тейлора для новых функций содержит только нечетные степени г. Более того, в этих разложениях не может быть члена, пропорционального г, и начинаться они должны с члена /А Действительно, для Вщ(г), например, имеем

%⑺=硝а "о)7(乙7厂6二

и

ЧТО функции Вщ, Bnnl И Blnn Сг(г) четные. Следова-

街八"(г)

千2

К ，А—■ — — — ▲▲ — _ _ а

=守=守•户十... о•户十... о十+听十+听оо人组也_17. д 支人组也_17. д 支囚口一 —В22,22(Г)j|囚口一 —В22,22(Г)j|

=守

=守

•户十... о

•户十... о

十+听

十+听

о

о

人组也_17

. д 支

人组也_17

. д 支

囚口一 —В22,22(Г)j|

囚口一 —В22,22(Г)j|

Первый член в этом ряду равен нулю, поскольку

*(芻)г = 0 =£(£*)』’

а вследствие изотропности 期3=0. Итак,

Вт(г) ~г3 при г 0. (7.21)

Подобным

методом находим, четвертого ранга

что тензоры

(6.11) содержат шесть отличаю-

8l 522,2"丿力

Щихся от нуля составляющих [30], представленных на рис. 23. Эти составляющие можно записать так：

Рис. 23. Структура моментов чет-вертого порядка.

旦 1,"；б11,22 = 6",33； 石23, 23 ；3[2, 12 = ^13, 13 ；

石22, 22 = &3, 33； 月22, 33 =月33,22*

Кроме того, как вытекает из (6.11), при 〃=г и г2=^з=0 当2,33=。3；^23, 23 ~ ^3&2, 22 = 43, 33 = 03 + 253，

так что между тремя компонентами устанавливается связь

^22. 33 十 2夕23,23 =522,22，

(7.22)

полученная впервые Миллионишковым [II, 25]. Ни больших подробностях по представлению тензоров четвертого ранга нет необходимости останавливаться, так кик в приложениях они всегда выражаются через В/；(г) посредством (5.5).

В заключеппе отметим, что при г - - ое корреляционная функция стремится к пулю, что вытекает из простых физических соображении.

§ 8. Спек гральные разложения

Пусть £(х) однородное случайное скалярнос поле с корре- ляцпонноп ([зупкцпеп 8(г). Подобно (II, 10.8) В (г) можно представить в виде интеграла Фурье—Стилтьеса

6(Г) =Je""dU；,(k),(%1)

1 де к =(拓，后，《з)—вектор в волновом пространстве, а (к • г) означает скалярное произведение векторов. Представление (8.1) возможно потому, что корреляционная функция В (г) положительно определена. В случае, когда она достаточно быстро стремится к нулю при |r|f 8, (8.1) можно записать как обыкновенный интеграл Фурье

8(r)= J ei"D°(k)dk.(心)

где dk ——объемный элемент в волновом пространстве. Функция Фо (к) носит название спектральной плотности. Поскольку 8(门=8(- г), то п ⑴“к)=а%(—к). В таком случае (8.2) упрощается

5 (г) = \ <l>rt(k)cos (к • г)г/к.(&.3)

Наоборот,

"%(к)「仆二 I '{k r} Bi^dr,(8.4)

или. что все равно.

中О (к)=昌7 J В (г) cos (к • г) dr.(&$)

Однако при изотропном поле £(х) В [г) — В (г). Вводя в (8.5) сферические координаты, получаем

Ф0(к)=「，/ I \ ^~J3 (^) ^os (kr cosb) sin В dr d^M4 (8.6) 6 6 6

где направление вектора к выбрано в качестве полярной оси. 14з (8.6) непосредственно вытекает, что для изотропного поля ф0(к) =：Фо(/?), где /?= | к |. Интегрирование в (8.6) по перемсн- HbiM q и 0 вы пол няется легко:

I I ccs (^r cos 0) sin 9 dB d?=

- sin (^r cos 0)，

в результате чего получаем

2。(分)-%1*6(Г)产"Г・(8・7)

Аналогичным методом из (8.2) находим

6 (Г) =4n覺戶"。肉依找О6 (Г) =4n覺戶"。肉依找О(8-8)(8-8)

6 (Г) =4n覺戶"。肉依找О

6 (Г) =4n覺戶"。肉依找О

(8-8)

(8-8)

Для случайного скалярного поля на плоскости, рассматривая (8.3) как двукратный интеграл Фурье, после введения полярных координат получаем

В (г)-(6В (г)-(62K

В (г)-(

6

В (г)-(

6

I cos (Лгсоб 0) db(1% 优)々d/r о

(8.9)(8.9)二 2冗 I 4 (々г) (1>п(й) kdk.

(8.9)

(8.9)

где /о(aJ — функция Бесселя, а 左=]⑶+ «^ и 『 = >r：A-rj. Наоборот,

2(> 他) Е I，,(m6(r)rdr・(89)

Из (8.9) следует, что минимальное значение коэффициента корреляции R (г) —В (г)/В (0) не может быть меньше минимального значения €|)упкцип /п(л1 на действительной оси, т. е. R (厂)^—0,40275. Впервые эти формулы были получены Шенбергом [65] как наиболее общий вид для положительно определенного ядра, зависящего от разности своих аргументов.

Для иллюстрации техники указанных преобразований, которые не приводим подробно из-за экономии места, несмотря на т。что они еще встретятся в дальнейшем, мы получим формулы 123

для общего случая n-мерного пространства. С этой целью перейдем в (8.2) к n-мерным сферическим координатам:

左I = k CoS 屮｝,

a 1

左a =左 cos %a П sin 化(2=1, 2, . . ., /г — 1),

n I

鼠=左 П sin%,

i 二 I

dk - - dk｝ . . . dkn=^Y\ ^k^ = a=)

=kn~ 1 dk П (sin%J …小岂.

Ориентируя систему координат соответствующим образом, имеем (кг)=左rcosqa. Тогда вместо (8.2) получаем

5(г) = J d中ат I siM-3&d% …Jsin 中 a-2d 中“-2Х о оо

X J ①о(左)左к】j elkT C0S!p, sinrt 2 dk.о0

После подстановки известных интегралов [36]

屮 4 = V^i1 [w 十｝) (j) Jm (x)屮 4 = V^i1 [w 十｝) (j) Jm (x)J siM 中 4 = 2" . % + d

屮 4 = V^i1 [w 十｝) (j) Jm (x)

屮 4 = V^i1 [w 十｝) (j) Jm (x)

J sin2m 0

(где Лп (x)——функция Бесселя) в предыдущее равенство и выполнения ряда сокращений получаем окончательно

^厶一2 (分)

5(r)=(2n)"2 丁雁工中0(々)却''dh.(8.10)

о (kr) 2

Поскольку формула, обратная (8.2), для n-мерного пространства имеет вид

ф。他)=备)二 '口⑺公，

аналогичный переход к сферическим координатам и интегрирование по угловым переменным приводит к выражению

①。(田二1—2- В (，)产-dr.(8.11)

0(証)2

Предыдущие формулы получаются отсюда при п=3 и п=2.

В приложениях вместо функции ①о (左)， которая, согласно (8.2), описывает плотность распределения величины ^2 в пространстве волнового вектора

а = J % “к,

употребляется спектральная плотность ①甌(左)， описывающая распределение F в спектре волновых чисел k— | к |

0=i1士他)d瓦.

о

Если выполнить (I, 3.3) — (I, 3.8) и (I, 3.13), то легко получить [69]

『①衣(尼)d^ = jR®dk= j . . . J <I>0(Zj)^, ... dkn = 0— OO-- QO

=^}]^k)k'^dk, откуда следует

<k® = I^y 勿一2。(初(8-12)

Из последнего соотношения получаем:

"士(左)2тс^Ф0 (ft) (п = 2),-

(% 三(左)=4冗依％ (什(/z = 3).(8.13)

Если возьмем однородное и изотропное поле ^(х) на прямой, то получим стационарную случайную функцию одной переменной Е(х), для которой применимы все результаты предыдущей главы. В частности, согласно (II, 10.17), имеем

/(財)= ；，5(г)cos k/dr = j f①0他)4局4鳥.0— СО — ОО

Вводя сюда полярные координаты в плоскости (左2,左з), получаем

/ (々J = J f Фо (々)Н dkr dy = 2к f Фо (々)々'dk\о бо

где 勿=保^+擋，а 々=у餾+储+々：.Переходя здесь к интегрированию по k вместо 既，находим

/(自)=2тс J ^c(k)kdk(8.14)

и, наоборот,

= -…(8.⑸

Отсюда видно: если ①0(々)>0, то f (^i) ^ 0, Однако обратное утверждение неверно: при f(E)》O не всегда ①и (々))0. Но поскольку необходимым условием для того, чтобы данная функция В (г) была корреляционной функцией однородного и изотропного случайного поля в пространстве, является неотрицательность ее спектральной плотности, то из установленного выше заключаем, что корреляционная функция такого поля всегда может быть одновременно и корреляционной функцией стационарного случайного процесса (однородного случайного поля на прямой) .Противоположное утверждение неверно.

Более сложный вид имеют формулы перехода от f (々。 к ①0(々)и наоборот для двумерного скалярного поля [53]:

/（自）=/（自）=%%f 师一=21/后2—曾f 师一=21/后2—曾々％ 8)々％ 8)]/九2 _居]/九2 _居dk,dk,①。®=4J 备（i＜） 1叫，①。®=4J 备（i＜） 1叫，(8.16)(8.16)

/（自）=

/（自）=

%

%

f 师一=2

1/后2—曾

f 师一=2

1/后2—曾

々％ 8)

々％ 8)

]/九2 _居

]/九2 _居

dk,

dk,

①。®=4J 备（i＜） 1叫，

①。®=4J 备（i＜） 1叫，

(8.16)

(8.16)

которые получаются способом, подобным описанному выше. Эти формулы, как показано в [69], могут быть объединены в общее выражение для случая п-мерного пространства

（一:）（一:）m一2m一2л — 3dk.л — 3dk.(8.17)(8.17)

（一:）

（一:）

m一2

m一2

л — 3

dk.

л — 3

dk.

(8.17)

(8.17)

где ①ее (左)выражается формулой (8.12). Обратная формула может быть получена отсюда путем многократного дифференцирования по拓.

Имея в виду полученные формулы, проверим, можно ли примеры на корреляционные функции, рассмотренные в гл. II, § Ю, использовать и здесь. Обратимся вначале к трехмерному случаю.

126

Пример 1.Пример 1.B(r) = &。"С, —I"。B(r) = &。"С, —I"。(8.18)(8.18)

Пример 1.

Пример 1.

B(r) = &。"С, —I"。

B(r) = &。"С, —I"。

(8.18)

(8.18)

B0 f -95溫

(8.19)(8.19)@。出=打y，。shW5 = ^丁丄咤у ?о,

(8.19)

(8.19)

и если использовать (8.15) и (II, 10.31), го можно получить

Ф0 (朽=_Ф0 (朽=_I dI d2h厶，优（1庐疋丿2h厶，优（1庐疋丿ВоГр#(1+峭У •ВоГр#(1+峭У •Пример 2.В (r) z= a| rl cos 3r, n = L<), 3=I/「j;Пример 2.В (r) z= a| rl cos 3r, n = L<), 3=I/「j;(8.20)(8.20)н ,八 员 P a I г I Q • / J8(/ d 依十出н ,八 员 P a I г I Q • / J8(/ d 依十出_口标九4〃2尿l （勿一械）炉国2誑I力4） 2_口标九4〃2尿l （勿一械）炉国2誑I力4） 2(8.21)(8.21)где вследствие (II, 10.32) « = а2 — р2 н b2=a2 + р2. Отсюда и из (8.21) находим, что при всяком 九 ①о (九)》0 и 2a > 力2 выполняются неравенства а2 > Зр2 или а > / 3 0. Следовательно, только в этом случае Фо(^) не имеет отрицательных участков, п (8.20) может быть корреляционной функцией.Пример 3.где вследствие (II, 10.32) « = а2 — р2 н b2=a2 + р2. Отсюда и из (8.21) находим, что при всяком 九 ①о (九)》0 и 2a > 力2 выполняются неравенства а2 > Зр2 или а > / 3 0. Следовательно, только в этом случае Фо(^) не имеет отрицательных участков, п (8.20) может быть корреляционной функцией.Пример 3.в（Г）= В""吋в（Г）= В""吋(8.22)(8.22)б0 (厶)=晶Jоб0 (厶)=晶Jо8工J/匸8工J/匸(8.23)(8.23)Пример 4.Пример 4.В（「）=В（「）=/髙(W)'k(六)/髙(W)'k(六)(8-24)(8-24)Ф° w=m一")(1+%%+3"?o-Ф° w=m一")(1+%%+3"?o-(8.25)(8.25)

Ф0 (朽=_

Ф0 (朽=_

I d

I d

2h厶，优（1庐疋丿

2h厶，优（1庐疋丿

ВоГр

#(1+峭У •

ВоГр

#(1+峭У •

Пример 2.

В (r) z= a| rl cos 3r, n = L<), 3=I/「j;

Пример 2.

В (r) z= a| rl cos 3r, n = L<), 3=I/「j;

(8.20)

(8.20)

н ,八 员 P a I г I Q • / J8(/ d 依十出

н ,八 员 P a I г I Q • / J8(/ d 依十出

_口标九4〃2尿l （勿一械）炉

国2誑I力4） 2

_口标九4〃2尿l （勿一械）炉

国2誑I力4） 2

(8.21)

(8.21)

где вследствие (II, 10.32) « = а2 — р2 н b2=a2 + р2. Отсюда и из (8.21) находим, что при всяком 九 ①о (九)》0 и 2a > 力2 выполняются неравенства а2 > Зр2 или а > / 3 0. Следовательно, только в этом случае Фо(^) не имеет отрицательных участков, п (8.20) может быть корреляционной функцией.

Пример 3.

где вследствие (II, 10.32) « = а2 — р2 н b2=a2 + р2. Отсюда и из (8.21) находим, что при всяком 九 ①о (九)》0 и 2a > 力2 выполняются неравенства а2 > Зр2 или а > / 3 0. Следовательно, только в этом случае Фо(^) не имеет отрицательных участков, п (8.20) может быть корреляционной функцией.

Пример 3.

в（Г）= В""吋

в（Г）= В""吋

(8.22)

(8.22)

б0 (厶)=晶J

о

б0 (厶)=晶J

о

8工J/匸

8工J/匸

(8.23)

(8.23)

Пример 4.

Пример 4.

В（「）=

В（「）=

/髙(W)'k(六)

/髙(W)'k(六)

(8-24)

(8-24)

Ф° w=m一")(1+%%+3"?o-

Ф° w=m一")(1+%%+3"?o-

(8.25)

(8.25)

Пример 5. Зададим теперь корреляционную функцию следующим способом-

в(г) =［员(1—при YN(8.26)

I опрч г >г0

Вначале проверим, может лн (8.26) быть корреляционной функцией однородного случайного поля, заданного на прямой (стационарный случайный процесс),

)а

/ (&) = V J § (q) cos 自q 〃I ：? Sin2 -^-》0.(8.27)

Но

,... I df Bq / 4a k

备伍)=一妖丽师2于一加h) (8.27，)

уже не неотрицательная функция, и следовательно, (8.26) не может быть корреляционной функцией трехмерного скалярного однородного и изотропного случайного процесса, хотя для стационарного случайного процесса она и может быть таковой.

Теперь обратимся к проверке возможности для функции (8.26) быть корреляционной функцией двумерного скалярного поля. С этой целью подставим (8.26) в (8.9):

①о(后)=^- j Л) g (1 — м) г dr = J Ji (z)z dz,"о"6

Так как на практике (8.26) обычно используется при г《「о, то /г》а н тогда вместо 左/a в верхнем пределе интеграла можем написать оо . В пределе при большом k находим [26]:

Фо (幻=幾~ k~3.(8.2b)

Однако (8.26) получается из (8.18) при г ^ г0 путем разложения в ряд и отбрасывания членов ряда, начиная с третьего. Вследствие этого в общем случае для двумерного поля имеем

®。(厶)=堂｝Т"。("打=鲁(。2:片2严，(829) откуда при 片》a (г《「o=l/a) получаем опять (8.28).

Последний пример имеет большое значение для приложений в теории атмосферной макротурбулентности, поскольку корреляционные функции температуры и скорости ветра в определенном интервале значений г приблизительно линейны и могут быть представлены в виде (8.18).

Из представления корреляционной функции в виде (8.1) следует, что случайное скалярное поле ^(х) можно представить как стохастический интеграл Фурье——Стилтьеса

Е(х) = jd(k・x)dZ(k).(8.30)

Связь между «амплитудой» dZ (к) и спектральной плотностью Фо (к) имеет вид

dZ(k)dZ*”) =8 (к - к#) Ф0(к),(8.31)

о (к — k/) = o(ft1 — k\) о (局—力2)»(鳥—々3).

ус% теперь на спектральном разложении случайных пе^- Для того чтобы функция B<j (г) была корреля- qm непрерывного однородного случайного век-

торного поля "(х), необходимо и достаточно, чтобы ее можно

было представить в виде

5i;(r) = jd ко du% (к).(8.32)

Когда 屮仃(к)——дифференцируемая функция, то

Bu(r)^ ^^>^tJ(k)dk.(8.33)

Комплексный тензор ①订 удовлетворяет условиям

J |%(к)|Л<оо,

①〃 (к)Х,・Х；》0,(8.34)

последнее из которых определяет функцию как положительно определенную. Подобно (8.4), имеем

ф" (к)=击 J % (г) е- к。公.(8.35)

Отсюда и из (7.2) следует*

Ф17(к)=Фу,.(-к) =Ф；/(к),(8.36)

или, другими словами,①仃(к)——тензор с эрмитовой симметрией. Это свойство позволяет записать спектральный тензор (8.33) еще в виде

5;, (г) = J«>/y(k)cos(k • r)dk.

Полагая в (8.33) г=0, получаем

% (5 = “ (х)勺(х) = J Ф/; (к) dk.(8.37)

Последнее выражение показывает, что в пространстве волнового вектора к тензор Ф<； (к) представляет собой спектральную плотность случайной величины. Позже мы дадим точную физическую интерпретацию величины ①仃(к) для случая, когда П(х) — скорость движения в турбулентном потоке.

Как изотропный тензор второго ранга, зависящий от единственного векторного аргумента к, ①订(к) можно представить в виде

(%(к) = 4 仅)hihj + B(%%j,

нпн、подобно (7.9),

小(k) = %卜%他)一①"〃他)］砧, +①加® %，(8.38)

Где Функции Ф//=ФИ и ФП7г=Ф22=Фзз получили название соответственно продольной и поперечной спектральных плотностей. Uhh связаны с корреляционными функциями Вц (г) и Впп (г),

9 Заказ № 854129

причем эта связь устанавливается с помощью уравнений (8.33), (8.35), (7.9) и (8.38) путем введения сферических координат и интегрирования по угловым переменным. Для трехмерного случая такие формулы впервые получил Яглом [П, 49], которые приводим здесь без вывода:

Ви ⑺=4n j [-^ + 2 噺；-2 ^g^]①〃仅)依 dk + 0 L

十 4d【2 >^ — 2 -^]ф„„ 仅)炉"近 (8.39) О

凡。⑺=4n j 一％优)/ dk十

十4 j+嗇瑞生卜""伊)/林、(8.40)

0

①〃 ® = ^ J+ 2 g" - 2 砌 J 5〃 (r)产 dr 十

0

十聂f M瑞寻一2瑞幫]Bnn (力2 dr,(8.41)

О

т、 / L\ 1 С Г Sin kr COS ^Г 1 D / x 9 J I

"加 ® =J [(储3(Ar)2 ] Bll(Г)Г dr^r

0

十Ml# 十嗇好 ^B^dr. (8.42) 0

Для плоскости имеем [56]:

8〃 (г) = 2 J当留①〃仅)6旅十2n j弊上Ф„„ ® k dk 00

(8.43)(8.43)0000

(8.43)

(8.43)

6““ (r) = 2n J ^i ①“(6) 6 旅十 2n J ^g^ ф„„ ® k dk 00

g他）=* J号爵5"（f公十去J纬»凡,（"Г" оо

88（8.44）

叫“优）=/ Jf）Bu{r>rdr^~^ %需 &〃（r）rdr

Напомним, что в формулах （8.39） — （8.42）

6 = |人；+舄+碌aг=］々；十肩十方.

прИ r2 =г3 =0

九（自）=击J田j5,0,0）e尸

= J J（%（电，E，^з）dk2dk3.（8.45）

Очевидно, fii （ki）=fu （^i）, a /22 （^1） = ^зз （ki） = fnn （龙丄）.

Одномерные спектральные плотности играют большую роль в приложениях, так как только они поддаются экспериментальным измерениям. Если спектральные плотности известны, то трехмерные плотности легко могут быть найдены. Действительно, после перехода к полярным координатам в плоскости （々2, 々з）, выполняя интегрирование в （8.45）, получаем:

/h （自）=2pj ［①"伍）强+ 0%门（々）（1^）］ 6 d伝

九（自）=n f 卜% （6） （1 一*）十①". ® （1 + /" 6 d瓦（8.46）

Отсюда после двукратного дифференцирования по 龙丄 находим следующую простую систему дифференциальных уравнений для ①m（龙）и Ф加（6）：

①""他）-（等粉十1）①"优）="

=Wr ［自急*粉九（自）…，

①"（6） - （6+ 1卜d"" 优）=

=* ［自备专急з（叽7（8:47）

нз которых легко определяются неизвестные функции.

В заключение отметим, что приведенные здесь формулы без особого труда обобщаются для n-мерного пространства. Соответствующие формулы содержатся в оригинальной работе Яг- лома [41].

§ 9. Корреляция случайных соленоидальных векторных полей

Случайное векторное поле называется соленоидаль- н ы м, если дивергенция его равна нулю:

div ч (х) =-Д-vjf (х) = 0.(9.1)

Этот класс полей, как мы еще увидим далее, имеет исключительно большое значение для приложений. Условие (9.1) влечет за собой ряд упрощений в полученных выше формулах для тензорных моментов различного ранга. Прежде всего из (9.1) следует

%(х')證％ (х)=。，

откуда получаем

~^ В” (г) = 0 и аналогично -^ Вц (г) = 0,(9.2)

где %=%； — ха. Сокращенно эти равенства записывают так】.

Div5“(「)=0・(9.3)

Данный тензор назовем соленоидальным по некоторому индексу, или по группе индексов, если векторная дивергенция по соответствующим индексам равна нулю. Следовательно, корреляционный тензор 8行(г) соленоидален по двум своим индексам.

Если В订 по (8.33) подставим в (9.2), то получим соотношение

电①卄(к) ="①“(к) = 0,(9.4)

которое выражает условие соленоидальности в спектральной форме. Последняя формула показывает, что дифференцирование 月仃(г) по составляющим вектора г эквивалентно векторному ум-

1 Символ Di\x означает векторную дивергенцию тензора по данному индексу. Если индексы тензора по отношению к этой операции равноправны, как в (9.2), то пишем просто Div.

ножению тензора Ф,Дк) на вектор к. Это обстоятельство позво- ляет в теории случайных векторных полей многие результаты получить более просто с помощью спектрального метода.

Корреляционный тензор В^(г), как мы уже видели, определяется двумя скалярными функциями:

约(Г) = % (% — B^rfi + &囹.(9.5)

На первый взгляд, поскольку В^ удовлетворяет двум уравнениям (9.2), кажется, что эти функции можно определить. Однако с помощью (7.2) легко увидеть, что только одно из этих уравнений независимо. Поэтому одна из скалярных функций в (9.5) может быть выражена через другую. Имея в виду, что з订(г) зависит от составляющей га вектора г непосредственно и через r= I г I, можем написать

-дГ = —-дГ' 丽=°“。 Н ГА₽=Гр. аР

Затем после дифференцирования (9.5) по 人，

設4№)=产俨)十

+ 5〃 J叨(Г 0 技 + Г АЗ Н片「乱 j，

положим k—i или k—j, просуммируем по повторяющимся индексам и для общего случая n-мерного пространства (6act=n) получим1

［瓦” + (〃 + 1) Ф也 + Г2 (В"丿叫］—=0.

Отсюда следует, что выражение в прямых скобках должно быть равно нулю, в результате чего получаем

瓦十(〃一 1) B"不斗" =0(9.7)

При 〃=3

в„„ = 5"十｝瓦=击(产5〃у,(9.8)

а при 几=2

Bnn = Bll + rB'll^(rBll).(9.9)

■—

Для всех скалярных функций от г знак штрих (') обозначает диффе- ренцирование по г.

Подставляя эти выражения в (9.5), находим:

Bij«)=》Витуj~\~ (% + £8, )j для /г = 3, (9.10l 8/(「)=^~&3/十(8〃十г&)»仃 для 〃 = 2.(9.11)

Отсюда для следов этих тензоров имеем:

Sa (Г) = (г -^- + 3j Ва (г) ДЛЯ 〃 = 3, “(9.12)

представления корреляционныхпредставления корреляционныхтензоров.тензоров.ЭтиЭтиокончательныеокончательныеРис. 24. Общий вид корреляционных кривых Rll (г) и Rnn (г) для соленоидального векторного поля.Рис. 24. Общий вид корреляционных кривых Rll (г) и Rnn (г) для соленоидального векторного поля.斗(г) = (г "^+ 2)8〃 (г) для /г = 2.(9.13)

представления корреляционных

представления корреляционных

тензоров.

тензоров.

Эти

Эти

окончательные

окончательные

Рис. 24. Общий вид корреляционных кривых Rll (г) и Rnn (г) для соленоидального векторного поля.

Рис. 24. Общий вид корреляционных кривых Rll (г) и Rnn (г) для соленоидального векторного поля.

из них особенно (9.10), играют исключительную роль в статистической теории турбулентности. Единственной характеристикой поля остается продольная корреляционная функция В〃(г)・ Формула (9.8), которая связывает ее с Bnn(r)t найдена впервые Тейлором, но получила название формулы Кармана. Из этой формулы вытекает, что 8：乳(0)=2司(0), так что между введенными масштабами (7.13) существует связь入/ = 2入金

Используются также следующие масштабы:

3 = \ Ru«)dr и Z2 = J Rnn(г)dr,(9.14)

Оо

которые называют соответственно продольным и поперечным ин- гегральными масштабами. Они дают представление о линейных размерах области, в которых корреляция существенна. Из (9.8) и (9.14) находим, что Li=2£2. Поскольку Вц (г)——убывающая функция, то Q；(r)V0 и, согласно (9.8), В?1П(г) < Вц(г). Графики этих функций (рис. 24) расположены один над другим.

Для больших значений г возможно, что — В： > Вц и Впп (/*) становится отрицательным. Действительно, если предположим, что для нужных нам значений m справедливы выражения

lim [rm+1 Ви (г)] = 0 и f rmBH (г) rfr < оо (т > 0), …8 0

то из формулы (9.8), которую можно переписать еще в виде гтВпп + 石丄产5〃 =；备(严+i&),

J i^B^drJ i^B^dr“осле интегрирования находим

J i^B^dr

J i^B^dr

(9.15)

оо

口рн т=0 снова получаем 丄丄=2丄2, а при т— 1

^rBnn(r)dr = 0.(9.16)

О

Последнее равенство показывает, что функция Впп (г) имеет отрицательные участки.

Положим теперь в (9.15) вначале т=2, а затем т—3. Получим

]r^{Bu(r)^2Bnn{r)\dr = Q,*

О

p[fi„(r) + 5„„(r)]rfr = 0.(9.17)

О

Но, согласно (9.5), для случайного векторного поля в пространстве (枕=3) Вц-\-2Впп = Вц (г), а в плоскости (п=2) Вц-\-ВПп = =Вц (г). Поэтому 'ОО

^r2Ba(r)dr = 0 ДЛЯ /2 — 3, О

J 尸稣・(г) dr = 0 для 〃 = 2.(9.18)

о

Умножим теперь (9.1) на величину 刀；刀；=刀＞ (x')t]r (х‘) и ос- редним:

备 ”；％” =Di%3沙"(г) = 0.(9.19)

Следовательно, тензор третьего ранга Bjh, г(г) соленоидален по индексу £ и симметричен по j и ^. Вообще, если для некото- Р°го тензорного момента произвольного ранга в данной точке взять только одну составляющую соленоидального вектора ”(х), то зтот тензор соленоидален только по индексу, соответствую- ^емУ этой составляющей.

Тензор Bjhj i (г) определяется, как мы уже знаем, тремя скалярными функциями. Из тензорного уравнения (9.19)

135

получаются два скалярных уравнения для этих функций, так как DivgB讣，f=Q强 ——тензор второго ранга, выражающийся через основные тензоры r/h и 6j兀，н поскольку последние не сводятся один к другому, коэффициенты перед ними необходимо положить равными нулю. Тогда из (7.18) имеем

Div, Bjk,, = [4(% 一 以"，一 2%) +Г(如二*也制‘十

十券(华)T八+ [4 %+- BQГ(制" 4 = 0.

Согласно сказанному выше, находим:

Binn = — [впП1 + £ 8山)‘

Bih = —28rt„/ ‘ или еще

Bnni = —^~ Вщ; В1пп = ； ^/п + 个 8, ’(9.25

а для общего вида тензора Bjhti имеем выражение

Bjk* t(r)= "^ (吕〃 一г Bin) г f ftrf +

+ ~^r (修〃 + } &1)(r加 + г譌/) —^-尸0必・(9.21)

Следовательно, тензор Bj匕£ определяется только одной скалярной функцией — продольной корреляционной функцией третьего порядка Вщ{г). Если в формуле (9,21) положим ，=j и просуммируем, то получим

%,(Г)= }(条 + 刃吕"(г)%(9.22)

Остановимся теперь кратко на спектральной теории случайных соленоидальных векторных полей. Подставляя Ф^(к) нз (8.38) в (9.4), получаем

电 %^ 砧 j+ф"/阳-% (6) ki=。，

или

①"伍)三0.(9.23)

Таким образом, для соленоидальных векторных полей продольная спектральная плотность тождественно равна нулю. Тогда вместо (8.38) имеем

①"(2 = — % Ф„„(^)电© + ①““但)加(9.24)

В соответствии с (9.23) первые слагаемые в (8.39) и (8.40) пропадут, так что

丛⑺=4n j ［ 2謂第一2鵠後］ФЛЛ他)4 W о

Г Г sin kr . cos kr sin kr ［小 ,< ч -

&“ (r) = 4吋［―^―十 T^Fp (Fj3~］ 1 ™(6)k'dk- (9-25) 0

Зля применения спектрального метода в статистической теории турбулентности имеют значение как сама функция Фпп (6), так и связанная с нею функция 1

小优)=} j <%(k)dS = 4n/<D〃“(6),(9.26)

физический смысл которой будет выяснен ниже. Вводя эту функцию в (9.24), получаем•

,% (k)=嘿~ 但陶一6咼)•(9-27)

Если (8.42) умножим на 4冗必 и подставим Впп (г) из (9.8), то после элементарных преобразований найдем

①伍)=J J вh (r)尼产(";)cos 历)dr. (9.28)

Обратная формула вытекает непосредственно из (9.25):

8〃 б = 2 j一 cos 斤)dk. (9.29)

О

Представляют интерес также формулы

；当⑺=母硒/ = J Ф但)普* d阮 0

①他)=；\ Ви(г) sin kr krdr,(9.30)

где &£(「)=( г_^— + з) &(r). Отсюда при r=0 имеем

3 * = -у- * = j(D (左)d左.(9.31)

-~~0

1 Вследствие изотропности интегрирование по сфере радиуса k сводится к умножению на 4门依.

С другой стороны, если ①订(к) из (10.24) подставим в (9.33), то получим

5/ (г) = J е‘ (к»(拓 _ 咫居)^пМ dk,疋=kjk, откуда при i=j и г=0 находим

3 噜=J ф他)dk = f f j Ф„„ 他)依 sin 6 dk dBd* =

~обо

=4r J ^nn (^) dk.(9.3「)

0

Во многих физических процессах величина 刀；служит мерой мощности процесса, так как в согласии с (9.31) и (9.31х) функции Ф(^) и Ф?1П(/г) дают распределение 刀：в спектре волновых чисел и в пространстве волнового вектора соответственно. К вопросу о физической интерпретации этих функций мы еще вернемся в гл. VI, § 2.

Для соленоидального векторного поля значительно упрощаются и формулы (8.46), связывающие одномерные и трехмерные спектральные плотности. Подставляя в них Ф(/г)— =4л^2Ф„?2(^) и полагая ①〃伍)=0, получаем:

Исключая Ф(^) отсюда или, что все равно, из (8.47), находим следующую связь между одномерными скалярными плотностями:

九”(自)=$(i-自割九(幻；

九(自)=2自%-2 九"(Dk(9.33)

Для двумерного случайного соленоидального векторного поля эти формулы имеют другой вид. Действительно, из

/〃 (財)=；f 8〃 (г) cos h、rdr,

О

九П®)=上亍в““(г)cos 储rdr(9.34)

О•

и Из (9.9) легко находим

(电)=-自备力,(瓦);

(9.35)(9.35)A(M = J^1/„„(q^.

(9.35)

(9.35)

В то же время для данного случая имеем

九(电) = 4"j5"("8s自/= J оп(к)^2 =0— оо

где 々2=々：+6^. Переходя к интегрированию по k вместо fe, получаем*

九(自)=2 J Ф„Л 他)]/*一居 dk_ .(9.36)

Аналогично находим

力"(自)=j①22(k)* = 2j(竺諄)9""(舟*= 一 ОО0

一 99 е Фин他) d々

k 2Ф„„ (^) dk = 2kl J.(9.37)

Эти формулы можно переписать в несколько другом виде, если ввести функцию Ф(^), описывающую распределение энергии по спектру волновых чисел

g 脅=J Ф (6) dk.

О

Но так как, согласно (9.24),

4■廟卜％ (k)d^=^-^nn(lt}dk = ^4>nn{li)kdk, очевидно, что

Ф^^^ФпЛ^(9.38)

‘%出)=屮团一曾)=第(吟一砧丿).(9.39)

Формулы вида, обратного (9.32), вытекают из (8.47):

①佳)=[肩备(砧]…，

Ф 优) = 2*1 —自爲)九“(电)一九(电)]=* ,(9.40)

где fu(ki) выражается первой формулой (9.34). С помощью этих формул на практике определяется трехмерная спектральная плотность по технически легко определяемым одномерным плотностям. Для теории турбулентности это обстоятельство имеет огромное значение, поскольку позволяет получать надежные опытные данные о спектре турбулентных пульсаций скорости, которые можно сравнить с теоретическими результатами.

Рассмотрим теперь поведение функции Ф(/г) в окрестности точки 6=0 [II, 82]. Имея в виду, что Ф(^) —четная функция и ф(0) =0, можем написать следующее разложение ①(6) в ряд Тейлора:

2伍)=彳俨(0)十*WV(o)十告 ①、](0)十...(9.4П

Но из (9.30) следует

2 ”(叽=о =胃(Т 严 j 餐(^+3)8〃 (r) dr =

= ^-(m- 1) (-l)m \r2mBn(r)dr.(9.42)

Отсюда непосредственно определяем

9〃 (0) = 0, Ф^ (0) = -|-f г4 Ви (г) dr*q>vi(o)=—^沁〃⑺办.

Подставляя эти значения в (9.41), находим

①他)=2卜凡(Г)公-聂卜旦6"十оо

+ gfo^J //(г)" — . . .(9.43*

Такую же формулу можно получить, если разложить в ряд подынтегральную функцию (9.28). При 龙一> 0 получим

ф 仅)С” + О 他6), с = j 产8" (г) dr.(9.44)

6

формула (9.42) показывает, что количество существующих производных от Ф(^) в начальной точке 々=° зависит от сходи- мостн интеграла, стоящего в правой части. Но число производ- ннх определяет степень гладкости функции Ф(^) в нулевой т0Чке. Поэтому Ф(^) зависит от скорости, с которой функция В (г) стремится к нулю при оо.

Аналогичным методом в результате дифференцирования (9.29) получаем

^^(r)|r=;0 = -(2^=lL-J k^(k)dk. (9.45)

Поскольку (9.42) и (9.45) имеют одинаковый вид, все рассуждения, проведенные выше, сохраняют силу, только Вц(г) и ф(^) меняются местами. Так, степень гладкости Вц(г) при г=0 зависит от скорости, с которой ①(6)f 0 при 龙一>8. В случае, если 月 имеет отрицательную степень (Ф (k)^ k~8), то Вц(г) не имеет производных при г=0 с номером 2m > s, потому что интегралы в (9.45) расходятся. Но поскольку известно соотношение [II, 1]*

^^ =(-1)。[喪8，，同』(0十 9 = 2砌(9.46)

то из него вытекает, что не существует ни одной производной более высокого порядка и от самого случайного поля ”(х), а степень его гладкости определяется в конечном счете скоростью затухания спектральной плотности Ф(^) при 々f 8. Этот вопрос имеет большое значение в спектральной теории турбулентности н к нему мы снова вернемся в гл. VI, § 2.

Тензор 8门,М「)можно представить в виде интеграла Фурье:

35Mr) = Jd(kr，a/,*(k)dk(9.47)

и, наоборот,

,%我化)=击J""g%*(r)dr.(9.48)

С другой стороны, тензор ①订，百 вследствие его симметричности по I и j и изотропности может быть выражен в виде (6.10):

,% а (к) = %仅)々/网十Г2优)(砲注十学浦十1\(出6阳•

Отсюда и из условия соленоидальности по k

б幽厶在(k) =0 получается уравнение

(炉*+ 21\)田电+炉可" = 0, Из которого находим

Г3但)三0，厶(田=一与炉％(6).

Следовательно, и спектральный тензор Ф；^ ^(к) определяется голько одной скалярной функцией. Поскольку для действительных полей единственная спектральная характеристика также должна быть действительна, а, согласно (9.48), Ф/；, й(к)—— комплексный тензор, то необходимо положить 「1(々)=»「(龙)，и тогда получается

'»,；, * (к) = /Г 优)М危-4 (碇j* 十切&)] .(9.49)

При i = k

’1%,在(2 = -/2f(向传.(9.50)

§ 10. Корреляция случайных потенциальных векторных полей

Векторное поле ц(х) называется потенциальным, если его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля Е(х)

(10.1)(10.1)”(x) = gradE(x).

(10.1)

(10.1)

Если Е(х)——однородное и изотропное случайное скалярное поле, то "(х) будет таким же векторным полем. Вследствие этого корреляционный тензор В；?(「) примет вид

民夕(r)=而=3 (8俨一魏)3j 十或)?/ . (10.2)

Индекс р показывает, что речь идет о потенциальном поле. Такие поля впервые рассмотрел Обухов [22]. Если известна корреляционная функция скалярного поля

8(г) = Е(х)Е("「),(Ю.З)

то из (10.2) легко могут быть определены В)? и В^. Действительно, из (10.1) имеем

8序(X, X)『,(x)芍(x')=余景=,Joxt дх^ dxt dXj

или

国产(Г)=-号瑞=一备(g0)=—-r (% 3, 一 早丛

(10.4)

Сравнивая последние соотношения с (10.2), получаем

В^(г)=--^-- В俨(г) =— В" (г).(10.5)

Отсюда вытекает, что между продольной и поперечной корреляционными функциями потенциального случайного векторного поля существует связь

в^⑺=凡"g十Г窑现父(Г)=*G用"工(1 °。6)

полученная впервые Обуховым [30]. Эта формула коренным образом отличается от формулы Кармана (9.8) для соленоидального поля "(х) и более похожа на (9.9), в которой функции

RlPI(r]

Рис. 25. Общий вид корреляционных кривых璃(г) н 關(г).

поменялись местами. Впрочем, (10.6) имеет силу и для случайного поля на плоскости. Подставив BiP из (10.6) в (10.2), получим

8伊(r)Н；(必")‘3,•十8鄒/(Ю.7)

Поскольку В^(г)—убывающая функция, (B^)'VO, то между продольной и поперечной корреляционными функциями существует соотношение 威)(r)WB^!(r) (равенство возможно только при г=0)——графики этих функций расположены один на” другим (рис. 25), т. е. как раз наоборот по сравнению с рис. 24. При этом не исключено, что В^ (г) принимает и отри- нательные значения.

Аналогично (9.15), из (10.6) при условии ит(гтВ^) =0 имеем2 8

j 产 8俨(г) dr = — т J 尸 8黑)(r) dr.

При m= 1

jr 仍修⑺十 3£)(r)]dr = 0. О

Эта формула соответствует второй в (9.17), и, очевидно, должна быть отнесена к двумерному полю.

Поскольку функция В (г) имеет максимум при г=0, то около этой точки

8(г) = 8(0)十?8〃(0)十...，

причем В"(0) V0. Используя этот ряд и (10.5), получаем

8修(0) = 5^)(0) = - В" (0) > 0.(10.8)

Из сказанного до сих пор следует, что (10.6) —необходимое условие существования потенциального поля. Докажем, что этого и достаточно.

Известно, что необходимым и достаточным условием потенциальности векторного поля ”(х) является rot ”(х)=0. Принимая во внимание, что rot-q — антисимметричный по i и j тензор 明尸/"一談%•，(10.9)

заключаем, что статистический момент

3",*(r) = 2j(x')%(x)(10.10)

есть также антисимметричный тензор третьего ранга, зависящий от одного векторного аргумента. Поэтому он должен иметь вид

Wу, * (г)=尸(Н (Г^ - rfij^.(10.11)

Интересно отметить, что производная (10.11) по г», или по г” является симметричным и соленоидальным по двум этим пдек- сам тензором второго ранга. Действительно,

Di, В”, * (г) = 一 з* - (2尸 + 疗)诚.

Наша задача заключается в том, чтобы доказать, что в (10.11) 尸(г)мО.

Если последнее справедливо, то потенциальное векторное поле "(X) не коррелирует с rot”(x), а поскольку производное поле получается посредством линейной операции из первого.

с вероятностью, равной единице, имеем rot"(x)=0. Подставим (10.9) в (10.10).

%坦=3 破-六 國=£ 礎一/ 欧=

joxjdxiuri

—~^j ［±(8俨一，総)3* 十 8例 4』—

—詣［%(8 俨—砒))rf k-\-碗)％*］

н, выполнив указанное дифференцирование, получим

%, * (г) = % К8%))' — 8俨］(「闷 一 /%).(10.12)

'Так как предполагалось, что (10.6) имеет место, из сравнения (10.11) и (10.12) получаем 尸(厂)三0, что и требовалось доказать.

Остановимся теперь коротко на спектральной теории потенциальных векторных полей. Спектральный тензор Ф^ (к), подобно (8.38), определяется двумя скалярными функциями ①;f)(6) и Ф^(^) и имеет такой же вид. Если в уравнение (8.31), относящееся к произвольному случайному векторному полю, подставим Вц (г) из (10.6) и проинтегрируем по частям первый интеграл, то получим

©%)优)三 0.(10.13)

Обратное утверждение, т. е. если (10.13) в силе, то векторное поле безвихревое, также верно. Следовательно, при потенциальном поле, в отличие от (9.23), поперечная спектральная плотность тождественно равна нулю. В соответствии с этим для поперечной корреляционной функции В^(г), которая, согласно (10.7), служит единственным определяющим скаляром тензора 月仃(「)，из (8.40) находим 1

砒(Г) = j^^(^1 -cos Ar)dk (10.14) 0

乩 наоборот,

Ф(₽)优)==j 8俄)(r)依产［^L. 一 cos 6, dr, (10.15) 0

'Ср. с (9.28) и (9.29).

1。Заказ № 854145

где

Ф(，)® = 4霏后①沪(初(10.16)

Легко можно отыскать связь и между ①® (々)и спектральной плотностью ①о(龙)(8.7) для самого скалярного поля Е(х). Если продифференцируем (8.8) по г и подставим в первое уравнение (10.5), то получим

в^ (г) = 4n j ”旣"(豊券-cos Ar) dk.о

Сравнивая последнее с (10.14), находим

Ф(₽> (^) = 4^4Ф0(^),(10.17)

или еще

Ф俨优)=必% 伍).(10.17,)

Подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, можно получить простые формулы для одномерных спектральных плотностей f护(Е) и 尸黑(財)• Так, при Ф^(/г) =0 из (8.46) и (10」7‘)следует:

力Р (瓦)=2n咫 J ①俨(6)嘗=2n启 J'T>0(fe) k dk, (10.18)

網他i) = nj (1 一爵)近D 俨候)dk = ^{^- 启)Фо 他)k dk.

'6'(10.19)

Наоборот, из (8*47) при ①嗯,(6)三0 получаем

他)=2 [总备备备阳(自)卜宀•(10.20)

Исключая отсюда и из (10.18) Ф(р\ найдем 4:

/修他1)= 一瓦粉/総伍1)； /毋(自)=【LK华0k (10.21) Наконец, из (10.20) и (10.21), или непосредственно из (8.47), получаем

(1№)® = 2 [(2 -自备)/伊(每L=厂 (10.22)

Ср. с (9.33).

Для найденных формул остается в силе сказанное выше в отношении формул (9.32) и (9.33). Дополним только, что (10.20) м (10.22) после замены ①(。)(々)на 4л^4Ф0 (^) позволяют определить трехмерную спектральную плотность ①о (6) поля скалярного потенциала Е(х), если известны одномерные плотности векторного поля.

Если сравнить результаты этого параграфа с данными предыдущего о соленоидальных векторных полях, то можно установить, что класс функций, к которым принадлежат поперечная корреляционная функция и продольная спектральная плотность случайного потенциального векторного поля, совпадает с классом продольных корреляционных функций и поперечной спектральной плотности соленоидального векторного поля. Это обстоятельство, кроме того, что позволяет без труда построить примеры таких функций, наводит на мысль, что линейные комбинации из соответствующих функций могут быть корреляцион' ными функциями и спектральными плотностями произвольных (несоленоидальных и непотенциальных) векторных полей. Иначе говоря, данное поле можно разложить на потенциальную и Соленоидальную составляющие. В следующем параграфе мы дадим доказательство этой теоремы, известной как теорема Обухова [22].

Взаимная корреляция соленоидальных и потенциальных случайных векторных полей

Понятие случайного поля допускает обобщение, аналогичное понятию многомерного случайного процесса. Если & (х), g2(x), • -., gfe(x) суть k случайных скалярных полей, a ”i(x), ”2(х), • • •, ”п(х) суть п случайных векторных полей, то их совокупность можно рассматривать как одно m-мерное поле (m=n-\-k)

W={^ (x)s В2(х), . . Bft(x); 口(х), %(х),…加(х)} • (П-1)

Указанные поля назовем составляющими m-мерного поля ”т Д貫я того чтобы такое поле было статистически однородным и изотропным, недостаточно, чтобы только его составляющие были таковыми, необходимо еще, чтобы они были связаны между со- °°比 однородно и изотропно. Последнее означает, что не только автокорреляционные функции скалярных составляющих и тензорные моменты векторных составляющих должны быть инвариантны относительно полной группы движения, но этими

1°*147

свойствами должны обладать и взаимные корреляционные функции и тензорные моменты.

Если в (11.1) 6=0 и m=2, a ”[=”(R)(x) и ”2=”⑻(х), т. е. имеем потенциальное и соленоидальное векторные поля соответственно, то

刀⑵(х)=(笃①)(х),刀⑹(х)}.(11.2)

Прежде чем приступить к изучению этих двух полей, остановимся еще на одной элементарной, но чрезвычайно важной теореме о взаимной корреляции случайных скалярного и соленоидального векторного полей.

Теорема 1. Если случайное скалярное поле Е(х) и случайное соленоидальное векторное поле “(х) образуют единую систему однородно и изотропно связанных полей, то имеет место соотношение

現(r)=E(x)nf)(x')^S(И.З)

Доказательство. Тензор первого ранга в общем виде записывается так:

4, (г) = А° (г)乙•( 1L4)

Поскольку тензор (11.3) соленоидален по индексу i, то дивергенция этого тензора равна нулю, Div/Boi (г)=0, или

备[& (г) 6 ]=人? 〃十 А^н = Мо 十 nA0 = О, откуда

AG(r) = cr \(П.5)

Для случайного поля в пространстве п=3, а на плоскости п=2. Так как корреляционная функция непрерывна и при г=0 не может иметь особенности, то коэффициент с=0, или AG(r) = 三0, что и доказывает (11.3). Таким образом, доказано, что эти два поля не коррелируют между собой (но в общем случае могут быть зависимыми). Эту теорему можно формулировать и по другому: соленоидальные изотропные векторные функции от г тождественно равны нулю.

Доказанная теорема, примененная к соленоидальному по индексу k тензору Btj,女(「)，приводит к соотношению

8"，*")三0.(П-6)

Эквивалентное скалярное уравнение, аналогичное первому уравнению (9.17), согласно (7.18), имеет вид Bui+2Bnni=0. Когда

тензор В订，女(「) задан в общем виде (6.10), условие (11.6) приводит к алгебраическому уравнению для скалярных функций^ которое получается путем простого умножения, и вследствие ЭТоГо значительно удобнее. В будущем мы многократно будем использовать доказанную теорему и следствие (11.6).

Рассмотрим теперь взаимную корреляцию потенциального и соленоидального векторных случайных полей.

Теорема 2. Если случайные векторные поля "⑺)(х) н "⑻(х) связаны однородно и изотропно, а взаимный их коэффициент корреляции стремится к нулю при rf 8. то при всяком г справедливо тождество

凡夕')(Г) = n"(x)*s)(x，)三 0.(11.7>

Другими словами, докажем, что при указанных выше предположениях два поля не коррелируют между собой. Этот факт был установлен Миллионщиковым, но впервые данную теорему сформулировал и доказал Обухов [22].

Доказательство. Вследствие того что два поля однородно и изотропно связаны, получаем

W (г) = % 仍俨 S)_ 碗，S))з/十 磯 S)г...(11.8>

Здесь мы имеем пример соленоидального только по одному индексу (в данном случае по /) тензора второго ранга. Поэтому между скалярными функциями в (11.8) должна существовать связь (9.8)

砒" =8俨"十号备8俨".(n.9>

В то же время необходимо удовлетворить и (10.6), так как одно из полей потенциально

8俨а = Вк+г$ 碗，叱(Н.10>

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (11.9) н (11.10) совсем элементарна. Общее ее решение имеет вид

8俨 5) (г) = С! - 2c2广3 ； 8総 S)⑺=& 十 С2r7，(11.11>

где Ci и С2 ——произвольные константы. Поскольку корреляци- °нная функция в нулевой точке не должна иметь особенности, 夂 при г-> оо, согласно предположению, стремится к нулю, то & = С*2 = 0, или

8俨》(г)三 0; В^ а 三 0,

что эквивалентно (11.7).

В конце § 10 упоминалось, что спектральное разложение соленоидальных и потенциальных полей дает возможность представления корреляционных функций произвольного однородного и изотропного случайного векторного поля в виде суммы их потенциальной и соленоидальной составляющих. Теперь докажем, что это действительно так1.

Допустим, что случайное векторное поле т)(х) разложено на сумму потенциальной и соленоидальной составляющих

胃(х)=可 Р)(х)十”⑻(х),(11.12)

однородно и изотропно связанных между собой. Согласно (11.7), эти составляющие не коррелируют между собой, так что

— DUDll ,

当“=酬夕十3仅(11.13)

Докажем теперь, что для нахождения функций В^, В^, 吗?I и 5(* нет необходимости разлагать само поле т)(х) на сумму потенциальной и соленоидальной составляющих (11.12), так как они однозначно определяются разложением (11ЛЗ). Предположим также, что все корреляционные функции ограничены при г=0 и стремятся к нулю при ft 8. Для четырех неизвестных функций, кроме двух алгебраических уравнений (11.13), существует еще два дифференциальных—— (9.8) и (10.6):

凡"=卜/十1)3优

3*=(与备十1)硫)，(11.14)

которых достаточно для их определения. Решая эту элементарную систему, находим:

础(Г)= 一等 f (В„„- &) у7 dy 十备 j (% + 2&“) y-2 dy, г0

В册(г) = В"— В)；).(11.15)

сог

魏(r)=等((统"一%)yT dy - 嘉 J ® + 2统")y-2 dy, гО

碗(「)=&“—碗).(11.16)

Аналогичные формулы получаются и для случайного поля на плоскости.

Здесь приводится доказательство Обухова [22], предложенное им б 1947 г.

150

Наконец, докажем, что полученное решение единственно. Допустим, что существует еще одна система решений 纬)， 5缁 , 占夕)и В^ . Обозначим

D^ = В^ -豆^; D^ = В^ 一 万乳

D^=国产-瓦产;0产=風$ _方忆 (11.17)

Как легко проверить, эти функции удовлетворяют уравнениям

О," + Г^=0； г»俨=卜 ^一 十 1) D^!;

。护 + £)記=о； D^ =(4^+0»孔(11.18)

Общее решение (11.18) совпадает с (11.11), так что

0^ = 一0,%。伊= — £)*)；

D^^C^C./ 3-, D^^C.-^C^.•

Выбранные ранее граничные условия при г=0 и г^оо приводят к тому, что &=&=" или

勿产=制 =Г)护=D^三Q.

Последнее и доказывает единственность решения.

§ 12. Корреляция некоторых производных полей

Во второй части книги очень часто придется исследовать корреляцию полей, производных от основного случайного векторного поля т)(х). Поэтому остановимся здесь на данном вопросе специально, для того чтобы получить некоторые наиболее часто используемые формулы. Исходя из предположения, что Ч(х) ——соленоидальное векторное поле, выразим определяющие скалярные функции тензорных статистических моментов производных полей через продольные корреляционные функции 2〃(г> И В帆⑺ поля п(х).

Введем известный псевдовектор

Q (х) = rot 胃(х).(12.1)

Независимо от того, т)(х)—соленоидальный вектор или нет» псевдовектор С(х) всегда соленоидален. Действительно,

' divS(x) = div rot 胃(х) = 0.

Псевдовектор (12.1) можно записать в составляющих:

(12.2)(12.2)4(х) = %“^%(х).

(12.2)

(12.2)

Статистический момент В(* (『)=◎[◎；——симметричный и соленоидальный по двум индексам тензор второго ранга, и вследствие этого он может быть представлен в виде

民г(r)= 一击 与 成)*十(1十f /)必З) %(12.3)

С другой стороны,

% = 2说，"力网 丽 4" 可 % = - ^ikm-jpg .矶下p ■(12A)

Используя тождество (1.4), после некоторых элементарных преобразований получаем

砲” (г) = 7^~ + I 仍"(г) 一 ％ (г) %],(12.5)

где

Аг — д2/дгч дгч(12.6)

есть оператор Лапласа. Если Л (г)——скалярная функция, то

=；4呑十(А" — ； 4)$

и, следовательно,

АД^Д^ + ^Д^^зД.'(12.7)

Имея в виду последнее соотношение и (9.12), из (12.5) при i=j получаем

研(г)=—\4(г),

или

卜曷 十3)8們(Г) = 一2卜/十2“"⑺.(12.8)

Легко проверить, что справедливо следующее операторное тождество:

厶(г / 十 3)=卜 4^ + 3)2・(12.9)

Тогда вместо (12.8) получаем

(Г^十3)3户=一卜*十3)2%，

откуда находим искомую связь

砂(г) = -£>#〃 (г).(12.10>

Наоборот, если функция В^ (г) известна, то (12.10) представляет собой обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, из которого можно определить Вц (г). Такая задача возникает, например, когда отыскивается корреляционная функция векторного потенциала т)(х). которая определяется из т)(х) =rot т)(х). Такое представление возможно, поскольку по предположению divJ]—0. Тем же методом доказывается, что

Корреляционный тензор В^ (г) также можно представить в виде интеграла Фурье

必；)(г) = f e"k・r)Q〃 (k) dk.(12.11}

Подставляя (8.21) и (12.11) в (12.5), получаем

%・(k) =①^他)(胪呑・一自储)-后%(k).(12.⑵

Отсюда находим

鸣/候)= /&%(©,(12.13)，

а также

}璃=} J 融%•他)dk = J 炉电(k)dk,(12.14>

где Ф (k) дается (9.25).

В приложениях часто встречаются производные тензоров

8/ (『)=、禺} (г); Bi^k (г) = А 石 / k (г); Г ik (г) = DE ’В» 也(г),

(12.15)，

где ^г=д21дга，дг^. Этот оператор не изменяет ранга и свойств тензоров, так что тензор 6(* ——также соленоидальный по двум индексам тензор второго ранга. Искомую связь между опредеЛяющими скалярными функциями двух тензоров получим, если Сложим i=j и просуммируем:

用？ (г) = △,& (г),

или, что все равно,

卜等十 3)з别=А (г ^ + 3)Blt = (r-^+3)D5Bll；

отсюда находим

砂(г) = ад, (г).(12.16)

Сравнивая последнюю формулу с (12.10), заключаем, что определяющие скаляры тензоров В^ и В(皆 отличаются только знаком.

Подобным способом, используя (9.22), получаем

d^Biu - r; = Дг (厶5〃[ • г/), где для простоты обозначено

弘一 dr + г '

(12.17)

Однако, как нетрудно проверить.

\(^ra) = D5A • %,

(12.18)

так что

d^Biu^ = D5dбВщ.

(12.19)

Решая это уравнение относительно В^ (г), получаем

或)(г) =(А-匍 Зш(г).

(12.20)

(А)

Если вместо Вщ и Вщ введем новые функции

S (г) = 士 вш(г), S")(г)=吃 В^ (г),

(12.21)

то (12.20) приобретет более простой вид

Sw(r) = D1S(r).

(12.22)

Ряд авторов использует именно функцию S (г) в качестве определяющего скаляра тензора В仃，冗(г). Хотя эта функция и не имеет определенного физического смысла, как Вщ (г), при использовании ее тензор В仃，左 в общем виде записывается более просто, чем в (9.21):

В/ дг) = ^- S'r^f, - (rS1 + 3S)(哂& + r^ + 2Sr囱.(12.23)

В заключение рассмотрим тензор 7\&=DiVjB仃，冗， который соленоидален только по индексу 女，так что для него (9.12) выполняется. Имея в виду (9.22), получаем последовательно

Ти = i (Г) = 4"击 「/)'

卜^ +3)b屮=% 卜 g + 3)厶5" '

или

B^ir^^d-Bmkr).(12-24)

В приложениях часто появляется необходимость выразить средний квадрат лапласианов (Д§)2 и (ДлО2 через спектральные характеристики случайных полей £(х) и т)(х). Очевидно, что

дйТ = ДгёГ = д；в(г),

А% А% = £ %" = А/“ (Н-

Отсюда и из (8.2) и (8.33) при г=0 находим:

ЩР = J 依％ (k)dk,(12.25)

(М5 = J 胪％ (k)dk =〕依［% (k) + (и-1) Ф„„ (k)］ dk. (12.26)

В трехмерном пространстве (м=3) после введения сферических координат (dk = fe2 sin 0 dk t/ф rf0) и использования условия изотропности получаем:

Щр = 4е『К 伍)dE,(12.27)

О

砌= 4nf 胪 2〃 伍)十 2^nn(k)］dk.(12.28)

О

Из этой формулы при ①〃三0 находим формулу для соленоидального поля, а при Фпп=0 — для потенциального. В последнем случае с помощью (10.17')(八平产 можно выразить через спектральную плотность ①о(女)самого скалярного потенциала

(5)2 = 4п］胪％ 伍)d瓦(12.29)

О

Для случайного поля на плоскости (м=2) после перехода к полярным координатам (dk=kdk dq?) в (12.25) и (12.26) получаем:

唠=2n j 炉① ° 传)dk,(12.30)

О

W= 2 J 或［①"信)+ Фпп ⑻ dk.(12.31>

0

Подобным образом можно получить выражения и для (Vg)2, (А笛)2 и (八2川)2 и т Д_ Очевидно, что

讯〒Г =—並 财=—±3 (г).

Тогда

(V Е)2 =］炉①о (k) dk = 4n j 依％ 传)dk 0

(12.32)

в пространстве и

IVl7=2n］依①о® 眾

(12.33)

на плоскости. Аналогично

(«е)2 = 4 J 炉。①°® 眾 0

(12.34)

в пространстве и

(、2Е)2=2к，％3)№ 0

(12.35)

на плоскости. Вообще при m= 1, 2, 3,…(V2=A)

(V2mЕ)2 = 4n j i+2 ① 0 仅)dk 0

(12.36)

в пространстве и

"2嗔)2 =2n ( 2+1①£竹霏

(12.37)

о

на плоскости, Формулы для векторного поля имеют аналогичный вид..

§ 13. Локально однородные и изотропные случайные поля. Структурные функции

Случайное скалярное поле Е(х) называется локально однородным и изотропным в области G, если приращение

砧(х) = Е(х +「)一Е(х)(13.1)

однородно и изотропно в знакомом нам уже смысле. Это означает, что законы распределения вероятностей для 6rg(x) инва- 156

риантны относительно полной группы движения в области G. Впервые это определение было дано Колмогоровым [II, 13). В согласии с установившейся терминологией, случайные скалярные поля, удовлетворяющие этим условиям, естественно назвать локально однородными и изотропными в строгом смысле. Подобно понятию «случайного процесса со стационарными приращениями», новое понятие более широкое, потому что оно требует инвариантности законов распределения не для абсолютных значений поля в различных точках, а только для их разностей. Это обстоятельство расширяет класс реальных полей, входящих в рамки излагаемой теории. Ясно, что однородное и изотропное случайное поле g(x) будет локально однородным и изотропным, обратное же утверждение в общем случае неверно.

Согласно определению,

W)=o,

Г»(х; г” Г2)= %Е(х + у)》貝у).(13.2)

С помощью тождества (II, 11.3) без труда находим 1*

£> (х； Г], Г2)= } ID(П) + D(r2)-D(r2- Г])],(13.3)

где

£>(r) = Q(r)= I 话(х)|2= [Е(х + г)-Е(х)]2(13.4)

называется структур ной функцией поля g(x).

Для однородного и изотропного поля Е(х) использование структурной функции D(r) взамен корреляционной 5(г) в ряде случаев предпочтительнее по соображениям, которые были изложены в гл. II в отношении D (т). Подобно [II, 11.7], находим

D(r) = 2[B(0)-B(r)].(13.5)

Поскольку В(8)=0, имеем

D (оо) = 25 (0), D (0) = 0.(13.6)

Данное определение легко распространяется и на случайное векторное поле. Если для приращения введено обозначение

>%(х) = %(х + г)-%(х),(13.7)

ТО функция

与(х; Г], Г2)=闻”(х + у)》2%(у)(13.8)

Ср. с (II, 11.12).

называется структурным тензором поля т)(х). Как и в случае скалярных полей, здесь удобнее рассматривать тензор

Q” (「) = 2,(。；「‘「)="凡(у)窃т『(у) •(13.9)

В отличие от (13.3), тензор Qtj(x;门，r2) в общем случае не- может быть выражен через Q订(г), однако сумма。订(х;门，r2) + 4- Djt (х; и, r2) выражается через Dij (г) [41]. Это утверждение непосредственно вытекает из тождества

(^ 一 %) (% - %) + (出一%) (0 - 4)=(af—4)(出一斗)+ + (〃一 6)(% — g)—依一4)(出—с/ —(仇一4)(% — dj)・(13.10) Но если

Q〃 (x； h，r2) = £)^(x; г1? г2),(13.11)

то с помощью предыдущего тождества легко получить1

М/ (х； rj, r2) = -i- [£)(J (rj + Dsj (r2) - D^ (r2 - rj]. (13.12)

Как отметил Яглом [41], условие (13.11) выполняется во всех случаях применения излагаемой в этом параграфе теории к изучению турбулентных движений, поэтому достаточно ограничиться использованием функции %(『).

Согласно определению (13.9),

%(*■)=(■< — “)(％—%)•(13.13)

Положим, что п(х) ——изотропное соленоидальное векторное поле. В этом случае 力仃(г) можно представить в виде

%(г) = 5 0,(" — &“⑺]g+ Ж)沂(13.14)

где функции

Du (г) = 3 — %)2 = 2 仍“ (0)- 3〃 ⑺],(13.15)

a"⑺=(唯一02 = 2仍О„(0)-纥"⑺](13.16)

называют соответственно продольной и поперечной структурными функциями. Вследствие (7.10) и (13.6)

9

0"(8)= a"(8)= з 嗯(13.17)

Раскрывая скобки в (13.13), получаем

% (Г) = R 唯十 而一而一脸芍=2% (0) — 3“ (г)— — 3"(—г) = 2 [纥(0) — 5j(r)].(13-18)

Эта формула впервые получена Колмогоровым [II, 13].

Поскольку Bij—соленоидальный тензор по двум индексам, то Div D^ (г) = 0.

Подставляя сюда (13.14), находим

。““(Г) = Dn (г) + 专 〃,(г),(13.19)

так что

与(「) =^ а|r/гj +(—?0上)务 (13.20)

Рассмотрим теперь структурный тензор третьего ранга

Dijk (г)=(元一马)(％— ％)(唬一%)，(13.21)

который также находит большое применение в статистической теории турбулентности. Раскрывая здесь скобки и используя (4.11), (7.19) и (7.20), получаем

2/ (Г) = 5次 j (г) + 线“ (г) + 时 ft(r)-线 / (г) 一 • 一 Bb ki (г)- &,仃(г) = 2 (斗,ft + %, i + &“)•(13.22)

Выразим теперь структурный тензор через В阻，подставив для ЭТОГО Всф, Т ИЗ (9.19),

Dljk (г) = ВVВт (г譌У + r^.h -^r^ + 3 色'-^‘" r/j入.

(13.23)

Отсюда находим последовательно интересные зависимости: Dlu(r) = Diik(r)r^=6Bul(r),

Dlnn (г) = Dijk (г) %/& =卜 * + 1) 3〃 Jr),

Dlln(r)^Dnnn{r)^Q.(13.24)

Из первых двух формул следует, что между отличающимися от нуля скалярными функциями тензора Q订左 существует связь

Dlnn (г)=靠卜 ± 十 1) Dm (г).(13.25)

В (9.19) вместо Вщ подставим ~~rDm и выразим корреляци- b

онней тензор &工左 через。血：

巴九 ft(r) = ~[^ (。川—「Dm) r j『а + |2r (。上〃 + * °以)X

X (r,% 十足加一心 2〃喇j.(13.26)

159

Затем из (11.23) н (11.24) имеем

Dtjk (г)= /~(А/z +「。〃) (「i^ij + гfijk +「Д-fe) +

+ 嘉(2〃 — г Dm) rffk.(13.27)、

Последние две формулы показывают, что тензор Dijh имеет более простой вид, чем В^-

Аналогично показывается, что структурный тензор Q仃冗优(『} будет иметь вид

Dijkm (「)=硒淳费鼠=4~ &师 ® / 端 + К % +

+ %m"了A)+ 5 (0"加 ^"0加加)(心/Zm + %//m) + ^imr/fe +

+ 3Mirm + ^jmTirkA~ %"/;)^Г(A//Z — 6 Dllnn + Dnnnn) Г£Г f 尼入” (13.28} где

Dtm(Г)=(力-0)4； Dunn(r)二(%-仍*—J и т. д.

В заключение совсем кратко остановимся на спектральной теории локально однородного и изотропного случайного скалярного и векторного полей. Интересующие нас зависимости можно формально получить, если исходить из формул для изотропных полей и связи между структурными и корреляционными функциями.

Так, спектральное разложение D (г) найдем, если выражение В (г) из (8.8) подставим в (13.5),

£)(r) = 8n J(1 — ^^%(论)胪係 (13.29)

Для случайного поля на плоскости, согласно (8.9) и (13.5), находим

£)(г) = 4n J (1 - J0{kr))^0(li)kdk.(13.30)

о

Наконец, для локально изотропного поля на прямой получаем

D(r) = 2 j(l—cos电г)/(电)叫，(13.31)

когда между функциями ①о(女)и f(女i) остается связь (8.15). 160

Для приложений большое значение имеет случай, когда структурная функция имеет вид•

q(Г)=會叫(13.32)

Тогда одномерная плотность распределения получается из форМулы (II, 11.15) после замены в ней со на k. Подставляя ее в (8.15), находим функцию Фо (^), соответствующую (13.32):

с?

Фо (舟二蠢 F (加 + 2) sin —尼—m-з.(13.33)

Наоборот, если эту формулу подставим в (13.29), то получим точно (13.32).

Следуя по этому формальному пути, из (8.33) и (13Л8) мо- *ем написать

%(Г)=2 )(1 -@(k r))<%(k)dk =

=2 J [1 - cos(k • г)]①“(k)dk.(13.34)

Если сюда подставим ①仃(к) из (9.27), то получим

% (г) = 2 J U _ cos (к • г)] ® _ % 瓦电)①“〃(同 dk. (1335)

После интегрирования по угловой переменной эта формула записывается в виде

与(r) = 2『(与(r) = 2『(sin kr . о cos kr о sin kr \ 1.

与(r) = 2『(

与(r) = 2『(

丿万円十

十因一喈1-喘^ +瑞中"①伍)旅.(13.36) Отсюда

4(r) = 4 j(1 - 屮卜1)(电以，(13.37)

О

или

2(Г)= 16寸(1 -岁0 Ф““(Е)/ад.(13.37，)

О

Но поскольку

4(r) = (rg + 3)D„(r),

Du ⑺=4 j (g —儒十-^)<I>W dk, (13.38) 0'

T。①他) = 4n论2力""(左).

П Заказ № 854161

Вследствие идентичности (13.29) и (13.37), если

АО*'"，(13.39)

то

以"(紛=用""「"=一酬2?4 一^十2)sin罢.(13.40)

При ги=2/з, как это принято в статистической теории турбулентности,

Л^ = -^^р-4 sin -у = 0,061^ ,(13.41)

так что

а%® =0,061^ "”‘з, а ①(尼)=0,766嗡尼—5/з.0 3 42)

Для скалярного поля из (13.33) получаем (т=2/з).

Ф0(^) = 0,0334^-11-3, a ①伊)=0,415從左-5,3.(13.43)

Наконец, для одномерной спектральной плотности соответственно при скалярном и векторном полях из (8.14) и (9.32) находим:

/ (自)=0,124c弘产3,九(自)= о,125с/Т，з；

九!(电)= 0,146%疗 5/з.(13.44)

§ 14. Некоторые дополнительные вопросы теории случайных полей

Взаимные и пространственно-временные корреляционные и спектральные функции

Положим в (11.1) ги=0 и 女=2. Тогда получим двумерное поле

”2)(х)=|Е】(х), Е2(х)}・”2)(х)=|Е】(х), Е2(х)}・(14.1)(14.1)

”2)(х)=|Е】(х), Е2(х)}・

”2)(х)=|Е】(х), Е2(х)}・

(14.1)

(14.1)

Будем считать, что оно однородно и изотропно в том смысле, в каком это понятие бьую пояснено в начале § 11. Примером такого поля служит совокупность двух однородных и изотропных в обычном смысле скалярных полей

(14.2)(14.2)Е] (х) и Ь (х) = АЕ[ (х),

(14.2)

(14.2)

где Д — оператор Лапласа.

162

Введем обозначение

卅2(r)=Ei(x)&(x').(14.3)

Тогда можем написать

3i2 (г) = Jd (кг)(% (к) dk(14.4)

И

*12 (к)=击 / е- (к。％ (г)次(14.5)

В отличие от автокорреляционной функции (3.3) или (4.6) взаимная корреляционная функция 笈眨⑴ не обязательно должна быть положительно определенной, а Ф12 (к) ——всюду положительной.

Особый интерес представляет случай, когда

Ei = E】(x, /), а 与=原(呎，％)(14.6)

где х' = х +「, а £' = £ + т・ Если поле 己〔однородно, изотропно и стационарно, то, как было отмечено в § 4,

e(X, W)E(x + r, /+吗=8(Г,t).

Далее можем написать

8 (г, т) = J J е£(k*r) + /tD" Фо (k, w)dkd^ (14.7) и

①о(色 3)= ^Р~ J Je-‘(к・г)-沁《3 (г, t)drd& (14.8)

Определенные этими формулами функции В (г, т) и Фо (电 со) называются соответственно пространственно-временной корреляционной функцией (ПВКФ) и пространственно-временным спектром (ПВС).

Функция Фо {k, со) не обязательно должна быть всюду положительной. Но, поскольку, согласно (14.7),

В (0,七)=J J 6加11%(々，0)dkdu),

а с другой стороны, по (10.12) гл. II,

В (0, с)=石(弋)=J 0з：/3)4①

” f (s) A 0, то, очевидно, нужно, чтобы интеграл

J%(^ o))rfk>0.(14.9)

163

Если преобразование Фурье распространяется только по пространственным переменным, а т рассматривается как параметр, то соответствующие формулы принимают вид:

В(г,Р)= ]>(мг)%з，т)~к(14.10)

И

Ф0^' т)= -(2^1е_ик'Г)в(г' т)М(14」1)

где функция ①о(比 т) тоже не обязательно всюду положительная. Между функциями f (со) и ①и(瓦 т), очевидно, существует следующая связь:

J Фо(^, с) dk = J е'зт / 3) d(n = J / (w) cos ют d^\(14.12)

Формулы (14.10) и (14.11) могут быть записаны в виде (8.7)— (8.9).

Примеры неизотропных полей

Пусть ni, П2 и пз — составляющие однородного и изотропного векторного поля “ в декартовой системе координат. В таком случае будут выполняться соотношения (4.12) и (4.13). Однако из статистической однородности -и изотропности векторного поля п，вообще говоря, не следует однородность и изотропность скалярных полей тц, г)2 и Лз- Эти поля однородны, но неизотропны.

Действительно, если начало координат совпадает с точкой ЛГ, то

г】=г sin 6 cos 中,г? = г sin 6 sin ?, r3 —r cos 9,(14.13)

где r—MfMf,. Тогда, исходя из общего выражения (13.14) для структурного тензора, получим последовательно:

А1(г，0，叫=3； -%2 = (4- D““)sin2 0cos2屮十 Dnn,

022&，4 叫=(吨一啰=(A - D"")si/8 Sin2中十 D.",

%(「，6)= (%_%)2 = (% 一 a“)cos28 + Dnn,

。12 (r，e> 叫=(%； — 硝(吗一硝=(A - Q““)Sin2 0 Sin 屮 cos 屮， % (Г，ё，?)=(唱-硝(呱一项=(0厂 2") sm e cos e cos 中， 023(Г，6,中)=(W -呕)(";一码=(% -0"") sin e COS e sin R

(14.14)

Отсюда видно, что скалярные поля п〔，Лг и 小 являются однородными и однородно связанными, но неизотропными и неизотропно связанными. Лишь в том случае, когда Du{r) =Опп(г), любая составляющая однородного и изотропного случайного вектора п рассматривается как однородный и изотропный скалярный элемент с одной и той же структурной функцией. Для соленоидальных или потенциальных полей, когда справедливы соотношения (9.7) и (10.6), это условие, очевидно, не выполняется.

В случае двумерного поля “ (т. е. Пз=0 и 0=л/2) вместо (14.14) будем иметь:

Qu(r，叫=(О„ — Dn^ cos2 <Р + D„„ == Dn cos2 ^f + Dnn sin2 <p, 。22 (「，屮)=(4 —。”“)sin? ? + Dnn = DH sin2 屮十 &“ cos?屮，

^12 (г, ср) = (Da — D„„) sin co cos ^ = ~(Dll — D„„) sin2 ^. (14.15)

Аналогичные формулы можно написать и для корреляционных функций. Таким образом, каждое из скалярных полей 叮力 “2 имеет корреляционную функцию вида

В (г, ?) = 7И (г) + TV (г) sin? R(14.16)

Найдем спектральную плотность такого неизотропного поля. Согласно (8.2),

Фо(自，砧=与 J j e-i(&，〃+&",) вs，r^dr^ dr2. (14.17)

Вводя полярные координаты в плоскостях (н,「2)и (女也 fo):

V^—r cos rp, kx = k cos 屮，

5 = r sin 中，k2 = k sin 屮

и используя формулу

I- «fcr cos (¥ - ф) ^? = 2л/0 (kr),

вместо (14.17) будем иметь

%优,少)=击不加(r)/0 (论Г) г dr +

"I 0

+ 去J e ；fcrcos sin2?rf<? rfr I •

Однако

Q (kf,屮)=f 6-2比 cos (?-屮)圆n2 gdep =

Тогда окончательно

①0(瓦屮)=击 JЛ (kr) rdr^\-J N (r)Q (kr, ^)rdr . (14.18)

ЧАСТЬ II

Гидродинамическаятурбулентность

ГЛАВА IV

Статистическая теория турбулентности— метод подобия и размерности

Некоторые сведения из теории подобия и размерности

В физике при изучении целого ряда явлений математические уравнения, которые их описывают, бывают настолько сложными, что решить их невозможно, или вообще эти уравнения неизвестны. В таких случаях единственным методом, позволяющим получить некоторые сведения о функциональной зависимости между искомой физической величиной и определяющими ее параметрами, является так называемый метод размерности. Этот метод, как и многие другие математические методы, не связан со специфическими особенностями отдельных групп явлений и может быть применен в самых различных областях науки. Он отличается своей математической элементарностью, вследствие чего конечные результаты могут быть получены без особого труда. Однако исследователю, применяющему метод размерно- стн，необходимы глубокое знание физической сущности изучае- Мопэ явления, вникание в его специфику, интуиция и вообще

широкие естественно-научные познания. Между тем об этих обстоятельствах часто забывают.

С другой стороны, метод размерности в ряде случаев приводит к ограниченным и, в сущности, тривиальным результатам. Поэтому еще недавно было широко распространено мнение, что метод размерности не в состоянии дать сколько-нибудь существенных результатов. Однако в действительности получение таких тривиальных результатов не недостаток самого метода, а следствие его примитивного и формального применения.

При решении ряда задач физики и механики с помощью метода размерности достигнуты значительные успехи. Особенно результативным оказалось его применение для изучения физических явлений, зависящих от многих параметров, когда некоторые из этих параметров при известных условиях оказываются несущественными. Важные выводы с помощью этого метода были получены и в статистической теории турбулентного движения Колмогоровым, Обуховым и др., о чем мы еще подробно будем говорить в этой главе. Здесь же с полным основанием можно сказать, что метод размерности в сочетании с другими математическими методами привел к раскрытию наиболее важных закономерностей в статистической теории турбулентности. Поэтому рассмотрим в данном параграфе основные понятия теории размерности. Это облегчит чтение следующих параграфов настоящей главы, да и в других главах мы будем довольно часто использовать метод размерности. .

Все величины, с которыми нам приходится иметь дело, можно разделить на две большие группы ——величины без размерностей, или безразмерные (числовые) величины, и величины с размерностями, или размерные величины. Численное значение для любой из этих величин можно получить, и оно имеет определенную величину только в том случае, если выбрана определенная единица измерения. Так, например, масса измеряется в граммах, килограммах и т. д., время——в секундах, минутах и т. д. Следовательно, всякой совокупности величин должна быть поставлена в соответствие некоторая совокупность единиц, образующих систему единиц измерения. При этом условии любой величине приписывается определенное численное значение.

Для теории размерности характерно то, что каждой совокупности величин ставится в соответствие не одна, а множество систем единиц измерения. Элементы этого множества представляют собой различные системы единиц, установленные для одной и той же совокупности величин. Тогда размерными называют такие величины, численные значения которых зависят от системы единиц измерения. К таким величинам относятся： масса, длина, время, работа, сила и т. п. Безразмерным н называют величины, численные значения которых не зависят от системы единиц измерения. Примером таких величин могут 168

служить: отношение двух длин; угол, определенный как отношение дуги к радиусу; относительная влажность воздуха и др. Данному условию могут удовлетворять и определенные комбинации размерных величин.

Единицы для размерных физических величин вводятся не независимо одна от другой. Поскольку эти величины связаны между собой определенными формулами, выражающими физические законы, достаточно только некоторые из них принять в качестве основных и для них установить единицы измерения. Тогда единицы измерения для всех остальных величин, называемых производными, выразятся через единицы основных с помощью соответствующих формул. Какие величины выбрать основными и каково их число, зависит от конкретной области науки.

Так, в физике, точнее в механических задачах физики, в качестве основных достаточно выбрать три величины, посредством которых могут быть выражены все остальные величины. Оказалось наиболее удобным в качестве таких основных величин выбрать массу, длину и время, а для единиц измерения их — килограмм, метр, секунду. Эти выбранные основные величины и единицы измерения составляют основу Международной системы единиц измерения (СИ). Необходимо отметить, что в познавательном отношении все системы единиц равноправны——не существует такой системы, которая имела бы принципиальное гносеологическое преимущество перед другими.

Формула, связывающая единицу измерения произвольной величины с единицами измерения основных величин, определяет размерность этой величины. Принято размерность величины у обозначать [у]. Если размерности массы (т), длины (/) и времени (0 обозначить соответственно

[т\ = М- [/] = £; [/] = Т, (1-1)

то размерности скорости (и), силы (F) и т. д. будут такими: [u\—LT~\ [F]=MLT^Z и т. д. Размерность производных величин зависит от того, сколько и какие величины выбраны в качестве основных. Следовательно, о размерности данной величины можно говорить только по отношению к выбранной системе единиц измерения. Однако независимо от того, какие величины взяты в качестве основных, формулы размерности производных величин имеют один и тот же вид — произведения степеней одночленов. Так, например, в системе СИ размерность всех механических величин имеет вид N^L^Tz. Это утверждение является следствием более общей теоремы [34]: если в качестве основных выбрано п величин 外，q?、…、q^ и дана функция y=f(Qu 92，-.., qn)t то размерность величины у будет иметь вид

[训=建時力. (L2)

Отсюда следует, что, если в новой системе единиц выберем единицы для основных величин соответственно в а, [3, . .., 6 раз меньше, то численное значение у в новой системе увеличится В «а俨 6«п раз.

Физические законы, выраженные математическими формулами, связывают между собой различные размерные величины, которыми характеризуется изучаемое явление. Численные значения этих размерных величин зависят от системы единиц измерения. В то же время сами физические законы не зависят от выбора системы единиц. Это обстоятельство приводит к тому, что функциональные зависимости между размерными величинами должны иметь специальную структуру. Теория размерности дает способ определения указанных зависимостей. Однако полученные этим способом результаты имеют до известной степени ограниченный характер, так как принципиально невозможно определить функциональную связь между безразмерными величинами. Основная предпосылка успешного применения метода размерности для раскрытия функциональной зависимости между размерными величинами заключается в точном установлении параметров, определяющих изучаемое явление. Некоторые из этих параметров могут быть переменными, другие — постоянными, третьи — физическими константами. Когда математические уравнения, описывающие явления, известны, определяющие параметры легко установить, так как они фигурируют в этих уравнениях.

В противном случае от исследователя требуется глубокий физический анализ явления, вникание в его сущность и, наконец, интуиция. Прекрасный пример в этом отношении представляют работы Колмогорова и Обухова по статистической теории турбулентности, которые будут изложены далее.

После того как параметры, определяющие данное явление, установлены, приступают к раскрытию искомой функциональной зависимости. Для этого применяется так называемая П-теорема (<спи»-теорема), которая формулируется следующим образом [47].

Пусть выбрано п основных величин qu 42, • •., 4汽・ Размерная производная величина Qo будет функцией производных величин

Qo=/(Qi，Q?，Q”) (i-з)

в случае, когда формула (1.3) выражает определенный физический закон (не зависящий от выбора системы единиц). Пусть, кроме того, производные величины Qo, Qi, . . ., Qn содержат все основные величины 〃丄,q& . .., g^. При этих условиях функциональная зависимость (1.3) имеет вид

Q° = KQ：窓2 ... Q：“,Q° = KQ：窓2 ... Q：“,(1.4)(1.4)

Q° = KQ：窓2 ... Q：“,

Q° = KQ：窓2 ... Q：“,

(1.4)

(1.4)

где К ——неопределенный числовой коэффициент (функция безразмерных величин) 4 а показатели степени Xi, %2, -.., хп определяются из того условия, что левая и правая части уравнения (1.4) должны иметь одинаковые размерности

〃0々=。1/；尤1 + ^2k^2 + • • • + ^nk^n (” ^^ 1, 2, * . . , 72). (1-O)

Когда количество производных величин больше количества основных, то указанная выше система незамкнута (неизвестных хъ Х2, . • •, ^п больше, чем уравнений) и (1.4) не будет иметь силы. Доказательство этой теоремы содержится в [34], а ее неоднократное применение будет дано в следующих параграфах.

Возникновение турбулентного движения

Существуют два коренным образом отличающихся друг^ от друга режима движения вязкой жидкости ——ламинарный и турбулентный. В первом случае течение жидкости плавное, с ясно очерченными линиями тока, которые можно наблюдать визуально, если жидкость окрасить. Опыты показывают, что линии тока на значительном расстоянии сохраняют взаимное расположение, и подкрашенные частицы постепенно рассеиваются вследствие молекулярной диффузии. Этот вид движения описывается уравнениями Навье—Стокса и уравнением неразрывности [12]:

尊+ 必贄-=一-1+ (г = 1, 2, 3),(2.1)

dt 1 力 dxkp dxi 1''',丿， '‘

擧- = 0.(2.2)

Здесь 〃a ——компоненты скорости, p ——плотность, р — давление, V ——кинематический коэффициент вязкости, а в уравнении неразрывности (2.2), записанного для несжимаемой жидкости, подразумевается тензорное суммирование. При заданных граничных и начальных условиях по х и ^ из системы (2.1) — (2.2) в принципе могут быть определены неизвестные функции Ui (х, 2) и Р(х, О-

Если, через 厶 обозначим характерный геометрический размер потока жидкости как целого, а через U —■ характерную скорость течения, то опыт показывает, что при большой вели-

"нне безразмерной комбинации Re = ——, называемой числом Рейнольдса, упорядоченность течения нарушается, возникает

171

сильно перемешанное течение с хаотически переплетенными н быстро изменяющими свою форму линиями тока ——ламинарное движение переходит в турбулентное. Если наблюдать за течением в произвольной фиксированной точке, т. е. описывать поток в эйлеровых переменных, то турбулентность проявляется

в непрерывном пульсировании во времени гидродинамических величин ——скорости, давления и др. При этом пульсации вообще не малы по сравнению со средними значениями этих величин в данной точке. Подобные нерегулярные изменения величины, например скорости потока, наблюдаются н при переходе от одной точки к другой в данный момент времени /. Если поток описывается в лагранжевых переменных, т. е. наблюдается движение фиксированной частицы течения, турбулентность проявляется в хаотическом перемещении этого элемента, который

в конце концов смешивается с потоком.

При определенных условиях эти два режима движения ——ламинарный и турбулентный ——переходят один в другой. Первые исследования перехода ламинарного течения в турбулентное, выполненные Рейнольдсом в 1883 г., показали, что этот переход происходит при значении Re, большем некоторой его критической величины ReKp. При Re < ReKp движение ламинарно н устойчиво по отношению к возмущениям произвольного порядка поля скоростей. При увеличении Re движение становится неустойчивым и при Re > ReKp ——турбулентным. Роль числа Re как критерия возникновения турбулентности объясняется тем, что оно характеризует соотношение между инерционными силами течения и силами трения.

Действительно, инерционные силы, отнесенные к единице объема течения, имеют порядок pU2L~l, а порядок сил трения, также отнесенных к единице объема, равен pvUL~2. Отношение этих двух сил и образует число Рейнольдса Re. Следовательно, малые значения Re будут в тех случаях, когда силы трения преобладают над инерционными и «гасят» возникающие возмущения в ламинарном потоке. При больших значениях Re преобладают инерционные силы и влиянием трения можно пренебречь — режим движения беспорядочный, турбулентный.

Исследование перехода одного режима в другой показывает, что в случае уменьшения Re, например вследствие уменьшения

скорости, при некотором R囁,называемом нижним критиче- с 'ислом, режим течения скачкообразно переходит из тур- г° в ламинарный. В круглой трубе, например, Re^p = /нако из этого не следует обратный вывод, что при

■■ижение будет турбулентным. При особенно тща- ‘енин возможностей возникновения возмущений движения может сохраняться ламинарным до <нх значений Re. В современных лаборатор-

ных условиях может быть осуществлено ламинарное течение 〃о Re=5・l(y н более. Конечно, такое ламинарное течение сильно неустойчиво и очень небольшие возмущения способны вызвать мгновенный переход к турбулентному движению. Вообще говоря, принципиально неверно требовать существования некоторо访 абсолютной верхней границы перехода от ламинарного течения к турбулентному, поскольку для создания условий, близких к идеальным, существуют неограниченные возможности. Во всяком конкретном случае опытным путем можно определить Re：*

Наши рассуждения до сих пор относились к течению с постоянной плотностью. При наличии слоистой неоднородности по оси 2 переход от ламинарного течения к турбулентному зависит еще и от безразмерной комбинации

Ri = - , (2.3) р р (dUjdzy， ' >

называемой числом Ричардсона. Здесь g ——ускорение силы тяжести. Очевидно, в однородном потоке (p=const) Ri=0 и поток устойчив. Если Ri V 0, то поток расслоен и неустойчив.

Наряду с изложенными кинематическими представлениями о возникновении турбулентности очень многое дают для выяснения механизма турбулентности и некоторые энергетические соображения. Запишем здесь уравнение энергии Рейнольдса, исходя из некоторых интуитивных представлений, а в § 1 гл. VI дадим его точный вывод.

Движение вязкой жидкости сопровождается непрерывной диссипацией кинетической энергии — превращением последней в тепло под действием трения. Как известно [12], в несжимаемой жидкости количество диссипировавшей энергии, отнесенное к единице массы потока за единицу времени, дается выражением

(許+需)』[(»2 +普图• (24)

Очевидно, что

\^17Т-\ (2.5)

Легко проверить, что (2.4) можно записать еще в виде е0= =” (rot и)2, так что Ео一 существенно положительная величина. Зто означает, что диссипация не может представлять собой рас- Х°Д тепла, а только приход. Если диссипация происходит в турбулентном потоке, возникшем по описанной выше схеме, т° для поддержания этого режима необходим непрерывный приток энергии, который компенсирует расход вследствие диссипа- инн. Представляя реальное движение в виде суммы среднего Движения со скоростью и и дополнительного пульсационного

со скоростью u‘ и кинетической энергией Ef= u,2f приходим к заключению, что необходимая энергия может черпаться единственно из кинетической энергии среднего движения.

Итак, если обозначим 7* — количество трансформировавшейся кинетической энергии среднего движения в кинетическую энергию турбулентности, а е = ео — среднюю диссипацию, то для изменения Е‘ во времени можем записать уравнение

〃厅 ~dt〃厅 ~dt7* -j7* -j(2.6)(2.6)

〃厅 ~dt

〃厅 ~dt

7* -j

7* -j

(2.6)

(2.6)

которое представляет собой уравнение баланса турбулентной энергии. Из него следуют важные выводы:

если Т* = е, то E'=const, в этом случае имеем установившуюся тур бул е нтно сть;

Т* > & dEf/dt > 0 — энергия пульсаций увеличивается, движение неустойчиво;

Т* V е, dEf/dt V 0— возмущения затухают;

если течение приведено в состояние турбулентности мгновенно, например путем перемешивания в момент f=0, то Т* = 0, a u=u‘ (u=0); в таких случаях из (2.6) следует

e =一e =一化化(2.7)(2.7)

e =一

e =一

化

化

(2.7)

(2.7)

Последний случай имеет исключительно большое значение в теории изотропной тур бул ентно сти.

§ 3. Турбулентность при очень больших числах Рейнольдса

Изложенные в предыдущем параграфе кинетические и энергетические соображения относительно возникновения и развития турбулентности в значительной степени выясняют н механизм этого возникновения, и картину развитой турбулентности (при больших Re). Однако до появления работ Колмогорова [7, 8, 9], ставших уже классическими, дальше этого дело не продвигалось. В этих работах, опираясь на известные до него результаты, Колмогоров с замечательным проникновением в физическую сущность этого явления изложил ряд соображений и гипотез относительно внутренней структуры турбулентного потока при очень больших числах Рейнольдса. Эти гипотезы к настоя- 174

щему времени получили общее признание н их значение оценено очень высоко.

Еще Рейнольдс высказал чрезвычайно плодотворную идею о том, что данный турбулентный поток можно рассматривать как суперпозицию двух движений — осредненного со скоростью и и дополнительного (пульсационного) со скоростью и.

Согласно современным представлениям, впервые ясно сформулированным Колмогоровым, пульсационное движение в свою очередь рассматривается как результат одновременного существования турбулентных возмущений или «вихрей» различного масштаба, обусловливающих пульсации скорости различного порядка, причем только наибольшие по размерам вихри возникают как результат неустойчивости среднего движения. Действительно, пусть в некоторой области ламинарного потока, имеющего размер 儿 по какой-то причине возникает пульсация скорости порядка 〃九 Энергия, связанная с этой пульсацией, по порядку величины пропорциональна ц^, а время, необходимое для ее возникновения, 7\=九/〃九.Таким образом, за единицу времени от основного движения к пульсационному передана энергия, равная 阳 1\= 〃:/九，которая под влиянием трения рассеивается. Поскольку локальные градиенты скорости для пульсаций имеют порядок 〃入/九，то, согласно (2.4), кинетическая энергия, превратившаяся в тепло за единицу времени и в единице массы, по порядку величины будет е=”〃*/九2. Тогда, согласно случаю 《6» предыдущего параграфа, для того чтобы возникшая пульсация не затухла, необходимо выполнение условия *［及> >”〃；/九2 или равносильного ему

终 nRe〉】.(3.1)

Число Rei носит название «внутреннего», или еще «спектрального», числа Рейнольдса, которое необходимо отличать от числа Re =, определенного для потока в целом. Вместо (3.1)

более верным будет условие Re^ > Re*, так как при его выводе не учтены числовые константы.

Из сказанного до сих пор следует, что легче всего возникают такне вихри, для которых неравенство Re^ > Re* наиболее сильно, а это имеет место для больших вихрей масштаба Ло» сравнимого с характерными размерами потока в целом.

Порядок Lo зависит от геометрии потока. Например, для атмосферной турбулентности Lo сравним с расстоянием от данного уровня до земной поверхности и совпадает с так называемым «путем смешения» из полуэмпирической теории турбулентности \ Величина Lo называется внешним масштабом турбулентности. Пульсационная скорость 以工。сравнима с изменением средней скорости Ди на расстоянии Lo. Иногда говорят, что эти пульсации имеют наибольшую «амплитуду».

В случае, когда поток расслоен по вертикали — стратифицирован, совершается дополнительная работа по преодолению архимедовой силы [11] (говоря точнее, силы плавучести ——равнодействующей между архимедовой силой и силой тяжести), которая имеет порядок

где 0 ——средняя потенциальная температура, а 6入——ее пульсация с масштабом А. Если в указанную область спектра не поступает энергия от других его частей, то для поддержания в течение всего времени турбулентности масштаба 九 необходимо наряду с (3.1) выполнение н другого неравенства

〉亶 6 u , или Rl =巨——^£av 1(3.2)

人一屯(3)2I ‘

По аналогии с Re^ величина Ri^ называется «внутренним», или «спектральным», числом Ричардсона. Следовательно, для непрерывного поддержания турбулентности масштаба 九 необходимо, чтобы число Рейнольдса было достаточно большим, а число Ричардсона достаточно малым. Наглядно это показано на рис. 26.

Условие Ri 入〜1 определяет порядок максимального размера турбулентных вихрей

入макс =厶 у^ •(3.3)

Соответствующий этим пульсациям (максимального масштаба) период выражается формулой

入мнке6 u入

^№ =廿=?一合.(3.4)

В атмосфере, например, на небольшом расстоянии от земной поверхности можно принять 0=280°, 6入=0,1° и □入=0,5 м/сек. Тогда получаем

^макс^31】'。сек., а 入макс ^^ 70 м.

При устойчивой стратификации максимальный размер вихрей сильно уменьшается. В этом случае турбулентность существует только в виде небольших вихрей, а обмен в потоке приобретает локальный характер.

UL

При дальнейшем увеличении Re = —— растет и пульсационная скорость возникших уже вихрей первого порядка, а следо-

См. гл. VIII, § 2.

вательно, и их число Рейнольдса Re^。， которое может стать больше критического. Тогда эти вихри сами станут неустойчивыми н «распадутся» на более мелкие вихри, передавая им свою энергию, и т. д.

идеальном жидкости, пз этого ;с такими вихрями, происходитидеальном жидкости, пз этого ;с такими вихрями, происходитОднако этот процесс измельчения вихрей не продолжается до бесконечности. В случае крупномасштабных вихрей, для которых Rei велико, влияние трения пренебрежимо мало и их движение близко к движению"

идеальном жидкости, пз этого ;с такими вихрями, происходит

идеальном жидкости, пз этого ;с такими вихрями, происходит

Стабилизирующее влияние стратификацииСтабилизирующее влияние стратификацииРис. 26. Схема режима движения в зависимости от Re и Ri, по [III, 130].Рис. 26. Схема режима движения в зависимости от Re и Ri, по [III, 130].следует, что движение, связанн( почти без диссипации энергии. С уменьшением масштаба вихрей влияние трения увеличивается и становится существенным, определяя движение вихрей с масштабом 九〜及，для которых спектральное число Рейнольдса Re% 〜1; соответствующие скорости имеют порядок

Стабилизирующее влияние стратификации

Стабилизирующее влияние стратификации

Рис. 26. Схема режима движения в зависимости от Re и Ri, по [III, 130].

Рис. 26. Схема режима движения в зависимости от Re и Ri, по [III, 130].

Величина 入о носит название внутреннего масштаба турбулентности. Она определяет масштаб тех самых мелких вихрей, в которых под влиянием трения происходит полное превращение кинетической энергии в тепловую (диссипация) 1. Поскольку в турбулентном потоке вихри не только разрушаются, но и непрерывно создаются, то в любой момент времени в потоке существуют вихри с непрерывным спектром масштабов в интервале (左,L。), движение которых взаимно накладывается друг на друга. Этим и объясняется сложная картина реального турбулентного потока.

Пульсации различного масштаба можно охарактеризовать также их частотой, которая определяет период повторения картины движения, наблюдаемой в неподвижной координатной системе. Но относительно такой системы координат картина Движения вместе со всей жидкостью перемещается со скоростью уродка и, и частота наибольшей пульсации имеет порядок 〃/勺.Частота растет по мере уменьшения масштаба пульсации. Действительно, поскольку o)i=1/ti, а период т>〜九/〃餘 то ①乳〜 ~"他 Для частоты пульсаций с масштабом 入о будем иметь

1 В атмосфере 入о〜1, а в лабораторных условиях 入о〜10й см и менее» 0 всегда значительно больше средней длины свободного пробега молекул.

12 Заказ № 854177

6及 〜七飞,так как "九〜“/'о. Таким образом, пульсации наименьшего масштаба имеют наименьшую «амплитуду» и наибольшую частоту, и наоборот.

Роль пульсаций с различным масштабом в турбулентном потоке различна. Из сказанного выше ясно, что наибольший вклад в пульсационную скорость 〃‘ будут давать наибольшие вихри масштаба, сравнимого с L. Следовательно, в данный момент времени изменение скорости пульсаций в двух точках, находя' щихся на большом расстоянии друг от друга, будет обусловлено турбулентностью крупного масштаба, т. е. это изменение будет иметь порядок △【〃* Наоборот, в данной фиксированной точке пространства, занятого турбулентным потоком, изменения скорости такого порядка будут наблюдаться через большие промежутки времени (сравнимые с T=L/u)1 что объясняется прохождением вихрей большого масштаба.

Изменения пульсационной скорости потока в двух точках, находящихся близко одна к другой, обусловлены мелкомасштабными пульсациями, поскольку пульсации большого масштаба переносят данные точки как целое. Указанные изменения скорости малы по сравнению с 厶工〃，но значительно больше изменений средней скорости на таком же расстоянии.

Аналогично в фиксированной точке пространства для малых интервалов времени t V Т возможны незначительные изменения скорости, обусловленные мелкомасштабными вихрями.

Если для величины скорости пульсаций 〃‘ существенное значение имеют большие вихри, то, как будет показано далее, для величины ускорения в данной точке основную роль играют малые вихри. Так как кинетическая энергия турбулентности пропорцио-

.2

нальна 〃〔 , то из сказанного выше следует, что основная часть этой энергии сосредоточена в больших вихрях и только незначительная часть ее связана с мелкомасштабными вихрями.

Сделанные ранее выводы о роли трения в движениях различного масштаба позволяют утверждать, что из системы параметров, определяющих турбулентность при 九》及，необходимо исключить V. Говоря точнее, величины, относящиеся к крупномасштабной турбулентности, не должны изменяться при изменении и если остальные условия, определяющие движение, остались неизменными. Это обстоятельство позволяет получить важные ре” зультаты, относящиеся к закономерностям турбулентного движения масштаба 九》入о, если использовать метод подобия и размерности. В этом мы убедимся в следующих параграфах- Здесь же упомянем только об одном из выводов, подсказывающем «закон 2/3» Колмогорова в теории локально изотропной турбулентност и.

Согласно изложенным выше рассуждениям, в турбулентном течении существует непрерывный поток энергии от больших вихрей к малым. При больших числах Рейнольдса вследствие ничтожно малого влияния трения на вихри всех масштабов, за исключением наименьших, в турбулентном течении нет существен-

только при 九 V 入о), итолько при 九 V 入о), и(3.5) вихрями масштаба 九, единственного пара-(3.5) вихрями масштаба 九, единственного пара-ной диссипации (она будет иметь место Следовательно, при 九》3 ц^/А,^ E=const

только при 九 V 入о), и

только при 九 V 入о), и

(3.5) вихрями масштаба 九, единственного пара-

(3.5) вихрями масштаба 九, единственного пара-

т. е. пульсационная скорость, связанная с пропорциональна 九％ и зависит только от

метра е.

После этих предварительных замечаний о современных представлениях о структуре турбулентного потока можно дать математическую формулировку задачи исследования турбулентного движения.

Основная исходная предпосылка, принимаемая априори, заключается в том, что уравнения Навье——Стокса (2.1) пригодны для этой цели. Можно высказать ряд аргументов за н против такого допущения, однако основным критерием, подтверждающим его справедливость, является хорошее согласование опытных данных с теоретическими, полученными на основе этого допущения, о чем речь пойдет позднее. Что касается уравнения неразрывности, то в общем случае необходимо учитывать изменение плотности вследствие динамических причин, т. е. вследствие изменения давления. В данном турбулентном потоке отношение средней квадратической скорости потока к средней скорости звука служит мерой величины этих изменений. Если это отношение значительно меньше единицы, то пульсациями плотности можно пренебречь и жидкость рассматривать как несжимаемую, а уравнение неразрывности записать в виде (2.2). В лабораторных условиях и для атмосферной турбулентности это условие выполняется с достаточной точностью, так что в дальнейшем можно ограничиться изучением турбулентности в несжимаемой жидкости.

Самое большее, что было бы желательно знать о турбулентном потоке, это положение и скорость любой частицы жидкости. Система (2.1)——(2.2) в принципе позволяет это узнать, если бы можно было задать начальные и граничные условия в обычном смысле. Но вследствие самого характера движения давление и скорость в потоке будут случайными функциями координат и времени, так что указанное задание условий невозможно. Однако в этом и нет необходимости, так как можно показать [12], □то независимо от начальных условий жидкость в течение конеч- 空°「。промежутка времени пройдет через состояние, произвольно Низкое к заранее заданному. Поэтому значение начальных ус- ^°вн访 существенно уменьшается, и они могут быть заданы прн- оли^енно. Все это приводит к необходимости применять в теории 12*179

турбулентности статистические методы. Для начальных условий это, в частности, означает их задание в вероятностном смысле. В случае такого задания начальных условий поля физических величин в последующие моменты времени будут определяться тоже в вероятностном смысле. Например, если при £=6) заданы статистические характеристики случайных полей и(х,力)и р(х,力)，то в принципе система (2.1)——(2.2) позволяет определить их в любой следующий момент. При исчерпывающей математической постановке задачи для этого необходимы соответствующие многомерные законы распределения вероятностей, но, как увидим в дальнейшем, в статистической теории турбулентности вместо законов распределения используют соответствующие статистические моменты.

Локально изотропная турбулентность.

Теория Колмогорова

Случайный характер движения турбулентных вихрей предполагает тенденцию к изотропности полей физических величин, и если поток во всех направлениях простирается до бесконечности, то при больших значениях Re его можно считать изотропным. Однако на практике предыдущее условие никогда не выполняется ——поток ограничен твердыми границами, вследствие чего движение самых больших вихрей с размером порядка внешнего масштаба & не может быть изотропным. Тем не менее для мелких вихрей ориентирующее влияние среднего движения быстро уменьшается, а при 入《& и на достаточном удалении от твердых стенок движение практически изотропно. Отсюда следует, что хотя поток как целое неизотропен, в данной малой подобласти его можно приближенно считать таким (локальная однородность и изотропность). Это предположение впервые было высказано Колмогоровым и составило содержание его первой гипотезы.

В оригинальной формулировке этой гипотезы [7] требуется инвариантность распределения вероятностей разности 〃а(х‘，У) — 〃а(х, 0 в произвольном конечном множестве точек пространства (х, t) относительно полной группы движения системы точек в области, определенной неравенством | х‘ ——х |《Lu, и при перемещении по оси времени в интервале т= | У — t\《Т= = Lo/〃. Последнее условие, в сущности, означает стационарность потока. На практике, если указанные условия выполнены, поток можно считать квазистационарным. Это означает, что изменение 180

во времени указанных выше распределении вероятностей (а вместе с ними и других статистических характеристик) для вихрей масштаба 入《£о происходит значительно медленнее по сравнению с характерными периодами этих вихрей, вследствие чего этими изменениями можно пренебречь. Кроме того, поскольку нас интересует в первую очередь пространственная корреляция физических величин, то /' = £ (т=0), так что в случае локально изотропной турбулентност статистические характеристики зависят только от г=丨 х‘ ——х I.

Из высказанных до сих пор соображений следует, что движение вихрей масштаба 九《丄и необходимо подчинить некоторой универсальной статистической закономерности, не зависящей от осредненного течения и геометрических особенностей потока. Выявление этой закономерности и составляет содержание теории локально изотропной турбулентности [7].

В качестве основных статистических характеристик Колмогоров предлагает структурные функции

А (г) =(〃； 一吩；。“,(г)二(〃；一〃“)2,(4」)

где uz=u (xz), 7：=|x‘ 一 x I, a 也 н uH — проекции вектора скорости ветра на прямую, соединяющую х и х‘，и на перпендикуляр к этой прямой соответственно

Эти функции в самом деле характеризуют локальную структуру турбулентного потока. Пока пульсационная скорость uf = =и ——〃,как уже говорилось выше, обусловливается большими вихрями и, следовательно, не может служить характеристикой микроструктуры потока, разность между скоростями в двух достаточно близких точках (「《厶。)определяется именно малыми вихрями, потому что большие вихри переносят эти точки как целое и не влияют на эту разность.

Основная задача развиваемой теории заключается в определении явного вида функции (4.1). С решением этой задачи исторически связаны первые результаты теории локально-изотропной турбулентности, полученные Колмогоровым [7, 8, 9] с помощью метода подобия и размерности, а в дальнейшем подтвержденные н другими методами.

Как уже было сказано в § I, предварительным условием применения метода подобия и размерности является установление параметров, определяющих локальную структуру турбулентного потока. Согласно второй гипотезе Колмогорова, в ло- ка』вно однородной и изотропной области движение определяется только силами трения и инерционными силами. Последние характеризуются непрерывным потоком энергии, переносимой посредством иерархии вихрей, численно равным диссипации &

——

См. гл. Ill, § 13.

В соответствии с этим единственными параметрами, от которых могут зависеть статистические характеристики движения, являются величины е и v. Из этих величин, как легко убедиться, можно составить только по одной комбинации с размерностью соответственно длины и скорости1:

%)=自(中投)"4； 〃o=62(ev)"J(4.2)

где ki и 月2 ——числовые константы порядка единицы. Остановимся теперь на интерпретации величин 入о и ио.

Для вихрей с размером порядка внутреннего масштаба Zo, согласно (3.2),以？ 〜(七启)％. С другой стороны, поскольку локальные градиенты скорости для таких масштабов имеют порядок 〃入。/及,для диссипации, согласно (2.4), будем иметь е 〜 vu^ /^. Решая совместно последние два уравнения, находим2:

(扑)1； 〃…(W・(4.3)

Следовательно,入о и 〃厶 отличаются от (4.2) численным множителем порядка единицы и их приближенно можно считать равными друг другу. Кроме того, диссипация численно равна трансформации кинетической энергии среднего движения в энергию турбулентности, поэтому е 〜〃^。/工小 Подставляя отсюда е в (4.3) или в (4.2), получаем:

Xo^fe^Re-3'4； «х„ = Мл, Re"14.(4.4)

Последние равенства показывают, что чем больше число Рейнольдса для потока как целого, тем меньшие по величине могут возникнуть скорости пульсаций. Другими словами, радиус влия^ ния силы трения уменьшается с увеличением числа Рейнольдса и наоборот.

Если теперь расстояние г измерим в единицах 及，а скорость——в единицах 〃и, то в соответствии с первой гипотезой Колмогорова внутренняя структура турбулентного потока подчиняется универсальным статистическим закономерностям. В этом случае, согласно теории подобия и размерности, необходимо положить

Q〃 (г)=忌 Q〃 (厂仏0)；。切(г) ― wo О?% (「Pa)，(4.5)

где Du (п) и Dnn (ri)——универсальные безразмерные функции. В несжимаемой жидкости, как было показано ранее, две струн-

И одну с размерностью времени: То—^з(v/e)V2.

Выражение для 叽 получается еще, если 入° из (4.3) подставим в урав- ненпе Re入0=~生—~ 1, как это и должно быть.

182

турные функции связаны между собой (Ш, 13.19), так что можно ограничиться исследованием только А/(г).

Согласно третьей гипотезе Колмогорова, при больших Re существует интервал (область) масштабов A,o<CZ<CLo, названный инерционным, в котором картина движения определяется инерционными силами, а влияние трения несущественно. Это означает, что в таком интервале структурная функция Du (г) не должна зависеть от v. Тогда, согласно П-теореме (1.4),

Q〃(r) = Q4(r%『(4.6)

Подставив сюда “о н 入о по (4.3), получим

Dlt(r) = C]^(rtl \-3/4)а.(4.7)

Для того чтобы это выражение не зависело от v, необходимо выполнение равенств v%v~3a修=1 или а=?/з, что дает

Q 〃⑺= С")2 3%《，《£о).(4.8)

Последнее соотношение представляет собой известный «закон 2/3», полученный впервые таким способом Колмогоровым [7]. На основании (III, 13.19) легко установить, что Dnn (г)= =^/3Du(r). Этот результат получается из (3.2), если иметь в виду, что D?;〜и「, а иг——пульсационная скорость, связанная с вихрями масштаба 入=匚

В другом ——асимптотическом ——случае при 尸《底 вследствие плавного изменения скорости разность △〃/=〃；——щ может быть разложена в ряд, так что с точностью до малых величин более высоких порядков А〃/〜г, a Q〃(r)〜/也.Полагая в (4.6) а=2, находим

Duirj^A^r^ (г《％.(4.9)

В гл. V, § 5 будет показано, что Л = Vis- Теперь очевидно, что Dnn (r) — 2Du (г). В общем случае можно записать

4(r)=忌/(叭)，(4.10)

где

г? при а《1

/6)〜 .(4.11>

J… 尸竺при q》1

Таким способом определяется только асимптотическое поведе- нне универсальной функции f (п).

Подобным методом можно получить в инерционном интервале и структурную функцию давления. В этом случае к е и v необходимо добавить плотность р н из трех этих величин образовать масштаб давления ро=ри^. Тогда

Dpp (Г)=(0二一，户=而?(叭)).

Следуя по пути получения (4.8), находим

平 к)〜#3 (q》l)，(4.12)

так что

Dpp(r)^b^(er)i：3 (%《г《4).(4.13)

Изложенная выше вкратце теория Колмогорова и его пред^ ставления о внутренней структуре турбулентного потока, которые в настоящее время получили общее признание, несмотря на логическую выдержанность и последовательность, нуждаются в экспериментальной проверке. Косвенные проверки, доказывающие согласование《закона %》с опытными данными, довольно многочисленны, и о них мы будем говорить далее. Особенно удобным объектом в этом отношении оказывается атмосферная турбулентность..

Однако наибольшее, чего можно было бы пожелать для любой теории, это проверка на опытных данных исходных предпосылок теории, в нашем случае—механизма измельчения вихрей н связанной с ним диссипации кинетической энергии. К сожалению, в литературе известен единственный опыт подобной проверки [2].

§ 5. Ми проструктур а поля температуры в локально изотропном турбулентном потоке.

Теория Обухова

Исходя из соображений, подобных изложенным в предыдущем параграфе, Обухов [22] рассматривает поле температуры в турбулентном потоке как случайное скалярное поле в пространстве (х, £) с основной характеристикой

Q"(x, х‘)= [7(х)-7(х)]2.(5.1)

При локальной изотропности потока DTT(xt x')=Dtt⑺,когда r<CLo. Для определения явного вида структурной функции Обухов использует метод подобия и размерности. Однако при г—>° аналитическое представление DTT (厂) получается непосредственно из того, что данная функция непрерывна и дифференцируема и, кроме того, DTT (0) =DrTT (0) =0. Действительно,

。"⑺ +倏(0)r (г - 0).(5.2)

С другой стороны, согласно (Ш, 10.4) и (III, 13.5), ■；~г1 / rDTT~DTT.、

grad" grad/ T =万 Ir^i ^% 丿。

Отсюда при i=j и г->0 с помощью (5.2) получаем

(grad 7)2 = "|-0*(0).(5.3>

Если обозначим

N = * (grad ТУ,(5.4>

где 玄——коэффициент температуропроводности, фигурирующий в уравнении теплопроводности

先 + 含以(5.5>

то вместо (5.2) получим

(Г)=季■产(г — °)-(5・6)

Смысл величины ^, введенной впервые Обуховым, будет выяснен далее.

Исходная предпосылка в теории Обухова заключается в допущении, что можно пренебречь влиянием архимедовой силы на поле температуры. Иначе говоря, в этой теории предполагается наличие динамической тур бул ентности и на ее фоне исследуются пульсации температуры, причем считается, что тепло, переносимое потоком, представляет собой «пассивную субстанцию» и вследствие этого пульсации температуры не влияют на динамический режим турбулентности.1

Пусть теперь в первоначально температурно-однородном потоке по каким-либо причинам возникла пульсация температуры П, связанная с существованием вихря масштаба 兀 По аналогии с определением кинетической энергии величину Т； естественно принять в качестве меры температурной неоднородности. Тогда, поскольку характерный период вихря равен 九/〃储 возникающая за единицу времени мера температурной неоднородности будет Т；〃入/兀 Под влиянием молекулярной теплопроводности она рассеивается и от соотношения между скоростями этих двух процессов зависит дальнейшее состояние поля. Этим качественным рассуждениям можно дать строгую количественную формулировку.

Совершенно ясно, что реальное поле температуры в турбулентном потоке можно рассматривать как результат

О влиянии архимедовой силы см, гл. VIII, § 3.

одновременного существования «температурных неоднородностей различных масштабов 入》.Если в начальный момент среда нагрета неравномерно, но градиенты температуры малы, то вследствие турбулентного движения отдельные частицы среды, имеющие различную температуру, могут приблизиться на столь малое расстояние, что локальные градиенты температуры значительно увеличатся. Однако на таких малых расстояниях существенное влияние начинает оказывать молекулярная теплопроводность, которая выравнивает температуры и сглаживает градиенты. Подобно трению, уничтожающему турбулентные пульсации скорости, молекулярная теплопроводность уничтожает турбулентные пульсации температуры. Здесь аналогия полная.

В качестве количественной характеристики (меры) температурной неоднородности всего потока, отнесенной к единице массы, Обухов вводит величину

G = XJr2dx,(5.7)

где Т' = Т ——Т ——пульсация температуры, V ——область интегри' рования, T=const для х巨V, а множитель V2 введен по аналогии с выражением для кинетической энергии. Поскольку Т‘ = = f(£), то и G = G(t). Используя предыдущие рассуждения и полную аналогию между механизмами выравнивания неоднородностей в полях скоростей и температуры, из интуитивных соображений можем написать уравнение для dG/dt, аналогичное (2.6). Однако, следуя Обухову [22], мы дадим строгий вывод этого уравнения, исходя из уравнения (5.5).

Поскольку T=const, (5.5) можно записать еще в виде

券=心厂，(53)

откуда

Используя тождество

Г А厂=div (Г grad Г) - (grad 厂尸， перепишем предыдущее уравнение в виде

J 方仕 厂)dx =卜 div (厂 grad Г) dx — 卜(grad 厂尸 dx. (5.8) VVV

В самом начале предположим, что границы рассматриваемой области твердые и теплонепроницаемые. Вследствие того что теплообмен отсутствует, gradn Т=0, и после преобразования 186

первого объемного интеграла в правой части (5.8) в поверхностный по формуле Остроградского——Гаусса

J div (Г grad Г) dx = [(Г grad“：T)dS

он будет равен нулю. Тогда из (5.8) получим

察『“grad 7')2dx.

Если это равенство осреднпть по объему и обозначить

g = QIV; N = y(grad 厂产,

то можно получить

Поскольку всегда ^> 0, dgldt <0. Следовательно, если отсутствуют внешние факторы, вызывающие термические неоднородности, мера этих неоднородностей, отнесенная к единице массы, за единицу времени уменьшается на М Это и выясняет смысл величины, фигурирующей в (5.6) 1 в виде скорости выравнивания неоднородностей температуры. Она полностью аналогична скорости диссипации е из (2.7). В этом случае мы имеем затухание в поле температуры, законы которого будут рассмотрены в гл. V, § 8. При 况=0 независимо от характера движения данной гипотетической среды величина G, однажды возникнув, остается постоянной. В реальной среде с малыми значениями 乂, как, например, в воздухе, выравнивание температуры происходит практически только в тех случаях, когда локальные градиенты велики.

Если рассматривать объем жидкости, не изолированный от окружающей среды, имеющей источники температурных неоднородностей, то в нем не всегда dgldt V 0: знак этой производной зависит от соотношения между величинами двух интегралов в правой части (5.8). Первый из них выражает собой скорость зарождения неоднородностей в поле температуры вследствие турбулентного движения частиц жидкости, второй ——их исчезновение под действием молекулярной теплопроводности. Наиболее интересен стационарный случай, когда эти два противоположно Действующие фактора уравновешиваются, так что G=const В этом случае значительно проще определяется структурная Функция DTT{r) при r^Lo.

Действительно, разность Т(х')——Т(х) зависит главным образом от неоднородностей с масштабом 入〜|х‘一х| =г и при

Поскольку r=const, grad r=grad V.

г《& эту разность можно считать статистически изотропной, а само поле Т (х)——локально изотропным. Если обозначим Zor масштаб наименьших неоднородностей в поле температуры, тс при &DT《r《Lo структурная функция DTt(/') будет зависеть только от N, £ и, разумеется, от г. Из П-теоремы следует

。疗(г)=片 Ns- 3 产3 %r《г《丄°), (5.1())

где с^——положительная константа порядка единицы.

Выражение (5.10) известно как «закон %》Обухова, впервые полученный им изложенным здесь методом. Как видно, аналогия с законом (4.8) имеет место и в этом случае. Из этих двух законов следует

Теперь уточним введенный ранее минимальный масштаб ?.ст. Именно, определим Лот как абсциссу точки, в которой пересекаются кривые (5.6) и (5.10):

产 № Т；3 j 2 3=竺.；2 匕‘” ‘3 3/ Лог 1

или

= (5.12)

Однако Ст〜1, так что и (27с，)乂〜1, а для воздуха *^乂. Тогда из сравнения (5.12) и (4.3) заключаем, что Хот — ^ и, следовательно, нет необходимости вводить второй внутренний масштаб. Попутно отметим, что и масштаб 入о из (4.3) может быть получен подобно 九от из совместного решения (4.8) и (4.9).

Интервал (^丁，Lo), в котором влияние молекулярной теплопроводности несущественно, назовем конвективным интервалом. Очевидно, что при v — х он совпадет с инерционным интервалом (Хо, Lo).

ГЛАВА V

Статистическая теория турбулентности— корреляционный метод

В этой и следующей главах рассмотрены приложения корреляционной и спектральной теории случайных функций в теории турбулентного движения н их различные прикладные аспекты.

Центр тяжести в изложении приходится на математическую сторону проблемы, вследствие чего необходимо предварительно ознакомиться с гл. IV, в которой даны физические основы теории. Конечно, во многих местах мы снова подчеркиваем эту важную сторону изложения.

Изотропная турбулентность.

Уравнение Кармана—Хоуарта

Если в уравнениях Навье—Стокса (IV, 2.1) представим и и р в виде 〃t = 〃i+〃：, р=р+р‘ и произведем осреднение, то получим уравнения

％ + 以也)=眞■ + Y A〃j,(1.1)

известные как уравнения Рейнольдса для среднего движения.

189

Их качественное отличие от уравнений для мгновенных значений скорости состоит в том, что они вместе с уравнением непрерывности dufJdxii=0 образуют для неизвестных функций 卫几 卩 и шести составляющих симметричного тензора 卫;辽;незамкнутую систему, поскольку неизвестных больше, чем уравнений. В полуэмпирической теории турбулентности [33] на основании более или менее физически обоснованных гипотез составляющие тензора 〃[卫：выражаются через среднюю скорость, так что число неизвестных становится равным числу уравнений.

В 1924 г. в фундаментальной работе Фридмана и Келлера [65] был предложен новый метод преодоления этой принципиальной трудности, проистекающей из нелинейности уравнений Навье—— Стокса (IV, 2.1). С полным основанием можно утверждать, что их работа положила начало современной статистической теории турбулентности.

Фридман и Келлер предложили в качестве статистических характеристик турбулентного потока наряду со средними значениями ввести «моменты связи» или, как теперь говорят, корреляционные моменты типа

%(х, г, t) = 〃；(x, /) Uj (х + г,看 + ① и т. д. (1.2)

Зависимость B<j от х и / выражает влияние внешних условий, при которых происходит движение,——наличие твердых стенок, поля внешних сил и др., в то время как зависимость от г и т выражает внутренние структурные свойства потока. Однако заслуга авторов не только в том, что они ввели эти моменты, а прежде всего в том, что они дали метод построения дифференциальных уравнений для моментов, которые в принципе позволяют их определить. Если в результате решения этих уравнений определяется В/Дх, Z; г, т), то при 厂=0 и т=0 получаются точно

Фридман и Келлер не делают никаких предположений относительно характера турбулентности, вследствие чего их теория свободна от каких бы то ни было механических моделей. Однако полученные ими уравнения чрезвычайно сложны и не имеют особого практического значения из-за их неразрешимости. По этой причине мы здесь эти уравнения не выводим. Однако для нас имеет значение метод их получения, который в том или другом варианте лежит в основе всех современных исследований тур бул е нт ност и. Схематически этот метод состоит в следующем.

Уравнения для пульсационной скорости

半-+ 备-(加";m + 或加 + 成十需+ "а"；, (1.3>

которые получаются, если из (IV, 2.1) вычтем (1.1), записанные для точки х и момента времени 力 умножим на 〃:(х+г, z+т) и осредним. Аналогичные операции совершаются с уравнениями непрерывности и теплопроводности. Полученные уравнения после некоторых элементарных преобразований будут содержать средние значения величин и статистические моменты второго и третьего порядков. Затем привлекается известный постул ат о третьих моментах. Фридман и Келлер считают, что моментами третьего порядка можно пренебречь по сравнению с моментами второго порядка. В результате этого допущения получается полная система дифференциальных уравнений, из которой в принципе могут быть определены средние значения искомых величин и вторые моменты.

Как станет ясно из дальнейшего, третьи моменты в общем случае отличны от нуля и пренебрежение ими оправдано далеко не во всех случаях. Однако там, где это возможно, получаются существенные теоретические результаты.

В более новых исследованиях предложены другие методы исключения моментов третьего порядка, но об этом мы подробно будем говорить в дальнейшем. Начало в этом направлении было положено в работе Кармана и Хоуарта [63], опубликованной в 1939 г. В основе этой работы лежит метод, предложенный Фридманом и Келлером, который еще называют корреляционным методом. В ней изучается частный случай однородной и изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. Это означает, что поля физических величин рассматриваются как однородные и изотропные случайные поля во всем пространстве в знакомом нам уже смысле. Для этого необходимо, чтобы жидкость простиралась во всех направлениях до бесконечности и и=0 \ а средние значения скалярных величин были постоянны. Мысленно такую модель можно представить, если посредством мгновенного перемешивания привести течение в хаотическое движение. Со временем это хаотическое движение неизбежно затухнет (выродится), так как источник турбулентности в этом течении отсутствует.

Указанное выше условие значительно упрощает математический анализ и позволяет получить одно уравнение для двух скалярных функций, определяющих вторые и третьи моменты. Вследствие этого обстоятельства наибольшее развитие получила теория изотропной турбулентности и в данной книге приведено полное изложение только этой теории.

Поскольку 〃冗=0, символы 〃冗 и р в дальнейшем будут обозначать мгновенные значения этих величин, а 〃； и рг ——их значения в точке х7=х + г, но в один и тот же момент времени Л

Это вытекает из (III, 4.12).

Уравнения Навье—Стокса

0〃, ~дГ

+

д

-"а =

1

р

др dxi

+ у ДЯр

(1.4)

duj dt

+

д

0%

1

~р~

дрг

0х；

(1.5)

записанные для точек х и х‘, умножаем соответственно на 乜； и 〃厶 после чего их складываем друг с другом:

与%k• + 备%%k一 + 奇 %线"；=

叫+_^_Р")+2 + А')“М・ (IS)

Полученное уравнение осредняем, полагаем 〃纟〃；=Вг； (г, /) и производим дифференцирование по %=%： — %&• Очевидно, что

д ддО

dXa 匕九

При осреднении первые два члена в правой части (1.6) отпадают, так как, согласно теореме 1 в гл. III, § 11, давление и скорость не коррелированы (р〃:=0). В итоге получаем

где

5尸用不诃-不诃)；A产若丁 (1.9)

Но, согласно (III, 7.20) 〃犯在〃；=—〃在的〃;=—6灯，"г). Следовательно,

(4 - 2v М瓦尸备回,升当", ,)•(1-10)

Полученное выражение представляет собой искомое уравнение в тензорном виде. Однако тензоры 6叮 и 6仃，冗 выражаются через скалярные функции В и (г, f) и Вт (г, f) с помощью (ПЕ 9.10) и (III, 9.19). Следовательно, в (1.10) содержатся уравнения для этих функций и легче всего извлечь их оттуда, если в (1.Ю)

положить i=j и просуммировать. При этом, согласно (III, 9.12) и (ПГ 9.20),*•

В尸(rg + 3)3〃，(1.11)

邑=談{(备 + 4") B〃"a }=卜 £ + 3)後 + ；)田〃，

△& = 2{条 + 3网=卜4" + 3)0/"0М

и после подстановки в (1.10) находим

(г g + 3)[倚 _ 2词 В〃 一 陽 + 言)％ = 0.

Интегрируя это уравнение при условии, что выражение в прямых скобках не имеет особенности при г=0, получаем уравнение

известное под названием «динамического уравнения Кармана— Хоуарта》[63]. Оно определяет изменение Вц{г, f) во времени и, следовательно, описывает процесс вырождения турбулентности.

Современные экспериментальные методы позволяют точно измерить все члены в этом уравнении при всех значениях г. Такие измерения выполнены Стюартом [87], который показал, что с точностью до ошибок округления результаты опыта удовлетворяют (1.13). А поскольку это уравнение является прямым следствием уравнений Навье——Стокса, полученным без дополнительных гипотез, указанная проверка подтверждает применимость уравнений Навье——Стокса к описанию турбулентного движения. Как отметил Таунсенд [35], экспериментальная проверка Стюарта является самой надежной из всех, проведенных с указанной целью. '

Кроме того, опытным путем была проверена и формула Впл (г) = Вц + * В\ , вытекающая из уравнения неразрывности (рис. 27).

193193Как видно, (1.13) содержит две неизвестные функции: 6辽(г, /) и 6也(厂，，)・ Следовательно, даже в этом, самом простом случае возникает принципиальная трудность для корреляционной теории. Если составить уравнения для третьих моментов, то

193

193

они будут содержать моменты четвертого порядка и т. д. Кроме усложнения уравнений, мы сталкиваемся с проблемой задания начальных условий для неизвестных функций. Вследствие этого на нынешнем этапе развития теории изотропной турбулентности мы вынуждены ограничиться использованием моментов до четвертого порядка включительно, используя при этом некоторые дополнительные допущения, о которых речь будет идти в дальнейшем.

Рис. 27. Экспериментальнаяпроверка формулыBnn(.r)=(^.^- + ^Ba(r)(сплошная линия — теорети-ческая зависимость).

Если использовать постулат о третьих моментах и в (1.13) положить Bt产0, то можно получить уравнение

与 В〃(г, /) = 2v ^- + -^- Ви (г, /),(1.14)

которое принадлежит к типу уравнения теплопроводности со сферической симметрией в пятимерном пространстве.

Инвариант Лойцянского

Большую роль в исследовании изотропной турбулентности, точнее при выводе законов вырождения турбулентности, играет так называемый инвариант Лойцянского, установленный им в 1939 г. [13]. Этот инвариант получается непосредственно из уравнения Кармана——Хоуарта (1.13). Умножая правую и левую части (1.13) на гт и интегрируя по г в пределах от 0 до оо, получаем

备 j rmBudr = 2^ rmB[t dr^^rm~lB'udr +

r об0

^\rmBuldr + ^rm^Btlldr,00

а после интегрирования по частям

4 f 严综dr = 2V (严国)：+ 2V (4 一 m)(产一空):+ 十 2v(/n — 4)(тп — 1)『rm--Budr + {rmBul^ + (4 —⑺ jr^Bmdr. Если при т> 1 выполняются условия

lim rmBul = 0 и lim rmB'u =0,(2.1)

то предыдущее равенство упрощается:

соГ сосо"

—、严Вц dr = (4 — m) J гт~хВт dr - 2v (m - 1) f r^B^ dr .

.(2.2)

Отсюда при m=4 находим

拿卜防公=。о

или

Л = f ^Вц (г, /) dr Ло = const.(2.3)

Несмотря на то, что в процессе вырождения турбулентности 6〃 зависит от Z, интеграл (2.3), называемый инвариантом Лойцянского, остается неизменным. Существование и конечность этого инварианта имеют место до тех пор, пока выполняются условия (2.1). Седов показал [34], что Л=/\о^О, оо только в случае отсутствия в (1.13) моментов третьего порядка. В противном случае величина Л не инвариантна или, если и будет такой, то равна нулю или бесконечности. Причиной этого является нарушение условий (2.1) [34, 41].

Если в соответствии с опытными данными принять, что при всех значениях г имеем В頂 <0, В[ <0 [75], то из (2.2) следует

■ >0гтВн(г, /) dr =0<0■ >0гтВн(г, /) dr =0<0при /п>4при 『77=4при /п<4при /п>4при 『77=4при /п<4(2.4)(2.4)

■ >0

гтВн(г, /) dr =0

<0

■ >0

гтВн(г, /) dr =0

<0

при /п>4

при 『77=4

при /п<4

при /п>4

при 『77=4

при /п<4

(2.4)

(2.4)

В заключение вычислим интеграл

А» = *4в黑(Г, /)dr,

6

где 3峨——определяющий скаляр тензора Q4； a Q = rot ц. Подставляя сюда В(у)из (III, 12.10), получим

\=~]r^D5Budr = r^Bu\-.О

Но так как (2.1) в силе, находим

J ^B^u} (г, £) dr = 0.(2.5)

о

Следовательно, инвариант Лойцянского для корреляционной функции вихря скорости равен нулю.

Основные закономерности вырождения (затухания) изотропной турбулентности

Понятие «масштаба турбулентности» играет важную роль в теории вырождения турбулентности. Вследствие этого прежде чем приступить к рассмотрению вопроса о вырождении, вспомним определение так называемых микро- и макромасштабов турбулентности (III, 7.13 и III, 9.14) и выясним их физический смысл.

В гл. III, § 7 показано, что при г —0

3"(1 一克)(3.1)

С другой стороны, согласно (III, 7.21), В&~/Л Принимая во внимание два последних асимптотических выражения, из (1.13) при гт0 получаем

等=-1唔(3.2)

а после подстановки в выражение для диссипации (IV, 2.7) находим

е=-4 陪=15V硏总.(3.3)

Отсюда становится ясной роль микромасштаба &i в процессе диссипации энергии, который вследствие этого называют еще 196

«линейным параметром диссипации». Как видно из (3.1), запи- 0 2

-энного в виде %=', микромасштаб &i тем больше, чем

больше корреляция между скоростью в двух точках, находящихся на расстоянии г друг от друга. Поскольку эта корреляция растет с увеличением размеров вихрей, то вполне естественно, что размер последних характеризуется величиной 入入 С другой стороны, согласно (3.3),入！ определяет и диссипацию энергии турбулентности. Так как диссипация осуществляется в общем мелкими вихрями, величина 入i характеризует именно их линейные размеры. Отсюда и происходит ее название—■ микромасштаб. Однако величина 入i не совпадает с введенным выше внутренним масштабом турбулентности 九о.

Поскольку e = v(rot и)2, из (3.3) находим

(3.4)(3.4)(rotu)2 = 15«2/xt

(3.4)

(3.4)

Впрочем это интересное равенство получается и непосредственно из (III, 12.10) и (3.1).

Микромасштаб &i при вырождении турбулентности зависит от времени. Интересно, что при степенном законе вырождения, при котором

官〜厂"(〃＞。)，(3.5)

&： как это следует из (3.2), увеличивается пропорционально времени

入沁)=*(3.6)

Макромасштабом турбулентности называют линейный интегральный масштаб

厶(/)=『凡(г，/)dr，(3.7)

О

который мы уже истолковывали как среднюю статистическую меру линейных размеров области, в которой корреляция между значениями скорости в двух различных точках все еще значительна.

В качестве размеров наибольших вихрей, формирующих турбулентный поток, естественно принять то расстояние Lo, для которого Ru(Lo) —0. Величину Lo мы назвали внешним масштабом турбулентности. Масштаб /л, выражаемый интегралом (3.7), 「Де ради удобства верхним пределом интегрирования взята 8, определяет среднее расстояние между точками, в которых ско- Р°сть коррелирует еще заметно. Иначе говоря, параметр £丄 характеризует средний масштаб больших вихрей, что и

определило его название. Следовательно, необходимо различать Li и Lo-

fi веденные чисто статистическим путем масштабы 7d и Li не зависят от какой-либо модели движения и могут быть непосредственно измерены ——современная измерительная техника позволяет это сделать. Результаты таких измерений приведены в ряде работ, например в [1].

Перейдем теперь к рассмотрению процесса вырождения изотропной турбулентности, в котором рассмотрим отдельно две стадии ——начальную и конечную, поддающиеся в настоящее время математическому описанию. Как уже упоминалось, изотропная турбулентность с течением времени неизбежно вырождается, т. е. i^(t)~^ 0 при > оо.

Прежде всего остановимся на заключительной стадии вырождения, когда скорость, а следовательно, и число Рейнольдса настолько малы, что в (1.13) можно полагать Вщ^^. Это равносильно пренебрежению нелинейными членами в уравнениях движения. Если бы функция Вп (г, 0) была известна, то вопрос о вырождении на этой стадии был бы исчерпан, так как в этом случае (1.14) имеет известное решение [15, 36] вида

В〃 (г，0 = ^S^ J Вц С，0) У/ 2 (告)е L а& (3.8) где /?г(х)——Бесселева функция от мнимого аргумента. Поскольку мы исследуем асимптотические свойства решения при ff 8, можно предположить, что подробности в начальном распределении Вц(г, 0) имеют второстепенное значение' и начальное условие можно заменить его некоторой суммарной характеристикой. В качестве последней возьмем инвариант Лойцянского (2.2). Кроме того, поскольку 6〃 (匚 0) существенно отличается от нуля только в небольшой окрестности точки 厂=0, (3.8) выражается в виде

В" (Г, о = const •,八5/, ,(3.9)

что соответствует известному решению уравнения теплопроводности для точечного источника. Если (3.9) подставить в (2.2) т то можно получить

Ло = const • I r= const • 48 P2冗 0

Н, следовательно,

В〃(г, /)=―璽~(3.10) ,48 H2匸(闽，

Отсюда при 尸=0 получаем закон вырождения турбулентных пульсаций скорости в потоке

值(/)=^«) = ^^ 厂Gil)

а из (3.5) и (3.6) и микромасштаб

%(/) = 2/彳.(3.12)

Такую же формулу для 九i(£) получим, если разложим в ряд выражение для коэффициента корреляции

А“(г, /) = е—叫(3.13)

отбросим все члены ряда, начиная с третьего, и сравним сумму оставшихся членов с (3.1).

Для интегрального масштаба Lt, согласно (3.7) и (3.13), имеем

厶(/) = j е 尸A' dr = 1/坛.(3.14)

Следовательно,

% = I年厶，

т. е. в заключительной стадии процесса масштабы 入i и 厶1—величины одного порядка, что вполне естественно. Число Рейнольдса о虱Li/w в этом случае убывает по закону

Re 〜厂 34(3.15)

Изложенные здесь результаты были получены Миллионщико- вым [15] и Лойцянским [13, 14] и нашли подтверждение на опытных данных [1]. В дальнейшем уточнение этих результатов было осуществлено Седовым [34] с помощью теории подобия и при более точной постановке начальных условий. На работе Седова мы здесь не останавливаемся, так как она подробно изложена в его монографии [34].

Противоположный случай соответствует начальной стадии вырождения, когда скорость достаточно велика, вследствие чего нельзя пренебречь третьим моментом в (1.13). Карман и Хоуарт [63], которые первыми исследовали этот вопрос, ввели гипотезу ° подобии корреляционных функций в процессе вырождения, Сражающуюся математически следующим образом:

5〃 (几 4 = 0ц/(Ю

В", (Г, /) = 4а(г/А).(3.16)

Эта гипотеза лежит в основе дальнейших исследований. В (3.16) L ——некоторый линейный масштаб, которому не придается конкретного геометрического или механического смысла. С помощью указанной гипотезы инвариант Лойцянского (2.3) записывается в виде

о2ЛБ = const.(3.17)

С другой стороны, в начальный период влияние трения несущественно и скорость рассеивания кинетической энергии do2 Idt зависит только от。孤 и L:

£d喙Idt〜吸比.(3.18)

Решая совместно последние два уравнения, получаем:

。沐)〜L9 〜冲.(3.19)

Эти законы вырождения турбулентности в начальной стадии установлены Колмогоровым [9].

На основании полученных результатов можно принять, что процесс вырождения изотропной турбулентности описывается простым степенным законом вида [30]

.成《)〜厂"，(3.20)

где п принимает различные значения в разные периоды. Как показал Седов [34], этот закон может быть обоснован и теоретически с помощью теории подобия и размерности.

Тейлор [88] опытным путем показал, что в период времени, следующий за начальным,吟(f)〜С Если принять этот закон как экспериментально установленный факт, то (3.18) и инвариант Лойцянского (3.17) оказываются взаимно несовместп- мыми.

Действительно, если в силе (3.17), то имеем:

。北?)〜广2,/⑺〜产.(3.21)

В противном случае при использовании (3.18) находим：

或 «)〜厂2, £«)= const.(3.22)

Если на основании того, что *% V2 <5/г, примем, что формула Тейлора су^ 〜£-2 описывает вырождение в промежуточной стадии между начальной (3.19) и конечной (3.11), то нет никаких оснований считать, что инвариант Лойцянского в течение этой стадии не существует, раз в теории Колмогорова его существование постулировано. С другой стороны, можно предположить, что в этой промежуточной стадии начинает оказывать известное влияние трение и (3.18) теряет силу. Отсюда следует, что физически более реален случай (3.21).

Из краткого обзора состояния вопроса о вырождении изотропной турбулентности становится ясно, что он еще далек от окон、 нательного разрешения. В частности, остаются открытыми вопросы о границах между различными стадиями, об обоснова- нин ряда гипотез и многие другие. Этим объясняется постоян- нн直 интерес исследователей, работающих в области статистическОй теории турбулентности, к указанным узловым вопросам и большое количество работ, посвященных этим проблемам [51, 56, 57, 61, 76, 82 и др.], на которых мы не имеем возможности остановиться.

§ 4. О гипотезе Миллионщикова и ее обобщениях

В предыдущем параграфе при изучении процесса вырождения в конечной его стадии мы пренебрегли третьими моментами на том основании, что они величины более высокого порядка малости, чем вторые моменты.

Колмогоров первым обратил внимание, что на этой стадии третьи моменты малы не только в сравнении со вторыми, но и в сравнении с четвертыми. К этому выводу можно прийти на основании следующих соображений.

При достаточно больших значениях / можно пренебречь нелинейными членами в уравнении движения1 (1.4) и записать его в виде

.^~и(х, /) = ^4(х> 0-(4.1)

Это уравнение описывает изменение во времени любой реализации поля скорости в потоке. Если функция и(х,力)известна, то (14.1) можно решить точно, поскольку решение уравнений подобного типа известно. Легче всего получить решение, применяя преобразование Фурье. Уравнение для коэффициентов Фурье имеет вид

4 岡(к, /)]= 一 次2 ®z (к, Ob(4.2)

Решение находится сразу

dZ(k, t)=dZ (к,幻《7 胪(4.3)

Обратное преобразование дает

/)= 1^^7Т^"(х'&)е 4“i)dx，.(4.4)

Давление выражается посредством члена, квадратичного относительно скорости, поэтому им также пренебрегаем.

При /——力+8 экспоненциальный множитель под интегралом близок к единице для все более крупной области х‘ 一 пространства с центром в х. Если этот интеграл рассматривать как сумму известного количества интегралов /在，распространенных по объему Vh. то с увеличением f——/о будет увеличиваться и число этих интегралов, сумма которых дает и(х, /). Ясно, что все слагаемые представляют собой случайные величины с ограниченным вторым моментом. Но эти слагаемые (основную часть каждого из них составляет интеграл ju(x‘，备)dx[ взятый по данной области) будут зависимыми величинами. Однако, если выбрать объем области достаточно большим, то можно с достаточной точностью считать эти слагаемые независимыми величинами. Тогда на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можем утверждать, что распределение вероятностей суммы интегралов, т. е. и(х, £), стремится к нормальному распределению при увеличении числа слагаемых (при t—fo# 8).

Как показал Бэтчелор [1], такой же результат вытекает и из более общей предельной теоремы, в которой статистическая независимость слагаемых не требуется, а только налагаются некоторые не особенно сильные ограничения на статистические свойства функции u(x, t). Подобным образом можно показать, что совместные распределения вероятностей u(x, f) в произвольном конечном множестве точек х互 (力=1, и) также стремятся к нормальному при £——备一＞ 8. Но при нормальном распределении третьи моменты, как нам уже известно, тождественно равны нулю, а все четные моменты более высоких порядков выражаются через вторые. Следовательно, в этом случае возможно полное описание статистических свойств турбулентного потока.

Экспериментальная проверка, которая на этот раз легко осуществляется, в первом случае показывает, что распределение вероятности значений скорости в данной точке очень близко к нормальному не только при f —方+8, но и на более ранней стадии (см., рис. 15). Не так обстоит дело во втором случае, в котором практически наиболее важно совместное распределение вероятности значений скорости в двух точках на расстоянии г между ними. Если г мало, то между значениями скорости существует сильная корреляционная связь, и закон распределения их разностей в значительной степени будет зависеть от вида уравнений движения, точнее от их нелинейных членов. С влиянием последних связана разность между распределением вероятностей положительных относительных скоростей, соответствующих 《растяжению》течения между двумя точками, и распределением отрицательных относительных скоростей («сжатие» течения). Но разность значений скорости в двух точках на 202

расстоянии г одна от другой обусловливается, как мы уже видели, вихрями масштаба 九〜几 т. е. мелкими вихрями при малом 匚 Можно предположить [1], что их статистические характеристики отражают влияние на них нелинейных членов уравнений движения, и поэтому распределение вероятности значений разности и' — и отличается весьма существенно от нормального при малых г и приближается к нему при больших г.

Опытные данные подтверждают эти теоретические выводы [1, 35].

Оригинальная гипотеза Миллионщикова [17], сформулированная им в 1941 г., заключается в следующем: на конечной

Рис. 28. Экспериментальная проверка гипотезы Миллионшикова по данным [II, 94]./ — данные наблюдений, 2 — вычисленные данные.Рис. 28. Экспериментальная проверка гипотезы Миллионшикова по данным [II, 94]./ — данные наблюдений, 2 — вычисленные данные.стадии вырождения изотропной турбулентности совместные распределения вероятности значений скорости в двух различных точках, но в один и тот же момент времени близки к. нормальному распределению, так что между четвертыми и вторыми моментами приближенно справедлива связь (III, 5.10), но при этом третьи моменты отличны от нуля.

Рис. 28. Экспериментальная проверка гипотезы Миллионшикова по данным [II, 94].

/ — данные наблюдений, 2 — вычисленные данные.

Рис. 28. Экспериментальная проверка гипотезы Миллионшикова по данным [II, 94].

/ — данные наблюдений, 2 — вычисленные данные.

Эта гипотеза скрывает в себе большие потенциальные возможности, чем и объясняется использование ее многими авторами. Ее применяют не только при исследовании вырождения турбулент-

ности в конечной стадии с привлечением моментов четвертого порядка для пополнения системы уравнений [16, 17], но и когда вообще в теории появляются четвертые моменты [23, 39, 56, 69, 78 и др.].

В последнее время опубликованы работы [27, 94], в которых

производится прямая экспериментальная проверка гипотезы Миллионщикова. Результаты проверки показывают, что его гипотеза выполняется с точностью до 10——15% (рис. 28). Можно также показать [78], что при использовании этой гипотезы условие г2Вт^0 при гт8 теряет силу, и, следовательно, инвариант Лойцянского не существует. Этот результат находится в согласии с выводом Седова (см. § 3).

Однако при использовании гипотезы Миллионщикова идут еще дальше. Например, образуют четвертые моменты для одного и того же момента времени, но для количества точек более двух [91]. В работах Чандрасекара [46, 47], которые мн еще рассмотрим в гл. VII, § 1, составляющие скорости

в произведении 〃》〃$〃；〃； берутся в двух точках и в два различных момента времени. -

Дальнейшее обобщение указанной гипотезы состоит в применении ее к смешанным моментам четвертого порядка, составленным из скалярных и векторных величин, только скалярных или только векторных, отнесенных к одним и тем же или различным моментам времени, к одним и тем же или различным точкам. В подобных вариантах использование гипотезы встречается в работах Чандрасекара [48, 49], Робертса [85], автора [28] и др. Различные варианты, о которых мы только что упоминали, объединим под общим названием «обобщенной гипотезы Миллионщикова» в отличие от первоначальной гипотезы самого Миллионщикова.

Вопрос о том, насколько эти обобщения более или менее физически оправданы, нуждается в специальном выяснении в каждом конкретном случае.

Что же касается отношения обобщенной гипотезы к реальному турбулентному потоку, то ответ на этот вопрос может дать только сравнение теоретических результатов с опытными данными. Если такие данные отсутствуют и современные технические измерительные средства не позволяют их получить, а за или против этой гипотезы нет никаких других теоретических аргументов, то можно просто постулировать ее законность и выводы, сделанные на основании этого допущения, рассматривать как гипотетический случай. Вследствие этого мы не ограничиваем распределение вероятности значений различных величин классом только нормальных распределений, так как существуют распределения, отличающиеся от норм аильных тем, что третьи моменты у них не равны нулю, а связь между четвертыми и вторыми моментами такая же, как и при нормальном распределении. Такие распределения назовем «квазинормальными», а обобщенную гипотезу ——«гипотезой квазинормальности».

Локально изотропная турбулентность — уравнение Колмогорова

В теории пространственной корреляции скорости в локально однородном и изотропном турбулентном потоке основная роль принадлежит уравнению

2〃 (г) - 6v0〃 (г) = — g er, (5.1)

полученному впервые Колмогоровым [8, 9]. Оно непосредственно вытекает из уравнения Кармана—Хоуарта (1.13), если

в нем корреляционные функции В^(『,/) и В山(几 £) заменить на структурные Du(r) и Dm{r) по (III, 13.15) и (III, 13.16) и

использовать равенство £ =——Вц(0, t). Тогда получим

(备 + Т-) [Ощ (Г) - 6V齿(г)] = - 4s.

Интегрируя это уравнение при условии, что выражение в скобках ограничено при г=0, получаем точно (5.1). И здесь, как и в оригинальной работе Колмогорова, предполагаем, что поток не только локально, но и в целом однороден и изотропен. Последнее требование ——весьма жесткое условие для движения и в естественных условиях в большинстве случаев не выполняется. В то же время формулы, полученные в теории локально изотропной турбулентности менее строгими методами, подтверждаются опытными измерениями. Это обстоятельство наводит на мысль, что, вероятно, существует метод вывода указанных формул без допущения об изотропности всего потока. Такой метод был предложен недавно Мониным [18]..

Выберем неподвижную координатную систему К. Обозначим %?(力 координаты точки х, а и$(х" ) компоненты скорости в этой системе. Введем теперь новую, подвижную систему координат К*, начало которой связано с движущейся частицей Л данного течения, имеющей координаты %； (£). Составляющие скорости в системе К* обозначим s(r, £)=必一〃'吓 где /=% — %'.., Известно, что в данной точке пространства ускорение по отношению к системе К* (относительное ускорение 若)равно разности между абсолютным аг и переносным а： (ускорение К* относительно К) ускорениями. Согласно определению,

С другой стороны, из уравнения движения следует:С другой стороны, из уравнения движения следует:(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)，_ 壮办 一 dvt I е 0s% 一 dt 一右十外京

С другой стороны, из уравнения движения следует:

С другой стороны, из уравнения движения следует:

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Поскольку а；=修—е, А% = А 饱—広)и

△ «/ = — △ (/ 一

Легко проверить, что справедливо следующее тождество:

А АВ + В АА 二"В - 2 工—-.

Если примем во внимание тождество (5.5), теорему 1 из гл. Ш, § 11, равенства 0£>打/0/=0 и。以/。〃=6, вытекающие из условия несжимаемости жидкости, то после умножения (5.4) на Vj=Uj-—辽; и осреднения получим тензорное уравнение

丽 2/(r) = 2V\%(г) - 2、(云疗十證(3.6) Два члена в скобках являются постоянными тензорами, которые вследствие локальной изотропности и однородности равны между собой и могут быть представлены в виде

(5.7)(5.7)<Ч 0勺.,

(5.7)

(5.7)

В этом уравнении константа 6 может быть выражена через диссипацию £. Действительно, поскольку

a p=const,a p=const,0〃а 0%0〃а 0%(5.8)(5.8)dxi 0* так что вместо (IV, 12.4) имеемdxi 0* так что вместо (IV, 12.4) имеем=0,=0,(5.9)(5.9)

a p=const,

a p=const,

0〃а 0%

0〃а 0%

(5.8)

(5.8)

dxi 0* так что вместо (IV, 12.4) имеем

dxi 0* так что вместо (IV, 12.4) имеем

=0,

=0,

(5.9)

(5.9)

(5.10)(5.10)『（絹г

(5.10)

(5.10)

Из сравнения (5.10) с (5.7) при i=j находим Ь — е/Зх. Тогда

вместо (5.6) находим

(5.Н)(5.Н)±DL4D“

(5.Н)

(5.Н)

Подставив сюда D^ и Q?汕 из (III, 13.20) и (III, 13.27), после интегрирования по г получаем точно (5.1).

С помощью уравнения Колмогорова (5.1) и некоторых дополнительных экспериментальных данных можно определить неизвестные константы С и Л в (IV, 4.8) и (IV, 4.9), а также получить и новые результаты.

Так, при г《九о в (5.1) полагаем Q以q0, поскольку при малых г Dm 〜弋 и получаем

АО訪产（г《％）・АО訪产（г《％）・(5.12)(5.12)

АО訪产（г《％）・

АО訪产（г《％）・

(5.12)

(5.12)

В инерционном интервале (и^О) из (5.1) находим выражение

4

⑺=一意▽%《尸《及），（5.13）

данное Колмогоровым [8].

206

Коэффициент асимметрии S распределения вероятности значений разности продольной компоненты скорости щ в двух точках

肥(г) (5.14)

в инерционном интервале должен зависеть только от е и г. Но так как из последних двух величин нельзя составить безразмерную комбинацию, неизбежно получаем, что S=const. Комбинируя этот результат с (5.13) и (5.14), находим

°'^ = [-~^3(^2：3 Q-^r^L^. (5.15)

Поскольку Du > 0, то необходимо, чтобы S V 0, т. е. S=— IS I. Эти теоретические выводы относительно коэффициента асимметрии S были полностью подтверждены опытными данными Таунсенда [2, 35], полученными при измерениях в аэродинамических трубах. Для значений S в инерционном интервале было получено в среднем ——0,4, с колебаниями между ——0,36 и ——0,42 в пределах ошибок измерений. Интересно отметить, что последние измерения S, проведенные Гурвичем [17] в атмосфере, дали такие же результаты. Если подставим в (5.15) вместо S его значение —0,4, то получим

0〃(г) = (2”)2 3. (5.16)

Отрицательные значения S, предсказанные теорией и подтвержденные опытными данными, имеют определенный физический смысл. Они представляют собой разность в распределении вероятностей положительных (А〃七 > 0) и отрицательных (厶〃七 V V 0) относительных скоростей (о них шла речь в предыдущем параграфе), и знак минус перед S показывает, что вторые скорости преобладают над первыми. Но поскольку средняя скорость равна нулю (Ди/=0), указанное обстоятельство означает, что отрицательные Ди/ встречаются более редко, чем положительные, т. е. короткие промежутки времени с сильной дивергенцией продольных скоростей чередуются с длинными периодами слабой дивергенции. Это явление хорошо известно из наблюдений за ветром в атмосфере и его, в сущности, и отражают отрицательные значения S.

Полученные уточнения основных формул локально изотропной турбулентности относятся к их числовым константам. Сами формулы (5.12) и (5.16) представляют собой два асимптотических выражения для Du (г). Вид этих функций в промежуточном интервале, ограниченном 厂〜入о, с одной стороны, и очень боль^ шими г, с другой, остается неизвестным. Отсутствие аналитиче' ского выражения для Du (г), которое было бы в силе при всяком 厂 и плавно переходило бы в известные асимптотические выражения (5.12) и (5.16), во многих случаях является препятствием

при решении некоторых интегральных и дифференциальных уравнений, в которые эта функция входит.

Предложено много интерполяционных формул для связи между упомянутыми областями. Приведем здесь формулу Кармана [5], соответствующую (III, 8.16),

О〃 (г) = 2В (0)[1-話/ (Е厂仆(£)]，(5」7)

которая связывает инерционную область с «областью насыщения» Du (в ней Du=2B (0)= -^-u2^. Действительно, при 厂《厶。 (Lo — внешний масштаб) имеем

号需4云广.(5」8)

В этом отношении представляет интерес попытка Обухова [24, 25, 26] получить теоретическую интерполяционную формулу для Du (г) в области 厂〜九° на основе уравнения Колмогорова (5.1). Так как последнее содержит две неизвестные функции Du (г) и Dm (г), то для его решения Обухов привлек и (5.14), постулировав при этом постоянство асимметрии S не только при 尸》九о, но и при всех г. Основанием для последнего ему послужили экспериментальные данные Таунсенда. Таким образом, для Du (г) получается одно нелинейное уравнение

6v4 + |S|0『=等订.(5.19)

Вводя безразмерные величины

尸％ и Du (г J = Оц/и^ ,(5.20)

где ио и ^q определяются из (IV, 4.2), получаем

6寻瓦+|S他繕胪=善財牛(5.21)

Поскольку коэффициенты ki и k2 в (IV, 4.2) имеют порядок единицы, с учетом упрощения (5.21) удобно выбрать

瓦=14г 信)；局=т4г (杀)•(5・22)

Тогда

笈+信瓦厂(5.23) 208♦

В асимптотическом случае

〜4-г? прНg《1

方〃 S)= 3(5.24)

丁号3 прп Г]》1

Уравнение (5.21) численно проинтегрировано Обуховым.

Уравнения (5.24) можно несколько уточнить. Поскольку 瓦 6)— четная функция, то при малом 门 имеем

о и(Г1)=仇片 + by； + 63П + ...

Подставив это в (5.23), определим 匕力 &2» . •. и в итоге получим

Д/(г1) = 4"г*-0,155г*+0,212г*_ ■ ■ ■ 6«D・ (5-25)

Наоборот, при ri > 1^

。〃&J= 4~#з (1^~ГГ4 3^-ГГ8 3 +(5.26)

Эти результаты Обухова до сих пор не получили прямого экспериментального подтверждения даже при измерениях в атмосфере, где масштабы очень велики. Вследствие этого допущение, при котором получены указанные формулы (S=const), как отмечает и сам Обухов [26], есть прежде всего удобная рабочая гипотеза. ■

Пространственная корреляция давления

В данном параграфе, исходя из уравнений гидродинамики (IV, 2.1) и (IV, 2.2) и гипотезы Миллионщикова, найдем связь между корреляционными функциями давления и скорости в изотропном турбулентном потоке, которая позволит определить и константу в (IV, 9.13). В такой постановке данный вопрос был рассмотрен ранее всех Обуховым [23], затем Ягломом [26] и Бэтчелором [39].

(6.1)применить оператор(6.1)применить операторУравнение (5.8), переписанное в виде1

(6.1)

применить оператор

(6.1)

применить оператор

g/a 1 3Toт вид уравнения (5.8) получается, если к (1.4) /°"i и использовать условие dUh/dxh = 0.

14 Заказ № 854

для этих случаев с использованием опытных данных о В и (г, /), выполненное Бэтчелором [1], дает р2=0,34р2 (и2у и Ар=0,54 Li, что отличается от полученных выше величин постоянным множителем.

Вычитая (6.8) из (6.9) и вводя сюда структурные функции Dpp (г) и Du (г), получим

Г ГОО一

При больших Re в областиПри больших Re в областиDpp(r) = p^ I J wi ©火+ 产)Lg；(9 成 1(6.15)

При больших Re в области

При больших Re в области

применимости теории локально изотропной тур булентности £)〃(；■)= С(⑺％, так что

。勿(" = gC2P2£43Х

Xjc/3 或 + 不一5/3火)，

или

Dpp (г)=

=p2。付)4/3 = p2 ^Dfj (叫 2 (6」6)

Рис. 29. Графики функций R〃(匚 f)Сравнивая последнее выраже-

и Rpp (г, 0-ние с (IV, 4.13), находим,

что в самом деле 6 = С2. Формула (6.16) была выведена первоначально Обуховым [23] путем прямого интегрирования выражения

(6.17)(6.17)^Dpp (г) = - -l^p^e4 ^-8,3

(6.17)

(6.17)

которое получается из (6.3), если посредством (6.7) определить функцию f (г) в инерционном интервале.

Турбулентные пульсации давления играют существенную роль в некоторых физических процессах, происходящих в потоке жидкости (взаимодействие звукового поля с турбулентностью, формирование пульсаций ускорения и др.). Однако в настоящее время измерение пульсаций и прямая проверка пол)г- ченных формул (5.8)——(5.17) связаны с большими трудностями и представляют собой одну из нерешенных экспериментальных задач.

§ 7. Пространственная корреляция ускорения

Метод размерности, с помощью которого были вскрыты основные закономерности микроструктуры полей скорости, давления и температуры в локально однородном и изотропном 口°一 212

токе, может быть применен и к изучению пульсаций ускорения. 心 здесь этот метод приводит к выявлению основных зависимо- стеК которые затем подтверждаются и уточняются посредством корреляционного метода.

Как было установлено в гл. IV, § 3, период пульсаций масттабааравен 77〜九/〃九，а 〃人〜(ё九)%，так что 77〜e-%炉鱼 Следовательно, при больших числах Рейнольдса большие периоды имеют пульсации большего масштаба и наоборот. Ускорение а九 связанное с этими масштабами, по порядку величины пропорционально следующему:

耿〜〃J 厶〜е23，тз.(7.1)

Итак, с уменьшением масштаба пульсаций ускорение растет пропорционально 入一％, пока 〃入〜笈自 Отсюда следует важный вывод о том, что релнчнна ускорения в данной точке потока в основном завнснт7 6т малнх вн而eff масштаба л ^ Хо в отличие от скорости, для которой определяющим был вклад больших вихрей. Конечно, в данном случае (7.1) еще не будет иметь силы, поскольку при таких масштабах существенно влияние трения V. Однако порядок величины ускорения легко можно получить следующим способом.

Согласно (7.1), а? ~〃儿/丁筛・ С другой стороны, в соответствии с (IV, 4.3) имеем

"~\)闷~ (中户2,

так что

а% 〜а齡…4.(7.2)

Ниже мы покажем, что 々弋丫3. Вследствие особенности поля ускорения, вытекающей из (7.1), в качестве статистической характеристики его локальной структуры можно использовать не только структурные, но и корреляционные функции.

Теория пространственной корреляции ускорений развита Яг- ломом [26, 37]. Этот вопрос рассматривался также и Бэтчелором [39].

Прежде всего докажем, что в (7.2) 々々УЗ. Поскольку

имеем

%=毋=表(叮产+屮(a%)2.(7.3)

Проинтегрировав численно (6.11), Яглом нашел

专 ВТР = 2,75(е小严•(7.4)

Второй член в (7.3) легко можно выразить через структурную функцию Du (г). Действительно,

△% A 心=a* 也=DlBH (r) =^r 務0〃(厂)=

=/卜^г- +3^ Dn(r\(7.5)

Выражение для (Ди；)2 получим, если в (7.5) подставим Du (г) из (5.26) и положим г=0. Тогда найдем

屮71^ = 0,12 (s3/v)1/2.(7.6)

Следовательно,

三=2,87(学卜户2 ^3(用v)"2.(7.7)

Для воздуха v—0,15 см2/сек., так что

оа = 2(77е3 4 см/сек.2(7.8)

В аэродинамических трубах е^ 102 см/сек? и для ускорения получаем величину порядка 102 см/сек.2 Такой и более высокий порядок имеет бив атмосфере. Ускорения указанного порядка & 〜g, где g — ускорение снлм 亍яжестй) Могут ик^ёть существенное значение аля некоторьлх физическнх^п^оцессов в турбу^ “ентном потоке, как, напрнмер, коагуляцня азрозолей, а в об： лаке ——воняннх капель н /тр

Сравнение между (7.4) и (7.6) показывает, что вклад второго члена (7.3) в численное значение о^ на один порядок меньше, чем вклад первого члена. Иначе говоря, ускорение в турбулентном потоке зависит главным образом от локального градиента давления, а не от силы трения. Следовательно, приближенно можно написать

1 др

т. е. величину а(х) можно рассматривать как случайное потенциальное векторное поле. Поскольку последнее и изотропно,

Применяя к этому конкретному случаю (III, 10.5), можем всегда написать

8华(г)=—专 ％ (г),砒(г)= 一 青 Врр (г),

где Врр (г) дается формулой (6.8).

Для инерционной области, в которой имеют силу законы (5.15) и (6.14), находим

風G (Г) = -?- С2г4,Зг-2-3 _(7.10)

§ 8 Пространственная корреляция температуры

В однородном и изотропном турбулентном потоке корреляционная функция температуры зависит только от расстояния между точками и от времени вырождения

■ Втт(г, /)= Т(х. £)7(х：£).(8.1)

Поскольку эта функция четная относительно г, то после введения коэффициента корреляции

В『т (г, f)

A" (г, »)=亠号一(8.2)

можно написать

RttW，/) = 1+% 总 г(0. »)十朵磴(о, 0+ • • • (8.3)

По аналогии с (III, 7.13) и (III, 9.14) вводятся и два масштаба

¥ =伏"(" e), £Т = ) аТТ(а Ё)办(8.4)

с ранее установленным физическим смыслом. Тогда (8.3) можно приближенно выразить в виде

Атт(А £)^1— ^р- (г f °)・(8・5)

Наряду с Втт (/', £) в дальнейшем будут использованы и смешанные моменты третьего порядка

в〃т(Г, 0 =也(X, £)7 (х, £)7 (х\ £) •(8.6)

215

Как тензор первого ранга они представляются в виде

耳ТТ(г，*)=当"(厂，％) ^^,(8.7)

где Bitt (г, t) = UiTT,, а 〃七"一продольная составляющая скорости. Очевидно, что

Ui Т Т = — и[ГТ .(8.8)

Кроме того,

7区 三 0, 72〃； = 0 и т. д.(8.9)

Отсюда следует, что при г —О

в ITT Г /)=^瓦疗(0, 9+告段“(0, 0 + • • •(8.10)

Если тепло рассматривать как пассивную субстанцию, а лучистым теплообменом и притоком тепла, связанным с диссипацией кинетической энергии, пренебречь, то температура будет удовлетворять уравнению

дТ ddt 十 dxiдТ ddt 十 dxi色丁色丁АЛАЛ(8.И)(8.И)

дТ d

dt 十 dxi

дТ d

dt 十 dxi

色丁

色丁

АЛ

АЛ

(8.И)

(8.И)

в котором Т — пульсация температуры (Т=const). Отсюда легко получить так называемое динамическое уравнение Кор- сина [53], являющееся аналогом (1.13).

С этой целью умножим (8.11) на Tf = Т (х\ £), а такое же уравнение, записанное для точки х‘, на 7 и почленно сложим:

与 7T，+詮色疗，+ 备％ T'T i(△ + A) h.(8.12)

После осреднения находим

(4 - 2z Дг) Втт (г, 0 = 2^- BiTT (г, £),(8.13)

или, подставив (8.7),

(姦—2⑦з)В“(г, t) = 2^^^\BlTT{r, 0-(8.14)

Уравнения (8.14), полученного Коренным [53]\ недостаточно для определения двух неизвестных функций Втт(G 0 и Bitt (г, /). Эта принципиальная трудность появляется и здесь и ее

' Фактически в виде (8.13) это уравнение раньше встречается у Яг- лома [38].

нельзя преодолеть без дополнительных допущений. В случае» когда можно пренебречь Bitt (г, 0* нмеем

£В" = 2к(爲十三曷)(8.15>

Такое пренебрежение возможно, например, в последней стадии вырождения турбулентности в поле температуры. Уравнение (8.15) решается методом, аналогичным рассмотренному в § 3. Следующие ниже результаты принадлежат Корсину [53].

Прежде всего легко получается формула, аналогичная (3.2).

Из (8.5) и (8.14) при г 0 следует1

翼6久疗.(8.16).

Отсюда при степенном законе вырождения Г2 (/) ^/-п (и > 0) получаем

* =容.(8.17)

Вид (8.14) подсказывает, что для функции Втт (г, t) существует инвариант, аналогичный инварианту «Пойцянского (2.2). Действительно, после интегрирования (8.14) по г

г'

金 J Свтт G /) d： = 2/8"十 2产吕"

при условии, что когда оо, 产8)— 0,』В[ТТ — 0,(8.18>

получаем

Лг = J ^B^ir, ^)tZr = const.(8.19)

о

Существование этого инварианта позволяет решить точно задачу вырождения на конечной стадии. Так, для неопределенной константы в решении (8.15)

с—产/8"

В" (а我=const・帀宓

аналогично (3.9) находим ее величину Лг/4 У 2n=const, и решение (8.15) приобретает вид

Ат о— 产&£

"(一)=^七严.(8.20)

Такая же формула получается, если в (IV, 5.9) подставим (grad Г)2 в виде — ЗВгг (0, £), а 口门(几 0 нз формулы (8.5).

При г—О

考=戸历=崇厂(•〃) —3/2.(8.21)

Тогда для масштабов (8.4) имеем

£丁 =卜 2m/ n 入T = 2•(8.22)

Из сравнения (8.22) с (3.12) и (3.14) находим, что для воздуха {x^v)入т^入 1 и Lj~Li, т. e. специальные масштабы для температуры можно не вводить.

Корсин исследовал вырождение турбулентности в начальной стадии, делая предположение, аналогичное предположению (3.16) Кармана и Хоуарта,

вIт{г, *) = 6〒/Т(Г1厶)，BlTT(r, e)=存%力Т(川厶).(8.23)

Тогда из (8.19) находим

Ar = 7^Li] x2fr(x)dx,0

или

戸丄;=const.(8.24)

Но в начальной стадии, согласно формуле Колмогорова (3.21), L1〜片а，так что

戸=const •厂6 7.(8.25)

На следующем, переходном, этапе, для которого, согласно (3.21), 丄j — Fq имеем

。沁)〜/ 6/5.0.25，)

Из (8.14), как и в § 5, можно получить уравнение для структурных функций DTt (г) и

3/тт(厂)(〃【一〃工)(Т — 丁)2 ^^itt*(8.26)

dg

При локальной изотропности потока параметр N==

1病丄

=^― остается постоянным, а структурные функции

не зависят от времени, тогда из (8.14) получаем

—47V =+ -|~) [DlTT — 2*3丁丁)，

а затем после интегрирования находим уравнение

(г) — Ъ.Ьтт(г)=-^- Nr,(8.27)

известное как уравнение Яглома [51] и представляющее собой аналог (5.1). Из (8.27) при г —0 (。什〜г3 и ею можно пренебречь) получаем точно (IV, 5.6). Наоборот, при 尸》入о можно не учитывать влияния молекулярной теплопроводности (х~0) и получить 1

4

DlTT{r) = -^Nr d《r《丄°).(8.28)

Постоянно проявляющаяся аналогия в уравнениях, описывающих статистические свойства полей скорости и температуры в турбулентном потоке, наводит на мысль, что может быть и здесь существует безразмерная комбинация структурных функций, подобная (5.14), которая не зависит от г при 入u《r《L(). В качестве такой комбинации Яглом [38] принимает выражение

尸二 0叮Т(「)。丁丁 (г) Vi (г)尸二 0叮Т(「)。丁丁 (г) Vi (г)(8.29)(8.29)

尸二 0叮Т(「)

。丁丁 (г) Vi (г)

尸二 0叮Т(「)

。丁丁 (г) Vi (г)

(8.29)

(8.29)

которое имеет простой теоретико-вероятностный смысл. Величина 尸 может быть непосредственно определена по данным измерений. В этом случае из (8.28) и (8.29) имеем

% (г)=-嚏мд (г)] г 2% (г)=-嚏мд (г)] г 2(8.30)(8.30)

% (г)=-嚏мд (г)] г 2

% (г)=-嚏мд (г)] г 2

(8.30)

(8.30)

Поскольку DTt > 0,尸 V 0. Но при больших Re Du (г) имеет вид (5.15) и

DTT(r)=吊~ (半-Г if.(8.31)

Таким образом, с помощью корреляционного метода и некоторых дополнительных соображений уточняется величина константы в «законе 2/3» Обухова (IV, 5.10).

Отметим в заключение, что если принять гипотезу Яглома [38], согласно которой величина F из (8.29) подобно асимметрии S считается постоянной не только при 入и《г《£о, но и при 厂〜入о, из уравнения (8.27), которое теперь записывается в виде

^.DTT(r)^\F\VDn (г) DTT{r)=等 Nr (8.32)

при естественном условии DTt (0)=0, можно определить структурную функцию DTt (П при любом г

г Гг-

0〃(r) = ^fexp 一崛「pВД^對 CdJ (8.33>

Сравните с (5.13).

ГЛАВА VI

Статистическая теория турбулентности— спектральный метод

Уравнение баланса турбулентной энергии

В спектральной теории турбулентности основная трудность заключается в составлении системы уравнений, описывающей турбулентный поток в волновом пространстве. Однако, как будет видно из последующего, эта трудность не может быть преодолена без ясного представления о том, каким образом поддерживается турбулентность в потоке, откуда черпается энергия пульсационного движения и где она расходуется, как происходит передача энергии через иерархию вихрей и т. д. В гл. IV, § 2 были высказаны некоторые соображения по этому вопросу, в основном интуитивного характера. Остановимся теперь на нем более подробно.

Уравнение пульсационного движения （V, 1.3） можно записать в виде

学+（或+优）碧十公瞪=

需+十£体l党），（1」）

гдегде唯=Р"需 + 證），（1.2）唯=Р"需 + 證），（1.2）

где

где

唯=Р"需 + 證），（1.2）

唯=Р"需 + 證），（1.2）

а 七詠=——p% 〃:——тензор турбулентных напряжений Рейнольдса. Умножив (1.1) на 〃1 и осреднив, получим

d / 1 ，2、\ 一 0/1，2)I 0自 1 勿‘4 .

衣(万〃J +以丽(万%)+ %%岳^ = --^近r +

(1-3)(1-3)

(1-3)

(1-3)

при этом последний член в правой части (1.1) исчезает, поскольку 彳=0. Если обозначить

(1.4)(1.4)? =4" м/ = 4"(%2 + Y + %)

(1.4)

(1.4)

среднюю кинетическую энергию пульсационного движения, отнесенную к единице массы, и иметь в виду, что

/丽" =否Г〃严加—0阮不鼠'

то (1.3) можно записать еще и так:

dEf ~~dtdEf ~~dt(1.5)(1.5)

dEf ~~dt

dEf ~~dt

(1.5)

(1.5)

Выясним в (1.5) смысл каждого слагаемого в отдельности. Первый член в правой части (1.5), который обозначим 7* можно записать также в виде

7* —丽爵一我卜(# + #)• С©

В полуэмпирической теории турбулентности тензор турбулентных напряжений 〃：〃； выражается через тензор деформа- wm среднего движения

1注一 dxk 十 dXi

ПРИ ПОМОЩИ формулы

—К%(1.7)

где величина К имеет смысл скалярного коэффициента тур бу- лентности с размерностью 9广七 в ^той формуле выделено «тур, булентное давление» и^—2Е/, так как в несжимаемой жидкости Фл/г=диь/дхь=0. Вводя прандтлевский «путь смешения》( можно из соображений размерности записать ^=/ у Е7.

В случае неизотропной турбулентности вместо / должен быть задан тензор масштабов 厶々，так что в общем случае Кт=1注飞 g〈 а вместо (4.7) нужно по Монину и Яглому [41*] написать 、

= 4 — 4 丿厅(山忆 + //%)• (17)

В случае изотропной турбулентности lih—l^ik и (L7‘) переходит в (1.7). Коэффициент турбулентности Ка© является чисто кинематической тензорной характеристикой потока, не связанной с его физическими свойствами. Поэтому вполне естественным будет истолковать существенно положительную величину 7*, зависящую от градиента средней скорости, как количество кинетической энергии среднего движения, превращающееся за единицу времени в кинетическую энергию пульсаций. Обухов [21] называет эту величину «трансформацией энергии».

С целью дальнейшего использования (1.6) можно переписать также в виде

=引％(W]，2[4O + ОТ 2' (L8)

где R обозначает коэффициент корреляции между величинами, входящими в последнее выражение. Второй член в (1.5) на основании (1.2) будет равен

Сравнивая величину (1.9) с (IV, 2.4), заключаем, что ее необходимо понимать как среднее количество кинетической энергии пульсационного движения, превращающееся в тепло, или, другими словами, она точно равна диссипации энергии, которую обозначаем символом е. Что касается вклада последнего члена в (1.5), который выражает работу поверхностных сил (давления, молекулярного и турбулентного напряжений), в энергию турбулентного потока, то он ничтожен [104]. Следовательно, в конечном счете уравнение баланса турбулентной энергии (1.5) приобретает вид

dt

В этой форме оно и было использовано в гл. IV, § 2. 222

Формулировка основных понятий и закономерностей на языке спектральной теории

В предыдущей главе мы подробно рассмотрели корреляционный метод в теории турбулентности. Преимущество этого метода заключается в том, что полученные с его помощью результаты непосредственно сравнимы с данными наблюдений. Однако использование корреляционного метода связано с серьезными трудностями, возникающими прежде всего из того, что основные уравнения (V, 1.13) и (V, 8.14) при изотропной или (V, 5.1) и {V, 8.27) при локально изотропной турбулентности содержат по две неизвестные функции. Это обстоятельство, как мы уже видели, приводит к необходимости делать некоторые предположения о связи между неизвестными функциями, которые не вытекают из уравнений движения. К такого рода предположениям относятся гипотеза Миллионщикова и ее обобщения, допущение Обухова о постоянстве асимметрии (5.14) при всех значениях г и допущение Яглома о величине 尸 (8.29), гипотеза о связи между Вц и Вт, сформулированная в [58], и др. По-видимому, затруднительно дать физическое обоснование этим гипотезам, которые с математической стороны очень удобны.

Эта принципиальная трудность в статистической теории турбулентности ——неполнота уравнений для моментов ——сохраняется и при использовании спектрального метода. Последний состоит в замене корреляционных моментов спектральными функциями, которые имеют более ясный физический смысл, и вследствие этого позволяет дать дополнительное физическое обоснование гипотезам указанного выше рода. Вместе с тем спектральный метод дает возможность гораздо легче учесть некоторые факторы (такие, как сжимаемость жидкости, наличие Ударных волн и др.) и значительно упростить математическое решение.

Однако спектральный метод имеет один существенный недостаток: спектральные уравнения, описывающие турбулентность, не выводятся строго из уравнений гидродинамики, а так сказать, постулируются. Последнее можно сделать самыми различными способами, если только удовлетворить некоторым обязательным требованиям: все члены уравнений должны иметь одинаковую размерность, а сами уравнения должны быть физически обоснованными. Далее мы подробно рассмотрим два из таких уравнений.

С другой стороны, во многих случаях результаты, получен- нне с помощью спектрального метода, нельзя непосредственно сравнить с опытными данными.

На современном этапе развития статистической теории тур- ^улентности оба метода, корреляционный и спектральный, почти

одинаково распространены. Однако в этой книге почти вес результаты излагаются на языке корреляционной теории. Поэтому в данной главе мы остановимся только па основных положениях спектральной теории. В качестве дополнения к нашему изложению можно рекомендовать монографию Бэтчелора [ 1], в которой спектральный метод представлен достаточно широко. Вначале дадим формулировку более важных понятии и закономерностей теории турбулентности на языне спектральной теории.

Перепишем еще раз (III, 8.26), заменяя п(х) на скорость потока и(х):

вч (0) — и； (х) и} (х) 一卜％(k)dk.(2.1)

где к — волновой вектор, связанный с масштабом движения посредством

左=I k I ,(2.2)

е. пульсациям масштаба 厶 поставлено в соответствие волновое число к. При этом малым масштабам соответствуют большие волновые числа, и наоборот. Однако составляющие тензора ицц определяют кинетическую энергию турбулентности на еди- нину массы, связанную с данной составляющей скорости, и со довательно, Ф,-； (к) описывает распределение этой энергии в волновом пространстве.

Как мы уже знаем, в общем случае указанный выше тензор зависит от двух скалярных функций:①〃(幻 и ФЛп (^). В соленоидальном векторном поле, каким является поле скорости и(х丿 в несжимаемом жидкости, Ф«=0, а ①订(к) имеет вид (III, 9.22). Согласно физической интерпретации Ф^ (к), часть полной кинетической энергии, содержащейся в волновом пространстве между сферами с радиусами и + dk4 равна

4*»4左• J<%.(k) =0(扮dk,(2.3)

пли с учетом (Ш, 9.25)

⑴伍)=4冗炉①""(初(2.4)

С другой стороны, в соответствии с (III, 9.29) полная энергия равна

J S 依)dk.(2.5)

~ о

Следовательно, скалярная функция Ф (/г) представляет ccboii спектральную плотность кинетической энергии в пространстве волновых чисел 々.Эта функция служит основной характеристикой турбулентности в спектральной теории. Она впервые введена 224

Обуховым [21], кому, в сущности, 11 принадлежит идея использования спектрального метода в теории турбулентности.

Применим теперь к (V, 1.8) преобразование Фурье

凱 D〃(k) %(k) —2 候.％ (k),(2.6)

Где Г,； — спектральный тензор, соответствующий (V, 1.9). Учитывая (III, 9.4В), получаем

г,..(к) -/МФ,/г.Дк)+%7；,;(к)|.(2.7)

Спектральное тензорное уравнение (2.6) можно свести к одному скалярному уравнению, если в нем положим i = j и проведем суммирование. Но из (2.7) и (III, 9.49) следует, что Г„ (к) = = 2^У (k). Используя, кроме того, (III, 9.27) н (2.4), получаем искомое скалярное уравнение

f)"侬 /) 己候小侬 /),\(2.8)

где

г(汽ё) =4h葭「(依ё).(2.9)

Уравнение (2.8) определяет изменение во времени спектральной плотности энергии под действием инерционных сил и силы трения. Первые осуществляют перенос энергии от вихрей с малыми волновыми числами к вихрям с большими значениями k. Ее приток выражается функцией Т (k, £), которая обусловлена нелинейными членами в уравнении Навье- Стокса. Когда этими членами можно пренебречь, а это, как мы знаем, допустимо на конечной стадии вырождения турбулентности, (2.8) приобретает вид-

与屮(玄 /)2V层4(幺 /).(2.10)

Аналогом (образом) уравнения (2.10) в корреляционной теории служит (V, 1.14).”

В гл. Ш. § 9 показано, что в окрестности точки 々=0

(D(R\ r^ВП (f. /)分-1-0(々6).

Но в процессе вырождения турбулентности интеграл в этой формуле от времени не зависит (инвариант Лойцянского), так что с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно k имеем

小他，/) = (1>(比 0)=需依 他 f 0).(2.11)

22522515 Заказ № 854

225

225

Следовательно, спектральная плотность энергии, сосредоточенной в самых больших вихрях (с наименьшими волновыми числами), в процессе вырождения почти не зависит от времени и определяется начальными условиями. В этом состоит спектральный смысл инварианта Лойцянского, выясненный Колмогоровым, Ягломом [36] и Бетчелором [1], который, кроме того, доказал, что если в начальный момент турбулентность была изотропна, большие вихри остаются такими же и в последующие моменты.

Задача вырождения турбулентности в конечной стадии, выражающаяся в отыскании формы спектра Ф (^, £), решается совсем элементарно. В самом деле, из (2.10) сразу получаем

Ф(^, ^)^Ф(^, 0)е 2做，(2.12)

что в сущности и представляет решение задачи. Для того чтобы найти корреляционную функцию, подставим Ф (k, /) в (III, 9.29):

Ва (г, /) =2 卜D 但，0) ^^1^ - cos krj (kr) 2<? 2浓附旅.(2.13)

Если теперь в (2.13)①(幺 0) выразим через В и (г, 0) посредством (III, 9.28), то получим знакомое нам выражение (V, 3.8). Сравнение последней формулы с (2.12) показывает, что действительно решение в спектральной форме значительно проще. Используя (2.11) в качестве начального условия для спектральной плотности, после подстановки в (2.13) и интегрирования получаем решение Миллионщикова (V, 3.10). Наконец, как показал Яглом [36], при степенном спектре вида

<1)(Л, 0)=。炉屮 似=1, 2, • •.)

из (2.13) получается

ОГг Г(5/2)心 I ]

& (厂，£) — ° 产十5 2 1" [ (7/2) 8W + • * ' J •(—14)

Эта формула другим способом была выведена раньше Седовым [34]. При г=0 из (2.14) получаем закон вырождения

〃刃-t а 52,(2.15)

который при а=0 совпадает с (V, 3.11).

В целом ряде работ [51, 57, 91 и др.] задача вырождения турбулентности решается на основе точного уравнения (2.9). Но так как оно содержит две неизвестные функции Ф (幺 £) и Т (比力, становится необходимым вводить дополнительные предположения о связи между ними. И поскольку выбор функционалыюп связи Т=Т (Ф), как уже говорилось вначале, операция неоднозначная, то этим и объясняются некоторые различия в получен- 226

ных результатах, а также большое количество работ, посвящен- ннх этому вопросу. Подробный разбор указанных работ выхода за рамки данной главы, и мы остановимся дальше только на двух из них.

Как нам известно, диссипация энергии происходит в вихрях наименьшего размера, когда на движение существенное влияние оказывает трение. На языке спектральной теории это озна- чает, что энергия, сосредоточенная в высокочастотной части спектра, быстро рассеивается вследствие трения. Скорость этого рассеивания, характеризуемая величиной е, определена в (V, 3 3). Для дальнейшего изложения необходимо записать это выражение в спектральной форме.

Дифференцируем дважды по г следующее равенство:

于 〃“ (г, /)= 2 卜1> (走，/)(厘寝-cos Zr) (kr^dk (2.16) О

и положим г=0. Поскольку 入:=—1/R；； (0, £), в результате указанной операции, как это легко проверить, находим•

值/朽=备j/@侬t)dk.

6

Тогда из (V, 3.3) и (2.5) получаем выражение для диссипации

-一亲［0信,»)№ = 2vf炉d出t)dk. (2.17) г о6

Для интегрального масштаба L式t) из (2.5) и (2.16) получаем

8J Ф (^ /)Л"1^

厶(凡(г，0 dr =争、.(2.18)

".J @ (力，0 旅

Подобным образом можно найти спектральные представления и других характеристик тур бул е нтности.

Теория Колмогорова о локально однородной и изотропной турбулентности, которую мы изложили в гл. IV, на языке спектральной теории формулируется следующим образом.

С увеличением числа Рейнольдса Re влияние трения ограничивается все меньшей областью (入《入о), а силы инерции осуществляют перенос энергии от больших вихрей к малым. На спектральном языке это означает, что инерционные силы стремятся распределить энергию по все более широкому интервалу волно- вых чисел, зависящему от соотношения между силами инерции и трения. При Re-> 8 область, в которой влияние последних 15*

масштабы 々о = 2冗/入о и Ко= =2л/Л0. Но поскольку л0= =后(^з/е)%,岛=争(屮3『4. (2」9)Тогда при достаточно большой величине Re, согласно теории Колмогорова, области а н 6 на рис. 30 разделены между собой широким интерваломК。《力《幅，(2.20)соответствующим интервалу 入о《入《厶，в котором статистические свойства дви-масштабы 々о = 2冗/入о и Ко= =2л/Л0. Но поскольку л0= =后(^з/е)%,岛=争(屮3『4. (2」9)Тогда при достаточно большой величине Re, согласно теории Колмогорова, области а н 6 на рис. 30 разделены между собой широким интерваломК。《力《幅，(2.20)соответствующим интервалу 入о《入《厶，в котором статистические свойства дви-Рис. 30. Спектральное распределение энергии турбулентности*Рис. 30. Спектральное распределение энергии турбулентности*/ — трансформированная энергия среднего движения (Г*), 2 — переход энергии от больших вихрей к малым, 3 — диссипация кинетической энергии в тепловую (е); а—область анизотропных вихрей, б — область диссипации, 8 —— инерционная область./ — трансформированная энергия среднего движения (Г*), 2 — переход энергии от больших вихрей к малым, 3 — диссипация кинетической энергии в тепловую (е); а—область анизотропных вихрей, б — область диссипации, 8 —— инерционная область.

масштабы 々о = 2冗/入о и Ко= =2л/Л0. Но поскольку л0= =后(^з/е)%,

岛=争(屮3『4. (2」9)

Тогда при достаточно большой величине Re, согласно теории Колмогорова, области а н 6 на рис. 30 разделены между собой широким интервалом

К。《力《幅，(2.20)

соответствующим интервалу 入о《入《厶，в котором статистические свойства дви-

масштабы 々о = 2冗/入о и Ко= =2л/Л0. Но поскольку л0= =后(^з/е)%,

岛=争(屮3『4. (2」9)

Тогда при достаточно большой величине Re, согласно теории Колмогорова, области а н 6 на рис. 30 разделены между собой широким интервалом

К。《力《幅，(2.20)

соответствующим интервалу 入о《入《厶，в котором статистические свойства дви-

Рис. 30. Спектральное распределение энергии турбулентности*

Рис. 30. Спектральное распределение энергии турбулентности*

/ — трансформированная энергия среднего движения (Г*), 2 — переход энергии от больших вихрей к малым, 3 — диссипация кинетической энергии в тепловую (е); а—область анизотропных вихрей, б — область диссипации, 8 —— инерционная область.

/ — трансформированная энергия среднего движения (Г*), 2 — переход энергии от больших вихрей к малым, 3 — диссипация кинетической энергии в тепловую (е); а—область анизотропных вихрей, б — область диссипации, 8 —— инерционная область.

существенно, смещается к k — oo. Схематически этот процесс представлен на рис. 30.

Как мы уже видели, из условия несжимаемости жидкости следует, что ①(々)〜々4 при 々一>0. Исходя из физического смысла Ф (尼)dk как плотности кинетической энергии, содержащейся в турбулентных вихрях с волновыми числами между 々 и k + dk, заключаем, что Ф (々)должно иметь максимум при значении й, соответствующем масштабу порядка основного движения. На другом конце спектра (область б), относящемся к малым вихрям, происходит рассеивание энергии вследствие трения, здесь Ф (^)->0.

Подобно внутреннему и внешнему масштабам турбулентности 入о и £о вводятся спектральные"

жения определяются только диссипацией энергии е. В этом случае е — постоянный параметр, определяющий поток энергии от вихрей с малыми к вихрям с большими волновыми числами. Следовательно, спектральная плотность Ф(^) в рассматриваемом интервале может зависеть только от е и, разумеется, от k. От времени Z она не должна зависеть подобно структурной функции Du(r). В согласии с П-теоремой

Так как [Ф] = £37'~2, то р=?/з и д = —5/з, или

ФЗ卜二退2'3力—5/3,(2.21)

где а——положительная константа порядка единицы. Значение этой константы может быть определено приближенно следующим образом. Согласно (III, 13.39) и (V, 5.16),缘= (2е)%. Тогда из (III, 13.42) находим

①伊)=1,22衣/3左一530.22)

и, следовательно, а= 1,22.

228

々i = 2冗(1,83)%弋7,3. Найденная々i = 2冗(1,83)%弋7,3. НайденнаяРис. 31. Форма спектра турбулентности при(D(走)~左-5/3.Рис. 31. Форма спектра турбулентности при(D(走)~左-5/3.

々i = 2冗(1,83)%弋7,3. Найденная

々i = 2冗(1,83)%弋7,3. Найденная

Рис. 31. Форма спектра турбулентности при(D(走)~左-5/3.

Рис. 31. Форма спектра турбулентности при(D(走)~左-5/3.

С другой стороны, внутренний масштаб 入и фактически определяется е и V с точностью до константы ^i (IV. 4.2). Вследствие этого, подставляя Ф (k) из (2.21) в (2.17) и имея в виду, что 々о》Ко и что величина диссипации в основном обусловлена вкладом волновых чисел из инерционного интервала, получаем

е= 2^ J 岳巾(Л)dk^ 2^ае2-/3 ,卧 + dh avs2 *雑 3 = о冗一

3 / 2不尸3 .=^W ае.

Из этого уравнения определяем оценка k\ по порядку величины совпадает со значением 玄= = 12,5, которое получается из (V, 5.22) при |S| =0,4.

Спектральная плотность ф(й) в инерционном интервале представлена на рис. 31. Еще в 1939 г. Колмогоров показал, что в этом интервале ①(力)〜 〜hR Однако значение и=~5/з впервые было определено Обуховым [21], вследствие чего закон (2.21) получил название «спектра Колмогорова—Обухова》， или «закона 5/зх>. Он соответствует «закону 2/3》и, следовательно, не отражает квадратичной зависимости 。〃⑺ от г при 厂《入°. Эксперимен-

полностью подтвердила ееполностью подтвердила еетальная проверка формулы (2.21)

полностью подтвердила ее

полностью подтвердила ее

справедливость.

Как было показано выше, аналитические выражения спектральной плотности Ф(^) известны только при 々一>0 и в инерционном интервале Ко^々《左》Особенный интерес представляет вопрос, каким образом Ф(^)->0 при 々 — 8. Если допустим, что (2.21) имеет силу и при неограниченно большом значении 居 то получим степенной закон убывания спектра. Как будет видно в дальнейшем, при некоторых предположениях из теории Гейзенберга следует, что Ф(^)〜々一‘ при 々一>8. Быстрый спад спектра к нулю при 左卄 8 физически обусловлен уменьшением интенсивности пульсаций скорости из-за гасящего действия трения. Однако убывание спектра по некоторому степенному закону весьма сомнительно, так как, согласно (III, 9.45) и (III, 9.46), это означало бы, что не существует производных скорости более высоких порядков. Хотя и нет надежных доказа-

тельств существования производных произвольного порядка в решении уравнений гидродинамики, вывод об их отсутствии все же сомнителен.

Если допустить, что производные любых порядков существуют, то Ф(^) должно уменьшаться при kfg более быстро, чем 々f (а> 0 произвольное). Этому требованию удовлетворяет формула

Ф 优)=a氏2 3力一56(由国产， (2.23) использованная в работе Голицына [3]. Она обеспечивает существование всех производных и при 々《々и совпадает с (2.21). Известное теоретическое обоснование (2.23) было дано Новиковым [20]. Поскольку формула (2.23) связывает инерционную область спектра с областью вправо от нее, то, подставив (2.23) в (III, 13.38) и решив интеграл, получим аналитическое выражение структурной функции в переходном интервале /■〜入°. В такой постановке задача решена Голицыным [3].

Предложен ряд формул п для связи области 左f 0 с инерционной областью. Из них очень хорошо согласуется с опытными данными формула Кармана [11]

①优)=碧叩十(含)了"， в书 которой соответствует приведенная ранее структурная функция (V, 5.17). Видно, что при 々f 0 (2.24) переходит в (2.11), а при 々》々’——в (2.21). Если приравняем к нулю производную ①'(々) из (2.24), то найдем, что спектральная плотность имеет максимум при km = ?%为』々'.

Используя установленное уже подобие структуры полей температуры и скорости в локально изотропном турбулентном потоке, можем написать для значений k в инерционном интервале формулу

伍)=a/-5:3, (2.25) где ①丁丁(々)—спектральная плотность распределения меры неоднородности температуры. Согласно (II, 13.43) и (IV, 5.13), ar=0,415Z?2 . Как и в рассмотренном выше случае, закон убывания ①丁丁(々)при 々т8 неизвестен. В своих исследованиях Татарский [160] для удобства принял, что при k> km, где 总??= =5,48/入°, спектр резко обрывается, т. е. Фгг(^) =0. Разумеется, эта модель может быть применена и к спектру энергии.

В заключение коротко остановимся на приложении спектрального метода к исследованию пульсаций давления, осуществленного прежде всего в работах Гейзенберга [59, 60] и Бэтчелора [39]. Преобразуя уравнения из гл. V, § 6 по формулам Фурье, для спектральной плотности давления

①“(例=W~ £ Врр(Г)^ sin kr dr (2.26) б

Бэтчелор получает

(7 (田=^ J 中信')"(I к — к' I )T^^ dk', (2.27)

чтО соответствует (V, 6.8). Здесь 0 угол между волновыми векторами к и к'. Преобразование спектра по этой формуле осуществить очень трудно вследствие ее сложного вида. Вот почему Огура [74] предложил вместо нее использовать более простую приближенную формулу

①川(炒=得i炉S)， 2必(1>0).(2.28)

Отсюда сразу видно: когда ①(р)〜р~%, то

(1〃 (左)〜力7/3.

Более того из (II. 13.32) и (II. 13.33) при Dpp(r) =&^ получаем

<%信)=4" I、(号)Sin 争一#-7/3 = 0,765c#-7.3,(2.29)

где, согласно (V, 5.16), с； = (2е)4/зр2.

§ 3- Спектральная теория Обухова

Спектральное уравнение (2.8) придает теории турбулентности другой аспект, но не преодолевает в ней главной трудности, о которой мы говорили выше. Для того чтобы на основе этого уравнения можно было бы сделать какие-либо определенные выводы, необходимо прежде всего установить связь между функциями 7'(幺 /) и Ф(^, /) из (2.8). Физически последнее означает, что нужно раскрыть механизм обмена кинетической энергией между большими и малыми вихрями. К настоящему времени этот механизм изучен недостаточно и в зависимости от одного или другого предположения относительно обмена кинетической энергией функциональная связь между Г и Ф может быть самой различной. Было предложено несколько аппроксимационных формул, но только двум из них можно дать удовлетворительное интуитивное физическое обоснование. В данном параграфе рассмотрим формулу, предложенную Обуховым [21].

Проинтегрируем (2.8)по左 в пределахот 0до А:

在ей

拿 J Ф (р, t)dp =、T (р, /) dp — 2v J p缔(p, /) dp. (3.1) оо0

Левая часть (3.1), взятая с обратным знаком, согласно (2.5) и (V, 3.3), представляет собой диссипацию кинетической энергии е = е I , связанную с вихрями, имеющими волновые числа между 0 и ^, и в стационарном случае не зависит от времени. Выбирая А достаточно большим (月》Ко), можно принять, что е равно полной диссипации энергии е=е /, так как количество энергии, содержащееся в вихрях с волновыми числами, большими 月，пренебрежимо мало. Поскольку е выражается (2.17), вводя обозначение

S 伊) = —「“) dp,(3.2)

О

вместо (3.1) получим

S (А) — 2v j р2^ {p)dp =嵋伊)， (3.3)

где £‘(左)——диссипация в высокочастотной части спектра. Для выявления вида функции S (月)，которая характеризует перенесение энергии от малых волновых чисел к большим, Обухов [21] рассуждал следующим образом.

Поскольку поток однороден и изотропен, среднее движение отсутствует. Пусть 月一достаточно большое волновое число. Разбиваем поле скорости на два —《макрокомпоненту》с волновыми числами, меньшими А, и «микрокомпоненту» с числами, большими k. Тогда полная диссипация будет суммой диссипаций этих двух компонент:

г = £ 伐)+ "(左)• (3.4)

Обухов считает, что перенос энергии от малых волновых чисел к большим, скорость которого характеризуется функцией S(^), является результатом действия рейнольдовских напряжений, возникших от вихрей с волновыми числами, большими 比 на средний градиент скорости, обусловленный макрокомпонентой. Аналитическую форму этого утверждения получим, если обратимся к (1.6):

1-^—7分以%1-^—7分以%++(3.5>(3.5>

1-^—7

分以%

1-^—7

分以%

+

+

(3.5>

(3.5>

где <рости.где <рости.0 ⑺ dp.0 ⑺ dp.(3.6)(3.6)и иа теперь обозначают микро- и макрокомпоненту ско- Вследствие изотропности потока имеем

где <рости.

где <рости.

0 ⑺ dp.

0 ⑺ dp.

(3.6)

(3.6)

Если исходить из этого выражения, то можно принять, что напряжения Рейнольдса, создаваемые микрокомпонентой, пропорциональны энергии, связанной с этими компонентами, т. е.

T^~j(D(p)dp. (3.7)

С другой стороны, второй множитель (3.5), согласно (IV, 2.4), пропорционален диссипации энергии, связанной с макрокомпонентой, так что можно написать

[

й]1/2*

2 J^I>(p)rfp.(3.8)

Так как, в сущности, T*=S(^), то после подстайовки (3.7) и (3.8) в (1.8) получим формулу Обухова-

-Й]1 2 8

s 伊) = nU^ 2\p^(p-)dp^{p)dp,(3.9)

一 оJ

а уравнение для спектральной плотности найдем из (3.9) и (3.3):

「々]1/2 сосо

То J 户① 5)dp J ① S) d/7 = V J р2Ф S) dp, (3.10)

1 0_ ftA

где yq ——числовая константа порядка единицы, включающая различные коэффициенты пропорциональности.

Интегральное уравнение (3.10), хотя и достаточно сложное на вид, решается элементарным методом [21]. Обозначим кинетическую энергию, соответствующую микрокомпоненте, через (月)，тогда

Е1 (盼=j ①(р) dp、(3.11)

а (3.10) запишется в виде

?(舟=(3.12)

7о р£ —£‘(幻

В то же время

~dk~dk、戍2、戍2d£4kd£4k(3.13)(3.13)

~dk

~dk

、戍2

、戍2

d£

4k

d£

4k

(3.13)

(3.13)

Последние два уравнения образуют систему, из которой можно определить £"，(月)，а вместе с этим и Ф(^), так как ^(k) = —dE/ldk.

После дифференцирования (3.12) по ^ и использования (3.3) получаем

dE，g = Г 1 丄丄 i")] £2 S)

dh Io [ |7 —£«)十 2 [e —“”)严2 ] dk

или

屮2/「厂？ 11外厂/

(3.14)(3.14)"2 [ JG—J (幻-十 k ]e —J(幻]3 2

(3.14)

(3.14)

Обухов это уравнение привел к безразмерному виду, полагая 厅仅)=21/3m-2 З 或2,3/ ^i^(3.15)

_区‘优)=吆(砒J(3.16)

где 月о=У Yo(e/v3) *^ ——верхняя граница спектра, а 1/月о〜入0 внутренний масштаб турбулентности. Функции f(х) и g(x), как это следует из (3.14)——(3.16), определяются как положительные решения уравнений

(l—g)3 = x4(i—0,5g)2,(3.17)

/ = g(2 — g)f.(3.18)

Из этих уравнений видно, что f(O)=g(O) = l, а при х— 1 (3.17) имеет только один действительный корень g=0. Очевидно, только этот корень имеет физический смысл, так что g(l) = = /(1)=0, или. что все равно, е‘(如)=0, Ez (йо) = О. Это означает, что спектральная плотность ①(左)скачкообразно принимает значение, равное нулю, что едва ли имеет место в действительности. Тем не менее такое представление формы спектра в высокочастотной области оказывается полезным [160] и, как уже было сказано в предыдущем параграфе (пункт 6), несущественно влияет на вид структурной функции в этой области.

Следовательно, при 左《爲 в (3.15) можно положить f^ 1. Тогда

Е1 (k) = 21 ‘з^^/з 声/з 左— 2,，з,(3.19)

Ф 仅)=g 2”3丁丁2/3S，”-5，3.(3.20)

Эти результаты совпадают с (2.21). Как видно из формулы (3.19), энергия пульсационного движения пропорциональна

234

масштабу пульсаций и диссипации в степени 2/з (А 〜九一】)， функцию g(x) можно найти в интервале (0, 1), если решать алгебраическое кубическое уравнение (3.17), как это сделано, например, в [71].

§ 4. Спектральная теория Гейзенберга

Широкое распространение в спектральной теории турбулентности получила предложенная Гейзенбергом [59, 60] формула для S (月)，которая имеет вид

S(/) = 2sf […5)1 d/J ^(p)dp.(4.1)

А0

Физические представления, которые приводят к такой форме функциональной зависимости между S и Ф, сводятся к следующему.

Гейзенберг [59], основываясь на рассуждениях Вейцзекера [25], предположил, что механизм передачи энергии от больших вихрей к малым аналогичен процессу диссипации энергии под действием молекулярного трения. Но, как мы знаем, е= =v| rotu I2, так что, согласно Гейзенбергу,

S(同他)|rotG『,(4.2)

где vr(A)——коэффициент турбулентного трения, обусловленного движением малых вихрей с волновыми числами в интервале (2 оо), а и ——макрокомпонента скорости. Если разделить указанный интервал на части, то каждый малый подынтервал внесет известный вклад в коэффициент турбулентного трения, причем этот вклад будет зависеть только от А и, разумеется, от плотности энергии ①(左).Из этих двух величин можно образовать только одну комбинацию с соответствующей размерностью:

^-ъД\Р~^{Р)Г dp.(4.3)

С другой стороны, согласно (III, 12.14),

|rotu|2 = 2 Jр2Ф(р)dp.(4.4)

Из трех последних выражений непосредственно вытекает формула Гейзенберга (4.1), а из нее и из (3.3) получаем интегральное уравнение

S J [А 3<1，(р)]，/2 dp J 2炉①(p)dp= 2'J 户①(/?) dp,ft0ft

которое после введения в него полной диссипации е по (2.17) принимает вид

СО\ А

V + S J 力一з» ⑵尸勿 J 2户卜 S) dp = s. (4.5)

A/ 0

Подобно спектральному уравнению Обухова (3.10), оно также решается элементарно.

Если обозначить

k

н 的P'"D(P)dp,(4.6)

о

то вместо (4.5) найдем

s = 2s = 2I"伊)，(4.7)I"伊)，(4.7)^ + ^\р~5Н' {p)Vdpk

s = 2

s = 2

I"伊)，(4.7)

I"伊)，(4.7)

где Hf (р) ^dH/dp. Разделив (4.7) на H(k) и продифференцировав полученное выражение по 总 приходим к обыкновенному дифференцированному уравнению

*=4 哈…-5"4

с граничным условием 〃(左)f e/2v при 左f 8, которое следует из (4.6) и выражения для диссипации (2.17). Из решения этого самого простого уравнения находим

3 = 3了方区一2 左-4 +(e/9v)-3, а из (4.6)

Ш

2/3u —■ 5 *3

(Г+ 8V3力4/3ё7宮)4/3 ■(4⑸

Полученная теоретическая формула (4.8) связывает инерционную область спектра с высокочастотной. Действительно, так как Тн〜1 и з/зу^ 〜1, эта формула при 左《(e/W)%=d переходит в (2.21). При k》kq из (4.8) получаем

①(左)〜左一7 他 —оо). -(4.9)

Поскольку формула (4.8) еще не подтверждена экспериментально, ее нельзя считать окончательной, тем более что некото- 236

рые соображения, изложенные в § 2, подвергают сомнению ее справедливость.

формулы Обухова (3.9) и Гейзенберга (4.1), как недавно показал Чен [92], при некоторых частных предположениях вытекают из полученного Ченом общего уравнения переноса энер- ГИИт и поэтому равнозначны. Однако использование формулы Гейзенберга связано со значительно меньшими трудностями, чем и объясняется ее широкое распространение в спектральной теории турбулентности. Наряду с ней используются и некоторые другие формулы, не имеющие достаточного физического обоснования, но отвечающие требованиям теории размерности. На первое место среди этих формул следует поставить формулу Кармана [1]

S伊) = 2т『2(р)声"於-%р『25)广戸如，(4.10)

А 0

из которой как частный случай при а=1 и 0 = 2 получается формула Гейзенберга. Еще дальше по пути обобщения пошел Гольдштейн [57], предложив формулу

「8Т Г ftу

S(A)^2b J\44p)]npmdp\ Н [Ф(р)]>₽ ,(4.11)

人(加+1) +出偉+1)=5ь，U4-p,a = 3/2,

которая включает в себя и формулу Обухова. Как видно, это выражение представляет собой произведение двух интегралов с различными пределами, что отражает сложность процесса передачи энергии* Кроме того, (4.10) можно представить в виде двойного интеграла, что согласуется с общими выводами относительно формы S(^), изложенными в [1]. Однако только это обстоятельство не представляет серьезного аргумента в пользу этих выражений.

Известное интуитивное обоснование можно дать и формуле, которую предложили Огура и Миякода [74],

со]1/2 々

(4.12)(4.12)S 伊)=2匕… (① S) dp *2% S) dp.

(4.12)

(4.12)

_方」0

Самая простая формула предложена Коважным [82]

S他)=2打2(舟产庐2,(4.13)

Удовлетворяющая лишь условию одинаковой размерности правой и левой ее частей.

Использование любой из этих формул при решении спектрального уравнения (3.4) в инерционном интервале всегда приводит к получению спектра Колмогорова (2.21). Это обстоятельство объясняется тем, что во всех перечисленных выше формулах, как и в (2.21), соблюдено условие размерностей. Известные различия в формах спектра появляются при 月一＞8, которые обусловлены структурой отдельных формул. Спектральный метод открывает большие возможности и при решении задачи вырождения изотропной турбулентности без пренебрежения нелинейными членами в уравнении движения. Этот вопрос рассматривается в [43, 44, 50, 57, 82, 91 и др.].

ГЛАВА VII

Некоторые другие вопросы статистической теории турбулентности

В гл. IV, V и VI изложены основные положения статистической теории турбулентности, из которых можно составить более или менее завершенное представление об этой теории. Но этим не исчерпываются ее различные аспекты. Существует еще много вопросов как «чистой теории», так и ее прикладных направлений. Некоторые, более важные из этих вопросов, будут рассмотрены в данной главе. Однако в большинстве случаев вследствие ограниченности места в отдельных параграфах этой главы даны только основные идеи рассматриваемых вопросов со ссылкой на оригинальные работы, где о них можно прочесть подробнее.

Пространственно-временная корреляция скорости в однородном, изотропном и стационарном турбулентном потоке

В рассмотренных до сих пор вопросах корреляционной и спектральной теорий турбулентности в качестве исходных слу- 乎 шш уравнения Кармана—Хоуарта (V, 1.13) и Корсина (V, 8.14), которые связывают вторые и третьи моменты скорости

239

и температуры и содержат по две неизвестные функции. Составление уравнений для моментов более высоких порядков, как мы уже выяснили, не приводит к замыканию системы. Действительно, как было показано в [28], посредством составления уравнений для третьих моментов и выражения четвертых моментов через вторые с помощью гипотезы Миллионщикова получается система скалярных уравнений:

*— 2切 J 6〃 = 4 传—/) £ ВД/ + 4,

б” = 2 ^-^г + -|-j 假一再)BTT-\-Z2.

B" = Bu(r, О» Втт~ Втт(г, £), и? = В и (0, /), (1 • 1) в которых функции Zi(r, /) и Zz(匚 0 характеризуют смешанные моменты скорости и температуры с их пространственными производными. Они не могут быть выражены через основные характеристики Вц и Втг. Только при условии, что v=0 и х=0 и имеет силу указанная выше гипотеза, получаем Z2=0, а /зависящим от В и (г, /) квадратически [28], т. е. система (1.1) преобразуется к виду

-^程=4 (〃； 一 В^ -^r &&I + Z] (г, Z),

与尸=2 (得 + 书(";- 8")втт •(1 ⑵

Здесь второе уравнение было получено и исследовано ранее других Ридом [80].

Несмотря на эту принципиальную трудность (неполноту системы) составление такой системы само по себе небесполезно, о чем мы еще будем говорить в § 3. Для преодоления указанной трудности Чандрасекар [46] предложил статистические моменты различных физических величин образовывать не только для разных точек, но и для разных моментов времени, т. е.

5〃 = % (х, £)勺(х , t),

85无=%(*, £)〃/(x, t)uk (x\，),

б5^ = '“(х, f)吃(X, £)以(X*，)％(x',，) и т. д. (1.3) По существу, эти наиболее общие тензорные моменты были введены еще Фридманом и Келлером, но вследствие отсутствия у них ясно сформулированной статистической гипотезы полная система дифференциальных уравнений не была получена.

Чандрасекар принимает турбулентность однородной, изотропной и стационарной. Поэтому определяющие скаляры тен- 240

3OpOB (1.3) зависят только от г=|х' — х| и т= | f ——f|. Усло- вне стационарности означает, что поступающая в систему энергИЯ от источника турбулентности точно равна энергии, превращающейся в тепло вследствие трения. Таким образом, в теории Чандрасекара диссипация е ——постоянная величина и она является одним из параметров, определяющих движение. Вот почему, если удастся, исходя из уравнений гидродинамики, построить единую внутренне непротиворечивую теорию пространственно-временной корреляции, то в предельном случае при wfO и т->0 из этой теории должны вытекать все известные результаты локально изотропной турбулентности.

Основное уравнение, полученное Чандрасекаром [46], в указанной новой теории турбулентности имеет вид

与(急-/ 次)8〃 = Вц 备 D-Ba,(1.4)

где Вц=Вц (г, т). Оно является прямым следствием уравнений Навье—Стокса

UiUk = + у △氏(1.5)

dt I 0*尼 £ ft p dxt'7

и обобщенной (единственной в этой теории) гипотезы Миллион- щикова

Bцk 叫=b心。)6/(0, 0) + %(г, 0斗〃(1\ 0 +

+ Bin^ T)5/ft(r, т).(1.6)

С методической точки зрения вывод уравнения (1.4) представляет известный интерес, поэтому коротко остановимся на нем.

Умножим (1,5) на uf. —Uj (х7, У) и осредним. Поскольку т= I tf — f I, d/0/= — 0/0% то

（备十间勾=一読8"

Эквивалентное последнему скалярное уравнение, полученное обычным способом, имеет вид

^+'^з)^ = 2(г4- + 5)5,^+'^з)^ = 2(г4- + 5)5,(1.7)(1.7)

^+'^з)^ = 2(г4- + 5)5,

^+'^з)^ = 2(г4- + 5)5,

(1.7)

(1.7)

где S — Bni/4r. Уравнение (1.5), записанное для точки (х‘，£‘)，

д ,, 我产々

1 0// .t Г

P dxf 1J

(15)

умножим на 吗〃； djdtf=д!дт, так что

=〃мк

^) un(x\ 0 и осредним.

Теперь

(备— '△)%，尸 М“(1.8)

16 Заказ № 854

241

гдегде

где

где

%”，尸一 （备约&e +詣^й:），砌=十0，（L9）

есть симметричный no i, и и соленоидальный по / тензор третьего ранга, который можно представить в виде (III, 12.23) с определяющим скаляром Х(厂,т). Следовательно,

居丿=0, DiV/X®j = 0.(1.10)

Эквивалентное (1.8) скалярное уравнение записывается так:

(18)(18)

(18)

(18)

Если иметь в виду, что смешанный момент 如‘以川冗 можно представить в виде

Й?^=r&,加,乙+2(г，04"，

a Bjk, in выразить через В^ь посредством (1.6), то из (1.10) получаем еще одну связь между скалярными функциями:

茶卜+5)Х=；3〃亲。58“.(1.11)

Из (1.7), (1.8‘) и (1.11) легко исключить две неизвестные функции X н S. Применив к (1.7) оператор (д/дх — vO5), получим

(■£■ - 、户绕)统=2 (显一 、丿05)卜备+ 5) S,(■£■ - 、户绕)统=2 (显一 、丿05)卜备+ 5) S,а затем с помощью тождестваа затем с помощью тождества傢TR网=2卜今傢TR网=2卜今и (1.8) найдеми (1.8) найдем+ 5)Х.+ 5)Х.

(■£■ - 、户绕)统=2 (显一 、丿05)卜备+ 5) S,

(■£■ - 、户绕)统=2 (显一 、丿05)卜备+ 5) S,

а затем с помощью тождества

а затем с помощью тождества

傢TR网=2卜今

傢TR网=2卜今

и (1.8) найдем

и (1.8) найдем

+ 5)Х.

+ 5)Х.

Отсюда после двухкратного дифференцирования по г и объединения с (1.11) немедленно получаем (1.4).

Уравнение Чандрасекара (1.4) можно записать еще и так:

將” 备叫DsBu. (1.4)

Здесь первый член в скобках характеризует инерционные силы, а второй ——силу трения. Вспоминая, что D^Bu ——определяющий скаляр тензора rot； и го^ и\ приходим к выводу, что указанные силы действуют на вихрь аддитивно. Но точно таким был 242

смысл и гипотезы Гейзенберга (IV, 4.5) в спектральной теории. Необходимо отметить, что поскольку указанная аддитивность вытекает из принятой обобщенной гипотезы Миллионщикова (1.6), последняя оказывается тесно связанной с гипотезой Гейзенберга.

Исследование полного уравнения (1.4)——математически трудная и до сих пор нерешенная задача. Однако в практически наиболее интересном случае для бесконечно большого числа Рейнольдса (нулевая вязкость: v=0) уравнение (1.4) значительно упрощается и приобретает вид

^Й~ = 8〃 备 Ab".(L12)

Этот частный случай подробно исследован в работе Чандрасекара [47]. При некоторых дополнительных предположениях им построено решение

Х(「，。=^Вп(г, т)=.

=自津3L13(1+*53 靑 + J,(1.13)

из которого при т=0, после интегрирования по г, вновь получаем «закон 2/3» Колмогорова. Таким образом, теория локально изотропной турбулентности включена в рамки более общей теории пространственно-временной корреляции поля скорости в однородном, изотропном и стационарном турбулентном потоке, предложенной Чандрасекаром.

Некоторые результаты теории Чандрасекара, как было показано в [52], записываются более просто в спектральной форме.

Пространственно-временная корреляция температуры

Изложенная в § 1 теория Чандрасекара распространяется на турбулентность в поле температуры [28, 29]. Введем пространственно-временную корреляционную функцию

(…)亠 7(х, £) 7(хТТ) (2.1)

и над уравнением теплопроводности

(2.2)(2.2)

(2.2)

(2.2)

выполним аналогичные операции умножения и Прежде всего умножим (2.2) на Т^ — Т^, f) (工=|，—方1):выполним аналогичные операции умножения и Прежде всего умножим (2.2) на Т^ — Т^, f) (工=|，—方1):осреднения, и осреднимосреднения, и осреднимПредставив смешанный момент в виде UkTT7 =А(г, т) г^ найдемПредставив смешанный момент в виде UkTT7 =А(г, т) г^ найдем（夫 + "。3）8丁丁（二 分 Н_卜"^ + 3）4（夫 + "。3）8丁丁（二 分 Н_卜"^ + 3）4(2.3)(2.3)Уравнение (2.2), записанное для точки (х‘, f‘)Уравнение (2.2), записанное для точки (х‘, f‘)умножим на UhT и осреднимумножим на UhT и осредним(22)(2.4)(22)(2.4)Теперь становится необходимым использовать обобщенную гипотезу Миллионщикова, согласно которой広7%/ =8*(1•，叫б”亿 с).(2.5)Теперь становится необходимым использовать обобщенную гипотезу Миллионщикова, согласно которой広7%/ =8*(1•，叫б”亿 с).(2.5)Так как Дг(Дг<) =D^Ari, вместо (2.4) имеемТак как Дг(Дг<) =D^Ari, вместо (2.4) имеемx£)5)A(r, t) = —；8〃(r, t)8；r(r, t).x£)5)A(r, t) = —；8〃(r, t)8；r(r, t).(2.6)(2.6)

выполним аналогичные операции умножения и Прежде всего умножим (2.2) на Т^ — Т^, f) (工=|，—方1):

выполним аналогичные операции умножения и Прежде всего умножим (2.2) на Т^ — Т^, f) (工=|，—方1):

осреднения, и осредним

осреднения, и осредним

Представив смешанный момент в виде UkTT7 =А(г, т) г^ найдем

Представив смешанный момент в виде UkTT7 =А(г, т) г^ найдем

（夫 + "。3）8丁丁（二 分 Н_卜"^ + 3）4

（夫 + "。3）8丁丁（二 分 Н_卜"^ + 3）4

(2.3)

(2.3)

Уравнение (2.2), записанное для точки (х‘, f‘)

Уравнение (2.2), записанное для точки (х‘, f‘)

умножим на UhT и осредним

умножим на UhT и осредним

(22)

(2.4)

(22)

(2.4)

Теперь становится необходимым использовать обобщенную гипотезу Миллионщикова, согласно которой

広7%/ =8*(1•，叫б”亿 с).(2.5)

Теперь становится необходимым использовать обобщенную гипотезу Миллионщикова, согласно которой

広7%/ =8*(1•，叫б”亿 с).(2.5)

Так как Дг(Дг<) =D^Ari, вместо (2.4) имеем

Так как Дг(Дг<) =D^Ari, вместо (2.4) имеем

x£)5)A(r, t) = —；8〃(r, t)8；r(r, t).

x£)5)A(r, t) = —；8〃(r, t)8；r(r, t).

(2.6)

(2.6)

Из этого уравнения и (2.3) легко исключается неизвестная функция Л (г, г). Умножив (2.3) на оператор (d/йт ——х£)з), находим，•

(爲一i/)втт =-(备一z同卜+ 3)4 =

=- (r备十 3)(g - "。5)A

Отсюда и из (2.6) получаем окончательно

(杀-//) втт =卜与 + 3)'"”，(2.7)

или

*。号 Втт = 6〃。3当丁 + ВцВтт ■(2.7。

Уравнения (1.4) и (2.7) образуют замкнутую систему уравнений для неизвестных функций Вц (г, т) и ВТт(G 0* Характерно, что первое из них решается независимо от второго. Это дает нам возможность без труда использовать решение Чандрасекара. Как 244

и ранее, более легко исследовать предельный случай, когда можно пренебречь влиянием молекулярной теплопроводности (х—0). Тогда вместо (2.7) имеем уравнение

噴工+反山(2.8)

которое решаем совместно с (1.12). Граничные условия в этом случае имеют вид

8“(0, 0)= 7 = const, 8口(г, с) —。при с f 8. (2.9)

В связи с последним условием отметим, что система дифференциальных уравнений в частных производных (1.12) и (2.8} при тт 8 имеет решение вида

8〃(匸七)=屮(「)厂，Втт(г, т) = ?(г)т-^ (/п>0),(2.10>

где функции 屮(厂)и q)(r) удовлетворяют нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

?" + 丁 У — 1пф = const,

屮y+(y +言屮)"用加+ 1)?=0.(2.11)

При некоторых дополнительных предположениях в [29] по) методу Чандрасекара было построено решение уравнения (2.8)

Хт(г, т) =^3rr(r, t)=

=々“%一.，3(] + 讶2/3_^+ …)，(2.12)

из которого при т=0, после интегрирования по г, получаем (IV, 5.10).

Изотропная тур бул ентность в сжимаемой жидкости. Пульсации плотности

В работе Яглома [36], первой в статистической теории турбулентности в сжимаемой жидкости, использован спектральный

метод. В отличие от теории турбулентности в несжимаемой жидкости теория для сжимаемой жидкости значительно сложнее. Это объясняется в основном двумя главными причинами:

уравнение движения, в отличие от (IV, 2.1), теперь имеет вид

д , ддр .1о

N Р%—cbj + 3 " dxi дху(3.1)

поле скорости не соленоидально, поскольку в сжимаемой жидкости уравнение неразрывности записывается в виде

考 + 設"(3-2)

Вследствие этого количество независимых скалярных функций, определяющих различные тензорные моменты, в статистической теории сжимаемой жидкости значительно увеличивается и основная трудность — неполнота системы уравнений ——проявляется еще более сильно.

Чандрасекар [45] предложил вместо пульсаций скорости изучать пульсации плотности. Тогда из (3.2) обычным способом получаем

+(3.3)

Но вследствие изотропности

P”P”i = 一 р'р"%=2(「，％)小

так что

gвРР(Г, /) = 2备 аГ,П方*(户丄).

Отсюда при условии lim 川厶二。находим инвариант

J г25о р (г, /) 6fr = ЛР = const,(3.4)

аналогичный инварианту Корсика (V, 8.19). Легко можно установить вид спектрального аналога для инварианта данного типа. Для этого возьмем известную нам формулу (8.7) для трехмерного случайного скалярного ноля

%他，/)=壷j陪8(Г，/)产办О

При 月 f 0, так как 吗＞ 1. имеем kr '

%(晟 £) = ~^ = const.'(3.5)

Далее, используя (3.1), Чандрасекар получает

缶 & р = 2 加；г/ |Ур" fw； и} — и； w°.)] + 2 △ р^^ — ■心訪 р勿；

С помощью обобщенной гипотезы Миллионщикова последнее уравнение сводится к виду

鳥 &р = 2 伫 +』忝)&% — 2-“^ В，禺厂 Х2「〃)一

一等方 5 S 户 ^ ( 5 *г吹)],(3.6)

где

" =诃=一两一=*亿 t)r^

a c——скорость звука в осреднением потоке.

Чандрасекар считает, что если пульсации скорости значительно меньше скорости звука, т. е. турбулентность существенно дозвуковая, уравнение (3.6) можно упростить и записать в виде 强修р(Г, f) = 2。2(备+工与)纽《, 0.[3.7>

Следовательно, в рамках указанного приближения полученное уравнение линейно, и решение для Врр(г, 0 можно представить как суперпозицию сферических волн вида

；ехрр р +；ехрр р +

；ехрр р +

；ехрр р +

которые распространяются со скоростью с? 2.

§ 4. Пространственная корреляция локальных изменений температуры в однородном и изотропном турбулентном потоке

Рассмотрим вначале особый случай вырождающейся турбулентности в конечной стадии, когда в уравнении теплопровод- н℃ти (V, 8.11) можно пренебречь нелинейным членом

(4.1)

Отсюда находим

T⑺=翁=（%、）" 7：T⑺=翁=（%、）" 7：(4.2)(4.2)

T⑺=翁=（%、）" 7：

T⑺=翁=（%、）" 7：

(4.2)

(4.2)

Введем теперь обозначение

8*（г, /）-= 7（砌（附，/"（”）（"，/）.

Очевидно, В^= Втт- Из (4.2) обычным способом получаем

в；«, t^^-D^ + ^rrв；«, t^^-D^ + ^rrВтгВтг(4.3)(4.3)

в；«, t^^-D^ + ^rr

в；«, t^^-D^ + ^rr

Втг

Втг

(4.3)

(4.3)

(4.4)(4.4)Отсюда и из (V, 8.19) следует, что существует инвариант f Вт (г, /) dr = 0.

(4.4)

(4.4)

Введем коэффициент корреляции

《亿0 =《亿0 =笫У /）笫У /）](8%(0/)用(0, ?)](8%(0/)用(0, ?)

《亿0 =

《亿0 =

笫У /）

笫У /）

](8%(0/)用(0, ?)

](8%(0/)用(0, ?)

и Вттк 0 возьмем из (V, 8.20). В результате находим

pm 4* /гп 4-п-Ь 3.2pm 4* /гп 4-п-Ь 3.2"一产/8xt"一产/8xt(4.5)(4.5)Выполнив указанное дифференцирование, при г=0 получаем коэффициент корреляции между локальными производными температуры m-го и n-го порядка в фиксированной точкеВыполнив указанное дифференцирование, при г=0 получаем коэффициент корреляции между локальными производными температуры m-го и n-го порядка в фиксированной точке解(0, /) = (—1)'"+“解(0, /) = (—1)'"+“Г (т + п + 3/2)Г (т + п + 3/2)у Г (2/п ^3/2) Г (2п + 3/2)у Г (2/п ^3/2) Г (2п + 3/2)(4.6)(4.6)ОтсюдаОтсюда& -2 =& -2 =1 尸(4m — 3) (4п ——5)I (4九+ D (4九二-1)，1 尸(4m — 3) (4п ——5)I (4九+ D (4九二-1)，(4.7)(4.7)

pm 4* /гп 4-п-Ь 3.2

pm 4* /гп 4-п-Ь 3.2

"一产/8xt

"一产/8xt

(4.5)

(4.5)

Выполнив указанное дифференцирование, при г=0 получаем коэффициент корреляции между локальными производными температуры m-го и n-го порядка в фиксированной точке

Выполнив указанное дифференцирование, при г=0 получаем коэффициент корреляции между локальными производными температуры m-го и n-го порядка в фиксированной точке

解(0, /) = (—1)'"+“

解(0, /) = (—1)'"+“

Г (т + п + 3/2)

Г (т + п + 3/2)

у Г (2/п ^3/2) Г (2п + 3/2)

у Г (2/п ^3/2) Г (2п + 3/2)

(4.6)

(4.6)

Отсюда

Отсюда

& -2 =

& -2 =

1 尸(4m — 3) (4п ——5)

I (4九+ D (4九二-1)，

1 尸(4m — 3) (4п ——5)

I (4九+ D (4九二-1)，

(4.7)

(4.7)

Из этих формул и табл. 1, в которой даны численные значения Rm (графически представленные для т=0 на рис. 32), можно сделать следующие важные внводн:

1)心=1, I心I&1;

/?2>。при m-\- n=^2k

н R；n < 0 при m + /2 = 2左 + 1;

lim |^| = 0 при фиксированном т\ lim |咫_< = 1 при фик- Л->-ОО〃f 8

сирэванном 左；например, из (4.7) легко увидеть, что lim/?；：_」=

—■1, lim Rn —2 —■ 1 и т. д.

Таблица 1Таблица 1

Таблица 1

Таблица 1

Значения коэффициента корреляции /?^

012 3 4 5 /012 3 4 5 /1—0,77510,490-0,8811—0,2880,664—0,91910,161—0,4550,750—0,9381—0,0870,294—0,5450,800—0,95111—0,77510,490-0,8811—0,2880,664—0,91910,161—0,4550,750—0,9381—0,0870,294—0,5450,800—0,9511

012 3 4 5 /

012 3 4 5 /

1

—0,775

1

0,490

-0,8811

—0,288

0,664—0,9191

0,161

—0,4550,750—0,9381

—0,087

0,294—0,5450,800—0,9511

1

—0,775

1

0,490

-0,8811

—0,288

0,664—0,9191

0,161

—0,4550,750—0,9381

—0,087

0,294—0,5450,800—0,9511

С помощью известной формулы Стирлинга Г(〃+1) =「公1/市

Рис. 32. Коэффициент корреляции между температурой и ее локальными производными в зависимости от порядка 九 производной.Рис. 32. Коэффициент корреляции между температурой и ее локальными производными в зависимости от порядка 九 производной.

Рис. 32. Коэффициент корреляции между температурой и ее локальными производными в зависимости от порядка 九 производной.

Рис. 32. Коэффициент корреляции между температурой и ее локальными производными в зависимости от порядка 九 производной.

легко получаем

咫=(—1)я yn 2 — " + i.

Определим также микро- и макромасштаб корреляции:

入凱 “(/)= — 1 /Е (0, 0；丄”(/)= % 心(г，/)I dr. (4.8) о

Используя (4.5), получаем:

入““"(/)= М2 (m + а) + 3，(4.9)

% “ =F(4) T^tS^ I 心 I % (t)，(4.10)

где 九『(Г) и LT(t) даны по (V, 8.22). Отсюда вытекает, что lim

а при 几 f 8

「蒜 2一 "一3\U? /「34 2“ 5/8.

£r(0入 r«)

Вернемся теперь к полному уравнению (V. 8.11). Из него

■следует

В汾(г, 0 = ^^Втт + 2-Л Дг ^-VT7 -^^ 1^47.

Полагая

и^ГТ1 = В 1тт -；- , UjTiikT = В^кВТТч

лолучаем

Вут^ t)=^DlBTT-^2y.D^ + ^BlTT^

上Г（f）

2

lim

\,«(0

人了 （0

0,

а после исключения Bitt с помощью уравнения Корсина (V, 8.14)

Можно проверить, что последнее уравнение не противоречит (4.4) при m=n=L При 乂=0

8泠(Г； 0 = - ("^ + ^) 8"&Г，

Но теперь нелинейный член можно исключить с помощью (1.2), так что

3衿(г, =—2届4分г).(4.12)

Аналогичная формула была получена раньше Праудманом [77J для функции

粤要"也8"一； 8夕一4忆成 ⑹心 (4.13>

Легко доказать, что связь

8 泠(J »)= }? втт (г, /),

которая вытекает из (4.3), сохраняется и в начальной стадии вырождения.

§ 5. Взаимная корреляция давления и скорости ветра

в турбулентном потоке

В однородном и изотропном турбулентном потоке давление и скорость не коррелированы, т. е.

8о"(г) = Р(х)〃，(х') = 0.

Это утверждение является следствием доказанной в гл. III, § 11 теоремы 1 при условии divu=0.

По той же причине

P(X) %(X，)三 0 и т. д.

Однако тензорный момент

^,1}(г) = р(х)щ Х)〃/Х)

отличен от нуля. Он симметричен по своим индексам и изотропен и вследствие этого его можно представить в виде

(5.1)(5.1)皖川(г) = R (「) 3/ + 2 (「) %••

(5.1)

(5.1)

Докажем, что скалярные функции Pi (г) и Р2(г) определяются однозначно через основную статистическую характеристику потока ——корреляционную функцию 5〃(厂，f), или структурную функцию Ьц (г) при локально изотропном потоке. Этот вопрос рассматривался Лимбером [69], автором [32] и др.

Уравнение движения

ди； . д100tAди； . д100tA(5.2)(5.2)

ди； . д100tA

ди； . д100tA

(5.2)

(5.2)

умножаем на pf=p (xz) и осредняем. Используя два равенства, записанные в начале параграфа, получаем

击 8о,"(г)= ^备 8рр(г),(5.3)

где Врр(г)——корреляционная функция давления, считается заданной по (V, 6.8). Из (5.1) и (5.3) после выполнения указанного в (5.3). дифференцирования получаем уравнение для функций Pi и р

4Pl + *；+；&= — -^ Врр.(5.4)

Снова умножаем (5.2) на 〃；％ и осредняем二

〃£也％ + V ^rBklti(г)=丽Bijt w(r) + —筑,ы (г).

Левая часть последнего уравнения представляет собой симметричный по й, / и соленоидальный по i тензор третьего ранга. Следовательно, и правая часть

Q^‘(=石J Btjgt + 亍 石^舔,々2Q^‘(=石J Btjgt + 亍 石^舔,々2(5.5)(5.5)

Q^‘(=石J Btjgt + 亍 石^舔,々2

Q^‘(=石J Btjgt + 亍 石^舔,々2

(5.5)

(5.5)

■есть точно такой же тензор. Вследствие этого

Q^,t三°・(5・6)

Применив к четвертым моментам в (5.5) гипотезу Миллион- щикова (V, 6.5), получаем

Qk" = (3第一%纬综+ 3"稣+击Pj w, +

(% J稣 + V uBu^ 练 + y-「J (rifiu + г 18и)+

( Г Виви^当 +十 Р^ rfikl.(5.7)

Ютсюда при k = l и из (5.6) находим второе уравнение для .функций R и Рг

гР； + 2а + ^_р； = р废，(5.8)

которое можно записать еще и так1:

备(产B+ 3a)=P响:.(5.9)

Из последнего уравнения находим

产 R + ЗР2=-р J 以 G) d 二(5.10)

Но, согласно (5.1), г2Р14-ЗРг=Во,м=ри：. В изотропном потоке 〃彳= *= %= * так что % = 3庐 При иа=0 скалярная величина £ =，〃彳 представляет собой кинетическую энергию турбулентности. Очевидно, что

8"(「)=：濟=号绕,，《), (5.11)

так что величина

%一(r) = 一号了岡:("：(5.12)

будет взаимной корреляционной функцией давления и кинетической энергии турбулентности.

Интеграл (5.12) может быть вычислен до конца только для случая, когда

Ви (Г,

т. е. на конечной стадии вырождения. Если подставим последнее выражение в (5.12), то найдем

BpE(r, 0 = -^f J 味7對=一需 小，0+ 长).(5.13) r2 4vf

Отсюда для коэффициента взаимной корреляции получим &е(г，/) = у^^^=-^^(1+х)ег, * =金，(5」4) если при этом используем равенство 〃： = 3(吟)2 = 3(3*2 = =27 (〃2产，вытекающее из гипотезы квазинормальности. При г=0 имеем

R„e =Р — 0,096.(5.15)

В начальной стадии, когда число Рейнольдса Re велико [69], &е=—0,056. Кривая Rpe(x) представлена на рис. 33.

Из (5.12) легко получить

рЕ — рЕ1 = — j ^^и (二)力二.(5.16)

о

В предельном случае Re-> оо, когда в силе теория локально изотропной турбулентности, из (5.16) и «закона 2/з» получаем

рЕ — рЕ1 =} р2c2 (ег)4/з,(5.17)

или, что все равно,

рЕ — рЕ' = — -^-^ ~ 7F)-(5.18)

Последняя формула получается из сравнения (5.17) с (V, 6.16).

Рис. 33. Коэффициент взаимной корреляции между давлением и скоростью.Рис. 33. Коэффициент взаимной корреляции между давлением и скоростью.Обозначим теперь

Рис. 33. Коэффициент взаимной корреляции между давлением и скоростью.

Рис. 33. Коэффициент взаимной корреляции между давлением и скоростью.

Повторив процедуру вывода (5.12) и для корреляционной функции В吟(А 4=рЕ* находим

ВрЕ" (г，%)—

=一导卜瓦："储，/)丸(5，19)

8(), rt (r, £)—

выводится аналогично (4.3), а Ви задано выражением (V, 3.10) Из (5.19) при 厂=0 получаем (Q=Ao/48]Z 2冗屮咕)

о

Согласно гипотезе квазинормальности,

Используя это соотношение и (5.19), для коэффициента корреляции RpEn(0) получаем

В к (0, /)92п+1

它喝(0)= 之= =-1},%；：3i1 "叫 (5。2°) ] 3 (4h3)!!

где

/(〃) =沙 jyg『2D『dy(5.21)

о

есТь функция только п. Например,

у (0) = j хе~2х dx = 1/4,о

/⑴=j(%2 — 7% + ^)хе—2“х = _|^_ н т. д.

о

В соответствии с этим получаем R叫=—,т. е. (5.15),

一6]/3~

Rpex = — 3丫 3/70— — 0.074 и т. д.

§ 6. Описание турбулентности в лагранжевых координатах. Турбулентная диффузия

проявляется различными спо-проводятся в фиксированнойпроявляется различными спо-проводятся в фиксированнойВ зависимости от метода наблюдения турбулентный характер движения данной жидкости

проявляется различными спо-проводятся в фиксированной

проявляется различными спо-проводятся в фиксированной

Рис. 34. Турбулентное движение фиксированной частицы жидкости.Рис. 34. Турбулентное движение фиксированной частицы жидкости.собами. Так, если наблюдения точке пространства (метод Эйлера), турбулентность проявляется в непрерывном пульсировании значений физических величин в этой точке. Статистическое описание, соответствующее этому методу, опирается на исследование скалярных и тензорных моментов различного порядка, образованных из значений этих величин в различных точках и в различные моменты времени. Пространственные или временные ■статистические моменты вто-

Рис. 34. Турбулентное движение фиксированной частицы жидкости.

Рис. 34. Турбулентное движение фиксированной частицы жидкости.

рого порядка называют еще Эйлеровыми корреляционными функциями. Во всех рассмотренных до сих пор вопросах был использован исключительно метод Эйлера. Однако не все явления, связанные с турбулентностью, могут быть описаны с его помощью. Наиболее характерным примером в этом отношении является турбулентная диффузия — распространение примеси в турбулентном потоке вследствие перенесения ее движущимися частицами жидкости.

Если наблюдается фиксированная (например, подкрашенная) частица жидкости (метод Лагранжа), то турбулентность

проявляется в хаотическом движении этой частицы по исключительно сложной траектории (рис. 34). Основной характеристикой турбулентности в этом случае служит функция х(//х0, Ь), определяющая относительно неподвижной системы координат Ко при Е> 备 координаты данной частицы, которая в момент E=f° находилась в точке х0 [19]. Если эта функция известна, то будет известна и лагранжева скорость частицы

V(力Хо,幻= = ^х(〃Хо, /0) = и[х(^/х0,幻，/|, (6.1)

где и(х, /)——эйлерово поле скорости. Если в качестве начала координатной системы Ко выберем Хи, а за начало отсчета времени примем /0, то в дальнейшем можно писать просто v(f) и x(f). Очевидно, х, v, и ——случайные функции.

При однородной, изотропной и стационарной турбулентности с нулевой средней скоростью статистические характеристики не зависят от направления в пространстве и для описания турбулентности используют лагранжев коэффициент корреляции

卫五，(6.2)

где черта означает осреднение во времени. Аналогично вводится и лагранжев масштаб турбулентности Tl = J* Rl (т)Л, который о

имеет размерность времени и простой физический смысл.

Впервые лагранжевы характеристики турбулентности были введены Тейлором [90] в связи с проблемой диффузии, центральный вопрос которой заключается в определении дисперсии координат частиц и их скоростей.

Рассмотрим движение частицы жидкости в поле однородной, изотропной и стационарной турбулентности, которая в начальный момент t—t0 находится в начале системы координат (рис. 34). Через время t (в момент Л = ^о + 0 она будет находиться в точке

ut

х = J V (s) rfs = J V (s) ds.(6.3)

4о

Отсюда, поскольку v=0, получаем х?=0. С другой стороны, вследствие изотропности потока и того, что v(0) =0, имеем

= %2(f). Тогда из (6.3) находим

X? (%) = J@(s)ds = J J 3 ®) 3 ($2)厶1曲2・

Lo . J о о

Введя лагранжев коэффициент корреляции, запишем предыдущее равенство в виде

t t

或(/)= j&® —S[)dSi«/s2、(6.4)

0 0、

см такойJ (6-5)/(6.6)диффузиисм такойJ (6-5)/(6.6)диффузииПоскольку Rl(t)——четная функция, а для вся функции /(х), как легко можно показать, имеет силу а аа

см такой

J (6-5)

/(6.6)

диффузии

см такой

J (6-5)

/(6.6)

диффузии

[J / К — л2) dx2 = 2 f (а — х) f(x)dx,

то из (6.4) получаем丁 )/

О^ «) = 2絞 J " — с) Rl (с) А0/

В таком виде эта основная формула турбулентной

была найдена Кампе де Ферье в 1939 г. После небольших преобразований она сводится к формуле Тейлора•

。沁)=2d(6.7)

6 о

полученной значительно раньше [90]. Разрешив последнее уравнение относительно Rl(t), находим формулу

&«)= *(部吼(6・8)

с помощью которой можно определить лангранжеву корреляционную функцию, если по данным наблюдений установлена (аналитически или графически) зависимость дисперсии %«) от времени t.

Самый простой случай представляет собой диффузия от мгновенного точечного источника с мощностью Q, помещенного в момент f=f()в начале системы координат. По истечении времени Е под влиянием турбулентности частицы рассеиваются и в условиях однородной и изотропной турбулентности образуют сферическое облако диаметром

厶(£) = 2% (北(6.9)

Коэффициентом турбулентной диффузии называют величину7

a(/)=；糸图/)=万 J&(t)dt.(6.10)

о

°Как 瓜 так и DT ——функции времени диффузии f. Конкрет- ннй вид этих функций зависит от вида корреляционной кривой

17 Заказ № 854257

Rl(t)・ Однако в следующих двух асимптотических случаях эта зависимость несущественна.

/》7\. Тогда (6.6) приближенно можно записать так：

^x(t)2^2ТЬ1 一 2 可2 f т/?Л (т)^т.

и

При данной постоянной величине и? и коэффициента корреляции Rl(t) для достаточно больших значений t первый член в последнем соотношении может стать значительно больше второго, так что'

=i(o ^TLt (/》乙)，(6.11)

т. е. дисперсия координат пропорциональна времени диффузии f. Формула (6.11) совпадает с известным законом Эйнштейна для броуновского движения. Из (6.7) — (6.9) находим

DT = v2Tl, /о(0 = ]/8DTt.,(6.12)

f-> 0. В этом случае аналогично (V, 3.1) 〃工(電)можно представить в виде

々(沪1，一子，

откуда после подстановки в (6.6) :находим 飞

ИЛИ_-

‘4")^頂产«』0).中4(6.13)

В соответствии с этим имеем

。丁(£)=可叱 /()(/) =2%/.(6.14)

• Эти классические результаты теории турбулентной диффузии принадлежат Тейлору. Однако в приложениях часто необходимо знать выражения для o；(f) и DT (0* которые применимы для всех значений f. Естественно, что эти выражения зависят от вида Rl(t), и поскольку для последней до сих пор не найдено аналитическое выражение, Rl(t) аппроксимируют простыми функциями, удовлетворяющими очевидным условиям 氏(0) = 1 и Rl(8)=S Представление Rl(t) с помощью такн、 функций оказывается значительно удобнее даже и тогда, когда они не удовлетворяют некоторым теоретическим условиям, вытекающим из непрерывности случайного процесса, как, например, условию R[(0)=。. В таких случаях считают, что выбранная функция приближенно характеризует истинную при т->0-

Наиболее часто с указанной выше целью употребляют функцию

&© = ехр (—豈&© = ехр (—豈(6.15)(6.15)

&© = ехр (—豈

&© = ехр (—豈

(6.15)

(6.15)

Видно, что R'l (0) #=0； в этом случае

(6.16)(6.17)(6.16)(6.17)图/) = 2衣 71(子一 1 +е-〃В，DT{t) = ^TL (1-е '〃).

(6.16)

(6.17)

(6.16)

(6.17)

Отсюда при £》丁工 и ff 0 снова получаем асимптотические выражения (6.11)—(6J4)*

Вторая, также очень часто используемая в теоретических работах, формула для Rl (т) предложена Сеттоном [157]

&(t) = (l + *) " (〃>。), .(6-.18)

где Т ——характерное время. В интерпретации Сеттона Т=v/y2, где V——кинематический коэффициент вязкости. Подставив эти формулы в (6.7), найдем

^ (/) = 2浜 j d，J (1 + 习—"d：=О о

(1_^总_")[(1 + %)- 1 + (« - 2) -^] ■ (6.19)

Отсюда при f》T и л <2 получим

4(04(02漢产（1一门）（2-几）2漢产（1一门）（2-几）2U（1 一门）（2—幻暧2U（1 一门）（2—幻暧步г. (6.20)步г. (6.20)

4(0

4(0

2漢产

（1一门）（2-几）

2漢产

（1一门）（2-几）

2U

（1 一门）（2—幻暧

2U

（1 一门）（2—幻暧

步г. (6.20)

步г. (6.20)

Последние зависимости находят большое применение в теории гурбулентной диффузии атмосферы. При конкретных значениях л по этим формулам можно рассчитать дисперсию частиц. Средн указанных формул особое место занимают формулы, которые получаются из (6.19) при 〃=1, 2 и 3. Раскрывая неопределенность в (6.19) по правилу Лопиталя, находим

母(/) = 2厘个(1 + 与)In (1 +书一引 (6.21)

При л= 1 и

(0 = 2于戸 % _ Е (1 + 告)](6.22)

при 九=2. Для 九=3 и 了=2丁七 получаем

小/) = 2彳%亭猊.(6.23)

Последняя формула самая простая из них, а асимптотические формулы, получающиеся из нее при £》了工 и ff 0, совпадают с (6.11) и (6.13). Вследствие этого (6.23) можно использовать в качестве интерполяционной формулы для переходного интервала (Е 〜Tl), как это предлагает Лайхтман [11].

В заключение обратим внимание на то, что в диффузии необходимо различать два случая:^}) диффузия частиц от неподвиж- "ного источника, который мы рассматривали до сих пор;^^)относительная диффузия двух помеченных частиц от движущегося в пространстве облака.

Пусть х： и х® — начальные координаты двух таких частиц.

a Xi и х2, V1 и v2 ——координаты и скорость их через время г. Очевидно, что

v°TH = dy/d/,

где Votu = V2 — Vi и у=Х2 ——Xi можно рассматривать как локальные лагранжевы характеристики турбулентности. Характеристикой удаления частиц друг от друга служит относительная дисперсия oj= У?. Определяющим для ее величины будет действие турбулентных.вихрей с масштабом 入〜у = |у|. Для значений 九 из инерционного интервала у2 и DT могут зависеть только от диссипации е и времени t, т. е.

了 一 № и Dt _ 立2.(6.24)

Исключив отсюда время, получаем выражение

0r 〜产⑺2,з,(6.25)

представляющее известную эмпирическую формулу Ричардсона [83]. Ее обычно записывают в виде

D-^^Az^^,(6.26)

где /—расстояние между диффундирующими частицами.

Согласно приведенному здесь выводу, указанному впервые Обуховым [21], формула (6.26) справедлива для значений г из инерционного интервала. Однако наблюдения дают значительно более широкую область ее применения. Этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.

2ео Батч^ ^^-\^^2. ^^ 产矶 4帽冠＜3

坟NPAfiU^A ^^^^^

Некоторые новые направления в статистической теории турбулентности

Вскоре после появления теории локально изотропной турбулентности Колмогорова—Обухова Ландау заметил, что «закон 2/3》не может быть вполне точным из-за наличия случайных флуктуаций скорости диссипации турбулентной энергии

% =;(需 + 需), (7.1)

статистические характеристики которой, очевидно, могут зависеть от особенностей крупномасштабного движения. Так, например, следует ожидать, что дисперсия 。^ =(£。—е) поля е0, где £ = £& будет расти с ростом числа Re. Поэтому, как отмечается в [41*],】 статистические характеристики мелкомасштабных турбулентных движений в теории Колмогорова—Обухова нужно интерпретировать лишь как условные средние значения, полученные при фиксированном е0=е. Безусловные же средние значения будут отличаться от условных и могут оказаться уже не универсальными. Но теория локально изотропной турбулентности получила прекрасное подтверждение при измерениях в аэродинамических трубах и в атмосфере, и на это замечание долгое время не обращали внимания.

Недавно Колмогоров [84*] и Обухов [87*] предложили обобщение своей теории с учетом замечания Ландау. Обозначим через ег скорость диссипации турбулентной энергии, осреднен- ную по фиксированному объему (например, сфере) с линейным размером г. Предполагая, что при больших Re и Lo》几 где Ло —— внешний масштаб, величина ег имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей с дисперсией

喰冲=А(х, /) + Wg令， (7.2)

где Л зависит от характеристик крупномасштабного движения, а и — универсальная постоянная, Колмогоров и Обухов получили

4(「)3 п + 2,)严. (7.3)

В этой формуле функция М^{г) характеризует относительную Дисперсию диссипации турбулентной энергии.

Новое выражение (7.3) отличается от хорошо известного «закона 2/з» (IV, 4.8) множителем 口+加？")]-%, который, согласно опытным данным (IV, 4.8), лишь незначительно отличается от единицы. Как видно, задача сводится к оценке величины флуктуации диссипации турбулентной энергии или функции Л42(г). Она привлекла внимание многих исследователей.

Голицын [22*] подсчитал статистические характеристики поля диссипации е0 с привлечением гипотезы Миллионщикова. Он получил, что среднеквадратическое значение флуктуаций скорости диссипации составляет 63% средней величины, т. е. о现/е=0,63. Кроме того, трехмерный спектр в инерционном интервале имеет вид

①"(盼-步З.(7.4)

Впоследствии Новиков [44*] показал, что одномерный спектр в этом интервале имеет вид спектра белого шума

/ее (自)=Const,(7.5)

если выполняется гипотеза квазинормальности.

Однако последующие эксперименты Гурвича и Зубковского [25*], Понда и Стюарта [59*] не подтвердили (7.5). Так, например, в [25*] измерялся в широком интервале частот временной спектр флуктуаций величины, по физическому содержанию близкой к Бо»

где ось %1 направлена вдоль среднего ветра Ui в приземном слое атмосферы, а ось %з — вверх. После перехода к одномерному пространственному спектру при помощи гипотезы Тейлора [89] о «замороженной турбулентности» эти авторы получили

九J自)〜財У (7.7)

Для объяснения возникшего противоречия Новиковым и Стюартом [45*, 46*] предложена специальная модель мелкомасштабной структуры поля диссипации энергии, опирающаяся на известное из наблюдений явление «перемежаемости» мелкомасштабных пульсаций скорости. Оно заключается в следующем. Еще в 1939 г. Таунсенд показал экспериментально, что при достаточно больших г, в согласии с гипотезой Миллионщикова, величина

к = з. (7.8)

Однако при г-> 0 К》3, при этом К увеличивается с ростом Re. Таунсенд пришел к выводу, что большие значения К возникают вследствие неравномерного распределения в пространстве энер- 262

гт мелкомасштабных движений. В одних областях потока скорость меняется резко и хаотично, в других сравнительно плавно [44*]. Скорость диссипации энергии также распределена неравномерно в пространстве. Экспериментальные данные показывают, что при больших Re диссипация энергии происходит в основном в достаточно малых изолированных областях, общий объем которых составляет небольшую часть общего объема по- тока [45*]. Явление «перемежаемости» турбулентности экспериментально исследовал Садборн [88*]. Оно отмечалось также многими другими авторами.

Исходя из определенной модели «каскадной перемежаемости»,. Д^я одномерного спектра диссипации в [44*] и [45*] получена формула

九 е (自)一自 1 + ：： 0OV1.(7.9)

Согласно экспериментальным данным [25*],卩=0,4. Новиков [44*] показал, что спектр диссипации энергии, полученный при помощи простых соображений размерности с привлечением одного параметра е, также противоречит наблюдениям [25*] и ставит под сомнение возможность использования таких соображений при расчете моментов высокого порядка. Так, например, спектр флуктуаций давления, рассчитанный на основе модели перемежаемости [47*], имеет вид

①勿(盼一力 5+\ 0<^<1,(7.10)

и при ц=0,4 существенно отличается от (Vl, 2.29). Как отмечается в [47*], решающим здесь должен стать эксперимент.

Недавно Я「лом [79*] показал, что формулу типа (7.9) можно получить также только на основе предположений, содержащихся в работах Колмогорова [84*] и Обухова [87*], а именно:

f^k^B'^L^L^^,(7.11)

_凡 Jr)=厌2(丄"广(7.12)

где e = e0, Bee(r) — корреляционная функция случайной величины е0, определенной формулой (7.1). При этих предположениях

2«Хе"产3(丄"厂吗0加⑺=&円产仏"厂叱

Ф (盼=C^'3k~513 (kL^^^19,(7.13)

где 厶о— внешний масштаб турбулентности.

Формулы (7.11) —(7.13) допускают независимую экспериментальную проверку, которая должна явиться предметом будущих исследований. Поскольку имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные [25*] заставляют думать, что ц~0,4, то, согласно (7.13), влияние флуктуаций диссипации энергии при-

водит к небольшой поправке (ц/9^0,04) в «законе 2/3》и в «законе "◎ для структурной и спектральной функций в инерционном интервале. Надежное обнаружение таких малых поправок пока еще находится за пределами возможностей экспериментальных исследований по турбулентности, но, по мнению Яглома [79*], требуемая точность будет достигнута довольно скоро.

Проблема замыкания уравнений является одной из труднейших проблем теории турбулентности [37*]. Интересную попытку в этом направлении сделал Крейчнан [67]. По существу, его статистическая модель близка к гипотезе квазинормальности. Рассчитанный спектр не имеет отрицательных участков, как это получается на основе гипотезы Миллионщикова, однако он не согласуется с экспериментальными данными (и не только потому, что показатель степени отличается от —5/з). Основным недостатком этой модели является сильная зависимость спектра энергии в инерционном интервале от характеристики крупномасштабного движения ——среднеквадратической скорости w2. Это противоречит концепции подобия Колмогорова, а также измерениям. Пытаясь согласовать свою теорию с принципами подобия Колмогорова, Крейчнан [85*] пришел к выводу, что в рамках эйлерового описания турбулентности такое согласование невозможно.

Другое, новое, по-видимому, весьма перспективное направление в статистической теории турбулентности связано с именем известного математика Хопфа [73*, 82*]. Он предложил для описания турбулентности использовать аппарат характеристических функционалов гидродинамических полей. На основе уравнений Навье——Стокса (IV, 2.1) для характеристического функционала турбулентного поля скорости 屮 в несжимаемой жидкости получено линейное уравнение в функциональных производных

%=厶(叫+ V厶(* (7.14)

где Li ——линейный дифференциальный оператор, отражающий влияние вязкого члена в (IV, 2.1);厶2 — оператор второго порядка, обусловленный инерционными членами. Явные выражения для £1 и 厶2 приведены в [73*]. Таким образом, хотя уравнения динамики жидкости нелинейные, основная задача теории турбулентности, сформулированная в терминах характеристических функционалов, оказывается линейной. Однако решение уравнения Хопфа встречается со значительными математическими трудностями, так как еще не развиты общие методы решения таких уравнений.

В последние годы обнаружена глубокая аналогия между теорией турбулентности и квантовой теорией поля. Она свя- 264

зана с тем, что в обоих случаях система взаимодействующих между собой полей нелинейна с теоретически бесконечным чи- cjom степеней свободы. Отсюда вытекает близость математичесКОГО аппарата, используемого в обеих теориях [41*]. Так, например, уравнение Хопфа (7.14) аналогично уравнениям Шрёдингера для функций Грина взаимодействующих квантовых п0Лей. Диаграммный метод Фейнмана записи уравнений тоже находит применение в теории турбулентности [68*]. Однако в настоящее время квантовая теория поля и теория турбулентности сталкиваются с большими затруднениями принципиального характера. Поэтому глубокое воздействие одной из теорий на другую является делом будущего [41*].

ЧАСТЬ III

Атмосферная турбулентность

ГЛАВА VIII

Микроструктура полей метеорологических элементов

Общая характеристика атмосферной турбулентности

Движение атмосферы всегда турбулентно. В этом легко убедиться, если рассмотреть, например, ленту самописца малоинерционного метеорологического прибора (термографа, анемографа), на которой записаны значения метеорологических элементов в данной точке атмосферы (см. также рис. 10). С другой стороны, наблюдения над распространением дыма в атмосфере показывают, что отдельные частицы воздуха описывают исключительно сложные траектории, типичные для турбулентного движения.

Атмосферная турбулентность возникает в результате влияния факторов как динамического (обтекание неровностей земной поверхности и завихрения, инерция воздушных частиц), так и термического (действие архимедовых сил на температурные неоднородности) происхождения. Эти два фактора почти всегда дей- 266

□тпбы более отчетливо выделить

ствуют одновременно. Для того ч аналогии с (IV, 2.6) уравне- р0ЛЬ каждого из них, составим Н°

ние баланса турбулентной энерги^ №торая совершается архи. Если обозначить через Л раб то уравнение баланса турбу- медовой силой в единицу времени， ‘尸‘产'

(1.1)(1.1)dE‘—厶—s.dE‘—厶—s.лентной энергии примет вид

(1.1)

(1.1)

dE‘—厶—s.

dE‘—厶—s.

, „и-я и диссипация е — вели- Как мы уже знаем, трансформаД ^。же касается величины Л, ™«ы существенно положительныелЬн так “ о тельна или то она может быть как 口。吋県у/ствляется прн так назы- равна^нулю. Последний случаи атмосферы, когда переме- ваемон безразличной стратифик^кали не ^^ано с затрХами щенне воздушных частиц по верТ ом ^ такое состояние шш освобождением энергии. В riPкоторая наблюдается

имеет место практически при 啜 п^реходные периоды между прн сплошной облачности или ₽ ф^ турбу.^нтность обуМ днем и ночью. В этом случае ат祁鹏д^амн % следователко, ловлена только динамическими

з„цменима излагавшаяся до сих

к ней в принципе полностью пр)и

П°РПриРнеусТОйЧивой стратнфн紹М 处температура воздуха быстро убывает с вь5сотой,巾八小 более теплой воздушной частицы (Турбулентного внхря)干吁。^：黒* потенциальной энергии стратнфЗ1^3111"" и, °? " ел о, • пу у „ытраженнои инверсии темпера-

В противном случае при резко в~产

Fн у „а^стицы сопровождается затра-

тУРы / <0, так как движение тя/естн

ТаМиЛ^РГИп На пРеодоление си<еский фактор усиливает, а в

ТИХ терм*буМнтно壊В качестве

(1-2)(1-2)黑窯 °?п Т ДИНаМИЧеСКу^число Ричардсона критерия ЭТОГО ВЛИЯНИЯ ВВОДИТСЯ1Y

(1-2)

(1-2)

审=川7*・

Гм zai энергии записывается в виде

(1.1')(1.1')（1 —府）7*（1 —府）7*dEf ~dtdEf ~dtl его помощью уравнение баланс 尸

(1.1')

(1.1')

（1 —府）7*

（1 —府）7*

dEf ~dt

dEf ~dt

Отсюда следует, что если Ri> 1，dE<dt ат' мосферной турбулентности убыва^т- При RK1 наиболее вероятным состоянием будет 4)иб^И^у™е Равновесие между Источником турбулентной знерг 屈叱户 口 и потеря на Диссипацию £ [1211 т е dEUd’f戸"Наблюдения показывают, 0Т。ЭТО действительно так, и Хс” возникает нарушен р貲новее^, т° в течение короткого &Р@мени оно восстанавливается.

заключенное в интервалезаключенное в интервалеИз сказанного следует, что сучествует критическое значение

заключенное в интервале

заключенное в интервале

ЧИСла Ричардсона RiKp= 1尹

(О, 1), при котором £z=const, т. е. турбулентность стационарна. Согласно последним исследованиям Порданова и Крыста- нова [128], 0,5 ^ RiKp ^ 1, причем конкретные значения RiH) в этих пределах зависят от общих метеорологических условий и высоты над земной поверхностью. В дальнейшем мы рассмотрим только стационарный режим турбулентности над однородной подстилающей поверхностью.

К основным метеорологическим элементам, изучение которых представляет интерес, относятся ветер и температура' воздуха. К ним нужно добавить и влажность, которая имеет значение при распространении электромагнитных волн "в атмосфере. Вследствие турбулентного характера движения воздуха поля метеорологических элементов случайны. В фиксированной точке пространства они превращаются в случайные функции времени £ Здесь необходимо вспомнить одну их характерную особенность.

Случайные функции 1 ur vt w и Т, строго говоря, не стационарны в смысле теории, изложенной в гл. II. За исключением вертикальной составляющей скорости w(t), для которой 山=0、 средние во времени значения и, v и Т зависят от интервала осреднения т. Возьмем, например, температуру Т(Е) в данной точке. При интервале осреднения т—24 часа получаем среднесуточную температуру, которая будет устойчивой характеристикой, если нет изменений в процессах синоптического масштаба. Если интервал осреднения уменьшим до 1 часа, то полученная средняя температура также будет устойчива, и изменение ее во времени обусловливается только суточным ходом. Уменьшая таким образом интервал осреднения, мы как бы отфильтровываем пульсации с периодом, значительно меньшим т, и сохраняем пульсации с периодом, существенно превышающим т. Получаемые при этом статистические характеристики становятся все более неустойчивыми.

Из физических соображений следует, что средние характеристики будут иметь «относительную устойчивость», когда интервал осреднения больше временного масштаба турбулентности. Как показывают наблюдения [100], для температуры воздуха и скорости ветра указанный интервал примерно равен 10 мин. В пределах этого интервала случайные функции и, и, и? н Т можно рассматривать как стационарные во времени и однородные в горизонтальной плоскости, или, точнее, как случайные функции со стационарными приращениями. Это обстоятельство имеет большое значение при сравнении результатов теории, в которой используются статистические средние, с данными наблюдений, где осреднение производится во времени, поскольку

11 Далее, наряду с обозначениями хь х2. х3 и щ, «2, «з употребляются также 戈，у, n н и, и, w.

268

эогодическая теорема имеет силу только для стационарных процессов. Эта особенность метеорологических элементов, обусловленная широким спектром временных масштабов их пульсаций, известна еще под названием «эволюция уровня этих элементов» (134]. Л

Определяя указанным выше способом интервалы осреднения, можно однозначно разложить поля метеорологических элементов на средние и пульсационные части. Вследствие горизонтальной однородности средние характеристики будут зависеть только от N. Если выберем ось х по направлению среднего ветра, то можем написать

我=我(之)+罐，e = w=加‘，丁二，(w)+7V. (1.3)

Поскольку различные параметры, определяющие турбулентность, такие, как диссипация турбулентной энергии е, ее аналог N в поле температуры и др., зависят от профиля средних значений этих элементов по z, остановимся коротко и на этом вопросе, который обстоятельно рассматривается в ряде учебников по метеорологии [98, 104, 39* б], в оригинальных и обзорных статьях [134, 141 и др.].

Важными характеристиками турбулентности в приземном слое (30——50 м над поверхностью земли) служит напряжение турбулентного трения т и вертикальный турбулентный поток тепла q:

七:二—p优加，q- ?е「т7', (1.4)

которые в пределах этого слоя не зависят от высоты [104, 134]. Последнее обстоятельство вместе с рядом гипотез о связи пульсаций скорости и температуры с градиентами средних значений этих элементов, лежащих в основе так называемой полуэмпирической теории турбулентности [98, 104, 148, 39*6 и др.], дает возможность определить явный вид функций и (г) и Т (z). Так, при безразличной стратификации справедлив логарифмический закон

我(2)=当e告， (1.5)

где х^0,4 ——постоянная Кармана, и* = ,т/р ——динамическая скорость, № — параметр шероховатости земной поверхности. В условиях, близких к рассмотренным, профиль средней температуры также подчиняется логарифмическому закону

T(z) = T (%) + 7* in ^ ,T(z) = T (%) + 7* in ^ ,(1.6)(1.6)

T(z) = T (%) + 7* in ^ ,

T(z) = T (%) + 7* in ^ ,

(1.6)

(1.6)

Где 7* — константа с размерностью температуры. В этих

случаях для коэффициента турбулентности справедливо выражение

A(2)^=*P*Z・(1.7)

Приведенные формулы будут использованы в следующем параграфе.

Микростр уктур а турбулентных пульсаций метеорологических элементов при безразличной стратификации приземного слоя

Атмосферная турбулентность оказывается самым подходящим объектом для проверки и приложений почти всех результатов, полученных в полуэмпирической и статистической теориях турбулентного движения, развитых первоначально в гидродинамике. Более того, ряд теоретических проблем был поставлен и решен именно в связи с приложениями их в метео- рологнн. Дело в том, что в атмосфере пространственные и временные масштабы турбулентности значительно больше аналогичных масштабов при моделировании турбулентности в аэродинамических трубах. Это обстоятельство имеет особенно большое значение при экспериментальном исследовании микроструктуры турбулентных пульсаций, и оно является причиной того, что полуэмпирическая теория оформилась в виде обширного раздела динамической метеорологии, тесно связанного с многими прикладными проблемами.

Движение в атмосфере всегда происходит в поле силы тяжести и при наличии твердой стенки ——земной поверхности. Вследствие этого атмосферную турбулентность, по крайней мере в приземном слое, нельзя считать изотропной. Современная измерительная техника позволяет непосредственно определять вошедшие в (1.4) моменты u,w, и wT, которые оказываются отличными от нуля1. С другой стороны, отношения ojou и Gid Qu-, которые характеризуют соответственно горизонтальную и вертикальную анизотропность, в пределах приземного слоя отличны от единицы.

Согласно опытным данным [134], o(c/on-> 1 с увеличением высоты, над земной поверхностью. Это легко объяснимо, поскольку с удалением от земной поверхности ее ограничивающее влияние на движение турбулентных вихрей все более и более

11 Как мы уже знаем, при изотропной турбулентности тангенциальные напряжения ut «у (i¥=j) и «； Т' равны нулю. J

270

ослабевает. Можно ожидать также, что в горизонтальном направлении поток остается изотропным.

Итак, если исходить из известных опытных данных и из о6~ щих физических соображений о роли массовых сил при движв' нИИ различного масштаба, можно принять, что в области атмосферы с размерами, меньшими или соизмеримыми с .расстоя- ннем ее от земной поверхности, турбулентное движение воздуха изотропно. По существу, в этом и состоит гипотеза Колмогорова о локальной однородности и изотропности турбулентности, которая оказалась исключительно плодотворной. В настоящее время можно сказать, что теория Колмогорова——Обухова нашла полное подтверждение именно в приложении ее к атмосферной турбулентности. В развитии этого направления решающую роль сыграли работы Обухова [143, 145, 146] и Монина [134, 138]. Значителен вклад и ряда западных и японских авторов [ 189, 193, 196, 201 и др.].

Пульсации скорости ветра. Перепишем заново (V, 5.15)

Du (r) = ^r2 3,若= */з, С.(2.1)

В рассматриваемых условиях безразличного равновесия и стационарного режима турбулентности уравнение баланса энергии (1.1) упрощается и принимает вид е = Т*. Учитывая, что вертикальные градиенты скорости ветра значительно превышают горизонтальные, а также принимая во внимание (1.3), в выражении трансформации энергии (VI, 1.6) можно пренебречь рядом членов и записать его в виде

= -凉凉洛.

С другой стороны, согласно представлениям полуэмпирической теории, так что

e = 7*=*(z)(黑『.(2.2)

Подставив сюда (1.5) и (1.7), получим

соответственно2#)= С 唄/厂，，“(2.4)271соответственно2#)= С 唄/厂，，“(2.4)271

соответственно

2#)= С 唄/厂，，“(2.4)

271

соответственно

2#)= С 唄/厂，，“(2.4)

271

где /=xz—путь смешения. Следовательно, при фиксированном г структурная функция и тем самым относительная скоРость 〃2 — Ui убывают при удалении пары точек от поверхности земли.

Еще первые опытные данные Обухова [143] с достаточной точностью количественно подтвердили соотношение (2.4). Это видно из рис. 35. Для константы С Обухов получил значе- нне 12 В связи с этим нужно отметить, что измерение коэффициента асимметрии распределения вероятностей разности

。2。2Рис. 35. Эмпирическая структурная функция скорости ветра в приземном слое [Ш, 143]./ — теоретическая зависимость (2.4), 2 — опытные данные.Рис. 35. Эмпирическая структурная функция скорости ветра в приземном слое [Ш, 143]./ — теоретическая зависимость (2.4), 2 — опытные данные.между скоростями ветра в двух точках для приземного слоя, выполненное Гурвичем [114], неожиданно дало такой же результат, как и в аэродинамических трубах, т.е. 5= —0,4- Тогда, согласно (2.1), С = 22/з^ 1,6. '

。2

。2

Рис. 35. Эмпирическая структурная функция скорости ветра в приземном слое [Ш, 143].

/ — теоретическая зависимость (2.4), 2 — опытные данные.

Рис. 35. Эмпирическая структурная функция скорости ветра в приземном слое [Ш, 143].

/ — теоретическая зависимость (2.4), 2 — опытные данные.

В самое последнее время на оснб- вании многочисленных измерений статистических характеристик флуктуаций амплитуды звука в турбулентной атмосфере получено /0*1,4 или 。弋 1,96 [160]. Мы отдаем предпочтение

предыдущему значению С (^1,6). Впрочем, небольшие различия в величине С, установленные разными авторами, не имеют существенного значения.

Для динамической скорости и.

определяемой по измерениям средней

〃2〃2In ?i — in г2In ?i — in г2илиили% =m% =mдисЛпгдисЛпг(2用(2用скорости ветра Ui и 〃2 на высотах 厶 и 色，из (1.5) имеем

〃2

〃2

In ?i — in г2

In ?i — in г2

или

или

% =m

% =m

дисЛпг

дисЛпг

(2用

(2用

Отсюда следует, что с помощью простых измерений средней скорости*ветра можно дать количественную оценку турбулентных пульсаций скорости. Это имеет большое значение при решении целого ряда вопросов. Последующие экспериментальные измерения пространственной структурной функции горизонтальной и вертикальной составляющих и модуля скорости ветра полностью подтвердили существование инерционного интервала в спектре атмосферной турбулентности и справедливость «закона 2/з》.

Перейдем теперь к оценке величины внутреннего масштаба турбулентности 入о в атмосфере. Согласно (IV, 4.2) и (2.3),

>•0 =自(**)3 4 (xz)"4.(2.6)

Отсюда видно, что 入о увеличивается с высотой пропорционально N” и уменьшается с увеличением динамической скорости и#

Зто согласуется с общими представлениями, развитыми в § 4 гЛ IV. При 〃* = 20 см/сек. (что соответствует приблизительно [=2 м/сек.), v=0,15 см2/сек., z= 1 м и ^i—12,51 получаем /^==0,75 см. Последняя величина совпадает с опытной, полученной Обуховым при измерениях в атмосфере [143].

Прямое измерение пространственной структурной функции скорости связано с большими трудностями и сопровождается значительными погрешностями, которые растут с увеличением расстояния г между точками. Значительно проще измеряются в атмосфере временные структурные функции. Для перехода от одних из указанных функций к другим Тейлор [89] предложил в 1938 г. так называемую гипотезу «замороженной турбулентности», согласно которой для сравнительно небольших интервалов времени т можно считать, что совокупность турбулентных вихрей, обусловливающих пульсации скорости в фиксированной точке, переносится без изменений со средней скоростью ветра и. Конечно, это не следует понимать в буквальном смысле, так как на перенос вихрей оказывают известное влияние и сами пульсации скорости, особенно когда средняя скорость мала.

В соответствии с этой гипотезой для временной структурной функции имеем

d(6 =D(哈(2.7)

в случае скалярного поля и

。⑴= £>〃(械)(2-8)

в случае векторного поля. В левой части этих уравнений стоит временная, а в правой — пространственная структурная функция. Следовательно, для перехода от одной функции к другой необходимо положить г=〃т, причем прямая г=М1М2 параллельна среднему ветру и.

Гипотеза Тейлора о замороженной турбулентности находит широкое применение в современных теоретических и особенно экспериментальных работах по микроструктуре атмосферной турбулентности. Опытная проверка этой гипотезы обыкновенно проводится путем сравнения частотного спектра пульсаций скорости в фиксированной точке, полученных с помощью шара-пи- 刀ота или привязного аэростата, с пространственным спектром, построенным на основании самолетных измерений. Таким способом показано, что гипотеза Тейлора имеет широкую область применения. Однако независимо от этого она все же остается рабочей гипотезой, поскольку вплоть до настоящего времени

'Это значение 比【получается из (V, 5.22) при | S | =0,4-

18 Заказ № 854273

почти нет опытных данных для сопоставления пульсации в различных точках пространства по направлению ветра, позволяющего осуществить непосредственную проверку указанной гипотезы.

Из гипотезы Тейлора также следует, что кратковременные сильные порывы ветра (〃‘> 0) должны чередоваться с продолжительными интервалами уменьшенной скорости. Это подтверждается данными наблюдений. Поскольку такие порывы более часто сопровождаются нисходящими движениями (u/VO), чем восходящими [157], то и напряжение —〃'” будет существенно отличаться от нуля.

Из (2.1), (2.7) и (2.8) получаем зависимость временной структурной функции от т

D(^ = C (е«)2/3 (г/«)2'3 = С' (Ct)?% С' = С ЗУ? (2.9)

Эмпирическая временная структурная функция построена мнб- гими авторами [153, 167, 193, 61*6, 61*в и др.], и зависимость Q(t)〜т2% полностью подтверждается.

Пульсации направления ветра. Представим вектор скорости ветра в виде

u = G + u',(2.10)

где и — вектор средней за данный промежуток времени, и'— скорость пульсаций. Принимаем, что поле и' локально однородно и изотропно. Кроме того, выберем ось %i по направлению среднего ветра и. В приземном слое направление и не зависит от высоты [104], а и = ^(г). Обозначим через 〃；，〃； н 吗 проекции вектора и' на оси 几 %г и 心 соответственно. Тогда очевидно, что

tg 屮==(2.Н)

При условии 〃；， 〃j, 〃:《红，что по предположению всегда выполняется, углы 4 и б будут малыми и можно написать

屮.(2.11')

Тогда 屮=0 и 6=0, а сами углы 4 и б будут представлять собой пульсации направления ветра в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно. В данном случае имеем типичный пример неизотропного случайного скалярного поля.

В самом деле, согласно (III, 14.14), для структурных функций

D.^{r, 6, ?) = t7I22L>22(r, 6, <р) и А/, 6) = и®22з(г, 6), где U；2 = «(%) “ (马)，имеем

ZZw (г,仇?) = SU? I [。〃 (г) — Dnn (г)] sin2 6 sin2 <р + Dnn (г)}, D„ (г, 6) = Ui2 2\{Dh (г) - Dm (r)] cos2 6 + Dnn (r)}.⑵ 12)

В инерционном интервале, где

。〃⑺=成产з, a D„„ (г) = £ °〃 (г)' получаем

Dw(r，e，¥)=。汀2/3,

JU 12

4№ 9)=片2"a标"，%《/•《/(),(2：13)

где 入о ——внутренний масштаб. При 6=л/2 и(р=0 первая из этих формул превращается в следующую:

D^ (г, Е2, 0)=矗 2, (г) = -^^-，(2.14)

которая впервые была получена Кречмером [126]. Следовательно, продольная структурная функция пульсаций направления ветра около среднего пропорциональна поперечной структурной функции скорости ветра. Первые опытные данные, подтверждающие этот вывод, приведены Кречмером [126].

Как и для скорости, значительно легче поддается измерению временная структурная функция направления ветра. Получив последнюю по опытным данным, обычно с помощью гипотезы Тейлора переходят к пространственной функции [4*, 70*]. Представленные на рис. 36 [4*] нормированные структурные функции удовлетворительно аппроксимируются степенным законом Q屮屮(т)〜т71 при九仁2/3

Полагая 8=л/2 и (р=л/2, из (2.13) получаем поперечную структурную функцию направления ветра [126]

1Q

0^ (г, п/2, к/2)=启。〃 (г) 系。““ (г).(2.15)

Проверка второй формулы (2.13) представляет собой более сложную задачу вследствие трудностей измерения вертикальных пУльсаций б направления ветра.

18* 275

Пульсации ускорения. Если в формулу (V, 7.8) подставим е из (2.3), то получим

% = 2,77*“) т/t⑵[б)

Отсюда вытекает, что турбулентные ускорения будут самыми большими в нижних слоях атмосферы. Полагая и*=0,1 卫， а г= 100 см, получим величину ускорения при различных скоростях ветра: ,

и м/сек 13579

cfl см/сек.2 2226083017203030

Как показывают эти данные, оа вообще не мало.

Рис. 36. Нормированные структурные функции пульсаций направления ветра, по [3 *]./— 18/VII 12 час. 30 мни. — 13 час. 30 мин., 2 — 26/VII 12 час.30 мин. — 13 час. 30 мин., 3 — 2/VIII 12 час. 30 мин.- 15 час. 00 мин.Рис. 36. Нормированные структурные функции пульсаций направления ветра, по [3 *]./— 18/VII 12 час. 30 мни. — 13 час. 30 мин., 2 — 26/VII 12 час.30 мин. — 13 час. 30 мин., 3 — 2/VIII 12 час. 30 мин.- 15 час. 00 мин.

Рис. 36. Нормированные структурные функции пульсаций направления ветра, по [3 *].

/— 18/VII 12 час. 30 мни. — 13 час. 30 мин., 2 — 26/VII 12 час.

30 мин. — 13 час. 30 мин., 3 — 2/VIII 12 час. 30 мин.- 15 час. 00 мин.

Рис. 36. Нормированные структурные функции пульсаций направления ветра, по [3 *].

/— 18/VII 12 час. 30 мни. — 13 час. 30 мин., 2 — 26/VII 12 час.

30 мин. — 13 час. 30 мин., 3 — 2/VIII 12 час. 30 мин.- 15 час. 00 мин.

Пульсации #т е м п е р а т у р ы. При стационарном режиме турбулентности количество неоднородностей температуры ^, рассеиваемых в единицу времени вследствие молекулярной теплопроводности, будет равно количеству создающихся в единицу времени неоднородностей под действием турбулентности. Идя по пути получения (2.2) для аналогичной величины е в случае скорости. Татарский [159] показал, что

NT⑶(寥у.(2.17)

Приняв во внимание (1.6) и (1.7), получим

(2-18)(2-18)N = zn*T：z"

(2-18)

(2-18)

Тогда из (2.3) и (IV, 5.10) находим

(2.19>(2.19>DTT (Г)=崂 ”*)2 (4~)，/ =

(2.19>

(2.19>

Подобно v^ константа T* может быть определена по двум изме-

ренпям средней температуры

(2.20>(2.20>「

(2.20>

(2.20>

количественную оценкуколичественную оценкуРис. 37. Эмпирическая структурная функция температуры [II, 125].Рис. 37. Эмпирическая структурная функция температуры [II, 125].Итак, по данным простых градиентных измерений температуры на двух высотах можно получить ее пульсаций. «Закон 2/3》 (2.19) получил подтверждение в экспериментальных работах Кречмера [125], Шиотани [201], Татарского [159], Перепелкиной [153] и др. по определению эмпирической структурной функции Отт (г) в атмосфере (рис. 37).

количественную оценку

количественную оценку

Рис. 37. Эмпирическая структурная функция температуры [II, 125].

Рис. 37. Эмпирическая структурная функция температуры [II, 125].

Зависимость DTT(r) от г вида (2.19) также хорошо согласуется с данными наблюдений [159], а константа Ст при неустойчивой стратификации оказывается равной 2,4. Выполненные в последнее время измерения турбулентных пульсаций температуры

в свободной атмосфере показали [167], что «закон 2/3》сохраняет силу и там.

На основании (2.19) и гипотезы Тейлора о «замороженной турбулентности» для временной структурной функции можно написать

0"⑹=力产23,(2.21}

или

£>"«) = £>"⑴七 2 3(2.2Г)

Данные Перепелкиной [153], Ариель и др. [3*] подтверждают эту зависимость.

Вспомним, что《закон 2/з» справедлив только для инерционного интервала. Для того чтобы можно было в случае необходимости связать этот интервал с областью «насыщения» структурной функции, удобно использовать формулу, предложенную Матвеевым [133],

£>”(г) = 2另(1 —е(2.22>

113 которой при малом г следует Отт (г)〜г%. Фактически МатВеев предлагает подобную формулу для структурной функции вертикальной скорости

Dww(r) = 2Zb-e-cr"l(2.23>

277

в которой значения констант определены по данным самолетных измерений над озером Севан: 2о^, =Dlcw (оо)=0,1069 м2/сек,2； п=0,61; с=0,537 м-°-61. 礼 '

Интересно отметить в заключение, что одна из основных формул полуэмпирической теории турбулентности [98]

(2.24)

-связывающая коэффициент турбулентности k с путем смешения / и вертикальным градиентом скорости d〃/dz, может быть обоснована более строго на основании статистической теории. Действительно, согласно формуле Ричардсона—Обухова (VII, 6.26), 々=е%/%, а по (2.2) е = й (du/dz}2. Исключая из этих формул е, получаем (2.24).

§ 3. Влияние архимедовых сил

Изложенные в предыдущем параграфе результаты получены на основе предположения о «пассивности» температуры, которое приближенно выполняется в условиях безразличной стратификации атмосферы для небольших температурных пульсаций. В других случаях необходимо принимать во внимание влияние архимедовых сил. Известны два метода учета этого влияния:

в случае заданной динамичной турбулентности учитывать влияние сильно выраженного термического расслоения на профиль средней скорости ветра по высоте, а пульсации температуры Т，считать пассивными, как это сделано Мониным [134];

отказаться от условия пассивности厂[145].

В этом параграфе выясним, какое влияние оказывает отклонение стратификации от безразличной на параметры е и ^, считая, что《закон 2/з» выполняется, затем установим границы применимости первого метода и найдем способ внесения поправок в указанный закон. Так как решение первого вопроса необходимо для обоих методов, то прежде всего на нем и остановимся [141].

Как мы уже видели, в пределах приземного слоя величины т и q из (1.4) не зависят от высоты г. Для дальнейшего удобно вместо этих величин ввести динамическую скорость % = (т/р)" и «температурный поток» Q — Q/pCp. В теории, предложенной Мониным и Обуховым, принимается, что развитый турбулентным режим в приземном слое в случае, когда можно пренебречь 278

влиянием молекулярного трения и теплопроводности, определяется тремя размерными параметрами: %, q и ^=g/T0, где То一 средняя температура для всего приземного слоя. Тогда из- менение средних значений метеорологических элементов по высоте может быть выражено через координату z и параметры %,

и ₽■ Из этих величин можно составить только по одной комбинации с размерностями скорости, длины и температуры соответственно, а именно: u=cw* и

£ == —、 (3-i>

где х=0,4 и знак минус введены для удобства. При устойчивой стратификации атмосферы (g V 0) имеем 厶 > 0 н Т* > 0, при неустойчивой (g>0) L<0 и T*V0, а при безразличной (g=0) I L I =8 и 7* = 0.

Для профилей средних скорости ветра и температуры, согласно теории подобия и размерности, можно написать: •

«(г) =[/(f)-/(f)],(3.2>

/(z) =7(%) + 7 * I/图-/ 国],(3.3>

где f(g) — универсальная функция своего аргумента 白=之/丄,. так что

〃：)~Е二(3.4>

при малом L (малое г, или большое I 厶 I, т. е. состояние, близкое к безразличному равновесию);

/0У + 3(3.5>

при большом g (устойчивое равновесие) и

/(0-С + с|：|Т/з(3.6>

при большом (по модулю) отрицательном g (сильная термическая неустойчивость).

В случае неустойчивой стратификации (3.4) и (3.6) можно объединить в одну общую интерполяционную формулу

ЕЗЕ^；^^(3.7)

которая обеспечивает нужные асимптотические случаи. По дан- нем наблюдений, с~ 1.

Из асимптотической формулы (3.4) следует, что при уело- внях，значительно отличающихся от безразличного равновесия, но пРи 2-> 0 профиль скорости и температуры подчиняется

279

логарифмическому закону, как и при чисто динамической турбулентности. Это дает основание рассматривать характерную длину L из (3.1) как толщину «подслоя динамической турбулентности», в пределах которого при w《L влияние архимедовых сил несущественно. Согласно Пристли, это условие выполняется при z VO.1L

Теперь уже не составляет труда написать соответствующие выражения для интересующих нас величин 力,е н N、в которых, естественно, фигурирует универсальная функция f(；).

Из первого равенства (1.4), основной гипотезы полуэмпирц-

ческой теории 〃‘” =—々"^^ и (3.2) получаем

(3.8)

С другой стороны, записывая уравнение баланса турбулентной энергии (1.1) для стационарного случая в явном виде

m = / (霊)± ?"筈(3.9)

и используя (3.2) и (3.3), находим

初广(9±1].(3.Ю)

Знак плюс соответствует устойчивой стратификации (g V 0), а знак минус — неустойчивой (д>0). Наконец, из формулы Татарского (2.11) и (3.3) имеем

N =—戸廿/'◎(3.11)

На этом первый этап решения задачи учета влияния архимедовых сил можно считать законченным. Если подставим {3.10} и (3.11) в (2.1) и (IV, 5.10), то получим желаемое уточнение.

Особый интерес представляют случаи чисто термической турбулентности в атмосфере (свободная конвекция), когда динамическая скорость %=0. Тогда из (3.6) и (3.8) — (3.11) получаем：

др,

,V(z) = 4、，牙铝-1:3 (心)-4/3 ,

K(z} = AKql3^^z)i：\(3.121

где An и Ak — числовые константы порядка единицы. Следовательно, в условиях свободной конвекции диссипация е не зависит от высоты, тогда как при чисто механической турбулентности е〜『£ (см. (2.3)). На это обстоятельство первым обратил внимание Обухов [145]. Что касается величины N, то при термн- 280

ческой турбулентности она убывает с высотой более быстро (N 〜L0、чем при механической (N ~ L). Не зависит от вы- СОТЬ1 z и внутренний масштаб турбулентности, поскольку 入。〜 ~ (*"/£)”•

Представляют интерес также формулы для средних квадратических отклонений пульсаций температуры и вертикальной составляющей скорости. Очевидно, что

г).

Рис. 38. Зависимость структурных коэффициентов С и С2T в (2.1) и (2.19) от числа Ричардсона Rit по [26 *, 74 *].

Анализ размерности приводит к выражениям

。丁(2)=4产厂丹(кг)』，

%(2)=人7呼13(用1 3.(3.13)

Согласно измерениям Перепелкиной [155], 4丁=0,815, а Д7У= = 1,67. Аналогичную формулу можно получить и для ускорения %(2)=4證¥:3收厂[3,(3.14>

「де 力。之3 [150]. Полезно эту формулу сравнить с (2.16).

Кроме структурных характеристик е н М коэффициента турбулентности k и дисперсий температуры, скорости, ускорения н Др., от состояния устойчивости атмосферы, как показывают наблюдения, зависят и структурные «константы» С и С^ в формулах (2.1) и (2.19). Это подтверждается экспериментальными Данными Гурвича [26*] и Цванга [74*], изображенными на Рнс. 38. В качестве критерия устойчивости атмосферы использовано число Ричардсона Ri = l/f‘ (L).

Выясним теперь, для каких значений г допустимо то первое приближение, которое вытекает из условия «пассивности» пульсаций температуры 7V. С этой целью откажемся от последнего условия и примем, что | 厂 | значительно меньше Т, но при этом остается достаточно большим, вследствие чего нельзя пренебрегать появляющимися архимедовыми силами [145].

В условиях резкого выделения направления вдоль оси w атмосферную турбулентность можно рассматривать как осесимметричную и теория локально изотропной турбулентности в обычном смысле здесь не может быть применена. Однако из условия осевой симметрии турбулентности вытекает инвариантность статистических характеристик локальной структуры поля пульсаций температуры при вращении вокруг оси и. Поэтому в качестве основной статистической характеристики следует взять структурную функцию в горизонтальной плоскости DTT(r, z), где теперь г ——расстояние между двумя точками в этой плоскости. При фиксированном w и 九o《r《z структурная функция, кроме основных параметров £ и Л\ определяющих режнм пульсаций, должна зависеть и от параметра плавучести 0 = =g/To. Из этих трех величин, можно составить только по одной комбинации с размерностями длины и температуры соответственно:

7a = GN)"4pT2. (3.15)

В этом случае структурную функцию DTT (е, М г, ₽) можно записать в виде

⑺=片 К (£ )=(外)’2「力(占4ди"-3/2 ) ， (3-16)

По своему физическому смыслу La представляет собой некоторый минимальный масштаб неоднородностей температуры, с превышением которого влияние архимедовой силы становится существенным, а это неизбежно приводит к систематическому отклонению от «закона 2/з».

Действительно, при r<^Lo,厶о для исключения параметра 卩 из (3.16) необходимо, чтобы 〃(刀)〜"％. Если это условие выполняется, то мы снова получаем знакомое выражение

DTT (г) = С|Л/е~1/3г2/3, (3.17)

в котором при сильной неустойчивости。^弋5,8. Для такого случая, подставив е и aV из (3.12) в (3.15) и (3.17), получи^ la~KN и

DTT(r, z) = aWL (喲”3,DTT(r, z) = aWL (喲”3,(3.18)(3.18)

DTT(r, z) = aWL (喲”3,

DTT(r, z) = aWL (喲”3,

(3.18)

(3.18)

ИЛИ с учетом (3.13)

DTT(г, %) = Аа(7°) ^(2) ("^г)，尸《乂之・(3.18‘)

Вспомним, что 厶о ——внешний масштаб турбулентности, в пределах которого происходит интенсивное перемешивание и осред- ненные характеристики изменяются достаточно плавно.

Если La V 厶о, то при г 〜厶。еще сохранит силу общая зависимость (3.16). Более удобно ее записать в виде

DTT (г)=齿 N「％2/3屮⑺厶)，(3.19)

где 屮(刀)——безразмерная универсальная функция, вид которой необходимо определить опытным путем (очевидно только, что (р(0) = 1). К сожалению, таких опытных данных до настоящего времени еще не получено. Однако известны попытки теоретического определения 屮(刀).

Так, например, изучая спектр турбулентных пульсаций температуры при устойчивой стратификации атмосферы в области малых волновых чисел (больших г), Болджано [179] высказал предположение, что в этом случае роль диссипации е в энергетическом балансе, по-видимому, пренебрежимо мала: приток энергии от вихрей большого масштаба практически компенсируется потерями ее на преодоление архимедовой силы. Это означает, что при 厶a〜г《厶о функция 〃 (刀)из (3.16) не должна содержать параметра е. Легко проверить, что данное условие выполняется при (刀)〜так что

DTT(r)= C^N^-^r2'5, 4~r《£().(3.20)

Подобные рассуждения относительно структурной функции скорости приводят к выражению

Dn (г)=不館叩,5产5(3.21)

В то же время при чисто термической турбулентности

Dtl(r)^C^^(3.22)

Таким образом, при сильной устойчивости атмосферы подобие Микроструктуры полей скорости и температуры (IV, 5.11) нарушается, поскольку в этом случае

г"5.(3.23)

DTT (г)、/

Однако надежная проверка этого результата на опытных данных еще не сделана.

При чисто термической турбулентности, поскольку, кроме 乙 нет Другого масштаба длины, &弋/〜кг и 厶。〜кг (где / — путь смешения), так что La^ Lq.

Спектры флуктуаций скорости ветра, температуры и вертикальных турбулентных потоков в микрометеорологической области

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы теории и методики получения спектров метеорологических элементов. Обозначим через 2(工)значение любого из этих элементов в фиксированной точке М. Будем считать 自«) стационарной случайной функцией со спектральной плотностью f (со), определенной соотношением (II.10.15).

Спектральная плотность f((o) (или f (v)) может быть определена также и дискретно при помощи специальных фильтров с полосами пропускания Av. Разбив интервал возможных частот О V w V 8 на достаточно малые подынтервалы длиной Av, можем представить функцию У (工)=三(工)——В в виде суммы &'(£, Дг), содержащей только колебания с частотами из интервала Av. Тогда

~2

F (厶 Д>) = 2/(V)Av, y =(o/2f,(4.1)

где V ——некоторое среднее значение частоты в Av. Следовательно, временной спектр f (v) получается делением на Av среднего квадрата сигнала на выходе фильтра с полосой пропускания Av.

Так как структурные функции основных метеорологических элементов имеют степенной вид D (т) ^тт, то f (v)^v-n. Поэтому обычно спектр 〃*) на графике с осями координат (Inf, In v) изображается прямой линией. Однако такие графики не дают наглядного представления о распределении энергии по частотам. Кроме того, в тех случаях, когда спектр занимает очень широкий интервал частот, удобнее строить графики в координатах

尸(》= "(» Inv.(4.2)

Тогда

fl12 =j尸(Y)d111、，.(4.3)

о

Очевидно, что площадь под кривой F (v) на интервале А In у дает вклад этого интервала частот в полную энергию 罐/2 случайного процесса.

Временные спектры метеорологических элементов измеряются значительно проще и надежнее, чем пространственные. Переход к последним осуществляется при помощи гипотезы замороженной турбулентности Тейлора. Если f(/ei) — пространст- 284

венный одномерный спектр флуктуаций поля ^ (х) вдоль прямой, проходящей через точку М параллельно направлению среднего ветра 〃，то

"自)=芸/(Y)，"(丄4)

Следовательно, kif(ki) =vf(v), т. e.尸(/?" =F(*v). Иногда эти формулы записывают в виде

£/("〉)=/(自)，(4.5)

где ki=^/u ——аналог волнового числа. Как отмечается в [35*], эта"гипотеза хорошо выполняется до значений ki^ 10~4-е-10-5 см-1 (длины волн X=2л//г^0,63 6,30 км)."

Из (4.4) видно, что временной спектр f (v) (или f(co)) существенно зависит от скорости ветра и, так как частоты со (или интервалы т) зависят от и и не являются репрезентативными характеристиками турбулентности. В то же время пространственный спектр f (々О не зависит от того, относительно какой системы отсчета велись измерения. Поэтому при сравнении временных спектральных (или корреляционных и структурных) функций нужно предварительно перевести их в пространственные при помощи (4.4) или (4.5) и (2.7) или (2.8). Иными словами, их нужно сравнивать не при фиксированных со (или т), а при фиксированных(о/〃 (или 〃т).

В приземном слое атмосферы для временных спектров, согласно Монину [42*], можно написать следующие формулы:

2

力№，z) = ^/“^,屮(4.6)

力? (з, z)= -“惊巨 /；г 借,С)，(4.7)

/〃(з, z)=学/；?(?,屮(4.8)

гДе f*p(x, у) —некоторые универсальные функции двух переменных. Если при этом выполняется гипотеза замороженной турбулентности, то эти функции можно интерпретировать как безразмерные одномерные пространственные спектральные функции. Зтн формулы служат основой для обработки фактических дан- ннх о спектрах в приземном слое.

Остановимся теперь на некоторых результатах наблюдений.

Спектры пульсаций горизонтальной составляющей скорости ветра. Новейшие сведения По зтому вопросу содержатся в работах [32*] для приземного

285

слоя, в [75*] для 300-метрового слоя над земной поверхностью, в [57*] и [58*] для свободной атмосферы.

В [32*] проверялся экспериментально вывод теории подобия (4.6) относительно горизонтальной составляющей скорости ветра

九“з, z) = £vK(Q, Ri), у =(4.9)

где Ri ——число Ричардсона. Функция fuu (о), 2)рассчитывалась по данным измерений, a f*u (Q, Ri) определялась по (4.9). На рис. 39 представлены шесть спектров, рассчитанных автором [32*]. Наличие линейного участка свидетельствует о том, что 产 (Q, Ri) = C2 (Ri)i2-n. Экспериментальное значение 九=1,73 весьма близко к теоретическому 5/з- Таким образом, «закон 5/§» этими данными подтверждается. На рис. 40 представлен тот же спектр, но в координатах (Q/*w (Q, Ri), In Q). Наличие максимума означает, что в этом диапазоне частот заключена основная часть энергии пульсаций

«Закон 5/3», как это следует из [75*, 57*, 58*], выполняется не только в приземном слое, но и в свободной атмосфере. Так, например, по данным [58*], зависимость fwu (k^^k^^ наблюдается в области частот ki=lQl~~ 10-3 рад/м.

Спектры пульсаци й вертикальной состав - л я ю щ е й. Они исследовались в [ИЗ] и [26*] для приземного слоя, в [75*] и [36*] для пограничного слоя и в [3d] и [76*] для свободной атмосферы. Теория подобия, приводящая к соотношению

f^, z)^^-fww(Q, Ri),(4.Ю)

также получила вполне удовлетворительное опытное подтверждение. Гурвич [113, 26*] измерял вертикальную скорость w на высотах 1 и 4 м и по этим данным рассчитал функцию f*w(^ R» при семи различных значениях Ri. Как и для горизонтальной составляющей, оказалось возможным вычислить средний для каждой из семи групп спектр /^ . Результаты Гурвича приведены на рис. 41. Хорошо видны линейные участки при больших значениях Q соответствующие закону

兀® (Q, Ri) = a (Ri) Q Уз,(4.П)

причем с ростом устойчивости а (Ri) убывает:

RI—0,76—0,36—0,09—0,020,00,0230,28

a(Rl) 8,204,642,091,171,110,940,50

286

广儿/QRl）

Рис. 39. Осредненные по группам I—VI безразмерные спектры горизонтальной составляющей скорости ветра в приземном слое атмосферы по [32 *].

^^ии （犯，Rl）

Рис. 40. Распределение энергии турбулентных пульсаций горизонтальной составляющей по спектру [32 *].

Физически это понятно, поскольку с ростом Ri турбулентный обмен затухает.

Построены также примеры распределения энергии вертикальной пульсации w‘ по спектру в разных условиях. Анализ показал, что основная доля энергии сосредоточена в области частот, соответствующих масштабам порядка высоты наблюдений, при этом максимум энергии смещается в сторону более низких частот с ростом устойчивости атмосферы.

Ri

Рис. 41. Безразмерная спектральная плотность вертикальной составляющей скорости ветра в приземном слое атмосферы, по [26 *].

«Закон 5/з» сохраняет свою силу и в пограничном слое атмосферы [75*, 36*]. В свободной атмосфере в последние годы проведены тщательные исследования как высокочастотной области спектра пульсаций wf [31*] с помощью акустического анемометра [112], так и низкочастотной по перегрузкам самолетов [76*, 77*].

На рис. 42 представлен энергетический спектр, заимствованный из [76*]. Как видно, опытную кривую можно аппроксимировать двумя прямолинейными отрезками, т. е. fww (^i) ^k^n, причем 九弋 1,67 при 拓 > IO— рад/м (入=2 冗危 V630 м), что близко к теоретическому значению и = 5/з для инерционного ин- 288

тервала и м*2,7 при 也 < Ю"2 рад/м. По мнению Шура, такого ода отклонения 九 от 5/3 не могут быть объяснены погрешно- ^гямн измерений, тем более что это явление наблюдаюсь много аз и его теперь можно считать достаточно твердо установлен- ；ЫМ фактом. Центр переходной области приходится на 10~2 рад/м

Причина отклонения 九 от 5/3 в левой части инерционного интервала, по-видимому, заключается в следующем [76*]. Внутри

^^^ юо %ра"м

Рис. 42. Спектральная плотность вертикальнойсоставляющей ветра (по [76 *]) в условиях силь-ной болтанки самолета ТУ-104.

инерционного интервала скорость переноса энергии по спектру постоянна (E(^)=const) и равна скорости диссипации е. Однако в свободной атмосфере, которая, как правило, устойчиво стратифицирована, турбулентные вихри совершают работу про- тн? силы плавучести. Следовательно, кинетическая энергия вихрей не передается без потерь вихрям меньшего масштаба, как того требует теория локально изотропной турбулентности. Очевидно, что эти потери увеличиваются с ростом масштаба вихрей, н результате энергетическое равновесие внутри инерционной подобласти нарушается ——скорость поступления энергии в этой области больше скорости выхода.

19 Заказ № 854 289

Ре^^иЛ74яе#С^^ ражения

m电尸

e[l+b斤 4”

(4.12)

'ажрсти Т — температур，Ya н У где ^~ Ус^Рение силы ；яжес -температуры, в - ско-

адиабатическии и фактиче^ии^ради чтое(^)^Е при боль- рость диссипации энергии. 5W"d 酬…，

тих fei и £(z)〜龙「/3 — npi1 малых.

Для самой спектрально* плотности получается

……产［】+扌（2…，3

(4.13)

При больших значениях fef

и устойчивой стратификации находим

/产》（表1）

(4.14)

с пясуется с опытными данными рис. 42. 3昨 результат хорошо 8r甯 же конечным результатом (4空)，предложил Ламли 黑 | атмосферы на форму спектров меЛ：рХХХ Х=тов Рассматривалось в работах 呪二 жано [1791 и ронина U3恤。小。誥嘅 ^з размерности приво- гласно [179],3С(也)=中(A储卩 "

дит к формуле

fww(^~N^k^ 5

(4.15)

Обе формулы (4.14) и (4』5) близки к эмпирической九产阿〜斤2‘.

(4.16)

Однако имеющиеся в HacTfOHIJ^ee врем兄 экспериментальные данные недостаточны для ратзрешення наблюдающейся несогласованности между ними. К этому вопросу вернемся вновь не- сколько ниже,

в) Спектры пульсааци^ направления ветра. Они изучены значительно меньише> чем спектры скорости. Имеющиеся экспериментальные данные6 показывают [4*], что в 0c 个оордн- нат (1п &3), Ins) имеется линейный участок(ри^43) в интервале 0,02 < й <0,1 гц ■ с наклоном от 1,94 до 1,4Ь. Средний наклон составляет 1 69q5/Jm что свидетельствует о справедливости «закона %》и 3rюте/А замороженной турбулентности, и согласуется с (2.14) и (2.1-^)- Границам линейного участка на рис. 43 соответствуют пери口S1bl 6° н 300 сек. Согласно [4 ], «закон 2/3» для пульсаций i направления ветра выполняется до 290

Рис. 43. Спектральные функции пульсаций направления ветра, по [3*].

/ - 18/VH, 2-26/VH, 3-2/VIU.

君

Рис. 44. Осредненные по всем данным универсальные спектральные функции температурных пульсаций в приземном слое для некоторых групп, по [74*].

больших периодов, чем для пульсаций вертикальной составляющей wz и температуры Т‘.

Спектры пул ьс а ци й температуры. Как и в других случаях, экспериментальные исследования спектров температурных пульсаций в приземном слое [166, 74* и др.] проводились с целью проверки теории подобия (4.8) и гипотезы замороженной турбулентности. На основе (4.8), (2.19) и последней гипотезы можно написать

弄г(^, Ri) = A (Ri) (^)тз, (4.17) где 及一осредненный для данной группы с близкими значениями числа Ri безразмерный спектр.

Рис. 45. Распределение «энергии» температурных пульсаций по спектру [74*].

Все измерения в [166] разбиты на семь групп со следующими средними значениями числа Ri для каждой группы:

№ группы.. . I 11 ШIV VVIVII

Ri . ：—0,54—0,12—0,0400,040,120,42

Некоторые результаты измерений Цванга, подтверждающие 《закон 5/з》，представлены на рис. 44 и 45. Определенный из наблюдений показатель степени в (4.17) отличается от теоретического значения ——5/3 не более чем на 5%. Между функциями Л (Ri) и С2Г (Ri) из (2.19) существует простая связь

J (酬)=史(嚅产2.： a (Ri)^ 10,5А (Ri).(4.18)

На основе этой формулы построен рис. 38. Асимптотические зна- 292

чення С^ при сильной устойчивости (Rif 十8) и сильной неустойчивости (Ri^—оо) совпадают с полученными в [159] по данным измерения пространственной структурной функции температуры. .

/гТ (自)-n4 59-2.5后-7/5./гТ (自)-n4 59-2.5后-7/5.(4.19)(4.19)В случае сильной устойчивости, согласно гипотезе Болджано [179], ,丁丁(々。=9 (6, N, ^i). Анализ размерности приводит к зависимости

/гТ (自)-n4 59-2.5后-7/5.

/гТ (自)-n4 59-2.5后-7/5.

(4.19)

(4.19)

С другой стороны, если, согласно гипотезе Шура и Ламли, примем в качестве определяющего параметра средний градиент температуры вместо р, то, как легко увидеть, получим

frriK) ^ АГ3. (4.20)

В отличие от (4.14) и (4.15), спектры температурных пульсаций в условиях сильной устойчивости по этим двум теориям сильно различаются.

Экспериментальные спектры температуры в пограничном слое и свободной атмосфере [75*, 167, 74*] удовлетворительно согласуются с《законом %》，имея при этом ряд характерных особенностей. Так, например, спектры пульсаций Т‘, измеренные с самолета на разных высотах [74*] и построенные в осях координат (ЛФтт (^), In k), имеют максимумы, которые с увеличением высоты смещаются в область малых волновых чисел, а полная «энергия» (площадь под кривой 々①丁丁(々))уменьшается.

Спектры пульсаций абсолютной влажности. Измерения турбулентных пульсаций влажности стали возможными только после того, как Елагина [118] разработала оптический метод измерения влажности. Ею [30*] показано, что «закон з/з》, который следует из теории и для спектра влажности, подтверждается экспериментально. Измерения велись для значений волновых чисел ^1и, заключенных в интервале 10-4—10-2 смР

Спектры вертикальных турбулентных потоков в приземном слое. Рассмотрим в заключение спектры

九® (叫二冬加(于「) (4.21) И

儿,з, z)= 普匾(于,今 (4.22)

которые получаются из (4.6)

и (4.7). Очевидно, это спектры

293

вертикальных турбулентных потоков количества движения и тепла； так как, согласно (II, 10.41),

в“® (°，Z)= й7®7 = 2『Re I九® (з, z)] ds,

о

BwT (0, z)=巾=2『Re \fwT^>, z)] do), (4.23) 0

q =q\^cp = wTf и ххг = —p協砌

Рис. 46. Спектральные функции потоков тепла и количества движения [27*].Рис. 46. Спектральные функции потоков тепла и количества движения [27*].'~~"产呢尸 2 — Pw Т • 3 — ^* uw' 4 — Pu w'~~"产呢尸 2 — Pw Т • 3 — ^* uw' 4 — Pu w

Рис. 46. Спектральные функции потоков тепла и количества движения [27*].

Рис. 46. Спектральные функции потоков тепла и количества движения [27*].

'~~"产呢尸 2 — Pw Т • 3 — ^* uw' 4 — Pu w

'~~"产呢尸 2 — Pw Т • 3 — ^* uw' 4 — Pu w

Введем теперь универсальные функции

M『®®(3, z)『〃3 Z)M『®®(3, z)『〃3 Z)

M『®®(3, z)『〃3 Z)

M『®®(3, z)『〃3 Z)

(4.24)(4.24)九3（3, N）

(4.24)

(4.24)

I f uu （ы» Z）『笈侬（叫N）

В некотором смысле их можно рассматривать как коэффициенты корреляции между спектральными составляющими полей скорости ветра и т-емпературы.

В [27*] по данным наблюдений вычислены спектральные функции (4.21)——(4.24) в условиях слабой неустойчивости (Ri# у—0,0-:——0,25). Они представлены на рис. 46. Вертикальный пунктир обозначает нижнюю границу инерционного интервала спектра пульсаций wz, по [26*]. Как видно, функции RepWWJ и

RePirT остаются практически постоянными, причем Re рШс~ ^Reр^т~0,4- Но тогда, согласно (4.24),

Re fwT ^? 0,4 Vf^frr и Re 九…0,4 VTZT^ • (4-25)

Следовательно, в инерционном интервале, где fuu ((о)^(о~5/3 и Д^(со) w：，/% имеем

Re 几 гЗ)〜L，3 н Re 九® (s)〜s уз.(4.26)

К такому же выводу приводят и прямые подсчеты этих функций по данным рис. 46.

Регистрация турбулентных пульсаций метеорологических элементов и учет инерции приборов

В этом параграфе не преследуется цель познакомить читателя с устройством аппаратуры и методикой измерений микропульсаций метеорологических элементов. Это ——обширный вопрос, который выходит за рамки данной книги. В то же время он подробно рассматривается во множестве оригинальных работ [112, 113, 123, 159, 166 и др.], к которым и отсылаем читателя. Здесь же мы лишь бегло остановимся на нем, поскольку в книге приводятся некоторые экспериментальные результаты, полученные указанными методами. Основное внимание мы уделяем вопросу, как по данным широко распространенных самопишущих приборов (термографа, анемографа и др.), обладающих значительной инерцией, определить структурные характеристики измеряемых метеорологических элементов.

Отличительная черта специальных устройств для регистрации микропульсаций ——их малая инерция, вследствие чего их можно считать практически безынерционными.

Микропульсации скорости ветра измеряются с помощью термоанемометров. Приемная часть (датчик) этих приборов состоит из тонкой платиновой нити длиной около 2 см и толщиной 20 мкм, нагреваемой электрическим током до нескольких сот градусов. При обтекании этой нити воздушным потоком происходит ее охлаждение, интенсивность которого зависит от силы ветра. Температура и сопротивление нити зависят от скорости нелинейно и эта зависимость известна. Размеры датчика анемометра малы (1——2 см), что очень важно с точки зрения возмущений, которые он может внести в поле скорости. При включении двух таких термоанемометров в противоположные плечи моста

Уитстона сила тока в его диагонали будет зависеть от разности скоростей ветра в двух точках, в которых помещены датчики. Измерения записываются с помощью обыкновенного осциллографа.

Для измерения пульсаций температуры используют термометры сопротивления. Методика измерений с их помощью не отличается принципиально от методики измерений посредством термоанемометров.

Полученные осциллограммы подвергаются обработке, заключающейся в том, что через определенные интервалы снимаются отсчеты ординат и по ним вычисляются интересующие нас статистические характеристики по методу, изложенному в гл. II § 12. В последнее время обработку данных измерений осуществляют с помощью специальных устройств [159].

До сих пор такие малоинерционные приборы вследствие их довольно высокой стоимости использовались почти исключительно для измерений в научно-исследовательских целях. На практике для структурных измерений вынуждены использовать обыкновенные метеорологические приборы — самописцы, в связи с чем возникает основная проблема в теории этих приборов — учет влияния инерции на их показания. Предварительно самописцы тарируют в лабораторных условиях. Однако в атмосфере, где метеорологические элементы непрерывно пульсируют, эти приборы вследствие их инерционности не успевают следить за пульсациями и их показания будут иметь систематические отклонения. Из-за случайного характера пульсаций на практике никогда не интересуются мгновенными значениями метеорологических элементов, а довольствуются некоторыми их средними характеристиками — в первую очередь средним значением (математическим ожиданием) и дисперсией (среднеквадратическим отклонением).

Основная задача теории этого вопроса впервые достаточно ясно и точно сформулирована в оригинальной работе Яглома [176]: «...как по данным измерений, полученным с помощью прибора с известной характеристикой его инерции, восстановить истинное значение статистических характеристик измеряемого элемента». Ответ на этот вопрос дает только что цитированная работа Яглома, которую кратко и изложим здесь.

Обозначим и(£) истинное значение элемента в момент t、 а 〃(£) показание прибора. Поскольку метеорологические приборы имеют линейное уравнение инерции •

黑=一3(〃一 现 (5.1)

где Т — константа с размерностью времени, называемая коэф-

фициентом инерции, величина последнего зависит от конструктивных особенностей прибора, от материала, из которого он изготовлен, и может быть точно определена лишь опытным путем. Поэтому полагаем, что для каждого прибора коэффициент инерции известен. Вывод (5.1) можно найти в [124].

Для определенности примем, что ?(£) — истинная скорость ветра в той точке атмосферы, в которой производится измерение. Уравнение (5.1), записанное в виде

В +7"=亍研/),В +7"=亍研/),(5.1')(5.1')

В +7"=亍研/),

В +7"=亍研/),

(5.1')

(5.1')

представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с правой частью ——стационарной случайной функцией времени. Решив его формально, получим

乩(£)= е f w (0) + j er V (л) dx =_о_

_ г Г 13.

=е 丁 〃(0) + к ) е 丁 o(f — q) dq =о

=■ 〃 (0) e 丁 + 亍)e T v(t — T^d^.о

По истечении достаточно большого промежутка времени после начального момента (когда £》Т) первым членом в правой части последнего выражения можно пренебречь, а пределы интеграла взять от 0 до оо. Тогда получим

〃《)= ；｝ OvG — tJdq.(5.2)

о

Легко проверить путем подстановки, что выражение (5.2) представляет собой решение уравнения (5.1). Это выражение дает связь между показаниями прибора и истинными значениями скорости ветра, с помощью которого можно найти связь и между соответствующими статистическими характеристиками. Мы уже рассматривали в гл. II, § 7 интеграл подобного типа и теперь воспользуемся непосредственно полученными там результатами.

Прежде всего (П, 7.12), записанное для данного случая, дает

〃=①，(5.3)

т・ е, средняя скорость ветра, определенная по данным наблюде- hhS с помощью линейного прибора, точно совпадает с истинной средней скоростью. Другими словами, в этом случае инерция прибора не оказывает влияния на показания прибора. Наряду с и

297

на практике интересуются и дисперсией o^ = (v ——и)2, для определения которой используем готовую формулу (II, 7.14). После того как заменим в ней корреляционную функцию на структурную по (II, 11.9), получим

e=彳+齐『6一*0(0公.(5.4)

О

Если обозначить Аг (0 = у (0 — 〃(£). то с помощью (5.2) и результатов гл. П, § 7 легко показать, что

8 т

或二芸^一不^⑹衣，(5.5)

так что

e=e+玄，(5.6)

Когдаструктурнаяфункция D (т) известназаранее(например, изтеоретическихсоображений или построенапоопытным

данным безынерционного прибора), интегралы в предыдущих формулах могут быть вычислены до конца и найдена разность 行^—行^， которая представляет собой статистическую меру отставания показаний прибора вследствие его инерционности. При этом экспоненциальный множитель 2一力丁 в подынтегральной функции приводит к тому, что значение этого интеграла оказывается зависящим от вида D (т) только для ограниченного промежутка значений т ——порядка нескольких Т. В используемых на практике приборах Т=3 + 4 сек. Для значений т такого порядка, как мы уже видели ранее,

D{z)^Ct^.

Подставив последнее в (5.5), получаем

唸=务 J J3е一 7 dt = } Г 偿)ср 3 = 0,450 (7). (5.7)

По этой формуле можно осуществить дальнейшее вычисление. если известна структурная константа С發.Используя данные Обухова [143], Яглом определил относительную ошибку 厶匕=行八 /v, которая оказалась примерно равной 20% при г= 1,5 м и 7% при 之^ 15 m.

Изложенная линейная теория инерции применима ко многим метеорологическим приборам, используемым на практике.

Теория Яглома получила дальнейшее развитие в работах [11*, 33*, 34*], где задача об инерции ставится как задача 298

©6 отыскании оптимума. Показано, что для наиболее часто встречающихся на практике корреляционных функций типа е~ат и ^-ат cos ₽т оптимальный период осреднения приблизительно в 1,7 раза больше коэффициента инерции Т линейного прибора. Зто позволяет подобрать Т таким, чтобы ошибки определения ■среднего значения измеряемой величины за интересующий нас период были минимальными [11*].

В [34*] отмечается также, что связь между статистическими характеристиками истинной величины ?(£) и измеренной 〃(Е) можно получить не только исходя из (5.2), но и прямо из (5」‘)， которому соответствует дифференциальное уравнение второго порядка

爲 筑“ (t) — ^- В1Ш(т) = 凡。(т),(5.8)

где Bvv (т)——истинная корреляционная функция, а Вии (т)—— полученная по данным наблюдений. При естественных условиях

纥/8) = 0,匾(0) = 0

решение уравнения (5.8) имеет вид

(5.9)(5.9)

(5.9)

(5.9)

Если, например, Bvv (т) =(у2 е~ах, то

•g戸(eS — aTe-亍)，(5.10)

% =力三丁 и』м е = 0+订)％(5・11)

Эту формулу можно получить и при помощи (5.4).

Если исключить некоторые термометры с датчиками из тер- мистеров, то все остальные термометры с достаточной точностью можно считать линейными. По отношению к анемометрам допу- 1Денне о линейности ——более грубое приближение, особенно зля приборов с вращающимися датчиками. Все же в ряде случаев оно оправдано [176].

Интересно отметить, что в пределах допустимого для пракТиКи приближения при вычислении дисперсии од (случайной ошибки) нелинейность прибора можно не учитывать.

Турбулентность в облаках и коагуляция капель

Почти во всех облаках существуют вертикальные движения воздуха. Скорость этих движений наибольшая в так называемых конвективных облаках, где она нередко достигает 30—40 м/сек. Характерной особенностью этих вертикальных движений является их турбулентность. Доказательством тому служит болтанка самолетов около и внутри облаков. В последнее время безынерционные радиолокационные методы, использованные специально для измерения интенсивности турбулентных пульсаций в конвективных облаках, показали [111], что пульсации скорости достигают нескольких метров в секунду, в то время как их среднеквадратическое значение (Ли〜2 м/сек. В настоящее время вообще считают, что наиболее сильная турбулентность в свободной атмосфере наблюдается именно в конвективных облаках. Поэтому становится необходимым обратить серьезное внимание на исследование влияния турбулентности на укрупнение капель в этих облаках и увеличение их до размеров дождевых. Следует отметить, что до настоящего времени нет единого мнения по этому вопросу. Прежде чем перейти к его рассмотрению, коротко изложим современные представления об укрупнении капель в облаках.

Известно, что при небольших пересыщениях, которые наблюдаются в атмосфере при естественных условиях, конденсация водяного пара может начаться только при наличии ядер конденсации——мелких гигроскопических частиц, поступающих в атмосферу различными путями. Образовавшиеся таким путем зародышевые капли продолжают увеличиваться в размерах благодаря конденсации на них водяного пара по закону R=R 2q Dt. гд Ei — безразмерное абсолютное пересыщение [39*6]. Отсюда для скорости увеличения радиуса капли находим

Из (6.Г) видно, что с увеличением радиуса капли 凡 быстро уменьшается, т. е. большие капли растут медленнее. Принимается, что практически капли эффективно могут увеличиваться в размерах под влиянием этой причины до значений R порядка 15—20 мкм. Необходимо отметить, что на этом этапе развития облака капли хотя и близки по размеру, но все же различаются между собой хотя бы потому, что ядра, на которых они образовались, различны по-величине. Вообще говоря, капли могли бы увеличиваться под влиянием конденсации и до размеров дожде- 300

8blx (1——3 мм), но для этого нужно затратить слишком много впемени. Между тем наблюдения показывают, что осадки (включая и ливневые) из конвективных облаков возможны уже через полчаса после образования облаков. Следовательно, существует некоторый другой, значительно более эффективный механизм укрупнения капель.

По мнению Ленгмюра, в облаке под влиянием случайных причин среди огромного количества микроскопических капель могут возникать и капли значительно больших размеров. Скорость падения последних больше, вследствие чего они настигают меньшие капли, при столкновении сливаются с ними и укрупняются. Этот механизм известен под названием гравитационной коагуляции. Как показывает теория, эффективность этого процесса тем больше, чем больше различие в радиусах основных капель облака г и укрупняющейся капли R. В общем случае скорость роста капли дается выражением [39*6]

к = W J ⑶(г) (1 + 先)[® (A) -®(r)]f (/?, Г)dr, (6.2) где 九(г) —функция распределения капель по размерам, w ——их скорость падения, Е (R, г) — коэффициент слияния (захвата). При R》r

初传)，(6.3)

где

4卞

s =，np® J x〃(r)dr(6.4)

,0

есть водность облака [39*6].

Теория и наблюдения показывают, что если имеется достаточное число таких больших капель, то с помощью гравитационной коагуляции можно объяснить основные закономерности образования осадков из чисто водяных облаков. Мы считаем, что крупные капли, необходимые для начала гравитационной коагуляции, образуются под влиянием турбулентности облака [149]. Этого мнения пр идержив ается и ряд других авторов [122, 200 и др.].

В начальной стадии развития облака существует такой пе- Р”о〃， когда укрупнение капель вследствие конденсации сильно замедляется и в то же время нет еще достаточно различающихся По величине капель, необходимых для проявления механизма гравитационной коагуляции. Именно в этот период, как будет показано далее, основной вклад в укрупнение капель прцвадле- +“т турбулентной коагуляции —— росту капель вследствие слия- я, обусловленного различной степенью увлечения их турбу- ‘ нтными пульсациями скорости восходящего потока в о5?а”е.

На основании исследований автора [149] рассмотрим прежде всего влияние турбулентности на движение капель в облаке, поскольку без изучения этого явления нельзя строить какую бы то ни было теорию турбулентной коагуляции.

Вначале остановимся на более общей задаче: рассмотрим движение тяжелой сферической частицы с произвольной плотностью ps и радиусом R《九о (Лю ——внутренний масштаб турбулентности) в однородном, изотропном и стационарном турбулентном потоке4. Если обозначить vs(/) и v(/) соответственно скорости данной частицы и среды в том месте, где находится частица, то v0(/) = vs(/) — v(/) будет относительной скоростью частицы. Так как Re=vGR/v V 1, то сопротивление среды выражается формулой Стокса F=——6jit]/?Vo. Уравнение движения частицы с учетом эффекта «присоединенной массы» имеет вид

%%一=^飞 万 ^gVs _ V) +

+ (么一«0 g - 6口哂(Vs - V),+ (么一«0 g - 6口哂(Vs - V),(6.5)(6.5)

+ (么一«0 g - 6口哂(Vs - V),

+ (么一«0 g - 6口哂(Vs - V),

(6.5)

(6.5)

где ms=Vps, m=Vp, V = -у- /?3 a ps и p — плотности частицы и среды (воздуха). Вводя для удобства обозначения

9W =所(Ps — р) gR2,(6.6)9W =所(Ps — р) gR2,(6.6)

9

W =所(Ps — р) gR2,(6.6)

9

W =所(Ps — р) gR2,(6.6)

(6.7)(6.7)запишем (6.5) в виде

(6.7)

(6.7)

~dt~ + 亍 Vs = 2a+ 3 ~dT + 7(V + W).

Если мгновенные скорости представить в виде vs (f)=vs + v^ (/) и v(/) —v + v/(Z), то из предыдущего уравнения следует

% (Q = А — W =初伏)，(6.8)

т. е. средняя относительная скорость точно равна скорости свободного падения капли. Тогда для пульсационной скорости имеем уравнение

包.+丄V' = 必+丄『(6.9)

力十丁 2a + 3 dt ' T 'I

которое полностью соответствует уравнению инерции (5.1'). По-

Этот вопрос в последнее время рассмотрен н в ряде других работ [102, 122 и др.].

302

эт0Му решение (6.9) при /》Т всегда можем написать так [149]:

V； (0 =鼻 V，(，)+ 丁(翁可 j e V V，(" q)叫.(6.10)

В этом виде формулу (6.10) использовать нельзя: она хотя и дает связь между скоростями v： (f) и v'(£). но последние —— случайные функции. Поэтому к вопросу движения частицы в турбулентном потоке, а следовательно, и к явлениям, связанным с ним, необходимо подходить статистически. Для приложений теории турбулентной коагуляции капель имеет значение среднеквадратическая относительная пульсационная скорость

гл.гл.{M(/)_V，(矶 2}"2={Р^Г}「2.

гл.

гл.

.после элементарных.после элементарных8р8р(6.П)(6.П)Исходя из (6.10) и примера преобразований получаем 2 —4a2

.после элементарных

.после элементарных

8р

8р

(6.П)

(6.П)

(北 + 3)2一

где Dl (т)= [v (^ + т)——v(f)P ——лагранжева структурная функция потока.

Последняя формула дает возможность решить задачу увлечения частицы пульсациями потока. Полное увлечение (о0=0), как это видно из (6.11), возможно только при а=0, т. е. р$=р. Кроме того, при Rf 0 行。также стремится к нулю. Когда ps》p (например, водяные капли в воздухе, где р$/р〜103), а》1 и тогда вместо (6.11) имеем 1

8т

(6-12)

О

Для точного вычисления интеграла в (6.11) необходимо знать ВИД функции Ql(t). Однако вследствие наличия множителя e~xfT величина этого интеграла существенно зависит от DL(^) только на ограниченном интервале значений т——порядка нескольких Т. Н。для водяных капель, падающих в воздухе, R 〜10 мкм и П=0,17 • 10-3「/см . сек, р§=р?и= 1 г/см3,

т^备Р/2~10-з сек.(6.13)

” очевидно, что Т ——почти постоянная величина для данного R.

Сравним время релаксации Т с внутренним временным мас- ；та6ом т0= (v/e)1^ в теории локально изотропной турбулентности. 4/я этого нужны надежные опытные данные о средней скорости ■—

Сравните с (5.5).

диссипации турбулентной энергии е в облаках различных типов. В настоящее время такие данные уже есть [111] (табл. 2).

Таблица 2

Форма облаков

Диапазон изменений £ см2, сек?

Наиболее часто встречающиеся г сн'/сек.з

Ac, As, Sc

4—100

25

St, Ns

15,5—40

8

Cu cong.

150—2500

700

В различных облаках е изменяется от 10 до 103 см2/сек.3 При v=0,13 см2/сек. получаем пределы возможных значений

10一2 сек.IO— сек.(6.14)

Следовательно, при R〜10 мкм всегда T《w Но при сильной турбулентности, которая наблюдается в облаках типа Си, капли радиусом /?〜IO? мкм все еще не настолько инертны, чтобы не реагировать на турбулентные пульсации потока — они увлекаются частично. Для них, как это видно из (6.13), Т〜10-'сек., так что в этом случае Т~то или даже Т>т0. Более точно Т = =то при

где 九о=(рЗ/£)%— внутренний линейный масштаб турбулентности.

Для водяных капель ps/p= 103, так что R* = 二——=0,067 7a 20y 5

Диапазон изменений 入。зависит от е и, согласно приведенным выше данным, равен

385 мкм 1200 мкм и 26 мкм << 80 мкм.

Для капель указанных здесь размеров все еще можно принять, что сила сопротивления выражается формулой Стокса и к ним применима развитая выше линейная теория.

Из приведенного анализа следует, что при решении задачи в общем случае необходимо иметь аналитическое выражение для Dl (т) не только при т《т(), но и в инерционном интервале т》т° и в переходной области т 〜то.

На основании теории Колмогорова можно написать

(6.15)

где 〃o=(£v)%・ При Tf О

ИгдеИгдеV（方十工）^v（方）十丁弋

И

где

И

где

吗=（嗇六3（外产吗=（嗇六3（外产Dl (Q = |6р V (%) ]2 = Од £,

吗=（嗇六3（外产

吗=（嗇六3（外产

есть средний квадрат турбулентного ускорения потока. Следовательно,

0,.(0 Н 3(+4)1'21：2 《《%),(6.16)

a f(x) ^х2 при 尤《1. В инерционном интервале, при к》то, согласно постулату Колмогорова, v не должно фигурировать в (6.15). Это условие выполняется при f(x) =сх. Тогда

2«) = се1： ｛》％),(6.17)

где с 1.

Итак, мы располагаем двумя асимптотическими выражениями "(т) при т《то и т》т» Однако, каким образом осуществляется переход между ними, до сих пор остается неизвестным. Вследствие этого мы вынуждены использовать интерполяционные формулы с нужными асимптотами. В качестве таких формул можно предложить самые различные

3*2

+ X

〃х)= 3x(1 — еТ(6.18)

оо3053056(Х — 1 +©г)

о

о

305

305

Подставив эти выражения в (6.11), после интегрирования полу-

чим

ао— (2а 十 3)2 иоф(8)'(6.19)

где соответствен но

1,5-1 - 8esfZ(-8)]

Ф (8) = ■

丄内 в (В+ 1)2(6.20)

3

[в (8+ 1)

а

В Ь专

есть интегральная показательная функция и

При 6》1 все три формулы (6.20) дают одинаковый результат

Ф(8) = 38-2,

ИЛИ

%代)=备但一。%必，(6.21)

а при ps》p

。。低)= ^fPs%R(6-22)

Сравнивая (6.22) с формулой Стокса для скорости свободного падения

初(А)=号 Psgg,

убеждаемся в том, что они имеют одинаковую структуру- Роль ускорения силы тяжести g в формуле (6.22) играет турбулентное ускорение оа. При oa>g o0>w. Но такие большие турбулентные ускорения в облаках возможны. В самом деле, из па = У 3 (e^/v)1/4=g определяем

% = ($ Yg4) = 2,3 - 103 см2/сек.3,

так что 仇>侬 при £>£g. Как следует из предыдущего, такой случай может встретиться на практике в облаках типа Си.

?06

При 6~1 можно использовать любую из формул (6.20). Однако предпочтение нужно отдать третьей формуле из-за ее простоты, а также вследствие того, что она основана на определенной модели корреляционной функции ускорения. Тогда при р§》Р

% 的=工 Ps% 咫—「 _L . (6.23)

Но, как мы видели выше, 6 〜1 для больших капель R 〜R* (26 mkmVR*V80 мкм). При их обтекании (неполном увлечении) примут участие и турбулентные вихри с масштабом 九》入о, вследствие чего использование (6.22), где этот эффект не учтен, приводит к получению завышенного значения о0 (/?).

Наконец, при 6《1 (то《Т) имеем случай, соответствующий ■большим каплям, для которых

a》& =合入。/^ a ="眼产)' .

ao(^)= /§/?=(6.24)

Анализируя полученные результаты, находим, что средне- асвадратическая относительная турбулентная скорость частиц <Jo(R) увеличивается с ростом их радиуса, все более медленно приближаясь (очевидно, асимптотически) к среднеквадратической пульсационной скорости потока GD = y(v')2； вследствие увеличения массы частицы становятся настолько тяжелыми, что практически не реагируют на турбулентные пульсации (vz —0). Однако эта последняя часть кривой Go(R) в настоящее время неизвестна и в рамках линейной теории и современных знаний о лагранжевых характеристиках турбулентности не может быть определенаi.

Итак, мы уже располагаем самой важной статистической характеристикой движения капель — турбулентной относитель- н°й скоростью Go(R) и теперь можем перейти к вопросу их

Некоторые указания о ходе кривой Oq(R) в указанной области можно получить с помощью нелинейной теории, развитой автором в [149]. Там показано, что при квадратическом законе сопротивления формула (6.12) остается приближенно в силе. В этом случае

При R > 1 мм Г 〜0,5 сек., так что Ь = то/Т《1. Тогда по третьей фор- "Уле (6.20) находим 〜Т, или

оо依)〜/A •

коагуляции под влиянием турбулентности. Пути решения этой задачи были указаны еще Левичем [132] и использованы затем в [122, 149, 200 и др.].

В полидисперсном облаке, что весьма реально даже в начальной стадии его развития, вследствие неодинакового увлечения капель турбулентными пульсациями в поле ускорений па большие по размерам капли имеют скорости 6)большие, чем капли меньших размеров, т. е. существует, как и при гравитационной коагуляции, относительное движение, которое в свою очередь порождает коагуляцию.

Положим, что скорость сближения двух капель радиусами R н 尸 будет

△% = %(А)-%(Г)=%6・

Дальнейшие рассуждения, подобные тем, которые были проведены при выводе (6.2), позволяют написать выражения для скорости турбулентной коагуляции

Ат. к =伞 J (А + г)2А%г% (г)Ет(R, г)dr,(6.25)

где Ет — коэффициент столкновений (захвата), аналог коэффициента £ в теории гравитационной коагуляции (6.2). Для функции п(г) можно использовать, например, формулу Хргиана—Мазина [165]

/г (г) — аРе Ьг.

Кроме того, имеются некоторые теоретические и экспериментальные данные, которые говорят, что Ет* L

В монодисперсном облаке, когда 尸《R, аналогично (6.3) имеем

А・к = /% 便)，(626)

где Oo(R) дается (6.23). Ясно, что А? к>П「.к при сго>(о, т. е. о〃 > g или £>£冗〜10з см2/сек.3 Отсюда можно определить необходимое время f роста капли от R до R вследствие тур^У" лентной коагуляции

一s J O0 (A) 一 sp I \ 凡R /十

十]眾in工三+JJ书(6.27)

I ^ ^o + 1 1 + 0Ao J

2гдер =与”%; g2гдер =与”%; g2 p£2 p£9 Р9 Р九丁＜ Для двух асимптотических слу-九丁＜ Для двух асимптотических слу-чаев, соответствующих (6.22) и (6.24), находимчаев, соответствующих (6.22) и (6.24), находим(6.28)(6.28)

2

гдер =与”%; g

2

гдер =与”%; g

2 p£

2 p£

9 Р

9 Р

九丁＜ Для двух асимптотических слу-

九丁＜ Для двух асимптотических слу-

чаев, соответствующих (6.22) и (6.24), находим

чаев, соответствующих (6.22) и (6.24), находим

(6.28)

(6.28)

В заключение остановимся на вопросе влияния турбулентносТИ на скорость роста очень крупных капель (R от 2000 до 3000 мкм). Бесспорно, что для этих капель основной вклад в увеличение скорости роста принадлежит гравитационной коагуляции, но при интенсивной турбулентности, мерой которой служит величина о 匕=/同, вкладом турбулентной коагуляции пренебрегать не следует.

Действительно, рост капель посредством гравитационной коагуляции происходит за счет почти непрерывного слияния самых крупных капель с мелкими облачными каплями, из которых в основном (по количеству) состоит облако. Вероятность столкновения и слияния больших капель с каплями порядка их размеров значительно меньше. При данной степени турбулентности малые облачные капли будут участвовать в турбулентных пульсациях потока, в то же время движение больших капель почти не будет зависеть от них, и они будут падать только под действием силы тяжести со скоростью vG—a У R. Скорость Асго= =Go(R)—По (г) относительного движения большой капли радиусом R относительно малой радиусом 尸 стремится к оу ——о0(г), когда R очень велико, поскольку, как мы уже видели, g()(R) стремится к Си с увеличением R. В мощных конвективных токах со скоростью 10—15 м/сек. ос может достигать 2 м/сек. и более. В то же время, как было показано выше, о0(г) имеет порядок 10’ см/сек. Следовательно, приближенно можно принять, что при пульсационном обтекании больших капель Sgq^c^

Описанные выше приближения, по нашему мнению, особенно близки к действительности при падении через облако ледяных зерен, которые вследствие своей большой массы почти совсем не увлекаются турбулентными вихрями. Когда такая капля или ледяное зерно сталкиваются и сливаются со встречными малыми капельками не только вследствие разности их скоростей падения "°口 влиянием силы тяжести, но и вследствие пульсаций скороСТи малых капель облака, то, как было уже показано, при грави- Гин°нной и турбулентной коагуляции больших водяных капель формулы, описывающие эти процессы, полностью подобны. Поэтому в нашем - случае можем написать Rt.k = ~^—S = ^£°nst. Поскольку при интенсивной турбулентности величи- 5・ нельзя пренебречь по сравнению со скоростью свободного

ладения больших капель, предполагаемое влияние турбулентности на их укрупнение приближенно выражается так：

Q=±（"R + %）・

Интегрируя это уравнение, находим время роста капель

「对（^T а一^發言］，（6・29） а введя скорости падения w—a ^ R, w°=a~^ Ro, записываем （6.29） в более наглядном виде

g =黑八初一 % 1rl就急）' （6.30）

где Aw=w — e°.

ГЛАВА IX

Макроструктура полей метеорологических элементов

§ 1- Эмпирические структурные и корреляционные функции основных метеорологических элементов при движениях большого масштаба

Теория локально изотропной турбулентности, как это видно- из г^- VIII, нашла полное свое подтверждение в случае атмосферной турбулентности. При этом область приложения ее увеличивается с удалением от поверхности земли, поскольку внешни订 масштаб £0 растет с ростом z. В свободной атмосфере пРи безразличной стратификации «закон 2/з» выполняется для значений г порядка нескольких сотен метров. Возникает вопрос: существует ли статистическая связь между значениями метеорологических элементов в двух точках на значительном расстоя- "нн или для двух достаточно отдаленных моментов времени и е^и существует, то как она выражается аналитически?

Утот вопрос имеет большое теоретическое и практическое ачение. Как известно, данные о статистической макрострук- УРе метеорологических элементов имеют обширную область.

применения. На основе этих данных производится рационализация размещения сети метеорологических станций и сроков наблюдений, оценивается порядок производных от метеорологических элементов, необходимый прежде всего при упрощении уравнений динамики атмосферы в теоретических исследованиях оценивается предварительно ошибка интерполяции в пространстве н во времени значений метеоэл ементов в целях построения опорной сети точек для численного анализа и предсказания погоды, делается осреднение в целях фильтрации ненужных возмущений и повышения устойчивости приближенных решений уравнений погоды, строится рациональная методика статистического прогноза и т. д. Одним словом, на основе этих данных производится подготовка исходного материала наблюдений для машинной обработки в целях численного прогноза. Все это придает большое значение исследованиям в этом направлении, которые за последние годы идут все ускоряющимися темпами.

Переходя к рассмотрению атмосферных движений большого (синоптического) масштаба, нужно отметить одну характерную особенность: горизонтальный масштаб этих движений во много раз превышает вертикальный, а энергия горизонтальных движе^ ний значительно больше энергии вертикальных. В то же время вертикальные градиенты метеорологических элементов больше горизонтальных. В силу этой особенности поля метеорологических элементов оказываются сильно анизотропными в вертикальном направлении. Отсюда следует качественный вывод, что для больших масштабов теория Колмогорова теряет силу.

Есть серьезные основания считать крупномасштабные атмосферные движения турбулентными. Элементами турбулентности являются макронеоднородности в поле потока, в первую очередь •основные барические образования — циклоны и антициклоны. Ввиду отмеченной выше особенности этот поток будет анизотропным. Если, однако, рассматривается плоское движение на некотором среднем уровне в атмосфере (чаще всего в качестве такого берется уровень 500 мб), можно предположить, что случайное поле отклонений У данного метеорологического элемента f от климатической нормы f будет однородно н изотропно на плоскости, т. е. f=const и

3〃(г)=/'(х + г)/，(х), ^ = /=(/-Л2= const (1-1)

Так как в действительности горизонтальные масштабы атмо* сферных движений конечны, удобно рассматривать поле 厂 к” локально однородное и изотропное и пользоваться структурной функцией

О"(「)=[尸(х + г) —尸(х)]2 .

Так как f，0, то предположение об однородности и изотропносТИ не будет выполняться для самого элемента Д т. е.

%(Х, г) = /(х + г)/(х),

Dff^, г)= [/(х + г) — /(х)产.(1.3)

Как следует из (1.1) — (1.3),

3"(г) = 3"(х, г)-亨(х)7\х+г),Q"(r) = D〃(x, г) - [7(х + г) - 7 (х)]2.

Можно полагать, что в еще большей степени условие статистической однородности будет выполняться относительно нормированного поля 屮=厂/行力 поскольку 彳=1 повсюду.

Примем теперь, как это бывает на практике, что исходные значения исследуемого элемента содержат некоторую ошибку наблюдений бу, т. е. f—f + 6爲 где f ——истинное значение. Если ошибки чисто случайные [105], т. е. их среднее значение равно нулю и они не коррелируют с истинными значениями и между собой, то, как нетрудно показать [105],

Dff{r)^Dff{r) + ^f,(1.4).

откуда

-方〃 (0) = 2/(1.4)

где Dff(r)——структурная функция, построенная по данным наблюдений элемента f, a Q万(г)——истинная структурная функция того же элемента. Формула (1.4х) дает возможность оценить косвенно средний квадрат ошибки наблюдений путем экстраполяции кривой Dy (г) на нуль. После того как 26^ найдено, параллельным пергеносом определяется “

Dff^^D^r)-^.Dff^^D^r)-^.(1-0(1-0

Dff^^D^r)-^.

Dff^^D^r)-^.

(1-0

(1-0

Ниже приводятся лишь исправленные за счет ошибок наблю- ■Ценм访 структурные и корреляционные функции.

Ряд специальных эмпирических исследований [107, 190, 194 н ДР-J показал, что предположение о двумерной изотропности векторного поля скорости н скалярных полей температуры и давления (геопотенциала) выполняется с достаточной степенью точ- н°?”・ Вместе с этим еще первые работы Завариной [119, 120] ；Селезневой [158] по изменчивости ветра и температуры в сво- °дной атмосфере и последующие работы Юдина [170, 171 и 172] °казали, что пространственные и временные структурные функ-

нии скорости ветра и температуры в свободной атмосфере хорошо аппроксимируются степенными функциями вида:

Du (г) = "%Dn (т) = 4尸％

D тт(г) = а—р、О?? (с)=方丁工。・(1.5)

Показатели степени в этих формулах оказались близкими к 1 а не к 2/з, как это должно бы следовать из теории Колмогорова-^ •Обухова, если ее перенести полностью на рассматриваемый случай двумерной макротурбулентности. Таким образом, в свободной атмосфере

D〃 (г) ~ 〃储 Du (т)=九q

DitE 。丁「，DTT (т) =： bfi.(L6)

Числовые значения коэффициентов в (1.6) определены эмпирически и, согласно [104, 49*], равны

а„ = 3 • 10-4 м/сек；,〃丁 = 2,5 • 10^5 град2/м,

bu = 6 * 10-4 м?/сек.з,力= 2,1 • 10一4 град2/сек. (1.7) Было установлено, что эти линейные зависимости справедливы при 厂〜10【+ 103 KMM，〜1 +4час. Интересный опытный материал, позволяющий сделать заключение о нижней границе применимости этих формул, приведен в работах Пинуса [54*. 55*]. При больших гит (теоретически при г, т-> оо) в силу (II, 11.8) и (III, 13.6) должно быть

DTT (со) = 2^7 и Оц (со) = 2af = 2o« = а^.(1.8)

Соотношения

вытекают из условия изотропности поля отклонений ветра от норм. Переход от области линейности к области «насыщения» структурных функций до сих пор мало исследован, хотя, согласно (1.8), это имеет значение при определении дисперсий о； И吟.

В отношении структурной функции скорости такое исследование было проведено в [108]. Результаты расчета полной структурной функции

。“(Г) = D〃(г) + D„n6 = (「备 + 2)。〃⑺(1-9)

на уровне 500 мб представлены на рис. 47 сплошной кривой. Р^~ венство (1.9) вытекает из (III, 1314) и (III, 1320) при п=^- В качестве аппроксимирующих предлагаются следующие Ф°Р" мулы:

&с(г) = 2對 1 — ехр (— 0,797产6取)coS(1,28r)],(I-10)

%(r) = 2剧1 - exp (- 0,695产65。)人(1,74用，(1」°') 314

г^е в первом случае 2彳=500 м2/сек.2, во втором 2с^ = —540 м2/сек.2, г — в тысячах км, а /о(х) —функция Бесселя. Прн /vrVl,4 обе эти формулы весьма близки к линейной 力 6) 1 а при малых г — к «закону 2/з»- По этим новым данным Анл подсчитан коэффициент аи в (1.7).

В настоящее время наиболее полные эмпирические сведения о макроструктуре температурного поля получены Болтенковым ,9*] а также Мелешко и Гусевой [40*]. Они представлены на

Рис. 47. Полная структурная функция ветра./ — по [108], 2 — по формуле (1.10), 3—по формуле (1.10л).Рис. 47. Полная структурная функция ветра./ — по [108], 2 — по формуле (1.10), 3—по формуле (1.10л).

Рис. 47. Полная структурная функция ветра.

/ — по [108], 2 — по формуле (1.10), 3—по формуле (1.10л).

Рис. 47. Полная структурная функция ветра.

/ — по [108], 2 — по формуле (1.10), 3—по формуле (1.10л).

рис. 48. В случае отсутствия отрицательных участков данные [9*, 40*] удовлетворительно аппроксимируются экспоненциальной формулой типа

Втт{г) = ^е-°тгЬ,(1.11)

причем по [40*] н 103 км. Умножая (1.11) на Jo(cr),

получаем возможность описать и случаи с отрицательными уча~ стками. Говоря ниже прежде всего об уровне 500 мб, будем считать просто, что

(1-12)(1-12)Втт (г)=多6一叮Г

(1-12)

(1-12)

©丁衣]^* на Рис- 47, так м на рис. 48 хорошо видны линейные уча^

а &宕广з罗„нес” (1.6),то, согласно (III, 9.11) и (1.9), Dnn(r)=2Du(r)t

Структура поля геопотенциала Н (давления р) тоже изуча лась эмпирически многими авторами [105, 107, 147, 108, 151, 庙 168, 173, 39*а, 61*в, 67*, 72卒].В диапазоне расстояний 10——lb3 к^ структурная функция DHh (^) аппроксимировалась прежде всего формулами вида:

DHH(r) = Ar2-Br3,(1.13)

DHH (r) = Crm (m < 2),(1.14)

где, согласно Чаплыгиной [168J, т=5/з.

Юдин [173] показал, что формула (1.13) обладает определенными преимуществами перед степенной зависимостью (1.14)

7 — на уровне 500 мб. 2 — 200 мб. 3 — 100 мб.

Кроме того, область применимости (1.13) совпадает с областью применимости линейной формулы для ветра. Это не случайно. Можно показать4, что если выполняются геострофические соотношения, то эти две формулы следуют одна из другой.

Если Н выражено в геопотенциальных декаметрах (гп. дкм). а г——в сотнях км, то для коэффициентов Л и В на поверхности 500 мб получаем [107]: 74yL В— 0,022 и DHH (оо) = 300 гп. дкм^ т. е. ан~ 12,5 гп. дкм. Позднее [105] выяснилось, что эмпирический коэффициент корреляции Анн (г) абсолютного геопотенциала поверхности 500 мб для всех значений г хорошо аппроксимируется формулой типа (1.11)

RHH (г) — е~°*664г1,94 (г в тысячах км).

Однако дальнейшие исследования [108, 67*] показали, что функ- цня Rhh(「) не является монотонно убывающей и при г > 2500 亠ЗООЬ км становится отрицательной (кривая 2 на рис. 49). Та- тарская выяснила [67*], что это имеет место зимой. В связи с этим в [108] для уровня 500 мб принята аппроксимация

RHH (г) = е- о，® J3o coS 0,54г(1.16)

при 吟=200 гп. дкм2, а в [67*]

R""(r) = L，(〃)(1-17)

Рис. 49. Нормированная автокорреляционная функция геопотенциала //500-

Z — по данным [107], 2 — по [108], 3 — по [173].

口ри следующих значениях С и а на трех уровнях:

р мб 300200100

С 0,2740,1710,100

d1,171,110,85

Наконец, данные Юдина [173] (кривая 3 на рис. 49) и Та- тарской (для летнего сезона) хорошо описываются формулой вида

или^(г)=а^(1+аг)е-°г(1.18)

Dhh (г)二 2。" [1 — (1 + аг) е-в].(1.19)

317

При ar«l (1.19) переходит в (1.13). По порядку величины а〜IO"6 м~\ т. е. масштаб корреляции — 103 км; последний оказался переменным (растущим с высотой над тропопаузой) Однако этим авторам не удалось связать а с другими характеристиками состояния атмосферы. Это было сделано впервые- в работе [151].

Упомянем в заключение и о работе [23*], где определялись, отдельно зональная и меридиональная структурные функции геопотенциала на уровнях 500 и 700 мб до значений г порядка Ю4 км с целью проверки условия изотропности. Установлено, что- оно выполняется вблизи 55° с. ш. Кроме того, на участке значений г= 102-5-103 км относительная структурная функция ^нн (r)=DHH (г)/^нн (Ю3 км) для января (I) и июля (VII) описывается формулами:

%"(r) = 1/8 产一0/8Г4 (I),

dHH (г) = 1,26户 一 0,26d (VII), (L20)，

где г в тысячах км. При г V 1500 км зональная и меридиональная структурные функции совпадают.

Итак, в настоящее время наиболее полно эмпирически изучена пространственная структура поля абсолютного геопотенциала. Это имеет большое практическое значение, так как именно этот элемент представляет первоочередной интерес с точки зрения численных методов прогноза погоды. Затем следуют поле температуры и поле скорости ветра.

В связи с предсказанием осадков большой практический интерес представляет изучение макроструктуры поля влажности в атмосфере. Юдиным было показано теоретически [172], а затем в [175] подтверждено и эмпирически, что линейная формула удовлетворительно описывает зависимость структурной функции влажности (е) до значений г 〜700+800 км. Соответствующая формула после исключения ошибок наблюдений имеет вид [175]

Dee (г) = 5,5 • 10-7fr,

где Е ——максимальная упругость водяного пара (мб).

В литературе встречаются также сведения о макроструктуре приземного поля давления [105, 29*] и др. Согласно [29*], это поле является локально однородным и изотропным (на плоскости) и коэффициент корреляции хорошо аппроксимируется формулой

当 g(「)= e-v，3 = 0,765.

В этом обзорном параграфе мы остановились только на Ре' зультатах советских авторов потому, что ими было проведено наиболее полное исследование макроструктуры основных метео- 318

дологических элементов на обширном эмпирическом материале. Можно указать работы целого ряда других авторов [180——182, [84 190, 191, 195, 80*] по этому вопросу, результаты которых не мз^еняют по существу вышеизложенных, а лишь в некоторой

степени дополняют их.

§ 2, Об аналитической аппроксимации эмпирических структурных и корреляционных функций

Хотя во многих задачах прикладного характера можно пользоваться значениями структурных и корреляционных функций, взятыми непосредственно из таблиц, и нет необходимости в предварительном аналитическом представлении их с помощью тех или иных формул, тем не менее целесообразно остановиться на этом вопросе. При этом нужно напомнить, что не каждая функция может быть корреляционной или структурной. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее спектр Ф/； (fe) был положительным при любых значениях волнового числа k. Этому требованию удовлетворяют все функции предыдущего параграфа.

Аппроксимация эмпирических корреляционных функций —- процесс неоднозначный и совсем нетривиальный, как на первый взгляд может показаться. Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере аппроксимации статистических характеристик самого важного элемента — геопотенциала [147, 49*].

В § 1 упоминалось, что зависимость (1.13) вытекает из линейной формулы для ветра и геострофических соотношений. Выбор аппроксимационных формул для DHh (^) при всех г существенно ограничивается условием, что при малых г они должны переходить в (1.13). Исходя из этих соображений, Юдин [173] предложил (1.19). Однако легко видеть, что никаким подбором параметров ан и ос в (1.19) не удается удовлетворительно описать эмпирические кривые / и тем более 2 на рис. 49, а также зти кривые на рис. 50. Наоборот, сняв это ограничение, мы можем достигнуть в некоторых случаях хорошего согласия с эмпирическими данными, о чем свидетельствуют формулы (1.15)

黑ствительно, выпишем снова формулу (III, 89) с учетом

Внн (「)=](k)J° (kr) dk,(2.1)

о

「де ①нн (左)=2п左①(『)(左)——спектральная плотность пульсации

Внн (「) = ]<%〃 伊)d后 оВнн (「) = ]<%〃 伊)d后 о6""尸"加 dш)26""尸"加 dш)2Рис. 50. Автокорреляционные функции поля геопотенциала на разных уровнях в экваториальной области, по [28*].丿—"ioo, 2 — ”5Q0, 3 — //1«Ю-Рис. 50. Автокорреляционные функции поля геопотенциала на разных уровнях в экваториальной области, по [28*].丿—"ioo, 2 — ”5Q0, 3 — //1«Ю-

Внн (「) = ]<%〃 伊)d后 о

Внн (「) = ]<%〃 伊)d后 о

6""尸"加 dш)2

6""尸"加 dш)2

Рис. 50. Автокорреляционные функции поля геопотенциала на разных уровнях в экваториальной области, по [28*].

丿—"ioo, 2 — ”5Q0, 3 — //1«Ю-

Рис. 50. Автокорреляционные функции поля геопотенциала на разных уровнях в экваториальной области, по [28*].

丿—"ioo, 2 — ”5Q0, 3 — //1«Ю-

абсолютного геопотенциала изобарической поверхности p=const и представим бесселеву функцию в виде ряда

JG(kr)= 1^后 2产+^^”「4—(2.2)

Тогда

% J①"(々)k-dk十 0

+ %~ )①""(后)后 4 d左一

Однако, согласно (III, 12.30) и (HI, 12.33),

吟=j①""优)d坛о

0

^^^HH^k^dk,(2.3)

о

так что при небольших г

Внн (г)=搐 4~ Q”「十

+占吗/ ⑵4)

Отсюда видно, что, если известны эмпирические значения корреляционной функции Внн ⑺ для не очень больших г, то, аппроксимируя ее полиномом вида

Внн (г) = % — %产 + &2r4

и определяя «о, &ь &2 по методу наименьших квадратов, мы тем самым, согласно (2.3), определяем дисперсии самого геопотенциала а^ , его градиента о^” и лапласиана о；” .

Для структурной функции в таком случае получаем

^нн (г) — 2 [^н — Внн (г)] =}Т“2^~£“4,(2・5)

или

0""(「)=32一%* %=拿，^ = 4f-(25)

формула, аналогичная (2.5), но совершенно из иных сообра- *ен”而，была предложена1 в [23*]. Она отличается своим вто- нм членом от (1.13) и, как отмечается в [23*], обе формулы павноценны с точки зрения возможности аппроксимации эмпи- оических данных при малых г. Очевидно однако, что формула Y2 5) является теоретически более оправданной. Кроме того, нам Далось [147] дать отчетливую интерпретацию коэффициентов к м Ь? в (2.5).

Ьг при г V 500 км (г в сотнях км, DHhЬг при г V 500 км (г в сотнях км, DHhПо эмпирическим данным [107J и [108] нами были подсчи-

Ьг при г V 500 км (г в сотнях км, DHh

Ьг при г V 500 км (г в сотнях км, DHh

bx = 2, % = 6 • 10~з.bx = 2, % = 6 • 10~з.(2-6)(2-6)таны значения Ь и в гп. дкм2):

bx = 2, % = 6 • 10~з.

bx = 2, % = 6 • 10~з.

(2-6)

(2-6)

Тогда, если ввести, как и в (1.20), относительную структурную

функцию,функцию,получим

функцию,

функцию,

(2.7)(2.7)4"(Г)=1，43产一0,43个

(2.7)

(2.7)

где г измеряется в тысячах км. Однако (2.5) или (2.7) мы можем применять по крайней мере до r= 103 км. Теперь выбор аппроксимационной формулы для всех г ограничивается условием, что формула (2.5) должна быть асимптотой выбранной структурной функции при малых г.

Рассмотрим в связи с этим функцию

%/(「) = 2。汴囹，(2.8)

где Lh — характерный масштаб. При t《Lh

0"〃(Г) = 2号产一货产-(2.9)

LHLH

Сравнивая коэффициенты при г2 и г4 в (2.5) и (2.9), получаем

^^н = ^ 六，』^н = у^~,(2.10)

LHLH

откуда с учетом (2.6) находим:

厶0rh]orh 1=VbJ2b1300 км,aH = 3"J口 = bj2yb2 弋 Т3 гп. дкм,

0叩=/2%=2 • 1(?~5r口. дкм/м;

(2.12)321(2.12)321едя = 4 К2й2 = 4,4 ■ 10-11 гп. дкм/м2. (2.11) □ качестве среднего для всей совокупности в [107] также было получено Он—13 гп. дкм. Подставляя £к= 1300 км в (2.8) и определяя коэффициент корреляции, получим

(2.12)

321

(2.12)

321

二^ формула практически совпадает с (1.15).

См. формулы (1.20).

21 Заказ № 854

Таким образом, для дальнейших приложений мы имеем в распоряжении несколько выражений, (1.13)——(1.20) и (2.12), Для удовлетворительного описания макроструктуры поля геопотенциала. Каждое из них имеет преимущества и недостатки. Так например, формулы (1.15)——(1.17) хотя и имеют положительные спектры, очень сложны. Формула Юдина (1.19) не обеспечивает существования производных выше первого порядка. Действительно, как будет показано ниже в § 7, при 左一>8 ①нн(良)〜月т и, согласно (2.3), одн=оо. Формулы (1.19) и (2.12) при всех г дают для Rhh (^) лишь положительные значения, тогда как на некоторых участках Rhh(г) V0. Наконец, функция гауссо- вого типа (2.12) в качестве корреляционной является сингулярной. С ее помощью, как показано в работе Яглома [38], нельзя производить экстраполяцию. Однако это не мешает использовать ее в ряде других задач. Поэтому мы выпишем снова формулы (1.18) и (2.12) в виде

^нн(О = ^ (1 + аг) е^аг,(2.13)

%н (г)=宕*-"" ,(2.14)

причем по эмпирическим данным а 〜а*. С этими двумя формулами в качестве модельных мы будем оперировать в последующих расчетах при получении конкретных результатов.

Заметим, что формула (2.13) может быть записана еще в виде

Внн (г) = ан (")3 2K3/2 (аг),(2.13)

где К” (х)——функция Макдональда.

Интересно отметить, что формулы типа (1.12) и (2.13) можно объединить, полагая 2

Bf八г, q^M^^qe-" — е-吟,(2.15)

где q ——числовой параметр.

Действительно, при gf8 (практически при q ^ 10) (2.15) переходит в (1.12), а при 夕->1—в (2.13). Кроме того, (2.15) устраняет основной недостаток (1.12), заключающийся в том, что В；т(0)，0. Нетрудно убедиться, что В；『(0, 9)=0・ В дальнейшем будет показано, что формулы (2.13) — (2.15) имеют положительные двумерные спектры.

Метод подобия и размерности в задаче о макроструктуре основных метеорологических элементов

Независимо от того, что в настоящее время уже имеются многочисленные эмпирические сведения, макроструктура метеорологических полей остается все еще мало изученной. Может 322

быть причина этого заключается в том, что для эмпирического определения соответствующих статистических характеристик У*но обработать огромный материал наблюдений.

С другой стороны, совершенно ясно, что, если мы определим структурные характеристики по исходным данным, относящимся к полю, и затем, используя их, произведем анализ поля, то это несомненно повысит его объективность. Тем самым отпадает вопрос о применимости к данному случаю структурных характеристик, определенных по другому независимому материалу, или теоретическим путем. Хотя такой подход к рассматриваемому вопросу является в принципе логически наиболее обоснованным, на нынешнем этапе он все же неприменим в оперативной практике.

Дело в том, что на вычисление структурных характеристик метеорологических полей, даже с помощью быстродействующих электронных вычислительных машин, тратится много времени, не говоря уже о том, что возможности статистической обработки данных наблюдений вручную и вовсе ограничены. При этом в ряде случаев из-за малого количества наблюдений статисти-* ческие характеристики оказываются нерепрезентативными.

Это приводит к необходимости использовать приближенные (но достаточно точные) полуэмпирические или теоретические соотношения в качестве универсальных характеристик макроструктуры метеорологических элементов. Можно предположить, что, как и в случае мелкомасштабных пульсационных движений, макротурбулентные пульсации элементов подчинены некоторым внутренним закономерностям. Первый шаг на пути установления этих закономерностей был сделан Юдиным [170], теоретически объяснившим на основе спектральной теории [104] эмпирическую линейную зависимость (1.6). Подобно «закону 2/3» Колмогорова——Обухова линейная формула подтверждается многочисленными эмпирическими данными.

Однако в конкретных случаях не исключены отклонения. Это

вполне понятно, так как структурные характеристики зависят от РяДа факторов, как высота, географическое положение, пои т. д. Поэтому вопрос о связи разных параметров в формулах с некоторыми легко определяемыми характеристиками конкретного состояния атмосферы имеет большое практическое значение. Основные идеи в этом направлении высказаны авто- Р。露[151], а затем развиты в [152] и [49*].

21*21*Рпмн [170] показал, что если имеет место изотропия только отношению к разности горизонтальных составляющих скорост? ветра,『среднеквадратическое значение вертикальной соНа Вляющей приблизительно постоянно, то имеет место линей- тать3аВИСИМ°СТЬ для структурной функции Q〃(r). Мы будем счи- 厶нне『тНиУС"°в“" выполняющимися и постулируем применимость Нои зависимости для структурной функции как скорости

21*

21*

ветра, так и температуры. На основе этих и некоторых других предпосылок вычислим коэффициенты а〃 н &丁 в (1.6). Так как при этом привлекается метод размерности, то все расчеты приобретают достаточно общий характер.

Метеорологам хорошо известно влияние силы Кориолиса на атмосферные движения. Уже при небольших масштабах она становится одним из определяющих факторов и ее влияние растет с увеличением масштаба. Эта сила уже давно учтена в уравнениях осредненного движения атмосферы и соответствующая система хорошо известна [104]. Мы считаем, что сила Кориолиса влияет также и на структуру пульсационной составляющей движения, больше или меньше сообразно масштабу явления. Это предположение, по^видимому, впервые было высказано Чаплыгиной [168], однако четко оно было сформулировано в [151] и является одним из основных пунктов излагаемой дальше теории. Будем называть его Q-гипотезой.

В рамках теории размерности эта гипотеза, наряду с основными параметрами е н N теории локально изотропной турбулентности Колмогорова——Обухова, приводит к появлению нового размерного параметра — параметра Кориолиса

Q = 2(о sin ср. (3.1)

Смысл параметров е и N — скорости диссипации турбулентной энергии и ее аналога для температурного поля ——в теории микротурбулентности известен. С известными уточнениями он сохраняется и в случае атмосферной макротурбулентности.

Действительно, под влиянием самых крупных неоднородностей поля притока тепла к атмосфере от подстилающей поверхности возникают движения синоптического масштаба порядка тысяч километров. Однако они оказываются гидродинамически неустойчивыми и при потере устойчивости распадаются на движения мелких масштабов, передавая им основную часть своей энергии. Возникающие квазидвумерные движения меньших масштабов в свою очередь порождают движения еще меньших масштабов и т. д., т. е. имеет место аналогичный каскадный процесс передачи энергии по спектру от больших масштабов к малым, как и в случае микротурбулентности. Разница заключается в том [35*], что все движения синоптического масштаба непосредственно и непрерывно генерируют микротурбулентные движения вследствие наличия больших вертикальных градиентов скорости ветра вблизи земной поверхности (а также в струйных течениях), расходуя на это часть своей энергии. Кроме того, другая часть энергии первоначальных макронеоднородностеи передается в сторону больших масштабов к течениям планетарного масштаба типа общей циркуляции атмосферы. Хотя процесс диссипации и обусловлен явлениями молекулярного масштаба, но в силу постоянства среднего уровня кинетической энер- 324

атмосферы средняя скорость диссипации для всей атмо- Г(Ьеры £ дложна равняться скорости преобразовани(я солнечной непгии в кинетическую энергию воздушных масс. Так, собст- А и было получено Брентом значение е=5 см2/сек.3.

q；o касается величины М то она характеризует процесс вы- внИВания (сглаживания) температурных неоднородностей под влиянием крупномасштабной турбулентности, описанный в [115]. Макротурбулентность приводит к уменьшению разности темпе- атур между теплыми и холодными воздушными массами и об- пазованию локальных областей больших температурных градиентов. В этих областях происходит интенсивное превращение энергии неустойчивости в кинетическую энергию крупномасштабных пульсаций ветра. Развивающаяся при этом турбулентноСТЬ более мелких масштабов продолжает процесс выравнива- нмя температур вплоть до проявления молекулярной теплопроводности.

Поскольку [е] = £27-з, [Q] = 7-\ [^=02Г~\ то из этих параметров можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность длины“•

(3.2)(3.2)LK = qK^-^

(3.2)

(3.2)

где 9к ——числовой параметр порядка единицы, значение которого должно определяться по эмпирическим данным. Для средних широт Q~ 10~4 сек."1 и при е = 5 см2/сек.3 получим

厶к 229K (здесь Lk в км).(3.3)

По своему физическому смыслу Lk является некоторым характерным масштабом, определяющим влияние силы Кориолиса на структуру полей скорости и температуры. Так как макропульсации температуры обусловлены в основном адвекцией, то становится ясным, почему мы включаем Q в систему параметров, определяющих макроструктуру температурного поля. Составим из е, W и Q также масштабы скорости и температуры:

ик=тг/2, %=(мз吗(3.4)

Тогда для структурных функций можно написать выражения

DTT (г)=碌％ (力丄 к) = NQ-Ft (。，(3.5)

夕化)—универсальные функции безразмерного аргумента ，=〃丄衣・ Поскольку для определения этих функций мы поль- ^емся только методом размерности, а эмпирические сведения взывают, что структурные функции имеют степенной вид, то ы запишем их в виде

Ри^ = А^.尸丁 (0 = 4亡(3.6)

325

Тогда

« а 3,

4(Г)= 4& * Q? 「，

Q“(r)= A；N「"2Q可(3.7)

где, согласно общим положениям теории подобия и размерности %〜1, А；=АМк〜1 (f=〃，Г).'

При 工《1, согласно сказанному выше, параметр Q несуще ствен. Для того чтобы он не фигурировал в (3.7), должно быть а=5=2/з, В результате этого получаем

Оц^^Аи^г13 и DTT(r) = ATN&-ll^'\ r^LK, (3.8)

т. е. «закон 2/з» Колмогорова——Обухова, который выполняется в атмосфере именно для малых г (в инерционной области), где наблюдается полная (трехмерная) изотропия.

При больших г (г£>^к), согласно (1.6) и теоретическим результатам Юдина [170, 104], в (3.7) надо положить а=6=1. Тогда получим:

'D^^A^^r,

DTT (г) = ATN(Й/е)1/2г.(3.9)

Числовые константы 力北 и 4； определяются эмпирически и должны быть порядка единицы. Вообще, если принятая нами Q-гипотеза близка к действительности, то значения коэффициентов перед г в (3.9) должны по порядку величины совпадать с эмпирическими в (1.7). Проверим это утверждение.

Значения Q и е (для средних условий) известны. Что касается величины N、то ее можно вычислить, зная величину а^= = С^%£-% в свободной атмосфере при безразличном равновесии. Согласно Татарскому [160], ат^7 • 10-3 град/см%. Принимая е=5 см2/сек.3 и С^ =3,8 (см. рис. 38 б), получим N= =2 • 10~5 град2/сек. Тогда

аи = Аи (ей)1/а = 22 • 10一5厶：м/сек/,

aT = ATN(QI^,2=0,88 • 10一5厶；「рад^м. (3」°)

Сравнивая это с (1.7), находим Л^« 1,36 и 力；=3, т. е. эти ко

2/з》 ОНИ ОСТМ2/з》 ОНИ ОСТМэффициенты получились действительно порядка единицы.

2/з》 ОНИ ОСТМ

2/з》 ОНИ ОСТМ

Итак, мы имеем две структурные зависимости: «закон (3.8) и линейные формулы (3.9). Как указывалось выше, получены из условия изотропности по отношению к разн

дит к (3.2):дит к (3.2):厶Ku =厶Ku =3J/20 — 3/2.3J/20 — 3/2.оСТей и температур для любого направления (3.8) и разно- сК Только горизонтальных составляющих (3.9). В промежуточ- ст 询 области 尸〜厶衣 эти условия не выполняются. Поэтому на ос". подобных соображений невозможно определить вид струк- ^ ннх функций в этой области (мезоструктура). Тем не менее, ?Унме этих функций и при r~Lx представляет некоторый ин- 3 еС в первом приближении мы можем просто формально《по- пелить» промежуточную область между двумя законами (3.8) ? (3.9), считая, что при г W Lk выполняется (3.8), а при >£к二(3.9). Тогда совместное решение1 (3.8) и (3.9) приво-

дит к (3.2):

дит к (3.2):

厶Ku =

厶Ku =

3

J/20 — 3/2.

3

J/20 — 3/2.

3 e"2Q — 3/23 e"2Q — 3/2

3 e"2Q — 3/2

3 e"2Q — 3/2

и дает некоторые указания о величине числового коэффициента qK в (3.2): qx产 qKT = qK*2. Таким образом, для средних условий £к—45 км. К этому вопросу мы вновь вернемся в § 7、

Формулы (3.8) и (3.9) были получены без учета влияния стратификации атмосферы. Они могут быть обобщены и на случай стратифицированной атмосферы. Вспоминая определение масштаба Обухова (VIII, 3.15)

4 =n4%-3/4厂3/2,

где 6=g/T, можно написать: а 3 %(r) = &e「电⑺厶)，

DTT{r) = ATN^Q^ 一 r\T(r\L^,(3.11)

где(pu (g) и(рт(Е) —универсальные безразмерные функции, нормированные при £=0: (ри(0) =(рт(0) = 1. Они должны опреде- *ться эмпирически или на основе дополнительных гипотез. В качестве такой гипотезы можно принять предположение Болд- ?ано [50*] о несущественности параметра е при сильной устой- ивости и больших г, когда турбулентность таких масштабов в±*} значительную часть энергии на работу против архимедо- №广"，'°「。чт°бы параметр е не фигурировал в (3.11), функ- ； ：$(£) и(pT(g) должны иметь следующий асимптотический

_42__二&

(3.12)(3.12)九（9~戸5 \中丁侬）一三 5

(3.12)

(3.12)

Зтот прием используется в § 5, гл. IV.

Тогда в общем случае

Du (r) = b^a~^^ 3 危(I)吉<4+3a),

DTT (г) = b^ - N 一而”亏尸.(3.13)

Отсюда при а=&=2/з получаем (VIII, 3.20) и (VIII, 3.21), а при а=6 = 1'

。“ (г)〜г"5 И 07T (г)〜产5.(3.14)

Следовательно, в случае сильной устойчивости Q〃(r)〜г% но 2.4 [ За, с

так как —а 1, то всегда п = —— -1— > 1. Зто вполне

3о о

согласуется с опытными данными Пинуса [54*, 55*]. Для структурной функции температуры имеем Dtt (г)^^, где т= ——v V-|-, однако т весьма близко к 2/3. Такие малые отклонения от «закона 2/з» трудно установить эмпирическим путем.

§ 4. Переход к области насыщения структурных функций

Как отмечалось выше, эмпирическим путем было обнаружено, что линейные соотношения (1.6) справедливы при rV103 км. Причиной нарушения «линейности», по-видимому, является общее стремление структурных функций к «насыщению» при очень больших г. С другой стороны, на таких больших расстояниях нельзя пренебрегать изменениями параметра Кориолиса с широтой. Иными словами, нужно учитывать так называемый эффект Россби. Это приводит к появлению нового размерного параметра — параметра Россби

Р = -^- = ^~ cos <р 1,3 • К)-】' см^】 сек.-1, (4」) где ось у направлена по касательной к меридиану, “о——радмУ Земли.

Чтобы оценить, для каких значений г начинает сказывать。, этот эффект, мы должны составить какой-либо масштаб с У"\ стием р. Так как [8]=厶一"一‘,то необходимо привлечь еще 嗖. параметр. В качестве такового, в свете вышеизложенных с°°6р； жений, может участвовать только скорость диссипации эне^ 328

гии & лсениюгии & лсению(4-2)(4-2)т & L = f(0, е). Анализ размерностей приводит к выра-

гии & лсению

гии & лсению

(4-2)

(4-2)

(4.3)(4.3)q — числовой множитель порядка единицы. Подставляя р (厶)и 8=5 см2/сек.-3, получим

(4.3)

(4.3)

〃夕 7 750 км,

т е 厶〜IO? км. По-видимому, это тот масштаб, который был установлен эмпирически (см. § 1 и 2).

' Отметим еще, что из параметров е, р и Q, кроме масштабов 厶 м Lk (уже использованных нами выше), можно составить еще один масштаб длины Z/〜Q/B 〜10& км. Для таких масштабов порядка радиуса Земли метеорологические поля сущест- венн0 неизотропны и при определении двухточечных статистических характеристик нужно учитывать сферичность Земли

Сопоставим 厶衣 н L с внутренним (Хо) и внешним (厶口) масштабами в теории микротурбулентности. Масштаб L аналогичен внешнему масштабу £0. При r《L турбулентность можно считать квазиизотропной в двух измерениях. Точнее, это допустимо при Lk《t《L, когда выполняются линейные законы (3.9). При г&/>к горизонтальная изотропность нарушается, а при 厂《厶衣 микротурбулентность становится изотропной во всех трех измерениях. Следовательно, масштаб LK в известной мере аналогичен внутреннему масштабу Хо.

Интересно отметить, что L медленно изменяется с изменением е, так как L 〜е% В то же время LK существенно зависит от е : Lk ' е,/2.

Вернемся снова к (4.2). Точное значение множителя q пока неизвестно. Строго говоря, масштабы L надо было составить отдельно для полей скорости ветра, геопотенциала и температуры. Есть, однако, основания (квазигеострофичность крупномасштабных атмосферных движений) считать, что LC=LH, т. е. 9с=9н・ Как указывается в [108], среднее для изобарической поверхности 500 мб значение £с= 1500 км. По эмпирическим Данным и 厶丁〜1000+1500 км. Следовательно, можно полагать, что

Qc~Qh^Qt ~Q = 2,(4・4)

Но ДЛя общности в дальнейших рассуждениях некоторое время числовой параметр q не будем считать закрепленным.

Примем теперь, как это часто делается в теории микротурбу- ентностц, что линейные законы (3.9) можно экстраполировать ПЛоть Д° r=L, и подсчитаем Du(L) и Dtt(L):

l>〃(上)= 1,36(ей)1/2 L = 1,369B"20-3户Е7〃0,

DTT⑷=3^(Q/e)1/2 L = 39。"20-3/5n8-3〃0.(4.5)

См. § 7, гл. X.

Допустим, что

Du (L)^ Du (co) = Oc； DTT (Л) ^ DTT (co) = 2宕,(4.6)

т. e.

%=1/戸0呻-3〃噎吗

匕=1,2勺"气尸4厂3"。n1/2ё一3/20,(4.7)

и проверим, совпадают ли вычисленные значения ос и 行丁 по порядку величины с эмпирическими: ос^- 10 м/сек. и от^-34-5℃. Подставляя в (4.7) указанные выше значения Q, р, е и N, получаем 行(：弋14yg м/сек., ог~4У q ℃, т. е. совпадение вполне удовлетворительное.

Интересно отметить, что от меняется главным образом за счет изменения N, так как е входит в степени ^/加弋】%. Вообще говоря, N, как и е, зависит от характера погоды на большой территории, размерами порядка 丄. Однако ясно, что не стоит пытаться определять ос и 行丁 при конкретных метеорологических условиях по £ и N, так как значения этих тонких характеристик турбулентности, входящих в (4.7), в настоящее время трудно оцениваются. Наоборот,仇 и в особенности Оу можно легко определить на основе ежедневных аэрологических наблюдений и при этом значительно более точно, чем е н N. Решая простую систему (4.7) относительно е н М получим:

е = 0,77g _ I。" Q-5軍，7 毋 7,

N = 0,61g TQ'7q -5.軍,7 d 06/7(4.8)

(e/Л' = 1,26c 游)，

а для масштабов LK и L:

LK = 0,75g f7 s -13/7 p3/70l 0,7,

丄= 0,95严 7q7/7b-3"o*7.(4.9)

Так как Q и p мы считаем постоянными, то, измеряя ос в м/сек., бт в ℃, е в см2/сек.3, N в град2/сек., а 厶衣 н L в км, последние формулы приведем к виду:

е = 0,26 • 1(ГZg-M措7, N=2,l • lO-’gTo%^"。*, LK = l,02gT/7{"7, L = 162gs%”(4.10)

а при ^~2:

e = 0,96 • IO—評"，n=0,78 . 10-7o®'7°L

LK = 0,62a^17,丄= 266。；.(4.И)

По этим формулам построены рис. 51 и 52.。

Следовательно, если известны значения ос и 行丁 на данН。宜 изобарической поверхности (высоте), по (4.11) или соответст* 330

с величиной N.с величиной N.Рис. 51. Номограмма для вычислений е и N/o2T по о&Рис. 51. Номограмма для вычислений е и N/o2T по о&Рис. 52. Номограмма для вычислений линейных масштабов Lr н £ по Gc・Рис. 52. Номограмма для вычислений линейных масштабов Lr н £ по Gc・

с величиной N.

с величиной N.

Рис. 51. Номограмма для вычислений е и N/o2T по о&

Рис. 51. Номограмма для вычислений е и N/o2T по о&

Рис. 52. Номограмма для вычислений линейных масштабов Lr н £ по Gc・

Рис. 52. Номограмма для вычислений линейных масштабов Lr н £ по Gc・

10mHM номограммам, можно сразу определить е, М Lk и L. r настоящее время в литературе имеются хотя и немногочислен- » но достаточно надежные эмпирические сведения [156, 39*а, ^pgi ° годовом ходе и зависимости ос от высоты над уровнем 。 貝 Значительно более полными являются эмпирические дан- мы^ о от [61*, 39*а, 65*]. Исходя из (4.11), можно заключить, Mo е £к и L имеют такой же ход, как и ос. Сложнее обстоит

дело

На основании (4.5) и (4.6) формулы (3.9) могут быть записаны в виде

Du(r) = 2a^, 07T (г) = 2^£(£《1)，(4.12)

где с^=2(т：. Эти соотношения дают возможность легко по- строить интерполяционные формулы при больших г. В статисти- уской теории турбулентности для этой цели часто используется формула Кармана (III, 8.24)

%(Г) = 2 的"孤㈢ ％ ㈢],(4.13)

которая при г《п принимает вид

0"⑺= 2。；强抨3言广(4.14)

""” Того чтобы формула (4.14) совпадала с (4.12), необходимо

331

(4.43)(4.43)положить р=% и rG=L. При таких v и 仙，на основе получаем

(4.43)

(4.43)

A(r) = d(l — e"),

(4.15)(4.15)，(4.16)，(4.16)%(Г) = 2。抖1一6一),%(Г) = 2。抖1一6一),Рис. 53. Нормированные структурные функции./ — d„u) и dTT{x), 2 —4с(”)，3^dnn{x}.Рис. 53. Нормированные структурные функции./ — d„u) и dTT{x), 2 —4с(”)，3^dnn{x}.

(4.15)

(4.15)

，(4.16)

，(4.16)

%(Г) = 2。抖1一6一),

%(Г) = 2。抖1一6一),

Рис. 53. Нормированные структурные функции.

/ — d„u) и dTT{x), 2 —4с(”)，3^dnn{x}.

Рис. 53. Нормированные структурные функции.

/ — d„u) и dTT{x), 2 —4с(”)，3^dnn{x}.

где啤=項=где啤=項=При r《L последняя формула приобретаетПри r《L последняя формула приобретает

где啤=項=

где啤=項=

При r《L последняя формула приобретает

При r《L последняя формула приобретает

видвидDcc(r) = 3a^, r《L.Dcc(r) = 3a^, r《L.(4.17)(4.17)

вид

вид

Dcc(r) = 3a^, r《L.

Dcc(r) = 3a^, r《L.

(4.17)

(4.17)

Соответствующие нормированные структурные функции представлены на рис. 53.

Для корреляционных функций имеем:

В"(г) = 4■。储BTT{r) = ^e-a,, а=；.(4.18)

Формула (4.18) является существенной детализацией (1.12) в том смысле, что установлена в явном виде зависимость множителя а=，т от ряда факторов, о которых говорилось выше. Это *' относится и к другим формулам.

332

§ 5. Пространственная макроструктура поля геопотенциала в свободной атмосфере

Исходя из уравнений геострофического ветра [104], имеем：

(5-1)(5-1)£2% = — 98 Vy〃，Q% = 98 V*〃,

(5-1)

(5-1)

e ^a=d/ds, 〃g，Vg и H — отклонения составляющих скорости геострофическо го ветра и геопотенциала от климатических норм, причем скорость измеряется в м/сек., а геопотенциал —— в гп. дкм. Из (5.1) обычным способом получим

22 (%成2 + 力g3gj = — 9* (~^~ + "^) 〃i〃2，(5⑵

где 〃=/(№)・ А=*2 —乱 гу=у2 — уи 户=吃+吟 Вводя полярные координаты и используя условие изотропности, получаем

(5.3)(5.3)Bu (г) = Bee(r) = 一 (98网2 2&m(Г),

(5.3)

(5.3)

гдегдеd21d02=而+ 7石d21d02=而+ 7石(5-4)(5-4)

где

где

d21d

02=而+ 7石

d21d

02=而+ 7石

(5-4)

(5-4)

согласносогласноНо для соленоидального векторного поля, каким,

согласно

согласно

является поле геострофического ветра, выполняется соотношение (1.9). Тогда вместо (5.3) будем иметь

B；w(r) = -(2/98)2rB„(r),B；w(r) = -(2/98)2rB„(r),(5-5)(5-5)

B；w(r) = -(2/98)2rB„(r),

B；w(r) = -(2/98)2rB„(r),

(5-5)

(5-5)

или

(5.6)(5.6)0/(，)=(固98)2 [о2 一 0“ ⑺卄.

(5.6)

(5.6)

Подстакпяя сюда (4.15), после интегрирования получаем эмпирическую формулу Юдина1 (1.19), но уже с «расшифрованными» коэффициентами,

(5-7)(5-7)(5.8)(5.8)分"(「)= (备广。泣2 [1 - (1 + £) е ~ 斗 гАе, согласно (4.11), L=266g?7. Отсюда находим

(5-7)

(5-7)

(5.8)

(5.8)

DHH(8)= 2 曲=(Q/98)%泣2

зац ^^©©нинент С в формуле Чаплыгиной (1.14) тоже может быть свя- — Раметрамн е н Q. Действительно, так как \H\=UT-Zt то Р^(г)= ^иКрн(г/Ьи) =4% (е/О)2(г/е'/2О-72)т, Agl. Отсюда при т=5/з находим

%/(С=<ХЗ,5 3

или

% =(Q/98 /Г) Lac = 0,116В，玻"，⑸

а при g=2'

% = 0,19%" ,(5.1Qj

т. е. у ⑴=0」9 гп. дкм.

Формула (5.9) удобна для эмпирической проверки. Если по данным одновременных наблюдений рассчитать Он и ос, зависимость Он от Ос аппроксимировать на основе (5.9) степенной фОр. мулой

и〃 = 4%(5.11)

и определить Л и m по методу наименьших квадратов, то получим возможность определить и ^. К сожалению, такой обработки опытных данных, насколько нам известно, пока не проведено.

В качестве предварительных и весьма ориентировочных значений коэффициентов Л и m в (5.11) можно принять рассчитанные автором по данным трехлетних (I960—1962 гг.) аэрологических наблюдений в Софии на уровне 500 мб. Получилось Лэмп=0,24, тэмл= 1,62 и дзмп=2,8. Отметим также, что теоретическое значение коэффициента Л в (5.10) существенно зависит от значений /； в (3.9) и в (4.2), тогда как m всегда равно п/7 Поэтому найденное значение Л=0,19 в (5.10) поддается дальнейшему уточнению. Весьма показательным, по нашему мнению, является тот факт, что тэмл очень близко к ^€0₽=11/7~ 1,57. Зная Л, можно пользоваться формулой (5.11) для вычисления Он по данным о Ос при т='+.

Однако хорошо известно, что ежедневные аэрологические данные о величине геопотенциала изобарических поверхностей в свободной атмосфере являются значительно более полными и надежными, чем данные о ветре. Поэтому и Он можно определить легче и более точно, чем о& Это указывает на необходимость решения обратной задачи ——определения о。 по Он・ Из (5.10) найдем

% = 2,9留".(5・12)

По этой формуле построен рис. 54.

Подставляя (5.12) в (4J 1), получим:

е = 0,02謂/и,1,95 • ](Г7芻1 昌，

厶=2,5君"，£=490応"，(5/3)

где Он ——в гп. дкм, а 工 N, Lk в L получаются в тех же единицах, как и на рис. 51 и 52. Например, пусть, как и в (2.16 Он=13. Тогда с=2,2, £к=29, £ = 1240 и ос= 15. Для сравнения укажем, что, согласно (1.10), ос^ 16.

334

Практический интерес представляют также мулы для атмосферного давления. Исходя Яз (5-1)，а изpQ% = — V М, pQq, = Vвместо (5.9) получим_Практический интерес представляют также мулы для атмосферного давления. Исходя Яз (5-1)，а изpQ% = — V М, pQq, = Vвместо (5.9) получим_соответствующиес самого началасоответствующиес самого начала(5-14)(5-14)где ргде р。产声QS，。产声QS，(5.15)(5.15)'„- среднее значение плотности на данной'„- среднее значение плотности на даннойвысоте.высоте.нению состояниянению состоянияp=p]RT, так чтоТ ~ V2 RT 'p=p]RT, так чтоТ ~ V2 RT 'По урав-По урав-(5.16)(5.16)НЫМ О Он.НЫМ О Он.

Практический интерес представляют также мулы для атмосферного давления. Исходя Яз (5-1)，а из

pQ% = — V М, pQq, = V

вместо (5.9) получим_

Практический интерес представляют также мулы для атмосферного давления. Исходя Яз (5-1)，а из

pQ% = — V М, pQq, = V

вместо (5.9) получим_

соответствующиес самого начала

соответствующиес самого начала

(5-14)

(5-14)

где р

где р

。产声QS，

。产声QS，

(5.15)

(5.15)

'„- среднее значение плотности на данной

'„- среднее значение плотности на данной

высоте.

высоте.

нению состояния

нению состояния

p=p]RT, так что

Т ~ V2 RT '

p=p]RT, так что

Т ~ V2 RT '

По урав-

По урав-

(5.16)

(5.16)

НЫМ О Он.

НЫМ О Он.

При ос=17 м/сек., £ = 1。3 км, 7=250° К, р=500 мб получаем

。产8 мб, что согласуется с эмпирическими данными [38*].

При <■《£, раскладывая (5.7) в ряд, получим «закон квадрат минус куб»

与"(，)=望产一翦-(5」7)

предположениятемпературы ипредположениятемпературы иДо сих пор все построения велись на основе

предположениятемпературы и

предположениятемпературы и

0 выполнимости линейных формул для ветра и _ _ _ зависимости «квадрат минус куб» для геопотенциала. Однако, ак било показано в § 2, далеко не всегда этими формулами ожно удовлетворительно описать эмпирические структурные

菖;麗矶 В частности, хорошее приближение дает формула '4)，г^е % = 1/£*. Согласно (5.3), в этом случае

瓦с (Г) = 4 (吟)(芒)(1 _ W)瓦с (Г) = 4 (吟)(芒)(1 _ W)

瓦с (Г) = 4 (吟)(芒)(1 _ W)

瓦с (Г) = 4 (吟)(芒)(1 _ W)

Отсюда при г=0 (/ (。)=片)получаем

(5.18)(5.18)笃=2 (98/Q) %%.

(5.18)

(5.18)

Рис. 55. Изменение среднеквадратических и температуры (От) с высотой в январе ным [6*].Рис. 55. Изменение среднеквадратических и температуры (От) с высотой в январе ным [6*].значений геопотенциала (он)н июле над Москвой по дан-

Рис. 55. Изменение среднеквадратических и температуры (От) с высотой в январе ным [6*].

Рис. 55. Изменение среднеквадратических и температуры (От) с высотой в январе ным [6*].

Рис. 56. Годовой ход дисперсии температуры на разных уровнях, по [9*].

；—100 мб, 2 — 200 мб, 3 — 300 мб, 4 — 400 мб, 5 — 500 мб.

Потребуем, чтобы эта формула совпала с (5.8). Это приводит к соотношениям

пли

(5.19)

того чтобы можнотого чтобы можном случае, как будет показано ниже, обе модели во многих *：чаях приводят к близким результатам.

того чтобы можно

того чтобы можно

СЛ Итак, согласно вышеизложенному, для

вв[9*, 6=% 38*, 65*[9*, 6=% 38*, 65*6 ло вычислить а, е, ^, LK и L по (5.12) и (5.13), нужно знать %ько он и от. Такие данные содержатся 山 八亠

в

в

[9*, 6=% 38*, 65*

[9*, 6=% 38*, 65*

т 口 1 Они характеризуют зависимость сн и о『от высоты над уровнем моря, широты места и времени года. Два примера представлены на рис. 55 и 56.

'Вычислим в заключение интегральный макромасштаб кор-

реляции по известной формуле

R/ = 3 f Bff(「) dr=i А" К)公・боПодставляя сюда последовательно (2.13) и (2.14), с учетом (5.19)А〃 = 2£ и /?® =и0,9£*1,3£.R/ = 3 f Bff(「) dr=i А" К)公・боПодставляя сюда последовательно (2.13) и (2.14), с учетом (5.19)А〃 = 2£ и /?® =и0,9£*1,3£.(5.20)(5.20)получимполучим(5.21)(5.21)

R/ = 3 f Bff(「) dr=i А" К)公・бо

Подставляя сюда последовательно (2.13) и (2.14), с учетом (5.19)

А〃 = 2£ и /?® =и0,9£*1,3£.

R/ = 3 f Bff(「) dr=i А" К)公・бо

Подставляя сюда последовательно (2.13) и (2.14), с учетом (5.19)

А〃 = 2£ и /?® =и0,9£*1,3£.

(5.20)

(5.20)

получим

получим

(5.21)

(5.21)

§ 6. Временная макроструктура полей основных метеорологических элементов

Еще в работах Юдина [170—172] путем анализа эмпирического материала было показано, что гипотеза Тейлора о «замороженной турбулентности» применима и к атмосферным макропроцессам, т. е.

%(r) = %("t)〜。〃(t),(6.1)

где в правой части равенства представлена временная структурная функция, а в левой ——пространственная , U ——средняя скорость потока.

На основании (6.1) и (3.9) можем сразу написать (при r》Z):

0〃(0=屋(酬产2"2

07Tg = A；7V(Q/m)】2。％(6.2)

r“£ Pk=Lk/U〜1 час. Однако из параметров ef Q и U можно вставить одну безразмерную комбинацию

S = 0/Q 产 2“-з = ®q“2)3：2 = Зк/")3.(6.3)

Тогда в (6.2) должно быть

22 Заказ № 85422 Заказ № 854Au^f^S) и 4 = %(S)・(6・4)

22 Заказ № 854

22 Заказ № 854

337

Далее, нетрудно видеть, что из параметров е и Р можно со ставить один масштаб времени, так что с учетом (4.2) будем иметь

г с 1/5д —3 5с —1 5с —2/5,

L = qw g нВ ，(6.5)

где 夕1 〜L Для средних условий (£=5) то/д^ 〜28 час.

С другой стороны, гипотеза переноса макропульсаций метеоэлементов средним потоком предполагает, что' скорость этого потока

" = 〃％, или U=F『s.(6.6)

При 9=2 н с н В，определенных из (4.11) и (4.1), получаем

"=(。//2%)%，или(6.7)

так как u?7/2gi^ 1, если U и о© измеряются в м/сек.

Следовательно, в отличие от мелкомасштабной, при крупномасштабной турбулентности о© сравнимо с величиной скорости U среднего потока. Это было установлено и эмпирически [136]. Поэтому вместо более сложного выражения U 〜吁,содержащего размерный множитель пропорциональности, будем писать просто и^ос. С учетом этого обстоятельства (6.3) н (6,5) можно переписать в виде

5=0,23 • 10一4謂7,(6.8)

% = 47呜“и (% в часах).(6.9)

Нетрудно проверить, что даже при ос=25 м/сек. S《l. Это позволяет представить (6.4) в виде

4：(5) = % + %5 и 4；(S) = %+%S

и определять а。，〃力力о и Ъ^ эмпирически.

В более удобной форме можно записать и (6.2) (при тк《 《百《То)：

4(。= A： (S) S-%t = Р (5) st,

DTT (т) = A； (S) S「73M = Q (S) М.(6.Ю)

Эти формулы могут оказаться полезными при обработке эмпирического материала.

В соответствии с (4.18), (2.13), (2.14) и гипотезой замороженной турбулентности для произвольных значений т можно написать:

5〃(с)=；备一£ Вгг(т) =а^~°°т,

Внн (с) = °н (1 + 气弋)е ~ £ 5脑《) = и% е - %「，(6.11)

ао=1/то, a uz—проекция скорости ветра на направление, 鬻а£ёльное средней скорости 6Л

“ *3а последние десятилетия появилось довольно много работ А кпеменнбй макроструктуре (или, как еще говорят, изменчиво- п \ метеорологических элементов [21*, 13*, 14*, 61*, 81*, 39а* ° пр.]. Некоторые из полученных результатов представлены на " с 57 и 58. Хорошо видны линейные участки во внутрисуточ- "о/ интервале. Вместе с тем, никакой тенденции к насыщению не замечается при т 〜24 час. Согласно данным, приведенным на

Рис. 57. Временная структурная функция вектора скорости ветра на высотах 5 и 10 км над Владивостоком, по [13*]

рис. 59 и 60, это происходит при т > 48 час. Структурные функции геопотенциала и температуры на уровне 500 мб получились подобными; функция Втт(^) явно не может быть аппроксимирована экспонентой вида е-ат. Этот факт, по нашему мнению, заслуживает особого внимания. Дело в том, что уровень АТ500 熱130K к среднему энергетическому уровню [102], на котором 呪где Т(р)—температура на этом уровне (согласно П°2], р«400 мб). Такое подобие существует и между простран- 用 венными корреляционными функциями на уровне ZTsoo (см. рис. 48 и 49). С другой стороны, вдали от этого уровня и на ??Мле [Ю5] функция Втт(г) имеет простую форму типа (4.18). Га основе этого можно высказать предположение, что вблизи Ч^еднего уровня (400—500 мб) структурные и корреляционные Функции как бы «подстраиваются» по форме (прежде всего для а“нх г и т) к соответствующим функциям геопотенциала, характерная форма которых сохраняется на всех уровнях (она

хорошо видна на рис. 49). Это предположение нуждается в дальнейшем уточнении и проверке.

Рис. 58. туры наРис. 58. туры наВременная высотах О,Временная высотах О,Рис. 59. Эмпирическая структурная функция иНн (т) на уровне 500 мб над Софией./ — холодное полугодие, 2 — теплое полугодие.Рис. 59. Эмпирическая структурная функция иНн (т) на уровне 500 мб над Софией./ — холодное полугодие, 2 — теплое полугодие.

Рис. 58. туры на

Рис. 58. туры на

Временная высотах О,

Временная высотах О,

Рис. 59. Эмпирическая структурная функция иНн (т) на уровне 500 мб над Софией.

/ — холодное полугодие, 2 — теплое полугодие.

Рис. 59. Эмпирическая структурная функция иНн (т) на уровне 500 мб над Софией.

/ — холодное полугодие, 2 — теплое полугодие.

структурная функция темпера- 5 и 20 км иад Владивостоком, по [14*].

Рис. 60. Эмпирическая структур-ная функция DTT (т) на уровне500 мб над Софией.

7 — холодное полугодие, 2 — теплое полугодие.

Отметим в заключение, что из формулы HP=RT (р) следУ^ соотношение Он/°т=2,93 гп. дкм/град. По данным [6*], ghZ产 — 2,95, причем принималось af (400) = -^- [о/ (500) +о/ (300)]340

7 Спектры основных метеорологических элементов •при движении большого масштаба

Согласно (Ш, 8.9') и (III, 8.13), а также (2.1),

ф//(^)= k] B/f(r)Ju (kr)r dr(7.1)

о•

И8

о}= J ^ff^dk.(7.2)

О

С другой стороны, подставляя В^(г) из (2.1) в (5.20) и произВОдя интегрирование по г, для интегрального макромасштаба R/ получим формулу

8.

S弓！%便)*(7.3)

которая будет использована в дальнейшем

Полученные в предыдущих параграфах результаты позволяют вычислить спектральные плотности полей геопотенциала, температуры, скорости ветра и с помощью их сделать ряд интересных выводов.

Подставляя Втт(г) из (4.18) и ВНн(г) из (2.13) в (7.1), после интегрирования получаем:

(7.4)(7-5)(7.4)(7-5)3硝k

(7.4)

(7-5)

(7.4)

(7-5)

①日日（竹一%一（1 +阳或严，

多 k

①丁丁 （力）-（1 +区拉2）3, 2 ,

С другой стороны, спектральный аналог уравнения (5.3) имеет ВИД

%® = (98/Q)2%“(用秋(7.6)

Комбинируя (7.6) с (7.4) и (5.9), получим

①г К 同=胃(1 +尿/а2)5'2 •①г К 同=胃(1 +尿/а2)5'2 •(7.7)(7.7)

①г К 同=胃(1 +尿/а2)5'2 •

①г К 同=胃(1 +尿/а2)5'2 •

(7.7)

(7.7)

Ьи Исследуем эти двумерные пространственные спектры. Оче- ①口躋 ЧТ0 ①"(。)=①万(8)=6・ Так как при 0 < /г < оо "(佗)> 0, функция山万(朽 должна иметь максимум при

некотором 々=К/. Положение этого максимума находится из уравнения ①力(月)=0. Решая его последовательно для (7.4) (7.5) и (7.7), получим:

KhL = ±, К"=方，KcL=y^ (7.8)

или для соответствующих масштабов Lf=K『

"=2丄，LT=V2 L^l,4L, 4= |/-J А^0,82А,(7.9)

где L определено выражением (5.13). Следовательно, с ростом интенсивности макротурбулентности, т. е. с ростом Ос и oHj

6,“％7

Рис. 61. Нормированные спектры при f=c и а* = а. / — по формуле (7.4), 2 — (7.5), 3 — (7.7), 4 — (7.15).

-спектральные максимумы смещаются в сторону меньших волновых чисел. Например, при изменении Он в пределах 1 W и” 4 W 20 гп. дкм будем иметь 0,7 м_, W 106 兄《2,6 м^1. Физически это понятно, однако эмпирического подтверждения этого эффекта, установленного впервые в [49*], пока не получено. Нор* мированные спектры Ф// (/г)/Ф// (/(/) представлены на рис. 6L Эта картина напоминает спектральные кривые излучения энергии телами, имеющими разные температуры. Из сравнения 喝 тегральных макромасштабов Rh = 2厶 R『=L и 兄=£/2 с(‘切 следует, что & 〜L卜

Полная кинетическая энергия атмосферных макротурбулент- ных движений (с точностью до множителя 4/г) равна

^ =。^ (0, 8)= j <% (同 dk.(7・1°)

О

к《ак=Ц^, такк《ак=Ц^, такНапомним, что формула (7.7) применима при соответствующая структурная функция (4.16) действует；；н г》，к=2,3喟"Однако мы примем, что экстраполировать вплоть до k=aK. Это даетНапомним, что формула (7.7) применима при соответствующая структурная функция (4.16) действует；；н г》，к=2,3喟"Однако мы примем, что экстраполировать вплоть до k=aK. Это дает(7.7) можно про(7.7) можно провозможность еще-возможность еще-какая доля полной кинетической энергии приходится накакая доля полной кинетической энергии приходится навысокочастотный участок спектра (々> ак). Имеемвысокочастотный участок спектра (々> ак). Имеемакак0^(0，%)=J①理3)応="10^(0，%)=J①理3)応="1оо2aЗ + 3久吃2@+ %3 22aЗ + 3久吃2@+ %3 2(7.⑴(7.⑴

к《ак=Ц^, так

к《ак=Ц^, так

Напомним, что формула (7.7) применима при соответствующая структурная функция (4.16) действует

；；н г》，к=2,3喟"Однако мы примем, что экстраполировать вплоть до k=aK. Это дает

Напомним, что формула (7.7) применима при соответствующая структурная функция (4.16) действует

；；н г》，к=2,3喟"Однако мы примем, что экстраполировать вплоть до k=aK. Это дает

(7.7) можно про

(7.7) можно про

возможность еще-

возможность еще-

какая доля полной кинетической энергии приходится на

какая доля полной кинетической энергии приходится на

высокочастотный участок спектра (々> ак). Имеем

высокочастотный участок спектра (々> ак). Имеем

ак

ак

0^(0，%)=J①理3)応="1

0^(0，%)=J①理3)応="1

о

о

2aЗ + 3久吃

2@+ %3 2

2aЗ + 3久吃

2@+ %3 2

(7.⑴

(7.⑴

Введем в рассмотрение параметр

6 = а/а^-= Ад-/А = 5,1 • 10—За//П.(7.12)

Даже при он=20 гп. дкм 力=0,026《1, т. е. а《а% В таком случае (7.11) можно упростить и получить

% = "-等6>96,1%,(7.13}

% (0, 8)/

когда он <20 гп. дкм. Таким образом, на высокочастотный участок спектра (左> ак) приходится незначительная доля кинетической энергии П： = 1 — Пс V 3,9%.

Нетрудно подсчитать также, что о^ (0, Кс)/發(0, оо) =0,18, т. е. п[ = 18%, а п[，= 1 —刀么=82%. Иными словами, кинетическая энергия распределена несимметрично относительно максимума.

Такой же анализ можно выполнить и для спектров Фгг(^) и Фин (/г). Вернемся теперь к вопросу о мезоструктуре метеорологических полей и о форме спектров в переходно访 области 々~ ак. Формулы (7.4)——(7.7) должны хорошо аппроксимировать эмпирические спектральные плотности лишь при k<^aK- Тем не менее, знание этих плотностей и при 左〜«к представляет большой интерес.

Простая экстраполяция (7.4)——(7.7) приводит к тому, что 6/ш他)〜胪，①以3)〜々т и❿"但)〜力-2 при А—ео.(7.14)

Такое убывание спектров на бесконечности равносильно отсут- :тв叫 всех производных от скорости и температуры и, кроме Р胃瓦 от геопотенциала, чего в действительности не бывает, с ° Другой стороны, в случае гауссовой аппроксимации (2.14)

Учетом (5.18) имеем:

02 *2^022"

❿нн(&) = -^ ke 4°*,①?с 伍)=^"依е 4e* •(7.15)

Отсюда видно, что обе эти формулы обеспечивают существование производных любого порядка от геопотенциала и скорости ветра. Однако и они не могут правильно описать переход к высокочастотной области спектра этих элементов, поскольку согласно (7.15), при k〜ак практически Ф//(^) ~0, что вряд 口； можно считать реальным.

Аналогичные трудности, как известно, встречаются и в статистической теории микротурбулентности. Они обходятся при помощи формулы Голицына—Новикова (VI, 2.33). Можно попытаться применить аналогичный подход и к нашей задаче. При изучении макротурбулентности атмосферы в качестве мелкой структуры можно рассматривать (хотя это и нестрого) турбулентные образования из инерционного интервала, обладающие свойством полной изотропности. В этих вихрях и должны сглаживаться крупномасштабные пульсации [49*]. Иными словами, микротурбулентность можно рассматривать как диссипативный фактор для макротурбулентности. Такое предположение было высказано независимо и в [35*]. Тогда, минуя инерционный интервал, где действуют законы (VI, 2.22, 2.25 и 2.29), мы будем искать такие формулы для спектральных плотностей, которые обеспечивают достаточно быстрое убывание их на бесконечности.

Предполагая, что существуют все производные рассматриваемых полей, заключаем, что при 々一>8 функция Ф//(^) должна стремиться к нулю быстрее любой степени k. Для этого нужно каким-то образом модифицировать спектры ①仃(А) в высокочастотной области, сохраняя их положительность, и формулы (7.4)——(7.7) при малых k. Этого можно добиться, предполагая аналогично (VI, 2.33), что

w"他)=А产一"% ①〃他)，(7.16)

где b дается выражением (7.12), a f=c, Т, Н.

При такой модификации спектров соблюдаются все перечисленные выше условия. Действительно,屮打(左)> 0, а при 3°°

4力(々)〜表*e"啧，秋=丄运1.(7」7)

При 々《《к (，》Lk) имеем exp(—l^lo^)»1 и4r"伊产

q//D万仅).

Числовые константы Л/ определяются из условия норм ровки спектров,

яу= J Фуу (A) dk,о

Подставляя сюда (7.4) и (7.5), по竺нм:

А〃 = ( 1 一2力 + 26%”']/^[I -Ф传)]Г1,

Аг={1 — е”％1ЛГ[1 —①传)|}т，(7.18>

где*

Ф(х) =\ e"dt.(7.19)

Так как всегда Ь《1, то фактически Дн~Дг~ I. Таким образом, при 々《《к модифицированные спектры (7Л6) совпадают с (力.4) и (7.5) не только качественно, но и количественно. Можно показать далее, что максимумы 屮/『(力)и Ф//(^) практически совпадают. Наконец, если мы подсчитаем снова величину Пс, то получим

% = ± j ^ff{^ rfA 1 - [^ + 4 /^ ф(1)]1 - 3,156,

т. е. Пс? 92% и n[V8%, что незначительно отличается от (7.13).

Таким образом, принятая модификация спектров Ф// (力) сглаживающей функцией гауссового типа допустима. Нужно отметить, однако, что она не является единственной. Этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.

Зная пространственные двумерные спектры, можно вычислить пространственные одномерные по формуле (III, 8.16)

中"阳)= ；『"伊)〒^рв0)

Используя гипотезу замороженности, напишем

А/(з) = }中"(7Г)•(7.21)

Однако временной спектр 力『(з) можно получить и непосредст- венн。по формуле (II, 10.17)

% (з) = = f (О cos 厶，(7.22)

о

^ли известна временная корреляционная функция В//(т). Так, например,

% "3)=^静應%，(7.23)

/тт(з) =="品/тт(з) =="品芯+з2芯+з2(7.24)(7.24)九с(з) = *。^九с(з) = *。^(3, + 嗡 а0 &哀2广•(3, + 嗡 а0 &哀2广•(7.25)(7.25)Посмотрим теперь, что дают эксперименты. НаПосмотрим теперь, что дают эксперименты. На63 изображены в63 изображены в...рис. 62 икоординатах \Ffh lnv|, где 尸万“)=可万(*)...рис. 62 икоординатах \Ffh lnv|, где 尸万“)=可万(*)Fg2 M2/тк?Fg2 M2/тк?Рис. 62. Энергетический спектр скорости ветра в интервале частот от 10~4 до 103 цикл/час.Рис. 62. Энергетический спектр скорости ветра в интервале частот от 10~4 до 103 цикл/час.

/тт(з) =="品

/тт(з) =="品

芯+з2

芯+з2

(7.24)

(7.24)

九с(з) = *。^

九с(з) = *。^

(3, + 嗡 а0 &哀2广•

(3, + 嗡 а0 &哀2广•

(7.25)

(7.25)

Посмотрим теперь, что дают эксперименты. На

Посмотрим теперь, что дают эксперименты. На

63 изображены в

63 изображены в

...рис. 62 и

координатах \Ffh lnv|, где 尸万“)=可万(*)

...рис. 62 и

координатах \Ffh lnv|, где 尸万“)=可万(*)

Fg2 M2/тк?

Fg2 M2/тк?

Рис. 62. Энергетический спектр скорости ветра в интервале частот от 10~4 до 103 цикл/час.

Рис. 62. Энергетический спектр скорости ветра в интервале частот от 10~4 до 103 цикл/час.

v = to/2n, спектр горизонтальной скорости ветра в интервале частот 7 • 10~4 ——9 • Ю2 цикл/час и спектр температуры в интервале ст Ю-1 до I03 цикл/час, заимствованные из [35*]. Спектры вы-

Рис. 63. Энергетический спектр температуры в интервале частот 10-1—103 цикл/час.Рис. 63. Энергетический спектр температуры в интервале частот 10-1—103 цикл/час.

Рис. 63. Энергетический спектр температуры в интервале частот 10-1—103 цикл/час.

Рис. 63. Энергетический спектр температуры в интервале частот 10-1—103 цикл/час.

числились по формуле (7.22). На рис. 62 видны два хорошо выраженных максимума, обусловленные в низкочастотно访 области спектра (период 丁=屮」』4 сут.) прохождением крупномасштабных барических образований, а в высокочастотной (микрометео- рологической) области спектра (период пульсаций Т〜1 мнн.) мелкомасштабной турбулентностью динамического и термического происхождения. Между ними находится глубокий минимум в мезометеорологической области на интервале периодов от нескольких минут до нескольких часов. Такие выводы следуют

63* на котором центру минимума соответствует период ^?30 MHн： и ордината 0,02 град.2, а центру правого макси- MvMa —период 1 мин. и ордината 0,4 град2.

“У Итак, синоптическая (низкочастотная) и микрометеорологи- ая (высокочастотная) области спектра метеорологических

4 ент0В разделены глубоким мезометеорологическим миниму- 券乂 Как отмечается в [35*], это дает возможность опреде- * относительно устойчивые средние значения метеороло- ических элементов, выбирая интервал осреднения из области спектрального минимума. На практике обычно полагают Т= =10子20 мин.

jjcho, что поскольку функции F//(v) =\7//(v),. заданные соотношениями (7.23) — (7.25), монотонно убывают при р +8, то в рамках излагаемой теории описанное явление «провала» спект- р0В в области мезомасштабов не находит объяснения. Интересные соображения по этому поводу высказываются в [35*]. Рассматривая, как и выше, микротурбулентность как диссипатив- нн访 фактор для макротурбулентности, авторы вводят аналог внутреннего масштаба 入о в теории Колмогорова•

а1〜(启/ 3y \

где kT ——вертикальный коэффициент турбулентности. Впрочем, это соотношение следует также из формулы Ричардсона——Обухова (VII, 6.26)坛〜庁/зА；/з. Тогда в области масштабов Л <Ai потери энергии квазидвумерных макротурбулентных образований в каскадном процессе на преодоление турбулентной вязкости становятся существенными. ЕслиЛ4> Аг, где /、2——масштаб, отвечающий максимуму микрометеорологического спектра, то в области Л2 <Л <Д4 спектры должны иметь достаточно отчетливый минимум..

Сопоставим Ai с масштабом Lk (3.2). Обычно At V Lk. Они будут совпадать (，〜丄к), когда 力丁〜eQt. При е〜I это дает 左丁〜104 м2/сек., что на два-три порядка больше обычно определяемого значения kT по наблюденным вертикальным профилям скорости ветра и измеренным перегрузкам самолетов [130, 133].

Отметим в заключение, что временные спектры метеорологических элементов ограничены со стороны высоких частот [35*], ^Ричем ^так〜U/入о, где 入0=(屮3/七)％ — внутренний масштаб турбулентности. Для средних условий Vmax^ Ю3 сек-1. Со стороны ^е низких частот (больших периодов) они практически неогра- иичены, так как физически возможны колебания элементов ；периодом от долей секунд до минут, суток, веков и т. д. В от- Ичие от временных спектров, пространственные спектры

став〃普з за крупного масштаба рисунка левый максимум на нем не пред-

метеорологических элементов ограничены с обеих сторон. j]eB граница масштабов ——это величина Ло, обусловленная моле讃 лярной вязкостью, а правая — длина окружности земного зкв^" тора Лтах=40 ООО км. Привлекая гипотезу замороженности, Haff дем TuiaK=Amax/U〜1 мес., где и — скорость западного переноса в атмосфере. Отсюда следует, что если в области частот V < 1 мес.-1 временные спектры все еще можно пытаться как-То (например, при помощи гипотезы замороженности) сопостав' л ять с пространственными, то при v> I мес.-1 это уже невозможно.

Из ограниченности пространственных спектров с обеих сторон следует, что они, в отличие от временных, строго говоря являются линейчатыми, а не непрерывными [35*]. Действительно, на произвольном широтном круге длиной Ai неоднородности поля f_ могут состоять лишь из таких элементарных волн которые укладываются на этом круге целое число раз, т. е* имеют длины Ап=Х^п (п=1, 2, 3, .. . , ) и соответственно волновые числа kn=2nn/Ai，Ясно, что линейчатость выражена тем сильнее, чем меньше волновое число k. И, наоборот, при А》 ^>^1=2л/Ль т. е. для очень коротких волн с длинами Л^Л4, спектры являются практически непрерывными. Это дает возможность судить о пространственных спектрах по непрерывным временным спектрам в соответствующих интервалах частот [35*].

§ 8. Пространственная структура и спектр геострофического вихря скорости

Ориентируя ось х на восток, ось у на север (стандартные dvg координаты [104]), для геострофического вихря = ~^ —岑^ с учетом изменения параметра Кориолиса Q с широтой (|3=dQ/dg) из (5.1) получим

Sg = (98/Q)A〃 + (B/Q)%.(8」)

В дальнейших рассуждениях будем считать Р и Q постоянными. Отсюда обычным путем, учитывая (III, 14.15) и (5.5), получаем 线(匚中)=(~^^) [0^3""(Г)一

—告(；В'нн (r) sin2 о + Внн (г) cos2 中)],(8⑵

一 угол между вектором г и осью х. Следовательно, строго г“е<р — \о刀е геострофического вихря неизотропно из-за того, г°в°^^=0 (корреляционная функция зависит не только от г, «п°иот полярного угла <р).

но Введем осредненную по <р корреляционную функцию

2冗

%(" = * J%(r，中)"％(8・3)

О

Тогда вместо (8.2) будем иметь

% (г)=(鲁)4"(等)з] вНн е， (8.4) а в спектральной форме

% 他)=(~^~)(依 + } "1^)层(D/ш (初(8.5)

Так как p/Q^ Ю-7 м~\ то второй член становится существенным лишь прик^Ю-7 м"1. Из (8.5) и (7.4) следует

0U切〜” Прй 々f о.(8.6)

Используя гауссову аппроксимацию (7.15) и полагая а* = —^, 伍

из (8.5) найдем

^=J Фшш (同 dk = 8 (萼『^а4(1 + 儡)，(8.7)

где 仪=丄一* 丄=490о^|. Отсюда видно, что при Он 〜10 гп. дкм второй член в скобках значительно меньше единицы и им можно пренебречь. Таким образом, в задаче о корреляции геострофического вихря с изменением Q с широтой можно практи- иескн не считаться. Тогда вместо (8.4), (8.5) и (8.7) имеем:

线3(Г)=(等~) DlBnn(r) h ①83伊)=(兽") ^^нн (^)i(8.8)

^ = 8(98/Q『謁с? или % = 0」15 • ICT’謂"сек；：(8.9)

Нтак, получено выражение для среднеквадратического отклоне- ^Ия геострофического вихря от климатической нормы. Так как °ле норм геопотенциала более гладко, чем поле отклонений, то рактически это будет среднеквадратическое значение самого 『хря. При OrV 20 гп. дкм имеем o(oV 0,3Q. Это находится согласии с эмпирическими данными [107].

Представляет также интерес величина

。爲=f 庐［＞зз 他)dk = 384 (98/Й)2 41a：= 12。曾 a：,

или (a*=a/¥2)

°v“ = 5,8 • 10一"。斤1/“ м— сек. — . (8，ю) Эта величина, являющаяся аналогом параметра Россби, остается почти постоянной. Отношение av ю/р равно примерно 5. Это

Рис. 64. Зависимость параметра 刀①=о^(0, kf)/Q от интенсивности макротурбулентности % при заданном способе осреднения /п и от способа осреднения при заданном аРис. 64. Зависимость параметра 刀①=о^(0, kf)/Q от интенсивности макротурбулентности % при заданном способе осреднения /п и от способа осреднения при заданном а

Рис. 64. Зависимость параметра 刀①=о^(0, kf)/Q от интенсивности макротурбулентности % при заданном способе осреднения /п и от способа осреднения при заданном а

Рис. 64. Зависимость параметра 刀①=о^(0, kf)/Q от интенсивности макротурбулентности % при заданном способе осреднения /п и от способа осреднения при заданном а

означает, что относительный вихрь Sg изменяется в пространстве значительно быстрее, чем Q

При использовании гауссовой аппроксимации легко подсчитывается также интегральный макромасштаб корреляции геострофического вихря

& =斗『久з他)響= ^^/^0,47/^230。％" КМ. (8.10 0

Сравним его с макромасштабом поля геопотенциала

Rh= J e-"Fdr =上計L学「М*£^622£“ км. (8.12)

ательно, поле вихря значительно более мелкомасштабно, 干爲ле геопотенциала.

что параметрчто параметрq'%3 определения крупномасштабных движений следует [78D，

что параметр

что параметр

02(0,炉) 1 Г

^4^=44 %® 眾о

должен условиеПридолжен условиеПрибыть значительно меньше единицы(По)《1)・ Установим выполнимости этого неравенства.

должен условие

При

должен условие

При

=。,。4阊［『声T-^4-（8Л3）=。,。4阊［『声T-^4-（8Л3）помощи (8.8), (7.4) и с учетом (5.13) получим .

=。,。4阊［『声T-^4-（8Л3）

=。,。4阊［『声T-^4-（8Л3）

Цо этой формуле построен рис. 64. При заданном m параметр Ro будет тем меньше, чем меньше Он. Если Он известно заранее из наблюдений, то добиваться того, чтобы г]^*^ 1, целесообразно только при малых Он (〜1)・ Действительно, если, например, ин〜10 гп. дкм, то при 工〜103 KM и при т= I будем потеть ^=0,03, однако тем самым исключаются (фильтруются) все волны длиной Л V2jiL^6000 км, т. е. все волны, кроме планетарных. В то же время при Он= 1 имеем n(u《1 при Л V 3000 км.

Верхнюю границу длин отфильтрованных волн можно уменьшить, увеличивая т, но вместе с тем несколько растет и параметр малости г)ю. Так как с высотой Он в среднем увеличивается (см. рис. 55), то в верхней тропосфере rjo будет больше, чем в иижней. При помощи рис. 64 нетрудно решить этот вопрос в каждом конкретном случае.

§ 9. Пространственно-временная макроструктура метеорологических элементов

До сих пор мы рассматривали или только пространственные, м』н только временные макроструктурные характеристики метеорологических элементов, сопоставляя их при помощи гипотезы замороженности. Однако при малых волновых числах, когда время A/U переноса мимо точки М неоднородностей с длиной волны Л оказывается не малым по сравнению с характерным ременем естественной эволюции этих неоднородностей (для н°птических барических образований оно равняется несколь- q м дням), эта гипотеза уже не обязана выполняться, так что Л СтРанственные и временные спектры и корреляционные

Руктурные) функции в этой области могут, вообще говоря,

иметь различную форму [35*]. Более естественным является введение пространственно-временных характеристик и в первую очередь

В"(г，О=/'(х + г, / + т)/'(х, /) -(9.1)

Зная B/f(r, т) и полагая 七=0, получаем пространственную а при г—6 временную корреляционные функции. Кроме того* в последнее время характеристики типа (9.1) используются и в практических задачах [10*, 48*]. Укажем здесь два возможных способа теоретического определения функции В//(г, т).

Рассмотрим уравнение переноса простого типа 十〃f-^- = 0 или—(9 2)

dt 11dt” dxi丿

Представим(p=(p+f и 〃t = Ue+u厶 считая нормы ^ и Ui постоянными. Кроме того, согласно уравнению неразрывности, dUi/d%z=0. Тогда

(/+Ut 备，=-詣 ①/(9.3)

Как известно [104], такой простой вид имеют уравнение переноса тепла при адиабатическом движении в свободной атмосфере

00 _ 加犷=_ %丽

где 6— потенциальная температура, и уравнение переноса вихря & =^― скорости ветра

宗(Q% + Q) = — % -^7 & + Q)・(9・5)

Будем считать, что случайные поля Vi и f однородны, изотропны и стационарны и образуют связанную систему полей.

Обозначая

f = /(х\ f), r^Xt— хр x = f — t. ujf = A(r, *4

из (9.3) обычными методами (см. § 1 и 2 гл. VII) получаем： (备+ 5 詣)万=-(Г备+2)a,

(条+ U 咼 М —击 ТЕ(9f)

R ажая четвертые моменты через вторые при помощи гипоквазинормальности

f Е%/ = 8" (С 0 8了 (г,叫(9.7)

е в^ дается выражением (II, 9.11), и принимая U*=U、°2=° (западный поток), п=г и「2=0, приведем (9.6) к виду

(关十U計)5〃(「i，т)= — (—А 备十2)А(「], т),

长十"备)《А，6十号a(入т)=

=一片8"(入 工)备%S，t)(9.8)

ИЛИ

дМ硏=дМ硏=r,L(Bff).r,L(Bff).OBff 〃 厶(/И) = ——— M,OBff 〃 厶(/И) = ——— M,(9.9)(9.9)

дМ

硏=

дМ

硏=

r,L(Bff).

r,L(Bff).

OBff 〃 厶(/И) = ——— M,

OBff 〃 厶(/И) = ——— M,

(9.9)

(9.9)

где

厶(/) = (甚+ 〃 誥 V，M = r；4

Нелинейная система (9.9) содержит три неизвестные функции. Нетрудно убедиться, что многократным дифференцированием функция М{ги т) может быть исключена. Во втором примере 『=%+◎; вводя в (9.9) квазигеострофическое приближение [104], т. е. заменяя Ви по (5.5), a Q^Q； на 6龈〔с учетом (8.8), после исключения М (гь т) получим одно уравнение для 8HH (「1, т). К сожалению, это уравнение настолько сложно, что решить его не удается.

Хотя первый способ является более естественным, но нз?а невозможности построить решение полученных уравнений п°идем по другому, своего рода полуэм лирическому пути. Проиллюстрируем это на примере определения функции бин (п, т).

Согласно (III, 14.7) и (III, 14.8),

Внн S，6 = 2] /н〃(瓦，0 cos 々J】叫，(9.10)

6

fun (自，у) J Внн (「1，c) cos 电г] dr].(9.11)

о

器 Заказ № 854

C「y.C「y.Очевидно, что Внн(5 0) =ВНн(П)и /нн(也，0) =}нн(^). В чае гауссовой корреляционной функции (2.14)

C「y.

C「y.

(9.12)(9.12)

(9.12)

(9.12)

имеем

8

力W(&1) = ；J Внн (rOcos k^drv = -J^. (9.13)

Предположим теперь, что функцию fHH (/ei, т) можно представить в виде

/нн(^п т) = //ш(^п S 屮 О(9.14)

где гр (т)——безразмерная функция, которая, кроме т, должна зависеть от некоторых других размерных параметров. В качестве таковых в первую очередь нужно привлечь U и 拓.Тогда

ф = ф(^1Т), ф (0) = 1.(9.15)

Кроме того, так как Внп(П, оо)=0, то должно быть 屮(оо)=0.

Явный вид этой, функции неизвестен. Строго говоря, он должен быть установлен на основе решения уравнений (9.9). Простейшими функциями с отмеченными выше свойствами являются 1

-URj."2及2.2

е , J^iUk^. е 1' и т. д.

Мы примем последнюю, т. е. положим

/〃"(…)=需葭层产. (9.16)

Тогда

Внн (「i ‘Внн (「i ‘COS电Г］叫.COS电Г］叫.

Внн (「i ‘

Внн (「i ‘

COS电Г］叫.

COS电Г］叫.

Выполнив интегрирование, получим

В"н(「1，0 — ^—^^В"н(「1，0 — ^—^^2 0 W 2a电屮)2 0 W 2a电屮)(9.17)(9.17)

В"н(「1，0 — ^—^^

В"н(「1，0 — ^—^^

2 0 W 2a电屮)

2 0 W 2a电屮)

(9.17)

(9.17)

или в безразмерной форме

2 0 +2号)2 0 +2号)丿：十2寸丿：十2寸(9.18)(9.18)

2 0 +2号)

2 0 +2号)

丿：十2寸

丿：十2寸

(9.18)

(9.18)

Функция f нн(к'，名)не обязательно положительная.

где Х[^=сса, а—七/七仇 То—L/U —： \/ccU, ^нн —— ^ни/^^• Отсюдй при *4=0 получаем временную корреляционную функцию

Rhh (%)Rhh (%)(9.19)(9.19)『ii^F『ii^FРис. 65. Пространственно-временные корреляционные функции геопотенциала (а) и зависимость (б) .положения максимума П日日(尤1, Ti) от расстояния х(.Рис. 65. Пространственно-временные корреляционные функции геопотенциала (а) и зависимость (б) .положения максимума П日日(尤1, Ti) от расстояния х(.

Rhh (%)

Rhh (%)

(9.19)

(9.19)

『ii^F

『ii^F

Рис. 65. Пространственно-временные корреляционные функции геопотенциала (а) и зависимость (б) .положения максимума П日日(尤1, Ti) от расстояния х(.

Рис. 65. Пространственно-временные корреляционные функции геопотенциала (а) и зависимость (б) .положения максимума П日日(尤1, Ti) от расстояния х(.

Она имеет положительный спектр (丫=七0/丫 2 )

%н(з)= *『7Т^^^ = т?Ко(тз)>О, (9.20) г“е Км (z) — функция Макдональда. На рис. 65 она сопостав- 胧на с формулой

2

к©ш(с) = еУ，(9.21)

н0 ；Ра* получается из (9.12) при помощи гипотезы заморожен- и (пунктирная линия). Как видно, обе кривые практически

совпадают при 口 V 1, но при 口＞ 1 разница существенная Это значит, что гипотеза замороженности применима лишь 叩二 т ＜ то. Напомним, что, согласно (6.9), при Он〜10 гп. дкм к。〜24 час. К такому же выводу мы пришли в начале параграфа из других соображений.

В отношении 口 функция (9.18) не монотонная. Она имеет максимум, положение которого определяется из соотношений

■^彳 А〃〃.(Х1，Ti) ——2 — '(9.22)

Отсюда видно, что для(Т1)7П получается реальное значение лишь при %1》1. Это положение иллюстрирует рис. 65 a. На рис. 656 представлена графически зависимость (9.22). При 七＞ 3 “рак- тически (Tt)m~xt/V 2, т. е. тт^г/^2 U. Максимальное значение функции Rhh, согласно (9.22) и (9.18), будет

A“(*i，：iG =-/』勺 等，(9.23)

т. е. оно уменьшается по гиперболическому закону с ростом Xi.

Нам неизвестны подходящие эмпирические сведения о пространственно-временной макрокорреляции поля геопотенциала в свободной атмосфере, с которыми можно сравнить полученные здесь результаты. Однако в [3*] и [71*] приведено много опытных данных о пространственно-временных характеристиках в турбулентном пограничном слое над плоской пластинкой и в атмосфере. В [3*] и [71*] построены кривые типа представлен-

ных на рис. Ь5 с аналогичными о Зная функцию ВНн(^, т), / 98 \2=一 \/ ^2^hh(G 七)・ИЛИс2Гз理亿，(1+2期 2 1собенностями.легко находим Вгс(г, т)=—「е 2(】 + *)(9.24)2(1+2鸣，ных на рис. Ь5 с аналогичными о Зная функцию ВНн(^, т), / 98 \2=一 \/ ^2^hh(G 七)・ИЛИс2Гз理亿，(1+2期 2 1собенностями.легко находим Вгс(г, т)=—「е 2(】 + *)(9.24)2(1+2鸣，и Ва^(г, т) = —D2Bcc(r, т), илиД»о(Гр ^1)= (1+2с；)5/24 一35611+2х? +2 (1 十2彳)，(9.25)и Ва^(г, т) = —D2Bcc(r, т), илиД»о(Гр ^1)= (1+2с；)5/24 一35611+2х? +2 (1 十2彳)，(9.25)

ных на рис. Ь5 с аналогичными о Зная функцию ВНн(^, т), / 98 \2

=一 \/ ^2^hh(G 七)・

ИЛИ

с2Г

з理亿，(1+2期 2 1

собенностями.

легко находим Вгс(г, т)=

—「е 2(】 + *)(9.24)

2(1+2鸣，

ных на рис. Ь5 с аналогичными о Зная функцию ВНн(^, т), / 98 \2

=一 \/ ^2^hh(G 七)・

ИЛИ

с2Г

з理亿，(1+2期 2 1

собенностями.

легко находим Вгс(г, т)=

—「е 2(】 + *)(9.24)

2(1+2鸣，

и Ва^(г, т) = —D2Bcc(r, т), или

Д»о(Гр ^1)= (1+2с；)5/2

4 一

356

11+2х? +

2 (1 十2彳)，(9.25)

и Ва^(г, т) = —D2Bcc(r, т), или

Д»о(Гр ^1)= (1+2с；)5/2

4 一

356

11+2х? +

2 (1 十2彳)，(9.25)

*е согласно (8.9) и (5.8), % =4咚(Л Отсюда для временных ^орреляЦионных функций получаем:

(9.26)

Они имеют положительные спектры:

方式⑴=赛 /"2k] (个) + f%(卜)]> 0-(9.27)

Так как—

при z — 8,при z — 8,K”(z)=V^e-[l+0(；)]

при z — 8,

при z — 8,

то формулы (9.27) вместе с (9.20) обеспечивают существование производных по времени произвольного порядка.

Ряд выводов можно сделать, анализируя формулы (9.24). и (9.25). Так, если выполняется равенство х^ =2 (1 + 2xt)2, то, согласно (9.24), Всс (П, Т|)=0. Это соотношение определяет положение изолинии, разделяющей области с положительными и отрицательными значениями коэффициента корреляции Ясс(ГЬ Т1).

§ 10. Трехмерная пространственная макроструктура метеорологических элементов

В предыдущих параграфах рассмотрена только «горизонтальная» макроструктура метеорологических элементов. Но для Решения ряда прикладных задач нужно иметь сведения и ° «вертикальной», или, в общем случае, о трехмерной макроструктуре элементов. Применительно к крупномасштабным атмосферным движениям поля отклонения от норм 『=，—f ПостаточноЦ точностью можно считать однородными и изо- ропными случайными функциями в горизонтальной плоскости и, ЧТо практически одно и то же, на каждой изобарической ^в^рхности. Однако такое заключение несправедливо в отно- е即н вертикального направления.

в 'ем не менее, следуя [17*], можно распространить сущест- 国У Щие представления и на пространственные структурные автокорреляционные функции, считая, что каждая из них

зависит от трех аргументов — вертикальных координат (дав„ ний) двух точек и скалярного расстояния между проекция^' этих точек на горизонтальную плоскость:"

D"(Pl，死，г) = [/' (х + Г,死)一/' (х, Pl)产,(10])

Bf№\，02, r) = /'(x, Р1)Г(х+г, pj •(10.2)

Полагая здесь pi=P2=p, получаем выражения для горизоц тальных структурной и корреляционной функций:

D/f(p, р, r) = D"(r)= "'(х + г, р) — /，(х,科)产;(Ю.З)

3"S，Р，г) = 3〃 О) = /' (х, Р) /' (х 十 г, р),(Ю.4)

а при 厂=0 выражения для вертикальных:

Dff(Pi，%, 0)= [/' (х, А；)-尸(х,而, (10.5) 3〃(外 А. 0) = /'(х, Р)/'(х, А)・(Ю.6)

Наконец, положив г=0 и pi=p2=p, найдем дисперсию элемента

Bff(P，P、0)Н。沁).(10.7)

Введенные характеристики (10.1) и (10.2) обладают некоторыми элементарными свойствами, установленными в [17*]. Например, раскрывая скобки в (10.1), получим

0"(p1，"2,Г) =。7(%)十$(p2)-28"(%, P2, г). (10.8)

Так как В//(pi, р?、оо) —0, то для значения структурной функции при г-> оо получаем

。〃(％，02, 8)= $(")十 С沁2)・(10-9)

Таким образом,

О〃(Р1，/2, г)十23〃 (凸，〃2, r) = Dff(pl, 〃2，8). (10.10)

Положим теперь в (10.8) г=0. Тогда

D"(P1，夕2,0)=扌(%) + ь；("2)- 28"(z,p2, 0)*(10/1)

Но поскольку, согласно (10.5),。万(pi, p% 0) > 0 при pi声彈，т0 из (10.11) вытекает, что

3"(01，Р2,。)《4■博 3)+多(p2)].(1°♦必

Эмпирические сведения о трехмерной пространственной макроструктуре полей температуры и геопотенциала сод^ жатся в работах [9*, 18*, 40*, 67*, 72*, 60*, 65*]. На рис. представлены (по Болтенкову [9*]) кривые RTt (рь рг,『)，唸 Pi=500 мб, а 卩2 принимает последовательно значения 500, 4° *

200 и 100 мб.' Можно отметить две характерные особен- носуналн^не двух точек пересечения кривых при г1= 1800 км 二30。。км. На этих расстояниях межуровенные температур- н Г2=связи становятся практически одинаковыми. При п<г<Г2 нН' тся корреляция одного знака, а вне этого интервала ——противоположного знака.

""伊工，р]m

Рис. 66. Нормированные двухуровенные корреляционные функции температуры для летнего сезона, по [9*].

，一&тт(500, 500, г); 2 —RttISOO, 400, г); 3 — RTT(W, 300, г)； 4 —Ктт(500, 200, г); 5 —Rtt(50“ 100, г).

2 Резкое различие в форме кривых, когда верхний уровень Р2 находится в стратосфере. Это выявляет роль тропопаузы :ак динамического барьера между различными по свойствам оями атмосферы и в то же время говорит о взаимосвязи атмо- ①*ннх процессов в тропосфере и стратосфере.

丄肾хмерная структура поля геопотенциала исследована Фор- 声[72*], Татарской [67*], Гандиным и Кузнецовой [18*] и др.

ервой из этих работ вычисления велись для изобарических 20перхностей 1°°0, 850, 700, 500 и 300 мб, во второй ——для 300, 瓦 и 1°。мб, а в третьей — для 850, 700, 500, 300 и 200 мб. Кои：свх зтих работах получен общий вывод, что межуровенные 'Р ляционные функции абсолютного геопотенциала по виду

очень похожи на корреляционные функции рис. 67. В св*、 с этим они аппроксимировались формулами того же типа, "

и Внн（р, р, г）, а именно:'

ВннкРк 力，4 = Вн№，Р/，0）e-“『cos%r в [72*],

（1Q13）（io.i4）（1Q13）（io.i4）Рис. 67. Нормированные двухуровенные корреляционные функции абсолютного геопотенциала для летнего сезона, по [67*].i — ^НН^ 200, г）; 2-^н（200, 100, Г）;3- ^нн （300, 100, г）.Рис. 67. Нормированные двухуровенные корреляционные функции абсолютного геопотенциала для летнего сезона, по [67*].i — ^НН^ 200, г）; 2-^н（200, 100, Г）;3- ^нн （300, 100, г）.ВннЗк Pj，г） = Внн（Рк Pj,。）玄ygy） ^^ （~^）

（1Q13）

（io.i4）

（1Q13）

（io.i4）

Рис. 67. Нормированные двухуровенные корреляционные функции абсолютного геопотенциала для летнего сезона, по [67*].

i — ^НН^ 200, г）; 2-^н（200, 100, Г）;3- ^нн （300, 100, г）.

Рис. 67. Нормированные двухуровенные корреляционные функции абсолютного геопотенциала для летнего сезона, по [67*].

i — ^НН^ 200, г）; 2-^н（200, 100, Г）;3- ^нн （300, 100, г）.

И

Влш（4,円，r） = B（D「Pj, 0）е '"Jo（宕）（10-15） в [67*] и （с= 1,065; р = 0,195; у= 1,5）

ВщА%，Р「г） = ВннЗ, Pj, 0）еТ"4（с「）（10」6）

в [18*]. В последнем случае все функции Rhh（P氢 %, г） annp°： симировались одной формулой. В （10.14） аппроксимация ока3 лась наилучшей при v=3/2, т. е.

Внн（Рк 分 г） = Внн（Рк 〃尸 0） （1 + ~7^ е %、0。」）

Ree эти функции» за исключением （10.13）, имеют положи- ные двумерные спектры. Спектр （10.13） положителен только 丁^'炉.<0订.Однако при использовании этой формулы нет га- 叩"；чт0 эмпирические значения параметров удовлетворяют ра嘖;ему неравенству. Например, в [72*] Ьц получились вдвое 20c me чем ан. Конечно, во всех случаях корреляционная мат- ^ bZh（Pg，Pi，°）должна быть положительно определенной и Р каждом случае это нужно проверить. Вообще, так как трех0 ную корреляционную функцию некоторого метеорологиче- Рго элемента можно рассматривать как совокупность одно- ДНЬ1Х и изотропных автокорреляционных и взаимнокорреляционных функций, то в целом она должна быть положительно определенной в указанном выше смысле. В противном случае 法 гарантии, что применение этой функции дает разумные результаты.

Отметим в заключение, что независимо полученные данные о трехмерной пространственной макроструктуре полей темпера- ТурЬ1 м геопотенциала могут быть согласованы между собой при помощи барометрической формулы•

Hi — H 尸RTmB^Hi — H 尸RTmB^（10.18）（10.18）

Hi — H 尸RTmB^

Hi — H 尸RTmB^

（10.18）

（10.18）

Понимая под Тт среднюю арифметическую температуру

*（A+Tj） и обозначая In — = имеем Hi ——Hj= 22 pi

=&订（7\+7力，где числовая матрица а^ вычисляется предварительно. Это же равенство выполняется и для отклонений от норм

〃；一"； = %•⑺十 т）〃；一"； = %•⑺十 т）（10.19）（10.19）

〃；一"； = %•⑺十 т）

〃；一"； = %•⑺十 т）

（10.19）

（10.19）

Приведем только одну из возможных связей между статистиче-；：；：；） характеристиками, которые получаются из формулы

ИлиИлиа"（А）十晶（円）一 2Внн （А，% 0） = Л-； [аг 3）十呂（pj）十+ 2当了（科，Pj, 0）],

Или

Или

电）+.R":竺叫电也也=（Ю.20）

0丁 （pf） + 0丁（pj） + 26" （pi，Р/, °）

я "асть при фиксированных i и / ——известная постоянная.

361

§ 11. Пространственная макроструктура и спектп геострофической термической адвекции в свободной атмосфере

Хорошо известно из наблюдений, что локальные изменения температуры в свободно访 атмосфере f=dT/dt обусловливаются в основном горизонтальной геострофической адвекции访，т. е

子дТ дТ

где ug, vg — составляющие геострофического ветра (5.1). Для дальнейших расчетов удобнее записать (11.1) в виде (9.9)

Т = 一京严 7，(11.2)

при этом использовано уравнение неразрывности duj/dxj=Q. Положим

Т = Т +丁，u — U у + ^у»

где Т и U§ — климатические нормы этих элементов, а Т‘ м 内一 макропульсации. Будем считать Uj=corist, 7=7(Х1,尢z). а Т‘ и Vj ——статистически однородными, изотропными и однородно и изотропно связанными случайными полями на плоскости в обычном смысле этих слов. Тогда вместо (11.2) получим

力'=一备(仇 + %)Т' — (S + %)Т/， (IL3)

где yj=dT/dxj. Принимая гипотезу квазинормальности (9.7)， из (11.3) обычными способами находим [52*] уравнение для корреляционной функции

% = - -^^ Втт (5〃/ + BQ + 価/ (U^J^ %)•01 ・4)

Но

謠^图働=贵 ％ 号8" =卜备 + 2)} 8" втТ •

UiUi drtdrj =U^i K&r —；联)％3j 十 4" ВттЪ^ '

Направим теперь ось % по среднему ветру U (рис. 68). В к%_ стве такового можно рассматривать зональный поток со с 丁。 ростью U. Это означает, что U*=U, t/2=0. Примем также

362

чествуетчествуеттури,тури,только меридиональный градиент средней темпера- Y1=0, Y2=Y亍?0. Тогда н=r cos сР, ，2=rsin(p.только меридиональный градиент средней темпера- Y1=0, Y2=Y亍?0. Тогда н=r cos сР, ，2=rsin(p.心/"3 =心/"3 =^彳，“S6" = ",. Y汴卩必=0, wy加q = yM3^彳，“S6" = ",. Y汴卩必=0, wy加q = yM3I》.=7三.Подставляя это в (11.4), получимI》.=7三.Подставляя это в (11.4), получим5疗(г,叫=—и"^В；т cos2 中 + ；屏т sin2 中)+5疗(г,叫=—и"^В；т cos2 中 + ；屏т sin2 中)+(11.5)(11.5)Рис. 68. К определению корреляционной функции линейной части термической адвекции.Рис. 68. К определению корреляционной функции линейной части термической адвекции."1В ни cos2 <p + —"1В ни cos2 <p + —+ (畧)』％ВннВтт・+ (畧)』％ВннВтт・(11.6)(11.6)

чествует

чествует

тури,

тури,

только меридиональный градиент средней темпера- Y1=0, Y2=Y亍?0. Тогда н=r cos сР, ，2=rsin(p.

только меридиональный градиент средней темпера- Y1=0, Y2=Y亍?0. Тогда н=r cos сР, ，2=rsin(p.

心/"3 =

心/"3 =

^彳，“S6" = ",. Y汴卩必=0, wy加q = yM3

^彳，“S6" = ",. Y汴卩必=0, wy加q = yM3

I》.=7三.Подставляя это в (11.4), получим

I》.=7三.Подставляя это в (11.4), получим

5疗(г,叫=—и"^В；т cos2 中 + ；屏т sin2 中)+

5疗(г,叫=—и"^В；т cos2 中 + ；屏т sin2 中)+

(11.5)

(11.5)

Рис. 68. К определению корреляционной функции линейной части термической адвекции.

Рис. 68. К определению корреляционной функции линейной части термической адвекции.

"1

В ни cos2 <p + —

"1

В ни cos2 <p + —

+ (畧)』％ВннВтт・

+ (畧)』％ВннВтт・

(11.6)

(11.6)

Исключая отсюда Вц(г) при помощи (5.5), находим

8疗（Г，叫=一炉（&Тcos?屮十；втт sin2中）-

瓦阻sin”) +

в Таким образом, поле термической адвекции Т' неизотропно Ризонтальной плоскости, так как, кроме г, корреляционная

Так как поле норм Т более гладко, чем поле пульсаций должно быть yy<Z ovr и при % 〜U имеем [а? |Л11Н-^ |32 j Т° При Y- =0 формула (11.13) впервые получена в [53*].

Спектральный аналог уравнения (11.8) имеет вид

昭信)二等卜2"他)+(普『号%"(矶+哨(初(11.16)

Задавая ВТт(г) и ВНн(г) выражениями (2.13) и (4.18), 11OJ1V

чим:'「

①产（盼=1噹但）+哨（粉,

т лииа ,Q①狞他)=〒綻т лииа ,Q①狞他)=〒綻и嶋（蜉十左2）3/2и嶋（蜉十左2）3/2（噹®=号。历（噹®=号。历2 23十2(22[/)5 2融(4/十收)3 2 •2 23十2(22[/)5 2融(4/十收)3 2 •(11.17)(11.17)

т лииа ,Q

①狞他)=〒綻

т лииа ,Q

①狞他)=〒綻

и嶋

（蜉十左2）3/2

и嶋

（蜉十左2）3/2

（噹®=号。历

（噹®=号。历

2 2

3

十2(22[/)5 2

融

(4/十收)3 2 •

2 2

3

十2(22[/)5 2

融

(4/十收)3 2 •

(11.17)

(11.17)

Отсюда видно, что Ф^л(оо)=т)^ У1^оо) и тттт

①铸 3)= 丁 *3吗;•他)при 々《2a. (11.18)

Но при движениях большого масштаба, как это было показано в § 6, Ос^и, т. е. т)^ 1. По данным наблюдений [104], на высоте 5 км (р~500 мб) yt^7,5- 10-6 град/м. Принимая ог=5℃ и а= Ю^6 м'1, найдем

①;;(初①；；他)^3 . 10-2 при k f 0.(11J9)

Следовательно, в длинноволновом участке спектра влиянием нелинейно访 части термической адвекции можно пренебречь. Однако при 左〜2a и тем более при 左》2a делать этого нельзя. К аналогичным выводам впервые пришел Юдин [78泞

Из (11.17) следует, что при у^■总0 существует такое волновое число

что при 々〜£ вклад первого и второго членов в ф^н(й)。以""* ков. При 左》左 можно пренебречь вторым, а при 左一> 0 ——口亡卩冃器 членом. Для средних услови访，используя приведенные выше

366

〜cc〜lOT M-t〜cc〜lOT M-t„ <v—. a и От, получаем 々〜a〜1尸 м~\ а из условия чен«я П，丫牙'〜J

〜cc〜lOT M-t

〜cc〜lOT M-t

вовання реального значения 左一неравенство

。ТV J "У 刀(7彳1a)^1，22刀(7彳/")，

(11.21)(11.21)w仔（々）=A方①行（々）ё а，勺^ 1.w仔（々）=A方①行（々）ё а，勺^ 1.(11.22)(11.22)Отметим в заключение, что при &-> оо формулы (11.17) не- ильНо описывают реальный спектр, так как являются моно- ПР 0 растущими функциями, чего в действительности не TOg Юдается. Чтобы исключить это несоответствие, можно мо- ^йфиЦИровать Ф . (ft), введя сглаживающую функцию гауссо- БОГО типа (7.16)

(11.21)

(11.21)

w仔（々）=A方①行（々）ё а，勺^ 1.

w仔（々）=A方①行（々）ё а，勺^ 1.

(11.22)

(11.22)

для линейной части такая модификация является следствием принятой ранее модификации (7.15), как это видно из (11.16) и (7.16). Что касается нелнне访ной части, то из-за невозможности Бзять соответствующие интегралы формула (7.16) применена прямо к (11.17). Теперь Т.. (оо)=0 и в то же время [52*]

8—62 色

[4 Le「曰彳咚J磔+盛2旅言4要。#, 0

т. е. как в (11.14)1.*

§ 12. Пространственная макроструктура и спектр геострофической адвекции вихря скорости в баротропной атмосфере

Возьмем хорошо известное [104] уравнение сохранения аб- с°лютного вихря Qa = 0, или в стандартной системе коор・ А^нат "'

“® & = Q 十 Q = 2u)sin % P = dQfdy, Q% =凜需,

口 Рн выводе использована формула。丁亡乂^ 彳吟 которая доказы- "3 в § 2, гл. X.

u, v — составляющие скорости ветра. Удобнее записать (12 1、 в виде''

Qz = — "^ "54 —。必2,Qz = — "^ "54 —。必2,(12.2)(12.2)

Qz = — "^ "54 —。必2,

Qz = — "^ "54 —。必2,

(12.2)

(12.2)

где 〃[ = 〃g, 〃z=Dg, Qz=OQz/Of, Ui=Ui+vi, или

电=一[詣d% + B(d + q)]-詣叫=@片 + ёГ.(12.3)

По внешнему виду это уравнение полностью совпадает с (11.3) поэтому не будем проводить подробно последующие выкладки* Отметим только, что используется гипотеза квазинормальности

2Q；叩；=纥3 (r) fi0 (г),

где QQ；= В^(г). Нетрудно показать также, что й^л=0.

На основании результатов предыдущего параграфа можем сразу написать:

* • = 8叱+齿吋,

碟=一炉(瓦3 COS2中+ ；儿3 SW中)-俨(哈丫 X

X [瓦/" (r) COS2 屮十;8"" ⑺ Sin2^],

舞;:=(兽y V /历""("瓦。(加 (12・4)

Вводя теперь квазигеострофическое приближение, отождествим ficoco с корреляционной функцией геострофического вихря (8.2). Если теперь подставить ее в (12.4), то нетрудно убедиться, что неизотропной является не только линейная, но и нелинейная части адвекции вихря. Однако в § 8 было показано, что неизо- тропно访 частью в (8.2) можно пренебречь, так что будем иметь：

孕册=5累г中)，3脏=6擢(Г).М"

Осредняя (12.4) по q> с учетом (8.8), получим

Таким образом, нам удалось выразить 统心⑺ только чеРе3 Внн(г) •

(11-14),(12.7)(11-14),(12.7)Положим в (12.6) г=0. Тогда, как и при выводе получим:

(11-14),

(12.7)

(11-14),

(12.7)

成=｝［炉+ (普)哈，卜:3 + ;(兽)B2w"，

или

ol = 3+ ₽2-)+ %= 14 K + 惟］не，(12.8)

書.9)

.3_|пнн

В § 8 показано, что %〉Р， так, что при 刁〜1 闻吟习吟院"

о—и%°、％%・(12.10)

Но о(；=2,9о" и (в случае гауссово访 аппроксимации Внн(г)) % дается выражением (8.10), так что окончательно

气= 1,68 .10-】。* сек-2.(12.11)

По этой формуле можно рассчитать значения о^ по известному Он・

Если известна корреляционная функция Внн(г), то подста- новко访 ее в (12.6) можно на访ти и В^^(г). Однако удобнее перейти к спектральной плотности ①^】(А). Нетрудно показать, что существует соответствие

DS 8〃 ⑺二(一后)"‘中"他).(12.12)

Тогда, согласно (12.6),

①嚣伊)=然(等У(m +码齡(1%Н®，(12.13)

恥e 々s = у p/и — волновое число стационарной волны Россби U04］. Отсюда видно, что при 々〜急 вклад обоих членов в (12.13) одинаков. При k V息 эффект Россби становится доминирую- ншм. Но при fe->0, согласно (7.4),①нн的〜к, так что

2隽伊)〜父 при々—а о(12.14)

“РН &> ks эффектом Россби можно пренебречь и пользоваться Упрощенной формулой

①駕他)=等(署『胪J3"(初(12.15)

"рн U〜Ю м/сек.玄〜10-3 м-1, т. е.息〜сс=£т

24 Заказ № 854369

Спектр нелинейной части адвекции вихря

嶋优)=4 础｛r)J0(kr)rdr(12.16)

вычисляется значительно сложнее. Например, в случае ravr вой аппроксимации Внн(г) из (12.4) и (12.16) получа^ (а*=сс/]/2)М

喘优)=4得)力你(3+4鸟+击用「看6」?)

Отсюда следует, что и нелине访ная часть и полный спектр адВек_ ции вихря пропорциональны степени 力：

ф£?(厶)~ *3,@林(同 ~* при 々 f 0.(12.18)

Объединяя (12.13) и (12.17), получаем

<%3) =鶉(普)2応(状+砌公厂募+ ；(粤了品小勺 х(з+45 + -^Яг^- мм Интегрирование этого соотношения no ft от 0 до оо вновь дает (12.7), как и должно быть.

Несколько другой результат для ①吃(々) получается, если исходить из формулы Юдина [78*]

①^(自，砌=；(普)」J 3彼2 -g2自)2(依一 2|Л总一2产2局FX

X ①""("1，卩2)①HH 仅 1 - I1!，鱼一卩2)d卩I d卩2 ,(12.20)

где 炉=好 + 绳，з Фиh —комплексно сопряженная с ①нн величина. Подставляя сюда ФНн по (7.15) и производя интегрирование, получим

崂他)=5搖得y办》一冬.(12.21)

Отсюда следует, что ①貶仅)〜依 при ft—>0, а для дисперсии, в отличие от (12.8), получаем а? = -i-а^^ .

Анализ выражения (12.17) или (12.21) показывает, что как при малых, так и при больших волновых числах k имеем 0>顆优)〜①爲'他)，а это означает, что линеаризация уравнения вихря (12.1) при изучении крупномасштабных движений недо* пустима.

370

Вернемся „ой функинн корреляцииВернемся „ой функинн корреляциитеперь снова к неосредненной по 屮 корреляцион- (12.4) и подсчитаем интегральный макромасштаб

Вернемся „ой функинн корреляции

Вернемся „ой функинн корреляции

《（中）=『统к （r，中）〃.о《（中）=『统к （r，中）〃.о(12.22)(12.22)=(0,276 sin2 <р 4-0,122) КГ L.=(0,276 sin2 <р 4-0,122) КГ L.%(中)=喷(15^2中+%^)丄=%(中)=喷(15^2中+%^)丄=Рис. 69. Интегральный макромасштаб корреляции R，+)/j2 £.Рис. 69. Интегральный макромасштаб корреляции R，+)/j2 £.* и в (12.10), член, учитывающи访 эффект Россби, может быть ^брошен, так что в случае гауссовой аппроксимации

《（中）=『统к （r，中）〃.о

《（中）=『统к （r，中）〃.о

(12.22)

(12.22)

=(0,276 sin2 <р 4-0,122) КГ L.

=(0,276 sin2 <р 4-0,122) КГ L.

%(中)=喷(15^2中+%^)丄=

%(中)=喷(15^2中+%^)丄=

Рис. 69. Интегральный макромасштаб корреляции R，+)/j2 £.

Рис. 69. Интегральный макромасштаб корреляции R，+)/j2 £.

〃/я зонального и меридионального коэффициентов корреляции получаем:

&＞（°）='臘厶飞信卜纱飞戮工厶（1223） Средняя （12.22） по 屮，находим

R%=，圆飞黑卜'm乐上弋0,366上^180晶йкм. （12.24）

Сравнение с (8.11) показывает, что RrVRs Эти результаты Представлены графически на рис. 69.

24*

§ 13. Структура геопотенциальной тенденции

Возьмем локальную производную по времени

от обеих ча-

сте访 уравнения 1 (8.1)

；% =(98/а)△/?.

(13.1)

Отсюда следует, что

统乂，） = （9 限）2。/方方（，）.

(13.2)

Спектральный аналог этого уравнения

<%伊）=（98国"Р方方伊），

(13.3)

откуда находим

①^候)=(固 98)2^4% мм

(13.4)

Из (13.4) и (12.19) следует, что при 々一＞0 ①力力伊)〜々т 必 сле_ довательно, в этой модели дисперсия

(13.5)(13.5)哈НJ Q‘方方伊）dhо

(13.5)

(13.5)

не существует, так как интеграл расходится. Это —— недостаток формул (13.4) и (12.20), поскольку в действительности 行力 ——величина конечная. Поэтому для приближенного определения величины о^ при помощи этих формул исключим из рассмотрения низкочастотна访 участок спектра k Vcc, а затем попытаемся оценить погрешность этого приближения.

При U"Oc имеем

ал7 = J фйн(^)^^= ^(^) ^11^^ Юе 14 —2£"/^%)告 + + 国6-8—3也.(一%%，

ИЛИ

%七2(98俏)。沁21/ 1+%^,(136)

где Ei(—%) — интегральная показательная функция. Следующее упрощение связано с тем, что при U^gc^ Ю м/сек. имеем 屈〜сс〜10~6 м-1 и можно просто написать

О广 2 (98阿哈 а2,(13.7)

ИЛИ

5 弋喟⑴ гп. дкм/сутки.(13•/丿

Без учета параметра р.

Следовательно, среднеквадратическое значение геопотенциальной тенденции о^ существенно зависит от интенсивности цакротурбулентного обмена, мерой которого являются о口 н1nHПри помощи простой формулы (187) можно вычи-

слнть 叫，зная только Он. При этом сделанные упрощения (〃аОс и 1+^/8а^ 1) не носят принципиального характера,, кроме исключения спектрального участка k <а. Поэтому остановимся на этом вопросе более подробно.■

Если использовать формулу (12.21), свободную от указанного выше недостатка, то, пренебрегая эффектом Россбиг найдем

8] 1 2

。力= 才3)叫哈田， (13.8>

ЧТо незначительно отличается от (13.7). С другой стороны,, согласно (II, 6.8) и (9.19) при U^o「снова получаем (13.7).

Продолжим далее обоснование зависимости (13.7). Известно* [5*], что в синоптической практике для приближенного определения геопотенннально访 тенденции H=dH/dt используется уравнение типа

дН . дН , дН с1 с с、

г +°，(139

где

u =-u =-。屮 ду '。屮 ду '可—可—科^7科^7(13.10>(13.10>

u =-

u =-

。屮 ду '

。屮 ду '

可—

可—

科^7

科^7

(13.10>

(13.10>

屮=；(普)(瘠4"+ 4").(13.11)

Уравнение (13.9) получается из точного решения уравнения Пуассона баротропной модели атмосферы

гдегдеА/У — — ДаА/У — — Да(13.12)(13.12)

где

где

А/У — — Да

А/У — — Да

(13.12)

(13.12)

круга радиуса А равно значению /q в центре (13.13) получим

(/*=%), нз(/*=%), нза с учетом (13.12)、дНа с учетом (13.12)、дНдН ~т~дГ'дН ~т~дГ'4 б=朽.4 б=朽.(13.14)(13.14)0" _ А2~дГ — ~ГЛ^

(/*=%), нз

(/*=%), нз

а с учетом (13.12)

、дН

а с учетом (13.12)

、дН

дН ~т~дГ'

дН ~т~дГ'

4 б=朽.

4 б=朽.

(13.14)

(13.14)

В таком виде эта формула нередко используется в прогностической практике [62*]. Коэффициент т определялся эмпирически и по литературным данным изменяется в пределах 2• 10-12—13・1()т2M-2 С другой стороны, согласно [5*], фОр_ мула (13.13) имеет место при /?— 103км, что согласуется с приведенными выше значениями т.

Из (13.14) следует, что од^=то/р а из (13.1) о^= (98/О)од^, Таким образом,

9898о.о.(13.15)(13.15)

98

98

о.

о.

(13.15)

(13.15)

Используя (13.8) и соотношение

(13.16)(13.16)

(13.16)

(13.16)

полученное при помощи формулы (12.21), находим

т= '?9 а2^5,26а2.т= '?9 а2^5,26а2.(13.17)(13.17)

т= '?9 а2^5,26а2.

т= '?9 а2^5,26а2.

(13.17)

(13.17)

Так как для средних условий а~ 10~6м-1, то ш~5- 10-12м-2, что согласуется с эмпирическими данными. Так как т=4—

R ^0,87厶、425喟 11 км.(13.18)

Таким образом, чем больше Он, тем больше должен быть радиус круга интегрирования.

Положим теперь в (13.9) Н=Н+Н‘, u = U-\~uf, v = v\ считая скорость зонального потока U=const, а Н=Н(у), 0///。^= =7帝.Тогда обычным путем из (13.9) получаем

Bf!f! (Г,屮)=-炉(внн cos2 ?十;в'нн sin2 屮)+

十爲(B"十「练 Cos2y) — (^r-^ + 2) 4~ BllBHH'

где, согласно (13.10),

8 中中(r)=-rвн (г).

Осредняя по 屮，получаем

8方方(r)= —%Внн (г)т^ 25屮屮(r) + 亠(бф-рб/Yw)•

(13.19)

Но, согласно (13.11),

限⑺=(書)［僞不十号4 + 1］ В"” О (13.20)

Определив с помощью этого соотношения 图屮⑺，например, в случае гауссовой аппроксимации 5HH(г), затем при помощи (13.19) найдем 5力力(г). Так как при этом получается гро моздкое выражение, то подсчитаем только % .

Полагая в (13.19) г=0. как и ранее при выводе (11.13) и (12.7), находим

。方=与壷十;■^乩 十｝爲泰•(13.21)

Спектральный аналог (13.20) имеет вид

Ффф伊)=(^y(祭”一等必十i)①，，(盼 (13.22)

Тогда в случае гауссовой аппроксимации (7.15) получим

4 = J Ффф 候)层旅=2 (粤)& а24 = J Ффф 候)层旅=2 (粤)& а2(13.23)(13.23)

4 = J Ффф 候)层旅=2 (粤)& а2

4 = J Ффф 候)层旅=2 (粤)& а2

(13.23)

(13.23)

%=2。犷.

С другой стороны, зональный ветер существует именно благодаря наличию меридионального градиента среднего геопотенциала

" =_善需=一(98阿旧•(13.24>

Имея в виду все это, при U^gc из (13.21) находим

哈=2 (98/й)2 о^а4 (За4/?4 - 4а2/?2 + 3).(13.25)

Выше было показано (13.18), что а/?^0,87. Тогда 3a&R&—■

J 4a2?+3弋］,7 н окончательно

% = 1,84 (98/Q)哈*(13.26)

:;£• опять получили формулу, мало отличающуюся от (13.7) и ! 38). Таким образом, разными способами получены близкие качения для числового коэффициента в (13.8). Однако эту

375

формулу следует проверить на эмпирическом материале, прежде чем использовать ее. К сожалению, такой подходящий материал пока отсутствует.

§ 14. Взаимная корреляция вихря скорости и абсолютного геопотенциала

Из уравнения геострофического вихря (о^= (98/й)Л// путем умножения на Н，=Н(х‘, у') и осреднения получаем

Bo>H(r) = (98IQ)D2BHH(r),(14.1)

ИЛИ

也〃仅)=一(98偿)炉 (%"他).(14.1，)

В случае гауссовой аппроксимации Вцн(^) с учетом (8.9) для коэффициента взаимной корреляции получаем

В „ (г)1，1\—炉戸

R〃(r) = -^= —台|1 —；af)e 2,(14.2)

几 "(0) = _(14.3)

т. e. между значениями флуктуаций геострофического вихря и абсолютного геопотенциала существует довольно значительная отрицательная корреляция. Этот факт известен из наблюдений.

Согласно (13.1), связь, аналогичная соотношению (14.1), существует и между корреляционными функциями локальных производных этих элементов

В:用=(98阿、%方.(14.4)

Так как, согласно предыдущему, поле ", вообще говоря, однородно, но неизотропно, то поля со н 〃 будут однородны, но неизотропно связанными. Для простоты будем рассматривать осредненные по ср корреляционные функции и тогда вместо (14.4) можно написать

B^r)^^\Q)D2B^(r).(14.5)

Спектральный аналог этого уравнения 1

外方伍)=一(98/Q) ^flfl^.(14.6)

Напомним, что взаимные спектральные плотности ①^“(归)и ①小方(*) не обязательно положительные.

376

Используя (13.4), можно переписать (14.6) в виде

此后(切一(平8"-2生.(風(14.7)

Тогда

3：",(r) = —备『^：u-,(k)J0(kr)k^dk,(14.8>

О а взаимная дисперсия

然忆/)喷.(14.9>

При вычислении интегралов никаких особенностей не возникает. Однако нашей конечной целью является определение коэффициента взаимной корреляции R；力(г) =5；由(厂)/%0力.Поскольку о^, как было показано в § 13, определяется при помощи формулы Юдина (12.22) без дополнительных предположений (кроме Q=const), то воспользуемся именно этой формулой* Тогда

=_8(割3犷[(1-2产+ $*)6;十 £(1—a2r2)е—* .Отсюда戛％ (()) = —9(98 网з 哈 аб.Для коэффициента взаимной корреляции получаем=_8(割3犷[(1-2产+ $*)6;十 £(1—a2r2)е—* .Отсюда戛％ (()) = —9(98 网з 哈 аб.Для коэффициента взаимной корреляции получаем舔"(Г)= -(存)Zj (依e -鳥十±a2/e备,)((硒^ =

=_8(割3犷[(1-2产+ $*)6;

十 £(1—a2r2)е—* .

Отсюда

戛％ (()) = —9(98 网з 哈 аб.

Для коэффициента взаимной корреляции получаем

=_8(割3犷[(1-2产+ $*)6;

十 £(1—a2r2)е—* .

Отсюда

戛％ (()) = —9(98 网з 哈 аб.

Для коэффициента взаимной корреляции получаем

4-

(14.10)

(14.11)

此力(")=一显 m —炉+ ^) ё一冬十g(1 -巧e.]-

Х = аг,(14.12)

откуда

此 //(0) - 一 ~р^ 弋一0,76.(14.13)

Bbiwe получено Rsh(0) =0,7. Следовательно, локальные из- **енення о» и Я несколько сильнее коррелируют между собой, "ем сами эти элементы.

На рис. 70 представлены коэффициенты корреляции 氏()日(彳) и R/(x). Как видно, R^%(r) быстро уменьшается по абсолютной величине и при г〜厶(〜103км) переходит через нуль, а за тем становится положительным, достигая 十0,4 при г〜1,8 [ Примерно такой же ход имеет и &н(г). ' '

Рис. 70. Коэффициенты взаимной корреляции геопотенциала и вихря скорости [51*].

§ 15. К вопросу о нестационарности атмосферных процессов и отклонений ветра от геострофического- Изаллобарический ветер

Крупномасштабные атмосферные движения являются в 口‘” лом нестационарными. Речь идет о стационарности в смысле ра" венства нулю индивидуальных и локальных производных от скорости движения. Хотя эти движения являются в основном геострофическими, однако геострофические соотношения не м°「У 378

аняться постоянно, так как в противном случае погода с°х'валась бы без изменений. Процесс непрерывного нарушения ℃т равновесия и его восстановления связан с наличием уско- зт 宓 н является одним из наиболее важных динамических про- Р^ссов, влияющих на изменение погоды.

口 Исследуем сначала локальные изменения составляющих гео- тоофического ветра. Для этой цели возьмем локальную производную от уравнений геострофического ветра и запишем результат в форме

(15.1>(15.1>石1 = -(98/Q)A2〃，£2=(98/Q)「方.

(15.1>

(15.1>

Отсюда следует, что

约*) = — (98/2)2 D^B^ir).(15.2)

①嘉信)=(98/q)2炉Q明月(盼, или с учетом (13.4)①嘉信)=(98/q)2炉Q明月(盼, или с учетом (13.4)(15.3)(15.3)(15.4>(15.4>(15.5>(15.5>(15.6)(15.6)(15.7)(15.7)Так как для простоты рассматриваются только осредненные по полярному углу характеристики, то спектральный аналог (15.2) будет

①嘉信)=(98/q)2炉Q明月(盼, или с учетом (13.4)

①嘉信)=(98/q)2炉Q明月(盼, или с учетом (13.4)

(15.3)

(15.3)

(15.4>

(15.4>

(15.5>

(15.5>

(15.6)

(15.6)

(15.7)

(15.7)

ф..(^) = ^2ф..(^).

Подсчитаем дисперсию оо

Подставляя сюда, например, (12.20), получаем (U^Oc) % = У画(98/Q)%"/,

или

寸= 0,91 . 10一4哨/и м/сек.2

соотноше-соотноше-При *〜10 гп. дкм о； =7,15-10-4 м/сек.2

соотноше-

соотноше-

Близкий результат получается, если исходным ннем служит (9.26). В самом деле, при и^ае

。热=V- В"сс (0)=丿片?2,45 ?.

ссс、/*с0Т0

Формулу (15.6) при U^gc можно переписать в виде

а.=^/30-^^5,45^, % = 〃U,

^° вновь подтверждает удачность выбора аппроксимационной формулы (9.16).

Возьмем теперь приближенные уравнения агеострофическог ветра [104]:0Возьмем теперь приближенные уравнения агеострофическог ветра [104]:0“1 = — Q г 靠2 +9一’(5+叱 R

Возьмем теперь приближенные уравнения агеострофическог ветра [104]:0

Возьмем теперь приближенные уравнения агеострофическог ветра [104]:0

ill = £「％i +。1(5 55 + ①2『2%)， где 以;，〃； составляющие этого ветра, Vy = ■^^-* составляющие геострофического ветра. Первые в 15.8), очевидно, можно записать в виде

(15.8)слагаемые(15.8)слагаемые叫二二一Q 1 右2= _ (98/2,麻后，

(15.8)

слагаемые

(15.8)

слагаемые

硏=9= -(98[9?) V2方，(15.9)

или в векторной форме

w' = —(98/L2'2)vH,(159)

где а；, з；——составляющие так называемого изаллобарического ветра.

Как видно из (15.9), поле изаллобарического ветра является случайным потенциальным векторным полем, теория которого рассмотрена в § 10, гл. III. Рассмотрим некоторые статистические характеристики этого ветра, в первую очередь дисперсию

илиили^ =（98/d）2（vQ）2,吃=間7匕力（盼分也

или

или

「％（盼旅 о「％（盼旅 о1/21/2*=0,91 哨;и м心к. (15.10)*=0,91 哨;и м心к. (15.10)Следовательно, при。日=10 гп. дкм。[产7 м/сек.Нетрудно найти также спектр изаллобарического■а также пространственный макромасштабСледовательно, при。日=10 гп. дкм。[产7 м/сек.Нетрудно найти также спектр изаллобарического■а также пространственный макромасштабветра(15.11)ветра(15.11)Am = J 6 砲w (尼)丁于% оAm = J 6 砲w (尼)丁于% оВ случае гауссовойВ случае гауссовойаппроксимации一 12 + 9,75 К2аппроксимации一 12 + 9,75 К2I f Tf*(12.20) при U~Gc]/u А^О,38Л.I f Tf*(12.20) при U~Gc]/u А^О,38Л.м⑵м⑵Используя еще (15.3), (15.6) и (15.7), получаем

「％（盼旅 о

「％（盼旅 о

1/2

1/2

*=0,91 哨;и м心к. (15.10)

*=0,91 哨;и м心к. (15.10)

Следовательно, при。日=10 гп. дкм。[产7 м/сек.

Нетрудно найти также спектр изаллобарического

■а также пространственный макромасштаб

Следовательно, при。日=10 гп. дкм。[产7 м/сек.

Нетрудно найти также спектр изаллобарического

■а также пространственный макромасштаб

ветра

(15.11)

ветра

(15.11)

Am = J 6 砲w (尼)丁于% о

Am = J 6 砲w (尼)丁于% о

В случае гауссовой

В случае гауссовой

аппроксимации

一 12 + 9,75 К2

аппроксимации

一 12 + 9,75 К2

I f Tf*

(12.20) при U~Gc]/u А^О,38Л.

I f Tf*

(12.20) при U~Gc]/u А^О,38Л.

м⑵

м⑵

в тов то*е время макромасштаб геострофического ветра*е время макромасштаб геострофического ветра凡=0 а 十е ”" j L =牛凡=0 а 十е ”" j L =牛£^ 1,33厶£^ 1,33厶(15.13)(15.13)

в то

в то

*е время макромасштаб геострофического ветра

*е время макромасштаб геострофического ветра

凡=0 а 十е ”" j L =牛

凡=0 а 十е ”" j L =牛

£^ 1,33厶

£^ 1,33厶

(15.13)

(15.13)

Ыцыми словами, случайное поле изаллобарического ветра яв- пяется значительно более мелкомасштабным, чем поле самого геострофического ветра.

Подсчитаем далее дивергенцию изаллобарического ветра 戌:- =(98g)2画7，

ИЛИ

毘=（•＞了"方月的依^亠击卜К⑻"』^（Е4）

С учетом (12.11) получаем

无=1,68 • 10 б%】 сак「1(15.15)

Нелинейная составляющая агеострофического ветра (15.8) изучена Юдиным [78*].

§ 16. Статистическая структура макропульсаций горизонтального ветра в свободной атмосфере

Будем рассматривать скорость зонального потока U в качестве результирующей скорости ветра при движениях большого масштаба. Ось х выберем по направлению вектора U (рис. 71). Пусть 口‘,。’ ——проекции отклонения скорости реального ветра от скорости зонального ветра, тогда

s = tg 屮= 77^ = 7^， (16.1)

即е 〃o=〃'/U, u()=*/U—нормированные проекции вектора vz. Депаем следующие допущения.

,L В фиксированной точке распределение вероятностей для ♦ и') подчиняется нормальному круговому закону двумерной ЗУиайной величины, т. е.

ОтсюдаОтсюда%q = 0, Яо 匸褚=о^ = g 唄,%q = 0, Яо 匸褚=о^ = g 唄,7] = gJU.7] = gJU.следует, что s=0.следует, что s=0.

Отсюда

Отсюда

%q = 0, Яо 匸褚=о^ = g 唄,

%q = 0, Яо 匸褚=о^ = g 唄,

7] = gJU.

7] = gJU.

следует, что s=0.

следует, что s=0.

Совместные распределения вероятностей для составляю щих вектора v' в двух разных точках на плоскости тоже 冃 ' ляются нормальными, а само поле v‘ ——однородное и изотропно' на плоскости и стационарное в фиксированной точке.

Проекции вектра v‘ удовлетворяют геострофическим Со отношениям (5.1), так что “

ВиС=-А^^,必〃(「) = -АВ/(г),从=善・(16.2)

Как правило, | u0 f < 1 и | у01 < L Допустим, что всегда I и0| V 1. Это значит, что при проверке теоретических результа- гов из эмпирической совокупности данных следует исключить

нального U.нального U.функции тангенса угла отклонения реального ветра от зонального в свободной атмосфере.функции тангенса угла отклонения реального ветра от зонального в свободной атмосфере.

нального U.

нального U.

функции тангенса угла отклонения реального ветра от зонального в свободной атмосфере.

функции тангенса угла отклонения реального ветра от зонального в свободной атмосфере.

случаи, когда | uof > 1. Это допущение позволяет в общей формуле

s = iju。= % (1 — ％ + 爲一届 + • • •)(16.3)

сохранить небольшое число членов, например, sq；%(1 — "о)・(16.4)

При этих предположениях для пространственной корреляци

онной функции SiS2=BSs получаем

6ss (Г,屮)=&2 (Г,叫[1 十 6“(Г, <Р)]十 6；2(Г,屮)，(16.5) где Bik—BtklU2 и, согласно (III, 14.15),

6“ (Г,屮)=6〃 (r) cos2 屮十 6“ (r) Sin2 屮，

§22 (г，Т) = Blt (г) Sin2 <р + Впп (г) cos2 %

В12(г，屮)=[6〃 (г) — Bnn[r)\ sin 屮 cos 屮， (16C

_vr。刀 между направлениями векторов г и U. Таким образом, 中豳Врное поле s неизотропно, так как корреляционная функция 實 зависит не только от г, но и от ср.

^Если 5нн(г) задано формулой (2.13), то

Вц^^^-^е-" и 纥 〃(/■) = ；/1—")е-：(16.7)

те ^ =&(°)+ В* (0) =2/2% at Тогда

Bss (г, «) = (1 — ") [(g 才б-”，十；笃％-2" ) +

+ ；卜W屮十}才 are-"'sin2 2屮)r^a.re ar^ .(16.8)

Отсюда при(р=0° получаем зональную корреляционную функцию

Bss(r, о°) = (1-ar)(4 才 e-s + ；仙 f) ,(16.9)

а при 屮=90° ——меридиональную

6ss(Г, 90。) = %。，(Г)十3才are*. (16.10)

Следовательно, Bss{r, 90°) > Bss(rt 0°), т. e. макропульсации направления ветра около зонального коррелируют между собой сильнее в меридиональном направлении, чем в зональном. Этот вывод подтверждается данными рис. 72.

То, что 旦5亿 0°) V0 при г > Л, физически понятно, поскольку вдоль основного потока на таких больших расстояниях (L 〜1°з км) вполне возможны отклонения с противоположным знаком хотя бы под влиянием волн Россби. В то же время уменьшение корреляции флуктуаций направления по меридиану может быть обусловлено крупномасштабной дивергенцией или конвергенцией, и поэтому Rss(r, 90°) > 0, вероятно, до ar 〜2 + 3. Однако на таких больших расстояниях нужно также учитывать изменение U с широтой (U—U (у)), когда, строго говоря, формула (16.10) уже несправедлива.

С целью применения гипотезы замороженной турбулентности "〃я получения временной корреляционной функции угла откло- нен«я реального ветра от зонального рассмотрим только зональную корреляционную функцию Bss(r, 0°). Тогда, несколько ослабляя условие | uol < 1, можем вместо (16.4) использовать (16.3). Нетрудно показать, что при тех же предположениях, как н выше,

4

%s)=(i—%)2 力⑴厂”匕 (i6.il)

л — 1

где

л(^)=4"m+^+4"哦)，%⑴=4~(叩十3d十？_哦)，

九⑴)=$体6+%哦)，九⑺:^亲哦. (16.12)

Отсюда при 「i = Ut получаем временную корреляционную функцию

伉s(0 =(1 一习上]f“meS, %=妆(16.13) Она представлена на рис. 73 при т]= 1. Для дисперсии получаем выражение

4

% (。) = t &) = I 九(叫=

守十年 端十-哦十福哦(16.14)

и Gs(1) = 1,82. Так как для средних условий то〜24 час., то при т > 24 час. корреляция становится отрицательной. К сожалению, подходящий эмпирический материал для проверки этих выводов пока отсутствует.

Зная B£S (т), нетрудно найти и временной макромасштаб корреляции

乙(叫=-^^) Bssd，叫 dt =

-^^/л4- (16Л5)

Функция (16.13) имеет положительный частотный спектр

九s3)=；f и九s3)=；f иBss (т) cos 叭 de —Bss (т) cos 叭 de —

九s3)=；f и

九s3)=；f и

Bss (т) cos 叭 de —

Bss (т) cos 叭 de —

(16.16)(16.16)10 尸 /、献5—l) + 5 + i)W

(16.16)

(16.16)

卡总九⑺ Н?Яу

где(оо= 1/то и(01—(о/(о0. Следовательно, функция (16.13) мо% быть корреляционной. Спектр (16.16) представлен на р"& / ： Самой характерной особенностью этого спектра является на^о чие максимума при (о =(о0 (5=1). Нетрудно подсчитать,

<4(1) = 2 J As 3)応十 2 J fMd-'^

03。/16 17)

= 0,553 十 2,757 = 3,31,

е вКлад длиннопериодических (со V(о0) колебаний направ- ；Гння ветра в данном пункте в с^(1) не превышает 17%, а на саЦИИ с частотой со >(оо приходится не менее 83%. Ча- %е wo соответствует период

(16.18)(16.18)t^ = 2" = 2我%== 295% 財"чие.

(16.18)

(16.18)

При ОнПри Он〜10 гп. дкм То=158 час.— 6,5 суток.

При Он

При Он

отклонения направления ветраотклонения направления ветрафизически эти результаты нам представляются понятными.

отклонения направления ветра

отклонения направления ветра

Длиннопериодические (Т > То)一 -一

Рис. 73. Теоретическая временная корреляционная 一 функция, построенная по формуле (16.13).Рис. 73. Теоретическая временная корреляционная 一 функция, построенная по формуле (16.13).

Рис. 73. Теоретическая временная корреляционная 一 функция, построенная по формуле (16.13).

Рис. 73. Теоретическая временная корреляционная 一 функция, построенная по формуле (16.13).

Рис. 74. Частотный спектр случайногопроцесса s(f)=tgif (Q.

от зонального являются чрезвычайно редкими н по величине обычно небольшими. В то же время в течение небольших промежутков времени (порядка суток) ветер может устойчиво дуть П°Д большим углом 2 (см. рис. 71) и даже с востока на запад. Именно эти высокочастотные флуктуации направления ветра являются решающими для g； (рис. 74). Все же нужны дополнительные эмпирические сведения для проверки этих выводов.

§ 17. Коэффициент горизонтального макротурбулентного обмена в атмосфере

К。'асто при выполнении важных для практики расчетов необ- но?Нм° знать коэффициент горизонтального макротурбулент- ° °бмена К в свободной атмосфере. Обычно этот параметр

25 Заказ № 854

вычисляется на основе данных о дисперсии свободных аэп тов [156]. Для этого, однако, нужно знать мало изученную "己， ранжеву корреляционную функцию поля скорости 以виж；а「” BL (т). Поэтому целесообразно найти К, исходя из спектраЛьЗ? теории метеорологических полей, как это делается в ТеОп°и микротурбулентности. В дальнейшем, для определенности п И коэффициентом макротурбулентного обмена к (г) будем пом мать коэффициент горизонтальной макротурбулентной дн(ь由 ~ зии пары частиц. В предельном случае, когда rf 8, доля^' быть К(8)=/(TO=const.'0

Будем исходить из известной формулы Гейзенберга (VI, 4 3)

K(r) = T J 卜厂з①с,3)Г 2〃v, т-1.(17.1)

Отсюда видно, что К (г) растет с ростом г. В предельном случае

"8 =j『3(%(肝2 厶.(17.2)

О

С учетом (7.6) формула (17.1) переписывается в виде

(17-3)(17-3)

(17-3)

(17-3)

В случае использования аппроксимаций (7.9) и (7.15) при а* =

=а/ У 2 легко получаем соответственно

仆=1,46 尸/ и KL=1,25t% 厶(17.4)

Подставляя сюда L и ос из (5.12) и (5.13), находим

人=2,1 • 101%〃 и к壊=1,8 • 10¥",(17.5)

где ан—в гп. дкм, a Kg — в см2/сек. При ⑪〜10 гп. лкм и Y〜1

«8 〜Юп см2/сек.(17.6)

Эта оценка согласуется с обширными эмпирическими данными о величине коэффициента К, собранными в [117]. Как видно из (17.5), для вычисления Kg необходимо предварительно знать только Он.

(17.7)(17.7);<*(Г)=内[1_①(金)],;<*(Г)=内[1_①(金)],Исследуем теперь зависимость К от расстояния г. Прост формула получается из (17.3) только в случае гауссовой * проксимации (7.15)

(17.7)

(17.7)

;<*(Г)=内[1_①(金)],

;<*(Г)=内[1_①(金)],

①(У)дается формулой (7.19). Отсюда можно получить ин- г^；есную асимптотическую формулу при малых г. Поскольку

1 — Ф (у) ^ ^~у / У У^ при |у| — 8,

y⑺=齐仆/)(尸)，筝《L (17.8)

Зависимость (17.7)* представлена графически на рис. 75.

Рис. 75. Рост коэффициента макротурбулентности К* (г) с ростом аг по формуле (17.7).

Если вместо (7.15) использовать (7.4), то при r/L《l можно получить следующую асимптотическую формулу:

К (/■) = *(分厂，「《厶(17.9)

Формула К(г)〜г% при г〜102 км впервые получена Дроздовым н Григорьевой [117] из совершенно иных соображений. Она отличается от хорошо известной формулы Ричардсона (VII, 2.26) К(г)~г"з, которая, строго говоря, справедлива лишь для ннер- ^ионного интервала длин волн.

Покажем теперь, каким образом может быть оценено значе- нме числовой постоянной у в формуле (17.1). Для этой цели Запишем Эйлерову корреляционную функцию скорости ветра <9.26) в виде

% «)= (1 + 2二/圖з：2 ' q = % = 〃и.(17.10)

28*387

Будем считать, следуя [83*], что и при движениях больиюго масштаба

殳(院)=%(0，% = %&,(17.11)

где tl ——лагранжев временной масштаб. В [83*] эмпириЧеским путем получено Pi=0,53. С другой стороны, согласно (VII, 6.10).

"8 =。+&(a厶.(17.12)

Комбинируя (17.12) с (17.10) и (17.11), получаем

Далее, при 仃产U (17.4) принимает вид "8 s» 1，35Т。汽,

где G (1,25+1,46巾 1,35.

Сравнивая это с (17.13), находим

1 и卷等=配1，9弋。，2&

Тогда окончательно

«8 = 0,55 - 1010оя см2/сек.(17.14)

ГЛАВА X

Приложение макроструктурных характеристик метеорологических полей к задаче численного анализа и прогноза погоды

§ 1. Оптимальная интерполяция метеорологических полей

Эта задача поставлена и решена Гандиным [105] применительно к одному метеорологическому элементу. Позднее она обобщена им [19*] на случай любого числа метеорологических Дементов, причем в качестве различных элементов могут рас- сматрнваться также значения одного и того же элемента в различные моменты времени, или на различных уровнях. Для этого необходим。в самом общем случае знать взаимную трехмерную Пространственно-временную корреляционную функцию. Изло- 出нм здесь общую задачу, следуя в основном [19*].

в Пусть f=<p ——ф и нужно найти значение foo элемента fo точке с радиусом-вектором х0 на основе данных о значениях

389

fik элементов fk (々=1, 2, 3, ..., s) в точках x注(i= 1, 2, 3,... ...,п/г), количество 九& и взаимное расположение которых может быть различным для разных элементов.

Представим foo в виде линейной комбинации

/оо= 1 £ ikf Ik(1・1)

々=12=1

и потребуем, чтобы средний квадрат ошибки интерполяции по формуле (1.1)

e=(九— 2g%力)(L2)

\A =li = l/

был минимальным. Запишем (1.2) в виде

5 Пк5 s nk ni

Е= /оо ~ 2 £ 2 Pikfoofik +ЕЕЕЕ^ik^jlf ikf /7 •( L 3>

々 = 1£ = 1々 = ll = li = lj = l

Допустим, что ошибки наблюдений чисто случайные. Так как foo — истинное значение искомого элемента % в точке хо, то

/оо = боооо»

/оо//й = ^OZOft'

fikf JI =田阿十学户炉机(14)

где Bijki ——корреляционная функция истинных значений элемента fk в точке х说 и элемента ft в точке х^, dik — среднеквадратическая ошибка наблюдений над элементом 加 в точке х；ь. бар — символ Кронекера. Тогда

S 勺5 s nk nt

£宀-2±±Р ik^OiOk + £ 2 eI乙匕归小，十々=12 = 1々=lJ = li = lj = l

十？eЕ眾Q5)

й = 1 i = 1

Удобно далее перейти к безразмерным характеристикам

D — ^tjki— £虫—(L6)

Dсмсоз о山н°к屜

где Duhh—дисперсия элемента fk в точке х，*,р

390

над элементом fk в точке х談,е — мера ошибки ин-над элементом fk в точке х談,е — мера ошибки ин-лаблюдений терпо^яини.лаблюдений терпо^яини.Тогда вместо (1.5) можно написать

над элементом fk в точке х談,е — мера ошибки ин-

над элементом fk в точке х談,е — мера ошибки ин-

лаблюдений терпо^яини.

лаблюдений терпо^яини.

s 。5 s nk п1

Е = 1 — 2 二〉Qik^OiOk + Е Е Е £ QikQ jlRijkl 4~ 々 = li = l丸= iJ = it = ij = i

(1.7)(1.7)十？ 2

(1.7)

(1.7)

где

尊.(L8)

Теперь задача сводится к отысканию минимума величины е no 4m. Приравнивая частные производные от е по всем 〃〃* к нулю, получим систему z?i + и2 + ... + и/г + ... + и5 линейных алгебраических уравнений

RijkiQjl 4~ ^ik^ik = R^k (々=1, S, »= 1, 〃女)(1-9) t=l；=l

с тем же числом неизвестных* Решая эту систему, получим сначала gm, а затем при помощи (1.8) и истинные веса Р诘.С учетом (1.9) выражение (1.7) значительно упрощается и принимает вид

$ = 1 —工 £ %/oiOM(1.10)

й = 1 / = 1

Тем самым сформулированная задача в принципе решена.

Так как по своему смыслу 0 ^ е ^ 1, то для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы при любых значениях чисел 匕汴 н 匕式 имело место неравенство

?:、、储的jRijhi〉U.(Lil)

々=11=1 2 = 1 j = l

"ними словами, коэффициенты корреляции А仃必 должны быть таковы, чтобы квадратическая форма (1.11) была положительно определенной. Это единственное условие, которое налагается "a Rijki в общей постановке.

「анднннм [19*] рассмотрен ряд частных случаев. Практиче- скн самый интересный ——это случай двумерной интерполяции умного элемента с однородной и изотропной ненормированной ^орреляционной функцией. Теория его подробно излагается ：1*05]. В этом случае s— 1 и нет необходимости писать второй н耻кс у величин ft Pt q и ц и вторую пару индексов у величин

391

В и У?, а дисперсии элемента Вц=Воо (i=l,九)во всех точка одинаковы. Тогда

/о= 2 Р/，(1.12)

£凡产丿+笃冏=% G=i, 〃)，(м3)

艺=]—£ %Р「(1.14)

Эти формулы нашли широкое применение в практике объективного анализа метеорологической информации, в первую очередь поля геопотенциала [105].

Гандин указал и другой частный случай интерполяции нескольких элементов с подобными корреляционными функциями, однородными и изотропными по горизонтали,

Bki(r) = Bkl(0)^(rY(1.15)

или после деления на 丫 Bhk (0)5〃 (0)

Rki(r) = Rkl (О)Ф(г).(Мб)

Так как о взаимных корреляционных функциях различных метеорологических элементов мало известно, то в рамках указанной модели можно под fk (々=L s) понимать один и тот же элемент на различных уровнях. Применительно к полю геопО' тенциала такое предположение, как указывалось в § 10 гл. IX, вполне допустимо.

С учетом соотношения (1.16) вместо (1.9) п (1.10) будем иметь

sп1

2 &,(0)Е 4%,十“/ =《(0)4%(L17)

и

е=1 - £ 凡МО)”仆О」#

§ 2. Вычисление характерных значений пространственных производных от метеорологических элементов

Эта задача имеет большое теоретическое и практиче^^ значение [104, 78*]. Ее можно решить на основе спектра^ь теории метеорологических полей, развитой в гл. IX. Пр^м ‘

к ЭТо впервые сделал Юдин [172], в качестве характерного едНеквадратическое значение производной. Для иллюстрации JgToAa вычислим лишь

(2.1)(2.1)叫=m施.yf'iw，%=I/丽,

(2.1)

(2.1)

Согласно (Ш. 12.30), (IX, 7.16) и (IX, 7.4),

J “ （盼层跟=м2他）（。訛4）, 0J “ （盼层跟=м2他）（。訛4）, 0(2.2)(2.2)

J “ （盼层跟=м2他）（。訛4）, 0

J “ （盼层跟=м2他）（。訛4）, 0

(2.2)

(2.2)

где

也 2 ® = I(2加 + 66 十去)pv 即[1 一 ^>{Ь)\-^-ь\ан S).

Поскольку 匕《1, то

ЛР (6) 乌户 ^ 2,65L.(2.3)

В рамках этих приближений

з „ = 1,63—.(2.4)

L VLLk、 J

Если исключить высокочастотный участок спектра 々 > а^, то, как нетрудно подсчитать,

寸" （0，咽=卜D ""（板巾6 ^4 （%"），

что почти совпадает с (2.2).

Так как формула (IX, 7.4) обеспечивает существование градиента геопотенциала, то здесь получаем, точно

{"= j ①”〃(盼炉d盍=2-^~ , или %// = M2 干-・(2.5) о

Для сравнения укажем, что 弋^(°, aQ 七(2 — 3&) o^ a2^ 2o^/L2 и

W" = jw〃〃(G)炉 dG =—a2

=3 {1 -仪力 /я 11 -①(6)] A" — 1 }證。2 务，

?巳 модификация спектра (IX, 7.4) практически не искажает а4н.

ДалееДалее

Далее

Далее

嗡=J 工r 伏)h2 dh = № S) 4 •(2.6)

0/

где

M 传)=I 要 eт 1 一 <D 0)1 14一 1 弋要7粤.(2.7)

так что

匸 1 4 агь

"Н2 Щ•(2.8)

Наконец,

4r = j % 他)A4 dk = N： (b)常，(2.9)

0丄

где

必传）=卜+壶十［1一中传）］「『e“X

X （表-}-"）h与-，（2」。）

или

N* (6) ^0,66丁 3 2(2.11)

Таким образом,

% = 0.66 .(2.12)

A'Lk VLLk

Для сравнения укажем, что

\r(0. %)、；。к и аr(0, %)="^■。产2.

(2.13)(2.13)На основе полученных формул нетрудно установить следую щие связи между величинами 厶儿，厶，о/, о：力》△『：

(2.13)

(2.13)

丄R = l^ 詁；丄=?2^_； ,"%"=]/^ %"％：

31/n 2c c.r2 c Г 31匸3 -

мате-по “з-мате-по “з-Of Г 0“ =-父 ^r J&T G,〃， “AH 飞T H = —4— Gf/『 AT

мате-по “з-

мате-по “з-

Эти соотношения удобны для проверки на эмпирическом риале и дают возможность определить масштабы 厶* и 厶 вестным Ок, о §н, о ?т и Оду, скажем, с помощью изложенно в § 2 гл. IX метода.

Подставляя в (2.4), (2.5), (2.8) и (2.12)厶 и L из (IX,4.11) илн (【X, 5.13), получим:

力"^0,93 ■ 10-4 гп. дкм/км2,

avH2,96 • Ю-3^11 гп. дкм/км, ^т^ 1,82^3/7711 град/100 км, 力 г = 3,1 ТО-Зогзми/Нграп/км?.(2.14)

Отсюда видно, что о$т и。厶丁 уменьшаются с ростом интенсивности макротурбулентности. Это заключение, по кра访не访 мере, качественно согласуется с физическими представлениями, поскольку интенсиЕнн访 макротурбулентнн访 обмен (большие »” или Ос) выравнивает температурные неоднородности. При 0T 〜 〜5°С и он〜1。гп. дкм имеем одг^0,7■ 10~3 град/км2,。门〜 ~2,2 град/100 км, о ?н〜0,012 гп. дкм/км. В рамках сделанных упротени访(2.3) среднеквадратическое значение лапласиана А" оказалось постоянным (независящим от о” или о©), тогда как в 〃е访стЕите/ьности оно является переменно访 величиной.

В случае гауссово访 аппроксимации корреляционно访 функции геопотенциала Вин (/*) легко показать (а*=а/у2), что

'H = V2^- II 八"=2「叮普=2 竽， (2.15)

ИЛИ

力〃 =。,118 • 10 у 搭"гп. дкм/км2,(2.16)

т. е. в зто访 модели оДн уже зависит от он, увеличиваясь в два- три раза при изменении у от 1 до 20 гп. дкм.

Если для определения о$т воспользоваться формулой (IX, 2.15), то

^г = — D2B7t (г) I，=о = 2g克 а2.

Потребуем, чтобы это соотношение совпадало с (2.6). Тогда сразу найдем

9 = f № з)。88力 6小.(2.17)

При о”〜10 гп. дкм g〜25, т. е. (IX, 2.15) незначительно отли- "ается от (IX, 1.12). Соответствующий спектр, естественно, яе- 』*ется положительным

少"他，g) =[>0.

，"4 -1 )_ (週+城严 (部2十城)3/2」/

§ 3. О выборе шага при конечно-разностном дифференцировании метеорологических элементов

Этот вопрос является одним из самых важных в теории пп гноза погоды численными методами. Мы рассмотрим его на п『 мере вычисления горизонтальных градиентов Н лапласианов температуры и геопотенциала в свободно访 атмосфере.

Очевидно, что разделенная центральная конечная разность слуиа访но应 функции [ (s) представляет собой среднее значение точной производной df/ds на отрезке (х — 〃2, $+/⑵

п\s + 〃2

Jl ds — I ) ds “s—/-(3.1)

где / — интервал осреднения (расстояние или «шаг»), s ——любая горизонтальная координата. Аналогичным образом получаем：

力=广2[/岱十/)— 2〃s) + /(s —/)],'•

/з -尸[/ (s + 今 /) — 3/ (s + % /)十

+ 3/(s^ /) — / 6^ ')] 11 т。A (3.2)

Отсюда, используя также тождество (III, 11.3), последовательно находим:

匸]/产=/ г аж

。2= МТГ = /」ADff(l)-Df,&).

а3= ]<7J = Г3 /\5Dfl (/) - 6OZ/ (2/) + Dn (3/) и г. д. (3.3)

В случае лине访но访 структурно访 функции D^ (l) = a/l:

% (/)~ У。/ / 10式/)=厂源；厂3 2,

%(/) = ]「6。/ l~5 2 и т. д.(34)

Такая замена истинных производных конечными разностями вполне оправдана, поскольку, согласно (3.1), она равносильна сглаживанию поля f. Как видно из (3.3) и (3.4), степень сглаживания существенно зависит от шага /, причем эта заЕ“снм℃ть растет с ростом номера производно访一 При слишком 6。工6山吋 значениях / (сильном сглаживании) наряду с мелкомасшта ными флуктуациями элемента могут быть опушены и те ф торы, которые определяют развитие процесса. Наоборот, пр 396

“whom малых / увеличивается влияние ошибок измерений на конеЧные разности и мы не можем уловить истинное направ- еНИе процесса. Поэтому интервал осреднения (шаг) / должен бнть выбран в соответствии с масштабом изучаемого процесса, руководствуясь этим, нами предложен [148], а затем развит [49*] принципиально новый подход к решению этого вопроса — на базе спектральной теории метеорологических полей при движе- ннях большого масштаба. При этом имелось в виду, что порядок 2 по эмпирическим данным равен 102 км.

В практике численного прогноза погоды при замене истиннЫх производных конечными разностями используются, как правило, регулярные, симметричные сетки точек——квадратные или треугольные (состоящие из равносторонних треугольников), обладающие существенными преимуществами перед несимметричными. По исследованиям Юдина [174] и Гандина [105], треугольная сетка имеет принципиальные преимущества перед квадратн。访.Поэтому ниже будет использована только треугольная сетка. Результаты без труда распространяются и на случай

тре-тре-(3.5)(3.5)(3.6)(3.6)квадратной сетки.

тре-

тре-

(3.5)

(3.5)

(3.6)

(3.6)

Как было показано в работе Юдина [174], в случае угольной сетки

=吉;{Dff^l) + Q〃 (] 3l)~ Dff (/)『2,

а

含* [10Q"(/) _ 2Q"(D — Q"⑵)F2,

где /——расстояние центральной точки, к которой относятся значения Од/ и О'д/, от узлов сетки. Масштаб /〜102 км попадает в область, где справедливы соотношения

(/) = 2另 ~ и DHH (/) = о力(仝1~ %) •(37)

Тогда

°” = 4 /(4//Т -lj f - °< - = 4.68 7,(3.8)

з，н = 4 I /~ 1 — —-^— = 3,60.J -,(3.9)

=]‘2(1 十 1力5)= 1.78.(3-10)

Сравнивая эти формулы с (2.4), (2.5), (2.8) и (2.12) и округляя коэффициенты, получаем “ ’

厶Г 4£用；аh 弋^ 5L” (4" ^^。)， (3.12) или

厶r^/gT'^lU#" км и /дн= 12,5^// 11 км. ⑶ 13) Следовательно, для получения характерных знамени访 лапласианов и градиентов температуры и геопотенциала конечно-разностным дифференцированием этих элементов по формулам (3.8) — (3.10) шаги / нужно выбирать в соответствии с (3.12) и (3.13), а именно: .

Шаги, вообще говоря, являются переменными. Они зависят от интенсивности макротурбулентного обмена в атмосфере, возрастая с ростом oH практически лине访но. Это заключение имеет просто访 физически访 смысл. Важне访山ие проявления интенсивной макротурбулентности связаны с крупномасштабными движениями и для того чтобы уловить их, необходимо брать большие 厶 Если турбулентность слабая, она имеет локальней характер и шаг / должен быть малым.

Шаг /ди всегда больше /дг.

Интервал осреднения зависит от статистической макроструктуры метеорологических элементов.

Равенство /^н=0 — следствие особого вида структурно询 функции DHH (/) (3.7), поэтому масштаб /?н должен определяться при помощи другого выражения для Duh(0 |49*].

В связи с рассматриваемыми вопросами представляется весьма любопытным следующий访 факт. В случае гауссовой аппроксимации (IX, 2.14)

откуда при а/《1

Dhh .) = 4r (77^ %) ♦⑸ 14)

С друг。访 стороны, для квадратной сетки точек вместо (3.6) имеем [174]

^ = 4 [16Z)z/ (/) - ^Df^ (У2 /)一2。〃(2/)尸・(3.13)

Подставляя (3.14) в (3.6) и (3.15), получаем

здн = ддн = 2 ]/2 叨仪：仪=£ ； (3.16) где верхние индексы указывают форму сетки. Следовательно, при таком виде структурной функции DHh (/) конечно-разност^ ные значения Оди не зависят от шага / и формы сетки и совпа дают с точными (2.15), полученными спектральным методо. • 398

9Toт вывод как будто снимает вопрос об оптимальном выборе / Н 0 форме сетки. В де访стьительности，однако, хорошо известно, чТО ан растет с убыванием / вопреки (3.16) и в согласии с (3.9). По мнению Гандина, этот факт является следствием сингулярности корреляционно访 функции гауссового типа, хотя оНа здесь использована в прибли尔енно访 форме (3.14).

Итак, показано, каким образом нужно выбирать шаг /А для тиго, чтобы вычисленное конечно-разностным способом значение 仃2 совпадало с истинным

Зд = I ©АА (k)dk,б

где А означает некоторый производный элемент, например, А", АТ, ▽〃 или V7.

Однако часто приходится исключать из рассмотрения один л л и несколько участков спектра и вместо оА (0, оо) вычислять Оа(°, V) или оа(V, оо). Так обстоит дело при исследовании крупномасштабных дви尔ени访，когда принимается а£”《а丸 и конечно-разностным методом вычисляется о а (°, v). При этом возникает вопрос о таком выборе шага /А (v), чтобы вклад больших частот (й > V)в оА был исключен (отфильтрован). Наоборот, если шаг выбран на основе других соображенн访，нужно определить границу спектрально访 области, которая исключается.

Так как считаем v《3, воспользуемся формулами (IX, 7.4) и (IX, 7.5). Тогда

4/7 (О, V)= J фнн (Л) Л4 dk =О

/；г (О, V)= J([)“ (Л) k'^ dk =о

=(嗡普茅"尺Q5备

才丁(0, у) = I Втт 3)廖 dh =о

(3」7)

「Де m=7a.

Сравнивая эти формулы с (3.8) — (3.11), получаем:

厶е厶е12,8

厶е

厶е

l~ р(m)厶‘

厶 r(/n) =厶 r(/n) =Q(m) 」IQ(m)『3Q(m) 」IQ(m)『3Цт (m)Цт (m)2(1 +1/『3)2(1 +1/『3)LfLLfL(3.18)(3.18)〃 (m)〃 (m)Рис. 76. Значения шагов 以⑺) при конечно-разностном вычислении О . ... С — ИЛИ О/ ДЛЯ отфильтровывания спектральных составляющих с волновыми числами h>、=niLРис. 76. Значения шагов 以⑺) при конечно-разностном вычислении О . ... С — ИЛИ О/ ДЛЯ отфильтровывания спектральных составляющих с волновыми числами h>、=niL

厶 r(/n) =

厶 r(/n) =

Q(m) 」IQ(m)『3

Q(m) 」IQ(m)『3

Цт (m)

Цт (m)

2(1 +1/『3)

2(1 +1/『3)

LfL

LfL

(3.18)

(3.18)

〃 (m)

〃 (m)

Рис. 76. Значения шагов 以⑺) при конечно-разностном вычислении О . ... С — ИЛИ О/ ДЛЯ отфильтровывания спектральных составляющих с волновыми числами h>、=niL

Рис. 76. Значения шагов 以⑺) при конечно-разностном вычислении О . ... С — ИЛИ О/ ДЛЯ отфильтровывания спектральных составляющих с волновыми числами h>、=niL

Если V варьирует в интервале (a, aQ, то 1 V m <. з/а= 1/氏 Согласно (IX, 7.12), при он〜1。гп. дкм ^-1 = 55, так что i V m V 55. Эти результаты представлены графически на рис. 76.

4. Точность определения характерных значении конечных разностей метеорологических элементов

Конечно-разностные характеристики метеорологических^эл^ ментов на практике определяются всегда с известно访 owu°R° : Ошибка обусловлена неточностями вычисления самих этих :;— нечных разности访一 Теория этого вопроса дана в [20*]. Она ' лагается ниже.

400

элемента j несколькихэлемента j нескольких(4.1)(4.1)Любая конечно-разностная характеристика поля представляет лине访ную комбинацию значений f в •дочках •

элемента j нескольких

элемента j нескольких

(4.1)

(4.1)

Представим f в виде

(4.2)(4.2)/=7+/+^

(4.2)

(4.2)

где f — норма элемента, 『一истинное отклонение от нормы, ：6 — ошибка определения f. Тогда

mт

A=£d/+f 匕/十?匕也=万+А' + ”， (4.3) ft —1々=1ft =1

где 力，4’ и а имеют аналогиинн访 смысл. Очевидно, что Af =

Рассмотрим средние квадраты*

、 m тгп m

=〉I b也I f 卜 f I,仪* = £ £ 力龙％"丸> •(4.4)

Так как поле норм значительно более гладко, чем реальные поля, то, как правило, (Д)2<^ (Л7)2- Таким образом, Л2~Л/2+а2.

Однако при вычислении конечных разностей вместо данных наблюдены访 используются результаты интерполяции со станций в узлы регулярно访 сетки. Иными словами, приходится иметь дело не с истинными отклонениями от норм 八 а с проинтерпо- лированными『.В таком случае 6 будет складываться из ошибок исходной информации и ошибок интерполяции. Таким образом,

(4.5)(4.5)k =1 2=1

(4.5)

(4.5)

Используя для дисперсии элемента обычное обозначение //= =о：, можно написать

(4.6)(4.6)牛I工6血丸；当=£ ?瓦3,， /龙=12 = 1/ 月=1? = 1

(4.6)

(4.6)

где

几，=3^，气尸土帀.（4・7）

40140126 Заказ № 854

401

401

В случае любо访 линейно访 интерполяции имеем

兀=Е Р/；' /； = Е ‘(4.8)

2=12=1丿

где п — число станин访 с исходно访 информаиие访，pik и ри一ин терполяционные веса. В таком случае

2 PihPiiRij； 隔匸2^.(4.9)

Далее, так как

п

"丸=力! 一 f к = f к — f Pikf t *

E 二 1

TOi

eftZ = Rhl — £ Plk^u — 2 P jlRjh + &/ •(4.10)

2=1j = 1

Однако на практике используется, как правило, линейная оптимальная интерполяция, при которой, как следует из общей теории, изложенной в § 1,

Е 夕话％ = R丸，Е PriRij=Rn，(4・ii)

Подставляя эти соотношения в (4.9), получаем

? PiRt = ^i PtiRm-= Rm*(4.12)

Тогда (4.10) принимает простой вид

%i = RlR#(4.13)

Определив при помощи (4.12) Rkt по заданной корреляционной функции Rki рассматриваемого элемента и взаимном) расположению пунктов наблюдения и узлов регулярно访 сетКИ (по весам р(хв), а затем е^ по (4.13) и подставив вычисленные таким образом Rki и е配 в (4.6), можно чисто теоретический путем, без привлечения данных наблюдены访.оценить точност определения любо访 конечно-разностной характеристики % мента f. Такие оценки могут быть выполнены также путем с0 ветствующей обработки массовых данных наблюдений “ “

』нза, однако для этого потребуется очень много времени по сравнению с теоретической оценкой. В этом и состоит преимущество теоретической схемы. Складывая правые и левые части соотнотени访(4.6), с учетом (4.3) и (4.4) получаем

m т

А：十 а?=号 ± £ 瓦〃(А” 十 sfti) =ft — 1 Z = 1

=号？ £ b力I‘(4.14)

丸=1

или

4： = 4? — а2, т. e, 4： < A：(4.15)

Иными словами, средни访 квадрат конечной разности, полученный по данным интерполяции, меньше истинного значения среднего квадрата зто访 конечной разности на средний квадрат сшибки определения элемента f [20*]. Этот вывод имеет общий характер. .

• На основе полученных формул в [20*] и [39*] выполнена серия численных опытов. Они показали, что распределение ошибок определения первой конечной разности геопотенциала, полученных путем обработки данных наблюдений и анализа, хорошо согласуется с распределением теоретических ошибок. Вместе с этим выяснилось, что теоретическую оценку точности определения дифференциальных характеристик полей метеорологических элементов можно использовать для рационализации сети наблюденн访，поскольку для численных прогнозов первостепенное значение имеют именно сведения об этих характеристиках. Поэтому такой подход к проблеме рационализации сети наблюдений более перспективен по сравнению с подходом, в основу которого кладется точность интерполяции метеоэлемента [39"

§ 5. Оптимальное сглаживание метеорологических

〜полей

В процессе анализа синоптических карт специалист-синоп- тнк, в сущности, проводит работу по интерполяции и сглажиВанию метеорологических полей, соблюдая при этом некоторые Условия, например, о достаточно访 гладкости изолиний, о согласованности различных полей и т. д. Цель этого сглаживания —— 26*403

исключить ошибки наблюдений. Однако такая ручная интерпо ляция и сглаживание не свободны от субъективных оценок В последние годы для проведения изолиний по данным объек тивного анализа используются специальные устройства []05； При этом нужно придавать различный вес разным данным. Это обстоятельство имеет большое значение.

Так, например, если не проведено никакого сглаживания, то синоптические особенности остаются без изменений. Однако, наряду с ними сохранятся мелкомасштабные флуктуации, включающие ошибки наблюдений. Наоборот, если рассматриваемое поле сглажено слишком сильно, вместе со случайными ошибками исключаются и те флуктуации, масштаб которых сравним с расстоянием между метеорологическими станциями. В результате такого сильного сглаживания амплитуда реальных макромасштабных флуктуаций уменьшится. Эти рассуждения приводят к заключению о необходимости подобрать такой оптимальный режим сглаживания, который дал бы возможность отфильтровать мелкомасштабные флуктуации и сохранить характерные для данного масштаба движений детали поля. Математическая формулировка задачи такова: найти наилучшую сглаживающую функцию в том смысле, чтобы среднеквадратическое значение разности между какими-либо характеристиками истинного и сглаженного полей было минимальным. В такой постановке эта задача подобна задаче о выделении полезного сигнала на фоне случайных шумов в радиотехнике, метод решения которой разработан А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Обобщая этот метод на случай двумерного однородного и изотропного случайного поля, Томпсон [162] дал изящное решение сформулированной выше метеорологической задачи.

Пусть g(x, у)—истинное поле, f(x, у) — наблюденное, а 6 (х, у) — поле ошибок наблюдений, т. е.

/(X，y) = g(x，У)+ Мх，У)-(5」)

По определению для сглаженного поля имеем

，(乂 У)у=1 <«(Р)/(х — Е，у —吟成公卜(5.2)

7庁)

где p2=g2 + т]2, а интегрирование производится по области Л переменных g,斗 Весовая функция Л (р) неизвестна. Она должна удовлетворять условию

2冗 f K(p)pdp = L(53)

б

В согласии с формулировкой задачи минимизируем выражение /=Нт J[g(x, у) —?(х, y)『dxdy， (3・4)

где символ 4f 8 означает неограниченное расширение области во всех направлениях, S (Л)——площадь этой области. Если допустить, что fug однородно и изотропно связанные случай- иЬ1е поля, то после некоторых преобразований (5.4) приведем к виду [162]

С8

/ (К) = Bgg (0)-4«f^ (р) Bfg (Р) Р 办 +о

882~

+ 2к J КS) р力 J К (R)RdR、8"(г)d6,(5.5>

ооо

где 产=必 + р? — 2pR cos 0.

Задача сведена к определению функции К(р). обеспечивающей минимум / (Л), при известных корреляционных функциях 8gg(p), Bff (р) и Bfg (р). Условие минимума / (Л) приводит к интегральному уравнению

j К (欠)/? d/? j 8" (г) Об = Bfg (Р).(5.6).

оо

Решение этого уравнения имеет вид

к (欠)=去 j 2/g (u)\^ff(u)\JG (心)« 豳，(5.7).

где Ф/g (и) и Фуу (и)——двумерные спектральные плотности.

Сделаем теперь довольно естественное предположение, что- истинное поле g(x, у) не коррелирует с полем ошибок 6 (х, у), т. е. &g=0. В таком случае, согласно (5.1).

В fg = Bgg, В” = Bw?“ 8f/ = 8gg +统石(5・8>

и вместо (5.7) будем иметь

к (А)=击 ftidu,(5.9}

嗑(〃)

спектральныеспектральныеплотно-(5.10}плотно-(5.10}где ф*^ (ц) и ①gg (口)一 нормированные

спектральные

спектральные

плотно-

(5.10}

плотно-

(5.10}

сти ii

与& (0)Bgg (。)'与& (0)Bgg (。)'

与& (0)

Bgg (。)'

与& (0)

Bgg (。)'

°чевидно, представляет собой отношение «мощности шума к мощности полезного сигнала». В принципе задача решена.

Однако определение весовой функции K(R) на практике п° формуле (5.9) в большинстве случаев, когда эмпирические

корреляционные функции заданы в виде таблиц или графиков •связано с большими трудностями. Они обусловлены тем, Чт^ по этим данным нужно предварительно вычислить спектральные плотности и затем по (5.9) найти функцию К (R). Прел<де чем рассмотреть один частный случай, укажем некоторые интересные выводы, которые следуют из общей формулы (5.9).

Так, например, если 左=0, т. е. og=0 и f=g (нет ошибок) то '

к 依)=击 J 4 (/?«)« du. (5.11)

Нетрудно видеть, что в этом случае К (R) обладает свойствами 6-функции Дирака. Действительно, К (А) удовлетворяет (5.3) и, кроме того, К=0 при R，0 и Kf 8 при Rf 0. Это значит, что точка, к которой относится среднее значение, участвует с весом, равным единице, а все остальные точки ——с нулевым весом, т. е. не производится сглаживания. Это впрочем ясно и априори, так как нет ошибок, которые нужно отфильтровывать сглаживанием.

Пусть теперь о*〜仃耳(左〜1) и масштабы обеих полей bug имеют одинаковый порядок. Тогда и ①^八〃)〜①](〃)，т. е. К (R) вновь является 6-функцией. Однако теперь это означает, что ошибки наблюдений нельзя выделить путем сглаживания, так как амплитуды обоих полей уменьшаются в одинаковой степени, Иными словами, сглаживанием невозможно отфильтровать метеорологические шумы от полезной информации с одинаковым или меньшим масштабом.

Практический интерес представляет промежуточный случай, когда 厶6《厶g, где 厶ь и Lg соответственно масштабы поля ошибок 6 и истинного поля g. Для того чтобы получить весовую функцию К (R) в явном виде, зададим Bgg (р) и &б(р) формулами гауссового типа

8gg(p)= ^e-&np)=姦-"产， (3.12)

где a = \/L& и b = l]Lg. Как уже указывалось, такие формулы хорошо аппроксимируют эмпирические корреляционные функции некоторых метеорологических элементов. Определив соответствующие спектральные плотности при помощи (IX, 7.1)“ выполнив интегрирование в (5.7), получим

где

2ab I Л. 或

Подставив это выражение в (5.5), для минимального значения величины / найдем

，2炉г21 2

/瑞= %](等)+收1-传)} ' s=S.(5.⑹

Отсюда вновь видно, что при 左=0 действительно /тт=0, а при $=1 (Lg=L&)

U/min =左入=二订 (5.16)

т е. минимальная среднеквадратическая ошибка сглаженного поля совпадает со среднеквадратической ошибкой наблюдений 0о. В остальных случаях 0 V У /mm V об.

С целью проверки, насколько субъективные методы сглаживания, применяемые в синоптической практике, близки к оптимальному сглаживанию, в [162] проведен специальный численный эксперимент. Результат показал, что оба метода дают примерно одинаковые результаты. Однако при выделении реальных деталей синоптического поля из поля случайных флуктуаций^ обусловленных ошибками наблюдений, с близким или меньшим масштабом метод оптимального сглаживания оказался чувствительнее субъективного. Необходимо продолжить работу по дальнейшему развитию теории метода оптимального сглаживания метеорологических полей.

§ 6. Предсказуемость синоптических процессов

В основу современных методов прогноза погоды положено решение уравнений термогидродинамики атмосферы с помощью- численных математических методов с последующей реализацией на быстродействующих электронных вычислительных машинах. Если в этих уравнениях отражены все действующие факторы и известны начальные и граничнь!е условия задачи, то в принципе состояние атмосферы может быть предсказано для любого момента времени. Однако на практике исходные уравнения всегда неполны и описывают более или менее близкую к действительности модель атмосферы. С другой стороны, начальное состояние атмосферы нельзя восстановить точно из-за неполноты Данных наблюдений, которая в свою очередь обусловлена техническими и экономическими возможностями. Следовательно, существуют две причины уменьшения точности прогнозов.

Естественно считать, что влияние первой причины с увеличением наших знаний об атмосферных процессах будет

постепенно уменьшаться. Что касается второй, то опыт показ вает, что неполнота исходных данных приводит к быстром' ухудшению качества прогнозов при увеличении сроков действ』 их. Возникает практически важный вопрос: насколько увелнче ние густоты метеорологических станций может привести к ощ： тимому улучшению качества прогнозов? Может быть,讣・誌~ ■ствует предел в этом отношении, выходить за который экономически уже невыгодно?

С другой стороны, хотя уже созданы достаточно близкие к действительности математические модели атмосферы \ точное решение соответствующих уравнений оказывается невозможным так как они имеют очень сложный вид. С развитием вычислительной техники и усовершенствованием численных методов решения уравнений погоды приближенные решения будут все меньше отличаться от точных. Тогда остается единственный путь к улучшению качества прогнозов ——это уменьшение неопределенности начального состояния атмосферы.

Другой вопрос, имеющий большое практическое значение, связан с установлением максимального срока предсказуемости состояния атмосферы, за пределами которого прогноз совпадает с чисто случайным. Опыт показывает, что этот срок порядка одной недели. В связи с этим можно отметить, что, по мнению некоторых авторов, средние статистические характеристики состояния атмосферы более предсказуемы, чем детали.

Все эти вопросы обсуждаются подробно в известной работе Томпсона [69*]. В ней предпринята попытка количественной оценки роста среднеквадратической ошибки прогноза (вследствие неточности исходных данных) с увеличением срока прогноза. Ниже излагается метод Томпсона с некоторыми уточнениями, сделанными Новиковым [142].

Возьмем в качестве исходного уравнение для функции тока 弋(х, у, 0 в баротропной атмосфере [104].

!ф =—(屮.a中)，(6」)

тде

小=粤，(Л(6i)

丫丿 дх ду ду дх

Это уравнение записано в системе координат, движущейся со •скоростью зонального потока.

Пусть po=W(x, у, 0)——истинное начальное распределение функции тока, а 5*6о — восстановленное по данным метеорологических станций с начальной ошибкой 6o=6o(x, у)・①унк・

Разработанные к настоящему времени математические модели. °""黑一 вающие атмосферные процессы, особенно в части учета притоков тепла,：亦 зовых переходов воды и турбулентности, можно рассматривать лишь ^ первое (достаточно грубое) приближение к реальной действптел (Прим. ред.).

Нин 屮。и б'о считаем случайными. Из физических соображений следует, что они независимы. Будем считать их однородными и изотропными на плоскости (х, у). Пусть 屮(尤，у, £) ——истинное значение 屮 в произвольный момент t、полученное в результате решения уравнения (6.1), ip (х, у, ^) + 6 (х, у, t) — ошибочно- предсказанное вследствие наличия начальной ошибки 60= = 6о(х, у).

Введем обозначения

£ = 3小宙 н е = ；Ер.(6.2)

Очевидно, что £ представляет собой кинетическую энергию реального движения, а е можно рассматривать как статистическую меру неточности прогноза поля ветра. Задача сводится к тому, чтобы найти функцию е«), а также установить зависимость ее от статистической макроструктуры начальных полей фо И 6о.

Представим е(£) в виде ряда

е(£) = % + 2(/ + 4~2(/+ …(6.3>

С другой стороны, согласно (6.1), поле 6 (х, у, t) удовлетворяет уравнению

А&=_@ Аб)—© М) — ®, До).(6.4>

Кроме того, e=V6V6. Следовательно,

е = v§ V§== —5Д8 = 3(屮，А£) + В (В. “) + 8(2, Д8)=屮(АВ, В).

(6.5)

Так как 6о и 业 статистически независимы, то

Со»屮и(А*о，"())=屮о(△£), ^о) = 0.(6・6)

Для вычисления а продифференцируем (6.5) по f

ё；=加(A瓦，瓦)+ 尺。 色，%) + £(屮。, або) .(6.7)

Исключая далее 60 при помощи (6.4), после некоторых преобразований, приведенных в [142], с учетом (6.6) получаем

% = 8e/j (/ + 4 广)(疗-尸)普, где% = 8e/j (/ + 4 广)(疗-尸)普, где尸о军g2气曲（。）尸о军g2气曲（。）/(r) =/(r) =嗫(г) 公(°)嗫(г) 公(°)»巾。*。(「) н /?6А(г)——пространственные коэффициенты Ннн полей 业 и 6о, Ео=Е (0) и е0=е (0).»巾。*。(「) н /?6А(г)——пространственные коэффициенты Ннн полей 业 и 6о, Ео=Е (0) и е0=е (0).(6.8)(6.9)корреля-(6.8)(6.9)корреля-

% = 8e/j (/ + 4 广)(疗-尸)普, где

% = 8e/j (/ + 4 广)(疗-尸)普, где

尸о军g

2气曲（。）

尸о军g

2气曲（。）

/(r) =

/(r) =

嗫(г) 公(°)

嗫(г) 公(°)

»巾。*。(「) н /?6А(г)——пространственные коэффициенты Ннн полей 业 и 6о, Ео=Е (0) и е0=е (0).

»巾。*。(「) н /?6А(г)——пространственные коэффициенты Ннн полей 业 и 6о, Ео=Е (0) и е0=е (0).

(6.8)

(6.9)

корреля-

(6.8)

(6.9)

корреля-

Чтобы на основе общей формулы (6.8) можно было сделат конкретные выводы, зададим, как и в (5.12), R^^ (г) и /?б ⑺ формулами гауссового вида, т. е.' °

尸(r) = L； 〃r)=L：go)

где 厶 и 入——масштабы соответствующих полей. Тогда из (6 8) найдем

% =—> (入2 + £2)2，Т・ е* е()>6・(6. 1 1)

С учетом (6.6) и (6.11) соотношение (6.3) принимает вид

訂3+2h +图j 19，(6.12)

где T=L/f 2E0 — т0 ——характерный временной масштаб синоптических процессов L

Формула (6.12) показывает, что ошибка e(f) с увеличением срока прогноза растет. Это — следствие нелинейности уравнения (6.1). По Томпсону прогноз совпадает со случайным при е/е0= =16. При £ = 2Л и т0=24 часа такое значение е/е0, согласно (6.12), достигается через время /产 14 суток. Таким образом, атмосферные процессы с временным масштабом т0 порядка суток непредсказуемы на срок больше, чем две недели.

В действительности, однако, этот срок составляет 4——5 суток. Причина этого расхождения заключается в том, что мы пренебрегли всеми членами в (6.3), кроме выписанных, так что формула (6.12) верна лишь при /《Т. Кроме того, не были учтены другие источники ошибок, о которых говорилось выше.

В заключение укажем, что вопрос об оценке влияния начальных ошибок на прогноз метеорологических элементов или, по терминологии Томпсона, о предсказуемости синоптических процессов, является чрезвычайно актуальным и малоизученным.

§ 7. Корреляционные функции метеорологических элементов на сферической Земле

Вопрос об учете сферичности Земли в статистической теории при движениях планетарного масштаба порядка радиуса Земли впервые поставлен Обуховым [20]. Об этом уже упоминалос

См. формулу (6.9) гл. IX.

в § 4 гл. III. Необходимость специального рассмотрения возникает из-за того, что при таких масштабах уже нельзя говорить об однородности и изотропности полей основных метеорологических элементов. Рассмотрим здесь некоторые общие свойства корреляционных функций и имеющиеся эмпирические сведения, а затем изложим сущность нового метода долгосрочного прогноза зональной циркуляции атмосферы.

Если f и g— метеорологические элементы, ff и g‘一их отклонения от норм,入 и ф — географические долгота и широта, 0=90° — ф, f — время, то по определению

Bfg =尸(8 —味入一X, £)g，e +『，+71,(7.1)

где черта обозначает осреднение, которое в разных задачах может иметь различный смысл.

Непосредственно из определения вытекают следующие простейшие свойства Bfg [15*]:

/в,, = В工 + В 旦；盘гB,f = - В也 + В 也,(7.2) о® // 08од // 加

или

8給=}

(00ОО' )； 3%- 2 ( ОО + 加，)・(7・3)

Вводя далее переменные

6] = 6 —『，坛=6 -|—出，

入1=入一片，)堂=人+入’，(7.4)

запишем (7.3) в виде

в 5加 “"(4，%，°2‘ 入2’ £),

鳥8"(4，%, %，%，/)•(7.5)

Аналогично

3包_0)3"(4，入 1，82，人2, £),

5+■5/八4，入1，%，入2，f).(7.6)

丿0A2

Эти формулы справедливы безотносительно к способу Осреднения. Однако с точки зрения прогноза осредненных

411

характеристик зональной циркуляции атмосферы очень важн рассмотреть осреднение по кругам широт [64*]°

7rа,入，/)欧.(7.7)

Полагая /=0 (начальный момент), представим

/е, Z)=7(6) + /r(6,入)，(7.8)

f (6, А) = 2(е)cos от/. + Ьт (6) sin тл]. (7.9)

т = I

Тогда

3" (4,入1 • b 入2)_^ _^ Rm (4)а”(％) 8s 加"COS 〃％ -4

m = 1 〃 = 1

+ bm (斗)an (%) sin 欣 1 cos 〃入2 + ^m (4) bn(62) cos 加^ sin 〃入？十

+ bm (6J bn (%) sin 加入 sin 〃％] •(7.10)

Вследствие ортогональности тригонометрических функций все осредненные произведения в (7.10) при т^п обратятся в нуль, а при т=п

cos 欣I cos 也 =-cos m (入]—%);

sin 加入]cos 加2 = sin m (入]-kJ;

cos ffx% sin 〃入2 =j- sin m (% — %);

sin 而 1 sin 〃入2 = cos m (% — %).

Тогда окончательно

%/ (4，忆入1 — %)=

=gt [am cos m(X1 — ^2)+ Pm sin m (k] — Л2)1，(7.11)

где

% (4, %) = ^(4) % (%) + ьм ьт (%),

即(4, ^ = ЬМаМ-аМЬМ- (7・12)

Следовательно, корреляционная функция (7.11) инвариантна 412

относительно сдвига по кругу широты (入i — Х2). В этом прояв- ]#ется ее однородность.

Иногда удобно вместо 3疗 рассматривать коэффициент корреляции

■/?"(%,忆 ％ —入2)= /в」："'：：'：，оЧ~Ъ • (7」3)

1У % ®,忆 °)3"(02,。2, 0)

В работе Смирнова [64*] впервые построен ряд карт Внн для северного полушария (// — высота изобарической поверхности 500 мб) с привлечением различных способов осреднения. На рис. 77 представлено поле Внн для пятидневного периода осреднения при & = 35°, Xi—0° и & = 35°,入[=40° в зависимости от 02 и Лг. Рисунок показывает, что едва ли можно говорить об однородности и изотропности поля турбулентности планетарного масштаба. На рис. 78 нанесены коэффициенты корреляции, рассчитанные по (7.13) при фиксированных 01=20° и &=35°. Для небольших промежутков времени общий вид карт Rhh при закрепленном значении & ото дня ко дню меняется незначительно, однако для одного и того же поля Rhh, построенные при различных &, сильно отличаются друг от друга (рис. 77).

Осредненные корреляционные функции Внн (<рь q)2, Х4 ——Х2), которые приближенно можно считать неизменными во времени, подсчитал также Добрышман [28*]. В качестве примера на рис. 79 изображены изокорреляты Rhh (<рь ф2,入i — ^2)для ATsoo при 屮1=50°・ Видно, что вблизи начала координат (ф!=ф2 и Xi=?4) изокорреляты близки к окружности. Это означает, что поле отклонений от зональных значений высот изобарических поверхностей локально-изотропно, причем «радиус» изотропности достигает 3000—4000 км. На больших расстояниях всегда имеются области отрицательной корреляции. Нормированные корреляционные функции Rhh для поверхностей 700, 500 и 300 мб практически совпадают.

Аналогичные характеристики поля точки росы т рассчитаны в [43*]. Пример распределения /?тт (50°,屮，入〔一入2)представлен на рис. 80. Видно, что корреляционную функцию можно считать изотропной только в средних широтах и до расстояний порядка 3000 км. В этом диапазоне 旦工 оказывается очень близкой к рассчитанной раньше по ограниченной территории и по другой методике. Отрицательные коэффициенты корреляции на западе больше, чем на востоке.

Начатую в [28*, 43* и 64*] работу по определению корреляционных функций основных метеорологических элементов на сферической земле следует продолжить в связи с развитием нового направления прогноза сглаженных значений метеорологических элементов в работах Блиновой [99, 7* 8*], Галина [15*] и Смирнова [63*]. Простейший вариант такого прогноза, следуя [99] и [8*], изложим в следующем параграфе.

Рис. 77. Корреляционные функции Вин с осреднением по времени за период 18—22 сентября 1959 г., по [64*]-

а — относительно точки 0i=35°, Xi=O°; б — относительно точки 61=35°, Л1=40°.

Рис. 78. Корреляционные коэффициенты Rhh • 101 с осреднением по кругам широт за 23 января 1959 г., по [64*].

а — относительно 61=20°; б — относительно &=35°.

Рис. 79. Нормированные корреляционные функции АТбоо (в процентах) для зимы на широте 50°, по [28*].

Рис. 80. Нормированные корреляционные функции поля точки росы на широте 50°, по [43*].

§ 8. Прогноз сглаженных значений функции тока на среднем уровне атмосферы при помощи корреляционных функций по методу Блиновой

Исходим из уравнения переноса абсолютного вихря в сферической системе координат

4^+-^Г(^ ^ + ^^-=0,(8.1)

где(о — угловая скорость вращения Земли, а。一радиус Земли, оператор (Л, В) задан выражением (6.1) и

АА^ЕT同(sin 8被)十 碇^ЕT同(sin 8被)十 碇(8.2)(8.2)

А

А

^ЕT同(sin 8被)十 碇

^ЕT同(sin 8被)十 碇

(8.2)

(8.2)

есть оператор Лапласа.

Положим в (8.1) 4—^ + 'Ф7 и произведем сглаживание.* В результате получим

/出十工ir @厶巾）十2з工=—号Q （GF）・（8.3）

В отличие от (8.1) новое уравнение для сглаженной функции ф содержит еще одну неизвестную (屮‘，八屮')・

Однако нетрудно показать, что

(К^Р)(К^Р)&[? dа屮，^5 dF"&[? dа屮，^5 dF"&[/ d Ay~dX d6~~&[/ d Ay~dX d6~~(8-4)(8-4)

(К^Р)

(К^Р)

&[? dа屮，

^5 dF"

&[? dа屮，

^5 dF"

&[/ d Ay

~dX d6~~

&[/ d Ay

~dX d6~~

(8-4)

(8-4)

(8.1),(8.1),(8.5)(8.5)

(8.1),

(8.1),

(8.5)

(8.5)

где Д2 дано выражением (8.2) в переменных 02 и а2.

Недостающее уравнение получим, вычитая (8.3) из

—^r^ "‘）十（中‘，闲十十（屮'，Ay）—（jr^?） —

Запишем теперь это уравнение для точек Ah (仇，入° и 乂2(仇，入2). Затем уравнение, записанное для ЛЬ, умножим на 八2屮‘(仇，入2, /), а уравнение, записанное для ЛТг, — на Ар|/(仇，Хь £). Складывая Таким образом полученные уравнения, производя осреднение и

27 Заказ № 854 4[7

пренебрегая третьими моментами (постулат Фридмана—Ке.” лера), получим

(d，8g)--^ 6工强~(d，8g)--^ 6工强~

(d，8g)--^ 6工强~

(d，8g)--^ 6工强~

詣工电'2 m з巾-3或Sin 4 -备A田卜2烏в J +

0M屮20M屮2+ sin e2 备 Qi A26^^ 工』备厶皿 —

0M屮2

0M屮2

M-^ _(2'欣 sin® —^J^) %息&.J. (8.6)

Это линейное относительно 8屮屮 уравнение вместе с (8.3) составляет систему для определения двух неизвестных функций 十 и В^. Уравнения (8.3) и (8.6) справедливы при любом способе осреднения.

Рассмотрим осреднение по широтному кругу (7.7). Тогда 中 зависит только от 0 и Л т. е. дается прогноз чисто зональной циркуляции. Вводя обозначения 入i+入2=2入，入2—入 1 = 2入'и замечая, что

++

+

+

получаем

С учетом этих соотношений уравнения (8.3) и (8.6) принимают вид

та(sin 8曾卜一書［备缁 + 备)，в J”。(*・7) И

a。%1 Sil* 如 A包/也十

十(2"病 Sin e, - -^^k)△2瓦，厂\ 一

—®届 sin 62 — ■^^-j 厶乃屮《 } •(&8)

Так как поле функции тока 寸 близко к полю абсолютного『е°： потенциала ", то можно ожидать, что и поля корреляционных 418

функций В^ и Внн будут схожи. Поэтому в качестве начального условия для В^ примем формулу типа (7.11)

(”)=0 =4" 2(% cos 2mx 十 b sin 2 加J).(8.9)

где смысл aw и pm выяснен в § 7. Это значит, что решение для 8屮寸 в любой момент f можно искать в виде

бфф = 4~ 2 [%«)3 2欣，+ Bm(/)sin2zra『], (3.10)

причем естественно принять am (0)=ат и 臥(。)=6皿 а аргументы 01 и 02 для сокращения записи опустить.

Тогда уравнение (8.7) переходит в следующее:

Sin2©* = А£ rn(bm^mam- а,п^т Ь:^,(8.11)

где•

А(&12)

есть аналог индекса циркуляции [104]. Уравнение (8.8) распадается на пары уравнений

与 дтат=~ m В △也 + 2"十点)«mb

方△也=加[А\„a„； +(2"十6)6;?,],(8.13)

где

4 =备务卜in0*)-醞Г，

3 = 一+*[急(备^叫].(8-14)

Дальше задача решается шагами по времени.

Метод Блиновой обобщен на случай двухуровенной модели атмосферы Галиным [15*]. Соответствующие уравнения имеют очень сложный вид, однако их приближенное решение можно построить также шагами по времени. Это направление в теории прогнозов является весьма перспективным, так как указывает пути удлинения сроков прогнозов. Нужно отметить, однако, один недостаток метода, заключающийся в том, что третьими моментами при получении уравнения (8.6) пренебрегли. Законность этого допущения нуждается в специальном Исследовании.

§ 9. Прогноз характеристик общей циркуляции атмосферы с учетом макротурбулентности

Атмосфера рассматривается как несжимаемая двумерная сферическая пленка. Тогда уравнения динамики атмосферы в сферической системе координат принимают вид [104]

dt 十ao00 十碗sin 00入十oq g

(9.1)(9.2)(9.3)(9.1)(9.2)(9.3)=~2(・a COS 0,Oq sin и

(9.1)

(9.2)

(9.3)

(9.1)

(9.2)

(9.3)

dv . v dv ,〃 du "an 10Ple c

禹Г一 ^Ctg6=不而+ 2・>ucosa

余 sin9 +警=0,

где u, v — зональная и меридиональная составляющие скорости движения, р — давление. Эти уравнения приближенно справедливы для некоторого среднего уровня атмосферы.

Представим искомые функции в виде

我(8, a, £)=石(6, z)十公(8, a £),研е, >-, t) = и(%入，/),

р(4 入，/)= /(е, /)%"(е,儿 о，(9.4)

где

『(6, 9 =展 J/(e, А /)或.(9.5)

-0

Незональная циркуляция, характеристиками которой служат и\ и' и р‘, рассматривается как проявление макротурбулентности, т. е. как случайное отклонение от регулярного (зонального) фона с параметрами и, и=0, р.

Вводя (9.4) в (9.1) — (9.3) и осредняя в смысле (9.5), получим уравнения осредненного движения:

(9.6)(9.6)ди10 —~г . о л

(9.6)

(9.6)

=中 玄 и sin2 9,dtaQ sin2 6 do'

靑器二—专岑一 + "'萨,etg e + 万(2з + a) COS 6, (9.7) где

(9.8)(9.8)и

(9.8)

(9.8)

匆 sin О

есть так называемый индекс циркуляции [104]. 420

Вычитая (9.6) и (9.7) соответственно из (9.1) и (9.2), получим уравнения для составляющих незональной циркуляции и\ и' [137]. В эти уравнения в качестве характеристики среднего движения входит только индекс циркуляции а. В то же время на эволюцию среднего движения оказывают влияние компоненты «/2, 0~ и 〃'и одноточечного корреляционного тензора поля скорости.

Если пренебречь третьими моментами (постулат Фридмана— Келлера) и смешанными моментами скорость——давление, то уравнения для и7 и vz в предположении изотропности поля скорости (优* 弋0‘2)у£\ где Е= ~ (伍* + d) — кинетическая

энергия макротурбулентности) приводится к виду [137]

告曲 =一Esine糸,告曲 =一Esine糸,(9.9)(9.9)

告曲 =一Esine糸,

告曲 =一Esine糸,

(9.9)

(9.9)

(9.10)

Эти уравнения вместе с уравнениями (9.6) и (9.7), записан-

/―~2~2

ными в виде (侦一U ^0)

為而备而side,為而备而side,(9.11)(9.11)

為而备而side,

為而备而side,

(9.11)

(9.11)

1 0г a。dO1 0г a。dO£ 一（而）2 =尸2例£ 一（而）2 =尸2例(9.13)(9.13)

1 0г a。dO

1 0г a。dO

£ 一（而）2 =尸2例

£ 一（而）2 =尸2例

(9.13)

(9.13)

(9.12)

составляют замкнутую систему уравнений.

Система (9.9) — (9.12) содержит четыре неизвестных функции a, ^v^ £ и р. Однако эта система нелинейная, построение решения которой достаточно трудная задача. В работе Монина [137] даются некоторые указания по этому вопросу.

Из уравнений (9.9) и (9.8) путем умножения их соответственно на 〃‘о' и £ и последующего вычисления находим

ЗЕ —(而 У]=0

ИЛИ

т. е. величина F2 (6) не изменяется во времени (является ннва-

риантом) и может быть построена по данным наблюдений в начальный момент. Полагая далее, согласно (9.11),

sins 6 加sins 6 加—；一d 屮H UD =一11^昔，—；一d 屮H UD =一11^昔，(9-14)(9-14)

sins 6 加

sins 6 加

—；一d 屮

H UD =一11^昔，

—；一d 屮

H UD =一11^昔，

(9-14)

(9-14)

для функции гр (6, t) получаем нелинейное дифференциальное уравнение гиперболического типа

d dfid dfi1sin3 61sin3 6d屮 而，d屮 而，(9.15)(9.15)

d dfi

d dfi

1

sin3 6

1

sin3 6

d屮 而，

d屮 而，

(9.15)

(9.15)

решать которое можно с помощью численных методов.

Литература

К ЧАСТИ I

Бартлет М. С. Введение в теорию случайных процессов. ИЛ, М., 1958.

Блох Э. Л. Случайный вектор со сферической симметрией. Изв. АН СССР, ОТН. Энергетика и автоматика, № 2, 1960.

Боев Г. П. Теория вероятностей. Гостехиздат, 1950.

Бунимович В. И. Флуктуационные процессы в радиоприемных устройствах. Изд.《Сов, радио», М., 1951.

Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. ИЛ, М., 1949.

Гельфанд И. М. Обобщенные случайные процессы. ДАН СССР, т. 100, № 5, 1955.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Гостехиздат, 1954.

Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Гостехиздат, 1949.

Ду б Л. Вероятностные процессы. ИЛ, М., 1956.

Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике. Гостехиздат, 1955.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. ИЛ, М., 1951.

Колмогоров А. Н. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром. Юб. сб. АН СССР. Изд. АН СССР, М., 1947.

Ко чин Н. Г. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. ОНТИ, 1937.*

Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. ИЛ, М., 1947.

Лебедев В. Л. Случайные процессы в электрических и механических системах. Физматгиз, 1958.

Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. Изд.《Сов. радио», М., 1957.

Л э н и н г Дж., Б э т т и н Р. Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления. ИЛ, М., 1958.

Михлин С. Г. Интегральные уравнения. Гостехиздат, 1949.

Обухов А. М. Теория корреляции векторов. Уч. зап, МГУ, сер. матем., 15, вып. 45, 1940.

Обухов А. М. Статистически однородное поле на сфере. УМН, т. 2 № 2, 1947.'

Обухов А. М. Вероятностное описание непрерывных полей. Укр. матем. журнал, 6, № 1, 1954.

Обухов А. М. Статистическое описание непрерывных полей. Тр. Геофиз ин-та АН СССР, № 24 (151), 1954.

Обухов А. М. Нормальная корреляция векторов. Изв. АН СССР, сер. матем., № 3, 1938.

Обрешков Н. Теория на вероятностите. Наука и изкуство, София 1963.

Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применения к задачам автоматического управления. Фпзматгиз, 1960.

Рыжик И. At, Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Гостехиздат, 1951.

Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. V. Физматгиз, 1959.

Солодовников В. В- Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. Физы атгиз, 1960.

Т и т ч м а р ш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Гостехиздат, 1948.

Тихонов В. И., Толкачев А. А. Воздействие ненормальных флюктуаций на линейные системы. Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1956.

X и н ч и н А. Я. Теория корреляции случайных процессов. УМН, вып. 5. 1938.”

X о п ф Е. Эргодическая теория. УА1Н. т. 4, вып. 1, 1956

Христов X. Я. Лекции по математични методи на физиката, 1961.

Чеботарев Л. С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей. Геодезиздат, 1959.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Физыатгиз, 1960.

Шишков Ю. А. О нормальной линейной корреляции векторов. Метеорология и гидрология, № 6, 1958.

Я г л о м А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными м-мн приращениями. Матем. сб., 37, № 1, 1955.

Я г л о м А. М. Введение в теорию стационарных случайных функций. УМН, т. 7, вып. 5, 1952.

Я г л о м А. М. Статистическая обратимость броунового движения. Матем. сб., 24 (66), 1949.“

Я г л о м А. М. Линейная интерполяция случайных последовательностей. УМН, т. 4, вып. 4. 1949.

Я г л о м А. М. Некоторые классы случайных полей в n-мерном пространстве, родственные стационарным случайным процессам. Теория вероятностей и ее применения, т. II, вып. 3, 1957.

Я г л о м А. М., П и н с к е р М. С. Случайные процессы со стационарными приращениями n-го порядка. ДАН, т. 90, № 5, 1953.

Agostini L. Sur quelques proprietes de la fonction de correlation total. C. R- Acad. Sci. Fr., 228, 1949.

Bass J. Sur les solutions aleatoires de certaines equations aux dcrivees partielles lie a des problemes d'hidrodynamique. J. Math. Pures e. AppL 33, n° 4, 1954.

В i j 1 W.-v a n d e r. The maximum of a distribution or spectrum function. Nature, 178, no. 4535, 1956.

Blanc-Lapierre A., F о r t e t. Theorie des fonctions aleatoires. Paris. 1953.

Levy P. Processus stochastiques et mouvement Brownien. Paris, 194b.

L о e v e M. Sur les fonctions aleatoires stationaires de second ordre. Rev- ScL, 23, 297, Paris, 1945.

I s s e г I: s L. On a formula for the product-moment coefficient in any number of variables. Biometrica, 12, 138, 1918.

Ramakrishnan A. Probability and stochastic processes. Enc. Phy., vol. Ill, 12, 1959.”

Silverman R. A. Locally stationary random processes. 1. R. E. Trans. Inform. Theory, 3, no. 3. 1957.

Schoenberg I. J. Metric spaces and completely monotone function. Ann. Math., 39, no. 4, 1938.

Tsuji H. The transformation equations between one- and n-dimensional spectra in the n-dimensional isotropic vector or scalar fluctuation field. J. Phy. Soc. Japan, 10, no. 4. 1955.

К части и

Бэтчелор Д ж. К. Теория однородной турбулентности. ИЛ, М., 1955.

Баранаев М., Теверовскнй Е. Н., Трегубова Э. Л. О размере минимальных пульсаций в турбулентном потоке. ДАН СССР, т. 66, № 5, 1959.”

Голицын Г. С. О структуре турбулентности в области малых масштабов. ПММ, т. XXIV, вып. 6, 1960..

Голицын Г. С. Расчет корреляционных связей в локально-однородном турбулентном потоке. ПММ, вып. 1, 1963.

Карман Т. Вводные замечания по вопросу о турбулентности. Сб. «Проблемы космической аэродинамики», ИЛ, М., 1953.

К и б е л ь И. А. Пример неоднородной турбулентности в сжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 49, № 4, 1945.

Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. ДАН СССР, т. 30, № 4, 1941.

Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально-изотропной турбулентности. ДАН СССР, т. 32, № 1, 1941.

Колмогоров А. Н. К вырождению изотропной турбулентности в не- Г сжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 31, № 6, 1941.

К о р с и н С. Турбулентность. Сб. «Механика», № 5, 1962.

Лайхтман Д. JI. Физика пограничного слоя атмосферы. Гидрометео- издат. Л.. 1961.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Гостех- издат? 1954.

Л о й ц я н с к и й Л. Г. Некоторые основные закономерности изотропного 'турбулентного потока. Тр. ЦАГИ, вып. 440, 1939.

Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Физматгиз, 1959.

Миллионщиков М. Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 22, № 5, 1939.

Миллионщиков М. Д. К теории однородной изотропной турбулентности. ДАН СССР, т. 32, № 9, 1941.

М н л л но н щ н к о в М. Д. О влиянии третьих моментов в изотропной турбулентности. ДАН СССР, т. 32, № 9, 1941.

Монин А. С. К теории локально-изотропной турбулентности. ДАН СССР、т. 125, № 3, 1959.

Монин А. С. О лагранжевых характеристиках турбулентности. ДАН СССР, т. 134, № 2, 1960.

Новиков Е. А. О спектре энергии турбулентного потока несжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 139, № 2, 1961.

Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Изв. АН СССР, сер. гео гр. и геофиз,, № 4, 5, 1941.

22.23.24.25.26.27.22.23.24.25.26.27.Обухов А. М. Структура температурного поля в турбулентном потоке. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофмз.. № 1, 1949.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

Обухов А. М. Пульсация давления в турбулентном потоке. ДАн СССР, т. 66, № 1, 1949.

Обухов А. М. Локальная структура атмосферной турбулентности ДАН СССР, т. 67, № 4, 1949.

Обухов А. М. Автореферат докторской диссертации, ИФА, 1947.

Обухов А. М., Я г л о м А. М. Микроструктура турбулентного потока ПММ, 15, № 1, 1951.'

Обухов А. М., Я г л о м А. М. Микроструктура развитой турбулентности. Тр. Ш Всесоюз, матем. съезда 1956. Изд. АН СССР, 1958.

П а н ч е в С т. Вьрху корелационната теория на изотропна турбулентност. Изв. на Геоф. ин-т при БАН, т. П, 1961.

П а н ч е в С т. По-нататъшно обобщение на теорията на Чандрасекар за случая на турбулентност в полето на температурата. Год. на Соф ун-т, т. 55, 1962.

П а н ч е в С т. Към Теорията на затихването на изотропната турбулентност в началния период. Изв. на Геоф. ин-т при БАН, т. III, 1962.

П а н ч е в С т. Корреляция локальных производных скорости н температуры в конечном периоде вырождения изотропной турбулентности. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 9, 1961.

П а н ч е в С т. Пространствена корелация на локалните изменения на физическите величины в еднороден и изотропен турбулентен поток. Изв. на Геоф. ин-т при БАН, т. IV, 1963.

ПрантдльЛ. Гидроаэромеханика. ИЛ, М., 1951.

Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. Гостехиздат, 1957.

Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. ИЛ, М., 1960.

Я г л о м А. М. Однородная и изотропная турбулентность в вязкой сжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., № 12, 1948.

Я г л о м А. М. О поле ускорений в турбулентном потоке. ДАН СССР, т. 67, № 5, 1949.”

Я г л о м А. М. О локальной структуре поля температуры в турбулентном потоке. ДАН СССР, т, 69, № 6, 1949.

Batchelor G. К. Pressure fluctuations in isotropic turbulence. Proc. Phil. Soc., 47, 1951.

Batchelor G. K- The effect of homogeneous turbulence on material lines and surfaces. Proc. Roy- Soc., 213 A, 1952.

Batchelor G. K-. P г о u d m а п I. The large scale structure of hom(- geneous turbulence. Phil. Trans. Roy. Soc., 248 A, no. 949. 1956.

В e t c h о w R. On the fine structure of turbulent flows, J. Fluid Meeh-, 3. no. 2, 1957.

Blanch G., Ferguson H. Remarks on Chandrasekhar's results relating to Heisenberg?s theory of turbulence. Phy. Fluids, 2, no. 1, 1959.

Chandrasekhar S. On Heisenberg's elementary theory of turbulence. Proc. Roy. Soc., 200 A, 1949.

Chandrasekhar S. The fluctuations of density in isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc., 210 A, 1951.

Chandrasekhar S. A theory of turbulence. Proc. Roy. Soc, 229 A. 1955.”

Chandrasekhar S. Theory of turbulence. Phy. Rev., 102, 4, 1956.

Chandrasekhar S. Hydromagnetic turbulence. I. Deductive theory. Proc. Roy. Soc., 233 A, 11, 1955.

Chandrasekhar S. Hydromagnetic turbulence. II. Elementary theorx Proc. Roy. Soc., 233 A, 11, 1955.~

Chang F e n g - k a n. On the decay of turbulence. Acta sci. sinica. 2, no. 3, 1953.

Chandrasekhar S. The theory of turbulence. J. Madras Univ., 27, no. 1, 1957.

Chamberlain J. W., Roberts P. H. Turbulence spectrum in Chan- drasekhafs theory. Phy. Rev., 99, no. 6, 1955.

С о г г s i n S. The decay of isotropic temperature fluctuations in isotropic turbulence. J. Aero. Sci., 17, 1950.

С о г г s i n S. On the spectrum of isotropic temperature fluctuations in isotropic turbulence. J. Appl. Phy., 22, 1951.

С от г s i n S. Statistical behaviour of a reacting mixture in isotropic turbulence. Phy. Fluids, 1, no. 1, 1958.

Deissler R. G. On the decay of homogeneous turbulence before the final period. Phy. Fluids, 1, no. 2, 1958.

Goldstein S. On the law of decay of homogeneous isotropic turbulence and the theory of the equilibrium and similarity spectra. Proc. Cambr. Phil. Soc., v. 47, 1951.

Hasselmann K. Zur Deutung der dreifachen Geschwindigkeitskorela- tionen der isotropen Turbulenz. Zs. Dtsch. Hydrogr, 11, Nr. 5, 1958.

Heisenberg W. Zur statistischen Theorie der Turbulenz. Zs. Phys., 124, 1948.

Heisenberg W. On the theory of statistical and isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc., 195 A, 1948.

€1. H i n z e J. O. Turbulence. McGraw-Hill, N. Y., 1959.

Jain P. S. A theory of homogeneous turbulence. Appl. Sci. Res., 8 A, no. 2 a. 3, 1959.

Von Karman Th., Howarth L. On the statistical theory of isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc., 164 A, 1938.

Von Karman T h. Progress in the statistical theory of turbulence. Proc. Nat. Acad. Sci., 34, Wash., 1948.

Keller L., Friedmann A, Die Differenzialgleichungen fiir die tur- bulenze Bewegung einer inkompressible Fliissigkeit. Proc. 1st Int. Congr. Appl. Meeh., 1924.

Kreichnan R. H. Relation of fourth-order to second-order moments in stationary isotropic turbulence. Phy. Rev., 107, no. 6, 1957.

Kraichnan R. H. The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds numbers. J. Fluid Meeh., 3, no. 5, 1959.

Kraichnan R. H. Comments on space-time correlation in stationary isotropic turbulence. Phy. Fluids, 2, no. 3, 1959.

Limber D. N. Numerical results for pressure-velocity correlations in homogeneous isotropic turbulence. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 37, no. 4, 1951.

M e e c h a m W. C. Relation between time symmetry and reflection symmetry of turbulent fluids. Phy. Fluids, L no. 5, 1958.

Millsaps K. The Obukhoff spectrum of homogeneous isotropic turbulence. J. Aero. Sci., 22, no. 7, 1955.

Moyal J. E. The spectra of turbulence in a compressible fluid, eddy turbulence and random noise. Proc. Cambr. Phil. Soc., v. 48, 1952.

A\ u n g h G., W h e e 1 о n A. D. Space-time correlations in stationary isotropic turbulence. Phy. Fluids, v. 1, no. 6, 1958.

Ogura Y., M i у а к о d a K. Note on the pressure fluctuations in isotropic turbulence. J. Met. Soc. Japan, 32, nos 5 a. 6, 1954.

P a i -S h i h J. Viscous flow theory. II. Turbulent flow. New York, 1957.

Phillips O. Al. The final period of decay of non-homogeneous turbulence. Proc. Cambr. Phil. Soc., v. 52, 1, 1956.

Proudman I. The generation of noise by isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc., 214 A, 1952.

Proudman I., Reid W. H. On the decay of a normally distributed and homogeneous turbulent velocity field. Phil. Trans. Rov. Soc., v. 247 A, 926, 1954.'

79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.Reid W. H. The skewness factor according to Obukhoff's transfer theory. J. Aer, Sci., 23, no. 4, 1956.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

Reid W. H. On the stretching of material lines and surfaces in isotropic turbulence with zero fourth cumulants. Proc. Cambr. Phil. Soc., v. 51* no. 2, 1955.,

Reid W. H. One-dimensional equilibrium spectra in isotropic turbulence Phy. Fluids, 3, no. 1, 1960.

Reid W. H., Harris D. L. Similarity spectra in isotropic turbulence. Phy. Fluids, 2, no. 2, 1959.

Richardson L. F. Atmospheric diffusion. Proc. Roy. Soc.. v. 110 A. 1926.

Robertson H. P. The invariant theory of isotropic turbulence. Proc. Cambr. Phil. Soc., v. 35, 1940.

Roberts P. H. On the application of a statistical approximation to the theory of turbulent diffusion. J. Math. a. Meeh., 6, no. 6, 1957.

Shigemitsu Y. Non-Similarity theory of decaying turbulence. J. Phv Soc. Japan, 14, no. 1, 1959.

Stewart R. W. Triple velocity correlation in isotropic turbulence. Proc. Cambr. Phil. Soc., v. 47, 1951.

Taylor G. I. The statistical theory of isotropic turbulence. J. Aero. Sci.. 4, 1937.

Taylor G. I. The spectrum of turbulence. Proc. Roy. Soc., 164 A, 1938.

Taylor G. I. Diffusion by continuous movements. Proc. London Math. Soc., 20, 1920.

Tatsumi T. The • theory of decay process of incompressible isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc., 239 A, 1957.

T c h e n C h a n - M о u. Transport processes as foundations of the Heisenberg and Obukhoff theories of turbulence. Phy. Rev., 93* no. 1. 1954.

U b e г о i M. S. Correlations involving pressure fluctuations in homogeneous turbulence. NACA Techn. Note, no. 3116, 1954.

U b e г о i M. S. Quadruple velocity correlations and pressure fluctuations in isotropic turbulence. J. Aer. Sci., 3, 1953.

Von We i z s а с к e г C. F. Das Spektrum der Turbulenz bei grossen Reynolds'schen Zahlen. Zs. Phys.. 124, 1948.

Wentzel D. G. On the spectrum of turbulence. Phy. Fluid, 1. no. 3. 1958.

W h e e 1 о n A. D. On the spectrum of a passive scalar mixed by turbulence. J. Geophy. Res., 63, no. 4, 1958.

К ЧАСТИ III

Белинский В. А. Динамическая метеорология. Гостехиздат, 1948.

Блинова Е. Н. К вопросу о прогнозе сглаженных значений метеорологических элементов на среднем уровне атмосферы. ДАН СССР, г. 123. № 3, 1958.

Бовшеверов В. М., Г у рв и ч А. С., И, в а н г Л. Р. Прямые измерения турбулентного потока тепла в приземном слое атмосферы. ДАН СССР, т. 125, № 6, 1959.

Б у д ы к о М. И. Испарение в естественных условиях. Гидрометеоиздат. Л., 1948.

Борисенков Е. П. Вопросы энергетики атмосферных процессов. Гпд- рометеопздат. Л., 1960.

Воронцов П. А. Аэрологические исследования пограничного слоя .атмосферы. Г идрометеоиздат, Л., 1960.

105.106.107.108.109.НО.,111.112.113.114.\|1В116.117.118.(19.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.105.106.107.108.109.НО.,111.112.113.114.\|1В116.117.118.(19.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.Г а н д и н Л. С. [п др.]. Основы динамической метеорологии. Гидрометео- нздат. Л., 1955.

105.

106.

107.

108.

109.

НО.

,111.

112.

113.

114.

\|1В

116.

117.

118.

(19.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

105.

106.

107.

108.

109.

НО.

,111.

112.

113.

114.

\|1В

116.

117.

118.

(19.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

Г а н д и н Л. С. Объективный анализ метеорологических полей. Гидро- метеоиздат, Л., 1963.

Г а н д и н Л. С. Задача об оптимальной интерполяции. Тр. ITO. вып. 99. 1959.

Г а н д и н Л. С., Багрова Е. И. О структуре поля высот поверхности "500 миллибар. Тр. ГГО, вып. 99, 1959.

Г alt д и н Л. С., Кузнецова Т. И. О структуре полей давления и ветра в средней тропосфере при различных формах циркуляции. Тр ГГО, вып. 121, 1961.

Г а н д и н Л. С. О принципах рационального размещения сети метеорологических станций. Тр. ГГО, вып. 111. 1960.

Гольцман М. И. Основы методики аэрофизнческих измерений. Гос- техиздат, 1950.

Горелик А. Г., Мельничук Ю. В. Радиолокационные исследования неоднородностей поля ветра и турбулентности атмосферы. Тр. ЦАО, вып. 39, 1962.

Г у р в и ч А. С. Акустический микроанемометр для исследования микроструктуры турбулентности. Акустический журнал, т. V, вып. 3, 1959. Г у р в и ч А. С. Экспериментальное исследование частотных спектров и функций распределения вероятностей вертикальной компоненты скорости ветра. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7, 1960..

Г у р в и ч А. С. Измерение коэффициента асимметрии распределения разности скоростей в приземном слое атмосферы. ДАН СССР, т. 134, № 5, 1960.

Груза Г. В. Макротурбулентность в общей циркуляции атмосферы. Гидрометеоиздат. Л., 1961.

Дроздов О. А. О некоторых особенностях полеК метеорологических элементов. Тр. ГГО, вып. 19, 1950.

Дроздов О. А. Г ригорьева А. С. Влагооборот в атмосфере. Гид- рометеоиздат. Л., 1963.

Елагина Л. Г. Оптический прибор для измерения турбулентных пульсаций влажности. Изв. АН СССР, сер. геофиз.. № 8. 1962.

Заварина М. В. Исследование изменчивости ветра в свободной атмосфере. Тр. НИУ ГУГМС, сер. 1, вып. 21, 1946.

Заварина М. В. Исследование термического поля в свободной атмосфере. Тр. НИУ ГУГМС, сер. 1, вып. 21, 1946.

Заварина М. В., Юдин М. И. Уточнение и использование числа Ричардсона для выявления зон болтанки самолетов. Метеорология и гидрология, № 2, i960.

Ивановский И. И., Мазин И. П. Турбулентная коагуляция и ее роль в процессе укрупнения облачных капель. Тр. ЦАО, вып. 35, 1960. Колесников А. Г., Иванов В. Н. Коррелометр для исследования структуры турбулентности придонных водных и воздушных потоков. Вестн. МГУ, сер. матем., мех., астрон., № 6, 1959.

К р е ч м е р С. И. Методика измерения микропульсаиий скорости ветра и температуры в атмосфере. Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, № 24 (151), 1954.

К р е ч м е р С. И Исследование микропульсаций температурного поля в атмосфере. ДАН СССР, т. 84, № 1, 1952

К р е ч м е р С. И. К вопросу об изменчивости направления ветра. Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, № 33, 1956.

К р <■ ч м е р С. И. Экспериментальное определение характеристик температурных пульсаций в атмосфере. Тр. НАО, вып. 16. 1956.

Йорданов Д., Кръстанов Л. Върху турбулентността в приземния в ьздушен слой. Изв. Геоф. и-т на БАН» т. HI. 1962.

Л а й хт м а н Д. Л., Чудновскип А. Ф Физика приземного слоя атмосферы. Гидрометеоиздат, Л„ 1949.

Лайхтман Д. Л. Физика пограничного слоя атмосферы. Гидрометео- издат, Л., 1961.

Лайхтман Д. Л., Коган Р. Л. Некоторые вопросы рационализации снегосъемок. Тр. ГГО. вып. 108, 1960.

Л е в и ч В. Г. Физикохимическая гидродинамика. Физматгиз, 1959.

Матвеев Л. Т. Структурные функции вертикальной скорости воздушного потока и новый способ расчета коэффициента турбулентности в свободной атмосфере. Тр. ГГО, вып. 78. 1958.

Монин А. С. Структура атмосферной турбулентности. Теория вероятностей и ее применение, вып. 3, 1958.

Монин А. С. Атмосферная диффузия, УФН, 67, вып. 1, 1959.

Монин А. С. О макротурбулентном обмене в земной атмосфере. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 4, 1956.

Монин А. С. О предвычислении характеристик зональной циркуляции атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 10, 1958.

Монин А. С. О спектре турбулентности в температурно-неоднородной атмосфере. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 1962.

Хонин А. С. Об использовании статистических методов в задачах прогноза погоды. Метеорология и гидрология, № 7, 1962.

Мон нн А. С. Горизонтальное перемешивание в атмосфере. Изв. АН СССР, сер. геофнз., № 3, 1956.

Монин А. С., Обухов А. М. Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы. Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, № 24 (151), 1954.

Новиков Е. А. К вопросу о предсказуемости синоптических процессов. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 11, 1959.

Обухов А. М. Характеристики макроструктуры ветра в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 1951.

Обухов А. М. О структуре температурного поля и поля скорссте(1 в условиях свободной конвекции. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 9, 1960.

Обухов А. Лк О влиянии архимедовых сил на структуру температурного поля в турбулентном потоке. ДАН СССР, т. 125, № 6, 1959.

О з м и д о в Р. В. Горизонтальная турбулентная диффузия пятен и примеси в море. Тр. ИОАН, т. 37, 1960.