Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Если посмотреть любой номер одного из ведущих метеорологических журналов, почти наверное можно увидеть в нем статью об устойчивости каких-либо атмосферных процессов. Такой интерес не случаен. При глубоком подходе к механизмам циркуляции можно с уверенностью поместить теорию устойчивости в самый центр динамической метеорологии. В самом деле, атмосферные движения развиваются под действием более или менее постоянных или регулярно изменяющихся космических факторов, в то же время сами они крайне нерегулярны. Собственно, вся погода есть не что иное, как проявление неустойчивости атмосферной циркуляции. Даже климат, согласно современным воззрениям, нельзя рассматривать в отрыве от беспорядочных, неустойчивых возмущений ——это есть статистический режим таких возмущений. Мы не будем углубляться в эти чрезвычайно важные, но не имеющие сколько-нибудь строгой и разработанной теории вопросы. Цель настоящей книги ——изложить лишь твердо установленные основы, знание которых необходимо для того, чтобы избежать эмпиризма и «кустарщины», которыми грешат подчас метеорологические работы. Выбор материала — вещь до некоторой степени субъективная. Автор, естественно, стремился сосредоточиться на предметах, о которых ему так или иначе приходилось размышлять. Книга довольно четко делится на две части. Первая из них (п. 1 ——10, 17) относится к общей теории гидродинамической устойчивости несжимаемой идеальной жидкости ——в атмосфере мы имеем дело обыкновенно с очень большими значениями числа Рейнольдса и вязкость не очень существенна (вне пограничного слоя). Вместе с тем, как известно, теория устойчивости идеальной жидкости внутренне неполна, она требует, кроме уравнений движения и краевых условий, некоторых дополнительных предположений или условий на разрывах. Эти условия могут быть получены по-разному, в частности (и наиболее естественным образом) из асимптотического поведения решений уравнения Навье——Стокса при бесконечно больших значениях числа Рейнольдса. В п. 17 идет речь им-енно об этом. Взамен вязкости приходится уделить внимание., важному, для атмосферы плотностному расслоению. Другая часть книги (п. 11 —16) имеет дело непосредственно с моделью атмосферы, именно с：《фильтрованной》моделью или ква- зигеострофической, призванной описывать исключительно погодообразующие, KDviiHOMacinTafebawQiLeccbL 力:а мопель сохраняет до нынешнего дня свое теоретическое значение. Несколько
особняком стоит п. 11, здесь речь идет не об устойчивости, а о выводе самих «фильтрованных» уравнений. Читатель, знакомый с метеорологией, вполне может обойти этот пункт. Впрочем, вразрез с установившейся традицией эти уравнения выводятся в предположении несжимаемости (а не адиабатичности). Если скорости частиц и фазовые скорости волн малы по сравнению со скоростью звука, сжимаемость большой роли не играет. Кроме того, предположение несжимаемости больше соответствовало стилю остальной части книги. Впрочем, полученные уравнения ничем не отличаются от обычных. Читатель, для которого содержание п. 11 окажется новым, т. е. не метеоролог, может быть неприятно поражен обилием упрощений, допущений, нечистотой вывода. Он должен потерпеть до следующего пункта. Коль скоро уравнения уже получены, дальше их исследование ведется уже с привычной по общей теории аккуратностью.
При отборе излагаемого материала автор стремился изложить наиболее принципиальные моменты, передать дух теории: частности поневоле остались за бортом этой небольшой книги. Однако и некоторые очень существенные предметы здесь не отражены, например, почти ничего не говорится о численных экспериментах по обнаружению неустойчивости. Задача создания фундаментальной энциклопедической монографии по теории устойчивости еще не решена. Эта книга преследует более скромные цели —— быть введением в теорию. Соответственно, в тексте даются лишь скупые литературные ссылки, более детальные можно найти в книгах по общей теории гидродинамической устойчивости и по метеорологии [2, 11, 14]. Автор благодарен Н. Н. Богдатьевой, оказавшей существенную помощь в написании последней главы.
Автор надеется, что эту книгу можно использовать при обучении студентов и аспирантов.
Вводные замечания
Из общего курса гидромеханики известны некоторые простейшие типы течений вязкой жидкости, т. е. некоторые точные решения уравнений Навье——Стокса, например, течение Нуазейля в круглой трубе, плоское течение Пуазейля между двумя параллельными пластинами, плоское течение Куэтта, вызванное относительным движением одной пластины относительно другой при отсутствии перепада давления перед потоком и позади него, и другие. При попытке экспериментально осуществить такие течения мы встречаемся с большой трудностью, состоящей в том, что эти течения удается создать лишь при не слишком больших значениях числа Рейнольдса. С ростом, скажем, перепада давления в круглой трубе, т. е. с возрастанием скорости течения нужно ставить эксперимент исключительно осторожно, чтобы такое течение осуществлялось. Течение имеет тенденцию разрушиться. Если в трубу входит сильно возмущенный поток, то вместо течения Пуазейля в трубе оказывается хаотическое, турбулентное течение. С ростом числа Рейнольдса начальные возмущения, которые приводят к разрушению течения Пуазейля, могут быть все меньшими и меньшими. Мы говорим о неустойчивости течения Пуазейля относительно возмущений, которая имеет место при больших значениях числа Рейнольдса. Существует минимальное, так называемое критическое значение этого числа, ниже которого любое возмущение затухает со временем. Если предположение, что при сколь угодно больших значениях числа Рейнольдса тем не менее можно осуществить течение Пуазейля, если добиться достаточной малости начальных возмущений, вводя, например, жидкость в трубу через специальные успокаивающие решетки, добиваясь идеальной формы и гладкости самой трубы и т. п. Таким образом, если это предположение верно, то для разрушения течения всегда нужно преодолеть некоторый порог, высота которого падает с ростом числа Рейнольдса. В противоположность этому для плоского течения Пуазейля, начиная с некоторого значения числа Рейнольдса, сколь угодно малые возмущения неограниченно разрастаются, вызывая полную потерю устойчивости и переход от упорядоченного течения к некоторому хаотическому. Такой режим возникновения неустойчивости для плоского течения Пуазейля является уже строго установленным фактом.
На этих примерах мы выяснили как предмет, так и значение теории гидродинамической устойчивости. Потеря устойчивости течением есть первая стадия его перехода к турбулентному
состоянию. Здесь надо лишь подчеркнуть, что потеря устойчивости сама по себе еще не означает турбулизации потока. Может случиться, что, когда стационарное течение теряет устойчивость^ взамен образуется некоторое периодическое по времени, вполне регулярное и простое устойчивое течение. С дальнейшим ростом числа Рейнольдса и это течение потеряет устойчивость, и возникнет более сложное течение с двумя, скажем, периодами и т. д. Вскоре течение станет настолько запутанным, что его можно считать турбулентным. Такую гипотезу о турбулизации течений вы> сказал некогда Ландау.
Явление потери устойчивости очень важно и в метеорологии. Циркуляция в атмосфере возникает под влиянием постоянно действующих, стационарных факторов ——притока солнечной коротковолновой радиации и излучения атмосферой и землей длинноволновой радиации в космическое пространство. В результате должна бы установиться некоторая стационарная циркуляция —— западный перенос или что-нибудь близкое к нему, учитывая неод* нородность земной поверхности. Но на самом деле движение атмосферы крайне нерегулярно. Существуют не только затухающие волны, вызванные какими-то случайными факторами, но волны могут разрастаться, приводя к полному разрушению зональной циркуляции и заменой ее возмущенной, циклонической циркуляцией. Короче говоря, явления погоды в большей степени обязаны своим существованием неустойчивости зональной циркуляции.
В приведенных примерах неустойчивость имела динамическое происхождение. Она возникала оттого, что в нашем течении существует градиент скорости, одни слои скользят по другим, течение завихрено. Вихрь может передаваться от основного течения к возмущениям, вызывая их рост. Источник неустойчивости может быть и иным, статическим. Пусть, например, в сосуд налита жидкость переменной плотности, например, с переменной соленостью или температурой. Если плотность наверху больше, чем плотность внизу, то совершенно ясно, что такое состояние неустойчиво. Частица, случайно отклонившаяся по вертикали вниз, оказывается тяжелее окружающих частиц и стремится опуститься еще далее. Точно так же и для частицы, отклонившейся вверх, отклонение стремится увеличиться. Пусть, однако, расслоение жидкости устойчиво, т. е. внизу находится более плотная жидкость, чем наверху. Если жидкость покоится, то это будет устойчивым состоянием. Но если в этих условиях жидкость движется горизонтально со скосом (градиентом) скорости, то может возникнуть динамическая неустойчивость, несмотря на стабилизирующее влияние плотностного расслоения. Если пренебречь влиянием вязкости, то основной безразмерный параметр, который в этих условиях характеризует устойчивость жидкости, есть число Ричардсона
В этом выражении ясно отражена борьба двух факторов ——стабилизирующего влияния расслоения и дестабилизирующего влияния градиента скорости. В дальнейшем, как правило, жидкость будет считаться идеальной.
Основной метод изучения устойчивости течений есть линеаризация уравнений относительно малых отклонений от основного течения. В какой степени это приближение способно отразиться на результатах исследования? Мы не имеем возможности здесь дать точный ответ на этот вопрос, но можно привести некоторые соображения, которые на самом деле, как выяснено в некоторых исследованиях, оказываются верными.
Что нужно понимать под устойчивостью? Существует понятие устойчивости решений по Ляпунову, которое означает следующее. Пусть имеется возможность как-то измерять отклонение одного решения от другого, какая-то мера этого отклонения. Устойчивость означает тогда, что каково бы ни было е >0, всегда можно на访тп такое 6 >0, что если начальные условия изменить не более чем на 5, решение в любой момент изменится не более, чем на £, т. е. это есть устойчивость по возмущениям начальных данных. Пусть мы перешли к линеаризованной системе уравнений. Для линейной системы понятие устойчивости обычно другое. Здесь неустойчивые решения всегда неограниченно растут, а устойчивые остаются ограниченными одной константой для всех моментов времени. Допустим, что мы показали неустойчивость некоторого решения в линейном приближении. Решение неограниченно растет, т. е. становится сколь угодно большим, с какого бы малого значения мы его не начинали. Как в таком случае должно вести себя решение нелинейных уравнений? Когда решение еще мало, оно довольно хорошо следует за решением линейной системы, по самому смыслу линейной аппроксимации. Но когда оно становится достаточно большим, линейное приближение перестает действовать. Как правило, в таких случаях решение за счет нелинейных членов уравнения остается ограниченным (это бывает следствием например, ограниченности общей энергии в системе) и доходит до некоторого конечного предела. Пусть теперь мы взяли в начальный момент меньшие по значению начальные условия. Пока действует линейное приближение, решение растет пропорционально прежнему. Теперь оно позже выйдет из зоны действия линейного приближения, но для таких же значений амплитуды, что и прежде. В конечном итоге оно, хотя и позже, подойдет к тем же предельным значениям, которые окажутся, таким образом, независимыми от начальных условий. Если начальные условия стремятся к нулю, то решения для каждого момента времени стремятся к нулю, но неравномерно относительно всех моментов времени, т. е. нет устойчивости по Ляпунову. Итак, если доказана неустойчивость в линейном приближении, то есть неустойчивость и в точном смнсле. По-видимому, при широких предположениях можно доказать и обратное ——
линейная устойчивость гарантирует устойчивость по Ляпунову, хотя это уже далеко не очевидный факт. Таким образом, линейное приближение, по-видимому, может дать исчерпывающее исследование возбуждения неустойчивых колебаний.
Уравнения и краевые условия
Мы будем сначала рассматривать течение, в вертикальной плоскости (х, 2), при наличии поля тяжести с ускорением g. Движение описывается уравнениями Эйлера:
дх 'др 归 — gPдх 'др 归 — gP⑵⑵(3)(3)/ d〃 [ ди , ди \
дх '
др 归 — gP
дх '
др 归 — gP
⑵
⑵
(3)
(3)
/ dw . dg . dw \
+辽击十这=-
и, в предположении несжимаемости, ди . dw дх * dz
dtдxdz
Теперь представим себе основное стационарное течение, устойчивость которого исследуется, как течение, скорость которого направлена по оси Ох и зависит лишь от вертикальной координаты: U (г). Скорость возмущенного течения будем считать мало отклоняющейся от скорости основного течения, u^U (г) + и\ v = vf, где 〃‘,и'——малые отклонения. Точно так же и для остальных переменных р и р имеем р = р (z) + р‘, p = p(z) + p‘. Если отбросить в уравнениях произведения малых величин, т. е. линеаризовать уравнения, то получится система
-(ди1 . 〃 диг [，dU \— дрг .
(4a)
Г 灭 1дх \ 2 dzдх ?
-1 dwr ,dwr \dp1,
(46)
(4b)
dx * dz'
巫=0.
dt U dx 十仞 dz
(4「)
Воспользовавшись третьим уравнением, можно ввести тока
〃，一妙L筱，，一0屮
функцию
(5)
Из первых двух уравнений можно исключить //, применив операцию rot:
—-^■卜厶屮一B%)+(U"—ри')屮 x==gp*";
Наконец, из этого уравнения и уравнения (4г) исключается р‘. В итоге получается уравнение
—懵十 и 詣 У( М TP J+(и〃 一旷)係+и ~^)屮*=g。屮》•
⑺
Это основное уравнение теории. При каких граничных условиях его следует решать? Если имеется твердая стенка, но параллельная оси Ох, то на ней wz =0, т. е. 2a = 0 или ” = const.
В дальнейшем иногда будут рассматриваться течения, имеющие на какой-нибудь высоте касательный разрыв. Можно представить себе, например, что жидкость двуслойна, на слое жидкости одной плотности лежит слой другой плотности, так что плотность имеет скачок. При этом может быть еще и скачок скорости. Каковы условия на таком разрыве? Должно выполняться два условия——одно условие кинематическое: компонента скорости, нормальная к разрыву, должна быть непрерывной при переходе через разрыв (и совпадать со скоростью перемещения поверхности разрыва). Второе условие динамическое — непрерывность давления. Эти условия ставятся на поверхности разрыва, форма которой заранее неизвестна. Все сильно упрощается, если линеаризовать не только уравнения, но и условия на разрыве. Будем считать, что отклонения поверхности разрыва от ее среднего значения очень малы. Запишем уравнение поверхности в виде 2 = = No + C(%, /). Значения всех величин на краях разрыва, сверху и снизу, будем разлагать по степеням малой величины 已 и приводить их к уровню го. В конце концов условия на разрыве будут заменены приближенными условиями, поставленными на среднем уровне No, область, занятая верхней жидкостью, будет г>го, а нижней ——г<г0. Картина течения вблизи разрыва исказится, а вдали от разрыва изменится не слишком. Для вертикальной скорости имеем
初(х, %, /)=砌(х,廿，04-0 (Q.
Значение w на разрыве будем просто заменять значением на средней поверхности. Сама величина з при линеаризации мала, ошибка же при такой замене имеет следующий порядок малости. Что касается давления, то было бы слишком грубым заменять Р (%, г, /) на р (%, а。，/), при этом были бы полностью потеряны архимедовы силы, возникающие при смещении более плотной жидкости в область, занятую менее плотной или наоборот. Но
p (%, г, %)=夕(％, No,力)一gpW + O (之2). В самом деле, здесь написано, что давление на уровне го отличается от давления на уровне zo + C на вес столба жидкости, заключенного между этими поверхностями, с площадью поперечного сечения, равной единице. Остаточный член — это динамический напор, равный произведению массы столба на ускорение. И та и другая величина первого порядка малости относительно С, поэтому и получилась оценка остатка, О (^2). Для средних величин р н р, относительно которых линеаризуются уравнения, это соотношение выполнено: р (%, z)= = р(%, No)——gpW + O(f поэтому для отклонений от средних оценка та же."
Динамическое условие на разрыве запишем теперь как непрерывность величины р'(х, No, £) — gpG при переходе через n = Zo.
Кинематическое условие означает, что частица жидкости, находящаяся на разрыве, всегда будет на нем оставаться. По
этому для нее z = W (%, /). Отсюда 侬，Линеаризируя, at at
получим
Это справедливо как для верхней, так и для нижней жидкости, на что указывают значки 士 (+ будет означать верхнюю жидкость, —нижнюю).
Далее нужно выразить условия на разрыве через одну единственную переменную ——функцию тока 屮. Для этого можно воспользоваться уравнениями движения. Условия на разрыве выполняются тождественно по х и /, поэтому их можно дифференцировать по этим переменным. Это позволяет, например, из двух кинематических условий (8) исключить W и получить
или
Это и есть искомая форма кинематического условия на разрыве. Заметим, что если разрыва скорости нет, а лишь разрыв плотности, то условие более простое — непрерывность w или
屮扌=屮〔(9)
Чтобы получить динамическое условие, выраженное через 屮， нужно применить к тождеству
〃+'(%,备，力一g产С =，'(％,备，％)—g『F
дифференциальный оператор (备 + U+^)^ . Ву^ем иметь
-gp+w+=p~(4-+ U+ w)負)厂'一
Если скачок на разрыве обозначить символом {}±, то это условие можно записать как
傍+"+及相［係十u乐）%-^屮/}}一
一g瓜壮中2=0.（10）
Условия (9) и (10) несколько слабее исходных ——ведь получены они дополнительным дифференцированием. Позаботиться о вы-
ddполнении исходных условий нужно будет при возврате от 屮 к прежним переменным. Условие (10) к тому же несимметрично относительно краев ыва, можно было применить дифференциальный оператор 十。- -^ ) -^- . Симметричное условие
d
d
лолучилось бы при применении оператора (~^'十"一~^~)(
十 и+^гНг' но оно еще более слабое.
Отметим еще, что как уравнение (7), так и условия на разрыве становятся более простыми, если жидкость однородна и несжимаема. Если в основном состоянии плотность постоянна, то
0 = 0. Но если предположить к тому же, что и возмущений плотности в начальный момент нет, то их не будет все остальное время движения и в уравнении (6) можно считать р' = 0. Будем иметь
一協+ "^）А 屮十"'"к。S）
—уравнение более низкого порядка, чем уравнение (7). Динамическое условие на разрыве заменится непрерывностью р‘(％, No, /) при переходе через разрыв. Продифференцировав по 招 получим
《基%"}〕=°・ (1°')
Волновые решения
Коэффициенты уравнения (7), а также линейных условий на твердых границах и на поверхностях раздела не зависят ни от координаты х, ни от 九 Это позволяет искать решений типа
И
нормальных волн
少(*, z；)=屮⑶*⑴，(11)
где а ——волновое число в направлении оси Ох, с ——фазовая скорость волны. Для таких решений уравнение приобретает вид:
(0 — <)2(少〃—咽一吃)一(0〃一9少)(0 一 e)中=一8浊 (12)
Краевые условия на твердой стенке выглядят теперь так:
仅/三中*三込中=0.(13)
На разрыве имеем
(U- — c)q+ = (O+—с)屮一(14)
и
(U+-0 {? [(U- с) 叫:_g {汜屮+=0.(15)
Теперь задача ставится таким образом. При заданном значении волнового числа а требуется определить те значения параметра с, при которых существует решение уравнения, удовлетворяющее всем условиям ——на границах и на поверхностях разрыва. Если такое собственное значение с окажется вещественным, то соответствующее решение ограничено во времени, т. е. устойчиво; если с имеет положительную мнимую часть, то решение экспоненциально растет, т. е. неустойчиво, при отрицательной мнимой части решение затухает. Заметим, что в силу вещественности коэффициентов уравнения, комплексные собственные значения входят сопряженными парами, т. е. из существования затухающего решения всегда следует существование растущего.
Спрашивается, насколько полно исследование устойчивости уравнения (7) методом нормальных волн. Не может ли оказаться, что все нормальные волны устойчивы, а решения, не имеющие вида нормальных волн, вообще говоря неустойчивы? Примененный нами метод разделения переменных, метод Фурье чрезвычайно часто применяется в математической физике. Его применение основано на допущении, что решений в виде нормальных волн достаточно много, т. е. любое решение можно представить в виде суперпозиции нормальных волн,
屮(Х, Z, /) = £4〃e%(“f，i)力⑶.(16)
k, /
Для этого нормальные волны должны образовывать полную систему решений. В нашем случае положение оказывается сильно осложненным. Уравнение имеет особую точку — старший коэффициент может обратиться в нуль, когда U ——с = 0. В связи
12
с этим, как мы увидим далее, во-первых, вообще затруднительно определить, что такое волновое решение, так как решение может иметь разрыв там, где U——с = 0 (точнее разрыв производной), и неясно, какие условия ставить на краях этого разрыва. Даже после того, как условия склейки определены некоторым разумным образом, оказывается, что волновых решений, т. е. решений уравнения (12), слишком мало. Как правило, набор собственных значений с бывает лишь конечным. Таким образом, предположение о представимости любого решения в виде ряда (16) неверно.
На самом деле, решения описанного волнового вида относятся к дискретному спектру, кроме которого существует еще непрерывный спектр. Это легче всего понять следующим образом. Пусть, для простоты, жидкость однородная, р = const, 6 = 0. Тогда уравнение (12) превращается в
(U-с)(屮〃 -#!) 一。〃屮=о. (17)
Оператор d2/dz2 — а2 при краевых условиях ф = 0 в концах отрезка zw [a, b], на твердых стенках, обозначим А. Если положить Аф =(р, то без труда получаем уравнение
(。一 U〃AT) * %, (18)
с должно быть собственным значением оператора, который представляет собой сумму вполне непрерывного оператора —с оператором умножения на функцию U(n). Оператор умножения на функцию имеет непрерывный спектр, состоящий из всех значений этой функции. Как известно, добавление вполне непрерывного оператора не способно изменить непрерывный спектр, а меняет лишь дискретный. Поэтому вполне непрерывный спектр значений с заполняет отрезок изменения U, т. е. [Umin, Umax]. К сожалению, вполне непрерывный оператор здесь не является самосопряженным и мы не можем воспользоваться теорией спектрального разложения для того, чтобы разлагать любую функцию по дискретному и непрерывному спектру, взамен разложения (16). .
Заметим, что мы интегрируем уравнение по вещественной оси переменного г, значит особая точка возникает лишь при вещественных с, т. е. для нейтральных колебаний. Поэтому первый и наиболее существенный вопрос, который здесь возникает, таков: может быть, несмотря на то что волновых решений мало, отсутствие неустойчивых волновых решений все же гарантирует устойчивость всех решений уравнения (7) ? Замечательно, что ответ на этот вопрос дается утвердительный. Неустойчивость бывает, в общем, лишь тогда, когда существуют неустойчивые волновые решения, т. е. волновые решения для невещественных с (см. п. 10).
В свете сказанного выше об уравнении (18) это не так удивительно. К дискретному спектру, соответствующему волновым решениям, добавляется непрерывный спектр, заполняющий отрезок [Umm, Umax], т. е. вещественный, и неустойчивости не дающий. Кстати, и вещественные с, скажем, дискретного спектра могут быть причиной неустойчивости, если они кратные. Тогда появляются «вековые», линейно растущие со временем, возмущения. Это также следствие несамосопряженности оператора.
Примеры
Первый пример очень прост. Пусть полупространство z<0 занято покоящейся несжимаемой жидкостью плотности pi, а над ним, при n>0 — также покоящаяся несжимаемая жидкость другой плотности р2. Рассмотрим колебания такой системы. Уравнение (12) принимает вид
e2 (屮〃 一a2屮)=0.
Отсюда следует, что при с*0 имеется лишь одна собственная функция. Именно, следует взять
I ( Д ехр (—аг), г >0,Вехр (аг),г<0.
Здесь мы приняли естественное условие на бесконечности —— ограниченность решения. Осталось удовлетворить условиям на поверхности разрыва г = 0. Непрерывность 屮 дает А=В. Второе условие имеет вид
Р1 ｛-*/十g屮｝z = _o = p2屮｝z = +0
и дает
.(19)
а Р14-Р2
Таким образом, для всякого а в этой задаче оказывается два собственных значения, отличных от нуля. Кроме того, с=0 является бесконечнократным собственным значением: функцию 屮 можно взять любой, лишь бы удовлетворялись условия на разрыве, т. е. 4)(0)=0 и условие ограниченности на бесконечности. Формула (19) показывает, что при pi>p2 колебания нейтральны, при pi< <Р2 имеет место неустойчивость. Интуитивно это было совершенно очевидно с самого начала — неустойчивость имеет место тогда и только тогда, когда тяжелая жидкость находится выше легкой. Неустойчивость, вызванная ростом плотности с высотой, называется статической, или тейлоровской.
Второй пример относится к непрерывной, плавно меняющейся плотности. Пусть в пространстве между г = 0 и z — h находится слой покоящейся жидкости с плотностью, изменяющейся по экспоненциальному закону
р=-роехр(~рг).
Предыдущий пример дает основание полагать, что если плотность убывает, т. е. при р>0, должна получаться устойчивость, а при Р<0 ——неустойчивость. Сейчас это будет доказано. Уравнение (12) принимает вид
e2 (屮"一a2屮)+ 0(__e纯‘+g屮)=0.
Оно имеет решения
屮= 4ехр (入к)+ 5 exp (Х2г),
где Xi и 九2 ——корни уравнения
丿―々2_g队2)=0, т. е.
f/2 土 1/供/4 十a2 -g队2.
Краевые условия 屮=0 при z = 0 и z = % дают 4 + 3 = 0 Л ехр (Х1Л) + В exp (X2/i) =0. Отсюда 九i — X2 = 2nis/h1 где s — произвольное целое число. Но Х1 + л2 = ₽ (формула Виета), поэтому
Из последнего соотношения следует, что при каждом фиксированном а имеется счетный набор различных с (в отличие от предыдущего примера, где их было всего лишь три, из которых одно значение бесконечно вырождено):
c2 = g。/(阜+а2 十号
Знак с? совпадает со знаком 0, что и приводит к сформулированному вначале результату. Нейтральные колебания при р>0 называются ячейковыми волнами. При 0Vo имеет место статическая, тейлоровская неустойчивость.
Третий пример носит другой характер. Здесь плотность будет непрерывной и даже постоянной, а скорость терпит разрыв. Рассмотрение удобно вести в системе координат, движущейся равномерно со скоростью, средней между скоростями течения выше и ниже разрыва. Тогда при zvO скорость будем считать постоянной и равной —Uo, а при z>0 ——равной +Uq. Уравнение (12) примет вид
——(J7o——e)?(屮+——1屮+) = 0 при 2>0 и
—(Uo+c)2 (屮一 一а2ф_) = 0
при 2<0. Условия на разрыве таковы:
(О^+с)屮+ = —(4 — с)屮
Во-первых, имеются решения с =——Uo, р-——произвольная ограниченная функция, обращающаяся в нуль при 之=0,屮+三0. Таким
15
образом, значение с =——UQ является бесконечно вырожденным собственным значением. То же самое относится и к с = —4. Это возмущения, движущиеся вместе с потоком. При с# 土Uq имеем
少十=Ae~aZf少一=56以.
Условия на разрыве дают (Uo ——с)2 =——(Uo + c)2. Отсюда f = i ZUo・
Имеет место неустойчивость, причина которой уже не статическая, как в предыдущих примерах, а динамическая. Она носит название гельмгольцевой неустойчивости.
В качестве упражнения читатель может исследовать течение, имеющее как разрыв скорости, так и разрыв плотности.
Четвертый пример будет усложнением предыдущих. Именно, при такой же скорости, как в третьем примере, положим плотность затухающей с высотой экспоненциально, р==,ро ехр (—0之). Здесь как бы противоборствуют два фактора — разрыв скорости вызывает неустойчивость, а убывание плотности действует стаби- лизирующе. Спрашивается, что окажется сильнее. Ввиду некоторой громоздкости вычислений пойдем на некоторые упрощения, которые даже не будем особенно обосновывать. При желании можно проделать выкладки и с неупрощенным уравнением.
Суть указанного упрощения состоит в следующем. В уравнение (12) члены, содержащие 0, попали по двум разным причинам. Когда брали вихрь от первых двух уравнений (4), пришлось дифференцировать р, стоящее в инерционных членах, т. е. в левой части. Полученные члены учитывают, как говорят, инерционное влияние расслоения. Кроме того, вошел член с Р из последнего из уравнений (4). Этот член входит с коэффициентом g и учитывает гравитационное влияние расслоения ——архимедовы силы, возникающие при отклонении частиц от состояния равновесия. Так вот, часто принимают, что гравитационное влияние расслоения является главным, и пренебрегают инерционным влиянием, т. е. в уравнении (12) из всех членов, содержащих 0, оставляют лишь последний. Ясно, что учет архимедовых сил должен приводить к качественным изменениям в результате. Учет же расслоения в инерционных членах должен приводить к количественным поправкам. Впрочем, необходимы точные оценки, которых, как уже было сказано, мы проводить не будем. Уравнение в нашем примере приобретает вид:
Как и в предыдущем примере считаем, что при г>0 скорость равна Uo, а при z<0 равна ——Uo. Решения уравнения здесь ехр(±Хг), где
入Н入+, z>0； 入=入一，nVO.
/队 Uof)2,X- = /々2 — g領 Uo 十 c)2.
Корни могут быть чисто мнимыми, либо нет. Допустим, один из корней, например,九十，чисто мнимый. Тогда при 之>0 все решения ограничены на бесконечности и можно взять i|)+=Xez+z + + 8e-*+z. даже если второй корень и не является чисто мнимым, и, следовательно, при zvO нужно брать затухающее решение Се九-z. Re 入-> 0, в нашем распоряжении имеются три произвольные постоянные Л, В, С, с помощью которых нужно удовлетворить двум линейным однородным условиям на разрыве. Это всегда возможно. Таким образом, те значения с, при которых 九 + чисто мнимое, принадлежат искомому спектру. Легко видеть, что эти значения вещественны и заполняют интервал [Uo ——УgP/a, t/o + Уg'P/сс]. По симметрии те же рассуждения применимы и к чисто мнимым значениям V, что дает интервал [——Uo——Yg6/a, ——Uo+ Уg₽/<x]. Найдены два интервала непрерывного спектра. В предыдущем примере, при 0 = 0, были две бесконечно вырожденные точки спектра ±Uo, которые при р =/= 0 превратились в интервалы непрерывного спектра. Этот спектр не дает неустойчивости, так как он вещественный.
Обратимся к случаю, когда Re 九+老 0, Re 九-#=0. Теперь имеем ^+ = Aex+z, ^~ = Bex~z, где из условия ограниченности на бесконечности корни нужно выбрать такими, что Re 九+v0, Re 九->0. Условие на разрыве:
(Uo — c)2/ = (Uo+c)2/.(20)
Возведем это уравнение в квадрат и подставим выражения для корней:
Отсюда либо (Uo — с)?= (Uq + c)2, t. e. c = 0, либо
(Uo — C)2 = ^ — (Uo + c)2
И
Если a2Vgp/2%, эти корни вещественны, а при сх^>g^/2U^ чисто мнимы. Уравнение (20) возведено в квадрат, поэтому нужно еще проверить, что полученные решения не являются посторонними корнями, т. е. что левая и правая части (20) не отличаются знаком. Сразу ясно, что с не может быть вещественным. В самом деле, для таких с уравнение (20) не может быть выполнено, так как Re 九 + и Re 入-разного знака. Поэтому корень с = 0 отпадает. Что касается чисто мнимых собственных значений при a2>g0/2U^, то все они удовлетворяют уравнению (20). В самом деле, при р = 0 значение с= ±IUq удовлетворяет уравнению,
как известно из предыдущего примера. Пусть 0 непрерывно возрастает. Тогда с изменяется непрерывно, непрерывно же изменяются левая и правая части （20）. Поскольку их квадраты равны, равенство может нарушиться лишь если левая и правая часть обратятся при некотором 0 в нуль. Но пока с чисто мнимое,, этого не случится. Итак, при a?z>g^/2U^ имеется чисто мнимое собственное значение c=±i]/U^—g0/2a2 и течение неустойчиво. Можно и так сказать: устойчивость имеет место для достаточнодлинных волн, короткие же неустойчивы. Физический смысл этого результата понятен. В предыдущем примере мы видели, что для однородной жидкости с разрывом скорости неустойчивые волны затухали вверх и вниз от поверхности разрыва с декрементом а. При больших а эти волны сосредоточены в узкой полоске вокруг поверхности разрыва. При этих условиях они не чувствуют стабилизирующего влияния расслоения, при котором плотность затухает с декрементом 0, и ведут себя в расслоенной жидкости как в однородной, т. е. неустойчивы. Для волн с малыми волновыми числами это не так.
Пятый пример [5, 15, 18, 24]. До сих пор рассматривались модели, где скорость была кусочно постоянной. Теперь будет рассмотрен пример с плавно меняющейся скоростью. Пусть жидкость заполняет полупространство z>0. Плотность падает экспоненциально р = р0 ехр （—0z）, а скорость линейно растет от нуля, U = = kz. Этот пример впервые рассмотрен Тейлором. Уравнения, опи* сывающие возмущения, приобретают следующий вид:
（力2 — С）2 （少"一а2ф）—（々Z — с）。｛（々2 — с）炉一砚｝ +gg = 0.
Члены, заключенные в фигурные скобки, отражают инерционное влияние расслоения. Вслед за Тейлором пренебрежем этими членами. Как и в предыдущем примере, мы не вдаемся в обоснование такого упрощения. Заметим только одно: при учете этих членов получаются более сложные специальные функции, а результат не изменяется. Итак, имеем
（々2 —с）?（屮"一а?屮）+gB? = O.
После этого делаем замену
（z —с他）а = Е
и полуиаем уравнение
屮"+（爲一1）屮=0■
Из всех параметров, описывающих течение, остался один безразмерный параметр gP/力?，т. е. g^/（grad U）2, Этот параметр носит название числа Ричардсона. Физический смысл этого параметра состоит в том, что он является мерой устойчивости. Когда он ве-
лик, это значит, что убывание плотности велико по сравнению с градиентом скорости. Если учесть, что убывание плотности играет стабилизирующую роль, а градиент скорости — дестабилизирующую, то большим значениям числа Ричардсона, очевидно, соответствуют более устойчивые состояния, чем малым. Будем обозначать
左 2 2 4 •
Уравнение примет вид
屮〃 + [(% —Y2)h一"屮=0.(21)
Это уравнение нужно решать при следующих дополнительных условиях: гр = О при 2 = 0, а на бесконечности должна быть ограниченность. Если учесть замену переменных, то мы получим 屮=0 при Е = —са/走.Уравнение (21) с переменными коэффициентами. Его решениями служат функции
屮=]/e么(次)，
где Z” ——произвольная цилиндрическая функция номера v. Условие ограниченности на бесконечности отбирает из всех цилиндрических функций функции Макдональда Kv (г):
屮=KW“v (9・
Теперь нужно найти значения 三， обращающие эту функцию
в нуль. Функция Макдональда имеет ветвление в нуле. Корни этой функции нужно искать на листе | arg ^ | vn, для того чтобы вдоль луча, проведенного от корня вправо в бесконечность, функ
ция К、затухала. При обратном переходе к старому переменному
N этот луч превращается в полуось [0, +оо]. Пусть ^п ——один из таких корней. Тогда сп =—々Еп/а, и функция 屮= j/^a (zу-^ X XKv(a (z*j удовлетворяет всем условиям задачи.
Рассмотрим разные случаи. 1. Пусть Ri >1/4. Тогда v = i模一
чисто мнимое. Можно показать, что функция Макдональда чисто мнимого номера в области | arg ^| <я имеет счетное множество нулей при Е вещественном положительном, эти нули стяги
ваются к началу координат, других же нулей функция в этой области не имеет. Без труда можно получить асимптотику этих нулей вблизи начала координат Е = 0. Для этого возьмем главные члены разложения функции Макдональда в ряд по степеням Е：
К, (Е)〜const К/2尸工(1 — у)—电2)”( 1 十、川 с [gTN In(а/2) ~1п |Г(1-/Ц)]-/argr(l-①)—
—ggn &/2)_ln ]P(l-g 丨 + i ar" (IT叫=
_ ед-】11 |Г (1 -小)]sin [-卩 In (；/2) - arg Г (1 - i^)]
Отсюда получается счетная последовательность положительных корней:
Е〃』2ехр { — [n〃+argF（l —加）]伍}.
Собственные значения задачи даются асимптотической формулой с〃~（-2"а）ехр {—[加+ argF（l — Z卩）]何.
Они все вещественны. Имеет место устойчивость.
Отметим еще некоторые свойства решений. С ростом волнового числа а все собственные числа стягиваются к нулю. Частоты ас остаются примерно постоянными. Что касается собственных функций 屮，то они заметно отличны от нуля лишь в окрестности начала координат г = 0 порядка 1/сс, т. е. с ростом а они прижимаются к твердой поверхности. При уменьшении устойчивости, т. е. при Ri-> %, собственные числа очень быстро собираются к нулю.
2. Пусть Riv%. Тогда v вещественно, | v | V%. В этом случае можно показать [3], что функция К” 传）не имеет корней в области |argj| < л. Таким образом, в этом случае не существует таких с, чтобы 屮（力之——с） удовлетворяло уравнению и краевым условиям. Иначе говоря, задача не имеет решений в виде нормальных волн.
Возникает вопрос, как толковать полученный результат. Можно ли считать случай Ri <1/4 устойчивым или нет? Поскольку, как уже было сказано, число Ричардсона представляет собой меру устойчивости, Прандтль был склонен считать, что при Ri <1/4 появляется неустойчивость. Для выяснения этого вопроса следует обратиться к первоначальному определению устойчивости, данному в начале этой книги. Нужно исследовать устойчивость решения задачи Коши относительно возмущений начальных данных. Так вот, соответствующее исследование для настоящей задачи, основанное на решении задачи Коши методом преобразования Лапласа, показывает, что течение устойчиво и при Ri V %. Это исследование слишком сложно и не может быть здесь изложено. Однако можно привести некоторое нестрогое рассуждение, говорящее в пользу предположения об устойчивости течения. Нестрогость будет состоять в том, что мы откажемся от краевого условия при г = 0 и будем рассматривать задачу во всем пространстве. Для такой более простой задачи все будет сделано уже строго.
Поскольку теперь ищутся решения более общего вида, чем экспоненциальные по времени, нужно вернуться к общему уравнению （7）, которое при U = hz примет вид”
-俵+（期一浊）-胧（分十々2%）屮* =
К сожалению, коэффициенты этого уравнения зависят от г, что не позволяет разделить переменные. Однако в случае линейного
профиля скорости, разбираемого нами, легко обойти это затруднение, перейдя к «полулагранжевой» системе координат, связанной в каждой точке с основным потоком,
£]=£, Z]=z, %[==% — kzt.
Одновременно делаем подстановку гр = ехр (рг/2)%, уничтожающую член с первой производной искомой функции по г. Уравнение принимает вид
Здесь коэффициенты уравнения зависят уже не от г, а от f. Поэтому можно искать решение, гармонически зависящее от пространственных координат, %(/) exp f (/xi + пг). Для %(£) получается обыкновенное дифференциальное уравнение
爲5俨+ 〃 + (_砌2] % —恤併十g§敢=0.
Нужно исследовать поведение решений этого уравнения при оо и показать, что они всегда остаются ограниченными. При больших f можно пренебречь константами в коэффициентах по сравнению с членами, пропорциональными t:
炉/% 需十4必用 _< 一(2炉/2+g§/2)x+o.
Решения этого уравнения суть С—^ + С?加％ где mi,從2 ——это корни квадратного уравнения,
т (m — l)4-4/n-|-(2-|-Ri)=0.
При RW% они вещественны и отрицательны, при Ri > V4 они представляют собой комплексно сопряженную пару с отрицательной вещественной частью. Во всех случаях решения затухают.
Шестой пример представляет собой частный случай предыдущего, допускающий более простое исследование.
Профиль скорости оставим тот же, линейный, U = kz. Но жидкость будем теперь считать однородной. Как и в предыдущем примере, можно исходить из уравнения (7), положив в нем 0 = 0. Но можно получить уравнение и более низкого порядка, считая не только среднюю плотность постоянной, но и начальные возму- ^ния плотности отсутствующими, т. е. что жидкость остается однородной во все время движения. (В принципе можно рассматривать и другой случай, когда жидкость однородна, но в начальный момент возмущена плотность, например, растворением каких-либо солей; тогда порядок уравнений не понижается.)
В рассматриваемом случае можно воспользоваться уравнением (6), положив в нем 0 = 6, р' = 0:
Зависимость от % продолжаем считать гармонической: exp (fax). Полученное уравнение
("^"十"显2)(屮zz -壮中)=0(22)
нужно решать при начальных и граничных условиях
屮(2, 0)=屮0(n)，屮(0, /)=0,
巾(z, t) ограничено при г-> оо.
Уравнение (22) интегрируется по / без труда
Произвольная функция f (z) определяется начальным условием:丿⑶==(屮o)zz —屮о・
Осталось решить дифференциальное уравнение второго порядка по z при заданных краевых условиях. Решение находим методом вариации произвольного постоянного:
屮=—/；6-"依"(0 sh a 3 - 0 Л+c^+^е-^. z
Нужно сделать какие-либо предположения о начальных условиях 屮о (z), чтобы этот интеграл сходился. Например, можно предположить, что эти начальные условия отличны от нуля лишь в конечной области изменения z. Константы Ci и (?2 должны быть найдены из условия ограниченности на бесконечности и обращения в нуль при z = 0. Легко при этом получить
屮(2, f)= - ；『6一改"(Q) sh a (z -。dQ 一
oo
一'r J 6一"""/(0 sh (呜或.
о
Непосредственно очевидно, что это выражение ограничено при /т 8. В самом деле, оно не превосходит
；j”0 I sh a I Т/⑼ sh (吟 e』z 或.
N0
Чрезвычайная простота решения этой задачи обусловлена вырожденным видом уравнения (22). В более общих случаях в этом уравнении будут еще члены, например, пропорциональные 2.
22
Удобным методом исследования тогда становится метод преобразования Лапласа. Для однородной жидкости это исследова^ ние проводится ниже, п. 10.
Сделаем еще одно замечание, касающееся примеров неустойчивости при разрыве плотности или скорости (примеры 1, 3, 4). Здесь имеет место не просто неустойчивость при оо, а очень сильная неустойчивость: для сколь угодно малого отрезка времени найдется такая достаточно короткая волна, которая за этот промежуток времени возрастет в любое наперед заданное число раз. Это видно из того, что мнимое собственное значение для скорости волны получилось в этих примерах не зависящим от волнового числа. Следовательно, инкремент возрастания пропорционален волновому числу. Если бы мы не искали волновые решения, а решали задачу с начальными условиями для уравнений (7, 9, 10), зависящих от времени, то мы бы получили некорректную задачу Коши для эллиптического уравнения.
Общие теоремы, основанные на интегральных соотношениях
Одним из основных методов исследования оператора в гильбертовом пространстве является изучение свойств его квадратической формы. Таким образом доказывается вещественность спектра самосопряженного оператора, полуограниченность спектра дифференциальных операторов и т. п. В теории гидродинамической устойчивости это также широко применяемый прием. Сейчас будут получены некоторые свойства спектра, которые можно найти таким способом.
В одном из разобранных примеров важную роль играло значение числа Ричардсона, равное i/好 Оказывается, это значение является в известном смысле критическим и для общих расслоенных течений. Надо только заметить, что число Ричардсона, вообще говоря, есть локальная характеристика, переменная в разных точках сечения потока.
Теорема 1 (Майлс—Говард [19, 21]). Плоскопараллельное течение расслоенной жидкости, число Ричардсона которого g6/(U')2 всюду больше %, устойчиво.
Докажем, что уравнение (12) не может иметь невещественных собственных значений с при условии 屮=0 на твердых границах. Пусть это не так, и с — невещественное собственное значение. Обозначим W = U — с и введем взамен 屮 новую искомую функцию G —^/yw. Легко проверить, что G должно удовлетворять уравнению
(—«С)' - [_|_(6и，у 十々2?旷十° 卜-1 (=(и)2_ g叫 g = o.
Краевые условия——G = 0 на твердых границах. Умножим это уравнение на G* и проинтегрируем по всему сечению потока:
十。[4■(⑺2-gB]/1制2}座=0.
Возьмем мнимую часть полученного равенства. Так как предположено, что Im с*0, то
[0{1" +公旧2++3 — 貝⑺2] . 1a"2}厶=0.
При 4g(3>(U')2, т. e. при Ri>1/4 это невозможно.
В приведенном выше примере устойчивость имела место и при Ri <1/4, но это уже не является общим фактом, а зависит от типа течения.
Л4ы не будем сейчас рассматривать стратифицированные течения, а займемся случаем однородной жидкости р =0, р'=0, для которого известно больше общих результатов. Уравнение (12) превращается в
(U — e)(屮〃 一a2屮)一 U3 = 0. (23)
Это простое уравнение носит название уравнения Релея.
Теорема 2 (Релей) [11]. Плоскопараллельное течение однородной несжимаемой идеальной жидкости устойчиво, если профиль скорости U(2)не имеет точек перегиба.
(Это достаточное условие устойчивости не является, как будет показано ниже, необходимым.)
Для доказательства разделим уравнение (23) на U — с, умножим на комплексно сопряженное 屮* и проинтегрируем по всему сечению потока
J 产屮*一a2] 屮 |2—u〃川2/(U _ c)}dz = 0.
Если проинтегрировать по частям, воспользовавшись обращением 屮 в нуль на границах, то получится
J {| 少'|2+a2 Pp?+u" I 屮門(U - c)}庇=0.(24)
Мнимая часть этого равенства дает
Im с J U〃 I 屮卩/1U — с |2 万z = 0.(25)
Если предположить, что Im с^0, то для того, чтобы это равенство могло иметь место, необходимо, чтобы U" меняло знак, т. е. чтобы профиль скорости имел точку перегиба. Заметим, что U' — это вихрь основного течения. Поэтому условие Релея можно сформулировать также следующим образом: для устойчиво-
24
сти течения достаточно, чтобы вихрь течения монотонно изменялся поперек течения, от стенки до стенки.
Еще одно достаточное условие устойчивости дает следующая теорема.
Теорема 3 (Фьортофт [17]). Если существует такая константа К, 〃т。(U —U〃30, то течение устойчиво.
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что условие сформулировано таким образом, что оно содержит и теорему Релея, которая получится, если предположить, что U〃 не меняет знака и взять 1Kl >max|U| и ^ того же знака, что и —U". Другой частный случай ——когда U〃 имеет одну точку перегиба Zc： U〃(Nc) =0 и [U — U(Nc)]U〃>0. Тогда в качестве К надо взять U(2c)・ Соответствующий профиль скорости изображен на
0丿勿0丿勿Рис. 1. Профили скорости.а) критерий Фьортофта применим, 3) критерий Фьортофта неприменим.Рис. 1. Профили скорости.а) критерий Фьортофта применим, 3) критерий Фьортофта неприменим.
0丿勿
0丿勿
Рис. 1. Профили скорости.
а) критерий Фьортофта применим, 3) критерий Фьортофта неприменим.
Рис. 1. Профили скорости.
а) критерий Фьортофта применим, 3) критерий Фьортофта неприменим.
рис. 1 а. На рис. 1 6 показан профиль скорости, к которому критерий Фьортофта неприменим (что, впрочем, еще не свидетельствует о его неустойчивости).
Для доказательства теоремы Фьортофта опять предположим, что имеется невещественное собственное значение с, и возьмем вещественную часть равенства (24)
j 2 介j 旧血 V 0.
В этом неравенстве сг можно заменить на любую константу, так как сг стоит коэффициентом при интеграле, равном нулю [в силу (25)]. Тогда имеем
Теперь видно, что такое неравенство возможно лишь, если где-нибудь внутри области есть точка, где (U — K)U〃vO, в противном случае невещественных собственных значений быть не может. Теорема доказана.
Следующая теорема оценивает величину невещественных собственных значений. Она верна и для устойчиво расслоенной атмосферы, если оставить лишь гравитационное влияние расслоения, т. е. в уравнении (12) учесть лишь тот член с 0, где есть g, т. е. последний.
Теорема 4 (Говард) [19]: Все невещественные собственные значения (и вещественные, если р = 0) лежат s круге, диаметром которого является отрезок [Umin, UmaxL
Для доказательства удобно рассматривать течение в системе координат, движущейся со скоростью, средней между t/min и Umax. Тогда диапазон изменения скоростей будет [—Uo, Uo], где Uo= (Umin+Umax)/2. Это преобразование равносильно подстановке в уравнение (12)
U = ("min + Umax)/2 + “，С = ("min + "max/十力・
Пусть теперь с — любое невещественное или вещественное число, не лежащее на отрезке [—Uo, Uo]. Заменим -функцию W(z) на f(z)=屮(z)/(U —— c). Функция U — с не обращается в нуль на отрезке интегрирования, f удовлетворяет уравнению
[(U — C)2/，「—々2(и — с)2/g”.
Умножим обе части на 产 и проинтегрируем по г:
J (U — C)2 {|/干 + %2 I 川2} 〃 = J ёШ?^
Отсюда уже видно, что с не может быть вещественным для однородной жидкости, при р = 0. Для невещественных же выделим сначала мнимую часть
Ct^U-crn\f^^\fndz=Q.
Значит —Uo vcrVUo. Выделим вещественную часть
j [(U — *У —凰"】2十连力2}虑=J g? [肝血。
Комбинируя эти два интегральных соотношения, получаем
J[U2 -|咱{|尸f+a2⑺2}dz=/gp⑺2血＞0.
Отсюда I с 12《％, , что и доказывает теорему.
Исследование устойчивости с помощью законов сохранения
Как уже подчеркивалось, отсутствие неустойчивых нормальных волн и на самом деле означает устойчивость относительно любых начальных возмущений. В общем виде это трудная теорема, доказывать которую сейчас не будем (см. п. 10). Но для теорем Релея и Фьортофта об устойчивости можно дать простое доказательство, не использующее нормальных волн, т. е. достаточно исчерпывающее.
Напишем уравнение, содержащее производную по времени.. Это уравнение уже появлялось в конце п. 2 [см. (7,)]. Если зависимость от % по-прежнему экспоненциальная, как exp (iax), то
(房十汝U卜屮〃 一 a2ф) 一 〃U" = 0.(26>
Обе части уравнения умножим на 屮*, проинтегрируем по всему сечению и возьмем вещественную часть
—Ю (I 屮干十必卜,(2)废十2 Re hj U (炉 一 a26) 6* dz = 0・ (27)、
Предположим теперь, что существует такая константа К, что ((/ — K)/U〃 непрерывна во всем сечении потока. Умножим уравнение (26) на (屮* —壮屮*) (U — K)/U〃，проинтегрируем и возьмем вещественную часть
—*『(и—к)屮一吟ним十
十2ReE J U^f-^)6dz=Q.(28)、
Уравнения (27) и (28) сложим
亲J (I屮干+a2屮2+(и-К)屮一叫口u〃)応=0.(29),
Таким образом получен некий инвариант движения, выражаемый интегралом, квадратичным относительно поля1|;. Пусть в начальный момент течение возмущено слабо, т. е.屮 мало, одновременно с 屮‘ н 屮〃(т. е. скорость и вихрь малы), тогда полученный инвариант был малым. Таким он остается и во все время движения. Если профиль скорости таков, что (U ——K)/U〃>0, то из малости интеграла следует малость в среднем квадратическом величин 屮，屮‘ и 屮〃 во все время движения, т. е. устойчивость течения. Условие положительности (U — K)/U〃 есть условие теоремы 3.
Приведенное доказательство основано на сохранении некоторой квадратичной величины (29). Физический смысл этой величины не раскрыт, и вообще пока не ясно, является ли само существование такого инварианта случайностью или следует из неких общих принципов. Это не может быть просто следствием закона сохранения энергии, так как сохраняется суммарная энергия основного течения и возмущений, что не мешает возмущениям развиваться за счет энергии основного течения. Сейчас будет показано, что закон сохранения (29) есть следствие двух общих принципов: закона сохранения энергии и сохранения вихря. Метод, развиваемый ниже и предложенный впервые Фьортофтом и Арнольдом [1, 17], имеет и то преимущество, что он не требует линеаризации уравнений и при некотором
уточнении оценок является вполне строгим для малых, но конечных возмущений.
Исходим из первоначальной нелинейной системы уравнений (2), (3), но жидкость предполагается однородной, р = const. Тогда последнее уравнение отпадает. Пользуясь уравнением неразрывности, вводим функцию тока
〃=一屮z, з =屮*.
Возьмем вихрь от уравнений (2), т. е. первое продифференцируем по 之,второе по % н вычтем. Получается
小十电 Дф]=О,(30)
где [Л, B}=AXBZ — AZBX ——якобиан. Это есть известное уравнение сохранения вихря в двумерном несжимаемом течении. Без труда проверяется сохранение энергии
E^~^^^dxdz.(31)
Нужно лишь предположить в качестве граничных условий, во- первых, непротекаемость границы р = const, во-вторых, сохранение циркуляции скорости на границе ^{d^ldti) dl = const. Тогда имеем
Примечание. Вообще говоря сейчас не предполагается, что течение плоскопараллельное и заключено между параллельными плоскостями. Оно может быть и в ограниченной области, например в замкнутой криволинейной щели. В этом случае энергия конечна. В случае же неограниченной области возникает трудность, связанная с бесконечностью энергии. Можно справиться с этой трудностью, несколько ограничив общность: рассматривая периодические течения и энергию по периоду. Или течения, для которых существует средняя энергия, в смысле lim (1/Т) J... dx. Сюда войдут периодические течения, но уже Tf8о
не с фиксированным периодом, почти периодические и другие.
Кроме энергии, существуют и другие интегралы движения. Именно, пусть Ф (Д-ф)—произвольная функция от вихря, тогда сохраняется интеграл
/ = J j(I)(Дф) dxdz./ = J j(I)(Дф) dxdz.(32)(32)
/ = J j(I)(Дф) dxdz.
/ = J j(I)(Дф) dxdz.
(32)
(32)
Это и непосредственно очевидно, так как если рассмотреть область, где ①（Ллр） заключено между фиксированными значениями а<Ф （Дгр） < b （множество Лебега）, то в силу закона сохранения вихря （30） эта область состоит все время из одних и тех же частиц жидкости и, следовательно, площадь ее постоянна （несжимаемость） .Тогда интеграл, который можно понимать по Лебегу, постоянен. Но можно и формально проверить:
d〃df = j J 飢（△屮）A%dxdz= — J j 飢（А屮）［屮，△中］dxdz ==+J J I①（△屮），中］dxdz = J J｛（①（M）屮lz -
——（①（a屮）%）J dx clz =，①（A屮）d屮=0.
Пусть теперь имеется некоторое стационарное течение с функцией тока 屮0. Устойчивость этого течения требуется исследовать. Составим сохраняющийся функционал 尸［$］ = £* + /, причем нам удастся подобрать произвольную функцию ①（Ар）, входящую в функционал / таким образом, чтобы функционал F ［屮］имел при 屮=屮0 экстремальное значение по сравнению со всеми близкими полями 屮.Сразу предположим, что вихрь Аро изменяется монотонно при переходе от одной линии тока гр0 = const к другой, т. е. Ai|?o есть монотонная функция от 屮о. （Для плоскопараллельного течения, как уже говорилось ранее, это означает монотонность U，⑶,т. е. условие Релея — отсутствие точек перегиба в профиле скорости U（z）.） Поскольку монотонная функция обращаема, то можно считать, что 屮о есть монотонная функция от Аро ： ро =11f （Аро） • Теперь разложим функционал 尸［叨 по степеням отклонения 屮 —— 屮о = 3屮
尸［中］=尸［屮o］十J JB中0^屮十①，（*0）А姉｝d*d2+
+ GJJ ｛（V冲2十①“（A屮。）（A"屮）2｝"X介+
Преобразуем первый из интегралов:
J J ｛V屮0Vg + ①，（A屮o）Ae屮｝ dxdz = \ J ｛—屮o+（D，（△屮о）｝ △》？ dxdz и вместо 屮о подставим 4f （Apo）:
J j ｛一讨（△屮 o） +①'（A 屮 о）｝ Agdxdz・
Достаточно положить теперь ①‘=屮,чтобы первая вариация обратилась в нуль. Тогда имеем
F ［ф］—尸仲о］ =4 J『｛"3 屮）2 十迎'（Мо） （△讪）2｝ dxdz+
В случае плоскопараллельного течения можно написать 4r'（А屮о） =U（z）/U〃（z）. Далее используем следующее рассуждение. Рассмотрение можно проводить в любой системе координат,
движущейся относительно исходной с постоянной скоростью К. Если 2 ——функция тока в этой новой системе координат, то выражение для 尸［г|)］ примет вид
尸閘一尸刨=；］J ［(V汕叶人食f⑷屮H dxdz+...
(33)
Пусть при некотором К коэффициент (U — К) /U〃 положителен. Тогда квадратическая относительно б© форма, главная часть (33), положительна, т. е. выполняется достаточное условие минимума функционала F ［гр］. Эту квадратическую форму можно взять в качестве нормы, меры отклонения гр от «о：
П屮一屮。向=4J " ^屮尸十3尸(A3屮H dx血.
В качестве второй нормы |］屮——屮。口2 можно взять: 心一屮。睢尸尸岡一尸［屮。］.
Из (33), учитывая, что под многоточием скрыт остаточный член более высокого порядка малости по 5屮,получим эквивалентность норм II屮一屮oil(i)и II屮一收||(2), т. е. существование констант &>0 ис2>0, таких, что
G П 屮一屮。ll(i)IIФ—% Н(2)《с2 H 屮一％ II(d- (34)
Норма II ||(2)инвариантна во времени — следствие сохраняемости функционала 尸伸］.Пусть теперь в начальный момент течение слабо возмущено, в том смысле, что малы отклонения скоростей и вихря, ▽6“ н А 5屮.Тогда мала норма ||屮——屮l|(i). В силу (34) мала также норма ||$ ——屮||(2). Но эта последняя норма инвариантна, значит, она будет оставаться такой же малой все время движения. В силу второй части неравенства (33) все время малой будет оставаться также и норма ||屮——屮ll(i), а из-за положительности коэффициента (U ——K)，U〃 будут в среднем квадратическом малы скорости V бгр и вихрь АЗгр. Течение будет устойчиво. Таким образом, теорема Релея доказана здесь для нелинеаризованных уравнений, т. е. для конечных возмущений.
Если уравнения линеаризованы, то уже главная часть функционала 尸［屮］,т. е. \\^ — Woll：",，есть точный инвариант. Но это есть не что иное как полученная ранее сохраняемая величина (29), смысл которой только что выяснился.
Заметим, что примененный только что способ исследования устойчивости в точности тот же самый, которым доказывают устойчивость вращения гироскопа, закрепленного в центре тяжести (случай Эйлера) при его вращении вокруг большой или малой оси инерции. Там также имелись два закона сохранения —— энергии и квадрата момента. Поверхности уровня этих величин 30
в трехмерном пространстве угловых скоростей (или моментов) -суть эллипсоиды. Стационарные вращения соответствуют тем угловым скоростям, где поверхности обоих семейств касаются друг друга. Траектории движения ——это линии пересечения эллипсоидов двух семейств. В окрестности большой или малой оси эти линии представляют собой малые замкнутые кривые. В окрестности средней оси они гиперболического типа, т. е. приближаются к стационарной точке, а затем далеко от нее уходят. В нашем случае суть рассуждений такая же. Если функционал 尸[屮] имеет при 屮=屮0 минимум, то поверхности его уровня в фазовом пространстве полей 屮 в окрестности гр0 замкнуты. При малом возмущении точка 屮 попадает на такую поверхность и во все время движения с нее не сходит. Но вся поверхность заключена в небольшой окрестности 屮о, поэтому отклонения 屮一屮о никогда не станут большими.
Нейтральные волны. Особые точки
Возвращаемся к спектральным методам изучения устойчивости. Пока нужно было искать невещественные собственные значения с, дело обстояло сравнительно просто. Собственным называлось такое значение с, для которого уравнение Релея имело решение, удовлетворявшее всем граничным условиям и условиям на разрывах, если таковые имелись (в конце курса мы убедимся, впрочем, что и здесь дело обстоит несколько сложнее). Но при попытке определить, что такое вещественное собственное значение с, встречается существенная трудность. Вне интервала [Umm, Umax] вещественных собственных значений быть не может, значит, они должны лежать на этом интервале, если они существуют. Для таких с коэффициент U ——с при старшей производной в уравнении Релея обращается в нуль. Решение здесь имеет особую точку — точку ветвления. В самом деле, разложим решение в ряд по степеням г ——之㈠ где zc — то значение г, при котором U — с = 0. Ищем решение в виде ряда
屮1 = 3 - %)+a3 -乙产+•••(35)
Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 之一2с, будем иметь
2aU；—U； = 0
Из системы полученных уравнений находим один за другим все последовательные коэффициенты разложения. Второе решение можно получить исходя из того, что вронскиан двух решений постоянен, согласно теореме Лиувилля
屮1屮2-屮2少1 = 1 •
Отсюда получается:
屮2= —ф1 J 屮 1 2 必=—5 J(Z — &) 2 [1 +。(Z —勿)+ • • • 1 2 dz ==屮1 [(2 - 名尸+2@111(%一%)+=
=1十(U/uj屮1⑶m(—〃)+・・・(36)
Под многоточием здесь скрыта регулярная в точке z=zc функция, обращающаяся там в нуль. Получено решение, непрерывное в особой точке, но производная которого обращается там в бесконечность а главное, это решение логарифмически ветвится. Значит, все решения, кроме (35), обладают тем же свойством. Возникает вопрос, каким образом должны сопрягаться между собой части собственной функции левее и правее особой точки? Здесь не обойтись без некоторого дополнительного принципа, не содержащегося в самих уравнениях. Одна из возможностей состоит в том, что собственные функции задачи для невязкой жидкости нужно понимать как пределы таковых для вязкой жидкости при вязкости, стремящейся к нулю. Как будет видно, для вязкой жидкости решение становится однозначным, никаких особенностей не возникает. Предельный переход позволяет однозначно отбирать решения для идеальной жидкости.
Второй возможный принцип сопряжения решений ——формально математический. Волновые решения можно считать интересными потому, что с их помощью можно решать задачу Коши с любыми начальными данными. Условия на разрыве должны обеспечить возможность представления любого решения в виде суперпозиции волновых (уже говорилось ранее, что для такого представления нужно, кроме дискретного, использовать также непрерывный спектр задачи). Это требование, как можно показать, и в самом деле дает условие на разрыве, причем это условие не отличается от того, которое получается первым способом.
Сейчас будет получено условие сопряжения из третьего принципа, еще более формального, но получится то же самое. Можно изменять непрерывным образом параметры задачи, например волновое число а (или профиль скорости U(z)), и следить за изменением с. Наиболее интересны собственные числа, приводящие к неустойчивости, Im с>0. Нужно проследить за тем, каким образом при непрерывном изменении параметров собственные числа оказываются в верхней полуплоскости. Эти собственные числа движутся, очевидно, непрерывно. Они не могут прийти из бесконечности, так как они должны лежать в известном круге (теорема Говарда). Не могут они при непрерывном изменении параметров возникнуть внезапно《из ничего》. (Не вдаваясь в подробности, укажем, что собственные числа являются корнями некоторого трансцендентного уравнения W(с) =0, где W непрерывно зависит от совокупности а, с и аналитически
от с. Тогда сохранение корней является следствием «принципа аргумента»). Таким образом, единственная возможность собственному числу войти или уйти из верхней полуплоскости ——это пройти через вещественную ось. Нейтральными решениями, соответствующими вещественным с, будут считаться те, которые являются пределами неустойчивых решений с Im с>0. Ниже будет показано, к какому условию сопряжения в особой точке это приводит. Пусть при а-> а будет с, где Im о 0, а с вещественно. Из теоремы Говарда следует, что с лежит в интервале изменения U ⑶，т. е. существует такое г, что U (z) = c (их может быть и несколько). Исключим сейчас из рассмотрения особые случаи, когда точка г совпадает с одним из концов отрезка или когда это экстремальная для U (г) точка, U'(z)=0. Относи-
и'<0и>0Рис. 2. Деформация пути интегри-рования уравнения в окрестностиособых точек.и'<0и>0Рис. 2. Деформация пути интегри-рования уравнения в окрестностиособых точек.J ^^^'Рис. 3. Образ деформированногопути на плоскости U(z).J ^^^'Рис. 3. Образ деформированногопути на плоскости U(z).
и'<0и>0
Рис. 2. Деформация пути интегри-рования уравнения в окрестностиособых точек.
и'<0и>0
Рис. 2. Деформация пути интегри-рования уравнения в окрестностиособых точек.
J ^^^'
Рис. 3. Образ деформированногопути на плоскости U(z).
J ^^^'
Рис. 3. Образ деформированногопути на плоскости U(z).
тельно функции U(z) будет в дальнейшем предполагаться, что это не только непрерывная и гладкая функция, но что она аналитически продолжаема в некоторую окрестность отрезка, на котором она задана, в комплексной плоскости.
До сих пор дифференциальное уравнение Релея интегрировалось вдоль отрезка вещественной оси, пусть [а, 6]. Сейчас будем интегрировать его вдоль несколько деформированного контура, лежащего целиком в той окрестности отрезка [а, 6], где функция U(z) аналитична, и имеющего те же концы а, Ь. Если между двумя контурами, старым и новым, нет особых точек уравнения, т. е. U (г)——с не обращается в нуль, то, выйдя из точки z = a с одними и теми же начальными условиями, решения вдоль этих контуров придут к точке z = b к одинаковым значениям. Это следует из аналитичности решения и из того, что начальные условия ——значения функции и ее производной в точке z = а определяют все последовательные производные решения. Деформацию контура произведем следующим образом. Деформировать вещественную ось будем лишь в окрестностях точек г, а в остальном оставим ее неизменной. Если в точке г будет Uf (г) >0, то деформируем контур вниз, а если Uf (г) <0, то вверх (см. рис. 2). На рис. 3 изображен образ такого контура при конформном отображении, даваемом функцией U (z). Это отрезок вещественной оси, отдельные участки которого могут проходиться несколько раз (между экстремальными точками). Там, где контур был деформирован, т. е. в окрестностях точек г,
3333% 3 Заказ № 604
33
33
соответствующие значения U(z) обходят значения с всегда снизу.
Пока Im с>0, деформация контура не играет никакой роли. Но теперь при ст с на контуре ни разу не возникает особой точки уравнения. Решение вдоль деформированного контура непрерывно зависит от с при ст с. Итак, предельное решение при вещественном с получается как решение вдоль отрезка вещественной оси [а, Ь], но с обходом особых точек 乙 где U(z) =с по следующему правилу: если U'(2)>0, то особая точка обходится снизу, а если U7 (г) <0, то сверху. Учитывая характер особенности решений, то, что произвольное решение есть линейная комбинация решений (35), (36), и то, что при обходе снизу логарифм возрастает на л/, а при обходе сверху ——убывает на столько же, получаем правило: решение 屮=4屮i +5屮2 при переходе через г непрерывно, а его производная имеет скачок, равный
а)就BU〃G)/?(刁 при t/z(^)>0,
б)—冗尹и〃(6/и(К при Ur (1)<0.
Но 5=屮(乞)，поэтому скачок производной можно записать и так:
[而少伝)U〃g)/U (2),d6)>0;
Е 屮 6)u〃G)/u，(W u，G)vo・
Обе формулы объединяются в одну:
У 0+0)— у ②一 0)- шф 伝)U〃 伝)/| Uf (г) J.(37)
Если точка z случайно совпадет с одной из точек перегиба, U〃⑶=0, то, как видно из самого уравнения, особенность сокращается, т. е. точка z перестает быть точкой ветвления. Решения в этой точке аналитичны, и никакого обхода вообще не требуется.
Если при изменении параметров собственное значение с спустилось из верхней полуплоскости на вещественную ось, то при дальнейшем изменении параметров оно может опуститься далее, Im cvO. Можно ли в связи с этим сказать, что вещественное собственное значение является пределом собственных значений как из верхней, так и из нижней полуплоскости? Нет, асимметрия полуплоскостей сохраняется. В то время как решение в случае Im с>0 удовлетворяет уравнению вдоль отрезка вещественной оси [а, 6], решение с ImcvO удовлетворяет уравнению вдоль криволинейного контура такого, что значения U(г) обходят с снизу. Такие решения не имеют прямого физического смысла, так как все-таки важно знать функцию тока на отрезке [а, Ь]. Как обстоит дело в этом случае, выяснится в конце
книги. Оказывается, для затухающих решений нельзя обойтись невязким приближением. Всегда есть некоторый интервал, где существенна вязкость (внутренний пограничный слой). Вообще полное оправдание принятого сейчас принципа о том, что лишь неустойчивые решения физически осмысленны в невязком приближении, а нейтральные должны быть пределами таких, может быть дано лишь в расширенной теории, где либо решения для идеальной жидкости получаются как пределы вязких, либо рассматривается задача с начальными данными
Теоремы об устойчивости, основанные на исследовании нейтрального случая
Теорема 5. Вещественное собственное значение в смысле,, определенном выше, может существовать лишь если U〃 где-нибудь обращается в нуль.
Эта теорема дополняет теорему Релея об отсутствии в зтом случае невещественных собственных значений и, хотя не вытекает прямо из теоремы Релея, но справедливость ее интуитивно чувствуется, так как условия сопряжения в особой точке получены предельным переходом от случая невещественных собственных значений.
Д оказ ател ьство. Пусть с вещественно,屮 собственная функция, удовлетворяющая в особых точках правилам сопряжения (37). Так как коэффициенты уравнения вещественны, то при том же самом с решением является и комплексно сопряженная функция 屮*, а следовательно и вещественная и мнимая части 屮彳 решения 屮.Согласно теореме Лиувилля, вронскиан этих двух решений W = vrv/. — и；% =1гп2*х|/ постоянен между любыми двумя особыми точками. В самих же особых точках скачок этого вронскиана, по (37), равен
№ (г+0)- ^(^-0) = ^1 Ф © F U" (г)/| {/ (г)[・ (38)
На концах отрезка [а, Ь] вронскиан обращается в нуль в силу краевых условий. Поэтому все скачки должны взаимно уничтожаться, т. е. либо U〃 в них имеет разные знаки, либо U" обращается в нуль во всех особых точках.
Обратим еще внимание на следующее обстоятельство. Казалось бы, скачок вронскиана может обращаться в нуль не за счет а из-за обращения в нуль 屮 во всех особых точках. Но тогда функция 《/(U ——с) будет непрерывной, и полностью проходит доказательство невозможности существования такого собственного числа, такое, как в теореме 4 п. 5. Это завершает доказательство теоремы 5.
Далее класс изучаемых профилей скорости будет ограничен. Именно, введем два типа профилей:
А. Скорость растет монотонно, U‘>0, и имеется одна точка перегиба U〃 = 0, причем в этой точке U〃'vO, т. е. U' имеет в этой
точке максимум.
Б. Профиль скорости симметричен относительно начала координат, т. е. функция U четная U (——n)=U(z). На половине отрезка, т. е. на [а, 0] эта функция предполагается удовлетворяющей условию А.
Случай, когда в единственной точке перегиба профиля скорости U' имеет минимум, не разбирается, потому что этот слу-
всегда устой-всегда устой-чай уже изучен ——по теореме Фьортофта (теорема 3)
всегда устой-
всегда устой-
относящийсяотносящийсятакое течение чиво.
относящийся
относящийся
Профиль,
к классу А, изображен на рис. 1 6. Случай Б не очень существенно отличается от А. Это можно установить таким рассуждением. По-
скольку уравнение имеет четные коэффициенты, то вместе со всяким решением 屮⑶ решением является также и 屮(——г). Но двух линейно независимых решений, обращающихся в одной точке z = a в нуль, быть не может: всегда можно найти их линейную комбинацию, у которой производная в этой точке равна нулю, а следовательно, по теореме единственности равную нулю тождественно. Поэтому 屮(一之)=优1|)(2), где т некоторая константа. Имеем 屮(z) = = m^(—z) =m^(z), т. e. m2= 1 и m = ± 1. Если m= 1, то это означает, что решение четное, при т = — 1—нечетное. Итак, задачу всегда можно рассматривать на половине отрезка, [а, 0], поставив при 2 = 0 краевое условие четного, ip7 (0) =0, или нечетного 2(0) =0 продолжения. Профиль скорости, удовлетворяющий условию Б, изображен на рис. 4.
Теорема 6 (Толлмин) [25]. Если профиль скорости относится к типу А или Б и для некоторого а имеется вещественное собственное число с, то это собственное число переходит в верхнюю полуплоскость Im с>0 при уменьшении а.
Доказательство. Прежде всего отметим, что в случае профилей скорости типа А и Б если с вещественно, то соответствующая точка z, где U ⑺=с обязательно является точкой перегиба, U〃(z) =0. Согласно замечанию в предыдущем пункте эта точка тогда не является особой, она регулярная и собственная функция в ней аналитична. В самом деле, в случае А профиль скорости монотонный. Следовательно, для данного с имеется лишь одна точка г. Поскольку скачки вронскиана W в сумме
по всем особым точкам должны давать нуль, а точка одна, то это значит, что скачок в этой точке равен нулю, т. е. U〃⑶=0.
Для профиля типа Б проходит то же рассуждение, если только применить его к половине интервала, [а, 0] и учесть, что и в точке w = 0 вронскиан должен в силу краевых условий четного или нечетного продолжения обращаться в нуль, значит и на полуинтервале скачки должны сокращаться.
Итак, пусть при некотором значении а, обозначим его а0, с становится вещественным, Q. Будем считать сейчас с и само решение 屮 функцией от а2. Пусть &)— то значение, при котором U (а) = Со. По доказанному U〃(No)=O. Обозначим производную решения 屮 по параметру а2 как ср:。屮/0%2 =屮 Уравнение
屮"一咽一Tт4 屮=0(39)
дифференцируем по а2:
4?一中一中.爲=°・(40)
Положим а2 = а^.г Уравнение (39) умножим на ср, уравнение (40) на 屮，вычтем одно из другого и проинтегрируем по отрезку [а, Ь] (или по отрезку [а, 0], в случае Б). При этом интегрировании точку zo обойдем снизу, т. е. интегрируем по такому контуру, как показано на рис. 5. Будем иметь
=(41)
В первом из интегралов подынтегральная функция непрерывна в точке No, поэтому его можно понимать как интеграл по отрезку. Если радиус полуокружности в контуре рис. 5 стремить
Рис. 5. Деформация пути интегрирова-z0
ния уравнения в окрестности особой а卜一 a1 匕仞丿
точки.
к нулю, то второй интеграл превратится в сумму главного значения в смысле Коши по отрезку вещественной оси и половины вычета подынтегральной функции, умноженного на 2л7. Этот вычет нетрудно сосчитать, он равен U^^(2о) / (U7(2о))2 • 1|)2(2о). Обозначим
A = J 屮2厶〉0,5 = v・ р・ f UWU-c^dz,
Тогда соотношение (41) примет вид dclda2=—AI(B + iC).
Мнимая часть этого равенства дает
d Im c^d^ = ACI(В2 + С2) < 0, что и показывает, что мнимая часть становится положительной, когда а2 убывает от своего значения а^.. Теорема доказана.
Эта теорема имеет важное следствие. Если уменьшать все время а2, то собственные значения с, вызывающие неустойчивость, т. е. имеющие положительную мнимую часть, могут лишь появиться, а исчезнуть не могут. В самом деле, при непрерывном изменении а2 они непрерывно перемещаются, причем не могут уйти в бесконечность (теорема 4) и при уменьшении а2 не могут стать вещественными. Поэтому наименее устойчивы волны с минимальными а, т. е. самые длинные. Точная формулировка такова: течение с профилем скорости типа 4 или Б устойчиво тогда и только тогда, когда при а = 0 нет собственных чисел с Im с = 0.
Теорема 7 (Толлмин). Течение с профилем скорости типа Б всегда неустойчиво.
Значение этой теоремы состоит в том, что она впервые дает некоторое достаточное условие неустойчивости. Без нее для нас оставалось бы неясным, существуют ли вообще неустойчивые течения однородной несжимаемой идеальной жидкости с непрерывным профилем скорости.
Доказательство. Достаточно доказать, что при некотором значении а имеется нейтральная волна, т. е. вещественное собственное значение с. Тогда при меньших значениях а она станет, по теореме 6, неустойчивой. Нейтральное значение с может быть, по доказанному, лишь таким, что U〃(z) =0 для того г, для которого U(г) =с. Т. е. с должно равняться значению U в точке перегиба. Фиксируем это значение с. При любом а можно построить решение уравнения
屮〃 一叫-b“/( U — с) = 0,
удовлетворяющее в точке z = 0 условию четности г|/ (0) =0 и как- нибудь нормированное, например, гр(0) = 1. Будем непрерывно изменять а и смотреть, что делается с этим решением. При а = 0 это решение без труда находится. Это p=(U(z)——c)/(U(0)—— ——с). В самом деле, оно удовлетворяет уравнению
"U"/(U — c) = 0,
и краевому условию в точке 之=0, так как U ——функция четная. Оно также, нормировано в этой точке. График этого решения показан на рис. 6 сплошной линией. Кривая один раз пересекает ось абсцисс между точками 2 = 0 и а = а. Наоборот, при очень больших значениях а, намного превышающих U〃/(U — с), решение близко к решению уравнения
中〃—a2, =0
при том же краевом условии. Иначе говоря, асимптотически при больших а имеем
屮 ~ ch аг.
Эта функция не имеет нулей и график ее показан пунктиром на рис. 6. Так как при непрерывном изменении а решение обя
зано непрерывно изменяться, то отсюда следует, что при некотором промежуточном значении а нуль функции гр совпадет с точкой а = 〃，так как при непрерывном изменении а он должен сойти с отрезка [а, 0] и уйти в бесконечность. Это и будет то
значение а, при котором решение, удовлетворяющее краевому
условию в правом конце, удовлетворяет и условию в левом конце. При этом значении а выбранное значение с является соб
ственным. При меньших значениях а, как было уже сказано, с переходит в верхнюю полуплоскость. Теорема 7 доказана.
Рис. 6. К доказательству теоремы (7): решения при а = 0 и при больших а.Рис. 6. К доказательству теоремы (7): решения при а = 0 и при больших а.Эта теорема не является обратной к теореме Релея, утверждающей, что отсутствие точек перегиба гарантирует устойчивость, так как для неустойчивости недостаточно наличия точки перегиба, а нужны еще некоторые качественные условия (профиль типа Б).
Рис. 6. К доказательству теоремы (7): решения при а = 0 и при больших а.
Рис. 6. К доказательству теоремы (7): решения при а = 0 и при больших а.
Сейчас будет дан окончательный критерий для выяснения вопроса об устойчивости профиля типа А.
Теорема 8 (Розенблют, Симон [23]). Для устойчивости течения с профилем скорости U(z), zw[a, b] типа А необходимо и достаточно, чтобы
6
1 / [и (и-77)] l^ + J и〃(h)-2 (и „т；)-1 dz > о,(42)
а
где U — значение U в точке перегиба, U〃 = 0.
Доказательство. Итак, пусть U(z)—монотонно возрастает на отрезке [а, 6], имеется одна точка перегиба г, Urr (г)= =0 и в точке перегиба U'〃v0, т. е. U' достигает в ней макси- мума. По следствию из теоремы 6 необходимым и достаточным условием устойчивости является отсутствие невещественных кор~ ней при а = 0. Имеем уравнение
(43)
Нужно построить два линейно независимых решения этого уравнения. Одно из них совершенно тривиально. Это 屮i = U ——с. Если
известно одно решение, то остальные вычисляются в квадратурах. Пусть 屮——любое другое решение. Вронскиан этих решений должен быть постоянным
屮'屮1 -屮工=k.
Решая это уравнение методом вариации произвольного постоянного, будем иметь
^=.K(U-c)[(U-cy2dz+L(U-cY
Из краевого условия р(а)=0 следует, что L =0. Из второго краевого условия 2(b) =0 имеем
ь
J(U-c)-2 dz = о.(44)
а
Это п есть уравнение, определяющее собственные значения. Нужно исследовать, имеет ли оно корни в верхней полуплоскости, Im с>0. Если принять за новое переменное интегрирования U, пользуясь монотонностью U (z), то уравнение запишется в виде и(ь)
j (dzldU)(U — c)-2dU = Qи⑺
Рис. 7. К доказательству теоремы Розенблюта и Симона: обход полуплоскости Im с〉0.
Преобразуем интегрированием по частям: и (Ь) и (Ь)
— (dzldU)(U — c)7 I 十 J (d2N[dU2)(U — c『dU=G・ (45) "(a)"(a)
Левую часть этого уравнения обозначим 尸(，).Сейчас будет применен принцип аргумента, который гласит: число корней аналитической функции внутри некоторого замкнутого контура, с учетом их кратности, равно числу обходов точки 尸(с) вокруг начала координат, когда с совершает обход по контуру. Рассмотрим такой контур, как на рис. 7. Если подсчитать число корней внутри этого контура, а затем устремить радиус большого полукруга к бесконечности, а малых к нулю, то в пределе будет получено число корней во всей верхней полуплоскости. На рис. 8 показано, во что отображается этот контур функцией F (с). Цифрами на том и на другом рисунке показаны соответствующие части контуров. Остановимся на этих дугах отдельно.
Рис. 8. Отображение контура рис. 7 функцией 尸(с).Рис. 8. Отображение контура рис. 7 функцией 尸(с).
Рис. 8. Отображение контура рис. 7 функцией 尸(с).
Рис. 8. Отображение контура рис. 7 функцией 尸(с).
На большой дуге / 尸(с)〜(b ——а) /с2, как это следует из представления 尸(с) через интеграл (44). Поэтому образ полуокружности / ——малая окружность, проходимая по часовой стрелке, как и изображено на рис. 8. На отрезках 2 и 3 функция 戸(с) вещественна и положительна. Когда с приближается к концевым точкам,尸(с) сильно растет. В окрестности этих концов лучше воспользоваться представлением функции 尸(с) по формуле (45). Интегральный член имеет логарифмический порядок роста по отношению к。(〃)一с, U(b)—с, а первый член ——значительно больший порядок (U(〃)——с)-* (U(b) —с) ^.Поэтому
(%&〃)〃(“).U (〃)一 С ，
—g 丨 dU) и(ь\
f u(刀)и (方)—e ,
Когда с описывает дуги 4 а 5, F (с) описывает против часовой стрелки большие полуокружности, показанные на рисунке. Остался один участок 6 — часть вещественной оси между U (а) и U (Ь). Покажем, что на этом отрезке F (с) становится вещественным только один раз, когда c = U (г). Для этого найдем мнимую
часть 尸(с). Значения 尸(с) на вещественной прямой нужно брать предельными из верхней полуплоскости, так как внутри контура, включая границы, функция должна быть аналитической, чтобы применять принцип аргумента. Для F (с) на отрезке [U (а), 0(b)] формула (45) будет давать предельные значения £(с) из верхней полуплоскости, если интеграл в этой формуле понимается взятым по деформированному вниз в окрестности точки U = c отрезку. Если радиус дуги вокруг точки с устремить к нулю, то интеграл превратится в сумму главного значения Коши и половины вычета подынтегральной функции в точке U ——с, умноженной на 2яЛ Поэтому
Im F(с) = ^d2zldU2 |〃=с，
и (Ь)и а)
ReF ⑹——需，^ I +v. p. J 黑，^. (46) U ⑷U (а)
Мнимая часть обращается в нуль только один раз, когда d2z/dU2 = 0. Но d*^и =—々иId*)(dUIdz「3. Значит GzIdU』 =0 при U = U = U(力,где U〃(z)=0. Заметим еще, что, по предположению о профиле скорости, U〃(z) изменяется при возрастании z от положительных к отрицательным значениям. Поэтому d^/dU2 изменяется при возрастании U от отрицательных к положительным значениям. Значит 尸(с) переходит от отрицательных к положительным значениям, что и показано на рис. 8.
На рис. 8 изображено два варианта дуги 6. В одном из них вещественная ось пересекается правее начала координат, в другом——левее. Геометрически очевидно, что в первом случае 尸(с) совершает один обход вокруг начала координат в положительном направлении, против часовой стрелки (на рисунке это легче усмотреть как разность между одним обходом по часовой стрелке и двумя ——против). Во втором случае ——ни одного обхода. Значит в первом случае в полуплоскости имеется один корень,. и течение неустойчиво. Во втором ——корней нет, и течение устойчиво. Аналитический критерий для различения этих случаев получается, если найти Re F(c) при значении c = U, обращающем в нуль Im F (с). Устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда Re F (с) <0. Принимая во внимание (46), запишем это так:
и (Ь) и (&)
и (а) и (а)
Переходя к старому переменному интегрирования г вместо U, получим критерий (42), который и требовалось доказать.
Заметим, что попутно доказана также и другая теорема.
Теорема 9. Течение с монотонным профилем скорости 〃 с одной точкой перегиба имеет не более одной пары невещественных комплексно сопряженных собственных значений.
В самом деле, функция 尸(с) совершала не более одного обхода нуля. В случае же, когда U〃/>0 в точке перегиба, не разобранном в теореме 8, вообще нет невещественных собственных значений, по теореме 3 Фьортофта.
Рассмотрим пример. Пусть U(z) =sin az на отрезке [—1, 1], причем а<л/2 (иначе профиль не будет монотонным). Вычисляем интеграл (42):
1
I С a1 sin az dz —2— 2 tg 〃 —
a cos az sin az | J a2 cos2 az sin az — a cos a sin a 〃
a
Течение оказалось, согласно теореме 8, устойчивым.
22sh 2a优sh 2a优Второй пример. U⑶=th aw, zr [—1, 1]. i i
2
2
sh 2a优
sh 2a优
ch2〃z I C 2a- sh az ch4 ^ ^^— 2 chз a
〃 th 〃z I J ch3 az 〃2 th 优 z一 ash a
\ a sh a 丿
Отсюда видно, что при athavl течение будет устойчиво, в противном случае ——нет.
Трехмерные возмущения
Течения, устойчивость которых нас интересовала, были двумерными плоскопараллельными. Исследуя устойчивость этих течений, мы полагали возмущения также двумерными. Что произойдет, если расширить класс допустимых возмущений, введя в рассмотрение трехмерные волны, которые могут присутствовать на самом деле? Рассмотрим линеаризованные уравнения движения несжимаемой однородной жидкости:
5十。一下"y；
叫+U3%=--厂，г；
〃力+马+吗=。(U‘ = dU、dz).
Здесь основное течение по-прежнему считается направленным вдоль оси Ох и зависит лишь от одной поперечной координаты n, т. е. основное течение плоскопараллельно. Рассматриваем возмущения, гармонически зависящие от координат % и у, exp i(a% + 0y). Для амплитуд имеем систему уравнений
%十江0〃 + u‘砌=一込夕伍；
W/+%aUw = — 2z/p；
沁〃+叩0+叫=0.(47)
Выясним сначала, как обстоит дело с волновыми возмущениями, т. е. гармонически зависящими от времени ехр (——iac/). Для них уравнения принимают вид
Za (U —с) 〃十 U'm= — Zap/p;
%a (U —с) 0 = —%p夕/р；
历(U —с) w = —〃Jp；
%a么+ 2能十加z = 0.
Из первого, второго и четвертого уравнения исключаем 〃，и:
—Za (U — с) 70z + ZaU'w =侬+俨)Р/р・
Дифференцируем это уравнение по г и, с помощью третьего уравнения, исключаем р:
(U - e)(吗2 — (《2十俨)动一0"砌=0.(48)
Получилось знакомое нам уравнение Релея, где вместо волнового числа по оси Ох стоит полное волновое число у а2 + р2. Трехмерность, тем самым, ничего нового не дает. Иначе говоря, если двумерные волновые возмущения не растут, то течение является устойчивым и относительно трехмерных возмущений.
Теперь перейдем к рассмотрению более общих, чем волновые, возмущений, произвольным образом зависящих от времени. Здесь удобно от уравнений (47) для скоростей перейти к уравнениям для компонент вихря. Берем вихрь от уравнений (47), учитывая вид зависимости от координат х и у. Компоненты вихря по осям таковы:
r]=平8 —A, r2=-i^ ^uZi 「3 =①u一2昵.
Они удовлетворяют следующим уравнениям:
(03%+%U"i — UR 一 即U'〃 =。；
(力》十2a")г2 一用u"+и〃& = 0);
(а》+%и"з — %3и'т =。.(49)
Умножая первое уравнение на 用 и вычитая второе, умноженное па ia, а также учитывая
2 V1 —历厂2 = @NZ — (а2 + р) £%
получим уравнение для вертикальной скорости
(3/小—历U)[w77 一 色2+32)叫1一%u，七=0(50)
——аналог уравнения (48), но для возмущений, произвольным образом зависящих от времени. Как обычно, на твердых стенках, при z = o, b ставим краевое условие w = 0. Уравнение для вертикальной скорости такое же, как в двумерном случае, но с полным волновым числом У а2+Р2. Допустим, в двумерном случае удалось доказать устойчивость, т. е. ограниченность w> а также wz, wzz одной константой, не зависящей от времени. Напомним, что это имеет место, например, в случаях Релея и Фьор- тофта, как то следует из закона сохранения (29), который для уравнения (50) имеет вид
ь
与j {1吗F+出+俨)I @ F十多声 ]_出+俨)叫成=0.
Поэтому ограниченность 5, а также wz и 侬〃 будет иметь место и для трехмерного случая. (Из написанного закона сохранения следует ограниченность в среднем квадратическом, так мы ее и будем сейчас понимать; на самом деле можно показать и равномерную ограниченность 侬，см. п. 10.) Теперь займемся другими компонентами скорости, а также вихрем. Из последнего из уравнений (49) и уравнения (50) находим
(d伊十加6{aU"Q — ?U」Sz—(川十俨)加} =0.
Это уравнение немедленно интегрируется по /:
「3 = 限zz - 3 十，2)砌]+
— Ez- (а24~Р)^] jz={).
Если U〃*0 (случай Релея), то из написанного выражения для 厂з видно, что эта компонента вихря ограничена в среднем квадратическом одной константой, не зависящей от /. Если же U〃 обращается в нуль, то гз°〃 ограничено. Что касается 厂з, то нелепо, может ли эта функция расти, все более и более концентрируясь вокруг точек перегиба. Это понятно и физически. Точки перегиба — это точки, где вихрь основного течения достигает максимума. Здесь по-видимому и происходит максимальная передача вихря от основного течения возмущениям. Теперь вспоминаем, что
「3 = 2々0— %肥， 加z =—汲〃一2能.
Отсюда следует, что 〃 и и выражаются через 厂з, wz линейно. Поэтому, в случае [/〃声0, они также ограничены в среднем квадратическом. Можно было бы на этом остановиться и назвать такое течение устойчивым. Однако здесь дело обстоит не так просто. Здесь важно четко оговорить, что мы хотим считать устойчивостью. Скорости действительно ограничены ——это было только что доказано. Что касается вихря, то одна его компонента, 厂з, ограничена. Компоненты же 门 и г2 могут линейно расти со временем. В этом можно убедиться, рассмотрев простой пример. Имеется частное решение с w = 0. Тогда из последнего уравнения (49) получаем, что 厂з имеет вид ехр (——iaUt)f(z). Значит и и V имеют такой же вид и
门〜一ZaU'/exp (—%0方)/(z).
Аналогично и для 厂2・ Проведенное исследование можно суммировать.
Теорема 10. Если доказана устойчивость двумерных возмущений плоскопараллельного течения идеальной несжимаемой однородной жидкости, 6 смысле ограниченности возмущений скорости и вихря, то для трехмерных возмущений все компоненты скорости (умноженные на U〃) также ограничены; s том же
смысле ограничена компонента вихря, параллельная оси Ог. Остальные компоненты вихря могут линейно расти.*
Исследование устойчивости с помощью решения задачи Коши
Уже неоднократно отмечалось, что хотя обычно собственных функций дискретного спектра совсем немного, лишь они могут явиться причиной неустойчивости. Говорилось также и о том, что строгое доказательство этого факта дала бы теорема о разложении любой функции по спектру, что позволило бы решать задачу Коши методом Фурье. Однако такой теоремы нет, приходится искать ей замену. Общая идеология такая ——нужно решить задачу Коши с произвольными начальными данными, и если удастся показать, что это решение ограничено при всех значениях /, то течение тогда можно считать устойчивым. Аппарат для решения задачи Коши уже, собственно говоря, нам встречался. Именно, в примере, где изучалась устойчивость плоского течения Куэтта, был применен метод преобразования Лапласа по времени £. Сейчас мы поступим точно так же для произвольных плоскопараллельных течений, профиль скорости которых подвержен лишь некоторым качественным ограничениям [6, 15].
Исходим из хорошо знакомого уравнения (6), в котором положено 0=0, р' = 0, и зависимость от % гармоническая exp (fax): (d\dt^UU)^zz-^-UU^^.(51)
Это уравнение решается при граничных и начальных условиях 屮(а, %)=屮(6, /)=0, Ф(г, 0) =%(/)・
Положим (乙 с) = J ехр (—iact)^(z, t)dt. Теперь умножим обе о
части (51) на ехр (—iacf) и проинтегрируем по / от 0 до оо. Если дважды применить формулу интегрирования по частям, то будем иметь
(U - e)т2/如2 - a2)屮* 一 "〃屮* = /,
где f =——i (啖—(po) М — известная функция, определяемая начальными условиями. Дифференциальное уравнение с граничными условиями равносильно интегральному уравнению
炉 3, c^^G^z, Q; с)/(0 或，(52)
Строго говоря, теорема доказана лишь в случае Релея.
где G*(z, С; с)—функция Грина, определяемая решениями однородного уравнения:
У J 5(2, с)屮2(二，c)W(c)(U(Q)i),О* (г, Q；(53)
Здесь Wi, “2 ——решения однородного уравнения
(U — e)(炉—必+)— U'" = 0(54)
при условиях
屮i(〃，с)=0,少i(〃，с) = 1;
屮2(6, С)=0,屮2 (6, с) = 1.
W (с) — вронскиан 屮力屮2：
刃(е) = 5(6, с) = —屮2(〃，с).
При больших значениях с решения близки к соответствующим решениям уравнения *ф〃 一必屮，т. е. стремятся к пределу. Значит IF (с) убывает как 1/с. Поэтому интеграл
К + 8
о (г, ：; /) = * J e~i ctG^ (г, С； c)d©(55)
кN — ОО
сходится. Здесь у — достаточно большое положительное число, так что выше контура интегрирования функция G* аналитична по с (см. исследование ее аналитических свойств ниже). G*(z,白；с) есть преобразование Лапласа от функции G(z,白；/), и решение данного уравнения (51) получается по формуле
ъ
Ф(г, 0 =〕G(z,二；0/(Q ^.(56)
a
Эта формула соответствует явной формуле для решения в примере с течением Куэтта (шестой пример п. 4). Теперь чтобы доказать ограниченность решения задачи, нужно исследовать поведение функции G (г,/) при /->8. При этом будем исхо
дить из определения этой функции (55). Контур интегрирования лежит в верхней полуплоскости. Поэтому экспонента неограниченно растет при сю. Интеграл может остаться ограниченным лишь за счет взаимной интерференции подынтегрального выражения в разных частях контура. Исследовать это не просто. Но можно, пользуясь аналитичностью подынтегральной функции, деформировать контур, опуская его вниз, к вещественной оси, насколько это окажется возможным, уменьшая тем самым инкремент нарастания у подынтегральной экспоненты.
Из вышесказанного ясно, что в основе метода лежит исследование аналитических свойств функции G*(z, g； с). На функцию U(z) будут наложены следующие требования. Она будет считаться аналитически продолжаемой с отрезка [@, Ь] на его некоторую окрестность в комплексно访 плоскости, как это уже однажды предполагалось (п. 7). Далее, для простоты считаем U (z) монотонно возрастающей функцией на [@, Ь]. Без этого предположения рассуждения становятся значительно более трудными, но результаты те же. Будет и еще одно требование, чтобы значения c = U (a)f U(b) не были бы собственными значениями дискретного спектра. Что это значит — уточним ниже.
Прежде всего заметим, что функции 屮i(z, с);屮2(z, с) аналитичны по с в верхней полуплоскости, так как коэффициенты уравнения, которому они удовлетворяют, аналитичны по с и не имеют особенностей, когда Im с>0. Далее, эти функции аналитически продолжаются через вещественную ось всюду, кроме точек с = и(а), U(&), U(z). В самом деле, пусть со вещественное значение, отличное от перечисленных. Пусть на отрезке [a, z] есть значение zo такое, что U(zo) =с. Мы получим то же самое значение 屮i(z, с), если будем интегрировать уравнение от точки а до точки z с теми же начальными условиями, но вдоль отрезка [a, z], деформированного вниз в окрестности точки z0. Но теперь, если с из верхней полуплоскости опускается в окрестность точки с。, на контуре интегрирования не возникает особенности. Поэтому функция 屮i(z, с) остается аналитической в окрестности точки Точка с。может быть любой на вещественной оси, кроме U(a) и U(z). То же и для функции 屮2(之,с), где исключительными значениями являются U(z), U(b). Учитывая, что 取(с)=屮丄(匕,с), получим, что 取(с) аналитически продолжается через вещественную ось всюду, кроме U(a), U(b).
В п. 7 было исследовано поведение решений в окрестности особой точки и установлено, что в этой точке одно решение аналитично и обращается там в нуль, а другие решения непрерывны, но логарифмически ветвятся, а производные их обращаются в бесконечность. Значение c = U (а) будем называть собственным, если при этом значении единственное решение, аналитическое и равное нулю при z = a обращается в нуль и при z = b. Аналогично и для c = U (Ь). Выше было предположено, что значения U(a), U(b) не являются собственными.
Если функция 取(с) обращается в некоторой точке с в нуль, то это значит, что 2i(b, с) =0, т. е. функция 屮i(z, с) удовлетворяет однородному уравнению (53) и нулевым условиям на краях с)=т|?2(а, с) =0. Иначе говоря, значение с оказывается собственным. Если нуль функции 取(с) кратный, то собственное значение будет считаться такой же кратности. Все вышесказанное дает следующую лемму.
Лемма 1. Функция W (с) аналитически продолжается из верхней полуплоскости через вещественную ось всюду, кроме 48
точек c = U(a), U(b). При этом она имеет нули там, где с равно собственным значениям однородной задачи.
Для функции G* (г, С; с) получаем следующий вывод.
Лемма 2. Функция G* (г, С; с) аналитически продолжается из верхней полуплоскости через вещественную ось всюду, кроме точек c = U(a), U(b), U(z), U(C)・ Она имеет полюсы при тех значениях с, которые являются собственными для однородной задачи. Кратность полюса равна кратности собственного значения.
В точках c = U(a), U(之)функция ipi(N, с) не аналитична, именно, имеет ветвление. Но тем не менее справедлива другая лемма.
Лемма 3. Функция 屮i(z, с) непрерывна 6 точках c=U(а), U(z). Грубо говоря, это следует из того, что, как было показано в п. 7, все решения непрерывны в окрестности особой точки, где U — с = 0. Точнее, если гс есть точка, где U (zc) =с, то имеются два линейно независимых решения вида
少i=(2 —〃) |1+々(之，с)], а (0, ^)=0;
屮II = 1 十(Uc/Uс) In(Z—-2,)屮i +(2 — ％) P (之，с),
где a(z, с), р (z, с)——аналитические функции от г. В некоторой окрестности точки г = гс функция а (г, с) была получена в виде ряда по (n ——гс), коэффициенты которого зависели от с как от параметра. Для этих коэффициентов получались рекуррентные •формулы, из которых можно было усмотреть, что они непрерывно зависели от с. Сходимость ряда не исследовалась, но это делается в общей аналитической теории дифференциальных уравнений. Соответствующее рассуждение показывает, что <z(z, с)—непрерывная функция пары г, с. Пока это верно для значений г, достаточно близких к соответствующим 之㈠ так чтобы ряд сходился. Но по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров непрерывная зависимость от г, с решения гр： (г, с) имеет место всюду, куда можно продолжить 屮i(n, с), решая дифференциальное уравнение. Функция 屮口 (n, с) получается в виде интеграла (36), содержащего функцию 屮i(n, с). Отсюда нетрудно получить непрерывность этой •функции от пары (г, с). Осталось добавить, что вронскиан решений гр；, грц равен единице, поэтому
屮 1(2, с)=%(£, с)屮 н(〃，с)-屮[(а, с)勿(2, с)
и 屮 1 (乙 с) также оказывается непрерывной функцией пары переменных 之,с всюду, в том числе и при значениях г в окрестности гс.
Как следствие имеем:
Лемма 4. Функция W(c) непрерывна всюду 6 области Im с> >——8, где £ — достаточно малое положительное число.
49494 Заказ № 604
49
49
В самом деле, W(с) аналитически продолжается в эту область. При этом точки c = U(a), U(Ь) являются точками ветвления, но W (，)=屮1 (а, с) и по предыдущей лемме W (с) оказывается непрерывной и в этих точках ветвления.
Теорема 11. Если с — U(a), U(b) не являются собственными значениями задачи, то 6 верхней полуплоскости и 6 окрестности отрезка [U(a), 0(b)], на которую аналитически продолжается функция W(с) при любых разрезах из точек ветвления 〃(〃)> U(Ь), имеется конечное число собственных значений.
Доказательство. То что c = U(a) не есть собственное значение, означает, что при c = U(a) функция 屮i(n, с) не обращается в нуль при z = b, т. е. W(с} =^0 при c = U(a). По непрерывности, эта функция отлична от нуля и в окрестности значения c = U(a). Если же учесть, что эта функция аналитична и не может иметь нулей при больших значениях | с |, т. е. не может быть произвольно больших по модулю собственных значений (теорема 4), то мы и получим требуемое утверждение.
U(a) U(z) U(l) U(b)
0 0 00
[ГРис. 9. Деформация пути
Пинтегрирования в фор-
Iмуле (55).
Формулу (52) для дальнейшего нужно несколько видоизменить. Именно, если имеется вещественное собственное значение с, то в окрестности точки &, где U (^с) =с путь интегрирования в интеграле (52) деформируем вниз, в обход точки 淦・ Тем са мым можно добиться того, что g нигде не будет приближаться к точкам Сс таким, что U(^с) =с есть собственное значение задачи. От такой деформации контура функция 屮*(z, с) не изменится. Формула (56) также будет пониматься в этом смысле: вместо отрезка интегрирования более сложный контур, обходящий снизу точки Сс, где U (^с) =с. Деформированный контур обозначим [а, Ь]'. Значит в дальнейшем zw [а, Ь], ^ [а, Ъ\.
Теперь вспомним формулу (55), которая даст нам возможность оценить G (г, С; /), Как уже было сказано, в этой формуле нужно опустить вниз путь интегрирования. Это можно сделать, пользуясь тем, что функция G* (г, С; с) аналитически продолжаема в нижнюю полуплоскость и затухает на бесконечности как 1/1 с I. Нужно лишь учесть точки ветвления этой функции. В результате путь интегрирования можно сделать таким, как на рис. 9. Горизонтальный участок контура проведен на фиксированном расстоянии под вещественной осью. Радиусы окружностей выберем зависящими от времени, в пределах от C/t до 2С", где С ——фиксированная константа. Если две окружности пересекаются, то заменим их совместным овалом. Кроме того, пользуясь некоторым остающимся произволом в выборе радиуса
окружности, будем считать, что окружность нигде не приближается к собственным значениям ближе, чем на половину радиуса.
Интеграл по горизонтальной части контура экспоненциально затухает, за счет множителя ехр (——iact). Интеграл по окружности оценивается следующим образом. | ехр (—iact) | остается ограниченным, так как Imcv2C〃. Что касается G* (х, W; с), то эта функция оценивается по (53). Числитель равномерно ограничен. Знаменатель же может приближаться к нулю не быстрее, чем радиус в первой степени ——либо за счет W(с), либо за счет U (С)—с. Одновременно и то и другое не может стремиться к нулю, так как С三[о, Ь]‘, т. е. U(W) нигде не приближается к собственным значениям ——нулям функции W(с) ближе, чем на фиксированное расстояние. Длина дуги окружности пропорциональна радиусу, поэтому интеграл по окружностям остается ограниченным при оо. Аналогичная оценка для интеграла по вертикальным отрезкам. Здесь хотя длина отрезка не стремится к нулю при оо, по играет роль экспоненциальное затухание I ехр (—iact) |. Оценка такова:
Jaqq=const.
c/tc
Итак, интеграл ограничен равномерно по z三[а, b] и gw[a, b]‘.
Когда контур интегрирования был деформирован, не было учтено еще следующее обстоятельство. Подынтегральная функция имеет полюсы при тех с, которые являются собственными значениями задачи. К интегралу, ограниченность которого доказана, следует добавить сумму вычетов во всех полюсах. Если собственное значение простое, то вычет в нем равен
const G* (г,二；с) ехр ( —tact),(57)
Если собственное значение кратное, кратности 归，то
const dk~x {ехр ( -tact) G* (г, i; c)}\dck~x =
九—i_]\
= const 2 (―历£)〃 exp ( -Ec%) dk~x~p G* Xp=o\ P /
X(z, Q; c)〃MTr.(58)
Эти вычеты выделяют из 屮(之，/) в формуле (56) не что иное как волновые решения. Если неограниченный рост и может появиться, то лишь за счет этих членов. Это будет в двух случаях: либо имеется невещественное собственное значение, тогда решение растет экспоненциально, либо имеется вещественное кратное собственное значение, тогда (58) обнаруживает степенной рост решения. Все это дает следующую теорему.
Теорема 12. Двумерное плоскопараллельное течение с монотонным профилем спорости, при условии, что U(a) и U(b) не являются собственными значениями, может быть неустойчивым, лишь если задача имеет невещественные собственные значения дискретного спектра, либо кратные вещественные.
Уравнение для описания крупномасштабных движений атмосферы*
Движение воздуха описывается обычными уравнениями гидродинамики. Если специально не интересоваться пограничным слоем вблизи твердой поверхности, то вязкостью можно пренебрегать и считать воздух идеальной жидкостью. Нас будут интересовать крупномасштабные процессы, ответственные, например, за изменения погоды. Для таких процессов характерные длины волн составляют тысячи километров, а времена ——порядка суток. Тем самым скорость волн оказывается порядка 10—20 м/с, что намного меньше скорости звука. В совокупности с небольшими скоростями частиц в волне (те же 10——20 м/с) это показывает, что и сжимаемость воздуха для таких движений не очень существенна (иное дело, например, при изучении приливных волн, которые обегают Землю со скоростью суточного вращения, т. е. порядка скорости звука; в этом случае сжимаемость очень существенна). Тем не менее обычно пишут уравнения движения воздуха с учетом сжимаемости. Это удобно, например, тем, что позволяет учесть неадиабатические факторы: лучистые притоки тепла, притоки тепла от турбулентной теплопроводности, от реализации скрытой теплоты при конденсации водяного пара. Впрочем все это становится существенным, лишь если нас интересуют изменения в течение достаточно продолжительного срока, не менее недели — характерного времени превращения тепловой энергии в механическую; сейчас это учитываться не будет. Система уравнений такова:
dt p dt p dy
备=0；
嘰+需十需=。■（59）
Подробнее [10, 14].
Здесь необходимы пояснения. Уравнения написаны в системе координат, вращающейся вместе с Землей. Уравнения эти не точны, а приближенны. Строго говоря, их нужно бнло бы писать в криволинейной——сферической системе координат. Если считать допустимым изучение ограниченной части атмосферы, пренебрегая влиянием оставшейся части, например, учитывая лишь стандартную в метеорологии область, размером с Европу, часть Атлантики, Северной Африки, Западной Сибири и Ледовитого океана, то с известной точностью можно считать ее плоской и выбирать декартовы координаты, где ось Ох направлена всюду на восток, а ось Оу — на север, что и сделано в уравнениях (59). Впрочем принципиально ничего не изменяется при точном написании уравнений в сферических координатах, лишь запись более громоздка. Далее, поскольку система координат неинерциальна, к относительным уравнениям добавляется переносные и кориолисовы. Ускорение Кориолиса 2(оХ V и дало в уравнениях члены с параметрами / = 2(о sin ср и 厶= 2scos<p, где ср ——географическая широта. Что касается переносных ——центробежных ускорений, то хотя они и велики по значениям, их обычно не пишут. Поле этих ускорений, в отличие от относительных и кориолисовых, очень однородно и его можно включить в гравитационное поле (некоторое уменьшение веса на экваторе, пренебрежимо малое).
Написанная система третьего порядка по времени. Она кажется сперва системой четвертого порядка, но если взять дивергенцию от первых трех уравнений, то мы получим уравнение, не содержащее производных по времени, которым можно заменить любое из написанных уравнений. Тем не менее порядок этой системы все еще высок, и чтобы работать с ней с той же легкостью, как и ранее, требуется понизить порядок системы. Здесь помогает то обстоятельство, что все крупномасштабные движения атмосферы квазидвумерны. В самом деле, горизонтальная протяженность характерных образований — циклонов, антициклонов, гребней, ложбин, короче говоря, волн, во много раз больше толщины деятельной части атмосферы, тропосферы (в 10 км тропосферы сосредоточено окото 80% всей массы воздуха). Соответственно и горизонтальные скорости на два-три порядка превосходят вертикальные. Таким образом происходит почти горизонтальный перенос консервативных характеристик (так называемого потенциального вихря, см. ниже). Трехмерная структура проявляется лишь в том, что на разных высотах перенос осуществляется с разными скоростями.
При выводе основных уравнений мы не будем вдаваться в чрезмерные подробности (см. книги по численному прогнозу погоды), но осветим основные моменты. Прежде всего кориолисовы члены, содержащие параметр 厶，малосущественны. В самом деле, в третьем уравнении (59) кориолисово ускорение 厶〃 стоит рядом с ускорением тяжести g, большим его на четыре порядка. В первом
же уравнении член 厶侬 меньше lv на два-три порядка за счет упоминавшейся малости вертикальной скорости по сравнению с горизонтальной для интересующих нас крупномасштабных движений (для мелкомасштабных же оба члена не играют никакой роли).
Более существенное, но также очень надежное приближение получается, если в третьем уравнении считать вертикальное ускорение dw/dt равным нулю (для крупномасштабных движений это ускорение на 7——8 порядков меньше ускорения силы тяжести), т. е. заменить это уравнение статическим соотношением
°g. (60)
Это значит, что разность давлений на двух высотах считается равной весу столба воздуха единичного сечения между этими высотами. Перейдем, как это принято в метеорологии, к другой системе координат, где в качестве вертикальной координаты будет принята не высота z, а давление р. Вертикальной скоростью в этих координатах будет не w-=dzldt, a w* = dpfdt. Для индивидуальной производной имеем выражение
糸=足+〃4十。备十加*击. (61)
Давление перестало быть в независимую переменную. Нетрудно подсчитать, чтоДавление перестало быть в независимую переменную. Нетрудно подсчитать, чтоискомой функцией — превратилось Взамен искомой функцией станет г. 。З1 др
Давление перестало быть в независимую переменную. Нетрудно подсчитать, что
Давление перестало быть в независимую переменную. Нетрудно подсчитать, что
члены уравнении (59)—-^-,
1 др5г дг /
—-^- превратятся в ——g-^ (где частные производ-
ные вычисляются, разумеется, в новой системе координат, при фиксированном р). Объем JJJdxdydp в новой системе,— это не что иное как вес жидкости, в силу уравнения статики. Из закона сохранения массы следует, что этот объем——вес данного количества жидкости сохраняется, т. е. и в этих переменных жидкость ведет себя как несжимаемая, и уравнение неразрывности сохраняет свою форму
(62)(62)ди,dv\д№с
(62)
(62)
~33НЛ—- U •
дх1ду]др
Итак, получены следующие уравнения
胃=一g工+依
dvdz /
dt b dy '
4?衣4?衣=0；=0；
4?衣
4?衣
=0；
=0；
du } dv } d如* —с.дхдр —
р =(63)
Легко получить
w^ ^dp\dt = {dp\dt^udp\dx-\-v dp\dy)z-}-^ dp\dz =
—gp [(dz/d£+〃dz/dx十@dz/dy)夕一叫
где индекс г или р означает, в каких координатах вычисляется частная производная ——при фиксированном г или р. Дальше эти индексы опускаются. Отсюда находим краевое условие на поверхности земли. В старых координатах это было w = 0, в новых
g = -gP 奇十〃靄+崎).(64)
К сожалению, р-координаты обладают тем недостатком, что в них граница области ——поверхность земли нестационарна и зависит от решения. Здесь идут на упрощение, полагая, что эта граница всегда совпадает с некоторой изобарической поверхностью р = ро и приписывая краевое условие (64) этому значению р0.
Несколько преобразуем третье из уравнений (63):
陽 +儿，
в силу пятого из уравнений. Обозначим N = \—•-^-= ug"]/-^-. Это основная характеристика плотностного расслоения атмосферы, имеющая размерность частоты и называемая частотой Брента——Вяисяля (ее физический смысл ——частота колебаний несжимаемой частицы, отклонившейся по вертикали от положения равновесия и подверженной архимедовым силам). Уравнение приняло вид
加2(与十〃"/ =需•(65)
55
Продифференцируем его по р и исключим 侬* с помощью уравнения неразрывности
备加傍需)=票+需. (65，)
Еще одно приближение состоит в том, что коэффициент т2 считается слабо зависящим от решения, т. е. его можно считать некоторой известной функцией от вертикальной координаты р.
Чтобы понизить порядок системы далее, производится анализ величин отдельных членов уравнений. При этом оказывается, что левые части первых двух уравнений (63) и левая часть уравнения (65‘) на порядок меньше членов правых частей. Это значит, что градиент давления уравновешивается кориолисовыми силами и двумерная дивергенция близка к нулю -- течение двумерно несжимаемо. Однако взаимная компенсация членов правых частей далеко не столь полна, как это было в третьем уравнении (59). Поэтому было бы слишком грубо левые части просто положить равными нулю, тем более, что система потеряла бы тогда эволюционный характер. Левые части учитываются как малые возмущения. Можно перед ними поставить малый параметр и разложить решения в ряд по этому параметру. Этот прием носит название квазигеострофического разложения (геострофический ветер ——это такой, что кориолисовы ускорения точно компенсируются градиентом давления). Итак, имеем систему
и ищем решения в виде рядов
U = Uq ~\~^U1.…， P=Uo + e0i十• • •，
砌 =Wo~~|—E® ； —j— . . ., Z ^^ Zq —p ^Z1 -|~ ...
Кроме того считаем, что параметр Кориолиса / почти постоянен, отклонения его от среднего значения /о имеют порядок е: Z = Zo+ + e/i. Для нулевого приближения имеем
-g ~^- + /。00 = 0，一g "^/0〃0=。，
华=0, Wo=O.(66)
дх 1 ду J
Для первого приближения
-^-+/0矶 +/Ro ；4^1 -厶〃0；-^-+/0矶 +/Ro ；4^1 -厶〃0；匆L也丄7，d〃0 — 。
-^-+/0矶 +/Ro ；
4^1 -厶〃0；
-^-+/0矶 +/Ro ；
4^1 -厶〃0；
dv（） . dv（） 1 dvQ 辞+ 〃。号+ "諸=一g
备 歩（募十〃。乐+w 备）（需）=礬+黑
(67)(67)0例上加1 I_
(67)
(67)
дх I 办 丁 др —U・
Первые три уравнения независимы от четвертого — они не содержат вертикальной скорости. Легко проверить еще, что в силу (66) третье уравнение (67) можно переписать в виде
（备十"。^ 十次备）击加嗡=粤+ *'（68）
т. е. переставить дифференциальные операторы. Теперь возьмем вихрь от первых двух уравнений, т. е. первое из них продифференцируем по у и вычтем второе, продифференцированное по 筋 门dui I dvi
Ири этом 之1 исчезнет, а дивергенцию —1——-——исключим
с помощью (68). Будем иметь
(足十"。与十0。击)(嗡'一符)=
阳 1 ( д 、 д . д \ д 9
=一而研一'。
Заметим, что^-=£厶2之0, в силу (66). Итак, имеем
дх оу /о
Параметр е свою роль индикатора малых членов сыграл, можно снова положить его равным единице:
方後А叶‘十备彦*）=。，（69）
где 階=hm2 = 1嗯沁2]№. Здесь и в дальнейшем под г понимается нулевое приближение No, под d/dt ——двумерная производная д д д
——-Hi/o~——Н^о-^— и под А——двумерный оператор Лапласа.
Уравнение (69) имеет форму закона сохранения. —Az — это /о
вихрь относительного движения, dvo/dx ——ди^ду. / ——вихрь пе
реносного движения (вертикальная компонента удвоенной угловой скорости вращения Земли). Первые два члена вместе ——это
абсолютный вихрь. Третий член зависит от плотностного расслоения. Вся сохраняющаяся величина носит название потенциального вихря.
Примечание. Существует общий закон сохранения потен* циального вихря для течения расслоенной идеальной несжимаемой жидкости. Он имеет вид
不 grad p (rot v十2j)) =0.
Уравнение (69) может быть получено непосредственно из этого закона при учете квазидвумерного, квазистатического (уравнение (60)) и квазигеострофического характера движения.
Основное для дальнейшего уравнение (69) носит название уравнения вихря квазигеострофической модели. Это уравнение первого порядка по времени. Характерной его чертой является то, что потенциальный вихрь переносится по горизонтали (точнее по близким к горизонтали изобарическим поверхностям).
Для уравнения (69) требуется еще краевое условие на поверхности земли. Оно может быть получено из (64) исключением 侬* с помощью (65); имеем
(70)(70)
(70)
(70)
где s2 = “2/g2P. физический смысл этого условия следующий. Бу
дем считать, что поверхность р = ри близка к поверхности земли
1gp1gpжем, чтожем, что.Действительно,z』0.Действительно,z』02 = 0 и разложением в ряд по степеням этого отклонения дока
1
gp
1
gp
жем, что
жем, что
.Действительно,
z』0
.Действительно,
z』0
dz I 1 dp I / dz I У2 \( dz . 2 \
Таким образом, уравнение (70) означает сохранение приземной плотности двумерным течением. И в самом деле у поверхности земли плотность сохраняется двумерным течением, так как вертикальные скорости отсутствуют. Приближенность краевого условия, о которой говорилось выше, заключается в том, что скорости двумерного течения и и v берутся не с поверхности земли» а с уровня р = ро, близкого к этой поверхности.
Иногда рассматривают более простое условие
др 1др 1s2z |^ = const.s2z |^ = const.(71)(71)
др 1
др 1
s2z |^ = const.
s2z |^ = const.
(71)
(71)
Теперь понятно, что оно означает постоянство плотности на поверхности земли.
Интересный частный случай получается при рассмотрении жидкости, находящейся в безразличном статическом равновесии. Это имеет место при p = const, поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость. (Очевидно, придется рассматривать тогда
ограниченные по высоте течения и ставить наверху дополнительные краевые условия.) Непосредственно в уравнении (69) совершить предельный переход к p = const не удается, так как в по
О 9 dz др дрО 9 dz др дрследнем члене получается неопределенность типа 0 • оо. В самом
О 9 dz др др
О 9 dz др др
деле,деле,не зависит тогда от /, %, у, так как дг/др =
деле,
деле,
=——l/gp・ Значит, производная d/dt от этого члена обратилась бы в нуль, но 几2=8 за счет обращения в нуль частоты Брента—— Вяисяля N. Чтобы раскрыть эту неопределенность, проинтегрируем уравнение по всей толще атмосферы, от 0 до 8, еще до перехода к пределу. Для этого запишем уравнение в виде
(Выше отмечалось, что в такой ситуации, в силу (66), операторы д d
и —перестановочны.) Интегрируем:
На верхней границе, при р = 0, нужно потребовать, чтобы последний член обратился в нуль (например, считая, что p = const). При р = ро воспользуемся краевым условием (70). Тогда имеем
Здесь уже можно перейти к пределу 0z/0p = const. Отсюда сле-
ЧТ0 L И подынтегральное выражение не зависит от р. Его можно вынести из-под знака интеграла. Что касается второго члена, то он также не зависит от р, и его можно приписать не уровню р°, а любому уровню р. Получаем
^信A?十"一鲁2）=°；产=2巾（72）
при всех р, а 2 имеет вид 之= zi(x, у, “+爸⑺.Итак, в случае безразличной стратификации движения на всех уровнях р подобны и описываются двумерным уравнением (72).
Если бы в уравнении (72) не было последнего члена, то оно совпало бы по форме с уравнением двумерного течения несжимаемой жидкости с функцией тока ^ = gzllQ во вращающейся системе координат (/ ——переносный вихрь), но с дополнительным членом ——gloz/c2, выражающим двумерную сжимаемость.
Уравнение (72) можно получить в более общих, чем несжимаемость и однородность, предположениях, а именно ——для баротропной жидкости. Поэтому оно обычно называется баротропным уравнением вихря квазигеострофической модели.
Сохранение энергии. Статическая устойчивость
Начнем с простого двумерного уравнения (72). Без труда проверяется инвариантность следующего квадратичного относительно z интеграла
(73)(73)где V ——орт нормали к границе, do ——элемент дуги. В силу уравнений геострофического ветра 〃 =где V ——орт нормали к границе, do ——элемент дуги. В силу уравнений геострофического ветра 〃 =ggdzdz/о ду '/о ду 'и =и =
(73)
(73)
где V ——орт нормали к границе, do ——элемент дуги. В силу уравнений геострофического ветра 〃 =
где V ——орт нормали к границе, do ——элемент дуги. В силу уравнений геострофического ветра 〃 =
g
g
dz
dz
/о ду '
/о ду '
и =
и =
т. е. gz/U является функцией тока течения. В качестве /о0尤 "
условий на боковых границах естественно принять условие не- протекания, z = const и постоянства циркуляции по границе, J V 2- V б//= const. Тогда в последнем выражении исчезает интеграл по границе и остается двойной интеграл. Из уравнения (72), которое можно переписать, пользуясь теми же формулами геострофического ветра, в виде
9 —訂马％ 十-~ ^x2y = 0;(74)
叶2一符
имеем
芸=-g J J Q/zdxdy = j J ［一马纟+之// zdxdy =
;4^口一(炉%纟+3%当］忆1勿=—44Jk#q)一
一(叫)j dx dy = +3 , z2 ® dx十斗 dy) = ^-,£29 =。，
так как z = const на границе. Первый член в интеграле (73) пропорционален кинетической энергии, второй член ——потенциальной энергии, связанной с двумерной сжимаемостью. Он носит название баротропной потенциальной энергии.
Вместе с каждым решением z уравнению удовлетворяет также и г—С, где С — произвольная константа. Поэтому сохраняется также и
4~ f \\^^^(z^C)Adxcly. (75)
Отсюда, между прочим, следует, что сохраняется также и
(76)
В интеграле (75) естественно подобрать С так, чтобы потенциальная энергия была минимальной. Тогда это будет наибольшей частью потенциальной энергии, которая может обращаться в кинетическую. Чтобы минимизировать выражение потенциальной энергии, достаточно в качестве константы С взять 之——среднее г по всей области интегрирования, z, как было показано, не меняется со временем. Итак, получаем закон сохранения величины
(77)(77)
(77)
(77)
Второй член в этом интеграле назовем доступной баротропной потенциальной энергией.
Перейдем к интегралу энергии для трехмерного уравнения (69). Проверим сохраняемость следующего квадратичного интеграла:
(78)(78)
(78)
(78)
Двойной интеграл здесь взят по нижней поверхности Sh・ Проверка выполняется точно так же, как и в двумерном случае.
-^f~ = J J J [гЛ/+^уН銀一2庐 j dxdydp +
Первый интеграл преобразуем по формуле Гаусса——Остроградского:”
~^~ = — ~7-J J J Qtzdxdydp-^^ J г (z^^Zy^dc dp十
+ f JNN pt dx dy 十 j J oNZ/ dx dy,
Sh 宫Sh
где Q=* Az + / + ~^-几2-^-. S^ ——боковая цилиндрическая поверхность. С удовлетворяет в точности тому же уравнению (74) как и в двумерном случае; поэтому точно так же доказывается обращение в нуль тройного интеграла. Доказательство обращения в нуль интеграла по боковой границе проходит также без изменений. Что касается интегралов по нижней твердой поверхности, то их можно записать в виде
哈 jj®任 dxdy,Sh
где 0 =——Zp ——$2? и воспользоваться законом сохранения @ на нижней поверхности (70). Тогда обращение в нуль этих членов получается так же, как и для членов с Q.
Если из г вычесть произвольную функцию от р, то снова получится решение уравнения (69), удовлетворяющее краевому условию (69). Поэтому в интеграле энергии (78) из гР можно вычесть произвольную функцию от р, а из г — произвольную константу. Отсюда следует сохранение среднего по х, у значе
ния zp при каждом р, zp(p) и среднего г при р = р°. Минимальное значение энергии получится, если в качестве произвольной функции от р и произвольной константы взять эти средние:
(79)(79)
(79)
(79)
Последний член в тройном интеграле называется доступной потенциальной (бароклинной) энергией. Двойной интеграл ——зна-
комая нам уже доступная баротропная энергия. Доступная энергия——это максимальная часть потенциальной энергии, которая может переходить в кинетическую.
Рассмотрим статическое состояние атмосферы, когда скорость равна нулю. В силу формул геострофического ветра, а = g dzg dz亠
=,v=—~■——, в этом состоянии г есть функция од-
/о ду/о ох
ного р. Поэтому 2р=2р и z = z, т. е. доступная энергия равна нулю, а, следовательно, минимальна в этом состоянии. Из общих принципов отсюда следует, что статические состояния являются состояниями устойчивого равновесия. (Напомним, что в модель, заложена вещественность частоты Брента——Вяйсяля ^, что равносильно убыванию плотности с высотой.)
Баротропная неустойчивость
Переходим к изучению устойчивости нестатических состояний. Проще всего это сделать для двумерной модели, описываемой уравнением (72). Обычная для метеорологии проблема состоит в изучении устойчивости зональных течений, т. е. течений, направленных вдоль кругов широты, причем скорость зависит только от широты. Безразлично, записаны ли уравнения в той квазидекартовой системе координат, которой мы пользовались в предыдущем параграфе, или, более точно, в сферической системе координат. В этой системе уравнения имеют тот же вид (72), но при этом
a sin 0 Zo 执，〃入
△ = sing⑻)
Одного закона сохранения энергии (73) недостаточно для выяснения вопроса об устойчивости. Хотя этот закон и ограничивает возможность нарастания решения во времени, но не запрещает им удаляться от стационарного состояния. На помощь приходит однако второй закон сохранения. Если обозначить через Q потенциальный вихрь
JI一一甄(82)
то сохраняется интеграл
где Ф ——произвольная функция.
Это следует из того, что уравнение (72) имеет форму сохранения Q для каждой индивидуальной частицы, а также из сохранения элемента площади ds (скорости выражаются через функцию тока gzo//。， т. е. течение несжимаемой). В дальнейшем функцию тока gzo〃o будем обозначать 屮.Далее рассуждения буквально следуют схеме, принятой в п. 6. Образуем функционал
尸=七+/.
и попробуем подобрать функцию Ф таким образом, чтобы этот функционал имел относительный минимум .для того стационарного течения, устойчивость которого исследуется. Предположим, что функция 屮 для стационарного течения, обозначим ее 屮，такова, что для нее потенциальный вихрь
_ _/2 _
Q =A少+/ ^-屮.
представляет монотонную функцию широты. Тогда этот потенциальный вихрь можно принять за новую меридиональную координату и считать 屮 функцией от Q:
ф=Ф(2).(83)
Теперь находим вариации функционала 尸：
3尸=J j V,V》?—卜鲁歹冲十①，(◎)82 ds =
=］) -屮 A3屮——屮》>+»(Q)3Q ds =
J ［一屮(◎)+(»&)］沮ds(84)
(при интегрировании по частям интегралы по границе обращаются в нуль в силу краевых условий).
Осталось положить ①‘=屮 н первая вариация обратится в нуль. Достаточное условие минимума будет выполнено, если вторая вариация будет положительна. Для этого достаточно, чтобы ①'/(Q)=屮'(0)>0. Однако обычно бывает выполнено в точности противоположное условие ^Р7 (Q)<0. В самом деле, ветер, как правило, направлен с запада на восток, т. е. функция тока гр растет с севера на юг. Что касается потенциального вихря, то его поведение определяется в основном переносным вихрем —— параметром Кориолиса /, который убывает с севера на юг. Иными словами, функция тока есть убывающая функция потен-
циального вихря. Чтобы все-таки получить критерий устойчивости, можно записать уравнение движения в некоторой другой системе координат, вращающейся относительно первой с постоянной угловой скоростью. Новая функция тока 屮1 будет выражаться формулой
где f = 6z2o)i cos 0. Легко видеть, что 屮i удовлетворяет уравнению
/ 卜'%十人一-^v屮1)
где /1 ——параметр Кориолиса в новой системе координат, 厶= = 2((о + й)1) cos0. Это уравнение отличается от старого (72) наличием дополнительного к параметру Кориолиса члена ——/"/с?. Однако этот член не мешает выполняться тому же самому закону сохранения энергии (73). Следовательно, все дальнейшие рассуждения проходят и в этой системе координат. Выражения для вариаций (84) и (85) остаются в силе. Но если новую систему координат выбрать так, чтобы она в своем вращении опережала ветер, т. е. чтобы ветер имел в ней направление с востока на запад, то функция тока будет убывать с севера на юг, так же точно, как и Q, следовательно ①〃(Q) >0 и вторая вариация окажется положительно определенной.
Теорема 13 (Го С.-Л. [20]). Если потенциальный б〃хрь П монотонно изменяется от полюса к полюсу, то такое зональное течение устойчиво.
Интересно оценить, насколько реально выполнение условия монотонности потенциального вихря. Если считать, довольно грубо, характерным изменением зонального ветра 10 м/с, а масштабом длины 103 км, то для изменения относительного вихря имеем 10~п с-1. Что касается последнего члена Z沖с?, то он вообще мал ——на порядок меньше относительного вихря, так как его отношение к относительному вихрю оценивается как 12GL2d где Л ——горизонтальный масштаб длины, 103 км. Из этого анализа видно, что изменение переносного вихря, вообще говоря, больше изменения относительного вихря, и потенциальный вихрь должен быть монотонным; но это выполняется на пределе, и вполне реальны ситуации, когда это нарушается и может иметь место неустойчивость. Такой вид неустойчивости называется баротропной неустойчивостью, так как имеет место в баротропной (двумерной) модели. Энергия развивающихся возмущений черпается при этом в основном из кинетической энергии среднего течения.
Поучительно записать еще уравнение (72) в линеаризованной форме и посмотреть, как получается теорема 13 для волновых
-решений. Если 巾=屮(6) +屮’ и 屮‘ считается малым, то линеаризованное уравнение будет
Q]十田，到=0,
где
__ 产一
°少十/一一券少，
Квадратные скобки означают якобиан:
С J 〃2sin8〈 d8 巾 д' de 丿，
Решение ищем в виде
少'=о (cos В) е"" +s入) .Для и получаем уравнение
(IT)(IT)dv s2udv s2u加 1 - J12 F加 1 - J12 F0+0+2 ⑴一［（1一卩2）5〃 + 牛0卜=0.2 ⑴一［（1一卩2）5〃 + 牛0卜=0.(86)(86)
(IT)
(IT)
dv s2u
dv s2u
加 1 - J12 F
加 1 - J12 F
0+
0+
2 ⑴一［（1一卩2）5〃 + 牛0卜=0.
2 ⑴一［（1一卩2）5〃 + 牛0卜=0.
(86)
(86)
Здесь r = cos8, о =——o/s——угловая фазовая скорость волны, U =
1 0屮
=；~-—г-угловая скорость течения.
a sin U
Уравнение (86) близко по форме к уравнению Релея для плоскопараллельного течения, знакомому нам по предыдущим пунктам. Разница состоит, во-первых, во множителях 1 ——рД появившихся за счет сферических координат. Во-вторых, в членах, содержащих с2 в знаменателе и учитывающих слабую двумерную сжимаемость. Самое же главное ——в члене 2со, учитывающем переносный вихрь. И здесь непрерывный спектр задачи заполняет отрезок [Umin, Umax] Имеется также и дискретный спектр. В отличие от уравнения Релея здесь могут быть вещественные собственные значения, не лежащие на отрезке [[/min, Umax]. Так, рассмотрим важный частный случай, когда средний ветер U отсутствует. Уравнение примет вид
Решения, регулярные в полюсах 卩=± 1, суть функции Лежандра и существуют лишь при
囲一尊=〃（心1）,
(87)(87)° 八(〃十 1) + ^/с2 *° 八(〃十 1) + ^/с2 *где п ——произвольное натуральное число, или 〜
(87)
(87)
° 八(〃十 1) + ^/с2 *
° 八(〃十 1) + ^/с2 *
Получается бесконечный набор волн, бегущих в отрицательном направлении, против вращения Земли, т. е. с востока на запад. Собственные значения накапливаются к нулю. Эти волны носят название волн Россби. Если бы вращения Земли не было (как в случае уравнения Релея), то была бы бесконечно вырожден
ная точка спектра о = 0. Вращение снимает вырождение и дает бесконечный дискретный спектр, накапливающийся к нулю.
Пусть теперь подключен ветер U (林).Будем считать для удобства, что Umm = 0・ Точки дискретного спектра подвергнутся возмущениям. Нетрудно подсчитать поправки по теории возмущений к собственным значениям. Обозначим через К оператор, об
ратный к оператору ~ А(1 _ ц2)^+_£1^^при
краевых условиях регулярности в полюсах 从=±1. Для функции
уравнение запишется в виде
где обозначено V= [(1—M)U]〃где обозначено V= [(1—M)U]〃/о а2/о а2U. ЕСЛИ 自也——НОрМНрО-U. ЕСЛИ 自也——НОрМНрО-
где обозначено V= [(1—M)U]〃
где обозначено V= [(1—M)U]〃
/о а2
/о а2
U. ЕСЛИ 自也——НОрМНрО-
U. ЕСЛИ 自也——НОрМНрО-
ванная собственная функция оператора 2зК, т. е. нормирован
ная функция Лежандра 尸北，то первая поправка к собственному значению по теории возмущений равна
Нз асимптотики Psn при больших п легко получить, что при а — оо поправка с стремится к константе
J U (cos °)或， о
т. е. средней скорости ветра. Если учесть, что сами собственные значения невозмущенного течения стремятся к нулю, то это может лишь означать, что поправки по теории возмущений имеют смысл лишь для первых, наиболее значительных по величине собственных значений. Для остальных же собственных значений это служит эвристическим указанием на то, что для сколь угодно малых скоростей ветра все собственные значения, кроме быть может их конечного числа, становятся больше Umm, сливаясь в непрерывный спектр. По мере увеличения скорости ветра оставшиеся собственные числа одно за другим присоединяются к непрерывному спектру.
Теорема Релея——Го (теорема 13) об устойчивости при условии необращения в нуль величины
23一 及 一卢）5〃u23一 及 一卢）5〃u(88)(88)
23一 及 一卢）5〃u
23一 及 一卢）5〃u
(88)
(88)
может быть получена интегрированием точно так же, как в п. 5 была получена обычная теорема Релея (теорема 2). Для уравнения Релея было доказано, что вне интервала [Umm, Umax] вещественных собственных значений нет. Теперь, как мы видели,
это не так. Но при условии со+(М)' +это не так. Но при условии со+(М)' +/о а2 2c2/о а2 2c2U>0,U>0,значительнозначительно
это не так. Но при условии со+(М)' +
это не так. Но при условии со+(М)' +
/о а2 2c2
/о а2 2c2
U>0,
U>0,
значительно
значительно
более широком, чем необращение в нуль [88], доказывается, что
не может быть собственных чисел о> Umax. Это делается так же, как доказывалась теорема 4, т. е. вводится функция f =
=и/ (U — о), удовлетворяющая уравнению
+ 2＜叶小⑺'十要u仿一^/=0.
Умножая это уравнение на f и интегрируя, получаем требуемы результат.
Вязкость в задаче о баротропной устойчивости
Эта книга посвящена почти исключительно устойчивости течений идеальной жидкости. Однако мы позволим себе здесь несколько отклониться от темы и введем в рассмотрение вязкость.
Каким образом можно ввести в двумерные уравнения вязкость? Рассмотрим двумерное течение несжимаемой жидкости на сфере. Пусть 屮——функция тока течения. Для такого течения абсолютный вихрь
sine十 Sin2 0 靠 W + 2scos9 (89)
должен сохраняться, т. е.
筹十巾^] = 0.(90)
Это уравнение того же типа, что и прежнее уравнение (72) с 2 = = gz，/o, но нет последнего члена, означающего двумерную сжимаемость. Теперь нужно ввести в это уравнение член, описывающий вязкость. Строго это надо было бы делать следующим образом: написать уравнения Навье——Стокса для трехмерного течения, а затем рассматривать лишь течения, у которых отсутствует радиальная компонента скорости и для которых все величины зависят лишь от горизонтальных координат и не зависят от радиальной. Но проще поступить следующим образом. Вязкость должна описываться дифференциальным оператором, инвариантным относительно вращений сферы, так как форма записи уравнений не может зависеть от выбора сферической системы координат. Далее, этот оператор должен обращаться в нуль для движений типа «твердого вращения», когда вся атмосфера вращается как твердое целое и нет относительного проскальзывания соседних слоев, а также для констант. Как выглядит функция тока «твердого вращения»? Если атмосфера вращается вокруг полярной оси с угловой скоростью а, то скорости равны
(91)(92)2 = тойоси,(91)(92)2 = тойоси,iz入—-ос(2 sin 9, 〃о — 0, а функция тока 2, связанная со скоростью формулами
(91)
(92)
2 = той
оси,
(91)
(92)
2 = той
оси,
1 舛 1 舛
будет 屮=——aa2 cos 6. Иначе это можно записать как =—аа2Р^ (cos 0). Если рассматривать твердое вращение с же угловой скоростью, но относительно другой, неполярной
то функция тока этого течения должна получаться из написанной выше поворотом. Но, поворачивая сферическую функцию,
всегда получаем также сферическую функцию с тем же нижним индексом, в данном случае 〃=1, или линейную комбинацию
鳥硝cos 6)+%е* (cos 6) +局产* (cos 0).(93)
Так можно получить все такие линейные комбинации. Вывод: функциями тока «твердых вращений» служат все сферические функции с 〃=1, или все линейные комбинации функций (93), или все решения уравнения
a屮十备屮=0.(94)
Дифференциальный оператор, удовлетворяющий всем поставлен
.Итак,.Итак,ным требованиям, может быть только один, А(А4
.Итак,
.Итак,
уравнение, описывающее двумерное течение вязкой жидкости на сфере, имеет вид
Q/ +也9］=也(a+*)屮.(95>
Существенно заметить, что уравнение (95) имеет одну и ту же форму в любой вращающейся системе координат, так как 0 это абсолютный вихрь, и левая часть имеет инвариантную запись dQ/df. Что касается правой части, то при переходе к другой системе координат, равномерно вращающейся относительно первой, к функции тока добавляется функция тока твердого вращения, а от нее оператор A + 2/出 равен нулю.
Энергия течения теперь, вообще говоря, не сохраняется. В самом деле, имеем для Е=—J J (▽屮产厶：
dE\di = J J V 屮 V%ds= — J f △屮押 t/s = JJ ［ф, Q］屮 ds —
-JJ g (A十备)屮ds=_ У H m屮)2一备(V中)2］曲.
Последнее выражение всегда неположительно, что можно показать, разлагая 屮 в ряд по сферическим гармоникам
少=e %(入，0)，m〃 ='()j" d 屮
〃 =o
и учитывая, чтои учитывая, чтоJJWnWmds = O приJJWnWmds = O прип^т.п^т.
и учитывая, что
и учитывая, что
JJWnWmds = O при
JJWnWmds = O при
п^т.
п^т.
dE［d£=—気 £ ［歩(？+i)2 — 2£(〃+〔)］，J 嗚或.
Л = 1
Значит dE/dt = 0 лишь если 屮 имеет вид 5, т. е. есть течение типа твердого вращения. В противном случае энергия существенна
убывает. Отсюда, в частности, следует, что стационарными могут быть лишь течения типа твердого вращения.
Докажем, что такое течение всегда устойчиво. Выберем систему координат, вращающуюся вместе с жидкостью, так что в этой относительной системе жидкость покоится. Если возникнет некоторое малое возмущение, то и энергия его будет мала. С течением времени энергия может лишь убывать, т. е., учитывая положительно определенный характер выражения для энергии, возмущение может лишь затухать. Затухание будет замедляться, лишь когда возмущение будет асимптотически приближаться к некоторому состоянию твердого вращения, близкому к состоянию покоя. Возвращаясь к исходной системе координат, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 14 [7]. Если течение типа《твердого вращения» на сфере возмущено, то возмущение с течением времени уменьшается и течение асимптотически приближается к состоянию твердого вращения, близкого к первоначальному.
《Идет ветер к югу и переходит к северу, кружится, кружится на ходу своем, и возвращается ветер на круги свои».
Бароклинная неустойчивость
В двумерной баротропной модели единственным источником энергии возмущений была кинетическая энергия среднего потока, если не считать очень малой баротропной потенциальной энергии [второй член в интеграле (77)], возникающей, если учитывать двумерную сжимаемость. Существенно новый источник энергии ——доступная потенциальная энергия ——появляется при переходе к бароклинной модели [интеграл энергии (79)]. Перепишем уравнение (69) через функцию тока ^ = gz/lQ：
新(M十叶*厂2需)=0,产=，鹼2P2/N.(96)
Краевое условие при р = р，о
-аг(^+^)^0, s2 = N2/g2P.
Применим к исследованию устойчивости знакомую нам процедуру. Один закон сохранения — для энергии был получен ранее [интегралы (78) или (79)]. Второй закон также очевиден. Это
普三备“，①(Р，吟 dxdydp=0,(97)
где Ф ——произвольная функция двух переменных. Сохраняемость этой величины есть следствие сохранения Q для индивидуальной частицы и проверяется без труда. С краевым условием связан еще один интеграл движения, именно
F(嗡-内+妙次(98)
P — Pq
где Г ——произвольная функция одного переменного. Обозначим ? = £* + /+G. Пусть теперь 屮——некоторое зональное течение, устойчивость которого изучается. Для близких полей 屮=屮+6屮 разложим функционал G по степеням 6гр и возьмем члены разложения до второго порядка включительно. Затем подберем функции Ф и Г таким образом, чтобы первая вариация обратилась в нуль. Если при этом удастся доказать знакоопределенность второй вариации, то отсюда будет уже следовать устойчивость течения. Итак, первая вариация:
»尸=J J J Е 咕十 фу Цу+г，2^р 讷十①2 BQ} dx dy dp +
+ JJ I оф + г' (8Фр + s2 ЙФ) \dxdy==
f J J { — Ф + ① a } 6Q dx dy dp~\~
+ H (巾①内2中)d%dy(99)
P = PQ
Здесь использовано интегрирование по частям. При этом считается, что на боковых границах и вверху поставлены такие краевые условия, при которых проинтегрированные члены дают нуль. Для того чтобы первая вариация при 屮=屮 обратилась в нуль, следует предположить, что потенциальный вихрь зонального течения Q при каждом р является монотонной функцией широты. Тогда гр можно считать функцией от Q,屮=屮(夕，Q). Остается выбрать Ф так, чтобы Ф^ =Т. Точно так же нужно предположить, что i|)p + s24)| р0 есть монотонная функция широты (т. е. приземная плотность монотонна). Тогда при р = ро можно считать 2 функцией от xpq + s?州，tp = //(4)p + <s2ip). Выберем Г так, чтобы Г"=——厂2〃. Теперь первая вариация действительно равна
нулю. Вычисляем вторую вариацию
泞= JJJ〔一扌屮十①/ ZQ}ZQdxdydp-^
十，J {r2^+F〃（3% + s2^）}（3%+s2^）dxdy =
P — Po
= JJJ处2）2+（池）2十户（咕）2十明（BQ）2］公内办+
（100）（100）
（100）
（100）
где 0 =—W — szpipo—величина, обратно пропорциональная приземной плотности.
Для устойчивости достаточна знакоопределенность второй вариации. Это имеет место, если <3x|?/<?Q>0 при каждом р и d屮/d®>0 при p = pQ. Что это за условия? Было предположено, что потенциальный вихрь монотонно изменяется от полюса к полюсу. Естественно уточнить это требование и считать, что потенциальный вихрь убывает от северного полюса к южному, так как именно это происходит с главной частью потенциального вихря ——параметром Кориолиса /. Но условие d^/dQ > 0 тогда означает, что 屮 также убывает от северного полюса на юг. Учитывая, что гр ——функция тока, получим отсюда, что ветер направлен с востока на запад, что неестественно. Как получить все-таки реальный критерий устойчивости? Для этого, как и в баротропном случае, будем рассматривать движения во вращающейся системе координат, опережающей ветер. Функция тока в новой
системе координат,屮 связана со старой соотношением
少=屮十々cos 9,
屮 удовлетворяет точно такому же уравнению сохранения потенциального вихря, как и прежде, с таким же выражением потенциального вихря через 屮.Краевым условием опять-таки служит уравнение сохранения обратного значения приземной плотности, но теперь 0 выражается через 屮 несколько сложнее: 9 =——屮@ —— 一s2^ + s2^cos®. Это не мешает, однако, выполнению тех
самых законов сохранения функционалов £, F, G. В новой системе координат уже 外/0Q>0. Второе требование, d^/d& | р0 >0, становится, напротив, неестественным, так как оно требует убывания 0 от полюсов к экватору, или роста плотности. Тем не менее некоторый критерий устойчивости все же можно получить, считая, что приземная плотность постоянна,——屮р ——s2i|? = const. Изменяя 屮,быть может, на константу, можно считать, что ipp + + $2屮=0 как для среднего течения,屮p + s?屮=0, так и для возмущений, 3 (屮@ + $2屮)=0. В вышеприведенных рассуждениях изменится следующее: функционал G (98) не понадобится. В вариациях (99) и (100) не будет членов, содержащих 6/ipp + s26ip. Таким образом, для устойчивости будет достаточно убывания потенциального вихря по 0 при каждом р.
Теорема 15 (Чарни—Стерн) [16]. Если приземная плотность постоянна, то для устойчивости бароклинного геострофического течения достаточно, чтобы потенциальный вихрь зонального течения был убывающей функцией от 0 при каждом р.
Эту теорему можно с известным основанием применять к исследованию струйных зональных течений, занимающих некоторый ограниченный пояс широт. В более широкой области рост температуры к экватору, а следовательно убывание плотности становятся слишком заметными и могут вызвать неустойчивость.
Вообще, по-видимому, ситуации, в которых имеет место устойчивость, чрезвычайно редки. Критерий Чарни—Стерна можно применять для зональных струй, занимающих не слишком широкую зону, если пренебречь движениями вне ее. Иначе предположение о постоянстве приземной плотности становится неоправданным. Но для геофизика мало знать сам факт неустойчивости, нужно уметь оценить степень этой неустойчивости. Отрезки времени, интересующие метеоролога, вполне сравнимы со временем нарастания неустойчивых возмущений. Интересны также длины неустойчивых волн. Они в какой-то степени характеризуют размер встречающихся в природе неоднородностей метеорологических полей, т. е. размеры циклонов, антициклонов и других барических образований. Изучить эти вопросы можно в линейном приближении.
Линеаризуем уравнение [96] относительно функции тока 屮 стационарного течения.屮 будет зависеть от р и у, т. е. имеется лишь одна компонента средней скорости, направленная по оси %: U(p, у). Параметр Кориолиса зависит от у. Уравнение (96) примет вид
（六十u/№什备户需（六十u/№什备户需ТхТх
（六十u/№什备户需
（六十u/№什备户需
Тх
Тх
\ dy2 • dy др др /
Линеаризуем также краевое условие:
(备十+ 中')一-襲一(筹+ $2。)=0, p=p"
Коэффициенты не зависят от f и %, поэтому ищем решения вида 然2胱一⑺屮g，у) Для них будет
(U _ C)(中状少++
+(一贫+的)
(U — С)(屮.+s2中)一(*+52")中 К = 0.(102)
Уравнение (101) отличается от двумерного, баротропного уравнения или от уравнения Релея тем, что ко второй производной по у добавляется аналогичный оператор по переменной р. Сосредоточим сейчас свое внимание именно на этой зависимости от вертикальной координаты. Для этого будем считать, что скорость среднего течения зависит лишь от р. Тогда естественно искать решения, зависящие от у также гармонически:屮= = eik2y^^ и уравнение будет
(" — ,)(—炉屮十爲，2 *)+8? = 0,
В = кЕГ，(1°3)
必=々;十后，
при краевом условии
(U — Q(岩+s2p)_nn%=0,尸= *+s2".(104)
Напоминаем, что-S ——это производная от потенциального вихря среднего течения по широтной координате. Мы не говорили ничего о верхнем краевом условии. Оно носит до какой-то степени формальный характер. Именно, уравнения можно интегрировать до бесконечной высоты (или до р = 0), но ясно, что на некоторой высоте они уже теряют физический смысл. Можно ограничиться конечной высотой, отбрасывая все, что выше. Краевое условие будет также условным. Естественно считать, что на этой высоте отсутствуют пульсации плотности. Учитывая уравнение статики, запишем это в виде d^/dp==0. Иногда используют и условие твердой стенки ——как и внизу,——приводящее к тому же уравнению (104), но на некотором верхнем уровне.
< Уравнение (103) по форме совсем уже напоминает уравнение Релея, но с дополнительным членом dl/dy, подобно тому как это
75
имело место для баротропного уравнения. Казалось бы, что должна иметь место и теорема, аналогичная теореме Релея, т. е. если В>0 (потенциальный вихрь при всех р есть возрастающая функция от у), то течение устойчиво. Но это не совсем так. В самом деле, взамен простых граничных условий 屮=0 или 屮р = 0, при которых доказывается теорема Релея, здесь сложное условие (104), содержащее собственное значение. Правда, это сложное условие упрощается в частном случае, когда приземная плотность постоянна. Тогда краевое условие будет г|)р + 52г|)= 0. Это условие также позволяет доказать теорему Релея ——устойчивость течения при В>0. Но это есть не что иное как утверждение теоремы Чарни—Стерна в частном случае, когда скорость зависит лишь от вертикальной координаты. Таким образом, при условии В>0 неустойчивость может появиться лишь за счет нижнего краевого условия, т. е. за счет переменности приземной плотности. Аналогично обстоит дело с теоремой типа Фьортофта.
Если В один раз меняет знак, и если (U — U)5v0, где U ——значение U в той точке, где В обращается в нуль, то при постоянстве приземной плотности, Fj р()—0, течение устойчиво, т. е. и здесь неустойчивость может быть лишь за счет краевого условия. В следующем пункте будет показано, что такая неустойчивость не может быть, в каком-то смысле, слишком большой. Точнее, не может быть более одного растущего колебания, при каждом волновом числе k.
Практически наиболее употребительный способ решения задачи (103), (104) состоит в конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения. Разбиваем отрезок [0, ро] на N равных интервалов точками рп,拉=乂, ..., 0 и записываем разностное уравнение в виде
(Si)(―碗“+九士 —d+土 -^яМ)+
十旦％=。，&=Рп—\—рп，几=3 •…N —1.(105)
Здесь 厂 1 ——некоторое среднее значение между гп и гп-ь Краевое условие при р = ро запишем в виде
(Uo — С) (~^^- + 5詁о)—尸о屮о = 0・(106)
В конечно-разностной записи уравнения есть, разумеется, некоторый произвол. Так, еще очень употребителен следующий способ. Уравнение (103) переписываем как
_(U - С)依什需屮+备心—С)产备]一备卜*屮]=0,
после чего заменяем его конечно-разностным уравнением
.2.2屮"——屮2+1屮"——屮2+1被被L 戸 Un-\ — UnL 戸 Un-\ — Un,.12忆％+丁2+,.12忆％+丁2+1 х1 хXXи〃一 U〃 + 16и〃一 U〃 + 16屮 1 =°,屮 1 =°,(Ю7)(Ю7)
.2
.2
屮"——屮2+1
屮"——屮2+1
被
被
L 戸 Un-\ — Un
L 戸 Un-\ — Un
,.12
忆％+丁2+
,.12
忆％+丁2+
1 х
1 х
X
X
и〃一 U〃 + 1
6
и〃一 U〃 + 1
6
屮 1 =°,
屮 1 =°,
(Ю7)
(Ю7)
где 屮"l=%二耍 屮",Ur_ l=y"-* U〃 Легко проверить, что
уравнение (107) совпадает с (105), где только
т. е. производные от известной функции U также вычисляются в разностном виде. Краевое условие (106) также можно записать иначе. Бывает очень удобно поднять его на полшага вверх, т. е. приписать уровню 乙 ：
_e)(屮"I 屮°^曲)—尸］ "屮1.一 = 0 (108)
ИЛИ
(Ui - e)屮0 — (4 — e)屮 1 - cs* » *9大屮1-=0.(109)
Наконец, часто пренебрегают в краевом условии очень малым членом, содержащим s?. Тогда будет
(〃一с)屮 ° — (U о — с)屮 1 = 0.(110)
Рассмотрим пример. Будем считать, что р н р экспоненци
ально падают с высотой, р = рде я , р = рое ". Тогда уравнение статики др/dz = —gp дает po = g"po, т. е. p=gHp. Отсюда имеем р
产=-•&" Что касается скорости ветра U、то будем считать, что она зависит от р линейно, U=A (р0 — р)・ Возьмем всего четыре точки, т. е. N = 3. Нижнее краевое условие берем в форме (110). В качестве верхнего — также условие твердой стенки, что приводит к такому же уравнению, как (110):
("2 - e)中3 — (Ь3 - e)中2 =。.(111)
Эти два краевых условия позволяют исключить из уравнений, написанных для двух средних уровней, крайние уровни. Получим
5+。2 25+。2 2屮1 -中2屮1 -中2力士X力士X2U1 — U 222U1 — U 22屮1十屮2广П屮1十屮2广П
5+。2 2
5+。2 2
屮1 -中2
屮1 -中2
力士X
力士X
2U1 — U 2
2
2U1 — U 2
2
屮1十屮2广П
屮1十屮2广П
一（U］一0）依%十% 5 - （-^4^ 一 e）Г^ X
屮1 一屮2 I 2 S - "2 屮1 + 屮2 _n
入 62 十/丄 ^2
Обозначим среднюю скорость 丄1^"? =77, & —5 = AU, фазовую скорость относительно среднего течения c — U=^c, Тогда
十（-学"+ e ）炉中2 T 一 一乳中2 一 е（Ф1 -屮2）+
（~2Ь°）炉屮idjy■屮 1+c（屮 1 屮2）
Обозначим
Однородная относительно неизвестных ipi,屮2 система имеет решение, если ее определитель равен нулю, что дает уравнение для с:
炉啰+ 2/） ?十患（2炉+2/）в+（手y X
Х（一 肥+2乂2/）十（請）2 = 0.
Это уравнение имеет невещественные корни, если 4（-^-） 乂4＜心（4娟一”）au2.
На рис. 10 а показана эта кривая [22]. Ее низшая точка соответствует наиболее слабым сдвигам ветра, при которых появляется неустойчивость, и наиболее неустойчивым волновым числам. Они равны, соответственно,
(112)(112)
(112)
(112)
Чтобы получить количественную оценку, нужно еще выбрать значение //. Если взять формально скорость затухания плотно-
厶〃厶〃Рис. 10. Области неустойчивости (заштрихованы), а) двухуровенная бароклинная модель; б) четырехуровенная модель.Рис. 10. Области неустойчивости (заштрихованы), а) двухуровенная бароклинная модель; б) четырехуровенная модель.
厶〃
厶〃
Рис. 10. Области неустойчивости (заштрихованы), а) двухуровенная бароклинная модель; б) четырехуровенная модель.
Рис. 10. Области неустойчивости (заштрихованы), а) двухуровенная бароклинная модель; б) четырехуровенная модель.
ста и давления с высотой при условии постоянства температуры р = рое "7, то получим Я = I^T/g^ 104 м. Тогда без труда находим
РзРз^ТЖ'(км~!) ^^~ 20 м/с.^ТЖ'(км~!) ^^~ 20 м/с.
Рз
Рз
^ТЖ'(км~!) ^^~ 20 м/с.
^ТЖ'(км~!) ^^~ 20 м/с.
В этом случае получается завышенная оценка устойчивости — на самом деле температура сильно падает с высотой, следовательно, плотность и давление затухают значительно медленнее. Разумно произвести подгонку по основному параметру, характеризующему устойчивость атмосферы ——по частоте Брента—Вяи- сяля со。. Для нашей модели, когда плотность экспоненциально
——^^—= у —. Если же температура падает с высотой линейно, т. е. 7 = То(1 ——уг), как это имеет место
* (YlY)，* (YlY)，
* (YlY)，
* (YlY)，
в тропосфере, можно легко показать, что 孤=
где 丫。——скорость падения температуры у частицы, поднимающейся вверх адиабатически. Эта скорость равна ya^g/cP = =10 К/км. Что касается у, то это в среднем 6 К/км. Имеем 方= =Т/(丫。一 Y)=75 км. Теперь оценки таковы:
км-1, AU^3 м/с.
Это, по-видимому, близко к истине. Таким образом, уже слабых сдвигов ветра (3 м/с на расстоянии 6^300 мбар) достаточно для возникновения неустойчивости. При этом возбуждаются волны длиной 九=2冗/力^4000 км, т. е. характерный размер неоднородности около Х/4— 1000 км.
Бароклинная неустойчивость. Теоремы типа Релея и Фьортофта
Основной недостаток предыдущего расчета состоял в чрезмерно грубой аппроксимации дифференциального уравнения разностным, с использованием всего четырех уровней, причем уравнение записывалось на двух из них. При увеличении числа уровней повышается степень уравнения для с, а следовательно и число решений. Покажем, например, кривую устойчивости, полученную при увеличении на два числа уровней в той же задаче (рис. 10 6) [4]. Каждая петля соответствует паре невещественных комплексно сопряженных собственных значений с. Петли нигде не пересекаются, т. е. ни при каких значениях параметров не может быть одновременно двух пар невещественных собственных значений. Это оказывается не случайным. При каком угодно числе уровней и при выполнении определенных условий задача имеет не более одной пары комплексно сопряженных невещественных собственных значений. Точнее, будет доказана другая теорема.
Теорема 16 [8]. Уравнение (105) при краевых условиях
屮 n=屮n_1,(113)
山一屮o = (a + y^y)屮о, a》。(114)
имеет не более одной пары невещественных комплексно сопряженных собственных значений с, если еще выполняется одно из двух условий:
все Вп>0 (или все Вп<0),
последовательность Вп один раз меняет знак и существует такая константа U, что Вп (Un 一 U) v0.
80
Эти достаточные условия а) и б) не являются, разумеется, необходимыми для существования не более одной пары невещественных собственных значений. Условие а) назовем условием Релея, а условие б)——условием Фьортофта. Эти условия обеспечивают полное отсутствие невещественных собственных значений, если нижнее краевое условие заменить более простым:屮1 = =i|?o или 5 = 0.
Линейный профиль скорости U(р) =А(р° ——р) удовлетворяет условию Релея. Степенные профили U ==Uo{p/po)n при —1W〃W W0 удовлетворяют условию Релея, а при nV ——1——условию Фьортофта.
Доказательство. Поскольку речь идет о разностных уравнениях, приведем формулу суммирования по частям, аналогичную следующей формуле интегрирования по частям:
pn
J (击产券)gdp=—产若J d**dp
PoPo
(115) при -~-| p =0. Именно при '“ ='nt имеем
E "2)1+I (九一九一)]g〃 =
N—2^-l
=E 产丄 1 (A+i—Л)gn— 2 产 1 ел—/i)x
xg〃一小_(力一％)go = 2丄(/〃一/〃一1—
—Еi_(fn-—fn-\)gn ~r\_(fl ~/о) g"o =
72 = ]~~2~Т
1
Е 厂；_丄(/〃一《Л —l)(g〃 —g/2—1) —r](/l—/o)go・ (116)
С помощью этой формулы для разностных уравнений доказываются те же теоремы, что в п. 5 для дифференциальных. Именно, умножим (105) на 屮九/(。九——с) и просуммируем от 1 до ^—1, применяя формулу суммирования по частям:
N—17V-1
—々2 Е I фл |22 Г2_/2 —
72=1厶=1Г
—戸I (Ф1 — фо) Фо + 2 -駅 屮吟=0・(117)
81816 Заказ № 604
81
81
一炉勺〃+r：一炉勺〃+r：1 Un-C厂。〃一С)21 Un-C厂。〃一С)2(120)(120)
一炉勺〃+r：
一炉勺〃+r：
1 Un-C厂。〃一С)2
1 Un-C厂。〃一С)2
(120)
(120)
Если выполняется одно из двух нижних краевых условий:州о = О или 州，=“о, то это уравнение полностью аналогично уравнению (24), с помощью которого доказаны теоремы 2 и 3 — Релея и Фьортофта. Дальше доказательство для разностного уравнения полностью совпадает с тем, что было для дифференциального.
Возьмем теперь произвольное вещественное с. Отправляясь от значений 州八丁=州№—1 = 1, можно последовательно решать уравнения (105) сверху вниз, т. е. из уравнения, записанного на /г-ном уровне определять 4>n-i и так вплоть до 州о. Из структуры уравнения (105) видно, что 屮丫一2 окажется равным отношению некоторого многочлена первой степени к Unt — с, Wn—з — отношению многочлена второй степени к (Un-i — с), (Un-2 — с) и т. д. Наконец, tpi ——это многочлен (N — 2)-й степени, деленный на (Unt — с) (Un-2 — с) ... (“一с), а 屮о—это многочлен (N —— 1)-й степени, деленный на (Unt ——с) (U^~2 — с)...(Ui ——с). Эти многочлены зависят, конечно, от k. Дроби, вообще говоря, несократимы, но при конечном числе значений k они могут оказаться и сократимыми. Теперь положим
/И (с) = (屮 1 — фо)/Фо-(118)
Значение функции М(с) состоит в том, что те с, которые обращают эту функцию в нуль, являются собственными числами уравнения (105) при краевом условии 州i=ipo・ Те с, которые обращают эту функцию в бесконечность (полюсы),— это собственные значения уравнения (105) при краевом условии 屮о = О. Значения c = Un являются полюсами и числителя и знаменателя дроби (118), т. е. не являются особыми для М(с). Собственные значения основной задачи с краевым условием (114) получаются как пересечения графика функции М (с) с гиперболой
K^ = a^-J^ (心0).(И9)
Выясним, какими свойствами обладает функция М(с). Для этого вычислим производную dM[dc. Если в уравнении (105), деленном на Un ——с, считать все 州九 функциями от с и продифференцировать это уравнение по с, обозначив d^nldc = ^n, то будем иметь
^п-\ — ^п "2 ^п — ^п + \ I
Умножим (105) на 屮九/(0九—с) и вычтем (120), умноженное на 州九.Полученное уравнение просуммируем по п от 1 до N—1, воспользовавшись формул。访 суммирования по частям (116).
Получаем
^-厂_|_ [(屮 1 -中0)中0 一(?1-у0)?0]- e ~^7, 一 e)厂=0， или, иначе,
▼2 -(方二可(⑵)
Сразу же получим еще одну формулу такого рода, умножив (105) на ^п!(Un ——с) и просуммировав. Получится формула, аналогичная (117), но без знака комплексного сопряжения:
N- 1N-1
-勿 e *一备 士 I 丄(%一屮i)2 - $"也X
X (屮 1 -屮0)少0 + е —⑦ " "е一 к 0 •(122)
п = 1“
С помощью этих формул исследуем функцию М (с) и прежде всего ее предельное поведение при с-> ±оо. Функции 屮九 стремятся при этом к определенным пределам, удовлетворяющим предельному уравнению, полученному из (105):
屮"一1 -少%屮"一1 -少%屮〃——中/2 + 1屮〃——中/2 + 1=0.=0.
屮"一1 -少%
屮"一1 -少%
屮〃——中/2 + 1
屮〃——中/2 + 1
=0.
=0.
Как показывает (122), для этих предельных значений не может быть ни 屮о=О, ни 屮 1 =屮0, т. е. liniAl(c) конечен и отличен от нуля.
Более того, та же формула (122) позволяет заключить, что iimM(c) <0.
Теперь уже можно доказать ту часть теоремы, которая относится к теореме Релея. Пусть, например, все Вп>0. Тогда из (121) имеем dM/dc>Q. График М(с) может быть лишь таким, как на рис. 11 а. Он имеет ^— 1 точку разрыва (так как числитель выражения для М(с)——многочлен (N——1) -й степени и не имеет невещественных корней). Следовательно, график состоит из N отдельных кусков. Следует различать два случая — когда вертикальная асимптота гиперболы (119) совпадает с одной из вертикальных асимптот М(с) и когда не совпадает ни с одной. В первом случае К (с)一М(с) есть отношение многочлена (N——1)-й степени к (с ——q)...(c ——Cn—i), где cn——корни 屮о. Во втором случае — отношение многочлена N-й степени к (с — b) X X (с — Ci)... (с — Cn-О. В первом случае имеется всего N — 1 собственных значений нашей задачи во всей комплексной плоскости. Во втором случае их N. Но в первом случае гипербола обязана
пересечь все ветви кривой М(с), кроме, быть может, трех: двух, примыкающих к общей асимптоте, и одной из крайних. Поэтому число т^чек пересечения, или число вещественных собственных значений не менее N ——3, а Число невещественных — соответст- венно не более N — 1— (/V — 3)=2. Во втором случае гипербола может не пересечь лишь две ветви кривой М(с) (рис. 11 б), т. е. вещественных корней не менее ^ — 2, а невещественных не более
а) вертикальная асимптота М(с) совпадает с одной из асимптот К(с) (условие кальные асимптоты не
^——〈N — 2)=2. В этом рассуждении использовано то, что горизонтальная асимптота гиперболы расположена выше горизонтальной асимптоты кривой М(с}.
Примечание. Если возвратиться к примеру, разобранному в конце п. 15, с точки зрения настоящих рассуждений, то может показаться странным следующее обстоятельство. В том примере N = 3, значит, уравнение М (с) — К (с) = 0 имеет, вообще говоря, три корня (нужно отвлечься еще от малосущественного обстоятельства, что в том примере бралось другое верхнее краевое условие по сравнению с рассуждениями настоящего пункта). Но мы помним, что в том примере получалось квадратное уравнение, т. е. не более двух собственных чисел. В чем тут дело? Оказывается, исключая нижний уровень 屮о, мы теряем одно решение: легко проверить, что решением является c = Ui,屮о*0, 屮 1 =屮2=屮3=0. При исключении 屮о оно переходит в тривиальное решение, поэтому оно и было потеряно. Это решение может даже, ло-видимому, представлять физический интерес, хотя оно не дает неустойчивости.
Пусть теперь выполнено условие Фьортофта. Умножим обе части (121) на U—с. Преобразуем правую часть, воспользовавшись соотношением (U — с) / (。一 с) = (° 一 U) / (U — с) + 1.
собственных значений с.
Релея); 6) вертикальные асимптоты не совпадают (условие Релея)； в) верти- •совпадают (условие Фьортофта).
ПолучаемПолучаемСкладывая это с (122) и обозначаяСкладывая это с (122) и обозначая随0一u")*I y b就
Получаем
Получаем
Складывая это с (122) и обозначая
Складывая это с (122) и обозначая
'(U〃一 c)2 ^倉 U〃一厂•
получимполучимJ)5J)5加© =加© =月=e 公端+ - %一)2 >0,
получим
получим
J)5
J)5
加© =
加© =
—丁.10〃 — C)2
Обозначим P(c) = (U — c)M(c). В силу условий Фьортофта имеем dP (с)/doO. Значит, функция Р(с) монотонна между своими точками разрыва, которые у нее те же, что и у функции М(с), в количестве N——1. Нули у нее также те же самые, что
и у Л4(с), плюс еще один: c = U, всего их ^. График этой функции показан на рис. 11 в, где одновременно изображен и график функции (Uс) К (с). Здесь нарисован тот случай, когда вертикальные асимптоты двух кривых не совпадают. Уравнение
как предельныйкак предельныйР(с) — (U — с)К(с)=0 может иметь всего N+1 корень. Но, как непосредственно ясно из чертежа, вещественных корней не менее ^— 1, т. е. невещественных не более двух. Аналогично и в случае, когда имеется общая вертикальная асимптота, как общее число собственных значений, так и минимальное число вещественных из них уменьшается на единицу. Теорема тем самым полностью доказана.
как предельный
как предельный
Идеальная жидкость случай вязкой
Возвращаемся опять к общим рассуждениям, не относящимся исключительно к метеорологии. Содержание настоящей книги — изучение устойчивости идеальной жидкости. Это оправдано тем, что существует достаточно много ситуаций, где вязкость исключительно мала — например, струи в свободной атмосфере. Однако вопрос о значимости результатов, полученных в пренебрежении вязкостью, далеко не праздный. Дело в том, что мы сами осложнили себе задачу, выбрав не очень удобное определение
устойчивости, требующее ограниченности решения в течение бесконечного времени. Как бы мала ни была вязкость, но в течение бесконечного времени она обязательно скажется. Конечно, любое решение уравнений Эйлера для идеальной жидкости имеет смысл лишь постольку, поскольку оно близко к настоящему решению уравнений Навье——Стокса с очень малой вязкостью. Но так оно обычно и бывает — всякое решение уравнений Эйлера вне пограничных слоев есть предел 《вязких》 решений. Но эта сходимость неравномерна по времени, точнее равномерна для конечных промежутков времени и замедляется для больших времен. Поэтому устойчивость 《невязкого》решения не обязана гарантировать устойчивости решения даже с очень малой, но конечной вязкостью. Если эта вязкость мала, то《вязкое》решение в течение очень длительного времени будет близко к решению 《невязкому》，т. е. будет ограничено или даже затухать, но наступит такой момент (и тем позже, чем меньше вязкость), когда они разойдутся, и может случиться, что 《вязкое》решение начнет расти. Таким образом, казалось бы, изучение устойчивости для уравнений Эйлера ничего не дает. Но законно спросить, насколько на самом деле важны бесконечные промежутки времени. Какая именно математическая идеализация лучше всего интерпретирует физические опыты, например с возникновением турбулентности в трубе или в лотке? Возмущения могут выноситься из трубы прежде, чем разовьется неустойчивость. Точно так же при изучении атмосферы неустойчивость, слишком медленно развивающаяся, уже не может считаться неустойчивостью. Таким образом, изучение слишком больших промежутков времени может оказаться лишенным физического смысла. Трудный вопрос, что является подходящим определением неустойчивости, заметное нарастание возмущений в течение какого разумного срока нужно считать неустойчивостью. Это следует, по-види- мому, решать индивидуально в каждом отдельном случае. То что сейчас было сказано, в высокой степени свойственно точке зрения метеорологов: их интересует не столько самый факт обнаружения неустойчивости, которая почти всегда имеет место, сколько время реализации этой неустойчивости. Для любого разумного времени вязкость свободной атмосферы окажется малой, поэтому можно свободно пользоваться уравнениями Эйлера. Они дают достаточно хорошее приближение, если реальная вязкость мала и нас не интересуют слишком медленно развивающиеся неустойчивые возмущения.
Другой вопрос, который возникает при исследовании взаимосвязи решений уравнений Эйлера и Навье——Стокса при малой вязкости — это вопрос о волновых решениях. Допустим, найден спектр волн уравнения Эйлера для какого-нибудь профиля скорости основного течения. Будут ли уравнения Навье——Стокса иметь волны с близкими значениями с, т. е. можно ли искать волновые решения, пренебрегая вязкостью с самого начала
в уравнениях? Точнее, является ли собственное значение с уравнений Эйлера пределом собственных значений уравнений Навье——Стокса при вязкости, стремящейся к нулю? К выяснению этого вопроса мы сейчас и переходим. Окажется, что затухающие и растущие возмущения ведут себя в этом смысле по-разному. В то время как невещественные собственные значения с входили в уравнения Релея всегда комплексно сопряженными парами, т. е. одновременно присутствовали как затухающие, так и растущие возмущения, лишь растущие из них являются пределами волновых решений уравнений Навье—Стокса при исчезающей вязкости. Что касается затухающих решений уравнения Навье——Стокса, то они стремятся к соответствующему решению уравнений Эйлера （или Релея） вне некоторой зоны, где поведение решения определяется вязкостью, сколь малой бы она ни была （внутренний пограничный слой）. Тот же принцип предельно малой вязкости позволяет в случае нейтрального вoзмy^ щения получить в особой точке условие сопряжения. Достойно внимания то обстоятельство, что получается в точности то же самое условие сопряжения, которое было получено в п. 7 совершенно из других соображений.
Итак, записываем уравнения Навье——Стокса для однородной несжимаемой жидкости, линеаризованные относительно течения, скорость которого направлена параллельно оси % и зависит лишь от координаты г:
диг dt
•дх
.,dU 4-W r—=—
I
Г
дх
十"罐
dvr dt
dvr — дх
I
г
дрг
卄Ad;
dwr dt
ьU一
dwr дх
I
г
dz
ди'丄 dvf дх 十 ду
Будем предполагать, что имеются твердые плоские стенки z = =а, 6. В направлении у поток неограничен. Ищем волновые решения
（〃'，vr 侬'，"）= （〃（）⑦⑶，砌（z）, р（2））е“"+°У-а?
Система принимает вид:
尸―侬+ 供）—=（U —矶 〃 =
[02—期+供）一?0一С）"
Z 他〃十能）+需=0（D = ^） •（123）
На твердых стенках принимаем естественное условие прилипания u = v=w = 0. Вводим новые величины
a2 =a2+俨，a〃=a比 +能，砌=叫 子，_^_ =子，e = e. Y丫Y 丫
Если первое из уравнений (123) умножить на а, второе на |3 и сложить их, то получим уравнение, которое вместе с оставшимися двумя уравнениями дает систему
02一族= 亀
芸/+=0・(124)
По форме эта система совпадает с (123), но написанной для двумерных возмущений. Таким образом, если есть трехмерное возмущение (т. е. такое, у которого р 0), то ему соответствует некоторое двумерное возмущение с тем же значением с. В частности, для неустойчивых возмущений имеем следующую теорему.
Теорема 17 (Сквайр). Если имеется неустойчивое трехмерное возмущение (Im с>0), то существует неустойчивое двумерное
〜Уа2 + р2
возмущение, уже для большего значения вязкости v^v,
а
но при том же с.*
(О некоторой неполноте рассуждения, приводящего к теореме Сквайра, см. ниже замечание.) Теорема Сквайра имеет фундаментальную важность. К сожалению, ей нет аналога для течений в каналах другой формы, чем между двумя параллельными плоскостями, например, в круглой трубе. Благодаря этой теореме все свелось к двумерным возмущениям и к системе (124). Исключаем из этой системы далее еще два неизвестных
р н и. Получаем
(U -二)自 一 /) / 一u〃各=*仿2 一 裁 /,
т. e.
(U — c)3 — a2u')- U〃砌=备侬 1V_2a2®〃 + 々4砌)(125)
(тильды в обозначениях отбрасываем). Это уравнение носит название уравнения Орра——Зоммерфельда. Оно обобщает уравнение
Релея (23). На твердых стенках нужно полагать u=w = 0, т. е.
砌= -^- = 0, z = a, b, (126)
Это уравнение часто записывают в безразмерной форме, для того чтобы выявить, от каких существенных параметров оно зависит. Если взять за масштаб длины ширину канала No, а за масштаб скорости, например, максимальную скорость Ua и положить U* = U/Uo, c* = c/Uo, a* = azo, w* =wIUq, to будем иметь
(U* — c*)(砲*”一 ос*%*)— U*〃zu* =
где R = UoNo/v ——число Рейнольдса.
Замечание. В этих рассуждениях, в том числе в приведенном выше доказательстве теоремы Сквайра есть один пробел. При исключении неизвестных теряются решения. Именно, некоторые решения исходной системы (123) переходят в тривиальное решение уравнения Орра—Зоммерфельда (125). Исследуем это. Пусть w = 0. Из предыдущей системы (124) сейчас же получаем
〃 =0 и р = 0. При этом и и и не обязаны быть равными нулю, они лишь связаны соотношением au + ^v = 0. Обращаясь к (123), находим, что и и у удовлетворяют одному и тому же уравнению
〃〃一啰+俨"^(U-c)〃 = 0. (127)
при краевых условиях 〃 = 0 (z = a, b). Эта краевая задача может дать дополнительные волны, которых нет в двумерной задаче. Не противоречит ли это утверждению теоремы Сквайра, при доказательстве которой не было учтено это обстоятельство?
Теорема 18 (Романов) [13]. Трехмерная задача (0*0) имеет дополнительный спектр собственных значений & не содержащийся в двумерной задаче, но этот спектр соответствует устойчивым возмущениям, Im с<0.
Это утверждение проверяется без труда. Нужно умножить (127) на 〃，проинтегрировать по z, воспользовавшись краевыми условиями, и взять вещественную часть полученного равенства:
ь ь
— J II〃'F+(a2+B2)|〃|2]dz—Imc*j |〃 12dz = о. а а
Отсюда сразу видно, что ImcvO, и теорема доказана. Теорема 17, сформулированная лишь для нарастающих возмущений, остается верна; пробел в доказательстве сейчас заполнен.
Переходим к изучению предельного поведения решений уравнения Орра——Зоммерфельда (125) при v->0, когда это уравне- 90
ние переходит в уравнение Релея. Уравнение Релея ——второго порядка и имеет два линейно независимых решения, в то время как уравнение Орра—Зоммерфельда имеет их четыре. По-види- мому можно найти два решения этого уравнения, которые стремятся к пределу. Другие решения должны при малых v либо быстро осциллировать, либо уходить в нуль или в бесконечность. Для их асимптотического описания существует так называемый ВКБ-метод, возникший в оптике при описании перехода от вол- ново访 к геометрической оптике при длине волны, стремящейся к нулю, а также в квантовой механике при изучении перехода от квантовой к классической механике, когда постоянная Планка стремится к нулю. Мы воспользуемся одной модификацией этого метода, использующей обход особых точек в комплексной плоскости [9].
Прежде всего нужно заменить уравнение четвертого порядка системой уравнений первого порядка. Обозначим
.W7 — а2^ = ф, Е = }/у/а .
Уравнение примет вид
(U — e)屮一US = 一 左2 (屮〃-a2屮).
Теперь вводим еще две новые функции
Получаем следующую систему уравнений, равносильную уравнению Орра—Зоммерфельда:
* =a2m加+ S屮；
河，=a2e2中+ "(и— e)屮-U〃з]；
屮=刀.(128)
Запишем эту систему в матричной форме, введя вектор
e=(Е,加，7],屮)
и матрицу Оа2е0е
(129)(129)еООО
(129)
(129)
О 一。0 也2 + “и — с)
О01О
Будем иметь
(130)
Введем еще обозначения
Теперь задача состоит в том, чтобы перейти к новым искомым функциям таким образом, чтобы привести матрицу к диагональному виду с точностью до членов, стремящихся к нулю при
0. Замена переменных имеет такой общий вид
где Т — некоторая матрица перехода. При этом система приводится к форме
広車=「тр廟一 е7*広車=「тр廟一 е7*(131)(131)
広車=「тр廟一 е7*
広車=「тр廟一 е7*
(131)
(131)
В качестве Т возьмем To + eri + e2^, где
Правую часть (131) нужно будет вычислить с точностью до членов порядка 82. Обозначим
Тогда
「 7 = [ 7。(/+ 次 1 + £火2)] T = (/ 一 次1 十 $2 Y -一£火2)T^+O^Y
обозначим еще М = ЛлА — A/G + T^T；. Тогда для правой qacn （131） будем иметь
Т-РГ—ГТ = （/一次宀2抬~2KJ Т^Р{Т^гТх^
+ 勿2）-（/ 一次]）T^（t^T,0^0^ =
=a _ sM+e2（к]m— 7尸兀 一《2A十八《2）十0 （9•
Вычисляем входящие сюда матрицы
а2а2/
亏 丁
а2а2f
2尸27
ОО
ОО
+0（势,
Ki A — AK[=
才
О
О
1
2 о о
+ ё -丄丄
г1 г1
"472~
关 关
О
О
关 关
О
О
+。©).
Звездочками обозначаем несущественные в дальнейшем менты матриц.
关 关
0
关 关
1
* 关
* *
4储
0
+0(吃
К1М =
* 关 о
厂/
*关
*关
о о
关 关
о
о
*0()
tv7 =
关
* о
* * * \ ООО +О(г), 夫0 °/
о о
1
о о 1
7 尸
о о
о
о
7 г1
для
Наконец, (⑶)：
подставляем все это в выражение
правой части
00 о\
—弟 00
2尸
十
001
0 а2 4-/ о/
力+。曾.
О/
Отметим, что у матрицы, которая множится на 82, две последние строчки нулевые. Теперь запишем систему в виде
(132)(132)
(132)
(132)
где
方 000\
S =
0一厂一分00
000е J
\00(а2 + /)е О/
а матрица R ограничена при 8 f 0, причем равномерно по г, если z не уходит в бесконечность и не приближается к фиксированной окрестности критической точки, где U — с = 0, или 厂=0. Кроме того, две последние строчки R есть О(£). Как и в п. 7 будем считать, что функция U (г) аналитически продолжается в окрестность того отрезка вещественной оси, на котором она была определена первоначально. То, что было сказано про поведение матрицы R, относится ко всей этой окрестности.
Смысл проведенной замены переменных состоит в том, что теперь с точностью до членов высшего порядка малости по е система распадается на два отдельных уравнения
е 爱~ = (-Г-е*)92 (133)
и систему второго порядка
嚮=(壮十/[)83. (134)
Эта система равносильна уравнению Релея
(О — с)(8 ； — *8з) — О'%"
Теперь нужно показать, что система уравнений (132) имеет решения, асимптотически близкие при малых £ к решениям укороченной системы (133), (134). Эта близость не может быть равномерной на всей плоскости комплексного переменного г, так как решения системы (132) представляют собой однозначные аналитические функции, в то время как аппроксимирующие их решения усеченной системы имеют критические точки в качестве точек ветвления. Таким образом, нужно выделить области, в которых имеет место такая аппроксимация.
Теорема 19. Пусть в плоскости комплексного переменного г имеется дуга, вдоль которой величина ReJ }i(U — c)dz монотонно возрастает. Пусть
Z2=C2expL-4- j Ю-c)介吊(U-c) , (135) где No — произвольная фиксированная точка. Пусть ^|^)два линейно независимых решения (133). Тогда система (132) имеет
2) 8?=/2 • 0(e);姆=方［1+0(*；魁=z2 •。1)；3?=/2 •。印；4)屮=0(/歐=0(e)；5Г瞎)+。(刁；8?=吃 +0卜2，(136}2) 8?=/2 • 0(e);姆=方［1+0(*；魁=z2 •。1)；3?=/2 •。印；4)屮=0(/歐=0(e)；5Г瞎)+。(刁；8?=吃 +0卜2，(136}
2) 8?=/2 • 0(e);
姆=方［1+0(*；
魁=z2 •。1)；
3?=/2 •。印；
4)屮=0(/
歐=0(e)；
5Г瞎)+。(刁；
8?=吃 +0卜2，(136}
2) 8?=/2 • 0(e);
姆=方［1+0(*；
魁=z2 •。1)；
3?=/2 •。印；
4)屮=0(/
歐=0(e)；
5Г瞎)+。(刁；
8?=吃 +0卜2，(136}
четыре линейно независимых решения, которые на этой дуге представляют собой:
1) oi=zi ［14-о(г)］；
^2 = Х1 • о (г)；
金: = Z1 •。1)；
8：=n• 0(s2)；
8严=0(/
^ = 0(^
Доказательство. Обозначим через V матрицу фундаментальных решений аппроксимирующей системы (133), (134):
Пусть z* — тот конец дуги, на котором ReJW(U — c)dz имеет наименьшее значение, z** ——противоположный конец. Уравнение (132) заменяем равносильным интегральным уравнением. Для этого рассматриваем член с R как правую часть; зная решения однородной системы, решаем неоднородное уравнение методом вариации произвольного постоянного. Придем тогда к
Здесь 6—произвольный вектор. Вронскиан решений уравнений (134), 0貝心(?一今"崎(『по теореме Лиувилля есть константа. Решения можно считать нормированными таким образом, что этот вронскиан равен единице. Тогда
00-1Х2008『）000-1Х2008『）0
0
0
-1
Х2
0
0
8『）
0
0
0
-1
Х2
0
0
8『）
0
97977 Заказ № 604
97
97
Ищем решения интегрального уравнения в виде ряда К = §（°）+е5（1） + £，（2）+
где
Ъ）=У（г）Г,守= （1, 0, 0, 0）,
亦" j⑶J "⑵）R②）5（…⑵）七. г*
.Для того чтобы установить сходимость этого ряда, докажем по индукции оценку |0（几）| WO|0（°）|, где С — некоторая константа, которую мы выберем по ходу доказательства. При 〃 = 0 это верно с CNL Пусть эта оценка доказана до п——1. Введем для удобства проекторы: Pi — оператор проектирования на первую ось. Будучи применен к любому вектору он дает его первую координату, th. Аналогично, Р2 ——проектор на вторую ось. Рз, 4 — проектор на плоскость, натянутую на две последние оси. Четырехмерному вектору О он ставит в соответствие двумерный Оз,% составленный из двух последних его компонент. Имеем
9严=力 f г*
Теперь будем считать, что С не меньше, чем 4max||R||・/, I — длина контура. Тогда
|8产 £М1 ・ шахИИ J I /Г1 1 * С""加• |dN/＜』C〃M|.
Далее, имеем
9P = Х2 J
откуда
I 8P К f I冷⑶万七】）I・II 3・С—園②）Ы^|.
Снова получаем оценку
МУ；С〃％3）1・
Для двух последних координат поступаем аналогично. Пусть
3,4一（8w瞰丿・
Тогда
附?=『3,4（2）J『^乐3,依亦1）庇1.
Увеличивая, если надо, константу еще раз, получаем и здесь- требуемую оценку, даже в усиленном виде. Именно, две последние строки матрицы R суть 0（e）, поэтому Рз, 4^ =。（£）・ Значит можно получить
限2k
Теперь имеем
l^k^izj
и сходимость ряда при достаточно малых значениях £ доказана. Построенное решение очевидным образом обладает всеми свойствами первого из решений, существования которых требует теорема. Оценка %i・O（£2） для двух последних компонент оказалась следствием малости двух последних строк матрицы R.
Второе решение строится точно так же, как и первое, но интегральное уравнение нужно переписать в виде
§ = 一 е『（» j y-l （%］） R Q］）$ （马）d2］ +『（2）*, z
так как %2 отличается от %i тем, что модуль экспоненциальной части этой функции растет от 2** к z*.
Для построения последних двух решений перепишем интегральное уравнение в следующем виде
小=一嘅1 J ^P\R^dzx\
Z
82 =以2 J戒少2R希七；
83,4 = £%,4 J丿^Р3,4个"21十%,4з3,4.z*
7*7*Опять ищем решения в виде ряда, как это делалось ранее. По индукции без труда доказывается
7*
7*
9&
В самом деле
i^KIzil J次(力・С11七友占一；
K)klz2| J IzL ⑵)| • Cn~x\dzx\^Cn.
Для двух последних координат имеем даже усиленную оценкуick4cv
Это полностью доказывает теорму.
После того как построена фундаментальная система решений (135), с ее помощью можно решать краевую задачу. Напоминаем, что для уравнения Орра——Зоммерфельда краевая задача состоит в том, что в двух точках z = a, b требуется 侬=自=0.
Теорема 20 [26, 27]. Пусть при v->0 собственное значение уравнения Орра—Зоммерфельда стремится к некоторому предельному значению с, обладающему тем свойством, что на плоскости комплексного переменного z можно провести дугу из точки z = a 6 точку z = b, вдоль которой U — с，0 〃 ReJ、氏U — c)dz изменяется монотонно (допустимую дугу). Тогда с есть собственное значение уравнения Релея вдоль этой дуги.
Обратно, пусть с есть собственное значение уравнения Релея вдоль некоторой допустимой дуги. Тогда с есть предел собственных значений уравнения Орра——Зоммерфельда при v-> 0.
Выражение《с есть собственное значение вдоль дуги》следует
понимать таким образом, что при этом значении с существует аналитическое вдоль этой дуги решение уравнения Релея, принимающее нулевые значения на концах дуги.
Доказательство. В определении функций /1, /2 (см. (135)) остались неопределенные константы & и С2. Здесь удобно выбрать их таким образом, чтобы %i(z**) =%2(z*) = 1. Тогда хь /2 будут ограниченными равномерно по £. Произвольное решение уравнения (132) есть линейная комбинация четырех решений (136). Возвращаясь к старым переменным, будем иметь
E = CF + & 屮+e3" + &尸；
Н = М十个W —崂十-^-$2(/+8久』I, II, III, IV. (137)
W = &&【+ G砌U十Сз砌E十&苏V；
苏=8扌+/{*十喲，/ = 1, II, III, IV. (138)
Имея в виду (136), получаем
3=+也 11+0(0],屮=一+方[1+。(2)1，
e"=9步+0(9，” = 3f)+01).
询【= 0 0), ^с?п = О (е2), 8Juй眈)+0(9, mv = 8驴+01).
Значения функций в концах дуги, т. е. в точках 之=а, b будем обозначать одной и, соответственно, двумя черточками. Краевые условия 自=自=侬=侬=0 дают следующее характеристическое
уравнение:уравнение:Р0Ри尹рpiрпJivА(с) ==0迎」3"yiv仞I石иЕ"而IVР0Ри尹рpiрпJivА(с) ==0迎」3"yiv仞I石иЕ"而IV(139}(139}
уравнение:
уравнение:
Р
0
Ри
尹
р
pi
рп
Jiv
А(с) =
=0
迎」
3"
yiv
仞I
石и
Е"
而IV
Р
0
Ри
尹
р
pi
рп
Jiv
А(с) =
=0
迎」
3"
yiv
仞I
石и
Е"
而IV
(139}
(139}
Сравним это с характеристическим уравнением для уравнения Релея, которому удовлетворяют функции 域)，吋). Их линейная комбинация должна обращаться в нуль в концах дуги, что дает
& ©三& ©三现 а) <) 尊p巡6)现 а) <) 尊p巡6)=0.=0.(140>(140>
& ©三
& ©三
现 а) <) 尊p巡6)
现 а) <) 尊p巡6)
=0.
=0.
(140>
(140>
Теперь упростим выражение (139), воспользовавшись асимптотическими формулами для 三 и w. Из двух величин 左，左 одна равна единице, а другая экспоненциально мала при £ — 6. Пусть для определенности %i=l. Тогда также %2=1, а %2 экспоненциально мала. Теперь очевидно, что
a(0)= £2{-3А1©十。(Е)}.
Теперь доказываемая теорема следует из того, что какова бы ни была точка с, ее можно окружить сколь угодно малым контуром, на котором нет собственных значений уравнения Релея, т. е. △ i(c) не обращается в нуль. При достаточно малых е всюду на этом контуре можно считать, что остаточный член меньше
——Ai (с) . Тогда по принципу аргумента уравнения А = 0 и Ai —0 имеют внутри этого контура одинаковое число корней. Остальное очевидно.
Чтобы применять доказанную теорему, нужно еще выяснить, какие дуги являются допустимыми, т. е. что означает условие монотонности ReJ У» (U — с) dz на кривой, соединяющей концы отрезка интегрирования. Пусть сейчас для простоты U (z) монотонно возрастающая на отрезке [а, Ь] функция, аналитически продолжаемая в комплексную окрестность отрезка. Возьмем сначала вещественные с, т. е. посмотрим, какие вещественные
собственные значения скорости с могут быть предельными для 《вязких》собственных значений. Обозначим
(И1)(И1)
(И1)
(И1)
где 2с ——критическая точка, в которой U—с = 0. Разложим эту функцию в ряд по степеням г ——гс в окрестности критической точки. Имеем
U-c^Uc^-^+O(z-z^t U；〉0;
.兀33./、
F2 II -У r5(2-%)
П = еу Uс2—% е
На рис. 12 а пунктиром показаны кривые, на которых Rer| = 0. Эти кривые называются линиями Стокса и играют в этой асимптотической теории важную роль. Они расходятся из критической точки под равными углами и, по крайней мере локально, в окрестности этой точки, разделяют плоскость на три сектора I, II, III. Любые два сектора отображаются функцией 1] на плоскость, разрезанную по лучу. На рис. 12 б показано отображение секторов I и II. Линии Стокса, обозначенные как 1 и 2 (цифры в кружках), отображаются в положительную часть мнимой оси. Ясно, что любые две точки разрезанной таким образом плоскости п можно соединить кривой, вдоль которой Ren изменяется монотонно. Это значит, что на плоскости 之 любые две точки объеди-
ненных секторов I + П можно соединить такой кривой. В частности, можно соединить концевые точки а, Ь. Например, можно взять отрезок с обходом критической точки снизу (показан на рис. 12 а жирной линией). Его образ на плоскости п показан на рис. 12 б также жирной линией. Вывод: еслн с является собственным значением уравнения Релея вдоль отрезка, обходящего критическую точку снизу, то такое собственное значение есть предел собственных значений уравнения Орра——Зоммерфельда при исчезающе малой вязкости. Если вместо монотонно возрастающей функции U будет монотонно убывающая, то те же рассуждения
Рис. 13. Линии Стокса при двух особых точках.
приведут к обходу критической точки сверху, в полном согласии со сформулированным в п. 7 правилом.
Рассмотрим еще один случай — четный профиль скорости. Тогда имеется две критические точки. В окрестности одной из них U возрастает, в окрестности другой — убывает. Каждая из этих точек дает три линии Стокса (если линии Стокса определять по-прежнему как линии, на которых Ren=0, но в интеграле .(41), для п нужно каждый раз брать в качестве нижнего предела соответствующую критическую точку; два таких интеграла различаются на константу). Если из плоскости выбросить заштрихованные на рис. 13 секторы, то оставшаяся область отображается функцией п (здесь берем какую-нибудь одну функцию п, с любым нижним пределом интегрирования) на плоскость с разрезами, показанную на рис. 14. Эта область обладает тем же указанным выше свойством: любые две ее точки можно соединить кривой, вдоль которой Re т] изменяется монотонно. На рис. 13 показано, как соединить таким образом концевые точки а и 6. Получаем то же самое ——контур интегрирования должен обходить критическую точку, в которой U'>0 снизу, а критическую точку U'V。一 сверху.
Что произойдет, если критическая точка будет лежать не -точно на вещественной оси, а несколько выше или ниже? Это значит, что с теперь невещественное. Если Im с>0, что соответствует нарастающим возмущениям, и U'〉0 на вещественной
Рис. 14. Отображение области рис. 13 функ-Рис. 14. Отображение области рис. 13 функ-Рис. 15. Критическая точка несколько выше вещественной оси (а) и несколько ниже вещественной оси (6).Случай неустойчивости.Рис. 15. Критическая точка несколько выше вещественной оси (а) и несколько ниже вещественной оси (6).Случай неустойчивости.Рис. 16. Путь интегрирования уравнения в случае затухающих возмущений.Рис. 16. Путь интегрирования уравнения в случае затухающих возмущений.
Рис. 14. Отображение области рис. 13 функ-
Рис. 14. Отображение области рис. 13 функ-
Рис. 15. Критическая точка несколько выше вещественной оси (а) и несколько ниже вещественной оси (6).
Случай неустойчивости.
Рис. 15. Критическая точка несколько выше вещественной оси (а) и несколько ниже вещественной оси (6).
Случай неустойчивости.
Рис. 16. Путь интегрирования уравнения в случае затухающих возмущений.
Рис. 16. Путь интегрирования уравнения в случае затухающих возмущений.
оси вблизи критической точки, то линии Стокса расположены как на рис. 15 а. Функция 刀 отображает секторы I + II в плоскость с вертикальным разрезом, как и прежде, и вдоль отрезка ab величина Re т] изменяется монотонно. То же самое будет, если в окрестности критической точки О'vO, но теперь линии Стокса расположены как на рис. 15 6. Следовательно, в случае нара-
стающих возмущений нужно интегрировать уравнение Релея естественным образом, вдоль отрезка вещественной оси. Иное дело в случае затухающих возмущений. Здесь расположение линий Стокса такое, как на рис. 16 (если U‘>0 вблизи критической точки). Отрезок [а, Ь] уже не лежит в двух соседних секторах, Re т] вдоль него не изменяется монотонно. Допустимой дугой является кривая, обходящая критическую точку снизу. Если с есть собственное значение уравнения Релея вдоль такой кривой, то оно представляет собой предел собственных значений уравнения Орра——Зоммерфельда при исчезающе малой вязкости.
Мы не занимались специально исследованием предельного поведения собственных функций уравнения Орра——Зоммерфельда (а лишь собственных чисел). Без большого труда можно показать, что в секторах I + 11 собственные функции уравнения Орра—Зоммерфельда стремятся к соответствующим собственным функциям уравнения Релея. Значительно труднее понять, что с ними происходит в секторе III. По-видимому, они там быстро осциллируют при малой вязкости. Во всяком случае, ясно, что тот отрезок вещественной оси, который попадает в этот сектор, представляет собой часть течения, где вязкость играет важную роль, как бы мала сама по себе она и ни была (вязкий слой). Может быть, впрочем, что вязкость играет роль лишь в окрестностях точек пересечения линий Стокса с вещественной осью, в тех точках вещественной оси, где
Z
Re J ]/〃U(Zi) — c)必=0・(142)
В окрестностях этих точек образуются внутренние пограничные слои в дополнение к обычным, у твердых стенок.
Список литературы
Арнольд В. И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационар* ных криволинейных течений идеальной жидкости.——《ДАН》， 1965, 162, № 5.
Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М., «Мир», 1971.
Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций： М., Изд-во Иностр, лит., 1949.
Галин М. Б. Об устойчивости зонального потока в атмосфере с учетом турбулентной вязкости и теплопроводности.——«Изв. АН СССР. Физика атм. и океана», 1968, т. 4, № 1.
Дикий Л. А. Об устойчивости плоскопараллельных потоков неоднородной жидкости.— «ПММ», 1960, 24, № 2.
Дикий Л. А. Устойчивость плоскопараллельных потоков идеальной жидкости.—«ДАН», 1960, 135, № 5, с. 1068—1071.
Дикий Л. А. К нелинейной теории устойчивости зональных течений.—— «Изв. АН СССР. Физика атм. и океана», 1966, 2, № 3.
Дикий Л. А. Одна теорема о бароклинной неустойчивости.——«Изв. АН СССР. Физика атм. и океана》，1973, 9, № 12, с. 1312—1315.
Евграфов М. А., Федорюк М. В. Асимптотика решений уравнения w〃（力一 —p（z, A）侬（z）=0 при X―>оо в комплексной области.— «УМН», 1966, 21, № 1.
Кибель И. А. Введение в гидродинамические методы краткосрочного прогноза погоды. М., Гостехиздат, 1957.
И. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М., Изд-во Иностр, лит., 1958.
Монин А. С., Я гл ом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. М., «Наука», 1965.
Романов В. А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта.——«Функциональный анализ и его приложение». 1973, 7, № 2, с. 62——73.
Томпсон Ф. Д. Анализ и предсказание погоды численными методами. Л., Г идрометеоиздат, 1962.
Case К. М. Stability of inviscid plane Couette flow.—“Phys, fl.”，1960, 3, No. 2, p. 143—148.
Charney К. M., Stern M. E. On the stability of internal baroclinic jets in a rotating atmosphere.— “J. Atm. Sc.”，1962, 19, No. 2, p. 159—172.
Fjortoft R. Application of integral theorems in deriving criteria of stability for the baroklinic circular vortex. “Geophys. Publ.”，1950, 17, No. 6, Oslo.
Goldstein S. On the stability of superposed streams of fluids of different densities.— MProc. Roy. Soc.”，1931, A 132, No. 820, p. 524—548.
Howard L. N. Note on a paper of John Miles.—“J fl. mech.,,1 1961, 10, No. 4, p. 509—512.
Kuo Hsiao-Lan. Dynamic instability of two-dimensional nondivergent flow in a barotropic atmosphere.— “J. Met.”，1949, 6, No. 2, p. 105—122.
Miles J. W. On the stability of heterogeneous shear flows.— “J. fl. mech.”, 1961, 10, No. 4, p. 496—508.
Phillips N. Energy transformations and meridional circulations associated with simple baroclinic waves in a two-level quasigeostrophic model.— “Tellus'', 1954, 6, No. 3, p. 273—286.
Rosenbluth N. M., Simon A. Necessary and sufficient condition for the stability of plane parallel inviscid flow.— “Phys, fl.”，1964, 7, No. 4, p. 557—558.
Taylor G. I. Effect of variation in density on the stability of superposed streams of fluid.— “Proc. Roy. Sou”，1931, A 132, No. 820, p. 499—523.
Tollmien W. Ein allgemeines Kriterium der Instabilitat laminarer Geschwin- digkeitsverteilungen.— “Nachrichten Ges. Wiss. Math.-Phys. Kl・”，1935, 50, p. 79—114.
Wasow W. Asymptotic solution of the differential equation of hydrodinamic stability in a domain containing a transition point.——“Ann. Math.”， 1953, 58, No. 2, p. 222—252.
Lin C.-C. On the stability of two-dimensional parallel flows — “Quart. Appl. Math.", 1945—1946, 3, No. 2—4.
Оглавление
Предисловие 3
Вводные замечания 5
Уравнения и краевые условия 8
Волновые решения 11
Примеры 14
Общие теоремы, основанные на интегральныхсоотношениях....23
Исследование устойчивости с помощьюзаконовсохранения....26
Нейтральные волны. Особые точки 31
Теоремы об устойчивости, основанные на исследовании нейтрального случая 35
Трехмерные возмущения 43
Исследование устойчивости с помощью решения задачи Коши . . .46
Уравнение для описания крупномасштабных движенийатмосферы52
Сохранение энергии. Статическая устойчивость 60
Баротропная неустойчивость 63
Вязкость в задаче о баротропной устойчивости 69
Бароклинная неустойчивость 71
Бароклинная неустойчивость. Теоремы типа Релея иФьортофта80
Идеальная жидкость как предельный случай вязкой 86
Список литературы 106
ЛЕОНИД АЛЕКСАНДРОВИЧ ДИКИЙ
Гидро
динамическая устойчивость и динамика атмосферы
Редактор Т. А. Иванова. Художественный редактор В. А. Баканов. Обложка художника Б. А. Комарова. Технический редактор В. И. Семенова. Корректор Г. Н. Римант Сдано в набор 9/^11 1975 г. Подписано к печати 22/Ш 1976 г. М-19616. Формат 60X93%. Бумага тип. № 1. Печ. л. 6,75Уч.-изд. л. 6,68. Тираж 1300 экз. Индекс МЛ-71.
Заказ № 604. Цена 67 коп. Гидрометеоиздат. 199053, Ленинград, 2-я линия, 23.
Ленинградская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 190000, Ленинград, Прачечный пер., 6.
Л. А. ДИКИЙ
Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы
УДК 551.511.32
Теория гидродинамической устойчивости ——один из разделов гидродинамики, имеющий важные применения в динамической метеорологии. Настоящая книга может служить введением в предмет. Первая часть знакомит читателя с методами теории гидродинамической устойчивости идеальной жидкости, в том числе и расслоенной по плотности в поле силы тяжести. Вторая часть относится к устойчивости крупномасштабных движений атмосферы, особенно интересующих метеорологов. Для удобства читателей-неметеороло- гов она содержит вывод соответствующих уравнений «фильтрованной» модели. В книге затронуты наиболее принципиальные вопросы теории. Она доступна читателям, владеющим основами математического анализа и теории функций комплексного переменного. Книгу можно использовать при обучении студентов и аспирантов.
The theory of hydrodynamical stability is one of the branches of hydrodynamics. It has important applications in the dynamical meteorology. The present book may serve as an introduction to the subject. The first part presents to the reader methods of hydrodynamical stability theory for the ideal fluid including density stratified fluids in the gravity field. The second part deals with stability of large scale atmospheric motions which are especially interesting for meteorologists. The most principal problems of the theory are considered in the book. The knowledge of the foundations of the mathematical analysis and of the complex variable function theory is required from the reader. The book may be used for teaching of graduated and postgraduated students.
© Гидрометеоиздат, 1976 г.© Гидрометеоиздат, 1976 г.“^^476
© Гидрометеоиздат, 1976 г.
© Гидрометеоиздат, 1976 г.