Предисловие

Развитие термодинамической теории необратимых процессов, теории нелинейных динамических систем и классической механики привело к качественно новому пониманию сложных явлений природы. Несомненно, что новые идеи оказали влияние на развитие различных областей естествознания. В связи с этим исследователями стало осознаваться, что такая сложная и неоднородная система, как наша планета, развивается по нелинейным законам. Это в полной мере относится и к ее гидросфере, так как физические процессы, происходящие в природных водах, существенно нелинейны.

Динамические системы можно условно разделить на два типа. В системах первого типа траектории движения устойчивы и значительно не изменяются вследствие малых возмущений. Эти системы предсказуемы, так как для определения их будущего достаточно знать уравнения движения и задать начальные условия. Небольшие изменения начальных условий повлекут малую ошибку прогноза. Многие задачи небесной механики решаются с использованием представлений о данном типе динамических систем: солнечные затмения предсказывают с высокой точностью, нетрудно предсказать смену времен года, а также дня и ночи.

К другому типу относятся динамические системы, поведение которых неустойчиво, так что любые сколь угодно малые возмущения быстро (в масштабе времени, характерном для этой системы) приводят к кардинальному изменению траектории. Еще А. Пуанкаре в отношении таких систем отмечал, что совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное.

Данная монография посвящена исследованию динамических систем второго типа. Рассмотрены актуальные проблемы нелинейной динамики поверхностных вод суши, которые не могут быть решены в рамках линейных представлений о гидрологических процессах.

Прогноз изменения уровня Каспия и других бессточных водоемов (Аральского моря, озер Балхаш, Чаны, Чад и т.д.) является одной из фундаментальных проблем современной гидрологии и без ее решения невозможна разработка мероприятий по предотвращению и ликвидации негативных последствий современного подъема уровня моря.

Уровенный режим моря определяется водным балансом самого моря (атмосферными осадками на акваторию, речным стоком, испарением и стоком морской воды в залив Кара-Богаз- Гол) и водным балансом его речного бассейна. Эти важнейшие гидрологические величины сильно и непредсказуемо меняются во времени, так что формирование климата водосборного бассейна моря выглядит случайным процессом. Математически водный баланс моря и его бассейна можно описать системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями. Нелинейность уравнений принципиальна, так как площадь зеркала испарения и слой испарения зависят от уровня моря, а сток речных вод и испарение с поверхности бассейна сильно и нелинейно зависят от влагозапасов суши.

Уже первые попытки исследовать простые нелинейные задачи, связанные с водным балансом моря, привели к неожиданному результату. Оказалось, что решение уравнений Фок- кера-Планка-Колмогорова для плотности вероятности уровня моря имеет негауссовскую форму: во-первых, для уровня моря характерно несколько наиболее вероятных состояний; во-вторых, вероятность резких переходов от одного устойчивого равновесного уровня к другому значительно выше, чем в линейных задачах.

На основании результатов теоретических исследований выдвинута гипотеза о том, что слой испарения с поверхности моря уменьшается с ростом его уровня, а слой испарения с поверхности водосбора уменьшается с ростом его влагозапасов. Это происходит потому, что эффективная теплоемкость моря и его бассейна уменьшается с ростом увлажненности, так как значительная часть солнечной энергии будет затрачиваться не только на испарение, но и на нагрев увеличивающегося объема воды.

Анализ водного баланса моря и его бассейна, выполненный с учетом зависимости испарения (как с акватории моря, так и с поверхности бассейна) от увлажненности, привел к следующему результату. Оказалось, что одной и той же среднемноголетней величине осадков, выпадающих на поверхность моря и его бас-

сейна, соответствуют три уровня моря 一 низкий, высокий и средний. Годовой водный баланс бассейна Волги составляет: осадки 一 0,642 м, испарение - 0,466 м, сток - 0,176 м; Урала - 0,450 м, 0,300 м, 0,150 м соответственно. Годовой сток рек в Каспий является разностью больших величин (осадков и испарения), поэтому его значение чрезвычайно чувствительно к небольшим изменениям испарения.

Низкий уровень моря (-28,22 м абс.) соответствует большому расходу выпавших осадков на испарение, так как малый объем вод Северного Каспия (400 км3) в весенне-летний период сильно нагревается, что способствует повышенному испарению воды. То же происходит и с влагозапасами водосборного бассейна.

Высокий уровень моря (-25,56 м абс.) соответствует малому расходу выпавших осадков на испарение; воды Северного Каспия (объем вод на этой отметке равен 660 км3) труднее прогреть, температура ниже и, следовательно, меньше испарение. По этой же причине меньше испарение и с водосборного бассейна.

Средний уровень моря (-26,90 м абс.) соответствует промежуточному состоянию; этот уровень неустойчив.

Анализ динамики колебаний уровня моря показал, что под воздействием сильных случайных колебаний осадков возникают случайные переходы от низкого уровня к высокому и обратно, причем устойчивые уровни реализуются гораздо чаще, чем неустойчивые. Отметим, что стационарным колебаниям осадков в бассейне моря соответствуют резкие и нестационарные колебания уровня моря, причиной которых является нелинейная зависимость испарения от увлажненности.

Современный подъем уровня Каспийского моря обусловлен избыточным количеством осадков в теплый период и повышенными зимними температурами в бассейне моря, а также малыми величинами испарения, что привело к резкому увеличению притока речных вод в море. Уменьшается испарение и с акватории Северного Каспия.

Таким образом, для уровня Каспийского моря характерна не только внешняя непредсказуемость, создаваемая климатическими изменениями, но и внутренняя, обусловленная неустойчивой нелинейной динамикой водного баланса.

В монографии предложена новая физическая концепция глобального потепления климата Земли, основанная на существенно нелинейных зависимостях теплофизических свойств суши (альбедо, коэффициентов теплопроводности, температуропроводности и теплоемкости) от влажности.

Рассмотрена нелинейная модель глобального климата Земли, содержащая четыре переменные: глобальную температуру воздуха, концентрацию диоксида углерода в атмосфере, влагозапас суши и речной сток в Мировой океан. Модель состоит из четырех нелинейных уравнений: двух уравнений динамики теплового и водного баланса Земли и двух уравнений динамики глобального речного стока в Мировой океан и концентрации диоксида углерода в атмосфере. Использование предположения о постоянстве количества воды на Земле позволило исключить из рассмотрения водный баланс океана.

Такая модель климата принадлежит к классу нелинейных динамических систем, которые в настоящее время вызывают большой интерес у исследователей-климатологов. Выполнен анализ устойчивости ее решений, показавший, что эти простые уравнения имеют очень сложные и неустойчивые решения.

Физический механизм неустойчивости заключается в том, что скорость накопления влагозапасов суши за счет осадков превосходит скорость их уменьшения за счет речного стока, а повышение увлажненности суши вызывает снижение альбедо Земли. Положительная обратная связь данных явлений ведет к неустойчивости климата. По существу это означает, что Земля постоянно переохлаждается (ледниковые эпохи, похолодание климата) или перегревается (потепление и увлажнение климата, усиленное развитие растительного покрова 一 режим пвлажной и зеленой11 Земли).

Неустойчивость климата Земли возникает, когда планетарное альбедо и испарение уменьшаются с ростом влажности, а количество осадков увеличивается с повышением температуры. Другие тепловые обратные связи могут только снизить критический порог неустойчивости, но не отменить ее. Стабилизация неустойчивости возможна за счет обратных связей, например, рост испарения и речного стока снижают влагозапас в почве и не дают уменьшаться альбедо.

Предложенная модель климата не только демонстрирует его неустойчивость, но и может иметь сложные периодические (с периодом в сотни лет) решения с небольшой амплитудой изменения таких параметров, как температура (1-2 ℃), влагозапас суши и речной ctqk. Другими словами, возможно не только глобальное потепление, но и глобальное похолодание климата, обусловленные совершенно естественными природными процессами.

В качестве индикаторов водного механизма глобального потепления климата можно назвать следующие процессы: рост испарения с поверхности Мирового океана, увеличение количе-

ства осадков, выпадающих на сушу; рост влагосодержания почвы и объемов подземных вод. Неизбежно уменьшение амплитуды сезонного изменения температуры над сушей вследствие увеличения ее влагозапасов.

Действительно, за последние 10 лет испарение с поверхности Мирового океана возросло на 4% по сравнению с предыдущим уровнем наблюдений, в целом количество атмосферных осадков на сушу увеличилось на 4%; скорость роста объема подземных вод за период с 1985 по 1990 г. составляла 593 км3/год. Анализ данных о влагосодержании почвы, полученных в Государственном гидрологическом институте, показал, что для Европейской территории России влагозапас метрового слоя почвы увеличивается со скоростью от 1 до 3 см за 10 лет.

Таким образом, глобальное потепление климата Земли реально, и, по нашему мнению, оно является следствием естественных природных процессов, а не результатом антропогенной деятельности (в частности, сжигания природного топлива). Уменьшение выбросов диоксида углерода в атмосферу, к которому призывают некоторые ученые, вряд ли приведет к заметному понижению глобальной температуры воздуха.

Автором данной монографии предпринята попытка ответить на фундаментальный вопрос Клемеша [Klemes, 1974] о физическом механизме эффекта Харста.

В монографии показано, что речной сток представляет собой суперпозицию различных случайных гидрологических процессов с широким диапазоном времен релаксации, и именно такие процессы приводят к низкочастотной расходимости спектра. Предложены нелинейные стохастические модели многолетних колебаний речного стока, которые объясняют возникновение циклов Брикнера.

Очевидно, что катастрофические наводнения представляют собой нелинейное гидрологическое явление. Для России характерен рост числа катастроф, особенно в последние годы. Так, по данным МЧС России с 1990 по 1999 г. было зарегистрировано 2877 событий чрезвычайного характера, связанных с опасными природными процессами [Осипов, 2001]. Катастрофические явления, обусловленные наводнениями, составляют 19% от общего числа катастроф. Ежегодно по стране затопляются обширные территории (в среднем около 50 тыс. км2), на которых находятся более 300 городов, десятки тысяч населенных пунктов, множество хозяйственных объектов, сельскохозяйственные угодья (40% затапливаемых площадей). Установлено, что частота катастрофических наводнений подчиняется распределению Парето

(которое характеризуется медленным уменьшением числа редких событий) 一 степенному распределению с птяжелым хвостом11. Для такого распределения вероятность катастрофических наводнений на порядок больше вероятности, вычисленной на основании гамма-распределения или распределения Крицкого- Менкеля, как рекомендуют СниП 2-01.14-83.

Гидрологи пока не могут объяснить физический механизм возникновения распределения Парето, и тем самым ответить на фундаментальный вопрос: почему катастрофические наводнения происходят так часто? Распределения вероятностей случайных величин (процессов), характеризующих наводнения (уровни воды в реке, объемы стока за половодье, максимальные расходы воды и т.п.), являются распределениями с птяжелыми хвостами11. В терминах оценки безопасности и риска "хвост" распределения соответствует так называемым гипотетическим наводнениям, возможность которых на практике пока не учитывается. Наличие степенного закона распределения вероятностей в корне изменяет наше представление о возможных масштабах бедствия.

Анализ гидрофизических процессов на водосборе показал, что при расчете обеспеченности максимальных расходов или уровней воды в реках необходимо использовать распределение Пирсона типа V. Если случайный процесс, имеющий этот закон распределения, реализуется во времени, периодически возникают большие превышения среднего многолетнего максимального расхода, что собственно и является катастрофическим наводнением. Характерная особенность этого распределения заключается в том, что повторяемость наводнений, рассчитанная с его помощью, гораздо чаще, чем это принято в гидрологии.

На основе исследований распределения Пирсона типа V установлены новые эмпирические вероятностные закономерности катастрофических наводнений. Предложены возможные физические механизмы, ответственные за эти закономерности. Показано, что уравнение водного баланса речного бассейна при учете нелинейной зависимости стока от влагозапаса может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение с мультипликативным белым шумом. Найдено, что стационарное решение уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, записанное для плотности вероятности распределения стока, степенным образом зависит от величины стока, что и объясняет степенную статистику катастрофических наводнений. Установлено, что степенной закон распределения вероятностей является промежуточной асимптотикой и перестает быть справедливым для условий большой увлажненности речных бассейнов. Проведены ра-

счеты вероятностей максимальных расходов и уровней для рек различных регионов мира.

Таким образом, катастрофические наводнения не являются редкими событиями, а имеют достаточно большую вероятность, которую необходимо учитывать, чтобы уменьшить их негативные последствия.

Гидрология 一 наука социальная. Результаты исследований в этой области естествознания должны быть известны общественности. Именно поэтому автор в приложениях рассказал о возможных подходах к решению наиболее актуальных проблем гидрологии и климатологии.

Автор благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований, выделившего средства для финансирования работ этого направления (проекты № 96-05-65043, № 99-05-64905 и № 02-05-64123). Автор особенно благодарен старшему научному сотруднику ИВП РАН кандидату-географических наук В.И. Швейкиной, без активного участия которой эта монография, возможно, не вышла бы в свет.

Вода же усиливалась и весьма умножалась на земле...

(Бытие, гл. 7, стих 18)

Глава 1

Термохалинные неустойчивостипри испарении воды

Испарение 一 основной процесс в круговороте воды на Земле, который имеет фундаментальное значение при формировании водного баланса суши.

В данной главе рассмотрены термохалинные неустойчивости при испарении воды, открытые автором в 1990-х годах. Эти неустойчивости определяют, в частности, нелинейные механизмы возникновения эффектов бистабильности в процессах климатологии и гидрологии. Установлена функциональная зависимость скорости испарения от глубины и солености мелководного (до 30 м) водоема, приводящая к дестабилизирующему влиянию этих параметров на его уровенный режим.

Математическая постановка задачи

Покажем, как возникает зависимость слоя испарения от уровня водоема и от влагозапасов речного бассейна. Для этого рассмотрим задачу о годовом и суточном ходе температуры воздуха в пограничном слое атмосферы с учетом тепловых процессов в подстилающей поверхности (суша и вода). Подчеркнем, что первые работы по теории суточного хода температуры воздуха были выполнены В. Шмидтом и Дж. Тейлором свыше 70 лет тому назад. Большую роль в исследовании аналогичных задач сыграли работы академика А.А. Дородницына, который впервые наряду с уравнением теплового баланса атмосферы учел известную зависимость коэффициента турбулентности от высоты приземногсГ слоя атмосферы. Характерно, что на конкретном примере (данные наблюдения в г. Павловске) удалось добиться хорошего согласия между рассчитанным и наблюденным суточным ходом температуры воздуха и поверхности почвы. Упомянутые результаты стали классическими и вошли в учебники по физике атмосферы [Матвеев, 1976].

Впервые задача о распространении тепловых волн в трехслойной системе атмосфера-вода-грунт была рассмотрена в статье [Найденов, Юшманова, 1996].

Рассмотрим задачу об определении годового (суточного) хода температуры водной поверхности с учетом конечности глубины водоема. Отметим, что большой цикл теплофизических задач о распространении тепловых волн в морской воде в случае, когда глубина моря велика по сравнению с глубиной распространения тепловой волны, был исследован в работах А.А. Пивоварова и его учеников [Пивоваров, 1979]. '

Тепловой режим водной поверхности в значительной степени определяется величиной радиационного баланса, равной сумме энергии коротковолнового и длинноволнового излучения, поглощаемого деятельным слоем водоема. Температура водной поверхности, определяющая упругость насыщения водяного пара и, следовательно, скорость испарения, зависит от величины радиационного баланса, теплообмена в воде, атмосфере и грунте (для мелководных водоемов), теплоты фазовых переходов (испарения и конденсации).

Для простоты годовой ход радиационного баланса водной поверхности (凡)представим в виде синусоиды

& = & +Z?sincor,

где К© 一 средняя за год величина радиационного баланса, R — амплитуда ее колебаний, со = 2я/П (П 一 период, равный одному году), t 一 время. В дальнейшем зависимостью радиационного баланса от глубины водоема будем пренебрегать.

В уравнениях теплового баланса для атмосферы, воды и грунта температуру представим в виде суммы среднегодового значения и отклонения от него и в дальнейшем будем рассматривать уравнения для отклонений.

Предположим, что распространение тепла в системе атмо- сфера-вода-грунт описывается классическими уравнениями теплопроводности с турбулентными коэффициентами переноса

北2yM 2 北2^о э ^о э ^о ^九В 4 九a附эгэгг-эг九эгвсв£асап^ п^北2yM 2 北2^о э ^о э ^о ^九В 4 九a附эгэгг-эг九эгвсв£асап^ п^0<у<НУ>Н, у <00<у<НУ>Н, у <0(1.1.1)(1.1.1)

北2yM 2 北2^о э ^о э ^о ^九В 4 九a附эгэгг-эг九эгвсв£аса

п^ п^

北2yM 2 北2^о э ^о э ^о ^九В 4 九a附эгэгг-эг九эгвсв£аса

п^ п^

0<у<Н

У>Н, у <0

0<у<Н

У>Н, у <0

(1.1.1)

(1.1.1)

где р 一 плотность, С - удельная теплоемкость, Т 一 температура, Z — время,九-коэффициент теплопроводности, Н 一 толщина слоя воды. Индексы в, г и а соответственно относятся к воде, грунту и атмосфере (воздуху).

Для решения системы (1.1.1) зададим следующие граничные условия:

Тв(Н,П=Т'Н,0

(1.1.2)(1.1.2)7； (О,Г) =7； (О,Г),

(1.1.2)

(1.1.2)

九 в *(0丿)=—Rsincoz + 九 а 阴(Oj), 北一> 0 при у —> °0,

北一> 0 при у —> -8.

Введем безразмерные переменные

0 =—^, »=—^, 0 =—^, с = —, т = сог.в RH г RH a rh ” н

Обозначим

^2pBCBCO 「H2Ppeаа Я2раСаС0

尸=4・

九г九в

Безразмерные параметры М,М, 乂 описывают соотношения между глубиной проникновения тепловых волн в воде, грунте и воздухе к толщиной прогреваемого слоя воды. Из этих соотношений следует, что низкочастотные годовые колебания проникают гораздо глубже, чем суточные.

В результате получаем следующую краевую задачу

=N

0<^<1

二 /V -

「並2，

、a24 二M守，

&V0

0в(1,т) = 0г(1,т),

0а(О,т) = 0в(О,т),

券(0, с) = - sin с + 尸空■ (0, т),

0Г —>0 при gт8,

0а т 0 при g т —8.

Решение этой задачи будем искать в виде

9В = 6b©)cos с + 巴 B&)sinq

斗=6r &) cos t + 巴「(&) sin q(1.1.3)

9a = 6a(&)C0St + %(&)sillt・

Из уравнения теплопроводности для слоя воды получим

-6в(9 sin с + 風(9 cos t = М [吁；(&) cos t + 理；(&) sinx],

卜筑(&)= M”； @

(1.1.4)

I &(&) = NA@・

Аналогично для слоев грунта и атмосферы (воздуха) получаем

《(1.1.5)

G@ = M6；(&),

4(1.1.6)

巴 а(9 = М 凡(&)•

Граничные условия следующие:

g⑴=g⑴，G⑴=G⑴,g⑴=g⑴，G⑴=G⑴,几(0)= 6В(0)，%(0) = g(0),几(0)= 6В(0)，%(0) = g(0),

g⑴=g⑴，G⑴=G⑴,

g⑴=g⑴，G⑴=G⑴,

几(0)= 6В(0)，%(0) = g(0),

几(0)= 6В(0)，%(0) = g(0),

(1.1.10)(1.1.10)(1.1.11)(1.1.11)(1.1.12)(1.1.12)

(1.1.10)

(1.1.10)

(1.1.11)

(1.1.11)

(1.1.12)

(1.1.12)

6Г(8)= 0,g(8)= 0,6a(-8)= 0，%(-8)= 0・Для определения F1B(^) из (1.1.4) получаем дифференциальное

уравнение четвертого порядка

6f(&)+ ±%@ = 0・(1.1.7)

Для 6г и 6а получаем аналогичные уравнения

d(9 + ±&(&) = 0,(1.1.8)

6f(&) +青凡 @ =。・(1.1.9)

Пусть 1/N； =4%4, i/屛=4Z?4, 1/N； =4v4. Тогда общие решения (1.1.7) и (1.1.8) и (1.1.9) соответственно будут иметь вид

6в(&) = q ch%g• cos%& + q ch%&・sin%& + + c3 sh%g・cos%g+ q sh%g・sin%&

T^b (&) = —4 sh %g • sin %g + c2 sh %g • cos Zg —

-c3 ch 厄・sin%& + Q ch%g・cos%& %(&) = % ch 后.cos b^ + & ch 后.sin b^ + + % sh 伝.cos b^ + % sh b^- sin b^

笈r(g) = -a】 shb^-smb^ + a2 shZ?g・cosb&- 一 ％ ch b^ • sin К + % ch 伝• cos b^

Ka (J) = 〃1 ch 伝• cos v& + w2 ch 伝• sin 伝 + + w3 sh vJ • cos vg + w4 sh 吟 sin vg 匀a(J)= -〃1 sh vg • sin vg + 〃2 sh vg • cos v& — 、—w3 ch vg • sin vg + 44 ch vg • cos vg

Подставив в (1.1.10), (1.1.11) и (1.1.12) приведенные выше граничные условия, получим следующие соотношения для определения постоянных интегрирования с】, а» и 〃厶 i = 1-4

1-^1-^- +сз3,= =wl^1-^1-^- +сз3,= =wl^

1-^1-^

- +

сз3,

= =

wl^

1-^1-^

- +

сз3,

= =

wl^

〃2 = —〃4 •

Остальные коэффициенты определяются из системы линейных

алгебраических уравнений, записанной в матричной форме:

(ch%・sin%+shhcos%+)

+ —shA:-sin/: 尸V

sh%・cos&: +

к

+ ——ch A:-cos А: 尸V

M[shk-sink +

+ —ch A:-cos A:e 8s"

尸V

一 ch%・sin% + e"sinZ?-

+ 4-shZ・sin&: I

尸v丿

MchHcosZ-

e-h sin b

-e-h cosZ?

+ ch 左• cos к +

_sh%・sin%+_e-b(cosb +

e "(cosb-

+ ^(chZ・sin% +

+ sh 左• cos %)]

MZ[chHcosZ-

+ ^(shHcosZ- + sinh)

一 ch A:-sin A:)]

-MZ[shZ・sin% +

-sinh)

-sh%・siiiZ +

+ chHcos%+be~b(cosb-

be~b(cosb +

к

+ -(shA:-cosA:-

、一 chHsin%)]

X

• +^(chk・sinA:+ —sinb)

+ sh % • cos %)]

(1、

<c\— (ch к • cos % - sh % • sin %)

県^-(ch%・cos% + sh%・sin%)

J _ Pv

〃зch k-smk

Pv

алMk —7

sh%・cos%

k Pv丿

+ sinh)

Рис. 1.1. Временные зависимости температуры на поверхности водоема при разных значениях коэффициента турбулентной теплопроводности (〃)и грунта на различных глубинах ⑹

средняя глубина водоема 5 м; X, Вт/(м • К): 7 - 551, 2 - 55,1, 3 - 5,51, 4-0,551;

глубина, м: / - 5, 2 - 6, 3 - 7, 4 - 10, 5 - 15

Таблица 1.1. Теплофизические характеристики воды, грунта и воздуха

Среда

р* кг/м3

с, Дж/(кг • К)

九,Вт/(м • К)

а, м2/с

Вода

998,23

4180

0,551 (551)

1,32 • 10-7(1,з2. io~4)

Грунт

2500

1000

1

4 • 10~7

Воздух

1,293

1006

0,0257 (25,7)

1,98 • 10~5 (1,98 • 10~2)

Примечание. В скобках приведены значения параметров при турбулентном режиме.

т,℃

Рис. 1.2. Зависимость температуры в грунте от глубины в первый (7), второй (2), третий (3), четвертый (4), пятый (5) и шестой (6) месяцы

Решив эту систему методом Гаусса с выбором главного элемента, получим решения (1.1.3).

Изменение температуры на поверхности водоема и в грунте на различных глубинах в различные моменты времени иллюстрируют рис. 1.1 и 1.2. Температуры рассчитаны при турбулентных коэффициентах теплопроводности воды и воздуха, указанных в табл. 1.1, среднегодовой температуре, равной 10 ℃, и амплитуды радиационного баланса - 10 Вт/м2.

Зависимость температуры поверхности водыот толщины прогреваемого слоя

Для качественного определения зависимости температуры поверхности воды от толщины слоя необходимы сведения о теплофизических свойствах сред, участвующих в теплообмене.

Расчеты показали, что температура поверхности водоема существенно зависит от турбулентной теплопроводности воды, которая в свою очередь сильно зависит от солености прогреваемого слоя. Действительно, при испарении воды соленость водоема может значительно увеличиться, что приведет к устойчивой стратификации (соленость нижних слоев может оказаться гораздо выше солености поверхностного слоя). В этом случае отвод тепла от поверхности воды к нижележащим слоям за счет теплопроводности будет затруднен, что приведет к сильному разогреву поверхностного слоя и, соответственно, к повышенному испарению. Известно, что критическое число Грассхофа, определяющее переход от ламинарного режима к турбулентному, зависит

от куба толщины прогреваемого слоя

Gr = - g霁"3(△川/у2P

Здесь g - ускорение силы тяжести, — - температурный кор dT

эффициент объемного расширения воды, △「- характерная разность температур, v - кинематический коэффициент вязкости воды.

Число Грассхофа - важная характеристика конвекционного движения воды. При его малых значениях конвекционный механизм теплопередачи отсутствует, и перенос теплоты осуществляется за счет молекулярной теплопроводности. При больших числах Грассхофа конвекция становится турбулентной. Нелинейный эффект увеличения испарения за счет роста гравитационной устойчивости слоя воды вследствие повышения ее солености должен быть очень существенным.

Представим, что два водоема соленый и пресный расположены рядом, т.е. величина солнечной радиации и метеоусловия для них одинаковы. Тогда в период нагрева температура воды в соленом водоеме будет гораздо выше, чем в пресном (на 4-6 ℃ в зависимости от солености). Данный эффект усиливает увеличение динамической вязкости воды с ростом солености: рассолы из-за большой вязкости плохо перемешиваются как под действием ветрового напряжения, так и под действием архимедовых сил, что ведет к сильному прогреванию поверхностного слоя соленой воды и ускоренному испарению.

Результаты недавней экспедиции на Арал (проекты INCO Copernicus N, NATO CLG и Швейцарской миссии по спасению Арала) подтвердили теплофизический механизм прогрессирующего испарения и увеличения солености моря [Завьялов, Костяной, Сапожников, 2003].

Прогнозы на период до 2010 г., опубликованные еще лет 15 тому назад, предсказывали, что к 2002 г. соленость при самом худшем развитии событий достигнет 50-55%。，однако действительность опровергла этот прогноз. Результаты экспедиции показали, что на поверхности соленость превысила 80%。，а в придонных слоях и вовсе достигла 94%。, т.е. налицо сильная плотностная стратификация. А это означает, что большая часть солнечной энергии не распространяется по всей водной толще, а оказывается сосредоточенной в относительно тонком приповерхностном слое, который нагревается гораздо сильнее, соответственно увеличивается и испарение. Однако в статье [Най- 18

Рис. 1.3. Изменения уровня Аральского моря Н (〃) и его производной dH/dt ⑹ в период с 1910 по 1990 г.

денов, Кожевникова, 1994] также было высказано мнение о судьбе Арала: н3а время Аральского кризиса соленость моря возросла до уровня солености океанической воды и в ближайшие десятилетия следует ожидать углубления кризиса ввиду уменьшения теплопроводности и теплоемкости моря". Подчеркнем, что это было написано более 10 лет тому назад!

Эффект прогрессирующего испарения с поверхности Аральского моря иллюстрирует рис. 1.3; оказалось, не только уровень моря, но и его приращение имеют тренды.

Определение амплитуды температурных колебанийна поверхности водоема

Среднегодовая упругость насыщения водяного пара у поверхности воды зависит от амплитуды годового хода температуры, поэтому необходимо найти зависимость этой величины от толщины прогреваемого слоя. Получим эту зависимость. Температуру на поверхности воды (J = 0) определим по формуле (см. систему (1.1.3))

Вв (0, с)=耳 в(°)cost + F2B(0)sin т.

Это соотношение можно представить в виде

6в(。) cos с + Т^в(。)sin t = A sin(T + ф),

где А - амплитуда температурных колебаний, ф - сдвиг по фазе,

характеризующий тепловую инерцию водоема. Действительно, ввиду большой теплоемкости воды ее температура будет отставать от температуры воздуха. Амплитуду и сдвиг по фазе определяем из соотношений

Кв(。)cos T + 7^B(0)sinT = A sin t cos ф +Asin(|)cosт,

6В(0) = AsinS 7^в(0) = асо8ф, 1(”(0))2+(/(0))2,

&(0)

Решения задачи о распространении тепловой волны в трехслойной системе воздух-вода-грунт дает нелинейные функциональные зависимости амплитуды температурных колебаний и сдвига фазы от толщины прогреваемого слоя воды. Анализ полученного решения (рис. 1.4) показал, что с увеличением глубины водоема амплитуда температурных колебаний на его поверхности уменьшается. Кроме того, на величину амплитуды влияют теплофизические характеристики водоема: чем меньше турбулентный коэффициент теплопроводности, тем стремительнее уменьшается амплитуда с глубиной и тем меньше глубина, оказывающая влияние на амплитуду температурных колебаний у поверхности водоема. Иными словами, чем больше турбулентный коэффициент теплопроводности (сильнее перемешивание), тем больше глубина проникновения тепловых волн, а, следовательно, и глубина, на которой зависимость амплитуды температурных колебаний на поверхности становится постоянной.

Зависимость упругости насыщенияот амплитуды температурных колебаний

Анализ полученного решения показал, что амплитуда годового хода температуры водной поверхности (А) сильно возрастает с уменьшением глубины водоема (особенно в области малых глубин - 0-10 м). Эта зависимость существенно нелинейна, так как с уменьшением глубины водоема модуль производной dA/dH увеличивается. В этой области небольшое увеличение (уменьшение) глубины водоема приводит к сильному уменьшению (увеличению) амплитуды температурных колебаний.

Механизм этого явления обусловлен значительным различием теплофизических свойств воды и дна водоема. Ввиду малой теплоемкости дно мелководного водоема в весенне-летний период быстро нагревается, что способствует более сильному прогреву воды. В осенне-зимний период вода и дно сильно охлаждаются (их теплозапас очень мал), что ведет к увеличению амплитуды температурных колебаний. Для глубоководных водоемов (> 30 м) глубина проникновения тепловых волн меньше глубины водоема, и дно не влияет на тепловые процессы в поверхностном слое. Такие эффекты заметно проявляются в природных явлениях. Так, при падении уровня Аральского моря сильно увеличилась контрастность его теплового режима. Также хорошо известно, что различием в теплофизических свойствах суши и воды обусловлены континентальный и океанический климаты.

Большой цикл исследований зависимости температуры поверхности озер от их глубины подтвердил отмеченные корреляции между указанными величинами [Яблонские, 1987].

Подчеркнем, что описанный механизм не может сильно нарушить тепловое равновесие мелководного водоема с атмосферой, так как в фазе нагрева его температура увеличивается ровно настолько, насколько уменьшается в фазе охлаждения, и среднегодовая температура остается неизменной (по крайней мере, она будет слабо зависеть от глубины). Однако этот механизм существенно влияет на динамику водного баланса, так как скорость испарения нелинейно зависит от температуры, вследствие чего возникает асимметрия в действии температурных колебаний. Характерно, что внутригодовой ход упругости насыщения над мелким водоемом имеет более резко выраженную асимметрию, чем над глубоким, что соответствует натурным данным.

Насколько известно автору, влияние амплитуды годового хода температуры на скорость испарения рассматривалось на

уровне климатологических оценок, а не как физическая задача. Найдем удобную аналитическую формулу, описывающую этот эффект.

Из уравнения Клаузиуса-Клапейрона следует, что упругость насыщения связана с температурой экспоненциальной зависимостью (полученные ниже результаты нетрудно обобщить и на функцию Магнуса, лучше описывающую опытные данные)

Е«) = Е(@ехрЕ«) = Е(@ехр

Е«) = Е(@ехр

Е«) = Е(@ехр

где L = 2495 Дж/г 一 удельная теплота парообразования (зависимостью этой величины от температуры пренебрегаем, ее учет уточняет расчет на несколько процентов), Лп = 0,461 Дж/(г • К) - газовая постоянная водяного пара,.北一 среднегодовая температура, Е(К) - упругость насыщения при температуре Тс.

Ввиду нелинейной зависимости упругости насыщения от температуры средняя за год упругость насыщения Е(У) не равна упругости насыщения при среднегодовой температуре. Найдем их отношение.

Пусть температура изменяется со временем в соответствии с законом

Г(0 = ТС +Asin ①厶

где 4 一 амплитуда, со 一 частота колебаний температуры. Тогда среднегодовая упругость насыщения

I п

E(i) = —^E(t)dt.

Несложные преобразования приводят к следующему соотношению между среднегодовой упругостью насыщения и упругостью насыщения при среднегодовой температуре:

翳/。(農Z居)

где /о,人一 модифицированные функции Бесселя, Г| = L/RnTc, в =А/ГС.

При о《1 можно использовать более простую формулу 且"三 A)(N),

Е(К)

где，o(N) - функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента

中(N/2产 м м

Для природных процессов Т| > 1 и —> 0, т.е. с

do(E(K)丿

увеличением амплитуды годового хода температуры водной поверхности среднегодовая упругость насыщения возрастает. Так как dA/dH < 0, то

匹出V。，

и уменьшение глубины водоема приводит к увеличению скорости испарения. Возникает механизм положительной обратной связи: падение уровня мелководного водоема приводит к росту скорости испарения, что, в свою очередь, способствует еще большему падению его уровня.

Таким образом, среднегодовая концентрация насыщенных водяных паров зависит не только от среднегодовой температуры поверхности моря, но и от амплитуды температурных колебаний водной поверхности.

Зависимость слоя испарения от глубины водоема

Выше показано, что слой испарения с поверхности водоема зависит от его глубины и, следовательно, от уровня. Во всех, известных автору, теориях многолетних колебаний уровня водоема эта корреляция не учитывается. Получим явные зависимости, демонстрирующие обнаруженный нелинейный эффект. Для примера рассмотрим теплообмен Каспийского моря. Укажем те определяющие факторы тепло- и влагообмена, которые существенным образом зависят от глубин Каспийского моря и, следовательно, от его уровня. Таким образом, в результате действия этих факторов тепловой и водный балансы моря оказываются взаимосвязанными, и корректное решение проблемы колебаний уровня Каспийского моря заключается в учете влияния тепловых процессов на испарение с поверхности моря.

Температурный режим Каспийского моря определяется его географическим положением, глубинами и климатическими условиями, т.е. совокупностью всех гидрометеорологических процессов, происходящих над морем в течение года.

Большая часть тепловой энергии, поглощаемой морем, за счет процессов турбулентного перемешивания, а также с течениями передается в глубь моря и переносится в горизонтальных направлениях. Количество тепла, поглощаемое или теряемое морем за год, представляет собой его годовой теплооборот. Тепловые процессы, протекающие в различных районах моря (Северном, Среднем и Южном Каспии), имеют разную интенсивность и создают специфические черты температурного режима каждого района. Эти процессы следующие:

一 солнечная радиация (прямая, рассеянная, отраженная);

一 поглощение морем солнечной радиации, существенно зависящее от альбедо морской поверхности и ее шероховатости;

一 излучение поверхности моря, представляющее собой поток длинноволновой радиации, направленный в атмосферу;

一 собственное излучение атмосферы (также длинноволновое), направленное к поверхности моря;

一 радиационный баланс поверхности моря (разность между количеством поглощаемого и теряемого за счет эффективного излучения тепла);

一 испарение с поверхности моря;

一 теплообмен с атмосферой;

一 адвекция тепла морскими течениями;

一 тепловой сток рек, впадающих в море;

一 теплообмен вод Северного Каспия с грунтами;

一 льдообразование и ледотаяние.

Главную роль в теплообмене Каспийского моря играют радиационный баланс и испарение. Средние значения радиационного баланса в Северном, Среднем и Южном Каспии соответственно равны 68,6, 77,4 и 85,1 В т/м2; потери тепла за счет излучения -61,4, 60,5 и 66,6 Вт/м2, а за счет испарения 一 73,5, 74,3 и 75,9 Вт/м2. Таким образом, наибольшей расходной статьей в тепловом балансе Каспийского моря являются потери тепла на испарение, которые превышают потери тепла за счет излучения.

Льдообразование и ледотаяние влияют на тепловой баланс Северного Каспия (в зимние и весенние месяцы); заметное тепловое влияние стока рек Волги и Урала наблюдается только в Северном Каспии и в основном в период паводков. Подчеркнем, что радиационный баланс и испарение Северного Каспия, а также мелководного залива Кара-Богаз-Гол имеют ярко выраженный годовой ход. Потери тепла на испарение в Южном Каспии относительно не велики (большая влажность моря и слабые ветра), а значение радиационного баланса велико, поэтому часть тепла переносится в Средний Каспий, а оттуда в Северный

Каспий. Малое испарение в Южном Каспии объясняется его географическим положением: с запада и юга Каспийское море ограничено мощными горными хребтами - от Махачкалы до Апшеронского полуострова почти по самому побережью проходят отроги Главного и Кавказского хребта, вдоль юго-западного побережья располагаются Талышские горы, а на юге 一 Эльбрус.

Отметим следующие особенности теплового баланса Каспия: 一 годовой баланс тепла залива Кара-Богаз-Гол отрицателен (-4,26 Вт/м2), он потребляет адвективное тепло, поступающее из Среднего Каспия;

一 годовой баланс Северного Каспия также отрицателен (-13, 2 Вт/м2), он также потребляет адвективное тепло, поступающее из Среднего Каспия;

一 Средний Каспий находится в тепловом равновесии и является как бы транзитным бассейном на пути переноса тепла из Южного Каспия в Северный;

一 в Южном Каспии создается избыток тепла (6,6-9,3 Вт/м2), который переносится в среднюю и северную части моря.

Таким образом, тепло, расходуемое на испарение воды с поверхности водоема, представляет собой одну из важнейших составляющих теплового баланса подстилающей поверхности. На интенсивность испарения сильно влияет скорость ветра, шероховатость и размеры поверхности. В настоящем исследовании предпринята попытка объяснить только качественную зависимость слоя испарения от глубины водоема, поэтому ограничимся простейшими формулами.

Слой испарения (е) определяется зависимостью е = а 広(QA)-EJ,

где а — коэффициент испарения, Е} - упругость насыщения на некоторой характерной высоте над поверхностью воды. Эта высота должна правильно характеризовать градиент влажности между слоем воды и окружающей атмосферой.

Зависимость слоя испарения от глубины для залива Кара- Богаз-Гол при характерных значениях среднегодовой температуры 283 К и упругости насыщения водяного пара 12,3 мбар приведена на рис. 1.5. Отметим сильное влияние на эту зависимость амплитуды радиационного баланса (климатическая характеристика региона, где расположен водоем) и коэффициента турбулентной температуропроводности. На рис. 1.6, 〃 представлена зависимость объема испарения воды с поверхности залива при учете зависимости слоя испарения от глубины водоема и при постоянном слое испарения.

Рис. 1.5. Зависимость слоя испарения от толщины прогреваемого слоя воды при значениях амплитуды радиационного баланса 6 (7), 7 (2), 8 Вт/мЗ (3)

Скорость (слой) испарения обычно прямо пропорциональна величине Е [Панин, 1987], поэтому среднегодовая скорость испарения оказывается сильновозрастающей функцией амплитуды температурных колебаний поверхности моря.

Отметим, что зависимость слоя испарения от амплитуды тепловых волн существенно нелинейна. Если бы физический механизм испарения воды был иным, например линейным по температуре, то такой зависимости не наблюдалось бы и не было бы описываемой ниже тепловой неустойчивости. Отклонения температуры воды от среднегодовой действуют на скорость испарения по-разному: ее увеличение под действием положительных отклонений больше, чем уменьшение под действием таких же по модулю отрицательных отклонений, т.е. имеет место асимметрия действия температурных колебаний.

Среднегодовая температура поверхности моря не зависит от его глубины, так как определяется постоянным радиационным потоком солнечного тепла. Однако внутригодовой ход температуры мелководных участков моря (до 100 м) сильно зависит от его глубины. Действительно, эти участки прогреваются быстрее, их максимальная температура выше и достигается раньше, чем в глубоководных участках. Зато в период охлаждения моря минимальная температура мелководных участков ниже. Амплитуда температурных колебаний является убывающей функцией глубины моря (по крайней мере для небольших глубин).

Оценки изменения слоя испарения показали, что с увеличением (уменьшением) амплитуды температурных колебаний

ропроводности от влажности при различных значениях плотности грунта (d)

а\ 1 - расчет при е = 1 м/год, 2 一 расчет с учетом г(А); 6: плотность грунта Равна 1 (7), 1,1 (2), 1,2 (3), 1,3 (4), 1,4 (5), 1,5 (6), 1,6 (7), 1,7 г/см3 ⑻

воды на 1 градус (такие по порядку величины характерны для мелководного Северного Каспия [Каспийское море, 1986]) скорость испарения может возрасти (упасть) на 20%.

Зависимость слоя испарения от уровня моря подтверждена и наблюдениями за испарением с поверхности Каспийского моря. Так, в Северном и Среднем Каспии после резкого падения уровня моря в период с 1930 по 1939 г. слой испарения увеличился на 12 и 15% соответственно [Архипова, 1955; Архипова, Макарова, Крюков, 1975]. В период подъема уровня с 1978 г. слой испарения уменьшается, так как объем прогреваемой воды непрерывно увеличивается, что снижает температурные колебания.

Подчеркнем, что зависимость слоя испарения от толщины прогреваемого слоя воды необходимо учитывать при расчетах водного баланса водоемов.

Нелинейный теплофизический механизмдестабилизации водного баланса речного бассейна

Анализ тепло- и влагообменных процессов на границе атмосфера-суша показал, что зависимость испаряемости от увлажненности также может стать причиной дестабилизации водного баланса речного бассейна. Ограничимся качественными рассуждениями. Покажем, что зависимость теплофизических свойств суши от ее влагозапасов (рис. 1.6, а, 6) приводит к нелинейной связи между увлажненностью и испарением с поверхности речных бассейнов.

Для определения годового (суточного) хода температуры хорошо увлажненной суши необходимо учитывать следующие факторы [Найденов, Швейкина, 1997; Найденов, Юшманова, 1996]:

-годовой (суточный) ход радиационного баланса земной поверхности. Эту величину регистрируют балансомером (в данном случае она является индивидуальной энергетической характеристикой поверхности водосбора). Для нее характерна большая пространственно-временная изменчивость (от 10-15 в северной части В осточно-Европейской равнины до 70 Вт/м2 в районе Каспийского моря). Заданием радиационного баланса определяются поток солнечной радиации и потери тепла на длинноволновое излучение поверхности суши;

-потери тепла на испарение, о которых свидетельствует увеличение эффективной теплоемкости воздуха на величину, пропорциональную градиенту его удельной влажности вблизи поверхности суши и теплоте парообразования. Полученное 28

таким образом значение теплоемкости влажного воздуха в ~3 раза больше значения удельной теплоемкости сухого. Этот фактор очень существен, так как значительная часть солнечной энергии расходуется на испарение;

一 теплообмен между поверхностью суши и атмосферой, который характеризуется коэффициентом турбулентной температуропроводности и существенно зависит от скорости ветра и шероховатости подстилающей поверхности;

一 теплообмен между поверхностью суши и нижележащими слоями почвогрунтов. Данный процесс исследовали путем решения уравнения теплопроводности с учетом нелинейных зависимостей коэффициентов теплоемкости &, плотности р】и температуропроводности ⑶ от влажности W [Вершинин и др., 1959; Агрогидрологические свойства почв Северо-Западных районов ЕТС, 1979; Вериго, Разумова, 1973].

В результате учета этих (в основном теплофизических) факторов была рассчитана амплитуда годового (суточного) хода температуры поверхности суши

А —R

T^ccpG+api 府)’

где R - амплитуда радиационного баланса, & р и а - соответственно теплоемкость, плотность и коэффициент турбулентной температуропроводности воздуха.

Подчеркнем, что нелинейные зависимости теплофизических свойств суши от ее влажности - наиболее существенные факторы теплопередачи в почве. Поэтому скорость испарения, пропорциональная разности Е-Е} (£\ 一 упругость насыщения на некоторой высоте над поверхностью суши), оказывается зависящей от влагозапасов суши W; причем с ростом W уменьшаются А и, соответственно, Е. Таким образом, возникает механизм положительной обратной связи: уменьшение испарения ведет к увеличению влагозапасов, что уменьшает амплитуду температурных колебаний и испарение и т.д.

Это означает, что при некоторых значениях влагозапасов речной бассейн может прогрессирующе накапливать воду при неизменном количестве выпадающих осадков. Действительно, вследствие роста влагозапасов теплоемкость и теплопроводность водосбора повышаются. В результате при неизменном количестве поступающего солнечного тепла водосбор слабее разогревается, испарение уменьшается, и воды становится больше. Развитие этого процесса во времени ограничивают многочисленные

Рис. 1.7. Зависимость испаряемости от влагоза- паса при значениях амплитуды радиационного баланса, равных 6,7 ⑺，5,4 (2) и 3,8 Вт/м3 (3)

отрицательные обратные связи, например отвод излишков воды в виде речного стока, уменьшение альбедо увлажненной поверхности су

ши с ростом влагозапа- сов. Исключительно сильный механизм стабилизации влагоза- пасов 一 транспирация воды растениями. В самом деле, с ростом влагозапасов развивается растительный покров, площадь поверхности которого может существенно (до 10 раз) превысить площадь занимаемой им почвы. Суммарное испарение в этом случае резко усилится.

Подчеркнем, что эта положительная обратная связь очень сильная. Например, .амплитуда температурных колебаний над сухой сушей в 3-5 раз (в зависимости от степени турбулентности атмосферы) больше таковой над увлажненной сушей. Поэтому такой эффект должен быть очень заметным в природе. Однако ранее в климатологии и гидрологии эту связь не рассматривали.

Как результат теоретических исследований автором данной монографии выдвинута гипотеза: испарение будет существенно уменьшаться с ростом влагозапасов, так как значительная часть солнечного тепла будет расходоваться на нагрев и испарение увеличивающегося объема воды. На рис. 1.7 приведена зависимость испаряемости с поверхности суши от влажности при различных значениях амплитуды радиационного баланса.

В качестве экспериментального подтверждения этой гипотезы можно привести данные исследований зависимости испаряемости от степени увлажненности территории [Тр. Закавказского НИГМИ, 1974]. Кроме того, согласно результатам наблюдений испарение с поверхности увлажненной суши на 50% больше испарения с поверхности соседнего мелководного водоема (хотя, на первый взгляд, должно быть наоборот).

Из предложенной гипотезы следуют два очень важных вывода: во-первых, если принять, что мера увлажненности суши 一

количество осадков (Р), то должна быть сильная связь между этой величиной и амплитудой температурных колебаний, и во- вторых, должна существовать также отрицательная связь между количеством осадков и испаряемостью. Действительно, в работе [Сергин В.Я., Сергин С.Я., 1978] показано (по 125 станциям Евразии и Северной Америки в зоне 35-65° с.ш.), что амплитуда температурных колебаний - убывающая функция годового количества осадков.

Эта зависимость имеет вид

А = 470尸-от.

Размерность величин: А — в °C, Р — в мм/год.

Также установлено (по 56 станциям Восточно-Европейской равнины, Казахстана и Средней Азии), что оценка корреляции между годовыми осадками и испаряемостью отрицательна на разумном уровне значимости [Евстигнеев, Акименко, Евсеева, 1999]. Указанными эффектами можно объяснить отрицательную корреляцию между стоком рек и видимым испарением с акватории Каспийского моря, полученную в работе [Голицын, Панин, 1989]. Увеличение количества осадков в бассейнах рек Волги и Урала одновременно ведет к росту речного стока и влагозапаса, что, в свою очередь, уменьшает испарение как с бассейна, так и с поверхности моря. Именно этим механизмом положительной обратной связи обусловлены резкие колебания уровня моря. Подчеркнем, что эффект влияния влагозапасов на испарение с поверхности бассейна может оказаться более существенным, чем эффект зависимости слоя испарения Северного Каспия от его средней глубины [Хубларян, Найденов, 1991; Хубларян, Найденов, 1994; Найденов, 1992; Найденов, Юшманова, 1996], так как первый эффект характерен для всего бассейна моря, а второй - лишь для мелководных участков.

Важнейшие компоненты водного баланса бассейна Каспийского моря и самого моря (испарение с поверхности бассейна и испарение с акватории) сильно и нелинейно зависят от увлажненности бассейна. Этот факт не был учтен в моделях колебаний уровня Каспийского моря, что привело к ошибочному прогнозу, выполненному российскими гидрологами [Крицкий, Коренистов, Раткович, 1975].

Отметим также, что глубоких теоретических исследований этих зависимостей (имеются в виду исследования с помощью дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы тепло- и влагопереноса в системе атмосфера- речной бассейн-море и учитывающих пространственные эффек-

ты) не проводили. Отсутствуют даже простые лабораторные исследования влияния количества воды на скорость испарения в гетерогенных системах, например таких, как песок + вода, или глина + вода, не говоря уже о надежном установлении этих зависимостей на основе натурных данных. Указанная проблематика должна стать одной из основных для правильной оценки поведения Каспийского моря и его бассейна.

Влияние теплового сопротивления слоя жидкости на устойчивость процесса испарения

Многие задачи динамики поверхностных вод могут быть описаны с помощью набора параметров состояния, удовлетворяющих эволюционным уравнениям вида

ЭД(г，0 = ^(Жг)), (1.7.1)

где Х(г,0 и ^(Х(г,0) - векторы, компонентами которых являются соответственно параметры состояния X； и функциональные зависимости, выражающие локальную эволюцию во времени t и пространстве 尸.Параметрами состояния Х『(i 一 число параметров состояния) могут быть, например, уровень водоема, речной сток, влагозапас, температура и соленость. Функционалы, содержащие, как правило, частные производные по пространственным переменным, нелинейны вследствие процессов переноса (таких, как тепловая и халинная конвекция в воде). Они могут также зависеть от некоторого набора управляющих параметров А (вязкости воды, коэффициентов температуропроводности и диффузии, удельной теплоемкости воды и почвы, величины поглощенной солнечной радиации и т.д.)«

Отметим, что четкой границы между параметрами состояния Х» и управляющими параметрами А не существует и их выбор зависит от способа описания задачи. Например, при моделировании колебаний уровня водоемов в качестве параметров состояния можно выбрать уровень и температуру поверхностного слоя воды, а в качестве управляющих параметров - речной сток и количество осадков; при моделировании колебаний речного стока параметром состояния может служить расход воды в замыкающем створе бассейна реки, а управляющими параметрами - количество осадков и испарение на водосборе и т.д.

Для задач динамики поверхностных вод соотношения типа (1.7.1) представляют собой уравнения движения воды, водного, теплового и солевого балансов.

В наших исследованиях при моделировании задач гидрологии с помощью таких соотношений предпочтение отдавалось простым физически ясным моделям, так как для гидрофизических явлений редко известны точно механизмы всех процессов. Поэтому написание любого (даже очень сложного) уравнения можно считать не более чем научной догадкой. Следовательно, чем проще уравнение, тем лучше.

Чтобы задача (1.7.1) была корректно поставлена, значения управляющих параметров и граничные условия для системы должны быть известны. Управляющие параметры Л (или их подмножество) и граничные условия воспроизводят воздействие на систему окружающей среды. Например, если при описании многолетних колебаний уровня водоемов, речного стока, влагозапаса пренебречь медленными климатическими изменениями, то естественно считать параметры Л постоянными. В этом случае, мы можем предположить, что существует по крайней мере одно не зависящее от времени решение {М；} уравнения (1.7.1), для которого

耳(£) = 0. (1.7.2)

Такое состояние системы (1.7.1) обычно называют стационарным.

3333Например, в качестве стационарного решения могут быть выбраны уровень тяготения водоема & и среднее многолетнее значение температуры поверхностного слоя водоема, т.е. К = {&,彳}. Поскольку все природные системы находятся вдали от состояния термодинамического равновесия и в них существует множество нелинейных связей (например, упругость насыщенного водяного пара экспоненциально зависит от температуры испаряющей поверхности; поток тепла, согласно закону Стефана-Больцмана, пропорционален абсолютной температуре в четвертой степени; коэффициент фильтрации в ненасыщенных грунтах степенным образом (показатель степени 3,5-4) зависит от влажности), естественно поставить вопрос об устойчивости стационарного решения *. Простейший способ исследования такой возможности состоит прежде всего в проверке устой-

33

33

2. Найденов В.И.

чивости стационарного состояния относительно малых возмущений. Рассмотрим общую схему исследования задач устойчивости по Ляпунову. Для этого предположим

X(r,Z)= Xs+x(r，0,X(r,Z)= Xs+x(r，0,(1.7.3)(1.7.3)

X(r,Z)= Xs+x(r，0,

X(r,Z)= Xs+x(r，0,

(1.7.3)

(1.7.3)

где |元・/冗|《1, и подставим в (1.7.1). Временная эволюция возмущения x{r,t) может быть найдена из системы линейных уравнений вида

2因=»洛, (1.7.4)

которая получится при линеаризации векторного уравнения

Здесь Ау 一 компоненты матрицы

Так как £ не зависит от времени, то А产 const. Система (1.7.4) допускает решения вида

♦ 又亿£)二又6

Решения Х(г) являются собственными векторами задачи на собственные значения

(со/-А)Х(г ) = 0.(1.7.5)

Здесь

/ Tl3dI，% = ；； ； W ；} 一 единичная матрица, А = ||д7||.

Характеристический определитель 1со/ — Al представляет собой некоторый полином степени к (число параметров состояний) от со. Например, при исследовании устойчивости уровня тяготения водоема без явного учета тепловых процессов %= 1; при совместном исследовании уравнений водного и теплового баланса к= 2; если добавить изменения режима солености, то 左=3 и т.п.

Для асимптотической устойчивости стационарного решения (т.е. для того, чтобы |х(г)|ею/ ^0 при 才一8) необходимо и достаточно, чтобы корни этого полинома имели отрицательные

действительные части, т.е. Re{co^} < 0. Значения Re{co力 определяют скорость, с которой эволюционируют возмущения параметров состояния. Как правило, время жизни возмущений в системе - величина порядка

Это означает, что тмакро можно назвать масштабом времени эволюции системы. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты полинома, необходимые и достаточные для того, чтобы его корни имели отрицательные действительные части, даются теоремой Гурвица.

Дальнейшими исследованиями необходимо определить поведение Re {со%} в зависимости от значений управляющих параметров задачи и граничных условий. Для простоты предположим, что исследуются свойства системы для одного параметра Л. Точку, в которой Re{co力=0 при Л = Л*, Re{co^} < 0 при Л <Л* и Re{co^} > 0 при Л>Л* называют точкой бифуркации. В этой точке одно или несколько новых решений векторного уравнения (1.7.1) соединяются с рассматриваемым стационарным состоянием

С каждым новым решением уравнения (1.7.1) принято связывать величину М(А) (параметр порядка), которая обращается в нуль в точке Л* и служит мерой отклонения от стационарного состояния. При Л < Л* существует единственное асимптотическое решение. Оно устойчиво и соответствует режиму, обладающему самой высокой симметрией. В точке Л = Л* это решение становится неустойчивым, и в закритической области (Л > Л*) одновременно возникают новые ветви с более низкой симметрией.

Такого рода бифуркация встречается в термохалинной неустойчивости Марангони при осолонении за счет испарения поверхностного слоя морской воды. Она соответствует возникновению когерентной пространственной структуры конвективных ячеек в первоначально неупорядоченной жидкой фазе, когда градиент поверхностного натяжения достигает некоторого порогового значения. Аналогичная бифуркация встречается при возникновении автоколебаний речного стока и влагозапасов бассейна Каспийского моря при достижении критического значения количества осадков.

В этих случаях параметр порядка M(A) ~ const (А-А*)%, а время релаксации флуктуации изменяется как тмакро ~

Рис. 1.8. Схема теплообмена жидкости с парогазовой смесью при различных режимах теплообмена

— Tq > Too, 2 - 丁0 二 Too, 3 - To V Too

~ const/IA -A*l. Эту бифуркацию часто называют бифуркацией Хопфа-Андронова. В дальнейшем мы будем широко использовать методы классической механики, теории нелинейных динамических систем, теории случайных процессов, нелинейной и неравновесной термодинамики открытых систем.

Рассмотрим задачу о влиянии теплового сопротивления слоя жидкости на устойчивость процесса испарения. Покажем, что стационарный градиент температуры в неподвижном слое жидкости и стационарные градиенты температуры и концентрации пара жидкости неустойчивы относительно малых температурных колебаний и спектр линеаризованных уравнений теплопроводности и диффузии является дискретным и вещественным.

Рассмотрим неподвижный слой жидкости толщиной /г, контактирующий со слоем парогазовой смеси толщиной h и (d- h) (рис. 1.8). При испарении в жидкости и парогазовой смеси возникают градиенты температур (области 7 и 77), а в смеси - градиент концентрации пара испаряющейся жидкости (область 77).

Система уравнений теплопроводности и диффузии, описывающая процесс испарения, выглядит следующим образом.

Уравнение теплопроводности в неподвижном слое жидкости

РЕ0^ уh.(1.7.6)

Уравнение теплопроводности в газовой фазе

Р2c2=九2' \年，hw у w d.(1.7.7)

Уравнение диффузии пара испаряющейся жидкости в газовой фазе

(1.7.8)(1.7.8)步嚟'

(1.7.8)

(1.7.8)

Здесь Ti и 丁2 - температура жидкости и парогазовой смеси (К); q - концентрация пара в газовой фазе (моль/м3);九】 и 左一 коэффициент теплопроводности (Вт/(м • К)), pj и р2 - плотность (кг/м3), с】 и с2- удельная теплоемкость (Дж/(кг • К)) соответственно жидкости и парогазовой фазы; D - коэффициент диффузии пара в парогазовой фазе (м2/с).

Уравнение баланса количества жидкости

dh _ MD dq

dt Pi力尸;

где Q - приток жидкости (м/с), М-молярная масса пара (г/моль).

Предположим, что концентрация насыщенного пара над поверхностью жидкости экспоненциально зависит от температуры

т —т —L q = %exp —-

т —

т —

где L 一 теплота фазового перехода (Дж/моль), R - газовая постоянная (Дж/(моль • К)).

Граничные условия для системы (1.7.6-1.7.8) запишем в виде

Т] = То при у = О,

^ = Г2 = Гп, q = q(T^ 九2半-%单=-厶。粤 при у = hf (1.7.9) oyду

丁2 =乙 q = 4оо при у = d.

На нижней границе слоя жидкости 8 = 0) поддерживается температура Т® на верхней границе парогазовой смеси 一 температура Tg и концентрация пара q^. На межфазной границе (у = h) происходит скачок градиента температур, обусловленный теплотой фазового перехода.

Пусть TQ>TOO и (L/RT^XTq-T^)^!, тогда экспоненциальную зависимость концентрации насыщенного пара от температуры можно линеаризовать

e1+卷（Тy）.

Рассмотрим решение стационарной (8厶 / 8/ = О, Э7^ / Эг = О, 8q/》= 0, dh/dt = O) задачи

Т^у) = Т0-А^ А；=名&,

T^y) = T^+^d-y\ 6=^^,d — %

где dT^ /dy = -Af < 0, dT^ /dy = -A^ < 0, dqs I dy = -A^ - отрицательные градиенты температур и концентрации пара.

Толщина слоя испаряющейся жидкости в стационарном режиме равна

二 DqJk-TQMs"火疋S-4)р/

Температура межфазной поверхности определяется из условия баланса тепловых потоков на этой поверхности с учетом отвода удельной теплоты парообразования

Г-Е = &-Е) 1 +Г-Е = &-Е) 1 +九24 I% ®-4)九24 I% ®-4)Dqj % 一V?疋®-4)・Dqj % 一V?疋®-4)・

Г-Е = &-Е) 1 +

Г-Е = &-Е) 1 +

九24 I

% ®-4)

九24 I

% ®-4)

Dqj % 一

V?疋®-4)・

Dqj % 一

V?疋®-4)・

Введем безразмерные величины

0 =0 =Т.-Т^Т.-Т^т = 4л /, 2,Ч2 44т = 4л /, 2,Ч2 44

0 =

0 =

Т.-Т^

Т.-Т^

т = 4л /, 2,

Ч2 44

т = 4л /, 2,

Ч2 44

。噜2誉Bi今占+驍占

Так как коэффициент температуропроводности жидкости 〃1 = % / pg] значительно меньше коэффициентов температуропроводности парогазовой смеси и диффузии q《〃2 =九2/Р2c2, afD, то нестационарностью уравнений теплопроводности и диффузии пара можно пренебречь и исследовать на устойчивость следующую задачу:

эе = э2е

k.-aa+Biw^)+i],(1.7.10)

- = -Bi(e+i)i^.

Стационарное решение системы (1.7.10) (Э0/Эт = О, dH / dt = 0) имеет вид

Bi1~~

久=4自，4 = -^, 9：=а，е： + 1 =-, 0 = ^ & 二1•

Исследуем устойчивость этого состояния методом малых возмущений

8 = АД + С&0 Н = 1 + НЪ).

При 丨 8’ I,丨 /Г I《1 получим систему уравнений относительно малых возмущений

亜_圾

嚥=о=О,(1.7.И)

^ = -а(1+В0[Шт)+ДН/].

Путем несложных преобразований можно получить одно уравнение относительно температурных возмущений

亚=統ь

嚥=о=О,(1.7.12)

統 сav av

處+ В1 林= £^е，

где £ = -Ag(l + Bi). Так как градиент температуры в жидкости отрицателен, A v 0, то £ > 0.

Разыскивая решение системы (1.7.12) в виде б'&т) = F(^)eGT, для определения о получим линейную краевую задачу на собственные значения

dF 口

к"，

(1.7.13)(1.7.13)F(0) = 0,

(1.7.13)

(1.7.13)

(£-o)空⑴= oBiь⑴.

Определим спектр этой задачи. Пусть собственная функция (1.7.13)尸@ = sh候, тогда о。= Zg является единственным корнем трансцендентного уравнения

(1.7.14)(1.7.14)12

(1.7.14)

(1.7.14)

thz()=m—(£-Zo)・Biz。

В этом случае собственное значение задачи (1.7.13) является положительным о。＞ 0. В остальных случаях собственные значения (1.7.13) отрицательны о〃 = —lo〃 | = -z；, F(&) = sinjlо〃 &, (п = 1,2,3...) и находятся из следующего трансцендентного уравнения

〃 Biz

Bj xsh2x-ysin2y ch2x + cos 2yBj xsh2x-ysin2y ch2x + cos 2yПокажем, что собственные значения краевой задачи (1.7.13) действительны. Предположим, что уравнение (1.7.14) имеет комплексное решение z = х + 1у, где ихнОиунО. Подставив z в уравнение (1.7.14), после необходимых преобразований, получим

Bj xsh2x-ysin2y ch2x + cos 2y

Bj xsh2x-ysin2y ch2x + cos 2y

Оценивая левую и правую части этого уравнения, можно показать, что при любых х w 0 и у W 0 оно не имеет решения. Наглядно это видно на графике (рис. 1.9).

Таким образом, краевая задача (1.7.13) имеет дискретный спектр собственных значений о。＞ о】＞ о2 ＞ Оз，・・・，причем наибольшее собственное значение положительно, остальные отрицательны; собственная функция, принадлежащая наибольшему собственному значению 州(&) = sh^/o^^ не меняет знак на интервале [0,1]. Подчеркнем, что спектр краевых задач, возникающих при исследовании неустойчивостей Бенара и Марангони имеет аналогичные свойства [Benard, 1900; Pearson, 1958; Scriven, Stern- ling, 1964; Fauve, Idbchaber, 1981].

Так как малые возмущения температуры и толщины слоя жидкости не затухают (о。＞ 0), то процессы молекулярной теплопроводности и испарения, описываемые решениями (1.7.6), (1.7.8) оказываются неустойчивыми. Характерно, что скорость нарастания температурных возмущений при развитии тепловой неустойчивости гораздо меньше, чем скорость их затухания за счет диссипативного процесса теплопроводности (о。V 丨 5 I).

Физический механизм тепловой неустойчивости заключается в следующем. При испарении от межфазной границы отводится тепло, подводимое за счет молекулярной теплопроводности. Благодаря этому в жидкости и парогазовой смеси устанавливается

стационарный градиент температуры (см. рис. 1.8, прямая /). Тепловое сопротивление слоя жидкости пропорционально его толщине и, следовательно, температура поверхности снижается с увеличением толщины слоя. Следствием падения температуры межфазной поверхности является резкое уменьшение концентрации насыщенного пара в приповерхностном слое парогазовой смеси, что ведет к снижению скорости испарения. Последнее способствует (ввиду постоянства притока жидкости) еще большему увеличению толщины слоя и понижению температуры межфазной поверхности и т.д. Возникающая положительная обратная связь ведет к прогрессирующему изменению температуры жидкости и неустойчивости процесса испарения.

Несложно показать, что стационарные градиенты температур, устанавливающиеся в жидкости и парогазовой фазе при £ = Tg (см. рис. 1.8, прямая 2) оказываются неустойчивыми, а при Т^ < Т^ (см. рис. 1.8, прямая 3) устойчивыми по отношению к малым возмущениям температуры жидкости и толщины слоя.

Обнаруженный тепловой механизм неустойчивости процесса испарения может иметь прикладное значение в климатологии и гидрологии. Действительно, испарение с поверхности Мирового океана и с поверхности суши 一 процесс, определяющий водный баланс Земли и неразрывно связанный с тепловым балансом потока солнечного излучения.

Климат можно охарактеризовать некоторой средней глобальной температурой приземного слоя атмосферы и уровнем Мирового океана. В настоящее время увеличение этих параметров интерпретируют как глобальное потепление, обусловленное антропогенным парниковым эффектом (за счет эмиссии диоксида углерода вследствие сжигания углеродсодержащих топлив). Однако если тепловой и водный балансы планеты неустойчивы, то предположения о постоянстве глобальной температуры и уровня океана оказываются неверными, и эти величины все время находятся в нестационарном состоянии, меняясь сложным образом.

С учетом новых физических представлений о неустойчивости процесса испарения воды с поверхности суши удалось построить простую нелинейную динамическую модель климата, состоящую из 14 уравнений первого порядка, имеющую странный аттрактор [Найденов, Кожевникова, 2002]. Некоторые необычные природные явления можно объяснить именно тепловой неустойчивостью испарения в открытых физических системах [Мучник, 1985].

Так, в 1972 г. на урановом месторождении Окло в африканской республике Габон был открыт природный ядерный реактор. Анализ руд этого месторождения дал необычные результаты: концентрация изотопа 235U оказалась существенно ниже естественной, в некоторых местах выгорание урана достигало 50%. В то же время ученые обнаружили большой избыток изотопов неодима, рутения, ксенона и т.д., которые обычно возникают при реакции деления урана-235. Феномен Окло приводит к фантастическому, на первый взгляд, выводу: около 2 млрд лет тому назад был запущен природный атомный реактор, проработавший примерно 500 тысячелетий. Объяснить этот феномен можно следующим образом. Для работы реактора нужен замедлитель нейтронов, например, вода. Она могла скопиться в месторождениях с высокой концентрацией 235U и "запустить ядерный котел". А потом возникли тепловые автоколебания: с увеличением мощности реактора поднималась температура, вода испарялась, замедляющий нейтроны слой воды становился тоньше, мощность реактора падала. Вода скапливалась вновь, и цикл автоколебаний повторялся. Похожими автоколебаниями можно объяснить механизм гейзерного процесса.

Неустойчивость динамики водного балансабессточного водоема

Из-за наличия зависимости скорости испарения от толщины прогреваемого слоя воды возможно генерирование тепловой неустойчивости. Действительно, пусть площадь зеркала испарения очень слабо зависит от глубины водоема. Тогда малое падение уровня, увеличив амплитуду температурных колебаний, вызовет рост испарения, который будет способствовать еще большему падению уровня и увеличению температурных колебаний и т.д. Таким образом, тепловые процессы в море создают механизм положительной обратной связи, конкурирующий с механизмом отрицательной обратной связи (изменением площади зеркала испарения). Вследствие их взаимодействия возникает новый физический механизм поведения уровня моря. Отметим, что на рост амплитуды колебаний температуры воды при уменьшении размеров моря указывали такие известные исследователи теплофизики Арала и Каспия, как В.С. Самойленко, Е.Г. Архипова, М.С. Потайчук [Каспийское море, 1986].

Уменьшение (увеличение) слоя испарения с подъемом (падением) уровня моря может привести к неустойчивой динамике водного баланса. Рассмотрим механизм этого явления. Урав-

некие водного баланса примем в виде

dHITdHIT磊УН),磊УН),(1.8.1)(1.8.1)

dH

IT

dH

IT

磊УН),

磊УН),

(1.8.1)

(1.8.1)

W(H) = E(H)S(H),

где H- уровень моря, t- время, q - среднегодовой сток, £, Несоответственно слой испарения и испарение с поверхности моря.

Линеаризуем правую часть уравнения (1.8.1) в окрестности стационарного состояния Н*

4S(&)4S(&)-Е(Н*) = 0-Е(Н*) = 0

4S(&)

4S(&)

-Е(Н*) = 0

-Е(Н*) = 0

и исследуем его на устойчивость.

dHdtdHdt—^— -Е(Н*)_ S(&)<—^— -Е(Н*)_ S(&)<^^ + £W (Я-ЯД^^ + £W (Я-ЯД

dHdt

dHdt

—^— -Е(Н*)_ S(&)<

—^— -Е(Н*)_ S(&)<

^^ + £W (Я-ЯД

^^ + £W (Я-ЯД

Если обозначить

X =X =*<%)S2(H*)*<%)S2(H*)+ Eg % =+ Eg % =U(&)S2(H*)U(&)S2(H*)(1.8.1a)(1.8.1a)

X =

X =

*<%)S2(H*)

*<%)S2(H*)

+ Eg % =

+ Eg % =

U(&)

S2(H*)

U(&)

S2(H*)

(1.8.1a)

(1.8.1a)

то получим

警=-MH-H) H-H*= ce-k ・

Заметим, что Sf(H) > 0, т.е. с увеличением уровня водоема его площадь увеличивается. Далее возможны следующие варианты.

Пусть Е(Н) = const, т.е. слой испарения является постоянным и не зависит от уровня. При этом стационарное уравнение (1.8.1) имеет единственное решение. Из (1.8.1а) следует, что X = ХР В таком случае получаем глобально устойчивое стационарное состояние и небольшое время релаксации (параметр инерционности) водоема ^ = 1/ХР Другими словами, после малого возмущения уровень в течение короткого промежутка времени вернется в исходное состояние. В действительности же мелководные бессточные водоемы ведут себя иначе.

Слой испарения зависит от уровня линейно. В этом случае также получается единственное устойчивое стационарное состояние, но время релаксации такой системы больше, чем в первом случае, так как из (1.8.1а) имеем 九 v 储 и, следовательно т = 1/Х > Т], т.е. водоему для возврата в исходное состояние требуется больше времени, чем в случае постоянного слоя испа-

Таблица 1.2. Времена релаксации бессточных водоемов

Водоем

Время релаксации, год

Ссылки

Каспийское море

33

[Раткович, Жданова, Привальский, 1973; Раткович, 1976]

Оз. Балхаш

И

[Голубцов, Жиркевич, 1973]

Мертвое море

50

[Assaf, Nissenbaum, 1977; Greer, 1977]

Большое Соленое озеро

8

[Greer, 1977; Glenne, Eckhoff, Paschal, 1977]

рения. Такой вариант более реален, но и с его помощью не удается полностью объяснить поведение бессточных водоемов (например, уровень Каспийского моря уже четверть века находится на отметке -26,5 + -27,0 м абс. и тенденции релаксации к своему уровню тяготения -28,5 м абс. не наблюдается).

Слой испарения зависит от уровня нелинейно. В этом случае стационарное уравнение (1.8.1) может иметь по крайней мере три решения: одно неустойчивое и два устойчивых относительно малых возмущений. Нелинейная зависимость объемного испарения от уровня моря вследствие тепловых процессов является немонотонной и, таким образом, возникает гистерезисный эффект, характерный для многих задач теплофизики (например, зависимость теплового потока от разности температур при кипении жидкости, эффекты воспламенения и потухания при объемной химической реакции горения, гидродинамические аналоги этих эффектов и т.д.).

Оценочные значения времени релаксации бессточных водоемов приведены в табл. 1.2.

В соответствии с рассмотренным выше тепловым механизмом будем считать, что dE/dH w 0. В этом случае стационарное уравнение (1.8.1) может иметь по крайней мере три решения. Необходимым и достаточным условием существования трех решений является наличие спадающего участка на зависимости объемного испарения от уровня, где испарение уменьшается, несмотря на рост уровня моря и его площади.

Несложно показать, что средний уровень Н2 оказывается неустойчивым относительно малых возмущений. Крайние уровни % и Н3 устойчивы относительно малых возмущений, но могут оказаться неустойчивыми относительно конечных возмущений, действующих на море в течение некоторого времени. Покажем это.

Допустим, что в определенном диапазоне изменения речного стока, осадков и испарения море имеет нелинейную характеристику, отражающую его бистабильность. Поставим задачу об определении величины дополнительного притока воды (это может быть и природный фактор, например, достаточно длительное превышение норм стока и осадков) или управляющего воздействия Q, при котором море может быть переведено из одного локально устойчивого состояния равновесия (уровень Н、) в другое (уровень %) через неустойчивое состояние (уровень %). Нестационарная задача имеет вид

dH 彳 + Cс

——=Е(“)， С = const,

dt S(H)

H(0) = X，H&) = &,彳二 W(%) = W(&).(1.8.2)

В точках бифуркации Я1 и Я2 имеем РИ,(Я1) = 0,旷(川)<0 (максимум),w(标)=0,仍’(出)> 0 (минимум).

Представим величину С как

С = Wfi)-W/i)+ AQ

После интегрирования (1.8.2) придем к явной зависимости времени перехода моря с одного уровня равновесия на другой

乙(АС)二 ；.(1.8.3)

J 屮("i)-W(H) + AC

Так как РИ'^Й4) <0, то интеграл (1.8.3) при АС т 0 расходится и 厶(△QItb. Это означает, что, если приток меньше, чем W^-W^), то море не сможет перейти из одного состояния в другое. Иными словами, энергетический барьер, разделяющий два метастабильных уровня, оказывается слишком большим. Таким образом, физический смысл разности W^^-W^H^ 一 запас устойчивости моря по отношению к конечным возмущениям компонентов водного баланса.

При AQ > 0 интеграл (1.8.3) сходится и время перехода 厶 оказывается убывающей функцией С. Отметим, что после перехода моря из одного состояния в другое, воздействие может быть снято, т.е. С > 0 для Г е (0,/*) и Q == 0 для />/*. Дальнейшее равновесное состояние моря поддерживается его собственным тепловым режимом, который приводит к меньшей скорости

испарения. Очевидно, что для моря с единственным глобально устойчивым уровнем равновесия такой механизм перехода с уровня на уровень реализован быть не может.

Возникает естественный вопрос: если уравнение водного баланса в результате тепло- и влагообменных процессов может иметь три и больше решений, а водоем соответственно два и больше стационарных устойчивых состояния, то не может ли сложиться парадоксальная ситуация, при которой водоем вообще не будет иметь стационарных устойчивых состояний при стационарных (в смысле теории случайных процессов) условиях внешней среды? Подчеркнем, что гидрологические процессы далеки от состояния термодинамического равновесия, поэтому при их изучении необходим нелинейный подход, включающий время, ибо "логика описания процессов, далеких от равновесия, это уже не логика баланса, а повествовательная логика (если ... то ...)" [Пригожин, 1989].

Оказывается, такая ситуация возможна и ей благоприятствуют четыре физических фактора: 1) континентальность климата региона расположения водоема; 2) небольшие глубины (до 10 м); 3) соленость; 4) достаточно большой наклон берегов водоема. Уравнение водного баланса для такого модельного водоема может не иметь стационарных устойчивых решений. Физически это означает, что даже в средних стационарных условиях природной среды водоем не будет иметь равновесной площади, испарение с которой будет уравновешивать речной (либо подземный) сток или осадки. Время жизни такого водоема будет конечным, и он будет циклически высыхать или переполняться: в период высыхания испарение будет прогрессирующе опережать сток или осадки, в период наполнения 一 отставать. Существование в природе таких водных объектов может служить сильным аргументом в пользу тепловой теории колебаний уровня бессточных водоемов.

В связи с этим выдвигается гипотеза о тепловой природе исчезновения и появления Торейских озер (юго-восточное Забайкалье). По свидетельству многих исследователей (П.С. Пал- ласа, Г.И. Раддэ, Л.П. Прасолова и др.) озера Барун-Торей и Зун- Торей циклически исчезают и вновь появляются. Соленость вод соответственно меняется от практически пресных до горько соленых или щелочных содовых вод. Площадь водного зеркала Двух озер Торейской группы колеблется от 850 до нескольких десятков квадратных километров. Глубины озер небольшие: глубина самого большого озера Барун-Торей в 1968 г. составляла

всего 5,9 м при поперечнике 20 км. Климат юго-восточного Забайкалья суперконтинентальный: январские температуры опускаются до -26, -30 ℃, поверхность солончаков в июле нагревается до 60° (!). Район испытывает дефицит влаги, так как испарение в 1,2 раза больше количества выпавших осадков. Водный режим озер поддерживается в основном за счет осадков.

Известна гипотеза о зависимости периодов обводнения озер от эпох сейсмической активности. Предлагается альтернативная гипотеза: причиной циклического исчезновения и появления Торейских озер является тепловая неустойчивость их водного режима, для проявления которой имеются исключительно благоприятные условия (континентальность климата, малая глубина и соленость). Ввиду случайных вариаций осадков процесс обмеления и наполнения водой озер скорее всего будет случайным, не имеющим четкой цикличности. Исследователи приводят различные продолжительности циклов: 10-11, 15-30, 48-60 и даже 100 лет.

Тепловая неустойчивость испаренияс поверхности залива Кара-Богаз-Гол

Механизм тепловой неустойчивости процесса испарения мелководных участков Каспийского моря может проявиться в дестабилизирующем влиянии залива Кара-Богаз-Гол (до отсоединения его дамбой 1980 г.) на уровенный режим моря. При этом важна не только малая глубина, а следовательно, и хорошая прогреваемость, но и высокая степень минерализации вод залива. Если до момента катастрофического падения уровня моря (1830-1939 гг.) соленость рассолов залива составляла 180%о, то уже к 1940 г. концентрация солей увеличилась до 300%。и в заливе началась кристаллизация поваренной соли. Уровень воды в заливе стремительно понижался, существенно опережая падение уровня Каспийского моря: если в 1921 г. разность этих уровней составляла 44 см, то в 1947 г. - 3,17 м, а в 1955 г. 一 3,8 м.

Известно (см. снимки из космоса 3.4, 3.5, на стр. 90-91 в работе [Кара-Богаз-Гол. Вчера, сегодня, завтра, 1988]), что усыхание залива происходило в 5(!) раз быстрее по сравнению с прогнозными оценками.

Математически термохалинный механизм неустойчивости залива можно проиллюстрировать следующим образом.

Рассмотрим проблему устойчивости водного баланса Каспийского моря в соответствии со схемой исследования задач устойчивости по Ляпунову.

Система уравнений водного баланса моря и залива Кара- Богаз-Гол имеет вид

也dt也dt耳（母也），耳（母也），Q__£ q^H.-H^^

也dt

也dt

耳（母也），

耳（母也），

dH? q(H\,H「HQ~dT~ S2(%)dH? q(H\,H「HQ~dT~ S2(%)一当二用（品田2）■一当二用（品田2）■(1.9.1)(1.9.1)S](H])1S^H.)

dH? q(H\,H「HQ

~dT~ S2(%)

dH? q(H\,H「HQ

~dT~ S2(%)

一当二用（品田2）■

一当二用（品田2）■

(1.9.1)

(1.9.1)

Здесь HVH2,SVS2 - уровни моря и залива и их площади соответственно, Q - речной приток, q - сток морской воды в залив, Е], Е2 - слои видимого испарения (физический слой испарения минус осадки) с поверхности моря и залива.

Сток морской воды в залив можно интерпретировать как подтопленный водослив с широким порогом, поэтому по законам гидравлики величина слоя стока в залив Кара-Богаз-Гол является функцией уровня моря и разности уровней моря и залива, т.е. q = q(HvH1-H2).

В соответствии со сказанным выше вектор параметров состояния задачи

文=｛华⑺，也⑺｝，

управляющие параметры

齐=｛糸曰，a｛0瓦g｝•

Стационарное состояние £ = ｛Н；, 尾｝ удовлетворяет стационарным уравнениям водного баланса

耳(片，名) = 0,用(&,名) = 0.

Построим матрицу

&i = 1,2;尸 1,2,

_ 齊 _ 品 dSi 1 dq 1 dq

函F丽 F而，

二明二 1 dq

12=瓦=X施，

. dF?1 dq1 dq

d% S2 dd S2 dMi

_ 明 _ E2 比2 1 dq

22一匣-一w~^一瓦

Здесь элементы матрицы Ау вычислены в точках Н^Н^ ДН = ^ - Я2 - разность уровней.

з-А” &2413 一a22з-А” &2413 一a22Характеристический определитель I со/ - АI равен

з-А” &2

413 一a22

з-А” &2

413 一a22

^ СО? — (& ] + ^22)3 - A2 A21 = °，

Откуда получаем

31,2 二 Al + &2 士 J(A131,2 二 Al + &2 士 J(A1-厶22 )2 + 4A]2 A21 / 2.-厶22 )2 + 4A]2 A21 / 2.

31,2 二 Al + &2 士 J(A1

31,2 二 Al + &2 士 J(A1

-厶22 )2 + 4A]2 A21 / 2.

-厶22 )2 + 4A]2 A21 / 2.

Рассмотрим низкий уровень стояния Каспийского моря, характеризующийся следующими параметрами: Н； = -28,5 м абс., Е、= 0,75 м/год, q = dSJdH、= 14000 км2/м, S】=366000 км3. На этой отметке гидравлическая связь между морем и заливом отсутствует.

Матрица устойчивости

0

-0,2

g = Ai =-0,05, со2 =a22 = 一。2

Это состояние равновесия соответствует особой точке - узлу.

Так как RefcO] 2} < 0, то природная система море-залив устойчива. Однако Каспийское море гораздо медленнее релаксирует к своему равновесному состоянию, чем залив (параметр инерционности моря I со】I, гораздо меньше параметра инерционности залива I со21, что, конечно, объясняется большими размерами моря: его площадь (366 тыс. км2) в 35 раз больше площади залива (10 тыс. км2).

Рассмотрим более сложную ситуацию. Мелководный залив Кара-Богаз-Гол расположен в восточной части Каспийского моря, воздух здесь сухой и испарение велико. Поэтому можно предположить, что слой испарения Е2 является функцией глубины залива и, следовательно, уровня Е2№), причем dEjdH? < 0 (чем меньше глубина, тем сильнее прогревается водоем и больше испарение). Если

то компонента А22 матрицы II厶守 II становится положительной (Re {со2} > 0) и водный баланс залива будет неустойчивым. Это

состояние равновесия соответствует особой точке - седлу. Уровень моря при этом будет устойчив. Такое состояние больше соответствует реальному положению: после 1940-х годов наблюдалась медленная стабилизация уровня Каспийского моря у низких отметок (-28,5 м абс.), в то время как уровень залива такой тенденции не обнаруживал.

Процесс отделения залива Кара-Богаз-Гол от Каспийского моря неоднократно происходил в прошлом, о чем свидетельствуют исследования отложений солей.

Наличие этой неустойчивости радикально меняет весь механизм колебаний уровня Каспийского моря, для описания которого необходим подход с позиции теории сложных систем. В этом случае динамическая система уравнений водного баланса оказывается существенно нелинейной, характер ее решений меняется: возникают не единственные и неустойчивые решения — необходимые атрибуты ее сложной эволюции. При учете случайных вариаций параметров системы (например, количества осадков и речного стока) решения стохастических дифференциальных уравнений имеют бимодальное распределение и нвездесущ- ность гауссовского распределения" уже теряет свою силу. Для анализа такого рода процессов необходим принципиально новый подход: линейные стохастические модели, которые так популярны в гидрологии, здесь малопригодны.

Причина дестабилизации уровенного режима моря заключается в следующем. Известно, что с поверхности минерализованных водоемов испаряется пресная вода (в дальнейшем стабилизирующим эффектом уменьшения упругости водяного пара с ростом минерализации будем пренебрегать). При испарении воды в заливе происходит перенасыщение раствора и его кристаллизация с выпадением соли в осадок. Этот процесс может происходить очень интенсивно, например, при падении уровня воды в заливе Кара-Богаз-Гол дно бассейна за счет выпавшего в осадок галита поднялось на 3 м; там, где до 1974 г. глубина была 3,5 м в 1982-1984 гг. стала 0,25-0,5 м. В результате такого процесса эффективная теплоемкость гетерогенной системы пресная вода + соль в растворе + твердые компоненты дна (в том числе и соль, выпавшая в осадок) сильно уменьшилась. Это способствовало сильному прогреванию рассола залива в весенне-летний период и переохлаждению в осенне-зимний период, что еще больше увеличило скорость испарения пресной воды и степень кристаллизации. Таким образом, возникает механизм положительной обратной связи: рост испарения увеличивает перенасыщение раствора и его кристаллизацию, что уменьшает эффек-

т,℃

厶 мес.

Рис. 1.10. Изменение температуры воды у поверхности залива Кара- Богаз-Гол по станции Сартак в период с 1929 по 1931 г.

7 — абсолютный максимум; 2 一 средняя; 3 — абсолютный минимум

тивную теплоемкость залива и амплитуду температурных колебаний, это способствует дальнейшему прогрессирующему (само- поддерживающемуся) испарению пресной воды. Ввиду экспоненциальной зависимости скоростей испарения и кристаллизации с ростом амплитуды температурных колебаний процесс обмеления залива может иметь очень большую скорость. Прекращение питания залива более теплоемкой морской водой ускоряет этот процесс. Очевидно, причину катастрофического усыхания залива можно объяснить действием этого механизма. Большую амплитуду температурных колебаний залива Кара-Богаз-Гол и временной ход уровня воды в проливе иллюстрируют рис. 1.10, 1.11.

Следствием термохалинной неустойчивости режима испарения залива является прогрессирующее увеличение разности уровня моря и залива при падении уровня моря.

О.Д. Кашкаровым [Колебания уровня Каспийского моря, 1959] установлена аналитическая формула, в соответствии с которой количество воды, перетекающей из Каспийского моря в залив, с ростом уровня моря и разности уровней моря и залива увеличивается. Но при снижении уровня моря (это уменьшает сток) разность уровней увеличивается (это увеличивает сток). Следовательно, на графике зависимости сток-уровень моря могут появиться немонотонные спадающие участки (что и показал

Рис. 1.11. Колебания среднегодового уровня в проливе Кара-Богаз-Гол в период с 1922 по 1960 г.

регрессионный анализ). Образование водопада на низких отметках уровня (примерно в середине 1940-х годов) привело к исчезновению обратного влияния залива на море и выпрямило регрессионную кривую.

При низких (менее -28 м абс.) и высоких (более -26 м абс.) уровнях Каспия сток в залив растет (падает) с повышением (понижением) уровня моря. В итоге это стабилизирует уровень, так как усиливается механизм отрицательной обратной связи. Кстати, при высоких уровнях моря стабилизирующий эффект залива Кара-Богаз-Гол более значителен, чем при низких, так как гидравлический эффект увеличения стока с повышением уровня моря преобладает над дестабилизирующим термохалинным эффектом, проявляющимся только на малых глубинах моря и залива. Индикатором термохалинного механизма может также служить и тепловое состояние залива. Результаты измерений показали, что в июне-июле 1983 г. концентрация хлористого магния в водах залива возросла до 280-300%о, а температура воды из-за резкого усиления прогреваемости достигла значений 40-44 ℃ (!). Следствием термохалинного эффекта является также более ярко выраженная бимодальность распределения плотности вероятностей уровня залива по сравнению с бимодальностью уровня моря. Изменения уровня моря, в свою очередь, могут сказаться и на сезонном ходе температуры воды, главным образом в северной мелководной части залива Кара-Богаз-Гол.

По-видимому, впервые на связь термического режима с уровнем моря обратила внимание Е.Г. Архипова [Архипова, 1959]. На примере нескольких гидрометеорологических станций Северного и Среднего Каспия было показано, что после 1934 г. в течение 20 лет преобладала тенденция к понижению осенних и повышению весенних и летних значений температуры воды на 1,5 ℃ по сравнению с предшествующим периодом.

Очевидно, что термохалинный эффект характерен и для других мелководных соленых водоемов, например Аральского моря. За время Аральского кризиса соленость моря возросла в 3 раза и приблизилась к уровню солености океанической воды. В ближайшие десятилетия следует ожидать углубления этого процесса ввиду уменьшения теплоемкости моря. Современный расход воды (главная составляющая которого - испарение) в Аральском море составляет 35 км3/год. Именно столько воды необходимо для стабилизации нынешнего уровня моря. Однако увеличивающаяся соленость и проникновение тепловых волн до дна моря не позволяют этого сделать: поступившая вода испарится в воздух. Необходимы тщательные теплофизические исследования Аральской проблемы. С учетом сказанного программы доведения притока речных вод в 1995 г. до 11 км3/ год, в 2000 г. - до 15-17 км3/год и к 2005 г. - 20-31 км3/год не имеют смысла

Наиболее ярко комплексный эффект термохалинной неустойчивости деятельного слоя морской воды в поле силы тяжести проявился в инверсии вод Мертвого моря - самого большого соленого озера в мире. В начале 1980-х годов снимки, сделанные американским спутником "Ландсад**, принесли уникальную информацию. Мертвое море за время одного оборота спутника вокруг Земли изменило свой цвет с голубого на черный. Наземные исследования зафиксировали ''опрокидывание** водоема - глубинные (соленые, насыщенные сероводородом) более легкие воды вышли на поверхность. Термохалинная инверсия вод Мертвого моря произошла в результате исчезновения поверхностного распресненного слоя по причине расходования 80% стока реки Иордан на орошение полей.

Рассмотрим пример. В упрощенном виде зависимость испарения с поверхности залива Кара-Богаз-Гол можно записать в виде

Ш) = 5(/г)ВД,где h - средняя глубина залива. Площадь залива функционально

связана с глубиной. При учете зависимости слоя испарения от глубины, полученной в результате решения тепловой задачи, испарение с поверхности залива оказывается немонотонной функцией глубины или уровня (так как глубина залива монотонно увеличивается с ростом уровня). Этот нелинейный эффект ведет к существенной перестройке водного режима залива (испарение происходит гораздо быстрее, чем при постоянном слое испарения).

Применение процесса Орнштейна-Уленбекадля моделирования колебанийуровня бессточного водоема со слабой зависимостьюслоя испарения от уровня

Если для бессточного водоема характерна слабая зависимость слоя испарения от уровня, то уравнение водного баланса с учетом случайного процесса колебаний стока и испарения будет выглядеть следующим образом:

dHt=-XHtdt + cdWt,

где Н= Н- Н^ - текущий уровень водоема, отсчитанный от уровня тяготения,九 определяется из (1.8.1а), dWt- обобщенная производная винеровского процесса, о - его интенсивность.

Известно решение этого уравнения [Гардинер, 1986]

Ht = Ht (0)е~хЧ о J е-dW(『).

о

Если начальное условие представляет собой нормально распределенную или детерминированную функцию, то Ht является, очевидно, гауссовой функцией, среднее значение и дисперсия которой даются выражениями

(瓦〉=＜瓦(0)〉e-*

D｛瓦｝=[自(0)-(反⑼泯… + 4

Аналогично определяется временная корреляционная функция -2 "I2

где 方 и s — два момента времени.

Для стационарного состояния

-.2 _2

d用％

Отсюда следует, что с учетом зависимости слоя испарения от уровня (уменьшение 九)увеличивается дисперсия колебаний уровня и корреляционная функция затухает медленнее. Таким образом, все прогнозные значения уровней водоема [Привальский, 1981] существенно изменяются, и при оптимальном вероятностном прогнозе эту зависимость необходимо обязательно учитывать.

Термохалинная конвекция Марангони

Накопление диоксида углерода в атмосфере за счет антропогенных и природных факторов неизбежно приведет к изменению газообмена между водами Мирового океана и приповерхностным слоем атмосферы. При расчете углеродного цикла важно учесть влияние градиентов солености и температуры на механизмы абсорбции и десорбции диоксида углерода.

В статье [Найденов, 1992] впервые показано, что в поверхностном слое океана возникает халинная конвекция Марангони, которая определяет нелинейный механизм газообмена между соленым слоем воды и воздухом.

Испарение и охлаждение воды с поверхности приводит к возникновению градиентов температуры и солености, что, в свою очередь, вызывает гидростатическую неустойчивость (конвекцию Рэлея) пограничного слоя. Физический механизм этого явления и особенности тонкой структуры плотностной микроконвекции в приложении к океаническим условиям описаны в работах [Гинзбург и др. 1978; 1979; 1981]. Однако известно, что соль, будучи поверхностно-инактивным веществом, увеличивает поверхностное натяжение на межфазной границе вода-воздух. При осолонении поверхностного слоя морской воды вследствие испарения возникающий градиент солености будет положительным и в этом случае создаются благоприятные предпосылки для развития халинно-капиллярной конвекции [Pearson, 1958].

Рассмотрим задачу об устойчивости слоя жидкости бесконечной глубины, через свободную поверхность которого происходит испарение. В результате этого процесса в жидкость будет направлен эффективный поток соли F, связанный с тепловым потоком q при испарении простой зависимостью F = Es, E-qlr

(£ - скорость испарения воды, s - соленость в долях единицы, г - теплота фазового перехода жидкость-пар). Распределение солености и температуры в неподвижном слое морской воды определяется молекулярным законом диффузии соли и тепла и приведено в статье [Гинзбург, Федоров, 1979]

е-^2 -^Erfc^j

2-7Le^Erfc7LeM, (l.H.l)

где s^, Tg - соленость и температура на достаточном удалении от межфазной границы; F, q- соответственно плотности солевого и теплового потоков; Q, а 一 коэффициенты молекулярной диффузии соли и температуропроводности; &二у/2(9)"2, Erfc=

_ 2

е~л dv\ ; Le = D/а - число Льюиса, характеризующее

соотношение скоростей диффузии соли и тепла. Ось у - декартовой системы координат (х, у, z) направлена в глубь жидкости по нормали к свободной поверхности.

3 (1.11.2)3 (1.11.2)Градиенты солености и температуры равны

3 (1.11.2)

3 (1.11.2)

A

力Lax 1力大

»4凱「慳⑼

Поставим задачу об устойчивости решений (1.11.1), (1.11.2). Запишем уравнения Навье-Стокса и конвективной диффузии соли и тепла в виде

р俘+ (dVd)dtр俘+ (dVd)dt=—Vp + gu,=—Vp + gu,

р俘+ (dVd)dt

р俘+ (dVd)dt

=—Vp + gu,

=—Vp + gu,

(1.11.3)(1.11.3)

(1.11.3)

(1.11.3)

—+ uVs = QAv,dt

dt

где d = (i)x,Dy,Dz), p - соответственно скорость и давление

жидкости, |ll 一 динамический коэффициент вязкости, р 一 плотность, V, Д - трехмерные операторы набла и Лапласа соответственно.

Соотношения (1.11.1) - это точные решения системы (1.11.3) при d = 0 и заданных потоках соли и тепла через межфазную границу.

Предположим, что зависимость поверхностного натяжения морской воды от солености и температуры описывается известной формулой Крюммеля

0 = 08+q(5-限)-£式7-北)，8s,8r>0,

где 8S = до/ds, 8Г = -Эо/ЭТ - коэффициенты поверхностной активности соли и тепла.

Так как величины Dtf at ввиду малости коэффициентов молекулярной диффузии соли и температуропроводности можно считать независящими от г и в исследовании на устойчивость не учитывать нестационарность градиентов солености и температуры (1.11.2). Физически это означает, что скорости роста солевых и тепловых возмущений, обусловленные конвекцией, значительно больше скорости роста солевого и теплового пограничных слоев за счет диффузии. Для задач конвективной неустойчивости, обусловленной градиентом плотности, аналогичное предположение широко использовалось в работах [Mahler, Schechter, Wissler, 1968; Currie, 1967; Krishnamutry, 1968].

Двукратно применив операцию вихря к уравнению Навье- Стокса, выделим нормальную компоненту скорости 马 и полученное уравнение и уравнения конвективной диффузии соли и тепла линеаризуем в окрестности (1.11.2)

= ДДсо,

ScF~-Erfc&co = A^,(1.11.4)

Sc — + Erfc VLe^co = — Д0.

Введены следующие безразмерные величины: и^ = sDlh,

s = (F/pD)hM, Т = (^/Х)/г0, х = hx,z = hz, Г = р/г2т/ц, h = 2(。/)"2,

Sc = |ll / pZ) - число Шмидта.

Для системы (1.11.4) поставим следующие краевые условия. Нормальная компонента скорости со на межфазной поверхности 58

равна нулю (это кинематическое условие широко используют в задачах гидродинамики межфазных поверхностей). Положим, что возмущения скорости жидкости затухают на бесконечности, а касательные напряжения на границе раздела фаз уравновешены градиентами поверхностного натяжения. Возмущения градиентов солености и температуры на поверхности, а также солености и температуры в глубине жидкости примем равными нулю. С учетом таких условий имеем

со =со =——=0, со=0, со=0迎А犬 2=0迎А犬 2=Mas 々б - Ма『А®, к=Mas 々б - Ма『А®, к

со =

со =

—

—

=0, со

=0, со

=0迎

А犬 2

=0迎

А犬 2

=Mas 々б - Ма『А®, к

=Mas 々б - Ма『А®, к

痴 J %=。工=。, 3。, ан.5)

где Mas = ^sFh2 / [iD2p, Ma『=sTqh2 / pXD — числа Марангони (солевое и тепловое соответственно), характеризующие соотношение поверхностных и вязких сил, △】=Э2 / Эх2 + Э2 / Эй2 — двумерный оператор Лапласа.

Решение линейной задачи (1.11.4), (1.11.5) ищем в виде функций горизонтальной структуры [Джозеф, 1981]

(со,『£) = [со®, s^\Q^mx, 2)产,

где △]屮=-a2vР, а - волновое число. Для нейтральных возмущений (С = 0) получим

coIV - 2a2“ + а4со = 0,

-a2 s = -coErfc^,

0,z - а20 = - Le со Erfc ТЁё^,(1.11.6)

со(О) = 0, coz(oe)= о, со(ое) = 0, co,z(O) = -а2 Mas ?(0) + а2 Маг 0(0), Г(0) = 0, 6(8)= 0, ©z(0) = 0, 0(оо) = 0.

Здесь штрих означает производную по

Для построения кривой нейтральной устойчивости необходимо найти значения со〃(&), 6(&), 0(^), на межфазной границе & == 0. Общее решение гидродинамического уравнения имеет вид

со(&) = А^+В^е~аЧ Се^+ D^.

где А, В, С, D - постоянные.

При выполнении трех первых граничных условий (1.11.6) получим

€0@ =死下或，со〃(О) = -2Ва, A = C = D = 0.

Возмущения солености и температуры на свободной поверхности можно определить в виде

『(0) = —j G(O,&)co(&)Erfc&d&,

о

0(O) = Lej G(0, &)со(&) Erfc 岳己典，о

где G(0,&) - функция Грина оператора x，z-a2% = 0 с краевыми условиями %'(0) = 0, %(8)= 0, вычисленная на межфазной границе

G(0,&)二-a-1 exp(-a^).

Учитывая эти решения, получим соотношение для критических чисел Марангони

Maj ^e_2a^Erfc^ + MarLej ^e^ErfcVLe^ = 2. (1.11.7) оо

Наибольшее значение интегралов достигается при а = О

Mas+Mar = 8.(1.11.8)

Таким образом, в момент времени 方*, определяемый из условий (1.11.7), (1.11.8), после начала испарения и формирования солевого и теплового пограничных слоев в воде возникают халинная и тепловая конвекции Марангони.

Минимальные критические числа Марангони достигаются при нулевых волновых числах (возмущения с большой длиной волны), что связано с заданием постоянной плотности солевого и теплового потоков на свободной поверхности. В известной задаче Пирсона [Pearson, 1958] о неустойчивости Марангони в плоском ограниченном слое при задании граничных условий второго рода минимальное число Марангони также достигалось при а = 0.

Вычислив интегралы в (1.11.7), получим явную аналитическую формулу

Mas L(a) + Ма『4= 2,

Erfca +Erfca +

Erfca +

Erfca +

При a т 8 имеет место асимптотика Mas + Маг~ 8a2.

При закритических числах Марангони поверхностный слой воды потеряет устойчивость и в жидкости возникнет конвективное перемешивание, которое будет стремиться выравнять градиенты солености и температуры.

Физический механизм неустойчивости заключается в следующем. Допустим, что на межфазной поверхности появилась частица менее соленой и более теплой воды, поступившая из глубины (напомним, что соленость поверхностных слоев больше, чем лежащих ниже). Так как поверхностное натяжение в точке появления частицы меньше, чем в соседних точках, то ввиду самопроизвольного уменьшения свободной энергии Гиббса поверхности эта частица будет стремиться уйти от состояния равновесия. Если градиент поверхностного натяжения достаточен для преодоления сил вязкого сопротивления, то в воде возникнут халинная и тепловая конвекции Марангони. Так как конвективная неустойчивость пограничных слоев возникает в результате охлаждения и осолонения, а ег > 0 и es > 0, то халин- но-капиллярная конвекция должна существовать одновременно с термокапиллярной конвекцией (как и в случае термохалинной гравитационной конвекции). Оба вида конвекции будут взаимно усиливать друг друга.

Оценим относительную силу халинного и теплового эффектов. Для простоты примем, что температурный градиент определяется только скрытой теплотой испарения. Используя связь между солевым и тепловым потоками, получим соотношение для чисел Марангони

= Le ~ 10"2. (1.11.9) Маг Leerr

При s = 0,035, es = 22 • 10"3 Н/м, £丁 = 0,17 • 10"3Н/(м • град), с = 4,18 кДж/(кг • град),厂=2500 кДж/кг отношение Mas/Ma7 = =0,75, т.е. халинно-капиллярный эффект составляет 75% от теплового и должен играть существенную роль в процессах тепло- и массообмена в поверхностном микрослое океана.

В работе [Лапшин, Рагулин, 1990] описана зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры в диапазоне 26±2 ℃. В этом промежутке £丁~ 0 из-за аккумуляции поверхностным слоем поверхностно-активных веществ органического происхождения. Для такого диапазона температур халинно- капиллярный эффект является определяющим.

Оценим критическое время и толщину солевого пограничного слоя для характерных океанических условий (Q = =1,5 • 10"9 м2/с, и = 0,894 • 10"3 Па • с, F = 1,2 • 10」кг/(м2 • с), р = =1000 кг/м3) в отсутствие термокапиллярной конвекции(£丁= 0)

Г* = 2Р?Р = 1с, h* = 2jn* = 0,08 мм.

Из этих соотношений следует, что в очень тонком слое морской воды практически сразу после начала испарения возникает ха- линная микроконвекция, причиной которой являются градиенты поверхностного натяжения. Отметим, что критическое время разрушения диффузионного пограничного слоя в результате халинной конвекции Марангони существенно меньше времени разрушения за счет халинной гравитационной конвекции.

Определим те же величины для термокапиллярной конвекции в отсутствие халинного эффекта (пресная вода) (X = 0,602 Вт/(м • К), q = 6 Вт/м2):

£** == 1с, /г** = 2 —Г** = 0,8 MM.

£7ду ре

Таким образом, халинная конвекция Марангони характеризуется меньшим размером конвективных ячеек, чем тепловая.

Экспериментальные исследования [Петренко, 1990] тонкой структуры полей температуры и скорости движения воды в остывающей со свободной поверхности пресной воде показали, что в первые секунды (от долей до нескольких секунд) с момента "вклюиения" механизма испарения и теплообмена с воздухом возникает тепловая конвекция Марангони, к которой затем присоединяется начинающаяся позднее термогравитационная конвекция Рэлея.

Автору неизвестны прямые экспериментальные доказательства существования хал инно-капиллярной конвекции, однако некоторые опытные данные могут быть объяснены с помощью рассмотренного механизма. В лабораторных экспериментах по исследованию термогравитационной конвекции в соленой и пресной воде, описанных в статье [Гинзбург и др. 1981], наблю- 62

далось усложнение конвективного узора вблизи поверхности слоя соленой воды (s = 150 %。)，наличие частых и тонких линий на картине конвекции. Можно предположить, что при интенсивном испарении соленой воды (опыты проводили при температуре воды 30-35 ℃ ) на фоне термогравитационной конвекции развивалась халинная конвекция Марангони, которая и приводила к усложнению конвективного узора. Аналогичное усложнение наблюдалось в опытах Катсароса [Katsaros, 1978].

При экспериментальном определении характеристик массо- переноса диоксида углерода через поверхность воды было обнаружено [Ляхин, 1975], что с ростом солености коэффициенты инвазии (эвазии) СО2 быстро возрастают. При исследовании массопереноса между кислородом и водной поверхностью в условиях интенсивного испарения (температура воздуха 40 ℃, воды - 18,5 ℃) установлено [Бреховских, Братков, 1985], что в равных температурных условиях морская (соленая) вода характеризуется вдвое большим коэффициентом массопереноса, чем речная (пресная). В обоих случаях интенсификацию массопереноса можно объяснить возникновением мелкомасштабной халин- но-капиллярной конвекции, способствующей конвективному переносу газов в приповерхностные слои воды.

Глава 2

Стохастические дифференциальныеуравнения водного баланса

В этой главе рассмотрены математические свойства уравнения водного баланса бессточных водоемов, которые определяются вероятностной природой речного стока и испарения.

Постановка задачи

До сих пор рассматривались в основном детерминированные уравнения водного баланса для средних величин стока, осадков и испарения. Однако внешняя среда, действующая на такую глобальную природную систему, как Каспийское море, содержит значительные шумы, создаваемые флуктуациями климата, поэтому необходим вероятностный подход к описанию системы. Возникает проблема взаимодействия внутренней нелинейной динамики водного баланса и внешнего шума среды.

В качестве индикаторов, сигнализирующих о качественных переходах в стохастических системах, будем рассматривать в соответствии с [Хорстхемке, Лефевр, 1987] экстремумы стационарной плотности вероятности уровня. Максимумы плотности вероятности отражают состояния, в которых море находится относительно продолжительное время, а минимумы плотности вероятности - состояния, в которых море находится недолго.

Положим, что сток и скорость видимого испарения - случайные процессы Орнштейна-Уленбека (это предположение можно существенно ослабить и рассматривать марковские процессы с сильным "перемешиванием"), кроме того, примем, что слой испарения (при учете взаимодействия залива Кара-Богаз-Гол и Каспийского моря к этой величине необходимо добавить слой стока в залив как функцию уровня) содержит тепловую компоненту, которая зависит от уровня моря.

Рассмотрим уравнение водного баланса

学二訟-Е(Н), W(H) = E(H)S(H)，(2.1.1)

dt S(H)

где H - уровень моря, t-время, q - среднегодовой сток, E - слой испарения, W - испарение с поверхности моря.

Предположим, что колебания стока и испарения можно представить в следующем виде:

(2.1.2)(2.1.2)9 =彳+%，e=夙")+自，M{qt} = M{et} = 0,

(2.1.2)

(2.1.2)

где М - математическое ожидание стока и слоя испарения (черта означает вероятностное осреднение).

Пусть т^,те - времена корреляции случайных процессов стока и слоя испарения. Тогда дисперсии этих процессов будут

Подставив разложения (2.1.2) в уравнение водного баланса, получим систему стохастических дифференциальных уравнений

(2.1.3)(2.1.3)dH = Adt + BdWt,

(2.1.3)

(2.1.3)

где А - вектор сносов, В - матрица диффузии, dWt - приращение винеровского процесса;

qS{HtYx - E{Ht^qtS{Htrx -et

A = <

6565d叱1 - немой винеровский процесс, dW^ и dW^ - соответственно винеровские меры стока и слоя испарения. Будем считать, что Tq, те<^тя, т.е. времена корреляции стока и слоя испарения

65

65

3. Найденов В.И.

значительно меньше времени корреляции уровня, что справедливо для Каспийского моря [Музылев, 1980].

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для системы (2.1.3) имеет вид [Гардинер, 1986]

* = 2[(飘Н)Т -夙Н) + qS(HY}-e)P] + — — (2 +

dt 8〃％

(2.1.4)(2.1.4)1 8宀、1 2a2尸1 2加те де 2 q Ъсг 2 Эе2

(2.1.4)

(2.1.4)

Исследование этого уравнения и соответствующего обратного уравнения Фоккера-Планка представляет собой очень сложную задачу, поэтому для качественных оценок необходимо рассмотреть предельное одномерное уравнение Фокке- ра-Планка-Колмогорова, которое получается из (2.1.4) при %, те -»0. Используя результаты Папаниколау и Колера, а также теорему Вонга-Закаи [Гардинер, 1986] для плотности вероятности

P(H,t)= J J P(H,q,e)dqde,

получим уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в форме уравнения Стратоновича [Стратонович, 1961]

埼尸埼尸++++(2.1.5)(2.1.5)

埼尸

埼尸

+

+

+

+

(2.1.5)

(2.1.5)

где 6； =о汶，君；=о* - интенсивности "белмх" шумов стока и слоя испарения соответственно. Дисперсии Dqn Den коэффициенты интенсивностей связаны следующими соотношениями: 考=2^% /=2Qq

Пусть

一 g2 Cz君2

A(H) = US(H)r - 臥H)_ 寸 § иЗ(Н) = у + 6；・

Тогда стационарное потенциальное решение (8尸/讶=0) уравне-

ния (2.1.5) будет иметь вид

^(Я) = ^52(^)exp 2 / -dH ,(2.1.6)

где N - нормирующий множитель, определяемый из соотношения

J R(H)dH = Lо

Из (2.1.6) определяют экстремумы стационарной плотности вероятности уровня моря

w(&)一彳及(区) = ^5‘(%).w(&)一彳及(区) = ^5‘(%).(2.1.7)(2.1.7)

w(&)一彳及(区) = ^5‘(%).

w(&)一彳及(区) = ^5‘(%).

(2.1.7)

(2.1.7)

Шум слоя испарения не влияет на положение экстремумов, так как является аддитивной величиной, которая не зависит от уровня моря. 一

Так как для Каспия S\H) > 0, то наиболее вероятные уровни лежат выше равновесных, и шум стока способствует сдвигу детерминированной бифуркационной диаграммы. Правая часть уравнения (2.1.7) обычно очень мала, поэтому можно принять, что W(H^) = q, Н； = Н» i = 1,2,3, т.е. в этом приближении наиболее вероятные моды совпадают с равновесными уровнями (рис. 2.1). Точки пересечения зависимостей эффективных осадков (физические осадки минус испарение) и стока от увлажненности бассейна (точки L 2, 3) соответствуют равновесным значениям увлажненности и уровня. Таким образом, распределение плотности вероятностей уровней Каспийского моря не является гауссовым. Это распределение с двумя максимумами, расположенными при Н = Нх, Н = 〃з, разделенными точкой минимума при Н = Н? (неустойчивый уровень). Равновесное состояние моря, представленное пиком при Н = Н、, является метастабильным (долгоживущим) и его вероятность медленно убывает в пользу пика при Н = Н3. Как было показано выше, достаточно длительное превышение норм поступления стока или выпадения осадков может перевести море с уровня Н】 на уровень 也.Грубой мерой вероятности такого события является высота потенциального барьера, разделяющего равновесные уровни, а время перехода определяется расстоянием между уровнями.

Рис. 2.1. Гистерезисная зависимость уровня Каспийского моря от величины осадков в его бассейнеа - зависимость - Н от Р, б - зависимости Р (кривая) и Q (прямая) от W; 7, 3 — устойчивые состояния, 2 - неустойчивое состояниеРис. 2.1. Гистерезисная зависимость уровня Каспийского моря от величины осадков в его бассейнеа - зависимость - Н от Р, б - зависимости Р (кривая) и Q (прямая) от W; 7, 3 — устойчивые состояния, 2 - неустойчивое состояние

Рис. 2.1. Гистерезисная зависимость уровня Каспийского моря от величины осадков в его бассейне

а - зависимость - Н от Р, б - зависимости Р (кривая) и Q (прямая) от W; 7, 3 — устойчивые состояния, 2 - неустойчивое состояние

Рис. 2.1. Гистерезисная зависимость уровня Каспийского моря от величины осадков в его бассейне

а - зависимость - Н от Р, б - зависимости Р (кривая) и Q (прямая) от W; 7, 3 — устойчивые состояния, 2 - неустойчивое состояние

Далее рассмотрим применение известных математических методов [Хорстхемке, Лефевр, 1987; Гардинер, 1986] для описания многолетних колебаний уровня водоемов.

Простой вариант уравнения водного баланса бессточного водоема имеет вид

dHdtdHdt嘰/)嘰/)(2.1.8)(2.1.8)

dHdt

dHdt

嘰/)

嘰/)

(2.1.8)

(2.1.8)

Реально приток речных вод Q и слой испарения Е испытывают сильные колебания во времени, которые порождены климатическими флуктуациями на водосборе. Например, среднеквадратическое отклонение стока Волги равно 50 км3/год, что составляет 〜20% среднего значения стока.

Предположим, что Q«) = E + o&«), E(t) = Е + с^2^, Q,E - средние значения, &«), 屋⑴ 一 гауссовские белые шумы, 5 и о2 _ их интенсивности.

Тогда из уравнения (2.1.8) получаем

dHt= f—后]力 +dW}-c2dW2, (2.1.9)

(S(g)丿 ЭД) 12 2'

где dW{ = Wx{t + dt}-W^t} = &]⑺力， dW2 = W2(t + 力)—吗⑺= = &2⑺力 или 叫=&]«), 叱=&2«)・ Здесь производные понимаются в соответствии с теорией обобщенных функций [Хорст- хемке, Лефевр, 1987]. Уравнение (2.1.9) является стохастическим дифференциальным уравнением водного баланса; зависимость площади водоема от уровня S(//j приводит к тому, что в таком уравнении белый шум входит мультипликативно, т.е. это уравнение является принципиально нелинейным и для его исследования нет готовых методов.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение более общего вида

dXt=f(Xt)dt + Oq(Xt)dWt,

где Xt 一 состояние системы, /(X), q(X) - непрерывно дифференцируемые функции, о = const.

Далее будем анализировать только автономные стохастические дифференциальные уравнения с/и q, не зависящими явно от времени, в двух интерпретациях:

интерпретация Ито

dX, =/О)力 + о虱 X) d叱；

интерпретация Стратоновича

dXt=f(Xt)dt + cq(Xt)odWt.

Уравнение Фоккера-Планка, определяющее эволюцию плотности вероятности перехода марковского процесса Xt, имеет вид:

в интерпретации Ито

V p(y,t/x,s) = ~ — [/(у)р(у, t/x,s)] + — —2 [才(У)，(У，〃 X，s)]， 出力2 dy

в интерпретации Стратоновича

p(y,t/x,s) = ~ — [/(у) + — qXyWy)]p(y^/x,s) +

出dy 2

2 Эу22 Эу2l^^P^t! x,s)].l^^P^t! x,s)].

2 Эу2

2 Эу2

l^^P^t! x,s)].

l^^P^t! x,s)].

Здесь p(y, t/xf s) - плотность вероятности перехода марковского процесса X, (% его значение в момент времени s, у - в момент времени г).

В дальнейшем будем использовать и обратное уравнение Колмогорова

-卫 p(y,t/x,s) =x,s) + ^- ?才(％)区 p(y,t/x,s\

dsdx2 ox

Прилагательное "обратное" входит в название этого уравнения потому, что вариация берется как бы относительно начального состояния х и начального момента времени s. Конечное состояние (у, %) входит в решение обратного уравнения Колмогорова как параметр. Можно сказать, что это уравнение дает решение задачи, в которой процесс Xt должен начаться в момент времени s, чтобы в момент z перейти в заданное состояние у. Это уравнение будет использовано нами при определении случайной величины - времени перехода водоема из одного состояния в Другое.

Будем считать, что приток речной воды и испарение описываются уравнениями непрерывной авторегрессии первого порядка (процессами Орнштейна-Уленбека) с известными математическими ожиданиями, дисперсиями и автокорреляционными функциями. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение водного баланса бессточного водоема, которое получается из уравнений (2.1.8) и (2.1.9) при о〕= о?，и2 = 0 (изменчивость слоя испарения считается малой величиной по сравнению с изменчивостью слоя стока)

dHt=f(Ht)dt + Gq(Ht)dWt,

где 〃匕)=QS~\Ht)-瓦 虱硯=ST®)・

Проанализируем это уравнение [Хорстхемке, Лефевр, 1987]. Рассмотрим интерпретацию Ито.

Колебания речного стока можно моделировать с помощью стационарного случайного процесса. В общем случае водный баланс водоема формируется за счет стока и испарения. Поэтому по истечении достаточно большого времени мы выйдем на стационарный режим.

Стационарное поведение в данном случае означает, что при f оо устанавливается стационарная плотность вероятности Ps(/7), форма которой не меняется со временем: вероятность

найти уровень водоема в окрестности определенного состояния Я перестает зависеть от времени. Траектории Н，(со) не стремятся к стационарной траектории Н(со); уровень водоема продолжает колебаться, он изменяется от одного момента времени к другому, но колебания его таковы, что Ht и 匕 + 弋 имеют одинаковую плотность вероятности.

Плотность вероятности р^Н) является стационарным решением уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, которое можно записать в виде

а 戌(〃川％,0)+а〃(〃/|%,о)=о,

2

Величина J интерпретируется как поток вероятности, и уравнение становится при этом уравнением непрерывности, выражающим сохранение вероятности.

Стационарное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова вырождается в уравнение

%4(Н) = 0,

из которого следует, что стационарный поток вероятности постоянен на пространстве состояний (0, 8)

4(〃)= const при Н G (0,8)・

В стационарном случае в пространстве состояний для вероятности нет ни источников, ни стоков. Поток вероятности внутри пространства состояний равен потоку через границы

j = 4(H) = 4(0)= 4(8).

Таким образом, стационарная плотность вероятности удовлетворяет уравнению

-/(Я)Л(Я) + —dHq\H)ps(H) = - J,

решение которого имеет вид (интерпретация Ито)

N

R（〃）= g2（〃）呻

2 ?他）

（〃）丿

2 彳

02g2（〃）卜з

52 ， g2(")丿

Постоянная интегрирования ^ определяется из условий нормировки, а величина J как поток вероятности на границе пространства состояний зависит от характера границ. Если граница естественная, то не существует потока вероятности из пространства состояний, и поэтому J = 0. В этом случае

( н、

Ps(〃)= ；27立exp -у I —^—du ,g(〃)(〃)丿

oo("\

NT 二 j，一expdH.

Если стохастическое дифференциальное уравнение интерпретируется по Стратоновичу - dHt = f(Ht)dt + о^(Яг) ° dWt, то

стационарная плотность вероятности равна

2(H)=2(H)=N 両N 両

2(H)=

2(H)=

N 両

N 両

Следовательно стационарное поведение системы, описываемой приведенным выше стохастическим дифференциальным уравнением определяется функцией

Ps(H) = Ng7 expPs(H) = Ng7 expf 2 ? /(〃) ]f 2 ? /(〃) ]

Ps(H) = Ng7 exp

Ps(H) = Ng7 exp

f 2 ? /(〃) ]

f 2 ? /(〃) ]

если J = 0 и Ps(H) нормируема. Показатель у = 1 соответствует интерпретации Стратоновича, а у = 2 - интерпретации Ито.

Покажем, что решение р(Н, f) уравнения Фоккера-Планка- Колмогорова сходится к р«Н) 一 стационарной плотности вероятности при t т 吨

Пусть

/(〃)=②一巨s(〃) +s-\H\

2

Стационарная плотность вероятности удовлетворяет уравнению

Ctrl，иГ1

\pQ{H)dH = \, о\pQ{H)dH = \, оPo(H) = Ng-%xp 2/喫成,I о風")丿

\pQ{H)dH = \, о

\pQ{H)dH = \, о

где N определяется из условия нормировки

Так как g(H)>0, S(0) = 0, Н е (0, ®о),『以幺成—一^ при g(〃)

Н т 8 и f (Н) / g(H) т 0 при Н т 0, то стационарная плотность

вероятности нормируема.

Рассмотрим следующий функционал от p(Hj):

①《) = jp(〃J)lnо①《) = jp(〃J)lnоp(〃J) Ро(Н)p(〃J) Ро(Н)dH.dH.

①《) = jp(〃J)lnо

①《) = jp(〃J)lnо

p(〃J) Ро(Н)

p(〃J) Ро(Н)

dH.

dH.

Если

\P{H,t)dH = V "虱H)dH = l,оо

то

①⑺力(打)Inо -①⑺力(打)Inо -p(〃J) I Po(切 1Po(H) p(〃J)p(〃J) I Po(切 1Po(H) p(〃J)dH.dH.

①⑺力(打)Inо -

①⑺力(打)Inо -

p(〃J) I Po(切 1

Po(H) p(〃J)

p(〃J) I Po(切 1

Po(H) p(〃J)

dH.

dH.

Функционал ①⑺ 2 0, так как 1п(1/у) 2 1 - у при у > 0・ Это неравенство переходит в равенство только при у = 1, т.е. при p(H,t)二 р《Н)・

В теории стохастических дифференциальных уравнений доказано, что

dФ

—^0.(2.1.10)

Функционал Ф, обладающий свойством (2.1.10) и обращающийся в нуль вместе с первой производной (Ф = 0 и d ①/力=0) в том и только в том случае, если р(Н/) = р$(Н), называют функционалом Ляпунова. По известной теореме из существования функционала Ляпунова следует глобальная асимптотическая устойчивость стационарного состояния.

В качестве следствия получим следующее. Если диффузионный процесс Ht при 才=0 имеет плотность вероятности, отли-

чающуюся от стационарной, то при t т 8 она стремится к стационарной. Действительно, функционал Ф(0 строго положителен и монотонно убывает со временем, так как d①/力 <0. Отсюда следует, что ①⑺-» 0 при ? т 8, а так как Ф = 0 в том и только в том случае, если p(H,t) = р0(Я), то lim p(H,t) = р0(Н).

? —» ОО

Можно показать, что Ht 一 эргодический процесс, если стационарная плотность вероятности существует, и диффузионный процесс Ht при t = 0 начинается с нее, т.е.

lim 丄 J Htdt = J 妆。(H) dH = Е{Н}.(2.1.11)

Это означает, что математическое ожидание стационарного процесса Ht может быть определено по наблюдению лишь одной произвольной траектории процесса, например, задаваемой левой частью соотношения (2.1.11). Таким же способом может быть найдена и стационарная плотность вероятности.

Нелинейная модель колебаний уровня моря,учитывающая водный баланс его бассейна

Рассмотрим более сложную модель колебаний уровня моря, учитывающую динамику речного стока и зависимость испарения с поверхности бассейна от его увлажненности.

Систему уравнений водного баланса бассейна Каспийского моря, динамики речного стока и водного баланса самого моря можно представить следующим образом:

- = Р- E(W)-Q + О爲⑺—％自2«), at

t也二 G(W)-0,(2.2.1)

dt

誤-而h)-虱h)+林3⑺， at

где Wf Qt Н - соответственно влагозапас рабочего объема бассейна, сток рек и уровень моря, 5Г, 5(/7) 一 площади водосбора и моря, Р, Е, Е - соответственно величины осадков в бассейне моря, испарение с площади бассейна и с акватории моря, q 一 сток в залив Кара-Богаз-Гол, G(W) 一 зависимость стока от влагозапа- сов,自1,自2, ъз 一 дельта-коррелированные независимые случайные процессы, интенсивность которых 5, д, 5 соответственно.

Первое уравнение системы (2.2.1) описывает водный баланс бассейна моря, второе 一 получается следующим образом. Пусть К = 2? /2 — кинетическая энергия речного стока, П = G(W)t~xQ 一 мощность, развиваемая силой тяжести при перемещении вод бассейна в замыкающий створ реки,①二七"。？ 一 мощность диссипативных сил (сил трения и других сил сопротивления).

Из закона изменения кинетической энергии речного стока dK/dt = П-Ф следует второе уравнение системы (2.2.1).

Зависимости испарения и стока от влагозапасов

G；＞0, Е；＞0, Wv 唄,％ vO, W＞唄，4V(唄)=0 (2.2.2)

обусловлены физическими механизмами данных процессов. Эти соотношения показывают, что с увеличением влагозапасов речной сток всегда увеличивается, а испарение при больших значениях влагозапасов уменьшается.

Из системы (2.2.1) можно получить уравнение нелинейного осциллятора

罢 + (% +学 + 宀 W) = 0,

Jr v )dt

где T(W) = G(W)-(尸-E(W))・

Этот осциллятор имеет несколько равновесных состояний 叱'，& =G(W),屮(叱‘)= 0, i = l,2, 3. Несложно показать, что при сделанных предположениях %* И^3 - устойчивые (неустойчивые) фокусы,叱2 - седло.

Например, из этой системы можно получить классическое уравнение линейного осциллятора с трением относительно величины q = Q -國:

* + 2吟 + 心 q = LG" [d 0隽i0)-%⑺^⑺]，

2h = E^yv\ co^^^^^ + G；^)], J = 1,3.

Подчеркнем, что система (2.2.1) имеет устойчивые автоколебательные режимы, которые будут рассмотрены ниже. Очень важно, что вблизи устойчивых состояний равновесия имеем две характерные частоты со;.

Определяющей особенностью стационарной плотности вероятности влагозапасов бассейна Каспия и стока Волги является ее бимодальность. Действительно, стационарное решение урав-

нений Фоккера-Планка-Колмогорова для двух первых уравнений системы (2.2.1) относительно плотности вероятностей влагозапасовр(Ж О

^ + 鳥{[尸-E(W)]p} + A {t-1[G(W)-Q]P}-

Обработка данных наблюдений показала, что при одном и том же количестве осадков в бассейне моря при современном климате существуют два устойчивых равновесных значения Q (320 и 270 км3/год) и соответственно два значения Н (-25,47 и -27,92 м абс.) (см. рис. 2.1). В нижней части рисунка приведены зависимости величин эффективных осадков (осадки минус испарение) и речного стока от влагозапасов; точки 7, 2, 3 являются решениями уравнения водного баланса бассейна моря. Подчеркнем, что бимодальность распределения стационарной плотности уровня моря объясняется водными процессами на водосборе, а не зависимостью слоя испарения с поверхности моря от уровня. По существу, система нелинейных уравнений (2.2.1) связывает колебания уровня Каспийского моря с изменениями климата его бассейна. Известно, что случайный процесс, характеризуемый бимодальным распределением плотности вероятности - смесь двух гауссовых случайных процессов (каждый из этих процессов порождается небольшими колебаниями Н вблизи одного из устойчивых состояний равновесия), поэтому временной ряд многолетних колебаний стока Волги должен быть нестационарным и неоднородным. Детальный анализ статистических характеристик годового стока Волги у Волгограда подтвердил приведенный выше анализ [Исмайылов, Федоров, 2001].

Таким образом, нелинейная стохастическая модель многолетних колебаний уровня моря, приведенная в работе [Кожевникова, Найденов, 1998], находит новое физико-математическое 76

6

94

841

6

3

7

30 1 101 201 301 401 501 601 701 801 901 1001 1101 1201 Годы

Рис. 2.2. Характерные реализации колебании уровня Каспийского моря (7) и залива Кара-Богаз-Гол (2), расхода морской воды в залив (3) (а) и характерная реализация колебаний уровня Каспийского моря (б)

обоснование, заключающееся в учете зависимости испарения с поверхности бассейна Волги от его влагозапасов. Характерные реализации колебаний уровня моря, уровня залива Кара-Богаз- Гол и расхода морской воды в залив четко указывают на существование двух стационарных состояний (рис. 2.2). Рекон-

струкция колебаний уровня моря, основанная на радиоуглеродных датировках [Карпычев, 2001], также демонстрирует наличие нескольких равновесных значений уровня моря, между которыми происходили квазициклические переходы с периодами 230-280 лет. Подчеркнем принципиальную позицию автора данной монографии по проблеме колебаний уровня Каспийского моря: предлагаемые прогнозы, модели и механизмы должны хотя бы качественно воспроизводить колебания уровня моря за исторический период, а именно за последние 2000 лет (график колебаний см. в работе [Карпычев, 2001]).

Гауссовские процессы колебаний уровня моря

Необходимость определения вероятностных характеристик процесса пересечения случайных функций заданного уровня (решение ''задачи о выбpocax^^) возникает во многих прикладных задачах [Булинская, 1961]. В качестве примера можно привести задачу о выбросах уровня водоема Ht за некоторый фиксированный уровень Н*, или максимального уровня воды в реке за некоторую критическую отметку, характеризующую катастрофические наводнения.

Нахождение исчерпывающих вероятностных характеристик выбросов случайной функции (вероятностей заданного числа выбросов в течение данного промежутка времени пребывания случайной функции выше заданного уровня) в общем случае 一 сложная математическая задача (исключая марковские процессы), однако вычисление таких характеристик, как среднее число выбросов в единицу времени, среднее время пребывания выше заданного уровня и т.п. не представляет принципиальных затруднений. Общие формулы для их определения, которые были получены Райсом [Свешников, 1968], применимы для любых (дифференцируемых) случайных процессов, хотя числовой результат может быть получен только для нормальных гауссовских процессов.

Проанализируем выбросы случайного процесса колебаний Н на основе линеаризованных уравнений водного баланса бассейна Каспийского моря и самого моря. Система уравнений водного баланса бассейна моря, самого моря и линейной связи между речным стоком и влагозапасами бассейна имеет вид

at

2-2="(w-网)，

dHdtdHdt鳥一…(")，鳥一…(")，

dHdt

dHdt

鳥一…(")，

鳥一…(")，

где 卩e,卩夕 一 соответственно коэффициенты пропорциональности в зависимостях Е и 0 от W. Нижним индексом s отмечены среднемноголетние значения величин.

Проблема колебаний уровня Каспийского моря существенно нелинейна [Найденов, 1992], однако и линейные ее аппроксимации еще изучены недостаточно. Линеаризуем систему в окрестности Hs = -28,5 м абс. и сведем ее к системе относительно 0 и Н: 手=-他「卩ё)(2 - 2)+卩陋⑺，

dt л s

dEf2 dS …、

л dH s dH s S\Hs)dH s

где S* = S(&) - равновесная площадь моря. Параметр 卩九 определяет характерное время релаксации моря к своему равновесному состоянию (в гидрологии моря его обычно называют параметром инерционности); без учета зависимости Е от Н, его значение равно 0,05 [Фролов, 1985], а без учета q - 0,03 год-1.

В случае двумерной плотности вероятности относительно Н = Н - Hs и Q = Q-QS уравнение Фоккера-Планка-Колмого- рова имеет вид

стационарное решение которого

~ ~1

р(Н，2)=/——-exp <

2g卢川1-г

]

[<_2rJl+^]l

[о； Oqd： ^ JJ

2(1-г2)

где г - коэффициент корреляции между Q и Я; о^,о；- соответственно дисперсии уровня и речного стока

"一卩ё+岗"一卩ё+岗雜二1片巒'厂2“一丄雜二1片巒'厂2“一丄

"一卩ё+岗

"一卩ё+岗

雜二1片巒

'厂2“一丄

雜二1片巒

'厂2“一丄

h 2 8池д一丄+卩)(%-")以

Так как ц^ - це > цА (процессы колебаний стока и слоя испарения менее инерционны, чем колебания уровня), то значение г мало, что и подтверждено обработкой натурных данных. Например, при цЛ = 0,03 и & - & = 1,2 1/год значение г составляет 0,16. С учетом q значение г увеличивается, а с учетом зависимости Е от Н- уменьшается. Таким образом, предложенная модель объясняет небольшую коррелированность 0 и Н.

Для Н получаем уравнение второго порядка

^^ + (丄+L)曾+ (% 一丄)以方=^^自")■

Пусть

方=穿，2用=“一儿+ L， M =(人一Ue)L・

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для p(H,H,t) имеет

вид

近〔丿 2 s： эя2近〔丿 2 s： эя2=0,=0,理+ 2 (-2ЬН-п2н]р

近〔丿 2 s： эя2

近〔丿 2 s： эя2

=0,

=0,

^ ЭЯ I 丿

а его стационарное решение

R（女方）R（女方）11exp2g 方 о%exp2g 方 о%丄2丄2・、彦方2・、彦方2

R（女方）

R（女方）

1

1

exp

2g 方 о%

exp

2g 方 о%

丄2

丄2

・、

彦方2

・、

彦方2

“ S汕 g-L+L)・

Используем полученные решения для определения среднего числа выбросов уровня Каспия за отметку △// (разность между уровнем тяготения и отметкой уровня, за который подсчитывают выброс). Это исключительно важная задача для понимания механизма колебаний уровня моря, так как с Hs= -28,5 м абс. за последние годы уровень Каспия приблизился к отметке -27,0 м абс., а в 1994 г. был даже на отметке -26,6 м абс. Поэтому возникает вопрос: какова вероятность этого выброса? Для на-

хождения числа выбросов используем следующую формулу:

*二机川L.*二机川L.

*二机川L.

*二机川L.

Сравним два варианта расчета: без учета и с учетом зависимости Е от Н. Пусть

ДЯ = 1,5 м, % = 46 км3/год, г(1) = 0,42,

& - Ue 二 0,86 1/год 卩力=0,05 1/год,

тогда ^дя = 10-3, т.е. выброс возможен 1 раз в тысячу лет; при |1Л = 0,01 1/год (такое снижение параметра инерционности моря может произойти в результате зависимости Е от Н) вероятность выброса увеличивается почти на порядок N^ = 7 • 10~3 (1 раз в 100 лет). Резкие подъемы или падения значения Н отмечались неоднократно. Такие кратковременные подъемы и понижения уровня невозможно объяснить долгопериодными климатическими изменениями. По всей видимости, на эти эффекты влияют локальный и региональный климаты.

Отметим, что при цА < 0 полученные решения теряют смысл, и это свидетельствует о неустойчивости равновесного значения Н. В этом случае необходимо исследовать нелинейные модели.

В результате многочисленных исследований установлена высокая корреляция между стоком Волги и приращением уровня Каспийского моря [Семенов, 1998]. Для объяснения этого явления введем переменные

Рассмотрим систему уравнений

^ =一卩庐一仅「"卜+匹⑺，

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для 〃(z, у, /) имеет вид

計^ {№ -(卩厂丄)m} + ^；卜(卩厂丄)* ]-

а его стационарное решение

/& exp <T~2\ -+

2gzOy Jl - *[ |_2（l-*）3z60 % 丿

где q - коэффициент корреляции между ДН и 0.

Так как время инерции стока значительно меньше времени инерции уровня % — 丄》卩，то значения 厶 достаточно велики.

Отметим, что при ц^ - це < 0, цА <0 стационарные решения задач о колебаниях уровня Каспийского моря отсутствуют, несмотря на стационарность климата. Это свидетельствует о том, что под влиянием регионального и локального климатов Каспийского моря и его бассейна равновесное значение Н неустойчиво. Поэтому для решения данной задачи необходимо использовать нелинейные модели.

Предложенные модели могут быть использованы для определения различных сценариев поведения уровенного режима Каспийского моря.

Глава 3

Тепловой механизм бистабильностиуровня Каспийского моря

В данной главе предложены некоторые новые подходы к нерешенной пока проблеме колебаний уровня Каспийского моря, основанные на идеях и методах синергетики и современной теории стохастических процессов.

Физический механизм бистабильности уровня моря

Один из исследователей Каспия, С.Н. Родионов [Родионов, 1989], анализируя исторические сведения о положении уровня моря за последнее тысячелетие, заметил 400-летнюю цикличность его колебаний. Эта величина не так уж сильно отличается от периода 260 лет, который отмечен Ю.А. Карпычевым [Карпычев, 2001]. При этом после длительного стояния вблизи одной из отметок море быстро переходит к высокому или низкому уровню. Для прикаспийских регионов стремительные подъемы и падения уровня сопровождались губительными последствиями. По свидетельству итальянского географа М. Сануто, относящемуся к 1320 г., пморе каждый год прибывает на одну ладонь, и уже многие хорошие города уничтожены". В 1304 г., например, был поглощен морем порт Абескун на юго-восточном побережье Каспия.

Многочисленные описания колебаний уровня Каспийского моря, конечно, не раскрывают их механизма. Неясно, в чем причина долгого стояния моря вблизи одной из отметок, почему уровень сменяется новым, какие физические процессы дестабилизируют море, почему период изменения его уровня мал по сравнению с периодом стояния и т.д.

Анализ дисперсии колебаний уровня вблизи квазиравко- весного состояния моря показал, что в период с 1830 по 1930 г. эта величина составляла 0,1 м2 (в это время море находилось на отметке -25,8 м абс.), затем за небольшое время (40 лет) вдруг выросла на порядок (1,3 м2). Столь резких изменений водности

Прикаспийского региона не наблюдалось. (Правда, сток Волги в интервале 1930-1939 гг. был ниже нормы, но потом начал восстанавливаться.) Уровень моря, несмотря на это, продолжал падать и обнаруживал явную тенденцию к стабилизации на нижней отметке -28 м абс. В период 1890-1932 гг. средний годовой приток речных вод в море был равен 301 км3/год; потери стока, обусловленные хозяйственной деятельностью,- 10 км3/год. В период 1941-1969 гг. эти "статьи" соответственно составили 287 и 20-30 км3/год, т.е. водность впадающих в Каспий рек практически не изменялась.

Какой же физический механизм удерживал море у нижней отметки? Исследователи из Института водных проблем РАН подсчитали, что слой испарения на высокой отметке стояния составлял 722, а на низкой - 774 мм, т.е. низкий уровень моря поддерживался за счет интенсивного испарения с его акватории. Так, в работах [Архипова, 1955; Архипова, 1959; Архипова, Макарова, Крюкова, 1975] утверждается, что испарение Каспийского моря с 1941 по 1969 г. увеличилось только за счет Северного и Среднего Каспия, а в Южном оно не изменялось. Поскольку климат, который должен был сказаться на водности рек и испарении Южного Каспия, остался прежним, то, скорее всего, повышенное испарение было обусловлено изменениями в самом море, а именно резко уменьшились глубины Северного Каспия, хорошо прогреваемые мелководные участки моря отдавали в атмосферу огромное количество влаги. Известная зависимость слоя испарения от глубины обычно не учитывается в теориях колебаний уровня моря.

Первый физический механизм колебаний уровня Каспийского моря был предложен выдающимися отечественными гидрологами С.Н. Крицким и М.Ф. Менкелем [Крицкий, Мен- кель, 1946], поэтому его называют механизмом Крицкого-Мен- келя (КМ). Предполагалось, что скорость испарения для бессточных водоемов не зависит от глубины и полностью определяется внешними климатическими факторами: радиационным балансом, скоростью воздуха, температурой, влажностью воздушных масс и т.д. В рамках этой теории единственным механизмом, управляющим уровенным режимом, считается механизм отрицательной обратной связи: при повышении уровня выше равновесного площадь зеркала испарения увеличивается, что заставляет уровень вернуться к исходному положению.

Рассмотрим некоторые качественные подходы к проблеме многолетних колебаний уровня Каспийского моря. В самом простом случае динамику водного баланса моря можно предста-

вить в виде следующего уравнения первого порядка:

dHdtdHdt

dHdt

dHdt

где Н 一 уровень моря, U 一 потенциал, £(/) 一 случайная функция, характеризующая климатическую изменчивость с течением времени t.

В соответствии с механизмом КМ предполагается*, что потенциал имеет вид

и = 0,5а(Н_"т)2,

где а 一 коэффициент инерционности моря, связанный с временем релаксации t простой зависимостью а = V1; Яг - единственный устойчивый уровень равновесия. Для решения задачи колебаний уровня моря очень важно определить конкретное числовое значение параметра инерционности (времени релаксации), так как эта величина наряду с вероятностными свойствами функции £(/) определяет дисперсию колебаний уровня вблизи уровня равновесия и вероятность резких отклонений с амплитудой 1-2 м. Чем меньше а, тем больше отклонение уровня моря относительно уровня равновесия.

Если предположить, что уровень моря 一 интегральный показатель увлажненности его бассейна, то последнее уравнение станет более общим и, вероятно, будет описывать также и динамику водного баланса этого бассейна.

Коэффициент а в ранних работах по изучению уровенного режима Каспия принимали равным 0,02-0,03 (время релаксации моря 30-50 лет), потом с учетом оттока воды в залив Кара- Богаз-Гол 一 0,075 (13 лет) на высокой отметке -25,5 м абс. и 0,05 (20 лет) на низкой отметке -28,3 м абс. Определение времени релаксации, исходя из данных наблюдений за уровнем моря (было построено регрессионное соотношение между ежегодными приращениями уровня и уровнем), дало на порядок большую величину, чем априорное - 150 лет (!).

Это означает, что существует неизвестный пока механизм, замедляющий реакцию Каспийского моря на изменение климатической ситуации. Подчеркнем, что модифицированный (с поправкой на зависимость слоя испарения от уровня) механизм КМ справедлив в небольшом диапазоне отметок уровня. Рассмотрим, например, результаты наблюдений за уровнем моря в период высокого устойчивого стояния - с 1830 по 1929 г. Несложно пост-

Здесь изложен простейший вариант этой теории, так как многочисленные усложнения не вносят принципиальных изменений.

роить линейную стохастическую модель колебаний уровня, которая неплохо описывает эти результаты (дисперсия колебаний уровня согласуется с наблюденной, теоретическая плотность распределения вероятностей уровня близка к гистограмме и т.д.). В течение последующих 15 лет происходило катастрофическое падение уровня. Однако такая линейная модель неспособна спрогнозировать наступившую катастрофу (падение уровня почти на 2 м и уход моря от населенных пунктов на десятки километров).

Если остаться в рамках гипотезы о стационарности климата (недостоверность этой гипотезы, впрочем, не означает, что море имеет только одно равновесное состояние, в этом случае ситуация еще более осложнится), то существует единственная логическая возможность выйти из тупика: предположить, что колебания уровня моря на разных отметках описываются разными линейными моделями. Как было показано выше, закономерности испарения с поверхности глубоководных и мелководных водоемов существенно различаются: в первом случае среднегодовой слой испарения слабо зависит от глубины моря, во втором 一 в диапазоне критических глубин до 10 м слой испарения сильно увеличивается.

Следовательно, уравнение водного баланса моря при учете этого теплового эффекта становится существенно нелинейным и необходимо построение нелинейной стохастической модели колебания уровня моря, которая включила бы модель КМ как частный случай.

Используя современные методы теории случайных процессов и математической статистики, можно построить нелинейную дискретную модель колебаний уровня Каспийского моря [Найденов, Кожевникова, 1994; Кожевникова, Найденов, 1998]. Она выглядит следующим образом:

h + 1 =一筹(%)+ J + i，ап.

J =0,4б£”1 +0,115r

Здесь U — потенциал Каспийского моря, & 一 последовательность авторегрессии первого порядка, 8 一 последовательность взаимо- независимых и одинаково распределенных случайных величин с единичной дисперсией, г - время (годы).

Функция U(H) (рис. 3.1) определяется из статистического анализа на основе нового физического механизма колебаний уровня моря. Подробные исследования этой функции и ее конкретный вид будут описаны ниже [Кожевникова, Найденов, 1998].

Случайная величина & характеризует интегральный эффект влияния климатических параметров (осадков, температуры и скорости воздушных масс, их влажности) и не зависит от уровня моря. Она достаточно сильно коррелирует с изменением слоя речного притока (коэффициент корреляции равен 0,65). Столь высокая корреляция означает, что колебания уровня Каспийского моря сильно зависят от водности рек, испарения и количества осадков. Подчеркнем, что дискретная модель получена без предположения о характере водного баланса моря и учитывает все возможные эффекты, в том числе и региональные, влияющие на уровень моря.

Характерной особенностью рассматриваемой модели является наличие у функции dUIdH трех нулевых значений при Н] = -25,5 м, Н2 = —26,4 м, Н3 = -27,9 м абс. Соответственно, потенциал U(H) имеет три экстремума: два минимума, которые отвечают локально устойчивым (метастабильным) состояниям равновесия, а именно -25,4 и -27,9 м абс., и один максимум, отвечающий абсолютно неустойчивому состоянию равновесия (-26,4 м абс.). На основании результатов расчетов по предложенной модели сделаны следующие выводы.

Во-первых, уровенный режим моря характеризуется длительными периодами (200-400 лет) стояния вблизи устойчивых состояний равновесия и быстрыми (20-40 лет) переходами от одного уровня к другому. Во-вторых, море, пройдя неустойчивую отметку (-26,4 м), уже практически не способно вернуться к

исходному положению равновесия. В-третьих, нижний уровень равновесия моря менее устойчив (здесь больше вероятность резких изменений), чем верхний. Другие нелинейные зависимости испарения и стока в залив Кора-Богаз-Гол от уровня и зависимость уровня от речного притока также свидетельствуют о неустойчивости водного баланса моря.

Таким образом, учет нелинейного взаимодействия (в линейных системах такое явление, естественно, не возникает) положительных обратных связей приводит к качественно иному уровенному режиму. Физически это понятно, так как твердо установлено, что нелинейные системы способны значительно усиливать поступающие в них возмущения.

Устойчивость верхнего уровня можно объяснить действием трех механизмов. Во-первых, относительная глубина проникновения тепловых волн для более глубокого моря меньше, чем для мелкого, следовательно, дестабилизирующее влияние зависимости слоя испарения от уровня менее заметно. Во-вторых, по законам гидравлики величина стока морской воды в залив Кара-Богаз-Гол нелинейно зависит от уровня и сильно увеличивается с его ростом. Следовательно, стабилизирующая роль залива на высоких отметках более существенна, чем на низких. В-третьих, с ростом уровня моря возникают дополнительные поверхности испарения, например, заполняются водой заливы Мертвый Култук, Кайдак и другие мелководные участки моря. При низком уровне такие стабилизирующие механизмы существенно ослаблены, поэтому устойчивость этого уровня понижается.

Ближайшие годы станут решающими в жизни Каспийского моря: если тенденция к образованию многоводной фазы сохранится и уровень моря перевалит через неустойчивую отметку, то вероятность перехода к высокому уровню экспоненциально возрастет.

Таким образом, для колебаний уровня Каспийского моря характерна не только внешняя непредсказуемость, создаваемая климатическими изменениями, но и внутренняя, обусловленная неустойчивой динамикой водного баланса. В связи с этим подчеркнем, что в нелинейной динамической системе с тремя состояниями равновесия возможен хаос даже при детерминированном внешнем воздействии. Имея нелинейную модель колебаний уровня, можно объяснить резкое увеличение времени релаксации моря в определенном диапазоне отметок уровня. На основе решения дискретного уравнения нетрудно построить две реализации случайного процесса (см. рис. 2.2).

Моделируем процесс так, чтобы одна реализация соответствовала длительному стоянию моря вблизи одной из отметок (нижней или верхней), а другая включала в себя переходы с уровня на уровень. Затем по полученным временным рядам уровней путем линейной регрессии определим время релаксации. Оказывается, что в периоды устойчивого стояния моря оно существенно меньше, чем при переходах с уровня на уровень. Следовательно, сильное увеличение времени релаксации, полученное при линейном анализе, косвенно свидетельствует о неустойчивости колебаний уровня моря.

Если для функции dUIdH использовать линейную аппроксимацию вблизи устойчивых равновесных уровней, то получим модель КМ, которую можно исследовать (в большинстве практически важных случаев это уже сделано) обычными методами статистического анализа. Таким образом, модель КМ удовлетворительно описывает колебания уровня моря вблизи устойчивых состояний равновесия до момента перехода с уровня на уровень. Информацию о возможных переходах и их вероятностном описании можно извлечь только из нелинейной модели.

Эта модель содержит важный элемент прогноза: всегда существует достаточно большая вероятность подъема или падения уровня. С ее помощью можно понять, почему не оправдываются прогнозы колебаний уровня Каспийского моря. Во-первых, всегда существует вероятность перехода моря с уровня на уровень; во-вторых, море, находясь вблизи одного устойчивого режима, "чувствует" притяжение соседнего устойчивого режима, так как они расположены близко друг от друга. Море часто "соскальзывает" в неустойчивую область колебаний, что обычно и искажает прогноз. В соответствии с тепловым механизмом колебаний уровня Каспийского моря, впервые подробно описанным в работе [Найденов, 1992], предполагается, что амплитуда внутригодового хода температуры поверхности воды существенно зависит от глубины моря 一 она увеличивается с уменьшением глубины. Поскольку 〜40% площади Каспийского моря занимают мелководья, и им же принадлежит основная роль в стабилизации уровня, очевидно, что при разработке линейных и нелинейных моделей колебаний уровня должны учитывать зависимость слоя испарения от толщины прогреваемого водного слоя. Это относится ко всем мелководным водоемам, находящимся в зоне континентального климата (Аральское море, оз. Балхаш и др.). Количественная мера этой зависимости такова: увеличение амплитуды температурных ко-

лебаний на 2 ℃ оказывает на испарение такое же действие как и увеличение среднегодовой температуры на 1 ℃. Причина тепловой неустойчивости испарения - существенно меньшая теплоемкость твердых компонентов дна, чем теплоемкость воды. В мелководном море (Северный Каспий, залив Кара-Богаз-Гол) солнечные лучи достигают дна, в результате этого дно и тонкий слой воды быстро прогреваются и температура испаряющей поверхности резко возрастает по сравнению, например, с температурой испаряющей поверхности глубоководного Среднего Каспия. Однако в осенне-зимний период температура мелководных частей моря, ввиду малого запаса тепла, сильно понижается. В целом среднегодовая температура изменится мало, однако амплитуда внутригодового хода возрастет и, соответственно, увеличится испарение.

Сравним внутригодовой ход испарения с акватории Северного и Среднего Каспия (такое сравнение исключает роль случайных климатических факторов). В весенне-летний период испарение с поверхности Северного Каспия значительно больше испарения с поверхности Среднего Каспия (расхождение в некоторые месяцы достигает сотни процентов) [Панин, 1987]. В осенне-зимний период картина обратная (здесь сказывается большой теплозапас глубоководных частей моря), однако в целом эффекты нагрева для испарения более важны, чем эффекты охлаждения. Картина будет более разительной, если учесть, что величина радиационного баланса для Среднего Каспия на 30% больше, чем для Северного. Следовательно, если бы обе сравниваемые части моря находились в одинаковых условиях, нелинейный эффект влияния глубины на испарение был бы более заметен.

Несложно оценить слои испарения на низкой и высокой отметках. При условии, что испарение одинаково - 380 км3/год, а площади моря соответственно равны 380 и 415 тыс. км2, слой испарения на низкой отметке равен 100, а на высокой - 90 см/год, т.е. подъем уровня моря на 2,5 м уменьшает слой испарения на 10%.

Можно привести и другие свидетельства в пользу теплового механизма. Так, на гидрометеостанциях Северного Каспия (Астраханский рейд, о. Чечень, о. Большой Пешной, форт Шевченко) и Среднего Каспия (п-ов Апшерон, о. Жилой, заливы Кара-Богаз-Гол и Куули) за период после 1934 г. зафиксированы более низкие осенние и более высокие весенние и летние значения температуры (на 1,5 ℃ по сравнению с температурой за предшествующий период).

В работе [Родионов, Синицин, 1991] выделены два режима многолетних колебаний температуры воды и ледовитости Каспийского моря, сравнительно резкий переход между которыми произошел в 1940-е годы. Авторы считают, что нарушение установившегося режима колебаний гидрометеорологических характеристик и переход к новому квазистационарному состоянию обусловлены неизвестным природным явлением, механизм которого может быть установлен после комплекса исследований климатической системы как единого целого.

Можно предложить следующую гипотезу о поведении уровня Каспийского моря в будущем. Уровень моря, выведенный из состояния устойчивого равновесия исключительным маловодьем Волги в 1930-е годы и недолго продержавшийся на отметке -28,3 м абс., в настоящее время релаксирует к своему более устойчивому верхнему уровню. Если в ближайшие десятилетия Каспий пройдет неустойчивую область (-26,4 м абс.), то возникнет большая вероятность стабилизации уровня моря у отметки -25,5 м абс.

Анализ стохастических дифференциальныхуравнений водного баланса моря

Выше были рассмотрены некоторые качественные механизмы многолетних колебаний уровня Каспийского моря. Сделаем количественные оценки, основываясь на новых стохастических методах моделирования природных явлений.

Уравнение водного баланса Каспийского моря с использованием среднегодовых величин представим в виде

dHt=[QS-\Ht)-E(Ht)^q(Ht)]dt^S^

_(3.2.1)

где Ht 一 уровень моря, Q - речной сток, S(HJ 一 площадь поверхности моря, E(Ht) 一 слой видимого испарения,夕(乜)一 слой стока в залив Кара-Богаз-Гол, 也，唄一 винеровские процессы, учитывающие эффективное воздействие речного стока и испарения, 6g , бе — интенсивности приращений винеровских процессов речного стока, осадков и испарения.

Это уравнение является автономным (в него явно не входит время), и для него доказаны общие теоремы о сущест-

вовании и единственности решения [Гардинер, 1986, Хорстхем- ке, Лефевр, 1987]. Случайный процесс Ht является марковским процессом. В предыдущей главе было показано, если стационарная плотность вероятности существует и диффузионный процесс Ht при Г = 0 начинается с нее, то Ht 一 эргодический процесс.

Автору неизвестно полное математическое исследование стохастических дифференциальных уравнений водного баланса. В статье [Музылев, 1980] выполнен анализ линеаризованного стохастического дифференциального уравнения водного баланса Каспийского моря, причем линеаризацию осуществляли следующим образом. В уравнении была оставлена величина q'h' (q',九‘ -соответственно отклонения речного притока и уровня от средней величины), а величина /г' такого же порядка малости, что и q'h' (так как //-»0 при д'тО), опущена. Это привело к неверному выводу о том, что равновесные уровни (максимумы стационарной плотности вероятности уровня) расположены ниже уровня тяготения. С учетом /г' получается прямо противоположный результат: равновесные уровни на самом деле, как показал подробный анализ уравнений Фоккера-Планка-Колмо- горова и стохастического дифференциального уравнения водного баланса Каспийского моря (3.2.1), находятся выше уровня тяготения. Отметим, что решение линейного уравнения с мультипликативным внешним шумом, полученное в рассматриваемой статье, носит формальный характер, а методика, основанная на теореме Новикова, неприменима для нелинейной задачи, которая естественно возникает при корректном составлении уравнения водного баланса моря.

Отметим следующее обстоятельство. Математическая аппроксимация "быстрого" внешнего шума с малым (но ненулевым) временем корреляции гауссовским белым шумом требует корректного описания, о чем иногда забывают. Например, в работе [Раткович, 1993] сделаны критические замечания по статье [Музылев, 1980], но переход к бесшумовому пределу выполнен неправильно; в результате оказалось, что дисперсия уровня водоема не зависит от величины шума. Это совершенно не отвечает физической сущности колебаний уровня, поэтому критика в работе [Раткович, 1993] не обоснована. Современный взгляд на процедуру предельного перехода к белому шуму в статистических дифференциальных уравнениях изложен в монографии [Хорстхемке, Лефевр, 1987].

Рис. 3.2. Эмпирическая гистограмма изменения уровня Каспийского моря

Стационарное потенциальное решение для плотности вероятности уровня имеет вид

р(") = N考+欢$2 exp2[!Rns-寸产J元•

(3.2.2)

Так как р(0) = 0, lim р(Н) = 0, причем экспоненциально, то Н -

интеграл J 〃(g)d& существует и определяется из условия норми- о

ровки. Границы пространства состояний достижимы с нулевой вероятностью.

В соответствии с нелинейным тепловым механизмом будем считать dE /dH < 0, и в этом случае детерминированное уравнение, соответствующее стационарному режиму, будет иметь три решения

②—S(H)目(乜)—虱乜)S(U) = 0, i = 1,2,3.

Выше было показано, что равновесные уровни Нх и Я3 устойчивы по отношению к малым возмущениям, но неустойчивы к конечным возмущениям; уровень Н2 абсолютно неустойчив. На рис. 3.2 и 3.3 приведены эмпирическая и расчетная гистограммы уровня Каспийского моря. При анализе этих

Рис. 3.3. Расчетная гистограмма изменения уровня Каспийского моря

рисунков также видно, что мы имеем дело с нелинейной динамической системой, у которой нет глобальных устойчивых состояний равновесия.

Вероятностные переходы водоемас одного уровня на другой

Для гидрологических приложений возникает следующая задача: как долго уровень водоема, для которого справедливы уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, будет оставаться в заданном интервале значений. Каково, например, случайное время перехода с нижнего уровня на верхний и обратно, как распределена эта величина? Эти нестационарные задачи решают с помощью обратного уравнения Колмогорова [Гардинер, 1986]. Пусть в начальный момент г = 0 уровень водоема равен Н. Как долго уровень водоема будет находиться на интервале (区，&), содержащем Н, где Нъ % - два равновесных уровня?

Введем коэффициенты

А(Н)= Q-SE-qS-^^ S~\

В(Н) = ? + Н・

Эти коэффициенты не зависят от времени, поэтому система

однородна по времени и

P(H,t\H, 0)二p(瓦01方,?)•

Обратное уравнение Колмогорова выглядит следующим образом:

dtдН2 НН

(3.3.1)

Введем G(反 Г) - вероятность того, что в момент / > 0 уровень водоема еще находится в интервале (0, %)

G(反力=J р(Н,"反 0)dH.о

Обозначим через Т момент времени, в который уровень водоема покинет интервал (0, %)

Prob(TN/) = G(反 /).

Интегрируя обратное уравнение Колмогорова от 0 до Н3 по Н, получим

Z) = A(")『G(“,力 + ；8(")』G("")・(3.3.2)

ot2 дН

Так как р(Я, 0|Н, 0)二 6(" — 方)，то начальные условия для (3.3.2) будут выглядеть так

G(方J)L=1,0w 方 w&,

G(方,"，o=O,Н>НУ

Граничные условия (с учетом отражения в нулевой точке и поглощения в точке 方=也)

G(反必生=a亲G(反

Так как функция (l-G(^J)) представляет собой распределение случайной величины Т, то среднее〈Т(方)〉равно

〈7(方)〉=-J 以G(方,?) = -J〈7(方)〉=-J 以G(方,?) = -Jооооt^-G(H,t)dt.dtt^-G(H,t)dt.dt

〈7(方)〉=-J 以G(方,?) = -J

〈7(方)〉=-J 以G(方,?) = -J

о

о

о

о

t^-G(H,t)dt.dt

t^-G(H,t)dt.dt

Интегрируя последнее равенство по частям с учетом того, что

G(方,/)тО при / —»8 (уровень водоема в конце концов за бес-конечный интервал времени покинет интервал (О, Я3)), получим〈Т(方)〉=j G(H,t)dt.

о

По существу это среднее время достижения границы. Моменты случайной величины Т определяются так

〈Т〃 (方)〉= -j tndG(H,t) = nj 尸-%G(方J),оо

После интегрирования (3.3.2) от 0 〃0 8c учетом соотношения

I tG("j)4 = G(H,8)-G(H,O) = -1, получим цепочку краевых задач

翁⑼=。，

砂 3)=。；

^⑻祭+4由器 77；,

%(&)=。;

1~ d2T~ dT

胖%請+ A(H囁

筹岭

г(&)二0

Если мы хотим определить среднее время перехода водоема из Н} в "з, то после того как будет найдено решении 7](Я), его надо вычислить в точке Н}.

3・4・ Колебания уровня моря при аддитивном шуме

Применим рассмотренный выше математический подход к построению модели многолетних колебаний уровня Каспийского моря, озер Балхаш, Большое Соленое, Чад, Чаны. Кратко охарактеризуем эти озера.

Балхаш - бессточное озеро в Балхаш-Алакольской котловине, расположенное на высоте 342 м, его площадь меняется от 17 до 22 тыс. км2; глубина достигает 26 м.

Большое Соленое озеро - бессточное соленое озеро на западе США, остаток ледникового озера Бонневилл. В связи со зна-

Таблица 3.1. Статистические характеристики натурных данных по уровню озер

Озеро

Длина выборки, год

Минимум

Максимум

Среднее

Дисперсия

Большое

129

1277,76

1283,82

1280,48

1,917

Соленое

Чаны

79

2,10

5,00

3,08

0,500

Чад

127

240,20

243,82

242,24

0,810

Балхаш

100

340,52

343,71

341,1

0,688

чительными колебаниями количества выпадающих атмосферных осадков площадь сильно меняется в различные годы: от 2,5 до 6,0 тыс. км2; глубина достигает 15 м; соленость 一 от 137 до 300%°.

Чад - бессточное озеро на границе Нигерии, Нигера, Чада и Камеруна, его площадь в зависимости от многолетних колебаний уровня меняется от 10 до 26 тыс. км2, а глубина - соответственно от 4 до 11м; близ устьев рек вода пресная, а в остальной части озера - слабо солоноватая.

Чаны - бессточное солоноватое озеро в Барабинской степи в Новосибирской области; его площадь в зависимости от сезонных и годовых колебаний уровня меняется от 1990 до 2600 км2; глубина достигает 10 м; берега сильно изрезаны.

Характерная особенность колебаний мелководных бессточных озер - их резкая изменчивость: среднеквадратическое отклонение может достигать нескольких метров, что явно указывает на неустойчивость уровней равновесия этих озер. Статистические характеристики данных по наблюдениям изменений уровней озер представлены в табл. 3.1.

При очень простых предположениях о детерминированном механизме колебаний уровней озер можно использовать следующее достаточно простое стохастическое дифференциальное уравнение:

dh = ^h)dt + cdW, (3.4.1) где «(九)二占 + k2h + 女3/? + к^ + 女5/? + 女6九5 - детерминированная функция*, построенная на основе натурных данных [Кожевникова, Найденов, 1995], которая имеет три действительных нулевых значения (|)(九)=0, / = 1, 2, 3 (/zb h3 - устойчивые равновесные

9797Конкретный вид функции ф(А) для Каспийского моря будет приведен ниже.

97

97

. Найденов В.И.

Таблица 3.2. Коэффициенты (&一左6)и нули (h]-^) полинома ф(/г)

Параметр

Каспийское море

Большое Соленое озеро

оз. Чад

оз. Балхаш

оз. Чаны

h

-0,02102211

-0,00487377

-0,02328945

-0,0084

0,0041

左2

0,00209888

-0,06626749

-0,00545126

-0,0891

-0,0243

左3

0,14409346

0,05555153

0,14954845

0,1647

-0,1332

左4

0,05701811

0,27383062

0,03403154

0,3284

0,0395

左5

-0,12315753

-0,04608915

-0,07958162

-0,2315

0,0520

左6

-0,11759040

-0,26589384

-0,13221412

-0,3475

-0,1862

片

-0,46

-0,07

-0,40

-0,08

-0,798

力2

0,37

0,51

0,429

0,46

-0,285

力3

0,86

0,87

0,853

0,75

0,108

состояния,九2 一 неустойчивое состояние); h = [Яразм - (Ятах + +Hmin)2][("max-"min)/2]T- безразмерная переменная;

= Оразм〔("тах - "min"2『-интенсивность гауссовского белого шума; W- винеровский процесс. Пространством состояний для (3.4.1) является вся числовая ось -g сН v 8. В табл. 3.2 приведены коэффициенты ^ (/= 1-6) и нули функции «(九)для Каспийского моря и мелководных озер.

Построим потенциал

U(h) = ^ ^d^оU(h) = ^ ^d^оdUdU

U(h) = ^ ^d^о

U(h) = ^ ^d^о

dU

dU

Известно [Гардинер, 1986], что минимумы потенциала соответствуют устойчивым состояниям, максимум - неустойчивому. График функции U(H) для нелинейных колебаний уровня Каспийского моря изображен на рис. 3.1.

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для (3.4.1) имеет вид

(3.4.2)(3.4.2)др а г.1 —2 э2р dt dh 2 дп р(Н,0\^,0) = ^Н-^.

(3.4.2)

(3.4.2)

Его стационарное решение

p(h) = Nexp^； U (h)j.

В случае аддитивного внешнего шума наиболее вероятные моды (ф/dh = O, dU/ dh = 0, ф(/г4) = 0, / = 1,3) совпадают с нулями

решения детерминированного уравнения.

Распределение плотности вероятности р(/г) является бимодальным и, по образному выражению И. Пригожина, озера "преодолевают гауссовскую тиранию".

Уравнение для среднего времени перехода из hx в h3 имеет вид

1_2/Т 人1—О y + @(/z)= —1,

2 dh2 Y dh

g(-8)= 0, Т(/2з)= О, dh

а его решение

T(%f ® =T(%f ® =Н咏Н咏〃=〃1〃=〃1

T(%f ® =

T(%f ® =

Н咏

Н咏

〃=〃1

〃=〃1

Для среднего времени перехода из h3 в 瓦 получимДля среднего времени перехода из h3 в 瓦 получим1 _2 d2T1—о —у + ф(Л)— = — 1, 2 dh2 屮 dh1 _2 d2T1—о —у + ф(Л)— = — 1, 2 dh2 屮 dh—(°°) = o,T(%) = 0an—(°°) = o,T(%) = 0anи, соответственно, решениеи, соответственно, решение

Для среднего времени перехода из h3 в 瓦 получим

Для среднего времени перехода из h3 в 瓦 получим

1 _2 d2T1

—о —у + ф(Л)— = — 1, 2 dh2 屮 dh

1 _2 d2T1

—о —у + ф(Л)— = — 1, 2 dh2 屮 dh

—(°°) = o,T(%) = 0

an

—(°°) = o,T(%) = 0

an

и, соответственно, решение

и, соответственно, решение

T①37%)=T①37%)=exp -=U®比exp -=U®比1力=力31力=力3

T①37%)=

T①37%)=

exp -=U®比

exp -=U®比

1力=力3

1力=力3

Так как функции потенциала для различных озер несимметричны, то среднее время перехода от hi к 坛 не совпадает с временем перехода от/г3 кйр

.5. Случайный переход моря от одного уровняк другому 一 процесс Пуассона

Чтобы подсчитать все необходимые моменты для перехода из /г】в 九3, нужно решить цепочку краевых задач

Т 寫 JWO'研)=0,Т 寫 JWO'研)=0,

Т 寫 JWO'研)=0,

Т 寫 JWO'研)=0,

1

dh dhdh

Моменты случайной величины Г для перехода из h3 в h} получаются при замене краевых условий на условия

?；(%) = О, *(8)= 0,

ап

%(%) = 0,穹(8) = 0,dh

Т…/)=。.

Эти уравнения исследовали численными методами.

С учетом вида функций %(//) положим T^h) ~ %(%)• Тогда

丄了2吗+收份必=_1

2 dh2 ~ dh

京祭+做嘘=父(%)，

или

1 2 储出(份/27](%)]d出(//)/2T(%)]_ 1

2dh2 屮dh

с теми же краевыми условиями. Следовательно, 黑礬=7](%) или е(%) = 27]2(%).

Аналогично получим, что "(%) = бТ]3^) и т.д. Однако

r=J tnf{t)dt=^^~r=J tnf{t)dt=^^~°° 7 严 1-―-fV)dt, ＜几+ 1о °°° 7 严 1-―-fV)dt, ＜几+ 1о °

r=J tnf{t)dt=^^~

r=J tnf{t)dt=^^~

°° 7 严 1

-―-fV)dt, ＜几+ 1

о °

°° 7 严 1

-―-fV)dt, ＜几+ 1

о °

Тп+^{п^\Т^ = Тп^Х)Тх.

Отсюда,

争=-J严了⑺力,

или, по определению Tn+i

&i = ^j ^+7(^ = -j tn+1fWt.

1 оо

Значит, /,(г) =-/(/)/7], и из условия нормировки 1 = j f(t)dt о

получаем экспоненциальный закон распределения

/0) = ^ехр Т , /NO.

4 I 4丿

Таблица 3・3・ Характеристики моментов распределения, полученные различными методами

Номер момента

М

М(зкстт)

М-М(зксп) ц^(эксп)

1

603

603

0,00

2

697765

728051

0,0416

3

1209010460

1317802105

0,0826

4

279303804356

3180361618248

0,1218

В табл. 3.3 приведены значения начальных моментов времени перехода с одного уровня на другой (卩，)，полученные из дифференциального уравнения(Оразм =0,04 м2 /год), начальных моментов экспоненциального распределения (ц^(эксп)) и относительной разности между ними.

Начальные моменты экспоненциального распределения /(х) = Хе~ь (0 w % V ©о, Х>0) определяются по закону 卩[二 ％! / 九". Подсчитав начальные моменты Т, (/ = 1, 2, 3, 4), найдем центральные моменты по формулам

总=弓一4。卩з = -3弓7] + 2?]2,

山=7；-40+67；2%-37；4,

где № - дисперсия, а - коэффициент асимметрии, а % - эксцесс.

Расчетные данные для вероятностных характеристик переходов с уровня на уровень при различных интенсивностях белого шума приведены в табл. 3.4. Среднее время перехода с уровня на уровень в значительной степени определяется расстоянием между уровнями (для Каспийского моря 2,42 м). Экспоненциальное распределение времен переходов, установленное выше, показывает, что переходы Каспийского моря с одного уровня на другой подчиняются закону Пуассона.

Поскольку рассмотренные выше задачи не решены для линейных уравнений водного баланса (они справедливы для водоемов, у которых глубина проникновения тепловых волн значительно меньше глубины водоема). Приведем их решения. Для этого рассмотрим линейную зависимость <^(h) = -k(h - h{). Урав-

Таблица 3・4・ Моменты экспоненциального распределения времен перехода Каспийского моря при различных интенсивностях белого шума

о2

Л

卩2

а

%

0,02

4174

4133

-0,06

5,99

514

~4б7

-0,67

竝

0,04

603

578

-0,28

5,99

Ы

152

5^87

0,06

293

276

-0,39

5,98

119

~99

二 1,55

而

Примечание. Над чертой приведены значения Н» под чертой - значения %

нение для среднего времени перехода из 小 в h3 примем в виде

— о —丁 一 k(h — %)— = —1, 2 dh2 1 dh

^-(-) = 0, 7](砧=0,dh

где к > 0, hi = -0,46 - стационарное состояние, h3 = 0,86. Здесь 力3 просто уровень из пространства состояний, Т} - среднее время его достижения. Произведя замену переменных / = (//-%) /(% - %), получим

-02—冗一万一 k喝 = -1,2 (%-% )2"

*-8)= 0,7； (1) = 0.

ah

При 0€ = %(% _%)2/б2

砌=一2用"!砌=一2用"!d& dp./d& dp./

砌=一2用"!

砌=一2用"!

d& dp.

/

d& dp.

/

А так как нас интересуют среднее время перехода из h3 в hb то с учетом замены переменных (/ 二 0 при h = h^'.

2 1

d^ dp./d^ dp./4(0)= 2(&三”4 e叩2

d^ dp.

/

d^ dp.

/

о о

Воспользовавшись тем, что

е dt = erf z,е dt = erf z,

е dt = erf z,

е dt = erf z,

и заменив переменные Т| = 7а^ во внутреннем интеграле и z =而，во внешнем интеграле, получим

g2 ~ 石乍 2

^(0)—~~= 4= 丁 I 片(l + erfz)dz. (3.5.1)

2(%-%) 2а《

При 7ёёт0 имеем 7；(0) т (%-%)石/&灰.Пусть 而二〃.

Разложим подынтегральные функции (3.5.1) в ряд

2“2 Ms “！仮£ 13...・(2〃 + 1)丿

亍=江s(俨+i I 22"门+2、

LM[几!(2几+ 1) +而1・3・...・(2几+ 1)(2几+ 2))

— 2他一％У 石 G j I 22〃H+2]

g2 2"2s(用(2几+ 1) 仮1・3・...・(2几+ 1)(2几+ 2)「

Отметим, что 7\(0, %) имеет минимум при к = 0,0055 год-1, так что 7\(0, к) > 600 лет при всех к (к - параметр инерционности водоема).

Расщепленные вероятности переходов

Ниже рассмотрены основные методы исследования стохастических задач, которые ранее в гидрологии не применяли. Пусть

〃(方/)= J p^H^dt,

где p(H,t) - вероятность того, что уровень водоема до момента времени / останется в интервале (Я1? Я3).

После интегрирования уравнения Фоккера-Планка-Колмо- горова получим

先屮他А/®)],(3.6.1)

где /("J - поток вероятности через точку 济，/(&) 一 поток ве-

роятности через точку Н3. Пусть gHXH^） - вероятность того, что при / т 8 уровень водоема покинет интервал ®, &） через точку H^i = 1, 3）. Тогда

（方,8）= -j/（"],阻,0）力，g死（反D = jI（H3^H^dt.

оо

После интегрирования （3.6.1） от 0 〃о 8 по времени с учетом того, что 〃（后,0） = 1, р（Н, 8）= 0, получим

g〃l （右，8） + g〃3（方，8）=1・

Введем величины

^ （方,z） = -J /（"]#方,0w，g死 （方"）=J /（&/1方,0w оо

и найдем для них уравнения. После интегрирования обратного уравнения Колмогорова получим

А（а）病 g〃i（瓦 %）+ 5 8（77） ^^ g〃3（""）=前 g”3（" J"

A（77）^g%（幻）+ 7B（H）-^gH3（H,t） = ^g%（77,） （3.6.2）

При / т 8

苏g〃i（方/）т0, -gH3（H,t）-^0

и для "расщепленных" вероятностей получаем систему уравнений

gH仍 8）1 仆=1, ShS^^ =0>

A（"）寸 g〃3 （瓦 8）+ B（H）g〃3 （瓦 8）= 0,

on

^^Нз =^ g修（反 8）к〃「°・

Граничные условия очевидны: вероятность того, что при t т g уровень водоема покинет интервал 岡，&) через точку Нх (Н3), первоначально находясь в точке Н} (%), равна 1. Вероятность покинуть интервал (Нь Н3) через вторую граничную точку в этом случае равна 0.

gj (方,/)力, g"l (方尸)'gj (方,/)力, g"l (方尸)'Введем вероятности Prob("[ V，и Prob^^ V，того, что уровень покинет интервал до момента / соответственно через точку "1 или %; "], "з - случайные величины, средние значения которых

gj (方,/)力, g"l (方尸)'

gj (方,/)力, g"l (方尸)'

〈ПН，方))=L^Prob("] <r)^ = -jоо

g〃3("，8)g〃3("，8)(Г(Н3,Я)) = /^РюЬ(7^з <t)dt = ^оо

g〃3("，8)

g〃3("，8)

Пусть

X^g^H^T^Hl Хз =g% 面。o)7X&,右).

После интегрирования (3.6.2) от 0 〃о 8 получим систему уравнений

A(方)^x](旦，方) + ^8(方)爲x]®,方)=-g修(方,8), oH2 оН

X]®,砌二0, X®,方=0,

A(方)X3(H3, H) + 7 В(Н)—Х3(Н3, Н) = -g% (反 8), дН2 дН

Хз(&，矶=“「0，%(&，矶/=0・

Граничные условия для функции Х^Н^Н) (z = 1,3) следующие:

Х^Н^ =gHi(Hi^T(HvHi) = 01

Х](&,方)k% =g“](&,oo)7XX],&) = 0・

Первое выражение равно 0, потому что Т(Н、,"】)=0 (время, за которое уровень водоема, находясь в точке Нн попадает в точку

Таблица 3・5・ Значения расщепленных вероятностей и времен переходов уровня Каспийского моря

-Н, м абс.

g〃j (反 °°)

g〃3（反 °0）

Т{НЪН\ год

T(H3,H), ГОД

27,74

0,98

0,02

5

34

27,55

0,96

0,04

10

33

27,36

0,93

0,07

13

32

27,17

0,89

0,11

17

29

26,99

0,83

0,17

20

27

26,81

0,75

0,25

22

24

26,62

0,64

0,36

25

20

26,44

0,50

0,50

28

17

26,25

0,35

0,65

30

13

26,07

0,22

0,78

32

10

25,88

0,12

0,88

33

7

25,69

0,05

0,95

34

3

Hi); второе - потому что ^Я1(7¥3,©о) = 0 (вероятность выхода через точку Н], находясь в начальный момент времени в точке &, равна 0).

Таким образом, сначала определяют g“.(X,8), затем Х^Н^Н). Среднее время перехода вычисляют по формуле

' g%("，8)

Найдем g修(方,8)и(7\旦,方))для Каспийского моря. Для расчетов перейдем к безразмерной переменной h в функциях А(Н) —> ф(/г) и 8(右)т 亍2. Результаты расчета - вероятности и времена переходов с фиксированного уровня Н на верхний Я3 или нижний X] уровень - приведены в табл. 3.5.

Таким образом, предложен вероятностный сценарий многолетних колебаний уровня Каспийского моря на ближайшие десятилетия. Например, вероятность перехода уровня Каспийского моря с отметки -26,62 м абс. на уровень Н3 равна 0,36, а на уровень Нх она равна 0,64. Соответствующие времена переходов 20 и 25 лет. Сравнительно небольшую вероятность перехода на верхний уровень можно объяснить наличием широкой области неустойчивости в окрестности нижнего уровня. При дальнейшем повышении уровня моря вероятность перехода на уровень Н3 экспоненциально увеличивается.

Исследование многолетних колебаний уровня моряна основе нелинейного дискретного отображенияс шумом

До сих пор мы рассматривали уравнение водного баланса с непрерывным временем. Теперь найдем стационарную плотность распределения вероятностей уровня на основе нелинейного дискретного отображения с шумом:

4+1 = -0,0083 + 0,0381% +0,0318 匠-0,0822姬 + “，

%+i-% =«(%)-%+“•(3.7.1)

Функция %(//%) = ^(hk )-hk имеет три нулевых значения и точки бифуркации

必(炉)=0, i,= l,2,加工狂0询，BW/?W^; dh

£% - гауссовский шум с плотностью распределения

= _(2兀产М expg叫

о； - дисперсия случайной величины £%; условие номировки

Распределение стационарной плотности вероятностей величин h из (3.7.1) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма

Ps(h)=°jK(h^)Ps(^9

ШЛ)=(2 兀产*ШЛ)=(2 兀产*—1exp -|(/г-фО2 ,—1exp -|(/г-фО2 ,

ШЛ)=(2 兀产*

ШЛ)=(2 兀产*

—1

exp -|(/г-фО2 ,

—1

exp -|(/г-фО2 ,

причем R(/z) определяется с точностью до нормировочного множителя, который находится из условия

=1.=1.

=1.

=1.

Например, в линейном случае ф(^)=ц^ интегральное уравнение имеет вид

《(//)= J (2兀产《(//)= J (2兀产ехр _；В(/г —戍Уехр _；В(/г —戍Уr也）施.r也）施.

《(//)= J (2兀产

《(//)= J (2兀产

ехр _；В(/г —戍У

ехр _；В(/г —戍У

r也）施.

r也）施.

^(/г) = ^exp^(/г) = ^exp-；Ве-戍У ехр(-；施2 k.-；Ве-戍У ехр(-；施2 k.К(/г) = NexpК(/г) = Nexp

^(/г) = ^exp

^(/г) = ^exp

-；Ве-戍У ехр(-；施2 k.

-；Ве-戍У ехр(-；施2 k.

К(/г) = Nexp

К(/г) = Nexp

Его решение ищем в виде

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что при 8 = =Р(1 -ц2) получается тождество. Следовательно,

С учетом того, что 0 = 1/唸 3 = 1/о；, получаем соотношение для дисперсий в виде 8^ = о； /(1 - ц2).

Методом последовательных приближений исследуем интегральное уравнение Фредгольма для нелинейной функции ф(^)

psw= \K(h^)ps^.

Нулевое приближение строится следующим образом. Рассмотрим уравнение регрессии первого порядка

%+1-%=-九%+“，

%+i=(l-九)％+“，

2

где ое и X известны. Распределение стационарной плотности вероятности в нулевом приближении - гауссовское:

£@ = Nexp卜誌产

Рис. 3・4・ Распределение плотности вероятности уровня Каспийского моря

1 一 первое приблрскение, 2 - второе приближение, 3 - третье приближение, 4 - четвертое приближение

Последующие приближения определяют методом последовательных приближений с помощью уравнения

р;\Ю=]к^рг\^.

Счет ведут до тех пор, пока не выполняется условие

max P；(h)-P^\h^0,01.

Это условие удовлетворяется приблизительно через 15- 20 итераций.

На рис. 3.4 приведены результаты расчетов распределения плотности вероятности для Каспийского моря, а на рис. 3.5 - зависимость приращений уровня Каспийского моря от уровня, которая приводит к бимодальности расчетной гистограммы.

Используя дискретную модель hk+x = ф(&) + “，проведем следующий эксперимент: по данным об изменении уровня в течение длительного времени (25 тыс. лет для озер и 40 тыс. лет для Каспийского моря) вычислим средние времена пребывания водоема на устойчивых отметках, средние времена переходов между устойчивыми уровнями, а также среднеквадратичные отклонения этих величин. Полученные результаты представлены

Рис. 3・5・ Зависимость приращений уровня Каспийского моря от его уровня 一

в табл. 3.6. За указанный промежуток времени для озера Чад, например, наблюдалось 240, а для Каспия - 186 переходов с одного устойчивого уровня на другой.

Таблица 3・6・ Характерные времена стоянийи их среднеквадратическое отклонение для бессточных водоемов

СтояниеСтояниеВодоемВодоемПереходПереход

Стояние

Стояние

Водоем

Водоем

Переход

Переход

вверх

34-1720-1220-136-411-834-1720-1220-136-411-8^-п п~п ^-^ 7~4 пт^-п п~п ^-^ 7~4 пт92-8349-4149-4026-2436-3492-8349-4149-4026-2436-34191126一104118一9316一1581一73191126一104118一9316一1581一73Каспийское море Большое Соленое озеро оз. Чадоз. Чаныоз. БалхашКаспийское море Большое Соленое озеро оз. Чадоз. Чаныоз. Балхаш

34-1720-1220-136-411-8

34-1720-1220-136-411-8

^-п п~п ^-^ 7~4 пт

^-п п~п ^-^ 7~4 пт

92-8349-4149-4026-2436-34

92-8349-4149-4026-2436-34

191126一104118一9316一1581一73

191126一104118一9316一1581一73

Каспийское море Большое Соленое озеро оз. Чад

оз. Чаны

оз. Балхаш

Каспийское море Большое Соленое озеро оз. Чад

оз. Чаны

оз. Балхаш

Примечание. Над чертой приведены характерные времена стояний〈 7〉，год; под чертой - среднеквадратические отклонения год.

Рис. 3・6・ Характерные реализации колебаний уровня оз. Чад (〃) и осадков в его бассейне (6), полученные методом математического моделирования

Отметим, что полученные времена переходов и стояний носят ориентировочный характер, так как небольшой объем натурных данных не позволяет повысить достоверность выводов. Характерные реализации многолетних колебаний уровня, например, оз. Чад иллюстрирует рис. 3.6.

Индуцированные шумом переходыв динамике бессточных водоемов

Устойчивые и неустойчивые уровни водоема чередуются, причем их общее число нечетное (устойчивых на единицу больше, чем неустойчивых). За счет достаточно сильных случайных флуктуаций (шума) возможен катастрофический переход (явление переброса) с одного устойчивого уровня на другой.

Проверка данных натурных наблюдений за уровнем Каспийского моря на нормальность с помощью различных критериев согласия (片-Пирсона, Колмогорова-Смирнова, со2 - Крамера-Мизеса-Смирнова) показала, что гипотезу нормальности следует отвергнуть. Эмпирическое распределение плотности вероятностей уровня, построенное на основе наблюдений в период с 1830 по 1991 г., оказалось бимодальным (см. рис. 3.2). Это дает основание предположить, что Каспийское море представляет собой интранзитивную (в терминологии Э. Лоренца)

динамическую систему, фазовое пространство которой состоит из нескольких равновесных уровней, и море проводит около каждого из них длительное, но конечное время, по истечении которого переходит от одного уровня к другому.

Выше был рассмотрен тепловой механизм колебаний уровня моря, основанный на гипотезе зависимости слоя испарения с поверхности водоема от уровня. Здесь будет предложена другая гипотеза возникновения механизма бистабильности моря, основанная на теории переходов, индуцированных шумом [Хор- стхемке, Лефевр, 1987; Хубларян, Найденов, 1991; Найденов, Подсечин, 1992; Rodriguez-Itube, Entekhabi, Bras, 1991]. Линеаризованное уравнение водного баланса и уравнения линейной авторегрессии для стока и испарения не содержат информации о нескольких наиболее вероятных состояниях моря и переходах между ними, так как их решения приводят к гауссовским распределениям [Привальский, 1981]. Поэтому необходимо рассмотреть нелинейные модели уровенного режима.

Предположим, как и в предыдущих главах, что колебания уровня бессточного водоема определяются следующим уравнением водного баланса:

S(H「S(H「(3.8.1)

S(H「

S(H「

где H(t) - уровень водоема, S(fT)- площадь зеркального испарения, q, е — среднегодовые величины притока воды и слоя видимого испарения. Физическим пространством состояний в нелинейной модели (в отличие от линейных моделей колебаний) будет полуограниченный отрезок 0 ^ Я < ©«. На функцию 5(H) наложим следующие естественные ограничения: 5(0) = 0, S(g) т 8, S'(H)二 0 (площадь водоема возрастает с повышением уровня). В системе (3.8.1) слой испарения будем считать независимым от Н, хотя в принципе эта величина должна определяться из уравнений переноса тепла и влаги в приповерхностном слое водоема, что приведет к появлению новых физических эффектов. Будем считать также, что речной приток и испарение описываются уравнениями непрерывной авторегрессии первого порядка (процессами Орнштейна-Уленбека) с известными математическими ожиданиями, дисперсиями и автокорреляционными функциями. Пусть q = q + qt, e = O + g, q.e - регулярные величины,豆，et - флуктуации. Процессы 豆,et для простоты примем статистически независимыми.

Система стохастических дифференциальных уравнений, соответствующая (3.8.1), имеет вид [Найденов, Подсечин, 1992]

dHt=

—e +丿

0

肾%)

一自力,

dqt=-^qtdt + cqdW^(3.8.2)

det=-^etdt + oedW^

—8 V 豆 V 8，— 8 V 自 V 8,

где d叱夕,d叱'-винеровские меры притока и слоя испарения.

Точное решение двух последних уравнений в системе (3.8.2) приводит к следующим вероятностным характеристикам стока и слоя:

стационарные плотности распределения вероятностей притока и испарения

p0(q) = (2nDqyi,2exp ,

Р0 = ЗА)-"?(3.8.3)

автокорреляционные функции qa)=W*%, CeS)=DGk

частотные спектры

"2 兀(t 紂 +1)2я(т^со2 +1)

где Dq =o；tq/2, De =^те/2 - дисперсии стока и слоя испарения, tq,te - времена корреляции,

В дальнейшем эти величины считаются известными из данных наблюдений.

Основной задачей при исследовании трехмерного диффузионного процесса (Ht,qt,et), описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (3.8.2), является построение его стационарной плотности вероятности р°(Н,以 ё).

Для качественного анализа ограничимся исследованием двумерного процесса (Н“ %), т.е. будем считать, что вариации слоя испарения значительно меньше вариаций слоя притока. Подчеркнем, что полное исследование (3.8.2) можно выполнить, основываясь на идеях и методах, развитых для вероятностных задач физики, биологии, химии [Гардинер, 1986].

Далее предположим, что время релаксации водоема значительно больше времени корреляции речного стока. Это предположение естественно для водоемов с большим временем релаксации. Введем малый параметр г2 = т^ и систему (3.8.2) запишем в виде

Частотный спектр притока 5(е)(со) = 6* 2ti(£4co2 +1).

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, эквивалентное системе (3.8.4), можно построить, основываясь на результатах работы [Хорстхемке, Лефевр, 1987],

\рЧНч 7，)\рЧНч 7，)

\рЧНч 7，)

\рЧНч 7，)

где Др Д2 и Д3 - линейные операторы

в которых KH) = asXH)_0, g(H) = S~\H).

Система (3.8.4) и уравнение (3.8.5) при £ т 0 проанализированы в работе [Хорстхемке, Лефевр, 1987], но чтобы воспользоваться результатами асимптотического анализа необходимо построить нулевое приближение, так как при произвольных функциях Д7¥) и g(H) стационарная плотность вероятности диффузионного процесса может оказаться ненормируемой на интервале Н g [0, 8). Стационарное решение уравнения (3.8.5) ищем в виде

р€(не)=2р1не)^.р€(не)=2р1не)^.(3.8.6)(3.8.6)

р€(не)=2р1не)^.

р€(не)=2р1не)^.

(3.8.6)

(3.8.6)

Подставив разложение (3.8.6) в уравнение (3.8.5) и последова-

тельно приравняв члены при £-2, £-〔, г0,..., получим для нулевого приближения уравнение

(3.8.7)(3.8.7)专(执)+?"专(执)+?"=0,=0,△1А)(“е)= 0,

(3.8.7)

(3.8.7)

专(执)+?"

专(执)+?"

=0,

=0,

где оператор Фоккера-Планка-Колмогорова действует лишь на вторую переменную q. Это означает, что стационарную плотность вероятности системы (3.8.4) при £ —> 0 можно представить в виде произведения pQ(H,q) = pQ(H)pQ(q) и для 〃о(Н) получаем одномерное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова:

=o,=o,(3.8.8)(3.8.8)

=o,

=o,

(3.8.8)

(3.8.8)

которому эквивалентно стохастическое дифференциальное уравнение в интерпретации Стратоновича

dHt=\qS-\Ht)--eyt + QqS'\Ht)dW^ (3.8.9)

Это, в свою очередь, означает, что при аппроксимации стока и испарения процессами типа белого шума нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение водного баланса необходимо записывать в интерпретации Стратоновича. При £ т 0 следует предположить о^Т8, но так, что 考 т const. Тогда частотный спектр притока сводится к плоскому спектру S；to(co) т 三^ / 2兀=const, а процесс Орнштейна - Уленбека переходит в белый шум.

Точное решение (3.8.8) с учетом того, что поток вероятности из пространства состояний [0, 8)равен 0, имеет вид

p°(H) = NS(H)expp°(H) = NS(H)exp

p°(H) = NS(H)exp

p°(H) = NS(H)exp

постоянная N определяется из условия нормировки стационарной

плотности вероятностиплотности вероятности\pQ(H)dH = l. о\pQ(H)dH = l. оТак как по предполоТак как по предполо

плотности вероятности

плотности вероятности

\pQ(H)dH = l. о

\pQ(H)dH = l. о

Так как по предполо

Так как по предполо

жению 5(0) = 0, то 〃о(О) = 0, 〃о(8)= 0 и диффузионный процесс Ht никогда не достигает своих границ. В соответствии с терминологией Гихмана-Скорохода эти границы являются естест-

венными. Физически это означает, что действует механизм обратной связи: при понижении уровня водоема слой притока резко увеличивается, вследствие чего уровень повышается, и наоборот. Такой механизм не дает уровню достигнуть своих границ.

Это свойство стационарной плотности вероятности уровня водоема оказывается очень важным и позволяет построить корректное следующее по £ приближение [Хорстхемке, Лефевр, 1987]:

P^H) = pQ{H^e{A-^H^А = -4 j PQ{H^q - OS(砌]2 dH,о

f'=-% =

здесь штрих означает производную по Н.

Поставим задачу об определении точек Н, соответствующих экстремуму плотности вероятности (вероятностному потенциалу). Обычно такая точка единственная, например гауссовское распределение имеет единственный максимум, однако существуют системы, в которых возможны по крайней мере два устойчивых состояния. Такие системы широко применяют на практике, в частности упомянутым свойством обладают переключающие и накопительные устройства в компьютерах. В последнее время открыт класс радиоэлектронных, физических, химических и биологических систем. В соответствии с [Хорстхемке, Лефевр, 1987] в качестве индикаторов, сигнализирующих о переходах в стохастических системах, будем рассматривать экстремумы вероятностного потенциала. Во-первых, это прямое обобщение детерминированных понятий, которое оптимально по сравнению с другими вариантами (моментами распределения, так как моменты не всегда однозначно определяют распределение вероятности), а во-вторых, при осреднении теряется информация. Если плотность вероятности имеет два или более максимума, то водоем при одних и тех же условиях может иметь несколько равновесных уровней. Здесь и далее под равновесными состояниями будем понимать уровни, связанные с экстремумом стационарной плотности вероятности, а под уровнем

тяготения - решение детерминированного стационарного уравнения водного баланса. Для нелинейных задач эти величины не совпадают. В распределении с несколькими экстремумами результаты наблюдений связаны с наиболее вероятными значениями Нэ и дисперсиями вблизи этих состояний, а не вероятностными средними.

После дифференцирования р乳Н） но X и приравнивания производной к нулю получим уравнение для определения экстремумов:

— 歹 2 g2 歹 2

姦= （3810）

Так как по предположению £《1, то решение ищем в виде 戈 + £*； и для Яд и 环 получаем

—2

寸及（舔） = S2（H^ ）回（筑）-4（3.8.11）

九］（筑）= %（"n，

T皖）-即（成）

где

q（H^ = eS（H^）-q（H^ = eS（H^）-考S＜轟）2s2（成）考S＜轟）2s2（成）

q（H^ = eS（H^）-

q（H^ = eS（H^）-

考S＜轟）2s2（成）

考S＜轟）2s2（成）

Уравнение （3.8.11） решено качественными методами.

В первом варианте решения морфометрическая зависимость имеет несколько точек перегиба: М〃（必）= 0, S'（必）＞ 0, тогда в окрестности этих уровней возникает множественность наиболее вероятных равновесных уровней водоема и соответствующая плотность распределения вероятностей имеет несколько мод.

Во втором варианте решения множественность возникает и при S〃w0, но при этом S\H） должна иметь точки перегиба. Очевидно, что при достаточно сложной морфометрии водоема （а именно так устроены дно и берега водоема） явление множественности равновесных уровней может легко реализоваться. Интересно, что такой водоем имеет один уровень тяготения, а

остальные наиболее вероятные уровни образуются под воздействием шума и нелинейной морфометрической связи площади и уровня, причем интенсивность шума не будет играть особой роли, как в классических переходах, индуцированных шумом. Шум небольшой интенсивности (d； = 0)может быть причиной неединственности равновесных уровней, а при увеличении его интенсивности эта область может исчезнуть и наоборот. Интересно влияние на результат конечности времени корреляции е2 ^0. Так как в неустойчивых точках ^э < 0, то <0 и неустойчивые уровни сдвигаются в область уровня тяготения.

Отметим, что при изменении среднего значения речного притока переход от бимодального к унимодальному распределению происходит скачком: как только q станет больше, чем 品 или меньше %, то бимодальное распределение тут же сменится унимодальным. Поэтому изъятие или переброска воды из одного бассейна для водоема с несколькими равновесными уровнями может оказаться далеко не безобидной процедурой: слабое изменение средней нормы притока сильно отразится на изменении уровенного режима, так как это существенно нелинейный процесс.

В формировании нескольких равновесных состояний водоема важную роль играет нелинейный механизм взаимодействия осредненной величины испарения и флуктуационной составляющей уровня. Осредненная величина испарения со всей поверхности водоема создается флуктуациями уровня подобно тому, как в гидродинамике флуктуации поля скорости вызывают турбулентное напряжение трения. Функциональная связь между средними величинами уровня и испарения нелинейна, более того она может оказаться не взаимно-однозначной - одной величине испарения могут соответствовать три уровня, причем на одном из них (центральном) испарение уменьшается с ростом уровня. Возникает положительная обратная связь: рост уровня-уменьшение испарения-дальнейшее повышение уровня за счет притока и т.д. Водоем стремится изменить уровень, что ведет к формированию локального минимума плотности вероятности. Это физическое явление относится к новому классу неравновесных эффектов, индуцированных шумом.

Таким образом, нелинейная морфометрическая связь площади зеркала испарения и уровня может приводить к возникновению нескольких наиболее вероятных состояний (уровней)

водоема; достаточно сильные флуктуации речного притока и слоя испарения способствуют переходу уровня водоема из одного равновесного состояния в другое и обратно; явление множественности равновесных состояний (уровней) возникает при стационарном климате, т.е. водоем может и не быть индикатором климатической изменчивости, а отражать собственную нелинейную динамику водного баланса.

В заключение приведем некоторые данные, свидетельствующие в пользу нелинейного механизма колебаний уровня моря, обусловленного испарением. К началу 1990-х годов в нашей стране были собраны наиболее полные ряды результатов наблюдений за влажностью деятельного слоя почвы. Измерения влажности проводили на агрометеостанциях, начиная с 1930 г. Регулярная сеть из 3000 станций по измерению влажности почвы была организована только в нашей стране. Период с 1972 по 1985 г. (напомним, что именно в 1977 г. начался неожиданный подъем уровня Каспийского моря) и характеризовался трендом увеличения влажности почвы (район проведения измерений - 50-60° с. ш.). Скорость увеличения содержания воды в почве составляла 1,5-2 см/10 лет, причем положительный тренд наблюдали во все месяцы года.

В работах [Голицын, Панин, 1989; Панин и др., 1991] установлены направленные долгопериодные изменения интенсивности испарения с водной поверхности и показано, что в рядах испарения с поверхности Каспийского моря имеются статистически значимые тренды. Для Угличского, Рыбинского, Иваньковского, Горьковского, Камского, Воткинского водохранилищ установлены статистически значимые скорости уменьшения испарения 32-95 мм/10 лет. Это дает основание предположить, что механизм, ответственный за резкий подъем уровня Каспийского моря и водности Волжского бассейна, определяется испарением. Очевидно, необходимы дальнейшие исследования этой проблемы.

Таким образом, предложена качественная теория скачкообразного перехода бессточного водоема от одного равновесного уровня к другому при стационарных внешних воздействиях (речной сток и видимое испарение аппроксимируются стационарными случайными функциями). Установлено, что при существенно нелинейной зависимости площади водоема от уровня возможно существование нескольких состояний равновесия водоема с окружающей средой (плотность распределения вероятности полимодальна). Развитая теория может быть использована и для глубоководных водоемов.

Нелинейные эффекты в теории многолетнихколебаний уровня проточных водоемов

Впервые физически обоснованные модели многолетних колебаний уровня проточного водоема были построены в монографии [Фролов, 1985]. Методической основой для решения уравнений, соответствующих этим линейным моделям, стала корреляционная теория гауссовских случайных процессов. Это означает, что под решением стохастического дифференциального уравнения водного баланса понимали бесконечную последовательность кумулянтов распределения случайного процесса многолетних колебаний уровня водоема. Теория была применена для озер Байкал, Воже, Лача, Ладожского и Каспийского моря. В цитируемой монографии линейное дифференциальное (дискретное) уравнение многолетних колебаний уровня Каспийского моря было получено на основании следующих рассуждений.

При изучении многолетних колебаний уровня Каспийского моря этот водоем традиционно рассматривали как бессточный [Крицкий, Менкель, 1946; Крицкий, Коренистов, Раткович, 1975; Еагров, 1963]. Можно предположить, что при колебаниях уровня в диапазоне примерно от -30 до -26,0 м абс. Каспийское море можно рассматривать как проточный водоем с оттоком вод в залив Кара-Богаз-Гол. Это предположение основано на многочисленных наблюдениях: течение в проливе для годовых интервалов времени было всегда направлено из моря в залив [Крицкий, Коренистов, Раткович, 1975]. На этом основании А.В. Фролов рассматривал Каспийское море до возведения перемычки в проливе как проточный водоем.

Дальнейшие предположения были следующие. Площадь зеркала Каспия (без учета площади залива Кара-Богаз-Гол) принималась пропорциональной уровню моря

S-a + bh,

где 〃 = 366 тыс. км2/м, уровень h измеряется в метрах относительно равновесной отметки %* = -28,5 м абс. Отток в залив Кара-Богаз-Гол до середины 1940-х годов определялся перепадом уровней залива и моря, позднее непосредственная гидравлическая связь между этими уровнями исчезла. Море и залив были разделены водопадом, так что приток в залив зависел только от уровня моря и гидравлических потерь на верховом участке пролива [Крицкий, Коренистов, Раткович, 1975]. Линейная аппроксимация зависимости оттока в Кара-Богаз-Гол от уровня Каспия, полученная Д.В. Коренистовым в диапазоне ко-

лебаний уровня примерно от -29,0 до -27,0 м абс., имеет вид

У =8,8 + 8,6Л,(3.9.1)

где V- 一 отток воды в Кара-Богаз-Гол в км3/год, h - уровень воды в Каспийском море, измеряемый в метрах от отметки -28,5 м абс. Параметры уравнения (3.9.1) были получены методом наименьших квадратов. Коэффициент корреляции между среднегодовым уровнем Каспийского моря и годовыми объемами оттока в Кара-Богаз-Гол равен 0,91.

Линейные преобразования параметров уравнения водного баланса, описывающих колебания уровня Каспийского моря, привели к следующим соотношениям.

Статистические характеристики слоя стока и испарения приняты в следующем виде:

g«) = У "二■%‘ - е«),а

где v+(Z) - объем воды, поступающий в море (речной + подземный приток), Vo 一 среднемноголетняя величина объема оттока воды в залив Кара-Богаз-Гол, 〃 一 площадь зеркала моря, соответствующая уровню тяготения, е«) - слой видимого испарения с поверхности моря.

В результате преобразований было получено линейное дифференциальное уравнение, описывающее многолетние колебания уровня Каспийского моря

d h . _dh с

—+1,25ь 0,067z = Т|,

dt dt

где T| 一 непрерывный белый шум с нулевым средним значением и коэффициентом интенсивности

D2 = 2у, Hf =0,0624.

Аналогично получено дискретное уравнение для многолетних колебаний уровня Каспийского моря

% -1,252% +0,286% = %,(3.9.2)

где 生+1 - дискретный белый шум с нулевым средним значением и дисперсией

m=卩式1-户)=0,026.

Проверим соответствие линейной дискретной модели колебаний уровня Каспийского моря, учитывающей отток морской

воды в залив Кара-Богаз-Гол, данным натурных наблюдений. Для этого вычислим спектры уровня моря ht и приращения уровня М =ht-ht_v используя линейное уравнение авторегрессии второго порядка,

f н)= (393)

也 2я[1 + р? + р^ - 2pi (1 - р2) cos X - 2р2 cos 2Х]9*

где Pi = 1,252, р2 = -0,286- параметры линейного уравнения авторегрессии для многолетних колебаний уровня Каспийского моря;

启,(入)=4(W- cos X), 0 w 入这兀 (3.9.4)

Спектр приращений уровня для теоретической модели (3.9.2) и спектр приращений уровня по натурным данным выглядят совершенно по-разному, что указывает на некоторую неадекватность линейных моделей.

Уравнение многолетних колебаний Ладожского озера по исследованиям А.В. Фролова имеет вид уравнения колебаний маятника с сильным демпфированием

% -0,86% +0,17%_]=(3.9.5)

В этом случае дисперсия дискретного белого шума равна 0,1.

Спектр приращений уровня Ладожского озера на основании модели (3.9.5) также должен иметь экстремум на небольшой частоте.

Напомним, что при учете зависимостей площади зеркала испарения, стока воды из водоема и слоя испарения от уровня мелководного водоема необходимо рассматривать существенно нелинейные модели колебаний уровня.

Для задач естествознания первое описание существенного влияния эффекта внешнего шума было дано в работе [Кузнецов, Стратонович, Тихонов, 1955]. При анализе воздействия электрических флуктуаций на ламповый генератор авторы работы заметили, что изменение интенсивности внешнего шума приводит к качественно разному поведению генератора: если уровень внешнего шума высок, то амплитуда колебаний в основном равна нулю, если же интенсивность шума падает ниже некоторого порогового значения, то амплитуда колебаний в основном находится вблизи своего детерминированного значения. Авторы ограничились единственным замечанием, отметив, что последний случай более интересен. Аналогичный эффект был описан в работе [Стратонович, Ланда, 1959] в отношении воздействия шу-

мов на генератор другого типа, а также в монографии [Стратонович, 1961]. Однако во всех упомянутых работах открытое явление не было подробно прокомментировано, и это понятно, так как в то время еще не существовала теория неравновесных фазовых переходов, в рамках которой можно было бы по достоинству оценить всю важность новых явлений.

Через несколько лет эти явления были Ппереоткрыты" в совершенно иной области 一 при изучении экологических систем. Рассматривая простую задачу о логистическом росте популяции, Мэй [Хорстхемке, Лефевр, 1987] пришел к выводу, что во флуктуирующей среде популяция погибает при любом среднем значении параметра роста модели Мальтуса, если флуктуации этого параметра достаточно сильны. Иначе говоря, точка перехода от выживания популяции к ее гибели (в рассмотренной Мэем простой модели такой переход происходит при детерминированных условиях, когда смертность в точности компенсирует рождаемость) начинает зависеть от дополнительного параметра 一 дисперсии флуктуаций среды. Именно эта зависимость и приводит к смещению точки перехода.

В настоящее время теория переходов, индуцированных шумом, нашла широкое применение в физике, химии и биологии. В гидрологии нелинейные эффекты многолетних колебаний уровня бессточных водоемов, которые можно интерпретировать в рамках теории неравновесных переходов, обусловленных шумом внешней среды, впервые были описаны в работе [Найденов, 1992]. Оказалось, что резкие и внезапные переходы уровня бессточных водоемов от одного состояния к другому (явление, широко распространенное в природе) могут происходить и при стационарном климате. Возможны ли эти нелинейные неравновесные эффекты в проточных водоемах?

Воспользуемся математическим аппаратом теории нелинейных неравновесных переходов, индуцированных шумом [Хорст- хемке, Лефевр, 1987]. Уравнение водного баланса проточного водоема запишем в обычном виде

S(") 丁 = Q- E(")S(")-虱“)， (3.9.6) dt

где S(H) 一 площадь зеркала испарения, Н, t- уровень водоема и время, 0 一 приток речных вод, Е(印一слой испарения, q - сток из водоема.

Для мелководных водоемов Е£ w 0 (в этом случае глубина проникновения тепловых волн значительно больше глубины водоема); для глубоководных водоемов слой испарения достаточно 124

слабо зависит от уровня. В соответствии с законами гидравлики dqJdH^b, т.е. с ростом уровня проточного водоема сток воды из него увеличивается.

В задаче (3.9.6) величина Q является параметром состояния и характеризует приток речных вод, который со временем меняется достаточно сильно. Предположим, что колебания притока воды происходят очень быстро, т.е. случайная величина Q- слабокоррелирована. Тогда получим следующее нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение

dHt= 且Е(Н,)_迎2 力+ _2_q叱，(3.9.7)

，［s(Y)< " S(Y)」 S(H)“<

здесь Wt 一 стандартный винеровский процесс, о - интенсивность его приращения.

При построении уравнения (3.9.7) было использовано понятие обобщенного гауссовского процесса, т.е. считалось, что производная от винеровского процесса Wt есть обобщенный гауссовский процесс с нулевым средним

e面) = 0,

и 8-функцией Дирака в качестве корреляционной функции

E{Wt 而s} = 3«-s).

Пусть

/(“ )二—^— —且⑺=」一，

丿"S(U) ' ЭД) “ ' ВД)

тогда уравнение (3.9.7) примет классический вид

d", =/(也)力+ og(",)d 叱.(3.9.8)

Подчеркнем, что стохастическое дифференциальное уравнение (3.9.8) необходимо представить в интерпретации Стратоновича, так как в этом случае физическая ситуация непосредственно моделируется. Действительно, приток речных вод 2(0 имеет пусть и малое, но все же конечное время корреляции, поэтому реальный шум представим в виде винеровского процесса 叽.

При сделанных предположениях уравнение (3.9.8) обладает марковским свойством.

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для стохастического дифференциального уравнения (3.9.8) в интерпретации Стратоновича имеет вид

沙二-而 f(H^—gg р + 亏萧g(")〃，(3.9.9)

dt(jJ~i，，Олл.

где p = p(H,t/Ho) 一 плотность вероятности перехода для однородных по времени процессов.

Стационарное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова имеет вид

j Г2 I 2»2

Из этого уравнения можно получить соотношение для определения наиболее вероятных мод "川,dpidHm = 0:

2

/(%) = 5 g(%№'(%)•(3.9.10)

Используя определение функций f(Ht) и g("J, получим нелинейное трансцендентное уравнение для определения экстремумов

—(у21

Q -E(Hm)S(Hm)-q(J1m) = -3^^出(%)

Пусть

6(%) =虱％)+ E(%)S(斗)-G

2 ]

5 2(%)= y 于"%).

Очевидно, что корень трансцендентного уравнения(р1(Я/п) = =(Р2(^и)опРеДеляет наиболее вероятную моду. Для простоты примем, что слой испарения не зависит от уровня проточного водоема, т.е. Е(Н) = const.

Рассмотрим производные функций <р；("т)и (р；(",〃)：

叫(％) = b(%) + ESg>0.

Следовательно, исходя из физических соображений (сток из водоема и его площадь увеличиваются с ростом уровня), можно считать(р{(Нт)^ 0.

Производная второй функции равна

ь(%)= ^{^^5"(%)-^卜(％)'.

Если предположить, что S〃(U〃)vO, то(р；(Н〃)сО и кривые (Pi(7/,〃)и ф2(Я/п) пересекаются в единственной точке, т.е. плотность распределения вероятности уровня водоема имеет единственную наиболее вероятную моду. Отметим, что уровень тяготения водоема является единственным и определяется из уравнения Q = ES(HT) + q{HT\ т.е. в стационарном состоянии средняя многолетняя величина Q уравновешена средним многолетним испарением с поверхности водоема и стоком воды из него. Для нелинейных задач Нт w Hm (уровень тяготения и наиболее вероятная мода не совпадают).

Если же S'\Htn) > 0, то в этом случае уравнение для определения наиболее вероятной моды может иметь несколько решений, так как 5(%) > 0 и кривые 牝(科〃)и(р2(Н/п) могут пересекаться в несколысих точках. Распределение плотности вероятности в этом случае является полимодальным и колебания уровня такого проточного водоема имеют сложную структуру и характеризуются случайными быстрыми переходами от одного уровня к другому. Стационарный случайный процесс колебаний уровня проточного водоема при условии неединственности решений полученных трансцендентных уравнений (3.9.10) не будет гауссовским и линейные модели не будут адекватно описывать этот процесс.

Нелинейная модель многолетнихколебаний уровня озера Ханка

Теоретическая возможность возникновения нелинейных режимов многолетних колебаний уровня проточных водоемов позволяет выдвинуть гипотезу о существовании нескольких равновесных уровней оз. Ханка, расположенного в средней части 3ападно-Приморской равнины, вытянувшейся в меридиональном направлении [Васьковский, 1978]. Характерные (среднемноголетние) значения водного баланса озера примерно следующие: поверхностный приток - 476 мм, осадки 一 567 мм, испарение 一 584 мм, постоянный поверхностный сток с озера 一 436 мм. Объем водной массы озера - 18 км3; площадь зеркала испарения -

5000 км2. Озеро мелководное, его глубина меняется от 1,5 до 7 м; температура воды меняется от 0 ℃ в апреле до 30 ℃ в июле- августе. Поверхностный сток из озера (р. Сунгач) происходит как затопленный водослив с широким порогом.

Таким образом, основные предпосылки теории многолетних колебаний уровня проточных водоемов с учетом нелинейных зависимостей слоя испарения и поверхностного стока от уровня можно считать выполненными.

Для построения нелинейной модели колебаний уровня введем соотношение

仁 2"-(/x+%in)Н -Н ，max min

где h и Н - безразмерный и размерный уровни озера соответственно, /ах = 69,74 м, "min = 67,74 м 一 максимальный и минимальный уровни озера за период наблюдений.

Пусть hn 一 безразмерный уровень озера в и-й год наблюдения. Построим зависимость приращений уровня озера △%〃 = hn+i 一 hn как функцию уровня hn. Используя классические статистические методы, получим нелинейную зависимость (рис. 3.7)

hn^-hn= -2,6859成 + 0,7826%： + 3,5512%；-

УровеньУровеньРис. 3・8・ Натурные данные по изменению уровня оз. Ханка (в см относительно нуля, 0 = 66 м абс.) за период с 1912 по 1982 г.Рис. 3・8・ Натурные данные по изменению уровня оз. Ханка (в см относительно нуля, 0 = 66 м абс.) за период с 1912 по 1982 г.

Уровень

Уровень

Рис. 3・8・ Натурные данные по изменению уровня оз. Ханка (в см относительно нуля, 0 = 66 м абс.) за период с 1912 по 1982 г.

Рис. 3・8・ Натурные данные по изменению уровня оз. Ханка (в см относительно нуля, 0 = 66 м абс.) за период с 1912 по 1982 г.

-1,2408片-1,15 3脱 +0,2423% +0,0624.(3.10.1)

Если предположить, что уровень является мерой увлажненности речного бассейна оз. Ханка, то уравнение (3.10.1) описывает динамику этой увлажненности за период наблюдений. Характерной особенностью этого уравнения является наличие трех равновесных уровней: h} = -0,5527 (68,19 м), h2 = -0,1629 (68,58 м),坛=0,3617 (69,1 м). Пользуясь методами, изложенными выше (см. гл. 3), нетрудно показать, что нижний и верхний уровни устойчивы по отношению к малым возмущениям, а средний уровень неустойчив. Отметим также, что нижний и верхний уровни неустойчивы относительно конечных возмущений, и этой фундаментальной особенностью колебаний увлажненности речного бассейна оз. Ханка объясняется наличие маловодных и многоводных фаз.

При аппроксимации (3.10.1) полиномом третьей степени (для простоты) получим нелинейную авторегрессионную модель многолетних колебаний уровня оз. Ханка

%+】-%=(З.Ю.2)

=-0,9171(% + 0,5527)(% + 0,1629)(% - 0,3617) + 3〃+】，

где 3〃 一 последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин с дисперсией 0,09262.

129129Натурные данные и характерные реализации случайного процесса (3.10.2) приведены на рис. 3.8 и 3.9.

129

129

5. Найденов В.И.

Уровень

Рис. 3・9・ Результаты математического моделирования колебаний уровня оз. Ханка в течение 100 лет

Подчеркнем, что в рассматриваемом случае оз. Ханка так же, как и Каспийское море, имеет три равновесных состояния: два 一 устойчивых и одно 一 неустойчивое. Именно этим можно объяснить возникновение маловодных и многоводных фаз в гидрологическом режиме озера.

Глава 4

Хаотическая динамикагидросферы Земли

В этой главе предложена новая физическая концепция глобального потепления климата Земли, основанная на существенно нелинейной зависимости теплофизических свойств суши (альбедо и теплоемкости) от влажности.

Природные индикаторысовременного глобального потепления

Анализ разнообразных эмпирических данных по климату, тщательно выполненный И.И. Борзенковой, показал, что воды в жидкой фазе на Земле становится больше [Борзенкова, 1999]. Самыми влажными годами за весь период наблюдений были 1980-е и 1990-е годы. За этот период статистически значимо увеличились ливневые осадки, особенно в Северной Америке, а также в России, Европе и Австралии. Стремительно отступают горные ледники в Центральной Европе и Африке, Исландии и Азии; сократились площади морских льдов в Арктическом бассейне и шельфовых ледников в Антарктиде.

Анализ столетних рядов дат вскрытия и замерзания наиболее крупных рек России показал, что существует статистически значимый тренд изменения этих дат за последние годы. В речных бассейнах Европейской территории России продолжительность ледового периода сократилась на ~15 дн., наибольшие изменения произошли в бассейне р. Дон, где ледовый период уменьшился на 20-25 дн. за последние сто лет. В бассейнах рек Кама, Белая, Обь и Иртыш ледовый период сократился на 9-14 дн. В Северном полушарии стала раньше наступать весна и увеличилась продолжительность вегетационного периода.

В 1998 г. на всю территорию северо-западной Европы выпали обильные осадки; на север Европы из Атлантики поступило огромное количество тепла; в России была теплая зима. Участились наводнения. Почему?

Простая модель климата

Очевидно, что динамику многолетних колебаний уровня водоемов можно рассматривать независимо от климатических процессов только в очень грубом приближении, так как энергия солнечного излучения является первичной и решающим образом влияет на гидросферу Земли. В печати до сих пор дискутируется вопрос о причинах крупномасштабных климатических изменений даже на небольших отрезках времени (сотни и тысячи лет). Как возникают хаотические колебания в гидрологических процессах?

В статье [Nicolis, Nicolis, 1984] рассмотрен временной ряд температуры более чем за 900 000 лет и на основании анализа данных по изотопному составу кислорода в осадочных породах экваториальной зоны Тихого океана сделан вывод о том, что этот ряд порожден хаотическим аттрактором размерностью 3,1.

Вот комментарии И.И. Пригожина к упомянутой статье. "Этот результат открывает интересные перспективы. Локальные температуры являются результатом взаимодействия большого числа переменных (солености воды, солнечных пятен, вулканических извержений и т.д.), каждая из которых подвержена какому-то своему статистическому распределению. Однако, как показывает анализ данных, небольшого числа независимых переменных может оказаться вполне достаточно для объяснения долговременных вариаций климата Земли!" [Пригожин, Стенгере, 2000].

Тот факт, что размерность аттрактора выражается нецелым числом, служит ключом к пониманию внутренней изменчивости и непредсказуемости климатической системы, поскольку обе эти особенности относятся к основным свойствам хаотической динамики.

Подчеркнем, что хаотический аттрактор способен порождать множество стохастических процессов. По этой причине флуктуации климата можно рассматривать как проявление хаотического характера самого аттрактора.

Климатологи осознают важность этой проблемы геофизики. Так, А.В. Кислов считает, что климатическую изменчивость разумно представлять как смесь детерминированных сигналов (за счет линейных и нелинейных откликов) с Пшумоподобными". Последние из-за нерегулярности их структуры можно, по-види- мому, считать проявлением стохастических автоколебаний 一 самопроизвольно возникающих переходов между различными состояниями климатической системы. Однако следует отметить, 132

что строго этот факт не доказан, т.е. наличие в климатической системе странного аттрактора (образа стохастических автоколебаний в фазовом пространстве) не доказано, и свойства его не известны [Кислов, 2000].

Сложные нерегулярные колебания температуры воздуха в районе станции "Восток" и вариации содержания парниковых газов (СО2 и СН4) в атмосфере описаны в статье [Котляков, Клиге, Захаров, 2000]. Отмечена тесная корреляция изменений температуры и содержания СО2. Авторы статьи сделали вывод о причинно-следственной связи между этими параметрами. Однако где здесь причина, а где следствие, неясно. Многие специалисты считают причиной изменение концентрации СО2, но отмеченное запаздывание ее изменений как будто свидетельствует о первичности изменений температуры, за которыми следуют изменения содержания СО2, в свою очередь усиливающие температурные колебания. Но если нелинейная гидроклиматическая система неустойчива и в ней возникает хаос, то сама постановка вопроса о причинах и следствиях не имеет смысла: изменения температуры и концентрации диоксида углерода одновременно являются и причиной, и следствием (подобно тому, как любая точка окружности является и началом и концом).

Покажем, как в принципе в глобальных гидросферных и климатических процессах могут возникать хаотические колебания. Рассмотрим следующую модель климата, состоящую из уравнений теплового и водного баланса и динамики речного стока и диоксида углерода

с^ = ^[1-а(叫，叱，…,网,Т)]-/(Т,С),

-^=a・(т)一耳(叱,T)一孙(叱)一2, at

4= G,・(叱)一&, (4.2.1) at

左竺+ (C — G)= 〃c(T — 4)， i = d・・N at

где Т,C,Wi,qi,Qi — соответственно приповерхностная температура воздуха, концентрация диоксида углерода в атмосфере, вла- гозапас континентов, поверхностный и подземный сток; 50,/,а - солнечная постоянная, количество уходящей длинноволновой радиации с верхней границы атмосферы и планетарное альбедо Земли; Pi,Ei 一 величины осадков и испарения с поверхности континентов; G“ 一 соответственно эффективное ускорение си-

лы тяжести и характерное время задержки подземного стока в зоне активного водообмена, гс - время релаксации концентрации диоксида углерода, пс - величина, характеризующая скорость выделения диоксида углерода с поверхности океана и материков в атмосферу, с - теплоемкость системы "атмосфера 一 деятельный слой подстилающей поверхности".

Число динамических переменных модели равно 2^ + 2. При ^= 1 рассматривается вся суша, при^ = 2- Северное и Южное полушария, при ^= 6 - Европа, Азия, Африка, Северная и Южная Америка, Океания.

Отметим, что четвертое уравнение системы (4.2.1) устанавливает динамическое равновесие между парциальным давлением диоксида углерода в атмосфере и его содержанием в гидросфере. С ростом температуры растворимость газа в океане уменьшается и он накапливается в атмосфере, что приводит к ее разогреву и к зависимости

/ = /(Т,С),与＜0.

Оценить зависимость уходящей тепловой радиации от концентрации диоксида углерода в атмосфере можно следующим образом: удвоение концентрации приводит к уменьшению I на 4 Вт/м2. Известно [Мохов, 1993], что величина уходящей тепловой радиации определяется вариациями следующих переменных земной климатической системы: температуры, влагосодер- жания атмосферы и облачности. Достаточно хорошо эта зависимость описывается формулой [Будыко, 1969]

/ = а + ЬТ- (% + Ь\Т)п,

где а = 236 Вт/м2 ; Ъ = 2,4 Вт/(м2-К); а} = 50 Вт/м2; Ь}= =1,7 Вт/(м2 • К); 〃一 облачность в долях единицы.

Эмпирические и полуэмпирические исследования чувствительности планетарного альбедо а к изменению термического режима земной климатической системы дали следующие величины Эа/ ЭГ = -0,0017 4- -0,0032 К-1 [Агаян, Мохов, 1984].

Установлено, что с ростом температуры облачность увеличивается: dnl dT = 0,0011-5-0,0058 К-1. Однако подчеркнем, что достоверно этот факт не установлен, и нельзя исключать существования других режимов в окрестности современного состояния климата.

Анализ количества осадков на сушу показал, что dP/dT = =0,05 м/К при феднеквадратическом отклонении ±0,01 м/К и коэффициенте корреляции 厂=0,46 [Vinnikov, Groisman, Lugina, 1990].

Рис. 4.1. Температурные зависимости константы фазового равновесия для водных растворов диоксида углерода (а), азота, воздуха и метана (б) 1 - азот, 2 - воздух, 3 - метанРис. 4.1. Температурные зависимости константы фазового равновесия для водных растворов диоксида углерода (а), азота, воздуха и метана (б) 1 - азот, 2 - воздух, 3 - метан

Рис. 4.1. Температурные зависимости константы фазового равновесия для водных растворов диоксида углерода (а), азота, воздуха и метана (б) 1 - азот, 2 - воздух, 3 - метан

Рис. 4.1. Температурные зависимости константы фазового равновесия для водных растворов диоксида углерода (а), азота, воздуха и метана (б) 1 - азот, 2 - воздух, 3 - метан

Величина 几с предполагается положительной и ее значение определяется константой фазового равновесия (закон Генри). Раствор газа в воде существует совместно с находящимся над водой паром, при этом содержание газа в растворе зависит от природы газа, давления, температуры и состава газовой фазы. В состоянии равновесия между концентрациями газа в обеих фазах устанавливается соотношение, которое характеризуется константой фазового равновесия, равной отношению концентраций газа в газовой и жидкой фазах. Для идеальных растворов константа фазового равновесия зависит только от температуры, увеличиваясь с ее повышением; при этом растворимость газа уменьшается. На рис. 4.1 приведены температурные зависимости константы фазового равновесия для различных газов.

Рассмотрим систему уравнений (4.2.1). Отметим, что размерность фазового пространства модели может изменяться в пределах от 4 до 14. Нас будет интересовать наименьшее число степеней свободы, при котором система имеет хаотические колебания.

Система уравнений (4.2.1) относится к классу так называемых простых моделей климата и, очевидно, лишь в грубом приближении может описывать климатические изменения, так как не учитывает пространственное распределение полей температуры и влажности. Однако надо иметь в виду тот факт, что объем информации в точном математическом описании этих полей настолько велик, что возникают принципиальные и технические трудности в ее представлении, отображении и практическом использовании - эта информация, по образному выражению академика С.С. Григоряна становится "невообразимой" [Григорян, 1980]. Он приводит такой впечатляющий пример:

если описывать состояние атмосферы Земли или океана в течение 10 лет с шагом по времени 5 с и с шагом по пространственным координатам в 1 м, то для этого описания потребуется 1027 чисел. Как получить полезное представление о состоянии атмосферы по такому набору чисел? Как хранить и использовать эти числа? Поэтому возникает задача "сжатия11 информации об анализируемых геофизических полях и необходимость использования осредненных уравнений. Несмотря на то, что предложенная модель достаточно проста, она открывает перспективу дальнейшего изучения гидроклиматических процессов, ибо как справедливо заметили авторы работы [Bak, Tang, Wiesenfeild, 1988]: "Понимание редко возникает из сложного беспорядочного моделирования, а много чаще 一 из-за грубого упрощенства. Как только определен существенный механизм, просто проверить его на прочность путем добавления все новых и новых деталей".

Поставим вопрос о существовании странного аттрактора для системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.2.1)

8小=戸(左)，左={T,%0,e},

здесь F 一 правые части. Предположим, что при 50 = const существует стационарное решение (4.2.1), т.е.斤(艮)=0. В окрестности стационарного состояния разложим правые части (4.2.1) в ряд Тейлора, причем для простоты ограничимся только третьими степенями разложения с целью исследовать симметричные относительно этого состояния решения. Если предположить, что Г(Л) может содержать дифференциальные операторы, характеризующие пространственный перенос импульса, тепла, влаги и диоксида углерода, то в этом случае можно формулировать задачи не только о временном, но и о пространственном хаосе в климатологии и гидрологии.

Далее для простоты примем, что времена релаксации подземного стока всех континентов одинаковы:号=f = const.

Введем коэффициенты

—50 Эа —對 а耳_ f а耳 d%)

沙一丄[里竺+一喧e」也

，Q叱3dw^ ，6 d叱з・

Эти производные вычислены при R 二{&叫,0；工}・ Они положительны, так как с ростом влагозапасов суши количество

осадков с повышением глобальной температуры увеличивается, а альбедо Земли и испарение с поверхности хорошо увлажненной суши, как показано в работе [Найденов, Швейкина, 1997], с увеличением влагозапаса суши уменьшаются. Кроме того, предполагается, что с ростом влагозапаса континентов сильно увеличивается поверхностный и подземный сток.

Введем безразмерные величины

т = -, A = g,г t

显ЭаТэг显ЭаТэг

显ЭаТэг

显ЭаТэг

В этом случае система (4.2.1) может быть сведена к системе взаимосвязанных нелинейных осцилляторов относительно влагозапаса суши и линейных уравнений относительно температуры и концентрации диоксида углерода

х+[1 - q・f + 3'(叱 s )2 fx〔 X +

+(4 -а,»% + (" + g)(叱，)2fx『二甯(@+ 0),

e+me =—— £ wW% + c&(4.2.2)

c丿

AC+C =Й0.

Странный аттрактор модели

Рассмотрим простейший вариант системы (4.2.1) и покажем существование у нее странного аттрактора.

Пусть N = 2, % = 0,々=°, С = °, тогда систему (4.2.1) можно свести к системе двух взаимодействующих нелинейных осцилляторов Дюффинга и В ан-дер-Пол я

ц(1-ц2)=絹•(©+ е),

沙2-(12(1-u^)立2 + *u2 + 学 U^ =(@+9),(4.3.1)

3%4

f ( 2、

0+^0 = — 2%用4q，

ЛС+ С = й0, где

卩]—1 — 〃"，卩？ — a?/ — 1, CO] — 2(q — 4 », ①2 ~ (。2 — “2)，*

Коэффициенты цр ц2 характеризуют "трение" в нелинейных осцилляторах, АЪА2- амплитуды, а сор со2 - частоты колебаний. При т = 1, р2 = 0 система (4.3.1) может быть сведена к уравнению Дюффинга с периодической внешней силой.

Действительно, при 卩2 — 0 второе уравнение имеет гармоническое решение U2 =2cosco2t и система (4.3.1) принимает простейший вид

力+ 3 0- ； и(1 -。2) = / cos С0&(4.3.2),

2 2 2Pl4" _ С02 е _ Ц] £_2рае4叱 c g co】 cAM U] co

Исследованию осциллятора Дюффинга посвящена монография [Мун, 1990]; область со = 0,8, 8 = 0,15, 0,1 w/w 0,3 представляет интерес для исследования. В этой области наблюдаются переход от периодического режима к хаотическому, периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при/= 0,3- Нетривиальную (хаотическую) реакцию решений уравнения Дюффинга на внешнее гармоническое возбуждение иллюстрирует рис. 4.2,〃. Размерность возникающего странного аттрактора сильно зависит от параметра 8 и изменяется в пределах от 2,1 до 2,8. Например, при /= 0,16, со = =0,8333, 8 = 0,15 корреляционная размерность аттрактора равна 2,14. Границы области притяжения устойчивых стационарных точек уравнения Дюффинга (±1) также являются фрактальными.

характерное решение этого уравнения при заданной периодической внешней силе （б）характерное решение этого уравнения при заданной периодической внешней силе （б）

характерное решение этого уравнения при заданной периодической внешней силе （б）

характерное решение этого уравнения при заданной периодической внешней силе （б）

При

m = l, 111V0,卩2>0，4-4>0，г = 1,2, Q =（耳+色）/3%

3：=（4-4»-亿・%产/0, 4 =，（-1）口/3也（怀）2, % = aa

P2a2产 I4也〃必4ГP2a2产 I4也〃必4Гиз системы （4.3.1） получим два взаимосвязанных нелинейных осциллятора

P2a2产 I4也〃

必4Г

P2a2产 I4也〃

必4Г

"2-4 2（1 - "^）02+3^u2 +42n2"^ =

dU

Рис. 4・3・ Фазовый портрет решения обобщенного уравнения Ван-дер- Поля

Частный случай этой системы уравнений (ц2 < 1, р2 = 0) исследовали в работе [Дмитриев, Кислов, Спиро, 1983]. На основе анализа временных реализаций, отображений сдвига, фазовых портретов, спектра мощности и характеристического показателя Ляпунова установлено, что в широкой области значений параметров решение ведет себя хаотически.

Дифференциальное уравнение, решение которого Демонстрирует хаотическое поведение (рис. 4.3), имеет вид

沙一3,1(1 -。2)U+ и + 2〃з = 2,5 cos(2,7&)・

Для частного случая системы уравнений (4.3.3) установлено [Дмитриев, Кислов, Спиро, 1983] , что в широкой области значений параметров в рассматриваемой модели реализуются стохастические колебания. Обнаружен гистерезис характеристического показателя Ляпунова при изменении амплитуды внешнего сигнала и множественные гистерезисные явления при изменении частоты внешнего сигнала. Исследованы два механизма перехода к хаотической динамике. Первый связан с возникновением гомоклинической структуры в окрестности седловой неподвижной точки, второй - с потерей гладкости инвариантного цикла. Обнаружен хаотический режим с каскадом энергии вверх по спектру и установлен механизм перекачки энергии из низкочастотной части спектра в высокочастотную.

dU 不

Рис. 4.4. Фазовый портрет решения обобщенного уравнения Ван-дер- Поля при действии периодического возмущения

Хаотическое решение (рис. 4.4) под воздействием периодического возмущения может демонстрировать и обычный генератор Ван-дер-Поля [Дмитриев, Кислов, 1982]

沙一3,1(1 - J/?) 0+ U = 2,5 cos(2,7&)・

Гомоклинический сценарий перехода к хаосу

Из системы (4.2.1) можно получить обобщенное уравнение Дюффинга с переменным коэффициентом "трения”

U+ 5(1 + A t/2) г>- t/(l -1/2) = / COS ют, ANO, 5^0, /NO.

Это уравнение можно записать в виде двумерной автономной системы с единственной гиперболической точкой под действием периодического возмущения

工= *£) + ££(%()•

Здесь

^ = (U,S,尤=(启，儿)=@，u一u3),

f}=(fuJ22)= ^jCQS^~^^^U2^^ 孑=/，^5 = 8, £<1.

Невозмущенный гамильтониан этой системы имеет вид

1 2 11

HQ = -U --U2+-U\0 224

Существует единственная гиперболическая точка U = й = 0 с единой сепаратрисой при % = 0, где начинаются и оканчиваются две гомоклинические траектории. Решение на сепаратрисе имеет вид Uo =72/chx, Uo = -72shx/ch2 т. Сепаратрисы могут пересекаться в бесконечном числе точек, и это явление, впервые обнаруженное Пуанкаре, приводит к возникновению областей с хаотическим поведением траекторий.

Введем функцию

ch(K(o/2) 3 I 5 丿

где 〈〉一 скалярное произведение векторов, Т(т0) - величина, характеризующая расстояние между сепаратрисами в некоторый момент времени т0.

Если ¥(to) меняет знак, то сепаратрисы пересекаются и движение в этой области является хаотическим. Как показано в работе [Козлов, 1986], расщепление сепаратрис тесно связано с рождением бесконечного числа пар различных долгопериодических решений, одно из которых эллиптическое, другое 一 гиперболическое.

Показано, что при ¥'(%) > 0 и 〔5(屮〃‘>-3+'屮[(%)£() получается бесконечное семейство устойчивых по Ляпунову эллиптических решений [Довбыш, 1989]. Выражение

дает нижнюю границу хаотических режимов в плоскости (/,со).

Нелинейная система (4.2.1) при ^ = 6 (в этом случае учитывалось влияние увлажненности шести континентов на планетарное альбедо Земли) исследовалась численными методами. Приведем конкретный вариант системы, состоящей из 14 уравнений и имеющей хаотические решения,

匕一也(1 一 Ц2)% + *，• + 也п5 二 善(@+ 8)，i = 1，2,3,

匕+也 S+ ^ц(1-，2)=嘗(@+ 8), i = 4,5,6,

6

0+^0 = — 2 %4WQ +£•y3=i丿

(4.4.1)

7

AC + С = Й0.

Эта система нелинейных уравнений была исследована численно при следующих значениях параметров.

Вариант 1

佃卩 2 и「0,04 0,04 0,04、

为 3 3

A

34 3 0L a a

22 3 0L a a

-_

L a a

5

7 3 0

оц a2 а?

0,50,50,5

А & &

0,30,10,1

、叱S叱S 叱s.

、3 з 3 ,

仇卩5卩6、

@040,04 0,04、

①4①5①6

0,850,8 0,95

04 P5 必

0,045 0,05 0,025

a4 a5 a6

C

1,50,50,5

44 AA

C

1,10,10,1

册场唯丿

<3

；33 丿

Остальные значения параметров: Ts 二

288 К, с =

=9,5 (Вт/м2) • год, т = 0,85,

万= 6,6, A = 1, C = 0,01. Начальные

условия для системы (4.4.1) были приняты

следующими:

а(0) = 0,1, 〃(0) = 0,5, 0(0)

=

0, С(0) = 0,01.

Вариант 2

卩3、

HlgnlAwAw

Р2% &叱

吗 Пз Рз ОСз ^3 峭

1,2

1,4

1,7

0,3

0,3

0,3

0,01

0,015

0,025

0,125

0,125

0,125

0,3

0,1

0,1

3

3

3丿

9,04 0,04

0,04 \

‘u4

卩5卩6、

9,04

0,04

0,04、

①4

①5①6

0,85

0,8

0,95

〃

生厶

0,0225

0,025

0,0125

ОС，

a5a6

0,125

0,125

0,125

4

4 4

0,1

0,1

0,1

皿

场网丿

〔3

3

3丿

Параметр т, который характеризует устойчивость уравнения энергетического баланса системы (4.4.1) был принят равным 0,5; остальные значения параметров и начальных условий остались прежними.

При втором варианте расчета предполагалось, что степень зависимости альбедо от влагозапасов суши уменьшилась в 4 раза, а степень зависимости количества осадков от температуры уменьшилась в два раза. Оказалось, что и в этом случае система уравнений (4,4.1) имеет хаотические решения. Другими словами, эффект хаоса является значительным и сохраняется в широком диапазоне изменения параметров гидроклиматической системы.

Характерные реализации решений системы уравнений (4.4.1) по вариантам 1 и 2 и проекции фазового портрета температуры и влагозапаса приведены на рис. 4.5-4.7. Отметим сильную зависимость решений от начальных условий. Например, при изменении лишь одного начального условия U\(0) = 0,5 на U\ (0) = 0,49999 глобальные температуры на больших временах начинают разительно отличаться друг от друга (рис. 4.8).

В связи с этим расскажем о знаменитом эксперименте, наглядно демонстрирующим, что стоит за термином "хаотическая динамика** [Кроновер, 2000]. Э. Лоренц (Массачусетский технологический институт) в 1961 г. занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекции в атмосфере. Он исследовал следующую нелинейную динамическую систему:

х = 5-х + У),

^ = rx-y-xz,

2 二-bz + ху.

При расчетах параметры о, г и Z? были приняты постоянными: о = -10, г = 28, Z? = 8/3. Лоренц вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, возникавшая

Рис. 4・5・ Характерные реализации глобальной температуры воздуха при расчете по варианту 1 («) и 2 (5)

где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального, если бы начальные значения для повторного счета были равны значениям, полученным ранее для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне малы. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое. Лоренц вновь повторял и проверял вычисления, пока не осознал

-0,002 111

14,414,8152T,℃

Рис. 4.6. Проекции фазового портрета температуры воздуха при расчете по варианту 1 (л) и 2 ⑹

2,22,633,43,8 W,m

田纥м/год dt

2,42,62,833,23,4 W, м

Рис. 4.7. Проекции фазового портрета влагозапаса при расчете по варианту 1 (л) и 2 ⑹

важность эксперимента. То, что он наблюдал - основная черта хаотической динамики, которую называют существенной зависимостью от начальных условий. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье "Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?" Этот эффект характерен и для систем нелинейных уравнений (4.2.1) (см. рис. 4.8). Так как начальные условия точно никогда не известны, то в нелинейной задаче возникает так называемый горизонт прогноза (предел предсказуемости), о котором в 1963 г. говорил не только Лоренц, но и лауреат Нобелевской премии

Рис. 4.8. Характерная реализация глобальной температуры воздуха при различных начальных условиях(71(0) =0,5 (7), 0,49999 (2)Рис. 4.8. Характерная реализация глобальной температуры воздуха при различных начальных условиях(71(0) =0,5 (7), 0,49999 (2)

Рис. 4.8. Характерная реализация глобальной температуры воздуха при различных начальных условиях

(71(0) =0,5 (7), 0,49999 (2)

Рис. 4.8. Характерная реализация глобальной температуры воздуха при различных начальных условиях

(71(0) =0,5 (7), 0,49999 (2)

Р. Фейман. Подчеркнем, что в климатологии и гидрологии этот горизонт не определен, и прогнозы климата на десятки лет вперед вряд ли корректны.

Очевидно, что для корректного описания поведения климатической системы необходим вероятностный подход. В рассмотренном выше механизме возникновения хаоса существенную роль играет большое время релаксации речного стока. Однако существует механизм неустойчивости и рождения предельного цикла, обусловленный только процессами выпадения осадков и испарения влаги и их зависимостью от температуры. Рассмотрим следующую простейшую систему уравнений теплового и водного балансов:

dt 4

dW

—-P(T)-E(W,T).

dt

Относительно величин t =T-TS, W=W—叱 можно получить систему уравнений

(4.4.2)(4.4.2)e包=—显史:w一丄色2戸dt 4 aw 6 犷

(4.4.2)

(4.4.2)

При выводе этой системы были использованы следующие предположения: изменения количества отраженной солнечной радиации равно изменению количества уходящей длинноволновой радиации (-(50/4) (Эа/ЭТ) = ZIGT)； почва сильно увлажнена, и испарение равно испаряемости (ЭЕ/dW = 0); зависимость испарения с поверхности суши от глобальной температуры воздуха более сильная, чем зависимость выпадающих осадков от той же температуры (ЭЕ/ЭГ- ЭР/ЭГ> 0). -

Полученная система уравнений (4.4.2) может быть сведена к одному нелинейному уравнению относительно влажности почвы

d2Wd2W~、з dWdt,~、з dWdt,+(o2W-0,+(o2W-0,(4.4.3)(4.4.3)

d2W

d2W

~、з dW

dt,

~、з dW

dt,

+(o2W-0,

+(o2W-0,

(4.4.3)

(4.4.3)

где

со2со2S。Эа (ЭЕ dPS。Эа (ЭЕ dP_ 1 d3I <ЭЕ dP}бс jt/_ 1 d3I <ЭЕ dP}бс jt/

со2

со2

S。Эа (ЭЕ dP

S。Эа (ЭЕ dP

_ 1 d3I <ЭЕ dP}

бс jt/

_ 1 d3I <ЭЕ dP}

бс jt/

При замене переменной W = X(t)/皿 со, t = он уравнение (4.4.3) сводится к известному уравнению нелинейных колебаний Рэлея

戈+(文)3 + Х = О,

где точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени. Решая это уравнение численным методом, можно показать, что оно имеет устойчивый предельный цикл (рис. 4.9) и для него характерен резонансный эффект усиления амплитуды внешней гармонической силы, частота которой совпадает с частотой автоколебаний (рис. 4.10). В этом случае уравнение Рэлея имеет вид

X+(X)3 + X-0,05cost.

В рассмотренном механизме дестабилизирующим эффектом является зависимость альбедо от увлажненности, а стабилизирующими 一 нелинейная зависимость уходящей тепловой радиации от температуры и линейная зависимость испарения с поверхности суши от температуры. Характерный период колебаний может составлять десятки и сотни лет. Эта неустойчивость, по всей видимости, также может приводить к хаотической динамике влажности почвы, глобальной температуры воздуха и, следовательно, всех гидросферных процессов.

dW dt

0,4-

~0,4~

Рис. 4.9. Предельный цикл уравнения Рэлея

Рис. 4.10. Фазовый портрет резонансного решения уравнения Рэлея при наличии (7) и в отсутствие (2) гармонической внешней силы

Физический механизм возникновения хаоса

Как объяснить возникновение хаоса в гидросферных и климатических процессах?

На наш взгляд, предварительный ответ на вопрос об устойчивости климата должны дать самые простые модели, учитывающие глобальный тепловой и водный балансы Земли. Про- 150

стые модели климата, типа моделей Селлерса, Будыко, Зальцмана, имеют принципиальный недостаток - в них не отражена динамика водного баланса, поэтому они не способны решить проблему устойчивости.

Выше рассмотрена модель глобального климата Земли, содержащая 14 переменных: температуру приземного слоя атмосферы, концентрацию диоксида углерода в атмосфере, влаго- запас и речной сток в Мировой океан с шести континентов. Модель состоит соответственно из 14 нелинейных уравнений. Было использовано предположение о постоянстве количества воды на Земле, что позволило исключить из рассмотрения водный баланс океана.

Рассмотрим тепловой баланс планеты.

Известно, что Земля на протяжении последних тысячелетий получает постоянное количество солнечной энергии, однако ее значительная часть отражается в космическое пространство. Отраженная часть солнечной энергии - сильно изменяющаяся величина, так как она определяется состоянием поверхности Земли. От того сколько льда и снега на поверхности суши, а в небе облаков, какова площадь океана, как увлажнена суша и что на ней растет, зависит величина энергии, уходящей в космос. Решение проблемы климата, на наш взгляд, заключается в установлении механизма отражательной способности поверхности Земли, которая характеризуется величиной альбедо.

Из всех природных веществ вода имеет наибольшую теплоемкость и наибольшую способность к поглощению солнечной энергии. Например, теплоемкость пустынь равна 0,8-1, а океана - 4,18 Дж/(г • К); альбедо пустынь - 0,28, а океана - 0,06. Наибольшим альбедо обладают ледники планеты, наименьшим - океаны; альбедо облаков колеблется в широких пределах - от 0,29 до 0,86.

Альбедо суши - важнейший параметр климатической системы Земли, характеризующий количество солнечной энергии, поглощенной земной поверхностью. Эта величина существенно зависит от типа почвы, ее цвета, структуры, влажности и вида растительного покрова. Например, альбедо дерново-слабоподзолистой суперпесчаной почвы с сухой поверхностью составляет 0,18-0,24, влажной 0,16-0,18, мокрой 0,11-0,16 и сильно пропитанной водой 0,08-0,11 [Мухенберг, 1967]. О влиянии растительного покрова свидетельствуют следующие данные: альбедо тундры, степи (0,18) больше, альбедо хвойных лесов (0,14); альбедо хлопковых полей (0,2-0,25) больше альбедо полей ржи и пшеницы (0,1-0,2).

Можно приблизительно оценить, как влияет изменение альбедо суши на тепловой баланс планеты и ее глобальную температуру. В среднем для суши при современных климатических условиях влажность почвы в двухметровом слое мала и составляет 10%, что соответствует содержанию в ней слоя воды 0,2 м. Допустим, что влажность почвенного покрова Земли, площадь которого равна 82 млн км2, и влажность аридных и полуаридных территорий (их площадь 31,3 млн км2) увеличились на 0,1 м. Это приведет к уменьшению альбедо системы Земля-атмосфера на 0,01-0,02, вследствие чего температура повысится на 2,3-4,6 ℃. На самом деле эти значения занижены, так как с ростом температуры увеличатся концентрации водяного пара и диоксида углерода, которые хорошо задерживают излучение земной поверхности и способствуют еще большему ее разогреву.

Подчеркнем, что при малых значениях влажности альбедо суши меняется наиболее резко, и небольшие колебания увлажненности материков должны приводить к существенным колебаниям альбедо, а следовательно, температуры. Повышение же глобальной температуры воздуха ведет к росту его влагосодержания (теплая атмосфера содержит больше водяного пара) и к увеличению испарения вод Мирового океана, что, в свою очередь, способствует выпадению осадков на сушу. Дальнейшее повышение температуры и увлажненности материков обеспечивает усиленное развитие природных растительных покровов (например, продуктивность влажных тропических лесов Таиланда составляет 320 ц сухой массы на 1 га, а пустынных степей Монголии 一 24 ц). Это способствует еще большему уменьшению альбедо суши, количество поглощенной солнечной энергии увеличивается, как следствие происходит дальнейший рост температуры и увлажненности.

Подчеркнем, что для описания углеродного цикла было использовано простейшее линейное уравнение, имеющее физический смысл (скорость накопления диоксида углерода в атмосфере определялась как разность источников углерода, например, разложение углеродсодержащих пород, пожары, гниение, химическое выветривание и т.п., и его стоков, например, процессов фотосинтеза на суше и в океане, диффузионного растворения парникового газа в морской воде и т.п.).

Рассматриваемая простая модель гидросферы и климата принадлежит к классу нелинейных динамических систем, которые в настоящее время активно исследуют специалисты различных научных направлений [Малинецкий, Курдюмов, 2001]. Ста-

ционарные решения уравнений этой модели являются неустойчивыми.

Физический механизм неустойчивости заключается в том, что скорость накопления влагозапасов суши за счет осадков превосходит скорость их уменьшения за счет речного стока, а повышение увлажненности суши, как показано выше, вызывает снижение альбедо Земли и далее реализуется положительная обратная связь, что ведет к неустойчивости климата. По существу это означает, что Земля постоянно переохлаждается (ледниковые эпохи, похолодание климата) или перегревается (потепление и увлажнение климата, усиленное развитие растительного покрова - режим пвлажной и зеленой** Земли)..

Неустойчивость климата Земли возникает, когда планетарное альбедо и испарение уменьшаются с ростом влажности, а осадки увеличиваются с ростом температуры. Другие тепловые связи могут только снизить критический порог неустойчивости, но не отменить ее. Стабилизировать неустойчивость могут обратные связи, например, с ростом испарения и речного стока влагозапас в почве снижается и дальше уменьшения альбедо не происходит.

В связи с этим возникает очень интересный вопрос: как будет работать известная гипотеза О.Г. Сорохтина, если ее дополнить водными обратными связями [Прогнозы о ''тепловой угрозе" не оправданы?, 1999]. В самом деле, с ростом испарения увеличивается количество облаков и, следовательно, планетарное альбедо, что способствует понижению температуры, но в то же время из этих облаков больше выпадает осадков, а значит увеличивается влажность почвы, уменьшается альбедо и повышается температура.

Подчеркнем, что причиной неустойчивости современного климата может стать и зависимость испаряемости от влагозапасов (здесь реализуется положительная обратная связь: чем менее континентален климат, тем холоднее лето и меньше испарение, что способствует накоплению влаги на суше и гасит температурные колебания). По-видимому, этот механизм обратной связи характерен для Европы, Северной и Южной Америки, где осадки превышают испаряемость, суша хорошо увлажнена и физическое испарение приближается к испаряемости.

Как было показано выше, предложенная модель климата не только демонстрирует его неустойчивость, но и может иметь сложные хаотические решения (с характерным временем в сотни лет) с небольшой амплитудой (1-2 ℃) изменения температуры, влагозапаса суши и речного стока. Другими словами, возможно

не только глобальное потепление, но и глобальное похолодание климата. Может быть, именно эти режимы проявлялись в изменениях климата Земли за последние 420 тыс. лет (ярко выраженная цикличность климатических процессов этих лет была установлена на основании совместных российско- французско-американских научных исследований ледового керна, добытого из сверхглубокой (3623 м) скважины на антарктической станции "Восток”) [Котляков и др., 2000].

Физический механизм возникновения хаоса можно описать следующим образом. Выше было отмечено, что увлажнение суши ведет к уменьшению глобального альбедо Земли и росту среднегодовой температуры атмосферы за счет большего поглощения солнечного излучения. Детальными расчетами (с учетом общей циркуляции атмосферы) показано, что при глобальном потеплении на 1 ℃ среднее количество атмосферных осадков увеличится на 1,6-2,6%, или в абсолютных единицах - на 2-3 см/год, причем связь между изменением средней температуры и среднего количества осадков существенно нелинейная.

Таким образом, возникает механизм положительной связи: рост увлажненности материков сопровождается уменьшением планетарного альбедо Земли, что в среднем увеличивает температуру воздуха и испарение с поверхности океана. Так как испарение с океана - основной источник влаги для суши, то указанный механизм ведет к увеличению количества осадков и дальнейшей увлажненности материков. Но рост влагозапаса суши не может происходить неограниченно: избыток влаги быстро переводится в речной сток, и суша перестает увлажняться. Далее процесс происходит в обратном направлении: начинается глобальное похолодание климата. Материки больше отражают солнечную энергию, температура атмосферы и осадки уменьшаются, на планете наступает холодная и сухая эпоха с большей разностью экваториальной и полярной температур. Но уменьшившееся количество осадков начинает хорошо задерживаться сушей, испарение и речной сток уменьшаются, влагозапас начинает расти, альбедо уменьшается, климат становится мягким с относительно небольшой разницей температур на экваторе и полюсах. Далее цикл повторяется. На наш взгляд, именно этот нелинейный механизм не дает климатической системе перейти к состоянию нбелой Земли" (такое состояние нашей планеты, когда ее поверхность целиком покрыта льдом и снегом), которое теоретически возможно, но почему-то никогда не осуществлялось на протяжении миллиардов лет.

Очень важным является то обстоятельство, что кроме хаоса в сложной гидроклиматической системе принципиально возможно и противоположное явление, которое можно было бы назвать антихаосом [Дмитриев, 2001]. Если хаотические подсистемы связаны друг с другом, может произойти их спонтанное упорядочение ("кристаллизация**), в результате чего они обретут черты единого целого. В нашем случае этими хаотическими подсистемами являются континенты, колебания запасов влаги которых описываются нелинейными осцилляторами, находящимися под воздействием глобального теплового режима Земли и оказывающими (через альбедо суши) существенное влияние на глобальную температуру тропосферы. Влияние небольших изменений параметров земной орбиты (эксцентриситета, наклона, прецессии) может привести к согласованному поведению этих осцилляторов и сильному изменению климата Земли. Именно процессами синхронизации под воздействием детерминированных периодических колебаний астрономических параметров можно объяснить возникновение и исчезновение ледниковых эпох. Без этого земного нелинейного эффекта слабые изменения инсоляции не привели бы к колебаниям климата. Другими словами можно сказать, что переходы нашей планеты в оледенелое и безледное состояния обусловлены структуризацией гидросферы в невообразимых масштабах времени и происходят и по законам случая, и по детерминированным законам.

Укажем нелинейные механизмы, ограничивающие рост влагозапаса на суше и глобальной температуры поверхности Земли и тем самым стабилизирующие климатическую систему. Например, повышение температуры ведет к увеличению потока уходящей тепловой радиации в космическое пространство вследствие чего рост температуры может прекратиться. Или рост влагозапасов способствует насыщению альбедной зависимости (в самом деле, при любом варианте развития событий альбедо суши не может быть меньшим, чем альбедо океана), и далее эффект уменьшения альбедо перестает действовать.

Однако существуют нелинейные механизмы, способствующие процессу глобального потепления. Например, как уже говорилось, рост концентрации водяного пара и диоксида углерода в атмосфере способствует поглощению длинноволнового излучения поверхности Земли и, следовательно, ее разогреву. Еще один механизм: потепление климата неизбежно ведет к сокращению площади снежно-ледникового покрова поверхности Земли (при увеличении температуры на 1 ℃ площадь

снега и льда уменьшается на 3 млн км2), резкому снижению планетарного альбедо и повышению температуры.

Перечисленные механизмы, на наш взгляд, могут действовать совместно (синергетический эффект). Следовательно, одновременное уменьшение планетарного альбедо вследствие повышения влажности почвы, развития растительности и сокращения площади снежно-ледникового покрова, а также увеличение концентрации основных парниковых газов (водяного пара и диоксида углерода) могут привести к быстрому таянию континентальных ледниковых щитов. Этим можно объяснить феномен чрезвычайной резкости потеплений, который хорошо известен палеоклиматологам [Монин, 1977].

Тщательные расчеты альбедо суши эпохи раннего плиоцена (~6 млн лет назад) показали, что в тот период альбедо поверхности суши Северного полушария было на 0,060 меньше современного и, как свидетельствуют палеоклиматические данные, климат этой эпохи был более теплым и влажным; на средних и высоких широтах Евразии и Северной Америки растительный покров отличался более богатым видовым составом, леса занимали обширные территории, на севере они достигали побережий континентов, на юге их граница проходила южнее границы современной лесной зоны.

Что происходит в настоящее время? Исследования, выполненные в Государственном гидрологическом институте, показали, что водность обширных территорий восточной Европы и западной Сибири увеличивается.

Для выявления причин современных изменений водного режима рек и детального анализа особенностей процессов гидрологического цикла были использованы данные, полученные на семи водно-балансовых станциях, расположенных в лесной, лесостепной зонах Восточно-Европейской равнины. Наблюдения проводили за всеми элементами гидрологического цикла в период с конца 1940-х до середины 1950-х годов. Исследования процессов влагооборота по данным этих станций показали следующее:

по всем станциям в последние 10-15 лет отмечается значительное увеличение годовых сумм осадков (на 50-120 мм), причем наиболее существенное - в летне-осенний период;

рост осадков происходит на фоне повышения температуры холодного периода года и некоторого ее снижения в летний сезон;

следствием увеличения увлажненности стало повышение влагозапасов почвогрунтов в метровом слое на 10-30 мм;

в результате сложившейся ситуации были созданы благоприятные условия для инфильтрационного питания подземных вод; уровни основных водоносных горизонтов повысились на 50-100 см;

увеличение запасов подземных вод привело к возрастанию подземного питания рек.

Ранее было установлено, что в бассейнах рек Волги, Дона, Днепра, Урала и Оби увеличение подземного стока в 19781990 гг. достигало 20-40% от нормы. Стремительно стал подниматься уровень Каспийского моря.

Возникновение линейного тренда средней за год температуры на территории России [Груза, Ранькова, 2003] в период с 1951 по 2002 г. можно объяснить сильной зависимостью теплофизических свойств суши от ее влагозапасов и неустойчивостью водного баланса. Например, эта температура была максимальной в 1995 г. (отклонение от нормы составило 1,9 ℃). Увлажнение речных бассейнов привело к уменьшению амплитуды температурных колебаний, снижению потерь тепла на испарение и прогрессирующему уменьшению альбедо, что в сочетании с неустойчивостью водного баланса привело к возникновению трендов влагозапасов и температуры.

Глава 5

Причины водных циклов

Предложена новая гипотеза о механизме возникновения водных циклов - загадочного явления, которое впервые было описано Э. Брикнером.

Цикличность многолетних колебаний гидросферы

Исследования изменений годового стока рек в различных регионах Земли показали циклический характер этих изменений [Кузин, 1970]. Циклы многоводных и маловодных лет, сменяющие друг друга, различаются по продолжительности и величине отклонения водности от ее среднего значения.

Указания на циклическую изменчивость гидросферы Земли имеются в многочисленных статьях и монографиях, посвященных исследованию колебаний уровней бессточных озер и грунтовых вод, расходов воды в реках. Циклы переходов от холодных и влажных лет к теплым и сухим продолжительностью 35 лет впервые были описаны в XIX в. Э. Брикнером. Однако некоторые исследователи высказывают сомнения в их реальном существовании.

Хорошо известен феномен пульсирующего оз. Чаны (Новосибирская область). Практически для всех бессточных озер мира (Каспийского и Аральского морей, Большого Соленого озера, озер Балхаш и Чад) характерны сложные нестационарные колебания их уровней. Периоды этих циклов различны, например, установлены следующие периоды многолетних изменений стока рек Волжского бассейна: 3, 6, 10, 14 и 19 лет. Особой пестротой характерных периодов отличаются колебания уровней подземных вод: в грунтовых водах Прибалтики наблюдается 5-летняя цикличность, в грунтовых водах средней полосы - 5- и 12-14-летняя, на Северном Кавказе 7-летняя и т.д. [Клиге, Воронов, Селиванов, 1993]. По выборкам стока р. Невы продолжительностью 60 лет средний период колебаний составляет 16 лет [Шелутко, 1976].

На важность проблемы цикличности речного стока неоднократно указывали такие крупные исследователи-гидрологи, как С.Н. Крицкий, М.Ф. Менкель, Н.А. Картвелишвили, В.С. Ковалевский, Д.Я. Раткович. Вместе с тем они отмечали, что физическая природа подобной периодичности не установлена. Обычно наблюдаемую цикличность колебаний стока пытались связать с колебаниями солнечной активности, однако, на наш взгляд, эти циклы объясняются законами сохранения импульса, тепла и воды на Земле.

Известны многочисленные и, к сожалению, не всегда убедительные попытки объяснить возникновение цикличности солнечно-земными связями (колебаниями чисел Вольфа).

Действительно, трудно связать солнечную активность с таким феноменом: цикличность колебаний многолетнего стока Волги сильно изменяется после ее слияния с Камой. В научных дискуссиях гидрологов часто рассматривают такой вопрос: многолетние колебания стока рек - это простая марковская цепь (колебания - стационарный случайный процесс) или эти колебания содержат циклические компоненты? Автору очевидно, что решить этот вопрос, основываясь только на статистических данных невозможно. Необходим отказ от традиционных представлений о многолетних колебаниях речного стока как абстрактно вероятностном, признание его физической основы будет способствовать поиску радикального пути решения данного вопроса [Дружинин и др., 1991]. В области климатологии также до сих пор не установлены физические механизмы возникновения цикличности гидрометеорологических процессов. В работах [Найденов, 1992; Найденов, Юшманова, 1996; Найденов, Кожевникова, Крутова, 1995] описан тепловой механизм испарения с поверхности суши, который позволяет подойти к решению этой интересной проблемы.

Выше (см. гл. 1) было показано, что с увеличением влаго- запасов деятельного слоя суши амплитуда суточного и годового хода температур убывает. Ввиду экспоненциальной зависимости парциального давления насыщающих паров воды от температуры между континентальностью климата и увлажненностью территории возникает положительная обратная связь: увеличение амплитуды температурных колебаний ведет к росту испарения и уменьшению влагозапасов, что еще больше усиливает колебания. Физически это означает, что речные бассейны могут либо прогрессирующе накапливать воду, либо ее прогрессирующе терять. Развитие этого процесса во времени ограничивают многочисленные отрицательные обратные связи,

например, отвод излишков воды в виде речного стока, уменьшение (увеличение) альбедо увлажненной поверхности суши с ростом (падением) влагозапасов и т.д. Получена теоретическая зависимость испаряемости (максимально возможного испарения с предельно увлажненной территории) от влагозапасов. Рост влагозапасов речного бассейна приводит к тому, что все большее количество солнечного тепла будет уходить на нагрев воды, а это обусловит низкие весенне-летние температуры и, следовательно, малое испарение. Исследования зависимости испаряемости от степени увлажненности территории подтвердили предложенную гипотезу. Автором получена аналитическая формула зависимости среднегодовой (среднесуточной) упругости насыщения от амплитуды колебаний радиационного баланса и теплофизических характеристик атмосферы и суши. Так как теплоемкость и температуропроводность суши резко увеличиваются с ростом влагозапасов, то упругость насыщения уменьшается и соответственно уменьшается испарение.

Нелинейные моделимноголетних колебаний речного стока

Между определяющими факторами гидрологических процессов могут осуществляться положительные и отрицательные обратные связи, которые приводят к бифуркациям, неустойчивостям и фазовым переходам.

Среда, с которой имеют дело гидрологи, активна, нелинейна и изменчива во времени, иными словами, это открытая, неравновесная система, непрерывно взаимодействующая с атмосферой, которой свойственно стремление как к порядку, так и к хаосу. Порядок проявляется, в частности, в циклических процессах, хаос - в их отсутствии.

В области динамики многолетних колебаний речного стока существуют следующие проблемы, которые не могут быть решены в рамках линейных представлений о гидрологических процессах:

-является ли речной сток марковским процессом; каким образом из уравнений водного баланса речного бассейна и уравнений движения воды в нем при известных метеорологических факторах получить марковские уравнения стока;

-каков физический механизм возникновения гамма-распределений плотностей вероятностей величин речного стока; каким образом параметры этих распределений связать с климати-

ческими и физико-географическими особенностями речного бассейна;

существуют ли "дальние внутрирядные связи" в годовых величинах стока; является ли автокорреляционная функция (АКФ) речного стока циклической;

в чем причина зависимости коэффициента автокорреляции стока от модуля стока;

каков физический механизм эффекта Харста?

На эти и другие вопросы автор попытается ответить с позиций нового научного направления - синергетики гидрологических процессов*, - основная задача которого - анализ нелинейных процессов в гидрологии.

Нелинейные процессы в гидрологии в настоящее время интенсивно изучаются за рубежом; например, предложены нелинейные, негауссовские модели временных рядов стока, осадков, температуры, широко используются модели с бесконечной памятью, модели с сезонным ходом и пороговые модели [Ozaki, 1985; Vandewiele, Dom, 1989; Tong, 1983; Сох, 1981; Anderson, Meerschaert, 1998]. Отметим, что все упомянутые модели формальные, так как их параметры физически не определены.

Построим простую физическую модель процесса многолетних колебаний средних годовых величин стока и влагозапасов речного бассейна.

Первыми в отечественной гидрологии идею о привлечении уравнения водного баланса для объяснения генезиса стока высказали С.Н. Крицкий и М.Ф. Менкель [Крицкий, Менкель, 1934], затем Л.К. Давыдов [Давыдов, 1946]. Далее она разрабатывалась Н.П. Чеботаревым [Чеботарев, 1962]. Бассейн реки в этом случае рассматривали как резервуар, способный к многолетнему регулированию осадков. Моделирование многолетнего речного стока на основе уравнений водного баланса проводили М. Фийринг, В. Евжевич, В. Клемеш и др. Сводка этих результатов содержится в работе [Фролов, 1985]. Ряд физико-математических моделей речного стока разработан Л.С. Кучментом и его учениками [Кучмент, 1972; Кучмент, Демидов, Мотовилов, 1973]; однако, с помощью этих моделей нельзя объяснить ни один эффект, присущий многолетним колебаниям речного стока. Модели не воспроизводят автокорреляционные функции таких колебаний, зависимость спектральной плотности процесса колебаний от частоты, не объясняют длительные выбросы в

В последние годы данное направление активно развивается в лаборатории поверхностных вод ИВП РАН.

колебаниях, зависимость коэффициента изменчивости стока от его модуля и т.д. Не случайно результаты, полученные при разработке этих моделей речного стока, не были использованы для прогнозирования уровня Каспийского моря, однако это в конечном итоге и привело к ошибочному прогнозу. Источником сложности гидрологической системы может быть ее динамика, а представление о неточности наших знаний об этой системе как причине неудовлетворительного прогноза оказывается иллюзорным. По нашему мнению, практика гидрологических прогнозов требует принципиально нового подхода. Мы должны знать, как ведет себя водный объект (река, водоем) на больших отрезках времени хотя бы в принципе.

Введем следующие переменные состояния R(t) = {Ux(t), 。2«)}, где Ui«) -многолетний влагозапас речного бассейна (суммарные запасы воды в озерах, водохранилищах, почвогрунтах, речной сети; запас подземных вод и т.д.), U^t) -многолетний суммарный речной сток (для простоты поверхностный и подземный сток разделять не будем). Влагозапасы и речной сток сильно изменяются под воздействием климатических факторов (прежде всего осадков и испарения), поэтому в дальнейшем их величины будем рассматривать как случайные функции времени, т.е. А«) - случайный вектор, Ux(t), 。2«)— случайные функции времени.

Система уравнений водного баланса бассейна и динамики речного стока имеет следующий вид:

写=戸一百(% ) 一u2 +。自⑴-02自2⑴， at

dU2 _ U2H = g(心丽dU2 _ U2H = g(心丽(5.2.1)(5.2.1)

dU2 _ U2

H = g(心丽

dU2 _ U2

H = g(心丽

(5.2.1)

(5.2.1)

здесь 尸-средняя величина атмосферных осадков, Е(Ц)- суммарное испарение со всех видов поверхностей бассейна, &加(m = 1,2) - взаимно независимые случайные функции, обладающие свойством белого шума, от(т = 1,2) - интенсивности белых шумов осадков и испарения. В многочисленных исследованиях установлено, что спектр осадков и испарения постоянен, и это оправдывает допущенные предположения о моделировании их белым шумом.

В уравнение динамики речного стока случайные переменные не введены, так как пористость водопроницаемых пластов реч-

ного бассейна и состояние растительного покрова значительно менее изменчивы, чем осадки и испарение.

Систему （5.2.1） можно записать в виде стохастических дифференциальных уравнений [Свешников, 1968]

72

号= *（%“）+ &/ = 12（5.2.2）

где *（%,%）=戸-夙u1）-и2,52（几u2）=虱。1）-u2/%（u1），

gll = d'gl2 = -O2'g21 = Q 822 = 0・

Пусть значения ординат 。匕 U2 в момент времени t будут Хь X?, а их значения в момент т（т > t） 一耳,厶.В этом случае, исчерпывающей характеристикой процесса будет двумерная условная функция распределения или плотность вероятности р&М，/； £%%）

Напишем уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для системы （5.2.2）

где %（%,%）= *（%，У2）=戸-百（%）-%，

%（%，У2）=屮2（%，丁2）= g（%）- У2 / 以％），Ь]] = O] + 仃2 = Ь,仇2 =匕21 = ”22 = O'

Начальное условие т = Z,p（Z1,x1,x2，①，У“2）= 3（% -石）3（先一 -%2）・В дальнейшем для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова будем использовать только это начальное условие.

Системы уравнений водного баланса и динамики речного стока будем исследовать в предположении стационарности климата.

Пусть у；,у； - стационарные значения стока и влагозапаса соответственно

Р-Е（у1）-у1=0,

以 y；）g（y；）-%=0，（5.2.3）

У； >0，У； >0.

Введем следующие коэффициенты:也=dE/dyN =dgldy, 卩3 =成 / d%,卩4 = 1 / k(yl),也=卩2 + У詛3卩；•

Набор этих коэффициентов показывает, насколько сильно испарение с поверхности водосбора; характерное время релаксации и коэффициент сопротивления движению воды в бассейне зависят от влагозапаса.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(5.2.4)(5.2.4)豐= -Щ（М -У；）-（У2 -У；）+ 5&1«）-О2&2«）， at

(5.2.4)

(5.2.4)

=卩5（m一犬）-卩4（У2 一右）•

at

Нелинейная система (5.2.2) и ее линейный вариант (5.2.4) описывают физическую модель многолетних колебаний стока и влагозапасов.

Физический механизм цикличностиавтокорреляционной функции речного стока

Если коэффициенты Ь“ постоянны, а коэффициеты 〃/- линейные функции координат, то соответствующее уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова имеет точное решение.

Пусть 3 = %-у；；д = У2-У； - влагозапас и речной сток, отсчитанные от средних многолетних значений. Напишем уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для линейной системы (5.2.4)

I+总(-峥+К [(峥-以切]T礬=。■

Введем операции математического ожидания М и дисперсии случайных процессов влагозапасов и стока D

"(со) = 0, "(4)= 0, D(co)=唸 D(q)=吟

Тогда г = M(sq) / 不D(s)D(q) является коэффициентом корреляции между случайными процессами влагозапаса и стока.

Найдем стационарную плотность вероятности влагозапаса и стока

伏з, 4)=7=v exp

2gs产

2（1-产）& 限3 0；丿

Дисперсии и коэффициент корреляции определяются из стационарного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова

r= j 卩： 0 :4+К+卩5

"V卩心4 +卩:+卩5 '"一 J2((l]+卩4X卩心4+卩5)，

О - l

g )2(卩1+卩4)(卩心4+卩5)・

Отметим, что при 同一》8 (время инерции стока очень мало) г-» 1, т.е. в этом случае речной сток функционально зависит от влагозапасов бассейна; на эту величину также влияют климатические факторы (испарение) и гидрогеологические особенности строения бассейна (коэффициент сопротивления).

Воспользуемся динамико-стохастической моделью колебаний (5.2.1) для объяснения цикличности автокорреляционной функции речного стока. Покажем, что на основе системы (5.2.1) теоретически можно установить цикличность автокорреляционной функции речного стока, а следовательно, и влагозапасов бассейна. Из системы (5.2.4) исключаем переменную, обозначенную со, и получаем одно уравнение для колебаний речного стока

+=(5.3.1)

Е«) =卩 5[О&«)-О2&2«)]，

2Л = ц1+|14,

2

九=卩山4+卩5・

Уравнение (5.3.1) описывает колебания маятника под действием случайной силы.

Автокорреляционная функция процесса колебаний стока затухает с осцилляциями [Свешников, 1968]

C(t)二o；e-m(cos7и2 -h2T + 刁 *sin J九2 _/12cx т>0.

yn2 -h2

График автокорреляционной функции при различных значениях параметра h приведен на рис. 5.1.

Спектральная функция процесса колебаний стока получается преобразованием автокорреляционной функции речного стока

20^九 2

S (со) = 55—у, 0 w CO 言 8 .

八71(CO?-*)2+4/12co2，

Рис. 5.1. Автокорреляционная функция речного стока при h = 0,2 (7), 0,1 (2), 0,5 (3) и и = 1,28

Рис. 5.2. Зависимость спектра случайного процесса колебания речного стока от частоты ① при h = 0,5 (7), 0,3 (2), 0,7 (3) и м = 1,28

Зависимость спектральной функции от частоты приведена на рис. 5.2.

При n>h автокорреляционная функция экспоненциально затухает с осцилляциями. Полученная корреляционная функция, зависит от трех параметров - о；,九 и /г, значения которых существенно влияют на процесс колебаний стока и предопределяют общий характер его реализации. Параметр h (время инерции стока) характеризует быстроту убывания корреляционной зависимости между ординатами процесса (чем больше /г, 166

тем связь убывает быстрее). Значение h/Nn2 —h2 характеризует степень нерегулярности процесса: при малом значении этого отношения значения процесса, взятые через промежутки времени 271/，*-*, оказываются сильно коррелированными, и реализация процесса становится больше похожей на синусоиду; при большом значении отношения периодичность с частотой J九2 - становится незаметной.

Если h> п, то автокорреляционная функция речного стока затухает монотонно, без осцилляций

C(t) = o『T chj/?-九2工 + 〃一'sh J/?-九2t .

Найдем автокорреляционную функцию производной dq!dt = ^ речного стока

C(t)=说几廿依C(t)=说几廿依COS J九2 _/12 c —— *二 sin J九2 _ 工,T>0.

C(t)=说几廿依

C(t)=说几廿依

I丿

Спектр производной речного стока получается из следующего соотношения [Свешников, 1968]:

5.(С0)=5.(С0)=九 2cО?九 2)2 +4/?疗九 2cО?九 2)2 +4/?疗S. = 5_со2,q 4'

5.(С0)=

5.(С0)=

九 2cО?

九 2)2 +4/?疗

九 2cО?

九 2)2 +4/?疗

0 w co w ©о.

Спектр процесса колебаний речного стока может иметь экстремум на частоте со* = и2 - 2h2, при 2h2 > и2 (это условие означает, что время инерции стока очень мало) экстремум вырождается; спектр же производной этого процесса всегда имеет экстремум на собственной частоте осциллятора (5.3.1) со* =九2 независимо от величины h. Это свойство осциллятора можно использовать при анализе временных рядов речного стока: если в спектре приращений величин стока имеется экстремум, то частота, на которой он достигается, является собственной частотой колебаний речного стока. Одновременно это указывает на то, что колебание стока не является марковским процессом первого порядка. Спектры временных рядов приращений средних годовых расходов некоторых рек иллюстрируют рис. 5.3 и 5.4.

Рис. 5・3・ Зависимость спектральной функции от частоты со для временных рядов приращений стока сибирских (а) и американских (6) рек

1 - Тура, 2 - Иртыш, 3 - Томь, 4 - Амур, 5 - Енисей;

1 - Ниагара, 2 - Лауренсия, 3 - Колумбия, 4 - Миссури

Рис. 5・4・ Авторегрессионные оценки спектра приращений стока европейских рек (а), максимальных уровней весенних половодий Волги (Астрахань) и вторых разностей уровня Каспия (6)

а: 1 - Волга, 2 - Дунай, 3 - Неман, 4 - Днепр; б: 1 - Волга, 2 - Каспий, 3 - Волга (Астрахань)

Характерные периоды колебаний приращений стока некоторых рек, полученные методом моделирования на основе спектрального анализа временных рядов натурных данных, приведены в табл. 5.1.

Линейную модель (5.3.1) можно использовать для определе-

Таблица 5.1. Характерный период колебаний некоторых рек

Река

4g и =——

%

7； год

(расчет, Т = 2л/л)

7； год

(натурные данные)

Волга

1,06

5,92

5,26

Днепр

1,28

4,91

5,26

Дунай

0,9

6,97

5,55

Неман

1,26

4,98

5,55

Енисей

1,09

5,78

3,28

Томь

1,29

4,86

5,11

Тура

0,82

7,68

7,17

Колумбия

0,82

7,68

8,56

Миссури

1,07

5,85

6,01

ния выбросов случайного процесса колебаний речного стока. Основные приложения теории случайных выбросов применительно к стоковым рядам рассмотрены в работах [Бовыкин, 1978; 1980; Румянцев, Бовыкин, 1994] на основе формального статистического подхода к гидрологическим явлениям, который превалирует как в отечественных так и в зарубежных исследованиях.

Для стационарного случайного процесса, описываемого уравнением (5.3.1), задача о выбросах решена полностью, т.е. определены вероятности заданного числа выбросов в течение данного промежутка времени и установлен закон распределения времени пребывания случайных процессов выше заданного уровня.

Применим теорию о выбросах случайного процесса к определению среднего числа выбросов в единицу времени за фиксированный уровень. Соответствующая формула имеет вид:

=——exp叫=——exp叫(〃-q)2、(〃-q)2、n=—exp - 71n=—exp - 71（"不）、2e丿（"不）、2e丿

=——exp

叫

=——exp

叫

(〃-q)2、

(〃-q)2、

n

=—exp - 71

n

=—exp - 71

（"不）、2e丿

（"不）、2e丿

Здесь а - расход воды в реке, по которому подсчитывается выброс. Величину п можно приближенно оценить по данному временному ряду по формуле п = J唸 / о；, где о； - выборочная дисперсия анализируемого временного ряда стока, а о^ - выборочная дисперсия временного ряда приращений стока. По этой формуле были рассчитаны выбросы речного стока за различные уровни водности. Удовлетворительное совпадение расчетных и

Число выбросов

Рис. 5・5・ Зависимость числа выбросов стока р. Волги от уровня водности

7 - расчет, 2 - наблюдение

Рис. 5・6・ Зависимость числа выбросов р. Неман от уровня водности 1 - расчет, 2 - наблюдение

Приращение уровня, м

Рис. 5.7. Зависимость числа выбросов приращения уровня Каспия от величины приращения

/ - расчет, 2 - наблюдение

натурных данных (рис. 5.5-5.7) свидетельствует об адекватности физико-математической модели реальному процессу колебаний речного стока.

Водные циклы - крупномасштабные автоколебанияв системе атмосфера-суша

Для доказательства возникновения автоколебаний речного стока используем основные понятия нелинейной теории динамических систем [Ланда, Розенблюм, 1992]. Для возникновения автоколебаний необходима система, состоящая из двух уравнений. Систему (5.2.1) запишем в более простом виде. Введем следующие переменные состояния: х — влагозапас в речном бассейне (сюда входят запасы поверхностных и подземных вод, почвенная влага, вода озер и болот, влага растений), у — речной сток замыкающего створа бассейна. Получим следующую систему:

(5.4.1)(5.4.1)^ = P-E(x)-y = fl(x,y),

(5.4.1)

(5.4.1)

dt k{x)

Здесь P - осадки, Е(л) 一 испарение, G - эффективное ускорение

сил тяжести, сил Кориолиса, центробежных сил и поверхностных сил, действующих на массы воды в бассейне, 1 伙(х) - коэффициент сопротивления речного бассейна движению воды (сюда входит сопротивление склоновому стоку и движению поч-венной влаги, а также подземному стоку), который тесно связан с физико-географическими особенностями бассейна. Например, одни и те же значения атмосферных осадков (0,5-0,55 м/год) имеют бассейны рек Онеги и Оки, однако их стоки резко различаются: сток Онеги равен 50-70% годовых атмосферных осадков, а Оки - только 30-40%. Объяснить это можно тем, что физикогеографические характеристики данных бассейнов различны. Коэффициент к(х) ввиду указанных особенностей изменяется в очень широких пределах, а испарение Е(л) - более стабильная характеристика. В соответствии со сказанным будем считать, что Е(х) - убывающая, а %(х) - возрастающая функция влагоза- пасов, так как рост влагозапасов в бассейне приводит к сильному увеличению речного стока ("сухой" бассейн оказывает большое сопротивление переводу осадков в сток, так как их большая часть может уйти на увлажнение почвы, заполнение неровностей поверхности земли, стоку этих осадков в бессточную область, где они испарятся в атмосферу). Например, после сильного дождя почва будет насыщена водой, так что влага других дождей будет быстро достигать реки по поверхности земли.

Для простоты примем, что существуют две области влагозапасов, характерного изменения испарения и коэффициента сопротивления, разделенные некоторым значением влагозапаса /р. В первой области примем, что Е(х) и %(х) линейны, а во второй - постоянны и уже проявляются эффекты насыщения. Таким образом,

Е(х)=综一九(х-Хр) и k(x) = kp +р(л-лр) прихЕ/р,Е(х) = /р и 左(х) = %р прих N Хр.

Параметры 九 и 0 отражают силу указанных зависимостей. Значения 九 в основном зависят от климатических параметров (радиационного баланса, скорости ветра, влажности и температуры воздуха), а также от теплофизических свойств почвогрунтов бассейна. Песчаник, суглинок, песчаная степь, торфяники имеют различную пористость, их коэффициенты тепло-, влаго- и температуропроводности сильно различаются. Параметр Р существенно зависит от вязкости воды, пористости почвогрунтов, наличия трещино-карстовых отложений и т.д.

По существу второе уравнение в системе (5.4.1) представляет собой известное уравнение многолетних колебаний речного

Сток, м/годСток, м/год0,270,230,190,150,270,230,190,15Рис. 5・8・ Предельный цикл модели колебаний речного стокаРис. 5・8・ Предельный цикл модели колебаний речного стока

Сток, м/год

Сток, м/год

0,27

0,23

0,19

0,15

0,27

0,23

0,19

0,15

Рис. 5・8・ Предельный цикл модели колебаний речного стока

Рис. 5・8・ Предельный цикл модели колебаний речного стока

стока, записанное в дифференциальной форме и дополненное нелинейной связью стока с влагозапасами бассейна.

Стационарные точки системы (5.4.1) л^ и ys определяются из условий dxldt = 0, dy/dt =0. При определенных условиях система (5.4.1) имеет устойчивое автоколебательное решение с различными периодами и амплитудами, определяемыми собственными внутренними нелинейными свойствами природной системы атмосфера-суша. Эти периоды и амплитуды зависят от соотношения параметров 九 и pG, соотношения осадков и испарения, т.е. определяются как климатическими, так и физико-географическими особенностями речного бассейна, а именно этими факторами обусловлена пестрота периодов циклов уровней подземных вод. Например, при 九=Z(xJ период автоколебаний влагозапасов и стока может быть оценен по следующей простой формуле:

J 九(|3G -九)

если 九=0,5 l/год n^G= 0,55 1/год, то Т = 38 лет. При прочих равных условиях амплитуда и период предельных циклов увеличиваются с ростом степени зависимости испарения и коэффициента сопротивления от влагозапасов и увеличением разности осадков и испарения (эффективных осадков) в речном бассейне.

С повышением стока реки в бассейне амплитуда колебаний влагозапаса уменьшается, а период увеличивается. Предельный цикл модели колебаний иллюстрирует рис. 5.8.

Рассмотрим более общие условия возникновения автоколебаний в системе (5.4.1). Разложение правой части в окрестности особой точки имеет вид

\X = aх + by + a^х +%i^y + %2y +a30/ +a21/ y + 胃2丐 +%3у

^ = CX+ dy + b2QX2 + 仿 pry + 瓦2y2 + ^30^3 + %]/2У + 42切2 + b03^ + …，

(5.4.2) где

"_苏(鼻，然)〜苏(%%)("然)(2，%) oxdydxdy

”《 + /)! 8£力丿’”《 + /)!&£»，

В системе (5.4.2) х и у - величины, отсчитанные от равновесных значений х$ и Ys； коэффициенты в этой системе будут выглядеть так:

a = X = -E\xs), b = T c = G<2)+酱*, 2 = -号5，

_ E〃(Z)_ &〃(2)

々20 —，々30 —7，aQ2 — 0，4()3 — 0，

%] = 0, %? — 0, 4^21 = 0,

^Gg + ys о^Gg + ys о&o=； G〃“s)+ ys&o=； G〃“s)+ ysla)la)/〈WE)-6—RQ…—/〈WE)-6—RQ…—

^Gg + ys о

^Gg + ys о

&o=； G〃“s)+ ys

&o=； G〃“s)+ ys

la)

la)

/〈WE)

-6—RQ…—

/〈WE)

-6—RQ…—

瓦2 = 0， %з =。’ 41 = 2c，

42 = °，42 = °，H“s)3廿@)H“s)3廿@)

42 = °，

42 = °，

H“s)

3廿@)

H“s)

3廿@)

При их подстановке в систему она примет видх = aх + by + «20%2 + asod

y = cx + dy + ^o^2 + 许陷 + b2}x2y + b3Qx3.

Эта система имеет сложный фокус, если

(5.4.3)(5.4.3)Jo = a + d = 0[S = ad-bc>Q.

(5.4.3)

(5.4.3)

Вычислим следующий параметр:

a3 =-必-3/2{呢(说1 +%仇2 +%241)+而(*i +出()41 +% 也 0)+

+c (% №2 + 2%2 b02)- 2ас(Ь°2 - 〃20%2)- 2ab(a?。- ％o瓦2)-

-Z?2 Q&o% + 4也0 ) + 3c - 2a2 )3也-% 1出0)-

-(а2 + bc)[3(cbQ3 -ba3Q) + 2a(a2i + Z?12) + (c«12 - bb2Q)]}.

Если о = 0 и 0C3 H 0 при X = Ao, то при переходе через Хо фокус меняет устойчивость, и от него отделяется единственный предельный цикл (см. рис. 5.8), устойчивость которого зависит от знаков о' = Но / 8九 и 0С3 в точке 左.При

a3 (九0)V。 5&)>0 九 > 九0a3 (九0)V。 5&)>0 九 > 九0илиилиa3 (九0)V。 0‘&)V0大V九0a3 (九0)V。 0‘&)V0大V九0

a3 (九0)V。 5&)>0 九 > 九0

a3 (九0)V。 5&)>0 九 > 九0

или

или

a3 (九0)V。 0‘&)V0

大V九0

a3 (九0)V。 0‘&)V0

大V九0

цикл устойчив. Учитывая условия (5.4.3), для периода автоколебаний получим: Г = 2к/ л/|~^]・

Наиболее яркую модель предельного цикла предложили лауреат Нобелевской премии М. Эйген и П. Шустер. "Представим, что с гор и горных плато вниз, в долину стекают ручьи и потоки, наполняя высокогорное озеро. Каждый ручей, каждый поток течет по своей траектории, которая зависит от гравитационного поля и особенностей ландшафта, а конечная точка всех траекторий предопределена. Но можно мысленно изменить гравитационное поле так, что все траектории, не достигнув озера, сольются в один поток, циркулирующий над долиной по некоторой замкнутой кривой. Это и есть предельный цикл по Эйгену" [Мучник, 1985].

Примеры. Система

х = Хх-у-0,5х2 -л3

у = 2х- 0,4у-х2 - 0,5ху - 4円 + 6d

имеет предельный цикл при 九 > 0,4. Положим, что при 九=0,5 приблизительный период колебаний равен 4,63. Амплитуда колебаний переменной х находится в пределах от -0,25 до 0,3, переменной у-от -0,42 до 0,38.

Если принять в системе (5.4.1)左(х) = const, тогда Ьп = 0, %1 = 0, и система

(

X = Х*Х — У — /2 — /3

у = 0,5л-0,4у--х2 +/3

имеет предельный цикл при 九 > 0,4. При 九=0,5 амплитуда колебаний переменной х находится в пределах от -0,2 до 0,3, а переменной у - от -0,25 до 0,15. Период колебаний составит примерно 10,7.

Если дополнительно принять 昆。=0, b3Q = 0, то в системе

х = Ух-у-х1 - х^

У = 0,3х — 0,1у

тоже будет существовать предельный цикл при X > 0,1. При 九=0,15 амплитуда колебаний переменной х находится в пределах от —0,36 до 0,34, а переменной у — от -0,25 до 0,13. Период колебаний 11,7.

Механизм возникновения автоколебаний влагозапасов и речного стока можно рассматривать и с иных позиций. В самом деле, у нас есть неустойчивая точка, нелинейность процесса испарения, потенциально стабилизирующий элемент системы — речной сток - запаздывает по времени, так как расстояние между местом выпадения осадков и руслом реки велико (время добегания может составлять годы), поэтому здесь возможны автоколебания, подобные автоколебаниям в системах с запаздыванием. Например, натурные исследования [Соколов, Завилей- ский, Морунич, 1994] изотопными методами показали, что речные воды представляют смесь из разновозрастных, преимущественно подземных вод, причем для 50% вод характерен "возраст" 10-12 лет (даже для маленьких водосборов). Это означает, что математически описывать данное явление необходимо с помощью нелинейных дифференциальных (или дискретных) уравнений с запаздывающим аргументом .

Существуют такие области изменения параметров уравнений (5.4.1), в которых колебания влагозапасов и речного стока являются затухающими (устойчивые состояния равновесия). Таким

образом, небольшой речной бассейн представляет собой осциллятор, генерирующий колебания влагозапасов и речного стока определенной частоты. Если представить, что эти бассейны не взаимодействуют друг с другом, то при слиянии рек этих бассейнов, например, Верхней Волги и Камы, в спектре колебаний расходов воды Нижней Волги будут содержаться колебания, как минимум, на двух частотах. Отсюда следует, что спектр колебаний уровня большого бессточного водоема, например Каспийского моря, должен содержать характерные частоты колебаний индивидуальных водосборов рек его бассейна (Оки, Камы, Вятки, Ветлуги, Белой, Урала, Терека и т.д.). Следовательно, уровень моря, являясь интегрирующим показателем увлажненности своего бассейна, может обнаруживать сложное нестационарное колебание с несколькими частотами. Без описания генезиса этих колебаний невозможен дальнейший прогресс в прогнозировании уровенного режима Каспия.

Можно представить и такую ситуацию. Допустим, что несколько водосборов генерируют колебания близкой частоты, тогда некоторый водосбор, генерирующий колебания другой частоты, может настроиться на колебания этих нескольких водосборов (за счет атмосферного переноса тепла и влаги), подобно тому, как смычковые и духовые инструменты, являясь автоколебательными системами, подстраиваются под некоторый средний фон всего оркестра (явление затягивания частоты). Именно этим механизмом автор данной монографии объясняет засухи, поражающие обширные территории. Физический механизм этого явления следующий. Допустим, что вследствие атмосферных процессов в течение ряда лет осадки малы. В этом случае влагозапас деятельного слоя суши резко падает, его прогреваемость ввиду уменьшения эффективной теплоемкости сильно увеличивается, что способствует еще большей диффузии влаги в атмосферу. Может возникнуть такая ситуация, что раскаленная поверхность суши будет превращать выпадающие осадки в пар еще в атмосфере, т.е. реакция суши на выпадение малого количества осадков будет существенно нелинейной. Адвективный перенос тепла и влаги в атмосфере будет распространяться и на соседние территории, осуществляя взаимодействие между речными бассейнами.

Именно описанными выше автоколебательными режимами можно объяснить возникновение 200-летних периодов миграции и вторжений азиатских кочевников в 300-1600-е годы на северные территории, отмеченные в работе [Гончаров, 1994], а не долгопериодическим колебанием солнечной активности (см.

критику этой гипотезы в статье [Бялко, 1994]. С помощью указанного механизма также можно объяснить асинхронность и синхронность колебаний речного стока; два различных притока одной и той же реки могут колебаться в противофазе, а несколько бассейнов, генерирующих колебания одинаковой частоты, 一 образовывать центры маловодья или многоводья и обусловливать их миграцию по обширным территориям, например от Восточной Европы до Дальнего Востока.

Этим же механизмом может быть обусловлена и цикличность колебаний прироста годичных колец деревьев, загадочность возникновения которой давно волнует дендрологов. Со времени формирования первых приближенных представлений о взаимосвязи между факторами среды и приростом деревьев до наших дней выполнено множество оригинальных исследований, но по-прежнему вопрос о влиянии различных факторов на величину годичного прироста деревьев является одним из наиболее дискуссионных в экологической анатомии, физиологии, лесоведении и других научных дисциплинах, в которых годичные кольца деревьев используют в качестве индикаторов.

На закономерную повторяемость прироста широких и узких колец обратил внимание еще Ф. Шведов (1892 г.), которому удалось построить на этой основе прогноз засух на территории черноземной полосы России. Несколько позднее американский астроном А. Дуглас (1919 г.), основываясь на результатах дендрохронологических исследований, разработал теорию климатических циклов. Отметим, что имеются в виду циклы различной продолжительности, а не только периоды колебаний чисел Вольфа (циклы в 11 и 22 года буквально заполонили геофизические исследования).

В исследованиях Н.В. Ловелиуса построена принципиальная схема изменчивости прироста хвойных деревьев. Анализ обобщенного графика временной зависимости хода роста деревьев показал, что он имеет волновой характер. Закономерно повторяющиеся максимумы и минимумы внутривекового ритма проявляются на фоне восходящей волны ритма значительно большей продолжительности.

Попытки выявить причину изменчивости в приросте деревьев предпринимались давно, но их результаты были противоречивы и не позволили решить проблему. Интересно мнение о том, "что ритмика ландшафтной оболочки - это не гипотеза, а закон" [Колесник, 1970]. Учитывая широкие интервалы изменения как климатических параметров, так и параметров водосборов, в которых осуществляются колебания влагозапасов, в свою оче-

редь влияющие на скорость прироста деревьев, можно предположить, что именно эти автоколебания и регистрируются дендрохронологией. Указанным механизмом можно объяснить парадокс опережения на год пульсации прироста деревьев по отношению к пульсации водности рек и засух [Полюшкин, Ларионов, Мартынов, 1977]. Нами установлено, что экстремумы влагозапасов в бассейне реки на 1 - 2 года отстают от экстремумов стока. С учетом данного эффекта можно объяснить наблюдаемый в последние 20 лет феномен резкого подъема уровня Каспия. Казалось бы, ничто не предвещало этого подъема, так как сток Волги в 1970-1977 гг. был даже меньше, чем в 1930-е годы, и страна готовилась к переброске северных рек на юг. Однако данные, полученные на 50 станциях в заповедниках (где сельскохозяйственная деятельность не оказывала влияния на влагозапас), показали, что влагосодержание в метровом слое почвы имело устойчивую тенденцию к росту. Для Европейской территории нашей страны влагозапас увеличивался всюду и во все сезоны со скоростью до 3 см за 10 лет [Голицын, 1990]. Одновременно уменьшалось испарение с поверхности бассейна Волги. Все было готово к природному катаклизму, и, накопив влагу, бассейн моря начал отдавать ее Каспию, что и выразилось в увеличенном стоке Волги в последние десятилетия и, следовательно, в подъеме уровня воды. В модели (5.4.1) среднегодовое количество осадков считалось постоянным. Однако реально эта величина отличается достаточно большой изменчивостью в пространстве и во времени. Если предположить, что колебания количества осадков можно описать белым шумом, то циклы, генерируемые системой (5.4.1), будут искажены шумами и выглядеть не такими правильными, как на рис. 5.8. Высокочастотный белый шум будет подавлять амплитуды гармоник высокой частоты (поэтому их так трудно выделить из данных наблюдений), меньше белый шум будет сказываться на амплитудах гармоник низкой частоты (эти гармоники также трудно выделить, так как их период сравним с периодом наблюдений). Если предположить, что количество осадков циклически меняется, то при совпадении периодов автоколебаний и циклов осадков возможны резонансные явления: амплитуды колебаний влагозапасов и стока резко возрастают. Действительно, большое количество выпавших осадков увеличивает влагозапас и, следовательно, уменьшает интенсивность испарения. Оба эти фактора действуют совместно, что приводит к прогрессирующему накоплению влаги в бассейне, именно этот резонансный эффект ответственен за катастрофический подъем Каспийского моря.

Значит с учетом зависимости испаряемости (и, следовательно, испарения) от влагозапасов суши система уравнений водного баланса и баланса количества движения воды в речном бассейне оказывается существенно нелинейной и неустойчивой, что приводит к автоколебательным решениям этих динамических уравнений. Устойчивость предельных циклов по отношению к конечным возмущениям их амплитуд дает основание предполагать, что эти автоколебания встречаются в природе. Следовательно, водные циклы - крупномасштабные автоколебания в системе атмосфера -суша.

Таким образом, учет взаимного влияния климатических и гидрологических процессов показал, что изменения средних значений запасов влаги, речного стока, испарения, амплитуды температурных колебаний поверхности суши за многолетний период времени имеют автоколебательный характер. Этот факт противоречит существующим постулатам стохастической гидрологии. Описание многолетних колебаний речного стока, уровней водоемов простыми цепями Маркова (или их усложненными модификациями), т.е. линейными уравнениями, неудовлетворительно с физической точки зрения, так как их решения единственны и глобально устойчивы. С учетом термодинамики необратимых процессов это означает, что гидрологическая система во всем диапазоне изменения своих параметров (температуры, скорости и влажности воздушных масс и т.д.) находится на термодинамической ветви и никогда не теряет устойчивость. Это очень смелое предположение, так как большинство реальных физических систем при достаточном удалении от состояния термодинамического равновесия ведут себя сложным образом. Но никаких оснований предполагать, что неустойчивости с существенно нелинейными эффектами, свойственные движению воздушных масс, движению воды в речном бассейне, процессам кристаллизации, конденсации и испарения воды, при усреднении исчезают, и гидрологическая система все время находится в устойчивом состоянии.

Классическим примером бесперспективности такого подхода стала известная ситуация с прогнозом уровня Каспийского моря. Возьмем, например, работу В. Привальского [Привальский, 1981], выполненную в 1980 г. (длительный и резкий подъем уровня Каспийского моря был еще впереди), и оценим ее предсказательную силу.

Оптимальный вероятностный прогноз колебаний уровня моря, сделанный на основании линейного стохастического уравнения водного баланса, показал, что с отметки -26,07 м абс. (по 180

данным гидропоста в Баку, 1930 г.) уровень к 1940 г. должен был понизиться на 5 см и составить -26,12 м абс. На самом деле в том году уровень Каспийского моря из-за катастрофического падения стока Волги в 1930-е годы был -27,79 м (ошибка на 1,67 м!). Автор добросовестно оценил вероятность такого падения уровня моря. Она оказалась ничтожно малой, равной 0,0007. Однако через 40 лет ошибка повторилась. Из его статьи следовало (прогноз действительно был прогнозом, так как автор не знал его результатов), что уровень Каспия в 1995 г. должен был бы равняться -29,00 м. Однако вопреки предсказанию уровень моря оказался на 2,5 м выше.

С учетом сказанного подчеркнем, что реки 一 не только пассивный продукт климата, они играют важную климатообразующую роль, регулируя влагозапас суши и, следовательно, одну из важнейших климатических характеристик - испарение. Климатическая изменчивость гидрологических процессов - фундаментальный фактор, который в физико-математических моделях гидрологии должен присутствовать явно, а не в виде формальных статистических характеристик (средних дисперсий, корреляционных функций и т.п.).

55 Марковские процессымноголетних колебаний речного стока

В настоящее время проблема многолетних колебаний речного стока решается на эмпирическом уровне с использованием основных статистических характеристик (коэффициентов автокорреляции, изменчивости и асимметрии) временных рядов стока [Рождественский, Ежов, Сахарюк, 1990].

В стохастической гидрологии для описания колебаний стока успешно применяют марковские процессы, например, случайный процесс многолетних колебаний стока Волги можно описать дискретным уравнением авторегрессии первого порядка [Христофоров, 1995]

V«)= D + 0,4[ V" -1) - D] + £«), (5.5.1)

где V = 242,9 км3/год, £(。- дискретный белый шум с нулевым средним и дисперсией 0,84。у, где Dv- дисперсия стока, t- дискретное время.

Пусть уравнению (5.5.1) соответствует уравнение с непрерывным временем. В этом случае получим стохастическое диф-

ференциальное уравнение Орнштейна-Уленбека

dXt=-kXtdt-^GdWr(5.5.2)

где Xt =(Vt-V)/V, о = CV72T, о - интенсивность белого шума, Су - коэффициент изменчивости речного стока,叱一 стандартный винеровский процесс, /г1 - время релаксации речного стока.

Уравнению (5.5.2) соответствует уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова

др дО? д2р

—=—(Ьф) + ——^,-8 VX <8.

dt Эх2 8х

Это линейное уравнение имеет точное решение

〃(%,/)=2〃=0〃(%,/)=2〃=0

〃(%,/)=2

〃=0

〃(%,/)=2

〃=0

где Нп - полиномы Эрмита.

Так как р(х,01 хо,О) = 3(х - х0), где 8 - функция Дирака, то

Автокорреляционная функция колебаний стока имеет вид е~” поэтому коэффициент к определяется по формуле к = —In厂， где 厂-коэффициент автокорреляции годового стока.

Таким образом, случайный процесс колебаний речного стока, описываемый моделью (5.5.1), полностью определен, если для него известны 厂 и Су.

Покажем, как с помощью модели (5.5.1) в стохастической гидрологии можно решать задачи, которые нельзя исследовать методами корреляционной теории случайных процессов.

Пусть в начальный момент времени / = 0 сток равен у, а х* — некоторое фиксированное значение стока. Как долго величина стока будет находиться в полуинтервале [х*,8)при условии, что уе[х*,8). Практический смысл этой задачи заключается в следующем. Предположим, что сток реки в определенном году у = 350 км3/год. За какой промежуток времени сток достигнет значения х* = 200 км3/год? Решить эту задачу можно с помощью обратного уравнения Колмогорова. Так как случайный процесс колебаний стока, описываемый уравнением (5.5.2), однороден во времени, то для двумерной плотности вероятности справед-

ливо соотношение

p(x,t\y90) = p(x90\y,t\

Обратное уравнение Колмогорова для процесса (5.5.2) имеет вид

Yp(x9t\y,0) = -ky^-р(х,川 у,0) + ；о? & 伏：少@. (5.5.3) dtНу2 ду

Пусть Т - момент времени, в который значение стока покинет промежуток [х*,8). Тогда

РгоЬ(Гг) = G(y/), G(yj) = J p(x,t\y,0)dx.

Проинтегрировав (5.5.3) от х* до 8 по х, получим 8G(y,/)7 8G(y,/)丄 02 82G(у#

С учетом условий отражения на бесконечности и поглощения в точке у = х* имеем следующие граничные условия:

G(y，N Y。，G(y，N Y。，8G(y/)力8G(y/)力=0.=0.

G(y，N Y。，

G(y，N Y。，

8G(y/)力

8G(y/)力

=0.

=0.

Так как функция 1 - G(y, t) представляет собой распределение случайной величины Т, то среднее время достижения границы х* и его дисперсия определяются соотношениями

G(yJ)力,G(yJ)力,〈т(У)〉％=—j /空也d=j< dt Jоо

G(yJ)力,

G(yJ)力,

〈T2(y)〉= %=_J /20〈T2(y)〉= %=_J /208G(y,/)dt8G(y,/)dt%G(y, t^dt.%G(y, t^dt.00

〈T2(y)〉= %=_J /2

0

〈T2(y)〉= %=_J /2

0

8G(y,/)dt

8G(y,/)dt

%G(y, t^dt.

%G(y, t^dt.

0

0

Интегрируя (5.5.3) по Z от 0 до <« с учетом

-—dt = G(x,8)- G(x,0) = -1

(это означает, что вероятность выхода величины х из рассматриваемого полуинтервала за бесконечный промежуток времени

равна единице), для Т} и Т2 получаем следующие уравнения:

1 2 d2 T、 7 dT、 1八n

7T二_] при —L(oo) = 0,7； (у)=o,

2 dy dydyi*

1 2 d2 T27 dT?dT? /、八n

70= при —^(00) = 0, 7^(у) =o.

2 力 dydyi*

Введем безразмерные величины

kTx = 0Р к2Т2 = 02,kTx = 0Р к2Т2 = 02,

kTx = 0Р к2Т2 = 02,

kTx = 0Р к2Т2 = 02,

(5.5.4)(5.5.4)*) = 0, 4@£=о,袋(8) = 0,仇@/=0.

(5.5.4)

(5.5.4)

В результате интегрирования системы (5.5.4) численным методом найдены следующие безразмерные времена перехода стока от одного состояния к другому (в скобках приведены дисперсии величин):

^ = —2

—1

0

1

2

& = 3

-3

5(5)

42(42)

81(80)

88(86)

88(86)

89(86)

-2

-

2(2)

8(8)

11(10)

12(10)

12(10)

-1

-

-

1(1)

3(2)

3(3)

4(3)

Рассмотрим конкретный пример. Пусть среднегодовой сток Волги V = 239 км3/год (объем выборки 113), среднеквадратичное отклонение равно 46 км3/год. Тогда Cv = 0,19. Если коэффициент корреляции 厂 между смежными значениями стока равен 0,42, то к = -In 0,42 = 0,9 год-1, о = 0,257 год~°>5, о? = 0,066 год-1. Предположим, что в начальный момент времени V = 377 км3/год. Через сколько лет сток достигнет 101 км3/год, т.е. уменьшится на шесть среднеквадратичных отклонений, что составляет 276 км3/год? В данном случае &* = - 3 (это отклонение от среднегодового значения стока, взятое в долях Cv), а & = 3. Используя приведенные выше результаты получаем 0j = 89, а размерное время: 89:0,9 = 99 лет. Подробный анализ уравнения (5.5.3) показал, что случайное время перехода стока от одного состояния к другому распределено по экспоненциальному закону.

По известным значениям Cv и г речного стока можно исследовать большой цикл задач стохастической гидрологии (в теории случайных процессов это задачи о достижении границ [Гардинер, 1986]).

Негауссовские плотностираспределения величин стока

Построим простую физическую модель многолетних колебаний среднегодовых значений стока и влагозапасов речного бассейна.

Запишем уравнение водного баланса бассейна с учетом линейной зависимости речного стока от влагозапасов

- = P-E-V, V = |1Q

где Q,尸,Е - соответственно влагозапас речного бассейна, осадки и испарение, ц 一 коэффициент пропорциональности зависимости стока от влагозапаса.

Впервые эта простая модель колебаний стока была рассмотрена в работе [Фролов, 1985], однако она не была исследована с позиций теории случайных процессов.

d^ =卩（尸一匕）力+ qid叱,d^ =卩（尸一匕）力+ qid叱,(5.6.1)(5.6.1)Предположим, что уравнение для эффективных осадков на водосбор можно представить в виде Р-Е = Р + о&«), тогда относительно стока получим следующее стохастическое дифференциальное уравнение:

d^ =卩（尸一匕）力+ qid叱,

d^ =卩（尸一匕）力+ qid叱,

(5.6.1)

(5.6.1)

для которого уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова имеет вид

а его стационарное решение

DVt = N^ (V-V)2 expоDVt = N^ (V-V)2 expо2V2}PV——02 )2V2}PV——02 )dV,dV,VWVW

DVt = N^ (V-V)2 expо

DVt = N^ (V-V)2 expо

2V2}

PV——

02 )

2V2}

PV——

02 )

dV,

dV,

VW

VW

Отметим, что теоретическое распределение (5.6.2) соответствует //-распределению [Рождественский, Ежов, Сахарюк, 1990] при у = 1. Это трехпараметрическое //-распределение часто применяют в гидрологических расчетах, что обусловлено его физической обоснованностью.

Гамма-распределение речного стока

В гидрологии широко используют различные типы одномерных распределений вероятностей (гауссовское, логнормальное, гамма-распределение и т.д.), которые подробно описаны, например, в монографии [Блохинов, 1974]. В работе [Румянцев, Бовыкин, 1985] для всех рек Евразии был принят единый тип распределения 一 гамма-распределение. На правомерность использования этого распределения указывают результаты анализа более 2000 рядов наблюдений годовых стоков рек [Marcovic, 1965], а также обширных исследований [Раткович, 1976].

Возникает вопрос: соответствие гамма-распределения натурным данным - это хорошая аппроксимация или природная закономерность? Покажем, что гамма-распределение плотностей вероятностей значений речного стока можно получить из решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения водного баланса речного бассейна.

Рассмотрим следующую модель колебаний стока, состоящую из уравнения водного баланса бассейна и экспоненциальной зависимости стока от влагозапасов:

- = P-E-V + о&«), V=K е»д-с*),(5.7.1)

dt

где 卩一 аппроксимирующий параметр, Q*, К - некоторые характерные значения влагозапаса и стока, Q > 0, &(力 一 белый шум разности осадков и испарения; о - интенсивность шума.

Подчеркнем, что экспоненциальная зависимость неприменима в области очень малых значений стока. С позиции теории случайных процессов это означает, что вероятность достижения нулевого значения стока равна нулю, - известное свойство модели (5.7.1).

Осуществив замену переменных по формулам

с с VdQ1 W

= — In—■,——=,

s 卩 Кdt|1V dt

прийдем к стохастическому дифференциальному уравнению в интерпретации Стратоновича

dVt =卩匕（戸一Vt）dt + [icVtdWt,

где P = P-E - эффективные осадки на водосборе.

Пусть Q,- решение стохастического дифференциального уравнения

dQ,=/（Q,）d/ + oq（Q,）dW

（где/и q - некоторые функции Q） и U（Q） - взаимно однозначная непрерывно дифференцируемая функция, тогда случайный процесс 匕= U（a）удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению Стратоновича

叫=UX^f^dt + UX^q^ =

= U^-x（yt}[f（U-x（yty）dt + C5q（U^

где Q, = （。7 （匕）），U~x - функция, обратная U.

Такое преобразование позволяет трактовать стохастическое дифференциальное уравнение стока в интерпретации Стратоновича. Этому уравнению соответствует уравнение Фоккера- Планка-Колмогорова

如 dt如 dtа3vа3v—Q2|1V（P-V）+ —V—Q2|1V（P-V）+ —Vр+р+2 3v22 3v2（匕）,（匕）,

如 dt

如 dt

а

3v

а

3v

—Q2

|1V（P-V）+ —V

—Q2

|1V（P-V）+ —V

р+

р+

2 3v2

2 3v2

（匕）,

（匕）,

где 6 = |io.

Стационарным решением последнего уравнения является гамма-распределение

где

v = j p^v）vdv = P-E, y=2（尸[0）

JO LI

О产

Так как у = 1/ Су, то для Cv получаем

R=ji^r 詬僧•（5.7.2）

Эффективные осадки равны величине стока, поэтому его изменчивость увеличивается с ростом изменчивости осадков и коэффициента ц, характеризующего степень зависимости стока от влагозапасов. Сильное влияние на изменчивость стока оказывает уменьшение его нормы V. Эта теоретическая формула объясняет известную в гидрологии связь между Cv и V, выражающуюся в росте изменчивости стока с уменьшением водоносности реки.

В результате опытной проверки зависимости Cv годового стока от V и площади водосбора F более чем для 1000 рек получена приближенная обобщенная формула [Воскресенский, 1962]

К = 1-3,К = 1-3,Уол(Г + 1ООО)од 'Уол(Г + 1ООО)од 'К

К = 1-3,

К = 1-3,

Уол(Г + 1ООО)од '

Уол(Г + 1ООО)од '

где К, по-видимому, отражает влияние других (кроме V и 尸) параметров на изменчивость годового стока.

Показатели V степени в формуле К.П. Воскресенского и в полученной теоретической зависимости (5.7.2) близки, что указывает на адекватность модели (5.7.1) реальному процессу колебаний стока рек.

Расчет корреляционной функции случайного процесса 匕， удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению, показал, что эта функция затухает тем медленнее, чем меньше модуль стока и больше изменчивость осадков. Этим и можно объяснить увеличение коэффициента корреляции с уменьшением модуля стока, впервые обнаруженное в исследовании [Раткович, 1976]. При обобщении материалов наблюдений за стоком ~400 рек земного шара установлено, что для неозерных рек отчетливо прослеживается зависимость коэффициента автокорреляции от модуля стока.

Попытаемся объяснить это существенно нелинейное явление.

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса У(力 получена методом Карлемана [Graham, Schenzle, 1982] и при t т 8 выглядит следующим образом:

lim(V(r + T)V(r))-^V(r)2^ « т-3/2 ехр

Из данной формулы следует, чем меньше норма стока (для засушливых территорий эта величина очень мала) и больше изменчивость осадков, тем медленнее затухает корреляционная функция многолетних колебаний речного стока. Это означает,

что при малом количестве осадков питание реки осуществляется за счет влагозапасов бассейна, его регулирующая роль усиливается, а коэффициент корреляции 厂 между смежными значениями речного стока возрастает. Большая изменчивость осадков приводит к тому, что вероятность серий маловодных лет растет, а это в свою очередь также увеличивает значение 厂.В этом случае процесс колебаний стока будет представлять собой чередование серий многоводных фаз с относительно небольшими 厂 и длительных серий маловодных фаз с относительно большими 厂. Подчеркнем, что описанный сценарий может обусловить расходимость спектра процесса колебаний речного стока на низких частотах и медленное затухание автокорреляционной функции. В гидрологии такое нелинейное явление известно как эффект Харста [Hurst, 1951], впервые обнаруженный при анализе стоковых рядов Нила.

В рассматриваемом случае увеличение "памяти" процесса колебаний речного стока объясняется нелинейной зависимостью стока от влагозапасов бассейна. Таким образом, нелинейная модель (5.7.1) объясняет механизм эффекта Харста.

Нелинейная модель с трехпараметрическимгамма-распределением

Для безразмерного стока Xt =匕/匕(К - решение детерминированного уравнения) используем следующее стохастическое дифференциальное уравнение:

dXt = А(1- Х；〃 )力 + c^\dWt,

где A, m - эмпирические параметры.

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова при интерпретации стохастического дифференциального уравнения по Ито получается обычным способом

胆=_ g [ А(1 一(切).(5.8.1)

dt Эх2 дх

Впервые это уравнение при m = 1 было введено в стохастическую гидрологию О.В. Сармановым [Сарманов, 1961].

Стационарное решение (dp/dt = 0) удовлетворяет уравнению второго порядка

一^_0(1一产)区]+(浓)= 0,

dr2 ox

/ О A、2А/о2m区⑺="6d 产心词/ О A、2А/о2m区⑺="6d 产心词23)/初J23)/初J

/ О A、2А/о2m

区⑺="6d 产心词

/ О A、2А/о2m

区⑺="6d 产心词

23)/初J

23)/初J

Это распределение совпадает с трехпараметрическим распределением Крицкого-Менкеля, широко используемым в гидрологии. Параметры этого распределения могут быть определены при анализе стоковых рядов [Фролов, 1985].

Найдем точное решение (5.8.1) для двумерной плотности вероятности. Сделаем замену переменных

p(xJ) = R(x)g(xJ).

Подставив это выражение в нестационарное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, получим

х通+罢（1一产）亚=2Ji

Эх2 о2 Эх 。2 dt

Пусть

g(x,/) = £ %(х)е-*,〃=0

где 九〃 и qn(^ - соответственно собственные значения и собственные функции оператора

х二^ + f(1-%)+ + —^~4〃 =0, OWxWoo. dx Одх О

Для простоты здесь и далее будем считать, что w = 1. В этом случае плотность вероятностей значений речного стока описывается гамма-распределением.

Точное решение поставленной задачи имеет вид

〃(％,/ I Хо,О) = (2А : о2)2А/о2 x2A/(j2_] ехр卜^^Е)Х

纟：（礬M》）^hi

где а = 2Л/о2 一1,爲一 полиномы Лаггера.

Таким образом, предложено теоретическое обоснование одномерных распределений вероятностей речного стока (гауссовского, гамма-распределения, трехпараметрических распределений), широко используемых в практике гидрологических расчетов. Показано, что гамма-распределение плотности вероят・

ностей стока - стационарное решение уравнений Фоккера- Планка-Колмогорова, соответствующих стохастическим дифференциальным уравнениям водного баланса речного бассейна с учетом нелинейной зависимости стока от влагозапасов. Установлено, что нелинейная модель многолетних колебаний стока объясняет зависимости его Cv и г от модуля стока. Предложенная нелинейная модель процесса колебаний стока характеризуется медленным затуханием автокорреляционной функции (при уменьшении модуля стока и увеличении коэффициента изменчивости осадков), что позволяет по-новому интерпретировать эффект Харста.

Адиабатическое исключение быстрых переменных

Уравнению (5.3.1) можно поставить в соответствие систему уравнений

dt ，(5.9.1)

竺=-2hV - n2q + g«),at

которой соответствует уравнение Крамерса для плотности вероятности p(V, q, t)

学 +[(-2hV - n2^)p] +(好)-区(о； + 6)=。，

dt dVdq 2dv

имеющее точное стационарное решение

г / 9°

区(У，4)=о г г ехр --二г +二Г，

где о^ =(0^+02 )Н5/4й и о； =(о；+о^)卩;/4/щ2.

Пусть 九一》8 (время инерции стока очень мало), тогда из системы (5.9.1) следует

V =[経4一卩5(0自⑺一%&2⑴)]，

先靠9自⑺f自2(》

Второму уравнению этой системы соответствует уравнение Смолуховского

описывающее известный процесс Орнштейна-Уленбека [Гардинер, 1986], который является марковским и имеет автокорреляционную функцию: С(т) = с^ ехр(-2/гт/n2), экспоненциально затухающую без осцилляций; спектр этого процесса убывает с повышением частоты.

Прием, в результате которого мы перешли от уравнения Крамерса к уравнению Смолуховского, является прообразом всех методов адиабатического исключения, составивших основу сформулированного Хакеном принципа подчинения. Главное физическое допущение состоит здесь в следующем: при больших h (время инерции стока очень мало) переменные, подчиняющиеся уравнениям, в которые входят большие /г, релаксируют к значениям, получаемым в предположении, что медленная переменная (речной сток) является константой. Таким образом, быстрая переменная (производная речного стока) полностью подчиняется медленной переменной (сам сток). Отметим, что первое корректное решение проблемы о строгом выводе уравнения Смолуховского и получения поправок к нему было получено Стратоновичем [Гардинер, 1986].

Таким образом, приближение многолетних колебаний речного стока марковским процессом первого порядка справедливо только в случае очень малого времени инерции стока.

Глава 6

Эффект Харстав гидрологии суши

История открытия эффекта

В 1951 г. британский климатолог Г. Харст опубликовал работу, в которой описал неожиданный эффект в поведении среднегодовых колебаний стока Нила и ряда других рек [Hurst, 1951]. Чтобы понять его суть, предположим, что расход воды в реке во все годы одинаков. Тогда суммарный расход за много лет пропорционален полному времени: Q- t. Однако, в действительности эта зависимость не выполняется: еще никому не удалось точно предсказать сток реки в наступающем году, зная все расходы воды в предыдущие годы.

Если же считать, что расходы воды в каждом году - последовательность случайных величин, не связанных друг с другом, то суммарный расход воды Q окажется пропорционален 仪5. Именно так и полагал Харст, приступая к статистической обработке временного ряда расходов (паводков) на Ниле с 622 по 1469 г. Но подсчеты, выполненные ученым, опровергли и эту гипотетическую зависимость. Оказалось, что суммарный сток Нила соответствует соотношению: Q 〜А7, которое и получило название закона Харста, а показатель степени Н - показателя Харста.

Приведем показатели Харста для некоторых гидрологических и климатических временных рядов: для стока Волги этот показатель составляет 0,752, Днепра - 0,621, Немана - 0,647, Дуная - 0,837; для среднегодовых приращений уровня воды Каспийского моря - 0,767, оз. Балхаш - 0,711, Большого Соленого озера - 0,682, оз. Чад - 0,690, оз. Чаны - 0,813; для колец сосны и дуба - соответственно 0,764 и 0,676; глобальной температуры воздуха Северного полушария - 0,825, среднегодовой температуры Москвы и Санкт-Петербурга соответственно 0,749 и 0,653.

Интересно отметить близость значений Н для стока Волги и приращений уровня Каспийского моря (0,752 и 0,767), что объясняется очень высокой корреляцией (0,86) между соответствую-

щими временными рядами. Косвенно это указывает на правильность оценок.

Анализ других временных рядов, связанных с климатом, например урожайности пшеницы, привел к следующим значениям Н: Франция - 0,5, Германия - 0,82, Великобритания - 0,67, Канада - 0,76, США - 0,72. Для средней зональной температуры воздуха в Северном полушарии в зависимости от широты Н изменяется в пределах от 0,61 до 0,85.

Подчеркнем, что показатель Харста не обязательно существенно превышает величину 0,5. Например, статистика колебаний уровня воды в Рейне (во всяком случае там, где сходятся границы Швейцарии, Франции и Германии, недалеко от Базеля) для относительно длительного промежутка времени дает зависимость Q 〜/°55, т.е. эта река является "смирной и ручной" [Шредер, 2001].

Однако до сих пор нет ответа на вопрос: каков физический механизм эффекта Харста? Не случайно доклад одного из ведущих ученых в области геофизики В.Клемеша, прозвучавший на Международном конгрессе по стохастической гидрологии (Москва, ноябрь 1998 г.), назывался: нФеномен Харста - загадка?" [Klemes, 1974]. Попробуем разобраться в этом явлении, которое, судя по всему, имеет глобальный характер в геофизике, на некоторых примерах. Начнем с половодий Нила.

Половодья Нила

Диодор Сицилийский, путешествуя по Египту, дивился паводку на Ниле (шириной до 100 км) как явлению просто невероятному: "около времени летнего солнцестояния, когда во всех реках уровень понижается (следует понимать во всех реках средиземноморского бассейна, прим, авт.), в Ниле вода начинает прибывать" [Моретт, 1951]. Это явление объясняется тем, что река берет начало очень далеко от Средиземного моря и Египта.

В верхней половине течения Нил пересекает зоны влажных, типичных и опустыненных саванн, где принимает крупные притоки: слева - Бахр-эль-Газаль, справа - Асва, Собат, Голубой Нил и Атбара. Далее Нил течет по тропической и субтропической полупустыне, не имея ни одного постоянного притока на протяжении 3000 км, и, естественно, "беднеет" из-за сильного испарения. В пустынной сахарской зоне реки вся жизнь людей была тесно связана с паводками нотца вод”. Египет был полностью "порабощен" рекой, бывшей в то же время для него 194

благословенным даром природы, без которого само существование страны стало бы невозможным. Режим Нижнего Нила зависит исключительно от расхода воды в двух главных рукавах его верхнего течения: Белого и Голубого Нила.

Белый Нил приносит нижнему течению реки относительно небольшой объем воды, но непрерывно в течение всего года. Голубой Нил (точнее совокупность всех эфиопских водотоков), наоборот, представляет собой мощный сезонный фактор - главную причину половодий. В северной части Эфиопского массива бывает только один значительный период дождей (их приносят муссоны с Индийского океана) - с июня по сентябрь, с максимумом выпадения осадков в июле и августе. Из-за конденсации паров на прохладных вершинах массива эти осадки исключительно обильны. Мощные потоки влаги стекают в Нижний Нил не только по руслам Голубого Нила и его прямых притоков, но по всей системе рек Собата и Атбары.

В январе, когда обычно заканчивается прохождение вод Голубого Нила, среднее и нижнее течение реки зависят исключительно от расхода Белого Нила. Объем воды в период паводков составляет не менее 3/4 всего стока за год (90 из 120 млрд м3). В разгар половодья расход воды в Нижнем Ниле достигает 13 тыс. м3/с. Ежегодно в долине реки на всей затопляемой территории откладывается плодородный красный аллювий - 1,5 кг/м2 (он придает красноватый цвет воде). Толщина этого слоя достигает 10-15 м. Во время паводка через него просачивается вода, благодаря чему сформировался горизонт грунтовых вод, который служит постоянным источником питания реки, расход которой даже в месяцы наиболее низкого уровня вод составляет 900 м3/с. Типичный гидрограф р. Нил за период с 1956 по 1976 г. представлен на рис. 6.Г.

Длительность времени добегания воды до русла реки, задержка ее в почвах, грунтах, подземных водоносных горизонтах -вот причины медленного спада половодий Нила, который

На рисунке отчетливо видно быстрое повышение расхода воды с последующим более медленным спадом. До построения Асуанской плотины отношение максимального расхода воды к минимальному достигало 15, что значительно превосходит этот показатель для других рек Африки, например Конго. После пуска Асуанской ГЭС (1967) гидрологический режим реки резко изменился. Понижение уровня реки в годы нормального и сильного половодья начинается в середине октября, поскольку максимум дождевых осадков в Эфиопии приходится на середину августа. К концу ноября половодье заканчивается и начинается постепенное снижение уровня воды, река пополняется только небольшим количеством вод Белого Нила.

Рис. 6.1. Типичный гидрограф р. Нил за период с 1956 по 1976 г. (〃) и изменение среднего уровня вод в Нижнем Ниле в год нормального половодья (б)

продолжается восемь месяцев, в то время как подъем 一 всего четыре.

Мы предположили, что именно продолжительный спад воды и является причиной эффекта Харста. Чтобы это доказать, нам понадобятся некоторые сведения из теории случайных процессов.

Фрактальное броуновское движение

Взвешенные в воде мельчайшие частицы находятся в беспорядочном движении. Qto явление систематически исследовал Р. Броун в 1827 г., и в его честь оно получило название броуновского движения. Причина такого движения долго оставалась загадкой. Удовлетворительное объяснение отсутствовало вплоть до 1905 г., когда А. Эйнштейн опубликовал свое объяснение. Практически именно объяснение броуновского движения, данное Эйнштейном, нужно считать началом стохастического моделирования природных явлений. Первое математически четкое построение теории броуновского движения было дано Н. Винером в 1918 г. С этого момента у броуновского движения появился синоним 一 винеровский процесс.

Броуновское движение (винеровский процесс) - это непрерывный гауссовский случайный процесс Х=(Ю”о, Х()= 0 с нулевым средним и дисперсией DXt = Л Известно, что приращения винеровского процесса 一 белый шум 一 характеризуются автокорреляционной 8-функцией, т.е. время корреляции этого процесса равно нулю, а спектр постоянен на всех частотах (Део) = const, со 一 частота). Белый шум успешно применяют при моделировании многих климатических и гидрологических процессов. Однако попытка его использования для объяснения эффекта Харста потерпела неудачу: суммарный расход воды в этом случае приводит к уже известной зависимости Q 〜f°5 Не спасает положения и применение случайных процессов с конечным временем корреляции: В. Феллером доказано, что и в этом случае получается та же зависимость [Feller, 1951].

А.Н. Колмогоров в 1940 г. впервые рассмотрел процессы, для которых DXt = /2", г^О, 0=^Н^1, и назвал их спиралями Винера [Колмогоров, 1940]. Так появилось обобщение винеровского процесса, которое впоследствии развивалось Б. Мандельбротом [Mandelbrot,van Ness, 1968].

Непрерывный гауссовский случайный процесс X = (%),三 0 называется фрактальным броуновским движением с показа-

Рис. 6.2. Корреляционные функции среднегодовых величин стока р. Нил (пунктирная кривая) и фрактального броуновского движения (сплошные кривые), соответствующие значениям Н = 0,99 (7), 0,9 (2), 0,8 (3), 0,7 (4), 0,6 (5)

телем Харста Н, если дисперсия этого процесса следует соотношению DXt= f2H, 0 < Н< 1.

Автокорреляционная функция приращений фрактального броуновского движения затухает по степенному закону (характерное время корреляции этого процесса бесконечно), а его спектр при низких частотах следует соотношению fH((^) ~ со『2” (рис. 6.2). Другими словами этот процесс имеет бесконечную память.

При 0,5 < Я < 1 фрактальный шум называют "черным шумом". Его спектральная плотность имеет неограниченный пик в нуле. Существенное отличие фрактального броуновского движения от классического состоит в том, что оно предсказуемо (в вероятностном смысле).

Случайные процессы со спектральной плотностью 1соГа, где а принимает значения от 0,8 до 1,4, также называют фликкер- шумом (flicker - мерцание, трепетание, дрожание, короткая вспышка). Такой шум характерен для транзисторов, источников звука и речи, для потока автомобилей по шоссе, землетрясений и гроз; нормальный период сердцебиения человека имеет флуктуации, спектральная плотность которых изменяется по этому же закону.

Подчеркнем, что фликкер-шум можно считать "черным шумом" только при О V a w 1; при 1 < а < 1,4 фликкер-шум является нестационарным процессом.

Явление фликкер-шума исключительно широко представлено в природе. Оно характерно практически для всех сложных систем, как естественного, так и искусственного происхождения, и его примеры можно найти в самых разных областях 一 от биологии до астрофизики. Такое поведение спектра мощности на низких частотах означает, что значительная часть энергии связана с очень медленными процессами. Пользуясь метеорологической аналогией, можно сказать, что в таких системах нельзя предсказывать погоду, отвлекаясь от изменения климата. Сколько бы мы не накапливали информации о поведении системы, всегда найдутся важные процессы, которые начинают сказываться на временах, соизмеримых со временем изучения системы, т.е. те процессы, которые еще не успели проявиться, но которые непременно преподнесут нам неприятные сюрпризы (классический пример 一 поведение уровня Каспийского моря). Наличие в системе фликкер-шума означает возможность больших флуктуаций (наводнения, засухи, внезапные повышения или понижения уровня воды в водоемах), т.е. внутренне присущую гидрологической системе склонность к катастрофам.

Если использовать для моделирования расходов Нила процесс фрактального броуновского движения, то соответствующий показатель Харста равен 0,7. Таким образом, эффект Харста получает математическую интерпретацию: колебания стока Нила - случайный процесс с бесконечной памятью. Однако эта аппроксимация является формальной, так как нет ответа на главный вопрос: какими законами физики обусловлен эффект Харста.

Дождевые паводки

Чтобы объяснить эффект дождевых паводков, воспользуемся результатами исследований стохастического моделирования колебания речного стока в паводочный период, выполненных на кафедре гидрологии суши географического факультета МГУ [Христофоров, Круглова, Самборский, 1998]. На основе материала многолетних наблюдений за стоком более 50 рек различных регионов мира получены статистические закономерности колебаний паводочного стока и разработана стохастическая (вероятностная) модель этого процесса.

Сток, м3/сСток, м3/с300200300200I III V VII IX XII III V VII IX XIМесяц годаМесяц годаТипичные гидрографы рек с паводочным режимом представлены на рис. 6.3. Результаты упомянутых выше исследований поТипичные гидрографы рек с паводочным режимом представлены на рис. 6.3. Результаты упомянутых выше исследований показали, что распределения вероятностей паводочных пиков и датказали, что распределения вероятностей паводочных пиков и дат

Сток, м3/с

Сток, м3/с

300

200

300

200

I III V VII IX XI

I III V VII IX XI

Месяц года

Месяц года

Типичные гидрографы рек с паводочным режимом представлены на рис. 6.3. Результаты упомянутых выше исследований по

Типичные гидрографы рек с паводочным режимом представлены на рис. 6.3. Результаты упомянутых выше исследований по

казали, что распределения вероятностей паводочных пиков и дат

казали, что распределения вероятностей паводочных пиков и дат

Рис. 6.3. Типичные гидрографы рек с паводочным режимом

а - р. Ченчон (КНДР, 1957), 6 - р. Чита (Россия, 1957), в - р. Ломница (Украина, 1981), г - р. Гумиста (Абхазия, 1980), д-р. Себау (Алжир, 1971-1972)

Она основана на аппроксимации гидрографа стока следующим образом:

2«) = £о/Р(Г),j=i

где s — число паводочных пиков,九…,厶 一 даты прохождения максимальных расходов воды, 2,…,2 - значения максимальных расходов, самостоятельно формируемых каждым паводком и накладывающихся на спад предыдущих, (p(Z- tj) - функция формы паводка (Ф(0)=1).

Модель апробирована для р. Ченчон у г.Анд- жу (Северная Корея), р. Ломница (Украинские Карпаты), р. Чита, для многих рек бассейна р. Амур и др.

их прохождения достаточно хорошо соответствуют распределению Пуассона с одним и тем же параметром, который не зависит от времени. В последние годы этот подход широко используют для описания последовательностей прохождения различных

Рис. 6・4・ Характерная реализация паводочного режима с экспоненциальной формой гидрографа (а) и ее корреляционная функция 9)

синоптических ситуаций, определяющих условия формирования стока и выпадения осадков.

Таким образом, правомерна постановка задачи об определении спектра случайного процесса стока(2(0- Определение корреляционной функции

4000200040002000050150250 /,сут.050150250 /,сут.и спектра импульсного случайногои спектра импульсного случайногопроцесса (этот процесс случайный, так как максимальные расходы, происходящие в случайные моменты времени пуассоновского потока событий, сами являются случайными величинами) рассмотрено в работах [Рытов, 1976; Малахов, 1959].

4000

2000

4000

2000

050150250 /,сут.

050150250 /,сут.

и спектра импульсного случайного

и спектра импульсного случайного

Оказалось, что поведение спектра существенно зависит от функции формы паводка, точнее от того, как он проходит. Если спад паводка горных рек происходит очень быстро, например как у р. Ченчон, его можно аппроксимировать экспонентой(р«)= =ехр(-例).В этом случае спектр процесса Део) —> const при со —> 0

и эффект Харста у паводочного режима отсутствует. Напротив,

спада паводка медленно ме-спада паводка медленно ме-при аппроксимации няющейся функцией (р(г) = (1 + 2ф)~°*5 спектр /(со)->8 при со -> 0, и для этого паводочного режима характерно явление Харста. Характерные реализации паводочных режимов с экспонен-

спада паводка медленно ме-

спада паводка медленно ме-

50150250 Г, сут.50150250 Г, сут.102030 Г, сут.102030 Г, сут.2 冃 <L а аHshKIroddo 工 «SWWK^AW2 冃 <L а аHshKIroddo 工 «SWWK^AWРис. 6・5・ Характерная реализация паводочного режима со степенной формой гидрографа (〃)и ее корреляционная функция(6)

50150250 Г, сут.

50150250 Г, сут.

102030 Г, сут.

102030 Г, сут.

2 冃 <

L а а

HshKIroddo 工 «SWWK^AW

2 冃 <

L а а

HshKIroddo 工 «SWWK^AW

циальной и степенной формами гидрографа представлены на рис. 6.4 и 6.5. Механизм формирования паводочного шлейфа (чрезвычайной распластанности гидрографа стока) за счет продолжительного времени бассейнового добегания и за счет задержки воды в почвогрунтах характерен для больших рек. Продолжительный спад воды - важный фактор, усиливающий зависимость между расходами воды в разные моменты времени.

В связи с этим причиной эффекта Харста в паводках Нила может быть их медленный спад в период отсутствия дождей.

Циклоны

Другой пример геофизического процесса, в котором может возникать эффект Харста, - циклоническая деятельность, способствующая межширотному обмену воздуха и служащая важнейшим фактором общей циркуляции атмосферы. Циклоно- генез (рождение и эволюция циклонов) оказывает существенное влияние на климатические и гидрологические процессы в земной климатической системе. Экспериментальное выявление устойчивых статистических закономерностей глобального циклоно- генеза и возможной годовой и межгодовой эволюции этого процесса стало бы фундаментальной основой при рассмотрении физических моделей климата.

Исследования, выполненные в Институте космических исследований РАН, дают основание полагать, что эффект Харста может возникать и в атмосферных процессах [Покровская, Шарков, 1993]. Обработав временные ряды тропических циклонов над акваториями океанов Северного и Южного полушарий за период с 1883 по 1997 г., авторы доказали существование устойчивых пуассоновских законов распределения их интенсивности. Более того, оказалось, что число одновременно действующих тропических циклонов на промежутке времени t есть пуассоновский процесс с устойчивым параметром.

Важную роль в циклоногенезе играют процессы нелинейной эволюции интенсивных вихревых возмущений в атмосфере во времени. Продолжительность отдельного циклона колеблется от нескольких дней до двух недель (иногда больше). Далее циклон может полностью разрушиться или попасть в более крупную атмосферную циркуляцию. Если предположить, что скорость диссипации циклона (выравнивание температурных градиентов и уменьшение водности) находится в степенной зависимости от 202

времени, то в сочетании с пуассоновским характером циклоно- генеза, это приводит к импульсному процессу, спектр которого похож на спектр ''черного шума".

Динамика влажности почвы

Выше были рассмотрены некоторые подходы к математическому объяснению эффекта Харста. Однако они не отвечали на вопрос: откуда может взяться степенная (медленная) релаксация динамической системы? А разобраться в этом явлении - значит построить простую физико-математическую модель гидрологического процесса, демонстрирующую эффект Харста. [Найденов, Кожевникова, 2000; Найденов, Кожевникова, 1999; Найденов, Кожевникова, 2000].

Рассмотрим основные составляющие гидрологического цикла суши: осадки и динамику влажности почвы.

Будем считать, что число дождей за интервал [力，而 + 刀 подчиняется закону Пуассона (закону редких событий). Промежутки времени, разделяющие моменты выпадения дождей (последовательно наступающие события пуассоновского потока), -независимые случайные величины, имеющие распределение с параметром X (число дождей в сутки). Вероятность того, что продолжительность периода без дождя tM 一 灰=△% меньше t равна P{Sk <^} = 1-6-^. Предположим, что период без дождя гораздо больше продолжительности дождя, что показывает, например, анализ гидрометеорологических наблюдений на Нижнедевицкой водно-балансовой станции (Воронежская обл.) за 28 лет [Кучмент, Гельфан, 1993].

Представим количество осадков в виде импульсовp«)= £q3(r),z=o

где q - количество осадков, выпадающих за один дождь, 3⑴一 дельта-функция. Среднее процесса р«) = q儿 корреляционная функция 7?(с) = ^2Х8(т), спектр/со) = 2q2^. Таким образом, время "памяти" процесса осадков равно нулю, спектр на всех частотах постоянен, т.е. явление Харста здесь отсутствует.

После выпадения дождя объемная влажность почвы резко увеличивается. Дальнейшая судьба этой влаги такова: одна часть за счет процессов инфильтрации поступает в грунтовые воды, другая испаряется, третья образует поверхностный сток. Коэффициент инфильтрации (отношение величины инфильтрации

к величине осадков) для большинства водосборов основных рек России больше 0,6 (например, для бассейнов Оки 0,85, Москвы 0,79, Печоры 0,66), поэтому процессы инфильтрации очень важны для понимания генезиса речного стока.

Многочисленные экспериментальные исследования скорости испарения (транспирации) показали ее линейную зависимость от влажности в случае дерново-подзолистой суглинистой почвы, если на ней выращивали тимофеевку, озимые рожь и пшеницу [Вершинин, Мельникова, Мичурин и др., 1959].

田一叱田一叱W” —吃W” —吃YYСоставим уравнение водного баланса верхнего слоя почвы

田一叱

田一叱

W” —吃

W” —吃

Y

Y

(W-W 1

-上』,(6.6.1) 叱丿

где W, Wn,屮з - соответственно влажность почвы, пористость, влажность завядания, Q 一 коэффициент фильтрации воды в насыщенной влагой почве, £ 一 отношение скорости испарения к скорости инфильтрации, п 一 показатель, значение которого равно 3-5.

Интегрирование (6.6.1) приводит к следующему импульсному процессу:

е«)=2е/р«-“)，2=0е«)=2е/р«-“)，2=0(6.6.2)(6.6.2)

е«)=2е/р«-“)，

2=0

е«)=2е/р«-“)，

2=0

(6.6.2)

(6.6.2)

где <р0 —人)二妈К(е? + £纪"侬《-4) _ е； - фуНКцИЯ формы импульса. Амплитуды процесса 0^ определяются из решения нелинейного дискретного стохастического уравнения

仇+1 ="一一一迴4

где

9, m二亠N=亠叫一叱 %-叱 咒一叱9, m二亠N=亠叫一叱 %-叱 咒一叱m = n-l.m = n-l.

9, m二亠N=亠叫一叱 %-叱 咒一叱

9, m二亠N=亠叫一叱 %-叱 咒一叱

m = n-l.

m = n-l.

При e = 0 (скорость инфильтрации значительно превосходит скорость испарения) спектр процесса (6.6.2) расходится при низких частотах. Это объясняется сильной степенной зависимостью коэффициента влагопроводности от влажности, благодаря чему релаксация влажности после выпадения дождя к своему равновесному значению происходит очень медленно. При малом £

555 5 5£ 5л5 5 5£ 5ллнооя^ма §ЯЛ5ЁООЯНОлнооя^ма §ЯЛ5ЁООЯНО6 4 2 0SHQOKHS&rt йоодноей6 4 2 0SHQOKHS&rt йоодноейОтносительная влажность почвыОтносительная влажность почвы

5

5

5 5 5

£ 5л

5 5 5

£ 5л

лнооя^ма §ЯЛ5ЁООЯНО

лнооя^ма §ЯЛ5ЁООЯНО

6 4 2 0

SHQOKHS&rt йоодноей

6 4 2 0

SHQOKHS&rt йоодноей

Относительная влажность почвы

Относительная влажность почвы

Рис. 6.6. Некоторые характеристики динамики влажности почвы

а - относительная влажность, б - плотность вероятности, в - спектр

в зависимости спектра процесса от частоты существует достаточно протяженныйучасток, на котором Део)〜аг。(для некоторых рассчитанных случаев а = 0,72, показатель Харста в этом случае Н = (а + 1)/2 = =0,86). Временную эволюцию влажности поч

вы можно представить себе как беспорядочную последовательность регулярных колебаний. Из нелинейной динамики диссипативных систем известно, что корреляционные функции таких реализаций затухают

степенным образом, что и определяет долгую память процесса. Некоторые характеристики влажности почвы представлены на рис. 6.6.

Существуют более точные гидродинамические задачи, решения которых демонстрируют эффект медленной (степенной) релаксации [Полубаринова-Кочина, 1977].

Представим себе пласт, сложенный из пористой среды, например песчаника, и в нем на подстилающей горизонтальной непроницаемой поверхности (водоупоре) бугор грунтовых вод. Под действием силы тяжести бугор расплывается 一 растекается вдоль водоупора. Установлено, что в зависимости от вязкости и плотности воды, пористости, начального объема бугра, ускорения силы тяжести высота бугра уменьшается со временем как 广 1/2 Если предположить, что в пуассоновские моменты времени возникают бугры грунтовых вод различного объема (например, за счет дождей), а в промежутках между этими моментами они растекаются по степенному закону, то мы получим случайный процесс, спектр которого расходится на низких частотах. Так как горизонтальное движение грунтовых вод является подземным стоком, то неудивительно, что в рядах стоков рек обнаруживается явление Харста.

Изменение влажности почвы, описанное уравнением водного баланса, диссипативный (стекание воды и ее испарение) и существенно нелинейный процесс: количество влаги, поступившей в грунтовые воды, определяется коэффициентом влагопровод- ности (как функции влажности) в степени п = 3-5 [Глобус, 1987; Полубаринова-Кочина, 1977]. Количество испарившейся влаги зависит от п линейно. Физика нелинейных диссипативных систем показывает большое разнообразие их свойств.

Точное решение для функции формы импульса, полученное в результате решения уравнения водного баланса для верхнего метрового слоя почвы дает(р«)〜炉忘一〃).Эта функция медленно убывает при возрастании 厶 что приводит к расходимости спектра на низких частотах. Такое изменение влажности почвы и скорости инфильтрации соответствует многочисленным экспериментальным наблюдениям. Например, скорость инфильтрации в начале дождя (6 см/ч) резко снижается (через 2 ч она равняется 1,5 см/ч), далее темп снижения скорости инфильтрации уменьшается и следует зависимости г0，

Если отношение скорости испарения к скорости инфильтрации велико, функция формы импульсного процесса приближается к экспоненте и эффект Харста вырождается. Таким образом, в построенной модели влагопереноса нелинейный процесс инфильтрации способствует возникновению эффекта Харста; линейный процесс испарения разрушает его.

На показатель Харста более всего влияет величина 〃, характеризующая степень зависимости коэффициента влагопровод- ности от влажности. Увеличение п приводит к замедлению релаксации влажности почвы, слабому затуханию корреляционной

функции случайного процесса, что, в свою очередь, способствует росту показателя Харста.

Таким образом, эффект Харста объясняется медленной (степенной) релаксацией вязкой жидкости в пористой среде от момента выпадения осадков до момента попадания воды в замыкающий створ речного бассейна. Процессы медленной релаксации вязкой жидкости в пористой среде характерны для большинства задач нестационарной и нелинейной фильтрации и отражают природные закономерности.

Подведем итоги. Огромный (2,8 млн км2) бассейн Нила представляет собой нелинейную, неравновесную и нестационарную природную систему. Потоки солнечного тепла и влаги с Индийского океана постоянно выводят ее из состояния равновесия. В соответствии со вторым законом термодинамики (законом возрастания энтропии) природная система за счет процессов диссипации (вязкого течения, тепло- и влагопроводности) релаксирует к состоянию с более высокой энтропией, причем эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту интересную особенность функционирования бассейна Нила и подметил британский климатолог Г. Харст.

Отметим, что фрактальные процессы в гидрологии интенсивно изучают в основном зарубежные исследователи [Armstrong, 1986; Bras, Rodrigues-Iturbe, 1985; Bruno, Raspa, 1989; Burrough, 1983; Gupta, Way mire, 1989; Gupta, Meza, Dawdy, 1994; Gupta, Way mire, 1990; La Barbera, Rosso, 1987; Lovejoy, Mandelbrot, 1985; Mandelbrot, 1967; Mandelbrot, Van Ness, 1968; Mandelbrot, Wallis, 1968; Mandelbrot, Wallis, 1969; Mandelbrot, 1983; Mark, Aronson, 1984; Pandey, Lovejoy, Schertzor, 1998; Peckham, 1995; Shook, Gray, Pomeroy, 1993; Tarboton, Bras, Rodrignez-Iturbe, 1988; Tyler, Wheatcraft, 1990].

Глава 7

Степенной законкатастрофических наводнений

Наводнения составляют 19% от общего числа катастрофических явлений. Они занимают первое место в ряду стихийных бедствий по охвату территории и материальному ущербу. Ежегодно по стране затопляются обширные территории (около 50 тыс. км2), на которых находятся больше 300 городов, десятки тысяч других населенных пунктов, множество хозяйственных объектов, сельскохозяйственные угодья (40% затапливаемых площадей).

Самое масштабное и разрушительное за 100 лет наводнение на Северном Кавказе потрясло Россию в 2001 г. Общая площадь затопления составила 346 км2, были эвакуированы более 100 тыс. человек, 104 человека погибли. Материальный ущерб от стихийного бедствия - почти 14 млрд руб.

Повторяемость наводнений

Основой для построения научных теорий является наличие объективных общих закономерностей. Такие закономерности установлены в статистике катастрофических наводнений. Действительно, американская статистика торнадо, землетрясений, наводнений, ураганов за прошедший век показала, что данные наблюдений достаточно точно подчиняются степенной статистике. С позиций теории случайных процессов это означает, что плотности распределений вероятностей случайных величин, характеризующих наводнения (уровни воды в реке, максимальные расходы воды, объемы стока за половодье и т.п.), являются распределениями с птяжелыми хвостами". Таким образом, повторяемость (частота) катастрофических наводнений гораздо выше, чем это следует при использовании традиционного, закрепленного нормативами и рекомендациями, подхода к гидрологическим и водохозяйственным расчетам.

Степенное распределение вероятностей 一 совсем не экзотика: оно характерно и для других катастрофических событий:

эпидемий, лесных пожаров, снежных лавин, солнечных вспышек, столкновений метеоритов с Землей.

Пусть N 一 число бедствий, в которых число погибших больше некоторой величины х. Известно, что N можно описать следующим образом:

М%) ~ Х~Р, где показатель [3 обычно лежит в диапазоне от 0 до 2. При статистическом описании катастроф и стихийных бедствий это распределение оказывается правилом, практически не знающим исключений. Значения показателя р для катастрофических явлений следующие [Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика, 2000]:

Наводнения Торнадо Ураганы Землетрясения1,351,390,580,41

Данные гидрометеорологических наблюдений, а также исторические свидетельства указывают на достаточно высокую повторяемость наводнений. Например, за последние 70 лет в бассейне Амура зарегистрировано около 600 наводнений, из них более пятидесяти были катастрофическими. Разрушительные последствия носили разливы вод Днепра. Первые сведения о высоком наводнении относятся к 1128 г. Сильнейшие наводнения имели место в 1655 и 1684 гг. От наводнения 1689 г. сильно пострадали города Киев и Кременчуг. Однако самым значительным из зафиксированных, как по высоте стояния воды, так и по величине площади затопления, считается наводнение 1931 г. Причиной его послужило половодье, наступившее после очень снежной зимы: запасы снега на водосборе превысили многолетнюю норму на 200%, инфильтрационная способность почв была минимальной из-за высокой насыщенности их влагой после обильных дождей, прошедших предшествующей осенью. Снеготаяние, начавшееся в начале апреля, за несколько дней охватило почти весь бассейн Днепра. От Могилева на севере до Запорожья на юге были затоплены сотни тысяч гектаров плодороднейших земель, что нанесло огромный ущерб сельскому хозяйству Приднепровья, и без того находившегося в плачевном состоянии (по нашим расчетам повторяемость такого наводнения 1 раз в 60 лет).

Паводки 一 поистине национальное бедствие для жителей Китая [Луканг Ли, 1999]. За два последних тысячелетия на территории этого государства в среднем один раз в два года происходило крупное наводнение. Основная причина павод-

ков 一 интенсивные и длительные ливни. Водами рек Янцзы и Хуанхэ во время паводка 1887 г. было затоплено 78 тыс. км2 суши, погибло около миллиона человек [Авакян, Полюшкин, 1989].

Внезапные паводки представляют в США самую большую опасность. Наиболее часто им подвергаются земли в бассейне Миссисипи, особенно в ее нижнем течении и долинах ее притоков 一 Миссури, Огайо, Теннесси и др. Трагические последствия носят разливы рек Колорадо, Колумбии, Сакраменто, Рио-Гранде и их притоков. В Европе многочисленными бедствиями сопровождаются разливы рек Дуная, Тисы, Рейна, Эльбы. Несмотря на широкомасштабные защитные мероприятия, проводимые в течение столетий, предотвратить опасность больших наводнений не удалось до сих пор, что подтвердило летнее разрушительное наводнение 2002 г.

В России от дождевых паводков страдают практически все регионы - от Дальнего Востока, Западной и Восточной Сибири до Европейской части.

72 Физическое обоснованиестепенного закона

Простейшим распределением с "тяжелым хвостом" является распределение Парето, для которого функция распределения F(x) = Prob{自 V %} задается соотношением

Г(х)= <

0, х<1, Р >1.

Соответственно, плотность вероятности будет 夕(х)=尸'(％)- = х~В. Для распределения Парето при 1< р <2 математическое ожидание случайной величины х и начальный момент второго порядка бесконечны, т.е.

Е(х)二 j xdRx) = 8, Q(x) = j x?dF(x) = 8. о 0

Рассмотрим максимальный член выборки 修，м,…％〃 加〃= = max“i, %2，・・・，％〃} и сумму S〃二 ％】+ %2 + •••• %〃• Показано, что lim E(Sn /тп) = 1 /(2- [3), т.е. при распределении с птяжелыми хво-

стами" положительные величины Sn и mn будут иметь одинаковый порядок: сумма положительных величин (например, ущербов от наводнений) определяется одним максимальным членом ш〃, причем этот эффект справедлив для сколь угодно больших выборок. Применительно к описанию катастрофических наводнений положим, что S〃 ~ 1/〃3). Это означает, что вследствие степенного закона распределения должен наблюдаться нелинейный все более ускоряющийся рост суммарного ущерба со временем, и данный эффект иногда воспринимают как свидетельство глобального потепления климата. Однако это не так. Просто по мере увеличения числа зарегистрированных наводнений их выборочное среднее (х】+ х? + ••• х^п стремится к математическому ожиданию, а оно при 1 < Р < 2 бесконечно. Нелинейное и ускоряющееся со временем нарастание суммарного ущерба также перестает казаться парадоксальным, если учесть, что в силу степенного распределения определяющее влияние на величину ущерба оказывает крупнейшее наводнение. Детальное обсуждение проблемы катастрофических наводнений с точки зрения теории случайных процессов и ее математическая постановка приведены в работе [Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика, 2000].

В связи со сказанным выше возникают следующие вопросы:

一 как физически объяснить возникновение степенных законов распределения величин ущерба;

一 почему показатель степени в распределении плотности вероятности так мал (1 < [3 < 2);

一 до каких пор можно прогнозировать нелинейный рост ожидаемого ущерба;

一 энергия любых наводнений конечна, поэтому необходимо указать, какой физический механизм ограничивает степенной закон распределения.

Покажем, как в принципе могут возникать степенные законы распределения [Найденов, Кожевникова, 2002; 2003; Найденов, Швейкина, Вихрова, 2003]. Ограничимся случаем речных наводнений.

Рассмотрим уравнение водного баланса речного бассейна

^L = P-E-Q + ^(t\(7.2.1)

dt

где W, Q- соответственно влагозапас и речной сток, Р и Е - средние многолетние величины осадков и испарения,己«) 一 дель-

та-коррелированный случайный процесс колебаний осадков и испарения, о - его интенсивность.

Предположим, что сток и влагозапас бассейна связаны нелинейной (гиперболической) зависимостью

(7.2.2)

0 w Q v 8, Ц>0,

где P 一 эффективные осадки, W. 一 характерный влагозапас бассейна.

Физический механизм увеличения стока с ростом влагозапасов заключается в следующем. Во-первых, чем больше объем поверхностных, почвенных, подземных вод, вод озер и болот, составляющих влагозапас бассейна, тем выше потенциальная энергия этих вод. Во-вторых, в соответствии с законом Ньютона о линейной связи тензора напряжений и тензора скоростей деформации в вязкой жидкости, величина диссипации энергии при движении воды в увлажненном бассейне гораздо меньше, чем в "сухом" (именно по этой причине коэффициент фильтрации воды резко увеличивается с ростом влажности почвы, а влажной тряпкой гораздо легче вытереть лужу). Таким образом, следствием увеличения потенциальной энергии воды и уменьшения сопротивления ее движению в бассейне реки является нелинейное увеличение расхода. Введем безразмерные величины

Осуществив замену переменной по формуле (7.2.2) в (7.2.1), получим стохастическое дифференциальное уравнение относительно стока Xt

dXt =广1(1-%)(% +e)2 力+ 3(N +K)2d 叱， (7.2.3)

где Wt 一 стандартный винеровский процесс.

Уравнение (7.2.3) имеет принципиальную особенность: воздействие внешнего шума зависит от состояния системы. Такой шум является мультипликативным и может быть причиной широкого класса переходов [Хорстхемке, Лефевр, 1987].

В теории стохастических дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (7.2.3) необходимо интерпретировать в рамках теории Стратоновича. В этом случае уравнение

Фоккера-Планка-Колмогорова относительно плотности вероятности р{х, t] принимает вид

讽%,0 a fr(i~x)(x+u)2 _2/、з] / 、

出 дх Т

衣2 л2

+ 万费【(х + К)4р(%#]・(7.2.4)

Стационарное решение (7.2.4) (dp/dt = O) для одномерной плотности вероятности

PSM = С(х + К)—В斗 (7.2.5)

L (% +卩)」

Параметр С определяется из условий нормировки

~(В-2)@+1)Т1

С = [(р-2)(ц + 1)]р-1 J血 .

о

Наиболее вероятная мода распределения Xmod = =(Р-2-2Ц)/[3. При [3>2(1 + Ц) мода существует; при В w 2(1 +К) — отсутствует. Таким образом, поведение нелинейной неравновесной динамической системы (7.2.1)-(7.2.3) при превышении критического уровня шума осадков (6* 纟 J(M)T)коренным образом меняется. Следовательно, при определенных условиях вследствие случайного воздействия внешней среды (климатический шум) может произойти существенная перестройка стационарного режима стока.

Важнейшей особенностью этого взаимодействия является появление компоненты Парето (х + ц)-р в распределении плотности вероятности величины речного стока. При больших х динамика стока соответствует степенному закону с показателем [3. Интересно, что с увеличением интенсивности шума осадков о показатель степени [3 резко уменьшается и при 2 < [3 < 3 дисперсия случайного процесса стока равна бесконечности.

Отметим, что распределение (7.2.5) не имеет моментов [[3]-го порядка ([[3] — целая часть [3). Используя теорию [Хорстхемке, Лефевр, 1987], можно показать, что нестационарное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова р(х, г) сходится к ps(^)

при / —> 8； откуда следует глобальная асимптотическая устойчивость стационарного состояния.

Для случайного процесса влагозапасов Wt граница 叱 является естественной и вероятность ее достижения равна нулю. Для стока Qt естественной границей является бесконечность. Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение стока (7.2.3) математически корректно.

Физически появление степенного закона объясняется нелинейной зависимостью стока от влагозапаса бассейна. Два важнейших фактора формирования стока - увеличение влагозапасов и уменьшение сопротивления движению воды в бассейне 一 зависимы и случайный процесс Xt уже не может быть гауссовским.

Формула (7.2.2) описывает зависимость стока от влагозапаса в режиме обострения, т.е. Q = g, dQ/dW = g при W =叱.Очевидно, что необходимо введение малого параметра & который исключает указанные бесконечности и приводит к более физически обоснованным корреляциям.

Механизм, ограничивающиймасштабы наводнений

С учетом рассмотренного выше физического механизма возникновения степенного закона можно предложить конструктивную гипотезу, ограничивающую масштабы наводнений. Ясно, что в области больших увлажненностей речных бассейнов зависимость стока от влагозапасов значительно ослабевает (сколько осадков выпало, столько и стекает воды) и распределение плотности вероятности очень больших величин стока в этом случае должно подчиняться закону Гаусса.

Предположим, что зависимость речного стока от влагозапасов имеет вид

arctgl.arctg^ , lim纟=巫££吗丿 a。尸叱一Warctgl.arctg^ , lim纟=巫££吗丿 a。尸叱一WQ =

arctgl.arctg^ , lim纟=巫

££吗丿 a。尸叱一W

arctgl.arctg^ , lim纟=巫

££吗丿 a。尸叱一W

В этом случае стохастические дифференциальные уравнения речного стока будут выглядеть следующим образом:

2(1-XJcos22(1-XJcos2

2(1-XJcos2

2(1-XJcos2

(7.3.1)(7.3.1)p5(x) = ^EP|i■p cos —x-arctg-j| x

(7.3.1)

(7.3.1)

xexp^([3-2) —(l-x)tg 二x-arctg- >,lE £丿」

при £ —> 0 получим распределение (7.2.5).

Таким образом, стационарная плотность вероятности речного стока при малых £ и больших х асимптотически приближается к степенной функции. При очень больших значениях речного стока степенной закон плотности распределения вероятности сменяется гауссовским, так как при больших влагоза- пасах сток перестает зависеть от их величины и определяется только выпавшими осадками. Это обстоятельство приводит к тому, что степенной закон распределения плотности вероятности является промежуточной асимптотикой и неприменим в области очень больших значений увлажненности речных бассейнов.

Но так как в нашу климатическую эру увлажненность суши еще невелика, то степенной закон был справедлив для палеонаводнений и будет справедлив для грядущих катастроф.

Рассмотрим более простое стохастическое дифференциальное уравнение

dXt = Г'1 (1- X,)力 + GXtdWt, которое сохраняет принципиальную особенность уравнения (7.3.1): белый шум входит в это уравнение мультипликативно. Этим обусловлены более простые степенные законы распределения плотности величин речного стока.

Нетрудно показать, что стационарное решение для плотности распределения величины Xt имеет вид [Хорстхемке, Лефевр, 1987]:

рМсп = Р 忐R—В>2, х^О, (7.3.2)

здесь х = Q/Q, Н/Н; Q, Н - соответственно расход и уровень воды в реке, Q, Н - их средние многолетние значения; [3 > 2 — параметр распределения, Г(П) 一 гамма-функция Эйлера. Для

Рис. 7.1. Плотности распределения вероятности Пирсона типа V при В = 3 ⑺,5(2)и7(3)

этого распределения соотношение между показателями асимметрии О и вариации (Q) следующее: Cs = 4Q.

Возникновение распределения (7.3.2) объясняется существенно нелинейной зависимостью величины речного стока от влаго- запасов речного бассейна. В теории вероятностей это распределение известно как распределение Пирсона типа V (рис. 7.1); его параметры могут быть определены современными методами математической статистики (моментов, максимального правдоподобия, L-моментов).

Распределение (7.3.2), которое мы будем использовать в дальнейшем, проще, чем (7.2.5).

Таким образом, механизм возникновения степенного закона обусловлен следующим. Если в бассейне реки выпали обильные осадки, то сопротивление движению воды настолько уменьшится, что в реку могут поступить не только выпавшие осадки, но и осадки от предыдущих дождей, которые ранее из-за большого сопротивления трения не могли попасть в реку. Математическая формализация этого известного гидрологического явления и приводит к степенным законам распределения вероятностей паводков и наводнений. Важно, что в формировании стока в данный момент времени, как правило, участвуют осадки предыдущих времен.

Например, ранней весной 1997 г. Северные равнины (Средний Запад США) подверглись опустошающему наводнению. Города, стоящие на р. Ред Ривер, такие как Гранд Фокс и Норс (Дакота), оказались полностью затопленными. Во время ливней

1996 г. в бассейне р. Ред Ривер выпало рекордное количество осадков в виде дождя. Зимой вода замерзла прежде, чем успела попасть в океан. В течение длинной зимы выпало опять-таки рекордное количество снега, а когда началось потепление, стали таять не только выпавший зимой снег, но и замерзшая дождевая вода. В результате оказалось слишком много воды, которая не могла локализоваться в ручьях и реках, и как следствие оказались затопленными огромные участки суши.

Статистические методыобработки натурных данных

В основе многих статистических методов обработки различных данных по стоку рек лежит предположение о подчиненности их некоторому закону распределения вероятностей. Будем использовать полученное выше степенное распределение (распределение Пирсона типа V [Справочник по теории вероятностей и математической статистике, 1985]) и альтернативное гамма- распределение, которое широко применяют в гидрологии при построении теоретических кривых обеспеченностей для стоковых характеристик.

Полученное выше степенное распределение как решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова имеет пока неопределенный параметр [З. Покажем, как его можно оценить по некоторым характеристикам исходного ряда, используя функцию максимального правдоподобия Фишера. Построим эту функцию для плотности степенного распределения вероятностей (7.3.2)

L=伏%1)0(%2)•・・・，伏居)=

_ (b - 2产厂斤2"修(B - 2产广(A2)/%2(Р 一 2产 e一(月2)/Х"

Приравняем производную от логарифма этой функции нулю

1hL = £ ((3-1)111([3-2)-^一111Г([3_1)_[3111(%)，

i=l LXi_

Э1пАЭ1пА=2 1пф-2) +i=i _=2 1пф-2) +i=i _

Э1пА

Э1пА

=2 1пф-2) +

i=i _

=2 1пф-2) +

i=i _

Отсюда следует, что

пп九九1пф-2) +1пф-2) +(7.4.1)(7.4.1)i=ii=i

п

п

九

九

1пф-2) +

1пф-2) +

(7.4.1)

(7.4.1)

i=i

i=i

Применив асимптотическое разложение Стирлинга для Г(г) 「(z) = e-z zZ-i/2® 义

X 1 Н1z工 + 0( Z )

L 12z 288z? 51840Z3 2488320z4.

=尸 zZT/2 7^(p(Z),

九九 1i=l/=1 Л/_九九 1i=l/=1 Л/_получим формулу (7.4.1) в виде

九九 1

i=l/=1 Л/_

九九 1

i=l/=1 Л/_

В-1 В-21в(в-1)_1

r Ш1-—

В-2Р-1 2(Р-1) (р(Р-1) п

По статистике

d2 111r (0 — 1)d2 111r (0 — 1)определяемой по нормированным натурным данным, рассчитывается параметр [З. Точность расчета 8 определяется его средне- квадратической ошибкой, равной информации Фишера

d2 111r (0 — 1)

d2 111r (0 — 1)

Для сравнения результатов расчета повторяемости максимальных расходов (уровней) воды возьмем плотность гамма- распределения

Р「(％) =Р「(％) =（卩）卩炉一"一度~~（卩）卩炉一"一度~~卩N1.卩N1.

Р「(％) =

Р「(％) =

（卩）卩炉一"一度

~~

（卩）卩炉一"一度

~~

卩N1.

卩N1.

Используя функцию максимального правдоподобия, аналогично получим для параметра гамма-распределения ц следующую формулу:

(7.4.2)(7.4.2)

(7.4.2)

(7.4.2)

Среднеквадратическая ошибка для ц вычисляется по формуле

d2 111r (卩)「

Чтобы установить, какое распределение лучше описывает эмпирические кривые в целом и редкие гидрологические события, были исследованы различные характеристики стока: среднегодовой расход, среднемесячный расход за месяц с наибольшими значениями стока, максимальные расходы за год, за период половодья и за одновершинные дождевые паводки, наибольший в году уровень. В частности, для выбранных рядов были подсчитаны значения параметров [3 иц.

Значения параметра степенного распределения [3 для некоторых рек небольшие (3-10), а для других большие (20-40 и выше). В первую категорию попали, например, такие реки, как Тобол (максимальные срочные расходы воды в половодье, Р = 3,38) и Ока (максимальные срочные одновершинные дождевые паводки, В = 4,15).

У этих рек сравнительно высокие значения Cv 一 соответственно 1,10 и 0,74. Отношение Cs/Cv для р. Оки равно 3,47; теоретически это означает, что степенное распределение должно лучше описывать исходный ряд, чем гамма-распределение. Оценка вероятности самого большого наблюдаемого значения расхода воды на р. Оке по гамма-распределению равна 0,000057 (17544), где значение в скобках говорит о том, что такой расход можно ожидать один раз в 17544 лет, а аналогичная оценка, полученная с использованием степенного распределения, равна 0,006577 (152). Таким образом, оценки маловероятного события отличаются на два порядка, и социально-экономические решения, принятые без учета физически обоснованного вероятностного распределения дождевых паводков могут привести к огромному ущербу для народного хозяйства страны. Соответствующие оценки для максимальных расходов р. Тобол отличаются почти в 30 раз.

Правильная оценка повторяемости маловероятного гидрологического события имеет принципиальное значение при сооружении гидротехнических объектов (плотин различного класса прочности, дамб, гидростанций и т.п.), строительстве жилых комплексов, прокладке железных дорог, сельскохозяйственном освоении речных пойм и другой хозяйственной деятельности. Недавние катастрофические события в Челябинской области,

2 g2 gТаблица 7.1. Вероятности превышения уровней

2 g

2 g

р

х* = 1,5

2

2,5

3

3,5

х* = 4

3

0,15063

0,08030

0,04742

0,03021

0,02039

0,01439

4

0,14288

0,06564

0,03377

0,01899

0,01145

0,00729

5

0,13217

0,05265

0,02368

0,01178

0,00636

0,00366

6

0,12117

0,04202

0,01656

0,00730

0,00353

0,00184

7

0,11067

0,03351

0,01159

0,00453

0,00196

0,00093

8

0,10095

0,02674

0,00813

0,00282

0,00110

0,00047

9

0,09204

0,02136

0,00571

0,00176

0,00061

0,00024

Таблица 7.2. Вероятности превышения максимального уровня воды р. Невы у Горного института, вычисленные при степенном (I) и гамма-распределении (II)

Уровень,

СМ

1

Вероятность превышения

Уровень,

СМ

Вероятность превышения

Уровень,

СМ

Вероятность превышения

1

II

I

II

I

II

160

0,632

0,673

250

0,097

0,084

340

0,010

0,0024

170

0,547

0,586

260

0,076

0,060

350

0,0081

0,0015

180

0,460

0,498

270

0,059

0,042

360

0,0063

0,00095

190

0,379

0,412

280

0,046

0,029

370

0,0050

0,00059

200

0,308

0,333

290

0,036

0,020

380

0,0039

0,00036

210

0,248

0,264

300

0,028

0,013

390

0,0031

0,00022

220

0,197

0,204

310

0,022

0,009

400

0,0024

0,00013

230

0,157

0,155

320

0,017

0,0058

410

0,0019

0,000079

240

0,123

0,114

330

0,013

0,0038

420

0,00154

0,000047

245

0,109

0,098

335

0,012

0,0030

421

0,00151

0,000045

связанные с маловероятными паводками на реках, демонстрируют, в первую очередь, отсутствие правильных, научно обоснованных оценок повторяемости почти невероятных событий.

Значения 0 сравнительно велики. Например, для таких рек, как Иртыш и Кама, 0 составляет 54 и 30 соответственно. Это свидетельствует о том, что распределение расходов воды в этих реках очень близко к гауссовскому, однако оценки вероятности по степенному и гамма-распределению для самых больших значений, наблюдаемых за 86 лет, отличается почти в 2 раза.

Для максимальных уровней воды в р. Неве (1878-1994 гг.) была получена следующая оценка — 0 二 16,28. Для этого значения Р были построены функции распределения вероятностей максимальных уровней воды в р. Неве у Горного института.

Вероятность превышения уровня х* (обеспеченность) определяется неполной гамма-функцией (табл. 7.1).

P(x>xJ =P(x>xJ =11(B-D/工(B-D/工00

P(x>xJ =

P(x>xJ =

1

1

(B-D/工

(B-D/工

0

0

При анализе данных таблицы видно, что с уменьшением параметра 0 вероятность резкого роста анализируемой величины х повышается. Вероятности превышения уровня, вычисленные на основании этого распределения для максимальных уровней на р. Неве, приведены в табл.7.2.

Анализ различных критериев согласия показал, что результаты расчетов для таких видов распределений удовлетворительно соответствуют натурным данным [Нежиховский, 1988; Померанец, 1993]. Однако вероятности катастрофических наводнений, вычисленные на основе этих распределений, существенно различаются.

Например, если взять степенное распределение, то такое стихийное бедствие, как знаменитое наводнение в Санкт-Петербурге 19 ноября 1824 г. (уровень воды в р. Неве 421 см), должно происходить один раз в 667 лет, а если взять гамма-распределение, то это событие практически невозможно (22222).

Наводнение, случившееся 23 сентября 1924 г. (уровень воды в р. Неве 3 80 см) имеет вероятность 0,0039 (256) по степенному распределению и 0,00036 (2777) по гамма-распределению, т.е. снова практически невозможно. Однако эти события происходили.

В связи с гидрологическим обоснованием ряда проектов по защите Санкт-Петербурга и ближайших пригородов от навод-

Таблица 7.3. Повторяемость уровней воды р. Невы у Горного института, в Санкт-Петербурге, найденная с помощью гидродинамических моделей, степенного и гамма-распределения.

Повторяемость уровней воды

Гидродинамические модели

Степенное распределение

Гамма- распределение

1 раз в 10000 лет

540

548

406

1 раз в 1000 лет

475

439

359

1 раз в 100 лет

345

341

307

1 раз в 20 лет

257

275

265

1 раз в 5 лет

215

219

220

нений были проведены обширные научные исследования по проблеме расчета максимальных уровней воды на р. Неве [Померанец, 1993].

Подчеркнем, что для расчетов вероятностей превышения уровней, приведенных в табл. 7.2, были использованы статистические данные по максимальным уровням воды в р. Неве только за период 1878-1994 гг. [Найденов, Кожевникова, 2002]. Оказалось, что статистика петербургских наводнений за период с 1703 по 1994 г. хорошо описывается степенным законом, параметры которого вычислены по относительно короткому ряду наблюдений.

Нами проведено сравнение результатов этих исследований с расчетами по статистическим моделям (табл. 7.3), которое показало, что степенное распределение хорошо соответствует гидродинамическим моделям наводнений.

Отмеченная закономерность характерна и для других рек. Такое наводнение, как наводнение 1954 г. в Китае, вызванное разливом р. Янцзы, имеет вероятность в 4 раза большую по степенному распределению (один раз в 167 лет), чем по гамма- распределению (один раз в 667 лет).

Другой пример. Вероятность превышения катастрофического уровня половодья 1931 г. на р. Западная Двина у г. Витебска по степенному распределению равна 0,0114 (88) и превышает вероятность по гамма-распределению 0,0019 (526) в 6 раз. Отметим, что в 1951 г. катастрофический подъем уровня воды на р. Западная Двина повторился.

Вероятность превышения максимального расхода воды на реке Миссури в 1951 г. (12606 м3/с) по степенному распределению равна 0,026 (38), а по гамма-распределению 0,0055 (182), т.е. в 5 раз больше.

Летом 2002 г. на реках Северного Кавказа (Кубани, Тереке, Куме, Подкумке и т.д.) наблюдался аномальный гидрологи-

ческий режим. Расчеты, выполненные на основе степенного распределения максимальных расходов воды, показали следующее. Максимальный расход воды на р. Кубань может превысить среднемноголетний в 2,5 раза один раз в 170 лет по степенному распределению и один раз в 1000 лет по гамма-распределению. Река Терек может превысить свой обычный расход в два раза один раз в ПО лет по степенному распределению и один раз в 406 лет по гамма-распределению. Для р. Кумы расход воды, превышающий норму в пять раз, может произойти один раз в 85 лет по степенному распределению и один раз в 28000 лет по гамма-распределению. Для р. Подкумок расход воды, превышающий норму в четыре раза, может произойти один раз в 102 года по степенному распределению и один раз в 8800 лет по гамма-распределению.

Аналогичные оценки верны и для других больших и малых рек Северного Кавказа. Другими словами, произошедшее катастрофическое наводнение на Северном Кавказе 2002 г. не является невероятным событием, а имеет достаточно большую вероятность повториться даже при жизни нынешнего поколения. Мы считаем, что эту вероятность необходимо учитывать при сооружении новых защитных дамб, плотин и берегоукрепительных сооружений.

Летом 2002 г. большие территории Чехии и Германии были охвачены разрушительным наводнением. Мы проанализировали месячные стоки р. Эльбы в районе г. Дечина за июль-август (1888-1990 гг.) и получили следующие результаты. Августовский расход воды в р. Эльбе может превысить средний многолетний в 2,3 раза один раз в 35 лет по степенному закону и один раз в 100 лет по гамма-распределению. Подобная закономерность верна и для июльских расходов (вероятность превышения нормы в 3 раза один раз в 100 лет по степенному закону и один раз в 1000 лет по гамма-распределению).

На наш взгляд, правомерна постановка проблемы о пересмотре значений максимальных уровней (расходов) воды, характеризующих наводнения на реках, на которые рассчитаны гидротехнические сооружения, в сторону увеличения. Это особенно актуально, так как глобальное потепление климата приведет к подъему уровня Мирового океана, увеличению осадков, влагозапаса суши и речного стока. Подчеркнем, что связь количества выпавших осадков и температуры существенно нелинейна.

Выполним анализ ежегодных максимальных уровней половодий в Астрахани, Нижнем Новгороде и стока Волги в период с

1881 по 1940 г., а также гипотетического (восстановленного за 1792-1880 гг.), стока Волги в природном состоянии, т.е. не искаженного строительством Волжско-Камского каскада водохранилищ. Запас устойчивости этих водохранилищ рассчитывали с учетом уровня воды или расхода, возможного один раз в 10 000 лет (при чрезвычайных условиях эксплуатации). Подсчитаем, какие уровни и расходы возможны один раз в 10 000 лет, исходя из степенного и гамма-распределения.

Максимальный уровень весенних половодий в Астрахани: средний многолетний уровень 一 322 см, максимальный наблюденный уровень 一 428 см. Возможный уровень повторяемостью один раз в 10 000 лет по гамма-распределению 一 5 66 см, по степенному распределению этот уровень достигается один раз в 730 лет. Возможный уровень повторяемостью один раз в 10 000 лет по степенному распределению составляет 664 см.

Максимальный уровень весенних половодий в Нижнем Новгороде: средний многолетний уровень 一 990 см, максимальный наблюденный уровень - 1228 см. Возможный уровень повторяемостью один раз в 10 000 лет по гамма-распределению 一 1678 см. Этот уровень по степенному распределению достигается один раз в 813 лет. Возможный уровень повторяемостью один раз в 10 000 лет по степенному распределению - 1927 см. Аналогичные соотношения справедливы и для максимальных расходов воды.

Отметим, что плотины Волжско-Камского каскада закрывают водохранилища, содержащие десятки кубических километров воды. Их разрушение может повлечь за собой возникновение волны десятиметровой высоты, которая приведет к многочисленным жертвам [Малинецкий, Курдюмов, 2001].

Заслуживает внимания мнение известного отечественного гидролога Д.Я. Ратковича, высказанное им на страницах пНовой газеты**: "Цимлянское водохранилище - огромное полезной емкостью 1,5 млрд м3. Любой дождевой паводок оно перехватит. Но высокое снеговое половодье остановит не любое. Так получилось, что, начиная с 1952 г., когда ввели в строй Цимлу, подобных половодий пока не было. Однако это не значит, что и не будет. Случись такое 一 воду придется сбрасывать. А ведь вся пойма Дона за минувшие 50 лет застроена пионерлагерями, санаториями, пансионатами. Все это водная стихия смоет. И с огромными человеческими жертвами** [Ратко- вич, 2002].

Некоторые новые методыстатистической проверки гипотез

Для проверки согласия некоторой эмпирической функции распределения и двух исследуемых аналитических функций используем нулевую гипотезу Но, в соответствии с которой предполагается, что данная случайная выборка является репрезентативной выборкой из генеральной совокупности, подчиняющейся выбранному или рассчитанному закону распределения F(x). Применим статистики, которые в качестве меры расхождения функций распределения используют величину отклонений эмпирических обеспеченностей от теоретических или ее квадрат по всем значениям выборки. Эти критерии обеспечивают наиболее полное использование информации, заключенной в фактическом ряду гидрологических данных, по сравнению с критерием хи-квадрат [Goodness-of-fit techniques, 1986].

Рассмотрим некоторый гидрологический ряд X】，X?, ..., Хп как случайную выборку размера п и пусть ^ > Х2 > …> Х〃. Каждый m-й элемент дискретной эмпирической функции распределения Fn(x) определяется соотношением: Fm(x) = т/(п + 1). Назовем статистическую меру различия между Fn(x) и теоретической функцией распределения 尸0) статистикой эмпирической функции распределения.

Первая статистика эмпирической функции распределения получается как наибольшее по величине вертикальное расхождение между Fn(x) и F(x), причем эмпирические значения больше, чем теоретические,

D+ =supx{/^(x)-F(x)}.

Аналогично получается вторая статистика, которая учитывает те эмпирические значения, которые меньше теоретических,

D~={FM-FnM}.

Третья статистика является хорошо известной статистикой Колмогорова и равна наибольшему значению из двух предыдущих

D = supx| 笈 О) - Л»| = max(£>+ ,D~).

Применим также критерии, использующие квадраты расхождений между 乙0) и F(x) [Goodness-of-fit techniques, 1986].

Рассмотрим следующие статистики:

Q = n^{Fn (%)-尸(工)产做工w方")，

225225о

225

225

Найденов В.И.

Таблица 7.4. Стохастические характеристики различных рядов наблюдений рек мира

Река

Пункт наблюдения

Анализируемая величина

п

ё

Г±Ог

Су

Западная

г. Даугавпилс

Средний годо-

80

2928

-0,23 士 0,012

0,38

Двина

вой расход

Амур

г. Хабаровск

Максимальный уровень за год

81

517

0,15 ±0,012

0,31

Кама

г. Пермь

Наибольший срочный расход за половодье

84

1630

0,24 ±0,011

0,18

Миссури

Форт Пьер

Расход за август

91

4955

0,13 ±0,011

0,46

Средний годовой расход

91

2307

0,42 ± 0,009

0,33

Иртыш

г. Тобольск

Максимальный уровень за год

86

781

0,15 ±0,012

0,13

Десна

г. Чернигов

Максимальный уровень за год

97

523

0,14 ±0,010

0,23

Тобол

г. Ялуторовск

Наибольший срочный расход за половодье

65

778

0,13 ±0,015

1,10

Колумбия

створ Даллас

Максимальный

НО

12898

0,30 ± 0,008

0,34

расход за год Средний годовой расход

110

5439

0,23 ± 0,009

0,19

Янцзы

п. Ханкоэ

То же

113

40048

0,12 ±0,009

0,19

Днепр

п. Лоцманская Каменка

То же

145

1641

0,18 ±0,007

0,27

Ока

г. Калуга

Максимальный срочный дождевой расход

118

602

0,36 ± 0,007

0,74

где «(工)一 подходящая функция, дающая весовые коэффициенты квадрату разности. Если ф(х) = 1, то это статистика Крамера фон Мизеса, обычно называемая V2, а если ф(х) = [{F(x)} {1 - F(x)}]_,, то это статистика Андерсона-Дарлинга, называемая А2.

Таким образом, для проверки % найдем значения следующих статистик:

0+ = тахД//и 一 zj; D~ = maxz{zz - (z - l)/n};D = max{£>+, D~]\屮2 = & 忆-(2i -1)/ 2〃『+1 /(12〃)；

& R

3±郊

卩土0й

Обеспеченность наибольшего наблюденного расхода(уровня)

гамма-распределение

степенное распределение

2,55

8,58 ± 1,02

7,49 ± 1,16

0,002013 (497)

0,012376 (81)

3,65

12,72 ± 1,65

11,39 ± 1,76

0,000414(2416)

0,004287 (233)

1,55

29,75 ± 4,25

29,33 ± 4,50

0,013009 (77)

0,022982 (43)

1,71

5,55 ± 0,50

4,73 ± 0,68

0,005477 (183)

0,026144 (38)

0,82

9,09 ± 1,03

8,89 ± 1,29

0,020754 (48)

0,044694 (22)

1,48

53,80 ±7,87

55,86 ± 8,49

0,016757 (60)

0,026649 (38)

0,43

16,87 ±2,11

17,71 ±2,52

0,027272 (37)

0,048153 (21)

2,71

3,38 ± 0,22

1,64 ±0,26

0,000262 (3817)

0,007048 (142)

1,01

7,5 ± 0,72

7,77 ± 1,03

0,004045 (247)

0,024557 (41)

0,03

25,54 ±3,15

26,12 ±3,49

0,002562 (390)

0,009228 (108)

1,70

28,55 ±3,51

28,72 ± 3,79

0,001163 (860)

0,005164(194)

1,77

13,79 ± 1,36

13,22 ± 1,53

0,004791 (209)

0,016079 (62)

3,47

4,15 ±0,26

2,72 ± 0,33

0,000057 (17407)

0,006577 (152)

A2 = T 一(1 历)"2" 1)[1吗 + ln(l - z"i)],

где 4 =尸(冗；0) -значение теоретической функции распределения. Преобразуем эти значения по формулам

0* = 0(М + 0,12 + 0,11/筋)，

W2* =(Г/2-0,4/^ + 0,6/п2)(1,0 + 1,0/и),а2* = а2.

В табл. 7.4 приведены стохастические характеристики

различных рядов наблюдений рек мира, а в табл. 7.5 一 значе-

00

Таблица 7.5. Значения различных статистик критериев согласия для степенного и гамма-распределения

Для гамма-распределения

Для степенного распределения

Z)+*3*W2*斗2*

|у2*

Z)+*3*

Число наблюдений

Пункт наблюдения

Река

83

16

6

24

3

4

47

2 09

79,7

9

77

27187180465 68078512867 21225798132 99999999999 00000020100

35947421579

32249303063

QQQQQJ512OO

91373207766

65583602743

8 5

35358898985 99999999999 ооооооооооо

35426707107

46169564682

23149948180

00110103201

14119134054 46076672060 00221307412 99999999999 ооооооооооо

94478245474 44150285013

66010265310

—, —9 9 9 9 9 —9 9 9 9 9

^^ ^^ ^1 ^1 ^1 ^1 ^^ ^1 ^1 1Л ^1

94478255474 44150295013

66010235310

—, 9 9 9 9 —9 9 9 9 9

^^ ^^ ^1 ^1 ^1 ^1 ^^ ^1 ^1 ^1 ^1

3 6 2

4 4 5

Lo,o,

8 5 1 210606 о,о,о,

3 8 9

6 6 4

16 7 к а а

8 9 0

12 3

5 6 5 о,о,о,

7 6 7

904628

о,о,о,

8 4 2

0 7 3

2 0 0 о,о,о,

7 5 1

5 2 8

18 4

Lo,o,

7 5 1

5 2 8

18 4

L а а

Западная

г. Даугавпилс

80

Двина

Амур

г. Хабаровск

81

Кама

г. Пермь

84

Миссури

Форт Пьер

91

91

Иртыш

г. Тобольск

86

Десна

г. Чернигов

97

Тобол

г. Ялуторовск

65

Колумбия

створ Даллас

ПО

ПО

Янцзы

Ханкоэ

113

Днепр

п. Лоцманская

145

Каменка

Ока

г. Калуга

118

Дунай

г. Орсова

149

149

ния £>+*, £>*, W2* и А2*. Используя эти таблицы, решаем, можно ли расхождение между теоретическим и статистическим распределениями объяснить случайными причинами или же оно слишком велико и гипотеза % отвергается. Уровень значимости практически указывает на вероятность того, что критическое значение меры расхождения, например D；；, не меньше, чем вычисленные для ряда D+* ^ D^.

Если эта вероятность мала, то гипотезу % отвергаем как мало правдоподобную, если же эта вероятность значительна, считаем, что натурные данные не противоречат гипотезе %.

Например, для рассмотренной выше р. Тобол по данным табл. 7.5 0+* = 0,395, D* = 0,684, W2* = 0,073 и А?* 二 о,460 для степенного и 0+* = 0,961, Q* = 1,300, W2* = 0,502 и А?* = 2,918 для гамма-распределения. Соответственно находим критические значения, которые для уровня значимости а = 0,25 равны 0,828, 1,019, 0,209 и 1,248. Практически гипотезу % можно принимать на уровне 5-10%, полученные же для р. Тобол оценки для степенного распределения гораздо меньше оценок, соответствующих уровню значимости 25%, и поэтому % не отвергается. Оценки, полученные с использованием гамма-распределения, сравнимы со значениями, соответствующими как раз 510%. Таким образом, в целом оба распределения подходят для описания рассматриваемого ряда, однако оценка максимально возможного значения расхода получается более достоверной, если использовать физически обоснованное степенное распределение.

При сравнении графиков плотностей распределения для этих рек видно их значительное различие. На рис. 7.2.-7.5 приведены результаты расчетов по указанной методике.

Новые методы расчета ущерба от наводнений

Как показано в статье [Кузнецов, Писаренко, Родкин, 1997], стандартно применяемые методы расчета ущерба от наводнений, основанные на применении средних значений, непригодны, если распределение ущербов от наводнений описывается степенным законом Парето. В этой статье предложены новые методы расчета, с использованием распределения Парето с показателем Р < 1. Для числа жертв наводнений и экономических потерь характерны степенные самоподобные распределения с "тяжелыми хвостами" в области редких сильнейших наводнений. Такие рас-

Рис. 7.2. Обеспеченность для р. Сейм (половодье)

Точки - эмпирические данные, пунктирная кривая - гамма-распределение, сплошная кривая - распределение Пирсона

Рис. 7.3. Плотность степенного распределения максимальных расходов воды р. Тобол при значении параметра 0 = 3,38 (пунктирная линия) и 1,64 (сплошная линия)

пределения теоретически имеют бесконечные средние значения, и поэтому расчет эмпирических средних по ограниченным выборкам выявляет высокую неустойчивость подобных оценок. Характерно, что для распределений с "тяжелыми хвостами" ущерб с течением времени растет нелинейно. Проведенный нами 230

Рис. 7.4. Кривые обеспеченности максимальных срочных расходов воды за одновершинные дождевые паводки на р. Ока (г. Калуга)

Точки - натурные данные, пунктирная линия - распределение Пирсона типа V, сплошная линия - гамма-распределение

Рис. 7.5. Кривые обеспеченности максимальных сточных расходов воды р. Тобол (г. Ялуторовск) за половодье

Точки - натурные данные, пунктирная линия - распределение Пирсона типа V, сплошная линия - гамма-распределение

анализ показал, что величины максимальных расходов воды и уровней, которые являются физическими параметрами наводнений, характеризуются степенным законом распределения вероятностей с параметром 0 > 3. Для полученных распределений существуют и средние значения и дисперсии, поэтому возникает вопрос, как на основе предложенной теории катастрофических наводнений обосновать новые методы расчета ущерба от них?

3

Рис. 7.6. Плотности распределения вероятностей ущерба при значениях 加=10 (точки), 5 (пунктирная линия), 4 (сплошная линия)

Предположим, что безразмерная величина ущерба (У) нелинейно зависит от физических масштабов (X) бедствия (расхода или уровня воды), например, пусть У = Х^(加» 1). Смысл этой зависимости заключается в том, что материальные и человеческие потери сильно увеличиваются, если только расход или уровень превысит некоторое характерное значение; в противном случае ущерб будет небольшим, т.е. небольшие превышения критического уровня расхода сопровождаются сильным нелинейным увеличением ущерба.

Используем известную формулу теории вероятностей для плотности распределения величины У при ее монотонной дифференцируемой зависимости от X, У 二 «X) и имеющей заданное распределение р(х)

где X 二尸(У). Осуществив это преобразование, получим плотность распределения величины ущерба

0-2产&*斤2/盼)

，У -ЕВ-1)严-

Это распределение также является степенным, но его "хвост" при м » 1 гораздо более "тяжелый", чем "хвост" у исходного

распределения, описывающего вероятности максимальных расходов воды или уровней. Математическое ожидание и дисперсия распределения (7.6.1)

"(У) = jУР(уХу = % О(У) = jU - M^Y^p^dy = 8о о

не существуют при (0 - 1)/加 < 1. В этом случае (рис. 7.6) распределение (7.6.1) приближается к распределению Парето. Статистические оценки [Кузнецов, Писаренко, Родкин, 1997] показали, что (Р - 1)/加=0,84 + 0,09.

Следовательно, распределение Парето возникает в результате суперпозиции двух нелинейных зависимостей - величины речного стока от влагозапасов бассейна и величины ущерба от физических характеристик наводнения.

Таким образом, в соответствии со степенной статистикой катастрофические наводнения на нашей планете не являются экзотическими событиями.

Заключение

Какие же направления гидрологии будут актуальными в XXI в.?

По нашему мнению, следующие:

一 исследование взаимодействия гидрологического цикла суши с климатическими процессами в океане, атмосфере и криосфере;

一 разработка больших физико-математических моделей . гидрологии и климатологии, учитывающих детальное описание процессов переноса импульса, тепла, влаги и других веществ;

一 построение простых малопараметрических нелинейных динамических моделей гидрологии (поверхностного и подземного стоков, уровня водоемов, влагозапаса почвы) и сопоставление их с количественным описанием на основе сложных моделей;

一 создание методов прогноза экстремальных гидрологических явлений (максимальных и минимальных расходов воды, паводков, наводнений).

Исследования в этих направлениях уже проводятся по программе ЭКОС (изучение Земли как единой самоорганизующейся климатоэкологической системы), разработанной в Институте космических исследований РАН совместно с другими институтами [Космические исследования..., 1995]. Особое внимание эта программа уделяет изучению взаимодействия различных природных сред (атмосферы, гидросферы, криосферы, биосферы) при помощи средств дистанционного зондирования с целью выявления основных закономерностей функционирования Земли как единой экологической системы, подверженной воздействию антропогенных и природных факторов.

Приложение

Приложение 1О предельной численности населения Земли

Для оценки влияния парникового эффекта антропогенного происхождения на глобальную температуру атмосферы очень важен прогноз энергопотребления на душу населения. 15-20 лет тому назад реальным считалось возрастание энергопотребления с 10,2 млрд в 1980 г. до 17-22 млрд т.у.т. в 2000 г. — действительное же энергопотребление составило 14,3 млрд т.у.т., т.е. прирост оказался в 2—3 раза меньше ожидаемого [Клименко, 2001]. Такое замедление энергетической экспансии стало полной неожиданностью для аналитиков, просмотревших чрезвычайно важный факт: за последние 25 лет все развитые страны мира перестали наращивать потребление всех видов топлива, вместе взятых, в расчете на душу населения. Это, несомненно, отразилось и на динамике глобального энергопотребления, которое имеет явную тенденцию к стабилизации на уровне 2,5 т.у.т. в год на одного человека. На наш взгляд, это связано с тенденцией угасания демографического взрыва, которая наметилась в 1988 г. (в этом же году было максимальное потребление энергии на душу населения).

Таким образом, можно предположить, что рост концентрации парниковых газов антропогенного происхождения в будущем будет замедляться по причине стабилизации роста народонаселения. Какова же предельная численность населения Земли? Эта проблема очень важна и с точки зрения водоснабжения населения, так как нехватка воды и ее качество станут одной из главных проблем XXI в.

В данном Приложении путем экстраполяции кривой роста населения показано, что в 2020 г. людей будет не 8 млрд, а всего лишь 7; и что численность населения Земли никогда не превысит 7,39 млрд, такая численность будет достигнута к 60-70-м годам XXI в. [Найденов, Кожевникова, 2003]. Этот результат был получен на основе анализа нелинейного дифференциального

19501970199020102030205020702090

Годы

Рис. П.1.1. Численность населения Земли по непрерывной (7) и дискретной (2) моделям.

Точки - демографические данные

1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 2350 Годы

Рис. П.1.2. Стабилизация численности населения Земли в соответствии с моделью с гиперболическим законом роста (/), моделями Ферхюльста (2) и С.П. Капицы (3-5), демографические данные (6)

уравнения с гиперболическим законом роста, которое очень хорошо описывает демографическую кривую с 1950 по 1999 гг.

Сравнение предложенной модели с моделями Ферхюльста и Капицы проведено с использованием современных методов математической статистики. Показано, что предложенная модель роста и стабилизации численности населения гораздо лучше соответствует демографическим данным и поэтому реалистич- 236

нее, чем другие экстраполяционные модели, прогнозирует будущую численность населения Земли. Изменение численности роста народонаселения и его стабилизацию в соответствии с разными моделями иллюстрируют рис. П.1.1 и П.1.2.

Происходящее в настоящее время быстрое разрушение естественных экосистем, регулирующих окружающую среду, ведет к экологической катастрофе. Эта катастрофа, в свою очередь, сопровождается резким снижением темпов роста населения и стабилизацией его на уровне 7.39 млрд человек.

1. Математическая модель народонаселения Земли с гиперболическим законом роста

Одним из методов, с помощью которых можно определить численность населения Земли в некоторый произвольно выбранный момент времени в будущем, состоит в том, чтобы найти уравнение, наиболее точно описывающее рост населения до настоящего времени, и затем экстраполировать кривую роста на будущее.

Предположим, что мальтузианский параметр роста г (разность между рождаемостью и смертностью в данный момент времени) линейно зависит от численности населения Земли г = =aN(t) [Уатт, 1971], тогда уравнение численности будет иметь вид

dN 、т2 < N/

aN 1-— , N(tj = N『⑴

力 I M丿.

где М - предельная численность населения.

В экологии модель (1) называют моделью с гиперболическим законом роста [Капица, Курдюмов, Малинецкий, 1997], так как при N«) Y 乂 dN/dt = aN2 и

При t = tk N(在)= 8, ——(人)=8, т.е. рост населения до мо- dt

мента времени tk происходит по гиперболическому закону.

Г.В. Ферстер назвал отрезок (我-0 временем до гибели популяции [Foerster, Mora, Amiot, 1960].

С.П. Капица, используя предположение о конечности скорости роста населения и демографические данные, получил содержательные выводы о предельной численности населения Земли (10-16 млрд человек) [Капица, 1992].

Поставим задачу об определении неизвестных параметров модели ⑴ а к М на основе демографических данных о численности населения Земли за период с 1950 по 2000 г. [Total Midyear Population for the World: 1950-2050. http://www.census.gov/ipc/www/ worldpop.html].

Введем величины

и = ^/^0, T = (N°a)-i, £ = %/&・

T— = и2(1-£〃)，и(/0) = 1,T— = и2(1-£〃)，и(/0) = 1,⑵⑵Тогда

T— = и2(1-£〃)，и(/0) = 1,

T— = и2(1-£〃)，и(/0) = 1,

⑵

⑵

1-£1-£⑶⑶屮（gt）= 2力一网£山々+屮（gt）= 2力一网£山々+т min,т min,

1-£

1-£

⑶

⑶

屮（gt）= 2力一网£山々+

屮（gt）= 2力一网£山々+

т min,

т min,

где Т имеет смысл характерного времени модели (2). Легко получить решение (2) в неявном виде г = К〃)

—=£1п〃 + Т

Методом наименьших квадратов минимизируем функцию ^Т)

где (%・,力・)一 элементы демографической выборки, i= 1, 2,..., М, М-ее объем.

Т(£)= £ 4 £1п 々 +Т(£)= £ 4 £1п 々 +£ln〃j +£ln〃j +⑷⑷Приравняв частные производные Т(£, Г) по £ и 7 нулю, получим систему уравнений

Т(£)= £ 4 £1п 々 +

Т(£)= £ 4 £1п 々 +

£ln〃j +

£ln〃j +

⑷

⑷

£ < £• - Т(£)£ 111% + —- - £ ln| -~— j > X i=0 I L ni I IT 丿」，

1 — £%11 — £ 1 — £"丿

Система (4) была решена численным методом и для ее параметров получены следующие оценки: £ = 0,344, Т = =38,075 год. Таким образом, предельная численность населения Земли М = 7,39 млрд человек, что существенно меньше, чем оценки других авторов [Foerster, Mora, Amiot, 1960]. Это оказалось для нас совершенно неожиданным. Максимальный темп прироста народонаселения по модели (1) на 1989 г. равен 83 млн человек при численности населения на тот момент времени 5,18 млрд человек, что неплохо соответствует фактическим данным (85 млн, 5,2 млрд человек). Характерно, что для модели (1) относительный темп прироста населения не монотонно зависит от его численности (эффект Олли для популяции).

1 - £〃(/)1 - £〃(/)Рассмотрим иной подход к определению параметров модели Т к £. Уравнение (2) можно записать в виде

1 - £〃(/)

1 - £〃(/)

(5)

Поскольку мы располагаем лишь наблюдениями в дискретные моменты времени, то уравнение с непрерывным временем надо записать в дискретной форме, заменяя производную ее оценкой по первой разности

今丄、今丄、111и(/ + 8)1и(/ + 8)⑹⑹

今丄、

今丄、

1

1

1

и(/ + 8)

1

и(/ + 8)

⑹

⑹

где 8 一 малый интервал времени. Подставив (6) в (5), получим следующее уравнение:

111 --о 111 --о 〃⑺ и(/+ 8)〃⑺ и(/+ 8)

111 -

-о

111 -

-о

〃⑺ и(/+ 8)

〃⑺ и(/+ 8)

Пусть за единицу времени принят один год. Положив 8 = 1, получим

11"⑺ "(/ +1)11"⑺ "(/ +1)=А- Bn(t) + T|(z),=А- Bn(t) + T|(z),⑺⑺

11

"⑺ "(/ +1)

11

"⑺ "(/ +1)

=А- Bn(t) + T|(z),

=А- Bn(t) + T|(z),

⑺

⑺

где Т|(0 一 остаточная последовательность модели (7), дисперсия которой характеризуют качество модели. Модель (7) является регрессией первого порядка относительно параметров А = 1/7； В = е/Т. Метод наименьших квадратов в этом случае дает следующие оценки £ = 0,344, t = 38,61 год, что практически совпадает с ранее вычисленными значениями этих параметров (0,344; 38,075 год).

Пусть регрессионная зависимость имеет вид (7) с неизвестными параметрами Т и £ к остаточной последовательностью Т| ⑺, которая является последовательностью взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием Ет|(0 = 0. Тогда на уровне значимости а (или с доверительной вероятностью 1 - а) двусторонние доверительные интервалы для истинных значений параметров регрессии (7) имеют вид

t Т

Z < Т < Z—,

1 + т% 1 - Т%

⑻⑻

⑻

⑻

где

s2 =s2 =1М-21М-2"(/+ 1)"(/+ 1)-А + В 几(f) j ,-А + В 几(f) j ,

s2 =

s2 =

1

М-2

1

М-2

"(/+ 1)

"(/+ 1)

-А + В 几(f) j ,

-А + В 几(f) j ,

⑼⑼s3=g》(〃0)-丽)，丽=方2№)，

⑼

⑼

丄 /=1/=1

心=%/2(M-2)j^，％ =%/2心=%/2(M-2)j^，％ =%/2

心=%/2(M-2)j^，％ =%/2

心=%/2(M-2)j^，％ =%/2

%/2(М-2)- критическое значение критерия Стьюдента с (Л/ — 2) степенями свободы.

Далее, для теоретических значений параметров Т и £ регрессии (7) по формулам (9) на уровне значимости а = 0,05 (или с доверительной вероятностью 1 - а = 0,95) были получены следующие двусторонние доверительные интервалы: 37,774 < Т < < 39,134, 0,304 < 8 < 0,3 81. Коэффициент корреляции для зависимости (7) равен 0,933 с доверительным интервалом (0,883; 0,962).

Предельная численность населения Земли изменяется в пределах 6,69 < ^s < 8,39 млрд человек на уровне доверия 0,95.

Из среднеквадратической теории следует, что модели (1) и (7) превосходят модели С.П. Капицы и Ферхюльста. Этот вывод сделан на основании сравнения значений остаточных дисперсий для всех исследованных моделей.

Параметр

Модель с гиперболическим законом роста

Модель Фер- хюльста

Модели С.П. Капицы

1

2

3

Остаточная дисперсия модели, отн. ед.

4,73 • 10-5

0,000305

0,075592

0,029042

0,016872

м，млрд человек

7,39

16,72

10

13

15

Модели Ферхюльста и С.П. Капицы имеют вид

dN(N \

Т——=^ 1, Т = 43,67 лет, Ns =16,67 млрд человек,

力I m丿

Mr)二.arctg(什4

Для модели Ферхюльста получены следующие оценки постоянной времени Т и предельной численности населения:

42,63 <Т< 44,76,

11,77 <NS< 28,02.

Таблица П.1. Прогноз численности населения Земли на ближайшие десятилетия в соответствии с непрерывной (/) 合и дискретной (//) моделями

Год

Численность, млрд чел.

Год

Численность, млрд чел.

Год

I

II

I

II

Численность, млрд чел.

Год

Численность, млрд чел.

0 12 3 4 5 6 о о о о о о о о о о о о о о

2 2 2 2 2 2 2

7890123456789 о о о 11 11 11 11 11 11 1 11 11 1 ооооооооооооо

2222222222222

0 12

2 2 2 ООО

2 2 2

3 4 5

2 2 2 ООО

2 2 2

6,016876,04501

6,08615 6,11428

6,15346 6,18153

6,21872 6,24667

6,281856,30965

6,34280 6,37040

6,40152 6,42890

6,457986,48510

6,51215 6,53900

6,56404 6,59060

6,61364 6,63990

6,660976,68692

6,70605 6,73169

6,47892 6,77425

6,78964 6,81464

6,82819 6,85291

6,86470 6,88913

6,89920 6,92335

6,931766,95564

6,96244 6,98608

6,99133 7,01473

7,01849 7,04167

7,04400 7,06698

7,067927,09072

7,09035 7,11298

7,111347,13382

6 7 8

2 2 2 ООО

2 2 2

03133: о о о о

2 2 2 2

9 0 12

345678901

333333344 ооооооооо

222222222

23456789( 204204204204204204204204205205

о 1

7,13098

7,15333

2052

7,35462

7,37663

2078

7,38544

7,40802

7,14934

7,17157

2053

7,35729

7,37932

2079

7,38579

7,40838

7,16549

7,18861

2054

7,35976

7,38182

2080

7,38611

7,40871

7,18248

7,20452

2055

7,36204

7,38414

2081

7,38640

7,40902

7,19740

7,21936

2056

7,36415

7,38628

2082

7,38668

7,40930

7,21131

7,23320

2057

7,36611

7,38826

2083

7,38693

7,40957

7,22426

7,24610

2058

7,36791

7,39009

2084

7,38716

7,40981

7,23632

7,25811

2059

7,36958

7,39179

2085

7,38738

7,41003

7,24753

7,26929

2060

7,37113

7,39336

2086

7,38758

7,41024

7,25796

7,27970

2061

7,37256

7,39482

2087

7,38776

7,41043

7,26766

7,28937

2062

7,37388

7,39617

2088

7,38793

7,41061

7,27666

7,29837

2063

7,37510

7,39741

2089

7,38809

7,41077

7,28503

7,30673

2064

7,37623

7,39857

2090

7,38824

7,41093

7,29278

7,31450

2065

7,37728

7,39963

2091

7,38837

7,41107

7,30000

7,32171

2066

7,37824

7,40062

2092

7,38849

7,41120

7,30668

7,32841

2067

7,37913

7,40153

2093

7,38861

7,41132

7,31288

7,33462

2068

7,37996

7,40238

2094

7,38872

7,41143

7,31863

7,34039

2069

7,38072

7,40316

2095

7,38881

7,41153

7,32396

7,34574

2070

7,38142

7,40388

2096

7,38890

7,41162

7,32890

7,35070

2071

7,38208

7,40455

2097

7,38899

7,41171

7,33347

7,35530

2072

7,38268

7,40517

2098

7,38906

7,41179

7,33771

7,35956

2073

7,38323

7,40574

2099

7,38914

7,41187

7,34161

7,36351

2074

7,38375

7,40627

2100

7,38920

7,41194

7,34526

7,36718

2075

7,38422

7,40676

2101

7,38926

7,41200

7,34863

7,37057

2076

7,38466

7,40722

2102

7,38932

7,41206

7,35174

7,37371

2077

7,38507

7,40764

2103

7,38937

7,41212

Численные значения параметров С, т и ^ для трех моделей С.П. Капицы приведены в работе [Капица, 1992]. Прогноз, выполненный на основе нелинейных моделей (1) и (7) приведен в табл. П.1. По этому прогнозу рубеж в 7 млрд человек будет достигнут в 2020 г., а в 2050-2070-х годах нашего века население Земли стабилизируется на уровне 7,39 млрд человек.

Если в ближайшее десятилетие этот прогноз будет существенно отличаться от фактических данных, то это означает, что в мире будут происходить демографические процессы, не описываемые моделями (1) и (7).

Существование предельной численности населения Земли соответствует представлению о существовании так называемых "пределов роста" [Данилов-Данильян, 2003], которое прочно вошло в современную научную парадигму. Именно эта величина определяет хозяйственную емкость биосферы (допустимого предела воздействия человека на окружающую среду), знание которой необходимо экологам.

Возникает исключительно важный вопрос, какой будет следующая стадия демографического перехода? Какова же будет судьба человечества после переходной ступени, которая в развитых странах закончилась, а в развивающихся еще продолжается? По оптимистическому сценарию специального Отдела народонаселения при ООН предполагается, что все страны скоро придут к уровню плодовитости, обеспечивающему лишь обновление поколений, без роста численности - 2,1 ребенка на женщину. Если это будет именно так, то мировое народонаселение по прогнозу ООН стабилизируется к 2100 г. на отметке 11 млрд человек. Однако будет меняться и лицо мира. Северная Америка, Латинская Америка и Африка, которые еще 2 века назад были мало населены, станут плотно населенными территориями. В других регионах, включая Европу, Китай и Японию, прирост населения будет более скромным.

Но существуют и пессимистические сценарии. Уменьшение населения развитых стран открывает "Эльдорадо перед странами большого демографического взрыва. Народы, находящиеся в неблагоприятных условиях, но на подъеме роста населения, могут присвоить себе - добром или силой - земли и ресурсы народов богатых, но находящихся на спаде. Эти последние постепенно будут смешиваться с пришельцами, пока не потеряют свою индивидуальность. Они исчезнут, как исчезли уже многие народы, попав в подобную ситуацию" [Нас было 80 миллиардов. А сколько будет? 1989].

7.2 Стохастическая модель колебанийчисленности населения

Исследуем влияние флуктуаций мальтузианского параметра а на численность народонаселения в его будущем стационарном состоянии. Пусть

а = М + о&«),

где а 一 среднее значение, о - интенсивность винеровского процесса, &(D - его обобщенная производная; n = N丨 N§, Х = aNs, d = a^, тогда получим стохастическое дифференциальное уравнение

dnt =入几;(1- nt)dt + cn^dWt,(10)

где 叱一 стандартный винеровский процесс. Уравнение (10) описывает влияние быстрых флуктуаций среды и построено в предположении временной эволюции системы за счет диффузионного процесса с коэффициентом переноса /(и) = Хи2(1-и) и коэффициентом диффузии g(n) = c2n2. Пространство состояний (значений) случайного процесса nt ограничено множеством неотрицательных вещественных чисел G<nt<^.

Нетрудно установить, что процесс nt имеет естественные границы (по классификации Гихмана-Скорохода [Гихман, Скороход, 1968]), т.е. они достижимы лишь с нулевой вероятностью.

Аналитически условие того, что границы 0 и g являются естественными, записывается следующим образом. Функция

Ф(и) = ехр - [ -^弘厶,0< и* < оо：g(R)

неинтегрируема в окрестности границ. Действительно, при % —> 0 и % —> 8

Ф(71) = СХр ~~у h ШИIn %* ■—^8.

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, определяющее эволюцию плотности вероятности, имеет вид

加^" = -^[Хл?(1 - 〃) + 6?諸]Р(〃,f) + ^-^2 [&(〃/)]，(И)

Р(〃,О) = Ро(〃)，

где ро(м) - некоторая заданная функция. Стационарное решение (11) имеет вид

'(В — 2)В-%хр[-([3 — 2)/砌 …

%(〃) = <

0,% w 0,

(12)

где [3 = 2 + 2Х/а2, Г(П) 一 гамма-функция Эйлера.

Таким образом, получается уже известный степенной закон, который обсуждался в гл. 7. Вот уж воистину законы природы и общества едины.

Построив функционал Ляпунова, несложно показать глобальную асимптотическую устойчивость стационарного состояния, описываемого распределением (12). Более того, можно доказать, что если стационарная плотность вероятности существует и является начальным распределением диффузионного процесса, то nt 一 эргодический процесс [Хорстхемке, Лефевр, 1987].

При определении (12) используется условие нормировки

J Ps (几)d几=1.

о

Среднее значение и

J nps(n)dn = l.

о

Дисперсия распределения (12)

0% 二 j (n-l)2ps(n)dn = -^—о

Вероятности отклонения от 1 на 3^jDnt

1+却一3尸/2

p(nt >1 + Зф-ЗГ1/2)=J p^ri)dn.

о

Так как распределение Пирсона типа V не имеет моментов [р]-го порядка и характеризуется степенным законом при больших и, то в будущем численность народонаселения будет испытывать значительные флуктуации, большие, чем при описании колебания численности гауссовским процессом.

Приложение 2Исследование разрешимости некоторыхнелинейных краевых задач гидродинамикиметодами осцилляционных ядер Крейна

В этом приложении рассмотрены современные методы исследования разрешимости нелинейных краевых задач, которые приводят к множественности решений, их неустойчивости, эффектам бистабильности. Подчеркнем, что выше эти задачи (см. гл. 1-3) были рассмотрены в нульмерном приближении. Источником неустойчивости, неединственности решений нелинейных уравнений являются задачи неизотермической гидродинамики.

Авторами работ [Pearson, 1972; Pearson, Shan, 1973; Pearson, Shan, Viera, 1973; Pearson, Shan, 1974] предсказана неизотермическая неустойчивость напорного движения вязкой жидкости в охлаждаемой трубе, причиной которой является сильная зависимость вязкости от температуры. Из-за этой зависимости тепловые и гидродинамические возмущения оказываются взаимосвязанными и при критических перепадах давления самопроизвольно усиливаются, что приводит к срыву стационарных режимов и скачкообразному увеличению (уменьшению) расхода жидкости при малом изменении перепада давления. Анализ данного физического эффекта проводили на основе элементарной модели теплового баланса, не учитывающей распределение температуры и скорости по радиусу трубы, причем коэффициент теплопередачи, использованный в работах [Pearson, Shan, Viera, 1973; Pearson, Shan, 1974], был достаточно неопределенной величиной, зависящей от режима движения вязкой жидкости.

В работах [Алексапольский, Найденов, 1979; Найденов, 1983; Найденов, 1984; Найденов, Полянин, 1984; Найденов, 1986; Найденов, 1987] выполнено теоретическое исследование конвективно-тепловой неустойчивости, основанное на анализе точных (автомодельных) решений уравнений Навье-Стокса и конвективного теплообмена, свободное от указанного недостатка.

Эта неустойчивость изучена недостаточно по сравнению, например, с классическими гидродинамическими неустойчивостями изотермического течения, неустойчивости Рэлея, Марангони и др. Имеются экспериментальные исследования неизотермического движения очень вязких жидкостей (расплавов полимеров, глицерина), подтверждающие теорию [Скульский, Славнов, 1977].

Практическое значение исследований конвективно-тепловой неустойчивости связано прежде всего с поиском оптимальных процессов термообработки полимерных масс в процессе их экструзии, с реализацией режимов жидкого шлакозолоудаления в высокофорсированных энергетических установках, с расчетом трубопроводного транспорта вязких нефтей, а также с прогнозированием некоторых природных явлений, например палео- магматогенных процессов в недрах Земли.

Ма тема ти чес кая постановка задачи

К нелинейным краевым задачам приводят точные решения уравнений Навье-Стокса и конвективного теплообмена в случае экспоненциальной зависимости вязкости жидкости от температуры. Этой зависимости подчиняются различные виды масел, глицерин, вязкие нефти и другие среды, например расплавы полимеров. Уравнения Навье-Стокса и конвективного теплообмена запишем в виде

Р停+嘤卜一新副嗤卜^^(1)

^ + (闪)】5

Здесь р - плотность жидкости, р 一 давление, Т - температура, ц и a - соответственно динамический коэффициент вязкости и коэффициент температуропроводности, R - скорость жидкости. В системе (1) суммирование по i.

Примем, что коэффициент динамической вязкости экспоненциально зависит от температуры

Ц = Ц0 ехр[-В(Т-^)],

В - коэффициент, пропорциональный энергии активации вязкого течения.

Анализируемые ниже краевые задачи получены как точные решения системы уравнений (1).

2. Нелинейные краевые задачитеории теплового взрыва

Математический аппарат, используемый при анализе конвективно-тепловой неустойчивости, тесно связан с методами исследования нелинейных краевых задач, содержащих положи-

тельные линейные дифференциальные операторы и монотонные функции зависимой переменной [Келлер, 1974]. В дальнейшем будем широко применять идеи и методы математической теории теплового взрыва [Гельфанд, 1959; Худяев, 1963; Худяев, 1964; Худяев, 1967; Вольперт, Худяев, 1975].

Одна из физических постановок, приводящих к ^позитонным11 задачам, связана с распределением температуры в жидкости, фильтрующейся через призматическую трубу, наполненную пористой средой. Если вязкость жидкости экспоненциально зависит от температуры, а вдоль стенок задан постоянный отрицательный температурный градиент, то соответствующая задача приводит к уравнению [Найденов, Полянин, 1984]

Д9 = -Аее,能=0, (2)

рассматриваемому в некоторой ограниченной области G и 7?2 c границей 5.

Это уравнение описывает стационарное распределение температуры в зависимости от приложенного перепада давления Л. Нелинейный член пропорционален скорости конвективной подачи тепла в охлаждаемый объем, а линейный 一 скорости отвода этого тепла к стенкам за счет молекулярной теплопроводности.

Задача (2) хорошо известна в стационарной теории теплового взрыва [Франк-Каменецкий, 1967]; имеются общие методы ее исследования [Вольперт, Худяев, 1975; Худяев, 1984].

Доказано, что эта задача может быть разрешима лишь при достаточно малых положительных значениях параметра Л и что при А > А* она не может быть разрешима. Обоснование этого утверждения в достаточно общем виде и методы расчета А* приведены в работах [Вольперт, Худяев, 1975; Худяев, 1984; Худяев, 1963; Худяев, 1964].

Применительно к задаче неизотермической фильтрации это означает, что при закритических перепадах давления А>А* конвективная подача тепла начинает прогрессирующе опережать теплоотвод к стенкам за счет теплопроводности, что приводит к развитию неустойчивости.

К краевой задаче (2) приводят и многие другие задачи математической физики с распределенными источниками тепла [Gruntfest, Youg, Johnsjn, 1964; Каганов, 1962; Бостанджиян, Мержанов, Худяев, 1965; Ратнер, Коробов, 1965; Баренблатт, Козырев, Малинин и др., 1966], в частности родственная задача о диссипативном нагреве вязкой жидкости переменной вязкости [Каганов, 1962; Бостанджиян, Мержанов, Худяев, 1965].

Нелинейные краевые задачи

Уравнения Навье-Стокса и конвективного теплообмена в случае экспоненциальной зависимости вязкости от температуры допускают автомодельное решение, соответствующее прямолинейному движению вязкой жидкости в трубе при постоянном градиенте температуры вдоль стенок. В этом случае краевая задача относительно избыточной температуры жидкости имеет вид

旷 + 山 9С = Ах ее, 0 w r w 1,(3)

е〃⑴二-(〃+i)ez(i), e(i)= с(о)= о.(4)

Здесь и = 0 соответствует течению в трубе с круглым сечением, и = -1 - в плоском канале, параметр Л пропорционален перепаду давления: при охлаждении жидкости Л > 0, при нагревании Л < 0.

Поставим задачу о разрешимости уравнений (3) и (4) при -8 < Л < оо. Рассмотрим вначале движение в плоском канале 几= = -1:

е 〃⑴=е⑴二 е‘(о)= о.(5)

Построим функцию Грина оператора 0,,z = 0 с краевыми условиями (5)

/ —0,5(产+№), r w z, K(x,t) = < t-xt, x^t,

и решение (5) запишем в виде нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна:

1

9(х) = л| K{x,t}t^t}dt.(6)

о

Покажем, что все A w А. в области существования решения (5).

Предположим, что решение (5) существует при любом А 2 0. Так как

K(r/)2 0, ЭК/dх^О,yk/改2w0,

то при А 2 0 имеем

о(х)^о, e‘a)wo, e〃a)wo, е‘〃а)20.

Эти свойства функции 0(х) далее будут использованы при анализе устойчивости. Рассмотрим вспомогательную линейную задачу на собственные значения:

z'〃 = -|xxz, z(0) = z‘⑴二 z〃(0) = 0.(7)

Это уравнение эквивалентно линейному интегральному уравнению

1

z =(ll| G(x,t)tz(t)dt,(8)

о

где

G(x,t)= <G(x,t)= <х(1т),х(1т),х — 0,5(№ + 产),х — 0,5(№ + 产),X^tX^t

G(x,t)= <

G(x,t)= <

х(1т),

х(1т),

х — 0,5(№ + 产),

х — 0,5(№ + 产),

X^t

X^t

Линейные задачи на собственные значения (7), (8) нетривиальны, так как несамосопряженность оператора 9〃' = 0 с краевыми условиями (7) и несимметричность функции Грина не позволяют обратиться к обычным теоремам Штурма-Лиувилля, широко применяемым при анализе самосопряженных уравнений, например (2).

Для решения необходимо использовать осцилляционные теоремы Крейна [Крейн, 1939; Крейн, Рутман, 1948; Крейн, 1939], применимые для обширного класса краевых задач вне зависимости от того, самосопряжены эти задачи или нет. Теория осцилляционных ядер Крейна была впервые использована при исследовании задач гидродинамической устойчивости в работах [Юдович, 1966; Бабский, Мышкис, 1976]. Многочисленные примеры ее применения содержатся в известной монографии [Джозеф, 1981].

Так как оператор L(z) = z'〃 представлен в итерированной форме с положительными весами, а функция Грина положительна, то ядро интегрального уравнения (8) является осцилля- ционным. Краевая задача, которой отвечает такое ядро, имеет дискретный спектр действительных собственных значений, а собственная функция, принадлежащая наименьшему собственному значению, не меняет знак на замкнутом интервале.

Следовательно, существуют собственные значения (7), (8), удовлетворяющие неравенствам 0 < ц0 < Ц1 < ••• • Собственная функция z()(R), принадлежащая ц0, не меняет знак на отрезке [0, 1]. Отметим, что все линейные задачи, обладают аналогичными спектральными свойствами, так как сводятся к интегральным

уравнениям с осцилляционными ядрами. В дальнейшем это обстоятельство оговариваться не будет.

Умножив обе части уравнения (5) на z0(x) и проинтегрировав по частям, получим соотношение

Г1Л-11

*= J zQ(t)tQ(t)dt J%«)ee⑺力.

LoJ о

Так как 0(x) ^ 0, то справедливо неравенство ее ^ еб, откуда следует, что А^ ц0 е-1.

Таким образом, в области существования решения (5), (6) все А ограничены сверху числом A. w 卩。е-1. Укажем некоторые полезные свойства интегрального уравнения (6). Если решение (6) существует при некотором А = Ао, то оно существует для всех значений А из интервала [0, Ао], и его не существует при А > Ао. С помощью принципа сжатых отображений, можно показать, что при достаточно малых А нелинейные задачи (5), (6) всегда разрешимы.

Таким образом, важнейшим свойством задач (5), (6) является отсутствие решения при достаточно больших положительных А. Для А. справедлива оценка A. w ц0 е-1.

Изучим свойства решений (5), (6) при A w А.. Введем вспомогательный параметр 9'(1) = -s (s > 0 — охлаждение жидкости, s V 0 — ее нагревание) и рассмотрим задачу Коши

^ = \х^, 9(1) = 0, *(1) = -s, 9〃(1) = 0,(9)

причем зависимость А = Л5 будем определять из четвертого краевого условия 6'(0, A(s)) = 0.

Теорема. Для каждого s 2 0 найдется единственное К, для которого решение задачи Коши (9) удовлетворяет равенству е‘(о)= 0.

Для примера рассмотрим случай нагревания жидкости: s v 0. Проведем замену переменных -Н = s, Q/H = 0, Л = -ЛЯ и задачу (9) запишем в виде

у^ = -Лхен\ /1) = 0, /(1) = 1, Г(1) = 0.(10)

Покажем, что при каждом Н > 1 найдется единственное Л, удовлетворяющее равенству у[0, Л(Н)] = 0.

Лемма. Пусть функция у(х) удовлетворяет неравенству 了〃 w/g),

г^е Лу, R)- монотонно убывающая по у, непрерывная и непрерывно дифференцируемая по у функция. И пусть z(r) - решение задачи Коши

z'〃 = /(z,初 XI) = у ⑴，zz(l) = /(l), z 〃⑴=e〃⑴.

Тогда справедливы неравенства у'〃 W z'〃，у" 2 z〃，у' W z‘，у 2 z.

Эта лемма - прямое следствие теорем о дифференциальных неравенствах для систем уравнений с внедиагонально монотонными правыми частями [Перов, 1965; Азбелев, 1953], и на ее доказательстве останавливаться не будем.

Перейдем к доказательству разрешимости задачи (10). Установим сначала требуемое в теореме А при Н > 0. Обозначим через у(х,А) решение задачи (10) и покажем, что равенство у'(0, А) = 0 может выполняться лишь при А > 0. Действительно, при A w 0 в силу знакопостоянства правой части уравнения (10) имеем y'〃(R,A)N0 (0 w r w 1), откуда в силу леммы получаем у'(R, А) ^ 1, а значит, у'(0, А) 2 1. Итак, будем рассматривать задачу (10) при А > 0. В этом случае у(х,А) удовлетворяет условиям

У〃屏，夭)w 0, у(1，Л) = 0, У(1,Л) = 1, Г(1,Л) = 0

и поэтому (в силу леммы) справедливы оценки

у〃(乂夭)20, /(1,Л)^1, у(^Л) = ^х-1. (И)

Отметим, что у(х,А)三х-1, если Л = 0, т.е. при Л = 0 функция у(х, А) продолжима на отрезок [0, 1]. Следовательно, по теореме о непрерывной зависимости решений от параметра, функции у(х, Л) продолжимы на отрезок и при достаточно малых положительных Л.

Рассмотрим максимальное связанное множество, содержащее нуль, тех Л, при которых функция продолжима на отрезок [0, 1]. Ясно, что это интервал вида (0, Е). Формально имеются две возможности: либо при некотором Ло выполняется неравенство у(О,Ло)^О, либо при всех Л е (0, Е) выполняется неравенство у(0, А) < 0. Покажем, что вторая возможность не реализуема. Из предположения y(0,A)v0 и оценок (11) вытекает равномерная

ограниченность функций x-lWy(x,X)wO.(12)

Равномерная ограниченность у(х,А) и вид уравнения (10) показывают, что равномерно ограниченными будут также функции y〃(R), /(х), у'(х). Но тогда, в силу теоремы о непрерывной зависимости решений от параметра при Л = Е (если Е конечно), решение у(х,А) также продолжимо на отрезок [0, 1], что противоречит определению Е. Это показывает, что Е = 8, т.е. при выполнении второй возможности при каждом Л 0 решение у(х,А) продолжимо на отрезок [0, 1]. Оценим в этом случае величину у(0, А) при больших Л. В силу оценки (12) при каждом Л выполняется неравенство /,х ^ -Лхехр[Н(х-1)], откуда, в силу леммы,

1

у(х, А) 2 r -1 + 0,5A J(R - /У Zexp[/f(Z-l)] dt

и, следовательно,

1

у(0,Л)^-1 + 0,5ЛJ ?ехр[Н(Г-1)]Л.

о

При достаточно большом Л имеем у(0, Л) > 0, что противоречит предположению у(0,А)<0. Итак, при некотором Л е (0, Е) будем иметь у(О,Ао)2О. Но тогда в силу соотношений у" 2 0, У(1,Л0) = 1, у(1, А。)= 0 имеет место неравенство У(О,Ло) w 0.

Как было отмечено выше, у(х, 0) = х - 1. Следовательно, у'(0, 0) = 1. Отсюда и из неравенства (11) вытекает существование Л. такого, что /(0, Л. ) = 0.

Докажем единственность Л.. Функция у(х,А), очевидно, дифференцируема по Л. Положим z = ду/ЭЛ. Для определения z(r, Л) имеем уравнение

z^ = -xeHy- ЛНх е由 z, z(l) = z'(l) = Z〃⑴二 0.

Отсюда вытекает неравенство

zz〃w-XHiz,

показывающее, что z(x) удовлетворяет условиям леммы. Поэто-

му z'(r,A)<0, в частности z'(0,A)<0. Но это означает, что функция У(0,Л) монотонно убывает по Л, откуда и следует единственность решения уравнения у'(0, Л) = 0.

Выше был рассмотрен случай нагрева жидкости. При охлаждении Л > 0 и разрешимость задачи (9) доказывается аналогичным образом. Установим некоторые свойства решений (9). Так как &'(/, s) w 0, то в силу выпуклости справедлива оценка 0(0) 2 0(х) 2 0(0) (1 - х). Нелинейные задачи (5), (9) запишем в эквивалентном виде:

'11

e(R)= s J z2 е0(о dt j K(Rj)Ze°⑴力.

_0 J о

Легко проверить, что равенство 0'(1) = -s выполняется автоматически. Используя выражение для функции Грина К(0, 0, несложно установить неравенства 0,5s w 0(0) w s. откуда следует s 2 6(х) 2 0,5s(l - х). Окончательно получаем оценку снизу и сверху для функции

A(s) = s j Z2 е0(о dt_о_

(напомним, что, согласно теореме (см. выше), такая функция существует):

3serwA(s)w|j *exp[0,5s(l—)]} s.(13)

Из оценки (13) вытекает, что все A(s) ограничены сверху числом

Л. = max A(s),

0<5>оо

с чем, собственно, и связана неразрешимость задачи (5) при Л > Л.. Из соотношения (13) также следует, что при Л < Л. имеет место неединственность решения: каждому Л е (0, Л.) отвечают по крайней мере два решения (5).

Несложно, используя (13), также установить, что существует s・ такое, что dA/ds(s・)=0, причем dA/ds > 0 при s v s. и dA/ds < 0 при s > s.. Физически это означает, что каждому перепаду давления соответствуют два расхода жидкости, причем на одной ветви решения перепад давления увеличивается с ростом расхода, а на другой уменьшается.

Неоднозначность решений краевой задачи (5) ставит проблему выбора физически содержательного решения, что естественным образом приводит к определению устойчивости решений (5) при Л < Л..

Устойчивость стационарных решений

Исследуем на устойчивость решение задачи (5), (6). Разыскивая решение нестационарных уравнений Навье-Стокса и конвективного теплообмена при соответствующих граничных условиях в виде 6“, т) = 0(х) + v(x, т), где v(x, т) = v(x) ©"弋-малая величина, и линеаризуя эти уравнения в окрестности их стационарных решений, получаем спектральную задачу

U〃一 ov‘ = Лхее V, v(l) = V〃⑴二 vz(0) = 0,(14)

A(s) = sj 产ее⑴力 s.(15)

_o_

При о > 0 решение 0(х) неустойчиво, при о < 0 - устойчиво.

Поставим в соответствие (14), (15) следующую линейную краевую задачу:

z 〃，-о/ = - Axe0 z,

z(0) = z‘⑴=z〃(0) = 0.(16)

Уравнение (16) в отличие от (14) непосредственного физического смысла не имеет и введено для преодоления сложностей, связанных с несамосопряженностью задачи (14). Умножением (14) на z()(R)и интегрированием по частям с учетом граничных условий несложно убедиться в том, что наименьшие собственные значения обеих краевых задач совпадают.

После дифференцирования (5) по s, обозначив w = ЭО/Э^, получим

у/〃二 A(s)xe° 叩 + ^1/©0, w(l) = w〃⑴=wz(0) = 0.(17)

ds

Умножив (17) на собственную знакопостояннную функцию z()(R)задачи (16) и проинтегрировав по частям, придем к соотношению

f dw , dA f e(x)」◎o z0 ——ax =——zoxe k f ax.

0

Так как dwldx < 0, то знак о。совпадает со знаком -dA/ds. Сле-

довательно, о0 < 0 при dAJds > 0 и о0 > 0 при dA/ds < 0. Таким образом, те решения задачи (5), на которых перепад давления уменьшается с ростом расхода жидкости, оказываются неустойчивыми. Каждому значению А е (0, А.) соответствуют по крайней мере два стационарных распределения температуры: ^式所)и 62(»), причем 仇(兄)< 02(^2), если s} < »•

Следовательно, наиболее устойчивыми оказываются решения с наименьшей температурой на оси трубы; решения с большой температурой - неустойчивы.

Из проведенного анализа следует, что нелинейные операторы (5), (6) в точке А > А. имеют бифуркацию в простом собственном значении.

Таким образом, наиболее опасными возмущениями являются симметричные возмущения с бесконечно большой длиной волны, которые, развиваясь во времени монотонно, приводят к срыву режима при достижении критических перепадов давления.

Отметим также, что изотермическое движение Пуазейля в трубах устойчиво относительно этого класса возмущений [Джозеф, 1981], так как в прямолинейных сдвиговых течениях нет динамического источника для поддержания их роста. В рассматриваемом неизотермическом движении возмущение, не зависящее от аксиальной координаты, эффективно для переноса тепловых возмущений, так как поддерживается за счет конвективной подачи тепла.

Нелинейная краевая задачао движении жидкости в трубе с круглым сечением

Для движения жидкости в трубе с круглым сечением (и = 0) краевая задача (3),(4) примет вид

е‘〃+犷七〃-у?* = д^е* е〃⑴=-e‘(i), e(i)= ко)= о. (18)

Установлено, что и в этом случае для достаточно больших положительных А задача (18) не имеет решения. Можно показать, что при А < А. краевая задача (18) имеет по крайней мере два решения, которые при А = А. сливаются в одно, при А < А. одно решение соответствует меньшей температуре, второе - большей. Исследование на устойчивость показало, что устойчиво наименьшее положительное решение, остальные решения неустойчивы.

При A w 0 решение (18) единственное. Это можно показать следующим образом. Проведем замену 0 = -0, А = -А и задачу 256

запишем в виде

1

0 = л| K(x,t)texp[-Q(t)]dt = %(0).

о

Так как K(x,t)^O (функция Грина линейного оператора положительна), то 0^0, %(0) 2 0. При достаточно малых Л оператор %(0) является сжимающим, так как верно неравенство

卜хр(С)-ехр(-02)|^|е1-021，

откуда следует существование и единственность (напомним, что при охлаждении жидкости решение неединственно даже при малых Л) решения (18) при A w 0.

Кризисных явлений при нагревании жидкости не наблюдается и процессы движения и теплообмена протекают устойчиво с той или иной степенью неизотермичности.

Нелинейные краевые задачи движения неньютоновских сред

Приведенная выше теория обобщается на случай движения жидкости с нелинейным законом текучести [Литвинов, 1982]. Кривая реологически сложных сред в определенном диапазоне скоростей сдвига может быть аппроксимирована степенной функцией

|”ехрНЗ(Т-&].(19)

an ап

Здесь т, du/dn - соответственно напряжение трения и градиент скорости, п - нормаль к линиям тока, m - показатель неньютоновского поведения среды (m > 1 соответствует дилатантной жидкости, m < 1 - псевдопластичной), Т- температура среды. Аномалия вязкости, описываемая степенным законом Оствальда, учитывается с помощью двух экспериментальных постоянных: консистенцией среды kQ и индексом течения т. Выбор степенного реологического соотношения продиктован прежде всего его наибольшей распространенностью и простотой.

При выполнении реологического уравнения состояния (19) уравнения движения и теплообмена допускают автомодельное решение, которое приводит к краевой задаче относительно

температуры жидкости

(20)(21)(20)(21)8〃' + 山 8〃一安田=Л? / 〃” expf-\х х

(20)

(21)

(20)

(21)

е〃⑴二-s+1)田⑴，0(i)= е‘(о)= о.

Вид уравнений (20) и (21) показывает, что введение нового положительного параметра т не меняет принципиальных свойств этого уравнения (положительность функции Грина, монотонный рост функции зависимой переменной и т.д.).

Используя результаты, полученные в подразделах П.2.2- П.2.4, можно показать, что при Л > Л. краевая задача (20), (21) не имеет решения, а при Л < Л. имеет место неединственность решения. Естественно, критическое значение Л. будет функцией т.

Аналогично исследуется течение вязкопластичных сред Шведова-Бингама с реологическим уравнением состояния

"у [о, т^т.

Здесь duldy - градиент скорости, т. - предельное напряжение сдвига,卩 一 пластическая вязкость. При т ^ т. среда ведет себя как твердое тело, и только при т > т. начинается вязкое течение. Средой Шведова-Бингама является такое распространенное вещество в природе, как лед.

В случае экспоненциальной зависимости предельного напряжения сдвига и пластической вязкости от температуры при движении среды (22) в плоском канале, на стенках которого поддерживается постоянный продольный градиент температуры, возможен структурный режим с зоной вязкого течения, примыкающей к стенкам, и с жесткой зоной на оси канала. В вязкой зоне течение прямолинейно. Соответствующая краевая задача имеет вид

0w = A^ee-П,0(1) = 6〃⑴二 0,6[а] = а6〃(а), Аае0⑷二 П, (23)

где П - так называемый параметр пластичности.

Покажем, что при охлаждении жидкости (Л 2 0) нелинейная краевая задача (23) не имеет решения, а при A w А. имеет место неединственность решения. Проведем замену 0 = v + и, где и(^)- решение краевой задачи

/〃二-П, u(l) = w〃(l) = 0, 〃(а) = аи^(а).

u = (-己3 + 3m2 + 3a2m 一 2 - 3"2).

В этом случае получим

vw = Ш?П)еу, /&ГТ) = &е崂)，(24)

v(l) = v〃⑴=0, U(a)二 а〃⑷，Aa e〃s)J⑷二 П. (25)

Отметим, чтоХ^, П) W &, так как u(^) w 0.

Построим функцию Грина оператора V” = 0 с краевыми условиями (25) и сведем (24) к интегральному уравнению с положительным, несимметричным, осцилляционным ядром [Крейн, 1939; Крейн, Рутман, 1948; Крейн, 1939]:

1

v(O = Aj &自/)/0,口”⑴力，а

]-0,5(*+自2),t - %己纟z.

Так как К& z) 2 0, то v(^) 2 0 при А 0.

Введем вспомогательное линейное уравнение

〃二-砲&, Г1) z, z，⑴=z〃(a)二 0, z(a) = az\a). (26)

Согласно теории осцилляционных ядер Крейна [Крейн, 1939; Крейн, Рутман, 1948; Крейн, 1939] задача (26) имеет дискретный спектр действительных собственных значений, а собственная функция, принадлежащая наименьшему собственному значению о0, не меняет знак на интервале [а, 1]. Далее, умножив обе части (24) на Zo и проинтегрировав по частям, получим соотношение

Г1"1Г1

J f^n)zQ(t)^dt j f{t^z.(t^dt •La」La_

Так как v«) 2 0, то ev > ev. Отсюда следует неравенство A W Оо(А) е-1. Очевидно, что при А —> 8 будет。。(人)一> 5°, где 50 - наименьшее собственное значение задачи

z〃'二-50/(^n)z, z(0) = zz(l) = z〃(0) = 0.

Правая часть неравенства A w 80(А) ег1 имеет предел при А —> 8, а левая растет неограниченно, поэтому возникшее противоречие

делает предположение о разрешимости нелинейной задачи (23) при больших Л > 0 неверным. Следовательно, существует Л. такое, что при Л > Л. задача (23) не имеет решения. Интересно отметить, что/(匕，П) ^ ^ при П > 0, д > 0 критические значения Л. будут выше, чем в ньютоновской жидкости, т.е. описанный эффект неизотермической неустойчивости будет легче реализовываться в ньютоновской жидкости, чем в среде Шведова- Бингама.

Расчет критических значений

Задача (20), (21) с точки зрения вычисления - достаточно простая задача на собственные значения, которые можно определить следующим образом. Уравнение (20) допускает понижение порядка, в результате которого появляется возможность точно определить критическое значение s・.Уравнение (20) инвариантно относительно группы преобразований

0W-^0(b) + (3m + l)ln^

где % - произвольное положительное число.

Введем новые переменные: и = 一制對，Т| = 1пх. Пусть t = -ип-(几 一 2) w' + 2nu. Из (20) имеем соотношения

-ln/ =/=Aexp ———.

du m duL ^_

Исключив из приведенного соотношения функцию du/dv\, можно получить дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее t и и. Анализ полученного уравнения показал, что dt/du = 0 при u = 3m + 1. Так как и —> s, Z —> А при ^ —> 1, то dA/ds = 0 при s. = 3m + 1.

Таким образом, критическое значение s・=3m + 1 вычисляется точно. Интересно отметить, что оно не зависит от геометрии течения и одинаково как для плоского канала, так и для трубы с круглым сечением.

Далее при заданном s. численно решается задача Коши

旷 + 竺1 е〃-丝L 田=а/ / 〃&хр(6 / m),

0(1)= о, *(i)= -s・，e〃(i)= s+i)s・

и критическое Л. определяется из условия 6' [0, A・(s・)]=0.

Методом Рунге-Кутты были также рассчитаны зависимости A(s) как для ньютоновской, так и для неньютоновской жидкости.

Характерной особенностью нелинейной краевой задачи, описывающей течение жидкости в круглой трубе, является отсутствие решения не только при Л > Л., но и при s > s... Для плоского канала, как это следует из приведенной выше теоремы, решение существует при всех s 2 0. С увеличением индекса неньютоновского поведения жидкости критические значения Л., 0.(0) возрастают примерно по прямолинейной зависимости (т возрастает от 0,5 до 5 с шагом 0,5). Например, для ньютоновской жидкости (m = 1) при ее течении в трубе с круглым сечением Л. = 8,20, Л.(0) = 4,36. Приведенные данные показывают, что эффект конвективно-тепловой неустойчивости возникает в существенно нелинейной области изменения вязкости (вязкость меняется в десятки раз).

Нелинейные краевые задачидля уравнения в частных производных

Автомодельная задача о движении вязкой жидкости в трубе с призматическим сечением приводит к нелинейному бигармони- ческому уравнению с краевыми условиями типа условия Дирихле [Найденов, Полянин, 1984]:

div[e~egrad(A0)] = Л, 0|5=А0|5= 0. (27)

Одномерные аналоги (27) рассмотрены выше; здесь будут продемонстрированы несколько другие подходы к отысканию критических Л..

Рассмотрим наиболее интересный случай Л ^ 0. Пусть G - связное открытое множество евклидова пространства с кусочногладкой границей S, G w R2.

Проинтегрировав (27) по области G и применив известные формулы Грина с учетом краевых условий, получим соотношение

A = J (ABKdG J d-l)dG ・ (28)

Здесь Л(0) - нелинейный функционал, определенный на множестве функций 0. Поставим задачу определения условного экстремума этого функционала на множестве супергармонических функций W N 0, AW W 0, W\s = AW к 二 0. Вычислив производную Фреше функционала Л в точке Wи приравняв ее нулю,

получим квазилинейное бигармоническое уравнение

АА+ = 0,5Ае%,屮|§=0, AW|5=0.(29)

Таким образом, если функционал (28) имеет экстремум, то он реализуется на решениях (29).

Используя технику, развитую в предыдущих разделах, можно показать, что уравнение (29) не имеет решения при достаточно больших значениях параметра Л.. /2. Критическое значение Л., оценивается сверху через собственное значение оператора Лапласа:

A..W2儲，AJ = -BoJ, "s=0・

Таким образом, если функционал Л(0) имеет условный экстремум (абсолютного экстремума этот функционал не имеет, так как в числителе (28) находятся производные функции 0), то величина Л. оценивается сверху либо критическим значением (29), либо наименьшим собственным значением оператора Лапласа. Следовательно, имеем цепочку неравенств A. WA・.W2儲.

Приложение 3

Выступления авторав средствах массовой информации

Бистабильный Каспий

Новая физическая концепция колебаний уровня водыкрупнейшего бессточного водоема планеты

пПрощай, Баку!...

Сергей Есенин

Прошло время острых дискуссий относительно судьбы Каспийского моря, вызванных злополучным планом переброски стока северных рек в мелевшее море. Около 20 лет уровень его повышается, и как долго будет продолжаться этот процесс, не знает никто, поскольку непонятны причины, вызывающие колебания уровня Каспия. Одни видят причину в изменениях климата,

вызванных астрономическими факторами, другие - в тектонических подвижках на дне, третьи - в неустойчивости системы море-атмосфера-суша. Именно к последней категории исследователей принадлежит автор этой статьи.

ОНО ОПЯТЬ ПОДНИМАЕТСЯ!

Политические проблемы, связанные с разделом Каспия бывшими республиками СССР (Азербайджаном, Казахстаном, Туркменией, Россией) и Ираном; с открытием нефтяных богатств моря (у побережья России разведанные запасы составляют 1-1,5 млрд т, Азербайджана - более 4 млрд, Казахстана - 1 млрд, Туркмении - более 2,5 млрд т); с выбором маршрутов нефтепроводов; событиями в Чечне и Дагестане 一 все это отодвинуло вопрос об уровенном режиме Каспийского моря на второй план.

Однако тревожная ситуация, связанная с подъемом его уровня и затоплением прибрежных регионов, продолжает обостряться с каждым годом. Над Прикаспийским регионом (Астраханская область, Калмыкия, Дагестан) возник призрак экологической катастрофы, и риск огромного ущерба городам и населенным пунктам, сельскому хозяйству, железным и автомобильным дорогам, портам и морскому транспорту, нефтяной промышленности стал реальным.

По свидетельству профессора Свиточа из МГУ, во время последней регрессии моря (1883-1977 гг.) освободилась площадь более 10 тыс. га, произошло обмеление портов и рыбных нерестилищ. Городские берега были планово и беспланово застроены различными промышленными и рекреационными объектами, целиком, либо частично оказавшимися во время последующего трансгрессивного ритма (подъема уровня моря) в зоне разрушения и затопления. Примером может служить застройка крупного жилого массива на юге Махачкалы, в настоящее время подтопленного, и нескольких жилых кварталов в центре береговой зоны Дербента, ныне полностью разрушенных морем.

Непродуманное освоение низменных берегов дагестанского побережья Каспия привело к тому, что в случае повышения уровня моря до отметки - 25,0 м абсолютной высоты в зоне затопления окажутся пять городов с населением 85,2 тыс. человек и 26 сельскохозяйственных пунктов с населением 12,55 тыс. человек; 120 км объектов ЛЭП, 45 км железных и 298 км автомобильных дорог, 83 объекта рекреации. В случае дальнейшего подъема уровня моря самые мрачные последствия могут слу-

читься с пос. Сулак и г. Каспийском, отдельными участками прибрежных зон Махачкалы и Дербента, расположенных на Новокаспийской террасе.

ЧТО БЫЛО

Следует отметить, что проблема колебаний уровня Каспийского моря и других бессточных водоемов (Аральского моря, озер Балхаш, Чаны, Чад и т.д.) является одной из фундаментальных проблем современной гидрологии (некоторые ученые сравнивают эту "вечную" проблему со знаменитой задачей Ферма в теории чисел). Современный подход к этой проблеме, с моей точки зрения, не выдерживает серьезной научной критики и, по существу, предлагает пользоваться идеями и методами полувековой давности. В то же время впечатляющие открытия термодинамической теории необратимых процессов, теории динамических систем и случайных процессов привели к качественно новому пониманию сложных явлений природы.

Революционное воздействие новых идей этих наук (неустойчивость и множественность режимов, самоорганизация в пространстве и времени, детерминированный хаос, автоколебания и автоволны, странные аттракторы, фракталы) на широкие области естествознания привели к тому, что в науке о Земле стало осознаваться, что столь сложная и неоднородная система, как наша планета, развивается по нелинейным законам. Это в полной мере относится и к ее гидросферной оболочке, так как физические процессы, происходящие в природных водах, существенно нелинейны. Именно нелинейными механизмами формирования водного баланса самого моря и громадного (3,5 млн кв. км) его бассейна постараемся объяснить резкие и неожиданные изменения уровня моря.

Уровенный режим Каспийского моря всегда отличался неустойчивостью и преподносил сюрпризы, в основном неприятные, не только прибрежным регионам, но и авторам многочисленных прогнозов, которые, как правило, не сбывались. Загадочное поведение этого уникального водоема привлекало многих выдающихся ученых своего времени. Немецкий естествоиспытатель и путешественник Александр Гумбольдт, совершивший в 1829 г. путешествие по России на Урал, Алтай и к Каспийскому морю, высказал гипотезу, что причиной колебания уровня воды является периодическое повторение лет, отличающихся чрезвычайной сухостью и чрезвычайной влажностью. Его соотечественник Паллас, возглавлявший в 1768-1774 гг. экс

педицию Петербургской академии наук в центральные области России, районы Нижнего Поволжья и Прикаспийской низменности, указывал на зависимость колебаний уровня моря от гидрометеорологических факторов: действия температуры, ветра, количества атмосферных осадков и количества приносимой реками воды. Высказывались и фантастические гипотезн: "В Кара-Богаз-Голе имеется дыра, через которую воды Каспия уходят в океан".

Изменение физико-географических условий вследствие подъема уровня Каспийского моря привели к гибели Хазарского казарата и исчезновению хазар, так как экономика страны рухнула из-за потери двух третей своей территории. Лев Гумилев драматически описывает гибель Хазарии: "Совместный удар на Хазарию русов, гузов и печенегов в 965 г. покончил с самостоятельностью полузатопленной страны".

По свидетельству итальянского географа Сануто, относящемуся к 1320 г., "море каждый год прибывает на одну ладонь, и уже многие хорошие города уничтожены'*. В недалеком историческом прошлом были и резкие подъемы уровня и не менее резкие падения. Так, по сообщению В.Н. Татищева (1793「•)，"в 1742 году прибыло от 1723 года более 8 футов", то есть 2,5 м за 19 лет; по оценкам академика Л.С. Берга, за период с 1807 по 1824 г. уровень моря понизился более чем на 2 м.

КАСПИЙСКИЙ АТТРАКТОР

Когда я впервые познакомился (было это лет 10 назад) с проблемой колебаний уровня моря, то сразу бросилась в глаза слабая физико-математическая разработка этой проблемы. Это наблюдение не было новым, еще раньше профессора Мищенко и Зеликин из МГУ подвергли методику прогнозирования уровенного режима моря острой и, как оказалось впоследствии, справедливой критике.

Сущность моих претензий состояла в следующем. Уровенный режим моря определяется водным балансом самого моря (осадками на акваторию, речным стоком, испарением и стоком морской воды в залив Кара-Богаз-Гол) и водным балансом его речного бассейна. Все эти важнейшие гидрологические величины сильно и непредсказуемо изменяются во времени, так что на современном уровне знания климат водосборного бассейна моря выглядит случайным процессом. Если аккуратно записать водный баланс моря и его бассейна математически, то придем к системе нелинейных стохастических дифференциальных уравнений

с соответствующими начальными и граничными условиями. Нелинейность здесь принципиальна, так как площадь зеркала моря зависит от его уровня.

Изучив десятки книг и сотни статей по проблеме колебаний уровня Каспия, я не нашел ни соответствующих постановок задач, ни их решений. Уравнения водного баланса моря неизменно линеаризовывались, и к полученным уже тривиальным линейным моделям применялись широко известные методы. Получались, естественно, тривиальные результата: уровень моря колеблется с небольшой дисперсией около единственного равновесного уровня, вероятность резких подъемов и падений (на 1,5-2,5 м) ничтожно мала. Самое тяжелое впечатление произвел прогноз колебаний уровня. Например, прогноз доктора физико-математических наук В.Е. Привальского, выполненный в 1980 г. (длительный и резкий подъем уровня моря был еще впереди), показал, что уровень Каспия в 1995 г. должен был бы равняться -29,00 м. Однако, вопреки предсказанию, уровень моря оказался на 2,5 м (!) выше. Вероятность такого события в рамках линейной модели 一 один раз в две тысячи лет, но исторические данные свидетельствуют о гораздо большей частоте этого события.

Уже первая попытка исследовать самую простую, но нелинейную задачу водного баланса привела к неожиданному результату. Оказалось, что решение уравнений Фоккера-Планка- Колмогорова (именно эти уравнения управляют уровенным режимом) для плотности вероятности уровня моря имеет негауссовскую форму: во-первых, уровень моря имеет несколько наиболее вероятных состояний, во-вторых, вероятность резких переходов от одного устойчивого равновесного уровня к другому значительно выше, чем в линейных задачах.

Эти индуцированные шумом неустойчивости и переходы тесно связаны с явлениями самоорганизации в сильно неравновесных открытых динамических системах. Оказалось, что теория индуцированных шумом переходов, разработанная профессорами Р. Лефевром и В. Хорстхемке (брюссельская школа лауреата Нобелевской премии Ильи Пригожина) для решения проблем нелинейной физики, очень хорошо применяется для описания колебаний уровня бессточных водоемов. Однако до сих пор в отечественной гидрологии популярны мифы о гауссовских распределениях в колебаниях уровня Каспийского моря и стоке впадающих в него рек. Это, конечно, не так. Достаточно посмотреть на гистограмму уровня моря за последние 169 лет. На ней очень отчетливо выделяются две наиболее вероятных 266

моды -28,22 м (низкий уровень) и -25,58 м (высокий уровень). Все известные мне стохастические модели колебаний уровня моря и даже ансамбль моделей общей циркуляции атмосферы, широко используемые климатологами для расчета водного баланса бассейна моря и самого моря, не способны объяснить эту бистабильность.

Отметим важное обстоятельство. Мониторинг режима увлажнения в бассейне Волги и Урала за 1891-1900 гг., выполненный сотрудниками Главной геофизической обсерватории им. А.И. Воейкова, показал, что ряды осадков являются стационарными рядами (в них отсутствуют тренды, преимущественные тенденции). Так как осадки в бассейне Волги и Урала являются практически основным источником воды для питания Каспия, то физический механизм, раскрывающий природу колебаний уровня моря, обязан работать и в жестких условиях стационарности климата водосборного бассейна моря.

Первый физический механизм колебаний уровня Каспийского моря предложили Крицкий и Менкель в 1946 г. В рамках этой теории единственным механизмом, управляющим уровенным режимом, считается механизм отрицательной обратной связи: при повышении уровня выше уровня тяготения площадь зеркала испарения увеличивается, что заставляет уровень вернуться к исходному положению.

Остановимся на понятии уровня тяготения моря. Предполагается, что при этом значении уровня моря приходная часть водного баланса (сток рек, осадки) уравновешиваются расходной частью (испарение, сток в залив Кара-Богаз-Гол). Это означает с точки зрения современной нелинейной динамики диссипативных систем, что модель колебаний уровня моря имеет простейший аттрактор. Это, в свою очередь, означает, что, несмотря на случайную динамику водного баланса, в колебаниях уровня моря все же усматривается некоторый порядок. В физике диссипативных систем, производящих энтропию, конечные состояния этих систем названы аттракторами.

Предположение нескольких поколений гидрологов и климатологов о единственности и глобальной устойчивости уровня тяготения Каспийского моря означало, что его аттрактор (предполагается, что колебания уровня моря есть колебания некоторой динамической системы) устроен очень просто. Так ли это на самом деле или его аттрактор более сложен - фундаментальный вопрос гидрологии Каспийского моря. Отметим, что увлекательный поиск всевозможных корреляций уровня с климатическими процессами (например, с процессами тепло- и

влагообмена в Северной Атлантике или Тихом океане) или даже с колебаниями солнечной активности без ясного понимания физики этих связей вряд ли может привести к успеху.

КАК ИСПАРЯЕТ ВОДУ СЕВЕРНЫЙ КАСПИЙ

Если проследить за дисперсией колебаний уровня вблизи квазиравновесного состояния, то обнаруживается, что за 18301930 гг. эта величина составляла 0,1 кв. м (в то время море находилось на отметке -25,8 м абсолютной высоты). Затем за 40 лет дисперсия колебаний вдруг выросла на порядок (1,3 кв. м). Столь резких изменений водности Прикаспийского региона не наблюдалось. (Правда, сток Волги в 1930-1939 гг. был ниже нормы, но потом начал восстанавливаться.) Уровень моря, несмотря на это, продолжал падать и обнаруживал явную тенденцию к стабилизации на нижней отметке -28 м.

В период 1890-1932 гг. средний годовой приток речных вод в море был равен 301 куб. км/год, потери стока, обусловленные хозяйственной деятельностью, -10 куб. км/год, в период 1941-1969 гг. эти "статьи" соответственно составили 287 и 2030 куб. км/год, т.е. водность впадающих в Каспий рек практически не изменялась.

Какой же физический механизм удерживал море у нижней отметки? Исследователи из Института водных проблем подсчитали, что слой испарения на высокой отметке стояния составлял 722 мм/год, а на низкой - 774, т.е. низкий уровень моря поддерживался повышенным испарением с его акватории. Поскольку внешняя климатическая ситуация, которая должна была сказаться на водности рек и испарении Южного Каспия, осталась прежней, то скорее всего повышенное испарение определялось самим морем. Резко уменьшились глубины Северного Каспия. Хорошо прогреваемые мелководные участки моря отдавали в атмосферу огромное количество влаги. Зависимость слоя испарения от глубины, известная всем исследователям Каспия, обычно не учитывается в теориях колебаний уровня моря.

Таким образом, уровень моря в 1830-1930 гг. изменялся незначительно, море находилось вблизи отметки 一 26 м, затем за 10 лет (1930-1939 гг.) уровень резко упал на 1,75 м. После этого около 40 лет наблюдались лишь небольшие его изменения, которые сменились катастрофическим подъемом в 1978 г.

Именно так ведут себя нелинейные динамические системы триггерного типа, имеющие несколько устойчивых и неустойчивых состояний равновесия, причем переход из одного в другое

происходит под влиянием внешних шумов. В рассматриваемой природной системе шум - случайные флуктуации речного стока, осадков, температуры моря, температуры и влажности воздуха, скорости ветра. Поэтому естественно предположить, что в системе море-атмосфера-суша проявляется неизвестная природная неустойчивость, заставляющая море менять свой уровень. Эта неустойчивость является внутренним нелинейным свойством моря и его бассейна и жестко не связана с внешней средой.

Что же это за неустойчивость и каков физический механизм ее действия?

С физической точки зрения море представляет собой тело с обширной поверхностью, через которую происходит обмен импульсом, теплом и влагой с атмосферой. Нагрев моря и его огромного бассейна (3,5 млн кв. км) Солнцем можно интерпретировать как нагрев периодическим тепловым источником (тепловыми волнами). Море объемом 78 тыс. куб. км имеет поверхность 400 тыс. кв. км в Северном Каспии, занимающем треть площади моря. Средняя глубина очень мала (4-6 м), велик процент участков с глубиной менее одного метра и даже меньше, следовательно, можно считать, что на значительной части акватории глубина проникновения тепловых волн превосходит глубину моря.

На мелководьях прогрев воды осуществляется не только сверху за счет процессов теплообмена с атмосферой, но также и снизу, со стороны дна, которое из-за малой температуропроводности и сравнительно малой теплоемкости быстро прогревается. В ночные часы дно передает накопленное за день тепло слою воды, расположенному над ним, и возникает своеобразный парниковый эффект.

Уровень и объем моря определяются его водным балансом. Каспий - крупнейший бессточный водоем планеты, поэтому вода в нем в основном расходуется на испарение, которое достигает гигантских величин (330-400 куб. км/год). Уровень моря поддерживается притоком речных вод (Волги, Урала, Терека, Сулака, Самура, Куры, малых кавказских рек и рек Иранского побережья) и осадками. Приток подземных вод невелик. В стационарном состоянии в соответствии с законом сохранения вещества эти компоненты водного баланса уравновешивают друг друга. Однако физические системы такого типа, находящиеся вдали от термодинамического равновесия (у Каспийского моря это вызвано непрерывными потоками тепла и влаги), могут стать неустойчивыми.

Главную роль в образовании неустойчивости водного баланса Каспия играет испарение с мелководий, занимающих треть площади моря. Его среднегодовое значение определяется как произведение среднегодового слоя испарения, характеризующего удельную скорость испарения, на площадь поверхности моря. Зависимость площади поверхности моря от уровня - основная морфометрическая характеристика моря, поскольку оно как бы налито в гигантскую чашу, площадь поперечного сечения которой является возрастающей функцией уровня. Такое устройство котловины Каспия служит стабилизирующим фактором, регулирующим его уровень.

По современным теплофизическим представлениям, у свободной поверхности воды образуется очень тонкий слой паровоздушной смеси, в котором концентрация водяных паров (влагосодержание), полностью определяемая температурой поверхности, экспоненциально увеличивается с ростом температуры. Хорошо известно, что рост температуры сильно ускоряет процесс испарения. Именно эта величина в значительной степени определяет поток влаги с поверхности водоема, и температура поверхности выступает как фундаментальный параметр, связывающий процессы тепло- и влагообмена моря с атмосферой и сушей.

Внутригодовой ход температуры поверхности моря можно представить в виде суммы среднегодовой температуры поверхности и отклонения от этой величины, которое характеризуется амплитудой. Ввиду нелинейной зависимости влагосодержания от температуры среднегодовая величина слоя испарения оказывается не только функцией среднегодовой температуры поверхности, но и амплитуды температурных колебаний. Расчеты показали, что скорость испарения - сильно возрастающая нелинейная функция этой амплитуды.

Внутригодовой ход температуры мелководных участков моря сильно зависит от его глубины в этих местах. Действительно, эти участки ввиду их малой теплоемкости прогреваются быстрее, максимальная температура здесь выше и достигается раньше, чем в более глубоких. Зато при охлаждении моря осенью минимальная температура здесь ниже. Амплитуда температурных колебаний (разность между максимальной и минимальной температурами водной поверхности) - убывающая функция глубины моря (по крайней мере для небольших глубин). Эта зависимость способна генерировать тепловую неустойчивость: уменьшение глубины водоема способствует росту его прогрева в летнее время, увеличению испарения и дальнейшему прогрес-

сирующему уменьшению глубины. Таким образом, можно предположить, что испарение с акватории Северного Каспия зависит от толщины слоя прогреваемой воды и, следовательно, от уровня моря.

Оказалось, что существует еще один тепловой механизм неустойчивости испарения, но уже с поверхности бассейна Волги, чрезвычайно важный для понимания динамики колебаний уровня Каспийского моря. Уменьшение континентальности климата (разности летних и зимних температур) ведет к пониженному испарению с поверхности суши из-за низких летних температур. Но уменьшение испарения увеличивает влагозапас, что еще больше понижает летние температуры и т.д. Такая положительная обратная связь приводит к тепловой неустойчивости испарения. Физически это означает, что при определенном запасе влаги речной бассейн может прогрессирующе накапливать воду при неизменном количестве осадков. Проведенные теоретические исследования позволили выдвинуть следующую гипотезу. В достаточно широком диапазоне испарение может уменьшаться с ростом влагозапаса, так как значительная часть солнечного тепла будет уходить не только на испарение, но и на нагрев увеличивающегося объема воды.

Многочисленные экспериментальные исследования зависимости испаряемости (потенциального испарения) от степени увлажненности территории подтверждают эту гипотезу. Например, наблюдения показали, что испарение с поверхности насыщенной влагой суши на 50% больше, чем с поверхности рядом расположенного мелкого водоема (хотя, на первый взгляд, должно быть наоборот).

МЕХАНИЗМ КАСПИЙСКОЙ "СИНУСОИДЫ"

Анализ водного баланса моря и его бассейна, выполненный с учетом зависимости испарения (как с акватории моря, так и с поверхности бассейна) от увлажненности, привел к неожиданному результату. Оказалось, что одной и той же среднемноголетней величине осадков, выпадающих на поверхность моря и его бассейна, соответствуют три уровня моря. Годовой водный баланс бассейна Волги составляют: осадки - 0,642 м, испарение - 0,466 м, сток - 0,176 м; бассейна Урала 一 0,450, 0,300, 0,150 м соответственно. Годовой сток рек в Каспий является разностью больших величин (осадков и испарения), поэтому его величина чрезвычайно чувствительна к небольшим изменениям испарения.

Низкий уровень моря (-28,22 м) соответствует большому расходу выпавших осадков на испарение, так как малый объем вод Северного Каспия (400 куб. км) способствует сильному весенне-летнему нагреву и повышенному испарению воды. То же самое происходит и с влагозапасами водосборного бассейна.

Высокий уровень моря (-25,56 м) соответствует малому расходу выпавших осадков на испарение; воды Северного Каспия (объем вод на этой отметке равен 660 куб. км) труднее прогреть, температура ниже и, следовательно, меньше испарение. По этой же причине меньше испарение и с водосборного бассейна. Средний уровень моря (-26,90 м) соответствует промежуточному состоянию и неустойчив.

Анализ динамики колебаний уровня моря показал, что под воздействием сильных и случайных колебаний осадков возникают случайные переходы от низкого уровня моря к высокому и обратно, причем устойчивые уровни 1 и 3 реализуются гораздо чаще, чем неустойчивый уровень 2.

Соответствует ли эта динамика данным натурных наблюдений? Оказалось, что соответствует. Например, величина осадков, выпавших в период резкого падения уровня моря (19311940 гг.), была меньше нормы на 14,9 %, температура воздуха в теплый период (с апреля по октябрь) была выше на 0,5 ℃, а температура в холодный - на 0,3 ℃ ниже нормы. Причина этого явления с точки зрения теплофизического механизма совершенно ясна. Весной и летом бассейн моря содержал мало воды и, следовательно, зимой охлаждался сильнее, чем обычно.

Современный подъем уровня характеризуется избыточным количеством осадков в теплый период и повышенными зимними температурами в бассейне моря, а также малыми величинами испарения, что привело к резкому увеличению притока речных вод в море. Уменьшается испарение и с акватории Северного Каспия.

Таким образом, для Каспийского моря характерна не только внешняя непредсказуемость, создаваемая климатическими изменениями, но и внутренняя, обусловленная неустойчивой нелинейной динамикой водного баланса. Бистабильность уровня Каспия приводит к практически непредсказуемому его поведению и опрокидывает прогнозы, выполненные на основе линейных тривиальных моделей водного баланса.

Характерным признаком бистабильной системы является бимодальность (наличие двух пиков) гистограммы ее динамической переменной, в нашем случае - уровня моря. При этом наиболее вероятные моды соответствуют устойчивым уровням

моря 1 и 3, а наименее вероятная мода - неустойчивому уровню. Очень важно, что резкие переходы моря от одного режима к другому могут происходить и в условиях стационарности климата бассейна. Это означает, что подъемы и падения уровня моря находят объяснение и без привлечения гипотезы о глобальном потеплении климата на планете.

Предложенный нелинейный механизм колебаний уровня Каспийского моря позволяет по-новому оценить гипотезу С.Н. Муравьева о стремительной трансгрессии моря, во время которой, на рубеже IV и III вв. до н.э. уровень его зеркала достиг небывалой отметки +10/+20 м абс. Возникает исключительно важный вопрос: возможно ли такое повышение уровня при достаточно малом изменении современного климата Земли? Оказывается, возможно: небольшое (до 10%) увеличение среднегодовой нормы осадков в бассейне моря вызывает уменьшение испарения (до 10%) и увеличивает речной сток, что, в свою очередь, способствует подъему уровня вод в море и уменьшению испарения (до 10%) с мелководий Северного Каспия. Здесь главным является то обстоятельство, что происходит кооперативное (синергетическое) действие указанных механизмов. Увеличение площади моря может достигнуть 30%, причем основное приращение площади моря может произойти за счет затопления Астрахани и Калмыкии. Конечно, подобные опасения могут быть и напрасными, однако вероятность такого события ненулевая.

Возможна ли парниковая катастрофа"1

В статье Андрея Ваганова "Сценарии парниковой катастрофы" ("НГ-Наука". 18 апреля 2001 г.) поднята фундаментальная проблема современной геофизики - возможен ли прогрессирующий рост среднепланетарной температуры Земли за счет накопления диоксида углерода, метана, водяного пара и других парниковых газов в атмосфере? Для судеб человечества по большому счету неважно, что является источником диоксида углерода - антропогенные выбросы диоксида углерода (СО2) или несравненно более мощные его природные источники (мировой океан, карбонатсодержащие породы земной коры).

Сценарий изменения климата, в результате которого рост среднепланетарной температуры Земли составит 500 ℃, назван

Статья опубликована в Независимой газете. Приложение "НГ-Наука". 20 июня 2001 г.

кандидатом физико-математических наук Алексеем Карнауховым, на работы которого ссылается Андрей Ваганов, "парниковой катастрофой". Это действительно вселенская катастрофа, пострашнее библейского потопа. При такой температуре Мировой океан исчезнет, а давление у высохшего дна составит 267 атм. Поэтому можно понять "фанатиков, одержимых идеей индивидуального спасения в космосе", так как при таких физических параметрах атмосферы планета Земля перестанет быть родным домом.

Но допускают ли такую "апокалиптическую картину всеобщей гибели грешников в раскаленных пустынях и кипящих океанах" фундаментальные законы механики и термодинамики? Эмпирические знания о климатах прошлого не свидетельствуют в пользу парниковой катастрофы. В истории Земли неоднократно наступали теплые эпохи с высоким содержанием диоксида углерода в атмосфере, более благоприятные для катастрофического роста температуры, чем нынешняя. Например, по данным доктора геолого-минералогических наук Н.М. Чумакова, в эпоху теплых биосфер (меловая Земля) максимальный подъем уровня Мирового океана составлял более 250 м (за счет исчезновения материковых льдов). Среднепланетарная температура была на 10-15 ℃ выше, чем современная; планетарное альбедо было высоким, тропосфера характеризовалась повышенным содержанием СО2 и метана (СН4). Почему же земная климатическая система не сорвалась в режим прогрессирующего разогрева по Карнаухову?

На мой взгляд, законы механики и термодинамики запрещают экстремальные режимы функционирования климата, например парниковую катастрофу. Попробуем обосновать эту гипотезу.

По закону Ньютона между Землей и молекулами составляющих ее атмосферу газов действуют силы притяжения. В результате этого создается давление атмосферы у земной поверхности, причем давление с высотой уменьшается. Когда воздух с водяным паром поднимается вверх, то он, попадая в область меньших давлений, расширяется. Это расширение можно считать адиабатным (без теплообмена с окружающей средой), так как воздух и водяной пар - плохие проводники тепла. Многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями доказано, что по законам термодинамики в атмосфере возникает влажно-адиабатический градиент температуры (с высотой температура уменьшается примерно на 1 ℃ на каждые 200 м), причем с ростом температуры (при одном и том же давлении) этот градиент уменьшается. Таким образом, в высоких 274

слоях атмосферы водяной пар, находящийся в воздухе, конденсируется, и образуются облака. Здесь важно то обстоятельство, что чем выше среднепланетарная температура Земли, тем больше водяного пара в атмосфере, больше водность облаков и тем выше они образуются.

Хорошо известно, что облаком называют видимую совокупность взвешенных капель воды или кристаллов льда, находящихся на некоторой высоте над земной поверхностью. Рассеянный в атмосфере солнечный свет частично поглощается ею, а остальная его часть отбрасывается облаками в космическое пространство. Большие грозовые тучи темны - почти весь падающий солнечный свет, многократно рассеявшись на капельках воды, уходит вверх. Непосредственные измерения отражательной способности облаков (альбедо) могут производиться на самолетах, аэростатах или спутниках. Эти измерения показывают возрастание альбедо облаков с увеличением их вертикальной мощности (толщины). Например, установлено, что из величины потока солнечной радиации, падающей на верхнюю границу атмосферы, в среднем достигает поверхности океана при безоблачном небе около 80%, а при сплошной облачности лишь около 20%.

Членом-корреспондентом РАН И. Моховым были обобщены многочисленные экспериментальные данные по облачности (степени покрытия неба облаками) и приповерхностной температуре. Оказалось, что увеличение температуры на 1 ℃ приводит к росту облачности на 0,4%. Подчеркнем, что установление количественных зависимостей при современном, сравнительно малом изменении температуры - трудное дело, однако при разогреве Земли на десятки и сотни градусов эффект увеличения планетарного альбедо за счет роста облачности будет значительным. Напомним, что по закону Клаузиуса-Клапейрона увеличение концентрации водяного пара (основного строительного материала для облаков) в атмосфере с ростом температуры происходит экспоненциально. Астрономам хорошо известно, что высокие значения альбедо для планет Солнечной системы обычно свидетельствуют о наличии у них мощной атмосферы. Например, альбедо Меркурия и Луны (нет атмосферы) равно 6%, альбедо Сатурна (мощная атмосфера, состоящая из водорода, гелия и метана) достигает почти 100%.

Таким образом, лавинообразный рост концентрации диоксида углерода в атмосфере из-за положительной обратной связи температура-концентрация СО2-температура может быть прекращен более сильной отрицательной обратной связью

температура-облачность-температура. Именно этот теплофизический эффект и не даст погибнуть нашей цивилизации в "пламени" парниковой катастрофы.

Парниковый эффект, которого не 6ы/ю

"Глобальное потепление: бездарные модели, недостаточные данные наблюдений и бесцельная политика".

В 1992 г. в Рио-де-Жанейро собралась конференция с участием первых лиц 156 государств, которые подписали так называемую рамочную Конвенцию об изменении климата, развитием которой стал известный Киотский протокол от 1997 г. Мировое сообщество так обеспокоилось глобальным потеплением климата, что решило ограничить эмиссию парниковых газов в атмосферу, чтобы иохлаЪитъи планету.

КИОТСКИЙ "ДЫРОКОЛ"

По этому протоколу разрешенный уровень эмиссии в 20082012 гг. по сравнению с 1990 г. составляет для России 100%, для США - 93%. В 1990 г. в России выбросы диоксида углерода были максимальными и составляли 540 млн т. В настоящее время выбросы равны 400 млн. т, и, таким образом, появилась возможность говорить о продаже квот на выбросы парниковых газов по цене 30-50 долл./т, что якобы может привести к значительной выгоде.

Заметим, что Киотский протокол в качестве научной основы формально опирался на фундаментальное исследование Межправительственной комиссии по изменениям климата, в подготовке которого участвовали тысячи известнейших ученых мира [Climate Change, 1996]. Однако ни выводы этого исследования, ни в целом наука в ее современном состоянии не подтверждают однозначно заявлений правительственной "Пояснительной записки к плану мероприятий по подготовке к принятию решения о ратификации Киотского протокола...", которая явилась основой для всего плана мероприятий. В этой записке категорически утверждается: "...основными факторами, определяющими негативное воздействие на глобальную климатическую систему, являются выбросы парниковых газов отраслями промышлен-

ности". Но в фундаментальном отчете Межправительственной комиссии по изменениям климата был сформулирован иной вывод: результаты современных исследований климата "не могут рассматриваться как убедительное свидетельство четкой причинно-следственной связи между антропогенным воздействием и изменениями поверхностной температуры на Земле".

Представляется, что и за время, прошедшее с момента подписания Киотского протокола, мнение науки на этот счет существенно не изменилось. Так, в последнем фундаментальном отчете Межправительственной комиссии по изменениям климата (Climate Change, 2001) нет убедительных доказательств антропогенного происхождения глобальных изменений температуры за последние 100 лет. Очень важным представляется вывод о том, что основная часть общего роста на 0,6 градуса глобальной температуры в XX в. пришлась на ранний период - с 1910 по 1945 г. (на 0,53 градуса), когда выбросы парниковых газов промышленного происхождения были весьма незначительными. А ведь если принять парниковую гипотезу, наибольшая величина потепления должна была бы приходиться на последние десятилетия ушедшего века.

Отметим также следующее важное обстоятельство: надежно зафиксировать парниковый эффект антропогенного происхождения при небольшом числе наблюдений в принципе вряд ли возможно, так как числе тепла, необходимое на нагрев атмосферы, скажем, на 1 градус, на три порядка меньше, чем количество тепла, ушедшее в космическое пространство за счет излучения с верхних слоев атмосферы.

МОДЕЛИ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРИЧИНЫ

Вообще говоря, при прогнозах климата ни в коем случае нельзя упускать из виду естественные причины его изменений. Например, самые простые модели климата показывают резкие хаотические колебания глобальной температуры Земли и без участия парникового эффекта, обусловленного антропогенным фактором. Образно говоря, климатическая система Земли все время переходит от одного состояния к другому, и стабильное равновесие для нее скорее исключение, чем правило.

Действительно, если предположить, что количество тепла, приходящее от Солнца, в среднем за год постоянно и состояние климата описывается унылым статистическим равновесием, то время спонтанного полного оледенения Земли или полного таяния полярной снежно-ледниковой шапки, вычисленное из

этих предположений, значительно превосходит ее возраст! Однако мы знаем, что громадные оледенения Земли продолжались не более нескольких десятков тысяч лет.

Кроме утверждения об антропогенных выбросах газов как основной причине потепления сомнениям подвергаются и два других основных положения сторонников теории "антропогенного потепления".

Первое: разогревается ли атмосфера? Основа построений сторонников парникового эффекта - наблюдения за климатом. Часто фигурирует число потепления за 100 лет 0,5-0,6 градуса Цельсия. Но в указанных выше климатических отчетах ясно говорится, что "все виды данных, используемых для изучения климатических изменений и изменчивости, страдают проблемами качества и неадекватности". Настораживает и то обстоятельство, что с начала спутниковых наблюдений (конец 70-х годов прошлого века) глобальные изменения температуры тропосферы почти не наблюдаются. По спутниковым и радио- зондовым данным за этот период глобальная температура в нижней и средней тропосфере почти не менялась: ее рост 一 всего 0,05 градуса Цельсия за десятилетие, что вдвое меньше ошибки этой оценки (± 0,1 градуса за 10 лет). В верхней же тропосфере с начала 60-х годов прошедшего столетия вообще не наблюдается статистически значимых глобальных температурных трендов.

Второе положение: можно ли доверять моделям климата и прогнозам на их основе? Как следовало из отчета 1996 г., глобальный прогноз потепления на НО лет вперед (1990-2100 гг.) за пять лет до выхода в свет отчета был на 50% (3 градуса) больше, чем в год опубликования отчета (2 градуса). Если за 5 лет (т.е. за время, составляющее всего 1/20 от заблаговременности прогноза) ожидаемое потепление на ПО лет вперед меняется на величину, имеющую порядок самого потепления (и меньшую, чем неопределенность прогноза - 3 градуса), то ясно, что надежность этого расчета была практически нулевой.

Если обратить эти модели в прошлое, то они не способны объяснить относительно высокие температуры в Западной Европе (IX-X вв.), когда Исландия и Южная Гренландия были свободны от морских льдов. Подчеркнем, что в этот период концентрация диоксида углерода была высокой, а потепление всецело определялось естественными факторами. Кроме того, разве имеющиеся "модели общей циркуляции атмосферы" способны объяснить механизм возникновения климатического оптимума примерно 6-7 тыс. лет назад, когда в Западной и 278

Центральной Европе среднегодовые температуры были на 2-3 градуса выше современных, а в Сахаре выпадало достаточно осадков и была богатая растительность?

АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ЭКОЛОГИЯ

Таким образом, ситуация вокруг изучения изменений климата все еще остается противоречивой. Несмотря на то что многие климатологи придерживаются "парниковой" теории изменений климата, существуют и другие мнения на этот счет. Так, в США сформировалось движение так называемых альтернативных экологов, одним из основных органов которых является издание "Истинное состояние планеты" ("The True State of the Planet"), климатический раздел которого имеет название: "Глобальное потепление: бездарные модели, недостаточные данные наблюдений и бесцельная политика". Альтернативные экологи Эль- зассер, Ид со, Зингер, Баллинг, Бейли и другие ставят под сомнение выводы официальных межправительственных органов и утверждают: "Данные науки опровергают существование парникового кризиса".

Авторы настоящей статьи ни в коем случае не хотят умалить достижения современной климатологии - мы только против того, чтобы политические решения принимались на основе одностороннего подхода к изучению климата, который не в силах объяснить множество наблюдаемых природных явлений.

Создается впечатление, что Киотский протокол вообще был подписан без всестороннего глубокого научного анализа проблемы изменений климата. Одной из основных причин его "проталкивания" и подписания были, по-видимому, чисто политические цели демократической (в те годы) администрации США, которая любила грандиозные глобальные проекты с максимальным участием в них федерального правительства. Как только администрация поменялась на республиканскую, США отказались от ратификации Киотского протокола.

Затопление энной степи

Вероятности катастрофических наводнений гораздо выше, чем это принято считать. Произошедшее катастрофическое наводнение на Северном Кавказе имеет большую вероятность повториться даже при жизни нынешнего поколения.

Самое масштабное и разрушительное за последние сто лет наводнение на Северном Кавказе потрясло Россию. Общая площадь затопления составила 346,5 кв. км, были эвакуированы 101 911 человек, погибли 104 человека. Материальный ущерб от стихийного бедствия 一 почти 14 млрд рублей. Версий случившегося много...

Гидрологи предполагают, что эта катастрофа представляет собой следствие необычного сочетания гидрометеорологических факторов и условий на водосборе. Но если бы это было так и наводнение определялось как суммарное действие множества не поддающихся учету факторов (количество дождей, их интенсивность, насыщенность почвы водой, тепло- и влагообмена атмосферы с подстилающей поверхностью и т.д.), то, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, распределение плотностей вероятностей максимального уровня (расхода) воды в реке подчинялось бы гауссовскому или гамма-распределению. Тогда действительно вероятность катастрофического наводнения на Северном Кавказе, которое произошло этим летом, была бы ничтожно мала, и можно было бы считать, что нам сильно не повезло. Однако я утверждаю, что вероятности катастрофических наводнений гораздо выше, чем это принято считать.

При внимательном анализе статистических данных по крупнейшим наводнениям выясняется, что они проявляют весьма необычные особенности. Так, при наводнении 1931 г. на реке Янцзы в Китае погибли около 1,3 млн. человек. Экстраординарные значения наблюдаются и для стоимостных характеристик материального ущерба. Ущерб от этих экстремальных наводнений сравним с суммарным ущербом от всех катастрофических наводнений за тот же период времени. Не составляет исключения и наводнение на Северном Кавказе. Математически доказано, что временной ряд, обладающий указанным свойством (сумма членов ряда имеет тот же порядок, что и максимальный член ряда), должен подчиняться так называемому распределению Парето, которое характеризуется медленным уменьшением числа редких событий (степенному распределению с "тяжелым хвостом"). Действительно, суммарная гистограмма хвоста распределения числа бездомных из-за наводнений 19641991 гг. хорошо описывается этим распределением. С точки зрения степенного распределения вероятности катастрофических наводнений на порядок и больше превышают вероятности, вычисленные из распределения Гаусса.

Гидрология пока не способна объяснить физический механизм возникновения распределения Парето и тем самым ответить на вопрос: почему катастрофические наводнения происходят так часто? Мною предложена простая феноменологическая динамическая модель колебаний стока, учитывающая водный баланс речного бассейна и нелинейную зависимость стока от влагозапасов.

Физический механизм сильного увеличения стока с ростом влагозапасов заключается в следующем. Во-первых, чем больше объем поверхностных, почвенных, подземных вод, составляющих влагозапасы бассейна, тем выше потенциальная энергия этих вод. Во-вторых, в соответствии с законом движения вязкой жидкости величина рассеивания (диссипации) энергии при течении воды в увлажненном бассейне гораздо меньше, чем в "сухом". Таким образом, увеличение потенциальной энергии воды и уменьшение сопротивления ее движению в бассейне реки ведут к нелинейному увеличению расхода. В результате 一 разрушительный, все сокрушающий на своем пути поток воды.

Допустим, что в бассейне реки выпали обильные дождевые осадки; в этом случае сопротивление движению воды настолько уменьшится, что в русло реки попадут не только выпавшие осадки, но и осадки от предыдущих дождей, которые ранее из-за большого сопротивления трения не могли попасть в реку. Математическая формализация этого известного гидрологического явления и приводит к степенным (а не гауссовским) законам паводков и наводнений. На основе этого физического механизма предложено конкретное степенное распределение (более физическое, чем распределение Парето) максимальных расходов и уровней воды, которое указывает на достаточно большую вероятность катастрофических наводнений.

Этим летом на реках Северного Кавказа (на Кубани, Тереке, Куме, Подкумке и т.д.) наблюдался аномальный гидрологический режим. Расчеты, выполненные на основе нового степенного распределения плотности вероятности максимальных расходов воды, показали, что например, максимальный расход воды на реке Кубань может превысить среднемноголетний в 2,5 раза один раз в 170 лет по степенному распределению (соответственно 1 раз в 1000 лет - по гамма-распределению). Река Терек может превысить свой обычный расход в 2 раза один раз в ПО лет по степенному закону (1 раз в 406 лет по гамма-распределению). Для реки Кума расход воды, превышающий норму в 5 раз, может произойти один раз в 85 лет по степенному закону

(1 раз в 28 012 лет по гамма-распределению). Для реки Подкумок расход воды, превышающий норму в 4 раза, по нашим расчетам может случиться 1 раз в 102 года и 1 раз в 8805 лет 一 по гамма- распределению. Аналогичные оценки верны и для других больших и малых рек Северного Кавказа. Иными словами, произошедшее катастрофическое наводнение на Северном Кавказе не является почти невероятным событием, а имеет большую вероятность повториться даже при жизни нынешнего поколения. Очевидно, что эту вероятность необходимо учитывать при сооружении защитных дамб, плотин и других гидротехнических сооружений.

Расчет вероятности катастрофических наводнений на реках других регионов привел к тем же результатам. Например, знаменитое наводнение в Санкт-Петербурге, произошедшее 19 ноября 1824 г. (уровень воды в Неве - 421 см), должно происходить один раз в 667 лет с точки зрения степенного распределения. По гамма-распределению это событие практически невозможно (один раз в 22 222 лет). Наводнение, случившееся 23 сентября 1924 г. (уровень воды в Неве - 380 см), имеет вероятность 0,0039 (один раз в 25 6 лет) по степенному распределению и 0,00036 (один раз в 2777 лет) - по гамма-распределению, т.е. снова практически невозможно. Однако эти события происходили.

Как проверить, верна ли предложенная теория? Необходимо применить ее к хорошо изученным явлениям. В связи с гидрологическим обоснованием ряда проектов по защите Санкт- Петербурга и ближайших пригородов от наводнений были проведены обширные научные исследования по проблеме расчета максимальных уровней воды на реке Нева. Были построены и тщательно проверены гидродинамические модели петербургских наводнений. Нами проведено сравнение результатов этих исследований с расчетами по статистическим моделям. Это сравнение показало, что степенное распределение хорошо соответствует гидродинамическим моделям.

Таким образом, степенная статистика указывает на то, что катастрофические наводнения, происходящие на нашей планете, не являются из ряда вон выходящими событиями, а имеют достаточно большую вероятность, и с этой вероятностью необходимо считаться.

По моему мнению, торг здесь неуместен. Например, в Нидерландах к началу 1920-х годов правительственный комитет по защите от наводнений установил максимальный уровень 390 см, возможный 1 раз в 17 500 лет. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие и приняли величину 340 см с

вероятностью 1 раз в 70 лет. Это значение было всего на 12 см выше абсолютного максимума, наблюдавшегося на побережье Нидерландов, примерно за 25 лет. Стремление удешевить строительство обернулось трагедией "голландского" урагана 1 февраля 1953 г., унесшего около двух тысяч жизней и вызвавшего огромные разрушения. Ныне в Нидерландах гидротехнические сооружения должны быть ориентированы на максимальный уровень 500 см, возможный 1 раз в 10 000 лет.

Последний предел

Максимальная численность населения Земли не превысит 8 млрд человек.

В начале третьего тысячелетия численность населения Земли превысила 6 млрд человек. Отметим также, что за вторую половину XX в. население планеты выросло приблизительно в 2,5 раза, т.е. в такое же число раз, как и за предшествующие 125 лет. Экспоненциально быстрое увеличение людской численности, о котором говорят как о демографическом взрыве, сопряжено с колоссальными изменениями во всех сферах - военной, политической, социальной, экономической, культурной. Однако демографические данные за последние 15 лет свидетельствуют о смене характера роста народонаселения.

Рост численности населения Земли замедлился, и стала отчетливо проявляться тенденция к стабилизации. Этот процесс получил название демографического перехода. Фундаментальные вопросы, волнующие человечество, заключаются в следующем: когда наступит стабилизация численности населения и какова ее предельная величина?

Первую оценку предельной численности возможного населения на Земле сделал Антон Левенгук в 1679 г.: 13,4 млрд человек. В 1695 г. Дж. Кинг из Лондона определил ее в 12,5 млрд. Анализируя различные оценки допустимой численности населения Земли, Дж. Коэн отмечает, что за последние 350 лет таких оценок было предложено не менее 65. Так, профессор С. Капица, анализируя феноменологическую математическую модель роста народонаселения мира, определяет предел стабилизации в 15 млрд, человек.

Одна из главных проблем, порождаемых демографическим взрывом, - обеспечение питанием быстро растущего населения,

когда ежегодно появляется 90 млн новых едоков, а мировое сообщество со всей его технологической мощью пока не может накормить и тех голодных, которые уже существуют. Для многих работ в этом направлении показательно, что, обсуждая проблему обеспечения питанием 8 млрд человек (численность, прогнозируемая на 2020 г.), большинство авторов в целом высказывают большой оптимизм.

Один из методов, с помощью которых можно определить численность населения Земли в некоторый произвольно выбранный момент времени в будущем, состоит в том, чтобы найти уравнение, которое наиболее точно описывало бы рост населения до настоящего времени, и затем экстраполировать кривую роста на будущее. Для этой цели было выбрано не классическое уравнение Ферхюльста, которое чаще всего используется для определения динамики численности популяции, а нелинейное дифференциальное уравнение с гиперболическим законом роста, которое хорошо известно экологам.

Математический анализ этого уравнения показал, что оно очень хорошо (гораздо лучше, чем уравнение Ферхюльста и феноменологические модели С.П. Капицы) описывает демографическую кривую с 1950 по 1999 годы. Самый неожиданный результат: в 2020 г. людей будет не 8 млрд., а всего лишь 7; и вообще предельная численность населения Земли составит 7,4 млрд. Эта оценка существенно ниже, чем приведенные выше оценки других ученых.

Оказалось, что в 1987 г. рост численности населения Земли существенно замедлился: хотя прирост населения продолжает увеличиваться (в математических терминах это означает, что первая производная от численности населения остается положительной), но темпы этого прироста существенно замедлились (вторая производная в 1987 г. стала отрицательной!).

Динамика численности населения такова: в 2010 г. нас будет 6,5 млрд., в 2015 г. - 6,8, в 2020 г. - 7, и дальше наступит стабилизация на рубеже 7,4 млрд. Характерно, что стабилизация демографических процессов наступит очень быстро, и уже наши современники могут стать свидетелями этого уникального явления, которое никогда не наблюдалось в истории человечества.

Каковы общебиологические, популяционно-генетические, социальные механизмы этой стабилизации? Пока на эти вопросы нет убедительных ответов. С моей точки зрения, происходящее сейчас быстрое разрушение естественных экосистем, которые регулируют окружающую среду, ведет к экологической катастрофе. Эта катастрофа, в свою очередь, сопровождается

резким уменьшением темпов роста населения и стабилизацией его на удручающе низком уровне - 7,4 млрд.

Отметим, что если фактические данные в ближайшие 5- 10 лет начнут отклоняться от прогнозных, то это будет означать, что в мире начали происходить демографические процессы, которые не учитываются предложенным подходом.

Мы не виноваты в потеплении климата*

Так считают российские ученые, выдвинувшие неожиданную версию причин глобального изменения климата. Авторы гипотезы - заведующий лабораторией режима поверхностных вод Института водных проблем РАН, доктор физико- математических наук Вячеслав Найденов и старший научный сотрудник того же института, кандидат географических наук Валентина Швейкина.

В том, что "климат нынче стал не тот", особо убеждать никого не надо. Не только ученые, но и люди, далекие от науки, наверняка обратили внимание на изменение погодных условий. Житейские наблюдения подтверждаются и научными исследованиями: с конца прошлого века глобальная температура приземного слоя атмосферы возросла на 0,5-0,7 градуса по Цельсию, уровень Мирового океана повысился на 15 см. Большинство климатологов сходится во мнении, что потепление обусловлено деятельностью человека, сжигающего все больше угля, нефти, растительной биомассы. Это, в свою очередь, увеличивает концентрацию углекислого газа в атмосфере, который способствует разогреву нижнего слоя атмосферы, т.е. обеспечивает так называемый парниковый эффект.

А вот версия В. Найденова и В. Швейкиной: причиной современного потепления является прогрессирующее изменение теплового баланса Земли за счет накопления воды на суше. Как и любая поверхность, Земля отражает часть энергии Солнца в космическое пространство. Величина отраженной энергии характеризуется альбедо поверхности (от латинского albedo - белизна). Природные поверхности имеют разное альбедо: вода - 10%, суша - 20%, снег и лед - 70-80%. Если бы вся планета покрылась снегом, доля отраженной поверхности была бы максимальна, и на Земле было бы очень холодно. Если бы планету затопила вода, доля отраженной энергии оказалась бы минимальна, и на Земле было бы очень тепло.

Статья опубликована в газете "Московская правда", 6 апреля 1998 г.

Земля, утверждают ученые, эволюционирует между двумя этими предельными состояниями, и это обстоятельство является самой сущностью климатических изменений. Альбедо суши зависит от ее влажности и растительного покрова, такая зависимость способствует неустойчивости климата, так как структура теплового баланса Земли меняется по механизму положительной обратной связи: повышение температуры ведет к ускоренному испарению с океанов, большему выпадению осадков и увлажнению суши. И следовательно 一 к большему поглощению солнечной энергии и дальнейшему повышению температуры. Такой процесс является самоподдерживающимся и ведет к изменению глобального климата. Это краткое изложение многостраничного текста, переданного учеными в редакцию "МП". Обосновывая свою гипотезу, они утверждают: климат Земли испытывает естественные природные циклы, объяснять их возникновение влиянием человеческой деятельности на изменение климата не нужно.

Модели эффекта Харста

Вячеслав Найденов: Если бы нужно было определить три ключевых слова нашей беседы, я бы назвал следующее: нелинейность, сложность и вероятность. И речь пойдет о нелинейных универсальных механизмах, приводящих к сложному поведению некоторых природных систем, для описания которых нужно существенное применение вероятностных методов. Именно показатель и эффект Харста являются теми ключевыми эффектами, которые указывают на сложность этой природной системы. И речь у нас пойдет о водах суши - морях, реках и озерах.

В 1951 г. британский климатолог Харольд Харст, проведший более 60 лет в Египте, где он участвовал в гидротехнических проектах на Ниле, описал неожиданный эффект поведения стока этой реки. Чтобы понять его суть, рассмотрим процесс наполнения Средиземного моря водами Нила, куда он впадает. Если мы предположим, что расходы воды каждый год в реке одинаковы, то получим, что за время t суммарный расход воды будет пропорционален полному времени т.е. Q^t. Если мы предположим, что сток Нила 一 это последовательность слабо зависимых случайных величин, что близко к действительности,

то мы получим, что суммарный расход пропорционален Q в степени одна вторая, т.е. наполнение происходит гораздо медленней. Вот это соотношение и получило название закона Харста, а показатель степени - показателя Харста.

Почему так важно различие в этих степенях? Различие важно по следующей причине. Приведем такой пример, более доступный, из небесной механики. Если мы рассмотрим задачу о вращении планеты вокруг Солнца и примем, что сила тяготения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния, то получим классический результат Кеплера - планета движется по эллипсу. Если мы примем, что сила тяготения обратно пропорциональна кубу расстояния, т.е. изменим немного степень, то мы получим следующий эффект: планета либо падает на свое Солнце, либо уходит в космическое пространство. Кстати, эту задачу рассматривал сам Ньютон в своих "Началах".

Другими словами, при изменении степени мы получаем разные миры. Один мир - мир падающих яблок и лун, движущихся по правильным орбитам, а другой - мир с совершенно иными свойствами. Вот так примерно с эффектом Харста для движения воды. То есть, если водный мир следует эффекту Харста, то это мир катастрофических наводнений, паводков, мир внезапных подъемов и падений уровня воды в водоемах. Это бурный, неустойчивый мир. Если бы водный мир не следовал эффекту Харста, то мы получили бы спокойный мир без водных катастроф.

Задача описания этого эффекта очень волновала ученых. И математическим образом, который позволяет описывать этот эффект, стало фрактальное броуновское движение. Что такое фрактальное броуновское движение, Ирина Аркадьевна может пояснить.

Александр Гордон: Только можно я уточняющий вопрос сразу задам? Ведь Хар ст получил для Нила не 0,5, как было предположено, а 0,7. Именно поэтому в степенях такая большая разница, и это изменяет, собственно, описание системы.

В.Н. Да. Совершенно верно, ни один линейный процесс не удовлетворяет этому, не удовлетворяет ему и классическое броуновское движение, которое является кирпичиком для описания многих сложных систем. И для этого нам пришлось рассмотреть новый тип случайных процессов - фрактальное броуновское движение.

Ирина Кожевникова: В 1940 г. академик Андрей Николаевич Колмогоров рассмотрел гауссовские процессы с непрерывными траекториями, нулевым математическим ожиданием и дисперсией, пропорциональной времени в степени 2. Время больше

или равно нулю, а Н изменяется от нуля до единицы. Если мы положим Н = 1/2, то получим классический случай, классическое броуновское движение или классический винеровский процесс. Этими процессами занимались потом очень многие ученые, в частности, среди них Мандельброт и Ван Несс, и именно они дали этому процессу название нфрактальное броуновское движение". Теперь. Приращения фрактального броуновского движения стационарны. Корреляционная функция при Н, большем чем 1/2, медленно, степенным образом, как показано на рисунке, убывает. Покажите, пожалуйста, рисунок по теме 1 и рисунок 2 (см. рис. 4.5-4.8 一 прим. авт.). А спектральная плотность имеет при нулевой частоте интегрируемую особенность, и для достаточно широкого диапазона частот тоже степенным образом убывает в зависимости от значения показателя Харста.

А.Г. Давайте теперь попробуем перевести на русский язык. Выяснилось, что классическое броуновское движение в том виде, в каком оно описано....

И.К. Это TOJibKOjiacTHbiii случай данного процесса.

А.Г. И была выведена некая закономерность, которая носит ступенчатый характер, и это описывается уже фрактальным броуновским движением. Верно?

И.К. Да, фрактальным. Но функция не совсем ступенчатая, а имеющая степенной характер.

А.Г. Степенной характер?

И.К. Степенной характер корреляционной функции. Именно степенной, такое медленное затухание. Благодаря такому медленному затуханию спектральная плотность как функция частоты при нулевой частоте обращается в бесконечность, т.е. имеет интегрируемую особенность. А дальше для некоторого диапазона частот в окрестности нуля убывает степенным образом. А за пределами нуля она уже ведет себя, соответственно, по-другому.

Теперь я расскажу о траекториях приращений фрактального броуновского движения и траекториях самого фрактального броуновского движения. Траектории фрактального броуновского движения ввиду слабого убывания корреляционной функции могут иметь большие выбросы. А траектория самого фрактального броуновского движения содержит длинные серии положительных и отрицательных отклонений от математического ожидания процесса, что характерно для многих геофизических временных рядов.

Кроме того, фрактальное броуновское движение обладает свойством статистического самоподобия. Это аналогично фрак-

талам, простым фракталам, т.е., если мы смотрим через лупу, орнамент повторяется. Здесь происходит то же самое, только с точки зрения распределения вероятности.

Харст в 1951 г. и в последующие годы занимался вычислением оценки придуманным им же самим методом. И он обработал 690 временных рядов, описывающих 75 различных явлений природы. И для приращения уровня различных водоемов, например оз. Гурон в Канаде и других озер, для приращения уровня, для стоков и уровней различных рек, для изменения ширины годичных колец деревьев, для температурных рядов, для осадков, он всюду получил показатель Харста...

А.Г. Больше 0,5.

И.К. Больше 0,5. Мы тоже обработали, конечно, меньше чем 690, но тоже довольно много рядов. Мы обрабатывали приращение колебания уровня, вычисляли оценку показателя Харста совершенно другими - современными статистическими методами.

А.Г. Для каких объектов?

И.К. Для объектов: колебание уровня Каспийского и Мертвого морей； озер Балхаш, Чаны, Чад, Большое Соленое озеро, для стоков рек Волги, Днепра, Немана, Дуная и многих других. То же для ширины колец различных деревьев и для температурных рядов, это - глобальная температура Северного полушария, среднегодовые значения температур в Москве и в Петербурге. И тоже всюду получили значение показателя Харста больше 0,5. Кроме того, Харст обрабатывал исторический ряд наблюдения за уровнями Нила, т.е. с 622 по 1469 г. и современный ему ряд - и всюду получалось Н > 0,5. В результате эффект Харста получил такую математическую интерпретацию: он характеризует случайный процесс с медленным затуханием корреляционной функции.

А.Г. И как следствие...

И.К. И как следствие спектральная плотность имеет интегрируемую особенность при нулевой частоте и отсутствует линейность у модели, описанной фрактальным броуновским движением.

289289В.Н. Первый вопрос, который возникает: откуда может взяться такая медленная релаксация динамической системы? Если описывать эту модель с помощью линейной математики, то мы такого эффекта не получим. Мы получим экспоненциальное затухание корреляции. Вопрос: как придумать модель, хотя бы простейшую, чтобы в качестве спектральной функции или корреляционной функции мы получили требуемый результат?

289

289

10. Найденов В.И.

Ясно, что в чистом виде фрактальное броуновское движение не может быть использовано, потому что оно имеет недифференцируемые траектории. А в физической системе, описываемой законами сохранения, везде стоят производные.

Поэтому можно было только описать свойства, которые имеет фрактальное броуновское движение. Это степенное затухание корреляции, неограниченный спектр при нулевой частоте и некоторая зависимость от частоты. Мы рассуждали таким образом. Многие гидрологические явления, например дождевой паводок на реке, формируются следующим образом. Выпадают осадки, поднимается уровень воды, потом он спадает, потом выпадают еще осадки, потом уровень спадает.

Данный процесс мы можем приблизить к импульсным случайным процессам, у которых время наступления максимума неизвестно и сама амплитуда неизвестна. Но для того чтобы построить такой процесс, мы должны выдвинуть постулаты по этой модели, описывающие, какой она должна быть. Модель должна быть такой. Описываться законом сохранения, т.е. импульса баланса тепла и вещества, допускать ясную математическую интерпретацию и показатель Харста (при всем уважении к этому показателю, это все же не гравитационная постоянная и не скорость света) должен зависеть от физических свойств этой системы. Мы построили такой процесс, как для дождевых паводков, так и для динамики влажности почвы. И получили результаты такого плана. При стохастической аппроксимации выпадения дождей мы предположили, что здесь нет эффекта Харста, и хотели его получить путем нелинейного преобразования выпавших осадков на водосборе. И получили процесс, который характеризует динамику влажности почвы как модельный процесс. Чтобы на этом процессе увидеть все характерные черты этого явления.

И.К. Мы рассмотрели нелинейную стохастическую модель инфильтрации воды в почве, демонстрирующую эффект Харста. Была принята простая стохастическая модель дождей. За большой промежуток времени число выпадающих дождей является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с известным параметром, равным среднему числу осадков за сутки. Затем предположили, что продолжительность времени между дождями существенно больше продолжительности самого дождя. Тогда слой осадков можно представить в виде импульсного процесса. На основании принятой модели мы определили амплитуды импульсного процесса из дискретного уравнения для амплитуд, которые являются случайными вели-

чинами, и функции формы спада, которые определили из нелинейного дифференциального уравнения для функции форм спада. Пожалуйста, рисунок 4 по теме 1 (см. рис. 6.6 一 прим. авт.). Мы получили, что функция формы спада является степенной, медленно затухающей функцией времени и детерминированной функцией. А импульсы являются случайными величинами, и плотность их показана на рисунке 4-Б (см. рис. 6.6,d - прим, авт.). Причем эта плотность хорошо аппроксимируется степенным распределением вероятности. Так как функция формы спада есть медленно затухающая степенная функция времени, то отсюда следует, что корреляционная функция тоже медленно затухает на бесконечности. А это означает, что спектральная плотность такого процесса хорошо аппроксимируется (в достаточно близкой окрестности нуля, для широкого диапазона частот) затухающей степенной функцией частоты. Вот как показано на рисунке 4-В (см. рис. 6.6,6 一 прим. авт.). А сама реализация такого процесса показана на рисунке 4-А (см. рис. 6.6,〃 一 прим. авт.). Это все характеризует приращение фрактального броуновского движения.

А.Г. Простите, на рисунке 4-А (см. рис. 6・6,〃 一 прим, авт.) по оси абсцисс 一 что? Я просто не вижу.

И.К. На рисунке 4-А (см. рис. 6・6,〃 一 прим, авт.} по оси абсцисс 一 это время. А по оси ординат 一 амплитуды импульсного процесса. Это куски, сшитые беспорядочным образом, со случайными амплитудами и детерминированными функциями спада. Оказалось, что для такого импульсного процесса можно вычислить теоретически. И показатель Харста зависит в данном случае от водно-физических свойств почвы и испарения. Таким образом, одной из возможных причин эффекта Харста является медленное возвращение нелинейной динамической системы к своему состоянию равновесия.

В.Н. Медленность здесь очень важна, потому что, например, подъем уровня на Ниле составляет примерно 4 мес., а спад 一 целых 8 мес., что говорит о медленной реакции этой системы. И здесь можно добавить следующее, рисунок, о котором вы спросили, это такая причудливая смесь хаотических и детерминированных сигналов. То есть, когда мы находимся на спаде, мы находимся в детерминированной области, а когда происходят выбросы этого процесса (момент выпадения осадков), тут возникают случайности. А если говорить о других задачах (не только же природными задачами занимались специалисты в области нелинейных динамических систем), то такие задачи, у которых есть подобные регулярные вставки (см. рис. 6.6,6 一 прим. авт. \ и

характеризуются медленным затуханием корреляционной функции.

Здесь так можно подвести итог этой первой темы нашего обсуждения. Бассейн Нила огромный - 2,8 млн кв. км. Он представляет собой нестационарную, неравновесную, нелинейную природную систему. Потоки влаги и тепла с Индийского океана постоянно выводят эту систему из равновесия. За счет процессов диссипации и второго закона термодинамики, закона возрастания энтропии, система все время стремится к своему состоянию равновесия. Но эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту особенность, на наш взгляд, функционирования бассейна Нила и подметил британский климатолог Харст. Но хочу подчеркнуть, что это не единственный медленный процесс, который может определить этот эффект.

Таких процессов может быть много. В частности, мы рассматривали медленный процесс - это инфильтрация, движение воды в почвы или по поверхности бассейна. Если не очень толстый слой воды, то все это медленные процессы. Но есть такие важные процессы как испарение. Они очень медленные. Если, например, на Каспийском море в год испаряется один метр слоя воды, то, например, в наших климатических условиях - полметра в год. Так вот эти процессы исключительно важны для возникновения эффекта Харста, который был нами обнаружен и в колебаниях уровня Каспийского моря.

Почему Каспийское море? Почему важен механизм колебания этого моря? Потому что на основе многих лет изучения оно демонстрировало уникальный характер своего поведения. Например, Марио Сануто еще в XII в. писал: нМоре поднимается каждый год на ладонь и многие хорошие города уничтожены". Изменение физико-географических условий вследствие подъема уровня Каспийского моря привело к гибели Хазарского каганата и исчезновению хазар, так как экономика страны не выдержала потери двух третей его территории. Гумилев так драматически описывает гибель хазар: "Й удар русов, гузов и печенегов так покончил с самостоятельностью полузатопленной страны".

На пойтингеровской таблице (есть такая римская дорожная карта населенного мира, она датируется пятым веком нашей эры) уровень Каспия показан на 20 метров выше современного. И современные данные, которые приведены на рисунке (см. рис. 2.2 - прим. 〃6加.),показывают характерные резкие изменения уровня Каспийского моря. Возник вопрос: как найти механизм для объяснения этого явления? Предположим, что испарения с поверхности бассейна, которые составляют очень значительную

часть водного баланса и бассейна и моря, немонотонно зависят от влагозапасов. А как это может быть? В общем, здесь возникает такой механизм. Теплоемкость сухих компонентов грунта - единица. Теплоемкость воды в четыре раза больше. Поэтому при увлажнении бассейн Каспия увеличивает свою теплоемкость, имеют место большие затраты солнечного тепла на нагрев, испарения уменьшаются и таким образом мы получаем механизм положительной обратной связи, который обычно дестабилизирует систему. Что будет в окрестности этого механизма - представляет собой расшифровку механизма его колебаний.

У нас получилось, что в окрестности неустойчивого уровня существуют еще два слабоустойчивых уровня, в результате чего море под воздействием осадков эволюционирует из одного состояние к другому. Расстояние между ними может быть несколько метров, и в этом состоит квазициклический характер его состояния, который и описывают те ученые-путешественники, о которых я говорил. Мы такую модель построили статистически.

И.К. Море стояло около ста лет на довольно высокой отметке - порядка минус двадцати пяти метров (за ноль принят уровень Балтийского моря). Затем оно неожиданно, примерно за 20 лет, перешло к отметке минус 28. Простояло так 40 лет, а потом снова начался неожиданный подъем, который ошеломил всех.

А.Г. Я помню, что были социальные теории - винили большевиков, которые Волгу перекрыли, и поэтому стоки вод в Каспий уменьшились.

И.К. Нет, была взята малая часть. Это не могло так существенно изменить состояние.

А.Г.Японимаю. Теперь оказывается, что не могло.

И.К. Прыжок на два с половиной метра 一 таким образом объяснить не получится. Мы описали этот процесс с помощью нелинейной стохастической модели процесса колебания уровня Каспийского моря. Наша модель состоит из детерминированной части и случайной части. Случайная часть - это остаточная последовательность нашей модели, она аппроксимируется, мы ее грубо аппроксимировали авторегрессией первого порядка с достаточно высокой корреляцией. И именно она обеспечивает переходы. Оценку параметров этой модели мы провели современными методами математической статистики на основании натурных данных, наблюдений с 1830 г. (еще со времен Пушкина записывался уровень Каспийского моря) и по наше время.

Характерная особенность решения или реализации является наличие переходов от высокого стояния - минус 25,46, к низкому - минус 28,3, а средним является минус 26,62, т.е. море совершает такие переходы примерно один раз в 200 лет. А время перехода гораздо меньше: примерно 20, 30, 40 лет. Причем море может иногда подняться до какого-то уровня и потом опуститься снова, т.е. не завершить переход. Вот такая возможная реализация была получена методом математического моделирования.

А.Г. Поэтому это и называете Нпсевдоцикличностью", что здесь цикл может быть не завершен?

В.Н. Мы называем квазицикличностью, потому что это случайная величина. Цикл, это как в синусоиде, а данная величина случайная, которой не может быть приписано одно значение.

А.Г. Но тут сразу возникает вопрос: насколько вы можете экстраполировать полученные вами значения и, следовательно, имеет ли ваша теория предсказательные функции?

В・Н・ Предсказательных функций она, по сути дела, имеет немного. Она может ответить на такие вопросы: почему возникают такие переходы? И если бы у нас было предположение, что такое возможно, я не думаю, чтобы в свое время так легко согласились на переброску рек. Тогда признали, что падение уровня до минус двадцати девяти - это навеки, и поэтому решили: ''Перебросим реки и будем увеличивать уровень за счет перебрасываемой воды 100 лет и потом увидим, как получается положительный эффект". Вот если бы была такая теория, на мой взгляд, то не так бы легко это проходило - переброска рек.

Во-вторых, мы можем, исходя из темы нашей передачи, давать вероятностный прогноз. Можно сказать так: "Сегодня отметка какая? Какова вероятность приблизиться к отметке минус 25,6, за сколько лет и какова вероятность придти назад в исходное состояние - минус 28,3, и сколько лет длится этот переход?11 Вот такова реальность. Потому что вероятность уже не ассоциируется с незнанием. Это принципиальная особенность нашего мира. И я думаю, в ваших предыдущих передачах эта тема уже не раз звучала.

А.Г. Разумеется.

И.К. Наша модель объясняет, почему не сбывались прогнозы, построенные на основе линейных моделей.

Кроме того, аналогичные модели мы построили для других бессточных водоемов - для Мертвого моря, для озер Балхаш, Большое Соленое, Чаны, Чад и так далее. И везде мы получили то же самое. И основным общим, характерным свойством всех этих решений является бимодальность гистограмм. Пожалуйста,

покажите рисунок 3 по теме 2 (речь идет о рис. 3.2 и 3.3 - прим, авт.). Все эти гистограммы - бимодальные. Сверху Каспийское море, потом оз. Чад, потом Мертвое море. Теперь, почему не сбывались эти прогнозы? Потому что линейная модель имеет только один устойчивый уровень стояния. И каждый переход воспринимает как чрезвычайно редкое событие с очень малой вероятностью. Линейные модели использовались, конечно, для обоснования переброски северных рек. И используются, возможно, и сейчас тоже для каких-то целей.

Мы рассчитали также показатели Харста для приращения уровня Каспийского моря и стока Волги. Сток Волги составляет 80% от стоков всех рек, впадающих в Каспийское море. Мы получили близкие значения. Затем мы рассчитали эти показатели для некоторых объектов бассейна Каспийского моря - температуры воды в Астрахани, в Казани, среднегодовых значений температур. Тоже получили показатель Харста больше, чем одна вторая. Значит, это такая система, которая характеризуется нелинейными свойствами.

В.Н. Я хотел сказать, что есть эффект, который родственен эффекту Харста и дополняет его. Это так называемый степенной закон распределения вероятностей. Что это за закон? Вероятности катастрофических наводнений, в которых гибнут люди, убывает с ростом числа жертв этих наводнений, не экспоненциально, а по степенному закону, т.е. очень медленно. Другими словами, можно сказать, что вероятности этих наводнений гораздо выше, чем принято считать. Возникает тогда вопрос: как рассчитывать вероятности таких наводнений, как описать физический механизм, который приводит к степенному закону затухания распределения вероятностей, и как построить удобную аналитическую функцию, чтобы можно было на основе этой придуманной нами функции правильно подсчитать вероятность этих катастрофических наводнений? Или, по крайней мере, согласовать их с известными данными по степенной статистике, которая широко применяется в американских работах. Но там ничего не говорится о механизме.

Так вот, почему это важно? Важно потому, что в 1920-е годы в Нидерландах правительственный комитет по защите от наводнений принял максимальный уровень воды 390 сантиметров. На этот уровень предполагалось рассчитывать защитные сооружения.

А.Г. Это от уровня моря?

В・Н・ От уровня спокойного моря.

А.Г. Ну, 390 от уровня моря.

В.Н. Такой уровень возможен раз в 10 тысяч лет. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие, взяли отметку 340 сантиметров. Стремление удешевить строительство привело к трагедии голландского урагана, вызвало большие разрушения и самое большое несчастье - погибло около 2000 человек.

Таким образом, правильное определение вероятности этих катастроф нам очень важно. Так вот, мы посмотрели на эту задачу и построили простую модель, заключающуюся в расчете стока, в который входят осадки, испарения, сток и влагозапасы бассейна. Такая модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением. Мы написали уравнение Фоккера-План- ка-Колмогорова для этой системы и получили достаточно простое распределение 一 со степенным затуханием функции распределения вероятности при больших величинах этого стока. А поскольку можно предполагать, что масштабы этого бедствия функционально связаны с расходом и уровнем воды, мы стали использовать эту функцию для расчета катастрофических наводнений на разных реках. И начали с Невы, потому что для нее посчитаны детальные гидродинамические модели, и можно было сравнить эту теорию с гидродинамическими теориями наводнений.

И.К. Мы взяли эту плотность степенного распределения, в простейшем случае она зависит от одного параметра "бета" и обладает следующими свойствами. Во-первых, плотность степенного распределения степенным образом затухает, когда ее аргумент стремится к нулю, и тем медленнее, чем меньше параметр "бета". И, кроме того, если "бета" больше, то она достаточно быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка - целая часть параметра "бета" - обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таким образом, если у нас "бета" приняло значение между двумя и тремя, то целая часть параметра "бета" (параметр в формуле (7.3.2) - прим. 〃6加.)равно двум и степенное распределение не имеет дисперсии (т.е. дисперсия обращается в бесконечность). Таким образом, соответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северная горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для нее оценка параметра "бета" равна 2,63, т.е. имеют место гигантские выбросы. Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надежности и риске. Вот мы рассмотрели мак

симальные уровни для р. Невы. И для того, чтобы исследовать повторяемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и принятое в гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее наводнение на Неве произошло в Петербурге. Его описал Пушкин в поэме "Медный всадник". Он писал: "...вода и больше ничегон - настолько залило Петербург. Уровень воды реки Невы 19 ноября 1824 г. достиг 421 см. Если использовать гамма-распределение, то такое наводнение повторяется один раз в 22 тысячи лет, т.е. оно является чрезвычайно редким и совершенно невероятным. А если использовать степенное распределение и рассчитать повторяемость, то оно происходит один раз в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.

Следующее крупное наводнение произошло 23 сентября 1924 г. Уровень в реке Неве был 380 см. С точки зрения гамма- распределения такое наводнение повторяется раз в 2700 лет, а с точки зрения степенного распределения, оно повторяется один раз в 2,5 века и является вполне реальным событием. Получив это, мы сравнили нашу модель с гидродинамическими моделями, которые были разработаны в Петербурге. И вот в таблице (см. табл. 7.2 и 7.3 一 прим, авт.) видно, что наша модель и гидродинамические модели очень хорошо соответствуют друг другу. А плотности степенного распределения и гамма-распределения совпадают в средней части и очень сильно различаются в области катастрофических наводнений. Именно этим и объясняется разница в такой повторяемости.

В.Н. Я хотел бы здесь добавить, что гидродинамические модели, которые использовали для расчета и описания наводнений, неявно и явно, конечно, учитывали нелинейный характер движения воды в Финском заливе. Именно они, с нашей дочки зрения, и дали такой правильный результат.

Мы рассчитывали натурные данные конечно не только для Невы, но и для других рек. Например, Янцзы. Хорошо известно, что в 1931 г. в Китае произошло крупнейшее наводнение, унесшее 1,3 миллиона жизней. Что оказалось здесь? Мы рассчитывали наводнение 1954-го г., по 1931 г. у нас не было данных. Оказалось, везде наблюдается одна и та же картина: невероятное, с точки зрения обычных формул гидрологии, оказывается вероятным с точки зрения степенного закона. Значит нужен пересмотр всех этих явлений с точки зрения правильного описания статистики редких событий.

Исследовали такую реку, как Западная Двина. То же самое. В Витебске в 1931 г. было крупнейшее наводнение. Обычные формулы дают - невероятно, наша формула дает раз в шесть

большую вероятность. Через три года это наводнение повторяется. И в Миссури мы анализировали максимальный расход воды, потом исследовали высокие уровни воды в Амуре. Затем исследовали (правда, тут маловато данных, но, тем не менее, из- за любопытства), например, наводнение на Северном Кавказе прошлым летом, наводнения в Чехии и Германии (исследовали июльские и августовские расходы воды в Эльбе). Везде наблюдалась та же картина. Вероятность наводнений, вычисленных на основе такого вот экспоненциального семейства, в 6, 7 (и даже больше, если пособо выдающиесян наводнения) больше вероятности по гамма-распределению.

Еще важно учесть такой момент. Каковы результаты степенной статистики? Ирина Аркадьевна уже говорила, что ущерб может приобретать неограниченную дисперсию. Более того, иногда может и математическое ожидание не иметь конечного результата. Поэтому, возникает вопрос, не могут же на планете существовать бесконечные силы наводнения?

А.Г. Всемирный потоп.

В.Н. Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то конструктивную гипотезу. Мы выполнили анализ того стохастического дифференциального уравнения, о котором я говорил, и оказалось, что степенной закон возникающий за счет нелинейной связи между стоком и влагозапасом и характеризующийся сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой связи начинает постепенно сходить на нет. И в области больших значений исследуемой величины вырождается в гауссовский закон, т.е. экспоненциальный. Но в достаточно широкой области он справедлив. А поскольку сейчас мы живем в такую климатическую эпоху, что увлажненность суши еще не так велика (примерно 20-40 см в десятиметровом слое воды - это достаточно мало), то такие гигантские наводнения происходили в прошлом, случаются в настоящем и еще будут случаться в будущем. Потому что ограничения на расход воды, на увлажненность речных бассейнов еще далеко не достигнуты.

А.Г. Предела еще они не достигли?

В・Н・ Да. Уже опубликованы математические работы, которые показывают ограничение этого степенного закона. С точки зрения математической физики можно сказать, что этот степенной закон представляет собой промежуточную асимптотику, характерную для многих задач физики.

Но что касается эффекта Харста, который мы рассмотрели с разных позиций, то в некоторых работах эта расходимость спектральной плотности, медленное затухание корреляции

объясняется эффектом возникновения хаоса в динамических системах. Есть такие работы. Но для того чтобы нам как-то их использовать, мы, изучая природные явления, должны предложить свою теорию динамического хаоса природных явлений. Свойства этого хаоса еще далеко не изучены и не известны, поэтому и идут такие дебаты по проблемам климата. Мы решили рассмотреть задачу, в которой воды суши участвуют очень активным образом. Какая это задача? Мы написали уравнение теплового баланса земли: Солнце нагревает Землю, часть тепла поглощается, часть излучается, часть уходит в космическое пространство. Написали уравнение водного баланса, уравнение динамики речного стока, а также уравнение баланса диоксида углерода за счет выделения его с океанов или с суши. Таким образом, получили простую нелинейную систему.

Ведь надо учитывать такие важнейшие климатические параметры, как альбедо - функция увлажненности. Альбедо болот, например, в несколько раз меньше, чем альбедо пустынь. И это хорошо просматривается по спутниковым данным, в соответствии с которыми у пустыни Сахара очень высокое альбедо. Так вот, оказалось, что по мере увлажнения суши тоже возникает положительная обратная связь. Увлажненность растет, планета сильнее разогревается, океаны больше испаряют, больше влаги попадает на сушу, влажность снова растет. Данная положительная связь известна в климатологии. А вторую положительную связь я уже называл при анализе динамики колебаний уровня Каспийского моря.

Очень важно, что эта система может быть сведена к системе нелинейных осцилляторов, типа осцилляторов Дюффинга или Ван дер Поля, а тепловой режим планеты здесь фигурирует в качестве вынуждающей силы для этих осцилляторов. Так вот, оказалось, что решение этих уравнений может иметь сложный непредсказуемый характер - хаотический характер, как говорят специалисты в области нелинейной динамики и других нелинейных задач.

На рисунке это хорошо видно. Здесь рассмотрены две траектории по реализации глобальной температуры приземного слоя атмосферы. Мы видим, что на каком-то отрезке времени траектории начали расходиться. По существу мы получили при одних и тех же условиях две реализации. Эта существенная зависимость решения от начальных условий говорит как раз о хаосе в этих системах.

Что здесь еще важно? Мы видим, что возможны резкие колебания. Если в начале колебания составляли около 16 градусов

среднегодовой температуры приземного слоя атмосферы, то по мере развития событий получаются колебания уже от 14 до 17 градусов. Это очень сильные колебания. Здесь возникает такой даже эффект. Мы хорошо знаем эффект синхронизации генераторов. Например, Гюйгенс в письмах к отцу писал, что наблюдал синхронизацию двух часов, повешенных на стене, разделяющей две комнаты: слабая связующая сила связывала эти часы, и они шли в унисон. Таким образом, и здесь, возможно, присутствуют эффекты синхронизации. Что это значит? Если все материки работают на увлажнение, то планета начинает разогреваться, т.е. происходит потепление климата. Если они работают на усушение, планета начинает охлаждаться, т.е. возникают ледниковые эпохи. Причем у нас получилось, что экспериментальная размерность этого аттрактора, вычисленная на основе эксперимента, поставленного климатологами Николи- сами, совпала с нашей размерностью, которую мы вычислили теоретически. И что здесь важно? Что климат неразрывно связан с гидрологическими процессами на суше. Значит воды суши - такой же полноправный участник климатического спектакля, как океан, атмосфера и криосфера. Это неразрывно связанные между собой компоненты. И вот на рисунке показан ''странный аттрактор4. Есть такое стационарное состояние этой системы, вернее, его проекция на плоскость в переменных температуры и зависимость производной температуры от времени. Мы видим, что некоторое время температура находится где-то около 16 градусов. Если продолжать дальнейшее развитие, то температура может понизиться и до 14 градусов. Она здесь показана, но время пребывания системы в этом состоянии оказалось меньше, чем время пребывания в другом состоянии системы.

Хочу подчеркнуть следующее. Почему здесь эффект Харста справедлив? Академиком В.В. Козловым показан такой эффект, что у уравнения Дюффинга может быть бесконечное число длиннопериодических решений с любым периодом, т.е., низкочастотных решений. Так вот там, где уравнение Дюффинга имеет такое поведение, как раз возникают эти долгие периодические решения, медленные процессы. И вот спектр, построенный для такой реализации, как раз отражает этот эффект.

И еще нужно сказать, что изменение климата в нашей модели является естественными, т.е., без учета антропогенного эффекта. Потому что, на мой взгляд, всякие модели должны объяснять прошлое и будущее, а потом их на основе нужно принимать какие-то политические решения - типа Киотского протокола.

А.Г. То есть вероятность потепления или похолодания больше, чем вероятность стабильного развития ситуации в любой...

В.Н. Да. Я хочу здесь добавить очень важный момент, который иногда опускается. Если бы у климата не было никаких причин его изменения, всё было бы cnyua访но. И температура бы стояла около отметки плюс 15, тогда вероятность достижения потепления без полярных шапок была бы ненулевая, такое состояние было в меловом периоде. Состояние мелового периода: теплые океаны и влажный климат. Но вероятность возникновения тех ледниковых эпох на Земле 一 тоже ненулевая, значит, причины изменения климата есть. И они пока еще, не познаны, но все модели, о которых мы говорили, и в том числе модель Харста, допускают проверку. Можно построить математически более сложные модели 一 или подтвердить нашу теорию, или опровергнуть. Так, собственно говоря, на наш взгляд, и должна развиваться наука.

А.Г. Мне очень нравится, что у вас теория не антропоморфна. Потому что человек все-таки слишком многое о себе возомнил...

Литература

Авакян А.Б., Полюшкин А.А. Наводнения. Подписная научно-популярная серия Науки о Земле. 1989. № 7.

Авенариус И.Г., Муратова М.В., Спасская И.И. Палеогеография Северной Евразии в позднем плейстоцене - голоцене и географический прогноз. М.: Наука, 1978.

Агаян Г.М., Мохов И.И. Относительный вклад климатических переменных в формирование потока уходящей тепловой радиации // Метеорология и гидрология. 1984. № 10. С. 38-44.

Агрогидрологические свойства почв северо-западных районов ЕТС. Л.: Гидрометеоиздат, 1979.

Азбелев Н.В. О границах применимости теоремы С.А. Чаплыгина // Докл. АН СССР. 1953. Т. 89, № 4. С. 589-591.

Айвазян С./. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968. 227 с.

Алексаполъский Н.Б., Найденов В.И. Критические явления при неизотермическом течении вязкой жидкости по трубам // Теплофизика высоких температур 1979. Т. 4. С. 783-790.

Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

Аполлов Б.А. Каспийское море и его бассейн. М., 1956. 120 с.

Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 127 с.

Архипова Е.Г. Об испарении на Каспийском море // Тр. ГОИН. 1955. Вып. 1. С. 3-20.

Архипова Е.Г. Возможные изменения термического режима Каспийского моря в связи с понижением его уровня // Тр. Океанографической комиссии АН СССР. 1959. Т. 5. С. 79-85.

Архипова Е.Г., Макарова Р.Е., Крюков В.В. Многолетние изменения испарения на Каспийском море // Тр. ГОИН. 1975. Вып. 125. С. 86-94.

Бабский В.Г., Мышкис АД. О монотонности изменения первого собственного значения для одного класса несамосопряженных задач гидродинамической устойчивости // Задачи механики и математической физики. М.: Наука. 1976. С. 21-30.

Баканов К.Г. Многолетний режим озера Ханка: Дис. ... канд. техн. наук. ИВП РАН, 1988. 127 с.

Баренблатт Г.И., Козырев Ю.И., Малинин Н.И. и др. О виброползучести полимерных материалов // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, № 4. С. 813-816.

Берг Л. С. Уровень Каспийского моря за историческое время // Избранные труды. М., 1971. Т. 3. С. 282-326.

Блохинов Е.Г. Распределение вероятностей величин речного стока. М.: Наука. 1974. 169 с.

Бовыкин И. В. О вычислении характеристик выбросов случайной последовательности 〃 Вопросы гидрологии суши. Л.: Гидрометеоиздат. 1978. С. 49-53.

Бовыкин И. В. Расчет характеристик выбросов гидро логиче ских рядов с независимыми членами // Тр. ГГИ. 1980. Вып. 264. С. 73-82.

Боголепов М.А. Периодические возмущения климата. М.: Новая деревня. 1928. 64 с.

Болгов М.В., Писаренко В. Ф. О распределении максимальных расходов воды рек Приморья // Водные ресурсы. 1999. Т. 26, № 6. С. 710-721.

Борзенкова И. И. О природных индикаторах современного глобального потепления // Метеорология и гидрология. 1999. № 6. С. 98-110.

Бостанджиян С.А., Мержанов А.Г., Худяев С.И. О гидродинамическом тепловом взрыве 〃 Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, № 1. С. 133-136.

Бреховских В.Ф., Братков В.И. О влиянии стратификации в приповерхностном слое воды на интенсивность газообмена между атмосферой и водой // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21, № 11. С. 1198-1205.

Будыко М.И. Изменение климата. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 325 с.

Будыко М.И., Юдин М.И. О колебаниях уровня непроточных озер // Метеорология и гидрология. 1960. № 8. С. 15-19.

Булинская Е.В. О среднем числе пересечений некоторого уровня стационарным гауссовским процессом // Теория вероятностей и ее применения. 1961. Т. 6, №4.

Бялко А.В. Солнце-Земля: клубок гипотез // Природа. 1994. № 2. С. 43-48.

Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Мир, 1990. 376 с.

Варущенко С.И., Варущенко А.Н., Клиге Р.К. Изменение режима Каспийского моря и бессточных водоемов в палеовремени. М.: Наука. 1987. 240 с.

Васъковский М.Г. Многолетний режим озера Ханка. М.: Наука, 1978.

Величко А.А. Природный процесс в плейстоцене. М.: Наука, 1973.

Вериго С.А., Разумова Л.А. Почвенная влага. Л.: Гидрометеоиздат, 1973.

Вершинин П.В., Мельникова М.К., Мичурин Б.Н., Мошков Б.С. и др. Основы агрофизики. М.: Физматгиз. 1959. 903 с.

Винников К.Я., Гриб Н.К., Поляк И.И. Методика расчета корреляционных функций и спектров временных метеорологических рядов // Тр. ГГО, 1973. Вып. 308.

Винников К.Я., Лемешко Н.А. Влагосодержание почвы и сток для территории СССР при глобальном потеплении // Метеорология и гидрология, 1978, № 12.

Во Вань Лань, Пивоваров А.А. Расчет годового хода турбулентного обмена и температуры воды в море // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. Т. 10, № 9. С. 976-984.

Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнениях математической физики. М.: Наука, 1975.

Вольтер Б.В. О нечетности стационарных состояний открытых систем // ТОХТ. 1990. Т. 21, № 6. С. 853-856.

Восканян А.Г., Пивоваров А.А., Хунджуа Г.Г. Экспериментальные исследования температурного режима и турбулентного теплообмена в поверхностном слое моря // Океанология. 1970. Т. 10, № 4. С. 588-595.

Воскресенский К.П. Норма и изменчивость годового стока рек Советского Союза. Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 544 с.

Вулис Л.А., Генкина А.Л., Фоменко Б.А. Теория и расчет магнитогазодинамических течений. М.: Атомиздат, 1971. 384 с.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 526 с.

Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2. С. 87-158.

Гинзбург А.И., Федоров К.Н. О вкладах солености и температуры в конвективную неустойчивость при испарении морской воды // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15, № 8. С. 886-889.

Гинзбург А.И., Федоров К.Н., Власов В.Л. Об осолонении приповерхностного слоя морской воды при испарении // Докл. АН СССР 1978. Т. 243, № 3. С. 767-770.

Гинзбург А.И.,Дикарев С.Н., Зацепин А.Г., Федоров К.Н. Феноменологические особенности конвекции в жидкостях со свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 19 81. Т. 17, № 4. С. 400-407.

Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

Глобус А.М. Почвенно-гидрофизическое обеспечение агроэкологических математических моделей. Л., 1987.

Голицын Г. С. Нужна ли переброска воды в Каспий // Природа. 1987. № 3. С. 66-72.

Голицын Г. С. Парниковый эффект в изменениях климата // Природа. 1990. № 7. С. 17-24.

Голицын Г.С., Панин Г.Н. О водном балансе и современных изменениях уровня Каспия // Метеорология и гидрология. 1989. № 1. С. 57-64.

Голосов С.Д., Крейман К.Д. Теплообмен и термическая структура системы вода-донные отложения //Водные ресурсы. 1992. № 6. С. 12-18.

Голубцов В.В., Жиркевич А.Н. Водный баланс оз. Балхаш и динамика его элементов в естественных условиях и при проведении в бассейне водохозяйственных мероприятий // Тр. КазНИГМИ. 1973. Вып. 50.

Гончаров Г.А. Вторжение азиатских кочевников и солнечные циклы // Природа. 1994. № 2. С. 26-29.

Григорян С. С. Об осреднении физических полей // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 4. С. 846-850.

Груза Г., Ранькова 3. Климат России: потепление продолжается // Наука и жизнь. 2003. № 11. С. 56-61.

Гумилев Л.Н. Колебания увлажненности Арало-Каспийского региона в голоцене // М.: Наука, 1980. С. 32.

Данило в-Данилъян В. И. Устойчивое развитие (Теоретико-методологический анализ) // Экономика и математические методы. 2003. Т. 39, № 2. С. 123-135.

Давыдов Л.К. // Метеорология и гидрология. 1946. № 5. С. 54-59.

Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика. 1981. 302 с.

Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 636 с.

Дмитриев А.С. Хаос, фракталы и информация // Наука и жизнь. 2001. № 5. С. 44-52.

Дмитриев А.С., Кислов В.Я., Спиро А.Г. Хаотические колебания в неавтономном генераторе с реактивной нелинейностью // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 12. С. 2430-2439.

Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Странный аттрактор в неавтономном уравнении Ван-дер-Поля // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, № 12. С. 24542456.

Добровольский С.Г. Климатические изменения в системе "Гидросфера - атмосфера". М.: ГЕОС, 2002. 231 с.

Довбыш С.А. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы 〃 УМН. 1989. Т. 44, № 5. С. 229-230.

Дружинин И.П., Смага В.Р., Шевнин А.Н. Динамика многолетних колебаний речного стока. М.: Наука. 1991. 174 с.

Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. М.: Наука. 1994. 253 с.

Евстигнеев В.М., Акименко Т.А., Евсеева Л. С. // Проблемы гидрологии и гидроэкологии. М.: Изд-во МГУ, 1999. Вып. 2. С. 95.

Ефимова Н.А. Радиационные факторы продуктивности растительного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

Журбенко И.Г., Кожевникова И.А. О сравнительных характеристиках статистик спектральных плотностей стационарных случайных процессов // Проблемы передачи информации. 1982. Т. 28. Вып. 1. С. 64-77.

Журбенко И.Г., Кожевникова И.А. Стохастическое моделирование процессов. М.: Изд-во МГУ, 1990. 147 с.

Завьялов П., Костяной А., Сапожников Ф. Экспедиция на Арал: первые результаты // Наука и жизнь. 2003. № 4. С. 14-15.

Исмайылов Г.Х., Федоров В.М. Оценка степени нестационарности временных рядов годового стока рек // Труды конференции "Современные проблемы стохастической гидрологии". М.: ИВП РАН. 2000. С. 53-57.

Каганов С.А. Об установившемся ламинарном течении несжимаемой жидкости в плоском канале и круглой цилиндрической трубе с учетом теплоты трения и зависимости вязкости от температуры // Прикладная механика и техническая физика. 1962. № 3. С. 96-99.

Капица С.П. Математическая модель роста народонаселения мира // Математическое моделирование. 1992. Т. 4, № 6. С. 65-79.

Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997. 284 с.

Кара-Богаз-Гол. Вчера, сегодня, завтра. Ашхабад, 1988. 340 с.

Карпычев Ю.А. Колебания уровня Каспийского моря в историческое время // Водные ресурсы. 2001. Т. 28. № 1. С. 5-17.

Каспийское море. (Отв. ред. Байдин С.С., Косарев А.Н.) М.: Наука, 1986. 261 с.

Келлер Г.В. Некоторые позитонные задачи, выдвигаемые нелинейной теорией генерации тепла // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 129-151.

Кислов А.В. Основы теории палеоклиматов плейстоцена и голоцена // Глобальные изменения природной среды (климат и водный режим). М.: Научный мир. 2000. С. 15-61.

Клиге Р.К., Воронов А.И., Селиванов А.О. Формирование и многолетние изменения водного режима Восточно-Европейской равнины. М., 1993. 129 с.

Клименко В. В. Мониторинг динамики глобальных климатических процессов // Тр. Международной конференции. Математические и физические методы в экологии и мониторинге природной среды. М., 1998. С. 43-53.

Кожевникова И.А. Исследование статистических свойств оценок параметров смеси распределений с примерами из гидрологии 〃 Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т. 4. Вып. 3. С. 483-498.

Кожевникова И.А, Вероятностные характеристики Мандельброта гидрологических временных рядов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т. 4. Вып. 3. С. 353-355.

Кожевникова И.А., Найденов В.И. Критерий проверки адекватности регрессионной модели и натурных данных на примере Каспийского моря. Статистические методы оценивания и проверки гипотез // Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1995. С. 284.

Кожевникова И.А., Найденов В.И. Нелинейная стохастическая модель колебаний уровня Каспийского моря // Водные ресурсы. 1998. Т. 25, № 6. С. 661-670.

Козлов В.В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // УМН. 1986. Т. 41, № 5. С. 177-178.

Колебания уровня Каспийского моря 〃 Тр. океанографической комиссии. М.: АН СССР. 1959. Т. 2.

Колесник С.В. Общие географические закономерности Земли. М., 1970.

Колмогоров А.Н. И ДАН СССР. 1940. Т. 26, №2. С. 115-118.

Колмогоров А.Н. Оценки спектральных функций случайных процессов // Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986. С. 458-467.

Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986. С. 255-263.

Колмогоров А.Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве // Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986. С. 215-255.

Кондратьев К.Я. Изменения глобального климата: реальность, предположения и вымыслы // Исследования Земли из космоса. 2002. № 1. С. 3-23.

Космические исследования Земли как экологической системы и воздействия человека на эту систему, программа ЭКОС: версия 2. М., 1995. 72 с. (Препр. ИКИ РАН. № 1907).

Котляков В.М., Клиге Р.К., Захаров В.Г. Глобальные циклы климатических изменений и оледенение Антарктиды // Глобальные изменения природной среды (климат и водный режим). М.: Научный мир, 2000. С. 70-90.

Крейн М.Г. О несимметричных осцилл5щионных функциях Грина обыкновенных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1939. Т. 25, № 8. С. 643-646.

Крейн М.Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных линейных дифференциальных операторов произвольного порядка // Докл. АН СССР. 1939. Т. 25, №9. С. 717-720.

Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, составляющие инвариантный конус в пространстве Банаха // УМН. 1948. Т. 3. Вып. 1(23). С. 3-96.

Крицкий С.Н., Коренастое Д.В., Раткович Д.Я. Колебания уровня Каспийского моря. М.: Наука. 1975. 157 с.

Крицкий С.Н., Менкелъ М.Ф. Некоторые положения статистической теории колебаний уровней естественных водоемов и их применение к исследованию режима Каспийского моря // Тр. Первого совещания по регулированию стока. М.: Изд-во АН СССР. 1946. С. 76-97.

Крицкий С.Н., Менкелъ М.Ф. Расчеты речного стока. М.: Госстройиздат, 1934. Ч. 1. 260 с.

Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет. 2000. 352 с.

Крутова Н.М., Найденов В.И. Что происходит с бессточными озерами? Новый нелинейный механизм колебаний уровня воды // YTSM'96: "Молодежь и наука - третье тысячелетие". Тр. Международного конгресса. М.: НТА "Актуальные проблемы фундаментальных наук", 1997. Т. 2. С. 44-45.

Кузин П.С. Циклические колебаний стока рек Северного полушария. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. 179 с.

Кузнецов П.И., Стратонович РЛ., Тихонов В.И. Воздействие электрических флуктуаций на ламповый генератор // ЖЭТФ. 1955. Т. 28. Вып. 5. С. 509.

Кукса В.И. Южные моря (Аральское, Каспийское, Азовское и Черное) в условиях антропогенного стресса. С.-Петербург: Гидрометеоиздат, 1994. 320 с.

КучментЛ.С. Математическое моделирование речного стока. Л.: Гидро- метеоиздат, 1972. 191 с.

Кучмент Л.С., Гельфан А.Н. Динамико-стохастические модели формирования речного стока. М.: Наука. 1993. 103 с.

КучментЛ.С., Демидов В.Н., Мотовилов Ю.Г. Формирование речного стока. М.: Наука, 1973. 216 с.

Кучмент Л. С., Поюровский Л.В. Эффект Херста в многолетних колебаниях уровня Каспийского моря // Метеорология и гидрология. 1998. № 5. С. 73-79.

Ланда 77.С., Розенблюм МТ. Автоколебания в живых организмах // Природа. 1992. № 8. С. 18-27.

Лапшин В.Б., Рагулин И.Г. О коэффициенте поверхностного натяжения воды океана // Метеорология и гидрология. 1990. № 11. С. 108-109.

Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.: Наука, 1982.

Лихтенберг А, Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

Лоренц Э.Н. Предсказуемость климата. Физические основы теории климата и его моделирование // Тр. Международной научной конференции. Стокгольм. 29 июля - 10 августа 1974 г. Л.: Гидрометеоиздат, 1977. С. 270.

Луканг Ли. Анализ катастрофических наводнений в бассейне р. Янцзы в 1998 году // Генеральные доклады по проблемам экологического оздоровления великих рек Мира. Нижний Новгород: НГАСУ, 1999. Т. 1.

Ляхин Ю.И. Оценка скорости обмена СО2 между морской водой и атмосферным воздухом // Океанология. 1975. Т. 15. Вып. 3. С. 458-464.

Макарьева А.М., Горшков В.Г. Парниковый эффект и проблема устойчивости среднеглобальной температуры земной поверхности // Докл. РАН. 2001. Т. 376, №6. С. 810-814.

Малахов А.Н. // Радиотехника и электроника. 1959. 4. Вып. 1, № 54. С. 54- 62.

Малинецкий ГП, Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Вестник РАН. 2001. Т. 71, № 3. С. 210-232.

Мануйлова Н.И., Мохов И.И., Петухов В.К. Оценка влияния характеристик гидрологического цикла на чувствительность глобального климата к антропогенным воздействиям // Метеорология и гидрология. 1992. № 8. С. 44-51.

Матвеев Л. Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: Гидро- метеоиздат, 1976. 640 с.

Монин А.С. История Земли. Л.: Наука. 1977. 228 с.

Моретт ⑦.Экваториальная восточная и южная Африка. М., 1951.

Московкин В.М., Есин Н.В. Оптимальное управление абразионным процессом // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, № 3. С. 731-734.

Московкин В.М., Назаренко В.В. Устойчивость берегов в условиях управления пляжеобразующим материалом // Геологический журн. 1989. № 6. С. 97102.

Мохов И.И. Диагностика структуры климатической системы. С.-Петербург: Гидрометеоиздат, 1993. 271 с.

Музылев С.В. Теоретико-вероятностный анализ колебаний уровня замкнутого водоема // Водные ресурсы. 1980. № 5. С. 21-40.

Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с.

Мухенберг В.В. Альбедо поверхности суши земного шара // Тр. ГГО, 1967. Вып. 193.

Мучник Г.Ф. Как воспользоваться упорядоченным беспорядком // Химия и жизнь. 1985. № 5. С. 30-35.

Найденов В.И. Об интегральных уравнениях, описывающих распределение температуры в плоском течении неньютоновских сред // Прикладная механика и техническая физика. 1983. № 5. С. 103- 109.

Найденов В.И. О вязкостном взрыве в неизотермическом потоке несжимаемой жидкости // Теплофизика высоких температур. 1984. Т. 22, № 3. С. 501-506.

Найденов В.И. Стационарная теория вязкостного взрыва в ньютоновских средах // Инж.-физ. журн. 1984. Т. 46, № 5. С. 837- 845.

Найденов В.И. Конвективно-тепловая неустойчивость движения вязкой жидкости в круглой трубе // Теплофизика высоких температур. 1986. Т. 24, № 1.С. 82- 87.

Найденов В.И. Бифуркация автомодельного неизотермического движения вязкой жидкости // ТОХТ. 1987. Т. 21, № 2. С. 215- 221.

Найденов В.И. О нелинейных уравнениях автомодельного неизотермического движения вязкой жидкости // Журн. вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28, № 12. С. 1884-1896.

Найденов В.И. Нелинейная модель колебаний уровня Каспийского моря // Математическое моделирование. 1992. Т. 4, № 6. С. 50-64.

Найденов В.И. Почему меняется уровень Каспия? // Природа. 1992. № 1. С. 68-74.

Найденов В.И. О халлинной конвекции Марангони // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1992. Т. 28, № 1. С. 101-106.

Найденов В.И. Нелинейные стохастические проблемы колебаний уровня бессточных водоемов // Тр. Международной конференции. Современные проблемы стохастической гидрологии. М., 2001. С. 234-237.

Найденов В.И. Гидрология суши: новый взгляд // Вестник РАН. 2001. Т. 71, №5. С. 405-414.

Найденов В.И., Карлов С.П. Математические методы в гидрологии и экологии Каспийского моря // Тр. Международной конференции. Математические и физические методы в экологии и мониторинге природной среды. М., 2001. С. 389-392.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Предсказуем ли уровень моря? // Природа. 1994. №5. С. 4-11.

Найденов В.И., Кожевникова И.А., Крутова Н.М. Что происходит с бессточными озерами? Новый механизм колебаний уровня воды // Наука и технология в России. 1995. № 9-10. С. 9-10.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Эффект Харста в нелинейных процессах влагопереноса // ТОХТ. 1999. Т. 34, № 6. С. 30-33.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Гидрофизический механизм эффекта Харста 〃 Докл. РАН. 2000. Т. 373, № 1. С. 10-12.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. О нелинейных колебаниях уровня Каспийского моря и глобального климата // Докл. РАН. 2001. Т. 378, № 1. С. 51-57.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Эффект Харста в геофизике // Природа. 2000. № 1. С. 3-11.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. // О степенном законе катастрофических наводнений // Докл. РАН. Механика. 2002. Т. 386, № 3.

Найденов В.И., Кожевникова ИЛ. Хаотическая динамика гидросферы и климата // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 3. С. 385-390.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Почему так часто происходят наводнения? // Природ. 2003. № 9. С. 12-20.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Математические модели эффекта Харста // Природа. 2002. С. 44-58.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. Математические модели численности населения Земли // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 5. С. 591-596.

Найденов В.И., Кожевникова И.А. О предельной численности населения Земли // Научный альманах. А. Гордон. 2003, № 1. С. 43-48.

Найденов В.И., Крутова Н.М. Исследование многолетних колебаний уровня Каспийского моря на основе теории стохастических дифференциальных уравнений // Водные ресурсы. 2002. Т. 29, № 3. С. 299-310.

Найденов В.И., Крутова Н.М. Тепловая неустойчивость испарения // ТОХТ. 2003. Т. 37, № 5. С. 23-28.

Найденов В.И., Подсечин В.П. О нелинейном механизме колебаний уровня водоемов // Водные ресурсы. 1992. № 6. С. 5-11.

Найденов В.И., Полянин А.Д. О некоторых нелинейных конвективно-тепловых эффектах в теории фильтрации и гидродинамике // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, № 3. С. 575- 579.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Земные причины водных циклов // Природа. 1997. № 5. С. 19-30.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Динамика многолетних колебаний речного стока и климат // Водные проблемы на рубеже веков. М.: Наука, 1999. С. 28-54.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Проблемы нелинейной гидрологии // Журн. Рос. хим. об-ва им. Д.И. Менделеева. Сер. Новые идеи и гипотезы. 1998. Т. 42, №3. С. 102-116.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Динамика многолетних колебаний речного стока и климат // Юбилейный сборник трудов "Водные проблемы на рубеже веков". М.: ИВП РАН, 1999. С. 28-54.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Водный механизм глобального потепления климата Земли // Глобальные изменения природной среды (климат и водный режим). М.: Научный мир. 2000. С. 161-170.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Вода же усиливалась и умножалась на Земле // Наука в России. 2000. № 5. С. 42-49.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Нелинейные стохастические модели динамики поверхностных вод суши // Тр. Международной конференции «Современные проблемы стохастической гидрологии». М., 2001. С. 221-224.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Нелинейные модели колебаний речного стока // Водные ресурсы. 2002. Т. 29, № 1. С. 62-67.

Найденов В.И., Швейкина В.И. Нелинейные модели колебаний уровня Каспийского моря // Водные ресурсы. 2002. Т. 29, № 2. С. 179-186.

Найденов В.И., Швейкина В.И., Вихрова М.А. Вероятностные закономерности катастрофических наводнений // Метеорология и гидрология. 2003. № 6. С. 81-95.

Найденов В.И., Юшманова О.О. О зависимости скорости испарения от глубины водоема // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т. 32, № 1. С. 125.

Нас было 80 миллиардов. А сколько будет? // Наука и жизнь. 1989. № 4. С. 50-54.

Нежиховский Р.А. Вопросы гидрологии реки Невы и Невской губы. Л.: Гидрометеоиздат. 1988.

Николас Г, Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Наука, 1983. 512 с.

Николае Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. 342 с.

Осипов В.И. Природные катастрофы на рубеже XXI века // Вестник РАН. 2001. Т. 71, №4. С. 291-302.

Панин Г.Я. Испарение и теплообмен Каспийского моря. М.: Наука, 1987.

Панин Г.Н., Дзюба АВ, Осипов А.Г. О возможных причинах изменения испарения за последнее десятилетие в районе Каспийского моря // Водные ресурсы. 1991. № 3. С. 5-17.

Перов А.И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Изв. вузов. Математика. 1965. № 4. С. 104-112.

Петренко И.В. Исследование механизма становления свободной конвекции в охлаждающейся с поверхности жидкости: Автореф. дис. ... канд. физ.- мат. наук. М.: МГУ. 1990. 19 с.

Пивоваров А.А. Термика океана. М.: МГУ. 1979. 208 с.

Покровская И.В., Шарков Е.А. // Докл. РАН. 1993. Т. 331, № 5. С. 625627.

Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

Полюшкин Ю.В., Ларионов Н.В., Мартынов В.Д. Периодичность засух и колебаний прироста деревьев на юге Тюменской области // Долгосрочные прогнозы природных явлений. Новосибирск: Наука, 1977. С. 83-92.

Померанец КС Наводнения в устье Невы // Природа. 1993. № 10. С. 9-19.

Привалъский В.Е. Колебания уровня бессточного водоема и их оптимальный вероятностный прогноз // Водные ресурсы. 1981. № 6. С. 5-21.

Пригожин И.И. Переоткрытие времени // Вопросы философии. 1989. № 8. С. 3-19.

Пригожин И., Стенгере И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. М.: ЭДИТОРИАЛ, 2000. 239 с.

Прогнозы о "тепловой угрозе" не оправданы? // Наука в России. 1999. № 3. С. 12.

Пущаровский Ю.М, Нелинейная геодинамика и геология // Природа. 1998. №6. 12-18 с.

Раткович Д.Я., Жданова ИС, Привалъский В.Е. К проблеме уровенного режима Каспийского моря // Водные ресурсы. 1973. № 3.

Раткович Д.Я. Многолетние колебания речного стока. Л.: Гидрометео- издат, 1976. 256 с.

Раткович Д.Я. Гидрологические основы водообеспечения // М.: Наука, 1993. 428 с.

Раткович Д.Я. Кто нажимает на "спусковой механизм" - небесная канцелярия или сам человек? // Новая газета. 1-3 июля 2002.

Ратнер С.Б., Коробов В.И. Саморазогрев полимеров при многократной деформации // Докл. АН СССР. 1965. Т. 161, № 4. С. 1824-1827.

Родионов С.Н. Основные этапы в ходе уровня Каспийского моря и их связь с изменениями климата за последние тысячелетия // Тр. ГОИН. 1991. Вып. 183. С. 24-36.

Родионов С.Н. Современные изменения климата Каспийского моря. М.: Гидрометеоиздат, 1989. 123 с.

Родионов С.Н., Синицин В.А. Об изменении структуры многолетних колебаний температуры воды и ледовитости Каспийского моря // Тр. ГОИН. 1991. Вып. 183. С. 41-48.

Рождественский А.В., Ежов А.В., Сахарюк А.В. Оценка точности гидрологических расчетов. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. 276 с.

Руководство по определению агрогидрологических свойств почв на гидрометеостанциях. Л.: Гидрометеоиздат, 1964.

Румянцев В.А., Бовыкин И.В. Пространственно-временные закономерности колебаний стока рек Евразии. Л.: Наука, 1985. 148 с.

Румянцев В.А., Бовыкин И.В. Многомерные распределения вероятностей и их применения в гидрологии. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1994. 135 с.

Рытое С.М. Случайные процессы. М.: Физматгиз, 1976.

Самарский А.А. Нелинейные явления и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1985. № 9.

Сарманов О.В. Исследование стационарных марковских процессов методом разложения по собственным функциям // Тр. МИАН М.: Наука, 1961. С. 239-261. '

Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 463 с.

Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 456 с.

Севастьянов Д.В. Озера - индикаторы колебаний увлажненности // Человек и стихия. Л.: Гидрометеоиздат. 1992. С. 126-131.

Сеидов Д.Г. Синергетика океанских процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 287 с.

Семенов В.А. Диагностика и моделирование множественных региональных климатических режимов: Дис. ... канд. физ-мат. наук. Ин-т физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН. М., 1998. 108 с.

Семенов С.М., Гельвер Е.С. Климатические изменения годовой суммы осадков и частоты измеренных осадков на территории России и соседних стран в XX веке // Докл. АН. 2003. Т. 393, № 6. С. 818-821.

Сергин В.Я., Сергин С.Я. Системный анализ проблемы больших колебаний климата и оледенения Земли. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 279 с.

Синицын В.М. Введение в палеоклиматологию. Л.: Наука, 1967.

Скульский О.И., Славное Б.В. Неоднозначность расходно-напорной характеристики при неизотермическом течении степенной жидкости в трубе 〃 Тез. докл. II Всесоюз. конф, по механике аномальных систем. Баку. 1977. С. 61.

Соколов Б.Л., Завилейский С.В., Морунич С.В. // Метеорология и гидрология. 1994. № 10. С. 82-91.

Соколовский Д.Л. Гидрологические и водохозяйственные расчеты при проектировании малых ГЭС //Тр. ГГИ. 1946. 180 с.

Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука. 1985. 640 с.

Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Советское радио, 1961. 250 с.

Стратонович РЛ., Ланда П.С. Воздействие шумов на генератор с жестким возбуждением // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 21. С. 37.

Томпсон Дж. М.Т Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 254 с.

Труды Закавказского НИГМИ, Л.: Гидрометеоиздат. 1974. Вып. 59 (65). 257 с.

Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971. 463 с.

Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.: Наука, 2000.

Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967.

Фролов А.В. Динамико-стохастические модели многолетних колебаний уровня проточных озер. М.: Наука, 1985. 103 с.

Фролов А.В. Нелинейные модели для оценки плотности распределения вероятности многолетних колебаний уровня Каспийского моря // Метеорология и гидрология. 2002. № 1. С. 59-73.

Хакен Г. Синергетика: иерархия и неустойчивости в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. 230 с.

Хорн А. Морская химия. Структура воды и химия гидросферы. М.: Мир, 1972.

Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. 400 с.

Христофоров А.В. // Водные ресурсы. 1995. Т. 22, № 3. С. 324-329.

Христофоров А.В., Круглова Г.В., Самборский Т.В. Стохастическая модель колебания речного стока в паводочный период. М.: Изд-во МГУ, 1998. 146 с.

Хубларян М.Г., Добровольский С.С, Найденов В.И. Оценка возможных изменений речного стока вследствие изменений глобального климата // Всемирная конференция по изменению климата. Тез. докл. М., 2003. С. 254.

Хубларян М.Г., Найденов В.И. О тепловом механизме колебаний уровня водоемов // ДАН СССР. 19 91. Т. 319, № 6. С. 1438-1444.

Хубларян М.Г., Найденов В.И. Нелинейная теория колебаний уровня природных водоемов // Воды суши: проблемы и решения. М., 1994. С. 193-216.

Хубларян М.Г., Найденов В.И., Крутова Н.М. Анализ колебания уровня водоемов на основе нелинейных моделей // ДАН. 1996. Т. 351, № 4. С. 539-543.

Худяев С. И. Критерий разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148, № 1. С. 44-46.

Худяев С. И. О краевых задачах для некоторых эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1964. Т. 154, № 4. С. 787-790.

Худяев С.И. Математическая теория теплового взрыва. Препринт. Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1984.

Чеботарев Н.П. Учение о стоке. М.: Изд-во МГУ, 1962. 406 с.

Шелутко В.А. К вопросу о дальних внутрирядных связях процессов среднего годового стока // Метеорология и гидрология. 1976. № 4. С. 102-108.

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 528 с.

Штейнхорн И., Гат Д.Р. Мертвое море//В мире науки.1983.№ 12. С. 48-57.

Юдович В.И. Вторичные течения и неустойчивость течения жидкости между вращающимися цилиндрами // Прикл. матем. и механ. 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 688- 698.

Яблонские И.С. Влияние морфометрических показателей озера на формирование поверхностной температуры воды // Гидрофизика и гидрология водоемов. Новосибирск: Наука. 1987. С. 75-80.

Яглом А.М. Введение в теорию стационарных случайных функций // УМН. Т. 7. Вып. 5(51). 1952. С. 3-168.

Anderson P.L., Meerschaert М.М. Modeling river flows with heavy tails // Water Res. Res. 1998. Vol. 34, N 9. P. 2271-2280.

Armstrong A.C. On the fractals imensions of some transient soil properties I I J. Soil. Sci. 1986. Vol. 37. P. 641-652.

Assaf G., Nissenbaum A. The evolution of the upper water mass of the Dead Sea: 1819-1976 // Proc, from the Int. Conf, on Desertic Terminal Lakes. Utah State Univ., Logan, Utah. 1977.

Bak 尸.，Tang C., Wiesenfeila K. Self-organized criticality // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 3 8, N 1. P. 364-374.

Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Revue g^nerale des Science pures et appliquees. 1900. Vol. 11. P. 1261-1309.

Bras R., Rodrigues-Iturbe J. Random function and hydrology. L.: Addison-Wesley, 1985. 559 p.

Bruno R, Raspa G. Geostatistical characterization of fractal models of surfaces // Geostatistics. 1989. Vol. 1. P. 77-89.

Burrough PA. Multiscale sources of spatial variation of soil. 1. The application of fractal concept to nested levels //J. Soil Sci. 1983. Vol. 34. P. 577-597.

Cess R.D. Biosphere-albedo feedback and climate modelling //J. Atmos. Sci. 1976.

Vol. 35.、

CLIMAP Project Members. The surface of the ice-age earth. 1976. Vol. 191. P. 1765-1768.

Cox D.R. Statistical analysis of time series: some recent developments // Scand. J. Stat., 1981. Vol. 8. P. 93-115.

Currie /.G. The effect of heating rate on the stability of stationary fluids // J. Fluid Meeh. 1967. Vol. 29, Pt. 2. P. 337-347.

D'AgostinoR.В. An omnibus test of normality for moderate and large size samples // Biometrika. 1971.1. 58. Pt. 2. P. 341-348.

Delworth T.L., Manabe S. influence of potential evaporat the variabilities of simulated ness and climate // J. Climate. Vol. 1. N 5.

Dooge J.C.L // Mathematical models ofhydrologic systems // International Symposium on Modeling Techniques in Water Resources Systems. Ottawa, 1972. Vol. l.P. 171-189.

Fauve S., Idbchaber A. Rayleigh-Benard experiment in a low Prandtl number fluid // Springer Series in Synergetics. Vol. 11. Berlin: Springer-Verlag. 1981. P. 25.

Feller 屮.〃 Ann. Math. Statist., 1951. Vol. 22. P. 427-432.

Foerster H. V., Mora P.M., Amiot L. W. Doomsday: Friday, 13, November, A.D. 2026//Science. 1960. Vol. 132. P. 1291-1295.

Gates W.L.A. Numerical simulation of ice-age climate with a global general circulation model //J. Atmos. Sci. 1976. Vol. 33.

Gates D.J., Diesendorf M. On the fluctuations in levels of closed lakes // J. Hydrology. 1977. Vol. 33, No. 3/4. P. 267-285.

Glenne B., EckhoffD., Paschal I. Predictions of Great Salt Lake levels // Proc, from the Int. Conf, of Desertic Terminal Lakes. Utah State Univ. Logan. Utah. 1977.

Graham R, Schenzle A. I I Phys. Rev. A. 1982. Vol. 25, N 3. P. 1731-1754.

Greer D. Desertic terminal lakes // Proc, from the Int. Conf, on Dertic Terminal Lakes. Utah State Univ. Logan. Utah. 1977.

Gruntfest I.J., Youg 丄尸.，Johnsjn M.L. Temperature generated by the flow of liquid in pipes // J. Appl. Phys. 1964. Vol. 35. P. 18-22.

Goodness-of-fit techniques. Edited by R.B. D'Agostino, M.A. Stephens. New- York; Basel. 1986.

Hurst H.E.//Trans. ASCE. 1951. Vol. 116. P. 776-808.

Gupta V., Waymire E. Statistical self-similarity in river networks parameterized by elevation // Water Res. Res. 1989. Vol. 25, N 3. P. 463-476.

Gupta V., Meza O., Dawdy D. Multiscaling theory of flood peaks: Regional quantile analysis // Ibid. 1994. Vol. 30, N 12. P. 3405-3421.

Gupta V., Waymire E. Multiscaling properties of spatial rainfall and river flow distributions // Geophys. Res. D. 1990. Vol. 95, N 3. P. 1999-2009.

Katsaros K.B. Turbulent free convection fresh and salt water: some characteristics revealed by visualization //J. Phys. Oceanogr. 1978. Vol. 8, N 4. P. 613-626.

Krishnamutry R. Finite amplitude convection with changing mean temperature // J. Fluid Meeh. 1968. Vol. 33. Pt. 3. P. 445-455.

Klemes V. The Hurst Phenomenon: A Puzzle? // Water Res. Res. 1974. Vol. 10, N 4. P. 675-688.

La Barbera 尸.，Rosso R. Fractal geometry of river networks // Eos. Trans. AGU. 1987. Vol. 68(44). P. 1276.

Lovejoy S., Mandelbrot B.B. Fractal properties of rain, and a fractal model // Tellus. 1985. Vol. 37A. P. 209-232.

Mahler E.G., Schechter R.S., Wissler E.H. Stability of a fluid layer with timedependent density gradients // Phys. Fluids. 1968. Vol. 11, N 9. P. 1901-1912.

Manabe S., Wetheralb W.T. The effect of doubling the CO2 concentration on the climate of a general circulation model // J. Atmos. Sci. 1975. Vol. 32. N 2.

Manabe S., Wetherald W.T. Large-scale changes of soil induced by an increase in atmosphere carbon dioxide //J. Atmos. Sci. 1983. Vol. 44, N 8.

Manabe S., Wetherald W.T., Stouffer R.J. Summer dry to an increase of atmospheric CO2 centration // Clim. Change. 2001. N 3.

Mandelbrot B.B. How long is the coast of Britain 11 Science. 1967. Vol. 156. P. 636-638.

Mandelbrot B.B., Van Ness J.W. Fractional Brownian motions, fractional Gaussian noises and applications I I SIAM Rev. Appl. Math. 1968. Vol. 10, N 4. P. 422-437.

Mandelbrot B.B., Wallis J.R. Noah, Joseph, and operational hydrology // Water Res. Res. 1968. Vol. 4, N 5. P. 909-918.

Mandelbrot B.B., Wallis J.R. Some long run properties of geophysical records I I Ibid. 1969. Vol, N 5. P. 321-340.

Mandelbrot B.B. Fractal geometry of nature. New York: Freman, 1983. 461 p.

Mark D.M., Aronson P.B. Scale-dependent fractal dimensions of ropographic surface: An Empirical investigation, mapping I I Math. Geol. 1984. Vol. 16. P. 671683.

Marcovic R.D. // Hydrology papers. 1965. N 8. P. 62.

Nicolis C, Nicolis G. H Nature. 1984. Vol. 311. P. 529-532.

Ozaki T. Non-linear time series models and dynamical systems // The Handbook of statistics. (Eds. E.J. Hannan, P.R. Krishnaiah, M.M. Rao). Vol. 5. Amsterdam: North- Holland. 1985. P. 283-295.

Pandit S.M., Wu S.A/. Unique estimates of parameters of a continuous stationary stochastic process // Biometrika. 1975. Vol. 62, N 2. P. 497-501.

Pandey G., Lovejoy S., Schertzor D. Multifractal analysis of daily river flow including extremes for basins of five to two million square kilometres, one day to 75 years // Hydrology. 1998. Vol. 208. P. 62-81.

Pearson J.R. A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Meeh. 1958. Vol. 4. P. 489.

Pearson J.RA. Heat-transfer effect in flowing polymers I I Progress Heat and Masstransfer. Oxford; New York: Pergamon Press, 1972. Vol. 5. P. 73-87.

Pearson J.RA., Shan Y.T., Viera E.S.A. Stability of non-isothermal flow in channels. 1. Temperature-dependent newtonian fluid without heft generation I I Chem. Eng. Sci. 1973. Vol. 28. N 11. P. 2079- 2088.

Pearson J.R.A., Shan Y.T. On the stability of non-isothermal flow in channels I I J. Rheology. 1973. Vol. 12, N 2. P. 240- 244.

Pearson J.R.A., Shan Y.T. Stability of non-isothermal flow in channels I I Chem. Eng. Sci. 1974. Vol. 29, N 6. P. 1485-1493.

Peckham S.D. New results for self-similar trees with applications to river networks // Water Res. Res. 1995. Vol. 31, N 4. P. 1023-1029.

Posey J.W., Clapp P.F. Global distribution of normal surface albedo // Geophys. Intern. 1964. Vol. 4.

Rice S.O. Mathematical analysis of random noise I I Bell. Syst. Thech. J. 1944. Vol. 23; 1945. Vol. 24.

Rodriguez-Iturbe L, Entekhabi D., Bras R.L. Nonlinear Dynamics of Soil Moisture at Climate Scales. 1. Stochastic Analysis // Water Res. Res. 1991. Vol. 27, N 8. P.1899-1906.

Rodriguez-Iturbe L, Entekhabi D., Bras R.L. Nonlinear Dynamics of Soil Moisture at Climate Scales. 2. Chaotic Analysis // Water Res. Res. Vol. 27, N 8. P. 19071915.

Schlesinger M.E., Miller J.F.B. Climate model simulation the equilibrium climatic response creased carbon dioxide // Geophys. 1987. Vol. 25, N 4.

Scriven L.E., Sternling G.V. On cellular convection driven by surface tension gradients: effect of mean surface tension and surface viscosity // J. Fluid Meeh. 1964. Vol. 19. P. 321.

Scheidegger A.E. Stochastic models in hydrology 11 Water Res. Res. 1970. Vol. 6(3). P. 750-755.

Sellers W.D.A. A global climatic model based on the energy balance of the earthatmosphere system //J. Appl. Meteorol. 1969. Vol. 8, N 3.

Shook K., Gray D.M., Pomeroy J.M. Temporal variation in snowcower area during melt in prairie and alpine environments // Nordic Hydrol. 1993. Vol. 24. P. 183-198.

Soong T.T. Random Differential Equations in Science and Engineering. London: Academic Press, 1973.

Tarboton D.G., Bras R.L., Rodrignez-Iturbe. The fractal nature of river networks 〃 Water Res. Res. 1988. Vol. 24, N 8. P. 1317-1322.

Tong H. Threshold Models in Non-Linear Time Series Analysis // Lecture Notes in Statistics. New York: Springer-Verlag. 1983. Vol. 21. 323 p.

Tyler S. W., Wheatcraft H.L. Fractal processes in soil water retention I I Ibid. 1990. Vol. 26. N 5. P. 1047-1054.

Vandewiele G.L., Dom A. A non-gaussian multicomponent model for river flow // Water Res. Res., 1989. Vol. 25. P. 397-404.

Vecchia A. V. Periodic ARMA (PARMA) model with application to water resources // Water Res. Bull., 1989. Vol. 21. P. 721-730.

Vinnikov K.Ya., Groisman P.Ya., Lugina K.M. Empirical data on contempopar global climate changes (temperature and precipitation) // J. Climate Res. 1990. Vol. 3, N 6. P. 195-199.

Zurbenko LG. On the Efficiency of Estimates of Spectral Density // Scandinavian J. Statist. 1979. Vol. 6, N 2. P. 49-56.

Содержание

Предисловие 3

Глава 7

Термохалинные неустойчивости при испарении воды 10

Математическая постановка задачи 10

Зависимость температуры поверхности воды от толщины прогреваемого слоя 17

Определение амплитуды температурных колебаний на поверхности водоема 19

Зависимость упругости насыщения от амплитуды температурных колебаний 21

Зависимость слоя испарения от глубины водоема 23

Нелинейный теплофизический механизм дестабилизации водного баланса речного бассейна 28

Влияние теплового сопротивления слоя жидкости на устойчивость процесса испарения 32

Неустойчивость динамики водного баланса бессточного водоема ....43

Тепловая неустойчивость испарения с поверхности залива Кара- Богаз-Гол 48

Применение процесса Орнштейна-Уленбека для моделирования колебаний уровня бессточного водоема со слабой зависимостью слоя испарения от уровня 55

Термохалинная конвекция Марангони 56

Глава 2

Стохастические дифференциальные уравнения водного баланса 64

Постановка задачи 64

Нелинейная модель колебаний уровня моря, учитывающая водный баланс его бассейна 74

Гауссовские процессы колебаний уровня моря 78

Глава 3

Тепловой механизм бистабильности уровня Каспийского моря 83

Физический механизм бистабильности уровня моря 83

Анализ стохастических дифференциальных уравнений водного баланса моря 91

Вероятностные переходы водоема с одного уровня на другой 94

Колебания уровня моря при аддитивном шуме 96

Случайный переход моря от одного уровня к другому - процесс Пуассона 100

Расщепленные вероятности переходов 104

Исследование многолетних колебаний уровня моря на основе нелинейного дискретного отображения с шумом 108

Индуцированные шумом переходы в динамике бессточных водоемов 112

Нелинейные эффекты в теории многолетних колебаний уровня проточных водоемов 121

Нелинейная модель многолетних колебаний уровня озера Ханка ....127

Глава 4

Хаотическая динамика гидросферы Земли 131

Природные индикаторы современного глобального потепления131

Простая модель климата 132

Странный аттрактор модели 137

Гомоклинический сценарий перехода к хаосу 141

Физический механизм возникновения хаоса 150

Глава 5

Причины водных циклов 158

Цикличность многолетних колебаний гидросферы 158

Нелинейные модели многолетних колебаний речного стока 160

Физический механизм цикличности автокорреляционной функции речного стока 164

Водные циклы - крупномасштабные автоколебания в системе атмосфера-суша 171

Марковские процессы многолетних колебаний речного стока181

Негауссовские плотности распределения величин стока 185

Гамма-распределение речного стока 186

Нелинейная модель с трехпараметрическим гамма-распределением 189

Адиабатическое исключение быстрых переменных 191

Глава 6

Эффект Харста в гидрологии суши 193

История открытия эффекта 193

Половодья Нила 194

Фрактальное броуновское движение 197

Дождевые паводки 199

Циклоны 202

Динамика влажности почвы 203

Глава 7

Степенной закон катастрофических наводнений 208

Повторяемость наводнений 208

72 Физическое обоснование степенного закона 210

Механизм, ограничивающий масштабы наводнений 214

Статистические методы обработки натурных данных 217

Некоторые новые методы статистической проверки гипотез 225

Новые методы расчета ущерба от наводнений 229

Заключение 234

Приложение 1. О предельной численности населения Земли 235

Математическая модель народонаселения Земли с гиперболическим законом роста 237

Стохастическая модель колебаний численности населения 244

Приложение 2. Исследование разрешимости некоторых нелинейных

краевых задач гидродинамики методами осцилляционных ядер Крейна ... 246

Математическая постановка задачи 247

Нелинейные краевые задачи теории теплового взрыва 247

Нелинейные краевые задачи 249

Устойчивость стационарных решений 255

Нелинейная краевая задача о движении жидкости в трубе с круглым сечением 256

Нелинейные краевые задачи движения неньютоновских сред 257

Расчет критических значений 260

Нелинейные краевые задачи для уравнения в частных производных 261

Приложение 3. Выступления автора в средствах массовой информации 262

Бистабильный Каспий 262

Возможна ли парниковая катастрофа? 273

Парниковый эффект, которого не было 276

Затопление энной степени 279

Последний предел 283

Мы не виноваты в потеплении климата 285

Модели эффекта Харста 286

Литература 302

Научное издание

Найденов Вячеслав Иосифович

Нелинейная динамикаповерхностных вод суши

Утверждено к печатиУченым советомИнститута водных проблемРоссийской академии наук

Зав. редакцией Н.А. СтепановаРедактор Т.П. ТрифоноваХудожник Ю.И. ДуховскаяХудожественный редактор В.Ю. ЯковлевТехнический редактор М.К. ЗарайскаяКорректоры Г.В. Дубовицкая, Т.А. Печко

Подписано к печати 12.07.2004. Формат 60 х 90%бГарнитура Таймс. Печать офсетнаяУсл.печ.л. 20,0. Усл.кр.-отт. 20,5. Уч.-изд.л. 19,0Тип. зак. 3451

Издательство "Наука"117997, Москва, Профсоюзная у”.，90

E-mail: secret@naukaran.ruInternet: www.naukaran.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ГУП "Типография "Наука"199034, Санкт-Петербург, 9-я линия, 12

Найденов Вячеслав Иосифович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией поверхностных вод Института водных проблем РАН. Область научных интере

сов 一 теплофизика, механика жидкостей и газов, тепломассообмен в водных средах. В настоящее время занимается нелинейными задачами в гидрологии. Опубликовал более ста работ, в том числе две монографии.

Почему после нескольких десятилетий катастрофического падения уровня Каспийского моря неожиданно произошло его повышение? Почему так часто происходят наводнения? Влияют ли воды суши на глобальные изменения климата? Если природные системы Земли - нелинейные и нестационарные, то какие физические процессы являются причиной потери устойчивости этих систем? Автор монографии попытался ответить на эти и другие фундаментальные вопросы гидрологии, опираясь на результаты исследований нелинейных физико-математических моделей динамики поверхностных вод суши.

НАУКА

В.И. Найденов

Нелинейно! динокико noiepxHonHbix код суши

НАУКА

1♦黑

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКИНСТИТУТ ВОДНЫХ ПРОБЛЕМ

В.И. Найденов

Нелинейная 聊聰如поверхностных вод суши

МОСКВА НАУКА 2004

УДК 556 ББК 26.222

Н20

Ответственный редактор

М.Г. Хубларян

Рецензенты:

доктор технических наук Б.М. Долгоносое,доктор технических наук В. В. Дилъман

Найденов В.И.

Нелинейная динамика поверхностных вод суши / В.И. Найденов; отв. ред. М.Г. Хубларян. - М.: Наука, 2004. - 318 с.

ISBN 5-02-032910-Х (в пер.)

В монографии нашли отражение проблемы многолетних колебаний уровня бессточных и проточных водоемов. Рассмотрены нелинейные тепловые механизмы взаимодействия поверхности суши и водной поверхности с атмосферой; процессы тепло- и массопереноса в водной среде; особенности динамики многолетних колебаний речного стока, а также хаотической динамики гидросферных и климатических процессов. Большое внимание уделено решению проблемы многолетних колебаний уровня Каспийского моря, основанному на законах нелинейной термодинамики взаимодействия водной поверхности и атмосферы.

Для широкого круга специалистов в области гидрологии, гидрогеологии, гидрохимии, гидрофизики и экологии.

ТП 2004-11-79

ISBN 5-02-032910-Х© Российская академия наук, 2004

© Издательство "Наука"

(художественное оформление), 2004