Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Голицын Георгий Сергеевич родился 23 января 1935 года в Москве в семье с глубокими российскими корнями. Его отец — писатель Голицын Сергей Михайлович (1909-1989 гг.) происходил из знаменитого рода князей Голицыных. Дед Михаил Владимирович служил в Московской городской думе, а прадед Владимир Михайлович (18471932 гг.) был московским губернатором и три срока (1897-1905 гг.)— московским городским головой. Дед Владимира Михайловича Федор Николаевич Голицын (1751-1827 гг.) в 1797-1802 гг. был куратором Московского университета после смерти своего дяди, Ивана Ивановича Шувалова.
Георгий Сергеевич, окончив с золотой медалью школу, в 1952 году поступил на физический факультет МГУ, который закончил с отличием в 1958 году. Дипломная работа по магнитной гидродинамике выполнялась под руководством К. П. Станюковича, и за ней внимательно следил академик М. А. Леонтович. По результатам в 1957-1958 гг. вышло 3 статьи в «Журнале экспериментальной и теоретической физики».
С февраля 1958 года основное место работы Г. С. Голицына — Институт физики атмосферы АН СССР (с 1995 года — ИФА им. А. М. Обухова РАН). В ИФА он прошел путь от старшего лаборанта до директора. В 1961 году на ученом совете физфака МГУ защитил кандидатскую диссертацию на тему «Ударные волны и флуктуационные явления в магнитной гидродинамике с конечной проводимостью». В 1965 году Г. С. Голицын стал заместителем заведующего теоретическим отделом, возглавляемым в то время член- корреспондентом АН СССР А. М. Обуховым. В 1971 году на ученом совете Астрономического института им. П. К. Штернберга защитил докторскую диссертацию на тему «Динамика планетных атмосфер». С 1975 года — заведующий новой лабораторией энергетики планетных атмосфер, а с 1982 года — заведующий отделом теории климата. В 1979 году Г. С. Голицын был выбран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1987 году — ее действительным членом. В 1988 году стал членом Президиума Академии, которым был до конца 2001 г. С 1990 года, после смерти академика А. М. Обухова, Г. С. Голицын стал директором Института физики атмосферы.
В 1990 году Г. С. Голицыну присуждена высшая награда Академии наук — премия имени А. А. Фридмана за выдающиеся труды в области метеорологии, а в 1996 году — Демидовская премия «за выдающиеся научные достижения в области наук о Земле». В 1999 году он был выбран членом Европейской академии наук. В октябре
2004 года Г. С. Голицын награжден почетным членством Европейского союза наук о Земле и медалью Альфреда Вегенера за выдающийся вклад в науки о системе океан-атмосфера-климат.
Начиная с 1970 года был членом целого ряда международных научных комиссий и комитетов: по физике верхней атмосферы, по динамической метеорологии, по климату. В 1981-1986 гг. и 1991-1996 гг. был членом Объединенного научного комитета, координирующего деятельность Всемирной программы исследований климата. В 1992-1997 гг. был Председателем Совета Международного института прикладного системного анализа (г. Лаксенбург, Австрия). Георгий Сергеевич был и является до сих пор членом многочисленных редколлегий отечественных и международных журналов: «Известия РАН. Физика атмосферы и океана» (с 1964 г., с 1984 г. — заместитель главного редактора, а с 1990 г. — главный редактор), Tellus (1975-1986 гг.), Icarus (19741989 гг.), Dynamics of Atmospheres and Oceans (1990-2004 гг.), Водные ресурсы (1992-1998 гг.), Доклады РАН (с 1992 г.), Природа (с 1992 г.), Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics (c 1996 г.), Вестник Российской академии наук (с 2003 г.).
Академик Г. С. Голицын — председатель Научного совета РАН по теории климата, член Бюро Российского фонда фундаментальных исследований (с 2004 г.). В 1994-2002 гг. был членом Бюро Российского гуманитарного научного фонда.
Георгия Сергеевича характеризует чрезвычайно широкий диапазон научных интересов — от процессов в земной мантии до процессов на других планетах, звездах и во Вселенной в целом. В Институте физики атмосферы он начал заниматься теорией распространения волн, турбулентностью, физикой верхней атмосферы. Наиболее крупный результат конца 1960-1970-х гг. — создание теории подобия для динамики планетных атмосфер. В частности, была оценена сила ветров в атмосферах Марса и Венеры, что впоследствие было подтверждено измерениями советских и американских космических аппаратов. Получили подтверждение и оценки Г. С. Голицына для атмосферы Титана. В 1975 году он предсказал, используя параметры подобия, что для Титана должен проявляться режим суперротации, характерный для верхних слоев атмосферы Венеры.
С середины 1970-х гг. Голицын занялся разработкой теории конвекции, в том числе с учетом вращения. Эта тематика имеет приложения ко многим природным объектам: к мантии Земли и ее жидкому ядру, атмосферам планет и звезд, к океану. Для всех этих объектов получены простые формулы, объясняющие данные наблюдений или результаты численного моделирования. Им развита теория и организован цикл экспериментальных работ по конвекции вращающейся жидкости. На этой основе объяснены сила ветров и размеры тропических и полярных ураганов.
С 1975 года он вместе с учениками разрабатывает проблемы климата и его изменений — проблемы, в которых Георгий Сергеевич Голицын
считается одним из ведущих в мире специалистов. В 1982-1990-х гг. он занимался сам и участвовал в организации в СССР работ по оценке последствий крупномасштабной ядерной войны. При непосредственном участии Г. С. Голицына получены важные результаты в области теории климата, позволившие оценить его чувствительность к антропогенным факторам, Г. С. Голицын был одним из 12 экспертов Международной группы при ООН, подготовившей доклад для Генеральной Ассамблеи ООН 1988 года по климатическим и другим последствиям ядерной войны.
С середины 1990-х годов Георгий Сергеевич развивает общую теорию случайных процессов в применении к определению вторых моментов и энергетических спектров для разнообразных природных явлений: турбулентности, морского волнения, землетрясений, цунами, оползней, рельефа поверхности планет, извержений вулканов, космических лучей и др.
Г. С. Голицын — автор и соавтор более 200 научных публикаций, целого ряда фундаментальных монографий. Среди них: Голицын Г. С. Введение в динамику планетных атмосфер (Л.: Гидрометоиздат. 1973, 104 с.); Голицын Г. С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями (Л.: Гидрометеоиздат. 1980, 56 с.); Буды ко М. И., Голицын Г. С., Израэль Ю. А. Природные климатические катастрофы (Л.: Гидрометоиздат. 1986, 234 с., переведена на японский и английский языки изд. Шпрингер, 1987 г.); Бубнов Б. М., Голицын Г. С. Конвекция вращающейся жидкости (изд. Клювер, 1995). Георгий Сергеевич также соавтор коллективной монографии «Антропогенные изменения климата» (1987 г.) — своеобразной «климатической энциклопедии» того времени.
Трудно переоценить роль Георгия Сергеевича в организации российских и международных проектов и программ исследований, конференций и семинаров, в подготовке молодых научных сотрудников, аспирантов, студентов. Этому способствует уникальное сочетание широчайшей эрудиции и высокого научного уровня при неизбывном творческом интересе к окружающему миру — от атмосферных микромасштабов до процессов во Вселенной. При чрезвычайной занятости Георгий Сергеевич в курсе дел сотрудников руководимого им института, находит время обсудить конкретные проблемы в самых разных областях, указать на интересную публикацию или важные результаты доклада. Такие беседы очень стимулируют, приводят к формулировке новых задач и перспективных направлений исследований.
Г. С. Голицын — профессор физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и Московского физико-технического института (с 1975 г.), активно участвовал в организации широко популярных Школ ИФА, на которые съезжались молодые ученые со всей странн: от Калининграда до Владивостока. Г.С. Голицын — организатор международного сотрудничества российских ученых с различными институтами и университетами Европы,
Китая, США, Японии. Школа академика Голицына — среди ведущих научных школ России. Автору предисловия повезло начинать научные исследования в физике атмосферы и климата под научным руководством Георгия Сергеевича почти 30 лет назад. Всемирно известный ученый академик Г. С. Голицын продолжает удивлять своими глубокими и разносторонними знаниями, наблюдениями, суждениями, выводами, обобщениями.
В сборнике избранных трудов Г. С. Голицына выделены шесть основных направлений научных исследований, начиная с самых первых результатов по магнитной гидродинамике и турбулентности (глава I). Глава II посвящена результатам исследований различных волновых процессов в атмосфере. В главе Ш дается анализ динамики планетных атмосфер с использованием теории подобия. Результаты исследований по теории климата и его изменений представлены в главе IV. В этой главе, в том числе, отмечены экстремальные свойства климатической системы, проблемы «ядерной зимы», моделирования уровня Каспия, сезонных вариаций температуры мезосферы, изменений состава атмосферы над Россией. Глава V посвящена исследованиям конвекции в мантии, в атмосфере Земли и в океане. Конвекция с учетом вращения изучается теоретически и в лабораторных экспериментах с приложениями к глубокой конвекции в океане, в жидком ядре Земли, для описания энергетических режимов ураганов. В главе VI проведен анализ статистики и энергетики разнообразных природных процессов и явлений. Приведены результаты исследований по общей теории статистики природных процессов и явлений как случайных блужданий в пространстве импульсов, позволяющие единым образом вывести их закономерности. Исследованы Колмогоровская турбулентность, морское волнение, закон повторяемости землетрясений. Особое место занимает глава VII, характеризующая широту интересов автора.
При подготовке рукописи к печати большая работа была проведена А. С. Гинзбургом, В. М. Пономаревым, И. Ф. Марусевой, И. А. Репиной, Е. А. Макаровой, А. В. Елисеевым, А. И. Скороходом, М. Н. Во- лошиновым, В. С. Канаевым, М. Г. Акперовым, Н. В. Панкратовой, А. В, Чернокульским, Р. А. Шумским, В. А. Тихоновым, Е. В. Сигаевой, А. А. Хапаевым.
Член-корреспондент РАН И. И. Мохов
Глава 1
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКАИ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 1. Некоторые вопросы магнитогазодинамикис учетом конечной проводимости 9
Магнитогазодинамика идеально проводящей среды разработана достаточно полно. Исследованы типы колебаний [1-2], ударные волны [3, 4] и их структура [5-7], исследованы одномерные движения [8], где найдены характеристики системы уравнений и особое (римановское) решение для произвольной изэнтропы.
Учет конечной проводимости сильно усложняет уравнения, вводя новые нелинейности, повышая порядок системы и изменяя самый ее характер. Как будет показано далее, система уравнений из вполне гиперболической становится параболически вырожденной. Наконец, учет джоулева тепла делает движения существенно неизэнтропичпыми.
Были исследованы малые колебания [9], а затем на основе общего волнового уравнения [10] возможные типы произвольных колебаний среды [11, 12]. Недавно Станюкович методом возмущений нашел особое решение [13] в том случае, когда проводимость очень велика, но конечна.
В данной статье разбираются некоторые вопросы одномерного движения среды, обладающей произвольной проводимостью.
Используемые уравнения
Если V ± Н ± Е, где v = (“, 0,0); Н = (0, Я, 0); Е = (0,0, Е), то система уравнений магнитогазодинамики имеет в одномерном случае в呐 из]：办丄 ари
at ox p ax p \ ox cot Jdp ! dp ! du /. x (dh de \2
況+"瓦+制瓦=(7-，
dh dhu _ ^ Г f dh分&
dtдх дх (dxcdt J ]5
⑴⑴де _ oh dx cdt'
⑴
⑴
Здесь, кроме обычных обозначений, используются:
Д = Я/д/4тг; е = Е/д/^; 7 = cp/cv; у = с/4тга,
где с — скорость света, а — проводимость среды, которую далее будем считать постоянной величиной. Первое уравнение системы (1) есть уравнение неразрывности, второе — уравнение движения, третье — уравнение энергии, два последних — уравнения Максвелла с учетом закона Ома для движущейся среды.
Если пренебречь током смещения, то система (1) упростится:
⑵⑵др dpu=Qdt дх '
⑵
⑵
А 啜嚟=(—МТ
dh dhu _ d2h
Общие свойства системы уравнений
Покажем, что система уравнений (2), а также и (1), является параболически вырожденной 9. Запишем систему (2) как систему пяти уравнений первого порядка для пяти неизвестных функций
ар dtар dt+ и+ идр , дидр , дидр dtдр dtди ди 1 др dt U дх р дхди ди 1 др dt U дх р дхдрдр+ 7Р+ 7Рdh历dh历ди дхди дх-(7-(7II 7 диII 7 диdh дхdh дх— 2 = 0.— 2 = 0.о, о,--生。о, о,--生。о, 22 )хо, 22 )хо,о,
ар dt
ар dt
+ и
+ и
др , ди
др , ди
др dt
др dt
ди ди 1 др dt U дх р дх
ди ди 1 др dt U дх р дх
др
др
+ 7Р
+ 7Р
dh
历
dh
历
ди дх
ди дх
-(7
-(7
II 7 ди
II 7 ди
dh дх
dh дх
— 2 = 0.
— 2 = 0.
о, о,-
-生。
о, о,-
-生。
о, 22 )х
о, 22 )х
о,
о,
Сопоставим системе (2а) характеристическую форму [14]
% + "续
p
0
0
0
0
g1 + "g2
1/。
0
0
e匂)=
0
7Р
У\ + иу2
0
0
0
h
0
У\ + 〃У2
—ХУ2
0
0
0
У2
Система была бы вполне гиперболической, если бы алгебраическое уравнение С(у) = 0 имело для gi при произвольном у? пять действительных, не обязательно различных корней. Мы же имеем уравнение
懈(％ + 〃续)［匂1 + ^2)2 - 7р/р］ = о
у которого только три корни.
Если аналогичным образом рассмотреть систему (1), то получим систему шести уравнений для шести неизвестных функций. Соответствующее характеристическое уравнение С = 0 относительно у\ имеет только пять корней.
Параболическое вырождение неприятно тем, что лишает возможности исследовать систему методом характеристик. Однако систему (2) можно заменить приближенной системой гиперболического типа. Пусть d2h/dx2 всюду ограничена.
Запишем
{dh/dx)2 =瓦 dh/dx, d2h/dx2 =历 dh/dx,
После таких усреднений систему (2) можно написать в виде:
др , др ди
瓦+ "瓦
ди , ди t 1 дрh dh 八
dt dx p dxp dx '(26)
dp丄dp丄 du (［、… c
dh , dh t j ди , dh 八
Нетрудно проверить, что эта система является вполне гиперболической. Характеристическое условие для нее имеет вид
и — X
Р
0
0
0
и — X
1/。
h/p
_ Q
0
и — X
—乂瓦（7 - 1）
0
h
0
и - х - xb2
Раскрывая определитель, получим, во-первых,
и — ± = 0; dx/dt = и.(3)
Это уравнение линии тока. Вдоль нее выполняется условие
dQ = TdS = (j2/pa)dt.(4)
так как dQ/dt = j^/рс — приток джоулева тепла в единицу времени. Кроме того, получим
(〃一定)2 = * + X(〃一定)2 = * + X62[3 —金/ —圖+九加() 一 1)/0й - X
(〃一定)2 = * + X
(〃一定)2 = * + X
гдегде* = 1p/p + 庐/0=循 + l.* = 1p/p + 庐/0=循 + l.
где
где
* = 1p/p + 庐/0=循 + l.
* = 1p/p + 庐/0=循 + l.
В нулевом приближении о — оо, т. е. х — ° мы получаем уже известный результат [8]
dx/dt = u ± am.(5)
Если учесть члены первого порядка малости по х，то можно вычислить dx/dt = 〃士gw 干(y/2a^)[62V2 + 九瓦(7 — 1)/川・(6)
Вдоль этой системы характеристик выполняется условие
d(' + ^") = 土。"7n d" 干等[历『2 + ^ 瓦(7 - 1)] (ом ^ + 冬)，(7)
которое вычислено в том же приближении.
Очевидно, что скорость передачи возмущения в газе падает с уве
личением х，т. е. с уменьшением проводимости.
Стационарные движения
В этом случае система (2) становится системой обыкновенных дифференциальных уравнений
體=。，。碟+尬+部=。，
哪+ 7方=(1)x(打，需⑻
Эта система имеет ряд интегралов
ри = т, ти + 夕 + Д2/2 = J,
udp/dx + ^pdu/dx = (7 — l)x(dh/dx)2,(9)
hu = %dh/dx + mb,
где m, J, b — постоянные величины. Из (9) можно получить для Ы одно уравнение второго порядка
力=廿〃 + 亚 + 6〃 + mb/х)" ——(10)
X 7九(J -户/2) - (7 + l)m(x无 + mb)」
Оно имеет особую точку, где
7^(J -九2/2) -(7 + l)m(x〃 + rnb) = 0
Так как
J — Д2/2 = ти + 夕， %hf + mb = hu, m = pu,
то в особой точке получим 〃2 = ур/р. Значение скорости потока, равное местной скорости звука, и здесь, как и в обычной газодинамике, имеет критическое значение. Следует отметить, что этот результат справедлив для любых значений проводимости, больших и малых, в том числе и для меняющихся с расстоянием, как это легко видеть из (8) и (9). К тому же результату пришел Морозов совершенно другим путем [15].
Порядок уравнения (10) может быть понижен; его несложно интегрировать численно, исследуя всевозможные стационарные течения. Однако выяснение поведения величин около критического значения скорости возможно и прямым рассмотрением вопроса.
Для стационарного потока можно написать уравнение Бернулли: 乎 + f+ ^=0.(11)
Пусть давление есть функция плотности и энтропии, р =夕(〃 S). Тогда, учтя известные термодинамические соотношения, получим
(黑)严](12)
Сравнивая (11) и (12), получим, учитывая, что ри = т = const,
Вводя dQ = ТdS и М = 〃/ао, после ряда преобразований получим:
(М2- 1)—=(粵)—-(13) 〃\дТ J р рср
В нашем случае dQ =。少/。。)^力，dt = dx/u. Уравнение Максвелла
В результате
dQ = (x/m)(dh/dx)2 dx.(14)
Выражение (13) является стандартной формой закона обращения воздействий Вулиса [16], который устанавливает, что результат воздействия на поток одних и тех же условий прямо противоположен для до- и сверхзвукового потока. Например, сужение сопла ускоряет дозвуковой поток и замедляет сверхзвуковой. В обычной газодинамике этот факт связан с перестройкой потока под влиянием распространяющихся в нем со скоростью звука возмущений [16]. В проводящей среде в магнитном поле возмущения распространяются со скоростью, большей, чем а。=夕/о • Почему же критической скоростью в нашем случае является именно а°?
Если и = ао, т. е. М = 1, то левая часть (13) равна нулю. Чтобы это произошло, должно быть в критическом сечении
(15)(15)dh/dx = 0.
(15)
(15)
Если это так, то поле не будет влиять на движение именно в критической области течения, так как соответствующие члены в уравнениях в этой области исчезают. Поэтому возмущения там должны распространяться с обычной скоростью звука.
Правая часть (13) обращается в нуль также и при
Д = Hq ехр{—х/ра^а), где а = —{др/дТ)рх/т,
но такое специальное задание поля имеет к критической точке случайное отношение.
Исследуем условия возможности перехода через скорость звука.
При М < 1 для ускорения потока правая часть (13) должна быть меньше нуля. Запишем ее в виде
Рис. 1.1.1. Схема кризиса течения. Стрелками указано направление процессаРис. 1.1.1. Схема кризиса течения. Стрелками указано направление процессапотоков [16]. Поведениепотоков [16]. Поведение
Рис. 1.1.1. Схема кризиса течения. Стрелками указано направление процесса
Рис. 1.1.1. Схема кризиса течения. Стрелками указано направление процесса
потоков [16]. Поведение
потоков [16]. Поведение
В нашем случае идеального газа (др/дТ)р = —р/Т < 0, поэтому а〉0; d£<0, если dh/dx > 0 и если р* > —adh/dx. Та
ким образом, если поле возрастает с х или спадает медленней, чем 九о ехр(—///х^а), то дозвуковой поток ускоряется.
При М > 1, d£〉0 и для ускорения сверхзвукового потока поле должно спадать быстрее, чем 九° ехр(—力/加沁).В противном случае знак воздействия не меняется и скорость потока не может стать в стационарном режиме больше, чем а°・ Так, пропуская через газ определенные токи, можно ускорять ионизованный газ, т. е. построить
своего рода магнитное сопло.
Нетрудно получить выражения, аналогичные (13), для р, р п h и провести другие детальные исследования, как для обычных
всех величин вблизи критического значения
дано на рис. 1.1.1.
Хотя критическая скорость потока, равная местной скорости звука, не зависит явно от поля, но она зависит от поля неявно, так как р п h связаны друг с другом в проводящей среде. Оказывается возможным
найти зависимость критической скорости а* от поля для идеально проводящей среды и тем самым оценить сверху зависимость и в нашем
случае.
Преобразуем выражение для потока энергии (26а), выведенное в разделе 6, при помощи соотношения h/p = b = const и адиабаты Пуассона 0a丁" = const = 4. Получим
^ + $ + 4 庐 L)= const = Д + 4 庐「).(16)
Введем параметрВведем параметр一疗唸(2”/(—一疗唸(2”/(—
Введем параметр
Введем параметр
一疗唸(2”/(—
一疗唸(2”/(—
55м/*00,8660,04040,870,28540,890,63390,911,14940,932,13820,954,37260,9715,5060,99ос1,00м/*00,8660,04040,870,28540,890,63390,911,14940,932,13820,954,37260,9715,5060,99ос1,00эта зависимость ещеэта зависимость ещеди 1 др dt ро дхди 1 др dt ро дхdh dtdh dt.7 а〃+八。玩.7 а〃+八。玩,hQ dh nОо дхd2h n-X —9 = 0-дх2,hQ dh nОо дхd2h n-X —9 = 0-дх2(⑺(⑺
5
5
м
/*
0
0,866
0,0404
0,87
0,2854
0,89
0,6339
0,91
1,1494
0,93
2,1382
0,95
4,3726
0,97
15,506
0,99
ос
1,00
м
/*
0
0,866
0,0404
0,87
0,2854
0,89
0,6339
0,91
1,1494
0,93
2,1382
0,95
4,3726
0,97
15,506
0,99
ос
1,00
эта зависимость еще
эта зависимость еще
ди 1 др dt ро дх
ди 1 др dt ро дх
dh dt
dh dt
.7 а〃+八。玩
.7 а〃+八。玩
,hQ dh n
Оо дх
d2h n
-X —9 = 0-дх2
,hQ dh n
Оо дх
d2h n
-X —9 = 0-дх2
(⑺
(⑺
Для 7 =Для 7 =альфвеновской скоальфвеновской ско-从 имеет смысл квадрата отношения
Для 7 =
Для 7 =
альфвеновской ско
альфвеновской ско
рости V = Д/д/р к скорости звука а。。， определенной там, где газ покоится. При достижении потоком критиче
ской скорости 〃 = а*. Уравнение (16) запишем,Таблица 1.1.1
введя величину 力* = а*/аоо：
V г7 f+从 (16‘) z 7 — 17 — 1
Это уравнение определяет зависимость критической скорости от параметра 从，характеризующего поле. Представим (16‘)в виде
从(1 - хУ(7-1)) + -^-(1 - ^^力，=о
(16〃)
При изменении ^ от 0 до оо /* меняется всего от ,2/()+ 1) до 1. В таблице 1.1.1 дана зависимость 力* =力*(〃) для 7 = -. Для 7 = 1,4 слабее:力* меняется от л/| = 0,9129 до 1.
Малые возмущения
Пусть и — малая величина и пусть р = ро + р‘，р = Ра + р‘, Д = До + + Ы, где штрихом помечены малые величины. Снимем далее штрихи. Система (2) линеаризуется обычным образом:
др , ди п
Так как джоулевы потери при линеаризации пренебрежимы, то уравнение энергии эквивалентно адиабате Пуассона
р = const ・0).
При этом можно сделать следующее преобразование:
др _ dp др _ 2 А.дх d. дх "° дх'
Ищем все величины в (16) пропорциональными ехр{〃(к/—以方)}. Исключая р/pQ = ки/ш, получим
(卜2區/以-з)и + (А^о/оо)九=О,khQU — Q + ik2x)h = 0.
Как условие нетривиального решения этой системы, получаем дисперсионное уравнение
(18)(18)依一彳+竺警)+R=o'a0 X a0 / XaQ
(18)
(18)
Исследуем решения уравнения (18) в двух предельных случаях:
s》а^/у —случай слабо проводящего газа (х велико);
s « а^/у —случай сильно проводящего газа (х мало).
С точностью до членов первого порядка малости имеем:
计=З/ао) + (№/2аоХ)； 斤=(1 + 〃)\Л72х，(]砂
号=(1 +分)，以/2x(a加/a0)； kg = Q/a) + (z^2y/2a^).
Волновые числа k^ и k^ соответствуют обычной акустической волне и волне, распространяющейся с эффективной магнитогазодинамической скоростью звука [2, 3, 8]. к[ и к^ соответствуют волнам скинового типа, быстро затухающим. Индексы ± соответствуют знаку, выбираемому перед внутренним корнем решения биквадратного уравнения (18).
Интересно, что обыкновенная акустическая волна и ее аналог в случае бесконечной проводимости принадлежат к разным ветвям частот и вовсе не переходят друг в друга при соответственном увеличении или уменьшении проводимости, а вырождаются в волны скинового типа. Правда, при таком изменении величины проводимости мы проходим через области сильного поглощения, где понятие волны, ее скорости теряют смысл, так что этот результат носит, может быть, несколько формальный характер.
Уравнение типа (18) было ранее получено Андерсоном [17], однако он предполагал, что ат близко к а° (слабое поле), поэтому из своего приближенного решения он не получил, что ат и а° принадлежат к разным ветвям частот.
Другой метод исследования малых возмущений
Линеаризованную систему (17) можно свести к одному уравнению для потенциала скорости 夕，вводимому согласно равенству и = д^/дх\
Отметим, что вид уравнения (20) сильно напоминает уравнение теплопроводности, что лишний раз свидетельствует о параболическом вырождении. Решение ищем методом разделения переменных:
0= X(力)T ⑴.
Пусть
+ Мх〃 = 0, Х〃 + Мх〃 = 0.
Отсюда
X = Bi cos kx + 石2 sin kx.
Тогда из (20) можно получить уравнение для Т:
Т+ *"力 + 卜2乂 力 + a2k2T^ = °.
Решение его ищем в виде Т = exp(at). Для определения а получаем кубическое уравнение
о? + ^х{о? + а 満 2) + *k2a = 0.(21)
Это уравнение при любых значениях х имеет два комплексных и один действительный корень.
Рассмотрим сначала случай малых у. С точностью до членов второго порядка малости по х
芫暄±沁/卜壮暗(1 +翁W
&з = -a 泳 2/* = —xR
(обозначения очевидны). В результате
Г = e^Mt{Ax cos№ + & sin№) + A3e~xRt.
Некоторое частное решение уравнения (20) всегда можно записать в виде
0 =夕0 cos[N(方一т)] cos[k(z —/)]•(22)
Для определения значений к надо решать какую-либо конкретную краевую задачу, для которой можно построить и общее решение в виде суперпозиции стоячих волн, суммируя все возможные частные решения типа (22). Однако для определения фазовой (или групповой) скорости распространения малого колебания этого делать не нужно. Например, для фазовой скорости о = N/к = ш/к получаем
В случае о — оо 。—。加，как и следовало ожидать.
В пределе о — 0 имеем у оо и из уравнения (21) с точностью до членов первого порядка малости по 1/х получаем cq,2 = ±分。0卜，откуда фазовая скорость о = а°・
Дальнейшего исследования для получения скиновых волн проводить не будем.
Ударные волны
Рассмотрим ради простоты лишь прямую ударную волну, распространяющуюся со скоростью 〃1 по неподвижному проводящему газу, находящемуся в магнитном поле /ц. Фронт волны параллелен полю.
Уравнения стационарных одномерных течений имеют три интеграла (9) потока массы, потока импульса и потока магнитного поля:
(24)(25)(24)(25)ри = т, ти + 夕 + Д2/2 = J,uh = x^h/dx + mb.
(24)
(25)
(24)
(25)
Уравнения Максвелла дают:
Уравнение потока энергии имеет вид: ах \/
где i — удельная энтальпия. Подставляя сюда выражения (25) и интегрируя, получим интеграл потока энергии:
m(i + ^2/2) = mA — u\h\h, где А = const. (26)
Выражение (25) можно переписать в виде
i + (“2/2) + bh = A.(26а)
Система уравнений (24) и (26) полностью определяет параметры стационарного потока.
Теперь легко написать условия на фронте скачка:
01〃1 = 02〃2,
+Р1 + 居/2 = 02 碣 + 夕2 + 碣/2,(27)
ii + (*/2) + bhi =分2 + (碣/2) + b仇，
u\h\ - (X"介/d力)1 = "2九2 — (%dh/dx)2-
Индекс 1 обозначает параметры перед фронтом скачка, индекс 2 — параметры за фронтом. Если проводимость бесконечна, то h\/р\ = =h/р = b = const, у = 0 и условия (27) совпадают с известными выражениями на фронте ударной волны [3].
Из первых двух уравнений системы (27) следует
若=竺[^^ +, 區=色[^^ +.(28)
〃 "2 — 〃2(02 — 0)」02 "2 — 〃2(02 — 0)」
При 夕2 =夕1 + △夕，02 = 01 + △，九2 =九1 + △九 будем иметь
* =碣=£ = (Ар/Ар) + (九△九/△/)),(29)
где а* — эффективная скорость звука в рассматриваемой среде. Из последнего уравнения системы (24)
人=Ь+工学，(30)
р т ах
откуда一Л 77
Это выражение при помощи (30) можно написать в виде
紀=廟+ ^ +》0^偌).(31)
Так как поток течет справа налево, то dh/dx < 0 и
。之 V 唸=* + ^/Р-。之 V 唸=* + ^/Р-(32)(32)
。之 V 唸=* + ^/Р-
。之 V 唸=* + ^/Р-
(32)
(32)
Оценим величину добавки, связанной с проводимостью, по отношению к h?/р. У нас
X = с2/4тг(т =(?те/^п^т.
Как будет показано далее, изменение поля происходит на расстоянии порядка длины свободного пробега I = теа\а/пе2. Тогда
九0 △ ( d仆〜 a2 т \dx Jи pl'
Интересующее нас отношение будет величиной порядка — 1 /Пе, где Пе =(£2/加€。2)八%? — безразмерная величина, так называемый погонный электрон.
Вычислим изменение энтропии для слабого скачка. В этом случае
"1 = "2 = а*； 九2 —九1 = △九=(х/а*) dh/dx.
Из (14) получим
LL00
L
L
0
0
Беря средние значения Г и dh/dx на участке изменения величин (0, Е), получим:
S2 — & = △S = (a 泣/m7\)(△九)+(33)
Таким образом, изменение энтропии есть величина второго порядка малости по сравнению с изменением поля.
Структура ударной волны
Хотя этот вопрос уже детально, с учетом вязкости и теплопроводности исследован Маршаллом [6, 7], нам кажется, что имеет методический и некоторый практический интерес рассмотреть размытие фронта под влиянием только одной проводимости.
Введем безразмерные переменные
= ^Л1； 〃 =夕/夕 1； Х =九/加，где ai = ТТЯ/ТГ-
Безразмерной единицей длины выберем £ = х/Х, где А =(?j^оа\ = =х/а\. Условия (27) в безразмерном виде примут вид
kz/ + 〃 + Qix2 =
,沙 2/(34)
+ % + 2/QiX =厶， 亲=— /， 1—72
где было использовано, что i = (7夕/0)/(7 — 1) для идеального газа k = = 加。1/夕1； Jf = J/夕 1； 4’ = Am/p\a\\ Qi = 九彳/2夕 1. Из первых двух уравнений системы (34)
Т(4-2/Qix)厂•(35)Т(4-2/Qix)厂•(35)
Т(4-2/Qix)厂•(35)
Т(4-2/Qix)厂•(35)
Рис. 1.1.2. Профиль скачка. Ударная волна движется слева направоРис. 1.1.2. Профиль скачка. Ударная волна движется слева направо
Рис. 1.1.2. Профиль скачка. Ударная волна движется слева направо
Рис. 1.1.2. Профиль скачка. Ударная волна движется слева направо
Как показали вычисления, знакКак показали вычисления, знакминус перед корнем не имеет
Как показали вычисления, знак
Как показали вычисления, знак
смысла. Из последнего уравнения системы (34) теперь находим £ —
—go квадратурой. Этот интеграл был вычислен для случая одноатомно-
го дейтерия при Г = 20000° К, pi = =20000 г/см • сек? (около 15 мм Hg), Н\ = 689 Ое, % = 2. Как видно из рис. 1.1.2, изменение всех величин происходит на расстоянии порядка двух единиц. Если предположить, что в этом случае а 1014 CGSE, то изменение будет происходить на расстоянии примерно двух длин свободного пробега.
Если А 0, то ж = ^А 0. Таким образом, в случае очень большой проводимости получаем резкий фронт скачка. Следует отметить, что на самом
деле очень большой проводимости соответствует и большая теплопроводность, поэтому скачок будет сильно размыт благодаря теплопроводности [7].
Если проводимость низкая, то поле будет медленно меняться на большом, порядка 丫/。1， расстоянии. Если скачок сильный, то ясно,
что поле не должно влиять на ударную волну. Разберем это подробно. Запишем условие сохранения импульса через удельный объем V = 1/?
р + m2V + Д2/2 = pi + w?V\ + 居/2.(36)
Продифференцируем это равенство по V:
(黑)+(黑)++ тп + h = 0.+ тп + h = 0.(др/дТ)у > 0 для всех газов; dT/dV < 0, так как при сжатии газ в ударной волне нагревается; dh/dV < 0, так как dh/dp > 0. На стороне(др/дТ)у > 0 для всех газов; dT/dV < 0, так как при сжатии газ в ударной волне нагревается; dh/dV < 0, так как dh/dp > 0. На стороне1 имеем1 имеемт2 >т2 >(38)(38)(37)
(黑)+
(黑)+
+ тп + h = 0.
+ тп + h = 0.
(др/дТ)у > 0 для всех газов; dT/dV < 0, так как при сжатии газ в ударной волне нагревается; dh/dV < 0, так как dh/dp > 0. На стороне
(др/дТ)у > 0 для всех газов; dT/dV < 0, так как при сжатии газ в ударной волне нагревается; dh/dV < 0, так как dh/dp > 0. На стороне
1 имеем
1 имеем
т2 >
т2 >
(38)
(38)
так как щ > аь и для выполнения равенства (37) должно быть dh/dV < 0, что и следовало ожидать. Если же интенсивность ударной волны настолько велика, что далее
病—倘*+(祭的
то для выполнения условия (37) надо было бы считать dh/dV > 0; это значило бы, что поле при сжатии от 吒 Д° 匕 проходит через максимум, а затем уменьшается до значения 九2・ чего не может быть. Реальная картина такова: сначала при сжатии от объема 吒 до некоторого промежуточного V происходит медленное непрерывное изменение величин. Здесь dh/dv < 0, а поле изменяется от h\ до 九2・ Затем скачком происходит сжатие от『'до 唸.Поле при этом не меняется, а скорость, давление и температура терпят разрыв. Если условие (39) не выполняется, то будет медленное непрерывное изменение всех величин на расстоянии порядка х/а\. Это явление очень похоже на изотермический скачок [18], поэтому его по аналогии можно было бы назвать изомагнитным скачком.
Условие (39), как легко видеть, эквивалентно 〃2 <。2・ Можно показать [6], что оно приводится еще и к такому виду:
Q С® — 7* + 2)— g Т)得—У } < g + 1)偿 Т).(4。)
Если 〃1/〃2 > 2,64 при 7 = 5/3, то левая часть (40) будет меньше нуля, и скачок будет всегда. При меньших интенсивностях факт, наступит или не наступит разрыв, будет зависеть от величины поля.
Когда Маршалл численным интегрированием дифференциальных уравнений для некоторого примера получил эту картину, ему показалось странным, что все изменение поля происходит впереди скачка. Мы же видим, что иначе и не может быть. В этом состоит сущность изомагнитного скачка.
В заключение приносим глубокую благодарность акад. М. А. Леонтовичу за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные дискуссии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
X. Альфвен, Космическая электродинамика, ИЛ, (1952).
N. Herlofson, Nature, 165, 1020 (1950).
Ф. Гоффман, Е. Теллер, Проблемы современной физики, 2, 47, (1954).
Г. Гельфер. Проблемы современной физики, 2, 68 (1954).
Н. Sen, Phis. Rev., 102, № 1, 5 (1956).
W. Marshall, Proc. Roy. Soc., 233A, 367 (1955).
W. Marshall, Phis. Rev., 103, 1900 (1956).
С. А. Каплан, К. П. Станюкович, ДАН СССР, 95, 769 (1954).
Г. ван де Холст, Проблемы космической аэродинамики, ИЛ, (1953), гл. VI.
A. Banos, Phis. Rev., 97, 1435 (1955).
A. Banos, Proc. Roy., Soc., 233A, 350 (1955).
A. Banos, Phis. Rev., 104, 306 (1956).
К. П. Станюкович, Ф. А. Баум, С. А. Каплан, Введение в космическую газовую динамику, Гостехиздат, (1958).
Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, 2, Госте- хиздат, (1951).
А. И. Морозов, ЖЭТФ, 23, 306 (1957).
Л. А. Вулис, Термодинамика газовых потоков, Госэнергоиздат, (1950).
М. N. Anderson, J. Acoust. Soc. Amer., 25, 529 (1953).
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных сред, Гостехиз- дат, (1954).
Флуктуации магнитного поля и плотности токав турбулентном потоке слабо проводящей жидкости 9
Можно указать ряд примеров слабо проводящих турбулентных сред (нижняя ионосфера, океан), находящихся во внешнем магнитном поле, влиянием которого на динамику среды можно пренебречь. Но в то же время движения среды, обладающей проводимостью, в магнитном поле будут индуцировать токи. В результате при турбулентных движениях магнитное поле будет слегка флуктуировать, причем интенсивность этих пульсаций определяется, очевидно, величиной проводимости и интенсивностью турбулентности. Вычислению спектра
1) См. Доклады АН СССР, 1960. Том 132, № 2.
флуктуаций магнитного поля, а также спектра и структурной функции плотности индуцируемых токов и посвящена данная заметка.
Уравнения для магнитного поля Н в проводящей среде, движущейся со скоростью V, имеют вид:
dHi/dt + vkdHi/dxk - Hkdvi/dxk = z4n方印/分底；dvk/dxk = 0; dHk/dxk = 0,
где рт = с2/4тгсг; с — скорость света; а — проводимость среды. Коэффициент 1ym — магнитная вязкость, которая определяет диссипацию и диффузию магнитного поля в среде. Слабую проводимость будем понимать в смысле ут》^, где ^ — кинематическая вязкость среды 9. Турбулентность будем предполагать локально однородной и локально изотропной.
Представим магнитное поле в виде Н = Н° + Н‘，где Н‘ — основное, внешнее, стационарное магнитное поле, а Н‘ 一 пульсация поля, причем |Н[ « % = |Но|. Оценивая члены уравнения (1) по порядку величины, получим в первом приближении по Д = |h| = |Н[/Но уравнение ° °
—丸 dvi/dxk = а*/а 底， (2)
где Ад； = Но/Яо- Данная задача в некотором смысле аналогична задаче о флуктуациях пассивной скалярной примеси в турбулентной среде с большим коэффициентом диффузии к, рассмотренной в работе [1], в которой найден соответствующий спектр флуктуаций в интервале волновых чисел(£/卜3)1/4 «夕 « (s/z?3)/4, где £ — диссипация энергии турбулентности на единицу массы. Этот интервал заключен между характерным масштабом диссипации для примеси и масштабом вязкой диссипации кинетической энергии турбулентных движений. Из рассуждений, аналогичных использованным в [1], следует возможность пренебрежения временной производной даже по сравнению с отбрасываемым вторым членом слева в (1). Проведем эти рассуждения для нашего случая.
Можно думать, что уравнение (1) эквивалентно уравнению теплопроводности в твердом теле с коэффициентом температуропроводности z/m и с распределенными источниками, описываемыми двумя последними членами слева в (1). Если источники стационарны, то при произвольных начальных условиях время приспособления возмущения поля масштаба I к распределению источников равно по порядку величины ^7^1/—2. В инерционном интервале турбулентности характерное время изменения источников равно что много больше ^1/-2. Это сразу дает ограничение сверху на масштаб рассматриваемых явлений. Должно быть I « (^^/£)1/4 = 1т- Для масштабов порядка внутреннего
масштаба турбулентности /о =(唸/少"и меньших отношение соответствующих времен порядка %п/% Таким образом, источники приблизительно стационарны, т. е. поле быстро приспосабливается к изменению эквивалентных источников, которые и определяют пространственное распределение поля во всей области масштабов, меньших lm. С масштаба Zm, начинается диссипация в джоулево тепло энергии флуктуаций магнитного поля в турбулентной среде. Если Zm < L, где L — внешний масштаб турбулентности, то рассматриваемая область масштабов включает интервал подобия (инерционный интервал) для пульсаций скорости, в котором действует «закон 2/3» Колмогорова — Обухова [2], а также интервал вязкой диссипации. В случае L < 1т, ограничивающим сверху масштабом является L.
Определим условия, при которых можно отвлечься от влияния поля на характер турбулентности. Для этого в уравнении динамики надо сравнить по порядку величины градиент турбулентных пульсаций давления [3] (отвечающий расстоянию I между точками наблюдения) Vp ~ 0(е/)2/3/—1 с объемной электромагнитной силой, возникающей при турбулентных движениях проводящей среды в магнитном поле, порядок величины которой может быть оценен при помощи уравнения (2) c-^jH] = (47r)-1[rotH-H] = (47r)-^^[roth. А]
Отношение этого члена к градиенту давления равно по порядку величины
(4тП4п)-R(叫 1/3：川叫 2/3/-1 =吟^1(叫一1/3； у2 = //4m.
(3)
Если это отношение много меньше единицы, то влиянием поля на турбулентные вихри масштаба I можно пренебречь. Обозначим через 1н предельный масштаб, для которого отношение (3) равно единице. Тогда условием отсутствия влияния поля на характер турбулентности будет требование того, чтобы этот масштаб был больше 1т:
、НRm = ^т/^А > 1 НЛН /щ > ^^/匚(4)
Обратимся к вычислению пространственного спектра флуктуаций вектора напряженности магнитного поля. Поле флуктуаций h будет осесимметричным случайным полем благодаря наличию выделенного направления Но. Из (2) можно получить уравнение для структурной функции флуктуаций магнитного поля
(4) —加(4)]®(4) —М・(4)],
аналогично тому как было получено уравнение для структурной функции пульсаций давления [3]:
獨得=-xkXt》R#)/a&(5)
Здесь г — вектор, соединяющий точки наблюдения А и Ах; & — компонента г; г = |r|; Dij — структурная функция поля скоростей.
Пользуясь спектральными разложениями структурных функций флуктуаций скорости и магнитного поля [4]:
仆・（г）=沛1 —"囱（p）dp;MW） = 2]j]（l — "）%（p）dp，
и подставляя их в （5）, без труда получим
/=^^%・（p）=*8厂学）=^^ 8L写），
р 切 ° р（6） где 从=AiPi/p;石（夕）—единственная скалярная функция, определяющая спектральный тензор поля скоростей [5], а 石笈（夕，从）—соответствующая функция для спектра магнитного поля. В инерционном интервале волновых чисел [6]
石（夕）=（6ь）Т11Г（|"п6/3）④厂 5/3 = 0,77 禺厂 5/3,
где С^ = Се2/3 — структурная постоянная в «законе 2/3» для скорости; С — безразмерная константа, равная по порядку величины единице. Сравнение 石笈（夕，从）с 石（夕）показывает угловую анизотропию первой, а также более быстрое убывание с ростом волнового числа, именно Ен 〜 〜夕—U/3. Отметим, что соответствующая спектральная плотность для флуктуаций пассивной скалярной примеси в случае большого коэффициента диффузии [1] убывает как р-17/3. Более медленное убывание в нашем случае связано с наличием постоянного внешнего поля, чего нет в случае пассивной скалярной примеси. Отметим также, что столь быстрое убывание спектра не позволяет в данном интервале определить для флуктуаций магнитного поля автомодельную структурную функцию. Для этого необходимо [4], чтобы спектральная плотность убывала не быстрее, чем р-3.
Однако для производных поля h, в частности для вектора j плотности токов, индуцируемых при случайных движениях проводящей среды в магнитном поле, структурная функция может быть определена, т. е. поле флуктуаций j будет уже локально однородным случайным полем.
Принимая во внимание, что j = （4;r）_1crot Н, получим уравнение для определения структурной функции флуктуаций плотности тока
5-讯4）]历（4）一方
которое будет иметь вид
^ikl^jmn a'*lnj3£k= 8叮△【"一分旺乙/然勿 0£j - △【叮=
= XkXt d2Dzj/d^k 96. （7）
Процедура его получения снова аналогична использованной в [3] и в предыдущем пункте. Отсюда спектральный тензор W叮 плотности тока2 / 、
必7 =空必蚓(p)= 5•⑻
P47r0' p /
Таким образом, порядок убывания спектра для плотности тока тот же, что и для спектра скорости.
Для определения структурной функции I叮 вычислим сначала правую часть уравнения (7). Пользуясь тем, что в инерционном интервале
(структурную постоянную пока считаем равной единице), последовательно дифференцируя и суммируя, получим:
XkXl窺t = is｛表(1 — У叫疆厂I不为+ + I - I • ++ &%)｝，⑼
где т = /\分&/兀 Справа мы имеем осесимметричный тензор 2-го ранга общего вида [5] симметричный по г и J. Следовательно, и структурный тензор надо искать в таком же виде:
Lg = а&6 + b%% + c^ij -|-次&% + 6%),(1。)
где а, Ь, с, d — неизвестные функции от г и т, которые и надо определить, пользуясь уравнением (7).
Определим сначала след L分 структурного тензора, который подчиняется более простому уравнению:
(11)
Раскрывая осесимметричный оператор Лапласа и производя справа суммирование, получим
(^+^+н焉-篇3什г一叫(12)
Исходя из вида правой части (7), L分 естественно искать в виде L分= =广2/3/(加).Подставляя это выражение в (12), получим уравнение для определения функции /(т):
(1- т2)Г-2тГ + у/=у (1- |т2).
Частным решением этого неоднородного уравнения является функция /(т) = 1 + 2т2/3. Общим решением однородного уравнения является комбинация двух линейно независимых функций Лежандра, причем можно показать, что при данных значениях коэффициентов не
существует ограниченных на отрезке \т\，1 решений нашего уравнения, и поэтому их необходимо отбросить. В результате получаем:
L〃 =『2/3(1 +2m2/3).L〃 =『2/3(1 +2m2/3).(13)(13)
L〃 =『2/3(1 +2m2/3).
L〃 =『2/3(1 +2m2/3).
(13)
(13)
Для определения тензора 1^ подставим в (7) общий вид 1叮，даваемый формулой (11), и приравняем справа и слева коэффициенты при &§厶 A^Aj и т. д. Тогда получим систему дифференциальных уравнений для определения функций a, b, с, d. Решение этих уравнений производится последовательно, точно так же, как только что был определен вид 1^. Знание его облегчает процесс решения. Вычисления дают:
а =а =(14)(14)
а =
а =
(14)
(14)
В окончательных формулах все соотношения для определения тензора 1切 следует домножить еще на пропущенную структурную постоянную С*.
Некоторые из полученных в данной заметке результатов были применены к ионосфере. Установление того факта, что плотность случайных токов, подобно скорости или пассивной примеси, является локальной величиной в смысле теории локально однородной турбулентности (т. е. что можно локально, независимо от внешнего масштаба, определить средеквадратичное значение разности j в двух точках), позволило оценить ту высоту, до которой можно пренебречь влиянием земного магнитного поля на характер турбулентных движений в ионосфере. Оценка, подобная (3), с привлечением данных о параметрах турбулентности в нижней ионосфере [7] дает, что это влияние несущественно до высоты 〜150 км. Среднеквадратичное значение разности (модулей) плотности токов на расстоянии 1 км на высоте 100 км получается порядка 10-13 а см-2.
Уравнение (2) дает возможность, зная масштаб корреляции вихрей скорости [7], грубо оценить возможные порядки среднего квадрата пульсаций магнитного поля у поверхности Земли, вызванных турбулентными движениями в нижней ионосфере. Расчеты показывают, что (Н')1/2 может находиться в пределах 10-2 4- 1 7 (7 = 10-5 гс), что меньше обычно наблюдаемых амплитуд пульсаций, хотя и доступно для измерений.
Рассмотрим ртуть, для которой ^ = 1,15 • 10-3 см-2 сек-1; vm = =7,5 • 10-3 см-2 сек-1. Если предположить, что Но = 300 гс, £ = =10-4 см2 сек-3 (для сравнения укажем, что на высоте 100 км £ 〜 〜103 в тропосфере £ 〜10, в океане £ 〜10-2 см2 сек-3), то оценка (3) показывает, что влияние магнитного поля несущественно для вихрей с размерами меньшими, чем 105 см. Для среднеквадратичного значения
разности плотности токов на расстоянии 10 см получим величину в 3 ма • см-2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
G. К. Batchelor, I. D. Howells, A A. Townsend, J. Fluid Meeh., 5, 134 (1959).
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных сред, § 32, М., (1954).
А.М. Обухов, ДАН, 66, 17 (1949).
А. М. Яглом, Теор. вероятн. и ее примен., 2, 3 (1957).
Дж. К. Бзтчелор, Теория однородной турбулентности, ИЛ, (1955).
В. И. Татарский, Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере, §2, Изд. АН СССР, (1959).
J. S. Greenhow, Е. L. Neufeld. J. Geophys. Res., 64, № 12 (1959).
Глава 2
ВОЛНЫ
§ 1. К вопросу о возможности нагрева верхнейатмосферы длинноволновой акустической радиацией 9
В 1952 г. Даниеле [1] выдвинул гипотезу о нагреве верхней атмосферы низкочастотной акустической радиацией, излучаемой волнующейся поверхностью океана. Низкочастотный звук проходит толщу атмосферы, и его энергия поглощается на высотах, больших 100 км. Однако в 1953 г. Эккарт [2] показал, что поверхность океана может излучать звук вверх лишь в том случае, если фазовая скорость соответствующей гармоники в пространственном разложении Фурье формы поверхности больше скорости звука в воздухе. Таких гармоник для реального океана не существует, что делает гипотезу Даниелса несостоятельной.
В природе, однако, существует акустическая радиация другого происхождения: акустическое излучение турбулентных потоков ветра. Акустическое излучение турбулентности впервые теоретически было изучено Лайтхиллом [3], который, показал, что акустическая мощность, излучаемая единицей массы турбулентной среды, равна
P = Q£A/5, (1)
где а — универсальная постоянная; £ — величина диссипации кинетической энергии турбулентности на единицу массы; М = v/c — число Маха (где о — среднеквадратичная скорость турбулентных пульсаций в потоке, с — скорость звука). Константа а была оценена Праудменом [4] и оказалась равной 38. Формула (1) справедлива, если М С 1.
Величину акустической мощности, излучаемой всей толщей атмосферы, можно оценить следующим образом: вес столба воздуха с основанием 1 см равен 1 кг, причём главная масса воздуха сосредоточена в нижних 10-15 км, где разыгрываются основные синоптические процессы. Средняя скорость ветра в тропосфере t 10 м/сек, скорость звука в атмосфере порядка 300 м/сек. Как показывают многочисленные измерения, в качестве среднеквадратичной скорости пульсаций
См. Известия АН СССР, Сер. геофиз., 1961, № 7.
можно брать величину порядка 0,3 от средней скорости ветра. Поэтому г/ 3 м/сек. Величина £ для тропосферы оценивается в 5 см сек~3 [5]. Для простоты оценок мы будем брать £ = 10 см2 секГ^. Формула (1) дает полный поток звуковой энергии, излучаемой во все стороны единицей массы турбулентного потока. Чтобы выделить поток энергии вверх, надо было бы полную мощность разделить на 2 и, кроме того, учесть, что какая-то доля энергии отражается от Земли и идет в конце концов тоже вверх. Мы не будем принимать это во внимание и воспользуемся формулой (1) без какого-либо ее изменения. В этих условиях формула (1) будет давать для величины потока акустической энергии оценку сверху. В результате получаем, что средний поток акустической радиации, который может проникать в верхнюю атмосферу, равен в обычных условиях
Р 3 8 • 1000 а • 10 сж2 сек~3(3/300)5 ："儿24 • 1°-5 叩之 см-^ вк」
Величина Р наиболее сильно зависит от скорости ветра. Если взять среднюю скорость 20 м/сек (такой ветер в тропосфере встречается довольно редко), то получим Р ^ 1,3 • 10-3 эрг • смГ^ сек~х. В мощных циклонах и ураганах встречаются скорости ветра иногда до 40 м/сек. При этом получим 1) Р 4 • 10-2 эрг。儿一2 сек~х.
Величина Р — интегральная мощность, распределенная по всему спектру частот, излучаемых турбулентностью. Общее представление о форме этого спектра можно получить по результатам работы [6], где оценена форма спектра для изотропной турбулентности. Максимум спектра находится в области частот / ^ £2/зд1/з, где £ _ внешний масштаб турбулентности (или / L/v, где — среднеквадратичная скорость пульсаций). Таким образом, «шумят» в основном крупные недиссипирующие вихри. Этот факт отмечался также Лайтхиллом [3] и Праудменом [4]. В области низких частот спектр растет как /4, в области высоких падает как /-7/2. В тропосфере внешний масштаб турбулентности по порядку величины равен нескольким десяткам — ста метрам [7]. Пусть Е 80 儿；£10 сж2 секГ^, тогда /тах
~ 0,007 сек~ I если принять 3 ж сек-1, то /тах ~~ 0,03 сек-1.
Таким образом, /тах имеет величину порядка 0,01 гц. Как показывают расчеты [8], основная часть энергии звуковых волн с частотами такого порядка поглощается между 200 и 300 км. Большие частоты поглощаются гораздо ниже, а меньшие также не могут проникать выше 400 км в основном благодаря джоулевой диссипации в магнитном поле Земли [8].
Оценим, могут ли иметь какое-либо значение для температурного режима верхней атмосферы полученные нами величины потоков энергии акустической радиации. Температура верхней атмосферы выше
90 км в общем всегда растет с высотой. Согласно [9], на высоте 600 км температура днем около 2200° К, ночью — около 1200°. На высоте 200 км температура порядка 1200° и не меняется существенно ото дня к ночи. Однако точность получения этих данных такова, что ошибка в ±200° всегда может иметь место. Днем градиент температуры dT/dz > 0. Ночью этот градиент гораздо меньше дневного, однако отрицательным он быть не может. Благодаря положительному градиенту температуры сверху вниз существует поток энергии из-за теплопроводности. Сравним его величину с нашими оценками потока энергии акустической радиации. Согласно [10], поток тепла вследствие теплопроводности в верхней атмосфере равен:
q = ТЕ 岁，(2)
az
где 43 • IO? эрг см~^ сек~х град~^1^. Днем dT/dz 2,5° км~х,
ночью dT/dz < 0,5° км~х. Это дает на высоте 300 км величину потока тепла q ^ 0,3 эрг см~2 сек~х. Ночью этот поток может быть порядка 5 • 10-2 эрг см~2 сек~ 1 или меньше, причем последняя цифра характеризует величину ошибки в определении тепловых потоков. Ниже 200 км градиенты температуры гораздо больше, следовательно, и потоки тепла также значительнее.
Акустическая радиация обычно дает потоки энергии вверх, на 3 порядка меньшие, чем возможные потоки энергии из-за теплопроводности ночью. Только максимально возможный поток энергии от мощных ураганов мог бы ночью в какой-то степени быть заметным в сравнении с потоком благодаря теплопроводности, но и он был бы меньше, чем предполагаемая ошибка, возникающая при определении температуры верхней атмосферы. Остается также открытым вопрос, нет ли еще каких-нибудь механизмов затухания, способных поглотить энергию звука до высоты 200 км. По этому поводу напомним, что цифры наших оценок относятся к полной акустической энергии и оценивают ее сверху. Часть энергии, заключенная в области частот, больших 0,01 гц, поглощается ниже 200 км [8]. Часть энергии, в том числе и длиннопериодные колебания, может быть захвачена в атмосферные волноводы. Поэтому можно утверждать, что энергия акустического шума нижней атмосферы пренебрежимо мала, чтобы играть какую-то заметную роль в температурном режиме верхней атмосферы.
В заключение выражаю благодарность Ю. И. Гальперину за многочисленные полезные дискуссии по вопросам теплового режима верхней атмосферы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
F. В. Daniels, J. Acoust. Soc. Amer., 24, № 1 (1952).
К. Eckart, J. Acoust. Soc. Amer., 25, №2 (1953).
M. J. Lighthill, Proc. Roy. Soc., A211 (1952).
I. Proudman, Proc. Roy. Soc., A214 (1952).
D. Brunt, Physical and dynamical meteorology, Cambr. Univ. Press, (1944).
W. C. Meecham, G. W. Ford, J. Acoust. Soc. Amer., 30, №3 (1958).
В. И. Татарский, Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд. АН СССР, (1959).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР, сер. геофиз., №6 (1961).
D.G. King-Hele, D.M.C. Walker, Nature, 186, №4729 (I960).
М. Nicolet, Planet. Space Sci., 5 (1961).
§ 2. О механизме радиационной теплопроводности 9
В работе [1] для выяснения характера влияния радиационного теплообмена на распространение звука была решена вспомогательная задача об определении в линейном приближении неравновесного поля радиации, если во всем пространстве задано гармонически меняющееся поле температуры
Г = Т^кх. (1)
Здесь х — координата, к — волновое число. Амплитуда отклонения температуры Т《от равновесного значения То предполагается малой, и отношение Т^Т。является параметром, по которому производится линеаризация уравнения переноса радиации. В этом уравнении прене- брегается рассеянием, поскольку в условиях атмосферы спектр теплового излучения сосредоточен в основном в инфракрасной части, где эффекты рассеяния действительно несущественны [2]. Согласно [1], неравновесный приток радиации при температуре, заданной в виде (1),
равен
0=4圖ё泳小〃件（計^?1№， о0=4圖ё泳小〃件（計^?1№， о⑵⑵
0=4圖ё泳小〃件（計^?1№， о
0=4圖ё泳小〃件（計^?1№， о
⑵
⑵
где а” — коэффициент поглощения излучения для частоты ^, 5“ — функция излучения Планка. Это выражение дает основу для изучения рассасывания со временем любых температурных неоднородностей. Функция, задающая форму такой неоднородности, может быть разложена в интеграл Фурье по пространству, а приток радиации от отдельной компоненты Фурье температуры дается выражением (2).
Цель настоящей заметки — указать основные особенности процесса радиационного теплообмена в простейшем одномерном случае при условии малости возмущения температуры. Последнее допущение вполне оправдано в условиях атмосферы, где естественные темпера-
См. Известия АН СССР, Сер. геофиз., 1964, № 5.
турные контрасты всегда малы по сравнению с равновесным значением То 300° К.
Отвлекаясь от гидродинамических движений, которые должны возникнуть от заданного начального возмущения температуры 9, уравнение радиационной теплопроводности можно записать в следующем ввде:ат
где р — плотность среды, ср — теплоемкость среды при постоянном давлении, t — время, Q — полный приток тепла от всех компонент Фурье начального возмущения температуры.
Перейдем теперь к решению поставленной задачи. Пусть начальное возмущение температуры Т(力,0) можно представить в виде
Т(力,0) = j Tk(k)e泳力 dk.(4)
Будем искать решение уравнения (3) в виде
T(力，方)=J г尹力一入⑷力dk.(5)
Аналогично запишем и правую часть уравнения (3)
Q{x^ = j Qke^-^dk,(6)
где / дается выражением (2), в котором вместо Т《надо написать ". Подставляя (5) и (6) в (3), получим коэффициент затухания А, в зависимости от волнового числа к. Подстановка этой зависимости в (5) и дает решение поставленной задачи об эволюции температурной неоднородности во времени и пространстве под влиянием радиационного теплообмена.
Разберем подробнее модель «серой» атмосферы, когда коэффициент поглощения радиации ау не зависит от частоты и равен некоторому
В простейшем случае однородной нестратифицированной атмосферы такими гидродинамическими возмущениями будут, кроме энтропийной (температурной) волны, звуковые волны, модифицированные наличием радиационного теплообмена, описываемые дисперсионным уравнением (12) работы [1]. Задача о сглаживании произвольного начального возмущения с учетом всех этих волн может быть решена методом, примененным к решению аналогичной задачи о поведении начального возмущения в магнитной гидродинамике с произвольной проводимостью среды [3]. Предлагаемое в данной заметке рассмотрение фактически соответствует учету лишь нераспространяющейся энтропийной волны и нахождению ее затухания.
взвешенному по всем частотам значению а. Тогда, согласно [1], можно получить, что
Qk = Тбсг鑑- ^ arctg
где а — постоянная в законе излучения Стефана-Больцмана. Подставляя это выражение в (3), получаем
где обозначеногде обозначено⑺⑺— рСрT0 = 0-16(т7^а— рСрT0 = 0-16(т7^а⑻⑻В результате для «серой» атмосферы решение поставленной задачи можно записать в следующем виде:В результате для «серой» атмосферы решение поставленной задачи можно записать в следующем виде:Т（力,方）=Т（力,方）=У arctg ] dk. к а/ JУ arctg ] dk. к а/ J⑼⑼При решении конкретных задач удобно перейти к безразмерным переменным丁 = 〃丁о, § = /а, X = к/а.(10)Тогда (9) перепишется в видеT(S，t)= j £ехр{2 — т(1 —^^)}dx・(99Рассмотрим в первую очередь расплывание 5-образного начального возмущения температуры, когда Тх = (2тг)-1. Тем самым определим функцию Грина нашей задачи. При этом (9‘)можно записать в виде8(0 + = [ехр7Г J LоПри решении конкретных задач удобно перейти к безразмерным переменным丁 = 〃丁о, § = /а, X = к/а.(10)Тогда (9) перепишется в видеT(S，t)= j £ехр{2 — т(1 —^^)}dx・(99Рассмотрим в первую очередь расплывание 5-образного начального возмущения температуры, когда Тх = (2тг)-1. Тем самым определим функцию Грина нашей задачи. При этом (9‘)можно записать в виде8(0 + = [ехр7Г J Lоg)=「{g)=「{I arctgyj - 1] cosxfdx >•(И)I arctgyj - 1] cosxfdx >•(И)Интеграл, оставшийся после выделения 5-особенности, регулярен при всех £ за исключением £ = 0, поскольку выражение в круглых скобках под знаком интеграла убывает для больших у, как тгт/2у. При £ — 0 этот интеграл логарифмически сходится. Для £ « 1 справедливо разложениеехр(； arctgх) - 1] cosy<dy —三 ln< + O(l),(12)Интеграл, оставшийся после выделения 5-особенности, регулярен при всех £ за исключением £ = 0, поскольку выражение в круглых скобках под знаком интеграла убывает для больших у, как тгт/2у. При £ — 0 этот интеграл логарифмически сходится. Для £ « 1 справедливо разложениеехр(； arctgх) - 1] cosy<dy —三 ln< + O(l),(12)огде символ 0(1) означает константу порядка единицы, независимую от £, но не от т. Таким образом, функция Грина уравнения радиационного переноса тепла имеет две особенности вблизи £ = 0: лога-огде символ 0(1) означает константу порядка единицы, независимую от £, но не от т. Таким образом, функция Грина уравнения радиационного переноса тепла имеет две особенности вблизи £ = 0: лога-
где обозначено
где обозначено
⑺
⑺
— рСр
T0 = 0-
16(т7^а
— рСр
T0 = 0-
16(т7^а
⑻
⑻
В результате для «серой» атмосферы решение поставленной задачи можно записать в следующем виде:
В результате для «серой» атмосферы решение поставленной задачи можно записать в следующем виде:
Т（力,方）=
Т（力,方）=
У arctg ] dk. к а/ J
У arctg ] dk. к а/ J
⑼
⑼
При решении конкретных задач удобно перейти к безразмерным переменным
丁 = 〃丁о, § = /а, X = к/а.(10)
Тогда (9) перепишется в виде
T(S，t)= j £ехр{2 — т(1 —^^)}dx・(99
Рассмотрим в первую очередь расплывание 5-образного начального возмущения температуры, когда Тх = (2тг)-1. Тем самым определим функцию Грина нашей задачи. При этом (9‘)можно записать в виде
8(0 + = [ехр
7Г J Lо
При решении конкретных задач удобно перейти к безразмерным переменным
丁 = 〃丁о, § = /а, X = к/а.(10)
Тогда (9) перепишется в виде
T(S，t)= j £ехр{2 — т(1 —^^)}dx・(99
Рассмотрим в первую очередь расплывание 5-образного начального возмущения температуры, когда Тх = (2тг)-1. Тем самым определим функцию Грина нашей задачи. При этом (9‘)можно записать в виде
8(0 + = [ехр
7Г J Lо
g)=「{
g)=「{
I arctgyj - 1] cosxfdx >•(И)
I arctgyj - 1] cosxfdx >•(И)
Интеграл, оставшийся после выделения 5-особенности, регулярен при всех £ за исключением £ = 0, поскольку выражение в круглых скобках под знаком интеграла убывает для больших у, как тгт/2у. При £ — 0 этот интеграл логарифмически сходится. Для £ « 1 справедливо разложение
ехр(； arctgх) - 1] cosy<dy —三 ln< + O(l),(12)
Интеграл, оставшийся после выделения 5-особенности, регулярен при всех £ за исключением £ = 0, поскольку выражение в круглых скобках под знаком интеграла убывает для больших у, как тгт/2у. При £ — 0 этот интеграл логарифмически сходится. Для £ « 1 справедливо разложение
ехр(； arctgх) - 1] cosy<dy —三 ln< + O(l),(12)
о
где символ 0(1) означает константу порядка единицы, независимую от £, но не от т. Таким образом, функция Грина уравнения радиационного переноса тепла имеет две особенности вблизи £ = 0: лога-
о
где символ 0(1) означает константу порядка единицы, независимую от £, но не от т. Таким образом, функция Грина уравнения радиационного переноса тепла имеет две особенности вблизи £ = 0: лога-
рифмическую и 8-образную, интенсивность которых экспоненциально уменьшается со временем.
Решим теперь задачу о расплывании разрыва температуры, заданного в виде
Здесь и далее под безразмерной функцией Т(£,т) подразумеваем отношение Т(^, r)/Ti где Ti = const, причем Ti « Tq, чтобы можно было пользоваться развиваемым здесь линейным приближением.
Амплитуда обобщенного преобразования Фурье такой функции равна 厶=(2тгуг)_1. Решение задачи можно записать в действительной форме:
Жт) = lj^exp{-r(l-干)} d» (13) о
Это решение также сохраняет особенность (конечный разрыв) при ^ = 0, и для ее выделения представим (13) в следующем виде:
Т(£，т) =卜⑹ + ；卜xpgarctgx) — 1］任产 dx}・ (14) о
Интеграл в (14) является уже всюду непрерывной функцией и не имеет никаких разрывов. Это следует из того, что компонента синус- преобразования Фурье затухает при больших х пропорционально а при этом можно показать, что и при £ = 0 данный интеграл является равномерно непрерывной функцией.
Рис. 2.2.1. Результаты численного интегрирования для ряда значений г: 1 — т = 0,1; 2 — г = 0,4; 3 — т = 1,0; 4 — т = 4; 5 — т = 10; 6 — т = 25
К сожалению, интегралы (11), (13) или (14) не берутся в конечном виде. Их необходимо находить численным интегрированием при различных значениях входящих в них параметров. На рис. 2.2.1.
представлены результаты численного интегрирования интеграла (13) для ряда значений т. Кривые на этом рисунке представляют собой процесс охлаждения полубесконечной среды, на границе которой при г = 0 задан единичный скачок температуры. Нечетное продолжение этих кривых на ^ < 0 будет показывать нагревание части среды, находящейся при ^ < 0.
Определим асимптотики выражения (13) для больших значений времени и расстояния. При нахождении асимптотики для £》1 удобно ввести новую переменную у = Тогда
1 -7r (е т1 -7r (е т£ д£ д加加
1 -7r (е т
1 -7r (е т
£ д
£ д
加
加
При £》1 справедливо разложение
2§2§2§2§
2§
2§
2§
2§
и в существенной для интегрирования части интеграл (13‘) можно
представить в виде
g)7оg)7о(15)(15)
g)7
о
g)7
о
(15)
(15)
где ①(2)= (2/д/тг) I е~^ dt — интеграл ошибок, нечетная функция о
аргумента 2. Для больших значений аргумента
①⑶1
7不z
Таким образом, для £》1 (вернее, £》д/т) начальное распределение температуры возмущается очень мало.
Определим асимптотику (13) при 丁》1. При этом в подынтегральном выражении существенны лишь те участки пути интегрирования, где показатель экспоненты еще не велик по абсолютной величине, т. е. участки, где у С 1, и когда
/О) = 1/О) = 11--arctgy1--arctgy
/О) = 1
/О) = 1
1
--arctgy
1
--arctgy
При этом
仆）仆）(16)(16)
仆）
仆）
(16)
(16)
Для 丁》1 (вернее, для 丁》3^2/4) эта формула описывает приближение первоначального разрыва к нулевому (равновесному) значению температуры, отвлекаясь от экспоненциально убывающего со временем разрыва температуры в начале координат.
Таким образом, как для больших, так и для малых значений величины §/у^ решение нашей задачи асимптотически приближается к решению аналогичной задачи для обычного уравнения теплопроводности с безразмерным коэффициентом температуропроводности, равным 1/3. Для больших значений 丁 полученное нами решение отличается от обычного теплового решения лишь в некоторой области значений £ ^ д/т, совпадая асимптотически с ним как для больших, так и для малых расстояний. Найденное численным образом решение при г 10 уже вообще практически не отличается от решения обычной тепловой задачи, даваемого функцией 0,5Ф{у/3^/2у/т). Это утверждение иллюстрируется на рис. 2.2.1, где последняя функция при г = 10 нанесена пунктиром.
Таким образом, характерной чертой лучистой теплопроводности является то, что она не может сглаживать особенности типа 5-функции или конечного разрыва, а только экспоненциально уменьшает их интенсивность с характерным временем релаксации 々.Для больших значений времени, если отвлечься от граничного разрыва, полученное решение стремится к решению обычного уравнения теплопроводности. Аналогичная ситуация имеет место в теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах [4], хотя в этой теории основные уравнения отличайся от наших.
Другой особенностью уравнения радиационной теплопроводности (3) является то, что оно не дает возможности представить процесс в виде суперпозиции каких либо распространяющихся тепловых волн, как в случае обычного уравнения теплопроводности, а описывает лишь некоторую релаксацию пространственных компонент Фурье начального возмущения температуры за характерное время tq.
Сглаживание температурных неоднородностей изучалось также Спигэлом [5]. Несколько отличным от нашего методом он также получил дисперсионное уравнение (7). Его метод позволяет показать, что это уравнение верно и для трехмерного поля радиации в однородно поглощающей среде. Однако в выражении для характерного времени релаксации он использовал теплоемкость при постоянном объеме, а не при постоянном давлении, как этого требует механика сплошных сред [6]. Поэтому характерное время релаксации по Спигэлу получилось в 7 раз меньше, чем у нас, где 7 = cp/cv — показатель адиабаты для рассматриваемого газа. Спигэл не решал, однако, каких-либо конкретных задач и не пытался определять функцию Грина, поэтому он не обратил внимания на тот факт, что радиационный механизм переноса тепла не может сглаживать разрывы, а лишь уменьшает экспоненциально со временем их интенсивность.
Применим полученные результаты к атмосферным условиям. Оценим, чему равно время релаксации для типичных условий атмосферы, когда р = 1,3 • 10—3 а/с儿з； с@ = 1,0 • 107 эрг/г • град; 7Ь = 273° К; а = =5 • 10-6 смГх. При этих значениях параметров г = 1,4 • 105 сек
40 час. Это значение времени релаксации гораздо меньше, чем время релаксации атмосферных неоднородностей температуры из-за обычной молекулярной теплопроводности. Чтобы пояснить последнее утверждение, введем понятие коэффициента радиационной теплопроводности. Это можно сделать, например, сравнивая выражения для притоков тепла в обоих случаях:
Qo = -pCpXQ div grad Tz = рсРх^Т^кх,
Qr = \6aT§af{k/a)T^eikx, /⑶=1 — ； arctg^.
Деля вторую строку на первую, получим
к2 tqXqк2 tqXqрср^хорср^хоХоХоХг = 16сг7^а/(к/а) = /(к/а)
к2 tqXq
к2 tqXq
рср^хо
рср^хо
Хо
Хо
Таким образом, коэффициент радиационной теплопроводности (вернее, температуропроводности) определяется в виде
= =/(2).(⑺
tqk 丿 pcpa 丿/
Для к》аДля к》а_ 16cr7g _ 1рср" 々М，_ 16cr7g _ 1рср" 々М，(18)(18)
Для к》а
Для к》а
_ 16cr7g _ 1
рср" 々М，
_ 16cr7g _ 1
рср" 々М，
(18)
(18)
e. для мелкомасштабных возмущений коэффициент радиационной температуропроводности определяется масштабом явлений.
Для к《а коэффициент х『не зависит от масштаба, как и для обычной теплопроводности, и равен
_ 16сг7^Зрсра °
Найдем величину отношения Xr/хо Для типичных условий атмосферы (см. выше), когда хо ~ 0,2 см2 • сек~х. При k « a Хт/Хо ~ ~ 5 • 105, т. е. для возмущений температуры больших масштабов (с длиной волны возмущения больше нескольких километров) радиационная теплопроводность в несколько сотен тысяч раз эффективней, чем обычная теплопроводность. Сравнивая х『с хо ПРИ k》а, можно найти, что их отношение становится близким к единице для масштабов порядка 10 м. Более мелкие температурные волны сглаживаются из-за обычной молекулярной теплопроводности.
В заключение выражаю свою глубокую благодарность Л. А. Дикому, А. М. Обухову и Е. М. Фейгельсон за полезные дискуссии и советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. Сер. геофиз., №6 (1963).
К. Я. Кондратьев, Лучистый теплообмен в атмосфере, Гидрометео- издат, (1956).
Г. С. Голицын, Ж. прикл. механ. и техн, физ., 3, №2 (1963).
Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина, Прикл. матем. и механ., 24, №5 (I960).
Е. A. Spiegel, Astrophys. J., 126, № 1 (1957).
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных сред, Гостехиз- дат, (1954).
Собственные колебание планетных атмосферв зависимости от скорости вращения планеты 9
Атмосфера вращающейся планеты имеет сложный спектр колебаний. Эти колебания можно разделить на два класса: быстрые, обусловленные прежде всего сжимаемостью и расслоенностъю атмосферы, и медленные, обусловленные главным образом гироскопической жесткостью вращающейся атмосферы. Изучению колебаний второго типа — волн Россби, — как их иногда принято называть, и посвящена данная работа.
Впервые медленные колебания вращающейся атмосферы были обнаружены и проанализированы еще в 1893 г., Маргулесом [1]. Несколько лет спустя Хаф [2] независимо исследовал аналогичную проблему колебаний океана однородной глубины, покрывающего сферическую вращающуюся Землю, и также обнаружил медленные колебания подобного типа. Однако только спустя несколько десятилетий эти колебания вновь привлекли внимание метеорологов. Работы [3-5], рассматривавшие случай несжимаемой жидкости, показали важную роль этих колебаний для построения теории общей циркуляции атмосферы.
Колебания однородного океана на сфере описываются так называемым приливным уравнением Лапласа, которое применимо также и для описания свободных колебаний изотермической атмосферы или для линеаризованной баротропной модели движения сжимаемой атмосферы (см., например, [6]). Методика численного интегрирования приливного уравнения Лапласа была развита в [6], но основное внимание в этой работе было уделено исследованию быстрых колебаний. Медленные колебания (волны Россби) подробно в этой работе не изучались. В данной работе, являющейся в некотором смысле продолжением работы [6], на основе предложенной там методики на ЭВМ были рассчитаны собственные периоды и соответствующие собственные функ-
1) См. ФАО, т. 2, № 3, 1966. В соавторстве с Л. А. Диким.
ции, функции Хафа. С их помощью также вычислены функции тока, описывающие медленные колебания атмосфер планет в зависимости от скорости их вращения, радиуса и характерной высоты однородной атмосферы (или, что то же, от скорости звука). Обзор необходимых физических параметров атмосфер различных планет можно найти в [7]. Подробные расчеты проведены для случаев Земли и Юпитера. Результаты точных расчетов сопоставляются с результатами приближенных асимптотических теорий, развитых для случая медленно вращающихся планет, когда мала роль сжимаемости [2, 8-10], и для случая быстро вращающихся больших планет [11].
Уравнение Лапласа теории приливов, являющееся следствием уравнений гидродинамики сжимаемой вращающейся жидкости, можно записать в следующем виде:
=協一(1 一〃 2)小(〃)， ⑴
где 从=cos 0 — косинус полярного угла; s — целое число (азимутальное волновое число); / = а/2ш — безразмерная частота, т. е. частота, деленная на удвоенную угловую скорость s собственного вращения планеты; х(〃) — искомая функция; в [6], например, х(〃) — трехмерная дивергенция поля скорости. Такое же уравнение можно написать и для других гидродинамических характеристик, например для давления и двумерного потенциала скорости. В уравнение (1) входит безразмерный параметр 7, определяемый радиусом планеты а, угловой скоростью s, ускорением силы тяжести д и глубиной однородного океана (высотой однородной атмосферы) h. В случае баротропной атмосферы gG = с*, где ст — изотермическая скорость звука, для бароклинной (изотермической) атмосферы gh = с, где с — адиабатическая скорость звука 9 (см. [10]). Другими словами, параметр 7 равен квадрату отношения удвоенной линейной скорости на экваторе к скорости звука. Параметр 7 мал, если мала угловая скорость s; 7 — 0, если с — оо, т. е. в пренебрежении сжимаемостью атмосферы. Параметр 7 велик для больших и быстро вращающихся планет. В случае Земли 7 ^ 10 для баротропной модели (7 = 10, если Д = 8,8 км [9]). Для бароклинной атмосферы 7 = 7,9 в случае Земли, если с = 330 м/сек (Д = 8 км). Используя значения параметров, приведенные в [7], находим, что для Марса 7 = 3,6, для Венеры 7^6- 10-5, для Меркурия 7^2- 10-6, для Юпитера 2) 7 ^ 1200.
1) Проводимое здесь рассмотрение, следуя [6]. можно обобщить и на случай произвольной с высотой стратификации.
Значения температур и химический состав планет, находящихся за Юпитером (Сатурн, Уран, Нептун), изучены очень плохо, но если предполагать, что они, как и Юпитер, состоят в основном из водорода и гелия и имеют температуру атмосферы 〜100° К, то, зная скорости их вращения и размеры [12], можно оценить, что для этих планет, как и для Юпитера, 7 будет 〜1000.
Таким образом, по значению параметра 7 планеты солнечной системы можно четко разделить на три группы. К первой группе очень медленно вращающихся планет относятся внутренние планеты солнечной системы Меркурий и Венера, для которых 7 〜10-6-10-4. Ко второй промежуточной группе с 7 порядка единицы относятся Земля и Марс. К третьей группе больших и быстро вращающихся планет с 7 порядка тысячи относятся Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун.
Как известно [4, 5], в пренебрежении сжимаемостью собственные периоды медленных волн во вращающейся сферической атмосфере определяются формулой
TnsTnsn(n + 1)n(n + 1)⑵⑵
Tns
Tns
n(n + 1)
n(n + 1)
⑵
⑵
где Tns — период колебания в сутках с азимутальным числом s и меридиональным числом п, причем s < п. Собственные функции, описывающие форму соответствующих колебаний, будут с точностью до множителя exp{z(at + sA)}, где А — долгота, при этом пропорциональны [6]
"s+ 1 亠(2n+l)(n+l)2 几+1 (2 几
где Pns — присоединенные (ненормированные) полиномы Лежандра. Поскольку волны Россби являются двумерными (вертикальная компонента скорости равна нулю), то можно ввести функцию тока. Соответствующие функции тока фпз оказываются пропорциональными просто полиномам Pns. В случае )*0 можно искать собственные периоды в виде, например, разложения в ряд по степеням 7 (см. [8, 10]), причем главный член разложения, не зависимый от 7, будет определяться формулой (2). Однако при значениях 7 порядка единицы такие разложения не очень точны, особенно для малых п. Более точную формулу, очень хорошо действующую даже при 7 порядка 10, предложил Хаф [2]
П —小1(4n2-l)[(n- l)2n2/7 + 2s+ I)2]
+n2(n + 2)2(n — s + l)(n + s + 1)
(2n + l)(2n + 3)[(n + l)2(n + 2)2/t - 2s2/n2(n + 1)]
сферы планеты, а в обоих случаях брались средние-арифметические значения полярного и экваториального радиусов и различных периодов вращения.
Отметим, что точность всех таких формул при данном значении 7 повышается с ростом п.
На основе методики, описанной в [6], в широком интервале изменений значения 7 нами были вычислены собственные кривые приливного уравнения Лапласа (1). Результаты численного счета представлены на рис. 2.3.1-2.3.3 в логарифмическом масштабе. Сплошные линии — значения 1 /2/ = Tns в зависимости от 7-1 для s = 1, 2 п 3.
Рис. 2.3.1. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 7-1 при S = 1
При малых 5 (больших 7-1) рассчитанные кривые асимптотически приближаются к горизонтальным прямым Г = п(п + 1)/2з, изображенным на рис. 2.3.1-2.3.3 штрих-пунктиром, в полном согласии с формулой (2). Именно в соответствии с этими значениями п и s и расставлены индексы у периодов Tns, соответствующих определенному типу колебаний. При больших 7 (малых 7-1) обращает на себя внимание степенной характер зависимости периодов Tns от 7. На всех трех рисунках имеются два существенно разных типа кривых. Для нижней кривой с n = s при всех значениях s показатель степени приблизительно в два раза меньше, чем для остальных располагающихся выше кривых с s < п. Объяснение этому факту дается в работе [11], где показано, что задача о собственных колебаниях планетных атмосфер при больших значениях 7 аналогична квантовомеханической задаче о нахождении собственных значений волновой функции в квазикласси- ческом приближении. При этом собственные периоды колебаний опре-
Рис. 2.3.2. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 丁 при s = 2Рис. 2.3.2. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 丁 при s = 2Рис. 2.3.3. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 7-1 при s = 3Рис. 2.3.3. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 7-1 при s = 3
Рис. 2.3.2. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 丁 при s = 2
Рис. 2.3.2. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 丁 при s = 2
Рис. 2.3.3. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 7-1 при s = 3
Рис. 2.3.3. Зависимость периодов собственных колебаний в сутках от 7-1 при s = 3
квантования Бораквантования Бора71/2产 + s/力 I" = 2夕 + 1,71/2产 + s/力 I" = 2夕 + 1,⑸⑸деляются из соотношения, по смыслу полностью аналогичного правилу
квантования Бора
квантования Бора
71/2产 + s/力 I" = 2夕 + 1,
71/2产 + s/力 I" = 2夕 + 1,
⑸
⑸
где р — целое положительное число. Соотношение (5) является кубичным относительно /, но квадратичным относительно 71/2.
Поэтому проще выразить не / в зависимости от 7, а наоборот.
Имеем
71/2 = [2。 + 1 士 J(22 + 1)2 . 45门/2严.(6)
Мы интересуемся асимптотикой при больших 7, что соответствует большим периодам или малым частотам (рис. 2.3.1-2.3.3), поэтому для
первой ветви со знаком плюс получаем
)1/2 =)1/2 =Для противоположного знака имеемДля противоположного знака имеем寸/2 =寸/2 =S/(2@+1)・S/(2@+1)・⑺⑻⑺⑻
)1/2 =
)1/2 =
Для противоположного знака имеем
Для противоположного знака имеем
寸/2 =
寸/2 =
S/(2@+1)・
S/(2@+1)・
⑺
⑻
⑺
⑻
Эти формулы можно переписать также и для периодов. В первом случае с точностью до малых порядка 0()—】/?) имеем
11++ss2寸/4(20+12寸/4(20+1⑼⑼
1
1
+
+
s
s
2寸/4(20+1
2寸/4(20+1
⑼
⑼
Для второй ветви
т =(1。)
Формулы (9) и (10) говорят о существовании двух типов собственных кривых, определяющих зависимость периодов собственных колебаний от параметра 7, причем для кривых первого типа, определяемого формулой (9), период в первом приближении пропорционален 7/4, а для кривых второго типа период пропорционален 71/. Теория, развитая в [11], не определяет, какое именно значение р надо каждый раз подставлять в формулы (9), (10) или (7), (8), чтобы получить интересующее нас значение периода, поскольку эта теория развита лишь для больших значений 7 и ничего не говорит о поведении собственных кривых при малых 7. Соответствие асимптотических формул при больших и малых значениях параметра 7, устанавливаемое с помощью результатов численного счета, получается, если положить ') р = п — s. В результате получаем следующие простые формулы для определения периодов различных собственных колебаний при больших значениях параметра 7:
%=片(1 + 力)5 = s)'(11)
Т>=)"2(^^ —1)5<s).(12)
На рис. 2.3.1-2.2.3 асимптотики при больших 7 нанесены крупным пунктиром. Для случая s < п — это зависимость (10), при s = п более точной оказывается формула не (9), а (7), которая при р = п — s = О может быть приведена к виду
(13)(13)寸/2 =27(27 —s).
(13)
(13)
Из рис. 2.3.1-2.2.3 видим, что в широких областях изменений значений параметра 7 найденные в [11] асимптотики очень близки к точным собственным кривым. Вертикальными тонкими кривыми на этих рисунках отмечены значения 7 = 1200 (Юпитер), 7 = 10 (Земля, баротропная модель), 7 = 7,9 (Земля, бароклинная модель) и 7 = 3,6 (Марс).
В размерном виде формулы (11) также выглядят весьма просто и поучительно:
Если вспомнить, что в пределе малых 7 период волн Россби определяется формулой Tns = 7гп(п + l)/ss то оказывается, что все три возможности построения параметра, имеющего размерность времени, при использования параметров а [см], s [сек~х] и с [см • сек~х] осуществляются в различных условиях.
Таблица 2.3.1
п
S
7 = 0
Период Тп в сутках
Земля
Юпитер, 7 = 1200
7 = 7,9 (бароклинная)
7 = 10 (баротропная)
7 = 10 (по ф-ле Хафа)
в сутках Юпитера
в земных сутках
1
1
1
1,17
1,21
1,30
3,2
1,31
2
1
3
4,87
5,25
5,28
52
21
2
1,5
1,61
1,64
1,66
3,5
1,43
3
1
6
8,1
8,6
8,7
86
35
2
3
3,68
3,84
3,88
27
11
3
2
2,07
2,09
2,10
3,8
1,56
Мелким пунктиром нанесены кривые Хафа, вычисленные согласно формуле (4). Видно, что эти кривые очень хорошо аппроксимируют точные собственные кривые в широком интервале изменений значений 7, в том числе и для 7 10 (Земля), особенно для n > 1. В табл. 2.3.1 сведены значения собственных периодов в сутках для различных типов колебаний с s < п < 3 для Земли (7 = 7,9; 10), Юпитера (7 = 1200), значения периодов, вычисленные согласно формуле Хафа (3), для 7 = =10, и асимптотические значения периодов, согласно формуле (2), соответствующие 7 = 0, т. е. собственные значения присоединенных полиномов Лежандра,
Был произведен также расчет собственных функций приливного уравнения Лапласа, функций Хафа, как их иногда называют [13].
Функции Хафа Qns (从)искались в виде рядов по нормированным присоединенным полиномам Лежандра
QrzS (从)= Е^4м)-(И)
Индексы низу функций Q^s (从)расставлены в соответствии со значениями собственных периодов Tns, которые при 7 = 0 определяются формулой (2). Штрих у знака суммы означает, что в суммировании участвуют лишь те значения к, для которых к — п — нечетное число. Зная эти коэффициенты, можно построить функции Хафа, а также функции тока
(从)=^akPks{^ (к-п четно).(15)
k=s
При этом используется тот факт, что коэффициенты。卜 с точностью до постоянного размерного множителя связаны с коэффициентами 匕卜 следующим соотношением [9, 10]:
碎 LЫ1.(16)
Функции Хафа Qns (从)образуют ортонормированную систему, по
скольку 拆2 = 1. Интеграл[Qns (从)『d从=1 для всех s < п Ана-
k=sJ ]
логично нормировались функции тока 2rls (〃)•
Рассчитанные таким образом функции Хафа Qns для s < п < 3 изображены на рис. 2.3.4 в зависимости от широты. Тонкими и жирными сплошными линиями нанесены функции Хафа для атмосфер Земли (7 = 10) и Юпитера (7 = 1200). Пунктиром показана асимптотика (3), построенная с учетом нормировки. Видно, что функции Хафа для волн Россби в атмосфере Земли мало отличаются от соответствующих асимптотических функций, определяемых формулой (3), справедливой при 7 = 0. Таким образом, учет сжимаемости атмосферы Земли мало сказывается на виде функций Хафа. Это является отражением того, что коэффициенты 匕卜 разложения (14) быстро убывают с ростом номера /с, и в случае Земли оказывается возможным ограничиться тремя- четырьмя членами разложения для достижения точности 〜1 %.
В случае Юпитера для получения такой же точности приходится брать уже 10-12 членов разложения, так как ряд (13) при больших значениях параметра 7 сходится гораздо медленнее, чем при 7 порядка 10. Характерно, что функции Хафа для атмосферы Юпитера существенно отличны от нуля лишь в узкой зоне вблизи экватора. Коэффициенты 匕卜 таковы, что вне этой зоны полиномы Лежандра в сумме взаимно практически компенсируются. Как показано в [11], функции Хафа экспоненциально затухают. Такое поведение их вполне соответствует
Рис. 2.3.4. Собственные функции приливного уравнения Лапласа (функции Хафа) для Земли, Юпитера и для несжимаемой атмосферыРис. 2.3.4. Собственные функции приливного уравнения Лапласа (функции Хафа) для Земли, Юпитера и для несжимаемой атмосферы
Рис. 2.3.4. Собственные функции приливного уравнения Лапласа (функции Хафа) для Земли, Юпитера и для несжимаемой атмосферы
Рис. 2.3.4. Собственные функции приливного уравнения Лапласа (функции Хафа) для Земли, Юпитера и для несжимаемой атмосферы
поведению квазиклассической волновой функции уравнения Шредингера за точками поворота которые в данном случае определяются из соотношения
从=士л/Ё = ±(2 夕 + 1)1/2)т/4. (17)
В табл. 2.3.2 сведены функции тока фпз для атмосферы Земли при 7 = 10 (баротропная модель) и 7 = 7,9 (бароклинная модель). Для сравнения также приведены функции тока, рассчитанные приближенно в [9]. Эти функции нормированы так, что коэффициент при первом соответствующем полиноме Лежандра равен единице, но вследствие
малости остальных коэффициентов 。卜 такая нормировка отличается очень мало от нормировки, принятой нами. Коэффициенты 。卜 для случая Земли очень быстро убывают с ростом к. Табл. 2.3.2, а также рис. 2.3.5, где функции ^ns (6) для 7 = 10 изображены тонкой сплошной линией, показывают, что эти функции мало отличаются от своих асимптотических значений 琮(夕)，т. е. от нормированных полиномов Лежандра, действующих при 7 = 0 и изображенных на рис. 2.3.5 пунктиром. Это различие с ростом п и s становится все менее ощутимым. Оно особенно мало для собственных функций с n = s и при 八= =s = 3 настолько мало заметно, что в выбранном масштабе рисунка график ^(^) идет практически по графику 肾(夕)，поэтому в данном случае 2鼻 для атмосферы Земли не приведено на рисунке.
Таблица 2.3.2
п
S
麻s（e）
7 = 0
7 = 1。， согласно [9]
7 = I。， баротропная модель
7 = 7,9, бароклинная модель
1
1
К
R - 0,07 g + ...
0,9979* - — 0,0643 g +
0,9985* - — 0,0548 g +
2
1
В
冃-o,ioR +
0,9902 月-
— 0,1348* +
+ 0,0092 网 +
0,9973 R -
— 0,0704* +
+ 0,0075 网
2
0,03肾+
0,9994 広-
—0,0345肾+ •••
0,9998 広-
-0,0208肾+ •••
3
1
Рз
e +0,19斤 +
0,9810 g -
—0,1390斤-
-0,118g +
0,9880 g + + 0,1200 R -
—0,094 Р$ + ...
2
F^-0,05^ + ...
0,9964 抬- - 0,0847/^ + ...
0,9980 E -
-0,0630 P^ +...
3
肾-0,01 届+
0,9999 肾-
-0,0122 広+
E -
—0,0099広+
Методы аналитического расчета нескольких первых коэффициентов 。卜 были предложены в [9, 10], однако даже более точная по сравнению с [10] процедура [9] дает погрешность порядка нескольких десятков процентов в значениях первых коэффициентов разложения (14), что видно из сравнения соответствующих столбцов табл. 2.3.2.
Необходимость учета гораздо большего числа членов разложения при больших значениях 7 приводит к тому, что вид функций тока V^(J) для Юпитера, описывающих определенный тип колебаний, оказывается значительно более сложным и прихотливым, чем вид простых нормированных присоединенных полиномов Лежандра Р^(9). Графики этих
Рис. 2.3.5. Функция тока для Земли, Юпитера и нормированные присоединенные полиномы Лежандра
функций изображены на рис. 2.3.5 жирными сплошными линиями. В силу того что для функции тока нельзя написать уравнение типа (1), выводы работы [11] со экспоненциальном затухании вне узкой зоны вблизи экватора здесь неприложимы.
Таким образом, собственные колебания быстро вращающихся планет носят весьма своеобразный характер. Заметим, что изучение решений приливного уравнения Лапласа (1) при больших значениях параметра 7 представляет определенный интерес и для земной атмосферы при исследовании внутренних волн в планетарном масштабе. Для этих волн эквивалентная «глубина однородного океана» Д может быть много меньше высоты однородной атмосферы, что равносильно для них большому значению параметра 7. Периоды таких волн будут
описываться формулой (7) (или (9)) с р = п — s + 1. В своей недавней важной работе по теории приливов в земной атмосфере Хаурвиц [13], в частности, численно определял эквивалентные глубины для суточных колебаний давления, соответствующих функциям Хафа при 八= =1,3, 5. Им были получены следующие значения: Д} = 699 м, h；= =122 м, Д| = 48,9 м. Такие малые значения эквивалентных глубин для суточных колебаний первых симметричных относительно экватора мод позволяют объяснить отсутствие в атмосфере суточных солнечных приливов. Наша асимптотическая формула (7) позволяет получить значения для этих глубин, отличающиеся всего на несколько процентов от точных значений Хаурвица. Подставляя в (7) / = 1/2, р = п — —s + 1 находим сначала % а затем Д =)д/4a2，Соответствующие значения Д^ оказываются равными 692, 115 и 45,9 м.
В заключение авторы выражают благодарность А. С. Монину и А. М. Обухову за полезные обсуждения в ходе выполнения данной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
М. Margules, Luftbewegungen in einer rotierenden Spharoidschale, T. П, Sitz.der Math.-Naturwiss. Klasse, Kais. Acad. Wiss., Wien, 102, Nr. 1, (1893).
S. S. Hough, Phil. Trans.Roy. Soc., A191 (1898).
C. G. Rossby, J. Marine Res., 2, № 1 (1939).
B. Haurwitz, J. Marine Res., 3, №3 (1940).
E.H. Блинова, ДАН СССР, 39, №7 (1943).
Л. А. Дикий, Изв. АН СССР, ФАО, 1, №5 (1965).
Г. С. Голицын, В. И. Мороз, Проблемы общей циркуляции в атмосферах планет. Тр. Конференции по общей циркуляции, ноябрь 1964 г. Изд-во «Наука», (1966).
Е. Н. Блинова, К теории долгосрочного прогноза погоды с учетом вертикальных скоростей и колебания уровня тропопаузы. Вопросы динамической метеорологии, Изд-во АН СССР, (I960).
А. М. Яглом, Изв. АН СССР, сер. Геофиз., №4 (1953).
Л. А. Дикий, Изв. АН СССР, сер. Геофиз., №5 (1961).
Л. А. Дикий, ДАН СССР, (1966).
В. В. Шаронов, Природа планет, Физматгиз, (1958).
В. Haurwitz, Archiv fur Meteorol. Geophys. und Bioklimat., 14, №4 (1965).
Колебания в атмосфере, вызываемые движениями земной поверхности 9
Наблюдения с помощью высокочувствительных микробарографов показывают, что иногда в атмосфере распространяются волны давления с горизонтальной фазовой скоростью порядка 3 км]сек и с периодами в несколько десятков секунд [1-3]. Эти волны были связаны с релеев- скими волнами, возникающими при землетрясениях и распространяющимися вдоль поверхности земли как раз с указанными выше скоростями и периодами. Однако такие волны давления наблюдаются только после очень сильных землетрясений, таких, каким было землетрясение на Аляске 28.Ш 1964 г. По-видимому, волны, возбуждаемые релеев- скими волнами при более слабых землетрясениях, трудно выделить на фоне атмосферных шумов — флуктуаций давления, вызываемых турбулентностью атмосферы и случайными волнами, генерируемыми в атмосфере самыми разнообразными причинами (см. [1, 4]).
Настоящая работа имеет целью дать некоторое общее рассмотрение теории генерации волн в атмосфере возмущениями, распространяющимися вдоль поверхности земли, а также и океана, оценить возможности их выделения на фоне атмосферных шумов.
Колебания атмосферы с длинами волн до нескольких сотен километров и с периодами до десятков минут с очень хорошей точностью можно рассматривать в приближении плоской земли и в пренебрежении собственным вращением планеты. Рассмотрение задачи мы проведем в простейшем случае изотермической атмосферы, допускающем аналитическое решение. Можно надеяться, что и эта простейшая модель даст правильную ориентировку в порядках интересующих нас величин.
Линеаризированная система уравнений, описывающая малые колебания в покоящейся изотермической атмосфере без учета диссипации, имеет следующий вид:
ди _
dw др
др о/ ди , dw、
дро (ди t dw、
-=wgpQ-c +
Кроме общеупотребительных обозначений, здесь пспользованн:
2a =记=丄
- h'
i) См. ФАО, т. 3, № 10, 1967. В соавторстве с В. И. Кляцкиным.
где 7 = cp/cv, с — скорость звука, Н — высота однородной атмосферы. Нулевым индексом помечены величины, относящиеся к среднему невозмущенному состоянию атмосферы, а величины без индексов предполагаются малыми отклонениями от этого среднего состояния; кроме того, предполагается, что \и\, |w| 《с. Предполагается также горизонтальная однородность атмосферы (и поверхности земли), что дает возможность не рассматривать зависимость от второй горизонтальной координаты.
Заменой переменных
⑵⑵
⑵
⑵
система
ентами
(1) сводится к системе уравнений с постоянными коэффици-
丝_竺 dt дх'
祟偿-a"，(3)
粵……2(需+ *).
Если искать решение системы (3) в виде плоских волн exp{z(A；ix + 卜2?—以方)}, то волновой вектор к и частота s оказываются связанными дисперсионным уравнением
J - G2c2(卜2 + &2)+ 42c4q2k2 cog2 夕=0,A2 = 4厂- 1) < 1,
(4)
где 夕—угол между вектором к и горизонталью; к2 = к^ -\- к^. Это биквадратное уравнение описывает акустические и внутренние гравитационные волны [5, 6], причем первые описываются его решением,
содержащим знак «плюс», а вторые — знак «минус».
Пусть теперь по поверхности раздела земля — атмосфера распространяется волна, так что уравнение возмущенной поверхности раздела
имеет видимеет вид2 = 2о exp{〃ki (力—Ы)},2 = 2о exp{〃ki (力—Ы)},⑸⑸
имеет вид
имеет вид
2 = 2о exp{〃ki (力—Ы)},
2 = 2о exp{〃ki (力—Ы)},
⑸
⑸
причем 8 = ki2o « 1, т. е. длина волны много больше амплитуды колебаний. Последнее условие необходимо для рассмотрения задачи в линейном приближении, а также для того, чтобы граничные условия ставились на невозмущенной поверхности 2 = 0, что существенно облегчает решение задачи. Если в (5) заданы длина волны А = — и скорость ее распространения и, то тем самым задана и частота
s = (kv) = k\v. (6)
Задача об определении характера возбуждаемых в атмосфере волн оказывается физически вполне аналогичной задаче о возбуждении электромагнитных волн в среде заряженной частицей, движущейся
со скоростью, большей фазовой скорости света в среде (эффект Вавилова-Черенкова) .Горизонтальная компонента волнового вектора возбуждаемой волны будет равна величине к\ уравнения (5). Для определения вертикальной компоненты подставим (6) в дисперсионное уравнение (4), после чего находим, что
局=居(Л/2 - 1) - a2(1 一2),(7)
где М = v/c — число Маха, отношение скорости распространения возмущения к скорости звука.
Волны в атмосфере будут возбуждаться, если % > 0. Угол 夕 между волновым вектором к и горизонталью (направлением о) определяется из соотношения
C°S 0而(8)
Очевидно, что здесь 0 V 夕 V тг. Условие излучения волн можно записать также в виде
0 < cos2 夕 < 1 или Q < к^ < 居№ - а?" - ^М~^).(9)
Выражение (7) можно также переписать в виде
局="2И-2(”2 — mW - M),(10)
= (2居)T (" + a2) 士 + a2)2 — ^a2kl .(11)
Нетрудно видеть, что величины М^2 являются квадратами отношений фазовых скоростей акустических (индекс 1) и внутренних гравитационных (индекс 2) волн к скорости звука в том случае, когда эти волны распространяются чисто горизонтально (т. е. 卜2 = 0). Заметим, что всегда Мр > > М^. Поэтому волны излучаются в двух случаях:
М2 > Mf,2И2 VM. (12)
М2М2Рис. 2.4.1. Области возможного излучения акустических (А) и внутренних (Г) гравитационныхРис. 2.4.1. Области возможного излучения акустических (А) и внутренних (Г) гравитационныхВ первом случае возбуждаются волны акустического типа, во втором случае — внутренние гравитационные волны. В области Mf > М2 > М^ излучения не происходит вовсе, так как здесь 必 < 0. Если возмущение движется со скоростью, удовлетворяющей этому условию, то возбуждаются колебания, амплитуда которых экспоненциально падает с высотой.
М2
М2
Рис. 2.4.1. Области возможного излучения акустических (А) и внутренних (Г) гравитационных
Рис. 2.4.1. Области возможного излучения акустических (А) и внутренних (Г) гравитационных
На рис. 2.4.1. представлены кривые М^ и М^ в зависимости от квадрата волнового числа возмущения к，，нормированного на а2, т. е. в зависимости от ^к^Н2. Заштрихованы области, в которых имеет место излучение: М2 > М^, где возбуждаются колебания акустического типа, и М2 < Л/2, где возбуждаются внутренние гравитационные волны. В области больших длин волн &кН《1) асимптотики кривых таковы:
Наличие на рис. 2.4.1 областей, где излучение не происходит, соответствует тому известному факту, что в изотермической модели атмосферы существует интервал частот, где отсутствуют распространяющиеся волны (см. например, [5]): частоты всех колебаний акустической ветви ша > &с, а частоты всех гравитационных волн шд < Аас.
записать видезаписать видеУсловиям излучения различных типов волн (12) можно придать наглядный смысл, получив их из простых геометрических построений. Для фиксированной частоты s дисперсионное уравнение (4) можно
записать виде
записать виде
(4а)(4а)届 @2 - J^ac^cк^с
(4а)
(4а)
&2储—a2c2)_ Q2c2
При s = const уравнение (4а) на плоскости переменных (向，例)описывает кривую второго порядка. При ш > ас (акустические волны) это эллипс, а при s < Аас (гравитационные волны) — гипербола. Семейства для разных значений безразмерной частоты ш/ас представлены на рис. 2.4.2.
Условие (6) s = k\v фиксирует частоту для возбуждаемой волны. Обозначим через kfk величину волнового вектора для волны заданной частоты, но с 卜2 = 0, т. е. распространяющейся чисто горизонтально. Чтобы волна действительно излучалась в атмосферу, конец ее волнового вектора к должен находиться где-то на эллипсе или гиперболе, но не на оси абсцисс. Это эквивалентно требованию, чтобы в первом случае было 餡〉向，а во втором —片 V 瓦(см. рис. 2.4.2). Вспоминая, что к\ = ш/v и умножая эти неравенства на c/s, их можно записать в
видевидес к\ с-V> м зс к\ с-V> м зили — О —：—. с к】。или — О —：—. с к】。
виде
виде
с к\ с
-V> м з
с к\ с
-V> м з
или — О —：—. с к】。
или — О —：—. с к】。
Но правые части этих неравенств и есть отношения фазовых скоростей волн 31k скорости звука с в том случае, когда эти волны распространяются горизонтально (см. [5, 6]), т. е. мы снова получаем условия излучения (12) М > М\ или М <
Рис. 2.4.2. Кривые второго порядка: а — эллипсы; 6 — гиперболы, соответствующие уравнению (4а) для различных значений безразмерной частоты ш/ас, помеченных цифрами у кривых
Условие излучения для внутренних гравитационных волн М < М? на первый взгляд может показаться странным. Но вспоминая, что фазовая скорость этих волн равна (см., например, [5, 6])
_ G/ 42a2c2 COS2 g _ &2 \l/2
c^ = T = C\ n 2(•
& l a c — ш 丿
и подставляя сюда s = kxv и значение cos?夕 согласно (8), получим
Сф = сМ cos 夕=и cos 夕，
т. е. обычное условие излучения волн при эффекте Вавилова-Черенкова. Впрочем, это условие можно получить и непосредственно из равенства (6). Уменьшение фазовой скорости гравитационных волн при увеличении угла 夕(но при s = const) и приводит к обратному знаку в неравенстве между величинами М и М2 по сравнению со знаком неравенства между М и Мь
Рассмотрим предельные случаи однородной нестратифицированной атмосферы (д — 0) и несжимаемой тяжелой, но стратифицированной жидкости(7, с — оо, но с2/7р = Н = const). В первом случае выражение (7) или (10) принимает вид
舄=居(Л/2 - 1)(13)
и акустические волны излучаются при условии М2 > 1. Угол 夕 определяется соотношением
cos 夕=1 /М.(14)
В случае тяжелой несжимаемой жидкости уравнение (4) принимает вид
以2(k2 + a2) = 2ag 府.(15)
Подставляя сюда (6), получаем
碍=2ag-(居 + а?).(16)
Угол между соотношением
волновым вектором к и скоростью о определяется
C0S(17)
Условие излучения имеет вид
2agv2〉居 + оЛ(18)
Выяснив возможные частоты излучаемых волн, перейдём к определению их амплитуд. Для этого необходимо решить систему уравнений (3) со следующими краевыми условиями: при 2 — оо имеем dW/dr + ikW = 0 — условие излучения, оставляющее только волну, идущую снизу вверх; при 2 = 0 имеем W = —%6и«^ exp{〃ki (力—Ы)}, где ро = 0о⑼，8 = к»。. Введем новые переменные
§ = 2-2ое 碑，ф = к\{х - Ы),力=".(19)
Тогда, пренебрегая малыми членами, содержащими 8, и учитывая, что все функции зависят только от £ п ⑦，вместо (3) получим следующую систему уравнений:
(2°)
Отсюда, исключив все переменные, кроме W, можно получить одно уравнение для W
居安-+ =—昨。.(21)
即 М2 - 1 д^ М2 М2 - 1
Решением этого уравнения, удовлетворяющим сформулированным выше граничным условиям, является
W =分肋环 eXр{公w + к2w)},(22)
где 卜2 определяется формулой (7). Возвращаясь к первоначальным переменным, с точностью до малых порядка 8? имеем
s =泳 i2ou(0o/0o)i/2 exp{5[ki (力—Ы)=卜22〕}・(23)
Подставляя (22) в (20), находим с учетом (2), что с точностью до 52 и = "^ J-泳2 + ct\/1 - А2 ) exp {&2 + 分肉(力-Ы) + k^z\} , (24)
2
р = :" ] (а，1 -厶2 _ 泳2)exp{—Q2 + i[k\(x - Ы) + k^z\}.(25)
Определим средний квадрат давления в возбуждаемых волнах и плотность потока переносимой энергии q. Имеем
方=方=2-4zqPoPqv2(М2 - I)22-4zqPoPqv2(М2 - I)2腸 +a2(1 一 a2)]=腸 +a2(1 一 a2)]=2-4zqPoPqv(М2 - I)22-4zqPoPqv(М2 - I)2(26)(26)
方=
方=
2-4zqPoPqv2(М2 - I)2
2-4zqPoPqv2(М2 - I)2
腸 +a2(1 一 a2)]=
腸 +a2(1 一 a2)]=
2-4zqPoPqv(М2 - I)2
2-4zqPoPqv(М2 - I)2
(26)
(26)
q = } (w* + 夕 %) = }[(夕"* + 夕*")分 + (夕 g* + 夕 *5 川=
分+瓦к2力,分+瓦к2力,(27)(27)ZqPqv3
分+瓦к2力,
分+瓦к2力,
(27)
(27)
M2 - 1
где звездочка означает комплексную сопряженность; i, j — единичные векторы в горизонтальном и вертикальном направлениях.
Рассмотрим предельные случаи коротких (/q》а) п длинных (/q « « а) волн. В первом случае имеем
Му 1,М^ ~ а242k J.
Тогда, если М2 > 1, то излучаются акустические волны, среднеквадратичное давление и поток энергии в которых будут определяться следующими формулами:
(У)1/2 ~ ^^kxz^pQp^^vc,(28)
q力(29)
JVL 一 1JVl 一 1
Эти же формулы справедливы и при к\ ~ а, если М2》1, причем выражение (29) упрощается тогда еще более
q = zlklpQVC2^^ Mj).q = zlklpQVC2^^ Mj).(29а)(29а)
q = zlklpQVC2^^ Mj).
q = zlklpQVC2^^ Mj).
(29а)
(29а)
этомэтомВ случае коротких волн имеем М^ ^ &2/卜彳，М2 ^ А2. Поскольку М2 в этом пределе велико, то легче может осуществиться возможность излучения гравитационных волн, так как для возбуждения волн акустической ветви нужны очень большие скорости источника. При
этом
этом
Wa24200PoM1/2 — zoaA(popo)1/2vc
,2（1』）
q君q242 吗С2 a + 丝_(31)
1 - M 、 qA丿
Из формулы (31) следует, что поток энергии в излучаемых гравитационных волнах направлен почти горизонтально, так как при этом М < А и к\ <^ а. Для излучения гравитационных волн в этом пределе
необходимо выполнение неравенства М2 < Л2^2kl^ М^ « 1. При
ЭТОМ2 21 /о
(У) 1/2 = ^20(好0)1/2/(g^ 一府)，(Зоа)
Обратимся теперь к оценкам амплитуд давления в атмосферных волнах, возбуждаемых движениями земной поверхности. В качестве таких движений рассмотрим релеевские волны, распространяющиеся от землетрясений, микросейсмические колебания земной поверхности и волнение поверхности океана.
Рассмотрим прежде всего волны давления, зарегистрированные после аляскинского землетрясения. Согласно [2], в Палисадесе (шт. Нью- Йорк, США) максимальное вертикальное смещение почвы, равное 42 жж, наблюдалось для первой волны Ре лея, имевшей период 23 сек и распространявшейся со скоростью 3-3,3 км]сек. Максимальная амплитуда давление была при этом 40 мбк (микробар). При этом к\ ^ а(к\ ~ 2тг/иТ 9 • 10-7 см~\ а = 1/2Н = 6 • 10-7 сл^Т), а число Маха М = v/c = 9 4- 10. При таких условиях возбуждаются акустические волны с волновым вектором, направленным практически вертикально; угол 夕，подсчитанный по формуле (8), при этом равен 84°.
Подсчитаем амплитуду давления для этого случая, используя формулу (28), не учитывая множителя 2-1/2. Подставляя туда приведенные выше значения 岛，и, zq, а также 0о = 1,2 • 10-3 а/с儿з, с = 3,3 х х 104 см/сек, получаем р = 45 мкб. Совпадение с наблюденным значением 40 мкб следует признать хорошим, имея в виду, что теория развита для установившейся плоской волны без учета нестационарности реальной картины и того факта, что на самом деле вдоль поверхности земли распространяется не одна волна с заданным ki, а набор волн («волновой пакет») с разными значениями волновых чисел, которые также испытывают дисперсию.
Оценим амплитуды волн, возбуждаемых микросейсмической активностью. Микросейсмы распространяются с той же скоростью о порядка 3 кмIсек, их амплитуды 2° порядка 10-4 。儿，а частотный спектр их имеет довольно резкий максимум вблизи периода Г = 6 сек. Пользуясь формулой (28), получаем, что (р2)1/2 порядка нескольких единиц на 10-3 мкб. Эта величина примерно на два порядка ниже уровня шумов атмосферного давления в этом интервале частот [4], измеренных в условиях, когда уровень этих шумов достаточно высок (согласно [4], среднеквадратичное значение флуктуаций давления в области периодов от 5 до 600 сек. для обработанных там спектров равнялось примерно 7 мкб). Бывают случаи, когда уровень пульсации давления гораздо ниже [7], так что в принципе, по-видимому, можно выделить микросейсмы из совокупности атмосферных шумов, но для этого необходима
высокочувствительная аппаратура. Вместе с тем сигнал с амплитудой 40 мкб уже уверенно выделялся бы даже на фоне довольно развитых флуктуаций давления, записи которых обрабатывались для вычисления спектров в работе [4].
Рассмотрим возможности возбуждения атмосферных волн морским волнением. Как показал Эккарт [8], акустические волны не могут излучаться, так как фазовая скорость морских волн гораздо меньше скорости звука в атмосфере. Однако для возбуждения внутренних гравитационных волн, как следует из второй формулы (12), необходимо, чтобы фазовая скорость волн в атмосфере была, наоборот, меньше скорости волн на поверхности раздела. Фазовая скорость поверхностных волн на слое воды с глубиной D равна
止=gk-^thkiD. (32)
Определим число Маха для возмущения, скорость которого задается формулой (32)
М 2 th 謂， х =瓦/Q = 2kH (33)
Эта кривая при D = Н/2, что соответствует средней глубине океана 4 км, изображена на рис. 2.4.1 тонкой сплошной линией. Эта линия пересекает кривую М^ при %2 = 2,2, т. е. к\ 1,5а. Как мы видели выше, условие возбуждения внутренних гравитационных волн имеет вид М2 < М^. Из рис. 2.4.1 следует, что это условие выполняется лишь при ki < 1,5а, т. е. при длинах волн на поверхности океана А > > 8H ~ 60 км. Заштрихованная накрест на рис. 2.4.1 область является областью возможного возбуждения длинных гравитационных волн в атмосфере волнами на поверхности океана.
С уменьшением глубины D величина М2 также несколько уменьшается, и могут возбуждаться более короткие волны 9. Так, если D = =1 км, то могут возбуждаться волны с длиной А > 30 км.
В спектре реального волнения поверхности океана интенсивности таких длинных волн чрезвычайно малы. Лишь возникающие при землетрясениях длинные волны — цунами — обладают значительной интенсивностью. Для оценки амплитуды давления гравитационных волн, возбуждаемых в атмосфере волнами цунами, можно воспользоваться формулой (30). Если взять типичные для цунами значения zq = 1 м, V = 200 м/сек, то получим, что (р2)/2 = 50 мкб. Таким образом, волны
цунами могут возбуждать в атмосфере внутренние гравитационные волны с амплитудой в несколько десятков микробар, что вполне может быть зарегистрировано современными микробарографами, приспособленными для записи длиннопериодных колебаний (период воли цунами порядка 20-30 мин.\ Поток энергии в возбуждаемых гравитационных волнах при этом описывается формулой (31). Он направлен практически горизонтально, так как длина волны цунами очень велика (порядка нескольких сотен километров), т. е. к\ « а.
Для проверки высказанных положений было бы интересно организовать наблюдения во время появления цунами за изменением уровня атмосферного давления с помощью микробарографов, способных регистрировать достаточно длиннопериодные колебания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
R. К. Cook, Sound Uses and Control, 1, №2 (1962).
В. A. Bolt, Nature, 202, №4937 (1964).
W. L. Donn, E. S. Posmentier, J. Geophys. Res., 69, №24 (1964).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР, сер. геофиз., №8 (1964).
К. Эккарт, Гидродинамика атмосферы и океана. ИЛ, (1963).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР,①АО, 1, №2 (1965).
И. П. Пасечник, Н. Е. Федосеенко, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 1 (1958).
С. Eckart, J. Acoust. Soc. America, 25, №2 (1953).
Calculation of the Rossby wave velocities in theEarth飞 Atmosphere 9
The extended calculations of the Rossby wave velocities using the empirical data have been recently performed by Eliasen & Machenhauer (1965). The values of velocities determined by them for several low modes of the Rossby waves were somewhat lower than those calculated using the formula of Haurwitz (1940) (see also Blinova, 1943) for the non-divergent
⑴⑴barOtr°PiC atm°Sphere _ _ 2…
⑴
⑴
£& n(n + 1)，
where £ is the angular velocity of waves, Q is the angular velocity of the Earth rotation, s is the additional angular velocity of the rotation of the atmosphere as a whole. The velocity of the zonal flow is then equal to
и = uRsinO,
i) См. Tellus XX (1968), 2. В соавторстве с Л. А. Диким.
where R is the Earth radius,夕 is the со-latitude. If s = 0 then
£ = —-(У) n(n + 1)
Note that formula (1) can be obtained from the formula (У) if one observes the waves propagating in the atmosphere rotating with, the velocity cj + Q = Qo while one is standing in the reference system which rotates with the velocity Q. This remark will be needed later when taking into account the zonal flow of the atmosphere.
Analysing the possible causes of the systematic discrepancy of the empirical values of the velocities with the theoretical ones Eliasen & Machen- hauer (1965) used the fact that the compressibility of the atmosphere must reduce the values of the Rossby wave velocities. They considered the divergence effect in the barotropic motion by using the equation
^(▽2g) + v・WW^^ =百柒 ⑵
where 夕 is the stream function, v is the velocity vector, A is the longitude and x is treated as a constant. If 力 were equal to 4, then the values of the Rossby wave velocities determined from the equation (2) become close to the empirical ones. However, this value of 力 differs essentially from the value used in another problem by Cressman (1958).
The effect of compressibility of the Earth's atmosphere can be rigorously taken into account by using the Laplace tidal equation (see e. g. Hough, 1898)
=(1)7卜(矶 (3)
Неге 从=cosJ, m is the azimuthal wave number, / = a/2Qo is the dimensionless frequency, i. e. the frequency divided by the double angular velocity of the atmosphere. The function x(〃) may be the threedimensional velocity divergence, the pressure or the two-dimensional velocity potential (for the two-dimensional motion, e. g. the motion in the Rossby waves). The influence of the compressibility is described the value of the dimensionless parameter 7, where g is the acceleration of gravity, h is the so-called equivalent dynamical depth of the atmosphere. For the determination of the value of h one has to consider the equation describing the vertical structure of the oscillations (see Diky, 1965) together with the equation (3). For the long period oscillations with the periods more than 20 minutes (Diky, 1965) the «vertical» equation does not depend on the frequency but only on the value of h. Therefore all Rossby waves have the same value of h. For the non-divergent atmosphere ) = 0, i. e. 九—00. For the barotropic isothermal atmosphere gh = c*, where cy is the isothermal sound velocity; for the baroclinic (isothermal) atmosphere
gh = с2 where с is the adiabatic sound velocity (see e.g. Diky, 1961). According to computations by Diky (1965) the value of h for the Rossby waves in the Earth's atmosphere with the vertical stratification, close to the real one (the temperature profile was taken from the model CIRA 1961), is equal to 10 km. It is this value of h which we shall use. This value of h corresponds to 7 = 8.8 if s = 0 (no zonal flow). If one considers, according to Eliasen & Machenhauer (1965), s = 0.025 Q, then 7 = 9.2.
Table 2.5.1
n
m
Eq・(У) 7 = 0
T = g 力 days
Eq.⑷
Calculations
7 = 7.9
7 = 10
7 = 7.9
7 = 10
1
1
1
1.25
1.35
1.17
1.21
2
1
3
4.86
5.27
4.87
5.25
2
1.5
1.63
1.67
1.61
1.64
3
1
6
8.12
8.68
8.11
8.65
2
3
3.70
3.88
3.68
3.87
3
2
2.08
2.11
2.07
2.09
4
1
10
12.08
12.63
12.10
12.63
2
5
5.85
6.08
5.84
6.06
3
10/3
3.70
3.81
3.68
3.78
5
1
15
17.05
17.59
17.10
17.61
2
7.5
8.41
8.65
8.41
8.66
3
5
5.48
5.61
5.47
5.60
6
1
21
23.03
23.57
23.04
23.59
2
10.5
11.44
11.69
11.44
11.68
3
7
7.54
7.68
7.54
7.68
A method of determination of the eigen values and eigen functions (Rough's functions) of the Laplace tidal equation has been described by Diky (1965). As has been shown by computations (see e.g. Golitsyn & Diky, 1966), the values of the eigen periods of the Rossby waves even at 710 are with the great accuracy described by (Hough, 1898)
the following expression
= n(n+ 1) +炉，：一疗)2— +
+ n2(n + 2)2(n — m + l)(n + m + 1)
where 万 is the period in days for the mode with the indices (m, n). The results of numerical computations of eigen periods of several low modes of Rossby waves are given in the Table 2.5.1 together with the corresponding periods calculated with the expression 9 (4) and with Haurwitz's formula (У).
As one can see from this table the accuracy of Hough's formula increases rapidly with the increasing of m and n. Therefore as a rule it is not necessary to make numerical computations by using the Laplace tidal equation (3) to obtain the periods of the Rossby waves except very first few modes because one may use Hough's formula (4). Note also that the values of the periods depend rather slightly on the value of 7 in the range considered here.
Let us turn to the calculation of the velocities. The velocity of a Rossby wave in degrees of longitude per day for an observer standing on the Earth surface is expressed by
£ = 360° (5)
In Table 2.5.2 (columns 2 and 3) we present the values of the Rossby waves velocities for the non-divergent atmosphere with no zonal flow
Table 2.5.2
(m, n)
% eq. (V)
&rh, eq. (1)
&calc
&obs
(1.2)
-120
-115
-64
-70
(2.3)
-60
-53
-40.3
-40
(3.4)
-36
-28
-24.7
-20
(1.4)
-36
-28
-21.5
-20
(2.5)
-24
-16
-13.4
-12
(3.6)
-17.1
-9
—8
—8
(eq. (У)) and for the non-divergent atmosphere rotating with the velocity cj + Q = Qo (eq. (1)). The values of velocities computed on the base of the Laplace tidal equation with 7 = 9.2 (compressible atmosphere rotating with the velocity Qo = 1.0225 Q) are given in the fourth column and in the last column the empirical values of the velocities found by Eliasen & Machenhauer (1965) are presented. The comparison of the two last columns of this table shows their close agreement. The greatest discrepancy observed for the modes (1.4) and (2.5) in less than 20 per cent. Note also that the compressibility removes «the degeneracy» from the modes (3.4) and (1.4) and their theoretical velocities begin to differ.
The program of computations described by Diky (1965) and used here gives also the coefficients of the expansion of Hough's functions in the
1)A formula, similar to (4), was obtained by Blinova, in 1949 (see Blinova, I960). For (m, n) not very small (nr 3) her formula also gives good results.
series of the normalized associated Legendre polynomials
Q*(〃)= £'ckW(〃)・(6)
The prime on the summation sign means that only those values of к enter the summation for which к — n is an odd integer. Having the coefficients Ck one can calculate Hough's functions Q(从)and also stream functions for the Rossby waves
C4〃) = £%W(〃) (k-n even).⑺
k=m
Here the following relationship between coefficients 〃 and。卜 has to be used (see e.g. Diky, 1961, 1965):
From expressions (6)-(8) one can see that if Hough's function is even, the corresponding stream function must be odd and vice versa. Hough's functions Q(从)—are a system of the orthonormal functions so
£‘ 成=1 and[Q(从)阳从=1. For the case of the Earths atmosphere
k—mJ ]
the coefficients * decrease rather rapidly as к increases. The same behavior is shown by the coefficients。卜.For a non-divergent atmosphere 吹〃)=PJ^ ⑺,but if one considers a compressible atmosphere, then it is necessary to determine the coefficients of the expansion in the series (7). Hough (1898) presented some approximate expressions for the calculations of the coefficients。卜 also, but we found that they are not as accurate as his expression (4) for the periods. For the case m < n < 3 such a comparison has been done earlier (see Golitsyn & Diky, 1966). We present now several first terms of the expansions at 7 = 9.2 of the stream functions for the modes presented in Table 2.5.2. These stream functions are normalized in the manner that £‘碇=1. These expansions are as ck=m
lollows:
V4 = 0.993冃-0.110R +0.009R +
诡=0.997 p2 - 0.075 Pl + 0.004 必 + ...,
^ = 0.999冃-0.035届+0.002& + ...,
風=0.147^ +0.986R -0.087貝 +0.004R +
必=0.123 & + 0.992 Pl - 0.053 尸 + 0.002 用 + ...,
或=0.131 肾1 + 0.990 Pl - 0.043 & - 0.002 疼 + • • •
These expansions show that even at 7 ^ 10 the shape of the stream functions for the lower modes of Rossby waves does not differ greatly
from the shape of those in the non-divergent atmosphere (7 = 0) when K = Pn-
Acknowledgement
The authors wish to express their sincere gratitude to Prof. E. Eliasen and Dr. B. Machenhauer for their proposal to carry out this study and helpful discussions on this subject.
References
Blinova, E. N. 1943. Hydrodynamic theory of pressure waves, temperature waves, and atmospheric action centers. Doklady Akademii Nauk SSSR 39, 284-287.
Blinova, E. N. 1960. On the theory of the longrange weather forecast taking into account vertical velocities and tropopause level oscillations. Problems of dynamical meteorology, 12-20. Izdatefstvo Akademii Nauk SSSR.
Cressman, G. P. 1958. Barotropic divergence and very long atmospheric waves. Mon. Wea. Rev. 86, 293-297.
Diky, L. A. 1961. Natural oscillation of a baroclinic atmosphere above a spherical earth. Izvestija Akedemii Neuk SSSR, Geophysics, Series No. 5, 756-765.
Diky, L. A. 1965. The terrestrial atmosphere as an oscillating system. Izvestija Akademii Nauk SSSR, Atmospheric and Oceanic Physics /, 469-489.
Eliasen, E. & Machenhauer, B. 1965. A study of the fluctuations of the atmospheric planetary flow patterns represented by spherical harmonics. Tellus 17, 220-238.
Golitsyn, G. S. & Diky, L. A. 1966. Oscillations of planetary atmospheres as a function of the rotational speed of the planet. Izvestija Akademii Nauk SSSR, Atmospheric and Oceanic Physics 2, 225-235.
Haurwitz, B. 1940. The motion of atmospheric disturbances on the spherical earth. /. Marine Res. 3, 254-267.
Rough, S. S. 1898. On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of tides, pt. П. On the general integration of Laplace's dynamical equation, Phil. Trans. Roy. Soc. (A) 191, 139-185.
О распространении тепла в разреженныхи неоднородных атмосферах 9
Процесс распространения тепла в сильно неоднородных и достаточно разреженных средах, таких как верхние атмосферы планет или звезд, достаточно подробно не исследовался. Вместе с тем этот
1) См. Геомагнетизм и аэрономия, т. 10, 1, 1970 г. В соавторстве с Н. Н. Романовой.
процесс обладает рядом особенностей. Некоторые из них уже довольно давно были замечены геофизиками и астрофизиками и получили свое качественное объяснение. Атмосферы звезд или планет в верхней их части характеризуются тем, что температура в них с высотой меняется очень мало, условия близки к изотермии или даже точно изотермичны, в то время как плотность резко падает с высотой. Турбулентность и конвекция, а часто и радиация играют малую роль в процессе переноса тепла, и главное значение приобретает молекулярная теплопроводность. Ввиду малой плотности среды этот процесс становится достаточно эффективным в определении температурного режима внешних частей атмосфер планет или звезд. Если газовый состав атмосферы с высотой не меняется, т. е. средний молекулярный вес остается постоянным, то плотность с высотой падает экспоненциально. Если молекулярный вес с высотой падает, как это имеет место в верхних атмосферах планет земной группы, то плотность падает медленнее. Если температура Т меняется мало, то можно пренебречь изменениями коэффициента теплопроводности X，который пропорционален Г1/2; малы также и изменения теплоемкости ср (если не слишком сильно меняется газовый состав). Однако коэффициент температуропроводности А = %/срр, где р — плотность, сильно растет с высотой.
Ниже исследованы решения одномерного уравнения теплопроводности для различных зависимостей р = р(г) и решение некоторых краевых задач.
Уравнение теплопроводности в данных условиях имеет вид
Будут исследованы модели с
Р = Ро ехр{-^/Я},⑵
где Н = const — высота однородной атмосферы, pq — плотность на некотором фиксированном уровне и
Р = 0О(2/Е) — Т (3)
где L — некоторый масштаб. Последний случаи отражает случай изменения плотности с высотой в атмосфере с переменным газовым составом, когда Н = H{z) и растет с высотой.
Ясно, что изменения температуры (но не количество тепла) будут распространяться в основном вверх, в сторону роста коэффициента температуропроводности, а в глубь атмосферы возмущения температуры будут быстро затухать. Поэтому вполне естественно отвлечься от влияния нижней границы атмосферы и рассматривать задачу на бесконечной прямой.
Рассмотрим сначала распространение тепла для атмосферы с
ТТ— 2
плотностью (2). После замен 丁 = t = АоЯ-2^, х =°/2", а =
Ра Ср
=1/Н, U = Г уравнение (1) примет вид
^xUT = Ux + xUxx.⑷
При изменении 2 от —оо до оо величина х меняется в пределах от оо до 0.
Для определения характера распространения тепла рассмотрим задачу о действии мгновенного точечного источника 9, находящегося в точке 力=/о, т. е. определим функцию Грина G(x, xq, г) для нашей задачи. Пользуясь методом разделения переменных и разложением 5-функции в интеграл Фурье-Бесселя [1], получаем следующее выражение для функции. Грина (см. [2]):
G(力，力0，T) = I/0(к力0)/0(k力)e一用2丁/4k/0 dk =
=学 exp(一+ 君/丁)/0(?^). (5)
Эта формула описывает действие мгновенного точечного источника, помещенного в точку 2 = 2° = —2Я In xq. С ее помощью решение задачи с начальными данными U{xq, 0) может быть записано в виде
U(力，丁)= I U(力0, 0)G(力，力0, T)d/0.(6)
о
Легко показать, что при переходе к однородной атмосфере (а — 0 (Я — оо)) функция Грина (5) стремится к функции Грина обычного уравнения теплопроводности
lim G(x, xq, т)/(жо) dx()= оlim G(x, xq, т)/(жо) dx()= о
lim G(x, xq, т)/(жо) dx()= о
lim G(x, xq, т)/(жо) dx()= о
0(20)= /(ё*。/2).
Исследуем некоторые свойства функции Грина (5) для случая атмосферы с экспоненциально падающей плотностью. Для простоты дальнейшего анализа возьмем 力о = 1, т. е. 2° = 0, что всегда можно сделать помещая начало координат в точку действия мгновенного источника.
При этом мы отвлекаемся от возможного возникновения конвекции в самое первое время; по-видимому, должно выполняться условие △力《г, где △t — время выделения тепла. Если общее выделившееся количество тепла не слишком велико, а △力 конечно, то даже если dT/dz и превзойдет адиабатический градиент температуры па какое-то краткое время, то конвекция не успеет развиться в достаточной степени.
При 2力/丁 = 2H2e~z/2H/XQt》1, т. е. для достаточно малых времен и небольших значений 2〉0 или для фиксированных t и достаточно больших по модулю 2 V 0, пользуясь асимптотическим разложением модифицированной функции Бесселя /о(2), имеем
V^^2,7г\)е—z/H 力
В случае 2Voi4 |n|》2H получаем
G(2,0," =+
т. е. необычайно быстрое затухание возмущений в глубь атмосферы. Интересными особенностями функция Грина обладает для верхней полупрямой 2〉0. При конечных значениях 丁 п 2》2Н, так что
-=—— « 1，
7入0方
выражение (5) имеет вид
G(/，1, 丁)(1 + W) I
Таким образом, при фиксированном значении времени на больших расстояниях z > 0 функция Грина стремится к константе, зависящей от времени. Сначала эта константа со временем растет, а затем убывает, достигая в момент 丁 = 1 максимального значения 2/е ^ 0,736.
Исследуем производную dG(x, \,т)/дх.
Нетрудно показать, что знак этой производной определяется выражением
八丁，8=丁"。(8 -2/1(0, e = 2x/T.(7)
Функция /(т,£) = 0, когда 丁 = 2厶(§)/2/о(£)・ При этом G(力，1,т)
имеет, очевидно, максимум.
Рис. 2.6.1.Рис. 2.6.1.Зависимость 丁 от £, изображена на рис. 2.6.1: 丁 = 1 при £ = 0, а далее 丁 монотонно уменьшается; 丁 = 2/£ при £》1. Этот график позволяет находить положение максимума функции Грина. При малых 丁 имеем 丁 = 2/£ = 2T/2力， т. е.力=1, откуда 2 = —2Я 1пх = 0, т. е. максимум находится там, где задан
Рис. 2.6.1.
Рис. 2.6.1.
ния теплопроводности в классическом случае однородной среды, когдания теплопроводности в классическом случае однородной среды, когдаточечный источник, в соответствии с тем, как это имеет место для уравне
ния теплопроводности в классическом случае однородной среды, когда
ния теплопроводности в классическом случае однородной среды, когда
положение максимума не меняется, но лишь уменьшается его высота. Из рис. 2.6.1 следует, что максимум функции Грина в нашем случае
вообще существует лишь для г < 1. Для моментов времени 丁》1 она монотонно падает по оси 2 от +оо к -оо, одновременно уменьшаясь с течением времени по абсолютной величине. Для моментов 0 < г < 1 максимум сначала медленно, а потом все быстрее, по мере приближения 丁 к единице, отодвигается от начала координат, где произошло мгновенное выделение тепла, стремясь к +оо. Это является чистым эффектом пространственной неоднородности коэффициента температуропроводности, его экспоненциального роста с высотой. Температурное возмущение стремится распространиться гораздо быстрее вверх, чем вниз. Разумеется, абсолютная величина максимума функции Грина с решением времени, пока г < 1, уменьшается. Рис. 2.6.2, где представлены значения функции Грина a~xG{z, 0, г） = 1/2G（力，1,т） для различных моментов безразмерного времени г, иллюстрирует изменения функции Грина с течением времени, подтверждая результаты проведенного выше анализа.
Рассмотрим некоторые граничные задачи. Пусть при 2 = 0 или х = =1 поддерживается постоянная температура 〃（1,т） = Т. Требуется найти изменения температуры со временем для 0 < ^ < оо, т. е. 0 < < х < 1, если U（力，0） = 0. Сделаем замену переменных 〃（力，丁）= =T[1 — v（x, г）]. Тогда для функции и имеем: и（1, г） = 0, и（力，0） = 1, т. е. задачу с начальными данными. Пользуясь разложением начальной функции U（力,0） на отрезке [0, 1] в ряд по функциям Бесселя /。（入冷力）， где Jo（^n） = 0, решение задачи можно записать в виде
U（力，Т） = £。浦0（3力）厂
n=l
где
i
j f (x) Jq^Xux)x dx
J Jo{Xnx)x dx о
С помощью этих формул решение может быть представлено в виде
1
2 j f(x)jQ(Xnx)x dx о
Ji (Апж)
поставленной граничной задачи
°(力,丁)- 2 £「
'П=1
⑻
Этот ряд быстро сходится, поэтому для построения графика, функ-
9 1,00
0,00
1,00
0,75
0,3
0,50
0,25
0,75 0,50 0,25
Рис. 2.6.3.
t=l 0,5
0,5 0,05 z
ции U(力，丁) достаточно ограничиться его несколькими первыми членами. Из результатов вычислений по формуле (8), изображенных на рис. 2.6.3, видно, что к моменту времени 丁 = 1 верхняя часть атмосферы нагревается (или охлаждается, если Т < 0) практически до граничного значения Г на всем своем протяжении (U(0, 1) = 0,995Г, д = U/T).
Аналогично ставится задача о прогревании нижней части атмосферы, если на некотором уровне 2 = =0 задается некоторая температура и ищется изменение температуры
При 2
ВИД
< 0, т е. при 1 < х < оо. Решение задачи в этом случае имеет
U（力，丁）= T[1 - u（力,丁）],
u（力，丁）=]]
9(к£)9(к/)6-次*4
j/k) + M(k)
&kd& dk,
⑼
о 1
0(优)=J^k)N^ - No(k)几(紙).
Исследование общего характера решения (9) затруднительно, но тем не менее можно показать, что для любого момента q найдется такая точка х\, что при х > х\ функция и будет как угодно близка к единице, т. е. U будет мало. Это выражений того, что влияние граничных условий, и прогревание атмосферы вниз распространяется медленно, поскольку коэффициент температуропроводности с глубиной падает.
Некоторый интерес может представлять задача о распространении тепла от границы, на которой задана температура, гармонически зави-
сящая от времени: U(1,t) = То sin шт = То Imexp(zcjr). Будем искать установившееся решение уравнения (4). Отдельно исследуем распространение тепла вверх, и вниз. В первом случае (0 < ж < 1) решение имеет вид
U(x,t)(10)
I厶(2尸近)J
Отсюда следует, что для больших z > 0 (力 « 1), когда /。(。力)~ 1, наше решение превращается в гармоническое по времени колебание без какой-либо зависимости от высоты. Асимптотика нашего решения для больших частот, таких, что 2V》1, имеет вид
U(力，丁) = ^^ехр{-(1 - x)V2u }sin(cjr + a/2gz - V2u).
Это выражение, справедливое для не слишком малых х, описывает в пространстве 2 = —2Н1п 力 уменьшающуюся с высотой по амплитуде волну с «длиной волны», растущей как %-、&2H. Решение аналогичной задачи для 2 V 0 (1 < х < оо), т. е. распространение тепловых волн вниз, может быть записано в виде
U(力,г) = Im{U(力,г) = Im{7Ь 必 1)(27^旣一з*/4 严7Ь 必 1)(27^旣一з*/4 严
U(力,г) = Im{
U(力,г) = Im{
7Ь 必 1)(27^旣一з*/4 严
7Ь 必 1)(27^旣一з*/4 严
где 司° — функция Ханкеля I рода. При 2^/^》1 решение сильно затухает
и(力，г) = о-— — / sin Lt - V2u (x - 1).
(ker^+ker2^)1/2 L4
ВВ(H)
В
В
пространстве 2 длина тепловых волн становится все короче
еЕ/28еЕ/28удаления от границы, а их амплитуда, затухает, как
еЕ/28
еЕ/28
+ \z\/H}. Выражение (11) упрощается, если 2V4J》1.
Тогда U(力，г)=Тогда U(力，г)=—力)sin[G7 - д/^(力一1) ]•
Тогда U(力，г)=
Тогда U(力，г)=
Пусть изменение плотности атмосферы в некотором интервале высот можно аппроксимировать степенной зависимостью р = =pQ(z/L)~m, где m > 0, pq — плотность на фиксированном уровне 2〉0, L — характерный масштаб. В этом случае на уровне 2 = 0 (скажем, на поверхности Земли) при такой аппроксимации плотность р обращается в бесконечность, а коэффициент температуропроводности —в нуль. Чтобы избавиться от осложнений, связанных с этим обстоятельством, будем рассматривать процесс распространения тепла лишь для 2〉0, требуя при 2 = 0 обращения в нуль искомой функции. Ограничимся лишь исследованием функции Грина. Вводя безразмерные переменные zf = z/L и т = (с^оо/хоЕ?)方 и опуская далее штрих у
безразмерной высоты, запишем уравнение теплопроводности (1) в виде
(12)(12)ди _ т^иат -%2 •
(12)
(12)
Снова применяя метод разделения переменных и разложение 5-функции в интеграл Фурье-Бесселя, найдем функцию Грина нашей задачи в виде (см. [2])
G(2,3,T)= ^<W/2 j J|i/a|(*/2)J|i/a|("/2卜》/%狄= 0
=袋味^{击}^(*),(13)
где а = 2 — т (а # 0). Случай а = 2 соответствует постоянной по высоте плотности. Пользуясь тем, что функция
厶/2(/)=值Sh/,
из (13) сразу получаем хорошо известное выражение для функции Грина классического уравнения теплопроводности с нулевым граничным условием при 2 = 0.
Оказывается, что поведение функции Грина существенно различно для случаев m > 2 и m < 2 (случай m = 2 будет рассмотрен отдельно). Рассмотрим сначала случай m < 2, т. е. достаточно медленное падение ПЛОТНОСТИ С ВЫСОТОЙ. Для больших Z, при 2(220)。/2/。2丁》1 функция Грина затухает как ^zz^l^~al^ ехр(—^а/а2т), т. е. медленнее, чем в однородном случае (а = 2), но тем не менее стремится достаточно сильно к нулю вдали от места действия мгновенного точечного источника тепла.
Рассмотрим случай m > 2, т. е. а < 0. Для достаточно больших 2 выражение (13) упрощается
G⑵用* 2a+/"「г(1 + ]/Q exp{ _}(14)
Если 2》2о, то zjb》2b = —a〉0, т. е. функция Грина для достаточно больших расстояний от точки действия мгновенного источника перестает зависеть от координаты, и ее предельное значение на бесконечности оказывается константой, зависящей от времени. Таким образом, в случае т > 2 происходит быстрое прогревание всей атмосферы до конечной температуры, причем для достаточно больших расстояний температура среды уже практически не меняется по пространству, а зависит лишь от времени. Этими свойствами картина распространения тепла сходна со случаем экспоненциальной атмосферы и радикально отличается от случая однородной по высоте плотности или случая достаточно медленного падения плотности с высотой (медлен-
нее, чем по квадратичному закону), когда при действии мгновенного точечного источника температура достаточно далеких слоев лишь на бесконечно малые величины отлична от начальной температуры, т. е. функция Грина на бесконечности достаточно быстро затухает. Исследуем случай m = 2. В этом случае функция Грина имеет вид
cos[5(ln^ - 1пз)]е—S+1/4H 曲=cos[5(ln^ - 1пз)]е—S+1/4H 曲=2*2/F72*2/F7ехрехр卩П（"3）产4т卩П（"3）产4т
cos[5(ln^ - 1пз)]е—S+1/4H 曲=
cos[5(ln^ - 1пз)]е—S+1/4H 曲=
2*2/F7
2*2/F7
ехр
ехр
卩П（"3）产
4т
卩П（"3）产
4т
Эта функция имеет максимум при 2 = z()eT, равный Gmax = =(22；/2д/??7) —1, в обе стороны от которого она, хотя и медленнее, чем в случае m < 2, но все же стремится к нулю. Характерно, что со временем этот максимум распространяется вверх, уменьшаясь по величине, но в каждый момент времени имеет конечную координату в отличие от случая m > 2 или экспоненциального падения плотности.
Исследование поведения максимума функции Грина при m ^ 2 можно провести аналогично тому, как это было сделано в случае экспоненциально падающей с высотой плотности. Дифференцируя G{z, zq, г) по 2, можно получить в точке максимума условие
丁 =丁 =#[1+^ 0зL#[1+^ 0зL41/а|&)]41/а|&)]0=0=2(好产2а2T2(好产2а2T
丁 =
丁 =
#[1+^ 0зL
#[1+^ 0зL
41/а|&)]
41/а|&)]
0=
0=
2(好产2а2T
2(好产2а2T
Исследование выражения для 夕》1, т. е. малых т, показывает, что при этом максимум стоит на одном месте 2 = 2°, уменьшаясь по величине и расплываясь в обе стороны. Для достаточно больших времен и 0 < а < 2 (2 > m > 0) максимум передвигается в сторону больших 2, уменьшаясь по величине, и его координата ^тах = (ат)1/2. При m > 2 этот максимум за конечное время 丁 = [2?b(b + I)]-1 уходит на бесконечность.
Рассмотрим некоторые геофизические приложения. Изученные задачи могут иметь значение для верхней атмосферы, если горизонтальные размеры области атмосферы, прогреваемой каким-либо источником, велики по сравнению с высотой над землей, так что можно пренебречь оттоком тепла вбок, т. е. допустима одномерная постановка задачи, когда все величины зависят лишь от высоты 2. Для земной атмосферы наш подход справедлив с высот 〜120 км, где начинается диффузионное расслоение и где роль молекулярных процессов переноса начинает преобладать по сравнению с турбулентным переносом. В качестве отсчетного уровня примем высоту 2 = 2° = 200 км. Выше этого уровня температура мало меняется с высотой, а шкала высот 〜50 км (см. [3]). Коэффициент температуропроводности Ао при этом равен 〜 〜3 • 109 см1 /сек [3]. Масштаб времени, соответствующий безразмерному времени г = 1 в экспоненциальной модели, при этом получается
равным 丁 = Я2/Ао = 8 • 103 сек = 2 час. Таким образом, если на уровне 200 км произойдет какое-либо выделение тепла, то за время 〜2 час. более высокие слои приспособятся к новому температурному режиму. Если же источник тепла включается на более высоких уровнях, то процесс ассимиляции будет протекать еще быстрее. При степенном падении плотности с высотой время ассимиляции тепла будет больше.
Проведенное рассмотрение показывает, что в достаточно разреженной атмосфере с падающей с высотой плотностью тепловой режим верхних слоев атмосферы, подвергающейся какому-либо тепловому воздействию, стремится к изотермическому, что реально и наблюдается в природе.
В заключение выражаем благодарность Ю. И. Гальперину, сделавшему ряд полезных замечаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, изд. 3, «Наука», (1966).
И. С. Градштеин, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, (1963).
М. Николе, Аэрономия, «Мир», (1964).
Рефракция в приземном слое атмосферы 9
Слой атмосферы вблизи подстилающей поверхности обычно характеризуется резкими и переменными по высоте градиентами температуры и других величин. Показатель преломления в оптическом диапазоне зависит от плотности воздуха, которая в приземном слое толщиной в несколько десятков метров [1, 2] определяется прежде всего изменениями температуры. В слоях большей высоты надо учитывать падение плотности и из-за уменьшения давления с высотой вследствие выполнения уравнения гидростатики. Часто, особенно при рассмотрении распространения радиоволн [3, 4], считается, что показатель преломления линейно падает с высотой. Такое упрощение необязательно. Законы, управляющие поведением средних вертикальных профилей температуры и других характеристик в приземном слое, достаточно хорошо известны, и их включение в теорию рефракции не представляет принципиальных трудностей. Объединение закона Снел- лиуса — основы теории рефракции — и теории подобия Монина- Обухова, описывающей среднюю вертикальную структуру приземного слоя, дает аналитически хорошо обозримые результаты в большинстве практически интересных случаев рефракции. Их изложению и посвящена настоящая работа.
1) См. Изв. АН СССР,①АО, т. 18, № 12, 1982.
Непосредственным поводом заняться этим кругом вопросов, бывшим до сих, пор в стороне от интересов автора, послужило следующее обстоятельство. Изучая динамику приповерхностного слоя атмосферы Венеры, автор ознакомился с работой [5], где обращалось внимание, что на панорамах поверхности планеты, полученных двумя советскими автоматическими станциями в октябре 1975 г., линия горизонта расположена очень близко, всего в каких-нибудь ста или немногих сотнях метров от станций. В [5] было показано, что это явление можно объяснить линейным падением температуры в нижнем метре атмосферы примерно на 1 К. Падение температуры с высотой означает существование там конвекции, описываемой законами [1]. Отсюда возникла мысль проверить, насколько оценка [5] дальности горизонта чувствительна к точным законам [1], а позднее выяснилась правомерность развития такой теории и для земных приложений.
Приближение геометрической оптики применимо, когда изменения показателя преломления 八 на длине волны А малн:
n~2\dn/dl\X « 1, (2.1)
где dl = dz/ cos 0 — элемент пути, проходимого светом в среде; 2 — вертикальная координата, поскольку основные изменения 八 происходят по вертикали; 0 — угол между касательной к лучу и вертикалью. Тогда закон Снеллиуса имеет вид
Hi sin 6^1 = П2 sin 6^2 (2.2) и выполняется при переходе луча из слоя с показателем преломления Hi через плоскую поверхность раздела в среду с 八2・ Для среды с непрерывным изменением 八=八⑶ можно написать
八(2)sin 伙2)= no sin 夕。=const, (2.3) где нулевым индексом отмечены величины на некотором отсчетном уровне. Условие (2.3) можно рассматривать как уравнение траектории луча в плоскопараллельной среде с показателем преломления, зависящим от высоты. Для сферически-симметричной атмосферы уравнение луча видоизменяется [4, гл. 6, §2]:
n(r)rsmO = n(a)asmOQ, 广=а + 2, (2.4) где а — радиус отсчетной начальной сферы.
Показатель преломления в оптическом диапазоне
п = \ ^ ср, (2.5)
где р — плотность газа. Для воздуха с = 0,227 см^/г — постоянная рефракции. С точностью лучше 0,5 % такова же величина с и для углекислого газа [5], что понадобится при рассмотрении рефракции на Венере. В земной атмосфере величина ср ^ 3 • 10-4 « 1.
В приближении Буссинеска, приложимом для приземного слоя [2], 0(2)= 0о(1 -田⑶)， (2.6)
где а — коэффициент термического расширения, равный 1 /Т для идеального газа, t = Т⑺—То — отклонение температуры от отсчетного (приземного) значения. Согласно теории подобия Монина-Обухова [1, 2]
丁⑶-(2・7)
Величина Т* определяется через турбулентный поток тепла q = =pcp{Tfwf) (в угловых скобках — корреляция пульсаций температуры и вертикальной компоненты скорости, ср — теплоемкость при постоянном давлении) и динамическую скорость “* соотношением
Т* = q/pcpKU^, (2.8)
где 庆 ^ 0,4 — постоянная Кармана. Принято считать, что q < 0, т. е. и Т* V 0 в условиях свободной конвекции, когда поток тепла направлен от поверхности к атмосфере. При устойчивой стратификации q, Т^ > 0. Динамическая скорость или скорость трения
"* = (Т/”/2， (2.9)
где 丁 = p{ufwf) — напряжение трения или вертикальный поток горизонтальной компоненты импульса puf от атмосферы к подстилающей поверхности. Масштаб Монина-Обухова Е。равен и^/падТ^. Согласно многим экспериментальным определениям (см. [6]), безразмерная функция / в (2.7) оценивается как
(Ins + 10q, 0 v s,
-0,07 < ^ < 0, (2.10) (0,24+ 1,25«т/з, q < -0,07.
Таким образом, формулы (2.5)-(2.10) описывают поведение показателя преломления с высотой в приземном слое воздуха. Из них следует, что при неустойчивой стратификации атмосферы, когда ее температура падает с высотой (вообще говоря, быстрее, чем по адиабатическому градиенту уа = 9/ср = 1 К/100 ж), значение 八 растет с 2, т. е. по (2.3) угол падения 夕(z) уменьшается с 2. В результате траектория луча, вышедшего под углом 夕°, будет приближаться к вертикали.
Условия свободной конвекции (или неустойчивости) наблюдаются обычно летом в дневные часы суток. В остальное время стратификация атмосферы устойчива и температура в приземном слое слабо растет с высотой, т. е. р и, следовательно, п падают с высотой. Тогда из (2.3) следует, что траектория луча будет приближаться к горизонтали. После этих (известных) качественных выводов перейдем к количественной трактовке рефракции в приземном слое. Это будет сделано для плоскопараллельной атмосферы, что достаточно для многих задач. Обоб-
щение на сферически-симметричный случай не составляет большого труда.
В радиодиапазоне показатель преломления пг определяется формулой Дебая
-1 = 10-6aG +b，
где р, Е — давление воздуха и водяного пара в мб, а = 77,6 К/мб, b = 4860 К. С помощью уравнений состояния для идеального газа — воздуха и водяного пара эту формулу можно привести к виду
八Г — 1 = 10-6制p_ 1,6牛)，(2.11)
где R — газовая постоянная для воздуха, 1,6 — отношение молекулярных весов воздуха и водяного пара, е — абсолютная влажность. Первый член справа в (2.11) совпадает с аналогичным членом справа в (2.5). Влияние профилей плотности на рефракцию разобрано качественно выше. Абсолютная влажность воздуха может только падать с высотой, поскольку первичный источник влаги — вода — находится на поверхности земли. Профили влажности описываются универсальными функциями типа (2.7), (2.8):
М — 电伶=总 (2.12)
где /е = А〈г(/1/) — турбулентный поток скрытой теплоты, Л — теплота испарения. Поскольку водяной пар в 1,6 раза легче воздуха, наличие потока влаги вводит дополнительную плавучесть. Поэтому масштаб Обухова Lq модифицируется: L = и^/кд [(/т/0c@) + 0,61 /е/рЛ]. С учетом (2.6)-(2.8), (2.12) формула (2.11) преобразуется к виду
—1 = 1,6 • 10』^-1,6.10-^ 苧｛(1 -端)[/^ т 汕
(2.13)
Здесь введено число Боуэна Во = /у//е. Величина пг с высотой убывает, если Во < Ьс@/А 3.
Условие применения геометрической оптики (2.1) выполняется (при df /dz = 2一* т. е. при нейтральной стратификации, когда 2 « Е), если А « \dnr/dz\~x cos-1 0 = zTq pq/1,66е*ар cos 0. При е^/р 〜10-3 отсюда имеем А С 1,5 • 105^/ cos^. Таким образом, геометрооптическое, т. е. лучевое приближение для радиоволн неприменимо лишь в самой непосредственной близости от поверхности.
Напишем уравнение луча в декартовых координатах (力，2). Из определения производной имеем dx = d2 tg 仇 Выразим tgJ(2) через sine(2) из (2.3) с помощью формул тригонометрии. Тогда искомое
уравнение запишется в виде
X — XQ =3X — XQ =3no sin % dz[п2(г) — ng sin2 飼"2no sin % dz[п2(г) — ng sin2 飼"2(3.1)(3.1)
X — XQ =
3
X — XQ =
3
no sin % dz[п2(г) — ng sin2 飼"2
no sin % dz[п2(г) — ng sin2 飼"2
(3.1)
(3.1)
Этот интеграл с учетом (2.5)-(2.10) приводится к виду
〜f tg% 厶 /о »
поскольку 八^ 1. Здесь возникает параметр подобия для рефракции в приземном слое
Пп = ср^аТ^ = cpqT^/Tq.(3.3)
Его величина мала по модулю: поскольку \аТД 〜10-2, то Пп 〜 〜3 • 10-6. Поэтому если угол 夕。не слишком близок к тг/2, то интеграл справа в (3.2) можно сильно упростить, разложив его в ряд с точностью до члена порядка Пп:
/ —鄧1 T信)]} dZ- (%)
Если 7^ = 0, то Пп = 0, и имеем уравнение прямой линии
X -xQ = (z - 2о) tg(9o・(3.5)
Отклонения луча от этой прямой определяются величиной 8(2), так что х — XQ = (z — 2о) tg 夕。+ 8(2)и
= Jk IW伝)7信川匠二* /⑵万・(3.6)
В случае устойчивости (《> 0)
/(2, 2о) = 21П 三一(2 — 2o) + 崇(2 — /。产， А - Ю, (3.7) для слабой неустойчивости (—0,07 <(^ < 0)
/(2,2о) = 20112 - 1) - 2о(Ь12о - 1),(3.8)
для свободной конвекции (《< —0,07)
I^Z0) = l,25L^^f3-^-^.(3.9)
Анализ формул (3.6)-(3.9) с учетом знаков 7^ и Пп подтверждает качественные выводы, сделанные в предыдущем пункте перед рассмотрением рефракции радиоволн.
Если начальный угол 夕。=тг/2, т. е. луч горизонтален, то, естественно, он будет оставаться прямым. Другое дело, когда траектория сначала наклонного луча трансформируется так, что он где-то становится горизонтальным. Такая ситуация возникает в задаче о дальности горизонта, когда наблюдатель (живой или электроннооптический) смотрит с некоторой высоты 2 (уровень глаз или объектива) и требуется определить расстояние до горизонта, где 夕。=тг/2, т. е. луч скользит вдоль поверхности, а соседний сверху луч приходит уже от неба.
Основываясь на законе Снеллиуса (2.3) и пользуясь теми же качественными рассуждениями, что и в конце п. 2, видим, что при наблюдении с некоторого уровня / в случае устойчивой стратификации, когда плотность растет с уменьшением высоты, луч поворачивает вверх от прямой типа (3.5), т. е. линия горизонта отодвигается от геометрической. В случае же свободной конвекции, когда плотность падает с 2, линия горизонта будет казаться ближе.
Итак, дальность линии горизонта при наблюдении с высоты 2 будет определяться условием 夕。=灰/2, т. е. sin^o = %• Требуется восстановить траекторию луча, удовлетворяющую этому условию. Вместо (3.1) получим
X - XQ = l = 、八(2о)=八о・ (4.1)
Отсчет будем вести от высоты шероховатости 2° (см. [2]), так как только до этого уровня определены универсальные функции приземного слоя в (2.10). Высота zq пропорциональна (составляет некоторую долю, обычно 〜0,1) высоте препятствий на поверхности. Ниже увидим, что дальность горизонта I весьма слабо зависит от точного значения 2°.Определим сначала величину I для слабонеустойчивой стратификации, описываемой средней формулой (2.10). Она имеет место при больших скоростях ветра (“* велико), когда наблюдается сильная сдвиговая турбулентность, перемешивающая слой. Тогда, пользуясь малымОтсчет будем вести от высоты шероховатости 2° (см. [2]), так как только до этого уровня определены универсальные функции приземного слоя в (2.10). Высота zq пропорциональна (составляет некоторую долю, обычно 〜0,1) высоте препятствий на поверхности. Ниже увидим, что дальность горизонта I весьма слабо зависит от точного значения 2°.Определим сначала величину I для слабонеустойчивой стратификации, описываемой средней формулой (2.10). Она имеет место при больших скоростях ветра (“* велико), когда наблюдается сильная сдвиговая турбулентность, перемешивающая слой. Тогда, пользуясь малымотличием в видеотличием в виде八⑶ от 1, будем считать, что n(z) + 八。^ 2по и запишем (4.1)八⑶ от 1, будем считать, что n(z) + 八。^ 2по и запишем (4.1)1/2、1/2、dzdz.[п(г) - п0]1/2.[п(г) - п0]1/2(4.2)(4.2)
Отсчет будем вести от высоты шероховатости 2° (см. [2]), так как только до этого уровня определены универсальные функции приземного слоя в (2.10). Высота zq пропорциональна (составляет некоторую долю, обычно 〜0,1) высоте препятствий на поверхности. Ниже увидим, что дальность горизонта I весьма слабо зависит от точного значения 2°.
Определим сначала величину I для слабонеустойчивой стратификации, описываемой средней формулой (2.10). Она имеет место при больших скоростях ветра (“* велико), когда наблюдается сильная сдвиговая турбулентность, перемешивающая слой. Тогда, пользуясь малым
Отсчет будем вести от высоты шероховатости 2° (см. [2]), так как только до этого уровня определены универсальные функции приземного слоя в (2.10). Высота zq пропорциональна (составляет некоторую долю, обычно 〜0,1) высоте препятствий на поверхности. Ниже увидим, что дальность горизонта I весьма слабо зависит от точного значения 2°.
Определим сначала величину I для слабонеустойчивой стратификации, описываемой средней формулой (2.10). Она имеет место при больших скоростях ветра (“* велико), когда наблюдается сильная сдвиговая турбулентность, перемешивающая слой. Тогда, пользуясь малым
отличием в виде
отличием в виде
八⑶ от 1, будем считать, что n(z) + 八。^ 2по и запишем (4.1)
八⑶ от 1, будем считать, что n(z) + 八。^ 2по и запишем (4.1)
1/2、
1/2、
dz
dz
.[п(г) - п0]1/2
.[п(г) - п0]1/2
(4.2)
(4.2)
/ n0 y/2 , 衣丿J鹏/3开/2/ n0 y/2 , 衣丿J鹏/3开/2
/ n0 y/2 , 衣
丿J鹏/3开/2
/ n0 y/2 , 衣
丿J鹏/3开/2
С учетом (2.5)-(2.10) и (3.3) приведем это выражение к виду
z/zq
=%0 个^ = 口驻0/(力(4.3)
Интеграл /(2/2°) заменой q = exp[t 1п(^/^о)] сводится к интегралу, выражающемуся через вырожденную гипергеометрическую функцию [7, ф-ла 13.2.4]:
dtdt(4.4)(4.4)
dt
dt
(4.4)
(4.4)
При небольших £ = 1п(^/^о), разлагая функцию М в ряд, получим
Uo/ 乙 2n+ 1'
При произвольных £ > 1 этот ряд расходится и для оценки характера роста при больших £ воспользуемся асимптотикой функции М [7, ф-ла 13.5.1]. В результате получим
(2n- 1)!!(2n- 1)!!+0[(2€厂7+0[(2€厂7(4.5)(4.5)Ограничиваясь лишь главнымОграничиваясь лишь главнымчленом этой асимптотики,членом этой асимптотики,п07р У/22= Гр2сро\Т* I)[1п(г/го)]1//2 \ln(z/zq)]1^2п07р У/22= Гр2сро\Т* I)[1п(г/го)]1//2 \ln(z/zq)]1^2имеем(4.6)имеем(4.6)
(2n- 1)!!
(2n- 1)!!
+0[(2€厂7
+0[(2€厂7
(4.5)
(4.5)
Ограничиваясь лишь главным
Ограничиваясь лишь главным
членом этой асимптотики,
членом этой асимптотики,
п07р У/22= Гр
2сро\Т* I)[1п(г/го)]1//2 \ln(z/zq)]1^2
п07р У/22= Гр
2сро\Т* I)[1п(г/го)]1//2 \ln(z/zq)]1^2
имеем
(4.6)
имеем
(4.6)
т. е. дальность горизонта растет с высотой медленнее 2. По самому выводу очевидно, что безразмерный множитель П^ является общим для всех условий стратификации. Согласно (3.3) и (4.3), П^ Щ^2.
В условиях свободной конвекции все средние профили автомодель- ны относительно точного значения “*. Поэтому эта величина и тем самым величина Т* должна выпасть из рассмотрения, и критерий подобия для рефракции должен быть переопределен. С помощью (2.5)(2.10) в этом случае формула (4.2) принимает вид
)1/2 33(дз)1/612aoe 丿(aq/рср)1^3)1/2 33(дз)1/612aoe 丿(aq/рср)1^3Критерий подобия в конвективных условиях
)1/2 33(дз)1/6
12aoe 丿(aq/рср)1^3
)1/2 33(дз)1/6
12aoe 丿(aq/рср)1^3
(4.8)
Интеграл в (4.7) подстановкой 1 —《一“з = t2 сводится к интегралу от рациональной функции, после чего вычисляется в конечном виде:
厶(力)=/(1 -力Т/3)1/2( 1 + j 力г3 +X
\40
161 —(1—/-/ЗУ
Очевидно, что при х》1 главный член для 厶(力)~ х, хотя несложно считать и по точной формуле (4.9).
Рассмотрим кратко приложения полученных результатов к определению дальности горизонта. В условиях Венеры (см. [8]) zq = 1 см, р ~ 0,06 е/с儿з, g = 8,9 儿//, 〃* = 5 см/с, То ~ 740 К. Турбулентный поток тепла можно оценить довольно точно, зная освещенность на поверхности планеты. Последняя в полдень вблизи экватора порядка 100 吕粗/儿2 (см. [9]). Благодаря большой непрозрачности атмосферы планеты в ИК-диапазоне термическое излучение поверхности должно практически полностью компенсироваться тепловым противоизлучением атмосферы (см. [9]). В этих условиях основным способом отдачи тепла от поверхности к атмосфере должен быть турбулентный поток тепла 1). Поэтому q ~ 100 Вт/м2. Поскольку телефотометры станций, снимавших панорамы поверхности Венеры, располагались на высоте 2 = 1 儿[5], то благодаря большой плотности атмосферы ее стратификацию до этой высоты можно считать слабо неустойчивой [8]. Тогда согласно (4.6) величина I ^ 100 м. Это вполне согласуется с оценками дальности горизонта по панорамам.
На Венере рефракция в слое у ее поверхности соответствует условиям так называемой отрицательной атмосферной рефракции [4]. Пройдя вблизи поверхности, луч затем отходит от нее, оказавшись на высоте 2, очевидно, на расстоянии 2Z. Затем все медленнее он поднимается, пока не дойдет до высот порядка нескольких десятков метров, где рост плотности с высотой из-за конвекции сменится ее нормальным убыванием в поле силы тяжести. Как известно, в основной по массе толще атмосферы Венеры существуют условия для сверхрефракции. Для описания этого явления удобно оценить радиус кривизны луча [4]:
г = -(2п/2^)-1.
В нижней части атмосферы планеты стратификация близка к адиабатической (см. [9]), когда dp/dz = —др/с^, где 球 =^兄丁/从 — квадрат скорости звука. Взяв, кроме уже употреблявшихся величин, 7 = =cp/cv = 1,3 и /1 = 44 (углекислый газ), найдем, что в нижней части атмосферы планеты г ^ 1500 км, что примерно вчетверо меньше радиуса планеты.
Формулы (4.7)-(4.9) можно использовать для описания известного явления «луж» на асфальте летом в хорошую погоду. Это не что иное, как отражение неба — из-за перегрева асфальта над ним возникает конвекция и линия горизонта кажется очень близкой. Пусть р = 1,2 х х 10-3 е/с儿з,夕 ~ 500 Вт/м, zq ^ 10-2 см, z ^ 1 м — уровень, на
котором находятся глаза человека в легковом автомобиле. Тогда из (4.7)-(4.9) I 100 ж.
После доклада этой работы на семинаре В. И. Татарского в октябре 1981 г. А. С. Гурвич любезно сообщил, что идея использования теории Монина-Обухова для задач рефракции была ранее высказана А. В. Алексеевым и М. В. Кабановым. Однако в их работе [10] не содержится аналитического развития этой идеи.
В заключение автор выражает глубокую благодарность А. С. Гурви- чу и С. В. Соколовскому за полезные обсуждения в ходе выполнения этой работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. С. Монин, А. М. Обухов, Тр. Геофиз, ин-та АН СССР, №24 (151) (1954).
А. С. Монин, А. М. Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч. I. М.: Физматгиз, 1965.
Е. Л. Фейнберг, Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. Изд-во АН СССР, 1961.
Ф. Б. Черный, Распространение радиоволн. М.: Советское радио, 1962.
В. И. Мороз, Космические исследования, т. 14, №5 (1976).
А. М. Yaglom, Boundary-Layer Meteorol., v. 11, № 1 (1977).
M. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям. М.: Физматгиз, 1979.
Г. С. Голицын, Космические исследования, т. 16, № 1 (1978).
V. I. Moroz, Space Sci. Rev., v. 29, № 1 (1981).
А. В. Алексеев, M. В. Кабанов, В кн.: Рассеяние и рефракция оптических волн в атмосфере. Томск: Изд. Ин-та оптики атмосферы СО АН СССР, 1976.
Глава 3
ПЛАНЕТЫ
§ 1. Динамика спуска автоматических станцийв атмосферах планет как средство контроля данныхизмерений 9
Анализ динамики спуска автоматической межпланетной станции (АМС) на парашюте дает дополнительное средство контроля внутренней согласованности данных об атмосфере планеты, если одновременно производятся измерения, по крайней мере, двух любых термодинамических параметров атмосферы из трех, связанных уравнением состояния газа. Описываемая ниже методика будет применена в целях иллюстрации ее использования для анализа и проверки согласованности данных, полученных во время спуска АМС «Венера-4» (см. [1-3]).
Предполагается, что атмосфера планеты находится в гидростатическом равновесии и что ее газовый состав постоянен с высотой. Оба эти предположения хорошо выполняются в атмосфере Земли, где газовый состав постоянен вплоть до высоты порядка 100 км. Будем считать справедливым уравнение состояния идеального газа (хотя, как будет видно ниже, в ряде случаев точный вид уравнения состояния несуществен)
р = g'RpT,(1)
где р — давление,从—молекулярный вес, р — плотность, Г — абсолютная температура, R — универсальная газовая постоянная. При больших давлениях, как это имеет место в нижней части атмосферы Венеры, уже начинают проявляться отклонения газа от идеального [2]. Мы на этом останавливаться не будем, хотя соответствующая теория может быть развита и при уравнении состояния, более сложном, чем (1).
Рассмотрим сначала случай, когда известны плотность и давление как функции времени. В условиях гидростатического равновесия изменение со временем давления равно
dp/dt = pgw,(2)
i) См. Космические исследования, т. 7, вып. 1, 1969. В соавторстве с А. М. Обуховым.
где д — ускорение силы тяжести, w — вертикальная скорость спускаемого аппарата относительно поверхности планеты (ось 2 — направлена вниз). При установившемся падении вес спускающейся системы уравновешивается силой сопротивления воздухагде д — ускорение силы тяжести, w — вертикальная скорость спускаемого аппарата относительно поверхности планеты (ось 2 — направлена вниз). При установившемся падении вес спускающейся системы уравновешивается силой сопротивления воздухаmg = CxSpw2/2,mg = CxSpw2/2,(3)(3)где т — масса системы, Сх — коэффициент аэродинамического сопротивления, S — площадь миделя 9. Исключая из (2) и (3) w, получаемгде т — масса системы, Сх — коэффициент аэродинамического сопротивления, S — площадь миделя 9. Исключая из (2) и (3) w, получаемdp/dt = Ад/^dp/dt = Ад/^4 = (2mg3/qs)i/2.4 = (2mg3/qs)i/2.⑸⑸Интегрируя это равенство по времени, имеемИнтегрируя это равенство по времени, имеемt0⑴-00 = %] vTW近.оt0⑴-00 = %] vTW近.о⑹⑹Это равенство справедливо лишь при одном предположении о гидЭто равенство справедливо лишь при одном предположении о гидростатическом равновесии, независимо от вида уравнения состояния.ростатическом равновесии, независимо от вида уравнения состояния.Вообще говоря, величина А не является строго постоянной, поскольВообще говоря, величина А не является строго постоянной, поскольку д медленно растет по мереку д медленно растет по мереJVpdt, г1/2 с/см3/2JVpdt, г1/2 с/см3/2Рис. 3.1.1.Рис. 3.1.1.для проверки согласованностидля проверки согласованностиспуска. В случае АМС «Венера-4» при прохождении высоты порядка 30 км (см. [1-3]) величина д возрастает примерно на 1 %, т. е. величина А должна возрастать примерно на 1,5 %. Мы этим изменением пока пренебрежем. Если известны экспериментальные значения 夕(方)и 0⑴，то можно проверить справедливость выполнения формулы (5) на эмпирическом материале. Поскольку у использовавшегося на АМС «Венера-4» манометра среднеквадратичная ошибка была постоянной и равной ±0,2 ке/с儿2, то формулу (6) данных измерений р и р выгоднее исспуска. В случае АМС «Венера-4» при прохождении высоты порядка 30 км (см. [1-3]) величина д возрастает примерно на 1 %, т. е. величина А должна возрастать примерно на 1,5 %. Мы этим изменением пока пренебрежем. Если известны экспериментальные значения 夕(方)и 0⑴，то можно проверить справедливость выполнения формулы (5) на эмпирическом материале. Поскольку у использовавшегося на АМС «Венера-4» манометра среднеквадратичная ошибка была постоянной и равной ±0,2 ке/с儿2, то формулу (6) данных измерений р и р выгоднее использовать, интегрируя по времени назадпользовать, интегрируя по времени назадtpi -0⑴=%]vTw近,tpi -0⑴=%]vTw近,(6/)(6/)
где д — ускорение силы тяжести, w — вертикальная скорость спускаемого аппарата относительно поверхности планеты (ось 2 — направлена вниз). При установившемся падении вес спускающейся системы уравновешивается силой сопротивления воздуха
где д — ускорение силы тяжести, w — вертикальная скорость спускаемого аппарата относительно поверхности планеты (ось 2 — направлена вниз). При установившемся падении вес спускающейся системы уравновешивается силой сопротивления воздуха
mg = CxSpw2/2,
mg = CxSpw2/2,
(3)
(3)
где т — масса системы, Сх — коэффициент аэродинамического сопротивления, S — площадь миделя 9. Исключая из (2) и (3) w, получаем
где т — масса системы, Сх — коэффициент аэродинамического сопротивления, S — площадь миделя 9. Исключая из (2) и (3) w, получаем
dp/dt = Ад/^
dp/dt = Ад/^
4 = (2mg3/qs)i/2.
4 = (2mg3/qs)i/2.
⑸
⑸
Интегрируя это равенство по времени, имеем
Интегрируя это равенство по времени, имеем
t
0⑴-00 = %] vTW近.о
t
0⑴-00 = %] vTW近.о
⑹
⑹
Это равенство справедливо лишь при одном предположении о гид
Это равенство справедливо лишь при одном предположении о гид
ростатическом равновесии, независимо от вида уравнения состояния.
ростатическом равновесии, независимо от вида уравнения состояния.
Вообще говоря, величина А не является строго постоянной, посколь
Вообще говоря, величина А не является строго постоянной, посколь
ку д медленно растет по мере
ку д медленно растет по мере
JVpdt, г1/2 с/см3/2
JVpdt, г1/2 с/см3/2
Рис. 3.1.1.
Рис. 3.1.1.
для проверки согласованности
для проверки согласованности
спуска. В случае АМС «Венера-4» при прохождении высоты порядка 30 км (см. [1-3]) величина д возрастает примерно на 1 %, т. е. величина А должна возрастать примерно на 1,5 %. Мы этим изменением пока пренебрежем. Если известны экспериментальные значения 夕(方)и 0⑴，то можно проверить справедливость выполнения формулы (5) на эмпирическом материале. Поскольку у использовавшегося на АМС «Венера-4» манометра среднеквадратичная ошибка была постоянной и равной ±0,2 ке/с儿2, то формулу (6) данных измерений р и р выгоднее ис
спуска. В случае АМС «Венера-4» при прохождении высоты порядка 30 км (см. [1-3]) величина д возрастает примерно на 1 %, т. е. величина А должна возрастать примерно на 1,5 %. Мы этим изменением пока пренебрежем. Если известны экспериментальные значения 夕(方)и 0⑴，то можно проверить справедливость выполнения формулы (5) на эмпирическом материале. Поскольку у использовавшегося на АМС «Венера-4» манометра среднеквадратичная ошибка была постоянной и равной ±0,2 ке/с儿2, то формулу (6) данных измерений р и р выгоднее ис
пользовать, интегрируя по времени назад
пользовать, интегрируя по времени назад
t
pi -0⑴=%]vTw近,
t
pi -0⑴=%]vTw近,
(6/)
(6/)
1) Можно было бы учесть, что в (3) w - скорость спуска относительно газа, как это сделано в [2], мы, однако, здесь это различие учитывать не будем, поскольку регулярные вертикальные скорости в атмосфере Венеры, по- видимому, малы (см. [4])
где момент 方i соответствует последнему измерению давления, когда pi = 7,3 кг/см2. На рис. 3.1.1 по оси ординат отложены значения р — —p(t), начиная с момента 方i через △方=5 мин. и назад во времени вплоть до момента начала измерений; по оси абсцисс для соответству- t
ющих моментов времени отложены значения ] ,0⑴ dt.
Светлые кружки на рис. 3.1.1 соответствуют первичным данным измерений плотности, когда на этой кривой имеется «горб» (подробное обсуждение данных по измерениям плотности держится в [3, 5]). Точки соответствуют сглаженной кривой плотности [5], когда «горб»
просто «срезан», так сказать «на глаз». Видно, что все точки прекрасно ложатся на одну прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен А. Величина А, определенная по этому участку траектории спуска методом наименьших квадратов, оказывается равной 1) 3,38 ± 0,02 атм х X。儿3/2&1/2 • мин., или (3,31 ± ± 0,02) 104 а】/? • смх^/сек3 (указаны среднеквадратичные отклонения). Светлые кружки также
fdt/y/T, мин/град1/2fdt/y/T, мин/град1/2довольно хорошо ложатся на пря-Рис. 3.1.2.
fdt/y/T, мин/град1/2
fdt/y/T, мин/град1/2
мую, но с меньшим углом наклона,
что соответствует некоторому завышению показаний плотномера в районе «горба».
Обратимся теперь к паре переменных — давление 夕(方)и температура Т«). Если в (4) подставить плотность из уравнения (1), то можно
勿/2夕 1/2 = В dt/T^\勿/2夕 1/2 = В dt/T^\⑺⑺написать следующее равенство
勿/2夕 1/2 = В dt/T^\
勿/2夕 1/2 = В dt/T^\
⑺
⑺
где
В =(加或〃/2aSR)i/2.(8)
Интегрирование равенства (7) дает
t
(9)
где отсчет давления и интегрирование снова ведется назад во времени от последней точки. На рис. 3.1.2 по оси ординат отложены значения
1) Здесь принята техническая атмосфера, равная 1 кг]с№ = 736 мм рт. ст.
yW —，夕⑴,взятые через At = 5 мин., а по оси абсцисс для соответ- t
ствующих моментов времени отложены значения ] d方、/Т(方).
Все точки снова очень хорошо ложатся на одну прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен В. Величина 石，определенная методом наименьших квадратов, оказывается равной 0,733 ± ± 0,003 град»2 • атмх^/мин., или 12,0 ± 0,05 град^2 • г1/2 • см~^2 х х сек~2.
Рассмотрим, наконец, последнюю пару из тройки параметров, связанных уравнением состояния, — температуру и плотность. Исключая из (4) давление с помощью (1), получаем
d{pTydt = 2Cyfp,(10)
гдес
(舞产⑴)
Постоянная С связана теоретически с остальными константами согласования А и В следующими равенствами:
0=(4"8 =矗4(12)
Если считать температуру известной функцией времени, то дифференциальное уравнение (10) имеет следующее решение:
е+ 屮/Т^у},(13)
где индексом 0 помечены величины, относящиеся к первоначальному моменту времени. Из этой формулы можно получить следующую:
t
V^rT — g =c\dtl^T^,(14)
где индексом 1 помечен момент времени, когда закончились измерения плотности, а интегрирование ведется назад во времени. Из вида формулы (14) ясно, что ее можно получить из (9), непосредственно используя уравнение состояния. Тем не менее при независимом определении р иТ формула (14) может быть использована для проверки «постоянства» константы согласования С. Проверка формулы (14) на эмпирическом материале АМС «Венера-4» была проведена в [5]. Значение константы С здесь оказалось равным (8,65 ± 0,07) 10-3 г1/2 • град/см3^ • сек.
Можно выразить наоборот Г через р, что дает независимый от только что описанного метод проверки согласованности этих рядов
измерений. Из уравнения (10), считая р известным, можно получить t
piTi-pT = 2C^y^dt, (15)
что будет вторым вариантом метода проверки согласованности Тир. Ряды данных снова хорошо согласуются и эмпирическое значение константы С, определенное методом наименьших квадратов, здесь оказывается равным (8,85 ±0,17) • 10-3 г1/2 • град]см^? • сек. Это второе значение С, определенное независимо, в пределах ошибок согласуется с приведенным выше его первым эмпирическим значением. В качестве среднего можно принять, что С = (8,75 ± 0,12) 10-3 г1/2 ・ град]см^? х х сек.
Из формул (12) можно получить следующие три формулы для определения молекулярного веса атмосферы через константы согласования А, В и С
= 2RC/A, 从 =r02/月2,从=4尺б2/42 (16)
Пользуясь найденными выше эмпирическими значениями констант А и В и средним значением константы С, находим, что молекулярный вес равен соответственно 44,0 ± 0,9; 44,2 ± 1,5 и 43,7 ±0,9. Все три значения хорошо согласуются между собой и с тем фактом, что атмосфера Венеры состоит в основном из углекислого газа.
Таким образом, развитая здесь методика на примере данных АМС «Венера-4» показала хорошую внутреннюю согласованность всех трех измерявшихся параметров атмосферы. Кроме указаний на правильность измерений, это подтверждает и основные гипотезы, заложенные в основу теории, а именно, что атмосфера Венеры находится в гидростатическом равновесии и что спуск АМС на парашюте был квазиравномерным, т. е. падение установившимся.
Следует отметить, что в процедуре согласования сопоставляются не результаты измерений со всеми их возможными ошибками, а те точки, которые соответствуют кривым, проведенным по данным первичных измерений, что и обеспечивает относительно небольшой разброс в значениях констант согласования. Вместе с тем тот факт, что определение констант идет по всему участку измерений, резко снижает вес возможных отдельных выбросов и дает основание относиться с доверием к найденным величинам этих констант.
Поскольку на АМС «Венера-4» до самого конца измерялась лишь температура, то естественно воспользоваться эмпирическими значениями констант В и С для определения хода давления и плотности и на тех участках траектории, где измерения этих параметров не производились. Такая экстраполяция плотности проведена в [5], здесь же мы ограничимся экстраполяцией давления. Пользуясь В = =0,733 ера。】/? • атм1^/мин., по формуле (10), но уже обращенной по времени вперед, находим, что конечное значение давления равно
Рк = 17,2 кг/см2. Такая же процедура, проведенная в [2], дала эту же величину. Если же учесть некоторое увеличение силы тяжести по мере спуска и возможные ошибки в определении температуры, давления и самой величины В, то рк = 17,6 ±0,5 кг/сж2.
В предварительной публикации [1] была приведена цифра рк = =20 ± 3 ке/с儿2, что было получено с помощью (р-5)-диаграммы (энтропия-давление) для чистого углекислого газа, а также путем экстраполяции давления (и плотности) по наклону условной политропы. Более детальный анализ, проведенный в [2] дал возможность авторам этой работы в качестве наиболее вероятного значения конечного давления считать 18,5 кг]с возможными отклонениями ±1,3 или даже ±2,3 ке]с諸.Наше значение заключено в тех же пределах, но обладает меньшими допусками, что обеспечивается минимальным
числом использованных гипотез.
Значения давления 夕卜 < 18,5 кг]см на (р-5)-диаграмме соответствуют неустойчивой стратификации (сверхадиабатическому градиенту температуры) в нижней части атмосферы, состоящей из чистого углекислого газа, и именно это обстоятельство, по-видимому, побудило авторов [2] считать значение 18,5 кг〔с向 наиболее вероятным. Покажем, что с точки зрения устойчивости атмосферы мыслимы и меньшие
значения 夕卜，если отказаться от мысли, что атмосфера Венеры состоит только из одного СО?.
Остановимся сначала на вопросе, как можно судить о стратификации атмосферы (величине градиента температуры) без привязки данных по высоте. Зная временной ход давления и температуры (или любых других пар параметров), можно построить зависимость 1g р от lg Т, взятых в одинаковые моменты времени. Это сделано на рис. 3.1.3 для всей траектории спуска, причем в конце ее значения р экстраполировались, как указан выше. Точки на этом ри
спускаспускаp/рг = (Т任产m-1),p/рг = (Т任产m-1),(⑺(⑺сунке довольно отчетливо разбиваются на три группы, причем через каждую группу можно провести прямые, наклон которых слегка различается. Линейная зависимость 1g夕 от lg Г означает политропический характер изменения состояния атмосферы в данном интервале времени
спуска
спуска
p/рг = (Т任产m-1),
p/рг = (Т任产m-1),
(⑺
(⑺
где 八—показатель политропы. В этом случае зависимость температуры от высоты имеет линейный характер, что следует из баромет-
рической формула (см. [6]). Возле каждой группы точек проставлены значения 夕—тангенса угла наклона соответствующей прямой, и значения 八=夕/(夕一1). На последнем проэкстраполированном для давления участке прямой показатель политропы 八 с учетом возможных ошибок в определении р и Г оказывается равным 1,26 ±0,02.
Если был бы известен точный химический состав атмосферы Венеры, сравнивая найденное значение п с показателем адиабаты х = cp/cv для смеси газов, составляющих атмосферу планеты, можно было бы судить о характере стратификации атмосферы. При п < у атмосфера устойчива и вертикальный градиент температуры меньше адиабатического; при п < у градиент температуры больше адиабатического, т. е. должна происходить сильная конвекция. В результате конвективного перемешивания энтропия стремится выравняться по высоте, что в итоге должно приводить к установлению адиабатического градиента температуры, равного д/ср. Обращаясь для сравнения к атмосфере Земли, вспоминаем, что градиенты температуры, большие адиабатического, и, как результат этого, сильная конвекция встречаются лишь летом в полуденные часы над сушей или зимой над теплыми океанами при вторжениях холодных масс воздуха, а, как правило, земная атмосфера в общем устойчива и имеет субадиабатический градиент температуры.
Значение показателя адиабаты хо для чистого СО? при существующих в нижней части атмосферы Венеры давлениях и температурах (на участке экстраполяции) меняется от 1,25 до 1,23 в конце измерений. Найденное нами значение 八=1,26 ± 0,02 несколько выше, т. е. атмосфера оказывается как будто слегка неустойчивой. Впрочем, ситуация, по-видимому, не так уж плоха, поскольку небольшие добавки других одноатомных и двухатомных газов (например, аргона, кислорода или азота) могут уменьшить или ликвидировать это расхождение. Показатель хо для смеси из к газов определяется по формуле
где £ 伪=1 т. е.伪一объемная доля г-го компонента. Если принять, что атмосфера Венеры состоит, например, из 90% СО? и 10% Аг, то Хо = 1,25. Для определения истинного значения величины хо в атмосфере планеты нужно более точно знать ее газовый состав. Пока же при существующем положении дел необходимо признать, что градиент температуры в нижней части Венеры близок или равен адиабатическому. В более высоких слоях он определенно меньше адиабатического.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
В. С. Авдуевский, Н. Ф. Бородин, А. И. Лившиц, М. Я. Маров, В. В. Михневич, М. К. Рождественский, В А. Соколов, ДАН СССР, 179, №2, 310 (1968).
В. С. Авдуевский, М. Я. Маров, М. К. Рождественский, Доклад на IX сессии КОСПАР, Токио, май, (1968).
В. В. Михневич, В. А. Соколов, Доклад на IX сессии КОСПАР, Токио, май, (1968).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 4, №11, 1131 (1968).
В. В. Михневич, В. А. Соколов, Космич. исслед., 7, №2 (1969).
Л. Т. Матвеев, Основы общей метеорологии. Физика атмосферы, Гидрометеоиздат, (1965).
2. О привязке к центру масс данных измеренийавтоматических станций, плавно спускающихсяв атмосферах планет 9
В работе [1] был предложен метод проверки взаимной согласованности данных о термодинамических атмосферных параметрах, измеряемых на автоматической станции, плавно опускающейся на парашюте. На примере экспериментальных данных советской станции «Венера-4» была показана их хорошая внутренняя согласованность. Эмпирические значения параметров согласования данных по давлению и плотности, по давлению и температуре, по плотности и температуре и, наоборот, по температуре и плотности оказываются с хорошей степенью точности постоянными. Величины этих параметров, обозначенных соответственно А,石，Ci и G определяют в [1] с точностью 0,4+ 1,5 % по дисперсии.
С другой стороны, для этих параметров согласования в [1] получены следующие теоретические выражения:
⑴⑴4=(2Fg3)i/2,8 = (Fg3〃/2R)i/2,
⑴
⑴
a =0 =e= (〃/r)(ь成/2)1/2,
где F = m/CxS, т — масса спускающейся станции, С коэффициент аэродинамического сопротивления, S площадь миделя,从—молекулярный вес атмосферы, R — универсальная газовая постоянная, д — ускорение силы тяжести.
Если известны масса планеты М и аэродинамическая характеристика станции F, то, пользуясь законом всемирного тяготения в виде
⑵⑵д = кМ/г2,
⑵
⑵
с помощью любой из формул (1), можно определить расстояние г от середины участка траектории плавного спуска, по которому опре-
1) См. Космические исследования, т. 7, № 3, 1969.
планеты. Имеемпланеты. Имеемделяются значения A, В, Ci и С? до гравитационного центра масс
планеты. Имеем
планеты. Имеем
(3)(3)г = (к2И)1/24—1/3(2 歹 p/б,
(3)
(3)
г = (к2И)1/2§—1/3(歹〃/2 兄)1/6,(4)
г = (кМ)х^^/СК)^\Р/^^\(5)
Первая из этих формул обладает тем преимуществом, что в нее не входит молекулярный вес. Точность нахождения значения г практически определяется точностью нашего знания констант согласования А, В и С и аэродинамической характеристики F, а также неопределенностью величины 从 в случае использования формул (4) и (5). Если известна длина траектории плавного спуска и ее высота над поверхностью планеты, то можно определить и радиус планеты. Если расстояние г известно каким-либо другим образом, то формулы (3)-(5) можно использовать в контрольных целях.
Заметим также, что если считать величину д известной, то вторую и третью формулы из (1) можно использовать для независимого определении молекулярного веса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. М. Обухов, Г. С. Голицын, Космич. иссл., 7, № 1, 150 (1969).
. A Similarity Approach to the General Circulationof Planetary Atmospheres 9
Similarity and dimensional considerations and some thermodynamic arguments are applied to planetary atmospheres to estimate such characteristics of their general circulations as the total kinetic energy of the circulation, the rate of generation (or dissipation) of the kinetic energy, the efficiency of an atmosphere in transformation of the supplied energy into energy of atmospheric motions, and the characteristic temperature difference which drives the circulation. As known external parameters there are the energy supply to an atmosphere, the mass of the atmosphere, its heat capacity, the radius of the planet, the angular velocity of rotation, and the gravitational acceleration, g. The energy balance in an atmosphere is maintained by longwave radiation into space which requires one universal constant, Stefan's constant. From these seven dimensional parameters only four have independent dimensions; therefore one may construct three nondimensional complexes which are the criteria of similarity. The first of these is the ratio of the atmospheric scale height to the planetary radius. It is always small; therefore one may propose the first self-similarity hypothesis of the circulation with respect to g;i.e., the exact value of g is not important for the theory. The second criterion of similarity may
i) Cm. ICARUS, 13, 1970.
be interpreted in various ways; it is also small for all the planets, with the possible exception of Mercury (if it has an atmosphere). The selfsimilarity with respect to this parameter turns out to be the independence on the mass of the atmosphere, if only the mass is large enough. The third criterion of similarity is the ratio of the linear velocity of an atmosphere at the equator to the sound velocity (rotational Mach number). This criterion is small for Venus (and Mercury), of order unity for the Earth and Mars, and large (about 15) for Jupiter and Saturn.
If one neglects rotation, then it is possible to derive an expression for the total kinetic energy of an atmosphere where a nondimensional constant enters, which even for the Earth and Mars is of order unity.
The lifetime of the circulation 丁九 is introduced using radius, mean velocity, and a multiplier /3 which is a measure of the degree of organization of atmospheric motions. The value of /3 is of the order of unity for slowly rotating planets, but it is very large for the giant rapidly rotating planets. Knowledge of rn allows us to estimate the mean rate of dissipation of the kinetic energy and the efficiency of the atmospheric heat engine. Considering the last quantity to be proportional to 8T, the circulation driving temperature difference, one may estimate 8T as well.
Possible modifications of the theory are proposed for rarified atmospheres, and for rapidly rotating planets.
This approach gives estimates which agree well with the observational data for the Earth's atmosphere and with the results of numerical experiments for the Martian atmosphere. For Venus, averaged throughout the atmosphere, the velocities of circulation are estimated to be of the order of 1 m/sec and 8T = 2° K. From the kinetic energy of visual motions of Jupiter and Saturn, which can be estimated from observations, it is found that /3 should be very large. This should lead to a very large lifetime of the overall circulation and of major atmospheric hydrodynamic formations. In this connection a suggestion is proposed that the Great Red Spot might be a long-lived eddy. Attention is paid to the fact that the energy of the visual motions on Saturn is greater by an order of magnitude than on Jupiter, while the similarity criteria are almost equal.
Introduction
The development of space science and technology is, with increasing persistence, beginning to require from meteorologists the answers to such problems as the vertical and horizontal temperature distributions in a planetary atmosphere, wind velocities and distributions, and the mixing rate of an atmosphere. In this connection it is useful first of all to look at the state of the general circulation problem for our own atmosphere. For the last 20 or 25 years there has been tremendous progress in all branches of atmospheric sciences, including our knowledge of the general circulation. Nevertheless we are still rather far from a clear understanding of the causes and laws governing the general circulation, as is perfectly
pointed out in a recent and remarkable book on the subject by Lorenz (1967).
What are the methods of studying the Earth's atmosphere? The first, most basic, and oldest method is to observe temperature, wind, pressure, humidity, and radiation every few hours at many thousands of meteorological stations throughout the world. But it has been clear to meteorologists that these observations are too scarce, and now preparations for the Global Atmospheric Research Project (GARP) are in evidence throughout the world. Meteorologists hope that after GARP they will perhaps understand the atmosphere a little bit better. This method of massive synoptic observations is unrealistic at the moment for other planets, although the use of satellites for remote sounding of planetary atmospheres could provide useful information.
The other approach is the numerical simulation of the behavior of a planetary atmosphere. Beginning with the first famous numerical experiment performed by Norman Phillips about 15 years ago, this method is proving to be an increasingly powerful tool. The numerical experiments now are reproducing quite well all of the main features of the general circulation of our atmosphere. Leovy and Mintz (1966) were the first to simulate the general circulation of another planetary atmosphere, namely, that of Mars. One of their forecasts that the mean surface temperature difference 5TS between the equator and the winter polar region is about 100° К has been confirmed by Mariner 7 measurements (Neugebauer, 1969; see also Morrison et a/., 1969). But their computations were performed under the assumption that the surface pressure ps = 5 mb, while the latest measurements (Kliore, 1969) suggest ps = 6 or 7 mb. In order to check whether 5TS = 100° К is still predicted with the new and larger values of ps it is necessary to carry out all the computations again. And this is the principal disadvantage of the numerical simulations: if even a single atmospheric parameter is varied, it is necessary to carry out from the very beginning all the expensive and time-consuming computations. This is especially uncomfortable in studies of other planets, where practically none of the basic atmospheric parameters are known to the required accuracy. Moreover, the numerical simulations require quite precise knowledge of mixing ratios and of the optical properties of absorbing gases. These properties are sometimes known very poorly, especially at high temperatures and pressures, and there are certain difficulties in their laboratory modelling. In part for this reason, there is little hope for success in the numerical simulation of the general circulation in the atmospheres, say, of the giant planets, at least at the present time.
Substantial information has been acquired from laboratory experiments on dynamics of rotating fluids differentially heated. But in this way one can obtain only qualitative results, of necessarily restricted application — although without doubt there would be among them quite useful and interesting consequences.
What we really desire is some analytical theory of the general circulation, even if it is very simplified. But, as has been quite convincingly demonstrated by Lorenz (1967), the probability of constructing such a theory is close to zero.
In this situation, evidently close to complete hopelessness (at least for the moment), especially for the other planets, it seems quite useful to seek any simple, approximate, but quantitative regularities governing the motions of planetary atmospheres. The results of such a search will be presented below. It is evident that such simple results can apply only to mean characteristics of the atmospheric circulation, and not to flow patterns. We know of flow patterns sometimes from observations, and sometimes through experience in geophysical fluid dynamics.
Estimates of atmospheric energetics
I gleaned my first hint that some simple quantitative regularities may apply in the Earth's atmosphere while reading the paper by Monin (1968) i). In Section 2 of Monin's paper it is shown by three independent methods that the characteristic time of synoptic processes is on the order of several days. This served as an impetus of the author's first paper on the subject (Golitsyn, 1968) where estimates were performed of the mean velocities and characteristic times for the large-scale motions in the atmospheres of the terrestrial planets.
As a basis for these estimates, we consider the mean rate of generation (or dissipation) of kinetic energy of atmospheric motions per unit mass,
⑴⑴_ . STqA
⑴
⑴
e = kWM'
⑵⑵Here《4 = q(l — 4), q is the solar constant for the planet in question, A is the planetary albedo, M is the mass of a unit atmospheric column (M = ps/g, where g is the gravitational acceleration), Ti is a characteristic temperature of the most heated regions of the atmosphere, and к is a numerical coefficient equal to about 0.1 for the Earth's atmosphere (Golitsyn, 1968). The value of e must evidently be defined by the mean temperature difference 5T in the atmosphere or at the surface. If 5T = 0, then 6 = 0; accordingly, Eq. (1) may be regarded as the first term in the expansion of the function e = c(8T). The combination k6T[T、= 〃 plays the role of an efficiency coefficient for an atmosphere in the transformation of solar energy into energy of atmospheric motions ). Because 6T]T\ is the efficiency of an ideal heat engine in the Carnot cycle, the coefficient
⑵
⑵
к = 〃/〃max •
may be called the utilization coefficient. It measures by what factor an atmosphere falls short of being an ideal heat engine. It is evident that
(3)
As a characteristic length, L, Golitsyn (1968) took for rapidly rotating planets like the Earth and Mars, the Oboukhov (1949b) scale,
以 =(典)1/2生0儿(4)
where g is the gravitational acceleration, H is the scale height, c is the sound velocity, and / the Coriolis parameter; and for slowly rotating planets, like Venus and Mercury, the planetary radius R. Using Kolmogorov- Oboukhov ideas for the description of large-scale motions as a developed turbulent flow, Golitsyn (1968) estimated characteristic velocities
(乩)i/3；(5)
times//
(6)
and large-scale eddy viscosity coefficients (Richardson-Oboukhov law)
К(7)
The utilization coefficient к was taken to be equal to 0.1 for all planets (all the quantities of interest are proportional to A?/3) and values of 5T and Ti were taken from the available observations (see, e.g., Moroz, 1967). Estimates made in this way are in agreement with observation for the Earth's atmosphere and with the results of the numerical experiments by Leovy and Mintz (1966) on Mars.
But in any closed theory of the general circulation the temperature characteristics must be defined by the theory itself, rather than prescribed from the beginning. Quite simple estimates of temperatures can be obtained as follows. First, we set
Ti = Te/a, a》1,異(办/4。户4,2
where a = 5.67 • 10-5 erg • cm-2 • sec~x • (° 7f)-5 is the Stefan constant, and Te is the equilibrium temperature of the planet in question observed from space. For atmospheres which are not very thick (e.g., Earth or Mars) Ti =叁，i. e., a = 1. For Venus a = 230°/700° = 1/3. Because Ti appears in Eq. (1) and e enters everywhere with the exponent 1/3, we can safely neglect for a time the difference between a and 1.
Secondly, 8T can be specified by the equation of heat balance in an atmosphere; after averaging over height in the stationary case, this equation may be written as
Мсриг * = F(9)
е., heat advection is in equilibrium with cooling to space. Equation (9) is correct for the night side of a planet, and approximately correct in some other cases, e.g., because absorption of direct solar radiation in the atmospheres of Earth and Mars is small.
To order of magnitude we may write for a slowly rotating planet
(J Ju%(J Ju%(Ю)
(J Ju%
(J Ju%
Then from Eq. (9) we have
(П)(П)亠 — QaR
(П)
(П)
=Mcp — Шср
This relation expresses the intuitively evident fact that the mean velocity of circulation and the temperature difference which is its cause are intimately interrelated and self-consistent with each other. Their product could be estimated a priori if we knew the atmospheric composition and the pressure. Equations (9) or (10) are simply stating that the divergence of the large-scale heat flux in the atmosphere is of the order of the average energy input, qa/4, or output, о尊.All other processes of energy transfer and transformation are not considered in this theory. For the Earth's atmosphere the most dangerous such omission would seem to be water phase transformation processes, but Lorenz (1967) points out that in the global energy balance (not in local ones!) these processes are not of major importance.
Now, putting (10) into (9) and taking into account (1) we may obtain
(12)(12)
(12)
(12)
Here ST applies to the mean level of the atmosphere. Usually ST < < 6TS, the mean temperature difference on the surface of a planet which should be in (1). To obtain 5TS, from (12) we should multiply (12) by the factor 7—3/4&—1/4 which exceeds unity. We neglect it for the time being.
We see that (12) expresses the mean temperature difference in an atmosphere, which causes its circulation, through the astronomical parameters 亿4 and R, the atmospheric properties M and cp, the universal Stefan constant a and one empirical constant, k, the dependence on which is, fortunately, quite weak.
Having 5T we may write down expressions for & U, tu, k, etc., which we defer. For the moment we write only the expression for the total mean kinetic energy of an atmosphere
e=1 M^R^U2 生 2"2”(6h产/3 生 27rM/2 胃(*)7/8h3. (13)
This expression is remarkable in several respects, the most surprising being the independence of the total kinetic energy of an atmosphere and its mass. This deserves a somewhat deeper study and attempts to establish it by other approaches.
Theory of Similarity for Large-Scale Motions of PlanetaryAtmospheres 9
General Similarity Hypothesis
The simple form of expression (13) for the total kinetic energy of an atmosphere naturally suggests a similarity approach (see, e.g., Sedov, 1967) to the general circulation problem. Methods of similarity and dimensionality have displayed great power in studies of the most complicated hydrodynamic processes, such as turbulence (and atmospheric turbulence in particular). In the use of these methods, the greatest difficulties lie in a reasonable choice of the determining dimensional parameters which are most important for the phenomenon under study. The number of these parameters should not be too large, so that the results remain nontrivial. Physical hypotheses on the nature of the phenomenon should serve as a basis for such a choice. These hypotheses cannot usually be proved rigorously; ultimately their justification is only in agreement with observations. The classical example of such a theory is the Kolmogorov theory of locally homogeneous turbulence.
The physical ideas underlying our considerations of the general circulation can be described as follows: The prominence of atmospheric motions and their cause, the temperature difference, are interrelated and self-consistent and determined by the energy input into an atmosphere, by its size, mass, and heat capacity. The energy balance in an atmosphere is provided through cooling to space by long-wave radiation at an effective temperature Te = 3/4。)"K All this seems quite obvious. The hypothesis is essentially that everything else, like the optical properties of the atmosphere, its vertical structure, phase transformations, its underlying surface topography, and so on, are not terribly important for the determination of some mean characteristics of the general circulation. In those cases where such neglect is clearly unjustified one may nevertheless employ thermodynamic inequalities like (3), and still extract some information.
Slowly Rotating Planets
Let us first consider a slowly rotating planet for which the dynamic effects of rotation are small. The exact conditions for neglecting the angular velocity of rotation s will be given in Section d below. Then, in the equations of dynamics and energy balance of a planetary atmosphere averaged over height, the determining parameters are the surface-averaged energy input 勿i/4 (^m-sec-3), the heat capacity, cp, of an atmosphere per unit mass (cm • sec-2 • (°К)~х\ the mass of a unit atmospheric column M (gm・cm-2), the planetary radius R (cm), and the Stefan constant a = 5.67 • 10-5 gm • sec-2 • K~A. One may construct from these
five parameters only one nondimensional quantity, because only four of them have independent dimensions. We choose this inequality the form 9
(14)
The motions in different planetary atmospheres with the same value of Mi should be similar within the frame of the adopted assumptions and restrictions. The physical meaning of this similarity criterion will be clarified below.
The values of M\ for the terrestrial planets аге 1 • 10-5 (Venus, p = 100 atm), 1.1 • 10-3 (Earth), and 3 • 10-2 (Mars, p = 6 mb). We include here Earth and Mars because, even for the case that rotation is important, one may also construct the nondimensional quantity 罔 though it ceases to be unique. We see that for all terrestrial planets the similarity parameter M\ is small, i. e., in the first approximation the dependence on Mi must not be essential, at least for some global mean characteristics of atmospheric circulation. This means a kind of self-similarity with respect to the value of 罔.The smallness of 罔 is equivalent to the largeness of the mass M; in the first approximation M may be ignored; i. e., the selfsimilarity with respect to Mi is equivalent to self-similarity on M ).
Using the remaining four parameters, all of which have independent dimensions, one may construct quantities with dimensions of temperature, velocity, time, and energy. The first is the well-known relation Te = =3/4о)1/4. The second is
J/2 = 4/2^4/40)1/8 = (CpTe)1/2 = Ce(k - 1)-1/2. (15)
We see that s = cpTe is the enthalpy per unit mass of an atmosphere (to the accuracy of a factor which accounts for the difference between Te and the mean temperature of the atmosphere). The last equality in (15) is written for an ideal gas, taking into account that
庆—1) —д’/〃，
where 庆=cp/cv, R is the universal gas constant, and 从 is the molecular weight. Then ce is the sound velocity in the atmosphere.
The quantity with the dimension of time is
= R/ce = R〈k - l)T/2$/2(4cr/q4)i/8.(16)
It has the meaning of the relaxation time on a global scale for pressure or density disturbances.
The quantity with the dimension of energy is
E =月01/%^1/2g4/4)7/8h3,(17)
where В is a numerical factor. Generally speaking В should have a universal value within the limits of the adopted assumptions, but because the assumptions are hardly strictly valid everywhere one may only hope that В does not change substantially from one planet to the other. The value of В may depend on such parameters as k, the angle between ecliptic and equatorial plane, i. e., on illumination conditions, on the absorbing properties of gases, and so on. In this situation one may expect to make only order-of-magnitude estimates.
Using (15) and (16) we may rewrite (17) as follows:
石=' / 丿 qA《R — = ' / 丿 QATe；(18)
47rCe47r
e., the energy, E, save for the numerical factor, is equal to the product of the total power Qa of the solar radiation supplied to an atmosphere and the relaxation time on a global scale of pressure or density disturbances.
Even if we do not remember formula (13) it is possible to show that E is really the total kinetic energy of the atmosphere. The total enthalpy of the atmosphere
W 生 ^P^McpTe = 4тгД2Мс|/(/€ - 1)
depends plainly on its mass. Its relaxation time is
(19)(19)_ W __ cpM fqA\-3^
(19)
(19)
丁° = 3 = (a — 1)必=尸 E
Comparing (16) and (19) one finds that re/ro is a small value of the order of Mi i. e., the total internal energy is acquired by the atmosphere in a time much longer than re. But the crucial argument is the comparison with observations. Unfortunately we do not have data on the mean atmospheric kinetic energy for a slowly rotating planet. Venus could serve this purpose, but we do not observe there anything beside the 4-day circulation of ultraviolet clouds, which is evidently irrelevant to the motions of the main volume of the atmosphere. In this situation we are forced to look at Earth where there are some observations, and at Mars for which there are the computations by Leovy and Mintz (1966). Both planets are rotating, but fortunately not so rapidly as to determine
completely the atmospheric energetics, as is evidently the case for Jupiter and Saturn (see Section 4 below). Let us calculate E/B using (17). For Earth we find 1.12 • 1027 ergs and for Mars 1.0 • 1026 ergs. According to Spar (1949) and Borisenkov (1963) the value of the total kinetic energy of the Earth's atmosphere changes somewhat from season to season and is about (6-9) • 1027 ergs. Lorenz (1967) in his book quotes the value of Oort (1964) which is precisely in between: 7.5 • 1027 ergs. In all of these calculations geopotential maps at the mean atmospheric level were used and the wind was calculated by geostrophic formulas, which slightly exaggerate the velocities relative to their real values. Leovy and Mintz (1966) have found as a result of computations with a two-level model and primitive hydro-dynamic equations that the mean kinetic energy of the Martian atmosphere per unit mass fluctuates with time between 650 and 800 m2/sec2. Thus, with p = 5 mb, g = 370 cm/sec1, and R = 3400 hm, one finds E = (1.2 to 1.6)- 1026 ergs.
We see that to within a factor of the order unity formula (17) determines the total kinetic energy of atmospheric motions. The difference in the values of B, without the accuracy of empirical or computational determination of E, could be accounted for by the larger role of rotation and smaller values of 罔 for Earth than for Mars (see below, Section 4). The comparison of (13) and (17) shows that
В 仝 27^1/2, (20)
e., the value of В is related to the value of the utilization coefficient, which is the ratio of the actual efficiency of the atmospheric heat engine to the ideal efficiency of a heat engine 9.
Many important consequences follow from formula (17):
The mean kinetic energy of an atmosphere per unit volume does not depend on atmospheric pressure. It may be estimated as
E4тгЯ2ЯE4тгЯ2Я4小（4丿г4小（4丿г(21)(21)
E4тгЯ2Я
E4тгЯ2Я
4小（4丿г
4小（4丿г
(21)
(21)
where H is an effective thickness of the atmosphere.
Knowing the value of M = ps/g, we may determine the mean velocity of atmospheric motions,
i) In the paper by Golitsyn (1970) a formula analogous to (20) is given as В = 7г2ka. That followed from the approximation dT/dxi = 5力/(穴〃/2) there. Here we have 8T/R which slightly simplifies many formulas, by not adding to them various powers of тг/2.
The meaning of the nondimensional parameter, Mi, the similarity criterion for general circulation, is now becoming clear. Using (22) and (15) we may rewrite (14) as follows:
Mi = 2ь(二1)炉生Mi = 2ь(二1)炉生(23)(23)
Mi = 2ь(二1)炉生
Mi = 2ь(二1)炉生
(23)
(23)
where (Ma) = U/ce is the Mach number. We see that for slowly rotating planets the similarity of circulation with respect to M\ turns out to be the similarity of flows with respect to the Mach number, well known in hydromechanics.
If we know the typical space scale of the phenomena we may estimate their time scale,
(24)
The factor 1 /2 is introduced here for the simplification of subsequent formulas. The parameter /3 introduced here may be called the degree of organization of the flow. At /3 = 1, the «lifetime» of the atmospheric large- scale patterns is of the order of their space scale over their velocity. This is presumably valid for the slowly rotating planets where one should observe a kind of large-scale turbulent mixing.
But for rapidly rotating planets, this is not the case. We shall return later to further discussion of the meaning of /3.
Using (24) and (17) one may define the mean total rate of generation of kinetic energy in the planetary atmosphere which must be equal to the mean total rate of its dissipation for stationary circulation:
EE21/16 〃5/221/16 〃5/2(25)(25)
E
E
21/16 〃5/2
21/16 〃5/2
(25)
(25)
The rate per unit mass is
6 — 47rA- 2^6 — 47rA- 2^笈/2笈/2(26)(26)
6 — 47rA- 2^
6 — 47rA- 2^
笈/2
笈/2
(26)
(26)
havehave(27)(27)〃=〃=(Ma)仝(Ma)仝"(丁产(Ma)."(丁产(Ma).(28)(28)
have
have
(27)
(27)
〃=
〃=
(Ma)仝
(Ma)仝
"(丁产(Ma).
"(丁产(Ma).
(28)
(28)
The efficiency coefficient for the transformation of solar energy into kinetic energy is equal to 〃 = g/Qa = 4eM]qA・ With Eq. (26) we
With the help of (14) and (23), we get
We see that, for not very rapidly rotating planets, when /3 = 1 the atmospheric efficiency is of the order of the Mach number (Ma) for the atmospheric motions.
Comparing the expressions (1) and (27) for & the mean rate of kinetic energy dissipation, we can estimate the characteristic temperature
difference
(29)(29)仃〜逃=丄、3/2（必/4）9/16 产 1/2生止
(29)
(29)
If Te differs noticeably from 0 then the value of к in (29) should be replaced by ka, where a = Te/T\. Taking into account the relation (20) between В and к we see that at /3 = 1 (29) coincides with (12) 9. Formula (29) should not be considered a consequence only of the similarity considerations developed here because the expression for the efficiency coefficient 〃〜8T/T follows from thermodynamics and because the expression (1), though it is very plausible, is merely stated rather than proved rigorously.
Let us discuss now in more detail the relation of the theory just developed to the energetics considerations of Section 2. This relation is given by (15) connecting В and k. The formula (17) for the kinetic energy is obtained using the similarity theory with only assumptions on the determining role of five parameters,夕厶，M, cp, R, and a, and with the hypothesis on the self-similarity on M at large Mi，To derive the analogous formula (13) from energetics we had to accept the simplified balance equation (9) from which we got the approximation relation (11). The last may be regarded as a specific version of the hypothesis on the interrelation and self-consistency of the circulation mean velocity and the temperature difference; however, in the similarity approach, we do not need such a specification — we can instead employ (1) to determine the temperature difference. The next step is the approximation U = (ei?)/3, which, with the accuracy of some coefficient of the order of unity, is justified at least by terrestrial experience for not very rapidly rotating planets. The last step is the use of the expression (1) for e; this does not seem very risky. As a result we have (13); comparing it with (17) we find В = 2穴卜1/2. This relation reflects all the approximations accepted while deriving (13). It would be very desirable to establish the exact value of 石/卜1/2, if there is one, but we see no other approach besides the numerical computation of the detailed picture of general circulation for a hypothetical slowly rotating planet, from which one may calculate the value of б and then of k.
The very proportionality of В and RI? appears quite plausible, because then we have a relation like (11) without any k, from which it follows that the heat advection in an atmosphere or the divergence of the large- scale heat flux is defined on the average only by the solar energy input.
Because the value of B, under the adopted assumptions, should be a universal constant, the value of к should also be such a constant. Because our assumptions are valid only approximately, then the value of к could
possibly change from one planet to another, but, fortunately, к enters most of the formulas as A?/’. Accordingly, to the limits of accuracy to which this theory can pretend we may consider the value of к to be constant.
There is still one more assumption in the arguments just presented. It is that among the determining parameters must be g, the gravitational acceleration, because only due to the action of gravity is the circulation initiated. This leads to a new non-dimensional quantity which we write as
Я1 = cpTe/gR = H/R.
This is the ratio of atmospheric scale height to planetary radius. It is always small; thus g is always sufficiently large for us to neglect it. Of course this should be considered as a new self-similarity hypothesis.
From formula (29), considering 8T as given, we may estimate k:
к生к生(^/4)9/4(^/4)9/4(30)(30)This shows that for slowly rotating planets the entire theory could be defined, not only by giving B, or k, but also by giving any other value such as 8T, U, & etc.This shows that for slowly rotating planets the entire theory could be defined, not only by giving B, or k, but also by giving any other value such as 8T, U, & etc.The use of thermodynamics may supply us with still more usefulThe use of thermodynamics may supply us with still more usefulrelations. According to inequality (2), к v 1. Then, from (29) or (12), werelations. According to inequality (2), к v 1. Then, from (29) or (12), weobtainobtain5T>5T>3/4严 A 1/23/4严 A 1/2(31)(31)
к生
к生
(^/4)9/4
(^/4)9/4
(30)
(30)
This shows that for slowly rotating planets the entire theory could be defined, not only by giving B, or k, but also by giving any other value such as 8T, U, & etc.
This shows that for slowly rotating planets the entire theory could be defined, not only by giving B, or k, but also by giving any other value such as 8T, U, & etc.
The use of thermodynamics may supply us with still more useful
The use of thermodynamics may supply us with still more useful
relations. According to inequality (2), к v 1. Then, from (29) or (12), we
relations. According to inequality (2), к v 1. Then, from (29) or (12), we
obtain
obtain
5T>
5T>
3/4严 A 1/2
3/4严 A 1/2
(31)
(31)
The existence of a theoretical lower limit on the characteristic temperature difference 5T in a planetary atmosphere seems at first glance to be unexpected. However, (31) reflects the self-consistency of the mean velocity and temperature difference which is expressed by the fact that their product is a constant independent of к if 石〜k^. [See also Eq. (11).] If 5T could decrease without limit then U would increase in the same proportion; i. e., the conversion efficiency for solar energy of a planetary atmosphere would also increase in spite of the 5T decrease and the fact that 〃 V 1, even forgetting that к V 1. The condition к < 1 together with Eq. (20), places further evident upper limits on U, & and 〃，and a lower limit on rn.
this time from above:this time from above:ВТ < T\ * Te・ВТ < T\ * Te・(32)(32)For the temperature difference 8T there is another evident inequality,
this time from above:
this time from above:
ВТ < T\ * Te・
ВТ < T\ * Te・
(32)
(32)
This inequality may generate useful information for the case M\ ^> 1, when the formal use of (29) may violate (32).
Motions in Rarefied Atmospheres (Arbitrary Values of theSimilarity Parameter M\)
The similarity parameter M\ is not small for a rarefied planetary atmosphere. For example, if we were to accept that the Mercury atmosphere has M > 1 gm/cm2 and consists of CO2 [see Moroz (1907), although it
is quite probable that Mercury has practically no atmosphere at all], then Mi >1. For arbitrary values of Mi the multiplier В in formula (18) for the kinetic energy must be considered as a function of Mb i. e., В = B0/(Mi), where /(0) = 1. The function /(Mi) has to be a decreasing function of Mi, which follows from a number of considerations, the simplest of which is that in the opposite case the inequality (32) may be violated. From this, Eqs. (29) and (20), and accepting that Bq t 27ГА;1/2, we find that
/(Ml) < /32/3^1/6^1/3 for M] > 1.(33)
The fact that the function /(罔)must decrease rather soon, even for small values of Mi, may be seen if we pay attention to one peculiarity of the obtained formulas. According to (29) T oc 源while Te oc q/.
The characteristic temperature of the cold part of an atmosphere
T2 = Ту -6T = Te(qT -汀/Те) = TeQ—l[l —(石乃兀广枝“产/節]
increases with Te only up to certain values of 罔 if we disregard /(Mi). Taking into account that M^2 oc q/‘ oc 歴"we obtain from the condition dT2/dTe > 0 that Mi < 16俨〃/2/81 生 0.06 if /3 =1 see that if we do not take account of /(罔)then we may get an unnatural result: The increase of the energy input 办 into an atmosphere may cause a decrease in the temperature of the cold parts of the atmosphere. To prevent this the function /(Mi) must start to decrease noticeably rather soon with a decrease in M\. The condition d7^/d£ > 0 gives a differential inequality for /(Mi) from which an inequality equivalent to (33) follows.
However, the inequality (33) is too weak and the function /(Mi) must decrease much faster than M^x^ at Mi > 1. Now, putting into (17) the expression В = Bo/(Mi), Bq t 2不№ and (33) we find
E<^M^k(3qAR/^M^\(34)
where Mq = 4тгД2М is the total mass of the atmosphere. Then the ratio of the kinetic energy of the atmosphere to its total enthalpy W = MqcpTg is E/W <^{kpM^/\(35)
i. e., in order to avoid supersonic motions in an atmosphere one has to consider к and/or /3 as decreasing functions of M\ or to require /(Mi) to decrease faster.
At Afi》1, if this is the only criterion of similarity, some new selfsimilar regime of the circulation may appear, at which the circulation characteristics should not depend on M\. The self-similarity on Mi will be equivalent here to the self-similarity on qA (a self-similarity on any of the other four parameters entering M\ is unsatisfactory for a variety of reasons). This means that at sufficiently large M\ (or 夕厶)the circulation energy reaches saturation; i. e., it cannot exceed some limit independent
of qA・ While nevertheless we always have E = Qatv =刀Qa「u, the hypothesis on the independence of the energy on Qa for M\》1 means that the increase of Qa with other conditions fixed must lead to a corresponding decrease of the relaxation time rr or the efficiency 小 For the independence of E on 办，as follows from (14) and (17), one should have
F(Mi) oc for Mi》1. (36)
Then E/W oc M^^, i. e., supersonic motions should not be present. We shall not present here the detailed formulas for the characteristics of the dynamical and thermal regimes. They could be used for order of magnitude estimates were some atmosphere to be found unambiguously on Mercury. The values of e and 5T thus obtained could be underestimated: We do not take into account in any way the vertical structure of the atmosphere, while at Mi >> 1 the effects of vertical convection and local radiative transfer become essential for determining the temperature distribution on the planet as well as the dissipation of kinetic energy, which must then occur mainly on a small scale 9. However, the order of magnitude of the total kinetic energy of large-scale motions alone under condition (33) may still be reasonable.
Similarity of Atmospheric Circulations for Rotating Planets
Let us now include into the number of determining parameters the angular velocity of rotation s [sec~]. The value of the first similarity parameter Mi we consider to be small — an assumption valid for Earth, Mars, and moreover for the giant planets with very thick atmospheres. If we take for Jupiter M = 10 gm/cm which is for the cloud level (Moroz, 1967), then M\ =10-4, an apparent upper limit. Now from the five parameters a, cp, qa/4, R, and s we may construct only one dimensionless combination
、 (4〃办)1/8 uR R
A = ：、i/〔 1/2 3R = — = SR =厂， (37)
where 工。is the Obukhov scale defined by (4). The similarity parameter A is also well known (see, e.g., Monin, 1969; Hide, 1966, 1969). If X « 1, the influence of rotation on the dynamics is negligible.
Now again the constant В in formula (17) for the total kinetic energy E becomes a function of A: В = Bo/(A), where, possibly, 石0 = 2穴卜1/2 and /(A) = 1 for small A. From the general considerations on the stabilizing role of rotation it follows that /(A) must increase with increasing A. One cannot here write explicit formulas as in the case of slow or no rotation; however, the relations; U ос t~x ос б ос ту ос 5T oc ос Л/1/2, 6 oc M-3/2 are preserved here as well as the independence of E and 阳2/2 on M.
However, if one strongly decreases A or, more precisely, increases the length of the solar day, then the circulation pattern could change — the antisolar point would become colder than the poles and the circulation would be directed mainly from the day to the night side of a planet. A criterion for the existence of one or the other regime can be obtained by comparison of 6T, defined by (29) which refers to the equator-to-poles difference or to the scale R, with the daily change of the temperature 5Td. Let q be the length of the day. Then with the help of (19) and (16) one may get for the case of q « 丁0
6Td 生｛Td/r^Te 生 2тгМ7Те・(38)
Comparing this estimate with (29) we obtain, letting /3/c1/2 = 1,
《=6Td/6T 生 27rMi/2》т.(39)
If the criterion《is small then the main cause of the circulation is the equator-to-poles temperature difference. If《is large then one may expect the day-to-night temperature difference to be of major importance.
Now we present one more exact relation, which is valid for any number of parameters determining the general circulation:
/3〃 = 2EU/QaR,(40)
where /3 is the degree of organization of the large-scale motions, defined by (24). Equation (40) follows simply from the general definitions 丁〃 = =E/g = E/tiQa and (24). Taking into account (16), (17), (28) and that in the general case В =々/(罔，A,...) we may rewrite (38) as
/3〃 = (2Hq)/i(罔(40a)
where,小
/1 (罔(马/4外(左-1)1/2貝罔，入...)， or as/
/3〃 = 2И”2/2(罔，入(40b)
where〃"、/。
力(罔,入• • = 21/2(左-1厂7/4严2(罔
Because the right-hand side of (40) is sometimes known with some degree of precision, from 〃 < 1 one may obtain some useful estimates of /3 or the «lifetime» of the general circulation, ru.
The last theoretical question which will be considered here is the case of very rapid rotation, when the similarity parameter A = =uR/ce =(^2Ry]qQ'I'ujR is large. Here one may also expect a kind of self-similarity of the general circulation regime, if some new factors do not enter into consideration. Let us look now at the various possibilities for the establishment of such a self-similarity, having in mind the theoretical (and experimental — see below, Section 4, Jupiter) fact that /(A) must grow with an increase of A 9. Consider now (17) and (37).
The self-similarity with respect to а/с^ or R would give in the first case /(A) oc A-1 and in the second case /(A) oc A-3 at X》1, which is unacceptable. We are left again with only self-similarity with respect to qA or, in the general case, with respect to the total energy input into an atmosphere. But now, contrary to the case of large 罔，we consider qA to be small; the meaning of the hypothesis on the self-similarity regime of an atmospheric circulation for very rapid rotation is this: At sufficiently large values of the similarity parameter A, the total circulation energy of the planetary atmosphere does not depend on the supplied power. Nevertheless, it is always true that E = Qa^ =刀QaTu・ The hypothesis can be reworded as follows: At sufficiently large values of A and other conditions being the same, a decrease in the supplied power Qa must lead to a corresponding increase in the «lifetime» of an atmospheric circulation ru (more precisely 〃丁〃)such that the total kinetic energy E remains unchanged. The existence of dissipation in the system (£ = 〃Qa), though small, requires an output of energy to space, which is guaranteed by retaining the Stefan constant a in the dimensional argument. The hypothesis then implies that
/(A) oc A7 at X》l. (41)
Then, from (17), we have
石=B2ac~^7RiQ, (42)
where B? is a constant. We shall not write down here the other characteristics of the circulation regime, because for all of them (except for U), the degree of organization of the motions will enter. The value of /3 is
In the paper by Golitsyn (1970) (but not in his report at the Marfa conference), it was suggested that /(A) oc A-1//2 at X》1. While deriving this estimated it was actually suggested that at X》1 the circulation breaks doun into eddies with a scale of the order of Lo, the relative motion of which are felt as mean winds, the angular velocity g then plays a role only in the determination of the scale Д). The value of /3 was not introduced there. In the case of the rather slowly rotating planets, Earth and Mars (A 1), the orders of magnitude of the determined quantities were still reasonable. But the attempts to apply these results to Jupiter (see below) show without any reservations that df/dX〉0 and /3》1.
very large at large A. According to (40a) or (40b) we have
/3 > (Ma)A7 or /3>(43)
So long as we dealt with slowly rotating planets, we considered /3 to be a constant of the order of unity, and ignored it. Generally speaking this is also a hypothesis. For the Earth it is an acceptable hypothesis (see below, Section 4, Earth), and there are no reasons to think it is not the case for the other terrestrial planets with smaller values of A. However, even for the case of no rotation /3 should be considered a priori as a function of Mi, because it gives a relation between quantities defined by all five of the determining parameters; independently of Mi we may determine from the dimension of time only that re = R/ce, but we cannot determine the «lifetime» of the circulation, ru. Fortunately, it appears that at A ^< 1 and Mi « 1 the value of /3 changes rather slowly.
Another case exists at large A. While the formula (17) for the energy is constructed only from four parameters, /3 connects quantities determined by all six parameters, a, qA (or £), c@, R, M, and i. e., /3 must depend on both similarity parameters Mi and A, particularly evidently on A, as may be seen from (43). A calculation of the function /3(Mi, A), or at least /3(A), can be performed only from numerical experiments on the simulation of the general circulation in various hypothetical rapidly rotating atmospheres.
Application of the theory to Various Planets of the Solar System
Earth
The circulation of our own atmosphere is the case for which we have some quantitative data, obtained with a certain degree of accuracy directly from observations. However, as we shall see presently, this accuracy is not yet ideal. Besides, the planet Earth rotates rather rapidly, the similarity parameter A being equal to 1.45 (for Te = 250° K, A = 0.38). Accordingly the function, /(A) as well as k'l? enters the value of В in Eq. (17) for the kinetic energy. Fortunately we do know enough about the Earth's circulation to estimate к and /(A = 1.45) separately. Although the Earth is not the best planet for determining the constants of the present theory, we do not have anything better.
The value of к may be found from its definition, к = 〃/〃ideal = =⑵/汀s)(4dH/M).
Let us look first at the temperature distribution on the Earth's surface. Lorenz (1967) presents average meridional cross sections of the temperature field constructed by Palmen and Newton from a large volume of observational data. Using these cross sections one may compile a table of the temperature values (in °K) at the North Pole (NP), equator (E), and South Pole (SP) for two isobaric surfaces at 1000 mb and at 500 mb and for representative months of the year.
Table 3.3.1. Representative Temperatures (in °K) for the Earth's Atmosphere
Junuary
July
NP
E
SP
NP
E
SP
1000 mb
245
300
265
273
300
240
500 mb
230
273
238
250
267
225
It follows from the data of Table 3.3.1. that Ti = 300° К and that the average over a year of 6TS and 5T are 45° and 33°, respectively. Then gdeai = 45°/300° = 0.15. This value may be considered to be rather definite. But the same cannot be said of & the mean rate of dissipation or generation of kinetic energy per unit mass of atmosphere. A review of the values of the mean dissipation rate D in watts Im1 for the whole atmosphere is performed by Lorenz (1967). It can easily be seen that, because for the Earth ps = 1 atm and g = 9.81 m/sec2, the value of D in watts Irr^ equals the value of e in cm2/sec3. The determination of D, the global mean value of the dissipation, is a difficult problem (see Lorenz, 1967).
Attention should be paid to estimates by Brunt (1926) of e = =5 cm2/sec3, by Oort (1964) of e = 2.3 cm2/sec3, and by Kung (1966) of б = 7.1 cm2/sec3, although the last estimate was obtained from data for North America only. Eecently Wiin-Nilsen (1968) quoted the value of 6.4 cm2/sec3 as more probable from his point of view. One sees that the limiting estimates differ by a factor of 3. In this situation we choose a representative value e = 4 cm2/sec3, but remember that we can be in error by as much as 50%. Then 〃 = 4eM/qA = 1.8 • 10-2, i. e., A; = 0.12 = 0.1.
The value of the total kinetic energy of the atmosphere, as was already mentioned, has seasonal fluctuations of some (6-9) • 1027 ergs. We choose the value E = 7.5 • 1027 ergs, which corresponds to the value quoted by Lorenz (1967) with reference to Oort (1964). Then the mean wind velocity in the atmosphere is 17 m/sec. Using this value of the energy in E/B = 1.12 • 1027 ergs, calculated above, we find В = 6.7 = Bo/(A). Taking BQ 生 2兀紹/2 [see (20)] we find 马=2.2 生 2, and /(A = 1.45)生 3. The value of /3, according to (38), is equal to 2. Then the characteristic «lifetime» of the circulation ru = E/g = 3/4 • 105 sec = 4 days; i. e., if the sources of the circulation energy were turned off, but the ratio ER = =EI RE lg were to remain constant, then in 4 days the energy would decrease by a factor of e.
Let us consider what would be the mean circulation characteristics if the Earth would rotate, say, 10 times slower, i. e., /(A) = 1. We assume that A; = 0.1 is an absolute constant of the theory, as discussed above. Then E = 2.2 • 1027 ergs, U = 9 m]sec, 〃生 3 • 16一3, 8T 生 7.5° К; and тп = 8 days. We see that the climate would be quite different, although the derived values are not bizarrely distant from their present values, at least in general. The true rotation is very determinative: it increases U to
17 m/sec, 〃 and 5Т increase by a factor 5 [a factor of /3/2(A)], and 丁〃 decreases by a factor of 2.
As an illustration of the possibilities of the equations obtained above let us see now what circulation we would have on the Earth if we were to substitute for the gases oxygen and nitrogen the same amount by weight of hydrogen, disregarding its ease of escape and its different properties in the far ultraviolet, the amount of ozone, water vapor, and carbon dioxide being kept the same. The surface pressure will be the same, the transmission functions for incident radiation and the planetary albedo will also be the same; i. e., the radiation balance and Te will be unchanged. The equations of motion averaged over height will be the same, except for the change of the heat capacity values in the energy equation. The heat capacity will increase 14.5 times (air 从=29, hydrogen 从=2). And this would be enough to produce a tremendous change in the entire circulation regime. First of all the similarity parameter M\ would decrease 55 times, and the parameter A would decrease 14.51/2 = 3.8 times, i. e., for a hydrogen atmosphere the Earth would be effectively a slowly rotating planet with A = 1.45/3.8 = 0.38. Then the function /(A) would drop from its present value of 3 to something like 1.5. As a result the total energy of the circulation would drop about 6 times, i. e., the mean winds would be about 7 m/sec. The most drastic changes would be in the temperature distribution. Because 5T ос /3/2(A)Cp3^4, its value would drop some 20 times; i. e., all places and seasons would be equally warm. This decrease in 8T would possibly produce an entire change of the circulation regime. Instead of the Rossby regime (Lorenz, 1967), with its three cells of meridional circulation and a pronounced prevalence of the zonal wind components over the meridional ones, and with cyclones in temperate latitudes, we would have a Hadley regime, with one meridional cell from equator to pole, and with meridional winds prevailing over zonal ones. We would not have weather in the usual sense.
Mars
Let us suppose that we are in 1965, i. e., we know the astronomical data about Mars and we have just learned from the Mariner-4 flight that ps = 5 mb. What could we extract from the similarity considerations? For Mars A = 0.26, and Te = 210° К (Moroz, 1967); we then calculate Mi = 3.3 • 10-2 and A = 1.0. Let us disregard for a moment the rotation and assume к = 0.1. Then E = 1.9 • 1026 ergs, U = 45 m/sec, ru = 1 day, б = 150 cm2/sec3, and 5T = 35° at the mean level of the atmosphere. But for A = 1, i. e., /(A) = 2 [we recall that; /(0) = 1; /(A = 1.45) = 3], we could say that the winds could be up to 60 m/sec and 5T = 100°, i. e., 8TS is certainly more than 100° K. This conclusion could have led to the hypothesis that the Martian polar caps consist of dry ice. Our estimates are not very far from the results of Leovy and Mintz (1966). We overestimate the mean velocity by a factor of about 1.5, but bearing in
mind our incomplete knowledge of the intensity of atmospheric circulation on Earth, one could say that our forecast for Mars is not too bad.
There may be good reasons for this overestimation. First of all the value of the similarity parameter M\ = 0.033 is not very small in comparison with 0.06, which caused some of the aforementioned troubles with the temperature T? of the cold parts of the atmosphere; i. e., f。,罔=0.033) may be already noticeably less than /(A,0). But it also may reflect the fact that local radiative and convective processes may play an important role in the dynamical and thermal regime of the Martian atmosphere. This process may take a considerable part of the energy supplied to the atmosphere. Gierasch et al. (1970) report that for the description of the thermal regime of the Martian atmosphere it is not enough to consider only local processes of radiative transport and vertical convection, but it is necessary to take into account large-scale dynamics as well. Our estimates, based on consideration of purely large-scale dynamics, show, by comparison with the computation of Leovy and Mintz, that it is possible for local processes of energy transformation to be quite important. We see that Mars may belong to an intermediate case for which simplified approaches have only qualified success.
After submitting this paper for publication the author learned about the important paper by Leovy and Mintz (1969) in which they have performed extensive and detailed studies of circulation of the Martian atmosphere with ps = 7.5 mb. I wish to mention that the mean kinetic energy of motions per unit mass is found to be about 500-560 m2/sec2 for the solstice case, compared with 650-800 m2/sec2 for the same case with Ps = 5 mb (their 1966 paper). Though there are some differences in the heating functions in both numerical experiments one may consider these results as a confirmation of our assumption on the independence of the total kinetic energy of the circulation on the mass of the atmosphere in the first approximation. The utilization coefficient к which can be calculated from the last experiment appeared to be of the order of 10-2 in qualitative accordance with our guess that Mi = 3 • 10-2 is a bit too large (see Section 3c).
Venus
For this planet M = 10-5 (A = 0.77, ps = 100 atm, g = 885 cm sec-2) and A = 10-2, i. e., rotational effects are unimportant. Were the Venus atmosphere not so thick it conceivably would be an ideal object for the application of the present theory. If the atmosphere were really optically very thick to solar radiation at optical frequencies [although, for instance, Ginzburg and Feigelson (1969) suppose the reverse], then the atmosphere would be heated from above, contrary to the situation for the Earth and Mars. The situation would be analogous to the terrestrial oceanic case, as was first noted by Mintz (1961) and also by Goody and Robinson (1966). Then one might expect a decrease of the intensity of circulation, because a system heated from above is mechanically more stable than one heated
from below. This is equivalent to a large decrease in the value of K(see Golitsyn, 1968).
Let us, however, make estimates with к = 0.1. Here one should take into account a = Te/T = 240/700 = 1 /3. Then В = 27r(ka)"? = 1.2. Having c@ = 2.4 cal/gm (° K) and R = 6050 km, we find E = 9 • 1026 ergs. The fact that the circulation energy is an order of magnitude less than for the terrestrial atmosphere may be explained by the absence of rotation, by the smaller energy input (A = 0.75 and a smaller radius), and by the thickness of the atmosphere (a = 1/3). The mean velocity is about 60 cm/sec; tu = 104 sec = 4 months, which, incidentally coincides with the length of the Cytherean solar day; e = 4 • 10-4 cm2/sec3; 5T = (ka)~i^M^2; Te = 2°K. This is for the mean level of the atmosphere, where p = 50 atm. In the Earth's atmosphere the ratio 7 = 5T/5TS = 35°/45° = 0.75; in the Martian atmosphere one may find, using the computations of Leovy and Mintz (1966), that 7 =0.6. For the very thick Cytherean atmosphere we may expect that 7 =1 also; thus the surface temperature difference should also be very small.
Both of the last conclusions happen to be in excellent agreement with the results of very recent radioastronomical measurements. First of all, the practical absence of the microwave phase effect at centimeter wavelengths seems now to be a firmly established experimental fact (see Morrison, 1969; Dickel et o/., 1968; Pollack and Morrison, 1969; Sagan, 1970). Then the results of radiointerferometry measurements of the Venus thermal radiation at 11-cm wavelength performed at Green-bank, West Virginia, show no temperature difference between equator and poles within experimental error of ±15° or less (Sinclair et a/., 1970). The same conclusion was obtained by Berge (1968) who made radiointerferometry measurements at 3.12 cm for two perpendicular directions: along the equator and the meridian of the planet. The mean brightness temperature Ть was about 550° K, i. e., the radiation originated at some rather deep levels in the atmosphere. Limb-darkening was observed; however, no deviations from circular symmetry in the distribution of 〃 were found. This also suggests the homogeneity of the horizontal temperature distribution in the Venus atmosphere.
Regarding the winds on Venus, the only observational data refer to the motion of ultraviolet clouds. Their velocities reach 100 m/sec (the 4-day circulation). These clouds are not seen in the visual. The ultraviolet radius of Venus according to Kuiper (1969) is equal to 6145 km, while the radius in the red or near infrared is 6100 km. Kuiper claims the difference to be real — which suggests that UV clouds are some 40-50 km higher than the visual clouds. The pressure at heights 90-100 km from the surface is about 1 mb (Avduevsky et a/., 1969); i. e., the 4-day circulation is a purely stratospheric phenomenon on Venus. Our estimate for the characteristic velocity relates to the whole volume of the atmosphere, where the motions have not yet been observed by any methods. But the success of the theory
in forecasting the temperature difference gives some assurance about the order of magnitude of the estimated mean velocity, time scale rn, and the mean dissipation rate e.
If it happens that all or almost all of the incident solar radiation is absorbed by the atmosphere rather far from the surface, then pursuing the analogy with the ocean (Golitsyn, 1968) one may think that the value of к could be decreased by a factor of 102 or 103. Then U and e would decline by a factor of 3-6, and ru and 8T would correspondingly increase. However, the author is inclined to prefer the estimates presented above for A; = 0.1.
The general situation on Venus resembles quite closely the one which would obtain on Earth were molecular hydrogen the principal constituent of the terrestrial atmosphere.
All these estimates were carried out with the use of R as a scale of motion, i. e., assuming the circulation be driven by the equator-to- poles temperature difference. However, the criterion《for Venus is not small at all, due to the large length of the day. According to (39), 《=2тгМу2А-1 = 2. Such a value of《suggests that the circulation should be mainly driven by the day-to-night temperature difference rather than by the equator-to-pole one. If we keep the estimate 5T = 2° К but refer it to the antisolar point, then using (11) with tvR instead of R we now get U = 2 m/sec. In this situation, numerical experiments with three-dimensional models of motion of the Cytherean atmosphere would be highly desirable. Special attention should be paid to the degree of flow organization, /3. However, our conclusions that the temperature distribution is uniform in the Venus atmosphere within the limits of only few degrees and that the mean velocities are of the order of one or a few meters per second, apparently remain valid.
Jupiter and Saturn
If we forget about the rings and the rarity of spots, Saturn is very similar to Jupiter: the same dark belts and bright zones parallel to the equator, a shorter period at the equatorial zones than at temperate latitudes. This similarity is confirmed in Table 3.3.2, where the basic
Table 3.3.2. Basic Properties of Jupiter and Saturn
Req （力加）
шн • Ю4 (sec-1)
К（。К）
g (ст/sec2)
A —— (jjR^ Ce
Jupiter
71500
1.76
134
2600
15.7
Saturn
60300
1.64
97
950
14.8
parameters necessary for determination of the general circulation are listed. Here we take instead of the usual value of the energy input into an atmosphere,夕厶，the effective temperature, Te = (qo/4o)i/4 which accounts also for the internal energy flux. The values of Te were recently measured by Aumann et al. (1969) and they show the existence of an energy flux
from the interior of both planets. We have already presented an upper estimate on Mi for Jupiter which was 10-4. Due to the low temperature and the great thickness of the atmosphere one may expect a very low value of Mi on Saturn as well. The similarity parameter A was calculated for molecular weight 从=2.6 (70 % H? + 30% He, as assumed by Moroz, 1967). For pure hydrogen the value of A will be some 15% less. Note that the ratio Ан2/Ане = 1.06 does not depend on the chemical composition if only it is the same for both planets. The gravitational accelerations differ by a factor of almost 3, which affects the values of the adiabatic temperature gradient and the vertical mass distribution in the atmospheres; but because our theory disregards (perhaps unfortunately) the vertical structure of a planetary atmosphere, one may expect a close resemblance of the atmospheric dynamics on the two planets. The appearance of the planets seem to confirm this conclusion. Therefore, both planets will be considered together; we have here evidently the case of very rapid rotation.
Unfortunately we do not know much about Jupiter, and our knowledge about Saturn is virtually nonexistent. First of all we do not know the depth of the atmosphere in motion, i. e., the values of M and therefore of Mi. Moreover if we have an energy input from above as well as from below it is not a priori clear, especially for very thick atmospheres, if it is possible to restrict ourselves only to the two similarity parameters M\ and A. Because we do not know the answers, we use first the most general considerations and the experimental evidence; then we shall investigate what consequences might follow from our theory.
The winds on Jupiter at the cloud level are well known and have been regularly observed as a motion of spots over a period of about a hundred years. A condensed review of observations before 1957 may be found in the book by Peek (1968); these observations were critically extended by Chapman (1969) up to 1966. Knowing the dependence of periods on latitudes one may estimate the mean kinetic energy of the zonal flows, assuming that the atmosphere is in a state of homogeneous motion to a depth which can be characterized by the value of M (gm/cm2). This energy may be estimated as
cos3夕厶夕八名， (44)
where to is the mean rotational period of the planet (System II for temperate latitudes, or System III of the decametric radioemission, the difference between the systems being unimportant in the calculation of E); △为 is the mean width in degrees of a belt or zone with the central latitude %, and At is the difference between periods to and 办.Performing the summation over all belts and zones presented in the general table of periods by Peek we find that 石=8 • 1027M = 1028 ergs. Almost 90% of this value comes from the equatorial belt and from the North Temperate Current, C.
There are several estimates of the pressure at the level of the upper cloud boundary. According to Moroz (1967) this pressure is about 1.5 to 2.5 atm. Assuming that the motions occupy at least one scale height we derive a lower bound on M = p/g > 103 gm/cm2. That means that the energy of the circulation E > 1031 ergs. Note that the estimate of the energy given by (17), which disregards the rotation, would give only E 4 • 1028 ergs (B = 2). Therefore the role of rotation in determining the kinetic energy of circulation is decisive indeed. This lower bound on E allows us to derive some useful estimates, because we know that Q = =4ttR2(jT3 — 1。25 ergs/sec, and that the velocities averaged over the Jovian disk, U = 3Q m/sec. We may estimate /3〃，the product of the degree of the organization of the flow and the efficiency of the atmosphere in transforming the supplied energy into energy of atmospheric motions: /3〃 = 2EU/QR > 1. Because usually 〃《 1, then 0》T oi tu》R/2U = =7 • 109cm/6 • 103 cm/sec = 15 days. Such large lifetimes on Jupiter are characteristic even for small details. According to Peek (1958) small spots could be traced on the planetary disk through many weeks, months, and even years, which suggests a very low intensity of turbulence in the Jovian atmosphere.
More closely connected to the question of the value of 丁〃 are the characteristic periods for changes in the latitudes of the Jovian belts and zones, which may be considered as changes in large-scale weather features. A table of such periods composed by Focas may be found in Moroz (1967). It follows that these periods are in general 12-16 years or 4 to 5 • 108 sec, including the equatorial zone where the velocities are the greatest. However, this time may also be considerably less than the circulation «lifetime», 丁〃 = E/Q^. Now if we suppose by analogy with the Earth that the efficiency 〃 ^ 10-2 (this is probably a strong overestimate for the thick Jovian atmosphere) then we would have only
E = 1025 ergs/sec • 5 • 108 sec • 10-2 = 5 • 1031 ergs,
i. e., a value comparable with our lower limit estimate for the kinetic energy.
Having considered one by one probably all the possibilities supplied by the observations, let us turn to the theory suggested at the end of the previous section for the very rapidly rotating planets. We do not know if it is possible to consider A = 15 as a very large value, although the appearance of the circulation on Jupiter and Saturn is actually quite different from the circulation in the Earth's atmosphere. We do not know the value of B? and the large exponents in Eq. (40) for the energy are appalling: the constant «of the order of unity» B? might be a multiplier something like 1/(2тг)7 = 2 • 10-5 (!) We do not know if other factors are really unimportant for the circulation regime. Nevertheless we assume 石2 = 1 也(42) and see what follows. For Jupiter with 从=2.6, we get 石=8 • 1035 ergs. If 从=2 then 石=2 • 1085 ergs. Comparing this value
with the value obtained from the motions of spots, E =8-1027 Mergs, we find M = 108 gm/cm2, which is equivalent to 2.5 • 105 atm. With 从=2 we have M = 2.5 • 107 gm/. With 从=2.6 the adiabatic temperature gradient ya = 2.5° km~ . If we assume that at the upper boundary T = =170° К (a generally accepted value) and p = 2.5 atm, then we could estimate the depth of the atmosphere in motion using the formula for pressure change in an adiabatic atmosphere. This depth is equal to
= W^WPo)^1^-!]. (45)
With 从=2.6, and 庆=cp/cv = 1.45 we find Z = 2000 km. The value is in agreement with some other, though very speculative, estimates of the depth of the Jovian atmosphere. (See, e.g., Hide, 1969.)
Having estimated E and knowing U from observations we may estimate the product /3〃 using (40). It is equal to 2 • 104, and if ту > 10-2 then /3 > 2 • 106, whereupon ru = [3R/2U > 1013 sec or 3 • 105 years. The lifetime of hundreds of thousands or millions of years for a circulation which may extend to a depth of the order of 105 atmospheres does not seem improbably high. In this connection we may recall the numerical experiments of Bryan and Cox (1968). In their computations the oceanic circulation, with M = 4 • 105 gm/cm^ and with the real abyssal topography, has been calculated for about a thousand computational years. These estimates show that the numerical simulation of atmospheric circulation on the giant planets is probably not a matter for the immediate future.
We shall not make estimates of the other quantities because they require knowledge of the value of /3 while we can estimate only the product f3rj.
The great lifetime of the circulation implies that the lifetime of large hydro-dynamical formations also should be great. This allows us to suggest that the famous Great Red Spot on Jupiter is a large long-lived eddy in the atmosphere of the planet, omitting the questions of why it is unique and how it was originated. This may explain the longitudinal wandering of the Spot, at least.
Let us turn now to Saturn. The period of rotation in the equatorial zone of approximately ±20° width in latitude is about 10^ 15m and the periods of the latitudes above ±30° are close to 10^40m. Then, using an integral equivalent of (44), we may estimate the energy of the observed motions, 〜1029M ergs, i. e., an order of magnitude greater than for Jupiter. The lifetime of the spots on Saturn is also several months (Alexander, 1962). We do not know of any other time scales for the atmosphere of Saturn.
If we use again Eq. (42) with 石2 = 1, then E = 1 • 1035 ergs for 从= =2.6. Comparing this with our estimate of the energy from observable motions, we find M 〜106 gm]cm?. This estimate is two orders of magnitude less than for Jupiter; the difference in pressures will be two and a half orders of magnitude. This result does not depend significantly on the choice of the particular formula (42) for the kinetic energy.
If we write an expression for energy in the most general form, E = =BqF(A, .. .)acp ^2^/2/?3 [we introduce into (17) Te =(如/缶)"'],and assume the ratio of the functions /(A,...) for both planets to be on the order of unity, we derive that E for Jupiter should be about 5 times that for Saturn. We obtain from this a difference in the values of M of at least a factor 50. This difference requires some comment. One possibility is that the clouds of Saturn extend up to very great altitudes, where the pressure is low, and that the great velocities up to 400 m/sec in the equatorial region are purely a stratospheric phenomenon. Below in the main volume of the atmosphere the velocities would be significantly less. It is possible under these conditions to decrease the difference in the values of M estimated for the two planets. In the Appendix we discuss the possible vertical structure of the clouds on Saturn. However, it follows from this discussion that such an explanation encounters some difficulties and requires a rather low stratospheric temperature on Saturn. It would be better, of course, to have some experimental estimate of the pressures in the upper cloud level of Saturn, but this seems to be a difficult observational problem.
Accordingly one cannot exclude the possibility that the atmospheric dynamics of two planets, otherwise so alike, has some essential difference, e.g., in the functions /(A,...); although the arguments A are very close to each other, the other factors denoted by dots may be quite different. However, even with no estimates and discussions, the simple observational facts are that the winds in the equatorial zone of Saturn are four times stronger and occupy two or more times the area compared with Jupiter, and that Saturn has an energy supply one-quarter that on Jupiter; for two planets of essentially the same radius, this is striking, astonishing, and enigmatic. It deserves considerable attention.
Considering all currently known physical properties of the two giant planets we may see only one major difference between them: Jupiter has a magnetic field of perhaps 50 gauss, but all attempts to find a magnetic field on Saturn have failed so far. Probably it is much smaller if not absent altogether. Hide (1966, 1969) pointed out that in the deep parts of the Jovian atmosphere magnetohydrodynamic effects may be important. If this is really so, then the coupling between the magnetic field and the flow would provide a drag reducing the velocities of motion. Perhaps it is Saturn which is a normal fast-rotating planet; and if there were no magnetic field on Jupiter it would have stronger winds and the difference between the two planets, otherwise so alike, would not be so pronounced.
Other problems of planetary atmospheric dynamics
From all possible remaining problems we discuss briefly only two: (i) the structure of boundary layers, and (ii) the intensity of turbulent velocity and temperature fluctuations.
The atmospheric vertical structure, including boundary layers, was studied, considering radiative transfer and convection, by Gierasch and
Goody (1968) for Mars and by Avduevsky et al. (1970) and Gierasch and Goody (1970) for Venus. In these papers radiative transfer was studied first in some approximation; convection was then included in various ways, but the influence of large-scale motions was disregarded completely. Due to the use of numerical computations with crude vertical resolution, the structure of surface boundary layers was determined very poorly, especially in their lower parts where the main changes take place. Besides, computations of the radiation regime in the Venus atmosphere are not quite convincing, due to our ignorance of the transmission functions of CO2 for the visible and infrared at large pressure and temperatures.
In this situation it is more comfortable and better justified to use the results of the similarity theory developed and checked in detail for the atmospheric boundary layer of the Earth [see, e.g., Monin and Oboukhov (1954); Zilitinkevich et al. (1967); Lumley and Panofsky (1964); Zilitinke- vich (1970)]. This approach was employed by Golitsyn (1969) to estimate the parameters governing boundary layer structure for the terrestrial planets. The Monin-Oboukhov similarity theory allows us to estimate the vertical profiles of wind and temperature and the eddy viscosity. The basic parameters entering this theory are the turbulent fluxes of momentum, 丁 and heat,夕丁 or, instead of 丁，the friction velocity “* = (丁/。)»?, where p is the atmospheric density. In the Earth's atmosphere, according to the observations (Zilitinkevich et a/., 1967), the ratio of the friction velocity to the mean velocity U varies from 2 to 5% for conditions ranging from very strong vertical temperature stratification up to strong instability, i. e., convection. From the obvious enerev balance in the atmosphere qr < qa- For the Earth qt/qa — 0.1 even for well-developed convection. For the stable atmosphere, when it is warmer than the soil surface as at night, the value of 夕丁 is negative, i. e., it is directed toward the soil, the ratio \qr/qA\ is then usually several times smaller than it is in the day. Roughly the same regularities were found for Mars computationally by Gierasch and Goody (1968). Having estimates of 夕丁 and U one can determine, using the Monin-Oboukhov theory, the characteristic scales of length and temperature and the universal functions describing vertical wind and temperature profiles. Without going into the details of the theory, we describe the main results of its application to Mars and Venus. On Mars, because of the low atmospheric density, one should observe very sharp temperature changes which might reach several tens of degrees during daytime in the lower 10 meters of atmosphere. On Venus, due to the very large density, the stratification is close to neutral; i. e., the temperature profile should be very close to the adiabatic one and the velocity profile to the logarithmic one.
The Monin-Oboukhov theory presents the possibility of estimating the eddy viscosity coefficient К in the boundary layers. Due to the larger mean wind velocity on Mars this coefficient should be two or three times larger than on Earth; but for Venus it should be 1.5 orders of magnitude less than on Earth.
One may estimate the large-scale horizontal mixing in the free atmosphere (outside the boundary layer) knowing the mean rate of kinetic energy dissipation & and using the Richardson-Oboukhov law К = O.lf乃Z/4/з, where L is the scale of phenomenon under study. It follows that mixing on Mars is on the average 5 times stronger and on Venus about 20 times weaker than in the Earth's atmosphere. These estimates were performed by Golitsyn and Tatarsky (1968).
Estimates of the temperature fluctuations in planetary atmospheres may have some practical importance because they cause the amplitude and phase fluctuations of the centimeter and decimeter wavelength radiation which is transmitted through the atmosphere. These questions were discussed for Venus by Gurvich (1969), who analyzed the amplitude fluctuations of the Mariner-5 S-band signal.
For the determination of the intensity of temperature fluctuations, the mean rate of decrease of a measure of the temperature inhomogeneity field was introduced by Oboukhov (1949a), as
n = K^dT/dx^av
in analogy with the Rayleigh determination of e. We may estimate this quantity for slowly rotating planets from Eq. (7):
Estimates of N in the free atmosphere as well as in the boundary layers of Mars and Venus were performed by Golitsyn and Tatarsky (1968), who also estimated fluctuations in the refractive index (n).
The use of the expression (46) for the Earth's atmosphere gives results of the correct order of magnitude; however, this might be due to the fact that the intensity of the horizontal and vertical mixing (Reynolds stresses) are of the same order. In the Martian atmosphere local processes of vertical turbulent mixing might play a larger role; then expression (46) would give a low estimate for N.
The intensity of the temperature fluctuations is determined by the structure constant defined as
оТ(a)=《△Q)2)a。=02n〕1/3a2/3 =④a2/3, (47)
where Dy (a) is the so-called structure function, i. e., the mean square of the temperature difference for two points separated by distance a and C2 is a numerical constant equal to about 3. From (46) and (26) we get
25/6101/2^/16。沪 ^1/225/6101/2^/16。沪 ^1/2〜M^2p-1/з〜M^2p-1/з(48)(48)
25/6101/2^/16。沪 ^1/2
25/6101/2^/16。沪 ^1/2
〜M^2p-1/з
〜M^2p-1/з
(48)
(48)
The refractive index 八 for |八一1| « 1 has the form n = 1 + + 仇夕/Т where 仇 is a constant specifying the composition. For air 仇=0.08 KI atm, and for CO2,仇=0.13 KI atm. The refractive index fluctuations are defined by bn = -(3\р5Т/Т^ because pressure fluctuations
аге unimportant (see Tatarsky, 1967). If temperature fluctuations are described by (47), then an analogous formula will be valid for the refractive index as well, and the corresponding structure characteristics Cn may be estimated as
Cn = 总 Ri/6”i/2g. (49) / / Cp
One sees the practical independence of Cn on 夕厶.For Mars the 八 fluctuations are on the average 1.5 orders of magnitude less than on Earth, but for Venus one order of magnitude more, mainly due to the difference in M^2g values. But one should bear in mind that Cn changes with height, which is particularly important for Venus. As a first approximation we may assume that Cn oc p.
Appendix I
Possible Vertical Structure of the Clouds of Saturn
The only plausible substance for the clouds of Saturn at £ 生 100° К is methane. It is also the only substance besides hydrogen known positively to exist on Saturn (see, e.g., Moroz, 1967). The triple point for the phase equilibrium of methane is at p = 100 mb and T = 90.7° K. At 1 atm, the boiling point is T = 101.6° К and the melting point is at 89° K. The latent heat for vapor condensation Lc = 122 cal/gm and for melting Lm = =14 cal/gm (all the data are from Tatevsky, I960). The equation for the pressure (E) of the saturated vapor above solid methane is (Karwat, 1924)
logE = - 1.083 log T+ 10.30,
where E is in millibars, and T in Kelvin degrees. The pressure of the saturated vapor above liquid methane is slightly more, but we shall neglect this difference. In Fig. 3.3.1, one can see three curves for the E/p ratio versus temperature, for the cases where the pressure at the 100° К level was taken as 1, 10, and 100 atmospheres. At the higher levels the temperature and pressure were taken as varying according to adiabatic laws, with 7a = 0.65° km~x (从=2).
If 〃 = 2.6 then 7a = 0.92° km~x, but the ratio E/p would change very slightly. Using these curves one can determine the temperature level at which methane condensation begins if we assume a certain mixing ratio / = e/p; i. e., the ratio of the partial pressure of methane vapor to the total pressure. The condensation starts when e = E. If the condensation starts at some level, then at higher altitudes the temperature will fall as the wet adiabatic lapse rate; however, even with / = 10-2 the value of ya would decrease by less than 30%, which we shall neglect. But for / one hardly expects 10-2; rather / should be = 10-3 if we want approximately a solar abundance for carbon. Thus Fig. 3.3.1 suggests that the beginning of condensation requires some special conditions.
The situation is still worse if we estimate the stratospheric temperature, assuming that it is gray, by the formula Tst =管2一i/& Then,
Fig. 3.3.1. Three curves for the vapor pressure above solid methane for the cases where the pressure at the 100 К level is taken as 1, 10, and 100 atmospheres
having Te = 97° ± 4° К we get Tst = 82° ± 4° K. This temperature region is dashed in Fig. 3.3.1. Note that the pressure at the level T = 82° К is only one-half that at the T = 100° К level. Then, with the upper curve, we could not get the methane condensation at all if / ^< 10-2. If / ^< 10-3 then one could not get condensation with the second curve either.
If at T = 100° K, p = 100 atm and Tst = 82° K, then / = 10-3 forces condensation to begin at the 50-atm level and to end at p = 17 atm. For the upper cloud boundary this pressure seems too high (see Moroz, 1967, Section 5.9, where it is said that the upper cloud boundary pressure seems to be of the same order of magnitude for Jupiter and Saturn). Therefore, if we do not accept excessively high values of the atmospheric pressure or of the mixing ratio f, then we need very low stratospheric temperatures, about 65-70° K, to initiate methane condensation. Perhaps the nongrayness of the stratosphere could provide such low temperatures.
References
Alexander, A. F. O'D (1962). «The Planet Saturn». Faber and Faber, London.
Aumann, H. H., Gillespie, С. M., Low, F. J. (1969). The internal powers and effective temperatures of Jupiter and Saturn. Astrophys. J. 157, L69.
Avduevsky, V. S., Marov, M. Ya., Noykina, A. I., Polejaev, V. I., and Zavelevich, F. S. (1970). Heat transfer in the Venus atmosphere. /. Atmos. Sci. 27, July.
Avduevsky, V. S., Marov, M. Ya., and Rozhdestvensky, M. K. (1969). Results of measurements of parameters of the atmosphere of Venus obtained by the Soviet automatic station «Venera-4». Koshmic. issled. —Space Res. 7, 233.
Berge, G. L. (1968). High resolution inter-ferometry of Venus at 3.12 cm wavelength. Paper presented at International Symposium on Moon and Planets, Kiev, October 15-22.
Bergstrahl, J. T., Gray, L. D., and Smith, M. J. (1967). An upper limit for atmospheric carbon dioxide on Mercury. Astrophys. J. 149, LI37.
Borisenkov, В. P. (1963). Seasonal transformations of energy in the atmosphere of the northern and southern hemispheres. Proa. Inst. Arctic and Antarctic. No. 253, 109.
Brunt, D. (1926). Energy in the Earth's atmosphere. Phil. Mag. 7, 523.
Bryan, K., and Cox, M. D. (1968). A numerical investigation of the oceanic general circulation. /. Atmos. Sci. 25, No. 6.
Chapman, C. R. (1969). Jupiter's zonal winds: Variation with latitude. J. Atmos. Sci. 26, 986.
Dickel, J. R., Warwick, W. W., and Meed, W. J. (1968). Lack of a phase variation of Venus. Nature 220, 1183.
Gierasch, P., and Goody, R. (1968). A study of the thermal and dynamical structure of the Martian lower atmosphere. Planet. Space 16, 615.
Gierasch, P., and Goody, R. (1970). Models of Venus clouds.丄 Atmos. 27, 224.
Gierasch, P., Goody, R., and Stone, P. (1970). The energy balance of planetary atmospheres. Geophys. Fluid Dynamics 1, 149.
Ginzburg, A. S., and Feigelson, E. M. (1969). Some optical characteristics of the Venus atmosphere and conditions of radiative equilibrium. Kosmich. issled — Space Res. 7, 258.
Golitsyn, G. S. (1968). Estimates of some characteristics of general circulation in atmospheres of terrestrial planets. Izv. Atmos. Oceanic Phys. 4, 1131.
Golitsyn, G. S. (1969). Estimates of boundary layer parameters in the atmospheres of terrestrial planets. Izv. Atmos. Oceanic Phys. 5, 775. See also paper presented at 40th I AU Symposium, Marfa, Texas, October 27-31, 1969.
Golitsyn, G. S. (1970). Atheory of similarity for large scale motions of planetary atmospheres. Soviet Phys.-Doklady 190 (No. 2), 323. See
also paper presented at 40th IAU Symposium, Marfa, Texas, October 27-31, 1969.
Golitsyn, G. S., and Tatarsky, V. I. (1968). Estimates of turbulent intensity and radio-signal level fluctuations in the atmospheres of Mars and Venus. Paper presented at International Symposium on Moon and Planets, Kiev, October 15-22.
Goody, R. M., and Robinson, A. R. (1966). A discussion of the deep circulation of the atmosphere of Venus. Astrophys. J. 146, 339.
Gurvich, A. S. (1969). Estimates of characteristics of small scale turbulence in the Venus atmosphere on radiosignal fluctuations of the interplanetary stations Venera-4 and Mariner-5. Izv.Atmos. Oceanic Phys. 5, 1172.
Hide, R. (1966). On the circulation of the atmospheres of Jupiter and Saturn. Planet, Space Sci. 14, 669.
Hide, R. (1969). Dynamics of the atmospheres of the major planets. J. Atmos. Sci. 26, 841.
Karwat, E. (1924). Der Damfdruck, des Fester Chlorwasserstoff, Methans and Ammoniaks. Z. Phys. Chem. 112, 486.
Kliore, A. (1969). Mariner-6 and -7 Results: S-band occultation.Paper presentedat 40thIAU Symposium, Marfa, Texas, October 27-31.
Kuiper, G. P. (1969). On the nature of the Venus clouds. Paper presented at 40th IAU Symposium, Marfa, Texas, October 27-31.
Kung, E. C. (1966). Large-scale balance of kinetic energy in the atmosphere. Monthly Weather Rev. 94, 627.
Leovy, С. B., and Mintz, Y. (1966). «А Numerical General Circulation Experiment for the Atmosphere of Mars». RM-5110-NASA, The Rand Corporation.
Leovy, С. B., and Mintz, Y. (1969). Numerical simulation of the atmospheric circulation and climate of Mars. /. Atmos. Sci. 26, 1167.
Lorenz, E. N. (1967). The Nature and Theory of the General Circulation of the Atmosphere. WMO Publ. 155 pp.
Lumley, J. B., and Panofsky, H. A. (1964). «The Structure of Atmospheric Turbulence», Interscience, Publ., New York, London, Sydney.
Mintz, Y. (1961). Temperature and circulation of the Venus atmosphere. Planet. Space Sci. 5, 141.
Monin, A. S. (1968). Hydrodynamical theory of shortrange weather forecasts. Soviet Phys. — Usp. 96 (No. 2), 327.
Monin, A. S. (1969). «The Weather Forecast as a Problem of Physics». Publ. House «Nauka», Moscow.
Monin, A. S., and Obotjkhov, A. M. (1954). The basic regularities of turbulent mixing in the atmospheric surface layer. Proc. Geophys. Inst. USSR Acad. S", No. 24 (151), 163.
Moroz, V. I. (1967). «Physics of Planets». Publ. House «Nauka», Moscow.
Morrison, D. (1969). Venus. Absence of a phase effect at 2-centimeter wavelength. Science 163, 815.
Morrison, D., Sagan, C, and Pollack, J. B. (1969). Martian temperatures and thermal properties. Icarus 11, 36.
Murray, В. C. (1968). Upper limit of Mercury nighttime surface temperature. Paper presented at International Symposium on Moon and Planets, Kiev, October 15-22.
Neugebauer, G. (1969). Mariner-6 and -7 results: IR radiometer. Paper presented at 40th I AU Symposium, Marfa, Texas, October 2731.
Oboukhov, A. M. (1949a). Structure of the temperature field in turbulent flow. Izv. Akad. Nauh SSSR, Ser. Geogr. Geophys. 13, 58.
Oboukhov, A. M. (19496). On the problem of the geostrophic wind. Izv. Akad. Naulc SSSR, Ser. Geogr. Geophys. 13, 281.
Oort, A. H. (1964). On estimates of the atmospheric energy cycle. Monthly Weather Rev. 92, 483.
Peek, В. M. (1958). «The Planet Jupiter». Faber and Faber, London.
Pollack, J. B., and Morrison, D. (1969). A new look at the Venus microwave spectrum. Paper presented at 40th I AU Symposium, Marfa, Texas, October 27-31.
Sagan, C. (1969). The trouble with Venus. Paper presented at 40th IAU Symposium, Marfa, Texas, October 27-31.
Sedov, L. I. (1967). «Methods of Similarity and Dimension in Mechanics», 6th ed. Publ. House «Nauka», Moscow.
Sinclair, A. С. E., Basart, J. P., Buhl, D., Gale, W. A., and Liw- shitz, M. (1970). Preliminary report on interferometer observations of Venus at 11.1 cm wavelength. Radio Sci., in press.
Spar, S. (1949). Energy changes in the mean atmosphere.丄 Meteo- roL, 6, No. 6.
Tatarsky, V. I. (1967). «Wave Propagation in Turbulent Atmospheres». Publ. House «Nauka», Moscow.
Tatevsky, V.M. (ed.) (I960). «Physical and Chemical Properties of Hydrocarbons», Publ. House «Chemistry», Moscow.
Wiin-Nielsen, A. (1968). On the intensity of the general circulation of the Atmosphere. Rev. Oeophys. 6, 659.
Zilitinkevich, S. S., Laikhtman, D.L., Monin, A. S. (1967). Dynamics of the atmospheric boundary layer. Izv. Atmos. Oceanic Phys. 3, 278.
Zilitinkevich, S. S. (1970). «Dynamics of the Atmospheric Boundary Layer». Hydro-meteorol. Publ. House, Leningrad.
§ 4. Вывод соотношений теории подобиядля циркуляции планетных атмосфер путем анализасистемы уравнений гидротермодинамики 9
В работах [1, 2] предложена теория подобия для крупномасштабных движений планетных атмосфер, позволяющая оценивать такие характеристики общей циркуляции, как полная кинетическая энергия циркуляции, время ее жизни, типичная; разность температур, вызывающая циркуляцию, и ряд других. Эти оценки получены на основе модельных соображений, а также путем использования методов теории подобия и размерности и термодинамических рассмотрений. Там же был предложен ряд гипотез об автомодельности некоторых характеристик общей циркуляции относительно ряда определяющих параметров. Оправданием этих гипотез считалось согласие получаемых с их помощью результатов с данными наблюдений и численных экспериментов.
Представляет методический интерес получение аналитических оценок этой теории путем анализа системы гидродинамических уравнений, описывающих общую циркуляцию. Это позволит также уточнить смысл введенных ранее критериев подобия и гипотез об автомодельности и более четко представить границы применимости самой теории. Этим вопросам и посвящается данная заметка.
Рассмотрим прежде всего уравнение движения
|^ + (〃▽)〃 = -2М -^p + g + F.(1)
где и — скорость; s — угловая скорость собственного вращения планеты; g — ускорение силы тяжести; р — плотность; р — давление среды. Вектор F описывает в основном трение, которое в крупномасштабных движениях определяется полем скоростей и их производных.
В [1, 2] естественным образом возникает масштаб скорости
С = се = (/^2)1/2 =[(儿-1)。0叁p/2,(2)
где 庆=cp/cv, причем газ предполагается идеальным. Температура Те = =3/4。) "4 есть средняя температура равновесного излучения планеты в космос, определяемая из баланса его с приходящей к атмосфере радиацией, характеризуемой солнечной постоянной q, и альбедо планеты А(^л = q(1 — А)). Нормируем скорости на величину с
U = и/с.(3)
Имея естественный масштаб длины — радиус планеты г, вводим безразмерное время
丁 = (c/r)t(4)
i) См.①АО, т. 7, №9 1971.
планетыпланетыПлотность и давление нормируем на их значения у поверхности
планеты
планеты
⑸⑸Р = РиР,Р = 0о〃，
⑸
⑸
причем
私=$ =宜，(6)
ро а аа'
где а (< 1 — отношение Те к Tq — характерной температуре поверхности. Введем также rV = ▽',㊁=sn и g = gk. Тогда уравнение (1) в безразмерных переменных примет следующий вид:
響 + (U^)U = -A- 2[nU] — Е + (庆 Hi) —兀 + К (1а)акр
Я1 =(? / кгд = RfTf /дг = Н/г,
где X = шг/се — параметр подобия по вращению, называемый вращательным числом Маха; Н\ — отношение высоты однородной атмосферы к радиусу планеты.
Примем во внимание известный факт, что крупномасштабные движения квазистатичны, т. е. вертикальные ускорения малы по сравнению с силой тяжести [3]. Тогда вертикальная компонента уравнения (1) заменится уравнением гидростатики
H\kN，P = ap；(7)
причем параметр Н\ в другие уравнения входить не будет.
Таким образом, величина параметра Н\ влияет лишь на вертикальное распределение давления и на величину вертикальных скоростей. При Hi = H/r « 1 вертикальные скорости малы по сравнению с горизонтальными: w Л1 и (или меньше, когда циркуляция геострофична, т. е. А > 1), что следует из анализа уравнения неразрывности. В результате влияние точного значения Н\ и, следовательно, д на величину полной кинетической энергии циркуляции, на горизонтальный перенос тепла в атмосфере и т. д. несущественно 9.
Если вращательное число Маха А невелико, то влияние сил Кориолиса па динамику мало, в противном же случае скорость и другие характеристики общей циркуляции должны существенно зависеть от величины А. Однако при очень малых А, т. е. при очень медленном вращении, когда атмосфера на темной стороне планеты успевает остывать больше, чем на полюсах, характер циркуляции должен меняться
1) Строго говоря, в [7] малым следует считать параметр Н\/а = Не/аг = =RTe]дт虹е]Т) = B!T/gr = H(z)/r, т. е. отношение высоты однородной атмосферы вблизи поверхности планеты к ее радиусу. Вследствие роста температуры с глубиной величина H(z) также растет, а эффективный радиус планеты падает, поэтому, например, при изучении глубинной конвекции в звездах параметр Н\/а уже нельзя считать малым.
и тогда снова ее характеристики начинают зависеть от А. Подробно эта ситуация, осуществляющаяся, в частности, на Венере (см. [4, 5]), рассмотрена в [2], где приведен соответствующий безразмерный критерий, определяющий наступление того или иного режима циркуляции, именно, какая разность температур больше — между экватором и полюсами или между светлой и темной сторонами планеты.
Обратимся к уравнению энергии. Поскольку мы выяснили, что при Н[ « 1 движения квазигоризонтальны, запишем это уравнение для атмосферы, осредненной по высоте
* + (〃▽)，= V(KVT) + (庆—1)Q/Mcv,(8)
где К — коэффициент турбулентной температуропроводности; М — масса единичного столба атмосферы; cv = с@/庆—теплоемкость при постоянном объеме; Q — приток тепла к единичному столбу атмосферы, складывающийся из разности притока солнечной радиации и собственного длинноволнового излучения планеты в космос. Для простоты не учитываем притоков тепла от фазовых переходов и других источников. Осреднение по высоте непринципиально для нашего анализа, оно лишь упрощает его и делает более наглядным. Анализ полного уравнения, произведенный в [6], приводит фактически к тем же результатам. Обсуждение этой интересной работы и сравнение некоторых ее результатов с нашими будет проведено ниже. В принятых предположениях величина Q может быть записана как
Q = (^/4)/G»" —о/,(9)
где 夕厶/4 — средний приток тепла от Солнца па единицу поверхности планеты; /(仇夕，方)—геометрический фактор, описывающий фактическое распределение приходящей радиации по поверхности в зависимости от широты 仇 долготы 夕 и времени года и суток. В безразмерных переменных (7 = Т/Т^ уравнение (8) с учетом (9) примет вид
牛 +T)[八仇»方)- 丁4],(8a)
ОТ4Ср/ ес
где Kf = К/cr. Учтя, что с?=(庆一1)срТе, это уравнение можно переписать в следующем виде:
ан® +(и『)7 = v^^v^) + н庆-iy/2罔[貝仇夕,方)-г』，
(86) где
Mi =戸/8仿3/2 匂 4/4)5/»“—1.(Ю)
Безразмерный параметр М、был введен ранее в [1, 2] исходя из анализа размерностей величин, определяющих общую циркуляцию планетной атмосферы. Там же было показано, что величина М\ мала по сравнению с единицей для всех планет солнечной системы.
Оценим по порядку величины различные члены уравнения (86) в стационарном случае, т. е. при осреднении по достаточно большому промежутку времени. Поскольку коэффициент турбулентной температуропроводности, как и вязкости, определяется полем скоростей, то ясно, что член V 卜КкТ') порядка или меньше (UV')，' (меньше, если К определяется вихрями, меньшими самых крупных возмущений потока). В достаточно толстой атмосфере температура далека от радиационной температуры 9 Тг, поэтому разность /(仇夕，方)—Т,4 порядка единицы. Поскольку 庆(庆—I)/ также близко к единице, получаем
(U▽"公罔. (11)
В размерных переменных это — то самое уравнение приближенного баланса тепла в атмосфере, которое использовалось в [1, 2], где оно фактически постулировалось. При несущественности вращения (А « « 1), когда движение и по направлению совпадает с градиентом температуры, (UV')/ U8Tf, где U и 8Tf — характерные (безразмерные) скорость и разность температур в атмосфере.
Таким образом
U汀公罔，(На)
однако порознь оценить порядки величин U и 5Tf отсюда не удается. Для этого нужны дополнительные предположения. Эту роль в [1, 2] играет гипотеза об автомодельности полной кинетической энергии циркуляции Е относительно величины М\, если параметр М\ мал, что эквивалентно предположению о независимости Е от М, коль скоро масса атмосферы достаточно велика. В наших безразмерных переменных эта
гипотеза эквивалентна тому, что кинетическая энергия на единицу массы - U2 порядка М\, т. е. что безразмерный критерий подобия М\ есть квадрат числа Маха.
При каких предположениях этот результат может быть получен из уравнений? Напишем уравнение для кинетической энергии, осреднен- ное по всей атмосфере [3]
(12)(12)dE/dt = C - D.
(12)
(12)
Здесь С — мера превращения потенциальной энергии в кинетическую; D — полная диссипация кинетической энергии. В это уравнение масса атмосферы явным образом не входит. Однако это не может еще служить доказательством независимости Е от М, поскольку (12) входит производная Е по времени. При осреднении за длительный срок С = D, так как атмосфера в среднем стационарна, т. е. уравнение (12) становится малоинформативным. Рассмотрим его для мгновенных ве-
личин. Предполагая С ^ О разность их того же порядка, запишем (12) так:
Е/ти t]Qa, (13)
где т] — коэффициент полезного действия атмосферы; ти — время жизни кинетической энергии циркуляции. Тогда гипотеза о независимости Е от М сводится к предположению о независимости от М (или от Mi) произведения 〃丁〃. Вспомним определения этих величин 9, введенные в [2]: ти = (3r/2U (/3 — мера упорядоченности крупномасштабных движений; U здесь размерное) и ту = к5Т/Т\ ак5Т/Т^, где к — коэффициент использования, а 0 7Ь — температура наиболее нагретых областей атмосферы. Таким образом данная гипотеза сводится к тому, что величина ak^5T/U не зависит от М. При этом безразмерные скорость U и разность температура 6Tf одного порядка, если произведение ак(3 не зависит от 罔.Тогда U 〜ВТ 〜М^, т. е. -U2 М{.
Зависимость ак(3 от М или М\, вероятно, действительно слабая. Коэффициент а = Те/Т\ зависит от М, грубо говоря, логарифмически, так как Ti растет с глубиной приблизительно линейно, а масса атмосферы — экспоненциально. Независимость меры упорядоченности /3 от Mi есть гипотеза, но она хорошо подтверждается анализом результатов наблюдений земной атмосферы и численного моделирования циркуляции марсианской атмосферы [7, 8]. Для Земли с Mi = 1 • 10-3 имеем /3/2 = 1, а для Марса при Mi = 3 • 10-2, согласно [7], /3/2 = 1,2. Таким образом, при изменении М、на полтора порядка величины (значения А для обеих планет близки и порядка единицы) /3 практически не меняется 2). Независимость коэффициента использования к от Mi при Mi « 1 есть непосредственное следствие теории подобия [1, 2, 7].
Сравним выводы нашей теории с некоторыми результатами авторов [6]. Последняя из оценок, полученных перед их формулой (7), эквивалентна нашему уравнению (11а), если их скорость нормировать
на скорость звука и считать для толстых атмосфер отклонение температуры от радиационной порядка самой температуры Те, так как их величина г/cts есть фактически наш параметр М\ (см. [2, 7]). Величина ts = qA/^McpTe, как показано в [6], хорошо аппроксимирует (снизу) время установления радиационного равновесия в атмосфере, состоящей из всех практически интересных газов (СО?, водяной пар, Н2 и др.). Введение параметра, аналогичного М\, исходя из достаточно строгого рассмотрения радиационного режима планетной атмосферы и анализа оптических свойств поглощающих радиацию газов — большое достоинство (и не единственное) этой работы. Однако в ней встречаются некоторые нестрогости, несколько снижающие ценность результатов, полученных в середине раздела 3 статьи [6].
Дело в следующем. При анализе порядков величин различных членов авторы [6] полагали
/Г 1 ▽夕=RVpT/p = R'T^p/p + VT/T) Rf6T/r,
т. е. пренебрегали членом ▽0/0 по сравнению с VT/T. Это справедливо в приближении свободной конвекции и для сжимаемой жидкости, но при условии, что вертикальный масштаб движении мал по сравнению с высотой однородной атмосферы [9]. Однако это приближение плохо применимо для общей циркуляции атмосферы. Например, для земной атмосферы известно, что 8р/р и 8Т/Т очень близки по величине и противоположны по знаку. Используя упомянутое приближение, авторы [6] смогли из уравнения типа (На) и других получить 8Tf М^3 и тем самым U ~ М^3, хотя они прямо последней оценки не приводят. Неудовлетворительность оценки U М^3 становится очевидной, если перейти к размерной кинетической энергии циркуляции на единицу
массымассы"J》"J》
массы
массы
"J》
"J》
Эту формулу можно понять так, что вся поступающая к атмосфере солнечная энергия превращается в кинетическую энергию крупномасштабных движений, имеющих характер развитого турбулентного потока (колмогоровский спектр), т. е. что коэффициент полезного действия атмосферы при этом порядка единицы и не зависит от свойств самой атмосферы.
Рассмотрим осложнения, возникающие в случае немалых скоростей собственного вращения, когда А > 1, но Mi С 1. Тогда горизонтальные скорости, а следовательно, и все остальные величины становятся существенно зависящими от А. Уравнение (11) сохраняется, исключая выражение (U\/f)8Tf U8Tf, так как вектор U из-за геострофичности будет в основном перпендикулярен градиенту темпе ы. Однако можно считать, что качественные зависимости U 〜 и другие остаются в силе, т. е. автомодельность Е относительно М、сохраняется, поскольку вращение меняет в первую очередь лишь кинематику пото-
ка. Последнее помогает понять, в частности, практическую независимость меры упорядоченности /3 от величины параметра М\ при М\ « 1 и существенную ее зависимость от скорости собственною вращения планеты [2, 7].
В заключение выражаю глубокую благодарность А. М. Обухову и Е. А. Новикову, беседы с которыми способствовали появлению данной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, ДАН СССР, 190, №2 (1970).
G. S. Golitsyn, Icarus, 13, № 1, (1970).
Е. N. Lorenz, The nature and theory of the general circulation of the atmosphere. WMO Publ., 1967. (Рус. пер.: Лоренц Э. H. Природа и теория общей циркуляции атмосферы. Гидрометеоиздат, (1970).)
С. С. Зилитинкевич, А. С. Монин, В. Г. Туриков, Д. В. Чаликов, ДАН СССР, 197, №6, (1971).
В. Г. Туриков, Д.В. Чаликов, Изв. АН СССР, ФАО, 7, №7 (1971).
Р. Gierasch, R. Coody, Р. Stone, Geophys. Fluid Dynamics, 1, № 1 (1970).
Г. С. Голицын, Динамика планетных атмосфер. Диссертация, Гос. астрон. ин-т им. П. К. Штернберга, (1970).
С. В. Leovy, Y. Mintz, J. Atmos. Sci., 26, №6 (1969).
E. A. Spiegel, G. Veronis, Astrophys. J., 131, №2 (I960).
Применение соображений подобияк исследованию циркуляции на Солнце 9
Циркуляция на Солнце наблюдается в виде дифференциального вращения — скорости вращения атмосферы различны на разных широтах. Основной материал о движениях в атмосфере Солнца дают наблюдения пятен, в предположении, что их перемещения происходят со скоростями движений самой атмосферы. Индивидуальные пятна движутся довольно сложным об разом [1-4], но в среднем их ежедневное смещение по долготе £ зависит от широты 夕 по закону [1]
£= 14°,38-2°,96sin2^,(1)
ИЛИс
£ = 11°,42 +2°,96cos2 夕.(У)
На вопрос о причинах дифференциального вращения нет твердо установившихся взглядов. Первые качественные идеи были высказа-
См. Астрон. журнал, т. 49, вып. 2, 1972.
ны Фогтом [5] и Эддингтоном [6] Согласно этим идеям, вследствие собственного вращения Солнца центробежные силы несколько сплющивают его фигуру, а поскольку выделение энергии идет где-то в центре светила, то поверхности постоянного потенциала не совпадают с поверхностями постоянной температуры. В результате полюса должны быть несколько горячее. Отсюда делался вывод о необходимости меридиональной циркуляции, которая, благодаря силе Кориолиса, должна порождать зональную циркуляцию — дифференциальное вращение. Ряд оценок скоростей меридиональной циркуляции дает величины порядка 10 м/сек или меньше (см., например, [7]). Такие скорости очень трудно наблюдаемы на Солнце, поэтому пока не существует каких-либо наблюдательных оценок этого явления. К тому же сама концепция, что зональная циркуляция порождается меридиональной, имеет теоретические трудности [8, 9].
Наиболее распространенным является мнение, что причина дифференциального вращения кроется в неизотропности тензора турбулентных напряжений Рейнольдса или тензора турбулентных коэффициентов вязкости [10, 11, 7] в масштабах порядка масштаба грануляции, возникающей вследствие собственного вращения. Однако это тоже гипотеза, привлекаемая к тому же после использования идей полуэмпирической теории турбулентности. Хотелось бы подойти к этой проблеме с каких-то достаточно общих позиций, не входя слишком глубоко в детали, с необходимостью требующие привлечения разного рода предположений.
Проблема циркуляции солнечной атмосферы довольно давно привлекала также внимание метеорологов, занимающихся общей циркуляцией земной атмосферы. Хотя полная теория последней еще весьма далека от завершения [9, 12], тем не менее имеются многочисленные многолетние наблюдения и некоторые существенные ее черты более или менее изучены и поняты. Всегда полезно выяснить, нет ли каких- то общих черт и в чем разница между двумя сходными явлениями.
Движения в планетных атмосферах, где источником энергии служит солнечная радиация, в неравномерным разогревом атмосферы. В поле силы тяжести возникает крупномасштабная конвекция. На вращающихся планетах в игру вступает сила Кориолиса, отклоняющая движение вбок. Общая циркуляция на планетах подвержена действию многих типов неустойчивостей, из которых на Земле наиболее интенсивными и важными являются вихревые циклонические возмущения, развивающиеся на фоне зонального потока — западного в умеренных широтах и восточного в тропиках. В середине 50-х годов при обработке данных наблюдений было обнаружено, что в земной атмосфере угловой момент переносится против градиента угловой скорости s (см. [9, 12]). Этот перенос осуществляется крупномасштабными вихрями, отдающими свою энергию среднему зональному потоку. Это явление, наблюдаемое во всех достаточно больших вращающихся системах с
неравномерным подводом энергии, получило название «эффекта отрицательной вязкости» [9].
Аналогичная ситуация наблюдается и на Солнце. Уорд [2-4] (см. так же [8, 9]) обработал данные Гринвичской обсерватории за 76 лет по движению солнечных пятен и вычислил по ним скорость переноса углового момента. Было найдено, что угловой момент переносится к экватору в обоих полушариях, т. е. против градиента з. Этот перенос происходит с такой интенсивностью, что если бы он вдруг по каким- либо причинам прекратился, то солнечная атмосфера пришла бы во вращение как твердое тело всего лишь за несколько оборотов Солнца вокруг своей оси.
В концепции «отрицательной вязкости» одним из основных является вопрос, откуда черпают энергию сами крупномасштабные вихри, поддерживающие зональную циркуляцию, в данном случае — дифференциальное вращение. Существует принципиальная возможность [8, 9], что энергия к ним поступает непосредственно от мелкомасштабной конвекции, однако физически этот механизм не вполне ясен и тем более трудно как-то количественно оценить его эффективность. К подобного рода возможностям от носится и гипотеза о неизотропно- сти турбулентной вязкости. Другая возможность, осуществляющаяся в атмосферах планет, заключается в переносе не кинетической, а потенциальной энергии с последующим превращением ее в кинетическую. Как уже говорилось, благодаря влиянию собственного вращения Солнца средняя температура на определенных горизонтальных (эквипотенциальных) уровнях может быть неодинаковой на всех широтах, что должно приводить к возникновению крупномасштабных движений, переносящих в конце концов тепло к более холодным широтам [8, 9]. Эта вторая возможность по существу перекликается с идеями Фогта и Эддингтона [5, 6]. Все эти обстоятельства позволяют говорить о близости некоторых основных черт атмосферной циркуляции на Солнце и планетах.
В последнее время для ряда важных характеристик общей циркуляции планетных атмосфер на основе теории подобия и размерностей были предложены некоторые количественные оценки, дающие результаты, вполне согласующиеся с наблюдениями и результатами численных расчетов [13-15]. Сюда относятся основанные лишь на «внешних параметрах» оценки полной кинетической энергии циркуляции, ее характерного «времени жизни», скорости диссипации кинетической энергии, разности температур, вызывающей циркуляцию и др. Важно подчеркнуть, что эти рассмотрения ведутся с довольно общих позиций, без рассмотрения конкретной картины движений, хотя последнее свидетельствует об ограниченности самого подхода. Поэтому представляет интерес развить аналогичные соображения н для циркуляции атмосферы Солнца, тем более что большинство из перечисленных выше величин известно довольно плохо или неизвестно совсем.
Физически картину поддержания стационарной циркуляции на Солнце можно сформулировать следующим образом. К солнечной атмосфере под водится поток энергии, равный удельной светимости q = =6,3 • 1010 эрг/см1 • сек. Некоторая часть его затрачивается на поддержание кинетической энергии крупномасштабных движений. Выяснить, какова эта часть, от чего она зависит, — одна из главных наших целей. В стационарном случае мощность, идущая на генерацию этой кинетической энергии, равна ее диссипации в процессе движений и тепло, т. е. вся подводимая к атмосфере мощность в конце концов высвечивается. Другими параметрами, определяющими характер циркуляции, согласно [13, 14], являются свойства самой атмос巾ерн: ср — теплоемкость при постоянном давлении на единицу массы, масса единичного столба газа, участвующего в движении, М, ускорение силы тяжести д, угловая скорость вращения s, радиус Солнца г, а также константа в законе излучения Стефана-Больцмана а = 5,67 • 10-5 эрг/см1 • сек • град4.
Из этих семи размерных параметров только четыре имеют независимые размерности, поэтому из них, согласно тг-теореме теории размерности [16], можно образовать три безразмерных комплекса, выбранных в [14] в следующем виде
Н = С0(〃СГ)"4/д『-н/r, ⑵ А = W(q/o)T/8cJ/2 шг/се, (3)
Mi = , (4)
При равных значениях всех трех критериев подобия циркуляции в звездах можно считать подобными (в рамках принятых предположений, т. е. в ограничении именно данными размерными параметрами). Смысл критериев подобия и ряда гипотез [13, 14] был уточнен в [15] на основе анализа системы уравнений гидротермодинамики описывающей общую циркуляцию.
Первые два критерии подобия появляются в уравнении движения, если скорость нормировать на скорость звука се =[(庆—\)срТе]^2 (где 庆=cp/cv — показатель адиабаты, Те = (q/ct)1/4), координаты — на радиус г, а время — на г/се. Тогда перед безразмерным ускорением Кориолиса появится множитель А, а член с ускорением силы тяжести примет вид к/^Н, где к = g/g. Из анализа уравнения неразрывности следует, что характерная вертикальная w и горизонтальная и скорости связаны соотношением w 〜Hu. Величина Н имеет смысл отношения высоты однородной атмосферы на уровне излучения Т = 7^ к радиусу звезды г. Этот параметр всегда мал по сравнению с единицей. Поэтому если движения охватывают глубины, небольшие по сравнению с радиусом, то систематически (не конвективные мелкомасштабные!) вертикальные скорости малы по сравнению с горизонтальными. В обычном для крупномасштабных движений предположении квазистатичности [12], т. е. малости вертикальных ускорений по сравнению с д,
параметр Н остается лишь в безразмерном соотношении гидростатики, из которого вертикальные скорости получаются соответствующим дифференцированием [12]. Все это позволяет высказать гипотезу, что при Н « 1 точное значение g или Н несущественно для ряда характеристик общей циркуляции, например, для ее полной кинетической энергии и др.
Критерий А, называемый вращательным числом Маха, для Солнца равен приблизительно 0,14. Эта цифра получается если взять & = &()= =2,31 • 10-6 сек~ * что соответствует скорости вращения полярных областей по (У) и се = 1,1 • 106 см/сек. Последнее значение имеет место для полностью ионизованного газа с 〃 = 0,6 при Те = 5750° К. Хотя в фотосфере при этой температуре 〃^ 1, поскольку водород еще не ионизован, глубже ионизация наступает довольно быстро. Так как наше рассмотрение может претендовать лишь на правильность порядков оцениваемых величин, мы просто пренебрежем отличием довольно тонкого слоя фотосферы от свойств основной толщи атмосферы.
Безразмерный критерий М\ получается в уравнении притока энергии после нормировки температуры на 叁 п упомянутых выше нормировок, в том числе и при трехмерном описании циркуляции [15]. Величину Mi для Солнца заранее оценить нельзя, поскольку неизвестно значение массы атмосферы, охваченной движениями. Однако опыт использования соображений подобия в изучении планетных атмосфер показывает, что для всех достаточно глубоких атмосфер М、 всегда мало. Мы примем, что и для Солнца М\ « 1, а затем проверим справедливость этого предположения на основе полученных с его помощью результатов. Малость М\ позволяет выдвинуть гипотезу о несущественности в первом приближении его точного значения, что оказывается эквивалентным гипотезе о несущественности точного значения массы атмосферы, участвующей в движении, т. е. параметра М (е/сМ).
Если Н « 1 и Mi С 1, то на основания принятых гипотез об автомодельности циркуляции относительно g и М, следуя [14], можно составить величину с размерностью энергии
Е = 2不 В$2о"8(^"2 d 科Q、 (5)
где В — некоторая константа (порядка единицы для планетных атмосфер), а множитель 27r введен для сокращения некоторых других формул. В случае планетных атмосфер /(А) = 1 при X « 1, однако в случае Солнца и звезд разложение функции /(А) должно начинаться с квадратичных по s членов, так как именно существование вращения, т. е. центробежных сил, приводит к гидротермодинамической неравно- весности в недрах Солнца. Таким образом,
/(А) = аА2 при А С 1./(А) = аА2 при А С 1.⑹⑹
/(А) = аА2 при А С 1.
/(А) = аА2 при А С 1.
⑹
⑹
Величина коэффициента В в общем случае зависит от Н, М\,庆，и, вероятно, от ряда других не учтенных здесь параметров, но, поскольку значения первых двух аргументов малы, а показатель адиабаты 庆 мало отличается от его значений для планетных атмосфер, для оценки величины В примем формулу [13, 14]
石 雜/2, (7)
где к = 〃/〃нд — так называемый коэффициент использования [17, 13]. Он показывает, какую долю от производительности атмосферы как идеальной тепловой машины с к. п. д. 〃нД составляет реальная атмосферная тепло машина, превращающая подводимую к ней мощность в кинетическую энергию циркуляции. Очевидно, что
⑻⑻k V 1,
⑻
⑻
Для земной атмосферы к ^ 0,1; для Солнца, можно думать, к ближе к единице. С учетом (3), (6) и (7), полагая за неимением ничего другого 欣1/2 = 1, перепишем формулу (5) в виде
e=2ь/\2(71/%丁/2//8广3 = 27?(73/%丁/2炉/8 戸g2, (9)
Домножим и разделим это выражение на 4тгМ. Тогда, учтя, что 4тгг2М = Mq — массе атмосферы, охваченной движениями, формулу (9) с учетом (4) можно записать как
Е= ^М^^Му. (10)
Эта формула показывает, что отношение кинетической энергии дифференциального вращения к полной кинетической энергии вращающегося слоя равно величине безразмерного критерия М\.
Формула (9) позволяет оценить полную кинетическую энергию циркуляции атмосферы Солнца. Учитывая, что 广㊀=6,96 • 1010 см, ср = =3,5 • 108 сМ/сек? • град (从=0,6), получаем Е = 1 • 1036 эрг.
С другой стороны, кинетическую энергию дифференциального вращения Солнца можно оценить по наблюдательным данным как
7г/2
(П)(П)Е = 4тгг2М .扌 I и?(夕)sin夕 dg,
(П)
(П)
-7г/2
где и(夕)=广 sin 夕• △&,
△s =△s =2°,96cos2 夕• 27r360° • 8,64 • 104 сек2°,96cos2 夕• 27r360° • 8,64 • 104 сек=0,6 • 10-6 cos2 夕,=0,6 • 10-6 cos2 夕,сексек
△s =
△s =
2°,96cos2 夕• 27r360° • 8,64 • 104 сек
2°,96cos2 夕• 27r360° • 8,64 • 104 сек
=0,6 • 10-6 cos2 夕,
=0,6 • 10-6 cos2 夕,
сек
сек
Подставляя эти выражения в (11), получим Е = Mq • 108 эрг!г. Сравнивая эту оценку с предыдущей, находим Mq = 1028 е. Полная масса Солнца М@ = 2 • 1033 а, т. е. в дифференциальном вращении, если его считать одно родным по глубине, участвует меньше тысячной
доли процента полной массы Солнца. Отсюда М = Мо/4тгг2 = 2 х х 105 е/с儿2, следовательно, М\, согласно (4), равно 7 • 10-3 ^ 10-2, т. е. предположение о малости М、оказывается оправданным. Найденное значение М соответствует давлению р = Мд = 5,5 • 109 дин/см2 = =5500 атм. При этом можно также оценить глубину атмосферы, охваченной движением. В предположении адиабатичности глубина 2 оценивается как
2 =叁7丁[(夕/网)(1)/「1], (12)
где уа = 9/ср ^ 8° км~х — адиабатический градиент температуры, ре
0,05 атм — давление на уровне излучения. Отсюда получаем 2 7 х х 104 км, т. е. атмосфера находится в движении до глубин порядка 0,1 радиуса Солнца. Если же учесть, что интенсивность дифференциального вращения с глубиной ослабляется (см., например, [7]), то глубина оказывается большей. Так, при степенном затухании с глубиной
△^0 = [(广-门)/(广㊀-门)
где △&оо = △&о(1) = 0,6 • 10-6 сек~* г — текущий радиус, а 门 + 2 = =广㊀，можно получить при сохранении зависимости (1‘) от широты и с глубиной для адиабатической атмосферы, что для n = 1 z/r^
0,23, а при п = 2 отношение z/r^ ^ 0,4. Таким образом, наши оценки дают, что дифференциальное вращение простирается до глубин порядка 20-30% радиуса, что хорошо согласуется с оценками глубины конвективной зоны [18].
Строго говоря, этим и ограничиваются сведения, которые можно получить с помощью подобия и размерности с привлечением результатов наблюдений. Однако использование дополнительных соображений [13-15] позволяет оценить еще ряд полезных характеристик.
Одной из них является «время жизни» циркуляции, определяемое как
Ти = pr/2U, (13)
где /3 — так называемая мера организованности потока, U — характерная скорость. Величина /3 зависит от критерия по вращению А сильно возрастая с ростом А при X》1. Опыт атмосфер Земли и Марса показывает [14, 15], что при А 〜1 величина /3/2 1. Примем и для Солнца (А = 0,14) с целью грубых оценок /3/2 = 1. Среднее значение скорости U = (2Е/Л/о)1/2, согласно полученным выше оценкам (Е = 1036 зрг, Mo = 1028 г) получается равным 140 м/сек. Поэтому ту r/2U = =5,2 • 106 сек = 60 дней. Эта оценка согласуется с упомянутыми выше результатами Уорда [2-4].
Теория [13-15] дает возможность оценить порядок величины характерной разности температур на среднем уровне атмосферы, охваченной движениями, если, конечно, эти движения вызываются меридиональными градиентами температуры. Для этого сначала оценим среднюю
скорость диссипации (генерации) кинетической энергии во всей атмоСфере Е = ". (14)
Подставляя сюда найденные значения Е и ти получаем Е = =2 • 1029 эрг/сек, откуда на единицу массы имеем £ = Е/Л/о = =20。黯/约收.Это значение относится к крупномасштабным движениям, а в мелкомасштабной конвекции, проявляющейся в грануляции, £ может быть существенно больше, поскольку там действует другой механизм — вертикальная неустойчивость атмосферы.
Имея оценку Е и зная полный поток энергии, испускаемый Солнцем, Q = 47rL2q, можно оценить 〃一 к. п. д. атмосферы по превращению полной подводимой к ней мощности Q в энергию крупномасштабных движений:
〃 = E/Q = 5・ 10-5 (15)
Солнечная атмосферная тепловая машина оказывается примерно на 2,5 порядка менее эффективной по сравнению с земной, для которой [12, 14] 1-2%.
Горизонтальную разность температур, ответственную за общую циркуляцию, можно оценить согласно формуле [17, 13, 14]
6T = r1Ti/k, (16)
где Т1 — температура наиболее нагретых областей атмосферы. По адиабатической модели на глубине порядка 70000 км Т{ • 105° К. Для к = 0,1 — 1 в результате получаем 8Т ^ 250-25° К. Таким образом, в недрах Солнца, где температура порядка полумиллиона градусов, разность температур на эквипотенциальной поверхности может быть порядка нескольких десятков или сотни градусов, т. е. величина относительной разности по рядка 10-4.
Следует отметить, что формула (16) не предсказывает знак 6Т, поэтому нельзя сказать, что теплее, полярные или экваториальные области Солнца, хотя концепция несколько более горячих полярных областей физически более понятна. Прямые измерения температуры на краях диска у полюсов и на экваторе [19] не дают определенного ответа, показывая разброс в величинах измеренной температуры для разных наблюдений в пределах ±10 — 20° К, что заметно больше ошибок измерений. Представляется, что наиболее вероятной причиной разброса данных измерений является турбулентность, т. е. наблюдаются флуктуации температуры, вызываемые турбулентной конвекцией 9. Поэтому для выделения постоянной разности температур требуются длительные систематические наблюдения. Отметим так же, что разность температур 6Т вовсе не обязана сохраняться постоянной вплоть до видимой поверхности Солнца. Опыт земной атмосферы показывает,
В этой связи отметим, что структура грануляции показывает разности температур в пределах гранулы порядка 100°К [1].
например, что вдали от поверхности температуры по меридиану в значительной степени выровнены.
Если наряду с рассмотренным механизмом превращения подводимой к атмосфере энергии в кинетическую, связанным с наличием слабого меридионального градиента температуры, действуют еще какие- то механизмы, то полученная оценка 5Т должна быть уменьшена (конечно, если верна наша оценка Е 1036 эрг\
Попробуем как-то качественно проследить роль магнитного поля для полученных здесь оценок. Если имеется общее магнитное поле Солнца, то оно из-за гидромагнитных взаимодействий должно тормозить движения, и тогда полученное здесь значение Е следует считать оценкой сверху. Поэтому оценки глубин проникновения тоже окажутся максимальными. Генерации локальных магнитных полей также требует затрат энергии, что снова должно уменьшать интенсивность циркуляции, не говоря уже о локальных гидромагнитных взаимодействиях. Последние, как отмечает Старр [9], вероятно, и являются тем основным механизмом, который осуществляет баланс общего момента количества движения н циркуляции на Солнце. Однако какие-то количественные оценки всех этих эффектов пока не представляются возможными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К. де Ягер, Строение и динамика атмосферы Солнца, ИЛ, (1962).
F. Ward, Astrophys. J., 141, 534 (1965).
F. Ward, Astrophys. J., 145, 416 (1966).
F. Ward, Pure Appl. Geophys., 63, 196 (1966).
H. Vogt, Astron. Nachr., 223, 229 (1925).
A. S. Eddington, Monthly Notices Roy. Astron., 90, 54 (1930).
P. С. Ирошников, Астрон. ж., 46, 97 (1969).
V. P. Starr, P. A. Gillman, Sci American, 218, 100 (1968).
V. P. Starr, Physics of the negative viscosity phenomena, McGraw Hill, N. Y., 1968). (Рус. перевод: В. П. Старр, Физика явлений с отрицательной вязкостью, «Мир», 1971.)
L. Biermann, Z. Astrophys., 28, 304 (1951); Trans. IAU, 6, 248 (1958).
R. Kippenhahn, Astrophys. J., 137, 664 (1963).
Э. H. Лоренц, Природа и теория общей циркуляции атмосферы, Гидрометиздат, (1970).
ЕС. Голицын, Докл. АН СССР, 190, 323 (1970).
G. S. Golitsyn, Icarus, 13, 1 (1970).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. ФАО, 7, №9 (1971).
Л. И. Седов, Методы подобия и размерности в механике, «Наука», (1967).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. ФАО, 4, 1131 (1968).
Дж. П. Койпер (ред), Солнце, гл. 2, ИЛ, (1957).
Е. A. Spiegel, private communication, (1970).
§ 6. On The Martian Dust Storms 9
Dust storms on Mars of great intensity and global scale are known for times of favorable oppositions only, when Mars is under intensive observation and when the storms severely interfere with the observations. Though the correlation of dust storms with great oppositions has been known by astronomers for a long time, the possibility of a large storm at the end of 1971 was evidently overlooked at the planning of scientific experiments by Martian automatic stations, probably due to the large time intervals between these oppositions.
It is known (Glasstone, 1968) that at the time of favorable oppositions, Mars is near its perihelion, and in its southern hemisphere it is the end of spring or the beginning of summer. Then the insolation is a maximum and >20% higher than average due to the eccentricity of the orbit. Antoniadi, as far back as in 1909 (see Glasstone, 1968), proposed that though the yellow clouds (assumed to be constituted of dust particles) are observed also at other times, the most intensive yellow clouds develop at perihelic oppositions. Data on yellow clouds observed on Mars were compiled by Gifford (1964). The data show that the most intensive clouds were observed for the great oppositions of 1892, 1924 and 1956 and also for the years next to oppositional ones of 1909 and 1939, but not exactly at these same years. To this list of years we now can add 1971.
In this connection it seems to be very important to organize systematic observations of Mars in 1973 as early as possible before the time of the opposition which will be on October 25, 1973. This future opposition will be in the middle of summer for the southern hemisphere. Therefore, the observations before this date may show the existence (or absence) of a dust storm or separate clouds.
Therefore, it seems that the position of Mars near its perihelion is a necessary but not a sufficient condition for the generation and development of a dust storm. The varying duration, intensity and space scale of different storms points out the importance of local and general meteorological and surface conditions at the time of storm origin and its subsequent evolution. But the fact that the storms often reach the global scale implies the existence of some feedback processes assisting the global spread of the dust once a cloud has reached some critical size. The purpose of this paper is to point out, if only in a very preliminary and rough way, some possible processes assisting the development of a dust storm. Unfortunately we know too little about Mars, and understand very well
i) Cm. ICARUS 18, 1973.
that due to the complexity of the Martian relief, the structure of Martian winds must be very diverse; and that the description of a large dust storm (the Earth's meteorology does not face such a problem) requires an account of many complicated or badly understood factors. Among these factors one evidently must consider the problems of lifting dust into the atmosphere and the wind structure in the atmospheric surface layer; the spread of the dust in the atmosphere; the absorption by dust of the solar radiation; and the change due to such absorption of the temperature regime of the atmosphere and underlying surface which in its turn affects winds and dust lifting. In this difficult situation it seems that even some elementary qualitative considerations on separate phases of a storm may be of some use. In passing, we will briefly discuss various problems of meteorology and micrometeorology which, in the author's opinion, one should consider for the improvement of our understanding of various phases of dust storm evolution.
Let us discuss first the problems of the lifting of dust. Two qualitatively different mechanisms are known, as discussed for Martian conditions by Gifford (1964) and by Sagan and Pollack (1969). First we consider saltation (see also Bagnold, I960). For some wind stress 丁， depending on wind velocity and its vertical gradient, particles of a certain size begin to move, being lifted into the atmosphere up to some height, being carried by wind, and then falling down under the action of gravity. The particle fallout is described by the Stokes-Cunningham equation, applied to Martian conditions by Anderson (1967). The calculation of the particle radius of the lifted dust as a function of wind stress 丁 or, more exactly, of the friction velocity “* = (丁/。)»?, where p is the atmospheric density, has been performed by Sagan and Pollack (1969) for a surface pressure on Mars 夕s = 5 and 15 mbar. For 夕s = 5 mbar the threshold value of “* equals 4 m/sec, at which particles of radius about 200 〃粗 start to be lifted. At larger values of “*, e.g., at 〃* = 6 m/sec particles with radii from 50 to 1000 〃粗 are lifted. With an increase of ps the threshold value of “* decreases, being equal to slightly less than 2 ml sec for ps = 15 mbar. These comparatively large particles, while falling back onto the surface, may exchange momentum with smaller particles and lift them into the atmosphere. Then, due to turbulent mixing, small and slowly falling particles may reach large altitudes. The efficiency of such a process of small-particle introduction into the atmosphere is practically unknown, to the author's knowledge. But at the same time this question seems to be very important for the understanding of the storm's origin and development.
A rough estimate of “* values for various Martian conditions may be obtained if the wind velocity U in the free atmosphere is known. According to numerous data in the Earth atmospheric boundary layer (Zilitinkevich, 1970) the value of “* is determined by the wind velocity U and is equal to 2-5% of U, depending on stratification. The former figure corresponds to strong stability, and the latter to strong instability or free convection.
If U is given, then the ratio /U does not depend on surface pressure, at least to first approximation.
The structure of the Martian atmospheric surface layer has been studied by Golitsyn (1969). Using that paper and the typical wind speeds obtained by Leovy and Mintz (1966) for a model with 夕s = 5 mbar, one may derive that for winter 〃* ^ 3 m/sec, for summer noon 〃* ^ 2 m/sec, and for summer midnight, morning and evening “* 1 m/sec.
As we do not know the mean level of the Martian surface a question arises how the averaged winds will be changed with variations in 夕s・ According to Golitsyn (1970) U 〜M-1/2 = (g/夕s)"? where g is the gravitational acceleration and ps is the mean surface atmospheric pressure. Therefore, all other conditions being equal, u* 〜左"L i. e., the present estimates Ps = 6 ±2 mbar (Kliore et al., 1972) our estimates are valid within the error limits of ±25%.
Comparing our estimates of “* with the results of Sagan and Pollack (1969) we see that the calculated “* values are two or four times less than the threshold value of “*. It may be thought that the winter conditions are more appropriate, but one should bear in mind that at the colder seasons as well as at night the cohesion between dust particles on the surface may increase due to the freezing of water vapor on the surface, and therefore conditions for dust lifting at colder times may be unfavorable. This is confirmed by data of Gifford (1964) which show the practical absence of clouds for low temperatures of the underlying surface.
Therefore, the lifting of dust should be expected around noon, although not at all conditions, but rather at times of local increase of U, taken here as 40 m/sec, by about a factor two. One may point out some circumstances favoring dust lifting at smaller velocities. First, there are turbulent gusts. Their statistical characteristics have been studied well for the Earth's boundary layer. The ratio of rms velocity fluctuations au to “* equals 2-25. Thus au is of the order of 0.1 U (see Zilitinkevich, 1970). The probability distribution for the velocity fluctuations is more or less close to the normal one. This means that a wind velocity increased by 10% is a frequent event. Stronger gusts are less probable but also should occur.
A noticeable increase of “* may take place at a discontinuity in the structure of the underlying surface, namely at a sharp increase of the roughness length 2°. This phenomenon was studied on the Earth (see Laikhtman, 1970). An approximate analytical solution of the problem was recently obtained by Radikevich (1971). He found that for a change of 2° by a factor of 10, the value of “* increases by about 30% in regions far from the boundary dividing regions of different 2°. Near this boundary the change in “* is larger (up to a factor three) and vertical currents whose velocities reach several cm/sec appear directed upwards when zq increases. The field measurements carried out for much larger changes of 2o show larger changes in
Another mechanism for the introduction of dust into the atmosphere is the occurrence of dust devils, as discussed by Neubauer (1966), Sagan and Pollack (1969) and by Sagan et al. (1971). Conditions for dust devil formation were studied by Ryan and Carrol (1970) in the Mojave Desert in Southern California. They are formed by weak and moderate winds and during large overheating of the ground surface, i. e., strong instability of the atmosphere. Sharp temperature jumps across the viscous sublayer should favor the generation of dust devils. These temperature jumps have been experienced by many at summer virgin sand beaches. For Martian conditions such jumps may reach 〜30° К as can be obtained from formulas presented, e.g., by Zilitinkevich (1970).
Unfortunately the efficiency of dust devils in lifting sand and dust is unknown. It evidently depends upon the amount of available dust. The latter is surely an areomorphological factor. Nevertheless, one cannot exclude the possibility (see Sagan et al., 1971) that the dust devils may happen to be the chief mechanism for dust supply into the Martian atmosphere. The dust there may be fine and long lived in the atmosphere because vertical velocities in the devils are of the order of horizontal ones and may reach several meters per second.
This discussion shows that the lifting of some considerable amount of dust into the atmosphere requires the simultaneous fulfillment of several conditions which are probably best realized near perihelion. This allows one to understand the rarity of yellow clouds and their correlation with perihelic oppositions.
Now let a dust cloud reach a sufficiently large size, and let the dust concentration in the cloud be appropriately large. Then the description of the motion of such a cloud over an underlying surface requires an account of the back influence of the dust on the dynamics of the flow. The turbulent flows of fluids with a heavy admixture were studied by Barenblatt (1955). One of his main conclusions is that for the case of neutral stratification the vertical velocity profile for a stationary and horizontally homogeneous
⑴⑴flow is of the form /、/
⑴
⑴
where 庆=0.4 is the von Karman constant. The nondimensional parameter to is defined as/
s = v/аки^,(2)
the formulathe formula八（2）=八 1（2/21）T,八（2）=八 1（2/21）T,where。the velocity of particle descent, and a the ratio of eddy exchange coefficients for the admixture and for the momentum, a value of order unity. For particles small enough,。＜ q庆〃*, i. e., s V 1, formula (1) may be interpreted as showing that the presence of dust in the flow causes an effective decrease of 儿 The velocity gradients near the surface are then steeper, which favors the blowing out and lifting of more dust into the atmosphere. For fine particles with radii of few microns s « 1. A limiting stationary distribution of dust with height exists which is described by
the formula
the formula
八（2）=八 1（2/21）T,
八（2）=八 1（2/21）T,
where 八⑶ is the dust concentration and the subscript 1 is related to some level near the surface. For an unlimited storage of dust on the surface the dust concentration in the flow approaches this limiting distribution. The total amount of dust in the flow is greater the less s is because ni 〜i. For a limited storage of dust on the surface, the concentration profile approaches this limiting distribution only asymptotically for large 2, being smaller at smaller 2. This implies that the limiting amount of dust must then be high in the atmosphere. This feature of turbulent flows with a heavy dust admixture may turn out to be one of the mechanisms favoring the self-development of dust storms. The author hopes to return in the future to a more detailed application of these results to Martian conditions.
For stratifications different from neutral, one may also expect a sharpening of the velocity profiles near the ground for the dust flows in comparison with the case of a flow of a pure fluid. A theory of such flows would be useful in particular in relation to the expected influence of dust on the eddy mixing of the atmosphere.
The propagation of already lifted dust to great heights of the order of an atmospheric scale height is accomplished by turbulent mixing. Let us estimate what values of the eddy exchange coefficient К are necessary to spread the dust up to a height Я in a time r. Using the formula К
H2/t for H = IQ km and 丁 = 105 sec (1 day) we get К 107 cm1/sec. This value seems reasonable for daytime conditions at the equator and even a bit smaller than the estimates obtained by Gierasch and Goody (1968) and Golitsyn (1969).
Horizontal mixing is characterized by much larger coefficients. For the spread of dust over 1000 km in 3 days one needs К 3 • 1010 cm1/sec, which agree with the author's estimates (Golitsyn, 1968, 1970). This value of К is an order of magnitude greater than was used in the numerical experiments by Leovy and Mintz (1966, 1969). In their 1969 paper their value of К is called small, and one may only agree with such a statement. Nevertheless, this problem also requires further study.
Now assume that the dust has been raised over some large area. Measurements during the dust storm (Hanel et al., 1972; Chase et al., 1972) show that the surface of the planet is colder during the day than it is in the absence of the storm, and the vertical temperature profiles are close to isothermal. Therefore, the atmosphere is on the average warmer. This can be understood if one assumes that a considerable part of the solar radiation is absorbed by the dusty atmosphere itself. Unfortunately the optical properties of the Martian dust in the range of the direct solar radiation are as yet unknown, and estimates of the absorption can only be indirect. In this connection it is useful to consider measurements of the absorption of solar radiation for a severely dusty atmosphere made by Kondratyev et al. (1971) in Middle Asia in the KaraKum Desert. These conditions are described by the authors as a strong haze. The measurements show that the atmospheric absorption for dry air
is considerable, about 20-25% of the total value of the incident radiation. We propose that, for a dust cloud not yet of very large horizontal scale, there is a decrease of temperature in the lower part of the cloud.
Simple estimates of the velocities of expected winds may be made following Gierasch and Sagan (1971). For moderate scales L, the Rossby number Ro = U/fL, which measures the ratio of nonlinear advection terms to the Coriolis force, is more than unity (here / = 2Csin 夕 is the Coriolis parameter, Q, the angular velocity of the planefs rotation, and 0 the latitude). For Ro > 1 one may neglect the Coriolis acceleration for rough estimates. The equations of motion with pressure as the independent variable instead of height may be written as
u{du/dx) + u{du/dh) + {дф/дх) = 0, (3)
{дф/дК) = RT, (4)
{ди/дх) + {dw/dh) - w = 0, (5)
where h = ln(夕/夕s), ф = gz is the geo-potential, R is the gas constant, T is the temperature, and w = dh/dt. If the temperature change AT over some distance L is given, then this system allows one to estimate the velocity of rising motions. Using (5) we find that the first two terms in (3) are of the same order. Then, from (4) it follows that
u2 〜40 RS△" (6)
An account of the nonstationary terms and e. g., the circular symmetry of the temperature distribution will not significantly change the order of magnitude of this estimate.
Let AT = 10° К and ЛД = 1/2, i. e., the motion takes place only up to the middle level of the atmosphere. Then according to (6) U 〜30 m/sec. Having U from the condition Ro > 1 we obtain the restriction L < U/f. For the latitude 夕=30° we have L < 400 km.
In the lower central part of a cloud the atmosphere is colder, the motions there are descending; the ascending currents should be near the cloud boundary. The presence of considerable velocities, and the motion pattern will favor the lifting of more dust and its transportation to the cloud periphery. According to estimates of dust spread time a cloud may reach 〜500 km during 1 or 2 days. At larger cloud sizes one has to take into account the Coriolis term and the motions will be mainly determined by the balance between the pressure gradient and Coriolis force. Such a wind is called geostrophic. If the temperature changes, then the pressure changes too as well as the wind. The component of the geostrophic wind due to temperature change is called the thermal wind. The thermal wind equations are (see Gierasch and Sagan, 1971)
du/dh = -(R/fXdT/dy),
dv/dh = {R/f^dT/dxY 〈丿
or, in vector notation,
du/dt = -{R/f^HTx^ (8)
where к is the unit vector directed upwards. It follows from these equations that the thermal wind changes with height and blows along the isotherms in such a way that the colder air is from the right in the southern hemisphere (/ < 0). As a result a cyclonic vortex arises in the lower atmosphere. The velocity change, i. e., the thermal wind, may be estimated using (8) as
△U 〜RAhAT/fL. (9)
Substituting here ЛД = 1/2, AT = 30° K, L = 1000 km, and / = 7 x x 10-5 sec (夕=30°) we get AU 〜40 m/sec. In the upper part of the atmosphere where the temperature gradient is reversed an anticyclonic vortex should arise.
According to calculations by Leovy and Mintz (1969), at the summer southern hemisphere the moderate southeast winds are prevailing, with velocities 〜10-20 m/sec. If our estimates are valid, then the winds arising at the development of the dust storm must change fundamentally the general pattern of the wind field.
Therefore, a dust cloud of large enough size and density should disturb considerably the temperature regime, thus causing the appearance of rather strong winds which in turn may raise a new amount of dust into the atmosphere. It seems that this might be one of the possible large- scale mechanisms of feedback between the wind field and the quantity of the dust in the atmosphere, furthering the self-development of the dust storm up to global scales.
Unfortunately for the time being the absorption properties of the dust are unknown and there is no quantitative theory of raising the dust into the atmosphere; since these are only some of the principal links of the process, it is difficult to propose any satisfactory quantitative description of the evolution of the dust storm in time and space.
But let the dust storm reach a global scale. The storm eventually attenuates and ceases, i. e., the dust falls out of the atmosphere. At the same time there are possible temporary and even repeated increases of the storm as, e.g., was followed in 1924 by Lyot (see Kuiper, 1961). After a cloud has reached global scale the temperature contrasts in the atmosphere decrease, the winds quiet down and the dust starts to fall out. However if this particle fall is uneven over different areas due to relief differences or due to local meteorological reasons, then a temporary increase of temperature contrasts is possible and the winds may become stronger again raising new dust.
In the temperature regime of the southern hemisphere a specific role must be played by the polar cap. At this time of year it melts rapidly, which requires a large amount of heat. The atmospheric temperature near the surface of the cap must be of the order of 150° K, the frost point of
solid carbon dioxide. In the main atmosphere the temperature should be considerably higher, due to heat advection and to direct heating of the dusty atmosphere by the Sun. The observations by Hanel et al. (1972) show the presence of a strong temperature inversion over the south polar cap. The flux of CO? released at the evaporation of the cap should also play some role. We restrict ourselves here by pointing out the importance and complexity of these phenomena.
Acknowledgments
The author expresses his sincere gratitude to Drs. G. I. Barenblatt, A. V. Morozhenko, V. I. Moroz and S. S. Zilitinkevich for the useful discussions of various problems touched in this paper.
References
Anderson, A. D. (1967). Spherical particle terminal velocities in the Martian day time atmosphere from 0 to 60 km. J. Geophys. Res. 72, 1951-1959.
Bagnold, R. A. (I960). «The Physics of Windblown Dust and Desert Dunes». Methuen, London.
Barenblatt, G. I. (1955). On the motion of suspended particles in turbulent flow. Prikl. Mat. Mekh. 19, 61-88.
Chase, S. C, Jr., Hatzenbeler, H., Kieffer, H. H., Miner, E., Munch, G., and Neitgebauer, G. (1972). Infrared radiometry experiment on Mariner-9. Science 175, 308-309.
Gierasch, P., and Goody, R. (1968). A study of the thermal and dynamical structure of the Martian lower atmosphere. Planet. Space Sci. 16, 615-646.
Gierasch, P., and Sagan, C. (1971). A preliminary assessment of Martian wind regimes. Icarus 15, 312-318.
Gifford, F. A. (1964). A study of Martian yellow clouds that display movements. Mon. Weather Rev. 92, 435-440.
Glasstone, S. (1968). «The Book of Mars», NASA Publ. NASA SP- 179.
Golitsyn, G. S. (1968). Estimates of some characteristics of general circulation in atmospheres of terrestrial planets. Izv. Atmos. Oceanic Phys. 4, 1131-1138.
Golitsyn, G. S. (1969). Estimates of boundary layer parameters in the atmospheres of terrestrial planets. Izv. Atmos. Oceanic Phys. 5, 775783. See also (1971) In «Planetary Atmospheres» (C. Sagan, et al. eds.), pp. 297-303. D. Reidel Publ. Co., Dordrecht, Holland.
Golitsyn, G. S. (1970). A similarity approach to the general circulation of planetary atmospheres. Icarus 13, 1-24.
Hanel, R. A., Conrath, B. J., Hovis, W. A., Kunde, V. G., Lowman, P. D., Pearl, J. C, Prabhakara, C, Schlachman, B., and
Levin, G. V. (1972). Infrared spectroscopy experiment on the Mariner- 9 mission: Preliminary results. Science 175, 305-308.
Kliore, A. J., Cain, D. L., Fjeldbo, G., Seidel, B. L., and Rasool, S. I. (1972). Mariner-9 S-band Martian occultation experiment: initial results of the atmosphere and topography of Mars. Science 175, 313— 317.
Kondbafyev, K. Ya., Vasifev, О. B., and Grishechkin, V. S. (1971). On the spectral distribution of the radiative heat influx into the atmosphere. Sov. Phys. Dokl. 198, 1070-1071.
Kuiper, G. P. (ed.) (1961). «Planets and Satellites», vol. Ш. University of Chicago Press, Chicago, 111.
Laikhtman, I. L. (1970). «Physics of the Atmospheric Surface Layer». Hydrometeorological Publishing House, Leningrad.
Leovy, С. B., and Mintz, Y. (1969). «А Numerical General circulation Experiment for the Atmosphere of Mars». RM-5110-NASA, The Rand Corp.
Morozhenko, A. V. (1972). Some properties of the Martian atmosphere during dust storms. Astron. Circular No. 683, 1-4.
Neubauer, F. M. (1966). Thermal convection in the Martian atmosphere. J. Geophys. Res. 71, 2419-2426.
Radikevich, V. M. (1971). Transformation of dynamical characteristics of the air flow under the influence of the change of underlying surface roughness. Izv. Atmos. Oceanic Phys. 7, 1241-2150.
Sagan, C, and Pollack, J. B. (1969). Windblown dust on Mars. Nature 223, 792-794.
Sagan, C, Veverka, J., and Gierasch, P. (1971). Observational consequences of Martian wind regimes. Icarus 15, 253-278.
Ryan, J. A., and Carrol, J. J. (1970). Dust devil wind velocities: mature state. J. Geophys. Res. 75, 531-542.
Zilitinkevich, S. S. (1970). «Dynamics of the Atmospheric Boundary Layer». Hydro-meteor. Publishing House, Leningrad.
§ 7. Local structure of Mature dust storms 9
. Introduction
In September-December 1971, just after Mars opposition, there was a global dust storm observed which was probably the strongest during the past century. The storm strongly interfered with many observational programs and created a renewed interest in this phenomenon.
Cm. J. Atmos. Sci., v. 31, 7, 1974. В соавторстве с Г. И. Баренблаттом.
Dust storms are a common phenomenon for many regions of Earth, mainly for hot and arid ones. Unlike the Martian storm, however, dust storms here are fortunately never global. Their size seldom exceeds several hundred kilometers. Extensive information has been pored with regard to dust storms which is, however, only of a descriptive character and, at best, is treated only from a synoptic point of view. There are practically reliable measurements of vertical profiles for wind, temperature and, especially, dust concentration, evidently due to the remoteness of the dust storm regions to the difficulties of carrying out measurements in such unpleasant conditions. Since the present work is concerned with studies of Martian dust storms, most of the applications are for Mars. However, we were fortunate to find data for Earth dust storms which confirm some of our conclusions. These data are also presented and discussed here.
Studies of the mechanism of dust storms have several aspects: their generation, development, local structure, etc. In relation to Mars some qualitative considerations on the first two aspects have been discussed recently (Golitsyn, 1973; Hess, 1973; Gierasch and Goody, 1973; Leovy et al, 1973). Here we consider only the local structure of a mature dust storm. This important question has been practically unstudied, but at the same time it is very important for understanding the nature of dust storms.
Under certain simplifying assumptions we develop a quantitative theory of the local structure of mature dust storms for which all the important processes can be considered as steady. We calculate the vertical distributions of wind, temperature and dust concentration in the boundary layer of a dusty atmosphere. The prescribed external parameters are the dynamical (or frictional) velocity or the mean wind speed at some height, the turbulent heat flux determining the thermal stratification, and the size and concentration of dust particles near the underlying surface.
During the generation and development of a dust storm complicated interactions of various factors arise, as a result of which some self-adjusted state of dynamical equilibrium emerges which is described here. In broad terms the matter is as follows.
It is supposed that the Martian surface or at least some considerable part of it is covered by dust. During the Martian winter the cohesion of particles with the surface increases, e.g., due to their freezing to the surface. At the same time the atmosphere is stably stratified and the turbulence intensity is not large in the atmospheric surface layer. Because dust particles are taken out of the surface by turbulent fluctuations, they are lifted in small numbers or are not lifted at all.
Favorable conditions for dust lifting appear when Mars is near its perihelion. At this time the insolation is maximal, the south polar cap is melting at its fastest rate taking much of the heat from the atmosphere, and the north polar cap and hood are greatest in size. Under these conditions, explored in detail by Leovy et al. (1973), temperature differences are maximal, winds are the strongest, and dust could be lifted off the surface.
The intensity of turbulence increases, especially in daytime when one can expect the strongest heating of the soil (Golitsyn, 1973). All this favors the seizure of the dust from the Martian surface and its support in the suspended state. But the suspension and the lifting of the heavy particles can be done only at the expense of the energy of turbulent fluctuations in the flow. The decrease of this turbulent energy increases the stability of the flow and, external conditions being equal, i. e., the pressure excess or the friction velocity being the same, this results in a greater increase of wind speed with height. In other words, the same mean wind speed in a dusty flow is reached at lower values of the friction velocity as compared with the flow of a clear fluid.
The effect of the flow acceleration by dust has a close meteorological analogy: the dust is acting in the same way a stable thermal stratification does in damping turbulence resulting in the greater increase of wind speed with height. This increase is demonstrated by the fact that the wind profile increases with height at a rate greater than that based on the ordinary logarithmic law. The acceleration of the flow while lifting and suspending heavy particles appears as a main physical effect inherent to features of dust storms. A similar effect has already been found experimentally in studies of liquid suspensions which we shall briefly discuss later. In addition, there are data which indicate that Earth dust storms are accompanied by very much stronger winds than are normally required to raise the dust (Zakharov, 1965).
The distribution of dust with height is strongly influenced by the thermal stratification. For stable stratification, when the potential temperature increases and the turbulent energy decreases with height, the dust concentration diminishes exponentially with height. Under convective conditions when turbulent mixing increases with height, the concentration tends to a constant value at great heights.
It is not surprising that the analytical study of the complicated structure of a dust storm can be carried out only under the simplest assumption on flow geometry. The flow is considered as steady and homogeneous in the direction of the mean velocity over an unbounded horizontal plane. The successive description is reached by use, synthesis and development of two theories: the first involving the theory of particle transfer by a turbulent shear flow developed by Barenblatt (1953, 1955) and the other is the theory of a thermally stratified boundary layer developed by Prandtl, Oboukhov and Monin.
Dust storms are very complicated phenomena while the related observations are scarce and incomplete, not only for Martian storms but for terrestrial ones as well. Therefore, a detailed comparison of the proposed theory with reality cannot be made at present. Nevertheless, certain major theoretical conclusions are confirmed by observations. Therefore, where it is possible, we compare our results with existing data for Martian as well as Earth conditions.
The authors hope that the model of the local structure of a dust storm presented here, despite all the simplifications used, accurately describes the main features of the phenomenon and will allow one to determine the type of experimental studies which are necessary for the construction of a more quantitative model.
The basic equations of the theory
A stationary turbulent flow of a thermally stratified dust-gas suspension is considered in the semi-infinite region (2》0) bounded from below by the horizontal plane 2 = 0. The suspension is a two-phase medium consisting of a gas with particles. Every component of the medium has, generally speaking, its velocity, temperature, etc. It is essential, however, that the particles be small. Their concentrations, volume and weight, are also small. Therefore, the thermal relaxation time of the particles is small and their temperature may be considered to be equal to the temperature of the surrounding gas. The viscous relaxation time is also small. Therefore, it is possible to assume that the] horizontal velocity components for the particles and gas are the same while the vertical components differ by the constant value a which is the fall velocity of a single particle in unbounded space. The smallness of the particle concentration allows one to neglect contributions due to particle interactions with the pressure and viscous stress. Finally, due to the smallness of the density variations arising from temperature expansion and the presence of particles, it is permissible to take into account only the density variation connected with the action of gravity, i. e., to use the Boussinesq approximation. We want to stress that in using the Boussinesq approximation we also neglect the direct contribution of the solid phase into the momentum and momentum flux of the suspension.
Using the laws of mass and momentum conservation, averaging, and keeping in mind the stationarity and homogeneity of the flow along the 力 axis, as in the case of flow with no thermal stratification [see Barenblatt (1955), referred to hereafter as I] we obtain
—pufwf = г = const,(2.1)
sfwf = as.(2.2)
Here s is the volume concentration of particles [= 4?rr3n/3], where r is the particle radius and 八 the number of particles in the unit volume,
P = Pg{^ — 5) + Pps(2.3)
is the density of the suspension, pg being the gas density and pp the density of the particle material, and и and w are the longitudinal and the vertical components of the velocity vector
” =[Pg (s)"g + PpSUp] / p.(2.4)
The overbar in (2.1) and (2.2) indicates the mean value, the prime the fluctuations of a random quantity; 丁 is the friction stress. While
deriving (1) the viscous component of the momentum flux is neglected in comparison with the turbulent one which can be done out-bide the thin viscous sublayer whose width is of order of。/〃*, о being the kinematic viscosity and “* = (г/р)1/2 the dynamical friction velocity.
Eq. (2.2), the detailed derivation of which has been given by Barenblatt (1953), expresses the simple fact that the vertical turbulent flux of the admixture is equal to its gravitational fallout. The smallness of the volume concentration suggests that s « 1 and the smallness of the weight concentration suggests that os « 1, where a = {pp - pg)pg is the relative excess of the particle density over the gas density.
Neglecting molecular thermoconductivity, the heat balance equation is
pCp{d^rwr / dz)=九(2),(2.5)
where Cp is the specific heat capacity of gas at constant pressure, ” the potential temperature,九(2) the intensity of heat influx from solar radiation, etc. Integrating (2.5) with respect to height we obtain the heat balance equation in the form
pCp^fwf =如 + ]九⑶ dz = q(z),(2.6)
0
where 如 is the turbulent heat flux from (or to) the underlying surface [2 = 0].
Finally, the balance equation for the turbulent energy is obtained in the same way as in the theories of thermally stratified turbulent shear flow and of neutrally stratified flow with an admixture (Monin and Yaglom, 1965, Section 6; and Paper I). It has the form
pufwf{du/dz) + Q + pfwfg = 0,(2.7)
where Q is the dissipation of turbulent energy per suspension unit volume and g is the gravity acceleration. The density fluctuations pf entering into (2.7) with the multiplier g arise from two sources, specifically fluctuations of concentration and fluctuations of gas density caused by the temperature fluctuations:
p' = ops' — 〃//".(2.8)
Putting (2.8) into (2.7) describes the turbulent energy balance equation as
pufwf 單 + Q +(Jpsfwfg - pd~rg^fwf = 0.(2.9)
dz
The physical meaning of this equation is clear. The energy turbulence from the mean shear flow obtained by [the first term of (2.9)] is spent partially for dissipation and partially for the suspension of particles [the
third term in (2.9)] and for work against buoyancy forces [the last term 9 in (2.9)]. This equation can be presented in the form
°丽(血/d2)(l - Rf - Kf) + Q = 0,(2.10)
where the nondimensional parameters
Rf =(2.11)
J ^u'w' du/dz
⑵12)
ww^u/az
are the Richardson and the Kolmogorov flux numbers. The latter describes the part of the energy obtained by turbulence from the mean flow and spent for work related to the suspension of particles by the flow.
In the absence of dust, s = 0 and Eqs. (2.1), (2.2), (2.6) and (2.9) coincide with those developed by Monin and Oboukhov (1954); in the limiting case of thermally neutral stratification (when q — 0), the equations become as in I [their derivation can also be found in Monin and Yaglom (1965, Section 6.7); see also Kolmogorov (1954)].
Introducing the traditional eddy exchange coefficients for momentum, mass and heat, we have
(2.13)(2.13)km = к = т / p^du / dz), ks = —sfwf/(ds/dz), кт = -^fwf/{M/dz).
(2.13)
(2.13)
In our case of homogeneous flow along the 力 axis the introduction of these coefficients is simply that of a change in notation, not a hypothesis. We now write Eqs. (2.1), (2.2), (2.6) and (2.9) in the form
7 du、
pk-~ =r,
az
(2.14)(2.14)(2.15)(2.15)ask ¥ + as = 0,az
(2.14)
(2.14)
(2.15)
(2.15)
aTpCpk^+q = 0,)
(1-K/) + Q = 0,
Rf =
^Q^du/dz)
(du/dz)
Неге and in the following we omit for simplicity the overbars over mean values; &丁 = кт/к and as = ks/k are the turbulent Prandtl and Schmidt numbers, and Ri and К are the usual gradient Richardson and Kolmogorov numbers; and "o is the characteristic temperature of the medium. The parameters &丁 and as depend in general on Rf and К/.
Some important conclusions can already be obtained from Eqs. (2.15) using similarity considerations, as we describe later. Now we shall turn our attention to closing this system of equations. Following Kolmogorov (1942) we admit a hypothesis 9 that the eddy exchange coefficients and the dissipation of turbulent energy per unit mass of the suspension are expressed through the turbulent energy per unit mass, i. e.,
Ь = (〃/2 + 勿2 + “/2)/2,Ь = (〃/2 + 勿2 + “/2)/2,(2.16)(2.16)
Ь = (〃/2 + 勿2 + “/2)/2,
Ь = (〃/2 + 勿2 + “/2)/2,
(2.16)
(2.16)
and some length scale / of turbulence only. Then from dimensional arguments we have
k = lb电,Q = 07%3/2厂 i,衣7 = q7/从/2, ks = aslbx^
where 7, as and &丁 are universal constants (the universal constant in the expression for к can be taken as unity because the length scale / is not yet specified). The system (2.13) can then be written as
伊/2 du/dz =必，
QslbM' ds]dz = —as,
ат1Ъ{^ d^/dz = —q,
「必厂 2(1—KJ/2J(2.17)
Rf =—,
pu^ du/dz
Kf = :g^ .
ul du/dz,
Now if we define will be closed).
/ through the flow characteristics, the system (2.17)
1)Kolmogorov's hypothesis is one of the simplest and most natural hypotheses used for the closure of the equation system describing turbulent flew. Similar considerations were presented independently by Prandtl (1945). However, other hypotheses for closure are possible, which are discussed in detail by Monin and Yaglom (1965, Section 6).
A similarity hypothesis for the length scale: Boundary conditions
As is known for the analogous flow of a pure fluid over an unbounded plane, the turbulence length scale can be written as (see, e.g., Monin and Yaglom, 1965):
/ = (3.1)
where 庆 0.4 is the von Karman constant. Note that in (2.17) the values of the stability parameters Rf and К/ enter additively. Therefore, it is natural to assume the additiveness of action of the buoyancy forces on the turbulence scale and thus to propose an expression for this scale in the form
/ = к,/yzФ(Rf + К/) = ф ①(7И), (3.2) where M is the total stratification parameter and the function Ф(М) is supposed to be such that ①⑼=1 and that it is a non-increasing function of its argument. The latter is determined by the fact that the negative buoyancy must decrease the scale while the positive one must increase it. A discussion of the dependence of ①(R/) was presented by Monin and Yaglom (1965, Section 7). Due to the assumed hypothesis it is also applied in our case. If the function Ф(М) can be taken as known together with the constants entering (2.17), then this system becomes closed.
For the integration of the system (2.17)-(3.1) it is necessary to specify the boundary conditions. Note that this system, as well as the usual system of equations for an unstratified turbulent boundary layer, describes the motion of the suspension only outside of some layer of thickness zq near the underlying surface [^ = 0], within which the viscosity, molecular thermoconductivity, discreteness of particles, etc., or at least one of these factors, are substantial. Despite the smallness of the layer thickness the boundary conditions should be given at the upper boundary of the layer, i. e. at 2 = zq, because the solution of the system is singular at 2 = 0 due to the fact that coefficients of derivatives tend to zero at 2 To. Thus, at 2 = 0 we are given the velocity и [which without loss of generality can be put equal to zero because the velocity itself does not enter the system (2.17)-(3.1)], the temperature "0, and the particle volume concentration so. The friction velocity and the turbulent heat flux q0 are also assumed to be known.
The consideration of particle saltation in the thin saltating layer very near the surface would lead to its thickening (i. e., to an increase of the roughness length 2°) compared with the flow of a pure fluid. Here, however, we neglect this effect because of the smallness of the particle concentration and the smallness of its direct contribution to the momentum and flux of momentum of the suspension. But generally speaking this question requires special study.
We also neglect in (2.6) the dependence of q(2)on height, because otherwise the solution would require numerical integration and consideration of the optical properties of the dust particles. At present we restrict ourselves to the case of constant q for simplicity and I analytical
tractability hoping that this assumption I will not distort too badly the qualitative picture of the flow. But at further stages of the study this simplification must be avoided.
The flow of the suspension with thermally neutral stratification:The limiting saturation of the flow by dust
Observations of the temperature field during the Martian dust storm (Kliore et a/., 1972; Hand et a/., 1972) show that the vertical gradient of the potential temperature is small and the atmosphere is close to the isothermal state (T = constant). It is also known (Monin and Yaglom, 1965) that near the underlying surface at not large heights the influence of the thermal stratification is insignificant and can be neglected. It is not difficult to show that this is also valid for the dust carrying flow. On the other hand, an analysis of the simpler case of thermally neutral flow reveals the main features of dusty flows which are essential for dust storms. A detailed analysis of these features was carried out in I. For completeness we reproduce here some general results of this paper (which is probably not readily accessible to many readers) and will also consider here the problem from a more general point of view.
Thus, for Rf = 0 the system (2.17)-(3.1) may be rewritten as
(4.1)(4.1)Zbi/2(d〃/d2)= aslb^2{ds/dz) = —as, 「止厂2(1-К/)】/?，
(4.1)
(4.1)
Kf = —asag(ds/dz)(du/dz)~2, / =庆)2 ①(К/).
This system has a number of important properties. First of all, it does not contain the velocity itself and, therefore, a constant in the expression for u, determined from the condition “(2 = 2°) = 0, is an additive one. Further, if there is unlimited storage of dust on the surface, one may expect that a flow of regime exists in which the dust raised is a maximum due to the feedback influence of particles on the flow dynamics. Let us call such a flow a saturation-limited (or simply saturated) flow. The solution describing saturated flow must be the singular solution of the system (4.1) and has to be determined by the parameters entering the differential equations (4.1).
Note now that the system (4.1) is invariant relative in the transformation group
s = S/q, 2 = qZ, и = U, a〉0.(4.2)
We let the desired solution determine the velocity gradient and let the concentration be expressed as
du/dz = /(2), s = g(2),
where / and g are some functions of height. The solution (4.3) must also be invariant relative to the transformations (4.2). Therefore, the functions / and g must satisfy the functional equations:
/(2)= a/(Q2),g(2)= ag(Q2).(4.3)
(4.4)(4.4)22The solutions of these equation are f = C\z~x, g = C^z~x, where Ci and J are constants. Therefore, dz z
(4.4)
(4.4)
2
2
It is easy to see that this solution corresponds to a constant value of the Kolmogorov flux number
(4.5)(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)(4.5)(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)Kf = QsogC2c
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Using the first and third equations of (4.1) we find that
-仪 1 —K“/4①(К/)' and from the first and second equations of (4.1)
a = 〃*/(庆 5， where we have used the notation
ш = a/(Qs/ш*).
Comparing (4.6) and (4.7) we get an algebraic equation
s = (l—K“/4 ①(К/
As has already been said, Ф is a non-increasing function of its argument and ①⑼=1. By definition the value of К/ is bounded by 0 and 1. Therefore, for s〉1, Eq. (4.9) has no solution, which means that there is no invariant singular solution of (4.1) for s〉1, while for cj < 1 such a solution exists, and it is a unique one.
Thus Eqs. (4.5) and (4.7) give for cj < 1
=(〃*/庆5 ln^ + const.(4.10)
We see that in saturated flow the velocity profile is logarithmic, but there is an apparent decrease of the von Karman constant (s < 1), i. e., at the same external conditions (the same 〃*) the flow moves faster in comparison with the flow of a pure gas.
The raising of dust takes place at the expense of the energy of turbulent fluctuations which is spent in particle suspension. The fluctuation energy per unit mass for the saturated flow is equal to
b = bo(l - “/2,(4.11)
where b° = "h" is the value of the fluctuation energy for the pure gas flow at the same value of “*. Thus, due to the decrease of the turbulence
intensity, the mean flow moves faster as is shown in the apparent decrease of the von Karman constant 儿 This effect has already been noted for flows of water containing sediments by several experimenters (Vanoni, 1946; Einstein and Ning Chien, 1955; Taggart et a/., 1972).
The existence of the saturated flow regime is of principal significance, but proof of existence requires more general assumptions than our adopted closure hypotheses. It follows mainly from two important facts; first, the invariance of the Kolmogorov number К/ relative to the transformation group (4.2) and, second, the free (unfixed) dimension of s — the second Eq. (2.14) does not change if we multiply s by any constant value. Therefore, for the invariance of the original system of equations describing the flow of a thermally neutral suspension [Eq. (2.14) at 勺=0], it is sufficient that the closure hypotheses guarantee the invariance of the operator k{d/dz) and of the value Q du/dz relative to the transformations (4.2). If we now require from the closure hypotheses that they not introduce new dimensional values, then from dimensional arguments we get
k = /0， Q = 0北 1/-1认 (4.12)
where E is a value with the dimension of length constructed from parameters and variables entering the equations [see e.g. (5.17)]; and 夕, ⑦ and as are functions of К/, z/L and other nondimensional parameters. It is not difficult to see that for any choice of the value L such invariance is taking place. It is natural, therefore, that such a singular solution was also obtained in I by direct integration without use of invariant properties, using Karman's hypothesis for the scale of turbulence when
/ = —^{du/dz^^u/d^^^^x^Kf).
The fact that the flow can raise the dust and reach the saturation state only if s = a/{asnu^) < 1, i. e., when the gravitation fallout speed is less than the characteristic velocity of turbulent fluctuations, is logical and has been experimentally confirmed (see, e.g., Bagnold, 1941). Mathematically, it follows from the fact that the function 夕 in (4.12) is, for practically any closure hypothesis (see Monin and Yaglom, 1965, Sections 6, 7), of the form 夕(K/) = (1 - K/)】/’①(K/), which guarantees a relation of the type (4.9).
Note that there is no transformation of the type (4.2) with a ^ 1 which keeps the Richardson number invariant and/or the energy equation in the theory of the thermally stratified boundary layer without dust. In this theory, therefore, there are no analogous singular solutions.
As the detailed analysis shows (see I), the solution (4.4) describing the saturated flow is the asymptotic limit of solutions having finite values of concentration at arbitrarily small values of 2. Therefore, at sufficiently large heights the distribution of concentration approaches the saturated value even if the flow is far from saturation at small heights.
At small heights the concentration profile of поп-saturated flow has the form
s = s^z/z^.(4.13)
This solution, corresponding to the case when the dust is dynamically passive, has long been known (see Prandtl, 1949). The velocity in this case is of the usual logarithmic form and the Kolmogorov number is small but increases as zl~^. At greater heights, when К/ becomes appreciable, the velocity increases faster and its profile approaches (4.10).
If s〉1, then there is no regime of saturation and the concentration profile at 2 — oo behaves like 2一" and the velocity profile is the usual logarithmic one, i. e., the particles are not raised into the main volume of the fluid.
Interesting features are inherent in flows carrying very fine particles when s « 1. It then follows from (4.9) that Kf must be very close to unity: Kf 1. Then, finding C? with the help of (4.7), we find that the saturated limiting profile of s is approximately equal to
s = si——=-2——•(4.14)
QsR 3 agz a agz
We now use Stokes' formula for the speed a of a free falling particle:
a = (2/9%д『2.(4.15)
If the particle radius r is comparable to the molecular free path, then the a(r) dependence is weaker. For Martian conditions it has been calculated by Anderson (1967).
Now we calculate from (4.14) and (4.15) the particle number concentration4 2
_匹_ ~ 243asy .丄=0(4.16)
4/37ГГ3 1б7Г(СГр)3Г7 2 Z
We see that the number of particles and their height distribution for saturated flow are strongly dependent on the friction velocity “* and, especially, on the particle radius; note that the scale Li u^r~7. The finer the dust the higher it can be raised by flow. However, at sufficiently large altitudes thermal stratification becomes important; this effect, however, will be discussed in the next two sections.
after some(4.17)(4.18)number is active andafter some(4.17)(4.18)number is active andLet us consider one more general relation. From (4.1), calculations, we obtain the equality
after some
(4.17)
(4.18)
number is active and
after some
(4.17)
(4.18)
number is active and
Kf = ogasu；3Kz①(KQQ -.
Taking into account (4.14) and (4.8), we find that s = Kf
3sl —①(Kj(l — K/)i/4，
It is clear from here that for s « 1 the Kolmogorov an appreciable part of unity, i. e., the dust is dynamically
accelerates the flow for concentrations s of order usi, which are actually still very far from the limiting value s%.
The value of “* in (4.14) or (4.16) is taken as known.
However we usually know the mean wind velocity U, say, at the upper level of the boundary layer. The value of “* is a function of U and depends weakly on the roughness parameter 2° and on the thermal stratification (Zilitenkevich, 1970). Let us determine formally, for the time being, the value of “* from (4.10) considering the mean wind speed as known. The mean value of the wind velocity in an atmospheric layer of height H is according to (4.10) equal to U = (〃*//oj)4 where
н
4 = ! In — d^ = In — - 1.
For terrestrial deserts zq 〜10-3-10-1 cm (Zilitinkevich, 1970; Semenov, 1972a). For H 〜1-10 km we get 4 i3 + 2015. Therefore,
for a saturated flow_
u* = kwU/А.(4.19)
Putting (4.17) into (4.14), we have
s^U^^ag^z).(4.20)
This formula is appealing for its physical naturalness: the limiting dust volume concentration depends only on the mean wind velocity.
Experiments in wind tunnels, carried out with flat underlying surfaces where there are particles homogeneous in size, show that the radius of the lifted particles depends on “*. This dependence『(〃*) has a minimum. The lifting force is proportional to surface area, but the gravity force is proportional to volume. Therefore smaller particles are raised easier. But very small particles on a flat surface are within the viscous sublayer with thickness of order o/〃* and they are out of reach of turbulent eddies. The critical radius for particles, which first begin to be raised with the increase of the flow velocity, is of the order 广〜4。“m for Earth (Bagnold, 1941), when “*20 cm sec-1 and r 〜200 “m for Mars when u^ 2 cm sec-1
(Hess, 1973; Gierasch and Goody, 1973).
Experiments with sand patterns having particle size distributions of finite width (Semenov, 1972b) have shown that this picture of the dependence of critical wind velocity on particle size is generally preserved, but deterministic curves are smeared out and the dependence is of a statistical nature. Over uneven surfaces with boulders the smearing of this dependence can only increase.
The first particles to be raised must be large; their size is of the order。/“* and for them s > 1 (usually ucr is of order of several tens). Therefore, such so-called saltating particles fall out quickly. By hitting the surface they eject smaller particles (the impact threshold decreases monotonically as the particle radius decreases). Particles with radii several
times smaller than rcr can already be suspended by the flow, because for them ш < 1. The raising of dust by saltating particle impacts seems to be the main mechanism of injection of fine dust into the atmosphere.
It is difficult to say from general considerations whether the dust could be dynamically active and further accelerate the wind. For this, concrete data are necessary on wind, dust concentration and particle size. If the wind is already very strong the role of dust might not be large. Indeed from (4.17) it follows, because К/ < 1 and ①(K/) < 1, that
Kf <(jgasKz/v^. (4.21)
With increasing “* the value of К/ decreases and the dynamical action of dust is weakened.
We let the flow accumulate considerable dust while the wind is very strong and then, due to some external reasons, let the pressure overfall begin to weaken. That might be expected, for example, when a dust storm reaches the global scale. It is important that the value of u* begins to decrease 9. The fine dust falls out very slowly (in months or weeks) but “* can vary quickly (in a day or less). Then, according to (4.21), the value of Kf begins to increase quickly, damping the turbulence and supporting the mean wind speed at sufficiently high levels despite the decrease of “*. The dust concentration in the flow, which earlier could be far from the saturation value [according to (4.14) s( = u^], quickly begins to approach the saturation limit. In our opinion this justifies the use of (3.20), at least as an upper limit, for estimates of a possible dynamical action of dust on the flow.
If the value of “* falls below the region of statistical spreading of minimal velocity values, which are necessary to raise particles, then the storm enters its decaying stage. New large particles are not lifted anymore. Fine dust is raised only by impacts of larger particles, but in smaller quantities because a smaller amount of large particles is left in the flow.
However, the mean wind in the atmosphere can be strong for a long time. If there are some local regions of preferred particle fallout (e.g., due to orography), the dust concentration there decreases and the flow may again become turbulent. A new seizure of dust is then possible which could lead to a temporary increase of the dust storm. In general, there will be a preferred fallout of dust and a partial weakening of wind.
There are purely «internal» reasons for the decrease of 〃*, connected with the influence of wind, if it blows long enough, on the surface microrelief, which leads to substantial decrease of the roughness parameter 3. According to measurements by Semenov (1972a) of wind profiles over a sand surface, the value of 3 may fall from 10-2 down to 10-4 and even, sometimes, to 10-5 cm. An analogous situation is known for wind waves on sea surface (Kitaigorodsky, 1970; Zilitinkevich, 1970).
All these qualitative considerations can be confirmed only by prolonged and extensive observations of dust storm evolution which must include measurements of wind and concentration profiles, or by numerical calculations of a non-stationary picture of the storm evolution taking into account the conditions for raising dust from the surface, the role of dust in absorbing radiation, etc.
Consideration of the thermal stratification
The thermal stratification may play an important role during early stages of Martian dust storms before isothermal conditions are established in the atmosphere. After that the influence of stratification is, perhaps, weak.
The basic conclusion of the preceding section, i. e., the existence of a saturated flow at s V 1, is also valid under conditions of thermal stratification. Indeed, the conclusion on the existence of the saturation regime follows from analysis of the behavior of integral curves of the system of equations for the thermally neutral gase near 2 = 0. But near the underlying surface the role of thermal stratification is small since the Richardson number tends to zero as 2 — 0, and the temperature plays a role of passive admixture (Monin and Yaglom, 1965, Section 7), i. e., the system (2.17) is split into a system of equations for a thermally neutral flow in which the equation heat transfer is for a passive admixture.
This solution, of course, is not of the form (4.5) in the whole volume of the flow because the number Rf is not invariant relative to transformations of the type (4.2), and the dimension of temperature is fixed by the third equation of (2.13). For its effective determination it is possible to point out an algorithm for numerical solution which is based on the fact that in the field of the integral curves s(2)the desired curve is the last one asymtotically approaching the axis 2 = 0. It is evident that the form of this curve has to be substantially dependent on the value and character of the thermal stratification.
Many important conclusions on the behavior of a heavy admixture in a thermally stratified flow can be obtained without finding a concrete solution of the system (2.17) and even without detailing the closure hypotheses. This can be done based on the system (2.14) keeping in mind only that it can be closed on the basis of hypotheses which do not introduce new dimensional physical quantities.
For the sake of simplicity the following analysis will be carried out for constant values of the friction stress, or momentum flux 丁，and of the vertical turbulent heat flux q. These restrictions are well fulfilled in the atmospheric boundary layer (see further discussion in Sections 7 and 8).
We rewrite the first three equations of (2.14) in the form
k{du/dz)=必， (5.1)
agk^ds/dz) = —as, (5.2)
атк{(1^ / dz) = w*T*. (5.3)
The scale of temperature is introduced in (5.3) according to
^fwf = g/pCp = —ku*T*,(5.4)
where the sign of T* is chosen in such a way that 7^ > 0 for stable stratification (p < 0, i. e., the heat flux is toward the surface).
It should be noted that the ratios of the eddy exchange coefficients, as and qt, depend, generally speaking, on the stratification parameters Rf and Kf and, through them, on height. These dependencies can be obtained only experimentally. Fortunately, as experimental data show (see Monin and Yaglom, 1965), these dependencies are evidently not strong. For Rf < < 0 (convection) &丁(兄/) tends to increase and for Rf > 0 (stability) &t decreases. For a dynamically passive admixture as = ат，In the case of a heavy active admixture experimental data are practically absent. According to data from some measurements of water flow with sediments (Vanoni, 1946), it was accepted in I that q$ = 1. It may be, for sufficiently large К/, which is similar to conditions of strong thermal stability, that the value of as. will also decrease. Here for simplicity we shall consider as and &t as constants.
Then Eqs. (5.1)-(5.3) have three simple integral solutions:
"—"o =(庆 T*/qt〃*)〃，(5.5)
s = sq exp(-an/asn^) = s° exp(—/uju/u*),(5.6)
s = so ехp[аз(" - "0)/必7*].(5.7)
The first integral is the well-known relation of the Monin-Oboukhov theory, the second was obtained in I. These relations allow us to simplify the expressions for К/ and Rf by expressing them through any one value, e.g., through s. In particular, their ratio can be written as
Kf _ (jas^ _ asserts
Because the concentration s decreases with height the influence of the dust also decreases with height and at large heights the thermal stratification is of prime importance.
When the influence of the admixture on the flow dynamics is small, which takes place at К/ « Rf or Kf « 1 if R/ « 1, the velocity profiles are described by Prandtfs formula for neutral stratification and by the Monin-Oboukhov theory for diabatic cases. Therefore at Kf « 1 and Rf « 1, when "⑶=“*/庆)111(2/20), we get (4.13) from (5.6).
For diabatic stratifications the Monin-Oboukhov theory gives
=係斗(5.9)
where32
=一匹也(5.Ю)
is the length scale introduced by Oboukhov (1946) and /(Q is a universal function. For this function we have the following expressions (Monin and Oboukhov, 1954):
jln《 + /K， 《>0, /Ю= G < < < 0, (5.11)
According to statistical treatments of large amounts of experimental wind and temperature profiles measured in the atmospheric surface layer (see Zilitinkevich, 1970)庆=0.43, /3 = 9.9, 0 = 1.45, & = -0.16, b = =0.24, C = 1.25.
In the case of stability (《=z/Lq〉0) for Kf « Rf, I which, according to (5.8), always occurs at some large height, we get from (5.6), (5.10) and (5.11) for the dust concentration
s ⑶=So(2/2o)—"exp[—(2 — 2o)/3g/Eo]・ (5.12)
The concentration profile decreases with height somewhat faster than exponentially. This can be explained by weakening turbulent fluctuations with height for the thermally stable stratification.
Under conditions of convection the flow velocity increases with height approaching a constant, while du/dz ^-4/3. This was shown first by Prandtl (1932) and then rediscovered by Oboukhov (1946).
For this case
s(2)= s0 exp{-^[6 + C^zjL^I^ - In |^0/Ь0|]}. (5.13)
For 2》\Lq\ the value of s(z) tends to the limit
Soo = SQ^ZQe^^Q^^y. (5.14)
We see that the limiting values of velocity and concentration are determined here by the values of the roughness parameter 2° and the scale Lq. It is very difficult to check empirically the full validity of such a formula. Nevertheless, the fact that the mean wind velocity tends toward some constant value with increase of height is beyond doubt. For rough estimates one may suppose that under convective conditions “* is of the order of 5% of the mean wind U in the free atmosphere, while for the case of the strong thermal stability the ratio “*/U decreases to 2% (Zilitinkevich, 1970).
Note that the concentration profiles (5.12) and (5.13) decrease exponentially with increase of Because ш a r2 by Stokes formula (4.15), the value of s at a given level decreases with the particle radius r as exp(-)『2), where 7 is a constant.
The Richardson and Kolmogorov numbers are local similarity parameters, because their values are determined by the derivative of profiles at a given level; as a result they increase with increasing height Z. The Oboukhov scale Lq serves as an external parameter for thermally stratified
flows independent of local conditions. At 2 « Eo the thermal stratification is insignificant but for z ^ Lq it becomes important. The scale Eo is introduced in the most natural way if in the expression (2.12) for Rf we introduce the nondimensional velocity U =庆〃/〃*. Then
/ pCpi^Qul dU/dz/ pCpi^Qul dU/dz]L()dU/dz]L()dU/dz(5.15)(5.15)
/ pCpi^Qul dU/dz
/ pCpi^Qul dU/dz
]
L()dU/dz
]
L()dU/dz
(5.15)
(5.15)
If q — 0 then Lq 00 and the thermal stratification is not significant.
It is convenient, both for the local similarity parameter and the Kolmogorov number К/, to introduce an external constant parameter connected with the presence of dust in the flow. We do it by analogy with (5.15). From ⑵ 12, (2.15) and (5.5), (5.6) we get
К = %as = as/?crgGSo §=§⑹
where S = Sog, i. e., £ is the relative variation of concentration, and
Ld =(5.17)
KagasQ asK aguso
is a length scale. As for Lq, this scale is an external characteristic of flow. If the admixture concentration so = s(2o) is small and the scale " therefore large, then for 2《Ld the role of the admixture in the flow dynamics may be neglected.
Thus, sufficiently far from the surface all vertical gradients of velocity, concentrations and temperature, measured in units constructed from external parameters, must depend only on z/Lq, or on 2/% and two constant nondimensional parameters s and /%• For instance, du/dz = =(u^/KLo)f{z/Lq,Lq/Ld,^\ where / is a universal nondimensional function of three arguments. This is a generalization for our case of similarity hypotheses suggested by Monin and Oboukhov (1954) for thermally stratified turbulent flow.
In terms of scales Eo and L^ the ratio (5.8) may be rewritten using (5.15) and (5.16) as
^ =次=(5.18)
Near the underlying surface, £ ^ 1 by definition; therefore, the relative importance of heavy admixture and thermal stratification is determined by the ratio m = L^fL^. The smaller scale determines the character of flow in its lower part. The value of £ decreases with height and the thermal stratification may become a chief factor.
The sum
M = Rf+Kf = (ZodU/d2)—1(1 +m£),(5.19)
is a measure of the deviation of a flow from purely logarithmic laws, describing boundary layers at q — 0 and so 一 0.
We have already noted that ds/dz < 0 and К/〉0 always; thus," > > 0, too. The presence of admixture always increases the stability of flow by damping its turbulence. The sign of Eo is determined by the direction of heat flux: q < 0 for thermally stable condition and 工。> 0, while q > > 0 for convection and 工。<。・ Therefore, for a case of heat flux directed upward the total stratification of flow will be determined by the sign of Lq dU/dz in (5.19). If near the surface \Lq\/L(i = \m\ > 1, then the flow is stable despite the presence of a turbulent heat flux from the surface into the atmosphere. However, beginning from height 21 as determined from / + m^zi) = 0, the flow becomes unstable and convection will start.
Fig. 3.7.1. Wind profiles for various conditions of thermal stratification: (1,2) under condition of free convection, no dust; (3-6) under conditions of neutral stratification with various values of dynamic velocity, no dust; (7) during an intensive dust storm, neutral stratification [After Semenov (1972a).]
There are recent data confirming this general conclusion on the dust influence on the stability of the flow. Fig. 3.7.1 presents some results of gradient measurements of wind profiles made by Semenov (1972a) for various thermal stratifications in the Abdulkoum sands in the Alma- Ata region of Kazakhstan. These profiles are the results of averaging several 10-min series of measurements, relative to various categories of the Richardson number. The profiles of the first two groups are typical for winds under free convection conditions when the wind speed increases with height slower than the logarithmic law. Profiles of groups 3-6 are for neutral stratification with various values of “*. In semi-logarithmic coordinates they should be straight lines and this is the case. The last curve, averaged over four profiles measured during an intensive dust storm on the evening of 19 May 1970, also corresponds to thermally neutral stratification (I Ri I < 0.01) but the velocity profile increases appreciably faster than the logarithmic law, which is characteristic for thermally stable conditions. Unfortunately, since these wind and temperature measurements were not accompanied by simultaneous measurements of concentration and size of dust particles, a detailed quantitative check of regularities suggested here by Semenov's data is impossible.
A directly opposite situation was noted by Zilitinkevich (1966, 1970) when he studied the influence of the turbulent humidity flux on the stability of a flow in the boundary layer. The humidity flux carrying the latent heat always increases the instability of the flow stratification. He made several wind and temperature profile measurements in evening hours over a lake. The temperature invariably increased with height but the latent heat flux was large and the velocity profiles had a shape typical of free convection, or unstable stratification. They increased slower than those due to a logarithmic law.
Analysis of the system of equations for a dusty thermallystratified flow
Let us turn now to the analysis of the full equation system (2.17)(3.1). We introduce non-dimensional variables
U = ku]u*、 § = s/s°, 0 =
У = ^/|Ь0|, в = ^2b/ul， J'
Then taking into account (4.8) and (5.19), we get
LB^\dU/dy) = 1,(6.2)
LB^\dO/dy)=叮/qt,(6.3)
u^ + LB^^d^dy) =0,(6.4)
B2 = 1 - M = 1 - (dU/dy)T(l +m£),(6.5)
where » = T*/"o, and L is nondimensional turbulence scale defined as L = &M).(6.6)
We see that all the variables depend only on the nondimensional height у = 2/Z0I and on two non-dimensional parameters m and Through boundary conditions a dependence on the roughness parameter yo = zq/\Lq\ will also enter.
From (6.2) and (6.3) we have
dU/dy = -(de/^)M；(6.7)
then (6.5) gives
B2 = 1 - M ++ m^{d^/dy)-4.(6.8)
Taking into account (6.6) and (6.8), Eq. (6.4) may be rewritten as
[1 +1/4，=0.(6.9)
Dividing this equation by gsg(l + mg), we obtain
J=①(2И)a - м)"4(6 10)
from which we define
夕=士 = —-с •(6.11)
We now introduce the function
*)=展)(1(6.12)
which is defined for 1 <(/; < oo; if 991 then 刨夕)—Ф(1)(1 — 1/夕户匕
while, if 夕—oo, t^(夕)一夕一/3 where /3 = 1 /4 + ①'(О). Asymptotic forms of the function 屮(w), which is the inverse function of t^(夕)，are
"Н = |1 + ИФ(1)]4,⑹⑶
To determine the function (/;(w) for arbitrary values of w, it is necessary to know the function Ф(М) for all M. A discussion of the dependence Ф(М) for Kf = 0, i. e.,①(勺)，can be found in Monin and Yaglom (1965).
For simplicity one may take Ф(М) = 1 as has been done in many papers on atmospheric surface layer structure. Accounting for the Ф(М) dependence somewhat complicates the calculations, since it may change values of studied variables for intermediate values of M but does not influence the asymptotic forms. Since we shall consider here only asymptotic forms, the exact form of the function Ф(М) will be of no significance.
We now write the inverse functions of Eq. (6.10) using Eqs. (6.11) and (6.12):
—卓—•(6.14)
This ordinary first-order differential equation should be solved for the boundary conditions £ = 1 at у = yo for prescribed values of the parameters s and m. If we calculate the dependence £ = ^{y, m, cj), we may then complete velocity and temperature profiles using (5.6) and (5.7). Note that £ may only decrease with height.
Thermally neutral stratification
Let us consider briefly the case of thermally neutral stratification which has been studied in detail in I. Since Lg 一 z and m oo for this case, the length scale should be redetermined. For this purpose we take the scale Ld defined by (5.17). Uncomplicated calculations then give us, instead of (6.14), the equation
-告=3汽康),(6.15)
where y\ = z/L^. If we introduce a new variable p = (gi£)T, then (6.15) takes a form which can be integrated immediately to obtain
%(d0/d%)=з(0)一0.(6.16)
The analysis of this equation carried out in I results in conclusions which have already been presented in Section 4. The solution p = p* = =constant for which the right-hand side of (6.16) becomes equal to zero corresponds to the singular self-similar solution found in Section 4. This is possible only for ш < 1. Then £ = 1/%夕* which corresponds to (4.4).
For small y\ when 1/yig》1, we get from (6.15) [taking (6.13) into
The solution of this equation of the Bernoulli type, which satisfies the condition £ = 1 at у = go, is
It coincides with (4.13) if one neglects /3. The non-dimensional velocity
U =一(6.18)
It follows from (6.17) that the velocity increases somewhat faster with height than for the case of a pure fluid flow. Putting (6.17) into (6.18), we obtain
J唸+例1 +注[得)(6」9)
When the second term in the braces is much smaller than unity, then (6.19) may be simplified to
(6.19) go
where 瓦=/3gf (1 — g)~L Thus the velocity profile has a form similar to (5.11), although the second term increases with height at a rate less than linear. We have already noted the results by Semenov (1972a) confirming this general conclusion.
It is also not difficult to see that all solutions of (6.16) at cj < 1 converge for large y\ to the singular solution p =夕*, i. e., £ — 1/夕*У1 and U T 厂1 In 0*
Thermally stable stratification
For this case turbulent heat flux q〉0 by definition, i. e., m = Lq/L^ > > 0 and Rf > 0; Kf is always positive. Therefore, the argument of the function 夕 in (6.14) does not have the change of sign and the infinite discontinuity.
We consider the case when mg « %，i・e., Eo « "「• Here the thermal stratification plays the primary role. Eq. (6.14) acquires the form 嚼(62。)
If we use (6.7) here then we get an equation for velocity in which there is nothing left from the presence of dust in the flow. That means that the dust in this case is a passive admixture. The solution of this equation for velocity, taking (6.13) into account, will give the Monin- Oboukhov expressions for velocity (and temperature) profiles. The solution of (6.20) for у « 1(2 « I/。)coincides with (5.12). For у》1 using another asymptotic form of the function ф, we find
£ = CL,(6.21)
where C is a constant. A typical scale of the concentration decrease with height here, as in (5.12), is of order of Eo/s. This means that for fine dust when s « 1 this scale may be large.
For arbitrary values of m one may also find the asymptotic solutions of (6.14) for small and large heights 2, as compared with Lq. For у « 1 Eq. (6.14) is reduced to the form
3级(1 +dy у7
The solution of this equation satisfying the boundary condition ^ = 1 at у =伙)is of the form
§匂)=(д〃/о)~ехр[——伙))]佟 22)
+ тз/3 j (g/《)“ exp[s/3(go — «)] d《
Using (6.18) and (6.22), we have the velocity profile
U = \n^- +(3{y-yQ) + ln{ 1 + тшр j (^) exp[s/3(go — Q] 〃}.
Уо
(6.23)
The first two terms here correspond to the usual «logarithmic + linear law» proposed by Monin and Oboukhov for the wind profile. The last term is always positive because the integral within it is positive. Thus, at the same value of “* the velocity profile increases faster with height than for a pure fluid due to the effect of dust in the flow, as in the adiabatic case. Similar conclusions can be made for the temperature profile because of the relation (5.5).
If у is not large and s is small, then the second terra under the logarithm sign in (6.23) is much less than unity, (yo/Q“ ~ 1, and this
term is approximately equal to mcj-1 [1 - exp[s/3(go - У)]] ~ m队у -次). Then (6.23) acquires the simple form
U - ln(g/go) + 0(1 + m)(y - go),(6.23)
e., the presence of dust in the flow increases the effective constant of proportionality in the linear term of the expression for the wind profile.
For sufficiently large g, such that 1 « g(l +mg), Eq. (6.14) reduces to
—d^/dy = g§(1 + mg).
The solution of the equation decreases toward infinity as е~шу. The velocity increases here linearly with height as in the case of the usual thermal stability, i. e., the admixture does not influence the flow dynamics at great heights. This is a consequence of (5.8).
c. Thermally unstable stratification
If the turbulent heat flux is directed from the surface, then the Oboukhov scale Eo and the Richardson number Rf are negative. However the Kolmogorov number and the scale Ld are always positive. The turbulent heat flux directed upward transforms the potential energy of a fluid into kinetic energy of turbulence, but the presence of admixture in the flow requires the spending of kinetic energy of the fluctuations for raising and suspending particles. As a result the gain or loss of the turbulent energy in the flow will depend on the sign of the total stratification parameter M = Rf + К/.
As the length scale we now take 厶|, i.e., у = z/\Lq\. Then from (6.8) we get
M = s£(l — m^^/dyy1,(6.24)
where mc = -m.
Consider first the case mc < 1 when the flow is unstable everywhere, i. e., M < 0. In a way similar to the derivation of (6.14), we find
—=—(6.25)
where the function v(w) is the inverse of the function w(u)=①(l/o)(l + + l/o)i/4°. The function v(w) has the asymptotic forms
=У(6.26)
[w - /3 , for w 1.
Here 0 = 1/4 - Фх(-0). For у « (1 - mc^)-1 Eq. (6.26) is transformed
dy У
Its solution is similar to (6.23) but with the substitutions -m = mc and /3 = —0. Here one can also make the conclusion that the velocity profile for given and q increases with height more rapidly than without
dust (it approaches a faster increasing logarithmic profile), because the dust lowers the instability of flow. The temperature profile decreases more slowly with height [see (5.5)].
代一代一For large y, such that y(l - mc^)》1 which corresponds to 2》厶丨, Eq. (6.25) becomes
代一
代一
Its solution is evident; the integral is calculated by substituting 1 - -mc^ = /3； and for large y, such that mc^{y) C 1, we get a formula similar to (5.13).
If mc > 1, i. e., in the lower atmospheric layers where the influence of admixture is greater than the influence of the heat flux, then up to a level 2i, such that 加国21) = 1, Eq. (6.14) is operating; at higher levels, however, Eq. (6.25) becomes proper. It is not difficult to show that at 2 = 2i the concentration is continuous and ifs profile has no singularities of any kind. In some vicinity of this level the solution is described by diffusion theory [see Prandtl (1949) or Eq. (4.13)], because M is small here, i. e., the total influence of admixture and thermal stratification is insignificant.
Dust storms on Mars and Earth
Let us now consider regions of possible values of the main parameters for dust storms on Mars and Earth. First we consider particle dimensions. For the Martian dust storm of 1971 there are several estimates of particle radii, most of which give the mean value of r on the order of a few microns. From comparison of optical depths and contrasts at 0.7 and 1.4 从z/г, Moroz et al. (1972) give r ^ 1 мт，while Conrath et al. (1973) conclude from attempts to approximate the real absorption spectra by synthetic ones that r 2-4 ^m. Pang and Hord (1972) found from UV spectrometer observations that 广〜2 固n. From the Martian dust storm of 1956 Koval and Morozhenko (1962) estimated that 广 1.5 固n.
Average particle sizes for terrestrial dust storms are also not large. The most complete data seem to be those of El-Fandy (1953) who made extensive observations of sizes of particles and their concentrations in northern Egypt under various conditions of atmospheric dustiness. We summarize his results in Table 3.7.1.
Table 3.7.1
Parameter
Dust haze
Dust
Dust storm
Mean particle radius r (从加)
0.25
0.65
1
90% of particles with r < ro (从加)
0.65
1.0
1.7
Mean concentration n (cm-3)
200
330
550
Visibility (km)
5-6
2-2.5
0.7-1
The restricted space and time scales of Earth's dust storms rule out the possibility of dust being raised very high in the atmosphere; as a rule, the upper boundary of a dust cloud does not exceed 1.5-2 km (Zakharov, 1965). Note that if the dust were raised up to the tropopause, then even for typical concentrations (shown in columns 1 and 2 of Table 3.7.1) the Earth observed from space would appear to be hidden by a «dust storm». Somewhat larger particle sizes are typical for the steppe zone of the USSR. Zakharov (1965) presents data for the dust storm in the Ukraine during 26-27 April 1927. In a region of preferential dust-lifting the most frequent particles had radii of 10-15 /im while in regions of settling several hundreds kilometers away most particles had radii of the order of 1.5 “m. These data show that particle sizes in dust storms on the Earth are of the same order as on Mars.
One of the most uncertain characteristics for Martian dust storms is the dust concentration. We know of two attempts to estimate the mean dust concentration. The first was undertaken by Morozhenko (1972) for the storm of 1956. Based on photometry measurements of Mars he estimated that the optical depth 丁 of the dust cloud was of the order of 3 or more. If the mean particle radius 广 is of the order of 1 固n, then their concentration in a unit column N》10‘ cm-2, while N 〜r~2. From his estimates an effective height of dust clouds in 1956 was of the order of 7 km. At such values of N the dust concentration is far from saturation. Therefore, due to (5.9) or (5.13), the dust is distributed practically homogeneously with height, at least to the upper boundary of the boundary layer, because for 广 ^ 1 〃丸 a ^ 0.1 cm sec~x (Anderson, 1967), i. e., s = a(QsW*)-1 « 1. Therefore,八 N/H》15 cm~3.
Another attempt was made by Ginzburg (1973) for the storm of 1971. Taking his estimates we find that 八 ^ 40 cm-3 and N ^ nH ^ 4.107 cm~2.
One may obtain similar values for the concentration using estimates of the optical depth 丁 of the dust cloud. Moroz et al. (1972) found for December 1971 that 丁〜3 in the visual range. Leovy et al. (1973) found 丁〜2 from Mariner 9 data. The optical depth
т = тгг? kext^H, (7.1)
where kext is the extinction coefficient, i. e., the sum of coefficient of scattering and absorption. It may be found in tables (see e.g., Zelmanovich and Shifrin, 1968) as a function of Mie parameter 2тгг/Х^, where Aeff is an effective wavelength of radiation, for known values of the complex refractive index m. Assuming that the optical properties of dust are similar to those of the Earth continental aerosol, we take m = 1.5 + 0.02 z (de Вагу et a/., 1972). For r = 1 “m, Aeff = 0.6 “m and 丁 3, one may find 八 30 cm-3 and N 3 • 10’ cm-2.
Eq. (7.1) gives the dependence 几〜r~2 for r > 1 “m, because the value of the Mie parameter here is more than 10 and we are close to the asymptotic region kext — 2.
Values of other pertinent parameters representative of Martian and terrestrial conditions are as follows:
For Mars: g ^ 400 cm sec~2, atmospheric density pg ^ 10-5 gm cm~3, and dust density pp 2.5-3 gm cm~3; therefore, a 3.105 and ag 108 cm sec~2.
For Earth: g ^ 103 cm sec~2, pg ^ 10-3 gm cm~3, and pp is the same as for Mars; therefore, a 3 • 103 and 3 • 106 cm sec~^.
If the flow is saturated by dust then the velocity and concentration profiles (for estimates we take the thermally neutral case) are given by (4.19) and (4.20) with A 15. These formulas allow one to find the friction velocity “* and s if the mean wind U and the velocity of free fall a are known:
= (ай/АУ^, & = K-\aA/U)^2.(7.2)
Using typical values of [7 = 50 m sec—】 and a = 0.1 cm sec~x (r = 1 /im), we find si = 10-3^-1, n* = 6 cm sec~x and s = 0.04. If r = 3 从z/г, then a = 0.3 cm sec~\ “* = 10 cm sec~\ s = 0.08 and s is the same [see (4.20)]. This means that flow saturated by dust particles with r = 1 “m is accelerated 25 times in comparison with pure gas flow with the same value of “*; and saturated flow with r = 3 “m is accelerated 12.5 times. However, the saturated dust concentration si gives too high a value for particle number concentration compared with the observed value (N
• 109 cm-2 for Я = 10 km and r = 1 мт，and N ^ 108 for r = 3 固n). The acceleration also seems too high.
The actual flow is evidently unsaturated, and the value of “* is larger.
The aforementioned estimates of ш made from the assumption that the flow is saturated are upper limits. An estimate which is a lower limit may be obtained by assuming that dust particles do not influence the flow. Then “* = k,U/А = 1.3 m sec~x and s = 2 • 10-3 (r = 1 /im), or s = 6 • 1。—3(『=3 从的.Then usi = 2 • 10-6^-1 (r = 1 /im) and 3sli = =6 • 10-6^-1 (r = 3 固n). The concentration s = 4r3n 1.6 • 10-10, n = =40 cm-3 for r = 1 /im, and s = 4 • 10-9, n = 40 cm-3 for r = 3 固n. We find that at heights of the order of 100 m for r = 1 “m and of the order of 25 m for r = 3 “m the value s(cjs/)-1 becomes of order unity and, due to (4.18), the dust is dynamically active. Since the true value of co should be somewhere in between these upper and lower estimates of co, its value is rather small. As a consequence the flow should have the following structure: at lower levels the dust distribution, according to (4.13), is almost homogeneous with height and the wind velocity is the same as in the case of a pure fluid. Higher up the dust becomes active and the velocity increases faster than in the flow with no dust. The matter is qualitatively the same as presented by the last curve (7) in Fig. 3.7.1.
We wish especially to note that for the same mea wind velocity the friction velocity “* in dusty flow is always less than in fluid flow without dust. Therefore, at lower levels where the dust is dynamically ineffective,
the velocity will be smaller than in dust-free flow with the same mean velocity.
Another measure of the dynamical dust action and of the height where this action begins is the scale L^ defined by (5.17). If we rewrite it in terms of particle number and radius, keeping in mind that s ^ 4r3n, we have
L& = и^/{4кадаг3п). (7.3)
Since the Stokes formula (4.15) gives a 〜广2 for r < 10 /^m and a 〜广 otherwise, this scale is very sensitive to the radius of lifted particles. For example, with L^ 〜r~k (where к = 4/5), we have L^ 1 km for “*
cm sec~\ n = 50 cm-3 and r = 3 “m; for larger “* and/or smaller r, Ld is very large.
Let us now estimate the role of thermal stratification in the Martian atmosphere. For midday conditions in the equatorial region of Mars, Golitsyn (1969, 1971) found that the Oboukhov scale Eo is of the order 50 m if 1 m sec~\ i. e., when the mean wind is of the order 30 m sec~x. If “* ^ 2.5 m sec~x then the scale Eo will be an order of magnitude greater. During the night it is also several times greater than 50 m. One should consider an estimate 工。〜500 m as a lower limit for dust storm conditions because the damping of turbulence by dust and the much smaller amount of solar radiation reaching the surface which determines the value of the turbulent heat flux, all increase 厶 which is proportional to u^q-1. However, if at the mature stage of the storm “* is decreased then Eo is also smaller. The question is not quite clear. Probably, in the lower part of the boundary layer the role of thermal stratification is not quite significant, but at higher levels it may be very important.
It is worthwhile to note the behavior of temperature profiles in the present scheme which neglects the optical properties of dust, in view of the fact that these properties seem to be decisive for the establishment of observed isothermal conditions [see,e.g., Woeikow (1912) and Durst (1935) for Earth storms]. Nevertheless, the dynamical action of dust alone on the temperature gives the desired trend for temperature. With convection, dust leads to a decrease of potential temperature with height, while for thermal stability (where the heat flux is probably weak), the potential temperature should slowly increase with height. That means that the gradient of the real temperature, dT/dz = d^/dz — ^a, should be very small.
During very strong dust storms on Earth the air flow can, evidently, sometimes approach the saturation condition. El-Fandy (1953) reports that for extremely strong storms the visibility range falls to values as low as a few meters over even one-half meter, while the particle number reaches 105 cm-3 and even 106 cm-3. Unfortunately, he does not report on the particle sizes; however, by comparing the visibility range with those of Table 3.7.1 one may believe that they are also of the order of a few microns. The flow threshold for “* is about 15 cm sec~x here when
particles with radii of 〜40 卩m begin to be lifted. If we assume = =20 cm sec~\ 八=106 cm-3 and r = 2 “m, then L& ^ 1 and s ^ 0.05. From (4.19) we find that a state close to saturation is reached at heights of the order of L^cj-1. In our case it will be at about 20 m. This example is, of course, for illustrative purposes only, but it shows that saturation regimes are not far from reality. We have also mentioned the hydraulics data which may be interpreted as showing that saturation can easily be reached in laboratory water flows with sediments.
The value of Ld may be roughly estimated by Semenov's (1972a) data presented in Fig. 3.7.1. If we accept for his curve 7 that s « /, then (6.19) in dimensional variables can be rewritten as
= + 亿4)
where 瓦 is a constant similar to /3 in the usual «logarithmic + linear» law of Monin and Oboukhov (5.11). To be specific we take 瓦〜/3 10. For the last curve of Fig. 3.7.1 the excess of wind speed △“ at 8 m over a logarithmic profile (a straight line) drawn through two lower points of the curve is of the order of 2 m sec~x. This also shows that “* ^ 0.5 m sec~x. From (7.4) we have that
Ld = ("*/左△")瓦2.
Then for the case in question we get Ld ~ 50 m.
The main restriction of the theory and general conclusions
One may note the two most substantial restrictions for the application of results developed here to real phenomena. They are, first, the stationarity in time and homogeneity in space of the processes considered and, second, the unimodality of particle sizes. Real processes are always non-stationary and inhomogeneous; this would probably be particularly significant when considering dust storm formation and short-lived storms. Steady-state conditions, however, should apply for large and/or long- duration storms, and we hope that this restriction does not change our conclusions qualitatively.
The second restriction might be more important. In real dust storms the particle size distribution is not the 8-function used here, but always has a finite width. This width is large over regions where the main mass of dust particles is raised into the atmosphere, especially at lower levels. As the dust storm spreads into regions where more particles fall out than are raised, there is a preferential settling of larger particles and the distribution function narrows. In principle, it is not very difficult to write the equations of the problem taking into account the finite width of the spectrum of the particle size distribution, but it requires additional initial and boundary data and its solution could be found only numerically.
Another important restriction of the theory presented is an assumption on the constancy with height of the vertical turbulent fluxes of momentum
丁 and heat q. It is actually justified only for an atmospheric surface layer whose thickness is of the order of 50 m for Earth (Monin and Oboukhov, 1954), and 200 m for Mars (Golitsyn, 1969, 1971) if Martian winds are assumed to be four times stronger than on Earth. At higher altitudes the turbulent fluxes decrease more or less monotonically with height and become small at the upper boundary of the planetary boundary layer. The thickness of the latter is of order of 1 km for Earth and of order of few kilometers for Mars (Golitsyn, ibid.}. However, under convective conditions [which are especially strong in the Martian atmosphere in summer around noon (Gierasch and Goody, 1968)], the turbulent fluxes may penetrate up to heights of 10-15 km. For levels higher than the atmospheric surface layer the Coriolis parameter begins to be significant. It leads to a rotation of the wind velocity vector with height. At the same time the profile of the velocity modulus shows relatively little change. Under these conditions the relation (5.6) between velocity and concentration profiles may hold qualitatively for all necessary heights.
The behavior of the turbulent heat flux in a dusty atmosphere, which has been discussed in Section 4, is not very clear. However, it is probably not large.
Let us now make a short summation of our study. Under certain conditions, when a flow contains a sufficiently large amount of fine dust, the latter becomes dynamically active and lowers the intensity of turbulence spent on dust raising and suspension. The flow stability is increased and, other conditions remaining unchanged, the mean flow speed increases. The smaller the particle size the slower the dust concentration decreases with height and the higher the altitudes it may reach. There is a limiting saturation flow regime when the concentration decreases inversely proportional to height and the velocity increases by a logarithmic law but with a decreased von Karman constant. Other solutions approach this limiting one at sufficiently high levels.
The role of thermal stratification in determining the flow structure increases with height. Under conditions of thermal stability the dust concentration decreases exponentially with height while under convection conditions it tends to a constant value. These circumstances help to explain why global dust storms on Mars are always connected with periods of maximal planetary insolation when the atmosphere is most unstable ; the specific beginning of a global storm, however, also requires the coincidence of many different factors.
Estimates of the parameters of the dusty Martian atmosphere in the mature stage of the storm after it has been global a long time show that the dust in the lower part of the atmosphere, due to the smallness of its concentration, does not exhibit any significant dynamic influence on the wind; such an influence may be expected, however, at higher levels and during the initial stages of storm generation and evolution. This dynamic dust effect can be quite appreciable on Earth and it probably explains the
very strong winds of up to 30-40 m sec~x reported for certain major dust storms.
Direct experimental confirmation of the dust action on wind is found in data of wind profile measurements during a strong dust storm in Kazakhstan. Nevertheless, a detailed quantitative observational check of the relationships found here is a matter for the future.
Acknowledgments
The authors wish to thank Drs. С. B. Leovy, C. Sagan, S. L. Hess and C. A. Barth for sending us preprints of several papers on Martian studies which were of great help in stimulating our work on the subject; Drs. V. I. Moroz, A. V. Morozhenko and A. S. Ginzburg for valuable discussions of problems connected with optical properties of dust in the Martian atmosphere; and Prof. A. M. Oboukhov for his interest in this study.
References
Anderson, A. D., (1967): Spherical particle terminal velocities in the Martian daytime atmosphere from 0-50 km. /. Geophys. Res., 72, 1951-1958.
Bagnold, R. A., (1941): The Physics of Blown Sand and Desert Dunes. New York, W. Morrow, 265 pp.
Barenblatt, G. I., (1953): On the motion of suspended particles in a turbulent flow. Prikl. Mat. Mekh., 17, 261-274.
Barenblatt, G. I., (1955): On the motion of suspended particles in a turbulent flow occupying a semispace or a flat open channel of finite depth. Prikl. Mat. Mekh. 19, 61-88.
Conrath, B., R. Curran, R. Hanel, V. Kunde, W. Maguire, J. Pearl, J. Pirraglia, J. Welker and T. Burke, (1973): Atmospheric and surface properties of Mars obtained by infrared spectroscopy on Mariner 9. /. Geophys. Res., 78, 4267-4278.
de Вагу, E., K. Bullrich, R. Eiden, G. Eschelbach and G. Hand, (1972): Research on atmospheric optical transmission. Final Sci. Rept., Inst, fur Meteor., Gutenberg-Universitat, Mainz, West Germany, 27 pp.
Durst, C. S., (1935): Dust in the atmosphere. Quart. /. Roy. Meteor. Soc, 61, 81-89.
Einstein, H. A., and Ning Chien, (1955): Effects of heavy sediment concentration near the bed on the velocity and sediment distribution. Rept., University of California, 77 pp.
El-Fandy, M. G., (1953): On the physics of dusty atmospheres. Quart. 丄 Roy. Meteor. Soc., 79, 284-287.
Gierasch, P. J., and R. M. Goody, (1968): A study of the thermal and dynamical structure of the Martian lower atmosphere. Planet. Space S", 16, 615-646.
Gierasch, P. J., and R. M. Goody, (1973): A model of a Martian great dust storm. /. Atmos. Sci., 30, 169-179.
Ginzburg, A. S., (1973): On the radiation regime of the surface and the dusty atmosphere of Mars. Sov. Phys. DokL, 208, 295-298.
Gloushko, G. S., (1965): Turbulent boundary layer over a flat plane in incompressible fluid. Izv. Akad. Nauk SSSR Mehh., No. 4, 3-21.
Golitsyn, G. S., (1969): Estimates of boundary layer parameters in atmospheres of terrestrial planets. Izv. Atmos. Oceanic Phys., 5, 775781.
Golitsyn, G. S., (1971): Estimates of boundary layer parameters in atmospheres of terrestrial planets. Planetary Atmospheres, C. Sagan et a/., Eds., Dordrecht, Holland, D. Reidel, 297-303.
Golitsyn, G. S., (1973): On the Martian dust storms. Icarus, 18, 113119.
Hanel, R., B. Conrath,W. Hovis, V. Kunde, P. Lowman, W. Maguire, J. Pearl, J. Pirraglia, C. Prabhakara, B. Schlachman, G. Levin, P. Straat and T. Burke, (1972): Investigation of the Martian environment by infrared spectroscopy on Mariner 9. Icarus, 17, 423-442.
Harlow, F. H., and P. I. Nakayama, (1967): Turbulent transport equations. Phys. Fluids, 10, 2323.
Hess, S. L., (1973): Martian winds and dust clouds. Planet. Space Set., 21, 1549-1558.
Kitaigorodsky, S. A., (1970): Physics of Interaction of Ocean and Atmosphere. Leningrad, Gidrometeor., 284 pp.
Kliore, A. J., D. L. Cain, G. Fieldbo, B. L. Seidel, M. J. Sykes and S. I. Rasool, (1972): The atmosphere of Mars from Mariner 9 radio occultation measurements. Icarus, 17, 484-516.
Koval, I. K., and A. V. Morozhenko, (1962): On some properties of the yellow haze observed on Mars in 1956. Astron. Zh., 39, 65-72.
Kolmogorov, A. N., (1942): Equations of turbulent motion of incompressible fluid. Izv. Ahad. Nauh SSSR. Ser. Fiz., 6, 56-58.
Kolmogorov, A. N., (1954): On a new variant of the gravitational theory of motion of suspendent sediments. Vestn. Mosk. Univ., Mat. Mekh. No. 3, 41-45.
Leovy, С. B., R. W. Zurek and J. B. Pollack, (1973): Mechanisms for Mars dust storms. /. Atmos. Sci., 30, 749-762.
Monin, A. S., and A. M. Oboukhov, (1954): The basic regularities of turbulent mixing in the atmospheric surface layer. Tr. Akad. Nauk SSSR, Geofiz. Inst., No. 24 (1951), 163-187.
Monin, A. S., and A. M. Yaglom, (1965): Statistical Fluid Mechanics, Vol. 1. Msocow, Nauka, 639 pp. (English transl.: The MIT Press, 1971.)
Morozhenko, А. V., (1972): Some properties of the Mars atmosphere in time of dust storms. Astron. Circ, No. 683, 1-4.
Moroz, V. I., L. V. Xanfomality, A. M. Kasatkin and A. E. Najip, (1972): Dust storm on Mars by photometrical observation from AIS «Mars-З». Kosmi. Issled., 10, 925-929.
Nee, V. W., and L. S. G. Kovasznay, (1969): Simple phenomenological theory of turbulent shear flows. Phys. Fluids, 12, 473-484.
Oboukhov, A. M., (1946): Turbulence in the temperature-inhomogeneous atmosphere. Tr. Akad. Nauk SSSR, Inst. Teoret. Geofiz., 1, 95-115. (English transl.: Boundary-layer Meteor., 2, 7-29, 1971.)
Pang, K., and C. W. Hord, (1972): 1971 Mars dust storm. Rept. Lab. Atmos. Space Phys., University of Colorado, 34 pp.
Prandtl, L., (1932): Meteorologische Anwendungen der Stromung- slehre. Beitr. Phys. Atmos., 19, 188-202.
Prandtl, L., (1945): Veber ein neues Formelsystem fur die ausge- bildete Turbulenz. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KI. 619.
Prandtl, L., (1949): Fuhrer durch die Stromungslehre, 3rd ed. Braunschweig, F. Vieweg.
Semenov, О. E., (1972a): Experimental studies of kinematics and dynamics of dust storms and small whirlwinds. Tr. Kaz. Nauch. Issled., Gidrometeor. Inst., No. 49, 3-31.
Semenov, О. E., (1972b): On the critical wind speed determining the beginning of deflation processes. Tr. Kaz. Nauch. Issled., Gidrometeor. Inst., No. 49, 55-63.
Spalding, D. B., (1972): Mathematical models of free turbulent flow. Proc. Symp. Math. Convergence, Vol. 9, 1971, London-New York.
Taggart, W. С, C A. Yermoli, S. Montes and A. T. Ippen, (1972): Effects of sediment size and gradation on concentration profiles in turbulent flow. Rept. No. 152, Dept. Civil. Engineering, MIT.
Vanoni, V., (1946): Transportation of suspended sediment by water. Proc. ASCE, 70, No. 6.
Velikanov, M. A., (1948): Motion of Sediments. Moscow, Nauka.
Woeikow, A. I., (1912): Mountain and steppe dry winds. Meteor. Vestnik, Nos. 8-9, 263-264.
Zakharov, P. S., (1965): Dust Storms. Leningrad, Gidrometeor., 140 pp.
Zelmanovich, I. L., and K. S. Shifrin, (1968): Tables on Light Scattering, Vol. 3. Leningrad, Gidrometeor.
Zilitinkevich, S. S., (1966): On the influence of humidity stratification on hydrostatical stability. Izv. Atmos. Oceanic Phys., 2, 1089-1094.
Zilitinkevich, S. S., (1970): Dynamics of the Atmospheric Boundary Layer. Leningrad, Gidrometeor., 294 pp.
8. Another look at atmospheric dynamics on Titanand some of its general consequences 9
1
In a recent paper, Leovy and Pollack (1973; hereafter Paper I) developed new approaches to estimate mean characteristics of the atmospheric circulation for the wave and the symmetric or Hadley regimes. They concluded that the wave regime was unlikely for the Titan atmosphere and the symmetric regime should be operating there. They estimate the mean wind velocity, U, to be of order 10 ml sec and the mean temperature difference, 8T, between the equator and the poles to be of order 0.1 K. Their approach also gives reasonable estimates of the circulation characteristics for the midlatitude and equatorial atmospheres of the Earth and Mars.
Paper I includes a qualitative comparison of its results with those of the similarity theory of atmospheric circulation (Golitsyn, 1970, 1973). Both approaches give close dependence on the external parameters though there are some slight differences.
However the quantitative comparison of the estimates of Paper I with the results of the similarity theory presented below will show a noticeable difference for Titan: the latter will give U 〜1 m/sec though 8T is of the same order. Due to the large uncertainty of our knowledge on the Titan atmosphere one may say that the results are close; however for the kinetic energy the differences reach two orders of magnitude, which calls for analysis of the theoretical grounds.
I must confess that all my attempts to find some weak point in Paper I produced nothing: all assumptions and hypotheses seemed reasonable or plausible. During these attempts however I found a simple and efficient way of checking a posteriori the validity of general circulation models and their correspondence to reality, which could be used at least for the well-studied terrestrial atmosphere.
Such a sensible characteristic of atmospheric circulation appears to be the efficiency coefficient of an atmosphere in the transformation of solar energy into the kinetic energy of atmospheric motions. The main sense of this note is to emphasize the need to always calculate the atmospheric efficiency coefficient. There is now a considerable scatter of data on the basic atmospheric parameters for the Titan atmosphere, such as its mass and constitution. The ranges of wind velocities U and horizontal temperature variations 5T will also be estimated in correspondence to
i) Cm. ICARUS, 24, 1975.
these uncertainties in the basic data. Some possible pecularities of the atmospheric circulation on Titan will also be noted.
2
According to Sagan (1973) and Pollack (1973) the pressure at the base of the Titan atmosphere,夕s, may range from 0.1 to 1 atm. The atmosphere may consist mainly of molecular hydrogen plus a considerable (up to 50%) admixture of methane. That means the molecular weight, 从 may range from 2 to 9. Table 3.8.1. contains the Titan atmosphere parameters for two extreme models: model I with 从=2 and the model II with 从=9. Both models correspond to the effective radiation temperature Te = 87 К and gravity g = 1.5 m/sec1, the radius of the satellite being taken as a = 2500 km.
Table 3.8.1. Parameters of two models of Titan's atmosphere
Ср X 1ф7 (夕g g加—1R—1)
7a (K/km)
Я (km)
c (m/sec)
2
13.5
0.1
250
650
9
13
0.5
60
320
The specific heat capacity at constant pressure was calculated using the ideal gas relations taking into account that 庆=cp/c『 for methane is close to 1.4 for low temperatures. The scale height H and the sound velocity c were calculated for temperature T =叁.Attention should be paid to small values of the temperature adiabatic lapse rate 7°. In both models the mass of an atmospheric unit column is m = 7 x 102 g/cm2 if 夕s = °」atm and m = 7 x 103 g/cm2 if 〃s = 1 atm. In Paper I, model II is adopted with ps = 1/3 atm.
Table 3.8.2 contains the basic time scales and nondimensional similarity criteria: ts = a/c is the time for pressure perturbation relaxation
Table 3.8.2. Basic time scales and similarity parameters for Titan's Atmosphere
Model
Ts (see)
Th (see)
Mi =—
H=-
入=——
I
4
x 103
2 x 109
2x 10-6
0.11
1.8 x КГ?
0.4
2
20 x 109
0.2 x 10-6
0.13
0.2
II
8
x 103
5 x 108
16x 10~6
0.02
3.6 x 10-2
0.7
3
5x 109
1.6x 10-6
0.2
0.3
on a global scale, 丁九=me卩］oT± is the time for heat energy loss by an atmosphere through radiation into space 9 T being the mean atmospheric
1)In Table 1 of Paper I, the authors give the value r^ = 6 x 108 sec, missing somewhere in their calculations a multiplier of order 3. Indeed for ps = 1/3 atm, m = 2.2 x 103 gm/cm2, for Te = 87 K, the flux oT； = 3.2 x 103 g/scc, and
temperature which for simplicity will not be further distinguished from Te. The similarity criteria, first introduced a priori (Golitsyn, 1970), appear in the dynamics equations after reducing them into the corresponding nondimensional form (Golitsyn, 1971, 1973).
It follows from the similarity theory that for small values of the rotational Mach number A, the mean wind speed U and the horizontal temperature variation 5T may be estimated as
U/c^5T/Te^ М{/2. (1)
We find here for model I, U 〜0.9-0.3 m/sec, 5T 〜0.12-0.04 К, and for model П, U 〜1.3-0.4 m]sec and ST 〜0.35-0.1 К. The larger values correspond to 夕s = °」口力次 and the smaller ones to 〃s = 1 atm. For the model atmosphere adopted in Paper I one finds U 〜0.5 m〔sec, 5T 〜0.13 К, while for the corrected (see footnote 1) values of Paper I, U 〜7 т/sec and 5T 〜0.07 К.
3
The conclusions of Paper I on the unlikelihood of the wave regime and on the great probability for the symmetric regime seem to be quite justified. It was noted there that the circulation of Titan's atmosphere should be similar to that of Venus. The Venus atmosphere belongs to the same class of the deep and slowly rotating atmospheres: its similarity criteria are Mi = 1 x 10-5, A = 7.6 x 10-3, H = 8.3 x 10-3 (Golitsyn, 1973). The numerical computations by Turikov and Chalikov (1971) [see also Chalikov et al. (1971)] do show that the atmospheric circulation on Venus is far from the wave regime and is operating in the Hadley regime. But the latter has no axial symmetry because of the essential influence of the cooling of the dark side of Venus during its long night.
This author (1970) proposed a criterion《，to estimate the role of this effect. The value of《is the ratio of the amplitude of a diurnal temperature variation to the temperature difference between equator and poles. The value of《can be found in Table 3.8.2 in the next to the last column. We see that it is of order several tenths, i. e., the diurnal temperature variations are relatively large in the atmosphere of Titan. Due to this, thermal tides could be noticeable there. Note that for Venus《=1.2 which causes the essential deviation from axial symmetry of the circulation.
For slowly rotating atmospheres the value of《times the factor 1/тг is equal to the Rossby number Ro = U/ша which follows immediately from (1) and formulas for A and《(see Table 3.8.2):
Ro = С/7Г = M^Va. (2)
taking cp = 3 x 107 crr^se^^K-1, one has т九二 1.8 x 109 sec. This factor brings closer the results of Paper / with ours.
Therefore motions in the Titan atmosphere, despite its slow rotation (once per 16 days), should be in geostrophic balance to good accuracy due to the smallness of the mean wind.
The analogy between Titan and Venus suggests that we inquire whether there could be in the upper layers of this atmosphere something like the phenomenon of the 4-day circulation on Venus; i. e., could there be enhanced (westerly) winds directed inversely to the motion of the heat source (the Sun's trace) on the satellite disc? The intensity of this effect, as Schubert and Young (1970) show, is determined by the value of the dimensionless factor
F = {gH/V^T/T\
where『=sa is the velocity of the subsolar point motion on the satellite and AT is the amplitude of the diurnal temperature variations. For dense atmospheres AT =(山/丁九)異=^M\/X, where 山=灰/以 is the length of a halfday. Substituting these expressions into (2) and taking into account that gH = M/k, we get
F = 7Г Mr/кХ3. (4)
The value of F is given in the last column of Table 3.8.2. Note for comparison that for Venus F 〜100 and for Earth, where this effect is completely negligible, F 〜10-3. The values of F for both models of the Titan atmosphere are in the range 0.2-3, the lesser values being related to the models with larger pressure. Therefore if the atmospheric pressure on Titan is closer to its lower limit, one may expect some weakly developed analog of the phenomenon of the 4-day circulation, though what the period of this circulation could be is completely unclear. If the atmosphere is rather deep, then for estimating this effect one should carry out calculations of the depth of solar radiation penetration and of the amplitude of diurnal temperature variations.
4
Let us now turn to illustrations of the statement on the importance of determining the atmospheric efficiency coefficient, 〃，in the transformation of the input energy into kinetic energy. According to similarity theory, 〃 〜М^ , and for Titan 〃 turns out to be of order 10-3. The value of 〃 can be easily found for both circulation models considered in Paper I. Let us discuss first the model of the symmetrical regime. It can be found from expressions (16) and (17) of I that the rate of kinetic energy dissipation per unit atmospheric mass is of order
…rUl/H, (5)
where 广 is a dimensionless parameter characterizing the dissipation process in a particular circulation regime and Uz is the mean zonal velocity which is greater than the meridional one. The efficiency of the atmosphere 〃 is the ratio between the total energy generation (equal to dissipation in
the steady state), £, and the total energy flux,办，into the atmosphere: D = £Iqa = em]qA・(6)
According to (24) of I, the Rossby number
^o = U/ша 〜(m/H)t/341/3(%/t j/з,⑺
4 = (gH//a2)/s 丁储(8)
where rv is the time measuring the rate at which energy must be transported upward to compensate radiative losses from the upper part of the atmosphere (above, say, one scale height). According to estimates in I, the values of 丁九/丁。show no particular dependence on the type of atmosphere and are of order 1 /2 for Earth and 1/3 for Mars and Titan. Substituting (5) and (7) into (6) and taking into account the equalities Th = mcpTejqA and gH/cpT = (k - l)/k, one gets
qAarv rvqAarv rvдтН"qAThTvдтН"qAThTv现一1 Th庆 Tn现一1 Th庆 Tn⑼⑼
qAarv rv
qAarv rv
дтН"qAThTv
дтН"qAThTv
现一1 Th
庆 Tn
现一1 Th
庆 Tn
⑼
⑼
Due to the practical constancy of Th/rv the efficiency coefficient 〃 turns out to be independent on the atmospheric properties and is of order 0.1 for Earth, Mars, and Titan. However we know that for the Earth atmosphere 〃〜1.5 per cent (Lorenz, 1967; Wiin-Nielsen, 1973), and for Mars as follows from the calculation by Leovy and Mintz (1969), the value of 〃 is still an order of magnitude less.
The independence of the value of 〃 on atmospheric properties as well as its excessive value appear to be defects of the model. But at the same time one must confess that it is very difficult to point out a particular assumption or hypothesis which could be seriously challenged. The only point which could attract suspicion is the use of the Boussinesq approximation. As Spiegel and Veronis (I960) have shown, this approximation for a compressible fluid is valid only for motions with vertical scales much less than the atmospheric scale height. The author does not know estimates of errors which may appear while using this approximation for a description of general circulations.
As was shown by Gierasch (1971), the Boussinesq approximations does not allow net conversion of internal energy into kinetic energy. This, possibly, makes a Boussinesq model of an atmosphere too restrictive in the sense that the reaction to an energy input is that the part of the energy employed in the generation of motions is too large and nearly independent of atmospheric parameters and on the character of the dissipation processes.
The atmospheric efficiency 〃 can also be found for the wave regime model of circulation considered in Paper I. This model produces tolerable results for the terrestrial and Martian atmospheres. Using our forrnu-
las (5) and (6), and (14) from I, we obtains
The authors of I use 广=3 x 10-3 which, they believe, characterizes the dissipation in the boundary layer. Then using (10) one obtains for the Earth 〃 〜0.09 and for Mars 〃 〜0.07. We see that these values are also too large.
In the wave regime model the Boussinesq approximation is not used and the reasons for overestimation of 〃 must be sought elsewhere. One reason may be pointed out immediately. For the Earth, where more than half of the energy dissipation takes place in the boundary layer, an improvement can be achieved if one takes r = 1 x 10-3 as was done by Golitsyn and Zilitinkevich (1972). [A detailed discussion of the behavior of the drag coefficient may be found in the book by Zilitinkevich (1970).] Then 〃 will be of order 0.03. This value can already be considered quite acceptable because an estimating model can not pretend to a better agreement. In the case of Mars some other reasons are probably acting, which may be analogous to those which forced the author (Golitsyn, 1973) to specify for Mars some formulas and constants of the similarity theory.
We see that the atmospheric efficiency coefficient appears to be a very sensitive characteristic of atmospheric circulation models, which makes it a very efficient tool in checking the correspondence between models and reality. Roughly speaking, this is because it is proportional, in particular, to the cube of mean velocities. The fundamental importance of the efficiency coefficient for understanding of the general circulation was stressed many times by E. N. Lorenz (see, e.g., Lorenz, 1967). Therefore it is always desirable to determine this coefficient, which is not always done. It is especially upsetting when this is forgotten by authors of elaborate and complicated computational models of general circulations.
An important characteristic of a circulation is also the degree of organization of atmospheric motions (see Golitsyn, 1970, 1971, 1973), determined as /3 = U3/ae. For the model of the symmetrical regime of Paper I this value is of order H/ra = Н/兀 For 广〜1 x 10-3 we have /3 = =20. At the same time our estimates based on expressions (1) are made on the assumption that /3 〜1. Note that U 〜俨/‘ and ST 〜/3-1/4.
One can not exclude that for massive atmospheres of Venus or Titan the value of /3 could be very large. Strong winds in the middle and upper parts of the Venus atmosphere above one or 1.5 scale heights (Kerzhanovich, 1973) may be understood by this author, on the basis of his theory, only by assuming that the value of /3 is very large there. For large /3, even the small efficiency coefficient may provide considerable wind speeds. Therefore, carrying out to the end the analogy between Venus and Titan, one cannot exclude that an estimate U 〜16 т/sec obtained in I may be closer to reality than ours. The final answer can be obtained only from measurements or from detailed numerical simulation.
Note added in proof. After this paper was submitted, important new results on the infrared photometry of Titan were published by F. J. Low and G. H. Rieke (1974, Astrophys. J. 190, L143-L145). In their measurements the authors did not find the pressure-induced band of & at 17 “m and concluded that the content of H2 in the atmosphere of Titan is probably not very large. As a lower limit of atmosphere on Titan they propose [after L. M. Trafton (1973; Titan Atmosphere Workshop, NASA Ames Research Center)] 0.02 atm of CH4. For such an atmosphere (see Table 3.8.2), rs = 104 sec, 丁九=6 x 107 sec, M\ = 1.7 x 10-4, A = 5 x x 10-2,《=0.8 and F = 3. Using (1), one has U 〜3 m/sec and 8T 〜1 K, and from (2), Ro 〜0.26. Therefore the main conclusions of this paper on the character of the dynamical and thermal regime of the Titan atmosphere remain qualitatively the same, even for a much thinner atmosphere.
Acknowledgments
I wish to express my deep gratitude to Drs. С. B. Leovy and J. B. Pollack who sent me a preprint of their paper. Much of this work was done on board the research vessel «Dmitry Mendeleev» on its way from Vladivostok, USSR, to Adelaide, South Australia. I am very grateful to the Director of the Institute of Oceanology of Academy of Sciences of the USSR, Prof. A. S. Monin, who invited me to take part in the eleventh cruise of this ship.
References
Chalikov, D. V., Monin, A. S., Tubikov, V. G., and Zilitinkevich, S. S. (1971). Numerical experiments on the general circulation of Venus' atmosphere. Tellus 23, 483-488.
Gierasch, P. J. (1971). Dissipation in atmospheres: the thermal structure of the Martian lower atmosphere with and without viscous dissipation.丄 Atmos. Sci. 28, 315-324.
Golitsyn, G. S. (1970). A similarity approach to the general circulation of planetary atmospheres. Icarus 13, 1-24.
Golitsyn, G. S. (1970). A derivation of the relations of the similarity theory for general circulations of planetary atmospheres based on the analysis of the hydrothermodynamics equation system. Izv.-Atmos. Oceanic Phys. 7, 974-979.
Golitsyn, G. S. (1973). An Introduction to Dynamics of Planetary Atmospheres. Hydrometeorol. Publ. House. Leningrad, 104 pp.
Golitsyn, G. S., and Zilitinkevich, S. S. (1972). Estimates of global characteristics of general circulations of planetary atmospheres for various hypotheses on the nature of dissipation. Izv.-Atmos. Oceanic Phys. 8, 785-798.
Kerzhanowich, V. V. (1973). Dynamics of the Venus atmosphere. Paper presented at the Intern. Symp. «Exploration of the Solar System», Torun, Poland, 4-8 September 1973.
Leovy, С. В., and Mintz, Y. (1969). Numerical simulation of the atmospheric circulation and climate of Mars. /. Atmos. Sci. 26, 11671190.
Leovy, С. B., and Pollack, J. B. (1973). A first look at atmospheric dynamics and temperature variations on Titan. Icarus 19, 195-201.
Lorenz, E. N. (1967). The nature and theory of the general circulation of the atmosphere. WMO Publ., 155 pp.
Pollack, J. B. (1973). Greenhouse models of the atmosphere of Titan. Icarus 19, 43-58.
Sagan, C. (1973). The greenhouse of Titan. Icarus 18, 649-656.
Spiegel, K.A., and Vebonis, G. (I960). On the Boussinesq approximation for a compressible fluid. Astrophys. J. 131, 442-447.
Schttbebt, G., and Young, R. E. (1970). The 4-day Venus circulation driven by periodic thermal forcing.丄 Atmos. Sci. 27, 523-528.
Tueikov, V. G., and Chalikov, D. V. (1971). Calculations of the general circulation of the atmosphere of the planet Venus. Izv.-Atmos. Oceanic Phys. 7, 705-721.
Wiin-Nielsen, A. (1973). Private communication.
Zilitinkevich, S. S. (1970). Dynamics of the Atmospheric Boundary Layer. Hydrometeorol. Publ. House, Leningrad, 290 pp.
9. Оценки турбулентного режима атмосферы вблизиповерхности Венеры по данным АМС «Венера-9»и «Венера-10» 9
Теория пограничного слоя атмосферы в настоящее время разработана достаточно полно, и ее выводы проверены данными наблюдений (см., например, [1, 2]). Если известны оценки средней скорости ветра и турбулентного потока тепла, то можно описать структуру пограничного слоя атмосферы, что и было сделано, в частности, для Венеры в [3, 4]. Средняя скорость ветра бралась при этом согласно теории подобия общей циркуляции, а турбулентный поток тепла по аналогии с земными условиями считался равным 0,1 от солнечной постоянной. Основным выводом в отношении пограничного слоя атмосферы Венеры является близость профиля скорости к логарифмическому благодаря большой толще атмосферы планеты и малости поэтому неадиабатических факторов. Прямые измерения скорости ветра чашечными анемометрами на советских станциях «Венера-9» и «Венера-10» (далее для сокращения В-9 и В-10) на поверхности планеты [5, 6] в целом, как будет видно ниже, подтверждают выводы [3, 4] и, кроме того, дают возможность прямо оценить характеристики турбулентных пульсаций скорости. Из-
См. Космич. исслед., т. 16, № 1, 1978.
мерения освещенности [7] позволяют оценить хотя бы сверху величину турбулентного потока тепла. Этим оценкам и некоторым их практическим следствиям и посвящена данная заметка.
Согласно данным измерений В-9 с учетом поправок на режим работы датчиков, средняя скорость ветра й = 40 смIсек со среднеквадратичным разбросом — дисперсией аи = 10 см]сек. Для В-10 имеем й = 90 смIсек и аи = 15 см]сек. Эти значения дисперсий подсчитаны нами по данным индивидуальных точек, опубликованных в [5, 6]. Реальные величины дисперсий могут быть ниже, так как в этих цифрах может содержаться инструментальная ошибка измерений. Поэтому ко всем приводимым далее оценкам следует относиться как к некоторым экстремальным.
Основным динамическим параметром пограничного слоя является скорость трения или динамическая скорость “* = (丁/。)】/?, где 丁 = =pufwf — напряжение трения, р — плотность среды, 〃'，wz — флуктуации продольной (по потоку) и вертикальной компонент скорости ветра. Черта сверху означает осреднение. Согласно данным измерений, в атмосфере и в лабораторных условиях (см. [1], §8.5) аи/и^ ^ 2,3, откуда получаем 〃* ^ 4 п 7 см/сек соответственно для В-9 и В-10. По этим же данным aw/u^ 0,8; откуда ow порядка 3 и 6 смIсек соответственно. Конечно, эти соотношения между дисперсиями и “* справедливы для потока над ровной подстилающей поверхностью, а присутствие аппаратов станций, сверху которых были расположены анемометры, может слегка завышать интенсивность пульсаций скорости, так как при обтекании могут образовываться дополнительные вихри. Поэтому наши оценки величины “* могут быть несколько завышены.
Значение величины “* позволяет оценить скорость диссипации кинетической энергии турбулентности £, используя формулу ([1], §7)
£ =心/庆 2, (1)
где 庆=0,4 — постоянная Кармана, 2 — высота. На уровне измерений АМС 2 = 1,3 м [5], поэтому имеем £ = 1,2 и 4,3 с储〔сек?" соответственно для двух станций.
Зная й (2 = 130 см) и “*, можно, предполагая логарифмичность профиля скорости, оценить высоту шероховатости
2о = 2ехр[—疝(2)/〃*], (2)
По этой формуле получаем, что в месте посадки В-9 2° ~ 2,4 см, а для В-10 zq ^ 0,8 см. Большая величина шероховатости в первом случае согласуется с картиной, видимой на панорамах: вокруг станции В-9 разбросаны камни разных размеров, а в месте посадки В-10 поверхность более гладкая. Если величина “* завышена, то завышенной оказывается и величина 2°.
Для оценки неадиабатических эффектов, в частности возможной роли конвекции, надо знать величину турбулентного потока теп-
ла q = cppwfTf, где ср — теплоемкость при постоянном давлении, Т‘ — флуктуация температуры. Вблизи поверхности Венеры ср = 11 х х 106 эрг/г • К, /)^ 6 • 10-2 а/с儿з [8]. Величина турбулентного потока тепла не может превышать поступающую к поверхности мощность солнечного излучения — 100 вт/м1 = 105 а/сек? [7]. В земных условиях величина q не превосходит 0,1 от солнечной постоянной даже в жаркий полдень в условиях развитой конвекции [2]. Поскольку мы пока не знаем величины q в условиях Венеры, то будем просто считать q < < 105 г/сек? и все последующие оценки будут предельными.
Кинематический поток тепла / = q/cpp оказывается < 0,15 см х х К/сек. Важной характеристикой температурной стратификации является величина
Т* = 〃/庆〃* •(3)
Зная Т*, можно оценить масштаб Монина-Обухова [1-3], показывающий, на каких расстояниях становятся существенными отклонения от адиабатических логарифмических законов:
Е =必//(д/Т)Т*,(4)
где д — ускорение силы тяжести (8,9 м/сек2), а Г ^ 750° К — температура атмосферы. Оценки сверху величин Т* и снизу L для обеих станций собраны в таблице вместе с рядом других величин. В обоих случаях даже нижняя оценка L много больше высоты измерений, поэтому вблизи поверхности Венеры влияние температурной стратификации мало.
Определим еще ряд полезных величин:
8T = 0,2T*Rei/2(5)
—скачок температуры между атмосферой и подстилающей поверхностью [2], где Re = u^zq/v, о = 5 • 10-3 см2/сек — кинематическая вязкость [8];
N = ku^/z(6)
—скорость диссипации температурных неоднородностей (см. [1], §7, 21), величина, аналогичная скорости диссипации кинетической энергии
Ст ^ l,5^1/2£-1/6
— структурную характеристику флуктуации температуры ([1], §23);
以 ^ ^рСт/Т2(8)
—структурную характеристику флуктуации показателя преломления п, где /31 = 0,13° К/атм для углекислого газа [8], р — давление. Средние квадраты разностей флуктуации Тип пропорциональны г2/3, где г — расстояние между точками наблюдений, а величины С* и С^ являются коэффициентами пропорциональности в этих зависимостях [2]. Величина Сп характеризует всякие искажения характеристик
электромагнитных волн при распространении их в турбулентной атмосфере [9]. Например, дисперсия угла прихода фронта волны а от предметов размером b определяется как [9]
。。= [(△a)2p/2 1,7以"2…， (9)
где I — расстояние от предмета до точки наблюдения. В таблице 3.9.1 собраны верхние пределы величин, описываемых формулами (5)-(9).
Таблица 3.9.1
АМС
Т*, ° К
L, м
ЬТ, ° К
(° К)2/сек
Ст, ° К/см1/3
Сп, cJ/з
В-9
0,1
16
0,1
1,2- IO-4
1,5 • 10-2
3・ 10-7
2,5 • 1(Г5
В-10
0,05
25
0,3
5,4 • 10-5
8•10-3
1,7 • 10~7
1,5- 10-5
В формулу (9) для определенности было подставлено I = 100 м и 6 = 26 = 64 см. При этом флуктуации углов прихода оказываются в пределах (меньше) нескольких секунд, т. е. турбулентность практически не влияет на качество изображений предметов вблизи поверхности планеты, что подтверждается высоким качеством панорам.
В заключение выражаю глубокую благодарность Ю. Я. Карпейскому и М. Я. Марову за полезные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. С. Монин, А. М. Яглом, Статистическая гидродинамика, ч. I, ч. П, М., Физматгиз, (1965, 1967).
С. С. Зилитинкевич. Динамика пограничного слоя атмосферы. Л., Гидрометеоиздат, (1970).
Г. С. Голицын. Введение в динамику планетных атмосфер. Л., Гид- рометеоиздат, (1973).
Г. С. Голицын. Изв. АН СССР. ФАО, 5, №8, 775 (1969).
В. С. Авдуевский, С. Л. Вишневецкий, И. А. Голов и др. ДАН СССР, 229, № 1, 52 (1976).
В. С. Авдуевский, С. Л. Вишневецкий, И. А. Голов и др. Космич. исслед., 14, №5, 710 (1976).
В. С. Авдуевский, Ю. М. Головин, Ф. С. Завелевич и др. Космич. исслед., 14, №5, 735 (1976).
А. Д. Кузьмин, М. Я. Шаров. Физика планеты Венера. М., «Наука», (1974).
В. И. Татарский. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М„ «Наука», (1967).
Глава 4
КЛИМАТ
§ 1. Об устойчивости и экстремальных свойствахмоделей климата 9
К Земле непрерывно поступает солнечная энергия, нагревая неравномерно ее поверхность и атмосферу. Циркуляция атмосферы и уходящее тепловое излучение делают климат более или менее стационарным, если отвлечься от годового хода. В теории климата важно выявить существование возможных стационарных состояний и исследовать их устойчивость. Неравновесное состояние системы, стационарное или нестационарное, зависит от внешнего воздействия и от характера процессов внутри системы. Неоднократно делались попытки использовать термодинамику необратимых процессов для задач гидродинамики [1], в том числе и для атмосферы [2]. Однако прямое использование ее результатов для атмосферных процессов встречает ряд трудностей, поскольку сложность климатической системы не позволяет заранее доказать применимость к ней экстремальных (вариационных) принципов неравновесной термодинамики. Поэтому представляется полезным сначала проверить их существование (или отсутствие) для совсем простых моделей климата с тем, чтобы далее пытаться искать их на основе материалов численных экспериментов для более полных моделей климата.
Недавно Полтридж [3] предложил модель климата, достаточно хорошо воспроизводящую широтное распределение температуры, облачности и потоков тепла, в которой существенно используется введенный им принцип минимума обмена энтропией с внешней средой. Он упоминает о возможной связи этого принципа с известной в неравновесной термодинамике теоремой Пригожина о минимальности производства энтропии, однако строгого обоснования своего принципа Полтридж не дает. Это вызвало справедливую критику Роджерса [4], на чем мы остановимся позднее.
См. Изв. АН СССР,①АО, т. 14, №4, 1978. В соавторстве с И. И. Моховым.
В данной работе на основе неравновесной термодинамики будут указаны некоторые условия, связанные с устойчивостью системы в стационарном состоянии относительно возмущений ее параметров, при которых возможно существование минимума скорости обмена энтропией с внешней средой. Будет проверено также, справедлив ли этот принцип для простых моделей климата, предложенных Буды ко [5] и Норсом [6].
Возможно, что использование таких принципов явилось бы сильным упрощением реальности, но. как пишет Лоренц [7], поскольку основные уравнения (общей циркуляции) обладают почти неограниченным множеством долгопериодных статистических режимов, подобные принципы могут сыграть важную роль при выделении таких режимов, которые в действительности наиболее существенны.
Мы хотим подчеркнуть, что здесь не доказывается существование каких-либо принципов, а для моделей [5, 6] проверяется возможность существования у них некоторых экстремальных свойств. Результаты этой проверки указывают некоторые пути для поиска таких свойств и в более сложных моделях.
Условия существования минимума скорости обмена энтропиейс внешней средой
Введем некоторые основные понятия и результаты неравновесной термодинамики необратимых процессов (см., например, [1, 8]). Определим функцию состояния системы энтропию S: 1) она характеризует систему в целом и является аддитивной величиной. Изменение энтропии со временем dS/dt разложимо на производство энтропии diS/dt, вызываемое внутри системы необратимыми процессами, и приток энтропии deS/dt, возникающий за счет взаимодействия с внешней средой
dS _ deS I diS 小
производство энтропии diS/dt, связанное с изменением внутри системы, всегда неотрицательно: diS/dt 》0, согласно второму началу термодинамики.
Термодинамический расчет производства энтропии и ее притока можно провести, если существует локальное термодинамическое равновесие, что и предполагается в дальнейшем. Тогда локальная энтропия s является той же функцией локальных макроскопических переменных, что и для равновесной системы. Предположение о локальном равновесии не противоречит неравновесности системы в целом и является обычным для атмосферных процессов. Оценки Даттона [2] показывают, что степень неравновесности атмосферы в терминах полной энтропии системы мала, что оправдывает применение линейной неравновесной термодинамики.
Рассмотрим для простоты однокомпонентную систему. Используя термодинамическое тождество Т ds = du + ds, где 〃 n s — внутрен-
няя энергия и работа расширения, можно получить, что производство энтропии dis/dt является билинейной формой обобщенных термодинамических сил (градиентов) X分 и потоков 厶 необратимых процессах:
% = £JX⑵
г
Для системы с теплопереносом Х^ = —T-2VT = ▽(1/Т) и
d^/dt =一广2(/仃/班)(3)
des/dt = -(d/dx^Jz/T),(4)
где J — плотность потока энергии. Если проинтегрировать des/dt по объему системы, то интеграл от дивергенции преобразуется в интеграл от потока энтропии Ji/T по поверхности, т. е. величина des/dt определяется лишь обменом энергией с внешней средой.
При термодинамическом равновесии одновременно j = 0 п Х〃 = =0. Естественно предположить, что между величинами потоков и сил существует линейная зависимость, по крайней мере вблизи от равновесного состояния. Такое представление приводит к эмпирическим законам, подобным закону Фурье для теплопроводности или закону Фика для диффузии. Таким образом постулируется связь
J% = Lj^Xk,(5)
где Lik — феноменологические коэффициенты. Кроме того, в линейной неравновесной термодинамике постулируются соотношения взаимности Онзагера для этих коэффициентов (что обосновывается статистически):
= Lki •(6)
Тогда справедлива теорема Пригожина — принцип минимума производства энтропии: стационарное состояние системы, в которой происходят необратимые процессы, характеризуется тем, что полная скорость производства энтропии diS/dt имеет минимальное значение при данных внешних (граничных) условиях, препятствующих достижению системой равновесного состояния [1, 8].
Полтридж [3] нашел, что при dS/dt = diS/dt + deS/dt = 0 (стационарный случай) состояние с минимумом внешнего притока энтропии deS/dt в его модели близко к истинному климату. Этот результат автор объясняет связью, близкой к пропорциональной, между deS/dt и diS/dt в земной климатической системе, пытаясь тем самым опереться на принцип минимума, производства энтропии. В действительности же минимум deS/dt в стационарной модели дает максимум diS/dt, на что указал Роджерс [4]. Это, однако, не означает безусловного отсутствия принципа минимума производства энтропии в земных условиях (см. дискуссию [4]).
Отметим, что в модели Полтриджа минимизация осуществляется лишь по величине меридиональных потоков тепла, без вертикальных.
Обосновать это можно, используя результаты Стоуна [9] и считая, что вертикальным потокам свойственны сильные отрицательные обратные связи, следствием которых является в среднем высокая устойчивость вертикальной структуры атмосферы [9]. Поэтому более быстрое установление вертикальной структуры по сравнению с меридиональной дает возможность рассматривать осредненную вертикальную структуру и варьировать в моделях меридиональные потоки при установившихся вертикальных.
Существование экстремальных свойств, подобных рассматриваемым, обязано стремлению системы подстроиться к внешним воздействиям, оптимизировать взаимоотношения различных процессов, на что указывает проявление многочисленных обратных связей. Способность адаптироваться к внешним условиям, демпфировать внешние воздействия, проявляясь в общих принципах типа Ле Шателье-Бра- уна, связана с устойчивостью системы. Поэтому можно попытаться связать условия устойчивости системы с возможностью существования некоторых вариационных принципов, т. е. экстремальности некоторых функционалов.
Условия устойчивости можно установить, вводя некоторую положительно определенную функцию, характеризующую отклонение от состояния, исследуемого на устойчивость. Если при этом ее производная по времени положительна при всех значениях времени, то система асимптотически устойчива. Знакоопределенная функция, приводящая к подобному (достаточному) условию устойчивости, называется функцией Ляпунова. В качестве функции Ляпунова для термодинамических систем в [1] обосновывается выбор «кривизны» энтропии — ^S и показано, что условием устойчивости равновесного состояния является
何淑川扌》。. (7)
Для системы с меняющимися граничными условиями это дает
^(/S) = ^(®S) + ^(*)》0, ⑻
где первое слагаемое — источник избыточной энтропии, связанный с необратимыми процессами внутри системы, второе слагаемое — поток избыточной энтропии через границу системы. Условие устойчивости (8), усиливая достаточность, можно разбить на две части:
^3污)》0， (8a)
^(击)》0. (86)
Первое условие сводится к критерию устойчивости для задачи с постоянными граничными условиями, а второе дает условие устойчивости на поверхности системы. Разложим энтропию в ряд около ее
стационарного значения Sst до членов второго порядка включительно:
S = Sst + {6S)st + j 32s)*(9)
Дифференцируя (9) по времени, получаем
И 為 鳥(10) или
^={端+6(絮)+我(券)}+{*+6(弟)+我(弟)}•
(Юа)
Отсюда при постоянных граничных условиях, когда 8(deS/dt)= =62(deS/dt) = 0, получаем при S(diS/dt) = 0 принцип минимума производства энтропии — теорему Пригожина, поскольку diSst/dt + + deSst/dt = 0.
Вторая фигурная скобка связана с обменом энтропией с внешней средой и при выполнении условия устойчивости (8) обеспечит минимальность скорости обмена энтропией с внешней средой, если
6{deS/dt)st = 0.(11)
Таким образом, существование минимума deS/dt может быть связано со знакоопределенностью 82s и требованием устойчивости к внешним воздействиям (86). Однако требование одновременного выполнения этого условия и (11) может оказаться слишком сильным. Существование подобных вариационных принципов обеспечивает устойчивость, хотя обратное, вообще говоря, неверно. Система может быть устойчивой без проявления указанных экстремальных свойств.
Проверка существования минимума скорости обмена энтропиейв простых моделях климата
Чтобы проверить наличие минимума скорости обмена энтропией с внешней средой, изучим экстремальные свойства простейших стационарных моделей климата Буды ко [5] и Норса [6], различающихся деталями механизмов притоков тепла. В стационарном случае при варьировании подобно [3] по потокам тепла производство энтропии, определяемое этими потоками, также произвольно варьируется. Тогда при некотором распределении потоков можно достигнуть минимума скорости обмена энтропией с внешней средой, функциональный вид которой при этом является заданным.
В полуэмпирической стационарной модели Буды ко земной шар разбивается на несколько широтных зон и для г-й зоны записывается уравнение баланса энергии:
Qsi(^ — ®)—厶=队h - %),(12)
где
Здесь Qsi — приходящая на верхнюю границу зоны коротковолновая радиация; а — альбедо;厶—уходящее длинноволновое излучение —(кка，/。儿2 • мес\,右—температура поверхности; tp — средняя равновесная температура, ° С;夕=0,5 — балл облачности; А = 14,0, В = 0,14; 41 = 3,0, В\ = 0,10 — размерные коэффициенты. Справа в уравнении баланса энергии (12) —меридиональный приток тепла в виде закона Ньютона, где /3 = 0,235 ккал/сж2 • мес • град. Все коэффициенты в (12) и (13) определены на основе эмпирического материала. Считая меридиональные потоки тепла неизвестными, найдем их значения, при которых имеет место минимум скорости обмена энтропией с внешней средой для этой модели. В простейшем случае, когда северное, например, полушарие разбито на две широтные зоны равной площади, возможно несложное аналитическое решение поставленной задачи.
Уравнения баланса энергий для двух таких широтных зон при отсутствии переноса тепла через экватор и полюс можно записать как Qsi(l — &1)—(厶 + 石力 1) +。,5 (Ai + B\t\) = —X,
Qs2(1 - a2)- (4 + 以2)+。,5 (A + 场方2)= X.
Скорость обмена энтропией с внешней средой равна
桨(15)
где qk — разность между коротковолновым притоком и длинноволновым оттоком энергии. Стационарность модели означает, что
dS deS I diS 八deS diS
Тогда, пользуясь последним равенством, мы можем минимизировать скорость обмена энтропией deS/dt, варьируя внутренний меридиональный поток тепла в системе X. Величина deS/dt, определяемая (15) как функция X, имеет вид
左=X L(x)+ g -力(X) + tJ，(16)
где функции 方i(X) и 方2(X) находятся из системы (14); То = 273 К. Подставляя их выражения в (16), получаем
deS bz(z —
而=2)(1-)'(163)
где
2 = X[Qs2(1 —&2)—4 + 0,54 片(8 — 0,5石 1]T = Xc~\b = 2石一马,。1 = [Qs2(l — &2)— Qsl(l — &l)]/2c,
。2 = [Qsi (1 —Qi)—厶 +。,5厶1 + 7q(5 — 0,5 B\)]/ c.
На рис. 4.1.1 приведен график deS/dt в зависимости от нормированного потока тепла 2, построенный согласно (16а) при [5] а\ = а2 = =0,33, QSi = —Rq cos ^i/тг, где Rq = 1,92 кал/см2 • мин. — солнечная постоянная,。分—широта середины г-й зоны. При этом для функции (16а) eq = 0,093, &2 = 0,814, b = 0,18 ккал/см2 • мес • град, z = =0,0345Х, и она имеет два экстремума при Zi = 0,0463 п 22 = —17,5. Последний не показан на графике, так как он не имеет физического смысла, поскольку отвечает температурам ниже 0° К. На самом деле физический смысл имеют лишь решения с deS/dt < 0, показанные на врезке рис. 4.1.1, поскольку лишь при этом производство энтропии внутренними процессами неотрицательно.
Рис. 4.1.1. Зависимость скорости обмена энтропией с внешней средой от нормированного потока тепла в двухзонной модели Буды ко
Состояние с минимумом deS/dt = —4,7 • 10-3 ккал/см2мес • град при 2 = 21 характеризуется тепловым потоком X = 1,35 ккал]с黯 х х мес и температурами широтных зон 方i(0i = 48,5°) = 5° С и 方2(^2 = =14,5°) = 35° С. Для Земли, полностью покрытой льдом с 创 =。2 = =0,62 (см. [6]) минимум deSl dt соответствует 方 1(例=48,5°) = -57° С и 方2(。2 = 14,5°) = -40° С.
Таким образом, уже такая грубая схема обнаруживает наличие минимума в скорости обмена энтропией с внешней средой. Распределения температуры для двухзонной модели приведены на рис. 4.1.2. Там же дано реальное среднегодовое распределение температуры для северного полушария и распределение 7(。) для пятизонной модели с широтным распределением альбедо по [5], найденное численно при минимизации deS/dt по схеме, аналогичной приведенной выше.
Можно варьировать не весь поток тепла /3(方一方@), а лишь коэффициент /3. Здесь минимум deS/dt появляется, когда число зон больше или равно трем. Трехзонная модель нетрудно рассчитывается аналитически, и оказывается, что минимум dcS/dt имеет место при /3 = 0,13 ккал/см2 • мес • ° С (рис. 4.1.3). В то же время эмпирическое
Рис. 4.1.2. Широтные распределения температур: / — реальное; отвечающие минимуму deS/dt; 2 — по двухзонной модели [5], 3 — то же, с модификацией по [10]; 4 — по пятизонной модели [5]; 5 — для трехзонной модели [5], 6 — для модели [6]
Рис. 4.1.3. Зависимость deS/dt от /3 в трехзонной модели [5]
значение /3 равно по [5] 0,235 ккал/см2 • мес • ° С. Полученные при минимуме deS/dt значения температур также приведены на рис. 4.1.2, хотя снова температура более резко изменяется с широтой, причем экватор теплее, а полюса холоднее, чем в действительности.
До сих пор зависимость альбедо от температуры, столь существенная во всех простых моделях климата, явно не рассматривалась. Ее учет приводит к некоторым ограничениям на устойчивость системы. Для вывода этих условий рассмотрим сначала вслед за [1] систему, для которой обмен энергией с внешней средой через границу описывается законом Ньютона, часто употребляемым и для атмосферных задач:
Jn = a(T-T^, (17)
где Jn — поток энергии через поверхность системы; Г — температура на границе системы; Kxt — температура окружающей систему среды (для земной климатической системы ее определение см. ниже (22)). Тогда условие устойчивости на верхней границе Q (86) будет иметь вид [1, стр. 84]
2(打)2^〉0, (18)
а > 0.(18а)
При наличии обратной связи между Т^ и Г условие (86) сводится к неравенству [1]
j Т~2а(6Т -江諸辽依 > 0,(19)
которое вместе с (18а) приводит к неравенству
(8Т - bText州т > о,(20)
или
|8£xt| < \5Т\ при 汀汀ext > о.(20а)
Если изменение внешней температуры меньше изменения граничной температуры, то устойчивость выполнена [1]. Оценим условия выполнения неравенств (20а) при зависимости планетарного альбедо от температуры
а = &о - {da/dT^T(21)
для земной климатической системы с осредненными по высоте параметрами. Эффективная величина *xt определяется притоком коротковолновой радиации от Солнца
Text = Po/M(l-Q)]1/4^
Ро/М(1- &о)р/4[1 + (l/4)(da/d7b)T(l — а。)]. (22)
Тогда условие (20а) примет вид
(da/dT)o < 4[(4a/凡)(1 -/)叩"=9 • 10-3 K~x (23)
при а。~ 0,4 (для 35°N — см. [10] и ниже, формулу (24)). Следствием нарушения условия устойчивости (23) должно быть отсутствие минимума скорости обмена энтропией с внешней средой.
Введем в двухзонную модель Буды ко (14) зависимость альбедо от температуры
(0,62,t < -10° С,
а = { &о — (da/dT)o 方，-10℃<t < 10° С,(24)
〔0,3,方〉10° С.
Альбедо каждой зоны определяется из (24) пропорционально доле зоны, занимаемой соответствующим температурным интервалом в (24) при настоящем климате.
Расчеты показывают, что минимум deS/dt в этой модели существует лишь при da/dT < 8,3 • 10-3\ что близко к оценке (23). При
больших значениях сильная положительная обратная связь альбедо — температура не позволяет выполняться достаточному условию устойчивости (86). На рис. 4.1.4 представлена зависимость величин мини-
Рис. 4.1.4. Распределение величин минимумов deS/dt в двухзонной модели [5] с коэффициентом обратной связи альбедо — температура da/dTРис. 4.1.4. Распределение величин минимумов deS/dt в двухзонной модели [5] с коэффициентом обратной связи альбедо — температура da/dT103(da/dT)0, 1/К103(da/dT)0, 1/К° 1234567 8U| пI I I I I I П° 1234567 8U| пI I I I I I П
Рис. 4.1.4. Распределение величин минимумов deS/dt в двухзонной модели [5] с коэффициентом обратной связи альбедо — температура da/dT
Рис. 4.1.4. Распределение величин минимумов deS/dt в двухзонной модели [5] с коэффициентом обратной связи альбедо — температура da/dT
103(da/dT)0, 1/К
103(da/dT)0, 1/К
° 1234567 8
U| пI I I I I I П
° 1234567 8
U| пI I I I I I П
мумов deS/dt в двухзонной модели Буды ко от da/dT. График имеет максимум при da/dT = 1,3 • 10-3 К〕что близко к значению коэффициента обратной связи по альбедо льда (1,6 • 10-3丨)，приводимому
Сессом [10] для модели Везеролда-Манабе. Рассмотрим далее модель Норса [6], являющуюся распределенным дифференциальным аналогом модели Буды ко. В ней уравнение баланса энергии представляется в виде
RF^X - а(х,хс)]- 1(х)=—瓦(1 —«)0 瓦， (25)
где первый член слева — приток коротковолновой радиации, второй — излучение длинноволновой радиации, представимое по Буды ко.
I = A + Bt. (26)
Постоянные А = 211,2 Вт]启 и В = 1,55 Bm]W ° С получены Норсом линеаризацией формулы для длинноволнового излучения Селлерса [11] с точностью до 1 %; они больше используемых в [5] значений на несколько процентов. Справа в (25) — меридиональный приток тепла диффузионного типа с постоянным коэффициентом диффузии D. Его величина была подобрана так, чтобы модель удовлетворяла современному распределению температур. В (25) х = sin。，функция 歹(力) характеризует среднегодовое распределение солнечной радиации и с точностью до 2% представима двумя первыми четными полиномами Лежандра:歹(力)=1 — 0,482£(力).Величина R = Ro/4 — средний по поверхности приход солнечной радиации. Альбедо а(力，力J задается в виде
1 - Q(/，力C)=1 - Q(/，力C)=[历=0,38,[аo +a2 P2(/)=0,697 + 0,080 乃(力),[历=0,38,[аo +a2 P2(/)=0,697 + 0,080 乃(力),X > 力c,X < хс,X > 力c,X < хс,(27)(27)
1 - Q(/，力C)=
1 - Q(/，力C)=
[历=0,38,
[аo +a2 P2(/)=0,697 + 0,080 乃(力),
[历=0,38,
[аo +a2 P2(/)=0,697 + 0,080 乃(力),
X > 力c,
X < хс,
X > 力c,
X < хс,
(27)
(27)
где хс — граница льда, совпадающая с изотермой —10° С.
Решение уравнения (25) ищется в виде разложения по четным полиномам Лежандра. В пределах той же точности 2% можно ограничиться двумя членами разложения [6] — двухмодовое приближение:
/(/)=£厶公(力)^ /。 +/2乃(力)，/0 = RHq{xc),
1
А =兄》2(力с)(6О+ I)-1,办(力с) = (2八 + 1) I F(x)a(x, х^Рп^х) dx.
0(28)
Скорость обмена энтропией с внешней средой здесь также можно найти аналитически и вычислить до конца получающиеся пнтегралн:
(29)(29)° =6BD(1-(…/3叫打 in (一叫,I (%+办0)1/2{dx+d2D^/2
(29)
(29)
山=[H^Xc) — (1/2)%(&) + ⑵石-A)/R][-3/2H2(xc)]-\^2 = 4[(А-7ЬВ)/Д-ЯоЫ].
На рис. 4.1.5 приведена зависимость скорости обмена энтропией с внешней средой deSl dt от коэффициента диффузии D при современной границе льда хс = 0,95 — кривая 2. Эта функция имеет минимум при D = 0,15, что в 2,5 раза меньше значения D = 0,382, подобранного Норсом для описания, современного климата. Вследствие этого климат получается снова с более резким изменением температуры с широтой (рис. 4.1.2, кривая 6).
4 2 04 2 06 о,26 о,2л QI 8 —л QI 8 —
4 2 0
4 2 0
6 о,
2
6 о,
2
л QI 8 —
л QI 8 —
—2
_4
—6
Рис. 4.1.5. Зависимость deSl dt от коэффициента диффузии D в модели [6]:/ — в двухмодовом приближении; 2 — в трехмодовом приближении
Численно было найдено, что положение минимума на кривой не зависит от задаваемой заранее границы льда хс при фиксированной солнечной постоянной, а также при солнечной постоянной, зависящей от хс по Норсу [6, ф-ла (18)].
Было выяснено влияние учета следующего члена разложения в /(/)^ IqPq^x) + 12P2(* + 厶马(力)，(28a)
где 厶=RH4(xc)(20D + I)-1. Расчеты также могут быть доведены до аналитических формул, которые здесь из-за громоздкости не приводятся. Учет трех членов разложения решения (25) в (28а) показывает, что положение минимумов в зависимости deS/dt (О) остается тем же, что и в двухмодовом приближении. Одна из таких кривых для хс = 0,95 приведена на рис. 4.1.5 (кривая /).
Таким образом, во всех рассмотренных случаях обнаружено существование минимумов скорости обмена энтропией с внешней средой, которым; отвечают климаты, более градиентные по температуре, чем в реальности. Такая же ситуация существует и в простой модельной задаче Роджерса [4]. Этот факт можно объяснить рядом обстоятельств.
Во-первых, существование подобного экстремального свойства связано с требованиями на устойчивость, которые могут оказаться слишком: сильными и не реализовываться в действительности. В стационарных задачах минимизации deS/dt означает максимизацию diS/dt. Но реальная климатическая система стационарна лишь статистически, поэтому ей может отвечать не обязательно минимум deS/dt, а экстремум некоторого функционала (может быть, некоторой комбинации diS/dt и deS/dt), вид которого может зависеть от некоторых дополнительных ограничений, наложенных на систему. В этой связи очень интересен был бы расчет величин dS/dt, deS/dt и diS/dt как глобальных характеристик в больших трехмерных численных моделях общей циркуляции. Контроль поведения этих величин со временем в процессе счета может служить не только дополнительным критерием правильности работы схемы, так же как контроль за сохранением массы, полной кинетической энергии или момента количества движения, но он мог бы многое прояснить и в физике атмосферных процессов. Расчеты величин dteS/dt и diS/dt при разных значениях, например, коэффициента макротурбулентности могли бы показать наличие (или отсутствие) экстремума в этих величинах. Такие эксперименты одновременно можно было бы рассматривать как эксперименты по проверке чувствительности моделей по отношению к варьируемым параметрам.
Во-вторых, причина худшего соответствия реальному климату минимума скорости обмена энтропией в простых моделях, чем в модели Полтриджа, может быть связана с неучетом других процессов и обратных связей. В этом смысле опыт Полтриджа указывает на желательность проверки таких экстремальных свойств у физически более полных моделей. Вероятно, здесь может помочь и уточнение используемых параметризаций. Например, использование параметризации уходящей радиации по Сессу [10], предложенной на основе более полных спутниковых данных, позволяет в той же двухзонной модели Буды ко получить климат с менее резкой зависимостью температуры от широты (см. рис. 4.1.2).
Таким образом, существование минимума скорости обмена энтропией с внешней средой связывается с возможностью определения функции Ляпунова в задаче об устойчивости системы через энтропию системы и дополнительного требования устойчивости на границе. Проверка простых моделей климата показывает, наличие данного экстремального свойства в простых моделях, связанного с их устойчивостью, хотя реальный климат и не соответствует точно этому экстремуму. Поэтому желательно обследование в этом направлении экстремальных свойств более сложных моделей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
П. Гленсдорф, И. Пригожин, Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации. «Мир», (1973).
J. A. Dutton, Tellus, 25, №2 (1973).
G. W. Partridge, Quart. ,T. Roy. Meteorol. Soc, 101, №429 (1975).
C. D. Rodgers. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 102, №432, (1976).
M. И. Буды ко, Изменения климата. Гидрометеоиздат, (1974).
G.R. North, J. Atmos. Sci„ 32, № 11, (1975).
Э. H. Лоренц, Природа и теория общей циркуляции атмосферы. Гидрометеоиздат, (1970).
С. де Гроот, П. Мазур, Неравновесная термодинамика. «Мир», (1964).
Р. Н. Stone, J. Atmos. Sci., 30, №4 (1973).
R. D. Cess, J. Atmos. Sci., 33, № 10 (1976).
W. D. Sellers, J. Appl. Meteorol., 8, №3 (1969).
Возможные атмосферные последствия ядерногоконфликта 1)
Реальная опасность развязывания ядерного конфликта ставит перед специалистами по физике атмосферы задачу тщательного анализа последствий мощных ядерных взрывов. Анализ включает оценку возможных крупномасштабных изменений характеристик воздушной среды, имеющих жизненно важное значение для человека. Задача эта сложная, однако уровень современных знаний об атмосферных процессах позволяет качественно (а иногда и количественно) оценить многие вероятные последствия такого конфликта. Этот уровень достигнут в результате работ по прогнозу погоды, изучению общей циркуляции
1) См. Земля и Вселенная, № 6, 1983. В соавторстве с А. М. Обуховым. Впервые: Доклад на Всесоюзной конференции ученых за избавление человечества от угрозы ядерной войны, за разоружение и мир, 1983 г.
атмосферы, исследованию естественных изменений климата и антропогенных воздействий на него.
Климатическая система эволюционирует сравнительно медленно — во временных масштабах порядка десятилетий и более (Земля и Вселенная, 1983, №3, с. 22. — Ред.). Нужно рассматривать наиболее вероятные пути этой эволюции и оптимальные сценарии развития мирового хозяйства. Изучая возможные эффекты катастрофических явлений типа мирового ядерного конфликта, мощных извержений вулканов, падений очень крупных метеоритов (последние в какой-то мере могут моделировать ядерный взрыв), необходимо учитывать все, даже маловероятные механизмы развития глобальных и региональных последствий. Изменения при этом обычно развиваются гораздо быстрее и могут сохраняться в течение нескольких лет.
До недавних пор при рассмотрении атмосферных последствий основное внимание уделялось озонному слою атмосферы. Теперь началось изучение и других характеристик атмосферы, которые могут изменяться после взрывов и пожаров. Но картина здесь еще далеко не ясна. Ядерные взрывы и пожары также заметно изменят альбедо поверхности суши, привнесут в атмосферу огромное количество веществ, существенно повлияв, таким образом, на ее оптические свойства. Это, в свою очередь, приведет к изменениям в атмосферной циркуляции, а затем — из-за большого числа прямых и обратных связей в земной климатической системе — к климатическим эффектам в региональном и в глобальном масштабе. Все эти процессы и связи, как правило, нельзя рассматривать изолированно, изучены они недостаточно и могут давать эффекты различных знаков и интенсивности. Для оценки суммарного эффекта следовало бы использовать численные модели циркуляции атмосферы с учетом ее химических, оптических и других изменений. Но таких моделей пока не существует. Поэтому остановимся на отдельных процессах и вызываемых ими эффектах.
Будем исходить из того, что во время ядерного конфликта будет взорвано большое количество термоядерных и атомных бомб с суммарной мощностью заряда 10 тыс. Мт и взрывы эти произойдут главным образом в широтном поясе 30-60° с. ш. По воздействию на атмосферу следует различать наземные взрывы и высотные (выше 1 км в атмосфере). При наземных в атмосферу выбрасываются миллиарды тонн грунта, значительная часть которого в виде мелкой пыли может достигнуть стратосферы. При всех взрывах грибовидное облако поднимается в стратосферу, занимая область высот от 10-15 до 30-40 км в зависимости от мощности заряда. Основное влияние в стратосфере будет оказано на озон.
Разрушение озона
В результате ядерных взрывов в атмосфере образуется окись азота NO в количестве 1032 молекул на 1 Мт, или 5000 т. Озон разрушается в ходе цепной реакции, в которой окись азота играет роль катализато-
ра: одна молекула NO может разрушить десятки тысяч Молекул озона. Интенсивное разрушение идет до тех пор, пока окись азота в избытке. Оно продолжается несколько месяцев. За это время 5000 т окиси азота могут разрушить до 5-10 млн. т озона. Поскольку во всей атмосфере озона около 4 млрд, т, то суммарного заряда в 10 тыс. Мт может хватить, в принципе, на многократное разрушение всего озонного слоя. Однако в тропосфере, на высоте 10-15 км, где содержится около 10% атмосферного озона, реакция его разрушения сильно замедляется и эти 10% всегда остаются. Более строгий учет цикла реакций разрушения озона дает: за счет окислов азота может разрушиться до 70% его количества.
Надежность приведенных цифр подтверждают два обстоятельства. Во-первых, серия интенсивных испытаний ядерного оружия в атмосфере происходила в 1961-1962 годах, и суммарная мощность зарядов тогда составляла около 300 Мт. Выделить эффект воздействия этих испытаний на глобальное количество озона по данным мировой озонометрической сети — непростая задача, поскольку естественная изменчивость озона во времени и в пространстве весьма заметна. Однако в последнее время, благодаря специальной методике анализа данных, удалось показать, что в течение года после испытаний содержание озона в атмосфере уменьшилось на 3 ± 1,5 %, что по массе составило 120 + 60 Мт. Во-вторых, близкая аналогия ядерного взрыва — падение Тунгусского метеорита в 1908 году — тщательно и всесторонне проанализирована недавно группой американских ученых. Согласно их расчетам, при взрыве метеорита на высоте 6-9 км в атмосфере образовалось до 30 Мт окиси азота, что по их оценкам эквивалентно взрыву с суммарной мощностью около 6 тыс. Мт тринитротолуола и вполне сопоставимо с крупномасштабным взрывом. В этой работе не так интересны сами расчеты, как то, что авторы по данным измерений 1909-1911 годов в Калифорнии уверенно зафиксировали спад содержания озона в атмосфере на 30± 15% летом 1909 года, который в последующие годы сменился постепенным повышением его содержания. На начало зимы 1908/09 года авторы, пользуясь своей моделью, предсказали уменьшение глобального содержания озона в атмосфере на 35-45%.
В обоих случаях фотохимические модели атмосферы удовлетворительно согласуются с данными наблюдений, что позволяет вполне доверять их результатам. Экстраполируя эти результаты на возможный ядерный взрыв мощностью 10 тыс. Мт, вполне можно ожидать, что почти весь стратосферный озон над Северным полушарием разрушится через несколько месяцев после конфликта.
Восстановление озона идет весьма медленно; по некоторым оценкам на восстановление его первоначальной концентрации уходит несколько лет. Есть два обстоятельства, задерживающие восстановление озона, их до сих пор не учитывали западные ученые в своих оценках воздействия взрывов на озонный слой. При ядерных взрывах в стратосферу
будет выброшено огромное количество аэрозоля — частиц почвы, продуктов сгорания и т. д. Они также будут способствовать разрушению озона. Дело ж том, что молекулы озона, сталкиваясь с аэрозольными частицами, взаимодействуют с активными центрами их поверхности, и аэрозоль распадается с дальнейшей рекомбинацией атомарного кислорода. Для построения достаточно полной количественной теории этого явления пока не хватает некоторых физико-химических параметров аэрозоля. Однако установлен факт, что после крупных извержений вулканов резко уменьшается содержание озона в слоях, где накапливается стратосферный аэрозоль вулканического происхождения.
В последнее время группа сотрудников Института физики атмосферы АН СССР предложила объяснение этому эффекту, замеченному еще в 1978 году космонавтом Г. М. Гречко. Наблюдая со станции «космические зори», Г. М. Гречко обратил внимание на синие полосы выше горизонта, внутри которых были видны более светлые тонкие слои. Синие полосы затем объяснили прохождением света через озонный слой. Появление же светлых слоев может быть вызвано лишь уменьшением концентрации озона на соответствующих высотах, а единственно мыслимой причиной такого уменьшения представляется разрушение озона в аэрозольных слоях атмосферы.
Другой фактор, на который также не обращалось внимания, состоит в том, что выброшенный аэрозоль может заметно ослаблять солнечную радиацию, под воздействием которой восстанавливается озон в атмосфере. Повышение альбедо из-за увеличения содержания аэрозоля в стратосфере должно приводить к понижению температуры, что замедляет восстановление озона. Здесь, правда, нужно выполнить детальные расчеты с различными моделями аэрозоля, поскольку многие аэрозоли заметно поглощают солнечную радиацию, а это приводит к некоторому нагреву атмосферы.
Известно, что атмосфера (и стратосфера) всего за несколько недель перемешивается в зональном направлении и за несколько месяцев — в меридиональном. Поэтому, если используемые заряды одинаковы, то нет никакой разницы между локальным и глобальным ядерными конфликтами, поскольку процессы разрушения озона идут в течение нескольких месяцев.
Подводя итоги, следует признать, что ядерный конфликт с использованием 10 тыс. Мт суммарного заряда может разрушить до 80-90 % всего озона, по крайней мере в Северном полушарии.
Биологический последствия разрушения озона
Рассмотрим зону солнечного спектра в области длин волн 280320 нм. Увеличение радиации в этой области спектра в малых дозах полезно: на коже человека создается легкий здоровый загар. Но большие дозы приводят к росту заболеваний раком кожи, к солнечной слепоте. Если разрушится 90% озона, может «приоткрыться» спектральный диапазон 0,2-0,3 мкм (200-300 нм). Весь этот диапазон
канцерогенный. Особенно опасен участок спектра 240-280 нм, где мутагенные и летальные дозы составляют от 10 до 104 эрг/жж2 (11000 Дж/м2). Мощность солнечного излучения в этом участке составляет 4 吕粗/儿2 ИЛИ 108 "宛/儿2 в год.
При нормальном содержании озона в атмосфере и при нулевом зенитном угле Солнца Земли достигает лишь 10-40 общей мощности излучения (без учета молекулярного рассеяния света). С учетом рэлеевского рассеяния — величина падает еще на порядок. Если же озона останется 10% от нормы, то при том же нулевом зенитном угле Солнца (даже с учетом рассеяния) проходит уже 10-5 от общей мощности излучения. В опасном диапазоне 240-280 нм это составит как раз 1000 〃宛/儿2 в год. Рассеяние и поглощение сильно увеличиваются с ростом зенитного угла, и при среднем зенитном угле, равном 60°, за год доза ультрафиолетовой радиации составит 1 Дж/м1.
Максимальное разрушение озона после падения Тунгусского метеорита составляло, по оценкам, 45 %. Но опасный интервал длин волн 240-280 нм в солнечном спектре остался еще надежно закрытым. По-видимому, было бы полезно провести медицинскую статистику по заболеванию раком кожи в период 1909-1912 годов и выяснить, не было ли роста этих заболеваний.
Другие последствия
Сейчас обращают внимание на то, что при ядерном конфликте неизбежно возникнут лесные пожары на площадях, по скромным оценкам, порядка 1 млн. км2. Оценим тепловую энергию, которая может выделиться при этом. На 1 км2 масса древесины составляет около 6 • 104 т с теплотворной способностью около 1010 Дж/т, Таким образом, сгорание леса на площади 106 км2 даст 6 • 1020 Дж энергии. Эту цифру можно сравнить с полной кинетической энергией ветров во всей земной атмосфере, которая близка к 7 • 1020 Дж. Полная внутренняя энергия атмосферы в широтной зоне 30-60° близка к 2,5 • 1023 Дж, то есть прямым образом атмосфера в этой зоне нагреется не более чем на 1° С. Но поскольку пожары локальны, эта цифра может быть значительно больше.
Исследуя атмосферную циркуляцию, следует учитывать прежде всего скорость генерации кинетической энергии атмосферных движений. По современным оценкам она порядка 3 吕粗/儿2. Если считать, что лесные пожары будут длиться около месяца, то темп выделения энергии в указанной широтной зоне составит около 2,5 Вт/м1. Если же учесть локальный характер пожаров и то, что в этой зоне океаны занимают примерно половину площади, местные скорости генерации кинетической энергии возрастут во много раз. В итоге можно ожидать не только очень сильные локальные ветры (при взрывах атомных бомб в Хиросиме и Нагасаки отмечались ветры до 50 м/с), но и заметную перестройку всей атмосферной циркуляции Северного полушария.
При пожарах в атмосферу поступает большое количество продуктов сгорания — сажи, углекислого газа и т. д. Эффекты их весьма разнообразны. По некоторым оценкам из-за задымления атмосферы резко ослабится (в 2-150 раз) поступление прямой солнечной радиации к земной поверхности. Это замедлит фотосинтез, начнется похолодание воздуха. С другой стороны, поглощение солнечного излучения частицами сажи приведет к разогреву самой атмосферы, в результате резко повысится статическая устойчивость атмосферы. Это сильно ослабит тепло- и влагообмен атмосферы с поверхностью суши, но может усилить теплообмен и влагообмен с океаном, с нижней атмосферой. Температура океана мало изменится из-за большой термической инерции даже верхнего перемешанного 100-метрового слоя воды. Но из-за повышения температуры основной массы атмосферы это приведет к образованию низкой облачности над океаном и выпадению осадков над самим океаном. Поэтому вполне возможно уменьшение осадков над сушей, отчего замедлится вымывание продуктов сгорания, и замутненное состояние атмосферы будет держаться дольше обычного.
Резкий рост концентрации аэрозольных частиц, служащих центрами конденсации водяного пара, может изменить и процессы образования облаков. Например, можно ожидать, что в условиях сохранения влажности атмосферы сильно замедлится рост водяных капель, что также уменьшит выпадение осадков.
Нагрев атмосферы в средних широтах вызовет понижение меридионального градиента температуры между экватором и средними широтами, а градиент этот служит мерой интенсивности зональных ветров. Ослабление ветров уменьшит доступ влаги на материки, и, таким образом, в качестве довольно быстрого последствия можно ожидать развития засух. В полярных областях, севернее 60° с. ш., наоборот, зональные ветры усилятся, в Арктику поступит больше пыли и сажи. Как следствие, уменьшится альбедо полярных льдов, и они скорее начнут таять.
Итак, можно констатировать, что существующие оценки вредных последствий ядерного конфликта для атмосферы существенно занижены и не охватывают всего комплекса опасных явлений. Почти полное разрушение стратосферного озона, огромные лесные пожары и локальные бури, задымление атмосферы в масштабах почти всего Северного полушария, продолжительные засухи на больших территориях, — вот далеко не полный перечень того, что может произойти. Дальнейшие исследования должны уточнить некоторые параметры атмосферных процессов и развить модели для количественных расчетов.
Советские специалисты в области физики атмосферы убеждены, что ядерная война — это война и с окружающей средой, которой в результате ядерного конфликта будет нанесен непоправимый ущерб.
Comparative estimates of climatic consequencesof Martian dust storms and of possible nuclear war 9
Introduction
The problem of possible effects of nuclear war on the atmosphere and climate is now attracting much attention, following the publication of a paper by Crutzen and Birks (1982). The present authors became interested in the problem at the beginning of 1983 and first reported their estimates of the temperature regime of an aerosol-loaded atmosphere, together with a qualitative discussion of the changes in precipitation and dynamics of the atmosphere, at the All-Union Conference Against Nuclear War Threat for Disarmament and Peace, Moscow, May 1983 (for a condensed version of the report see Golitsyn (1983) and Oboukhov and Golitsyn (1983)). The first version of the present paper, which described our model and summarized the results given at Figs. 4.3.1 and 4.3.2, was presented at the Conference on «The World after Nuclear War» October 31-November 1, 1983, Washington, D.C For various reasons the paper was not sent to this journal until April 1984. In the interim period, general circulation model simulations have been published (Alexandrov and Stenchikov, 1984; Covey et a/., 1984). Turco et al. (1983) (hereafter referred to as TTAPS) use the radiative-convective type of climate model, with detailed radiative transfer calculations. The other authors produce the changes in temperature and other meteorological variables.
Any model is incomplete and may be easily criticized, as can be seen in the already long history of modelling the climate and its changes in general. Models that have been put forward range from «zero-dimensional» models that give only the average surface temperature of the whole globe, to the fully interactive dynamical models of the atmosphere and ocean which give three-dimensional fields of the variables considered. Each has its merits and shortcomings.
We present here an extremely simple analytical model which gives both the average atmospheric temperature, Ta and that of the underlying surface Ts. The model is based on considerations of radiative energy balance at the top of the atmosphere and at the underlying surface. It has already given reasonable estimates for the Martian temperature regime under normal conditions (Ginsburg and Feigelson, 1971) and during global dust storms (Ginsburg, 1973). The model has been generalized to the case of many atmospheric layers (Ginsburg and Safray, 1977) and applied to Venus, for which it produces a realistic vertical temperature profile. However, to investigate the main physical effects, one uses the simplest approximation possible that can be treated analytically, and this yields results which are easy to follow.
Cm. Tellus, 37B, 3, 1985. В соавторстве с А. С. Гинзбургом.
We begin with a description of the model (Section 2) and the derivation of simple expressions for the dependence of Ta and Ts on the optical properties of the atmosphere, presented with a discussion of assumptions involved and concomitant limitations of the model. In the same section, we apply the model to the case of doubling the CO? content of the atmosphere, which increases its IR opacity. Next, in Section 3, we consider the optical properties of various aerosols (mineral dust, products of forest and urban fires) and estimate absorption and transmission of aerosol- loaded atmospheres. Then (Section 4) we discuss the likely dependence of changes in the thermal regimes of the atmosphere and surface on the optical thickness of the atmosphere, checking our results against what is known about clear terrestrial and Martian atmospheres. Then, using new data for Martian dust storms, we follow the changes in Ta and Ts for the case of a dusty Martian atmosphere and find good agreement with direct observations. For the Earth's atmosphere when filled with dust raised by an event such as an asteroid impact (which may have occurred about 65 x 106 years ago), our model reproduces reasonably well the results of more complex model studies by Pollack et al. (1983) who used basically the same approach as TTAPS. Consideration of the fire aerosol case also agrees well with results of TTAPS. Our results presenting ТЦт) and T^(r) reveal the effects of uncertainty in estimates of the aerosol concentration and its optical properties etc., which is an advantage over a numerical model, which requires a new set of new computations for each assumed combination of aerosol characteristics. A novel result is that the main changes in Ts and Ta occur when rs < 1, where rs is the optical depth for the solar radiation; Ts and Ta are fairly insensitive to rs when rs > 2 or 3. The other result is that the atmosphere with smoke over oceans may be some 20 К warmer than over land because the thermal radiation from the ocean surface would remain virtually unchanged due to great oceanic thermal inertia.
Finally, in Section 5, we discuss the changes in the hydrological cycle and atmospheric dynamics that would accompany the modified thermal regimes of the atmosphere and surface. The arguments presented could facilitate the analysis of such effects in more comprehensive models.
The radiative model of the temperature regime of the atmosphere and surface
The intensity of the globally-averaged flux of the solar radiation incident upon an atmosphere is
S = 0.25"(I ―厶)， (2.1)
where Io is the «solar constant» which is 1.37 kW m-2 at the Earth's mean distance from the Sun (1 a. u.), and A is the mean planetary albedo, equal to 0.3 for the Earth and 0.24 for Mars (Pollack, 1979). From the
equality of the mean fluxes of the incoming solar and outgoing thermal radiation, one can define an effective temperature
異三［4(1—4)/4op/4.(2.2)
This gives 255 К for the Earth and 211 К for Mars whose mean distance from the Sun is 1.52 a.u.
The thermal balance of a planet as a whole is determined by the radiation balance at the top of the atmosphere: S(oo) = F(oo), i. e., by the equality between the net solar radiation flux S = S^ — S^ and the net thermal radiation flux F^ - F^. The arrows correspond to downwelling and upwelling fluxes. The value S(oo) is determined by (2.1). At the top of the atmosphere
歹(oo)=石(£)0(。, oo) + 石⑶"。广)dz, (2.3) о
where 石⑶=aT4{z), Ts the temperature of the surface, 0(21,22) the integral transmission function for the thermal radiation of the atmospheric layer (21,22) and 歹丄(00) = 0.
At the underlying surface, the effective flux of the solar radiation is
5(0) = 0.25 4(1 —厶—a) =
where I = 0.25/0, & is the fraction of the insolation absorbed by the atmosphere, as is the same at the surface, and 4 + a + q$ = 1. The effective flux of the thermal radiation at the surface is
0
歹⑼=口(0) - Q⑼=BS- 石⑶叱? 0)dz, (2.4)
00
where the last term describes the counter-radiation of the atmosphere.
Using the mean value theorem, we take В out of the integral sign in (2.3) and (2.4). Then we obtain effective values M* and 石^, and corresponding radiative temperatures 彌 and 7^ for the outgoing radiation F^(oo) and counter-radiation 歹丄(00). Using the values M* and 石^, we have the conditions of radiation balance at the upper and lower boundaries of the atmosphere in the form
BSD + B^-D) = ^-A),(2.5)
Bs-B^-D)=I^-A-a\(2.6)
two equations in three variable,瓦，可 and 風.
For normal Earth conditions, one can estimate the values of D(0, 00), B\ and 石^ by ground-based and satellite observations. The averaged temperature of the Earth's surface (northern hemisphere), Ts, is 288 К (Oort and Rasmusson, 1971). F^(00) = S = 240 W • m-2 from the balance requirements. From data of Bolle (1982), the contribution of the radiation
from the surface into FT(oo) is 23%, i. e. BsD = 55 W m~2. Because Bs = aTg = 390 W m-2, then D = 0.14. A very similar value О = 0.15 has been obtained by Ginsburg (1982) for the standard model for the mid-latitude atmosphere with Ts = 288 К and fractional cloudiness 0.5. For D = 0.14 and Ts = 288 К from (2.5), we get 爲=248 К. From (2.6) at a = 0.25 (&s = 0.45) after Bolle (1982), we obtain 7^ = 250 K. At the same time, for a = 0.2 (q$ = 0.5) after NAS (1975), we have 7^ = 250 K. This is the range of uncertainty of our knowledge of the normal atmosphere. Note that } (7j +^) is close to the mass-weighted temperature of the atmosphere of the northern hemisphere, Ta = 256 К (see Oort and Rasmusson, 1971) and to the effective temperature, Te = =255 K.
Because 裔 is close to 7^, we assume B^ =艮，i.e. T^ = T^ = =Ta. This would be exact for an isothermal atmosphere, but in our case it is a defect of the simplification we have used (to avoid having to consider a multi-layered atmosphere), which can produce errors of the order of several degrees in the sought values of Ts and Ta. However in an atmosphere with large amounts of smoke and dust, it is expected that the temperature profile would be closer to isothermal than under normal conditions (cf. Turco et a/., 1983). An example is the dusty Martian atmosphere, observations of which indicate that approximately isothermal conditions obtain during global dust storms (cf. Zurek, 1982; Gierasch, 1974). Therefore, the approximation 1J = 7^ should work better under the perturbed conditions than under поп-perturbed conditions. In this approximation, eqs. (2.5) and (2.6) give
Ts=Te0|(l-A + Qs)/(l+D)|1/4,(2.7)
Ta = Te0|(l-A- asD)/^\-。2州/4,(2.8)
where TeQ = (lo^a)1/4 and is equal to 279 К for the Earth if A = 0.
Thus
Ta = {。・5簿 + Q*o/(1 -。)|}1/4 = 1(* - Qs*o)/(1 -。州/4, (2.9)
which is convenient once Ts is known.
Consider now some limiting cases. When all the solar radiation is absorbed in the atmosphere, then a — (1 — 4) and, from Kirchhoffs law, 0 To. Then (2.7) and (2.8) give £=£=£, i. e., the temperatures of the atmosphere and the surface tend to the effective temperature Te. The same result has already been noted in much more detailed numerical studies by Pollack et al. (1983). When the atmosphere is transparent to solar radiation, we have a — 0,。— 1 and Ts Te, Ta 2T/忆, however, as in the simplest estimates of the stratospheric temperature (Goody, 1964).
In intermediate cases, depending on the ratio between absorptions for solar and thermal radiation, «greenhouse» ⑵ > £) and «anti-greenhouse» (Ts < K) effects are possible. The first effect takes place when the
atmosphere absorbs more thermal radiation from the surface than solar radiation; the second is in the reverse case. A simple test of this radiation model is an estimate of the Ts sensitivity to doubling of the CO2 in the Earth's atmosphere, 8 = △T$(2 x CO2). As is well-known (NAS, 1982) the change in the flux of the outgoing thermal radiation at the top of the troposphere is = —4 W m~2. In our model,
F^ =BSD + Ba^-D). (2.10)
Assuming Bs and Ba to be the same, we relate △歹 and AD from here. For △歹=-4 W m~2 and the actual values Ts = 288 К and Ta = T^ = =248 K, we get AD = 0.023 and then, from (2.7) we obtain 8 = 1.4 K. The change is caused only by an increase of the CO2 concentration without taking into account various feedback mechanisms — in particular, the main one, the increase of atmospheric absolute humidity with the temperature increase. We recall that the characteristic values of 5 for all models, radiative-convective ones and GCMs for fixed absolute humidity, are in the range 1 to 1.5 К and for constant relative humidity 2 to 3 К (see e.g. Manabe and Wetherald, 1967, 1980).
Another limitation of our model for the normal Earth is that for D = =0.14 and a = 0.2 (see above discussion after, e.g. (2.6)) our eqs. (2.7) and (2.8) produce Ts = 282 К and Ta = 250 K, which are some 6 К below actual values. To obtain Ts = 288 K, one must decrease significantly either D or a, or both, which is not in good agreement with observations (see NAS, 1975; Bolle, 1982). But, as we have mentioned already, the model should work better for perturbed conditions when vertical temperature profiles are closer to isothermal.
For Mars, at an average distance from the Sun of 1.52 a.u. I = =148 W nr? and £ = 211 К if 4 = 0.24 (see Pollack, 1979). Eqs. (2.8) to (2.10) produce for q 〜0 (normal conditions) Ts = 218 K, £ = 183 К and D = 0.76. The simplest estimate of the effective IR-transmission for the Martian atmosphere assumes that the atmosphere is completely opaque in the CO2 absorption band, 13-18 “m, and is transparent outside the band. Then D is equal to that part of the black body thermal radiation outside the band. For Ts = 218 K, we obtain D = 0.77, which is practically the same as О = 0.76 above. Therefore our model for normal terrestrial and for Martian conditions is not too far from reality, and there are reasons to expect that with the increase of the density of absorbing aerosols, it will perform better.
Optical properties of the aerosol atmosphere
Now we shall discuss in a crude way the relationships of the optical depths in the thermal IR, 丁，and in the solar or visible spectral ranges, rs, with the values of D and a entering (2.7) and (2.8). The vertical optical depth 丁 = ktmt, where kt is the effective absorption coefficient and mt
the total mass of all IR-absorbing atmospheric constituents. Then
D = exp(—rr) = exp(—rktimt), (3.1)
where r = 1.66 is the dimensionless radiation diffusivity coefficient (Goody, 1964).
For solar radiation, ts = та + та = к^Ша + kama, where ka and ka are the scattering and absorption coefficients, and ma and ma the mass column densities of scattering and absorbing atmospheric constituents, respectively. The transmission of the direct solar radiation is
Pd = exp(—Ts/〃)， (3.2)
where 从=cos 0 and 夕 is the solar zenith angle. For the transmission of the total, direct + scattered, solar radiation, %, simple analytical expressions are justified only for special conditions. We express 氏 similarly to (3.1):
& = exp(-rsrs). (3.3)
The coefficient rs depends on the ratio of absorbing and scattering properties of the atmosphere and surface, such as the albedo of the underlying surface As, the single scattering albedo s = k。® + k。) — * the scattering phase function, and the solar zenith angle arc cos 从.If the atmosphere absorbs the solar radiations, the value of % is determined mainly by the absorption optical depth, = (1 —以)丁$. Scattering lengthens the effective photon path within the atmosphere. The soot particles and products of oil and gas combustion have s = 0.5 (see Tarasova and Feigelson, 1981; Crutzen and Birks, 1982) and products from wildfires have s = 0.9 (Crutzen et al., 1984). For such types of absorbing aerosols, using computation by Tarasova and Feigelson, one can estimate values of rs. For s = 0.9,从=0.5, one gets 广=(1.5 to 2)(1 - 5/〃 ~ 0.3 to 0.4, and for 从=0.2 we have rs = (2 to 3)(1 — s)〃 = 1 to 1.5. Therefore, with the increase of 夕 due to scattering, the absorption increases from a factor 1.5 to 2 at 〃 = cosJ = 0.5, to 2 tо 3 at 〃 = 0.2. For s = 0.5 at 〃 = 0.5 and 0.2, the coefficients rs = (1 to 1.2)(1 — s)/〃，and, practically, % = =exp(—%/〃)according to results of the same computations by Tarasova and Feigelson, i. e., with the increase of the absorption, the scattering is less significant. As a result, for a very strongly absorbing aerosol, s = =0.5, one may assume % = exp[—(1 — &)т$/〃], and for an aerosol with s 0.9, we use 氏=exp[—2(1 — 5Ts/〃].
The fraction of the solar radiation absorbed by the surface is equal to &s = %(1 - 4). The albedo of the underlying surface, As, for the Earth and Mars is in the range 0.05-0.2, except for relatively small polar caps. While calculating we neglect any possible changes in As.
For two types of aerosol which we shall consider later, the mineral dust and smoke, we assume different ratios between optical depths rs (solar) and 丁 (thermal IR). According to estimates by Ginsburg (1973), during a mature Martian dust storm the IR transmission is О = 0.5, and the transmission for the solar radiation 氏=0.15. For these conditions,
one may estimate the IR optical depth 丁 to be about 0.25 of the depth ts for solar radiation. More recent detailed studies (e.g. Pollack et al. 1979) give for different stages of the dust storm evolution estimates of ts/t. The values range from 1.2 to 5. On the basis of data summarized by Zurek (1982), one may assume 禽/丁 3 tо 4. For later use we adopt ts = 4丁 when we consider the dust storms and results of an asteroid impact with Earth. Following Chylek et al. (1981) we shall use rs = 10т for combustion products as did Crutzen and Birks (1982).
In a more accurate approach, one should take into account the dependence of the system albedo and atmospheric transmission on the aerosol optical properties and the amount by solving the full radiation transfer equation. The increase of the aerosol amount can change planetary albedo considerably. For a large optical depth, the albedo A tends to the albedo of an aerosol layer with ts^ \. Filling up the atmosphere with mineral dust or with sulphuric volcanic aerosol leads to an increase of the albedo. On the other hand, a strongly absorbing aerosol, like smoke from forest and urban fires, decreases the albedo.
Various approximate methods of the radiation transfer theory can be used to estimate the resulting effect. For example, Crutzen et al. (1984), in their calculation of the albedo and transmission of the smoke-filled atmosphere used expressions obtained by Sagan and Pollack (1967) and applied them to Venusian clouds. Without going into details here, we note that these expressions overestimate the albedo for large masses of absorbing aerosol. Using more accurate numerical and analytical calculations by Sagan and Pollack (1967), we computed asymptotic values of A when 丁 — oo. For 吟=0.9, 0.7 and 0.5, we obtained A = 0.2, 0.1 and 0.05, respectively. Details of the computational methods can be found in Feigelson (1984). Intermediate cases may be approximated by the following expression
4(丁)= A(oo) + |4(oo) - A(0)| exp(-rsrs); (3.4) for a smoke mixture of urban and forest fires (s = 0.7), eq. (3.4) gives 4(丁)= 0.1 + 0.2exp(-rsrs).
Changes in the thermal regime
Now the changes in the thermal regime for various cases with increases in aerosol amount can be estimated through eqs. (2.7)-(2.9). The radiation characteristics q$ and D for the normal atmosphere are multiplied correspondingly by factors exp(—rsArs) and exp(—rAr), where Ars and Ar are changes of the optical depths for solar and thermal radiation and quantities rs and r = 1.66 have been discussed in Section 3.
For Mars, and also for the Earth's land area, we suppose that the atmosphere and underlying surface are in a temperature equilibrium determined by their optical properties. This is justified because of the small heat capacity of soils. In contrast, the temperature of the ocean will change little, due to its large heat capacity. A crude estimate may
be obtained as follows. The cooling will affect only the upper mixed layer (as in the winter convection of the upper ocean), about 70 m deep as averaged over the world ocean (Manabe and Wetherald, 1980). The total heat capacity of such a layer is about 3 x 108 / m~^K~{. An averaged heat flux from the ocean to atmosphere is of the order 100 W m-2 (or less). Then, for a timespan of half a year, it will give up 1.5 x 109 / m~, which produces a 5 K cooling. The maximum cooling in Pollack et al. (1983) and Turco et al. (1983) is about 3 K. Note that the characteristic time scale for the Earth's atmosphere to react to perturbations in its radiative regime is of order a week (Golitsyn, 1964; Goody, 1964; Ginsburg, 1980; Gryanik, 1982), while for the surface it is much shorter. Therefore the land surface temperature Ts would adjust according to (2.5)-(2.6) to the atmospheric temperature Ta. The latter over the ocean would tend to adjust to the ocean surface temperature according to (2.9). This justifies somewhat our quasi-stationary consideration (at least for mid-continental and mid-oceanic regions), which disregards transient phenomena in time and space.
Fig. 4.3.1. presents results of calculations of Ts and Ta as functions of the IR optical depth, 丁，for rs = 4T. For a mature dust storm rs 2 to 4,
0,00,51,01,5 △丁
Fig. 4.3.1. The dependence of Martian surface, Ts, and atmospheric, Ta, temperatures on the IR optical depth г = 0.25 rs, rs being the optical depth for solar radiation. Te is the effective temperature
Т=273К=0°СТ=273К=0°Со о 7 62 2о о 7 62 2Те=255КТе=255К0,00,51,0 △丁0,00,51,0 △丁
Т=273К=0°С
Т=273К=0°С
о о 7 6
2 2
о о 7 6
2 2
Те=255К
Те=255К
0,00,51,0 △丁
0,00,51,0 △丁
Fig. 4.3.2. The dependence of the surface and atmospheric temperature of the Earth in various cases: (a) 1, 2: Ts, Ta for the surface and atmosphere above land for mineral dust; 3 for Ta over ocean (A = 0.3); 4, 5 for Ts, Ta for aerosols of fire origin, A = 0.3; 6, the same over oceans; (b) 7, 8, the same for А(т) т 0.1 over land; 9, Ta the same over ocean
surface is somewhat less than in the much more detailed model by Pollack et al. (1983), presumably because we have neglected any increase in albedo due to further scattering of solar radiation by the dust, but it is still sufficient to have caused an ecological catastrophe 65 million years ago.
The other curves on Fig. 4.3.2 are for fires when rs = 10т. Curves 4 and 5 show the dependence of Ts and 7^ on г for A = 0.3, and curves 7 and 8 the same for A(r) — 0.1, as in (3.4). In all cases, the maximum changes are near ts ^ 3 or ts ^ 0.3. We want to stress especially that the sharpest changes are for rs < 1, including the fall of Ts below the freezing point of water. Curves 7 and 8 tend to the equilibrium temperature 271.5 К as 4 — 0.1 according to (3.4), where we neglect any increase in albedo due to enhanced scattering of light by the dust.
Curves 3, 6 and 9 are related to the atmosphere over the ocean with Tg = 282 K, correspondingly, for mineral dust and combustion products, with A = 0.3 and 4 — O.i. In the limit of large 丁，rs when a — 1 — 4, О — 0 eq. (2.10) gives
lim = |0.5(T? +實)|i/4.(4.1)
It is important to note that the temperature difference between the atmosphere over land and over ocean may reach some 20 K. Comparison of the curves 1 and 4 for Ts and 2 and 5 for Ta in cases of dust and smoke illustrates the influence of the thermal IR opacity: the greater its value, the slower the rate at which curves approach their asymptotes.
Possible dynamic and other changes in the atmosphere
Significant changes of the thermal regimes in the atmosphere and of the surface would be accompanied by changes in the atmospheric dynamics. Consider first a homogeneous Mars, which lacks oceans. The
heating of the atmosphere together with the cooling of the surface increases the atmospheric static stability. This leads to damping of the baroclinic instability of the atmosphere or, at least to slowing down of the development of baroclinic perturbations-cyclones (see e.g. Holton, 1972). Viking lander observations on the surface of Mars (Ryan and Henry, 1979) show that in a clear winter atmosphere, the passage of cyclones is quite regular, but when a dust storm arrives the cyclones cease. That means that one Hadley cell of the general circulation encompasses the whole winter hemisphere. Similar effects were noted by Alexandrov and Stenchikov (1984) and Covey et al. (1984) in their GCM modelling of the atmosphere loaded by smoke aerosol; without specifically mentioning cyclones and presenting weather maps (apparently due to the lack of space), both groups of authors describe the setting of a single Hadley cell.
Since the Washington conference Boubnov and Golitsyn (1985) carried out laboratory experiments in a differentially heated rotating annulus in the presence of an imposed vertical temperature gradient 5T. A qualitative theory of regimes of such a flow was also developed as a generalization of the theory by Lorenz (1962), describing regimes without imposed vertical temperature gradient. Hide (1977) discusses the relationship of such laboratory experiments to atmospheric general circulation through the theoretical developments that have been developed, such as that by Lorenz (1962). In short, our theoretical analysis and experiments demonstrate that with the increase of 6T, the non-axisymmetric regime changes in such a way that we may observe a decrease in the number of vortices or their complete elimination. Inspection of the changes of the non-dimensional parameters governing the flow regimes shows that this would be the case for the dusty Martian atmosphere, and thus may explain the formation of a single Hadley cell in the numerical experiments cited above.
In practice of course, there would be complications caused by the inhomogeneity of atmospheric and surface temperatures over land and ocean. In this connection, we note that curves 6 and 5 on Fig. 4.3.2 show that the temperature Ta over ocean is some 20 К warmer than over land. The warmer oceans and cooler continents would drive a monsoonal circulation of the winter type, thus introducing a dry season of the kind commonly found in tropical countries. Precipitation would be expected mainly over oceans, not over continents.
Because the aerosol-filled atmosphere over oceans would also be warmed, and even more so than over continents because of the virtually unchanged ocean thermal radiation, the atmospheric static stability over the oceans should also increase, and as a consequence, convection over oceans would be shallower than is the case today. On the other hand, convective instability is expected to develop near the upper boundary of the light-absorbing clouds which would be heated, and this would carry the smoke still higher in the atmosphere. Very crude estimates (Ginsburg et a/., 1984) show that this mechanism may carry the smoke up to the
tropopause (11 km) in a matter of about 2 weeks. The net effect would be a decrease in aerosol scavenging by precipitation.
In general, an increase of the static stability over both land and ocean will slow down the heat and humidity exchange between underlying surface and atmosphere, thus decreasing the rate of replenishment of atmospheric water vapour. The mere increase of the atmospheric temperature will, other things being equal, decrease the relative humidity of the atmosphere, making condensation more difficult. In the extreme case when the temperature rises right from the surface, condensation will be impossible (since the relative humidity cannot exceed 100%). It is known (Rodgers, 1976) that in normal conditions, the marine atmosphere is less polluted with aerosols than the atmosphere over land, so the droplets in oceanic rains are larger than in continental rains. In the smoke-filled atmosphere, one may expect smaller droplets everywhere, which would also hamper the scavenging. In general, there are several reasons to expect that in an atmosphere heavily loaded with absorbing aerosol, the whole hydrological cycle may be strongly attenuated.
This most qualitative discussion indicates several potential positive feedback mechanisms in an aerosol-loaded atmosphere. Of course, much detailed work is needed on many microphysical and mesoscale processes, in order to elucidate quantitatively many microphysical and mesoscale processes, such as patchiness of smoke clouds and circulation over oceanic coastal regions.
Acknowledgement
The authors wish to thank Academician A. M. Oboukhov for discussions of many points raised here.
References
Alexandrov, V. V. and Stenchikov, G. L. (1984). On a numerical experiment modelling climatic consequences of nuclear war. J. Comput. Math, and Mathem.Phys. 14, 140-144 (in Russian).
Bolle, H. J. (1982) Radiation and energy transport in the Earthatmosphere system. In Handbook of environmental chemistry, vol. 1 (ed. O. Hutzinger). Springer-Verlag, Berlin, 131-303.
Boubnov, В. M. and Golitsyn, G. S. (1985). Theoretical and laboratory modelling of the influence of the static stability on the atmospheric general circulation regime. Proc. USSR Acad. Sci. (Doklady), 281, 1076-1079.
Chylek, P., Ramaswamy, V., Cheng, R. and Pinnick, R. (1981). Optical properties and mass concentrations of carbonaceous smokes. Appl. Opt. 20, 2980-2984.
Covey, C, Schneider, S. H. and Thompson, S. L. (1984). Modelling the climatic effect of nuclear war. Nature 308, 21-25.
Crutzen, P. J. and Birks, J. W. (1982). The atmosphere after a nuclear war: twilight at noon. Ambio 11, 115-125.
Crutzen, P. J., Galbally, I. E. and Briihl, C. (1984). Atmospheric effects from post-nuclear fires. Clim. Change 6, 323-364.
Feigelson, E. M. (ed.) (1984). Radiation in cloudy atmosphere. Springer Verlag, Berlin.
Gierasch, P. (1974). Martian dust storms. Rev. Geophys. Space Phys. 12, 730-734.
Ginsburg, A. S. (1973). On radiative regime of surface and dusty atmosphere of Mars. Soviet Phys.-Doklady, 208, 295-298.
Ginsburg, A. S. (1980). Radiative damping of temperature waves in a finite non-gray atmosphere. Izvestia-Atmos. Oceanic Phys. 16, 3239.
Ginsburg, A. S. (1982). Climatological estimate of radiative cooling of the atmosphere. Meteorologia and Gidrologia, 10, 28-34.
Ginsburg, A. S. and Feigelson, E. M. (1971). Some peculiarities of the radiative heat exchange in atmospheres of terrestrial planets. Izvestia- Atmos. Ocean Phys. 7, No. 4, 377-384.
Ginsburg, A. S., Golitsyn, G. S. and Demchenko, P. F. (1984). Development of highly turbid convective boundary layer. Proceedings from international Cloud Conference. Tallin, USSR, August 1984 (in press).
Ginsburg, A. S. and Safray, A. S. (1977). Radiative fluxes and equilibrium temperature profile in the atmosphere of Venus. Izvestia-Atmos. Ocean Phys. 13, 936-942.
Golitsyn, G. S. (1964). On the mechanism of radiative heat conduction. Izvestia Ser. Geophys., no. 5, 782-786.
Golitsyn, G. S. (1983). Possible atmospheric consequences of a nuclear conflict. Vestnik Ac. Sci. USSR, no. 9, 57-60 (In Russian).
Goody, R. M. (1964). Atmospheric radiation. Oxford, Clarendon Press, 476 p.
Gryanik, V. M. (1982). Radiative relaxation of temperature perturbations in a finite inhomogeneous atmosphere. Izvestia-Atmos. Ocean. Phys. 18, 19-29.
Hide, R. (1977). Experiments with rotating fluids. Q. J. R. Meteorol- Soc.103, 1-29.
Holton, J. R. (1972). An introduction into dynamic meteorology. Academic Press, NY. 319 p.
Lorenz, E. N. (1962). A theory of flow regimes in a rotating differentially heated annulus. J. Atmos. Sci. 19, 39-57.
Manabe, S. and Wetherald, R. T. (1967). Thermal equilibrium of the atmosphere with a given distribution of relative humidity. J. Atmos. Sci. 24, 241-259
Manabe, S. and Wetherald, R. T. (1980). On the distribution of climate change resulting from an increase in CO? content of the atmosphere. J. Atmos. Sci. 37, 99-118.
Moroz, V. I. (1978). The physics of the planet Mars. Moscow, «Nau- ka», 454 p.
NAS, (1975). Understanding climatic change: a program for action. The report of US Committee of GARP. National Academy of Sciences, Washington, DC, 317 p.
NAS (1982). Carbon dioxide and climate: a second assessment. National Academy of Sciences, Washington DC, 72 p.
Oboukhov, A. M. and Golitsyn, G. S. (1983). Atmospheric consequences of a nuclear conflict. Zemlya i Vselennaya (Earth and Universe) no. 5, 4-7 (in Russian).
Oort, A. M. and Rasmusson, E. M. (1971). Atmospheric circulation statistics. NOAA Prof. Paper 5, 323 p.
Pollack, J. B. (1979). Climatic change on the terrestrial planets. Icarus 37, 479-553.
Pollack, J. B., Colburn, D. C, Flasar, F. M., Kahn, R., Carlston, С. E. and Pidek, D. (1979). Properties and effects of dust particles suspended in the Martian atmosphere. J. Geophys. Res. 84, 2929-2946.
Pollack, J. B., Toon, О. B., Ackerman, T. R., McKay, С. P. and Turco, R. P. (1983). Environmental effects of an impact-generated dust cloud: implications for the Cretaceous-Tertiary extinctions. Science 219, 287-289.
Rodgers, R. R. (1976). A short course in cloud physics. N. Y., Pergamon Press.
Ryan, J. A. and Henry, R. M. (1979). Mars atmospheric phenomena during major dust storms as measured at the surface. J. Geophys. Res. 84, 2821-2829.
Sagan, C. and Pollack, T. B. (1967). Anisotropic nonconservative scattering and the clouds of Venus. J. Geophys. Res. 72, 469-478.
Tarasova, T. A. and Feigelson, E. M. (1981). On the role of aerosol in the radiative heat exchange. Izvestia-Atmos. Oceanic Phys. 17, 1826.
Turco, R. P., Toon, О. B., Ackerman, T. P., Pollack, J. B. and Sagan, C. (1983). Nuclear winter: global consequences of multiple nuclear explosions. Science 222, 1282-1292.
Zurek, R. W. (1982). Martian great dust storms: an update. Icarus 50, 288-310.
Наблюдения малых примесей в атмосференад территорией России с использованиемжелезнодорожного вагона-лаборатории 9
В последние десятилетия химия атмосферы становится одним из главных разделов исследований по изменениям климата и биогеохимических циклов на нашей планете. Ключевыми примесями в сложной системе фотохимических взаимодействий являются озон, окислы азота, метан. Особое внимание уделяется озону, что обусловлено многочисленными последствиями уменьшения его содержания в стратосфере и увеличения в тропосфере. Важно знать источники и стоки озона, особенности распределения и переноса, химическую трансформацию, для чего в первую очередь необходимы одновременные измерения названных газов. В России таких измерений до сих пор не было, кроме единичных измерений в отдельных пунктах.
В этой связи в 1995 г. Институт физики атмосферы РАН и Институт химии Макса Планка (Max-Planck-Institut fur Chemie, Германия) начали серию экспериментов по наблюдению распределения в атмосфере над континентом Евразии климатически наиболее важных атмосферных примесей с использованием вагона-лаборатории. Первая экспедиция проведена с 16 ноября по 2 декабря 1995 г. с участием ВНИИ железнодорожного транспорта МПС. В приземном воздухе измерялись: концентрации озона (Оз), окислов азота (NO, NO? и их сумма NOX, метана (СН4), сажевого аэрозоля; солнечная радиация и метеорологические параметры вдоль Транссибирской магистрали по маршруту Нижний Новгород-Хабаровск-Нижний Новгород. Насколько известно, это первая попытка получить распределение ключевых примесей в атмосфере в масштабе континента, в частности, над территорией Сибири, увлажненные равнины и болота которой являются настолько сильным источником метана, что оказывают существенное влияние на баланс углеводородов в атмосфере в глобальном масштабе [3, 4]. Метан является вторым по значимости после СО? парниковым газом. Его фотохимический сток (как и сток других углеводородов) определяется взаимодействием с радикалами НОХ, в образовании которых главную роль играют О3 и NOX. В свою очередь, и О3 и NOX также являются парниковыми газами [5]. В систему климатформирующих примесей входит и сажевый аэрозоль [6].
Основная задача эксперимента состояла в оценке возможности наблюдения малых примесей в атмосфере с движущегося вагона-лаборатории и в получении трансконтинентальных профилей распределения их концентраций над территорией России. В настоящей работе при-
1) См. ДАН, т. 350, №6, 1996. В соавторстве с П. Й. Крутценом, Н. Ф. Еланским, К. А. М. Бреннинкмейером, И. Б. Беликовым, А. С. Елоховым.
водятся предварительные результаты наблюдений и анализа данных, которые иллюстрируются несколькими примерами.
Вагон-лаборатория основную часть пути прошел в составе скорого поезда № 184/185 Москва-Хабаровск. В вагоне были установлены приборы для измерения содержания примесей в приземном воздухе, автоматизированная метеостанция, датчик пройденного пути, а также аппаратура для взятия проб воздуха. Все измерительные приборы были соединены с центральным компьютером, на котором регистрировались данные наблюдений.
Для измерений концентрации озона использовались два прибора — Dasibi-1008RS и Dasibi-1008AH. Оба прибора обладают схожими характеристиками: предел измерений 0-1000 ppbv, ошибка измерения ±1 ppbv, время одного измерения 10 с. Первый прибор имеет встроенный генератор озона, который используется для калибровки газоанализаторов. В июне 1995 г. этот прибор прошел все необходимые испытания в фирме-изготовителе. По нему калибровался второй прибор.
Концентрация NO и NO? (и NOX) регистрировались газоанализатором АС-30М. Его основные характеристики: диапазон измерений 01000 ppbv, ошибка измерения ±1 ppbu, частота измерений 10 с. Прибор регулярно калибровался с помощью эталонного источника NO2, который предоставила фирма-изготовитель.
Концентрация сажевого аэрозоля измерялась с помощью разработанного и изготовленного в ИФА аэталометра. Прибор автоматически определяет ослабление излучения сажевым аэрозолем, осаждаемым на бумажном фильтре, через который прокачивается анализируемый воздух. Поскольку излучение регистрируется в полосе поглощения углерода, то прибор имеет высокую избирательную способность. Подробно аэталометр описан в [7].
Метеостанция производства МИНТЦ «Скан» включала датчики температуры, давления, влажности и потока суммарной солнечной радиации. Она прошла все необходимые метрологические испытания.
Пробы воздуха объемом 5 л закачивались в специальные канистры. В дальнейшем воздух анализировался газохроматографическим методом в Институте химии Макса Планка.
Забор воздуха для подачи в измерительные приборы проводился через тефлоновые трубки длиной 3-4 м, выведенные наружу через боковые стенки вагона. Заборники воздуха были установлены на высоте 3,0 м над полотном дороги. Все газоанализаторы автоматически вводят поправки на изменения температуры и давления. Однако резкие падения температуры воздуха вплоть до —27° С выходили за контролируемые пределы. Поэтому холодный воздух подогревался до положительных температур, что делало устойчивым работу приборов на протяжении всего маршрута. Об этом, в частности, говорит практически полное совпадение показаний обоих озонометров.
Измерения всех параметров проводились непрерывно вдоль всего маршрута. Учитывая время релаксации приборов, равное примерно 50 с (на уровне 90%), были сформированы два ряда данных: осредненные по времени с шагом 1 мин. и осредненные по пройденному расстоянию с шагом 1 км. Эти ряды позволяют решать разнообразные задачи от оценки крупномасштабных континентальных особенностей распределения примесей до влияния на озон и окислы азота отдельных объектов. В настоящей работе мы рассмотрим лишь наиболее характерные особенности полученных распределений.
На рис. 4.4.1 приведены осредненные по 50 км значения концентрации Оз, NO, NO2, а также интегральный поток солнечной радиации и температура воздуха, измеренные на пути в Хабаровск и обратно. Как видно из приведенных графиков, распределение примесей над континентальной территорией России является существенно неоднородным, что резко отличается от распределения над мировым океаном [5, 8]. Максимальные регистрировавшиеся значения концентрации О3 составляли 30-35 ppbv, минимальные находились на уровне чувствительности прибора 0-1 ppbv (осреднение — 1 мин).
Аналогичные вариации испытывали окислы азота. Их основным источником являются железнодорожный транспорт, ТЭЦ и промышленные предприятия [9]. Около 90% их выброшенного количества приходится на долю NO, a NO? образуется при взаимодействии NO с О3. В условиях низкой освещенности, когда процессы генерации озона идут очень слабо, в загрязненном воздухе индустриальных районов наблюдались повышенные концентрации NO (до 120-130 ppbv в городах Новосибирске и Иркутске), NO2 (до 25 ppbv — там же) и пониженные концентрации О3. Практически все более или менее крупные города проявились на профилях в виде подобных, хотя и несколько меньших вариаций. Это влияние ярко выражено на представленных фрагментах исходных рядов данных с пространственным разрешением 1 км.
На рис. 4.4.2 показан профиль содержания примесей в районе городов Новосибирска и Красноярска вечером 19.11 и ночью 20.11.1995 г. Направление движения совпало с направлением ветра, скорость которого составляла 〜5 м/с. В наветренной зоне Новосибирска концентрации примесей соответствовали фоновым условиям О3 〜20 ppbv, NO 〜0-1 ppbv, NO2 〜2-4 ppbv. Город дал резкий всплеск содержания NO (до 130 ppbv\ Соответственно упало практически до нуля содержание О3 и выросло примерно на ту же величину содержание NO2. В целом распределение примесей в пределах г. Новосибирска совпадает с их поведением в г. Москве в схожих метеорологических условиях [10]. Далее в пределах шлейфа г. Новосибирска концентрация NO находилась на низком (0-2 ppbv) уровне, за исключением скачков при проезде небольших городов, а концентрация NO2 медленно снижалась (соответственно концентрация О3 повышалась) на расстоянии около 600 км. Эта ситуация говорит о наличии фотохимического равновесия между О3, NO и NO2 в загрязненном воздухе при низкой освещенное-
о о о о3 2 1>qddONо о о о3 2 1>qddON0000 3 2 1>qdd Ло0000 3 2 1>qdd ЛоООО 2 1>qdd &0NООО 2 1>qdd &0NHodoJpqOH «smssxHodoJpqOH «smssxмо^омо^омоакюкооиокмоакюкооиокModlfoHocedNModlfoHocedNceHsh мономанceHsh мономанЖшоа090хЖшоа090х3000000030000000о10 о。2о10 о。23121П7&』®н3121П7&』®нжжАА002000200040000400006000600080000800
о о о о
3 2 1
>qddON
о о о о
3 2 1
>qddON
0000 3 2 1
>qdd Ло
0000 3 2 1
>qdd Ло
ООО 2 1
>qdd &0N
ООО 2 1
>qdd &0N
HodoJpqOH «smssx
HodoJpqOH «smssx
мо^о
мо^о
моакюкооиок
моакюкооиок
ModlfoHocedN
ModlfoHocedN
ceHsh мономан
ceHsh мономан
Жшоа090х
Жшоа090х
30000000
30000000
о10 о。2
о10 о。2
3121П
7&』®н
3121П
7&』®н
ж
ж
А
А
00
20
00
20
00
400
00
400
00
60
00
60
00
800
00
800
Рис. 4.4.1. Осредненные по 50 км пути значения концентрации Оз, NO, NO2, температуры и интегральной солнечной радиации вдоль Транссибирской железнодорожной магистрали на маршруте Нижний Новгород-Хабаровск 16-24.11.1995 г. (сплошные линии) и Хабаровск-Нижний Новгород 25.11.— 2.12.1995 г. (пунктирные линии). Расстояние в километрах дано от Москвы
ти, как и в Москве [10], а ее наблюдения демонстрируют уникальные возможности использования вагона-лаборатории для этих целей.
Существенное влияние на распределение примесей оказывают метеорологические процессы. На рис. 4.4.1 с ними прежде всего связана
мо&юкоойокмо&юкоойокM0KS^< 5ноёи MOKSS&S йг-кйнОЕЙМЮК §яно§иM0KS^< 5ноёи MOKSS&S йг-кйнОЕЙМЮК §яно§иd* мо&ояол&^d* мо&ояол&^3000320034003600380040004200 км3000320034003600380040004200 кмРис. 4.4.2. Осредненные по 1 км пути значения концентрации Оз, NO, NO? на участке пути от Новосибирска до Красноярска 20-21.11.1995 г.Рис. 4.4.2. Осредненные по 1 км пути значения концентрации Оз, NO, NO? на участке пути от Новосибирска до Красноярска 20-21.11.1995 г.
мо&юкоойок
мо&юкоойок
M0KS^< 5ноёи MOKSS&S йг-кйн
ОЕЙМЮК §яно§и
M0KS^< 5ноёи MOKSS&S йг-кйн
ОЕЙМЮК §яно§и
d* мо&ояол&^
d* мо&ояол&^
3000320034003600380040004200 км
3000320034003600380040004200 км
Рис. 4.4.2. Осредненные по 1 км пути значения концентрации Оз, NO, NO? на участке пути от Новосибирска до Красноярска 20-21.11.1995 г.
Рис. 4.4.2. Осредненные по 1 км пути значения концентрации Оз, NO, NO? на участке пути от Новосибирска до Красноярска 20-21.11.1995 г.
область низких значений Оз и высоких NOX в районе Киров-Екате- ринбург. При движении в обоих направлениях здесь находилась теплая зона циклона со слабым ветром, высокой влажностью (туман, дождь), что способствовало накоплению загрязнений и разрушению озона.
Наличием мощных приземных инверсий в холодном антициклони- ческом воздухе, сопровождающихся накоплением загрязнений в приземном слое и интенсивным разрушением озона, объясняется наличие глубоких провалов в профилях содержания озона в Забайкалье 2728.11.1995 г. в районе небольших городов. В отсутствие инверсий 2223.11.1995 г. снижение озона в этих местах проявилось очень слабо.
Пробы воздуха на содержание метана и других газов брались на обратном маршруте вне пределов городов. Всего отобрано 39 проб. Содержание СН4 в них показано на рис. 4.4.3. В целом оно довольно велико — от 1,75 до 2,28 ppmv. Выполненный траекторный анализ
Рис. 4.4.3. Концентрация СН4 в пробах воздуха, взятых на маршруте Хабаровск-Нижний НовгородРис. 4.4.3. Концентрация СН4 в пробах воздуха, взятых на маршруте Хабаровск-Нижний Новгородпоказал, что все резкие увеличения концентрации связаны исключительно с попаданием места забора воздуха в пределы шлейфа больших городов (расстояние до этих городов составляло от 40 до 180 км). Крупные промышленные объекты и регионы не оказывали заметного
Рис. 4.4.3. Концентрация СН4 в пробах воздуха, взятых на маршруте Хабаровск-Нижний Новгород
Рис. 4.4.3. Концентрация СН4 в пробах воздуха, взятых на маршруте Хабаровск-Нижний Новгород
влияния на содержание СН4. Это дает возможность предположить, что источником СН4 могут являться утечки газа из городских газораспределительных систем, места сбрасывания бытового мусора и очистные сооружения. В целом содержание СН4 в Западной Сибири выше, чем в Забайкалье.
При анализе полученных данных неизбежно возникает вопрос о том, насколько сильное влияние
оказывает сам поезд и железная дорога на результаты наблюдений. Чтобы на него ответить, была выполнена серия специальных экспериментов. Не вдаваясь в детали, приведем основные выводы. Поезд практически не меняет фоновую концентрацию СН4. Концентрация О3, измеренная в хвосте состава, либо почти не испытывает влияния поезда, если в нем действует система электротеплообеспечения, либо падает на 1-2 ppbv в зависимости от метеорологических условий при угольном отоплении. Зная концентрацию NO, несложно ввести малые поправки к измеренным значениям О3. В свою очередь, измеряемая концентрация NO напрямую связана с ее выбросом, когда действует угольное отопление. В самых худших условиях (все вагоны поезда отапливаются углем, наблюдения ведутся в хвосте состава, безветренная погода, невысокая скорость движения — 20-30 км/ч) концентрация NO составляла от 3 до 5 ppbv. При относительно малом выбросе NO2 из системы отопления величина ее концентрации определяется быстрым окислением NO озоном и достигает значения 1-3 ppbv по измерениям в конце состава. В то же время в условиях электрического отопления при боковом ветре концентрации NO и NO? были ниже уровня чувствительности прибора 〜1 ppbv, даже когда вагон-лаборатория замыкал состав. Результатом этих исследований явился вывод, что наблюдения многих примесей могут достаточно надежно проводиться с помощью вагона-лаборатории. И практически нет препятствий для измерения фоновых концентраций атмосферных составляющих в случае, если вагон располагается сразу
после электровоза, и забор воздуха производится из невозмущенного воздушного потока.
Влияние железной дороги на результаты измерений в целом сильно зависит от метеорологических факторов. В зоне интенсивного движения в безветренных инверсионных условиях она, как обычный промышленный объект, конечно, оказывает влияние на Оз и NOX. Но даже в этих особо неблагоприятных условиях возможно выделить особенности пространственного распределения, связанные с влиянием других факторов.
Полученные данные показывают надежность измерений малых примесей с поезда, что открывает широкие возможности дальнейших исследований в области химии атмосферы. Проведенные наблюдения впервые позволили проследить распределение над обширным континентом Евразии тропосферного озона, окислов азота и метана. Полученные данные будут в дальнейшем подробно проанализированы. Очевидно, они позволят уточнить сведения об источниках, стоках и фотохимических взаимодействиях этих газов. Мы надеемся в будущем сделать такие наблюдения систематическими, существенно расширив число измеряемых примесей и других атмосферных параметров.
Авторы искренне признательны А. М. Грисенко и В. В. Севостьянову за проявленный энтузиазм и большую помощь в проведении экспериментов. Авторы благодарят И. Н. Кузнецову за проведенный синоптический анализ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Р. J. Crutzen, Р. Н. Zimmerman, Tellus, v. 43АВ (1991).
J. Miller, A. Soudine, J. Lincoln, The WMO Global Atmospheric Watch System. Conf, on Atmospheric Chemistry, January 23-28, 1994. Nashville, Tennessee: Amer. Meteorol. Soc. (1994).
Воздействие глобальных изменений на биосферу. М., (1995).
N. Roulet, Т. Moore, J. Bubier, Р. Lafleur, Tellus, v. 44В (1992).
Р. J. Crutzen, Pure Apll. Geophys, № 106-108, (1973).
Climate System Modeling. К. E. Trenberth. Ed. Cambridge University Press, (1992).
С. M. Пирогов, А. А. Корнеев, Изв. РАН. ФАО, т. 29, №5 (1993).
Н. Ф. Еланский, Т. А. Маркова, Изв. РАН. ФАО, т. 31. № 1 (1995).
World Meteorological Organization: Scientific Assessment of Ozone Depletion: 1994. WMO Global Ozone Research and Monitoring Project. Rep. №37. Geneva, (1995).
H. Ф. Еланский, О. M. Смирнова, Изв. РАН. ФАО, т. 33 (1997).
§ 5. Анализ и моделирование измененийгидрологического режима в бассейне Каспийскогоморя 1)
Причины изменений уровня Каспийского моря (УКМ) интенсивно исследуются в течение последних десятилетий [1]. Стимулом для активизации научных исследований послужило резкое падение уровня моря на 1,7 м в период с 1933 по 1940 гг. с дальнейшим понижением к концу 70-х еще на 1,3 м со значительными социально-экономическими последствиями. Медленное понижение УКМ связывалось с возрастающим безвозвратным водопотреблением в бассейне Каспийского моря, влияние которого на сток рек оценивалось как преобладающее по сравнению с влиянием климатических факторов. В связи с этим считалось неизбежным дальнейшее понижение уровня. Неожиданно начавшийся в 1978 г. быстрый рост УКМ вызвал еще более катастрофические последствия, связанные с освоением прибрежных территорий, освободившихся в результате предшествующего понижения. Продолжавшийся до середины 1995 г. подъем УКМ составил 2,5 м. Согласно спутниковым измерениям программы TOPEX-POSEIDON [2], начиная с июля 1995 г. среднегодовой УКМ начал понижаться и к началу 1997 г. упал относительно своего максимального значения на 40 см. В течение 1997 г. и до августа 1998 г. (последние данные) уровень практически не менялся.
Приращения УКМ определяются в основном разностью двух больших величин: речного стока и видимого испарения (разность осад- ки-испарение) с поверхности моря. Об определяющей роли речного стока для межгодовых вариаций УКМ свидетельствует высокий коэффициент корреляции между этими величинами, составляющий 0,82 за период 1900-1992 гг. Корреляция между видимым испарением и УКМ за тот же период также статистически значима и равна —0,46. Необходимо отметить антропогенное влияние на речной сток, как на его среднегодовое значение, так и на годовой ход. В частности, с конца 40-х по середину 60-х годов происходило наполнение водохранилищ в бассейне Волги общим объемом около 200 км3. В данной работе используются многолетние данные для стока Волги [3] и осадков над водосбором Волги [4] со среднемесячным разрешением, полученные по данным наблюдений. Сток Волги составляет 82% от общего речного стока, и коэффициент корреляции между среднегодовыми рядами этих величин составляет 0,96 (1900-1992 гг.).
Перспективным методом исследования причин вариаций УКМ является анализ результатов численных экспериментов с моделями общей циркуляции атмосферы и океана. Первые исследования такого рода
1) См. ДАН, т. 366, № 2, 1999. В соавторстве с К. Арне, Л. Бенгтссоном, И. И. Моховым, В. А. Семеновым, П. В. Спорышевым.
были проведены в 1994 г. в рамках специального подпроекта «Каспийский климат» крупнейшей международной программы сравнения атмосферных моделей (AMIP) [5]. В численных экспериментах AMIP с использованием моделей общей циркуляции атмосферы (МОЦА) как граничные условия задавались среднемесячные значения температуры поверхности океана (ТПО) и положение границы морского льда для периода 1979-1988 гг. Большинство МОЦА достаточно высокого пространственного разрешения в той или иной степени воспроизвели особенности годового хода и межгодовой изменчивости наблюденных осадков над водосбором Волги и Урала, а также воспроизвели рост УКМ в период, для которого производились расчеты, совпадавший с периодом наблюдавшегося подъема УКМ [5, 6].
В настоящем сообщении используются результаты более длительных численных экспериментов с МОЦА ЕСНАМ4 [7] Метеорологического института им. Макса Планка (Германия), одной из наиболее успешных в воспроизведении характеристик климата Каспийского региона по результатам AMIP. Во всех использованных расчетах как граничные условия для атмосферной модели задавались среднемесячные значения ТПО и границы морского льда [8], а также изменения содержания парниковых газов в атмосфере. Два эксперимента были проведены для периода 1903-1994 гг. и два для 1951-1994 гг. Пространственное разрешение модели — приблизительно 2,8° по широте и долготе. Каспийское море занимает в модельной сетке 6 ячеек, а на водосбор Волги приходится 31 ячейка.
Также были использованы результаты численного эксперимента с совместной моделью общей циркуляции атмосферы и океана ECHAM4/OPYС [7, 9] для периода 1860-2100 гг. В этом эксперименте концентрация парниковых газов в атмосфере для подпериода 1860-1990 гг. задавалась по данным наблюдений, а для подпериода 1991-2100 — в соответствии со сценарием IS92a [10], описывающим увеличение концентрации парниковых газов с учетом прогнозируемого прироста населения и развития индустрии без принятия мер для уменьшения эмиссии парниковых газов. При данном сценарии концентрация парниковых газов увеличивается с примерно 350 ррт в 1990 г. до 700 ррт (в эквиваленте СО2) в 2100 г.
На рис. 4.5.1, а представлена карта кросс-корреляций между среднегодовыми значениями (осредненными за календарный год) ТПО и приращениями (эмпирическими) УКМ за следующий год. Длина коррелируемых рядов составляла 92 года (1903-1994 гг.). Область сильных положительных корреляций находится в тропическом Тихом океане к востоку от линии смены дат, расширяясь на север и юг вдоль побережья Америки. Наиболее сильные корреляции, превышающие 0,5, расположены в центральном тропическом Тихом океане в районе линии смены дат, а также в области (120W-140W, 10S-10N). Выявлены также области значимых корреляций в Индийском океане и северном Тихом океане, а также область слабых отрицательных корреляций в
Рис. 4.5.1. Карта кросс-корреляций: а — между среднегодовыми значениями ТПО (осредненными за календарный год) и приращениями среднегодовых значений УКМ в следующем году для периода 1903-1994 гг.; 6 — между среднегодовыми значениями ТПО (осредненными с мая по апрель) и модельным стоком Волги (средним для двух экспериментов, 1903-1994 гг.); в — то же для четырех модельных экспериментов (1951-1994 гг.)
Северной Атлантике. Аналогично рис. 4.5.1, а выглядит и карта кросскорреляций между ТПО и стоком Волги по эмпирическим данным. Область наиболее сильных отрицательных (достигающих —0,4) корреляций ТПО с видимым испарением (испарение-осадки) с поверхности Каспийского моря также расположена в тропическом Тихом океане и напоминает по форме область значимых положительных корреляций ТПО с приращениями УКМ и стоком Волги; районы с относительно высокими положительными корреляциями расположены, кроме того, в Северной и Центральной Атлантике. Противоположность знаков корреляций стока и видимого испарения с ТПО в тропическом Тихом океане согласуется с результатами [11], отмечающими высокую отрицательную коррелированность этих величин в годы резких изменений УКМ.
Соответствующие карты кросс-корреляций были построены для среднегодовых значений разности осадки-испарение (сток), осреднен- ной над водосбором Волги, которые получены в численных экспериментах с МОЦА. Для всех четырех экспериментов область наибо-
лее сильных корреляций аналогична приведенной на рис. 4.5.1, а. На рис. 4.5.1,6 и 4.5.1, в представлены корреляционные карты для модельного стока Волги, осредненного для двух длинных экспериментов (1903-1994 гг.) и для всех четырех экспериментов (1951-1994 гг.). Полученные результаты свидетельствуют об определяющей роли тропического Тихого океана для межгодовой изменчивости модельного стока, связанной с изменениями глобального поля ТПО. Подобие регионов сильнейших корреляций на рис. 4.5.1 свидетельствует об успешном и устойчивом воспроизведении моделью межгодовых вариаций стока Волги.
Модель показала способность воспроизводить и междекадные изменения регионального гидрологического цикла. На рис. 4.5.2 приве
наблюдениянаблюдениямодельмодельСток, км3/год 350 300 250 200
наблюдения
наблюдения
модель
модель
1900 1920 1940 1960 1980 г
Рис. 4.5.2. Сток Волги по данным наблюдений и по результатам численного эксперимента с МОЦА ЕСНАМ4 (трехлетнее скользящее сглаживание)
дены результаты одного из долгопериодных численных экспериментов в сопоставлении с данными наблюдений для стока Волги в XX веке. Несоответствие модельного стока наблюдениям в 50-х годах может быть связано с заполнением водохранилищ в бассейне Волги в это время. В то же время в другом долгопериодном эксперименте с иными начальными условиями получено более слабое соответствие междекадных вариаций модельного стока наблюдениям, хотя среднее значение стока осталось примерно таким же.
Межгодовая изменчивость в экваториальном Тихом океане связана с явлением Эль-Ниньо — доминирующей модой в глобальной климатической изменчивости на временном масштабе 2-7 лет. Во время развития «типичного» явления Эль-Ниньо, характеризуемого определенным годовым ходом, аномалии (положительные) ТПО образуются вдоль побережья Перу весной и достигают максимума (по амплитуде и площади) в центральном экваториальном Тихом океане зимой СП. Анализ сезонной зависимости выявленных корреляционных связей показал, что наиболее существенные межгодовые изменения, связанные с Эль-Ниньо, характерны для летних и осенних осадков над водосбором Волги (по данным наблюдений). В модели эти изменения происходят на 2-4 месяца раньше, и это отличие, вероятно, обусловлено различиями годового хода. При этом также обнаружено существенное влияние осадков в конце лета и осенью на величину стока Волги и мае-
июне (максимума в годовом ходе стока, определяющего меж годовую изменчивость стока Волги в целом) следующего года.
Изменения осадков над водосбором Волги и Урала связаны с соответствующими изменениями циклонической активности [12]. В частности, для периода роста УКМ отмечается значимое увеличение циклоно- дней летом (при незначительных изменениях для остальных сезонов). Статистически значимая тенденция увеличения циклонической активности (для летнего и осеннего сезонов) также отмечалась [13] для периода увеличения приповерхностной температуры в 1980-1988 гг. для СП.
Эти изменения могут быть, в частности, связаны со смещением путей северо-атлантических и средиземноморских циклонов при изменениях характеристик крупномасштабной атмосферной циркуляции в СП. Подобное смещение может быть обусловлено интенсификацией зонального потока в СП, вызванного ростом перепада температур экватор-полюс, связанного с Эль-Ниньо [13].
Анализ долгопериодных вариаций стока Волги в XX веке (рис. 4.5.2) показал, что эти вариации в целом согласуются с долгопериодными изменениями для частоты и интенсивности Эль- Ниньо. Исследование таких изменений [14] выявило ряд характерных периодов в динамике Эль-Ниньо в XX веке. Отмечаются периоды со слабой активностью в 30-х, 60-х годах и периоды с увеличением интенсивности Эль-Ниньо в 1940-1957 гг. и 1970-1992 гг. Эти изменения в целом соответствуют долгопериодным вариациям стока Волги с учетом антропогенных воздействий. Так, значительное уменьшение стока Волги в 30-х годах, послужившее причиной падения УКМ, произошло в период самого продолжительного в XX веке (1933-1938 гг.) отсутствия положительных аномалий ТПО, связанных с Эль-Ниньо, сопровождавшийся пятью отрицательными аномалиями (Ла-Нинья) [15]. В то же время рост УКМ в конце 70-х годов и соответствующее увеличение речного стока совпадают с увеличением интенсивности Эль-Ниньо, а также значительным повышением ТПО в тропической части Тихого океана. Некоторое несоответствие долгопериодных вариаций речного стока и интенсивности Эль-Ниньо в 50-х годах может быть связано с вышеупомянутым антропогенным влиянием.
Успешное воспроизведение моделью ЕСНАМ4 изменений гидрологического режима в бассейне Каспийского моря в XX веке позволяет использовать результаты модельных расчетов для оценки возможных сценариев изменений УКМ в будущем. На рис. 4.5.3, а и 4.5.3, 6 представлены соответственно среднегодовые значения осадков над водосбором Волги и стока Волги по данным численного эксперимента с моделью ECHAM4/OPYC для периода 1861-2000 гг. Выявлен средний рост осадков и стока с заметным их падением, особенно для стока Волги, в первой трети будущего столетия до низких уровней, наблюдавшихся в
Рис. 4.5.3. Результаты расчетов с климатической моделью при увеличении содержания парниковых газов в атмосфере для периода 1861-2100 гг. в сравнении с данными наблюдений (30-летнее скользящее сглаживание): а — годовые осадки над водосбором Волги; 6 — годовой сток Волги
отдельные периоды XX столетия. При этом существенно увеличивается диапазон вариаций характеристик гидрологического цикла.
Авторы благодарят за техническую поддержку Германский (DKRZ) и Швейцарский климатические вычислительные центры. Вычислительные ресурсы также были предоставлены в рамках специального проекта Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды (ECMWF). Работа была выполнена при поддержке Германского министерства по образованию, науке, исследованиям и технологии (BMBF), грант 07VK01/1, и Европейского Сообщества, проект № EV5V-CT97-0640. Российские соавторы также были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-05-64551).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, Изв. РАН. ФАО, т. 31, №3 (1995).
A. Cazenave, К. Bonnefond, К. Dominh, Р. Schaeffer, Geoph. Res. Lett., v. 24 (1997).
В. Ф. Полонский, О. В. Горелиц, Метеорология и гидрология, №4. (1997).
А. V. Mescherskaya, V. G. Blazhevich, J. Climate, v. 10 (1997).
G. S. Golitsyn, V. P. Meleshko, A. V. Mescherskaya et al., Proc. I Intern. AMIP Sci. Conf. 1995. WMO/TD. №732. Geneva.
В. П. Мелешко, Г. С. Голицын, В. Я. Галин и др., Изв. РАН. ФАО, Т. 34. №4 (1998).
Е. Roeckner, К. Агре, L. Bengtsson et al., rep. №218, Max-Planck- Institute for Meteorology. Hamburg, (1996).
N. A. Rayner, E. B. Horton, D. E. Parker et al., Climate Research Technical Note CRTN74. Bracknell, UK, (1996).
J. M. Oberhuber, rep. №7. Max-Planck-Institute for Meteorology. Hamburg, (1993).
Climate Change: The Supplementary Rep. to the IPCC Scientific Assessment. Intergovernmental Panel on Climate Change, J. T. Houghton, B. A. Callander, S. K. Varney. Eds. Cambridge: Cambridge Univ. Press, (1992).
Г. С. Голицын, Г. H. Панин, Метеорология и гидрология, №1 (1989).
1.1. Mokhov, V. A. Semenov, In: Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modelling. WMO/TD, №792. Geneva, (1997).
1.1. Mokhov, V. K. Petukhov, A. O. Senatorsky, Publ. Acad. Finl., v. 6/95, (1995).
B. Wang, Y. Wang, J. Climate, v. 9 (1996).
R. P. Kane, Mon. Weat. Rev., v. 125 (1997).
Сезонные вариации многолетнего трендатемпературы в области мезопаузы 9
Введение
Исследования температурного режима средней атмосферы, выполненные на базе данных многолетних (1955-1996 гг.) отечественных измерений температуры ракетными и спектрофотометрическими методами, показали, что практически на всех ее высотных уровнях в течение указанного периода происходит понижение среднегодовых значений температуры со скоростями — (0,1-0.2) К/год на высотах стратосферы и — (0,6-1.0) К/год в области мезосферы и мезопаузы [1-4]. Эти выводы согласуются с результатами, полученными с помощью лидарных и радиофизических измерений [5, 6]. Выявленные тенденции многолетних изменений температуры должны существенно повлиять на модельные представления о поведении среднегодовых высотных распределений температуры в течение периода в несколько десятилетий [7]. Кроме того, необходимо знание влияния многолетнего температурного тренда на сезонные поведения температуры на различ-
1) См. Геомагнетизм и аэрономия, т. 40, № 2, 2000. В соавторстве с А. И. Семеновым и Н. Н. Шефовым.
ных высотах средней атмосферы. К настоящему времени на основе данных ракетных измерений уже сделаны такие оценки для высот 3075 км [8, 9]. В данной работе представлены результаты исследования сезонного поведения многолетних изменений температуры в области мезопаузы (87 км) по данным измерений характеристик гидроксильной эмиссии.
Температурные тренды для различных сезонов года
Накопленный материал о температуре мезопаузы по наблюдениям эмиссии гидроксила на станциях Звенигород (55,7° N) и Абастумани (41,8° N) [10], а также опубликованные аналогичные данные, полученные на других среднеширотных станциях — Вупперталь (51° N) [11] и Майнут (53,2° N) [12], позволили получить представление о средних многолетних вариациях температуры этой области атмосферы для различных сезонов года. Для получения сезонных зависимостей многолетних трендов температуры на высотах мезопаузы все значения температуры были разделены на две группы — зимние (декабрь-январь) и летние (июнь-июль). Необходимо при этом учесть, что вращательная температура на станции Звенигород измерялась по колебательно-вращательной полосе (5.2) излучения ОН, в то время как на всех других рассматриваемых станциях для ее определения использовались другие полосы гидроксильного излучения. В то же время известно, что существует некоторое различие (несколько К) вращательных температур для полос с разным исходным номером возбужденного колебательного уровня излучающей молекулы ОН. По этой причине все используемые значения температур предварительно были редуцированы к пятому колебательному уровню [13]. В работах [1-3] уже были опубликованы данные о многолетнем поведении среднегодовых значений температуры в области мезопаузы. Эти результаты были получены по измерению вращательной температуры гидроксильной эмиссии и приведены без исключения вариаций, обусловленных влиянием солнечной активности в течение 11-летнего цикла и 5,5-летних колебаний. Однако, для более четкого выявления сезонного поведения тренда температуры влияния этих многолетних вариаций необходимо было исключить. Поэтому все среднемесячные значения температуры (соответствующие зимним и летним периодам) для каждого рассматриваемого года были приведены к одному и тому же уровню солнечной активности 歹ю,7 = 130 и из них были исключены 5,5-летние вариации. Эти процедуры были выполнены на основе эмпирической модели вариаций гидроксильной эмиссии [13].
Полученные результаты показаны на рисунке 4.6.1. Из них следует, что для зимних условий многолетний тренд температуры 7з на высотах мезопаузы может быть аппроксимирован выражением
Т1 = (230 ± 5) — (0,92 士 0,08)(方-1972), К,
где t — номер года. Коэффициент корреляции г равен -0,937 ± 0,024, а коэффициент Стьюдента ts = 14.
Поведение среднегодового тренда температуры 耳，которое близко к равноденственным значениям, описывается соотношением
7； = (200 ± 4) — (0,64 士 0,05)(方-1972. 5), К,
с коэффициентом корреляции г = —0,886 ±0,031 ы ±s = 13.
Для летних условий наблюдается ситуация, отличающаяся от предыдущих сезонов. Температурный тренд отсутствует (0,02 ± 0,08), т. е. практически равен нулю. Таким образом, температура Тл за весь рассматриваемый период оказывается постоянной, при соблюдении одинаковости гелио-геофизических условий (歹Ю7 = 130), и равна 164 ± ±6 К.
Рис. 4.6.1. Многолетние изменения температуры мезопаузы по данным измерений на ряде среднеширотных станциях эмиссии гидроксила после приведения их к одному уровню солнечной активности Ro? = 130 и исключения 5,5-летних вариаций [13]: а — зимний период (декабрь-январь); 6 — средние за год; в — летний период (июнь-июль). Точки — Звенигород (55,7° ^), кружки — Вупперталь (51° ^) [11], темные треугольники — Майнут (53,2° N) [12], светлые треугольники — Абастумани (41,8° ^) [10]
Обсуждение
При анализе рядов данных наблюдений обращает на себя внимание разброс измеренных температур относительно их среднемесячных значений, достигающий величин ±20 К [14], хотя, как правило, погрешности отдельных измерений, определяемых используемым методом и условиями наблюдений, не превышают 5 К [2, 4]. Частотное поведение величин АТ/Т описывается нормальным распределением, для которого а(ЛТ/Т) =0,12 [15].
Наблюдаемый характер многолетнего поведения температуры в мезопаузе для лета в средних широтах позволяет сделать вывод, что наиболее благоприятные условия для появления серебристых облаков (СО) в этот период (Г < 150 К) реализуются лишь в 15-20% случаях. Это хорошо согласуется со средней частотой наблюдения СО (1525 %) в заданном регионе (55°N) в течение одного месяца, которая следует из анализа данных, представленных в [16]. Здесь интересно отметить, что в соответствии с глобальной статистикой появления СО
(июнь-июль) частота их наблюдения практически близка к 100% [17]. Этому, по-видимому, способствует и известный факт, что модуляция атмосферы лунными приливами [18] и, по всей вероятности, планетарными волнами, способствует образованию СО. В реальной ситуации для заданного региона наблюдений частота появления СО заметно меньше вследствие перемещения планетарной волны. Таким образом, обнаруженное постоянство температуры мезопаузы в летний период и наблюдаемый многолетний рост частоты появления СО [19] может служит свидетельством об увеличении влажности верхних слоев атмосферы. Этот факт подтверждается и ростом содержания атомарного водорода, метана и паров воды в атмосфере [20, 21].
Полученные данные позволяют получить зависимость амплитуды температуры годового хода для зимнего сезона в рассматриваемый период
△Тз = (30 ± 2) — (0,28 + 0,04)(方-1972), К.
На основе совокупности многолетних данных сезонные вариации температуры относительно среднегодового значения для широт 4555° N имеют вид
△Т「(方d) = A cos(27r/365)(t(7 —方1) + 厶2 cos(47r/365)(t(7 —方2)+
+ Al cos(67r/365)(t(7 -方з),
где амплитуды гармоник (К)
4 = (34 ± 4) — (0,38 士 0,05)(方-1972) - (0,071 士 0,013)(^ю,7 — 130), коэффициент корреляции г\ = —0,960 ± 0,030, коэффициент Стьюдента 方s = &
4 = (5,3 ±0.5) - (0,066 士 0,038) (t - 1972)-
-(O,O27±O,O1)(F1o,7- 130),
『2 = -0,82 ±015, ts = 3,5,
4 = 3,o ± о,з,
фазы гармоник (дни года)
方 1 = (-9,3 ± 1) + (0,35 ± 0,06)(方一1972) + (0,152 ± 0,017)(Fio,7 — 130),门=0,97 ±0,030, 匕=9,
方2 = 94 ± 8,方з = 50 ± 4.
Здесь td — день года, t — номер года.
Естественно, с изменением широты соотношение амплитуд гармоник будет изменяться, поскольку вблизи экватора преобладающей является полугодовая гармоника.
Выявленный характер поведения многолетних трендов температуры на высотах мезопаузы для зимних и летних условий и характеристики амплитуды и фаз гармоник ее сезонных вариаций хорошо согласуются,
с учетом их высотного распределения, с результатами, полученными из данных ракетных измерений для области высот 25-75 км [1], а также для эмиссий натрия 593 нм (92 км) [22] и атомарного кислорода 557,7 нм (97 км) [23].
Особый интерес вызывает состояние летней мезопаузы с достаточно низкими значениями температуры, которые сохраняют постоянными свои значения в течение рассматриваемого интервала лет, не отображая при этом влияния среднегодового многолетнего охлаждения средней и верхней атмосферы. Вероятно, причиной такого поведения является сложное сочетание достаточно большого количества фотохимических, радиационных и динамических процессов, в результате которых и обеспечивается наблюдаемая стабилизация теплового режима в этой области высот атмосферы в летнее время. Например, меридиональная циркуляция в летний период в северном полушарии, участвующая в переносе паров воды в верхние слои атмосферы [21], приводит к увеличению ее концентрации в верхней мезосфере почти на полтора порядка [24]. По-видимому, это может послужить важным фактором, объясняющим обнаруженное явление.
Заключение
Таким образом, анализ данных измерений температуры мезопаузы по гидроксильному излучению, выполненных на ряде среднеширотных станций, позволил выявить многолетние закономерности сезонных вариаций температурного режима в этой области атмосферы. Был обнаружен значительный отрицательный тренд температуры для зимнего сезона (—0,92 К/год) и практически его отсутствие для летнего.
Полученные результаты — значение среднегодового многолетнего тренда температуры в мезопаузе, закономерности его сезонного поведения, а также зависимости амплитуд и фаз гармоник сезонных вариаций температуры от времени и солнечной активности, в совокупности с данными, выявленными по ракетным и радиозондовым измерениям, могут быть использованы при создании эмпирической модели климатической изменчивости температурного режима средней атмосферы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по гранту № 98-05-64134.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
G. A. Kokin, Е. V. Lysenko, J. Atmos.Terr. Phys, v. 56, №9 (1994).
Г. В. Гивишвили, Л. Н. Лещенко, Е. В. Лысенко и др., Изв. РАН. ФАО, т. 32, №3 (1996).
А. М. Семенов, Н. Н. Шефов, Л. М. Фишкова и др., ДАН, т. 349, № 1 (1996).
G. S. Golitsyn, A. I. Semenov, N. N. Shefov et al., Geophys. Res. Lett., v. 23, № 14 (1996).
A. Hauchecorne, M.-L. Chanin, Р. Keckhut, J. Geophys. Res., v. 96, №D8 (1991).
J. Taubenheim, G. Entzian, K. Berendorf Long-term decrease of mesospheric temperature, 1963-1995, inferred from radiowave reflection heights, Adv. Space Res., v. 20. № 11 (1997).
A. M. Семенов, H. H. Шефов, Геомагнетизм и аэрономия, т. 39, №4 (1999).
Е. В. Лысенко, Г. Г. Нелидова, А. М. Простова, Изв. АН. ФАО, т. 33, №2 (1997).
Е. В. Лысенко, Г. Г. Нелидова, А. М. Простова, Изв. АН. ФАО, т. 33, №2 (19976).
Л. М. Фишкова, Ночное излучение среднеширотной верхней атмосферы Земли. Тбилиси: Мецниереба, (1983).
D. Offermann, Н. Graef, Promet, v. 22, №2-4 (1992).
F. J. Mulligan, D. F. Horgan, J. G. Galligan, E. M. Griffin, J. Atmos. Terr. Phys., v. 57. № 13 (1995).
A. M. Семенов, H. H. Шефов, Геомагнетизм и аэрономия, т. 36, №4 (1996).
Н. Н. Шефов, Полярные сияния и свечение ночного неба. М.: Наука, № 13 (1967).
Н. Н. Шефов, Полярные сияния и свечение ночного неба. М.: Сов. радио, №24 (1974).
Н. Н. Фаст, Каталог появлений серебристых облаков по мировым данным. Томск: Изд-во Том. ун-та, (1972).
В. А. Бронштэн, Н. И. Гришин, Серебристые облака. М: Наука, 1970.
Е. П. Кропоткина, Н. Н. Шефов, Изв. АН СССР. ФАО, т. 11. № 11 (1975).
М. Gadsden, J. Atmos. Terr. Phys. v. 52. №4 (1990).
А. И. Семенов, Геомагнетизм и аэрономия, т. 37, №3 (1997).
S. Chandra, С. М. Jackman, Е. L. Fleming, J. М. Russell, Geophys. Res. Lett., v. 24, №6 (1997).
C. Y. She, R. P. Lowe, J. Atmos. Solar-Terr. Phys., v. 60. № 10 (1998).
A. M. Семенов, H. H. Шефов, Геомагнетизм и аэрономия, 1997. т. 37. №3 (19976).
А. V. Fedynski, V. A. Yushkov Direct measurements of water vapour concentration in the stratosphere and mesosphere in the midatitudes of the USSR and in the equatorial zone. Low-latitude aeronomic processes. Oxford: Pergamon Press, (1980)
Глава 5
КОНВЕКЦИЯ
К теории конвекции в верхней мантии 9
Наблюдения показывают, что литосферные плиты перемещаются одна относительно другой со скоростями порядка 1-10 см/год, что является отражением движений в верхней мантии Земли на глубинах до 〜700 км [1-4]. Цель данной статьи — получить простую оценку скоростей этих движений, пользуясь лишь общими методами теории подобия и размерности. Это тем более необходимо, поскольку пока нет полной ясности как в деталях механизма конвекции, так и в величинах используемых параметров, например вязкости мантии.
Основным источником движений в мантии считается генерация тепла радиоактивными элементами, которые могут быть сосредоточены как в самой верхней мантии, так и в нижней мантии [1-4]. В [1] описаны результаты большого количества численных экспериментов по моделированию конвекции в верхней мантии, выполненных в двумерном приближении при разных значениях скорости выделения тепла и при различных типах распределений источников тепла: внутри слоя, частично внутри, а частично при задании потока тепла на нижней границе и при задании всего потока тепла только снизу. Аналогичные расчеты, в том числе с вязкостью, зависящей от температуры Т и давления 夕，описаны в [3]. В основной серии расчетов [1] суммарный ввод тепла задавался так, чтобы его средняя плотность потока равнялась среднему геотермическому потоку тепла / = 0,06 Вт/м. Рассчитанные поля скорости оказались порядка наблюдаемых скоростей плит.
Используем те же значения параметров среды, что и в [1]: плотность р = 3,7 т/м3, теплоемкость ср = 1,2 • 103 дж/{кг М ° К), g = =10 м/сек?, коэффициент теплового расширения а = 2 • 10-5 (° К)~\ кинематическая вязкость ^ = 2 • 1017 儿2/сек, температуропроводность к = 1,5 • I。—'儿2/сек. Эти величины в [1] и здесь постоянны по слою, что является ограничением [3].
Изучаемая конвекция описывается уравнениями гидродинамики в приближении Буссинеска [1, 3]. Согласно [3], в уравнении энергии
при этом заметную роль играет вязкая диссипация со скоростью 詁(詁+譬｝⑴
где Vi — компонента вектора скорости и по повторяющимся индексам происходит суммирование.
Уже формула (1) дает возможность оценить характерную величину скорости U, исходя из следующих соображений. Конвекция в слое возникает потому, что к его нижней границе или изнутри подводится тепло (его природа для нас несущественна), отводимое с верхней границы со скоростью f. Часть этого тепла затрачивается на генерацию кинетической энергии конвективных движений, которая диссипирует в процессе конвекции. Благодаря огромной вязкости вещества мантии конвекция ламинарна и достаточно эффективна (насколько, будет оценено ниже в п. 4), т. е. к. п. д. 7 по превращению подводимого тепла в энергию движений довольно высок. Среднюю скорость выделения тепла па единицу массы мантии можно оценить как
q = 〃(М) = f/M,⑵
где d — высота слоя. Скорость генерации кинетической энергии Г не может превосходить q, т. е. 7 < 1. В стационарном случае Г = £ = в среднем по времени и объему жидкости. Расчеты [1] показывают, что пограничные слои для скорости в конвективных течениях выражены слабо (они иногда получаются для вертикальной компоненты скорости при опускании вещества в виде струй), поэтому можно считать, что все производные в (1) одного порядка. Замена каждой производной на 2U/d и суммирование по г и /с от 1 до 2 в (1) вместе с условием £ =)q позволяет с учетом (2) получить следующую оценку:
где 乩=up — динамическая вязкость. При 7 = 1 и d = 700 км получаем U = 1,5 • 10-9 м/сек = 5 см/год, что как раз порядка наблюдаемых скоростей движений плит. Уже эта оценка показывает, что к. п. д. конвекции должен быть довольно высоким.
Ввиду важности формулы (3) для средней скорости конвекции получим ее ниже еще и из соображений подобия и размерности. Это позволит более четко определить границы ее применимости и получить основные критерии подобия для лабораторного моделирования конвекции рассматриваемого типа [4, 5].
Запишем систему уравнений Буссинеска в безразмерном виде, выбрав за безразмерные переменные
g =壮/d, t =，U/d, и = v/U, T = 7/丁0， P =夕 7夕 0，⑷
где штрихом помечены размерные переменные, нулем — характерные значения р и Т на некоторой глубине. Тогда система запишется как
+("▽)"] ^ + 房 ^ ▽>+斗2n「п = g/g； (5) ▽ • 〃 = 0;(6)
*+ (gT =0⑵,方)+ ^ AT.⑺
Величина Ud/v = Re — число Рейнольдса, которое при используемых здесь значениях U, d и р имеет порядок 10-20. Поэтому нестационарный и инерционный члены в (5) абсолютно несущественны. Возьмем ротор от (5). Тогда
△ rot〃 = F[VT х n];(8)
F = aTQgd2/^U).(9)
Уравнение (8) описывает баланс завихренности в потоке между генерацией вихря за счет плавучести и ее вязкой диссипацией. Критерий подобия F есть отношение масштабов архимедовых ускорений аТоР к вязким. С другой стороны, F = Ra / Ре, где Ra — число Рэлея, а Ре — число Пекле, фигурирующее в последнем члене уравнения энергии (7). Для верхней мантии при То = 1500° К величина /500.
Число Пекле определяет величину адвективного переноса тепла по сравнению с молекулярным. Здесь Ре ^ 700, т. е. молекулярный перенос мал. В (7) перед функцией 夕(力分，方)，описывающей распределение источников тепла и вязкую диссипацию, фигурирует множитель
М = qdlRcpT® = /т0/(МсрТ).(Ю)
Из последнего равенства следует, что критерий подобия М есть отношение тепла, выделяемого в столбе мантии за время 弋=d/U ~ 15 млн лет к полной тепловой энергии этого столба. Он вполне аналогичен соответствующему критерию подобия Пм в теории циркуляции атмосфер [6, 7].
Важным обстоятельством является то, что 歹》1, М « 1, Ре》 》1. Это позволяет высказать гипотезы об автомодельности, т. е. независимости некоторых характеристик режима конвекции относительно точных значений этих критериев подобия, коль скоро они сильно отличны от единицы. Автомодельность относительно величины F можно конкретизировать как автомодельность относительно величины архимедовых ускорений аТд = рЛ^/р, пока они велики, что позволяет исключить эту комбинацию из числа размерных параметров, определяющих задачу. Автомодельность относительно величины М можно трактовать как автомодельность относительно точного значения полной тепловой энергии столба мантии cpTqM, пока эта энергия велика по сравнению с энергией, поступающей к столбу за время 々.Автомодельность по числу Пекле сводится к несущественности коэффициента
молекулярной диффузии тепла к. Справедливость этих гипотез, не противоречащих одна другой, должна проверяться в экспериментах, лабораторных или численных, и путем сопоставления вытекающих из них следствий с данными наблюдений и тех же экспериментов.
Эти гипотезы облегчают условия лабораторного моделирования конвекции в мантии в том смысле, что можно не стремиться достичь точного соответствия критериев подобия модели и натуры, а надо лишь добиваться, чтобы f Ре》1, a Re, М « 1. Это требует, в частности, использовать в качестве рабочей жидкости вещества с большими числами Прандтля. Этим требованиям удовлетворяют условия опытов [5].
Высказанные гипотезы выделяют следующие основные размерные параметры, входящие в критерии подобия: плотность потока тепла /, кинематическую вязкость толщину слоя d, радиус планеты г или горизонтальный размер области численного счета L. Специфику граничных условий можно характеризовать безразмерным параметром /3 — долей мощности, поступающей к слою снизу, от полной вводимой в него мощности. Другой безразмерный параметр, возникающий здесь,— это Н = d/r.
Из размерных параметров f, и, d, г можно получить следующую формулу для полной кинетической энергии конвекции:
e=4次2加2(h,/3), (11)
где функция 夕 подлежит дополнительному определению. Поскольку 4тгг2/ = Q — полный поток вводимой в систему энергии, а 壮广、= =Ту — время релаксации вязких напряжений в слое мантии, то из (11) следует
E = Qt“(HQ. (12)
Для средней скорости конвективных движений отсюда получаем
豆=(2Е/2Ио)1/2"/2(Н,/3)=(加/32“/2 夕 i(H,/3), (13) где 夕 1 = 8夕 1/2, а Мо = 4тгг2М. Формула (13) аналогична (3), и ее вывод показывает, в каких условиях справедливы рассуждения, приводящие к (3).
Оценим величины)п 夕i по данным статьи [1], в которой на рис. 18-20 приведены профили горизонтальной компоненты скорости 〃(z) и функции тока для Я = 1 и /3 = 1, -, 0. Считая все производные в (1) одного порядка, имеем £ ^ 8u(du/dz)2. Дифференцируя графики “(2), находим затем £. Полная диссипация в столбе мантии еМ ~ 6,5 х х 10-3 Вт/м1 при /3=1, что надо сравнить с / = 0,06 Вт]3 Отсюда 7 ~ 11 %. Для /3 = - и 0 расчет дает 7 = 8 и 6% соответственно. Таким образом, к. п. д. конвекции не очень сильно зависит от специфики ввода тепла в систему и имеет порядок 0,1. Отметим, что аналогичный к. п. д. для циркуляции земной атмосферы [6] по превращению подводимого солнечного тепла в кинетическую энергию ветра 〜1 %. Аналогичные
оценки, согласующиеся с найденным значением 7, можно получить по тем же данным и для среднеквадратичных скоростей движений й.
Часть численных экспериментов [1] проводилась при вариации величины / от 10-4 до 0,1 Вт/м1. Формулы (56), (61) и (62) из [1] дают следующие зависимости максимальной скорости и от f:
/3=1: lgu = 0,501g/+1,91; /3= j: lgu = 0,491g/+1,80;
/3 = 0: Igu = 0,541g/+ 1,85,
(14) здесь [u] = мм/год, [/]=吕粗/儿 2. Считая, что зависит от / так же, как и й, видим, что характер степенной зависимости й от f, найденный нами, практически точно выполняется в экспериментах [1] и не зависит от способа ввода тепла в систему. Логарифмируя (3) и подставляя туда значения ) = 0, 1, 〃 n d, получаем
lgu = 0,51g/+l,72. (15)
Учитывая, что формулы (14) относятся к максимальным скоростям, а (15) — к средним, видим, что наш результат правилен не только в определении зависимостей от основных параметров задачи, но и в оценке величины численного коэффициента в широком интервале изменений количества тепла, вводимого в слой. Это свидетельствует о справедливости гипотез об автомодельности при изменении критериев подобия по крайней мере в 30 раз, поскольку в их определения входит масштаб скорости U 〜 尸及
Получаемые в [1, 3] значения скоростей 〜1 см/год представляются недостаточными, поскольку ряд литосферных плит движется в несколько раз быстрее. Структура формулы (3) или (13) показывает, что увеличение скорости может быть получено уменьшением вязкости, так как вряд ли следует заметно увеличивать глубину слоя. Уменьшение 从 по сравнению с использованными в [1, 3] значениями не кажется сейчас неоправданным [8]. В реальных условиях 从 сильно зависит от р и Г, однако расчеты [3] и опыты [5], учитывающие эту зависимость, показывают, что пространственная структура течений и средние скорости конвекции не слишком уж радикально отличаются от случая 从=const. Поэтому, если под вязкостью понимать ее некоторую среднюю эффективную величину, то наши результаты, по-видимому, являются достаточно общими.
После сдачи работы в печать д-р Д. П. Мак-Кензи любезно прислал ранее мне неизвестную работу [9]. В ней для буссинесковой жидкости анализом баланса энергии показано, что отношение диссипации к вводимой в жидкость мощности, т. е. к. п. д. 7 = (d/Ho)(l + /3)/2, где Но = ср/{ад). Эта формула дает значения 7, хорошо согласующиеся с определенными в п. 4. Формула 7 ^ d/Яо и соответствующие детализации формул (3) и (11) могут быть получены и из соображений размерности, если заметить, что в размерном варианте (8), записанном
для Ve = CpVT, фигурирует лишь комбинация z/ Hq, а не z/ отдельно (отметим также, что расчеты [1] велись при £ = 0). Тогда из параметров f, uHq и d при d = L и /3 = const строим Е 〜fd5/(^Яо), откуда U 〜 〜(/с/2/〃Но)】/?。Тогда из (1) получаем 7 d/Яо- При этом наша первая гипотеза должна быть уточнена как гипотеза автомодельности относительно точного значения срЛТ. Отметим еще, что квадрат скорости из (3) зависит от внешних параметров так же, как структурная функция скорости в турбулентном потоке при масштабах, меньших внутреннего [Ю].
В заключение выражаю глубокую благодарность В. Н. Трубицыну и В. Н. Жаркову, которые обратили мое внимание на данную тему и многократно обсуждали полученные результаты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
D. Р. McKenzie, J. М. Roberts, N. О. Weiss, J. Fluid Meeh., v. 62, №4 (1974).
D. L. Turcotte, Rev. Geophys. Space Phys., v. 13, №3 (1975).
M. H. Houston jr., J.-Cl. De Bremaecker, J. Geophys. Res., v. 80, № 5 (1975).
D. P. McKenzie, F. Richter, Sci. Am., v. 235, №5 (1976).
J. R. Booker, J. Fluid Meeh., v. 76, №4 (1976).
Г. С. Голицын, Введение в динамику планетных атмосфер. Л., Гидрометеоиздат, (1973).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР, Физ. атм. и океана, т. 12, №3 (1976).
N. L. Carter, Rev. Geophys. Space Phys., v. 14, №3 (1976).
J. M. Hewitt, D. P. McKenzie, N. O. Weiss, J. Fluid Meeh., v. 68, p. 4 (1975).
A. H. Колмогоров, ДАН, т. 30, №4 (1941).
Энергетика конвекции в вязкой жидкости 9
В [1] при рассмотрении конвекции очень вязкой жидкости — верхней мантии Земли — были высказаны гипотезы подобия, позволившие получить формулу для средней скорости й, согласующуюся с данными наблюдений за движениями литосферных плит и с результатами численных расчетов [2]. Затем в [3] было отмечено, что эта же формула описывает некоторые результаты расчетов [4, 5] конвекции во вращающихся дифференциально разогретых сосудах, где моделируется общая циркуляция атмосферы. Это наводит на мысль, что некоторые выводы [1] имеют более общий характер, чем это там предполагалось.
1) См. ДАН, т. 240, №5, 1978.
Определим сначала коэффициент преобразования (к. п. д.) подводимой тепловой мощности в скорость генерации кинетической энергии конвективных движений. Рассмотрим слой жидкости высотой d с температурами нижней и верхней границ соответственно Ti п 耳， АТ = Т1 —耳〉0. Поток тепла в жидкости f, измеряемый или рассчитываемый, характеризуется числом Нуссельта
⑴⑴Nu = fd/pCpk^T,
⑴
⑴
где р, с@, k — соответственно плотность, теплоемкость и температуропроводность жидкости. Умножим уравнение движения в приближении Буссинеска скалярно на скорость и, проинтегрируем по высоте от 0 до d и осредним по горизонтали. Получим уравнение баланса энер-
⑵⑵ГИИ [6]
⑵
⑵
dK/dt = G — О,
где К — кинетическая энергия единичного столба жидкости, а справа для стационарного в среднем случая (или при Re = ud/p « 1, см. [2]) имеем баланс между генерацией кинетической энергии за счет сил плавучести и ее вязкой диссипацией. При этом
dd
G =]( J7) dz, 0=0"(▽"产厶，(3)
о0
где а — коэффициент теплового расширения среды, д — ускорение силы тяжести, w = (g/g)〃，丁‘ — отклонение температуры от средней, угловые скобки — осреднение по горизонтали. С другой стороны, тепловой поток
/ = —pcpkd(T)/dz + pcp(wfTf).(4)
Интегрируя (4) от 0 до с/, с учетом (3), (1) и граничных условий на Г получаем аналогично [6]
G = {pag/c^fd-k^T) = 0(ST/H)(Nu — 1), Я = ср/ад. (5)
По определению к. п. д. конвекции
7 = G//.
Подставляя сюда G из (5) и / из (1), получаем
7 =7 =agd Nu — 1 ср Nuagd Nu — 1 ср Nu⑹⑹
7 =
7 =
agd Nu — 1 ср Nu
agd Nu — 1 ср Nu
⑹
⑹
Эта формула является точной, если справедливо приближение Буссинеска, для чего необходимо [7] 70 « 1, и не зависит от характера конвекции. Отсюда видно, что полученное ранее [8, 7, 3] выражение 7 = agd/ср верно лишь асимптотически при Nu > 1.
Формула (6) легко обобщается на случай, когда внутри слоя имеются объемные источники тепла постоянной мощности q. Тогда / = /(2)=力 + «2 и те же выкладки приводят к (6), но с 70 =
=(d/H)(l -/3/2), где /3 = qd/(fi + qd). На рис. 5.2.1 отложены значения 7 в зависимости от \g(R/&), где R = agfd^/pcpk2^ — число
Рэлея по потоку, Rc — критическое число Рэлея. Горизонтальные линии — значения 70 при /3 = =0, 1 /2, 1 для условий численных расчетов конвекции [2, 7], светлые значки — результаты прямых расчетов 7 на ЭВМ в [7], темные значки — вычисления по (6) при Nu 1,6 (R/凡У" согласно [2]. Качественное и количест
венное согласие аналитических и машинных расчетов неплохое.
Для средней скорости дис
сипации кинетической энергии на единицу массы в стационарном случае имеем
oxk \oxk oxi 7 pa pa pa pH
Можно предполагать, что пока течение ламинарно или слабо турбулентно, то производные dui/dxk 〜2豆/d. Тогда из (7) получаем с точностью до численного коэффициента (порядка 1 /32 для двумерной и 1 /72 для трехмерной конвекции [1]):
豆2 〜(£〃)/ = xfd/” =(〃从H)/.(8)
В [1, 3] отмечалась близость этой формулы к выражениям для структурных функций скорости [9] в интервале диссипации турбулент
некоторых результатов расчетовнекоторых результатов расчетови, см/ст 仆и, см/ст 仆Рис. 5.2.2.Рис. 5.2.2.ности и ее применимость к описанию [4, 5], где Re 〜100. Теоретически строго найти пределы справедливости (8) по числу Рейнольдса не удается, но можно поставить простые эксперименты по ее проверке в зависимости от Re или d.
некоторых результатов расчетов
некоторых результатов расчетов
и, см/ст 仆
и, см/ст 仆
Рис. 5.2.2.
Рис. 5.2.2.
Результаты измерений средних скоростей конвекции в зависимости от глубины слоя воды изображены в верхней части рис. 5.2.2. Для каждого уровня было 25-35 индивидуаль-
ных замеров скоростей и вертикальные черточки показывают их дисперсию. Измерения производились в белой эмалированной кастрюле диа
метром 20 см, на дне которой шариковой ручкой расчерчивалась коор
динатная сетка через 1 см. В качестве трассера использовался мелко
толченый чай. Кастрюля стояла в водяной бане — сковороде со слоем воды, находившейся на медленном постоянном огне. Температура в центре массы воды контролировалась термометром и во всех измерениях была 83 ± 1° С. Некоторые чаинки имели практически прямолинейные и горизонтальные участки траекторий (хотя и нерегулярные по пространству), и время прохождения таких участков фиксировалось секундомером. Как видно из рис. 5.2.2, зависимость й ос d согласуется с измерениями.
Более чувствительной характеристикой здесь является масштаб времени 丁 = d/u. При 豆 ос d он не должен зависеть от d. Величины 丁 и Re, последние с точностью 15-20%, представлены в табл. 5.2.1.
Таблица 5.2.1
Re
300
630
1100
1700
2300
3200
3900
4900
т, с
4,2±0,6
4,4±0,7
4,6±0,6
4,4±0,6
4,6±0,5
4,8土0,5
5,2±0,5
5,4±0,6
Из нее следует, что 丁 можно считать константой вплоть до Re 〜 〜2000, а далее начинается заметный рост т, вероятно, связанный с развитием турбулентности, когда [9, 10] й (ed)^3. Отметим, что при d = 2 см R 〜106, а обычное число Рэлея Ra = R/Nu 〜105.
Таким образом, расчеты [4, 5] и наши измерения показывают, что вплоть до наступления режима достаточно развитой турбулентности диссипация £ квадратична по скоростям. В режиме турбулентной конвекции инерционные и архимедовы члены одного порядка и тогда с учетом (7) из уравнения движения имеем
豆〜(£d)i/3 (%/阳)1/3 = ("/“/3, ⑼ т. е. диссипация кубична по скоростям, как для обычной турбулентности.
Тепловую конвекцию вместо потока тепла можно характеризовать потоком массы М. Поскольку “ = apTf, то при достаточно больших числах Nu из (4) имеем
/ = срМ/а, М= (/w). (10)
С помощью потока массы очень просто получить асимптотическое выражение для к. п. д. конвекции. Действительно, Mgd — потенциальная энергия, высвобождаемая при конвекции в единичном столбе и идущая на генерацию кинетической энергии. Приравнивая Mgd = G = =0£d, с учетом (10) получаем 7 = agd/cp. В [7, 3] эта формула была получена гораздо более сложным анализом.
Равенства (10) наводят на мысль, что так называемую гравитационную конвекцию, происходящую при разделении вещества на легкую и тяжелую фракции, можно описать так же, как и тепловую. Для отклонения плотности от средней можно написать уравнение диффузии типа уравнения теплопроводности с источниками. Если разделение
вещества происходит на нижней границе слоя, как это иногда предполагается для мантии Земли, то его можно характеризовать скоростью образования более легкой фракции на единицу площади, которая при установившемся режиме равна М. Аналогично объемным источникам тепла можно учесть и объемное разделение и характеризовать его параметром /3 6 [0, 1], того же типа, что и в обычной конвекции, см. п. 2. Нетрудно видеть, что асимптотически к. п. д. гравитационной конвекции 7 = 1 — /3/2, поскольку выделение легкой фракции означает прямое высвобождение потенциальной энергии.
Кинетическая энергия конвекции из-за вязкой диссипации переходит в тепло, приводящее на верхней границе к появлению потока тепла даже в отсутствие прямых тепловых источников. Если последние существуют, то должно выполняться неравенство М < fgd, где / — полный поток тепла, измеряемый на верхней границе. Это неравенство может иметь геофизические применения. При действии обеих причин конвекции потоки массы аддитивны.
Из (10) и (8) следует, что и здесь й 〜(后彦/^尸/? = (Мд/从 Эта формула была проверена в простых экспериментах с газированной минеральной водой, где выделение и всплывание пузырьков вызывает движения воды.
Опыты производились в стеклянном флаконе с размерами 95 х 74 х х 37 мм3. Проверялось соотношение 丁 = d/й = const. Было замечено, что добавление в воду частичек (черного молотого перца) сильно увеличивает газовыделение и, тем самым, интенсивность движений. На поверхность воды пипеткой вносилась капля бриллиантовой зелени. В водопроводной воде при этом наблюдалась медленная регулярная диффузия, а в минеральной воде из капли вытягивались окрашенные нити. Измерялись времена достижения дна любой первой нитью — Ti и многими нитями — Тт； последнее характеризует среднюю скорость движений. Были проведены две серии измерений при d = 2-9 см. Выяснилось, что Тт 〜2Ti, но каждое из этих времен с точностью 15-20% не зависит от d. Результаты опытов в виде й^т = d/T\^m представлены в нижней части рис. 5.2.2; число Рейнольдса для самого глубокого слоя было при этом порядка 500.
В уравнениях конвекции заменим Г на энтальпию е = ср(Т —耳). Тогда уравнение энергии примет вид
力一岭k" + M«d2・(11)
ot oxi oxi p夕 oxi g J
При установившемся движении отсюда и из уравнения для импульса получаются масштабные оценки для скорости (ср. (8)) и разности энтальпий:
豆〜(///mH)1％ м〜(九7h/次2)1/2,(12)
которые относятся к основной массе жидкости, поскольку при их выводе не учитываются термические пограничные слои. Если изме-
рять “пев масштабах (12), расстояния — d, время — г = d/豆， то уравнения конвекции при Re < 1 п Ре = RePr》1 (Рг = о/k》 》1 для мантии) не будут содержать каких-либо критериев подобия, т. е. будут автомодельны. Граничные же условия примут вид де/dzf = =—А»? при ^Z = 0 и е = 0 при zf = z/d = 1. Этот вывод важен для моделирования конвекции в мантии Земли, если не интересоваться детальной структурой пограничных слоев.
Рассмотрим число Рэлея. С учетом результатов п. 2
RaRaарДТ</2 ДеарДТ</2 ДеRNuRNu(13)(13)
Ra
Ra
арДТ</2 Де
арДТ</2 Де
R
Nu
R
Nu
(13)
(13)
Нетрудно получить с учетом (12), что Re = Д1/2/Рг. Известно (см., например, [2]), что при развитой конвекции Nu 〜Ra1/3 〜 官/4. Из (13) AT ос Ra, т. е. АТ ос 甯/4 в то же время из (12) 6Т = 6е/ср ос поэтому
汀/S 〜RT/4 〜Ra-1/з.(14)
Отсюда следует, что перепад температуры в основной массе жидкости при достаточно больших числах Рэлея становится малым по сравнению с полным изменением температуры, которое происходит, следовательно, вблизи границ. Это объясняет практическую изотермию центральной части конвективных потоков и резкие градиенты Т у границ, что многократно наблюдалось в лабораторных и численных экспериментах. Подобный вывод справедлив и для турбулентной конвекции, хотя там зависимости искомых характеристик от чисел Рэлея другие.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, ДАН, т. 234, №3 (1977).
D. Р. McKenzie, J. М. Roberts, N. О. Weiss, J. Fluid Meeh., v. 62, Part 4 (1974).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР, ФАО, т. 13, №8 (1977).
G. Р. Williams, J. Atmos. Sci., v. 24, №2 (1967)
G. P. Williams, J. Fluid Meeh., v. 49, Part 3 (1971).
F. B. Lipps, J. Fluid Meeh., v. 75, Part 1 (1976).
J. M. Hewitt, D. P. McKenzie, N. O. Weiss, J. Fluid Meeh., v. 68, Part 4 (1975).
L. Lliboutry, J. Geophys. Fes., v. 77, №20 (1972).
A. H. Колмогоров, ДАН, т. 30, №4 (1941).
A.M. Обухов, Изв. АН СССР, сер. геофиз., №9 (I960).
Измерения скоростей конвекции вязкойжидкости 1)
В работе [1] была развита теория подобия для конвекции вязкой жидкости, результаты которой в применении к верхней мантии Земли согласовывалась с данными численных экспериментов [2] по моделированию в ней конвекции, приводящей к движению литосферных плит — дрейфу континентов. Теория подобия [1] справедлива, строго говоря, для чисел Рейнольдса Re С 1. В то же время в [3] было подмечено, что некоторые ее выводы применимы и при Re 〜100, в частности для течений во вращающихся кольцевых сосудах с неравномерным подогревом боковых стенок, где моделируется общая циркуляция атмосферы.
Одним из результатов [1, 3] является установление формулы для среднеквадратичной скорости конвективных движений
豆=(1/а)(ад//〃С0)1/2&(1)
где d — глубина слоя жидкости, а — коэффициент теплового расширения, 从—динамическая вязкость, ср — теплоемкость при постоянном давлении, / — поток тепла, вводимый в жидкость, g — ускорение силы тяжести. Численный коэффициент а может зависеть от формы области, где происходит конвекция, от типа граничных условий, но для плоского слоя (или квадратной ячейки [2]) и при подводе тепла только снизу он приближенно равен 32/ для двумерной конвекции [2] или 721/2 для трехмерного случая. Эти значения получаются для статистически стационарного и изотропного режима конвекции из рассмотрения баланса высвобождаемой при атом потенциальной энергии, превращения ее в кинетическую энергию конвективных движений и последующей ее вязкой диссипаций.
Действительно, общее выражение для скорости диссипации кинетической энергии в вязкой жидкости есть
где г/ = 〃/о — кинематическая вязкость. Значение £ связано с потоком тепла соотношением epd = 7/, где 7 ~ agd/cp при больших числах Нуссельта [4]. Предполагая в (2) все производные одного порядка и каждую из них порядка 豆/(d/2), получаем формулу (1) и приведенные выше значения коэффициента а. Другие выводы этой формулы, но без оценки значения а, можно найти в [3-5].
В [4, 5] также описаны результаты частичной экспериментальной проверки формулы (1), когда проверялась зависимость й от глубины слоя d при неизменных значениях остальных параметров. Измерения
в пределах высот от 2 до 10 см показали, что зависимость й ос ос d выполняется удовлетворительно, хотя последние точки в среднем находятся несколько ниже прямой, проведенной через первые точки. Во всяком случае вплоть до чисел Рейнольдса Re = ud/v 〜1500 получается, что й ос d. Далее рост，замедляется, что характерно для развитого турбулентного режима конвекции, когда й ос d1/3 — (ср. с [6]). Все это и тот факт, что формула (1) работает и при Re 〜100 (см. [3]), побуждает провести полную экспериментальную проверку этой формулы и пределов ее выполнимости. Результаты такой проверки представлены ниже.
Измерялись средние скорости й, потоки тепла f, глубина d и температура в основной толще воды, что по таблицам давало возможность найти значения а,从，и ср. Измерения проводились в основном так же, как в [4, 5]. Использовалась белая эмалированная кастрюля диаметром О = 16 см. Она помещалась на песчаную баню — металлическую сковороду с мокрым песком, которая стояла на электроплитке. Для уменьшения тепловых потерь с боковых стенок кастрюли последние были обмазаны мокрым асбестом, который при высыхании служил хорошим теплоизолятором. В качестве трассера использовался мелкий порошок (толченый спитой чай). При конвекции некоторые чаинки имеют траектории с почти прямолинейными и горизонтальными участками длиной до нескольких сантиметров. Для удобства отсчетов расстояний дно кастрюли расчерчивалось шариковой ручкой в виде сетки через 1 см. Секундомером измерялось время прохождения таких участков в основной толще воды. Обычно делалось 30-35 замеров скоростей в каждой серии измерений, по которым определялось среднее значение скорости й и среднеквадратичное отклонение аи. Предполагалось, что такая выборка достаточно представительна. Это подтверждается тем, что отношение аи/й не превышало 30% даже при малых средних скоростях, а в большинстве случаев оно находилось в пределах 1220%.
Процедура определения потока тепла состояла в следующем. После включения плитки мы следили за ходом температуры с помощью лабораторного термометра, и когда она устанавливалась, производили взвешивание кастрюли на электрических весах с точностью до 0,1 а. После этого начиналась серия измерений скоростей. Затем снова производилось взвешивание для определения массы испарившейся воды. Большая часть полного теплового потока, вводимого в жидкость, — порядка 8090% — идет на испарение. Из среднего веса воды и диаметра кастрюли определялась с точностью до 1 мм и средняя глубина. Зная теплоту испарения, массу испарившейся воды, время между взвешиваниями и площадь зеркала воды, можно найти тепловой поток /е идущий на испарение.
Поскольку температура поверхности воды Ts заметно выше температуры в комнате (То ~ 23°), то часть потока тепла идет на возбуждение конвекции в воздухе над водой, а часть — на излучение. Обе
эти составляющие потока рассчитывались следующим методом последовательных приближений с использованием известного соотношения между числами Нуссельта и Рэлея [7]:
Nu = /3Rai/3 =0,17 Ra1/3, (3)
где Nu = fd/pcpk/\T — отношение реального потока тепла к таковому, которое наблюдалось бы в отсутствие конвекции из-за молекулярной теплопроводности k; Ra = ад!^Г足]ки, где ЛТ — разность температур поверхности воды и воздуха. Из соотношения (3) и определений чисел Nu и Ra получаем для конвективного потока тепла в воздух
九=0,17 474/33/2/少/4. ⑷
Для тепловых потерь на излучение имеем с учетом противоизлучения
fr = a(T^-T^, (5)
где а — константа Стефана. Точный учет степени нечерноты воды или стен здесь не так уж важен, поскольку эти потери составляют несколько процентов от полного потока:
/ = /с + /а + %・ (6)
В первом приближении в (4) и (5) вместо Ts подставлялись значения 几，измеренные в толще воды, а затем по (6) находилось значение //. Однако температура поверхности воды Ts заметно ниже. Перепад температуры в холодной пленке воды, образующейся при ее испарении, может быть определен из соотношения типа (6), и по измерениям [8] он связан с потоком тепла и параметрами жидкости соотношением
△九=2,82产4(”%/"2)1/4. (7)
Подставляя сюда 力，находим △几 и температуру поверхности Ts = =Е — △〃. Затем находим АТп = Ts — Та, подставляем его в (6) и (7) и вычисляем fan и frii- Уже одной такой итерации оказывается достаточно, поскольку следующая дает поправку в Ts порядка 1°, что сравнимо с точностью измерений температуры.
В процессе визуальных измерений регистрируется лишь горизонтальная компонента скорости щ. Можно предположить, что при глубине d, много меньше диаметра кастрюли, средние значения щ будут равны средним значениям вертикальной компоненты скорости 〃2・ Тогда 豆 1 = (й/2)1/2, поскольку 豆2 =豆彳 + 五3 2uf. При этом из формулы (1) следует
Отсюда и из оценок, приведенных в начале заметки, следует, что для трехмерной конвекции величина коэффициента 。1 будет порядка
21/2 • 721/2 = 12. Формулу (8) можно переписать как соотношение между числами Рэлея Rf, Прандтля Pr = v/к и Рейнольдса:
Re = Rf 1/2 /旬 Pr.(9)
В разных сериях измерений напряжение на электроплитке варьировалось от 150 до 250 В, что приводило к изменениям потока тепла от 0,2 до 0,7 Вт/см1, а температуры в толще воды — от 55 до 75° С (на теплопередачу к кастрюле влияет и влажность песка). Глубина слоя воды менялась от 1,6 до 6 см. При этом число Рэлея Rf менялось от 3 • 107 до 1010 (Ra = Rf /Nu 〜106-108). Всего было проведено 19 серий измерений. Зная щ и другие параметры, с помощью формулы (8) можно оценить значение аь По результатам 17 измерений в диапазоне чисел Re от 100 до 1500 оно оказалось близким к 13. Две точки,
止产12/13尸г止产12/13尸г200015001000500200015001000500°0500 1000 1500 2000°0500 1000 1500 2000~Re = ud/v~Re = ud/vРис. 5.3.1. Экспериментальная проверка зависимости (9) при <ц = 13Рис. 5.3.1. Экспериментальная проверка зависимости (9) при <ц = 13соответствующие значениям Re = =1700 и 2500, явно отходят от этой зависимости как по значениям, так и по дисперсиям, что, как отмечалось в [4, 5], соответствует переходу к развитому турбулентному режиму конвекции, когда начинают действовать другие закономерности [5].
止产12/13尸г
止产12/13尸г
2000
1500
1000
500
2000
1500
1000
500
°0500 1000 1500 2000
°0500 1000 1500 2000
~Re = ud/v
~Re = ud/v
Рис. 5.3.1. Экспериментальная проверка зависимости (9) при <ц = 13
Рис. 5.3.1. Экспериментальная проверка зависимости (9) при <ц = 13
На рисунке изображены результаты проверки формулы (9). По оси абсцисс отложены значения числа Рейнольдса, меры скоростей, вычисленные по измеренным значениям й1 и d и табличным значени-
ям и, а по оси ординат — значения Rf 1/2 /旬 Рг, рассчитанные по измеренному потоку тепла и табличным значениям а,从 п с@, как функций
температуры. В качестве ai взято его экспериментальное значение ai = =13. Треугольниками помечены результаты измерений, проведенных первым автором, кружками — вторым автором. Видно, что вплоть до Re 〜1500 (Ra 〜4 • 107) все значки хорошо группируются вблизи прямой с единичным наклоном. Значения дисперсии отложены для двух последних точек рисунка. На нем не приводится самая последняя
точка из имевшихся у нас — из экономии места, поскольку она лежит много выше пунктирной прямой при Re = 2500. Расчет коэффициента регрессии значений Rfi/2/13Pr на Re дал 0,977, поэтому окончательное значение 创=12,7 ± 1,4 — стандартное отклонение коэффициента регрессии. Представленные здесь результаты измерений свидетельствуют, что зависимости (1) или (9), характерные для вязкого режима конвекции при наличии одного геометрического размера — глубины
слоя, выполняются в довольно широком интервале чисел Рэлея Ra < < 4 • 107 или Рейнольдса Re < 1500. Эти же зависимости при малых Re, но достаточно больших Ra, были ранее проверены в [1, 5] но данным численных экспериментов [2]. При этом значение численного коэффициента, входящего в проверяемые зависимости, также оказалось близким к его простой теоретической оценке. Близкое к данному значение ai дают и результаты определений временного масштаба конвекции 丁 = d/u (см. [9]), где по данным измерений найдено, что 旬=12,1 ±2,3.
Отметим еще, что зависимость (1) должна наблюдаться при достаточно развитом режиме конвекции, когда число Нуссельта уже велико. Если значение Nu не очень велико по сравнению с единицей, то надо пользоваться точной формулой для к. п. д. конвекции 7=(1 — —Nu~i)agdc}i полученной в [4]. Тогда правая часть формулы (1) в несильно закритическом режиме конвекции должна быть умножена на (1 - Nu-i)i/2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, ДАН СССР, 232, №3 (1977).
D. Р. McKenzie, J. М. Roberts, N. О. Weiss, J. Fluid Meeh., 62, р. 3 (1974).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. ФАО, 13, №8 (1977).
Г. С. Голицын, Докл. АН СССР, 240, №5 (1978).
Г. С. Голицын, Конвекция вязкой жидкости: энергетика, автомодельность, эксперименты, геофизические приложения и аналогии. Отчет ИФА АН СССР, сентябрь (1977).
А.М. Обухов, Изв. АН СССР. Сер. геофиз., №9 (I960).
М. А. Михеев, Основы теплопередачи. Госэнергоиздат, (1956).
А. И. Гинзбург, А. Г. Зацепин, К. Н. Федоров, Изв. АН СССР. ФАО, 13, № 12 (1977).
А. И. Гинзбург, Г. С. Голицын, К. П. Федоров, Изв. АН СССР. ФАО, 15, №3 (1978).
Измерения временного масштаба конвекциижидкости при ее остывании с поверхности 9
Конвекция при остывании жидкости с поверхности носит квазипе- риодический характер. При этом большую часть времени цикла занимает рост термического пограничного слоя у поверхности — «холодной пленки», и когда эта более тяжелая пленка становится достаточно толс-
1) См. Изв. АН СССР, ФАО, т. 15, № 3, 1979. В соавторстве с А. И. Гинзбург и К. Н. Федоровым.
той, из нее образуются холодные термики, быстро перемешивающие весь слой жидкости. Такая картина была теоретически предложена Ховардом [1], получена в численных (двумерных) расчетах Фостера [2] и экспериментально наблюдалась в воде в [3]. Согласно [2], период такого цикла конвекции
丁 = a(“0/aqf)i/2. (1)
где численный коэффициент а = 14, 〃 一 динамическая вязкость, ср — теплоемкость при постоянном давлении, а — коэффициент теплового расширения жидкости, д = 9,8 м/с1 — ускорение силы тяжести, / — поток тепла с поверхности жидкости. С другой стороны, формула аналогичной структуры для временного масштаба конвекции слоя, подогреваемого снизу и (или) изнутри, была получена в [4] для достаточно больших чисел Нуссельта и проверена там же па ограниченном экспериментальном материале. В [4] из ряда соображений показано, что характерный масштаб скорости и конвективных движений в широком интервале чисел Рэлея (вдали от критического значения и до наступления режима полностью развитой турбулентности) равен
“ =(l/ai)(ag〃“0)i/2d, (2)
где d — глубина слоя, ai — численный коэффициент. Оценка значения 〃1 в предположении изотропии поля градиентов скорости дает 〃i 弋 8 для двумерной конвекции и ai ^ 12 для трехмерного случая [4, 5].
Если определить временной масштаб как 丁 = d/u, то из (2) получим формулу (1). Выражение (2) экспериментально проверялось в [5], где было установлено, что небольшие отклонения от зависимости (2) при подогреве снизу начинаются при числах Рэлея по потоку
Rf = agfd^/cpk2/! (3)
больше или порядка 3 • 109 (здесь к — коэффициент температуропроводности). Из этих же экспериментов следует, что значение ai для трехмерной конвекции равно 12,7 ± 1,4.
Поскольку масштаб 丁 можно определить, в частности, и прямо из соображений подобия и размерности при Rf》RfK@ и не очень малых числах Прандтля, то следует надеяться, что структура выражения (1) носит достаточно универсальный характер. При этом различные виды конвекции, соответствующие разным граничным, условиям, могут различаться лишь значениями численного коэффициента.
Приведем результаты экспериментальной проверки формулы (1) по данным измерений типа описанных в [3]. Они проводились в теплоизолированном бассейне размерами 440 х 745 х 353 мм3 с пресной водой. Датчик температуры, термистор диаметром 0,2 мм, был установлен на горизонте 3 мм от поверхности, где холодные термики уже хорошо выражены. Средний интервал между термиками тэ — длительность конвективного цикла — определялся по числу термиков, зарегистриро-
ванных на ленте самописца за полный известный интервал времени. Длительность каждой реализации, по которой определялась величина тэ, была порядка 20 мин. Примеры подобных реализаций можно найти в [3]. Тепловой поток для реализации определялся калориметрическим путем по известной скорости охлаждения воды в бассейне.
Всего было обработано 90 реализаций. Температура воды при этом была от 23 до 34° С, потоки тепла — от 5 до 45 мВт/см?1.
На рисунке 5.4.1. точками нанесены значения тэ как функции теоретических значений т, определяемых из (1) при а = 14 по изме-
Рис. 5.4.1. Корреляционная зависимость измеренных тэ и рассчитанных по (1) значений временного масштаба конвекции. Прямая — линия регрессии
ренному потоку тепла / и материальным константам воды, взятым из таблиц при температуре, средней для реализации. Коэффициент корреляции между измеренными и рассчитанными значениями 丁 найден равным 0,87. Разброс точек можно объяснить тем, что у нас измерения одноточечные, в то время как пространственно-временная картина образования терминов довольно нерегулярная, однако, большая длительность измерений дает достаточную статистику и сравнительно высокий коэффициент корреляции. Коэффициент регрессии тэ на 丁 равен 0,86 ± ±0,16. Отсюда следует, что экспериментальное значение аэ = (0,86 + + 0,16) • 14 = 12,1 ±2,3.
Данный интервал условий можно охарактеризовать числами Рэлея Rf в пределах от 3 • 109 до 5 • 1010, если в качестве масштаба d взять глубину бассейна, хотя, может быть, глубина при остывании жидкости сверху и не играет такой роли, как при конвекции в случае подогрева снизу. Соответствующий интервал обычных чисел Рэлея Ra = Rf / Nu при числе Нуссельта Nu = 0,17 Ra1/3 равен 4 • 107 4- 3 • 108.
Существенным фактом является независимость временного масштаба конвекции от глубины, что следует из данных опытов и из опытов [4]. Значение численного коэффициента а, оказывается практически не зависящим от вида граничных условий, поскольку по измерениям горизонтальных скоростей конвекции в [5] при подогреве жидкости снизу а = 12,7 ± 1,4. Может быть, этот факт является отражением
симметрии уравнений конвекции и граничных условий для случаев подогрева снизу и охлаждения сверху, когда одновременно меняются знаки у потоков тепла в жидкость и у силы плавучести, что формально эквивалентно изменению направления силы тяжести.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
L. N. Howard, Convection at high Rayleigh number. Proc. 11-th Int. Congr. Appl. Meeh., Munich, FRG, 1109-1115, (1966).
T. D. Foster, Geophys. Fluid Dyn., 2, №3 (1971).
А. И. Гинзбург, А. Г. Зацепин, К. H. Федоров, Изв. АН СССР. ФАО, 13, № 12 (1977).
Г. С. Голицын ДАН СССР, 240, №5 (1978).
Г. С. Голицын, А. А. Грачев, Изв. АИ СССР. ФАО, 15, №3 (1979).
Термическая структура и теплопередачапри конвекции во вращающемся слое жидкости 9
Статья продолжает исследования структуры конвекции во вращающемся слое жидкости [1, 2], где были расклассифицированы режимы течений. Здесь мы остановимся лишь на регулярных вихревых режимах, которые имеют треугольную симметрию в горизонтальной плоскости. Более тщательное, чем в [1, 2], экспериментальное исследование показывает, что в вихрях, находящихся в вершинах равносторонних треугольников, при охлаждении жидкости с поверхности происходит сток «холодной пленки», а возвратное движение происходит по цилиндрической поверхности, охватывающей каждый вихресток так, что цилиндры соседних вихрей могут касаться (подробнее см. [3]; такая структура заметна на снимках [4]). Вопросы устойчивости структуры подобных решеток теоретически рассмотрены в [5].
Структура конвекции определяется тремя критериями подобия и типом граничных условий [6]. В стандартных обозначениях
Ra = ag^Th?/vk\(1)
Pr = v/k\(2)
Ta = 4便戸/"；(3)
Nu = fh/pcpk^T = Nu(Ra, Pr, Ta);(4)
Ra/ = Ra - Nu.(5)
Вместо обычного числа Рэлея Ra употребляется число Рэлея по потоку Ra/, если на одной из границ задан поток тепла. Число Нуссельта Nu — безразмерный поток тепла — обычно искомая характеристика,
См. ДАН, т. 300, № 2, 1988. В соавторстве с Б. М. Бубновым.
ot 5 до 60 об!мин. На оис. 5.5.1ot 5 до 60 об!мин. На оис. 5.5.1здесь — функция чисел Рэлея, Тейлора (Та) и Прандтля (Рг). Для критического числа Рэлея возникновения конвекции при Ra > 106 существует асимптотика
ot 5 до 60 об!мин. На оис. 5.5.1
ot 5 до 60 об!мин. На оис. 5.5.1
Ra/K@ = ReiKp = G — Та"%(6)
где согласно [4, 6] для двух свободных границ слоя при постоянной разности температур ЛТ на них Ci = 8,7. В нашей экспериментальной установке, описанной в [3], верхняя граница свободная, нижняя твердая и на обеих задан поток тепла. Тогда согласно расчетам авторов G = 2,4, а размеры треугольной решетки при тех же числах Ra и Та, что и в случае двух свободных границ, отличаются лишь на 5% в большую сторону.
Поток тепла в нашей установке контролировался на обеих границах: сверху — по методике, описанной в [2]; снизу — термопарой (см. [3]). Другая термопара позволяла контролировать профили температур с относительной точностью в 0,01 К и пространственным разрешением 0,1 мм. Толщина слоя воды изменялась от 2,5 до 10 см, a Q —
представлены вертикальные профили разности температуры для Ray = =2,7 • 106 в зависимости от вращения: Та = 0 (/), 2,6 • 106 (2), 1,0 • 107 (3), 4,2 • 107 (4), 9,4 • 107 (5); кривая 6 соответствует чисто молекулярному линейному профилю. Эти профили не зависят от того, измеряем ли мы их в центре сосуда или на некотором расстоянии от него. В отсутствие вращения профиль вне верхнего пограничного слоя (нижний здесь не рассматривается) практически постоянен с безразмерной высотой Z = Дд/Д, где Дд — высота спая термопары над дном, как это хорошо известно для развитой конвекции (та же ситуация согласно нашим экспериментам существует и при нерегулярном режиме конвекции во вращающемся слое). Основное падение температуры происходит в пограничном слое толщиной 0,8 < Z < 1. Анализ этих и 20 других профилей показал что величина градиента температуры Л^Т ос 2Q/^ и слабо зависит от потока тепла. Учет этого фактора позволяет записать из соображений размерности
△。T =1k財/4 =色口.(7)
Величина П определяется в основном 2С/九，а слабая зависимость от потока тепла 〜尸$ частично компенсируется зависимостью mo
лекулярных коэффициентов жидкости (дистиллированной воды) от температуры. На рис. 5.5.2 представлена регрессионная зависимость
△修Т от П для разных глубин Д, потоков / и угловых скоростей Q. При изменении обеих величин на полтора порядка линейная зависимость выполняется с коэффициентом корреляции г = 0,979, а величина С?= =2,21. Вообще говоря, величина С? может быть некоторой функцией числа Прандтля.
Оказывается, что зависимость (7) имеет глубокий смысл. Введем число Нуссельта как отношение коэффициентов эффективного теплового перемешивания в жидкости ке = = f(pCpJT『 к молекулярному к. Тогда с учетом (7), (5), (4) и (1) можно получить
Nu = Сз • Ra3 • TV2,J =。厂=0?042.(8)
Соотношение (8), описывающее теплопередачу во вращающемся слое, замечательно тем, что при этом поток тепла через слой не зависит от его толщины h. Именно это обстоятельство приводит при развитой конвекции и Q = 0 к известному закону Nu = С4 • Ra1/3, с константой С4, зависящей от типа граничных условий. Поэтому можно ожидать, что и здесь (с точностью до коэффициента) соотношения (8) или (7) обладают некоторой универсальностью; это мы и попытаемся проверить.
Вообще говоря, предположение о независимости теплопередачи от глубины вращающегося слоя само по себе является очень естественным, а тогда соотношение (8) можно писать сразу, из чего уже выводить соотношение типа (7), хотя зависимость коэффициента С? от числа Прандтля должно определяться экспериментально.
Из (8) следует, что при Nu = 1, т. е. в момент возникновения конвекции, Ra = Raj<p =/ * 丁川戸=2,88 • Та2^3. Напоминаем, что величина С? найдена из экспериментов. Согласно расчетам [3] для наших граничных условий Raj<p ~ 2,4 • Та2^3, т. е. наш эксперимент (при Та〉106) и теория дают одну и ту же зависимость с различием в значениях численных экспериментов в пределах 20%.
Из (8) также следует, что на плоскости lg Ra, IgTa изолинии Nu = =const являются прямыми с наклоном 2/3, так как Ra ос Та2/3. Этот факт уже давно установлен при исследовании теплопередачи через вращающийся слой жидкости с обеими твердыми границами [7], где отмечалось, что линии Nu = const при больших Та стремятся быть
параллельными критической кривой устойчивости Влк@ = 8,7 • Та2^3. Из (8) имеем, что изолинии Nu разнесены в пространстве пропорционально Nui/з. Обработка результатов [7], полученных для максимального Та = 3 • 107, показывает, что с ростом Nu изолинии действительно сближаются как Nu。， причем а ^ 0,45, и очевидна тенденция к их дальнейшему сближению. Таким образом, если бы опыты [7] проводились при больших Та, следовало бы ожидать лучшего согласия наших результатов с [7] и по этому весьма тонкому свойству. Наши данные, представленные на рис. 5.5.2, получены при 2,7 • 106 < Ray < 4,0 • 109 и 7-106<Та<5-1010, т.е.по числу Тэйлора перекрытие наших опытов с [7] очень невелико.
В размерных переменных соотношение (8) показывает очень сильную зависимость потока тепла от параметров жидкости и скорости вращения:
/ = ^C3pcpvk-\ag^^T/^\ (8‘)
Зависимость (8‘)вызывает некоторую неудовлетворенность тем, что / ос 卜―2. Если предположить, как и в отсутствие вращения / ос /с2/3, тогда Сз ос Р】8/з, а С2 ос Рг2^3. Обработка точек, представленных на
рис. 5.5.2, в этом случае дает больший коэффициент корреляции г = 0,993. Строго говоря, наши результаты нельзя распространять до критической кривой, где Nu = 1, поскольку согласно [3] кривая Ra = Влк@ не зависит от Рг, но если это сделать при нашем среднем Рг ^ 4,5, то коэффициент 2,88 заменится на 2,45 и согласие с расчетами [3] будет еще лучше. В целом, однако, зависимость наших коэффициентов от числа Прандтля должна определяться специально.
Горизонтальная структура поля температуры изучалась при движении термопары относительно вихревой конвективной решетки. На рис. 5.5.3 представлены записи пульсаций температуры на расстоянии 1,5 см от
центра при периоде обхода решетки
6,6 мин. В этом эксперименте Ra/ = 1,7 • 108, Та = 2,3 • 109, Д = 5 см, / = 450 Вт/м1, среднее расстояние между вихрями 1,03 см — около
1 мин. во временном масштабе рис. 5.5.3. Вблизи поверхности, Z =1 мин. во временном масштабе рис. 5.5.3. Вблизи поверхности, Z ==0,98, с которой идут испарение и теплоотдача, преобладает опус
1 мин. во временном масштабе рис. 5.5.3. Вблизи поверхности, Z =
1 мин. во временном масштабе рис. 5.5.3. Вблизи поверхности, Z =
кание холодной жидкости в вихрестоках и расстояние между минимумами соответствует пространственной структуре (отсутствие полной регулярности связано с тем, что термопара не обязана проходить через
центры вихрей). На нижней границе, Z = 0,02, цилиндры подъема теплой жидкости выражены гораздо резче, чем области опускания, т. е. на пути термопары одному вихрю соответствуют два максимума. Примерное удвоение пространственной частоты от Z = 0,98 к Z = 0,02 очевидно. В середине слоя при Z = 0,51 зоны поднятия и опускания по
площадям примерно уравновешиваются.
нанананаРазмах колебаний температуры записях, аналогичных приведенным
на
на
на
на
рис. 5.5.3, соответствует изменениям температуры в вихре от центра к периферии. На рис. 5.5.4 приведены значения среднеквадратичных уклонений пульсаций температуры а для эксперимента, часть записей которого дана на рис. 5.5.3, в зависимости от безразмерной глубины Z. Видны слабые, но регулярные изменения в основной части слоя и резкий рост в пограничных слоях. Величина о слабо зависит от скорости вращения и толщины слоя, но заметно от величины потока тепла. Наша не очень большая статистика показывает, что а ос
ос /п, где 八 ^ 0,4. Естественно, что изменение граничных условий меняет и зависимость а от глубины. Характерно, что третий момент (асимметрия) пульсаций на глубине около Z = 0,9 меняет знак от отрицательного на положительный. Это говорит о том, что отрицательные выбросы температуры, связанные с опусканием термиков, сменяются на положительные, вызванные прохождением областей подъема.
Таким образом, экспериментально установлено, что вертикальный градиент температуры при регулярной конвекции во вращающемся слое пропорционален в основном Q/Д. Осмысление этой зависимости с точки зрения размерности помогло установить закон теплопередачи через такой слой с резкими зависимостями от внешних параметров (8). Следствия из этого закона согласуются с рядом независимых экспериментальных и теоретических результатов. Горизонтальная структура поля температуры оказывается тесно связанной с вихревой структурой конвекции.
Авторы выражают глубокую благодарность проф. Россби за присылку результатов работы [7] по определению зависимости Nu = Nu (Ra, Та) в подробной табличной форме.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Б. М. Бубнов, Г. С. Голицын, ДАН, т. 281, №3 (1985).
В. М. Boubnov, G. S. Golitsyn, J. Fluid Meeh., v. 167 (1986).
Б.М. Бубнов, Изв. АН СССР. МЖГ, №6 (1987).
Y. Nakagawa, Р. Frenzen, Tellus, v. 7, № 1 (1977).
В. П. Гончаров, В. М. Гряник, ЖЭТФ, т. 91, № 11 (1986).
S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford, (1961).
H.T. Rossby, J. Fluid Meeh., vol. 36, №2 (1969).
§ 6. Режимы конвекции на различных вращающихсягеофизических и астрофизических объектах 9
Введение
Александр Михайлович Обухов всегда глубоко интересовался гидродинамикой самых различных природных объектов. В 1964 г. он предложил молодому кандидату наук (автору данной статьи) совместно с также молодым доктором физико-математических наук Василием Ивановичем Морозом подготовить обзор данных наблюдений движений в атмосферах других планет [1], высказав при этом мысль, неоднократно потом многими повторявшуюся, что знание атмосферной динамики на других планетах поможет нам лучше понять свою собственную планету Земля. Он неизменно поддерживал автора при разработке теории подобия циркуляции планетных атмосфер (см. [2]), живо интересовался конвективными процессами на Солнце. С 1983 г. в Институте физики атмосферы АН СССР начались систематические экспериментальные работы по изучению конвекции во вращающемся слое жидкости охлаждаемом сверху или подогреваемом снизу, проводимые Борисом Михайловичем Бубновым. Александр Михайлович внимательно следил за их развитием. В данной работе предлагается краткий обзор основных результатов этих и близких к ним работ и описаны их приложения к ряду природных объектов.
Все природные объекты вращаются. Диапазон периодов для тех из них, к которым применимо гидродинамическое описание (и которые рассматриваются здесь), простирается от миллисекунд (нейтронные звезды) до многих месяцев (Венера, где Г = 224 сут = 1,94 • 107 с). Если источник движений внутренний, то конвекция, по крайней мере в небольших масштабах, может рассматриваться как свободная. Если основной источник энергии внешний, как Солнце для планетных атмосфер, то свободная конвекция может наблюдаться лишь в пограничном слое вблизи поверхности, а глобальная неравномерность разогрева поверхности сферического объекта внешним источником ведет к общей циркуляции атмосферы, режимы и структуры которой могут быть расклассифицированы в зависимости от свойств объекта и его атмосферы и интенсивности источника [2]. Возможны случаи, когда внутренние и внешние источники тепла сравнимы по величине
1) См.①АО, т.27, №1, 1991.
(Юпитер, Сатурн, Нептун), и тогда преобладание (по кинетической энергии) мелкомасштабной конвекции или общей циркуляции будет зависеть от высоты и химического состава атмосферы, определяющего поглощение солнечного и теплового излучения.
В настоящее время конвекция вращающегося горизонтального слоя жидкости изучена достаточно подробно, чтобы попытаться применить ее для широкого класса природных объектов и получить для конкретных из них какие-то проверяемые или наблюдаемые результаты. Из этих результатов упомянем прежде всего расчеты Чандрасекара [3, 4], Накагавы и Френзена [5], Бубнова и Сенаторского [6] кривых устойчивости (возникновения движений) для различных типов граничных условий на скорость и температуру, в том числе с заданием потока тепла, классификацию режимов конвекции на регулярные и нерегулярные [7], которые в свою очередь делятся на геострофические и обычную термическую конвекцию, когда влияние вращения на мелкомасштабные движения мало [9, 10]. Для нерегулярных режимов, а именно они, как увидим далее, характерны для природных объектов, теоретически оценены и экспериментально достаточно большой статистикой лабораторных опытов проверены зависимости от внешних параметров таких величин, как характерные пространственные и временные масштабы конвекции, среднеквадратичные скорости флуктуации температуры и ряд других характеристик [9, 10].
Желание оценить скорости в жидком ядре Земли послужило первоначальной мотивацией [11, 12] всего обширного круга исследований, сводка результатов которых будет приведена ниже. Другие объекты, которые здесь будут рассмотрены, — это планетарный пограничный слой Земли, конвекция в океане, базальтовые магмы, атмосфера Юпитера, солнечная грануляция, холодные и горячие нейтронные звезды, диски аккреции вещества вблизи черных дыр. Вероятно, это основная часть природных объектов, материальные свойства которых и источники энергии мы умеем хоть как-то оценивать. Наша цель — расклассифицировать эти объекты по режимам конвекции и оценить характерные значения их скоростей и флуктуации температуры, т. е. плотности. Последняя величина может пригодиться для оценки флуктуации показателя преломления электромагнитных волн, проходящих через такую среду.
Сводка результатов по конвекции вращающейся жидкости
Теоретические результаты относятся к горизонтальному слою и получены в приближении Буссинеска. Последнее справедливо, если вертикальный масштаб движений много меньше характерного масштаба ср/ад, а — коэффициент термического расширения среды, ср — ее теплоемкость при постоянном давлении, д — ускорение силы тяжести [13]. Для движений в атмосферах с вертикальным масштабом, сравнимым с высотой однородной атмосферы, следует использовать приближения более точные, чем Буссинеска (см. Зейтунян [14] и литературу там).
Основными критериями подобия для плоского горизонтального вращающегося слоя жидкости являются числа Рэлея, Тейлора и Прандтля:
Ray = agfh^/pCpk^v, Та = 4便九‘/产，р】=^/卜，(1)
где h — толщина слоя, через который проходит поток тепла /; /с и ^ — коэффициенты температуропроводности и кинематической вязкости, Q — угловая скорость вращения. Если на границах слоя задается разность температур АТ, то удобнее определить обычное число Рэлея:
Ra = адХГЬ3/ки,(2)
которое связано с числом Рэлея по потоку Ray через число Нуссельта
Nu = Ray / Ra = fh/pcpk/\T.(3)
Число Нуссельта показывает, во сколько раз реальный поток тепла через жидкость / больше молекулярного в отсутствие движений. Рассмотрение баланса энергии в слое жидкости с конвекцией показывает, что скорость генерации (и диссипации в статистически стационарном случае) выражается точными соотношениями [15, 16] независимо от величины Q, так как сила Кориолиса не производит работы:
£ = (ад//*) (1 — NJ),(4)
которое при Nu》1 сводится к формуле Прандтля-Обухова [17, 18]
£ = agf /рср = RaNA^z///?4).(4а)
Критическая кривая возникновения конвекции в линейной постановке задачи является функцией всех трех критериев подобия (1), однако, если отвлечься от колебательной моды неустойчивости, отсутствующей при Q = 0, то остается зависимость Ray = Ra на этой кривой лишь от Та. При Та > 106 уже достаточно хорошо действует асимптотика [3-5]
Racr = ki Та2/3,(5)
где коэффициент к分 зависит от типа граничных условий для скорости и температуры. Величина к分 имеет наименьшее значение (2,39) для потока тепла, фиксированного на обеих границах, и условия прилипания внизу и верхней свободной границе слоя. При задании температур на границах слоя величина ki возрастает и равна 8,72, если обе границы свободны, и 8,09 для обеих твердых границ [6]. При этом критическое волновое число.
腕Т=电！^/6,(6)
где величина。分 меняется для всевозможных типов граничных условий от 1,20 до 1,56 (см. [6]).
Все дальнейшие результаты, прежде всего экспериментальные, содержатся в статьях Бубнова и Голицына [7-10], и мы не будем делать на них специальных ссылок. К критической кривой примыкает область значений Ray и Та, разделяющая регулярные и нерегулярные
Рис. 5.6.1. Режимы конвекции вращающегося слоя жидкости: / — покой, II — область регулярных движений, III — область геострофической нерегулярной конвекции, IV — область термической конвекции, где влияние вращения несущественно; а — критическая кривая возникновения конвекции, Ъ — граница между регулярным и нерегулярным режимами при Рг = 0,5, с — граница между геострофической и обычной термической конвекцией при Рг = 1, с7 — то же при Рг = 104; / — область параметров проведения экспериментов [7-10], 2 — область значений параметров для базальтовой магмы [22], 3 — океан, h = =200 м, 4 — атмосферный погранслой, 5 — атмосфера Юпитера, 6 — горячая нейтронная звезда, 7 — Солнце, грануляция, 8 — океан, h = 2 км, 9 — холодный пульсар, 10 — диск аккреции, 11 — жидкое ядро Земли, 12 — недра Юпитера
режимы конвекции. Линия Ra/仇 идущая посредине этой области (см. рис. 5.6.1) также имеет асимптотику Та"% но в области параметров Ra, Та она идет на полтора порядка выше первой критической кривой (5). Другая интерпретация кривой, разделяющей регулярные режимы от нерегулярных на плоскости Ray и Та, связана с введением числа Прандтля:
Ra/ь = G Та2/3 PL% @ = 2,6 • 105. (7)
Однако она получена обработкой данных опытов при 3 < Рг < 7, т. е. в узком диапазоне чисел Прандтля, и ее справедливость вне этого интервала значений Рг должна быть изучена специально.
На основе соображений теории подобия и размерности и «правила скорейшей реакции» [13, 16] была предложена оценка для масштаба скорости при нерегулярных движениях, когда они испытывают сущест-
венное влияние силы Кориолиса [11, 12]:
“ =C^agf/2pcp^x^ = *鹏覓・(8)
Согласно измерениям, С2 = 1,7 ± 0,1. Независимые измерения Фернандеса и Бойера [19] хорошо согласуются с этой оценкой и дают Q = =1,6 ±0,2. Как хорошо известно, мерой влияния силы Кориолиса на движения является число Россби Ro = U/2QL, отношение относительного вихря U/L к абсолютному. Вращение существенно при Ro « 1. Используя в качестве масштаба скорости величину (8), а длины — вертикальный масштаб движений 九，с помощью соотношений (4а) и (1) можно получить выражения для кривой с на плоскости Ra/, Та, для которой Ro = 1:
Ra/C = Pr2Ta3/2.(9)
Выше кривой с вращение будет мало сказываться на структуре движений, т. е. для различных оценок можно привлекать результаты обычной теории конвекции при Q = 0, а ниже этой кривой вращение будет существенно: при Ro < 0,2 движения уже можно считать геострофическими, т. е. для них градиент давления уравновешивается силой Кориолиса. В конкретных условиях проверки геострофичности проще пользоваться прямым условием
Ro = U/2QE = C2£i/2(2Q)—3/2 拉—1 < 1,(10)
куда не входят молекулярные коэффициенты, зачастую известные лишь по порядку величины. Однако для общей ориентировки в режимах конвекции следует пользоваться плоскостью Ra/, Та с учетом числа Прандтля Рг.
Как хорошо известно, для свободной конвекции над плоскостью при несущественности вращения масштаб скорости [18]:
= (ад/2/»/з =(£2)1/з,(Н)
где 2 — текущая высота над плоскостью, а масштаб флуктуации температура:
% =(〃仆° 产 з(ад2)т/з.(12)
Сравним выражения для масштабов скоростей в геострофической области (8) и (11). В терминах безразмерных критериев подобия (1) их отношение равно при z = h
и/иТ = £i/6(2C)T/2『i/3 = Ra}/6Ta-1/4 Рг-1/3.(13)
Когда это отношение равно 1, получаем в точности соотношение (9). Таким образом, другая интерпретация кривой с на рисунке режимов конвекции состоит в том, что на ней сравниваются масштабы скоростей движений для свободной термической конвекции и для геострофической конвекции.
Закон теплопередачи для области регулярных движений на основе измерений получен в виде
Nu = Сз Ra3 Та-2, С3 < 4 • 10~2.(14)
Эта зависимость характерна двумя замечательными обстоятельствами: во-первых, поток тепла / не зависит от толщины слоя h, как при достаточно развитой конвекции при Q = 0, где Nu ос Ra1/3, и, во-вторых, на изолиниях Nu = const имеем Ra ос Та2^3, т. е. они идут параллельно критической кривой. На последнее обстоятельство указывали еще измерения Т. Россби [20]. Благодаря указанным двум обстоятельствам можно ожидать, что соотношение (14) (может быть, с другим численным коэффициентом Сз) асимптотически останется верным и для нерегулярных геострофических конвективных движений. Вне области геострофики будет действовать обычный закон Nu ос ос Ra1/3 (т.е. Nu ос Ra，') и на плоскости Ray, Та изолинии Nu = const будут сначала постоянны с ростом числа Тейлора, а затем расти с приближением к кривой с, приобретая в геострофической области асимптотику Та2^3. Определение границ области перехода и характера зависимости в ней изолиний Nu = Nu (Ra/, Та, Рг) остается де лом будущего. Однако качественные соображения можно высказать сразу. Опыты Россби показывают, что изолинии Nu = const на плоскости Ra, Та идут примерно параллельно оси Та вплоть до Та 〜104-106 (зависимости от того, насколько они выше критической кривой), поэтому можно попытаться определить центр области перехода изолиний Nu от режима Nu ос Ra1/3 ос Ra1/4 к режиму Nu = Сз Ra^ Та-2 ос d 3/4 гр —1/2и
ос Ra/ ia / как линию, где обе асимптотики пересекаются, т. е. где Ra}/4RaJ/4Ta1/2, откуда Ra/ ос Та. Коэффициент пропорци
ональности может быть функцией числа Прандтля. Таким образом, в этом предположении переход от одного режима теплопередачи к другому происходит где-то вблизи биссектрисы области III, области геострофической конвекции на рисунке. Необходимы экспериментальные определения законов теплопередачи при конвекции вращающейся жидкости. Отметим, что, согласно (14), Nu ос AT4Q-4, т. е. появляется возможность резких изменений теплопередачи при изменении угловой скорости вращения слоя и разности температур.
Характерный временной масштаб конвекции определяется процессами в пограничном слое и при Q = 0 оказывается равным [13]
丁 =Ra；1/2 = С&р『心д》У&12,5.(15)
В области нерегулярной геострофической конвекции это соотношение сохраняется, однако численный коэффициент примерно втрое больше и равен & = 37 ± 5. Была определена и зависимость среднеквадратичных флуктуации температуры от внешних параметров. Со-
обряжения подобия и размерности, соотношение термического ветра с масштабом скорости (8) и некоторые другие — все дают
病=C^f/ад рср.(16)
Измерения хорошо подтверждают эту зависимость при С5 = 0,42. С помощью критериев подобия (1) и (2) эту формулу можно переписать как
% = С6ЛТТа1/4 Ra}/2/Ra, С6 = (С5/2)1/2 = 0,46.(17)
Характерно, что величина 。丁， согласно измерениям (и теории), не показывает какой-либо зависимости от величины высоты слоя Д и вертикальной координаты измерений, за исключением, может быть, тонких термических пограничных слоев, толщину которых можно оценить из закона теплопередачи (11):
8 ^ 2h/Nu = 2ДС7Та1/2 Ra；3/4 = С7^^и~^\рср/ад^^ = = lk^rkPr-^2, (18)
где /к п 丁卜一колмогоровские микромасштабы длины и времени, а С7 = =2cJ"》2。1/2 4,5 согласно (14).
Материальные и физические параметры рассматриваемыхобъектов
Здесь будет сводка всех величин, входящих в формулы предыдущего раздела для перечисленных во введении объектов. Некоторые из них, такие как угловые скорости, мы знаем с высокой точностью, другие, та кие как молекулярные и кинетические параметры, являются существенными функциями температуры и (иногда) давления, и мы будем брать лишь характерные их значения. Для экзотических объектов — нейтронных звезд и дисков аккреции, а также базальтовых магм — мы будем брать лишь характерные порядки величин. В табл. 5.6.1 собраны эти величины для наших объектов.
Ограничимся лишь самыми краткими комментариями к оценкам параметров, входящих в эту таблицу. Первые две строки оставим без комментариев ввиду их обыкновенности. Впервые на возможность влияния вращения на конвекцию в полостях с базальтовой магмой (размеры 1-10 км по высоте и заметно больше по горизонтали; они питают вулканы) обратил внимание Гриффите [21], откуда и взяты характерные значения параметров (гранитные магмы, согласно этому автору, благодаря существенно большим значениям вязкости, не испытывают влияния вращения). Для жидкого ядра Земли, движения в котором ответственны за под держание геомагнитного поля, мы воспользовались данными Вуда [22], соответствующими расплавленному железу. Величина потока тепла может быть оценена следующим образом. Губбинс и Мастере [23] оценили, что для поддержания гео-
2
}• 5・ конбекциА
Параметр
Погран- слой Земли
Океан
Базальтовая магма
Жидк. ядро
Атмосф. Юпитера
Грануляция Солнца
Диск аккреции
Нейтронные
Океан, глубокая конвекция
Юпитер, недра
холодная
горячая
a,l
ю-4
ю-4
ю-4
10-4
2,5 • КГ，
4・ 1(Г6
4- 102
4- 103
4- 103
ю-4
2,5 • 1(Г4
/, Вт］症
100
100
0,3
0,1
10
6- 107
3- 1020
1019
1022
100
10
f/pcp, мК/с
0,08
2,4 • КГ5
10-6
1,5-10-7
10~2
3- 107
3- 1013
2- 105
2- 109
2- 10-5
ю-6
д, м/У
10
10
10
10
25
270
3- 109
1012
1012
10
30
а, к
3,5・ 1(Гз
2- IO-4
6・ 1(Г5
4・ 1(Г6
6 • КГ?
1,7 • КГ，
10-7
10-7
ю-9
ю-4
2-10~5
h, м
103
200
3- 103
2- 106
2-104
3- 105
2- 104
0,2
10
2- 103
107
^2/с3
з- ю-3
5,10-8
6 • 10-1°
10~12
7 • КГ’
1,4- 106
1036
2- 1010
ю12
2 • КГ®
10-9
к, м%
2-10~5
1,4 • КГ’
10-6
10-6
2- IO-4
1
0,25
10-8
10-3
1,4 • 1(Г 7
10-6
〃，м1 /с
1,5 • 1(Г 5
10-6
10-2
10-7
2- IO-4
1
4- 10~3
10-8
10-3
10-6
10-7
Ra/
5-1023
2- 1021
ю19
2- 1031
2- 1024
1026
2- 1032
3- 1030
1025
2- 1025
1038
Та
2- 101
6- 1013
4- 1010
6- 1031
2- 1016
2- 1013
1029
1021
1018
6- 1017
3- 1035
Таблица 5.6.1. Параметры рассматриваемых объектов
магнитного поля против диссипации из-за омических потерь нужна мощность порядка 1013 Вт. Через внешнюю границу жидкого ядра на расстоянии 3485 км от центра Земли тогда плотность потока должна быть порядка 65 мВт/м1, а проектируя эту величину на поверхность Земли с радиусом 6470 км получаем порядка 20 儿吕粗/儿2, в то время как средняя величина геотермического потока на земной поверхности равна 75 мВт/м2. Таким образом, на поддержание геодинамо идет порядка 1 /4 мощности, выделяемой нашей планетой. Внутренний радиус жидкости ядра равен 1225 к儿，поэтому для центральных его слоев берется оценка / = 0,1 Вт/м1. Наиболее вероятный источник тепла для жидкого ядра — химическое разделение вещества на границе ядра и нижней мантии, когда более тяжелая фракция тонет, а легкая поднимается [13, 23, 24].
Для Юпитера мы взяли параметры при давлении р = 1 атм (напомним, что верхняя граница облачности находится при 0,5 атм). Кинетические коэффициенты k п оценивались здесь (и для всех остальных объектов) из соотношения к, и 〜сА, где с — скорость звука, А — длина пробега. Отсюда и согласно определениям (1) имеем Ray ос ос 0—4, а Та ос р~2, т. е. могут найтись глубины с ростом плотности, на которых вращение будет играть большую роль, чем в облачном слое. Значения параметров в атмосфере и в более глубоких слоях, где водород, основная компонента на Юпитере, переходит в металлизированное состояние, взяты согласно Хаббарду [25] и Жаркову [26]. Размер Д = =104 км составляет заметную часть радиуса Юпитера 70000 км. Современные модели внутреннего строения планеты не исключают у нее твердого скального ядра с радиусом до 20000 км [26]. Для металлизированного водорода (как и любой жидкости) имеется внутренний масштаб, связанный с ее расслоением в поле силы тяжести [16, 19], равный Н ср/ад. При ср 104 Дж/{кг • К), а 2 • 10-5 К и д
25 ж/с2 имеем Н = 2 • 107 ж = 20 тыс. км. Для воды, на которой отработаны все соотношения, этот масштаб равен 2000 км. Поскольку на Юпитере этот масштаб того же порядка (а, может быть, и меньше), что и радиус, к результатам для его глубоких недр следует относиться с известной осторожностью, хотя вряд ли здесь возможны ошибки на порядки величин. Заметим, что для жидкого ядра Земли этот масштаб равен 108 м = 105 км и здесь в этом смысле все в порядке.
Для чисто астрофизических объектов — нейтронных звезд и дисков аккреции материи вблизи черных дыр параметры нам были любезно сообщены Р. А. Сюняевым вместе с литературными ссылками, за что автор ему премного благодарен. Описание этих объектов можно найти в [27-30]. Холодные нейтронные звезды — это обычные пульсары с радиусом порядка 10 км. Значение периода вращения в 1,5 мс сейчас является рекордным из зарегистрированных по скорости вращения, а все остальные имеют большие периоды. Атмосферы нейтронных звезд представляют собой гелиевую вырожденную плазму. Их горячее состояние соответствует так называемым барстерам, на которых происходит
реакция сгорания атомов гелия в углерод, что повышает температуру в зоне горения на два порядка до 109 К. Отметим еще, что для диска аккреции взята радиационная вязкость.
Диски аккреции состоят из смеси протонов, электронов, гелия и других атомов, согласно их космической распространенности, поэтому средний молекулярный вес в расчетах принят 0,6. Для всех астрофизических объектов стоит проблема оценки скоростей переноса вещества, перемешивания, т. е. нужны оценки скоростей конвективных движений.
Режимы конвекции и некоторые ее характеристикидля различных объектов
Все наши объекты представлены на диаграмме режимов конвекции на рис. 5.6.1 в координатах число Рэлея по потоку, Ra/, и число Тейлора. Кривая а — нейтральная кривая устойчивости, ниже которой область покоя I. Пунктирная кривая b показывает область перехода от режима регулярных вихревых решеток II к области нерегулярных движений. Последние делятся кривой с на область III геострофической конвекции и область IV, где влияние вращения мало и применимо описание обычной термической турбулентной конвекции. Следует отметить, что кривые b п с существенно зависят от числа Прандтля. На рисунке они построены при Pr = 1. На кривой с Ra/ = Рг2 Та3^2, а кривая b пропорциональна Рг-4, правда, по измерениям в ограниченном интервале 3 < Рг < 7. Таким образом, для малых чисел Прандтля, характерных для жидких металлов, кривая b должна двигаться вверх параллельно себе, а кривая с — вниз.
Характерно, что нет природных объектов в регулярной области II. Посередине между обеими кривыми бис находятся жидкие недры Земли и Юпитера и диски аккреции. Остальные объекты группируются вблизи кривой с по обе ее стороны. Это связано прежде всего с большими энерговыделениями, т. е. потоками тепла, проходящими через эти системы.
В табл. 5.6.2 представлены значения характеристик конвекции для наших объектов.
Прочерки поставлены там, где расчет величин явно не имеет смысла, так как объект находится далеко от границы раздела зоны влияния вращения и его отсутствия. Такой объект, как глубокий океан, находится вблизи самой границы раздела, т. е. характеристики глубокой конвекции можно оценить и обычными формулами. Однако организация конвекции в зимних морях до дна в виде труб диаметром в несколько километров заставляет думать, что сила Кориолиса здесь играет важную роль, хотя наш простой подход не дает никаких объяснений.
Планетарный пограничный слой в конвективных условиях (а не при устойчивой стратификации!) практически не испытывает влияния вращения Земли в смысле определяемых здесь параметров. Однако та-
Таблица 5.6.2. Параметры конвекции природных объектов
Объект
и, м/с
UT, м/с
Погранслой Земли
—
1
0,1
Океан, h = 200 м
4- IO-2
2,2 • 1(Г2
1,4 • 10-2
Океан, h = 2 км
4- IO-2
4,6 • КГ?
6,5 • 10-3
Базальтовая магма
4•10~3
10~2
10-4
Жидкое ядро
1,7 • 10~4
—
1,7 • 10~4
Атмосфера Юпитера
2
2
3・ 10-3
Недра Юпитера
3- 10~3
—
10-5
Грануляция Солнца
—
7 • 103
500
Диск аккреции
ю7
2- 106
2- 106
Нейтронная звезда холодная
4- 103
2- 103
200
Нейтронная звезда горячая
4- 104
4- 104
3- 105
кой объект, как базальтовая магма, благодаря большой величине числа Прандтля, оказывается, вероятно, подчиняющимся условию геострофичности (10). На рис. 5.6.1 пунктиром показана зависимость (9) при Pr = 104 (см. [20, 21]). Если магматическая камера достаточно велика, то влияние вращения на движения в ней может быть существенным. Для небольших камер движения в них могут оцениваться и без учета вращения.
Остановимся подробнее на жидком ядре Земли и глубоких недрах Юпитера. Характерные здесь скорости движений — около 5 и 100 км/год. Отметим, что напряженности магнитных полей вблизи поверхностей этих планет находятся примерно в таком же соотношении: на Земле около 0,5 Гс, а на Юпитере — 10 Гс. Для Земли скорость 5 км/год для радиуса 2400 км — полусуммы внешнего и внутреннего радиусов жид кого ядра — такая скорость соответствует 0,1° в год. Это близко к скорости дрейфа недипольных компонент геомагнитного поля. Оценим величину магнитного числа Рейнольдса Rem = ul/ym. При 〃т = 3 儿2/с, I = 106 м = 103 км (полутолщина жидкого слоя в ядре) и и = 1,7 • 10-4 м/с получаем Rem = 60, т. е. условие действия геомагнитного динамо Rem》1, выполняется с запасом. Заметим, что Rem = 1 для движений с масштабом порядка 15 км. Для Юпитера магнитное число Рейнольдса при I = 107 м, “т 〜1 м1 /с п 〃 〜3 • 10-3 м/с равно 3 • 104. Рузмайкин и Соколов [31] получили оценку инкремента нарастания магнитного поля в динамо-процессе
Tm 〜(//豆)Re/.
Для Земли отсюда получаем тш 〜103 лет, что сравнимо с временами заметных вариаций геомагнитного поля. Для Юпитера величина 77n ~ 3 • 103 лет. Не будучи специалистом в проблеме динамо, автор на этом прекращает обсуждение.
Оценим, какому потоку массы соответствует скорость диссипации £ = 10-12 м2/с3 в жидком ядре. В процессе конвекции (см. [13, 16]) поток массы благодаря плавучести равен
m = (pfwf) = ap^w1} = agfp/pcpg = гр/д.
Здесь угловые скобки — осреднение по горизонтали, штрихи означают отклонения величины от ее среднего. При р = 104 кг/м3 и р = =10 ж/с2 от сюда получаем т = 10-9 кг! (ж2 • с) = 3 • 10-2 кг! (ж2 х х еоО). Если вся эта величина определяется дифференциацией на нижней границе мантии, то ее скорость движения вверх будет т/р, что в нашем случае составит 3 • 10-6 м/год, т. е. 3 км за миллиард лет.
Для астрофизических объектов отметим очень высокие скорости движений — порядка 104 км/с для дисков аккреции, нескольких километров в секунду для холодных нейтронных звезд и нескольких десятков кило метров в секунду для горячих барстеров.
Крупномасштабные движения в атмосферах нейтронных звезд
Крупномасштабной конвекцией, вызываемой неоднородностями нагрева атмосферы на изогютенциальных поверхностях силы тяжести, является общая циркуляция. Основными критериями подобия здесь являются вращательное число Маха П^ = С『/с, где г — радиус объекта, с — скорость звука, Пр = ВТ/figr = Н/г — отношение высоты однородной атмосферы к радиусу и Пм = rf /срсТМ, где Г — температура, М — масса столба атмосферы. Для холодной нейтронной звезды с наименьшим периодом в 1,5 мс значения этих критериев сведены
Таблица 5.6.3. Критерии подобия общей циркуляции для нейтронной звезды
Объект
几
口 g
Пм
п звезда
80
10-5
4 • КГ’
Юпитер
15
3・ 10—4
10-5
Венера
7- 10~3
10-3
ю-5
Земля
1,43
10-3
10-3
в табл. 5.6.3 вместе с быстро вращающимся Юпитером и медленно вращающейся Венерой [2].
Мы видим, что по критериям подобия П^ и Пм, не зависящим от Q, пульсар вполне близок к планетам в том смысле, что они также существенно меньше единицы и по ним можно ожидать автомодельности. Режимы циркуляции делятся в основном по вращательному числу Маха. Наш миллисекундный пульсар близок к Юпитеру, для которого характерно сосредоточение крупномасштабных движений в низких широтах. Ширина этого пояса пропорциональна П^1/2. Если на Юпитере ширина этой зоны порядка ±40° по обе стороны от экватора, то здесь они должны быть в (80/15)1/2 = 2,3 раза меньше, т. е. состав-
лять величину около 15°. Пульсары с периодом порядка секунды имеют 口以 <0,1, т. е. с этой точки зрения являются медленно вращающимися объектами. При П^ 〜1 движениями охвачены все широты, как у нас на Земле.
Отличие нейтронной звезды от планет в том, что ее собственный источник тепла, а не неравномерность разогрева планеты Солнцем, является движущей силой циркуляции, поэтому для оценки крупномасштабных скоростей приходится действовать так, как в случае с Солнцем [2, 32], для полной энергии движений в атмосфере которого была предложена формула К = (l/2)cj2r2IIM/2 = (1/2)с2Г[2 Пм. Для Солнца = 3 • 10-3. По аналогии для пульсара с П^ ~ 0,1 отсюда получаем U сЩпУ2 = 5 • 105 м/с • 0,1 • 2 • 10-2 = 103 м/с = =1 км/с. При радиусе 10 км возникающие на поверхности холодного пульсара неоднородности должны выравниваться за 10-30 с. Взгляд на табл. 5.6.2 показывает, что конвективные скорости здесь на полпорядка больше, но они мелкомасштабны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, В. И. Мороз, Тр. конференции по общей циркуляции, Москва, ноябрь 1964. Метеорологические исследования. М.: Наука, (1968). №16.
Г. С. Голицын, Введение в динамику планетных атмосфер. Л.: Гидрометеоиздат, (1973).
S. Chandrasekhar, Proc. Roy. Soc., v. A217 (1953).
S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and hydrodynamic stability. Oxford: Clarendon Press, (1961).
Y. Nakagawa, P. Frenzen, Tellus, v. 7 (1955).
Б. M. Бубнов, А. О. Сенаторский, Изв. АН СССР МЖГ, №3 (1988).
Б.М. Бубнов, Г. С. Голицын, ДАН СССР, т. 281. №3 (1985).
В. М. Boubnov, G. S. Golitsyn, J. Fluid Meeh., v. 167 (1986).
В. M. Boubnov, G. S. Golitsyn, Temperature and velocity fields in convective rotatingfluid layer. Paper presented at Euromech. Symp. 245. Cambridge, U.K. (1989).
В. M. Boubnov, G. S. Golitsyn, J. Fluid Meeh. (1990).
Г. С. Голицын, ДАН СССР. т. 251, №6 (1980).
Г. С. Голицын, ДАН СССР, 1981, т. 261. №2 (1981).
Г. С. Голицын, Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. Л.: Гидрометеоиздат, (1980).
R. Zeyounian Asymptotic modeling of atmospheric flows. Berlin: Springer, (1990).
Г. С. Голицын, Докл. АН СССР, т. 240, №5 (1978).
G. S. Golitsyn, J. Fluid Meeh., v. 96, №3 (1979).
L. Prandtl, Beitr. Phys. fr. Atmosph., b. 19, №3 (1932).
A.M. Обухов, Изв. АН СССР, Сер. геофиз., №9 (I960).
Н. I.S. Fernando, D. L. Boyer, R. Chen, Turbulent thermal convection in rotating fluid. Paper presented at Euromech. Symp. 245. Cambridge, U.K. (1989).
H. T. Rossby, Fluid Meeh., v. 36, p. 2 (1969).
R. M. Griffith, Earth and Planet. Sci. Letts., v. 85 (1987).
W. W. Wood, J. Fluid Meeh., v. 82, p. 2 (1977).
D. Gubbins, T. G. Masters, Adv. Geophys, v. 21 (1979).
С. И. Брагинский, Геомагнетизм и аэрономия, т. 4, №5 (1964).
W.B. Hubbard, Revs. Geophys. Space Phys., v. 18, № 1 (1980).
В. H. Жарков, Внутреннее строение Земли и планет. 2-е изд. М.: Физматгиз, (1983).
D.C. Backer, Millisecond pulsar survey. The origin and evolution of neutron stars, Eds: D. Helfand and Huang. I AU, Symp. № H25. Dordrecht, Holland: D. Reidel. (1988).
Э. H. Эргмаа, Итоги науки и техники. Астрономия, т. 21. Вспышки на звездах (сверхновые, рентгеновские источники, Солнце), Ред. Р.А. Сюняев. М.: ВИНИТИ, (1982).
М. Гильфанов, Р. Сюняев, Е. Чуразов и др., Письма в Астрон. журн., т. 15, №8 (1989).
М. Гильфанов, Р. Сюняев, Е. Чуразов. и др., Письма в Астрон. журн., т. 16, №2 (1990).
A. A. Rouzmaikin, D. D. Sokolov, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., v. 16. № 1 (1980).
Г. С. Голицын, Астрон. журн., т. 49. №2 (1972).
Глава 6
СТАТИСТИКА И ЭНЕРГЕТИКА ПРИРОДНЫХПРОЦЕССОВ И ЯВЛЕНИЙ
Статистика и энергетика тропических циклонов 9
Тропические циклоны (ТЦ) являются одними из самых разрушительных природных явлений. Согласно [1] ТЦ считаются образования со скоростью ветра V 20 м/с, при У > 33 м/с ТЦ к востоку от линии смены даты называются ураганами, а к западу — тайфунами в Тихом океане. Примерно 2/3 ТЦ сосредоточено в Тихом океане, большей частью в Северном полушарии (СП), несколько штук в Индийском, остальные — в северо-западной части тропической Атлантики [1, 2]. В среднем за год наблюдается 80 ТЦ с дисперсией 10%. Известны первые попытки воспроизведения ТЦ на моделях общей циркуляции атмосферы высокого разрешения с заданием климатологии температуры поверхности океана [3]. Авторы [3] довольно реалистично воспроизвели в годовой статистике число ТЦ и их географическое и сезонное распределение. Там же приведены максимальные скорости ветра в ТЦ.
Автору неизвестны эмпирические сводки данных по распределениям числа ТЦ в зависимости от их интенсивности, подобные тем, которые делаются уже десятилетия для землетрясений. Такого рода распределения важны для практических целей районирования по ожидаемому риску, для выработки правил по ураганостойкому строительству и для страхования от ожидаемого ущерба.
Динамически и термодинамически сходными образованиями являются полярные мезоциклоны (ПМЦ, Polar Lows), средние размеры которых порядка 200 км, т. е. в несколько раз меньше ТЦ. Об их «родстве» говорил еще Бержерон [4]. Они возникают зимой при распространении холодного полярного воздуха на открытый океан, что приводит к резкому усилению теплообмена между океаном и атмосферой. Так, в феврале 1988 г. в такой ситуации были измерены потоки до 2 кВт/м2 [5]. К сожалению, их статистика и динамика изучены гораздо слабее (см. [6] и весь выпуск этого журнала). Так, в известной книге [7], изданной в 1969 г., они не упоминаются, вероятно, из-за малых размеров и неясности их роли в общей циркуляции атмосферы.
1) См. ДАН, т. 354, №4, 1997.
Нетривиальным является вопрос о практическом определении интенсивности урагана. Оценки [2] показывают, что кинетическая энергия урагана порядка 1018 Дж, а полная энергия — кинетическая + потенциальная — на полтора-два порядка больше. Это было получено оценкой понижения температуры верхнего слоя океана в следе ТЦ. Определять энергию ТЦ по синоптическим картам — задача,
трудная технически и практически из-за недостаточности метеорологи
ческой информации над океанами. Здесь предлагается в качестве меры
интенсивности ТЦ использовать дефицит давления Ар в его центре. Величина Ар коррелирует с силой ветра и размерами ТЦ.
В нашем распоряжении оказались данные по 685 ТЦ, наблюдав
шимся в 1956-1986 гг. в северозападной части тропиков Тихого океана.
Эта выборка представляет () • 100% = 28 % от числа всех ТЦ. В
\31•80/
табл. 6.1.1 представлено распределение этих ТЦ в зависимости от △〃.
Для Тихого океана характерно значение р = 1010 гПа (儿бар).Для Тихого океана характерно значение р = 1010 гПа (儿бар).Вероятно, трудностьВероятно, трудность△@, гПа^(△p)1033201453012440915076605570618044902310019НО14△@, гПа^(△p)1033201453012440915076605570618044902310019НО14Таблица 6.1.1Таблица 6.1.1идентификации ТЦ при малых значениях △夕 обусловливает их малое число при Ар = 10 гПа. С разбросом порядка 10% произведение N△夕 для 20 W Ар < 80 гПа остается постоянным. Можно попытаться дать качественное объяснение этому положению (которое должно быть проверено на более полной статистике).
Для Тихого океана характерно значение р = 1010 гПа (儿бар).
Для Тихого океана характерно значение р = 1010 гПа (儿бар).
Вероятно, трудность
Вероятно, трудность
△@, гПа
^(△p)
10
33
20
145
30
124
40
91
50
76
60
55
70
61
80
44
90
23
100
19
НО
14
△@, гПа
^(△p)
10
33
20
145
30
124
40
91
50
76
60
55
70
61
80
44
90
23
100
19
НО
14
Таблица 6.1.1
Таблица 6.1.1
ТЦ, как и вся атмосферная циркуляция, имеют своим источником мощности солнечную энергию, в их случае запасенную в верхнем ква- зиоднородном слое (ВКС) океана. Ее мощность определяется солнечной постоянной 1370 Вт/症 и при среднем альбедо Земли 0,3 составляет 959 吕粗/儿2. Поскольку ТЦ за время своей жизни (в среднем 6 • 105 с — неделя) проходят тысячи километров, постоянно подпитываясь от ВКС, в том числе с расстояний порядка тысячи километров и более от центра ТЦ, то имеет смысл рассматривать полный поток солнечной энергии,
приходящей, скажем, внутрь полосы ±30° широты, т. е. половину полного притока солнечной радиации к Земле. Это составляет F = 6 х х 1016 Вт. Если взять полную энергию одного ТЦ равной 石分〜1020 Дж
[2], то получим время порядка получаса. ТЦ образуются с частотой в
сотни раз реже, что не удивительно, так как существует много других способов преобразования солнечной энергии; испарение, конвекция, общая циркуляция и т. д. ТЦ — достаточно редкий способ избавления от избытков энергии в ВКС. В данном рассмотрении важно, что частота образования ТЦ, пропорциональная △夕，в табл. 6.1.1, имеет масштаб F/Ei и если 石分(△夕，пропорциональна дефициту давления △夕分 то отсюда и следует постоянство N、р# По всей видимости, для очень
сильных ТЦ их энергия определяется не только величиной △夕，поэтому их число уменьшается быстрее, чем (Лр)-1. Наименьшее давление, наблюдавшееся в центре ТЦ, было 855 гПа [2].Для практических целей, например сейсмостойкого строительства, используются кумулятивные распределения, которые здесь записываются как N(》△夕)—число ТЦ с интенсивностью, равной или большей заданной величины △夕.График такого распределения в расчете на 1 год представлен на рис. 6.1.1 черными кружками /. Квадратами 2 там дано соответствующее среднеглобальное распределение, рассчитанное по данным [3], а треугольниками 3 — то же для северо-востока Тихого океана. Сравнение позиций / и 5 показывает, что модель [3] завышает число слабых и средних ТЦ, но не воспроизводит очень сильные Т около 100 км, пространственного р<сильных ТЦ их энергия определяется не только величиной △夕，поэтому их число уменьшается быстрее, чем (Лр)-1. Наименьшее давление, наблюдавшееся в центре ТЦ, было 855 гПа [2].Для практических целей, например сейсмостойкого строительства, используются кумулятивные распределения, которые здесь записываются как N(》△夕)—число ТЦ с интенсивностью, равной или большей заданной величины △夕.График такого распределения в расчете на 1 год представлен на рис. 6.1.1 черными кружками /. Квадратами 2 там дано соответствующее среднеглобальное распределение, рассчитанное по данным [3], а треугольниками 3 — то же для северо-востока Тихого океана. Сравнение позиций / и 5 показывает, что модель [3] завышает число слабых и средних ТЦ, но не воспроизводит очень сильные Т около 100 км, пространственного р<М^Ар) 100 рМ^Ар) 100 р1010111010△△□□△△△△口 口 △口 口 △□ △□ △123123□△□□△□△ □△ □очевидно,очевидно,Ар, гПаАр, гПаРис. 6.1.1.Рис. 6.1.1.100100из-за недостаточного,из-за недостаточного,
сильных ТЦ их энергия определяется не только величиной △夕，поэтому их число уменьшается быстрее, чем (Лр)-1. Наименьшее давление, наблюдавшееся в центре ТЦ, было 855 гПа [2].
Для практических целей, например сейсмостойкого строительства, используются кумулятивные распределения, которые здесь записываются как N(》△夕)—число ТЦ с интенсивностью, равной или большей заданной величины △夕.График такого распределения в расчете на 1 год представлен на рис. 6.1.1 черными кружками /. Квадратами 2 там дано соответствующее среднеглобальное распределение, рассчитанное по данным [3], а треугольниками 3 — то же для северо-востока Тихого океана. Сравнение позиций / и 5 показывает, что модель [3] завышает число слабых и средних ТЦ, но не воспроизводит очень сильные Т около 100 км, пространственного р<
сильных ТЦ их энергия определяется не только величиной △夕，поэтому их число уменьшается быстрее, чем (Лр)-1. Наименьшее давление, наблюдавшееся в центре ТЦ, было 855 гПа [2].
Для практических целей, например сейсмостойкого строительства, используются кумулятивные распределения, которые здесь записываются как N(》△夕)—число ТЦ с интенсивностью, равной или большей заданной величины △夕.График такого распределения в расчете на 1 год представлен на рис. 6.1.1 черными кружками /. Квадратами 2 там дано соответствующее среднеглобальное распределение, рассчитанное по данным [3], а треугольниками 3 — то же для северо-востока Тихого океана. Сравнение позиций / и 5 показывает, что модель [3] завышает число слабых и средних ТЦ, но не воспроизводит очень сильные Т около 100 км, пространственного р<
М^Ар) 100 р
М^Ар) 100 р
10
10
1
1
10
10
△
△
□
□
△
△
△
△
口 口 △
口 口 △
□ △
□ △
1
2
3
1
2
3
□
△
□
□
△
□
△ □
△ □
очевидно,
очевидно,
Ар, гПа
Ар, гПа
Рис. 6.1.1.
Рис. 6.1.1.
100
100
из-за недостаточного,
из-за недостаточного,
Энергия Солнца, запасенная в ВКС, отдается в атмосферу в тропиках главным образом в виде водяного пара (число Боуэна, отношение потоков явного тепла к скрытому, Bq = 0,1-0,2, в высоких широтах Во ~ 2). Поскольку водяной пар легче воздуха, то его ввод в атмосферу придает воздуху вблизи поверхности дополнительную плавучесть. При достижении уровня конденсации выделяется тепло конденсации и это поддерживает конвекцию. Сочетание целого ряда условий иногда приводит к развитию (довольно частых) тропических возмущений в ТЦ. Если конвекция достигла достаточно больших высот, то включаются механизмы положительной обратной связи благодаря конвергенции влаги и углового момента: поднимающийся воздух засасывает окружающий влажный воздух, а концентрация абсолютного вихря, связанного с вращением Земли, приводит к усилению тангенциального ветра, увеличивающего испарение с водной поверхности.
Вопрос, почему ТЦ возникают при температуре поверхности Ts》26° С (и глубине ВКС 》60 м [1]), пока не получает строгого объяснения, хотя очевидно, что этот факт связан с уравнением Клапейрона-Клаузиуса, по которому давление насыщенного пара у жидкой фазы экспоненциально зависит от ее температуры.
Согласно данным обзора [8], поток скрытого тепла определяется скоростью ветра V, разностью влажностей насыщения при £ п на высоте 10 м, в тропиках полагаемой обычно 80% [9], теплотой испарения
и коэффициентом сопротивления се = 1,3 • 10-3 для『V % = 15 м/с и се = со[1 + (『/И)- I)1/2]. Для Vq < U ^30 м/с. Что происходит при больших ветрах, пока неясно. Отсюда можно получить, что полный поток тепла для ветров 15-30 儿/с меняется от 300 до 2000 吕粗/儿2. Определим поток плавучести
b = (g/>o)"k
где g — ускорение силы тяжести, 0о — плотность невозмущенного воздуха, pf — ее флуктуация, wz — флуктуация вертикальной компоненты скорости, черта сверху означает осреднение. Для названных выше значений полного потока тепла находим b = (1-7) • 10-2 • с~3. В качестве типичной будем пользоваться величиной 3 • 10-2 ж2 • с~^, что соответствует У = 20 м/с, АТ = 7^(10 ж) = 1° С и Во = 0,1. Поскольку в ТЦ нередко наблюдался ветер 50 м/с, а иногда и до 80 м/с, то при таких скоростях наши оценки могут оказаться заниженными. Так, в модели [3] скорость У = 20 м/с была на 500 км от центра. Можно думать, что для областей порядка 1000 км, с которых собирается воздух в ТЦ [1-3], значение b = 3 • 10-2 ж2 • с~3 в среднем окажется правильного порядка величины.
Таким образом, мы имеем оценку мощности, вводимой в столб атмосферы — поток плавучести, и знаем со времен Ферреля [10] о принципе сохранения углового момента при конвергенции [7]. При круговом движении сохранение углового момента равносильно сохранению циркуляции скорости, которую можно оценить как Г = Sfc, где S — площадь, занимаемая ТЦ, а /с —параметр Кориолиса на широте центра ТЦ, которые зарождаются в полосе широт 5°-30° с максимумом на О = 15°, где /с - 2Qsin(9 = 4- 10~5. При 5 = 2 • 106 кМ (广=800 км) имеем Г = 8 • 107 ж2 • с-1. Близкую оценку получим по [3]: Г = 2тггУ = =6,3 • 108 ж2 • с~1.
Имея оценки Г и Ь, определим по размерности масштабы времени и квадрата скорости, а через последний и дефицита давления:
То = (Г/Ь)1/2,(1)
△夕/0=(ГЬ)1/2.(2)
При Г = 108 ж2 • с— и 6 = 3 • 10-2 М/с имеем Г = 6 • 104 с, порядка суток, U = (ГЬр/4 40 м/с, △夕 20 гПа. Если вспомнить, что при масштабных величинах могут стоять численные коэффициенты, обычно 0(1), то наш выбор определяющих величин можно признать удачным. Отметим, что формулы (1), (2) по виду совпадают с микромасштабами турбулентности Колмогорова [11], что неудивительно, поскольку величины Гиб имеют те же размерности, что и кинематическая вязкость и скорость диссипации (генерации) кинетической энергии.
Поскольку масштаб времени оказался порядка суток, то проще в дополнение к величине b ввести просто параметр Кориолиса /с. Тогда
мы имеем ситуацию конвекции во вращающейся жидкости [12, 13], когда существуют масштабы скорости и длины:
и = с(Ь〃с)1/2,1,7,(3)
人=("月产.⑷
При наших значениях 6 и /с получаем U = 47 儿/с, △夕=26 гПа и Lc — 700 км. Формула (4) показывает, почему при примерно тех же значениях потока плавучести размер ПМЦ примерно втрое меньше, чем у ТЦ [4, 6].
ТЦ обычно проникают до тропопаузы, т. е. вплоть до высот 150 гПа [7], охватывая 85% атмосферы по массе. Теперь мы можем оценить кинетическую энергию ТЦ:
Ek^^MSU^^M^f~\(5)
где Mq = 104 кг/м2 — масса столба атмосферного воздуха. Отсюда имеем Ек 1,4 • 1018 Дж при 0 = 20°. То же значение можно получить, используя данные табл. 15.6 из [7], где для среднего ТЦ (СТЦ) суммарная генерация кинетической энергии на площади радиусом 6° (670 км) оценивается в 1,5 • 1013 Вт. Принимая сутки за время развития СТЦ, получим Ек = 1,3 • 1018 Дж. Наконец, численный подсчет с использованием радиальной зависимости тангенциальной скорости в виде [14, 15]
『⑺=^П{一£〃 + [(£〃产一/?-пехр(1 - 〃-72)p/2},(6)
где 〃 = г/гт, гт — радиус, где скорость V = Vm = Kiax- Параметр 八 меняется в пределах от 1 до 2, a s = rmfc/2Vm — от 0,01 до 0,1. Значение кинетической энергии оказывается равным
Ek =吟 4,
厶=]/2(£,п,?7)dr],(7)
о
/ =『(£,〃,〃)/%•
При типичном значении £ = 0,025, соответствующем гт = 50 км и Vm = 50 м/с, и В = 1,5 [15] получаем А = 7 (при изменениях В и 八 в указанных выше пределах 3 < А < 10). В итоге Ек = 7 • 1017
1018 Дж. Таким образом, вероятно, на самом деле величина 1018 Дж является хорошей мерой кинетической энергии СТЦ.
Еще в [1] была сделана попытка оценить роль ТЦ в циркуляции тропической атмосферы. Поскольку многие ТЦ пересекают даже 30° с. ш., сделаем элементарные оценки их вклада в общую циркуляцию атмосферы, именно, в баланс осадков и углового момента.
Согласно [7] среднегодовая по глобусу сумма осадков близка к 1 儿/ео。， что эквивалентно 78 Вт/ж2(это число надо сравнивать с
240 吕粗/儿2, приходящими в среднем к поверхности Земли). 80 ТЦ со средним значением /in ~ 103 Вт/м, каждый площадью 1 млн. км2 (г = 560 км) и временем жизни 6 • 105 с, используют 5 • 1022 Дж за год, что соответствует 40 мм/год. Если учесть, что ТЦ наблюдаются в основном в теплую половину года и в определенных областях, то там их вклад в баланс осадков существенно возрастает.
Как уже упоминалось, ТЦ концентрируют угловой момент с площади в 1-2 млн. км2. Подавляющее большинство ТЦ имеет в своей траектории компоненту, направленную к северу, пересекая 20° или даже 30° с ш. При этом угловой момент также переносится к северу, тем самым усиливая пассаты в низких широтах и западные ветры в субтропических и более высоких широтах. Как известно, в целом земная атмосфера вращается в среднем быстрее твердого тела планеты [7]. Оценим, по крайней мере сверху, роль ТЦ в переносе углового момента. Момент абсолютного количества движения (угловой момент) области с площадью основания S равен
Ms = Qa2M05cos2^,(8)
где Q — угловая скорость вращения Земли, а = 6378 км — ее экваториальный радиус, Mq = 104 ке/儿2. ТЦ концентрирует в своей нижней части (до высот 8-10 км) момент с площади S (но выше момент меняет знак, наблюдается антициклоническое вращение). Для S = 1012 ж2, cos2 夕=0,9 (夕=18°) получаем Ms = 2,7 • 1025 ке • м2/с. Примем, что из примерно 50 ТЦ в СП треть пересекает 30° с ш. Поэтому в среднем за сезон своей активности (в основном июнь-ноябрь) они переносят момент F = MsN, откуда
F = 2,7 • 1025 I 50 год~х ——= 1,5- 1019
с 33 • W с!годс
Эта цифра завышена потому, что в процессе конвергенции воздух теряет момент благодаря трению о поверхность океана и благодаря другим обстоятельствам. Это значение надо сравнить с полным потоком углового момента (благодаря общей атмосферной циркуляции) через 30° с ш. из табл. 1.1 книги [7]. Зимой, когда нет ТЦ, этот поток составляет 50 • 1025 г • сж2/с2 = 5 • 1019 ке • ж2/с2, а летом наблюдаемый перенос падает до 1,3 • 1019 кг •向〔2. Учитывая, что осенью этот поток, по всей видимости, возрастает, мы можем утверждать, что в сезон своей активности ТЦ переносят существенную часть углового момента из тропиков в более высокие широты. Очевидно, что этот процесс требует детального анализа сначала, вероятно, с помощью моделей общей циркуляции высокого разрешения ввиду недостаточной плотности метеорологических наблюдений над тропическим океаном. Вероятно, аналогичную роль, хотя и в меньших масштабах, играют ПМЦ. Однако из-за их недостаточной изученности что-либо определенное в настоящее время сказать трудно.
Данная работа частью выполнялась в рамках проекта INTAS-942255 во время пребывания автора в Институте полярных и морских исследований, Бремерхафен, в августе 1996 г. Данные по ТЦ, приведенные в табл. 6.1.1, были любезно предоставлены М. И. Ярошевичем. Ему, а также Е. М. Добрышману, М. А. Петросянцу, И. Г. Ситникову, П. Ф. Демченко автор благодарен за помощь в подборе литературы и обсуждения, вводившие автора в предмет исследования. Особенно полезными были дискуссии с Л. Бенгтссоном и Д. Олберсом, которые заслушивали меня на своих семинарах на разных стадиях работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
W. М. Gray, In: Meteorology over Tropical Oceans. L: Roy. Meteor. Soc. Mon., v. 20, (1979).
E. M. Добрышман, Метеорол. и гидрология., № 11 (1994).
L. Bengtsson, M. Botze, M. Esch, Tellus, v. 47A (1995).
T Bergeron, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., v. 80 (1954).
Локальное взаимодействие океана и атмосферы в Ньюфаундлендской энергоактивной области (Нью-фаэкс-88), Под ред. С. С. Лап- по. М.: Гидрометеоиздат, (1990).
К. A. Emanuel, R. Rotunno, Tellus, v. 41A (1989).
Э. Палъмен, Ч. Ньютон, Циркуляционные системы атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, (1973). Гл. 15.
S. D. Smith, Bound. Layer Meteorol., v. 47 (1989).
К. A. Emanuel, J. Atmos. Sci., v. 43 (1986).
W. Ferrel, Nashville J.Med. Surg., v. 11 (1856).
A. H. Колмогоров, ДАН СССР, т. 31 (1941).
Г. С. Голицын, ДАН СССР, т. 251, №6 (1980).
В. М. Boubnov, G. S. Golitsyn, Convection in Rotating Fluids. Boston, Dordrecht; L.: Kluwer. 232 p.
G.I. Holland, Mon. Wea. Rev., v. 108 (1980).
M.B. Калашник, Изв. РАН. ФАО, т. 30 (1994).
Принцип скорейшей реакции в гидродинамике,геофизике, астрофизике 9
Окружающий нас мир хаотичен и непредсказуем в деталях, особенно в мелких. Видимые проявления погоды в форме осадков, циклонов, тайфунов, порывов ветра, землетрясений (ЗТ) имеют одну общую черту: чем сильнее событие, тем реже оно встречается. Большинство
1) См. ДАН, т.356, №3, 1997.
таких статистических закономерностей было установлено эмпирически за последние несколько десятилетий трудами многих исследователей. Примерами являются закон Гутенберга-Рихтера в сейсмологии, спектры космических лучей (КЛ), частота повторения тайфунов (тропических циклонов — ТЦ) в зависимости от их интенсивности.
В природе мы имеем дело также с полями непрерывных величин, в основе описания которых лежит гидродинамика. Пространственная структура таких полей также обладает статистическими закономерностями. Начало их исследований положено А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым в 1941 г. [1, 2]. Существенно, что это было сделано до появления каких-либо эмпирических данных и, наоборот, в сильнейшей степени стимулировало постановку и проведение измерений в атмосфере и океане, в лабораториях, в космическом пространстве. Эти измерения замечательным образом подтвердили выводы Колмогорова и Обухова, но показали и ряд отличий, особенно четких в области больших масштабов атмосферной турбулентности. Последнее послужило стимулом в 1960-х гг. для развития теории двумерной [3, 4], а позднее и геострофической турбулентности [5].
Начало исследований планет Солнечной системы автоматическими станциями в 1960-х гг. поставило вопрос об общих закономерностях динамики планетных атмосфер. Развитая в этой связи теория подобия [6] в какой-то мере отвечала на этот вопрос, предсказав, в частности, малые разности температур на поверхности Венеры (порядка 1 7Г) и малые скорости ветра (порядка 1 м/с) там. Эти предсказания были подтверждены ра-диоинтерферометрическими наблюдениями собственного излучения поверхности планеты на волне 10 см и прямыми измерениями ветров, по крайней мере, для нижней половины (по массе) атмосферы Венеры [6].
В 1970-80-х гг. были установлены теоретически и проверены экспериментально выражения для характерных масштабов конвекции в вязком и развитом турбулентном режимах в отсутствие и при наличии вращения [7-9]. Это позволило объяснить скорости конвективных движений в мантии Земли и в ее жидком ядре, скорости глубокой конвекции в океане и ряд астрофизических явлений на быстро вращающихся пульсарах [10].
Автор принимал самое активное участие в постановке и решении ряда названных выше проблем, пользуясь методами теории подобия. Естественно встал вопрос: что общего между всеми этими классами явлений? Еще в 1980 г. было сформулировано «правило скорейшей реакции» для явлений, описываемых гидродинамически: масштаб кинетической энергии по порядку величины равен скорости поступления энергии в систему, умноженной на наименьший масштаб времени, присущий системе [7].
Осмысление частотно-энергетических спектров ЗТ, КЛ, тайфунов показывает, что они также в некотором смысле подчиняются этому правилу. Целый ряд задач классической гидродинамики вынужденных
течений, например, о движении жидкости по трубам или о сопротивлении телу, движущемуся в жидкости, также могут быть решены с помощью этого правила с точностью до численного коэффициента, как в теории подобия. Описанию того, как это может быть сделано и что это значит, и посвящается данная работа, в конце которой формулируется эвристический принцип, вынесенный в ее название.
Динамика явлений гидродинамического типа описывается уравнением Навье-Стокса. Если движения происходят в гравитационном поле, а жидкость неоднородна по пространству, то в случае не очень большой неоднородности используется приближение Буссинеска, когда сила тяжести редуцируется множителем pf/ро, где pq — среднее значение плотности среды, а // — отклонение от pq. Статистически стационарное уравнение Навье-Стокса в поле внешних сил содержит следующие масштабы времени: вязкий масштаб т” =『2/^; масштаб, связанный со сжимаемостью среды, тс = г/с; период вращения системы Т ~ 4тг//с； инерционный масштаб 7■分=『/〃，связанный с адвекцией. С внешними силами могут быть связаны другие масштабы. Здесь — кинематическая вязкость, с — скорость звука, /с — параметр Кориолиса. Сравнение масштабов времени дает известные критерии подобия: например, 7■分 « т” эквивалентно Re》1, Т « т^, соответствует малости числа Россби Ro = и/fcr и т. д.
Скорость накачки энергии в систему, т. е. вводимая мощность, обычно определяется внешними обстоятельствами. Для атмосферы и океана это солнечная энергия, для геодинамики — внутреннее тепло Земли, для турбулентности или конвекции — скорость генерации кинетической энергии е или меры неоднородности иного поля N.
Начнем с вывода основных формул Колмогорова-Обухова для трехмерной локально однородной и изотропной турбулентности. Величины в и 7V в статистически стационарном случае равны скоростям диссипации: в = - (Ф^),①分卜—тензор деформации поля скорости, N = =；((^~) 〉— соответствующая величина для поля примеси 仇 Для описания случайных полей А. Н. Колмогоров [1] ввел структурные функции — средние квадраты разностей величин, взятых в двух точках потока, разделенных расстоянием г. В случае поля скорости структурную функцию можно интерпретировать как относительную кинетическую энергию двух жидких частиц, разнесенных на расстояние г. Тогда, согласно нашему правилу, (п2) ^ £丁分=гг/и, откуда немедленно видны результаты [1]:
Dug =(I?)(訂产/3, T.=L2/3£-1/3.(1)
Пространственный спектр, определяемый как преобразование типа
Фурье от структурной функции, также имеет степенной вид [2]:
石(к) 产/%—5/3,卜广=2тг,(2)
причем показатель 八 в зависимости D(r) ос гп связан с показателем т в зависимости 石(к) ос к~т соотношением
т — п = 1.(3)
Это все справедливо, пока 丁分《т”，т. е. число Рейнольдса Re》 》1. В противном случае минимальным становится вязкое время т” = =『2/^ и тогда имеем результаты Колмогорова для расстояний 广 « /卜= =储/%т/4, где Du(r) = (s/z/)r2.
Результаты А. М. Обухова по структуре поля пассивной примеси [11] сразу получаются с помощью нашего правила:
&(『)NTi = NeT/3『2/3,
а формулы (2) и (3) дают для спектра
Ее(к) ^NfT/Зк—5/з.
В теории двумерной и квазигеострофической турбулентности в пренебрежении вязкостью существует, кроме интеграла кинетической энергии, еще и интеграл завихренности: в каждой жидкой частице сохраняется вихрь скорости s = rot (и) или потенциальный вихрь [5]. Поскольку поле s тоже случайно, то для его характеристики вводится величина, аналогичная N:
которая генерируется в случае атмосферы и океана при неустойчивости крупномасштабных течений. Р. Крэйкнан [4] показал, что если завихренность генерируется на каком-то масштабе /о, то она передается в сторону более мелких масштабов, а энергия — в сторону более крупных масштабов. Наше правило в применении к полю завихренности для 广 « /о дает。^(广)~ 〃丁&. Но время 九 здесь само порядка &—1 〃—1/з, откуда 。3(丁) ~ 〃2/з, т. е. структурная функция Оу(^) стремится к постоянной величине. Поэтому пространственный спектр завихренности согласно (3) имеет вид 及")~ 卢3卜-1, а так как rot является линейным дифференциальным оператором поля скорости, то само поле скорости будет иметь спектр [3, 4]:
%(k)=k-2%(k)^〃(2/3%-3.
Аналогично получаются результаты Дж. Чарни [5] для крупномасштабных метеорологических полей, находящихся в квазигеострофиче- ском балансе, когда сохраняется потенциальный вихрь.
Большой класс природных явлений объясняется конвекцией: возникновением движений в поле силы тяжести жидкости, пространственно неоднородной по плотности. Для плоского горизонтального слоя жидкости, нагреваемого снизу, еще из результатов Л. Прандтля
1932 г. следует формула для скорости диссипации (и генерации, в статистически стационарном случае [7]) кинетической энергии
£ = a9"叫(5)
где а — коэффициент термического расширения жидкости, / — поток тепла, с@ — удельная теплоемкость. Наше правило дает сразу для скоростей в режиме развитой термической турбулентности и ~ (е^)1/3, (£九)1/3, где 2 — вертикальная координата, Д — толщина пограничного слоя. В вязком режиме получаем формулу для масштаба скорости и = с(£『2/^)1/2, с ~ 0,1 согласно измерениям [7]. Подстановка сюда значений, характерных для земной мантии, дает и = 5 см/год = 1 мм в неделю [7].
В случае Т «『/〃，т. е. малости числа Россби Ro, мы имеем геострофический режим [8], когда и2 = с?еТ = с^е/fc и ci = 1,7 ±0,1, согласно измерениям [9]. Этот масштаб скорости был получен в [8] из соображений подобия. Для жидкого ядра Земли, объекта, который послужил стимулом для работы [8], мы получаем 〃5 км/год, ско
рость порядка необходимого для работы геодинамо. Конвекция при вращении отличается от других рассматриваемых здесь явлений тем, что в ней задается извне не только скорость накачки энергии, но и характерное время Г = /^1. В этой ситуации основные характерные масштабн: и = с(е//с)1/2, линейный масштаб Ьш = (е//^)1/2 определены извне. Оба масштаба для тропических ураганов дают величины, близкие к наблюдаемым: и ^ 30 м/с и Ьш ^ 500 км [12]. Постоянным, т. е. независимым от масштаба, в режиме геострофической конвекции должен быть и коэффициент турбулентной диффузии, т. е. площадь пятна примеси, введенной внутрь, должна линейно расти со временем, что и наблюдалось в экспериментах (см. [9]). Аналогична ситуация для дисперсии температуры [9].
Наше правило должно работать и для вынужденных гидродинамических потоков, движущихся под действием заданной внешней силы /е. Накачка энергии в этом случае, согласно курсу школьной физики, осуществляется мощностью силы, которая равна feu. Далее действуем так же, как и выше. В качестве примера рассмотрим течение в круглой трубе длиной I под действием разности давлений на ее концах △夕.Тогда ри2 = (Ap/Z)ur. Для труб малого радиуса г при Re < 1 имеем линейный закон сопротивления, когда т” =『2^ и массовый расход жидкости Q = ттг2ри =。丁(△夕/7)广4^一 L Согласно еще Пуазейлю 。丁 = тг/8. Для труб большого диаметра 丁 = 丁分=『/〃 мы получаем квадратичный закон сопротивления n Q ^ (pAp/Z)1/2?"5/2.
В 1970 г. автор на основе соображений размерности путем длительных рассуждений получил формулу для полной кинетической энергии общей циркуляции атмосферы, имеющую для не слишком быстро вращающейся планеты вид [6]
где а — константа Стефана-Больцмана, q =夕㊀“ 一4)/4 — средний на поверхности планеты поток энергии от Солнца, А — альбедо планеты, г — ее радиус. Эта формула сводится к произведению Q\tc, где Q1 — полный приток солнечной энергии к планетному диску, а тс = =r/с. Данный подход удовлетворительно работает для Венеры, Земли и Марса, но для быстро вращающегося Юпитера характерные времена для усвоения приходящей мощности энергии (как и для верхних частей атмосферы Венеры) явно больше (на порядки) времени тс. Здесь играет роль мера упорядоченности движений, введенная в [6].
Статистика событий в зависимости от их интенсивности рассматривалась в работах автора [13, 15, 12], которые заставляют задуматься над тем, что общего в случаях ЗТ, КЛ, ТЦ с тем, что рассмотрено выше. Здесь, как и там, мы знаем скорость ввода энергии в систему, которая после зачастую очень сложных превращений реализуется в виде событий (ЗТ, ТЦ) или объектов (КЛ) разной интенсивности и частоты. Мы ищем частоты, т. е. времена ожидания событий в зависимости от их интенсивности или энергии. Задача как бы переворачивается по сравнению с тем, что делалось выше, где мы знали времена и оценивали энергию (или уровень дисперсии). Но в целом это тот же класс простейших в смысле физики явлений, подчиняющихся одной и той же общей формуле
(6)
где Ai — интенсивность, 丁 — соответствующее, здесь искомое, время. Для ЗТ и КЛ обычно работают с кумулятивными распределениями, когда 丁 = 丁(》А). Именно эта величина имеет размерность времени.
Если события независимые, а — = G = const, то отсюда сразу следует 丁分 ^ или частота N% ^ GA"1. Именно такая закономерность в распределении ТЦ для Тихого океана обнаружена в [12] (интенсивность измерялась падением давления в центре ТЦ). Близкая закономерность N ос М-1, где М — сейсмический момент, установлена для очень сильных ЗТ, когда рвется вся кора, что хорошо выполняется для ЗТ вблизи срединно-океанических хребтов, где кора тонкая. В [13] с помощью теории подобия установлена закономерность и для подавляющего числа регистрируемых ЗТ, когда N ос М-2/3. Дадим здесь другой вывод этой зависимости с помощью нашего правила. Для этого воспользуемся понятием «объем ЗТ», введенным в 1956 г. Цубои [13]: V = Lq = М/Асг, где △о — напряжение, высвобождаемое в процессе ЗТ, величина порядка нескольких десятков бар и мало меняющаяся при ЗТ, различающихся по М примерно на 10 порядков. Наше правило дает для всего глобуса NM = c^F, сз = 0,4 [13], где 歹=4 • 1013 Вт — полный геотермический поток. Когда кора не рвется целиком при ЗТ, напряжение сбрасывается в объеме V = Z/j, но мощность додается на всю кору толщиной h, т. е. на объем порядка L^h. Таким образом, для отдельного ЗТ в этом случае М надо отнести к Z/j, а накачку —
к L^h. Отсюда и из (6) получаем ^(> М) ^ 0,4Ff^Aa)-^3^1 М~2^3. Детали вроде афтершоков и др. слишком сложны и локальны [13] и здесь не обсуждаются. Такие же закономерности наблюдаются и для звездотрясений [14].
Для КЛ галактического происхождения мы знаем скорость генерации из-за взрыва сверхновых: G 3 • 1033 Вт. Процессы в Галактике таковы, что во всем ее объеме устанавливается примерно одинаковая объемная плотность энергии КЛ: w ^ 0,5 эВ • смГ^, равная плотности энергии магнитного поля Я2/8тг. Измеряется плотность потока частиц из единичного угла с энергией Е. Для интегрального потока /(》Е) ос ос 石一 17, согласно измерениям [15], где Е — энергия на нуклон. Здесь мы имеем масштаб частоты GE~X и точно такой же, как для ЗТ, масштаб длины Lq = (E/w)^3. Поток /(》Е) есть частота регистрации объектов на единицу площади, которая здесь соотносится с масштабом т.е. /(》Е) CrGE-'L/ = c『G疗戸石一5/з.
Формула /(》Е) ос 石一 Г' работает для энергий от 10 до 3 • 105 ГэВ на нуклон. Частицы больших энергий уже начинают чувствовать конечность толщины диска Галактики, магнитное доле которой не успевает их хаотизировать, и они уходят из нее, приводя к более крутому падению спектра.
ЗТ и КЛ образуют класс систем, где вводимая мощность в конце концов высвобождается в отдельных событиях или объектах с известной плотностью объемной энергии, что и определяет форму спектра. Каскадные процессы передачи энергии, как в турбулентности, здесь не играют роли.
Рассмотренные здесь результаты позволяют сформулировать эвристический принцип, кажущийся практически тривиальным: квадратичные характеристики целого ряда систем определяются скоростью их генерации и минимальными характерными временами, присущими этим системам (см. ф-лу (6)).
Сравнение различных времен в гидродинамике приводит к известным критериям подобия. Однако принцип шире, чем обычная теория подобия, так как он объединяет ряд параметров в комплексы с размерностью времени, как в случае т”. Это позволяет получать результаты для случаев, где вязкость существенна, чего не дает напрямую теория подобия. Очевидно, что случаи, где этот принцип работает, а где — нет, данная статья далеко не исчерпывает.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А.Н. Колмогоров, ДАН СССР, т. 30, №4 (1941).
А.М. Обухов, ДАН СССР, т. 32, № 1 (1941).
G. К. Batchelor, Phys. Fluids., Suppl. П, v. 12 (1969).
R. H. Kraichnan, Ibid., v. 10 (1967).
J. J. Charney JJ. Atmos. Sci., v. 28 (1971).
Г. С. Голицын, Введение в динамику планетных атмосфер, Л.: Гидрометеоиздат, (1973).
Г. С. Голицын, Исследования конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями, Л.: Гидрометеоиздат, (1980).
Г. С. Голицын, ДАН СССР, т. 251 (1980).
В. М. Boubnov, G. S. Golitsyn, Convection in Rotating Fluids. Dordrecht: Kluwer, (1995).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. ФАО, т. 27 (1991).
А. М. Обухов, Изв. АН СССР. Сер. геогр., геофиз., т. 13 (1964).
Г. С. Голицын, ДАН СССР, т. 354, №4 (1997).
Г. С. Голицын, ДАН СССР, т. 346, №4 (1996).
В. Chen et al., Nature, v. 382, (1996).
Г. С. Голицын, Письма в «Астрон. журн.», т. 23 (1997).
Статистическое описание рельефа поверхностипланеты и его эволюции 9
Пространственная статистическая структура рельефа
Уже более трех десятков лет известно эмпирическое правило Уильяма Кауль匚 квадрат амплитуды первых сферических гармоник разложения формы рельефа поверхности планеты падает как квадрат номера гармоники. В книге Д. Тюркотта [Turcotte, 1997] приведены спектры рельефов для Земли [Rapp, 1998] до I < 180 и Венеры [Kucinskas, Turcotte, 1994], / < 50, / — номер гармоники. Начиная с волнового числа k = 1/А = 10-4 冗儿一】=10-7 ж-1 т. е. с четвертой сферической гармоники в обоих случаях (радиус Венеры 6051 км, на 320 км меньше среднего радиуса Земли) спектральная зависимость мощности возвышений рельефа планеты хорошо описывается формулой
S(k) =2,
где £卜—коэффициент с размерностью длины, L. Производная формы рельефа по координате по определению есть тангенс угла уклона поверхности. При разложении типа Фурье функции взятие ее производной соответствует умножению на ik, где i = (―I)/2. Поскольку спектр есть квадратичная характеристика, то спектр самой функции связан со спектром ее производной соотношением
紋S(k) =%•(2)
Таким образом, величина £卜 оказывается спектральной плотностью мощности уклонов. Там, где действует (1), величина £卜 постоянна. По-
стоянные спектры соответствуют процессам так называемого «белого шума». Название пришло из акустики, где примерами белого шума являются шум листьев и ветвей при ветре, или шум морского прибоя на берегу. Такой шум возникает, когда имеется большое количество источников кратковременно действующего звука, случайно распределенных в пространстве и по времени.
В молекулярной теории газов случайные движения броуновской частицы имеют прямое отношение к тому, что уже (и будет) здесь сказано. Частица движется под действием ударов мириадов молекул со случайными скоростями, что эквивалентно белому шуму для скоростей (импульсов), воздействующих на частицу. Такие аналогии будут прослеживаться по всей статье. Пока же отметим, что обратная квадратичная зависимость типа (1) неоднократно проверялась вплоть до масштабов в несколько сотен метров для различных районов дна океана и рельефа суши. Эти примеры (и литература) могут быть найдены в книге [Turcotte, 1997]. В таблице 7.1 из [Turcotte, 1997] приведены осредненные данные для трех геоморфологически разных типов поверхности в штате Орегон (равнинных и горных) по 20 разрезам в каждом типе. Для этих 60 разрезов вычислялись пространственные спектры. В интервале масштабов от, примерно, 30 до 0,3 км. четко прослеживается зависимость типа (1) с показателем п = 2,03 ± 0,04 (подсчитано нами).
На Земле, где равным образом действуют тектонические процессы и эрозия, ведущая к седиментации, причины, приводящие к зависимости типа (1), пока неясны, отмечает Тюркотт. Мы можем добавить, что на Земле главной является водная эрозия. Отсюда становится ясной роль уклонов в формировании рельефа и постоянство их спектра (белый шум уклонов). Для тектонических причин формирования рельефа остается признать роль уклонов, вероятно, связанных с прочностью материала. На Венере, отмечено в [Turcotte, 1997], нет воды на поверхности и эрозия слабее, но пространственный спектр имеет ту же форму, хотя и на порядок его величина меньше [Turcotte, 1997 (рис. 7.19, а, е)]. По всей видимости, в тектонических процессах формирования рельефа играет роль компонента силы тяжести вдоль уклонов. Данные этих рисунков позволяют, используя (2), подсчитать величину £卜.Так, при k = 10-4 儿—1 значение S(k) 3 • 1013 ж3, а для Венеры на порядок меньше. Отсюда £卜 〜0,3 м, для Земли и 3 сж = 3 • 10-2 м для Венеры. Среднеквадратичное значение уклонов (а2)^2 в каком-то интервале волновых чисел (масштабов) определяется интегрированием спектра (а2) = j ед； dk. Очевидно, что уклоны при этом определяются наиболее мелкими масштабами, т. е. наибольшими значениями волновых чисел.
Пространственный спектр (1) связан со структурной функцией средним квадратом разности двух величин, разнесенных на расстояние г (в нашем случае возвышений рельефа 九(力))：
陋(力+广)一九(力)产)=0九(广)， (3)
где угловые скобки означают осреднение. При этом предполагается пространственная однородность и изотропия случайной функции Д(х), т. е. независимость ее статистических характеристик от положения точки с координатой х на дуге большого круга или от угла, под которым этот круг расположен на поверхности планеты по отношению к нулевому меридиану. Эта связь дается преобразованием типа Фурье (подробную и точную теорию см. [Монин, Яглом, 1967]) D(r)= =21 (1 — cos kr)S(k) dk. Если спектр S(k) имеет вид типа 卜一几,то структурная функция также степенная вида гт, причем эти показатели связаны соотношением m = п — 1. Поэтому в случае рельефа со спектром (1) имеем m = 2 — 1 = 1:
Dh(r) = rek(4)
в интервале, где спектр имеет вид (1), т. е. начиная с четвертой пространственной гармоники. Отсюда следует другая интерпретация величины £卜—это скорость нарастания с расстоянием среднего квадрата разности значений рельефа, измеренных в двух точках, разделенных расстоянием г. Соотношения типа (1) и (5) существуют и в теории локально однородной и изотропной турбулентности, развитой в 1941 г. А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым (см. [Монин, Яглом, 1967]) для структурной функции и пространственного спектра разности скоростей, где т = 2/3, п = 5/3. Методическое объяснение и связь этой теории со случайными процессами типа броуновского движения даны в [Голицын, 2001 ]. Например, при г = 104 км среднеквадратичная разность высот будет для Земли порядка 3 • 106 ж2, а для Венеры — на порядок меньше. Сами же значения высот будут различаться (в ту или иную сторону по знаку, т. е. понижение или повышение) в среднем на величину порядка 2 км для Земли и 0,6 км для Венеры. Более аккуратное рассмотрение этого вопроса, связанное с дискретностью спектра при разложении по сферическим гармоникам дано в Приложении 1. Там показано, что подразумеваемая формулами (1) и (4) непрерывность спектра приводит к занижению дисперсии, начиная с 4-й гармоники, приблизительно на 10%. Полная дисперсия, с учетом всех гармоник, дает 6,1 /см?, т. е. о九=2,5 км. Наибольшая разность высот на Земле между вершиной Эвереста и Марианской впадиной — 20 км. Для процессов с нормальным (гауссовым) распределением вероятности существует эмпирическое правило — среднеквадратичная разность значений величины порядка одной шестой разности между наибольшими и наименьшими значениями (т. е. размах с амплитудой За). У нас 6о九 ~ 15 км, т. е. вполне разумное значение.
С течением времени земной рельеф постоянно меняется. Литосферные плиты под влиянием конвекции в мантии движутся в разных направлениях со скоростями от 2 до 18 см,Iгод. В местах их столкновений рождаются горы, в плитах образуются трещины — рифты, океанические плиты ныряют под островные дуги, срединно-океанические
хребты являются местом образования литосферы. Тот рельеф, что мы видим, есть результат динамического равновесия между процессами создания рельефа и его эрозии на временах порядка десятков и сотен миллионов лет. Региональные процессы могут быть гораздо более быстрыми. Например, для последнего миллиона лет определяющими были семь крупнейших оледенений, сформировавших в заметной степени современный лик суши средних и высоких широт.
Полученные результаты дают возможность оценить снизу минимальные времена тектонических процессов, первоначальным источником энергии которых является геотермический поток. Его средняя плотность равна / = 8 • 10-2 Вт/м1. Примем, что в процессе образования рельефа участвует вся кора со средней толщиной по суше и дну океана Н = 20 км. При поднятиях затрачивается потенциальная энергия, при опусканиях она высвобождается, превращаясь в конце концов в тепло. При поднятии столба коры на высоту h = ан = 2,5 км потенциальная энергия прирастает на величину U = pHgh. На конвективные движения, в итоге которых и образуется рельеф, затрачивается лишь небольшая часть геотермальной мощности [Голицын, 1980; 2001], поэтому мы можем написать неравенство для времени действия тектонических процессов
丁》Tmin = u/f = pHgh/f. (5)
Подставляя сюда значение плотности коры /)= 3 • 103 ке/儿з, ее толщину Я = 2 • 104 ж, р = 10 м/с2, / = 8 • 10-2 Вт/м2, h = (Jh = =2,5 • 103 м, получим Tmin = 2 • 1013 с = 650 тыс. лет. Таким образом, миллион лет является осторожной оценкой снизу времени процессов, ведущих к образованию крупномасштабного рельефа.
Связь с временной картиной образования рельефа
Понять статистическую природу рельефа в пространстве невозможно без обращения к картине эволюции рельефа во времени. Простейшим предложением, которое может дать какие-то оценки, проверяемые геологическими данными, будет гипотеза о стохастической природе рельефообразующих процессов и во времени. Конкретно, мы предположим, что скорости процессов его образования скоррелированы по времени на достаточно геологически малых временах, каких — обсудим ниже. Тогда для больших времен, порядка многих миллионов лет, частотный спектр скоростей образования рельефа будет постоянным, т. е. спектром белого шума, частоты которого примерно на 16 порядков будут отличаться от частот акустического шума леса или морского прибоя.
В Приложении 2 обсуждаются ситуации, когда эти спектры могут заметно отличаться от постоянного и показывается, что тогда оценки времен образования наиболее крупных черт рельефа труднее согласуются с данными исторической геологии.
При гипотезе о постоянном спектре скоростей развития рельефа средний квадрат изменения высоты поверхности планеты со временем, т. е. структурная функция равна
^h(t^} = Dh(t) =(6)
где величина £& играет роль коэффициента диффузии точки поверхности по вертикали, если продолжать аналогию с броуновской частицей. Структурной функции (6) соответствует частотный спектр изменений уже самого рельефа в виде
S心)=⑺
в то время как, согласно нашей гипотезе, спектр скоростей образования рельефа, т. е. величин Д = dh/dt, постоянен и равен Интегралы от пространственного спектра рельефа (1) в пределах от kmin до оо и от частотного спектра рельефа в пределах от Gmin ДО оо должны давать одну и ту же величину дисперсии, т. е. средний квадрат изменений рельефа. Такое утверждение составляет содержание так называемой эргодической гипотезы о том, что в стохастических системах средние по ансамблю совпадают со средними по траекториям. В условиях пространственной однородности и стационарности стохастических процессов эта гипотеза обычно удовлетворительно выполняется. Из равенства только что упомянутых интегралов следует, что равны и подынтегральные выражения, откуда
S出= S(5(驚.(8)
Величина ds/dk имеет размерность и смысл скорости (групповой), т. е. скорости перемещения черт рельефа по горизонтали. Спектры S(k) и S(g) обратно пропорциональны квадратам своих аргументов при условии, что в (8) величина du/dk = и = const. Естественно эту скорость отождествить со скоростью перемещения литосферных плит, главного тектонического процесса в земной коре. Для дальнейших оценок примем для определенности и = 6 см/год, среднее геометрическое между названными выше пределами скоростей. Из постоянства производной duj/dk следует, что
s = ku,(9)
простейшее линейное дисперсионное соотношение. Тогда из (1) и (7) получаем связь меры пространственной неоднородности рельефа, величины £卜，с коэффициентом вертикальной диффузии рельефа £& в виде
•(1。)
При £к = 0,3 м, 〃 = 6 • 10一2 м/год имеем £& = 2 • 10-2 ж2/год ~ 6• 10—6 см2сек~1. Последняя величина вполне сопоставима с молекулярными значениями коэффициентов диффузии в твердом теле. Еще
одна интерпретация величины £& — это средняя скорость генерации квадратичной меры неоднородностей рельефа, именно из (6) имеем
з=^(仆从切2). (Н)
Подобные величины имеют определяющий смысл в теории турбулентности, где для случайного поля скорости такая величина, средняя скорость генерации (диссипации) кинетической энергии турбулентных флуктуации была введена в 1941 г. А. Н. Колмогоровым, а для поля температур в 1949 г. — А. М. Обуховым (см. [Монин, Яглом, 1967]).
Знание величины £&, и дисперсии рельефа о九 позволяет оценить максимальный временной масштаб процессов образования рельефа
Tmax = 0cij• (12)
При W 3 • 1()6 儿2 (зто значение соответствует / = 4, т. е. кт[п = =10-4 w1, с которого начинается броуновский характер пространственного спектра) и = 2 • 10-2 也2/ео0 имеем ттах = 150 • 106 лет. Масштаб времени 150 миллионов лет порядка времени существования и распада суперконтинентов геологического прошлого. Полная дисперсия с учетом первых трех гармоник вдвое больше (см. Приложение 1). Тогда формула (12) даст вдвое больший временной масштаб. Однако за 300 миллионов лет могли заметно упасть скорости плит. Согласно [Монин, 1977 (рис. 12)] скорость энерговыделения тогда была примерно на 30% больше, чем сейчас (максимум был 1,2 млрд, лет назад и вдвое больше, чем сейчас). Это значит, что средние скорости конвекции в мантии были на 15 % выше, чем сейчас (зависимость от потока по корню квадратному [Голицын, 1980]), т. е. величина была, соответственно больше, а ттах — меньше.
В итоге для величины временного масштаба образования основных черт рельефа получаем оценку в 150-250 миллионов лет. Для Венеры современные представления дают, что если там и была тектоника плит, то она давно прекратилась. На ней нет водной эрозии, но пространственный спектр аналогичен земному, хотя и на порядок ниже. Дисперсия рельефа, начиная с 4-й гармоники (см. Приложение 1) оценивается в 0,66 /см?, а полная дисперсия близка к 0,9 км2. Предположив, просто для определенности, скорость плит 3 см〔го。, получим оценку времени от 600 до 900 миллионов лет. Может быть, эти величины оценивают длительность активного тектонического периода на Венере.
Для оценки rmin геологического времени корреляции, ограничивающего снизу применение наших основных гипотез, воспользуемся тем, что согласно рис. 17 из [Turcotte, 1997] пространственный спектр S(k) Ас2 вплоть до к = 2 км~х, т. е. г = 0,5 км. Подставляя это значение в оценку временного масштаба (12) получаем при £& = 2 х х 10-2 м/год величину rmin = 7500 лет. Для современности эта оценка тоже представляется разумной: примерно 10 тыс. лет назад кончился
последний ледниковый период. Периоды, много больше этого, можно считать слабо коррелированными между собой.
Встает вопрос, какая мощность энергии расходуется в процессах образования рельефа. Первоисточником ее, как и всех геодинами- ческих процессов, является внутреннее тепло Земли. Плотность его потока составляет сейчас в среднем по глобусу 8 • ХО^Вт/м1. При поднятиях рельефа в процессах деформации земной коры производится работа против силы тяжести. При опусканиях поверхности и эрозии, смывающей вещество вниз, происходит высвобождение потенциальной энергии, набранной при ее поднятиях, которая переходит в тепло. Это тепло, в конечном счете, высвечивается в космос, так как выделяется у земной поверхности.
Оценим скорость создания потенциальной энергии при поднятии рельефа с помощью формулы W = Mgw, где W — мощность процесса поднятия веса Мд столба коры со скоростью w. Будем считать, что в тектоническом процессе создания рельефа участвует вся земная кора. За ее среднюю по глобусу толщину примем 20 км, а ее средняя плотность 2,7 • 103 кг/м , т. е. вес оценим в 5 • 108 кг^. Скорость w оценим двумя способами. Первый — делением высоты подъема 2 км на 1,5 • 108 лет = 4,5 • 1015 сек. Второй — дифференцированием корня из формулы (6), откуда s = dh/dt = 0,5 (后以/丁尸/?, что (неявно) включает в себя и периоды опускания, т. е. высвобождения потенциальной энергии. Первый способ дает W = 2 • 10-4 吕粗/儿2, второй — вдвое меньше. Оба варианта дают долю мощности, идущую на образование рельефа порядка одной-двух десятых процента от 8 • 10-2 吕粗/儿2 — средней плотности геотермического потока. Это примерно на порядок меньше современной мощности, высвобождаемой в землетрясениях, которая оценивается в 4 • 10-3 Вт]W [Голицын, 2001 ].
В Приложении 2 исследуется вопрос, насколько сильно дисперсионное соотношение (9) может отличаться от линейной связи между s n к и все еще давать разумные оценки характерных геологических макро- временных масштабов. Показано, что отличие от единицы показателя степени к в соотношении s = ки, если и есть, то оно должно быть заметно меньше ±0,1, чтобы давать приемлемые оценки геологических масштабов времени.
Дискуссия
Обсудим еще раз основные понятия, введенные здесь и выводы, полученные с их помощью. Обратно квадратичная форма пространственного спектра рельефа указывает на стохастическую природу его формирования. Спектр уклонов рельефа при этом оказывается постоянным, т. е. белым, не зависящим от длины волны пространственной гармоники вплоть до масштабов порядка километра или менее. Вдоль уклонов действует сила тяжести, т. е. водная эрозия, и, по-видимому, тектонические процессы, формирующие рельеф. Белый шум спектра уклонов означает, что пространственная корреляция воздействий мала
по сравнению с длиной основных гармоник. Малость этой корреляции дает возможность считать уклоны (т. е. действующие силы) дельта- коррелированными по пространству, что и соответствует белому шуму спектра. Заметим, что при а « 1 tga ^ а.
Для Земли дисперсия ее рельефа, соответствующая белому шуму уклонов, оценена в 3,5 км2, а полная дисперсия — в 6,1 км2. Для Венеры эти цифры примерно на порядок меньше.
Для связи пространственных и частотных гармоник рельефа введено в качестве простейшей гипотезы линейное дисперсионное соотношение (9), куда входит средняя скорость перемещения литосферных плит. Временной спектр рельефа оказывается обратно пропорциональным квадрату частоты. Скорости его создания имеют постоянный спектр, т. е. белый шум. Его величина оценивается цифрой порядка 2 • 10-2 儿2/еоО. С ее помощью можно оценить, что среднеквадратичная разность высот в 2-2,5 км, соответствующая приведенным выше значениям дисперсии, создается за времена 150-250 млн. лет. Это время порядка сбора (распада) материковых плит в суперконтиненты и является отражением наблюдаемых величин — дисперсии рельефа, формы его спектра и средней скорости перемещения литосферных плит, взятой здесь как 6 см/год.
Оценена мощность, идущая на образование рельефа, т. е. на генерацию потенциальной энергии при работе против силы тяжести. Она оказывается порядка 0,1 % от геотермического потока, первопричины всей геодинамики. Это примерно на порядок меньше мощности по созданию напряжений в земной коре, сбрасываемых в процессе землетрясений.
Приложение 1
Приведем основные понятия в практике разложения рельефа планеты по сферическим гармоникам. Данные по топографии рельефа (суши и дна океана в случае Земли) представляются в виде (см. [Turcotte, 1997], гл. 7):
广(仇夕)=ao1 +ЕЕ (Ccim cos m夕 + Csim sin m^Pim(sine), L 2 = 1 m=0 」
(П.1.1) где a。——средний радиус планеты, от которого ведется отсчет возвышений (понижений) рельефа,夕—широта, ф — долгота, Ccim и Csim — коэффициенты разложений по сферическим функциям, Pim — присоединенные полиномы Лежандра, нормированные так, что
27r тг/2
4тг J J Ism т 屮 J о о
Дисперсия спектра порядка I определяется как
I
"(k)=*e(/^ + 孩^),(П.1.2)
и спектральная плотность определяется как
S(k)=绪W(k)=入『(к)，(П.1.3)
где к。— волновое число и Ао = /с"1, длина волны. При Ао = 2тгао
I
д(к) = 2^力 £，(П.1.4)
用=/"0 =//2ьa0.(n.1.5)
Поскольку для I》4 спектры рельефа хорошо аппроксимируются зависимостью S(k) = k~2, то приведем значение бесконечного ряда
±卜一2 = ^ = 1,645.(П.1.6)
Значение суммы первых трех членов равно 49/36 = 1,361. Таким образом, для Земли сумма по Z от 4 до 180 приблизительно равна 0,28. Для Венеры мы примем то же значение, поскольку сумма членов с I > > 50 заметно меньше 0,01.
Дисперсию для первых трех гармоник оценим согласно рис. 7.19 из [Turcotte, 1997] и формулам (П.1.2) и (П.1.3). При средних радиусах 6371 км для Земли и 6051 км для Венеры находим с помощью (П.1.3) и (П.1.5)
『的)=kQS(ki) = S(/)/2^ao =城，(П.1.7)
откуда для Земли 吒=0,95 км2,吻=0,78 км2, V3 = 0,85 км2. Для I》4 суммарная дисперсия равна 3,5 км2 = 3,5 • 106 ж2 Заметим, что если бы спектр с / = 4 (что соответствует 卜4 = 10-4 км) был бы непрерывным, то дисперсия была бы равна площади подынтегральной кривой S(k) = Ас2, т. е. V = k4s(卜4), что было бы равно 3,2 км2. Это находится в пределах точности определения величин с графиков в логарифмических координатах. Полная дисперсия находится равной 6,1 км2.
Для Венеры нет значения Z = 1 на рис. 7.19, в из [Turcotte, 1997]. Согласно нему 心=0,79 • 105 ж2, g = 1,47 • 105 ж2, а『(/》4)= =0,66 /см? = 0,66 • 106ж2. Полная дисперсия близка к 0,9 км2.
Приложение 2
Оценим здесь, к каким следствиям может привести гипотеза о том, что частотный спектр воздействий, образующих рельеф, отличается
от белого шума. В нашей постановке задачи имеется безразмерный параметр
口 =(£★)1/2,(n.2.1)
имеющий смысл среднего угла для пространственной гармоники к. Это внутренний параметр подобия, поскольку в его определения входит волновое число к. Мы можем изменить линейное дисперсионное соотношение (8), добавив в его правую часть множитель
s = иШ^.(П.2.2)
При этом дисперсионное уравнение становится нелинейным, что простейшим образом учитывает возможные нелинейные процессы при эволюции рельефа. Из последней формулы следует, что
霖=(1+/3)"(£水)0.(П.2.3)
С помощью соотношения (7) с учетом (П.2.2) и (П.2.3) получаем
(1 -|-2/3) / (1+/3)
S(5 = £ …疗/(1+。)J2+0)/(i+0),(П.2.4)
^(l+2/3)/(l+/3)
0九(丁)= £ … 苏/(1+。)戸/(1+0).(n.2.5)
При /3 = 0 эти формулы переходят, соответственно, в (6) и (5). Если /3 > 0, то показатель степени при времени у структурной функции меньше единицы. Этот случай называется гиподиффузией, так как при этом диффузия происходит медленней, чем при нормальной диффузии. Спектр воздействий при этом вместо константы будет пропорционален &°/(1+°), т. е. будет расти с ростом частоты. Случай /3 < 0 соответствует гипердиффузии, т. е. ускоренной диффузии. Например, при колмогоровской турбулентности дисперсионное соотношение имеет вид s = £1/3庐/3 (см. [Голицын, 2001]), что соответствует турбулентной диффузии Ричардсона — Обухова. Из (П.2.5) можно получить оценку времени для достижения дисперсии рельефа в виде
丁 =(П.2.6)
Отсюда видно, что при /3 > 0 время 丁 возрастает, а при /3 < 0 наоборот, убывает. Кроме величины времени Г, знак и величина параметра /3 скажется и на мощности, затрачиваемой на образование рельефа, что тоже надо иметь в виду. Возьмем по аналогии с турбулентностью /3 = =—1/3, просто для того, чтобы посмотреть чувствительность наших результатов к значениям этого параметра. Тогда из (П.2.6) следует, что 丁 = сг^^/ЗУ^и-1^^. Для а2 = 3 • 106 ж2, 〃 = 6 • 1。—2 м и £卜 = 0,3 м получим 丁 = 6 • 106 лет = 1 млн. лет. Это слишком малое время в геологическом масштабе. Для /3 = —1/3 время 丁 = 2 • 109 лет, что лишь вдвое меньше возраста солнечной системы. При /3 = 0,1 г = =27 млн. лет. Вероятно, если /3 и существует, то оно должно быть
заметно меньше 0,1. Таким образом, спектр воздействий на рельеф должен очень слабо отличаться от постоянного, т. е. белого шума.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Г. С. Голицын, Простое теоретическое и экспериментальное исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. Л.: Гидрометеоиздат. 1980. (см. также G.S Golitsyn, J. Fluid Meeh., v. 95 (1979).).
Г. С. Голицын, Изв. РАН. ФАО, т. 37, №4 (2001).
Г. С. Голицын, Вычисл. сейсмология, Вып. 32 (2001).
А. С. Монин, История Земли, Л.: Наука. (1977).
А. С. Монин, А. М. Яглом, Статистическая гидромеханика. Т. 2. 1-е изд. М: Физматгиз. 1967. 2-е изд. СПб.: Гидрометеоиздат. (1996).
А. В. Kucinskas, D. L. Turcotte, Icarus, v. 112 (1994).
R. H. Rapp, Geophys. J. Int., v. 99 (1998).
D. L. Turcotte, Fractals and Chaos in Geology and Geophysics. New York: Cambridge Univ. Press. (1997).
§ 4. Белый шум как основа объяснения многихстатистических закономерностей в природе 9
Введение
Несмотря на сложность и многообразие природных явлений в их пространственном и временном развитии, носящем часто случайный характер, продолжают обнаруживаться простые закономерности в их распределениях вероятностей. Особенно это относится к моментам этих распределений, прежде всего, ко вторым моментам: спектрам, структурным функциям и др. Эти закономерности, в случае спектров — степенные, обычно наблюдаются на ограниченных интервалах частот (временных и/или пространственных), определяемых внешними по отношению к рассматриваемому явлению причинами и собственными масштабами реакции рассматриваемой системы на те или иные воздействия.
Во многих случаях эти воздействия (силы) имеют случайный характер и их корреляции существенно меньше, чем время реакции системы. Тогда в определенном интервале масштабов корреляционную функцию случайных сил можно аппроксимировать 5-функцией — прием, часто употребляемый в современной физике [1, 2]. Сразу подчеркнем это принципиальное отличие от классической статистической физики, где случайным является распределение скоростей, вводится понятие тер-
1) См. в книге «Нелинейные волны», Физматлит, 2003.
модинамического равновесия, а здесь случайным принимается распределение ускорений, т. е. сил на единицу массы изучаемой системы. Это приводит к новой физике, когда в одном интервале масштабов имеется ввод энергии, а ее реализация происходит в других масштабах пространства или времени. Ее начало было положено в 1941 г. классическими работами А. Н. Колмогорова [3, 4] и его аспиранта А. М. Обухова [5, 6] по теории турбулентности.
Здесь, следуя А. М. Яглому и Е. А. Новикову [7-9], на примере локально однородной и локально изотропной турбулентности мы изложим основные моменты описания таких систем. Известные законы турбулентности будут получены путем рассмотрения поведения лагранжевых жидких частиц. Будет показано, что их вторые моменты (временные спектры) тождественны универсальной части спектра морского волнения —[10]. Известная формула для структурной функции лагранжевой частицы (см. ниже (1)), приведенная впервые в 1944 г. в первом издании книги [11] (см. историю в [12]), может быть проинтерпретирована так же, как распределение (кумулятивное) частот событий, вызываемых накоплением энергии в системе под действием случайных сил и имеющих пороговую природу (см. [13, 14]). Таким образом объясняется закон Гутенберга-Рихтера повторяемости землетрясений в зависимости от их интенсивности. Аналогичные законы известны для частот цунами, оползней и т. п. На этой же основе определена форма энергетического спектра космических лучей [13, 14].
Отметим, что математические основы для рассмотрения реакции системы, интегрирующей воздействия как стохастический стационарный процесс, были развиты А. Н. Колмогоровым в двух заметках в 1940 г. [15, 16] (см. также [17]). Реакция на случайные воздействия также является случайным процессом, но со стационарными приращениями первого порядка. Общую теорию случайных процессов со случайными приращениями n-го порядка развил в 1955 г. А.М. Яглом [18]. Здесь она находит свое применение для описания перемещений лагранжевой частицы в пространстве (процесс со вторыми стационарными приращениями), откуда следует закон Ричардсона-Обухова [19, 6] относительной диффузии в турбулентном потоке.
В заключение будет сформулировано правило (принцип) скорейшей реакции системы на внешние воздействия, во многом эквивалентное подходу, обсуждаемому выше, и дан ряд примеров, его поясняющих.
Турбулентность Колмогорова-Обухова
А. М. Яглом [7] еще в 1949 г. обнаружил, что в инерционном интервале турбулентности, т. е. для масштабов г, меньших внешнего масштаба Е。и больших внутреннего масштаба /“ =(储/少/匕 ускорение лагранжевых жидких частиц (ЛЖЧ) является стационарным случайным процессом с постоянным спектром интенсивности £, т. е. является белым шумом. Здесь — кинематическая вязкость среды, £ — скорость диссипации (генерации, в статистически и динамически
равновесном случае — steady-state) кинетической энергии турбулентности. При этом временная структурная функция скорости ЛЖЧ будет
。。⑺=0"е + T)一 "⑴F) =0/(Т)]) = EТ. (1)
Постоянному спектру ускорений а£ соответствует корреляционная функция (для временных масштабов т》т^ = [у]е)"、
Ва(т) = £方(丁)= I ecosgtc/g.(2)
о
Е. А. Новиков [9] рассмотрел эту проблему для уравнения типа Ланжевена, получил экспоненциальную затухающую корреляционную функцию, и все следующие ниже результаты оказываются справедливыми у него для времен 丁》т”. Временные спектры связаны со структурными функциями соотношением [15-17]
。(丁)= 2 I (1 - coscjt)E(cj) dw.(3)
о
Согласно (3) из соотношения (1) получаем (для инерционного интервала) формулы (П.7) — см. приложение:
石。(5 = £「2, Ег = £「4.
Очевидно, что они могут быть сразу получены из соображений размерности только. Из формулы (П.8) (г2) = г2 = ег3 (см. Приложение) выражаем масштаб времени
丁 =(戸/£)1/3.(4)
Подставляя его в (1) и (3), получаем результаты Колмогорова [3] и Обухова [5, 6]:
=(可产，⑸
石(k)=£2/3k一5/3.(6)
Коэффициент относительной диффузии получаем, дифференцируя (П.8) по г и с учетом
К = dr2/dr 〜仃？〜gi/з戸/3.(7)
Последнее соотношение и есть знаменитый закон Ричардсона- Обухова [19, 6]. А. М. Обухов получил его из соображений подобия и размерности [5, 6]. Здесь он получен из гипотезы о «белом шуме» воздействий в определенном интервале времен, соответствующем инерционному интервалу. Другими словами, результаты Колмогорова- Обухова являются пространственным отображением «красного шума» поля скоростей лагранжевых жидких частиц, возникающих из «белого шума» их ускорений.
Специально проведенные численные расчеты [20] средних квадратов относительных скоростей и смещений в ансамбле частиц, на каждую из которых действует единичная сила со спектром, имеющим вид белого шума, но с разными распределениями вероятностей, показали, что, во-первых, равенство (1) и (П.8) выполняются с высокой точностью для ансамбля, состоящего из 30 (и более) частиц. Даже для 10 частиц они выполняются вполне удовлетворительно, особенно (П.8). Во-вторых, что можно было предвидеть и заранее, характер распределения вероятностей для сил не влияет на вычисляемые вторые моменты. В частности, гауссово распределение или распределения с разными знаками асимметрии (положительной для двумерной [21] и отрицательной для трехмерной турбулентности [4]) дают искомые зависимости с одними и теми же численными коэффициентами [20].
Морское волнение и закон Ричардсона
О том, как и почему закон Ричардсона (7) выполняется в природе, см. [10, 22]. Особо следует остановиться на относительной диффузии на поверхности океана [23-25]. О том, что этот закон выполняется на поверхности моря, Ричардсон и Стоммел заявили в 1948 г. в заметке [24]. Результаты обширных экспериментов многих авторов были обобщены А. Окубо и Р. В. Озмидовым в 1970 г. [24] (см. также книгу [25]). В [24] было показано, что существуют два интервала масштабов — примерно от 10 м до 1 км и от 10 до 3000 км, где в каждом из них действует закон Ричардсона-Обухова, но со значениями скорости диссипации кинетической энергии, различающимися примерно на полтора порядка (если считать численные коэффициенты в (7) одинаковыми в обоих интервалах).
В интервале 1-10 км существует разброс данных, но каких-либо систематических изменений с масштабом г нет. Автор в [22] обратил внимание на тот факт, что в частотном спектре возвышений морского волнения имеется универсальная часть, простирающаяся примерно на декаду почти сразу за частотой максимума спектра, где спектр пропорционален 4. Впервые этот результат был получен в 1966 г. В. Е. Захаровым [26] и объяснен из соображений подобия и размерности в 1973 г. Тоба [27] на своих данных измерений как
瓦(5 = % (8)
где а — численный коэффициент, д — ускорение силы тяжести. Отметим, что “* — динамическая скорость (скорость трения) в воде. Размерность величины 〃*д есть мощность на единицу массы, т. е. совпадает с размерностью скорости диссипации кинетической энергии £ в (1). Очевидно тождество формул (8) и (П.8). Из условия несжимаемости воды следует, что зависимость ос 以一‘ должна выполняться и для горизонтальных смещений ЛЖЧ в поле волнения, откуда вытекает закон для среднего квадрата горизонтальных смещений жидких частиц ос г3 и, очевидно, закон Ричардсона. Даже во втором издании
1996 г. книги [12] отмечалась неясность причин выполнения закона Ричардсона в экспериментах по диффузии на поверхности океана. Мы видим, что для интервала 10-103 м это связано с универсальностью частотного спектра морских волн, тождественного временному спектру ЛЖЧ в турбулентности, и несжимаемостью воды [10, 22]. Накачка энергии осуществляется путем обрушения достаточно длинных волн, в процессе которого лишь очень небольшая часть аи^д тратится на генерацию горизонтальной турбулентности вблизи водной поверхности (см. [28]).
По поводу выполнения закона Ричардсона в интервале 10-3000 км в [22] высказана гипотеза, что здесь действует обратный каскад энергии двумерной турбулентности. Вертикальный масштаб движения в верхнем квазиоднородном слое океана толщиной порядка 50 м при этом на 2,5-5 порядков меньше горизонтального масштаба движения, что обеспечивает практическую двумерность для масштабов более 10 км. Специально поставленные лабораторные эксперименты [29] подтвердили, что в условиях двумерной турбулентности хорошо выполняется зависимость ос для среднего квадрата относительных смещении жидких частиц, т. е. наблюдаются все условия для выполнения закона Ричардсона (7). При этом обратный каскад может черпать свою энергию из того же процесса обрушения волн, поток которой, как сказано выше, на полтора порядка меньше потока в сторону больших волновых чисел (малых масштабов). Свой вклад в диффузию в больших масштабах могут давать внутренние волны, выходящие на поверхность океана, мезомасштабные неоднородности поля ветра и т. п. Весь вопрос требует, конечно, тщательного рассмотрения.
Сравним закон относительной диффузии Ричардсона-Обухова с законом молекулярной диффузии или диффузии броуновской частицы. В обоих последних случаях средний квадрат смещения частиц равен [30]
(△/2⑴)=2八0方， (9)
где n — размерность пространства, D — коэффициент диффузии. В трехмерном случае 2п = 6. Ричардсон в 1929 г. [30] описал целую серию своих изобретательных опытов по определению коэффициента относительной диффузии ЛЖЧ. Это описание начинается с визуальной оценки коэффициента молекулярной диффузии, очень поучительной для целей образования. Солнечный луч в темной комнате высвечивает пылинки: «Как пляшут пылинки в полдневных лучах...», — писал Ф. И. Тютчев. За секунду пылинка перемещается на расстояние порядка 1 см. Тогда из (9) D = (Ax2(t))/6t 0,16 сж2/с. Это значение практически совпадает со справочным значением 0,15 сМ/с.
А. М. Обухов [31] обратил внимание на формальное сходство формул (9) и (1): (Au2(t)) £方.Поэтому он назвал величину £ коэффициентом диффузии в пространстве скоростей. Еще раз отметим, что в турбулентности случайными являются ускорения, а в молекулярной теории — импульсы молекул. В этом и состоит коренное отличие стати-
стической физики от теории процессов со случайными воздействиями, т. е. силами.
Явления, родственные турбулентности
Из других явлений, близких по статистическим свойствам турбулентности, отметим относительные движения реек на поверхности горных ледников при их движениях со средней скоростью нескольких метров в сутки. А. Б. Казанский [32] провел такие измерения на Памире на двух ледниках. Относительные перемещения реек, расставленных в разных частях поверхности ледника, измерялись в течение 8 часов, вычислялись скорости, которые затем осреднялись. С не очень большим разбросом найденные структурные функции скоростей для реек оказались подчиняющимися «закону 2/3». Казанский объясняет наблюдаемый закон тем, что движущийся ледник состоит из кусков различных размеров, взаимодействующих друг с другом. Можно, очевидно, предположить, что время корреляции ускорений (сил), действующих на отдельные куски, было много меньше 8 часов, времени осреднения данных об изменении положения реек. При этом наша схема случайных воздействий должна срабатывать, что и подтверждается наблюдениями.
Из других явлений, родственных турбулентности с точки зрения развитого здесь подхода, упомянем термическую и плотностную конвекцию, турбулентные флуктуации пассивной примеси, о которых пойдет речь в предпоследнем разделе, также низкочастотные флуктуации ряда климатических процессов. Подход к описанию последних был предложен К. Хассельманом [33] на основе «белого шума» воздействий. Например, для температуры ВКС (верхнего квазиоднородного слоя) океана это флуктуации радиационного баланса на морской поверхности, вызванные, в частности, переменной облачностью (подробнее об этом см. [34] и литературу там).
Статистика событий
Рассмотрим статистику событий различной интенсивности (энергии), регистрируемых с определенной частотой во времени и пространстве. События — такие, как землетрясения, цунами, оползни — являются пороговыми явлениями, когда система набирает в течение определенного времени некоторый запас энергии (упругой в случае землетрясений) и затем сбрасывает ее тем или иным способом. В случае землетрясений — путем образования разрывов в земной коре, в случае оползня потенциальная энергия породы (разжиженной) сбрасывается в процессе быстрого схода оползня и т. п.
Более детально, помимо землетрясений, рассмотрим природу космических лучей. Частицы их образуются в процессах взрыва сверхновых звезд и последующего ускорения в ударных волнах этих взрывов [35]. Это так называемый механизм ускорения Ферми, качественно им предложенный в 1950 г. (см. [35]). В предположении случайности процес-
са ускорения можно объяснить наблюдаемую форму энергетического спектра космических лучей, регистрируемого на земной поверхности. Впервые это было сделано на основе соображений подобия и размерности в [36] и более полно в [14].
Начнем рассмотрение с очевидной формулы
学丁 = 4丁(10)
dr
для приращения величины А за время т. Очевидна формальная аналогия с формулами (1) для структурной функции скорости или (9) для среднего квадрата смещения броуновской частицы. Если А — случайная (квадратичная) величина, то при £厶=dA/dt = const аналогия ясна. Отличия при рассмотрении статистики событий, вроде землетрясений, возникают из-за того, что при этом время ожидания 丁 должно быть кумулятивным временем 丁 (》А) наблюдения события с интенсивностью равной или большей А. С этим временем связана частота0c
呑. ⑴)
лишь эта частота имеет размерность обратного времени, а дифференциальная частота 丁 (А) имеет размерность [А • Г]. Предполагается, что интеграл (11) сходится благодаря тому, что существует, по тем или иным причинам, верхний предел роста величины А, т. е. для этих событий время ожидания бесконечно.
С помощью (11) из (10) получаем
N(^A) =4-В,(12)
что и является основой рассмотрения статистики событий, зависимостей типа интенсивность (энергия) — частота.
Статистика землетрясений — закон Гутенберга-Рихтера (ГР)
Этот эмпирический закон обычно приводится в виде [37]
lg N(》m) = а - bm,(13)
где т — магнитуда землетрясений, а, b — численные коэффициенты. Величина b ^ 1 для 0 < m < 7. Для больших землетрясений и землетрясений вблизи срединно-океанических хребтов b ^ 15. В [14] показано, что магнитуда связана с площадью разрыва S в земной коре соотношением
т = lg(S/So), 5 = 102 ж2 = 1 ар {сотка). (14)
Конечно, эта связь статистическая, но коэффициент корреляции величины т из (14) с магнитудой сейсмических каталогов г = 0,91. Потенцируя (13) и учтя (14), мы сразу видим, что b = 1 в полном соответствии с (12). Связь природы изменений величины b от 1 до
1,5 выяснили в 1988 г. С. С. Григорян [38] и в 1989 г. Рандл [39], связав эти изменения с толщиной корн: тонкая кора рвется вся и процесс распространения трещины в ней одномерный, а в толстой коре при не слишком сильных землетрясениях разрыв распространяется двумерным образом.
В последние десятилетия в теоретической сейсмологии используется величина сейсмического момента М, связанная с магнитудой соотношением 9
m = - lg М - 6, (15)
где М выражено в системе СИ — (ньютон на метр) Н • м;从— модуль сдвига, величина, как правило, близкая к 3 • 1010 〃а; S — площадь разрыва, и — среднее смещение блоков коры вдоль разрыва. Приведем формулу Рихтера для регистрируемой энергии сейсмических волн, излучаемых в процессе землетрясений:
lg Е = 1,5m + 4,8, откуда и из (15) следует
石= 6,3 • 10-5〃 (16)
Автор в работе [40] развил теорию подобия для землетрясений. Известно [37, 14], что величина сброса напряжений △о не имеет прямой зависимости от m и разброс ее для разных землетрясений невелик (см. рис. 1 в [14]), составляя в среднем примерно 4 Мпа = =4 • 106 бар. С ее помощью можно составить масштаб длины
Д) = (Ч/△о)1/з. (17)
Этот масштаб статистически хорошо описывает [14, 40] длину и площадь разрыва, смещение блоков и = (△о/〃)Z；o・ Его отношение к толщине коры Д определяет естественный параметр подобия для процесса землетрясений:
П = L^/h. (18)
Для вывода закона ГР в терминах сейсмического момента воспользуемся общей формулой (12), которую запишем с учетом появившегося параметра подобия (18) в виде
N(》М) = М-^/^), (19)
что, вследствие (15), соответствует b = 1,5 в законе ГР, если /(П)= =const.
Безразмерная функция /(П) должна определяться из наблюдений. Сравнение с данными глобального каталога землетрясений показывает [40], что величина b возрастает от 1 до 1,5 при П ^ 1. Сравнивая (15), (13) и (19), отмечаем, что при П》1 функция /(П) = const. Величину М Я. Я. Каган [42] определил как 36 • 1020 Я • м/год = 1,2 • 1014 Вт, что формально примерно втрое больше мощности глобального потока геотермического тепла F — основы всей геодинамики. С учетом этого,
сравнивая (19) с глобальным каталогом землетрясений, получаем, что const = 0,13. При П « 1 можно разложить функцию /(П) в ряд Тэйлора, ограничившись лишь линейным по аргументу членом. Тогда с учетом (17) и (18) получим
N(》М) = аМ-2/3, а = Q,\3 М^^К)~{ = 0,4 歹(△//з^)」
(20)
Таким образом, в [40] была раскрыта природа эмпирической величины а в законе ГР. Она оказывается связанной с потоком тепла 歹=4 • 1013 Вт (или региональным значением М (см. [42]), толщиной коры, величиной сброса напряжения).
Приведенные здесь цифры дают возможность оценить характеристики цикла энергии в процессах геодинамики. Зная величину М, можно оценить с помощью (16) мощность сейсмических волн. Это будет величина порядка 2,3 • 1011 Вт. Согласно [37] в эти волны идет менее 0,1 доли полной энергии, высвобождаемой в процессе землетрясения. Тогда доля геотермического потока, идущая на землетрясение, будет порядка (2 • 1010)/(0,1 • 4 • 1013) = 5 • 10-3, т. е. порядка половины процента.
Для сравнения отметим, что мощность развития тропического урагана тоже порядка 1013 Вт [42]. Но их бывает около 80 в год, и они приносят населению Земли существенно больше вреда, чем землетрясения.
Тот факт, что соотношение (12), составляющее основу закона ГР, можно рассматривать как процесс стохастической накачки упругой энергии в коре, подтверждают спектры деформаций, полученные по данным измерений лазерным интерферометром на глубине 2 км на Баксанской нейтринной станции [43]. Спектры деформаций в интервале частот 10-5-1 Гц близки /-2, где / —частота. Это значит, что спектр производных деформаций по времени близок к спектру белого шума. Упругая (свободная) энергия квадратично связана с тензором деформаций. Поэтому она, в соответствии с (1), будет расти пропорционально времени.
Эта энергия, накапливаясь годами и десятилетиями, сбрасывается, когда достигает некоторого порогового значения. Такого рода процессы называются самоорганизующимися критическими (self-organized critically [2, 14]).
Зависимости типа закона ГР обнаружены для распределений цунами по высотам (см. [14]), для индуцируемых частот (например откачкой газа) землетрясений [44], всплесков гамма-излучения на некоторых нейтронных звездах [45], оползней [14] и т. д.
Спектр энергии космических лучей
Рассмотрим здесь лишь частицы КЛ с энергией Е》 1010 эВ = =10 ГэВ. Известно (все данные из [35]), что скорость их генерации G 3 • 1033 Вт (примерно 3 сверхновых в нашей галактике за 100 лет),
плотность энергии s = 0,5 эВ /см3 для частиц в интервале 1-103 ГэВ. Кумулятивный спектр космических лучей
f IE—1/7,10 < Е < 3 . 106 ГэВ,
7石—2」，з . 106 < Е < 109 A民
Стохастический механизм Ферми предполагает, что набор энергии частиц пропорционален времени
(22)(22)石〜Gt(》Е)
(22)
(22)
в полной аналогии с законом ГР. Отличие спектра космических лучей в том, что измерение идет на единицу площади (а по закону ГР — на территорию региона или всей поверхности Земли). Если бы мы еще знали пространственную плотность КЛ величину n(> Е), то смогли бы оценить искомый спектр как
二石)，= 7八(E) dE, (23)
47rJ
E
где и — скорость движения облаков космических лучей в нашей Галактике. К счастью, последнюю величину в (23) мы можем оценить сверху как
川》石)=^八(E)dE < 器 En(E) dE = E)/E < ш/Е (24)
EE
через известную, по крайней мере для указанного выше интервала от 1 до 103 ГэВ, величину со объемной плотности энергии космических лучей. Величина n(> Е) есть объемная концентрация числа частиц, и тогда можно оценить расстояние между частицами:
I =制》Е)「1/з < (E/s)i/3.(25)
Отсюда следует, что частицы движутся в пространственных трубках площадью сечения
S(》Е) < 制》Е)「2/з》(石/52/з.(26)
Таким образом, имеется естественный масштаб частоты из (22) как N(》Е) = [т(> Е)]-1 〜G/Е и оценка (снизу) величины S~】》Е. Тогда для кумулятивного спектра можно записать:
石）w亏^ s（2e）石）w亏^ s（2e）GG=СЁ=СЁCG&2/3 石—5/3.CG&2/3 石—5/3.(27)(27)
石）w亏^ s（2e）
石）w亏^ s（2e）
G
G
=СЁ
=СЁ
CG&2/3 石—5/3.
CG&2/3 石—5/3.
(27)
(27)
Показатель степени в нашей оценке сверху оказывается практически совпадающим с показателем 1,7 для измеренных спектров. Численный коэффициент с = 3 • 10-38, что получается из сравнения формулы (27) с первой строкой системы (21). Такая малая величина
получается потому, что мы измеряем площадь, например в квадратных метрах, а площадь сечения диска Галактики порядка 1039 ж2.
Так называемое «колено», с которого начинается укручение в спектре при Е > 3 • 106 ГэВ, объясняется тем, что ларморовский радиус частицы с этой энергией в магнитном поле с плотностью энергии порядка со начинает уже чувствовать конечную толщину радиуса диска. Постоянство плотности энергии для частиц с Е》3• 106 ГэВ становится слишком грубым приближением, так как эта плотность должна падать с ростом Е. Однако можно оценить (снова сверху) поведение величины 奴》Е) с помощью (27), (23)-(26), откуда
石)=包/(》石)〜包G,2/3E-5/3.
Тогда единичная площадь
S—1(》Е)》((47r/u)GJ/3E—5/3产/3 = (47rG/u产/3//9石—10/9.
Время, т. е. частоту, возьмем опять из (22) и получим
/(》石)〜(4兀加产3G5/3,4/9石-，
n= 19/9 = 2+ 1/9,〈丿
что удивительным образом согласуется с эмпирическим показателем 2,1 в (21).
Во всех случаях, рассмотренных в этом разделе, решающим является стохастическая природа набора энергии системой, ведущая к ее линейной зависимости от времени. Это роднит статистику событий с турбулентностью и родственными ей явлениями.
Обратная времени величина есть частота, т. е. число событий за единицу времени. Отсюда и возникает закон ГР, осложненный в случае космических лучей необходимостью учета и пространственной частоты частиц космических лучей.
Правило скорейшей реакции
Это правило, сформулированное впервые автором в 1980 г. [46], гласит, что если мы знаем воздействие (мощности) на систему, то ее результирующая энергия оценивается как произведение мощности на наименьшее время реакции, присущее этой системе. В [46] в качестве примеров приводились кинетическая энергия планетных атмосфер (не слишком быстро вращающихся), колмогоровская турбулентность, термическая конвекция. В 1997 г. была подготовлена обширная работа [13] и опубликована заметка [47], где количество примеров было существенно расширено. Например, в гидродинамике таким образом были получены (с точностью до численных коэффициентов) формулы для скоростей в трубах под влиянием градиента давления в вязком и турбулентном режимах, колмогоровские законы турбулентности, в том числе в вязком интервале масштабов, скорости конвекции для турбулентных и вязких режимов, в том числе с учетом вращения, за-
коны ГР и для космических лучей (верхняя строка (21)). Наименьшее время в случаях гидродинамики находилось из параметров подобия, которые представлялись в виде отношений двух характерных времен. Например, число Рейнольдса представлялось как
Re = иг/и = (и/г)г2/р = 丁"/丁。・(29)
Если почти все описанные выше результаты могут быть получены и из соображений размерности, то это не так с последним результатом, например, если порознь рассматривать величины £, и, г. Наше правило объединяет две первые величины в одну с размерностью времени, что и обеспечивает успех. При Re W 1 действует т” =『2/^, и мы получаем структурную функцию в интервале диссипации, при Re》1Td = 丫М и мы получаем закономерности инерционного интервала турбулентности. В случае землетрясений и космических лучей, где нет параметров подобия, представимых в виде отношений двух времен, существует лишь одно время 丁(》А) = А/А = A{dA/dr)~x и именно оно использовалось для вывода распределений частота — интенсивность, т. е. энергетических спектров. На основе этого правила можно вывести формулу для кинетической энергии общей циркуляции атмосферы для планеты типа Земли в виде произведения мощности солнечной энергии и времени установления локального статистического равновесия в глобальном масштабе т = г/с, где г — радиус планеты, с — скорость звука, вывести формулы типа Стокса для падения частички в поле силы тяжести, определить масштаб скорости при конвекции вращающейся жидкости [48] и т. д. и т. п. [14]. Вкратце упомянем поведение скалярной примеси в турбулентном потоке с интенсивностью генерации турбулентности £ и скоростью генерации неоднородности в поле примеси N. Средний квадрат изменений примеси на расстоянии『(структурная функция) в инерционном интервале будет Оо(『)~~ Nr/и. Так как и
то。0(广)=N「i/3『2/3, закон, полученный в 1949 г. А. М. Обуховым (см. [12]).
Заключение
Все процессы, описанные здесь, есть реакция некоторой системы на очень мелкомасштабные по времени случайные воздействия, их в некотором интервале масштабов можно описать белым шумом. При этом, например, результаты Колмогорова-Обухова понимаются как пространственное (эйлерово) отображение красного шума поля скоростей, вызванного белым шумом ускорений, действующих на лагранжеву жидкую частицу. Во всех разобранных случаях приращение энергии системы пропорционально времени воздействия на нее. В статистике событий задача перевертывается: мы измеряем интенсивность или энергию события, знаем время ожидания события (т. е. частоту), хотим оценить мощность воздействия и понять, почему распределения энергия —частота (землетрясений и родственные явления), как правило, обратно пропорциональны энергии. Ответ прост и заключается в виде
формулы типа (10), т. е. что произведение мощности на время реакции есть энергия, набираемая системой в процессе стохастического (или регулярного) воздействия на нее. Отсюда белый шум воздействий и правило скоростей реакции. В случае космических лучей необходимо оценивать их объемную концентрацию в зависимости от энергии Е, что удается, по крайней мере, сверху. В случае землетрясений и подобных им процессов работает принцип самоорганизованной критичности [42]: реакция системы начинается, когда накапливаемая энергия превосходит некоторый порог. Если времена корреляции воздействий становятся как-то сравнимыми с временами реакции системы, то спектр воздействий будет уже подниматься в сторону низких частот и система будет набирать энергию как тп, где уже n > 1. Тогда временной спектр реакции системы будет падать как L^т, т. е. быстрее, чем ш~2.
В заключение дадим упорядоченный список рассмотренных здесь процессов и событий (вопросы, рассматривавшиеся автором, помечены звездочкой).
Непрерывные процессы.
Локально-однородная и изотропная турбулентность.
Спектр морского волнения (и диффузия Ричардсона*).
Пассивный скаляр в турбулентном потоке.
Правило скорейшей реакции* (взаимозаменяемое, с некоторыми оговорками, с ^-коррелированными воздействиями).
Термическая и плотностная конвекция в вязком* и турбулентном режимах (мантия Земли*, термики и т. д.).
Конвекция во вращающихся жидкостях* (жидкое ядро Земли, ураганы, глубокая конвекция в океане и т. п.).
Циркуляция планетных атмосфер* (Земля, Марс, Венера, Титан).
Течение в трубах при вязком и турбулентном режимах.
Течение под влиянием силы тяжести (реки, наносы и т. п.) 2. Статистика событий.
Самоорганизованная критичность (землетрясения, оползни, гамма-вспышки нейтронных звезд и т.п.*).
Цунами.
Космические лучи*.
Приложение
Здесь мы привели необходимые математические сведения, строгие выводы которых можно найти в [12] ((24.2) и др.). Для простоты пренебрежем векторной природой сил, ускорений, скорости, смещений, поскольку все равно численные коэффициенты надо определять из экспериментов, реальных или точных численных. Уравнение движения
для ЛЖЧ есть
х = а⑴.(П.1)
Для приращения скорости за время 丁 имеем
-力⑼=j a⑴必=『⑺-『⑼，(n.2)
о
а для структурной функции, т. е. среднего квадрата приращения скорости,
〈Мт)-『⑼产)=。，丁)= j j凡(/ —方〃)dtfdtfff = 2T^T-s)Ba(s)曲. о оо
(П.З)
Рассмотрим интервал времен, где корреляционная функция ускорений может быть представлена как
Bag =a2丁08(丁)= £8(丁)，(П.4)
где а2 = еЗ/2^—1/2, 丁。= (^Д)1/2 (см. [12, 7] и др.) Тогда спектр ускорений ЛЖЧ будет белым шумом, а временная структурная функция скорости частицы из (П.З) с учётом (П.4) запишется как
國⑺=2b ~ 2Т.(П.5)
Для случайных процессов со стационарными приращениями первого порядка предложена в [15-17] (см. также [12] и др.) связь между спектральной плотностью и структурной функцией:
。(丁)= 2 ] (1 - coss)石(5 ds,(П.6)
о
которую с помощью известных тригонометрических соотношений можно представить так же, как
。⑺=4 sin2(W)E(5ds.(П.7)
о
Средний квадрат смещений ЛЖЧ получается интегрированием (П.2). С учетом (П.5), опять с точностью до численного коэффициента,
(力2(т)) = Г2(т) ^ £丁3.(П.8)
Поле смещений будет уже случайным процессом со вторыми стационарными приращениями [18]. В инерционном интервале, если спектр ускорений Ea(s) — белый шум, то спектр скоростей будет 石。(以)= =£厂2, а спектр смещений
(П.9)(П.9)EV(s) = CJ —2石。(以)=Ш~4Еа{ш) = £CJ—4.
(П.9)
(П.9)
Структурная функция смещений будет связана со спектральной плотностью (П.9) соотношением (П.7). Для существования интеграла в (П.7) функция 石(а) должна в нуле расти медленнее, чем 以一з, либо надо переопределить структурную функцию как вторую разность: О(т) = 0(0) — 2О(т) + О(2т), которая уже будет стационарным процессом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
В. И. Кляцкин, Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит, (2001).
D. Sornette, Critical phenomena in natural sciences. Springer, (2000).
A.H. Колмогоров, ДАН СССР, т. 30, №2 (1941).
А.Н. Колмогоров, ДАН СССР, Т. 32, № 1 (1941).
А.М. Обухов, ДАН СССР, т. 32, № 1 (1941).
А. М. Обухов, Изв. АН СССР. Сер. геогр. геофиз., т. 5, №4-5 (1941).
А.М. Яглом, ДАН СССР, т. 61, №5 (1949).
А.М. Обухов, А.М. Яглом, ПММ, т. 15, № 1 (1951).
Е.М. Новиков, ЖЭТФ, т. 44, №6 (1963).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. ФАО, т. 37, №4 (2001).
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных сред, М.: ГИТТЛ, (1953).
А. С. Монин, А. М. Яглом, Статистическая гидромеханика. Т. 2. 1-е изд. М.: Физматгиз, 1967, 2-е изд. СПБ.: Гидрометеоиздат, (1996).
G. S. Golitsyn, Buoyant convection in geophysical flows / Eds. E. Plate et. all. Kluwer Ac.Publ., (1998).
Г. С. Голицын, Вычисл. сейсмология, №32 (2001).
A.H. Колмогоров, ДАН СССР, т. 26, № 1 (1940).
А. Н. Колмогоров, ДАН СССР, т. 26, № 1 (1940).
J. von Neumann, I. J. Schoenberg, Trans. Amer. Math. Soc., v. 50, №2 (1941).
A. M. Яглом, Матем. сб. т. 37, № 1 (1955).
L. F. Richardson, Proc.Roy. Soc. London, v. Al 10, № 156 (1926).
Г. С. Голицын, В. M. Пономарев, Письма в ЖЭТФ, (2002).
Е. Lindborg, J. Fluid Meeh., v. 388 (1999).
Г. С. Голицын, ДАН, т. 380, №5 (2001).
L. F. Richardson, Н. Stommel, J. Meteorol. v. 5, №5 (1948).
А. Окубо, Р. В. Озмидов, Изв. РАН. ФАО, т. 6, №5 (1970).
Р. В. Озмидов, Турбулентная диффузия в океане, Л.: Гидрометео- издат, (1985). 284 с.
В.Е. Захаров, Н. И. Филоненко, ДАН СССР, т. 170, №6 (1966).
К. Toba, J. Oceanogr. Soc. Japan, v. 29 (1973).
O.M. Phillips, J. Fluid Meeh., v. 156 (1985).
M.-C. Jullien, J. Paret, P. Tabeling, Phys. Rev. lett., v. 82 (14) (1999).
L. F. Richardson, Beitr. Phys. Freien. Atmos., B. IS. Nr. 1.5 (1929).
A. M. Обухов, Adv. Geophys., v. 6 (1959).
A. B. Kazansky, Ann. Glaciologu, v. 9 (1987).
K. Hasselmaim, Tellus, v. 28, №6 (1976).
Г. С. Голицын, П. Ф. Демченко, Изв. АН СССР. ФАО, т. 16, №12 (1980).
В. Л. Гинзбург, (ред.) Астрофизика космических лучей. М.: Физматгиз. (1990).
Г. С. Голицын, Письма в Астрон. журн., т. 23 (1997).
Н Kanamori, Annu. Rev. Earth Planet. Sci., v. 22 (1994).
C.C. Григорян, ДАН СССР, т. 299, №6 (1988).
J. В. Rundle, J. Geophys. Res., v. 96 (6) (1989).
Г. С. Голицын, ДАН, т. 346, №4 (1996).
Y. Y. Kagan, J. Geophys. Res., v. 102 (1997).
Г.С. Голицын, ДАН, т. 354, №4 (1997).
В. Н. Руденко, В. К. Милюков, В. В. Нестеров, И. П. Иванов, Вестник МГУ, Астрон. астрофиз., т. 5 (1994).
Г.С. Голицын, ДАН, т. 361, №6 (1998).
Г. С. Голицын, Письма в Астрон. журн. Т. 24, №4.
Г. С. Голицын, Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. Л.: Гидрометеоиздат, 1980.(см. также: G.S. Golitsyn, J. Fluid Meeh. 1979. V. 95. Р. 567-608).
Г.С. Голицын, ДАН, №3 (1997).
Г. С. Голицын, Изв. АН СССР. ФАО, т.27, № 1 (1991).
Статистические закономерности макропроцессов:случайные блуждания в пространстве импульсов
Показано, что большое число статистических закономерностей в самых разнообразных природных процессах и явлениях может быть описано в двух предположениях: эргодичности и малости времени корреляции случайных сил, воздействующих на рассматриваемую систему, по сравнению со временем реакции системы на эти силы. Другими ело-
вами это значит, что система производит случайные блуждания в пространстве импульсов. Сначала рассматриваются непрерывные, случайные процессы. Их примерами в работе является локально однородная и изотропная турбулентность Колмогорова-Обухова, описанная в 1941 г. в основном соображениями подобия и размерности, частотный спектр морского волнения, полученный Захаровым в 1966 г., статистическая структура рельефа поверхности планеты. Затем 9 рассматривается статистика потока событий. Основной в работе формуле (4) даётся теоретико-вероятностная интерпретация, с помощью которой объяснены многие эмпирические кумулятивные распределения частота — размер, типа закона Гутенберга-Рихтера для повторяемости землетрясений. С помощью практически важной простой формулы (13) оценивается скорость генерации энергии, высвобождаемой при событиях. С её помощью для примера найдено, что скорость генерации энергии, высвобождаемой при землетрясениях, порядка 0,1 % от мощности полного геотермического потока.
В основу описания природных процессов можно положить уравнение Ньютона
dp/dt = f, (1)
где р — импульс, / — сила. Обе величины для простоты будем считать определёнными на единицу массы рассматриваемой системы, и тогда имеем соотношение между скоростью и ускорением. Силы предполагаем случайными со временем корреляции, много меньшим времени реакции системы. Тогда в пределе корреляционную функцию случайных сил представим в виде
当⑺=(八方+ T)/⑴〉=。什0"了)=吨丁)， (2)
предполагая силы случайным стационарным во времени процессом и эргодичность для распределённых систем, т. е. равенство средних по ансамблю для отдельных частей сложной системы их средним по времени. Численные расчёты (см. [1]) показывают, что это выполняется уже при числе членов ансамбля больше или порядка 10. В (2) о} — дисперсия случайных сил, 丁。——характерное минимальное время реакции системы, например, для локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова-Обухова (далее К041) величина 丁0 = (^/е)1'2, где V — кинематическая вязкость, £ — скорость генера- ции/диссипации кинетической энергии [2, 3] в жидкости. Для других сред можно показать, что величина £ = dF/dt, где F — свободная энергия деформации [4]. Ниже в п. 4 будет показано, что условие 丁》 》弋 п все выводы, получаемые при этом, хорошо выполняются уже при 4To • Корреляционной функции (2) соответствует энергетический
1) Подготовлено к публикации.
частотный спектр
Е/З = I By (г) COSCJT = £ = const.,(3)
о
т. е. белый шум. Это было показано для поля ускорений лагранжевых частиц в инерционном интервале К041 в [3].
Для импульса, интегрируя (1) и следуя [2], можно получить следующее выражение для структурной функции
00(丁)= ([p (方+ T)一0⑴产)=2"，⑷
при этом процесс 夕(方)будет случайным со стационарными инкрементами. Впервые формула типа (4) была опубликована в 1944 г. в [5] в части, посвящённой изложению К041. История её неоднократных пе- реоткрытий и пределы применимости в гидродинамике изложены в [2]. Нам здесь важно, что она является прямым следствием предположения 丁》то, ведущего к (2) или далее к (11).
Структурной функции (4) соответствует спектр [2]
石0(5 =(5)
красный шум; в [1, 6] показано, как в случае турбулентности для спектра смещений лагранжевой частицы получаются результаты К041
Ег =加―4,(6)
чему соответствует структурная функция смещений
{5г2) = г2 = £丁3.(7)
Отсюда 丁 =(广2/£)1/з и подставляя в (4), получаем результаты КО41 для вторых пространственных моментов поля скорости, выведенные авторами из соображений подобия и размерности. Здесь они получены лишь в предположениях 丁》丁。п эргодичности. Можно сказать, что КО41 есть проекция на пространственные координаты (эйлерово описание) красного шума поля скоростей лагранжевых частиц, обусловленного белым шумом действующих на них случайных сил. Спектр смещений (6) в точности соответствует универсальной части спектра морского волнения, впервые выведенного Захаровым [7] более сложным образом. Пространственные спектры для двух этих процессов получаются использованием соотношения
石(k) =Eg 乂 dwldk),(8)
выводимого в предположении эргодичности и сохранения вероятности при замене переменных, именно, равенства дисперсий, получаемых интегрированием 石(s) по частотам или 石(к) по волновым числам к = 2тг/г. Здесь ещё нужно знать дисперсионное соотношение s(k), которое в случае К041 имеет вид g = s1/3^2/3 n s = (/ср)1/2 в случае
волн на поверхности жидкости в поле силы тяжести. Тогда получаем Еи(к) = £2/3^ —5/3 и Е“к) = £1/2^ —5/2, где в последнем случае £ = 〃*д, где “* — скорость трения [1, 6], характеризующая обмен импульсами между атмосферой и подстилающей поверхностью. Пространственный спектр скоростей при морском волнении выводится из формулы (5), (8) и ш2 = дк и оказывается равным Е“(к) = u^l^k^i"1. Ему соответствует пространственная структурная функция Dv{r) = и*д'〕霓丫'〔' и коэффициент турбулентного перемешивания
К (г) = r[Dv(ry^^ = $2gI"戸/4. (9)
В этих формулах, как и во всех формулах здесь, мы не выписываем численные коэффициенты, которые должны определяться из экспериментов. Отметим более слабую зависимость коэффициента турбулентного перемешивания в (9) от размера пятна, чем для случая турбулентного перемешивания в трёхмерной локально однородной и изотропной турбулентности, где показатель степени при г равен 4/3, как это имеет место для закона Ричардсона-Обухова (см.[2]).
В [8] показано, что пространственный спектр рельефа земной поверхности является примером красного шума в волновом пространстве. При этом спектр уклонов, вдоль которых действуют силы, формирующие рельеф, будет белым шумом. Выведена формула, оценивающая снизу масштаб времени рельефообразующих процессов миллионом лет, а масштаб времени образования или распада суперконтинентов — несколькими сотнями миллионов лет.
Для описания потока событий применимо всё сказанное, кончая формулой (5). Обычно строятся кумулятивные гистограммы, особенно в случаях недостаточных объёмов выборки в виде числа событий N(》Е) за период наблюдений. Величина N(^ Е) — частота событий размера, равного или больше Е. Для физической интерпретации таких эмпирических распределений вероятностей величину Е полезно связывать с энергией события. Иногда используют дифференциальные гистограммы N(》Е)
N(》E)= ] N(E)dE, N(E) = E~XN^E\ (10) E
при этом последнее равенство выполняется с точностью до численного множителя, обычно порядка единицы. Величина N(E) представляет собой эмпирическую плотность вероятности потока событий Е.
В книге [9] показано при интерпретации, выражаемой формулами (9), что для потока событий время в нашем соотношении (5) есть на самом деле среднее время появления в потоке события》Е, т. е.
丁 = т(》Е) = 1/N(》E).丁 = т(》Е) = 1/N(》E).(И)(И)
丁 = т(》Е) = 1/N(》E).
丁 = т(》Е) = 1/N(》E).
(И)
(И)
Тогда из (5) следуют две важные формула:
(12)(13)(12)(13)N(》石)=е/Е,EN(》Е) = £.
(12)
(13)
(12)
(13)
Формула (12) объясняет, почему многие эмпирические распределения частота-размер вида N(》Е)〜Е~п имеют показатели 八 ^ 1. Примеры (см. [1, 10]): цунами N(》Д), Д — высота,八=1,01; оползни N(》nz), т — масса грунта,八=0,95-1,1; озёра N(》S), S — площадь озера, п = 0,93-0,95 (см. [11, 12]).
Отличие эмпирического показателя 八 от единицы может быть обусловлено рядом факторов, как то: недостаточным объёмом выборки, её неоднородностью в пространстве и/или времени, зависимостью безразмерного численного коэффициента от ряда безразмерных параметров подобия, характеризующих явление, наконец, спектр случайных сил может зависеть от частоты. При 八 > 1 этот спектр повышается в сторону низких частот.
Для землетрясений в тонкой океанической коре или сильных землетрясений с магнитудой тп》8 также выполняется закономерность N(》М)〜М~п с n ^ 1 (см. [10]). Здесь М — сейсмический момент, связанный с магнитудой
m = (2/3)lgM-6.
Для m = 8 отсюда М = 1021 Н/м. Величина М связана с энергией Es излучаемых при событии сейсмических волн эмпирическим соотношением 石$ 〜6 • 10-5М и величина Es порядка 7% от полной энергии события (см. [1, 10]).
Естественно встаёт вопрос, что значит требование, чтобы рассматриваемые времена были много больше внутреннего времени системы то. Для этого выберем корреляционную функцию случайных сил в впде
^И = -ехр(--), (14)
переходящую в пределе т° — ° в 8(т). Соответствующая ей структурная функция для импульса после интегрирования (1) и осреднения имеет вид
00(т) = - 1 +ехр(—(15)
С точностью лучшей 1 % уже при 丁/丁。= 4 можно пренебречь здесь экспонентой и получить
力(丁)= £(Т - t0)=〈両(丁)产)-疗⑺)=e (16) и включить зависимость от 弋 в формулы типа (12) и (13), в которых будет к величине Е добавляться малая величина 石。=£丁0・
В заключение резюмируем результаты. В рамках вторых моментов с использованием теории случайных процессов и теории вероят-
ностей получены многие известные результаты и объяснены эмпирические давно известные закономерности. Это получено в двух естественных предположениях: эргодичности и малости времени корреляции случайных воздействий на рассматриваемую систему по сравнению со временем реакции этой системы на воздействия. По аналогии с броуновским движением рассматриваемые здесь процессы можно назвать случайными блужданиями в пространстве импульсов, а величину £ в наших формулах — коэффициентом диффузии в пространстве импульсов, как это сделал А. М.Обухов для турбулентности лагранжевых частиц [13] в 1958 г.
На протяжении всей работы здесь не затрагиваются численные коэффициенты. Их полной проверкой может быть лишь сопоставление с экспериментами, лабораторными или численными, с данными наблюдений. К тому же они могут зависеть и от безразмерных параметров подобия, присущих рассматриваемой проблеме. Отметим, что практически все описанные здесь результаты могут быть получены из соображений подобия и размерности, или так называемого принципа скорейшей реакции (см. [6-8]). Здесь же даётся математическое и физическое обоснование этим подходам, носившим эвристический характер.
Работа выполнена при поддержке программы Президиума РАН «Нелинейная динамика и хаос». Изложенные здесь идеи кристаллизовались в течение многих лет. Представленное здесь их изложение кажется автору наиболее полным и строгим и, в то же время, автор надеется, наиболее кратким и ясным. Эти идеи обсуждались со многими людьми и представлялись в том или ином виде на многих семинарах в России, Европе, США, в Японии и Китае. Список лиц, которых мне следовало бы поблагодарить за вопросы, замечания и т. п. очень велик. Из него выделяются: А. М.Яглом, А. С.Монин, В. Ф.Писаренко, М. И.Фортус, Е. Б.Гледзер, В. М.Пономарёв, Д.Сорнетт, О. М.Филлипс, М. А.Мальков, Г. И.Баренблатт.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Голицын Г. С. // В сб. «Нелинейные волны». С. Изд. Института прикл. физики РАН. Нижний Новгород. 2003. С. 117-132.
Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 2. М.:Физматгиз. 1967.
Яглом А.М. 〃 ДАН СССР. 1949. Т. 67. №5. С.795-798.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Физматгиз. 1978.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ. 1944.
Голицын Г. С. // Известия РАН. ФАО. 2001. Т. 37. №4. С. 438445.
Захаров В.Е., Филоненко Н.Н. 〃 ДАН СССР. 1966. Т. 170. №6. С. 1292-1295.
Голицын Г. С. // Физика Земли. 2003. №7. С. 3-8.
Феллер У. Введение в теорию вероятностей и её приложения (перевод с 1 англ. изд. 1950 г.). М.: «Мир». 1957. Гл. 13.
Голицын Г. С. 〃 Вычислительная сейсмология. 2001. №32. С. 138161.
Ryanzhin S. V. 〃 Proc, of 4th International Lake Ladoga Symposium 2002. P. 496-502.
Turcotte D. Chaos and Fractals in Geology and Geophysics. 2nd. ed. Cambridge Univ. Press. 1997.
Obukhov A. M. 〃 Adv. in Geophys. 1959. V. 6. P. 113-115. (Pyc. перевод в Сб. «Атмосферная диффузия». 1963. М.: Мир.)
Глава 7
РАЗНОЕ
Отражение физических процессов и явленийв русской классической поэзии
Физические процессы и явления нечасто бывают темой стихов. Скорее они играют роль фона, на котором происходят переживания героя. И все же наши гениальные поэты нередко подмечали и ярко описывали такие черты процессов и явлений, которые им точно соответствуют и могут быть проинтерпретированы в строгих терминах современной науки. Широкому кругу читателей и любителей поэзии эта тема, вероятно, не так интересна, но представляется, что она может привлечь внимание представителей точных наук, особенно, наук об окружающей среде, о природе. Многие наши выдающиеся ученые прекрасно знали классическую поэзию и даже в конце жизни свободно по памяти читали стихи. Автор в юности был знаком с Григорием Самуиловичем Ландсбергом, сыгравшим большую роль в определении его научной судьбы, слышал об обширных знаниях поэзии Сергея Ивановича Вавилова, Льва Давыдовича Ландау и многих других. В наше время Владимир Евгеньевич Захаров, академик, долгие годы директор Института теоретической физики им. Л. Д.Ландау является автором нескольких поэтических сборников, членом Союза российских писателей.
«Поэзия — волшебство музыки, мысли и чувства» сказал Пушкин. И, как таковая, она воспитывает чувство гармонии, чувство прекрасного, в том числе в краткости и точности выражения мыслей. Все это важно и в научных исследованиях, в анализе их результатов, в умении просто, доходчиво, экономно и точно довести эти результаты до научного сообщества. В науке, особенно, в новых, мало еще исследованных областях важно внимание к деталям. Именно детали, даже неважные с первого взгляда, позволяют часто высветить всю картину, понять, что, действительно, важно, а что — нет. Такое отношение к новому материалу имеет сходство с попыткой поиска физических моментов в классической поэзии, нисколько не умаляя, а лишь открывая новые грани ее волшебства.
Первоначальным импульсом к такому взгляду явилось наблюдение Александра Михайловича Обухова, создателя наряду с его учителем Андреем Николаевичем Колмогоровым, современной теории турбулентности. Автор, начиная со своего появления в 1958 г. в Институте физики атмосферы АН СССР, неоднократно слышал от Александра Михайловича Обухова, который основал Институт в 1956 г. и был его директором до конца своих дней в 1989 г., что Пушкин очень точно выразил две основные черты развитой турбулентности: вихревую природу, передачу энергии от крупных масштабов к мелким и (добавление автора) — перемежаемость в пространстве и времени. Он с видимым удовольствием читал:
Буря мглою небо кроет, Вихри снежные крутя, То как зверь она завоет, То заплачет, как дитя.
Вихревая природа бури (напоминаю, что попытки Рейнольдса описать турбулентность количественно были в 1880-х, на 60 лет позже написания «Зимнего вечера») здесь названа прямо, а отрицательность асимметрии распределения вероятностей для поля скоростей (при условии, что звуки соответствуют скоростям) может быть понята. Он объяснил, что дитя плачет тише и дольше, чем воет зверь, поэтому распределение вероятностей, РВ, асимметрично, сдвинуто в сторону малых масштабов. Без цитирования Пушкина этот факт прокомментирован во 2-ом томе книги А. С.Монина и А. М.Яглома «Статистическая гидромеханика» [1] и получается из экспериментальных определений РВ, немедленно следуя из уравнения Колмогорова, знаменитого »закона — 4/5», откуда виден и характер переноса энергии по спектру масштабов от больших к малым.
Обухов не цитировал последующие 4 строки:
То по кровле обветшалой Вдруг соломой зашуршит, То как путник запоздалый К нам в окошко постучит.
Здесь могут быть сделаны точно те же комментарии, что и к первым четырем строкам: путник стучит в окошко по времени меньше, чем ветер шуршит соломой. Кроме того, и вой зверя и стук путника, как и более тихие эффекты бури, проявляются более или менее компактно по времени. Будучи связаны с полем ветра, обтекающего «бедную лачужку», они свидетельствуют о перемежаемости сигнала, т.е. турбулентности в пространстве и времени. Вспомним гипотезу Тэйлора, что при времени жизни турбулентных образований много больше, чем время их переноса через регистрирующую точку, временной сигнал отражает пространственную структуру турбулентности.
«Зимний вечер» — пример наиболее глубокого описания вихревой стохастической динамики в ее современной интерпретации. Понять и увидеть это, как Александр Михайлович Обухов, вполне сродни
современному анализу новых явлений, когда сначала неясно, что ясно, а что неясно, а потом мы начинаем какие-то детали ассоциировать с известными процессами и постепенно возникает картина, т.е. модель, готовая сначала к качественному, а потом и к количественному описанию.
Здесь надо вспомнить неоднократно слышанную от Григория Исаковича Баренблатта цитату из начала неоконченной поэмы Александра Блока «Возмездие»:
Сотри случайные черты
И ты увидишь — мир прекрасен...
Это стирание «случайных черт» — отбор главных смысловых деталей и дает эстетическое чувство при получении простых и фундаментальных результатов в науке. Часто инструментом для их получения является анализ размерностей величин задачи (см. [2-3]), но есть и другие подходы (см., например, методологические работы автора [4-6]).
Следующим примером вполне современного описания турбулентности и хоатической динамики является стихотворение Федора Ивановича Тютчева (двухсотлетие со дня рождения которого отмечалось 5 декабря 2003 г. по н. ст.). Оно написано в начале 1830-х годов, когда поэт был секретарем российского посольства в Мюнхене. Вот его полный текст:
О чем ты воешь, ветр ночной? О чем так сетуешь безумно?... Что значит странный голос твой, То глухо жалобный, то шумно? Понятным сердцу языком Твердишь о непонятной муке — И роешь и взрываешь в нем Порой неистовые звуки!...
О, страшных песен сих не пой! Про древний хаос, про родимый, Как жадно мир души ночной Внимает повести любимой!
Из смертной рвётся он груди, Он с беспредельным жаждет слиться!... О! Бурь заснувших не буди — Под ними хаос шевелится!...
Около 50 лет назад трудами Джеймса Лайтхилла (1924-1998) была установлена связь между турбулентностью и излучаемым ею звуком [7, 8]. Здесь мы опять видим перемежаемость и, может быть, асимметрию: «то глухо жалобный, то шумно», прямое упоминание хаоса. Теперь мы знаем, что звук вихревой природы усиливается при обтекании препятствий, особенно, резонирующих объемов (автор заметил, что звуки резко усиливаются, когда на его застекленном балконе открыта форточка). Интенсивность звука от турбулентности при обтекании препятствий пропорциональна числу Маха в четвертой степени. Хотя связь звука с турбулентностью таким образом сильно нелинейная, это
стихотворение молодого Тютчева, уже зрелого поэта и автора многих стихов, которые мы дальше будем цитировать, довольно точно отражает картину турбулентных потоков, как мы ее понимаем полтора века спустя.
Случайность и перемежаемость можно увидеть, например, в стихотворении Пушкина «Арион»: «Вдруг лоно волн измял с налету вихорь шумный». Богатый комплекс процессов отражен в его же стихотворении «Буря».
Ты видел деву на скале В одежде белой над волнами, Когда бушуя в бурной мгле, Играло море с берегами, Когда луч молний озарял Ее всечасно блеском алым, И ветер бился и летал С ее летучим покрывалом? Прекрасно море в бурной мгле И небо в блесках без лазури; Но верь мне: дева на скале Прекрасней волн, небес и бури.
Не раз в юности я слышал от профессиональных литераторов, что это одно из самых замечательных стихотворений Пушкина. С точки зрения научного работника это удивительное стихотворение демонстрирует и турбулентный ветер, и морское волнение, им вызываемое, и электрические процессы, и атмосферу, полную брызг и пыли («бурная мгла»), когда согласно закону рассеяния света Рэлея в обратной пропорциональности четвертой степени длины волны до наблюдателя доходит лишь красная часть спектра («луч молний озарял ее всечасно блеском алым»). Это стихотворение — действительно, волшебство музыки, мысли и чувства (эстетического, прежде всего).
Приведу еще несколько примеров динамических, оптических, физических процессов и явлений, замеченных поэтами задолго до открытия соответствующих законов. «Осенний вечер» Тютчева (октябрь 1830г.) как демонстрация перемежаемости ветра ( но вообще, одно из самых гениально-проницательных стихотворений поэта, написанное, когда ему еще не исполнилось 27(!)лет).
Есть в светлости осенних вечеров Умильная, таинственная прелесть!... Зловещий блеск и пестрота дерёв, Багряных листьев томный, легкий шелест, Туманная и тихая лазурь Над грустно-сиротеющей землёю И, как предчувствие сходящих бурь, Порывистый, холодный ветр порою.
Ущерб, изнеможенье — и на всём Та кроткая улыбка увяданья, Что в существе разумном мы зовём Божественной стыдливостью страданья!
Безымянное стихотворение Пушкина 1827 года четко описывает действие закона радиационного теплообмена Стефана-Больцмана, установленного в самом конце XIX века. Две начальных строки:
Какая ночь! Мороз трескучий, На небе ни единой тучи...
Далее описывается ночь после стрелецкой казни. Здесь поэт обратил внимание, что сильные морозы всегда при безоблачном небе. Тогда тепловое излучение земли беспрепятственно уходит в космос. При низких температурах, благодаря закону Клапейрона-Клаузиуса (середина XIX века) содержание водяного пара в атмосфере экспоненциально мало, нет облаков и нет парникового эффекта, т.е. испускания вниз тепловой радиации, поднимающей температуру поверхности.
Два замечательных стиха со следами метеорологии. Музыка Н. А.Римского-Корсакова делает первое из них, написанное Пушкиным в 1820г., одним из самых прекрасных русских романсов.
Редеет облаков летучая гряда,
Звезда печальная, вечерняя звезда, Твой луч осеребрил увядшие равнины, И дремлющий залив, и черных скал вершины. Люблю твой слабый свет в небесной вышине; Он думы разбудил, уснувшие во мне.
Я помню твой восход, знакомое светило, Над мирною страной, где все для сердца мило, Где стройны тополи в долинах вознеслись, Где дремлет нежный мирт и темный кипарис, И сладостно шумят полуденные волны.
Там некогда в горах, сердечной думы полный, Над морем я влачил задумчивую лень, Когда на хижины сходила ночи тень — И дева юная во мгле тебя искала
И именем своим подругам называла.
А вот совершенно роскошный «Летний вечер» 24-летнего Тютчева: Уж солнца раскаленный шар С главы своей земля скатила, И мирный вечера пожар Волна морская поглотила.
Уж звезды светлые взошли И тяготеющий над нами Небесный свод приподняли Своими влажными главами. Река воздушная полней Течёт меж небом и землёю, Грудь дышит легче и вольней, Освобождённая от зною. И сладкий трепет, как струя, По жилам пробежал природы, Как бы горячих ног ея Коснулись ключевые воды.
Где же тут метеорология? Она раскапывается без труда из этого совершенного волшебства. Пушкин описывает вечер. Первая строка соответствует антициклональной погоде, когда вечером прекращается испарение и исчезает облачность. Вечерней звездой в античности называли Венеру (половину времени она же и утренняя звезда).
У Тютчева «река воздушная» — это ночной бриз, дующий на море с быстрее охлаждающейся поверхности суши, «Мирный вечера пожар» — это снова демонстрация закона Рэлея для рассеяния света. А вот «Полдень» Тютчева опять в антициклон.
Лениво дышит полдень мглистый, Лениво катится река, В лазури пламенной и чистой Лениво тают облака.
И всю природу, как туман, Дремота жаркая объемлет, И сам теперь великий Пан В пещере нимф спокойно дремлет.
Любителю поэзии не нужна физика или метеорология. Но физик или метеоролог при третьем, пятом чтении этих стихов может обратить внимание, что в них есть тонкие наблюдения за природными процессами и это может только увеличить волшебство поэзии в его глазах. Подобный анализ стиха сродни исследовательскому процессу.
Можно найти много деталей, относящихся к оптическим явлениям в атмосфере. Пожалуй, наиболее выразительны две строки у Фета (в своё время вызвавшие недоумение и насмешки демократических критиков вроде Д. И. Писарева). Приведём полностью это короткое поразительное стихотворение (ни единого глагола!).
Шепот, робкое дыханье, Трели соловья, Серебро и колыханье Сонного ручья, Свет ночной, ночные тени, Тени без конца, Ряд волшебных изменений Милого лица,
В дымных тучках пурпур розы Отблеск янтаря, И лобзания и слёзы, И заря, заря!...
Первые две строки третьей строфы — совершенное проявление закона рассеяния света Рэлея, а третья и четвёртая строки первой строфы — отражение (лунного) света от слегка случайной поверхности ручья.
Одно из самых изумительных стихотворений Афанасия Афанасьевича Фета отражает слабую атмосферную турбулентность, приводящую к мерцаниям отдаленных источников света.
В тиши и мраке таинственной ночи Я вижу блеск приветный и милый, И в звездном хоре знакомые очи Горят в степи над забытой могилой. Трава поблекла, пустыня угрюма, И сон сиротлив одинокой гробницы, И только в небе, как вечная дума, Сверкают звезд золотые ресницы. И снится мне, что ты встала из гроба, Такой же, какой ты с земли отлетела. И снится, снится: мы молоды оба, И ты взглянула, как прежде глядела.
«Ресницы звезд» — свидетельство близорукости поэта. Другая ночь у Фета через 23 года после предыдущей и без турбулентности:
Благовонная ночь, благодатная ночь, Раздражение недужной души!
Всё бы слушал тебя — и молчать мне невмочь В говорящей так ясно тиши.
Широко раскидалась лазурная высь, И огни золотые горят;
Эти звезды кругом точно все собрались, Не мигая, смотреть в этот сад.
В молодости автор этого эссе занимался распространением волн в случайных средах.
Морские волны — нередкий фон во многих стихах.
У Фета есть ряд стихов («Море и звезды», «Вчера расстались мы с тобой», «Качаяся, звезды мигали лучами на темных зыбях среди земного моря»). Наиболее красочно (и комплексно) описание морской поверхности у Тютчева:
Как хорошо ты, о море ночное,— Здесь лучезарно, там сизо-темно... В лунном сиянии, словно живое, Ходит и дышит, и блещет оно...
На бесконечном, на вольном просторе Блеск и движенье, грохот и гром... Тусклым сиянием облитое море, Как хорошо ты в безлюдье ночном! Зыбь ты великая, зыбь ты морская, Чей это праздник так празднуешь ты? Волны несутся, гремя и сверкая, Чуткие звезды глядят с высоты.
В этом волнении, в этом сияньи, Весь, как во сне, я потерян стою — О, как охотно бы в их обаяньи Всю потопил бы я душу свою...
Многие до сих пор (2003г.) помнят, как автор эссе в декабре 1982г. читал эти стихи в Ялте на закрытии Второго Всесоюзного съезда океанологов.
Фазы развития волнения на море четко отражены Пушкиным в «Сказке о рыбаке и рыбке». С увеличением ценности просьб старухи нарастает волнение морской поверхности. Когда старик пришел просить корыто, «море слегка разыгралось», при просьбе об избе — «по- мутилося синее море», при желании старухи быть столбовою дворянкой —«неспокойно синее море», когда же захотела она быть царицей, «почернело синее море», а когда старик пришел с просьбой быть ей царицей морской, то увидел, что «на море черная буря: так и вздулись сердитые волны, так и ходят, так воем и воют».
Атмосферные электрические явления не раз прямо-таки завораживали Тютчева. Вот два стиха от 14 июля 1851 г. и 18 августа 1865:
Не остывшая от зною
Ночь июльская блистала...
И над тусклою землёю Небо, полное грозою, Всё в зарницах трепетало... Словно тяжкие ресницы Подымались над землёю И сквозь беглые зарницы Чьи-то грозные зеницы Загоралися порою...
Второе стихотворение бесспорно отражает конец лета:
Ночное небо так угрюмо, Заволокло со всех сторон. То не угроза и не дума, То вялый, безотрадный сон.
Одни зарницы огневые, Воспламеняясь чередой, Как демоны глухонемые Ведут беседу меж собой. Как по условленному знаку, Вдруг неба вспыхнет полоса, И быстро выступят из мраку Поля и дальние леса.
И вот опять все потемнело, Всё стихло в чуткой темноте — Как бы таинственное дело Решалось там — на высоте.
Состояние взаимоотношений человека с природой в доиндустриаль- ную эпоху замечательно описывал Тютчев:
Певучесть есть в морских волнах, Гармония в стихийных спорах, И стройный мусикийский шорох Струится в зыбких камышах. Невозмутимый строй во всём, Созвучье полное в природе,— Лишь в нашей призрачной свободе Разлад мы с нею сознаём.
Откуда, как разлад возник? И отчего же в общем хоре Душа не то поёт, что море, И ропщет мыслящий тростник? И от земли до крайних звёзд Всё безответен и поныне Глас вопиющего в пустыне, Души отчаянный протест?
Блэз Паскаль (1623-1672) писал: «Человек не более как самая слабая тростинка в природе, но это тростинка мыслящая». Глас вопиющего в пустыне — выражение из Библии (Исайя, 40.3), приведено также во всех четырёх евангелиях. Физик здесь увидит четкие понятия о спектрах акустических сигналов, наличие максимума в пространственном спектре морского волнения (первая строка), мусикийский (т.е. музыкальный) шорох — более широкополосный, даже, может быть, приближающийся к белому шуму, спектр звука обтекания ветром камышей.
Кажется, уже достаточно примеров стихов, в которых наши великие поэты отразили черты процессов и явлений, нашедших своё физическое истолкование только в следующем XX столетии. Во многих стихах есть поэтические описания природных процессов, которые для ученых могут служить примерами точности, краткости и красоты предлагаемых картин времён года. Описание весны в первых трёх строфах 7-й главы Евгения Онегина, «Осень», 1833г., у Тютчева: «Весенняя гроза», «Весна», «Весенние воды», «Нет, моего к тебе пристрастья я скрыть не в силах, мать-Земля», у Фета «Всю ночь гремел овраг соседний».
Не могу не помянуть в этой связи космические стихи Тютчева, любимые с ранней юности: «Проблеск» (1825), «Вечер» (1826) («Как тихо веет над долиной далёкий колокольный звон»), содержащий пример приземного звукового волновода, образующегося у быстро остывающей поверхности земли, «Видение» (1829), «Бессонница» (1829), «Сны» (1829), «Последний катаклизм» (1829). Не могу не привести эти гениальные четыре строки:
Когда пробьет последний час природы, Состав частей разрушится земных: Всё зримое опять покроют воды, И Божий лик изобразится в них!
По поводу этого стиха Н. А.Некрасов писал (цитирую по памяти): «Не знаю, какая тут физика, но поэзия изумительна!».
На плодотворный для поэта 1829 год приходится около 30 стихов. Среди них помяну ещё «Странник», — любимое стихотворение, с тех пор, когда я ещё ходил в пешие и байдарочные походы. На следующий 1830 год приходится несколько изумительных стихов: «Сон на море», «Конь морской», описывающий нелинейные процессы трансформации волн, падающих на пологий берег, «Душа хотела 6 быть звездой», «Душа моя, Элизиум теней», «Не то, что мните вы, природа» (1836),
«День и ночь» (1839). Пусть этот далеко не полный список даст повод читателю открыть ещё раз книгу поэта.
В более поздние годы открылся для меня Фет. В его лучших поздних стихах есть и элементы космизма. Прочтите «Измучен жизнью, коварством надежды», «Не тем, Господь, могуч, непостижим», «Море и звёзды», «Сияла ночь. Луной был полон сад», «Только встречу улыбку твою», «Есть ночи зимней блеск и сила», прочтите два — три раза, чтобы до конца понять их красоту, понять, что близкие чувства можно испытывать в процессе и, особенно, по окончании исследования, казавшегося вначале практически безнадежным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 2. М.: Физматлит, (1967).
Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: 7 изданий с 1944 по 1988.
Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность и промежуточные асимптотики. Л.: Гидрометеоиздат. 1-е изд. 1978, 2-е изд. (1982).
Голицын Г. С. Принцип скорейшей реакции в гидродинамике, геофизике, астрофизике. ДАН. Т. 356, №3, 321-324, (1997).
Голицын Г. С. Место закона Гутенберга-Рихтера среди других статистических природных закономерностей. Вычислительная сейсмология. Вып. 32, 138-161, (2001).
Голицын Г. С. Белый шум как основа объяснения многих статистических закономерностей в природе. В книге «Волны хаос», Физматлит, (2003).
Lighthill М. J. On sound generated aerodynamically. I. General theory. Proc. Roy. Soc. A 211, No. 1107, 564-587. (1952).
Lighthill M. J. Sound generated aerodynamically. Proc. Roy. Soc. A267, No. 1329, 147-182.
§ 2. Неведомая гармония
Война. Зима 1942 или 1943 года. Мне семь или восемь лет. Брат Миша на полтора года моложе. Отец на фронте. Клавдии Михайловне, нашей матери около 35 лет. Она кладовщица в колхозе имени Максима Горького в селе Любец под Ковровом. Тётя Дуся, её старшая сестра, там же счетовод. Живём сносно, хотя всё время хочется есть. Еда — картошка в мундире, овощной суп или щи. Мясо — неделю по осени, когда режем подросшего за лето козлёнка.
Село на высоком берегу Клязьмы. В ясный день за поймой можно насчитать семь далёких колоколен на горизонте. Практически единственные три книги в сельском доме, куда нас пустили за какую-то малую плату, это жития святых, изданные в конце прошлого XIX века,
за май, октябрь и ноябрь, какие-то остатки библиотеки священника сельской церкви Успения Богородицы, освящённой в 1693 году, как мы узнали потом. Церковь закрыта лет за десять до того и там колхозный склад. Мать при свете огня от печки-голландки что-то читает вслух нам с братом. Когда печка прогорает — освещение лишь от лампады перед иконами в углу комнаты.
И вдруг мать говорит:
«Мне минуло шестнадцать лет, А сердцу было боле...».
Потом замолкает на несколько секунд и вспоминает ещё:
«К нам юноша пришёл в село. Откуда он — не знаю, УУ，УУ，УУ，УУ，
Но сердце билось — знаю... ...и тихо обнял он меня и тихо назвал милой...».
Она не помнила всего стиха, но говорила: «Как бывалоча-то писали!». Я не раз слышал от неё эти строки или часть их них. Читая, она явно наслаждалась при этом. Имени автора она никогда не называла, может быть, и не помнила, или вовсе не знала.
Поздней осенью 1945 года мы с матерью вернулись в Москву. Я пошёл в 4-ый класс, брат — во 2-ой. В 1949 году страна отмечала 150- летие со дня рождения Пушкина. За два года до того демобилизовался отец, поступил на работу в Текстильпроект инженером-геодезистом. Основное время он был в командировках по Союзу, производя съёмки площадок под будущие здания текстильных комбинатов в Ашхабаде, Ташкенте, Гори, Херсоне, других, более десятка городах. Года за два до того я начал репетиторствовать. Первой была двоюродная сестра Анюта, её мать, любимая тётя Маша, дала мне 50 рублей. На них я купил рассказы Тургенева, Толстого и ещё что-то. Это были книги, изданные в типографиях нашей зоны оккупации в Германии, издавались в основном классики. Эти книги быстро раскупались, и за ними надо было охотиться по московским книжным магазинам. Каждый месяц из зарплаты отца в 1600 рублей мать давала мне 20 рублей на книги. Большого формата книга русского классика обычно стоила 22 рубля. Два рубля я чаще всего восполнял, утаивая сдачу при хождении в магазин за хлебом и продуктами. Трамвай в первые послевоенные годы стоил 15 копеек, троллейбус с кондуктором стоил в зависимости от расстояния от 20 до 60 копеек.
Весной 1949 года я купил Пушкина, очень полное издание страниц на 600. После трёх — четырёх прочтений я знал достаточно длинные стихи наизусть. Многие десятки его стихов вскоре я уже знал и нередко читал их для себя вслух по памяти. Среди многих других меня поразило одно:
Чем чаще празднует лицей Свою святую годовщину,— Тем робче старый круг друзей В семью стесняется едину. Тем реже он, тем праздник наш В своём веселии мрачнее, Тем наши песни всё грустнее, Тем глуше звон заздравных чаш.
Так, дуновенья бурь земных И нас нечаянно касались, И мы средь пиршеств молодых Душою часто омрачались. Мы возмужали. Рок судил И нам житейски испытанья. И смерти дух средь нас ходил И назначал свои закланья.
Шесть мест, упраздненных стоят. Шести друзей не узрим боле.— Они, разбросанные, спят, Кто здесь, кто там на ратном поле, Кто дома, кто в земле чужой, Кого недуг, кого печали Свели во мрак земли сырой — И надо всеми мы рыдали.
И мнится — очередь за мной, Зовёт меня мой Дельвиг милый, Товарищ юности живой, Товарищ юности унылой, Товарищ песен молодых, Пиров и чистых заблуждений; Туда, в толпу теней родных Навек от нас утекший гений.
Теснее, милые друзья, Тесней наш верный круг составим. Погибшим песнь окончил я, Живых надеждою прославим. Надеждой некогда опять В кругу лицейском очутиться, Всех остальных ещё обнять И новых жертв уж не страшиться.
Кругозор моих знаний поэзии быстро расширялся. С 15 лет я сам начал пописывать стихи. Но Дельвиг мне не попадался ни в библиотеках, ни у знакомых. Хотя по Пушкину я знал о нём, особенно по его загадке:
Кто славянин молодой, грек духом, а родом германец, Вот вам загадка моя — хитрый Эдип разреши.
Кто на снегах возрастил Феокритовы нежные розы, В веке железном, скажи, кто золотой угадал?
В конце школы выбор профессии определился — я буду физиком. Чтение сместилось в область науки.
Через много лет, при двух дочерях, уже мы жили в кооперативной трёхкомнатной малогабаритной квартире. Я — доктор наук, жена — кандидат. Летом мы с детьми живём у родителей в Любце. К отцу приходят гости из Коврова, Владимира, ещё молодые двоюродные из Москвы. Там поселились художники: график Гурий Захаров и его жена скульптор Татьяна Соколова. Жена моя Люся летом 1970 года решила запечатлеть дочерей Аню, 11 лет и Машу, 7 лет. Мы обратились к Гурию, вскоре народному художнику РСФСР, с просьбой за деньги сделать гравюрный портрет наших детей. После двух — трёх просьб Гурий передал нашу просьбу Юрию Могилевскому, тогда уже известному графику. Наиболее известен его портрет Маяковского, ставший символом одноимённого московского театра: лицо поэта в три четверти на тёмном фоне.
За 500 рублей, я тогда как старший научный сотрудник, доктор наук, получал 400, у меня были ещё редакционные приработки рублей на 60 в месяц, Могилевский сделал гравюру на цинке месяца за два. Мы подружились семьями, благо они жили через дом от нас. Однажды они позвали нас в гости. У них ещё была пара примерно нашего возраста. Пара была с гитарой и после ужина с бутылкой вина они начали петь, в основном, романсы. Один из них меня поразил:
Когда душа стремилась ты Погибнуть иль любить, Когда надежды и мечты В тебе стремились жить, Когда ещё я не пил слёз Из чаши бытия, Зачем тогда в венке из роз К теням не отбыл я...
Я никогда не слышал и не читал этих стихов. Я быстро сообразил, что это может быть только Дельвиг. Однако дама-певица возразила: нет, — это Кукольник. Я, как и многие, знаю Кукольника как автора слов знаменитого романса «Уймитесь, волнения страсти, замри безмятежное сердце...». Я чувствовал, что это не может быть Кукольник, это другой поэт, не Баратынский, которого я хорошо знал, это может быть только Дельвиг, но спорить не стал.
Наконец, в конце 1980-х я купил книгу стихов и прозы Дельвига. Но в эти годы борьба под руководством академика Яншина с поворотом рек, большая международная деятельность по «ядерной зиме», я был одним из 12 экспертов международной комиссии Организации объединённых наций по Климатическим и другим глобальным последствиям ядерной войны, — всё это отвлекало от чтения Дельвига.
Сейчас, в 2004 году, я стал рано просыпаться — часов в 5 — 6. Я вспомнил мать, детство в Любце, «мне минуло шестнадцать лет»,
и я, наконец, прочёл стихи Дельвига. Из предисловия я узнал ещё одно высказывание Пушкина: «в его стихах необыкновенное чувство гармонии и классической стройности». Имелись в виду стихи: «К Лилете», «Диону». Эти стихи, как и «Мне минуло шестнадцать лет», написаны в 1814 году, когда Дельвигу было 16 лет. «Элегия», романс, услышанный у Могилевского, написана поэтом в 1821 или 1822 году, когда Дельвигу было уже 23 или 24.
Вот полные слова стихов, упомянутых здесь.
60. Первая встреча
Мне минуло шестнадцать лет,Но сердце было в воле;
Я думала: весь белый свет — Наш бор, поток и поле.
К нам юноша пришёл в село: Кто он? отколь? не знаю — Но всё меня к нему влекло, Всё мне твердило, знаю!
Его кудрявые власы Вкруг шеи обвивались, Как мак сияет от росы, Сияли, рассыпались.
И взоры пламенны его
Мне что-то изъясняли;
Мы не сказали ничего.
Но уж друг друга знали.
Куда пойду — и он за мной.
На долгую ль разлуку?—
Не знаю! только он с тоской Безмолвно жал мне руку.
«Что хочешь ты? — спросила я.— Скажи, пастух унылый».
И с жаром обнял он меня И тихо назвал милой.
И мне б тогда его обнять! Но рук не поднимала, На перси потупила взгляд Краснела, трепетала.
Ни слова не сказала я;
За что ж ему сердиться?
Зачем покинул он меня?
И скоро ль возвратится?
Элегия
Когда, душа, просилась ты Погибнуть иль любить, Когда желанья и мечты
К тебе теснились жить, Когда ещё я не пил слёз Из чаши бытия,— Зачем тогда, в венке из роз, К теням не отбыл я!
Зачем вы начертались так На памяти моей, Единый молодости знак, Вы, песни прошлых дней!
Я горько долы и леса И милый взгляд забыл,— Зачем же ваши голоса
Мне слух мой сохранил!
Не возвратите счастья мне, Хоть дышит в вас оно!
С ним в промелькнувшей старине Простился я давно.
Не нарушайте ж, я молю,Вы сна души моей
И слова страшного «люблю» Не повторяйте ей.
1821 или 1822
К Диону
Сядем, любезный Дион, под сенью развесистой рощи, Где, прохлаждённый в тени, сверкая, стремится источник,— Там позабудем на время заботы мирские и Вакху
Вечера час посвятим.
Мальчик, наполни фиал фалернским вином искромётным!
В честь вечно юному Вакху осушим мы дно золотое;
В чаше, обвитой венком, принеси дары щедрой Помоны,— Вкусны, румяны плоды.
Тщетно юность спешит удержать престарелого Хрона, Просит, молит его — не внимая, он далее мчится;
Маленький только Эрот смеётся, поёт и, седого
За руки взявши, бежит.
Что нам в жизни сей краткой за тщетною славой гоняться, Вечно в трудах только жить, не видеть веселий до гроба?— Боги для счастья нам и веселия дни даровали, Для наслаждений любви.
Пой, в хороводе девиц белогрудых, песни веселью, Прыгай под звонкую флейту, сплетяся руками, кружися, И твоя жизнь протечёт, как быстро в зелёной долине Скачет и вьётся ручей.
Друг, за лавровый венок не кланяйся гордым пританам. Пусть за слепою богиней Лициний гоняется вечно, Пусть и обнимет её. Фортуна косы всеразящей
Не отвратит от главы.
Что нам богатство искать? им счастья себе не прикупим: Всех на одной ладие, и бедного Ира и Креза,
В мрачное царство Плутона, чрез волны ужасного Стикса Старый Харон отвезёт.
Сядем, любезный Дион, под сенью развесистой рощи, Где, прохлаждённый в тени, сверкая, стремится источник,— Там позабудем на время заботы мирские и Вакху
Верера час посвятим.
1814
К Лилете
Лилета, пусть ветер свистит и кверху метелица вьётся, Внимая боренью стихий, и в бурю мы счастливы будем, И в бурю мы можем любить! Ты знаешь, во мрачном Хаосе Родился прекрасный Эрот.
В ужасном волненьи морей, когда громы сражались с громами, И тьма устремлялась на тьму, и белая пена кипела,— Явилась богиня любви, в коральной плывя колеснице, И волны пред ней улеглись.
И мы, под защитой богов, потопим в веселии время.
Бушуйте, о чада зимы, осыпайтеся, жёлтые листья!
Но мы ещё только цветём, но мы ещё жить начинаем
В объятиях нежной любви.
И радостно сбросим с себя мы юности красну одежду,
И старости тихой дадим дрожащую руку с клюкою,
И скажем: о старость, веди наслаждаться любовью в том мире, Уж мы насладилися здесь.
1814
Прекрасный день, счастливый день: И солнце, и любовь!
С нагих полей сбежала тень — Светлеет сердце вновь. Проснитесь, рощи и поля;
Пусть жизнью всё кипит: Она моя, она моя!
Мне сердце говорит.
Что вьёшься, ласточка, к окну, Что, вольная, поёшь?
Иль ты щебечешь про весну И с ней любовь зовёшь?
Но не по мне, — и без тебя
В певце любовь горит: Она моя, она моя!
Мне сердце говорит.
ЛИТЕРАТУРА
Голицын Г. С., Станюкович К. П. Некоторые вопросы магнитной гидродинамики с учётом конечной проводимости. Ж. эксперимен. и теор. физики, 1957, т. 33, №6 (12), 1417-1427. 11 стр.
Голицын Г. С. Флуктуации магнитного поля и плотности тока в турбулентном потоке абопроводящей жидкости. Докл. АН СССР, 1960, т. 132, №2, с. 315-318. 4 стр.
Голицын Г. С. К вопросу о возможности нагрева верхней атмосферы длинноволновой акустической радиацией. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1961, №7, с. 1092-1093. 2 стр.
Голицын Г. С. О механизме радиационной теплопроводности. Изв. АН СССР, сер. геофизика, 1964, №5, с. 783-786. 5 стр.
Голицын Г. С., Дикий Л. А. Собственные колебания планетных атмосфер в зависимости от скорости вращения планеты. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1966, т. 2, 3, с. 225-235. 11 стр.
Голицын Г. С., Кляцкин В. И. Колебания в атмосфере, вызываемые движениями земной верхности. Изв. АН СССР, ФАО, 1967, т. 3, №10, с. 1044-1052. 9 стр.
Dikiy L. A., Golitsyn G. S. Calculation of the Rossby wave velocities in the Earth's atmosphere. Tellus, 1968, v. 20, No. 2, p. 314-317. 4 p.
Обухов A. M., Голицын Г. С. Динамика спуска автоматических станций в атмосферах планет как средство контроля данных измерений. Космические исследования, 1969, т. 7, №1, с. 150-155. 6 стр.
Голицын Г. С. О привязке к центру масс данных измерений автоматических станций, плавно опускающихся в атмосферах планет. Космические исследования, 1969, т. 7, №3, с. 462-463. 2 стр.
Голицын Г. С., Романова Н. Н. О распространении тепла в разреженных и неоднородных атмосферах. Геомагнитизм и аэрономия, 1970, т. 10, №1, с. 107-113. 7 стр.
Golitsyn G. S. A similarity approach to the general circulation of planetary atmospheres. Icarus, 1970, v. 13, No. 1, p. 1-24. 24 стр.
Голицын Г. С. Вывод соотношений теории подобия для общей циркуляции планетных атмосфер путём анализа системы уравнений гидродинамики. Изв. АН СССР, ФАО, 1971, т.7, №9, с.974-978. 5 стр.
Голицын Г. С. Использование соображений подобия для изучения общей циркуляции Солнца. Астрономии, ж., 1972, т. 49, №2, с. 360-366. 7 стр.
Golitsyn G. S. On the Martian dust storms. Icarus, 1973, v. 18, No. 1, p. 113-119. 7 p.
Barenblatt G. I., Golitsyn G. S. On the local structure of nature dust storms. J.Atm. Sci., 1974, v. 31, No. 7, p. 1917-1933. 17 p.
Golitsyn G. S. A second look at atmospheric dynamics on Titan and some of its general consequences. Icarus, 1975, v. 24, No. 1, p. 7075. 6 стр.
Голицын Г. С. К теории конвекции в верхней мантии. Доклады АН СССР, 1977, т. 234, с. 552-555. 4 стр.
Голицын Г. С. Оценки турбулентного режима атмосферы вблизи поверхности Венеры данным АМС Венера-9 и Венера-10. Космические исследования, 1978, т. 16, № 1, с. 156-158. 3 стр.
Голицын Г. С., Мохов И. И. Об устойчивости и экстремальных свойствах моделей климата. Изв. АН СССР, ФАО, 1978, т. 14, №4, с. 378-387. 10 стр.
Голицын Г. С. Энергетика конвекции вязкости жидкости. Доклады АН СССР, 1978, т. 240, №5, с. 1054-1057. 4 стр.
Голицын Г. С., Грачёв А. А. Измерение скоростей конвекции вязкой жидкости. Изв. АН СССР, ФАО, 1979, т. 15, №3, с. 330-333. 4 стр.
Голицын Г. С., Гинзбург А. И., Фёдоров К. Н. Измерения временного масштаба конвекции жидкости при её остывании с поверхности. Изв. АН СССР, ФАО, 1979, т. 15, №3, с. 333-335. 3 стр.
Голицын Г. С. Рефракция в приземном слое воздуха. Изв. АН СССР, ФАО, 1982, т. 18, № 12, с. 1282-1288. 7 стр.
Обухов А. М., Голицын Г. С. Возможные атмосферные последствия ядерного конфликта. Земля и Вселенная, 1983, №6, с. 4-7. 4 стр.
Golitsyn G. S., Ginzburg A. S. Comparative estimates of climatic consequences of Martian ust storms and of possible nuclear war. Tellus, 1985, v. 37B, No. 3, p. 173-181. 9 p.
Голицын Г. С., Бубнов Б. М. Структура поля температуры и теплопередача при конвекции во вращающейся жидкости. Докл. АН СССР, 1988, т. 300, №2, с. 350-353. 4 стр.
Голицын Г. С. Режимы конвекции на различных вращающихся геофизических и астрофизических объектах. Изв. АН СССР, ФАО, 1991, т. 27, №1, с. 20-31. 12 стр.
Крутцен П.Й., Голицын Г. С., Еланский Н. Ф., Бреннинкмейер К. А. М., Шарффе Д., Беликов И. Б., Елохов А. С. Наблюдение малых газовых примесей в атмосфере над территорией России
с использованием железнодорожного вагона-лаборатории. ДАН, 1996, т. 350, №6, с. 819-823.
Голицын Г. С. Статистика и энергетика тропических циклонов. ДАН, 1997, т. 354, №4, с. 535-538. 4 стр.
Голицын Г. С. Принцип скорейшей реакции в гидродинамике, геофизике, астрофизике. ДАН, 1997, т. 356, №3, с. 321-324. 4 стр.
Арпе К., Бенгтссон Л., Голицын Г. С., Мохов И. И., Семёнов В. А., Спорышев П. В. Анализ и моделирование гидрологического режима в бассейне Каспийского моря. ДАН, 1999, т. 366, №2, с. 248-252. 5 стр.
Голицын Г. С., Семёнов А. И., Шефов Н. Н. Сезонные вариации многолетнего тренда температуры в области мезопаузы. Геомагнетизм и аэрономия, 2000, т. 40, № 2, с. 67-70. 4 стр.
Голицын Г. С. Статистическое описание рельефа поверхности планеты и его эволюции. Земли. Изв. АН СССР, ФАО, №7, 2003, с. 3-8. 6 стр.
Голицын Г. С. Белый шум как основа объяснения многих статистических закономерностей в природе. Сб.: Нелинейные волны. С. 117-132. 16 стр.
Голицын Г. С. Статистические закономерности макропроцессов: случайные блуждания в пространстве импульсов.
Голицын Г. С. Отражение физических процессов и явлений в русской классической поэзии.
Голицын Г. С. Неведомая гармония.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Магнитная гидродинамика и турбулентность 7
Некоторые вопросы магнитогазодинамики с учетом конечной проводимости 7
Флуктуации магнитного поля и плотности тока в турбулентном потоке слабо проводящей жидкости 20
Глава 2. Волны 27
К вопросу о возможности нагрева верхней атмосферы длинноволновой акустической радиацией 27
О механизме радиационной теплопроводности 30
Собственные колебание планетных атмосфер в зависимости от скорости вращения планеты 37
Колебания в атмосфере, вызываемые движениями земной поверхности 49
Calculation of the Rossby wave velocities in the Earth's Atmosphere 58
О распространении тепла в разреженных и неоднородных атмосферах 63
Рефракция в приземном слое атмосферы 72
Глава 3. Планеты 81
Динамика спуска автоматических станций в атмосферах планет как средство контроля данных измерений 81
О привязке к центру масс данных измерений автоматических станций, плавно спускающихся в атмосферах планет 88
A Similarity Approach to the General Circulation of Planetary Atmospheres 89
Вывод соотношений теории подобия для циркуляции планетных атмосфер путем анализа системы уравнений гидротермодинамики 123
Применение соображений подобия к исследованию циркуляции на Солнце 129
On The Martian Dust Storms 138
Local structure of Mature dust storms 146
Another look at atmospheric dynamics on Titan and some of its general consequences 179
Оценки турбулентного режима атмосферы вблизи поверхности Ве
неры по данным АМС «Венера-9» и «Венера-10» 186
Глава 4. Климат 190
Об устойчивости и экстремальных свойствах моделей климата . . . 190
Возможные атмосферные последствия ядерного конфликта 202
Comparative estimates of climatic consequences of Martian dust storms and of possible nuclear war 208
Наблюдения малых примесей в атмосфере над территорией России с использованием железнодорожного вагона-лаборатории 221
Анализ и моделирование изменений гидрологического режима в бассейне Каспийского моря 228
Сезонные вариации многолетнего тренда температуры в области мезопаузы 234
Глава 5. Конвекция 240
К теории конвекции в верхней мантии 240
Энергетика конвекции ввязкой жидкости 245
Измерения скоростей конвекции вязкой жидкости 251
Измерения временного масштаба конвекции жидкости при ее остывании с поверхности 255
Термическая структура и теплопередача при конвекции во вращающемся слое жидкости 258
Режимы конвекции на различных вращающихся геофизических и астрофизических объектах 263
Глава 6. Статистика и энергетика природных процессов и явлений 277
Статистика и энергетика тропических циклонов 277
Принцип скорейшей реакции в гидродинамике, геофизике, астрофизике 283
Статистическое описание рельефа поверхности планеты и его эволюции 290
Белый шум как основа объяснения многих статистических закономерностей в природе 300
Статистические закономерности макропроцессов: случайные блуждания в пространстве импульсов 315
Глава 7. Разное 322
Отражение физических процессов и явлений в русской классической поэзии 322
Неведомая гармония 331
Литература 338
Научное издание
ГОЛИЦЫН Георгий Сергеевич
ПРИРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ЯВЛЕНИЯ: ВОЛНЫ, ПЛАНЕТЫ,КОНВЕКЦИЯ, КЛИМАТ, СТАТИСТИКА
Редактор И.А. РепинаОригинал-макет: Д.В. ГорбачевОформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 07.12.04. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл. печ. л. 21,5. Уч.-изд. л. 23,6. Тираж 400 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Московская типография № 6»115088, Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24
i) См. ЖЭТФ, t. 6 (12), 1957. В соавторстве с К. П. Станюковичем.
1) На возможность параболического вырождения нам указал Б. Л. Рожден-
1) С увеличением скорости ветра растет и % чем мы пренебрегаем, но это
Земли в работе [6].
i) This paper is a somewhat shortened version of the first two chapters of the book by Monin (1969).
i) A short presentation of this theory, together with some results of its
i) Of course any power of Mi is also a non-dimensional quantity, but we are choosing that form which has the clearest physical interpretation (see below).
1) Определения ти и ту не есть следствия теории подобия, а производятся с по мощью других соображений [1, 2, 7].
ной энергии превращаться в кинетическую, то затухание кинетической энергии циркуляции (на единицу массы) можно описать уравнением dU2/2 dt = — Скорость диссипации е имеет размерность куба скорости, деленного на масштаб длины. Пусть £ = Г/3/仇几 где 仇—некоторой коэффициент, суммарно учитывающий, какие масштабы скорости (и длины) определяют диссипацию. Решение уравнения dU2/2 dt = —U3/(3\r с начальным условием U = Uq при t = 0 имеет вид U~{ — Uq1 = t//3\г. Отсюда время затухания энергии в п раз равно tn = [3i(r/Uq)(ti^2 — 1), т. е. /3 = 2[3i(ri^2 — 1). Таким образом, чем больше величина 仇 тем меньше скорости (и масштабы) осуществляют диссипацию, т. е. тем более упорядоченным становится крупномасштабный поток.
i. e. г = 0.5 to 1. Then = -(10 to 15) K, which agrees quite well with Viking lander measurements (Ryan and Henry, 1979). At the same time, △£ = +(27 to 33) K, which again is of the order of changes in the Martian dusty atmosphere observed by the radio-occultation method (Moroz, 1978). The same observations have shown that the vertical temperature profiles are in fact nearly isothermal. One can also see a distinct anti-greenhouse effect: Ts < Te < Ta lor ts > 0.8 (丁 > 0.2).
УДК 550.3ББК 26.2Г 60УДК 550.3ББК 26.2Г 60© ФИЗМАТЛИТ, 2004© Г. С. Голицын, 2004© ФИЗМАТЛИТ, 2004© Г. С. Голицын, 2004
УДК 550.3
ББК 26.2
Г 60
УДК 550.3
ББК 26.2
Г 60
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
© Г. С. Голицын, 2004
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
© Г. С. Голицын, 2004
Г Г Издание осуществлено при поддержке т* <П> и Российского фонда фундаментальных, исследований по проекту 04-05-78076д
Голицын Г. С. Природные процессы и явления: волны, планеты, конвекция, климат, статистика. — М.:①НЗМАТЛНТ, 2004. — 344 с.— ISBN 5-9221-0548-5.
В сборнике представлены избранные труды Г.С. Голицына по магнитной гидродинамике и турбулентности, исследованию различных волновых процессов в атмосфере, анализу динамики планетных атмосфер, по теории климата и его изменений. В том числе отмечены экстремальные свойства климатической системы, проблемы «ядерной зимы», моделирования уровня Каспия, сезонных вариаций температуры мезосферы, изменений состава атмосферы над Россией. Кроме того, представлены результаты исследований конвекции в мантии и в атмосфере Земли, в океане. Конвекция с учетом вращения изучается теоретически и в лабораторных экспериментах с приложениями к глубокой конвекции в океане, в жидком ядре Земли, для описания энергетических режимов ураганов. Приведены результаты анализа статистики и энергетики разнообразных природных процессов и явлений.
Книга представляет интерес для широкого круга научных работников и аспирантов в различных разделах физики, геофизики, теории климата и для лиц, интересующихся статистическими закономерностями в природе.
ISBN 5-9221-0548-5